Ejercicios complementarios Tema 4 y 5. 1. Considera la siguiente gráfica correspondiente a una función:
a b c a b
¿Cuál es su dominio de definición? ¿Y su recorrido? ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? ¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece? Dominio de definición: 5, ; Recorrido: [0, Sí tiene mínimo, pero no tiene máximo.
Tiene dos mínimos en los puntos 5, 0 y 0, 0. c Es creciente en los intervalos 5, 3 y 0, . Es decreciente en el intervalo 3, 0. 2. Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a b c d e
Dom f 5, 6 Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6; decrece en el intervalo 3, 0. Es continua en su dominio. Corta al eje X en los puntos 5, 0, 1, 0 y 4, 0. Tiene un mínimo en 0, 2 y máximos en 3, 3 y 6, 3.
3. La función f(x x3 3x está definida en el intervalo [2, 2]. Represéntala. Hacemos una tabla de valores teniendo en cuenta el intervalo en el que está definida: x
2
1
0
1
2
y
2
2
0
2
2
4. Observa esta función dada gráficamente y calcula su T.V.M. en los intervalos [2, 0] y [2, 4]. Dibuja en cada caso el segmento del cuál estás hallando la pendiente.
La T.V.M. de una función f x en el intervalo a, b es
T.V.M. de f en 2, 0
T.V.M. de f en 2, 4
f 0 f 2 0 2
f 4 f 2 42
f b f a ba
.
0 2 2 1 2 2
2 2 2
4 2 2
5. La función A(r 4r2 expresa la superficie de la esfera en función del radio. Completa la siguiente tabla de valores: r
1
2
3
4
A(r
¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua o discontinua? ¿A cuánto tiende la superficie de la esfera cuando el radio crece? r
1
2
3
4
A(r
4
16
36
64
Dom A(r) 0, Ar es una función continua en todo su dominio. Observando la tabla de valores se deduce que cuanto más grande es r mayor es la superficie, tiende pues a infinito. 6. Determina el domino de las siguientes funciones: a) y b) y
5x 1 3x 3 5x 2 2x 6
2x 3 a Buscamos los valores de x que anulen el denominador: x 0 3 x 3 5 x 2 2x 0 x 3 x 2 5 x 2 0 3x 2 5x 2 0
x
5 25 24 5 49 5 7 6 6 6
12 2 6
2 1 6 3 1 Los valores que anulan el denominador son x , x 0 y x 2, y no pertenecen, pues, al 3 1 dominio Dom f , 0, 2 3 6 b y 2x 3
Buscamos los valores de x que hagan 2x 3 > 0 ; la igualdad 2x 3 0 no nos interesa por estar 2x 3 en el denominador. 3 3 2x 3 0 2x 3 x Dom f , 2 2 7. Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:
x
4
3
1
1
3
5
y
a Indica el dominio y el recorrido de la función. b ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c Indica los intervalos donde la función crece, decrece o es constante. Completamos la tabla: x
4
3
1
1
3
5
y
8
5
2
2
0
0
a Dominio de definición: 4, 5 ; Recorrido: [4, 8] b Sí tiene máximo y mínimo: El máximo está en el punto 4, 8. El mínimo está en el punto 2, 4. c Es creciente en el intervalo 2, 4. Es decreciente en los intervalos 4, 2, 1, 2 y 4, 5. Es constante en el intervalo 2, 1.
8. Halla la T.V.M. de la función y x3 6x2 9x 4 en los intervalos [3, 2] y [1, 0]. f b f a La T.V.M. de una función f x en el intervalo a, b es . ba f 2 f 3 24 2 T.V.M. de f en 3, 2 2 2 3 2 3 1 T.V.M. de f en 1, 0
f 0 f 1 0 1
40 4 1
9. Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Dí cuál es su periodo y calcula los valores de la función en los puntos de abscisas x 3, x 7, x 24 y x 28.
Es una función periódica de periodo 7. Lo que ocurre en el intervalo [0, 7] se repite reiteradamente. f(3 3 f(7 0 f(24 f(3 3 pues 24 7 · 3 3 (cada siete unidades se repite). f(28 f(0 0 pues 28 7 · 4 0 10. Desde una grúa de 25 m se deja caer una pelota. La siguiente tabla recoge la distancia recorrida por la pelota en distintos tiempos: TIEMPO s
0
2
4
6
DISTANCIA m
0
1
40
9
a Haz una gráfica de esta función. ¿Observas alguna regularidad en la tabla? Intenta encontrar una fórmula que se ajuste a esta tabla. b Calcula cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo. c ¿Qué altura debería tener la grúa para que el balón tarde 12 segundos en llegar al suelo? a
Buscamos la fórmula que mejor se ajuste a la tabla de valores; para ello, basta observar que: 1 1 22 Distancia recorrida en 2 segundos. 4 1 4 42 Distancia recorrida en 4 segundos. 4 1 9 62 Distancia recorrida en 6 segundos. 4 1 Por tanto, la distancia recorrida en x segundos será x 2 . 4 1 Luego la fórmula buscada es y x 2 . 4 b La pelota llegará al suelo cuando recorra los 25 m de altura, esto es, buscamos x para que y 25: 1 25 x 2 x 2 100 x 10 4 La pelota tardará 10 segundos en llegar al suelo. c Buscamos y para que x 12 segundos: 1 1 y 122 144 36 4 4 La pelota se tendría que dejar caer desde una grúa de 36 m de altura. 11. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es la ordenada en el origen? 1 3 4 Empezamos hallando su pendiente: m 1 5 1 4 Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m 1 y 3 + x 1 yx4 La ordenada en el origen es n 4. 12. Representa gráficamente la siguiente función: si x 1 2 y 2x 4 si 1 x 1 6 si x 1
Obtenemos una tabla de valores para la recta y 2x + 4 definida para 1 < x 1: x
0
1
y
4
6
Los otros dos tramos son funciones constantes: y 2 definida para x 1; y 6 definida para x > 1.
13.Halla la expresión analítica de la función representada:
Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes: Si x < 2, la recta es y 3. Si x 2, la recta es y 1. Si 2 x 2, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (0, 1): 1 1 y 1 x y x 1 1 La expresión analítica de la función es: m
si x 2 3 y x 1 si 2 x 2 1 si x 2
13. Un electricista cobra 20 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo. a Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b Busca la expresión analítica que has representado. a Llamamos: x nº de horas de trabajo y coste (€ Por 1 hora de trabajo el coste será 20 15 35 €. Por 2 horas de trabajo el coste será 20 15 · 2 20 30 50 €. Y así sucesivamente.
x
0
1
2
3
4
y
20
35
50
65
80
b La expresión analítica será de la forma y mx n. Por cada hora de trabajo cobra 15 € m 15 Si no llegara a trabajar nada (x 0, el electricista cobraría 20 € por desplazamiento n 20 La expresión buscada es y 15x 20. 14. Representa la siguiente parábola: y 2x2 x 3 Calculamos su vértice:
x
1 4
y
2 1 25 3 16 4 8
1 25 V , 8 4
Puntos de corte con los ejes: Con eje Y
x0
y 3
Con eje X
y0
2x2 x 3 0
x
1 1 24 1 25 1 5 4 4 4
0, 3
3 2 1
3 Los puntos de corte con el eje X son: , 0 y 1, 0 2 Puntos próximos al vértice: x
1
2
1 2
y
2
3
3
15. Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a y x2 2x 3 b y x 1
2
c y 3x 1 2
d y 2 x2
a III b I c II d IV 16. Resuelve gráfica y analíticamente el sistema siguiente: y x 2 2x 3 y 1 x Resolución analítica
Despejamos y de cada ecuación e igualamos:
x 2 2x 3 1 x
x 2 3x 4 0
Si x 4
y145
Si x 1
y0
Las soluciones son: x 4, y 5 x 1,
y0
x
3 9 16 3 5 2 2
4 1
Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 2x 3: Vértice: x
b 2 1 2a 2
y 1 2 3 4
V 1, 4
Cortes con los ejes: Eje Y
x0
y 3
Eje X
y 0
x 2x 3 0 2
0, 3
2 4 12 2 4 x 2 2
1 3
1, 0 y 3, 0 Valores en torno al vértice: x
–2
2
–4
y
–3
5
5
Representamos la recta y 1 x: x
1
0
y
0
1
Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en 4, 5 y 1, 0.
17. Representa las siguientes funciones: a y
1 2 x 3
b y 3 x 1 3
a Dominio de definición:
Calculamos algunos puntos próximos a x 3: x
2
2,5
2,9
3,1
3,5
4
y
1
0
8
12
4
3
Otros puntos interesantes: –97
x
–47
–1,99 –1,98
y
–7
13
103
–1,9
–2,1
–2,01
Los valores de y están muy próximos a 2 cuando x crece o decrece mucho asíntotas son las rectas x 3 e y 2.
1 b) Dominio de definición: , 3 Hacemos una tabla de valores: x
1 3
5 3
10 3
17 3
26 3
3x 1
0
4
9
16
25
3x 1
0
2
3
4
5
Las
18. Halla los valores de k y a para que la gráfica de y kax pase por los puntos (– 1, 6) 3 y 2, . Indica razonadamente si la función obtenida es creciente o decreciente sin 4 representarla. 3 y ka x pasa por los puntos 1, 6 y 2, : 4 3 6 ka 1 ka2 3 1 1 4 a3 a3 a 3 1 2 6 24 8 2 ka ka 4 6k
1 1 k 6a k 6 k 3 a 2 x
1 1 La función es y 3 , función decreciente por ser a 1. 2 2 19. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y x 3 4 y 2 x Representamos cada una de las funciones.
y x 3
Es una función radical.
Dominio de definición: [3, Tabla de valores: x
3
2
1
6
13
x3
0
1
2
3
4
4 2 Es una función de proporcionalidad inversa. x 0 Dominio de definición: Y
Tabla de valores:
x
100 50
10
2
1
0,5
0,5
1
2
10
y
2,04 2,08
2,4
4
6
10
6
2
0
1,6
50
100
1,92 1,96
Los valores de y son muy próximos a 2 cuando x se hace muy grande o muy pequeña. Las asíntotas son las rectas x 0, y 2.
En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: x 1, y 2.