2009
Физика ХХ века «Фанера» лекций доцента Н. Н. Скворцова для студентов ФАВТ (3 семестр, 2008 г.), склеенная Диментом А. В. к началу 2009 г. (v1.0.) (за что ему от лектора индифинитный respect)
РеХлама (15.02.2009 г.) Выпуск «ламинированной фанеры» возможен в течение 2009 – 2010 г. Обращайтесь для соучастия!
3
ВВЕДЕНИЕ Физика — наука очень древняя, история её развития насчитывает несколько тысячелетий, и на рубеже XIX и XX веков сложилась такая ситуация, когда самые уважаемые физики того времени делали прогнозы. В частности, лорд Кельвин сделал такое несбывшееся предсказание на рубеже XIX и XX веков: «В физике открыты все законы окружающего нас мира, и дело физиков следующих поколений — уточнять значащие цифры в численном выражении физических констант». Действительно, к концу XIX века физика сложилась как хорошо структурированная наука, состоящая из нескольких чётко проработанных разделов. И действительно, казалось, что всё необходимое для развития человечества физиками уже открыто и включено в свою науку. Однако уже первые годы ХХ века показали, что та сложившаяся физическая картина мира нуждается в существенных улучшениях и изменениях. Иногда говорят, что на рубеже XIX и ХХ веков произошла революция в физике — подобно революционным изменениям, которые происходили в истории нашей страны, когда всё кардинально ломалось, начиналось с нуля и получалось не то чтобы лучше, но как всегда. В физике ситуация, связанная с появлением новых знаний, новых революционных представлений несколько иная. Очень важную роль в физике и в ряде других технических наук имеет так называемый принцип соответствия. Всякая физическая теория, подтверждённая широким опытом, сохраняет в пределах своей применимости свою значимость и форму. Всякая физическая теория не содержит в себе границ своей применимости. Иными словами, любая физическая теория претендует на универсальность. Так было и с классической физикой, которая к началу XX века сформировалась как хорошо структурированная и подтверждённая широким опытом наука. На основе достижений физики до XIX века включительно были созданы не только паровые машины, но и двигатели внутреннего сгорания. К началу двадцатого века вполне уверенно рабо-
4 тал телеграф. Телефон вошёл в обиход людей. И это всё как раз и является проявлением того подтверждения широким опытом физической теории. Что ставит границы применимости существующей физической теории? Новая физическая теория, которая идёт дальше существующей, показывает ограниченность существующей теории и вносит в рассмотрение то, что в предыдущей теории было просто не рассмотрено. Например, классическая механика — вполне развитый, завершённый, структурированный раздел физики. Но, как показали исследования и теоретические работы физиков ХХ века, она применима только в той ситуации, когда характерные значения скоростей, с которыми двигаются объекты, меньше, чем скорость света ( ≈ 3 ∙ 10 м⁄с). Автомобили, самолёты и даже ракеты, которые на сегодняшний день существуют, не могут двигаться со скоростями, которые сравнимы со скоростью света. Их скорости существенно меньше. И именно поэтому классическая физика, и в частности, классическая механика сохраняет свою применимость, значимость и форму, и никакие новые физические открытия не меняют эти устоявшиеся разделы науки. Однако в случае, когда характерные скорости становятся сравнимыми со скоростью света, выясняется, что классическая физика попросту не срабатывает. И поэтому нужны изменения, которые внесёт в существовавшую науку новое физическое знание. Наиболее важными разделами физики, которые сформировались в ХХ веке, являются разделы, связанные с квантовой механикой (или квантовой физикой в широком смысле), а также такой раздел физики, который называется теорией относительности.
5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Теория относительности в настоящее время является наиболее фундаментальной теорией пространства и времени. Она имеет не только физическую направленность, но и общефилософскую, общечеловеческую, гносеологическую. Начала она развиваться в начале ХХ века, её история связана с фамилией учёного А. Эйнштейна. Именно ему принадлежат первые работы в этой области, и всю свою долгую жизнь он продолжал свои изыскания в области теории относительности. Эта наиболее общая теория пространства и времени продолжает развиваться и в настоящее время. Мы познакомимся с наиболее важными, наиболее революционными и, может быть, наиболее парадоксальными вещами, которые лежат в основе теории относительности и которые ставят предел применимости классической физики. При скоростях, сравнимых со скоростью света, классические представления, если руководствоваться только ими, могут дать ошибочные результаты. Необходимо учитывать так называемые релятивистские поправки. СТО Те элементы, с которыми мы сумеем познакомиться, захватывают очень тонкий слой на поверхности этих фундаментальных физических наук.
ОТО Чем отличается специальная теория от общей теории относительности? В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчёта. Инерциальной системой отсчёта называется та, которая движется относительно какой-то другой условно неподвижной системы равномерно и прямолинейно. Иными словами, область специальной теории относительности охватывает только движение, которое происходит с постоянной скоростью. Движение по окружности, движение с ускорением, другие вопросы специальной теории относительности не подчиняются. Это всё предмет общей теории относительности. Именно поэтому таково их соотношение на рисунке. Чтобы лучше уяснить соотношение между классической физикой и новой физикой, физикой двадцатого века, кратко вспомним, как преобразуются координаты и время в классической физике.
6
П РЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ ( ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Г АЛИЛЕЯ ) Преобразования координат и времени в классической физике основаны на принципе относительности Галилея. Законы природы, определяющие изменение состояние движения физических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем они относятся. Кратко содержание этого тезиса может быть сформулировано таким образом: все инерциальные системы равноправны. Этот принцип относительности, который лежит в основе классической физики, позволяет получить те преобразования координат и времени, которые носят название «преобразования Галилея» или «преобразования координат и времени в классической физике». Рисуем ничем не выдающуюy’ y ся декартовую систему координат ′ и утверждаем, что эта система усx’ ′ ловно неподвижна. Чтобы это ут- K верждение закрепить на рисунке, z’ ⃗ введём традиционное общеприняx тое в теории относительности обозначение К. Вводим в рассмотz рение другую инерциальную систему отсчёта, которая движется равномерно и прямолинейно относительно направления, которое показывает вектор ⃗, относительно неподвижной, или лабораторной системы отсчёта. Эта система неслучайно изображена с помощью штриховых линий, поскольку её устоявшееся традиционное название — штрихованная система координат. Если одну систему отсчёта мы выбрали неподвижной и говорим, что относительно её движется другая система, то можно и удобно на них ссылаться таким образом: неподвижная система отсчёта K, подвижная система отсчёта — K’, или штрихованная система отсчёта. Все те величины, которые относятся к движущейся системе отсчёта, содержат в себе штрихи. Координатные оси обозначены как x’, y’, z’.
7 Произвольно выбираем некоторую точку А. Её положение в пространстве определяется радиус-вектором ⃗, который не содержит в своём обозначении штриха, стало быть, относится к неподвижной A y’ y ′ системе отсчёта. Положение этой ⃗′ ⃗ x’ точки в штрихованной системе от′ K счёта определяет радиус-вектор ⃗. ⃗ Совершенно очевидно, что эти раz’ ⃗ диус-векторы, определяющие поx ложение одной и той же точки в разных инерциальных системах z отсчёта, неодинаковы. ⃗≠ ⃗
То есть координата носит относительный характер. Значение координаты зависит от того, какую инерциальную систему мы используем для рассмотрения ситуации. Сделаем упрощающее предположение, которое ничуть не снижает общности результатов, которые будут получены. Будем считать, что в начальный момент времени, который мы принимаем за ноль, штрихованная и нештрихованная системы отсчёта полностью совпадают, то есть они представляли собой одну систему. Тогда по прошествии какогото времени отрезок ′ может быть выражен через скорость одной инерциальной системы относительно другой и время. = ⃗
Смотрим на треугольник, который образуют вектора ⃗, ⃗ и ⃗ , вспоминаем правило сложения векторов и записываем очевидное, но очень важное векторное равенство, которое и содержит в себе преобразование координат и времени в классической физике.
⃗= ⃗ + ⃗ ⃗= ⃗− ⃗
8 Об обозначениях. — буква, которая будет у нас зарезервирована только для обозначения скорости движения одной инерциальной системы относительно другой. Обратим внимание на уникальное по своей простоте и глубокое по своему содержанию утверждение, которого придерживается классическая физика. Как преобразуется время при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ — никак. Время носит абсолютный характер, что позволяет нам записать: =
.
То есть темп течения времени любой системы не зависит от того, покоится она или движется. Это предельно простое равенство выражает абсолютный характер времени, который в классической физике кажется очевидным сам по себе. Он никак не доказывается, он просто вводится в рассмотрение всех тех процессов, которыми занимается классическая физика.
С ЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Г АЛИЛЕЯ 0) Абсолютный характер времени. = ′.
1) Относительный характер координат, относительный характер траектории. ⃗ ≠ ⃗.
Траектория движения одного и того же объекта при рассмотрении её в разных системах отсчёта может иметь разный вид. Например, если в поезде, движущемся равномерно и прямолинейно, вы роняете какой-то предмет из руки, то он падает вертикально вниз. Наблюдателю, который находится в штрихованной системе отсчёта, кажется, что это прямолинейное ускоренное движение. С другой стороны, при рассмотрении того же процесса движения брошенного тела от точки бросания до точки падения из неподвижной системы отсчёта, стрелочник, вооружённый соответствующими приборами, которые позволят зафиксировать траекторию движения этого предмета, увидит параболу. Один и тот же процесс описывается разными траекториями.
9 2) Абсолютный характер длины. Длина, или расстояние между двумя точками, обозначена на этой векторной схеме Δ . Теперь, чтобы доказать абсолютный характер длины, воспользуемся написанным ранее преобразованием координат и времени. Δ⃗ = ⃗ − ⃗ = ⃗ + ⃗
− ⃗− ⃗
= ⃗ − ⃗ = Δ ⃗′
⃗ ⃗
⃗
3) Относительный характер скорости. Классический закон преобразования скоростей. Скорость по определению — производная по времени от радиусвектора. Подключаем к этому определению преобразование координат, которое следует из принципа Галилея и выполняем дифференцирование этой суммы с учётом, что ⃗ — это векторная и постоянная величина, которой мы обозначаем скорость движения одной инерциальной системы относительно другой. Основываясь на том, что и ′ абсолютно одинаковы в классической физике, вводим обозначение ′. ⃗=
⃗
=
⃗+ ⃗
=
⃗
′
+ ⃗ = ⃗ + ⃗,
где ′ — скорость в штрихованной, подвижной системе отсчёта. ⃗ = ⃗′ + ⃗
⃗= ⃗− ⃗
Полезно будет при необходимости вспоминать пример равномерно и прямолинейно движущегося поезда и неподвижного наблюдателя. Закон сложения скоростей: пусть какой-то предмет неподвижно лежит на столике в этом поезде. Его скорость в этой штрихованной системе координат относительно пассажира равна нулю. Относительно стрелочника этот предмет пролетает с такой же скоростью, как и поезд. Второй случай: в неподвижной системе отсчёта некоторый предмет покоится. Чему будет равна скорость такого предмета относительно подвижной
10 системы отсчёта? − ⃗ — математический ответ на детскую загадку «почему, когда едешь в поезде, деревья бегут назад?» Он получен из преобразований Галилея. 4) Абсолютный характер ускорения. По определению ускорение — это быстрота изменения скорости. Вторая производная от радиус-вектора, или первая производная от скорости. Подключаем классический закон сложения скоростей, и с учётом того, что ⃗ — это постоянная величина, получаем ⃗=
⃗
=
⃗+ ⃗
=
⃗
′
= ⃗
Второй закон Ньютона: ⃗ = ⃗ — инвариантны ⃗= ⃗
Э ЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ П ОСТУЛАТЫ СТО 1. Принцип относительности Эйнштейна. Законы природы, определяющие изменение состояния физической системы, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем они относятся. 2. Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме не зависит от движения источника, который эту волну испускает. Во всех инерциальных системах отсчёта скорость распространения электромагнитной волны одинакова и равна . = 299 492 458 ± 1 м⁄с.
11 Предположим, что система ′ жется вдоль положительного нания оси OX. В начальный момент времени = 0 происходит вспышка света. Согласно постулату 2, = ′.
= ∙ ′
≠
≠
≠ ′
⃗
0
Р ЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ≠
=
=
а) ′ = 0
б)
в)
= 0; = ;
+
=
+
+ +
=
=
+ =− = −
+
=0
+
=0
⁄
=−
=−
−
+
=
− +
=
=−
=
+
= ′
A x
12 =
−
−
=
+
= = Если ,
≪ , то
⁄
−
1−
≠
−
−
1−
+
1+
→ 0.
Линейный характер зависимости пространства и времени следует из того экспериментально надёжно установленного факта, что пространство и время однородны. То есть особые точки искривления пространства, замедления усилием воли хода течения времени — это всё пока в пределы настоящей науки не входит.
=
+
=
+
=−
= ( − +
=
)
−
Эти выражения являются рецептом перехода из нештрихованной системы в штрихованную. Зададимся вопросом: а как должны выглядеть рецепты перехода от системы ′ в -систему? Здесь есть три разных способа восстановить искомую зависимость. Первое: начать всё с самого начала. Записать два линейных уравнения, содержащих четыре неизвестные константы и потихоньку их исключать, то есть повторить ту рутинную работу, которая нами уже была сделана. Второй способ: можно рассматривать два этих соотношения как систему уравнений. И если сейчас эта система выглядит как решённая относительно штрихованных переменных, то достаточно выполнить определённую алгебраическую работу для выражения
13 нештрихованных переменных через штрихованные. И, наконец, третий, самый простой способ, по которому мы и пойдём. Вспоминаем принцип относительности, который в несколько упрощённом варианте звучит следующим образом: все инерциальные системы равноправны. Считаем условно, что неподвижна система ′. Вместо в этих выражениях мы за-
пишем – и в результате получаем рецепт перехода от системы ′ в систему . = (
=
)
+
′+
Если мы сначала перейдём из -системы в систему ′, а потом вернёмся обратно, то если нет никаких ошибок в логике рассуждений, то мы должны оказаться ровно в той точке, из которой вышли. В конце концов, мир, который существует вокруг нас, существует объективно и не зависит от того, какие способы описания законов этого мира мы используем. =
( −
)+
−
=
−
дб
=1
1−
=
+
−
=
−
−
Мы получили явное выражение для ранее неявной константы . Структура в виде квадратного корня 1 − ⁄ — это «визитная карточка» специальной и общей теории относительности. Если в каком-то выражении в том или ином виде такой «релятивистский радикал» проглядывается, это верное указание на то, что формула получена с использованием представлений СТО или ОТО.
14
П РЕОБРАЗО ВАНИЯ Л ОРЕНЦА ( РЕЛЯТ ИВИСТСКИЙ ЗАКОН ПРЕОБРАЗО ВАНИЯ КООРДИНАТЫ И ВРЕМЕНИ )
= = ′= ,
−
1− −
1−
′=
=
= =
′+
1− +
1−
,
′ ′
= ′
Мы рассматриваем такие системы, в которых движение происходит в положительном направлении оси ОХ. Это не принципиальное ограничение. Общности рассуждений оно ничуть не снижает. Как частный случай преобразования Лоренца содержат в себе преобразования координат и времени, которые свойственны классической физике. В самом деле, если ≪ , константа превращается в единицу, и преобразование координат совпадает с преобразованием Галилея. В преобразовании времени снова исчезает знаменатель, ну а в силу малости по сравнению с исчезает и второе слагаемое ⁄ , получаем = — то, что мы называли математическим отражением абсолютности времени в классической физике. Почему преобразования носят имя Лоренца в теории относительности Эйнштейна? По чисто историческим причинам. Развитие теории относительности инициировало не столько теория движения объектов со скоростями, сравнимыми со скоростью света — это далеко от практических нужд, — насущной же задачей тогда являлась задача придать уравнениям Максвелла инвариантность, то есть чтобы для любой инерциальной системой они имели одинаковую форму. Теории относительности ещё не было, но были такие математические улучшения, которые предложил Лоренц.
15
С ЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Л ОРЕНЦА 1) Относительный характер длины. Длина тел в различных системах отсчёта. Лоренцево сокращение длины. Некий предмет (стержень) движется в положительном направлении оси х так, что ось этого стержня совпадает с направлением оси х. Движение стержня происходит со скоростью . Определяем длину этого стержня с точки зрения неподвижной системы отсчёта. Для этого нужно определить координаты концов этого стержня одновременно. =
0
⃗
x
=0
Существуют бесконтактные способы определения геометрических размеров движущихся предметов, точность таких методов составляет несколько десятков нанометров. Когда речь идёт о физической теории, то в ход может быть пущен так называемый мысленный эксперимент. Одновременно определены координаты и . Для неподвижной системы отсчёта длиной стержня естественно называть разность этих координат. =
−
Теперь через преобразования, которые есть в нашем распоряжении, переходим от нештрихованных к штрихованным переменным. С учётом того, что = , можно записать следующее выражение для ′: =
−
=
−
1−
=
1−
Да, длина, которая носит в классической физике абсолютный характер, приобретает относительный характер. Со всей очевидностью можно записать, что ≠ .
Уже полученному выражению придадим каноническую форму. И, основываясь на том, что относительно штрихованной системы отсчёта этот стержень неподвижен, назовём эту длину = — собственная длина стержня.
16
=
1−
— лоренцево сокращение длины. Вот то несколько необычное предсказание, которое даёт специальная теория относительности. Длина зависит от выбранной системы отсчёта. Однако ни в коем случае не нужно представлять, что в движущемся со скоростью ~ стержне происходят какие-то очень интересные глубокие изменения, в результате которых, скажем, расстояния между атомами и молекулами этого стержня уменьшаются, и что, действительно, длина стрежня уменьшается. Стержень какой был, такой и есть. Просто в зависимости от того, с точки зрения какой системы отсчёта мы будем определять его длину, мы будем получать разные значения. Вторая крайность, одинаково плохая: ни в коем случае нельзя считать, что это просто какие-то погрешности измерений, а на самом деле всё просто, и длина так и остаётся постоянной, как в классической физике. Нет, это реально существующий в природе факт, который находит отражение в теории относительности. Преобразования Лоренца прямо подводят нас к лоренцевому сокращению длины. 2) Одновременность событий в разных системах отсчёта. Относительность одновременности. Декорации те же самые: неподвижная система и подвижная система ′. Выделяем две точки и утверждаем, что в них одновременно с точки зрения штрихованной системы происходит два каких1 2 либо события (два хлопка в ладоши, два выстрела и т. д.) Отталкиваясь от преобразований Лоренца, посмотрим, что можно сказать об одновременности этих событий в лабораторной системе отсчёта. =
=0
=0
17
=
>
1−
Это означает, что те события, которые одновременно произошли в штрихованной системе отсчёта, неподвижному наблюдателю не будут казаться одновременными. Событие, которое произошло в точке 2, для неподвижного наблюдателя произошло позже, чем событие в точке 1. Относительность одновременности очевидна: в одной системе кажется, что события происходят одновременно, но нельзя утверждать, что во всех других инерциальных системах эти события тоже будут проходить одновременно. 3) Относительность интервала времени. Длительность событий в разных системах отсчёта. Замедление хода движущихся часов. В начало штрихованной системы помещаем часы, которые вместе с этой штрихованной системой двигаются относительно лабораторной систенамы со скоростью . Пусть событие в момент чалось, а в момент это событие закончилось. С точки зрения часов, которые движутся вместе со штрихованной системой отсчёта, длительность события выражается следующим образом: =
−
.
Пускаем в ход преобразования Лоренца, от штрихованных переменных переходим к нештрихованным и выражаем длительность того же самого события относительно неподвижного наблюдателя. =
−
=
−
1−
≠
=
′
1−
Перейдём к каноническим обозначениям. = можно назвать собственным временем, собственной длительностью этого события. Инерциальных систем бесконечно много, но есть одна и только одна, в которой эти часы неподвижны. И вот длительность события, которое отсчитано по неподвижным часам, называют собственным временем
18 этого события. Тогда замедление хода движущихся часов иллюстрирует формула:
=
1−
Часы движутся и отсчитывают какой-то интервал времени неподвижного наблюдателя прошло большее время > .
. Для
Среди многообразия элементарных частиц есть такие частицы, которые носят название мю-мезоны. Они обладают массой, которая примерно в двести раз больше массы электрона и зарядом, равным заряду электрона. Такие мезоны в тридцатые годы прошлого века научились регистрировать в верхних слоях атмосферы. Существование этих частиц было реально установлено, определены параметры: масса, заряд и, что самое важное, время жизни, которое составляет ≈ 2 микросекунды. Чуть позже мю-мезоны научились получать в искусственных условиях — на ускорителях. Выяснилось, что мю-мезоны можно зарегистрировать не только в верхних слоях атмосферы (на высоте примерно 30 км от поверхности Земли), но в хорошую погоду в горных районах — вблизи поверхности Земли. То есть мю-мезоны, которые явно родились в верхних слоях атмосферы, проходят расстояние в несколько десятков километров. Было установлено, что они двигаются с очень большими скоростями, сравнимыми со скоростью света. Так вот какое расстояние может пройти объект, который движется с такой скоростью за 2 мкс? 600 метров. А как же несколько десятков километров? Вот тут релятивистское замедление хода движущихся часов вступает в силу и ставит всё на свои места. Если родившийся мю-мезон движется действительно со скоростью, сравнимой со скоростью света, то его время жизни в неподвижной системе отсчёта будет больше, чем 2 мкс, и за это время он вполне может преодолеть расстояние в несколько десятков километров. Замедление хода движущихся часов, которое предсказывает специальная теория относительности, заставляет сказать о так называемом «парадоксе близнецов». Вкратце его можно свести к следующему: росли
19 два брата-близнеца, один стал космонавтом, другой учёным. Один отправился в далёкий межпланетный полёт, который происходил со скоростью, сравнимой со скоростью света, и в результате, когда он вернулся полный сил, застал своего брата-близнеца чуть ли не при смерти. Да, глядя на последнюю формулу, именно такой вывод мы можем сделать. Если — собственное время, которое отсчитывает космонавт, движущийся со скоростью, близкой к скорости света, например, делая зарубки на стенах каюты, то с точки зрения его брата, который остался на Земле, этому количеству лет соответствует большее количество времени по земным часам. Именно это эта формула и иллюстрирует. Но не более того. Всё остальное насчёт того, что жили вместе, потом один полетел, другой остался — это уже рассуждения, которые выходят за рамки специальной теории относительности. В специальной теории относительности рассматривается равномерное и прямолинейное движение. В случае же, когда два близнеца сначала были вместе, потом на время расстались, один полетал и вернулся, одной специальной теорией относительности описать такие события не удастся, поскольку для того, чтобы разогнаться до скорости, сравнимой со скоростью света, этот космонавт должен двигаться с ускорением, а вопросы движения с ускорением — это уже предмет общей теории относительности. Аналогичная ситуация возникает, когда мы рассматриваем процедуру возвращения одного из этих братьев на Землю. Снова сложный случай движения: непрямолинейный и движение с ускорением. Поэтому эта формула для объяснения парадокса близнецов неприменима. Зато если в качестве таких близнецов рассматривать мю-мезоны (у них у всех одинаковый заряд, одинаковая масса), то для них эта формула себя блестяще проявляет и подтверждает. Медленный мезон, у которого энергия мала, скорость движения мала, просуществует 2 мкс и исчезнет. Зато если у мю-мезона энергия существенна, существенна скорость движения, то он уже способен преодолеть не 600 метров, а несколько десятков километров. Все упомянутые преобразования подкупают своей простотой. Видимо, именно поэтому, из-за того, что не нужно пользоваться строгим математическим аппаратом, у теории относительности столь много желающих её поправить, улучшить и поставить себя на место Эйнштейна. В последние годы появилось чрезвычайно много книг о том, что специ-
20 альная теория относительности неправильна. Широким опытом это не доказано. В этих книгах есть любопытные подходы, игра мысли, однако, так или иначе, те ограничения, на которых стоит специальная теория относительности (прямолинейное равномерное движение), так или иначе по мере изложения подменяются. Рассмотрев достаточно кратко, но содержательно те следствия, которые можно получить из прямого и обратного преобразований Лоренца, убедились, что практически всё в мире относительно. Относительный характер имеет время, длина. Забегая вперёд, заметим, что и ускорение, которое абсолютно в классической физике, тоже носит относительный характер. И создаётся весьма напряжённая ситуация: что это за такой мир, который нас окружает, в котором всё зависит от того, какую инерциальную систему мы выберем? На самом деле теория относительности адекватно описывает то пространство и время, в котором мы живём. Есть в окружающем нас мире абсолютные инвариантные величины, которые не зависят от того, какую инерциальную систему мы рассматриваем и используем для рассмотрения той или иной ситуации.
П РЕДСТАВЛЕНИЯ О ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ - ВРЕМЕНИ ( ПРОСТРАНСТВЕ М ИНКОВСКОГО )
Г. Минковский — учёный российского происхождения начала ХХ века, скорее не физик, а математик, который предложил математический аппарат, который оказался чрезвычайно удобным для развития и специальной, и общей теории относительности. В классической физике и в философии обычно два этих слова — пространство, время — соединяются союзом «и». В релятивистской физике вводится новое понятие, которое является результатом объединения двух этих корней в одно слово. Пространство-время — это новое понятие, новая физическая сущность, которая адекватно отражается в вышеупомянутых преобразованиях. Координата и время на равных правах участвуют в преобразованиях Лоренца. Пространство и время тесно между собой связаны, поэтому используется такой новый термин. Нет никакой выделенной переменной, которой можно было бы придать абсолютный характер и «вынести её за скобки». В четырёхмерном про-
21 странстве, или пространстве Минковского, который его придумал, к трём привычным декартовым координатам , , (или, что то же самое, , , ) добавлено ещё одно измерение, ещё одна координата, которая непосредственно связана со временем. Добавлять просто время к трём величинам, которые имеют размерность длины, нехорошо. Поэтому выполняется операция умножения времени на скорость света — в результате с размерностью всё налаживается, — и ещё этой четвёртой координате Минковский придал комплексный характер: ∙ ∙ . { , , ,
} или { ,
,
,
}
События с точки зрения специальной теории относительности характеризуются не координатой и временем, а одновременно набором четырёх этих параметров. Адекватным математическим аппаратом теории относительности является тензорное исчисление в пространстве Минковского. Это тот аппарат, который помогает и с кажущимся парадоксом близнецов разобраться, и с вопросами искривления пространства, которое на самом деле имеет место быть. Понятие «число» хорошо знакомо. Новые возможности даёт использование векторных величин. В ряде случаев записи, математически отражающие события, происходящие в механике, в результате использования векторных величин сокращаются, становятся более компактными. Обычный вектор предполагаем набором из трёх компонент. Здесь мы ввели четырёхмерное пространство, где действуют вектора с четырьмя компонентами. Понятие «тензор» — ещё одна ступенька вверх по части усложнения математических объектов, которое производится для того, чтобы сократить запись изложения теории. Вместо трёх чисел можно использовать один вектор в обычном трёхмерном пространстве. Тензор в трёхмерном пространстве представляет собой матрицу из девяти элементов. Тензоры, которые являются математической основой теории относительности, в четырёхмерном пространстве представляют собой матрицу из шестнадцати элементов. И не все элементы между собой совпадают, не все равны нулю. Тем не менее, это действительно очень удобно, и это является адекватным математическим аппаратом теории относительности.
22
П ОНЯТ ИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННОГО ИНТЕРВАЛА В СПЕЦИАЛЬНО Й ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТ И
Пространственно-временным интервалом в специальной теории относительности называют объект Δ , обычно записывают выражение для квадрата пространственно-временного интервала:
Δ
=
Δ
−Δ .
Очень скромная во всех отношениях запись. Тензора отдыхают в серьёзных руководствах по квантовой механике, обходимся подручными средствами, скользим только по поверхности специальной теории относительности. Если выбраны две точки в пространстве Минковского, то одна из этих точек: { , , , }. Другая точка имеет свой набор координат: { , , , }. Δ =
−
,
Δ
Δ =
=Δ −
,
+Δ
+Δ
Δ =
−
,
Δ =
−
Понятно, почему у этой величины такое название: она содержит временную часть Δ и пространственную часть −Δ . Пространственная часть напоминает о существовании теоремы Пифагора. Важнейшее свойство пространственно-временного интервала — инвариантность.
Δ
≡Δ
Да, относительна длина, да, относительно время. Но есть инвариантная, не зависящая от выбора системы отсчёта величина под названием пространственно-временной интервал.
23
Δ
1) Пространственно-временные интервалы, квадрат которых > 0, называются времениподобными интервалами.
Понятно, почему такое название. Если, скажем, пространственная часть равна нулю, то мы получаем явно положительное число, которое содержит исключительно время в своём составе. События, которые разделены времениподобными интервалами, могут быть связаны друг с другом.
То есть событие, произошедшее в одной точке, может повлиять или проявить свой результат в другой точке пространства-времени только в случае, если квадрат этого пространственно-временного интервала больше нуля. Δ
2) Пространственно-временные интервалы, квадрат которых < 0, называются пространственноподобными интервалами.
События, которые разделены пространственноподобными интервалами, не могут влиять друг на друга.
То есть они не могут быть связаны причинно-следственными связями. Несмотря на простоту использованного нами математического аппарата, это очень важный вывод по части существования параллельных миров и прочих вещей. Физика этого не отрицает, просто даёт чётко очерченные границы. Если такие миры и существуют, и если точки, обсуждаемые в той или иной ситуации, разделены пространственноподобными интервалами, то влияния такие параллельные миры на нас оказывать не могут. Это такое отвлечение по части того, что специальная теория относительности — это глубокая и физическая, и философская теория окружающего нас пространства и времени. Лучшей теории пока не придумано. Если она и будет придумана, то она поставит границы применения специальной теории относительности, и в этой области специальная теория относительности свои позиции не сдаст, так же как не сдала классическая физика свои позиции при появлении теории относительности. 3) Световой интервал — интервал, у которого пространственная часть равна временной, Δ = 0.
24 Докажем инвариантность пространственно-временного интервала. Δ
=
Δ
−Δ
С помощью преобразований Лоренца выразим штрихованные переменные через нештрихованные. Δ Δ
=
Δ
+
1− Δ
= =
Δ
Δ
=
Δ
Δ −
1−
−2 Δ Δ +
1−
Δ
,
Δ
−Δ
−Δ
1−
−Δ
1−
=
−Δ −
Δ
1−
Δ − Δ 1−
−
Δ
−Δ −Δ
+ −Δ
−Δ
Δ
1−
−2 Δ Δ
=
= =Δ
О СНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ В СТО 0) Ускорение в релятивистской теории носит относительный характер. Что это означает? Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Ускорение, которое имеет движущаяся со скоростью в данный момент точка относительно неподвижного наблюдателя, который находится в лабораторной системе отсчёта: =
.
Для другой, подвижной системы отсчёта всё сказанное остаётся в силе с точностью до обозначения: =
.
25 Скорость и время носит относительный характер, поэтому ничего удивительного в относительном характере ускорения нет. Относительный характер ускорения делает невозможным использование основного закона динамики в простой форме ∑ ⃗ = ⃗ хотя бы
потому, что
≠ ′.
=
=
1−
1−
Основное положение динамики в специальной теории относительности, в том числе и для постижения самой идеологии релятивистской теории: релятивистская масса. В классической физике масса имеет абсолютный характер, в общем, даже в голову никому не приходит задумываться о том, меняется ли масса тела, когда оно начинает двигаться. По умолчанию из кажущейся очевидности этого факта постулируется и используется в классической физике абсолютный характер массы. В релятивистской физике всё не так. Масса рассматривается, как величина, зависящая от скорости движения, и зависимость эту выражает формула релятивистской массы:
=
1−
можно было бы называть собственной массой, но более ёмким является название масса покоя. При движении тела со скоростью наблюдается возрастание массы, которое при скоростях, сравнимых со скоростью света становится более чем очевидно. Следующее положение релятивистской теории — релятивистский импульс. В классической физике под импульсом принимается векторная величина, которая равна произведению массы движущегося тела на скорость его движения. ⃗ = ⃗. В релятивистской физике всё остаётся точно так с точки зрения логики, но под подразумевается выражение для релятивистской массы. Снова видим, что никаких принципи-
26 альных изменений, связанных с логикой подхода к рассмотрению событий, релятивистская физика не предлагает. Она просто развивает классические представления в области скоростей, сравнимых со скоростью света.
О СНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНО Й ТОЧКИ В СТО ⃗=
⃗
⃗=
(
=
⃗=
⃗)
=
⃗
⃗
Эта формулировка второго закона Ньютона сохраняет свою силу и в релятивисткой теории, если под импульсом понимать произведение релятивистской массы на скорость. Обратный переход (вынос массы изпод знака дифференциала) невозможен. Если мы работаем с релятивистскими объектами, то при вычислении производной от импульса мы должны учитывать зависимость от времени как скорости, так и массы. И вот такая форма записи основного закона динамики поступательного движения имеет инвариантный характер:
⃗
=
⃗
.
То есть, несмотря на неожиданные с точки зрения классической физики заявления о зависимости массы движущегося тела от скорости, форма закона ничуть не меняется, что ещё раз иллюстрирует тот факт, что специальная теория относительности является развитием, дальнейшим продолжением классической физики.
27
Р ЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН ВЗАИМОСВЯЗИ ЭНЕРГИИ И МАССЫ В СТО. Р ЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭНЕРГ ИЯ В качестве математического эпиграфа следующее выражение: (1 − )
=1+
1 3 + 2 8
+
5 16
+⋯
С помощью математического справочника или рекуррентной формулы этот увлекательный процесс записывания членов разложения в ряд можно продолжать до самого вечера. Разные математические подходы (разложение в ряд Тейлора или использование бинома Ньютона) позволяют получить такое разложение для структуры (1 − ) ⁄ . Используем его для работы с формулой релятивистской массы: =
1−
=
1− =
= +
+
1 2
+
1 2
3 8
+
3 8
+⋯ ×
+⋯
В получившемся математическом выражении попробуем найти важный физический смысл. Одно слагаемое в левой части, бесконечное множество слагаемых в правой части. Как всегда, посмотрим назад — от релятивистских формул к их классическому аналогу. Предположим, что ≪ . Стало быть, всеми слагаемыми, начиная с третьего, которое в знаменателе содержит , можно пренебречь. В таком случае это длинное и абсолютно правильное для любых значений скоростей выражение при малых скоростях приобретает следующую форму: =
+
Видим знакомое слагаемое
1 2
— кинетическая энергия дви-
жущегося тела в классической физике. Несомненно, это слагаемое имеет смысл и размерность энергии. Теперь ещё более радикальный подход. Считаем, что тическая энергия равна нулю, и остаётся только =
.
= 0. Кине-
28 Тело покоится, масса покоя . Какое же название можно дать этой получившейся структуре вида ? Ответ очевиден: энергия покоя ( ). Этого нет в классической физике, а в релятивистской физике это получается само собой, если активно использовать формулу для релятивистской массы. Спустились до самого крайнего случая = 0. Начинаем подъём вверх. Скорость мала по сравнению со скоростью света, но не равна нулю. К энергии покоя прибавляется кинетическая энергия. При малых скоростях вполне оправдано использование для кинетической энергии ⁄2. К энергии покоя прибавляется кинетическая энергия выражения — как назвать величину, стоящую в левой части? Полная энергия.
= И вот таким образом мы получили формулу релятивистской энергии. То, чего нет в классической физике, то, с чего началось развитие теории относительности. Формула носит название своего автора: формула Эйнштейна. Формула устанавливает взаимосвязь релятивистской массы и энергии. Это один из самых очевидных вкладов специальной теории относительности в современную физику вообще. Почему понятие энергии покоя не используется в классической физике? Казалось бы, если создана специальная теория относительности и если именно так формулируется связь энергии и массы, если именно таким логическим путём получается представление об энергии покоя для любого тела, то должны, казалось бы, появиться в классической физике соответствующие изменения. Но этого не произошло. По одной простой причине: для любого макроскопического объекта (который имеет массу, измеряющуюся в граммах или килограммах) величина энергии покоя чрезвычайно высока. Если у тела масса 1 кг, то мы автоматически получаем для энергии покоя такого тела величину 9 ∙ 10 Дж. Это колоссальная энергия, сравнимая с энергией всех накопленных ядерных боеприпасов. При взрыве одной атомной бомбы достаточно двух грамм вещества, которое преобразуется в энергию. В силу огромности энергии покоя оказывается чрезвычайно неудобно использовать ха-
29 рактерные значения кинетической энергии для макроскопических объектов, которая измеряется целыми, десятками и сотнями Дж. Иными словами, в классической физике энергия покоя принимается равной нулю, или, что точнее, отсчёт энергии начинается от величины энергии покоя. Сделано это в первую очередь из соображения удобства. Но понятия «энергия покоя», «релятивистская энергия», «релятивистская масса», тем не менее, чрезвычайно важны в разных разделах физики, которые идут дальше классической физики.
К ИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГ ИЯ В СТО Снимается ограничение ≪ , которое мы ранее использовали. И ⁄2 ни в коем случае не тогда определение кинетической энергии подходит. В релятивистском случае под кинетической энергией пони⁄2, но и все оставшиеся члены, которые нельзя отмают не только бросить, когда ~ . По историческим причинам кинетическую энергию движущейся точки в СТО принято обозначать буквой . =
1 2
+
3 8
+⋯
С учётом сказанного полная энергия представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии: =
+
=
−
Р ЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СО ХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА Начнём с очень простой вещи. Вспомним, что уже обсуждалось, и с учётом того упрощения, которое давно уже сделали (движение происходит в положительном направлении оси х), запишем выражение для релятивистского импульса.
30 =
=
1−
Возведём правую и левую часть в квадрат. = −
1−
=
Мы рассматриваем случай, когда тело движется, делить все слагаемые на . − −
= =
× ×
−
=
−
=
−
≠ 0, можем раз-
(∗)
= const
В классической физике закон сохранения энергии имеет чрезвычайно важное значение, сравнительно отдельно существует закон сохранения импульса. В релятивистской теории энергия и импульс тесно увязаны между собой законом сохранения энергии-импульса. Вернёмся к формуле (∗). Видим определённое внешнее сходство с ранее рассмотренной структурой пространственно-временного интервала Δ − Δ = Inv.
31
О БЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЧЕТЫРЁХМЕРНОМ ПРОСТ РАНСТВЕ ЭНЕРГ ИИ - ИМПУЛЬСА ( ЧЕТЫРЁХВЕКТОР ) Четырёхмерное пространство-время формировалось таким образом: к трём пространственным координатам , , добавляем четвёртое измерение и получаем мировую точку в четырёхмерном пространстве-времени, которая характеризуется и пространственными, и временными координатами, и обладает тем свойством, что расстояние между двумя этими точками в пространстве Минковского инвариантно. В четырёхмерном пространстве энергии-импульса ситуация по логике образования действующих лиц аналогична. К простому привычному импульсу добавляется ещё одно измерение . В результате получаем набор четырёх координат (три спрятаны в векторной величине ⃗): { ⃗,
}.
Использование таких четырёхмерных векторов является более удобным при рассмотрении вопросов динамики в СТО.
Р ЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СВЯЗИ КИНЕТ ИЧЕСКО Й ЭНЕРГ ИИ И ИМПУЛЬСА
Закон, связывающий полную энергию и импульс, нами получен. Им и воспользуемся. =
=( −
−
= =
1
1
)( +
(2 ∙2
) = (2
+ )
+ ) 1+
2
=
Достигнув релятивистских высот, посмотрим, не нарушается ли что-то в классической механике? →
≪
=
1
∙2
=
1
∙2
=
∙2
=
2
2
=
32 Мы не то чтобы получили выражение для импульса в классической физике, мы просто показали, что всё стоит на своих местах. В классической физике как дело обстояло, так оно и будет обстоять до тех пор, пока выполняется условие или ≪ , или ≪ . Если же это неравенство не выполняется, можно пользоваться только релятивистским законом связи импульса и кинетической энергии.
Э НЕРГ ИЯ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТ ИЦ . Д ЕФЕКТ МАССЫ До сих пор мы рассматривали одну свободно движущуюся частицу, рассматривали полную энергию, кинетическую энергию этой частицы. Теперь рассмотрим систему взаимодействующих между собой частиц, то есть в рассмотрение будет подключено понятие потенциальной энергии. Естественно, что энергия этой частицы складывается из её энергии покоя, её кинетической энергии и потенциальной энергии , которой обладает частица, находящаяся в коллективе других частиц, которые на неё тем или иным образом действуют. =
+
+
Проведём суммирование по всем частицам. Несомненно, что в правой части мы получим полную энергию всей системы. Сумма кинетических энергий всех частиц определит запас кинетической энергии, которой обладает эта рассматриваемая система.
Добавка на друга.
=
+
+
означает, что частицы несвободны, они действуют друг
Разделим на правую и левую часть этого равенства и обозначим массу всей системы через . =
+
+
Снова бросим взгляд назад в классическую физику. Если энергии малы по сравнению с энергией покоя, то соответствующие добавки слагаемых ⁄ и ⁄ пренебрежимо малы, и остаётся в силе широко из-
33 вестный и полезный в области классической физики закон сохранения массы, который утверждает, что если мы имеем дело с какой-то системой частиц, то общая масса равна массе всех входящих в неё частиц. Если же значения потенциальной энергии или кинетической энергии становятся сравнимыми с энергией покоя, то слагаемые ⁄ и ⁄ приводят к тому, что закон сохранения массы в общем случае не существует. ≠ ∑ . Необычное заявление, особенно если учесть, что закон
сохранения материи, закон сохранения массы в классической физике применяется достаточно широко. Но материя не исчезает, она просто может переходить из одной формы в другую, и формула Эйнштейна как раз эту взаимосвязь энергии и массы устанавливает. Ещё одно важное замечание нужно сделать. Какой характер имеет это неравенство, что больше — масса всей системы или сумма масс покоя отдельных частиц? Тут возможны варианты. Всё зависит от того, каков характер взаимодействия частиц между собой. Наиболее интересный случай — когда потенциальная энергия взаимодействия частиц имеет отрицательный знак. Это бывает в том случае, когда, например, два заряженных объекта притягиваются друг к другу. В этом случае масса всей системы оказывается меньше суммы масс покоя всех частиц, которые эту систему образуют. Разность между суммой масс покоя частиц, входящий в систему, и общей релятивистской массы этой системы Δ
=
−
носит название дефект массы. В случае, если эти частицы не просто взаимодействуют между собой, если это взаимодействие имеет характер взаимного притяжения, то есть система, как говорят, находится в связанном состоянии, потенциальная энергия имеет знак минус. Казалось бы, парадоксальное утверждение. Но ещё в первой трети ХХ века была разработана экспериментальная техника точного определения масс отдельных частиц, включая массы атомных ядер, электронов, протонов и других частиц, которые являются кирпичиками при строительстве ядра атома. Техника эта связана, конечно, не с использованием высокоточных весов, на которые поодиночке укладываются ядра атомов и отдельные частицы. Нет, речь идёт о том, что по движению таких заряженных частиц в магнитном поле можно получить информа-
34 цию о точном значении масс этих частиц. Это релятивистское предсказание о том, что масса ядра будет меньше, чем суммарная масса частиц, которые это ядро образует, подтвердилось с очень большой точностью. Более того, этот релятивистский дефект массы позволяет не просто ввести, а количественно рассчитать так называемую энергию связи.
св
=Δ
Когда ранее независимые частицы начинают образовывать одно общее ядро атома, за счёт их взаимодействия в величине энергии, которую позволяет рассчитать эта формула, дефект массы себя и проявляет. Эта формула стала в своё время рабочим инструментом для ядерной физики. В том числе благодаря ей были созданы и первые ядерные боезаряды, и другие проблемы в области ядерной физики успешно разрешались.
О БЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Теория относительности — это дальнейший шаг в развитии классической физики. В классической физике всё остаётся на своих местах. Благодаря теории относительности вносятся новые представления в знания людей об окружающем их мире. В классической физике координата, время, импульс, энергия, масса и все другие механические параметры абсолютно независимы друг от друга и, более того, в классической физике многие их этих параметров, например, время, масса, имеют абсолютный характер. Мы познакомились с преобразованиями Лоренца и убедились, что в релятивистском случае, когда движение происходит равномерно, прямолинейно, но с большими скоростями пространство и время оказываются связанными друг с другом. Такая взаимосвязь потребовала введения понятия «пространство-время». На примере тех законов, которые связывают импульс и полную энергию, импульс и кинетическую энергию, мы увидели, что импульс и энергия тоже между собой тесно связаны. То есть ранее относительно независимые друг от друга величины в специальной теории относительности связаны проч-
35 ными закономерностями и, более того, устанавливают те инварианты, которые сохраняются для любых инерциальных систем. То есть, несмотря на то, что относительный характер имеет и время, и пространство, пространство-время обеспечивает возможность для чёткого разграничения событий, установления причинно-следственных связей и прочего. Что делается в общей теории относительности? Там дело идёт ещё дальше. Там производится попытка объединения всех независимых переменных в единое целое. Самым важным, пожалуй, является то обстоятельство, что к описанию свойств пространства-времени подключается масса. В классической физике представления о пространстве очень простые: есть пустое пространство и в нём распределены какие-то массы, подвижные или неподвижные. Общая теория относительности (другое название — теория гравитации) рассматривает влияние распределённых в пространстве масс на свойства самого этого пространства. Математически описать это влияние без использования тензоров невозможно. Основное ограничение, которое выделяет специальную теорию относительности в отдельный подраздел — это движение с постоянной скоростью, равномерное и прямолинейное. Естественно, для описания всех возможных событий в мире этого мало. Нужно так или иначе рассматривать движение с ускорением, научиться преобразовывать импульсы при переходе от одной системы к другой. Хочется заметить, что в общей теории относительности понятие ускорения, грубо говоря, отменяется. Не рассматривается понятие ускорения вообще. А любое движение с ускорением, то есть если происходит изменение состояния движения тела и скорость его увеличивается, рассматривается как движение в гравитационном поле. То есть в общей теории относительности движение с ускорением рассматривается как влияние поля. Ещё один синоним общей теории относительности — теория поля. Эйнштейн, создатель теории относительности, до последних лет работал над попытками создания окончательного варианта общей теории относительности, которая, действительно, одна объяснила все свойства окружающих нас тел в природе.
36
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ К ВАНТОВАЯ ГИПОТЕЗА ИЗЛУЧЕНИЯ . Г ИПОТЕЗА П ЛАНКА Эта гипотеза является основой квантовой физики, и несмотря на это своё фундаментальное значение, имеет чрезвычайно простую математическую форму.
ℰ=ℎ ℎ — некоторая постоянная величина, универсальная постоянная. Со временем она получила имя человека, который первый ввёл её в научное рассмотрение и имеет название постоянной Планка. Её значение ℎ = 6,625 ∙ 10
Дж ∙ с.
В 1900 формула рассматривалась как гипотеза, выдвинутая своим первооткрывателем, и имела следующий физический смысл: рассматривая обмен энергией между нагретыми телами, Планк пришёл к выводу, что существует в природе та минимальная порция энергии, с помощью которой происходит обмен энергией между нагретыми телами. Впоследствии эта мельчайшая порция энергии получила такие названия, как квант, фотон. Применительно к видимому свету, который имеет длины волн порядка сотен нанометров, квант и фотон — это практически синонимы. Да и вообще между ними различие настолько тонкое, что не стоит на нём и заострять внимание. Энергия в левой части этого равенства — это и есть энергия одной такой частицы, с помощью которой происходит обмен энергией между нагретыми телами. Гипотеза эта понадобилась Планку, для того чтобы объяснить законы теплового излучения (это такое слабое место физики конца XIX — начала ХХ веков: экспериментальные данные были, а вот теоретических формул, которые бы объясняли наблюдающиеся экспериментальные результаты, не существовало). И с помощью этой гипотезы Планку удалось вывести формулу, описывающую распределение энергии теплового излучения по длинам волн, тем самым сняв проблему.
37 И именно с этой формулы берёт начало квантовая физика. Квантовая физика является новым разделом физики, который выходит за пределы классической физики, подобно тому, как специальная теория относительности и теория относительности вообще выходит за пределы классической физики. Основная новизна, если можно так сказать, этой формулы по сравнению с классическими представлениями заключается в следующем. В классической физике в теоретическом описании явлений разной физической природы широко используется метод дифференцированияинтегрирования. То есть обмен энергией нагретых тел с точки зрения классической физики должен был рассматриваться как обмен сколь угодно малых, как и положено из математической идеологии, стремящихся к нулю порций. Планк, однако же, в своей гипотезе стремление этой порции к нулю запретил и сказал, что для каждой частоты — соответственно, для каждой длины волны, — существует своя минимальная порция энергии, с помощью которой осуществляется обмен энергией между нагретыми телами. Гипотеза была революционной, поскольку ничего подобного в классической физике не рассматривалось. Сам автор этой гипотезы, которая дала начало квантовой физике, до конца своей жизни искал альтернативное объяснение законов теплового излучения на основе классического подхода, без использования этой квантовой гипотезы. Однако всё развитие физики ХХ века показало, что действительно окружающий нас мир имеет квантовую природу, которую надо учитывать, чем и занимается квантовая физика, как раздел физики вообще. То есть эта простая квантовая гипотеза излучения является основой всей современной физики.
Э НЕРГИЯ , МАССА И ИМПУЛЬС ФОТОНА Эти поначалу гипотетические частицы по мере развития новой физики получали всё более и более конкретное математическое и физическое описание. Что касается энергии фотона, то выражение для неё даёт сама гипотеза Планка. Разным частотам , разным длинам волн = ⁄ эта формула определяет энергию фотона. Рассмотренных выше познаний в области СТО хватит для того, чтобы фотон взвесить. Естественно, не на весах, а с помощью формул. То есть определить массу фотона. Существует, пусть пока гипотетически, объект, обладающий
38 энергией . Формула, которая связывает энергию и массу, позволяет записать: = ф
=
=ℎ
ф
=
Например, оценим массу фотона с длиной волны в середине видимой области спектра:
= 500 нм.
ф
=
∙
,
∙
∙ ∙
≈ 10
кг.
Да, исчезающе малая величина. Если вспомнить, чему равна масса покоя электрона (9,1 ∙ 10 кг), то фотон по своей массе на пять-шесть порядков уступает самой лёгкой стабильной элементарной частице. Тем не менее, масса конкретного фотона, соответствующего данной частоте и данной длине волны, вполне определена и может быть охарактеризована тем или иным числом. Ещё одно важное замечание и пополнение сведений о свойствах фотона. Вспоминаем формулу релятивистской массы и попробуем применить её к фотону. ф
=
1−
Фотон — порция энергии, с помощью которой тела обмениваются энергией. «Частичка света». Естественно, что эта частица должна двигаться со скоростью = 3 ∙ 10 м⁄с. Что мы получаем в знаменателе в формуле для ф ? Ноль. Если, глядя на эту формулу, мы заявим, что фотон помимо вышеперечисленных свойств, обладает нулевой массой покоя, то всё встаёт на свои места, и в принципе никаких противоречий в развивающейся физической теории не проглядывается. Да, фотоны существуют только в движении и двигаются не только в вакууме, но и в твёрдых телах, жидкостях и газах со скоростью света . Массу покоя, как мы показали, можно рассчитать и оценить, но на практике она практически не используется. Более важным является использование понятия импульс фотона. =
ф
∙
=
=
39
ℏ=
— тоже постоянная Планка.
=
ℎ 2 2
ℎ ≈ 1 ∙ 10 2 =ℏ
2
Дж ∙ с
=ℏ
В классической волновой теории широко используется величина волновой вектор, численное значение которого равно числу длин волн, укладывающихся на отрезке длиной 2 . Придадим последней формуле векторный характер. Направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны.
⃗ = ℏ⃗ ℰ=ℎ =
ℎ 2 =ℏ , 2
— круговая частота
рад с
ℰ=ℏ
К ОРПУСКУЛЯРНО - ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Это центральный вопрос в квантовой физике, а закрывается он с точки зрения математики двумя последними формулами. Эти простые соотношения связывают между собой волновые ( , ⃗) и корпускуляр-
ные (ℰ, ⃗) параметры.
В классической физике понятия «волна» и «корпускула» существуют изолированно друг от друга. Все окружающие нас тела рассматриваются как состоящие из каких-то порций вещества, которые можно на-
40 зывать корпускулами (от лат. corpus — тело, сущность, единое тело). Эти корпускулы взаимодействуют между собой, и этим взаимодействием объясняются свойства твёрдых тел. Эти корпускулы взаимодействуют на расстоянии — этим объясняются гравитационное взаимодействие, электромагнитное взаимодействие и т. д. И эти частицы обладают такими корпускулярными характеристиками, как импульс и энергия. Эти соотношения, несмотря на свою простоту, символизируют единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения. Ни в коем случае нельзя противопоставлять эти понятия — «корпускула» и «волна». Корпускулы — малые частицы вещества, которые занимают определённый объём в пространстве. Корпускула, атом и молекула между собой имеют много общего, но не заменяют друг друга. С помощью определения корпускулы можно дать строго определение того, что из себя представляет материальная точка. В случае, если объём, который занимает крупица вещества в пространстве, стремится к нулю, то переходим к понятию «материальная точка». Координата в пространстве может быть определена со сколь угодно высокой точностью. Если у корпускулы точно определены координаты, то можно точно задать и исследовать ту траекторию, по которой эта корпускула движется. Корпускулы в физике рассматриваются как бесструктурные объекты, и в этом как раз различие между понятиями атом и молекула — и корпускула. Корпускулы неделимы. Волна — состояние несущей их материальной среды. Второе их свойство: > , — характерный размер области пространства, в которой эта волна локализована. Понятие волна в чётко определённой точке — это нонсенс, который не рассматривается в силу своей невозможности. Волна делима. Скажем, если волна, распространяющаяся по поверхности воды, достигает прибрежных камышей, то на каждом этом препятствии образуется вторичная волна, и одна исходная волна делится на много составляющих. Свет, который проходит через стопу Столетова, разделяется на несколько пучков, которые при необходимости можно зафиксировать и их свойства изучать.
41 Возвращаемся к роли этих простых трёхбуквенных соотношений. Воедино квантовая физика объединяет корпускулярные и волновые свойства, и без этого объединения двигаться дальше оказалось невозможно. В классической теории света (её достижения: уравнения Максвелла, уравнение электромагнитной волны, количественное объяснение явлений интерференции, дифракции, поляризации) долго искали так называемый «мировой эфир», колебаниями которого и определялся поперечный характер электромагнитной волны. Не нашли, поскольку это гипотеза не может быть подтверждена широким опытом в силу объективного существования корпускулярно-волнового дуализма. Решение задач, связанных с интерференцией, дифракцией ничуть не меняется. Классическая волновая теория света остаётся на своём месте, но добавляется понимание за счёт объединения корпускулярных характеристик с волновыми. Даже пытаться ставить вопрос, какой взгляд на природу электромагнитного излучения более правильный — корпускулярный или волновой, — не приходится. Есть у электромагнитного излучения и корпускулярные, и волновые свойства. Это две стороны одного и того же объективно существующего явления. Можно сколь угодно долго спорить о том, выполнена ли верхняя плита стола из древесно-стружечного материала или имеет размер 80 см на 2,5 м. Наверняка найдутся сторонники и одной, и другой точки зрения. Но на самом деле это две стороны одного и того же явления. Свет по своей природе гораздо более сложное физическое явление, чем крышка стола, и корпускулярно-волновой дуализм — это единственное средство полно описать свойства электромагнитного излучения. Никакого энтузиазма, радостных демонстраций в поддержку корпускулярно-волнового дуализма среди физиков не было. Причиной этому, с одной стороны, была инерция мышления: зачем менять то, что и так хорошо работает (классическая физика); с другой стороны, гораздо меньшей популярностью сто лет назад пользовалась физика, чем сейчас. Пик популярности — середина ХХ века: это и атомная энергия, и развитие микроэлектроники и всё, что с этим связано. Для того чтобы теория корпускулярно-волнового дуализма заняла своё место в научном сознании, потребовалось доказательство того, что есть у света не только волновые, но и корпускулярные свойства.
42
К ОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
1) Д АВЛЕНИЕ СВЕТ А =
ℎ
пад
,
=
∙
⃗
=ℎ
∙ ,
— концентрация фотонов в объёме. — коэффициент отражения.
погл
=
=
⃗
— ток смещения (электроны начинают смещаться от положения равновесия)
отр
пад
пад
−
⃗
⃗
отр
Поглощение, энергия переходит в поверхность,
⃗
Как на автобусной остановке: → 0, Δ =− кто-то в набитый автобус влез, ну а ⃗ 2⃗ кто-то остался, отразился от стен Отражение, этого автобуса. Столько поглотиΔ = −2 лось, попало в этот автобус можно посчитать как разность очереди до подхода автобуса и тех, кто остался. Для обозначения импульса, который получает поверхность за время за счёт и поглощения, и отражения фотонов, будем использовать букву ℙ. Импульс не меньший, чем , каждый фотон передаёт поверхности. Те, которые отразились, передают импульс в два раза больше. ℙ=
погл
∙
+
отр
∙2 =
пад
∙ (1 + ) =
(1 + )
— сила давления. По основному закону динамики она равна скорости изменения импульса тела. =
ℙ
Буквой обозначим давление. По определению давление — это отношение действующей силы к площади, на которую распространяется действие этой силы. =
=
ℎ
(1 + ) = ℎ
(1 + ) =
(1 + ) =
(1 + ),
43
=
(1 + )
— объёмная плотность энергии — произведение одной порции энергии на количество этих порций в единице объёма, количество энергии, заключённой в одном кубическом метре пространства. В волновой теории эта величина тоже есть, она рассчитывается, как интеграл по объёму от произведения напряжённостей и . Здесь — более простое, но физически не менее глубокое объяснение этой характеристики. Используя корпускулярные представления о природе света, мы получили формулу, которая с точностью до обозначений совпадает с тем, что может быть получено в классической теории. Упомянутые формулы могут напомнить такой раздел физики, как свойства идеального газа, молекулярно-кинетическая теория. Там рассматриваются подобные приёмы для объяснения возникновения давления молекул газа на стенки сосуда.
2) Ф ОТОЭЛЕКТ РИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ ( ФОТОЭФФЕКТ ) Фотоэффект — эффект изменения энергетического состояния электронов твёрдого тела или жидкости под действием падающего электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект — эффект вырывания электронов с поверхности твёрдого тела или жидкости под действием падающего электромагнитного излучения.
̅
− +
44
З АКОНЫ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТА 1. Первый закон Столетова Величина фототока насыщения прямо пропорциональна освещённости катода. Металлическая поверхность, с которой вырываются электроны, называется катодом. Поскольку он освещается светом, другое его название — фотокатод. Во времена Столетова это было сделать сложно, но спустя несколько десятилетий эти эксперименты перенесли в вакуум, для того чтобы молекулы газа не мешали электронам свободно двигаться. Один из электродов освещается светом, второй, так или иначе (или в виде плоского, цилиндрического или, что самое надёжное, сферического конденсатора) этому катоду противолежит. На катод падает свет, катод испускает электроны, электроны подхватываются внешним напряжением (можно называть его анодным напряжением). Величина тока, который протекает в цепи анода, пропорциональна числу электронов, которые ежесекундно проходят по этой цепи. Величину напряжения можно и менять, и измерять с помощью вольтметра. Вольт-амперную характеристика этого устройства имеет следующий характерный вид:
ток насыщения
Ф
Ф <Ф
напряжение задержки
45 Параметром этой вольт-амперной характеристики является величина, которая называется освещённостью катода. В физике под освещённостью понимают количество энергии, которая ежесекундно падает на 1 м2 освещаемой поверхности. В оптике и светотехнике актуально несколько иное понятие освещённости. Освещённость пропорциональна интенсивности падающего света. Величина тока насыщения соответствует тому состоянию, когда все электроны, которые под действием света выбиты с катода, достигают анода. Никакого нагревания катода в этом варианте эксперимента не проводится. Здесь имеет место фотоэлектронная эмиссия. Если уменьшить количество света, падающего на поверхность катода (скажем, если первоначально использовались две лампочки, то одну лампочку оставить, другую выключить), то вольт-амперная характеристика меняется. Фотоэлектрический эффект и первый закон Столетова вполне может быть объяснён и с позиции классической физики. Мы рисовали электромагнитную волну, падающую на поверхность твёрдого тела и показывали там направление тока смещения, возникающего из-за того, что электроны начинают смещаться от положения равновесия. Если интенсивность этого облучения достаточно высока, то есть велика амплитуда этих колебаний, то вполне возможно, что некоторые электроны придут в состояние своего рода резонанса. Будут увеличивать амплитуду своих колебаний, постоянно заимствовать энергию от падающего электромагнитного излучения, в результате чего получат возможность преодолеть те силы, которые удерживают их на поверхности металла и покинуть этот металл, что и приведёт к появлению этих электронов, которые при надлежащей полярности внешнего напряжения и достигнут анода. Внимательно рассмотрим начальный участок вольт-амперной характеристики, ту её часть, которая отвечает отрицательным значениям напряжения на аноде. Актуально так называемое напряжение задержки з . В принципе тот факт, что при выключенном источнике питания идёт какой-то ток, показывает, что некоторые из выбитых светом электронов об-
Ф
з
Ф
46 ладают энергией, достаточной для того, чтобы добраться до анода. Обладают какими-то скоростями, эти скорости удачно направлены, и эти электроны создают при отсутствии внешнего напряжения ток. Увеличивается освещённость катода — увеличивается и количество таких электронов. То есть с точки зрения классических представлений это напряжение, при котором фототок прекращается, должно смещаться. Однако тщательные эксперименты показали, что это напряжение задержки, которое определяет максимальную кинетическую энергию электрона, не зависит от интенсивности облучения. Это не закон Столетова, это просто экспериментальный факт, который противоречил классическим представлениям и не мог быть с точки зрения классической физики объяснён. Судя по вольт-амперным характеристикам, электроны, которые покидают поверхность катода, имеют разную энергию. Действительно, одни могли быть у самой поверхности, другие — на некоторой глубине. Естественно, что тем, кто выбирался на свободу из глубины, пришлось совершить бо́льшую работу по своему выходу за пределы этого металла. Поэтому неудивительно, что есть разные значения скоростей, разные значения энергий. По мере того, как мы двигаемся в область более отрицательных значений напряжения, фототок уменьшается, и при некотором напряжении з фототок прекращается. Почему? А потому что максимальная кинетическая энергия, которой обладают электроны, по логике в точности равна произведению заряда электрона на задерживающую разность потенциалов. =
з
2. Второй закон Столетова Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины освещённости катода. А зависит от частоты падающего света.
47
3. Третий закон Столетова Для каждого фотокатода существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота света , при которой фотоэффект ещё возможен.
K Aвых
ν
ν
Ф ОРМУЛА Э ЙНШТЕЙНА ДЛЯ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТ А ℎ =
ВЫХ
+
ℎ — энергия падающего фотона на поверхность металла. Большинство из этих падающих фотонов металлом просто поглощаются, их энергия идёт на нагревание металла. Но некоторые падающие фотоны передают свою энергию тем свободным электронам, которые в большом количестве находятся на поверхности металла, но самопроизвольно покинуть поверхность металла не могут. Есть силы, которые удерживают их на поверхности металла, и для того чтобы преодолеть эти силы, нужна добавочная энергия. В случае термоэлектронной эмиссии эта энергия поступает от нагревания материала катода. Другой способ оторвать электрон от поверхности металла — это подвергнуть его облучению электромагнитным излучением. Кванты не могут поглотиться частично, и энергия, которой обладал фотон, поступает в распоряжение одного свободного электрона, находящегося на поверхности металла. Часть этой энергии уходит на то, чтобы преодолеть силы, которые удерживают электрон на поверхности металла. Для преодоления этих сил нужно совершить работу, и очень логично первое слагаемое в правой части формулы Эйнштейна носит название работы выхода. Работа выхода — величина энергии, которую должен затратить электрон, для того чтобы оторваться от поверхности металла.
48 Всё остальное, что осталось от энергии фотона в распоряжении электрона, образует величину его кинетической энергии. Индекс «max» говорит о следующем: вырывание электрона может происходить как непосредственно с самой поверхности металла, так и некоторого приповерхностного слоя. Во втором случае электрон должен совершить бо́льшую работу по преодолению тех сил, которые удерживают его внутри металла. Эту формулу Эйнштейн предложил в одной из своих работ 1905 года. Интересно отметить, что в том же самом физическом журнале были опубликованы его работы по теории относительности. И то и другое достойно более чем уважения, однако Нобелевскую премию Эйнштейн получил именно за свои работы по внешнему фотоэффекту. Если мы увеличиваем освещённость фотокатода, то увеличиваем количество квантов и не меняем их энергию. Никак не может измениться максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Начинаем увеличивать частоту (уменьшать длину волны) — растёт энергия фотонов, работа выхода — это характеристика материала, от частоты падающего света никак не зависящая, стало быть, при неизменной работе выхода, при увеличении частоты линейно будет возрастать и кинетическая энергия, которой обладает фотоэлектрон. Обратная ситуация, когда мы начинаем уменьшать частоту электромагнитного излучения. Уменьшается энергия фотонов, уменьшается максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, и при некотором значении частоты энергия фотона становится в точности равной работе выхода. Энергии электрону достаточно, чтобы преодолеть силы, удерживающие его на поверхности металла, но кинетической энергии у него не остаётся. Стоит уменьшить частоту ниже к, и фотоэффект прекращается. Именно по той причине, что энергии фотона недостаточно для преодоления сил, удерживающих электрон на поверхности металла. Вот так изящно в этой формуле все три закона Столетова нашли своё отражение. Более того, эта формула дала основание для экспериментального определения величины работы выхода: ℎ = вых.
Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм, рассмотрение электромагнитного излучения одновременно как волновой и корпускулярный процесс получило своё более чем серьёзное подтверждение.
49
П РАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОТОЭФФЕКТА Рассмотренный ранее фотоэлемент (см. стр. 43) — это та ячейка, которая способна преобразовывать электромагнитное излучение в электрический ток. Больше падает фотонов — большее количество электронов вырывается с поверхности катода — больший ток идёт в цепи этого фотоэлемента. Исчезла освещённость катода — прекратился фототок. Основа для создания многочисленных датчиков точной механики, оптики, систем слежения, охранных систем и т. д. И вот на протяжении первой трети ХХ века такие фотоэлементы стали широко применяться в разных областях науки, техники и сельского хозяйства. Первая удачная схема звукового кинематографа была реализована именно с использованием фотоэлемента. Звуковая информация с дорожки на киноплёнке считывалась именно посредством фотоэлемента. Первое поколение турникетов в метрополитене тоже использовало внешний фотоэффект путём применения соответствующих фотодатчиков. И очень легко эти фотоэлементы обманывались путём умелого перекрытия ладонями приёмника и датчика этого светового луча. О внешнем фотоэффекте говорит формула Эйнштейна и законы Столетова. Определение фотоэффекта в общем виде предполагает, что под фотоэффектом подразумевают любое изменение энергетического состояния электронов твёрдого тела или жидкости под действием падающего электромагнитного излучения. Одной из важных, а в настоящее время гораздо более важной для практического использования разновидности фотоэффекта является внутренний фотоэффект, когда энергетическое состояние электронов изменяется, но изменяется не настолько сильно, чтобы они могли покинуть поверхность металла. Особенно важен внутренний фотоэффект в полупроводниковых материалах. Все цифровые системы регистрации изображений, которые используются и во встроенных фотокамерах мобильных телефонов, и в более продвинутых цифровых аппаратах, используют в своей основе явление внутреннего фотоэффекта. Меняется состояние электронов, появляются в матрице дополнительные носители, которые при соответствующей организации устройства считываются и преобразуются в цифровую форму.
50
Э ФФЕКТ К ОМПТОНА Эффект Комптона — эффект увеличения длины волны коротковолнового электромагнитного излучения в результате рассеяния фотонов на свободных или слабо связанных электронах. Под коротковолновым электромагнитным излучением подразумевают излучение с длиной волны ~10 … 10 м. Такие фотоны не регистрируются органами зрения, но тем не менее объективно существуют. Этот эффект с позиции классической физики никаким образом не мог быть объяснён. В классической волновой теории рассеяние света, безусловно, рассматривается: падающая электромагнитная волна смещает электроны, в результате они приходят в ускоренное движение и излучают вторичные волны. По классической теории он будет излучать волну той самой частоты, и никакого изменения длины волны происходить не может. Однако опыты Комптона показали, что этот эффект имеет место быть.
S
S — источник коротковолнового электромагнитного излучения. Это или рентгеновская трубка, которая к тому времени в двадцатые годы уже производилась (рентгеновское излучение было открыто в конце XIX века и очень быстро нашло своё применение), или радиоактивные препараты, которые тоже излучают гамма-кванты данного диапазона длин волн. На пути этого излучения устанавливается образец, содержащий в себе и сильно связанные электроны, и свободные или слабо связанные электроны. На месте этих образцов побывали практически все элементы таблицы Менделеева и искусственные материалы типа пара-
51 фина, стеарина и др. Сквозь этот образец коротковолновое электромагнитное излучение имеет свойство протекать. А анализируется спектральный состав этого излучения при помощи детектора D. Детектор подвижен, его можно поворачивать, тем самым изучая, что меняется в этом излучении, отражённом на разные углы, которые обозначены буквой θ.Спектральный состав — это зависимость интенсивности излучения от длины волны. В качестве детектора используется дифракционная решётка, созданная либо самой природой, либо природой, которой немного помогли. Речь идёт о монокристаллах металлов. Расстояние между атомами в этой кристаллической решётке зафиксировано и составляет величину, которая как раз сопоставима с длиной волны электромагнитного излучения: ~10 м. И вот когда данное излучение поступает на такой объект, который можно назвать трёхмерной дифракционной решёткой, то явление дифракции себя проявляет. Излучение, которое поступает от источника, имеет длину волны , и спектральный состав, зафиксированный с помощью детектора, изображается следующим образом. Если детектор выставлен строго по прямой, = 0, то регистрируется пик, приходящийся на длину волны . Если угол ≠ 0, детектор начинает перемещаться, то проявляется следующая характерная особенность: на бо́льших длинах волн ( ) появляется своего рода побочный пик, который чётко реагирует на перемещение детектора. Увеличивается угол — увеличивается смещение этой длины волны по отношению к . Детектор приводится в исходное положение — этот побочный пик сближается с основным пиком и при нулевом угле отклонения исчезает полностью. Накопленный экспериментальный материал позволил связать эту смещённую длину волны с исходной длиной волны и углом отклонения: =
+ (1 −
).
Зависимость оказалась универсальной. Все исследованные материалы в той или иной степени этот эффект демонстрировали, ну а в некоторых материалах, в которых много свободных электронов (например, парафин) этот эффект наблюдался особенно заметно.
52
Э ЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕО РИЯ ЭФФЕКТА К ОМПТОНА Рассматриваем взаимодействие налетающего коротковолнового фотона со свободным электроном.
⃗̅
⃗
=
ℰ =ℎ
ℎ =
̅
ℎ
ℎ
= +
+
⃗ −2 =ℎ
+
cos +
Рассматриваем взаимодействие налетающего фотона с покоящимся свободным или слабо связанным электроном. Его кинетическая энергия равна нулю, но он обладает энергией покоя . Произошло взаимодействие, в результате которого этот фотон пролетел после рассеяния под углом . — импульс этого рассеянного фотона. В результате взаимодействия электрон получает «импульс отдачи». Имеет место закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Энергия системы до взаимодействия складывалась из энергии налетающего фотона ℎ и энергии покоя электрона . После взаимодействия энергия системы представляет собой сумму энергии рассеянного фотона ℎ и энергии электрона + . Уменьшение энергии фотона не исчезает бесследно, а передаётся электрону, который приобретает кинетическую энергию. Вспомним, как связаны импульс и кинетическая энергия в соответствии с представлениями специальной теории относительности. =
1 = ℎ(
(2
+ ) −
)
53
̅
=
=
2
+ ℎ
−2
̅
=
ℎ (
(
+
−2
=
+
−2
cos
cos
ℎ
ℎ
)
−
=
ℎ
)+2
ℎ(
+2
ℎ(
=
= −2 =
ℎ
−
(1 − cos ) =
ℎ
2
+
(1 − cos ) =
(1 − cos ) =
(1 − cos ) = (
+2
ℎ(
ℎ(
ℎ
(
−
ℎ(
−
1
−
−
−
ℎ(
−
−
)
−
− )
)
=
)
)
)
1
)
)=Δ
Эмпирическое выражение содержало в себе некоторую постоянную величину , которая не зависела от сорта материала. Изменение длины волны реагирует только на угол рассеяния. Называют её комптоновской длиной волны электрона. =
ℎ
= 2,42 ∙ 10
м
Хотелось бы обратить внимание на два обстоятельства. Во-первых, никакой сверхсложной математики не потребовалось. Эффект Комптона — яркое подтверждение того факта, что корпускулярная природа света во многих случаях существенно упрощает ситуацию описания окружающего нас мира. Вспомним вывод формулы давления света. Второе замечание. Элементы СТО, а именно, связь импульса и кинетической энергии, использовались для получения новой физической формации.
54 То есть СТО — это реальный инструмент для того, чтобы осваивать законы и закономерности окружающего нас мира. Возвратимся к эффекту Комптона. Мы рассмотрели рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения на свободных электронах. Увеличение длины волны этого излучения, как было выяснено и экспериментально, и теоретически, происходит не только при рассеянии на электронах, но и при рассеянии на более тяжёлых частицах (например, на нейтронах). В этом случае математическое описание остаётся тем же самым, но под массой покоя нужно подразумевать массу той частицы, на которой рассеяние и происходит. А почему это комптоновское увеличение длины волны не проявляет себя в случае видимого излучения? Самое простое объяснение связано с тем, что величина комптоновской длины волны имеет порядок 10 м. То есть даже если формально использовать эту формулу для видимого света, мы получим очень маленькую добавку, которую можем списать на то, что на фоне длин волн, с которыми мы имеем дело, её просто не зафиксировать. Но это формальное объяснение. Как только мы перешли от коротковолнового рентгеновского излучения, где энергии фотонов исчисляются многими тысячами, а то и миллионами эВ, в область видимого спектра, где энергии фотонов исчисляются несколькими эВ, то рассматривать рассеяние такого низкоэнергетического фотона на свободном электроне невозможно, поскольку энергия связи даже свободного электрона в металле составляет те же несколько эВ. Для квантов света видимого диапазона электроны внутри твёрдого тела не являются свободными. Там эти фотоны рассеиваются не на свободных электронах, а на электронах, которые входят в состав атома или кристалла в целом. Поэтому, рассматривая формально тот же самый вывод, но учитывая в качестве массы покоя той частицы, на которой происходит рассеяние, массу атома, мы получаем уже не 10 , а исчезающе малые 10 … 10 м. И здесь всё осталось на своих местах. Новое знание — теория эффекта Комптона — объяснила тот эффект, который проявляет себя в области соответствующих длин волн и оставляет неизменной длину волны при рассеянии для видимого участка спектра.
55 Откуда возникает сам мощный пик под углом , соответствующий длине волны ? В составе образца есть много электронов. Часть из них можно рассматривать как свободные. Но есть и те электроны, которые крепко входят в состав атома. Рассеяние на таких электронах тоже возможно, но вместо массы покоя подставляем опять не массу электрона, а массу атома, поэтому эффект увеличения длины волны пренебрежимо мал, и фотоны, которые рассеиваются на сильно связанных электронах и образуют несмещённый пик, соответствующий длине волны . Этот эффект Комптона, открытый в 1923 году, естественно, имеет не только элементарную теорию, с которой мы познакомились. В серьёзной квантовой механике есть серьёзное обоснование и вывод той же самой экспериментально подтверждённой формулы. И эффект Комптона, пожалуй, самое яркое доказательство корпускулярной природы электромагнитного излучения. Можно также заметить, что по мере уменьшения длины волны корпускулярные свойства проявляют себя всё сильнее и сильнее.
Ф ИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Г ИПОТЕЗА ДЕ Б РОЙЛЯ . Ф ОРМУЛА ДЕ Б РО ЙЛЯ В 1924 году де Бройль в качестве гипотезы предложил считать, что корпускулярно-волновой дуализм является универсальным свойством окружающих нас тел. То есть не только свет, электромагнитное излучение можно рассматривать и как волновой, и как корпускулярный процесс, но и все материальные частицы обладают волновыми свойствами. Де Бройль предложил считать, что каждому материальному объекту, обладающему импульсом p, можно поставить в соответствие некий волновой процесс с длиной волны дБ .
дБ
=
ℎ
56 Никаких других средств для определения численного значения длины волны де Бройля нет. В начале ХХ века многим физикам, особенно старой школы, казалось не нужным добавлять к волновой теории ещё представления о корпускулярных свойствах электромагнитного излучения. Считать, что те привычные материальные частички, корпускулы, самым ярким примером которых являлся уже хорошо исследованный к тому времени электрон, ещё представляют из себя какой-то волновой процесс — это, конечно, был определённого рода шок. И рождение квантовой механики, её утверждение происходило достаточно сложно. Но, тем не менее, эта гипотеза, которая в 1924 году была просто гипотезой, получила в ближайшее время своё материальное подтверждение. Суть гипотезы де Бройля и начало квантовой механики заключается в следующем. Тем двум соотношениям, которые мы упоминали применительно к электромагнитному излучению и говорили, что в них основа корпускулярно-волнового дуализма (ℰ = ℏ и ⃗ = ℏ ⃗), придаётся
универсальный характер. То есть они справедливы не только для электромагнитного излучения, но и для любой частицы, для любого материального объекта. Если объект обладает импульсом и энергией ℰ, то ему может быть поставлен некий волновой процесс, который характеризуется волновым вектором = 2 ⁄ и частотой = 2 = 2 ⁄ .
Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ВОЛНО ВЫХ СВО ЙСТВ МИКРОЧАСТ ИЦ
Гипотеза де Бройля появилась в 1924 году. Экспериментальное подтверждение — спустя несколько лет. В классической физике ситуация была прямо противоположной. Сначала набирался какой-то экспериментальный материал, а потом обобщался при создании теории. В физике ХХ века очень часто теоретические предсказания опережают своё практическое подтверждение. И волновые свойства электрона — яркий тому пример. Только спустя несколько лет после того, как гипотеза была выставлена к широкому обсуждению, появились экспериментальные доказательства. Первое получено двумя иностранными учёными, которые работали вместе.
57 1. Опыты Дэвиссона-Джермера К. Дэвиссон и Л. Джермер занимались изучением рассеяния медленных электронов на монокристаллах. Монокристалл — это упорядоченная последовательность одинаковых атомов, которые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Эти монокристаллы являются основой для изучения спектрального состава рентгеновского излучения. Дэвиссон и Джермер удачно попробовали использовать монокристаллы, для того чтобы доказать, что электрон в соответствующих условиях проявляет свои волновые свойства. Схема опыта: На монокристалл направляют пучок моно̅ энергетических электронов, то есть электронов с одинаковой энергией. Используются так называемые медленные электроны, энергии которых лежат в интервале ~ 10 … 100 эВ. С электронами работать гораздо проще, чем с рентгеновским излучением, поскольку каждый из этих электронов несёт заряд 1,6 ∙ 10 Кл. Поэтому детектировать, то есть определять количество электронов, отражённых под разными углами, гораздо проще. Достаточно просто сделать подвижный электрод и перемещать его в пространстве. Изменяется положение детектора и регистрируется количество электронов, которые отражаются под этим углом. Классическое рассмотрение рассеяния этих электронов может быть проведено на разной глубине: можно не учитывать структуру поверхности, то есть наличия на ней отдельных атомов, можно подключить сюда знания о структуре поверхности — но в любом случае классическое рассмотрение отражения электронов от поверхности металла предсказывало следующий характер зависимости количества отражённых электронов под разными углами. Под углом, который совпадает с направлением поверхности, естественно, никакого отражения нет. Наибольшее количество электронов отражается по нормали. По мере увеличения этого угла количество отражённых электронов должно подчиняться закону Ламберта. Зависимость монотонна.
58 Однако выполненные эксперименты при разных энергиях на разных монокристаллах показали существенно немонотонный характер распределения количества отражённых электронов. Выяснилось, что существуют для каждого металла свои вполне определённые, фиксированные, выделенные направления. По значением этих углов, которые чётко регистрируются, с учётом формулы дифракционной решётки в простейшем случае ( sin = ) появилась возможность определить те длины волн, которые могут быть приписаны рассеивающимся электронам. Длины волн, определённые экспериментально и рассчитанные по формуле де Бройля (где импульс мы выражаем через энергию этих электронов: = √2 ), послужили чрезвычайно надёжным подтверждением истинности гипотезы де Бройля. До поры до времени электрон ведёт себя как частица, корпускула. Но если предоставить ему соответствующие условия, где он волновые свойства может проявить, эти волновые свойства и проявляются. Как только электрон попадает на поверхность монокристалла, представляющего собой упорядоченную структуру из рассеивающих центров, отстоящих друг от друга на несколько ангстрем, и по порядку величины длина волны де Бройля и характерный размер решётки совпадают, волновые свойства проявляют себя в виде такого немонотонного распределения отражённых электронов. 1927 год — это передовой край развития физики. Подтверждение фундаментального открытия гипотезы де Бройля. На время, после того, как это подтвердило корпускулярно-волновой дуализм, про эти опыты о рассеянии электрона от поверхности твёрдого тела забыли. А потом, по мере развития физики твёрдого тела, оказалось, что изучая распределение этих отражённых электронов, можно не только подтверждать гипотезу де Бройля, но и получать информацию о строении поверхности твёрдого тела. И этот метод, который носит название дифракции медленных электронов, в настоящее время в микроэлектронике стал стандартным методом. Все установки, которые производят микроэлектронную продукцию, так или иначе оснащены датчиками, которые с помощью дифракции медленных электронов позволяют контролировать в том числе и процесс изготовления того или иного устройства.
59 2. Опыт Томпсона и Тартаковского В отличие от Дэвиссона и Джермера, эти двое учёных работали одновременно, но не вместе. В разных странах, на разных континентах. Тартаковский работал на территории России. Суть опытов достаточно проста и не требовала использования каких-либо сверхсложных экспериментальных установок. Использовались так называемые быстрые электроны, проходящие ускоряющую разность потенциа̅ Экран
лов ≈ 10 000 В. Такой пучок электронов направлялся на тонкую металлическую фольгу. Толщина этой фольги составляла = 0,01 … 0,001 мм. Материалы использовались самые разные, прежде всего , , . Фольгу можно сделать настолько тонкой, что она будет полупрозрачной для яркого света — тем более, для электронов. За этой фольгой на экране, который может представлять собой элементарную фотопластинку, происходила регистрация результатов прохождения этих электронов. С классической точки зрения, если рассматривать пучок электронов как пучок корпускул, каждая из которых обладает определённой массой, зарядом, энергии, и если рассматривать процесс прохождения таких материальных точек сквозь рассеивающую среду, то надо учитывать взаимодействие каждого электрона с теми атомами, которые ему на пути встретятся. Естественно, что некоторые атомы этот электрон сумеет проскочить, с некоторыми — провзаимодействует, в результате чего его первоначальное направление движения изменится. Разные формы классических расчётов подобного рода ситуаций существовали, и все они давали примерно одинаковые результаты. Предсказывали примерно следующее распределение интенсивности прошедших сквозь фольгу электронов на фотопластинке. Должен быть ярко выраженный максимум, который соответствует той области, на которую падает этот достаточно широкий электронный пучок. И по краям этой области должно наблюдаться размытие, связанное как раз с взаимодействием электронов с отдельными атомами, которые входят в состав этой фольги.
60 Но ничего похожего на экране не наблюдалось. А наблюдалась картина, которая напоминает картину дифракции света на пакете мелких частиц. Наблюдался следующий характер распределения интенсивности:
Центр симметрии одновременно центр пучка, который падает на фольгу и проходит сквозь неё, и типичная для дифракции света на мелких частицах картина. Совпадение это было неслучайно. Подключение той методики расчёта, которая используется при обсуждении дифракции света, к этим изменившимся обстоятельствам, где речь идёт об электронах, обладающих длиной волны де Бройля, привело и Томпсона, и Тартаковского, и многих последователей к тому выводу, что, действительно, есть у электронов, обладающих энергией несколько тысяч эВ, волновые свойства, которые могут быть оценены с помощью параметра дБ . И совпадение результатов эксперимента (по расположению максимумов относительно центра симметрии можно рассчитать независимым образом эту воображаемую длину волны) с длиной волны де Бройля оказалось весьма удовлетворительным.
Вот так на протяжении нескольких лет — с 1924 по 1927 годы — представления корпускулярно-волнового дуализма материи, всего окружающего нас мира, постепенно входили в научный обиход. Естественно, не всё шло гладко. Достаточно необычной была сама эта гипотеза. Эйнштейн, прочитав работу де Бройля, в письме другому выдающемуся физику ХХ века Максу Борну писал: «Прочтите диссертацию Луи де Бройля. Хотя и кажется, что ее писал сумасшедший, написана она солидно». Не обходилось без критики самого разного рода. Например, некоторые стали возражать, что результат такой дифракции, который регистрируется на фотопластинке в виде колец-почернений, куда попало мно-
61 го электронов, и непочерневших областей фотопластинки, куда электроны не попали, вызван не взаимодействием электронов с атомами твёрдого тела, а ещё и во взаимодействии их между собой. На протяжении нескольких десятилетий эта идея многих физиков будоражила, пока в 1947 году в нашей стране не был проведён опыт, который всё расставил на свои места. Опыт, который требовал уникального количества времени, которое нашлось только у тех учёных, которые работали над атомным проектом. В свободное время из сэкономленных материалов можно было построить экспериментальную установку, которая неторопливо работала, неторопливо в том отношении, что пропускала электроны сквозь фольгу поодиночке. Время прохождения одного электрона было в 30 000 раз меньше, чем интервал между пропускаемыми электронами. То есть электроны никак не могли между собой взаимодействовать, и, тем не менее, их совокупность, накопленная за несколько недель и месяцев такого эксперимента, дала то же самое распределение интенсивности почернения по площади фотопластинки. Появившись в 1924 году, как гипотеза, представления корпускулярно-волнового дуализма за несколько лет получили надёжное экспериментальное обоснование и стали одним из основополагающих принципов, на которых стоит наука квантовая механика. Вместе с этим принципом корпускулярно-волнового дуализма появилось понятие волны де Бройля, и с некоторыми её свойствами мы познакомимся.
Ф АЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТ И ВО ЛН ДЕ Б РО ЙЛЯ Очень часто — не только на экзамене, но, что называется, в личной жизни — возникает вопрос: а существуют ли волны де Бройля на самом деле в природе? Наводящий вопрос: а существуют ли в природе числа? И натуральные, и дробные, и рациональные, и комплексные числа — это всё является математической абстракцией, которая создана человеком, которая введена в науку для удобства описания окружающего нас мира. В природе существует восемь камней, шестьдесят студентов, пришедших на лекцию, три тополя на плющихе и масса других предметов, которые допускают количественное исчисление. Но чисел, как таковых, нет.
62 Волны де Бройля являются своего рода аналогом чисел, но для описания этой кажущейся проблемы корпускулярно-волнового дуализма. Предложено средство, для того чтобы описать наличие у реальных частиц реальных волновых свойств, которые она демонстрирует в соответствующих опытах. Введено понятие волны де Бройля, и определённые свойства этому абстрактному объекту можно приписать. А конкретно, фазовую и групповую скорость. Постараемся в этом разделе обойтись без излишней математики, даже не будем записывать уравнение плоской волны. Волновой вектор = 2 ⁄ и круговая частота входят в уравнение плоской монохроматической волны, которая занимает всё пространство, перемещается в этом пространстве, и это перемещение регистрируется по перемещению горбов и впадин на этой волне. В самом простейшем случае — волны на поверхности воды. Фазовой скоростью волны называют то расстояние, которое монохроматическая волна проходит за один период. ф
=
=
Скорость, с которой перемещается гребень волны, если он переместился ровно на один период, то есть на расстояние, численно равное длине волны, то для этого потребуется время, равное периоду. — это далеко не ноль, на 2 можно умножить и разделить, при
этом тождество не нарушится:
ф
. Вспоминаем, что такое вол-
=2
новой вектор — вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, а численное его значение определяется по числу волн, которые укладываются на отрезке длиной 2 . ф
=
ф
=
Придадим этому выражению квантово-механический оттенок. Домножим числитель и знаменатель на постоянную Планка. Вспоминаем, что ℰ = ℏ , ⃗ = ℏ ⃗.
ℰ
63 Групповая скорость — скорость распространения в пространстве группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Это определение не квантово-механическое, а заимствованное из классической волновой теории. Волновой пакет — суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте. Краткий комментарий, как можно сконструировать волновой пакет, какими свойствами он обладает и как эта групповая скорость себя проявляет. Во-первых, , , , ф — это величины, которые между собой
тесно связаны. Поэтому, рассматривая пример конструирования волнового пакета, поступим следующим образом. Выберем некоторую частоту, некоторую длину волны, некоторый волновой вектор, и будем отталкиваться от описания волнового пакета через волновой вектор. Выделили значение , и радом с этим значением не произвольно, а по злому математическому умыслу выбрали несколько дополнительных близко расположенных монохроматических волн, волновые 2 = вектора и частоты которых мало отличаются от центральной частоты и центрального волнового вектора. Фактически, здесь должна пойти речь о разложениях в ряд Фурье, использовании интеграла Фурье и прочей математической премудрости. Позволим себе оставить математическую сторону побоку. Результатом суперпозиции таких волн будет некое волновое образование, которое и называется волновым пакетом. Что он из себя представляет и как он себя проявляет? Образуется явно волновая структура. Если использовать ось коорλ гр динат, то можно оценить длину волны этого волнового процесса. Это не монохроматическая волна, но расстояние между двумя соседними максимумами можно определить и убедиться, что оно соответствует значению . И как еди-
64 ное целое, такой волновой процесс перемещается в пространстве (в шем случае — вдоль оси х). Происходит распространение этого го пакета с групповой скоростью. Многие примеры волн на поверхности воды, в частности, цунами, с некоторыми оговорками представляют собой такой волновой пакет. Образование это очень устойчивое. Описаны случаи, когда такая волна, образующая цунами, несколько раз вокруг света проходит, более того, даже Австралия ей не является помехой. Ещё одним ярким примером волновых пакетов и их использования являются электромагнитные импульсы. Вся современная цифровая техника использует так или иначе коротки импульсы, которые с тактовой частотой вырабатываются в процессоре. И вот каждый отдельно взятый прямоугольный или не очень прямоугольный импульс — это тоже волновой пакет, который состоит не из одной монохроматической волны, а из группы волн, которые мало отличаются друг от друга по частотам, или по длинам волн. При производстве размеренных ударов в колокол с большим интервалом времени тоже образуется волновые пакеты, которые на много километров вокруг этого колокола распространяются и достигают ушей заинтересованных слушателей. Это более, чем реальная вещь, и её математическая основа перекочевала из классической физики в квантовую механику. Была сделана попытка эту групповую скорость волн де Бройля взять и оценить. Определение, которое даёт классическая физика для групповой скорости, связывает приращение циклической частоты и волнового вектора. гр
=
=
(ℏ ) = (ℏ )
Вспоминаем закон сохранения энергии-импульса. −
=
Возьмём полный дифференциал от правой и левой части этого инварианта. 2
−2 =
=0
65 Отношение двух дифференциалов, которое мы видим в определении групповой скорости волн де Бройля: =
=
=
= .
Получился результат, который достоин самого что ни на есть пристального внимания и обсуждения. Появился абстрактный объект под названием волна де Бройля. К ней применён стандартный набор средств, с помощью которых описываются реальные волны в классической физике. На основании элементарного знания основ СТО естественным путём сделан вывод, что групповая скорость волн де Бройля совпадает со скоростью движения того объекта, для которого эта волна де Бройля сконструирована. Установление такого факта в середине ХХ годов вызвало желание однозначно решить вопрос корпускулярно-волнового дуализма в сторону волновой теории, заявить, что на самом деле в природе нет никакой материи. Формула Эйнштейна к той же самой мысли многих до сих пор подталкивает, мол, есть только энергия, связанная формулой Эйнштейна с «абстрактным понятием массы». Отнюдь, масса — вполне реальное, осязаемое, привычное понятие, от которого нет нужды отказываться. Есть смысл добавлять к тому, что известно, какую-то новую информацию, но отказываться от того, что подтверждено широким опытом, нет никакого смысла. (Не только в физике, но и в любой другой науке, в том числе и общественной. Но там, к сожалению, этот принцип часто нарушается.) Возвращаемся к той идее, которая в 1920-е годы владела многими молодыми физиками (мол, надо перевернуть всю физику, создать свою теорию, устроить перестройку). Эта идея была поддержана многими философами, так называемыми неопозитивистами, которые тоже боролись с материализмом и материей вообще. Идея была представить любой реально существующий вокруг нас объект в виде волнового пакета. Утверждали, что воздействие на органы чувств и измерительные приборы оказывает не материальная частица, обладающая массой, а такой волновой пакет, составленный из волн де Бройля не открытой пока природы. Но возникла более чем серьёзная проблема, когда речь зашла об описании электрона как волнового пакета.
66 Изобразим только огибающую этого волнового пакета, причём только её положительную часть. Комбинируя определённым образом близкие друг к другу частоты, оказалось возможным из этих абстрактных волн де Бройля скон~ 10 … 10 м струировать волновой пакет, который занимает в пространстве расстояние, которое составляет 10 … 10 м в зависимости от того, сколь широкий диапазон частот мы захватим. Однако внимательное изучение свойств этого пакета, подключение понятия фазовой скорости приводит к выводу, что электроны представить в виде волнового пакета невозможно. По одной простой причине: для такого пакета происходит практически мгновенное размывание в пространстве. По поверхности воды волновой пакет может путешествовать достаточно долго. А вот построенный по всем правилам математики волновой пакет и заставить его в начальный момент времени занимать такое логичное расстояние, которое можно принять за размер электрона, хотя он значительно больше, чем так называемый классический радиус электрона, выясняется одна катастрофическая деталь: за время, которое составляет ~10 с, такой волновой пакет размывается. То есть, если он занимал ограниченную область пространства в начальный момент времени, и была возможность говорить о том, что электрон находится в этой области и проявляет в ней свои волновые свойства, через исчезающе малую долю секунды этот волновой пакет расплывается до такой степени, что говорить о наличии электрона в той или иной точке пространства не приходится. Все эксперименты показывают, что электрон — чрезвычайно устойчивая, стабильная частица, время жизни которого стремится к бесконечности. То есть попытки решить кажущуюся проблему корпускулярно-волнового дуализма в пользу его волновой стороны с треском провалились, и положение корпускулярно-волнового дуализма является единственно возможным взглядом на окружающий нас мир. Причиной разрушения волнового пакета за исчезающе малое время является зависимость фазовой скорости от импульса, то есть то, что в классической физике носит название дисперсии (зависимость скорости распространения от длины волны).
67
=
=
+
1+
= ф
=
1+ =
1+
Легко сообразить, что эта величина не меньше, чем скорость света. Это настораживающий факт. Однако для построения физической теории это не автоматическое ограничение, эту проблему в принципе можно и обойти, потому что монохроматическая волна не может переносить ни энергии, ни информации. Это тоже своего рода абстракция, которой можно приписать в принципе любую по величине скорость. Групповая же скорость совпадает со скоростью движения той частицы, для которой тот пакет может быть сконструирован. Ещё одно любопытное замечание, которое можно сделать, разглядывая эту формулу. В случае фотона с нулевой массой покоя фазовая скорость равна скорости света, групповая скорость тоже будет равна скорости света. То, что давно известно и используется в разных областях науки и техники. Для частиц, у которых масса покоя не равна нулю, например, для того же электрона, эта добавка под квадратным корнем и определяет мгновенное размытие волнового пакета. То есть пакет составлен из разных монохроматических составляющих, которые распространяются с разной скоростью. И из-за того, что эта зависимость очень сильная, за исчезающе малое время этот пакет распадается. Классическую аналогию расплывания волнового пакета можно предложить. Скажем, забег на длинную или очень среднюю дистанцию, в котором принимает участие несколько десятков спортсменов. Они движутся, как единая группа. Однако, по мере того, как отсчитывается протяжённость этой дистанции, кто-то выходит вперёд, кто-то устаёт, и эта группа, которая вначале занимала весьма ограниченное пространство, постепенно растягивается. Возможны и ситуации, что и всю эту беговую дорожку они все займут. Пакет распался. Так и волновой пакет для электрона мгновенно распадается.
68
Г РАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТ И КЛАССИЧЕСКО Й ФИЗИКИ Два неравенства, каждое из которых ставит пределы применимости классической физики с точки зрения СТО. 1) Если характерная скорость движения объекта много меньше, чем скорость света ( ≪ ), или, что то же самое, если кинетическая энергия объекта много меньше его энергии покоя ( ≪ ), то никаких релятивистских поправок учитывать не нужно. Если эти неравенства нарушаются, то нужно пользоваться исключительно релятивистскими формулами. 2)
дб
= ⁄ ≪ . Когда длина волны де Бройля оказывается много
меньше того характерного размера, в котором происходит движение объекта, то корпускулярно-волновой дуализм, наличие у любого объекта волновых свойств себя не проявляет, и вполне достаточно следовать классической корпускулярной точки зрения на окружающий нас мир. Если кому-нибудь взбредёт в голову сосчитать длину волны, которая соответствует лектору, который неторопливо расхаживает около доски со средней скоростью 1 м/с, с массой около 80 кг, эта величина длины волны де Бройля будет исчезающе малой. Характерный размер области, в которой происходит движение этого объекта, составляет несколько метров. Естественно, никаких волновых свойств этот лектор проявить не сможет. Не сможет просочиться сквозь стены, не сможет проинтерферировать сам с собой или явить ещё какое-нибудь чудо. Но как только электрон забрался внутрь тонкой фольги, где характерное расстояние между атомами составляет несколько ангстрем, и это расстояние оказывается сравнимым с длиной волны де Бройля, волновые свойства электрона тут же проявляются. Аналогично в опыте Дэвиссона-Джермера. Да, пока электроны летят от источника до поверхности монокристалла, длина волны де Бройля (1,65 … 1,67 Å) гораздо меньше расстояния между источником и кристаллом (как минимум, несколько сантиметров), и волновых свойств этот электрон не проявляет. Но как только он попал на кристалл и начал от него отражаться, характерная область, в которой происходит движение, совпадает с характерным межатомным расстоянием. Проявляются волновые свойства, которые регистрируются на экране в виде немонотонной зависимости интенсивности электронов от угла рассеяния.
69 Отечественный учёный академик В. Фок является автором очень удачных монографий и пособий по изучению квантовой механики на высоком уровне. Ему принадлежит следующее определение корпускулярно-волнового дуализма: Для микрообъекта существует потенциальная возможность проявлять себя в зависимости от внешних условий либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Дуализм волна-частица заключается именно в этой потенциальной возможности проявления различных свойств, присущих микрообъекту. Всякое иное более буквальное толкование этого дуализма в виде какой-либо модели неправильно. Очень разумно относиться к проблеме корпускулярно-волнового дуализма спокойно. Ни в коем случае не нужно думать, что в физике чтото неладно, и не могут до сих пор разобраться, что же на самом деле нас окружает: волны или корпускулы. И то, и другое входит в арсенал тех атрибутов, которыми обладают окружающие нас тела. Не надо думать, что такая двойственность свойственна только квантовой физике. Можно даже не затрагивать вопросы межчеловеческих отношений, а просто посмотреть в очередной раз на крышку ранее упомянутого стола. В зависимости от внешних условий он может проявить различные свойства. Можно, например, разложить на нём экзаменационные билеты, и тот самый стол, который объективно существует, проявит себя как предмет для проведения экзамена. Однако, если какой катаклизм, не дай Бог, случится в нашей стране, отключат отопление, а всюду установят буржуйки — тогда крышка этого стола с разрешения завхоза может проявить себя как топливо для буржуек. Так и корпускулярно-волновой дуализм — объективно имеющее место быть реальность. И корпускулярными, и волновыми свойствами обладает любой микрообъект. В принципе, можно расширить этот дуализм на любой объект, в том числе и макроскопический, но быть уверенными, что эти волновые свойства себя не проявят просто из-за того, что нет таких периодических структур с размером 10 м. Минимальный размер, о котором есть смысл говорить в настоящее время — это размер атомного ядра 10 м.
70
С ООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ Соотношения неопределённостей появились в квантовой физике в 1927 году благодаря немецкому учёному В. Гейзенбергу. В отличие от гипотез Планка и де Бройля, эти соотношения были результатом строго математического вывода. Повторить его у нас нет возможности, однако следует принять к сведению, что соотношения неопределённостей не постулируются, не принимаются на каком-то международном конгрессе физиков, а строго выводятся из квантовой теории. Как раз в середине двадцатых годов началось постепенное превращение квантовой физики в математически строгую науку, и одним из первых достижений был вывод соотношений неопределённостей.
I. Соотношение неопределённостей координата-импульс Δ ̅ ∙Δ ̅
≥
ℏ 2
В таком виде соотношение неопределённостей координатаимпульс было получено Гейзенбергом, и смысл обозначений следующий. Последовательно рассматривалось с позиции квантовой физики движение микрообъектов и такой параметр, как Δ ̅ — среднеквадратичное отклонение координаты. Δ ̅ — соответственно среднеквадратичное отклонение иксовой компоненты импульса этой частицы. Строго доказывается, что это произведение не может быть сколь угодно малым, а должно по порядку величины превышать ℏ⁄2. Это иллюстрация того, что есть строгий вариант квантовой механики, а теперь переход к тому, что будет полезно для нашего ознакомительного рассмотрения этого раздела современной физики. Постепенно тому же самому соотношению мы будем придавать разную математическую форму и делать его максимально удобным для практического использования. Наличие квадратного корня заставляет совершить упрощающие действия и записать соотношение неопределённостей координата-импульс в виде следующего неравенства: Δ ∙ Δ ≥ ℏ⁄2, где под Δ и Δ нужно понимать неопределённости соответствующих величин.
Термин неопределённость очень близок, но не совпадает с понятиями «ошибка» или «абсолютная погрешность результата измерения».
71 Эти неравенства показывают, что ограничения здесь носят принципиальный характер и ни в коей мере не связаны с недостаточным развитием измерительной техники. Фундаментальное соотношение неопределённостей координата-импульс напрямую отражает корпускулярно-волновой дуализм, которым обладают все объекты окружающего нас мира. И именно эта двойственная природа и приводит к существованию соотношения неопределённостей. Отталкиваясь от этой идеологии и от уравнения Шредингера, в 1927 году Гейзенберг это неравенство доказал. Не ошибка измерений, которую с течением времени можно свести к нулю, а принципиальное, установленное самой природой ограничение, прямое следствие корпускулярно-волнового дуализма. Аналогичные соотношения справедливы и для других компонент импульса: Δ ∙ Δ ≥ ℏ⁄2 , Δ ∙ Δ ≥ ℏ⁄2 — прямое отражение того, что
пространство изотропно и нет никакого выделенного направления.
Всегда помнить о том, что в реальном мире существует три измерения (пространство Минковского отдыхает, у нас нерелятивистский вариант квантовой физики) необязательно, вполне достаточно использовать одну координату: считать, например, что движение происходит в положительном направлении оси х: Δ ∙ Δ ≥ ℏ > ℏ⁄2. Мы, фактически, ослабляем строгость доказанного Гейзенбергом утверждения, но одновременно делаем это соотношение неопределённостей более удобным для практического использования.
Ещё одна форма записи соотношения неопределённостей координата-импульс, узнав про которую, Гейзенберг, наверное, стал бы напоминать электростанцию:
Δ ∙ Δ ~ ℏ, однако для решения задач такое написание соотношения неопределённостей координата-импульс будет, пожалуй, самым удобным. Знак «~» означает здесь не пропорциональность, а примерное равенство. Глядя
72 на последний вариант записи соотношения неопределённостей, сформулировать его можно таким образом: Невозможно одновременно со сколь высокой точностью определить и импульс, и координату частицы. Произведение неопределённостей этих величин должно быть по порядку величины сравнимо с постоянной Планка.
II. Соотношение неопределённостей энергия-время. Δ ∙Δ ≥
ℏ 2
Произведение неопределённостей энергии и времени, в течение которого производилось измерение, не может быть сколь угодно малым, а должно быть больше, чем ℏ⁄2.
В ряде ситуаций более полезной оказывается следующая трактовка этого соотношения. Если под Δ понимать время, которое отведено на определение энергии того или иного объекта, а под Δ — ту неопределённость, с которой эта энергия за время Δ будет определена, то невозможно мгновенно определить величину энергии того или иного объекта. Всегда есть ограничение, которое выражается этим неравенством. Например, если энергия в том или ином состоянии (так называемом «стационарном состоянии») не меняется с течением времени, то мы можем, сделав время измерения очень большим ( → ∞), получить практически точные значения энергии этого состояния (Δ → 0). Но это только в том случае, если энергия не меняется во времени. Если же речь идёт о процессе, который быстро меняется во времени, скажем, состояние электрона в возбуждённом атоме, которое длится всего лишь 10 с, то тут определить точно величину энергии представляется невозможным. Подобно тому, как мы поступили с соотношением неопределённостей координата-импульс, придадим более удобный для практического использования вид и этому неравенству.
Δ ∙Δ ~ℏ
73 III. Соотношение неопределённостей момент импульса и угол, который определяет ориентацию момента импульса в пространстве ℏ 2
Δ
∙Δ ≥
Δ
∙Δ ~ℏ
Опять-таки ограничение принципиального характера, которое связано не с недостаточным уровнем развития экспериментальной техники, а с самим устройством природы.
Нельзя одновременно в квантовой физике определить и величину, и направление вектора момента импульса. Что-то из этих двух величин должно содержать неопределённость, и произведение этих неопределённостей по порядку величины должно совпадать с постоянной Планка. Несмотря на кажущуюся бесполезность и простоту этих соотношений, их появление было очень важным шагом в развитии квантовой физики и создании той квантовой механики, благодаря которой были созданы многие приборы, без которых сейчас жизнь немыслима — и лазер, и всё, что с этим связано. Несколько примеров, которые должны показать, насколько актуальны или неактуальны эти соотношения неопределённостей для описания свойств разного рода объектов окружающего нас мира. 1) Рассматриваем не очень большой объект массой = 10 г, который движется с приличной скоростью = 600 м/с. Можно сказать, что это пуля, выпущенная из автомата Калашникова. Помешает ли соотношение неопределённостей во всех деталях разобрать с особенностями движения этой пули в пространстве? При исследовании полёта пули вполне достаточно знать величину скорости с точностью Δ = 1 мм/с. Неопределённость импульса даст результат 10 кг ∙ м⁄с. С какой точностью мы сумеем определить координату этой пули? Δ =
10 ℏ = 10 Δ
= 10
м
74 Мы уже упоминали, что мыслимый предел размеров, о которых ещё можно говорить, если вести речь об устройстве окружающего нас мира, — 10 … 10 м. 10 м — это фантастика. Такую величину можно писать на доске, можно её обсуждать, но открыть наличие у этой летящей пули волновых свойств можно только в том случае, если структуры с таким размером появятся. Вывод: классическое описание движения макроскопических объектов соотношение неопределённостей не затрагивает. Например, бесполезно в споре с сотрудником ГИБДД ссылаться на соотношение неопределённостей, мол, не там я был, и неопределённость скорости у меня была совсем не та. И связано это не только с некоторыми особенностями характера сотрудников ГИБДД, но с малостью постоянной Планка. Да, в этом случае есть некоторая неопределённость координаты, есть неопределённость импульса, но они гарантированно больше, чем постоянная Планка. 2) Возьмём микрочастицу электрон. Рассматриваем электрон, который прошёл ускоряющую разность потенциалов ~ 10 000 В. Электрон нерелятивистский, для расчёта его импульса воспользуемся классической формулой:
=
2
= 0,5 ∙ 10
кг ∙ м⁄с. Попробуем оце-
нить с точки зрения здравого смысла величину неопределённости импульса. Ускоряющее напряжение не может быть задано с абсолютной точностью. Вполне разумно принять Δ = 1 В. Подставляя Δ в аналогичную формулу для Δ , получим Δ ~ 0,5 ∙ 10 кг ∙ м⁄с. Δ =
10 ℏ = Δ 0,5 ∙ 10
= 2 ∙ 10
м=2Å
Оценим, повлияет та неопределённость координаты, которую предсказывает соотношение неопределённостей, на такую практическую вещь, как расчёт траектории движения электрона в кинескопе. Не помешает ли она японским и отечественным специалистам разрабатывать всё более и более совершенные модели кинескопов, которые дают всё лучшую и лучшую цветопередачу и прочие характеристики, которые определяют качество изображения? Если квантовая механика предсказывает, что 2 Å может составлять неопределённость координаты, то, стало быть, электрон может отклониться на один-два атома. Если вспомнить устройство кинескопа, то каждый пиксель — это образование из нескольких десятков тысяч атомов. Поэтому такая ошибка, кото-
75 рую предсказывает соотношение неопределённостей, никак не ограничивает возможность применения классического подхода к расчёту траектории электрона и в цветных кинескопах, и в других световакуумных приборах. Сама по себе микроскопичность объекта ещё не свидетельствует о том, что для него соотношения неопределённостей и другие квантово-механические особенности будут обязательно актуальны и обеспечат неприменимость к микрочастицам классической физики. 3) Снова рассматриваем электрон. Тот электрон, который входит в состав простейшего атома — атома водорода. Кинетическая энергия, которой обладает электрон, входящий в состав атома водорода, имеет величину порядка 10 эВ. Был надёжно установлен характерный размер атома водорода: ~0,5 Å. По кинетической энергии оценим импульс этого электрона: ~ 2 ∙ 10 кг ∙ м⁄с. Неопределённость Δ — та величина, которая определяет возможность тонного определения координаты электрона. Считаем, что электрон находится где-то внутри этого атома. Где именно — не определяем, считаем, что неопределённость координаты электрона совпадает с размером атома водорода: Δ ~ ~0,5 ∙ 10 м. Δ =
ℏ 10 = Δ 0,5 ∙ 10
= 2 ∙ 10
кг ∙ м с
Видим, что неопределённость импульса по порядку величины сравнима с самим значением импульса, который должен иметь электрон, входящий в состав атома водорода, если его кинетическая энергия 10 эВ. А в этом сомневаться не приходится. Делаем вывод: ~Δ , ~Δ . Положения квантовой механики становятся актуальными в данной ситуации, между значениями значением координаты и её неопределённостью, между неопределённостью импульса и самим значением импульса наблюдается приближённое равенство. Сейчас будет упомянут такой термин, который ни в коем случае не является научным, поэтому использовать его следует с умом и только в знакомой компании. Можно эти условия назвать соотношениями «полной неопределённости». Неопределённость величины по порядку сравнима с самой величиной. Это характерно атому водорода, это же характерно и любой другой квантово-механической системе. Проведём аналогию полной неопределённости с повседневной жизнью на примере начисления стипендии. Стипендию могут начислить
76 в том размере, в каком обещали, ну а могут с этой карточки снять такую же сумму. Могут выдать удвоенную стипендию — кому как повезёт. Ещё один пример. В летнее время, когда на железной дороге проводятся активные ремонтные работы, расписание движения пригородных электричек фактически не существует. Никто не знает, когда поезд, на который вы ориентировались, приедет. Он мог уехать два часа назад, он может прийти через три часа после большого перерыва. В быту такая ситуация неприятна, а для физики в начале двадцатых годов она представилась просто катастрофической. Это был не первый удар, который испытала классическая физика в начале 1920-х годов: вспоминаем и релятивистский характер массы, и связь массы и энергии — и вот ещё один «подарок» со стороны недавно возникшей квантовой механики. Есть ситуации (например, атом водорода), когда классические представления, классическое описание состояния частицы неприменимы.
П РИНЦИП ПРИЧИННОСТ И В КЛАССИЧЕСКО Й ФИЗИКЕ Чтобы создать математическую основу для обсуждения этого вопроса, вспомним второй закон Ньютона.
⃗=
⃗
⃗
⃗= =
⃗
=
⃗
Изменение координаты движущейся точки ⃗ может быть записано следующим образом: ⃗=
⃗
.
Изменение импульса той же самой материальной точки может быть выражено так: ⃗= ⃗
.
В начальный момент времени заданы так называемые начальные условия ( = 0: ⃗, ⃗). Также предполагается, что известен закон, по которому меняется сила и в пространстве, и во времени. Переходим к
77 очень близко к этому моменту расположенному следующему моменту времени. С учётом того, что по и по известному импульсу (а в начальный момент времени он известен) мы можем сосчитать изменение ⃗, знаем координату ⃗ = ⃗ + ( ⁄ ) в этот следующий момент времени. Второе из этих уравнений позволяет сосчитать величину импульса, который будет иметь тот же самый объект в последующий момент времени: ⃗ = ⃗ + ⃗ . Дальше этот увлекательный процесс можно рекуррентно производить сколь угодно долго. Принцип причинности позволяет утверждать следующее: если мы знаем начальное положение точки заем те силы, которые действуют на эту точку, и нам известны законы изменения этой силы в пространстве, то мы можем однозначно предсказать движение этой точки в любой последующий момент времени.
Заслугой Ньютона явилось то, что он этот рекуррентный процесс чрезвычайно облегчил, создав интегральное и дифференциальное исчисление. Применим ли такой принцип причинности к описанию, например, состояния электрона в атоме водорода? Там, где Δ ~ , Δ ~ . Нет, нет и ещё раз нет. Почему? Если с классическими средствами мы попытаемся рассуждать о поведении электрона в последующий момент времени и зафиксируем начальное положение, у нас возникнет неопределённость импульса, которая сравнима с самим значением импульсом. Мы снова попадаем в то самое соотношение «полной неопределённости», в котором очень сложно жить — вспоминаем мучения на вокзале в летнее время в ожидании поездов. То есть классический подход к описанию одной частицы или системы частиц оказывается неприменим. Кстати, можно расширить это рассуждение с одной частицы на систему частиц. Если про каждую частицу известно, как она себя ведёт, известно, какие силы на неё действуют, то в принципе, и к идеальному газу можно подойти с той же самой позиции. Составить, например, 10 уравнений, которые описывают движение каждой молекулы в пространстве. Но даже при современном уровне развития компьютерной техники решить эти уравнения возможным не представляется. Но принципиально возможно описать состояние этой системы, то есть, если несколько ослабить строгость формулировок, предсказать судьбу такой системы. Принципиально возможно предсказать, где, скажем, на сотой
78 секунде окажется 568-я молекула из ста миллионов, которые находятся в составе идеального газа. Принцип причинности носит также названия принципа механического детерминизма. Знаем начальное состояние, знаем законы, которым эта система подчиняется. Делаем вывод, что можно предсказать состояние этой системы в любой последующий момент времени. И вот на рубеже XIX и XX веков этот принцип механического детерминизма без достаточных на то оснований некоторые горячие головы среди философов попытались перенести из физики в биологию и даже в общественные науки. Представляя таким образом: если нам известно начальное состояние системы и мы якобы знаем законы, которые в этой системе действуют, то мы можем предсказать состояние этой системы в любой последующий момент времени. Например, предсказывали, что к 1980 году в нашей стране должен быть построен общественный строй под названием коммунизм. Бездумное и необоснованное механическое перенесение принципа причинности из физики в общественные науки, к сожалению, немало неприятных страниц внесло в историю нашей страны. Ограничения применимости механического детерминизма даёт уже квантовая физика. Если неопределённости сравнимы по порядку величин с самими значениями, то ни о каком дифференциальном исчислении в классическом понимании не может быть речи при описании движения того же электрона в атоме водорода. Если мы зафиксировали его начальное положение, неопределённость импульса всё размазывает. И наоборот, если мы строго определим направление скорости этого электрона, мы не сможем сказать, где, в какой точке этого объёма, который занимает атом водорода, он находится. Таким образом, классический подход к описанию движения материальных точек для квантовомеханических объектов неприменим из-за наличия у таких объектов корпускулярно-волнового дуализма и действия соотношений неопределённостей. Возвратимся к примеру, где мы считали неопределённость координаты электрона в кинескопе. Вот к нему-то как раз дифференциальное и интегральное исчисление применимо полностью.
79
С ПОСОБ ОПИСАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ . В ОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В дальнейшем знакомстве с квантовой механикой мы ограничим своё внимания только её нерелятивистской версией. Традиционное обозначение волновой функции в квантовой механике — греческая буква Ψ («пси»), которая не содержит в себе никаких намёков на необходимость совмещения изучения квантовой механики и посещения психиатра или психоаналитика. Наверное, можно было бы придумать какое-то более ёмкое название, но по историческим причинам средством описания частиц в квантовой механике является величина под названием волновая функция. Волновая функция, как это и положено любой функции в математическом смысле, зависит от некоторых переменных. Волновая функция, которая используется для описания состояния частиц в квантовой механике, зависит от координаты и от времени: Ψ( ⃗, ). Волновая функция — своего рода паспорт, в котором содержится вся необходимая информация о свойстве и поведении частицы. Опытный физик или хотя бы минимально знакомый с квантовой механикой человек может по волновой функции получить достаточно много полезной информации о свойствах той микрочастицы, которой поставлена в соответствие данная волновая функция.
С ВОЙСТВА ВОЛНОВО Й ФУНКЦИИ 1) Ψ может принимать комплексный характер, для всех частиц, которые обладают электрическим зарядом, это просто обязательно. То есть при подстановке конкретных значений и мы получаем комплексную величину. Не следует рассматривать это свойство, как умышленное запутывание квантовой механики, на самом деле, комплексный характер волновой функции в реальных ситуациях чрезвычайно упрощает математические выражения. Вспомним, что подразумевают под квадратом модуля комплексного числа.
где
| | =
— модуль комплексного числа,
=
∗
∗
∙ ,
— число, сопряжённое данному.
80 2) Ψ вместе со своей первой производной по времени, а также первым и вторым частным производным по координатам должна быть непрерывной и однозначной во всей области своего определения. Понятно, откуда это свойство возникает. Если мы ищем средство описания состояния частицы, то это средство не должно содержать внутри себя никаких особых точек. 3) Ψ носит статистический (вероятностный) характер. Особого физического смысла у волновой функции пытаться найти, особенно в начале знакомства с этим понятием, не нужно, но, в то же время, не нужно утверждать, что волновая функция не имеет никакого физического смысла. Нет, она носит вероятностный характер и позволяет описать уникальные свойства микрочастиц. 4) Физический смысл имеет не столько волновая функция, а квадрат модуля волновой функции. |Ψ| — то, ради чего, строго говоря, волновая функция и вводится в квантовую механику. Для того чтобы иметь возможность, зная |Ψ| , описывать вероятность нахождения частицы в той или иной точке пространства. И об этом чуть подробнее. Классические понятия траектории, чётко заданные мгновенные значения скоростей, сил — неприменимы в квантовой механике. Однако описать состояние частицы в квантовой механике можно с помощью понятия волновой функции.
Вот тот самый радиус-вектор, который определяет положение некоторой точки в пространстве для некоторого момента времени. Вблизи этой ⃗ точки выделяем элементарно малый объём, и использование понятия волновой функции позволяет утверждать, что вероятность обнаружения частицы в пределах этого объёма в окрестности точки, положение которой задаёт радиусвектор, определяется следующим соотношением:
= |Ψ( ⃗, )|
.
81 Разные значения радиус-векторов, разные значения самой волновой функции и квадрата её модуля — разные вероятности обнаружения частицы в этой точке. Осталось сделать один шаг до объяснения тех дифракционных картин, которые в опытах Дэвиссона-Джермера и Томпсона и Тартаковского наблюдаются. В каждой точке экрана, на котором дифракционная картина регистрируется, образуются потемнения, зависящие от того, какое количество электронов этой точки достигло. Там, где эти потемнения сильнее, электронов попало больше. Почему? Потому что квадрат модуля волновой функции в выделенных направлениях, которые определяют положения максимумов при дифракции, больше, а следовательно, больше и вероятность нахождения частицы. Невозможно, пропуская каждый электрон поодиночке, предсказать, куда именно электрон попадёт, поскольку классический подход не срабатывает. Но для большого коллектива таких электронов квантово-механическая теория объясняет то, что наблюдается на экране в случае дифракции электронов. 5) Волновая функция удовлетворяет условию нормировки. Выделили дифференциально малый объём, и с помощью |Ψ| можем определить вероятность обнаружения частицы именно в этой точке пространства. Рисуем все возможные вектора, и все эти вероятности суммируем. Можем утверждать, что интеграл ∫ = исходя из ин-
туитивно ясного понятия вероятности.
Осуществляя подстановку, имеем:
|Ψ( ⃗, )|
=1
Физически условие нормировки означает, что где-то в какой-то точке пространства частица находится. В разных точках пространства вероятность будет разной, но, просуммировав все эти вероятности, мы обязаны получить единицу. Если единицы не получается, то такая Ψ непригодна для описания реально существующих объектов. 6) Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.
82
У РАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА Наряду с принципом корпускулярно-волнового дуализма и соотношения неопределённостей уравнение Шредингера является центральным пунктом всей квантовой физики. В 1926 г. Э. Шредингер предложил уравнение, которое можно рассматривать как закон природы и ни в коем случае не пытаться его вывести. Не выводится оно. Оно является законом природы, который открыт не одним человеком, а целой группой людей, которые в этой области работали, и именно то, что это сделано не одним, а многими людьми и подтверждает объективность этого знания.
ℏ
Ψ
=−
ℏ ΔΨ + ( ⃗, )Ψ 2
Комплексный характер носит не только волновая функция, но и уравнение Шредингера. Наличие мнимой единицы это явно показывает. ∙ ℏ= ∙
ℎ ≈ 1 ∙ 10 2
Дж ∙ с — постоянная Планка;
— масса частицы (релятивистские эффекты мы не рассматриваем);
∙ Δ — оператор Лапласа, равный скалярному произведению двух операторов Гамильтона: Δ = ∇⃗ ∙ ∇⃗. Выражение для Δ в декартовых координатах: Δ=
+
+
∙ Величина в общей записи уравнения Шредингера зависит и от ⃗, и от . В частном случае (и таких случаев в природе немало), если эта величина зависит только от координаты, то её можно назвать потенциальной энергией. А результат воздействия оператора Гамильтона на эту величину определяет ту силу, которая действует на частицу, состояние которой мы описываем: = −∇ ( ⃗, ).
83 Уравнение Шредингера стало началом нового этапа в развитии квантовой механики, где используются уже не гипотезы, а математически строгие уравнения, на основании которых и строится квантовая механика. Фактически, уравнение Шредингера является тем источником, из которого конкретный вид волновых функций, описывающих состояние той или иной частицы, извлекается.
П РИНЦИП ПРИЧИННОСТ И В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ Да, невозможно предсказать поведение одной отдельно взятой частицы. Но квантовая механика, используя волновую функцию, которая носит статистический характер, способна предсказать вероятность реализации того или иного события. Математической основой принципа причинности является именно уравнение Шредингера. В его левой части видим частную производную по времени, и рассуждения относительно того, как проявляет себя принцип причинности в квантовой механике, могут выглядеть следующим образом. В начальный момент времени = 0 задано значение волновой функции Ψ . Спустя малое время (дифференциальное и интегральное исчисление не уходит из физики, а приобретает иную смысловую окраску) изменение волновой функции Ψ может быть вычислено. Мы знаем величину волновой функции в этот момент: Ψ + Ψ. Таким образом, мы можем узнать значение волновой функции для любого последующего момента времени. Если знаем начальное состояние, уравнение Шредингера и окружение частицы, то мы можем статистически предсказать поведение этой частицы. Точного детерминированного ответа, где окажется тот или иной электрон, проходящий сквозь фольгу или отражающийся от кристалла, дать нельзя, но для большого коллектива электронов их распределение на экране будет вполне предсказуемо. То есть причинно-следственные связи и в физике, и в жизни вообще квантовая механика ничуть не отменяет.
84
О СНОВНАЯ ЗАДАЧА КВАНТО ВОЙ МЕХАНИКИ И ОБЩАЯ СХЕМА ЕЁ РЕШЕНИЯ
Основной задачей является описание состояния квантово-механических объектов, которые обладают свойствами корпускулярно-волнового дуализма. Решение этой задачи всегда распадается на два этапа: 1. Внимательная, тщательная, кропотливая работа с уравнением Шредингера. Все величины, которые в него входят, а прежде всего, величина, которая описывает окружение частицы ( ( ⃗, )), должны быть тем или иным образом математически описаны. После этого начинается этап борьбы с математическими трудностями. Получается полномасштабное уравнение в частных производных второй степени, и это уравнение нужно постараться решить. Решение дифференциальных уравнений — это отдельная тема, она очень напоминает игру в шахматы. Многие считают, что они умеют играть в шахматы, и, действительно, любят играть в шахматы на досуге, а некоторые говорят, что они очень интересуются дифференциальными уравнениями и решают их на досуге, но на самом деле и одно, и другое очень сродни искусству. У некоторых решение дифференциальных уравнений хорошо идёт, аналогично в шахматах: встречаются люди, которые в 18-19 лет неожиданно становятся на первые позиции рейтинга этой спортивной, как считается, игры. Решить уравнение в частных производных — это, в общем-то, искусство, и, как правило, для среднего ума основным способом для решения такого уравнения является использование справочников. Внимательно изучая и ища какие-то схожие моменты, можно сначала угадать, а потом и доказать, что найденная функция является решением уравнения. Для нас такой метод, который условно можно назвать методом «угадывания решения», будет основным. Выбираем функцию, которая перспективна на роль решения уравнения Шредингера. Убеждаемся, что она действительно обращает уравнение в тождество и после этого гордо говорим, во много раз преувеличивая свои заслуги, что мы решили это уравнение. 2. Работа с помощью математического аппарата квантовомеханических операторов. Вычисление собственных значений динамических переменных. Динамические переменные — это все те хорошо нам известные из классической физики величины, которые описывают движущийся объект: импульс, момент импульса, энергия, в какой-то степени и масса.
85
Д ВИЖЕНИЕ СВОБОДНО Й МИКРОЧАСТИЦЫ . К ВАНТОВО - МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ На это примере нам предстоит познакомиться с тем, как используется уравнение Шредингера в квантовой механике для описания реальных ситуаций. Прежде всего, для того чтобы сравнивать, что новое вносит квантовая механика, рассмотрим движение свободной частицы с позиции классической физики. Ситуация более чем простая. Имеется частица массой , обладающая каким-то запа⃗ сом энергии
=
=
. Частица свободная, на неё не
действует окружение, стало быть, никакие силы на неё не действуют. Характер движения — равномерный, прямолинейный. Если известна начальная скорость и направление движения, то из принципа причинности в классической физике следует, что мы можем рассчитать положение этой частицы для любого момента времени. Однако при переходе к квантово-механическому рассмотрению мы должны принять во внимание все те обстоятельства, которые мы ранее обсуждали: корпускулярно-волновой дуализм и в принципе невозможность всегда пользоваться понятием траектории. И с учётом всего этого основой для рассмотрения движения даже такого простого объекта, как свободная микрочастица, является уравнение Шредингера. ℏ
=−
ℏ
+
— функция, которая определяет взаимодействие частицы с окружением. В классическом пределе говорили о том, что раз частица свободна, то никакие силы на неё не действуют. При последовательном квантово-механическом обсуждении должны принять во внимание то, что = 0 во все моменты времени и во всех точках пространства.
Совместим направление частицы с направлением оси х, и, таким образом, сделать задачу одномерной. Это не принципиальное ограничение, но мы такое упрощение сделаем просто для того, чтобы меньше знаков приходилось записывать в уравнении. Тогда общее уравнение Шредингера, которое является фундаментальным законом природы, в этой конкретной ситуации принимает следующий вид.
86 ℏ
Ψ
=−
ℏ 2
Ψ
Теперь, согласно схемы решения основной задачи квантовой механики, нужно определить ту функцию, которая является решением этого дифференциального уравнения, то есть обращает его в тождество. Воспользуемся методом предъявления (угадывания) решения. Ψ( , ) =
Про параметры и можно сказать то, что это те самые параметры, которые входят в трёхбуквенные соотношения, выражающие суть корпускулярно-волнового дуализма: = ℏ , ℰ = ℏ . Предъявляется решение, и дальше ведётся работа, которая доказывает, что, действительно, такое угаданное решение обращает рассматриваемое уравнение в тождество. Вычислим частную производную по времени. Ψ
∙ (−
=
) = Ψ ∙ (−
)
Одна из причин, по которой в квантовой механике широко используется при поиске решения того или иного уравнения экспоненциальная форма, заключается в том, что с экспонентой очень удобно работать. Берём производные по координате: Ψ
∙( ) = Ψ∙( )
=
Ψ
∙( ) = −
=
Ψ
Подставим эти заготовки в уравнение. ℏΨ(−
ℏΨ
д.б.
) =− д.б.
=
ℏ (− 2
ℏ 2
Ψ
)Ψ
Понятно, что на Ψ ≠ 0, можно правую и левую части поделить и выяснить, что это уравнение превращается в тождество при условии ℏ
=
ℏ 2
, то есть ℰ =
2
.
87 Ничего удивительного в этой формуле, связывающей энергию и импульс свободной частицы, заметить трудно. Однако чуть-чуть отвлечёмся. Предположим, что развитие физики в силу каких-то непонятных причин гипотетически происходило не так, как в истории человеческой цивилизации. Скажем, в результате посещения пришельцев, в результате соответствующего внедрения в мозги то ли обезьян, то ли медведей, то ли осьминогов получились разумные существа, которым в полном объёме теми же пришельцами была предложена квантовая физика в том виде, в котором она к концу ХХ века сложилась и которую мы сейчас изучаем. То есть нет классической физики, а знакомство с физикой начинается с квантово-механических представлений. Тогда, освоив уравнение Шредингера и начав с самых простых примеров, рассматривая движение свободного тела, эти разумные осьминоги добираются до такого вывода ℰ =
, который эти разумные существа вполне могут
подвергнуть экспериментальной проверке. Более очевидные замечания. Во-первых, может возникнуть вопрос, почему именно в таком виде мы искали решение уравнения Шредингера для свободной микрочастицы. Ответ перед глазами: именно потому, что функция обращает уравнение в тождество. Во-вторых, возможно, некоторые заметили подозрительную похожесть произведения двух этих экспонент на традиционную форму записи уравнения монохроматической волны, если взять действительную часть от этой функции Ψ( , ): [Ψ( , )] =
cos(
−
).
В некоторых пособиях, которые освещают в рамках программы курса общей физики основы квантовой механики, иногда употребляется такой термин, что это и есть то самое математическое описание волны де Бройля, которая может быть поставлена в соответствие каждому объекту, обладающему импульсом. Но лучше пусть это будет называться волновой функцией, которая описывает свободные микрочастицы. Аналогично рекомендуется не очень акцентировать внимание на такие встречающиеся в некоторых пособиях термины, как «волны вероятности». Есть уравнение Шредингера, в результате решения которого можно получить волновую функцию, обладающую необходимыми свойствами, и именно с помощью волновых функций в квантовой механике всё и делается.
88
С ТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА Проблема в том, что в общем случае волновая функция зависит и от трёх координат, и от времени. Выясняется, что во многих ситуациях переменные разделяются. То есть можно представить волновую функцию в виде следующего произведения: Ψ( ⃗, ) = Ψ ( ⃗) ∙ Ψ ( ).
Более того, особенный интерес представляют ситуации, когда зависимость от времени описывается уже встретившейся нам ранее экспонентой . Ψ( ⃗, ) = Ψ ( ⃗)
Кстати, полезно на уровне безусловного рефлекса ассоциировать такую экспоненту с осцилляциями (колебаниями) соответствующей величины во времени. Если перейти к тригонометрической форме, можно увидеть, что и вещественная часть — гармонический косинус, и мнимая часть — не менее гармонический синус. Подставим такую волновую функцию в исходное уравнение Шредингера. ℏΨ ( )
(−
)=−
ℏ Ψ( )=−
Вспоминаем, что
=ℏ .
ℏ 2
ΔΨ ( ) + Ψ ( )
ℏ ΔΨ ( ) + Ψ ( ) 2
ℏ ΔΨ ( ) + ( − )Ψ ( ) = 0 2 2 ( − )Ψ ( ) = 0 ΔΨ ( ) + ℏ
Как видим, зависимость от времени теперь в этом стационарном уравнении не проглядывается, поэтому в окончательной форме записи
ΔΨ +
2 ( − )Ψ = 0. ℏ
89 Да, явной зависимости от времени нет, но предполагается, что волновая функция от времени зависит, более того, известен даже характер этого закона: экспонента с отрицательным мнимым показателем присутствует. И именно это допущение и позволяет от общего уравнения Шредингера перейти к стационарному. Другое важное замечание. Подстановка = ℏ позволила нам записать стационарное уравнение в канонической форме. При сделанных допущениях относительно зависимости волновой функции от времени можно сделать вывод, что энергия частицы во времени не меняется. = const. Это как раз и определяет название этого уравнения — «стационарное». Аналогично во времени не меняется и величина , и в этом случае эта величина имеет смысл потенциальной энергии. Независимость энергии во времени позволяет вспомнить соотношение неопределённостей энергия-время и сделать ещё один очень важный вывод. Δ Δ ≥
ℏ 2
Если рассматривать Δ как время, отведённое на определение энергии, то Δ рассматривается как величина ошибки, которая при таком измерении энергии может быть допущена. В силу того, что энергия во времени не меняется, Δ можно сделать очень большим, в принципе, устремив к бесконечности. А тогда из соотношения неопределённостей можно сделать вывод, что неопределённость энергии стационарного состояния может быть сколь угодно мала, Δ → 0. И квантовая механика, несмотря на наличие соотношений неопределённостей, остаётся точной количественной наукой, и значения многих квантово-механических величин могут быть определены с очень высокой точностью. И потом в прямом эксперименте проверены. То есть квантовая физика, так же как и классическая физика, остаётся по сути экспериментальной наукой. Да, есть замечательное дифференциальное уравнение второй степени, которое умеют самостоятельно решать несколько десятков тысяч людей во всём мире. Но это не самоцель, а средство описания тех явлений, которые существуют в окружающем нас мире и которые в прямом эксперименте могут быть проверены. Когда мы обратимся к изучению квантово-механической теории атома водорода, об этом ещё вспомним.
90 Квадрат модуля волновой функции обладает ярко выраженным физическим смыслом: он определяет вероятность обнаружения частицы в той или иной точке пространства. Если мы образуем квадрат модуля от той волновой функции, которая допускает разделение переменных, то есть домножим эту волновую функцию на комплексно сопряжённую, то мы получим следующее: |Ψ| = Ψ ( )Ψ ∗( )
Произведение двух таких экспонент даёт единицу. Ещё одно обоснование того, почему это уравнение называется стационарным. Вероятность обнаружения частицы в той или иной точке пространства от времени не зависит.
К ВАНТОВО - МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦЫ , НАХОДЯЩЕЙСЯ ВНУТРИ БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ Речь идёт о ситуации, которая в классическом варианте может быть изображена следующим образом: есть некоторая область пространства, которая по одному своему виду может быть названа потенциальным ящиком, потенциальной ямой, потенциальным колодцем. Хорошей моделью такой потенциальной ямы является, например, пустая шахта баллистической ракеты. Глубокий шахтный ствол, в котором обычно стоит ракета, но если эту ракету разобрать на запчасти, то эта потенциальная яма пуста. Так вот если с какого-то этажа бросить туда теннисный мячик, то начнётся беспорядочное движение этого мячика, сопровождающееся многочисленными отскоками от дна и стен ямы. Естественно, с классической точки зрения движение этого мячика детерминировано. Если мы знаем, с какой скоростью и под каким углом этот мячик был брошен, его движение можно рассчитать, даже учитывая неидеальность отражения от стенок и пола. Можно и при классическом рассмотрении этой задачи использовать не представление о законе движения этого мячика, а использовать так называемое вероятностное описание. То есть оценивать вероятность обнаружения этого мячика в разных участках этой потенциальной ямы, и для простоты опять-таки привязываемся к одномерному случаю изменения всех величин только
91 вдоль оси х. Это изучение может быть проведено как теоретически, так и экспериментально. Скажем, бросили мячик, приобрели где-то стробоскоп, и в случайные моменты времени стробоскоп включается, и положение мячика фиксируется. Дальше несколько миллионов таких снимков обрабатываются и в результате создаётся впечатление о распределении вероятности обнаружения этого шарика в разных точках потенциальной ямы. В классическом варианте эта зависимость обнаружения от координаты будет изображаться прямой линией. Ни одна из точек этой потенциальной ямы не выделена. В любой точке с равной вероятностью можно обнаружить этот беспорядочно движущийся мячик. Можно приводить очень много классических моделей, скажем, рассматривать молекулы идеального газа, который находится в замкнутом сосуде. Молекулы движутся хаотически, и можно рассуждать о вероятности обнаружения молекулы в разных точках этой потенциальной ямы. Нас же интересует, как эта ситуация с потенциальной ямой и частицей, в неё угодившей, рассматривается в квантовой механике с позиции использования стационарного уравнения Шредингера. Рассматривается бесконечно глубокая потенциальная яма, то есть ни при каких условиях угодившая в неё частица не может выбраться →∞ →∞ =0 за её пределы. Математически Ψ =0 Ψ =0 очень удобно описать эту бесконечную глубину потенциальной, устремив в первой и третьей области потенциальную энергию к 0 L бесконечности. Во второй области потенциальная энергия равна нулю: нет там никаких моторчиков, никакого дополнительного источника энергии или каких-то других воздействий, которые могли бы изменить состояние частицы.
92 Вспоминая, что |Ψ| определяет вероятность обнаружение частицы в данной точке пространства, и зная, что ни при каких условиях частица не может выбраться из этой потенциальной ямы, Ψ = 0, Ψ = 0. Если увлечься и написать ещё Ψ = 0, это будет формально правильно, но только это будет неинтересная задача о пустой бесконечно глубокой потенциальной яме.
Поэтому будем определять значение Ψ , то есть волновой функции в интервале от 0 до .
Записываем стационарное уравнение Шредингера для конкретной задачи, которой сейчас занимаемся. Оператор Лапласа в одномерном случае — это просто вторая производная по координате, а поскольку у нас всего одна координата, нет никакой разницы между частной и полной производной. Ψ
+
2 ℏ
Ψ=0
Метод решения тот же самый: угадывания решения. Считаем, что при каких-то условиях (эти условия надо будет выяснить) функция вида Ψ=
+
обращает уравнение Шредингера в тождество, стало быть является его решением и описывает свойства частицы, угодившей в бесконечно глубокую потенциальную яму. Под можно пока подразумевать всё, что угодно — просто обозначение. По мере работы с уравнением Шредингера дополнительная информация об этом параметре не заставит себя долго ждать. Смотрим, при каких условиях эта функция обратит уравнение в тождество.
Ψ
Ψ =
(
=
) +
=−
−
(
(− +
Ψ+
)+
) =−
(−
=−
2 д.б. Ψ = 0. ℏ 2 = ℏ
) Ψ
−
=
93 При выполнении этого условия функция Ψ = + обращает уравнение в тождество, то есть является решением уравнения. =
2
ℏ
Если подключить элементарную наблюдательность, видно, что ℏ — это не что иное, как импульс, стало быть, связь энергии, квадрата импульса и массы
=
неудивительна. Никаких противоречий со здра-
вым смыслом и представлениями классической физики после введения уравнения Шредингера не произошло. Но параметры А и В пока не очень внятно определены. Посмотрим, какими логичными средствами можно установить их значение. Вспоминаем, какими свойствами обладает волновая функция и её первая производная, а именно, условие непрерывности во всей области своего определения. В первой и третьей области Ψ = 0, стало быть, значения Ψ в точках = 0 и = тоже равно нулю. На левой границе: Ψ(0) =
Ψ=
+
=−
=0
−
Продолжаем разговор, как говорил Карлсон. Правая граница: Ψ( ) =
−
=0
Если мы предположим = 0, однозначно попадаем в неинтересную ситуацию пустой потенциальной ямы. Поэтому у нас ≠ 0. =
2
=1
=2
=
Любопытный результат, который получился у нас автоматически. Работая с уравнением Шредингера, мы получили такое соотношение между параметром , про который мы уже кое-что знаем и ещё одним параметром задачи: шириной потенциальной ямы. С математической точки зрения целое число принимает значения в интервале (−∞, +∞).
94
К ВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ , НАХОДЯЩЕЙСЯ ВНУТ РИ БЕСКОНЕЧНО Г ЛУБО КОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНО Й ЯМЫ
Используем соотношение стоятельств, связывающих
и :
=
ℏ
=
с учётом вновь открывшихся обℏ
.
Есть ли смысл в отрицательных значениях квантового числа (числа, которое квантует энергию), если оно фигурирует как квадрат? Нет никакого. Перепишем формулу, подставив ℏ = ℎ⁄2 .
=
8
ℎ
Чудесным образом зависит эта энергия частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы, от целого числа . Целое число определяет энергетический спектр этой частицы. Этот спектр носит дискретный характер. Изобразим =3 спектр. эти линии носят название собственных значений энергии (разрешённые уровни энергии, стационарные состояния). Энергетический спектр частицы, которая угодила в бесконечно =2 глубокую потенциальную яму, носит неэквиди=1 стантный характер. 0
Отрицательные значения мы уже отмели. Можно ли подставлять значение = 0? = ⁄ . При = 0 мы получаем = 0 и Ψ = 0, опять-таки приходим в состояние пустой потенциальной ямы. Таким образом, ≠ 0. Она принципиально больше нуля и определяется по правилу квантования подстановкой = 1. Видим полное соответствие с соотношения неопределённостей. Если бы получилось = 0, мы бы говорили о частице, которая покоится внутри потенциальной ямы, а значит, её координата строго определена. Это нехорошо с точки зрения корпускулярно-волнового дуализма. Таким образом, > 0, происходит постоянное движение этой частицы, и соотношения неопределённостей и энергия-время, и особенно координатаимпульс себя могут проявить.
95 Возвращаемся к работе с волновой функцией, которая описывает состояние частицы, угодившей в бесконечно глубокую потенциальную яму. Ψ=
= (cos
−
=2
sin
− cos(−
+ sin =2
sin
) − sin(−
)) =
Определим величину , используя условие нормировки. Применительно к одномерной задаче это условие может быть записано таким образом: д.б.
|Ψ|
= 1.
Мы не знаем, в какой точке в данный момент времени пребывает эта частица, но можем утверждать, что где-то в пространстве она существует. |Ψ|
|Ψ|
=
|Ψ|
+
+
|Ψ|
С учётом того, что в первой и третьей области волновая функция равна нулю, получаем условие нормировки в следующем виде: д.б.
|Ψ|
= 1.
|Ψ| = 4
|Ψ|
sin
=4
sin
С этим выражением поможет работать воспоминание о следующем табличном интеграле: sin
Таким образом, |Ψ|
=4
1 2
0
= −
4
1
⁄
1 1 − sin 2 2 4
sin
2
0
=4
∙
2
=2
д.б.
= 1
96
=
Ψ=2
1 2
sin
2
Ψ=
|Ψ| =
2
sin
sin
Эта функция определяет вероятность обнаружения частицы в каждой точке потенциальной ямы. Каждому значению квантового числа = 1,2,3 … соответствует своя волновая функция. | |
=3
0
=2 =1
Начали мы с классического рассмотрения ситуации, из которого следовало, что вероятность обнаружения частицы в любой точке потенциальной ямы одинакова. Для квантово-механического рассмотрения это совсем не так. Скажем, для = 1 наибольшая вероятность обнаружить частицу в середине потенциальной ямы. Но для = 2 вероятность обнаружить частицу в этой точке равна нулю, а максимумы соответствуют L/4 и 3L/4. С изменением меняется не только энергия, но и пространственная локализация частиц.
97
П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВО Й МЕХАНИКЕ
Ψ= Ψ + Ψ
Если частица может находиться в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ , а также в состоянии, описываемом волновой функциейΨ , то она может находиться в состоянии суперпозиции (линейной комбинации) двух этих состояний.
Ψ=
Ψ,
где Ψ — волновая функция отдельного состояния, определяемый из условия нормировки.
— коэффициент,
П ОНЯТ ИЕ О РАЗЛОЖЕНИИ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ПО СОБСТВЕННЫМ ВОЛНОВЫМ ФУНКЦИЯМ
Ψ =
2
sin
Используя принцип суперпозиции, можно утверждать, что любая волновая функция может быть представлена в виде следующего ряда:
Ψ( ⃗, ) =
( ) Ψ ( ⃗)
98
О БЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ АППАРАТЕ КВАНТОВО МЕХАНИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
Оператор — правило, набор действий, посредством которых одной функции ставится в соответствие другая функция. =
∙
При воздействии на функцию оператором получаем функцию, умноженную на коэффициент . Если оператор действует на функцию таким образом, то называется собственной функцией оператора , а — собственным значением оператора .
П РИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ П. Эренфест. Механическим (классическим, динамическим) переменным можно поставить в соответствие оператор соответствующей квантовомеханической величины, при этом соотношения для динамических переменных остаются справедливыми и для операторов соответствующей величины. ↓ ̂
⃗ ↓ ⃗
↓
↓ ̂ =
=
2
2
и т. д.
̂
̂Ψ = Ψ
̂Ψ = Ψ Если потенциальная энергия зависит только от координаты, то ( )= ( )
99
О ПЕРАТОР ИМПУЛЬСА В КВАНТО ВОЙ МЕХАНИКЕ ̂ = − ℏ∇⃗ =−ℏ
Этим вновь обретённым оператором импульса в квантовой механике попробуем воспользоваться и попытаемся установить собственное значение импульса на примере частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы. Подействуем оператором импульса на собственную волновую функцию. ̂ Ψ = (− ℏ)
2
cos
∙
=?
Ничего хорошего мы не получили. Как ни крути, как ни комбинируй, это не будет равно ∙ Ψ хотя бы потому, что без вмешательства в аргумент косинуса превратить его в синус невозможно. Но отрицательный результат — это тоже результат. Собственная волновая функция частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы, не является собственной функцией оператора импульса. Второй подход — с использованием принципа суперпозиции. Ψ =
Ψ→
+
Ψ←
Оператором импульса сначала подействуем на функцию Ψ→ , а потом на Ψ← . ̂ Ψ→ = − ℏ
( )=ℏ
= ℏ Ψ→
Вот иллюстрация того, для чего аппарат квантово-механических операторов используется: для нахождения соответствующих значений квантово-механических величин. В результате воздействия оператора импульса получили исходную функцию, умноженную на множитель ℏ ,
100 который согласно нашей терминологии должен быть назван собственным значение импульса: = ℏ . Это формула, которая выражает суть корпускулярно-волнового дуализма, ранее многократно упоминалась. Сейчас мы это простое соотношение математически вывели, доказали. Аналогичные действия над вторым слагаемым, которое обозначено у нас Ψ← приведут нас к результату, который отличается от предыдущего только знаком: ̂ Ψ← = −ℏ Ψ← . Собственное значение оператора импульса получилось равным −ℏ . Результат содержит в себе достаточно интересную информацию.
x В этой бесконечно глубокой потенциальной яме рисуем один какой-нибудь энергетический уровень, которому ставится в соответствие волновая функция. Сама волновая функция, как мы убедились, не является собственной функцией для оператора импульса, но две её компоненты в линейной комбинации такими свойствами обладают. Первое слагаемое Ψ→ определяет импульс частицы, которая движется в положительном направлении оси х. Воздействие того же самого оператора импульса на второе слагаемое Ψ← даёт результат −ℏ , что соответствует ситуации, когда частица движется в направлении, противоположном положительному направлению оси х. Очередная иллюстрация невозможности использования классического определения импульса. Одновременно существует вероятность, что частица, находящаяся внутри этой бесконечно глубокой потенциальной ямы, движется в какие-то промежутки своего существования вправо, в какие-то промежутки времени — влево. Равенство по модулю констант = − показывает, что равновероятно движение частицы как в положительном, так и в отрицательном направлении оси х. Очередной мысленный эксперимент. Потенциальная яма разрушается в неожиданный момент времени. Мы знаем, что частица находится в стационарном состоянии. Многократное повторение этого мысленного эксперимента и проведение реальных экспериментов типа опытов
101 Дэвиссона-Джермера и Томпсона и Тартаковского показывает, что в половине случаев после разрушения потенциальной ямы эта освободившаяся частица будет двигаться в положительном направлении оси х и обладать импульсом ℏ , а в половине случаев направление импульса будет противоположным. В одномерном случае, когда движение или по оси х, или против оси х, выбор небольшой, но в двух- и, особенно, трёхмерном вероятность выбора собственных значений увеличивается. Частице, которая находится где-то между разрешёнными энергетическими уровнями, если будет подвергнута такого же типа мысленному эксперименту в результате многократного измерения можно будет определить среднее значение импульса, и это среднее значение импульса определяется в ряде специально поставленных экспериментов. Прохождение частицы сквозь тонкую металлическую фольгу означает, что частица проходит между атомами и в это время она находится в своего рода потенциальной яме, которая влияет на состояние частицы, выделяет некоторое состояние с точки зрения энергии и импульса. И дальше, когда частица преодолела фольгу, последовательно побывала в нескольких потенциальных ямах, её дальнейшее нахождение может быть описано статистически, и в результате некоторые направления будут более вероятными. Именно поэтому наблюдаются максимумы отражения электронов в опытах Томпсона и Тартаковского.
О ПЕРАТОР КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Между квантово-механическими операторами существуют точно такие же соотношения, какие действуют между соответствующими динамическими переменными. Если в классической физике кинетическая энергия — это
=
, то в квантовой механике оператор кинетической
энергии должен иметь следующую форму: =
2
̂
− ℏ∇⃗ − ℏ∇⃗ ℏ ℏ = =− ∇⃗ ∙ ∇⃗ = − Δ 2 2 2
=−
ℏ Δ 2
102
О ПЕРАТОР ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ В КВАНТОВО Й МЕХАНИКЕ Начнём с классического аналога. Если буквой , как это часто делается в аналитической механике обозначить полную энергию, которая является суммой кинетической энергии и потенциальной, то = + . Переходя к квантово-механическим операторам, запишем: =
+ .
В стационарном случае, когда потенциальная энергия не зависит от времени, а зависит только от координаты, в силу того, что оператор координаты, подобно оператору массы, имеет чрезвычайно тривиальный характер, продолжаем это равенство следующим образом: =
+
= −
ℏ Δ+ 2
.
У РАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА В О ПЕРАТОРНО Й ФОРМЕ ℏ ΔΨ + Ψ − Ψ = 0 2 −
ℏ Δ+ 2
Ψ= Ψ
Ψ= Ψ Полученный результат позволяет нам рассмотреть уравнение Шредингера с точки зрения аппарата квантово-механических операторов как задачу по нахождению собственных волновых функций оператора полной энергии — тех функций, которые удовлетворяют уравнению Шредингера. Именно по ним производится разложение произвольной волновой функции. Можем сказать о смысле той величины, которой мы постоянно пользовались, называя её энергией — как она подкрепляется научным подходом. Это те самые собственные значения энергии, которые в данной задаче реализуются. Частица была внутри бесконечно глубокой по-
103 тенциальной ямы, правило квантования обнаружилось само собой. В простом случае нам удалось это сделать честно от начала до конца, в общем случае логика рассмотрения ситуации остаётся той же самой. На тех реальных примерах, которые ожидают нас далее (это и атом водорода, и квантово-механический осциллятор) мы в этом убедимся. Именно из уравнения Шредингера получается набор собственных значений энергий и набор собственных волновых функций.
П РОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НАД ПО ТЕНЦИАЛЬНЫМ БАРЬЕРОМ ⃗
=0
>0 0
По условию энергия частицы больше потенциального барьера: =
2
>
.
Классическое рассмотрение этой ситуации тривиально: если энергия больше высоты потенциального барьера, частица однозначно пройдёт. Например, мешок с дефицитными деликатесными мясопродуктами, с надлежащей скоростью переброшенный через забор мясокомбината, гарантированно окажется у сообщника. Переходим к квантово-механическому рассмотрению ситуации. ΔΨ +
2 ( − )Ψ = 0 ℏ
С учётом проведённой работы по определению собственных значений оператора импульса и поиска смысла в двух тех слагаемых, в виде которых мы представляем волновую функцию, записываем волновую функцию для первой области < 0 следующим образом: Ψ =
→
+
←
104 С порога не отметаем возможность существования движения в первой области, которое описывается отрицательной экспонентой и соответствует направлению движения справа налево. Во второй области никаких препятствий, никаких скачков потенциала нет, поэтому нет оснований ожидать «отражение» этой частицы от какого-то препятствия, поэтому для второй области > 0 оставляем только первую компоненту. Ψ
=
→
Что можно сказать о величинах и ? Подставляя решения в исходное уравнение Шредингера, можно убедиться, что эти функции обращают уравнение в тождество в том случае, если =
2 ℏ
и
ℏ = √2
ℏ=
=
2 ( − ) . ℏ
=
2 ( − )= <
Продолжая решать уравнение Шредингера, вспоминаем условия, которым должна удовлетворять волновая функция, а именно, условие непрерывности. Поэтому на границе областей в точке Подставляем = 0 и получаем: +
=
(∗)
дб
=0Ψ =Ψ .
Условие непрерывности накладывается также на первую производную от волновой функции по координате. (
)+
−
(−
)=
=
(∗∗)
|:
Складываем уравнения (∗) и (∗∗). Получим не (∗∗∗), а 2
=
+1 =
=
2
+
(
+
)
105 Казалось бы, к чему это? Ну а к тому, что, как это у нас уже случалось, сначала появляются некоторые константы, которые не несут особого смысла, но постепенно они наполняются связями друг с другом и со здравым смыслом. =
−
2 +
=
−1 =
− +
≠0
и могут быть любыми, но нулём этот коэффициент быть не может. Поэтому то, что представляется невозможным при чисто классическом рассмотрении (невозможно отражение частицы от потенциального барьера в случае, если частица проходит над этим барьером), в квантовой механике приводит к вполне обоснованному выводу о том, что отношение
=
⁄
=
можно назвать по аналогии с оптикой
коэффициентом отражения. На первый взгляд результат парадоксальный, но вспомним ситуацию, которая связана с прохождением света сквозь границу раздела двух прозрачных сред. Никого не удивляет, что свет, проходя через оконное стекло, частично отражается. =ℏ =
ℎ
Перейдём с языка квантовой механики к волновым представлениям, которые были широко развиты в классической физике. =
ℎ
=
ℎ 2 = ℏ
Как вводится в классической физике понятие длины волны? Это то расстояние, которое проходит волна, движущаяся со скоростью за один период. =
=
Вспоминаем, что согласно классическим представлениям в вакууме свет распространяется со скоростью , а в прозрачный средах — с меньшей скоростью, связанной с через показатель преломления . =
106 =
Таким образом, с точки зрения квантовой механики точки зрения классических волновых представлений Ничто не мешает приравнять одно другому. 2 =
2
=
.
=2 ⁄ ,ас
= =
Видим, что и связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью. Поэтому, используя полученное средствами квантовой механики при рассмотрении решения уравнения Шредингера для частицы, проходящей над потенциальным барьером и переходя от квантово-механического языка на язык классической оптики, продолжаем это равенство, учитывая, что частота при переходе из одной среды в другую не меняется (это научно обоснованный факт, который не подлежит сомнению ни с точки зрения классической, ни с точки зрения квантовой физики), имеем возможность записать следующее:
=
− +
=
− +
.
Между прочим, это основа для классического рассмотрения интерференции, прохождения света через слоистые структуры. Именно в этой формуле скрыта тайна потерянной полуволны, то есть потеря полуволны, которая происходит, когда свет отражается от среды оптически более плотной. Всё это было объяснено феноменологически с точки зрения классических представлений, эти формулы были получены ещё в XVIII веке. Мы ту же самую формулу получили с позиции квантовой физики. Это ещё одна иллюстрация корпускулярно-волнового дуализма для электромагнитного излучения.
107 Представления о том, что электромагнитное излучение в прозрачных средах распространяется со скоростью меньшей, чем скорость света, под сомнение поставлены быть не могут. Но точно не может быть под сомнение поставлен тот квантово-механический факт, что если рассматривать электромагнитную волну как поток фотонов, то каждый из этих фотонов движется в пространстве исключительно со скоростью света. Ни в коем случае нельзя думать, что в веществе, в которое угодили фотоны, их скорость движения изменяется. Это неверно, потому что фотон по определению не имеет массы покоя, существует только в движении со скоростью света. Но противоречия тут нет. Да, действительно, фотон перемещается в пространстве исключительно со скоростью света . Но при распространении не в вакууме, а в веществе происходит многократное взаимодействие этого фотона с теми атомами, которые эту прозрачную среду образуют. Один и тот же фотон многократно поглощается, какое-то время находится в составе атома, а потом переизлучается. Кстати, это всё напрямую подтверждает те классические представления, которые лежат в основе теории дифракции, тех самых вторичных излучателей, на которых построен принцип Гюйгенса-Френеля. Фотон на время поглощается атомами, но если он поглощается не навсегда, а на время, как это бывает в прозрачных средах, этот атом его освобождает, и он продолжает своё движение. За счёт таких многочисленных поглощений и переизлучений эффективная скорость, с которой фотон пересечёт, скажем, слой стекла толщиной три сантиметра, будет меньше, чем требуется ему для преодоления трёх сантиметров вакуума. Более чем классическая аналогия — это движение пригородной электрички в режиме «без остановок» и в режиме «с остановками». Та же самая электричка 100 км при желании может преодолеть за полтора часа (почему-то нет желания у руководителей железной дороги развивать такие скорости), но если она движется со всеми остановками, то есть на каждой остановке происходит поглощение и выделение людей, входящих и выходящих из этой электрички, то эффективное время преодоления пути увеличивается.
108
П РОНИКНО ВЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ОБЛАСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА
В только что рассмотренном случае прохождения частицы над потенциальным барьером >0 выполнялось условие > . В данном вопросе энергия меньше, чем высота потенциального барьера, < . По-прежнему частица движется в положительном направлении оси х, попрежнему волновая функция для первой функции может быть представлена в виде суперпозиции, которая включает как прямую, так и обратную волну: Ψ = + . Теперь, после того, как мы овладели оптической аналогией, этими терминами можно пользоваться: прямая волна, отражённая волна. Всё это в мнимых экспонентах с учётом знаков содержится. Энергия частицы меньше, чем высота потенциального барьера. Мешок деликатесных продуктов с территории мясокомбината брошен с недостаточной энергией, которая не позволяет ему пересечь забор, который это предприятие ограждает. С классической точки зрения результат однозначный: мешок останется в первой области, и воспользоваться его содержимым никому не удастся. Посмотрим, как будут разворачиваться события в рассматриваемом случае. Оставим волновую функцию для частицы, находящейся во второй области, в том самом виде, в каком она использовалась и ранее: Ψ = . Но теперь чуть-чуть поразмыслим над тем, какой физический смысл имеет величина . =
=
=
2 ℏ
2 ( − ) ℏ
2 ( − ) ℏ
По условию < , вынуждены извлекать корень из отрицательного числа. В физике и математике это вполне возможно, если пользоваться понятием мнимой единицы.
109 =
2 ( − )
ℏ
Теперь, отталкиваясь от предположения, что во второй области волновая функция может быть представлена в виде упомянутой экспоненты (пока не доказано, что это невозможно, никто не может запретить этим предположением пользоваться), посмотрим, что у нас получается с учётом вновь открывшихся обстоятельств насчёт того, что теперь должно иметь мнимое значение. Ψ =
exp −
1 2 ( − ) ℏ
Волновая функция может быть комплексной, но не обязана быть таковой всегда. В данном случае для второй области волновая функция, описывающая частицу, может быть изображена графически без всяких ограничений, поскольку это действительная >0 функция, в виде экспоненты с отрицательным показателем, которая достаточно быстро спадает во второй области, но вблизи границе раздела при соответствующем соотношении между параметрами, входящими в показатель экспоненты, на каком-то отрезке отлична от нуля. Именно поэтому в заголовке нашего раздела и написано: проникновение частицы в область потенциального барьера. Если барьер, который имеет высоту > , полубесконечный, то, конечно, ни о каком проникновении частицы сквозь потенциальный барьер речи идти не может. Но говорить о том, что вблизи границы раздела областей, которые характеризуются разными значениями потенциальной энергии, возможно обнаружение частицы — можно. Вероятность обнаружения частицы в той или иной точке пространства характеризует квадрат модуля волновой функции.
~|Ψ| =
= |Ψ|
exp −
2 2 ( − ) ℏ
Квадрат модуля волновой функции спадает ещё быстрее, но, тем не менее, остаётся некоторая область, в которой эта вероятность отлична от нуля.
110 Это ещё один факт, о котором трудно рассуждать в классической физике. Вспомним, что преподаватель не может проникнуть сквозь стену, так же, как любой макроскопический предмет. Однако в квантовой механике это более чем реально. Ответ на вопрос, почему то, что реально в квантовой механике, не реально в окружающем нас мире, очень прост. Посмотрим на то, что наполняет показатель экспоненты. Значение постоянной Планка 10 . Если квадратный корень 2 ( − ) содержит внутри себя макроскопические величины (порядка нескольких килограмм, нескольких джоулей), показатель экспоненты исчисляется величинами порядка −(10 … 10 ). Естественно, это мгновенный спад. Естественна та резкая граница между двумя областями, естественен тот самый забор вокруг мясокомбината. Подобно тому, как в предыдущем разделе, казалось бы, опять квантовая механика даёт какие-то необычные предложения, которые вряд ли могут быть обнаружены в реальном мире, если мы не прибегаем к услугам микрочастиц. Однако и для этого вопроса есть прямая очевидная аналогия с оптикой: явление полного внутреннего отражения. Современные системы связи построены на оптоволокне, которое заменяет медные провода именно потому, что способно передавать большие объёмы информации с помощью ограниченных в объёме материалов. Они работают на явлении полного внутреннего отражения. Да и в оптике, если фонарик установлен на дне водоёма, происходит явление полного внутреннего отражения, когда при некоторых углах падения свет не проникает из воды в воздух. Но в ограниченной области, которая сравнима по своим размерам с несколькими длинами волн, классическими средствами (типа почернения фотопластинки, реакции материалов на электромагнитное излучение и проч.) установлено так называемое явление нарушенного полного внутреннего отражения. Несмотря на то, что на границе двух сред происходит полное внутреннее отражение, и, казалось бы, энергия не проникает из одной среды в другую, в узкой приграничной области оно есть, оно зафиксировано, и квантовой механикой оно не открыто, а просто подтверждено и объяснено на основе фундаментального уравнения Шредингера, которое нужно рассматривать как один из основных законов природы. Из него (вспоминаем мыслящих осьминогов) очень много физических законов может быть получено, как частный случай.
111
П РОНИКНО ВЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР . Т УННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ Теперь рассматриваем потенциальный барьер, который имеет высоту > и имеет ограниченную протяжённость в пространстве. Легко догадаться, что в случае, когда толщина сравнима с той областью проникновения, которую мы видели по формуле возможно проникновение сквозь барьер.
=0
≠0
~
ℏ
(
)
, вполне
=0
Определим новую величину под названием прозрачность потенциального барьера как отношение вероятности обнаружения частиц в третьей области к вероятности обнаружения частиц в первой области (в которой мы тоже не будем рассматривать воздействие никаких потенциальных факторов).
=
≈ exp −
2 ℏ
2 ( − )
Прозрачность потенциального барьера характеризует вероятность частицы с энергией меньшей, чем высота потенциального барьера, преодолеть этот барьер и оказаться за ним. Невозможно проникновение макроскопического объекта сквозь потенциальный барьер, а в микромире, если параметры в показателе экспоненты сложены надлежащим образом, то эта прозрачность отлич-
112 на от нуля и в зависимости от ситуации может доходить до нескольких десятков процентов. Почему такое название — туннельный эффект?
Гора, самолёт, неудачное пилотирование. Катастрофа неизбежна. Мистика: открылся неожиданно туннель. Самолёт сквозь открывшийся туннель пролетел, и с той вероятностью, которую даёт эта формула, пассажиры остались живы. Для макроскопического объекта эта вероятность при таком стиле пилотирования равна нулю, однако в микромире такие ситуации возможны, именно они дали такое литературное название: туннельный эффект. Эффект ничем не противоречит, более того, является ещё одним подтверждением существования в природе соотношений неопределённостей. Что нужно, чтобы катастрофа не произошла, для того, чтобы энергия этого самолёта неожиданно возросла, какое-то внешнее воздействие его перенесло через вершину этой горы и опустило после того, как всё закончилось? Δ Δ ~ℏ. То время, которое требуется объекту, для того чтобы преодолеть внутренность потенциального барьера, имеет вполне определённое значение (определено разностью координат и скоростью, с которой движется объект). Следовательно, поскольку действует соотношение неопределённостей, Δ у этого микроскопического объекта ненулевая, и в случае, если этой неопределённости хватает на то, чтобы преодолеть энергетическое расстояние до вершины барьера, всё происходит так, как предсказывает квантовая механика. В микроми-
113 ре прохождение частицы с энергией, которая меньше высоты потенциального барьера, сквозь этот барьер вполне возможно. Примеров более чем достаточно. В ядерной физике именно туннельным эффектом объясняются закономерности альфа-распада. В контакте материалов с разным типом проводимости туннельный эффект не только имеет место, но и является основой для создания целого ряда микросхем и других твердотельных материалов, которое началось в 1958 году с появлением первых так называемых «туннельных диодов». Это подтверждение того, что квантовая механика имеет самое непосредственное отношение не только к физике, но к науке и цивилизации вообще, и те предсказания, которые на первый взгляд выглядят неожиданными и парадоксальными, находят своё практическое применение.
Л ИНЕЙНЫЙ КВАНТОВО - МЕХАНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Осциллятор — частица (система), которая совершает малые колебания вблизи положения равновесия. Любой маятник (математический, пружинный, физический) — это пример осциллятор. Широкое использование понятия «осциллятор» характерно не только в квантовой механике. Колебательный контур можно рассматривать как осциллятор. Поведение электронов в атоме с классической точки зрения можно рассматривать как малое смещение относительно равновесия, и каждый атом по классической теории может рассматриваться как осциллятор, который под действием внешнего облучения ведёт себя так или иначе. Яркий пример классического осциллятора — пружинный маятник: грузик на пружинке жёсткости , который скользит без трения на горизонтальном стержне. Способов описания движения такого осциллятора и его свойств и в классической физике существует немало. Например, дифференциальное уравнение, которое описывает поведение этого классического осциллятора, составить очень просто, если вспомнить второй закон Ньютона. =−
114 в нашей задаче — жёсткость пружины, в более абстрактном случае — коэффициент квазиупругой силы. Дифференциальное уравнение второй степени, которое описывает классический осциллятор: +
= 0.
Введём полезное для дальнейшего разговора обозначение сказав, что
— собственная частота этого осциллятора. +
= ,
=0
Решением этого уравнения будет гармоническая функция ( )=
cos(
+
).
φ0 зависит от начальных условий и от того, какой гармонической функцией мы пользуемся. Для любого момента времени можно координату этого осциллятора определить — вспоминаем принцип детерминизма в классической физике. Казалось бы, ничего большего в классической физике не нужно, однако разработаны средства, которые очень напоминают квантово-механические средства. Например, вероятностное описание поведение этого осциллятора. Да, можно для любого момента времени в точности рассчитать координату, а можно поставить и решать задачу о нахождения вероятности обнаружения этого маятника внутри той области, которая отведена на его дви− жение. От – до измеряются значения ( ), поэтому за пределами этого интервала вероятность равна нулю. А внутри этой области зависимость обнаружения от координаты неодинакова, поскольку эта вероятность тем больше, чем меньше темп движения этого осциллятора. Учитывается тот факт, что скорость тоже меняется по гармоническому закону, вероятность в начале координат меньше, чем на границах этой области, где на какие-то моменты происходит остановка этого груза, прежде чем он начнёт движение в противоположную сторону.
115 Такого рода зависимость может быть подтверждена не только теоретически, но и экспериментально. Мы уже обсуждали возможность использования стробоскопов. В случайные моменты времени освещают этот колеблющийся грузик, собирают информацию, статистически её обрабатывают, а понятия «вероятность» и «статистическая обработка» между собой тесно связаны. Получают именно такую зависимость. Также возможно использование так называемых потенциальных ⁄2, и если такую параболу мы диаграмм. Потенциальная энергия = изобразим, то и понятие потенциальной ямы годится и для описания классического осциллятора. Потенциальная диаграмма полезна тем, что позволяет наглядно определить упомянутые ранее параметры. Растянули в начальный момент времени пружину, пере− дали этой системе какое-то количество энергии, которая зависит от деформации, и в начальный момент времени определяем амплитуду колебаний. Если нет никаких потерь, происходит повторяющееся движение от крайне правой до крайне левой точки, постоянная перекачка энергии из одной формы в другую. Для любого интересующего нас момента времени можно путём нехитрого геометрического построения определить потенциальную и кинетическую энергию. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, вся перешла в кинетическую. Если есть потери, диссипация энергии, то потенциальная диаграмма тоже легко позволяет объяснить характер этого движения. Если достаточно долго происходят колебания и если есть в системе затухание, то уменьшается амплитуда, уменьшается запас потенциальной энергии, и в конечном счёте за счёт потерь энергии этот груз займёт положение равновесия. На потенциальной диаграмме это означает то, что минимальное значение потенциальной энергии у покоящегося осциллятора равно нулю. Мысль, что изменение координаты происходит по гармоническому ( ) закону, можно выразить и в экспоненциальной форме: ( ) = .
116
К ВАНТОВО - МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Ψ= Ψ
В стационарном случае
=−
ℏ Δ+ 2
= .
=
=
−
ℏ
2
+
=
Данное уравнение учитывает конкретные особенности рассматриваемой системы. Встаёт на повестку дня задача о нахождении решения этого дифференциального уравнения. Да, в одномерном случае можно отказаться от оператора Лапласа, заменив его второй частной производной по координате. Это ситуацию упростит, но не настолько, чтобы решение в явном виде могло быть быстро найдено. Однако такая задача практически одновременно с появлением квантовой механики была решена, осциллятор в первую очередь подвергся квантово-механическому рассмотрению, и с результатами этого рассмотрения мы и познакомимся в готовом виде. Правило квантования энергии квантово-механического осциллятора
=ℏ
+
,
= , …
Есть некоторые выделенные собственные значения энергии, для которых существуют соответствующие им волновые функции.
117 Для бесконечно глубокой потенциальной ямы было одно правило квантования, для такой параболической ямы — другое. И там, и тут есть целочисленный параметр , который носит название квантовое число и, в отличие от частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы, принимает целочисленные значения, начиная с нуля. Это правило квантования однозначно определяет энергетический спектр квантовомеханического осциллятора.
Энергия нулевых колебаний Разглядывая правило квантования, легко сообразить, что значение энергии при = 0 не равно нулю, а равно =
ℏ . 2
Если бы квантово-механический осциллятор обладал нулевой энергией, то это бы означало, что он не двигается, стало быть, его координата и импульс были бы определены точно, что противоречит соотношению неопределённостей. Наличие нулевых колебаний может быть установлено и экспериментально. В целой серии опытов изучается рассеяние света на колеблющихся атомах. Каждый атом прозрачного тела рассматривается как осциллятор, происходит смещение его от положения равновесия, и за счёт этих смещений происходит рассеяние света. По классической теории при нулевой температуре энергия колебаний такого осциллятора должна стать равной нулю, однако свет на колеблющихся атомах рассеивается и при практически нулевых температурах. Такое рассеяние наблюдалось не только для света, но и для таких частиц, как нейтроны, протоны, и является научно подтверждённым фактом. Это ещё одно свидетельство того, что предсказания квантовой механики являются не результатом каких-то математических фокусов при решении дифференциальных уравнений, а реально описывают те факты, которые могут быть установлены в окружающем нас мире.
118 Спектр эквидистантен То есть, разрешённые уровни энергии в квантово-механическом осцилляторе находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Этот энергетический зазор Δ = ℏ = ℎ .
Более того, серьёзное решение уравнения Шредингера и рассмотрение возможного поведения такой системы во времени показывает, что изменение энергии квантово-механического осциллятора может происходить только путём перехода этой системы с одного энергетического уровня на ближайший соседний. Всё остальное правилами квантовой механики запрещено. То есть невозможен скачок вверх или вниз на три ступеньки, который привёл бы испускание порции энергии, численно равной трём таким зазорам. Нет, возможен только тройной последовательный переход на ближайшую соседнюю ступеньку, в результате чего испускается или поглощается та же по величине энергия, но в виде трёх отдельных порций. Таким образом, мы подошли к научному обоснованию гипотезы Планка, с которой началась квантовая физика. В виде гипотезы Планк предположил, что свет испускается отдельными порциями — квантами, — и эта минимальная энергия связана с частотой и некоторой постоянной, которая впоследствии стала носить его имя. Самому ему эта гипотеза очень не понравилась, долгое время он искал какую-нибудь альтернативу, чтобы без неё обойтись. Однако после появления уравнения Шредингера первое, что было найдено и установлено, это то, что в квантово-механическом осцилляторе изменение энергии происходит фиксированными порциями, или квантами энергии. Более чем важный факт, который показывает и в определённой степени закономерности развития физической науки, то, как высказанные ранее гипотезы, если они действительно справедливы, находят своё экспериментальное подтверждение.
Несколько слов о том, что представляют из себя квадраты модулей тех волновых функций, которые описывают квантово-механический осциллятор.
119 В основном состоянии, которому соответствует минимальная энергия гармонических колебаний, вероятность обнаружения квантово-механического осциллятора в той или иной точке отведённого ему пространства изображается почти гауссовым пиком.
=0
−
Заштрихованные области показывают, что квантово-механический осциллятор может быть обнаружен за пределами интервала (− , ). Причиной этому является корпускулярно-волновой дуализм квантово-механических объектов и проявление туннельного эффекта. =1
−
Следующий энергетический уровень, следующая собственная функция осциллятора. Энергия увеличилась, область отведённого пространства для движения осциллятора тоже возросла. Кривая изменилась. Туннельному эффекту так же есть место.
А в случае, когда значение → 100 этого квантового числа составляет несколько сотен, примерный характер следующий. Интенсивные быстрые осцилляции этой вероятности, причём огибающая совпадает с теми − классическими предсказаниями, которые в начале разговора были упомянуты. Это явная иллюстрация принципа соответствия: квантовая механика при больших значениях квантовых чисел фактически даёт вполне классические результаты. Это справедливо для любой квантово-механической системы. Всё интересное и необычное, что отличает квантовую механику от классических представлений, реализуется и фиксируется при малых значениях квантовых чисел.
120
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Тепловое излучение — испускание электромагнитных волн атомами и молекулами нагретого тела за счёт их внутренней (тепловой) энергии. Это открытие древнейших людей: как только люди научились обращаться с огнём, они сразу начали изучать свойства теплового излучения. И несколько тысячелетий пользовались тепловым излучением и для обогревания, и для приготовления пищи, а потом и для всё больших и больших по значимости дел типа паровой машины. Но законы теплового излучения вплоть до начала ХХ века научно обоснованы не были.
О СНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 1) Спектр излучения имеет непрерывный характер. Спектр — распределение энергии излучения по длинам волн или по частотам этого излучения. Любопытно отметить, что точность проведённых более чем 150 лет назад измерений вызывает доверие даже сейчас, и зачастую результаты этих опытов используется для калибровки современных приёмников излучения. — интенсивность излучения
Взаимное расхождение направлений осей частот и длин волн связано простым соотношением между частотой и длиной волны.
121 =
,
=
Выделяем некую произвольную длину волны, которой автоматически с учётом существующего соотношения соответствует некая выделенная частота. Определяем физически один и тот же интервал вблизи этой выделенной длины волны и соответствующей ей частоты. Ширину этого интервала можно назвать , ему соответствует интервал частот . Обратим внимание на то, что несмотря на то, что на рисунке мы обсуждаем один и тот же выделенный интервал, ширина этого интервала с использованием масштаба по шкале частот не может ни при каких условиях быть равна ширине этого интервала, выраженного с использованием масштаба для длин волн. ≠ .
Физически вся та энергия, которая попала в этот выделенный интервал и которая на рисунке показана заштрихованной криволинейной трапецией, не зависит от того, какую шкалу мы используем — частот или длин волн, а является величиной, физически инвариантной, зависящей только от того, при какой температуре находится нагретое тело и какой относительно большой или относительно маленький интервал длин волн или частот мы выбрали для дальнейшего рассмотрения. 2) Тепловое излучение сильно зависит от температуры.
Это всё эмпирически установленные законы, которые ещё до появления, которые ещё до появления формулы Планка нашли своё выражение в законах Стефана-Больцмана и законе смещения Вина, о которых далее. Кардинально возрастает площадь, которая оказывается под этой непрерывной кривой — то есть общая энергия, которую излучает нагретое тело. Величина площади пропорциональна . 3) Тепловое излучение может быть равновесным, то есть находиться в состоянии равновесия с тем телом, которое его излучает. Равновесный характер теплового излучения выделяет его среди всех других видов излучения, которые в природе существуют. 4) Равновесное тепловое излучение не зависит от свойств того тела, которое его излучает, и зависит только от температуры.
122
Ч ЕРНОЕ ТЕЛО Чёрное тело — пример объекта, который при соблюдении некоторых условий может служить источником равновесного теплового излучения. Модель чёрного тела: некоторый массивный объект, внутри которого тем или иным способом выполнена полость, заполненная воздухом или вакуумом. Внешняя оболочка нагрета до некоторой температуры. Тепловое излучение внутри этой полости будет равновесным. Если использовать не столько физическую, сколько философскую терминологию, то при таком рассмотрении равновесное тепловое излучение внутри этой полости есть не что иное, как «вещь в себе». Добраться до этого излучения, изучать его свойства очень сложно, поскольку оболочка сплошная. Выход очень простой: образовать канал для выхода части этого равновесного теплового излучения за пределы этого массивного объекта. Расчёт и опыт показывает, что в ситуации, когда диаметр выходного отверстия в десять и больше раз меньше центральной полости, равновесие между тепловым излучением и стенками этого объекта практически не нарушается.
Т
<
10
Модель чёрного тела была реализована ещё в середине XIX века, однако научную базу по открытым экспериментально законам теплового излучения долгое время не удавалось подвести, и именно гипотеза Планка помогла объяснить непрерывный спектр теплового излучения и другие его свойства.
123
К ОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ По умолчанию далее подразумеваем, что обсуждается равновесное тепловое излучение, получаемое с помощью модели чёрного тела. 1) Объёмная плотность энергии теплового излучения
,
Дж м
.
= — энергия теплового излучения, которая сосредоточена в объёме . Тем или иным способом рассчитали или определили энергию и разделили на величину того объёма, внутри которого эта энергия была рассчитана. 2) Спектральная объёмная плотность энергии равновесного теплового излучения: , .
Как только появляется индекс или , это прямое указание на то, что речь идёт о спектральной характеристике. С равным успехом можно использовать для составления спектра шкалу длин волн и шкалу частот. Поэтому ничего удивительно в том, что у одного названия два обозначения. Примерно такая же ситуация происходит, например, в радиовещании. Можно задать координаты любимой радиостанции, используя либо частоту, либо длину волны — в диапазоне коротких и средних волн это до сих пор используется.
=
=
Выделяем некоторую длину волны, вблизи неё какой-то узкий интервал длин волн, рассчитываем или экспериментально определяем ту энергию, которая приходится на этот интервал в единице объёма, и делим её на ширину интервала. Аналогично — при использовании шкалы частот.
124 Связь
и
Заштрихованная криволинейная трапеция означает величину, которая обозначена у нас , которая соответствует энергии, приходящейся на узкий спектральный диапазон. Это одна и та же энергия — независимо от выбора шкалы. =
=
=
Между длиной волны и частотой вспоминаем соотношение =−
= ⁄ .
Знак «–» имеет очевидный физический смысл: если длина волны увеличивается, то частота уменьшается, и наоборот. Никакого другого более важного физического содержания у этого знака нет. Поэтому, опуская этот знак, продолжаем запись выражения для связи и . =
С ТОЯЧИЕ ВО ЛНЫ В ПРОСТРАНСТ ВЕ ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЙ Вспомним, что такое стоячая волна, и для чего она используется. Рассмотрим натянутую струну, закреплённую на двух концах.
Если на этой длине струны укладывается целое число длин волн, то создаются условия для возникновения стоячих волн. 2
= ,
∈
В любом музыкальном инструменте основной тон, обертона — проявление стоячих волн.
125 Видим, что разные длины волн могут удовлетворять этому условию и что в принципе в этой струне может существовать не одна чётко выделенная стоячая волна, а разные стоячие волны. Что меняется при переходе от одного измерения к трём? Между двумя противолежащими точками может существовать несколько стоячих волн, которые удовлетворяют этому простому условию. Можно рассматривать разные точки, между которыми волна доходит до одной точки, отражается и попадает ровно в ту точку, из которой и вышла. По сравнению с одномерным случаем число таких волн увеличивается, причём значительно. Что ещё увеличивает это число? Многократное отражение от стен. Если волна претерпевает отражение не в двух, а в четырёх удачно расположенных точках, то тоже возникнет стоячая волна, которая может иметь ту же длину волны, но явно не является той волной, которая существует между двумя противолежащими точками. Отражений может быть уйма, поэтому число стоячих волн в единице объёма может быть рассчитано с применением средств классической физики.
=
8
Под подразумеваем число стоячих волн, которые существуют в единице объёма. Здесь учтены все возможные варианты, которые реализуются при образовании разнообразных стоячих волн в единице объёма. Видим обозначения и . С математической точки зрения — дифференциалы, бесконечно малые величины. Однако в физике иногда использование математической нотации в виде малых величин, которые обозначаются с помощью дифференциалов, не всегда сводится к работе с бесконечно малыми величинами.
126 Рассмотрим пример. Выделяем длину волны = 600 нм — красная область видимого спектра шкалы электромагнитных волн. =
=
=
∙ ,
3 ∙ 10 = 0,5 ∙ 10 6 ∙ 10
Гц
По сравнению с частотой 0,5 ∙ 10 Гц в качестве можно использовать величину 1 Гц — не бесконечно малое приращение, но на фоне это пренебрежимо малая величина, которая и позволит использовать эту формулу для получения количественной оценки числа стоячих волн в единице объёма.
∙ ∙
∙
≈ 0,2 ∙ 10 = 200 000 разных стоячих
волн могут существовать в единице объёма. Каждая из этих волн отличается одна от другой, и данная формула позволит вывести полномасштабную формулу Планка в том виде, в котором он сам это сделал в 1900 году. ⁄ . Если мы умножим число стоячих волн в единице объ= ёма на среднюю энергию одной стоячей волны, получим ровно то, что стоит в числителе этой дроби: количество энергии, которое в единице объёма соответствует выделенному частотному интервалу. ∙ 〈ℰ〉 =
Поэтому спектральная объёмная плотность энергии равновесного теплового излучения есть не что иное, как =
8
〈ℰ〉.
Это рассуждение было проделано ещё до Планка в последней трети XIX века. Именно так классически хотели подойти к объяснению законов теплового излучения. Дальнейшее классическое продолжение вело к закону Релея-Джинса. Если вместо средней энергии подставить величину kТ, как это и следует из классической физики, то получится формула закона Релея-Джинса, которая в некотором диапазоне частот работает, но все свойства теплового излучения, которые реально были установлены, не описывает. Более того, эта формула ведёт к так называемой ультрафиолетовой катастрофе. Этот пример показывает, что есть ещё одна область развития физики как науки, описывающей окружающий мир, где классических представлений оказалось недостаточно для того, чтобы создать теорию, не противоречащую опыту.
127
С ТАТИСТ ИЧЕСКИЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ П ЛАНКА . С РЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ СТО ЯЧЕЙ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЙ
ℰ=ℎ
Выбираем произвольно частоту. Хотим сосчитать то среднее значение энергии, которое имеет стоячая волна, ей соответствующая. С учётом формулы Планка рассуждаем о тех значениях, которые может принимать энергия стоячей волны. Может ли энергия стоячей волны быть равной нулю? Может, если эта стоячая волна не возбуждена. Любое кратное ℎ значение энергии может соответствовать энергии той одной из многих стоячих волн, которая в пространстве трёх измерений существует на частоте . С разной вероятностью реализуемо каждое из этих состояний. …
…
Привлечём то, что было в классической физике и что называется статистикой Больцмана, которая, по сути, отражает тот факт, что чем выше энергия, тем меньше вероятность заполнения этого состояния. =
=
=
,
=
ℎ
По смыслу понятия вероятности можно утверждать, что сумма всех этих вероятностей должна быть равна единице. д.б.
= 1
Вычислением этого ряда мы и займёмся. (1 +
+
+⋯+
+ ⋯) = 1
Видим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой = . 1 1−
=1−
=1
128 =
−
=
1 1−
(−)(−)(−) (1 − ) =
=
(1 −
− (1 −
)
)
Переходим к вычислению среднего значения энергии стоячей волны 〈ℰ〉. 〈ℰ〉 = =
ℎ (1 − (1 −
=
) )
=
ℎ 1−
ℎ = ℎ
〈 ℰ〉 = ℎ
=
∙
=
ℎ (1 −
ℎ = −1
ℎ
)
=
−1
ℎ
−1
Получили среднюю энергию стоячей волны. Не равна она , как следует из классических соображений. Более сложный характер носит эта зависимость средней энергии стоячей волны от температуры. В результате формула Планка — это аналитическое выражение для спектральной объёмной плотности энергии равновесного теплового излучения. Она лежит в основе всех других законов теплового излучения, за исключением закона Кирхгофа.
= 3) Поток излучения.
8
∙
ℎ
−1
129
Ф= — отношение испущенной энергии ко времени, в течение которого это излучение произошло.
4) Излучательность (энергетическая светимость). Характеризует свойства нагретых тел по отношению к излучению и вводится следующим образом:
=
=
Ф
.
Определяет энергию, которую в единицу времени в единице площади нагретое тело испускает.
5) Спектральная плотность излучательности
=
,
,
.
=
Выбираем некоторую частоту, вблизи неё выбираем интервал . Заштрихованная криволинейная трапеция — это та энергия, которую излучает в единицу времени в единице поверхности нагретое тело. Делим величину, которая соответствует этой трапеции, на ширину этого интервала, и получаем спектральную плотность излучательности. Аналогично
.
130 Связь спектральной плотности излучательности и спектральной объёмной плотности равновесного теплового излучения =
1 4
Больше объёмная плотность (например, если температура в полости повышена) — естественно, больше и спектральная плотность излучательности.
=
2
ℎ
−1
— тоже формула Планка. Второй множитель в этой формуле — не что иное, как средняя энергия стоячей волны в пространстве трёх измерений. Лидирующий множитель связан с числом этих стоячих волн.
Связь По определению спектральная плотность излучательности чёрного тела — это отношение той энергии, которую в узком спектральном интервале вблизи этой выделенной частоты испускает за одну секунду один квадратный метр поверхности чёрного тела, к величине спектрального интервала. =
,
и
=
Именно эта энергия может быть определена экспериментально, и именно из сопоставления экспериментальных результатов и предсказаний, которые даёт эта теоретическая формула, и проводится верификация всей теории теплового излучения.
131 =
При переходе от частот к длинам волн и наоборот не меняется наполнение интервала, который имеет разные обозначения, разные численные значения. остаётся неизменной. Наглядный пример. Если вы заглянули в автомобильный салон и поняли, что стипендии хватает разве что на покупку запасной крышки для бензобака понравившейся вам модели, то количество товара, которое на свою стипендию вы сможете из этого автосалона унести, ничуть не изменится от того, если вы эту стипендию предварительно переведёте в доллары по действующему курсу. Меняется количественное выражение денежных знаков, но не меняется количество товара, которое вы за эти деньги сможете унести, если всё происходит по-честному, без обмана. А в физике всё точно без обмана, всё многократно проверяется разными способами, в разных частях света и в разные годы. = ,
=−
Знак «–» просто отражает разные направления осей, опускаем его. =
Воспользуемся формулой Планка. =
2
ℎ
=
−1
∙ =
2 ℎ
2 ℎ
−1
−1
— тоже формула Планка для спектральной плотности излучательности.
132
З АКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ( СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ П ЛАНКА ) З АКОН Р ЕЛЕЯ -Д ЖИНСА Вспомним разложение экспоненты в степенной ряд: =1+
+
2!
+⋯
Рассмотрим ситуации, когда показатель степени
≪ 1, что по-
зволяет ограничиться при записи этого ряда первыми двумя членами, отбросив в силу малости все последующие. =
2
1+ =
ℎ ℎ
−1
=
2
Сравнивая со структурой формулы Планка (средняя энергия стоячей волны в пространстве трёх измерений и некоторый статистический множитель), делаем вывод, что согласно закону Релея-Джинса средняя энергия стоячей волны должна быть равна . Полное соответствие с классическими представлениями. Ультрафиолетовая «катастрофа» Эту «катастрофу» предсказывал полученный в середине XIX века примерно в такой форме закон РелеяДжинса. Пунктиром обозначим ту кривую, которую содержит в себе полученный нами как частный случай формулы Планка закон Релея-Джинса. Никакого максимума на этой кривой закон Релея-Джинса не предсказывает. Приходим к выводу, что по мере роста частоты электромагнитного излучения квадратично растёт интенсивность этого излучения, что приводит к колоссальной потере энергии. Естественно, что энергия сама по себе ниоткуда не возникает, она отбирается от этого нагретого тела, в результате чего по закону Релея-Джинса все тела, которые имеют не-
133 нулевую температуру, должны за счёт интенсивного излучения на высоких частотах моментально остыть, и всё это должно привести к вой смерти вселенной. Все нагретые тела испустят куда-то очень далеко всю свою энергию и остынут. Это следствие в конце XIX века изрядно напрягало физическую общественность. Современная трактовка законов теплового излучения эту проблему решает незаметно. Здесь само собой получается наличие максимума. Поэтому формула Планка объективно описывает то, что в природе касается законов теплового излучения. Наполним неравенство ℎ ≪ квантово-механическим смыслом. Если энергия фотона для обсуждаемой частоты пренебрежимо мала по сравнению с тепловой энергией, то никакие квантовые эффекты себя не проявляют. В той самой области, где парабола совпадает с кривой, изображающей формулу Планка, так оно и есть. Однако как только ℎ становится сравнимой с тепловой энергией, в ход пускаем квантовомеханические представления. Это неравенство — ещё один критерий, который показывает, где классические представления могут быть применимы.
З АКОН В ИНА Открыт до появления формулы Планка, носил эмпирический обобщающий характер. Мы же получим его из полномасштабной формулы Планка. В случае, если показатель экспоненты
≫ 1, значение
этой экспоненты с большим положительным показателем существенно превышает единицу, которую мы вычитаем из экспоненты и которой теперь можем пренебречь. Поэтому написание в современных обозначениях имеет следующий вид: =
В области больших частот, где существенно проявляет себя квантовая сторона теплового излучения, кривая, которая изображает закон Вина, практически совпадает с кривой, отражающей формулу Планка. =
2 ℎ
134
З АКОН СМЕЩЕНИЯ В ИНА Кривой, которой изображается формула Планка, имеет максимум, в существовании которого сомневаться не приходится. Определим условие реализации этого максимума. (−5)
=2 ℎ
+
=2 ℎ
−5 +
ℎ
−
Эта производная обращается в ноль при
ℎ
−
1
=
= 5. Но поскольку мы
использовали при дифференцировании не саму формулу Планка, которая справедлива для всех длин волн, а то следствие, которое имеет ограниченную область применения,
≈ 5. Видим, что произведение
чтобы обнулить эту круглую скобку, должно быть равно
,
.
Произведение длины волны, на которую приходится максимум излучательности и абсолютной температуры для чёрного тела есть величина постоянная и носит название постоянной закона смещения Вина.
= ≈
ℎ = 2,89 ∙ 10 5
м∙К
Почему такое название? Потому что, если мы будем увеличивать температуру чёрного тела, длина волны, соответствующая максимуму на кривой смещается в сторону меньших длин волн. С частотой ситуация противоположная. Благодаря этому можно получить представление о цветовой температуре чёрного тела, что бывает во многих случаях очень полезно.
135
З АКОН С ТЕФАНА -Б О ЛЬЦМАНА В очередной раз запишем формулу, которая описывает физический смысл заштрихованной криволинейной трапеции. =
Воспользуемся спектральной плотностью излучательности для получения полезной информации. Подвергнем её интегрированию по всем частотам. Геометрически этот интеграл даст общую площадь под кривой.
=
=
2 ℎ
(
ℎ (
2
= )
− 1)
∙
ℎ
=
ℎ
−1
2 ℎ( ) ℎ ℎ
⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣
ℎ
= , ⎤ ⎥ = , ⎥= ℎ ⎥ ⎥ = ⎦ ℎ
−1
=
2 15ℎ
= =
2 15ℎ
— постоянная Стефана-Больцмана. Она была определена экспериментально, а формула Планка позволила наполнить эту, казалось бы, независимую константу физическим смыслом и непосредственными связями с другими физическими постоянными. Но именно по численным значениям постоянной в законе смещения Вина и постоянной СтефанаБольцмана Планк получил первое приближение к константе, которая носит его имя.
136
В ЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ Это практически вся физика и многие вопросы прикладных наук: оптики, радиотехники и проч. Мы познакомимся только с той терминологией, которая используется для количественного описания взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Ф Фотр Ф — поток падающего электромагФпогл нитного излучения, то есть количество энерФпрох гии, которая в единицу времени поступает на вещество. Часть этого потока отражается от поверхности вещества, часть поглощается внутри вещества (даже в очень прозрачных стёклах коэффициент поглощения имеет место быть, и часть потока энергии задерживается, именно поэтому в линиях оптоволокна предусмотрены через каждые несколько километров станции, которые уровень сигнала поднимают, компенсируя потери на поглощение). Падающий поток определяет энергию, поступающую к веществу за единицу времени. Никуда эта энергия не пропадает, она просто перераспределяется. Ф = Фотр + Фпогл + Фпрох
= Фотр ⁄Ф —коэффициент отражения;
= Фпогл⁄Ф —коэффициент поглощения;
= Фпрох ⁄Ф —коэффициент пропускания.
Из закона сохранения энергии следует, что +
+ =1
Каждое конкретно взятое вещество проявляет в конкретной ситуации в большей степени то или иное свойство. Например, упомянутые прозрачные материалы обладают небольшим коэффициентом поглощения, небольшим коэффициентом отражения и большим коэффициентом пропускания. Признаком чёрного тела, если его описывать количественно, является утверждение о том, что коэффициент поглощения = 1.
137
С ПЕКТРАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ , ПОГЛОЩЕНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ Переход к спектральным коэффициентам осуществляется путём выделения какой-то заинтересовавшей нас длины волны и вблизи неё малого интервала шириной . Рассуждаем о том, как ведёт себя поток, который относится к этому спектральному интервалу. Ф
отр
=Ф
отр
Ф 1= Ф
прох
+ Фпогл + Ф
|: Ф
прох
Фпогл Ф + + Ф Ф отр
Ф = Ф
Фпогл = Ф прох
Для чёрного тела
Ф = Ф
= 1 на всех .
С ЕРО Е ТЕЛО
Введённый спектральный коэффициент поглощения, или поглощательная способность, для ЧТ 1 чёрного тела изображается пряСТ мой линией, которая проходит на всех длинах волн, более того, на всех температурах, через единицу. Для произвольно выбранного тела неуточнённой физической природы зависимость этого спектрального коэффициента поглощения может быть самой разной, сколь угодно экзотичной. Более того, этот спектральный коэффициент поглощения в принципе может зависеть и от температуры, при которой находится это рассматриваемое тело. А вот к серым телам относят такие материалы (например, металлы), которые в достаточно широком диапазоне длин волн имеют не зависящий от длины волны спектральный коэффициент поглощения < 1.
138 Излучательность серого тела =
означает, что величина имеет отношение к нечёрному телу. Разобраться с тем, чему равна излучательность нечёрного тела, поможет закон Кирхгофа.
З АКОН К ИРХГОФА Рассматриваем находящиеся в состоянии теплового равновесия нечёрное тело и чёрное тело. Для простоты рассматриваем их как два полубесконечных объекта. Стрелочками показываем те потоки излучения, которыми обмениваются между собой эти находящиеся между собой в непрямом контакте объекты. НТ
ЧТ
Т +
Т =1
=1
Чёрное тело с 1 м2 своей поверхности в узком спектральном интервале шириной излучает количество энергии ⟸
.
Навстречу этому потоку распространяется излучение с 1 м2 нечёрного тела в том же узком спектральном интервале плюс та часть излучения, которая отражается от поверхности нечёрного тела ⟹
+
.
Ведь только для чёрного тела коэффициент поглощения равен единице. В состоянии равновесия два этих потока равны, поэтому =
+
.
139 Стараемся увязать излучательность нечёрного тела с излучательностью чёрного тела. =
(1 −
)=
Если нам известна спектральная поглощательная способность материала на данной длине волны (пришельцы сообщили или расчёт позволяет получить это выражение), то мы легко можем сосчитать количество энергии, которая на данной длине волны с единицы площади излучает чёрное тело. Каким бы сложным ни был характер этой спектральной поглощательной способности, используя узкий спектральный интервал, мы можем для этого интервала вычислять энергию, которую излучает нечёрное тело.
= Для любого тела отношение спектральной плотности излучательности к спектральной поглощательной способности является универсальной функцией длины волны и температуры и равно спектральной плотности излучательности чёрного тела. В XIX веке было доказано существование такой универсальной функции длины волны и температуры, в самом начале XX века эта универсальная функция получила своё конкретное математическое содержание и наполнение. Мы поставили вопрос об излучательности нечёрного тела. Подключаем то, что даёт нам закон Кирхгофа. =
=
=
Эта безразмерная поправка, которая появляется в законе СтефанаБольцмана, показывает, что нечёрное тело, находящееся при той же самой температуре, излучает меньше, чем чёрное тело.
140
И СПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Оптическая пирометрия — раздел науки и техники, в котором рассматриваются способы бесконтактного измерения температуры нагретых тел. Эта задача очень актуальна: получать количественную информацию о температуре нагретых тел. При температурах в несколько тысяч градусов градусник явно не подходит, поскольку стекло расплавляется, и не всякая термопара работает при высоких температурах. Радиационная температура (
рад )
— температура чёрного тела,
излучательность которого равна излучательности исследуемого тела. рад
Яркостная температура (
=
ярк )
— температура чёрного тела, при
которой на определённой длине волны спектральная плотность излучательности чёрного тела равна спектральной плотности излучательности исследуемого тела. Фактически здесь используется закон Кирхгофа и то обстоятельство, что все нагретые тела излучают, но нечёрное тело будет излучать меньше, чем чёрное тело, в результате того, что у него спектральная поглощательная способность меньше единицы. Опять-таки, зная конкретное значение этого коэффициента и зная яркостную температуру, можно определить истинную температуру этого нагретого тела. Реализовано бесконтактное измерение температуры с использованием яркостной температуры в оптическом пирометре. Глаз не может дать количественную информацию о температуре (если это только не глаз мастерастекловара или металлурга). Но глаз обладает способностью различать контраст между двумя цветами. И точность определения температуры с помощью оптического пирометра с исчезающей нитью может быть доведена до 20 градусов на фоне двух и более тысяч градусов. Цветовая температура — это как раз то, на что упираются упомянутые люди с большим опытом определения температуры в ходе технологического процесса. Определяется с использованием закона смещения Вина. По мере повышения температуры смещается длина волны, на которую приходится максимум излучательности, и поэтому субъективное восприятие цвета изменяется.
141
КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА Для классической физики атом водорода создал ̅ немало проблем. Опытами Резерфорда была надёжно доказана так называемая планетарная модель устройства атома, согласно которой основная масса атома сосредоточена в его ядре, и вокруг этого ядра как-то обращаются электроны. Электрон находится в ограниченной области пространства, не может покинуть объём атома, следовательно, он обязан двигаться с ускорением. Следующий шаг, который нужно сделать, следуя классическим представлениям об устройстве ядра. Заряженная частица движется с ускорением, стало быть, согласно классической термодинамике она обязана излучать электромагнитные волны. Любая ускоренно движущаяся частица создаёт вокруг себя переменное электромагнитное поле, результатом которого является испускание электромагнитного излучения. А раз так, то ускоренно движущийся электрон, испуская это излучение, неизбежно должен терять свою энергию, и в результате практически мгновенно должен упасть на ядро. Следовательно, классический подход к описанию планетарной модели атома ведёт к невозможной по всем признакам катастрофе, исчезновению мира. Мир существовал до создания классической физики, существует сейчас, когда развивается квантовая физика, и будем надеяться, просуществует ещё долго, по крайней мере, мы об этом конце не узнаем. Проблема, которая на рубеже XIX и XX веков сформировалась, демонстрировала ещё одно место, где классической физики не хватало для объяснения того, что в природе реально существует. Первый выход из этого на первый взгляд тупика дали в начале XX века постулаты Бора и теория атома Бора-Резерфорда, а современное объяснение устройства атома водорода основано на использовании основного инструмента квантовой механики — уравнения Шредингера. Ψ= Ψ =
+
142 =−
ℏ Δ 2
В стационарном случае оператор потенциальной энергии ничем не отличается от выражения для потенциальной энергии взаимодействия объектов, которые создают рассматриваемую систему. В нашем случае
−
=
ℏ ΔΨ − 2 4
ℏ ΔΨ + 2 4
=−
4
Ψ− Ψ=0
+
Ψ=0
Казалось бы, внешнее различие от того уравнения Шредингера, которое мы не только рассматривали, но и решили для одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы, минимально, однако, объём математической работы и объём принципиальных математических трудностей, которые возникают при попытке строго решить это уравнение, очень велик. Первое и основное. Наверняка вы знакомы с такими математическими терминами как шаровые функции, полиномы Лежандра, разве что понаслышке. Поэтому без опыта использования этих математических объектов браться честно решать уравнение Шредингера — это задача бесперспективная. Поэтому, чётко сформулировав и поставив задачу, познакомимся с теми результатами, которые получаются при последовательном и строгом решении этой задачи. Путь решения этой математической задачи точно такой же, как тот, по которому мы шли, когда рассматривали одномерную задачу о бесконечно глубокой потенциальной яме. Снова надо найти конкретное математическое выражение для волновой функции, которая превращает это уравнение в тождество. Снова активно используются те требования, которым должна удовлетворять волновая функция, особенно условие непрерывности функции вместе со своими частными производными во всей области определения. Причём атом водорода — это не модельная задача, где можно ограничиться одним измерением, а реальная задача, позаимствованная из реально существующего вокруг нас трёхмерного мира. Стало быть, отказаться от двух координат в пользу какой-то выделенной третьей невозможно.
143 Кстати, уравнение Шредингера предлагали решать тем студентам физических специальностей, которые избрали для себя направление «физик-теоретик». Это хорошее задание, которое у продвинутых студентов занимает один семестр. После такого рода математической работы появляются разного рода полезные следствия, которые не утверждаются ежегодно международными съездами физиков, а которые всеми желающими могут быть получены самостоятельно из решения уравнения Шредингера. Выясняется, что при попытках решить эту задачу в декартовых координатах ничего хорошего ни с точки зрения математики, ни с точки зрения физики не получается. Поэтому при строгом решении уравнения Шредингера используют не декартовую систему координат Ψ ( , , ), а полярную, или сферическую: Ψ ( , , ), в которой координаты точки в пространстве задаются с помощью одной линейной координаты и двумя угловыми: полярный и азимутальный угол.
Анализ структуры волновой функции, описывающей электрон в атоме водорода, показывает, что она допускает разделение переменных. Ψ
( , , )=
( ) — координатная часть, функции.
( )∙
( , ).
( , ) — угловая часть волновой
Конкретное математическое написание волновой функции для разных наборов квантовых чисел , , , обнаруживается при использовании соответствующих сферических функций, соответствующих полиномов и прочих математических объектов, с которыми мы знакомы слабо. Однако подобно тому, как при решении задачи о бесконечно глубокой потенциальной яме у нас появилось правило квантования энергии =
, при решении уравнения Шредингера для атома водорода
таким же естественным порядком проявляется правило квантования энергии электрона в атоме водорода.
144
П РАВИЛО КВАНТОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА
=− Целое число
8 ℎ
1
— главное квантовое число. =
8 ℎ
≈ 13,56 эВ
— потенциал ионизации электрона в атоме водорода. Это значение соответствует энергии первого энергетического уровня.
Э НЕРГ ЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТ РОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА 0
( )
=1
Зелёная линия показывает ход потенциальной энергии: обратная пропорциональная зависимость ( ). Чем ближе электрон к ядру, тем больше энергия взаимодействия и наоборот. Энергетические уровни, стационарные состояния, находясь в которых, электрон не излучает, определяются с помощью правила квантования и численного значение потенциала ионизации. — главное (энергетическое) квантовое число, потому что в атоме водорода энергия стационарного состояния опреде-
145 ляется только этим числом. Уровень, соответствующий = 1, называется основным состоянием. Минимальное привлечение здравого смысла и воспоминание о том, что любая система стремится занять состояние с наименьшей энергией (это, кстати, физическое обоснование такого человеческого качества, как лень) объясняет это название. ≈ 13,5 эВ. Начинаем увеличивать значение , получаем , , … и наносим несколько этих уровней на энергетическую диаграмму. Легко сообразить, что по мере роста энергия увеличивается. Всего энергетических уровней — бесконечно много. И это бесконечное число уровней укладывается на вполне конечный интервал шириной 13,5 эВ.
В области, соответствующей положительным значениям энергии электрона, находятся те точки, которые описывают свободные электроны, которые не взаимодействуют с ядром. Они могут реагировать на разного рода внешние воздействия подобно тому, как свободные электроны путешествуют в кинескопах электронно-лучевых мониторов, и ведут себя совершенно как классические частицы, для которых квантово-механические ограничения типа правила квантования несущественны.
О ПТИЧЕСКИЙ СПЕКТ Р АТОМА ВО ДОРОДА Спектральная плотность излучательности имеет характер непрерывной кривой, что позволяет говорить о том, что спектр излучения конденсированных сред (твёрдых тел и нагретых жидкостей) имеет непрерывный характер. Оптический спектр излучения водорода, а также все оптические спектры излучения всех существующих в природе газов имеют принципиально другой, линейчатый характер. Это означает, что в спектре, который определяет распределение энергии излучения по длинам волн, наблюдаются расположенные в разных частях шкалы длин волн или шкалы частот участки, на которых происходит интенсивное излучение, и называются такие участки спектральными линиями, и разделены они абсолютно тёмными участками.
146 Оптический спектр атомарного водорода, таким образом, имеет явный неравновесный характер: для того, чтобы заставить атом водорода излучать, его нужно вывести из основного состояния, предварительно переведя на более высокие возбуждённые состояния с тем, чтобы последующий обратный переход вниз и приводил к испусканию энергии на отдельных частотах, на отдельных длинах волн. Энергетический спектр электрона в атоме водорода, в одно касание решает ту проблему, которую Бор решил с помощью постулатов. Если есть дискретные энергетические уровни, то при переходе электрона с одного уровня на другой будут испускаться кванты с дискретной энергией, и совокупность этих квантов, которую мы наблюдаем с помощью измерительного прибора, и формирует линейчатый оптический спектр.
С ВЯЗЬ МЕЖДУ ЭНЕРГЕТ ИЧЕСКИМ И ОПТ ИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ АТОМА ВОДОРОДА
0
( ) =2
=1
Выделили два уровня с разными значениями квантового числа. Один имеет меньшую энергию, другой — большую. >
Отталкиваясь от закона сохранения энергии, перейдём от неравенства к равенству. =
+ℎ
147 Если почему-то электрон из состояния перешёл в состояние , энергия уменьшилась, и для того, чтобы закон сохранения энергии не нарушался, мы должны ввести в рассмотрение ту самую порцию энергии, которая при таком переходе излучается вовне, тем самым, как и в случае с моделью квантово-механического осциллятора, получаем строгое научное обоснование гипотезы Планка. ℎ =
−
= =
8 ℎ
=
8 ℎ
= 3,29 ∙ 10
1
8 ℎ
1
−
−
1
1
1 — постоянная Ридберга. с
Эта сериальная формула, которая определяет частоты или длины волн, которые фиксируются в оптическом спектре излучения атомарного водорода, была известно в физике и ранее. Численное значение константы было определено из опытов, а до этого целой плеяде замечательных физиков, которые занимались изучением линейчатых спектров, удалось подметить в огромной массе экспериментальных материалов возможность подставить в те круглые скобки разность квадратов целых чисел. Возникла ещё одна проблема: почему это в таком нетривиальном вопросе, как оптический спектр излучения, такую важную роль играют целые числа? Вроде как физика шла по пути математического усложнения. Современная квантовая механика объясняет это легко. Целые числа естественным путём получаются при решении уравнении Шредингера. Такое элементарно простое объяснение оптического спектра излучения атомарного водорода явилось одним из важнейших подтверждений правильности теории, которую развивала квантовая механика. В частности, косвенное подтверждение того, что уравнение Шредингера является фундаментальным законом природы.
148 Связь
,
и
Речь идёт о постоянной Ридберга, которая имеет три разных обозначения и числовых значения. =2
1
1
=2
=2
= ,
=
=
1
1
−
1
=
−
1
= 1,1 ∙ 10
1 м
П РАВИЛО КВАНТОВАНИЯ ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ В АТОМЕ ВОДОРОДА — главное квантовое число. Определяет энергию стационарного состояния, набор собственных значений энергии электрона в атоме водорода. — орбитальное (азимутальное) квантовое число. Определяет форму электронного облака.
=ℏ
( + 1)
Это правило квантования так же получается путём решения уравнения Шредингера. Показывает, что один из постулатов Бора, который квантует момент количества движения электрона в атоме водорода ( = ℏ), является с точки зрения современной науки неверным. В серьёзной, строгой, полномасштабной квантовой механике, как мы видим, три квантовых числа. Одно из них квантует момент количества движения.
Например, если
= , , …( − )
= 2 ⇒ = 0 и 1.
149 Число определяет полную энергию электрона в атоме водорода. Момент количества движения — явно величина, которая отражает ту часть движения, которая так или иначе связана с вращением. Так вот энергия вращательного движения должна быть меньше, чем полная энергия. Отсюда верхний предел изменения орбитального квантового числа. Если волновая функция, которая является решением уравнения Шредингера, получена, то квадрат модуля этой функции определяет вероятность обнаружения электрона в разных точках пространства. Распределение вероятности обнаружения электрона в трёхмерном пространстве представляет собой то, что в химии называют электронным облаком. Конфигурация этого электронного облака как раз и управляется как главным квантовым числом, так и орбитальным квантовым числом, которое формирует облако той или иной пространственной формы. —магнитное квантовое число. = − , , . Квантует проекцию момента количества движения на некоторое выделенное направление .
=ℏ Что понимать под выделенным направлением? Предположим, что создано внешнее магнитное поле, и направление этого магнитного поля и является тем самым выделенным направлением, в котором и квантуется вышеупомянутая проекция момента количества движения. В принципе, законы природы существуют не зависимо от того, создано исследователем магнитное поле или нет. Поэтому другая трактовка существования в природе того самого выделенного направления, основанная на том, что ядро атома в силу своих свойств создаёт вокруг себя не только электрическое, но и магнитное поле. И как раз то магнитное поле, которое создаёт ядро, определяет существование одного выделенного направления в пространстве, и проекция момента количества движения на это выделенное направление должно принимать выделенные дискретные значения, которые определяются по этому правилу квантования.
150
П ОНЯТ ИЕ О ПРОСТРАНСТВЕННОМ КВАНТОВАНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
То есть в чём роль магнитного квантового числа в описании свойств электрона в атоме водорода, кроме того, что как параметр оно входит в волновую функцию, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в разных точках вокруг ядра. Квантовые числа позволяют вести разговор не о чрезвычайно перенасыщенных математикой объектах типа волновой функции, а только о физически более ёмких и, возможно, даже понятных на уровне интуиции понятиях: энергия, момент количества движения, проекция момента количества движения. Используем все накопленные нами знания и в качестве конкретного примера рассмотрим состояние электрона в атоме водорода, которое характеризуется значением орбитального квантового числа = 2. Мо-
мент количества движения электрона в этом случае = ℏ√6. Графически в виде диаграммы покажем геометрическое место точек, для которых момент количества движения принимает значения ℏ√6. В нижней строке подписаны возможные значения проекций, которые получаются по этому правилу квантования проекции момента количества движения. Показываем на этой диаграмме все возможные по величине и направлению моменты количества движения.
–2ℏ –ℏ 0
ℏ 2ℏ
z
Именно эта диаграмма и иллюстрирует выведенный в заголовок термин. Не только энергия, но и момент количества движения является чрезвычайно важной величиной для описания любого атома. Правило пространственного квантования момента количества движения является проявлением такого фундаментального квантовомеханического принципа, как соотношения неопределённостей. Вспомним соотношение неопределённостей момента количества движения и угла, который определяет его ориентацию в пространстве.
151 Δ Δ ≥
ℏ 2
Своего рода векторный налёт для момента количества движения остаётся и в квантовой механике. Изображённые стрелочки не надо считать реальными векторами, которые направляют момент количества движения — нет, это иллюстрация того, что не все возможные расположения момента количества движения в пространстве разрешены. Следует это и из соотношения неопределённостей, и из этого рисунка. Именно поэтому только одна проекция этого, условно говоря, вектора, квантуется. Две же другие (условно говоря, х и у) не определены полностью. То есть если этот рисунок мысленно представить в виде его трёхмерного аналога, то те точки, которые будут лежать на поверхности этой сферы («параллели») и есть геометрические места точек, для которых правило квантования будет выполнено. Причём квантована только одна проекция, две другие не определены полностью, и именно это не нарушает соотношения неопределённостей. Число возможных проекций момента количества движения на выделенное направление, соответствующее выбранному значению равно
= 2 + 1. Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ О ПРЕДЕЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ АТОМОВ . О ПЫТЫ Ш Т ЕРНА -Г ЕРЛАХА Опыты Штерна-Герлаха были проведены в 1922 году, то есть ещё до появления уравнения Шредингера. И инициировались они не столько вопросами развития квантовой механики, сколько экспериментальным изучением магнитных свойств материалов на примере измерения магнитных моментов отдельных атомов. Под понятием магнитный момент понимается векторная величина, которая в самом простейшем случае (в случае кругового витка с током) равна произведению тока в витке на площадь этого витка. Нам предстоит убедиться, что магнитные моменты атомов связаны с их механическими моментами, которые своими правилами ограничивает
152 квантовая механика. Рассмотрим самый простой случай, который совпадает с боровским подходом к описанию движения электрона в атоме водорода. Считаем, что электрон движется в стационарном состоянии по круговой орбите. С точки зрения современной физики это, конечно, очень упрощённое и в большой степени неправильное представление, но сложный квантово-механический анализ связи магнитного момента и механического момента приводит к тем же самым результатам. Рассчитаем магнитный момент электрона, который в атоме водорода движется по круговой орбите. = =
2
=
=
=
1
=
2
=
2
=
∙ =
2
2
2
Магнитный момент атома оказывается пропорциональным его механическому моменту. Стало быть, измерить чрезвычайно малые механические моменты принципиально, скорее всего, невозможно, однако, используя связь магнитного момента и механического момента, эти выводы, которые даёт квантовая механика, можно проверить, поскольку то, что мы получили, носит название гиромагнитное соотношение. =
Удивительным образом оказывается связанной с удельным зарядом электрона. Ну так уж природа устроена. Перейдём непосредственно к рассмотрению самих опытов Штерна и Герлаха. Идея опытов основана на том, что объект, который обладает магнитным моментом, попав в неоднородное магнитное поле, будет со стороны этого поля испытывать силу =
.
153 — проекция магнитного момента на выделенное направление, ⁄ в простейшем варианте записи характеризует неоднородность магнитного поля, то есть его градиент.
z
x
Для создания существенно неоднородного магнитного поля можно использовать следующую конструкцию полюсных наконечников электромагнита. Остриё, которое нависает над вторым полюсным наконечником в виде щели. Именно в направлении и создаётся существенно неоднородное магнитное поле, которое очень быстро меняется при изменении координаты . И если по оси симметрии запустить туда пучок объектов, которые обладают ненулевым магнитным моментом, например, пучок атомов, которые по всем данным должны обладать магнитным моментом, то можно ожидать увидеть отклонение этих атомов в неоднородном магнитном поле. И в результате в силу того, что магнитные моменты атомов могут иметь произвольную с классической точки зрения ориентацию в пространстве, можно ожидать на экране полоску, края которой соответствуют ситуации, когда магнитный момент сориентирован или строго по полю, или строго против поля, когда величина этого отклонения максимальна. Промежуточные взаимные ориентации магнитного поля и магнитных моментов приводят к меньшему отклонению. Когда магнитный момент перпендикулярен оси , отклонения не происходит. Опыты были проведены на многих материалах. Выяснилось, что сплошной полоски не наблюдалось. Вместо этого для разных материалов наблюдалось разное число чётко выраженных и разделённых друг от друга пятен (рефлексов). Тяжёлые металлы (железо, висмут) образовывали 5-9 отдельных рефлексов. У более простых материалах, в том числе у водорода, наблюдалось два пятна. Причём это был никакой не артефакт. При выключении магнитного поля пятна исчезали. Увеличение неоднородности поля приводило к тому, что эти пятна расходились на большее расстояние.
154 В тех опытах была получена достаточно интересная для того времени количественная информация о магнитных моментах атомов, а самое главное — это то, что эти опыты подтвердили наличие пространственного квантования момента количества движения атома водорода и практически любого другого элемента. То правило, которое с помощью полукруга и соответствующих стрелок мы объясняли, предсказывало, что есть некоторые разрешённые положения вектора момента количества движения в пространстве, а промежуточные положения запрещены. Когда атом с подобной схемой расположения моментов количества движения попадает в неоднородное магнитное поле, реализуются и фиксируются как раз эти дискретные ориентации момента количества движения. Не равномерное распределение, как предсказывала классическая физика, а дискретные рефлексы, которые объясняются наличием пространственного квантования. • •
С ПИНОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТ ИКИ МИКРОЧАСТИЦ Атомы водорода, которые запускаются в это магнитное поле, находятся в основном, невозбуждённом состоянии. = 1, = 0. Стало быть, для этих атомов орбитальный момент количества движения = 0. А тогда и = 0. Никакого воздействия со стороны магнитного поля атомы водорода, находящиеся в основном состоянии, испытывать не должны. А они испытывают. Стало быть, атомы, которые попадают в разные участки это «экспериментальной фотографии», обладают разными характеристиками, и есть, стало быть, у электрона, который входит в состав водорода, дополнительные характеристики, которые до того времени не учитывались. Спиновые характеристики электрона включают в себя представления о том, что помимо орбитального механического момента, который вызван движением электрона вокруг ядра атома, этот электрон обладает спиновым магнитным моментом, который не зависит от движения электрона вокруг атома.
155 Мы говорили о том, как три квантовых числа между собой связаны. Величину механического момента определяет орбитальное квантовое число, а определяет проекцию момента количества движения на выделенное направление . В опытах Штерна-Герлаха это та самая ось, вдоль которой создано неоднородное магнитное поле. Возможное число проекций для любого значения орбитального квантового числа определяется по формуле = 2 + 1. В опытах наблюдалось два пятна, стало быть, две возможных ориентации в пространстве спинового момента. Вводя в качестве обозначения для спинового квантового числа, получаем 2 + 1 = 2. =
1 2
То, что установлено в одной области, переносится и распространяется и на спиновое число. Отсюда вывод, что спиновая характеристика должна быть полуцелой. Магнитное спиновое число определяет проекцию спинового магнитного момента на выделенное направление принимает два возможных значения: 1 1 = ;− 2 2
Физический смысл вносит именно магнитное спиновое число. +1⁄2 можно связать с ориентацией по направлению внешнего магнитного поля, − 1⁄2 — против поля.
Набор четырёх характеристик , , , — это те параметры, которые присутствуют в записи волновой функции для электрона в атоме водорода, которая зависит от трёх координат, а в самом общем, нестационарном случае — ещё и от времени. Естественно, что при рассмотрении стационарных состояний электрона в атоме водорода зависимость от времени не пропадает, а просто становится очевидной в виде экспоненты с мнимым показателем . Ψ
,,
,
( , , , )
Для атома водорода математическая работа по решению уравнения Шредингера может быть выполнена, каждому набору , , может
156 быть поставлено в соответствие волновая функция. Единственное, казалось бы, «насильственное» действие в этой теории — это привлечение полуцелого спинового числа из эксперимента. Однако когда была сделана успешная попытка ввести в квантовую механику все релятивистские поправки, которые к тому времени уже заняли достойное место в других разделах физики, усилиями англичанина П. Дирака было составлено уравнение — аналог уравнения Шредингера, из решения которого получались волновые функции, содержащие все четыре упомянутых параметра. Вместе с тем появление такого представления о квантовых числах, которые управляют видом волновой функции, внесло определённый элемент удобства в квантово-механическое описание состояния электрона в атоме водорода. Выяснилось, что указав значение трёх целых квантовых чисел и выбрав +1/2 или –1/2 для описания спиновых характеристик, можно в неявном виде задать ту конкретную волновую функцию, которая соответствует этому набору квантовых чисел. Про волновую функцию никто не забывает, но такой элемент удобства создаёт само последовательное развитие квантовой механики.
С ПЕКТРОСКОПИЧЕСКО Е ОБОЗНАЧЕНИЕ ОРБИТАЛЬНОГО КВАНТОВОГО ЧИСЛА
Спектроскопические обозначения вводятся именно для того, чтобы более удобно, не путаясь, можно было задавать набор квантовых чисел, которые однозначно определяют состояние электрона в атоме. = 0, 1, 2, 3, … ( − 1) , , ,
Скажем, описывая состояние электрона в невозбуждённом атоме водорода можно сделать отметки, которые нам уже знакомы — те значения энергии, которые определяются по правилу квантования. И вот полномасштабное описание требует не только значение главного квантового числа , но и всех остальных квантовых чисел, которые в квантовой механике появились. Практически удобное обозначение состояния электрона в основном энергетическом уровне: 1 . Это означает, что электрон находится на самом нижнем энергетическом уровне, единственное возможное при этом значение — это ноль. Стало
157
=3
3
=1
1
=2
2
3
2
быть, состояние 1 . Орбитальный магнитный момент равен нулю, поэтому ни о каких проекциях орбитального механического и магнитного момента речь идти не может, а вот два возможных направления спина одного электрона в атоме водорода может быть показано или стрелкой вверх, или стрелкой вниз.
3
Первое возбуждённое состояние электрона в атоме водорода: = 2. Здесь возможны варианты. Вдобавок к 2s появляется состояние 2p. Это разные с точки зрения квантовой механики состояния одного и того же электрона, но им соответствует одна и та же энергия. В состоянии 2s электрон может находиться в состоянии или одной, или другой ориентации своей спиновой характеристики. Состояния 2p так же могут иметь варианты, поскольку теперь значение орбитального момента количества движения ненулевое, и возможны разные проекции. Возможен целый набор состояний, соответствующий = 2, в которых может находиться электрон в атоме водорода. Для третьего уровня возникает ещё больше возможных наборов состояний, каждое из которых уникально. Каждому из этих состояний, которые имеют совпадающую энергию, соответствует свой набор этих четырёх чисел и свой вид волновой функции. Однако энергия всех этих состояний одна и та же и считается по формуле =− ⁄ .
В ЫРОЖДЕННЫЙ ХАРАКТЕР ЭНЕРГ ЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА
Если каждому собственному значению энергии соответствует одна и только одна волновая функция, то энергетический спектр является невырожденным. ↓ Ψ
↓ Ψ
↓ Ψ
158 Если хотя бы одному собственному значению энергии соответствует не одна, а несколько волновых функций, то энергетический спектр является вырожденным.
Ψ
↙
↘
Ψ
(Разным наборам квантовых чисел, разным волновым функциям соответствует одно и то же значение энергии.) То есть энергетический спектр электрона в атоме водорода является вырожденным. Кратность вырождения энергетического спектра электрона в атоме водорода 2 . Это, кстати, одна из причин того, почему неправильный постулат Бора о квантовании момента количества движения электрона в атоме водорода позволил получить правильное правило квантование энергии.
З АКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 1) Закон сохранения энергии. Это ключевой во всех разделах физики закон сохранения, и квантовая механика здесь не исключение. Мы этим законом пользовались, например, связывая энергетический и оптический спектры атомарного водорода. Закон сохранения энергии является своего рода критерием, который позволяет отличить научные теории от ненаучных. Французская Академия наук, когда осознала важность и глубину закона сохранения энергии, отказалась рассматривать проекты вечных двигателей. В настоящее время есть много разных разговоров о существовании так называемой тёмной энергии, но это именно разговоры, которые пока не получили надёжного убедительного доказательства существования иных форм энергии по сравнению с теми, с которыми знакома современная физика. Приведём контрпример. Если бы, например, ровно сто лет назад один учёный или группа учёных стала бы утверждать, что они способны за тридцать лет создать устройство, которое помещается, скажем, в железнодорожный вагон и способно уничтожить многомиллионный город, то вряд ли бы такие заявления с позиции закона сохранения энергии сочли бы научными. Тем не менее для всех нас очевидно, что ядерное оружие закон сохранения энергии не
159 нарушает. Оно просто переводит один вид энергии в другой. То есть закон сохранения энергии — это надёжный критерий, который позволяет отделить научную теорию от ненаучной, но, тем не менее, развитие физических представлений об окружающем мире может расширить границы применения закона сохранения энергии, но ни в коем случае его не опровергнуть. И всегда останется та область, где в традиционной форме закон сохранения энергии себя проявляет. 2) Закон сохранения импульса. В квантовой механике он себя проявляет, может быть, не так активно, как в классической физике, но, тем не менее, объяснить элементарными средствами эффект Комптона без привлечения закона сохранения импульса невозможно. 3) Закон сохранения момента импульса. Тоже закон, который известен и в классическом варианте, но в квантовой механике, в атомной физике для описания свойств отдельных атомов, для описания процесса излучения закон сохранения момента импульса приобретает ключевое значение. «В замкнутой системе не только энергия и импульс должны сохраняться, но и момент количества движения». А то, что момент количества движения — важная характеристика, скажем, электрона в атоме водорода, показывает хотя бы формула
=ℏ
( + 1). Важ-
нейшими следствиями, которые получаются при последовательном применении закона сохранения момента количества движения, являются так называемые правила отбора. Выясняется, что каждый фотон, который испускает возбуждённый атом или какой-то другой возбуждённый объект, обладает среди прочих своих характеристик моментом количества движения. Если не вдаваться в подробности, момент количества движения фотона примерно равен постоянной Планка. В результате этого одно из правил отбора ограничивает возможные значения, которые может принимать изменение орбитального квантового числа при испускании или поглощении квантов.
Δ
Δ = +1, −1
= +1,0, −1
Именно существование правил отбора даже в таких одномерных моделях и объясняет тот факт, что, скажем, в гармоническом осцилляторе возможен переход только между двумя соседними уровнями.
160 Правила отбора вносят рективы с учётом вырожденного характера энергетического спектра 3 3 3 =3 электрона в атоме водорода в объяснение возникновения спектраль2 2 =2 ных линий и спектральных серий. Переход из состояния 2s в 1s невозможен, поскольку при этом орбитальное квантовое число, равное =1 1 нулю, не меняется. Этот переход квантово-механической теорией запрещён. Но переход из состояния 2 в состояние 1 правилами отбора не запрещён.
Это ещё один пример того, как последовательно в физике происходит постепенное уточнение знаний об изучаемом объекте. Теория Бора построена на трёх постулатах, которые вводятся без доказательств, один из них попросту неверен. Потихоньку развитие физики идёт дальше и дальше, вносятся коррективы, но то, что было объяснено предыдущей теорией, новая теория, более глубокая и более сложная, ничего не меняет в объяснении экспериментальных результатов. 4) Закон сохранения спина имеет чрезвычайно важное значение. Подключилась новая, чисто квантовая характеристика, аналога которой в классической физике нет, а именно, спин. Если суммарная величина спина в системе приняла какое-то значение, то какие бы события с этой системой ни происходили, покуда она остаётся замкнутой, спин сохраняется. 5) Закон сохранения цветности (кварковая теория). 6) Закон сохранения симметрии.
161
С РЕДСТВА И СПОСОБЫ , ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ 1) Принцип неразличимости тождественных частиц в квантовой механике. Речь идёт о фундаментальном принципе, которого нет в классической физике, который оказывает на всё развитие квантовой теории более чем важное влияние. Если предельно упростить формулировку, то можно сказать, что все одинаковые частицы одинаковы. Все электроны одинаковы. Все протоны одинаковы. Все атомы водорода одинаковы. И так далее. Однако надо расставить некоторые акценты. В классической физике тоже рассматриваются системы, состоящие из множества тождественных частиц. Самый простой пример: идеальный газ. Состоит из огромного числа одинаковых частиц, и к ним применяются статистические методы, которые описывают поведение всего этого коллектива. Однако принципиально в классической физике две разные частицы могут быть отделены друг от друга. Например, мешок монет одинакового достоинства. Все они тождественны, но различимы: по весу, по царапинам и другим отличительным знакам. Монета, не меняя свой номинал, становится различимой. В квантовой физике в силу корпускулярно-волнового дуализма тождественные частицы становятся принципиально неразличимы. Два биллиардных шара двигаются навстречу друг другу. Поведение этих шаров после столкновения может быть самым разным. Произошло сложное взаимодействие, которое, однако, можно отследить и, используя принцип причинности в классической физике, рассчитать траекторию каждого из этих шаров. А вот если сближаются навстречу друг другу два электрона, взаимодействуют друг с другом, то есть находятся в ограниченной области пространства, где их волновые функции перекрываются, то никаких выводов о том, какой электрон куда стал двигаться, сделать невозможно. Как только происходит перекрывание волновых функций, возможно предсказать вероятность того события, что один электрон находится
162 левее, другой правее. Но предсказать, как именно будет разворачиваться взаимодействие, даже если известны все параметры их взаимного сближения, невозможно. Это, с одной стороны, проявление того принципа причинности в квантовой механике, о котором мы уже говорили, а с другой стороны — проявление фундаментального принципа неразличимости тождественных частиц. Они одинаковы, можно определить их количество, но проследить за движением каждой отдельно взятой частицы нельзя. Именно с последовательного внедрения этого принципа в идеологию квантовой механики её бурное развитие в 1930-х годах и происходило. 2) Принцип Паули. В квантово-механической системе частиц с полуцелыми спинами невозможно нахождение двух частиц с одинаковым набором квантовомеханических характеристик. Этот принцип доказывается абсолютно строго на основе рассмотрения симметричности и антисимметричности волновых функций при разных возможных значений спинового числа. Если спин полуцелый, а для электронов это именно так, то невозможно нахождение в одной квантово-механической системе двух таких частиц с одинаковым набором квантовых характеристик. Набор квантовых характеристик — это большинство тех квантово-механических характеристик, которыми описывается любая частица в квантовой механике. 3) Волновая функция + уравнение Шредингера. Для самой простой после атома водорода системы частиц — атома гелия — можно легко составить уравнение Шредингера Ψ = Ψ и начать думать, от чего зависит оператор полной энергии, если теперь в систему входит не один электрон, а два, которые начинают взаимодействовать друг с другом даже по кулоновскому механизму. Более того, нужно учесть спин-спиновое взаимодействие, а также взаимодействие каждого из этих электронов с ядром. Если совсем строго решать эту задачу, то нужно учесть и тот вклад в общую энергию, который даёт взаимодействие нуклонов в ядре. Даже если заниматься рассмотрением только электронного взаимодействия, волновая функция, которая
163 должна быть решением этого уравнения, будет зависеть от координат одного из этих электронов, от его спиновой характеристики, аналогично нужно учесть местоположение второго электрона в пространстве, его спин, плюс в общем случае — подключается ещё и время. Ψ( ⃗,
, ⃗,
, )
Здесь не меньше восьми переменных, что означает выход в многомерное пространство. Атом гелия — второй по сложности атом, однако математические сложности возрастают квадратично, а может, и по ещё более строгому закону. Задача становится практически неразрешимой. Строго квантово-механическая задача о расчёте атома гелия не решена. Те или иные упрощения неизбежно используются даже самыми продвинутыми физиками, число которых исчисляется сотнями. А строгое решение уравнения Шредингера для многоэлектронного атома в настоящее время невозможно, и никакие суперкомпьютеры в этом не помогут. 4) Законы сохранения. 5) Квантовые статистики (Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна). В физике статистические методы давно используются. Уже упомянутая молекулярно-кинетическая теория — один из примеров статистической физики. Квантовая статистика — раздел статистической физики, в котором изучаются свойства систем частиц, подчиняющихся законам квантовой физики. Важнейшим тут является понятие спина, от которого зависит, какая статистика применима к тем или иным частицам.
164
КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ Многоэлектронные атомы — те атомы, для которых аналитическое строгое решение уравнения Шредингера невозможно, но, тем не менее, есть необходимость описать их свойства.
В ОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ Водородоподобные атомы представляют из себя образования, у которых заряд ядра не равен единице, а равен + ∙ . Более того, так же, как в атоме водорода, несмотря на изменившийся заряд ядра, в наличии имеется только один электрон, поэтому не так сложно внести изменения в соответствующее уравнение Шредингера для потенциальной энергии электрона, который находится в таком водородоподобном атоме, и получить следующие следствия. =−
8 ℎ
=−
∙
1
По мере того, как растёт заряд ядра, пропорционально квадрату порядкового номера в таблице Менделеева увеличивается по модулю энергия соответствующего стационарного состояния. Если, скажем, для атома водорода минимальное значение энергии −13,5 эВ, то при рассмотрении атомов из средней части таблицы Менделеева и будем рассматривать их с позиции водородоподобного атома, характерное значение энергетических уровней будет составлять тысячи и десятки тысяч эВ. Схему будем использовать ту же самую, что и для атома водорода, с очень неявно заданным масштабом, но с учётом сказанного можно представлять, что этот диапазон может захватывать тысячи эВ. Что есть такие состояния, в которых электрон связан с ядром очень прочно. Для того, чтобы оторвать такой низко лежащий электрон от атома, нужно приложить весьма значительную энергию.
165 Другое, что можно почти строго получить при рассмотрении решения уравнения Шредингера. В многоэлектронных атомах снимается вырождение по орбитальному квантовому числу. В атоме водорода энергия уровня зависела только от значения главного квантового числа, в многоэлектронных атомах это не так. Создание подобного рода теории инициировалось, прежде всего, изучением оптических спектров паров, например, щелочных металлов. При сопоставлении оптических и энергетических спектров подтвердилось правило отбора. Вот таким образом на основе анализа энергетического спектра получается набор возможных значений энергии, которые электрон в многоэлектронных атомах может занимать. Заполнение возможных энергетических состояний происходит с учётом двух важнейших фундаментальных принципов: принципа Паули и принципа минимума потенциальной энергии. В атоме водорода два варианта: или электрон ориентирован своим спином по направлению, или против направления . В атоме Гелия обе этих ситуации реализуются: 1 . Принцип Паули не нарушается, и при добавлении очередного электрона надо искать состояние с минимальной возможной энергией. Третий электрон на 1s-уровень не поместить, принцип Паули это запрещает. Начинается заполнение всё более высоко лежащих уровней. В результате получаем атом инертного газа, в котором все электрон3 3 ные уровни заполнены, и все спины друг =3 друга компенсируют. Именно поэтому 2 2 такой атом является атомом инертного =2 газа и очень неохотно вступает в химические реакции. Периодичность свойств, которые задолго до появления квантовой физики открыл Д. И. Менделеев, =1 1 легко объясняется с позиции теории многоэлектронных атомов. Когда начинается заполнение состояния 3 , когда там появляется первый электрон, по своим химическим свойствам эти атомы (а это атомы щелочных металлов) напоминают водород и друг друга. 3
В физику все эти представления пришли не из химии, а именно из квантовой физики они распространились в область химии.
166
Р ЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 1895
̅
=3
→
=2 =1
=2
ℎ = 1
1
=3
или −
ℎ = 1
и т. д. −
Если на атом ничего не воздействует извне, то уровни заполняются, начиная с самых нижних. Рассмотрим ситуацию, когда в такой атом попадает извне ускоренный несколькими десятками тысяч вольт электрон. Среди прочего возможно образование вакансии, которая в соответствии с принципом минимума потенциальной энергии заполняется электроном, который находится на более высоком энергетическом уровне. Переход сверху вниз, как и при объяснении оптического спектра атомарного водорода, но счёт идёт уже на другие энергии. Низкие электронные уровни в многоэлектронных атомах исчисляются десятками тысяч эВ. В соответствии с законом сохранения энергии, избыток энергии испускается в виде кванта, скажем, ℎ = − . В результате, если изучать спектр рентгеновского излучения, то на фоне так называемого «тормозного излучения» сплошное излучение, которое вполне может быть объяснено с позиции классической электродинамики ускоренным движением электрона. Электрон не только выбивает электроны с низко расположенных электронных оболочек, но он просто тормозится, движется с огромным ускорением и при этом испускает электромаг10 … 10 м нитное излучение. Так вот проявление этого характеристического спектра, связанного с ионизацией двух этих уровней, фиксируется в виде чётко фиксированных по длине волны характеристических линий рентгеновского излучения, которые можно установить для любого материала.
167
С ПЕКТРОСКОПИЧЕСКО Е ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЛАВНОГО КВАНТОВОГО ЧИСЛА
= 1, 2, 3, 4, … , , , ,…
Это удобно тем, чтобы все те переходы, которые заканчиваются на уровне с номером = 1, назвать собирательно K-серией, и нумеровать: ,
,
.
Характеристические линии, расположенные на чётко фиксированных частотах, несут в себе информацию о зазоре между энергетическими уровнями многоэлектронных атомов.
К ВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ Понятие электронного газа появилось в физике ещё в XIX веке и позволяло рассматривать поведение электронов, находящихся подобно поведению молекул идеального газа, находящихся в каком-то замкнутом объёме. Причины возникновения электронного газа не обсуждались, но по модели идеального газа можно получить выражения и закона Джоуля-Ленца, и закона Ома, и проч. Свободные электроны по определению и без объяснения причин друг с другом не взаимодействуют, и это положение сохраняется и в области квантовой физики, куда эта модель в начале 1920-х годов перекочевала. Средство, с которого начинается квантование энергий свободных электронов в металле известно: уравнение Шредингера в операторной форме. Ψ= Ψ
То обстоятельство, что рассматриваются свободные электроны, позволяет считать, что потенциальная энергия взаимодействия электронов с окружением = 0. =−
ℏ Δ 2
168 −
ℏ Δ = EΨ 2
Попробуем искать решение этого дифференциального уравнения второй степени в виде: ⃗⃗
Ψ=
.
— некоторый постоянный множитель, который, возможно, будет определён из условия нормировки, если он потребуется. То, что появилось в показателе экспоненты, — скалярное произведение векторов ⃗ и ⃗. В классической волновой теории есть более чем
прозрачный аналог — именно так в комплексной форме записывается уравнение плоской волны. Пока вектор ⃗ никак называть не будем, он будет постепенно наполняться смыслом, ну а в классической физике это волновой вектор, который определяет направление распространения плоской монохроматической волны. ⃗⃗ = Ψ
−
ℏ 2
В случае, если
Ψ
Ψ
Ψ
⃗⃗
=
=
⃗⃗
=
−
+
(
=−
⃗⃗
) =−
)
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
=− −
ℏ 2
(
+
−
+
= +
,
⃗⃗
то можно быть уверенным, что такая волновая функция для одного произвольно выбранного электрона будет обращать уравнение Шредингера в тождество. =
2
=
ℏ 2
169 Не прямое использование этих соотношений корпускулярноволнового дуализма, а самостоятельный вывод из уравнения Шредингера. Свяжем компоненты вектора ⃗ c параметрами задачи. Потребуем, чтобы по всем границам волновая функция принимала одинаковые значения. Рассмотрим металлический кубик. Ψ( , , 0) = Ψ( , , )
∙
∙
=
=
=1
=2
∙
∙
— целое, ∈ (−∞, ∞) =
Аналогично
=
2
=1
2
∈ (−∞, ∞) =
ℏ 2
2
=
2
+
+
+
.
И без доказывания теоремы Ферма ясно, что лое число. Обозначим его
=
=
+
ℏ 2
2
+
+
даст це-
170
В ЫРОЖДЕННЫЙ ХАРАКТЕР ЭНЕРГ ЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ
Разные значения могут принимать
,
,
. Единственное огра-
ничение — это то, что они все одновременно не могут принимать нулевые значения. Это бы противоречило соотношению неопределённостей. Заинтересуемся минимальным возможным значением энергии, которое появляется, когда = 1. =
ℏ 2
2
~10
… 10
эВ
Если 0,001 эВ ещё можно как-то измерить и использовать, то 10 … 10 эВ — это уже за пределами экспериментального обнаружения. будет отличаться от на такую же величину. Практически сплошной характер у этого энергетического спектра, но, в то же время, зависимость от целого числа остаётся в силе. может быть реализовано следующими способами: 0 0 0 ±1 ±1 0
±1 0 0
Таким образом, кратность вырождения первого энергетического уровня равна шести. С подключением спиновых характеристик эта кратность вырождения удваивается. Аналогичную работу можно проделать, например, для значения = 2. Естественно, что число сочетаний будет ещё больше. Если мы заберёмся в область значений, которые соответствуют сотням, тысячам, то там кратность вырождения будет огромна. Отчасти поэтому все зонные схемы, о которых будем говорить далее, обладают такой «ёмкостью». Не только из-за того, что уровни очень тесно друг к другу расположены, но и ещё из-за того, что на достаточно высоко расположенных уровнях, не нарушая принципа Паули, может находиться огромное число электронов.
171 E
,
Уровней таких очень много, а не те жалкие изображённые четыре или пять. Они тесно прилегают друг к другу, и на них может находиться ещё большее количество электронов за счёт вырожденного характера энергетического спектра. В случае же более реальном, когда учитывается периодичность кристаллической решётки и взаимодействие электронов с её узлами, ситуация изменяется.
E
Ψ=
∙
( ⃗)
⃗⃗
,
Зависимость, оставаясь в принципе параболической, демонстрирует разрывы — то, что известно под названием запрещённой зоны.
172 Основное отличие, которое учитывает квантовая статистика — это наличие специфических спиновых характеристик, которые выражаются и проявляются в следующем. Некоторые частицы (электрон, протон, нейтрон) имеют полуцелое значение спинового числа, такие частицы носят название фермионы. Частицы, у которых спин принимает целое значение (например, 0 или 1), то такие частицы носят название бозоны. И это различие в спиновых характеристиках при строгом построении статистической теории ведёт к существенным результатам, которые эти частицы различают более чем принципиально.
Рассматриваем систему, в которой имеется три разных квантовых состояния. Отличаются они, например, для свободных электронов разными значениями волнового вектора. По этим трём состояниям нужно разместить две частицы, учитывая те законы, которым они подчиняются. Скажем, фермионы могут разместиться следующим образом: A
Б
В
Вероятность того, что состояние Б свободно,
= 1⁄3.
Теперь разместим бозоны, для них принцип Паули не действует. A
Б
В
Теперь вероятность того, что состояние Б не заполнено
= 1⁄2.
173
К ВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ Ф ЕРМИ -Д ИРАКА И Б ОЗЕ -Э ЙНШТЕЙНА
〈 〉=
〈 〉=
1
1
+1
−1
,
,
〈 〉 ∈ [0,1]
〈 〉 ∈ [0, ∞)
〈 〉 — среднее число частиц, находящихся в состоянии, описываемом уникальным набором квантовых характеристик. — энергия, которая соответствует этому набору .
— химический потенциал. — термодинамическая температура.
≫ 0 обе эти формулы переходят в 〈 〉 ≈ При сическое распределение Больцмана.
— клас-
Химический потенциал равен минимальному изменению внутренней энергии системы частиц при изменении числа частиц в системе на единицу. При серьёзном создании статистических методов в квантовой механике очень важно бывает проследить за тем, что меняется при появлении или исчезновении хотя бы одной частицы в системе. Фермионы от бозонов отличаются величиной спинового числа и тем, действует на них принцип Паули или нет. Предположим, что полученная нами энергетическая схема для свободных электронов действует и для бозонов, то есть в одном квантовом состоянии может находиться сколько угодно частиц, не действует
174 на них принцип Паули. Минимальное изменение энергии в системе при добавлении в неё ещё одной частицы фактически стремится к нулю. Для бозонов по этой причине, а также по целому ряду более строго доказуемых причин, химический потенциал обнуляется, и статистика БозеЭйнштейна может быть записана следующим образом: 〈 〉=
1
−1
=
1
−1
Такая структура определяла число фотонов, которые участвуют в образовании стоячей волны с частотой .
Переходим к фермионам. Заполнение электронами свободных энергетических уровней в металле, например, будет следующим. Рано или поздно реализуется ситуация, когда мы полностью заполнили все уровни вплоть до какого-то фиксированного, и если мы этот процесс производили при нулевой температуре, то этот уровень называется уровнем Ферми. Хотим добавить ещё один электрон в эту заполненную до уровня Ферми систему. Он попадёт или на сам уровень E Ферми, или чуть-чуть выше его. С учётом того, что расстояние между уровнями пренебрежимо мало, можно считать, что при появлении или исчезновении электронов внутренняя энергия изменяется на величину, численно равную . Если электрон исчез с какого-то нижнего уровня, свободное место моментально будет заполнено электроном с более высоко лежащего уровня, и вот это изменение энергии при добавлении или исчезновении одной частицы позволит записать статистику Ферми-Дирака в виде:
〈 〉=
1
+1
175 — вероятность того, что уровень с данной энергией будет заполнен. Графическая интерпретация: ( ) 1
>0
При абсолютном нуле все уровне вплоть до уровня Ферми заполнены, вероятность их заполнения равна единице. Выше этой энергии вероятность заполнения равна нулю: действует принцип минимума потенциальной энергии и принцип Паули. Определив значение функции в точке разрыва (она равна ½), мы получаем универсальное очень удобное применительно к металлам и к полупроводникам определение уровня Ферми: такой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна ½ при любой температуре. При повышении температуры происходит расплывание этой ступеньки. При температурах для металлов ≈ 10 000 K произойдёт то, что можно было бы назвать «снятием вырождения», когда свойства электронного газа ничем не отличались бы от свойств идеального газа. Но при таких температурах все существующие металлы перестают быть металлами, а переходят в парообразное состояние.
176
Э ЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Для твёрдого тела в большинстве случаев зонная схема изображается следующим образом. E
По умолчанию по горизонтальной оси откладывают координату: то самое представление о свободном электроне, который свободно передвигается по всему объёму металла, что вполне может быть увязано и с соотношением неопределённостей, и с уравнением Шредингера. Зоны разрешённых энергий, разделённые запрещённой зоной, состоят из близко расположенных друг к другу энергетических уровней, и электрон, находясь на одном из этих энергетических уровней, может свободно перемещаться по всему кристаллу. Замечательная иллюстрация того, что можно сколь угодно точно определять его импульс, а через него и энергию, именно в силу того, что его координата не определена полностью. В идеальном случае сопротивление металла должно быть равно нулю, потому что электрон перемещается свободно, не испытывая никаких воздействий со стороны решётки именно потому, что он идеализированно свободный. Все уровни, которые находятся в низко расположенных зонах, заполнены, и деление твёрдых тел на металлы, диэлектрики и полупроводники начинается в зонной теории именно с рассмотрения вопроса о том, какие зоны свободны, а какие заполнены. И в диэлектрике, и в полупроводнике есть целый набор зон, которые полностью заполнены электронами. Почему же электроны, которые могут свободно перемещаться по всему объёму кристалла, которые находятся в валентной зоне, не участвуют в проведении тока?
177
М ЕТАЛЛЫ , ДИЭЛЕКТРИКИ И ПО ЛУПРОВОДНИКИ В ЗОННО Й ТЕОРИИ
Мы использовали рассмотрение газа свободных электронов, и с помощью уравнения Шредингера сумели доказать зонную структуру энергетического спектра электронов. Установили, что эти зоны энергии состоят из очень тесно расположенных уровней. Выяснили, что электронный газ в металле является вырожденным. Таким образом, ёмкость энергетических уровней колоссальна, что позволяет разместить, не нарушая ни один из принципов квантовой механики, все электроны, которые имеются в любом твёрдом теле. Однако при таком заполнении энергетических уровней приводит к разным ситуациям для разных по своим физическим характеристикам материалов. 1) Металлы Процесс заполнения разрешённых квантово-механических состояний приводит к тому, что в какой-то зоне часть энергетических уровней заполнена, а часть оказывается вакантной. Такое состояние и реализует вещества под названием металлы, или проводники, чья главная физическая характеристика — это способность проводить электрический ток. Если таком веществе создать электрическое поле напряжённостью = Δ ⁄Δ , то на некоторой длине своего свободного пути в металле, которая обозначена Δ , электрон преодолевает разность потенциалов Δ , и, соответственно, если электрон участвует в направленном движении под действием внешнего поля, его энергия Δ = Δ увеличивается. В ситуации, когда часть вышерасположенных уровней свободна, это приводит к тому, что электрон, попавший под действие внешнего электрического поля, этому действию поддаётся и участвует в проведении тока внутри этого материала. Нижерасположенные уровни (ВЗ) полностью заполнены электронами и принимать участие в проведении тока не могут. Необходимым условием того, чтобы материал был проводником, является частичное заполнение верхней зоны, которую очень выразительно называют зоной проводимости. Вопрос о том, есть ли в металле так называемая запрещённая зона? Есть, она разделяет частично заполненную ЗП и ВЗ. Её ширина у металлов может быть разной, может находиться в пределах 0.1 … 10 эВ. Но никакого влияния на механизм
178 электропроводности металла запрещённая зона не оказывает, поскольку всё происходит в вышерасположенной частично заполненной зоне проводимости. Очень часто можно столкнуться с утверждением, что в металле нет запрещённой зоны. Это просто другой взгляд на вещи, который станет ещё более очевиден после того, как мы перейдём к рассмотрению механизма электропроводности в полупроводниках и диэлектриках. Почему электроны из валентной зоны не участвуют в проведении электрического тока? Для того, чтобы принимать участие в направленном движении зарядов, они должны под действием внешнего поля увеличивать свою энергию. А если все до единого уровни в валентной зоне заполнены, то они становятся бесперспективны с точки зрения проведения электрического тока. 2) Зонная схема диэлектрика Валентная зона полностью заполнена, зона проводимости полностью пуста. Ширина запрещённой зоны 1 … 10 эВ. Тепловой энергии ~
~
эВ
при комнатной температуре явно не достаточно, для того чтобы хотя бы несколько электронов из ВЗ оказались в ЗП. Этим и объясняется высокое электрическое сопротивление диэлектрика.
E ЗП
ВЗ
3) Зонная схема собственного полупроводника (Ge, Si) Запрещённая зона имеет ширину 0,1 … 1 эВ . 0.1 и 1⁄40 — это уже сравнимые вещи. Поэтому для собственных полупроводников, где нет ничего, кроЗП ме атомов, которые образовали одну единую кристаллическую решётку, уже при не очень высоких температурах возможен механизм теплового переброса из ВЗ в ЗП. Электроны из полностью заполВЗ ненной ВЗ не могут участвовать в проведении тока, но как только они совершили этот прыжок и оказались в ЗП, где очень мало электронов и много свободных энергетических уровней, нехитрые ограничения в виде двух вышеупомянутых формул не действуют, и по полупроводнику протекает ток. Этим дело не ограничивается. Электроны, которые оказались из ВЗ в ЗП, оставляют вакансии (дырки). ХаракE
179 терной особенностью собственного полупроводника является тот факт, что электропроводность осуществляется как электронным, так и рочным механизмом. Очень удобно разделять твёрдые вещества по принадлежности, сравнивая ширину запрещённой зоны. И тогда логичным выглядит заявление о том, что у металлов ширина запрещённой зоны равна нулю. У диэлектрика она большая, ток не проходит. У собственных полупроводников несколько меньше, появляется возможность проведения тока. В металлах, если ориентироваться только на границу между самым верхним заполненным уровнем и тем ближайшим пустым вакантным уровнем, можно говорить о том, что ширина запрещённой зоны в металле равна энергетическому зазору между двумя ближайшими уровнями, то есть стремится к нулю. Тоже вполне логичное заявление, которое имеет свою положительную черту. Однако мнение, что в металлах есть запрещённая зона, никуда не пропадает. Просто всегда нужно следить за терминологией и за списком действующих лиц. 4) Примесные полупроводники Полупроводники получили такое название именно потому, что они занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. И вплоть до начала 1960-х годов в электротехнике существовало очень неуважительное отношение к этим материалам: его нельзя эффективно использовать как проводник, и в то же время он не очень полезен как изолятор. Однако фундаментальные физические открытия и развитие технологии сделало полупроводник фактически основным материалом микроэлектроники. Что нового добавили в технологические изыскания и их реализацию — это внедрение в чистый полупроводник примесей. Оказалось возможным направленным образом влиять на многие параметры полупроводников, например, на электропроводность. Донорные полупроводники (полупроводники n-типа) Если в четырёхвалентный германий и кремний внести в некотором количестве пятивалентную примесь, то пятый электрон будет слабее связан и может участвовать в проведении тока по всему объёму материала. На зонной схеме внедрение таких примесных атомов приводит к тому, что появляются новые, добавочные энергетические уровни,
180 которых не было в зонной схеме чистого E водника. На зонной схеме мы получаем набор ЗП примесных, локальных уровней. Если ширина запрещённой зоны несколько десятых эВ, то рас0,01 эВ стояние от этих донорных уровней до зоны проводимости примерно в десять раз меньше. То есть даже комнатной температуры вполне достаточно, ВЗ чтобы электроны с этих донорных уровней активно перепрыгивали в зону проводимости и принимали участие в проведении тока. То, что эти локальные уровни показаны пунктиром — это не просто графическое средство, этим подчёркивается их локальный характер. Находясь на этом уровне электрон (тот самый электрон пятивалентного внедрённого металла) в проведении тока участвовать не может, область его движения ограничена по оси координат. Зато, если он перейдёт в зону проводимости с огромным количеством близкорасположенных уровней, он принимает участие в проведении тока и обеспечивает более высокую, чем у собственных полупроводников, проводимость. Акцепторный полупроводник (p-типа) Ту же смысловую нагрузку несёт пунктирный характер примесных, локальных уровней. Зона проводимости в акцепторном полупроводнике пуста, ширина запрещённой ЗП зоны по-прежнему не меньше 0,1 эВ. Перепрыгнуть что из валентной зоны, что с акцепторного уровня в зону проводимости одинаково сложно, различие в 0,01 эВ не сказывается. А вот переход электронов из валентной зоны на акВЗ цепторные примесные уровни вполне возможен. Электроны, которые из валентной зоны оказались на примесном уровне, в проведении тока не участвуют, поскольку это локальные уровни, не позволяющие электронам перемещаться по всему объёму кристалла. Но вакансии, дырки, которые образуются после ухода части электронов из валентной зоны на акцепторные уровни, представляют собой те самые посадочные места, которые могут использоваться для проведения тока. Больше внедрено атомов акцепторной примеси — большее количество дырок образовалось, выше проводимость. E
181
P- N - ПЕРЕХОД P-n-переход — контакт двух материалов с разным типом проводимости. Необязательно изготавливать на одном заводе полупроводник с ртипом проводимости, на другом заводе полупроводник с n-типом проводимости, распиливать их на кусочки, приводить в соприкосновение и прессовать в корпуса полупроводниковых диодов. Есть более эффективные способы реализовать этот контакт полупроводников с разным типом проводимости, например, диффузия, плавление и проч. Свободных электронов много в n-области, в p-области — не меньшее количество свободных дырок. Процессы, которые происходят при взаимной диффузии дырок и электронов навстречу друг другу, и обеспечивают все те замечательные свойства p-n-перехода. Что же происходит на границе р- и n-области и какая контактная разность потенциалов сама собой возникает вне зависимости от того, впаян этот диод в схему или лежит на складе на полке? Электроны и дырки начинают двигаться навстречу друг другу, встречаются. Лишний электрон, который пришёл из n-области, заполняет эту вакансию. Казалось бы, может начаться процесс «борьбы дырок с электронами», кого больше останется, такой полупроводник у нас и реализуется. Не совсем так. Поскольку уход этих своE бодных электронов сразу оголяет те примесные ионы, ко– + торые при изготовлении этого p n полупроводника были внедре– + ны в кристаллическую решёт– + ку. Плюсы на рисунке обозначают неподвижный заряд, который связан с примесными атомами, внедрёнными в мат– + рицу этого полупроводника на этапе его изготовления. Дырки, которые захватили электрон, приводят к образованию на общем равномерном фоне основных атомов германия или кремния отрицательных узлов, которые неподвижны, поскольку они входят в состав кристаллической решётки, и которые несут отрица-
182 тельный заряд. Направление поля, которое создаёт эта внутренняя контактная разность потенциалов, естественно, от плюса к минусу. Это приводит к тому, что как только произошли описываемые процессы в контактном слое, глубинные области оказываются незатронутыми. Электроны в попытке попасть в p-область встречают поле, которое заставляет их двигаться против поля, то есть оставляет из в n-области. Что произойдёт, если на n-область подаём плюс от внешнего источника ка, ну а противоположный потенциал на р-область? Поле контактной разности потенциалов усилится, расширится глубина области (это используется для изготовления варикапов, то есть устройств, у которых величина ёмкости зависит от приложенного напряжения). Таким образом, появляется ещё большее препятствие на пути электронов и дырок, ток не протекает. Изменим полярность приложенного напряжения. Напряжённость внешнего по– + p n ля противоположна полю – + контактной разности потен– + циалов и при достижении некоторого критического значения может превысить его величину. Начнётся протека+ – ние тока, электроны двигаются по направлению к проводу, дырки из p-области двигаются по направлению к n-области, и поскольку происходит замыкание этой цепи через внешний источник, всё будет функционировать, пока есть напряжение. Что интересного можно заметить на контакте p- и n-областей? Электрон заполняет дырку, и если соответствующим образом подобрать и исходный материал и примеси, то в принципе этот p-n-переход может служить основой для создания светодиода и полупроводникового лазера. Для того чтобы это излучение фиксировалось невооружённым человеческим глазом, разница энергетических уровней, между которыми происходит переход, должна составлять несколько эВ. E
Зонная теория не является альтернативой квантовой механике, это её последовательное развитие. Именно уравнение Шредингера позволяет проквантовать энергию свободных электронов в металле, более
183 сложные расчёты позволяют установить наличие запрещённых зон и т. д. С другой стороны, не нужно полагать, что зонная теория является вершиной развития физики и способна дать количественный ответ на любой вопрос. Нет, в достаточной степени зонная теория имеет характер модели, но это самая удобная теория, для того чтобы объяснять многие свойства твёрдых тел. Возьмём и объясним с пометалл диэлектрик мощью зонной теории следующую вполне очевидную вещь: почему все металлы непрозрачны, а некоторые диэлектрики прозрачны. Электронами заполнены уровни энергии в металле, но над ними есть пустые энергетические уровни. Поэтому фотоны, которые попадают на поверхность металла, гарантированно поглощаются. Тот электрон, который поглотил фотон, увеличивает свою энергию и легко переходит на более высокий энергетический уровень, дальнейшая судьба его может быть самой разной, например, он может вернуться назад, испустив фотон обратно — объяснение отражения света металлами с позиции зонной теории. В широкозонном диэлектрике есть полностью заполненные электронами уровни валентной зоны, есть зона проводимости, а между ними пустота. Если в такой диэлектрик направить пучок фотонов, поглощения не произойдёт, и в силу этого некоторые диэлектрики являются прозрачными. С помощью зонной теории также получает наглядную интерпретацию механизм внешнего фотоэффекта. Если энергия фотонов не очень велика, происходит просто их поглощение. Однако если энергия фотона становится сравнимой с энергетическим зазором от верхнего энергетического уровня до уровня, который соответствует свободным электронам, возможно не просто поглощение фотона, но и выбивание электрона с поверхности металла. Более того, такие опыты по внешнему фотоэффекту позволяют получить информацию и об уровне Ферми. Уровень Ферми можно рассчитать по модели свободных электронов и получить при разумных значениях концентрации величину 4 … 5 эВ. В прямом эксперименте эти теоретические предсказания могут
184 быть проверены. Если увеличивать энергию падающих фотонов и добиться состояния, когда электроны начнут покидать поверхность талла, сопоставляя результаты таких экспериментов, можно определить работу выхода, которая и несёт в себе информацию о положении уровня Ферми. Подобного рода эксперименты (фотоэлектронная спектроскопия) позволяют получить количественную информацию о распределении электронов по энергии — тот самый хвост распределения ФермиДирака. Если захватить в таких экспериментах какую-то область, меняя частоты падающего света, то можно получить информацию о том, как эти электроны распределены по энергии.
А ВТОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ Реально наблюдаемый физический эффект, который подтверждает среди прочего и справедливость выводов квантовой механики о наличии туннельного эффекта. Металл помещают в область очень сильного электрического поля. Сделать это для двух плоских пластин очень сложно, но для острий это чрезвычайно сильное электрическое поле на практике реализуется. Приложение внешнего поля сужает величину потенциального барьера. В результате туннельный эффект реализуется и в макрообъектах, реально используется в микроэлектронике.
В НУТРЕННИЙ ФОТОЭФФЕКТ Если электрон не покидает поверхность материала, но меняет своё энергетическое состояние, скажем, из валентной зоны переходит в зону проводимости, не за счёт нагревания, а за счёт внешнего облучения, то это и есть проявление внутреннего фотоэффекта. Электрон оказывается в зоне проводимости, приобретает возможность двигаться, и при облучении фотополупроводников их сопротивление уменьшается. Включив такой фоточувствительный элемент в электрическую цепь, можно быть уверенным, что изменение освещённости этого материала будет сильно изменять ток, который протекает во внешней цепи, и это изменение является экспоненциальным.
185
О ПТИЧЕСКИЙ КВАНТОВЫЙ ГЕНЕРАТОР Оптический квантовый генератор — источник электромагнитного излучения, работающий на основе вынужденного излучения в активной среде с инверсной заселённостью энергетических уровней. Инверсная заселённость уровней — состояние, когда на более высоко расположенном уровне находится больше электронов, чем на низко расположенном уровне. Любая статистика предсказывает нормальную заселённость уровней. Основной секрет работы любого лазера заключается в том, что природу тем или иным способом удаётся обмануть и создать инверсную заселённость уровней. Самопроизвольный переход с нижнего уровℎ ня на верхний практически невозможен. Но под действием внешнего излучения, если энергия кванта, прилетевшего в систему извне, в точности равна разности энергий между этими двумя уровнями, то возможен индуцированный, вынужденный переход. И когда такой переход произошёл, возможны ℎ варианты. Возможно, что в силу того, что любая система стремится к состоянию с наименьшей энергией, произойдёт самопроизвольное, спонтанное излучение — без внешних причин и воздействий произойдёт переход из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. Однако было доказано, что должен существовать ещё один механизм — механизм вынужденноℎ ℎ го излучения. Для этого необходимо выполнение ℎ двух условий: наличие в возбуждённом состоянии электрона и появление в системе энергии, равной разности − . В результате перехода сверху вниз происходит эффект «клонирования» фотонов. Причём естественно, что у них одинаковая энергия, и, более того, все остальные квантовые характеристики, включая состояние поляризации, волновой вектор — одинаковы. Создание инверсной заселённости уровней при создании лазера — это обязанность человека, а индуцированное излучение — это просто одно из природных явлений, которое просто надлежащим образом используют.
186 Гелий-неоновый лазер Прокомментируем тот способ, который позволяет обмануть природу и создать инверсную заселённость уровней в гелий-неоновом лазере. Нарисовано два энергетических уровня, которые соответствуют двум разным состояниям атома гелия. 1 — основное состояние, 2 — одно из возбуждённых состояний. Возбуждение происходит из-за того, что в условии электрического разряда внутренняя энергия меняется, и изменение внутренне энергии равнозначно переходу электрона в атоме гелия с одного уровня на другой.
He
Ne 2
3
1
Кроме гелия в этой газоразрядной трубке находятся и атомы неона. Если у гелия всего два электрона, то атом неона существенно многоэлектронный, поэтому можно рисовать большое количество энергетических уровней. Возбуждению подвергаются одновременно и атомы гелия, и атомы неона. Особенность, которую природа предоставила в распоряжение пытливого человека, заключается в том, что энергии у двух разных атомов совпадают: энергия уровня 2 у гелия и 3 у неона. Возбуждённые атомы гелия не могут сами собой оказаться в основном состоянии, испуская квант соответствующей энергии, потому что действует правило отбора, которое требует того, чтобы орбитальное квантовое число изменилось на единицу. Поэтому достаточное количество возбуждённых атомов гелия находится в системе и продолжают свои беспрерывные столкновения с окружением. В том числе и с атомами неона. И вот когда происходит столкновение возбуждённого атома гелия с невозбуждённым атомом неона, идёт так называемая резонансная передача энергии. Тот избыток энергии, который есть внутри возбуждённого атома гелия, переходит в распоряжение атома неона. Одновременно происходит возбуждение атомов неона за счёт электрического разряда. В результате именно на уровне 3 и создаётся инверсная по отношению к нижерасположенному уровню заселённость.
187 Рубиновый лазер Рубин — широкозонный диэлектрик: ширина запрещённой зоны 10 эВ и более. Диоксид алюминия (корунд) является его основой. Но рубин — это не чистый (в чистом виде он используется в машиностроении: это второй по твёрдости материал), а с примесями трёхвалентных ионов хрома, внесённых в его кристаллическую решётку: ∙ . Ионы хрома вносят свой вклад в зонную схему. Образуется подобно тому, как образовывались примесные уровни в полупроводнике, энергетические уровни, которые связаны с примесными атомами хрома. Хром — вещество, напоминающее металл, поэтому неудивительно, что уровни расположены достаточно тесно и внутри запрещённой зоны . Один из этих уровней является метастабильным, то есть, если электрон попадает на этот уровень, он может продержаться на нём весьма значительное время ~10 , в то время как на всех остальных уровнях и в газовом лазере, и в твердотельном лазере время жизни существенно меньше: 10 с. И особенности, которые видны на зонной схеме, позволяют легко разобраться, почему оптическая накачка может быть использована только для работы твердотельных лазеров. Уровни расположены очень тесно. Когда лампа даёт свой импульс, он, естественно, состоит из разных фотонов. И практически все эти фотоны эффективно захватываются примесными атомами. На зонной схеме это означает переход снизу вверх на близко расположенные примесные уровни хрома. Эффективность использования вспышки, которую даёт лампа, достаточно велика. Дальше с учётом правила отбора осуществляется переход вниз, но из-за того, что этот уровень метастабильный и время жизни на нём велико, на нём создаётся инверсная заселённость по сравнению с одним из низко лежащих уровней. Появляется возможность генерации импульса лазерного излучения. Однако работают не только два эти уровня, но и целая группа уровней, которая видна на зонной схеме. Кстати, ни в коем случае не следует думать, что внутри рубинового лазера находится кристалл, который имеет какое-то ювелирное значение. Нет, это почти стекляшка. Не стоит пытаться залезть в твердотельный лазер с целью обогащения. Рубин он только по названию. Там соответствующим образом выбраны дозы этих примесей не для того, чтобы кристалл был красивый, а для того, чтобы лазер работал.
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ..........................................................................................................................................................................3 Элементы теории относительности ..............................................................................................................5 Преобразования координат и времени в классической физике ................................... 6 Следствия из преобразований Галилея .................................................................................................8 Элементы специальной теории относительности .......................................................... 10 Постулаты СТО.................................................................................................................................................... 10 Релятивистский закон сложения скоростей.................................................................................... 11 Преобразования Лоренца ............................................................................................................................ 14 Следствия из преобразований Лоренца ............................................................................................. 15 Представления о четырёхмерном пространстве-времени ..................................................... 20 Понятие пространственно-временного интервала в СТО ...................................................... 22
Основные положения динамики в СТО ............................................................................................... 24 Основной закон динамики движения материальной точки в СТО.................................... 26 Релятивистский закон взаимосвязи энергии и массы в СТО. Релятивистская энергия .................................................................................................................................................................... 27 Кинетическая энергия в СТО ..................................................................................................................... 29 Релятивистский закон сохранения энергии-импульса............................................................. 29 Общее представление о четырёхмерном пространстве энергии-импульса ................ 31 Релятивистский закон связи кинетической энергии и импульса .................................... 31 Энергия системы взаимодействующих частиц. Дефект массы ........................................... 32 Общее представление об общей теории относительности .......................................... 34 Основы квантовой физики ............................................................................................................................... 36 Квантовая гипотеза излучения. Гипотеза Планка ........................................................... 36 Энергия, масса и импульс фотона......................................................................................... 37 Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения ......................... 39 Корпускулярные свойства электромагнитного излучения ......................................... 42 Давление света ................................................................................................................................................... 42 Фотоэлектрический эффект (фотоэффект) ..................................................................................... 43 Законы внешнего фотоэффекта .............................................................................................................. 44 Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта....................................................................... 47 Практическое применение фотоэффекта .......................................................................................... 49
Эффект Комптона ............................................................................................................................................. 50 Элементарная теория эффекта Комптона......................................................................................... 52 Физические основы квантовой механики ......................................................................... 55 Гипотеза де Бройля. Формула де Бройля ........................................................................................... 55 Экспериментальное подтверждение волновых свойств микрочастиц ......................... 56 Фазовая и групповая скорости волн де Бройля ............................................................................. 61 Границы применимости классической физики ............................................................................. 68 Соотношения неопределённостей ....................................................................................... 70 Принцип причинности в классической физике ............................................................................. 76 Способ описания состояния частиц в квантовой механике. Волновая функция... 79 Свойства волновой функции ..................................................................................................................... 79 Уравнение Шредингера ........................................................................................................... 82 Принцип причинности в квантовой физике.................................................................................... 83 Основная задача квантовой механики и общая схема её решения .................................. 84 Движение свободной микрочастицы. Квантово-механическое описание................... 85 Стационарное уравнение Шредингера ............................................................................................... 88 Квантово-механическое описание частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы........................................................................ 90 Квантование энергии частицы, находящейся внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы ...................................................................................... 94 Принцип суперпозиции состояний в квантовой механике ................................................... 97 Понятие о разложении волновой функции по собственным волновым функциям................................................................................................. 97 Общее представление об аппарате квантово-механических операторов..................... 98 Принцип соответствия в квантовой механике............................................................................... 98 Оператор импульса в квантовой механике ...................................................................................... 99 Оператор кинетической энергии в квантовой механике ..................................................... 101 Оператор полной энергии в квантовой механике..................................................................... 102 Уравнение Шредингера в операторной форме ........................................................................... 102 Прохождение частицы над потенциальным барьером .......................................................... 103 Проникновение частицы в область потенциального барьера ......................................... 108 Проникновение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект ... 111 Линейный квантово-механический осциллятор ........................................................... 113 Квантово-механическое описание линейного осциллятора ............................................. 116
Тепловое излучение ........................................................................................................................................... 120 Основные свойства теплового излучения ....................................................................... 120 Черное тело ........................................................................................................................................................ 122 Количественные характеристики теплового излучения ........................................... 123 Стоячие волны в пространстве трёх измерений........................................................................ 124 Статистический вывод формулы Планка. ...................................................................................... 127 Среднее значение энергии стоячей волны в пространстве трёх измерений........... 127 Законы теплового излучения .............................................................................................. 132 Закон Релея-Джинса ..................................................................................................................................... 132 Закон Вина .......................................................................................................................................................... 133 Закон смещения Вина.................................................................................................................................. 134 Закон Стефана-Больцмана ....................................................................................................................... 135 Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом ................................. 136 Спектральные коэффициенты отражения, поглощения и пропускания .................. 137 Серое тело ........................................................................................................................................................... 137 Закон Кирхгофа ............................................................................................................................................... 138 Использование законов теплового излучения ............................................................... 140 Квантово-механическая теория атома водорода ............................................................................ 141 Правило квантования энергии электрона в атоме водорода .................................... 144 Энергетический спектр электрона в атоме водорода ............................................................ 144 Оптический спектр атома водорода................................................................................................... 145 Связь между энергетическим и оптическим спектром атома водорода..................... 146 Правило квантования орбитального момента количества движения в атоме водорода..................................................................................................................... 148 Понятие о пространственном квантовании момента количества движения ........ 150 Экспериментальное определение магнитных моментов атомов. Опыты Штерна-Герлаха ............................................................................................................................. 151 Спиновые характеристики микрочастиц........................................................................................ 154 Спектроскопическое обозначение орбитального квантового числа ........................ 156 Вырожденный характер энергетического спектра электрона в атоме водорода. 157 Законы сохранения в квантовой механике ..................................................................... 158 Средства и способы, используемые в квантовой механике для описания системы частиц ............................................................................................. 161 Квантово-механическая теория многоэлектронных атомов................................................... 164
Водородоподобные атомы ................................................................................................... 164 Рентгеновское излучение ......................................................................................................................... 166 Спектроскопическое обозначение главного квантового числа ...................................... 167 Квантование энергии свободных электронов в металле ........................................... 167 Вырожденный характер энергетического спектра свободных электронов в металле........................................................................................................ 170 Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна ........................................ 173 Элементы зонной теории твёрдого тела.......................................................................... 176 Металлы, диэлектрики и полупроводники в зонной теории ........................................... 177 P-n-переход ........................................................................................................................................................ 181 Автоэлектронная эмиссия........................................................................................................................ 184 Внутренний фотоэффект .......................................................................................................................... 184 Оптический квантовый генератор ..................................................................................................... 185