1. Representa gráficamente estas rectas:
a Pasa por 0, 3 y 1, 1.
b Pasa por 0, 1 y 4, 2.
c Es paralela al eje X.
2. Representa las siguientes rectas:
Solución:
b y 3. Su gráfica es una recta paralela al eje X.
3. Indica cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: a
b
d 3x 4y 1 Solución: a
b
4. Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a Función de proporcionalidad que pasa por el punto 3, 2. b Recta que pasa por los puntos P2, 1 y Q5, 2. Solución:
Ecuación puntopendiente:
5. Escribe la ecuación de una recta paralela al eje Y que pase por (3, 1). La recta obtenida, ¿corresponde a una función? Solución: La expresión analítica de una recta paralela al eje Y es x k. Para que pase por (3, 1), la ecuación ha de ser x 3. Gráficamente es una recta vertical, paralela al eje Y, luego no corresponde a una función porque para el valor x 3 hay infinitos valores de “y”. 6. Representa la siguiente función:
Solución: Es una función definida a trozos. Hacemos una tabla de valores para cada caso y la representamos: y 1 si x 2, función constante.
7. Representa estas rectas:
Solución: a Pasa por 0, 0 y 1, 3.
b Pasa por 0, 2 y 3, 4.
c Es paralela al eje X.
8. Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas:
d 2x 3y 4 Solución: a
b
9. Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a Tiene pendiente 2 y corta al eje Y en el punto 0, 3. b Pasa por los puntos M4, 5 y N2, 3. Solución: a y 2x 3
Ecuación puntopendiente:
10. a Tres kilos de peras nos han costado 4,5 €; y, por siete kilos, habríamos pagado 10,5 €. Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x. b Represéntala gráficamente. c ¿Cuánto costarían 5 kg de peras? Solución: a Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos 3; 4,5 y 7; 10,5:
Ecuación puntopendiente: y 4,5 1,5 · x 3 y 1,5x b
c Si x 5 kg y 1,5 · 5 7,5 € 11. Pablo sale a dar un paseo caminando a 2 km/h. Un cuarto de hora más tarde sale a buscarlo su hermano que camina a 3 km/h. ¿Cuánto tardará en darle alcance? Representa las gráficas y escribe la solución. Solución: Espacio recorrido por Pablo (y) en función del tiempo, en horas, transcurrido (x): y 2x Espacio recorrido por el hermano (y) en función del tiempo, en horas, transcurrido (x):
Representamos ambas funciones:
Observando la gráfica vemos que Pablo será alcanzado por su hermano al cabo de tres cuartos de hora. También podemos hallar el punto de corte resolviendo el sistema formad o por las dos ecuaciones:
12. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a Pasa por los puntos A4, 7 y B5, 1. b Es paralela a y 3x y pasa por el punto P2, 0. Solución:
Ecuación puntopendiente:
b Paralela a y 3x m 3 Ecuación puntopendiente:
13. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 € por la visita, más 20 € por cada hora de trabajo. a Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x. b Represéntala gráficamente. c ¿Cuánto tendríamos que pagar si hubiera estado 3 horas? Solución:
a y 25 20x b
c Si x 3 horas: y 25 20 · 3 25 60 85 € 14. Un vendedor recibe dos ofertas de empleo. La editorial A le ofrece 600€ de sueldo fijo al mes y 10 € por cada enciclopedia que venda. La editorial B le ofrece mensualmente 800 € independientemente del número de enciclopedias vendidas. a) Expresa en cada caso el salario en función del número de enciclopedias que venda. b) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. c) ¿Cuántas enciclopedias ha de vender para ganar lo mismo con las dos modalidades de contrato? Solución: a) Sueldo recibido mensualmente (y) en función del número de enciclopedias vendidas (x). Editorial A y 600 10x Editorial B y 800 b) y 600 10x y 800 función constante
c) Vendiendo 20 enciclopedias en la editorial A ganará lo mismo que en la editorial B. También podemos obtener este punto resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones:
15. Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: a
a
b
c) m 0 y 0 Se cruzan al cabo de 2 horas y media a 145 km de la ciudad B. Para obtener este punto podemos también resolver el sistema formado por las dos ecuaciones:
d 58t 58 · 2,5 145 d 145 km
16. Un determinado día, Ana ha pagado 3,6 € por 3 dólares, y Álvaro ha pagado 8,4 € por 7 dólares. a Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en euros, y, de x dólares. b Represéntala gráficamente. c ¿Cuánto habríamos pagado por 15 dólares? Solución: a Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos 3; 3,6 y 7; 8,4.
Ecuación: y 3,6 1,2x 3 y 1,2x b
c Si x 15 dólares, y 1,2 · 15 18 €.
16. Halla la ecuación de cada una de estas rectas: a Función de proporcionalidad que pasa por el punto 3, 2. b Recta que pasa por los puntos P2, 1 y Q5, 2. Solución:
Ecuación puntopendiente:
18. Calcula la medida de los ángulos desconocidos: a b
Solución:
Además, por estar en la misma posición respecto a las dos rectas paralelas, se tiene:
19. En un triángulo ABC, la base AB mide 20 m y la altura relativa a esa base mide 6,6 m. Solución: Calculamos la altura h del triángulo ABC sabiendo que por ser semejante al triángulo ABC se tiene
20.En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 12 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual. Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
La altura mide 10,91 cm. 20. A partir de las medidas de sus lados, clasifica los siguientes triángulos en rectángulos, acutángulos y obtusángulos: a 37 m, 25 m y 18 m b 8 cm, 17 cm y 15 cm Solución:
21. Halla el valor del ángulo en cada uno de estos casos: a b c
Solución: a Polígono de 4 lados la suma de sus ángulos es 360 360 180 70 110 b
180 55 125 c
Luego: 180 20 40 120 22. Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo a CD
a Explica por qué los triángulos OAB y ODC son semejantes. b Calcula x e y. Solución: tienen dos ángulos respectivamente iguales, luego son semejantes.
23. a b
Solución: a Pentágono regular:
b Heptágono regular:
24. Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos
¿Cuánto miden los lados a y b? Solución: Por tener los lados paralelos, ambos triángulos son semejantes se puede encajar el triángulo pequeño en el grande y por tanto estar en posición de Tales. Luego los lados son proporcionales:
25.Dos triángulos ABC y ABC son semejantes y su razón de semejanza es 1,6. Calcula los lados del triángulo ABC si sabemos que Solución:
Luego
26. El lado de un rombo mide 25 dm, y su diagonal menor mide 14 dm. ¿Cuánto mide la otra diagonal? Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
La otra diagonal mide 2x 48 dm.