Ecuaciones

Colegio Menéndez Pelayo

Tema 3

1. Resuelve las siguientes ecuaciones: 2x 2  1 x  1 1 x   2 3 6 4 2 b) x  26 x  25  0 a)

a) Multiplicamos los dos miembros por 6: 3  2x 2  1  2  x  1  1  x  6x 2  3  2x  2  1  x



6x 2  x  2  0



x

Las soluciones son x1 

1  1  48 1  7  12 12



8 2  12 3 6 1  12 2

2 1 y x2  .

3 2

b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2  z : z 2  26z  25  0



z

26  676  100 26  576 26  24   2 2 2

2 1 2 50  25 2

Si z  1  x 2  1  x  1 Si z  25  x 2  25  x  5

Las soluciones de esta ecuación son x 1  1, x 2  1 x 3  5 y x 4  5.

2. Resuelve las ecuaciones: a)

x  x 2  2

b)

1 x  2 7   x 2 x 4

a)

x 2  2 x Elevamos al cuadrado ambos miembros:

x 2  4 x 4 x

 4 x 6

 2 x 3

Volvemos a elevar al cuadrado: 4x  9



x

9 4

es la posible solución.

Lo comprobamos: 9 9 3 1 4  2     2 4 4 2 2 2

Luego x 

9 es la solución buscada.

4

b) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x  2):

Colegio Menéndez Pelayo 4x  4  x  2  7x  x  2 2



Tema 3





4x  4 x 2  4x  4  7x 2  14x



4x  4x  16x  16  7x  14x



2  4  192 2  196 2  14 x   6 6 6

2

2

 3x  2x  16  0 2





2 16 8  6 3

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 1 4 1  8 7    4 2 4 4



2 es solución.

8 2 2 1 1 3 2 14 7 3    3     8 8 2 8 2 8 8 4 2 3 3 3 3 Las soluciones son x1  2 y x2 

3.

8 .

3



8 es solución.

3





Resuelve esta ecuación: x  4x  1 2x  7 x 2  4  0

Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así:  x  0  4 x  1  0  x  1  4 x  4 x  1 2 x  7  x 2  4  0   7 2 x  7  0  x   2  2  x  4  0  x  2 





Las soluciones son x  0, x 

1 7 , x  , x  2 y x  2.

4 2

4. Resuelve el sistema: x  1 4y   8   3 2  2y  5 5 x   3  6 2 Comenzamos por simplificar cada una de las ecuaciones del sistema: x  1 4y   8   3 2  2y  5 5 x   3  6 2  



2  x  1  12y  48   2y  5  15 x  18 



2x  12y  46   15 x  2y  23 



x  6y  23   15 x  2y  23 

Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

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Tema 3

x  23  6y

15  23  6y   2y  23 

92y  322



 345  90y  2y  23  y

322 92



y

Calculamos el valor de x :  7  x  23  6    x  23  21   2 

7 2

x2

Comprobamos con la calculadora: 2  6  7 ab/c 2 /  23 15  2  2  7 a

b/c

2 /  23

5. Resuelve el sistema de ecuaciones: xy  2  4x   y x 1 

Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: y  1 x x 1  x   2  4 x





x  x 2  2  4x  0

3  9  8 3 1 x  2 2



y 3

1 

y 2

2



x 2  3x  2  0



Las soluciones son: x1  2



y1  3

x2  1 

y2  2

6. Pablo compró un equipo de música y un reproductor de DVD por 870 €. Después de algún tiempo, los vende por 770,50 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor y con el reproductor de DVD el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?

Llamamos: x  “precio inicial del equipo de música” y  “precio inicial del reproductor de DVD”  x  y  870  0,90 x  0,85y  770,50

Aplicamos el método de sustitución: x  870  y 0,90 (870  y  0,85y  770,50  783  0,90y  0,85y  770,50  0,05y  12,5   y  250 x  870  y  x = 870  250  620 El equipo de música costó 620 € y el reproductor de DVD 250 €.

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Tema 3

7. a) Resuelve la siguiente inecuación y escribe la solución en forma de intervalo: 5x  1 x 1  2x  x  8 8

b) Halla el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: 3 x  7  0  8  5x  0 

a) Multiplicamos por 8 la inecuación y agrupamos los términos como en las ecuaciones: 5x  1 16x  8x  x  1  21x  1  7x  1  14x  0



x 0

La solución buscada es 0, .

b) Resolvemos independientemente cada inecuación y buscamos las soluciones comunes: 7 3 8 8  5x  0  8  5x  x  5 3x  7  0  3x  7  x 

El sistema no tiene solución, puesto que no hay valores que cumplan ambas inecuaciones a la vez.

8. Resuelve la siguiente inecuación estudiando el signo de cada factor:

5  x  x  3  0 El factor 5  x  0 si x  5, y el factor x  3  0, si x  3.

Así:

5  x  0 si x  5 5  x  0 si x  5 Gráficamente:

x  3  0 si x  3 x  3  0 si x  3

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Tema 3

Para que un producto de dos factores sea mayor que 0, ambos han de tener el mismo signo, luego la solución será el intervalo 3, 5 9. Si al triple de cierto número le sumas 10 se obtiene al menos su cuadrado. ¿Qué puedes decir de ese número? ¿Y si el número fuera natural? x  “número” 3x  10  x2  x2  3x  10  0 Resolvemos la inecuación buscando las soluciones de la ecuación x  3x  10  0.

2

5

3  9  40 3  7 x  2 2

2

Estudiamos el signo de x  3x  10 en los siguientes intervalos: 2

(, 2  (3  3 · (3  10 > 0 2

(2, 5  02  3 · 0  10 < 0 (5,   62  3 · 6  10 > 0 El número buscado está en el intervalo [2, 5].

Si el número buscado fuese natural la solución sería 0, 1, 2, 3, 4 ó 5.

10. Calcula los valores que ha de tomar k para que la ecuación x2  6x  k  0 tenga: a Dos soluciones iguales. b Dos soluciones que no sean números reales. a Tendrá dos soluciones iguales cuando b  4ac  0, es decir, 2 (6  4k  0  36  4k  0  k  9 2

b Que las soluciones no sean números reales equivale a decir que la ecuación no tenga 2 solución en el campo de los números reales; esto ocurre cuando b  4ac < 0.

36  4k < 0  36 < 4k  k > 9 11. Resuelve: a) 2  2x  1  3  2x  1  5  2x  1 2x  1  0 2

2

b) 4x 4  25x 2  0

a) Efectuamos los paréntesis teniendo en cuenta que todos son productos notables:



 







2 4x 2  4x  1  3 4x 2  4x  1  5 4x 2  1  0



 8x 2  8x  2  12x 2  12x  3  20x 2  5  0



 16x 2  20x  6  0



 8x 2  10x  3  0

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

x

Tema 3 24 3  16 2

10  100  96 10  196 10  14   16 16 16

Las soluciones son x1 

3 1 y x2  .

2 4

b) Ecuación bicuadrada en la que podemos extraer x



4 1  16 4

4 x 4  25 x 2  x 2 4 x 2  25

2

como factor común:



Así: x 2  0  x  0  4x 4  25 x 2  0  x 2 4 x 2  25  0   2 25 5 x2   x 4 x  25  0   4 2 5 5 Las soluciones son x1  0 , x2  y x3   .

2 2





12. Resuelve: a) b)

a)

4x  1  9 x  2  1 1 1 5  2  3x x 12

4x  1  1  9 x  2 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación: 4x  1  1   9x  2  2 9x  2  4x  1  9 x  1  2 9 x  2 Volvemos a elevar al cuadrado: 4  9x  2  25x 2  20x  4  36x  8  25x 2  20 x  4 

x

56  3136  1200 56  1936 56  44   50 50 50

 2 9x  2  5x  2

 25x 2  56 x  12  0

100 2 50 12 6  50 25

Comprobamos las dos posibles soluciones, sustituyendo en la ecuación inicial: 4  2  1  9  2  2  9  16  3  4  1  24 54 1 2  25 25

2 es solución.

49 4 7 2 5     1  25 25 5 5 5

6 no es solución.

25

La única solución es x  2. b) Multiplicamos ambos miembros por 12x2, que es el mín.c.m. de los denominadores: 4x  12  5x 2

 5x 2  4x  12  0





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

x

Tema 3 20 2 10

4  16  240 4  256 4  16   10 10 10

12 6  10 5

Comprobación: x2

x

6 5



1 1 23 5    6 4 12 12



2 es solución.

5 25 10  25 15 5     18 36 36 36 12



Las soluciones son x1  2 y x2 



6 es solución.

5

6 .

5

13. Invéntate una ecuación que tenga por solución los valores  1, 5,

3, y  3.

Consideramos cuatro polinomios de grado 1 cuyas ecuaciones tengan como raíces los valores 1, 5, 3 y  3, respectivamente, y los multiplicamos entre sí igualando el resultado a 0.

Se tiene, así:

 x  1 x  5   x  





3 x 3 0



x

2





 4x  5 x 2  3  0



x 4  3 x 2  4 x 3  12x  5 x 2  15  0

La ecuación pedida es: x 4  4x 3  8x 2  12x  15  0

14.

Antonio gastó la tercera parte del dinero de una herencia en un televisor nuevo, resto en reformar la casa, el 10 de la cantidad inicial en ropa y el resto, 260 €, los ahorró. ¿Cuánto dinero heredó? x  "dinero heredado" x 2 Televisor   le quedan x por gastar 3 3 3 2 6 2 Casa  de x x x 5 3 15 5 x Ropa  10% de x  10 Ahorro  260 € La ecuación que resuelve el problema será: x 2 x  x  260  x 3 5 10

Multiplicamos ambos miembros por 30: 10x  12x  3x  7800  30x 

x

7800 5



 7800  5x



x  1560 € es la cantidad heredada.

15. Resuelve el siguiente sistema:

3 del 5

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x  2  y  8   5  y  1  x  1  2   2 4 Comenzamos por simplificar el sistema: x  2  y  8   5  y 1 x 1  2   2 4



 x  2  5 y  40   2 y  1  x  1  8   



 x  5y  42   2 y  x  7 

Utilizaremos el método de reducción en x, multiplicando la primera ecuación por 1:  x  5y  42 x  2y  7 7y  49

 y 7

Calculamos el valor de x: x  7  2y



x72·7



x  7  14



x  7

La solución que cumple el sistema es: x  7, y  7 Comprobamos dicha solución: 7  2  7  1  7  8 5 7  1 7  1   42  2 2 4

16. Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones: y 2  x 2  5   10x  8 10  2y   3  3

Transformamos la segunda ecuación en una equivalente sin denominadores: 10x  8  6y  10  10x  6y  2  5x  3y  1

El sistema a resolver es: y 2  x 2  5  5 x  3 y  1

Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x

1  3y 5

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y  2

1  3y 

2

5

25





25y 2  1  6y  9y 2  125

 16y 2  6y  126  0





Tema 3

 8y 2  3y  63  0

3  9  2016 3  2025 3  45 y   16 16 16

Si y  3



25 y 2  1  6 y  9 y 2  125  0





3 21 8

1 9 2 5 63 55 1 8  8  11 x 5 5 8

x

21  8

Si y 



Las soluciones al sistema son: x1  2



y1  3

11 x2   8

y2 

21 8

17. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm.

 2x  2y  14   2 2 2   x  2  x  y

xy 7

Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y 7x

 x  2

2

 x 2  7  x 

2



x 2  4x  4  x 2  49  x 2  14x



x 2  14x  4x  49  4  0



18  324  180 18  12 x  2 2

Calculamos el valor de y :



x 2  18x  45  0

3 15





Colegio Menéndez Pelayo Si x  3



Si x  15



Tema 3

y  73  4 y  7  15  8

 no sirve una longitud no puede ser negativa 

Luego las dimensiones del rectángulo son 3 cm y 4 cm.

18. a) Escribe en forma de intervalo la solución de la siguiente inecuación: 4  2x  3 3 b) Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones escribiendo la solución en forma de intervalo: 2 x  6  4   x 7  0

a) Multiplicamos todo por 3 para quitar el denominador: 5 4  6x  9  6x  5  x  6

5  La solución en forma de intervalo es   ,  .

6 

b) Resolvemos cada inecuación por separado y buscamos la solución que sea común a ambas:

2x  6  4  2x  10  x  5 x 7  0

 x7

La solución del sistema es 5, 7.

19.

Resuelve:

 x  7  3  x   0 Un producto es mayor que 0 cuando ambos factores son del mismo signo.

Estudiamos los signos de x  7 y de 3  x:

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Tema 3

El conjunto de soluciones son los números comprendidos entre 7 y 3, ambos incluidos. Es decir, 7, 3.

20. En un triángulo isósceles el lado desigual es la mitad de los lados iguales. a Para que el perímetro no supere los 30 cm, ¿qué puedes deducir de la longitud de los lados? b ¿Y si además buscamos un perímetro al menos de 15 cm?

Perímetro 

a

5 x  30 2

1 5 xxx  x 2 2 

x

60 4



x  12

Los lados iguales no deben superar los 12 cm y el lado desigual ha de ser menor o igual 1 que  12  6 cm.

2 5 30 5  b A la condicion anterior  x  30  le añadimos x  15  x   x  6 y por tanto 2 5 2  1 el lado desigual es como mínimo de  6  3 cm.

2 Luego uniendo ambos apartados llegamos a la siguiente conclusión  Los lados iguales, x, miden como mínimo 6 cm y como máximo 12 cm (6  x  12).

1 1    El lado desigual, x, está entre 3 cm y 6 cm  3  x  6  .

2 2   21. Escribe dos inecuaciones lineales cuya solución común sea el intervalo (2, 3].

Por ejemplo: 2x  4  0   x 3  0 

 

Solución Solución

x  2  x3 

Resuelve la inecuación

22.



Solución común ( 2, 3].

 x  3  x  2  x2  1

 0.

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Tema 3

Para que un cociente sea positivo, numerador y denominador han de tener el mismo signo.

Como x2  1 > 0 siempre, entonces debe cumplirse que (x  3 (x  2  0 para asegurarnos un cociente mayor o igual a 0. (x  3 (x  2)  0 cuando x  3 o x  2.

Por tanto, (x  3 (x  2  0 en aquellas zonas donde ambos signos coinciden, esto es, en (, 3]  [2, , solución también de la inecuación inicial.

23. El área de un jardín rectangular mide 900 m2 y está rodeado por un paseo de 5 m de ancho, cuya área es de 850 m2. Calcula las dimensiones del jardín.

Llamamos x, y a las dimensiones del jardín.

La zona sombreada es el paseo que está formado por dos rectángulos de cada uno de los siguientes tipos:

S1  5  x  10   5x  50

S2  5y

Área del paseo  850  2S1  2S2  850  S1  S2  425   5x  50  5y = 425  5x  5y  375  x  y  75 El sistema que resuelve el problema es: xy  900   x  y  75 

Despejamos x de la 2ª ecuación y sustituimos en la primera: x  75  y y (75  y  900  y  75y  900  0  2

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

y

Tema 3

75  5625  3600 75  2025 75  45   2 2 2

60



x  15

15



x  60

Las dimensiones del jardín son 15 m y 60 m.

24. a Un grupo de 6 personas han desayunado café  bollería pagando entre todos poco más de 10 €. ¿Qué puedes decir del precio de cada desayuno? b Al día siguiente, en ese mismo sitio, desayunaron 8 personas y les cuesta menos de 14 €. ¿Cuánto crees que costará el desayuno?

10 a Llamamos x al precio del desayuno  6x  10  x   x  1,6.

6 El precio de cada desayuno supera los 1,66 €. b En este caso, tomando el mismo desayuno 8 personas se obtiene que: 8 x  14



x

14 8



x  1,75

Uniendo ambos apartados deducimos que 1,66  x  1,75; luego es de suponer que el precio del desayuno será, más o menos, de 1,70 €.

25. Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cual alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, no se presentan 6 estudiantes y esto hace que cada uno de los otros pague 3 € más. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno. x  "nº de estudiantes que organizan la excursión" y  "precio que hubiera pagado cada estudiante que organizaba la excursión" El sistema a resolver será:  540 y   x   540  y  3 x  6 



Aplicamos el método de sustitución:

540 540   3  540 x  540  x  6   3 x  x  6   x 6 x  3x 2  18x  3240  0  x 2  6x  1080  0 



6  36  4320 6  4356 6  66 x   2 2 2

540 x  540 x  3240  3 x 2  18 x

36 30 no sirve

El precio por alumno sería: 540 y  15 36 Luego, van 30 estudiantes a la excursión y cada uno paga 18 €.

Si el número buscado fuese natural la solución sería 0, 1, 2, 3, 4 ó 5.

