Ejercicios resueltos. Tema 6. 1. Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta. Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta: 70 m 7000 cm longitud
L Longitud real escala
7000 70 cm 100
Luego: Área de la planta 70 · 70 4 900 cm2 0,49 m2 2. Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente. Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:
Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales), Luego:
x 7,5 1,52 3,2
x 3,56
Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m. 3. Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90). Hacemos una representación del problema:
Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y: x 2 6,1 2,5 x 2 15,25 x 3,91km y 2 6,1 3,6 y 2 21,96 y 4,69 km
El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro. Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2 2,5 · 3,6
h2 9
h 3 km
La distancia del barco a al playa es de 3 km 4. Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm. b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.
c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición de Tales se suponen antenas de distintas alturas. Solución: a FALSO. Los lados no son proporcionales: 7,5 12,5 16,8 3 5 7 b VERDADERO. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:
34,56 14,4 2,4 14,4 6 Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales. c VERDADERO. Hagamos un dibujo que represente la situación:
Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común y los lados opuestos a éste ángulo son paralelos. Por tanto, están en posición de Tales. 5. En una esfera se inscribe un cono de altura 6 cm y volumen 157 cm3. Calcula el volumen de la esfera.
VCONO
1 2 r h 3
157
1 2 r 6 157 2r 2 3
r2
157 2
r 5 cm
El triángulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia. Aplicando el teorema de la altura obtenemos R radio de la esfera: r 2 h 2R h
R
25 6 2R 6
25 12R 36
61 5,1 cm 12
Volumen de la esfera: V
4 4 R 3 5,13 555,6 cm3 3 3
61 12R
6. Una constructora está vendiendo un bloque de pisos usando una maqueta hecha a escala 1:150. a Se deja una parcela rectangular para actividades deportivas, cuyas dimensiones en la maqueta son 25 cm 52 cm. ¿Qué dimensiones tendrá en la realidad? 3 b La piscina contendrá 405 m de agua. ¿Qué volumen tiene en la maqueta? a Dimensiones de la parcela rectangular en la realidad: 25 cm · 150 3 750 cm 37,5 m 52 cm · 150 7 800 cm 78 m b VPISCINA REAL VPISCINA MAQUETA · 1503 405 m3 VPISCINA MAQUETA · 1503
VPISCINA MAQUETA
405000000 cm3 120 cm3 1503
7. Un molde para cocinar tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 16 cm y 12 cm y su altura es de 6 cm. Halla el volumen del molde. Ampliamos el tronco hasta completar una pirámide.
Aplicamos la semejanza a los dos triángulos: el pequeño de catetos x y 6 y el grande de catetos x 6 y 8. x x6 6 8
8 x 6 x 36
2x 36
x 18 cm
El volumen del tronco de pirámide es la diferencia de volúmenes de las dos pirámides VTRONCO
1 1 162 6 18 122 18 2048 864 1184 cm3 3 3
8. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:
a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? b ¿Qué distancia separa ambas casas?
Necesitamos calcular x e y: Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el teorema del cateto: 7,5 4,5 · z 56,25 4,5 · z z 12,5 km 2
Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km. Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:
y2 x z
y 2 12,5 4,5 12,5
y 2 8 12,5
y 2 100
y 10 km
Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km. 9. Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no. a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.
c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y B’C’ = 12 cm son semejantes. a FALSO. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos.
b FALSO. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos.
c
9 12 1,5 6 8
VERDADERO. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual. 10. a Calcula la superficie terrestre que se verá desde 750 km de altura. Recuerda que el radio de la tierra es R 6 366 km. b ¿A qué altura se ha de ascender para ver exactamente el 15% de su superficie? a
R 6 366 km d 750 km Llamamos h a la altura del casquete esférico cuya área queremos calcular. El triángulo rectángulo sombreado es semejante al grande: R R h R d R
6366 6366 h 7116 6366
63662 7116 6366 h
7116 h 4774500
h 670,95 km
ACASQUETE 2Rh 2 · 6 366 · 670,95 26 837 166,46 km2 b En este caso tenemos que calcular d : AESFERA 4R 4 · 6 366 509 264 182,6 km 2
2
2
15% AESFERA ACASQUETE 15% de 509 264 182,6 76 389 627,39 km2 Calculamos h :
ACASQUETE 2Rh 76 389 627,39 2 · 6 366 · h h 1 909,8 km Aplicamos nuevamente la semejanza de triángulos: R R h R d R
6366 6366 1909,8 6366 d 6366
6366 4 456,2 6366 d 6366
63662 4 456,2 6366 d
d 2728,3 km
Se ha de ascender 2 728, 3 km para ver exactamente el 15% de la superficie terrestre. 11. En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm? En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales. 7,5 cm 153 km 15 300 000 cm Escala
Distancia mapa 7,5 1 Distancia real 15300000 2040000
La escala es 1:2 040 000. Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será: 12,25 · 2 040 000 24 990 000 cm 249,9 km 12. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. Hacemos una representación del problema:
En la figura tenemos dos triángulos semejantes.
Luego:
x 138 1,5 2,3
x
1,5 138 90 2,3
La altura de la montaña será: x 1,82 90 1,82 91,82 m 13. El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. Calcula la longitud del circuito sabiendo que AC 5 km y la distancia de B al albergue. es de 2,4 km.
El objetivo es calcular AB y BC. Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,4 x · 5 x 5,76 5x x 2
2
x 5x 5,76 0 2
5 25 23,04 5 1,96 5 1,4 x 2 2 2
3,2 1,8
Si x 3,2 5 x 5 3,2 1,8 Si x 1,8 5 x 5 1,8 3,2 Tenemos pues, según el dibujo, que x 1,8 km y 5 x 3,2 km. Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: y 2 1,8 5 y 2 9 y 3km z 2 3,2 5 z 2 16 z 4km
La longitud del circuito será 3 4 5 12 km.
14. Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones: a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza. b ABC es semejante a CDE.
c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los triángulos no son semejantes. a VERDADERO. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:
ABC y ABC son semejantes
A A.
ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D 90.
Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así:
BD BD
AB AB
razón de semejanza
Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza. b FALSO. Sus lados no son proporcionales.
15 10 9 3 2 2
A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no. c FALSO. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.
180 70 110
110 55 2
En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55. 15. El lado de un rombo mide 29 cm y una de las diagonales BD 40 cm. Por un punto P de la otra diagonal se traza una paralela a BD que corta en M y N a los lados AD y AB. Calcula el área y el perímetro del pentágono MDCBN sabiendo que PM 4 cm.
Calculamos el área del rombo; se necesita, por tanto, conocer la longitud de la otra diagonal AC.
2
2
292 202 OA
OA 292 202
El área del rombo es: AR
OA 441 21 cm
AC 42 cm
BD AC 40 42 840 cm2 2 2
Calculamos el área del triángulo MNA : Por la semejanza de los triángulos APN y AOB se obtiene AP : OA OB
PA
PN
21 PA 20 4
PA
21 4 4,2 cm 20
El área del triángulo MNA es :
A
MN PA 8 4,2 16,8 cm2 2 2
El área del pentágono MDCBN es: AP AR A 840 16,8 823,2 cm
2
Para calcular el perímetro del pentágono necesitamos hallar la longitud de NB MD : AB OA
AN PA
29 AN 21 4,2
AN
29 4,2 5,8 cm 21
Luego NB AB AN 29 5,8 23,2 cm Perímetro del pentágono: P MN NB BC CD DM 8 23,2 29 29 23,2 112,4 cm
16. Calcula el área que ocupará un hexágono regular de 80 cm de lado, en un plano de escala 1:50. Calculamos el área del hexágono regular de 80 cm de lado:
x
apotema
x 80 402 4800 69,28 cm 2
Área
Perímetro apotema 80 6 69,28 16627,2 cm2 2 2
Área del hexágono de 80 cm de lado Área del hexágono en el plano · 502 16 627,2 cm2 Área del hexágono en el plano · 502 16627,2 cm2 Área del hexágono en el plano 6,65 cm2 2500
17. Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C, rectángulo en B. Se sabe que AC 35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm.. Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.
El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura: 15,62 a b 2 2 2 15,6 a 35,36 a 243,36 35,36a a a 35,36a 243,36 0 b 35,36 a
35,36 276,8896 35,36 16,64 a 2 2
26
b 9,36
9,36 b 26
Observando el dibujo, tomamos a 9,36 m y b 26 m. Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto: x 2 a 35,36 x 2 9,36 35,36 x 2 330,9696 y 2 b 35,36 y 2 26 35,36 y 2 919,36
Luego, x 18,19 m e y 30,32 m. La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo: 18,19 30,32 35,36 83,87 m Y su coste será 83,87 · 0,3 25,16 € 18. En el triángulo rectángulo ABC conocemos BC 24 cm y AH 1,96 cm. Halla el área y el perímetro del triángulo.
Aplicamos el teorema del cateto para calcular HC : 2
BC AC HC
242 1,96 x x
x 2 1,96 x 576 0 23,04
1,96 1,962 4 576 1,96 48,04 x 2 2
25 NO VALE
Aplicamos el teorema de la altura para calcular BH : 2
BH 1,96 x
2
BH 1,96 23,04
2
BH 45,1584
BH 45,1584 6,72 cm
Nuevamente, aplicando el teorema del cateto obtenemos AB : 2
AB AC AH
AB 1,96 23,04 1,96 25 1,96 49 2
AB 49 7 cm
Por tanto: Área ABC
AC BH 25 6,72 84 cm2 2 2
Perímetro ABC AB BC CA 7 24 25 56 cm
19. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro 9 rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de . 4
Área del rectángulo conocido 3 6 18 cm2 Área del rectángulo que nos piden x
x 9 18 4
x
18 9 40,5 cm2 4
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por tanto: 9 3 Razón de semejanza 4 2 Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son:
3
3 9 4,5 cm 2 2
6
3 18 9 cm 2 2
20. Halla el volumen de un tronco de cono sabiendo que su altura es de 10 cm y los radios de sus bases miden 6 cm y 21 cm. Ampliamos el tronco hasta completar un cono.
Aplicamos la semejanza a los dos triángulos uno de catetos x y 6 y otro de catetos x 10 y 21. x x 10 6 21
21x 6 x 60
15 x 60
x 4 cm
El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de los dos conos VTRONCO
1 1 1 212 10 4 62 4 6174 144 6314,60 cm3 3 3 3
21. Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.
Necesitamos calcular el valor de x, y, z. Calculamos x aplicando el teorema de la altura: 22 x · 2,5 4 x · 2,5 x 1,6 cm Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: y 2 1,6 1,6 2,5 y 2 1,6 4,1 y 2 6,56 z 2 2,5 1,6 2,5 z 2 2,5 4,1 z 2 10,25
Luego, y 2,56 cm y z 3,2 cm. Por tanto: Perímetro 2,56 3,2 4,1 9,86 cm
Área
4,1 2 4,1 cm2 2
22. Calcula el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC sabiendo que AB 12 cm y HC 12,8 cm.
Aplicamos el teorema del cateto para calcular AH : 2
AB AC AH x
122 x 12,8 x
12,8 163,84 576 12,8 27,2 2 2
x 2 12,8 x 144 0
7,2 20 NO VALE
Luego AH 7,2 cm. De nuevo, aplicando el teorema del cateto, obtenemos BC : BC AC HC 7,2 12,8 12,8 20 12,8 256 2
BC 16 cm
Aplicamos el teorema de la altura para calcular BH : 2
BH AH HC 7,2 12,8 92,16
BH 9,6 cm
Por tanto: Área ABC
AC BH 20 9,6 96 cm2 2 2
Perímetro ABC AB BC CA 12 16 20 48 cm
23. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro 9 rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de . 4
24. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
3
25. En una esfera se inscribe un cono de altura 6 cm y volumen 157 cm . Calcula el volumen de la esfera.
VCONO
1 2 r h 3
157
1 2 r 6 157 2r 2 3
r2
157 2
r 5 cm
El triángulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia. Aplicando el teorema de la altura obtenemos R radio de la esfera: r 2 h 2R h
R
25 6 2R 6
25 12R 36
61 5,1 cm 12
Volumen de la esfera: V
4 4 R 3 5,13 555,6 cm3 3 3
61 12R