ЮРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ УСТИНОВ
Электромагнетизм Конспект лекций по физике Компьютерный набор, дизайн и вёрстка Димента А. В.
2008
СПБГУКИТ
2
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Автор: Ю. К. Устинов Компьютерный набор, дизайн и вёрстка: А. В. Димент
© Ю. К. Устинов, 2008.
Электромагнетизм — Электромагнетизм. План курса
3
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. ПЛАН КУРСА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА (В ВАКУУМЕ, В ВЕЩЕСТВЕ, ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ) Электростатика изучает поле неподвижных зарядов. Поле – посредник взаимодействия тел в неживой природе. Электростатическое поле — посредник взаимодействия электрических зарядов. Заряд – величина, определяющая силу, интенсивность электрического взаимодействия. Две важнейшие характеристики электростатического поля: напряжённость и потенциал. Напряжённость электростатического поля — удельная сила, действующая на +1 заряд.
E=
F q пробн
Fкул = k
,
q1q2 r2
и
E=k
q . r2
Потенциал электростатического поля — это удельная потенциальная энергия этого поля.
ϕ=
Wпот qпроб
— потенциальная энергия
проб
= +1 в изучаемом поле.
Связь напряжённости и потенциала: E = −
∂ ∂ ∂ dϕ = − + + ϕ = −∇ϕ dr ∂x ∂y ∂z
Электростатическое поле в веществе требует ещё одной характеристики.
D — вектор электрического смещения, D = εε0 E ε — проницаемость, характеризует способность вещества поляризоваться, ε0 — электрическая константа.
2. МАГНИТОСТАТИКА (В ВАКУУМЕ И ВЕЩЕСТВЕ) Магнитостатика изучает магнитные поля постоянных электрических токов.
r r B — вектор магнитной индукции, B = B ( r , I ) При изучении магнитных полей в веществе (намагничивание вещества) вводится вторая характеристика: напряжённость магнитного поля.
H (r ) =
B (r ) , где μ — магнитная проницаемость, мера намагниченности вещества, μ0 — const. µ µ0
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ Закон электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны.
4. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА Интерференция, дифракция, поляризация света, взаимодействие света с веществом. Законы распространения электромагнитных волн в средах.
4
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ЕГО СВОЙСТВА q Заряд — физическая величина, определяющая интенсивность электрического взаимодействия. Вокруг зарядов и электрических токов возникают электрические и магнитные поля, которые действуют на другие заряды и токи.
СВОЙСТВА ЗАРЯДОВ 1. Квантованность (дискретность): любой заряд есть целое число N элементарных зарядов, или зарядовых квантов.
Q = Ne,
где e = 1,6 ⋅ 10
−19
Кл.
1 Кл = 3 ⋅ 10 9 СГС q 2. Релятивистская инвариантность (неизменность) заряда означает, что величина заряда одинакова в любой системе отсчёта, не зависит от выбора системы отсчёта. 3. Закон сохранения заряда: в изолированной системе заряд сохраняется.
(I тело по-прежнему электронейтрально) 4. Заряды проявляются через их взаимодействие, они взаимодействуют через поля. Характеристики полей узнаются с помощью пробных зарядов-зондов (+1). Сила, действующая на +1 в данной точке, называется напряжённостью электрического поля (E) в этой точке. Заряд +1 определяет также направление силовых линий, напряжённости Е, его движение задаёт направление электрического тока.
ЗАКОН КУЛОНА
r 12 = r e 12 , ē12 — единичный вектор, |ēr|=|ē12| = 1.
F 12 = − k
q1 q2 e12 , r2
F 21 = k
q1q 2 e12 r2
1. Электростатика — 1.2. Напряжённость электрического поля В скалярной форме: В СИ:
k=
=
=
5
.
1 −12 Фарада , в СГС k = 1. ε 0 = 8,85 ⋅10 . метр 4πε 0
В СГС [ q ] =
[ F ][ r 2 ] = г ⋅ см ⋅ с − 2 ⋅ см 2 = см
3
2
⋅г
1
2
⋅ с −1 , г·см·с-2 = дина.
В СИ: [q] = 1 Кл = 3·109 СГСq .
Кл2 Кл2 Кл Ф [q]2 = 2 = = = . [ε 0 ] = 2 [r] [F ] м Н м ⋅ Дж м ⋅ В м Найдём величину ε0: F
СИ
Таким образом, ε 0 =
=
3 ⋅109 ⋅ 3 ⋅ 109 1 1 Кл ⋅1 Кл F = = 9 ⋅1014 дин = 9 ⋅109 Н , т.к. Н = 105 дин. ⋅ , СГС 100 2 4πε 0 1 м2
1 1 = = 8,85 ⋅ 10 −12 Ф/м. 9 4π ⋅ F 4π ⋅ 9 ⋅10
1.2. НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ q Напряжённость электрического поля — силовая (векторная) характеристика электростатического поля, равная удельной силе, действующей на +1 заряд в этом поле. Частный случай: напряжённость точечного заряда (монополя).
Eq = Eq = [E ] =
1 q ⋅ 2 = Eq (r ) 4πε 0 r
— поле неоднородно, так как меняется от точки к точке.
[F ] Н м Дж В = = . ⋅ = [ q] Кл м Кл ⋅ м м Принцип суперпозиции полей: напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённостей зарядов, составляющих систему.
Силовые линии служат для графического изображения электрических полей. Проводятся так, чтобы густота 2 силовых линий (число линий через м ) соответствовала величине поля: проводятся от плюса к минусу (по движению зонда +1), густота силовых линий =|Ē|. Чем дальше от заряда, тем меньше густота силовых линий.
УРАВНЕНИЕ СИЛОВОЙ ЛИНИИ Условие коллинеарности ⃗ и ⃗ — свойство силовой линии: ⃗× ⃗= ⃗ ⃗ = 0 ⇒
⇒
=0⇒
⃗ ⃗
= 0, ⃗ ⃗
=
=
= 0,
⃗ ⃗ =0
— уравнение силовой линии.
6
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ГЛАВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЦИРКУЛЯЦИЯ
( )
⃗ ⃗=
— циркуляция Ē по замкнутому контуру (L) равна нулю ð электростатическое поле — безвихревое. Иначе: работа силы Ē по замкнутому контуру равна нулю, так как электростатические силы консервативные.
ПОТОК ∫(
)
⃗ ⃗=∫ (
)
cos ∡( ,̂
) = ∫(
= ∫(
)
)
=
,—
— поток Ē через S = числу силовых линий через всю поверхность S. — число силовых линий через dS м2, — число En на 1 м2. dS — квазивектор, так как от ориентации площадки dS (нормали к ней ⃗) в пространстве зависит число силовых линий, пересекающих S, то есть поток dΦE .
ТЕОРЕМА ГАУССА Поток вектора Е через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности.
- при ∑
- при ∑
=0 ⇒
≠0 ⇒
( )
⃗
⃗=
∑
(число входящих линий = числу исходящих) ⇒
=
= 0.
через S не равен нулю.
Только если внутри поверхности есть заряд, поток E через неё будет отличен от нуля. Простейшие примеры: поле заряженной сферы (а) и заряженной плоскости (б) а) Так как в каждой точке внутренней сферы писать: =
б)
=
( )
⃗ ⃗=
Ф = = + =
∮(
∙4
)
=
=
=
∙4
⇒
=0
2Δ = Δ ∙
⁄Δ [Кл ⁄м ]
= 1
⇒
⇒ +σ
=0
одинаковы и ∑
= 0 при
при > . =
≤ .
= 0, можно за-
2 E
–σ
=0
⇒
=
1. Электростатика — 1.3. Потенциал электростатического поля
7
1.3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Потенциал — вторая, скалярная характеристика электростатического поля. Возникает из-за консервативного характера электростатических сил. =
пот
проб
,
— удельная потенциальная энергия электростатического поля, то есть энергия заряда +1 во внешнем электростатическом поле. Является характеристикой только поля и не зависит от величины внесённого заряда.
СВЯЗЬ НАПРЯЖЁННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА (такая же, как связь Fконс и Wпот) ⃗=−
⃗
=−
+
+
=−
Геометрическое изображение потенциала — эквипотенциали. q Эквипотенциаль — геометрическое место точек с φ = const.
Эквипотенциали проводятся так, чтобы Δφ = const между соседними эквипотенциалями.
Δr
При этом: 1. Густота эквипотенциалей соответствует величине электрического поля. Это доказывается с помощью основного соотношения: ↑
=−
(
↓
)
. И наоборот.
2. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.
Докажем это «от противного». Пусть ⃗ не перпендикулярно φconst. Тогда ⃗ можно разложить на ⃗ ⊥ и ⃗ ∥. Но ) ⃗ ∥ не может существовать, так как ⃗∥ = − ( = 0, ⇒ ⃗ = ⃗ , ч. т. д. ⃗
8
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». 3. Потенциал поля монополя q:
Покажем это, используя ⃗ = − ⃗ ⃗=−
ð
4
1
⃗
=
:
∙
=
=
4
∙
−
4
=
4
−
. Итак,
=
, ч. т. д.
4. Потенциальная энергия одного заряда (q’) в поле другого (q): пот
(по определению потенциала).
=
5. Работа по перемещению q’ в поле q из точки 1 в точку 2. =
пот
−
пот
=
−
6. Потенциал поля q в данной точке 1 равен работе по перемещению заряда +1 из точки 1 в ∞. Докажем это:
=
−
=
=
= 1, т. к.
при
7. Поле N зарядов (мультипольное поле)
= 0.
а. Потенциал поля мультиполя равен алгебраической сумме потенциалов от каждого заряда (принцип су∑ перпозиции): = . б. Потенциальная энергия q1 в поле N зарядов
пот
в. Взаимодействие двух зарядов
пот
находится q2.
=
=
.
=
∙
=
, где φ2 — потенциал поля q1 в точке, где
г. Потенциальная энергия N зарядов, вычисленная через парные взаимодействия:
пот
=
1 2
(
)=
1 2
4
=
1 2
4
1
∙
,=
=
,
где φi — потенциал поля (N-1) зарядов, кроме qi, в точке, где находится этот qi заряд, ½ соответствует тому факту, что каждое парное взаимодействие подсчитывалось дважды.
ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА [ ]= *
1 эрг = 1 дина · 1 см.
[
пот ]
[ ]
=
* Дж 1 СГС 10 эрг = 1 Вольт (Си) = = СГС . 3 ∙ 10 Кл 300
1. Электростатика — 1.4. Электрический диполь
9
1.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ ⃗=
⃗.
⃗ =
+
=
где
=−
Дипольный момент: дип
дип
=
,
∙
⃗⃗
=
+
∙ =−
=−
(поле анизотропно)
,
1
+
,
.
Если величина E одинакова в каждой точке пространства, то поле однородно. Если одинакова по всем направлениям, то поле изотропно. Иначе — анизотропно.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТ, ДЕЙСТВУЮЩИЙ НА ⃗ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ⃗
На диполь действует пара сил, и момент этой пары равен ⃗
⃗, ⃗
= sin , где — сила = — плечо пары. При этом ∙ = . ð ⃗
Таким образом, с учётом направления ⃗ и ⃗ :
⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗× ⃗
(векторное произведение)
⃗, ⃗
=
sin .
,
10
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ⃗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ По свойству аддитивности энергии (по пот
=
=∑
) имеем = (
−
φ — функция координаты. И приращение ( ) = Δ = пот
Анализ результата
=−
)=
−
Δ =−
, где
, т.к.
= − ⃗ ⃗.
= − . Таким образом,
а) При θ = 0 имеем пот
=
, и
пот
< 0.
Это значит, что состояние диполя равновесно и устойчиво (связанно).
б) При θ = π пот
= max
и
пот
>0
Это состояние неустойчивого равновесия, то есть небольшие колебания нарушат его.
ДИПОЛЬ В НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ рез
= ⃗− ⃗ = −
пот
(результат консервативности электростатического поля)
рез
=
пот
=−
cos
=
Таким образом, результирующая сила, втягивающая диполь в область более сильного поля, пропорциональна неоднородности поля .
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭФФЕКТА ВТЯГИВАНИЯ ⃗ Автоэлектронный микроскоп (АЭМ)
Даёт изображение металлического острия с увеличением в 106 раз. А если сделать напуск газа, получится Автоионный микроскоп (АИМ) с изображающим газом H2 или He. Молекулы изображающего газа в электрическом поле приобретают дипольный момент и втягиваются в область сильного поля на металлическом острие. Ионы изображающего газа, ускоренные приложенной разностью потенциалов между остриём и люминофором, дают на экране изображение острия с атомным разрешением.
1. Электростатика — 1.5. Элементы математической теории поля
11
1.5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ (Элементы векторного анализа) Каждому физическому полю (полю сил) можно сопоставить математическое описание в виде математического поля. Возможны умножение, дифференцирование, интегрирование математических (физических) полей.
УМНОЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 1) Скалярное произведение полей ⃗ и ⃗ даёт новое скалярное поле. ⃗⃗ =
cos( ⃗ ; ⃗) =
+
+
⃗+ (
−
2) Векторное произведение полей даёт новое векторное поле. ⃗× ⃗= ⃗⃗ =
⃗
⃗
⃗
=
−
)⃗ +
−
⃗
3) Смешанное (скалярно-векторное) произведение полей ⃗, ⃗ и ⃗ даёт новое скалярное поле.
Оно обладает свойством циклической перестановки. ⃗
⃗ ⃗ = ⃗[ ⃗ ⃗]= ⃗ ⃗ ⃗
4) Двойное векторное произведение полей ⃗, ⃗ и ⃗ даёт новое векторное поле. ⃗
Раскрывается по правилу «бац минус цаб»: ⃗
⃗⃗
⃗⃗
= ⃗× ⃗ × ⃗
= ⃗ (⃗ ⃗ ) − ⃗ ⃗ ⃗
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 1) Дифференцирование скалярного поля
(Ср. ⃗ = −
⃗
по вектору ⃗ даёт новое векторное поле. ⃗
)
= ⃗=∇
Оператор ∇ — квазивектор, ∇= ∇ + ∇ + ∇ .
2) Дифференцирование векторного поля ⃗ по вектору ⃗ даёт новое скалярное поле. ⃗ = ∇⃗ = ∇ ⃗
+∇
+∇
, — скалярное произведение векторов Δ и ⃗.
q Это новое скалярное поле ∇ ⃗ называется дивергенцией («расхождением») векторного поля ⃗.
Физический смысл дивергенции ∇ ⃗ — интенсивность источника/стока силовых линий ⃗, то есть число силовых линий, исходящих из данной точки (источник линий ⃗) или число силовых линий, втекающих в точку (мощность стока линий ⃗). ∇ ⃗ > 0 — источник ⃗;
∇ ⃗ < 0 — сток ⃗.
12
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
3) «Векторная производная» от вектора ⃗ по ⃗ даёт новое векторное поле, поле вихрей ⃗ (роторов ⃗). ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = [ ∇ ⃗ ] = rot ⃗ = ∇ ∇ ∇ ⃗
Это новая, точечная, векторная характеристика векторного поля ⃗. То есть в одной точке может быть:
rot ⃗ характеризует завихрение силовых линий вокруг данной точки, или отличную от нуля циркуляцию вектора ⃗ вокруг точки. Циркуляция —интегральное представление ротора.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ
1) Линейное интегрирование (однократный интеграл) поля ⃗. =
( )
⃗ ⃗
— циркуляция ⃗ по замкнутому контуру L (работа ⃗ на пути L).
Циркуляция — аддитивная величина: сумма циркуляций по смежным контурам равна циркуляции по ограничивающему контуру (по общей границе). =
+
+
+
2) Двойное интегрирование поля ⃗ (по площади S). ⃗
= ∫(
)
⃗
⃗ — поток ⃗ через поверхность ,
где ⃗ — квазивектор, так как от ориентации площадки dS в пространстве зависит число силовых линий, пересекающих её. Физический смысл
⃗
— число силовых линий ⃗, пересекающих поверхность S.
ЧЕТЫРЕ ГЛАВНЫХ ПОНЯТИЯ: ДИВЕРГЕНЦИЯ, РОТОР, ПОТОК И ЦИРКУЛЯЦИЯ ⃗ ДИВЕРГЕНЦИЯ
q Дивергенция — это скалярная точечная характеристика векторного поля, определяемая соотношением:
div ⃗ = ∇ ⃗ = lim → →(∙)
∮( ) ⃗
⃗
1. Электростатика — 1.5. Элементы математической теории поля
13
Дивергенция ⃗ равна пределу удельного потока ⃗ через поверхность S, окружающую точку P, при условии, что S стремится к (∙) .
Таким образом, процедура предельного перехода раскрывает физический смысл понятия дивергенции ⃗ в точке: число силовых линий ⃗, исходящих из данной точки (∇ ⃗ > 0) или число линий, входящих в эту точку (∇ ⃗ < 0).
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА Поток вектора ⃗ через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме дивергенций внутри этой поверхности.
Частный случай — теорема Гаусса:
( )
⃗
⃗=
⃗
( )
( )
⃗ ⃗=
=
⃗
( )
∑
СВОЙСТВА ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 1) Теорема Остроградского-Гаусса связывает интегралы разных порядков (второго и третьего) и позволяет, таким образом, менять порядок интегрирования (снижать его) в интегро-дифференциальных уравнениях. 2) Связывает понятия и величины потока и дивергенции. Таким образом, дивергенция — дифференциальное представление потока, а поток — интегральный образ дивергенции. Исходя из определения дивергенции, можно получить ∇⃗ = ∇
+∇
+∇
:
Поток вектора ⃗ через замкнутую поверхность куба S вокруг (∙) Р равен Ф ⃗ = Ф + Ф + Ф (Ф — вдоль х через грани Δ Δ , Ф — вдоль y через грани Δ Δ , Ф — вдоль z через грани Δ Δ ).
Δ
Δ Δ =
Δ Δ Δ , и Ф =
Т. к. поток ⃗ через (Δ Δ ) равен Δ Δ , то общий поток вдоль : Δ . Аналогично, Ф =
⇒ Ф⃗ = Ф
=
+ +
+ +
Δ , Ф =
Δ = = ∇ ⃗,
( )
⃗ ⃗
ч. т. д.
Δ Δ , а через (Δ Δ ) равен Δ .
14
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ q Ротор (вихрь) векторного поля — точечная векторная характеристика векторного поля ⃗, которая определяется предельным переходом ( (
⃗) =
∮(
→ →(∙)
)
⃗ ⃗
⃗) — проекция ротора на направление ⃗, нормали к контуру L,
∮( ) ⃗ ⃗ — циркуляция,
∮( ) ⃗ ⃗
— удельная циркуляция.
Удельная циркуляция по контуру L — скаляр, который зависит и от величины поля ⃗, и от ориентации L (ориентации ⃗ ⊥ ). Таким образом, это величина, обладающая свойствами проекции ⃗ на направление нормали к L. Существует такой контур L (и такое направление ⃗), для которого удельная циркуляция максимальна и равна модулю ротора |
⃗| =
→ →(∙)
∮(
)
⃗ ⃗
.
Таким образом, rot ⃗ — вектор, величина которого равна максимальной удельной циркуляции ⃗ вокруг точки P, а направление совпадает с направлением нормали к контуру с максимальной циркуляцией.
ПРИМЕРЫ ВИХРЕЙ 1. Вращение материальной точки вокруг оси. ⃗ = ⃗ × ⃗ с частным случаем
=
⃗=[
⇒ ⃗=
при ⃗ ⊥ ⃗ даёт ⃗] =
(«Векторная производная» вектора по вектору).
⃗ ⃗
2. Плотность тока Плотность тока — дифференциальная точечная характеристика тока: ⃗=
,
=
( )
⃗ ⃗.
Третье уравнение Максвелла для магнитного поля вокруг постоянного тока: ⃗=
⃗ — напряжённость магнитного поля.
⃗ =⃗
3. Подъёмная сила крыла самолёта П
α — угол атаки, ⃗ — скорость ветра, набегающий поток. П~
( )
⃗ ⃗~
⃗
1. Электростатика — 1.5. Элементы математической теории поля
15
ТЕОРЕМА СТОКСА (Вытекает из определения rot ⃗ через предельный переход) ( )
⃗ ⃗=
( )
⃗ ⃗
Циркуляция ⃗ по замкнутому контуру L равна потоку ную L.
⃗ через любую поверхность S, ограничен-
СВОЙСТВА ТЕОРЕМЫ СТОКСА 1) Теорема Стокса соединяет интегральное (циркуляция) и дифференциальное ( rot ⃗ ) представления вихря векторного поля.
2) Связывает интегралы разных порядков, позволяет менять (понижать) порядок интегрирования в интегродифференциальных уравнениях.
3) Постоянство потока rot ⃗ через любую поверхность, ограниченную L, следует из непрерывности силовых линий rot ⃗ (у них нет источников и стоков). [
⃗=
Покажем, что
Доказательство:
⃗] =
(нет источников и стоков rot ⃗).
⃗ ⃗ = объёму
Смешанное произведение — это скаляр, равный объёму фигуры, построенной на векторах ⃗ параллелепипеда. ⃗ ⃗ = площадь параллелограмма ⃗ ⃗, основания параллелепипеда, а cos ⃗ ^ ⃗ ⃗ лелепипеда.
= высота парал-
При равенстве двух из векторов ⃗, ⃗ , ⃗ объём параллелепипеда равен нулю. ðdiv rot ⃗ = 0 . ð Линии вектора rot ⃗ не имеют начала и конца. ð Магнитное поле вихревое, в отличие от консервативного электростатического.
ВЫРАЖЕНИЕ
⃗ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
⃗ ⃗ ⃗ rot ⃗ = [ ∇ ⃗ ] = Δ Δ Δ =
−
⃗+
−
⃗+
⃗.
−
(∗)
Тот же результат можно получить, опираясь на определение ротора: (rot ⃗) = lim где (rot ) = Получим На рис. (rot ⃗) =
∮( ) ⃗ ⃗
→ →(∙)
⃗+
=(
−
=
∮
⃗+
−
⃗ ⃗
)
, где ∮(
)
⃗ ⃗= ,
(rot ) =
,
⃗ = rot ⃗ −
−
(при
=
и
∮
⃗ rot ⃗ = (rot ) ⃗ + (rot ) + (rot ) ⃗ ,
⃗ ⃗
→ (∙) ).
=
−
. Аналогично получим (rot ⃗) =
,
(rot ) =
=
∮
⃗ ⃗
. ð
1
x
, поэтому −
и (rot ⃗) =
z
−
⃗
4
P(x,y,z) 3 2
Δy
Δz y
, что соответствует (∗).
16
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ДВА УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА (Две основные формулы электростатического поля в вакууме). 1) Т.к. электростатическое поле консервативно, то работа ⃗ по замкнутому контуру равна нулю:
ð по теореме Стокса ∮(
)
⃗ ⃗ = ∫ rot ⃗ ⃗ = 0. ( )
⃗=
Таким образом,
=
( )
⃗ ⃗=
(первое уравнение Максвелла). —
— Электростатическое поле безвихревое. Запреты: 1. Так как ∮(
)
⃗ ⃗ ≠ 0 в неоднородном поле 1 и при однородном поле Е в ограниченном пространстве 2, (L)
(L)
то такие электростатические поля ⃗ невозможны.
2) Источником электростатического поля являются электрические заряды:
(∑
Ф ⃗ = ∮(
)
⃗ ⃗=
(по теореме Гаусса)
для дискретных зарядов qi, ∫(
)
∑
=
∫( )
= ∫( ) div ⃗
для непрерывных зарядов qi). Сравним div ⃗ =
⃗=
,
, где
∫( )
=
и ∫( ) div ⃗
— четвёртое уравнение Максвелла. — Источником электростатического поля являются заряды
1.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
Кл м
ð
.
Главный эффект: поляризация диэлектрика и появление внутреннего поля связанных зарядов. Существуют два класса диэлектриков: неполярные и полярные.
НЕПОЛЯРНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ Их молекулы не обладают дипольным моментом без внешнего поля (центры плюсов и минусов заряда в молекулах совпадают). Во внешнем поле такие молекулы ведут себя как упругий диполь: дипольный момент возникает при действии внешнего поля и исчезает без поля. Величина «электрической упругости» молекул — их поляризуемость : ⃗=
.
1. Электростатика — 1.6. Электрическое поле в диэлектриках
17
ПОЛЯРНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ Молекулы обладают дипольным моментом (центры плюсов и минусов зарядов в молекулах не совпадают). Во внешнем электрическом поле собственные дипольные моменты молекул ориентируются по полю.
q Количественной характеристикой поляризуемости (полярных и неполярных диэлектриков) является величина поляризованности, — это дипольный момент единицы объёма диэлектрика, возникающий во внешнем поле: ⃗=
⃗ . Δ
В однородном диэлектрике при однородном внешнем поле ⃗ — однородная величина, одинаковая в каждой точке диэлектрика. В неоднородном внешнем поле и/или неоднородном диэлектрике ⃗ — неоднородная величина, точечная характеристика диэлектрика. При этом ΔV — физически малый объём: достаточно малый, чтобы описывать окрестность точки, но достаточно большой, чтобы усреднить дипольный момент большого числа молекул. ⃗=æ
⃗ ,
где æ («каппа») — восприимчивость диэлектрика (к внешнему полю). æ=
n — число молекул в 1 м3.
,
Линейная зависимость поляризованности от поля ⃗ = ⃗( ⃗ ) может превращаться в нелинейную при больших полях. ~
+
+
Восприимчивость æ — безразмерная величина. Покажем это. [ ](= ) [ ] ⎫ = [ ] [ ]⎪ [ ] ⎬ [ ]= ⎪ [ ] ⎭
[ ]= ð æ — безразмерная величина.
[ ]=[
]
СТОРОННИЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ Сторонние — привнесённые извне. Связанные — в атомах и молекулах диэлектриков. Под действием внешнего поля поверхностная плотность связанных зарядов ′ возникает всегда, а объёмная
плотность связанных зарядов ках.
Кл м
возникает только в неоднородных полях и неоднородных диэлектри-
18
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». 1. Поверхностная плотность связанных зарядов ′
Полярный диэлектрик
Неполярный диэлектрик
Покажем, что поверхностная плотность зарядов внутреннего поля равна нормальной компоненте поляризованности ( = ).
Выразим макроскопический дипольный электрический момент объёма ΔV через поверхностные и объёмные характеристики: Δ ( < 90 ð cos > 90 ð cos
> 0,
< 0,
> 0;
< 0).
ð
= Δ = Δ =
cos
, ч. т. д.
1. Электростатика — 1.6. Электрическое поле в диэлектриках
19
2. Объёмная плотность связанных зарядов ρ' Кл/м3 Покажем, что
= − ℙ⃗
Рассмотрим перенос связанных зарядов через площадку dS в воображаемой замкнутой поверхности S внутри диэлектрика. Условия: 1. Число положительных связанных зарядов, отрицательных и число молекул одно и то же. 2. — максимальное расстояние, на которое переносятся положительные связанные заряды; — максимальное расстояние, на которое переносятся «минусы». Таким образом, суммарный связанный заряд, пересекающий dS:
(
cos
=
=
,
cos + cos
=
cos
n — концентрация молекул в диэлектрике (количество в единице объёма), а также + и – в единице объёма. e — единичный заряд электрона) ( + )
=
cos
=
cos
= ⃗ ⃗
Таким образом, полный связанный заряд, переносимый через всю замкнутую поверхность dS: вых
=
По закону сохранения электрического заряда
( )
избыточн.в
(т. к.
Ч. т. д.
=
) ð ( )
ℙ⃗
=−
⃗ ⃗=
=−
( )
( )
вых
′
⃗
=
( )
ð
= − ℙ⃗
Геометрическая иллюстрация результата: Видим, что ∇ℙ⃗ и имеют разные знаки в источнике и стоке линий ℙ. Это качественно подтверждает нашу формулу.
20
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
Используя
= −∇ℙ⃗, покажем, что
≠ 0 в неоднородных полях и/или диэлектриках:
= − ℙ⃗ = −
æ
⃗ =−
æ+æ ⃗
(∇æ — характеристика неоднородности диэлектрика, ∇ ⃗ — характеристика неоднородности поля). Таким образом, объёмная плотность связанных зарядов
зависит от неоднородности диэлектрика и поля.
1.7. ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ (ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ) Необходимость новой векторной характеристики электростатического поля ⃗ связана с возникновением нескомпенсированных связанных зарядов в диэлектрике под действием внешнего поля. Покажем эту необходимость. Так как сторонние ( ) и связанные ( ′) заряды равноправно участвуют в создании электрических полей, то вместо ∇ ⃗ = в вакууме следует писать ∇ ⃗ = в диэлектрике.
Зависимость ( ) не позволяет решить основную задачу электростатики: по распределению зарядов найти E. Поэтому вводят новую величину ⃗, которая зависит только от сторонних зарядов и которую можно найти по распределению . Вводим ⃗ = ⃗( ) так: Используя
= −∇ℙ⃗, получим: ⃗=
− ∇ℙ⃗
ð ∇
⃗ + ℙ⃗ =
⃗=
ð
, где ⃗( ) =
⃗ + ℙ⃗
(∗)
⃗ — вектор смещения (зарядов) под действием внешнего поля, или вектор электростатической индукции.
Подставляя ℙ⃗ = æ где
=
⃗ в формулу (*), получим: =
⃗+æ
⃗=
(1 + æ) ⃗ =
,
+ æ — диэлектрическая проницаемость (безразмерная величина).
Её физический смысл:
(В вакууме D не нужно! — Sic!)
=
вак
диэл
> 1, т. к.
диэл
=
вак
−
<
вак
СВОЙСТВА ⃗
1) = ( ) — зависит только от сторонних зарядов, что упрощает решение основной задачи электростатики: по найти , → = . Без :
2)
вак
=
⃗ + ⃗ = ⃗, — требуется учёт и ′! диэл , т. к.
не зависит от ′. ð Физический смысл проницаемости ε:
в вакууме = 1, а в диэлектрике
диэл
=
, и =
диэл
> 1, — физический смысл.
1. Электростатика — 1.8. Электрическое поле на границе двух диэлектриков
ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ⃗: ( )
⃗ ⃗=
=
=
( )
21
∇⃗
( )
Поток вектора ⃗ через воображаемую гауссовскую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов. ∫(
= ∫( ) ∇
)
ð
ð т. Гаусса «грубо»:
∇ =
∙
=
суммарн
=
ð
суммарн
1.8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ 1. Для вычисления τ-составляющей E и D используется теорема Стокса вблизи границы раздела и безвихревой характер электростатического поля:
( )
⃗ ⃗=0
2. Для вычисления нормальных компонент E и D используем теорему Остроградского-Гаусса (или четвёртое уравнение Максвелла) и отсутствие электрических зарядов на границе.
1)
( )
( )
⃗ ⃗=
−
⃗ ⃗=
=0
+ 2 ℎ = 0 (при ℎ → 0)
Так как для областей 1 и 2 ⃗ направлены в разные стороны, то =
Тангенциальные (касательные) составляющие E непрерывно меняются на границе (без скачка). =
ð 2)
( )
⃗ ⃗=
=−
,
— +
испытывает скачок. + ℎ = 0 (при ℎ → 0)
— минус, так как
↑↓
. Проекция ⃗ на одно направление n даёт = , то есть нормальная компонента n на границе непрерывна. =
=
,—
En изменяется на границе скачком ð силовые линии D и E испытывают преломление.
22
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
1.9. СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ (Ферроэлектрики) Сегнетова соль (1920 г.)
∙4
0 и титанат бария
Свойства:
1) Нелинейность зависимости ℙ от E (ℙ( ) = и большая величина ℙ( ).
+
, а не ℙ = æ
)
2) Гистерезис ℙ( ) (отставание ℙ от изменения E).
Возврата на кривую первоначальной поляризации нет. Наличие гистерезиса — следствие неравновесности процессов поляризации в диэлектрике. А следствие гистерезиса — неоднозначная связь E и ℙ:
Одному E могут соответствовать разные ℙ в зависимости от предыстории образца.
3) Доменная структура сегнетоэлектриков. q Домен — область спонтанной поляризованности внутри диэлектрика с размером 10-3 см. Каждый домен поляризован до нас . Но направления ⃗нас доменов хаотичны, то есть общая поляризация равна нулю — это без внешнего поля. Спонтанная поляризация доменов происходит под действием квантовых сил обменного взаимодействия: при перекрытии электронных облаков соседних атомов. 4) Температура Кюри ( ), — выше этой температуры сегнетоэлектрик становится обычным диэлектриком (доменная структура рассыпается). −15
<
сегнет
< +22,5
5) Большая поляризация ℙ
.
сегнетоэлектриков во внешнем поле достигается в два этапа:
1. Домены с острым углом между ℙ⃗насыщ и ⃗ растут за счёт доменов с тупым углом. 2. Домены с острым углом доворачиваются по полю.
6) Все сегнетоэлектрики — пьезоэлектрики. Показатель оптического преломления
= ⁄
сегнетоэлектриков зависит от поля.
Сегнетоэлектрики используются в электрических конденсаторах большой ёмкости. (С~ )
1. Электростатика — 1.10. Проводники во внешнем электрическом поле
23
1.10. ПРОВОДНИКИ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Главная особенность проводников — большое количество подвижных носителей заряда — переносчиков тока (электроны, дырки и ионы). Для равновесия проводника в электрическом поле характерны две особенности: 1) поле внутри проводника
внутр
2) на поверхности проводника
= 0;
=
( ⊥ поверхности).
Таким образом, поверхность проводника — эквипотенциаль с = .
Доказательство «от противного». Пусть ≠ . Тогда вдоль поверхности действует сила , заряды находятся в движении и равновесие отсутствует, поверхность не эквипотенциальна. А по условию должно быть равновесие зарядов в проводнике, = . Поэтому = .
ЭЛЕКТРОЁМКОСТЬ ПРОВОДНИКА
q Электроёмкость проводника — это коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом на поверхности проводника: =
,
=
.
Потенциал поверхности — работа по перемещению +1 из бесконечности на поверхность. С возрастанием Q на поверхности эта работа увеличивается, то есть ~ , а коэффициент пропорциональности и есть электроёмкость. Электроёмкость измеряется зарядом, при котором φ изменяется на единицу. Единица электроёмкости — фарада: электроёмкость такого проводника, в котором потенциал меняется на 1 вольт при изменении заряда на 1 кулон. [ ]=
Кл = Фарада В
1 Фарада = 3 ∙ 10 СГС ∶ Электроёмкость шара: шара
=
4
ш
=
ð
1 СГС = 9 ∙ 10 300 шара
=
,
СГС = 9 ∙ 10 м = 1,5
з
∙ 10 .
~ .
В присутствии рядом других нейтральных проводников электроёмкость возрастает. Присутствие второго проводника уменьшает φ на первом (работу по доставке +1 из бесконечности на проводник). Иначе, при уменьшении φ, повышается электроёмкость: =
.
Два проводника (со сторонними зарядами + и –) образуют конденсатор. По форме проводника конденсаторы (накопители электрического поля) делятся на плоские, цилиндрические и сферические.
24
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ПЛОСКИЙ КОНДЕНСАТОР
Покажем, что Из
=−
=
пл
=
=
имеем
=
( ~ ) −
или
= ,
=
кость плоского конденсатора ( ~ −размер обкладки (проводника)).
=
= ,
где
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР
цил
=
~ — размер конденсатора.
2π — показатель аксиальной (цилиндрической) симметрии.
СФЕРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР
сфер ~
сферич
=
(размеру конденсатора).
−
4π — полный телесный угол при сферической симметрии.
=
, — ем-
1. Электростатика — 1.11. Энергия электрического поля
25
1.11. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА Разобьём поверхность проводника на N частей с зарядом Δ и подсчитаем энергию взаимодействия N зарядов Δ : =
пот
1 2
Δ
=
1 2
Δ
=
2
=
2
=
φ — потенциал всех частей, кроме одной, (N–1), в точке, где находится заряд этой одной части.
ЭНЕРГИЯ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА пот
Выразим
пот
1 = [+ 2
+ (− )
через параметры поля Е и ε. пот
=
2
=
]= ∙
∙( ∙
2
−
=
)=
2
=
2
=
2
=
2
Таким образом, объёмная плотность потенциальной энергии (одного м3) плоского конденсатора — это: =
пот
=
2
=
2
=
Носителем этой энергии является само поле, а не обкладки и не диэлектрик.
Покажем, что энергия поля диэлектрика, окружающего заряженный шар, равна энергии сферического конденсатора, одна обкладка которого перенесена в бесконечность, а другая имеет радиус R. Энергия шарового слоя пот
=
пот
=
2
4
4
=
∙
Полная энергия поля в диэлектрике пот
где
шара
=4
.
=
пот (
)=
4
∙2
=
4
∙2
=
2
=
,
26
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
1.12. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК q Постоянный электрический ток — это упорядоченное движение положительных зарядов в поле. а) Средняя сила тока (при = ≠ ( ), — стационарность тока зарядов) при постоянном потоке зарядов через данную поверхность, то есть заряд через в одну секунду:
= ( )=
б) Для нестационарного потока зарядов
=
.
=
, — это мгновенная сила тока.
=
,
в) Для неоднородного распределения потока зарядов (тока) в пространстве водится понятие q плотности тока (точечная характеристика потока зарядов при его неоднородности). или
=
( )
⃗ ⃗=
где ⃗ направлен по скорости движения положительных зарядов. [ ]=А=
,
( )
Кл 3 ∙ 10 СГС = = 3 ∙ 10 СГС . с 1
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА ⃗=−
,—
мощность источника ⃗ равна уменьшению плотности заряда нения заряда.
в данной точке. Это, фактически, закон сохра-
Получим эту формулу, рассмотрев перенос заряда в среде с непрерывным распределением заряда = ( , , ).
По закону сохранения заряда электрический ток через замкнутую поверхность S:
По определению
=
имеем:
= ( )
⃗ ⃗=
( )
⃗
=−
( )
=−
( )
⃗ ⃗=−
( , , , )
.
.
Производная по времени стала частной, так как под интегралом ρ зависит от четырёх переменных (x, y, z, t), а после интегрирования по объёму ρ зависит только от t. Так как V — произвольный объём, то равны и подынтегральные выражения. ⃗= −
, ч. т. д.
1. Электростатика — 1.13. Электродвижущая сила (ЭДС)
27
Свойство уравнения непрерывности даёт условие существования постоянного электрического тока: так как , то = 0, и ∇ ⃗ = 0, — нет источников и линии ⃗ замкнуты сами на ∮⃗ ⃗= себя. Проверим правильность уравнения непрерывности ∇ ⃗ = [ ]=
[ ⃗] =
методом размерностей:
=
∙
=
Совпадение размерностей слева и справа в уравнении непрерывности доказывает правильность уравнения.
1.13. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА (ЭДС) ЭДС (ℰ) — работа по перемещению заряда +1 в цепи.
Перенос (+) от (1) к (2) происходит за счёт электростатических сил ( ). Чтобы перенести +1 от (2) к (1), нужна сторонняя, неэлектростатическая сила (магнитная, электрохимическая). q ЭДС — это удельная работа сторонних (неэлектростатических) сил по переносу +1 заряда: ℰстор = =
(
)
стор
⃗стор ⃗ =
⃗ ⃗= ℰ
В общем случае на пути 121 (при действии сторонних и электростатических сил): = ( (
−
⃗эл
ст
) — электростатическая работа,
⃗+
⃗стор ⃗
= (
q Напряжение на участке 121 — удельная работа полной силы. =
−
+ ℰ ,—
— называется напряжением на неоднородном участке цепи.
— напряжение на однородном участке цепи.
)+ ℰ
— работа сторонних сил).
ℰ
=
−
=
−
,—
28
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
1.14. ПРАВИЛА КИРХГОФА (Для расчёта электрических цепей). 1. Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. q Узел — это такая точка цепи (точка ветвления), где имеется ≥ 3 токов (разветвлений):
В узле ∑
=0.
2. Алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС.
(т.к. ∑ Δ
=
ℰ
= 0, — по замкнутому контуру изменение потенциальной энергии равно нулю).
ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ПРАВИЛА КИРХГОФА 1) 2) 3) 4)
Выбор направлений токов (произвольно). Применение первого правила Кирхгофа. Выбор направлений обходов в замкнутых контурах цепи (произвольно). Применение второго правила Кирхгофа.
Если направление тока
совпадает с направлением обхода для элемента
, то
Если направление ℰ совпадает с направлением обхода, то ℰ > 0, и наоборот.
∙
> 0, и наоборот.
1. Электростатика — 1.15. Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
29
1.15. ЗАКОНЫ ОМА И ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ ЗАКОН ОМА Интегральная форма:
1/ — проводимость,
=
⁄ , где
, здесь
=
— удельное сопротивление. [ ] = Ом ∙ м
Дифференциальная форма: =
Здесь =
— плотность тока,
= ⇒
∙
1
=
=
∙
=
.
⇒
— удельная электропроводность. [ ] =
Ом∙м
=
См м
1См = 1 Сименс =
ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА Интегральная форма: =
=
,—
— работа тока идёт на повышение внутренней энергии проводника и работу над внешними телами.
Дифференциальная форма: = Поэтому удельная теплота:
=
( =
(
) ∙
∙
=
∙
=
=
)
∙
∙
Ом
30
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
1.16. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ДРУДЕ-ЛОРЕНЦА ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Валентные электроны атомов проводника становятся свободными и образуют идеальный газ Максвелла. Сталкиваясь с ионами решётки металла, электроны тормозятся, и устанавливается тепловое равновесие (термализация) между электронным газом и ионами решётки.
Средняя тепловая скорость электронов по Максвеллу: 〈 〉 =
8
=
8 · 1,38 · 10 · 300 м = 10 , где 3,14 · 0,9 · 10 с
=
Скорость направленного движения электронов в токе 〈 〉 находится из формулы =
〈 〉,
(n — концентрация атомов = концентрация электронов), и 〈 〉 =
〈 〉 = 10
А · м 1,6 · 10
При сложении (но не умножении!)
и
1 Кл · 10
м
.
.
= 10
м с
(для меди)
этим 〈 〉 можно пренебречь, 〈 〉 ≪ 〈 〉.
1. Электростатика — 1.16. Классическая теория электропроводности Друде-Лоренца
31
УСКОРЕНИЕ И СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛЕ Е
=
· ,
=
,
где
=
(+ )
— длина свободного пробега электрона,
— время между последовательными столкновениями с решёткой. Средняя скорость во время пробега :
〈 〉=
=
·
·
ПЛОТНОСТЬ ТОКА ПО МОДЕЛИ ДРУДЕ-ЛОРЕНЦА =
Таким образом,
〈 〉= =
=
2 ,
2
.
~ .
Физический смысл электропроводности: пропорциональна длине свободного пробега.
ПОЛУЧЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА ИЗ МОДЕЛИ ДРУДЕ-ЛОРЕНЦА Энергия, передаваемая одним электроном при одном столкновении с решёткой Δ =
2
=
2
=
1
т. к.
=
=
.
— число столкновений одного электрона с решёткой в одну секунду. Энергия, передаваемая электронами решётке в единице объёма за одну секунду уд
=
=
=
Δ =
× ×
=
2
=
,
ч. т. д.
ДВА ОГРАНИЧЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДРУДЕ-ЛОРЕНЦА (которые были устранены квантовой теорией твёрдого тела): 1. По теории Друде-Лоренца
~ ~√ , а в эксперименте
2. По теории Друде-Лоренца теплоёмкость
=
=
̄
+
~ .
решётки
>
реш диэл .
Из опыта
≈
диэл .
32
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
2. МАГНИТОСТАТИКА Магнитостатика изучает поле постоянных токов в вакууме и веществе. Главная характеристика этого поля — ⃗( , , ) — индукция магнитного поля.
Два главных уравнения магнитостатики: второе и третье уравнения Максвелла.
ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ⃗=
(Магнитное поле не имеет источников. Магнитных зарядов нет в природе)
ТРЕТЬЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ⃗ =
(Вихревой характер магнитного поля). Сравн. с электростатикой:
⃗
∇⃗=
∇⃗ =0
2.1. ДВА ГЛАВНЫХ ЗАКОНА МАГНИТОСТАТИКИ ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА (в дифференциальной форме): ⃗=
— магнитное поле вокруг элемента с током ⃗ =
В скалярной форме:
⃗ =
4
⃗⃗ ⃗. ·
· sin
,—
⃗⋀⃗
2. Магнитостатика — 2.1. Два главных закона магнитостатики
33
ЗАКОН АМПЕРА (В дифференциальной форме) ⃗ ⃗
⃗=
со стороны внешнего магнитного поля ⃗.
— сила, действующая на элемент с током
Коэффициент пропорциональности в законе Ампера отсутствует потому, что формула используется для нахождения размерности ⃗ = Тл.
СИНТЕЗ ДВУХ ЗАКОНОВ (БСЛ+А) (в опытном законе взаимодействия двух токов
и
на расстоянии :
взаимод я на ед.длины тока
=
·
).
С этого закона началось изучение магнетизма в 1820 г. (Эрстед, Ампер). вз ~
,
вз
=
В СИ ≠ 1, так как заданы единицы силы (Ньютон) и тока (Ампер). Для их согласования нужен . Эмпирически найденная связь единиц Ампера и Ньютона в законе взаимодействия даёт возможность определить коэффициент : Ампер в СИ — это сила такого тока, который воздействует на расстояН нии 1 метр на такой же ток с силой вз = 2 · 10 м.
— магнитная постоянная (аналог
).
=
2 · 10
·
= ,
Н = м
·
·
2 ∙ 1А · 1А 1А · 1А ∙ 2 = · 1м 4 1м Гн м
1 Генри (Гн) — единица индуктивности проводника с током, а индуктивность — это коэффициент пропорциональности между Ф и : (Сравн. с
=
⟷
Ф
= ; м
Ф =
⟷
=
Гн м
).
Ф =
.
34
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
Более того, связь
и
указывает на связь электрических и магнитных полей.
Продемонстрируем это двумя способами: качественно (по методу размерностей) и количественно. а) [
·
ед ~
]=
[ ]
=
[ ][ ] [ ]
А из закона Кулона [ ] = [ Таким образом,
.
[ ]
.
][ ]
[
б) количественная связь = 4 · 10
· 8,85 · 10
=4 ·
][ ] =
[ ] = . [ ] [ ]
10 1 1 = = (3 · 10 ) 4 · 9 · 10
( = 3 · 10 − скорость света)
Таким образом, электрические и магнитные явления глубоко взаимосвязаны.
ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА Вектор ⃗ магнитной индукции — основная характеристика магнитного поля. ⃗=
⃗⃗
4
или
=
sin( ⃗⋀ ⃗) ·
4
1
1) Пример-следствие закона БСЛ: вычисление магнитного поля прямого тока по методу ДИ (дифференцирования – интегрирования)
1 (Д) : 2: , =
⇒
·
→ , sin
3 (И): =
=
=
,
,
=
sin
4 =
4
0≤ sin
·
≤ ,
=
sin
sin
.
sin
· sin
=
4
=
4
1
(− cos )
sin
0
=2
4
(сравн. с электрическим полем бесконечной заряженной нити:
=
·
).
2. Магнитостатика — 2.1. Два главных закона магнитостатики 2) Магнитное поле движущегося заряда В формуле закона Био-Савара-Лапласа заменяем Действительно, по размерности и [
]=
=[
Таким образом,
· ]=[
и
( ) на
— токи.
.
].
,
=
[ ⃗ ⃗]
4
— частный случай закона Био-Савара-Лапласа для с ⃗.
ЗАКОН АМПЕРА
⃗=
⃗ ⃗ .—
— Определяет силу, с которой внешнее поле ⃗ действует на элемент с током ⃗.
В скалярной форме:
⃗ =
=
1) Первое следствие — взаимодействие прямых токов:
По закону Био-Савара-Лапласа По закону Ампера сила, с которой
Аналогично для
=
·
=
sin( ⃗⋀ ⃗)
·
=
действует на :
,
— однонаправленные токи притягиваются.
=
=
4
·
2
35
36
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
2) Второе следствие — Сила Лоренца, — сила, с которой внешнее поле ⃗ действует на движущийся заряд.
Заменяя [
]→[
], имеем
⃗Лор =
⃗⃗
Именно выражение силы Лоренца, как частный случай закона Ампера, позволяет определить единицу измерения ⃗ = 1 Тесла, — это индукция такого поля, при котором = 1 Н действует на заряд = 1 Кл при скорости его = 1 м⁄c .
2.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОНТУРА С ТОКОМ (Поле магнитного диполя ⃗ =
При ≫
имеем
Для точки ( )= (Ср. ( ) = Для точки
эф
=
при ≫ : ·
·
эф
·
=
· √3 cos
при ≫ : ( )=
·
+ + 1)
эф
=
⃗)
2. Магнитостатика — 2.2. Магнитное поле контура с током Для точки
Для точки
при ≅ : при
эф
( )=
= :
=
4
·
2
4
·
2 +
(
,
)
=
/
=
37
,
·
⇒
эф
=
МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТ, ДЕЙСТВУЮЩИЙ НА КОНТУР
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
По закону Ампера
Момент пары сил:
,
=
sin ,
=
,
·Δ =
Учитывая векторность ⃗ , ⃗ и ⃗, имеем: ⃗= ⃗⃗
,
sin
⃗=
=
,
т. к. sin
(Δ — плечо пары)
·Δ = ⃗⃗
( )
=
⃗⃗
— вращающий момент, действующий на контур ⃗ со стороны ⃗. (Ср.
=
⃗ ⃗ в электростатике).
= sin ( − )
=
⃗ ⃗ =
⃗ ⃗
,—
38
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ КОНТУРА Работа по повороту контура на угол
(Ср.
=
⟷
=
=
пот
=
=
· ·
=
совершается за счёт «потенциальной энергии» в поле ⃗:
∈ 0; пот
(Ср. с эл/ст.:
:
)
Эта работа поворота на угол
В ПОЛЕ
=
sin
=−
cos
= − ⃗ ⃗)
0
2
=− ⃗⃗
РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ По методу размерностей качественно «отгадаем» результат:
(
=
[ ]=[
)
пот ]
=[
· ]=
·Ф⃗
Логическим следствием из метода размерностей будет формула =
Ф
−Ф
=
Ф
Докажем этот качественный результат: ⃗ — скорость положительных зарядов. =
Что и требовалось доказать.
Амп Δ
=
Δ , =
Δ = Δ = ΔФ ,
Ф .
2. Магнитостатика — 2.3. Дивергенция и ротор магнитного поля
39
2.3. ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР МАГНИТНОГО ПОЛЯ В природе не существует магнитных зарядов (источников ⃗), поэтому ( )
⃗
⃗=0
(т.О.–Г.)
=
( )
∇⃗
→
⃗=
(Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме)
РОТОР (ВИХРЬ) МАГНИТНОГО ПОЛЯ
=
( )
⃗ ⃗= =
⇒
=
( )
cos
( )
=
⃗ ⃗=
2
4
·
2 =
=
( )
2 = 2
Обобщая на произвольное число дискретных токов внутри :
( )
⃗ ⃗=
,—
— теорема о полном токе (теорема о циркуляции ⃗). Если токи тура, то циркуляция равна нулю. = ∫ ⃗ ⃗ = 0,
т. к.
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ
~
=+
( )
−
находятся вне кон-
=0
Для непрерывного распределения токов внутри .
Так как по теореме Стокса ∮(
( )
)
⃗ ⃗ = ∫ rot ( )
( )
⃗ ⃗=
( )
⃗ ⃗=
rot ⃗
⃗, то ⃗
( )
⇒
⃗ ⃗
⃗=
⃗ =
⃗
— дифференциальная форма теоремы о циркуляции и третье уравнение Максвелла для магнитостатики. Таким образом, второе и третье уравнения Максвелла в дифференциальной форме для магнитостатики:
Cр.
⃗= ⁄ ⃗ =0
⃗= ⃗ =
⃗
40
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ЦИРКУЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ (аналог теоремы Гаусса для электростатики) Задача: найти ( ) для тока c радиусом 2
=
⃗=
⃗
( )
=
=
4
2
=
≥ .
=
=
2
Этапы применения теоремы о циркуляции
1. Выбор (ГМТ с 2. Вычисление 3. Вычисление ∑ 4. Нахождение
=
= ∮(
) )
⃗ ⃗=
внутри L.
∮(
)
из теоремы о циркуляции.
2.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. НАМАГНИЧИВАНИЕ Все вещества магнетики, намагничиваются в той или иной степени во внешнем поле. Ампер в 1820 г. выяснил природу намагничивания веществ: собственные магнитные моменты атомов ориентируются по или против поля. Количественная мера намагничивания — намагниченность. (Магнитный момент 1 объёма, возникающий во внешнем магнитном поле).
∑ Ср. ⃗ =
⃗=
⃗
∑ Δ
В неоднородных полях (магнетиках) ⃗ = ( ) — неоднородная функция, и — точечная характеристика вещества. Δ — физически малый объём — малый настолько, что описывает окрестность точки, но настолько большой, чтобы включать достаточное число атомов. В результате намагниченность создаёт магнитное поле ′ (аналог ′) внутри магнетика. То есть ⃗ = ⃗ + ⃗ , ∇ ⃗ = ∇ ⃗ + ∇ ⃗ ,
∇⃗ = ∇ ⃗ + ∇ ⃗.
2. Магнитостатика — 2.4. Магнитное поле в веществе. Намагничивание Так как ∇ ⃗ =
41
⃗ ( ⃗— плотность макротоков), то и
∇ ⃗′ = ⃗мол ( ⃗мол — плотность молекулярных микротоков).
Чтобы «разобраться» с ⃗мол , рассмотрим суммарный молекулярный ток, пересекающий некоторую незамкнутую поверхность S в намагниченном магнетике, т.е. найдём ,мол . Из всех мол только молекулярные токи, нанизанные на , будут давать вклад в мол , так как остальные токи мол будут пересекать дважды и не дадут вклада в мол . Подсчитаем молекулярные токи, нанизанные на ( ) (сначала подсчитаем нанизанные на ). Суммарный
мол
ток, нанизанный на мол
=
мол
Δ
:
— число атомов в 1 м3, Δ cos , мол Δ = мол , нанизанными на ный диполь. ⇒
cos , где
= , объём цилиндра с , элементарный магнит-
мол мол
С другой стороны,
=
=
( )
мол
мол
( )
(Ср.
= −∇ℙ⃗ в электростатике)
cos =
( )
=
( )
⃗=
⃗мол ⇒
мол
cos( ; ) = ⃗ ⃗,
=
=
⃗ ⃗=
⃗
( )
⃗мол ⃗
rot ⃗
( )
⃗ .
Таким образом,
⃗ =
⃗+
⃗
или
⃗
− ⃗
= ⃗.
Вводят ⃗ = ⃗ − ⃗ — напряжённость магнитного поля, и ∇ ⃗ = ⃗. ⃗ связана только с макротоками (в проводах) (аналог = ( ), которое зависит только от сторонних зарядов). Таким образом, основная задача магнитостатики (по токам находить магнитное поле) в веществе (магнетике) решается так: → → .
СВЯЗЬ ХАРАКТЕРИСТИК МАГНИТНОГО ПОЛЯ
— восприимчивость магнетика.
=
И
, где
42
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». ⃗( ) = (1 + ) ⃗ =
⃗
⃗ ⇒
— магнитная проницаемость. По величинам
= 1+
− ⃗
и
⃗=
⃗
,
различают диа-, пара- и ферромагнетики.
ДИАМАГНЕТИЗМ q Диамагнетики — вещества с атомами без собственного магнитного момента : стекло, вода, медь, бензол, кварц и др. В диамагнетиках ⃗ ↑↓ ⃗. Это слабая намагниченность против поля: ≤0 и
и
мол :
где
=1+
≤ 1,
безразмерные. Для удобства вводят
мол
=
мол
·
мол
= 10
÷ 10
м , моль
— объём одного моля магнетика.
и — магнитный и механический спиновые моменты электрона в атоме магнетика, — орбитальный магнитный ⃗ момент, — механический орбитальный момент электрона. Их отношение называется гиромагнитным отношением: =−
,—
— минус отражает противоположную направленность ⃗ и ⃗.
Главным результатом намагничивания является прецессия, т. е. вращение электронной орбиты вокруг поля ⃗. ′ — диамагнитный момент прецессионного движения электрона. Частота прецессии:
=
— частота Лармора, не зависит от и , одинакова для всех электронов атома.
2. Магнитостатика — 2.4. Магнитное поле в веществе. Намагничивание
43
Получим эту формулу. Причина прецессии — действие механического вращательного момента ⃗ = величины ⃗: Из рисунка
=
sin
⇒
⇒
⃗ ⃗ : он даёт изменение
⃗= ⃗
=
sin
⇒
=
=
sin
=
=
=
̄ 2
sin sin
=
,
⇒
ч. т. д.
Теперь поясним появление диамагнитного момента ⃗ ↑↓ ⃗. «Заморозив» движение электрона по орбите с радиусом , получим только прецессионное движение электрона по орбите с , и ′. Отсюда =
=
=
2
м,ат
=
где — число электронов в атоме магнетика,
мол
=
мол
=
·
м ат
=
〈
, где 〈
6
〉=
= 10
6
м,
( )〉
〈 〉 ,
⁄
=
.
〈 〉 = 3,6 · 10 · 10
6
=
2 . 3
= 10
÷ 10
м моль
Полученный результат соответствует эксперименту, поэтому наша модель диамагнетизма правильна.
ПАРАМАГНЕТИЗМ q Парамагнетики — вещества, атомы которых обладают собственным моментом
м,ат
без внешнего поля.
Во внешнем поле атомные магнитные моменты ориентируются по полю . Повышение температуры разрушает эту упорядоченность по полю, хаотизируя направление м,ат. Таким образом, для парамагнетиков ность по полю. , ,
,
,
,
> 0,
> 1,
мол
= 10
, — парамагнетики.
Классическая теория парамагнетизма Ланжевена содержит такие этапы: 1. Вероятность одному атомному магнитному моменту иметь угол с направлением ⃗: ( ≠ 0) =
4
пот
,
где пот — энергия м,ат в поле , Ω — телесный угол между конусами с углами и + (рис.), — вероятность атомному моменту попасть между двумя конусами.
÷ 10
м
моль
, — слабая намагничен-
44
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». ⃗ ⋀ ⃗
2. Число атомов с углом
=
(
)
· , где
— плотность атомов парамагнетика.
3. Намагниченность ⃗ парамагнетика по полю
cos — вклад одного атома в ℐ⃗).
( .
=
ℐ
=
·
= 10
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
÷ 10
м
моль
=
cos
=
3
⇒ модель правильна.
Это сильное намагничивание по ⃗. ,
,
≫ 0, мол
Fe:
,
= 10
, пермаллой, алнико и др., — ферромагнетики.
=1+ м моль
= 5000,
= ( )
≫ 1,
коэрц
А
= 80 м; пермаллой:
≅ 10 ,
коэрц
А
= 0,3 м; алнико:
коэрц
А
= 53000 м.
СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ 1) Нелинейность ( )= ( )
( )
(Кривые первоначального намагничивания) 2) Гистерезис зависимости ( ) и ( )
Следствие гистерезиса: ⇎ , зависит от предыстории; неравновесность процессов внутри ферромагнетика.
Жёсткие ферромагнетики — с большой коэрц , то есть с широким листком гистерезиса. Используются в постоянных магнитах. Мягкие ферромагнетики — используются в катушках индуктивности.
2. Магнитостатика — 2.4. Магнитное поле в веществе. Намагничивание
45
3) Температура Кюри: выше её ферромагнетик теряет свои свойства и становится парамагнетиком. =
Кюри
−
Кюри
4) Природа ферромагнетизма связана с собственными, спиновыми электронов. Это отличает ферромагнетики от диа- и парамагнетиков.
, а не орбитальными
моментами
образуют доменную структуру ферромагнетика. q Домен — область спонтанной намагниченности с =
насыщ .
Образование доменов — результат квантового взаимодействия электронов соседних атомов (перекрывание их электронных оболочек). Без поля суммарная намагниченность ферромагнетика равна нулю, так как направления насыщ случайны. Два этапа намагничивания во внешнем поле: 1) Рост доменов с острым углом ( ⃗нас
⋀ ⃗ ) за счёт доменов с тупым углом.
2) Домены с острым углом доворачиваются по полю.
Зависимость
Асимптота
от : =
,
к 1 объясняется так:
~ = 1+
=1+
нас
→ 1 при
→∞
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТОКИ ⃗= При
⃗ =
⃗⊥ ⃗ =
=
мол
·
⃗ = ⃗× ⃗ =
2
=
2
· ⃗
=
2
В молекулярных токах отношение =
2
=−
2
— мировая константа — гиромагнитное отношение. Минус означает, что ⃗ и ⃗ на одной оси и направлены в разные стороны.
46
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
МАГНИТОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ СВЯЗЬ
И
1) Опыт Эйнштейна — де Гааса: Намагничивание образца приводит к появлению у него вращательного момента:
→
.
Experimental Design: намагничивание ферромагнетика проводилось переменным магнитным полем (переменным током) с частотой собственных колебаний стержня (для резонанса, чтобы увеличить амплитуду вынужденных колебаний).
2) Опыт Барнетта (
):
→
Намагниченность образца появляется при его быстром вращении. При вращении диска оси волчков на нём выстраиваются по оси вращения. Так же по оси вращения выстраиваются «гироскопы» (волчки) атомов. Поэтому и возникает намагниченность по оси вращения.
Опыты 1 и 2 дали неожиданную величину для гиромагнитного отношения, в два раза боθльшуюожидаемой. Объяснение: В опытах проявлялось не орбитальное, а собственное, внутреннее (спиновое) движение электрона. =−
Микроскопические молекулярные магнитные моменты измеряются в единицах магнетон Бора.
ħ — постоянная Планка, ħ = 1,05 · 10 ℎ =
=ħ
Б
— фотон, квант энергии. =2
,
=
2
ħ
= 0,927 · 10
Дж/Тл
Дж · с, Дж · с — «действие».
ℎ=2 ħ
3) Опыт Штерна-Герлаха (измерение ⃗ атомов)
⃗ м.ат складывается (геометрически) из орбитальных магнитных моментов всех электронов атома, собственных спиновых моментов и магнитных моментов ядра атома. ⃗=
м.ат
орб
+
+
м.яд.
— пренебрегаем по малости
2. Магнитостатика — 2.4. Магнитное поле в веществе. Намагничивание
На
⃗ в поле ⃗ действует сила
м.ат
⃗=−
пот
⃗
=
м.ат пот
⃗
⃗
=−
cos
⃗ ⃗
м.ат
47
⃗ ⋀ ⃗ , т. к.
м
Ожидалось, что пучок должен давать размытую картину на экране, так как для каждого атома в пучке свой ⃗⋀ ⃗ . угол м
Однако наблюдалось чёткое разделение пучка на дискретные подпучки. Число расщеплений было разное для каждого химического элемента (наблюдалось и отсутствие расщепления).
Объяснение эксперимента (квантово-механическое): В квантовой механике величины энергии, импульса и момента импульса квантуются (становятся дискретными). Квантуются также и направления механического момента ⃗ в пространстве: разрешёнными оказываются лишь некоторые направления ⃗, остальные запрещены.
⃗ ⋀ ⃗ может быть только дискретным, что и объясняет расщепление пучка на
Это означает, что cos
м
подпучки.
По числу расщеплений находят механический момент атома:
— число расщеплений (число подпучков). А потом по
находят
.
=ħ
( + 1)
48
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 3.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ q Электромагнитная индукция — возникновение тока (ЭДС) в замкнутом контуре при изменении потока ( ) силовых линий через контур. ℰ =−
Способ изменения Ф ⃗ не имеет значения.
Ф⃗
Знак «минус» соответствует правилу Ленца, является выражением общего закона естествознания ЛеШателье—Брауна: любая система противится внешнему воздействию, проявляя инерционность. В данном случае: I контур — индуктор
II контур — реципиент
Увеличение (сближение контуров I и II) приводит к появлению тока , ослабляющего магнитный поток из первого контура. Аналогично, уменьшение
(раздвижение I и II) вызывает ток
, который «стремится поддержать» .
Единица измерения потока Ф ⃗ = Тл · м = Вебер = Вб, — индукция
в 1 Тл через контур 1 м .
q Самоиндукция — это возникновение ЭДС в контуре при изменении тока в нём же. Закону Био-Савара-Лапласа соответствует пропорциональность ~ . ⇒ Ф ⃗ = Ф⃗=
,
~ ,⇒
где — индуктивность проводника, зависящая от размеров, формы проводника и от магнетика внутри контура ( ). Таким образом, — коэффициент пропорциональности между Ф ⃗ и . (Ср. = )
Единица измерения индуктивности [ ] = Генри = Гн, — индуктивность такого контура, в котором ток 1 А даёт Ф ⃗ = 1 Вб. С помощью удаётся получить важные выражения для ЭДС самоиндукции. =−
Ф⃗
=−
( )
=−
, при
=
3. Электромагнитное поле — 3.1. Электромагнитная индукция
49
СОЛЕНОИД q Соленоид — проводник с током, намотанный на цилиндрический каркас. =
=
,
( — линейная плотность тока = ток кольца шириной 1 м, —полное число витков)
СВОЙСТВА МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В СОЛЕНОИДЕ
1) Линии ⃗ параллельны оси соленоида.
2) Внутри соленоида поле ⃗ однородно и конечно (в каждой точке одно и то же ⃗), внутр
(без магнетика). Покажем это.
=
Для контура по теореме о циркуляции ⃗ имеем:
2 ℎ → 0,
Таким образом,
⇒
внутр
=
т. к.
, так как
⇐
=
⊥ ℎ, и ∫(
)
+
внеш
внеш
⃗внутр + ⃗внешн + 2 ℎ
⃗ ⃗ = ⃗ℎ⃗ = 0.
=
= 0, потому что по условию
замкнутости магнитного потока Ф =
3)
( )
⃗ ⃗⇒
=
=0
→ →
, и при
⇒
ИНДУКТИВНОСТЬ СОЛЕНОИДА Получим формулу для индуктивности соленоида сол
Полный магнитный поток в соленоиде ⃗
Отсюда
=
сол
→
[
]=
= [ ] []
Ф⃗ = =
Гн м
,
⇒
·
сол
·
=
= =
. ·
=
·
=
— это объясняет единицу
· .
50
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ НА ОСИ ТОРОИДА
Предварительно рассмотрим изменение
и
на границе двух магнетиков (ср.
Применяя теорему о циркуляции =
( )
,—
на границе
и
).
по
= 0 (на границе нет токов)
при ℎ → 0 (на границе) получим =
и
непрерывна,
=
,—
меняется скачком.
Применяя теорему Остроградского-Гаусса при ℎ → 0
получим
=0,
( )
, — непрерывность
=
=
, — и разрывность
на границе:
Вернёмся к магнитному полю на оси тороида. Задача: Найти ( ) в воздушном промежутке тороида, если ток в обмотке . Применяя теорему о циркуляции по контуру с диаметром ср , получим
где
ж
=
ж
=
=
ж ж (в
=
( )
Так как
= , — то есть
= где
магн
=
ж ж
+
— магнитодвижущая сила, а
чения тороида.
ж
=
ж
,
,
и
а
=
,
непрерывна на границе и одинакова в железе и в воздухе, — то
+
ж
(в промежутке) =
железе) +
= , магн
=
иначе говоря,
=
ж
ж
+
Таким образом, видим аналогию с законом Ома ( = ℰ/ ).
ж
ж
+
.
Фмагн =
магн магн
,
— магнитосопротивление, — площадь се-
3. Электромагнитное поле — 3.2. Экстратоки замыкания и размыкания в RL-цепях
3.2. ЭКСТРАТОКИ ЗАМЫКАНИЯ И РАЗМЫКАНИЯ В RL-ЦЕПЯХ (Токи переходных процессов)
R
ЭКСТРАТОК РАЗМЫКАНИЯ Начальные условия:
После
=
1 → 2 по второму правилу Кирхгофа (∑
ℰ
при = 0.
= ∑ ℰ):
=ℰ =−
,
— линейное дифференциальное уравнение первого порядка, однородное (нет членов без )
=−
⇒
⇒
= / — постоянная
=
=
-цепи.
+
−
= 0,
=
⇒
ln
=−
.
,
ЭКСТРАТОК ЗАМЫКАНИЯ При
2→1
Начальные условия:
Канонический вид:
=0
при
= 0.
=ℰ+ℰ = − +
=
ℰ
,
— линейное дифференциальное уравнение первого порядка, неоднородное (есть свободный член).
51
52
(
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». ⇒
=
— частное решение неоднородного уравнения,
+
·
·
— решение однородного уравнения).
Наличие постоянной вместо в общем решении однородного уравнения связано с разными начальными условиями замыкания и размыкания -цепи: При замыкании = 0 при = 0.
При размыкании = ℰ/
при = 0.
Частное решение неоднородного уравнения: кой в неоднородное уравнение. Теперь надо найти При = 0 имеем = 0, и
по начальным условиям.
= ℰ⁄ , — проверяется подстанов-
=− .
Таким образом, решение неоднородного уравнения будет выглядеть так: =
−
=
−
Сочетание экстратоков замыкания и размыкания объясняет искажение прямоугольного импульса тока, проходящего через -цепь.
Условие наименьшего искажения импульса:
должно быть малым! =
≪
3. Электромагнитное поле — 3.3. Работа ЭДС самоиндукции при размыкании/замыкании
3.3. РАБОТА ЭДС САМОИНДУКЦИИ ПРИ РАЗМЫКАНИИ/ЗАМЫКАНИИ
-цепи
53
-ЦЕПИ
(Энергия магнитного поля). При размыкании
1 → 2 работа ℰ по перемещению заряда =ℰ
Полная работа
=−
⃗
т. к.
:
разм
⃗
=
=−
=
Ф⃗ =
=−
равна
=
=− ( сол
=
2
)=−
.
=
,
зам
Это работа магнитного поля по созданию остаточного тока размыкания и, одновременно, работа по созданию магнитного поля при замыкании -цепи (то есть работа ℰ против ℰ ). Вместо и введём характеристики магнитного поля: =
=
Удельная энергия магнитного поля в соленоиде ( = Ср.
=
=
соленоида
=
= ): 2
=
=
,а
.
=
∶
=
2
РАБОТА ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКА 1) При замыкании соленоида без ферромагнетика работа внешней ЭДС ℰ против ЭДС самоиндукции ℰ идёт на создание магнитного поля. 2) С ферромагнетиком работа внешней ЭДС больше энергии магнитного поля соленоида на величину внутренней энергии ферромагнетика. 1) Без ферромагнетика работа ℰ над зарядом где
— работа
=
,
=
,
=ℰ
= Ф, ⇒
равна энергии магнитного поля.
при размыкании:
=
=− /
=−
=− ·
=
, ,
Действительно, без ферромагнетика существует однозначное соответствие полная работа
разм
Таким образом,
=
.
=
−
=
2
=
↔
и
=
, так что
54
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
2) С ферромагнетиком внутри соленоида ≠
(однозначного соответствия
↔
нет).
Полная работа перемагничивания ферромагнетика в соленоиде при круговом процессе 121 пропорциональна полной площади листка гистерезиса : = где
=
(
)
=
(
)
=
,
— объём ферромагнетика.
В то же время энергия магнитного поля (это функция состояния) равна нулю при совершении цикла перемагничивания 121, так как мы возвращаемся в то же состояние 1. То есть работа перемагничивания ферромагнетика в цикле 121 равна изменению его внутренней энергии (его нагреванию). Работа внешней ЭДС по созданию магнитного поля равна работе ℰ при экстратоке размыкания.
3.4. ВЗАИМОИНДУКЦИЯ
q Взаимоиндукция — это возникновение ЭДС в одном контуре при изменении тока в другом. =
,
где — коэффициент взаимной индукции первого контура на второй. ℰ
Аналогично
=−
=ℰ
=
при ,
, где
ℰ
= 1.
=−
— коэффициент взаимной второго контура на первый. Без соединяющего ферромагнетика =
, где
=
Если (1) и (2) соединяются ферромагнетиком и
≠
, то
— объём обмотки.
≠
.
,
индукции
3. Электромагнитное поле — 3.5. Уравнения Максвелла
55
3.5. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА (Закон электромагнитной индукции) Ф⃗
ℰ =−
=−
меняем порядок интегрирования и дифференцирования:
Интеграл ∫(
⃗( , , , )
=−
)
( )
⃗ ⃗= ⃗
⃗=−
⃗.
⃗ ⃗ не зависит от , , , а только от , а ⃗ под интегралом ∫
⃗
Поэтому под интегралом производная частная.
⃗ зависит от , , , .
По определению ЭДС ℰ =
( )
⃗ ⃗
т.Стокса
=
( )
∇⃗
⃗.
Таким образом, после сравнения двух выражений для ℰ имеем: Так как ⃗ = ⃗стор + ⃗эл/ст , и уравнение электростатики), то
∇ ⃗ =−
⃗
.
⃗эл/ст = 0, — электростатические силы консервативны (основное ⃗ =
⃗стор = −
⃗
,—
— первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (переменное магнитное поле вызывает электрическое).
ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ⃗ = ,—
— безысточниковость магнитного поля (магнитные заряды отсутствуют в природе).
ТРЕТЬЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА Из теоремы о полном токе? или теоремы о циркуляции в магнитостатике ⃗ = ⃗,
или
⃗ =
⃗.
Справедливость этой теоремы проверяется применением оператора ∇ к левой и правой частям: ∇ ∇ ⃗ = ∇⃗ .
∇ ∇ ⃗ обращается в ноль, так как смешанное произведение трёх векторов, два из которых одинаковы, равно нулю: ⃗ ⃗ ⃗ — объём параллелепипеда, ⃗ [ ⃗ ⃗ ] = 0.
56
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
∇ ⃗ обращается в ноль по уравнению непрерывности (для постоянных токов ∇⃗ = −
→ 0.
=
):
В случае переменных токов и полей правая часть теоремы о циркуляции не равна нулю ( ≠ часть равна, следовательно теорема о полном токе в этой форме в данном случае не работает.
), а левая
Эту математическую трудность преодолел Максвелл, записав уравнение в виде:
и предписал такую связь и
∇ ⃗ = ⃗ + ⃗смещения
смещ:
( ⃗ — ток проводимости),
∇ ⃗ = −∇ ⃗смещ .
Проверяя справедливость теоремы о полном токе прежним способом и для переменных токов, имеем: 0 ⇐ ∇ ∇ ⃗ = ∇ ⃗ + ∇ ⃗смещ ⇒ 0 .
Физический смысл ⃗смещ:
Уравнение непрерывности ∇ ⃗ = − можно записать так:
, где
∇⃗ = −
= ∇ ⃗,
∇ ⃗ = −∇
⃗ = −∇ ⃗смещ ,
∇ ⃗ = −∇ ⃗смещ .
т. к.
Таким образом, ⃗смещ — переменное во времени электрическое поле = Таким образом, третье уравнение Максвелла будет
∇ ⃗ = ⃗+
⃗
⃗⁄ .
,—
— переменное во времени электрическое поле вызывает магнитное поле. (Ср. с первым уравнением). Добавление к физическому смыслу
смещ :
Сопротивление реактивных элементов
Для конденсатора мы имели
=
1
и
и
= , поэтому
⃗смещ =
цепи переменного тока: =
= ̇ = ̇=
. = ⃗.
Это означает, что ток смещения замыкает ток проводимости в цепи переменного тока.
3. Электромагнитное поле — 3.5. Уравнения Максвелла дифференциальная форма 1
∇⃗ =− ∇⃗=0
2
3
∇ ⃗ = ⃗+
операция
⃗
( )
∇⃗
+ Т. О. – Г.
( )
⃗
интегральная форма
+ Т. Стокса
( )
( )
+ Т. О. – Г.
( )
=
( )
+ Т. Стокса
( )
∇⃗=
4
57
∇⃗
⃗ ⃗= ( )
( )
⃗ ⃗=− =
( )
( )
⃗ ⃗=0
⃗ ⃗+
⃗ ⃗=
( )
⃗ ⃗
( )
⃗ ⃗
( )
В системе четырёх уравнений Максвелла имеем на двенадцать переменных восемь скалярных уравнений ⃗, ⃗ , ⃗ , ⃗ × , , : 1 уравнение → 3 скалярных , , проекции 3 уравнение → 3 скалярных , , проекции →8 2 уравнение → 1 скаляр 4 уравнение → 1 скаляр
Этого мало. Недостающие уравнения — известные уравнения связи: 1) 2)
3)
=
⃗=
⃗=
⃗ ⃗
⃗=
→
⃗.
→
⃗
=
⃗
⃗
=
⃗
∇⃗=
и
∇⃗=
и
∇ ⃗.
∇ ⃗.
С помощью этих уравнений связи можно записать систему четырёх уравнений Максвелла только для двух переменных ⃗ и ⃗ (для среды с ⃗ = 0 и = 0, — вакуум): 1)
2)
∇⃗ =−
⃗
⎫ ⎪ ⎪
∇⃗=0 ⃗ ⎬ ∇⃗ = ⎪ ⎪ ∇⃗=0 ⎭
3)
4)
Получим волновые уравнения для ⃗ и ⃗ , применив операцию [∇ слева к первому и третьему уравнению:
∇ ∇⃗
∇ ∇⃗ =−
∇
⃗
∇⃗ =−
=−
раскрываем по правилу «бац-минус-цаб»:
∇ ∇ ⃗ = ∇ ∇ ⃗ − ∇ ⃗ = −Δ ⃗ = −
Δ — оператор Лапласа (лапласиан), Δ = ∇ =
+
+
, а ∇ ⃗ = 0, т.к.
.
, где
= 0.
58
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». ⃗=
где Так как в вакууме
= 1,
= 1, то
1 =
=
⃗
·
1
=
, — волновое уравнение, =
1
, и
√
=
1
.
= 3 ∙ 10 м с , —
— скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Таким образом, волновое уравнение для ⃗ в вакууме: ⃗=
·
.
⃗=
·
.
Аналогично из третьего уравнения Максвелла при ⃗ = 0 получим Независимость волновых уравнений для ⃗ и ⃗ — кажущаяся, так как в уравнениях (1) и (3) Максвелла связаны.
и
Таким образом, два волновых уравнения для ⃗ и ⃗ соответствуют распространению электромагнитной волны, а уравнения Максвелла соединяют в себе электричество, магнетизм и волновую оптику.
3.6. СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 1) Электромагнитная волна — поперечная волна: колебания ⃗ и ⃗ происходят перпендикулярно направлению электромагнитной волны ⃗. Для волны, идущей вдоль , существуют лишь такие пары величин:
−
и
−
.
3. Электромагнитное поле — 3.6. Свойства электромагнитной волны 2)
=
=
cos
( ⃗ — волновое число, ⃗ =
− ⃗⃗ ,
=
)
В непроводящих средах колебания баниями существует сдвиг по фазе.
и
=
− ⃗⃗
cos
синфазны (max
59
⟷ max ), а в проводящих средах между коле-
3) Соотношения между амплитудными значениями ⃗ и ⃗ и между их мгновенными значениями в непроводящих средах одинаковы, то есть = В вакууме =
= 1, поэтому
=
4) Энергия электромагнитной волны: =
2
— объёмная плотность энергии. Действительно,
Так как в вакууме
=
=
, то =
=
.
=
= const.
+
1 2 +
=
2 +
1 2
,
1 2
,—
1 2
. =
1
,
Плотность потока электромагнитной энергии (через 1 м в 1 секунду) ·с·
=
ч. т. д.
= П⃗ , где
П⃗ — вектор Пойнтинга-Умова, вектор плотности потока электромагнитной энергии. С учётом направлений ⃗ , ⃗ , П⃗:
П⃗ =
⃗ ⃗
Интенсивность электромагнитного излучения:
= 〈 ⃗ ⃗ 〉 = 〈 П⃗ 〉(средн. по времени) = =
cos
для оптических сред
·√ · − ⃗⃗ 〉 =
1 и 2
~
− ⃗⃗ ,
=
= / =√
( → 1) = √ — показатель преломления среды.
cos
− ⃗ ⃗ . 〈cos
=
Это соотношение связывает оптические ( ) и электрические ( ) свойства вещества.
, т. к. =
;
60
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
4. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА q Свет — сложное явление, имеющее двойную природу: волновую (при распространении) и корпускулярную (при взаимодействии света с веществом). Оптический диапазон электромагнитных волн:
= , — длина волны света,
=
2
, — частота волны.
Основные характеристики оптической среды (в которой распространяется свет) — прозрачная (диэлектрик), изотропная, однородная, с количественной характеристикой =
> 1,
где
Аномальная дисперсия,
=
√
⁄
, — скорость света в среде, и
= √ в оптических средах с
> 0, наблюдается в средах с поглощением:
= 1.
4. Волновая оптика — 3.6. Свойства электромагнитной волны
61
ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
— следствия прямолинейного распространения оптических пучков в однородной среде и изменения на границе двух сред.
и
Закон отражения: луч падающий, отражённый и перпендикуляр к отражающей поверхности в точке падения лежат в одной плоскости, и угол падения равен углу отражения.
Закон преломления (закон Снелла): луч падающий, преломленный и перпендикуляр к границе раздела лежат в одной плоскости и между углами и существует соотношение: =
Или:
=
=
sin sin
=
— относительный показатель преломления второй среды относительно первой.
Следствия: 1) При
<
имеем
>
, — преломлённый луч «прижимается» к перпендикуляру.
2) При > имеем < , — существует ПВО (полное внутреннее отражение).
=
предельн ,
при котором
= , а при
>
пред
возникает
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПВО 1) В поляризаторах с двойным (o, e) лучепреломлением (призма Николя) один из двух лучей o гасится на тёмной стенке после ПВО на внутреннем слое канадского бальзама, K. К 68°
o
2) В световодах (оптоволокнах, передающих свет на большие расстояния без потерь).
3) В экспериментальных методах исследования поверхностей (Surface Science). Многократно отражаясь от поверхности, луч несёт информацию о ней (о её состоянии).
e
62
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
4.1. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА Основные понятия: суперпозиция — когерентность — интерференция. q Интерференция — суперпозиция когерентных волн (разность фаз волн Δ = нием интенсивности в пространстве (появлением max и min интерференции).
) с перераспределе-
Основное соотношение двухлучевой интерференции: =
получается при сложении двух волн,
=
+
~
−
,
+
=
, —
,
−
(∗)
=(
−
) +
и
=
= / =2 /
−
1) Если волны (1) и (2) некогерентны (другими словами, Δ = Δ ( ) ≠ 〈cos Δ ( )〉 = 0 и = + , — это случай суперпозиции (1) и (2). 2) Если Δ =
≠ Δ ( ),
=
=
=
.
), то в соотношении (∗)
⇒
— важнейшее соотношение Δ и Δ , разности хода и разности фаз.
Частный случай 1. Если Δ = , то Δ = 2 , — максимум интерференции. =
=
+
+2
Условие = при =
Δ
cos Δ = 1, =
=
— разность хода волн Δ равна чётному числу полуволн.
Частный случай 2. Δ = /2 , =
=
+
+
Условие =
−2
+2
,
=
,
= 0,1,2 …
Δ = , — минимум интерференции. при
Между max и min: =
:
cos Δ
−1 < cos Δ < 1
cos Δ = −1, =(
:
+ )·
=(
+ ) ,
= 0,1,2 …
4. Волновая оптика — 4.1. Интерференция света
63
ОПТИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ХОДА ДВУХ ВОЛН Δопт = Δ , Δопт =
−
.
=
,
или
В оптических средах ( = 1, = √ ) вместо геометрической разности хода используют оптическую: Δ = Δ = − в вакууме,
в среде:
=
=
=
,
2
=
< ,
<
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИЧЕСКОЙ РАЗНОСТИ ХОДА Из Δопт = Δ
и
2
= ,
и
2
Δопт
Δопт > Δ
.
имеем
= /
=
опт
,
или
опт
=
=
.
Физический смысл: Δопт — это длина пути в вакууме за то время, когда в веществе свет прозодит путь Δ со скоростью .
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ОТ ДВУХ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ (
) =
,
+ ℎ+ −
(
) −(
≅Δ ,
2Δ
= 2ℎ
(
) =
) = 2 ℎ.
⇒
+
+ ℎ−
≅2
Δ =
ℎ
По условию максимума интерференции Δ =
,
= 0,1,2 …
,
ℎ
−ℎ
.
,
⇒
Поэтому координата максимума интерференции =
а
=
=
.
Это и есть критерий чёткости (разрешения) интерференционной картины.
СЛЕДСТВИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА ОТ ДВУХ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 1) Δℎ ~ / , — чем больше и меньше , тем выше чёткость интерференционной картины, больше Δℎ.
2) Δℎ = Δℎ( ), — чем больше (чем «краснее» свет), тем больше чёткость, то есть в белом свете интерференционная картина расщепляется в цветную.
64
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ВРЕМЕННАЯ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ Оказывается, когерентность (Δ = ) зависит от времени наблюдения — временнаθякогерентность, — и от размеров источника излучения (неточечности) — пространственная когерентность.
ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ q Временная когерентность — это Δ = в данной точке пространства в течение времени ког . При этом, если время когерентности меньше времени наблюдения, интерференция не наблюдается, так как нет когерентности. А если набл < ког , то интерференция наблюдается, так как есть когерентность в течение времени наблюдения. Количественная характеристика временной когерентности: из классического соотношения неопределённостей Δ Δ = 2 имеем
(так как
= ,
то Δ = −
Δ ), —
=
ког
=
для волнового процесса (см. «механику»)
1 2 = = Δ ( ) Δ
— это количественный критерий временной когерентности: чем меньше Δ (больше монохроматичность), тем больше время когерентности. Для удобства используют длину временной когерентности:
При уменьшении Δ имеем увеличение
ког
ког
.
= ·
ког
=
⁄
.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
q Пространственная когерентность — это постоянство Δ в разных точках пространства в один момент времени (например, в разных точках волнового фронта от протяжённого источника).
ког — длина пространственной когерентности. Внутри вне — некогерентны.
ког
колебания когерентны,
Пространственная некогерентность лучей является результатом неточечности источника света. Конечность размеров источника даёт: - разброс волнового вектора Δ ⃗ по направлению; - размытие интерференционной картины. =
=
2
,
Δ =
Δ
,
и
при временной когерентности был разброс по величине. При рассмотрении пространственной когерентности будем предполагать Δ → 0, то есть временная когерентность наблюдается и не будет мешаться с пространственной (Δ ⃗ ≠ 0).
Размытие интерференционной картины Δ определяется сдвигом этой картины от картины точечного источника. — нулевой max интерференции от точечного источника (от лучей ), ′ — нулевой max от лучей ′ (от участков ′ неточечного источника), ′′ — нулевой max интерференции от лучей ⃗ ′′ (от участков ′′ источника).
4. Волновая оптика — 4.1. Интерференция света
65
Δℎ — чёткость интерференционной картины.
Для сохранения пространственной когерентности (для наблюдения интерференции) нужно, чтобы размытие Δ было меньше чёткости Δℎ. Таким образом, условие пространственной когерентности:
Δ < Δℎ, <
<
,
,—
— угловой размер источника ( ) должен быть меньше / .
При
=
условие пространственной когерентности можно записать так:
Расстояние между щелями
<
=
пред
должно быть меньше
пред
=
=
ког ког
.
(длины пространственной когерентности).
При < ког интерференция наблюдается (пространственная когерентность существует), а при интерференции нет, так как нет пространственной когерентности.
>
ког
Общим количественным критерием интерференции будет объём пространственно-временной когерентности: ког
Для солнечного света ср
=
ког
= 0,5 мкм = 5 · 10 Ангстрем (10 ⇒
=
ког
=
·
ког
.
м)
и
= 50 мкм.
= 0,01 рад. ⇒
66
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ДВУХЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЁНКАХ Двухлучевая интерференция в тонких (≤ 50 мкм) плёнках — это интерференция двух лучей, отражённых от каждой из двух поверхностей тонкой плёнки.
Δ =
Δопт = (
−
+
) −
· sin
∙
+
2
/2 — «потеря» полуволны при отражении от оптически более плотной поверхности.
· =
· sin
(По закону Снелла 1 · sin Δопт =
2
1 − sin
−
2
=
= 2 · tg
=
· sin
· sin
1 − sin
−
· sin
)
2
cos
=2
2
·2 = =2 ·
1 − sin
1 − sin
sin cos −
· sin
=2
2
=2 · cos
— главная формула двухлучевой интерференции в тонких плёнках.
−
2
=2
1 cos − sin
УСЛОВИЯ MAX И MIN ДВУХЛУЧЕВОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ В ТОНКИХ ПЛЁНКАХ 2
2
· cos
· cos
±
±
2
2
=2
= (2
·
2
,
+ 1) ·
2
,
—
—
,
.
− ,— 2
4. Волновая оптика — 4.1. Интерференция света
67
УСЛОВИЯ ВРЕМЕННОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛЁНОК ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
При
= 1,5 и
Δ=2
∈ 0,
· cos
±
имеем
Поэтому наше условие становится: 2 ≤
2
.
=2
− sin
− sin
≃ 1 ÷ 1,5
±
2
<
ког
=
Для белого света
ср
= 0,5 мкм = 5000 А (Ангстрем = 10
≤ 5000
= 0,5 % ,
м),
А = 6 · 10 А = 0,06 мм = 60 мкм. 2 · 20А
По условию временной когерентности плёнка должна быть не толще 60 мкм, то есть интерференция наблюдается только в тонких плёнках.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
Для наблюдения интерференции необходимо <
При
= 1,5 и
=2 ·
= 45
sin cos
ког
=
· cos
имеем
sin 2
= 0,05 мм для белого света
= 2 · tg ·
− sin
(2 · tg =
· cos
=
sin 2
)
− sin
= 0,8 <
ког
=
≤
ког
=
= 0,05 мм
= 0,05 мм
То есть и по условию пространственной когерентности толщина плёнки должна быть малой (< 50 мкм).
68
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ЛИНИИ РАВНОГО НАКЛОНА q Линии равного наклона — это линии максимумов и минимумов интерференции при освещении плёнки постоянной толщины рассеянным светом (падающие лучи имеют разные направления).
2
− sin
±
2
=
2
(2
2
,
+ 1) 2 ,
Линии равного наклона возникают из-за зависимости Δопт от Все лучи с одним углом падения линию равного наклона).
.
.
!
.
собираются в одну равноосвещённую линию вокруг оси линзы (в одну
Лучи разных направлений собираются в разных равноосвещённых линиях равного наклона. Так как линии равного наклона образуются параллельными лучами до линзы, говорят, что линии равного наклона локализованы в бесконечности. При освещении плёнки белым светом наблюдается радужная окраска тонких плёнок, так как условия максимумов и минимумов зависят от длины волны.
4. Волновая оптика — 4.1. Интерференция света
69
ЛИНИИ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ Линии равной толщины — результат зависимости Δопт ( толщины (клин) пучком параллельных лучей.
), образуются при овещении плёнки переменной
При совпадении падающих лучей в луче 1 и 1′ линии равной толщины наблюдаются в плоскости − . При несовпадении падающих лучей линии равной толщины наблюдаются в плоскости − для лучей 1 и 2 и в плоскости − для лучей 1 и 3. Если длина пространственной когерентности странстве между − . Если
ког
>
плёнки ,
ког
, линии равной толщины наблюдаются во всём про-
=
то линии равной толщины наблюдаются во всём полупространстве над плёнкой.
При освещении плёнки белым светом линии равной толщины будут разноцветными, так условия максимумов и минимумов зависят от .
КОЛЬЦА НЬЮТОНА (ЛИНИИ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ ДЛЯ ВОЗДУШНОЙ «ПЛЁНКИ») Выведем основную формулу для радиуса m-го кольца Ньютона: =√
Условие максимума и минимума в отражённом свете: = 2ℎ · cos
+
2
= 2ℎ +
2
(cos = 1, так как рассматривается нормальное падение света, и = 1 для воздушной плёнки). =
+ ( − ℎ) =
ℎ → 0 по малости ⇒
ℎ=
.
+
− 2ℎ − ℎ , где
Подставляя ℎ в условие максимума и минимума, имеем:
При где
=
+
2
=
2
⇒
= 2 — светлое кольцо в отражённом свете, при = 0,1,2,3 …, — условие min в отражённом свете.
=
(
=2
− 1)
2
+ 1 — тёмное кольцо, т.е.
=√
,
70
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЁНКАХ 1
2
3
ℎ
Случай 1. Лучи 1, 2, 3 одной интенсивности (в стекле нет потерь) и отличаются только по фазе
=
=
=
=
(
(
(
— сдвиг по фазе одного луча относительно соседнего. = где
=
— интенсивность одного луча,
sin
,
sin
)
,
)
(
,
) )
2
2
,
,
— интенсивность при N-лучевой интерференции.
Интерференционная картина представляет собой узкие интенсивные главные максимумы вместо максимумов двухлучевой интерференции. Между соседними главными максимумами находятся ( − 2) дополнительных максимума. гл.макс ~
,
так как при малых сдвигах δ sin
sin
2
2
=
=
2
, 4
.
4. Волновая оптика — 4.1. Интерференция света
71
Случай 2. Лучи , , , … , имеют тот же сдвиг по фазе , но интенсивность их убывает в геометрической прогрессии.
— нет слабого фона дополнительных максимумов. Этот случай осуществлён в интерферометре ФабриПеро для спектрального анализа излучений. Стеклянные пластины разделены воздушным промежутком. Непараллельные срезы стеклянных пластин сделаны для уничтожения бликов при отражении от них световых лучей. Строгая параллельность внутренних поверхностей стеклянных пластин создаётся металлической шайбой. Если коэффициент отражения от стекла равен , на выходе интерферометра имеем: интенсивности лучей
: :
= 1:
:
и амплитуды
:
Оптическая разность хода двух лучей: Δ=
Сдвиг по фазе:
=
2
:
= 1: :
2 . cos ·
2 . cos
Условия max и min интерференции (линии равного наклона):
2
Угловая дисперсия интерферометра:
, — малые.
Это значит, что близкие
sin
≅ =
и
2
= ·
1
cos
=
= 2 ⁄ ~10 .
— число максимумов в интерференционной картине: Продифференцировав уравнение (∗), имеем:
.
=
·
·
=
,
(∗)
2
1
,
хорошо разделяются, так как им соответствует большой угол θ.
ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХЛУЧЕВОЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ — интерферометр Майкельсона. 1887 — доказательство независимости скорости света от скорости источника (скорости вращения Земли). Этим доказано отсутствие эфира как мировой абсолютной системы отсчёта. 1895 — точное измерение эталонного метра (с точностью до 0,8 мкм). 1910 — измерение углового размера звезды Бетельгейзе.
72
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
4.2. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА q Дифракция света — это огибание светом малых непрозрачных препятствий (заход света в область геометрической тени) с перераспределением интенсивности в пространстве (максимумы и минимумы дифракции). Максимумы и минимумы освещённости называются интерференционными, если источники света дискретны, и дифракционными, если источники непрерывны. Различают дифракцию Френеля и Фраунгофера. Дифракция Френеля — дифракция неплоских волн (непараллельных лучей), криволинейных волновых поверхностей. Дифракция Фраунгофера — дифракция плоских волн, параллельных лучей, плоских волновых поверхностей.
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ Гюйгенс: Каждая точка волнового фронта является центром вторичной волны. Этот принцип позволил качественно объяснить заход света в область геометрической тени. Добавление Френеля: Предложил учитывать амплитуду и фазу вторичных волн с помощью зон Френеля.
ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ q Зоны Френеля — воображаемые области на волновом фронте с разностью хода от соседних зон до точки наблюдения /2.
4. Волновая оптика — 4.2. Дифракция света
73
СВОЙСТВА ЗОН ФРЕНЕЛЯ: 1) Учёт фазы вторичных волн
(
=
−
— общая амплитуда волн в точке наблюдения,
Знак чередуется, так как разность фаз
+
…
−⋯+
−⋯
— парциальные амплитуды от зон там же.)
и разность хода от соседних зон /2.
2) Учёт амплитуды вторичных волн
(
— амплитуда от
=
-й зоны в точке наблюдения)
+ 2
3) Площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны
Для
=
= 0,5 мкм,
≠ ( )
+
=
≈ 0,1 мм .
= 1 м, —
4) Радиус m-й зоны
=
,
+
или
=
+
,—
— число зон, проходящих через диафрагму радиуса . Частный случай для плоской волны: → ∞, 5)
≪
=√
при большом
,
=
.
.
СЛЕДСТВИЯ Действие сферической волны без препятствий на точку наблюдения:
так как
≪
=
−
+ 2
+
−
+ 2
+ ⋯+
и остальные слагаемые взаимно уничтожаются.
−
+ 2
=
,
Таким образом, действие всей сферической волны на точку сводится к действию первой зоны, и принцип Френеля не противоречит прямолинейности световых пучков.
74
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА ПРОСТЕЙШИХ ПРЕПЯТСТВИЯХ Простейшие препятствия: диафрагма, непрозрачный маленький экран, амплитудная и зонная пластинки, макроскопическая щель.
Диафрагма
Для точки : малое чётное число зон Френеля в диафрагме даёт
так как
=
≈
+ 2
−
при малых
=
−
2
. ⇒
2
≈ 0,
⇒ Наблюдается минимум дифракции. Для точки ′: малое нечётное число зон Френеля =
— максимум дифракции в точке
.—
−
+ 2
+
=
2
+
2
≈
,—
— Амплитуда в два раза больше, чем для световой волны без препятствия, а интенсивность в четыре раза больше.
Круглый непрозрачный экран
Для точки : мало (диск перекрывает малое число первых зон Френеля) ⇒ (
=
≈
2
2
— первая открывшаяся зона), —
— освещённость в точке такая же, как от волны без препятствий, вокруг центрального максимума наблюдается перераспределение интенсивности, то есть геометрической тени нет. Для точки ′:
=
2
≪
2
,—
число перекрываемых зон велико. ⇒ Наблюдается минимум в точке , освещённость много меньше освещённости от сферической волны без препятствий. Геометрическая тень наблюдается, а максимумы и минимумы сосредоточены у границы экрана.
4. Волновая оптика — 4.2. Дифракция света
75
Амплитудная стеклянная пластинка Амплитудная стеклянная пластинка перекрывает своими зачернёнными областями только чётные (только нечётные) зоны Френеля. Действует как собирающая линза: собирает действия неперекрытых зон, которые [действия] синфазны в точке наблюдения. Фазовая стеклянная пластинка Такой переменной толщины, что делает действие всех зон на точку наблюдения синфазными. Для этого надо увеличить путь света в стекле только для чётных зон (или только для нечётных зон) на /2.
Диафрагма (щель) Дифракционная картина представляет собой центральную светлую полосу (если число зон в щели нечётное) или центральную тёмную полосу (если число зон чётное). По обе стороны от центральной полосы чередуются максимумы и минимумы дифракции. При раздвигании краёв щели интенсивность в центре пульсирует.
ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА Дифракция Фраунгофера на одной щели — угловое расстояние элемента дифракционной картины от оси. =
sin
sin
sin
=
sin
,
— интенсивность главного максимума: при
→0
→
. линза
76
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
Условия максимума и минимума дифракции Δ = sin
= 1,2,3 … — номер минимума.
Δ = sin
= 1,2,3 … — номер максимума.
= = (2
=2
2
+ 1)
2
—
min
—
max
(
!)
(
!)
Объяснение условий минимума Разбиваем пучок в щели на 2 подпучков. Они нейтрализуют друг друга. Объяснение максимума подпучков Разбиваем пучок на 2
+ 1 подпучков,
даёт непарный подпучок.
(2
+ 1) = 3 при
=1
Число максимумов (минимумов) в дифракционном спектре конечно и равно =
⇒ необходимое условие дифракции Фраунгофера на одной щели: Достаточное условие дифракции Фраунгофера:
где
/
=
— число зон Френеля в щели.
< 1 — условие плоской волны Фраунгофера.
<1
≥
.
4. Волновая оптика — 4.2. Дифракция света
77
Выведем формулу = Из треугольника:
+
2
−
=
Пренебрегая
.
.
2 2
,
≅
4
,
или
4
=
~
Наличие достаточного условия означает, что при одном и том же необходимом условии > можно наблюдать переходы от геометрической оптики через дифракцию Френеля к дифракции Фраунгофера:
а)
>
и
~
(экран расположен близко к щели) >1
— условие геометрической оптики (наблюдается чётко выраженная геометрическая тень). б)
>
и
>
~1 ÷ 5
— дифракция Френеля. в)
>
и
(экран удаляется от щели)
≫
— дифракция Фраунгофера.
<1
78
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЁТКА Совокупность N равноотстоящих щелей в одной плоскости, освещаемой плоской волной Фраунгофера, обладает особыми свойствами и называется дифракционной решёткой. В этих условиях в фокальной плоскости собирающей линзы на экране наблюдается следующий спектр: каждый максимум дифракции от одной щели расщепляется на несколько узких интенсивных главных максимумов, между которыми, создавая слабо освещённый фон, находится определённое число дополнительных максимумов и минимумов.
Условия максимумов и минимумов спектра решётки Главный максимум:
=±
(
Главный минимум:
=±
( = 0,1,2 … — номер главного минимума),
= 0,1,2 … — номер главного максимума),
— наблюдается при тех , при которых пучки от соседних щелей усиливают друг друга.
— наблюдается при тех же , что и min от одной щели. Условие дополнительного минимума:
При
=±
= целое число =
,
, —
= 1,2,3, … , ( − 1), ( + 1), ( + 2), … , (2 − 1), (2 + 1) …
— число главных максимумов в целое число раз больше числа главных минимумов, и можно сказать на сколько главных максимумов расщепляется каждый максимум однощелевой дифракции.
4. Волновая оптика — 4.2. Дифракция света
79
При / = 4 (данный случай) каждый однощелевой максимум расщепляется на три главных максимума, и число главных максимумов в четыре раза больше число главных минимумов, то есть главный минимум появляется на каждом четвёртом главном максимуме. Число дополнительных максимумов между соседними главными максимумами = тельных минимумов). Таким образом, наш спектр — для = 8.
реш
где
,
— разность фаз между лучами 1 и 2 от соседних щелей:
реш
и
реш
=
=
При малой разнице
где
=
−2
реш
=
⇒
относятся к главным максимумам, а
Т. о. интенсивность главного максимума в
реш
=
,
относится к максимуму от одной щели.
раз больше интенсивности однощелевого максимума.
Получим формулу для дополнительных минимумов дифракционной решётки. Для промежутка между соседними главными максимумами имеем 0< где
⇒
=
мы будем иметь обращение sin
Т. о. разность фаз
0< 2
= 1,2,3, … , ( − 1), ( + 1) …
И при этих
реш
<2
=
2
,
<
,
или
в ноль, т.е.
между соседними главными минимумами будет ( − 1) раз обращаться в ноль. для дополнительных минимумов
— номер дополнительного минимума. По формуле Δ = Δ
=
2
=
2 , где
имеем разность хода для соседних дополнительных минимумов: =
2
Что и требовалось доказать.
Δ
⇒
Δ =Δ=
2
=
2
2
=
=
.
(
−
80
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». При освещении решётки белым светом каждый главный максимум расщепляется в цветной радужный спектр, т.к. условие главных max зависит от . Таким образом, становится возможным перекрытие соседних спектров (соседних главных максимумов). Правому концу каждого спектра соответствует красный свет, левому — фиолетовый, так как условие максимума: sin
=
,
sin ~ .
Характер дифракционного спектра решётки в белом свете описывается двумя параметрами: дисперсией и разрешением. Эти параметры характеризуют решётку как спектральный прибор. Спектральный анализ: по характеристикам решётки , ,
Структурный анализ: , вой кислоты).
,
→
→ .
(структурный анализ помог определить структуру дезоксирибонуклеино-
Угловая дисперсия прибора =
=
=
— определяется угловым расстоянием Δ между главными максимумами при Δ = 1, −
Формула для
=Δ .
получается при дифференцировании sin cos
=
,
cos =
— Для каждого цветного спектра кр ф = 0,4 мкм = главного максимума (возрастает с ростом , см. рис.)
:
=
→ 0 при
.—
малом, и
, и ширина спектра пропорциональна номеру
Разрешающая способность (R — Resolution) =
Δ
=
,—
— определяется минимальной Δ , при которой главные максимумы для ся раздельно.
и
Критерий разделения двух максимумов и по Рэлею (провал между и главный max совпадает (по sin ) c первым левым дополнительным min для sin
sin
=
=
−
1
⇒
=
=
Δ
−
·
1
1
,—
— это номер главного максимума, начиная с которого ление и имеет место.
⇒
и
(
−
)=
в порядке
регистрируют-
должен быть ≥20% от ): . ,
будут разделены. То есть при
≥
′ разде-
4. Волновая оптика — 4.3. Поляризация света
81
Сравним по спектрам дисперсию и разрешение трёх решёток:
=
Δ Для решёток −
Δ
=
,
=Δ
=
=Δ
:
=
>
−
.
=
=
Задача: при каких заданы и .
,
<
:
и
линии спектра
−
,
>
Для решёток
Δ = Δλ
,
>
=
>
,
.
= 4600 Å = 0,46 мкм
и
Условие разделения: максимум одного пика приходится на край другого:
sin При
>
sin
=
=
−
1 =
′ линии спектра разделены.
Δ
·
=
1
Необходимое дополнительное условие: <
=
.
−
1
= 4602 Å
разделены, если
82
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм».
4.3. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА q Поляризация — упорядоченность колебаний светового вектора ⃗ электромагнитной волны при взаимодействии естественного света с анизотропной средой. Вид светового луча «в торец» в естественном и поляризованном свете. Два случая возникновения линейной поляризации при взаимодействии с анизотропной средой:
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПРИ ОТРАЖЕНИИ ОТ ДИЭЛЕКТРИКА (ЗАКОН БРЮСТЕРА)
sin cos
Бр
Бр
=
Бр
cos Бр
⇒
=
Бр
+
⇓
=
=
sin sin
= sin
⇓
∡(1,̂ 2) =
=
2
−
2
=
2
ЗАКОН МАЛЮСА — угол между направлениями поляризации после П и П . =
=
~
cos =
cos , ,
= cos .
,
4. Волновая оптика — 4.3. Поляризация света
83
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ q Двойное лучепреломление — второй случай появления линейной поляризации при взаимодействии с анизотропной средой. — обыкновенный луч (ordinary) — необыкновенный луч (extraordinary), не подчиняется геометрической оптике. ′ — оптическая ось кристалла — направление, вдоль которого не происходит двойного лучепреломления. Главная плоскость кристалла — составлена оптической осью и падающим лучом. Обычновенный луч линейно поляризован перпендикулярно главной плоскости, а необыкновенный — линейно поляризован в главной плоскости.
Физическая природа двойного лучепреломления
а) Существуют два вида кристаллов (положительные и отрицательные) с разной анизотропией. Положительный кристалл:
‖
Отрицательный кристалл:
>
— эллипсоиды диэлектрической проницаемости. Связь электрической и оптической анизотропии: =√ =
‖
<
84
Ю.К.Устинов. Конспект лекций «Электромагнетизм». б) Скорость лучей Положительный кристалл (
Скорость обыкновенного луча по направлению =
=
√
Скорость е-луча по направлению 1: =
‖
):
>
и направлению 2:
=
√
Скорость -луча по направлению : =
‖
<
,
т. к.
‖
>
, и − луч обгоняет − луч по направлению .
Аналогичное рассмотрение для отрицательных кристаллов ( лению 2.
Вдоль оптической оси
′ скорости
=
‖
<
) даёт: e-луч обгоняет о-луч по направ-
и для +, и для – кристаллов.
в) Появление и лучей в толще кристалла + кристалл; вторичные волновые поверхности (о и е) на поверхности кристалла строятся в момент, когда поверхности касается луч 2.
Таким образом, лучи
и разделены в пространстве.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ А Автоэлектронный микроскоп, 10 анизотропность, 9
В Вектор смещения, 20 взаимодействие прямых токов, 35 Взаимоиндукция, 54 восприимчивость диэлектрика к внешнему полю, 17 Временная когерентность, 64, 67 Второе уравнение максвелла, 55 вычисление магнитного поля прямого тока по методу Д, 34
Г гиромагнитное отношение, 42, 45 гистерезис, 22, 44
Д Двойное лучепреломление, 83 Двухлучевая Интерференция в тонких плёнках, 66 Диамагнетики, 42 дивергенцией, 11 Дивергенция, 13 Дивергенция магнитного поля, 39 Диполь в неоднородном электрическом поле, 10 Дипольный момент, 9 дисперсия, 60, 80 Дифракционная решётка, 78 Дифракция, 72 Дифракция Фраунгофера, 75 Дифракция Френеля, 72 Дифракция Френеля на простейших препятствиях, 74 Дифференцирование векторных полей, 11 диэлектрическая проницаемость, 20 Домен, 22, 45
З Закон Ампера, 33, 35 Закон Био-Савара-Лапласа, 32, 34 закон Брюстера, 82 Закон Джоуля-Ленца, 29 Закон Кулона, 4 Закон Малюса, 82 Закон Ома, 29 Закон отражения, 61 Закон преломления, 61 закон Снелла, 61 Законы геометрической оптики, 61 Заряд, 4 Зоны Френеля, 72
И изотропность, 9 индуктивность проводника, 48 Индуктивность соленоида, 49 индукция магнитного поля, 32 Интегрирование полей, 12 Интенсивность электромагнитного излучения, 59 Интерференция, 62 Интерференция света от двух точечных источников, 63 интерферометр Фабри-Перо, 71
К Квантованность, 4 Классическая теория парамагнетизма Ланжевена, 43 Классическая теория электропроводности ДрудеЛоренца, 30 Кольца Ньютона, 69
Л лапласиан, 57 Линии равного наклона, 68 Линии равной толщины, 69
М магнитная постоянная, 33 Магнитное поле движущегося заряда, 35 Магнитное поле контура с током, 36 Механический момент, действующий на p̄, 9 Механический момент, действующий на контур I в магнитном поле B, 37 Многолучевая интерференция в тонких плёнках, 70 Молекулярные токи, 45
Н Намагниченность, 44 Напряжение, 27 Напряжённость электрического поля, 5 необыкновенный луч, 83 Неполярные диэлектрики, 17
О объём пространственно-временной когерентности, 65 объёмная плотность потенциальной энергии плоского конденсатора, 25 Объёмная плотность связанных зарядов, 19 обыкновенный луч, 83 ограничения классической теории Друде-Лоренца, 31 однородность, 9 оператор Лапласа, 57 Оптическая разность хода двух волн, 63
Оптический диапазон электромагнитных волн, 60 Опыт Барнетта, 46 Опыт Штерна-Герлаха, 46 Опыт Эйнштейна — де Гааса, 46 Отрицательный кристалл, 83
П Парамагнетики, 43 Первое уравнение Максвелла, 55 Плоский конденсатор, 24 плотность макротоков, 41 плотность молекул микротоков, 41 плотность тока, 26, 31 поверхностная плотность зарядов внутреннего поля, 18 Поле N зарядов (мультипольное поле), 8 Поле магнитного диполя, 36 полное внутреннее отражение, 61 Положительный кристалл, 83 Поляризация, 82 поляризация диэлектрика, 17 поляризованности, 18 поляризованность, 17 поляризуемость, 17 Полярные диэлектрики, 17 постоянная Планка, 46 Постоянный электрический ток, 26 Потенциал поверхности, 23 Потенциал поля монополя, 8 Потенциал электростатического поля, 7 Потенциальная энергия p̄ в электрическом поле, 10 Потенциальная энергия контура I в поле B, 38 Потенциальная энергия одного заряда (q’) в поле другого (q), 8 поток Ē, 6 Правила Кирхгофа, 28 прецессия, 42 Принцип Гюйгенса-Френеля, 72 Принцип суперпозиции полей, 5 Проводники во внешнем электрическом поле, 23 Пространственная когерентность, 64, 67
Р Работа перемагничивания ферромагнетика, 53 Работа по перемещению контура с током в магнитном поле, 38 Работа ЭДС самоиндукции при размыкании/замыкании RL-цепи, 53 Разрешающая способность, 80 Релятивистская инвариантность (неизменность) заряда, 4 Ротор Векторного Поля, 14 Ротор магнитного поля, 39
С Самоиндукция, 48 Свет, 60 Свойства зарядов, 4 Свойства электромагнитной волны, 58 связанные заряды, 18
Связь напряжённости и потенциала, 7 Связь электрической и оптической анизотропии, 83 Связь B и H, 42 Сегнетоэлектрики, 22 Сила Лоренца, 36 Силовые линии, 5 скорость электронов в поле Е, 31 Соленоид, 49 сторонние заряды, 18 Сферический конденсатор, 24
Т Температура Кюри, 22, 45 Теорема Гаусса, 6 Теорема Гаусса для D, 21 Теорема о циркуляции B, 39 Теорема Остроградского-Гаусса, 13 Теорема Стокса, 15 тороид, 50 Третье уравнение Максвелла, 55
У Узел, 28 Умножение математических полей, 11 Уравнение непрерывности для электрического тока, 26 Уравнение силовой линии, 5 Уравнения Максвелла, 55 Ускорение электронов в поле Е, 31
Ф Ферромагнетизм, 44 Ферроэлектрики, 22 Формула Джоуля-Ленца из модели Друда-Лоренца, 31
Ц Цилиндрический конденсатор, 24 циркуляция Ē, 6
Ч частота Лармора, 42
Э Эквипотенциаль, 7 Экстратоки замыкания и размыкания в RL-цепях, 51 Электрический диполь, 9 Электрический Диполь в однородном электрическом поле, 9 Электрическое поле на границе двух диэлектриков, 21 Электродвижущая сила, 27 Электроёмкость проводника, 23 Электроёмкость шара, 23 Электромагнитная индукция, 48 Энергия плоского конденсатора, 25 Энергия поля заряженного проводника, 25 Энергия электрического поля, 25
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
4
1.1. Электрический заряд и его свойства............................................................................................................. 4 Свойства зарядов.......................................................................................................................................... 4 Закон Кулона ................................................................................................................................................ 4 1.2. Напряжённость электрического поля ........................................................................................................... 5 Уравнение силовой линии ........................................................................................................................... 5 Главные характеристики напряжённости электростатического поля ......................................................... 6 Циркуляция .................................................................................................................................................. 6 Поток ............................................................................................................................................................ 6 Теорема Гаусса ............................................................................................................................................. 6 1.3. Потенциал электростатического поля........................................................................................................... 7 Связь напряжённости и потенциала ............................................................................................................ 7 Единица измерения потенциала ................................................................................................................. 8 1.4. Электрический диполь .................................................................................................................................. 9 Электрический Диполь в однородном электрическом поле ....................................................................... 9 Механический момент, действующий на ⃗ ................................................................................................. 9 Потенциальная энергия
в электрическом поле.......................................................................................10
Диполь в неоднородном электрическом поле ...........................................................................................10 Пример использования эффекта втягивания ⃗...........................................................................................10
1.5. Элементы математической теории поля .....................................................................................................11 Умножение математических полей ............................................................................................................11 Дифференцирование векторных полей ......................................................................................................11 Интегрирование полей ................................................................................................................................12 Четыре главных понятия: дивергенция, ротор, поток и циркуляция ......................................................12 Дивергенция ................................................................................................................................................12 Теорема Остроградского-Гаусса..................................................................................................................13 Свойства Теоремы Остроградского-Гаусса .................................................................................................13 Ротор Векторного Поля ...............................................................................................................................14 Примеры вихрей .........................................................................................................................................14
Теорема Стокса .........................................................................................................................................15 Свойства теоремы Стокса ...........................................................................................................................15 Выражение
в декартовых координатах ............................................................................................15
Два уравнения Максвелла...........................................................................................................................16 1.6. Электрическое поле в диэлектриках ............................................................................................................16 Неполярные диэлектрики ...........................................................................................................................16 Полярные диэлектрики...............................................................................................................................17 Сторонние и связанные заряды..................................................................................................................17 1.7. Вектор смещения (вектор электростатической индукции) ..........................................................................20 Свойства
.................................................................................................................................................20
Теорема Гаусса для : .................................................................................................................................21
1.8. Электрическое поле на границе двух диэлектриков ...................................................................................21 1.9. Сегнетоэлектрики .........................................................................................................................................22 1.10. Проводники во внешнем электрическом поле..........................................................................................23 Электроёмкость проводника.......................................................................................................................23 Плоский конденсатор ..................................................................................................................................24 Цилиндрический конденсатор ....................................................................................................................24 Сферический конденсатор ..........................................................................................................................24 1.11. Энергия электрического поля.....................................................................................................................25 Энергия поля заряженного проводника .....................................................................................................25 Энергия плоского конденсатора .................................................................................................................25 1.12. Постоянный электрический ток..................................................................................................................26 Уравнение непрерывности для электрического тока .................................................................................26 1.13. Электродвижущая сила (ЭДС) ....................................................................................................................27 1.14. Правила Кирхгофа ......................................................................................................................................28 Порядок действий при решении задач на правила Кирхгофа ....................................................................28 1.15. Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме .....................................................................29 Закон Ома ....................................................................................................................................................29 Закон Джоуля-Ленца ...................................................................................................................................29 1.16. Классическая теория электропроводности Друде-Лоренца......................................................................30 Физическая модель .....................................................................................................................................30 Ускорение и скорость электронов в поле Е.................................................................................................31
Плотность тока по модели Друде-Лоренца ................................................................................................31 Получение формулы Джоуля-Ленца из модели Друде-Лоренца ...............................................................31 Два ограничения классической теории Друде-Лоренца ............................................................................31
2. МАГНИТОСТАТИКА. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
32
Второе уравнение Максвелла.....................................................................................................................32 Третье уравнение Максвелла .....................................................................................................................32 2.1. Два главных закона магнитостатики ............................................................................................................32 Закон Био-Савара-Лапласа .........................................................................................................................32 Закон Ампера ..............................................................................................................................................33 Синтез двух законов (БСЛ+А) ......................................................................................................................33 Закон Био-Савара-Лапласа ..........................................................................................................................34 Закон Ампера...............................................................................................................................................35 2.2. Магнитное поле контура с током .................................................................................................................36 Механический момент, действующий на контур в магнитном поле Потенциальная энергия контура в поле
...................................................37
...............................................................................................38
Работа по перемещению контура с током в магнитном поле ...................................................................38 2.3. Дивергенция и ротор магнитного поля........................................................................................................39 Ротор (вихрь) магнитного поля ...................................................................................................................39 Теорема о циркуляции................................................................................................................................39 Применение теоремы о циркуляции для решения задач ..........................................................................40 2.4. Магнитное поле в веществе. Намагничивание ............................................................................................40 Связь характеристик магнитного поля
и
.............................................................................................41
Диамагнетизм .............................................................................................................................................42 Парамагнетизм ...........................................................................................................................................43 Ферромагнетизм .........................................................................................................................................44 Свойства Ферромагнетиков.........................................................................................................................44 Молекулярные токи ....................................................................................................................................45 Магнитомеханические явления, подтверждающие связь
и
.............................................................46
3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
48
3.1. Электромагнитная индукция........................................................................................................................48 Соленоид.....................................................................................................................................................49 Свойства магнитного поля
в соленоиде ..................................................................................................49
Индуктивность соленоида...........................................................................................................................49 Магнитное поле на оси тороида .................................................................................................................50 3.2. Экстратоки замыкания и размыкания в RL-цепях ........................................................................................51 Экстраток размыкания ................................................................................................................................51 Экстраток Замыкания..................................................................................................................................51 3.3. Работа ЭДС самоиндукции при размыкании/замыкании
-цепи .............................................................53
Работа перемагничивания ферромагнетика ..............................................................................................53 3.4. Взаимоиндукция ..........................................................................................................................................54 3.5. Уравнения Максвелла ..................................................................................................................................55 Первое уравнение Максвелла ....................................................................................................................55 Второе уравнение максвелла .....................................................................................................................55 Третье уравнение Максвелла .....................................................................................................................55 3.6. Свойства электромагнитной волны..............................................................................................................58
4. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
60
Законы геометрической оптики..................................................................................................................61 Использование ПВО ....................................................................................................................................61 4.1. Интерференция света
...............................................................................................................................62
Оптическая разность хода двух волн ..........................................................................................................63 Физический смысл оптической разности хода ...........................................................................................63 Интерференция света от двух точечных источников ..................................................................................63 Следствия интерференции света от двух точечных источников ................................................................63 Временная и пространственная когерентность ..........................................................................................64 Временная когерентность...........................................................................................................................64 Пространственная когерентность ...............................................................................................................64 Двухлучевая Интерференция в тонких плёнках ..........................................................................................66 Условия max и min двухлучевой интерференции в тонких плёнках ..........................................................66
Условия временной и пространственной когерентности для тонких плёнок............................................67 Временная когерентность ...........................................................................................................................67 Пространственная когерентность ...............................................................................................................67 Линии равного наклона ..............................................................................................................................68 Линии равной толщины ..............................................................................................................................69 Кольца Ньютона (линии равной толщины для воздушной «плёнки») .......................................................69 Многолучевая интерференция в тонких плёнках .......................................................................................70 4.2. Дифракция света
......................................................................................................................................72
Дифракция Френеля ...................................................................................................................................72 Принцип Гюйгенса-Френеля .......................................................................................................................72 Зоны Френеля ..............................................................................................................................................72 Свойства зон Френеля: ................................................................................................................................73 Следствия.....................................................................................................................................................73 Дифракция Френеля на простейших препятствиях.....................................................................................74 Дифракция Фраунгофера ............................................................................................................................75 Дифракционная решётка ............................................................................................................................78 4.3. Поляризация света ......................................................................................................................................82 Поляризация при отражении от диэлектрика (закон Брюстера) ...............................................................82 Закон Малюса ..............................................................................................................................................82 Двойное лучепреломление ........................................................................................................................83