Apostila de matemática Financeira by Alberto Goncalves

MATEMÁTICA FINANCEIRA

José Carlos Godinho

1ª AULA

PORCENTAGEM

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO  PORCENTAGEM  JUROS SIMPLES E COMPOSTOS  ESTUDO DAS TAXAS  OPERAÇÕES ENVOLVENDO DESCONTO RACIONAL  EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA  RENDAS CERTAS  PLANOS DE AMORTIZAÇÃO  NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTO  OPERAÇÕES ENVOLVENDO DESCONTO COMERCIAL 1

PORCENTAGEM

À taxa percentual P% associamos a razão

P 100

e assim calcular P%

de uma quantidade qualquer é multiplicá-la pela razão.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1. Calcule: I) 3,4% de 800 II) 0,62% de 500 III) 10% de 20% de 150 Solução: I)

3,4 x 800 = 27,2 100

Ii)

0,62 x 500 = 3,1 100

ii) 10 x 20 x 150 = 3

100 100

Resposta: I) 27,2

II) 3,1

III) 3

2. Efetuando o pagamento de uma conta após o vencimento, você pagou R$ 12,50 de multa. Como o valor da conta era de R$ 200,00, qual foi a taxa percentual de multa? (Em outras palavras, que porcentagem a quantia de R$ 12,50 é de R$ 200,00). Solução: Comparando o valor da multa com o valor da conta, temos:

12,50 200

= 0,0625

ou i(%) = 0,0625 x 100 = 6,25

taxa unitária

taxa percentual

Resposta: Você pagou a conta com aumento de 6,25%

3. Um aparelho com preço de R$ 840,00 tem esse valor reajustado para R$ 911,40. Qual a taxa percentual de aumento? Solução: i=

71,40 840

= 0,085

i(%) = 0,085 x 100 = 8,5

Resposta: O aumento foi de 8,5%.

4. Qual a taxa de juros cobrada num financiamento de R$ 720,00 a ser resgatado por R$ 766,80 no fim de um mês? Solução: i = 46,80

720

= 0,065

i(%) = 0,065 x 100 = 6,5

Resposta: A taxa de juros foi de 6,5% a.m.

5. O preço do litro de gasolina sofreu uma redução, passando de R$ 2,980 para R$ 2,533. Qual o percentual relativo a essa redução? Solução: i=

0,447 2,980

i(%) = 0,15 x 100 = 15

Resposta: A redução foi de 15%.

6. O valor de um número real x vai aumentar em 8% de seu valor, dando um resultado y. Expressar y em função de x. Solução: Do enunciado, temos: y=x+

8 x =x + 0,08x = 1,08x 100

Portanto, aumentar 8% equivale a multiplicar por 1,08. Resposta: y = 1,08∙x

OUTROS EXEMPLOS

FATOR DE AUMENTO TAXA DE AUMENTO

0,52 = 1,0052 100

2 = 1,02 100

0,52% 2% 46,8%

46,8 = 1,468 100

0,092

0,125

1 +0,092 = 1,092

1 +0,125 = 1,125

: 1 +i

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 7. O preço de um artigo sofreu uma majoração, passando de R$ 42,50 para R$ 54,40. Qual o percentual de aumento? Solução: 42,50 ∙ F = 54,40 F=

54 ,40 42,50

= 1,28 e i = 1,28 - 1 = 0,28 ou 28%

Resposta: Aumento de 28%.

8. O valor de um número real x vai diminuir em 20% de seu valor, dando um resultado y. Encontre y em função de x. Solução: Do enunciado, temos: y=x-

20 100

∙ x = x - 0,2x = 0,8x

Portanto, diminuir 20% equivale a multiplicar por 0,8. Resposta: y= 0,8∙x

OUTROS EXEMPLOS FATOR DE REDUÇÃO TAXA DE REDUÇÃO 4% 15%

4 = 1 - 0,04 = 0,96 100

15 = 1 - 0,15 = 0,85 100

0,22 0,06 : i

1 - 0,22 = 0,78 1 - 0,06 = 0,94 : 1-i

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 9. Em um estabelecimento comercial são oferecidas duas formas de pagamento: à vista, com desconto de 10%, ou parcelado em duas prestações fixas mensais, com a primeira vencendo na data da compra e a segunda, trinta dias depois. Com base nessas informações, determine a taxa de juros embutida no parcelamento. Solução:

À vista: 100 x 0,9 = 90 A prazo: 50 (ato) + 50 (p/30 dias) Comparando as duas opões, concluímos que na compra a prazo o valor financiado é de R$ 40,00 e o valor da prestação (R$ 50,00) paga a dívida após 30 dias.

40 x F = 50 ∴ F =

meses

50 = 1,25 40

e, daí, i = 1,25 - 1 = 0,25 ou 25% Resposta: 25% ao mês

10. A taxa de inflação do 1º semestre de um ano foi de 44% e do 2º semestre, 69%. Que taxa de inflação semestral “constante” provocaria um aumento equivalente nos preços Solução: Aplicando os fatores, temos: 1,44 ‫ו‬

1,69 ‫ו‬ 2

‫ו‬ 1 ƒ

Daí, ƒ x ƒ = 1,44 ∙ 1,69e ƒ = 1,44 ∙ 1,69 ƒ=

1,44 ⋅1,69 = 1,44 · 1,69

= 1,2 ∙ 1,3 = 1,56 e i = 0,56 ou 56%

Resposta: 56%.

2ª AULA CONCEITOS BÁSICOS E SIMBOLOGIA

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO  R$ 1.000,00 na data de hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em outra data.  O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros.  Se aplicarmos R$ 1.000,00, hoje, a 1% ao mês teremos um rendimento mensal de R$ 10,00, proporcionando um montante de R$ 1.010,00, no final do mês.  Para uma taxa de juros de 1% ao mês, tanto faz termos R$ 1.000,00, hoje, ou R$ 1.010,00, daqui a um mês.

 R$ 1.000,00 hoje somente serão iguais a R$ 1.000,00 daqui a um mês na hipótese absurda de a taxa de juros ser nula.  Montantes em datas diferentes só podem ser somados ou subtraídos após transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros (ou taxa de desconto).

DEFINIÇÕES DE JUROS  Define-se juros como sendo a remuneração do capital.  Remuneração do dinheiro aplicado.  Custo do dinheiro tomado emprestado.

TAXA DE JUROS “i” Expressa a razão entre os juros recebidos (ou pagos) ao final do período financeiro e o valor aplicado (ou tomado emprestado). i=

juros capital forma unitária

juros i (%) = capital x 100 forma percentual

EXEMPLO Um capital de R$ 800,00 aplicado durante 1 mês rendeu juros de R$ 10,00. Portanto, a taxa de juros utilizada é de: taxa =

juros capital

10 800

= 0,0125 ao mês ou 0,0125 x 100 = 1,25% ao mês.

CAPITALIZAÇÃO É a correção feita sobre o valor do capital em função do tempo. PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO É o intervalo de tempo entre dois momentos consecutivos de apuração dos juros devidos. Exemplo: Investimento: Poupança Data da Aplicação: 02/01/2008 Data para crédito dos juros: 02/02/2008 Intervalo entre aplicação e crédito dos juros: 1 mês Conclusão: a poupança tem período de capitalização igual a 1 mês.

VALOR PRESENTE OU PRINCIPAL É o valor disponibilizado no início da operação financeira. Exemplo: Você aplicou R$ 2000,00 e resgatou R$ 2040,00 após 2 meses. Valor presente da operação: R$ 2000,00 VALOR FUTURO OU MONTANTE Representa a soma do valor presente com os juros devidos até o momento da sua apuração. Exemplo: Você aplicou R$ 4000,00 na poupança e resgatou R$ 4048,10 após 2 meses. Valor futuro da operação: R$ 4048,10 8

FLUXO DE CAIXA  Representação gráfica do conjunto de entradas e saídas de caixa resultantes de uma operação financeira ao longo do seu prazo de duração.  As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira.  A linha horizontal é uma escala temporal, onde cada subdivisão representa um período de capitalização. As entradas e saídas são representadas por setas apontadas para cima e para baixo, respectivamente.

Exemplo: Investimento de R$ 4000,00 pelo qual o investidor recebeu o retorno em duas parcelas trimestrais de R$ 2400,00 ocorrendo a primeira seis meses após a aplicação. DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA (DFC)

R$ 2400,00

‫׀‬

R$ 2400,00

trimestres 2

R$ 4000,00

Exemplo: Um financiamento de R$ 20.000,00 pelo qual o tomador fará três pagamentos mensais iguais de R$ 7200,00 a partir do fim do segundo mês. DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA (DFC)

R$ 20.000,00 2

0 R$ 7200,00

R$ 7200,00

meses

R$ 7200,00

FLUXO DE CAIXA SIMPLES VF (VALOR FUTURO) 0

•••

períodos de capitalização

VP (VALOR PRESENTE)

VF = VP ⋅ fator

e, daí,

VP = VF .

1 fator

No regime de juros simples (linear), temos: fator = 1 + i ⋅ n No regime de juros compostos (exponencial), temos: fator = (1 + i)n, que é tabelado. Onde: i é a taxa de juros ou desconto por período. n é o número de períodos. 1 + i ⋅ ne (1 + i)n são os fatores de acumulação 1 1 e 1 + in (1 + i)n

são os fatores de atualização.

Exemplo: Uma empresa toma emprestados em uma instituição financeira R$ 50.000,00, e irá devolvê-los após 4 anos, incorrendo em juros de 10% ao ano. Qual o montante (principal + juros) a ser pago ao banco? FLUXO DE CAIXA DA OPERAÇÃO VP = R$ 50.000

anos

0 i = 10% a.a.

VF = ?

1ª hipótese: regime linear

VF = VP ∙ (1 + i ∙ n) e, daí, VF = 50.000 ∙

(1 +

10 100

· 4)

= 70.000

Comentários:  Juros de cada período são sempre calculados sobre o valor presente.  Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem juros, apesar de ficarem retidos pela instituição financeira.  Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética). (50.000,00, 55.000,00, 60.000,00,65.000,00, 70.000,00)  Para uma taxa de juros simples de 10% ao ano, tanto faz termos R$ 50.000,00, hoje, ou R$ 70.000,00, daqui a quatro anos.

3ª AULA

FLUXO DE CAIXA SIMPLES

2ª hipótese: regime exponencial

VF = VP ∙ (1 + i)n e, daí, VF = 50.000 ∙ (1 +

10 4 ) = 73.205,00 100

Comentários:  Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período.  Juros acumulados ao longo do período, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.  Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial (ou em progressão geométrica). (50.000,00,55.000,00, 60.500,00, 66.550,00, 73.205,00)  Para uma taxa de juros compostos de 10% a.a., tanto faz termos R$ 50.000,00, hoje, ou R$ 73.205,00, daqui a quatro anos.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1)

Determinar o montante e o juro simples de cada aplicação:

Solução: VF TG =

8% x 3 = 2% 12

FATOR = 1,02 3

i = 8% a.a.

meses

VF = VP x FATOR VF = 1800 x 1,02 = 1836 J = VP x (FATOR - 1)

R$ 1.800,00

J = 1800 x (1,02 - 1) = 36

Resposta: R$ 1.836,00 e R$ 36,00

b) VF Solução:

0 dias

TG =

1,2% x 70 = 2,8% 30

FATOR = 1,028 VF = 5000 x 1,028 = 5140 J = 5000 x (1,028 - 1) = 140

Resposta: R$ 5.140,00 e R$ 140,00

b) R$ 2.530,00 0

i = 0,8% a.m.

1,5

VP = ?

meses

Solução: TG = 0,8% x 1,5 = 1,2% FATOR = 1,012 2530 VP = 1,012 = 2500

Resposta: R$ 2.500,00

3) Um investidor aplica, no regime de juros simples, segundo as situações dadas pelos fluxos de caixa. Calcule a taxa anual de juros de cada operação. Solução: a) R$ 2.100,00

2000 x F = 2100 2100

0 i=?

dias

R$ 2.000,00

F = 2000 = 1,05 i = 1,05 - 1 = 0,05 ou 5% p/2,5 meses ou 2% a.m. ou 24%a.a.

Resposta: 24% a.a.

b) R$ 2.700,00 0 i=? R$ 2.500,00

1,5

meses

Solução: 2500 x F = 2700 2700

F = 2500 =1,08 i = 1,08 - 1 = 0,08 ou 8% p/45 dias ou 64%a.a.

Resposta: 64% a.a.

4) Um investidor aplica um capital e obtém um montante após n períodos segundo o regime de capitalização simples. Calcule o valor de n em cada operação. a) Solução: R$ 4.800,00

0 i = 0,2% a.p.

períodos

R$ 4.000,00

Resposta: 100 períodos

4000 x F = 4800 F = 1,20 e i = 20% Conclusão: 1 período ― 0,2% n ― 20% n x 0,2% = 20% 20 % = 0,2 = 100 n = 020 ,2%

b) R$ 2.539,20 0 i = 0,52 a.p. R$ 2.300,00

Resposta: 20 períodos

períodos

Solução: 2300 x F = 2539,20 F = 1,104 e i = 10,4% Conclusão: 1 período ― 0,52% n ― 10,4% n x 0,52% = 10,4% n=

10,4% 0 ,52%

= 20

5) Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 1,5% ao mês, a juros simples, para se obter R$ 150,00 de juros em 40 dias. Solução: J = VP ∙ (F - 1) (lembra?) 1,5%

TG = 30 x 40 = 2% e F = 1,02 150 150 = VP ∙ (1,02 -1) ∴ VP = 0,02 = 7500

Resposta: R$ 7.500,00

6) Um capital foi depositado durante 45 dias à taxa de 10% ao mês no regime de juro simples. Findo esse prazo, a soma do capital com os juros auferidos foi colocada a 12% ao mês, durante 20 dias. Calcule o valor do capital inicial, sabendo que o montante final recebido foi de R$ 6.210,00. Solução: TG(1) = 10% x 1,5 = 15% 12%

TG(2) = 30 x 20 = 8% Daí, VP x 1,15 x 1,08 = 6210 6210 5750 VP = 1,15x1,08 = 1,15 = 5000 Resposta: R$ 5.000,00

4ª AULA

7) Uma moto é vendida à vista por R$ 5000,00 ou então por R$ 1000,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 4250,00 após 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? Solução: (5000 - 1000) x F = 4250 F=

4250 4000

= 1,0625

e i = 1,0625 - 1 = 0,0625 ou 6,25% p/ 2 meses ou 3,125% a.m.

Resposta: 3,125%

8) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, no regime exponencial, sob as hipóteses a seguir: a) 4% a.a. durante 2 anos b) 10% a.a. durante 4 anos c) 21% a.a. durante 6 meses Solução: 2

a) VF = 5000 x 1,04 = 5000 ∙ 1,0816 = 5408,00 4

b) VF = 5000 x 1,1 = 5000 ∙ 1,4641 = 7320,50 c) VF = 5000 x 1,21

1/2

= 5000 ∙ 1,10 = 5500,00

Resposta: a) R$ 5.408,00b) R$ 7.320,50 c) R$ 5.500,00

9) Qual é o juro auferido de um capital de R$ 4.000,00, aplicado segundo o regime de juros compostos, sob as hipóteses abaixo: a) 20% a.a. durante 3 anos b) 8% a.m. durante 9 meses Considere ainda que 1,203 = 1,728 e 1,089 = 1,999 Solução: a) J = VP ∙ (F - 1) J = 4000 ∙ (1,23 - 1) = 4000 ∙ (1,728 - 1) = 4000 ∙ 0,728 = 2912 b) J = 4000 ∙ (1,089 - 1) = 4000 ∙ (1,999 - 1) = 4000 ∙ 0,999 = 3996 Resposta: a) R$ 2.912,00b) R$ 3.996,00

10) Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram R$ 1.236,00 de juros ao fim de 2 meses, se a taxa efetiva de juros for de: a) 6% ao mês b) 21% ao quadrimestre Solução: a) VP ∙ (1,062 - 1) = 1236 ∴VP =

1236 1236 = = 10000 1,1236 - 1 0,1236 1236

b) VP ∙ (1,211/2 - 1) = 1236 ∴VP =1,10 - 1

= 1236 0 ,1

= 12360

Resposta: a) R$ 10.000,00b) R$ 12.360,00

11) Em uma loja, um aparelho de som é vendido por R$ 1.800,00 à vista. Kátia comprou esse aparelho a prazo por R$ 1.933,25, dando R$ 500,00 de entrada e o restante ao completar 2 meses. Encontre a taxa efetiva mensal de juros cobrada nesta transação. Dado :1,052 =1,1025 Solução: (1800 - 500) x ƒ2 = (1933,25 - 500) ƒ2 = 1433,25 1300

= 1,1025 e,daí, i =5 % a.m. (efetiva)

Resposta: 5%

12) Um capital aplicado durante 6 meses a juros efetivos de 5% ao mês rendeu R$ 1705,00. Determine o valor do capital acumulado. Dado: 1,056 = 1,3410 Solução: VP x (FATOR -1) = J VP =

J 1705 1705 1705 = = = = 5000 6 F - 1 1,05 - 1 1,3410 - 1 0,3410

Resposta: R$ 6.705,00

13) Kátia emprestou R$ 15.000,00 a Rita, à taxa de juros de 10% a.m. Elas combinaram que o saldo devedor seria calculado a juros compostos no número inteiro de meses e, a seguir, corrigido a juros simples, com a mesma taxa de juros, na parte fracionária do período, sempre considerando o mês de 30 dias. Precisando quitar a dívida dois meses e 5 dias após o empréstimo, quanto Rita deve pagar a Kátia? Solução: PRAZO INTEIRO= 2 meses (JC) F = 1,12 = 1,21 PRAZO NÃO INTEIRO= 5 dias (JS)

TG =

10% 30 1 60

x5=

5 3

5 300

1 60

61 60

VF = VP x F x ƒ C

S 2

VF = 15000 X 1,1 x 61 = 18452,50 60

Resposta: R$ 18.452,50

14) Um investidor aplicou a quantia de R$ 500.000,00 à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Admitindo-se a convenção linear, que montante este capital irá gerar após 2 meses e 10 dias? Solução: PRAZO INTEIRO = 2 meses (JC) 2

F = 1,06 = 1,1236 PRAZO NÃO INTEIRO = 10 dias (JS)

6% x 10 = 2% 30 F = 1 + 0,02 = 1,02 VF = 500.000 ∙ 1,1236 ∙ 1,02 = 573036,00 Resposta: R$ 573.036,00

5ª AULA

15) Michael aplicou 40% de seu capital a juros simples de 18% ao ano, pelo prazo de dois meses, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% ao ano, pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 120,00 de juros, mais do que a outra, determine o valor do capital aplicado. Solução: Considere, por exemplo, um capital aplicado de R$ 100,00. J1 = 40% de 100 x

18 x 2 = 1,20 100x12

TAXA GLOBAL 24

J2 = 60% de 100 x 100 x 12 x 2 = 2,40 TAXA GLOBAL J - J = 2,4 - 1,2 = 1,20 2

Conclusão: C

DIF(J)

100

1,20

120

Daí, x ∙ 1,2 = 120 ∙ 100 x=

120 ·100 = 10.000 1,2

Resposta: R$ 10.000,00

16) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos, à taxa de 0,6% a.m. por um prazo de 2 meses enquanto o restante do capital foi aplicado à taxa de 7,2% ao ano, juros simples, no mesmo período de 2 meses. Calcular o valor deste capital, dado que uma das aplicações rendeu R$ 180,00 de juros mais do que a outra. Solução: Considere, por exemplo, um capital de R$ 2000,00. 2

J = 1000 . (1,006 - 1) = 1000 . (1,012036 - 1) = 12,036 J = 1000. s

7,2 100 x 12

x 2 = 12

J – J = 12,036 - 12 = 0,036 c

Conclusão: C

DIF(J)

2000

0,036

180

Daí, x = 2000 ·180 0,036

= 2000 x 5000 = 10.000000

Resposta: R$ 10.000.000,00

17) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante 45 dias a juros compostos de 8% a.a. Qual o montante recebido? Solução: Dados: 1,081/8 = 1,0097 e 1,08-1/8 = 0,9904 VF=?

VF = VP ∙ (1 + i)

VF = 5000 ∙ (1 + 0,08) 0 i = 8% a.a.

dias

1/8

VF = 5000 ∙ 1,0097 = 5048,50

R$ 5.000,00 Resposta: R$ 5.048,00 TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO  Considerando duas ou mais aplicações a juros simples, cada uma com seus valores de capital, taxa e prazo, dizemos que:  Taxa Média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações, produzirá o mesmo total dos juros das aplicações originais.  Prazo médio é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações, produzirá o mesmo total dos juros das aplicações originais.

18) Dois capitais de R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 foram aplicados às taxas simples de 1% a.m. e 2% a.m. durante 40 dias e 20 dias, respectivamente. Calcular a taxa média mensal de juros e o prazo médio para as duas aplicações. Solução: Cálculo da taxa média 2000

4000

40 dias20 dias 1% a.m.

2% a.m.

↓

↓ 4%

2000

4000

(÷ 2000)

40 dias

20 dias

(÷ 20 dias)

↓

↓ 2i

6% 6% 4

= 1,5% a.m.

Cálculo do prazo médio 2000

4000

2000

4000

(÷ 2000)

1% a.m.

2% a.m.

1% a.m.

2% a.m.

(÷ % a.m.)

40 dias

20 dias

↓

↓ 80

↓ t

↓ 4t

40 120

120 = 24 dias Daí, 5t = 120 ∴ t = 5

Resposta: 1,5% a.m. e 24 dias

19) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais. Solução: 2500

3500

4000

3000

6% a.m.

4% a.m.

3% a.m.

1,5% a.m.

↓ 28%

↓ 24%

↓ 9%

t ↓ 30%

91%

2500

3500

4000

3000

↓

↓ 7i

↓ 8i

(÷ 500)

(÷ t)

↓ 6i

26i Daí, 26i = 91% ∴i =

91% = 3,5% a.m. 26

Resposta: 3,5% a.m.

20) Três capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 1.600,00 foram aplicados às taxas simples de 3%, 2% e 5% ao ano durante 30 dias, 20 dias e 65 dias, respectivamente. Calcular o prazo médio para estas três aplicações. Solução: 2000

3000

1600

2000

3000

1600

(÷ 200)

3% a.a

2% a.a

5% a.a

3% a.a

2% a.a

5% a.a

(÷% a.a.)

30 dias

20 dias

65 dias

↓

30t

40t

↓ 900

600

2600

30t

100t

4100 4100

Daí, 100t = 4100 ∴ t = 100

= 41 dias

TABELA FINANCEIRA DO FATOR DE VALOR FUTURO PARA PAGAMENTO ÚNICO

10%

1,01000

1,02000

1,03000

1,04000

1,05000

1,06000

1,07000

1,08000

1,09000

1,10000

1,02010

1,04040

1,06090

1,08160

1,10250

1,12360

1,14490

1,16640

1,18810

1,21000

1,03030

1,06121

1,09273

1,12486

1,15763

1,19102

1,22504

1,25971

1,29503

1,33100

1,04060

1,08243

1,12551

1,16986

1,21551

1,26248

1,31080

1,36049

1,41158

1,46410

1,05101

1,10408

1,15927

1,21665

1,27628

1,33823

1,40255

1,46933

1,53862

1,61051

1,06152

1,12616

1,19405

1,26532

1,34010

1,41852

1,50073

1,58687

1,67710

1,77156

1,07214

1,14869

1,22987

1,31593

1,40710

1,50363

1,60578

1,71382

1,82804

1,94872

1,08286

1,17166

1,26677

1,36857

1,47746

1,59385

1,71819

1,85093

1,99256

2,14359

1,09369

1,19509

1,30477

1,42331

1,55133

1,68948

1,83846

1,99900

2,17189

2,35795

1,10462

1,21899

1,34392

1,48024

1,62889

1,79085

1,96715

2,15892

2,36736

2,59374

1,12683

1,26824

1,42576

1,60103

1,79586

2,01220

2,25219

2,51817

2,81266

3,13843

1,16097

1,34587

1,55797

1,80094

2,07893

2,39656

2,75903

3,17217

3,64248

4,17725

1,19615

1,42825

1,70243

2,02582

2,40662

2,85434

3,37993

3,99602

4,71712

5,55992

1,22019

1,48595

1,80611

2,19112

2,65330

3,20714

3,86968

4,66096

5,60441

6,72750

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

21) Determine o fator de acumulação, no regime exponencial, nos seguintes casos: a) 2% a.m. e 4 meses; b) 6% a.a. e 12 anos; c) 4% a.m. e 7 meses; d) 10% a.m. e 12 meses; e) 44% a.a. e 6 meses;

6ª AULA:

MATEMÁTICA FINANCEIRA ESTUDO DAS TAXAS

TAXAS EQUIVALENTES

Dizemos que duas taxas são equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo montante. Temos dois casos:

1º) CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Neste caso, taxas equivalentes são proporcionais. Exemplo: Se aplicarmos R$ 5.000,00 por 40 dias às taxas de 6% ao mês e 18% ao trimestre.

J1 = 5000 x

6% x 40 = 400 → M1 = 5400 30

J2 = 5000 x

18% x 40 = 400 → M2 = 5400 90

2º) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Neste caso, taxas equivalentes não são proporcionais. Exemplo: Se aplicarmos R$ 5000,00 por 4 meses às taxas de 21% ao bimestre e 10% ao mês.

S1 = 5000 (1 + 0,21) 2 = 7320,50 ⇒ J1 = 2320,50 S2 = 5000 (1 + 0,1)4 = 7320,50 ⇒ J2 = 2320,50

EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE TAXAS

REGIME LINEAR

i diária x 360 = i mensal x 12 = i bimestral x 6 = i trimestral x 4 = i semestral x 2 = i anual

REGIME EXPONENCIAL 360

(1+ i diária)

= (1+ i mensal) = (1+ i bimestral) = (1+ i trimestral) = (1+ i semestral) = 1+ i anual

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1) Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 2% ao mês no regime de capitalização composta? Solução: ƒbimestral = ƒ2mensal ƒbim = 1,022 = 1,0404 e, daí, ibim = 1,0404 - 1 = 0,0404 ou 4,04% Resposta: Taxa bimestral de 4,04%.

2) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 44% a.a., no regime de juros compostos? Solução:

1,44

ƒanual = ƒ2semestral

ƒ2sem = 1,44∴ƒsem == 1,2 e, daí, isem = 1,2 - 1 = 0,2 ou 20% Resposta: Taxa semestral de 20%.

3) Um empréstimo realizado à taxa de 50% a.a. foi resgatado em 3 meses. Determine a taxa equivalente a esse período no regime exponencial. Solução: ƒ4trimestral = ƒanual ƒt4 = 1,50 ∴ƒt =

1,50= 1,5

1/4

e, daí, it = (1,501/4 - 1) x 100%

Resposta: Taxa trimestral de (1,501/4 - 1) x 100%.

4) Em juros simples, qual a taxa para 40 dias equivalente à taxa de 6% ao mês? Solução: 6% — 30 dias 2% — 10 dias 8% — 40 dias Resposta: Taxa para 40 dias de 8%.

TAXA NOMINAL

Uma taxa de juros é dita nominal quando o período de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. São exemplos de taxas nominais:

I) 10% a.a. capitalizada semestralmente.

II) 6% a.a. com capitalização mensal de juros.

7ª AULA

TAXA EFETIVA

Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Nesse caso, em geral omite-se o período de capitalização. Assim, a taxa de 24% ao ano é apresentada como 24% a.a., em vez de 24% a.a., capitalizada anualmente.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

5) Qual o montante acumulado no fim de 4 meses a partir de um capital de R$ 6000,00 aplicado a uma taxa efetiva de 10% ao mês? Solução: VF = VP ∙ (1 + i)n VF = 6000 ∙ (1 + 0,I)4 = 6000 ∙ 1,4641 = 8784,60 Resposta: O montante é de R$ 8784,60.

6) Qual o capital acumulado no fim de 2 meses a partir de um principal de R$ 4000,00, aplicado a uma taxa de 60% ao ano, capitalizada mensalmente? Solução: Inicialmente, devemos ajustar a taxa e o prazo em função do período de capitalização, que é o mês. imensal =

ianual 60% = 5% = 12 12

VF = 4000 ∙ 1,052 = 4000 ∙ 1,1025 = 4410,00 Resposta: O capital acumulado é de R$ 4410,00.

7) Se uma taxa nominal de 60% ao ano é capitalizada quadrimestralmente, calcule a taxa efetiva anual. Solução: iquadrimestral =

ianual 60% = 20% = 3 3

A taxa anual equivalente a 20% a.quad. é:

ƒanual= ƒ3quad⇒ƒanual = 1,23 = 1,728 e, daí, ia = 72,8% Resposta: Taxa efetiva anual de 72,80%.

8) Se uma taxa nominal de 72% ao semestre é capitalizada mensalmente, calcule a taxa equivalente bimestral. Solução: imensal =

isem 72% = 6 6

= 12%

A taxa equivalente bimestral é:

ƒbim= ƒ2mensal = 1,122 = 1,2544 e, daí, ibim = 1,2544 - 1 = 0,2544 ou 25,44% Resposta: Taxa efetiva bimestral de 25,44%.

9) Se o banco deseja ganhar 31,08% a.a. como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá cobrar na hipótese da capitalização ser trimestral. Solução: A taxa efetiva trimestral equivalente a 31,08% a.a. é: ƒ4trim= ƒanualƒ4trim = 1,3108 Daí, consultando a tabela 1, temos: it = 7% A taxa nominal anual é: iN = it x 4 = 7% x 4 = 28% Resposta: Taxa nominal de 28% a.a.

10) Sendo de 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcule a taxa efetiva anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: I) semestral

II) trimestral

III) mensal

Solução: II)

I) i

sem

ia 24% = 12% = 2 2

A taxa efetiva anual é: 2 ƒ =ƒ a

= 6%

A taxa efetiva anual é:

mensal

e i = 25,44%

ƒ = ƒ = 1,06 = 1,26248 a

e i = 26,248% a

Resposta: I)25,44%

ia 24% = 12 12

A taxa efetiva anual é: ƒ =ƒ

ƒ = 1,12 = 1,2544 a

= ia = 24% trim

s 2

III)

m 12

ƒ = 1,02 = 1,26824 a

e i = 26,824% a

II) 26,248% III) 26,824%

11) Calcule o montante final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal de 54% a.a., com capitalização bimestral em um prazo de 18 meses. Solução: ibim =

ia 54% = = 9% 6 6

18 meses = 9 bimestres Daí, 1,099 = 2,1719ou 217,19% Resposta: 217,19%

12) Determine a taxa nominal anual composta bimestralmente que seja equivalente a taxa de 66,20% ao ano, composta semestralmente. Solução: ƒ3bim= ƒsem ƒbim =

3 ƒ bim = 1,331

1,331 = 3 1,13

= 1,1 e ibim = 10%

A taxa nominal anual correspondente é: iN = ibim x 6 = 10% x 6 = 60% Resposta: Taxa nominal anual de 60%.

8ª AULA

TAXA APARENTE E TAXA REAL

Se um capital C é aplicado durante certo período, à taxa i, por período, o montante resultante será: M1 = C ∙ (1 + i)

Se no mesmo período a taxa de inflação for θ, o capital C corrigido pela inflação será: M2 = C (1 + θ)

Chama-se taxa real de juros à taxa que leva o valor do capital corrigido C (1 + θ) ao montante C (1 + i) no período considerado, isto é: C ∙ (1 + θ) ∙ (1 + r) = C ∙ (1 + i)

Daí, 1 + r =

1+i 1 +θ

Onde:i = taxa aparente θ = taxa de inflação r = taxa real

É fácil observar que: I)se i = θ, então r = 0 II) se i >θ, então r > 0 (ganho) III) se i <θ, então r < 0 (perda)

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

13) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 200% a.a. e no mesmo período a inflação foi de 50%. Qual a taxa real de juros no período considerado? Solução: i = 200% a.a.e θ = 50% a.a. Como 1 + r =, encontramos 1 + r =

1+ i 1+θ

1+2 1 + 0,5

Daí, 1 + r = 2 e r = 1ou r = 100% a.a. Resposta: Taxa real anual de 100%.

14) Kátia faz um empréstimo por 2 meses à taxa de 9,2% no período. Qual deve ser a inflação no período, para que a taxa real seja de 4% no período? Solução: i = 9,2% a.bim e r = 4% a.bim 1+r=

1+i 1+θ

1,04 =

1,092 1+θ

⇒1+θ=

1,092 = 1,05 e θ = 5% a.bim. 1,04

Resposta: Inflação no período de 5%.

15) Sabe-se que a remuneração da Caderneta de Poupança é igual à variação da TR (Taxa Referencial de Juros) mais juros de 6% a.a. (linear, ou seja, 0,5% a.m.). Calcule o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 no mês, em que a TR foi igual a 0,22%. Solução: r = 0,5% a.m. θ = 0,22% a.m. VF = 10.000 ∙ 1,0022 ∙ 1,005 = 10.072,11 Resposta: O montante foi de R$ 10.072,11.

16) Um investidor aplicou R$ 2.000,00 e 45 dias após resgatou R$ 2.136,00. Nesse mesmo período o valor da UFIR passou de R$ 1,4320 para R$ 1,7184. Houve lucro ou prejuízo? De quanto por cento? Solução: 2000 x ƒ = 2136 ⇒ƒ =

2136 = 1,068 e i = 6,8% 2000

1,4320 x ƒ = 1,7184 ⇒ƒ =

Como 1 + r =

1,7184 = 1,20 e θ = 20% 1,4320

1,068 1+i , encontramos 1 + r = = 0,89 e r = -11% 1,20 1+θ

Resposta: Prejuízo de 11%.

17) Durante dois semestres consecutivos a inflação foi de 20% e 25%, respectivamente. Se Michael aplicou seu dinheiro no mesmo período (1 ano) a uma taxa aparente de 35% a.a., qual sua perda real? Solução: A inflação acumulada no ano é: 1,20 x 1,25 = 1,50 e θ = 50% a.a. Como 1 + r =

1+ i 1+θ

,encontramos 1 + r =

1,35 1,50

= 0,9 e r = -0,1 ou -10%

Resposta: Perda real de 10% no ano.

18) Um determinado índice inflacionário registrou, em determinados períodos, os valores relacionados na tabela que segue:

índice

DEZ/X9

JAN/X10

JUN/X10

DEZ/X10

110,00

111,40

127,60

145,75

Com base nos valores expressos e nos respectivos períodos de referência, determine as taxas de inflação medidas pelo referido índice no ano X10 e no seu primeiro semestre. Solução: A inflação no ano X10 é: F=

índice (DEZ/X10) 145,75 = 1,325 e θ = 32,5% = índice (DEZ/X9) 110,00

A inflação no 1º semestre é: F=

índice JUN/X10 127,60 = 1,16 e θ = 16,0% = índice DEZ/X9 110,00

Resposta: 32,5% e 16,0%

9ª AULA

19) Se os preços sobem 100% ao ano e o seu salário não se altera, em quanto diminui por ano o seu poder de compra?

Solução: θ = 100% e i = 0% Como 1 + r =

1 1+i ,encontramos 1 + r = 1 + 1 = 0,5 e r = -0,5 ou r = -50% 1+θ

Resposta: O poder de compra diminui 50%.

MATEMÁTICA FINANCEIRA OPERAÇÕES ENVOLVENDO DESCONTO

INTRODUÇÃO

O valor nominal de um compromisso é quanto ele vale na data do seu vencimento, enquanto o valor atual é o valor que ele assume em uma data que antecede ao seu vencimento. Já o valor futuro corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estiver sendo considerado no momento. DESCONTO

É a diferença entre o valor nominal (ou “valor de face”) de um título e seu valor descontado (ou “valor atual na data do desconto”). Tanto no regime simples como no composto são utilizados dois tipos de desconto: I) desconto racional (ou “por dentro”) II) desconto comercial (ou “por fora”) 42

DESCONTO RACIONAL

É o desconto DRque determina um valor atual A que, capitalizado nas mesmas condições do desconto (taxa e prazo de antecipação), tem para montante N. Ou seja, DR são os juros que serão incorporados ao capital A para reproduzir N. Assim, podemos escrever:

I) Na capitalização simples 1 1 + in

A ⋅ (1 + i ⋅ n) = Ne, daí, A = N x

FATOR DE ATUALIZAÇÃO

II) Na capitalização composta A ⋅ (1 + i)n = Ne, daí,A = N x

1 (1 + i)n

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA DE QUEM “COMPROU” O TÍTULO

N n períodos i% a.p. A

Onde: N é o valor nominal (montante); A é o valor atual; i é a taxa de juros (ou “desconto racional”); n é o número de períodos até o vencimento do título; (N - A) é o desconto.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1) Um título é descontado num banco dois meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 2% a.m. Sendo de R$ 54.100,80 o valor nominal deste título, calcule: a. O valor do desconto racional simples cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente; b. O valor do desconto racional composto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente. O DFC ajuda a entender o problema:

N = 54100,80

meses 2

A=?

i = 2% a.m.

Solução: a) desconto racional simples TG = 2% x 2 = 4% FATOR = 1,04 Daí, A x 1,04 = 54100,80∴ A = 54100,80 x = 52020 DR = 54100,80 - 52020,00 = 2080,80

b) desconto racional composto FATOR = 1,022 = 1,0404 Daí, A x 1,0404 = 54100,80∴ A = 54100,80 x = 52000 DR = 54100,80 - 52000,00 = 2100,80

Resposta: a) R$ 2.080,80 e R$ 52.020,00

b) R$ 2.100,80 e R$ 52.000,00 44

2) Seja um título de valor nominal de R$ 5.100,00 vencível em 12 meses, que está sendo liquidado 45 dias antes de seu vencimento. Sendo de 16% a taxa anual de desconto racional simples, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Solução: TG =

16% 360

x 45 = 2%

FATOR = 1,02 Daí, A x 1,02 = 5100 ∴ A = 5100 x

1 = 5000 1,02

DR = 5100 - 5000 = 100 Resposta: R$ 100,00 e R$ 5.000,00

3) Determine a taxa mensal de desconto racional simples de um título negociado 45 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a R$ 23.650,00 e valor atual na data do desconto de R$ 22.000,00. Solução: 3)

N = 23650

3) 0

meses 1,5

A = 22000

22000 x F = 23650 ∴ F =

23650 22000

= 1,075 e, daí, i = 7,5% p/45 dias

Ou i = 2,5% p/15 dias ou i = 5% a.m.

Resposta: 5% 45

4) Um “comercial paper” com valor de face US$ 10,000.00 e vencimento daqui a 3 meses deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% a.m., obtenha o valor do resgate. Solução: FATOR = 1,13 = 1,331 Daí, A x 1,331 = 10,000.00 ∴ A =

10,000.00 1,331

≈ 7,513.15

Resposta: R$ 7.513,15

5) Uma empresa descontou um duplicata de R$ 121.000,00, quatro meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa efetiva de 33,10% a.a., determine o valor recebido pela empresa. Solução: Calculando a taxa equivalente quadrimestral: ƒa =ƒ 3q ⇒ƒ 3q = 1,331 Consultando a tabela 1, para n = 3 encontramos o fator 1,331 na coluna de i = 10%, que é a taxa procurada. Daí, A x 1,1 = 121.000 A=

121000 1,1

= 110.000

Resposta: R$ 110.000,00

10ª AULA

6) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 90 dias, a quantia de R$ 20.200,00 à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês. No entanto, 15 dias antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto por dentro simples de 2% ao mês? Considere ainda que: 1,0253 = 1,0769. Solução: 1ª etapa: capitalização Como: VF = VP . (1 + i)n Vem: VF = 20200 ∙ (1 + 0,025)3 = 22200 ∙ 1,0769

2ª etapa: descapitalização ou desconto racional TG = 2%

x 15 = 1,0%

30 FATOR = 1,01 Daí, A x 1,01 = 20200 x 1,0769 ∴A = Resposta: R$ 21.538,00

20200 · 1,0769 = 21538 1,01

O valor do desconto racional composto de uma duplicata, que vence em 80 dias, é de R$ 2.593,86. Admitindo-se que a taxa nominal de desconto utilizada na operação é de 108% ao ano, com capitalização mensal, calcule o valor nominal do título, valendo a “convenção linear” para o cálculo do fator de desconto. Solução:

Taxa efetiva mensal i=

108% 12

= 9%

Calculando o fator pela conversão linear: 47

F = 1,09 x 1,09x 1,06 = 1,259386 JC

9% x 20 30

TG =

TG = 6%

como: A x (F - 1) = D vem: A x (1,259386 - 1) = 2593,86 A=

2593,86 = 10.000 0 ,259386

N = 10.000 + 2593,86 = 12593,86

Resposta: R$ 12.593,86

8) O desconto racional composto de um título de R$ 43.264,00 foi de R$ 3.264,00. Sendo a taxa de juros mensal cobrada de 4%, determine o prazo de antecipação. Solução: A = N - D = 43264 - 3264 = 40.000

43264 = 1,0816 40.000 Consultando a tabela 1, para i = 4% encontraremos o fator 1,0816 na linha de n = 2, que é o prazo procurado.

Daí, 40.000 x 1,04n = 43264 ∴ 1,04n =

Resposta: 2 meses

9) Michael tem uma dívida de R$ 1.210,00 daqui a 2 meses e outra de R$ 2.662,00 daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa efetiva de 213,84% ao ano para fazer frente a essas dívidas? Solução: Do enunciado, temos:

2662 1210

‫ו‬ 0

meses 2

‫ו‬ 0

meses 3

Calculando a taxa efetiva mensal:

ƒ12 m

=ƒ ⇒ a

ƒ12 m

= 3,1384

Consultando a tabela 1, para n = 12 encontraremos o fator 3,1384 na coluna de i = 10%, que é a taxa procurada. P=

1210 2662 1210 2662 + = + = 1000 + 2000 = 3.000 1,21 1,331 1,12 1,13

Resposta: R$ 3.000,00

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

A equivalência de capitais é aplicada em diversas aplicações práticas, estando presente na tomada de decisões financeiras, em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas. “Dois capitais, cada um deles com suas datas de vencimento, dizem-se equivalentes quando, deslocados para uma data comum à mesma taxa de juros e em idênticas condições, produzem valores iguais”.

11ª AULA

APLICAÇÃO

Um título de R$ 7560,00 para 2 meses deverá ser substituído por outro para 3 meses. Sendo X o valor nominal desse título e 10% ao mês a taxa de desconto utilizada, pede-se: O diagrama ajuda a entender o problema. 7560 3

‫ו‬ 0

meses

2 x

i = 10% a.m.

i = 0,10 a.m.

i) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional simples e a data de comparação zero. Solução: d racional simples A=N∙

1 1+ i·n

Usando a época 0 como data de comparação

7560 ·

1 1 = X· 1 + 0,1 · 2 1 + 0,1 · 3

7560 1 = X· 1,2 1,3 ==>X = 6300 ∙ 1,3 = 8190

Resposta: R$ 8190,00

ii) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional simples e a data de comparação dois. Solução: Usando a época 2 como data de comparação

7560 = X ·

1 1 + 0,1 · 1

7500 ∙ 1,1 = X X = 8316 Resposta: R$ 8316,00

iii) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional composto e a data de comparação zero. Solução:

d racional composto A=N∙

1 (1 + i) n

Usando a época 0 como data de comparação

7560 X = x (1,1)3 2 (1 + 0,1) (1 + 0,1)3 7560 ∙ 1,1 = X ==>

X = 8316

Resposta: R$ 8316,00

iv) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional composto e a data de comparação 2. Solução: Usando a época 2 como data de comparação 7560 =

X 1 + 0,1

X = 7560 ∙ 1,1 = 8316 Resposta: R$ 8316,00

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Duas promissórias, uma de R$ 8.800,00 vencível em 1 mês e outra de R$ 10.164,00 vencível em 4 meses, deverão ser resgatadas por um só pagamento a ser efetuado dentro de 2 meses. Sendo X o valor desse pagamento e 10% a.m. a taxa de desconto utilizada, pede-se:

O diagrama ajuda a entender o problema.

10164 8800 ‫ו‬ 0

2 1

meses 4 i = 10% a.m.

i = 0,10 a.m.

i) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional simples e a data de comparação zero. Solução: d racional simples A=N∙

1 1+ i·n

Usando a época 0 como data de comparação

X 8800 10164 = + 1,2 1,1 1,4

X = 8000 + 7260 1,2

==>X = 15260 ∙ 1,2 = 18312

Resposta: R$ 18.312,00

ii) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional simples e a data de comparação dois. Solução: Usando a época 2 como data de comparação X = 8800 ∙ 1,1 +

10164 1,2

= 9680 + 8470 = 18150 Resposta: R$ 18.150,00

iii) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional composto e a data de comparação zero. Solução: d racional composto A=N∙

1 (1 + i) n

Usando a época 0 como data de comparação

X 8800 10164 x (1,1)4 ==> X ∙ 1,12 = 8800 ∙ 1,13 + 10164 = + 2 1,1 1,1 1,14 X ∙ 1,12 = 11712,80 + 10164 = 21876,80==>X =

21876,80 = 18080 1,21

Resposta: R$ 18.080,00

iv) O valor de X, se for adotado o critério do desconto racional composto e a data de comparação 2. Solução: d racional composto Usando a época 2 como data de comparação X = 8800 ∙ 1,1 +

10164 1,12

X = 9680 + 8400 = 18080 Resposta: R$ 18.080,00

12ª AULA OBSERVAÇÕES

No regime de juros simples, conjuntos de capitais equivalentes em uma data, não necessariamente o serão em outra data. No regime de juros compostos, conjuntos de capitais equivalentes em uma data, o serão em qualquer outra data.

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1) Um título de R$ 5000,00 e outro de R$ 7500,00, vencem respectivamente em 2 e 4 meses. Calcular o valor de face de um único título com vencimento para 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de desconto racional simples é de 12,5% a.m. Solução: 7500 5000

‫ו‬ 0

meses 2

4 i = 12,5% a.m.

i = 0,125 a.m.

N e F = 1+i x n F

Usando a época 0 como data de comparação

7500 5000 X = + 1 + 0,125 · 1 1 + 0,125 · 2 1 + 0,125 · 4 5000 7500 X + = 1,125 1,25 1,50

X 1,125 = 4000 + 5000 = 9000

X = 9000 ∙ 1,125 = 10125 Resposta: R$ 10.125,00

Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de R$ 54.000,00 vencível em dois meses e R$ 60.000,00 vencível em cinco meses, considerandose o desconto racional simples. Solução: 60000 54000

‫ו‬ 0

meses

‫ו‬ 0

meses

i = ?% a.m. (linear)

Usando a época 0 como data de comparação

54000 60000 = 1 + i· 2 1 + i· 5

9 10 = 1 + 2i 1 + 5i

9 (1 + 5i) = 10 ∙ (1 + 2i) 9 + 45i = 10 + 20i 25i = 1 .:

1 = 0,04 ou 4% a.m. 25

Resposta: 4% ao mês

Michael compra um gerador em duas prestações mensais mais uma entrada de 25% sobre o valor à vista, que é de R$ 40.000,00. Se a primeira prestação é R$ 11.000,00 e a taxa de juros compostos é 10% a.m., qual é o valor da segunda prestação? Solução:

DFC do financiamento 30.000 11000

meses 0

i = 10% a.m. (efetiva)

Usando a época 2 como data de comparação X + 11000 x 1,1 = 30000 x 1,12 X + 12100 = 36300 X = 24200 Resposta: R$ 24.200,00

Na compra de um equipamento cujo valor à vista é de R$ 660,00, o comprador deve pagar uma entrada no ato e duas prestações iguais de R$ 270,40 nos próximos dois meses. Qual deverá ser o valor da entrada se a loja cobra juros de 4% a.m.? Solução:

DFC do financiamento 660 - E 270,40

270,40

meses 0

i = 4% a.m. (efetiva)

Usando a época 0 como data de comparação 660 - E = 270,40 + 270,40

1,042

1,04

660 - E = 260 + 250 660 - E = 510 .: E = 660 - 510 = 150 Resposta: R$ 150,00

Uma loja está vendendo um equipamento por R$ 5.000,00 de entrada e um pagamento adicional de R$ 14.641,00 no quarto mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para R$ 17.715,61, deslocando-o para o quinto mês após a compra. Considerando que a loja cobra uma taxa efetiva de 10% a.m., determine o valor da entrada no esquema proposto. Solução:

O gráfico ajuda a entender o problema

14641 1ª opção

5000 5

meses

4 2ª opção

i = 10% a.m.

17715,61

Usando a época 0 como data de comparação E+

14641 17715,61 = 5000 + 5 1,1 1,14

E + 11.000 = 5000 + 10.000 E = 15000 - 11000 = 4000 Resposta: R$ 4.000,00

Um empréstimo de R$ 13.500,00 foi realizado com uma taxa de juros compostos de 44% a.a., e deverá ser liquidado através do pagamento de duas prestações semestrais e consecutivas (primeiro vencimento ao final de 6 meses). Sendo a segunda 50% maior que a primeira, determine o valor da primeira prestação. Solução

DFC do financiamento

1,5X

13500 X

semestres 0

i = 44% a.a. (efetiva)

Usando a época 2 como data de comparação 1,5X + X ∙ 1,441/2 = 13500 ∙ 1,44 1,5X+ 1,2X = 13500 ∙ 1,44 2,7X = 13500 ∙ 1,44

13500 ·1,44 = 5000 ∙ 1,44 = 7200 2,7

Resposta: R$ 7.200,00

7) Uma empresa obteve um financiamento de R$ 10.000,00 à taxa de 120% a.a., capitalizados mensalmente. A empresa pagou R$ 6.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês. Determine o valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal). Solução: DFC do financiamento

10000 6000 3000

X meses

i = 10% a.m. (efetiva)

Usando a época 3 como data de comparação X + 3000 ∙ 1,1 + 6000 ∙ 1,12 = 10.000 ∙ 1,13 X + 3300 + 7260 = 13310 X + 10560 = 13310 X = 13310 - 10560 = 2750 Resposta: R$ 2.750,00

8) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias pagando 20% a vista. No contrato de financiamento, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado até sessenta dias a taxa de juros efetiva cobrada será de 5% a.m. Para qualquer pagamento que for efetuado após sessenta dias, a taxa de juros compostos será aumentada de 100%. A empresa resolveu pagar o financiamento em duas parcelas. Uma parcela de R$ 4.410,00 no final do segundo mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira no valor de R$ 7.320,50. Desse modo, determine o valor que foi financiado. Solução: DFC do financiamento:

P 7320,50 4410 meses 0

Usando a época 0 como data de comparação P=

4410 7320,50 + 1,14 1,052

4000 + 5000 = 9000 Resposta: R$ 9.000,00

13ª AULA

9) Um indivíduo comprou um automóvel usado para pagamento em 5 prestações mensais iguais, de R$ 1.080,00, além da entrada. No momento em que pagou a 1ª prestação, propôs ao vendedor liquidar as outras quatro parcelas por ocasião do vencimento da quarta prestação sob as seguintes condições: I) Juros compostos de 10% a.m. sobre os valores então vencidos; II) Desconto racional composto de 8% ao mês sobre os valores a vencer. Caso aceite, determine a quantia recebida pelo vendedor no momento 4. Solução: Do enunciado, temos:

1080 meses

3 4 5

Após o pagamento da 1ª prestação, vem: X 1080 ‫ו‬ 0

‫ו‬ 1

ou meses 2

3 4

‫ו‬ 0

meses 4

Aplicando a equivalência, temos: Usando a época 4 como data de comparação X = 1080 ∙ 1,12 + 1080 ∙ 1,1 + 1080 +

1080 1,08

X = 1080 ∙ (1,212 + 1,10 + 1) + 1000 X = 1080 ∙ (3,31) + 1000 =3574,80 + 1000 = 4574,80 Resposta: R$ 4.574,80

10) Uma empresa tomou financiamento à taxa nominal de 24% a.a., capitalizados mensalmente. As condições contratuais prevêem que o pagamento, deste financiamento, será efetuado em três parcelas. Uma parcela de R$ 800,00 vencível no final do segundo mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do quinto mês, e a última, de R$ 2000,00 vencível no final do sexto mês. Um mês após o pagamento da primeira parcela a empresa resolveu pagar a dívida. Determine o valor pago, sabendo que a taxa de desconto composto utilizada foi de 1,5% ao mês. Considere ainda que: 1,02-2 = 0,961

1,015-1 = 0,985

1,02-5 = 0,906

1,015-2 = 0,971

1,02-6 = 0,888

1,015-3 = 0,956

Solução: DFC do financiamento

2000 P

1000 800

‫ו‬ 3

‫ו‬ 4

meses

i = 2% a.m. (efetiva)

Cálculo do saldo devedor um mês após o pagamento da primeira parcela 2000 1000 X meses 3

i = 1,5% a.m. (efetiva)

Data focal 3

1000 2000 + 2 1,0153 X = 1,015 X = 1000 ∙ 1,015-2 + 2000 ∙ 1,015-3 X = 1000 ∙ 0,971 + 2000 ∙ 0,956 X = 971 + 1912 = 2883 Resposta: R$ 2.883,00

11) Um computador está sendo vendido a prazo nas seguintes condições: •R$ 400,00 de entrada; • R$ 540,00 em 30 dias; • R$ 699,84 em 60 dias. Sendo de 8% a.m. a taxa efetiva de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar o computador à vista. Solução:

540 699,84 + 1,08 1,082

VV = 400 +

VV = 400 + 500 + 600 = 1500 Resposta: R$ 1.500,00

12) Uma mercadoria é vendida a prazo em três prestações anuais de R$ 2.000,00. Sendo de 25% ao ano a taxa de juros, determine o seu preço à vista admitindo que: a) o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra; b) o primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro ano. Solução: Os diagramas ajudam a entender o enunciado

2000

a) anos

i = 25% a.a. (efetiva)

2000 2000 + 1,25 1,252

VV = 2000 +

VV = 2000 + 1600 + 1280 = 4880

2000

b) ‫ו‬ 0

anos

i = 25% a.a. (efetiva) VV = 2000 + 2000 + 2000 2 3

1,25

VV = 1600 + 1280 + 1024 = 3904 Resposta:a) R$ 4.880,00 b) R$ 3.904,00

13) A loja “Topa Tudo” está com uma promoção: • À vista, com 30% de desconto; •A prazo, com acréscimo de 20%, em três parcelas anuais iguais, sendo a primeira no ato da compra. Qual a taxa anual de juros, efetivamente cobrada pela loja? Solução: Considere, por exemplo, uma compra de R$ 100,00 (preço de tabela). À vista: 100 - 30 = 70 A prazo: 40 (ato) + 40 (p/1 ano) + 40 (p/2 anos) DFC do financiamento

70 40(-) 30

anos 0

i = ?% a.a.

Usando a época 2 como data de comparação 40 + 40 ∙ F = 30 ∙ F2(÷10) 4 + 4F = 3F2 3F2 - 4F - 4 = 0 ∆ = B2 - 4AC = (-4)2 - 4(3) (-4) = 64 F=

- B ± Δ - (-4) ± 64 4 + 8 = = =2 2·3 6 2A

Daí, i = 2 - 1 = 1 a.a. ou i = 100% a.a. Resposta: 100% a.a.

14) Um loja oferece duas opções de pagamento: I – à vista, com x% de desconto; II – em duas parcelas mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra. Se você pode investir o seu dinheiro a juros mensais de 25%, a partir de que valor de X a opção (I) é mais vantajosa. Preço = 100 À vista: 100 – x A prazo: 50 (ato) + 50 (p/30 dias) Comparando as duas opções, concluímos que na compra a prazo o valor financiado é de50 - x (100 - x - 50) e o valor da prestação 50

DFC do financiamento

50 50 - x meses 0

Se a taxa do financiamento fosse igual a taxa de mercado (25% a.m.), o valor de x seria: 50 - x =

50 1,25

50 - x = 40 x = 10

CONCLUSÃO

DESCONTO

TAXA DA LOJA

MELHOR OPÇÃO

10%

25%

INDIFERENTE

> 10%

> 25%

< 10%

< 25%

14ª AULA

MATEMÁTICA FINANCEIRA RENDAS CERTAS (ANUIDADES)

FLUXO DE CAIXA TIPO SÉRIE UNIFORME Uma série uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempo iguais. VALOR DE UMA SÉRIE UNIFORME O valor de uma série uniforme de n pagamentos iguais a R , um período antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa efetiva de juros, igual a :

1 - (1 + i)-n P = R· i 69

MODELO PADRÃO: P

•• • 1

n-1

períodos

-n O fator 1 - (1 + i) é chamado fator de valor atual de séries uniformes e,

é tabelado sob a notação a

(tabela 2)

TABELA FINANCEIRA DO FATOR DE VALOR PRESENTE DE SÉRIES UNIFORMES (tabela 2)

10%

0,99010

0,98039

0,97087

0,96154

0,95238

0,94340

0,93458

0,92593

0,91743 0,90909

1,97040

1,94156

1,91347

1,88609

1,85941

1,83339

1,80802

1,78326

1,75911 1,73554

2,94099

2,88388

2,82861

2,77509

2,72325

2,67301

2,62432

2,57710

2,53129 2,48685

3,90197

3,80773

3,71710

3,62990

3,54595

3,46511

3,38721

3,31213

3,23972 3,16987

4,85343

4,71346

4,57971

4,45182

4,32948

4,21236

4,10020

3,99271

3,88965 3,79079

5,79548

5,60143

5,41719

5,24214

5,07569

4,91732

4,76654

4,62288

4,48592 4,35526

6,72819

6,47199

6,23028

6,00205

5,78637

5,58238

5,38929

5,20637

5,03295 4,86842

7,65168

7,32548

7,01969

6,73274

6,46321

6,20979

5,97130

5,74684

5,53482 5,33493

8,56602

8,16224

7,78611

7,43533

7,10782

6,80169

6,51523

6,24689

5,99525 5,75902

9,47130

8,98259

8,53020

8,11090

7,72173

7,36009

7,02358

6,71008

6,41766 6,14457

11,25508

10,57534 9,95400

9,38507

8,86325

8,38384

7,94269

7,53608

7,16073 6,81369

13,86505

12,84926 11,93794

11,11839 10,37966 9,71225

9,10791

8,55948

8,06069 7,60608

16,39827

14,99203 13,75351

12,65930 11,68959 10,82760 10,05909 9,37189

8,75563 8,20141

18,04555

16,35143 14,87747

13,59033 12,46221 11,46992 10,59401 9,81815

9,12855 8,51356

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

1) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 19908,00 para ser pago em doze prestações iguais, mensais e postecipadas, sob taxa de juros compostos de 3% a.m. Qual o valor de cada prestação? Solução: O DFC abaixo ajuda-nos a compreender o enunciado P = 19908,00 R=? •• • 0

meses 11

i = 3% a.m. (efetiva)

P=R∙a n

e, daí, i

Mas, a

= 9,954 (tabela 2) 12

Então: R = 19908 ∙

1 9,954

= 2000

Resposta: O valor de cada prestação é de R$ 2000,00

2) Qual o valor atual de um financiamento, à taxa de 2% a.m., para ser liquidado em oito prestações de R$ 1000,00 por mês? Solução:

P=?

R = 1000

••• 1

meses 7

i = 2% a.m. (efetiva)

e, daí,

P=R∙a n i

Resposta: O valor Atual do financiamento é de R$ 7325,48

3) Um financiamento de R$ 9180,00 foi contratado a uma taxa de juros de 2% a.m. e deve ser pago em dez prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Qual é o valor dessas prestações? Dado: 1,02-10 = 0,82 Solução: DFC do financiamento 9180

R=?

•••

meses

i = 2% a.m.

e, daí,

9180 = 1020 9 Resposta: O valor de cada prestação é de R$ 1020,00

4) Quanto precisaríamos depositar no início de um determinado mês em uma conta aplicação financeira que renda 0,6% a.m. para podermos fazer 40 retiradas mensais de R$ 500,00, já a partir do início do próximo mês? Dado: 1,006-40 = 0,787 Solução: DFC do financiamento R = 500 •••

0 1

meses 39

i = 0,6% a.m. P=?

e, daí,

P = 500 x 35,50 = 17750 Resposta: O valor do depósito é de R$ 17750,00

5) Em quantos trimestres uma pessoa consegue liquidar uma dívida de R$ 11518,04, pagando prestações trimestrais de R$ 2000,00, se a taxa nominal de juros for de 40% a.a.? Solução: taxa efetiva trimestral =

40% = 10% 4

Procurando i = 10% na tabela 2, encontraremos em n = 9 o fator 5,75902. Portanto, o prazo é de 9 trimestres. Resposta: O financiamento será amortizado em 9 prestações trimestrais.

15ª AULA

6) Uma loja de móveis está vendendo um dormitório por R$ 820,04 a vista, ou em cinco pagamentos postecipados de R$ 200,00. Que taxa de juros mensal está sendo cobrada na venda a prazo? Solução: e, daí,

Procurando n = 5 na tabela 2, encontraremos em i = 7% o fator 4,1002. Portanto, a taxa é de 7%. Resposta: A taxa de juros da loja é de 7% a.m.

7) A quantia de R$ 28008,20 foi financiada em oito prestações antecipadas. Se o credor cobra juros efetivos de 4% a.m., determine o valor das prestações. Solução: DFC do financiamento ?

meses

=> 28008,20 = R ∙ (1 + 6,00205) 28008,20 = R ∙ (7,00205) R=

28008,20 = 4000 7,00205

Resposta: O valor da prestação é de R$ 4000,00

8) Uma financeira oferece as seguintes condições para o financiamento de automóveis: fator = 0,08024, n =20. Qual a taxa de juro cobrada? O fator é o número que, multiplicado pelo valor do financiamento dá o valor da prestação. Solução: Considere, por exemplo, um financiamento de R$ 1000,00. Daí, R = 1000 x 0,08024 = 80,24 Como

P=R∙a

, podemos escrever: n

i e, daí,

Tabela 2

i = 5%

n = 20

12,462

Resposta: A taxa é de 5% a.m.

9) A quantia de R$ 10200,40 foi financiada em 6 prestações mensais iguais antecipadas. Se o credor cobra juros nominas de 84% a.a., calcule o valor das prestações. Solução: e, daí,

10200,40 = R + R ∙ 4,1002 10200,40 = 5,1002R R=

10200,40 = 2000 5,1002

Resposta: O valor da prestação é de R$ 2000,00.

10) Uma dívida de R$ 41002,00 vai ser resgatada em cinco prestações mensais diferida de 2 meses. A instituição financeira cobra uma taxa de juros de 84% a.a. capitalizada mensalmente. Determine o valor de cada prestação. Solução: O DFC ajuda a entender o enunciado

41002,00 R

84% 12

‫ו‬ 1

‫ו‬ 2

meses 3

= 7% a.m. (efetiva)

Usando a época 2 como data de comparação. 41002 x 1,072 = R x a

5 7%

R = 41002 ∙ 1,1449 = 41002 ∙ 1,1449 = 11449 a 4,1002 5 7%

Resposta: O valor de cada prestação é de R$ 11.449,00.

11) O preço a vista de um equipamento é de R$ 37.700,00. Para financiá-lo em quatro pagamentos, a loja cobra juros de 4% ao mês. Determine as prestações, supondo a primeira prestação paga: a) um mês após a compra;c) dois meses após a compra; b) no ato da compra; d) três meses após a compra.

Considere ainda que:

1,042 = 1,0816

1,04-3 = 0,0889

1,043 = 1,1249

1,04-4 = 0,0855

Solução:

37700 3,625

b) R’ =

= 10400 (POSTECIPADA)

R 10400 = = 10.000 (antecipada) 1 + i 1,04

c) R’’ = R ∙ (1 + i)1 = 10400 x 1,04 = 10816 (diferida de 1 mês).

d) R’’’ = R ∙ (1 + i)2 = 10400 x 1,042 = 11248,64 (diferida de 2 meses).

16ª AULA 12) Determinar os valores atuais dos seguintes fluxos de caixa para uma taxa efetiva de 10% ao ano: a)

605 0

‫ו‬ 1

‫ו‬ 2

•• • 3

anos

P=?

Dado: 1,1-7 = 0,5131

Solução: Usando a época 2 como data de comparação P x 1,12 = 605 x a 7

= 7

10%

1 - 1,1-7 0,1

= 1 - 0,5131

= 4,869

0,1

P x 1,21 = 605 x 4,869 P=

605x4,869 = 500 x 4,869 = 2434,50 1,21

Resposta: O valor atual é de R$ 2434,50. 81

6000

4000

0 1

‫ו‬

anos

P=?

Dados: 1,1-6 = 0,564 e 1,1-3 = 0,751

Solução: Vamos construir duas séries uniformes.

II) 2000

4000

anos

0 1

anos

P = P1 + P2 P1 = 4000 ∙ a 6

10%

= 1 - 1,1-6

a 6

10%

= 1 - 0,564

0,1

= 4,36

0,1

P = 4000 x 4,36 = 17440 1

P = 2000 x 2,49 = 4980 2

P = 17440 + 4980 = 22420

Resposta: O valor atual é de 22420. 13) Um equipamento é vendido por R$ 8380,36 à vista, ou a prazo com R$ 1000,00 de entrada e cinco prestações trimestrais de R$ 1800,00 cada. Determinar a taxa nominal anual do financiamento. Solução: O DFC do financiamento

8380,36 1000,00 (-) 7380,36 1800

trimestres 0

PERPETUIDADES Em algumas situações, o número de pagamentos ou recebimentos pode ser considerado infinito. “O valor de uma perpetuidade de termos quais a R, um período antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros, igual a R

17ª AULA

18ª AULA

100

101

102

19ª AULA

103

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106

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20ª AULA

108

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110

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112

21ª AULA

113

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116

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118

22ª AULA EXERCÍCIOS DE REFORÇO

Um empréstimo de R$ 89.800,00 deverá ser pago em 24 parcelas mensais e sucessivas, com a primeira parcela vencendo ao final do primeiro mês a partir da contratação. As parcelas serão calculadas pelo sistema francês de amortização, considerando-se uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Com base nessas informações, supondo que 1,1-24 = 0,102, 1,1-12 = 0,318 e 1,1-4 = 0,683, julgue os itens subseqüentes.

1) O valor da primeira amortização será inferior a R$ 1.050,00.

2) Imediatamente após o pagamento da 12ª parcela, o saldo devedor será inferior a R$ 68.000,00.

3) O valor da parcela dos juros referente à 13ª parcela é maior que R$ 6.810,00.

4) O valor da amortização referente à 3ª prestação é menor que R$ 1.230,00.

5) Se a primeira prestação fosse paga dois meses após a contratação do empréstimo, ficaria aumentada de R$ 1.000,00.

6) Durante os dois anos desse empréstimo, o devedor pagaria, apenas a título de juros, mais de 150.200,00 reais.

119

Solução: Calculando o valor da prestação: P=R∙a

10%

e, daí, R =

= 1 - 1,1-24 = 0,1

n i

89800 24 10%

= 89800 = 10.000 8,98

1 - 0,102 = 8,98 0,1

Calculando o valor do juro contido na primeira prestação: J1 = 10% do SD0 = 10% de 89800 = 8980

1. Calculando o valor da primeira amortização: Como R = A1 + J1, escrevemos A1 = R - J1 = 10.000 - 8980 = 1020

2. Calculando o saldo devedor após o pagamento da 12ª parcela: SD12 = R ∙ a a

24-12 10%

= 1 - 1,1-12 = 1 - 0,318 = 0,682 = 6,82 12 10% 0,1 0,1 0,1

SD12 = 10.000 ∙ 6,82 = 68200

120

3. Calculando o valor do juro contido na 13ª parcela: J13 = 10% do SD12 = 10% de 68200 = 6820 4. Calculando o valor da amortização contida na 3ª prestação: Como AK = A1 ∙ (1 + i)K – 1 (lembra?), podemos escrever: A3 = A1 ∙ (1 + 0,1)2 = 1020 ∙ 1,12 = 1234,20 5. Rdif(1 mês) = R post ∙. (1+ i) Rdif (1 mês) = 10.000 ∙ (1 + 0,1) = 11.000 6. Calculando o valor total dos juros: JT = TOTAL PAGO - VALOR FINANCIADO JT = 24 ∙ 10.000 - 89800 = 150.200 Resposta: 1) C

2) E

3) C

4) E

5) C

6) E

Um equipamento é vendido pelo preço à vista de R$ 12442,50, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 36% ao ano, “Tabela Price”. Sabendo que o financiamento deve ser amortizado em 1 ano, calcule o valor dos juros a ser pago na nona prestação. Solução: Calculando a taxa efetiva mensal: 36% a.a. = 3% i= 12 Calculando o valor da prestação: P=R∙a

e, daí, R =

P n

121

R = 0,8 ∙ 12442,50 = 9954 = 1000 a 9,954 12 3% Calculando o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação: SD8 = R ∙ a

= 1000 x a 12-8

= 1000 x 3,71710 = 3717,10 4 3%

Calculando o juro contido na nona prestação: J9 = 3% do SD8 = 3% de 3717,10 ≈ 111,51 Resposta: O valor dos juros é de R$ 111,51.

Uma casa é vendida por R$ 80.000,00, sendo 20% de entrada e o restante financiado em 40 prestações mensais pelo sistema de amortização constante (SAC), à taxa de 1,5% ao mês. Calcule, desprezando os centavos: a) o valor da primeira e da última prestações; b) o valor do decréscimo mensal das prestações; c) o valor das parcelas de juros referentes à 20ª prestação e à 32ª prestação; d) o total dos juros a serem pagos até a liquidação do débito; e) o valor do saldo devedor após o pagamento da trigésima prestação.

122

Solução: Calculando o valor da amortização: A=

valor financiado 80% de 80.000 = = 1600 no de prestações 40

b) Calculando o valor do decréscimo mensal das prestações: 1,5 = 24 A ∙ i = 1600 ∙ 100 a) Calculando o valor da primeira prestação: R1 = A + J1 = 1600 + 1,5% de 64000 = 1600 + 960 = 2560 a) Calculando o valor da última prestação: R40 = R1 + 39 r = 2560 + 39 ∙ (-24) = 1624

123

23ª AULA

c) Calculando o valor do juro contido na 20ª prestação: J20 = J1 + 19 r = 1,5% de 64000 + 19 ∙ (-24) J1 J20 = 960 – 456 = 504 c) Calculando valor do juro contido na 32ª prestação: J32 = J1 + 31 r = 960 + 31 (-24) = 960 - 744 = 216 Calculando o valor do juro contido na última prestação: JÚLTIMA = J40 = 24

d) Calculando o valor do juro total:

 JPRIMEIRA + JÚLTIMA   ∙n 2  

Como JT =  Vem: JT =(

960 + 24 ) ∙ 40 = 984 ∙ 20 = 19680 2

e) Calculando o saldo devedor após o pagamento da trigésima prestação: SD30 = A ∙ (40 - 30) = 1600 ∙ 10 = 16000

124

MATEMÁTICA FINANCEIRA

NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTO

INTRODUÇÃO Basicamente, toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa. A avaliação desses fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores presentes, calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e entradas de caixa.

INDICADORES PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS • Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa É obtido pela diferença entre o valor presente dos fluxos de caixa futuros esperados para um investimento, descontados a uma taxa mínima de atratividade (taxa de desconto) e o valor presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento) Se VPL < 0, o investimento deverá ser rejeitado Se VPL ≥ 0, o investimento poderá ser aceito

125

126

127

128

129

24ª AULA

130

131

132

133

134

135

136

25ª aula DESCONTO Desconto, genericamente, é a operação que visa calcular o valor presente de um valor futuro, sendo no caso do desconto racional (por dentro) a operação inversa da operação de capitalização. O desconto comercial (por fora) é feito com uma taxa de desconto antecipada aplicada ao valor nominal do título de crédito, linearmente, em função do prazo de vencimento do título. Indicando por Dc, o desconto comercial simples, por d a taxa de desconto antecipada e por n o número de períodos de antecipação, teremos: Dc = N x d x n A diferença entre o valor nominal e o desconto comercial é chamada de valor descontado e, indica-se por A, isto é:

A=N-N. d.n onde: 1 – d ∙ n

daí,

A = N . (1 - d . n)

é o fator de desconto comercial simples.

DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA DE QUEM “COMPROU” O TÍTULO

d 0

n A

períodos

i>d Se quisermos saber qual a taxa de juros “i” efetivamente cobrada pelo banco, basta utilizar a fórmula de capitalização, em juros simples ou juros compostos. Aplicação Uma nota promissória de valor nominal igual a R$ 1000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do vencimento, à taxa de desconto antecipado de 18% a.m. Determine: a) o valor do desconto comercial simples. b) o valor descontado. c) fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco que “comprou” o título. d) a taxa efetiva mensal de juros simples cobrada pelo banco. e) a taxa efetiva mensal de juros compostos cobrada pelo banco.

137

Solução: Calculando a taxa global: TG = 18% x 2 = 36% ou 0,36

Calculando o fator: F = 1 - 0,36 = 0,64 36 de 1000 = 360 a) Dc = 100 b) A = 1000 x 0,64 = 640 1000 c)

meses

640

d) Calculando a taxa mensal (i) de juros simples: 1000 640 x F = 1000 e, daí, F = = 1,5625 e i = 56,25% p/2 meses ou i = 640 28,125% a.m. e) Calculando a taxa mensal (i) de juro composto: 1000 100 = 640 x F2 = 1000 e, daí, F2 = eF= 640 64 10 = 1,25 F= 8 Portanto, i = 25% a.m.

100 64

“A taxa de desconto oferecida pelo banco será sempre menor que a taxa de rentabilidade por ele obtida”.

138

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1) Uma empresa desconta títulos num banco um mês antes do vencimento obtendo um valor atual (A) segundo as situações dadas pelos fluxos de caixa. Calcule a taxa mensal de desconto antecipada de cada operação.

N = 800

NN == 400 4000 A = 3520

A = 752

meses

Solução:

TG =

meses

Solução:

48 = 0,06 ou 6% a.m. 800

TG =

480 = 0,12 ou 12% a.m. 4000

2) Determine o fator de desconto comercial simples e o valor atual de cada empréstimo: a)

NN= =500 5000

N = 8000

A=? A=

A=? d = 6% a.m. 0

d = 4% a.m. 100

Solução: TG =

6% x 100 = 20% ou 0,2 30

dias

2,5

meses

Solução: TG = 4% x 2,5 = 10% ou 0,1

FATOR = 1 - 0,2 = 0,8

FATOR = 1 - 0,1 = 0,9

A = 5000 x 0,8 = 4000

A = 8000 x 0,9 = 7200

139

26ªAula 3) Um banco anuncia empréstimo à taxa linear de 5% ao mês. Porém, a prática do banco é cobrar juros no momento do empréstimo. Determine a taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco. Solução: TG = 5% . 1 = 5% e F = 1 – 0,05 = 0,95 Considere, por exemplo, N = 100. Assim, temos A = 100 x 0,95 = 95 Calculando a taxa efetiva mensal: 95 x F = 100 e, daí, F =

100 = 1,0526 95

Portanto, i = 5,26% a.m.

4) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 5000,00 é descontada em um banco dois meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 10% ao mês, pede-se: a) o desconto comercial; b) o valor descontado; c) a taxa efetiva de juros simples da operação. Solução: TG = 10% x 2 = 20% FATOR = 1 - 0,2 = 0,8 a) D = 20% de 5000 = 1000 b) A = 0,8 x 5000 = 4000 c) 4000 x F = 5000 e, daí, F = 1,25 e i = 25% p/2 meses ou 12,5% a.m.

140

4 de seu valor nominal. Calcular a taxa mensal 5 de desconto comercial simples, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 40 dias.

5) O valor atual de um título é igual a

Solução: Do enunciado, temos:

4 ∙N 5

Se N = 100, então A = 80 DFC 100 0

dias

TG =

20 = 20% p/40 dias ou 5% p/10 dias ou 15% a.m. 100

Resposta: 15% a.m.

6) Um banco oferece empréstimos pessoais, cobrando 8% a.m. de taxa de desconto comercial simples, mais uma comissão de 2,5% sobre o valor do empréstimo. Se uma pessoa necessita de R$ 4890,00 agora, para pagar daqui a 60 dias, qual deve ser o compromisso assumindo? Solução: TG = 8% a.m. x 2 + 2,5% = 18,5% FATOR = 1 - 0,185 = 0,815 Daí,

N x 0,815 = 4890 N=

4890 = 6000 0,815

Resposta: O valor do compromisso é de R$ 6000,00.

141

7) Um empresa desconta uma duplicata de R$ 5000,00 com vencimento para 40 dias. Se a taxa de desconto comercial simples for de 36% a.a. e a taxa de serviço bancário for de 1,5% sobre o valor nominal do título, qual será o valor líquido recebido (valor descontado) e a taxa de juros efetiva paga pela empresa? Solução: TG =

36% x 40 + 1,5% = 5,5% 360

FATOR = 1 - 0,055 = 0,945 Como A = N x F, escrevemos A = 5000 x 0,945 = 4725 Calculando a taxa efetivamente cobrada pelo banco: DFC

N = 5000 A = 4725 40

4725 x F 5000 ∴ F =

dias

5000 = 1,0582 e, daí, i = 5,82% p/40 dias 4725

Resposta: O valor descontado é de R$ 4725,00 e a taxa efetivamente cobrada pelo banco é de 5,82% p/40 dias. 8) Você possui uma duplicata cujo valor de face é de R$ 5000,00. Esta duplicata vence em 28 dias. Ao procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informado que a taxa de desconto por fora é de 3% a.m. e ainda há a cobrança de uma taxa fixa de R$ 25,00 (cobrada na data de desconto) a título de taxa administração. Que taxa de juros simples, no período considerado, foi cobrada pelo banco, referente ao adiantamento dos recursos. Solução: TG =

3% x 28 = 2,8% 30

FATOR = 1 - 0,028 = 0,972 Calculando o valor de A sem a taxa fixa: A = N x F ⇒ A = 5000 x 0,972 = 4860 142

Calculando o valor liberado pelo banco: A’ = 4860 - 25 = 4835 DFC da operação:

5000 0

28 4835

dias

4835 x F = 5000 ∴ F =

5000 = 1,0341 4835

Portanto, i = 3,41% p/28 dias Resposta: O banco cobrou uma taxa linear de 3,41% p/28 dias

9) Desconta-se um título de valor nominal de R$ 10.000,00 dois meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 10% ao mês e de acordo com o critério do desconto comercial composto. Determine o valor descontado na operação. Solução: A = N x (1 - d)n A = 10.000 x (1 - 0,1)2 = 10.000 x 0,92 = 8100 Dc = 10.000 - 8100 = 1900 Resposta: O valor atual é de R$ 8100,00.

143

27ªAula 10) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 6% a.m. para operações de 45 dias. Deste modo, determine o valor da taxa mensal de desconto comercial simples que o banco deverá cobrar em suas operações de 45 dias. Solução: Calculando a taxa efetivamente cobrada pelo banco no período de 45 dias: TG = 6% x 1,5 = 9% Conclusão: Para cada 100 reais liberado pelo banco, o cliente assina um compromisso de 109 reais para 45 dias. DFC 109

dias

0 45 100

Calculando a taxa de desconto comercial cobrada pelo banco no período de 45 dias. TG =

9 p/ 45 dias 109 ou

TG =

3 p/ 15 dias 109 ou

TG =

6 6 p/ 30 dias = x 100% a.m. ≈ 5,50% a.m. 109 109

Resposta: A taxa de desconto cobrada pelo banco é de 5,50% a.m.

144

11) Uma nota promissória de valor nominal igual a R$ 5.400,00 é descontada em um banco dois meses antes do vencimento, à taxa linear de desconto de 4% a.m. Determine: a) o valor do desconto comercial simples; b) o valor do desconto racional simples; c) uma relação entre os dois descontos. Solução:

Calculando a taxa global: TG = 4% . 2 = 8% Calculando o fator de desconto comercial: F = 1 – d . n = 1 – 0,08 = 0,92 Calculando o valor atual comercial: A = N . F ⇒ A = 5400 x 0,92 = 4968 Calculando o desconto comercial: DC = N – A = 5400 – 4968 = 432 Calculando o fator de desconto racional: F = 1 + i . n = 1 + 0,08 = 1,08 Calculando o valor atual racional: A.F=N ⇒ A=

N F

5400 1,08

= 5000

Calculando o desconto racional: DR = N – A = 5400 – 5000 = 400 Relação entre o DC e o DR 432 = 400 . (1 + 0,08) Generalizando: DC = DR . F onde: F é o fator de capitalização. Respostas: a) R$ 432,00

b) R$ 400,00

c) DC = DR . F 145

12) Achar a diferença entre o desconto comercial e o racional simples de uma nota promissória de R$ 6.240,00 descontada a 2% ao mês, 60 dias antes de seu vencimento. Solução: Calculando a taxa global: TG = 2% x 2 = 4% Calculando o desconto comercial: DC = 4% de 6240 = 249,60 Calculando o fator de capitalização: F = 1 + i . n = 1 + 0,04 = 1,04 Calculando o desconto racional: D

Como DC = DR . F, podemos escrever DR =

DR =

249,60 1,04

= 240

Portanto, a diferença entre os dois descontos é de 9,60

= (249,60 – 240,00).

Resposta: R$ 9,60

146

13) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 580,00, 80 dias antes do vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial simples por um desconto racional simples. Calcule o valor do novo desconto, considerando a mesma taxa de 6% ao mês. Solução: Calculando a taxa global: TG =

6% 30

x 80 = 16%

Calculando o fator de capitalização: F = 1 + i . n = 1 + 0,16 = 1,16 Como DC = DR . F, podemos escrever: D

DR =

580 1,16

= 500

Resposta: O valor do desconto racional simples é de R$ 500,00.

147

28ªAula 14) Um título foi negociado por fora 45 dias antes do vencimento. O valor do desconto simples foi de R$ 680,00. Se fosse adotado o desconto simples por dentro, o desconto teria sido reduzido em R$ 80,00. Determine o valor nominal desse título. Solução: A seguinte equação relaciona o valor nominal, o desconto comercial simples e o desconto racional simples. N=

DC . DR DC − DR

Assim, podemos escrever: N=

680 . 600 80

= 5100

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 5.100,00. 15) Michael deve a um banco R$ 13.500,00 que vencem daqui a 60 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 15 dias. Admitindo-se a data focal zero e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 4% a.m., qual será o valor do novo pagamento? Solução: O diagrama ajuda a entender o enunciado 13500

2,5

meses

0 d = 4% a.m.

X deslocando os valores para a data zero, temos: X . (1 – 4% . 2,5) = 13500 . (1 – 4% . 2) X . 0,9 = 13500 . 0,92 e, daí, X =

13500 x 0,92 0,9

= 13800

Resposta: O valor do novo título será de R$ 13.800,00. 148

16) Um título de R$ 2.400,00, com vencimento para 3 meses, substitui outro de R$ 2.350,00, vencível em 2 meses. Qual foi a taxa de desconto comercial simples dessa operação? Solução: O diagrama ajuda a entender o problema: 2350

meses 0

d=? 2400 deslocando os valores para o momento zero, temos: 2400 . (1 – d . 3) = 2350 . (1 – d . 2) 2400 – 7200d = 2350 – 4700d 2400 – 2350 = 7200d – 4700d 50 = 2500d ∴ d =

50 2500

= 0,02 ou 2%

Resposta: A taxa foi de 2% a.m.

149

17) A fim de substituir um título de R$ 3.000,00 para 30 dias, uma pessoa entrega ao credor a importância de R$ 1.400,00 e mais um título de R$ 5.000,00 para 120 dias. Qual foi a taxa de desconto simples por fora empregada nessa transação? Solução: O diagrama ajuda a entender o problema: 3000

meses

0 1400 d=?

5000

deslocando os valores para o momento zero, temos: 1400 + 5000 . (1 – d . 4) = 3000 . (1 – d . 1)

(÷ 100)

14 + 50 – 200d = 30 – 30d 64 – 30 = 200d – 30d 34 = 170d ∴ d =

34 170

= 0,2 ou 20%

Resposta: A taxa foi de 20% a.m. 150

18) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 4.000,00, com 75 dias de prazo e outra de R$ 18.250,00, pagável em 100 dias. O negociante pretende substituir essas duas dívidas por uma única, com 50 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto por fora é de 72% a.a. e usando a data focal zero, encontre o valor nominal dessa dívida. Solução: O desenho ajuda a entender o enunciado: 18250

4000

100

d = 72% a.a. ou d =

dias

72% 360

= 0,2% a.d.

deslocando os valores para o momento zero, temos: x . (1 – 50 . 0,2%) = 4000 . (1 – 75 . 0,2%) + 18250 . (1 – 100 . 0,2%) x . 0,9 = 4000 . 0,85 + 18250 . 0,85 + 18250 . 0,8 x=

4000 . 0,85 + 18250 . 0,8 0,9

= 20.000

Resposta: O valor do título é de R$ 20.000,00

151