Proporcionalidad numérica

REPARTO PROPORCIONAL

CONCEPTO:

"Es la distribuci贸n equitativa de una cifra, en proporci贸n directa o inversa, entre ciertos n煤meros denominados 铆ndices del reparto".

En todo problema de reparto proporcional intervienen tres elementos esenciales y son: 1. Cantidad a Repartir (C.R.) 2. Ă?ndices del Reparto (I.R.) 3. Factor Constante o cociente del reparto (F.C.)

Reparto Proporcional

Se dividen en:

Reparto Proporcional Inverso

Reparto Proporcional Directo

Reparto Proporcional compuesto inverso

Reparto Proporcional compuesto directo Reparto Proporcional compuesto mixto

1.REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE DIRECTO

Ejemplo 1: Una empresa va a otorgar un estímulo de $ 12,000 (C.R.) a tres de sus empleados, directamente proporcional a sus años de servicios (I.R.).

A Tiene 8 años de servicio.

B Tiene 10 años de servicio.

C Tiene 6 años de servicio.

Primer elemento, Cantidad a Repartir: 1. C. R. = $ 12,000 2. I.R. Segundo elemento, Índices del Reparto Se suman los índices de reparto

A— 8 años B — + 10 " C — +6 " 24 años La suma, que resultó ser de 24 años, de aquí en adelante, y en cualquiera de los casos de reparto proporcional, representará la Suma de Índices del Reparto, (S.I.R. = 24 años).

El factor constante (F.C.), se obtiene dividiendo la cantidad a repartir (C.R.), entre la suma de índices del reparto (S.I.R.), así:

F.C.

=

C.R. S.I.R.

F.C.

=

12,000 24

F.C.

=

500

Se multiplica el factor constante (F.C.) por cada uno de los índices, para determinar cuanto le corresponderá a cada empleado por concepto del reparto:

Para A le corresponderá 500 x 8 = $ 4,000 Para B le corresponderá 500 x 10 = 5,000 Para C le corresponderá 500 x 6 = 3,000 $ 12,000

2.REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO Ejemplo 1:

Una empresa comercial va a repartir $ 15,600 entre tres de sus empleados, en proporción inversa a las faltas incurridas por cada uno de ellos en el año, ¿Cuánto le corresponderá por concepto del reparto, de acuerdo a los siguientes datos?.

Empleado A faltó 4 días.

Empleado B faltó 2 días.

Empleado C faltó 3 días.

Primer elemento, Cantidad a Repartir: C.R.= $ 15,600 Los índices de reparto I.R. son Para ello, vamos a invertir los índices de reparto

A — 4 B — 2 C — 3

A —> 4 B —> 2 C —> 3

= = =

1/4 1/2 1/3

A —> 1 . 12 = 3 + Hallamos el mínimo común 4 múltiplo y lo multiplicamos por B —> 1 . 12 = 6 las fracciones, para sólo 2 trabajar con números enteros C —> 1 . 12 = 4 y no fracciones 3 M.C.M.(4 - 2 - 3) = 12m

13

Se determina el factor constante, dividiendo la Cantidad a Repartir (C.R.) entre la suma de los índices de reparto (13)

F.C.

=

C.R. = 15600 S.I.R. 13

F.C. = 1 200

Multiplicamos el A — 1 200 x 3 = $ 3,600 + factor constante por B — 1 200 x 6 7,200 = cada uno de los C — 1 200 x 4 = 4,800__ índices del reparto $ 15,600 3, 6 y 4 Como se puede observar, de acuerdo a los datos que originalmente nos dieron, al empleado A que faltó más (4 días), le correspondió menos ($ 3,600) y al empleado B que faltó menos (2 días), le correspondió más ($ 7,200), y al empleado C, que faltó regular (3 días) le correspondió ($ 4,800), por concepto del reparto.

3.REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO DIRECTO

Ejemplo 1: Repartir el número 459 (C.R.) directamente proporcional a 3 y 5 y simultáneamente a 7 y 6 (I.R.).

Primer elemento, Cantidad a Repartir: 1. C. R. = 459 2. I.R. = 3 ; 5 y 7 y 6 Y como son compuestos, primero multiplicamos los índices y sumamos dicho producto  A : 3 _x_ 7 = 21 +  B : 5 _x_ 6 = 30_ 51

Vamos a obtener el factor constante (F.C.), dividiendo la cantidad a repartir (C.R.), entre la suma de Ă­ndices del reparto (S.I.R.), asĂ­:

F.C.

=

C.R. S.I.R.

F.C.

=

459 51

F.C.

=

9

Se multiplica el factor constante (F.C.) por cada uno de los Ă­ndices de reparto: Para A es 21 x 9 = 189 + Para B es 30 x 9 = 270 459

4.REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO INVERSO Repartir el número 6160 (C.R.) en partes Ejemplo : inversamente proporcionales a 2 ; 3 y 4, y simultáneamente a 2/3 , 1/ 2 y 5 (I.R.).

Primer elemento, Cantidad a Repartir: 1. C. R. = 6160 2. I.R. = 2 ; 3 ; 4, y 2/3 , 1/ 2 ; 5 A:2= 1 y Para ello, 2 vamos a B:3= 1 y invertir los 3 índices de reparto y luego C : 4 = 1 y multiplicarlos 4

2 3 1 2 5

=3

A:

2 =2

B:

=1

C:

5

1 . 3 2 2 1 . 2 3 1 . 1 4 5

=

=

=

3 4 2 3 1_ 20

A:

Hallamos el mínimo común múltiplo y lo multiplicamos por las fracciones

3 . 60 = 45 + 4 B : 2 . 60 = 40 3 C : 1 . 60 = 3_ 20

88

M.C.M.(4 - 3 - 20) = 60

Se divide la Cantidad a Repartir (C.R.) entre la suma de los índices de reparto (88)

F.C.

=

C.R. = 6160 S.I.R. 88

F.C.

=

70

Multiplicamos el factor A — 45 x 70 constante por cada uno B — 40 x 70 de los índices del reparto C — 3 x 70 45, 40 y 3

= = =

3,150 + 2,800 210__ 6,160

5. REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO MIXTO

Ejemplo 1: Repartir el número 4320 (C.R.) en partes directamente proporcionales a 3 ; 7 e inversamente proporcionales a 1/5 y 1/3.

Primer elemento, Cantidad a Repartir: 1. C. R. = 4320 2. I.R. = 3 ; 7 y 1/5 , 1/3 Para ello, vamos a invertir A : 3 no se invierte y sólo los índices de reparto que son inversamente B : 7 no se invierte y proporcionales

1 =5 5 1 =3 3

si si

Vamos a multiplicar los índices de reparto directos  A : 3 _x_ 5 = 15 +  B : 7 _x_ 3 = 21_ y los invertidos, para 36 luego sumarlos Vamos a obtener el factor constante (F.C.), dividiendo la cantidad a repartir (C.R.), entre la suma de índices del reparto (S.I.R.), así: F.C.

=

C.R. = 4320 S.I.R. 36

Multiplicamos el factor constante por cada uno de los índices del reparto generales: 15 y 21, para obtener los resultados

F.C.

=

120

Para A es 15 x 120 = 1800 + Para B es 21 x 120 = 2520 4320

TAREA: PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA CAP: Resolución de problemas INDICADOR: Verifica resultados de proporcionalidad numérica.

1) 2) 3) 4) 5)

Repartir 104 en partes directamente proporcionales a 3 y 5.

Repartir 78 en partes inversamente proporcionales a 2; 3 y 4 Repartir 208 en partes directamente proporcionales a 3; 4 y 6.

Repartir 156 en partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 8.

Una propina de S. 40 es repartida entre dos hermanos directamente proporcionales a sus edades que son 3 y 5 años. ¿Cuánto recibe el mayor?

6) Un padre decide repartir S/. 168 entre sus tres hijos en parte proporcionales a la nota que obtuvieron sus tres hijos; si sus notas fueron 12; 16 y 14 respectivamente. Hallar cuanto le corresponde al menor.

7) Repartir el número 143 directamente proporcional a 2 y 3, y simultáneamente a 5 y 4.

8) Repartir el número 126 inversamente proporcional a 3 y 5, y simultáneamente a 5 y 4.

9) Repartir el número 234 en dos partes directamente proporcional a 3 y 7 e inversamente proporcional a 2 y 4.

10)Repartir 2 225 dólares en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 3, 5 y 8 e inversamente proporcionales a 4; 6 y 9. Dar como respuesta la parte intermedia.