La geometría que nos rodea

La geometría que nos rodea

Alicia Urbano Peña

Alicia Urbano La geometrĂ­a que nos rodea

Universidad de Granada Facultad de bellas artes Granada 2011/2012

Introducción La geometría que nos rodea El hombre ha intentando, por todos los medios, extraer del aparente caos de la naturaleza, estructuras geométricas y medidas naturales lógicas a partir del crecimiento de las plantas, desarrollo de los esqueletos de los animales, la forma de las piedras y los minerales existentes en ella, para lograr un entendimiento con su medio y contexto y lograr sus propias creaciones artificiales.

A lo largo de este libro se presentan algunos ejemplos de estas formas geométricas.

GeometrĂ­a natural: La geometrĂ­a en la naturaleza

8 Geometría natural

Geometría natural: La geometría en la naturaleza El hombre, creador de la geometría y la matemática, ha llegado al conocimiento de las formas geométricas existentes en la naturaleza a través de procesos de abstracción y de elaboración, y la configuración de estas formas se refleja en el espacio creado por el hombre en todo tipo de realizaciones, principalmente en arquitectura.

Los elementos fundamentales de la geometría son el punto, la recta, el plano, los polígonos, los poliedros y las superficies. Estos elementos básicos del espacio poseen una gran carga expresiva ya que representan lo simple, lo puro, lo perfecto, hacia lo que todo tiende.

La geometría en la naturaleza 9

Por otro lado se pueden demostrar que los conceptos de equilibrio y eficiencia mecánica presentes en la naturaleza son dos aspectos básicos que se hallan también en ingeniería. Por un lado la naturaleza tiende al equilibrio, ya que este se define como el estado mecánico en el cual la suma de todas las fuerzas que actúan a la vez en un cuerpo es igual a cero.

El desequilibrio no es estable, es imperfecto, y por tanto en la naturaleza, no perdura. Este equilibrio requiere de la geometría a través de figuras que tienden a ser simétricas.

La evolución morfológica de los seres vivos ésta regulada por necesidades funcionales como es el movimiento, o recibir la luz solar, y por la acción de fuerzas internas como el crecimiento, o externas como la presión o la gravedad, éstas últimas son las que regulan a los cuerpos inertes. Cuando las fuerzas externas actúan de forma variable se generan formas irregulares, cuando son constantes, la forma evoluciona de acuerdo a unas pautas generándose estructuras simétricas: radiales, poliédricas...

Dentro de las simetrías en la naturaleza encontramos a la simetría radial y a la bilateral. La simetría radial, la menos compleja procede de una sola fuerza que ejerce casi un dominio total sobre el

10 Geometría natural

desarrollo de la forma. En una superficie bidimensional, quede expresada en copos de nieve, las flores, o los círculos concéntricos de una piedra arrojada a un lago. La simetría radial en formas tridimensionales conduce a formas esféricas.

La simetría bilateral constituye un sistema de fuerzas más complejo y surge de fuerzas que se manifiestan a lo largo de una línea. Las formas superiores de vida, como el cuerpo humano, son bilateralmente simétricas.

La simetría pentagonal y la hexagonal son habituales encontrarlas en la naturaleza. La hexagonal aparece en las configuraciones estáticas que determinan a los

La geometría en la naturaleza 11

seres inertes: panal de abejas, piedras de basalto, cristales de nieve... estructuras que crecen por aglutinación de unidades independientes y del mismo tamaño. Sin embargo la pentagonal es exclusiva de los seres vivos: estrellas de mar, erizos, flores...

A principios de s. XX D’Arcy Thompson1 desarrolla la morfología o ciencia de las formas. Descubre que el árbol debe cada una de sus curvas al material del que está hecho y la acción de la gravedad. El ángulo que toman sus ramas saliendo del tronco se asemeja a una curva logarítmica. Sus hojas se disponen según una serie predeterminada de números y su máxima altura está determinada por las leyes de la semejanza y la similitud. Toda su forma resulta de las fuerzas que operan contra él.

Una de las formas geométricas presentes en la naturaleza de forma evidente es la esfera. Ésta es una forma geométrica con grandes propiedades, como por ejemplo, ser el área mínima posible de su volumen, aspecto muy ventajoso en cuanto al ahorro de espacio en la conservación de materia, como puede ser el caso de una naranja o una sandía. Esta forma está especialmente en medios en los que la gravedad es mínima o tiende a cero, como puede ser el espacio o el medio acuático. Así las pompas de jabón, los seres unicelulares, 1

véase apéndice. Pág. 101

12 Geometría natural

las burbujas de aire en el mar, algunos crustáceos, los planetas y las estrellas son algunos ejemplos.

Los estudios teóricos que han analizado el crecimiento y forma de los seres vivos, y por otro lado las creaciones artísticas en todas sus modalidades, aparecen recurrentemente proporciones comunes como es el caso de la sección áurea o divina proporción. Es difícil hablar de geometría y naturaleza sin nombrar a la proporción áurea que se establece entre dos segmentos desiguales. Fue Vitruvio2 en el s .I a. de Cristo, el descubridor de dicha proporción presente en la naturaleza según la cual la relación entre el segmento a y b es la misma que hay entre el segmento a y c. El número razón que los relaciona es el número irracional 1’681..., es el llamado número de 2

véase apéndice. Pág. 121

La geometría en la naturaleza 13

oro. Esta relación numérica se repite sorprendentemente en la naturaleza en el crecimiento de las flores y plantas, frutas (distancia entre las espirales de una piña), proporciones humanas (relación entre la distancia de la mano al codo y del codo al hombro), animales (cantidad de abejas macho y hembras en un panal), proporciones geométricas (relación entre el lado del pentágono y diagonal), estelares (órbita de Venus).

Quizás esa sea la razón por la que nos resulta tan bella dicha proporción: aparece tanto en nuestro mundo que nos debe resultar visualmente familiar y armónica.

El hecho de aparecer repetida y misteriosamente en la naturaleza de modo tan abundante, le dio cierto aire enigmático y divino, (de ahí su nombre) como si alguien divino

14 Geometría natural

hubiera incluido esa proporción en sus creaciones.

Durante el renacimiento y a partir de él, se uso de modo casi obsesivo en detrimento de una división simétrica, pues los grandes maestros consideraban que lo simétrico era estático y una división desigual como la proporción áurea dotaba a la obra de dinamismo y atractivo visual.

Además, si Dios la había usado para sus creaciones, cómo no iba el hombre a utilizarla.

Las hojas de una planta se cubren entre sí lo menos posible para un mejor aprovechamiento de la luz, lo mismo se aplica a las ramas que nacen del tronco, las hojas se desarrollan en posición de ligera rotación sobre la precedente, dando una pauta de crecimiento en espiral donde existe una relación numérica con la serie Fibonacci3. Este hecho ya fue estudiado por Leonardo da Vinci4: la filotaxia, que consiste en que las hojas se ordenan en el crecimiento según una hélice ascendente sobre el tallo, siendo éste su modelo de crecimiento geométrico.

Una forma geométrica muy reconocida en la naturaleza es la espiral presente en conchas marinas, cuernos de 3 4

véase apéndice. Pág. 103 véase apéndice. Pág. 100

La geometrĂ­a en la naturaleza 15

16 GeometrĂ­a natural

La geometría en la naturaleza 17

ovinos....que exhiben las características de la espiral equiangular con crecimiento desde un solo punto. El grado de incremento en el radio determina el tipo de espiral. Sobre los muchos tipos de espirales que existen en la naturaleza, domina la espiral logarítmica, equiangular o de proporción áurea, en la que cada incremento de la curva es proporcional a la distancia del punto central o a la distancia atravesada por la misma espiral.

Una de las fuerzas más importantes de la naturaleza es la forma en que el espacio queda dividido.

En realidad, ninguna de las formas geométricas de la naturaleza está presente en toda su pureza.

Todas ellas son aproximaciones. El ser humano es el que ha buscado un paralelismo mediante la similitud de las formas naturales y las formas geométricas puras aprendidas mediante la abstracción, pero sin duda, y por su gran parecido, pueden llegar a compararse.

18 GeometrĂ­a natural

La geometrĂ­a en la naturaleza 19

Arte geomĂŠtrico: La influencia de la geometrĂ­a en el arte

22 Arte geométrico

Arte geométrico: La influencia de la geometría en el arte La geometría está presente en el arte desde tiempos prehistóricos.

Los pueblos primitivos demostraron una noción intuitiva de la geometría en cuanto a sus propias construcciones (la presencia del ángulo recto es muy abundante).

Los egipcios ya usaban el número de oro de forma indirecta. El triángulo sagrado utilizado en construcciones o el triángulo rectángulo, sus lados están basados en una progresión geométrica. Ambos han sido utilizados en las construcciones de las pirámides. Cada una de sus caras está formada por dos medios triángulos áureos.

La influencia de la geometría en el arte 23

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían “inventado” la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto5, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides6.

Durante el esplendor de la civilización griega y romana, la geometría experimento uno de sus momentos álgidos, ya que se desarrolló de una manera muy rápida y efectiva en un corto periodo de tiempo gracias a sabios como Pitágoras7 y Euclides. Pitágoras se ocupó de las propiedades de los triángulos y los poliedros. Euclides plasmó las ideas principales de sus teorías en una obra titulada Los elementos. En ella se presenta de manera formal, el estudio de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc., es decir de las formas regulares.

5

véase apéndice. Pág. 102 véase apéndice. Pág. 106 7 véase apéndice. Pág. 118 6

24 Arte geométrico

Tanto en escultura como en arquitectura se emplea el término canon que era un sistema de medidas que regulaba las proporciones utilizando como unidad de medida el pie en el caso de la arquitectura y, en especial para realizar la altura de las columnas y, la cabeza en el caso de la escultura.

Vitruvio, arquitecto romano y personaje clave en la transmisión de la geometría griega afirma que simetría proviene de proporción, a partir de las medidas de una parte -un módulo- se construye una obra entera. Simetría y proporción son las bases en las que se asienta la geometría de sus diseños.

La cultura islámica desarrolló un arte basado en la geometría plana,

La influencia de la geometría en el arte 25

que sustituía a la representación humana en la decoración. En especial destacan motivos geométricos que se entrelazan y que derivan en redes poligonales.

Durante el renacimiento hay que destacar al arquitecto Filippo Brunelleschi8 que desarrolló durante el s. XV un trabajo de investigación en torno a la perspectiva basándose en el estudio del concepto de pirámide visual. Brunelleschi concibió la idea de que un plano que interceptase a una pirámide visual daría lugar a una representación en perspectiva, lo cual constituía la base geométrica de la pintura renacentista.

El artista más importante del renacimiento en Alemania fue Durero9. Se interesó en el estudio de las teorías 8 9

véase apéndice. Pág. 96 véase apéndice. Pág. 104

26 Arte geométrico

de la perspectiva, proyecciones, y puntos de fuga. Fue un gran maestro de la geometría descriptiva y proyectiva. Además, escribió tratados sobre la proporción humana basándose en aplicaciones sobre geometría. En ellos se refleja como dibujar una circunferencia en perspectiva, dibujar escorzos de personas realizando cuadrículas para facilitar el trazado.

Otro artista y gran estudioso de la geometría fue Leonardo da Vinci10. Destacan sus estudios de pintura en los cuales defendió que había que respetar tres efectos principales a la hora de captar la realidad de una imagen: la disminución del tamaño del objeto al aumentar la distancia entre espectador y objeto, la pérdida de los contornos y con en dicho aumento, y por último, la existencia del traslapo (efecto producido por la superposición de un objeto con otro) y el escorzo.

La siguiente gran aportación de la geometría que influyó en los modos de representación de la realidad fue en el s. XVIII con el geómetra Gaspard Monge11. Con su obra Geometría Descriptiva demostró que se podía representar objetos tridimensionales sobre el plano bidimensional a través de varios sistemas de representación en especial el sistema diédrico.

10 11

véase apéndice. Pág. 100 véase apéndice. Pág. 113

La influencia de la geometría en el arte 27

En el s. XIX Carl F. Gauss12, matemático, físico y astrónomo alemán estudia de un modo novedoso las superficies curvas y sus propiedades. Establece la definición de geodésica (líneas pertenecientes a superficies curvas, como el ecuador terrestre) y trata los elementos fundamentales de estas superficies, contradiciendo los postulados de Euclides, dando lugar a una nueva concepción de geometría.

En el s. XX encontramos una gran aportación al mundo de la geometría, se trata de Le Corbusier13. Arquitecto, urbanista, teórico de la arquitectura moderna y uno de los grandes arquitectos del s. XX. Sus ideas eran fruto de una reacción ante la sociedad 12 13

véase apéndice. Pág. 107 véase apéndice. Pág. 108

28 Arte geométrico

Catedral de Santa María della Fiore.

Florencia, Italia

Cúpula de la Galería Vittorio Emanuele.

Milán, Italia

La influencia de la geometría en el arte 29

eminentemente industrializada. Se intereso por las viviendas unifamiliares, por lo estético y a la vez funcional, basado en las formas puras y los colores esenciales. Las formas geométricas presentes en su obra son esencialmente el cubo y el ángulo recto.

Le Corbusier también diseñó un sistema de proporciones partiendo de la idea Vitruvio de un hombre de seis pies con el brazo extendido: el Modulor, basado en la proporción áurea. El sistema de medidas del Modulor definía el espacio que ocupa el hombre, y supuso un referente para el diseño, el espacio habitable y el mobiliario.

Por otro lado, las vanguardias artísticas tuvieron en más de una ocasión como protagonista a la geometría. Paul Cezánne14 declaró que todo en la naturaleza se modela según la esfera, el cono, y el cilindro. Hay que aprender a pintar sobre la base de estas figuras simples, después se podrá hacer todo lo que se quiera. Esta frase influyó en el movimiento artístico del cubismo, sobre todo en sus inicios, donde trataba de simplificar la naturaleza a través de elementos geométricos fundamentales. Otras vanguardias como el suprematismo la trataron de forma más directa, pues evitaba a las formas naturales para basarse en las geometrías puras.

14

véase apéndice. Pág. 99

30 Arte geométrico

También el constructivismo, movimiento de origen ruso y el neo-plásticismo, de origen holandés al que perteneció Piet Mondrian15, recurrieron a la geometría de este modo directo, utilizando paralelogramos, prismas, rectas y puntos y aplicando colores puros.

En el campo de la arquitectura de este siglo, y atendiendo especialmente a aspectos geométricos y estructurales, es necesario nombrar al arquitecto Santiago de Calatrava16, autor de la Ciudad se las ciencias en Valencia. Su trabajo se basa en aspectos estructurales presentes en la naturaleza, ya que han demostrado ser funcionales y eficientes en ella. Aprende de esas soluciones que la naturaleza ha dado por azar, y que han permanecido en el tiempo, precisamente por ser eficientes, y las transforma aplicándolas a problemas arquitectónicos modernos. Esa es la razón por la que el aspecto de sus construcciones recuerda en ocasiones a formas naturales, ramas, esqueletos, raíces...

15 16

véase apéndice. Pág. 112 véase apéndice. Pág. 98

La influencia de la geometría en el arte 31

La geometría es una de las cualidades propias tanto de la naturaleza como del mundo del arte por distintas razones, o quizás por la misma. La geometría en la naturaleza ha demostrado que es una de las ciencias más eficientes en cuanto a lo estructural y a lo funcional.

La presencia de la geometría en el arte, es quizá algo distinta, pero con la misma consecuencia. Su presencia es más pura, más geométricamente perfecta y esto ha permitido construcciones sabias a lo largo de la historia, construcciones que han soportado cada vez más peso con menos material (como fue el paso del románico al gótico), obras más expresivas en su campo y nuevas visiones nunca antes vistas en el mundo de la pintura.

El ser humano ha sabido aprender de las soluciones naturales, ha conseguido apreciarlas, estudiarlas, y dominarlas, con el objetivo fundamental de aplicar las propiedades geométricas para sus creaciones, ya sea en el diseño de una vivienda, de un perchero o de una tarjeta de visita.

La geometrĂ­a fractal: La geometrĂ­a de Mandelbrot

34 La geometría fractal

La geometría fractal: La geometría de Mandelbrot “Fractal es una palabra acuñada por Mandelbrot17 para reunir bajo un solo nombre una gran familia de objetos que han tenido un papel histórico en el desarrollo de la matemática pura. Una gran revolución en las ideas separa la matemática clásica del sigo XIX de la matemática moderna del XX. La matemática clásica está enrizada en las estructuras regulares de la geometría de Euclides18 y en la evolución continua característica de la dinámica de Newton19. La matemática moderna empezó con la teoría de conjuntos de Cantor y la curva de Peano que lleva el plano.

17

véase apéndice. Pág. 110 véase apéndice. Pág. 106 19 véase apéndice. Pág. 114 18

La geometría de Mandelbrot 35

Desde el punto de vista histórico, la revolución se produjo al descubrirse estructuras matemáticas que no encajaban en los patrones de Euclides y Newton. Estas nuevas estructuras fueron consideradas… ”patológicas”,…como “una galería de monstruos”, emparentadas con la pintura cubista y la música atonal, que por aquella época trastornaron las pautas establecidas en el gusto artístico. Los matemáticos creadores de esos monstruos les concedían importancia por cuanto mostraban que el mundo de la matemática pura tiene una riqueza de posibilidades que va mucho más allá de las estructuras sencillas que veían en la naturaleza. La matemática del siglo XX floreció en la creencia de que había trascendido completamente las limitaciones impuestas por sus orígenes naturales.

Sin embargo, como señala Mandelbrot, la naturaleza ha gastado una broma a los matemáticos. Quizá a los matemáticos del siglo XIX les haya faltado imaginación, pero no así a la naturaleza. Las mismas estructuras patológicas que inventaron los matemáticos para escapar del naturalismo del siglo XIX han resultado ser inherentes a muchos de los objetos que nos rodean”.

DYSON, Freeman. Science. American Asociation for the Advancement of Science. 1978.

36 La geometría fractal

La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclídea también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas.

Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza.

Un fractal es algo irregular, pero lo más importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, seguirá siendo irregular ya que es una figura que mantiene su forma original aunque se le cambie de escala, es decir, por más veces que se le modifique la dimensión seguiremos obteniendo una figura similar a la anterior. En general los fractales son figuras geométricas que se caracterizan por su semejanza, son estructuras infinitas que podrás dividir y dividir, fraccionar y fraccionar cuantas veces desees y seguirán teniendo la misma estructura sin cambiar, a pesar de que siempre se encontrarán en una superficie finita.

La geometrĂ­a de Mandelbrot 37

38 La geometría fractal

“Los fractales son curiosos objetos geométricos generados por la iteración infinita de un algoritmo bien especificado. La dimensión de un fractal es fraccionaria. El Fractal es, matemáticamente una figura geométrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación”.

Benoît Mandelbrot

La mayoría de las figuras que hay a nuestro alrededor son fractales y las formas fractales se encuentran en la naturaleza, donde existe un caos y un orden gracias a que estos se pueden repetir en escalas cada vez más pequeñas existe el fenómeno, denominado fractal.

Gracias a los fractales se han podido analizar fenómenos, tales

La geometría de Mandelbrot 39

como: turbulencias, bolsa de valores, dispersión del humo, etc., además de sintetizar imágenes como: montañas, ramas de los árboles, nubes, costas rocosas, ríos, flores, planetas, etc. Un ejemplo sencillo y básico para comprender mejor los fractales es la ramificación de un árbol: del tronco salen las ramas, de estas ramas crecen otras más pequeñas de estas ramitas salen ramas mas pequeñas con detalles que se repiten hasta las ramitas más y más pequeñas.

Es en la década de los setenta, cuando los fractales surgen de la curiosidad de los matemáticos, quienes mediante el desarrollo de intuiciones, fórmulas y abstracciones crearon una manera distinta de ver la realidad. Generalmente, si nosotros observamos nuestro alrededor, encontramos formas geométricas ordenadas y bonitas, mientras que en el mundo de los fractales predomina el caos y las figuras monstruosas llevándonos al conocimiento de la complejidad, el desorden y movimiento que existen en la naturaleza y la sociedad. Sin embargo, gracias a la belleza de los fractales podemos observar la belleza del caos, quitándonos esa idea negativa que tenemos de él, inspirándonos a investigar y comprender mejor la turbulencia, lo inesperado, lo azaroso, la no linealidad, etc., que existen en el

40 La geometría fractal

universo, la naturaleza y la sociedad. El caos y los fractales están íntimamente relacionados, tanto, que podemos decir que los fractales constituyen el lenguaje del caos, y por tanto en un fractal hay orden y caos en perfecta armonía.

Benoît Mandelbrot, considerado el padre de la teoría de los fractales, fue el primer científico que utilizó este término, brotándole la idea al jugar con los números. Su interés por los fractales nació de la certeza de que las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, así como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea recta.

“Fractales es el conjunto de formas que, generadas normalmente por un proceso de repetición, se caracterizan por poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita, por no ser diferenciables y por exhibir dimensión fraccional. Los fractales son resultado de la repetición al infinito de los patrones geométricos que se superponen de forma indefinida” Benoît Mandelbrot

Para mostrar que su teoría fractal la encontramos principalmente en la naturaleza, describe a la coliflor como un clásico ejemplo natural de lo que es una figura fractal: “Si vemos una coliflor,

La geometrĂ­a de Mandelbrot 41

42 La geometría fractal

podemos decir que parece una media esfera. Si la miramos con mayor atención, vemos que es irregular, y que la media esfera en realidad está compuesta por varias pequeñas esferas, cada una al final de un tallo. Si separamos un tallo, vemos que al final de éste, hay un fragmento de coliflor que bien podría ser otra pequeña coliflor. Si seguimos cortando tallos cada vez más chicos, vemos que obtenemos una fracción que repite la estructura del cuerpo del cual proviene, y así sucesivamente. Observamos que tiene una estructura autosimilar”.

Mandelbrot nos propone realizar un ejercicio para construir nosotros mismos un tipo de figuras fractales de manera muy sencilla y así comprenderlas mejor: “Tomemos un triángulo equilátero cualquiera, al que se le denominará iniciador. Divídase cada lado en tres partes iguales. En las partes intermedias de cada lado añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea igual a la tercera parte del lado original. Enseguida, divídase otra vez cada uno de los lados de la figura así formada en tres partes iguales, y en cada parte intermedia añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea igual a la longitud resultante.Y así sucesivamente hasta cansarnos. Esta figura es un fractal y tiene longitud infinita.

La geometría de Mandelbrot 43

Las estructuras fractales están presentes en todos lados: en aparatos y sistemas de los seres vivos, como los vasos capilares, tubos intestinales, biliares y bronquiales, en las redes neuronales, etc. También los observamos en todo lo que es natural, existen diferentes formas de figuras fractales, algunas de estas las encontramos en árboles, hojas, montañas, flores.Y otras son creadas por fórmulas matemáticas. Se dividen en: Fractales Lineales: Son los fractales clásicos, son similares. Si vemos una parte específica muy pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a la forma original del fractal, solamente que más pequeña. Esto se puede repetir y repetir y siempre veremos lo mismo pero más y más pequeño. Las plantas son un ejemplo básico de este tipo de fractal.

Fractales No lineales: Son fractales que presentan una estructura similar, pero no son exactamente igual a su original. Si vemos de cerca una parte específica de in fractal se parecerá al original pero tendrá unas pequeñas variaciones.

La secci贸n 谩urea: La divina proporci贸n

46 La sección áurea

La sección áurea: La divina proporción Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. En su libro Los Elementos, Euclides20 demostró la proporción que Platón había denominado “la sección”, y que más tarde se conocería como “sección áurea”. Esta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griega; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban como encarnación de la lógica 20

véase apéndice. Pág. 106

La divina proporción 47

divina. Jan Vermeer21 la usó en Holanda; pero, años después, el interés por ella decreció hasta que Piet Mondrian22 estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea.

También conocido como la Divina Proporción, la Media Áurea o la Proporción Áurea, se encuentra con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales así como en el arte y la arquitectura hechos por el hombre, en los que se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618.

Sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados. Los antiguos griegos, por ejemplo, creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios “estaba” en el número.

Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se obtiene la Sección Áurea.Y si se mira la forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la Sección Áurea.

21 22

véase apéndice. Pág. 120 véase apéndice. Pág. 112

48 La sección áurea

En arte y la arquitectura también se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de la Sección Áurea. Las dimensiones de la Cámara Real de la Gran Pirámide se basan en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corbusier23 diseño su sistema Modulor basándose en la utilización de la proporción áurea, el pintor Mondrian basó la mayoría de sus obras en la Sección Áurea, Leonardo24 la incluyó en muchas de sus pinturas. La Sección Áurea también surge en algunos lugares inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones.

Luca Pacioli25, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección 23

véase apéndice. Pág. 108 véase apéndice. Pág. 100 25 véase apéndice. Pág. 116 24

La divina proporci贸n 49

50 La sección áurea

Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras26 antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la “geometría recreativa”, esto parece una suposición razonable. También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado perfecto.

Después de Leonardo, artistas como Rafael27 y Miguel Ángel28 hicieron un eran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel, El David, se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

26

véase apéndice. Pág. 118 véase apéndice. Pág. 119 28 véase apéndice. Pág. 97 27

Leonardo Da Vinci. San Jerónimo. 1480

La divina proporciﾃｳn 51

Leonardo Da Vinci. La Gioconda. 1503-1519

Miguel ﾃ］gel. David. 1501-1504

52 La secci贸n 谩urea

Catedral de Como. Como, Italia.

La divina proporción 53

Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Áurea.

Leonardo da Vinci en su estudio sobre la divina proporción, conocido como El Hombre de Vitruvio29, realiza una visión del hombre como centro del Universo al quedar inscrito en un círculo y un cuadrado. El cuadrado es la base de lo clásico: el módulo del cuadrado se emplea en toda la arquitectura clásica, el uso del ángulo de 90º y la simetría son bases grecolatinas de la arquitectura. En él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza. Trataba de vincular la arquitectura y el cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el “plan global de las cosas”. En este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza.

29

véase apéndice. Pág. 121

54 La secci贸n 谩urea

La divina proporción 55

“Vitruvio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre.

Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre.

La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro».

DA VINCI, Leonardo. Hombre de Vitruvio.Venecia, 1490.

La secuencia de Fibonacci: Los nĂşmeros de Fibonacci

58 La secuencia de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci: Los números de Fibonacci La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1,1,2,3,5,8,13,...). Resulta sorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Esto quiere decir que es una serie de números

Los números de Fibonacci 59

que se genera aplicando determinadas reglas. De hecho, es muy sencillo imaginar una sucesión de números, y existen infinitas de ellas. Sin embargo, algunas son más “famosas” que otras. Por lo general, se intenta que las leyes que dan lugar a la sucesión sean lo mas simple y claras posibles. Leonardo de Pisa30, también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.

Se trata de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584..., ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13... etc. Los números de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo de valores, poseen varias propiedades interesantes. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominada “razón dorada”, “sección áurea” o “divina proporción”.

Este número, descubierto por los renacentistas, tiene un valor de 30

véase apéndice. Pág. 103

60 La secuencia de Fibonacci

Los números de Fibonacci 61

(1+ raíz de 5)/2 = 1.61803..., y se lo nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo. Como ya hemos comentado en el capítulo anterior, los griegos y renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza. Un objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajustase a la sección áurea era estéticamente más agradable que uno que no lo hiciese.

La sucesión de Fibonacci está estrechamente emparentada con la naturaleza. Algunos aseguran que Leonardo encontró estos números cuando estudiaba el crecimiento de las poblaciones de conejos, y es muy posible que así sea. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos: cada mes habrá un numero de conejos que coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

62 La secuencia de Fibonacci

Las ramas y las hojas de las plantas son más o menos eficientes para atrapar el máximo de luz solar posible de acuerdo a la forma en que se distribuyen alrededor del tallo. En general, las hojas nacen siguiendo una espiral alrededor del tallo. Fijemos nuestra atención en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero.

Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja “cero”.Veremos que en la mayoría de las plantas este número pertenece la sucesión de Fibonacci.

Además, si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.

El número de espirales que pueden verse en numerosas variedades de flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión. El ejemplo más frecuentemente citado es la de la flor del girasol, cuya gran mayoría posee 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.

Las margaritas también obedecen a esta secuencia, y acomodan sus semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas, prácticamente cualquier variedad que encuentres, también presentan un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los

Los números de Fibonacci 63

números de Fibonacci, por lo general 8 y 13 o 5 y 8.

Cuando uno comienza a bucear un poco en la forma en que los vegetales crecen o acomodan sus semillas, parece que se han programado en sus códigos genéticos los términos de la sucesión de Fibonacci. Sin embargo, solo se trata de los resultados de la evolución, una cuestión meramente práctica que coincide con los números de Leonardo.

Simplemente, las plantas que acomodan sus semillas de esta forma logran “meter” una mayor cantidad de ellas en el mismo espacio, “economizando” valiosos recursos.

A lo largo de los milenios, la selección natural las ha premiado con la proliferación, a la vez que ha extinguido a las menos eficientes. La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de la naturaleza, también se relaciona estrechamente con el nexo que existe entre esta sucesión y el número áureo, motivo por el cual los griegos encontraban “tan naturales y agradables” las obras que se basaban en él. A una escala mucho mayor, los brazos en espiral de las galaxias también se acomodan según los números de Fibonacci.

64 La secuencia de Fibonacci

Los nĂşmeros de Fibonacci 65

La simetría: Simetría bilateral y simetría radial

68 La simetría

La simetría: Simetría bilateral y simetría radial “Simetría es ese equilibrio que se manifiesta en toda la naturaleza desde el elemento más pequeño, más simple del mundo inorgánico a los sistemas más organizados del mundo orgánico, haciéndose extensivo a la creación artística del hombre”.

GAY, Hebe Dina. Recorriendo simetrías. Naturaleza y arte. Academia Nacional de ciencias. Córdoba (Argentina), 2006.

El origen de la palabra simetría nos lleva a pensar en armonía, orden, belleza. La simetría desde la antigüedad ha influido en la creación artística, ya sea desde un punto de vista geométrico o en un sentido amplio.

Simetría bilateral y simetría radial 69

Simetría supone repetición, ya sea por reflexión, por rotación o por traslación. La simetría se puede ver en un plano o en el espacio. Los pitagóricos consideraban al círculo en el plano y a la esfera en el espacio como las figuras geométricas más perfectas, por su simetría rotatoria completa.

Toda idea de simetría está sustentada por la matemática; la simetría en la naturaleza es el resultado de las leyes matemáticas que rigen a la naturaleza. Instintivamente nos atrae la belleza, todo aquello donde existe equilibrio, una flor, una hoja, un animal, un cristal, o una obra arquitectónica; también percibimos fácilmente lo defectuoso. El sentir la simetría es algo natural.

La simetría desde la antigüedad ha influido en la creación artística, ya sea desde un punto de vista estrictamente geométrico o en un sentido amplio. Policleto, usa la palabra simetría, como proporción en las esculturas. Para Vitruvio31, significa la proporción geométrica, la conmensurabilidad entre el todo y las partes, correspondencia determinada por una medida común entre las diferentes partes del conjunto y entre estas partes y el todo. La palabra simetría conserva este sentido hasta fines del siglo XVII. 31

véase apéndice. Pág. 121

70 La simetría

Simetría supone repetición, ya sea por reflexión, por rotación o por traslación: Reflexión, existe un plano que transporta cada punto a su imagen especular, es decir un plano que actúa de espejo dando como consecuencia una figura de simetría bilateral. Rotación, se produce alrededor de un eje de orden “n”, llevando un punto a repetirse “n” veces en cada rotación, a intervalos de 360°/n.

Traslación, repetición rectilínea con un ritmo espacial constante.

La naturaleza en general muestra una organización bilateral, particularmente en el mundo orgánico, presentándose los tres tipos de simetría: bilateral, rotatoria y traslatoria.

En el reino animal prevalece la simetría bilateral que evidencia, en su aspecto externo, el cuerpo humano. Esta simetría que también la encontramos en los vegetales, caracterizada por la existencia de un plano de reflexión, aunque no se manifieste a la perfección, sí podemos hablar de un equilibrio derecha-izquierda.

La simetría traslatoria en los animales no es muy frecuente. La rotación producida por la simetría cíclica puede

SimetrĂ­a bilateral y simetrĂ­a radial 71

72 La simetrĂ­a

Simetría bilateral y simetría radial 73

combinarse con desplazamientos originando un movimiento helicoidal, que puede ser a lo largo de un eje, alrededor de un cono o en un plano.

Con respecto a simetría en el arte se podría señalar su presencia en: arquitectura, escultura, pintura, poesía, música y danza. Se hacen menciones en artes plásticas y arquitectura, incluyendo decoraciones arquitectónicas.

La simetría en el arte fue resultado de planteamientos geométricos que se ejercieron desde las primeras manifestaciones artísticas. La geometría adquirió importancia en el Renacimiento, cuando resurge el clasicismo, circunstancia en la que los artistas dedicados al perfeccionamiento del realismo se interesan por aplicar la ciencia en el arte.

Con el alejamiento de la figuración, se llega a la valoración de la línea, la forma y el color como recursos propios del arte pictórico, teniendo a la geometría como único sostén en el orden de una obra.

74 La simetrĂ­a

SimetrĂ­a bilateral y simetrĂ­a radial 75

El movimiento browniano: El azar

78 El movimiento browniano

El movimiento browniano: El azar Robert Brown32 fue hijo de un pastor protestante escocés. Nacido en 1773 fue el típico erudito autodidacta, soberbio, diligente y meticuloso hasta el fanatismo. Estudió medicina en Edimburgo y trabajó unos años como ayudante de un cirujano en un regimiento de Fifeshire. Mientras hacía esto, se puso a aprender alemán.

Estudiaba los nombres y sus declinaciones antes del desayuno y la conjugación de los verbos auxiliares después. Armado con sus nuevos conocimientos, empezó a dominar toda la documentación alemana sobre botánica.

32

véase apéndice. Pág. 95

El azar 79

En 1798 hizo una visita a Londres donde conoció al gran botánico Sir Joseph Banks, en aquel momento presidente de la Royal Society.

Nuestro hombre lo impresionó de tal manera que tres años después hizo, con la recomendación del mismo Banks, un largo viaje a Australia regresando en 1805 con cerca de 4.000 especímenes de plantas exóticas pulcramente guardadas en el barco.

Pasó varios años describiendo, clasificando y catalogando esos especímenes, a la vez que trabajaba de bibliotecario y asistente personal de Banks. De ahí, salió el embrión de lo que ha llegado a ser el departamento botánico del Museo Británico, del que fue el primer encargado profesional.

Brown conoció a Charles Darwin. Darwin dijo de él que era contradictorio, profundamente sabio, pero muy dado a la pedantería, generoso en unos aspectos, malhumorado y receloso en otros. “Me pareció que destacaba sobre todo por la puntillosidad de sus observaciones y su perfecta exactitud”.

Brown es conocido, sobre todo, por un estudio de los granos de polen de la Clarkia pulcella, una flor silvestre popular actualmente entre los jardineros, descubierta en 1806 por Meriwther Lewis, aunque le puso el nombre de su compañero de exploración: William Clark.

80 El movimiento browniano

Brown pretendía analizar minuciosamente la forma y tamaño de los granos de polen con un microscopio. Pero se encontró con un problema: no paraban de moverse. Se desplazaban erráticamente por el campo de visión. No era el primero que veía eso.Ya Leeuwenhoeck33 había escrito que los “animáculos” se movían en el agua cuando los observaba arriba, abajo, en círculo… decía que era fantástico observarlo. Algunos de aquellos animáculos tenían minúsculas pilosidades o finísimas extensiones que les permitían nadar, así que el movimiento podía ser explicado por la fuerza vital.

Aunque los granos de polen eran simples y carecían de partes móviles eran innegablemente orgánicos. Brown supuso que, al ser las partes masculinas del equipo reproductivo de una planta, también tenían ese espíritu vital que los impulsaba a moverse. No obstante, desconfiaba de estas hipótesis tan vagas. A Brown le encantaba la observación, así que observó otras plantas y pudo ver también un movimiento similar, pero lo mismo sucedió con fragmentos de hojas y tallos.

Probó con partículas de colorante, pequeños fragmentos de trozos de madera petrificada, trozos de cristal ordinario, etc. Incluso con polvo de un trozo de la Esfinge a la que tenía acceso como 33

véase apéndice. Pág. 109

El azar 81

82 El movimiento browniano

El azar 83

encargado del Museo Británico. Aunque era materia indudablemente inanimada o muerta se movía como todo lo demás.

Intentó averiguar la causa de esos movimientos.

Aparte de no ser debidos al movimiento vital, tampoco lo eran por vibración, por acción del calor o por influencias eléctricas o magnéticas. Como era un escrupuloso botánico descriptivo y no un filósofo de la naturaleza no hizo hipótesis alguna. Murió en 1858 y, como dijo Charles Darwin: con él murieron muchas cosas, debido a un excesivo temor de no cometer nunca un error.

La comunidad científica ignoró el movimiento browniano durante décadas. Los que lo observaban lo consideraban una molestia y la mayoría de los botánicos y zoólogos persistían en la idea del movimiento vital. No obstante, la cosa iba a cambiar.

Ludwig Christian Wiener era un profesor que daba clases de matemáticas y geometría en universidades alemanas. En 1863 repitió los experimentos de

84 El movimiento browniano

Robert Brown e hizo una hipótesis muy especulativa: que todo ese movimiento era explicable si el líquido en el que se retorcían las partículas brownianas estaban compuestos de furiosos átomos que las chocaban por todas partes.

Por aquella época los átomos eran demasiado pequeños para ser vistos ni percibidos por ningún medio directo, y aunque podían resultar muy útiles como modelos no se acababa de aceptar su existencia. Naturalmente los químicos se veían casi forzados a creer en ellos. Si no existieran, ¿cómo podrían explicar tantas reacciones químicas con tanta sencillez? ¿Por qué habría de comportarse la materia, en tantos sentidos y tan enteramente como si fuera atómica, no siéndolo en realidad? Algunos químicos, sin embargo, sostenían que no era prudente salirse de los fenómenos mensurables. Así pensaban hombres como Wilhelm Ostwald34, quienes exigían de forma rigurosa efectos directamente observables para aceptar su existencia. Incluso a principios del siglo XX mantenía que los átomos no existían.

Allá por los años 1860, el físico escocés James Clerk Maxwell35 había propuesto una impresionante explicación de las propiedades de los gases a base de partículas moviéndose al azar. Maxwell había 34 35

véase apéndice. Pág. 115 véase apéndice. Pág. 111

El azar 85

86 El movimiento browniano

aprendido toda esa estadística leyendo al matemático belga Adolphe Quetelet, quien había clasificado los índices de criminalidad en Francia de acuerdo con la edad, educación, clima de la localidad en la que se sufría el crimen y la época del año en que se producía; lo que había sido el principio de la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias demográficas y sociales.

En seguida surgió la sospecha de que las partículas del líquido, al moverse al azar, podrían empujar en uno y otro sentido a las partículas más gruesas en suspensión. Podía ser que los granos de polen o de tinte estuvieran siendo bombardeados por las partículas de agua y que fuera eso era lo que producía el movimiento browniano.

Podría haber momentos en que les chocarían más partículas de un lado que de otro y de este modo nosotros veríamos a la partícula browniana desplazándose aun sin ver a las pequeñas. Estaban viendo el resultado de la acción directa de los átomos que componían la suspensión.

Una serie de jesuitas franceses también formuló esa misma hipótesis. El Padre Joseph Delsaulx atribuye a un amigo anónimo la idea de que el movimiento browniano era el resultado de la agitación constante de las partículas o átomos que componen un líquido.

El azar 87

El problema es que había que demostrarlo pero no tenían el aparato matemático necesario. Aunque Boltzmann36 sí lo tenía no intentó resolverlo. Ni siquiera Maxwell se interesó.

En 1905 entra en escena un hombre de 26 años. Trabajaba en una casa de patentes en Berna porque había sido incapaz de conseguir una posición académica. Aparte de realizar su trabajo, cuando no había jefes por allí, desarrollaba sus ideas de física. Tenía que hacerlo con cuidado, pues cuando el jefe entraba tenía que esconder rápidamente esos bocetos y fórmulas en un cajón. El nombre de este hombre no es otro que Albert Einstein37.

El gran sabio llegó a sentirse fascinado por las densas y prolijas monografías de Boltzmann. También él se dio cuenta que una partícula lo bastante pequeña sumergida en un líquido rebotaría por todas partes a causa de las colisiones moleculares. Se preguntó si el movimiento de una partícula suficientemente grande como para ser vista al microscopio podría constituir una prueba directa de la existencia de los átomos.

No era tarea fácil. Otros científicos anteriores habían visto que una partícula browniana tenía que tener, por término medio, la misma energía de movimiento que las moléculas del líquido en las que 36 37

véase apéndice. Pág. 94 véase apéndice. Pág. 105

88 El movimiento browniano

El azar 89

estaban suspendidas. Esas moléculas de líquido con masa mucho menor se moverían por todas partes a toda velocidad, mientras que las partículas brownianas avanzaban de forma mucho más torpe.

Por supuesto, había que aplicar estadística. Resumiendo, había que encontrar una relación matemática entre la velocidad media de una molécula de líquido (que se movía muy deprisa) y la velocidad media de la molécula browniana (que se movía más despacio). Recordemos, además, que el movimiento browniano es mayormente errático.

Einstein siguió otro camino, como tantas veces hizo. Trazó un círculo imaginario alrededor de una molécula y se preguntó cuánto tardaría, por término medio, en alcanzar el borde de dicho círculo. De este modo, obtuvo un resultado teórico que podía ser sometido a experimentación. Estos resultados fueron publicados en 1905 junto a otros famosos ensayos, entre ellos la Teoría Especial de la Relatividad y otras provocadoras ideas sobre la naturaleza corpuscular de la luz.

Aquí hay un detalle sorprendente. Resulta que cuando Einstein inició sus cálculos, ni siquiera había oído hablar del movimiento browniano.

Fue mientras lo escribía cuando se enteró que el fenómeno ya era conocido por botánicos y otros durante generaciones anteriores. De hecho, en la introducción escribió: “Es posible que

90 El movimiento browniano

los movimientos que se discutirán aquí sean idénticos al llamado “movimiento molecular browniano”; sin embargo, los detalles que he conseguido establecer en relación a este último son tan imprecisos que no puedo formarme un juicio sobre el particular”.

Según su fórmula, las partículas suspendidas en un vaso alto de líquido debían reflejar, en su distribución, el equilibrio entre la fuerza gravitatoria y el efecto del movimiento browniano. Si actuase sólo la gravedad, todas las partículas se irían al fondo. Si sólo actuase el movimiento browniano, se esparcirían con uniformidad. Bajo la acción de ambos fenómenos deberían esparcirse concentrándose hacia el fondo cada vez con más densidad.

Einstein era un teórico y se conformó con obtener la ecuación.

Tres años después, en 1908, el físico francés Jean Perrin38 suspendió en agua granitos de resina y de goma y contó el número de granos a distintos niveles. Halló que ese número crecía hacia abajo.Y lo mejor de todo: concordaba exactamente con lo predicho por la ecuación de Einstein. También obtuvo, además, una medida razonablemente aproximada del peso real de las moléculas sueltas. El antiatomista Ostwald se enfrentó entonces con un experimento observable, producido por moléculas individuales. No pudo seguir 38

véase apéndice. Pág. 117

El azar 91

negando la existencia de los átomos. Perrin recibió por su trabajo el premio Nobel de Física en 1926.

Einstein había recibido el suyo en 1921, por otros méritos.

Por primera vez un razonamiento estadístico permitía a los físicos hablar sobre el comportamiento de multitudes de átomos sin conocer el comportamiento de cada uno por separado. Incluso aunque su observación estuviera más allá de sus posibilidades. Es decir, que podíamos conocer el edificio sin saber cómo eran los ladrillos. Hasta entonces, la teoría y el experimento habían ido de la mano. Ahora eso ya dejaba de suceder. La teoría contenía elementos sobre cuya existencia real los físicos no tenían duda alguna, pero no podían llegar de forma experimental. Mientras que para el teórico los átomos tenían una existencia evidente y una posición y velocidad determinadas (la cuántica todavía no había entrado en juego), para el experimental los átomos sólo existían de forma deducible y únicamente podían ser descritos estadísticamente.

Ap茅ndice: Ge贸metras eminentes

94

Apéndice

Boltzmann, Ludwig Edward Ludwig Edward Boltzmann (1844 - 1906) fue un físico austriaco pionero de la mecánica estadística, autor de la llamada constante de Boltzmann, concepto fundamental de la termodinámica. Nacido en Viena, por entonces parte del Imperio austrohúngaro, se suicidó en 1906 por ahorcamiento durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste. El motivo del suicidio permanece poco claro, pero pudo haber estado relacionado con su resentimiento al ser rechazada, por la comunidad científica de entonces, su tesis sobre la realidad del átomo y las moléculas, una creencia compartida, sin embargo, por el inglés James Clerk Maxwell, por el estadounidense Josiah Willard Gibbs y por la mayoría de los químicos desde los descubrimientos de John Dalton en 1808.

La dura oposición a su trabajo, la hipótesis de la existencia de átomos, que todavía no estaba demostrada completamente, pudo haber causado trastornos psíquicos que le llevaría al suicidio. Sólo unos años después de su muerte, los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann, convenciendo a la comunidad científica de la existencia de los átomos.

Geómetras eminentes

Brown, Robert Robert Brown (1773 - 1858) fue un reconocido botánico escocés recolector de la flora de Australia a principios del siglo XIX. Brown nació en Montrosse, Escocia. Estudió Medicina en la Universidad de Edimburgo. Se alistó en el regimiento de Fencibles como cirujano.

En 1810, publicó los resultados de sus recolecciones en su obra Prodromus Florae Novae Hollandiae et Insulae Van Diemen, la primera relación taxonómica de la flora de Australia. Describió unas 1.200 especies nuevas para la ciencia provenientes de Australia occidental. Fue también el descubridor del núcleo celular en los organismos eucariotas.

En 1827, examinando granos de polen, esporas de musgos, y Equisetum suspendidos en agua al microscopio, Brown observó diminutas partículas con vacuolas en los granos de polen ejecutando un continuo movimiento aleatorio. Luego observó el mismo movimiento en partículas de polvo, anulando su anterior hipótesis que el movimiento se debía a que el polen tenía vida. Él mismo no pudo dar una teoría explicatoria de ese movimiento (denominado más tarde movimiento browniano en su honor).

95

96

Apéndice

Brunelleschi, Filippo Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) fue un arquitecto, escultor y orfebre renacentista italiano. Es conocido, sobre todo, por su trabajo en la cúpula de la catedral de Florencia. Sus profundos conocimientos matemáticos y su entusiasmo por esta ciencia le facilitaron el camino en la arquitectura, además de llevarle al descubrimiento de la perspectiva cónica.

Su primera gran obra fue teórica, al ser el primero que formula las leyes de la perspectiva cónica, un sistema de representación gráfico basado en la proyección de un volumen sobre un plano auxiliándose en rectas proyectantes. Fue un elemento clave de la pintura renacentista, pues es la representación que más se aproxima a la visión real, al ser muy similar a la imagen que percibimos de los objetos.

Filippo Brunelleschi fue el iniciador de la arquitectura de estilo renacentista, caracterizado por ser un momento de ruptura con respecto al estilo precedente: la Arquitectura gótica, buscando su inspiración en una interpretación del Arte clásico, que se consideraba el modelo más perfecto de las Bellas Artes.

Geómetras eminentes

Buonarroti, Michelangelo Michelangelo Buonarroti (1475 - 1564), conocido en español como Miguel Ángel, fue un arquitecto, escultor y pintor italiano renacentista, considerado uno de los más grandes artistas de la historia tanto por sus esculturas como por sus pinturas y obra arquitectónica.

Desarrolló su labor artística a lo largo de más de setenta años entre Florencia y Roma, que era donde vivían sus grandes mecenas, la familia Médicis de Florencia, y los diferentes papas romanos.

Triunfó en todas las artes en las que trabajó, caracterizándose por su perfeccionismo. La escultura, según había declarado, era su predilecta y la primera a la que se dedicó; a continuación, la pintura, casi como una imposición por parte de Julio II, y que se concretó en una obra excepcional que magnifica la bóveda de la Capilla Sixtina; y ya en sus últimos años, realizó proyectos arquitectónicos.

97

98

Apéndice

Calatrava, Santiago Santiago Calatrava, (1951) es un arquitecto y escultor español, quien además tiene estudios de ingeniería civil realizados en Zúrich (en España, este título equivale a Ingeniero de Caminos). Santiago Calatrava nació en 1951 en la pedanía de Benimàmet de Valencia.

Hoy se considera a Calatrava como uno de los arquitectos especializados en grandes estructuras. Calatrava, en conjunto a su formación de arquitecto e ingeniero, las convierte en elementos esenciales en estas.

La obra de Calatrava supone una auténtica revolución en la arquitectura, caracterizada por la reunión de la arquitectura y la ingeniería, que vienen circulando separadas desde el siglo XVIII. Santiago Calatrava supone un reencuentro con la tradición constructiva de la arquitectura, con influencias de Fernando Higueras, Jørn Utzon, Antonio Gaudí y las arquitecturas gótica y romana.

Geómetras eminentes

Cézanne, Paul Paul Cézanne (1839 - 1906) fue un pintor francés postimpresionista, considerado el padre de la pintura moderna, cuyas obras establecieron las bases de la transición entre la concepción artística decimonónica hacia el mundo artístico del siglo XX, nuevo y radicalmente diferente. Sin embargo, mientras vivió, Cézanne fue un pintor ignorado que trabajó en medio de un gran aislamiento. Fue un «pintor de pintores» que la crítica y el público ignoraban, siendo apreciado sólo por algunos impresionistas y, al final de su vida, por la nueva generación.

Cézanne intentó conseguir una síntesis ideal de la representación naturalista, la expresión personal y el orden pictórico. Cézanne manifestó un interés progresivo en la representación de la vida contemporánea, pintando el mundo tal como se presentaba ante sus ojos, sin preocuparse de idealizaciones temáticas o afectación en el estilo. Luchó por desarrollar una observación auténtica del mundo visible a través del método más exacto de representarlo en pintura que podía encontrar.

99

100

Apéndice

Da Vinci, Leonardo Leonardo da Vinci, (1452 - 1519), fue un pintor italiano nativo de Florencia.

Notable polímata del Renacimiento italiano (a la vez anatomista, arquitecto, artista, botánico, científico, escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico, poeta y urbanista) nació en Vinci en 1452 y falleció en Amboise en 1519, a los 67 años, acompañado de su fiel Francesco Melzi, a quien legó sus proyectos, diseños y pinturas. Leonardo da Vinci es considerado como uno de los más grandes pintores de todos los tiempos y, probablemente, es la persona con el mayor número de talentos en múltiples disciplinas que jamás ha existido.

La Gioconda y La Última Cena, son sus obras más célebres, al igual que su dibujo del Hombre de Vitruvio, que llegaría a ser retomado en numerosos trabajos derivados. Como ingeniero e inventor, Leonardo desarrolló ideas muy adelantadas a su tiempo, tales como el helicóptero, el carro de combate, el submarino y el automóvil. Como científico, Leonardo da Vinci hizo progresar mucho el conocimiento en las áreas de anatomía, la ingeniería civil, la óptica y la hidrodinámica.

Geómetras eminentes

D’ Arcy, Thompson D’ Arcy (1860 - 1948) fue un biólogo y matemático escocés, autor del libro On Growth and Form, publicado en 1917, un trabajo influyente y calificado como expresión de sorprendente originalidad. Nació en Edimburgo y murió en Saint Andrews (Escocia). Ha sido llamado “el primer biomatemático”. La tesis central de On Growth and Form era que los biólogos de aquellos días estaban sobrevalorando el papel de la evolución y infravalorando en consecuencia el papel de la física y de la mecánica como determinantes de la forma y la estructura de los organismos vivientes.

Thompson observó correlaciones entre formas y fenómenos mecánicos. Mostró la similitud entre las formas de una medusa y las formas de las gotas de un líquido que caen en un fluido viscoso, entre las estructuras de soporte internas en los huesos huecos de las aves y los bien conocidos diseños entramados de la ingeniería. Sus observaciones de la filotaxia (relaciones numéricas entre estructuras espirales en las plantas) y la sucesión de Fibonacci se volvieron básicas con el tiempo.

101

102

Apéndice

De Mileto, Tales Tales de Mileto (630 - 545 a.C.) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Geómetras eminentes

De Pisa, Leonardo (Fibonacci) Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado y por idear la sucesión de Fibonacci.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones.

En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

103

104

Apéndice

Durero, Alberto Alberto Durero (1471 - 1528) es el artista más famoso del Renacimiento alemán, conocido en todo el mundo por sus pinturas, dibujos, grabados y escritos teóricos sobre arte, que ejercieron una profunda influencia en los artistas del siglo XVI de su propio país y de los Países Bajos.

Desde aproximadamente 1507 hasta su muerte tomó notas y realizó dibujos para su tratado más conocido, Vier Bücher von menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre las proporciones humanas, publicado póstumamente en 1528). Sin embargo, otros artistas contemporáneos suyos, con una orientación de tipo más visual que literaria, pusieron mayor atención en sus grabados, tanto en planchas de cobre como xilografías, que en sus escritos dirigidos a orientarlos en la modernización de su arte con desnudos de corte clásico y temas idealizados, propios del Renacimiento italiano.

Geómetras eminentes

Einstein, Albert Albert Einstein (1879 -1955) fue un físico alemán de origen judío, nacionalizado después suizo y estadounidense. Está considerado como el científico más importante del siglo XX. En 1905, cuando era un joven físico desconocido, publicó su teoría de la relatividad especial. Como una consecuencia de esta teoría, dedujo la ecuación de la física más conocida a nivel popular: la equivalencia masa-energía, E=mc².

Ese año publicó otros trabajos que sentarían bases para la física estadística y la mecánica cuántica.

En 1915 presentó la teoría de la relatividad general, en la que reformuló por completo el concepto de gravedad. En 1919, cuando las observaciones británicas de un eclipse solar confirmaron sus predicciones acerca de la curvatura de la luz, fue idolatrado por la prensa. Einstein se convirtió en un icono popular de la ciencia mundialmente famoso, un privilegio al alcance de muy pocos científicos.

105

106

Apéndice

Euclides Euclides fue un matemático y geómetra griego (325 - 265 a. C.). Se le conoce como “El Padre de la Geometría”. Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares.

La geometría de Euclides, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

Geómetras eminentes

Gauss, Johann Carl Friedrich Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

107

108

Apéndice

Jeanneret-Gris, Charles Édouard (Le Corbusier) Charles Édouard Jeanneret-Gris, conocido como Le Corbusier (1887 - 1965), fue un teórico de la arquitectura, arquitecto, diseñador y pintor suizo nacionalizado francés. Es considerado uno de los más claros exponentes del Movimiento Moderno en la arquitectura (junto con Frank Lloyd Wright, Walter Gropius, Alvar Aalto y Ludwig Mies van der Rohe), y uno de los arquitectos más influyentes del siglo XX. Escribió varios libros, en los que ejemplificaba sus ideas mediante proyectos propios. Ideó el Modulor, sistema de medidas basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el Número Áureo, para que sirviese de medida de las partes de arquitectura. Tomó como escala del hombre francés medio de esa época: 1,75 m de estatura; y más adelante añadió la del policía británico de 6 pies (1,8288 m), lo que dio el Modulor II. Los resultados de estas investigaciones fueron publicados en un libro con el mismo nombre del Modulor.

Geómetras eminentes

Leeuwenhoek, Anton van Anton van Leeuwenhoek (1632 - 1723) fue un comerciante y científico neerlandés. Fue el primero en realizar importantes observaciones con microscopios fabricados por sí mismo. Correspondiente de la Royal Society de Londres, a la que se afilió en 1680. Desde 1674 hasta su muerte realizó numerosos descubrimientos. Introdujo mejoras en la fabricación de microscopios y fue el precursor de la biología experimental, la biología celular y la microbiología. Heredó la labor de Jan Swammerdam (1637-1680) que vivió en Ámsterdam.

Fue probablemente la primera persona en observar bacterias y otros microorganismos. Describe lo que actualmente denominamos protozoarios, especialmente los ciliados a los que se alimentan de las algas. En 1677 menciona por primera vez los espermatozoides en una carta enviada a la Royal Society, en la que habla de animálculos muy numerosos en el esperma.

109

110

Apéndice

Mandelbrot, Benoît Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) fue un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales. Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época, la computadora, para calcular y trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia, quien descubrió las matemáticas de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot.

Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.

Geómetras eminentes

Maxwell, James Clerk James Clerk Maxwell (1831 - 1879). Físico escocés conocido principalmente por haber desarrollado la teoría electromagnética clásica, sintetizando todas las anteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad, magnetismo y aun sobre óptica, en una teoría consistente. Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético.

Maxwell fue una de las mentes matemáticas más preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consideran el científico del siglo XIX que más influencia tuvo sobre la física del siglo XX habiendo hecho contribuciones fundamentales en la comprensión de la naturaleza. Muchos consideran que sus contribuciones a la ciencia son de la misma magnitud que las de Isaac Newton y Albert Einstein.

En 1931, con motivo de la conmemoración del centenario de su nacimiento, Albert Einstein describió el trabajo de Maxwell como “el más profundo y provechoso que la física ha experimentado desde los tiempos de Newton”.

111

112

Apéndice

Mondrian, Piet Pieter Cornelis Mondrian (1872 - 1944), conocido como Piet Mondrian, fue un pintor vanguardista holandés, miembro de De Stijl y fundador del neoplasticismo, junto con Theo van Doesburg. Evolucionó desde el naturalismo y el simbolismo hasta la abstracción, de la cual es el principal representante inaugural junto a los rusos Wassily Kandinski y Kazimir Malévich.

Mondrian fue un contribuyente importante en el movimiento y grupo de arte De Stijl, que fundó Theo Van Doesburg. A pesar de ser muy conocido, o más bien precisamente por ello, a menudo ha sido parodiado y trivializado. Las pinturas de Mondrian exhiben una complejidad que desmiente su simplicidad aparente. Es principalmente conocido por sus pinturas no figurativas, a las que llamó composiciones, que consisten en formas rectangulares en rojo, amarillo, azul o negro, separadas por gruesas líneas rectas negras; son el resultado de una evolución estilística que se cumplió en el curso de casi 30 años y aún continuó más allá, hasta el final de su vida.

Geómetras eminentes

Monge, Gaspard Gaspard Monge (1746 - 1818) fue un matemático francés, inventor de la geometría descriptiva. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo (siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que constituyen los inicios de la geometría descriptiva.

Monge es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc., pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.

113

114

Apéndice

Newton, Isaac Isaac Newton (1643 - 1727) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma; su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica.

Geómetras eminentes

Ostwald, Friedrich Wilhelm Friedrich Wilhelm Ostwald (1853 - 1932) fue un químico, profesor universitario y filósofo alemán, premio Nobel de Química en 1909.

Formuló la ley de Ostwald que rige los fenómenos de disociación en las disoluciones de electrolitos. En 1900 descubrió un procedimiento de preparación del ácido nítrico por oxidación del amoníaco, facilitando la producción en masa de fertilizantes y de explosivos por Alemania durante la I Guerra Mundial.

Elaboró una nueva teoría del color, defendiendo la normalización de los colores y creando en Dresde un laboratorio destinado a su estudio en 1920.

Destacó, además, como escritor y editor científico. En el campo de la filosofía merece mencionarse la doctrina energética que elaboró y que intenta explicar la mayoría de los fenómenos en función de su energía física. Entre sus obras destacan Filosofía natural (1902) y Ciencia del color (1923).

Obtuvo el premio Nobel de Química en 1909 por sus investigaciones sobre la catálisis, los principios fundamentales que gobiernan los equilibrios químicos y la velocidad de reacción y el equilibrio químico.

115

116

Apéndice

Pacioli, Luca Luca Pacioli (1445 - 1517) fue un fraile franciscano y matemático italiano, precursor del cálculo de probabilidades.

Su obra más divulgada e influyente es De Divina Proportione (“De la Divina Proporción”) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo, escrita en Milán entre 1496 y 1498, y que trata también, en su primera parte, de los polígonos y la perspectiva usada por los pintores del Quattrocento (Compendio Divina Proportione); en su segunda, de las ideas arquitectónicas de Vitruvio (Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita); y en su tercera, de los sólidos platónicos o regulares (De quinque corporibus regularibus). Para ilustrarlo encargó dibujos a Leonardo da Vinci, que en la época formaba parte de la corte milanesa de Ludovico Sforza (il Moro).

Entre otras obras, escribió también De viribus quantitatis, sobre matemáticas y magia (1496–1508), una traducción de los Elementos de Euclides (Geometría, Venecia, 1509) y un manual de ajedrez (De ludo scacchorum).

Geómetras eminentes

Perrin, Jean Baptiste Jean Baptiste Perrin (1870 - 1942) fue un físico-químico francés, famoso por sus investigaciones sobre el movimiento browniano, que ofrecieron la primera demostración definitiva de la existencia del átomo. Perrin argumentó que el movimiento era consecuencia del bombardeo incesante de las partículas por las moléculas del agua, y ofreciendo estimaciones del tamaño de las mismas y del valor del Número de Avogadro más exactas que las disponibles hasta entonces; los resultados de sus experiencias fueron aceptados como prueba de la existencia de las moléculas y Jean Baptiste Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926. Cursó estudios en la Escuela Normal Superior de París, siendo posteriormente profesor de la misma, más tarde se incorporó a la Universidad de París como profesor de físico-química.

En 1895 demostró que los rayos catódicos estaban construidos con corpúsculos con carga eléctrica negativa. También explicó la energía solar como consecuencia de las reacciones termonucleares del hidrógeno.

117

118

Apéndice

Pitágoras Pitágoras (580 - 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro. Contribuyó en el avance de la aritmética, derivada particularmente de las relaciones numéricas aplicadas a la teoría de la música, la astronomía y la teoría de pesos y medidas. Es el fundador de la hermandad pitagórica, una sociedad que formularon principios que influenció al desarrollo de las matemáticas y la filosofía racional en Occidente.

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras, y sus discípulos, los pitagóricos, invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que es difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y las de sus seguidores. Aun así, se le acredita a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en música. Otros descubrimientos generalmente atribuidos a él, la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado, o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados posteriormente por la escuela pitagórica.

Geómetras eminentes

Sanzio, Rafael Raffaello Sanzio (1483 -1520), fue un pintor y arquitecto italiano del Alto Renacimiento. Además de su labor pictórica, que sería admirada e imitada durante siglos, realizó importantes aportes en la arquitectura y, como inspector de antigüedades, se interesó en el estudio y conservación de los vestigios grecorromanos. Hijo de un pintor de modesta relevancia, fue considerado un niño prodigio por su precoz habilidad y al quedar huérfano se formó en los talleres de varios artistas de prestigio. Es célebre por la perfección y gracia de sus artes visuales, destacando en trabajos de pintura y dibujo artístico. Junto con Miguel Ángel y Leonardo da Vinci forma el trío de los grandes maestros del período.

Su carrera se dividió de manera natural en tres fases y tres estilos, descritos así por Giorgio Vasari: sus primeros años en Umbría, el periodo posterior de cuatro años en Florencia (1504-1508), donde absorbió las tradiciones artísticas de la ciudad, y finalmente su último y triunfal período de doce años en Roma, trabajando para los papas y su corte.

119

120

Apéndice

Vermer, Johannes Johannes Vermeer van Delft (1632 - 1675) es uno de los pintores neerlandeses más reconocidos del arte barroco.Vivió durante la llamada Edad de Oro neerlandesa. La obra completa de Vermeer es muy reducida, solamente se conocen 33 a 35 cuadros. Esto pudo deberse a que pintaba para mecenas, por encargo, más que para el mercado de arte.

Sus primeras obras fueron de tipo histórico, pero alcanzó la fama gracias a su pintura costumbrista muchas veces considerada de género, que forma la mayoría de su producción. Sus cuadros más conocidos son Vista de Delft y La joven de la perla. En vida fue un pintor de éxito moderado. No tuvo una vida desahogada, quizá debido al escaso número de pinturas que producía, y a su muerte dejó deudas a su esposa y once hijos. Prácticamente olvidado durante dos siglos, a partir de mediados del siglo XIX, la pintura de Vermeer tuvo un amplio reconocimiento. William Thoré-Bürger contribuyó a la consagración de Vermeer con unos artículos periodísticos muy elogiosos. Actualmente está considerado uno de los más grandes pintores de los Países Bajos. Es particularmente reconocido por su maestría en el uso y tratamiento de la luz.

Geómetras eminentes

Vitruvio, Marco Marco Vitruvio Polión, en latín Marcus Vitruvius Pollio, fue un arquitecto, escritor, ingeniero y tratadista romano del siglo I a. C. Fue arquitecto de Julio César durante su juventud, y al retirarse del servicio entró en la arquitectura civil, siendo de este periodo su única obra conocida, la basílica de Fanum (en Italia). Es el autor del tratado sobre arquitectura más antiguo que se conserva y el único de la Antigüedad clásica: De Architectura, en 10 libros. Inspirada en teóricos helenísticos, la obra trata sobre órdenes, materiales, técnicas decorativas, construcción, tipos de edificios, hidráulica, colores, mecánica y gnomónica.

El famoso dibujo de Leonardo da Vinci, el Hombre de Vitruvio, sobre las proporciones del hombre está basado en las indicaciones dadas en esta obra. El dibujo se conserva ahora en la Galleria dell’Accademia, en Venecia. El gran redescubridor de Vitruvio fue Petrarca, y tras la difusión por el florentino de la obra de este autor clásico, se puede afirmar que Vitruvio sentó las bases de la arquitectura Renacentista.

121

122 La geometría que nos rodea

Bibliografía HERNÁNDEZ ROJO, Fernando y LA RUBIA, Leopoldo (coord.).

Arte y geometría. Universidad de Granada. Granada, 2010.

MANDELBROT, Benoît. La geometría fractal de la naturaleza, traducción de J. Llosa. Tusquets Editores, S.A. Barcelona, 1997.

V.V.A.A. Fotografiando las matemáticas. Carroggio Ediciones. Barcelona, 2001.

QUEIPO, Enrique. Concepto de simetría. Área de Cultura del Excmo.

Ayuntamiento de Rincón de la Victoria. Málaga, 2006.

GAY, Hebe Dina. Recorriendo simetrías. Naturaleza y arte. Academia Nacional de ciencias. Córdoba (Argentina), 2006.

V.V.A.A. PLASENCIA CLIMENT, Carlos y MARTÍNEZ LANCE, Manuel. Proporciones humanas y los cánones artísticos. Universidad politécnica de Valencia.Valencia, 2007.

V.V.A.A. PLASENCIA CLIMENT, Carlos y MARTÍNEZ LANCE, Manuel. Proporciones humanas y los cánones artísticos. Universidad politécnica de Valencia.Valencia, 2007.

PACIOLI, Luca. La divina proporción. Ediciones Akal. Madrid, 1991.

RAYA MORAL, Baltasar. Tratado de geometría plana: Geometría y arte bidimensional de Andalucía. El Olivo. Úbeda, Jaén, 2007.

Bibliografía 123

ASENSIO, Juan. Geometría sin límites. IVAM Institut Valencia d’Art Modern.Valencia, 2006.

BONELL, Carmen. La geometría y la vida. CendeaC. Murcia, 2006.

PEDOE, Dan. La geometría en el arte. Gustavo Gili. Barcelona, 1982.

FRANCO RUSCHMAN, Carla Beatriz. Arte geométrico: análisis y tendencias de su desarrollo práctico. Universidad de Granada. Granada, 2003.

MADERUELO, Javier. Pablo Palazuelo: El plano expandido. Abada.

Madrid, 2010.

HEMENWAY, Priya. El código secreto: La misteriosa fórmula que rige el arte, la naturaleza y la ciencia. Evergreen. Koln, 2008.

PALAZUELO, Pablo. Palazuelo: proceso de trabajo: exposición. Museo de Arte contemporáneo de Barcelona. Barcelona, 2007.

CRITCHLOW, Keith. Order in space: a design source book. Thames and Hudson. London, 2000.

PALAZUELO, Pablo. Palazuelo: cuaderno de artista. Matador. Madrid, 2006.

AYESTARAN, Iker. Geometría oculta. Blur. Madrid, 2004.

CRESPO AGUADO, Antonio. Pautas conceptuales para una geometría ilustrada. Granada, 2003.

Índice Introducción

5

Geometría natural: La geometría en la naturaleza

8

Arte geométrico: La influencia de la geometría en el arte

22

La geometría fractal: La geometría de Mandelbrot

34

La sección áurea: La divina proporción

46

La secuencia de Fibonacci: Los números de Fibonacci

58

La simetría: Simetría bilateral y simetría radial

68

Movimiento Browniano: El azar

78

Apéndice: geómetras eminentes

94

Bibliografía

122

Universidad de Granada