Apant mat gen 2014 oefe

ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ΢ ΔΞΔΣΑ΢ΔΗ΢ Γ' ΣΑΞΖ΢ ΖΜΔΡΖ΢ΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β΄) ΠΑΡΑ΢ΚΔΤΖ 30 ΜΑΪΟΤ 2014 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΢ΣΟΗΥΔΗΑ ΢ΣΑΣΗ΢ΣΗΚΖ΢ ΑΠΑΝΣΖ΢ΔΗ΢ ΘΔΜΑ Α Α1. Απόδεημε ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει.30 Α2. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 13 Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 59 Α4. α. ΢ωζηό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Λάθος ε. ΢ωζηό

ΘΔΜΑ Β B1. Δίλαη    1  2  3  4  6  8  12  14  40 Β2. Έρνπκε f1 

 14  1 12  8   0,3 , f 2  2   0, 2 , f3  3   0,35 ,  40  40  40

f4 

4 6   0,15  40

Κλάζεις

Κενηρικές ηιμές

΢στνόηηηα

΢τεηική ζστνόηηηα

xiνi

[2,4)

3

12

0,3

36

[4,6)

5

8

0,2

40

[6,8)

7

14

0,35

98

[8,10)

9

6

0,15

54

40

1

228

΢ύνολο

B3. α) Η κέζε ηηκή ηζνύηαη κε x 

1

4

 x   i 1

i

i



228  5, 7 ρηιηάδεο επξώ 40

β) Οη παξαηεξήζεηο θάζε θιάζεο είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλεο. Δπνκέλωο ζηε θιάζε [4,6) αληηζηνηρνύλ 8 παξαηεξήζεηο θαη έζηω ζηε θιάζε [4,5 , 6) αληηζηνηρνύλ x παξαηεξήζεηο. Τόηε

2 8   2 x  12  x  6 .

1,5 x

Δπνκέλωο νη πωιεηέο πνπ έθαλαλ πωιήζεηο ηνπιάρηζηνλ 4.5 ρηιηάδωλ επξώ είλαη 6+14+6=26 πωιεηέο. ΘΔΜΑ Γ 7 2

Γ1. Η ζπλάξηεζε f  x   4 x3  x 2  x  1 είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν f   x   12x2  7 x  1 . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε f   x   0  12x2  7 x  1  0

(1).

Δίλαη   1  0 . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο x1 

7 1 1 7 1 1 ( x1  x2 ).  ή x2   24 4 24 3

Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί, x

f  x  f x



1

+

1

4

0

-

0



3

+

1 4

Η ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζηε ζέζε x1  θαη ηνπηθό ειάρηζην ζηε 1 3

ζέζε x2  . Δπνκέλωο είλαη P  K   x1 

1 1 θαη P  A  x2  .

4 3 1 1 3 4

Από ηνλ αμηωκαηηθό νξηζκό έρνπκε P  A  P  K   P     1  P     1   

5 12

Γ2. Οη δεηνύκελεο πηζαλόηεηεο είλαη, Τα ελδερόκελα Α θαη Κ είλαη αζπκβίβαζηα άξα P     P  K  A   P  K   P  A 

7 12

5 P     P  K  A   1  P  K  A     12

Δπεηδή ην ελδερόκελν Γ είλαη ε κπάια πνπ επηιέγεηαη λα κελ είλαη θόθθηλε νύηε άζπξε, απηό ζεκαίλεη ζα είλαη πξάζηλε επνκέλωο, P     P    

5 12

Δίλαη, P    P    P    P    P    P    1 P     P    P     5 7 P     P     1  P     P ( )  1  P     1   12 12

Γ3. :   

         4 

       4 4 1 5 4    P    P                  3 12    

    48

ΘΔΜΑ Γ Γ1. Δίλαη x dm ε κία πιεπξά θαη έζηω y dm ε άιιε πιεπξά ηεο βάζεο ηνπ νξζνγωλίνπ. ηόηε 2 x  2 y  20  x  y  10  y  10  x (1). Δπνκέλωο ην εκβαδόλ επηθάλεηαο ηνπ θνπηηνύ ηζνύηαη κε 1

E  10 x  10 y  xy  10 x  y 10  x   10x  10  x 10  x    x2  10x  100

Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε E  x   x2  10x  100, 0  x  10

Η

ζπλάξηεζε

E  x    x2  10x  100

είλαη

παξαγωγίζηκε

κε

παξάγωγν

E  x   2x  10 . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε E  x   0  2x  10  0  x  5 .

Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί, x E  x 

0

5 +

Ex

0

10 -

Δπνκέλωο ην θνπηί έρεη κέγηζηε επηθάλεηα γίλεηαη κέγηζην γηα x  5 dm Γ2. α) Λύλνπκε ηελ εμίζωζε s 2  5s  2  0 (2) Δίλαη   9  0 . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (2) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο s

53 53 1 2 ή s  .

4 4 2

 Αλ s  2 ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε CV 

s 2 1 1 δεθηή    x 8 4 10

δηόηη ην δείγκα δελ είλαη νκνηνγελέο.



1 1 s 2 1 1 Αλ s  ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε CV     2 x 8 16 10

απνξξίπηεηαη δηόηη ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο ζε απηή ηε πεξίπηωζε. β) Ο ηύπνο ηεο δηαθύκαλζεο γίλεηαη, 2 2        2      2   ti     ti   ti   ti   ti   1   2  i 1     i 1     i 1   i 1 2 i 1 s   ti    2      i 1                   

     

2

    x2  x 2   

Οπόηε x 2  s 2  x 2  4  64  68 Γ3. Η ζπλάξηεζε E(x) από ην πίλαθα κνλνηνλίαο πξνθύπηεη όηη είλαη γλεζίωο θζίλνπζα. Οπόηε αθνύ 5  x1  x2  .....  x15  9 ηζρύεη E 5  E  x2   ......  E 9 . Άξα ην εύξνο ηωλ yi  E  xi  ηζνύηαη κε R  E 5  E 9  125 109  16 . Οπόηε ιύλνπκε ηελ αλίζωζε E  x   4x  9R  1  x2  10x  100  4x  144  1  x2 14x  45  0 . Δπνκέλωο 5 x 9.

Άξα ην ελδερόκελν Β είλαη ην    x2 , y2  ,  x3 , y3  ,......,  x14 , y14  . Δπνκέλωο ζύκθωλα κε ηνλ θιαζηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο είλαη P    

    13      15