Circuit Science - 2

2009 Валентин Васильевич Бондаренко

Основы теории цепей Часть 2 Конспект лекций

Выполнил студент 712 гр. А. В. Димент

СПбГУКиТ

2

Глава 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях §1.1. ПРИЧИНЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Различают стационарный режим работ цепи. При этом а) отсутствует коммутация в цепи; б) не изменяются скачком параметры элементов ( → 2 );

в) неизменность структуры цепи.

В отличие от него различают динамический режим работы цепи, который связан с переходными процессами. Его признаки: а) наличие коммутации в цепи; б) скачкообразно меняются параметры цепи; в) скачкообразное изменение всей структуры цепи. Если выполняется хотя бы один из этих признаков, наблюдается переходной процесс. Сама по себе коммутация, или переключение, может происходить практически мгновенно (порядка мкс), а процессы в электрической цепи мгновенно измениться не могут из-за того, что в цепи имеются реактивные элементы L, C. Достаточное условие — наличие энергии на этих элементах. §1.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

i

L

=

C

2

=

2

3

=

При → 0 цепь должна иметь бесконечную мощность. Но такое в природе невозможно, поэтому происходит переходной процесс.

L

(0– )

(0– )

(0 )

t

(0 ) = (0 ) Ψ=

Ψ(0 ) = Ψ(0 )

— первый закон коммутации:

Ток в индуктивности или потокосцепление скачком изменяться не могут.

C

(0– )

(0– )

(0 ) t

(0 ) = =

(0 )

(0 ) = (0 )

— второй закон коммутации:

Напряжение на ёмкости или заряд скачком меняться не могут. Скачком изменяться могут 4

,

,

,

.

§1.3. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ Начальными условиями называются те условия, которые были на реактивных элементах к моменту начала коммутации.

(0 ) = Они могут быть нулевыми ( (0 ) = (0 ) = 0, (0 ) = (0 ) ≠ 0).

0), ненулевыми ( (0 ) = (0 ) ≠ 0,

(0 ) =

В общем случае

(

(

)= ( )=

§1.4. МЕТОДИКА РАСЧЁТА

(

)= ≠0 =0

)= ≠0 =0

K

R

E L

C

До коммутации определяются начальные условия, если они нам не заданы. Вся методика распространяется на цепь после коммутации.

R

i E C

L

5

1. Составляем исходное дифференциальное уравнение для данной цепи. +

+

+

+ =

=

+

=

+

+

=

+

=

— линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно . Линейное, т. к. коэффициенты не зависят от . Неоднородное, так как правая часть не равна нулю. Порядок уравнения и цепи определяется количеством реактивных элементов.

2. Ищем решение этого дифференциального уравнения.

где

пр

=

пр

+

св ,

(принуждённое) — частное решение неоднородного

дифференциального уравнения, а св (свободное) — общее решение однородного дифференциального уравнения. Нашли

пр .

3. Ищем свободную составляющую в форме св

=

+

,

где и — постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий. Их мы найдём в следующем пункте. Здесь найдём и — корни характеристического уравнения.

6

св

св

+

+

св

=0

Переходим к характеристическому уравнению.

Находим 4.

=

,

пр

+

. +

+1=0

+

Составим уравнение для тока: =

=

пр

(0) =

(0) =

Из этой системы находим

пр

,

+

пр |

|

.

+

+

+

+

+

§1.5. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ K

R

U

L

i U

Дано: , , . Начальные условия (0 ) = (0 ) = 0.

————————— Найти , , .

R

L

7

По второму закону Кирхгофа обойдём контур. +

=

+

=

+

=

— линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно тока.

При

→∞

=

= .

пр

пр

+

св

=

3. Ищем свободную составляющую. =

св

Найдём .

св

+

+ =

— постоянная времени [c].

св

=0

=0

=−

=

а) св

=

=

Постоянная времени — время, в течение которого исходная величина изменяется в е раз.

8

Используя начальные условия, определим .

0=

+

=−

=

i

iпр

−

(1)

⋅ i

τ

i(0–) = i(0+)

2τ

3τ

t

iсв

−

б) С точки зрения физики процесса нет ни принуждённой, ни свободной составляющих, а есть так называемый переходной ток, который описывается такой экспонентой. Свободные и принуждённые составляющие берутся из метода расчёта. в) Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. Практически переходной процесс можно считать законченный через (3 … 5) ⋅ . =

uR

=

(2)

−

U

τ

2τ

3τ

t 9

— форма кривой не меняется. =

uL

=

−

τ Если мы сложим пряжение .

+

−

2τ

1

=

t

3τ

, для любого +

uR, uL

(3)

=

сумма даст исходное на-

=

U

τ

2τ

t

3τ

§1.6. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RL-ЦЕПИ R 1 U

10

2

L

Дано: , , .

————————— Найти , , , — энергия магнитного поля.

Начальные условия не заданы, в цепи до коммутации (положение 1) мы должны их сами определить.

(0 ) = (0 ) =

Для цепи после коммутации (в положении 2): R

L

(0) ≠ 0

Обойдём контур. +

=0

=0

+

+

=0

— линейное однородное уравнение первого порядка относительно тока.

2. Ищем решение =

пр

+

св .

3. Свободная составляющая св

=

св

пр

=0

+

+

=

=

св

=0

=0

11

4. Найдём постоянную интегрирования. =0+

=0+

=

i i(0–) = i(0+)

τ

2τ =

uR

t

3τ =

+U

τ

uL

=

3τ

=− τ

12

2τ

2τ

t

(3)

=− 3τ

t

Для любого момента времени

+

uL, uR

τ

= 0.

3τ

t

Энергия, которая выделяется в сопротивлении: = Подставим в это выражение = (0) ⋅ =

=

Выводы:

(0)

=

∞ (0) ⋅ = 2 −1 0

(0)

(0) = 2

. = (0) = 2

(0) ⋅

−

2

(0) = 2

∞ 0

=

а) Мы показали, что вся энергия магнитного поля, запасённая в элементе L, за время переходного процесса выделяется в виде тепла на элементе R. б) Теоретически переходной процесс нужно рассчитывать от нуля до бесконечности, хотя практически он заканчивается за время (3 … 5) .

13

§1.7. РАЗРЯД RL-ЦЕПИ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ R 1 U

2

L

R0

Дано: , , , .

————————— Найти , .

До коммутации: (0 ) = (0 ) = 1)

R

L

R0

i

Обходим контур, составляем уравнение. +

2)

+

+

+

=

3)

пр

=

= 14

св

+ + +

=0

=0

пр

(0) ≠ 0

4)

=− =

а)

=−

=

+

(1) =− =

−

+

1

= (2)

≫

≫

Переходные режимы могут быть опасными, возникают большие токи, возможен пробой, и его надо уметь рассчитывать. §1.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RL-ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ( )=

R

u(t)

L

=

,

sin(

+

)

(0 ) = (0 ) = 0 ————————— , ,

1) i u

R

L

15

Составляем исходное дифференциальное уравнение. Обходим контур.

+

2)

+

= ( )

=

sin(

= ( )

+

=

пр

Решаем цепь переменного тока.

+

)

+

св

R

Im Um

ωL

=

=

sin( =

+

=

−

=

−

+(

) )

= arctg =

sin(

+

− )=

пр

В пункте 2 используем символический метод для расчёта гармонических процессов. Схема в символической форме.

16

R ̇

̇

jωL

̇ = ( )=

̇

(

+

=

)

[ ]̃ = ̇

(

=

sin(

=

)

)

= ̃

− )=

+

= ̃ [ ̃]

(

=

пр

(1) (2)

3) =

Постоянная времени не зависит ни от величины приложенного напряжения, ни от формы приложенного напряжения, а определяется лишь параметрами самой цепи, то есть L и R. 4) Найдём постоянную интегрирования. =

sin(

+

− )+

Используя начальные условия, получим 0= =

sin(

sin(

=−

+

отц ч.

sin(

− )+

− )−

− )

sin(

− )

(1)

отц ч.

17

Проанализируем уравнение (1). Случай 1: отсутствует переходной процесс. Он отсутствует, когда нет второго слагаемого, то есть когда sin( − ) = 0. (

=

i

− )= sin(

0 )

ωt

i=0 =

2

Поэтому в точках режим.

у нас сразу установится принуждённый

Случай 2. Максимальный переходной процесс: sin( Пусть sin( − ) = 1. (

− )=

sin

+

− ) = ±1.

2

Подставим это условие в уравнение (1). =

18

2

−

(3)

i

ωt

i(0–) = i(0+)

τ/2

а) В случае максимального переходного процесса максимальное значение тока может достигать почти удвоенного амплитудного значения (см. стрелочку). б) Это означает, что максимальный переходной процесс — это опасный режим, его надо уметь рассчитывать. Мы нашли ток, нетрудно найти напряжение.

=

=

=

=

sin(

cos(

+

+

− )−

− )−

sin(

sin(

− )

− )

−

1

§1.9. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RC-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ R U

С

, , (0 ) = (0 ) = 0 ————————— , , 19

1) Обойдём контур.

R

i

С

U

+

+

=

=

+

=

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно С .

2)

При

→∞

пр

→

.

=

пр

св

св

+

=

+

св

св

+1=0

=

1

=− 1

=

4) Используем начальные условия. =

20

0=

+

+

=0

=

uC

=− −

U

τ

2τ

3τ

t (0 ) = (0 ), второй закон коммутации выполняется Найдём уравнение тока. = uR

τ

=

=

2τ

=

(2)

=

(3)

t

3τ

uC, uR U

uC uR τ

2τ

3τ

t

21

§1.10. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RC-ЦЕПИ R 1 U

2

C

, , ————————— , , ,

До коммутации ёмкость была заряжена до величины

После коммутации

(0 ) =

(0 ) =

R C (0) ≠ 0 +

=0

+

= 2) = 3)

22

=0 + пр

пр

=

=0 +

=0

св

.

4) =0+

Подставим начальные условия.

=0+

(4)

=

Построим. uc (0 ) =

(0 ) t

0

τ

2τ

3τ

Уравнение тока: =

=

−

1

(2)

=−

i τ

2τ

3τ

t

− Как видим, ток может меняться скачком, а напряжение на ёмкости — не может.

23

=

uR τ

2τ

3τ

−

И для любого момента времени = =

= =

(3)

=−

⋅ 2 −1

t

+

−

| =

= 0.

⋅2

=

= ⋅2

=

2

=

а) За время переходного процесса энергия электрического поля, запасённая в ёмкости, выделяется и рассеивается в виде тепла на элементе R. →

б) Переходной процесс теоретически нужно считать от 0 до ∞, но на практике он заканчивается за (3 … 5) .

§1.11. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RC-ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ( )=

R

u(t)

24

C

=

sin(

R, C

+

(0 ) = (0 ) = 0 ————————— , ,

)

R

i

u

C

= ( )

+

+

2)

=

пр

+

+

св

=

= ( )

=

sin(

+

)

R 1

= =

− =

=

sin(

+

sin(

+

= arctg = =

− 90°) =

⋅

+

1

) −

1

1

sin(

+

−

− 90°)

25

R ̇

1

̇

̇ = ̇

= ̇

пр

3) , =

=

sin(

sin(

+

1

+

(

= ̇

−

)

=

= [

sin(

+

°

⋅

]

=

)

(

−

⋅

1

− 90°)

°)

=

− 90°) +

−

=−

(

=

°)

=

0=

=

1

(

=

4)

+

̇

sin(

−

sin(

− 90°) −

− 90°) +

−

− 90°)

sin(

−

− 90°)

1. Рассмотрим случай, когда отсутствует переходной процесс. sin( (

26

−

−

− 90°) = 0

− 90°) =

0

(1)

=

uc

(2)

sin

ωt

⁄2), поэтому принуждён-

В нуле энергии нет ( = 0, = ный режим устанавливается сразу.

2. Максимальный переходной процесс. sin(

sin( (

−

−

−

− 90°) = ±1

− 90°) = −1

− 90°) = −

Подставим это условие в уравнение (1).

uc

=

sin

2

−

3

2

2

(3)

+

ωt t

27

а) В случае максимального переходного процесса максимальное значение uс может достигать почти удвоенного амплитудного значения. б) Это может быть аварийный режим. Уравнение для тока: =

=

=

sin(

−

cos( −

=

+

−

− 90°)

− 90°) − −

1

§1.12. ПОДКЛЮЧЕНИЕ RLC-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ , , , (0 ) = (0 ) = 0 (0 ) = (0 ) = 0 ————————— , , ,

R

U C

L

Для цепи после коммутации составим исходное дифференциальное уравнение, то есть обойдём по второму закону Кирхгофа. i

R

U C

28

L

+

+

+

+

=

+

=

=

+

=

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно uc.

2)

3)

= св

пр

+

=?

св

пр

св

св

+

+

+

а)

2

>

1

=

=−

2

+ ±

+

св

+1=0

1

2

=0

=0

−

1

(1)

В этом случае получаем корни действительные. Апериодический режим работы цепи. б)

2

=

1

Это предельный случай апериодического режима (критический режим).

29

в)

<

2

1

В этом случае комплексные корни, колебательный режим.

Рассмотрим случай а.

4)

=

пр

+

св

=

=

св

+

+

Образуем второе уравнение. св

+

0= + + 0= ( +

− 0 = 1

=

=

= (

=

=

+

1

+

1

+ +

1

− 0 −

=

=− =0

−

=

− −

−

−

)

+ )

= = −

− −

−

а) В этом случае корни всегда вещественные, отрицательные. б) | | < | |, в) (

30

−

) > 0.

>

.

=

−

|

|>|

+ |

(2)

uc

U +B2 τ –B1

В выражение (2) подставим 0.

=

(0) =

=

+

=

−

−

−

i

|

(

− −

)

−

−

|=|

=0 −

= (3)

|

B3

τ –B4 Первый закон коммутации выполняется.

31

=

= =

− −

|

uL

(4)

=

−

−

|<|

|

=

−

(5)

−

B6

τ –B5 Подставим ноль в выражение (5), то есть найдём (0) =

−

Покажем, что

−

= 1.

Из уравнения (1)

= − 2

б) Критический режим.

32

=

−

−

+ 2

=

(

−

(0).

)=

−

1

−

1

− =

1

−

−

−

=−

= 4)

=

пр

=

+

=

св

=

+

св

2

2

2

√

=

= (

±

+

0= 0= (

= (− =

= =

2

1

=

=2

−

+

=

+

= (

)

+

+

=

(2) +

)=

+

)

в) Колебательный режим работы цепи.

=−

=− ±

2

±

=

− 2

)

+

=− =− = −

(1)

кр

+

+

1

2

−

1

(1)

=− ±

33

=

1

=

— частота затухающих колебаний контура.

−

3) В этом случае удобно искать свободную составляющую в форме затухающего синуса: св

4)

=

=

=

пр

=

+

св

sin( =

+

(− ) sin

0=

sin

+

0 = + sin (− ) sin + =−

sin

+ )

+

cos

sin = cos

tg

ω0

cos

+

(2)

(3)

=

=

+

(4)

ωf

θ δ =

Построим уравнение (5).

34

−

sin

sin св

+

(5)

uc U

t –U а)

св (0)

в)

=

б)

=− +

sin( ) = −

sin св

Найдём ток = =

=

sin

+

sin +

=

=

−

−

sin

sin

sin

sin

cos

; tg

=

=

=

sin

sin( + ) ;

+

−

+

cos

+

+

(− ) sin

sin(

+

cos

+

=

+ )

− =

= arctg

tg

=−

sin

=

= sin

sin

(6) (7) 35

i

i(0)=0 t

=−

=

=

sin

= −

=

(− ) sin

cos

=−

=−

sin

tg =

sin

+

=−

=−

sin

(8)

sin

=

sin

cos

+

+

− sin

(9)

−

uL U

t

36

sin

=

а)

(0) = −

sin

sin(− ) = .

б) Учтём затухающий множитель

.

Выводы.

1) Мы исходили из уравнения + + = . Оно верно для (0) + (0) + (0)= любого момента времени, 0 0 2) Δ =

=

(

)

=

Δ — декремент затухания. Определяется как отношение двух амплитуд через период.

3) Логарифмический декремент затухания: ln Δ = =

ln Δ

§1.13. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ RLC-ЦЕПИ R

U C

L

, , , ————————— , , ,

До коммутации: (0 ) = (0 ) = 0

(0 ) =

(0 ) =

37

После коммутации: R

L

C i uc (0) ≠ 0 +

+

+

2)

+

3)

св

+

+

+

38

+

=

=

=0

=0

+ пр

+

пр

=0

св

=?

+

св

=0 св

+

+1=0 1

=0

св

=0

=−

±

2

−

2

1

(1)

Если первое слагаемое под корнем больше второго — апериодический режим. Если оба слагаемых одинаковы, корни кратные — критический режим. Если первое слагаемое меньше второго — колебательный режим. а) Апериодический режим.

4)

=

св

=

пр

=

>

+

= (

св

= 0= (

=

0 1

= =−

+ +

1 1

=

1

−

0

=0+ + +

=

=

−

|

−

|>|

−

)

)

=−

− −

+

+

=0

+

−

=+

=

+

− −

=

(2)

|

39

uc B1

t –B2 Докажем, что

(0) = .

(0) = −

=

=

=

−

+

−

−

−

− i

=−

−

+ +

=

+

(

− −

−

−

)

=

=

=

(3)

B4

i(0)=0 t –B3

= 40

=

=

=

−

−

−

−

+

+

−

−

=

−

=

−

+

|

uL

|<|

(5)

−

|

B5

i(0)=0 t

–U –B6

=

−

(0) = (

−

б) Критический режим.

−

( − − ) 2

=

2

3)

=

св −?

св

4) =

пр

+

2

=−

=

1

= св

=

−

=−

1

√

=2

√

=

)

+

=

кр

+

=

=0+

+

41

=

(

=

0= ( =−

= (

= =

в)

=−

=− ±

3) 4) =

=

=

0=

=

пр

−

=−

(2) )=− =−

=− ±

=

=

+

(− ) sin

sin

=0+ +

= sin (− ) sin +

sin

−

−

св

=

=

(

− 1)

1

<

2

)

−

−

−

св

+

=

)

+

=−

tg

42

=

=

−

+

cos

+ +

=− ±

sin

+

cos

+

cos (3)

=

uc U

(4)

= arctg

sin(

sin

(5)

+ )

t

T –U (0) =

а) =

=

+

б)

(− ) sin

sin

cos(

sin

=−

=−

=−

sin

sin

sin

=

− sin

sin Im

sin

sin

= +

+ ) = +

+

−

sin(

= −

=−

+ cos +

+

+ )

=

(6)

sin

i

i(0–)=i(0+)

t

43

=

(7)

sin

) ⊖

= =

=

=

б)

=−

sin

(− ) sin

−

sin

=

+

=

=

sin sin

−

sin

sin

−

(8)

−

cos

=

=

+

cos

=

(9)

−

uL U

t

T

a)

(0) =

sin б)

sin(− ) = −

Видим для любого момента времени

44

+

=

+

= 0.

Глава 2. Операторный метод расчёта переходных процессов §2.1. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Сложность и трудоёмкость классического метода заключается в пункте 4, в котором мы находим постоянные интегрирования. В отличие от классического метода, в операторном методе ненулевые начальные условия мы записываем в исходную цепь и решаем одной системой уравнений.

1) Оригиналу соответствует изображение ( ) ≓ ( ),

2) Задача решается в операторной форме. Находятся ( )…

=

+

.

( ), ( ),

3) Делается обратный переход ( ) ≓ ( ).

Если при < 0 ( ) = 0, а при t ≥ 0 выполняются условия Дирихле, интеграл ( ) = ∫ ( ) сходится. Это прямое пре-

образование Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа: ( ) =

∮ ( )

.

§2.2. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ 1) ( ) = . ( )=

( ) =

⋅

= −1

=

| = ≓

=

−

| =

45

Например, 2) ( ) =

= 30 ≓ ( ) = 30⁄ .

( )=

(

=

)

1 −

≓ 3) ( ) =

sin(

=

)

+

=

(

)

−( − )

| =

1 ( − )

1 +

≓

( )→ ( )

( )= ̇ ̇ =

( )≓ ( )=

̇

−

=

−

§2.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 1) 2) ∑

⋅ ( )≓

⋅ ( )

( )≓∑

( )

Сумме оригиналов соответствует сумма их изображений.

3) ∑

( )≓∑

( )

Сумме оригиналов с коэффициентами изображений с этими коэффициентами.

соответствует сумма

Всё это вытекает из свойства линейности преобразования Лапласа.

4) Теорема запаздывания:

46

( − )≓ ( )

§2.4. ИЗОБРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ И ИНТЕГРИРОВАНИЕМ

=

( )≓

( ) − (0)

(1)

( ) − (0) =

≓

( )= ( )⋅

(0)

−

( )

(2)

Если начальные условия нулевые, нетрудно получить закон Ома в операторной форме ( → ). ( )= =

( )

+

(3)

Символический метод — частный случай операторного. Другой пример. =

( )−

≓

( )=

( )−

Если начальные условия нулевые ( )= →

1 ( )

= (0) +

1

≓

(0) = ( ) (0)

(4)

(0) = 0, то

( ) 1 = ≓ (0)

( )

+

1

(5)

( )

= ( ) 47

( )

( )= =

(0) +

1

≓

( )= ( )

+

(0)

(0) 1

+

(6)

+

( )

1

(0)

( )

=

(7)

§2.5. ЗАКОН ОМА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ K

U, R, L, C начальные условия — нулевые ——————————— i

R

U

L

C

Для цепи после коммутации составим исходное уравнение по второму закону Кирхгофа.

R

i U

C

48

+

+

=

L

+

+

1

(1)

=

≓ ( )

≓ ( )

( )

≓

≓ ( )⋅

1 Подставим в уравнение (1). ( )+ ( ) ( )=

1

≓ ( )⋅ + ( )

+

( )=

( )

+

+

1

= ( )

=

1

+

1

(3)

( ) ( )

(4)

(5)

— полное сопротивление цепи в операторной форме. Схема в операторной форме следует из уравнений (3) и (4): R

I(p) U(p)

1

→

,

→

pL

1 49

→ ( ) →

→

( )

Ненулевые начальные условия 1. Конденсатор (0) ≠ 0

C

Используем уравнение (7) предыдущего параграфа.

1

( )= ( )⋅

(0)

+

Этому уравнению будет соответствовать схема: ( ) ( )

1

+

(0)

–

≠0

Полярность определяется полярностью исходного элемента. Как источник напряжения: −

Как источник ЭДС:

50

−

( )+ ( ) ( )+ ( )

1 1

+

(0)

=−

=0 (0)

2. Индуктивность (0) ≠ 0

L

В операторной форме строим схему на основании уравнения (6). ( )

( )=

( )= ( )

(0)

− (0)

( )

( )

+

(0)

pL

Так записываются ненулевые начальные условия. Источник тока можем преобразовать в источник ЭДС. ( ) pL

( )

– + −

(0)

( )+ ( )

( )= ( )

∙

=

−

(0) = 0

−

(0)

(0)

51

Закон Ома при ненулевых начальных условиях

K

U, R, L, C начальные условия ненулевые ——————————— i

R

U

L

C

R

i U

L

C

+

+

+

+

=

1

=

≓ ( )

≓ ( )

≓

≓ ( )

1 ( ) + ( ) 52

≓ ( )

−

( ) −

1

+

(0) + ( )

(0)

(0)

1

+

(0)

= ( )

Перенесём начальные условия в правую часть, где источники ЭДС и найдём ток. ( ) + ( )

+ ( )

1

( )+

( )=

= ( )+

+

(0) − +

( )

1

(0)

(0) −

(0)

(4)

R

I(p)

pL U(p)

1

(0)

(0)

а) Начальные условия записываются в исходную схему. б) Направления источников совпадают с физическим направлений этих стрелок. §2.6. ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ =0

(1)

Для любого узла алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю. Сделаем переход от токов к их изображениям. ≓

( ),

≓

( ),

…,

≓

( )

53

( )=0

(3)

Для любого узла алгебраическая сумма токов в операторной форме равна нулю. Правила составления такие же, как в цепях постоянного и переменного тока. i2

Для данного узла

( )+

Второй закон Кирхгофа:

i3

i1

i4

( )−

( ) − ( ) = 0.

=

(4)

Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС. +

+ ≓

( )

≓

1

(5)

( )

(7)

( )

( )

( )=

( )

=

Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма напряжений в операторной форме равна алгебраической сумме ЭДС в операторной форме. Правила составления такие же, как в цепях постоянного и переменного тока.

54

§2.7. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ, МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ И ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ Метод контурных токов ( )⋅

= в − (у − 1)

( )+

( )⋅

( )+

( )⋅

( )

( )+

( )=

( )

( )

( )+

( )=

( )

( )

( )+

( )+

( )=

( )

Метод узловых потенциалов ( )

( )

( )

( )+

(у − 1)

( )

( )+

( )

( )+

( )+

( )

( )=

( )

( )+

( )

( )=

( )

( )+

( )

( )

( )=

( )

Метод двух узлов

( )=

=

∑

+∑

∑

( ) ( )+∑ ( ) ∑

∑

( )

Метод эквивалентного генератора =

( )=

вх

+

( ) вх ( ) + ( )

Все методы будут справедливы и в операторной форме.

55

§2.8. ПЕРЕХОД ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ К ОРИГИНАЛУ 1 2

( )=

1)

( )

2) Использование всевозможных таблиц.

3) Использование теоремы разложения.

( ) = 0:

( ) = 0:

,

,

( )= ,

,

( ) = ( )

( −

( ) = ( )

+ +

+ ⋯+ +⋯+

, … называют нулями полинома. , … — полюсы. −

+

( ) = ( )

) ( ) ( ) =

+⋯+

−

+

− =

=

( )( − ( )

)

−

(1)

− +

=

=

−

−

( ) − ( ) ( )

|

Видим неопределённость 0/0, воспользуемся правилом Лопиталя. =

( ) + ( )1 − ( )

= = 56

…

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

=

( ) ( )

=

( ) = ( )

( )=

( ) ( ) ⋅

1 −

≓

−

(3)

( ) ( )

( )=

Область применения:

(1)

(4)

а) ≤ . Степень полинома числителя не больше степени полинома знаменателя. б) Нет кратных корней знаменателя.

Например, ( )=

100 ( + 500)

( )=0

( + 500) = 0

= 0,

( )=(

= −500

+ 500 ) = 2 + 500 ( ) = 500

( ) = −500

На основании выражения (4) у нас будет два слагаемых (т. к. два корня): ( )=

100 500

+

100 −500

= 0,2 − 0,2

57

Пример. , , —————————

R 1 U

2

L

1) Ищем начальные условия. Напряжение постоянное, ток протекал.

(0 ) = (0 ) =

2)

( )=

( )

R

+

(0)

(0)

pL

Преобразуем источник тока в источник ЭДС.

R

pL I(p) (0) 4) Делаем переход к оригиналу ( ) ≓ ( ).

58

=

(0)

§2.9. ПОРЯДОК РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 1) В цепи до коммутации определяются начальные условия, если они не заданы.

2) Для цепи после коммутации составляется схема в операторной форме с учётом ненулевых начальных условий, ежели таковые имеются.

3) Схема рассчитывается, находится всё, что нам требуется. ( ), ( ), ( ) … ( ) + ( )

( )=

(0) = +

4)

+

=

⋅

+

(0)

=

≓

+

( )=

§2.10. ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Операторной передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу реакции цепи к изображению по Лапласу воздействия на данную цепь. ( )=

Z — изображение по Лапласу. a(t)

ЭЦ

( ) ( )

(1)

b(t)

a(t) — входной сигнал (воздействие); b(t) — выходной сигнал (реакция).

59

вых (

) вх ( )

( )=

— операторная передаточная функция по напряжению. ( )=

вых (

) вх ( )

— операторная передаточная функция по току. вых (

) [Ом] вх ( )

( )=

— операторное передаточное сопротивление цепи. ( )=

вых (

) [Ом ] вх ( )

— операторная передаточная проводимость. Выводы: 1) Операторная передаточная функция не зависит от входного напряжения, а определяется только параметрами цепи.

2) Зная операторную передаточную функцию и воздействия, мы всегда можем однозначно найти реакцию цепи.

вх

C

1

вх

вых

вых

Найдём операторную передаточную функцию по напряжению. вых ( ) ( )= = вх ( )

60

1

+

1

=

1

+1

=

1

+

1

a(p)

?

H(p)

Это задача анализа. В отличие от этого, задача синтеза: знаем a(p), a(t), желаем получить b(p), b(t). Она решается неоднозначно, в отличие от задачи анализа. a(p)

b(p)

?

a(t)

b(t)

x(p) может быть и ток, и напряжение — нас пока это не интересует. ( )=

( ) , ( )

( )=

H1(p) x1(p)

экв ( ) =

H2(p)

( ) , ( )

x2(p)

( ) = ( )

( ) ⋅ ( )

( )= H3(p)

x3(p)

( ) ⋅ ( )

( ) = ( )

( ) ( ) x4(p)

( )⋅

( )⋅

( )

§2.11. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И КОМПЛЕКСНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ ( )=

( ) = ( )

+ +

Если мы формально подставим ный коэффициент передачи. (

)=

( (

) = ) = +

( ) + ( ) + = ( )⋅

( (

=

( )

) )

+⋯+ + ⋯+

, мы получим комплекс+⋯+ + ⋯+

=

+ +

= 61

( )=| ( стика.

)| = √

Ψ( ) = arctg

— амплитудно-частотная характери-

+

— фазо-частотная характеристика.

Пример.

R

R 1

( )

C

( ) = ( )

( )=

1

+

1

1 +1

=

Комплексный коэффициент передачи: (

)=

1+

1

( )=

=

1+

1

√1 + 1+

⋅

1− 1−

=

√1 +

( )

1

=

(1 − 1+

)

— амплитудно-частотная характеристика. Ψ( ) = arctg (− 1

H(jω)

) — фазо-частотная характеристика. ψ(ω)

0

ω

−

ω

При формальном подставлении вместо jω мы переходим к символическому методу от операторной функции.

62

Глава 3. Анализ электрических цепей при произвольном входном сигнале a(t) — произвольный входной сигнал. a(t)

Разбиваем его на a1(t), a2(t), …, ak(t). Ищем реакцию на каждый элементарный сигнал b1(t), b2(t), …, bk(t).

b(t)

ЭЦ

найти

Общая реакция будет равна сумме отдельных реакций цепи. ( )= C

u(t)

( ) Прямоугольный импульс. Начальные условия нулевые. , —————————

u U R t

( )=

t1

Представим этот сигнал в виде двух элементарных сигналов. u U t

t

t1 –U На первом интервале 0 ≤ ≤ На втором интервале

≤

=

, = +

⁄

=

. −

.

63

,

( )=

−

( )=

0≤ ≤ ,

−

uR

,

≤

,

≤

0≤ ≤

U

t1

t

–U Как видим, на входе прямоугольный импульс, на выходе уже непрямоугольный, то есть присутствуют искажения. Выводы: 1) Теория переходных процессов позволяет нам перейти к расчёту реакции цепи при произвольном входном сигнале.

2) Такими элементарными функциями являются единичная функция и импульсная функция. §3.1. ЕДИНИЧНАЯ ФУНКЦИЯ (ЕФ, 1(t), функция Хэвисайда) 1

1(t) t

0 То есть это ступенька величиной 1.

64

1( ) =

0, 1,

<0 ≥0

Она может быть сдвинута по времени.

1( −

)=

0, 1,

< ≥

Если ступенька в k раз больше, то такой сигнал называется сигналом включения. §3.2. ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ ( ( ), функция Дирака). Единичный импульс:

A t

τ ⋅ =1

Единичным импульсом называется импульс прямоугольной формы, интенсивность которого, или площадь, равна единице. Увеличивая амплитуду до бесконечности и уменьшая длительность до нуля, получаем импульсную функцию. ( ) ( )= δ(t)

0, ∞,

=1

≠0 =0

0

( −

t

)=

0, ∞,

≠ =

65

δ(t–t1) t

t1

Найдём связь между импульсной функцией и единичной функцией. = 1 = 1( )

( ) ( )=

1( )

( )=

( )

Если интенсивность не единица, а в k раз больше, такой сигнал ( ) называется импульсом воздействия. [В] [А]

§3.3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕПИ a(t)

ЭЦ

воздействие

ℎ( ) =

b(t) реакция

( ) = 1( )

( ) ( ) |н.н.у. = | ( ) 1( ) н.н.у.

Переходной характеристикой цепи ℎ( ) называется отношение реакции цепи b(t) к сигналу включения a(t) при нулевых начальных условиях. ℎ( −

)=

( − ( −

) ( − 1) |н.н.у. = | ) 1( − 1) н.н.у.

1) Переходная характеристика цепи — это фактически реакция цепи на функцию Хэвисайда.

66

2) Размерность:

на входе

U

I

u

→

безразмерная

i

→

[Ом-1]

u

→

[Ом]

i

→

безразмерная

3) Переходную характеристику цепи можно рассчитать классическим или операторным методом как реакцию на ступеньку в 1 В или ступеньку в 1 А. Пример. i

, , н. у. — нулевые

C

ℎ( )

R

U

Подключим постоянное напряжение величиной U. Начальные условия нулевые. Определить переходную характеристику по току для данной схемы. ℎ( )=

=

=

1

Ом

Найдём переходную характеристику по напряжению на элементе R. ℎ ( )=

=

=

Найдём переходную характеристику по напряжению на элементе С. ℎ ( )=

=

−

=1−

67

§3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЦЕПИ ℎ( ) =

( )⋅

1

(1)

— обратное преобразование Лапласа. Покажем справедливость выражения (1) на том же примере.

I(p)

1

1)

( ) ( )= = ( )

1 1 = = ( ) ( ) ( ) ( )⋅

2) Имеем

1

=

1

+

1

+

1

( ). Найти ℎ ( ).

( )=

( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( )⋅

68

2)

( ) ℎ ( )

3)

( ) ℎ ( )

R

U(p)

1)

( ) ℎ( )

1

=

1

+

+ 1

≓

1 ≓

1

=

+1

=

1

=

+1

=

+

1

+

1

1

3) По

( ) найти ℎ ( ). ( )=

1 ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) 1

( )⋅

1

+

=

+

1

Воспользуемся теоремой разложения. ( )=

( )=

= 0,

( )= ( )=

1

1

1

+ 1

+ ,

+

−

1

1

=

1

1 = +1

1

+

1

1

1 =−

=0 1

=2 +

1

( )=−

1

=1−

§3.5. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕПИ g(t) a(t) — импульс воздействия. ( )=

( ) | = ( ) н.н.у.

a(t)

ЭЦ

b(t)

( ) | ( ) н.н.у.

Импульсной характеристикой цепи называется отношение реакции цепи к импульсу воздействия при нулевых начальных условиях.

69

Если импульсная функция с задержкой на время ( −

)=

( − ( −

) | = ) н.н.у.

, то

( − ) | ( − ) н.н.у.

1) Импульсная характеристика — это фактически реакция цепи на функцию Дирака.

на входе

2) Размерности:

u

i

3) Поскольку ( ) =

u

→

безразмерная

i

→

[Ом-1]

u

→

[Ом]

i

→

безразмерная

1( ), то

( )=

Пример.

ℎ ( ).

1)

R

1)

2)

3) 70

( )=

( )=

( )=

1

1−

=

1

=

=−

ℎ( ) ( )

−

−

1

1

2)

=−

=−

−

1

ℎ ( ) ( )

1

=

1

1

3)

ℎ ( ) ( )

§3.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЦЕПИ ( )=

Пример.

I(p)

1

2)

( ) ( )

( ) ( )

3)

R

( ) ( )= = ( )

1 1 = = ( ) ( ) ( )

1

+

Воспользуемся теоремой разложения. =−

2)

(1)

( ) ( )

1)

U(p)

1)

[ ( )]

( )=

( )=−

1

⋅

1

1

=−

=

+1

=

+

1

1

( )=1

( ) ( ) = = ( ) ( ) ( )

1

1

1

=

1

+

1

=

+1

=

+

1

( )=1 71

( )=

−

3)

1

1

( )=

+

( )=

1

H(jω)

1

1

=− 1

1

=−

( )=1 =−

1

1

H(p)

h(t)

g(t)

§3.7. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ Этот метод позволяет найти реакцию цепи при произвольном входном сигнале. Расчёт ведётся во временно́й области.

a(t)

ЭЦ

b(t)

( ) = 1( )

сигнал включения Представим входной сигнал в виде набора ступенек.

72

a(t)

a(x) a(0)

Δa

Δx x Произвольный сигнал мы представляем в виде ряда элементарных сигналов. Переходная характеристика: ( ) ( )

ℎ( ) =

Из этого выражения найдём реакцию цепи.

1) ( ) 2) 3)

= , Δa …

( )

Δ ⋅ ℎ( − ) =

(0) ⋅ ℎ( )

Δ ℎ( − )Δ ≅ ( )ℎ( − ) Δ ∑ Δ ⋅ ℎ( − )

( ) = (0) ⋅ ℎ( ) +

Уменьшая Δ , перейдём к

Δ ⋅ ℎ( − )

.

( ) = (0) ⋅ ℎ ( ) + ( )=

( ) ℎ( − )

( )

|

(1)

(2)

Выражение (1) — это и есть интеграл Дюамеля.

73

Пример. i

C

( )= ( )= R, C н. у. нулевые

u(t) R

u(t)

0

t

( )=

Рассмотрим все составляющие интеграла Дюамеля.

(0) = (0) = 0

ℎ( ) = ℎ ( ) = ( )

( )=

1

|

ℎ( − ) = ℎ ( − ) =

Подставим в выражение (1). ( ) =0+

1

=

1

=

=

1⁄

=

| =

=

−1

Другая форма сигнала: затухающая экспонента. i u(t)

( )= ( )= R, C н. у. нулевые

u(t) C

R

0

t

(0) = (0) =

ℎ( ) = ℎ ( ) =

74

( )=

−

1

|

1 =−

( )=

1

( )=

=

+

(−)

⋅

−

1

=

=

−

§3.8. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ ДЛЯ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ a(t)

[a2(t1)-a1(t1)]

a1(t)

a0(t)

a2(t) t1

0 Интервал 1. 0 ≤ < ( )=

Интервал 2: = ( )=

(0)ℎ( ) +

Интервал 3: ( )=

≤ <

(0)ℎ ( ) + +

Интервал 4. = ( )=

.

+

(0) ⋅ ℎ( ) +

.

( )ℎ ( − )

( ) ⋅ ℎ( − ) +

( )−

( ) ℎ( −

)

( )ℎ( − )

+

( )−

( ) ℎ( −

)+

( )ℎ( − )

+

( )−

( ) ℎ( −

)+

( )ℎ ( − )

(0)ℎ ( ) +

t

t2

( )ℎ( − )

+

( )ℎ( −

)

75

( ), ( ), ( )= ⎨ ( ), ⎩ ( ),

0≤ < = ≤ < =

⎧

Пример 1.

R, C

u(t) = a(t) C

R

u(t)

0

b(t) = uR

t t1

Исходный сигнал можно представить на двух интервалах.

I) 0 ≤ <

II) = 0

u U 0

+

t

( )=

0

(0)ℎ( ) +

( )ℎ( − )

+

(0) =

ℎ( ) = ℎ ( ) =

ℎ( − ) = ℎ ( − ) = ( )=

⋅

+

0=

( )= 76

u

⋅

,

( )=

+(0 − )ℎ( − ( )=

=

−

⋅

,

(0)ℎ ( ) +

( )ℎ( − )

+

⋅

t

t1

0− ⋅

0≤ ≤

=

⋅

⋅

⋅

)

+

+

=

Пример 2. Треугольный импульс.

R, C

C

b(t) = uR u(t)

R

u(t)

0

t t1

( )= I) 0 ≤ <

+

0,

0≤ < = II) = 0

u(t) U

( )=

,

t (0)ℎ( ) +

t t1

( )ℎ( − )

+

(0) =

ℎ( ) = ℎ ( ) = =

( )

( ) =0+ =

−1

( )= +(

=

( )=

=

=

( ), 0 ≤ < ( ), = 0

(0)ℎ ( ) +

( )ℎ( − )

−

( ) =0+

=

ℎ( − ) = ℎ ( − ) =

u(t)

)ℎ( −

=

⋅

)

1⁄

−1

+ = |

=

77

Глава 4. Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей при произвольном входном сигнале §4.1. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

( )=

sin ( )= =

+

1 2

sin(

+

+

− 2

= (

⋅ (

+Ψ )

⋅

̇ = ̇ =−

(1)

(2)

)

−

− 2

(

)

⋅

= )

(3)

(4)

— комплексная амплитуда.

Тогда с учётом (4) уравнение (3) будет иметь вид ( )=

78

+

1 2 ̇

(5)

§4.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ f(t)

t T Если функция несинусоидальная, но периодическая, её можно представить в виде ряда Фурье. Если функция непериодическая, её можно представить в виде интеграла Фурье. Непериодическую функцию можно рассматривать как периодическую с периодом ∞. Поэтому мы от ряда Фурье перейдём к интегралу Фурье с условием → ∞. ( )=

(

+

( )=

̇ = Подставим

,

sin

+

( )= =

+

+ sin(

1 2

)

+Ψ ) ̇

cos Ψ +

cos

sin Ψ =

(1)

(2)

(3) +

(4)

в (4).

= =

2

1 ⁄ ⁄

⁄

( )

(5)

( ) sin

(6)

⁄

79

̇ =

=

2

⁄

2

( ) cos

⁄

( ) sin

( ) cos

( )(cos

2

=

2

+

2

=

(7)

− sin

( )

= )

= (8)

Подставим в (8) выражение (3). ( )=

+

1 2

⋅

2

Выражение (9) проанализируем при 1) 1

=

→∞

∫

⁄ ⁄

2) =

( )

= 2

( )⋅

(9)

→ ∞.

2

→∞

=0

=

3) ( + 1) − ( ) =

2

→

( )=0+ (

80

)=∫ 1 ( )= 2 ∫

( ) (

)

⋅

2

( )

(10)

— прямое преобразование Фурье — интеграл Фурье

§4.3. АНАЛОГИИ МЕЖДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЛАПЛАСА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ ППЛ ( )=

1)

ППФ

( )

(

1)

)=

( )

p = jω <0

2)

( )=

3)

(

( )=

( )=0

1 2

)=

1 2

( )

2) ( ) =

( ) (

1 2

→ (

)

)

Пример. u t

( )=

Найти спектр этого сигнала:

(

).

Запишем преобразование Лапласа. ( )=

+

81

(

(

)=

)= +

( )=| (

=

+

)| =

( )

= ( )

− −

=

√

+

+ +

( − =

√

)

+

— амплитудно-частотная характеристика данного сигнала. ( ) = arctg −

— фазо-частотная характеристика.

§4.4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА

(

)=

=

=

( )

=

( )(cos

( ) cos

= ( )−

( )

− sin −

( )

( )=

( ) cos

( )=

( ) sin

— вещественный (чётный) спектр сигнала.

— мнимый (нечётный) спектр сигнала.

82

)

=

( ) sin ( )

= (1)

( )=

( )+

Ψ( ) = arctg

(

( ) ( ) ( )

)= ( )−

( ) — АЧХ.

( )

( )= ( )

— ФЧХ.

Пример: прямоугольный импульс.

A

f(t) t τ (

)−?

Данный сигнал можно представить в виде двух сигналов включения.

A t

τ –A ( ) = 1( ) − 1( − )

Используем преобразование Лапласа. ( − )≓ ( ) 1 1( − ) ≓

Подставляя

=

( )=

— теорема запаздывания. −

, запишем (

)=

= 1−

(1 − .

)

83

§4.5. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА

A

f(t) t τ

(

), ( ), Ψ( )−?

Второй путь — использование прямого преобразования Фурье. ( (

)=

=

)=

( )

=

=

1−

−

0

=

−1 =

−

Приведём данное выражение к виду, когда можно будет использовать формулу Эйлера.

(

)=

2

sin

2

−

=

Проанализируем АЧХ.

F(ω)

− 2

=

( )=

2

2

sin

sin

2

=

2 ω

84

2

4

6

2

sin

2

sin

′(

2

= 0:

sin

= 0) =

= 1:

2

2

=

,

(0) =

2 ⋅ cos 1

2

⋅

= 10

2

0 0

=

(2 + 1)

=0

=2 =

Например, для

=

= 1, 2, 3 …

=2 ⋅

2

=

2

1

= 10 Гц.

с

Чем уже импульс, тем сложнее строить аппаратуру.

F(ω) ω 2

4

Ψ(ω)

6

ω

–π 1) 2)

3)

= 0, Ψ( ) = 0. =

=

2

2

,

,

Ψ( ) = −

Ψ( ) = −

2

2

=− 2

2

=−

85

4)

=

5)

=

3 4

, ,

(

)=

Ψ( ) =

2 −

sin

4

3

2

=

2

= −2 2 =− =0 +j

+1

ω ∞

§4.6. ПОРЯДОК РАСЧЁТА РЕАКЦИИ ЦЕПИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ ПРИ ПОМОЩИ ЧАСТОТНОГО (СПЕКТРАЛЬНОГО) МЕТОДА a(t) воздействие

ЭЦ

b(t) реакция

1. Интеграл Дюамеля позволяет рассчитать только во временной области.

2. Интеграл Фурье позволяет сделать ту же работу, но в комплексной плоскости. И тот, и другой метод работают при нулевых начальных условиях. Иначе — реакция от начальных условий рассчитывается отдельно любым другим методом, и, поскольку цепи линейные, по принципу суперпозиции результат складывается. Порядок расчёта: 1) ( ) = 86

вх (

)→

вх (

)= ̇

2) Отдельно рассчитывается комплексный коэффициент передачи: (

вых (

)=

вх (

̇ ) = ̇ )

3) Рассчитывается выходной сигнал (спектр): вых (

)=

вх (

) (

4) Переходим к функции времени. вых (

Пример.

)→

R

Uвх(t)

вых (

)

) вх

Uвх U0

C

Uвых(t) t

1)

вх (

)=

вх (

)=

Вместо формально подставляем зование Фурье.

2) (

)=

̇ вых ̇ вх

=

1

+

вх (

1

=

)= 1

+

+

=

R, C —————— ( ) = вых ( )

, найдём прямое преобра-

+ 1

87

3)

вых (

)=

вх (

)⋅ (

Формально заменим вых (

)=

вх (

)⋅ (

+

на р. )=

+

⋅

⋅ 1

+

+

)=

1

−

1

1

1 1 ( ≓ ( + )( + ) ( − ) вых (

88

)=

1

− −

)

Глава 5. Нелинейные электрические цепи при постоянном воздействии Линейными электрическими цепями называются такие, в которых все входящие в них элементы являются линейными. Нелинейными электрическими цепями называются такие, в которых хотя бы один элемент является нелинейным. Вольт-амперная характеристика: U

3 2

1 4 I

= ⁄ — линейный элемент R. Величина его не меняется.

Если величина R меняется от напряжения или от тока, то это уже нелинейный элемент (кривые 3, 4). Вебер-амперная характеристика: Ψ

3 2

1 4 I

Ψ=

= Ψ⁄ — линейный элемент. А если величина индуктивности зависит от потокосцепления или от тока, мы получаем нелинейный элемент (кривые 3, 4).

89

Кулон-вольтная характеристика: 3 2

Q

1 4 U

=

= ⁄ — линейный элемент С. Если величина С зависит от заряда либо от приложенного напряжения, мы получаем нелинейный элемент С. В нелинейных цепях нельзя использовать метод наложения и методы, на нём основанные: метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Остаются закон Ома и законы Кирхгофа. Если раньше мы писали

=

+

+

, то в нелинейных

∫

цепях мы должны учесть нелинейность самих элементов: = () +

( ( ) )+

1 ( )

.

Это уравнение приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, решать которые более сложно, чем линейные. Решая нелинейные цепи, необходимо иметь ВАХ, ВбАХ, КВХ элементов R, L, C. Характеристики нелинейных элементов могут быть симметричными и несимметричными. f( ) 2

f( При 90

=

(

f(

1)

2)

1

) = − (−

) — условие симметрии.

Если равенство не выполняется, будет несимметричная характеристика: f( )

Характеристики нелинейных элементов могут быть неоднозначны.

B

H

§5.1. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Самая широкая. Основные направления: 1) Выпрямление сигналов.

2) Модуляция и демодуляция сигналов.

3) Умножение и деление частоты.

4) Стабилизация напряжения.

5) Генерирование сигналов.

6) В различных функциональных схемах.

91

§5.2. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1) Нелинейное сопротивление (например, термосопротивление или термистр).

U

I 2) Полупроводниковый диод.

U

I

3) Кремниевый стабилитрон.

U

I

4) Туннельный диод.

U

I

92

В этой главе мы будем рассматривать нелинейные сопротивления (так как напряжение постоянное). Нас будут интересовать лишь вольт-амперные характеристики.

U U0

ΔU

ΔI

I0 Различают ст

≠

Если

д

ст

=

и

д

=Δ

в одной и той же точке.

ст

=

д,

Δ ≅

I .

имеем частный случай: линейную цепь.

§5.3. МЕТОДЫ РАСЧЁТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Все методы можно подразделить на графические, графоаналитические и аналитические. Графические методы Метод преобразования а) последовательное соединение ( ),

R1 (I) I

U

R2 (I)

( ) экв (

)

Пусть ВАХ имеют вид:

93

U ( )

I

I0

( )

По второму закону Кирхгофа можно записать баланс напряжений для любого значения тока: =

U

( )+

0

( ) э(

)

( )

I

I0

( )

Мы свели схему к эквивалентной с одним сопротивлением э ( ).

I0

Rэ(I)

U0

Пересечение

с кривыми

,

→

даст напряжения

.

,

Так же и для n последовательно соединённых элементов. б) параллельное соединение I U

94

R3 (I)

R4 (I)

( ),

( ) э(

)

U

( ) ( )

э(

0

I

)

По первому закону Кирхгофа для любого U: =

( )+

( ).

В данном случае мы суммируем абсциссы при произвольном значении U. То есть эту схему мы свели к эквивалентной: I0 Rэ(I)

U0

Пересечение с кривыми

,

→

даст нам значения тока

,

.

Та же процедура для n параллельно соединённых элементов. в) смешанное соединение ( ),

R1 (I) I R2 (I) U

R3 (I)

( ), э(

( )

)

95

U

э(

)

( )

( ) ( ) ( )

I

Сначала объединим два параллельных сопротивления в одно (складываем абсциссы U2 и U3).

R1 (I) I R23 (I)

U

Для каждого тока суммируем ординаты

и

. Имеем

Схема сведена к одному эквивалентному сопротивлению.

I0 Rэ(I)

U0

→ 96

↗ →

→ ↘

э(

).

Графоаналитические методы 1. Замена нелинейного активного двухполюсника одним нелинейным элементом U (I)

E 1

R (I)

I

2

U12 Например, пусть это будет полупроводниковый диод.

U

I

Обойдём воображаемый контур между точками (1) и (2). + ( )=

−

= ( )−

Построим.

U

U U12 I –E

Изменим направление ЭДС на противоположное.

97

U (I)

E 1

R (I)

I

2

U12

U

= ( )+

U12 U

E

I

2. Метод линеаризации в окрестностях рабочей точки U

I Можем заменить эту кривую уравнением касательной в окрестностях рабочей точки.

U A E I =

=

д

+

+

Исходя из этого уравнения, строим схему.

98

I U

Rд

Проверим. − + +

д

д

=−

=

Схема соответствует исходному уравнению. Можем перейти к источнику тока.

I U

=

Rд

=− +

При этом элементы линейные.

д

−

+

д

д

=0

Пример 2.

U A I

–E =

−

99

=

I U

−

д

Rд

I Rд

U

=

Аналитические методы расчёта а) кусочно-линейная аппроксимация y α

x1

=

0, ( −

),

= tg

x < ≥

y с α x1

x

x2

Эту кривую можно представить в виде трёх линий. =

100

0, ( − ), ,

< ≤ ≥

<

д

б) аналитическая аппроксимация y y4 y3 y2 y1

= ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

=

x1

x2 x3

=

+

=

+ +

=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

Δ=

1

1

1

=

+

+

,

Δ =

Δ , Δ

+⋯

+

Найдём из этой системы коэффициенты 1

x

x4

=

+

,

,

,

.

,… Δ … Δ

§5.4. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ Четырёхполюсник, у которого значительное изменение входного напряжения приводит к незначительному изменению выходного напряжения, называется стабилизатором напряжения.

101

ΔUвых

ΔUвх

Для оценки свойств стабилизатора вводится коэффициент стабилизации: =

R

Δ вх ⁄ Δ вых ⁄

вх

вых

+

U КС

I

Rн A

–

ΔU

— кремниевый стабилитрон.

R — для задания рабочей точки А, Rн — сопротивление нагрузки. Эквивалентная схема в окрестности рабочей точки: R

ΔIвх

ΔUвх

ΔUвых

Rн

Rд

Исходя из схемы, оценим необходимые требования: Δ

102

вх

=

Δ

+

вх

д н

д+

н

=

Δ

д

вх ( д

+

н

+

+

н) д

⋅

н

Δ

вых

Δ

=

д

вх ( д

+

н

Δ

+

+

вых

н) д

⋅

=Δ н

⋅

вх д

д

д н

+

д н

+

н

Оценим коэффициент k стабилизации.

=

Δ

вх вых

вх Δ вых

=

вых вх

⋅

(

д+

н

+

д н

д

н

=

н)

Из последнего выражения видно, что при

д

=

Δ

+

вых вх

→∞

вх д н

+

н

+

⋅

д

д н

д

→ 0.

н

⋅ +

н

н

§5.5. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ОДНИМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ U A

U1(I)

R1(I)

I Отключим нелинейный элемент и исследуем эту цепь. С помощью МЭГ можем найти = э и вх = э . a

Uab вх = Eэ

A b

Rвх = Rэ Наша линейная цепь может быть представлена в виде эквивалентного генератора.

103

I

Eэ U

Rн

Rэ

Подключим линейное сопротивление нетрудно определить. =

+

э

э

+

э

н

н.

Потечёт ток I, который

н

=

Из этого уравнения найдём внешнюю характеристику. =

−

(1)

э

U Eэ I

Iкз

кз

tg =

кз э

= =

э

э

э э

= arctg 104

э

1

=

э

1

э

(2)

Вернёмся к нелинейному элементу. a Eэ R(I)

Rэ b Его ВАХ: U

U

Eэ

U1(I)

U0 I

I

I0

Пересечение кривой и прямой даст нам

и

.

§5.6. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ УЗЛАМИ 2 E2

R1(I1) E1

R2(I2)

R3(I3)

1 U

( ) ( ) ( ) ,

, ,

U1(I1) U2(I2) U3(I3) I

105

Зададимся направлениями токов в ветвях.

2 I1

U12 I2

I3 E2

U1(I1) E1

U2(I2)

U3(I3)

1 Обойдём воображаемые контуры, составляем уравнение второму закону Кирхгофа. −

( )+

( )=

( )−

( )=

( )=

( )−

( )−

(1)

( )=0

( )=

( )=

( )+

(2)

( )

Построим кривые на основании системы (2).

U

U12(I2)

E2 U12(I3) I U12(I1) –E1

106

по

Из этих выберем такое, которое удовлетворяет первому закону Кирхгофа. Суммируем абсциссы. Согласно уравнению баланса токов ∑ = 0 найдём , при котором ток равен нулю. ( )=

+

→ ВАХ →

Из второго уравнения системы (1) найдём ток ( )=

( )=

( )=

−

−

→ ВАХ →

.

→ ВАХ →

→ ВАХ →

§5.7. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

A

R1(I1)

( )

( )

R2(I2)

токи

На первом этапе отключим нелинейные элементы. d

a Eэ1 = Uab xx

A

Eэ2 = Ucd xx

Rвх 1

Rвх 2 b

c

Воспользуемся методом эквивалентного генератора. Нас даже не интересует структура цепи. Заменим её на эквивалентную. У нас останется пассивная цепь, которую можно представить в виде Т-образного четырёхполюсника.

107

Eэ1

Eэ2

a

d

b

c

Возвратим на место нелинейные элементы. a

Eэ1

Eэ2

1

d R2(I2)

R1(I1) 2

b

c

Получили схему с двумя узлами. Как её рассчитывать — см. §5.6. §5.8. РАСЧЁТ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ (МЕТОД ИТЕРАЦИЙ) Познакомимся с методом на примере с одним нелинейным элементом.

U Eэ R(I)

Rэ

′′ ′

ст ст ст

′′

I

Приблизительно можно сказать, какое будет сопротивление взяв среднюю точку , .

108

=

+

ст

→

ст ,

По ВАХ находим соответствующее напряжение ′ и сопротивление ст. Подставляем, проверяем. Согласно нашей схеме, =

Опять же по ВАХ находим

=

+

,

+

ст

→

ст

→ ′′′

ст .

Проверяем по этой схеме.

И так можно делать сколько угодно, пока не попадём в рамки некой погрешности ( ) − ( ) ≤ Δ.

Рассмотрим схему более сложную, с тремя и более нелинейными элементами.

I1

R1(I1)

R2(I2) I2 I3

E1

R4

R3(I3)

E2

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа, они справедливы для нелинейных цепей. −

+ =0 ( )+ ( ) = ( )+ ( ) = + Зададимся нулевым приближением

ст ,

ст ,

(1)

ст .

Подставляем эти значения в систему (1), находим токи, не совпадающие с нулевым приближением ст , ст , ст . Находим ст , ст , ст . Подставляем в (1). Получаем ст , ст , ст , по ВАХ находим ст , ст , ст, подставляем в (1), получаем ст, ст, ст и так далее, пока не уложимся в заданную погрешность.

109

Глава 6. Нелинейные электрические цепи при гармоническом воздействии Различают инерционные нелинейные элементы (ИНЭ) и безынерционные (БНЭ). ИНЭ — такие, параметры которых не меняются за период действия напряжения или тока. Например, электрическая лампа. БНЭ — такие, параметры которых изменяются за период действия напряжения или тока. При расчёте этих цепей необходимо использовать ВАХ, ВбАХ, КВХ для мгновенных значений. Из ВАХ получим безынерционное нелинейное сопротивление БНС. Из ВбАХ — безынерционную нелинейную индуктивность БНИ. Из КлВХ — безынерционную нелинейную ёмкость БНЕ. Ф(t)

u

i

БНС

110

q

i

БНИ

u

БНЕ

§6.1. ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕЗЫНЕРЦИОННОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ i

u

Реальные прототипы: - полупроводниковый диод; - электронная лампа.

В зависимости от того, насколько эта характеристика близка к идеальной, мы можем использовать кусочно-линейную аппроксимацию. а) В первом приближении при большом токе получаем прямую линию: i

VD

u

Это так называемый идеальный диод, у которого R в прямом направлении пр = 0, а в обратном R обр = ∞.

б) Если

пр

мы должны как-то учесть, тогда вольт-ампероную

характеристику можно представить с помощью линейной аппроксимации в виде двух линий.

кусочно111

Получаем последовательно соединённый идеальный диод и i

VD

Rд

д.

Rд

u

пр

обр

=

д

=∞

в) i

VD

Rд

Rд

E

u U − При = 0 получаем источника ЭДС.

112

=

д

=− д

+

= , поэтому именно такое направление

§6.2. ПРИМЕНЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫПРЯМЛЕНИЯ СИГНАЛА = sin ВАХ, r.

i u

rн i

ВАХ зависит от того, идеальный ли диод. i

i

I0

u

T/2

T

t

u T/2 T t Это схема так называемого однополупериодного выпрямления. Периодический несинусоидальный сигнал можем разложить в ряд Фурье, где будет постоянная составляющая . =

+

2

sin =

− +

2

2

sin

чётн

−

cos = ( − 1)( + 1) 2

1 cos 2 1⋅3

+

1 cos 4 3⋅5

113

Убедимся. =

1

=

sin

=

1

+ (−) cos

=

⋅2

=

1

= | =

=

⋅

(−)

⋅2 = 2

=

sin cos

2

− cos 0 =

Двухполупериодное выпрямление сигнала. Если мы хотим увеличить постоянную составляющую, то надо перейти к двухполупериодной схеме выпрямления. i u

rн

+

I0

–

t

Ряд Фурье для этой функции: =

2

−

4

чётн

cos ( − 1)( + 1)

Найдём среднее значение. Для периодической функции оно берётся за полупериод. =

114

1 ⋅ ⁄2

=

2

=

2

cos

sin

⁄2

0

=

2

= ⋅

2

sin

2 2 = 2 ⁄

=

§6.3. БЕЗЫНЕРЦИОННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ Ф

B

i

H

1) Из основной кривой намагничивания видим нелинейность: ×

=

=Ф

=

ВбАХ:

2) Потокосцепление также нелинейно. Ψ A

Ψ0

i

i0 Ψ= ст

д

=

=

Ψ

ΔΨ Ψ ≅ Δ d

— динамическое, или дифференциальное. В любой точке Если

ст

=

д,

ст

≠

д.

имеем частный случай: линейную цепь.

115

3) Напряжение связано с ЭДС самоиндукции следующим образом: =−

Ψ

=

Ψ

=

=

В линейных цепях мы имели

д

=

неправомочно.

Ф

=

. Здесь это утверждение

§6.4. ПОДКЛЮЧЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ i

=

u

sin

+

2 ВбАХ , , Ф( ),

(Для обозначения мгновенных значений Ф, Ψ, строчных букв, посему лучше писать Ф( )).

Ф=

1

=

=

1

Ψ

cos

=

Ф =

116

=

√2

=

2

√2

Ф

=

cos

не используют

Ф

=

sin

+⏟= ∥

Ф( ) = Ф sin

где

=

Ф

= 4,44 ⋅

⋅

⋅Ф

=

Ф

sin (2)

(3)

Ф

Ф

T/2

i

0 1234

T

t

0 1234

i T/2 T

t Получаем несинусоидальную форму тока. i, u, Ф(t), eL i

eL

ωt

Ф

u

Выводы: 1) Напряжение и поток синусоидальны, однако ток имеет несинусоидальную форму.

2) Кривая тока симметрична относительно оси абсцисс, поэтому имеет нечётные гармоники , , , ….

3) Активная мощность =

cos

∥

+

∥

cos

+

∥

cos

+⋯=0

117

§6.5. КРИВАЯ ТОКА ПРИ НАЛИЧИИ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА Начнём с ВбАХ. Ф

i

Разница в том, что при возрастании и уменьшении потока идём по разным петлям и не проходим через точку T/2. Ф

Ф

t

i

i

0 1234

T/2

0 1234

T

t i, Ф(t) i ωt Ф

118

Выводы: 1) Синусоидальные напряжение и поток, ток — несинусоидальная периодическая функция.

2) Поскольку кривая тока симметрична относительно оси абсцисс, она имеет нечётные гармоники.

3) Угол φ между напряжением и током меньше 90°, поэтому активная мощность = cos + cos + cos + ⋯ не равна нулю. Она идёт на гистерезис и вихревые токи.

§6.6. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА КАТУШКИ С МАГНИТОПРОВОДОМ 1) Ток несинусоидальный, но мы заменим его эквивалентной синусоидой. ► Эквивалентная синусоида — такая синусоида, действующее значение которой равно действующему значению несинусоидальной функции, а частота равна частоте первой гармоники. i iэ ωt

=

э

=

+

+⋯

Эти приближения позволяют нам использовать символический метод.

119

2) Положим

к

= 0,

= 0.

Ф

=

̇

э

— угол магнитных потерь. п

(2)

Ф̇

̇ = ̇

(1)

̇

п

̇

ф

Ф̇

< 90°

— ток, связанный с потерями.

Этой ВД соответствует следующая эквивалентная схема.

I U Iп

Iф

б) Учтём активное сопротивление потерь в меди. к

=

≠0

≠0 э+

Ψ

Ψ= Ψ +Ψ 120

Ψ =

=

э

э

+

Или в символической форме: ̇ =

̇ +

Ф

+

̇ +

э

э

̇

(3)

Ф̇

(4)

Эквивалентная схема и векторная диаграмма изменятся.

̇ Iэ

r

э

Ls

U

̇

U0 Iп

̇

̇

э

̇

э

Iф

̇

ф

̇

п

Ф̇

в) Экспериментальное определение параметров эквивалентной катушки. ( ), ( ), ( ), к ,

i W u

A

1) , 2) к , с 3) ф , п 4) g, b 5) δ

V

1) =

cos

э cos

=

= arccos

э э

121

̇ =

э

2)

̇ = ̇−

=

к

с

3)

=

5)

ф

+

−

п

=

ф

=

ф

=

п

ф

= arctg 122

п

п

=

=

п

+

э

с

к

с

=

=

̇

э

к э

=

п

Из ВД найдём

̇ −

э

к

=

с

4)

э

п

ф

§6.7. БЕЗЫНЕРЦИОННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ЁМКОСТЬ q

u

Физический прототип — сегнетодиэлектрики. = ( )

Рассмотрим на этой КВХ рабочую точку А. В ней отношение ⁄ = ст — статическое. q

A

q0

u

u0

д

=

Δ ≅ Δ

— динамическое, или дифференциальное.

Если

ст

=

д,

ст

≠

д

имеем частный случай: линейный элемент С.

Ток связан зависимостями

=

=

=

В линейных цепях мы писали =

д

. В нелинейных цепях это

утверждение несправедливо.

123

§6.8. ПОДКЛЮЧЕНИЕ БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЁМКОСТИ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ =

i u

sin

КВХ q, i

q

q

u

0 1234

T/2 T

t

0 1234

u T/2 T

t Стоит изменить форму синуса, как появляются гармоники. q t

i

124

=

t

Выводы: 1) Напряжение синусоидальное, однако заряд и ток — несинусоидальные функции времени.

2) Раз они несинусоидальные, но периодические, значит, они раскладываются в ряд Фурье и дают нам гармоники.

3) Любой нелинейный элемент приносит нам дополнительные гармоники, то есть искажает спектральный состав, в отличие от линейного элемента. §6.9. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Параметрическими цепями называются такие, параметры которых являются функциями времени. = ( )

= ( )

= ( )

1) Например, угольный микрофон: R меняется от звукового давления. Если мы перемещаем индуктивность, то L будет функцией времени. Если мы раздвигаем пластины конденсатора, C будет функцией времени.

2) Это особый класс цепей, которые обладают свойствами как линейных, так и нелинейных цепей. Как линейные цепи, они описываются линейными дифференциальными уравнениями. Если ЭДС и напряжение увеличиваем в k раз, то и ток увеличится в k раз. Как нелинейные цепи, они создают дополнительные гармоники.

125

§6.10. ПОДКЛЮЧЕНИЕ ( ) К ПОСТОЯННОЙ ЭДС i

E

=

R(t)

=

=

( )

1 1−

(1 + sin =

sin

sin

(1 + sin

+

+

=

(1 +

+(

sin

i

),

(1)

+

+

+⋯

sin

sin

+

(2) + ⋯) =

+⋯)

sin

1 − cos 2 = 0,5 − 0,5 cos 2 2 = 0,75 sin

(1 + sin +

+

<1

1 − sin +

Подставим (4) в (3). =

=

=1+

=

= (1 − sin

(3)

(4)

− 0,25 sin 3

(0,5 − 0,5 cos 2 ) +

(0,75 sin

⋅ 0,5 + ⋯ ) + ( +

− 0,25 sin 3 ) + ⋯ ) ⋅ 0,75 + ⋯ ) sin

(0,5) + ⋯ ) cos 2 + (

+

(−)0,25+. . ) sin 3 + ⋯

В спектре тока появились дополнительные высшие гармоники. Амплитуды тока нелинейно зависят от b. Но если мы в k раз изменим ЭДС, у нас в k раз изменятся амплитуды тока.

126

Глава 7. Электрические цепи с распределёнными параметрами 1) До сих пор рассматривали сосредоточенные параметры.

2) До сих пор мы считали, что напряжение или ток могут зависеть лишь от одной переменной: от времени. Длина волны промышленной частоты: = ⋅

=

1

= 3 ⋅ 10 ⋅

1 = 6 000 км 50 Гц x

Δx x

Электрическими цепями с распределёнными параметрами называются такие, параметры которых зависят не только от времени, но и от расстояния (или координаты x). = ( , )

= ( , )

Критерий: если Δ ≪ , то это цепь с сосредоточенными параметрами, и координатой х можно пренебречь. А если Δ ~ , цепь рассматриваем как цепь с распределёнными параметрами. Примеры таких цепей: линии электропередачи, телефонные и телеграфные линии: их длина соизмерима с длиной волны. Их также называют «длинными линиями». Но возьмём диапазон СВЧ (3 ГГц). Посчитаем длину волны. =

= 3 ⋅ 10

м с

⋅

⋅

являются длинными.

гц

= 10 м — здесь длинные линии вовсе не 127

§7.1. УРАВНЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ Первичные параметры на единицу длины: Ом , км

Гн , км

Δ [Ом],

Ф , км

Δ [Гн],

Δ [Ф],

1 Ом ⋅ км Δ

1 Ом

Если первичные параметры не зависят от длины линии, то такая линия называется однородной. Рассмотрим некую длинную линию. i

1

i+Δi

2

u+Δu

u 1’

2’

Между этими точками можем составить эквивалентную схему, исходя из физического смысла: учтём потери. r0Δx

1 u

C0Δx

Δ

i+Δi

2 u+Δu

g0Δx

1’

2’

Обойдём контур, составим уравнение по второму закону Кирхгофа. − +

Δ ( +Δ )+

Δ

( +Δ )

+( +Δ ) = 0

Пренебрежём величинами второго порядка малости.

128

− +

Δ

+

+

−

Δ

=

+

= +

Δ Δ

+Δ =0

(1)

— первое телеграфное уравнение.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла. −( +Δ )−

Δ −

−Δ − −

Δ = Δ

−

Δ −

+

=

Δ

Δ

Δ

=0

=0

+

(2)

— второе телеграфное уравнение.

§7.2. УСТАНОВИВШИЙСЯ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС Процесс описывается символической формой. ̇

⎧−

=(

) ̇

+

(1)

̇ ⎨ ) ̇ − =( + ⎩ Возьмём производную по dx от уравнения (1). −

̇

=(

+

)

(2)

̇

129

̇

=(

Подставим уравнение (2). ̇ =

(

=( +

) −

+

+

)(

)(

+

+

̇

)=

γ — коэффициент распространения волны.

) ̇

+

(3) (4)

— коэффициент затухания волны. β — коэффициент фазы. Вернёмся к уравнению (3).

̇

̇

̇

=

−

̇ =0

(5)

— однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Характеристическое уравнение: −

=

=0

=∓

Общее решение уравнения (5): ̇ = ̇

+ ̇

(6)

— уравнение для напряжения в установившемся режиме. ̇ , ̇ — постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий.

130

̇ =

,

̇ =

Найдём ток из уравнения (1). ̇=

(

=

1 +

)

= ( (

( 1

̇

–

=

(

+

(

+

+

1 +

(

̇

)

)(

̇

) )

+ +

=−

+ )

)

)

− ̇

в

̇

=

( (

=

− ̇

в

(− ) + ̇ =

− ̇

1

̇

в

=

=

− ̇

(7)

) )

+ +

— волновое сопротивление линии. γи

̇

— вторичные параметры линии.

Уравнения (6) и (7) — для установившегося гармонического процесса в символической форме. §7.3. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ЛИНИИ Перепишем уравнения (6) и (7). ̇ = ̇ 1 ̇= ̇ в

пр (

, )=ℑ

+ ̇

̇ → ̇ ⋅ √2 → ̇

=ℑ

=ℑ =

̇ √2

(

− ̇

(

= →ℑ

=ℑ −

+

пр

=

+

пр

обр

+

обр

( )= ( )

)

=

= )=

(

пр (

)

, )

=

131

Нарисуем график прямого напряжения u (x,t)

пр (

, ).

A1m

x

x1

Рассмотрим точку , где sin( − + ) = 0, то есть − = 0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.

+

В какой-то момент времени + Δ , чтобы был ноль нужно + Δ . Точка перемещается от начала к концу линии. −

+

=

(

+Δ )− (

Δ =

Δ = Δ

— фазовая скорость.

=

+Δ )+

Δ

(1)

ф

Фазовой скоростью называется скорость, с которой должен двигаться наблюдатель, чтобы видеть волну в одной и той же фазе.

Рассмотрим второе слагаемое. обр (

, )=ℑ

Построим.

132

=ℑ =

̇ √2

(

−

=ℑ

+

=ℑ )=

( обр (

)

(

, ) (2)

=

)

=

u (x,t)

x

x1

Рассмотрим точку , где sin( + + ) = 0, то есть + = 0. Посмотрим, куда эта точка желает переместиться.

+

В какой-то момент времени + Δ , чтобы был ноль нужно − Δ . Точка перемещается от конца к началу — обратная волна. Напишем прямую волну тока.

пр (

, )=ℑ

=ℑ

= обр (

Если положить ного тока.

в

̇

в

в в

, )=

в

√2

в

=

в

в

(

)

(

− (

=

в

+ +

− +

=

в)

−

=

пр (

, )

в)

= 0, получаем частный случай: цепь перемен-

133

§7.4. ЗАВИСИМОСТЬ РЕЖИМА ЛИНИИ ОТ НАГРУЗКИ

̇

̇ = ̇ 1 ̇= ̇

+ ̇

− ̇

в

̇

̇

̇

н

= −

̇ = ̇ ⋅

При

(1)

н

̇ = ̇ ̇= ̇

=

(2)

Условие (2) подставим в исходную систему (используем граничные условия). ̇ = ̇ 1 ̇ = ̇

+ ̇

(3)

− ̇

в

Из системы (3) найдём коэффициенты ̇ , ̇ . ̇ =

̇

̇

− в

̇ = 134

в

−2

−

1

в

̇

в

=

̇

в

=

̇

−

̇

в

−

1

−

−2

в

− ̇

− ̇

в

1

в

1

в

̇ + ̇ = 2

=

̇ − ̇ 2

в

в

(4)

(5)

Подставим эти коэффициенты в исходные уравнения напряжения и тока. ̇ =

̇ + ̇ 2

̇ + ̇ = 2

̇=

1) Zн =

в

=

в в

̇ + ̇

̇ + ̇ 2 в

=

(

+

̇ − ̇ + 2

) в

̇ − ̇

+

в

̇ − ̇ 2 в

−

̇ + ̇

в

в

̇ − ̇ 2

в в

(

=

в

(6)

в

̇ − ̇

−

)

=

в

=

в

(7)

— согласованная нагрузка. ̇ = ̇

н

= ̇

в

В уравнениях (6) и (7) пропадут вторые слагаемые. ̇ + ̇ в 2 (8) ̇ + ̇ в ⎨ ̇= ⎪ 2 в ⎩ 2) Рассмотрим так называемый коэффициент отражения, который определяется как отношение обратной волны к прямой в конце линии, то есть при = 0. ⎧ ̇ = ⎪

обр | = пр

=

̇ − ̇ ̇ + ̇

в в

=

̇

̇

н

Рассмотрим выражение (9) в случаях: а) холостой ход:

н

= ∞.

б) короткое замыкание:

н

= 1.

= 0,

в) согласованная нагрузка:

н

=

н

− ̇

+ ̇

в

в

=

− н+ н

в в

(9)

= −1. в,

= 0.

135

§7.5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ ̇ + ̇ 2

̇ = ̇=

̇ = ̇ ̇=

̇

+ 2 в

− 2

ch

̇ + ̇ 2 в

=

+ ̇

в

+ ̇

в в

+ 2

− 2

̇ − ̇ + 2

−

, sh

̇ − ̇ 2 в =

в

(1)

в

(2)

= ̇ ch

+ 2

=

̇

в

sh

̇ = ̇ ch + ̇ в sh ̇ ̇= sh + ̇ ch

− 2

(3) + ̇

в

+ ̇ ch

sh

(4) (5)

(*)

в

При

=

̇ = ̇ . ̇= ̇

̇ = ̇ ch + ̇ в sh ̇ ̇ = sh + ̇ ch

(6)

в

Вспоминаем уравнение четырёхполюсника в гиперболических функциях. ̇ = ̇ ch + ̇ в sh ̇ ̇ = sh + ̇ ch в

Формально подставляя вместо уравнения четырёхполюсника.

в

=

и вместо

(7) = , получим

Вывод: теорию четырёхполюсников можно использовать для расчёта длинных линий.

136

=( +

[Нп],

)

=

Нп км

[Нп]

рад км

[рад],

+

[рад]

§7.6. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ 1)

2)

= + — условие прохождения сигнала без искажения через четырёхполюсник.

ф

=

≠ ( ) =

Коэффициент распространения волны: =

(

)(

+

+

)=

+

+

Если выполняется это условие, линия без искажений.

=

=

+ =

=

(1)

=

=

+ =

≠ ( ) 137

ф

в

=

=

+ +

=

=

1

=

+

= =0

≠ ( ) =

+

=

в

Но это соотношение (1) не всегда выполнимо без корректирующих четырёхполюсников. §7.7. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ =

(

)(

+

В некоторых случаях (СВЧ) Тогда

и

можно пренебречь.

≫

,

+

≫

)

.

≅

ЛБП ЛБИ

=

=0

=

=

Линия без потерь — это прежде всего линия без искажений, у которой = 0. ф

в

=

=

=

+ +

=

≅

1

≠ ( )

=

=

в

— чисто вещественная величина, как и в предыдущем параграфе.

138 в

3) Сделаем переход от уравнения с гиперболическими функциями к уравнению с обычными тригонометрическими функциями.

ch

cos

=

̇ = ̇ ch + ̇ в sh ̇ ̇= sh + ̇ ch + 2

=

+ 2

в

,

sh

,

sin

(∗) − 2

=

=

+ = cos 2 − ⎨ sh = = sin ⎩ 2 C учётом (1) система (∗) приобретёт вид.

− 2

⎧ ch

=

(1)

̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇= sin + ̇ cos

(∗∗)

в

§7.8. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКЕ 1)

н

=

в

̇ ̇

̇

̇

̇ = ̇

= −

н

= ̇

в

н

(1) 139

̇ = ̇ cos

̇=

̇

̇

+ ̇

в

sin

̇

= ̇ (cos

в sin

= ̇

= ̇

+ ̇ cos

)=

+ sin

(2) = ̇

= ̇

(3)

Перейдём к мгновенным значениям. ( , )= =

( , )=

y

̇ √2 (

̇ √2

140

=

=

sin(

sin(

+

+

+

+

)

= )

(5) (6)

( , ) → (5) + + =0 +Δ : −Δ Наблюдаем прямую (падающую) волну напряжения и тока.

y1

Действующие значения напряжения и тока не меняются вдоль линии.

U2 y I2

y

)

=

i

( , ), ( , ) u

=

, = √2 √2 3) ( , ) → (5) ( , ) → (6) Напряжение и ток находятся в фазе, поскольку сопротивление чисто активное. Синфазное перемещение прямой волны. ̇ ̇ ̇ ⁄ ̇ = в на освх = ⁄ = новании уравнения (1). вх = в , не зависит от .

§7.9. ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ ХОЛОСТОМ ХОДЕ ̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇= sin + ̇ cos в

(∗∗)

→ ̇ =0

̇ = ̇ cos ̇ ̇= sin

(1)

̇ =

(3)

(2)

в

1. Напряжение

Исходя из (1) напишем мгновенное значение. ( , )=ℑ

̇ √2 cos =

= ℑ

cos

( )

( )=

sin(

+

2

1

cos

— амплитуда зависит от . =

ф

1

=

1 =

— волновое число.

0 β

= 2

0

4

2

1

0

–1

2

3 4 3 2

)

=

0

cos

=

(4) (5)

2 (6)

2

1 141

( )

1 2

y 3 4

Изменение амплитуды согласно (5).

1 4

( )

Действующее значение. ( ) ( )= √2 На линии есть точки — узлы (°), в которых напряжение всегда 0, и есть пучности (×), в которых максимально.

y

( )

y

( , )

Построим уравнение (4). → sin( + ) = 1

— так называемый режим стоячих волн. Но всегда есть точки на линии, в которых напряжение равно нулю, поскольку амплитуда меняется по косинусоидальному закону.

2. Ток ̇

̇=

в

sin

где ̇ =

,

Сделаем переход к функции времени. ( , )=ℑ

̇ √2 =

в

в

sin

sin

( )

sin

( , )=

где

— амплитуда зависит от .

142

= ℑ +

( ) sin ( )=

+

в

в

2

+

sin

sin

+

2

,

=

(7) (8)

=

ф

1

=

— волновое число.

0 β

y 3 4

1 2

1 =

= 2

2

0

4

2

0

1

0

( ) 1 4

y

( )

y

( , )

2

1

=

3 4 3 2

–1

2

2

0

Изменение амплитуды согласно (8).

( )

Действующее значение ( ) ( )= √2 (°) — Узлы, в которых ток всегда 0; (×) — пучности, в которых он максимален.

3) Построим уравнение (7). → sin

+

+

2

=1

Но есть точки на линии, в которых ток всегда равен нулю — режим стоячих волн.

143

3. Входное сопротивление ̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇= sin + ̇ cos в

вх

=

̇ =0

̇

̇

̇ = ̇ cos ̇ ̇= sin

=

в

̇ cos ̇ sin в

вх

=−

=−

в ctg

в ctg

=+

вх

ctg

y 3 4

1) 2) 3) 4) 5) 6)

= 0;

= ⁄4 ;

= ⁄2 ;

> ⁄2 ; =

=

;

вх

= 0;

=

=

> ;

=

0 = ∞; ; ; ;

2

0

4

вх

= 0;

− + + −

= −∞ вх

= −∞;

(> ) = +∞; = 0;

=0 вх

вх

= +∞

вх

= −∞

=0

Вывод: входное сопротивление может быть чисто емкостное, чисто индуктивное, 0 и ∞ в зависимости от длины y.

144

§7.10. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ ̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇= sin + ̇ cos в

̇ = ̇ в sin ̇ = ̇ cos

1. Найдём напряжение ̇ =

̇

( , )=ℑ

(3)

в

= ℑ

=ℑ =

=

Построим.

3 4

(1) (2)

, где ̇ =

в sin

y

̇ =0

1 2

в

в

sin ( )

( ) sin

( ) 1 4

в

√2 sin

sin

+

=

sin +

+

sin

2

+

2

(4)

=

=

=

Изменение амплитуды согласно (5).

( )

145

Действующее значение. ( )= ( )⁄√2 На линии есть точки — узлы (°), в которых напряжение всегда 0, и есть пучности (×), в которых максимально.

y

( )

y

( , )

Построим уравнение (4). → sin

+

+

2

На линии всегда есть точки, где напряжение всегда равно нулю. Получаем так называемый режим стоячих волн.

2. Найдём ток ( , )=ℑ

Построим.

̇ √2 cos

=ℑ =

y 3 4

y

146

̇ = ̇ cos cos

( ) sin(

1 2

= ℑ (

+

( ) 1 4

( )

)

)

=

cos

cos

( )

sin(

=

+

)=

Изменение амплитуды ( )= cos . Действующее значение ( )= ( )⁄√2 (°) — Узлы, в которых ток всегда 0; (×) — пучности, в которых он максимален.

( , )

y

→ sin

( , ) +

+

2

=1

На линии всегда есть точки, где напряжение всегда равно нулю. Получаем так называемый режим стоячих волн.

3. Найдём Zвх. вх

=

̇ ̇

=

̇

в sin

̇ cos вх

=

=

в tg

в tg

tg 3 4

2) 3) 4) 5)

= 0;

= 0; tg 0 = 0;

> ;

> ; tg >

= ; = ; =

=

;

вх

вх

y

1)

=

вх

= 0;

=0

; tg

= −∞; вх

0

4

; tg = +∞;

= ; tg =

2

вх

=0

= ∞;

− + + −

= +∞

вх

= −∞

вх

=∞

Вывод: входное сопротивление может быть чисто емкостное, чисто индуктивное, 0 и ∞ в зависимости от длины y. Для частоты 3 ГГц (длина проводника 10 см) через 2,5 см сопротивление равно бесконечности, затем ноль и т. д.

147

§7.11. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР В предыдущих двух параграфах мы убедились, что вх = ( ). По такой линии передавать информацию невозможно. Вспомним, что при согласованной нагрузке вх ≠ ( ). Поэтому основной режим передачи информации — это режим согласованной нагрузки. Но и здесь возникает проблема: проблема согласования, если вх ≠ н . Для этого и нужен трансформатор. Чтобы н привести к конечным точкам, необходимо выполнить условия: ̇ ̇ вх

вх

Rн

λ⁄4

Соединить отрезком длиной λ⁄4 определённым кабелем, у которого

в

=

вх

⋅

н.

̇ = ̇

̇ = ̇ ⁄

н

н

Покажем справедливость этих двух условий. Найдём уравнений (∗∗). вх

=

̇ cos + ̇ в sin ̇ sin + ̇ cos в

в

=

= вх н

в

̇ ⁄

̇

в

=

в

̇ ⁄ ̇

=

вх

из

в

н

Например, имеем какой-то кабель с волновым сопротивлением и антенну сопротивлением . Нужно их согласовать. Берём отрезок ⁄4 и в = .

148

§7.12. ЗАМЕНА ДЛИННОЙ ЛИНИИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОМ

При

̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇= sin + ̇ cos в

̇ = ̇ ̇= ̇

=

̇ ̇

̇

̇

н

= −

̇ = ̇ cos + ̇ в sin ̇ ̇ = sin + ̇ cos в

Линия без потерь, только реактивные элементы,

(1) = 0,

=

.

От уравнений линии (1) перейдём к уравнениям четырёхпо= люсника, . в = с ̇ = ̇ cos + ̇ с sin ̇ ̇ = sin + ̇ cos

(2)

с

̇

, , ̇

̇ 2

2

̇

, , 149

— длина линии, которая соответствует данному четырёхполюснику. Рассмотрим систему (2), первое уравнение в режиме холостого хода, ̇ = 0. ̇ = ̇ cos

cos

=

̇

̇

=

где ̇ =

̇ ̇

+

̇

1 1

Подcтавим в уравнение (3).

cos

sin

=

=

̇

̇

1 ⋅

+ 1 − cos =

2

=

1

1−1−

2

=

2

1− 1−

=

Найдём 150

найдём

2=

2

⁄4 +

≅

Из

1

+

2

(3)

,

2 −

=

=

√

2 1

√

+1

=1−

1−

≪

2

⁄4 ≅

= arcsin √

. =

=

1

arcsin √

. В режиме короткого замыкания ̇ = 0. Поэтому

(4) (5)

(6)

̇ =

=

̇

̇ sin

̇ =

= ̇

в

̇ sin ̇

̇

=

√

=

√

=

=

=

=

— такой четырёхполюсник заменит длинную линию.

151

Глава 8. Синтез электрических цепей Различают задачу анализа электрических цепей (по входному сигналу и структуре цепи однозначно найти реакцию) и задачу синтеза (зная воздействие на цепь и желая получить определённую реакцию, определить структуру и параметры цепи). a(t)

b(t)?

a(t)

?

b(t)

Различают синтез двухполюсников и синтез четырёхполюсников.

Синтез для двухполюсников возможен по ( ), ( ), для четырёхполюсников по ( ), а также не только в частотной, но и во временной области. §8.1. УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Не любой двухполюсник можно синтезировать. Должны выполняться определённые требования (критерии): ( )=

( ) = ( )

+ +

1) Все эти коэффициенты … , … тельными вещественными числами.

+⋯+ +⋯+

должны быть положи-

2) Корни числителя (нули, ( ) = 0), корни знаменателя (полюсы, ( ) = 0) должны находиться в левой полуплоскости.

152

+j +1

3) Степень полинома числителя и полинома знаменателя не должны отличаться более, чем на единицу.

4) Реальная часть ℜ

( )|

| −

|=1

≥ 0.

§8.2. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ЛЕСТНИЧНОЙ СХЕМЫ Z1

Z3

Z5

Z4

Z2

Z6

Входное сопротивление лестничной схемы удобно записать в виде непрерывной дроби. +

+

Например, Z1

5

1

+

3

1 +⋯ Z3

1 Y4

Y2

6

1

4

2 153

Начинаем с конца. Между точками 1 и 2 проводимость . Сопротивление между точками 1 и 2 равно 1⁄ . Сопротивление между точками 3 и 4 + 1⁄ . Проводимость между точками 3 и 4 равна +

. Между точками 5 и 6 проводимость будет

. Перейдём к сопротивлению:

вх

=

+

Z1(p)

+

1

Z3(p)

.

1

+

1

Z5(p)

Y2(p)

Y4(p)

Y6(p)

Zвх(p)

вх ( ) =

( )+

( )+

1

( )+

1

( )+

Пример 1. По дроби ( )=1 + нарисуем схему и её элементы.

154

2 +

1

1

3 +

1 4

1

1

( )+

1 ( )

1 Гн

3 Гн 2Ф

4Ф

Пример 2. ( )=

1

1Ф

+

1

1Ф

1

+1

1

+1

1 Ом

1 Гн

§8.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ( ) В ВИДЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОБИ ( )=

( ) = ( )

0

=

+

=

+

+ +

=

+

=

+

1 1

+⋯+ + ⋯+

(1)

(2)

Подставим в выражение (1). =

+

1

+

1

(3)

155

=

+

=

+

= +

1

1

+ 1

+

(4)

1

1) Прежде чем делить, мы должны расположить числитель и знаменатель либо по возрастающим степеням, либо по убывающим степеням.

2) На каждом этапе деления это расположение можно менять: на первом этапе можно по возрастанию, на втором — по убыванию. Пример. ( ) + 10 + 9 = ( ) +4

( )=

+ 10 +4 6

+9

+9

( )= +4 3 + 2 5 2

( )=

156

+4 6 +

+

+

1 +4 6 +9

6

+9 +4

+9

5 1 + 2 6 6 +9 1 + 6

6

1

5 2

1

+9

_6 +9 5 6 2 –––––––– 5 9 12 + 5 2 ( )=

+

1 + 6

1

1 1

12 1 + 5 5 2 5 9 18

Теперь можно однозначно нарисовать схему.

1 Гн

1/6 Ф

12/5 Гн

5/18 Ф

Неоднозначность этого метода берётся из возможности расположения многочленов на каждом этапе как по возрастанию, так и по убыванию. §8.4. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ ( )=

( )=

( )=

1 157

( )=

+

1

1

=

( )= ( )=

( ) = 0: =

=

…

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

|

| |

,

( )= ,

…

( ) = ( )

=

+

+

−

+1

1

+

— вычет в полюсе — вычет в полюсе — вычет в полюсе

−

=

+

=

+

=

1

1

+1 +

−

=

1 +

=

1

+

+⋯

+

1 (1)

.

. .

Эти простые дроби сводим к схемам (см. табл.)

Пример.

Здесь ≤ лителя.

158

( )=

( ) + 10 + 9 = ( ) +4

, поэтому сначала понизим степень полинома чис+ 10 +4 6

+9

+9

+4 6 +

+9 +4

( )=

1 Гн

+

6

( ) ( )

+9 +4

(2)

( )=0

+4 =0

(

+ 4) = 0

,

( )= =

= = ( )=

( ) | ( )

( ) | ( )

( ) | ( )

9 +4+

1

=

+

15 ; 4

1 Гн

= ±2

−0

=

=

=0

6 3

6 3

=

6 3

+9 | +4

+9 | +4

15 8 + −2 =

+

4 .

15

4/9 Ф

+

−2

+9 | +4 =

15 8 = +2 1

=

= 4;

+2 =

(3) 9 4

−24 + 9 15 = −12 + 4 8

−24 + 9 15 = −12 + 4 8

15 9 + + 4 4 +4 =

15 16

15/16 Гн

4/15 Ф 159

§8.5. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ ПО ВХОДНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ( )=

( )=

1 +

( )=

( )=

=

=

…

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

|

| |

( ) = ( )

+ +

−

+

1

( )=

( )=

1

— вычет в полюсе — вычет в полюсе — вычет в полюсе

1

− .

( )= =

1

=

=

+

1 1

+ 1

+

+1

−

. .

160

( ) +4 = ( ) + 10 + 9

+ 10

+9=0

=

1

Пример. ( )=

=

=

+⋯

+

+

1

+

1 (1)

…

( )=

= ± −5 ± √25 − 9 = ± −5 ± 4

( ) = ( ) =

= = =

( )=

,

4

−

4 4 4

,

=±

= ±3

+

+

+4 | + 20

+4 | + 20

+4 | + 20

+4 | + 20

+

=

−3

3 16

= =

+

+3

(2)

3 16

5 16

=

5 16

( ) 3⁄16 3⁄16 5⁄16 5⁄16 = + + + = ( ) − + −3 +3 3 5 ( + + − ) ( +3 + −3 ) 16 16 = + = −1 −3 3 5 = 8 + 8 +1 +9

Это комбинация соответствует следующему соединению: 1

1

=

=

3 → 8

5 → 8

=

=

8/3 Гн

3/8 Ф

8 ; 3

8 ; 5

1 1

=1→

=9→

=

8/5 Гн

=

1

=

3 ; 8

1 5 = 9 72

5/72 Ф 161

§8.6. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ 1)

1

K(ω)

+

ω

Если нужно получить такую амплитудно-частотную характеристику, один из вариантов — следующий четырёхполюсник: R1

U1

C

R2

U2

На низких частотах ёмкость практически не шунтирует, сопротивление почти бесконечность. А на высоких частотах коэффициент передачи единица.

2)

1

K(ω)

+

ω

В случае данной АЧХ подойдёт следующий четырёхполюсник: R1 U1

R2

U2

C

На низких частотах полная передача сигнала (сопротивление конденсатора к бесконечности), на высоких — делитель напряжения 162

.

K(ω)

3) 1

ω ω0 Для данной АЧХ удобно использовать колебательный контур. На резонансной частоте

=

единица.

√

коэффициент передачи будет

C

L

K(ω)

4) 1

ω ω0

Если нужно какую-то частоту не пропустить, то нетрудно составить следующий четырёхполюсник: C L

На резонансной частоте сопротивление 0, передача отсутствует, на других частотах — близка к единице.

163

§8.7. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ ПО ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫМ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

C

U1

U2

R

Комплексный коэффициент передачи: ( (

)=

+

=

=

1

1+

1+

1+ 1

1

( )=

)= 1

=

1

1+

1+

1

1−

1

дБ

̇

=

1

1

=

1

= −10 lg 1 +

= 1⁄

1

1+

= 20 lg ( )

= 20 lg 1 − lg 1 +

На частоте среза

1

̇

( )

( )

=

дБ

дБ

+

=

1

1−

1

⋅

1

1+

1

1+

(1)

1

= −20 lg 1 + 1

= −10 lg 2 = −3 дБ.

Это фильтр верхних частот. Частота среза

=

1

= (2)

= . Для та-

кого каскада имеем завал по частоте 6 дБ на октаву. Для 12, 18 дБ нужно ставить два, три и т. д. каскада.

164

KдБ 1 2

=

-3 -6

ωc

ω

Теперь рассмотрим фильтр низких частот.

R

U1

(

)=

̇ ̇

= =

1

+

(1 − (1 −

дБ

1

) = )

( )=

= 20 lg =

KдБ

1

=

1

дБ

1

дБ

ωc -3 -6

=

1 1+

=

( )

=

1 1+

⋅

1

= −10 lg 2 = −3 дБ 2

=

(2)

= −10 lg(1 +

=

1− 1−

(1)

√1 +

= 20 lg ( )

√1 + ∶

+1

( )

√1 + 1+

U2

C

)

(3)

ω

На частоте среза имеем -3 дБ. Это фильтр низких частот. Частота среза определяется = 1⁄ . Один каскад даёт 6 дБ на октаву (на удвоение частоты). Для 12 дБ нужно два каскада.

165

Теперь сам синтез. Нужна сделать следующую АЧХ: K(ω) 1

ω

Перестраиваем каждую точку в дБ. Определяем на уровне 3 дБ частоты среза. И из этих точек проводим прямые линии, которые показывают, сколько каскадов нужно взять (какой завал по частоте).

KдБ ω1с

ω2с

ω

−3 Задаваясь R, через

находим С. И строим четырёхполюсник.

Если нужно выделить какую-то частоту, добавляем ранее рассмотренные схемы.

166

Оглавление Глава 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях .................................................................... 3 §1.1. Причины переходных процессов ........................................ 3 §1.2. Законы коммутации ............................................................. 3 §1.3. Начальные условия .............................................................. 5 §1.4. Методика расчёта ................................................................. 5 §1.5. Подключение RL-цепи на постоянное напряжение ........ 7 §1.6. Короткое замыкание RL-цепи ........................................... 10 §1.7. Разряд RL-цепи на дополнительные сопротивления ... 14 §1.8. Подключение RL-цепи на синусоидальное напряжение .................................................................................. 15 §1.9. Подключение RC-цепи на постоянное напряжение ...... 19 §1.10. Короткое замыкание RC-цепи......................................... 22 §1.11. Подключение RC-цепи на синусоидальное напряжение .................................................................................. 24 §1.12. Подключение RLC-цепи на постоянное напряжение .. 28 §1.13. Короткое замыкание RLC-цепи ...................................... 37 Глава 2. Операторный метод расчёта переходных процессов ........................................................................................ 45 §2.1. Операторный метод расчёта переходных процессов...... 45 §2.2. Изображения некоторых функций ................................... 45 §2.3. Свойства преобразования Лапласа .................................. 46 §2.4. Изображения функций, связанных с дифференцированием и интегрированием .............................. 47 §2.5. Закон Ома в операторной форме ...................................... 48 167

Ненулевые начальные условия ............................................. 50 Закон Ома при ненулевых начальных условиях ................ 52 §2.6. Законы Кирхгофа в операторной форме ......................... 53 §2.7. Метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие методы в операторной форме ........................................ 55 Метод контурных токов ........................................................... 55 Метод узловых потенциалов .................................................. 55 Метод двух узлов...................................................................... 55 Метод эквивалентного генератора ........................................ 55 §2.8. Переход от изображения к оригиналу ............................. 56 §2.9. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом ......................................................................................... 59 §2.10. Операторные передаточные функции ........................... 59 §2.11. Связь между операторной передаточной функцией и комплексным коэффициентом передачи ................................. 61 Глава 3. Анализ электрических цепей при произвольном входном сигнале .......................................................................... 63 §3.1. Единичная функция .......................................................... 64 §3.2. Импульсная функция ........................................................ 65 §3.3. Переходная характеристика цепи ................................... 66 §3.4. Связь между операторной передаточной функцией и переходной характеристикой цепи ........................................... 68 §3.5. Импульсная характеристика цепи .................................. 69 §3.6. Связь между операторной передаточной функцией и импульсной характеристикой цепи .......................................... 71 §3.7. Интеграл Дюамеля............................................................. 72 §3.8. Интеграл Дюамеля для кусочно-непрерывной функции ........................................................................................ 75

168

Глава 4. Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей при произвольном входном сигнале ............................................................................................ 78 §4.1. Ряд Фурье в комплексной форме ...................................... 78 §4.2. Интеграл Фурье .................................................................. 79 §4.3. Аналогии между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье .............................................................. 81 §4.4. Спектральные характеристики непериодического сигнала .......................................................................................... 82 §4.5. Спектральные характеристики прямоугольного импульса ....................................................................................... 84 §4.6. Порядок расчёта реакции цепи при произвольном входном сигнале при помощи частотного метода .................. 86 Глава 5. Нелинейные электрические цепи при постоянном воздействии ........................................................... 89 §5.1. Область применения нелинейных элементов ................ 91 §5.2. Примеры нелинейных элементов ..................................... 92 §5.3. Методы расчёта нелинейных цепей ................................. 93 Графические методы................................................................ 93 Графоаналитические методы ................................................. 97 Аналитические методы расчёта ........................................... 100 §5.4. Применение нелинейных элементов для стабилизации напряжения ................................................................................ 101 §5.5. Расчёт нелинейной цепи с одним нелинейным элементом .................................................................................... 103 §5.6. Расчёт нелинейной цепи с двумя узлами ..................... 105 §5.7. Расчёт нелинейной цепи с двумя нелинейными элементами ................................................................................. 107 §5.8. Расчёт нелинейной цепи с тремя и более нелинейными элементами (метод итераций) .................................................. 108 169

Глава 6. Нелинейные электрические цепи при гармоническом воздействии .................................................. 110 §6.1. Вольт-амперные характеристики безынерционного нелинейного сопротивления .................................................... 111 §6.2. Применение безынерционного нелинейного сопротивления для выпрямления сигнала ........................... 113 §6.3. Безынерционная нелинейная индуктивность ............. 115 §6.4. Подключение безынерционной нелинейной индуктивности к источнику синусоидального напряжения ................................................................................ 116 §6.5. Кривая тока при наличии петли гистерезиса .............. 118 §6.6. Эквивалентная схема катушки с магнитопроводом.... 119 §6.7. Безынерционная нелинейная ёмкость .......................... 123 §6.8. Подключение безынерционной нелинейной ёмкости к источнику синусоидального напряжения .............................. 124 §6.9. Параметрические цепи .................................................... 125 §6.10. Подключение ( ) к постоянной ЭДС ......................... 126 Глава 7. Электрические цепи с распределёнными параметрами ............................................................................... 127 §7.1. Уравнение однородной двухпроводной линии ............. 128 §7.2. Установившийся гармонический процесс ..................... 129 §7.3. Бегущие волны в линии .................................................. 131 §7.4. Зависимость режима линии от нагрузки ...................... 134 §7.5. Уравнение линии в гиперболических функциях......... 136 §7.6. Линия без искажений ...................................................... 137 §7.7. Линия без потерь .............................................................. 138 §7.8. Линия без потерь при согласованной нагрузке ........... 139 §7.9. Линии без потерь при холостом ходе ............................. 141 1. Напряжение ....................................................................... 141 170

2. Ток ........................................................................................ 142 3. Входное сопротивление ..................................................... 144 §7.10. Линия без потерь при коротком замыкании .............. 145 1. Найдём напряжение .......................................................... 145 2. Найдём ток .......................................................................... 146 3. Найдём Zвх. .......................................................................... 147 §7.11. Четвертьволновый трансформатор .............................. 148 §7.12. Замена длинной линии эквивалентным четырёхполюсником .................................................................. 149 Глава 8. Синтез электрических цепей ................................ 152 §8.1. Условия физической реализуемости двухполюсников ......................................................................... 152 §8.2. Синтез двухполюсников с помощью лестничной схемы ........................................................................................... 153 §8.3. Представление ( ) в виде непрерывной дроби .......... 155

§8.4. Синтез двухполюсников разложением на простые дроби ............................................................................................ 157

§8.5. Синтез двухполюсников по входной проводимости ..... 160 §8.6. Синтез четырёхполюсников ............................................ 162 §8.7. Синтез четырёхполюсников по трапецеидальным логарифмическим амплитудно-часотным характеристикам ........................................................................ 164

171