Πανελλαδικές Εξετάσεις 2023 - Μαθηματικά ΓΕΛ - Τελικές λύσεις by amarkoul

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’ Λυκείου 11:30

Σελίδα 2 από 8

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ Α

Α.1. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 111

Α.2. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 104

Α.3. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 128

Α.4. α. Λ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Σ

Σελίδα 3 από 8

Σελίδα 4 από 8 ΘΕΜΑ Β   2 4 x x e gx e  , g D  και   ln hxx  ,   0, hD  Β.1.     0 0, ln h fgh g xD x DD hxD x                      2 2lnln2 lnln 444 ,0 xx xx eex fxghxghxx eex  Άρα   2 4 ,0 x fxx x  Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο   0,  Β.2. i)       22222 222 424244 0 xxxxxxx fx xxxx       στο   0,  Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο   0,  ii)     2 222 40 2 444 4 f e e ffee eee      που ισχύει Β.3. Η f είναι συνεχής στο   0, fD  ως ρητή Κατακόρυφη ασύμπτωτη     2 00 1 limlim4 xx fxx x      αφού   2 0 lim440 x x    0 lim0,0 x xx    άρα 0 1 lim x x    Επομένως η 0 x  κατακόρυφη ασύμπτωτη της f C Πλάγια ασύμπτωτη   2 22 22 4 4 limlimlimlim1 1 xxxx x fx xx x x xxx          222 2 444 lim1limlimlim0 xxxx fxxxxxx xxx       Επομένως η ευθεία : yx   είναι πλάγια ασύμπτωτη της f C στο 

Σελίδα 5 από 8 Β.4.       22 2 2 11 limlim 4 xx xx x fx x         2 2 2 2 22 2 22 1 1 1 4 4 44 x x x x x xx x xx       αφού x      2 22 1 44 x xx xfxx         2 22 22 1 limlimlim0 1 4 lim0 1 limlimlim0 4 ή xxx x ή xxx xx x xxx fx xx xxx                       

Σελίδα 6 από 8 ΘΕΜΑ Γ Γ.1.       2 3333 2222 3 2 2 1 11111 2 9 132213 22 x xfxdxxdxxdxxdx x x x                 9 2 2   21   940500    Γ.2. Αφού 0   η συνάρτηση γίνεται   2 33,1 1 ,1 xxx fx x x         με   , fD  i)          2 1111 112 331 limlimlimlim21 111 xxxx fxfxx xx x xxx            1111 1 1 11 1 limlimlimlim1 111 xxxx fxfx x xxxxx      Επομένως f παραγωγίσιμη στο 0 1 x  με   11 f   άρα και f συνεχής στο 0 1 x  Επομένως ορίζεται η εφαπτομένη στο 1 ii) Η εφαπτομένη της f C στο 0 1 x  έχει εξίσωση        1111112 yffxyxyx   και     0, 3 11 444 f            135 Γ.3. Για 1 x  :   23fxx     122220221110 xxxxfx   Άρα   0 fx   στο  ,1 άρα f 2 στο  ,1 Για 1 x  :   2 1 0 fx x   άρα   0 fx   άρα f 2 στο   1,  Και επειδή f συνεχής στο 1, έχουμε ότι f γνησίως φθίνουσα στο Επομένως " ":11 f στο           lim,lim0, xx ffxfx             22 1 limlim0 0, limlim33lim xx xxx fx x f fxxxx         

Σελίδα 7 από 8 Γ.4. Για 1 x  ,       23 112 ,,0fxfxfx xxx   Άρα f κυρτή στο   1,  , επομένως    fxgx  , όπου   2, gxxx H f είναι συνεχής στο   1,e ως ρητή Η g είναι συνεχής στο   1,e ως πολυωνυμική     1 ,2,fxgxx x    0 hx  (άξονας xx  )           2 12 2 12 2 2 3 2 1 11 2 ln2ln 2 1 ln2242lnln2 2 11 1.. 22 e e fxgxdxfxdx xdxdx xx x xxx e                β’ τρόπος     111 111111 11lnln11 22222 eee fxdxfxdxdxe x  

    



( 0 , 2 )