Ejercicios resueltos estadística Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las siguientes:
4 5 7 5 8
3
9 6 4 5
7 5 8 4 3
10 6 6 3 3
a Ordena los datos en una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a
xi
fi
3
4
4
3
5
4
6
3
7
2
8
2
9
1
10
1 20
b
Ejercicio nº 2.Hemos ido apuntando la edad de cada uno de los componentes de un grupo de 30 personas, obteniendo estos datos:
24
6
5
30 16 14 12
3 29
8
37 26 28 15 17
17 25 24 36 42 4
8 37 32 40
41 20 18 27 42
a Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más conveniente. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando la edad es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 3 y el mayor es 42; su diferencia es 42 3 39. Así, podemos tomar 9 intervalos de longitud 5, empezando en 0:
INTERVALO
FRECUENCIA
0, 5
2
5, 10
4
10, 15
2
15, 20
5
20, 25
3
25, 30
5
30, 35
2
35, 40
3
40, 45
4 30
b
Ejercicio nº 4.Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos de una clase de 4º ESO por el tiempo que tardan en llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla: TIEMPO MINUTOS
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 25
Nº ALUMNOS/AS
10
6
9
3
2
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.
Solución: Hallamos la marca de clase, xi , de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:
fi x i2
INTERVALO
xi
fi
f i xi
0, 5
2,5
10
25
62,5
5, 10
7,5
6
45
337,5
10, 15
12,5
9
112,5
1 406,25
15, 20
17,5
3
52,5
918,75
20, 25
22,5
2
45
1 012,5
30
280
3 737,5
Media: x
fi xi 280 9,33 n 30
Desviación típica:
fi xi2 x2 n
3737,5 9,332 37,53 6,13 30
Los alumnos y las alumnas tardan, por término medio, 9,33 minutos, con una desviación típica de 6,13 minutos.
Ejercicio nº 5.En un grupo, A, de personas, la media de edad es 16,4 años con una desviación típica de 2,1. En otro grupo, B, la media de edad es 4,3 años, y la desviación típica, 1,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos.
Solución: C.V.A
A 2,1 0,128 x A 16,4
C.V.B
B 1,8 0,419 xB 4,3
12,8% 41,9%
La dispersión es mayor en el grupo B.
Ejercicio nº 6.Un grupo de atletas ha obtenido las siguientes puntuaciones en una prueba deportiva que se valoraba de 0 a 5 puntos: PUNTUACIÓN
1
2
3
4
5
Nº DE ATLETAS
4
4
12
18
12
Calcula Me, Q1, Q3 y p10. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me p50 4 Q1 p25 3 Q3 p75 4 p10 2
xi
fi
Fi
en %
1
4
4
8
2
4
8
16
3
12
20
40
4
18
38
76
5
12
50
100
porque para porque para porque para porque para
xi 4, xi 3, xi 4, xi 2,
la la la la
Fi Fi Fi Fi
supera el supera el supera el supera el
50%. 25%. 75%. 10%.
Ejercicio nº 7.El número de pulsaciones que se han tomado a un grupo de 30 personas se distribuyen entre 60 y 90. Haz el diagrama de caja que representa esta distribución sabiendo que Q1 69, Me 73,5 y Q3 80. Solución:
La longitud de la caja es 80 69 11. Los segmentos del bigote han de tener como mucho 1,5 · 11 16,5. Ambas ramas miden menos.
Ejercicio nº 8.Interpreta el siguiente diagrama de caja relativo a las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes:
Solución: Las calificaciones están comprendidas entre 2 y 8,5. Hay un individuo que obtuvo un 10. Q1 3,5 El 25% de los estudiantes obtuvo 3,5 o menos. Me 5,5 El 50% de los estudiantes obtuvo 5,5 o menos. Q3 6 El 25% de los estudiantes obtuvo 6 o más. Ejercicio nº 1.En una clase de 4º ESO se ha realizado un examen final de tipo test que constaba de 30 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase han sido:
15 10 30
5
20 25
25 30
5
25
30 25 10 15 20 20 10
5
15 30
a Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente esta distribución. Solución: a
xi
fi
5
3
10
3
15
3
20
3
25
4
30
4 20
b
Ejercicio nº 2.En un grupo de 30 personas hemos medido la estatura, en centímetros, de cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados: 160 163 165 164 162
168 175 167 159 160
161 164 167 168 154
163 164 167 164 165
166 168 165 167 169
164 150 166 147 170
a Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más conveniente. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando es continua la estatura. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 147 y el mayor es 175; su diferencia es 175 147 28. Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 5, empezando por 146,5:
INTERVALO
FRECUENCIA
146,5 151,5
2
151,5 156,5
1
156,5 161,5
4
161,5 166,5
13
166,5 171,5
9
171,5 176,5
1 30
b
Ejercicio nº 3.En un grupo de 30 niños, se ha medido el peso, en kilogramos, de cada uno de ellos, obteniendo los siguientes resultados: 30 31 28 25 33
34 31 32 26 39
32 35 37 29 32
40 35 38 31 36
34 35 30 28 27
32 33 29 30 31
a Haz una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente la distribución. Solución:
a Por una parte, la variable que estamos estudiando peso es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 25 y el mayor es 40; su diferencia es 40 25 15. Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 3, empezando en 24,5:
INTERVALO
FRECUENCIA
24,5 27,5
3
27,5 30,5
7
30,5 33,5
10
33,5 36,5
6
36,5 39,5
3
39,5 42,5
1 30
b
Ejercicio nº 4.Se ha preguntado a 50 familias por el número de personas que forman su hogar familiar. Resumimos la información obtenida en la siguiente tabla: Nº DE PERSONAS
1
2
3
4
5
6
Nº DE FAMILIAS
2
10
24
8
4
2
a Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de familias hay en el intervalo x σ, x σ ?
Solución: a xi
fi
f i xi
fi x i2
1
2
2
2
2
10
20
40
3
24
72
216
4
8
32
128
5
4
20
100
6
2
12
72
50
158
558
Media: x
fi xi 158 3,16 n 50
Desviación típica:
fi xi2 x2 n
558 3,162 1,1744 1,08 50
El número medio de personas que forman el hogar familiar es 3,16, con una desviación típica de 1,08 personas. b) x 2,08 x 4,24
En el intervalo 2,08; 4,24 hay 32 familias, que representan un 64% del total.
Ejercicio nº 5.En una empresa, A, el sueldo medio de los trabajadores es 950 € al mes, con una desviación típica de 150 €. En otra empresa, B, el sueldo medio es de 1 200 € al mes, con una desviación típica de 200 €. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di cuál de las dos empresas tiene mayor variación relativa en los sueldos.
Solución: A 150 0,158 x A 950
15,8% B 200 C.V.B 0,167 16,7% xB 1200 C.V.A
La variación relativa es mayor en la empresa B.
Ejercicio nº 6.Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número de lanzamientos que necesitamos hasta obtener por primera vez cara. Realizamos el experimento 100 veces, con los siguientes resultados: LANZAMIENTO EN EL QUE SALE CARA
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES QUE HA OCURRIDO
48
25
16
4
5
2
Calcula Me, Q1, Q3 y p30. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me p50 2 Q1 p25 1 Q3 p75 3 p30 1
xi
fi
Fi
en %
1
48
48
48
2
25
73
73
3
16
89
89
4
4
93
93
5
5
98
98
6
2
100
100
porque para porque para porque para porque para
xi 2, xi 1, xi 3, xi 1,
la la la la
Fi Fi Fi Fi
supera el supera el supera el supera el
50%. 25%. 75%. 30%.
Ejercicio nº 7.El número de libros que un grupo de 100 personas lee anualmente está comprendido entre 1 y 8. Hay una persona que lee 9 libros al año. Conocemos los siguientes parámetros: Q1 2, Me 3 y Q3 4,5. Haz un diagrama de caja para esta distribución. Solución: La longitud de la caja es 4,5 2 2,5. Los segmentos del bigote han de tener como mucho 1,5 · 2,5 3,75. La rama izquierda mide menos. La de la derecha, de 3,75 , no abarca el elemento mayor una persona que lee 9 libros; se representa pues mediante un asterisco.
Ejercicio nº 8.Interpreta el siguiente diagrama de caja relativo a las estaturas de un grupo de personas:
Solución: Las estaturas están comprendidas entre 158 cm y 189 cm. Q1 168 La cuarta parte de las personas tiene una estatura de 168 cm o inferior. Me 173,5 La mitad tiene una estatura de 173,5 cm o inferior. Q3 178,25 El 25% de las personas tiene una estatura superior o igual a 178,25 cm. Ejercicio nº 1.En un grupo de personas hemos preguntado por el número medio de días que practican deporte a la semana. Las respuestas han sido las siguientes:
4 2 3 1 3
7 1 0 3 2
6 2 3 3 4
6 3 4 3 6
a Haz una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a
xi
fi
0
1
1
2
2
3
3
7
4
3
6
3
7
1 20
b
Ejercicio nº 2.En una clase de 4º ESO hemos preguntado a las alumnas y a los alumnos por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas: 16 11 17 12 10 15 20 10
3
8 10
2
5
6 16
5 12
1 8 10 14 7 6
16 10 3
3
9
4 12
a Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la forma que creas más conveniente. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando horas de estudio es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 1 y el mayor es 20; su diferencia es 20 1 19. Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 3, empezando en 0:
INTERVALO
FRECUENCIA
0, 3
2
3, 6
6
6, 9
5
9, 12
7
12, 15
4
15, 18
5
18, 21
1 30
b
Ejercicio nº 3.En un grupo de 30 personas, hemos medido la estatura, en centímetros, de cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados: 160 163 165 164 162
168 175 167 159 160
161 164 167 168 154
163 164 167 164 165
166 168 165 167 169
164 150 166 147 170
a Elabora una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando es continua la estatura. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 147 y el mayor es 175; su diferencia es 175 147 28.
Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 5, empezando por 146,5:
INTERVALO
FRECUENCIA
146,5 151,5
2
151,5 156,5
1
156,5 161,5
4
161,5 166,5
13
166,5 171,5
9
171,5 176,5
1 30
b
Ejercicio nº 4.Las notas obtenidas en un examen de matemáticas por las alumnas y los alumnos de una clase de 4º ESO vienen reflejadas en esta tabla: NOTA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº ALUMNOS/AS
1
2
3
5
4
6
4
3
2
a Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos/as hay en el intervalo x σ, x σ ?
Solución: a xi
fi
fi xi
fi x i2
2
1
2
4
3
2
6
18
4
3
12
48
5
5
25
125
6
4
24
144
7
6
42
294
8
4
32
256
9
3
27
243
10
2
20
200
30
190
1 332
Media: x
fi xi 190 6,33 n 30
Desviación típica:
fi xi2 1332 x2 6,332 4,33 2,08 n 30
La nota media de la clase es 6,33, con una desviación típica de 2,08. b) x 4,25 x 8,41
En el intervalo 4,25; 8,41 hay 19 alumnos, que representan un 63,33% del total.
Ejercicio nº 5.En un examen de matemáticas realizado en 4º A de ESO, la nota media ha sido 5,2, con una desviación típica de 2,3. En la clase de 4º B, con el mismo examen, se ha obtenido una nota media de 7,4 y una desviación típica de 3. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.
Solución: A 2,3 0, 442 44,2% x A 5,2 B 3 C.V.B 0,405 40,5% xB 7,4
C.V.A
La dispersión es mayor en el grupo A.
Ejercicio nº 6.En la siguiente tabla hemos resumido los resultados obtenidos al lanzar un dado 120 veces: Nº OBTENIDO
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES
18
30
21
25
17
9
Calcula Me, Q1, Q3 y p20. Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me p50 3 Q1 p25 2 Q3 p75 4 p20 2
xi
fi
Fi
en %
1
18
18
15
2
30
48
40
3
21
69
57,5
4
25
94
78,3
5
17
111
92,5
6
9
120
100
porque para porque para porque para porque para
xi 3, xi 2, xi 4, xi 2,
la la la la
Fi Fi Fi Fi
supera el supera el supera el supera el
50%. 25%. 75%. 20%.
Ejercicio nº 7.Los tiempos que un grupo de personas han empleado en hacer un test se distribuyen entre 0 y 50 minutos. Construye el diagrama de caja sabiendo que Q1 23, Me 34 y Q3 39. Solución: La longitud de la caja es 39 23 16. Los segmentos del bigote han de tener como mucho 1,5 · 16 24. Ambas ramas miden menos.
Ejercicio nº 8.Este diagrama de caja representa la frecuencia con la que un grupo de personas va al cine mensualmente. Interprétalo.
Solución: La frecuencia de asistencia al cine está en el intervalo 06. Hay una persona que acude 8 veces al mes. Q1 2 La cuarta parte de las personas acuden al cine 2 veces al mes o menos. Me 3 La mitad acuden al cine 3 veces al mes o menos. Q3 4 El 25% acuden al cine 4 veces al mes o más. Ejercicio nº 1.En una clase de 4º ESO se ha realizado un examen final de tipo test que constaba de 30 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase han sido:
15 10 30
5
20 25
25 30
5
25
30 25 10 15 20 20 10
5
15 30
a Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente esta distribución. Solución: a
xi
fi
5
3
10
3
15
3
20
3
25
4
30
4 20
b
Ejercicio nº 2.En un grupo de 30 niños, se ha medido el peso, en kilogramos, de cada uno de ellos, obteniendo los siguientes resultados: 30 31 28 25 33
34 31 32 26 39
32 35 37 29 32
40 35 38 31 36
34 35 30 28 27
32 33 29 30 31
a Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más conveniente. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando el peso es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor valor es 25 y el mayor es 40; su diferencia es 40 25 15. Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 3, empezando en 24,5:
INTERVALO
FRECUENCIA
24,5 27,5
3
27,5 30,5
7
30,5 33,5
10
33,5 36,5
6
36,5 39,5
3
39,5 42,5
1 30
b
Ejercicio nº 3.Hemos ido apuntando la edad de cada uno de los componentes de un grupo de 30 personas, obteniendo estos datos: 24
3 29
6
5
30 16 14 12
8
37 26 28 15 17
17 25 24 36 42 4
8 37 32 40
41 20 18 27 42
a Haz una tabla de frecuencias. b Representa gráficamente la distribución. Solución: a Por una parte, la variable que estamos estudiando la edad es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos. El menor es 3 y el mayor es 42; su diferencia es 42 3 39.
Así, podemos tomar 9 intervalos de longitud 5, empezando en 0:
INTERVALO
FRECUENCIA
0, 5
2
5, 10
4
10, 15
2
15, 20
5
20, 25
3
25, 30
5
30, 35
2
35, 40
3
40, 45
4 30
b
Ejercicio nº 4.Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos de una clase de 4º ESO por el tiempo que tardan en llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla: TIEMPO MINUTOS
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 25
Nº ALUMNOS/AS
10
6
9
3
2
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. Solución:
Hallamos la marca de clase, xi , de cada intervalo y hacemos la tabla de frecuencias:
fi x i2
INTERVALO
xi
fi
f i xi
0, 5
2,5
10
25
62,5
5, 10
7,5
6
45
337,5
10, 15
12,5
9
112,5
1 406,25
15, 20
17,5
3
52,5
918,75
20, 25
22,5
2
45
1 012,5
30
280
3 737,5
Media: x
fi xi 280 9,33 n 30
Desviación típica:
fi xi2 x2 n
3737,5 9,332 37,53 6,13 30
Los alumnos y las alumnas tardan, por término medio, 9,33 minutos, con una desviación típica de 6,13 minutos.
Ejercicio nº 5.En un grupo, A, de personas, la estatura media es 165 cm, con una desviación típica de 10,5 cm. En otro grupo, B, la estatura media es 140 cm y su desviación típica, 8,4 cm. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos.
Solución: A 10,5 0, 0636 6,36% x A 165 8,4 C.V.B B 0,06 6% xB 140 C.V.A
La dispersión es algo mayor en el grupo A.
Ejercicio nº 6.En la siguiente distribución, halla Me, Q1, Q3 y p90.
xi
1
2
3
4
5
6
7
fi
5
12
32
19
27
15
10
Solución: Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me p50 4 Q1 p25 3 Q3 p75 5 p90 6
xi
fi
Fi
en %
1
5
5
4,17
2
12
17
14,17
3
32
49
40,83
4
19
68
56,67
5
27
95
79,17
6
15
110
91,67
7
10
120
100
porque para porque para porque para porque para
xi 4, xi 3, xi 5, xi 6,
la la la la
Fi Fi Fi Fi
supera el supera el supera el supera el
50%. 25%. 75%. 90%.
Ejercicio nº 7.Las puntuaciones obtenidas por 120 atletas tienen los siguientes parámetros de posición: Q1 3, Me 4 y Q3 6. Todas las puntuaciones están en el intervalo que va de 1 a 7. Haz el diagrama de caja.
Solución: La longitud de la caja es 6 3 3. Los segmentos del bigote han de tener como mucho: 3 · 1,5 4,5. Ambas ramas, miden menos.
Ejercicio nº 8.-
Interpreta el siguiente diagrama de caja relativo a las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes:
Solución: Las calificaciones están comprendidas entre 2 y 8,5. Hay un individuo que obtuvo un 10. Q1 3,5 El 25% de los estudiantes obtuvo 3,5 o menos. Me 5,5 El 50% de los estudiantes obtuvo 5,5 o menos. Q3 6 El 25% de los estudiantes obtuvo 6 o más.