Tema 7. Trigonometría. Ejercicios complementarios resueltos. 1.Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm. Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x 2,5 6,5 2
2
2
x 6,25 42,25 x 36 2
2
Luego x 6 cm es la longitud del otro cateto.
Calculamos las razones trigonométricas de :
6 0,92 6,5 2,5 cos 0,38 6,5 6 tg 2,4 2,5 sen
Calculamos las razones trigonométricas de :
2,5 0,38 6,5 6 cos 0,92 6,5 2,5 tg 0,42 6 2. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo , sin usar calculadora 0 < 90: sen
sen
3 2
cos
2 2
tg
0
30
sen
3 2
0
cos
1/2
1
3 2
2 2
tg
3
0
3 3
1
60
0
2 2
1/2
30
45
3. Sabiendo que 0 < < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales: sen
0,8
cos tg
Si tg 0,75
0,75
sen 0,75 cos
0,75 cos
sen 2 cos 2 1
1,5625 cos 2 1
2
sen 0,75 cos
cos 2 1
cos 2 0,64
0,5625 cos 2 cos 2 1
cos 0,8
Luego, sen 0,75 · 0,8 0,6. Si sen 0,8 sen cos 1 0,8 cos 1 2
0,64 cos 1 2
2
2
2
cos 0,36 cos 0,6 2
0,8 1,3. 0,6 Completamos la tabla: Luego, tg
sen
0,6
0,8
cos
0,8
0,6
tg
0,75
1,3
De un ángulo sabemos que la tg
3 y que 180 270Calcula sen 4
y cos Como tg
3 4
sen 3 cos 4
sen
3 cos 4
9 25 cos 2 cos 2 1 cos 2 1 16 16 4 cos por estar en el tercer cuadrante. 5
sen 2 cos 2 1
cos 2
Asi, sen
16 25
3 4 3 4 5 5
sen
3 5
5. Calcula las razones trigonométricas de 240 dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica.
Solución:
En el dibujo se observa que: 3 2 1 cos 240 2
sen 240 sen 60 sen 240 cos 240 cos 60
Luego: tg 240
sen 240 3 1 3 : cos 240 2 2
tg 240 3
6. Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55. a ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. Solución: h altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55. Así:
a sen 55
h 6,2
h 6,2 sen 55 6,2 0,82 5,08 m
El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
b cos 55
x 6,2
x 6,2 cos 55 6,2 0,57 3,53 m
La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m. 7. Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide el ángulo que forma la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago con la horizontal y resulta ser de 50; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir, obteniendo un ángulo de 35. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago. Hacemos una representación. Llamamos: h altura de la estatua x radio del lago
tg 50
h x
h tg 35 x 45
h x 45 tg 35 h x tg 50
x tg 50 x 45 tg 35
x 1,19 x 45 0,7 1,19x 0,7x 31,5 0,49x 31,5
Luego h 64,29 · 1,19 76,51 dm 7,65 m Calculamos la superficie del lago circular: ACIRCULO x 2 3,14 64,29 12978,26 dm2 129,78 m2 2
La superficie del lago es de 129,78 m 2.
x 64,29 dm
8. Si cos a, calcula las razones trigonométricas de 90 . y 90 son ángulos complementarios suman 90; en ese caso sus razones trigonométricas mantienen la siguiente relación: sen 90 cos ; cos 90 sen ;
tg 90
cos sen
Calculamos, pues, el sen sabiendo que cos a: sen 1 cos 2 1 a2 Luego : sen 90 a ; cos 90 1 a2 ; tg 90
a 1 a2
9. Halla el lado, la apotema y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
El ángulo central del pentágono vale
360 72 5
Por tanto, el ángulo AOB del triángulo rectángulo de la figura vale
72 36 2
La apotema es la longitud OA 6 cos 36 4,85 cm. Calculamos AB 6 sen 36 3,53cm. El lado del pentágono es 2 AB 2 3,53 7,06 cm. Perímetro apotema 5 7,06 4,85 85,6 cm2 2 2 10. a Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo. b Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. a 102 62 82 100 36 64 100 100 Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo. b Calculamos las razones trigonométricas de y : 6 8 6 sen 0,6 cos 0,8 tg 0,75 10 10 8 Área del pentágono
sen
8 0,8 10
cos
6 0,6 10
tg
8 1,3 6
11. Sabiendo que es un ángulo agudo y que el cos 1/5, calcula, utilizando radicales, sen y tg .
Como cos
sen
1 5
2
1 sen 2 1 5
1 24 sen 2 1 sen 2 25 25
2 6 5
Luego, tg
sen 2 6 1 2 6 cos 5 5
tg 2 6
12. Sabiendo que cos
5 y que es un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen 5
y tg
Como cos
5 5
2
5 2 sen 1 5
20 2 5 sen 25 5 tercer cuadrante.
sen 2
Así, tg
sen 2 5 5 : 2 cos 5 5
5 sen 2 1 25
donde elegimos el signo por estar en el
tg 2
13. Sabiendo que tg 10 0,18; sen 20 0,34 y cos 40 0,76, calcula las razones trigonométricas de 70 dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica.
De los tres ángulos sobre los que se da información 10, 20 y 40, el ángulo de 70 está relacionado con el de 20 son ángulos complementarios, por tanto: sen 70 = cos 20 cos 70 sen 20 1 tg 70 tg 20 Calculamos cos 20 y tg 20: cos 20 1 sen 20 1 0,34 0,94 2
tg 20
sen 20 0,34 0,36. cos 20 0,94
2
1 2,78. 0,36 14. Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60. ¿A qué distancia de la casa cae el cable? Por tanto: sen 70 0,94; cos70 0,34 y tg 70
Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica: sen 60
h 9
h 9 sen 60
9 3 7,79 m 2
La altura de la casa es de 7,79 m. Sea x distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno es la razón trigonométrica que debemos usar: cos 60
x 9
x 9 cos 60 9
1 4,5 m 2
El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. 15. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que 0 x 360. 4 sen x2 8 sen x 3 0 Solución: Hacemos el cambio de variable sen x y : 4y 2 8y 3 0
y
8 64 48 8 16 8 4 8 8 8
12 3 8 2 4 1 8 2
Deshacemos el cambio: 3 3 Si y sen x imposible ya que sen x 1 2 2 1 1 Si y sen x x 30o x 150 2 2 16. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras: x 1,2 1,3 2
2
x 1,44 1,69
2
2
x 0,25 x 0,5 m 2
Calculamos las razones trigonométricas de y :
sen
0,5 0,38 1,3
cos
1,2 0,92 1,3
tg
0,5 0,42 1,2
1,2 0,5 1,2 0,92 cos 0,38 tg 2,4 1,3 1,3 0,5 17. Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo , sabiendo que 0 90: sen
sen cos
1 1/2
tg
3 3
45
sen
3 2
cos
1/2
tg
3
60
1
2 2
3 2
0
2 2
3 3
NO EXISTE
1
90
45
1/2
30
18. Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que es un ángulo agudo: sen cos tg
0,25 0,6
Si cos 0,25 0,252 sen2 1 sen2 0,9375
Luego, sen 0,97 y tg
0,97 3,88. 0,25
Si tg 0,6 sen 0,6 cos 0,6 cos 2 cos2 1 0,36 cos cos 1 1,36 cos 1 cos 0,74 cos 0,86 2
2
2
2
Luego, sen 0,6 · 0,86 0,52 y la tabla queda:
sen
0,97
0,52
cos
0,25
0,86
tg
3,88
0,6
19. 2 y 270 360calcula sen y tg 3 En el cuarto cuadrante, sen < 0 y tg < 0. Si cos
2
sen 2 cos 2 1
tg
2 2 sen 1 3
sen 7 2 7 14 : cos 3 3 2 2
sen 2 1
tg
2 9
sen
7 3
14 2
20. Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30. Llamamos h a la altura de la antena.
Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la tangente será la razón trigonométrica a usar: tg 30
h 18
h 18 tg 30 18
3 6 3 10,39 m 3
La altura de la antena es de 10,39 m. 21. Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25. Calcula la altura del árbol y la anchura de río. Hacemos una representación del problema y llamamos: h altura del árbol
x anchura del río
x tg 35 x 5 tg 25 0,7x x 5 0,47 h tg 25 h x 5 tg 25 x 5 0,7 x 0,47 x 2,35 0,23 x 2,35 x 10,22 m tg 35
h x
h x tg 35
h 10,22 · 0,7 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m. 22. Explica razonadamente si las siguientes igualdades pueden ser o no ciertas: a sen cos 3 b cos > sen c tg 1 a FALSA. El sen y el cos toman como máximo el valor de 1 y no simultáneamente. Por tanto su suma nunca puede llegar a ser 3. b VERDADERA. sen cos cuando 45 por ejemplo. Luego los ángulos entre 0 y 45 cumplen que cos > sen . Un razonamiento similar en el 3er cuadrante nos lleva a concluir que los ángulos entre 225 y 270 también cumplen que cos > sen . Por último, todos los ángulos del 4º cuadrante tienen cos > 0 y sen < 0 , luego cos > sen . c VERDADERA tg 1 está en el 2º cuadrante o 4º cuadrante 180 45 135 o 360 45 315. 23. Completa la tabla sin usar calculadora 0 90: sen
0 1/2
cos tg
0 1
0
30
sen
0
1/2
cos
1
tg
0
45
90
2 2
1
3 2
2 2
0
3 3
1
NO EXISTE
De un ángulo agudo, , conocemos que sen
24. Halla cos y tg .
3 . 5
3
9 5 sen 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 25 5 9 16 4 cos 2 1 cos 2 cos 25 25 5 tg
sen 3 4 3 : cos 5 5 4
tg
3 4
25. Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135 y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante.
Se observa en la circunferencia goniométrica que: sen 135 sen 45
sen 135
2 2
cos 135 cos 45 cos 135
2 2
Luego, tg 135 1. 26. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razona la respuesta. Si tg > 0 entonces está en el 1er cuadrante exclusivamente. Si sen < 0 y tg > 0 entonces cos < 0. Las razones trigonométricas del ángulo coinciden con las del ángulo 360 . er Si sen < 0, puede estar en el 2º o 3 cuadrante. FALSO. er Además del 1 cuadrante, también puede estar en el 3º ya que en ese cuadrante, sen < 0 y cos < 0, luego tg > 0. b VERDADERO. a b c d a
Para que tg > 0, sen y cos han de tener el mismo signo. Luego si sen < 0 entonces cos < 0. c VERDADERO. El ángulo está situado por debajo del eje X tal como indica el dibujo. Sus razones trigonométricas coincidirán con las de 360 .
d FALSO, puede estar en el 3er o 4º cuadrante. 27. Comprueba y justifica que los ángulos 140, 40 y 400 tienen las razones trigonométricas iguales en valor absoluto. 140 180 40 40 sus razones trigonométricas están relacionadas con las de 40 400 360 40 Luego las razones trigonométricas de los tres ángulos del enunciado están relacionadas con las razones trigonométricas de 40: sen 140 sen 40 cos 140 cos 40 tg 140 tg 40
sen 40 sen 40 cos 40 cos 40 tg 40 tg 40
sen 400 sen 40 cos 400 cos 40 tg 400 tg 40
Por tanto: | sen 140 | | sen 40 | | sen 400 | sen 40 0,64 | cos 140 | | cos 40 | | cos 400 | cos 40 0,77 | tg 140 | | tg 40 | | tg 400 | tg 40 0,83 28. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo , sin usar calculadora 0 < 90: sen
3 2
cos tg
2 2 0 30
sen
3 2
0
cos
1/2
1
3 2
2 2
tg
3
0
3 3
1
60
0
1/2
30
2 2
45
29. Calcula sen y cos de un ángulo agudo, , sabiendo que la tg
Si tg
4 3
sen 4 cos 3
sen
4 cos 3
2
4 sen cos 1 cos cos 2 1 3 25 9 3 cos 2 1 cos 2 cos 9 25 5 2
2
Luego, sen
4 3 3 5
sen
4 . 3
16 cos 2 cos 2 1 9
4 5
30. De un ángulo sabemos que la tg
3 y que 180 270Calcula sen 4
y cos Como tg
3 4
sen 3 cos 4
sen
3 cos 4
9 25 cos 2 cos 2 1 cos 2 1 16 16 4 cos por estar en el tercer cuadrante. 5
sen 2 cos 2 1
cos 2
Asi, sen
16 25
3 4 3 4 5 5
sen
3 5
31. El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Sea x la longitud de la sombra del árbol.
Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la tangente es la razón trigonométrica a usar:
tg 40
15 x
x
15 15 17,86 m tg 40 0,84
La sombra del árbol mide 17,86 m. 32. Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:
Solución: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos:
Del dibujo deducimos: tg 45
h 8 x tg 42
h x tg 45
h 8x x 7,2 0,9 x
tg 42
h x
1,9 x 7,2
x tg 45 8 x tg 42
x 3,79 km, luego
x 8 x 0,9
h 3,79 km
De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso: b h2 x 2 2 3,79 3,79 2 5,36 km 2
a h2 8 x 3,792 4,212 5,66 km 2
La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km.