ﺍﻟﻔﻬﺭﺱ ﻤـﻘـﺩﻤـﺔ v ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭل ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ 1 ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ 11
1.2
ﻁﺭﻕ ﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺎﹰ ،12ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ،12 ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ،13ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ .14ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻻﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .15
2.2
ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،16ﻁﺭﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ .17
3.2
ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،21ﻁﺭﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ .22 ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،25ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .27
4.2
ﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،34ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،34ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ،35ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،38ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .39 ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ،42ﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ،43ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ،44ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ،45
ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ،46ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ،46ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،48ﺃﺴﺌﻠﺔ
ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .49
5.2
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ،57ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ،57ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ،59ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .62
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ 69
1.3
ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ .69
2.3
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ .70
3.3
ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻷﺒﻌﺎﺩ .76
4.3
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﻯ ﻤﺤﺩﺩﺓ ،77ﺃﺴﺌﻠﺔ
ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .81
I
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ 93
1.4
ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺤﺭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ .93
2.4
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﺃﻨﻭﺍﻋﻪ .94
3.4
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ .95
4.4
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ .98
5.4
ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ،100ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .101
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 111
1.5
ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ .111
2.5
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،114ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،114ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﻡ
3.5
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،118 ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،118 ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ
4.5
ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ،121ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،123ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ
5.5
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،130ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .131
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،115ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .116
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،119 ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .119
،125ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ،128ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل .129
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ
ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ 141
1.6
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ،ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ .141
2.6
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ .143
3.6
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻴﺔ .149
4.6
ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻹﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ ،153ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .156
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ 169
1.7
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .169
2.7
ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ )ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ( ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .171
3.7
ﺇﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ .174
4.7
ﺇﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﺭﺃﺴﻴﺎﹰ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ،176
ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .178
II
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ 1.8
ﻤﻘﺩﻤﺔ ﻓﻲ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .187
ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ
2.8
ﻫﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻜﺘل ،ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .189
187
3.8
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .191 ،
ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ
4.8
ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،192ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،192
5.8
ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،193ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،194ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .193
،195ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ،196ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،202ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .207
6.8
ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،214ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،214ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ
،215ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ،219ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ،220 ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ،222ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .224
7.8
ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،231ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺌﺔ ،234ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،235ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ
.236 8.8
ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،242 ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،243ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ
،245ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .246 9.8
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ
ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ،255ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .256
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ
1.9
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .262
261
2.9
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،263ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ
3.9
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،264
4.9
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ .265
5.9
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺎﺌل .269
6.9
ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻠﺩﻥ ،ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻜﺎﺭﻨﻭ ،270ﺃﺴﺌﻠﺔ
.264
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ .265
ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .272
III
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ
ﻋﻨﺎﺼﺭﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ 279
1.10
ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻭﺃﻨﻭﺍﻋﻬﺎ .279
2.10
ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ .281
3.10
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ .281
4.10
ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ .283
5.10
ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ .284
6.10
ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ،285ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .288
7.10
ﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ،291ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .293
8.10
ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ،295ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .296
9.10
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،299ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ .303
ﺍﻟﻤﻼﺤﻕ
ﺍﻟﻤﻠﺤﻕ ﺍﻷﻭل
ﺍﻟﻤﻠﺤﻕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
335 335 336
I
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ .313
II
ﻋﺯﻭﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺌﺔ .323
1.II
ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ .325
2.II
ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﺓ ،ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ .327
3.II
ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ .328
4.II
ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﺍﻷﺸﻜﺎل ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ .332
III
ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ .335 SI
IV
ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ،ﺭﻤﻭﺯﻫﺎ ﻭﻭﺤﺩﺍﺘﹸﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ .335
V
ﺼﻴﻎﹲ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻭﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺨﺘﺎﺭﺓﹲ ،336ﻫﻨﺩﺴﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ،ﻓﺭﺍﻏﻴﺔ ﻭﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
337
VI
ﺼﻴﻎﹸ ﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ،ﺨﻭﺍﺹ ﻤﺜﻠﻴﻴﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ،337ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﺯﺍﺌﺩﻴﺔ ،338
339 339 340 341
VII
ﺍﻟﻤﺘﺴﻠﺴﻼﺕ .339
349
VIII IX
.336
ﺠﺫﺭﺍ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻴﺔ .339 ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ .339
ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ .340
ﻓﻬﺭﺱ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ .341
ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻷﺠﻨﺒﻴﺔ .349 IV
ﻤـﻘـﺩﻤــﺔ ﻫﺫﺍ ﻜﺘﺎﺏ ﻴﻌﺭﺽ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻨﻬﺎ ،ﺒﻘﺴﻤﻴﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﻴﻥ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ ﻭﺍﻟﺩﻴﻨﹶﺎﻤﻴﻜﺎ .ﻴﺸﻤل ﻜلّ ﻗﺴﻡٍ ﺩﺭﺍﺴﺔ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻭﻻﹰ ﺜﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﻫﻭ :ﻨﹶﺹ ﻋﺭﺒﻲ ﺘﺘﺨﻠﻠﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ
ﺍﻹﻨﺠﻠﻴﺯﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕِ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔٍ ﺒﺭﻤﻭﺯٍ ﺃﺠﻨﺒﻴﺔ )ﻻﺘﻴﻨﻴﺔ ﻭﺇﻏﺭﻴﻘﻴﺔ( ﻜﹸﺘِﺒﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ .ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺤﻭﻱ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ
ﻓﻴﻀﺎﹰ ﻏﺯﻴﺭﺍﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻜﺭﺭﺕ ﻓﻲ ﻁﻭﻟِﻪ ﻭﻋﺭﻀِﻪ ،ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺒﺄﻥ ﺍﻟﻠﹼﻐﺔ ﺍﻹﻨﺠﻠﻴﺯﻴﺔ ﺘﺴﻭﺩ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﺠلﱠ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺤﺎﻓل ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ.
ﻟﺫﻟﻙ ،ﺍﻓﺘﺭﻀﺕ ﺃﻥ ﻗﺎﺭﺉ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ،ﻫﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻁﺎﻟﺏ ﺍﺠﺘﺎﺯ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺃﻭ
ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺃﻭ ﻤﺎ ﻴﻌﺎﺩِﻟﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﻫﺩ ﻭﺍﻟﻜﻠﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ .ﻭﺃﻨﻪ ﻴﻤﺘﻠﻙ ﻗﺎﻋﺩﺓﹰ ﻋﻠﻤﻴﺔﹰ ﺠﻴﺩﺓﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ،
ﻭﺒﺎﻷﺨﺹ ﻓﻲ ﺤﻘﻠﻲ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻤل .ﻜﻤﺎ ﺃﻨﻪ ﺍﺴﺘﻭﻋﺏ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻀﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ.
ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻨﺩﺕ ﻋﻨﺩ ﻜﺘﺎﺒﺘﻪ ﻭﺤﺘﻰ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﺍﺠﻌﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﻡ ﻏﻔﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻭﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﺍﻷﺠﻨﺒﻴﺔ
ﺒﺎﻷﺴﺎﺱ ﻭﺒﺎﻟﻠﻐﺔ ﺍﻹﻨﺠﻠﻴﺯﻴﺔ ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ .ﻜﻤﺎ ﻟﻡ ﻴﺨﹾلُ ﺍﻷﻤﺭ ﻤﻥ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻨﺸﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻫﻨﺎ ﻭﻫﻨﺎﻙ. ﺒﻌﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻨﹸﺸِﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺍﻟﻌﺭﺒﻲ ﻟﻤﺅﻟﻔﻴﻥ ﻋﺭﺏ ،ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ﻗﻠﻴل ،ﻭﺒﻌﻀﻬﺎ ﺍﻵﺨﺭ ﻨﹸﺸﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻭلِ ﺍﻷﺠﻨﺒﻴﺔ
ﻤﺘﺭﺠﻤﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﹼﻠﻐﺎﺕ ﺍﻟﻤﺤﻠﻴﺔ ﻟﺘﻠﻙ ﺍﻟﺒﻠﺩﺍﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻠﹼﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ،ﻭﻫﺫﻩ ﻻ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ﺃﺼﺎﺒﻊ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ،ﺇﻥ ﻤﺎ ﻴﺠﻤﻊ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ،ﺍﻟﻤﻨﺸﻭﺭﺓ ﺒﺎﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺠﻤﺔ ﻫﻭ ﺍﺨﺘﻼﻓﻬﺎ ،ﺍﺨﺘﻼﻑﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﻓﻲ
ﺍﻟﻤﺼﻁﹶﻠﹶﺢ .ﻟﻘﺩ ﺠﺎﺀ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﻨﺘﻴﺠﺔﹰ ﻟِﺘﹶﻭﺯﻉِ ﺩﻭل ﺍﻟﻤﻨﺸﺄ ،ﻭﺘﻨﻭﻉ ﺍﻟﺒﻴﺌﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻋﺎﺵ ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﻭﻥ ﺃﻭ
ﺍﻟﻤﺘﺭﺠﻤﻭﻥ ،ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻱ ﺠﺎﻤﻊ ﻟﻬﻡ ،ﻜﻤﺠﻤﻊ ﻟﻐﺔٍ ﻋﺭﺒﻴﺔٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻴﻭﺤﺩ ﻜلﱠ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﻭﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﻓﻲ ﻜلﱢ ﺍﻟﺒﻠﺩﺍﻥ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺍﻟﻌﺭﺒﻲ .ﻓﺠﺎﺀﺕ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﻭﺤﺘﻰ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔﹰ .ﻓﻤﺜﻼﹰ ،ﻜﻠﻤﺔ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ
ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻴﻘﺎﺒﻠﻬﺎ ﺍﻟﺜِﻘﺎﻟﺔ ﻓﻲ ﺒﻼﺩ ﺍﻟﺸﺎﻡ ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻴﻘﺎﺒﻠﻪ ﺍﻨﺩﻓﺎﻉ ﺃﻭ ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻌﻁﺎﻟﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺔ ﺃﻭ ﺍﻻﺘﱢﺠﺎﻫﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﻔﻅ ﺍﻨﺤﻔﺎﻅﺎﹰ ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ ﻓﻌﻠﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﺘﺤﺭﻴﻙ .ﻭﺃﻁﺭﻑ ﻤﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ
ﺍﻟﺴﻴﺎﻕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺴﻭﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺠﺯﻴﺌﺔ ﻭﻓﻲ ﻤﺼﺭ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ.
ﻟﺫﻟﻙ ،ﺍﻋﺘﻤﺩﺕ ﻭﻤﻨﺫ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﺸﺭﺍﺕ ﻤﺠﻤﻊِ ﺍﻟﻠﹼﻐﺔِ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔِ ﺍﻷﺭﺩﻨﻲ ،ﻭﺒﺎﻷﺨﺹ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺒﺘﻌﺭﻴﺏ
ﺭﻤﻭﺯ ﻭﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ) SI ﺍﻟﻤﻜﺜﻴﺔ ﻡ ﻙ ﺙ( ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ .ﻜﻤﺎ ﺍﻋﺘﻤﺩﺕ ﻋﻠﻰ ﻜلﱟ ﻤﻥ ﻗﺎﻤﻭﺱ ﺍﻟﻤﻭﺭﺩ
ﻭﻤﻌﺠﻡ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﺍﻟﻔﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﻠﺩﻜﺘﻭﺭ ﺃﺤﻤﺩ ﺍﻟﺨﻁﻴﺏ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ .ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﺕ
ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻤﻊ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SI ﻓﻘﻁ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺒﺄﻥ ﻨﺯﻋﺔﹰ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺔﹰ ﻨﺤﻭ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
ﺘﺴﻭﺩ ﺤﻘﻠﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻭﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ.
ﻋﻠﻰ ﺼﻌﻴﺩٍ ﺁﺨﺭ ،ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻟﻴﺨﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺍﻟﺤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻭﻻ ﻤﺴﺎﻫﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺼﺩﻗﺎﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﺎﻋﺔ
ﻭﺍﻟﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻭﺍﻟﻠﻐﻭﻱ .ﻓﺒﻔﻴﺽٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭﻜﺔ ﺍﻟﺤﺎﻨﻴﺔ ﻗﺎﻤﺕ ﺴﻭﺴﻥ ﺘﻭﺘﻨﺠﻲ ﺒﻁﺒﺎﻋﺘﻪ ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻪ .ﻜﻤﺎ ﺃﻀﺎﺀﺕ ﻟﻲ
ﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﺎﺒﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻴﻴﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻀﺭ ﺘﻴﺴﻴﺭ ﺍﻟﻌﺎﺭﻭﺭﻱ ﻭﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﻤﻊ ﺍﻟﺩﻜﺘﻭﺭ ﻋﺒﺩ ﺍﻟﻌﺯﻴﺯ ﺸﻭﺍﺒﻜﻪ ﺃﺴﺘﺎﺫﻱ
ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺒﺠﺎﻤﻌﺔ ﺒﻴﺭﺯﻴﺕ ﺠﻭﺍﻨﺏ ﻤﻬﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺼﻌﻴﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ ﻟﻠﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻭﺭﺩﺕ.
ﻭﻗﺩ ﻜﺭﻤﻨﻲ ﺍﻟﻜﺎﺘﺏ ﺴﻌﻴﺩ ﻤﻀﻴﻪ ﺒﺘﺼﺤﻴﺤﻪ ﻟﻐﻭﻴﺎﹰ .ﻟﺠﻤﻴﻊ ﻫﺅﻻﺀ ﻓﻀل ﺼﺩﻭﺭﻩ ﺒﺸﻜﻠﻪ ﺍﻟﺤﺎﻟﻲ ﻭﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺨﻁﺄ
ﻤﺴﺅﻭﻟﻴﺘﻲ ﻭﺤﺩﻱ.
V
ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺇﻨﻲ ﻷﺭﻯ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻤﺠﺭﺩ ﻁﺒﻌﺔٍ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ ﺘﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﺩ ﻭﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﻟﺭﺼﻴﻥ ﻤﻥ ﻜل ﻗﺎﺭﺉ ﻟﻪ .ﻜﻤﺎ
ﺁﻤل ﺃﻥ ﻴﻨﺘﻔﻊ ﺒﻪ ﻭﻤﻨﻪ ﻜل ﻁﻠﺒﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻭﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺎﻤﻌﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﻫﺩ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻭﻤﻌﻠﻤﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴـﺔ ﻓـﻲ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﺱ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﻭﻁﻨﻨﺎ.
ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺹ
ﻴﺄﺘﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻤﺘﺴﻠﺴﻼﹰ ﻓﻲ ﻗﺴﻤﻴﻪ ﻭﺸﺎﻤﻼﹰ ﻟﻌﺸﺭﺓ ﺃﺒﻭﺍﺏ ﻭﻋﺩﺓ ﻤﻼﺤﻕ .ﻭﺒﺩﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﻭﺩ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩﻴـﺔ ،ﻴـﺴﺘﻨﺩ
ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺠﻨﺒﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺠﻨﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ،ﻭﺇﻟﻰ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻭﻷﻨﻅﻤـﺔ ﺇﺤـﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ
ﻤﺘﻨﻭﻋﺔٍ ،ﺭﺍﺒﻁﺎﹰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ .ﻭﻟﻠﻤﺴﺎﻋﺩﺓ ﻭﺍﻟﻔﻬﻡ ﻗﺴﻤﺕ ﺃﺒﻭﺍﺏ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺇﻟﻰ ﻋـﺩﺩٍ ﻤـﻥ ﺍﻟﺒﻨـﻭﺩ ﻭﺍﻟﺒﻨـﻭﺩ
ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﺔ .ﻭﺃﻀﻴﻑ ﻟﻠﻜﺘﺎﺏ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭﻟﺔ 113 -ﺴﺅﺍﻻﹰ ﻤﺤﻠﻭﻻﹰ ﺒﺈﺴﻬﺎﺏ ،ﻗﺴﻡ ﻤﻨﻬﺎ ﺤلّ ﺒﺄﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻁﺭﻴﻘﺔ.
ﻭﻗﺩ ﺠﺎﺀ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﻓﻲ ﺴﻴﺎﻕ ﺍﻟﺒﻨﻭﺩ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﻥ ﻜﺤلٍ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥٍ ﻭﺭﺩ ﻟﻠﺘﻭ ،ﺃﻤﺎ ﺃﻏﻠﺒﻬﺎ ﻓﻭﺭﺩ ﻓﻲ
ﺨﺘﺎﻡ ﻜل ﺒﺎﺏ ،ﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤل ﺃﻜﺜﺭ ﺘﺤﺩﻴﺎﹰ ﻟﺸﻤﻭﻟﻪ ﻤﻭﺍﺩ ﻤﻥ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺒﻨﺩٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻗﺩ ﻴﺯﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ.
ﻟﻘﺩ ﺃُﻀﻴﻑ ﻟﻠﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭل ﻗﺩﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺔ ،ﺒﻴﻥ ﺘﺴﻠﺴل ﺘﻁﻭﺭ ﻋﻠـﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜـﺎ ﻭﺍﻟـﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ
ﺒﺸﻜلٍ ﺨﺎﺹ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻴﻭﻡ .ﻤﺴﺘﻌﺭﻀﺎﹰ ﻓﻴﻪ ﺃﺜﺭ ﺍﻟﺤﻀﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻀﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﻓﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ .ﻓﺂﻤل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺠلﱡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺔ ﺘﺎﺭﻴﺨﺎﹰ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﹰ.
ﻭﺍﺸﺘﻤل ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﻭﺼﻑِ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻟِﻨﹸﺅَﺴﺱ ﺒﺫﻟﻙ ﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﹸﺴﻤﺕ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻨﻭﻉ ،ﻤﻊ ﺇﺒﺭﺍﺯ ﺍﻷﺸﻬﺭ ﻤﻥ ﺘﻠـﻙ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺎﺕ -ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴـﺔ
ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ .ﻭﺃُﻨﹾﻬِﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ :ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ.
ﻭﺘﹸﻌﺭﻑﹸ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ،ﻭﻜﹸلﱡ ﺫﻟـﻙ
ﻗﺒل ﺃﻥ ﻨﺼل ﺇﻟﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ.
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ -ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ -ﺘﹸﻌﺭﻑﹸ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ -ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻭﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ -ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﻭﻴﻠﺭ .ﻭﺘﹶﻡ ﻓﻲ ﺨﺘﺎﻤﻪ ﺍﻟﺘﱠﻌﺭﻑﹸ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴـﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ.
ﻭﻗﺩ ﻋﻭﻟﺠﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ -ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﺜﻼﺙ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻘـﻭﺍﻨﻴﻥ ﻫـﻲ
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ .ﻭﻗﺴﻤﺕ ﻜلﱡ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔٍ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺇﻟﻰ ﻗﺴﻤﻴﻥ ﻤﻨﻔﺼﻠﻴﻥ -ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﱠﻐﹶﻴﺭ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺤِﻔﹾﻅ.
ﻭﻜﺘﻁﺒﻴﻕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭٍ ﻋﻠﻰ ﺤﻔﻅِ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡِ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺠﺎﺀ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ -ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ،
ﻓﹶﺭﻜﱢﺯ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻴﺔ .ﻭﻜﺘﻁﺒﻴﻕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭٍ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺩﺭِﺴﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻹﻫﻠِﻴﻠﹾﺠِﻴﺔ.
....ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ -ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ،ﻨﹸﻭﻗﺵ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﻭﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠـﻰ ﺴـﻁﺢ
ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺤﺴِﺏ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻠﺤﺎﻟﺘﻴﻥ :ﺍﻟﺴﺎﻗﻁﺔ ﻤﻥ ﻋلٍ ﻭﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ.
VI
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ ،ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﺠﺎﺀ ﺯﺍﺨﺭﺍﹰ ﻭﻀﺨﻤﺎﹰ ،ﺘﹶﻡ ﺍﻟﺘﹼﻌﺭﻑﹸ ﻓﻴﻪ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻘـﻭﺍﻨﻴﻥ
ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺜﹸﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺤﺭﻜﺘﻪ .ﻭﺍﺘﱡﺒﻊ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺘﺴﻠـﺴل ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﻓﹶﺩﺭﺱ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ.
ﻜﻤﺎ ﺃُﻀﻴﻑ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ .ﻭﻜﺘﻁﺒﻴﻕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭٍ ﻋﻠﻰ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺘﹶـﻡ ﺍﺴﺘﻌﺭﺍﺽ ﻤﺴﺄﻟﺔٍ ﻏﺎﻴﺔٍ ﻓﻲ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ -ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﻭﻜﺘﻁﺒﻴﻕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭٍ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻨﻭﻗﺵ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺒـﺎﺏ
ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ .ﻓﹶﻌﺭﻓﹶﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻭﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﻔﺭﻭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸـﺭ ﻭﺍﻟﺘـﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺎﺌـل،
ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺤﺴﺒﺕ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺫﻟﻙ.
ﻭﻴﺨﺘﺘﻡ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﺎﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ ،ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ .ﻓﻴﺘِﻡ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻓﻴﻪ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕٍ
ﺠﺩﻴﺩٍ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـ)ﺍﺕ(ـﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻷﻫﻤﻴﺔ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺘﻁﻭﺭ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻨﹸﻭﺼِﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
ﻭﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎﹰ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻭﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻭﺃﻨﻭﺍﻋﻬﺎ ﻤﻊ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻭﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ. ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﻨﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ،ﻗﺒل ﺃﻥ ﻨﺼل ﺇﻟﻰ ﺯﺒﺩﺓ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ.
ﻭﻴﺭﻓﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻤﻠﺤﻘﺎﻥ ﻭﻋِﺩﺓﹸ ﺠﺩﺍﻭلَ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ .ﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻕ ﻟﻠﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﻭﺍﻵﺨـﺭ
ﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺠﺩﺍﻭِلَ :ﻓﺄﺤﺩﻫﺎ ﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SIﻭﺁﺨﺭ ﻟﻠﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘـﺎﺏ
ﻤﻊ ﻭﺤﺩﺍﺘِﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ ،ﻭﺜﺎﻟﺙﹲ ﺒﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺸﹾﺘﹶﻘﱠﺎﺕ ،ﻭﺭﺍﺒﻊ ﺒﺒﻌﺽ ﺃﺸﻬﺭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩﺓ .ﻜﻤﺎ ﺃﻀﻴﻔﺕ ﻟﻠﻜﺘـﺎﺏ
ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺼﻴﻎ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ -ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﻨﺘﺸﺎﺭﺍﹰ .ﻭﺍﺨﺘﺘﻡ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﻔﻬﺭﺱٍ ﺃﺒﺠﺩﻱٍ ﺸﺎﻤل.
ﺃﻭﺩ ﺃﻥ ﺃُﻟﹾﻔِﺕ ﻨﻅﺭ ﺍﻟﻘﺎﺭﺉ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻜلﱠ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔٍ ﺃﻭ ﺘﻌﺒﻴﺭٍ ﺃﻭ ﺼﻴﻐﺔٍ ﺃﺠﻨﺒﻴﺔ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﺘﹸﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ،
ﻤﺜﻼﹰ F = M a + Tﺃﻭ ،ar = g - 2 ω × vrﻭﻫﻠﹼﻡ ﺠﺭﺍ .ﺃﻤﺎ ﺨﻼﻑﹸ ﺫﻟﻙ ﻓﻴﻘﺭﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤـﻴﻥ ﺇﻟـﻰ ﺍﻟﻴـﺴﺎﺭ ،ﻤـﺜﻼﹰ
10 = Fﻨﻴﻭﺘﻥ ﻭ ] 12 = xﻡ[......ﺇﻟﺦ .ﻭﻗﺩ ﺒﻴﻨﹾﺕﹸ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﺒﻴﻥ ﻗﻭﺴﻴﻥ ﻜﺒﻴﺭﻴﻥ ] [ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻜﻭﻨـﺔﹰ
ﻤﻥ ﺭﻤﻭﺯ ،ﺃﻭ ﻜﺘﺎﺒﺔﹰ ﻋﺎﺩﻴﺔﹰ ﺘﹸﺭﻓﻕ ﻟﻠﻌﺩﺩ .ﻓﻨﻘـﻭل ] 10 = Fﻥ[ ،ﺃﻭ 10 = Fﻨﻴـﻭﺘﻥ ،ﺃﻭ ] F = 10 [Nﺃﻭ 12 = x
ﻤﺘﺭﺍﹰ ،ﺃﻭ ] 12 = xﻡ[ ﺃﻭ ] .x = 12[mﻭﻟﻌﺩﻡ ﺘﻭﻓﺭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻔﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﺴﻬﻠﺔ ﻟﻠﻁﺒﺎﻋﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴـﺔ ﺍﺭﺘﺄﻴـﺕ ﺍﺴـﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ ﺍﻟﻼﺘﻴﻨﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻗﻭﺴﻴﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﺍﻋﺘﻤﺩﺕ ﻓـﻲ ﻁـﻭل ﺍﻟﻜﺘـﺎﺏ ﻭﻋﺭﻀِـﻪ ﺇﺤـﺩﻯ
ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﻴﻥ ] F = 10 [Nﺒﺎﻟﻘﻭﺴﻴﻥ ،ﺃﻭ 10 = Fﻨﻴﻭﺘﻥ ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻴﺔ ﺃﻗﻭﺍﺱ.
ﻭﻗﺩ ﻭﺭﺩﺕ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ،ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ )ﺭﻗﻡ( ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺤﺩﺩ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺭﺍﻓـﻕ ﻟﻠـﺴﺅﺍل
ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ﻤﻜﺎﻓﺌﺎﹰ ﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ .ﻭﻟﻘﺭﺍﺀﺓ ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺍﻷﺒﻭﺍﺏ ﻭﺍﻟﺒﻨﻭﺩ ﺍﻟﻔﺭﻋﻴﺔ ﻭﺤﺘﻰ ﺍﻟﻤﻌـﺎﺩﻻﺕ ﻓﻴـﺘﻡ ﺫﻟـﻙ،
ﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ .ﻓﻤﺜﻼﹰ ﺍﻟﺒﻨﺩ ﺍﻟﻤﺒﺘﺩﺉ ﺒﺎﻷﺭﻗﺎﻡ 1.4.2ﻴﻘﺭﺃ ﻭﺍﺤﺩ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺍﺜﻨـﻴﻥ ﺒـﺩﻭﻥ ﺫﻜـﺭ ﺍﻟﻨﻘـﺎﻁ
ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ .ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ ﺍﻟﻔﺭﻋﻲ ﺍﻷﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻨﺩ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻜﻤـﺎ
ﺘﻘﺭﺃ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 17.5ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺴﺒﻌﺔ ﻋﺸﺭ ﺨﻤﺱ ﻜﺭﻗﻡٍ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻠﻲ ﺴﺘﺔ ﻋﺸﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ ﻭﺭﺩﺕ ﺤﺘـﻰ ﻟﺤﻅﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ.
VII
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭل ...ﻭﻻ ﻏﺭﻭ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻴﻭﻡ ،ﺤﻴﻥ ﺒِﺘﹾﻨﹶﺎ ﻨﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﹾﻨِﻴﺔ ﺒﻤﺜﺎﺒﺔ ﺠﺯﺀٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻠﻭﺤﺔ ﺍﻷﻋﺭﺽ ﺍﻟﺘﻲ ﺭﺴﻤﺘﻬﺎ ﻨﺴﺒﻴﺔ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ،ﻓﺈﻥ ﻤﻌﻅﻤﻨﺎ ﻤﺎ ﻴﺯﺍل ﻤﺴﺘﻤﺭﺍﹰ ﺒﺎﻟﺘﻔﻜﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻨﻲ، ﻭﻤﺎ ﺘﺯﺍل ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺘﻔﻲ ﺒﻐﺭﺽ ﺍﺭﺸﺎﺩ ﺭﻭﺍﺩ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ) ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎﻋﺒﺭ ﻋﻨﻪ ﺭﺠل ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒل ﺃﻨﺩﺭﻭﺯ ﺤﻴﻥ ﻗﺎل :ﻟﻌل ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻴﺘﻭﻟﻰ ﻤﻌﻅﻡ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺩﺓ ﺍﻵﻥ) ،ﻭﺫﻟﻙ ﺠﻭﺍﺒﺎﹰ ﻟﺴﺅﺍل ﺍﺒﻨﻪ ﻋﻤﻥ ﻜﺎﻥ ﻴﻘﻭﺩ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺃﺒﻭﻟﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﻘل ﺃﺒﺎﻩ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻘﻤﺭ(. ﺘِﻤﺜِﻲ ،ﻓﹶﺭِﺱ ،ﺒﻠﻭﻍ ﺴﻥ ﺍﻟﺭﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ،ﻋﻤﺎﻥ:ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻷﺭﺩﻨﻲ :1990 ،ﺹ .208
ﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻨﺸﻭﺀ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﻤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺜﻴﺭﺓ ﻟﻠﺠﺩل ﺤﺘﻰ ﻴﻭﻤﻨﺎ ﻫﺫﺍ .ﻟﻜﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻷﻗﻭﻯ ﺃﻥ ﺃﻭﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﻻﺕ ﺤﺩﺜﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻗﺒل ﺍﻟﻤﻴﻼﺩ ﻓﻰ ﺃﺜﻴﻨﺎ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺫﻜﺭ ﺃﻥ ﺍﻹﻏﺭﻴﻘﻲ ﺃَﺭِﺴﻁﻭ ﻁﺎﻟﻴﺱ 322 -384 ،Aristotleﻕ.ﻡ ،ﻜﺎﻥ ﺃﻭل ﻤﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﻜﻠﻤﺔ ’ - µηχανηﺘﹸﻘﺭﺃ ﻤﻴﺨﺎﻨﻲ -ﻟﻴﻘﺼﺩ ﺒﻬﺎ ﻤﺎ ﻴﻌﻨﻰ ﺍﻟﻴﻭﻡ
ﻤﻨﺸﺄﺓﹰ ﺃﻭ ﺁﻟﺔﹰ ﻭﺤﺘﻰ ﺍﺨﺘﺭﺍﻉ .ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻑ ﺃﺭﺴﻁﻭ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻤﻔﻬﻭﻤﻴﻥ ﺠﺩﻴﺩﻴﻥ ﻫﻤﺎ ﻤﻔﻬﻭﻤﺎ ﺍﻟﺜﻘل ﻭﺍﻟﺨﻔﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ،ﺍﻟﺜﻘﻴل
ﻴﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﻭﻥ )ﺍﻷﺭﺽ( ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﺨﻔﻴﻑ ﻴﺘﺠﻪ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻴﺼﻌﺩ ﻟﻠﺴﻤﺎﺀ .ﻭﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ
ﻟﻠﺠﺴﻡ ،ﺤﻴﺙ ﺃﻭﺭﺩ ﺃﻤﺜﻠﺔﹰ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻨﻬﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﻴﻬﻭِﻱ ﺍﻟﻰ ﻗﻌﺭ ﺍﻟﻭﺍﺩﻱ ﺒﺴﺒﺏ ﺜﻘﻠﻪ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺼﻌﺩ ﺍﻟﺩﺨﺎﻥ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ
ﻟﺨﻔﺘﻪ .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻷﺭﺴﻁﹶﻭِﻱ ﻴﺘﻨﺎﻗﺽ ﻤﻊ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﻲ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻋﺭﻓﻪ ﺒﺎﻟﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ .ﻭﺃﺸﺎﺭ
ﺃﺭﺴﻁﻭ ﺍﻟﻰ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺼﻔﺘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ )ﻭﺯﻨﻪ( ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻓﻘﺩ ﻋﺯﺍﻫﺎ ﺇﻟﻰ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻤﺅﺜﺭﺓٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﻗﺩ ﺴﺎﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻟﻔﺘﺭﺓ ﺘﺘﻌﺩﻯ ﺍﻷﻟﻔﻲ ﺴﻨﺔ. ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﻏﺭﻴﻕ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺃﺴﻬﻤﻭﺍ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻓﻲ ﺘﻁﻭﺭ ﻭﻨﹸﺸﻭﺀ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺃﺭﺨﻤﻴﺩﺱ
212 -287 ،Archimedesﻕ.ﻡ ،ﺍﻟﺫﻱ ﺒﺤﺙ ﻭﺃﻭﺠﺩ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺭﺍﻓﻌﺔ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﻯ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓٍ ﻤﺅﺜﺭﺓٍ ﻋﻠﻴﻬﺎ. ﺜﻡ ﻁﻭﺭ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻓﺭﺍﻍ ﺃُﻗﻠِﻴ ﺩِﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴـﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﺴـﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﻭﺍﻜﺘﺸﻑ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﺒﺎﺴﻤﻪ -ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻀﻐﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻐﻤﻭﺭ ﺃﻭ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺃﺭﺨﻤﻴﺩﺱ.
1
ﻟﻘﺩ ﺸﻕﹼ ﻫﺅﻻﺀ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺘﻁﻭﺭ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺎﺕ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺘﻌﺜﺭﺓ ﻭﻓﺭﻀﻴﺎﺕ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﺒﻌﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺎﺕ ﻗﺩ ﺜﺒﺕ ﺼﺤﺘﻪ. ﺒﻌﺩ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﺤِﻘﺒﺔ ﺍﻹﻏﺭﻴﻘﻴﺔ ﺴـﺎﺩﺕ ﺍﻟﺩﻭﻟﺔ ﺍﻟﺭﻭﻤﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﻴﻁﺭﺕ ﻋﻠﻰ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﻜﺒﺭﻯ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ - ﺍﻟﻘﺴـﻡ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭﺭﻭﺒﺎ ﻭﺸـﺭﻕ ﺍﻟﺒﺤﺭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺴـﺎﺒﻊ ﺍﻟﻤﻴﻼﺩﻱ .ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﻟﻡ ﻴﻁﺭﺃ ﺃﻱ
ﺘﻁﻭﺭٍ ﻴﺫﻜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺸﻜل ﺨﺎﺹ.
ﻭﻤﻊ ﻨﹸﺸﻭﺀ ﻭﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﺤﻀﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴﺔ ،ﺒﺭﺯ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻜﺜﻴﺭﻭﻥ ﻓﻲ ﻤﺠﺎﻻﺕٍ ﻋﺩﺓٍ ﺃﺜﺭﻭﺍ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ
ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺈﺴﻬﺎﻤـﺎﺕٍ ﺠﻤﺔٍ .ﻟﻘﺩ ﺘﺄﺨﺭ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺒﺎﺤﺜﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭﻴﻥ ﺒﻤﻨﺠﺯﺍﺕ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻭﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﻓﻲ ﻤﻴﺩﺍﻥ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺭﺒﻤﺎ ﻟﺘﺼﻨﻴﻔﻬﻡ ﺍﻴﺎﻩ ﻀﻤﻥ ﻋﻠﻭﻡٍ ﺃﺨﺭﻯ .ﺇﺫ ﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﻌﻠﻡ ﺍﻟﺤﻴل ،ﻭﺍﺭﺘﺒﻁ ﺒﻘﺴﻡ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴـﺔ.
ﺇﻥ ﻨﻘﺹ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻋﻥ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﺠﺭﺍﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻴـﺔ ،ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻜﻭﻨﻲ ﺨﺎﺭﺝ
ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﺃﻴﻀﺎﹰ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺤﺘﻰ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﻋﺎﻟﻡ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺸﻜلٍ ﺨﺎﺹ ،ﺭﺍﻓﹶﻘﹶﻪ ﻭﻨﹶﺘﹶﺞ ﻋﻨﻪ ،ﺜﹸﻡ ﺃﺜﹼﺭ ﻓﻴﻪ ﻭﺘﹶﺄﺜﹶـﺭ ﺒﻪ، ِﻏﻴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻟﺘﻜﻨﻴﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﻓﻘﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﺩﺍﺘـﻬﺎ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻴﺔ ﻻﻜﺘﺸﺎﻑ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﺍﺕ ﺍﻟﻔﻠﻜﻴﺔ .ﻟﺫﻟﻙ
ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻟﻬﺎ ﻤﻥ ﻭﺴﻴﻠﺔٍ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻏﻴﺭ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﺎﺕ ﺍﻟﻤﺠﺭﺩﺓ .ﻭﺤﻴﻥ ﺒﺩﺃ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻭﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﻴﺴﺘﺠﻴﺒﻭﻥ ﻟﻤﺘﻁﻠﺒﺎﺕ
ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻻﻗﺘﺼﺎﺩﻱ ﺍﻻﺠﺘﻤﺎﻋﻰ ﻓﻴﻁﻭﺭﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﻬﻡ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﻁﺒﻴﻌﺔ ،ﺘﻭﺼﻠﻭﺍ ﺇﻟﻰ ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﺘﻜﻨﻴﻜﻴﺔ
ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ،ﻟﺭﺼﺩ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻓﻲ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﺎﻨﻴﺔ ﻜﺎﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻹﻋﺘﺩﺍﻟﻴﺔ ﻭﺫﺍﺕ ﺍﻷﻭﺘﺎﺭ ﻭﺫﺍﺕ ﺍﻟﺴﻤﺕ ﻭﺍﻟﻤِﺯﻭﻟﹶﺔ )ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ( ﺍﻟﺸﻤﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﺭﻗﺎﺹ ﻭﺍﻹﺴﻁﺭﻻﺏ ﻭﺍﻟﺠﺩﺍﻭل ﺍﻟﻔﻠﻜﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ .ﻟﻜﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﻘل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻟﻜﻭﻨﻬﺎ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ﺍﻟﻨﻭﻋﻴﺔ ﻭﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ . 1
ﻫﺫﺍ ﻜﻠﹼﻪ ﻟﻡ ﻴﺠﻌل ﻨﹸﺨﺒﺔﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﻭﺍﻟﻔﻼﺴﻔﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻭﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﻤﻘﻠﱢﺩﻴﻥ ﻟﻸﻭﻟﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ
ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻔﻠﻜﻲ ﺒﺸﻜل ﺘﺎﻡ .ﻫﺅﻻﺀ ﺨﺭﺠﻭﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴـﻠﹼﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺩﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﺴـﺎﺌﺩﺓﹰ ﻓﻲ ﻓﻬﻡ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ.
ﻓﻜﺎﻥ ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ 950 - 872ﻭﺃﺒﻭ ﺒﻜﺭ ﺍﻟﺭﺍﺯﻱ 932 - 854ﻭﻏﻴﺭﻫﻡ ﻗﺩ ﻤﻬﺩﻭﺍ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﻟﻠﺒﻐﺩﺍﺩﻱ ﻭﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ - 980
1036ﻭﻓﺨﺭ ﺍﻟﺩﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺯﻱ ﺍﻟﻤﺘﻭﻓﻰ ﻋﺎﻡ 1209ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ،ﻓﺄﻀﺎﻓﺕ ﻤﻤﺎﺭﺴــﺘﻬﻡ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻓﻲ ﻓﻴﺯﻴﺎﺀ
ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔﹰ ﺠﺩﻴﺩﺓﹰ ﻟﻤﻌﺎﻟﺠﺔ ﻗﻀﻴـﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ .ﻟﻘﺩ ﻋﻭﻟﺠﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻀﻴﺔ ﻓﻲ ﺃﻭﺍﺨﺭ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ ﻭﺃﻭﺍﺌل ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﻱ ﻋﺸﺭ ﺤﻴﻥ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨـﻴﻙ ﻗﺩ ﻨﺸﺄ ﺒﻌﺩ.
ﻓﺎﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﺘﻭﺼل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺤﺜِﻪ ﺍﻟﺨﺎﺹ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻰ ﻓﻬﻡ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺩﺍﺌﺭﻱ ،ﺃﻱ ﻋﻭﺩﺘﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺀ .ﺇﻥ ﺃﺴﺎﺱ ﻓﻬﻤﻪ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻫﻭ ﺇﺩﺭﺍﻜﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻭﺼل ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺄﻥ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻤﻠﻲﺀ ﺒﺎﻟﻤﺎﺩﺓ ،ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻻ ﻓﺭﺍﻍ ﻓﻴﻪ ﻭﺃﻥ ﺍﻟﺨﹶﻼﺀ
†
ﻤﺤﺎلٌ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ .ﻴﻘﻭل ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺘﻨﺒﻴﻬﻪ .....ﻭﺇﺫ ﻗﺩ ﺘﹶﺒ ﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺘﺼل ﻻ
ﻴﻘﻭﻡ ﺒﻼ ﻤﺎﺩﺓ ،ﻭﺃﻥ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﺔ ﻻ ﺘﺘﺩﺍﺨل ﻷﺠل ﺒﻌﺩﻴﺘﻬﺎ ،ﻓﻼ ﻭﺠﻭﺩ ﻟﻔﺭﺍﻍٍ ﻫﻭ ﺒـُﻌـﺩ ﺼِﺭﻑ .ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻠﻜﺕ
ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺎﺘﻬﺎ ﺘﻨﹶﺤﻰ ﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﺃﻱ ﺯﺍﻟﺕ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻤﺔ ﺒﻴﻨﻬﺎ ،ﻭﻟﻡ ﻴﺜﹾﺒﺕ ﻟﻬﺎ ﺒﻌﺩ ﻤﻔـﻁـﻭﺭ ﺃﺼﻴل ﻓﻼ ﺨﻼﺀ . 2
†
ﻴﻘﺼﺩ ﺒﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺨﻼﺀ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻤﻜﺎﻥ ﻟﻴﺱ ﻓﻴﻪ ﻤﺘﻤﻜﻥ ،ﺃﻱ ﻤﻜﺎﻥ ﻤﺠﺭﺩ ،ﻨﺸﺄ ﻜﻤﻔﻬﻭﻡٍ ﻓﻠﺴﻔﻲٍ ﻴﻭﻨﺎﻨﻲٍ ﻗﺩﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻯ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻫﻭ ﺒﻌﺩ .ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻌﺒﻴﺩﻱ ،ﺤﺴﻥ ،ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﻓﻠﺴﻔﺔ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ،ﺒﻐﺩﺍﺩ :ﺩﺍﺭ ﺍﻟﺸﺅﻭﻥ ﺍﻟﺜﻘﺎﻓﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ،1987،ﺹ .142 2
ﺇﻥ ﻓﺭﻀﻴﺔ ﻨﹶﻔﻰ ﺍﻟﺨﻼﺀ ،ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ،ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﻋﻨﺩ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﺘﺘﺠﺎﻭﺯ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺫﹼﺭﻴﺔ ﻟﺩﻴﻤﻭﻗﺭِﻴﻁﹸﺱ ،Democritusﺍﻟﻘﺎﺌﻠﺔ ﺒﺄﻥ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﻤﻜﻭﻨﺔﹲ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﻔﻀﺎﺀ .ﻭﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻫﺫﻩ ﺃﺨﺫ ﺒﻬﺎ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ،ﻤﻀﻴﻔﺎﹰ ﺍﻟﻴﻬﺎ
ﺃﻥ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺍﻟﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ .ﻭﻗﺩ ﺤﺴِﻡ ﺍﻟﺨﻼﻑ ﻋﻠﻰ ﻴﺩ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭﺓ ،ﻟِﻴﺜﺒﺕ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺴﻴﻨﻴﻭﻴﺔ ﺒﻌﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ‡ . ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺫﻜﺭ ﺩﻭﺭ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻭﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﻬﻴﺩ ﻟﺼﻴﺎﻏﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﺴﻨﺘﺤﺩﺙ ﻋﻥ ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺒﻬﻡ ﻟﺒﻌﺽ
ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻙ ﻭﻤﻔـﺎﻫﻴﻤﻪ ﻜﻤﺎ ﻨﻌﺭﻓﻬﺎ ﺍﻟﻴﻭﻡ .ﻓﻔﻲ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﺴﻤﺎﻉ ﺍﻟﻁـﺒﻴـﻌﻲ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺴﺘﺔ
ﻋﻭﺍﻤل...ﻭﺃﻋﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺘﻌﻠﻕ ﺒﺄﻤﻭﺭٍ ﺴﺘـﺔٍ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﺍﻟﻤﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺤﺭﻙ -ﺍﻟﻤﺴﺒﺏ
ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻭﻤﺎ ﻓﻴﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻤﺎ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﺒﺩﺃﺕ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﻤﺎ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﺯﻤﺎﻥ .ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﻟﻠﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﺍﻟﻘﺴﺭﻴـﺔ ﻭﺍﻟﺤﺭﺓ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ...ﻭﻜل ﺠﺴﻡٍ ﻤﺘﺤﺭﻙٍ ﻓﺤﺭﻜﺘﻪ 3
ﺇﻤﺎ ﻤﻥ ﺴﺒﺏٍ ﻤﻥ ﺨﺎﺭﺝٍ ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺤﺭﻜـﺔﹰ ﻗﺴﺭﻴـﺔﹰ ،ﻭﺇﻤﺎ ﻤﻥ ﺴﺒﺏٍ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﺫ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻻ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺫﺍﺘﻪ، ﻭﺫﻟﻙ ﺍﻟﺴﺒﺏ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﺭﻜﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺠﻬﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓٍ ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﺘﺴﺨﻴﺭ ﻓﻴﺴﻤﻰ ﻁﺒﻴﻌﺔ .ﺃﻭ....ﺇﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ 4
ﺒﺎﻟﻘﺴﺭ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﺭﻜﻬﺎ ﺨﺎﺭﺝ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﻭﻟﻴﺱ ﻤﻘﺘﻀﻰ ﻁﺒﻌﻪ .ﻭﻫﺫﺍ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺨﺎﺭﺠﺎﹰ ﻋﻥ ﺍﻟﻁﺒﻊ،
ﻤﺜل ﺘﺤـﺭﻴﻙ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﺠﺭﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻪ ﺍﻻﺭﺽ ،ﻭﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻀﺎﺩﺍﹰ ﻟﻠﺫﻱ ﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ،ﻜﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﺍﻟﻰ ﻓﻭﻕ .... 5
ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺘﻌﺭﻴﻑﹲ ﺁﺨﺭ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻴﻭﺭﺩﻩ ﺍﻟﺒﻐﺩﺍﺩﻱ ﺤﻴﺙ ﺃﻁﻠﻕ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ،ﻓﻴﻘﻭل....ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﻬﺎ ﻴﻨﺘﻘل ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻥٍ ﺍﻟﻰ ﺁﺨﺭ،
ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹶﺘﹶﺒﺩل ﺒﻬﺎ ﺃﻭﻀﺎﻉ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﻻ ﻴﺨﺭﺝ ﻋﻥ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻜﺎﻟﺩﻭﻻﺏ ﻭﺍﻟﺭﺤﺎ . 6
ﻜﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺙ ﺍﻟﺤﺴﻥ ﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ،1036 - 965ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﺴﺎﻁِﻊ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭ ﻤﻤﻬﺩﺍ ﻟﻨﻅﺭﻴﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻨﻌﻜﺎﺱ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻴﻴﻥ ،ﻫﻤﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺭﻀﻴﺔ ....ﻭﻴﺘﻠﺨﺹ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻜﺭﺓٍ 7
ﻤﻠﺴﺎﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﺤﺎﺱ ﺃﻭ ﺸﺒﻬﻬﻤﺎ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊٍ ﻤﺭﺘﻔﻊ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺁﺓٍ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔٍ ﺃُﻓﻘﻴﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ،ﺜﻡ ﻴﺘﺄﻤل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻨﺩ
ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﻤﺭﺁﺓ ﻭﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ .ﻭﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﺒﺎﻟﻤﺭﺁﺓ ﺘﺭﺘﺩ ﻟﻸﻋﻠﻰ....ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻨﻌﻜﺎﺴﻬﺎ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ
ﺃﻗﻭﻯ ﻭﺍﻟﻰ ﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﺒﻌﺩ ،ﻭﺇﻥ ﺃﻟﻘﻴﺕ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﻓﺔٍ ﺃﻗﺭﺏ ﻜﺎﻥ ﺭﺠﻭﻋﻬﺎ ﺃﻗل .....ﺃﻤﺎ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻴﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ 8
ﺠﻌل ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﺍﺭٍ ﻗﺎﺌﻡٍ ﻟﻴﻜﻭﻥ ﺴﻁﺤﻬﺎ ﺭﺃﺴﻴﺎﹰ ،ﺜﻡ ﺘﹸﻘﺫﻑ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﺒﻘﻭﺓٍ ،ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺸﻜل ﺨﻁ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺯﺍﻭﻴﺔﹰ ﻗﺎﺌﻤﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ،ﻭﺜﺎﻨﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﺨﻁٍ ﻤﺎﺌلٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﻭﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻸﻓﻕ .ﻭﻴﻘﻭل ﺍﺒﻥ
ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﻓﻲ ﺒﻴﺎﻥ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺘﻪ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ....ﺇﻨﻬﺎ ﺘﺭﺠﻊ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻨﻔﺴﻪ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔ
ﻟﻸﻓﻕ .ﻭﻓﻲ ﺒﻴﺎﻥ ﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺘﻪ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ...ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺠﺩﻫﺎ ﺘﺭﺠﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﻠﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺭﺍﻤﻲ،
ﻭﻴﺠﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺃﻭل ﺭﺠﻭﻋﻬﺎ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺨﻁٍ ﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻼﻓﻕ ،ﻭﻤﺎﺌلٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﻤﻴﻼﹰ ﺸﺒﻴﻬﺎﹰ ﺒﻤﻴل ﺍﻟﺴﻬﻡ ﻋﻨﺩ
ﺘﻔﻭﻴﻘﻪ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻤﺭﺁﺓ ﺒﺎﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺤﺱ . ... 9
‡
ﺇﺫ ﺒﺭﻫﻨﺕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﻓﻀﺎﺀ ﻤﻁﻠﻕ ،ﻷﻤﻜﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻨﺴﺒﺔﹰ ﺇﻟﻴﻪ، ﻭﻟﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺒﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ .ﺍﻨﻅﺭ :ﻏﹸﺼﻴﺏ ،ﺩ .ﻫﺸﺎﻡ ،ﻤﺩﺨل ﻤﺒﺴﻁ ﺇﻟﻰ ﻤﻨﻁﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ،ﻋﻤﺎﻥ :ﺩﺍﺭ ﺍﻟﻔﺭﻗﺎﻥ ،1984 ،ﺹ .18
3
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻼﺤﻅ ،ﻴﺴﺘﻌﻤل ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﻤﺼﻁﻠﺤﺎﹰ ﺠﺩﻴﺩﺍﹰ ،ﻫﻭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻟﻴﺭﺒﻁﻪ ﺒﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻬﺎﺒﻁ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﻔل .ﻴﻘﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭ .... .ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺴﺎﻓﺘﻪ ﺃﻁﻭل ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺃﻗﻭﻯ ﻭﺃﺴﺭﻉ ،ﺇﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﺇﻨﱠﻤﺎ
ﺘﻜﻭﻥ ﺒﺤﺴﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓـﺔ ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺜﻘل .... .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ )ﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺔ( ﻤﺸﺎﺒﻪ ﻟﻁﺎﻗﺔ 10
ﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉٍ )ﻤﺴﺎﻓﺔ( ﻤﺎ ،ﺇﻥ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺫﺍﺘﻬﺎ .ﻟﻜﻥ ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﻌﺭﻑ ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ
ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻟﻠﻜﺭﺓ .....ﺃﻨـّﻪ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺫﻑ ﺃﻗﻭﻯ ﻜﺎﻥ ﺭﺠﻭﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺃﻗﻭﻯ ،ﻭﻜﺄﻨﻪ 11
ﻴﻌﻨﻲ ﺒﻘﻭﺓ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺔ -ﺍﻟﻘﺫﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺙ ﻟﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ .velocity
ﺇﻥ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﻲ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺴﻬﻼﹰ ،ﻭﺇﻨﻪ ﻭﺇﻥ ﺤﻠﹼﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺸﻜﺎﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ ﻋﺸﺭ ،ﻓﺈﻥ ﺜﻤﺎﻨﻤﺎﺌﺔ ﺴﻨﺔ ﻗﺒل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺎﺭﻴﺦ ﺘﺸﻔﻊ ﻟﻌﺎﻟﻤﻨﺎ ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﻋﺩﻡ ﻗﺩﺭﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻤﻴﻴﺯ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ. ﻭﺤﺘﻰ ﻨﹸﻭﻓﻲ ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﺤﻘﱠﻪ ،ﻨﹸﻭﺭﺩ ﻟﻪ ﻨﺼﻴﻥ ﺃﻭﺭﺩﻫﻤﺎ ﻤﺼﻁﻔﻰ ﻨﻅﻴﻑ ﻤﻥ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭ ....ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ
ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ﻤﻥ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺙ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺎﻨﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺎﻨﻊ ،ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﻓﻲ
ﺠﻬﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻤﺘﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻴﺘﻭﻟﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻁ ﺍﻷﻭل ﻤﻥ
ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻭﻤﻥ ﻤﻤﺎﻨﻌﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺎﻨﻊ ،ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻁ ﻤﻥ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ،ﺤﺭﻜـﺔﹲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻨﻔﺴﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﻜﺎﻥ )ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺴﻁ( ﻤﻥ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ،ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺠـﻬـﺔ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻟﺠـﻬـﺔ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ .ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﺴﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ
ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻫﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﺒﺎﻗﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﻪ ﻟﻡ ﻴﺒﻁل ﻭﻟﻡ ﻴﺘﻭﻟﺩ ﻤﻨﻪ ﺤﺭﻜﺔﹲ ﻤﻀﺎﺩﺓﹲ ،ﻷﻥ ﺠﻬﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻟﻴﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺎﻨﻊ . 12
ﻭﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥٍ ﺁﺨﺭ ﻴﺘﺤﺩﺙ ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﺒﺸﻜلٍ ﻏﻴﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﹼﺼﺎﺩﻡ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻓﻴﻘﻭل
....ﺇﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺜﻘﺎل ﺇﺫﺍ ﺴﻘﻁﺕ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﻔل ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊٍ ﻋﺎلٍ ﺜﻡ ﻟﻘﻴﺕ ﻋﻨﺩ ﻤﺴﻘﻁﻬﺎ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺼﻠﺒﺎﹰ ﻜﺎﻟﺼﺨﺭ ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ﺃﻭ ﻤﺎ ﺠﺭﻯ ﻤﺠﺭﻯ ﺫﻟﻙ ،ﺇﻨﻌﻜﺴﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎل ﺭﺍﺠﻌﺔﹰ ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺭﺠﻭﻋﻬﺎ ﺒﺤﺭﻜﺔٍ ﻗﻭﻴﺔٍ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻘﻴﺕ ﻋﻨﺩ ﻤﺴﻘﻁﻬﺎ
ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺭﺨﻭﺍﹰ ﻜﺎﻟﺭﻤل ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺏ ﺃﻭ ﻤﺎ ﺸﺎﻜـل ﺫﻟﻙ ،ﺇﻨﺘﺸﺒﺕ ﻓﻴﻪ ﻭﻟﻡ ﺘﺭﺠﻊ .ﻭﺇﻥ ﺼﺎﺩﻓﺕ ﺠﺴﻤـﺎﹰ ﻓﻴﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺼﻼﺒﺔ ﻭﺒﻌﺽ ﺍﻟﻠﻴﻥ ﻜﺎﻟﺠِﺹ ﺃﻭ ﺍﻟﺨﺸﺏ ﺃﻭ ﻤﺎ ﺠﺭﻯ ﻤﺠﺭﻯ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﻴﻥ ،ﺭﺠﻌﺕ ﺭﺠﻭﻋﺎﹰ ﻀﻌﻴﻔﺎﹰ .ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺇﻥ ﺭﻤﻰ ﺭﺍﻡٍ ﺒﺤﺠﺭٍ ﺇﻟﻰ ﺠﻬﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻬﺎﺕ ﻓﻠﻘﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺠﺭ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒـﺔ ﻗﺒل ﺃﻥ ﺘـﻔﻨـﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺘﻲ ﻓﻴﻪ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻨﻌﻜﺱ ﺭﺍﺠﻌﺎﹰ ،ﻭﺍﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜـﺔ ﻗﻭﻴـﺔﹰ ﻴﺭﺠﻊ ﺒﻘﻭﺓٍ ﻗﻭﻴﺔٍ .ﻭﺍﻥ ﻟﻘﻲ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﻓﻴﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺼﻼﺒﺔ ﻭﺒﻌﺽ ﺍﻟﻠﹼﻴﻥ ﺭﺠﻊ ﺭﺠﻭﻋﺎﹰ ﻀﻌﻴﻔﺎﹰ ،ﺒﺤﺴﺏ ﻤﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻼﺒﺔ ﺜﻡ ﺍﻨﺤﻁﹼ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺴﻔل . 13
ﺇﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺼﻭﺹ ﺍﻟﻤﻘﺘﺒﺴﺔ ﻤﻥ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭ ،ﻟﺘﹸﺩﻟﹼل ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻭﺍﻀﻌﻬﺎ ﺍﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﻗﺩ ﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻀﻭﺀ
ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺃﻨﻪ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎﺩﻱ ...ﻭﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﻭل ﻴﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺃﻥ ﻴﺴﻘِﻁ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻜﺭﺓﹰ ﺼﻐﻴﺭﺓﹰ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﺤﺎﺱ ﺃﻭ ﻤﺎ ﻴﺠﺭﻱ ﻤﺠﺭﺍﻫﻤﺎ ،....ﻭﺫﺍﺕ ﺴﺭﻋﺔٍ ﻤﺤﺩﺩﺓٍ ،ﻟﻡ ﻴﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ* ....ﻭﻭﺼﻭل ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺜﻘﺏ ﺇﻟﻰ 14
ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻴﺱ ﻴﻜﻭﻥ ﺇﻻﹼ ﻓﻲ ﺯﻤﺎﻥ ،ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺨﻔﻴﺎﹰ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺱ ،....ﻤﺩﺭﻜﺎﹰ ﻓﻜﺭﺓ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺇﻟﻰ 15
*
ﺃﻭﻟﻲ ﺭﻭﻤﺭ ،1676 ، Ole Roemerﺃﻭل ﻤﻥ ﺤﺩﺩ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺒﻘﻴﻤﺔٍ ﺘﻘﺎﺭﺏ 225ﺃﻟﻑ ﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ/ﺜﺎﻨﻴﺔ، ﻭﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺘﻪ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺃﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻱ .ﺍﻨﻅﺭ :ﺴﺘﻴﻔﻥ ﻫﻭﻜﻨﺞ ،ﻤﻭﺠﺯ ﻓﻲ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻤﻥ ﺍﻹﻨﻔﺠﺎﺭ ﺍﻟﻌﻅﻴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺜﻘﻭﺏ ﺍﻟﺴﻭﺩﺍﺀ ،ﺘﺭﺠﻤﺔ ﺤﻴﺩﺭ ،ﻋﺒﺩ ﺍﷲ ،ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺎ ،1990ﺹ .37 4
ﻤﺭﻜﱢﺒﺘﹶﻴﻥ ،ﻗﺴﻁﻴﻥ ،ﻭﻫﻭ ﻤﺎ ﻋﺭﻑ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ،...ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎ ﻤﻥ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺎﻨﻊ ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ
ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻤﺘﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ، ....ﻤﻀﻴﻔﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﻨﺎﺤﻴﺔ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗـﺔ 16
ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻭﻤﺒﻴﻨﺎﹰ ﺃﻥ ﻟﻠﻀﻭﺀ ﺯﺨﻤﺎﹰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺔ ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻤﺤﻔﻭﻅﹲ ﻭﺜﺎﺒﺕﹲ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩٍ ﻤﻌﻴﻥ ﻟﻌﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﻗﻭﺓٍ ﻋﺎﺭﻀﺔ ،ﻤﺎﻨﻊٍ ،ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ...ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﺴﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻫﻭ ﻤﻥ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺒﺎﻗﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﻪ ،ﻟﻡ ﻴﺒﻁل ﻭﻟﻡ ﻴﺘﻭﻟﺩ ﻤﻨﻪ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﻀﺎﺩﺓ ،ﻷﻥ ﺠﻬﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻟﻴﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺎﻨﻊ . ...ﻜﻤﺎ ﺃﻋﻁﻰ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍﹰ ﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺎﹰ ﻟﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ. 17
ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻤﻥ ﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻭﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﻟﻠﻤﺼﻁﻠﺤﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻓﻘﺩ
ﺼـﺎﻏـﻭﺍ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻗﻀﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻗﺭﻴﺒﺔٍ ﻟﺘﻠﻙ ﺍﻟﺘﻲ ﺼﺎﻍ ﺒﻬﺎ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻨﻪ.
ﻓﻬﺫﺍ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺫﺍﺘﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ...،ﺇﻨﻙ ﻟﹶﺘﹶﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﺫﺍ ﺨﹸﻠﹼﻲ ﻭﻁﺒﺎﻋـﻪ ،ﻭﻟﻡ ﻴـُﻌـﺭﺽ ﻟﻪ ﻤﻥ ﺨﺎﺭﺝٍ ﺘـﺄﺜـﻴﺭ ﻏﺭﻴﺏ ،ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﻟﻪ ﺒﺩ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊٍ ﻤﻌﻴـﻥ ﻭﺸﻜلٍ ﻤﻌﻴﻥ ،ﻓﺈﺫﻥ ﻓﻲ ﻁﺒﺎﻋﻪ ﻤﺒﺩﺃ
ﺍﺴﺘﻴﺠﺎﺏ ﺫﻟﻙ
18
.ﻨﻔﻬﻡ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺒﻤﻘﺘﻀﻰ ﻁﺒﻌﻪ )ﺇﺫﺍ ﺘﹸﺭﻙ ﻭﺸﺄﻨﻪ( ،ﻭﻟﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻱ ﺘﺄﺜﻴﺭٍ ﻤﻥ
ﺨﺎﺭﺠﻪ ،ﻜﺠﺴﻡٍ ﻴﻁﻠﺏ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻭﺍﻟﺘﺸﻜل .ﻭﺍﻟﻁﺒﻊ ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺭﻓﻪ ﺍﻟﻔﻼﺴـﻔـﺔ ﺍﻟﻘﺩﻤﺎﺀ ﻤﺒﺩﺃ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺸﻲﺀ ﺍﻟﺫﻱ ﻓﻴﻪ ﻫﺫﺍ )ﺍﻟﻁﺒﻊ( ،ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻨﺕ )ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ( ﻋﻥ ﺸﻌﻭﺭٍ ﺃﻡ ﻋﻥ ﻏﻴﺭ ﺸﻌﻭﺭ ،ﻭﺍﻟﺘﺸﻜل ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﻼﻗﺎﺕٍ ﺩﺍﺨﻠـﻴـﺔٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ
ﺒﺫﺍﺘﻬﺎ ،ﻭﺘﺸﻤل ﻤﻘﻭﻻﺕ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻭﺍﻟﺯﻤﺎﻥ ﻭﺍﻟﻭﻀﻊ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻴﻔﻴﺔ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ .ﺇﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ )ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻨﺤﻭ( ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻫﻭ ﻟﻴﺱ ﻤﻥ ﻓﺎﻋلٍ ﻤﺨﺘﺎﺭٍ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﺒل ﻫﻭ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻁﺒﻌﻪ ﻭﺒﺎﺴﺘﺤﻘﺎﻗﻪ ﺍﻟﺫﺍﺘﻲ .ﺃﻱ ﺃﻥ
ﻁﻠﺏ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻠﻤﻜﺎﻥ ،ﻭﻫﻭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ،ﺘﺤﺩﺙ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻭﻋﻨﺩ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻤﺅﺜﺭٍ ﺨﺎﺭﺠﻲ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺴﻜﻭﻨﻪ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊٍ ﻤﻌﻴﻥ ﻴﺤﺩﺙ ﺤﺎﻟﻤﺎ ﻻ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺅﺜﺭ ﺨﺎﺭﺠﻲ .ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺒل ﻫﻲ 19
ﺠﺯﺀ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ -ﺴﻜﻭﻨﻪ -ﻋﻨﺩ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻤﺅﺜﺭٍ ﺨﺎﺭﺠﻲ.
ﻜﻤﺎ ﺒﺤﺙ ﺃﺒﻭ ﺍﻟﺒﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﺒﻐﺩﺍﺩﻱ ﻓﻲ ﻗﻀﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﻗﺩ ﺃﻭﺭﺩ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻜﻤﺔ...... ،ﻭﻜل ﺤﺭﻜﺔٍ ﻓﻔﻲ ﺯﻤﺎﻥٍ ﻻ ﻤﺤﺎﻟﺔ ،ﻓﺎﻟﻘﹼﻭﺓ ﺍﻷّﺸﺩ ﺘﹸﺤﺭﻙ ﺃﺴﺭﻉ ﻭﻓﻲ ﺯﻤﺎﻥٍ ﺃﻗﺼﺭ ،ﻓﻜﻠﻤﺎ ﺍﺸﺘﺩﺕ ﺍﻟﻘﹼﻭﺓ ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﻘﺼﺭ ﺍﻟﺯﻤﺎﻥ ،ﻓﺎﺫﺍ ﻟﻡ ﺘﺘﻨﺎﻩ ﺍﻟﺸـﺩﺓ ﻟﻡ ﺘﺘﻨﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ،ﻭﺒﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻏﻴﺭ ﺯﻤﺎﻥٍ ﻭﺃﺸﺩ ،ﻷﻥ ﺴﻠﺏ
ﺍﻟﺯﻤﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺎ ﻟﻠﺸﺩﺓ
20
.ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻭل ﻴﻔﻬﻤﻨﺎ ﺃﻥ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﺴـﺭﻋﺔ ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﻓﻲ
ﻟﺤﻅﺘﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ﺘﺤﺩﺙ ﻤﻥ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﻘﹼﻭﺓ -ﺍﺸﺘﺩﺍﺩﻫﺎ .ﺇﻥ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻜﻤﻔﻬﻭﻡٍ ﺭﻴﺎﻀﻲٍ ﺤﺩﻴﺙ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ،ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ) ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﻨﻘﺼﺎﻥ( ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ .ﺇﻥ ﺭﺒﻁ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﻟﻴﺱ
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﺤﺴﺏ ،ﺒﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻘﹼﻭﺓ ﺍﻷﺸﹼﺩ ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﻟﻬﻭ ﺨﻁﻭﺓﹲ ﻫﺎﺌﻠﺔﹲ ﻨﺤﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﹸﻴﺭ
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ -ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻫﺫﺍ ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﺍﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﱠﺹ ﺘﹸﻔﺴﺭ ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﺘﺏ ، 21
ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺴﻠﺏ ﺍﻟﺯﻤﺎﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻴﻘﺎﺒل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺎ ﻟﻠﺸﺩﺓ ﺘﻘﺎﺒل ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻟﻴﺅﻭل ﺍﻟﻨﺹ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ.
ﻭﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻓﻴﻌﺒﺭ ﻋﻨﻪ ﺃﻴﻀﺎ ﺍﻟﺒﻐﺩﺍﺩﻱ ﺒﻘﻭﻟﻪ ......ﺇﻥ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﺫﺒﺔ ﺒﻴﻥ
ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺭﻋﻴﻥ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﺫﺒﻴﻥ ﻓﻲ ﺠﺫﺒﻬﻤﺎ ﻗﻭﺓ ﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﻟﻘﻭﺓ ﺍﻵﺨﺭ ،ﻭﻟﻴﺱ ﺇﺫﺍ ﻏﻠﺏ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻓﺠﺫﺒﻬﺎ ﻨﺤﻭﻩ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺨﻠﺕ ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻵﺨﺭ ،ﺒل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓﹲ ﻤﻘﻬﻭﺭﺓﹲ ،ﻭﻟﻭﻻﻫﺎ ﻟﻤﺎ ﺍﺤﺘﺎﺝ ﺍﻵﺨﺭ ﺍﻟﻰ ﻜل ﺫﻟﻙ 5
ﺍﻟﺠﺫﺏ .ﻜﻤﺎ ﻭﻴﻌﺒﺭ ﻓﺨﺭ ﺍﻟﺩﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺯﻱ ﻋﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺒﺸﻜل ﺃﻓﻀل ﺒﻘﻭﻟﻪ..... ،ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺠﺫﺒﻬﺎ ﺠﺎﺫِﺒﺎﻥ 22
ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺤﺘﻰ ﻭﻗﻔﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺴﻁ ،ﻻ ﺸﻙ ﺃﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩٍ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻓﻌل ﻓﻴﻬﺎ ﻓﻌﻼﹰ ﻤﻌﻭﻗﺎﹰ ﺒﻔﻌل ﺍﻵﺨﺭ ،ﺜﹸﻡ ﻻ ﺸﻙ ﺃﻥ
ﺍﻟﺫﻱ ﻓﻌﻠﻪ ﻜل ﻭﺍﺤﺩٍ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻟﻭ ﺨﹸﻠﻲ ﻋﻥ ﺍﻟﻤـُﻌـﺎﺭﺽ ﻻﻗﺘﻀﻰ ﺍﺠﺘﺫﺍﺏ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺎﻨﺒﻪ .ﻭﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺭﺍﺯﻱ ﻓﻜﺭﺓ 23
ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﻓﻴﻘﻭل ﻓﻲ ﻤﻌﺭﺽ ﺸﺭﺤﻪ ﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ، ............ﻓﺎﻟﺤﺒل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺫﺒﻪ ﺠﺎﺫﺒﺎﻥ ﻤﺘﺴـﺎﻭﻴﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻰ ﺠﻬﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﻻ ﻴﺨﻠﻭ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻘﺎل ﺃﻨﻪ ﻤﺎ ﻓﻌل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻓﻌﻼﹰ ﻭﻫﻭ ﻤﺤﺎل ،ﻷﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻨﻊ ﻜل ﻭﺍﺤﺩٍ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻋﻥ ﻓﻌﻠﻪ ﻫﻭ ﻭﺠﻭﺩ ﻓﻌل ﺍﻵﺨﺭ ،ﺃﻭ ﻴﻘﺎل ﻓﻌل
ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺩﻭﻥ ﺍﻵﺨﺭ ﻭﻫﻭ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻤﺤﺎل ،ﻭﻜﺎﻥ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻰ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﺠﻬﺔ ،ﺃﻭ ﻴﻘﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩٍ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻓﻌل ﻓﻴﻪ ﻓﻌﻼﹰ
24
. ......
ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺭﻫﺎﺼﺎﺕ ﻟﻡ ﺘﺠﺩ ﻤﻥ ﻴﻨﺎﻗﺸﻬﺎ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﻭﺍﻓﻴﺔ ،ﻭﻟﻡ ﺘﹸﻨﻘﺢ ﻤﻥ ﻗِﺒل ﺩﺍﺭﺴﻴﻬﺎ ،ﻓﺒﻘﻴﺕ ﻁﻲ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﻭﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺎﺕ .ﻜﻴﻑ ﻻ ﻭﻗﺩ ﻜﹸﺘﺒﺕ ﻓﻲ ﺃﻭﺍﺨﺭ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﺯﺩﻫﺎﺭ ﺍﻟﺤﻀﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴﺔ ،ﺇﺫ ﺘﹸﺭﺠِﻡ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻠﻐﺎﺕ
ﺍﻟﻼﺘﻴﻨﻴﺔ ﻤﻊ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻋﺼﺭ ﺍﻟﻨﻬﻀﺔ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺜـﺔ .ﺇﻥ ﻫﺫﺍ ﻟﻴﺱ ﺘﺤﺩﻴﺜﺎﹰ ﻟﻠﻔﻜﺭ ﺍﻟﻘﺩﻴﻡ ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻪ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺩﻴﺜﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺃﻓﻜﺎﺭ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ،ﺤﺘﻰ ﻟﻜﺄﻥ ﻜل ﻤﺎ ﻴﻔﻜﺭ ﺒﻪ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻭﻓﻼﺴﻔـﺔ ﻋﺼﺭﻨﺎ
ﻴﺠﺏ ﺃﻥ
ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻭﻓﻼﺴﻔـﺔ ﺍﻟﻌﺼﻭﺭ ﺍﻟﻭﺴﻁﻰ ﻗﺩ ﻓﻜﺭﻭﺍ ﺒﻪ .ﻜﻤﺎ ﻴﺠﺏ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺍﻟﺤﺫﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻗﻭﻉ ﻓﻲ
ﺍﻟﻼﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺔ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕٍ ﺁﺨﺭ ﻤﻌﺎﻜﺱ ،ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺒﺎﻟﻐﺔ ﻓﻲ ﺘﺠﻨﺒﻬﺎ ﺴﻴﺅﺩﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﻗﻭﻉ ﻓﻴﻬﺎ ،ﺒﻤﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ
ﻗﻁﻊٍ ﻟﻠﺼﻠﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺎﻀﻲ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺒﺸﺭﻴـﺔ ﻭﺤﺎﻀﺭﻫﺎ
25
.
ﻓﻲ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﻨﻬﻀﺔ ﺍﻷﻭﺭﻭﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴـﺜـﺔ ﺘﻁﻭﺭﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﻜﺒﻴﺭ ،ﻭﻗﺩ ﺒﺭﺯ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﻜﺜﻴﺭﻭﻥ ﺴﻨﹸﺭﻜﹼﺯ
ﻋﻠﻰ ﻤﻥ ﺘﺭﻜﻭﺍ ﺒﺼﻤﺎﺕٍ ﻭﺍﻀﺤﺔﹲ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﻭﻤﻥ ﺃﻫﻤﻬﻡ:
ﻟﻴﻭﻨﺎﺭﺩﻭ ﺩﺍﻓﻨﺸﻲ ،1519 -1452 ،L.Devinciﺒﺎﻹﻀﺎﻓـﺔ ﺇﻟﻰ ﻋﺒﻘﺭﻴﺘـﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺴـﻡ ﻭﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻓﺈﻨﻪ ﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﻤﺸﺎﻜل ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﻭﺍﻷﻴﺭﻭﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻭﺍﻟﻬﻴﺩﺭﻭﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ .ﻭﻗﺎل ﺒﺄﻥ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻓﻘﻁ ،ﺒل ﻟﻜل ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ .ﻜﻤﺎ ﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﺠﺴﺎﻡ ﺘﺤﺕ ﺘـﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺘﻲ ﺠﺫﺏٍ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ.
ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ﻏﺎﻟﻴﻠﻲ ،1642 -1564 ،G.Galileoﺃﺜﺒﺕ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻥ ﻜلّ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻟﻬﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕﹲ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺴﻘﻭﻁﻬﺎ .ﻜﻤﺎ ﺼﺎﻍ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﻤﻔﻬﻭﻤﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴـﺔ ﻭﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺒﺸﻜلٍ ﺒـﺩﺍﺌﻲٍ.
ﻴﻭﻫﺎﻥ ﻜِﺒﻠﺭ ،1630 -1571 ،J.Keplerﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﺘﻔﺴـﻴﺭ ﺍﻟﻌﺼﺭﻱ ﻟﻠﺭﺍﺒـﻁـﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ
ﺒﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸـﻤﺴـﻲ .ﺃﻋﻁﻰ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺎﺕ ﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ .ﺼﺎﻍ ﻤﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺒﻘﻭﺍﻨﻴﻥ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻟﻸﺠﺭﺍﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻴﺔ :ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴـﺎﺤﺎﺕ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻫﻠﻴﻠﺠﻲ ﻟﻠﻜﻭﻜﺏ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ
ﺯﻤﻥ ﺩﻭﺭﺘﻪ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ.
ﺍﺴﺤﻕ ﻨﻴﻭﺘﻥ ،1727 -1643 ،I. Newtonﺃﻨﻬﻰ ﺩﺭﺍﺴﺘﻪ ﻓﻲ ﺠﺎﻤﻌﺔ ﻜﺎﻤﺒﺭﺩﺝ ﺒﺎﺼﺩﺍﺭ ﻜﺘﺎﺒﻪ ﺍﻟﺭﺍﺌﻊ ﺍﻟﻤﺒﺎﺩﻯﺀ
ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﺴﻔﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ Philosophiae Naturalis Principia Mathematicaﻋﺎﻡ ،1687ﻭﻓﻴﻪ ﺼﺎﻍ
ﻗﻭﺍﻨﻴﻨﻪ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ :ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻭﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻔﻌل ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل .ﻟﻘﺩ ﻋﻤﻡ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﻋﺭﻑ ﻷﻭل ﻤﺭﺓٍ
ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻜﻤﺎ ﺼﺎﻍ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺘﺠﺫﺏ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺍﻟﺒﻌﺽ ﺒﻘﻭﺓٍ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ
ﻁﺭﺩﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺘﻴﻬﻤﺎ ﻭﻋﻜﺴﻴﺎ ﻤﻊ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺼﻴﻐﺕ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ 6
ﻟﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ .ﻭﻗﺩ ﺍﺨﺘﺒﺭﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺒﺘﺠﺎﺭﺏ ﻋﺩﻴﺩﺓٍ ،ﻭﺘﺄﻜﺩﺕ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻭﻋﻠﻤﻴﺎﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﻭﺍﻻﺠﺘﻤﺎﻋﻰ ﻭﺍﻻﻨﺘﺎﺠﻲ .ﻟﻘﺩ ﺃﺼﺒﺢ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻭﺒﺤﻕ ﻤﺅﺴﺱ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ. ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ ﻋﺸﺭ ﺭﺍﺤﺕ ﺘﺘﻁﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﺃﻱ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﻤﺒﻨﻴﺔ
ﻋﻠﻰ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ،ﻭﻗﺩ ﺒﺭﺯ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺤﻘل ﺍﻷﺨﻭﺓ ﺒﻴﺭﻨﻭﻟﻲ Bernoulli؛ ﻴﻌﻘﻭﺏ -1654
،1705ﻴﻭﻫﺎﻥ 1748 -1667ﻭﺩﺍﻨﻴﻴل ،1782 -1700ﺜﻡ ﻟﻴﻭﻨﺎﺭﺩﻭ ﺃﻭﻴﻠﺭ .1783-1707 ،L.Eulerﻭﺍﻷﺨﻴﺭ
ﻋﺭﻑ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻭﺯﻭﺍﻴﺎ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﺃﻤﺎ ﺝ.ل .ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ،1783 -1717 J.L.Dalambertﻓﻘﺩ
ﺍﺴﺘﺤﺩﺙ ﻁﺭﻴﻘﺔﹰ ﺠﺩﻴﺩﺓﹰ ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜـﺎ ﻻ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻜﺜﻴﺭﺍﹰ ﻋﻥ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻻﺴـﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻭﺘﹸﻌﺭﻑ ﺤﺎﻟﻴﺎﹰ
ﺒﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ .ﻭﻗﺩ ﺤﺫﺍ ﺤﺫﻭﻩ ﻤﻭﺍﻁﻨﻪ ﺝ.ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ 1813 -1736 ،J.Lagrangeﺍﻟﺫﻱ ﻭﻀﻊ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﻟﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﻠﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻭﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﹸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻰ.
ﻜﻤﺎ ﺸـﻬﺩ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺘﺎﺴـﻊ ﻋﺸﺭ ﻭﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﺘﻘﺩﻤﺎﹰ ﻓﻲ ﻋﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﻋﻠﻰ ﻴﺩ ﻥ .ﺠﻭﻜﻭﻓﺴﻜﻲ ،1921-1847 ،N.Jukovskyﻭﻜﺫﻟﻙ ﺱ .ﺘﺸـﺎﺒﻠﺠﻴﻥ 1942 -869 S.Tchabalginﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﺤﻼ ﻋﺩﺩﺍﹰ ﻤﻥ
ﺍﻟﻤﺸﺎﻜل ﺍﻟﺘﻜﻨﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤـﻠﺤـﺔ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺫﻴﻥ ﺃﺜﹾﺭﻭﺍ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﺒﻨﻅﺭﻴﺎﺕٍ ﺠﺩﻴﺩﺓٍ ﻤﻨﻬﻡ :ﺃ.
ﻤﻴﺘﺸﻴﺭﺴﻜﻲ ،1935-1859 ،A.Mescherskyﻭﻀﻊ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ،ﻭﻙ. ﺘﺴ ﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ ،1935 -1857،K.Tsiolkovskyﻭﻀﻊ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺍﻟﻨﻅﺭﻱ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻟﺼﻨﺎﻋﺔ
ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻭﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ . 26
ﻟﻘﺩ ﺩﻋﻤﺕ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺒﺎﻜﺘﺸﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺘِﺒﺎﻋﺎﹰ ،ﻭﻗﺎﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﻜﻭﺍﻜﺏ ﺠﺩﻴﺩﺓٍ ﻭﺒﻌﻴﺩﺓ .ﺇﺫ ﺴـﺒﻕ ﺃﻥ ﺃﺩﺭﻙ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺃﻨﱠﻪ ،ﻭﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺼِﻐﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﻥ ﻜﻭﻜﺏٍ ﻭﺁﺨﺭ ،ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺫﺍﺕ ﺃﺜﺭٍ ﻓﻲ
ﺇﺤﺩﺍﺙ ﺍﻀﻁﺭﺍﺒﺎﺕٍ ﺼﻐـﻴﺭﺓٍ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻻﻫﻠﻴﻠﺠﻲ ﺍﻟﺘـﺎﻡ ﻭﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻟﻭﺤﺩﻫﺎ .ﻭﻗﺩ
ﺩﻋﻴﺕ ﻗﹸﻭﻯ ﺍﻻﻀﻁﺭﺍﺏ ﺍﻻﻀﺎﻓﻴﺔ ﺘﻠﻙ ﺒﺎﻟﺘﹼﺭﺠـﺎﻓﹶـﺎﺕ .perturbationsﻭﻫﺫﻩ ﺩﺭِﺴﺕ ﺒﻌﻨﺎﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴـﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ
ﺃﻀﺤﺕ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻗﻭﺓﹰ ﻜﻭﻨﻴـﺔﹰ ﺘﻌﻤل ﺒﻴﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﹼﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﹼﻤﺴﻲ .ﻟﻘﺩ ﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ
ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺴﺘـﺔﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻤﻜﻥ ﻭﻟﻴﻡ ﻫﻴﺭﺸﻴل W.Herchelﻋﺎﻡ 1781ﻤﻥ ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ ﺃُﻭﺭﺍﻨﹸﻭﺱ
،Uranousﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻀﻌﻑ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ ﺯﺤل .Saturnﻟﻘﺩ ﺘﻡ ﺭﺼﺩﻩ ﻭﺤﺴﺎﺏ ﻤﺩﺍﺭﻩ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﻲ ،ﻭﺒﺩﻭﺭﺓٍ ﺘﹸﻨﺎﻫﺯ 84ﻋﺎﻤﺎﹰ ،ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺃﻭﺭﺍﻨﻭﺱ ﻓﻲ ﻋﺠﻠﺔٍ ﻤﻥ ﺃﻤﺭﻩ ﻟﺭﺴﻡ ﻤﺩﺍﺭﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻡ ﺍﻟﺘﻨﺒﺅ ﺒﻪ .ﺇﺫ ﻤﺭﺕ
ﺨﻤﺴﻭﻥ ﻋﺎﻤﺎﹰ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻻ ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﻟﻪ ﺤﺴﺎﺒﻴﺎﹰ ،ﻭﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺍﻟﺴﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ .ﻭﺍﻟﻤﺜﻴﺭ ﻟﻠﺩﻫﺸﺔ ،ﺇﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻜﻭﻨﻲ ﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﺒﺩﺍ ﻭﻜﺄﻨﻪ ﻋﺎﺠﺯ ﻋﻥ ﺤل ﺃﻭ ﺘﻔﺴﻴﺭ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﺓ .ﻭﻋﻠﻰ ﻨﻘﻴﺽ ﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻤﺘﻭﻗﻌﺎﹰ ،ﺍﻓﺘﺭﺽ ﻟﻴﻜﺴل ،Lekselﺃﺤﺩ ﺍﻟﻔﻠﻜﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﻁﺭﺴﺒﻭﺭﻍ ،ﻭﺠﻭﺩ ﻜﻭﻜﺏ ﻤﺠﻬﻭل ،ﻟﻡ ﻴﻜﺘﺸﻑ ﺒﻌﺩ ،ﺭﺒﻤﺎ ﻴﺅﺜﺭ ﺒﺘﹶﺭﺠﺎﻑٍ ﻤﺤﺩﺩ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﺭﺍﻨﻭﺱ .ﻓﺎﻜﺘﺸﻑ ﺍﻟﺸﹼﺎﺒﺎﻥ ﺠﻭﻥ ﺃﺩﺍﻤﺯ ،J. Adams
1892 -1819ﻤﻥ ﺇﻨﺠﻠﺘﺭﺍ ﻭﺇﻴﺭﺒﺎﻥ ﻟﻴﻔﻴﺭﻴﻴﻪ 1877 -1811 ،U. Leverrierﻤﻥ ﻓﺭﻨﺴﺎ ،ﻭﻜﻼﻫﻤﺎ ﻴﺠﻬل ﺍﻵﺨﺭ،
ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻨﺒﺘﻭﻥ Neptuneﻋﺎﻡ 1846ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕٍ ﺘﺴﺘﻨﺩ ﺍﻟﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻜﻭﻨﻲ ﻭﺍﻟﺘﺭﺠﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺍﻟﺴﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﺃﻭﺭﺍﻨﻭﺱ . 27
7
ﻭﻟﻘﺩ ﻗﺎﺩﺕ ﺴﻠﺴﻠﺔﹲ ﻤﺸﺎﺒﻬﺔﹲ ﻤﻥ ﺍﻷﺤﺩﺍﺙ ،ﺭﻏﻡ ﺃﻨﻬﺎ ﺃﻗل ﺇﺜﺎﺭﺓﹰ ،ﻭﺒﻌﺩ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕٍ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻜﺒﻲ ﻨﺒﺘﻭﻥ ﻭﺃﻭﺭﺍﻨﻭﺱ ﺒﻴﻨﺕ ﻀﺭﻭﺭﺓ ﻭﺠﻭﺩ ﻜﻭﻜﺏ ﺁﺨﺭ ﺒﻌﺩ ﻨﺒﺘﻭﻥ ،ﺇﻟﻰ ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ،ﻭﺍﻷﺨﻴﺭ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ،ﺒﻠﻭﺘﻭ ،Pluto ﻭﺘﺤﺩﺩﺕ ﺩﻭﺭﺘﻪ ﺏ 248ﻋﺎﻤﺎﹰ ﺃﺭﻀﻴﺎﹰ.
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ؛ ﺇﻥ ﺃﻭل ﺇﻟﻤﺎﻉٍ ﻟﻌﺠﺯ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻗﺩ ﻭﺭﺩ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻜﻭﻜﺏ ﻋﻁﺎﺭﺩ ،Mercury ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﻬﻲ ﺩﻭﺭﺘﻪ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻓﻲ 88ﻴﻭﻤﺎﹰ ﺃﺭﻀﻴﺎﹰ ﻓﻘﻁ .ﻓﻤﻊ ﻜل ﺩﻭﺭﺓٍ ﻟﻪ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺤﻀﻴﻀﻪ ،perihelionﺘﺴـﺘﺒﻕ )ﺘﻨﺤﺭﻑ( ﻗﻠﻴﻼﹰ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻨﻔﺴﻪ ،ﺒﻤﻘﺩﺍﺭٍ ﻴﻌﺎﺩل 43ﺜﺎﻨﻴﺔﹰ ﻗﻭﺴﻴﺔ ﻟﻜل ﻤﺌﺔ
ﻋﺎﻡ .ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺴـﺘﺒﺎﻕ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺭﻭﻓﺎﹰ ﻟﻌﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﺴﻨﻴﻥ ،ﺒﺩﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻗـﺔ ،ﻭﺃﻴﻀﺎﹰ ﺒﺩﻭﻥ ﺘﻔﺴﻴﺭٍ ﻋﻠﻤﻲٍ ﻤﻘﻨﻊ .ﺇﺤﺩﻯ 28
ﺍﻟﻅﻭﺍﻫﺭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻡ ﺘﹸﻔﺴـﺭﻫﺎ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻫﻭ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﻁﺎﺒﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺍﻟﺘﻠﺴـﻜﻭﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﻠﺘﻘﻁﺔِ ﻟﻌﺩﺩٍ ﻤﻥ
ﺍﻟﻨﺠﻭﻡ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩﺓ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺭﺼﺩﻫﺎ ﻭﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕٍ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻨﺔ ،ﻤﻊ ﺃﻥ ﺘﺤﺭﻙ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺠﻭﻡ ﻴﻜﺎﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎﹰ ،ﺃﻭ ﻓﻲ
ﺃﺤﺴﻥ ﺍﻷﺤﻭﺍل ﺃُﺨﺫ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺭﻙ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻜﻭﻨﻲ ﻭﻗﻑ ﻋﺎﺠﺯﺍﹰ ﻋﻥ ﺘﻔﺴـﻴﺭﻫﺎ. ﺃﻟﺒﺭﺕ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ،1955 -1879 ،A. Einstienﺃﻋﻁﻰ ﻭﻋﺭﻑ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ
ﺍﻟﻌﻴﺎﻨﻲ .ﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ،1905ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺃﻋﻠﻥ ﻋﻥ ﻨﻅﺭﻴﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ،Special Relativityﺍﻟﺘﻲ ﺒﻴﻥ ﻓﻴﻬﺎ
ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ،ﺃﻴﺎﹰ ﺘﻜﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺼﺩﺭﻩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩ ،ﻭﺃﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻟﻴﺱ ﻤﻁﻠﻘﺎﹰ ﺒل ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﹰ
ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ .ﺜﹸﻡ ﺃﺘﺒﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ General Relativityﻋﺎﻡ ،1916ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻜلّ ﺠﺴﻡٍ ﻤﺎﺩﻱٍ ﻭﻻ ﻤﺎﺩﻱٍ ،immaterialﻜﺎﻟﻔﻭﺘﻭﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻨﻴﻭﺘﺭﻭﻨﺎﺕ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ ،ﻭﻓﻲ
ﺤﺎﻻﺕٍ ﺨﺎﺼﺔ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﹰ .ﻜﻤﺎ ﺍﺴﺘﻨﺩ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ Principle of Equivalence
ﺍﻟﺫﻱ ﺼﺎﻏﻪ ﻋﺎﻡ 1915ﻭﺼﻴﻐﺔ ﻟﻭﺭﻨﺘﺱ Lorent’s Formulaﺍﻟﺘﺤﻭﻴﻠﻴﺔ ﻻﻨﻜﻤﺎﺵ ﺍﻟﻁﻭل length contraction
ﻭﺘﺒﺎﻁﺅ ﺍﻟﺯﻤﻥ time dilationﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻨﺴﺒﺔ 1: 1 − (v / c) 2ﻓﺤﺩﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻲ ﻤﺠﺎلٍ ﺠﺎﺫﺒﻲ ﻴﻌﺎﻨﻲ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ ﺒﻘﺩﺭٍ ﻴﻤﻜﻥ ﻗﻴﺎﺴﻪ .ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ ﺤﺴﺏ ﻟﻀﻭﺀ ﺍﻟﻨﺠﻭﻡ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺒﺠﺎﻨﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﻭﺠﺩﻩ 1.75ﺜﺎﻨﻴﺔﹰ ﻗﻭﺴﻴﺔ
29
.
ﻭﻨﻅﺭﺍﹰ ﻷﻥ ﺃﺸﻌﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﺍﻟﻘﺎﺩﻤﺔ ﻤﻥ ﻨﺠﻡٍ ﻻ ﻴـﻤﻜـﻥ ﺃﻥ ﺘﹸﺭﻯ ﻓﻲ ﻭﻀﺢ ﺍﻟﻨﻬﺎﺭ ﻟِﺘﹶﻐﹶﻠﱡﺏ ﺃﺸﻌـﺔ ﺍﻟﺸﻤﺱ
ﻋﻠﻴﻬﺎ ،ﻓﺈﻥ ﺇﺜﺒﺎﺕﹶ ﺍﻨﺤﻨﺎﺀ ﺍﻟﻀﻭﺀ ﻭﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺘﻨﺒﺅ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ﻻ ﺒﺩ ﺃﻥ ﻴﺘﻡ ﻓﻲ ﻭﻗﺕ ﻜﺴﻭﻑ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺍﻟﻜﹼﻠﻲ .ﻟﻬﺫﺍ ﻗﺎﻤﺕ ﺒﻌﺜﺘﺎﻥ ﺒﺭﻴﻁﺎﻨﻴﺘﺎﻥ ﺒﺈﺜﺒﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟـﺔ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻜﺴﻭﻑ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺤﺩﺙ ﻓﻲ ،1919/05/29ﺤﻴﺙ ﺍﺴﺘﻘﺭﺕ
ﺇﺤﺩﺍﻫﺎ ﻓﻲ ﺨﻠﻴﺞ ﻏﻴﻨﻴﺎ ﻓﻲ ﺃﻓﺭﻴﻘﻴﺎ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺭﻜﺯﺕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻤﺤﻴﻁ ﺍﻷﻁﻠﺴـﻲ ﻓﻲ ﺸﻤﺎل
ﺍﻟﺒﺭﺍﺯﻴل .ﻭﻗﺩ ﻗﺎﻤﺕ ﺍﻟﺒﻌﺜﺘﺎﻥ ﺒﺭﺼﺩ ﺍﻟﻨﺠﻭﻡ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺍﻟﻤﻜﺴﻭﻓﺔ ﻭﺼﻭﺭﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻁﻘﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﺍﺒﺘﻌﺩﺕ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻋﻨﻬﺎ .ﻟﻘﺩ ﺃﻅﻬﺭﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺍﺨﺘﻼﻓﺎﹰ ﻤﺎ ﻓﻲ ﻤﻭﺍﻗﻊ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺠﻭﻡ .ﻭﺘﻭﺼﻠﺕ ﺍﻟﺒﻌﺜﺘﺎﻥ ،ﺒﻌﺩ ﺤﺴـﺎﺏ ﺍﻟﺨﻁﺄ ﺍﻟﻨﺎﺠﻡ ﻋﻥ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺩﻗﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﻭﺍﻷﻤﻭﺭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺒﻠﻎ 1.72ﺜﺎﻨﻴﺔﹰ ﻗﻭﺴﻴﺔ
30
.
ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻻﺨﺘﺒﺎﺭﺍﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺼﺤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﻠﻜﻴﺔﹰ ،ﻻﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻗﻴﺎﺴﺎﺕٍ ﺘﺸﻭﺒﻬﺎ ﺸﻜﻭﻙ ﻗﺩ ﻴﺴﺘﺤﻴل ﺘﺒﺩﻴﺩﻫﺎ،
ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﺎل ﻤﻨﺫ ﺍﻟﻌﺎﻡ ،1960ﺇﺫ ﺘﻤﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﺎﺕ ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺨﺘﺒﺭ .ﻓﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﺠﺎﺡ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻘﺎﻁ ﺼﺩﻯ ﺭﺍﺩﺍﺭٍ ﻤﻥ ﻜﻭﻜﺏ
ﺍﻟﺯﻫﺭﺓ ،Venusﻗﻴﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﺫﻱ ﺍﺴﺘﻐﺭﻗﺘﻪ ﺍﻟﻤﻭﺠﺎﺕ ﻟﺒﻠﻭﻍ ﺍﻷﺭﺽ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺘﻲ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺃﻭ ﻋﺩﻤﻪ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﻭﺘﻤﺕ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ﺒﺎﻟﻨﻅﺭﻴﺔ .ﻟﻘﺩ ﺩﻟﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺘﻭﺍﻓﻘﺎﹰ ﻤﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺒﻔﺎﺭﻕٍ ﻴﻘل 8
ﻋﻥ . %0.1ﻜﻤﺎ ﺍﻨﺤﺭﻑ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ ﺍﻟﻀﻭﺌﻲ ﺍﻟﺼﺎﻋﺩ ﻓﻲ ﻤﺨﺘﺒﺭ ﺠﻔِﺭﺴﻥ/ﺠﺎﻤﻌﺔ ﻫﺎﺭﻓﺎﺭﺩ ﺒﻔﻌل ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ 31
ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺤﻤﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ
32
.
ﻤﺎﻜﺱ ﺒﻼﻨﻙ ،1947-1858 ،M. Planckﻋﺎﻟﻡ ﺃﻟﻤﺎﻨﻲ ﻨﺸﺭ ﻋﺎﻡ 1900ﻓﺭﻀﻴﺘﻪ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﺎل ﻓﻴﻬﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻀﻭﺀ
ﻭﺍﻟﻤﻭﺠﺎﺕ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻨﺒﻌﺙ ﺒﻤﻌﺩلٍ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﺒل ﻓﻲ ﺤﺯﻡٍ ﻤﻌﻴﻨﺔ ،ﺃﺴﻤﺎﻫﺎ ﺍﻟﻜﻤﺎﺕ .quantaﻭﻟﻜل ﻜﻡ quantumﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ .ﻟﻘﺩ ﻓﺴﺭﺕ ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﻜﻡ ﻤﻌﺩلَ ﺒﺙﱢ ﺍﻹﺸﻌﺎﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺤﺎﺭﺓ
ﺘﻔﺴﻴﺭﺍﹰ ﺠﻴﺩﺍﹰ ﺠﺩﺍﹰ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻤﻀﺎﻤﻴﻨﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺘﻤﻴﺔ ﻟﻡ ﺘﹸﺩﺭﻙ ﺇﻻ ﺴﻨﺔ ،1926ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻋﺭﻑ ﻋﺎﻟﻡ ﺃﻟﻤﺎﻨﻲ ﺁﺨﺭ ﻫﻭ ﻭﺭﻨﺭ ﻫﺎﻴﺯﻨﺒﺭﻍ 1976 -1901 W. Heisenbergﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺭﻴﺒﺔ )ﺍﻟﻼﺤﺘﻤﻴﺔ( . Uncertainty Principleﺇﺫ 33
ﻴﻘﻭﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺯﺍﻤﻥ ﻭﺍﻟﺩﻗﻴﻕ ﻟﻤﻭﻗﻊ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡ .ﻓﻔﻲ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﺘﻨﺒﺅ ﺒﺤﺭﻜﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺒل ،ﺴﻠﹼﻁ ﻫﺎﻴﺯﻨﺒﺭﻍ ﻓﻭﺘﻭﻨﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﺤﺩﺩ ﻤﻭﻗﻌﻪ ،ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻤﺘﺹ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻔﻭﺘﻭﻥ ﻓﺘﻐﻴﺭﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ .ﻜﻤﺎ
ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺒﺩﻗﺔٍ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻭﺠﺎﺕٍ ﻗﺼﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍﹰ ،ﻭﺒﻁﺎﻗﺔٍ ﺃﻜﺒﺭ ﻟﻠﻜﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ،ﻓﻴﻜﻭﻥ ﺘﺄﺜﺭ ﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭٍ ﺃﻜﺒﺭ .ﻭﺒﻜﻠﻤﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻜﻠﻤﺎ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺩﻗﺔ ﺃﻜﺒﺭ ،ﻜﻠﻤﺎ ﺘﻨﺎﻗﺼﺕ ﺩﻗﺘﻨﺎ ﻓﻲ ﻗﻴﺎﺱ
ﺴﺭﻋﺘﻪ ،ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺒﺎﻟﻌﻜﺱ .ﻓﺎﻹﻟﻴﻜﺘﺭﻭﻥ ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻫﻭ ﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻎ ﺍﻟﻀﺂﻟﺔ ﻭﻴﺴﺘﺘﺒﻊ ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻭﻗﻌﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺓ ﺍﺭﺘﺩﺍﺩ
ﺍﻟﻔﻭﺘﻭﻨﺎﺕ ﺍﻟﻀﻭﺌﻴﺔ ﻋﻨﻪ .ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﻤﻥ ﺃﻤﺭ ،ﺘﹸﻔﻀِﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺒﺎﻟﻐﺔ ﻟﻠﻀﻭﺀ ﺇﻟﻰ ﺍﻗﺘﻼﻉ ﺍﻹﻟﻴﻜﺘﺭﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﺭﺓ ﻭﺘﻐﻴﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻭﻗﻌﻪ. ﻭﺒﻌﺩ ،ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻘﻭل ﺒﺜﻘﺔٍ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺃﻀﺤﺕ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﻋﻠﻤﺎﹰ ﻴﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ ﺒﺸﺭﻁٍ ﻭﺍﺤﺩ ،ﺃﻥ ﻻ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺴﺭﻴﻌﺔﹰ ﺠﺩﺍﹰ ﺃﻭ ﺼﻐﻴﺭﺓﹰ ﺠﺩﺍﹰ .ﺇﺫ ﺒﻴﻨﺕ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺃﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻻ ﺘﺴﺘﻁﻴﻊ ﻭﺼﻑﹶ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻗﺭﻴﺒﺔﹲ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻀﻭﺀ .ﻭﻓﻲ ﻭﻗﺕٍ ﻻﺤﻕٍ ،ﺒﻴﻨﺕ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻡ ،Quantum Mechanics
ﺍﻟﺘﻁﻭﺭ ﺍﻵﺨﺭ ﻟﻠﻘﺭﻥ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ،ﺃﻥ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻻ ﺘﺴﺘﻁﻴﻊ ﻭﺼﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺍﺕ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﺇﻥ
ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻡ ﻗﺩ ﻗﻠﻤﺘﺎ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻤﺨﺘﺯﻟﺘﻴﻥ ﺇﻴﺎﻫﺎ ﻤﻥ ﻗﻁﺎﻉٍ ﻻ ﻤﺘﻨﺎﻩٍ ﺇﻟﻰ ﻗﻁﺎﻉٍ ﻤﺘﻨﺎﻩٍ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ
ﺃﻀﺤﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻋﻠﻤﺎﹰ ﺼﺎﺌﺒﺎﹰ ﻜﻠﻴﺎﹰ ﻟﻭﺼﻑ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻓﻲ ﻗﻁﺎﻉٍ ﻤﺤﺩﺩ.
9
ﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭل 1
ﻤﺭﻭﻩ ،ﺤﺴﻴﻥ ،ﺍﻟﻨﺯﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻠﺴﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴﺔ .ﺠـ ، 2ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﺩﺍﺭ ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ ،1979ﺹ .669
2
ﺩﻨﻴﺎ ،ﺴﻠﻴﻤﺎﻥ ،ﺍﻹﺸﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺘﻨﺒﻴﻬﺎﺕ ﻟﻠﺸﻴﺦ ﺍﻟﺭﺌﻴﺱ ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ .ﻕ - 2ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ،ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ :ﺩﺍﺭ ﺇﺤﻴﺎﺀ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ، ﻋﻴﺴﻰ ﺍﻟﺒﺎﺒﻲ ﺍﻟﺤﻠﺒﻲ ﻭﺸﺭﻜﺎﻩ ،1948 ،ﺹ .120
3
ﻤﺩﻜﻭﺭ ،ﺩ .ﺇﺒﺭﺍﻫﻴﻡ ،ﺍﺒﻥ ﺴﻴﻨﺎ ،ﺍﻟﺸﻔﺎﺀ ،ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺎﺕ ،ﺍﻟﺴﻤﺎﻉ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ،ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ :ﺍﻟﻬﻴﺌﺔ ﺍﻟﻤﺼﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻠﻜﺘﺎﺏ،1983 ، ﺹ .87
4
ﺒﺎﺸﺎ ،ﺩ .ﺃﺤﻤﺩ ﻓﺅﺍﺩ ،ﺍﻟﺘﺭﺍﺙ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻟﻠﺤﻀﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻹﺴﻼﻤﻴﺔ ﻭﻤﻜﺎﻨﺘﻪ ﻓﻲ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﻭﺍﻟﺤﻀﺎﺭﺓ ،ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ :ﺠﺎﻤﻌﺔ ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ ،ﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ،1983 ،ﺹ .76
5
ﻤﺩﻜﻭﺭ ،ﺩ .ﺇﺒﺭﺍﻫﻴﻡ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .324
7
ﻨﻅﻴﻑ ،ﻤﺼﻁﻔﻰ ،ﺍﻟﺤﺴﻥ ﺒﻥ ﺍﻟﻬﻴﺜﻡ ﺒﺤﻭﺜﻪ ﻭﻜﺸﻭﻓﻪ ﺍﻟﺒﺼﺭﻴﺔ ،ﺠـ ،1ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﻩ :ﻤﻁﺒﻌﺔ ﻨﻭﺭﻱ ﺒﻤﺼﺭ،1942 ،
7
ﺒﺎﺸﺎ ،ﺩ .ﺃﺤﻤﺩ ﻓﺅﺍﺩ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .74
ﺹ.121 8
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .124
9
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ ﺹ .123 - 122
10
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ ﺹ .124 - 123
11
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .124
12
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ ﺹ .130 - 129
13
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ ﺹ .125 - 124
14
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .122
15
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .119
16
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .129
17
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .129
18
ﺩﻨﻴﺎ ،ﺴﻠﻴﻤﺎﻥ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .164
19
ﻤﺭﻭﻩ ،ﺤﺴﻴﻥ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .645
20
ﺒﺎﺸﺎ ،ﺩ .ﺃﺤﻤﺩ ﻓﺅﺍﺩ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .77
21
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .76
22
ﺸﻭﻗﻲ ،ﺠﻼل ،ﺘﺭﺍﺙ ﺍﻟﻌﺭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﺍﻟﻘﺎﻫﺭﺓ :ﺍﻟﻬﻴﺌﺔ ﺍﻟﻤﺼﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻠﻜﺘﺎﺏ ،1976 ،ﺹ ﺹ .71 - 70
23
ﺒﺎﺸﺎ ،ﺩ .ﺃﺤﻤﺩ ﻓﺅﺍﺩ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .77
25
ﻤﺭﻭﻩ ،ﺤﺴﻴﻥ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ . 645
26
ﺱ .ﺘﺎﺭﺝ ،ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ،ﻁ ،3ﺍﻹﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﺴﻭﻓﻴﺎﺘﻲ ،ﻤﻭﺴﻜﻭ :ﺩﺍﺭ ﻤﻴﺭ ﻟﻠﻁﺒﺎﻋﺔ ﻭﺍﻟﻨﺸﺭ ،1975 ،ﺹ .11
27
ﻓﻭﺭﺩ ﻭ .ﻙ ،ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﺩﻴﺜﺔ ،ﻤﺠﻠﺩ ،1ﺘﺭﺠﻤﺔ ﻏﺼﻴﺏ ،ﻫﻤﺎﻡ ﻭﺸﺎﻫﻴﻥ ،ﻋﻴﺴﻰ ،ﻋﻤﺎﻥ :ﻤﻨﺸﻭﺭﺍﺕ ﻤﺠﻤﻊ
24
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .77
ﺍﻟﻠﻐﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺩﻨﻲ ، 1981 ،ﺹ .342 28
ﻋﻅﻴﻤﻭﻑ ،ﺇﺴﺤﻕ ،ﺍﻟﻌﻤﻼﻕ ﺍﻟﻨﻭﻭﻱ ،ﺘﺭﺠﻤﺔ ﺸﻤﻌﻭﻥ ،ﺩ .ﺍﻟﻴﺎﺱ ،ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺎ ، 1992 ،ﺹ .51
29
ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺹ .50
30
ﺘِﻤﺜِﻲ ،ﻓﹶﺭِﺱ ،ﺒﻠﻭﻍ ﺴﻥ ﺍﻟﺭﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ،ﺘﺭﺠﻤﺔ ﻤﻁﺭ ،ﻫﻨﺭﻱ ،ﻋﻤﺎﻥ :ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﺏ ﺍﻷﺭﺩﻨﻲ، ،1990ﺹ ﺹ.222 - 220
31 32 33
ﻋﻅﻴﻤﻭﻑ ،ﺇﺴﺤﻕ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ .55 ﺘِﻤﺜِﻲ ،ﻓﹶﺭِﺱ ،ﻤﺭﺠﻊ ﺴﺒﻕ ﺫﻜﺭﻩ ،ﺹ . 222 ﻜﺎﻜﻭ ،ﻤﻴﺸﻭ ﻭﺘﺭﻴﻨﺭ ،ﺠﻨﻴﻔﺭ ،ﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺃﻴﻨﺸﺘﺎﻴﻥ ،ﺘﺭﺠﻤﺔ ﻓﻭﻕ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﺩ .ﻓﺎﻴﺯ ،ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺎ، ،1991ﺹ ﺹ .64 - 63 10
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
ﺍﻟﻜﹶﻴﻨِﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ
KINEMATICS
ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨِﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﻫﻭ ﻓﺭﻉ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ
ﺩﻭﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﻟﻜﺘل ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻭ /ﺃﻭ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﺞ ﺃﻭ ﺘﺤﺎﻓﻅ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺍﻟﻜﹶﻴﻨِﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﺴﻡ
ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺃﻗﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﺒﻌﺩ ﺍﻹﺴـﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ،Staticsﻭﻗﺒل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ .Dynamicsﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺩﺭﺱ ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨِﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺇﻤﺎ ﻜﺠﺯﺀٍ ﻤﺴــﺘﻘل ،ﻭﺇﻤﺎ ﻜﻤﻘﺩﻤﺔٍ ﻟﻌﻠﻡ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ .ﺇﺫ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨِﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻭﻤﻌﺭﻓﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺎﺕ
ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ.
ﻭﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺒﺄﻨﻬﺎ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻀﻊ change of positionﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻡ ﺁﺨﺭ ﺒﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻡ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ﻜﺎﻤﻼﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻡ
ﺁﺨﺭ ،ﻨﺜﺒﺕ ﻨﻘﻁﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻭﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻴﻬﺎ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﺘﹸﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل
ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ .frame of referenceﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻨﻘﻁﺔﹰ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻜﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺃﻭ
ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺇﻁﺎﺭﺍﹰ ﻗﺼﻭﺭﻴﺎﹰ ،inertial frameﺃﻭ ﺇﻁﺎﺭﺍﹰ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ .fixed frameﻭﺒﺎﻟﻌﻜﺱ ﺇﺫﺍ 1
ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﻨﻘﻁﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢِ ﺠﺴﻡ ﺁﺨﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﻜﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺤﺭ ،ﺃﻭ
ﺸﺎﺤﻨﺔ ﺘﺴﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕٍ ﻤﺎ ،ﺩﻋﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺒﺎﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .moving frame
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻻ ﻴﺘﻡ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﻘﻴﺩ ،ﻟﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ
ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯﺍﹰ ﻹﻁﺎﺭٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﺃﻭ ﺇﻁﺎﺭٍ ﺜﺎﺒﺕٍ ﺒﺩﻗﺔٍ ﻜﺒﻴﺭﺓ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ،absolute motionﻭﺫﻟﻙ ﻟﺘﻤﻴﻴﺯﻫﺎ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ relative
motionﺍﻟﻤﻘﻴﺴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﻤﺘﺤﺭﻙ .ﻭﻜﻤﺎ ﺴﻨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ ﻤﺜﺒﺕ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﻭﻥ.
___________________________________________________________________________________
1
ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ،ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﺍﻥ ،ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﻤﻊ ﻫﺫﺍ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﻼﹰ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻤﺭﻜﺯﺍﹰ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ،ﻷﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺃﻴﻬﻤﺎ ﺫﻭ ﺭﺘﺒﺔٍ ﺃﺩﻨﻰ ﻤﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ .ﻟﻤﺯﻴﺩٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺼﻴل ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ، ﺍﻟﺒﻨﺩ :ﺃُﻁﹸﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ،ﺹ .72 11
ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﻨﻔﺴﻪ ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺇﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﺎ ﻫﻭ ﺠﺴﻡ ﺴﺎﻜﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ
ﺍﻹﻁﺎﺭ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﺘﻐﻴﺭﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺒﻌﺽ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺒﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﺘﺠﺭﻱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻭﺭ )ﺴﺭﻴﺎﻥ( ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﺘﺤﺩﺙ ﻋﻨﻪ ﻫﻭ ﻓﺭﺍﻍ ﺃُﻗﻠِﻴﺩﺱ ﺫﻭ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ.
ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﻤﻁﻠﻘﺔﹰ absolute quantityﺘﺴﺭﻯ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺸﻤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﻁﻭل Lﻭﺍﻟﺯﻤﻥ .tﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺘﺭ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻁﱡﻭل
ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ ، SIﻴﻌﺘﹶﺒﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔﹰ ، scalar quantityﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ ﻭﻴﻘﺎﺱ ﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ. 2
ﻜﻤﺎ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻜﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ velocityﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ accelerationﻜﻤﻴﺎﺕٍ ﻤﺸﺘﻘﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ﺍﻟﻁﻭل ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ.
ﻭﻴﺘﻁﻠﺏ ﺤل ﺍﻟﻤﺴـﺎﺌل ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﻴﺔ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻤﻌﻁﺎﺓﹰ ﻭﻤﻭﺼﻭﻓـﺔﹰ ﺒﻁﺭﻴﻘـﺔٍ ﻤﺎ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ
ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴـﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺤﺩﺩﺍﹰ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅـﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،ﻟﻴﺩﻋﻰ ﺫﻟﻙ
ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ equation of motionﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﻨﺤﺼﺭ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﻌﻴﻴﻥ
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،trajectoryﻭﺫﻟﻙ ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻷﻥ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ particleﺃﺒﺴﻁﹸ ﺒﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ system of particlesﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺒﺩﺃ ﺒﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩ 3
ﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﻴﺎﹰ.
1.2ﻁﺭﻕ ﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﻴﺎﹰ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻜﺎﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺨﻁﱢ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ.
ﻭﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺭﻙ )ﻴﻨﺯﻟﻕ( ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻴﻪ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﺭ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺤلﱡ
ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ locusﻟﺭﺃﺱ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺇﻁﺎﺭِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﺎ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﻴﻤﻜﻥ
ﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻵﺘﻴﺔ :ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ. 1.2.2ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ Vectors Method
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ positionﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻨﻁﺒﻕ ﺒﺩﺍﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ
ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ،Oﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ )ﻤﺭﻜﺯ( ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ، Pﺸﻜل .1.2ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ،r ،r = OPﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍﹰ ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .position vectorﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺘﺠﻌل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ P
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ r ﻤﺘﺠﻪ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﻭﺍﺘﱢﺠﺎﻫِﻪ ﻭﺨﹶﻁﱢ ﻋﻤﻠﻪ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﺜل ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ t
1.2
2 3
)r = r (t
SIﻤﺨﺘﺼﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﺍﻟﻔﺭﻨﺴﻲ .Systeme International ﺃﻨﻅﺭ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ،ﺹ .70
12
ﻭﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ ،ﻷﻨﻬﺎ ﺘﺘﻴﺢ ﻓﻲ ﻜل
P
ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ rﻭﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ .tﻭﻤﻥ
r
ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.2ﺩﺍﻟﺔﹰ ﻤﺘﺼﻠﺔﹰ ،ﺃﻱ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﻟﻜل ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،t
ﻭﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔﹰ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل.
2.1.2ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ Analytical Method
O
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.2ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ
ﺸﻜل 1.2
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ
1.2.1.2ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ
4
Cartesian Coordinates
ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.2ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ r=xi + yj+ zk
ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ 2.2
)x = x (t) , y = y (t) , z = z (t
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 2.2ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
z
P
ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ،ﺸﻜل .2.2ﻭﻫﻲ ﺩﻭﺍلٌ ﺯﻤﻨﻴﺔﹲ ﻤﺘﺼﻠﺔ ﻭﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ
r
ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺘﻴﻥ.
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﺎ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ ،Oxyﻓﺈﻥ
ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 2.2 1.2.2
z
)x = x (t) , y = y (t
y
ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،Ox
O x
y
ﻓﺈﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ
x
2.2.2
)x = x (t
ﺸﻜل 2.2
ﻭﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2.2.2ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴـﺘﻘﻴﻤﺔ .rectilinear motionﻭﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 2.2ﻓﻲ ﻭﻗﺕ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴـﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﻴﺔ ،parametricﺤﻴﺙ ﻴﻠﻌﺏ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﺩﻭﺭ
ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘل .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺤﺫﻑ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﺎﺩﻴﺔ ،ﺃﻱ
ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ،ﺃﻭ ﺍﺜﻨﻴﻥ ﻤﻨﻬﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ.
2.2.1.2ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ Cylindrical and Polar Coordinates ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ،1.2ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ϕ ،rﻭ z
ﺒﺄﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜﻠﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ 4
ﻨﺴﺒﺔﹰ ﺇﻟﻰ ﺭﻴﻨﻴﻪ ﺩﻴﻜﺎﺭﺕ ،1650 - 1596 ،Rene Descartesﺭﻴﺎﻀﻲ ﻭﻓﻴﻠﺴﻭﻑ ﻓﺭﻨﺴﻲ ﻭﻤﺨﺘﺭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ،
ﻭﺇﻥ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺒﺸﻜﻠﻬﺎ ﺍﻟﺤﺎﻟﻲ.
13
1.3.2
)x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z (t
2.3.2
)r = r(t) , ϕ = ϕ (t) , z = z (t
ﺤﻴﺙ rﺒﻌﺩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،Ozﻭ ϕﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،polar angleﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل zﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ،Oxyﺸﻜل .3.2ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 3.2ﺘﻤﺜل ﺩﻭﺍﻻﹰ ﻤﺘﺼﻠﺔﹰ ﻭﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺘﻴﻥ .ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺘﻤﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﺎ ،ﺸﻜل ،4.2ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﻴﻥ rﻭ ϕ
)r = r(t) , ϕ = ϕ (t
3.3.2 z
P P
r
z y x
ϕ
r
O
y
ϕ
x
O ﺸﻜل 4.2
ﺸﻜل 3.2 3.2.1.2ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ Spherical Coordinates
ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ 4.2
)r = r(t) ,θ = θ (t) , ϕ = ϕ (t
ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 4.2ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﺘﺼﻠﺔ ﻭﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺘﻴﻥ.
)P(x,y,z r z = r cos θ
)ﺍﻟﻜﺭﻴﺔ( θ ، rﻭ ، ϕﺸﻜل ،5.2ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
z
θ
y x= r sinθ cosϕ
ϕ
O
y = r sinθ sinϕ 3.1.2ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ Natural Method
ﺸﻜل 5.2
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﻤﻌﺭﻭﻓﺎﹰ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻋﻠﻴﻪ .ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ
ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ Oxyzﺒﺎﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ،ABﺸﻜل .6.2ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Poﻜﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ،ﺜﻡ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻤﺤﻭﺭﺍﹰ ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﹰ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ،ﻭﻨﺤﺩﺩ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ
ﻭﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﻜﺄﻱ ﻤﺤﻭﺭٍ ﻋﺎﺩﻱ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Pﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ
ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ Sﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻱ ﻟﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ،Poﻤﻘﻴﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺱ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ،ﻭﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ 14
x
ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ .ﻭﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻴﻨﺘﻘل ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ Poﺇﻟﻰ ﻤﻭﺍﻀﻌﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ P1ﺜﻡ .....P2ﻭﻫﻠﻡ ﺠﺭﺍ.
ﻭﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴـﺎﻓﺔ Sﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
)S=S(t
5.2
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺇﺯﺍﺤﺔ displacementﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ .ﻭﻟﺫﺍ ،ﻟﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ
ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ.
ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ Sﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،5.2ﻗﺩ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
z
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﻭﻻ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ .ﻓﻤﺜﻼﹰ
S
ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ Poﻭﺤﺘﻰ ﻭﺼل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ
+ P1
P2ﺜﻡ ﺭﺠﻭﻋﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ P1ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ
Sﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺱ PoP1ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺴﻴﻥ PoP2ﻭ .P2P1
ﻭﻫﺫﻩ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻲ .S
Po
A
B
P2
y
O
ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ
x
Oxﻤﺜﻼﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺘﺒﻊ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ
ﺸﻜل 6.2 )x(t
1.5.2
= x
4.1.2ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻭﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺇﺫﺍ ﻋﺭِﻓﹶﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،2.2ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،1.2.2ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﺸﻜل
7.2ﻴﺒﻴﻥ ﺇﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﻭﻟﻲ dSﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﻁﻭل ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dS =dr،dr ⇒ dS2 = dr2 = dr ⋅ dr = dx2 + dy2 + dz2
ﺃﻭ
dr = dx i + dy j + dz k dS= x 2 + y 2 + z 2 dt
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ . .... dx = x dtﻭﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ So = 0ﻟﻠﺯﻤﻥ t = 0ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﺒﻌﺩ ﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ
t
x 2 + y 2 +z 2 dt
6.2
∫ 0
ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﺜل ﺤﺴﺎﺏ ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ.
15
=S
2.2ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Velocity of a Particle
ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻜﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ
ﺠﺴﻴﻡٍ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﺎ ،ﻨﺤﺩﺩ ﺃﻭﻻﹰ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﺎ .ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ABﺸﻜل ،8.2ﻭﺇﻨﻪ ﺘﻭﺍﺠﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ tﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ Pﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .rﻭﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺘﻭﺍﺠﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ) (t + ∆tﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ P1ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻨﻔﺴﻪ ﻭﺍﻟﻤﺤﺩﺩ
ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ . r1ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ PP1ﻤﺘﺠﻪ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﻜﻤﺎ ﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﺜﻠﺙ PP1Oﻓﺈﻥ
PP1 = ∆r = r1 - r
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻗﺴﻤﻨﺎ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ z
P r
P ∆S
A
dS
z
r t
A
∆r P1
dr P1 r1
r1
t + ∆t
B
B y
O
y
O
x
x
ﺸﻜل 7.2
ﺸﻜل 8.2 ∆r ∆t
7.2
= v av
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ∆tﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﻭﺠﺒﺔﹲ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ vavﻤﻜﺎﻓﺌﺎﹰ ﻟﻤﺘﱠﺠِﻪِ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ∆rﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻭﺨﻁ ﺍﻟﻌﻤل ،ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻤﻜﺎﻓﺊٌ ﻟﺨﻁ ﻋﻤل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ.
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻴﻀﺎﹰ ،ﺃﻨﻪ ﻜﻠﻤﺎ ﺼﻐﺭﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺴِﺒﺕ ﺨﻼﻟﻬﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻤﻴﺯ
ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ vav ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺩﻗﺔٍ ﺃﻜﺒﺭ .ﻭﺤﺘﻰ ﻴﺼﺒﺢ ﻤﻤﻴﺯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ vavﻏﻴﺭ ﻤﺘﻭﻗﻑٍ ﻋﻠﻰ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ،
ﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ instantaneous velocityﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺒﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ vavﻋﻨﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،tﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻭﺠﺩﺕ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﻟﻠﺼﻔﺭ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
dr dt
8.2
16
=⇒ v
∆r ∆t
lim v av = lim
∆t → 0
∆t → 0
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ( ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ Pﺒﺎﺘﺠﺎﻩ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﻭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﻭﺘﺭ PP1ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺅﻭل ∆tﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﺘﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ
ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،8.2ﻴﻤﻜﻥ
ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﻜﻭﺤﺩﺓ ﻁﻭل ﻤﻘﺴﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﺯﻤﻥ .ﻭﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ
SIﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ].[v ] = [m/s
1.2.2ﻁﺭﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 1.1.2.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.2ﻤﺤﺩﺩ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ r=xi + yj+ zk
ﺤﻴﺙ y ،xﻭ zﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ،tﺸﻜل ،9.2ﻓﺈﻥ
ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔﹶ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ
z vz
v
) d r d ( xi + yj + z k = dt dt dx dy dz =v i + j+ k dt dt dt
vx
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ
z
= v
9.2
dx i ⋅ i = x dt dy = = v⋅j j ⋅ j = y dt dz = = v ⋅k k ⋅ k = z dt
= vx = v ⋅ i
1.9.2
P vy
r k j
y
x i
y
vy
x ﺸﻜل 9.2
vz
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ y ، xﻭ zﻤﺤﺎﻭﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﻁﻠﻕ ،ﻓﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ j ، iﻭ kﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﺼﻔﺭ
di dj dk = = =0 dt dt dt
10.2
ﻭﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .2.2ﺃﻤﺎ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ speedﻓﻴﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 16.Ι 1.11.2
x 2 + y 2 + z 2
= v x2 + v y2 + v z2
= v =v
ﻭﻴﻤﻴل ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺒﺎﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.Ι 2.11.2
vy vx v = , cos β 1 , cos γ 1 = z v v v
= cos α 1
ﺤﻴﺙ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ β1 ،α1ﻭ γ1ﺯﻭﺍﻴﺎ ﻤﻴل ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ y ، xﻭ z
ﻭﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
17
O
2.1.2.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،1.3.2ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻬﺎ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﻴﻥ
ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ erﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻭﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،eϕﺸﻜل .10.2
ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،10.2ﻓﺈﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﻜﻤﻴﺎﺕ
ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺇﺘﺠﺎﻫﻴﺎﹰ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ 12.2
i cos ϕ + j sin ϕ
13.2
eϕ = - i sin ϕ + j cos ϕ
= er
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ der dϕ }= {− i sin ϕ + j cos ϕ = eϕ ϕ dt dt de ϕ dϕ } = −{ i cos ϕ + j sin ϕ = − er ϕ dt dt
14.2 15.2
ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﺘﻘﺩﻡ ،ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ
v 16.2
y
r = r er
ﻜﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.2
vϕ vr
der dr d r = v = er + r dt dt dt
P
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 14.2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ،ﻨﺠﺩ ﺃﻥ 1.17.2
dr = r e r + r ϕ e ϕ dt
r
= v
ﺃﻭ
ϕ x
2.17.2
er
eϕ j
i
v = vr er + vϕ eϕ
ﺸﻜل 10.2
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ vrﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﱢﺼﻘﹸﻁﺭﻴﺔ radial velocityﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ vϕﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﺭِﻀﺔ transverse velocityﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﺼﻘﻁﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻌﺭِﻀﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ
v r = r , v ϕ = r ϕ
18.2
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ r2 + r 2ϕ 2
19.2 18
= v r2 + v ϕ2
= v
O
3.1.2.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ،11.2ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ
vz
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ 20.2
z
vϕ
)r = r (t) , ϕ = ϕ (t), z = z (t
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ϕ ، rﻭ zﺩﻭﺍل ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻜﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .3.2
vr
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ
v r = r 21.2
v ϕ = r ϕ )v z = z (t
P z
y ϕ
r
x
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ
O
x
y ﺸﻜل 11.2 r2 + r 2 ϕ 2 + z 2
22.2
= v =v
= v x2 + v y2 + v z2
4.1.2.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ،
vr
ﺸﻜل 12.2
vϕ
x = r sin θ cos ϕ 23.2
z
r
y = r sin θ sin ϕ
θ
z = r cos θ
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ) ϕ = ϕ(t) ،r = r(tﻭ ) θ = θ(tﺩﻭﺍل ﺯﻤﻨﻴﺔﹲ ﻤﺤﺩﺩﺓ
ﻜﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .4.2ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ
vθ y
x
z
ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ .ﻓﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 23.2
ﻨﺠﺩ ﺃﻥ
ϕ y x
ﺸﻜل 12.2
24.2
v x = x = r sin θ cosϕ + r θ cosθ cos ϕ − r ϕ sin θ sin ϕ v = y = r sin θ sin ϕ + r θ cosθ sin ϕ + r ϕ sin θ cos ϕ y
v z = z = r cos θ − r θ sin θ
ﻭﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 22.2ﻨﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﻘﻠﻴلٍ ﻤﻥ ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ 25.2
r2 + r 2 ϕ 2 sin2 θ + r 2 θ 2
19
= v x2 + v y2 + v z2
= v =v
5.1.2.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .5.2ﺇﺫﺍ
z
ﺍﻨﺘﻘل ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴـﺔ ∆tﻤـﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀـﻊ Pﺇﻟـﻰ
S1
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،P1ﻭﺒﻠﻐﺕ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜـﺔ ،AB
v
ﺸﻜل ،13.2ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ،∆Sﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﻟﻁﻭل ﺍﻟـﻭﺘﺭ ،PP1
∆S
ﺃﻭ .∆rﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ 26.2
∆r ∆t
P1 = v av
ﻭﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ،ﻴﻌﺭﻑ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻋﻨـﺩ ﺍﻟـﺯﻤﻥ t
ﻜﻨﻬﺎﻴﺔ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،26.2ﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻭﺠﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴـﺔ،
et
vav
r1
S
P t
A
r ∆r t1
B y
O
ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ
ﺸﻜل 13.2 ∆r ∆t
ﺃﻭ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ
v = lim v av = lim ∆t → 0
∆t → 0
dr dt
27.2
= v
ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ،ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻁﻭل ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻷﻭﻟﻲ dSﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ dr dr dS = dt dS dt
28.2
= v
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ dSﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﻁﻭل ﺍﻟﻭﺘﺭ ﺍﻷﻭﻟﻲ ،dS =dr،drﺃﻭ .dr = et dSﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ dr dS
29.2
= et
ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻭﺤﺩﺓٍ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴـﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ .ﻜﻤﺎ ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻟﺴـﺭﺠﻬﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،28.2ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ dr dS = et ⇒ v =v et dt dt
30.2
= v
ﻤﺴﻘﻁ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ )ﻤﻤﺎﺱ( ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ،tangential velocityﻭﺍﻟﺘﻲ
ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ S
dS dS = e t ⋅ et ⇒ vt 31.2 =S dt dt ﻷﻥ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺴﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ .et ⋅et =1ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ = vt = v ⋅ et
ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﺘﺩﺓ ﻤﻥ toﻭﺤﺘﻰ t1ﺒﺎﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ،ﺸﻜل 13.2
t1
S1 = ∫ v t dt
32.2
t0
20
to
x
3.2ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Acceleration Vector of a Particle
ﻴﻌﺭﻑ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﻴﺯ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ.
ﻭﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺴﺎﺒﻘﺎ ﻋﻨﺩ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻨﺤﺩﺩ ﺃﻭﻻﹰ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ.
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺘﻭﺍﺠﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ tﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ Pﻭﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ،vﺸﻜل .14.2ﻭﻓﻲ
ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ، t1 = t + ∆t ، t1ﺘﻭﺍﺠﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ P1ﻭﺃﺼﺒﺤﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ .v1ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻜﺘﺴﺒﺕ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆t = t1 - t ،∆tﺘﻐﻴﺭﺍﹰ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ .∆v = v1 - v ،∆vﻭﻴﺤﺩﺩ ﺨﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺔ ﻤﺘﺠﻪ
ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ∆vﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ
∆v ∆t
33.2
= a av
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ aavﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻠﻤﺘﺠﻪ ،∆vﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻴﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭ ﺘﻘﻌﺭ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ.
ﻭﻴﻌﺭﻑ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺒﺄﻨﻪ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺨﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،33.2ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ
ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ∆tﻟﻠﺼﻔﺭ .ﺃﻭ ﻜﻤﻔﻬﻭﻡٍ ﺭﻴﺎﻀﻲ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ t P
v
A
∆S P1
z v
r
∆r r1
∆v
v1
O v1
B
y
2
x
1
ﺸﻜل 14.2 34.2
dv dt
=a
⇒
∆v ∆t
a = lim a av = lim
∆t → 0
∆t → 0
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 34.2ﻭ 8.2ﻴﻨﺘﺞ ﻟﻠﺘﻭ ﺃﻥ 2
d r
35.2
d t2
= a
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ )ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ( ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ،tﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ
ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺒﺼﻴﻐﺔٍ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔٍ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ .ﻭﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ
ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 34.2ﻭ 35.2ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻌﺩﻩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﺍﻟﻁﻭل ﻤﻘﺴﻭﻤﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ SIﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ].[ a ] =[m / s2
21
1.3.2ﻁﺭﻕ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ 1.1.3.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،2.2ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻰ
ﺃﻭ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ
d v d 2r = d t d t2 k
36.2
d2 z dt 2
j+
d2 y dt 2
i+
d2 x dt 2
= a
az
a
P
= a
ay
r ax
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ،ﺸﻜل 15.2 dv x d2 x = = x dt dt 2 dv d 2y = ay = a ⋅ j = y = y dt dt 2 2 dv z dz = az = a ⋅ k = = z dt dt 2 = ax = a ⋅ i
1.36.2
z
k
z y
j
O
x
i y
x
ﺸﻜل 15.2
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ x2 + y2 + z2
1.37.2
= a = a = a2x + a2y + a2z
ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻤﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ay ax a = , cos β 2 , cos γ 2 = z a a a
2.37.2
= cos α 2
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ β2 ،α2ﻭ γ2ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻴل ﺒﻬﺎ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ y ،xﻭ z
ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
2.1.3.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.17.2ﻓﺈﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ
ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻪ
dϕ dϕ de ϕ dv d r dr der dr dϕ = 2 er + + eϕ + r eϕ + r 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt 2
38.2
2
=a
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻤﺸﺘﻘﺘﻲ ﻤﺘﱠﺠِﻬﻲ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﻴﻥ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 14.2ﻭ ،15.2ﺜﹸﻡ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ 39.2
2 d2r d2 ϕ dr dϕ dϕ a = 2 + r er + r + 2 eϕ 2 dt dt dt dt dt
ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ :ﺍﻟﻨﱢﺼﻘﹸﻁﺭﻴﺔ
2
1.40.2 22
dϕ + r dt
d2r dt 2
= ar
ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻌﺭِﻀﺔ dr dϕ dt dt
2.40.2
ﻜﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ 41.2
d ϕ 2
+ 2
2
dt
aϕ = r y
b
a r2 + a 2ϕ
a
= a= a
ﺤﻴﺙ ﻴﺒﻴﻥ ﺸﻜل ،6.2ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺤﺴﺎﺒﻪ ﻤﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ .Pabc ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺭﻓﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ ﺒﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 21.2ﻭ،24.2
aϕ c
ar
ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ،
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 20.2ﻭ 23.2ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
a
P
r
j er
ϕ
x
i ﺸﻜل 16.2
2.3.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ .ﻓﺒﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﻁﺭﻓـﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ 30.2
ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
de t dv d(ve t ) d v = = et + v dt dt dt dt
42.2
=a
ﺇﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 42.2ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻴﻤﺜل ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴـﻲ dv dt
= a tﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ،etﻜﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﻤـﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠـﻪ ﺍﻟﻭﺤـﺩﺓ
de t ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ dt
.ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ
ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ
) d (e t ⋅ e t de =2et ⋅ t = 0 dt dt
et ⋅ et =1
⇒
de t =0 dt
43.2
⋅ et
de t ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﻫﻨﺩﺴﻴ ﹰﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ etﻭ dt de t ﻴﻌﺎﻤﺩ ،etﻭﺍﻻﺜﻨﺎﻥ ﻴﻨﻁﺒﻘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ .Pntﻟﺫﻟﻙ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ dt
ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ .ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ etﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ ﻓـﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁـﺔ ،Pﻓـﺈﻥ
ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ de t de t = en dt dt
44.2
ﺤﻴﺙ enﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻭﺤﺩﺓﹲ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺘﻘﻌﺭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ .ﺃﻤﺎ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓﹸ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ etﻓﻬﻭ ﺫﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺜﺎﺒﺕ ،ﻟﻜﻨﻪ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻤﺸﺘﻘﺘﻪ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ∆etﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ،Pabﺸﻜل .17.2ﺇﺫ ﺃﻥ 23
eϕ O
∆ϕ 2
∆ e t = 2 sin
∆ϕ ∆ϕ = 2 ⋅ 1⋅ sin 2 2
⇒
∆ e t = 2 e t sin
ﻷﻥ .et=et+ ∆et=1ﻭﺒﻌﺩ ﻗﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻠﻰ ∆tﻴﻜﻭﻥ ∆ϕ ∆ϕ sin = 2 2 ∆ϕ ∆ϕ ∆t ∆t 2
sin
ﻭﺒﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ
∆ϕ sin 2 lim ∆ϕ ∆ϕ ∆t → 0 ∆t 2
=2
z
∆et
b
∆t
∆ϕ P1 B
= lim
∆ϕ →0 2
et
t
det
∆et+et
dt
P
∆et
∆et+et
a
r
en O
y n
ﻭﻤﻨﻬﺎ
ﺸﻜل 17.2 dϕ dt
45.2
ﻷﻥ
∆ϕ 2 = lim sin x = lim d( sin x) = 1 x→ 0 ∆ϕ x dx x→ 0 2
de t
=
dt
sin lim
∆ϕ →0 2
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 30.2 dϕ dϕ dS 1 v = == v dt dS dt R R
1.45.2 dS ﻹﻥ dϕ
= ، Rﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 45.2ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
،1.45.2ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ de t v = en dt R
46.2
ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 42.2ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 2
dv v et + en dt R
47.2
=a
ﺃﻱ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ :ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ،ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﻫﺫﻩ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ،ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ،ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ،ﻭﻫﺫﻩ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ .ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﱢﺒﺘﺎﻥ ﺘﺸﻜﻼﻥ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ،osculating planeﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻨﻘﺎﻁ ،Pntﺸﻜل ،17.2ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻜﻤﺎ ﺘﺤﺩﺩﺍﻥ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ
2
dv v = , an dt R
48.2
24
A
= at
x
ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ Uniform Rectilinear Motion
ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺼﻔﺭ .a = 0 ،ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.2.2ﻓﺈﻥ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ، a = x i = 0ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﻜﺘﺏ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ . v = x i = const.ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺃﺠﺭﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ x = xo+ + v t
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ xoﻜﻤﺤﺩﺩ ﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻲ. ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ Rectilinear Motion
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺨﻁﺎﹰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 48.2ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﻤﺎ
ﻨﻬﺎﻴﺔ ∞ → ،Rﻭﻴﺘﻼﺸﻰ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ .an = 0ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻓﻘﻁ .a = at ،ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﺒل ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ.
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.2.2ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺘﺄﺨﺫ ﺼﻴﻐﺔ
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ .a = a t =xi ≠ 0ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﻜﺘﺏ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ، v = x i = ( v o + a t ) iﺤﻴﺙ voﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻴﻌﻁﻴﻨﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ x = x o + v o t + 12 a t 2ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ xoﻜﻤﺤﺩﺩ ﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻲ .ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕٍ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺤﺎﺼل
ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﻤﺸﺘﻘﺘﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ . a = dv = dv dx = v dv = const.ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل dx dt
dx
ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ) + 2 a ( x − x o
v o2
dt
= .v 2
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ Uniform Curvilinear Motion
ﺘﺩﻋﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ ﺒﺎﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺇﺫﺍ ﺒﻘﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ .v = const.ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ
ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ .a = at=0 ،ﻭﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻓﻘﻁ .a = an ،ﻭﻷﻥ
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ،ﺒل ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤـﻭﺩﻱ
ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ.
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.2ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ،ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،48.2ﺘﺄﺨﺫﺍﻥ 2 ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ = 0 ; a = v ≠ 0 . a t = Sﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،S = So+ v t n
R
ﺤﻴﺙ Soﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﻭﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ ،ﻤﻊ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ )ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ( ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ.
25
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺘﱠﻐﻴﺭ Uniformly Accelerated Curvilinear Motion dv ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ = const. dt ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ،ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ . v = v o + a t tﺃﻤﺎ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
= . a tﻭﺘﹸﺤﺴﺏ
ﻓﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺘﻜﺎﻤلٍ ﺁﺨﺭ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ . S = S o + v o t + 12 a t t 2
ﺤـل ﺍﻟﻤﺴـﺎﺌل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ t ،v ،aﻭ Sﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﺇﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﺜﻨﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻷﺭﺒﻊ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻴﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻴﺘﻴﻥ
ﺒﺄﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ :ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻲ ﺃﻭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻲ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 5
ﺒﺤﺫﻑ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭ ﺘﻨﺤﻴﺘﻪ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺒﻁ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﻤﻴﻴﺯ ﻤﺴﺄﻟﺘﻴﻥ ﺃﺴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ: -1
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺄﻴﺔٍ ﻁﺭﻴﻘﺔ ،ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.2ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 4.2 - 2.2ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .5.2ﻭﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺤﺴﺎﺏ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ،ﻜﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﺍﻟﺫﻱ
ﻴﺘﻡ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺃﻭ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ. -2
ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ ،ﻭﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ .ﻭﻴﺘﻡ ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺒﺎﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﻨﺴﺏ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ
ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ،ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﻴﻴﺯ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻷﺭﺒﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
- 1.2ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕ .a = const. ،ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻷﻭل v = a ∫ dt + voﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ .v = a t + voﻭﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ،S = ∫ v d t + Soﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ . S = S o + v o t + 21 a t 2
- 2.2ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺩﺍﻟﺔﹲ ﺯﻤﻨﻴﺔ .a = f ( t ) ،ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ a = dv /dtﻭﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل v = ∫ f ( t ) d t +
،voﺜﹸﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل .S = ∫ v d t + So
- 3.2ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺩﺍﻟﺔﹲ ﺴﺭﻋﺔ .a = f ( v ) ،ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ،a = dv /dtﺜﹸﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ،∫ d v / f ( v ) = ∫ d t + C ﻓﻨﺠﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ) .v = g ( tﻭﻤﻥ ﺜﹶﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل . S = ∫ g ( t ) d t + So
- 4.2ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺩﺍﻟﺔﹲ ﺇﺯﺍﺤﺔ .a = f ( S ) ،ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ dv dv dS dv = =v d t dS d t dS
= ، aﺜﹸﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ،∫ f (S) dS = ∫ v d v + Cﻨﺠﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺠﺩﻴﺩﺓ
ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ) ،v = g(Sﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل v =dS/dtﻨﺤﺴﺏ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل .S = ∫ g ( S) d t + So 5
ﺇﻨﻬﺎ ﻟﺴﻤﺔﹲ ﺠﺩﻴﺭﺓﹲ ﺒﺎﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻜﺎﻤﻼﹰ ﺩﻭﻥ ﺍﻻﺴﺘﻨﺎﺩ ﺇﻟﻰ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕٍ ﺃﻋﻠﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺘﻜﺎﻤﻼﺕ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺔ.
26
ﺃﺴـﺌـﻠﺔﹲ ﻤـﺤﻠـﻭﻟﺔ ﺴـﺅﺍل ﻡ 1.2 ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ]r = ( 2 t + 2 ) i + 5 t j [m 1 ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﺒﻴﻨﺎﹰ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻭﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺇﺯﺍﺤﺔ 2
2
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ.
y
ﺍﻟـﺤــل
P
ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 1ﻜﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻗﻴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ 2 ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺤﺫﻑ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ، tﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ t
, y = 5 t2
x = 2 t2 + 2 x
2
x −2 y = 2 5
)O (2,0 Po
= t2
ﺃﻭ y = 2.5 x - 5
3
)(0,-5
ﺸــﻜل ﻡ 1.2 ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﻘﻴﻡ xﻭ yﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ،t = 0ﺃﻭ xt=0 = 2 , yt=0 = 0
4 ﻭﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺼل ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺇﻟﻰ ﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ
∞ = ∞=x|t=∞ = ∞ , y|t
5
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔٍ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ) Po(2,0ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،PoPﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 3ﻨﺤﻭ .P ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ dx dy = =4t , vy = 10 t dt dt
= vx
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ 16.Ιﻨﺠﺩ )ﻤﺤﺼﻠﺔ( ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ 6
]⇒ v = 116 t [m / s
= (10 t ) 2 + (4 t) 2
= v
v x2 + v y2
ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،32.2ﻭﻟﻠﻘﻴﻤﺔ ،So=0ﻴﻜﻭﻥ t
116 t dt ⇒ S = 29 t 2
7
∫
t
∫
= S = v dt
0
0
ﺴـﺅﺍل ﻡ 2.2 ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻓﻘﻲ Oxyﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ]r = ( 2 2 sin t ) i + ( 8 cos 2 t ) j [cm
1
ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﻭﺤﺩﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﻭﺫﻟﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ].t = π / 4 [s
ﺍﻟـﺤــل
27
ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 1ﻜﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻗﻴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ 2
y x = 2 2 sin t
Po (0,8), t=0
2
} y = 8 cos 2 t = 8 { 1 - 2 sin t 3 ﻭﺒﺤﺫﻑ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ y = 8 - 2 x2 4 ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ .parabolaﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ xt=0 = 0 , yt=0 = 8 ﺃﻱ ﺃﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ) .Po(0,8ﻭﻟﻘﻴﻡ tﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺘﺤﺩﻴﺩ
)(2,0 t=π/4
2 2
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ xﻭ y
x 5 6
=2 2
| |xmax | = | 2 2 sin t
]t = π / 2 [s
= 8
]t=0 [s
| |ymax | = | 8 cos 2t
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺴﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻭﺭﺓﹰ ﺒﺤﻴﺙ ﺇﻥ 7
P
-8≤y≤ 8
&
t=π/2
0 ≤x≤2 2
)(0,-8
ﺸـــﻜل ﻡ 2.2
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ t
dx dy = = 2 2 cos t , & v y = − 16 sin 2t dt dt
8
= vx
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ 16.Ιﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ )ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ( = (2 2 cos t )2 + 256(sin 2t)2 9
v x2 + v y2
= v
) 8 cos2 t ( 1 + 128 sin2 t
= v
ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ] t = π / 4 [sﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ] v = 16.13 [ cm/s
10 ﺴﺅﺍل ﻡ 3.2 ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ vϕ = - (1 + ϕ ) vr 1 ﺃﻭﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ 1 2 1 r ϕ = ab 2 2
= t0 = 0 ⇒ ϕo = 0 , ro = 0 & S
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ aﻭ bﺜﺎﺒﺘﺎﻥ ﻭ Sﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﺔ.
ϕ
ﺍﻟﺤــل ﺸﻜل ﻡ 3.2
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 17.2ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ
vϕ= r ϕ = - ( 1 + ϕ ) r
3 ﺃﻭ 28
dϕ dr = − r 1 +ϕ
4 ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ
C ln r = - ln ( 1 + ϕ ) + ln C1 ⇒ r = 1 1 +ϕ
5
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ 2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ C1 = bﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ 5ﺘﺘﺒﻊ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ b 1 +ϕ
6
=r
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻭﻟﺏ ﺯﺍﺌﺩﻱ ،hyperbolic spiralﺸﻜل ﻡ .3.2ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2 ab 2 r
7
= ϕ
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻗﻴﻤﺔ rﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6ﻭﺘﻌﻭﻴﻀﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ a dt b
8
=
dϕ 2
) ( 1+ ϕ
⇒
2
) dϕ a b ( 1 + ϕ = dt b2
ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 a = t + C2 1 +ϕ b
9
−
ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ C2ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ . C2 = - 1 ،2ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟـﺫﻟﻙ ﺘﻜﺘـﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ 9ﺒﺎﻟـﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﻴﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ at b − at
10
= ϕ
ﻜﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ϕﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10ﻨﺠﺩ ﺃﻥ r=b-at
11
⇒
b at 1+ b − at
b = 1+ ϕ
=r
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 10ﻭ 11ﺘﹸﻤﺜﻼﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6 ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ. ﻤﻠﺤﻭﻅﺔ :ﻴﻤﻜﻥ ﺤل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺒﻁﺭﻴﻘﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺤﺴﺎﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ rﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،3ﻭﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ϕﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﺔ ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ،ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ rﻭ ϕﻜﺩﻭﺍلٍ ﺯﻤﻨﻴﺔ.
ﺴﺅﺍل ﻡ 4.2 ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ Sﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ][m/s2 1 ﻓﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭ Sﻜﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺯﻤﻨﻴﺘﻴﻥ؟ ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ.to = 0, vo = 0 & So = ln 4.5 :
a = eS
ﺍﻟـﺤــل
ﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻀﻤﻥ ﻤﺘﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻓﻨﻜﺘﺏ 2
v S = e + C1 2 29
⇒ v dv = eS dS
⇒
a = eS
ﻭﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻴﻜﻭﻥ 2 ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺴﺭﻋﺔ
+ C1 ⇒ C1 = - 4.5
3
ln 4.5
0=e
2 eS − 9
][m/s
=v
ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،dS = v dt ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3ﻨﺠﺩ ﺃﻥ = dt
4 ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ
⇒ u du = eS dS
ﻓﺈﻥ
dS 2 eS − 9
u2 = 2 eS - 9 2 u du u2 + 9
= dS
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ = dt
5
2 u du (u 2 + 9 ) u
ﺤﻴﺙ ﻴﻌﻁﻲ ﺤﻠﻬﺎ 2 eS − 9 3
u 2 2 arctan = arctan 3 3 3
= t
ﺃﻭ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 9 2 3t + 1 tan 2 2
6 ﻭﺒﺭﺒﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ
9 2 3t + 1 tan 2 2
7 ﻭﺘﻜﺎﻤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ 8
= eS
3t 3t + 1) dt + C 2 ⇒ v = 3 tan 2 2
2
∫ (tan
9 2
=a
= v
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .0 = C2 ﺴﺅﺍل ﻡ 5.2 ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 1
][m
2
v = ( t + 1) i + 2 ( t + 1 ) j
ﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭﻩ .ﻭﻤﺎ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ] t = 2[s؟ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﻭﺍﺠﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ to=0 1 2 ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ . , 2 3
ﺍﻟـﺤــل ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1 2
][ m/s 30
)vx = ( t + 1
]vy = 2 ( t + 1 )2 [ m/s
3 ﻭﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ xﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﻜﺎﻤل ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ 4
1 (t + 1)2 + Cx 2
∫
⇒
= x
x = ( t + 1) dt + C x
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،t = 0ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ 5 ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺅﻭل ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،xﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،4ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
⇒ Cx = 0 1 ( t + 1) 2 2
6
=x
ﻭﺒﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﺸﻲﺀ ﻨﻔﺴﻪ ﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﺃﺴﻴﺔ v yﻨﺠﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ y dt + C y
2
)∫ 2 ( t + 1
= y
∫
⇒ y = v y dt + C y 2 ( t + 1) 3 + C y 3
7 ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،t = 0ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Cy 8 ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺅﻭل ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،yﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،7ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
=y
⇒ Cy = 0 2 ( t + 1) 3 3
9
= y
ﻭﺒﺤﺫﻑ t+1ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 6ﻭ 9ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ 1/ 3
) = (3 y / 2
1/ 2
) ( t + 1) = ( 2x
ﻟﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ , 9 y2 = 32 x3
10
4 2 x3 3
= y
ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 1 2 ( t + 1) 2 i + ( t + 1) 3 j 2 3
=r
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ 2 = tﺜﺎﻨﻴﺔ 1 2 r = ( 3 )2 i + ( 3 )3 j 2 3 ]r = 4.5 i + 18 j [m
11 ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ 2 = tﺜﺎﻨﻴﺔ
]v = ( 3) i + 2 ( 3 )2 j [ m/s] = 3 i + 18 j [ m/s ]v = v = 9 + 18 2 = 18.25 [m / s
12 ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ
dv = 1 i + 4 ( t + 1) j dt ]a = 1 i + 12 j [m / s =a
31
] a = a = 1 + 144 = 145 [m / s 2
13 ﺴﺅﺍل ﻡ 6.2
ﻟﻠﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ،ﺴﺅﺍل ﻡ :5.2ﺍﺤﺴﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ،ﻭﻤﺎ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ]t = 2 [s؟
ﺍﻟـﺤـل ﻨﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) 1ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ( ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ ]v = v = ( t + 1) 2 + 4 ( t + 1) 4 = 4 t 4 + 16 t 3 + 25 t 2 + 18 t + 5 [m
1
ﺜﹸﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،48.2ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) 1ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ( 16 t 3 + 48 t 2 + 50 t + 18 dv = dt 2 4 t 4 + 16 t 3 + 25 t 2 + 18 t + 5
2
= at
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ 2 = tﺜﺎﻨﻴﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2 2
] = 12 [ m /s
]t=2 [s
| at
ﺜﹸﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ] a n = a 2 − a 2t = 145 − 144 = 1 [m / s 2
3
ﻭﻋﻠﻴﻪ؛ ﻴﻜﻭﻥ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻻﻨﺤﻨﺎﺀ ،ﺃﻨﻅﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ 9 + 324 v2 = ] = 333 [ m an 1
4
=R
ﺴﺅﺍل ﻡ 7.2 ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻜﺭﺓﹲ ﺼﻐﻴﺭﺓﹲ ﺩﺍﺨل ﻤﺨﺭﻭﻁٍ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻭﻤﻌﻜﻭﺱٍ ﺭﺃﺴﻴﺎﹰ ،ﻟﺘﺘﺒﻊ ﻤﺴﺎﺭﺍﹰ ﺯﻨﺒﺭﻜﻴﺎﹰ .ﻓﺘﺩﻭﺭ ﺩﻭﺭﺓﹰ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﻜل Tﺜﺎﻨﻴﺔ، ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﻬﺒﻁ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ .hﺃﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل H ،R ،T ﻭ .hﻭﺃﻭﺠﺩ ﻜﺫﻟﻙ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ Bﻟﺤﻅﺔ ﺇﻨﻬﺎﺌﻬﺎ ﺍﻟﺩﻭﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺫﻟﻙ ﻟﻠﻘﻴﻡ ]R = H = 300 [mm ﻭ] h = 100 [mmﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ].T = t = 4 [s
ﺍﻟـﺤــل
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﻤﻌﻜﻭﺱ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 3.2 1 2
r = R - h t tanβ / T ϕ = 2π t / T
3
z = -ht/T
32
⇒
r = R - z tanβ
z R
y
O
z tan β x
x h
R O
z r
B H
β
β
7.2 ﺸﻜل ﻡ ﻴﻜﻭﻥh = 100 [mm] ﻭR = H = 300 [mm] ،T = 4 [s] ﻭﻟﻠﻘﻴﻡ r = 300 - 75 t [mm]
4
ϕ = 0.5 π t
5
z = - 25 t [mm]
6 21.2 ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ،ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ 7
v = r e r + r ϕ e ϕ + z k v
= - 75 er + [ ( 300 - 75 t ) × 0.5 π ] eϕ - 25 k
8
ﺜﻭﺍﻨﻲ4 ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻤﺭﺕB ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺼل ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﻠﻤﻭﻀﻊ v
= - 75 er + 0 eϕ - 25 k
v
= - 75 er - 25 k [mm /s]
&
v
= 79 [mm /s]
9
ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺭﺃﺴﻴﺔ39.2 ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ،ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ + 2rϕ ] e ϕ + z k a = [r − r ϕ 2 ] e r +[ r ϕ
10
a = [ 0 - 0 ] er - [ 0 + 2 × 75 × 0.5 π ] eϕ + 0 2
2
a = - 235.6 eϕ [mm/s ] & a = 235.6 [mm/s ]
33
11
4.2ﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ Kinematics of a Rigid Body
ﺩﺭِﺴﺕ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩ ﺩﻭﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭٍ ﻷﺒﻌﺎﺩﻩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ .ﻭﻗﺩ ﺩﻋِﻲ ﺫﻟﻙ
ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﻷﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻻ ﺘﺘﺄﺜﺭ ﺒﺄﺒﻌﺎﺩﻩ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻫﻤﺎﻟﻬﺎ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ،ﻨﹸﺴﻤﻲ ﻜلّ ﺠﺴﻡٍ ﺘﻜﻭﻥ
ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺴﻤﻪ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺠﺎﺴﺌﺎﹰ .ﻭﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺄﻨﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ،ﻭﺘﻅل ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ )ﻨﻘﺎﻁﻪ( ﺜﺎﺒﺘﺔ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻤﻜﻭﻥ
ﻤﻥ ﻋﺩﺩٍ ﻻ ﻨﻬﺎﺌﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﻜل ﺠﺴﻴﻡ ﻓﻴﻪ ﺒﻤﺴﺎﺭٍ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺸﹶﺎﺒِﻬﺎﹰ ﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺃﻭ
ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﹰ ﻋﻨﻬﺎ ،ﻓﺈﻥ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻭﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺓ .ﻭﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ
ﺒﻌﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺼﺎﺌﺹ ﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ.
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺒﺎﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺄﺨﺫﻩ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ
ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ .ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻋﺩﺩٍ ﻫﺎﺌلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻴﺄﺨﺫ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺎﺘﻬﺎ ﺃﺒﻌﺎﺩﺍﹰ ﻜﺒﻴﺭﺓ .ﻭﻴﺴﺘﻌﺎﺽ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺁﺨﺭ ﺫﻱ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊٍ ﻤﻌﺭﻭﻑ ،ﺇﺫ ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﺜﺎﺒﺘﺔ.
ﺘﻘﺴﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ translational motionﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
rotational motionﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ ،ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ plane motionﻜﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﻴﻥ .ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ،general motionﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ .compound motionﻭﺴﻨﺩﺭﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﺘﺒﺎﻋﺎﹰ ﺒﺸﻲﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻔﺼﻴل ﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ
ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ. 1.4.2ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ
ﻫﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﺒﻘِﻲ ﺃﻱ ﺨﻁٍ )ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ( ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻨﻔﺴﻪ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺭﺴﻡ ﺠﻤﻴﻊ
ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ )ﻨﻘﻁ( ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ .ﻭﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔﹸ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻜﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ.
ﻟﻨﹶﻌﺘﹶﺒﺭ ﺃﻥ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺠﺎﺴﺌﺎﹰ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ Oxyzﺸﻜل .18.2
ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ) ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ( Aﻭ Bﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺒﺸﻜلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ A
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ Oﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ rAﻭﺘﹶﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ .rBﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ OABﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ
rB = rA + rBA
49.2
ﺤﻴﺙ rBAﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ .Aﻭﺘﹸﻌﺭﻑﹸ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ O
ﻜﻤﺸﺘﻘﹼﺔ ﻤﺘﹼﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .49.2ﻓﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ
d rB d r A d rBA = + dt dt dt
ﻭﻷﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ rBA ﺜﺎﺒﺕﹲ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،rBA = const.ﻓﺈﻥ 34
= vB
50.2
d rB d r A = dt dt
⇒ vA = vB
z B1
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ Aﻭ Bﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ
ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﺎﹰ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ .ﻜﻤﺎ
A1
ﻴﻌﺭﻑﹸ ﻤﺘﹼﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ Oﻜﻤﺸﺘﻘﹼﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺃﻭ ﻜﻤﺸﺘﻘﹼﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺘﹼﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .ﺇﺫ ﺇﻥ ﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
50.2ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﻴﻌﻁﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
d vB d v A = dt dt
⇒
2
d rA 2
dt
=
2
d rB 2
dt
rB
A
rA
y
O x
= aB
ﺸﻜل 18.2
أو 51.2
B rAB
aA = aB
ﻟﻴﻌﻨﻲ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺃﻥ )ﻤﺘﱠﺠِﻬﻲ( ﺘﺴﺎﺭﻋﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ Aﻭ Bﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ Aﻭ Bﺠﺴﻴﻤﺎﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺎﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭل ﺇﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ
ﺘﺠﻌل ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺒﻨﻔﺱ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﺘﺭﺴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕٍ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ. 2.4.2ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺜﺎﺒﺘﺘﻴﻥ ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ.
ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺘﻴﻥ ﺒﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻜﺨﻁٍ ﺜﺎﺒﺕ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ. ﻭﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺘﺭﺴﻡ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﺘﺸﻜل ﺩﻭﺍﺌﺭ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻭﺼﻐﻴﺭﺓ ،ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺃﻭﻻﹰ ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊِ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ.
ﻭﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻨﺘﺨﻴﻠﻪ ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺸﻜل ،19.2ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ Oz
ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﺇﺫﺍ ﺤﺩﺩﻨﺎ ﻤﻭﻀﻊ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ toﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Poﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ،Ι ﻭﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﺍﻨﺘﻘل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ،ΙΙﻓﺈﻥ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﺎﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ∆ϕ ،angular displacementﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﻴﻥ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ Ιﻭ .ΙΙﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔﹶ ﺘﹶﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻓﻲ ﺃﻴﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔﹶ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ
ﺯﺍﻭﻴﺘﻪ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ϕﺒﺎﻟﺯﻤﻥ
)ϕ = ϕ (t
52.2
ﻭﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 52.2ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ .ﻭﺘﻘﺎﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﺒﻭﺤﺩﺍﺕِ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ
] .[radianﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔﹰ ﻤﺘﺼﻠﺔﹰ ،ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻔﺎﻀﻠﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺘﻴﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ. ﻟﺫﻟﻙ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻟﺩﺭﻭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺜﺎﺒﺕٍ ﺒﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭٍ ﻤﺴﺘﻘلٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ϕﻭﺇﺫﺍ
ﻤﺎ ﺃﺯﻴﺢ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Ozﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ∆ϕﻓﺈﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﺨﻼل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺘﺨﻀﻊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ
35
∆ϕ ∆t
53.2
Po ∈ I
= ω av
z
to
P ∈ II
ﺃﻤﺎ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ to
t Po
ﻓﺘﺴﺎﻭﻱ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺴـﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴـﻁﺔ ،ωav
r
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،53.2ﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻭﺠﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ∆ϕ ∆t
ε ω
54.2
dϕ dt
rP
C
lim ω av = lim
∆t → 0
=ω
P
v
ﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻤﺸﹾﺘﹶﻘﱠﺔﹸ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕ ∆t → 0
y
O j
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ
k
i
x
ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ.
ﻭﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ
ﺸﻜل 19.2
] [rad/sﺃﻭ ].[ ω ] =[1/s
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻜﻤﺘﺠﻪ ،ωﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﺨﻁ ﻋﻤﻠﻪ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ .ﻓﻴﺸﻴﺭ ﺍﻹﺒﻬﺎﻡ ﻻﺘﺠﺎﻩ ωﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺸﻴﺭ ﺍﻷﺼﺎﺒﻊ ﺍﻷﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ωﺃﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺫﻟﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ.
ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴـﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،angular accelerationﺭﻤﺯﻩ ،εﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ
ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻼل ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﻟﺤﺴﺎﺒﻪ ﻨﺘﺨﻴل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﺸﻜل ،19.2ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺘﻪ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ∆ω = ω - ωo ،∆ωﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ .∆t = t - to ،∆tﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻠﺠﺴﻡ
ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ∆tﻴﺴﺎﻭﻱ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ
∆ω ω − ω o = ∆t t − to
55.2
= ε av
ﺃﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ toﻓﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
،55.2ﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻭﺠﺩﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻤﺸﺘﻘﺔﹸ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ dω dt
56.2
=ε
⇒
∆ω ∆t
ε = lim
∆t → 0
ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ
ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ . ε=ω =ϕﻭﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻠﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ
ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ].[ ε ] = [ 1/s2 ] ، [rad/s2
ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻜﻤﺘﺠﻪ εﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ
ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺨﻁ ﻋﻤﻠﻪ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻻﺘﺠﺎﻩِ ωﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻲ،
ﻭﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻻﺘﺠﺎﻩ ωﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻁﺊ.
36
I II
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ -1ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻡ :uniform rotationﻴﺩﻋﻰ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻤﻨﺘﻅﻡ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻁﻭﺍل ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ω = const. ،ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 54.2ﻓﻲ dtﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ dϕ = ω dt
dϕ ⇒ = const. dt
= ω
ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ] to=0[sﻭ tﻨﺠﺩ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ϕ = ϕo + ω t
1.57.2
ﺤﻴﺙ ϕoﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ .toﺃﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻓﻨﺠﺩﻫﺎ ﻤﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.57.2 ϕ − ϕo t
2.57.2
= ω
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺏ nﺩﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ ] ، [rpmﻓﺈﻥ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺘﻜﺘﺏ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 6
∆ϕ = 2 π n
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ nπ 30
58.2
2πn 60
=
= ω
-2ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ :uniformly accelerated rotationﻴﺩﻋﻰ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ .ε = const.ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ
dω = const. ⇒ dω = ε dt dt
=
d2ϕ 2
=ε
dt
ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ to=0ﻭ tﻴﻜﻭﻥ ω = ωo + ε t
1.59.2
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ωoﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ .toﺤلﱡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻌﻁﻲ ω − ωo t
2.59.2
= ε
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺒﻴﻥ ﺤل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﻌﺩ ﺭﺒﻁﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ،54.2ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ to=0ﻭ tﺃﻥ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
t2 2
60.2
ﻭﺍﻟﻤﺸﺎﺒﻬﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻨﺘﻅﻡ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ. __________________________________________________________
6
] [rpmﺭﻤﻭﺯ ﻤﺨﺘﺼﺭﺓﹲ ﻤﻥ revolutions per minuteﺩﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ .
37
ϕ = ϕo + ωo t + ε
1.2.4.2ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﱠﺴﺎﺭﻉ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥ
ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ،ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻭﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،rﺸﻜل 19.2
v=ω×r
61.2
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩﻴﺎﹰ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻭﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
v=ωr
1.61.2
ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺴـﺭﺠﻬﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺴـﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ .ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﻫﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ،ﻴﻨﺘﺞ ﻟﻠﺘﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 61.2ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻭﺒﻌﺩﻩ
ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻓﻘﻁ
v α r ﺤﻴﺙ αﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 40.Ι dv dr d(ω × r ) d ω = = × × r +ω dt dt dt dt
= a
a = ε× r + ω× v
62.2
ﺃﻭ ﻜﺎﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ :ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ at = ε × r
1.63.2
ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ
an = ω × v
2.63.2
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺨﻁﹸ ﻋﻤلِ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ،ﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2.63.1ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻤﺴﺎﺭ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺤﺴﺏ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﱢﺠﺎﻫﻪ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺭﻋﺔ ،ﻭﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ
ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻁﺌﺔ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﺒﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
at = at = r ε
1.64.2
ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻌﻴﺩ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻴﻜﻭﻥ ﺨﻁ ﻋﻤل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2.63.2ﻭﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ
ﻫﻭ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻨﺼﻘﻁﺭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ
ﺒﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻤﺭﺒﻊ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
an = an = ω v = r ω2
2.64.2
38
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ 8.2 ﻜﺎﻥ ﻋﻤﻭﺩ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔٍ ﻗﺩﺭﻫﺎ 3000 = nﺩﻭﺭﺓٍ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻭﻗﻑ ﻤﺤﺭﻜﻪ .ﺍﺤﺴﺏ ﻋﺩﺩ ﺩﻭﺭﺍﺘﻪ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻜﺎﻤل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺒﻌﺩ ﺩﻗﻴﻘﺘﻴﻥ ﺒﺘﺒﺎﻁﺅ ﻤﻨﺘﻅﻡ.
ﺍﻟـﺤــل
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﺒﺎﻁﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 60.2 t2 2
1
∆ ϕ = ωo t − ε
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 58.2 & ω=0
2
n π 3600 π = ]= 120 π [1 / s 30 30
= ωo
ﻜﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ )ﺍﻟﺘﺒﺎﻁﺅ( ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.59.2
ω − ω o 0 − 120 π = ] = − π [1 / s 2 120 t ]ε = π [1/s2 3 ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ 2ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ، 3ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﺘﺼﺒﺢ =ε
120 2 2
∆ ϕ = 120 π × 120 − π 120 2 π ][ rad 2
4
= ∆ϕ
ﺃﻭ ﻜﻌﺩﺩ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻗﻴﻘﺔ ∆ ϕ 120 π = ] = 3600 [rev. 2π 2 × 2π 2
5
=N
ﺴﺅﺍل ﻡ 9.2 ﻋﻨﺩ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺘﺭﺱٍ ﻤﺴﻨﻥ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺩﻭﺭﺍﻥٍ ﺜﺎﺒﺕ
a
a
ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ aﺒﺎﻟﻘﺎﻨﻭﻥ
ϕ
]ϕ = 0.25 π t [rad.
at=Rε O
an=Rω2
R
ﺤﻴﺙ ﻴﻘﺎﺱ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ .ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻜﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﺯﻤﻨﻴﺘﻴﻥ ﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻹﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
رﺳـــﻢ 1
to = 0 ⇒ ω = ωo
ﺍﻟـﺤــل
ϕ
O
رﺳـــﻢ 2
ﺸﻜل ﻡ 9.2
ﻤﻥ ﺭﺴﻡ 2 1
a a π π Rε = t = t ⇒ tan t = t 4 an 4 a n Rω 2
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ε = dω / dtﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﺘﺅﻭل ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 39
tan ϕ = tan
π dω tan 4 t dt = 2 ω
2 ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻴﻜﻭﻥ 3
π π 1 ln cos t = − + C 4 4 ω
−
⇒
1 ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ، to = 0 ⇒ ω= ωoﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻓﺈﻥ ωo
+C
dω 2
π
∫ tan 4 t dt = ∫ ω
C = −ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ 3ﺒﻌﺩ ﺤﻠﻬﺎ
ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
π ωo
4
π t] +π 4
=ω
4 ω o ln[ cos
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ π t 4
5
2
π 2 ω 2o tan
π 4 4 ω o ln[ cos t ] + π 4
dω =ε = dt
ﺴﺅﺍل ﻡ 10.2 ﻤﺎ ﺴﺭﻋﺔ )ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟـ( ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻋﻨﺩ
ω
ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ o32 = ϕ؟ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ 6370 = Rﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭ.
r R
ﺍﻟـﺤــل
اﻷرض
ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ v = r ω = R cos ϕ ω
ϕ = 32o
ﺸﻜل ﻡ 10.2
2π ]= 392 [m/s 24 × 3600
× v = 6370000 × cos 32 o
ﻭﺘﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﺘﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ،ﻭﻟﻴﺴﺕ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ. ﺴﺅﺍل ﻡ 11.2 ﻴﺘﺒﻊ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻘﻀﻴﺏٍ ﻴﺩﻭﺭ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺃﻓﻘﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ]ε = 12 t - 8 [rad/s2 ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ] to = 1[sﻭ ] t1 = 4[sﻭﺫﻟﻙ ﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
]t = 0, ω = - 8 [rad/s] , ϕ = 2 [rad
ﺍﻟـﺤــل
ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ 56.2ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻜﺎﻟﺘﻜﺎﻤل + C1
∫ (12 t − 8 ) dt 40
= ω
⇒
1
∫ ε dt + C
= ω
ω = 6 t 2 − 8 t + C1
1 ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ω = 6 t2 − 8 t − 8
2
⇒
]C1 = - 8 [rad/s
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 54.2ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻜﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ⇒ ϕ = 2 t3 - 4 t2 - 8 t + C2
3
2
∫ ω dt + C
= ϕ
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ] C2 = 2 [radﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻨﻜﺘﺏ ϕ=2t -4t -8t+2 2
4
3
ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ] to = 1[sﺤﺘﻰ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ] ، t1= 4[sﻨﺤﺩﺩ ﺃﻭﻻﹰ ﻓﻴﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﺘﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ
⇒ω=6t -8t-8=0 2
]( 3t + 2 )( 2t- 4 ) = 0 ⇒ t1 = -2/3 [s] , t2 = 2 [s ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ؛ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ωﺘﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ] . t = 2( > 0) ∈ (1,4) ، t = 2[sﻓﻠﻠﺯﻤﻥ 1≤t<2ﺘﻜﻭﻥ ω < 0ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻠﺯﻤﻥ 2 < t ≤ 4ﺘﻜﻭﻥ . ω > 0ﻭﺘﹸﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﺨﻼل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ 4ﻜﻤﺠﻤﻭﻋﻲ ﻓﺭﻗﻴﻥ ∆ϕ
| = | ϕ4 - ϕ2 | + | ϕ2 - ϕ1 |)= | (2 × 43 - 4×42 - 8×4 + 2 ) - (2 × 23 - 4×22 - 8×2 + 2 |)+ | (2 × 23 - 4×22 - 8×2 + 2 ) - (2 × 13 - 4×12 - 8×1 + 2
]∆ ϕ = 54 [rad
5 ﺘﻨﺒﻴﻪ :ﻴﻤﻜﻥ ﺤل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻜﺘﻜﺎﻤل ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺘﻴﻥ 1ﻭ 4 4
2
4
2
1
1
ϕ = ∫ ω dt = ∫ ω dt + ∫ ω dt ﻭﻷﻥ ωﺘﻐﻴﺭ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ 2 = tﺜﺎﻨﻴﺔ،
ω
)(4,56
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺠﻤﻊ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﻥ ﻤﻁﻠﻘﺎﹰ ،ﺃﻱ ﺃﻥ 4
- 8 t - 8)dt
2
∫ (6 t
2
(6 t 2 - 8 t - 8)dt +
2
4 2
}
{
∫
= ϕ
1
+ 2 t3 − 4 t2 − 8 t
2 1
}
{
ϕ = 2 t3 − 4 t 2 − 8 t
4
t
= − 16 + 10 + 32 + 16
2
1
3 )(1,-10
]ϕ = 54 [rad ﻭﻫﺫﻩ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ) ω = ω(tﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ 1 = tﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭ 4 = tﺜﺎﻨﻴﺔ. 41
3.4.2ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ
Plane Motion
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﻌل ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺘﻬﺎ ﻭﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺘﻬﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﺎ ﺜﺎﺒﺕ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻵﻻﺕ ﻭﺍﻷﺠﻬﺯﺓ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺤﺭﻜﺎﺕٍ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻜﺎﻟﺩﺤﺭﺍﺝ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﺘﻭﺼﻴل ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﻲ ﻭﻏﻴﺭﻫﻤﺎ. ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ،ﺸﻜل 1.20.2ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺤﺭﻜﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ )ﻨﻘﺎﻁﻪ(
ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ PP1ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Πﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺔﹰ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ PP1ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﻭﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺘﻬﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺒﺼﻴﻐﺔٍ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕﹸ ﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ
ﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺘﻬﺎ ﻭﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺘﻬﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔﹰ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩٍ ﻭﻭﺤﻴﺩ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .Πﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺃﻥ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩﻱ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Πﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،Oxyﻓﺈﻥ ﻤﻘﻁﻌﺎﹰ ﺭﻗﻴﻘﺎﹰ )ﺼﻔﻴﺤﺔﹰ( ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴـﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴـﺊ ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﻓﻴﻪ ﺒﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ ﻤﻐﻠﻕ ،Sﺸﻜل .2.20.2ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺒﺭﻤﺘِﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ Oxyﺘﻜﻔﻲ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺒﺭﻤﺘﻪ.
S
y
P1
z y
P
B
S yB
x O
yB
ϕ yA
x S
xB
P Π
1
A
xA
O
2
ﺸﻜل 20.2
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ Oxyﺒﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻭﻫﻤﻲ ABﺩﺍﺨﻠﻪ .ﻁﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ
ﻤﺤﺩﺩ ،AB = lﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺃﺤﺩ ﻁﺭﻓﻴﻪ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oxﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ A
) (x ,y) = A (x A,yAﻭ ) .ϕ = ϕ(tﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻗﻁﺒﺎﹰ ﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻴﻬﺎ،
ﻓﺈﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ xAﻭ yAﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﻴﺘﻐﻴﺭ ﻜﺩﻭﺍلٍ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ
)xA = x A(t) , yA = yA(t) , ϕ = ϕ(t
65.2
ﺤﻴﺙ ﺘﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺒﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ .ﻭﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ،ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﻨﺘﺨﻴل ﺍﻟﻤﻭﻀﻌﻴﻥ Iﻭ IIﻭﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻴﺘﺨﺫﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ Sﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ toﻭ ،tﺤﻴﺙ
،t = to + ∆tﺸﻜل .21.2ﺘﺘﻤﺜل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻭﻤﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺭﻤﺘﻪ ﻤﻥ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ Iﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ IIﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻨﺯﻴﺢ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﺘﻘل ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ
ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،A1ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺘﺨﺫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ABﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،A1B1ﺜﹸﻡ ﻨﺩﻴﺭ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ II 42
ﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ A1ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ∆ϕﻭﻟﻴﺘﺨﺫ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ A1B1ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ .A’1B’1ﻭﻴﻭﺼﻑ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 65.2ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻭﺼﻑ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﻘﻁ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ.
ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﺎﻟﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻫﻲ ﺴﺭﺠﻬﺔ
ﺍﻟﻘﻁﺏ vAﻭﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ aAﻟﻠﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻭﻜلٌ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ω
ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ εﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
t = to+∆t
B
B1 ∆t
S
S
B’1
∆ϕ
ﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ .Aﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﻱٍ ﻤﻥ
A
A1 A’1
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﻓﻲ ﺃﻴﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺤﺴﺏ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .65.2
t = to + ∆ t
to
ﺸﻜل 21.2
1.3.4.2ﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( Bﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﺒﺎﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺏ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ O1ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ rB = rA + rBA
49.2
ﺤﻴﺙ rAﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ Aﻭ rBAﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻴﻥ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﻁﻲ B
ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ،Aﺸﻜل .22.2ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ) Bﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ( ﻫﻲ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ
d rB d r A dr = + BA dt dt dt
= vB
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ drA = vA dt
66.2
ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ Aﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺏ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .O1ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻁﻭل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ rBAﺜﺎﺒﺕﹲ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ A
ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭٍ ﻤﻨﺤﻥٍ )ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻊ ،ﺸﻜل ،(22.2ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻨﺤﻨﺎﺌﻪ ،AB = rBAﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺘﻪ ﺍﻟﺼﻔﺭ
7
d rBA = v BA dt
67.2
ﻭﻫﺫﻩ ﺘﺩﻋﻰ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥٍ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ Aﻭﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ،Sﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺨﺘﺼﺭ
ﺴﺭﺠﻬﺔ Bﺤﻭل .Aﺃﻱ ﺃﻥ 68.2 7
vB = vA + vB
ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﻨﺩ :9.Ιﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻤﻠﺤﻕ .Ι 43
ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ﻓﺈﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﻥ ﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ
a
Sﺘﺴﺎﻭﻱ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺄﺨﻭﺫﺓٍ ﻜﻘﻁﺏ
vA
ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ
Sﺤﻭل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻁﺏ .ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺤﻭل A
ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺸﺒﻴﻬﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،61.2ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ω = ωABﻭ ،r = ABﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ 69.2
b
vB
y1
βα 90o
B rBA
S
c
vBA
rB
y
vA x α
vBA = ω × rAB = ωAB × AB
ϕ A ω
ﺤﻴﺙ ωABﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ) Sﺍﻟﻨﻘﻁﺔ (B
rA
ﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ ،Aﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﺒﺭﻤﺘﻪ،
ﺃﻤﺎ ABﻓﻬﻭ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺏ ،A
x1
.rBA = ABﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل vBAﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 69.2ﺘﺅﻭل
O1 ﺸﻜل 22.2
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 68.2ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
vB = vA + ωAB × rBA
70.2
ﻭﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( Bﺒﺭﺴﻡ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭ ، Babc ،ﺸﻜل .22.2 ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ S
ﻴﺅﺩﻱ ﻋﺎﺩﺓﹰ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 70.2ﺇﻟﻰ ﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻤﻌﻘﺩﺓ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺸﻲﺀ .ﻓﺈﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺭﻑ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺨﻁ ﻋﻤل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vAﻭﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vBﻓﻘﻁ ،ﻓﺈﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ
vBﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ،ﺸﻜل ،22.2ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺨﻁ ﻋﻤل ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،vBAﺒﻤﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ
ﺘﺤﺩﻴﺩ ωABﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﻏﻴﺭ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻕٍ ﺃﺴﻬل ﻭﺃﺒﺴـﻁ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
ﺍﻷﺴـﺎﺴـﻴﺔ .70.2ﻓﺈﺫﺍ ﻤﺎ ﺃﺴﻘﻁﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺨﻁٍ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺯﺀ ،vBAﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔٍ ﻁﺭﻓﺎﻫﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﺎﻥ vAﻭ vBﻓﻘﻁ ،ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﺇﻟﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﻌل ﻤﺭﻜﺒﺔ vBAﻋﻠﻴﻪ
ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺨﻁ ﺒﻁﺒﻴﻌﺘﻪ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺨﻁ . ABﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻤﺴﻘﻁﺎ ﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ.
ﻭﻹﺜﺒﺎﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻨﺄﺨﺫ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ )ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ( Aﻭ ،Bﺸﻜل ،22.2ﻭﻨﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 70.2ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ
،ABﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ
vB cos β = vA cos α
71.2
ﺇﺫ ﺇﻥ vBAﺘﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﻊ ،vBA ⊥ AB ،ABﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻤﺭﻜﺒﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﻭﻜﺘﻁﺒﻴﻕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﺤل ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
ﺴﺅﺍل ﻡ 12.2 ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﺯﻡ )ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ( ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 71.2ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ Cﻭ Dﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﻤﺭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Bﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 1 44
vB = v j
vA
A
A v cos30o 2R
v
v
30o
vAB 30o
R
B
2R
vCcos30o vC
60o
vD cos30o
R
C
30o
O
R
B
C
vD
D
D
R
O
vDC
ﺸﻜل ﻡ 12.2
ﺍﻟـﺤــل ﻨﺒﻴﻥ ﺨﻁﻭﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺎﺕ vC ، vB ، vAﻭ . vDﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ABﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ vA = vB + vAB
2 ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ BAﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
o
o
vA = vB cos 30 = v cos 30 3 v 2
3
= ∴ vA
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻪ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻥ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ OAﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ 1 1 3 = vA v 3 3 2 3 = ∴ vC v 6 = vC
4 ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ CDﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
vD = vC + vDC
5 ﻓﻨﺴﻘﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ DC
o
= vC cos30
vD = vC 6
o
vD cos 30
⇒ 3 = v 6
∴ vD
ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ Instantaneous Center of Rotation
ﺴﻨﺜﺒﺕ ﺃﻨﻪ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﺘﺘﻭﺍﺠﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺎ ﻓﻲ )ﺃﻭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩﺍﺘﻪ( ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻭﺫﻟﻙ
ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﺘﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺒﺎﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬل ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺘﺠﻌل ﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ
ﺘﺘﻭﺍﺠﺩ ﺴﻭﺍﺀ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﺎﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺃﻭ ﻀﻤﻥ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩﺍﺘﻪ .ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻔﺭﺩﺓ ﻭﻭﺤﻴﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ.
45
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻰﺀ
vA
)ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ،(Sﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯﻴﻥ vAﻭ vBﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ،ﺸﻜل ،23.2
vB
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﻭﻫﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺨﻁﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﻴﻥ AA1ﻭ BB1ﻋﻠﻰ
A
B
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ vAﻭ vBﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ .ﻭﻹﺜﺒﺎﺕ ﺫﻟﻙ ﻨﻌﻤﺩ ﺇﻟﻰ
ω
ﺍﻓﺘﺭﺍﺽ ﺃﻥ .vP ≠ 0ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Aﺘﺨﻀﻊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
S
ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
P
vA = vP + vAP
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ B
A1
B1 ﺸﻜل 23.2
vB = vP + vBP
ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ vAﻭ vPﻭﻤﻥ ﺜﻡ vBﻭ vPﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁﻴﻥ APﻭ BPﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ vPﺴﺘﻜﻭﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁﻴﻥ APﻭ BPﻭﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻭﻫﺫﺍ ﻏﻴﺭ ﻤﻤﻜﻥ .ﻭﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺃﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻟﻠﻤﻘﻁﻊ Sﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺴﻭﻯ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻭﺤﻴﺩﺓ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺼﻔﺭﺍﹰ.
ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ )ﻨﻘﺎﻁ( ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺘﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ
ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ﺃﻭ
vB = BP ω
72.2
vA = AP ω ,
ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ - 1ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻨﻔﺭﺩ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ
ﻤﻌﺭﻭﻓﺔﹲ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬـﺔ
vA
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻤﺤﺩﺩ ،ﺸﻜل .1.24.2ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺴﺎﻭﻱ
A
ﺍﻟﻁﻭل APﺨﺎﺭﺝ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ 1.73.2
vA ω
S
vA
S A
ω ω
= AP
P vPA
ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻁﻭل ﻴﻨﹾﻘﹶل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﺤﺩﺩﺍﹰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ
1
ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ Pﻟﻠﻤﻘﻁﻊ ،Sﺸﻜل .2.24.2
2
ﺸﻜل 24.2
- 2ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﺤﺩﺩﺘﺎﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﻭﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺘﺎﻥ .vA//vBﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ،ﺸﻜل .25.2ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ Pﻟﻠﻤﻘﻁﻊ Sﺒﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﻭﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل
ﺒﻴﻥ ﺭﺃﺴﻲ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩﻫﻤﺎ. vA v = B = ω AB AP BP
2.73.2
46
vA
A
vA vA
vA P S
ω
α
A
A vB
vB
S
β
vB
B
B
S ω
P
B ﺸﻜل 25.2
ﺸﻜل 26.2
- 3ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﺤﺩﺩﺘﺎﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﻭﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺘﺎﻥ .vA//vBﻭﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﻟﻴﺱ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ،ﺸﻜل .26.2ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺘﺤﺩﺩ
ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ Pﻟﻠﻤﻘﻁﻊ Sﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ .ﻭﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ،Sﻴﻜﻭﻥ vA cos α = vB cos β ⇒ v A = vB
ﻷﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ αﻭ βﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ω = 0
∞ = & APv = BPv
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔﹰ.
vB
B
- 4ﺍﻟﺘﺩﺤﺭﺝ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ
vC
ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﺎ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ
A
ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻭﺫﻟﻙ ﻟﻌﺩﻡ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻨﺯﻻﻕ
ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ،ﺸﻜل .27.2ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﻓﺴﺭﺠﻬﺔ ﻜلﱡ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ
C
vA
ﻜﺴﺭﺠﻬﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ
.vP = 0ﻟﺫﻟﻙ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ Pﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﻁﺤﻴﻥ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻲ
P
ﻭﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ.
ω
ﺸﻜل 27.2
2.3.4.2ﻤﺘﹶﺠِﻬﺎﺕﹸ ﺘﹶﺴﺎﺭِﻉ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺃﻭ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﺸﻜل 28.2 d vB dt
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل vBﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 68.2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ 47
2
=
d rB 2
dt
= aB
y
aA aBAt B
rB e
aBAt
r aB
α
aBA BAn
B
e
α
r
a
aA
aB
rB
d
aA
aBA
c
BAn
ε
AB
ωAB
a
c
ωAB rA
aA ε
d
A
y
AB
A rA
x
x O
O ﺸﻜل 28.2
74.2
⇒ aB = aA + aBA
dv A d v BA + dt dt
= aB
ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﻥ ﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻴﻜﺎﻓﺊ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻪ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻁﺏ .Aﻭﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺤﻭل ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﻤﻨﺤﻨﻴﺔﹲ ،ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 74.2ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ aB = aA + a BA n + a BA t
1.74.2
ﺤﻴﺙ aBAnﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ aBA n = a BA n = AB ω 2AB
1.75.2
ﺒﻴﻨﻤﺎ aBAtﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ a BA t = a BA t = AB ε
2.75.2
ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ aBAtﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻠﻰ )ﻤﻨﺤﻨﻰ(ﺤﺭﻜﺔ Bﺤﻭل ،Aﻭﻫﻭ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻴﺎﹰ ،ε > 0 ،ﻭﻴﻭﺍﺯﻱ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺘﺒﺎﻁﺌﻴﺎﹰ .ε < 0ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﻘﻁﺏ Aﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ aAnﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ،aAtﻓﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.74.2
ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ aB = aAn + aAt + aBA n + aBA t
76.2
ﻭﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﺸﻜل ،28.2ﺃﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﻀﻠﱠﻌﺎﺕ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ
ﻤﻌﻘﺩﺓ .ﺇﺫ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﺫﻟﻙ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ Aﻤﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ ،Bcdeﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺇﻀﺎﻓﺔ
ﻤﺠﻬﻭلٍ ﺁﺨﺭ -ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ .αﻟﺫﻟﻙ ﻴﺴﺘﻌﺎﺽ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) 1.74.2ﺃﻭ (76.2ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ AB 48
)ﺃﻭ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩﻩ( ﺃﻭﻻﹰ ،ﺜﻡ ﺇﺴﻘﺎﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺨﻁٍ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﺨﻁ ﻨﻔﺴﻪ .ﻭﺘﻜﻔل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺇﺴﻘﺎﻁ )ﺘﻨﺤﻴﺔ( ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺴﻭﺍﺀ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ،aBAnﺃﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ aBAtﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻗﻴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ ﻭﻟﻴﺩﺘﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺴﻘﺎﻁ. ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،65.2ﺴﺭﺠﻬﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 70.2ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .76.2ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﺩﺩ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ
ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،71.2ﺃﻭ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﺯﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﺫﻭﺍﺕ ﺍﻷﺫﺭﻉ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ،ﻴﺘﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ،
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺫﺭﺍﻉٍ ﻤﻌﻴﻥ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺎﹰ ﻭﺫﻟﻙ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻤﻌﻁﻴﺎﺘﻪ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ.
ﻴﺠﺏ ﺍﻻﻨﺘﺒﺎﻩ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔٍ ﻤﺎ ،ﻻ ﺘﻌﻨﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺃﻥ
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ﻨﻔﺴﻪ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺇﺫ ﻴﺘﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻜﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ﻋﻠﻰ
ﻁﻭل ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ.
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ 13.2 ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ OAﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺯﺍﻭﻴﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ .ω = const.ﻤﺎ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Bﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ .AB 2R 90o
ω
2R/ 3 30o
vB
60o
/3
ω
30o
A
O 4R
O
x
2R/3
P
4R/3
y
y
4R
vA
30o
ﺭﺴـــﻡ 1
B
30o
A
aBAn
ﺭﺴـــﻡ 2
60o B
/ 3
aAn
x
aBAt
aB
ﺸﻜل ﻡ 13.2
ﺍﻟــﺤـل
ﻴﺒﻴﻥ ﺭﺴﻡ 2ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ P∈OA ،P v A vB 1 = = ω AB AP BP v 4R 2Rω 3 = AP = BP = ⇒ ω AB = A 2 = ω 4R 3 AP 2 3 3
vB = vA = 2 R ω
4
aB = aA + aBA = aAn + aBAn + aBAt
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ B ﺤﻴﺙ ﺇﻥ 49
aAn = 2R ω
2
5 2
6
⇒ aBAn = 3 3 Rω 2
3 × ω 2
4R 3
= aBAn = AB ω 2AB
ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ،ABﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺸﻤل ﻤﺠﻬﻭﻻﹰ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ﻫﻭ aB eq 4 : AB ⇒ - aB cos 60 = aAn cos30 - aBAn 1 3 7 × − aB × = 2 Rω 2 − 3 3 Rω 2 ⇒ aB = 4 3 Rω 2 2 2 ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ، ABﻴﻌﻁﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﺒﺎﻟﻤﺠﻬﻭل aBAt eq. 4 : ⊥ AB ⇒ - aB cos 30 = - aAn cos 60 + aBAt 8 3 2 1 = - 2R ω + aBAt 4 3 Rω 2 2 2 a 7 Rω 2 7 3 ω 2 aBAt = 7R ω2 ⇒ = εAB = BAt = 4R AB 4 3
7 3ω k 4 2
9
ε AB = −
ﺴﺅﺍل ﻡ 14.2 ﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﻤﺭﻓﻕ OAﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺯﺍﻭﻴﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ω1 =const. ،ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺃﻓﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ ،Oﺴﺎﺤﺒﺎﹰ ﻤﻌﻪ ﺍﻟﺘﺭﺱ ΙΙ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻭﺭ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﺘﺭﺱ ﺍﻵﺨﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .Ι - 1ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺘﺭﺱ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ Poﻭﺫﻟﻙ ﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ t = t0 = 0ﻭ .ϕo= 0 - 2ﺍﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ B ،Aﻭ ) .Cﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Bﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻌﺸﻴﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺱ (ΙΙ - 3ﻭﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ B ، Aﻭ C؟
ﺍﻟـﺤــل ﺤﺎل ﺼﻌﻭﺩ ﺍﻟﺘﺭﺱ ΙΙﺩﺍﺨل ﺍﻟﺘﺭﺱ Ιﻭﻟﻸﻋﻠﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺴﺎﻥ BPoﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺱ Ιﻭ ) BPﺒﺎﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻊ( ﻻ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ .ﺃﻱ ﺃﻥ 1
arc BPo = arc BP ⇒ (R +r ) ϕ = r ψ ⇒ ψ = ( R +r ) ϕ /r
2
ϕ1 = ψ - ϕ ⇒ ϕ1 = R ϕ / r
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ P
)xP = R cos ϕ - r cos (π - ϕ1 )yP = R sin ϕ - r sin (π - ϕ1 ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ϕ1ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﺘﺭﺱ ΙΙ R ϕ r R - r sin ϕ r
3
xP = R cos ϕ + r cos
4
yP = R sin ϕ
ﻭﻫﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻻ ﺕﹲ ﺩﻭﻴﺭِﻴﺔ epicycloidalﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﻴﺔ .
50
y
y n
CA
vC vA
aBAn
P
P
aAn II
R ϕ
x Po
C
a
A ϕ ϕ1 ψ
π−ϕ1
r
n
B
II
aC
B a B
C
t
ϕ
x
O
Po
II
I I
ﺸﻜل ﻡ 14.2 - 2ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ :ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﺃﺱ A vA = R ω1
5 ﻭﻫﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﺃﺱ ﻨﻔﺴﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﻠﺘﺭﺱ ، ΙΙﺍﻟﻨﻘﻁﺔ B
vB = 0 ⇒ vA = R ω1 = r ω2
6 ﻭﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺘﺭﺱ II
R ω1 r
7
= ω2
ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ C 8
R ω1 ⇒ v C = 2 R ω 1 r
v C = CB ω 2 = 2 r
- 3ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺘﺭﺱ ΙΙﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺘﺭﺱ ΙΙﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ R ω 2 = ω 1 = const ⇒ εΙΙ = 0 r
9 ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺭﺃﺱ A
en
10 ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ C 51
R ω 12 - R ω 12
= aA = aAn = aA = aAn
O
aC = aA + aCA = aAn + aCAn aCAn = - r ω 22 et 11
R2 2 ω 1 et r
aC = - R ω 12 en - r ω 22 et = - R ω 12 en -
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺒﻠﻎ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ C R 2 2 2 ω1 R + r r
12
= aC
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ B aB = aA + aBA = aAn + aBA n aB = - R ω 12 en - r ω 22 en 13
R 2 R 2 = ω 1 [ r + R ] , aBω 1 [ r + R ] en r r
= aB
ﺴﺅﺍل ﻡ 15.2 ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﻌﺠﻠﺔ Dﺒﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺭﺴﻡ .ω = ω k ،ﻭﺘﺩﻓﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻘﻴﻥ Bﻭ Cﻭﺍﻟﺫﺭﺍﻋﻴﻥ ABﻭ BCﺍﻟﻤﺘﺼﻠﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﻤﻔﺎﺼل B ، Aﻭ .Cﺃﻭﺠﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ B ﻭﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Cﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻋﻴﻥ ABﻭ. BC
ﺍﻟـﺤــل
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﻌﺠﻠﺔ Dﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Ozﻴﺘِﻡ ﺍﻟﺫﺭﺍﻋﺎﻥ ABﻭ BCﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ .ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﻌﺠﻠﺔ 1 ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ABﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ
vA = R ω
PABﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ
vA v = B = ω AB APAB BPAB
2 ﻓﻨﺤﺴﺏ ﺃﻭﻻﹰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ABﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ 2 ω = 2
3
⇒ ω AB
Rω = 2R
ﻭﻤﻨﻬﺎ ﻨﺠﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ B 4 ﻭﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ،ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ PBCﻫﻲ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BC
ω AB
vB = R ω vC v = B = ω BC CPBC BPBC
5 2ω 8
6
= ω BC
⇒
Rω 4R 2
= ω BC
ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ C 2 Rω 2
7
= ⇒ vC
ω 4 2
vC = 4 R
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ B aB = aA + aBAn + aBAt
8 ﻨﺤﺴﺏ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ aAﻭ aBAn 52
y v C aC
y C
C
PBC
aCBt
aCBn
4R
4R
b
aB aBAt A
2R 2 45o
x 45o
Oz ω
B D
B
vB aBAn
2R 2
b
R
aAn ω Oz D
A vA
PAB ﺸﻜل ﻡ 15.2
aA = aAn = R ω
2
2
2 R ω2 2
9
= ⇒ aBAn
ω aBAn = AB ω2AB = 2 2 R 2
ﻭﻷﻥ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ aBﻫﻭ ﺨﻁ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻤﺠﺭﻯ ﺍﻟﻤﺎﺌل ،ﺃﻱ ﺍﻟﺨﻁ ،b-bﺒﻴﻨﻤﺎ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ aBAtﻫﻭ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ،BCﻨﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 8ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭٍ ﻴﺠﻌل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ aBAtﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ﺃﺼﻼﹰ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺃﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ Ax - aBAn aB = 0
o
o
i : - aB cos 45 = + aAn cos 45
2 o ⇒ R ω 2 / cos 45 2
aB = - R ω2 +
ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ، ABﻨﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺭﺃﺴﻲ By + aBAt 10
ω2 4
o
j : aB cos 45 = - aAn cos 45o
= 0 = - R ω2 cos 45o + AB εAB ⇒ ε AB
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ C aC = aB + aCBn + aCB t
11 2
2 ω = - 4R 8 53
2 ω BC
j : aC = 0 - aCBn = 0 - BC
Rω 2 Rω 2 , aC = − j 8 8
12 ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ، BCﻨﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ax ⇒ εBC = 0
13
aC = −
i : 0 = 0 - aCB t ⇒ aCBt = 0
ﺴﺅﺍل ﻡ 16.2 ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﺔ OABﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ Oxﻭﺘﺴﺤﺏ ﻤﻌﻬﺎ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ BCﻭﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Cﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺠﺭﻯ ﺃﻓﻘﻲ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ADﻤﻊ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Dﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺩﺍﺨل ﻤﺠﺭﻯ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺭﺃﺴﻲ .Oyzﺃﻭﺠﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻘﻴﻥ Cﻭ Dﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻋﻴﻥ εADﻭ .εBCﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻲ Oﺘﺴﺎﻭﻱ ω = ω i ،ωﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ε = ω2i ،εﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻤﺠﺭﻯ .3R
ﺍﻟـﺤــل ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BCﻭﻫﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ PBCﻓﻨﺤﺴﺏ 2 Rω = BPBC × ωBC = 2 Rω
= vA = vB = 2 R ωABO
ωBC = - ω i
1 vC = 2 R ω k
2
⇒
∴
∴
& ωBC = ω
vC = CPBC × ωBC = 2 R ω
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ADﻓﻲ ﺍﻟﻤﺎ ﻻ ﻨﻬﺎﻴﺔ PAD = ∞ ⇒ ωAD = 0 2Rωk
3
z
C
R
ε=ω2 R
R 2
R 2
∴
= vD
ω 45o
z
Ox
2Rω
C
aC
= vA = vD
R
R
ω
ε
45o
vC aCBt
aCBn R 2
Ox
R 2 aBn
aBt vB
aAn
B B A
aAt
3R
vA 45o
45o
A
PBC 2R 2 aDn
aDAt
aDAn y
y D
D aDt
ﺸﻜل ﻡ 16.2 54
vD
C ﻨﺤﺴﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ.26.2 ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل،vA // vB ﻷﻥ 4
aC = aB + aCB = aBn + aBt + aCBn + aCB t
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ 2 R ω & aBt =
2Rω
2
aBn = aCBn =
2 BC × ω BC
2
= 2 Rω
5
2
6 ﻴﻜﻭﻥBC ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ4 ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
o
aC cos 45 = aBt - aCBn 2Rω -
o
2
aC cos 45 =
2Rω =0
⇒
2
aC = 0
7
ﻴﻜﻭﻥBC ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻤﻊ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ4 ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺇﺴﻘﺎﻁﻬﺎ )ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 0 = aBn - aCB t 2Rω
2
0 = ∴
-
2 R εBC
εBC = ω2
εBC = - ω2 i
8 D ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ
aD = aA + aDA ⇒ aDn + aDt = aAn + aAt + aDAn + aDAt aAn = a Dn =
2 R ω , aAt = 2
v D2 3R
=
2 Rε = 2 Rω , aDAn = 2
9 ﺤﻴﺙ ﺇﻥ
AD × ω 2AD
2R ω 2 = R ω2 3R 3 2
=0 &
2
10 ﻴﻜﻭﻥOy ﻋﻠﻰ ﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ9 ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
o
- j : aDn = aAn + aDAt cos 45 aDAt = ( aDAt = −
2 R ω2 3
2
2 Rω ) / cos 45
o
6−2 2 6 2 −4 R ω 2 & a DAt = R ω 2 [ j − k] 3 6
11
ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲAD ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ε AD
6−2 2 Rω2 3 & 2R 2
a = DAt = AD
k : aDt = aAt aDt =
3 2 −2 2 ω i 6
13 Oz ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ9 ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
o
- aDAt cos 45
2Rω − 2
ε AD = −
6 2 −4 2 R ω 2 ,aDt = R ω 2 6 3
14 D ﻨﺤﺴﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ14 - 10 ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻘﺎﺩﻴﺭ
aD = aDn + aDt =
2 2 R ω2 [ - j + k ] 3
55
15
ﺴﺅﺍل ﻡ 17.2 ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Cﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ BAﻤﺤﺩﺩﻴﻥ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ]aC = 4R 3 ω j [ m /s] & vC = 6 Rω j [ m/s 2
2
ﺤﺩﺩ ﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،Cﺜﹸﻡ ﺍﻭﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻤﺭﻓﻕ .OA O
2R
O
x
B
R
30o
R
vB aBn 2R 30o aAt
aAn vA
A
x B
A 3R
2R 3
C vC aC
aCAn
y
30o aCAt C
ﺭﺴـــﻡ 1
30o vC aC
90o
6R
P
y
ﺭﺴـــﻡ 2
T
ﺸﻜل ﻡ 17.2
ﺍﻟﺤــل
ﻴﻘﻊ Pﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BCﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻤﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Cﻭﻫﻭ ﺃﺴﻔل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .Bﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vAﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ،OAﻭﻫﻭ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ .ATﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﺎﻟﺨﻁﻴﻥ OAﻭ ATﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺎﻥ -ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﻤﺘﺩﺍﺩ ،ﻭﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩﻫﻤﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺭﺃﺴﻲ ﻤﻥ Bﻴﻌﺭﻑ ﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .Pﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﻤﻥ ﺭﺴﻡ ،2ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ v C vB v = = A = ω CB 1 PC PB 3 R ﻭﺤﻴﺙ ﺍﻟﻘﻴﻡ PC = 6Rﻭ ، 3 PB = 2Rﻓﺈﻥ vC 6Rω = ]= ω ⇒ ωCB = ω [rad/s PC 6R
2
= ω CB
]vA = 3 R ωCB = R ωOA ⇒ ωOA = 3 ω [rad/s
3
]vB = 2 3 Rω [m/s
4 ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
aC = aAn + aAt + aCAn + aCAt
5 2
][m /s
= 4R 3 ω
2
+ aCAn
2 aCAn = AC ωBC = 3 R 3 ω aAt = R εOA & aC 2
aC cos 60
= 0 - aAt
6
4R 3 ω2 cos 60 = 0 - R εOA + 3 R 3 ω2
7
] εOA = 5 3 ω [s ] ⇒ εOA = 5 3 ω k [s -2
-2
2
56
2
⇒
eq 5 : BC
5.2ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ
Compound Motion
ﻟﻘﺩ ﺩﺭﺴﺕ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ.
ﻏﻴﺭ ﺃﻨﻪ ﻴﺤﺩﺙ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺘﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭﻱ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻓﻲ ﺁﻥٍ ﻤﻌﺎﹰ ،ﺃﺤﺩﻫﺎ ﺜﺎﺒﺕ ﺍﺼﻁﻼﺤﺎﹰ ﻭﺍﻵﺨﺭ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﻭل .ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺭﻜﺒﺔﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﺍﻷﺨﺭﻯ ﺤﺭﻜﺔ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻴﻜﺘﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩﻋﻰ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ،ﻭﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،ﺘﺩﻋﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﺘﺴﺒﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ.
ﻭﻨﺴﻤﻲ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻤﻔﻬﻭﻤﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ .ﻓﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻫﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﻬﻲ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻤﻘﻴﺴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﺘﺤﺭﻙ .ﻭﺍﻟﺸﻲﺀ
ﻨﻔﺴﻪ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻭﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭﻱ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻭﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ،ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﻜﺭﺓٍ ﻤﻘﺫﻭﻓﺔٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺒﺎﺨﺭﺓٍ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺤﺭ ،ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﺭﻜﺒﺔﹰ ﻤﻥ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺒﺎﺨﺭﺓ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﺎﺨﺭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﺎﻁﺊ .ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻨﺩﻋﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ .ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﻴﺸﻜل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ
ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﻁ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﺎﻟﺒﺎﺨﺭﺓ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺸﺎﻁﺊ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ.
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﻼﺤﻅ ﺭﺍﻜﺏ ﺍﻟﺴﻔﻴﻨﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺘﺄﺨﺫ ﻤﺴﺎﺭﺍﹰ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻤﺎ ﻴﻼﺤﻅﻪ ﺁﺨﺭ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ ،ﻤﻊ ﺃﻥ
ﺍﻟﻤﺴﺎﺭﻴﻥ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺎﻥ ،ﺒل ﺇﻨﹼﻬﻤﺎ ﻤﺴﺎﺭ ﻭﺍﺤﺩ. ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻓﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺩﻭﺭ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ
ﺩﻭﺭﺍﻨﺎﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺎﹰ ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻤﺘﻭﺍﺼل ،ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺤﻬﺎ ،ﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻜﺘﺴـﺎﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
ﻟﻸﺭﺽ .ﻭﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ. ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﺴﻨﺭﺍﻩ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ -ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ. 1.5.2ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ Absolute Velocity
ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ Oxyzﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،rﻭﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ
O1x1y1z1ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻵﺨﺭ ،rPﻭﺤﺩﺩﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻺﻁﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ R
ﻟﻤﺭﻜﺯﻩ Oﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،O1ﺸﻜل ،29.2ﻓﺈﻥ rP = R + r
77.2
ﻭﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻴﻪ ﻤﺭﻜﺯ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vOﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،aOﺘﺩﻭﺭ
ﻤﺤﺎﻭﺭﻩ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ ωﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ .εﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﻤﻘﻴﺴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ
ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻻ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﺎﻥ ωﻭ εﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺘﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﺇﻻ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ.
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ Pﺒﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ،Oﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
.77.2ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 57
78.2 dR ﺤﻴﺙ ﺇﻥ dt
d rP d R d r = + dt dt dt
= vP
y P r
= v Oﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ O
)ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔِ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .(O1ﻨﺤﻠل ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ dr dt
rP q
y
،ﻓﻨﺒﺩﺃ ﻤﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ
s O
p
ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ y ،xﻭ z
ﻭﻤﺘﹼﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ q ، pﻭ ، sﻓﻨﻜﺘﺏ
ω = ωtr
z
x y1
r=xp+yq+zs
z1
x1
x
z
R
z1
j
k O1
i
y1
ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ r
x1 ﺸﻜل 29.2 d r dx dy dz dp dq ds = p+ q+ s+x +y +z dt dt dt dt dt dt dt
79.2
ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ dx dy dz = vr p+ q+ s dt dt dt
80.2
ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ j ، iﻭ kﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ y1 ، x 1ﻭ z1ﻭﺤﺩﺍﺕﹲ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﻟﺜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ q ، pﻭ sﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻌﺩل
ﺘﻐﻴﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
ds = ω×s dt
1.81.2
dp dq = ω ×p , =ω ×q , dt dt
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺅﻭل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 79.2ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ dp dq ds +y +z ] = x ω × p + y ω × q + z ω × s = ω × [x p + y q + z s dt dt dt
x
dp dq ds +y +z =ω × r dt dt dt
x
81.2
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 80.2ﻭ ،ω×rﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 81.2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،79.2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ
ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ rﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
dr = vr + ω × r dt
82.2
dr ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﻗﻴﻤﺔ dt 83.2
ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻭﺘﻌﻭﻴﻀﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،78.2ﻴﻨﺘﺞ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ vP = v O + v r + ω × r 58
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ vOﻭﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،vr ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺴﺭﺠﻬﺔ ’ Pﺍﻟﻤﺜﺒﺘﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ Oxyzﻭﺍﻟﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ )ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ( Pﻓﻲ
ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﺃﻱ .ω × rﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Pﻤﺜﺒﺘﺎﹰ ﺘﺜﺒﻴﺘﺎﹰ ﺼﻠﺒﺎﹰ
ﺒﺎﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ’ ،Pﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ .vr = 0ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 83.2
ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
vP = v O + ω × r
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ Pﻨﺘﻴﺠﺔ ﺘﻭﺍﺠﺩﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ’ Pﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ .Oﻭﺇﺫﺍ
ﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ،vtrﻓﺈﻥ
v tr = v O + ω × r
84.2
ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 83.2ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ v P = v r + v tr
85.2
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ vPﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ vrﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ .vtr
2.5.2ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ
Absolute Acceleration
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ،O1ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،77.2ﺃﻭ
ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 83.2
dv P dt
=
2
d rP 2
dt
)d vO d vr d ( ω × r + + dt dt dt
86.2
= aP = aP
ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 86.2ﻴﻤﺜل dv O dt
87.2
= aO
)ﻤﺘﺠﻪ( ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ .Oﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ dv r d dx dy dz = p+ q+ s dt dt dt dt dt d v r d2 x d2 y d2 z dx dp dy dq dz ds = 2 p+ 2 q+ 2 s + + + dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
88.2
ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜﱢل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ar 2
s
89.2
d z dt2
q+
2
d y 2
dt
p+
2
d x 2
dt
= ar
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 88.2ﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﻤﻌﺩﻻﺕ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﺒﻘﻴﻤﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.81.2 90.2
dx dx dp dy dq dz ds dy dz + + = ω× p + q+ s = ω × vr dt dt dt dt dt dt d t d t dt 59
ﻭﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ d vr = ar + ω × v r dt
91.2
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،86.2ﻓﻴﻜﺘﺏ ﻜﻤﻌﺩل ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﺘﺠﺎﻫﻲ dω dr × ×r+ ω dt dt
92.2 d ω ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ dt
=
)d ( ω × r dt
= ، εﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜﱢل ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
92.2ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .rﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺠﺯﺀ dr ﺍﻷﺨﻴﺭ dt
ﺒﻘﻴﻤﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،82.2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ] = ε × r + ω × [v r + ω × r
ﺃﻭ = ε × r + ω × vr + ω × ω × r
93.2
) d (ω × r dt ) d (ω × r dt
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 89.2 ، 87.2ﻭ 93.2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ،86.2ﺜﻡ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ aP = a O + a r + ω × v r + ε × r + ω × v r + ω × ω × r 94.2
aP = a O + a r + ε × r + 2 ω × v r + ω × ω × r
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ atrﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،vr = 0ﻓﺈﻥ a tr = a O + ε × r + ω × ω × r
95.2
ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ acor = 2 ω × vr
96.2
ﻓﻤﻥ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 94.2ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ a P = a tr + a r + a cor
97.2
ﻭﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 97.2ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻷﺤﺩ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﻭﺘﻤﺜل ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺹ :ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ 8
ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ .ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ
ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭﻴﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ
ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻪ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔﹰ ،ω = 0ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ،acor = 0ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 97.2ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
8
ﺝ .ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ،-1792 - 1843 ،G., Coriolisﻋﺎﻟﻡ ﻓﺭﻨﺴﻲ ،ﺍﺸﺘﻬﺭ ﺒﺄﺒﺤﺎﺜﻪ ﻓﻲ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ. 60
a P = a tr + a r
98.2
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ. ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻴﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ .ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻴﺤﺴﺏ
ﻜﺘﺴﺎﺭﻉ ﺠﺴﻡٍ ﺁﺨﺭ ﻤﺜﺒﺕٍ ﺒﺎﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻭﻤﺘﺤﺭﻙٍ ﻤﻌﻬﺎ ،ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﺁﺨﺭ ﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .95.2ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ .ﺇﺫ ﺇﻨﻪ ﻴﺤﺴﺏ ﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .76.2 - 74.2ﻜﻤﺎ ﻴﺤﺴﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 96.2ﻜﻀﻌﻑ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ vrﻭ ωﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ϕﻓﺈﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ،ﺍﻨﻅﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 27.Ι
acor = acor = 2 ω vr sinϕ
99.2
ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻭﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ.
ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﻠﻴل ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﺍﻻﺜﻨﺘﻴﻥ ،ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ. ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺘﻐﺩﻭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ. - 1ﺤﺩﺩ ﻟﻠﹼﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﺍﻥ ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﻴﻥ ،ﺃﻭ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺔ ﻭ/ﺃﻭ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ. - 2ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ .ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.2
ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﻭﻤﻨﻬﺎ ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،31.2ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
.47.2 - 3ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ،ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﻪ ﻤﻊ ﺠﺴﻴﻡٍ ﺁﺨﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 70.2
ﻭ.76.2 - 4ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻜﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ .ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﺩﺩ
ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔﹰ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ .ﻜﻤﺎ ﺘﹸﻀﺎﻑ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻭﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ.
61
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤﻠـﻭﻟـﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ 18.2 ﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﻁﻭﻕﹲ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻤﻨﺘﻅﻡ ،ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ ﺃﻓﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻟﻤﺭﻜﺯﻩ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ .vO = 3vﻭﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﺘﺘﺴﻠﻕ ﺤﻠﻘﺔﹲ ﺼﻐﻴﺭﺓﹲ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻴﻁ ﺍﻟﻁﻭﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻨﺴﺒﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ .vr = v = const. ،ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺤﻠﻘﺔ ﻋﻨﺩ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ P1ﻭ P2ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل.
ﺍﻟـﺤــل ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺘﺩﺤﺭﺝ ﺍﻟﻁﻭﻕ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻨﺯﻻﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻤﺜﺎﻻﹰ ﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ .ﻭﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻴﻀﺎﹰ = const.
1
3v R
= 3v =Rω⇒ ω
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ε = d ω / dt = 0
2 ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻋﻨﺩ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ P1 ﺍﻟﻁﻭﻕ ∈ ’P1
3 P2 vr
y
P2
R
v1r
v1tr
a1cor a1trn a1r n
P1
v2tr v2r
P1
O
3v
,
P2
Pa
P1 O
y
vP1 = vP1’ + v1r
y a2trn a2 rn a2cor
Pa O 3v
3v ω
ω
ω x
Pv
Pv
x
ﺸﻜل ﻡ 18.2 ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ’ P1ﻨﻘﻁﺔﹲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻁﻭﻕ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺤﻴﺜﻤﺎ ﺘﺘﻭﺍﺠﺩ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ .ﻭﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ Pvﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟﻠﻁﻭﻕ ﻤﻊ
ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻴﻜﻭﻥ
4
⇒ v P1’ = 3 2 v
3v R
vP1’ = v1tr = R 2 v1r = v
5 ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺇﺘﺠﺎﻫﻴﺎﹰ
vP1 = 3 2 v ( i + j ) + v j
6 ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻋﻨﺩ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ P2
⇒ vP1 = 3 v i + 4 v j , vP1 = 5 v ﺍﻟﻁﻭﻕ ∈ ’P2
7
⇒ vP2’ = 6 v
8 9 10
, 3v R
, vP2 = 7 v 62
vP2 = vP2’ + v2r vP2’ = v2 tr = 2 R v2r = v ⇒ vP2 = 7 v i
x
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺤﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ P1 11
aP1 = aP1’ + a1r + a1 cor
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ 2
v 3v aP1’ = a1tr = a1trn = R ω2 = R ⇒ aP1’ = a1tr = 9 R R
2
12
ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ) Oﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻠﺤﻅﻲ ﻟﻠﺘﺴﺎﺭﻉ .(Paﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ 2
v v2 = a1r = a1rn = R 1r ⇒ a1r R R
13 ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ 2
3v v v , a1cor = 6 14 R R ﻟﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ 14 - 12ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻬﺎ ﻟﻠﻤﻭﻀﻊ P1ﻴﺒﻠﻎ
a1cor = 2 ω vr = 2
v2 R
15
aP1 = 16
v2 i R
&
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺤﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ P2 16
aP1 = 16
aP2 = aP2’ + a2r + a2cor
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ Oﻭﻟﻸﺴﻔل 2
17
v2 3v aP2’ = a2 tr = a2trn = 2 R ω2 = 2 R ⇒ aP2’ = 18 R R
ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻸﺴﻔل 2
v2 v = a2r = a2rn = R 2r ⇒ a1r R R
18 ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻭﻟﻸﺴﻔل ﺃﻴﻀﺎﹰ 2
3v v v , a2cor = 6 19 R R ﻟﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ 19 - 17ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ P2ﻴﺒﻠﻎ 20
v2 R
aP2 = 25
&
a2cor = 2 ω vr = 2
v2 j R
aP2 = - 25
ﺴﺅﺍل ﻡ 19.2 ﺘﺩﻭﺭ ﻤﻨﺼﺔﹸ ﻤﺴﺘﻁﻴﻠﺔ ﺍﻟﺸﻜل ﻭﺃﻓﻘﻴﺔﹲ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ Ox 1ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ 3 t π sin 2 3
= ϕ
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Pﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﻨﺼﺔ ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ x = cos 2 t , y = sin t ﺤﻴﺙ ﻴﻘﺎﺱ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﺒﺎﻟﺜﻭﺍﻨﻲ ،ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﺒﺎﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ] [radﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ xﻭ yﺒﺎﻷﻤﺘﺎﺭ .ﻋﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ،ﻭﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ].t = π [s
63
ﺍﻟـﺤــل ﻨﺤﺫﻑ ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ،ﺍﻟﺯﻤﻥ ،tﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻓﻴﻜﻭﻥ 2
1
x = cos 2t = 1 - 2 sin t ⇒ x = 1 - 2 y 2
ﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .Oxyﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ] t = π [sﻴﺘﻭﺍﺠﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Pﻋﻨﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﺒﻌﺩٍ ﻟﻪ ﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ .ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﻨﺼﺔ y
y
t=π/4
1 2
vtr
x
)P(1, 0
x
O
ac
ω
y1
atrn
ar
O
ε
ω
t=π
x1
atrt vr
1 2
ﺸﻜل ﻡ 19.2 2
3 ] π [ rad 4
3
3 = &ϕ ]π [rad./s 12
4
=ϕ
] &ϕ& = − π [rad/s2 12
⇒
]t = π [s
,
3 t π sin 2 3
= ϕ
⇒
]t = π [s
3 1 t π cos , 2 3 3
= &ϕ
⇒
]t = π [s
&ϕ& = − 3 1 π sin t , 6 3 3
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ 5
=− 1
t=π
&=0 & y& = cos t, y
t=π
&x& = − 2 sin 2t , x ]vr = - 1 j [m/s
6 ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ r = OP = 1i 3 3 = ⇒ v tr 7 π k × 1i πj 12 12 ﻭﺒﺠﻤﻊ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ 6ﻭ ،7ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ 8
3 vP = − 1 − ]π j [m/s 12
= vtr = vP’ = ω × r
⇒
vP = vr + vtr
ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ .ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ 3 2 = = OP × ϕ& 2 ] π [m/s 2 144
64
a trn
−
z
3 2 π i 144
9
a trn = −
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ π atr = ε × r = − k × 1i 12 π a trt = − j 12
10 ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ 9ﻭ 10
3 2 π π i − j 144 12
11
a tr = −
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ
] =− 4 [m/s 2
t =π
=0
&= &x t=π
t=π
&=&y
arx = &x& = − 4 cos 2t ,arx t=π
ary = &y& = − sin t , ary ar = - 4 i
12 ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ﻓﻴﺒﻠﻎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3 3 π i 13 6 ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺒﺠﻤﻊ ﻜل ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 13 - 9 = aC
⇒
aC = 2 ω × vr = 2 ω k × -j
3 3 π π−4− π2 ) i − j 6 144 12
14
( = aP
ﺘﻨﺒﻴﻪ :ﺤل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺍﻟﺯﻤﻥ .t2 = 2πﺃﻨﻅﺭ ﺴﺅﺍل ﻡ .2.2 ﺴﺅﺍل ﻡ 20.2 ﺘﺘﺄﺭﺠﺢ ﺃﻨﺒﻭﺒﺔﹲ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﻤﺜﺒﺘﺔﹲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ OAﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ] π sin t [ rad.
1
1 3
= ϕ
ﻭﻤﻨﺫ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ] ، t = 0 [sﺇﺒﺘﺩﺃ ﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺩﺍﺨل ﺍﻷﻨﺒﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ A0ﺒﻌﻜﺱ ﻋﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ ﻭﻓﹾﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2 ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ][s
π 6
18 2 ]Rt [m π =. t
= S
ﺍﻟـﺤــل ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ][s
π 6
= ، tﻴﺩﻭﺭ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻭﻤﻌﻪ ﺍﻷﻨﺒﻭﺒﺔ ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﺒﺎﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ϕ = 30
o
3 ﻜﻤﺎ ﻴﺼل ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺩﺍﺨل ﺍﻷﻨﺒﻭﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ A1
1 ]R π [ m 2
4 ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻠﻤﻭﻀﻊ ،A1ﺭﺴﻡ 2 5 ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ
= S
⇒ v1 = v1’ + vr
65
π 3 6
=R 3
t= π 6
&v1’ = vtr = R 3 ϕ π ] [ m/s 2
6
v1’ = R
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ] vr = S& 1 = 6 R [ m/s
7
x
x ω
ω
O R
O R o
A0
ω A0
30
R
O 30o
S
A0 , t = 0
S1 ’v1 R
a1’ arn acor
π t = 6 , A1 vr
π t = 6 , A1 art y
y
ﺭﺴـﻡ 2
ﺭﺴـﻡ 1
S1
30o
ﺭﺴـﻡ 3
ﺸﻜل ﻡ 20.2 ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺘﺠﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﻭﺼﻭﻟﻪ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ ، A1ﺭﺴﻡ 3 8 ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ 2
] [ m/s
9
R 3 2 π 12
a1 = a1’ + ar + acor
=
( 0.5 Rπ)2 R 3
=
'v12 R 3
= a1’ = a1’n
ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ar = arn + art v2 S& 2 2 = arn = r ] = 36 R [ m/s R R ] && = 36R [ m/s2 art = S π
10 11 ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ 12
] ⇒ acor = 2 π R 3 [ m/s 2
.
3 6R
π 6
⋅ acor = 2⋅ϕ& 1⋅ vr = 2
ﺴﺅﺍل ﻡ 21.2 ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﺯﻡ ،ﺭﺴـــﻡ ،1ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ADﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ] .ω = 2 [ rad/sﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BC؟
ﺍﻟـﺤـل ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﺯﻡ ﻤﻥ ﺫﺭﺍﻋﻴﻥ ،ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﻗﻭﺴﻲ ADﻭﺍﻵﺨﺭ BCﻭﺍﻟﻤﺭﺘﺒﻁﺎﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ .C ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ’C’∈ AD ،C 66
C m 0.9 0.76
m
B
vC
ω
2 1.9
D
t
n
A
acor
aCt
aCC’t
’vCC
C
D 0.49
1.52
β
aCn O
0.9
ﺭﺴـﻡ 1
ϕ
γ = α−β
α
a C ’n
1.7
t
aCC’n
ω
0.76
ωB
’vC
B
1.52
0.49
A
n b2 b1
’vCC b
vC
ﺭﺴـﻡ 3
a vC’ α
β
ﺭﺴـــﻡ 2 )180-(α +β
c O
ﺸﻜل ﻡ 21.2 ]vC’ = AC × ω = 1.7 × 2 ⇒ vC’ = 3.4 [m/s
1
ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Cﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺴﻬﻤﺎﻨﻲ ،ﺭﺴﻡ ،2ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺒﻁ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ vCﻤﻊ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ’C ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ AD ’vC = vC’ + vCC
2
ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ،Cabﺭﺴﻡ :2ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﺨﻁ Caﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ACﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،Cﻭﺒﻁﻭل 3.4ﻭﺤﺩﺓ )ﻁﻭل( .ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﺨﻁ ab1ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ aﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻴﺔ )ﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﻴﺭﺴﻡ ﺍﻟﺨﻁ ab1ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ Cﻭﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺴﻲ( .ﻭﻨﺭﺴﻡ ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺍﻟﺨﻁ Cb2ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ CBﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) Cﻭﺒﺩﻭﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻁﻭﻟﻪ( ﺤﺘﻰ ﻴﺘﻼﻗﻰ ﻤﻊ ab1 ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .bﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺩﻗﻴﻕ ﻟﻠﻤﺜﻠﺙ Cabﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ vCﻭ ’ ،vCCﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﺴﻁﺭﺓ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﻭﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻏﻴﺭ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ .ﻟﺫﻟﻙ ﺘﹸﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﻴﺏ .ﻓﻠﻠﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ،Cabﻨﻜﺘﺏ vC 'v C ' v CC = = 3 sin α sin β )sin (α + β ﻭﻤﻥ ﺭﺴﻡ 3ﻴﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ .β = arc sin(0.49/0.9) = 33 ،α = arc sin(1.52/1.7) = 63.4ﻨﺤﺴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 1ﻭ 3 o
ﺍﻟﺴﺭﻋﺘﻴﻥ 4 ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BC 5
o
]& vCC’ = 6.2 [m/s ]ωB = 6.2 [rad./s
⇒
]vC = 5.6 [m/s vC 5.6 = BC 0.9
= ωB
ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻨﺯﻟﻕ Cﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ + acor
6 67
’aCC
= aC’ +
aC
+ aCC’t + acor
7
aCn + aCt = aC’n + aCC’ n
ﺤﻴﺙ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺴﻡ .3ﻓﻨﺤﻠﻠﻬﺎ ﺠﻤﻴﻌﺄ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭ/ﺃﻭ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﻨﺒﺩﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ]aCn = 34.8 [m/s2
8
⇒ aCn = BC × ω B2 = 0.9× 6.22
ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺩﻋﺎﻤﺔ Bﻭﺨﻁ ﻋﻤﻠﻬﺎ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ .CBﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ aCt = BC × εB
9 ﺨﻁ ﻋﻤﻠﻬﺎ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ،CBﻨﻔﺘﺭﻀﻪ ﻤﻊ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ .ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ
⇒ aC’ = aC’n = AC × ω = 1.7 × 2
2
10
2
] aC’n = 6.8 [m/s
2
ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺩﻋﺎﻤﺔ Aﻭﺨﻁ ﻋﻤﻠﻬﺎ )ﺍﻟﺨﻁ( .CAﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﺎﻥ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻴﺘﺎﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ] ⇒ aCC’n = 20 [m/s 2
11
2 'v CC 6.2 2 = R 192 .
= aCC’n
aCC’t = R ε ⇒ aCC’t = 1.92 ε
12
ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻴﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻨﺤﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺴﻲ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ﻋﻤﻭﺩﻴﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،ﻨﻔﺘﺭﻀﻬﺎ ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ .ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ] acor = 2 ω × vr = 2 × 2 × 6.2 ⇒ acor = 24.8 [m/s 2
13
ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺃﻭﻻﹰ ωﺜﻡ vrﻭِﻓﻘﺎﹰ ﻟﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ .ﻭﻷﻨﻨﺎ ﻨﺭﻏﺏ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ εBﻟﻠﺫﺭﺍﻉ BCﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻲ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ aCC’tﻓﺈﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺘﻴﻬﻤﺎ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7 ﻤﺭﺘﻴﻥ :ﺃﻭﻻﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ COﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺫﺭﺍﻉ BC Eq 7 : CO ⇒ aCn cos β - aCt sin β = aC’n cos α + aCC’n - acor ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺒﻘﻴﻤﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺃﻋﻼﻩ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ 34.8 cos 33 - 0.9 εB × sin 33 = 6.8 cos 63.4 + 20 - 24.8 ] εB = - 63.6 k [rad./s 2
14
& ] εB = 63.6 [rad./s 2
Eq 7 : CB ⇒ aCn = - aC’n cos[180 - (α+β)] + aCC’t sinβ + aCC’n cosβ - acor cosβ ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺒﻘﻴﻤﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺃﻋﻼﻩ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ 34.8 = - 6.8 cos[180 - (63.4+33)] + aCC’t sin 33 + 20 cos 33 - 24.8 cos33 ﻟﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺴﻲ 2
] aCC’t = 72.7 [m/s
ﻭﻤﻨﻬﺎ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺫﺭﺍﻉ ﺍﻟﻘﻭﺴﻲ 15
] aCC’t = 1.92× ε ⇒ ε = 37.86 [rad./s ] & ε = - 37.86 k [rad./s 2
2
68
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻫﻨﺭﻱ ﻜﻴﺴﻨﺠﺭ:
....ﻟﻘﺩ ﻜﺎﻥ ﻟﻨﺎ ﺜﻭﺭﺘﻨﺎ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻨﻴﺔ ،ﺃﻤﺎ ﻫﻡ)ﺍﻟﺸﺭﻗﻴﻭﻥ( ﻓﻠﻡ ﻴﻜﻥ ﻟﻬﻡ ﺫﻟﻙ.
ﺇﺩﻭﺍﺭﺩ ﺴﻌﻴﺩ ،ﺍﻹﺴﺘﺸﺭﺍﻕ ،ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﻤﺅﺴﺴﺔ ﺍﻷﺒﺤﺎﺙ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ،
،1995ﺹ .77
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ
LAWS OF DYNAMICS
1.3ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ
ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻫﻲ ﻗﺴﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ .ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻓﺕ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ﺒﺄﻨﻬﺎ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻭﻫﻲ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ .ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘِﻴﻜﺎ ﻓﻠﻡ ﺘﹸﺫﻜﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺃﺒﺩﺍﹰ ،ﺇﺫ ﺩﺭﺴﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﺍﻟﺒﺤﺘﺔ .ﻏﻴﺭ ﺃﻥ ﻗﻭﻯ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓﹰ،
ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭ /ﺃﻭ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﻋﻼﻭﺓﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻭﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ. ﻭﻜﻤﺎ ﺘﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ،ﻓﻘﺩ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ
ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻻ ﻤﺠﺎل ﻟﺫﻜﺭﻫﺎ ﺍﻵﻥ ،ﻭﻗﺩ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﺜﻨﻴﻥ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﻜﻠﻬﺎ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﻘﻭﺓ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ )ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ( ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻗﻭﺓ ﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻴﻪ .ﻭﺒﻭﺠﻪٍ ﻋﺎﻡ ،ﻓﺎﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﻠﻡ ﻴﺄﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻔﻌﺎﻟﺔ ،ﻭﻗﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻟﻨﻔﺱ
ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻋﻠﻰ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ.
ﺇﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻟﺠﺴﻡٍ ﻤﺎ ،ﻫﻭ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﺭﻉ ﺃﻭ ﺃﺒﻁﺄ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺃﻜﺜﺭ ﺒﻁﺀ ﻤﻤﺎ ﻓﻲ ﺠﺴﻡٍ ﺁﺨﺭ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ
ﻗﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﻭل ﻴﻜﻭﻥ ﺃﻜﺜﺭ ﻗﺼﻭﺭﺍﹰ ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ .ﻭﺘﻌﺘﻤﺩ ﺩﺭﺠﺔ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﺎ
ﻴﺤﺘﻭﻴﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﺎﺩﺓ .ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﻬﺎ ﻤﺎ ﻴﺤﺘﻭﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﻤﺎﺩﺓ ﻭﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻗﻭﺓ
ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺒﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﻤﻭﺠﺒﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ. 69
ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻓﺈﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻓﻘﻁ ،ﻭﺇﻨﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻭﻋﻠﻰ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ ،ﺃﻱ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﻜﺘﻠﻬﺎ .ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ
ﻨﻐﹸﺽ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻓﻲ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ،ﻨﻭﺭﺩ ﻤﻔﻬﻭﻤﺎﹰ ﺠﺩﻴﺩﺍﹰ ﻫﻭ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .particleﻭﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺄﻨﻪ ﻋﻨﺼﺭ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺫﻭ ﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔﹶ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻭﻴﻤﻜﻥ
ﺍﻫﻤﺎﻟﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ .ﻭﺘﺼﻨﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻜﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ :ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ rectilinear translation motionﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ .curvilinear motionﻭﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻴﻪ ،ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﻭﻜﺒﺎﹰ ﻤﺎ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﺃﻭ ﻗﺫﻴﻔﺔ ﻤﺩﻓﻊٍ ﻋﻨﺩ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺩﺍﻫﺎ ،ﺃﻭ ﺒﺭﻭﺘﻭﻨﺎﹰ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭﻉٍ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﻤﺎﺩﻴﺎﹰ. ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺘﺴﺒﻕ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
،System of Particlesﺃﻭﺤﺘﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .Rigid Bodyﻭﻟﻬﺫﺍ ﻴﻘﺴﻡ ﻤﻨﻬﺞ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﺎﺩﺓﹰ ﺇﻟﻰ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻜﻤﺎ ﺘﹸﻘﺴﻡ ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ :ﺍﻷﻭﻟﻰ :ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ )ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ( ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ( ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻫﺫﺍ ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ. 2.3ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ،ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ Inertial Motion
ﺇﻨﻬﺎ ﻟﻤﻼﺤﻅﺔﹲ ﻤﺄﻟﻭﻓﺔﹲ ﺃﻥ ﻨﺠﻌل ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ﻓﻭﻕ ﺴﻁﺢٍ ﻤﺴﺘﻭٍ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻨﺘﻴﺠﺔﹶ ﺩﻓﻌﻪ ﺃﻭ ﺴﺤﺒﻪ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺩﺴﺭﻩ
)ﺩﻓﻌﻪ ﺒﺸﺩﺓٍ( ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺎﹰ .ﻓﻌﻨﺩ ﺯﻭﺍل ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﺍﻟﻤﺴﺒﺏ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻴﺴﻜﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺤﺩﺕ ﺒﺄﺭﺴﻁﻭ، ﻭﻤﻥ ﺠﺎﺀ ﺒﻌﺩﻩ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﻭﺍﻟﻔﻼﺴﻔﺔ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ،ﺃﻥ ﻴﻔﺘﺭﺽ ﺒﺄﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ )ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ(
ﺘﺘﻁﻠﺏ ﺩﺴﺭﺍﹰ ﻤﺘﻭﺍﺘﺭﺍﹰ؛ ﺃﻱ ﻗﻭﺓﹰ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻤﺅﺜﺭﺓﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻷﻭل ،ﺍﻋﺘﻘﺩ ﺃﺭﺴﻁﻭ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺼﻔﺘﻪ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ )ﻭﺯﻨﻪ( ،ﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺜﻘﻴل ﺃﺴﺭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺨﻑ ﻭﺯﻨﺎﹰ .ﻭﻜﺎﻥ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ،ﻓﻲ ﺒﻭﺍﻜﻴﺭ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ ﻋﺸﺭ ﺃﻭل ﻤﻥ ﺭﺃﻯ ﺍﻟﺨﻁﺄ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ .ﺇﺫ ﺃﺩﺭﻙ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻨﻅﺭﺓ ﺍﻟﻤﺒﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺩﺭﺍﻙ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻻ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﻨﻅﺭﻴﺔﹰ ﺨﺎﻁﺌﺔ .ﻭﺒﺎﺩﺭ ﻭﻗﺩ ﻋﺩِﻡ ﺍﻟﻭﺴﻴﻠﺔ ﻷﻥ ﻴﻭﺠﺩ ﻓﺭﺍﻏﺎﹰ ،ﺇﻟﻰ ﺩﺤﺭﺠﺔ
ﻜﺭﺍﺕٍ ﺫﻭﺍﺕ ﺃﺤﺠﺎﻡٍ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﻭﺡٍ ﻤﺎﺌﻠﺔ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺒﻴﻨﺕ ﺃﻥ ﺍﻹﻨﺤﺩﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﻭﺡ ﺍﻟﻤﺎﺌﻠﺔ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺃﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺠﻤﻴﻌﻬﺎ ﺘﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﻤﻌﺩلٍ ﺜﺎﺒﺕ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎ ﻋﻨﺩ ﺴﻘﻭﻁﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﺩﻟﻴﺎﺕ ﺍﻨﺒﺜﻘﺕ ﻋﻥ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻨﻭﺘﹾﻨِﻴﺔ ،ﻟﻡ ﺘﻜﻥ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻟﺩﻯ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ،ﻓﻜﺎﻥ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻥ ﻴﺸﻕ ﻁﺭﻴﻘﻪ
ﺒﻨﻔﺴﻪ.
ﻭﻜﺎﻥ ﺃﺭﺴﻁﻭ ﻗﺩ ﻋﺭﻑ ﻨﺼﻑ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ -ﻴﻤﻴل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻜﻥ ﻟﻠﺒﻘﺎﺀ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ .ﺇﺫ ﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﻜﺎﻓﻴﺎﹰ ﻟﻠﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺃﺭﺽٍ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺒﺎﻗﺘﻨﺎﻋﻪ ﺒﻜﻭﻥ ﻜﻭﺒﺭﻨﻴﻜﺱ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺭﺽ ،ﺘﺤﺴﺱ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ﻁﺭﻴﻘﻪ ﺒﺤﺜﺎﹰ ﻋﻥ
ﺍﻟﻨﺼﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ -ﻴﻤﻴل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻟﻠﺒﻘﺎﺀ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ .ﻓﺎﺴﺘﺤﺩﺙ ﺭﺤﻠﺔﹰ ﺒﺤﺭﻴﺔﹰ ﺸﻴﻘﺔﹰ ﻟﺴﻔﻴﻨﺔٍ ﺘﺘﺤﺭﻙ
ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻭﺒﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻭﺫﻟﻙ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭﻫﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺤﺭ ﺒﻼ ﺤﺭﺍﻙ .ﻭﻓﻲ ﻤﻌﺭﺽ ﻤﻘﺎﺭﻨﺎﺘﻪ ﻟﻔﻌﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺒﺤﺭﻴﻥ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺭﺤﻠﺔ ﻤﻊ ﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﻔﻴﻨﺔ ﺘﺄﻜﺩ ﻟﻪ ﺘﻜﺎﻓﺅ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺒﺎﻟﺘﻤﺎﻡ .ﺇﺫ ﻻ ﻴﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ
ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻭ ﻓﻴﻬﺎ ،ﺃﻫﻲ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺃﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ﺃﺨﻔﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﺨﻼﺼﻪ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ 70
ﺘﻌﻤﻴﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ .ﻓﺒﻘﻲ ﺃﺴﻴﺭ ﺍﻓﺘﺭﺍﺽٍ ﻗﹶﺭﻭﺴﻁﱢﻲ ﺨﺎﻁﺊ ﻴﺴﺘﻨﺩ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﻔﻌﻭل ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻴﻨﺠﻡ ﻋﻥ ﻨﺯﻭﻉٍ ﺩﺍﺨﻠﻲٍ ﻻ ﻋﻥ ﻤﺠﺭﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻋﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻜﻤﺎ ﻟﻡ ﻴﺴﺘﻁﻊ ﺘﺤﺭﻴﺭ ﻨﻔﺴﻪ ﻓﻜﺭﻴﺎﹰ ﻤﻥ ﺃﻏﻼل ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ .ﻭﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﻜﺎﻥ
)ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ( ﺍﻟﺨﺎﺹ ﺒﺎﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁﺔ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺩﻋﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻷﻭل ،ﻟﻬﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻴﺸﻭﺒﻪ ﺍﻟﺨﻁﺄ ﻭﺃﺨﻁﺄﻩ ﺍﻟﺼﻭﺍﺏ. ﺃﻤﺎ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻓﻘﺩ ﺃﻓﻠﺢ ﺩﻭﻥ ﺘﺭﺩﺩ ﻓﻲ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺇﻟﻰ ﻤﺎ ﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻭﺃﻋﻠﻨﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ
ﺍﻷﻭل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ :ﻴﻅل ﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ،ﺃﻭ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﺒﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻤﺎ ﻟﻡ ﺘﹸﺅﺜﺭ
ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻭﺓﹲ ﺘﹸﻐﹶﻴﺭ ﻤﻥ ﺤﺎﻟﺘﻪ ﻫﺫﻩ .ﺃﻭ ﺒﺘﻌﺎﺒﻴﺭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔٍ ﻭﻟﻐﻭﻴﺔٍ :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،F = 0ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﻜﻭﻥ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،a = 0ﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ .v = const.ﺃﻱ ﺃﻥ ﻗﻭﺓﹰ ﺼﻔﺭﻴﺔ ﺘﺴﺘﻠﺯﻡ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﺼﻔﺭﻴﺎﹰ )ﺃﻭ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﺴﺭﺠﻬﺔﹰ ﺜﺎﺒﺘـﺔﹰ(.
ﻟﻘﺩ ﺸﻜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﻬﻡ ﺍﻟﺩﻗﻴﻕ ﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ لﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﻠﹼﺒِﻨﹶﺔﹶ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ﺼﺭﺡ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ .ﺇﺫ ﺍﺴﺘﻨﺩ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺍﻟﻭﺍﻀﺤﺔ :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﻲ ﺤﺭﻜﺔﹲ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻓﺈﻥ
ﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺭﺍﻡ ﻤﺩﺍﺭﻴﺔﹰ ﻓﻌﻼﹰ ﻭﻤﺘﺴﺎﺭﻋﺔﹰ ﻴﻘﺘﻀﻲ ﺘﻔﺴﻴﺭﺍﹰ ﻤﻌﻴﻨﺎﹰ .ﺇﺫ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﺘﺅﺜﺭ ﻗﻭﺓﹰ ﻤﺎ ﻟﻜﻲ ﺘﺤﺭﻑ ﺍﻟﺠﺭﻡ
ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ ﻋﻥ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺇﻟﻰ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ .ﻭﻟﻘﺩ ﻭﺠﺩ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺘﻨﺎﺴﺒﺔﹲ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ
ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻭﺍﻟﺸﻤﺱ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﺔ ﻟﻪ -ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻡ .universal law of gravitation
ﻜﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺘﻴﻥ ﺃﻭ ﺍﻜﺜﺭ ﻤﺅﺜﺭﺘﻴﻥ
ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ .ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺒﺎﻟﻌﻜﺱ :ﺇﺫﺍ ﻟﻭﺤﻅ ﺃﻥ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺩﻭﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ، ﻭﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺒﻴﺩ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺫﺍ ﺩﻻﻟﺔ ﺨﺎﺼﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﻨﻰ ﺒﺩﻭﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻘﻭﺓ .ﺇﻥ ﻏﻴﺎﺏ )ﺘﺄﺜﻴﺭ( ﺍﻟﻘﻭﺓ ً ﺠﺴﻡ ﻤﻌﺯﻭل ،isolated bodyﻋﻨﺩﻫﺎ ﻴﺴﺘﺤﻭﺫ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻋﻠﻰ
ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻻﻨﻌﺯﺍل .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ﻟﻨﻴﻭﺘﻥ :ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻌﺯﻭل ﺍﻟﺤﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭﺍﺕ
ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ.
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺨﺒﺭﺘﻨﺎ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﹸﻜﹶﻴﻔﹸﻨﺎ ﻷﻥ ﻨﻔﻜﺭ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔٍ ﺃﺭﺴﻁﻭِﻴﺔ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻨﻴﻭﺘﹾﻨِﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻀﺎﻉٍ ﻋﺎﺩﻴﺔ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﺒﻜﺎﹰ ،ﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺒﺴﺎﻁﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ .ﻤﺜﻼﹰ ،ﺘﺤﺘﻡ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﻨﺯﻋﺘﻨﺎ
ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺭﺩ ﺒﺎﻹﻴﺠﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل :ﻫل ﺘﺅﺜﺭ ﺃﻴﺔﹸ ﻗﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻏﻭﺍﺹٍ ﻫﻭﺍﺌﻲ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺴﻘﻭﻁﻪ ﺒﺎﻟﻤﻅﻠﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ؟ ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺠﻭﺍﺒﻨﺎ ﺍﻻﻴﺠﺎﺒﻲ ﻫﺫﺍ ،ﻤﺴﺘﻨﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻟﻜﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺴﺘﻜﻭﻥ
ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻐﻭﺍﺹ ﺍﻟﻬﻭﺍﺌﻲ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﻘﻭﺓ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﺘﺒﻁل ﻤﻔﻌﻭل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ.
71
ﺃُﻁﹸﺭِ ﺍﻹﺴﻨﹶﺎﺩ Frames of Reference
ﺘﺴﺘﻨﺩ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺨﺎﺹ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕٍ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ .ﻭﺘﹸﺤﺩﺩ ﻋﺎﺩﺓ
ﻨﻘﻁﺔﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ .ﻓﻠﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻴﻜﻔﻲ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻭﺍﺤﺩ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻠﺯﻡ
ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻥ ﺇﺜﻨﺎﻥ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ،ﻭﺜﻼﺜﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥٍ ﺜﻼﺜﻲ ﺍﻷﺒﻌﺎﺩ .ﻭﻜل ﻨﻅﺎﻡٍ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ
ﻴﻨﻁﻭﻱ ﻋﻠﻰ ﻨﹸﻘﻁﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ،ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ،ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﺕٍ ﻤﻌﻴﻨﺔٍ ﺃﻭ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻭﺘﻌﻠﻴﻤﺎﺕ ،ﺘﺤﺩﺩ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻭﺍﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ .ﻭﻟﻴﺱ ﺜﹶﻤﺔﹶ ﻤﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔٍ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ،ﻓﻬﻨﺎﻙ ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ
ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻨﺎﺴﺒﺎﹰ ﻟﻤﻌﻀﻼﺕٍ ﺨﺎﺼﺔ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻨﻅﻤﺔﹰ ﻗﻠﻴﻠﺔﹰ ﻨﺴﺒﻴﺎﹰ ﺘﹸﺴﺘﺨﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﻨﻁﺎﻕ ﻭﺍﺴﻊ. ﻭﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺸﻴﻭﻋﺎﹰ :ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﻭﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺔ )ﺍﻟﻜﹸﺭﻴﺔ(.
ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ ،ﺘﺸﻜل ﻨﻘﻁﺔﹸ ﺃﺼلٍ ﻤﻊ ﻓﺌﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺎ ﻴﺩﻋﻰ ﺒﺈﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩ .ﻭﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﻫﻭ ﻓﻜﺭﺓ ﺃﺸﻤل ﻤﻥ
ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ .ﻓﻤﻥ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﻀﻤﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﺩﺩٍ ﻤﺘﻨﻭﻉٍ ﻤﻥ ﺃﻨﻅﻤﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻴﺘﻡ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻏﻠﺏ ﻟﻜﻲ ﺘﺭﺘﺒﻁ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﺎﻷﺸﻴﺎﺀ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ .ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻱ
ﺠﺴﻡٍ ﺠﺎﺴﻲﺀ ﺃﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺌﺔ ،ﻤﺜل ﻋﺭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺒﻨﺩﻭﻻﹰ ﺒﺴﻴﻁﺎﹰ ﺃﻭ ﺤﺎﻤﻠﺔﹸ ﻁﺎﺌﺭﺍﺕٍ ﺃﻭ ﻤﺭﻜﺯ
ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺃﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯﺍﹰ ﻹﻁﺎﺭٍ ﺇﺴﻨﺎﺩ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻌﺭﻑ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺒﺈﻨﻪ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺭﻯ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ﻤﻥ ﺨﻼﻟﻬﺎ. ﻭﺤﺘﻰ ﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﻌﻨﺎﻩ ،ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﺈﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﻌﻴﻥ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻏﻠﺏ ﺇﻟﻰ ﻓﺌﺔٍ
ﻤﻌﻴﻨﺔٍ ﻤﻥ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ .ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﻘﻕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺒﺄﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ .inertial frames of referenceﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩﻴﺔ ﺃﻁﺭ ﻤﻜﺎﻨﻴﺔﹲ ﺒﺤﺘﺔﹲ ،ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻭﻤﺴﺘﻘﺭﺓﹲ ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ ،ﻭﻓﻲ
ﺃﻓﻀل ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻭﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ -ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻤﻁﻠﻕ .ﻭﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺒﻁﺒﻴﻌﺘﻪِ ﻭﻤﺭﻜﺯﻩ ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺯﻭﻻﹰ ﻋﻥ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺘﻁﺎﺒﻕ ﻤﺭﻜﺯ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﻤﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﻭﻥ.
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ،ﺭﻏﻡ ﻜل ﺍﻟﺩﻗﺔ ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ،ﺃﻀﺤﺕ ﻏﻴﺭ ﻋﻤﻠﻴﺔ .ﻓﺤﺭﻜﺔ ﺴﻠﺤﻔﺎﺓٍ ﺘﺯﺤﻑ
ﻟﺠﺤﺭِﻫﺎ ﺃﻭ ﺤﺭﻜﺔ ﻗﺫﻴﻔﺔٍ ﺼﺎﺭﻭﺨﻴﺔٍ ﻋﺎﺒﺭﺓٍ ﻟﻠﻘﺎﺭﺍﺕ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻟﻬﺩﻓﻬﺎ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔٍ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔٍ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭٍ
ﺯﺍﺌﺩﻱ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻻ ﻴﺘﻡ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﻘﻴﺩ .ﺇﺫ ﺘﺴﺘﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻴﺘﻴﻥ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓﹶ ﺇﻟﻰ ﻤﻭﻗﻊ ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻁﻼﻗﻬﻤﺎ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺃﺼلٍ ﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﻌﻴﻥ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ .ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﻻ ﻴﻜﻭﻥ ﺼﺎﻟﺤﺎﹰ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ،ﺇﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻨﺩﻫﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻷﻓﻀل ﻭﺍﻷﺩﻕ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺃﺼلٍ ﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﻗﺼﻭﺭﻱ .ﻭﻟﺫﻟﻙ
ﻴﻌﺭﻑﹸ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺒﺄﻨﻪ ﺫﺍﻙ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﺠﺴﻡٍ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﺇﺫﺍ ﺘﺄﺜﺭ ﻓﻘﻁ ﺒﻘﻭﺓ
ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ،ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﻋﺩﻡ ﺘﺄﺜﺭﻩ ﺒﺄﻴﺔِ ﻗﻭﺓ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻪ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺫﻭ ﺭﺘﺒﺔٍ ﺃﺩﻨﻰ ﻤﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﻴﺩ
ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ؛ ﻓﻤﻭﻗﻊ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻁﺎﺌﺭﺓٍ ﻴﻜﻔﻲ ﻜﺈﻁﺎﺭٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ
ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻻ ﻴﻜﻔﻲ ﺫﻟﻙ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔٍ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﺘﻨﻁﻠﻕ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻘﻤﺭ.
ﻋﻨﺩﻫﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻷﻤﺜل ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ،ﻟﻜﻥ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻤﺩﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻴﺯﻙٍ ﻴﻐﻭﺹ ﻓﻲ ﺃﻋﻤﺎﻕ ﺍﻟﻜﻭﻥ .ﻟﺤﻅﺘﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻫﻭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ .ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ،ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ
ﺍﻟﻅﺭﻑ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻫﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺩﻯ ﺒﻜﻭﺒﺭﻨﻴﻜﺱ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺜﻭﺭﺓ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ،ﺍﻟﺘﻲ ﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻜﻤﺭﻜﺯ ﺜﺎﺒﺕٍ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ. ﻭﻨﺤﻥ ﻨﻌﻠﻡ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻟﻴﺴﺕ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ،ﺇﺫ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﻀﺌﻴلٍ ﺠﺩﺍﹰ ﺠﺩﺍﹰ. 72
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ Inertial Mass
ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﹶﻡِ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓﹶ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ .ﻟﻘﺩ ﺍﻨﻁﻠﻕ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) F ( t2 - t 1 ) = m ( v2 - v1
1.3
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ،ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ، impulseﺭﻤﺯﻩ ، P = F (t2 - t1) ، Pﻭﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ change of
، momentumﺭﻤﺯﻩ . ∆K = m (v2 - v1) ، ∆Kﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.3ﺃﻗﺭﺏ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻋﺒﺭ ﺒﻪ
ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺜﺎﺒﺕﹸ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، mﺒﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺃﻭ ﺒﺒﺴﺎﻁﻪ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ v1 ، 1
ﻭ v2ﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ t1ﻭ . t2ﺃﻤﺎ ﺃﻭﻴﻠﺭ Eulerﻓﻘﺩ ﻗﺎﻡ ﺒﻘﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.3ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆t = t2 - t1ﻓﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ∆v ∆t
=m
v 2 − v1 t 2 − t1
F = m
ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ∆v dv = m ∆t dt
F = m lim
∆t → 0
ﺃﻭ ﺒﺸﻜل ﺁﺨﺭ F = ma
2.3 dv ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ aﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻪ dt
= . aﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.3ﺘﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ
ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺃﺨﺭﻯ :ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓﹸ )ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ( ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺇﺫﺍ ﺃﺜﺭﺕ ﻋﺩﺓ ﻗﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﺈﻥ ﻜل ﻗﻭﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺘﹸﻜﺴِﺏ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻜﺴﺒﻪ ﺇﻴﺎﻩ ﻓﻴﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﺜﺭﺕ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻟﻭﺤﺩﻫﺎ.
ﻭﻜﻲ ﻨﺘﺩﺒﺭ ﻤﺩﻟﻭل ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻨﺘﺨﻴل ﺭﺍﺌﺩﻱ ﻓﻀﺎﺀٍ ﻴﺤﻭﻤﺎﻥ ﺒﺤﺭﻴﺔ ﺩﺍﺨل ﻗﹶﻤﺭﺓ ﺴﻔﻴﻨﺘﻬﻤﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ
ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﻭﺯﻥ .ﻓﻬﻤﺎ ﻴﻌﻭﻤﺎﻥ ﺒﻌﻴﺩﺍﹰ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺍﻟﺒﻌﺽ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻨﻔﺼﺎﻟﻬﻤﺎ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺭﺍﺌﺩﺍﹰ ﻨﺤﻴﻼﹰ ﺍﻨﻁﻠﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺁﺨﺭ ﺒﺩﻴﻨﺎﹰ .ﺇﺫ ﻨﻌﺯﻭ ﺫﻟﻙ ﺇﻟﻰ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻷﺼﻐﺭ ،ﻭﺒﺨﺎﺼﺔٍ ﻜﺘﻠﺔ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻷﺼﻐﺭ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻜﺭﺓﹰ ﻤﻘﺫﻭﻓﺔﹰ ﻤﻥ ﺭﺍﺌﺩِ ﻓﻀﺎﺀِ ﻤﻨﻔﺭﺩ ﻭﻋﺎﺌﻡ ﻓﻲ ﻭﺴﻁ ﺍﻟﻘﻤﺭﺓ ﺴﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻫﺎﺌﻠﺔٍ ﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻗﺎﺫﻓﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﺘﺩ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ 1
ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻨﻴﻭﺘﻥ :ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ،ﻭﺘﺤﺩﺙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﻓﻴﻪ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻘﻭﺓ .ﻫﺫﻩ ﻫﻲ ﺘﺭﺠﻤﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﺒﺎﻻﺘﻴﻨﻴﺔ .ﻭﻫﻭ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ،ﻟﺫﺍ ﻴﺘﻭﺠﺏ ﻨﻘل ﻋﺒﺎﺭﺘﻪ ﺘﻠﻙ ﻟﺘﻨﻁﻕ ﺒﺎﻟﻤﺼﻁﻠﺢ ﺍﻟﺤﺩﻴﺙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﺩﻓﻊ .ﺍﻨﻅﺭ :ﻓﻭﺭﺩ ﻭ .ﻙ .ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﺩﻴﺜﺔ ،ﻤﺠﻠﺩ 1ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ .ﺹ .349 73
ﺍﻟﻤﻀﺎﺩ ﺒﺘﺅﺩﻩ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻨﻁﻠﻘﺕ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺃﺴﺭﻉ ﻤﻥ ﺭﺍﺌﺩ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺄﺭﺒﻌﻤﺌﺔ ﻤﺭﺓ ،ﻓﻤﺎ ﻤﺭﺩ ﺫﻟﻙ ﺇﻻ ﻹﻥ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻫﻲ ﺠﺯﺀ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺃﺭﺒﻌﻤﺌﺔ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺭﺍﺌﺩ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﻤﻘﺎﻭﻤﺘﻬﺎ ﻟﻠﺸﺭﻭﻉ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﺇﺫﻥ ،ﻫﻲ ﺃﻗل ﺒﺄﺭﺒﻌﻤﺌﺔ ﻤﺭﺓ. ﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 2.3ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﺘﺠﺎﻫﻲ .ﻓﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ )ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ( ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ،ﺒِﻐﹶﺽ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻋﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﻻ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ
ﺃﻴ ﹶﺔ ﺼِﻠﹶﺔٍ ﺴﺒﺒﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﺇﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺤﺩٍ ﻤﺎ ﺃﻥ ﻨﻔﻜﺭ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﻜﺄﻨﻬﺎ ﺍﻟﺴﺒﺏ ،ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﺄﻨﻪ
ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ .ﻜﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ﻤﻨﻁﻘﻴﺎﹰ -ﺴﻭﺍﺀ ﺒﺴﻭﺍﺀ -ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﺴﺒﺏ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺒل ﺇﻨﻪ ﻟﻤﻥ ﺍﻷﺴﻬل ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻔﻜﺭ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ .ﻓﺒِﻭﺴﻌﻨﺎ ﺍﻟﻘﻭل ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﻤﺎﻡ )ﻴﺠﻌﻠﻨﺎ( ﻨﺸﻌﺭ ﺒﻘﻭﺓٍ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔٍ ﺁﺘﻴﺔٍ
ﻤﻥ ﺨﻠﻑ ﺍﻟﻤﻘﻌﺩ .ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻥ ﺍﻷﻤﺭ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ 2.3ﺒﻭﺼﻔﻬﺎ ﺃﺤﺩ ﻨﻭﺍﻤﻴﺱ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ،ﺘﻨﺹ ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﺭﺩﺍﻥ ﻤﻌﺎﹰ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔٍ ﻤﻌﻴﻨﺔ.
ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﻜل ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻗﺭﺏ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ،Fgravﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺎﹰ ﻟﻭﺯﻥ
ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﺘﺅﺜﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺃﻡ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ .ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﻘﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻷﻨﺴﺏ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ .ﻭﻗﺩ ﺒﻴﻨﹶﺕ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺃﻥ ﻜلﱠ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺴﻘﻭﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉٍ ﻗﻠﻴل ،ﻭﺒﺎﻫﻤﺎل ﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻟﻬﺎ
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ .gﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻫﻭ ﻗﻴﺎﺱ ﺴﺎﻜﻥ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﺯﻭﺩﻨﺎ ﺒﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕٍ ﻫﺎﻤﺔٍ ﻋﻥ ﻗﻭﺓٍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔٍ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔٍ ﻭﻤﺴﺘﻘﻠﺔٍ ﻋﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ. ﻭﺘﺴﻔﺭ ﺩﺭﺍﺴﺎﺕ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﻘﺎﺌﻕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﺒﺎﻟﻘﺭﺏ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ -ﻟﺩﺭﺠﺔ
ﺠﻴﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺏ -ﻤﺴﺘﻘﻼﹰ ﻋﻥ ﻤﻭﻀﻌﻪ .ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔﹰ ﻋﻥ ﻨﻭﻉ ﺃﻭ ﺤﺎﻟﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ .ﻭﺍﻷﻫﻡ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﻭﺫﺍﻙ ،ﺃﻥ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﻨﺎﺴﺒﺎﹰ ﻜﻭﻨﻴﺎﹰ ﻟﻜل ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﻭﺴﺎﺌﺭ ﺍﻷﺤﺠﺎﻡ.
ﻭﻨﻅﺭﺍﹰ ﻟﻠﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ( ،ﻓﻐﺎﻟﺒﺎﹰ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺨﻠﻁﹲ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻴﻥ
ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻤﻴﻥ .ﻓﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﻓﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺜﺎﺒﺕِ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﻫﻲ ﻤﻘﻴﺎﺱ
ﻟﻠﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭﻟﺔ ﻀﺩ ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻡٍ ﺨﺎﻀﻊٍ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ .ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻫﻭ -ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻪ
ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ -ﻤﻘﻴﺎﺱ ﻟﺸﺩﺓ ﺍﺴﺘﺠﺎﺒﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ .ﻭﻗﺩ ﻅلﱠ ﺘﻨﺎﺴﺒﻬﻤﺎ )ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ( ﺍﻟﻁﺭﺩﻱ ،ﺍﻟﺫﻱ
ﺍﻜﺘﺸﻔﻪ ﻨﻴﻭﺘﻥ ،ﻟﻐﺯﺍﹰ ﻏﺎﻤﻀﺎﹰ ﻷﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻗﺭﻨﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺤﺘﻰ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ .ﻫﺫﺍ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ
ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ ﺒﻴﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ Fgravﻭﻜﻠﺘﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ mﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ = mg
Fgrav
ﺤﻴﺙ gﺜﺎﺒﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ .ﻓﺈﺫﺍ ﺍﺨﺘﻴﺭ ﻤﺤﻭﺭ ، zﻤﻊ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ،kﻟﻨﻅﺎﻡٍ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲٍ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ،ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺸﻴﺭ ﺇﻟﻰ
ﺍﻷﻋﻠﻰ ،ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ
= -mgk
74
Fgrav
ﻭﻤﻊ ﺃﻥ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ gﻴﻜﻭﻥ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﻤﺴﺘﻘﻼﹰ ﻋﻥ ﺤﺠﻡ ﻭﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﻭﺯﻭﻨﺔ ،ﺇﻻ ﺃﻨﱠﻪ ﻴﺘﻔﺎﻭﺕ ﻗﻠﻴﻼﹰ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻊٍ ﻵﺨﺭ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ )ﺯﺍﻭﻴﺔ( ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ .ﻭﺇﻥ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ 2
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻫﺫﺍ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻟﹶﺘﹸﺒﻴﻥ ﺃﻥ ،gﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻜﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻉ .ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ = ma
Fgrav
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻴﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ،ﻴﻨﺘﺞ ﻟﻠﺘﱠﻭ ﺃﻥ a = g
= -gk
&
a
ﻭﻫﺫﺍ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺜﺎﺒﺕﹲ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻟﻸﺴﻔل ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ 9.8ﻤﺘﺭ/ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺭﺒﻴﻊ ل)ﺯﺍﻭﻴﺔ( ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ .ϕ = 31 45ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺩﻋﻰ ’
o
gﻋﺎﺩﺓﹰ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ . acceleration of gravity 2
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ Newton’s Third Law
ﻴﺅﺜﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻼﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻘﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ.
ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
Fij = Fji
3.3
ﻭﺍﺼﻁﻼﺤﺎﹰ ،ﺴﻨﺠﻌل ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﺴﻔﻠﻲ ﺍﻷﻭل iﻴﺩل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺄﺜﺭ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ،ﻭﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﺴﻔﻠﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ jﻴﺩل ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ .ﻭﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺘﻌﻤﻴﻤﺎﹰ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻜﺎﻷﺘﻲ :ﺘﺭﺩ ﻜل ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻓﻲ ﺃﺯﻭﺍﺝ
ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔٍ ﻭﻤﺘﻀﺎﺩﺓ .ﻴﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻴﺤﺘﺎﺝ ﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻪ ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﺘﻔﺎﻋﻠﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ،ﻋﻠﻰ ﻋﻜﺱ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻨﻴﻥ
ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻠﺫﻴﻥ ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺘﻬﻤﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺃﺠﺴﺎﻡٍ ﺃﻭ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻤﻨﻔﺭﺩﺓ.
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺼﻴﺎﻏﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻻ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻜﺜﻴﺭﺍﹰ ﻋﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻨﻔﺴﻪ ﻟﻠﻘﺎﻨﻭﻥ :ﻟﻜل ﻓﻌل ﻴﻭﺠﺩ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻤﺴﺎﻭٍ ﻭﻤﻀﺎﺩ؛ ﺃﻭ ﺇﻥ ﺍﻟﻔﻌﻠﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﻴﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻴﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﻭﻴﺘﻀﺎﺩﺍﻥ .ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻪ ﻟﻜﻠﻤﺔ ﻓﻌلٍ
ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﻜﻠﻤﺔ ﻗﻭﺓ ﻏﻴﺭ ﻭﺍﻀﺢ ﺍﻟﻤﻌﺎﻟﻡ . 3
2
ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺩﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ international gravity formula -3 2 -6 2 ) g = 9.781 ( 1 + 0.53×10 sin φ - 5.9×10 sin 2φ 2 ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ] go = 9.781 [m /sﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﺒﺤﺭ ﻋﻨﺩ ﺨﻁﱢ ﺍﻻﺴﺘﻭﺍﺀ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺩﺱ ،ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ φ = 31 45ﻴﺴﺎﻭﻱ ] .g = 9.795 [m/sﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻊ ﻭﺍﻟﺒﻨﺩ 2.7ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ. ’
3
o
2
ﺭﺒﻤﺎ ﻗﺼﺩ ﺒﺫﻟﻙ ﺸﻤﻭل ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻓﻌل ﻤﻔﻬﻭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ،ﻭﻟﺭﺒﻤﺎ ﻓﻘﻁ ﻟﺴﺒﺏٍ ﻟﻐﻭﻱٍ ﻤﻔﺎﺩﻩ ﺃﻥ ﻜﻠﻤﺔ ﻓﻌل ،actionﻟﻬﺎ ﻀﺩ ﻤﻨﺎﺴﺏ ،ﺭﺩ ﻓﻌل ،reactionﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺃﻥ ﻗﻭﺓ ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻤﺜل ﺫﻟﻙ .ﺃﻨﻅﺭ :ﻓﻭﺭﺩ ﻭ .ﻙ .ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﺍﻟﻜﻼﺴﻴﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺤﺩﻴﺜﺔ، ﻤﺠﻠﺩ 1ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ .ﺹ .349
75
ﻭﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﻤﻅﺎﻫﺭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺘﻭﺠﺏ ﺍﻟﻔﻬﻡ ،ﻫﻭ ﺃﻨﻪ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻗﻭﺓ ﻭﻟﻴﺱ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔٍ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ .ﻓﻬﻭ ﻻ ﻴﻔﺼﺢ ﺒﺄﻱ ﺸﻲﺀٍ ،ﻻ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﻻ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺎﻜﻥ ﻭﺍﻟﺘﻲ
ﺘﻨﺸﺄ ﻋﻥ ﺃﻱ ﺸﻲﺀٍ ﺁﺨﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻭﻻ ﻋﻥ ﻨﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﻴﻥ .ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل
ﻴﻨﹸﺹ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ :ﺇﺫﺍ ﺘﺄﺜﺭ ﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﻔل ﺒﻘﻭﺓِ ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ،Fﺇﻨﺠﺫﺒﺕ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻷﻋﻠﻰ ﺒﻤﺤﺼﻠﺔِ ﻗﻭﺓٍ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ﺃﻴﻀﺎﹰ ،Fﺒِﻐﹶﺽ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻋﻥ ﺃﻴﺔ ﻗﻭﻯ ﺃﺨﺭﻯ ﻗﺩ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﺒِﻐﹶﺽ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻋﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺃﻭ ﻴﺴﺘﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻀﺩﺓ .ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ
ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ )ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ( ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ -ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻗﻭﺓ ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻲ
ﻭﺍﺤﺩﺓﹲ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻸﺭﺽ ﻫﻲ ﻤﺠﺭﺩ ﻗﻭﺓٍ ﻭﺍﺤﺩﺓٍ
ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﺒﻤﻭﺠﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺎﺘﺎﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻭﻤﺘﻀﺎﺩﺘﻴﻥ ،ﺃﻱ ﺃﻨﻬﻤﺎ ﺯﻭﺝ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭ.
ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺴﺎﻋﺩﻨﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ .ﻓﺎﻷﺭﺽ ﻻ ﺘﺸﺩ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ
ﺒﻘﻭﺓ ﺠﺎﺫﺒﻴﺘﻬﺎ ﻓﺤﺴﺏ ،ﺒل ﺇﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻷﺠﺭﺍﻡ ﺘﻔﻌل ﺍﻟﺸﻲﺀ ﺫﺍﺘﻪ ﻓﺘﺘﻌﺭﺽ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻘﻭﻯ ﺠﺎﺫﺒﻴﺘﻬﺎ )ﺍﻷﺠﺭﺍﻡ( .ﻭﺇﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺎﺩل ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻟﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺘﻌﻘﻴﺩﺍﺕٍ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ .ﻓﺎﻟﻤﺸﺘﺭﻱ ﻤﺜﻼﹰ ،ﺒﻀﺨﺎﻤﺔ
ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻴﺸﻭﺵ ﻋﻠﻰ ﻤﺩﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﻤﺠﺎﻭﺭ ﻟﻪ ،ﺃﻱ ﺯﺤل.
ﻭﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻓﺈﻥ ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻴﺨﻀﻊ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،ﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﻋﺩﻡ ﻅﻬﻭﺭ ﻫﺎﺘﻴﻥ
ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎل .ﺇﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻻﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺘﺠﺫﺒﻬﺎ ﺇﻟﻴﻬﺎ ،ﻭﻟﻜﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺘﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻟﻴﻬﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ .ﻭﺒﻌﺒﺎﺭﺓٍ ﺃﺩﻕ ،ﻓﺈﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ،ﺘﺴﻘﻁﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺍﻟﺒﻌﺽ ،ﻭﻟﻜﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺴﻘﻭﻁ
ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ .ﻓﺎﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺠﺫﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩل
ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ،ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻗﺩﺭﻩ 9.8ﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺭﺒﻴﻊ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻴﻘل ﻋﻥ
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﺇﻟﻰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ .ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺒﻌﺩﺩٍ ﻻ ﻤﺘﻨﺎﻩٍ
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﻴﺠﻌل ﺍﻷﺭﺽ ﻻ ﺘﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ ﺇﻻ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭٍ ﻀﺌﻴلٍ ﺠﺩﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻩ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﺒﺏ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﺘﺴﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﻗﻭﻟﻨﺎ ﺒﺄﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﺤﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﺘﺴﻘﻁﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺍﻟﺒﻌﺽ.
3.3ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻷﺒﻌﺎﺩ
Units and Dimensions
ﺘﻘﺎﺱ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﻨﻭﻋﻴﺎﹰ ﺒِﻭﺤﺩﺍﺕٍ ﺒﻌﺩِﻴﺔٍ ﻭﻜﻤﻴﺎﹰ ﺒِﻭﺤﺩﺍﺕِ ﻋﺩﺩﻴﺔ .ﺇﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔٍ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ ﻭﻫﻲ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ .ﺇﻥ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻷﻱ ﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩ ﺫﻜﺭﻫﺎ ﺘﺤﺩﺩ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﺸﺘﻘﺎﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻔﺴﻪ .ﻟﻘﺩ ﺍﺼﻁﹸﻠِﺢ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺘﹶﻲ ﺍﻟﻁﻭل ] [Lﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ] [Tﺘﻜﻭﻨﺎﻥ ﺃﺴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ ،ﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ
ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺘﺼﺒﺢ ﻤﻤﻴﺯﺓﹲ ] .[LT2ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺃﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺘﻴﻥ ،ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺴﺘﻜﻭﻥ
ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ .ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ:
76
-1ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﹾﻠﹶﻘﹶﺔ Absolute Systems of Units
ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻁﻭل ] [Lﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ] [Tﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ] [Mﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﹶﺘﹸﺸﹾﺘﹶﻕﱡ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﺘﻌﺭﻑ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻶﺯﻤﺔ ﻻﻜﺴﺎﺏ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﻭﺤﺩﺓ ﺘﺴﺎﺭﻉ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟِﻲ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ SIﻤﺠﻤﻭﻋ ﹶﺔ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻤﻁﻠﻘﺔٍ ﺤﻴﺙ ﻴﻘﺎﺱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ
ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺭﺒﻴﻊ ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﺘﻘﺎﺱ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻤﺎﺕ .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻓﺈﻥ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﺤﺩﺘﻴﻥ
ﺍﻟﺒﺎﻗﻴﺘﻴﻥ ﺴﺘﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻜﹾﺴِﺏ ﻜﺘﻠﺔﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻭﺍﺤﺩ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﻤﺘﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺭﺒﻴﻊ. 4
ﻭﺘﻌﺭﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ] .1[N]=1[ kg.m/s2ﻜﻤﺎ ﻴﻨﹾﺘﹶﻤﻲ ﻨﻅﺎﻡ ﺱ ﻍ ﺙ ، CGSﻭﻭﺤﺩﺍﺘﻪ ﺍﻟﺴﻨﺘﻤﺘﺭ ﻟﻠﻁﻭل
ﻭﺍﻟﻐﺭﺍﻡ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ﻤﺜﻠﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟِﻲ ﻟﻠﻭﺤﺩﺍﺕ
.SIﻭﺘﻘﺎﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺒﺎﻟﺩﺍﻴﻥ ] ،[dyneﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺒـﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹶﻜﹾﺴﺒﻬﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻐﺭﺍﻡ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ﺴﻨﺘﻤﺘﺭ ﻭﺍﺤﺩ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﺭﺒﻴﻊ.
-2ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﺘﺜﺎﻗﻠﻴﺔ Gravitational Systems of Units
ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻟﻁﻭل ] ،[Lﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ] ،[Tﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ] [Fﻭﺤﺩﺍﺕ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﺘﺸﺘﻕ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ .ﻭﺘﻌﺭﻑ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒـﺎﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﻭﺤﺩﺓ ﻗﻭﺓ .ﺃﻤﺎ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﺘﻌﺭﻑ ﺒﻘﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻜﺘﻠﺔٍ ﻋﻴﺎﺭﻴﺔٍ .Standard Massﻭﺇﺫﺍ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻗﻊ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻓﺴﺘﺘﻐﻴﺭ
ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺠﺎﻟﻬﺎ ﺍﻷﺭﻀﻲ ،ﺃﻱ ﻤﻭﻗﻌﻬﺎ .ﺇﻥ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﺜﺎﻗﻠﻴﺔ ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻋﻨﺩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺠﺎل ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﺽ .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺒﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ.
4.3ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﻯ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،Pﻜﺘﻠﺘﻪ ،mﻭﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ
F2
ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ..... F3 ، F2 ، F1ﻭ Fnﺍﻟﺘﻲ ﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ )
F1
ﻤﺘﱠﺠﻬﻬﺎ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ( ،F = F1 + F2 + F3 +..... + Fn ،Fﺸﻜل .1.3 ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ rﻴﻌﺭﻑ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ aﻴﻌﺭﻑ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،35.2
d 2r dt 2
F3 P r
F
= ، aﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ
ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺘﻡ ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻜلٍ ﻤﻥ Fﻭ aﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺘﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ
Fn
ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.3 4.3
4
F4
O d 2r dt 2
F =m
CGSﻤﺨﺘﺼﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻹﻨﺠﻠﻴﺯﻴﺔ . Centimeter Gram Second
77
ﺸﻜل 1.3
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺘﺼﻠﺢ ﻟﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺎﹰ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺄﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ .ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4.3ﺃﺸﻜﺎﻻﹰ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ .ﻓﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.4.3
Fx i + Fy j + Fz k = m ax i + m ay j + m az k
ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ Fn en + Ft et = m an en + m at et
2.4.3
ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ Fr er + Fϕ eϕ = m ar er + m aϕ eϕ
3.4.3
ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ. ﺤـل ﺍﻟﻤﺴـﺎﺌـل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻋﻠﻰ ﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل - 1ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻹﻁﺎﺭِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﻤﻨﻁﺒﻘﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻗﺩﺭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻥ. - 2ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻁﺒﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻗﺩﺭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻥ.
- 3ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ arbitraryﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺴﻡ ،ﻭﻟﻴﺱ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊٍ ﺨﺎﺹٍ ﻟﻪ ﻜﺎﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ. - 4ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﱠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ،ﻭﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،4.3ﺃﻭ ﺇﺤﺩﻯ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ. - 5ﺤلﱡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ( ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﺒﺎﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﺯﻡ ﺫﻟﻙ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺜﺎﺒﺕ ﺃﻭ ﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ.
ﻭﻜﻤﺎ ﺫﻜﺭ ﺴﺎﺒﻘﺎﹰ ﻓﻲ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ،ﻴﻭﺠﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﻤﺴﺄﻟﺘﺎﻥ .ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺤل ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ
ﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓٍ ﻤﺤﺩﺩﺓ ،ﻭﻫﻲ ﻟﺫﻟﻙ ﺍﻷﻋﻘﺩ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﻭ ﺒﺂﺨﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕٍ ﺜﻼﺙ ﻫﻲ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺤلﱠ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﻘﺩﺍﹰ ﻭﻓﻲ ﺃﺤﺴﻥ ﺍﻷﺤﻭﺍل ﺴﻴﻜﻭﻥ ﺤﻼﹰ ﻋﺎﻤﺎﹰ .ﻟﺫﻟﻙ،
ﻴﻘﺘﺼﺭ ﺤﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺌلَ ﻤﺤﺩﺩﺓٍ ،ﻜﺄﻥ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻤﻨﻔﺭﺩ. ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 5.3
dv ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ، dt
)m a = F(t
= ، aﻓﺈﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.3ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻴﻬﺎ
ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ
t
1 F( t) dt m
∫
6.3
0
78
v = vo +
dr ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ، dt
= ، vﻓﺈﻥ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.3ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ
ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ t
1
0
t
∫ m ∫ F( t) dt dt
7.3
ﺤﻴﺙ ﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺎﻥ roﻭ voﻜﺜﺎﺒﺘﻲ ﺘﻜﺎﻤل ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﻬﻤﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل.
r = ro + v o t +
0
ﺴﺅﺍل ﻡ 1.3 ﺍﻭﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ 5ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻤﺎﺕ ﻭﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،F = 6t iﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻤﻥ 2
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ .ro = 5 i
ﺍﻟـﺤــل ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﻟﻼﺘﺠﺎﻩ iﻴﻜﻭﻥ 2
⇒ 5 dvx /dt = 6t
)m a = F(t
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ،ﺤﻴﺙ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ vxo = 0 vx
t
3
dt ⇒ vx = 0.4 t
2
∫ dv = ∫ 12. t x
0
0
ﻭﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ t
dt
3
x
∫ dx = ∫ 0.4 t 0
⇒ vx = dx / dt
5
ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻘﻁﻭﻋﺔ ﺒﻌﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻭﺍﻷﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ
4
x = 0.1 t + 5 ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )m a = F(v
8.3
ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ dv =a dt
ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.3ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻪ ﺜﹸﻡ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺯﻤﻥ t
9.3
})t = f { v , vo , F(v
⇒
dv
v
∫ F(v ) = ∫ dt 0
m
vo
ﺃﻭ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺴﺭﺠﻬﺔ 10.3 dr ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل dt
} )v = g { t , vo , F(v
= vﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺜﹸﻡ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 79
t
11.3
) r = h ( t , vo , F(v) , ro
∫
⇒ r = g { t , v o , F(v ) } d t + ro 0
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ g ، fﻭ hﺩﻭﺍلٌ ﻤﺤﺩﺩﺓ. ﺴﺅﺍل ﻡ 2.3 ﺃﻭﺠﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻤﺘﺹ ﺍﻟﺼﺩﻤﺎﺕ ﺍﻟﺨﻁﻲ linear damperﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ mﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﻫﺘﺯﺍﺯ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ،F = - kvﺤﻴﺙ kﺜﺎﺒﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﻭ vﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻷﻤﺘﺎﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﺇﺫﺍ ﻨﺎﻅﺭﺕ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ to = 0ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ voﻋﻨﺩﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻤﻤﺘﺹ ﺍﻟﺼﺩﻤﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ .x o = 0ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ .i
ﺍﻟـﺤـل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 1
⇒
m ax = - k v
ma=Fi
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ axﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ،ﺜﻡ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤل ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ m v ln k vo
t
t =−
⇒
∫ dt 0
dv = v
v
∫
vo
m k
−
ﺃﻭ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺴﺭﻋﺔ −kt / m
2
v =vo e
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ m vo 3 =x ) ( 1 − e − kt / m k
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )m a = F(r
12.3 dv a = vﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،12.3ﺜﹸ ﻡ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ dr r
1 m ( v 2 − v o2 ) = F(r ) d r 2
∫
13.3
r0
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﻠﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻀﻤﻨﻲ implicitﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ) )r = q ( ro , vo , v , F(r
14.3
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ qﺩﺍﻟﺔﹲ ﻤﺤﺩﺩﺓ. ﺴﺅﺍل ﻡ 3.3
ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺠﺴﻴ ٍﻡ ﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ a=3x ] - x/4 [m/s 1 ﺍﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺫﺍﺕ ﻗﻴﻤﺔٍ ﺤﺩﻴﺔ .ﻭﻤﺎ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ vmax؟ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺫﻭ ﻜﺘﻠﺔٍ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ 2
ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ،ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺩﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔٍ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ).Po(0,0,0 80
2/3
ﺍﻟـﺤــل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ 2
} - x/4
][N
2/3
F = ma = 1 × { 3 x
ﻭﺘﻜﻭﻥ ) ﺍﻟﻘﻭﺓ ( ﺫﺍﺕ ﻗﻴﻤﺔٍ ﺤﺩﻴﺔ )ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ( ﺇﺫﺍ ﺴﺎﻭﻴﻨﺎ ﻤﺸﺘﻘﺘﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ xﺒﺎﻟﺼﻔﺭ .ﻓﻨﻜﺘﺏ 3
dF −1/ 3 1 = 2 x ⇒ − =0 dx 4
]x = 512 [m
dv ﻨﺤﺩﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺎﻓﺔ xﻓﻨﻌﻭﺽ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ dr ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
a = vﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﻭل ﺒﻌﺩ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻭﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ
1 9 ⇒ v 2 = 2 x5/3 − x 2 8 5
4
1 vdv = 3 x 2 / 3 − x dx 4
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ] x = 512 [mﻨﺠﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ]v = 228.97 [m/s
5
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ )ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ( ﻓﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ )ﺃﻭ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ( ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﺎﻟﺼﻔﺭ .ﻓﻨﻜﺘﺏ 1 1/ 3 3 − x = 0 4
6 ﻭﺤﻠﻬﺎ ﻴﻌﻁﻲ 7
dv 2 9 5 2/ 3 2 = 2 x − x = 2 x 2 / 3 dx 5 3 8
]x 1 = 0 & x2 = 1728 [m
]F[N
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل x 1ﻓﻲ
64
اﻟﺴﺮﻋﺔ
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ 5ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭﻯ min. valueﺒﻴﻨﻤﺎ
8
ﺍﻓﺤﺹ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ aﻟﻠﻘﻴﻤﺘﻴﻥ x 1ﻭ .x 2
229
0 ]x [m
1728
512
ﺗﻐﯿﺮ اﻟﻘﻮة واﻟﺴﺮﻋﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﻤﺴ ﺎﻓﺔ
ﺴﺅﺍل ﻡ : 3.3ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ 4.3
ﺃﻭﺠﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺼﻨﺩﻭﻕ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ 12ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ 10 = tﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭ 20 = tﺜﺎﻨﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻓﻘﻲ ﻭﺨﺸﻥ ،ﻤﻌﺎﻤل ﺍﺤﺘﻜﺎﻜﻪ ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ،0.2 = µsﻭﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ،0.186 = µdﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺴﺤﺏ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﺒﻘﻭﺓ ﺃﻓﻘﻴﺔ Fﺘﺘﻐﻴﺭ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ .2
ﺍﻟـﺤـل ﻨﺤﺩﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ Oﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﻨﻤﺩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oxﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ .ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻫﻲ
81
386
اﻟﻘﻮة
ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل x2ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ .max. valueﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜﻭﻥ ]vmin = 0 & vmax = 386.4 [m/s
]v[m/s
0
ـﺎﺏ ﺍﻟﺒـــ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ
CONSTRAINT MOTION OF A PARTICLE
1.4ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺤﺭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ Constraint, Principle of Freedom
ﻟﻘﺩ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺄﺜﺭ ﺒﻘﻭﺓٍ ﺃﻭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ .ﻭﻗﺩ
ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺤﺩﺩﺓﹰ ﺒﻤﺴﺎﺭﻫﺎ ﺍﻟﻭﻫﻤﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺎﻤﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ.
ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ،ﺘﺘﺒﻊ ﺒﻌﺽ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﻤﺘﺄﺜﺭﺓ ﺒﻘﻭﻯ ﻤﻌﻴﻨﺔٍ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻤﺴﺎﺭﺍﹰ ﻭﺍﻀﺤﺎﹰ ﻭﻤﻠﻤﻭﺴﺎﹰ،
ﻜﺎﻨﺯﻻﻕ ﻋﺭﺒﺔٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻜﺔ ﺤﺩﻴﺩ ﺃﻭ ﺤﺭﻜﺔ ﺤﻠﻘﺔٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻠﻙٍ ﻤﻨﺤﻥٍ .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻟﻡ ﻴﺄﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﻻ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ،ﺒل ﻤﻥ ﺠﺴﻡٍ ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡٍ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ
ﺘﺄﺜﻴﺭﺍﹰ ﻤﺘﺼﻼﹰ ،ﺘﹶﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻭﺘﻠﺯﻤﻪ ﺒﻤﺴﺎﺭ ﻤﺤﺩﺩ .ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﻁﺔ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﺎﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻴﺩﺍﹰ. ﻭﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ
z
ﻤﻌﻴـﻥ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻤﻌﻠﻭﻡ ،ﻭﻴـﻜﻭﻥ ﻤﺠﺒﺭﺍﹰ
y
ﻋﻠﻰ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜـﻴﺭ ﻗﻭﻯ ﻤﻌﻴﻨﺔٍ
)P(0,-R.0 O
ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ،ﻜﻤﺎ ﺘﺩﻋﻰ ﺤﺭﻜـﺘـﻪ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜـﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ .ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺃﻭ
I
ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﺨﻁ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺠﺒﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺴﻴﺭ ﻋﻠﻴﻪ ،ﻤﺘﻼﺼﻘﺎﹰ ﺒﻪ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺃﻥ ﺘﹸﺤﻘﹼﻕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
x
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ.
ﺸﻜل 1.4 93
ﻟﻨﺘﺄﻤل ﺤﺭﻜﺔ ﻜﹸﺭﻴﺔٍ ﺩﺍﺨل ﻗﻨﺎﺓٍ ﺍﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻘـﻁـﻊ ﻭﺃﻓﻘﻴﺔ ،ﺸﻜل .1.4ﻓﺒﻌﺩ ﺩﻓﻌﺔٍ ﻗﻠﻴﻠﺔ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ox
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ) ،(0,-R,0ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻜﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻘﻨﺎﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﻠﻤﺴﺎﺭ ،Ιﻭﺩﻭﻨﻤﺎ ﻗﻔﺯٍ ﺃﻭ ﺍﻨﻔﺼﺎل ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ .ﺇﻥ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﻥ ﻨﻘﺎﻁ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﺴﺘﺤﻘﻕ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ -ﺍﻟﻘﻨﺎﺓ ﺍﻻﺴﻁﻭﺍﻨﻴﺔ = 0
2
2
2
f(x, y, z) = y + z - R
ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ،ﻓﻌﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ،ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ،ﺇﺫ
ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﹸﺤﻘِﻕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅـﺔٍ ،ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ.
ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻭﺭﺩ ،ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤـﻘﻴـﺩﺍﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻷﻱ ﺴﺒﺏٍ ﻤﺤﺩﺩﺓﹰ ﺒﻤﺴﺎﺭٍ ﻤﻌﺭﻭﻑ ،ﻜﺄﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺭﺒﻭﻁﺎﹰ ﺒﺨﻴﻁ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺘﻌﻠﻴﻕ ﺃﻭ ﻤﻨﺯﻟﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ ﻤﺤﺩﺩ ،ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺭﺘﺒﻁﺎﹰ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﻴﻼﺼﻘﻪ ﻭﻴﻨﺯﻟﻕ ﻋﻠﻴﻪ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺤﺭﺍﹰ ﻤﻥ ﻗﻴﻭﺩﻩ ﻭﺤﺭﺍﹰ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻤﺘﻰ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺒﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ
)ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ( ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ .ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﻫﻲ ،Fﻭﺃﻥ Rﻫﻲ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺠﻤﻴﻊ
ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
ma = F + R
1.4
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ aﻤﺘﹼﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭ mﻜﺘﻠﺘﻪ .ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺒﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟِﻬﺎ ﺒﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺤﺭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ. 2.4ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﺃﻨﻭﺍﻋﻪ ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻭﺩﻭﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭٍ ﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺘﺭﻜﻴﺒﻪ ﺃﻭ ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺄﺨﺫﻩ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺭﺍﺝ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎﹰ ﻟﺘﺄﺨﺫ
ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻀﻤﻨﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
f ( t , r , r& ) = 0
2.4
ﻭﻟﺫﻟﻙ؛ ﻓﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟـﻘـﻴـﺩ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ rﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ & . rﻭﻗﺩ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻻ ﻤﺠﺎل ﻟﺫﻜﺭﻫﺎ ﺍﻵﻥ .ﺃﻱ ﻤﺘﻐﻴﺭٍ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ r ،tﻭ & rﻴﻜﹾﺴِﺏ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺘﺴﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ .ﻓﺎﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ∂f ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺼﺭﺍﺤﺔﹰ= 0 ، ∂t
،ﻴﺩﻋﻰ ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻘﺭ .stationaryﻭﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻴﺴﻤﻰ
ﺒﺎﻟﻬﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻲ )ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ( .holonomicﻭﻫﻨﺎﻙ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻹﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ scleronomicﺍﻟﺘﻲ ﺘﹶﺴﺘﻭﻓﻲ ﺍﻟﺸﹶﺭﻁﻴﻥ
ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ﻓﻼ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻭﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﻬﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ -ﺘﹸﺩﻋﻰ ﺒﺎﻟﺭﻴﻭﻨﻭﻤﻴﺔ - ،rheonomicﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺼﺭﺍﺤﺔﹰ ﻭﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ .ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺭﻴﻭﻨﻭﻤﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ f(t,r) = 0
ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺴﻴﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻘﺘﺼﺭ ﺍﻟﻌﻤل ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻭﻱ ﻗﻴﻭﺩﺍﹰ ﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺘﺄﺨﺫ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ f ( r ) = f (x,y,z) = 0
3.4
ﻭﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺘﻅﻬﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺨﻴﻭﻁٍ ،ﻗﻀﺒﺎﻥ ،ﻤﻔﺎﺼل،
ﻤﺴﺎﻨﺩ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﻤﻨﺤﻨﻴﺎﺕٍ ﺴﻠﻜﻴﺔ ﺃﻭ ﻏﻴﺭﻫﺎ ،ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺴﻁﻭﺡٍ ﻴﺠﺒﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﺎل ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﻪ 94
ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﻀﻤﻥ ﻤﺴﺎﺭٍ ﻤﺤﺩﺩ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﻜل ﺁﻟﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﻤﻘﻴﺩﺍﹰ ﻴﺤﻭﻱ ﻋﺩﺓ ﻗﻴﻭﺩ .ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺤﺎﻤل ﺍﻟﺜﻘل Pﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ﺸﻜل ،4.5ﻗﻀﻴﺒﺎﹰ ﻋﺩﻴﻡ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﻭﺒﻨﻔﺱ ﻁﻭل ﺍﻟﺨﻴﻁ،
ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺴﻴﺠﺒﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﻘﻭﺱ ،PoPﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺇﻤﺎ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕ
ﺃﻭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ yﻭ .zﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﻤﻔﺼل ﻭﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻴﺸﻜﻼﻥ ﻗﻴﺩﺍﹰ )ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ( ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ Oﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ OPﻴﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴـﻁﺢ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴـﻁﺢ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻤﺎﺱ .ﻭﺘﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ،ﺤﻴﻥ ﻴﺘﻼﺸـﻰ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻴﺔ .ideal constraintsﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻜﻘﻭﺓ ﺇﻋﺎﻗﺔ ﺒﺎﻟﻘﻴﻭﺩ
ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ .real constraints
3.4ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ 1.3.4ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﺴﻁﺢٍ ﺃﻤﻠﺱ ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺎﹰ ﻭﺃﻤﻠﺴﺎﹰ ﻴﺘﻤﺜل ﻜﺴﻁﺢٍ ﻤﻨﺤﻥ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ،3.4ﻓﺈﻥ ﺭﺩ ﻓﻌﻠﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﹰ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ﺒﺴﺒﺏ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ،ﺸﻜل .2.4ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻴﺩ Rﺒِﺭﺩ ﻓﻌﻠﻪ
،Nﻭ Fﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻜﻭﺯﻨﻪ m gﻤﺜﻼﹰ ،ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.4ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ
2
dx =m&x& = Fx + Nx dt2 d2y m 2 = m&y& = Fy + Ny dt d2z m 2 = m&z& = Fz + Nz dt m
4.4
n
z
N F P
f
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺘﺤﻭﻱ ﺴﺘﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ،ﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل
ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ y ،xﻭ ،zﻭﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴلٍ ﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،Nx Nyﻭ .Nzﻭﺒﺎﻷﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ 3.4ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،4.4ﻜﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﺭﺒﻊ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻠﺯﻤﻨﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ
ﺇﻀﺎﻓﻴﺘﻴﻥ ﻟﺤلّ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟـﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ.
r
zP y
O xP
yP ﺸﻜل 2.4
ﻭﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﺩﻴﻬﻴﺔ ﺍﻟﻘﺎﺌﻠﺔ ﺒﺄﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻴﻪ ،ﻹﻟﻐﺎﺀ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ
ﺝ grad f 1ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺭﻜـﺔ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺭﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊ ﺘﻼﻤﺱ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ Pﻤﺘﹼﺠِﻪ ﺍﻟﺘﹶﺩﺭ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻭﻤﻨﻁﹶﺒﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤـﺤـﺩﺩ .Pnﺃﻱ ﺃﻥ
1
ﺍﻟﺘﹶﺩﺭﺝ ﺃﻭ ﺍﻻﻨﺤﺩﺍﺭ gradientﻴﻜﺘﺏ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ grad fﺃﻭ ،∇fﻭﻴﻘﺭﺃ ) del fﺩِلْ (fﺃﻭ ) Nablaﻨﹶﺎﺒﻠﹶﻪ(. 95
x
df df ≡ en & ∇ f en 5.4 dn dn df ﻓﻬﻭ ﺍﻟﻤﺸﺘـﻘﺔ ﺤﻴﺙ enﻤﺘﹼﺠِﻪ ﻭﺤﺩﺓٍ ﻋﻤﻭﺩﻱٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ،ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻪ .df > 0ﺃﻤﺎ dn ≡ grad f
ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺴﻁﺢ .fﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﻥ :ﺍﻟﺘﹶﺩﺭﺝ gradf ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،Nﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺎﻥ ،ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ N = λ grad f
6.4
ﺤﻴﺙ λﻫﻭ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ Lagrange’s Multiplierﻟﻠﻘﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔﹰ ﺯﻤﻨﻴﺔ .ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺘﺤﻠﻴﻠﻬﺎ ﺒﺄﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻴﻐﺘﻴﻥ 7.4
∂f ∂f ∂f N = Nx i + Ny j + Nz k = λ i+λ j+λ k ∂x ∂y ∂z
ﺃﻭ ∂f ∂f ∂f , Ny = λ , Nz = λ ∂x ∂y ∂z
8.4
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل Nﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4.4ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ
Nx = λ
∂f ∂x ∂f m&y& = Fy + λ ∂y ∂f m &z& = Fz + λ ∂z m&x& = Fx + λ
9.4
ﻭﺒﺎﺌﺘﻼﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻤﻊ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ ،3.4ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺃﺭﺒﻊ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﺒﺄﺭﺒﻌﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ﻫﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ y ،xﻭ
،zﻭﻤﻀﺭﻭﺏ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ λﻓﻘﻁ .ﺇﻥ ﺤلّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ، 9.4ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺒِـ )ﺇﺠﺭﺍﺀ( ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ ﻤﺭﺘﻴﻥ ،ﻟﻨﺤﺼل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ
ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﻤﻀﺭﻭﺏ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺩﺍﻟﺔﹰ ﺯﻤﻨﻴﺔ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،9.4ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﺘﺴﻤﻰ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻷﻭل .Lagrange’s Equations of the First Kind ﺃﻤﺎ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،Nﻓﺘﹸﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ | = | λ grad f 2
10.4
2
N 2x + N2y + N 2z
=N
2
∂f ∂f ∂f + + ∂x ∂z ∂y
N =λ
ﺴﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ،bilateral 2ﻭﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻲ .ﻫﻨﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺴـﺭﺠﻬﺔ
vﻤﻨﻁﺒﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴـﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺘﹶﺩﺭﺝ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴـﻁﺢ ،ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻤﺴـﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ،grad f ⊥ v ،ﻟﻬﺫﺍ ﻓﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺃﻱ ﺃﻥ 2
ﺴﻁﺢ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ :ﺴﻁﺢ ﻤﺘﱠﺼل ﻭﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ،ﻴﻼﺼﻘﻪ ﻭﻻ ﻴﻨﻔﺼل ﻋﻨﻪ .ﻟﻤﺯﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ، ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﻌﺎﺸﺭ ،ﺹ .280
96
v ⋅ grad f = 0
11.4
ﻭﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ = 0
12.4
d grad f dt
⋅ a ⋅ grad f + v
ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ 12.4ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،mﺜﻡ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل m aﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.4ﻟﻠﻘﻴﺩ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻴﻜﻭﻥ d grad f = 0 dt
13.4
⋅ (F + N) ⋅ grad f + m v
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل Nﺒﻘﻴﻤﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،6.4ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ d ] grad f dt
14.4
⋅ [ F ⋅ grad f + v
1 2
λ=−
grad f
ﻭﻟﻴﺤﺴﺏ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.4ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﻥ ﻗﻴﻤﺔ .λ 2.3.4ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻤﻠﺱ N
N2
z
ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻤﻠﺱ ﻭﺜﺎﺒﺕ،
F
ﺸﻜل ،3.4ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺘﻌﺭﻑ ﺒﺘﻘﺎﻁﻊ
P N1
ﺴﻁﺤﻴﻥ)ﻗﻴﺩﻴﻥ( ﺃﻤﻠﺴﻴﻥ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻜلﱢ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺸﺒﻴﻬﺔﹲ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
3.4ﻤﻊ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯﻴﻥ 1ﻭ ،2ﺃﻱ ﺃﻥ f1 (x,y,z) = 0ﻭ
r
zzP P
.f2 (x,y,z) = 0ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
y f1
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺭﺩﻱ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺤﻴﻥ 1ﻭ ،2ﻭﻫﻤﺎ ﻤﺤﺩﺩﺍﻥ
ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
xP 15.4
f2
O
yP
N = N1 + N2 ﺸﻜل 3.4
ﺤﻴﺙ N1ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ N2ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻔﺴﻪ. ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل Nﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.4ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.4ﻴﻨﺘﺞ m a = F + N1 + N2
16.4
ﻭﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.4ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: m a = F + λ1 grad f1 + λ2 grad f 2
17.4
ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ،ﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 17.4ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ
1.17.4
97
∂f1 ∂f + λ2 2 ∂x ∂x
m&x& = Fx + λ 1
∂f1 ∂f + λ2 2 ∂y ∂y
m&y& = Fy + λ 1
∂f1 ∂f + λ2 2 ∂z ∂z
m&z& = Fz + λ 1
x
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.17.4ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻲ ﺍﻟﻘﻴﺩﻴﻥ f 1 (x ,y,z) = 0ﻭ f2 (x ,y,z) = 0ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔﹰ ﻤﻥ ﺨﻤﺱ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﺫﺍﺕ ﺨﻤﺴﺔ ﻤﺠﺎﻫﻴل ،ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ y ،xﻭ ،zﻭﻤﻀﺭﻭﺒﻲ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ λ1ﻭ .λ2ﺇﻥ ﺤلّ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.17.4ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﺜﹸﻡ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ،ﻴﻌﺭﻑ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻭﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .ﻭﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.4ﻨـﺠـﺩ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﺭﺩﻱ ﺍﻟﻔﻌل N1ﻭ N2 2
1.18.4 2
2.18.4
2
2
∂f1 ∂f1 ∂f1 + + ∂ x ∂ y ∂z 2
N1 = | λ1 grad f1 | = λ 1
2
∂f2 ∂f2 ∂f2 + + ∂x ∂z ∂y
N2 = | λ2 grad f2 | = λ 2
ﻜﻤﺎ ﻨﺠﺩ ،ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 14.4ﻗﻴﻤﺘﻲ ﻤﻀﺭﻭﺒﻲ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ λ1ﻭ λ2 1.19.4
d ] grad f1 dt
2.19.4
d ] grad f2 dt
1
⋅ [ F ⋅ grad f1 + v
2
⋅ [ F ⋅ grad f 2 + v
2
grad f1 1 grad f 2
λ1 = − λ2 = −
4.4ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ 1.4.4ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻤﻠﺱ ﺇﺫﺍ ﺃﺴﻘﻁﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ،1.4ﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ،R = Nﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،Ptnbﺸﻜل ،4.4
ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
m at = Ft man = Fn + Nn
20.4
mab = Fb + Nb
ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ،ﻓﺈﻥ ab = 0ﻭ ،a = an + atﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 20.4ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 48.2ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ
= Ft
1.21.4
d2S dt 2
m at = m
v2 = Fn + N n R
2.21.4
m an = m
ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ ﺘﺩﻋﻴﺎﻥ ﺒﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭﻴﻠﺭ Euler’s Equationsﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻤﻠﺱ .ﺇﻥ ﺃﻓﻀﻠﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭﻴﻠﺭ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻷﻭل ﻫﻲ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻭﻓﺭﺓ ﻭﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ
ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ،ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﻋﻠﻰ ﻋﻜﺱ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.21.4ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
98
t
22.4
dt
]o
∫ ∫ F dt + v [
t
0
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 20.4ﺭﺩ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﻐﻴﺭﻫﺎ .ﻭﻷﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺃﻥ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل .Nb = 0ﻭﺘﺅﻭل ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ
0
Osculating plane ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺘﻼﻣﺲ
ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻋﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ
ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ab = 0 ،ﻓﺈﻥ Fb= 0ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﻨﺘﺞ
t
z
b
n
t
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 20.4ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ
اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺰدوج binormal axis
F 2
23.4 24.4
d S
S = So +
= Ft dt 2 v2 m = F n + Nn R
P
m y
O
zP xP
x
yP
ﺸﻜل 4.4
1.4.4ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺨﺸﻥ
ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻴﺼﺒﺢ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل Rﻤﻜﻭﻨﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ Nﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ .Fµﻭﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻴﺔ .Fµ = µNﺇﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻴﺔ ﻜﻘﻭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ
ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.4ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺨﺸﻥ
ma = F +N + µN
25.4
ﺃﻭ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ = Ft - µN
26.4
d2S dt 2
m at = m
v2 = Fn + N R = F b + Nb
27.4
m an = m
28.4
0
ﻭﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺃﻋﻼﻩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﺒﻤﻨﺤﻨﻰ ﺃﻤﻠﺱ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 28.4-26.4ﺒﻌﺩ ﺇﻟﻐﺎﺀ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ
ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
d2 S
= Ft - µN dt 2 v2 m = F n + Nn R
29.4 30.4
99
m
5.4ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ Fi ،F
n
∑ i =1
= Fﻭﺭﺩ ﻓﻌل
ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،Nﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺘﺄﺨﺫ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .1.4ﻭﺇﺫﺍ ﻁﺭﺤﻨﺎ ﻤﻥ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺔ m aﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ F + N - ma =0
31.4
ﻭﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ،- m aﺒﻘﻭﺓ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،Fin = -m aﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ،ﻤﻊ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﻭﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻭﺤﺩﺍﺘﻬﺎ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔﹰ
ﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﻭﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ
F + N + F in = 0
32.4
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺒﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ :ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،Fﻭﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل
ﺍﻟﻘﻴﺩ ،Nﻗﻭﺓﹶ ﻗﺼﻭﺭﻩ Finﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ )ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ( ﻴﻜﻭﻥ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﻗﻴﺩﻩ ﻭﻗﻭﺓ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺇﻥ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ
ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺼﻔﺭﺍﹰ ﻻ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻻﺘﺯﺍﻥ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺘﻠﻙ
ﺍﻟﻘﻭﻯ .ﺇﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻟﺤﻅﺘﻬﺎ ﻤﺴﺘﻘﺭﺍﹰ ﻻ ﺤﺭﺍﻙ ﻓﻴﻪ .ﺃﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻓﺘﻌﻨﻲ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﻴﺒﻘﻰ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺒﻘﻲ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ؛ ﺘﹸﻀﺎﻑ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻜﻘﻭﺓٍ ﻭﻫﻤﻴﺔٍ ﻭﻟِﺘﹸﺸﹶﻜﱢل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔﹶ ﻗﻭﻯ ﻤﺘﺯﻨﺔٍ ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﺴﺘﻘﺭﺍﹰ ﻓﻌﻼ. ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻓﻲ ﺃﻥ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻫﻭ ﻓﻘﻁ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺘﻜﻭﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔٍ ﺸﺒﻴﻬﺔٍ ﺒﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ،ﻭﻟِﺘﻜﻭﻥ ﺃﻜﺜﺭ ﺒﺴﺎﻁﺔ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ .ﻭﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺴﻨﺄﺨﺫ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ:
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻓﻘﻲ ﺃﻤﻠﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ،ﺸﻜل ،5.4ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ
N
ﺍﻟﺠﺴـﻡ ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ m gﻟﻸﺴـﻔل ﻭﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻤﻠﺱ
F in
a
Nﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻭﻟﻸﻋﻠﻰ .ﻭﻷﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺘﺴـﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ a
ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ ﻤﻁﺎﺒﻕﹲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴـﻡ ،ﻓﺈﻥ ﺨﻁﱠ ﻋﻤل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻫﻭ
x
ﻨﻔﺱ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻟﻜﻥ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ؛ ﻟﻠﻴﺴـﺎﺭ. 33.4
3
y
mg
F in = - m a
ﺸﻜل 5.4
ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻴﺭ ﺫﻜﺭﻩ ﺃﻥ ﺃﻭﻴﻠﺭ L. Eulerﺃﺭﺴل ﻋﺎﻡ 1740ﺇﻟﻰ ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﻓﻲ ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺒﻁﺭﺴﺒﺭﻍ ﺒﺤﺜﺎﹰ ﻻ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ .ﻭﻗﺩ ﺼﺎﻍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﺒﺩﺀ ،ﺴﻤﻲ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻌﺩ ﺒﺎﺴﻤﻪ ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺍﻷﺼﺢ ﺃﻥ ﻴﺴﻤﻰ ﺒﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ -ﺃﻭﻴﻠﺭ.
100
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺭﻋﺔ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﺤﺩﺭ ﺍﻟﻘﻭﺴﻲ
Ft,in
ﺍﻷﻤﻠﺱ ،ﺸﻜل ،6.4ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ m gﻜﻘﻭﺓ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻭﺤﻴﺩﺓ ،ﺃﻤﺎ
Fin
N an
ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل Nﻤﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ .ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ aﻤﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ:
a
ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ،anﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻤﻨﺤﺩﺭ ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ atﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ.
P at
F n,in
ﻟﻬﺫﺍ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ Finﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ Fn,in؛ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔﹰ
ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ،ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ Ft,in؛
mg
ﻤﻭﺍﺯﻴﺔﹰ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﺃﻱ
ﺸﻜل 6.4
F in = F n,in + Ft,in = - m an - mat 34.4
6.4ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻴﻘﻭﻡ ﺤلﱡ ﺃﻏﻠﺏ ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺇﺫ ﻴﺘﻡ ﺫﻟﻙ ﺒﻤﺴﺎﺭﻴﻥ :ﺍﻷﻭل ،ﻴﻘﻭﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 9.4ﻟﻠﺴﻁﺢ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 17.4
ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻷﻤﻠﺱ ﻭﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ،λﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.4ﻭﻤﻥ ﺜﹶﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل
ﻜﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺘﹶﺩﺭﺝ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻀﺭﻭﺏ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻴﺸﻤل ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ، ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .30.4 - 23.4
ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .31.4ﻭﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺴﺒﺏ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﻭﻟﻴﺱ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊ ﺨﺎﺹ .ﺃﻤﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻓﻴﺘﻡ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ
ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺘﺩﺍﺨل ﻤﻊ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ .ﻭﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺃﻥ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﺍﺨﺘﻼﻓﺎﹰ ﺠﺫﺭﻴﺎﹰ ﻋﻥ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ .ﺇﺫ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻷﻭل ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻭﺸﻜل
ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ. ﺃﺴــﺌـﻠـﺔ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟــﺔ
z y
ﺴﺅﺍل ﻡ 1.4
O
ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺤﻠﻘﺔﹲ ،ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ،Mﻋﻠﻰ ﺴﻠﻙٍ ﻤﻌﺩﻨﻲ ﺜﺎﺒﺕٍ ﻭﺃﻤﻠﺱ ،ﺜﻨﻲ
N
ﻟﻴﺭﺴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ،y = z2ﻭﺫﻟﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻬﺎ. ﺃﻭﺠﺩ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻠﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﻭﻀﻊٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﺃﻥ
ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺘﺤﺭﻜﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ t0 = 0ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ،ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ
f1
v
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ r = ro = 0ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ )P1(0, -,-2؟ ﺸﻜل ﻡ 1.4
101
P
Mg
x
ﺍﻟﺒــــﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 1.5ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺒﻨﻲ ﺍﻟﺒﺎﺒﺎﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻭﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﺤﻭل ﺃﺭﺒﻌﺔ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡﹴ ﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﻁـﻭل ﻭﺍﻟـﺯﻤﻥ.
ﻭﻫﻲ ﻤﻔﺎﻫﻴ ﻡ ﺘﹸﺸﻜﱢل ﺃﺴﺎﺴﺎﹰ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻟﺫﺍ؛ ﻓﻌﻨﺩ ﺤل ﺃﻱ ﻤﺴﺄﻟـﺔ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ،ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺒﻤﺎ
ﻴﺭﺍﻓﻕ ﺫﻟﻙ ،ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﺸـﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﺤﺎﺠﺔ ﻟﻤﻌﺭﻓﺘﻬﺎ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ .ﻭﻟﻬـﺫﺍ ﻴﻠـﺯﻡ ﺍﺴﺘﻨﺒﺎﻁ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ،ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡﹴ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺠﺩﻴـﺩﺓ ،ﻤـﺴـﺘﻨﺒﻁﺔ ﻤـﻥ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ .ﺃﻥ ﺇﺩﺍﺭﻙ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﻴﺸﻤل ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻤﺠﺭﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺃﻭ ﻜﺘﺎﺒـﺔ
ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻬﺎ ،ﺒل ﻴﺸﻤل ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺘﻲ ،ﻭﺒﻌﺩﻫﺎ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻭﻭﺤﺩﺘﹶﻬﺎ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻋﻼﻗﺘﹸﻬﺎ ﺒﺎﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻤـﻥ ﺨـﻼل
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁﻬﺎ .ﺃﻀﻑ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻜﺘﺴﺎﺏ ﺸﻲﺀ ﻤﻥ ﺍﻹﺤﺴـﺎﺱ ﺍﻟﺤﺩﺴـﻲ ،ﻜﻨﻭﻉﹴ ﻤـﻥ ﺍﻹﺩﺭﺍﻙ ﺍﻟﻔﻭﺭﻱ ﻟﻠﻤﻔﻬﻭﻡ ،ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺇﻟﻴﻪ ﻤﻥ ﺯﻭﺍﻴﺎﹰ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻭﺒﻌﺩ ﺭﺅﻴﺘﻪ ﻤﻁﺒﻘﺎﹰ ﻓﻲ ﻤﻭﺍﻗﻑ ﻤﺘﻨﻭﻋﺔ ﻜﺎﻓﻴـﺔ ﻟﺠﻌﻠـﻪ
ﻤﺄﻟﻭﻓﺎﹰ .ﺇﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺍﻷﻤﺜل ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ،ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻓـﻲ ﻗـﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﻨﻅﺭﻴـﺎﺕ ﺠﺩﻴﺩﺓ ،ﺘﻜﻔل ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺠﻭﺍﻨﺏ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ ﻟﻠﻅﺎﻫﺭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﻩ ،ﺒﺩﻭﻥ ﺍﻟﻠﺠﻭﺀ ﺇﻟﻰ ﺩﺍﺭﺴﺔ ﺍﻟﻅـﺎﻫﺭﺓ
ﻜﻜل .ﻭﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﻭﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔـﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴـﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴـﺩﺓ
ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﻫﻲ :ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ،momentumﺍﻟﻁﱠﺎﻗﹶﺔ energyﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟـﺯﺍﻭﹺﻱ .angular momentum ﻟﻘـﺩ
ﺃﺜﺒﺘﺕ ﻜلﱡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻓﺎﺌﺩﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺤلﱢ ﻤﻌﻀﻼﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻜﺘﺴﺏ ﻜلٌ ﻤﻨﻬﺎ ﺃﻫﻤﻴﺔﹰ ﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜـﺎ ،ﺒـﺴﺒﺏ
ﻅﻬﻭﺭﻩ ﻓﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥﹴ ﻟﻠﺤﻔﻅ .ﻜﻤﺎ ﻗﺎﻭﻡ ﻜلﱞ ﻤﻨﻬﺎ ﺜﻭﺭﺘﻲ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﻌﺸﺭﻴـﻥ ،ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻜﻡ. 111
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ : ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺒﺄﻨﻪ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺒﺤﺘﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻴﺄﺨﺫ ﺒﺎﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ 1
ﻭﻜﺘﻠﺘﻪ .ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ،ﺇﻥ ﻟﻡ ﺘﹸﻭﺠﺩ ﺃﻴﺔ ﺤﺭﻜـﺔ ،ﻟﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺜﻤﺔﹶ ﺃﻱ ﺯﺨﹶﻡ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ K=mv
1.5
ﻭﺍﻟﺭﻤﺯ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻑ ﻟﻠﺯﺨﻡ ﻫﻭ m ،Kﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭ vﺴﺭﺠﻬﺘﻪ .ﻭﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺔﹲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﱢﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﻭﺒﻌﺩﻩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩﺍ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ؛ ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺘﹶﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SIﻫﻲ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﺘﺭ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ].[kgm /s
ﺍﻟﺩﻓﹾﻊ :impulseﺃﺤﺩ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺨﻼل ﻓـﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ .ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺜﺭﺕ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،Fﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ،∆tﻓﺈﻥ ﺩﻓﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻻﺌﺘﻼﻑ ،P = F∆t ،F∆tﺤﻴﺙ ﻴﺭﻤﺯ
ﻟﻠﺩﻓﻊ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ .Pﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺒﻌﺩﻩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩﺍ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ؛ ﺃﻭ ﺒﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ
ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ×ﺍﻟﻁﻭل /ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻓﺈﻥ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﻌﺭﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
ﺒـﺎﻟﺘﻜـﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ t
∫
P = Fdt
2.5
0
ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻻ ﻴﻐﻴﺏ ﻋﻥ ﺍﻟﺒﺎل ،ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔﹲ ﺯﻤﻨﻴﺔ ) .F = F(tﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻭﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻤﻥ ) ،F ≠ F(tﻓﺈﻥ ﺩﻓﻌﻬﺎ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻴﻜﻭﻥ
P =F t
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﻀﻊ ) ،F=F(rﻓﺈﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ) r = r(tﻀﺭﻭﺭﻱ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺩﻓﻊ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻠﻙ .ﺇﺫ ﻴﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺫﻟﻙ ﻭﹺﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ، ﺜﻡ ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل .2.5ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺩﺍﻟﺔ ﺴﺭﺠﻬﺔ ) ،F = F(vﻓﺈﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﻀﺭﻭﺭﻱ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺩﻓﻊ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻘﻭﺓ .ﺇﺫ ﻴﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺘﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ.
ﺍﻟﻁـﺎﻗـﺔ :ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻜﻴﻨﻭﻨﺔ ﺍﻟﻘﺎﺩﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺸﻐل ﻤﺎ ،ﺇﻤﺎ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓﹰ ﺃﻭ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺴﻠﺴﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺤﻭﻻﺕ .ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺭﺌﻴﺴﻴﺎﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻭﺍﻟﻜﻴﻤﻴﺎﺀ ﻭﻋﻠﻡ ﺍﻷﺤﻴﺎﺀ ،ﺒل ﻓﻲ ﻜل ﺤﻘل ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ،ﺒـﺎﻹﻀﺎﻓـﺔ
ﺍﻟﻰ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ .ﻭﺘﺘﻤﻴﺯ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺒﺘﻌﺩﺩ ﺍﻷﺸﻜﺎل ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﻠﺘﺯﻡ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﻴﻭﺤﺩ ﺃﺸﻜﺎﻟﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ،ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻟﻠﻁﺎﻗﺔ -ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ kinetic energyﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ potential
.energyﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴـﺔ ﻟﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﻤﺭﺒﻊ ﺴﺭﻋﺘﻪ v2 2
،T=mﺃﻤﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ )ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻤﻨﺔ( ﻓﻬﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﻤﺩﺓ ﻜﻠﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ؛
ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ) ،Π = Π(rﺤﻴﺙ rﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻁﺎﻗﺘﻴﻥ، ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﻟﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺘﺤﺭﻙ ﺘﺒﻘﻰ ﻜﻤﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ .ﻭﺒﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔﹶ ﺒﺎﻟﺯﺨﹶﻡ ،ﻨﺠـﺩ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺃﺒﺴﻁ ﻤﻥ
ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ
1
ﻟﻘﺩ ﻜﺎﻥ ﺭﻴﻨﻴﻪ ﺩﻴﻜﺎﺭﺕ ﺃﻭل ﻤﻥ ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻜﻤﻔﻬﻭﻡ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ. 112
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻤﻴﺯ ﺒﺘﻌﺩﺩ ﺍﻷﺸﻜﺎل .ﺒﻴﺩ ﺃﻨﻪ ﺃﻋﻘﺩ ﻗﻠﻴﻼﹰ ﻷﻨﻪ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺔﹲ ﻭﻟﻴﺱ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ .ﻭﺒﻌﺩ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺒﻌﺩﺍ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺘﹶﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SIﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﺘﺭ ﺘﺭﺒﻴﻊ ﻤﻘﺴﻭﻤﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ
ﺘﺭﺒﻴﻊ ،ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﺘﺭ .ﻭﺍﺌﺘﻼﻑﹸ ﻫﻜﺫﺍ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺠﻭل ].1 [J] =1[Nm ] = 1 [kgm 2/s2
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ :ﻫﻭ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ .ﻭﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺔﹲ ﻴﺄﺨﺫ ﺒﺎﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺯﺨﻡ 2
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ .ﻭﻴﻌﺭﻑ ﻜﻜﻤﻴﺔ ﻤﺸﺘﱠﻘﺔ ،ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
L=r×mv ⇒ L=r×K
3.5
ﻭﺍﻟﺭﻤﺯ ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻑ ﻟﻠﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻫﻭ ،Lﺃﻤﺎ rﻓﻬﻭ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴــﻴﻡ ﻨﺴــﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺃﺼلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺔ. ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻤـﻘـﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﻋﻠﻰ ﺤﺩ ﺴﻭﺍﺀ ،ﻗﺩ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻭﻤﻜﺎﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل.
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻬﻭ ﻜﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ rﻭ .vﻭﺘﹸﺤﺩﺩ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﻜﺤﺎﺼل
ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻻﺘﱢﺠﺎﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ Lﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴـﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ،ﺸﻜل .1.5ﺃﻤﺎ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
ﻓﻴﻜﻭﻥ
L = m r v sin φ = r K sin φ
1.3.5
ﺤﻴﺙ φﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠﹺﻬﻴﻥ rﻭ .vﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻋﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،rﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺇﺴـﻨﺎﺩ) ﺃﻭ ﻤﺤـﻭﺭ( ،ﺸﻜل ،1.2.5ﻓﺈﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻜﻭﻥ & φ = 90° ⇒ L = m r v = r K
2.3.5 mv
r⊥v
y K= mv
v φ
r
r
90o r L
اﻷرض ⊥r
O
x
z
1
ﺸﻜل 1.5 2
ϕ
2
ﺸﻜل 2.5
ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﺠﻬﺔﹲ ﻤﺤﻭﺭﻴﺔ axial vectorﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﻜﻤﻴﺎﺕﹲ ﻤﺘﺠﻬﺔﹲ ﻗﻁﺒﻴﺔ .polar vectorsﻭﻴﺨﺘﻠﻑ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻱ ﻋﻥ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ﻓﻲ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻫﻲ ﺃﻨﻪ :ﺇﺫﺍ ﻗﻠﺒﺕ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺴﺎﻟﺒﺔ ،ﻓﺈﻥ ﻜل ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻱ ﺘﻅل ﺜﺎﺒﺘﺔ؛ ﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺃﻥ ﻜل ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ﺘﻐﻴﺭ ﺇﺸـﺎﺭﺘﻬﺎ. 113
O
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔﹰ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ﻨﺤﻭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ،ﺃﻭ ﺒﻌﻴﺩﺓﹰ ﻋﻨﻬﺎ ) rﻭ vﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ( ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻲ r ×vﻴﺘﻼﺸﻰ ،ﺃﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ⇒ L=0
3.3.5
r // v & φ = 0°
ﺃﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ،ﺸﻜل ،2.2.5ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤل sin φﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ L = r K sin φ
ﻴﺠﻌل ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﹰ ،ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭ .rKﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻭﻓﻲ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺯﺨﻡ ﺯﺍﻭﹺﻱ ﺜﺎﺒﺕ ﻨﺴﺒﺔﹰ ﺇﻟﻰ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺨﺎﺭﺝ ﻤﺴﺎﺭﻩ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 3.5ﺘﺄﻭﻴﻼﹰ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺎﹰ ﻁﺭﻴﻔﺎﹰ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻹﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻴﻤﻴﺯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ.
ﻓﺈﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺎﹰ ﻨﺤﻭ )ﻤﺒﺘﻌﺩﺍﹰ ﻋﻥ ( ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺎ ،ﻓـﺈﻨـﻪ ﻻ ﻴﻤﻴل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،ﻭﻻ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻪ ﺯﺨﻡ ﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .3.3.5ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﹰ ﻤﻊ
ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺼﻠﻪ ﻤﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ،ﻓﺈﻥ ﻗﺎﺒﻠﻴﺘﻪ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻗﺼﻰ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ .ﻭﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ،
ﺘﺘﺨﺫ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ K sinφﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ،Kﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .2.3.5ﻭﺒﻴﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻴﺴﺎﻫﻡ ﺠﺯﺀ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡﹺ ﻤﻤﺜﻼﹰ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﱢﺒﺘﻪ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺩﻭﺭﺍﻨﻪ ،ﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻪ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﱠﺠﹺﻪ K cosφﻻ ﺘﻔﻌل ﺫﻟﻙ ،ﺒل ﻭﺘﺩﻓﻌﻪ ﻟﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ .ﻭﺃﻓﻀل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻠﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻨﹸﺴﻤﻴﻪ ﻫﻨﺎ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﻫﻲ ﺘﺼﻭﺭ
ﺤﺭﻜﺔ ﺨﻁ ﻭﻫﻤﻲﹴ ﻤﺭﺴﻭﻡ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻔﺴﻪ .ﻓﺈﺫﺍ ﻤـﺎ ﺩﺍﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺨﻁ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺤﻭل
ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ،ﻜﺎﻥ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺯﺨﹶﻡ ﺯﺍﻭﻱ ،ﻭﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﺩﺭ ،ﺒل ﺍﻜﺘﻔﻰ ﺒﺎﻻﻤﺘﺩﺍﺩ ﺃﻭ ﺍﻻﻨﻜﻤﺎﺵ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻓﻼ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺯﺨﻡ ﺯﺍﻭﻱ.
ﻭﻜﻤﺎ ﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻲ ﻟﻠﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ
ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ؛ ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻭﺤﺩﺘﹶﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SIﻫﻲ ﺍﻟﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﺘﺭ ﺘﺭﺒﻴﻊ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ] ،[kgm 2/sﺃﻭ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﺘﺭ ﺜﺎﻨﻴﺔ ] .[Nmsﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻼﺌﻡ ،ﻤﻥ ﺨﻼل ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺃﻥ ﻨﹸﻤﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﻀﺭﺒﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ :ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ
ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ،orbital angular momentum ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ .spin angular momentumﻭﻴﻨﺸﺄ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑ ﻋﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﻤﺎ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﻤﻌﻴﻨﺔ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ؛ ﺃﻭ ﻜﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﺍﻟﻐﺯل spinﻓﻬﻭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﻥ ﺒﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺫﺍﺘﻪ ،ﺃﻭ ﺒﺩﻭﺭﺍﻥ ﺃﻱ ﻨﻅﺎﻡ
ﺤﻭل ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ .ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺴﻴﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻤﻥ. 2.5ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ
ﻟﻘﺩ ﺘﺤﺩﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ 1.5ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻴﻜﺘﺴﺏ ﺃﻫﻤﻴﺔﹰ ﺨﺎﺼﺔ ﻷﻨﱠﻪ ،ﺘﺤﺕ ﻅﺭﻭﻑ ﻤﻌﻴﻨﺔ) ﻭﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻷﻨـﻅﻤـﺔ ﺍﻟﻤﻌﺯﻭﻟﺔ( ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎﹰ .ﻭﻫﻨﺎﻙ ﺴﺒﺏ ﺁﺨﺭ ﻴﺩﻋﻭ ﺍﻟﻤﺭﺀ ﺇﻟﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ :ﺇﻨﱠﻪ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺒﺴﻴﻁـﺔ ﻭﻤﺒﺎﺸﺭﺓ.
1.2.5ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶـﻐﹶﻴـﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Momentum Change
ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ .ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ؛ ﺇﺫ ﺒﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) 1.5ﺒﻤﺎ ﺃﻥ
ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ mﺜﺎﺒﺘﺔ( ﻴﻜﻭﻥ:
114
dK dv =m dt dt
4.5
ﻭﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4.5ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﺘﻠـﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒـﺎﻟـﻌﻼﻗـﺔ
dK dv =F =F , m dt dt
5.5
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﹶﻴﺭ ﺯﺨﹶﻡﹺ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ :ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺯﺨﹶﻡ ﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ
ﻋﻠﻴﻪ .ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍﹰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺯﺨﻡ .ﻓﺒﻌﺩ ﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.5ﺒـ ، dtﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ m d v = F dt
ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ tﻤﻥ t0 = 0ﺇﻟﻰ ،tﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﻥ voﺇل ،vﺜﻡ
ﺭﺒﻁ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.5ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
t
Fdt = P
6.5
∫
= ) m ( v - vo
0
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ :ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﻡ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻴﺴـﺎﻭﻱ ﺩﻓﻊ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻟﺫﻱ ﺯﻭﺩ ﺒﻪ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ،ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍﹰ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ.
ﻭﻜﺜﻴﺭﺍﹰ ﻤﺎ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻋﻨﺩ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 6.5ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻭﻋﻨﺩ ﺫﻟﻙ ﺘﺘﺤﺩﺩ
ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ P
m ( vx - vox ) = Px m ( vy - voy) = Py m ( vz - voz ) = Pz
1.6.5
ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ،ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ،ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،1.6.5ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺃﻭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ. 2.2.5ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ Conservation of Momentum
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ
ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﺒﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 5.5ﻭ6.5
7.5
dK = F = 0 ⇒ K = const , m v = const. dt ⇒ m v = m vo ⇒ v = vo & v = const.
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،7.5ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻨﺘﺠﺕ ﺴﻭﺍﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.5ﺃﻭ ﻤﻥ ﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،5.5ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺼﻔﺭﻴﺔﹰ
،F = 0ﺘﹸﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺠﺴــﻴﻡ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ،ﻓﻌﻨﺩ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﻭﺒﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﺍﻟﺘﻲ ﺩﻋﺎﻫﺎ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﻭ ﺒﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ .ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻟﻴﺴﺕ ﺼﻔﹾﺭﹺﻴﺔ، ﻟﻜﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ Oxﻤﺜﻼﹰ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،Fx = 0ﻓﺈﻥ
115
1.7.5
m (vx - vox) = const. ⇒ vx = vox = const.
ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﺎﻟﺠﺴﻴﻡ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،iﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﻭﺒﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ. ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺇﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﻪ ﻴﺤﺩﺩﺍﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﺘﻁﺒﻴﻕ
ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 5.5ﻭ .6.5ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻗﺼﻭﺭﻴﺔﹰ ،ﺃﻱ ﻻ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻷﻴﺔ ﻗﻭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺴﺭﻋـﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ -ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .7.5ﻭﻤﻥ ﺫﻟﻙ ﻨﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ
ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ. ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
116
117
3.5ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ 1.3.5ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﱠﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱAngular Momentum Change
ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺴﺒﻕ ﺘﺄﺴﻴﺴﻬﺎ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻟﻴﺱ ﻋﺠﻴﺒﺎﹰ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺﻩ
ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺠﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﺎﺱﹴ ﺘﺠﺭﻴﺒﻲﹴ ﺠﺩﻴﺩ .ﻓﻨﺒﺩﺃ ﺒﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،3.5ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 40.Ι
dL dr ) d(mv = × × mv + r dt dt dt dr ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ dt
= ، vﻭﺍﻟﻤﺘﱠﺠﹺﻬﻴﻥ vﻭ mvﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ dr × mv = v × m v = 0 dt
) d(mv ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ dt
× ، rﺒـﺭﺒﻁـﻪ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.5ﻴﺼﺒﺢ ﻤﺴﺎﻭﻴـﺎﹰ ﻟﻌﺯﻡ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ) d (mv =r×F dt
× MF = r
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﺒﺘﻌﻭﻴﻀﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ dL = MF dt
8.5
ﻭﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡﹺ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺘﺄﺜﺭﹴ ﺒﻘﻭﺓ :ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ﺤﻭل ﻤﺭﻜﺯﹴ ﻤﺎ، ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺤﻭل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ .ﺃﻭﺒﺸﻜلٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍﹰ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡﹺ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ MFﻭﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ L ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل.
118
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺘﻴﻥ ﻤﺤﺩﺩﺘﻴﻥ ﻟﻠﺘﺄﺜﻴﺭ ﺒﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﹸﺤﺩﺙ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﺯﻤﺎﹰ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺎﹰ ،ﻭﻫﻤﺎ :ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺅﺜﺭ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ .r = 0ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﹸﺅﺜﺭ ﺒﺎﺘﱢﺠﺎﻩ ،ﺃﻭ ﺒﻌﻴﺩﺍﹰ ﻋﻥ
ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ،ﻋﻨﺩ ﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ rﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﻘﻭﺓ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﺴﺘﺠﺎﺒﺔﹰ ﻟﻠﺸﺭﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻻ
ﺘﺅﺜﺭ ﺍﻟﺸﻤﺱ - ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩل ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻭﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺍﻷﺨﺭﻯ -ﺒﺄﻱ ﻋﺯﻡﹴ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲﹴ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﻜﻭﻜﺏ ،ﺇﺫ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﻠﻜﻭﻜﺏ ﺜـﺎﺒﺘـﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ.
2.3.5ﻗـﺎﻨـﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱConservation of Angular Momentum
ﺘﺤﺕ ﺃﻱ ﻅﺭﻑ ﻴﻅل ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺎ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ؟ .....ﺘﺯﻭﺩﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.5ﺒﺈﺠﺎﺒﺔ ﻓﻭﺭﻴﺔ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻴﻅل ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ .ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.5ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ
ﺘﻠﻙ ،ﺘﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡﹴ ،ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﻜﺘﺏ
L = const.
9.5
⇒
dL =0 dt
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺫﻱ ﻋﺯﻤﻪ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺯﺨﹶﻡﹺ ﺯﺍﻭﹺﻱ ﺜﺎﺒﺕ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻓﺎﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﺠﺴـﻴﻡﹴ ﻤﺎ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﻤﺭﻜﺯﻴﺔ -ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺨﻁ ﻋﻤﻠﻬﺎ ﻴﻤﺭ ﺒﻨﻘﻁﺔ
ﺍﻹﺴـﻨﺎﺩ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﻭﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،3.5ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻜﻤﺘﱠﺠﹺﻪ
ﻴﻜﻭﻥ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻭﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠﹺﻬﻴﻥ rﻭ .Kﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺎﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺍﻥ ﻴﻜﹶﻭﻨﺎﻥ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ﻭﻭﺤﻴﺩﺍ. ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺴﺘﻭﻴـﺔﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺯﺨﹶﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ . 3
ﺤـلﱡ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﺇﺫﺍ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ rﺒﺎﻹﻀـﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ )ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺ( ﺯﺨﻤﻪ ،Kﻓﺈﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺ ﺯﺨﹶﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،8.5 ﺘﹸﺤﺩﺩ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥﹴ
ﻤﺎ ﺼﻔﺭﺍﹶ ،ﻓﺈﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،9.5ﻴﻀﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺃﻭ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ،ﺃﻱ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ.
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
3
ﻟﻤﺯﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ. 119
120
4.5ﺸﹸﻐﹾـلُ ﺍﻟﻘﱡﻭﺓ Work of a Force
ﻨﺒﺩﺃ ﺒﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﻟﻠﺤﺎﻟـﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻭﺓﹲ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻓﺈﺫﺍ ﻋﺎﻨﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ
ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘـﺔ Fﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ،Sﻓﺈﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﺫﻱ ﺒﺫﻟـﺘـﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﻭﺍﻹﺯﺍﺤﺔ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ A=F⋅S
ﻭﻴﺒﻴﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﻭﺭ ﻋﺩﺓ ﺃﺸﻴﺎﺀ ﻤﻬﻤﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻐل .ﻓﻬﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ؛ ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭ)ﻤﺴﺎﻓﺔ( ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﻻ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﻋﻨﺩ ﻟﺤﻅـﺔ ﺃﻭ ﻨﻘﻁﺔ؛ ﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﻓﺘﺭﺓ. ﻭﻭﺤﺩﺘﹶﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SI ﻫﻲ ﺍﻟﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﺘﺭ ،ﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﺍﻟﺠﻭل .ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ
ﻟﻠﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺎﺕ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،17.Ιﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺸﻐل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ A = F S cos ϕ
10.5
ﺤﻴﺙ ϕﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﺠﻬﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻭﺍﻹﺯﺍﺤﺔ .Sﻭﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺓ ϕﺃﻗل ﻤﻥ ،90ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻐل o
ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﻔﺭﺠﺔ ،180° > ϕ > 90°،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﹸﻌﺎﻜﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻋﺎﻤﺔ ،ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ. ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻨﹶﺼﻑﹸ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﺇﻤﺎ ﺒﻘﻭﻟﻨﺎ ﺇﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
A
S B
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺃﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﻋﻠﻰ
ﻤﺤﻴﻁﻪ .ﻭﻹﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ
ϕ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ :ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻋﻤﻠﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺘﺴﺭﻴﻊ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﺸﻜل ،1.3.5
ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻋﻤﻠﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ
ϕ
S
mg
mg A
B
ﻋﻠﻰ ﺇﺒﻁﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﺸﻜل .2.3.5ﻭﻟﺫﻟﻙ
ﺭﺴــﻡ 2
ﺭﺴــﻡ 1
ﻴﻜﻭﻥ ﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﻭﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ.
ﺸﻜل 3.5
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑﹲ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ
ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dS = dr ،dr
ﻭﺒﺎﺴﺘﻐﻼل ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،24.Ιﻴﻜﻭﻥ 11.5
dA = F ⋅d S = F ⋅ dr
dA = Fxdx + F ydy + F zdz
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺠﺒﺭﻴﺎﹰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﺸﻐﺎل ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ Fy ،Fxﻭ Fzﻋﻨﺩ ﻤﻌﺎﻨﺎﺓ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dy ، dxﻭ dzﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ .ﻭﻫﻭ ﻴﻌﻨﻲ ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺎﹰ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺎﻨﻰ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dx
ﻓﻘﻁ ﻓﺈﻥ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﺍﻷﻭﻟﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ،Fx dxﻭﻻ ﺘﺒﺫل ﺒﺎﻗﻲ ﻤﺭﻜﱢﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fyﻭ Fzﺸﻐﻼﹰ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﺃﻱ
ﺃﻥ .Fy dy = Fz dz = 0ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻐﺭﺍﺭ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dyﻓﺈﻥ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ F y dy 121
ﻓﻘﻁ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ .Fz dz = Fx dx = 0ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺎﻨﺎﺓ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dzﻓﻘﻁ ﻓﺈﻥ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ Fz dzﺒﻴﻨﻤﺎ .Fx dx = Fy dy = 0ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﻌﺎﻨﻲ ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ dy ،dxﻭ dzﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﺎﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ .11.5
ﻟﻘﺩ ﻻﺤﻅﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﺸﺭﺤﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 10.5ﻭ ،11.5ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﻓﻘﻁ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻻ ﺘﺒﺫل ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺸﻐﻼﹰ .ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻭﻋﻨﺩ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ،Ftﺘﻌﻤل ﻋﻠﻰ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺈﻜﺴﺎﺒﻪ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻁﻭل
ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻤﻤﺎﺴﻴﺎﹰ ،atﻭﻟﻬﺫﺍ ؛ ﻓﻬﻲ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،Fnﻓﻬﻲ
ﺘﻌﻤل ﻋﻠﻰ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،vﻤﻜﺴﺒﺔﹰ ﺇﻴﺎﻩ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ،anﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﺘﹸﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺃﻭ
ﺤﺘﻰ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ ﻤﻥ ﻤﻭﻗﻌﻪ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻭﻀﻴﺢ ﺫﻟﻙ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ϕﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻭﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻗﺎﺌﻤﺔﹲ cos ϕ = 0 ،ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ،10.5ﻤﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺸﻐﻠﻬﺎ ﺫﻭ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻔﺭﻴﺔ. ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻏﻴﺭ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻹﺯﺍﺤﺔ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ
) dSﺍﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟﻲ( ،ﻴﻌﺭﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
dA = F ⋅ dS
ﻭﻴﻤﺜل ﻫﺫﺍ ﺃﻫﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺸﻐل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ .ﻭﻫﻭ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﺃﻥ ﺘﺯﺍﻴﺩﺍﹰ ﻤﺤﺩﻭﺩﺍﹰ )ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻗﻴﺎﺴﻪ( ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ B
∫ F ⋅ dS
12.5
= AAB
A
ﻭﻴﺩﻋﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﺨﻁﻲ ،line integralﻷﻥ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻔﻌﻠﻲ ،ﺃﻭ ﻋﻠﻰ
ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺨﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ )ﻟﻴﺱ ﻀﺭﻭﺭﻴﺎﹰ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺨﻁﺎﹰ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﹰ( ،ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ ﻤﻥ Aﻭﺤﺘﻰ .Bﻭﺤﺴﺎﺏ
ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻟﻴﺱ ﺒﺎﻷﻤﺭ ﺍﻟﻌﺴﻴﺭ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺎﹰ ،ﻓﻺﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ ،∆Sﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ABﺸﻜل ،4.5ﻴﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻹﻀﺎﻓﻲ ،F ⋅ ∆Sﻭﺘﺠﻤﻊ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﹼﻲ. ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ؛ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 12.5 - 10.5
F
ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺸﻐﻠﻬﺎ ﺒﺩﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،F = const.
∆S
ﻭﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﻀﻊ ) .F = F(rﺃﻤﺎ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﻭﺨﺎﺼﺔﹰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ ) ،F = F(tﺃﻭ ﺍﻟﻘﻭﺓ
∆S
F F
ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ) ،F = F(vﻓﺈﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺸﻐل ﻫﺫﻩ
ﺍﻟﻘﻭﻯ ،ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ).r = r(t
A ﺸﻜل 4.5
1.4.5ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤـﺎﻓـﻅﺔ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ Conservative Forces & Potential Energy 122
∆S
F ∆S
B
ﺇﺫﺍ ﺘﺄﺜﺭ ﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ) ،Fﻟﻴﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺜﺎﺒﺘﺔ( ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،B ﺸﻜل ،4.5ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻔﻪ ﺒﺎﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ .12.5ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻐل ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ
ﻤﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻫل ﻫﻲ ﻗﻭﺓﹲ ﺍﺤﺘﻜﺎﻜﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﺴﻁﺢﹴ ﻤﺎ ،ﺃﻡ ﻗﻭﺓﹲ ﻭﺯﻥﹴ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭﻫﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ. ﺃﻱ ﻋﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻡ ﻻ .ﻫﺫﺍ ﻴﻘﻭﺩﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻠﺘﺎﻥ ﺘﻌﺭﻓﺎﻥ ﺒﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ.
ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ،ﺤﻴﺙ ﺘﺅﺜﺭ ﻓﻲ ﻜلﱢ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﻗﻴﻤﺔﹲ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﻟﻜﻤﻴﺔ
ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﺠﺎل Fieldﺘﻠﻙ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ .ﻭﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻫل ﻫﻲ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺔﹲ ﺃﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔﹲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻤﺘﱠﺠﹺﻬﺎﹰ ﺃﻭ ﻗﻴﺎﺴﻴﺎﹰ .ﻭﻤﻥ ﺃﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺠﺎل ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺤﺭﺍﺭﺓ ﺃﺸﻬﺭﻫﺎ ،ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭﻤﺠﺎل
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﻤﺠﺎل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﺔ.
ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﺓ Force Fieldﺒﺠﺯﺀ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺅﺜﺭ ﻓﻲ ﻜلﱢ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩ ﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻗﻭﺓﹰ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺠﺎل ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻤﺜﺎﻻﹰ ﺤﻴﺎﹰ ﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ Gravitational Force Field
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺇﺫﺍ ﺍﺘﻀﺢ ﻭﺠﻭﺩ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻭﻟﺘﻜﻥ U = U (x ,y,z) ، Uﻭﺒﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺘﻔﺎﻀﻼﺘﻬﺎ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻠﻰ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻭﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ∂U ∂U ∂U = , Fy = , Fz ∂z ∂x ∂y
= Fx
ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻜﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
1.13.5
=F
ﺃﻭ F = grad U
2.13.5
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺘﹶﺩﺭﺝ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ .Uﻭﺘﺩﻋﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ Uﺒﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ .Force Function ،Fﻭﻴﻌﺭﻑ ﻤﺠﺎل ﺘﻠﻙ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻭﻀﻌﻲ ﺃﻭ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅ ،ﻜﻤﺎ ﺘﺩﻋﻰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻭﻀﻌﻲ ﺃﻭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ
ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ .ﻭﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ Fﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺎﻨﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﺃﻭﻟﻴﺔﹰ dr
ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.13.5ﻭ dr = dx i + dy j + dz kﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻴﻨﺘﺞ
dA = F ⋅ dr
∂U ∂U ∂U i+ j+ }k } ⋅ { dxi + dyj + dz k ∂x ∂y ∂z ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
1.14.5
{ =dA
=dA
ﺃﻭ ﺒﺸﻜل ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻗﺘﻀﺎﺒﺎﹰ dA = dU
2.14.5 123
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ .Uﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﻋﻨﺩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ Aﻭ Bﻴﻜﻭﻥ B
)∫ dU(x, y, z
= AAB
A
ﻟﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ UB - UA
15.5
= AAB
ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻨﺩ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ Bﻭﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،Aﻭﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﻁﻭﻟﻪ ﻤﻥ Aﺤﺘﻰ .B ﺃﻤﺎ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،ﻓﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﻴﺯ ﺍﺤﺘﻴﺎﻁﻲ ﺍﻟﺸـﻐل ﺍﻟﻜﺎﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﻤﻭﻀﻊﹴ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻀﻤﻥ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅ .ﻭﻫﻭ ﺸﻜلٌ ﻤﻥ ﺃﺸﻜﺎل ﻗﺩﺭﺓ ﺃﻭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺸﻐل ﻨﺘﻴﺠﺔﹰ ﻟﻠﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻭﺍﺠﺩ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻁﺎﻗﺔ ﻭﻀﻊ ﺠﺴﻴﻡﹴ ﻋﻨﺩ ﻤﻭﻀﻊﹴ ﻤﻌﻴﻥ ﺒﺄﻨﻬﺎ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ
ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻱ ﺃﻥ Π = - AAB AAB = ΠA - ΠB
16.5
ﻭﺒﺸﻜلٍ ﺁﺨﺭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل dΠ = - dAAB
ﻭﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻫﻨﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺔﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ﺍﺼﻁﻠﺢ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻪ
ﺍﺤﺘﻴﺎﻁﻲ ﺍﻟﺸﻐل ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﻴﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﺃﻱ ﺃﻥ ∂Π ∂Π ∂Π dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
= Π = Π ( x,y,z ) ⇒ dΠ
ﻭﻫﺫﻩ ﺒﻌﺩ ﺭﺒﻁﻬﺎ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 1.16.5ﻭ 11.5ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ∂Π ∂Π ∂Π − dx + dy + dz = Fx dx + Fy dy + Fz dz ∂ x ∂ y ∂z
ﺃﻭ ∂Π ∂Π ∂Π dz = 0 Fx + dx + Fy + dy + Fz + ∂ x ∂ y ∂ z
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻭﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻓﺈﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺼﺒﺢ ﺼﺤﻴﺤﺔﹰ ﻷﻱ ﻗﻴﻡﹴ
ﺘﺄﺨﺫﻫﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ dy ،dxﻭ .dzﻟﺫﻟﻙ ﻓﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺃﻱ ﺃﻥ
∂Π ∂Π ∂Π , Fy = − , Fz = − ∂x ∂y ∂z
ﺃﻭ 124
Fx = −
F = - grad Π
17.5
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﹶﺩﺭﺝ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ .ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fxﻭ Fyﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ yﻭ xﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ
∂ Fx ∂ Π ∂ Fy ∂ Π = − , = − ∂y ∂ x ∂y ∂ x ∂ y ∂x 2
2
ﻭﻷﻥ ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ 2ﻏﻴﺭ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ∂ Fy
∂ Fx = ∂y
∂x
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ∂ Fy ∂ Fy ∂ Fz ∂ Fx ∂ Fx ∂ Fz , , = = = ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y
18.5
ﺇﺫ ﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﺍﻟﻭﺍﺠﺏ ﺘﻭﻓﺭﻩ ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔﹰ. ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ ﺴﺅﺍل ﻡ 5.5 ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡﹴ ﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ 3 3 3
1
2 3 4
3 2 4
F = 6x y z i + 6x y z j + 8x y z k
ﻓﻬل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﺃﻡ ﻻ؟ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ) Po (0,0,0ﻭ)P (2,2,1؟
ﺍﻟـﺤـل ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻜﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ 2
3
3
4
3
2
3
4
3
2
Fx = 6 x y z , Fy = 6 x y z , Fz = 8 x y z
ﻭﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﺓ ∂ Fy ∂ Fx = = 18 x 2 y 2 z 4 ∂y ∂x ∂ Fy
∂ Fz = = 24 x 3 y 2 z 3 ∂z ∂y ∂ Fz ∂ Fx = = 24 x 2 y 3 z 4 ∂x ∂z
3
ﻭﻻﺴﺘﻴﻔﺎﺀ ﺍﻟﺸﺭﻁ 18.5ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ 3ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻤﺤﺎﻓﻅﺔ .ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻤﻔﻬﻭﻤﻴﻥ :ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ Uﻭﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ Π 125
- 1ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ :Uﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.13.5ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ∂U = 6 x2 y 3 z4 ∂x
4
= Fx
ﻭﺒﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﺜﹸﻡ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ 5
)U = 2 x 3y3z4 + f (y,z
⇒
U = ∫ Fx dx = ∫ 6 x2y3z4 dx
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ) f (y,zﺩﺍﻟﺔ ﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،xﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﻴﻥ yﻭ .zﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ،Uﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،5ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ yﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ F y ∂U )∂f ( y, z = 6 x3 y 2 z4 + ∂y ∂y
6
= Fy
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ،Fyﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ، 2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ )∂f ( y, z 6 x3 y 2 z4 + = 6 x3 y 2 z4 ∂y ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ fﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ yﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ )∂f( y, z = 0 ⇒ f (y,z ) = g (z) =const. ∂y ﺤﻴﺙ ﺇﻥ gﺩﺍﻟﺔﹲ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ) zﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ xﻭ .( yﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5 3 3 4
)U = 2x y z + g(z
7 ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ zﻴﻨﺘﺞ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ .Fzﺃﻱ ﺃﻥ
∂U )∂ g( z = 8 x3 y 3 z3 + ∂z ∂z
8
= Fz
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8ﻤﻊ ،F zﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،2ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ )∂ g( z = 8 x3 y 3 z3 ∂z
8 x3 y 3 z3 +
ﺃﻱ ﺃﻥ )∂ g( z =0 ∂z
⇒ g(z) = const. , g(z) = C1 ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﺅﻭل ﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ 9
4
3
3
U = 2 x y z + C1
ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ Poﻭ Pﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،Uﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.5 APoP = U - Uo ] APoP = 2 × 23 × 23 ×1 - 0 = 128 [J - 2ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ : Πﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 17.5ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ F x
126
∂Π = 6 x2 y 3 z4 ∂x
10
Fx = −
ﻭﺒﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﺜﹸﻡ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ Π = -∫6x y z dx 4
)+ q (y,z
11
3
4
2
Π = -2x y z 3
3
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ) q (y,zﺩﺍﻟﺔ ﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،xﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﻴﻥ yﻭ .zﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،17.5ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11 ∂Π )∂ q( y, z = 6 x3 y 2 z4 − ∂y ∂y
12
Fy = −
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12ﻤﻊ Fyﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،2ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ )∂ q( y, z = 6 x 3 y 2 z4 ∂y
6 x3 y 2 z4 −
ﺃﻭ q(y,z) = const.
)∂ q( y, z =0 ∂y
⇒
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ qﺜﺎﺒﺘﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻲ yﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ q(y,z) = r (z) =const. ﻭﺘﺅﻭل ،ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ )Π = - 2 x y z + r(z 4
13
3
3
ﻭﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻨﺤﺴﺏ ﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ،Πﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ،zﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،13ﻟﻴﺴﺎﻭﻱ Fz ∂Π )∂ r( z = 8 x3 y3 z3 − ∂z ∂z
14
Fz = −
ﻭﻫﺫﻩ ﺘﺴﺎﻭﻱ Fzﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 2 )∂ r ( z = 8 x3 y 3 z3 ∂z
8 x3 y 3 z3 −
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ rﺜﺎﺒﺘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻲ .zﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ ⇒ r(z) = const. = C2
)∂ r( z =0 ∂z
ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ) r(zﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 13ﺒﺎﻟﺜﺎﺒﺕ ،C2ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ Π = - 2 x 3 y3 z4 + C2
15
ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ Poﻭ Pﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺩﺍﻟﺘﻲ ﻁﺎﻗﺘﻲ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 16.5 ] APoP = Πo - Π = 0 - ( - 2 × 2 ×2 ×1) = 128 [ J 3
2.4.5ﺍﻟـﻘﹸـﺩﺭﺓ Power 127
3
ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﺒﺄﻨﻬﺎ ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﹸﻨﹾﻘﹶل ﺒﻪ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ Eﻤﻥ ﻭﺇﻟﻰ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ P dE dt
= P
ﻭﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻭﻟﻲ SIﻫﻲ ﺍﻟﻭﺍﻁ ] .1 [W ] = 1 [J/s] = 1 [N m / sﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﹸﺅﺜﺭ ﻗﻭﺓﹲ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡ ،ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭﻟﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ dA dS ⋅=F dt dt
= P
ﺃﻭ ﻜﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ P = F⋅v
19.5
ﻭﻴﺄﺘﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺸﻐل ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .12.5 3.4.5ﺃﻤﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﹸﻐل
ﺸـﻐل ﻗـﻭﺓ ﺍﻟـﺠـﺎﺫﺒـﻴـﺔ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ،ﻭﺯﻨﻪ m gﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ Poﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،Pﺸﻜل ،5.5ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل
ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ ﻴﺘﺤـﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .12.5ﻓﺎﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ،dS = dr = dx i + dy j + dz kﻭﻓﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ .F = - mg kﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ P
) (-mg k ) ⋅ ( dx i + dy j + dz k
z
= A
H
∫
Po
P0 z
dz
∫
= - mg
z0
mg
zo
) A = mg ( zo - z
ﺃﻭ
A = mg H
P
ﻭﻷﻥ ﻤﻭﻗﻊ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ Poﻭﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ Pﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺎﻥ ،ﻓﺈﻥ
y
ﻓﺭﻕ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻬﻤﺎ Hﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻜﺄﻱ ﻗﻴﻤﺔ ،ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺃﻭ
x
ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺸﻐل ﺍﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ
z
A = ± mg H
xo
O y
ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﻜل 20.5
yo
x
ﺸﻜل 5.5
ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻪ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺴﺎﻟﺒـﺔﹰ ﻋﻨﺩ ﺍﻜﺘﺴﺎﺏ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ،ﻭﻤﻭﺠﺒﺔﹰ ﻋﻨﺩ ﻓﻘﺩﺍﻨﻪ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ، ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 20.5ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﻓﺈﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ ﺘﹸﻌﺘﺒﺭ ﻗﻭﺓ ﻤـﺤﺎﻓﻅـﺔ.
ﺸـﻐل ﺍﻟـﻘـﻭﺓ ﺍﻟـﻤـﺭﻨـﺔ ﻓﻲ ﺯﻨﺒﺭﻙ 128
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﺯﻨـﺒﺭﻙ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺸﺩﻭﺩ )ﻭﻀﻊ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ( ،Loﻭﺸﹸﺩ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻤﻥ ﻁﺭﻓﻪ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﺜﻘل ،Mﻭﺯﻨﻪ ،m gﺤﺘﻰ ﺍﺴﺘﻁﺎل ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻭﺃﺼﺒﺢ ﻁﻭﻟﻪ ،Lﺸﻜل .6.5ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﻘل ﻗﻭﺓ )ﺸﹸﺩ(
ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ Fcﻟﻠﻴﺴﺎﺭ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ) ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ( ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺍﻻﺴﺘﻁﺎﻟﺔ ،xﺤﻴﺙ ﺜﺎﺒﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﻫﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﻤﺭﻭﻨﺔ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ،cﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻹﺯﺍﺤﺔ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻭﺤﺩﺓ ﻤﺴﺎﻓﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺩﺍﺌﻤﺎ
ﻨﺤﻭ ﻭﻀﻊ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ
F c = - c ( L - L o) i = - c x i
L
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ dSﻓﻲ
N
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12.5ﻟﻠﺯﻨﺒﺭﻙ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ .dS = dx iﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﺒﺎﻟﺘﻜﺎﻤل x
x dx
∫
x
c x i ⋅ dx i = -c
0
∫ 0
x M
x
∫
Lo
a
L
F ⋅dS = -
y
O
mg
=A
Fc
ﺸﻜل 6.5
Lo
2
21.5
c x 2
A = -
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺸـﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻨﺩ ﺍﺴـﺘﻁﺎﻟﺔ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻷﻭﻟﻲ )ﻭﻀﻊ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ( ،Loﺇﻟﻰ ﺍﻟﻭﻀﻊ
،x = L - Lo ، Lﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﻤﺭﻭﻨﺔ cﺒﻤﺭﺒﻊ ﺍﻻﺴﺘﻁﺎﻟﺔ .xﻭﺘﻌﺭﻑ ﺍﻻﺴﺘﻁﺎﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺎ
ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ،ﺍﻟﺯﻴﺎﺩﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻘﺼﺎﻥ ،ﻓﻲ ﻁﻭل ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﻘﻭﺓ ﺸﺩ ﺃﻭ ﻀﻐﻁ .ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻐل ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
،21.5ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﻭﺴﺎﻟﺒﺎﹰ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻋﻴﻨﻪ .ﻓﺸﺩ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻤﻥ ﻁﺭﻓﻪ ﻤﺒﺘﻌﺩﺍﹰ ﻋﻥ ﻭﻀﻊ
ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﺘﹶﺒﺫﹸل ﺸﻐﻼﹰ ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ .ﻭﻋﻨﺩ ﺭﺠﻭﻉ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﻤﻥ ﻭﻀﻊ ﺍﻟﺸﺩ ﺇﻟﻰ ﻭﻀـﻌـﻪ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﺘﺒﺫل ﺸﻐﻼﹰ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ .ﻭﻜﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺃﻋﻼﻩ ،ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﺈﻥ
ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﺒﻭﻀﻊﹴ ﻴﺴﻴﺭ ﻓﻴﻪ ﻨﺤﻭ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ،ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻥ ﻤﺸـﺩﻭﺩﺍﹰ ﺃﻡ ﻤﻀﻐﻭﻁﺎﹰ ،ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺸﻐﻠﹸﻪ ﺴﺎﻟﺒﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﺯﻨﺒﺭﻙ ﺒﻭﻀﻊﹴ ﻴﺴﻴﺭ ﻓﻴﻪ ﻨﺤﻭ ﻋﺩﻡ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﻐل
ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻨﺔ ﻗﻭﺓﹲ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔﹲ. ﺸﻐل ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻹﻨﺯﻻﻗﻲ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ،ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢﹴ ﺨﺸﻥ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭﹴ ﻤﻨﺤﻥﹴ،
S
So
ﺸﻜل .7.5ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ
N
m gﻟﻸﺴﻔل ،ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻤﻭﺩﻴـﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ
et
ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،Nﻭﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﻤﻘﺩﺍﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺨﻴﺭﺓ
Fµ
،Fµ = µ Nﺤﻴﺙ µﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ .ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ
mg
ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ،ﻴﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .12.5ﻓﻘﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ Fµ = - µ Netﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ dS = dS etﺤﻴﺙ ﺇﻥ etﻤﺘﺠﻪ
ﺸﻜل 7.5
ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
S
22.5
∫
S
∫
Fµ ⋅ d S = - µ Ne t ⋅ dS e t = − µ NdS S0
129
ﺴﻁﺢ ﺨﺸﻥ
S0
s
∫
s0
=A
t
ﻭﻜﺤﺎﻟﺔ ﺨﺎﺼـﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،Fµ = const.ﻓﺈﻥ ﻤـﻘـﺩﺍﺭ ﺸﹸﻐـﻠﻬﺎ ﺍﻟﻜﻠﻲ ) A = µ N ( S - So
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ،∆S = S - Soﻁﻭل ﻗﻭﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻷﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘـﻜﺎﻙ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘـﻪ ،ﻓﺈﻨﻬﺎ ﺘﹸﻌﺘﺒﺭ ﻗﻭﺓ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔ. 5.5ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،mﻴﺘﺤﺭﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،Fﻭﺒﺘﺴﺎﺭﻉ .aﻭﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ dv ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﺘﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،m at = Ft ، 2.4.3ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻲ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻹﺯﺍﺤﺔ dS
، at = v
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻫﻲ dv = Ft dS
mv
ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ dSﻴﻜﻭﻥ m v dv = Ft dS
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻻﺌﺘﻼﻑ Ft dSﺒﺎﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟﻲ dAﺍﻟﺫﻱ ﺃﻨﺠﺯﺘﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ Ftﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ،dSﻓﺈﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻗﺘﻀﺎﺒﺎﹰ mv = d A d 2 2
23.5
ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 23.5ﺘﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ :ﺍﻟﻤﺸﺘـﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟـﻲ
ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍ ﻴﺴﺎﻭﻱ ً ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ،ﺃﻭ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺃﻜﺜﺭ
ﺍﻟﺸﻐل ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ .ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 23.5ﻭﻟﻠﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ ،ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ A
ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌـﻴـﺔ Bﻴﻜﻭﻥ 1.24.5
1 1 m v B2 − m v A2 = A AB 2 2
2.24.5
= TB - TA
ﺃﻭ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺃﺨﺭﻯ A AB
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ :ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ
ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ.
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻭﺠﺒﺔﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌـﻴـﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،vB > vAﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .24.5ﻭﺒﺼﻴﻐﺔ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ،ﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻁﺎﻗﺔﹰ ﺤﺭﻜﻴﺔ
ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ ﻭﺸﻐﻠﻪ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﺍﺯﺩﺍﺩﺕ ﺴﺭﻋﺘﻪ .ﻭﺍﻟﻌﻜﺱ ﺼﺤﻴﺢ ﺃﻴﻀﺎﹰ.
ﺇﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 23.5ﻭ 24.5ﺘﺴﺭﻱ ﺤﺘﻰ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ .ﻓﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﺒﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل
ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺒﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻁﻲ ﺸﻐﻼﹰ ﺫﺍ ﻗﻴﻤﺔ ﺼﻔﺭﻴﺔ ،N ⋅ dS = 0 ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ
131
ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺍﻷﺨﺫ ﺒﺎﻟﺤﺴﺒﺎﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻲ ﻜﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .22.5 ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻗﺎﻨﻭﻨﻲ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.5ﻭﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
16.5ﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ
25.5
& TA + Π A = T B + Π B
TB - TA = Π A - Π B
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻫﻭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،E = T + Π ،ﻭﻫﺫﻩ ﺜﺎﺒﺘﺔﹲ
ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 25.5ﺘﻤﺜل ﻗﺎﻨﻭﻥ )ﻤﺒﺩﺃ( ﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﻸﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺫلُ ﺸﻐﻼﹰ ﻨﺎﺘﺠﺎﹰ ﻤﻥ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅ. ﺤـلﱡ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻴﺘﻡ ﺫﻟﻙ ﺇﺫﺍ ﻋﺭﹺﻓﹶﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ -ﻭﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻌﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌـﻲ
ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌـﻲ .ﺇﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﻜﻔل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ )ﺍﻟﻤﺴﺄﻟـﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ( ،ﻤﺒﺎﺸﺭﺓﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 23.5ﻭ .24.5 ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
132
6.5ﺤــل ﺍﻟـﻤﺴـﺎﺌـل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺏ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻪ ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ .ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻓﺕ
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺜﻼﺙ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻫﻲ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،ﺍﻟﺒﻨﺩ ،2.5ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ، ﺍﻟﺒﻨﺩ 3.5
ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻗﺎﻨﻭﻨﻲ ﺘﻐﻴﺭ ﻁـﺎﻗـﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ،ﺍﻟﺒﻨﺩ .5.5 ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﺠﻤﺎل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻭﻨﻭﻋﻴﺘﻬﺎ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﻠﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ - 1ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ،ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.5ﺃﻭ ،6.5ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7.5ﻴﻤﻜﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﺴـﺎﺌل ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﺴـﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺇﻤﺎ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻭﺇﻤﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﺯﻤﻥ.
- 2ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ،ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.5ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 9.5ﻴﻤﻜﻥ
ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ .ﻭﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﻤﺎ
ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﻀﻊﹴ ﻓﻘﻁ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴـﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻭ ﺘﺒﺎﺩل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﻴﻥ ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻤﺎﻜﻥ.
- 3ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ،ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 23.5ﺃﻭ 24.5ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،25.5ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ .ﻭﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﺃﻭ ﺩﺍﻟﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﻓﻘﻁ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻤﻌﻘﺩﺓ ﺃﻜﺜﺭ ،ﺒﺎﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ ﻓﻲ ﺁﻥﹴ ﻭﺍﺤﺩ .ﺇﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ
ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ،ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻴﻀﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ،ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ،ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻴﻀﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ
ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ،ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ .ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﺭﺒﻁ
ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ،ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻭﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ،ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ. ﺃﺴـﺌـﻠـﺔ ﻤـﺤـﻠﻭﻟـﺔ
133
ﺍﻟﺒــــﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ
..........ﺃﻤﺎ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ،ﻓﺭﻏﻡ ﻜﻭﻨﻬﺎ ﻨﺎﻗﺼﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﺸﺎﺴﻌﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ ،ﺘﺒﻘﻰ ﻤﻼﺌﻤﺔ
ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ .ﻭﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﻤﺫﻨﺏ ﻫﺎﻟﻲ ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﺘﻨﺒﺅ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ،ﻭﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻨﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻜﻤﺎ ﻴﺭﺘﻜﺯ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻜﻠﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ .ﻭﻗﺩ ﻭﺼﻠﺕ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ
ﻓﻭﻴﺎﺠﺭ 2ﺇﻟﻰ ﺃﻭﺭﺍﻨﻭﺱ ،ﺒﻔﺎﺭﻕ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻋﻥ ﺍﻟﻭﻗﺕ
ﺍﻟﻤﺤﺩﺩ ﺴﺎﺒﻘﺎﹰ ،ﻜﻤﺎ ﻟﻡ ﺘﺒﻁل ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺃﻴﺎﹰ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻤﻭﺭ. ﺇﺴﺤﻕ ﻋﻅﻴﻤﻭﻑ ،ﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﻅﻼل ،ﺒﻴﺭﻭﺕ :ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺎ ،1992 ،ﺹ .236
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ 1.6ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ،ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ
Central Force Motion
Central Force, Law of Areas
ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﺭ ﺨﻁ ﻋﻤﻠﻬﺎ ﺩﺍﺌﻤﺎﹰ ﺒﻤﺭﻜﺯﹴ ﻤﻌﻠﻭﻡ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﻗﻭﻯ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻟﻠﻜﻭﺍﻜﺏ
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻬﺎ ،ﻭﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻠﻘﻤﺭ ﻭﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩﻭﺭ ﻓﻲ ﻓﻠﻜﻬﺎ ،ﻭﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻹﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺫﺭﻱ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﺫﺏ ﺍﻷﻴﻭﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﺤﻨﺔ ﺍﻟﻨﻭﻭﻴﺔ ،ﺃﻤﺜﻠﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ .ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ
ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﺩﺭﺍﻫﺎ ﻤﻌﺘﻤﺩﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺃﻭ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﻤﺠﺫﻭﺒﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻓﺭﺓ ﻭﻤﺭﻜﺯ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ )F = F(r
ﻭﺒﺎﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻭﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺇﻤﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻭﺇﻤﺎ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ .ﻭﻓﻲ ﻜﻠﺘﺎ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ MF = r × F = 0 ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 9.5 L = r × mv = const. dr = const dt
1.6
141
×⇒ r
ﻭﻴﻤﺜل ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.6ﺃﻫﻡ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ .ﻭﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﺎل ﻗﻭﺓ
ﺠﺫﺏﹴ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯﹴ ﺜﺎﺒﺕ ،ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ،ﻭﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ DAﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ
،Oﺸﻜل .1.6ﻓﻌﻨﺩ
A v r+∆r ∆r ∆H φ P,t
∆S r
ﻟﺤﻅﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ،tﻴﻤﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ ،Pﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ rﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ،Oﻭﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ
ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ .vﻭﺒﻌﺩ ﻓﺘﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻗﺼﻴﺭﺓﹰ ﺠﺩﺍﹰ ،∆tﻴﺼل ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .A
t+∆t
C
ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻘﻭﺴﻴﺔ ،PAﺍﻟﻘﻭﺱ ،∆S = PAﻜﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ
∆ϕ
ﻴﺠﺘﺎﺯﻩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ .vﺃﻱ ﺃﻥ
∆S = v ∆t
O
D ﺸﻜل 1.6
ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ OPAﺘﺴﺎﻭﻱ ﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﻤﺘﹼﺠﻬﻴﻥ rﻭ ∆r 2.6
1 r ∆H 2
= ∆A
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ∆H = ∆S sin φﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.6
⇒
1 r × ∆r 2
1 r v ∆t sin φ 2
=∆A
= ∆A
ﺤﻴﺙ φﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ rﻭ ،vﻭﺘﻤﺜل ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ )ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ( ﻋﻥ ﺍﻟﺭﺃﺴﻲ .ﻭﺒﻌﺩ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ∆tﻴﻜﻭﻥ ∆A 1 = r v sin φ ∆t 2
3.6
ﻭﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ∆t→0ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺸﺘﻘﺔ )ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺ( ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ
dA ∆A r v sin φ = lim = ∆ t → 0 dt ∆t 2
ﺤﻴﺙ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻲ ﻴﻤﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺼﻑﹸ ﺍﻻﺌﺘﻼﻑ r v sin φﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.3.5ﻋﻨﺩ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡﹺ
ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴـﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ O
dA L = dt 2m ﻭﻫﻭ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﻷﻥ = Lﺜﺎﺒﺕ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .1.6ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ h L dA ⇒ = const. = h 2m dt
4.6
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﻴﺔ ،Areal Speedﺃﻭ ﻤﻌﺩل ﺘﹶﻐﹶﻴﺭﹺ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ -ﺍﻟﻤﻌﺩل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﹸﻤﺴﺢ ﺒﻪ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ -ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ
ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ ﻟﻠﺠﺴـﻴﻡ ﻤﻘﺴـﻭﻤﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻀﻌﻑ ﻜﺘﻠﺘﻪ .ﻭﻗﻴﻤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ hﺜﺎﺒﺘﺔﹲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡﹴ ﻓﻲ ﻤﺠﺎلٍ ﺠﺎﺫﺒﻲ .ﺃﻱ ﺃﻥ
ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻋﻨﺩ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﺎ ﺘﹸﺴــﺎﻭﻱ ﻗﻴﻤﺘﹶﻪ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺸﻜل ،1.6ﻤﺜﻼﹰ، ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺘﺭﺘﺎﻥ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺘﺎﻥ ﺍﻟﻠﹼﺘﺎﻥ ﻴﺴﺘﻐﺭﻗﻬﻤﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ/ﺍﻟﺠﺭﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ ﻓﻲ ﻗﻁﻊ ﺠﺯﺃﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ DCﻭ PAﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ،
ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴـﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺘﺴـﺎﻭﻱ ﻤﺴﺎﺤﺘﻲ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﻥ ODCﻭ OPAﺃﻥ ﺴـﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ ﻤﻥ Dﺇﻟﻰ Cﺃﻜﺒﺭ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻤﻥ Pﺇﻟﻰ .A 142
2.6ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏﹴ ﻭﺤﻴﺩﺓ ،ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩ
ﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ rﻭ .vﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﺘﻭﺍﺠﺩ ﻤﺘﱠﺠﹺﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ 3.4.3ﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻤﺴﺘﺒﺩﻟﻴﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻨﱢﺼﻘﹸﻁﺭﻱ ﻭﺍﻟﻤﺴﺘﹶﻌﺭﹺﺽ ﺒﻘﻴﻤﻬﻤﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 40.2
Fϕ && +2r& ϕ & 1.5.6 = a =r ϕ m ϕ Fr 2.5.6 = a = &r&−rϕ& 2 m r mgR2 ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﹶﻌﺭﹺﻀﺔ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،Fϕ = 0 ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻨﱢﺼﻘﹲﻁﹾﺭﹺﻴﺔ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻌﺎﻡ . Fr = − 2 r
ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﹸﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 5.6ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ && + 2r&ϕ& = 0 rϕ
1.6.6
gR2 =− 2 r
2.6.6
&r& − r ϕ& 2
ﺇﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.6.6ﻴﻅﻬﺭ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺃﻭﻟﻰ ﺒﺩﻻﻟﺔ rﻭ &ϕ ) &d(r 2 ϕ =0 dt
v
ﺃﻭ ﻤﺘﻜﺎﻤﻠﺔ ) ﺒﻌﺩ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل (
φ
2 r ϕ& = const.
1.7.6
ﻭﺘﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﺸﻜل 2.6 r = r o , v = vo , ϕ& = ϕ& o & ϕ = ϕo = 0
→ t = to
r
P vo φo
&
ﻓﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.7.6
ϕ
ro
Po
O
ﺸﻜل 2.6 2 & o = ro vo sin φo = 2 h r ϕ& = ro2ϕ
2.7.6
ﺇﺫ ﻴﻤﺜﱢلُ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ 2 hﻟﺤﻅﺘﻬﺎ ﺯﺨﻤﺎﹰ ﺯﺍﻭﻴﺎﹰ ﻟﻭﺤ ﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.6.6ﻤﻌﺎﺩﻟﺔﹲ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺨﻁﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘل ،ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﻴﻔﻀل ﺤﻠﻬﺎ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓﹰ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ rﻭ .ϕﻟﺫﻟﻙ ،ﺤﺘﻰ
ﻨﹶﺘﹶﺨﹶﻁﹼﻰ ﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﻗﺩ ﺘﻅﻬﺭ ،ﻨﺴﺘﺒﺩل ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺒﻤﺘﻐﻴﺭ ﻤﺴﺘﻘلٍ ﺁﺨﺭ ﻫﻭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ،ϕﻭﻨﻔﺘﺭﺽ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ 1 u
8.6
=r
ﻟﻨﺠﺩ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.7.6ﺃﻥ ϕ& = 2hu2
9.6
143
ﻨﺤﺴﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻷﻭﻟﻰ dr dϕ dr & dr 1 du =&r = =ϕ = 2hu2 × − 2 dt dt dϕ dϕ u dϕ du r& = −2h dϕ
ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ & & & &r&= dr = dϕ dr =ϕ& dr = 2hu2 d −2h du dt dt dϕ dϕ dϕ dϕ 2
&r&= − 4h2 u2 d u2 dϕ
10.6
ﺇﺫﺍ ﻋﻭﻀﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 10.6 - 8.6ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.6.6ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ − 4 h2 u3 = − gR2u2
2
du dϕ 2
− 4 h2 u2
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺍﺨﺘﺼﺎﺭﺍﹰ 1 P
11.6
=+ u
2
d u 2
dϕ
ﺤﻴﺙ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺜﺎﺒﺕ ﻋﺩﻡ ﺍﻟﺘﺠﺎﻨﺱ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﺜﺎﺒﺕ ﺁﺨﺭ 2
1 gR = P 4 h2
12.6
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ 11.6ﺍﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ،uﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ
ﺨﻁﹼﻴﺔ ،ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻭﺫﺍﺕ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ϕﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻬﺎ .ﻭﻴﺘﻁﻠﺏ ﺤﻠﱡﻬﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ uﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ .ϕﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺤلﱡ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻠﱠﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻭﺍﻟﺨﺎﺹ u = uh + up ﺤﻴﺙ uhﺍﻟﺤل ﺍﻟﻌﺎﻡ generalﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ + u = 0
d2 u dϕ 2
،ﻭ upﺍﻟﺤل ﺍﻟﺨﺎﺹ particularﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
ﺍﻟﻜﺎﻤﻠﺔ ﻭﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ .11.6ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤل uﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻤﻭﺠﺏ ،ﻴﻜﺘﺏ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺠﻴﺏ
ﺘﻤﺎﻡ ﻓﺭﻕ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
)uh = A cos ( ϕ - α
1.13.6
ﺤﻴﺙ α ،Aﺜﺎﺒﺘﻲ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل .ﻴﻤﺜل Aﺍﻻﺘﺴﺎﻉ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺼﻠﻪ uhﺃﻭ ،uﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻤﺜل αﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭﺭ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺤل
ﺍﻟﺨﺎﺹ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11.6ﻓﻴﻌﺭﻑ ﻜﺜﺎﺒﺕ k 2.13.6
ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺅﻭل ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11.6ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 13.6
up = k
u = A cos (ϕ - α) + k
14.6
1 ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺃﻋﻼﻩ α ،Aﻭ ،kﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ uﺃﻭ r ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ϕﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ 14.6ﻋﻨﺩ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ t = t0 = 0 15.6
du = - A sin ( ϕ - α ) = Asin α ϕ=0 ϕ=0 dϕ 144
= - A cos α
16.6
ϕ=0
= - A cos ( ϕ -α )
ϕ=0
d2u dϕ 2
ﻟﻜﻥ ،ﻤﺸﺘﻘﺔ uﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕ 17.6
1 ro tanφo
=− t= 0
1 dr &1 r =− 2 o 2 &o r dϕ t =0 ro ϕ
=− t =0
du d 1 = dϕ t = 0 dϕ r
ﻭﻤﺸﺘﻘﺘﻬﺎ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11.6 1 1 1 1 − = − P r t = 0 P ro
18.6
2
d u
=
2 t=0
dϕ
ﻭﻟﻴﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺭﺒﻁ ﻜلﱟ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ 15.6ﻭ 17.6ﻭﻜﺫﻟﻙ 16.6ﻭ 18.6ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 1 A sin α = − ro tan φ o
19.6
1 1 − ro P
20.6
= A cos α
ﺘﻨﻁﻭﻴﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ αﻭ .Aﻭﺘﺄﺘﻲ ﻗﻴﻡ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﻤﻊ ﻗﻠﻴلٍ ﻤﻥ ﺍﻻﺨﺘﺼﺎﺭ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ :ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﱠﻭﺭﹺ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ α
P )tanφ o ( ro − P
21.6
= tan α
ﺃﻤﺎ ﺍﻻﺘﺴﺎﻉ A 2
1 1 1 − + 2 P ro ro tan 2 φ o
22.6
ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11.6ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ،
d2u dϕ 2
= A
ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،16.6ﻭ uﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
،14.6ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ k 1 =k P
23.6
ﻭﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻭﺭﺩ ،ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،11.6ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 14.6ﺒﺄﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜﻠﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ 1 P
1.24.6
u = A cos (ϕ - α) +
ﺃﻭ P = r 1 + ecosψ
2.24.6
ﺫﻟﻙ ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻴﻤﺜﻼﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﹶﻁﹾﻊﹺ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ Conic Section 1ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺒﺅﺭﻱ ،Semilatus Rectumﺭﻤﺯﻩ ،P ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ψﻭﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ Eccentricityﻟﻠﻤﺴﺎﺭ ،ﺭﻤﺯﻩ،e = PA ،e
ﻭﺍﻟﻤﻌﺒﺭ ﻋﻨﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻗﻁﺒﻬﺎ Oﻋﻠﻰ ﺇﺤﺩﻯ ﺒﺅﺭﺘﻲ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ، ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ،ψ = ϕ - α = 0, πﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻤﻘﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.6ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻠﻤﻘﺩﺍﺭ rﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ ﺼﻐﺭﻯ ﻭﻋﻅﻤﻰ
ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
145
ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﻓﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 24.6
ﻗﻄﻊٌ ﻣﻜﺎﻓﺊ e =1, اھﻠﯿﻠﺠﻲّ 0 < e < 1,
ﻤﺴﺎﺭ Orbit Equationﺍﻟﺠﺭﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ
vo
ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ rﻭ ،ϕﻭﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ
داﺋﺮي e = 0 ,
ﺘﻅﻬﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﻴﻥ eﻭ .Pﻭﻴﺘﺤﻜﻡ ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺒﺅﺭﻱ ﻓﻲ ﺤﺠﻡ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﻭ ﻴﻤﺜل ﻗﻴﻤﺔ rﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ψ = ± π
α=π اﻷرض
،/2ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺒﻌﻪ
Po
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .ﻭﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ،24.6ﻭﺍﻟﺸﻜل 3.6ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ
ﻗﻄﻊٌ زاﺋﺪ e > 1,
ﺃ -ﺩﺍﺌﺭﻴﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔﹰ
ﺸﻜل 3.6
ﻟﻠﺼﻔﺭ .e = 0
ﺏ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻨﺎﻗﺼﺎﹰ ،ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻤﻭﺠﺒﺔﹰ ﻭﺃﻗل ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ.0 < e < 1
ﺝ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻭﺍﺤﺩ .e = 1 ﺩ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﺯﺍﺌﺩﺍﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ .e > 1
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﻜﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻨﻁﻼﻗﻪ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،voﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭﺭ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ .αﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﺠﺏ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺒﺅﺭﻱ ،Pﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12.6ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ .ﻓﻨﺴﺘﺒﺩل ﻗﻴﻤﺔ hﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ 2.7.6 ro2 v 2o sin2φ ο
25.6
g R2
=
(2 h)2 2
gR
= P
ﻭﻫﺫﻩ ﺒﺘﻌﻭﻴﻀﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.6ﻭﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺔ ϕ = 0ﻭ ،ψ = αﺜﻡ ﺤلﱢ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ
1
ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ ﺒﺄﻨﱠ ﻪ ﺍﻟﻤﺤلﱡ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ locusﻟﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﺎ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺇﻟﻰ ﺒﻌﺩﻫﺎ ﻋﻥ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡﹴ
ﺧـﻂ دﻟـﯿــﻞ
M
D
r
ﺜﺎﺒﺕ ﻭﺍﺤﺩﺓ .ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﹸﺩﻋﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺒﺎﻟﺒﺅﺭﺓ Focusﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺒﺎﻟﺨﻁ ﺍﻟﺩﻟﻴل .Directrixﻜﻤﺎ ﻴﺩﻋﻰ ﺜﺎﺒﺕ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﺎﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ.
ψ
E
=e
r r cosψ
P/ e−
K
FM ⇒ = e DM
P/e
ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ .2.24.6 sin φ o − gR
2
26.6
2
gR2
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻓﺈﻥ ﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 19.6ﻓﻲ Pﻴﻨﺘﺞ 146
ro v o2
= e cos α
ﺑﺆرة F
ro v o2 sin2φ ο
27.6
2 gR2
e sin α = −
ﻭﺒﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 26.6ﻭ 27.6ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻁﻭﺭ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ α v o2 sin 2 φo R2 g − v o2 sin2φ o ro
28.6
2
= tan α
ﺃﻤﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻓﺘﻜﻭﻥ +1
29.6
] rov o2 sin2φο [ rov o2 − 2gR2 g2 R4
=e
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 28.6ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،αﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻗﻼﻉ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺘﻤﺎﺜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 29.6ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻟﻠﻤﺴﺎﺭ .ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﺍﻨﻁﻠﻘﺕ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽro = R ،
ﻭ ،φo =90oﻓﺈﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ
+1
1.29.6
]v o2 sin2φο [ v o2 − 2gR g2 R2
=e
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﺈﻥ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻴﻜﻭﻥ ﺃ -ﺩﺍﺌﺭﻴﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ gR
= .v o
ﺝ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ 2gR
ﺏ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻨﺎﻗﺼﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ 2gR ﺩ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﺯﺍﺌﺩﺍﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ 2gR
= .v o
< . gR < vo > . vo
ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ vc = gRﺘﻌﺒﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ .ﻭﻫﻲ ﺍلﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻻﻨﻁﻼﻕ ﺠﺴﻴﻡ ) ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ( ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﺒﻤﺩﺍﺭﹴ ﺩﺍﺌﺭﻱ .ﻭﻫﻲ ﺃﻗل
ﺴﺭﻋﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺠﺴﻡ ﺤﺘﻰ ﻴﺘﻐﻠﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﻭﻴﺘﺤﻭل ﺇﻟﻰ ﻗﻤﺭﹴ ﺼﻨﺎﻋﻲﹴ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ .ﻜﻤﺎ ﻴﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ،vesc = 2gRﺘﻌﺒﻴﺭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻹﻓﻼﺕ ،Escape Speedﻭﻫﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻻﻨﻁﻼﻕ ﺠﺴﻴﻡﹴ )ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ( ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻺﻓﻼﺕ ﻤﻥ ﺠﺎﺫﺒﻴﺘﻬﺎ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ )ﺤﻭﻟﻬﺎ( ﺒﻤﺩﺍﺭﺍﺕ ﻗﻁﻊﹴ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻕ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺔ vo ≥ 2gRﻓﻲ ﻤﺩﺍﺭ ﻗﻁﻊﹴ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺃﻭ ﻗﻁﻊﹴ ﺯﺍﺌﺩ ،ﻤﺒﺘﻌﺩﺍﹰ ﺒﻼ
ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻥ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﺒﺢ ﻗﻤﺭﺍﹰ ﺼﻨﺎﻋﻴﺎﹰ ﻴﺘﺒﻊ ﺠﹺﺭﻤﺎﹰ ﺴﻤﺎﻭﻴﺎﹰ ﺁﺨﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﺒﺩل g = 9.8
] [m /sﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ ] ،R = 6370 [kmﺘﻜﻭﻥ 30.6
]vc = gR = 7.9 [km/s] , vesc = 2gR = 11.2 [km/s
ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﹶﻠﻜﹶﻲ ﻴﺼﺒﺢ ﺠﺴﻡ ﻤﻘﺫﻭﻑﹲ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻗﻤﺭﺍﹰ ﺘﺎﺒﻌﺎﹰ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭﻟﻬﺎ ،ﻻ ﺒﺩ ﻤﻥ ﺘﻭﻓﺭ ﺍﻟﺸﺭﻁﻴﻥ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ :ﺃﻭﻻﹰ ] 7.9 [km/s] ≤ vo < 11.2 [km /sﻭﺜﺎﻨﻴﺎﹰ .°90 = φo
ﻟﻘﺩ ﻻﺤﻅﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻜﻴﻑ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﻭﺍﻟﺠﺭﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ ( ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺩﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺃﻭ
ﺤﺘﻰ ﺘﻐﻴﺭﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ .ﻟﺫﻟﻙ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻟﻰ ﻤﺯﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻟﻀـﺭﻭﺭﻴﺔ ،ﻨﺴﺘﻘﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،24.5ﻤﻊ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﺭﻤﻭﺯ TAﻭ TBﺇﻟﻰ Toﻭ Tﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ 147
v2 A o1 1 v2 = ] [ T -T o = − o m m 2 2
1.31.6
ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﻭﺤﺩﺓ ﻜﺘﻠﺔ ،ﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻬﺎ ﻤﻥ ﻤﻭﻀﻌﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ Poﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻲ Pﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ
ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،ﺸﻜل ،2.6ﺒﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻁﺎﻗﺘﻲ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 16.5
1 1 Ao1 = − gR2 − r r m o
2.31.6
Πo - Π
=
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ،ﻴﻨﺘﺞ ﻋﻨﻪ ﺒﻌﺩ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﻤﺎ ﺃﻥ v o2 gR2 v 2 gR2 − = − 2 ro 2 r
⇒
1 1 v o2 = − gR2 − 2 ro r
−
v2 2
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ v 2 gR2 − = const. 2 r
32.6
ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ Energy Parameterﻟﻜل ﻭﺤﺩﺓ ﻜﺘﻠﺔ ،ﺭﻤﺯﻩ ،Euﻭﻴﺤﺩﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،ﻭﻴﺤﺴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ 1 2 gR2 vo − 2 ro
33.6
=
− 2 gR 2 ro
2
ro v o2
= Eu
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ] [ ro v o2 − 2gR2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 29.6ﺒـ ،2 ro Euﻤﻊ ﺍﻷﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ hﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 25.6ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ Eu + 1
34.6
ro2 v o2 sin2 φ o g2 R4
2
= e
ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ،ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ،ﻤﻤﺜﻼﹰ ﺒﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﻩ Euﻤﺅﺸﺭﺍﹰ ﻤﺒﺎﺸﺭﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺒﻌﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ )ﻤﻥ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ،ﻤﺜﻼﹰ( .ﻭﻟﻠﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽro = ،
Rﻭ ،φo=90oﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ
1 g2 R2 ﺃ -ﺩﺍﺌﺭﻴﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ e = 0ﻭﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﺴﺎﻟﺒﺔ 2 v2o
. Eu = -
1 g2 R2 ﺏ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻨﺎﻗﺼﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ 0 < e < 1ﻭﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ؛ ﺃﻱ 2 v 2o
ﺝ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﻤﻜﺎﻓﺌﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ e = 1ﻭﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺼﻔﺭﺍﹰ .Eu = 0
ﺩ -ﻗﹶﻁﹾﻌﺎﹰ ﺯﺍﺌﺩﺍﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ e > 1ﻭﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ .Eu > 0
148
. 0 > Eu > -
3.6ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻴﺔ
2
Kepler’s Laws of Planetary Motion
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺨﻁﻪ ﻜل ﻜﻭﻜﺏ ﻫﻭ ﻗﻁﻊ ﻨﺎﻗﺹ ،ﻤﻊ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺒﺅﺭﺘﻴﻪ .ﻟﻘﺩ ﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺫﻟﻙ
ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺘﻴﻥ .24.6ﻓﺎﻟﺠﺴﻴﻡ ﻴﺘﺒﻊ ﻤﺩﺍﺭﺍﹰ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﹺﻴﺎﹰ ﻓﻘﻁ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﹶﺘﹾﺒﻊ ﻗﻭﺘﻪ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻊ
ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺘﹶﻭﻓﹸﺭﻫﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﻜﻭﺍﻜﺏ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ
ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﻭﺘﺘﺄﺜﺭ ﺒﻘﻭﺓ ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺘﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺴﺘﻜﻭﻥ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔﹰ ﺘﻘﻊ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻓﻲ ﺇﺤﺩﻯ ﺒﺅﺭﺘﻴﻬﺎ.
ﻟﻘﺩ ﺼﺎﻍ ﻜﺒﻠﺭ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻜﻭﺍﻜﺏ ﻓﻘﻁ .ﻭﺠﺎﺀ ﺒﻌﺩﻩ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻟﻴﺜﺒﺕ ﺫﻟﻙ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻤﺴﺘﻨﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻌﺎﻡ .ﺇﺫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻷﻭل ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺘﻘﻭل :ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺠﺫﺏ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺇﻟﻰ
ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻗﻭﺓﹲ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔﹲ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻊ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ،ﻭﺒﺼﻭﺭﺓ ﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺍﻻﻫﻠﻴﻠﺠﻲ ﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻊ
ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ،ﻓﻘﺩ ﺃﺜﺒﺕ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻷﺠﺭﺍﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻴﺔ ﻫﻲ ﻗﹸﻁﻭﻉ
ﻤﺨﺭﻭﻁﻴﺔ .ﺇﺫ ﻴﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺃﻭ ﺍﻟﻜﻭﻴﻜﺏ Asteroidﺃﻭ ﺍﻟﻤﺫﻨﺏ Cometﺃﻭ ﺍﻟﺸﻬﺎﺏ Meteorﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻨﻴﺯﻙ Meteoriteﺫﻭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻓﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭﹴ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﺃﻭ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻲ ،ﺒل ﻭﺤﺘﻰ ﺍﻹﻓﻼﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ ،ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ
ﻤﺴﺎﺭﹴ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺯﺍﺌﺩﻱ. ﻴﺠﺏ ﺍﻻﻨﺘﺒﺎﻩ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﺒﺤﺕ ،ﻴﺨﺘﺹ ﻓﻘﻁ ﺒﺎﻟﺴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻲ ،ﻭﻟﻴﺱ ﺒﺎﻟﺯﻤﺎﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺃﻱ ﻤﻔﻬﻭﻡﹴ ﺁﺨﺭ .ﻭﻤﻊ ﺫﻟﻙ ،ﻓﻜﻡ ﻜﺎﻥ ﺍﻻﻨﺠﺎﺯ ﻋﻅﻴﻤﺎﹰ ﺒﻌﺩ ﺃﻟﻔﻲ ﺴﻨﺔ ﺃﻭ
ﺃﻜﺜﺭ ،ﻤﻥ ﺍﻻﻗﺘﻨﺎﻉ ﺍﻟﺒﺸﺭﻱ ﺒﺎﻟﻤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ! ﻴﺄﺘﻲ ﻜﺒﻠﺭ ﻭﺒﻌﺒﺎﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ :ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺩﺍﺭﺍﺕ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ، ﻟﻴﺒﺴﻁﹶ ﺇﻟﻰ ﺃﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺼﻭﺭﺓ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ ،ﻭﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻟِﻴﺤﻘﻕﹶ ﺘﻭﺍﻓﻘﺎﹰ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﻭﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ.
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻘﺩ ﺤﺎﻭل ﻜﺒﻠﺭ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﻭﻱ Oval Orbit ﻜﻤﻘﻴﺎﺱﹴ ﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ .ﻓﺎﻓﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻜﻼﹰ
ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻭﺴﺭﻋﺘﻪ ﺘﺘﻨﺎﺴﺒﺎﻥ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ،ﻭﻨﺠﺢ ﻓﻲ ﺍﺜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ .ﻭﻗﺩ ﻗﺎﺩﻩ ﻫﺫﺍ ﺇﻟﻰ ﻓﻜﺭﺓ ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻴﺔ ،ﻤﻔﺎﺩﻫﺎ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺘﹸﻤﺴﺢ ﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕ
ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ -ﺃﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻤﺜﺎل ﺫﻟﻙ ،ﻓﻲ ﻏﻀﻭﻥﹺ ﻴﻭﻡﹴ ﻭﺍﺤﺩ ،ﻴﻤﺴﺢ
ﺨﻁﱡ ﻤﺩﺍﺭ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻨﻁﻘﺔﹰ ﻀﻴﻘﺔﹰ ﻤﺜﻠﺜﺔﹶ ﺍﻟﺸﻜل ،ﻴﻘﻊ ﺭﺃﺴﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﻗﺎﻋﺩﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ،ﻭﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻜل ﻴﻭﻡﹴ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ .ﻭﻫﻜﺫﺍ ،ﻓﺤﻴﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻗﺭﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﻓﺈﻨﻬﺎ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ
2
ﺃﻋﻠﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻷﻭل ﻋﺎﻡ 1605ﻭﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﺎﻡ ،1609ﺇﺫ ﻨﺸﺭﻫﻤﺎ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺏﹴ ﻭﺍﺤﺩ ﻫﻭ ﻋﻠﻡ ﺍﻟﻔﻠﻙ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ،Astronomica Novaﺍﻟﺼﺎﺩﺭ ﻓﻲ ﺒﺭﺍﻍ ﻋﺎﺼﻤﺔ ﺘﺸﻴﻜﻴﺎ ﺍﻟﻴﻭﻡ ،ﺜﹸﻡ ﺃﻋﻠﻥ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻋﺎﻡ 1619ﻀﻤﻥ ﻜﺘﺎﺏ ﻫﺎﺭﻤﻭﻨﻴﺔ ﺍﻟﻌﺎﻟﻡ ،Harmonice Mundeﺍﻟﺼﺎﺩﺭ ﻓﻲ ﻻﻨﺱ ،Linzeﻓﻲ ﻓﺭﻨﺴﺎ ﺍﻟﻴﻭﻡ.
149
ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺃﺴﺭﻉ ﻜﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﺜﻠﺜﺎﹰ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ .ﺒل ﺇﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﺘﺯﺩﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﺩﺭﺠﺔ ﻜﺎﻓﻴﺔ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻟﻺﺒﻘﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﹶﻤﻜﹼﻨﱠﺎ ﻤﻥ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻜﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡﹺ ﺍﻟﺯﺍﻭﹺﻱ، ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.6
r × v = const.
1.35.6
ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻥ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺯﺨﻡﹺ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻡ ﻴﻌﺭﻑ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺇﻻ ﺒﻌﺩ ﺍﻜﺘﺸﺎﻓﺎﺕ ﻜﺒﻠﺭ ﺒﺄﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻗﺭﻥﹴ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ، ﻭﻟﻡ ﻴﺒﺩ ﻜﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺼﻔﻭﺓ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺇﻻ ﻤﻊ ﺍﺴﺘﻬﻼل ﺍﻟﺼﻴﺎﻏﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺭﻥ ﺍﻟﺘﺎﺴﻊ ﻋﺸﺭ.
ﻭﻴﻌﺘﺒﺭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﻭﻜﺒﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 35.6ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ﻤﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺤﻔﻅ ﺍﻟﻔﺫﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﻤﻊ ﺃﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﻨﻔﺴﻪ ﺃﺨﻔﻕ ﻓﻲ ﺇﺩﺭﺍﻙ ﺫﻟﻙ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ .ﻭﺸﺄﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻭل ،ﻓﺈﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻫﻨﺩﺴﻲ،
ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻜلﱢ ﻤﺩﺍﺭﹴ ﺒﻤﻔﺭﺩﻩ ،ﻭﻻ ﻴﺸﹶﻜﱢل ﺃﻱ ﺼﻠﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﺍﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ.
ﻭﻜﻤﺎ ﺃﺸﺭﻨﺎ ﻓﻲ ﺒﻨﺩ ،1.6ﻓﺈﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺨﺎﺼﺔ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺘﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻭﺃﺼﻐﺭ ﺒﻌﺩ ﻟﻠﻜﻭﻜﺏ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﺃﻭ ﻋﻥ ﺃﻱ ﻤﺭﻜﺯ ﺁﺨﺭ ﻟﻠﻘﻭﺓ .ﻓﻌﻨﺩ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ
ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ
vA rA = vP rP
35.6
ﺇﺫ ﻴﺸﻴﺭ ﺍﻟﺭﻤﺯﺍﻥ ﺍﻟﺴﻔﻠﻴﺎﻥ Aﻭ Pﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﻭﺝ Apogeeﻭﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺤﻀﻴﺽ Perigeeﻟﻠﻤﺩﺍﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ. ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺤﻀﻴﻀﻲ ﻟﻤﺩﺍﺭﻫﺎ ] ،rP = 1.47 × 1011 [mﺒﻴﻤﺎ ﺍﻟﺒﻌﺩ
ﺍﻷﻭﺠﻲ ] .rA = 1.52 × 1011 [mﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﻟﻸﺭﺽ )ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﻀﻴﺽ( ﻭﺃﺼﻐﺭ ﺴﺭﻋﺔ )ﻋﻨﺩ ﺍﻷﻭﺝ( ﻫﻲ vP ]1.52 × 10 [m = = = 1.034 vA rP ]1.47 × 1011 [m 11
rA
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻼﺤﻅ ،ﻴﻌﺎﻟﺞ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﻨﺴﺏ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﻓﺤﺴﺏ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﻋﻨﺩ ﺃﻱ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ،ﻤﺎ ﻟﻡ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻗﺩ ﺃﻀﺤﺕ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ .ﻫﺫﺍ ﻭﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻷﺭﺽ
ﺍﻟﻤﻘﻴﺴﺔ
rP × ωES < vE < rA × ωES × 1.99 × 10
-7
× 1.99 × 10 < vE < 1.52 ×10 -7
11
11
1.47×10
]2.93×10 [m/s] < vE < 3.02 ×10 [m/s 4
4
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺴﻌﻰ ﻜﺒﻠﺭ ﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻋﺩﻴﺩﺓ ﻻﺴﺘﻜﻤﺎل ﻗﺎﻨﻭﻨﻴﻪ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺜﺎﻟﺙ ﻴﺭﺒﻁ ﻤﺩﺍﺭﺍﹰ ﻜﻭﻜﺒﻴﺎﹰ ﺒﺂﺨﺭ .ﻓﻤﻨﺫ ﻋﻬﺩ ﻜﻭﺒﺭﻨﻴﻜﺱ ،Copernicusﻜﺎﻥ ﻤﻌﺭﻭﻓﺎﹰ ﺃﻥ ﺩﻭﺭﺍﺕ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﺍﻷﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻜﺒﺭ .ﻭﻜﺎﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺃﻭل ﻤﻥ
ﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺯﻤﻨﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ .ﺇﺫ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻜﺎﻥ ﻴﺤﺎﻭل ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﻤﺩﻯ ﺩﻗﺘﻬﺎ ﺍﻜﺘﺸﻑ
ﺒﻤﺤﺽ ﺍﻟﺼﺩﻓﺔ ﻗﺎﻨﻭﻨﻪ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ :ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻁﺭﺩﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻤﻜﻌﺏ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻨﺼﻑ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺩﺍﺭﻩ .ﻭﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻵﻥ ﺍﻻﺴﺘﻌﺎﻨﺔ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.6ﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ ﻭﻴﺴﺭ. 150
ﻟﻘﺩ ﺃﺜﺒﺘﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ 2.6ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﻤﻐﻠﻘﺎﹰ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﺃﻗل ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ .1 > e ≥ 0ﻓﻤﺩﺍﺭ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻴﻜﻭﻥ ﺩﺍﺌﺭﻴﺎﹰ ﻋﻨﺩ ،e = 0
ﻭﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺎﹰ ﻋﻨﺩ ،1 < e < 0ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻥ ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.6ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻴﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ،ψﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ
ﺃﻗل ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ .| ψ | < 90 °ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻤﺩﺍﺭ ﻜﻭﻜﺏﹴ ﻤﻌﻴﻥﹴ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻤﺤﺩﺩ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻻﻫﻠﻴﻠﺠﻲ ،ﺸﻜل ،4.6
ﺤﻴﺙ ﺘﻘﻊ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺅﺭﺓ .Fﻭﻟﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ to = 0ﻓﻲ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ،Poﻭﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ αﻋﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﻤﺎﺜل .ﻜﻤﺎ ﻴﺼﻨﻊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕﻋﻨﺩ ﻭﺼﻭﻟﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ
ﺍﻟﻤﻭﺴﻭﻡ ﺒﺎﻟﻨﻘﻁﺔ .M ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﺘﻤﺜل ﺃﻗﺭﺏ ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ﺤﻭل
’M
ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻴﺼﻠﻬﺎ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺴﻤﻰ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺤﻀﻴﺽ .ﻭﺒﻌﺩﻫﺎ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ )ﺍﻟﺒﺅﺭﺓ( ﻴﻤﺜل
ﺍﻟﺒﻌﺩ
ﺍﻟﺤﻀﻴﻀﻲ
B
M
Perihelion ϕ
Distanceﻭﺭﻤﺯﻩ .rPﺃﻤﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Aﻓﺘﻤﺜل ﺃﺒﻌﺩ
ﻨﻘﻁﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻴﺼﻠﻬﺎ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺒﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷَﻭﺝ .ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﻭﺝ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺒﺎﻟﺒﻌﺩ ﺍﻷﻭﺠﻲ
P Po
ψ α
b
a E F
)a(1-e
N
O
’F
ea
،Aphelion Distanceﺭﻤﺯﻩ .rAﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺘﻲ
ﺍﻟﺒﻌﺩﻴﻥ ﺍﻟﺤﻀﻴﻀﻲ ﻭﺍﻷﻭﺠﻲ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ،ﺸﻜل
rB
، 4.6ﻨﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺘﻲ rﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.24.6
ﻭﻟﻠﺯﺍﻭﻴﺘﻴﻥ
ﺍﻟﺤﻀﻴﻀﻲ
D
rA a
a
°0 = ψﻭ .o180 = ψﺍﻟﺒﻌﺩ
ﺸﻜل 4.6
P ) ⇒ rP = a (1 - e 1.36.6 1+ e ﺤﻴﺙ ﺃﻥ aﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ Semimajor Axisﻭ bﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻱ .Semiminor Axisﺍﻟﺒﻌﺩ = rP = r ψ = 0
ﺍﻷﻭﺠﻲ
2.36.6
P ) ⇒ rA = a (1 + e 1− e
=
ψ =180
rA = r
ﻭﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺒﺅﺭﻱ 2
) P = a (1 - e
37.6
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﻌﻁﻲ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4.6ﻭﺒﻌﺩ ﺘﻜﺎﻤﻠﻪ ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ T ⇒ T = Ae / h
38.6
Ae = h T
ﺤﻴﺙ Aeﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ،Ae = π a b ،ﺒﻴﻨﻤﺎ hﻨﺼﻑ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ h2 = g R2 P/4 ،ﻭﻤﻨﻬﺎ .h2 = g R2 a (1-e2)/4ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ
151
A
a3
39.6 ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ) ( 1 − e 2
gR 2
⇒ T =2π
2 πa b ) g R2 a (1- e2
= T
. b = aﻭﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩ ﻭﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺼﻠﻪ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ )ﺍﻟﺠﺭﻡ
ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻲ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﻤﺱ/ﻟﻸﺭﺽ ،ﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﻘﻴﺱ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ
ﺍﻟﺤﻀﻴﺽ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻜﺒﻠﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﻤﺴﺢ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ﻟﻠﻜﻭﻜﺏ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ
ﺒﻤﻌﺩلٍ ﺜﺎﺒﺕ .ﻭﻟﻬﺫﺍ؛ ﻓﺎﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ’ ،FMﺸﻜل ،4.6ﻴﻤﺴﺢ ﻤﺴـﺎﺤﺎﺕ ﻤﺘﺴـﺎﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻓﻲ ﺃﻭﻗﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ .ﻭﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻘﻁﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ﻭﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺨﻁ FMﻓﻲ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ABPD
ﻤﺴـﻘﻁﺎﹰ ﻟﻠﺨﻁ ’ FMﻓﻲ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ Oﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ OAﻋﻠﻰ ﻤﺴـﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ MN M' N = b a
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻟﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻤﺴﺢ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ’ FMﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ) ﺒﺩﺀ ﻤﻥ (Pﺘﻨﻜﻤﺵ ﻟﺘﻨﺘﺞ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻤﺴﺢ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ FMﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﺍﻹﻫﻠﻴﻠﺠﻲ .ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﻨﻜﻤﺎﺵ ﻫﻭ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ b ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻭﻱ ﻭﻨﺼﻑ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ،ﺃﻱ a
.ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺘﻐﺭﻗﻪ ﺍﻟﻜﻭﻜﺏ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻭﺼﻭل
t ﺇﻟﻰ ’ Mﻫﻭ ،tﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﻤﺴﻭﺤﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ’ FMﺨﻼل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻫﻲ T
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺤﺔ
ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ )ﺍﻟﻤﻤﺴﻭﺤﺔ ﺨﻼل ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﺠﺭﻡ ﺍﻟﺴﻤﺎﻭﻱ .(Tﻭﻫﺫﻩ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔﹲ ﺒﺎﻟﺘﻤﺎﻡ ﻟﻤﺴﺎﺤﺔ ﻗﻁﺎﻉ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺫﻱ
ﺭﺃﺴﻪ Oﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺭﺃﺴﻪ Eﻤﻁﺭﻭﺤﺎﹰ ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺎﺤﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ .OM’Fﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ 3
π a2 1 1 t = a 2 E − a 2 e sin E T 2 2
40.6
ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل Tﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 40.6ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 39.6ﻭﺤل ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ) ( E − e sin E
41.6
3
a3 gR 2
= t
ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ Eﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ Eccentric Anomaly ﺃﻭ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻗﻊ ﺠﺭﻡ ﺴﻤﺎﻭﻱ ﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﻤﺱ ﻋﻠﻰ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻻﻫﻠﻴﻠﺠﻲ .ﻭﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺒﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ ψ 1− e tan 1+ e 2
E = 2
& tan
1 − e 2 sin ψ 1 + e cos ψ
= sin E
ﻟﻤﺯﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻨﻅﺭ Greenwood,T.,D.:Principles of Dynamics. pp 208 - 209.
152
4.6ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻹﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ
Satellites and Elliptical Orbits
ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﻴﺘﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻲ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ،11.6ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺎﺭﻩ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ ϕﻭﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ vo ،α ،ψﻭ ).r = r (ϕ,vo,φo,α,ψ
ﻭﺘﹸﻌﺘﹶﺒﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ،ﻭﺃﻓﻀل ﻗﻴﻡ ﻟﻠﺯﻭﺍﻴﺎ αﻭ φoﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل
ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ .ﺇﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻤﻤﻜﻥ Hﻭﻤﻌﺭﻓﺔ ﺯﻤﻥ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ
ﺍﻟﻼﺯﻡ ،Tfﻭﺍﻟﻤﺩﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻁﻌﻪ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ .S
ﻟﻘﺩ ﺃﺜﺒﺘﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻗﹸﺫﻑﹶ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ
ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ، 2gR ≤ vo < gRﻭﺒﺎﻟﺯﻭﺍﻴﺎ φo = π/ 2ﻭ ،α = πﺸﻜل .4.6ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺘﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻥ .27.6 ،26.6ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺠﺩﺍﹰ ،ﺘﺠﻌل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴل ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﺍﻁﻼﻕ ﺠﺴﻡﹴ -ﻗﻤﺭ ﺼﻨﺎﻋﻲ -ﻤﻥ
ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ .ﺒل ﺘﺘﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺒﺈﻁﻼﻗﻪ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺼﺎﺭﻭﺥ ﻤﻭﺠﻪ ﺃﺭﻀﻴﺎﹰ ﻴﺭﻓﻌﻪ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻤﻌﻴﻥ ،ﺜﻡ ﻴﻁﹾﻠﻕ ﻤﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺘﻴﻥ. ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﺘﹶﻘﹶﺩﻡ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﻤﻐﻠﻘﺎﹰ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﺩﻭﻥ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﺒﻬﺎ ،ﻟﻴﺩﻋﻰ ﻗﻤﺭﺍﹰ ﺼﻨﺎﻋﻴﺎﹰ .ﺃﻤﺎ
P1 اﻟﻘﻤﺮ P اﻟﺼﻨﺎﻋﻲ
ﺇﺫﺍ ﺍﺭﺘﻁﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﺒﺎﻷﺭﺽ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻨﺘﻘل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻥ
ﻤﻭﻗﻊﹴ ﻤﺎ ﺇﻟﻰ ﺁﺨﺭ ،ﻤﻜﻭﻨﺎﹰ ﻤﺴﺎﺭﺍﹰ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺎﹰ ﻟﻴﺴﻤﻰ ﻟﺤﻅﺘﺌﺫ
S r R
H A
R
ϕ
B
ﺒﺎﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻌﺎﺒﺭ ﻟﻠﻘﺎﺭﺍﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﻤﺩﻯ ،ﺍﻟﻘﻭﺱ ،Po AP1 ﺸﻜل .5.6ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻑ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ،Poﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ P1ﺒﺎﻟﻘﻭﺱ .PoBP1ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 42.6
vo
φo
S = 2Rα
Po
O αﻣﺮﻛﺰ اﻷرض
اﻷرض
ﺸﻜل 5.6
ﺤﻴﺙ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ αﻤﺤﺩﺩﺓ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،28.6ﻭ Rﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉﹴ ﻴﺼﻠﻪ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ αﻭ ϕﻤﺘﺴـﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻜﺎﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ rAﻭ .Rﻓﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،36.6ﻴﺨﻀﻊ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
P - R 1− e
= H = rA - R
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺍﻟﺒﺅﺭﻱ Pﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 25.6ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ ،ro = Rﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ v o2 sin2 φo −R ( 1− e ) g
43.6
153
= H
ﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ eﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .1.29.6ﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻤﺎ ﻭﺭﺩ ﺃﻋﻼﻩ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ، voﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻹﻗﻼﻉ ﻋﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ،φoﺃﻥ ﻨﹸﻌﻴﻥ ﻤﺩﻯ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،Sﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 42.6
ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻋﻪ ﺍﻷﻗﺼﻰ ،Hﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .43.6
ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﻭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻼﻨﻁﻼﻕ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،vo minﻭﺃﻨﺴﺏ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﻗﺫﻑ ﻴﺼل ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﻤﻘﺘﻀﺎﻫﻤﺎ ﺇﻟﻰ ﻤﺩﺍﻩ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ .ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻐﺭﺽ ﻨﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،28.6ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ro = R
2 R g tanα
44.6
sin 2 φ o + 2 sin 2 φ o tanα
= vo
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ φoﺍﻟﻤﻌﺒﺭ ﻋﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ .ﻭﺘﹸﺤﺴﺏ ﺃﻗل ﺴﺭﻋﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺼل ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﻨﻬﺎﻴﺘﻪ ﺍﻟﻌﻅﻤﻰ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻴﻌﻨﻲ ﺫﻟﻙ
[
]
d sin 2φ o + 2 sin 2 φ o tan α = 0 dφ o
tan α = − cot 2φ o
⇒
2 cos 2φ o + 2 sin 2φ o tan α = 0
ﺤلّ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ φoﻴﻜﻭﻥ
π α φo = − − 4 2
45.6
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل φoﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 44.6ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 45.6ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺃﻗل ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺴﺭﻋﺔ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 2Rg sinα
46.6
sinα − 1
= v omin
ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﻭ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ .ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻤﻴﺯﺍﺘﻬﺎ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ
- 1ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩ ،ﻷﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺜﺎﺒﺕﹲ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،35.6ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻘﻁﺎﻋﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .4.6
- 2ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻗﻁﻊ ﻤﺨﺭﻭﻁﻲ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .24.6 ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﻠﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ،ﻨﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﺨﺘﻼﻑ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ eﺒﺄﻱﹴ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 29.6ﺃﻭ ،34.6ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ .ﻭﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺘﺘﺤﺩﺩ
ﺍﻟﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺭ ﻜﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺘﻤﻭﻀﻊ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 37.6 - 35.6ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .35.6ﻜﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺩﻭﺭﺓ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭ ﻭﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 39.6ﻭ .41.6
154
155
ﺍﻟﺒـــــــﺎﺏ ﺍﻟﺴـــﺎﺒـﻊ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ
RELATIVE MOTION OF A PARTICLE
1.7ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺒﺤﺜﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻷﺒﻭﺍﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺤﺭﻜﺘﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺤﺭﺓ ﻭﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻭﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ
ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﺒﻁﺔ ﻤﻨﻬﺎ .ﻭﻗﺩ ﺃﺩﺭﻜﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻓﻘﻁ؛ ﺃﻱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ
ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ.
ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺴﻨﹸﺨﹶﺼﺼﻪ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷُﻁﹸﺭِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺎﹰ ) ﻟﻨﻘل ﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻤﻌﻴﻥ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﻁﺭِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻴﺔ ،ﺸﻜل .1.7ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ،ﻨﺩﻋﻭ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ )ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷُﻁﹸﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ Oxyzﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ.
ﻟﻨﺘﺨﻴل ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ Oxyzﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .Ox 1y1z1ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻓﻲ ﻜلﱢ ﻟﺤﻅﺔٍ
a
ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﹰ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ aoﻟﻠﻨﻘﻁﺔ ،O
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔﹸ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ωﻭﺍﻟﺘﹶﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ε ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺘﺤﺩﺩﺕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ Pﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ،F
y
ﺒﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ Pﻭﻤﻥ ﺜﻡ
R
O ε
y1
x
ﺤﻠﻬﺎ )ﺃﻱ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ( .ﻓﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ )ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ( P
O1 x1
ﺸﻜل 1.7 169
z
ao ω
ﻭﺘﺤﺩﺩﺕ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩِ
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻴﻀﺎﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺴﺄﻟﺔ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺘﺘﺤﺩﺩ
P rP r
S
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ )ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ( ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .ﺇﺫﺍ
z1
F=ma
2.3
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ aﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ .Pﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑﹲ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﹶﻴﻨﹶﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻁﻠﻕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 97.2
a = atr + ar + acor
97.2
ﻟﻨﺤﺼل ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.3ﻭﺤل ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﺩﻻﻟﺔ marﺃﻥ
m ar = F - matr -m acor
ﻭﺇﺫﺍ ﺩﻋﻭﻨﺎ ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻬﺔ -matrﻭ -macorﺒﻘﻭﺘﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ Ftr,inﻭﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻴﺔ Fcor,inﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،48.4ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﺩﺜـﺔِ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ
m ar = F + Ftr,in + Fcor,in
1.7
ﻟﺘﺩﻋﻰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .ﻭﻫﻲ ﺸﺒﻴﻬﺔﹲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.3ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﻀﻴﻔﺕ ﻗﻭﺘﺎ
ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻭﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻨﺘﻴﺠﺔﹰ ﻟﻠﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ .ﻭﺴﻨﺩﺭﺱ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: - 1ﺤﺭﻜﺔ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﻨﱢﺼﻘﻁﺭِﻴﺔ atrt
ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ .atr = atrn + atrt ،atrnﻭﻟﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺇﻟﻰ m ar = F + F trn,in + F trt,in + Fcor,in
1.1.7
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ،ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ،ωtr = const.ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﻜﺎﻓﻲﺀ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻓﻘﻁ . atr = atrn ،ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.1.7ﺘﺼﺒﺢ m ar = F + F trn,in + F cor,in
2.1.7
- 2ﺤﺭﻜﺔﹸ ﺇﻁﺎﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩِ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﻨﺤﻥٍ .ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ωtr = 0 ،ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺘﻼﺸﻰ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ )ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ( ،ﺃﻱ ،atrn,in = 0
ﻭﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻲ ،ﺃﻱ .Ftrn,in = Fcor,in = 0 ⇐ acor= 0ﻭﻟﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.7ﺇﻟﻰ
m ar = F + F trt,in
3.1.7
ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻓﻲ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﻜﻭﻥ atr = 0ﻷﻥ
،ωtr = 0ﻭ .acor = 0ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.7ﺇﻟﻰ
m ar = F
4.1.7
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﺎﻓﻲﺀ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 2.3ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ. ﺇﻥ ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻲ ﺴﺎﺌﺭ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ ،ﺤﻴﺙ ﺃﺩﺭﻙ ﻫﺫﺍ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻭﻏﺎﻟﻴﻠﻭ ﻤﻥ
ﻗﺒﻠﻪ .ﻭﺩﻋﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺒﺎﺴﻡ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺍﻟﻐﺎﻟﻴﻠﻴﺔ .Principle of Galilean Relativityﺇﻥ ﻫﺫﺍ ﻻ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺎ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻤﺘﻁﺎﺒﻘﺎﹰ ﻓﻲ ﺴﺎﺌﺭِ ﺃُﻁﹸﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺒل ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ،ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ﺃُﻁﹸﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ.
170
2.7ﺍﻹﺴﺘﻘﺭﺍﺭ )ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ( ﺍﻟﻨﱢﺴﺒﻲ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺤﺎل ﺴﻜﻭﻨﻪ )ﻋﺩﻡ ﺤﺭﻜﺘﻪ( ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﺴﺘﻘﺭﺍﹰ ﻨﺴﺒﻴﺎﹰ ﺩﻭﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭٍ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ
ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﻭﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ .ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﻻﻜﺘﺴﺎﺒﻪ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ .ﻟﻘﺩ ﻜﺎﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﻭﻗﻊ ﺇﻁﺎﺭِ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩِ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺍﻟﻔﻴﺼل ﻓﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻭﺃﻫﻤﻴﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ
ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﻭﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ .ﺇﺫ ﺘﻨﻁﻭﻱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﻘﻴﺩﺍﺕٍ ﻜﺜﻴﺭﺓٍ ﻋﻨﺩ ﺒﺤﺜﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﻤﺜﺎﻟﻲ . 1
ﻭﻟﺫﺍ ،ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﻥ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ :ﺇﺤﺩﺍﻫﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﻤﺭﻜﺒﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﻭﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ. ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻫﻲ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ .ﺇﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺘﺨﻴلَ ﻤﺭﻜﺯ ﺸﻤﺴﻨﺎ ﻻ
ﻴﺘﺴﺎﺭﻉ ،ﺇﺫ ﻨﻌﺘﺒﺭﻩ ﻨﻘﻁﺔ ﺃﺼلٍ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ،ﻓﻴﺩﻭﺭ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺩﻭﺭﺓﹰ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﻜل ﻋﺎﻡ ،ﺸﻜل .2.7ﻭﻟﺫﺍ ،ﻓﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
] 1[rev. 2π ]1[rad ] 1[year ] 1[day ] 1[hr × × × × × ]1[ year ] 1[rev. ] 1[s ]365 [ day] 24 [hr ] 3600 [s
= ω ES
] ωES = 1.99×10 [ rad./s -7
ﺤﻴﺙ ﻴﺸﻴﺭ ﺍﻟﺭﻤﺯﺍﻥ ﺍﻟﺴﻔﹾﻠﻴﺎﻥ ESﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ .ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻬﺎ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭٍ ﺇﻫﻠﻴﻠﺠﻲٍ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻓﻘﻁ 2 a = ρ ω ES ]= 1.49×10 [m] ×1.99 ×10 [rad./s -7
11
] a = 5.9 × 10 [ m/s 2
-3
r
ﺍﻷﺭﺽ
ﺃﻭ ﻜﻨﺴﺒﺔ % 0.06ﻤﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ .ﻟﺫﺍ ،ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺸﻁﺏ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺴـﺎﺭﻉ ﻤﻥ ﺤﺴـﺎﺒﺎﺕ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺃﻭ ﻗﺭﻴﺒﺎﹰ ﻤﻨﻬﺎ .ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻋﻨﺩ ﺤل ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل
ﺍﻟﺸﻤﺱ
ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻔﻀﺎﺀ ،ﻜﺩﻭﺭﺍﻥِ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﺃﻭ ﺇﻓﻼﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻥ
ﻤﺠﺎل ﺠﺎﺫﺒﻴﺘﻬﺎ ،ﺤﻴﺙ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﻷﻤﺭ ﺩﻗﺔﹰ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺫﻱ ﻗﺒل ،ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺤﺴﺎﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﻭﻋﺩﻡ ﺇﻟﻐﺎﺌﻬﺎ.
ﺸﻜل 2.7
ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺄﺨﺫ ﻓﻜﺭﺓﹰ ﺠﻠﻴﺔﹰ ﻋﻥ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻤﻊ ﺩﻭﺭﺍﻨﻬﺎ ﺤﻭل ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻭﺤﻭل ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺇﻁﺎﺭﻱ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺜﺎﺒﺕﹲ ،ﺘﹶﺘﹶﻁﺎﺒﻕﹸ ﻨﻘﻁﺔﹸ ﺃﺼﻠﻪ O1ﻤﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﺁﺨﺭ
ﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺘﺘﻁﺎﺒﻕ ﻨﻘﻁﺔ ﺃﺼﻠﻪ Oﻤﻊ ﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﺸﻜل .3.7ﺤﺭﻜﺔ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ )ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ( ،ﻭﺫﺍﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻤﻘﺩﺭﺍﻫﺎ ﺩﻭﺭﺓﹰ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﻴﻭﻤﻴﺎﹰ. 1
ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻲ ﻫﻭ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻁﺎﺒﻕ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﻤﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﻭﻥ. 171
] 2 π [rad. ] 2 π [rad. = ]= 7.29 × 10 − 5 [ rad./ s ]1[day ]86164[s
= ω = ω EE
ﺤﻴﺙ ﻴﺸﻴﺭ ﺍﻟﺭﻤﺯﺍﻥ ﺍﻟﺴﻔﻠﻴﺎﻥ EEﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ .ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻼﻤﺴﺎﹰ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﻻ 2
ﻴﻔﺎﺭﻗﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .vr = 0 ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﻜل ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﱢﺴﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺴﻴﺔ ﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ar = acor = 0ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.7ﺘﻜﺘﺏ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
matr = F
2.7
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﺇﻥ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻴﻌﻨﻲ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﺃﻨﻪ
ﻤﻼﺯﻡ ﻟﻤﻭﻗﻊ ﻤﺤﺩﺩٍ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻻ ﻴﻔﺎﺭﻗﻪ ،ﻭﻴﺩﻭﺭ ﻤﻊ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺒﻬﺎ .ﻭﻫﺫﺍ ﺴﺭ ﺒﻘﺎﺀ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﻀﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﺤﺴﺏ ﺇﺘﺠﺎﻫﻴﺎﹰ ﻜﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻲ ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻑ
3.7
) atr = ω × ( ω × r z1
ﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺎﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ
y N
x
،r = Rer ،rﻭﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻜﻤﺘﱠﺠِﻪٍ ﻤﻨﻁﺒﻕٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺠﻨﻭﺏ ﺸﻤﺎل ،NS
،ω = ωkﺸﻜل ،3.7
Oz ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ
ﺃﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻭﺤﺩﺍﺕ ﺍﻻﺘﱢﺠﺎﻫِﻴﺔ ﺍﻟﻘﻁﺒﻴﺔ erﻭ eϕ 4.7
ﺤﻴﺙ ϕﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ
ω = ω cosϕ eϕ + ω sin ϕ er
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ
Geocentric Latitudeﻟﻠﻤﻭﻗﻊ Oﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ φﻓﺘﺤﺩﺩ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺍﻟﺠﻐﺭﺍﻓﻲ
Geographic
Latitudeﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ .Oﻭﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،ω
eϕ
β
mg’ = Fr a ω er k ϕ
Ftr,in c
F=mg b = φﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺍﻟﺠﻐﺭﺍﻓﻲ geographic latitude
ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ geocentric latitude
S O1
ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3.7ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،4.7ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ﻴﺼﺒﺢ
ﺸﻜل 3.7 5.7
} atr = ω×( ω × r) = R ω { sin ϕ cos ϕ eϕ - cos ϕ er 2
2
ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻲ ﻗﻭﺘﺎﻥ :ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ،ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﻨﺤﻭ
ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ
1.6.7 2
Fr = m g’ = - mg’ er
ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﺩﻭﺭﺓﹰ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﻓﻲ ﺃﻁﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻴﺔ ،ﺒﺎﻟﻨﺴـﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻔﻠﻜﻲ ،Sidereal Dayﻭﻫﻲ ﺘﺴـﺎﻭﻱ 23ﺴﺎﻋﺔ ﻭ 56ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻭ 4ﺜﻭﺍﻨﻲ؛ ﺃﻱ 86164ﺜﺎﻨﻴﺔ. ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ Solar Dayﻓﻬﻭ ﺃﻁﻭل ﻗﻠﻴﻼﹰ ،ﺇﺫ ﻴﻠﺯﻡ ﺃﻴﻀﺎﹰ 3ﺩﻗﺎﺌﻕ ﻭ 56ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻘﻁ؛ ﺃﻱ 24ﺴﺎﻋﺔﹰ ﻟﻨﻘﻁﺔٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻜﻲ ﺘﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻨﺴﺒﺔﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻤﺱ.
172
x1
ﻭ)ﻗﻭﺓ( ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻷﺭﺽ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎﹰ ﻟﻸﻋﻠﻰ ،ﻭﻫﻲ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﻀﺎﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ N = m g = mg cos β er + mg sin β eϕ
2.6.7
ﺤﻴﺙ βﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻲ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ .ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻼﻤﺱ ﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ
F = N + Fr = - mg’ er + mg cos β er + mg sin β eϕ
7.7
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ،atrﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،5.7ﻭﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ Fﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،7.7
ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.7ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 8.7
m Rω2{sinϕ cosϕ eϕ - cos2 ϕ er } = - mg’er + mgcosβer + mg sin β eϕ
ﻭﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺘﻴﻥ m R ω sinϕ cosϕ = mg sin β 2
1.8.7 2.8.7
- m Rω cos ϕ 2
= - mg’ + mgcosβ
2
ﻨﺤﺴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ β R ω sin 2 ϕ β = arc sin 2g 2
]
o
[ = 0.1
R ω 2 = arc sin 2 g
ϕ =45 o
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑٍ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻴﺒﻠﻐﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺨﻁﱢ ﺍﻟﺠﻐﺭﺍﻓﻲ 45 =ϕ
β max = β
3 o
.ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل
cosβmax = 1ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،ﻭﻗﺴﻤﺔ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔ ،mﻨﺠﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ
)ﺍﻟﺘﻔﺎﻭﺕ( ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻷﺭﻀﻲ ∆g = g - g’ = R ω cos ϕ 2
9.7
2
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﻤﻤﺜﻠﺔﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ .ϕﻫﺫﺍ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﻴﺒﻠﻎﹸ ﺃﻗﺼﻰ ﻗﻴﻤﺔٍ ﻟﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ϕ = 0؛ ﺃﻱ ﻋﻨﺩ ﺨﻁ ﺍﻻﺴﺘﻭﺍﺀ = g - g’ = R ω2 1.9.7
] = 637×10 [m] × { 7.29 ×10 [rad./s]} = 0.0338 [m/s 2
-5
2
ﺃﻭ ﻜﻨﺴﺒﺔ %0.345ﻤﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ. 3
ﻤﻥ ﺍﻵﻥ ﻓﺼﺎﻋﺩ ﻨﺫﻜﺭ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ Latitudeﻓﻘﻁ ﺩﻭﻨﻤﺎ ﺫﻜﺭٍ ﻟﻨﻭﻋﻪ.
173
4
|∆g
max
|∆g
max
3.7ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺎﺕ
The Projectiles Displacement
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﻘﺭﺏ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﻬﺎ
’ .Fr = m gﻭﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ Ftr,inﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺘﻴﻥ ﺘﹸﺸﻜﻼﻥ ﻤﻌﺎﹰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻭﺯﻥ ،mg = mg’ + Ftr,in ،mgﺸﻜل ،4.7ﻭﺍﻨﻅﺭ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ
،abcOﺸﻜل .3.7ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل F = m gﻭﺃﻴﻀﺎﹰ Fcor,in = 2 m ω× vrﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) 1.7ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ (96.2
ﻴﻜﻭﻥ m ar = m g - 2 m ω× vr
z1 x
N
ﺸﻤﺎل
ﺍﻟﺨﻁ اﻟﺸﺎﻗﻮﻟﻲ Fcor,in
ω
ﺸﺭﻕ y1 ﺸﻜل 4.7
z O1 S
Po
vr
y
P
g ϕ
O
ﺍﻷﺭﺽ x1
ﻭﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ mﻤﻥ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ar = g - 2 ω × vr
10.7
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.7ﻓﻲ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﻭﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺒﺎﻷﺨﺹ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺒﺎﻟﻴﺴﺘﻴﺔ .Ballistic Equationﻟﺤﻠﻬﺎ ﻨﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
ar =&x& i + &y& j + &z&k g=-gj v r = x& i + y& j + z& k ω = ω cos ϕ i + ω sin ϕ j
ﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔﹰ ﻓﻘﻁ ﻟﻠﻘﻴﻡ ،β max ≅ 0ﺇﺫ ﺃﻥ .φ = ϕ+βﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.7
11.7
i j k &x&i + &y& j + &z&k = - g j − 2 ω cos ϕ sin ϕ 0 &x &y &z
ﺃﻭ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ &x& = − 2 ω z& sin ϕ &y& = − g + 2 ω z& cosϕ
12.7
)&z& = 2 ω ( x& sinϕ − y& cosϕ 174
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻌﻁﻲ ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ )ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ( 12.7ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ x& = − 2 ω zsin ϕ + C1 y& = −g t + 2 ω z cos ϕ + C2
13.7
z& = 2 ω ( x sin ϕ − y cos ϕ ) + C3
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 12.7ﻭ 13.7ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻠﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻘﺭﺏ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ .ﺇﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ )ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ( ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ،ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ
ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ y ، xﻭ zﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ
boundary conditionsﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺍﻨﻁﻠﻘﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ t = to = 0ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ O
ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ، ro = 0ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،voﺸﻜل 4.7
t = to = 0 ⇒ ro = 0 & v o = x& o i + y& o j + z& o k
14.7
ﻓﺈﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 13.7ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ C1 = x& o , C2 = y& o , C3 = z& o
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﺅﻭل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ 13.7ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ x& = x& o − 2 ω z sin ϕ y& = y& o − g t + 2 ω z cos ϕ
15.7
) z& = z& o + 2 ω ( x sin ϕ − y cos ϕ
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل & xﻭ & yﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 12.7ﺒﻘﻴﻤﻬﻤﺎ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 15.7ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺒﺔ
ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ k
}&z& = 2 ω {( x& o − 2 ω z sin ϕ ) sin ϕ − ( y& o − g t + 2 ω z cos ϕ ) cos ϕ 16.7
&z& = 2 ω x& o sin ϕ − 2 ω y& o cos ϕ − 4 ω2 z + 2 ω g t cos ϕ
ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ω2ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ y& o ، x& oﻭ ، z& oﺇﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻟﻐﺎﺌﻪ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔ .ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻲ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺒﺘﻲ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲz 17.7
z& = 2 ω x& o t sin ϕ − 2 ω y& o t cos ϕ + ω g t2 cos ϕ + C4 3
18.7
t z = ω x& o t 2 sin ϕ − ω y& o t 2 cos ϕ + ω g cos ϕ + C4 t + C5 3
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ،14.7ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ C4 = z& o , C5 = 0
ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ 18.7ﺘﺼﺒﺢ 3
19.7
t cos ϕ + ω t2 { x& o sin ϕ − y& o cos ϕ } + z& o t 3
175
z =ωg
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻴﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺸـﺭﻗﻲ ﻟﻠﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺒﺎﻟﻘﺭﺏ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﻥ ﺍﻵﺨﺭﻴﻥ xﻭ yﻨﺴﺘﺒﺩل zﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 15.7ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،19.7ﻓﻨﻜﺘﺏ 20.7
x& = x& o − 2ω z& o tsinϕ
21.7
y& = y& o − gt + 2ω z& o tcosϕ
ﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 20.7ﻭ 21.7ﻴﻌﻁﻲ ﺍﻹﺯﺍﺤﺘﻴﻥ ،ﺍﻟﺸﻤﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﺨﻁ ﺍﻟﺯﻭﺍل x = x& o t − ω z& o t 2 sinϕ + C6
22.7
ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ t2 y = y& o t − g + ω z& o t 2 cosϕ + C7 2
23.7
ﻭﺒﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻤﺭﺓﹰ ﺃﺨﺭﻯ ﺒﺎﻟﺤﺴﺒﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 22.7ﻭ 23.7ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ،C6 = C7 = 0ﻭﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺃﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻹﺯﺍﺤﺘﻴﻥ ،ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻴﺔ ﻟﺨﻁ ﺍﻟﺯﻭﺍل ﻭﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ x = x& o t − ω z& o t sinϕ 2
24.7
2
t y = y& o t − g + ω z& o t 2 cosϕ 2
25.7
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 25.7 ،24.7ﻭ 19.7ﺘﺩﻋﻰ ﺒﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ The General Equations of
Motionﻟﻠﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻘﺭﺏ ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻘﻁ .ﺇﻥ ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻭﺒﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻘﺫﻭﻓﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺇﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﻭﺘﺤﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ
ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،ﻟﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺍﻨﺤﺭﺍﻓﺎﹰ ﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ .ﻭﺘﺒﻠﻎ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ 26.7
Δx = − ω z& o t 2 sinϕ
27.7
Δy = ω z& o t cosϕ
28.7
2
t3 }cos ϕ + ω t 2 { x& o sinϕ − y& o cos ϕ 3
Δz = ω g
ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 19.7ﻭ 28.7 - 24.7ﻭﺤﻴﺜﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻜﺒﻴﺭﺍﹰ ،ﻜﺎﻨﺴﻴﺎﺏ ﺍﻷﻨﻬﺎﺭ ﻭﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ،ﺘﻔﺴﺭ ﻅﻭﺍﻫﺭ ﺘﺂﻜل ﺍﻟﺸﻭﺍﻁﺊ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻟﻸﻨﻬﺎﺭ ﺍﻟﺠﺎﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺼﻑ ﺍﻟﺸﻤﺎﻟﻲ ﻟﻸﺭﺽ ،ﻭﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺘﻴﺎﺭﺍﺕ
ﺍﻟﺒﺤﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺭﻴﺎﺡ ﺫﺍﺕ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩﺓ ﺍﻟﻤﺩﻯ -ﺍﻟﻌﺎﺒﺭﺓ ﻟﻠﻘﺎﺭﺍﺕ ﻓﺴﻴﻨﺤﺭﻑ ﻤﺴﺎﺭﻫﺎ ﺒﻭﻀﻭﺡ
ﺇﺫﺍ ﻟﻡ ﻴﺅﺨﺫ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺎﻟﺤﺴﺒﺎﻥ.
176
4.7ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﺭﺃﺴﻴﺎﹰ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭﻫﺎ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،mﺴﻘﻁ ﺒﺩﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉٍ Hﻓﻭﻕ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .ﻨﺜﺒﺕ ﺇﻁﺎﺭ
ﺍﻹﺴـﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ O1x 1y1z1ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ Oxyzﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻭﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﺨﻁ ﺸﺎﻗﻭﻟﻲ Plumb Lineﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ،Poﺸﻜل .4.7
ﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oxﻤﻨﻁﺒﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﻤﺎﺱ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺨﻁ ﺍﻟﺯﻭﺍل ،Meridian Lineﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﻤﺎل ،ﻭﻨﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oy
ﺸﺎﻗﻭﻟﻴﺎﹰ ﻤﻥ Oﻟﻸﻋﻠﻰ ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ozﻓﻬﻭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ﻭﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﺭﻕ ،ﺸﻜل .5.7 ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴـﺎﻗﻁ ﻨﺤﻭ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ
y
ﻟﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴـﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟـﺔ .1.7ﺴـﻨﻌﺘﺒﺭ ﻭﺯﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ
Po
ﺘﺴـﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴـﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ،ﻭﻨﻬﻤل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﺇﻥ ﺤلّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.7ﺍﻟﺘﺩﺭﻴﺠﻲ ،ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺇﻟﻐﺎﺀ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓ ﻜﻭﺭﻴﻭﻟﻴﺱ
ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ ﻭﻗﻭﺓ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺏ ،ﺃﻱ ﺃﻥ .Ftr, in = Fcor, in = 0ﻤﻤﺎ ﻴﺴﻬل H
ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ 29.7
ar = - g j
P
Fcor,in
ﺃﻭ ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ 1.29.7
&x&= 0, &y& =− g, &z&=0 z
ﻭﺫﻟﻙ ﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ 30.7
x
mg O zmax
t = t0 = 0 ⇒ vo = 0 , r = ro = H j
ﺸﻜل 5.7
ﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.29.7ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ
x = 0
t2 2
31.7
y = H − g z = 0
ﺇﺫﺍ ﻋﻭﻀﻨﺎ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺒﻲ ﺍﻷﻭل 31.7ﻭﻤﺸﺘﻘﺎﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 12.7ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺜﺎﻨﻲ &x& = 0 &y& = − g
32.7
&z& = 2ωgtcosϕt
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺸﺭﻗﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻤﻥ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ Hﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،32.7ﻟﻨﺠﺩ ﺃﻥ z& = ω g cosϕ t +C8 2
t3 cos ϕ + C 8 t + C 9 3 177
z = ωg
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ،30.7ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺎﻥ C8 = C9 = 0
ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺸﺭﻗﻲ ﻴﺒﻠﻎ 3
t cos ϕ 3
33.7
z = ωg
ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺸﺭﻗﻲ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﻕ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ .H - yﻓﻨﺴﺘﺒﺩل tﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 31.7 ) 2(H − y g
34.7
= t
ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3 y)2
cos ϕ
35.7
ω g 2 ( H − g 3
=z
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁﻲ )ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ( ﻨﺼﻑ ﺍﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻲ ،Semicubical Parabola
ﻭﻫﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺸﺭﻗﻲ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺴﻘﻭﻁﻪ ﺍﻟﺤﺭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺫﻱ ﻓﻘﺩﻩ ،ﻭﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑٍ ﻴﺒﻠﻐﻪ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺴﻘﻭﻁﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻪِ ﺒﺴﻁﺤﻬﺎ ،ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﺘﻜﻭﻥ y = 0
2Hω 2H cos ϕ 3 g
36.7
= z max
ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﺍﻷﻗﺼﻰ ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺸﺭﻕ ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍﹰ ﻟﺘﻨﺎﺴﺒﻪ ﺍﻟﻁﺭﺩﻱ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻷﺭﺽ .ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ،ﺇﺫﺍ ﺴﻘﻁ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ 100 = Hﻤﺘﺭ ﻤﻥ ﻓﻭﻕ ﻤﺩﻴﻨﺔ ﺍﻟﻘﺩﺱ، ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ‘45 o 31 = ϕﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ 9.8 = gﻤﺘﺭ/ﺜﺎﻨﻴﺔ ،2ﻓﺈﻥ ﺃﻗﺼﻰ ﺍﻨﺤﺭﺍﻑٍ ﻟﻠﺸﺭﻕ ﻴﺒﻠﻐﻪ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 36.7ﺴﻴﻜﻭﻥ 1.87ﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺭﺍﹰ.
178
ﺍﻟﺒــــﺎﺏ ﺍﻟﺜــﺎﻤﻥ
ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ DYNAMICS OF A SYSTEM AND RIGID BODY
1.8ﻤﻘﺩﻤﺔ ﻓﻲ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻫﻭ ﻓﺌﺔﹲ ﻤﻜﻭﻨﺔﹲ ﻤﻥ ﺍﺜﻨﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺍﻷﺸﻴﺎﺀ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﺔ ﻋﺎﺩﺓﹰ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﻜﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺸﻤﺴﻲ ،ﺃﻭ
ﻤﺠﻤﻭﻋﺔٍ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﺠﺴﻡٍ ﺼﻠﺏ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩ ﻋﻠﻰ ﺤﺩٍ ﺴﻭﺍﺀ ،ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﻋﺎﻤﺔٍ ......ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻓﺌﺔﹰ
ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﺔ ،ﺃﻱ ﻋﺩﺩٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻭ/ﺃﻭ ﺤﺭﻜﺔ ﻜلّ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﻭ/ﺃﻭ ﺤﺭﻜﺎﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺩﻋﻭﻫﺎ ﺒﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ. ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺘﺩﻋﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ ،ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،ﻭﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺩﻗﻴﻕ
ﺒﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻤﻴﺯ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻊ .Discrete Systemﻜﻤﺎ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺭﺘﺒﺔ ﺒﺎﻨﺘﻅﺎﻡٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ،ﻭﺫﺍﺕ ﻋﺩﺩٍ
ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﺩ ،ﻻ ﻨﻬﺎﺌﻲ ﻭﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓﹰ ﺒﺎﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼل .Continuous Systemﻭﻗﺩ ﻴﺸﻜﱢل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻤﻴﺯ ﺠﺴﻤﺎﹰ
ﻤﺎﺩﻴﺎﹰ ،ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻨﺕ ،ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺤﻴﻨﺌﺫٍ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﺃﻭ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﻭﻴﺘﺸﻭﻩ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺎﹰ ﻟﻴﺩﻋﻰ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .Nonrigid Bodyﻭﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ
ﺃﺠﺴﺎﻡٍ ﺠﺎﺴﺌﺔ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻫﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺃﺠﺴﺎﻡٍ ﻏﻴﺭ ﺠﺎﺴﺌﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ؛ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﺎﻜﻨﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﺨﺘﻼﻓﻬﺎ ﻭﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺍﺕ ﻭﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺃﺠﺴﺎﻤﺎﹰ ﺠﺎﺴﺌﺔ. 187
ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ،ﺃﻭ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ ﺇﻟﻰ ﻗﻭﻯ ﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﻗﻭﻯ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻜﻴﻔﻤﺎ ﺘﺅﺜﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ .ﻓﺎﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭ/ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﻻ ﺘﺩﺨل ﻓﻲ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭ /ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻨﻔﺴﻪ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻗﻭﻯ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ، ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕﹲ ﻭ/ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭ/ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﻭﻯ
ﺩﺍﺨﻠﻴﺔ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻗﻭﺓ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻓﻴﻪ ﻤﻥ ﺨﺎﺭﺠﻪ ،ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻬﻲ ﻗﻭﺓ
ﻤﻨﺸﺅﻫﺎ ﻭﻓﻌﻠﻬﺎ )ﺴـﺒﺒﻬﺎ ﻭﻤﺴـﺒﺒﻬﺎ( ،ﻜﻼﻫﻤﺎ ﻤﻥ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﻁﺒﻌﺎﹰ؛ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻔﺱ
ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﻭﺩﺍﺨﻠﻴﺔﹲ ﻵﺨﺭ .ﻓﻤﺜﻼﹰ ﻗﻭﺓ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻟﻸﺭﺽ ﻫﻲ ﻗﻭﺓﹲ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔﹲ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻷﺭﺽ ﻜﺠﺴﻡٍ ﻤﻔﺭﺩ ،ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﻓﺈﻥ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺩﺍﺨﻠﻴﺔﹲ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ؛ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ )ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ( Fﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺇﻟﻰ ﺠﺯﺃﻴﻥ ﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺨﺎﺭﺠﻲ EX
IN
F = F + F
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ INﻭ EXﺭﻤﻭﺯ ﻋﻠﻴﺎ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﻤﺤﺼﻠﺘﻲ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ.
ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ - 1ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ )ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ( ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺃﻱ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ = 0
1.8
n
n
j =1 j ≠i
i =1
∑ ∑F
ij
n
= FiIN
∑
= F IN
i =1
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ FINﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡٍ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ i≠j ، Fijﻗﻭﺓ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ jﺃﻭ ﺒﺎﻟﻌﻜﺱ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺠﺴﻴﻤﺎﻥ iﻭ jﻤﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻴﺅﺜﺭﺍﻥ ﺒﻌﻀِﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺽ ﺒﺎﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ،Fji ، Fij ﺍﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺘﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔﹰ ﻭﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺘﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ،ﺸﻜل .1.8ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﻤﺤﺼﻠﺘﻬﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ FiIN = Fij + Fji = 0
1.1.8
ﻭﻷﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺘﺭﺩ ﻓﻲ ﺃﺯﻭﺍﺝ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ،ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﻱ ﺯﻭﺝٍ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻜلﱠ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺯﻭﺍﺝ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ iﻭ jﻤﺨﺘﺎﺭﺍﻥ ﺒﺸﻜلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ
ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺘﺅﻭل ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.8ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ. Fi2
rn Pn
Fi3
Fi1
Pi
Pi
Fi4
Fij
Fj1
Fji
Fj2 Fj3
Pj
Fin Fjn
Fj4
ri zi
Fi5 hij
Pj
rj
Q y xj
zj
188
r1
P3
r2
r3 O
xi yj
ﺸﻜل 1.8
z
P1 P2
yi x
ﺇﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻓﻭﺭﺍﹰ ،ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺼﻔﺭﺍً .ﻓﻠﻜل ﻗﻭﺓٍ ﺩﺍﺨﻠﻴﺔٍ ﻗﻭﺓﹲ ﻤﺴﺎﻭﻴـﺔﹲ ﻟﻬﺎ ﻭﻤﻀﺎﺩﺓ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺭﺠل ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺭﻜﺏ ﻋﺭﺒﺔﹰ ،ﻴﺅﺜﺭ ﺒﻘﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻟﻸﺴﻔل ،ﻭﺘﺅﺜﺭ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺒﺩﻭﺭﻫﺎ ﺒﻘﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻭﺯﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻸﻋﻠﻰ .ﺇﻥ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻲ
ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺤﺩﻩ ﻴﺠﻌل ﻤﻥ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻗﻭﺓﹰ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔﹰ ﻤﺅﺜﺭﺓٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺭﺠل ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﺘﺒﺭ )ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل( ﻗﻭﺓﹰ ﺩﺍﺨﻠﻴﺔﹰ ﻋﻨﺩ ﺒﺤﺙ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﻌﺭﺒﺔ.
- 2ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ )ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻌﺯﻭﻡ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ( ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﻭل ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﺃﻭ ﻤﺤﻭﺭ
ﺜﺎﺒﺕ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ؛ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺘﻴﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ iﻭ jﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﺎ Q ،ﻤﺜﻼﹰ،
ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ n
2.8
( Fij + F ji ) = 0
ij
∑h
i =1 j ≠i
n
= FiIN
ij
∑h
= MQi
i =1 j ≠i
ﻭﺫﻟﻙ ﻷﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ﻭﻤﺘﻀﺎﺩﺘﺎﻥ ،Fji = - Fijﺸﻜل 1.8ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .1.1.8ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻌﺯﻤﻬﻤﺎ ﺤﻭل ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻴﺘﻼﺸﻰ .ﻭﻷﻥ iﻭ jﺠﺴﻴﻤﺎﻥ ﻤﺨﺘﺎﺭﺍﻥ ﺒﺸﻜلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﺃﻱ ﻗﻭﺘﻲ
ﺘﻔﺎﻋل Fijﻭ ،Fjiﻭﻷﻱ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺇﺫ ﺇﻥ ﻋﺯﻡ ﺃﻴﺔ ﻗﻭﺓٍ
ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔٍ ﻤﺎ ﻴﺘﻼﺸـﻰ ﻟﻭﺠﻭﺩ ﻋﺯﻡ ﻗﻭﺓٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﺴﺎﻭٍ ﻭﻤﻀﺎﺩ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﺯﻭﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.8ﺼﺤﻴﺤﺔﹲ ﺃﻴﻀﺎﹰ.
ﻏﻴﺭ ﺃﻨﻪ ،ﻻ ﻴﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺘﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ ،ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻭﺍﺯﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﺒﻌﻀﺎﹰ ﻻ ﺘﺅﺜﺭ
ﻋﻠﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﺒل ﺘﺅﺜﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻤﺎﺩﻴﺔ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﹸﺴﺒﺏ ﺇﺯﺍﺤﺎﺕٍ ﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔﹰ ﻷﺫﺭﻉِ ﻭﺃﺠﺴﺎﻡِ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡِ ﻨﻔﺴﻪ .ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺠﺎﺴﺌﺎﹰ. ﻤﻥ ﻨﺎﺤﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺘﹸﺴﺘﻐل ﺒﺩﻴﻬﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻋﻨﺩ ﺒﺤﺙ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ،ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺩﺭﺱ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻭﻜﺄﻨﻪ
ﺘﺤﺭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ،ﻭﺍﺴﺘﹸﺒﺩِل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺒﻘﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌﻠﻪ .ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻴﺅﻭل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺤﺭ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل.
2.8ﻫﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻜﺘل ،ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،ﻭﺘﻭﺯﻴﻊ ﻜﺘﻠﻪ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ ،ﻋﻼﻭﺓﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻓﺌﺔﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﺔ ،ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ .ﺩﻋﻨﺎ ﻨﻤﻴﺯﻫﺎ ،ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ 1ﻜﺘﻠﺘﻪ ،m 1ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ،r1ﻭﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ،v1ﻭﻫﻠﱡ ﻡ ﺠﺭﺍ؛ ﻜﻤﺎ ﻨﹸﺴﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ .ﻭﻨﹸﺴﻡ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ
ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ M n
= m 1 + m 2 + .......... +m n
3.8
i
∑m
=M
i =1
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴـﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ ﻟﻜﺘل ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴـﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ،Mﻓﺈﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻬﺎﻤﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ
189
n
∑Mr mi
4.8
i
n
= rc
⇒
m i ri
i =1
ﺤﻴﺙ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ri
n
i
∑m
∑
= M rc
i =1
ﺒﺎﻟﻌﺯﻡ ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻻﺌﺘﻼﻑ ﻜﺘـل ﻜل ﺠﺴﻴـﻤـﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ.
i =1
ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ rcﻫﻭ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﻭﺯﻭﻥ Weighted Averageﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺓ riﻟﻜلّ mi ﻜﺘل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﻭﺯﻭﻥ ﻫﻲ M =1
n
∑M
mi
،i =1,2,3,.....,n ،ﻭﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ
.ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ؛ ﻴﻤﻜﻥ ﻭﺼﻑ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺄﻨﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻟﻜل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻟﻴﺱ ﻤﻥ
i =1
ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﻋﺎﻤﺔٍ ،ﺃﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺄﻜﻤﻠﻪ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻨﻁﺒﻘﺎﹰ ﻋﻠﻰ
ﻤﺭﻜﺯ ﺇﺤﺩﻯ ﻜﺘﻠﻪ.
ﻭﻨﺴــﺘﻁﻴﻊ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎﹰ ﺃﻥ ﻨﹸﺨﹶﻤﻥ ﺒﺩﻗﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﻠﺠﻭﺀ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .4.8ﻓﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻗﻀﻴﺏٍ ﻤﻨﺘﻅﻡٍ ﻤﺜﻼﹰ ،ﻴﻘﻊ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯﻩ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ،ﻭﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﺍﻷﺴﻁﻭﺍﻨﺔ ﻭﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﻭﻜل ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ .ﺃﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ،ﻓﺈﺤﺩﻯ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻔﻴﺩﺓ ،ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺫﻜﺭﻫﺎ ﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﻫﻲ ﺍﻵﺘﻴﺔ :ﺇﺫﺍ ﻋﺭِﻑﹶ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺃﺠﺯﺍﺀ
ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺭﻜﺏ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺭﻤﺘِﻪ ﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﺠﺯﺀٍ ﺘﻘﻊ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﺠﺯﺀ، ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸـﺭ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 4.8ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴــﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻤﻨﺒﺜﻘﺔ ﻋﻨﻬﺎ .ﺇﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﺘﻁﻠﺏ
ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﺠﺯﺀٍ ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ؛ ﻓﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻋﻠﻰ ﺴـﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ،ﻴﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ 4670ﻜﻴﻠﻭ ﻤﺘﺭﺍﹰ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ.1
ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻨﻅﺎﻡ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﻤﻊ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻥ ﻻ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁ ﻟﻬﺎ ﺒﺄﻴﺔ ﻤﺎﺩﺓ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﻨﻘﻁﺔﹰ ﻤﺤﺩﺩﺓﹰ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ﻭﻟﻬﺎ ﺴﺭﺠﻬﺔﹲ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻓﻤﻔﺎﻀﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ 4.8ﻴﻌﻁﻴﻨﺎ ﺼﻴﻐﺔﹰ ﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ n
∑
dr c dri = mi dt dt i =1
1.5.8
n
2.5.8
vi
i
∑m =1
Mvc = M n
∑
mi 1 = vi M Mi =1
= vc
i
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﻭﺯﻭﻥ ﻟﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺓ .ﻭﺒﺎﻟﻤﺜل؛ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻟﻤﻭﺯﻭﻥ ﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ 6.8
n
d 2ri dt 2
i
∑m i =1
=
d 2rc 2
dt
n
⇒ M
ai = Mac
i
∑m i =1
_________________________________ 1
ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ :ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﻭﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻟﻔﻠﻜﻴﺔ ﻋﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ. 190
ﻭﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﻴﺘﻀﺢ ﺃﻥ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻜﺘل ﻭﺃﺒـﻌﺎﺩﻫـﺎ ﻓﻘﻁ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴــﻭﺍﺀ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺃﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﻻ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﺘﺎﺘﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﺇﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﺠﺴـﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴـﺊ ﻻ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل Center of Gravityﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻴﻤﺜل
ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻤﺭ ﺨﻼﻟﻬﺎ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ )ﺍﻟﻭﺯﻥ( ﻭﻗﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ.
3.8ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
General Laws of Motion
1.3.8ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
4
ﻨﻔﺘﺭﺽ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﺫﺍ ﻓﺌﺔٍ ﻤﻌﻴﻨﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ ،2 ،1
r’i
i
،... 3ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻭﻜﺘﻠﻬـﺎ ،m n....m 3 ،m 2 ،m 1ﻭﻤﺘﱠﺠِﻬـﺎﺕ
3
z 2
C
ri
rc
ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ ، rn ،.....r3 ، r2 ،r1ﻤﻘﺎﺴﺔﹰ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤـﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
1
ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ، Oxyzﺸﻜل .2.8ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺌﺔ.
ﺘﹸﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Fiﻭﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘـﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴـﺔ ﻤـﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ
n
∑F
ij
.
zc
zi y
j =1 j ≠i
xc
xi
ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ
O yc yi
x
ﺸﻜل 2.8 n
7.8
∑F
i, j= 1,2,3, ......,n , j≠i
ij
m ai = F i +
j =1 j ≠i
ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 7.8ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ n
∑F
1j
m a1 = F1 +
j =2 j ≠1 n
8.8
∑F
j = 1,2,3, ......,n , j ≠ i
2j
m a2 = F2 +
j =1 j ≠2
.....
....
...... n
∑F
nj
m an = Fn +
j =1 j ≠n
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺒﺠﻤﻌﻬﺎ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ( ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ n
9.8
i = 1,2,3, ......,n
∑F
i
i =1
191
n
= ai
i
∑m i =1
ﺤﻴﺙ ﺘﺘﻼﺸﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،8.8ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .1.8ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ 7.8ﻭ 8.8ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 9.8ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﺍﻟﺜﻼﺙ ،ﺃﻭ ﺃﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺜﻼﺜﻴﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﻀﻌﺎﻑ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻥ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .ﺇﻥ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻫﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )ﺃﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ( ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ
ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﺃﻱ ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺁﺨﺭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ yi ،x iﻭ ziﻜﺩﺍﻭلٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ .ﻟﻜﻥ ،ﻭﺒﺎﻷﺨﺫ ﺒﻌﻴﻥ
ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴــﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔٍ ،ﻭﺃﻥ ﻋﺩﺩ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﺒﻴﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺤل 3nﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﺃﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ
ﻴﺼﺒﺢ ﻋﺩﻴﻡ ﺍﻟﺠﺩﻭﻯ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﻨﻁﻘﻲ .ﻓﺤل 3nﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻜﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 9.8ﻴﺩﻓﻌﻨﺎ ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻀﻌﻑ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ،ﺃﻱ 6nﻤﻥ ﺍﻟﺜﻭﺍﺒﺕ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻘﺎﺩﻴﺭﻫﺎ ﻤﻥ
ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ .ﻭﻴﺴﺘﻌﺎﺽ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻤﻁ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻌﺽ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ،ﻭﻟﻴﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺒﺸﻜل ﺨﺎﺹ .ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻥ
ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺒﺎﻷﺴﺎﺱ ﻨﺘﺎﺠﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .7.8ﻭﻤﻥ ﺃﻫﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ -ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ، ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺴﻨﻭﺭﺩﻫﺎ ﺒﻘﻠﻴل ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻭﺴﻊ ﺘﺒﺎﻋﺎﹰ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ.
4.8ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ 1.4.8ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ nﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎﺩﻱ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﻜل ﺠﺴﻴ ﻡٍ ﻓﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻜﻤﺎ ﺫﻜﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ ،1.8ﺸﻜل .2.8ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ = F ، F
n
∑F
i
i =1
،ﻭ ai =Mac
n
i
∑m
،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 9.8ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
i =1
M ac = F
10.8
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.8ﺘﺸـﺒﻪ ﻓﻲ ﺼﻭﺭﺘﻬﺎ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﻴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ ،Mﻭﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻭﻯ
ﺘﻜﺎﻓﺊ Fﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ .acﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﺎﻷﺘﻲ :ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎﺩﻱ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ ﻟﻜﺘل ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ،ﻭﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻭﺓ ﺘﻜﺎﻓﺊ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺴﻤﻴﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻜﻜل :ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻁﺭﻴﻔﺔ ﻓﻲ ﺒﺴﺎﻁﺘﻬﺎ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﺃﺨﺭﻯ :ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﻥ
ﻜل ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﺩ ﺘﺭﻜﺯﺕ ﻫﻨﺎﻙ ،ﻭﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻗﺩ ﺃﺜﺭﺕ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ 10.8ﺘﻜﺎﻓﺊ
ﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ
M acx = Fx , M acy = F y , M acz = Fz
1.10.8
192
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ .ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 10.8ﺃﻭ ،1.10.8ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺃﻱ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺃﺨﺭﻯ ﺒﻤﺎ ﻴﻠﻲ - 1 :ﻴﻌﻁﻲ
ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺃﺴﺴﺎﹰ ﻭﺍﻀﺤﺔﹰ ﻭﻤﺤﺩﺩﺓﹰ ﻟﻁﺭﻕ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ - 2ﻻ ﺩﺍﻋﻲ ﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﺔ ﺃﺼﻼﹰ ،ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
2.4.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﺫﺍ ﺃﺜﺭﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ = 0
n
∑F
i
،ﺸﻜل ،2.8ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.8ﺘﺼﺒﺢ
i =1
⇒ vc = const.
11.8
M ac = 0
ﻭﻫﺫﻩ ﺘﻤﺜل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﻭﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﺃﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﺭﻜﺯ
ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﻭﺒﺸﻜلٍ ﺨﺎﺹ؛ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻅل ﻜﺫﻟﻙ. ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻼﺤﻅ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺃﻥ ﺘﹸﻐﻴﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ. ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻻ ﻴﺴـﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻟﻜﻥ
ﻤﺴـﻘﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭٍ ﻤﺎ Ox ،ﻤﺜﻼ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 11.8ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ⇒ vcx = const.
1.11.8
M acx = 0
ﺃﻱ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴـﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ،
ﻓﺈﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺴﺭﻋـﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤـﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻻﺕٍ ﺨﺎﺼﺔ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭٍ
ﻤﺎ Ox ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،vcxo =0 ،ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﻴﺒﻘﻰ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ.
5.8ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﻌﺭﻑ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ Kﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﺯِﺨﹶﺎﻡِ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ n
m i vi
12.8
∑
n
= Ki
i =1
∑
= K
i =1
ﻭﺒﻨﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2.5.8ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12.8ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺼﺒﺢ K = M vc
13.8
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ Mﻓﻲ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ .vcﻭﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺘﺠﻬﺔﹲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻬﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ. 193
ﻭﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،13.8ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺒﻘﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻻ ﻴﺘﻐﻴﺭ ،ﻓﺈﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .K=0ﻭﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ﻴﻜﻭﻥ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺩﻭﺭﺍﻥٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲٍ
ﺜﺎﺒﺕ ﻭﻴﻤﺭ ﺒﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺭﻜﺒﺔﹰ ،ﻤﺴﺘﻭﻴﺔﹰ ﻤﺜﻼﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻻ ﻴﺤﺩﺩ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﺒﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺒل ﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ.
1.5.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 13.8 dK = M ac dt
dv ) dK d (M v c = =M c dt dt dt
⇒
ﻓﺎﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ -ﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ -ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ dK =F dt
14.8
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ :ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻜﻤﺎ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﺨﺭﻯ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺯﺨﻡ
ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ t0=0ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ Ko ،tﻭ Kﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ،ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 14.8
ﻓﻲ ،dtﺜﻡ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺘﻴﻥ ،ﻨﺠﺩ ﺃﻥ t
dt
t
n
∫ F ⋅ dt = ∑ ∫ F
= K - Ko
i
i =1 0
0
ﺃﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺯﻭﺩ ﺒﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ P n
=P
15.8
∑P
i
= K - Ko
i =1
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻟﺫﻱ ﺯﻭﺩ ﺒﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺩﺩﺓ .ﻭﺘﻌﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.8ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ :ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ
ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻟﺫﻱ ﺯﻭﺩ ﺒﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﻓﺘـﺭﺓ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﺤﺩﺩﺓ ،ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ Fﺍﻟﺫﻱ ﺯﻭﺩ ﺒﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .10.8 ﺇﻥ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،10.8ﺃﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹼﻴﺭِ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 14.8
ﻭ ،15.8ﻴﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺼﻭﺭﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥٍ ﻭﺍﺤﺩ .ﺇﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺃﻱ ﻤﻥ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﺼﻭﺭﺘﻴﻥ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﻌﻁﻲ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻤﺜﻠﻰ ،ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.8ﺃﻜﺜﺭ ﺴﻬﻭﻟﺔﹰ ﻭﻴﺴﺭﺍ .ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ
ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺴﻁﺎﹰ ﻤﺘﺼﻼﹰ ﻜﺎﻟﻤﻭﺍﺌﻊ -ﺍﻟﺴﻭﺍﺌل ﻭﺍﻟﻐﺎﺯﺍﺕ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺼﺒﺢ ﻋﺩﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ ﻭﺍﻟﺠﺩﻭﻯ ،ﻭﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻨﻪ ﻟﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ
ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 14.8ﻭ .15.8
194
2.5.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺍﺴﺘﺠﺎﺒﺔﹰ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻴﻨﺘﺞ ﻋﻥ ﺫﻟﻙ ﺃﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻨﻌﺩﺍﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﻭﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،14.8ﻴﻜﻭﻥ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ dK = 0 ⇒ K - Ko = 0 dt
16.8
ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﺩﻭ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺎﹰ ﻤﻊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻷﻭل ﻟﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩﺓ n
1.16.8
Kn
= K 1 + K 2 + K 3 + ...........
i
∑K
= K
i =1
ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻷﻱ ﺯﺨﻡٍ ﺃﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺒﻤﻔﺭﺩﻩ ﻤﻊ ﺍﻟﺯﻤﻥ؛ ﺇﻻ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺯﺨﹶﺎﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎﹰ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﺭﺍﹰ ﻤﻥ
ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺃﻴﺔِ ﻗﻭﺓٍ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ .ﻻﺤﻅ ﺃﻨﻨﺎ ﻨﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﺘﺠﺎﻫﻲ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ.
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻭﻟﻜﻥ ﻤﺴﻘﻁﻪ
ﻋﻠﻰ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ Ox ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 14.8ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺃﻥ
ﻤﺴﻘﻁ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ
dk x ⇒ = Fx = 0 dt Kx - Kxo = const.
2.16.8
ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺘﻜﻭﻥ ﺜﺎﺒﺘﺔ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔﹰ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،ﺃﻭ ﻴﺒﻘﻰ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ
ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،16.8ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺩﺭﺓٍ ﻋﻠﻰ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺴﻨﻌﺭﺽ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻘﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺜﺒﺎﺕ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ - 1ﻅﺎﻫﺭﺓ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﺍﻟﺭﺼﺎﺼﺔ :ﺘﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺭﺼﺎﺼﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﺯﺨﻤﺎﹰ ﻤﻌﻴﻨﺎﹰ ﻟﺩﻓﻌﻬﺎ
ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﺘﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔﹸ ﺯﺨﹶﻤﺎﹰ ﺁﺨﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺯﺨﹶﻡِ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﻀﺎﺩﺍﹰ ﻟﻪ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺴﺒﺏ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ،ﺃﻭ ﻤﺎ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﺨﻠﻑ.
- 2ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻔﺎﺜﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ :ﻴﻨﺩﻓﻊ ﺍﻟﻐﺎﺯ ﺍﻟﻤﺤﺘﺭﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻜﺒﻴﺭﺓٍ ﺠﺩﺍﹰ ﻤﻥ ﻓﻭﻫﺔ ﺍﻟﻤﺤﺭﻙ ﺍﻟﻨﻔﺎﺙ ﺍﻟﺨﻠﻔﻴﺔ .ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻐﺎﺯﺍﺕ ﺍﻟﻤﻨﺩﻓﻌﺔ ﻟﻠﺨﻠﻑ ﻴﻘﺎﺒﻠﻪ ﺯﺨﻡ ﻤﺴﺎﻭٍ ﻟﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﻀﺎﺩ ﻟﻪ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﻴﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻟﻸﻤﺎﻡ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﺘﺯﺩﺍﺩ
ﺴﺭﻋﺘﻪ .ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﺴﻨﺩﺭﺴﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ .3.5.8
ﺤـل ﺍﻟـﻤـﺴـﺎﺌـل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﻭﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﺏ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻪ ﻟﻠﺤﺎﻟﺔ
ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ .ﻓﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻜﻡ ﻫﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻜﺘل ،6.8 - 3.8ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﻭﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ
ﻋﻨﺎﺼﺭ)ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ( ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺒﻤﺎ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﻗﺎﻨﻭﻨﻲ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،10.8 195
ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،11.8ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺤل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ،ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ. ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﺘﺅﺨﺫ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ .ﻓﺘﻼﺸﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩٍ ﻤﺎ ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻤﻊ ﺸﺭﻭﻁٍ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔٍ
ﻤﻌﻴﻨﺔٍ ،ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺃﻭ ﺃﺤﺩ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
ﻭﻜﻤﺎ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ،ﻓﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 15.8 - 14.8
ﻭﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،16.8ﺘﹸﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻭﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ،ﺯﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
196
3.5.8ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ 1.3.5.8ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻟﻘﺩ ﺍﻋﺘﹸﺒِﺭﺕ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﻜﻤﻴﺔﹰ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔﹰ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺒﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﺇﻻ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﻌﺽ
ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻗﺩ ﻴﻁﺭﺃ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺒﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻜﺄﻥ ﻴﻨﻔﺼل ﻋﻨﻬﺎ ﺃﻭ ﻴﺘﱠﺤِﺩ ﺒﻬﺎ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺘﹸﻨِﻘﺹ ﺃﻭ ﺘﺯﻴﺩ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺍﻹﺠﻤﺎﻟﻴﺔ ،ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﹰ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ .ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ
ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ،ﻭﻋﺭﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺎﺠﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻜﺘﻠﻬﺎ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺎﹰ ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻤﺘﺼل ،ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ
ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺃﻭ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻷﺤﻤﺎل ﻭﻏﻴﺭﻩ. ﺇﺫﺍ ﺃﻤﻜﻥ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺇﻫﻤﺎل ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺫﻱ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ
ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻋﻨـﺩﺌـﺫ؛ ﻴﻤﻜﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻜﺠﺴﻡٍ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
)m = m(t
17.8
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ،ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،17.8ﻤﺘﺼﻠﺔﹲ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﻭﻗﺎﺒﻠﺔﹲ ﻟﻠﺘﻔﺎﻀل ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﻟﺘﺴﻬﻴل ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ
ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻤﺭﺍﻓﻕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻴﻀﺎﻑ ﻓﺭﻀﻴﺘﺎﻥ ﺘﹸﺅْﺨﺫﺍﻥ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ: ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺃﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﺜﺎﺒﺕ ،g = const.ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻭ)ﻤﺤﺼﻠﺔ ( ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻨﻁﺒﻘﺔﹲ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭﻩ.
ﻭﻟﺘﻨﺎﺴﺏ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻷﺭﻀﻲ ﻋﻜﺴﻴﺎﹰ ﻤﻊ ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺩﻗﻴﻘﺔﹰ ﻓﻲ ﺤﺩﻭﺩ %5ﻟﻼﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ 160ﻜﻴﻠﻭ ﻤﺘﺭﺍﹰ ﻓﻭﻕ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ .2ﻭﺍﻟﻔﺭﻀﻴـﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺘﻠﻐﻲ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻟﻜﻨﻬﺎ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﺈﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺴﻬﻭﻟﺔٍ ﻭﻴﺴﺭ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﺒﺸﻜلٍ ﺭﺌﻴﺴﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ. ﻋﻨﺩ ﺍﻨﻔﺼﺎل ﺃﺠﺯﺍﺀٍ )ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ( ﺼﻐﻴﺭﺓٍ ﺠﺩﺍﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺘﺘﻭﻟﺩ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ
ﻭﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ﻗﻭﺘﺎ ﺭﺩ ﻓﻌلٍ ﺃﻭﻟﻴﺘﺎﻥ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻤﺘﺒﺎﺩل .ﻭﻻ ﻴﺸﻜل ﺃﻱ ﻤﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺠﺯﺃﻴﻥ )ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼل( ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﻤﻌﺯﻭﻻﹰ ،ﻷﻥ ﻜلﱠ ﻭﺍﺤﺩٍ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﺘﻔﺎﻋل ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻵﺨﺭ .ﻓﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻴﺩﻓﻊ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼل ﺇﻟﻰ ﺠﻬﺔٍ ﻤﺎ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺩﻓﻊ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﻜﺴﺔ ﺒﻘﻭﺓٍ ﻤﺴﺎﻭﻴـﺔٍ
ﻭﻤﻀﺎﺩﺓ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻘﻭﺘﺎﻥ ﺍﻟﻠﹼﺘﺎﻥ ﺘﹸﻤﺜﱢﻼﻥ ﺍﻟﻔﻌل ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﻗﻭﺘﻴﻥ ﺩﺍﺨﻠﻴﺘﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔِ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ
ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼل ﻋﻨﻪ ﻓﺌﺔﹰ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﺘﹸﺸﹶﻜﹼلُ ﻨﻅـﺎﻤﺎﹰ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ،ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨـﺩﺍﻡ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻭﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ.
__________________________________
2
ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻴﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ gh = g - [ 0.30855 + 2.2×10 cos 2φ - 7.2 × 10 h ]×10 h -2
-4
-5
ﺤﻴﺙ hﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﺒﺎﻟﻜﻴﻠﻭﻤﺘﺭﺍﺕ ﻭ gﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭ /ﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﻭ φﺯﺍﻭﻴﺔ ﺨﻁ ﺍﻟﻌﺭﺽ ،ﺃﻨﻅﺭ 2
ﻫﺎﻤﺵ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ .75 197
ﻭﻹﻋﻁﺎﺀ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻓﻜﺎﺭ ﺼﻴﻐﺔ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ،ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ toﻜﺎﻨﺕ ) ،m(tﻭﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﺠﻬـﺔٍ ﻤﻁـﻠﻘـﺔٍ ،vﻭﺃﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﺃﻭﻟﻴﺎﹰ ﻜﺘﻠﺘﻪ ) ،dm(tﺍﻟﺘﺄﻡ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻭﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺍﻟﻤﻁـﻠﻘـﺔ ،uﺸﻜل .3.8ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ to
Ko = m(t) v + dm(t) u
1.18.8
ﻭﺒﻤﺭﻭﺭ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ،dtﺘﺘﻐﻴﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﺒﺎﻟﻤﻘﺩﺍﺭ) ،dm(tﻟﺘﹸﺼﺒﺢ ) ،m(t) + dm(tﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﻐﻴﺭ
ﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﺒﺎﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ dvﻟﺘﹸﺼﺒﺢ .v + dvﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺯﺃﻴﻥ ،ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻭﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﺍﻟﻤﻠﺘﺌﻡ ،ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ،t = to + dt ،tﻴﺼﺒﺢ
)m(t
m(t) + dm v +dv
dm
v
u
y T2 t = to + dt
T1 to
ﺸﻜل 3.8 ] K = [ m(t) + dm(t)] [v + dv
2.18.8
ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ dKﺒﻴﻥ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﻴﻥ tﻭ toﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﻤﻴﻥ ﻋﻨﺩﻫﻤﺎ 19.8
] dK = K - Ko =[m(t) + dm(t) ][ v + dv ] - [ m(t) v + dm(t) u
ﻭﺒﻌﺩ ﺇﻟﻐﺎﺀ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﻭﺇﻋﺎﺩﺓ ﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻴﺼﺒﺢ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ] dK = m(t) dv - dm(t) [u -v
ﺃﻤﺎ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،toﻓﻬﻭ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ dK dv )dm(t )= m(t ] − [u− v dt dt dt dK ﻓﺎﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﺴﺭ ﻫﻭ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ = F ،14.8 dt
.ﻭﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ،vrﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻻﻟﺘﺌﺎﻡ )ﺍﻨﻔﺼﺎل( ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ] ،vr = [u -vﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺃﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ 20.8
dv =F + T dt
)m(t
&
dv )dm(t = F + vr dt dt
)m(t
ﺇﺫ ﺘﹸﻤﺜل ﻜﻠﺘﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ، 20.8ﺘﹸﺩﻋﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﺔ
ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻴﺘﺸﻴﺭﺴﻜﻲ ،3ﻭﻫﻲ ﺘﹸﺸﺒِﻪ ﺇﻟﻰ ﺤﺩٍ ﺒﻌﻴﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤـﺭﻜـﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺫﻱ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،2.3 ______________________________________ 3
ﺇﻴﻔﺎﻥ ﻤﻴﺸﻴﺭﺴﻜﻲ 1935-1859 ،I. Meshcherskyﻋﺎﻟﻡ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺭﻭﺴﻲ .ﻨﺸﺭ ﺩﺭﺍﺴﺘﻪ ،ﺃﻁﺭﻭﺤﺔ ﺍﻟﺩﻜﺘﻭﺭﺍﻩ "ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ " ،ﺒﻴﻥ ﻋﺎﻤﻲ 1904-1897ﻭﻓﻴﻬﺎ ﺃﻭﺭﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ . 20.8 198
dm ﻭﺍﻟﻤﺘﺄﺜﺭ ﺒﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Fﻭﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل dt
. T = v rﺇﻥ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،Tﻨﺎﺘﺠﺔﹲ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺌﺎﻡ ﺃﻭ
ﺍﻨﻔﺼﺎل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ،ﻭﺘﻌﺭﻑ ﻜﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘـﻠﺔ .ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ
ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﺩﺩﻴﺎﹰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩﺓ ﻓﻲ ﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺯﻤﻥ ،ﻭﻫﻭ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﻭﺠﺒﺔﹲ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺌﺎﻡ dm dm ،ﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺃﻨﹼﻪ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﺴﺎﻟﺒﺔﹲ ﻋﻨﺩ ﺍﻨﻔﺼﺎﻟﻬﺎ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ < 0 ﺍﻟﺠﺴـﻴﻤﺎﺕ ﺒﺎﻟﺠﺴـﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ > 0 dt dt
.
ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻤﻭﻡ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻤﻀﺎﺩﺓﹰ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ،ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻨﺩﻓﺎﻉ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻟﻠﺨﻠﻑ ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﺩﻓﻊٍ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔٍ ،ﺘﺩﻓﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻟﻸﻤﺎﻡ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ،
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺔﹰ ﺃﻭ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔﹰ ﻟﻠﻘﻭﺓ ،ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻨﺩﻓﺎﻉ
ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻫﻲ ﻗﻭﺓ ﻜﺒﺢٍ ﺘﻌﻴﻕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﺘﹸﺩﻋﻰ ﺍﻟﻘﻭﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺘﺎﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻓﻲ ﻫﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻁﻴﺭﺍﻥ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ
ﺍﻟﻨﻔﺎﺜﺔ -ﺍﻟﺩﻓﻊ ،Thrustﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻗﻭﺓﹶ ﺩﻓﻊٍ ﻟﻸﻤﺎﻡ ،ﻭﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻜﺎﺒﺤﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﻌﻴﻕ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ. ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻻﻟﺘﺌﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻨﻔﺼﺎل ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ
ﺼﻔﺭﺍﹰ ،vr = 0ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 20.8ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘـﻠـﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .10.8ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻻﻟﺘﺌﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻨﻔﺼﺎل ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،u = 0ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻨﻔﺴﻬﺎ 20.8ﺘﺼﺒﺢ ﺒﻌﺩ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﻭﺍﺨﺘﺼﺎﺭﻫﺎ
) d (mv =F dt
dv dm +v =F dt dt
⇒
m
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﹼﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .14.8ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻹﻀﺎﻓﻴﺔ ،Tﻨﺴﺘﺨﺩﻡ
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺨﻁﱢﻲ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﺯﻭﺩﺕ ﺒﻪ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،dmﺸﻜل ،3.8ﻭﻟﻼﺘﺠﺎﻩ j
] - T 1 dt = dm [ v + dv - u
ﻭﻷﻥ dm dv ≅ 0ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﻌﺩ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ dtﺇﻟﻰ
)dm(t )dm(t = ] [v − u ] [u − v dt dt
T1 = −
ﺃﻭ 1.21.8
)dm(t j dt
T1 = − v r
⇒
)dm(t dt
T1 = − v r
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ T2ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ T1ﻓﺘﺅﺜﺭ ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ )dm(t j dt
2.21.8
, T2 = v r
)dm(t dt
T2 = v r
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ T2ﻤﻭﺠﺒﺔ ،ﺃﻱ ﻗﻭﺓﹲ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔﹲ ﺘﻀﺎﻑ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ .ﻭﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ؛ ﺃﻱ ﺇﻤﺎ
ﻤﻭﺠﺒﺘﻴﻥ ﻭﺇﻤﺎ ﺴﺎﻟﺒﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ.
199
2.3.5.8ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ
4
ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻴﺘﺸﻴﺭﺴﻜﻲ ،ﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﻓﻌﻠﻪ
ﻙ .ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ.
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻀﻤﻥ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯﺘﻴﻥ :ﻗﻭﺓ ﻭﺯﻨﻪ mgﻭﻗﻭﺓ ﺍﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ Fdﻤﻊ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺭ ﺒﻪ .ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ Fdﻗﻭﺓﹲ ﻋﺩﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﻨﺴﺒﺔﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﺍﻷﺨﺭﻯ ،ﺸﻜل ،4.8ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 20.8ﺘﹸﻜﺘﺏ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
dv dm + mg = vr dt dt
22.8
m
ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓﹰ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ) ،m(tﻭﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ﻋﻨﺩ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ، mo + m fmaxﺤﻴﺙ ﺇﻥ m o
ﻜﺘﻠﺔ ﺠِﺭﻡ ﺃﻭ ﻫﻴﻜل ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﺩﻭﻥ ﺃﻱ ﻭﻗﻭﺩ ،ﻭ m fmaxﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺤﻤﻭﻟﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ .ﻭﺇﺫﺍ ﺃﻀـﻔﻨـﺎ ﻓﺭﻀﻴﺔﹰ
ﺠﺩﻴﺩﺓ ﻭﻫﻲ ﺃﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺭﻤﻪ ﻓﺎﺭﻏﺎﹰ ،m oﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ) ،m fmax - m f(tﺤﻴﺙ ﺇﻥ ) mf(tﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﻠﻜـﺔ ﺤﺘﻰ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ
)- m f (t
23.8
)dm f (t )dm(t =− ﻭﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ dt dt vr = -vr jﻭﺘﻌﻭﻴﺽ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 22.8ﻭﺤﻠﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ dvﻴﻜﻭﻥ 24.8
fmax
m(t) = m o + m
،ﻭﺃﺨﺫ ﻤﺴﻘﻁ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ y
)dm f (t - g dt m
y dv = v r
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،ﻭﻫﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﻫﻨﺩﺴﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻭﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ .ﻜﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔﹰ ﻟﻠﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩﺓ ﺠﺩﺍﹰ ﻋﻥ ﺠﻤﻴﻊ
ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ،ﻋﻨﺩﻫﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 24.8ﺒﺩﻭﻥ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ .gﺇﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻴﺘﻡ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻟﻁﺭﻓﻴﻬﺎ ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ
،t0 = 0ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،voﻭﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩﺓ ﺼﻔﺭﺍﹰ .m f(t) = 0
x
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ،tﺘﺼﺒﺢ ﺴﺭﻋـﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،vﻭﺘﺅﻭل ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﻔﺩﺓ ﺇﻟﻰ ).m f (t
vr
ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻟﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 24.8ﻭﻟﻠﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ t
)dm f (t − g dt )m o + m fmax − m f (t
∫ 0
ﺸﻜل 4.8 )m f (t
∫ 0
v
dv = + v r
∫
vo
_________________________________________________ 4
ﻙ .ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ 1935 -1857 ، K.Tsiolkovskyﻋﺎﻟﻡ ﻭﻤﺨﺘﺭﻉ ﺭﻭﺴﻲ .ﻨﺸﺭ ﺍﻟﺒﺤﺙ "ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺒﺎﻻﻻﺕ ﺍﻟﻨﻔﺎﺜﺔ" ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻠﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﺍﻟﺭﻭﺴﻴﺔ ﻨـﺎﺅﻭﺘـﺸﻴﻨـﻪ ﺃﻭﺒـﻭﺯﻭﺭﻴﻨﻴـﻪ -ﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻘﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﺃﻴﺎﺭ ﻟﻌﺎﻡ ،1903 ﻭﻓﻴﻪ ﻭﺭﺩﺕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﻬﻭﺭﺓ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .26.8 200
)m (t
v = vo - g t - vr ln [ m o + m fmax − m f (t) ] 0 f
ﺃﻭ )m o + m fmax − m f (t m o + m fmax
25.8
v = vo - g t - vr ln
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻜﺩﺍﻟﺔ ﺯﻤﻨﻴﺔ .ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ،ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﻴـﺼﻠﻬﺎ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﻨﻔﺎﺩﻩ ﻜل ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭل؛ ،mf(t) = m fmaxﻋﻨﺩﺌـﺫٍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 25.8ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﻗﺘﻀﺎﺒﺎﹰ m fmax ) mo
26.8
v = vo - gt + vr ln(1+
ﻴﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ،26.8ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ - 1ﺴﺭﻋـﺔ ﺍﻻﻨﻁﻼﻕ
ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ voﻭ - 2ﺍﻟﺴﺭﻋـﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻻﻨﺩﻓﺎﻉ ﻤﻨﺘﺠﺎﺕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻥ ﻓﻭﻫﺔ ﻤﺤﺭﻙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،vrﺃﻭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺎﺩﻡ ﻭ3 m fmax ﺍﻟﻨﺴﺒـﺔ ﺒﻴﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﻭﻜﺘﻠﺔ ﺠِﺭﻡ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥmo
)ﺍﻻﺤﺘﻴﺎﻁﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻭﻗﻭﺩ( ﻭﺍﻟﻤﺴﻤﻰ ﻋﺎﺩﺓ
ﺒﻌﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ .NTﻜﻤﺎ ﺘﹸ ﺩﻋﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ 26.8ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ .ﺇﻥ ﻨﻅﺭﺓﹰ ﻤﺘﻔﺤﺼﺔﹰ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﹸﺜﹾﺒِﺕ ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﺤﺘﺭﺍﻕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ،ﻻ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﻋﻤل ﺍﻟﻤﺤﺭﻙ ﺍﻟﻨﻔﺎﺙ، m fmax ﻭﻻ ﻋﻠﻰ ﺯﻤﻥ ﺍﺤﺘﺭﺍﻕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺩﺍﺨل ﺤﺠﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺤﺭﻙ ،ﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺤﺘﻴﺎﻁﻲ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ mo
.ﻭﻫﻨﺎ ﺘﻜﻤﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻜلٍ
ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ NTﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ ،ﻓﻲ ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻴﺒﻴﻨﺎﻥ ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﻤﺤﺘﻤﻠﺔ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻟﻠﻁﻴﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ.
ﻭﻟﺘﻭﺼﻴل ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ،v =vcﻭﺍﻟﻼﺯﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻟﻠﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ
ﻓﻲ ﻤﺩﺍﺭٍ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻨﻅﺭﻴﺎﹰ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﻨﻁﻼﻕ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔٍ ﻭﺯﻴﺎﺩﺓ ﻋﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ NTﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ .vr
ﻭﻟﻌﺩﻡ ﻤﻭﺍﺀﻤﺘﻪ ﻟﻺﻨﺴﺎﻥ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻴﻠﻐﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻷﻭل .voﻜﻤﺎ ﻭﻴﻠﻐﻰ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻟﻤﺤﺩﻭﺩﻴﺘﻪ .ﺃﻤﺎ
ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺃﻨﻪ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺯﻴﺩ ﻋﻥ ﺃﺭﺒﻌﻴﻥ ﻀﻌﻔﺎﹰ؛ ﺃﻱ ) NT>40ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ .(40ﻟﻬﺫﺍ ﺍﺴﺘﻌﻴﺽ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻀﺨﻡ ﺒﺎﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻨﻔﺼل ﻤﺭﺍﺤﻠﻪ )ﺃﺠﺯﺍﺀﻩ( ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺴﺘﻬﻼﻜﻪ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﺫﻱ
ﺘﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺒﻜﺎﻤﻠﻪ .ﻟﻘﺩ ﺴﺎﻋﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ. ﻭﺘﺨﻀﻊ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ voﻟﺼﻌﻭﺒﺎﺕٍ ﺘﻘﻨﻴﺔٍ ﻭﻫﺎﺌﻠﺔٍ ﻟﻴﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﺒﻬﺎ .ﻜﻤﺎ ﺘﻌﺘﻤﺩ
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻻﻨﺩﻓﺎﻉ ﻤﻨﺘﺠﺎﺕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﻜﻴﻤﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﻭﻗﻭﺩ ﻭﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻨﻔﺴﻪ. ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ ،ﻭﻟﻥ ﺘﺯﻴﺩ ﻋﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭٍ ﻤﻌﻴﻥ .ﻟﻬﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﺃﻓﻀل ﺍﻟﻁﺭﻕ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻌﺎﻟﻴﺔ
ﻟﻠﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻴﻜﹾﻤﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺤﻜﻡ ﺒﻌﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ .NTﺃﻱ ﺒﺯﻴﺎﺩﺓ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭل ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻤﻊ ﺘﺨﻔﻴﺽ ﺠِﺭﻡِ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ )ﻭﺯﻨﻪ( ﻓﺎﺭﻏﺎﹰ .ﻭﻫﺫﺍ ﺃﻴﻀﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ،ﻴﺨﻀﻊ ﻟﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﺘﻘﻨﻴﺔ ﺨﺎﺼﺔٍ ﺒﺼﻨﺎﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻨﻔﺴﻪ. ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺼل ﺒﺎﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ] ،vc = 8 [km/sﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔٍ ﻟﻼﻨﻁﻼﻕ ﻤﻥ
ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،vo = 0ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻨﺴﺒﻴﺔ ﻻﻨﺩﻓﺎﻉ ﻤﻨﺘﺠﺎﺕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻥ ﻓﻭﻫﺔ ﺍﻟﻤﺤﺭﻙ 205
] .vr = 2.4 [km/sﻭﺇﺫﺍ ﺃﻀﻔﻨﺎ ﻤﺎ ﺒﻴﻥ %15 - 10ﻟﻠﺘﹶﻐﻠﹸﺏ ﻋﻠﻰ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺍﻷﺭﻀﻴﺔ ﻭﻤﻘﺎﻭﻤﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﻟﺤﻅﺔ ﺒـﺩﺍﻴـﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﻥ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ،ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﻤﻴﻡ ] .vc = 9 [km/sﻭﺘـﻌﻭﻴـﺽ ﺒﺩل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 26.8
m fmax ) mo
9 [ km/s ] = 2.4 [ km/s ] ln(1+
ﺃﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻋﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ 41.5
m fmax = mo
= NT
ﺃﻱ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﺯﻴﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﻤﺤﻤﻭل ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﺇﻟﻰ ﻜﺘﻠﺔ ﺠِﺭﻡِ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻥ ﺃﺭﺒﻌﻴﻥ ﻀﻌﻔﺎﹰ ﻋﻠﻰ
ﺍﻷﻗل ،ﺒﻤﺎ ﻴﺘﺒﻊ ﺫﻟﻙ ﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﺘﻘﻨﻴﺔٍ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ .ﻟﻬﺫﺍ ﺍﺴﺘﹸﻌِﻴﺽ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻀﺨﻡ ،ﺫﻭ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﺴﺎﺌل، ﺍﻟﻤﻨﻁـﻠﻕ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻨﻔﺙٍ ﺨﻠﻔﻴﺔٍ ﻤﻘﺩﺍﺭﻫﺎ ] ،vr = 2-2.5 [km/sﻭﻋﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ 40ﺒﺎﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩ
ﺍﻟـﻤﺭﺍﺤـل ،Multistage Rocketﺍﻟﺫﻱ ﺘﻨﻔﺼل ﻤﺭﺍﺤﻠﻪ )ﺃﺠﺯﺍﺅﻩ( ﻟﺤﻅﺔ ﺍﺴﺘﻬﻼﻜﻪ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ
ﺒﺎﻟﻜﺎﻤل .ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﺘﻨﺎﻗﺹ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ،ﻭﺘﺒﻌﺎ ﻟﺫﻟﻙ ﺯﻴﺎﺩﺓ ﻋﺩﺩ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ ،ﺘﻜﺘﺴﺏ ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺴﺭﻋﺔﹰ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔ .ﻟﻘﺩ ﺴﺎﻋﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻭﺭﺍﻴﺦ ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺇﻁﻼﻕ ﺍﻷﻗﻤﺎﺭ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻔﻀﺎﺌﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺇﻟﻰ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ. ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩﺓ ﺠﺩﺍﹰ ﻋﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﺭﺍﻜﺯ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ،ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺇﻟﻐﺎﺀ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ gﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ .26.8 - 25.8ﻭﺘﺴﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﻨﻔﺴﻴﻬﻤﺎ ﺒﺩﻭﻥ ﻋﻨﺼﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺒﺼﻭﺭﺓٍ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ
ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ ﺍﻟﻌﺎﺩﻡ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ.
ﺤـلﱡ ﺍﻟـﻤﺴـﺎﺌـل ﻴﻘﻭﻡ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻭﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻭﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،20.8ﻭﺤﺴﺎﺏ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻨﻔﺙ ﺍﻟﻐﺎﺯﺍﺕ ﻭﺍﺤﺘﺭﺍﻕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،21.8ﺜﹸ ﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺼﻭﻯ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻜﺘﻤﺎل ﻋﻤﻠﻴﺔ
ﺍﻻﺤﺘﺭﺍﻕ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﺴﻴﻠﻜﻭﻓﺴﻜﻲ .26.8
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
206
6.8ﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻟﻘﺩ ﻋﺭﻑ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩﻴﻥ 4.2ﻭ 1.8ﻤﻥ ﻭﺠﻬﺘﻲ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺒﺎﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺫﻱ
ﻻ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻭﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻋﺩﺩٍ ﻫﺎﺌلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻭﺍﻟﻤﺘﺭﺍﺒﻁﺔ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ
ﺒﺄﺒﻌﺎﺩٍ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴـﺔٍ ﻭﺜﺎﺒﺘﺔ .ﻭﺴﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺃﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﺘﺭﻜﺯﺓﹰ ﻓﻘﻁ
ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓٍ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ.
ﺇﻥ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﻭﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺴﻴﻌﺘﻤﺩ ﺒﺎﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ .ﻭﺘﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺘﺭﻜﺔ ﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ .ﻭﻤﻊ ﺃﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺒﺴﺕ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ،ﺃﻱ
ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺍﻟﺘﺤﺭﻙ ﺴﺕ ﺤﺭﻜﺎﺕٍ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔٍ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ ،ﺇﻻ ﺃﻥ ﻤﺎ ﻴﻤﻴﺯ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻫﻭ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﺴﺎﺴﻲ ﻋﻠﻰ
ﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﻗﺩ ﻗﺴﻤﺕ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺇﻟﻰ ﺤﺭﻜﺔٍ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔٍ ﻭﺤﺭﻜﺔٍ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔٍ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺜﺎﺒﺕ ﻭﺤﺭﻜﺔٍ ﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻭﺤﺭﻜﺔٍ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔٍ ﺤﻭل ﻨﻘﻁﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ ،ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ .ﻭﺴﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺘﺒﺎﻋﺎﹰ.
1.6.8ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ
Fn F1
ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﻜل ﺠﺯﺀٍ )ﺠﺴﻴ ﻡٍ( ﻤﻥ ﺃﺠﺯﺍﺌﻪ )ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ( ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ
P a
ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ؛ ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﺈﻥ ﻜل ﺨﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺴﻴﺒﻘﻰ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ ﻓﻲ ﻭﻀﻌﻪ ﺍﻷﺼﻠﻲ .ﻭﺘـﺒﻌـﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ؛ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺴﺎﺭﺍﺕ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔﹰ ﻭﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ .ﻭﻴﻜﻔﻲ
ﻋﻨﺩﻫﺎ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺯﺀٍ ﻭﺍﺤﺩٍ
ﻤﻥ ﺃﺠﺯﺍﺌﻪ ،ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﻀل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ.
z
F
F2
Fj
r
C rC - r rC
y
j
k O
i
S x F3
F4 ﺸﻜل 6.8
ﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻤﻘﻁﻌﺎﹰ ﺭﻗﻴﻘﺎﹰ ،Sﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻭﺸﺎﻤﻼﹰ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻓﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﺠﻤﻴﻊ
ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ،Fn ، ...، F2 ، F1ﻭﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ،Fﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺔﹰ ﻤﻊ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ،ﺸﻜل .6.8ﻜلﱡ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺘﺴـﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .aCﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.8ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻋﻨﺩ
ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ
27.8
F = M aC
ﺤﻴﺙ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒـﺭﻨﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Pﻨﻘﻁﺔﹰ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻋﻤل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،F
ﻓﺈﻥ ﻋﺯﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺤﻭل ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ O
M O = r × F = r × M aC
1.28.8
ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺃﻴﻀﺎﹰ ،ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻭﻡ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 214
Fi
n
ri × a i
i
∑m
n
= ri × Fi
i =1
∑
i =1
n
= MO i
∑
= MO
i =1
ﻭﻷﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ai = aCﻭ n
ri = M rC
i
∑m
ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 4.8ﻴﻌﻁﻲ
i =1
MO = rC × M aC
2.28.8
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 28.8ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﻴﻜﻭﻥ
rC × M aC = r × M aC
29.8
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 29.8ﺘﻜﻭﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ aC = 0ﺃﻭ .rC = rﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺸﻁﺏ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻷﻭل ﻹﻟﻐﺎﺌﻪ ﺸﺭﻁﺎﹰ
ﻀﺭﻭﺭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﺭﻋﺔ ﻴﺒﻴﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ Cﻤﻨﻁﺒﻕﹲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) Pﺃﻭ
ﺒﺎﻟﻌﻜﺱ( .ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺨﻁﱠ ﻋﻤل ﺍﻟﻘﻭﺓ Fﻴﻤﺭ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻋﺒﺭ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ .Cﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻤﺭ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻭﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
ﻓﺈﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺘﹸﺴﺘﹶﻭﻓﹶﻰ ﺒﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻫﻴﺘﻴﻥ ،ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 27.8ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .29.8ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺘﻜﺘﺏ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻜﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﻗِﻴﺎﺴﻴﺔ 1.27.8
Fz = M aCz
F y = M aCx ,
Fx = M aCx ,
1.29.8
MCz = 0
MCy = 0,
MCx = 0 ,
ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﻭﺍﺤﺩ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻭﺍﺯﻱ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ
ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺜﻨﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.27.8ﻭﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 1.29.8ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺨﻁٍ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ
ﺍﻷﻓﻘﻲ ،Oxﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻫﻲ ﺃﻭﻟﻰ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .1.27.8
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
215
2.6.8ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺜﺎﺒﺕ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔﹰ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺜﺎﺒﺕ ،ﻓﺈﻥ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺩﺍﺭﺍﺕٍ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔٍ
ﻭﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻨﻔﺴﻪ .ﺸﻜل 6.8ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ Cﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،O1x 1ﻤﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ،O1x 1y1z1ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺜﺒﺕ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ Oxyzﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،Oﻜﻨﻘﻁﺔ
ﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻓﻴﻪ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺃﻱ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ .Oyzﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ Oxﻭ O1x1ﻤﺘﺴﺎﻤﺘﺎﻥ.
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﻟﺘﺴﻬﻴل ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺜﺎﺒﺕٍ ،ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ ﺍﻟﺭﻗﻴﻕ Sﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﹰ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﺸﺎﻤﻼﹰ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ .Oﻤﺘﱠﺠِﻬﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ω
ﻭﺘﺴﺎﺭﻋـﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ εﻴﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ω = ω i ،O1x 1ﻭ .ε = ε iﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﺩﻭﺭ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﻤﺴﺎﺭٍ
ﺩﺍﺌﺭﻱ ،ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ rCﻭﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻋﻤﻭﺩﻱ aCnﻭﻤﻤﺎﺴﻲ .aCtﻭﺤﺘﻰ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.8ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﻨﻀﻴﻑ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل .N = NA + NO1 ،Nﻓﻨﻜﺘﺏ z1 NO1
z1
F1
F2
z
Pi ϕ y1
ri z ain a i Ct
S O1
C
y xi
rC
Fj
ai t
aCn
ϕ y1
Fi
MOz
hO
O1 y
N O 1x
ω
MOy
hA ε
N Az MOx
ϕ
O A
z
N O1y
NA
yi Fn
NO1z
O NAy
ω
A x,x1
ε x, x1 ﺸﻜل 6.8 ) F + NA + NO1 = M ( aCn + aCt
30.8
ﺤﻴﺙ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﺒﺎﺨﺘﻴﺎﺭ ﺠﺴﻴ ﻡٍ ﻤﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،m iﻭ ri = x i i + yi j + zi k ،riﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ ،ﻓﺈﻥ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ Oﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 62.2 31.8
ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ
ai = ε × ri + ω × ( ω × ri ) = - ( yi ω2 + zi ε ) j + (yi ε - zi ω2) k n
32.8
+ rA × NA + rO1 × NO1
∑r ×F
i
i
i =1
n
=
Oi
∑M
= MO
i =1
n
[ xi i+yi j+ zi k] × m i [- ( yi ω2 + zi ε ) j + (yi ε - zi ω2) k] + rA × NA + rO1 × NO1
∑
i =1
216
= MO
n
m i ( x i zi ω - x i yi ε ) j + 2
∑
n
2
2
m i ( yi + zi ) i +
i =1
∑
MO = ε
i =1 n
m i ( xi yi ω + x i zi ε ) k + rA × NA + rO1 × NO1 2
1.33.8
∑
-
i =1
ﺃﻭ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ
∫
∫
∫
M O = [ ε ( y 2 + z 2 ) dm ] i + [ ω 2 xz dm − ε xy dm ] j M
M
M
∫
+ ε xz dm ] k + rA × NA + rO1 × NO1
2.33.8
M
∫ xy dm
− [ ω2
M
ﻭﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل )ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ( ﺍﻷﻭل ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oxﻴﻤﺜل ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻼﻥ )ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﻥ(
ﺍﻵﺨﺭﺍﻥ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ
∫ xz dm
∫
= Ιxy = xy dm , Ιxz M
M
ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 33.8ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﻘﺘﻀﺏ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 34.8
MO = ε Ix i + [ω Ixz - εIxy] j - [ω Ixy + ε Ixz ]k + rA × NA + rO1 × NO1 2
2
ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ Oyzﻤﺴﺘﻭﻯ ﺘﻤﺎﺜل ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ،
ﻭﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .Cﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺘﻼﺸﻰ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ rCﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻜلﱞ ﻤﻥ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ
ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﻴﻥ Ixyﻭ ،Ixzﺃﻱ ﺃﻥ Ixy = 0 ، rC = 0ﻭ .Ixz = 0ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 30.8ﻭ 34.8ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 1.30.8
F + NA + NO1 = 0
1.34.8
MO = ε Ix i + rA × NA + rO1 × NO1
ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻓﻲ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻡ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻋﺎﻤﺎﺕ ﻭﺍﻟﺤﻭﺍﻤل ﻭﻨﻘﺎﻁ ﺍﻹﺭﺘﻜﺎﺯ
ﺃﺴـــﺌـﻠـﺔ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
217
3.6.8ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ
Plane Motion
ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻤﺴـﺘﻭﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜل ﺠﺴـﻴﻤﺎﺘﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻴﺎﺕٍ ﻤﻭﺍﺯﻴﺔٍ ﻟﻤﺴـﺘﻭﻯ
ﻤﺤﺩ ﺩٍ ﻭﺜﺎﺒﺕ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻓﻬﻡ ﻭﺍﺴﺘﻴﻌﺎﺏ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﻘﻁﻌﺎﹰ ﺭﻗﻴﻘﺎﹰ ،Sﻤﻭﺍﺯﻴﺎﹰ ﻟﻠﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ O1y1z1ﻤﻥ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ O1x1y1z1ﻭﺸﺎﻤﻼﹰ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .Cﻜﻤﺎ ﺘﺘﺴﺎﻤﺕ
ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻭﻤﺘﱠﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻤﻔﺘﺭﻀﺔ ،ﺸﻜل .7.8ﻨﺜﺒﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﺇﻁﺎﺭ
ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،Axyzﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ )ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ( ،Aﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﺍﻥ O1x 1ﻭ Axﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ،ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺘﺘﻡ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .Ax
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑﹲ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺒﺜﻼﺙ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ،ﺃﻱ ﺜﻼﺙ
ﺤﺭﻜﺎﺕٍ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔٍ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻫﻲ ﺤﺭﻜﺔﹲ ﻤﺭﻜﺒﺔﹲ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺘﻴﻥ :ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ، ﻭﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﻤﺠﻤﻠﻬﺎ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺴﺘﻭﻯ ،ﻓﺈﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ x Aﻭ yAﻟﻤﺭﻜﺯﻩ ﻜﺎﻓﻴﺎﻥ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ.
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ
) F = M (&y&A j + &z&A k
35.8
ﺤﻴﺙ Mﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .ﻭﻴﺘﺤﺩﺩ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺒﺎﻟﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘل ϕﻜﺯﺍﻭﻴﺔ ﺩﻭﺭﺍﻥٍ ﻭﺤﻴﺩﺓٍ ﻭﻤﻔﺭﺩﺓ.
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻨﹸﺤ ﺩﺩ ﻤﺘﱠﺠِﻬﻲ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ω = ω i ،ﻭ .ε = ε iﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﻤﻨﻔﺭﺩﺍﹰ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﻁﻊ Sﻜﺘﻠﺘﻪ ،m iﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻭﻀﻌﻪ .ri = xi i + yi j + zi k ، riﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ، aiﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.74.2
= aA - ( yi ω + zi ε ) j + (yi ε - zi ω ) k
ai
2
36.8
2
z1 z
S F1
) = aA + ε × ri + ω × ( ω × ri
ai
Fi mi Ri
y
Pi
A C
y1
rC
Fn
r
rA
xi
zi A rA yi
O1 x
F3
Pi
y
ϕ F2
Fi mi
z
z1
Fi
ω
y1
O1 x
ε x, x1 ﺸﻜل 7.8 218
ω
ε x, x1
ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ n
∑
ri × mi ai
37.8
n
= × Fi
i =1
i
∑r
n
= MAi
i =1
∑
= MA
i =1
ﺃﻭ n
n
ri × m i ai
∑
n
+
ri × mi ai
t
i =1
∑
n
(Ri + rC) × m i aA +
i =1
i =1
n
∑
mi [ (yi2+zi2 ) ε i
n
∑
Ri × m i aA +
i =1
n
rC ×m i aA +
i =1
∑
=
i =1
]+ (x i zi ω -x i yi ε)j - ( xi yi ω -xi zi ε)k 2
1.38.8
ﺃﻭ ﺒﺼﻴﻐﺔ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ
∫
+ [ε (y 2 + z 2 ) dm ]i
2
A dm
∫ dm + ∫ R × a M
M
2.38.8
∑
= MA
∫
∫
= rC × a A
M
A
∫ dM
= MA
MA
∫
∫
+ [ω2 xz dm - ε xy dm ]j -[ω2 xy dm + ε xz dm ]k M
M
M
M
ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻷﻭل ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3.8 = rC × M a A
∫ dm
rC × a A
M
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ = R × M aA = 0
A dm
∫ R×a
M
ﻷﻥ R ﺘﻘﺎﺱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺇﺫ ﻴﻨﺎﻅﺭ ﻜلﱡ ﺤ ﺩٍ ﻓﻲ ﺃﺤﺩ ﻨﺼﻔﻲ ﺍﻟﺼﻔﻴﺤﺔ Sﺤﺩﺍﹰ ﺁﺨﺭ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﻭﻤﺨﺘﻠﻔﺎﹰ ﻤﻌﻪ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ .ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺘﻼﺸﻲ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻋﺯﻡ
ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ax
+ z 2 ) dm
2
∫ (y
n
2
2
= ) m i [ (yi +zi
∑
= IAx
i =1
M
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﺓ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻨﺴﺒﺔﹰ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ Axyz
∫
= xz dm
n
m i xi zi
∑
∫
= mi x i yi = xy dm , Ιxz
i =1
M
n
∑
= Ιxy
i =1
M
ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺘﹸﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 38.8ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 39.8
MA = rC × M aA + ε ΙAx i + [ω Ιxz - ε Ιxy ] j - [ ω Ιxy + ε Ιxz ] k 2
2
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 35.8ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔٍ
ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺔٍ ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻴﺘﻡ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﻴﻤﺭ ﻋﺒﺭ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻓﺈﻥ ،rC = 0ﻭﺘﺒﻌﺎ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 39.8ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﺒﺴﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 40.8
MC = ε ΙCx i + [ω Ιxz - ε Ιxy ] j - [ ω Ιxy + ε Ιxz ] k 2
219
2
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﹸﺴﺘﹶﻭﻓﹶﻰ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،35.8ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ،ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﻟﻬﺎ ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻻﺘﱢﺠﺎﻫِﻴﺘﻴﻥ 39.8ﺃﻭ .40.8ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ﺘﻤﺜﻼﻥ
ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Axﺃﻭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Cxﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻤﻴﺯﺍﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ،ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ε ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻭﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻜﺎﻟﺘﻤﺎﺜل ﺃﻭ ﻋﺩﻤﻪ .ﻭﻷﻥ ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﻴﻥ Ιxyﻭ
Ι xzﻴﺒﻴﻨﺎﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﻋﺩﻡ ﺘﻤﺎﺜل ﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ) Ayzﺃﻭ ،(Cyzﻓﺈﻥ ﺘﻤﺎﺜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﺃﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ ﻟﻴﺠﻌل ﻋﺯﻤﻲ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﻴﻥ Ιxyﻭ Ιxzﻤﺴﺎﻭﻴﻴﻴﻥ ﻟﻠﺼﻔﺭ.Ιxy = Ιxz = 0 ، ﻭﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 1.39.8
MA = rC × M aA + ε ΙAx i
1.40.8
MC = ε ΙCx I
ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ Ayzﻤﺴﺘﻭﻯ ﺘﻤﺎﺜل ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ،
ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻴﻤﺭ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .Cﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺘﻼﺸﻰ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ rCﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ،
ﻭﻋﺯﻤﺎ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺒﺫﻴﻥ Ιxyﻭ Ι xzﻤﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،ﺃﻱ ﺃﻥ rC = 0ﻭ .Ιxy = Ιxz = 0ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 35.8ﻭ
39.8ﻗﻴﺎﺴﻴﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 1.35.8
Fx = 0 , Fy = M &y& Ay , F z = M &y& Az
2.40.8
MAx = ε IAx , MAy = 0 , MAz = 0
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟــﺔ
220
7.8ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻟﻘﺩ ﻭﺭﺩ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩﻴﻥ 1.5ﻭ ،3.5ﻭﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯ iﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3.5ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ
ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ i
Li = ri × m i vi
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻓﺌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻜﺘﻠﻬﺎ m n ،..... ،m 2 ،m 1ﻭﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ .rn ،.... ،r2 ،r1ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﺯِﺨﹶﺎﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ n
) m i ri × (ω×ri
∑
n
∑
= ri × m i vi
i =1
⇒
=L
L = Li
i =1
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ، ri = rC + r’iﺸﻜل ،2.8ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ n
41.8
∑
r’i × m i vi
n
∑
rC × mi vi +
i =1
n
= ( rC + r’i ) × m i vi
i =1
∑
=L
i =1
ﺃﻭ ﻜﻤﺠﻤﻭﻋﻴﻥ :ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﻭل ،ﻓﺒﻌﺩ ﺘﺭﺘﻴﺒﻪ ﻭﺭﺒﻁﻪ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،5.8ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ Mﻤﺭﻜﺯﺓﹰ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ Cﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vC n
m i vi = rC × M vC
1.42.8
∑
× LC = rC
i =1
ﻭﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،68.2ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘـﻠﺔ ﻭﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ، ،vi = vC + viCﻓﻨﻜﺘﺏ n
m i r’i × vC
∑
n
+
C
m i r’i × vi
i =1
∑
n
= )
C
r’i × m i (vC + vi
i =1
∑
= Lρ
i =1
ﺃﻭ ﻜﻤﺠﻤﻭﻋﻴﻥ ﺠﺩﻴﺩﻴﻥ :ﺃﻭﻟﻬﻤﺎ ،ﻴﺸﻜل ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺯﺨﹶﺎﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻴﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ n
2.42.8
C
m i r’i × vi
∑
= Lρ
i =1
ﻭﺜﺎﻨﻴﻬﻤﺎ ،ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻻﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻜﺘل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻷﻥ ،r’C=0ﻭﺃﻴﻀﺎﹰ ﺒﺎﻟﻘﻴﺎﺱ ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،4.8ﺃﻱ ﺃﻥ
n
∑
.m i r’i = M r’C = 0ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ
i =1
ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻋﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 42.8 n
43.8
C
m i r’i × vi
∑
L = rC × MvC +
i =1
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.8ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ،ﻤﺭﻜﺯ ﺇﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ،O
ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ،Mﻤﺭﻜﺯﺓﹰ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ،Cﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
،vCﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺯﺨﹶﺎﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻴﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
221
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺍﻵﻥ ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﺇﺫﺍ ﺘﻐﻴﺭﺕ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ .ﻴﺘﻀﺢ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ،2.8ﺃﻥ ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ rcﻴﺘﻐﻴﺭ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴـﺒﻴﺔ ،r’iﻜﻤﺎ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﺸـﺘﻘﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ. ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻓﻔﻲ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،43.8ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻗﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل،
ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴـﻨﺎﺩ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ؛ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ .ﻭﻓﻲ ﺴﻴﺎﻕ ﺫﻟﻙ ؛
ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺇﺩﺭﺍﺝ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﻜﻭﻥ ﻓﺈﻥ ﺯﺨﹶﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻴﻅل ﻋﻠﻰ ﺤﺎﻟﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﻨﻘﺎﻁ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ .ﻭﻹﺜﺒﺎﺕ ﺼﺤﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ،ﺴﻨﻌﺘﻤﺩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻓﻘﻁ ﺍﻟﺘﻲ
ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻴﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ .ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.8ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل .ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺫﻟﻙ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﻘﻭل :ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓﹰ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ.
ﻤﺜﺎل
1.8
z
h
ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﺩﻟﻴل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔِ ﺒﻤﺜﺎلٍ ﺒﺴﻴﻁ
d
ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻜﻭﻥٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻓﻘﻁ ،ﺸﻜل .8.8ﻓﺎﻟﺠﺴﻴﻤﺎﻥ Aﻭ Bﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺎ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻜﺘﻠﺔ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ، mﻭﺴﺭﻋﺘﻪ .vﻭﻫﻤﺎ
E
ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ .Ozﻭﺒﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻤﻴﻥ A
y
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻨﻔﺴﻪ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﻬﻤﺎ ﺍﻟﺴﺎﻜﻥ ، O′ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﻋﻠﻰ
h
L F
’O
B
A O
ﻭ ، Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Oz LA =LB = m v h
D
x
ﺸﻜل 8.8
ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻟﻠﺯﺨﻤﻴﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﻴﻥ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻨﻔﺴﻪ ،ﻤﻭﺍﺯٍ ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ Ozﻭﻟﻸﻋﻠﻰ ،ﻓﺈﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻥ ﻴﺠﻤﻌﺎﻥ ﻋﺩﺩﻴﺎﹰ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻜﻠﻲ L = LA + LB = 2 m v h ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺯﻭﺝ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ Aﻭ Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻭﺍﻗﻌﺔ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ. ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺍﻵﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﺘﻘﻊ ﻋﻨﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺃﺤﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ .ﻓﻼ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺯﺨﻡ ﺯﺍﻭﻱ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻭﻗﻌﻪ ﺫﺍﺘﻪ .r = 0 ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺒﻌﺩ ﺍﻵﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ، 2hﻓﻴﻜﻭﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ،2 m v h ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺯﺨﻤﻴﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﻴﻥ 2 m v h ﻤﺭﺓ ﺜﺎﻨﻴﺔ .ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﺇﺫﺍ ﺍﺨﺘﺭﻨﺎ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ Fﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻟﻴل DEﺒﺤﻴﺙ ﺘﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ dﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ .Bﻓﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻤﺎﻥ ﺍﻟﺯﺍﻭ ﻴﺎﻥ ﻟﻠﺠﺴﻴﻤﻴﻥ Aﻭ ، Bﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩﻴﺔ LA = m v ( 2 h - d ) , LB = m v d
ﻟﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ
L = LA + LB = m v ( 2 h - d ) + m v d = 2 m v h
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤِﻐﺯﻟﻲ ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.8ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ ﺇﻟﻰ ﺠﺯﺃﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ .ﻴﺤﺘﻭﻱ
ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﻭﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ،ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ .Orbitalﻭﺃﻤﺎ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻬﻭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ؛ ﻭﻴﺴﻤﻰ ﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ
ﺍﻟﻤِﻐﺯﻟﻲ ﺃﻭ ﻏﺎﻟﺒﺎﹰ ﻤﺠﺭﺩ ﺍﻟﻐﱠﺯل .Spinﻭﻟﺘﻠﺨﻴﺹ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻻﺴﻤﻴﻥ ﻭﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.8ﻨﺠﺩ ﺃﻥ 222
n
mi r’i × vi C = Lorb + Lspin
∑
L = rC × MvC +
i =1
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ Lorb = rC × M vC
44.8
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ؛ ﺒﻴﻨﻤﺎ n
m i r’i × viC
45.8
∑
= Lspin
i =1
ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ .ﻭﺍﻟﻐﱠﺯل ﻫﻭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺤﺴﻭﺒﺎﹰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﺴﻭﺍﺀ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ
ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ ﺃﻭ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ؛ ﺇﺫ ﺇﻨﻪ ﺨﺎﺼﻴﺔﹲ ﺫﺍﺘﻴﺔﹲ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﺴﺘﻘﻠﺔﹲ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔِ ﺇﺴـﻨﺎﺩِ ﺍﻟﻤﺸـﺎﻫﺩ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺠﺴـﻡ ﻤﺎ -ﻤﺜﻼﹰ
ﺨﹸ ﺫﹾﺭﻭﻑﹲ ﺃﻭ ﻤﺭﻭﺤﺔﹸ ﻁﺎﺌﺭﺓٍ ﺠﺎﺜﻴﺔٍ ﻓﻲ ﻤﻭﻗﻔﻬﺎ -ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭٍ ﺴـﺎﻜﻥٍ ﻴﻤﺭ ﻋﺒﺭ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ/ﻫﺎ ،ﻓﺈﻥ ﺯﺨﻤﻪ
ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺴـﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ .ﻭﺒﺼﻭﺭﺓ ﺃﻋﻡ ؛ ﻓﻘﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ،ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ
ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻐﱠﺯل ﻓﻘﻁ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ .ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺎل ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻐﺯل ﺫﺍﺘﻪ ﻤﺴـﺘﻘلٌ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠِﺭﻤِﻴﺔ .ﻓﺎﻟﺯﺨﹶﻡ
ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ ﻟﻸﺭﺽ ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻴﺔ ﻟﻸﺭﺽ؛ ﻭﻴﺤﺴﺏ ﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻷﺭﺽ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ.
ﺇﻥ ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻪ ﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 44.8ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،3.5ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﺠﺴﻡ ﻤﻔﺭﺩ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ
ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ Mﻤﺭﻜﺯ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺤﺘﻰ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﻟﻸﺭﺽ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻤﺱ ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﺘﺴﺘﺒﺩل ﺍﻷﺭﺽ ﺒﺠﺴﻴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ،MEﻤﻭﻀﻭﻉ ﻋﻨﺩ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ .ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻨﻅﺎﻡ
ﻴﺴﺎﻭﻱ ،MvCﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،29.8ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
Lorb = rC × K
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺸﺒﻪ ﺇﻟﻰ ﺤﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺨﺎﻤﺱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩ .L =r × Kﻓﺎﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ،
ﻤﺜﻠﻪ ﻤﺜل ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ.
ﻤﺜﺎل
2.8 ﺩﺤﺭﺍﺝ ﺃﺴﻁﻭﺍﻨﻲ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ، mﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ ،Rﻴﺘﺩﺤﺭﺝ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻓﻘﻲٍ ﺃﻤﻠﺱ ﺒﺴﺭﺠﻬﺔ ،vﻭﺒﺨﻁ ﺴﻴﺭ ﻤﻭﺍﺯٍ
ﻟﻠﻤﺤﻭﺭ ، Oyﺸﻜل . 9.8ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﻌﺩ ﻓﻴﻬﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻼﻤﺱ ﺍﻟﺩﺤﺭﺍﺝ )ﻤﺴﻘﻁ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻷﻓﻘﻲ( ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ Oﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ،Lﺃﻭﺠﺩ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﻭﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ ،ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ؟ ﻭﻤﺎ ﺯﺨﹶﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻜﻠﻲ؟
ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ 2 [m] :
= m = 50 [kg] ،v = 2 j [m/s] ،Lﻭ ]. R = 50 [cm
ﺍﻟـﺤـل ﻨﺤﺩﺩ ﺨﻭﺍﺹ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ rC = Lcos45°i+Lsin 45° j +Rk =1.42 cos 45° i +1.42 sin 45° j + 0.5k rC = i + j + 0.5k ]vC = 2 j [m/s 223
ﻭﺒﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﺩﺍﺭﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 44.8 i j k 2 ]Lorb = M rC × vC = 50 1 1 0.5 = - 50 i +100 k [kgm /s 0 2
0
o
ﻭﻫﺫﺍ ﻤ ﺘﱠﺠِﻪ ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ 106.83ﻜﻴﻠﻭﻏﺭﺍﻡ ﻤﺘﺭ ﺘﺭﺒﻴﻊ ﻟﻜل ﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﻴﻤﻴل ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ 26.56ﻋﻥ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺭﺃﺴـﻲ ،ﻭﻫﻭ ﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻴﻥ .rC ، vCﻭﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ ،Lspinﻓﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ. ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺤﺭﺍﺝ ﺩﺍﺌﺭﻴﺔﹰ ﻭﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ،ﻭﻴﻘﻊ ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ،ﻭﺘﺘﻌﺎﻤﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ﻤﻊ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ ρﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ،ﺸﻜل .9.8ﻭﻋﻠﻴﻪ؛ ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 45.8ﻴﻜﻭﻥ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻀﺭﺏ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ρi×vicﻫﻭ ﻨﻔﺴﻪ ﻟﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻓﺎﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﻤﻐﺯﻟﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ n
m i ρi × vi c =M ρ × vc
∑
z
= L spin
i =1
ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ Lspin=Mρ×vc
ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ
ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ
ﻟﻤﺤﻭﺭ
،Ox
ﻭﻤﻘﺩﺍﺭﻩ
45o
y
O 45o
x
r
]Lspin = 50 × 0.50 ×2 = -50 i [kgm /s 2
L
R
y
ﻭﻫﻭ؛ ﺒﺎﻟﻁﺒﻊ ﻻ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻤﻭﻗﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ
R
ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻓﻴﻜﻭﻥ 2
]L = -100 i + 100 k [kgm /s ﺸﻜل 9.8
1.7.8ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺌﺔ ﻟﻘﺩ ﺘﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﻓﻲ ﺒﻨﺩ .1.5ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ 7.8ﺘﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ .ﻭﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺯﺨﻤﻪ ﻭﻤﻭﻀﻌﻪ .ﻟﻘﺩ ﺃﺼﺒﺢ ﻭﺍﻀﺤﺎﹰ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ
ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﺘﱢﺠﺎﻫِﻲ ،ﻭﺇﺘﺠﺎﻫﻪ ﻫﻭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺒﻘﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻴﺩ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ .ﻭﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻌﻴﻥ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻲ ﻟﻠﺯﺨﺎﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ .ﻟﻜﻥ ﻫﻨﺎﻙ ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺘﻁﻠﺏ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ :ﺘﺤﺕ ﺃﻱ
ﻅﺭﻑٍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎﹰ؟ ﻭﻤﺎﺫﺍ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ؟ ﺜﻡ ﻤﺎ ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ؟ ﺇﻥ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺘﻌﻁﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻴﻴﻥ.
ﻭﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭﻩ
ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻤﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺩﻭﻥ ﺍﻟﺤﺎﺠﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﺘﺠﺭﻴﺩﻱ ﺠﺩﻴﺩ .ﻓﻨﺒﺩﺃ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 8.5ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ iﻤﻊ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ n
) ∑ M (F ij
j =0 j ≠ i
dL i = Mi + dt
ﻭﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،i =1,2,.......,nﺜﻡ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺎﹰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ 224
x
n
n
) ∑ ∑ M(F ij
i =1 j = 0 i≠ i
n
∑
dL i = MF + dt =1
dL = dt i
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺨﺘﺼﺭ )⇒ L& = M(F
46.8
dL = MF dt
ﺤﻴﺙ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺍﻨﻁﻼﻗﺎﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ .ﻭﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 46.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ :ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ ﺤﻭل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻨﹸﺴﻨِﺩ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻭﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺇﻟﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل
ﻨﻔﺴﻬﺎ. ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 46.8ﻋﻨﺩ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍﻨﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻭﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ،ﻜﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﻴﺭﻭﺴﻜﻭﺏ gyroscopeﻭﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ ،impactﺇﺫ ﻴﺘﻡ ﺤﺫﻑ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ
ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺃﺼﻼﹰ.
2.7.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻴﻜﻭﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ⇒ L = const.
47.8
dL =0 dt
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺜﺒﺕ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻼﺸﻰ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ .ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑﹲ ،ﻴﻨﺸﺄ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﻤﻥ ﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻨﺸﺄ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻤﻥ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﻫﺫﺍ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻓﻐﻭﺍﺹ ﻫﻭﺍﺌﻲ ﻫﺎﺒﻁﹲ ﻤﻥ ﻁﺎﺌﺭﺓٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻴﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺤﻭل ﻨﻔﺴﻪ ﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻤﻥ ﻗﻔﺯﺘﻪ .ﻭﻫﺫﺍ
ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻻ ﻴﺤﺩﺙ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻋﻀﻼﺘﻪ ﺃﻭ ﺃﻁﺭﺍﻓﻪ ﺒل ﺒﺴﺒﺏ ﻋﺯﻭﻡٍ ﺃﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻐﻭﺍﺹ .ﻭﻟﻭ ﺴﻘﻁ ﺍﻟﻐﻭﺍﺹ
ﻓﻲ ﻓﺭﺍﻍ ﺨﺎلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ،ﻟﻤﺎ ﺍﺴﺘﻁﺎﻉ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻭﺍﺀٍ ﻟﺠﺴﻤﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻁﻼﻕ.
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﺍ ﻗﻴﻤﺔٍ ﻤﺤﺩﺩﺓ ،ﻟﻜﻥ ﺇﺤﺩﻯ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻪ ﺼﻔﺭﺍﹰ Mfz = 0 ،ﻤﺜﻼﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺫﻟﻙ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ozﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ⇒ L z = const.
1.47.8
________________________ 5
ﺍﻟﺠﻴﺭﻭﺴﻜﻭﺏ :ﺃﺩﺍﺓ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﺤﻔﻅ ﺘﻭﺍﺯﻥ ﺍﻟﻁﺎﺌﺭﺓ ﺃﻭ ﺍﻟﺒﺎﺨﺭﺓ ﻭﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ.....ﺍﻟﺦ .ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻭﺭﺩ.
225
dL z =0 dt
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
226
8.8ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ 1.8.8ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻫﻲ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻴﺔﹲ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺌﺔ ﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻁﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻤﻜﻭﻨﺎﺘﻪ ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ .ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻨﻪ
ﻤﻥ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻤﻜﻥ ﺃﺒﺩﺍﹰ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺎﻟﺒﺔﹰ ،ﻓﺈﻥ ﺃﻱ ﻁﺎﻗﺘﻴﻥ ﺤﺭﻜﻴﺘﻴﻥ ﺘﺄﺘﻠﻔﺎﻥ ﻤﻌﺎﹰ ﻟﺘﻌﻁﻴﺎ ﻁﺎﻗﺔﹰ ﺤﺭﻜﻴﺔﹰ ﺃﻜﺒﺭ .ﻭﻴﻜﻭﻥ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ
ﻁﺎﻗﺔﹰ ﺤﺭﻜﻴﺔﹰ ﺼِﻔﺭﻴﺔ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﻜﻭﻨﺎﺘﻪ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ .ﻏﻴﺭ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺎ ﻟﺘﺘﺴﻡ ﺒﺴِﻤﺔٍ
ﺒﺴﻴﻁﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓ ،ﺇﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﻓﺼﻠﻬﺎ ﺇﻟﻰ ﺠﺯﺃﻴﻥ :ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺭﻤِﻴﺔ .ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل C
vi = vC + viﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،68.2ﻭﺸﻜل ،8.2ﻓﺈﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻁﺎﻗﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻜل
ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ
n
) ( v C + v iC ) ⋅ ( v C + v i C
i
∑m =1
1 2i
n
∑ 2m 1
= v i2
i
= T
i =1
n
) ( v C2 + 2 v C ⋅ v i C + v i2C
i
∑m =1
1 2i
= T
ﺃﻭ ﻜﺜﻼﺜﺔ ﻤﺠﺎﻤﻴﻊ n
49.8
v i2C
i
∑m i =1
1 2
n
vC ⋅ vi C +
i
∑2 m i =1
1 2
n
v C2 +
i
∑m i =1
1 2
=T
ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﻭل 1.50.8
n 1 1 = m i v C2 M v C2 2 i =1 2
∑
n
= m i v C2
∑ i =1
1 2
ﻴﻤﺜل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﻫﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﺼﻑ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻭﻤﺭﺒﻊ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .4.8ﺇﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ n
2.50.8
⋅ vi C = 0
i
∑m
n
2 mi v C ⋅ v i C = v C
i =1
∑
=1
1 2i
ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻜﺎﻫﺘﺯﺍﺯ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﺎﺕ، ﻭﻫﺫﻩ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻭﺒﺎﺨﺘﺼﺎﺭ؛ ﻓﺈﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
n
v i2C
50.8
i
∑m =1
1 1 M v C2 + 2 2i
= T
ﻭﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺼﺎﻏﻬﺎ ﻜﻴﻨﻴﺞ :Kِnigﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ
ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ. 227
2.8.8ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﺭﻜﺒﺎﹰ ﻤﻥ ﻓﺌﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻋﺩﺩﻫﺎ ،n→∞ ،nﻜﺘﻠﻬﺎ ،m iﻤﺘﱠﺠِﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ
riﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺘﻬﺎ ،i = 1,2,...,n ، viﻓﺈﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺘﹸﻌﺭﻑﹸ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﺎﺌل v 2i
1.51.8
2
n
mi
∑
T = lim
n→∞ i = 1 mi → 0
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﻨﺎ ﻨﻌﺎﻟﺞ ﺘﻭﺯﻴﻌﺎﹰ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍﹰ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ ،ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل
∫
1 v 2 dm 2
2.51.8
= T
M
ﻭﻫﺫﺍ ﺘﻜﺎﻤلٌ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺃﻥ ﻴﺸﻤل ﺤﺩﺍﻩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺄﻜﻤﻠﻪ .Mﻭﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺘﻤﻴﻴﺯ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔﹰ ﻓﺈﻥ ﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻓﻴﻪ ﻴﻌﺎﻨﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ
ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ؛ ﺃﻱ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ 52.8
1 M v C2 2
= T
z
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻔﺭﺩ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ Mﻭﺴﺭﻋﺘﻪ
.v C
ω
ai
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕ
ri
vi
P
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻴﺩﻭﺭ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺜﺎﺒﺕOz ،
ﻤﺜﻼﹰ ،ﻓﺈﻥ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ )ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻜﺘﻠﺘﻪ( ﺴﺘﺩﻭﺭ ﻓﻲ ﻤﺩﺍﺭﺍﺕ
ω
ﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻨﻔﺴﻪ ،ﺸﻜل .10.8ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ
k
ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ viﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻀﺭﻭﺏ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ
y
ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ aiﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ωﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ
O
j
i
ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ .vi =ai ω ،ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.51.8ﺒﺼﻴﻐﺔ
x
ﻤﻐﺎﻴﺭﺓ
ﺸﻜل 10.8 2
) ∑ m (a ω n
i
i
=1
1 2i
= lim
∞→ n mi → 0
2 ω
1.53.8
ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ 2.51.8ﺇﻟﻰ ﺘﻜﺎﻤل ﺁﺨﺭ
228
2 i
v 2i 2
n
i
∑m
n mi a i =1
∑
T = lim
n →∞ i = 1 mi → 0
1 2
T = lim
∞ →n mi → 0
1 1 1 = v 2 dm (a ω ) 2 dm = a 2 dm ω 2 2 2 2 M M M
∫
2.53.8
∫
∫
= T
ﻟﻴﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﻌﺎﻤﻠﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ،53.8ﻭﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ،
ﻴﻤﺜﻼﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﻨﻔﺴﻪ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﻱ ﺍﻟﻔﺌﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﻴﺯﺓ )ﺍﻟﻤﺘﻘﻁﻌﺔ( ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ n
a 2i
i
∑m
∫
= ، Ι zﺃﻭ ﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﺠﺴﻡ ﻤﺴﺘﻤﺭ )ﻤﺘﺼل( ﻟﻠﻤﺎﺩﺓ . Ι z = a 2 dmﻭﻟﻬﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ
i =1
M
1 = T Ι z ω2 2
54.8
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﺍﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻼﻗﺔٍ ﻤﻬﻤﺔ ﺒﻴﻥ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ .ﻭﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ ﻫﻲ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .46.8ﻓﻠﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ Ozﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ،Lz =Iωﻭﺘﻜﻭﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ zﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ 46.8 ) d( Ι ω = MFz dt
⇒
Z
=MF Z
dL dt
ﻭﺒﻌﺩ ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻭﺘﺭﺘﻴﺒﻬﻤﺎ ) d( Ι ω / 2 = Mz ω dt 2
ﺃﻭ dT =P dt
55.8
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ ،ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺘﻌﺒﻴﺭٍ ﻟﻠﻘﺩﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺒﺫﻟﻬﺎ ﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻋﻠﻰ
ﺠﺴﻡٍ ﺠﺎﺴﺊ
P = Mz ω
56.8
ﻻﺤﻅ ﺍﻟﺘﺸﺎﺒﻪ ﺍﻟﻭﺍﻀﺢ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 56.8ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .19.8ﻫﺫﺍ ﻭﻗﺩ ﻟﹸﺨﺼﺕ ﺍﻟﺼﻴﻎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﻟﻠﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل .1.8
ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻘﺩﺭﺓ
ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ dv dt
F = ma = m
ﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
dω Mz = I z ε = I z dt
1 T = Mv 2 2 dA = F ⋅ dS
1 2 Iω 2 dA = Mz dϕ
P=F⋅v
P = Mz ω
ﺠﺩﻭل : 1.8ﺍﻟﺼﻴﻎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﻟﻠﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
229
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻴﺔ ﻜﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺭﻜﺘﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﻫﺎ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻭﺍﻷﺨﺭﻯ ﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ .ﻟﺫﻟﻙ ﻓﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ 1 ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ Mv C2 2 1 ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺤﻭل ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ . Ι C ω 2ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 2 1 + Ι C ω2 57.8 2
ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻴﺔ
ﺤﻴﺙ ΙCﻋﺯﻡ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺤﻭل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .C
1 M v C2 2
=T
3.8.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﻥ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﺒﻕ ﺇﺜﺒﺎﺘﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ 5.5ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ ،ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 25.5 - 23.5ﻴﺴﺭﻱ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ؛ ﺇﺫﺍ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﺎ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡi ،
ﻤﺜﻼﹰ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،miﻭﺴﺭﺠﻬﺘﺎﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ vioﻭ .viﻋﻨﺩﺌﺫ؛ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯ ﺍﻟﺴﻔﻠﻲ iﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺼﻭﺭﺘﻪ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.24.5ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ 1 1 2 2 m i vi - m i vi o = Ai i + Ai e 2 2
58.8
ﺤﻴﺙ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻘﺩﺍﺭ Aiiﺸﻐل ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻤﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ،Aie
ﺸﻐل ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻔﺴﻪ .ﻟﻘﺩ ﺃﻀﻴﻑ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ Aiiﺇﻟﻰ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Aieﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،1.24.5ﻷﻥ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻷﺨﺭﻯ i ≠ j = 1,2,....nﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻗﻭﻯ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ.
ﻭﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻋﺩﺩﻫﺎ ، i = 1,2,3,....n ، nﻜﺘﻠﻬﺎ ،m iﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺘﻬﺎ vi
ﻓﺈﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 58.8ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ،ﻭﻤﻥ ﺜﹶﻡ ﺠﻤﻊ ﻜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻴﻌﻁﻲ n
ie
∑A
n
+
i =1
ii
∑A i =1
n
n
∑
∑
1 1 m i v 2i − = m i v 2i o 2 i =1 2 i =1
ﺃﻭ ﺒﺸﻜل ﺃﻜﺜﺭ ﺍﻗﺘﻀﺎﺒﺎﹰ T - To = Ai + Ae
59.8
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ Toﻭ Tﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﻥ ﺍﻟﺠﺒﺭﻴﺎﻥ ﻟﻁﺎﻗﺘﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ toﻭﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ tﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ n
v 2i
i
∑m i =1
n
= m i v 2i o , T
∑
= To
i =1
ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺭﻤﺯ Aiﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ n
ii
∑A
= ، A iﺃﻤﺎ ﺍﻟﺭﻤﺯ Aeﻓﻴﻤﺜل ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ A i e
i =1
n
∑
i =1
230
= . Ae
ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 58.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻜﺎﻤﻠﻴﺔ :ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﻪ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻤﻌﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺎﻨﺎﺘﻪ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؛ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 23.5ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺭﻱ ﻋﻠﻰ ﺃﻱ ﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ e
1 m i vi2 )=dAi i + dAi 2
(d
ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﺃﺨﺘﻴﺭ ﺒﺸﻜل ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ،ﻓﺈﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺠﻤﻌﻬﺎ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻴﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ n
1.60.8
ie
∑A i =1
n
v 2i = d Ai i + d i =1
∑
1
i
n
∑ 2 m
d
i =1
ﺃﻭ dT = dAi + dAe
2.60.8
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ :ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﺠﻤﻴﻊ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ.
ﺃﺴﺌــﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟــــﺔ ﺘﻨﺒﻴـــﻪ :ﺴﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺒﻜﺭﺍﺕ ﻋﺩﻴﻤﺔ ﺍﻟـﻭﺯﻥ ﻭﻤﻠـﺴﺎﺀ ﻭﺍﻟﺤﺒـﺎل ﻋﺩﻴﻤـﺔ ﺍﻟـﻭﺯﻥ ﻭﺍﻻﺴـﺘﻁﺎﻟﺔ ﻤـﺎ ﻟـﻡ ﻴـﺭﺩ ﻋﻜﺱ ﺫﻟﻙ.
231
9.8ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻭﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ .ﺇﺫ ﻴﺠﺏ ﺘﺤﺭﻴﺭ
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﻗﻴﺩﻩ ،ﻭﺇﻀﺎﻓﺔ ﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌﻠﻪ ﻭﻗﻭﺓ ﻗﺼﻭﺭﻩ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ
ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﺼﻔﺭﺍﹰ .ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ،ﺫﺍ ﻓﺌﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻭﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،iﻜﺘﻠﺘﻪ m iﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻤﺨﺘﺎﺭ
ﺒﺸﻜلٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ .ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Fiﻭﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﻘﻴﺩ .Riﻓﻁﺒﻘﺎﹰ لﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﺃﻭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 54.4ﺒﻌﺩ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯ iﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ
Fi + Fi,in + Ri = 0
61.8
ﻭﺒﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ n
=0
62.8
i
∑R
n
Fi , in +
i =1
ﺃﻭ
∑
n
+
Fi
i =1
∑
i =1
F + Fin + R = 0
63.8
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ Fﻤﺤﺼﻠﺔ )ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻜل( ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ
n
∑F
i
= ، FﻭR
i =1
ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
n
i
∑R
= ، Rﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ Finﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ ﻗﺼﻭﺭ
i =1
ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
n
∑F
i ,in
i =1
= .Finﻫﺎﺘﺎﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 62.8ﻭ 63.8ﺘﻤﺜﻼﻥ ﻤﺒﺩﺃَ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ:
ﻓﻲ ﻜل ﻟﺤﻅﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ،ﺍﻟﻘﻭﺓ
ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Fﻭﻗﻭﺓ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ Rﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻭﻗﻭﺓﹶ ﻗﺼﻭﺭﻩ F in
ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ. ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺇﺫﺍ ﺤﺩﺩ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﺒﺎﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ،riﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ
O؛ ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻹﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 62.8ﻤﻥ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﺴﺭﻯ ﻴﻜﻭﻥ n
64.8
× Ri = 0
i
∑r
n
ri × Fi , in +
i =1
∑
n
+
ri × Fi
i =1
∑
i =1
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺨﺘﺼﺭ MR = 0
65.8
Min +
+
MF
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ MFﻋﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،MF = F × rF ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻭﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ،O n
× ri
∑F
i
= M Fﻭ MRﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ، MR =R ×rRﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺤﺼﻠﺔ
i =1
232
ﻋﺯﻭﻡ ﻜل ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ × ri
n
i
∑R
،ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ Min
i =1
ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻜل ﻗﻭﻯ ﻗﺼﻭﺭ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،Min = Fin × riﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻭﻡ ﻜل ﻗﻭﻯ ﻗﺼﻭﺭ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ × ri
n
∑F
i ,in
i =1
= . Minﻭﻟﻬﺫﺍ ؛ ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل :ﻓﻲ
ﻜل ﻟﺤﻅﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ MF
ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻘﻭﻯ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ MRﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﻟﻘﻭﻯ
ﻗﺼﻭﺭﻩ Minﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ. ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،63.8ﻭﺫﻟﻙ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﺤﻴﻨﺌﺫٍ؛
ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ .R = 0 ،ﻭﺘﺅﻭل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺭ
F + F in = 0
66.8
ﻜﻤﺎ ﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،MR = 0 ، 65.8ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ MF + Min = 0
67.8
ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 66.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭ ،ﻟﺘﻜﺎﻓﺊ ﺃﻱٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 9.8ﺃﻭ ،10.8
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 67.8ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .46.8
ﺇﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 63.8ﻭ 65.8ﺍﻟﻤﺴﺘﻨﺒﻁﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻴﺴﻬل ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻹﻨﻬﻤﺎ ﻻ ﺘﺤﺘﻭﻴﺎﻥ ﺃﻴﺔﹶ ﻗﻭﻯ ﺩﺍﺨﻠﻴﺔ .ﺇﺫ ﺇﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﺯﻭﻤﻬﺎ ﺤﻭل ﻤﺭﻜﺯ ﺃﻁﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ 66.8ﻭ 67.8ﻓﻬﻤﺎ ﻤﻨﺎﺴﺒﺘﺎﻥ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺃﻭ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺌﺔ ،ﻭﻻ
ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﻨﻔﺴﻬﻤﺎ ﻜﺎﻓﻴﺘﻴﻥ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﺩﺭﺍﺴﺔﹰ ﻭﺍﻓﻴﺔ .ﺇﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻴﺴﺎﻋﺩ ﻋﻠﻰ ﺤل ﺍﻟﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ،ﻜﺈﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﻤﺴﺎﻗﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 63.8
ﻭ .65.8ﺃﻤﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ،ﻓﻴﺘﻁﻠﺏ ﺍﻷﻤﺭ ﻓﺼل ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻭﺩﺭﺍﺴﺔ ﻜل ﺠﺴﻴﻡ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﺓ.
ﺃﺴـﺌﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
233
ﺍﻟﺒــــــــﺎﺏ ﺍﻟﺘﺎﺴــــﻊ
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ
IMPACT
ﻴﻌﺘﺒﺭ ﺍﺭﺘﻁﺎﻡ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﺒﻌﺽ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺅﺜﺭ ﻜل ﺠﺴﻡٍ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻘﻭﺓٍ ﻜﺒﻴﺭﺓٍ ﻭﻴﺤﺩﺙ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺯﻤﻥٍ ﺼﻐﻴﺭٍ ﺠﺩﺍﹰ ﻤﺜﺎﻻﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ،ﺘﺘﺒﺩﻯ ﺘﺼﺎﺩﻤﺎﺕٍ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ ﺤﻘﻭل ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﺔ ﺒﺩﺀ
ﺒﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺒﻴﻠﻴﺎﺭﺩﻭ ﻭﺍﻨﺘﻬﺎﺀ ﺒﺎﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ .ﻭﻤﺎ ﻴﻬﻤﻨﺎ ﻫﻨﺎ ﻫﻭ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﻟﻠﺼﺩﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ )ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ( ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ،ﺃﻱ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻗﺒل ﻭﺒﻌﺩ ﺘﺼﺎﺩﻤﻪ ﻤﻊ ﺠﺴﻡٍ ﺁﺨﺭ. ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﺃﻤﻠﺴﻴﻥ ،ﻜﺘﻠﺘﺎﻫﻤﺎ m 1ﻭ ،m 2ﺸﻜل .1.9ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﻭل ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ v1ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﺍﻟﺫﻱ
ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺴﻜﻭﻥ .v2 = 0 ،ﻓﻴﺘﺸﺘﺕ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،1ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ u1ﺘﺼﻨﻊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔﹶ αﻤﻊ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ؛ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺭﺘﺩ ﺍﻟﺠﺴﻡ 2ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ u2ﺘﺼﻨﻊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔﹶ βﻤﻊ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﻨﻔﺴﻪ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻜلﱟ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ 1ﻭ 2ﻭﺴﺭ ﺠﻬﺘﻴﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺘﺘﻐﻴﺭﺍﻥ ﺘﻐﻴﺭﺍﹰ ﻤﺘﺼﻼﹰ ﻭﺩﻭﻨﻤﺎ ﺍﻨﻘﻁﺎﻉ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻗﻭﺓٍ
ﻟﺤﻅﻴﺔٍ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ Impulse of an Impactﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﻗﺼﻴﺭﺓٍ ﺠﺩﺍﹰ.
ﺸـﻜل 1.9 261
ﻤﻥ ﻫﻨﺎ ﻴﺘﺒﺩﻯ ﻟﻨﺎ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩ ﻡ ﻜﻅﺎﻫﺭﺓٍ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔٍ ﺘﺤﺩﺙ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻡِ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﻗﺼﻴﺭﺓٍ ﺠﺩﺍﹰ .ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺤﺩﺙ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺘﻜﻭﻥ ﻗﻭﺍﻩ ﻋﻤﻭﺩﻴﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ﺍﻟﻤﺎﺭ ﻓﻲ ﺃﻭلِ ﻨﻘﻁﺔِ ﺘﻼﻤﺱ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ .ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻼﻤﺱ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ ﺒﺨﻁ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ .LIﻜﻤﺎ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ
ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﺘﻐﺭﻗﻬﺎ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻔﺘﺭﺓ
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯﺍ ﻜﺘﻠﺘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺎﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ Central
،Impactﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ،ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻼﻤﺘﺭﺍﻜﺯ Eccentric Impactﺒﺎﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺙ ﺒﻴﻥ
ﺠﺴﻤﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯﺍ ﻜﺘﻠﺘﻴﻬﻤﺎ ﻻ ﻴﻘﻌﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﺘﺼﺎﺩﻤﻬﻤﺎ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﺴﺎﻤﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ ﻤﻊ ﺨﻁ ﺘﺼﺎﺩﻤﻬﻤﺎ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ
Direct Central
،Impactﺃﻭ ﻻ ﺘﺘﺴﺎﻤﺕ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ ﻤﻊ ﺨﻁ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﻟﻴﺩﻋﻰ ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺒﺎﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺎﺌل .Oblique Central Impact
1.9ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ ﻗﻭﻯ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺒﻤﻌﺩﻻﺕٍ ﻜﺒﻴﺭﺓٍ ﺠﺩﺍﹰ ،ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭﺤﺘﻰ ﻗﻴﻤﺔٍ
ﻋﻅﻤﻰ ﺜﻡ ﺘﺅﻭل ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻟﺫﻟﻙ؛ ﻤﻥ ﺍﻷﻓﻀل ﻗﻴﺎﺱ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩل ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ -ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ Impulse of an Impactﻭﻟﻴﺱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻨﻔﺴﻬﺎ .ﻭﻴﻌﺭﻑ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﺘﻜﺎﻤل ﺍﻟﻤﺤﺩﻭﺩ ،ﺍﻨﻅﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.5
τ
∫
Pimp = Fimp dt
1.9
0
ﻭﻫﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻜﻤﻴﺔﹲ ﻤﺤﺩﺩﺓﹲ ،ﻭﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ τﺼﻐﻴﺭﺓﹰ ﺠﺩﺍﹰ ] .τ << 1 [sﺍﻋﺘﺒﺭ ﺠﺴﻤﺎﹰ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،mﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vﺍﻟﺘﻲ ﺘﻐﻴﺭﺕ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻤﻊ ﺠﺴ ﻡٍ ﺁﺨﺭ ﺇﻟﻰ .uﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.5 τ
2.9
dt
∫F
imp
= m ( u - v ) = Pimp
0
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩ ﺘﺼﺎﺩﻤﻪ ﻤﻊ ﺠﺴﻡ ﺁﺨﺭ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ .ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.9ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﺇﺫ ﺘﻠﻌﺏ ﺍﻟﺩﻭﺭ ﻨﻔﺴﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻠﻌﺒﻪ
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 2.9ﺒﺜﻼﺙ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﺎﺴﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺇﺴﻘﺎﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ
ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ،ﺃﻭ ﺃﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺓ ﺃﺨﺭﻯ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺘﺼﺎﺩﻤﻪ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ u = v + Pimp / m
3.9
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻭﺤﺩﺓﹸ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻐﺭﺍﺭ ﻨﻔﺴﻪ ،ﺇﺫﺍ
ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ،rﻭﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ ’ ،rﻓﺈﻥ ﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻪ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﺒﻌﻴﺩﻩ ﺘﻌﺭﻓﺎﻥ ﻜﻤﺸﺘﻘﺘﻲ ﻤﺘﱠﺠِﻬﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ 262
' dr dr = ,v dt dt
=u
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﻗﻴﻤﻬﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3.9ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ Pimp ' dr dr = + dt dt m
ﻭﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﻟﺘﻜﺎﻤل ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻤﺭﺘﻴﻥ ،ﻭﺤل ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﻓﻲ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ dt ≅ 0
4.9
Pimp m
τ
∫
= ∆r = r ' − r
0
ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻨﺘﻴﺠﺔﹰ ﻟﻠﺘﺼﺎﺩﻡ ﻋﻥ ﻤﻭﻀﻌﻪ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺘﻜﺎﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ،ﻭﺫﻟﻙ ﻟﺼﻐﺭ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ
ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ .τﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﻼﺹ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ: - 1ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻫﻤﺎل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﺔ ،ﻜﻘﻭﺓ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻤﺜﻼﹰ.
- 2ﻴﻤﻜﻥ ﺇﻫﻤﺎل ﺇﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ ﻭﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺜﺎﺒﺘﺔﹰ ﻓﻲ ﻤﻭﺍﻀﻌﻬﺎ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .4.9 - 3ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺤﺩﺩ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .2.9
2.9ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ 1.2.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭ ﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺤﺘﻔﻅ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.8ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺩ 1.5.8ﺒﺸﻜﻠﻬﺎ ﺍﻷﺼﻠﻲ ﺃﻴﻀﺎﹰ .ﻭﻷﻨﻨﺎ ﻨﻬﻤل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻴﺘﺒﻘﻰ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻬﺔ ﺍﻟﻴﻤﻨﻰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺃﻋﻼﻩ )ﺘﺄﺜﻴﺭ( ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﺔ ﻓﻘﻁ .ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل Ko = m v
ﻭ K = m uﻟﻴﺘﻨﺎﺴﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ،ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﺒﻌﻴﺩﻩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.8ﺘﺅﻭل ﻟﻠﺸﻜل
ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
m(u-v)=P
5.9
ﻭﻫﺫﺍ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ :ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ.
ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻜﻭﻨﺎﹰ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻓﺈﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﻁﻲ iﻤﻥ
ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.9ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﺭﻤﺯ i m i ( u i - vi ) = Pi + P e
6.9
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ Piﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴـﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜـﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،iﺒﻴﻨﻤﺎ Peﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻨﻔﺴﻪ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﻜلّ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺘﺼﺎﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.9ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ... 2 ، 1ﻭ .nﻭﺒﺠﻤﻊ ﻜلّ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ n
n
∑P + ∑P ii
i e
i =1
ﺃﻭ 263
i =1
n
= ) (u i − v i
i
∑m
i =1
n
∑P
7.9
i e
n
= ) m i (u i − v i
i =1
ﺇﺫ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺼﻔﺭﺍﹰ = 0 ،
n
∑P
ii
∑
i =1
.ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7.9ﺘﻌﺭﻑ
i =1
ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ :ﺍﻟﺘﱠﻐﹶﻴﺭ ﻓﻲ ﺯﺨﹶﻡِ ﺍﻟﻨﱢﻅﹶﺎﻡ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﱠﺼﺎﺩﻡِ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺩﻓﹾﻊ ﺍﻟﺭﺌِﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺠﺴﻤﺎﹰ ﺠﺎﺴﺌﺎﹰ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،Mﺘﺘﺤﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 7.9ﻭﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.8ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﻜﺜﺭ ﺍﻗﺘﻀﺎﺒﺎﹰ 8.9
e
M ( uc - v c ) = P i
ﺤﻴﺙ ﺃﻥ vcﻭ ucﺴﺭﺠﻬﺘﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﺒﻌﻴﺩﻩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ.
2.2.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ.
ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ )ﺍﻨﻅﺭ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ (7.5ﻓﺈﻥ
m(u-v) =0 9.9
→P = 0
u=v
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ = 0
n
∑P
i e
،
i =1
ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،7.9ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ n
m i ( ui - v i ) = 0
10.9
∑
i =1
ﺃﻭ 1.10.9
m 1 u 1 + m 2 u 2+ ......... + m n un = m v 1 + m 2v 2 ....... m n v n
ﻭﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ ،Pie=0ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 8.9ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻗﺒﻴل ﻭﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ u c = vc
11.9
⇒
M ( u c - vc ) = 0
ﺇﻥ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 11.9 - 9.9ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺍﻟﺘﺴﺒﺏ ﺒﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ. 3.9
ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ
1.3.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﹶﻐﹶﻴﺭِ ﺍﻟﺯ ﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻜﻭﻨﺎﹰ ﻤﻥ ﻓﺌﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻋﺩﺩﻫﺎ .nﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ، iﻜﺘﻠﺘﻪ m i
ﻭﺴﺭﺠﻬﺘﻪ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﺒﻌﻴﺩﻩ viﻭ uiﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ،ﺤﻴﺙ .i=1,2,3,....nﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ 264
ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ،Piﻭﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ .Peﺇﺫﺍ ﺤﺩﺩﻨﺎ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ Oﺒﺎﻟﻤﺘﱠﺠﻪ ،riﻓﺈﻨﻪ ﻁﺒﻘﺎﹰ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ ،ﻻ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﻋﻨﺩ ﺘﺼﺎﺩﻤﻪ ﻤﻊ ﺠﺴﻴﻡٍ ﺁﺨﺭ ﻟﺤﻅﺘﺌﺫٍ،
ﻜﻤﺎ ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 6.9ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ riﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ri × m i u i − ri × m i v i = ri × Pi + ri × Pe
ﻭﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺜﻡ ﺠﻤﻌﻬﺎ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ n
× Pe
i
∑r
n
ri × Pi +
i =1
∑
n
= ri × m i v i
i =1
∑
i =1
n
ri × m i v i −
∑
i =1
ﺃﻭ Lu - Lv = Mpe
12.9
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ Luﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﺭﺌِﻴﺴﻲ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ Lvﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭﻱ ﺍﻟﺭﺌِﻴﺴﻲ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ،
ﺃﻤﺎ Mpeﻓﻬﻭ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﻭل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ .O
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﻭل ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﻓﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﻭﺫﻟﻙ
ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ .Mpi = 0ﻭﺘﻤﺜل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ :ﺍﻟﺘﱠﻐﹶﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡِ
ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ. ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﺘﻡ ﺇﺴﻨﺎﺩ ﻜلٍ ﻤﻥ Lﻭ Mpeﺇﻟﻰ ﻨﻔﺱ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﻨﻔﺴﻬﺎ.
2.3.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯ ﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﺊ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﺩﻓﻭﻉ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺼﺎﺩﻤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺜﺎﺒﺘﺎﹰ ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﺎﹰ .ﺃﻱ ﺃﻥ Mpe = 0 → L u = Lv
13.9
ﻭﺘﻤﺜﱢل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 13.9ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﹶﻡ ﺍﻟﺯﺍﻭِﻱ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ.
4.9ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ
Di r ec t Cen t r al I m pa ct
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﻜﺭﺓٍ ،ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ،mﻭﺘﺴﻘﻁ ﻋﻤﻭﺩﻴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ ﺃﻓﻘﻲٍ ﺃﻤﻠﺱ ﻭﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﺴﺭﺠﻬﺔ vﻟﺤﻅﺔ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﻬﺎ ﺒﺎﻟﺴﻁﺢ .ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻟﻸﻋﻠﻰ ،ﺸﻜل .2.9ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ
ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﺭﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﻟﻸﻋﻠﻰ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،uﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.9
ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ Pimpﻜﺩﻓﻊٍ ﺨﺎﺭﺠﻲٍ ﻭﺤﻴﺩ m (u - v ) = Pimp
14.9
ﺃﻭ ﺒﻌﺩ ﺇﺴﻘﺎﻁﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ Oyﻴﻜﻭﻥ m (u + v ) = Pimp
1.14.9
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.14.9ﺘﺤﻭﻱ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ :ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ،uﻭﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ .Pimpﻟﺫﺍ؛ ﻴﺠﺏ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﻴﻥ ﺃﻭ ﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ. 265
ﺇﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ )ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ( ،uﺘﻌﺘﻤﺩ
y
ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻋﻴﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻤﺼﻨﻭﻋﺔِ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ .ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﺍﺜﺒﺘﺘﻪ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﻴﻨﺕ ﺃﻥ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ
0
ﺘﺼﺎﺩﻤﻬﺎ ﻤﻊ ﺍﻷﺴﻁﺢ ﺃﻭ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ،ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻻ ﺘﺘﺸﻭﻩ ﺒﺸﻜلٍ
0
uf = 0 H
ﻤﻔﺭﻁ ﻭﻻ ﺘﺘﻔﺘﺕ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﻻ ﺘﻜﻭﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔﹰ
vo = 0
h
ﻋﻨﺩ ﻭﺠﻭﺩ ﻗﻭﻯ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍﹰ ﻭﻤﻔﺭﻁﺔٍ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ.
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ﺒﻤﺭﺤﻠﺘﻴﻥ ،ﺸﻜل : 3.9ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺘﺘﻨﺎﻗﺹ ﻓﻴﻬﺎ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻤﻥ v
u
ﺤﺘﻰ ﺍﻟﺼﻔﺭ ،ﻭﺘﺘﺤﻭل ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻁﺎﻗﺔ ﻭﻀﻊٍ ﺘﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺘﺸﻭﻩ
O
ﺠﺯﺀٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﺘﺴﺨﻴﻨﻪِ ،ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﺘﻌﺭﺽ ﺃﺠﺯﺍﺅﻩ ﺍﻟﻔﺎﻋﻠﺔ ﻟﻠﺘﺸﻭﻩ
ﻭﺍﻻﻨﻀﻐﺎﻁ ﻟﺘﺄﺜﺭﻫﺎ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﺔ ﺍﻟﻬﺎﺌﻠﺔ Fdﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺸﻭﻴﻪ
v
O
ﺸــﻜل 2.9
.Deformation Periodﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺘﺼﺎﺩﻡ ﻓﻴﺒﺩﺃ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻴﻬﺎ
ﺒﺎﻟﻌﻭﺩﺓٍ ﺘﺩﺭﻴﺠﻴﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺸﻜﻠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻲ ،ﻜﻤﺎ ﺘﺘﺤﻭل ﻁﺎﻗﺔ ﻭﻀﻌﻪ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺇﻟﻰ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﻴﺔٍ ﺘﺩﻓﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻼﻨﻁﻼﻕ ﻤﻥ ﺠﺩﻴﺩ .ﻓﻴﺘﻼﺸﻰ ﺍﻟﺘﺸﻭﻩ ﻭﻴﺨﺘﻔﻲ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺘﺄﺜﺭﻩ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﺔ ﺍﻟﻬﺎﺌﻠﺔ Frﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻊ .Restitution Period ﻭﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻻ ﻴﺴﺘﻌﻴﺩ ﺘﻤﺎﻤﺎﹰ ﻜل ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻟﻔﻘﺩﺍﻥ ﺠﺯﺀٍ ﻤﻨﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺴﺨﻴﻥ ﻭﺁﺨﺭ ﻓﻲ ﺘﺸﻭﻴﻪِ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ
ﻓﺈﻥ ﺴﺭﻋﺔﹶ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ uﺘﻜﻭﻥ ﺃﻗل ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓِ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔِ ﺍﻻﺭﺘﻁﺎﻡ ،ﺃﻱ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻗﺒل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ.
v
v < v’ >o
’u
’v
τd
dt
d
o < u’< u
∫ F dt
∫F
τr
r
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ ،ﻓﺘﺮة اﻟﺘﺸﻮﯾـــﮫ
u
اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ،ﻓﺘﺮة اﻟﺘﺮاﺟﻊ ﺸـﻜل 3.9
ﻭﺒﺸﻜلٍ ﻋﺎﻡ ﺘﺅﺜﺭ ﺍﻟﻘﻭﺓ Fdﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﻟﺤﻅﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ ﻭﺤﺘﻰ ﺍﻨﺘﻬﺎﺀ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺸﻭﻩ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻭﺜﺭ
ﺍﻟﻘﻭﺓ Frﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻨﺘﻬﺎﺀ ﻓﺘﺭﺓ ﺍﻟﺘﺸﻭﻩ ﻭﺤﺘﻰ ﺍﻨﺘﻬﺎﺀ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩﻱ τd
τr
0
0
∫
∫
Restitution Impulseﺃﻗل ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺘﺸﻭﻴﻬﻲ ،Deformation Impulseﺃﻱ ﺃﻥ . Fr dt 〈 Fd dtﻜﻤﺎ ﺘﹸﻌﺭﻑ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺩﻓﻌﻴﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ Coefficient of Restitution 266
τr
∫ F dt r
0 τd
15.9 dt
d
=e
∫F 0
ﻭﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 2.9ﻭﻟﻠﻤﺭﺤﻠﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ τd
∫
m ( v' − v ) = − Fd dt 0
τr
∫
m ( u − u' ) = + Fr dt 0
ﻭﻷﻥ ﻜﻼﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ’ vﻭ ’ uﺼﻔﺭ ،ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺘﺎﻥ ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ τd
∫F
dt
d
dt
r
= mv
0 τr
∫F
= mu
0
ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.9ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ u 16.9 v ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺇﻟﻰ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 16.9ﺘﺯﻭﺩﻨﺎ = e
ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺜﻠﻰ ﻟﻘﻴﺎﺱ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ .ﻓﻠﻘﻴﺎﺴﻪ ﺒﻴﻥ ﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺯﻫﺭ ﻭﺍﻟﻔﻭﻻﺫ ﻤﺜﻼ ،ﻨﺴﻘﻁ ﻜﺭﺓﹰ ﻤﻥ ﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺯﻫﺭ ﻤﻥ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉٍ ﻤﺎ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ ،Hﻋﻠﻰ ﺴـﻁﺢٍ ﺃﻤﻠﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻭﻻﺫ ،ﺃﻭ ﺒﺎﻟﻌﻜﺱ )ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻔﻭﻻﺫ ﻭﺍﻟﺴـﻁﺢ ﺍﻷﻤﻠﺱ
ﻤﻥ ﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺯﻫﺭ( .ﺜﻡ ﻨﻘﻴﺱ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻷﻗﺼﻰ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺼﻠﺘﻪ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ،hﻓﺈﻨﻪ ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻘﻭﺍﻨﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ h H
17.9
u = v
= e
ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﺘﺭﺍﻭﺡ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻹﺭﺘﺩﺍﺩ eﺒﻴﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻭﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ،ﻭﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﹸﺼﻨﻊ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ ﻭﺃﺸﻜﺎﻟﻬﺎ ﻭﺃﺤﺠﺎﻤﻬﺎ ﻭﻋﻠﻰ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ .ﻭﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻨﺩﺭﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﻴﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻥ - 1ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻠﺩﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ ،Perfectly Plastic Impact 1ﻤﻁﻠﻕ ﺍﻟﻠﹼﻴﻭﻨﺔ ﻴﺘﻤﻴﺯ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺄﻥ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺘﺘﺤﻭل ﺇﻟﻰ ﺃﺸﻜﺎلٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﻜﺘﺸﻭﻴﻬﻪ ﻭﺘﺴﺨﻴﻨﻪ ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﺭﺘﺩﺍﺩﻩ ﻴﺘﻼﺸﻰ .e = 0ﻓﻀﺭﺏ ﻜﺭﺓٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺠﻭﻥ ﺒﺄﻴﺔ ﺴﺭﻋﺔٍ ﺇﻟﻰ ﺴﻁﺢٍ ﻤﺎ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻟﻰ ﺘﻔﻠﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻭﺍﻟﺘﺼﺎﻗﻬﺎ ﺒﻪ ﺩﻭﻨﻤﺎ ﻗﺩﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻟﻠﺠﻬﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ.
1
ﻴﺩﻋﻰ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺒﺎﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻼﻤﺭﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ .Completely Inelastic Impact 267
- 2ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ ،Perfectly Elastic Impactﻤﻁﻠﻕﹸ ﺍﻟﻤﺭﻭﻨﺔ ﻴﺘﻤﻴﺯ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺄﻥ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﻔﻭﻅﺔ ﻭﻤﻌﺎﻤل ﺍﺭﺘﺩﺍﺩﻩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ .e = 1ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺍﺭﺘﻁﺎﻤﺎﹰ ﻤﺭﻨﺎﹰ ﻟﺠﺴﻡٍ ﺒﺂﺨﺭ ﺜﺎﺒﺕٍ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻴﺠﻌل ﺍﻷﻭل ﻴﺭﺘﺩ ﻟﻠﺨﻠﻑ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ .ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﻭﺭﺩ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
2
ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻟﻤﻭﺍﺩ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ. ﻭﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ ،ﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺘﻴﻬﻤﺎ ﻜﻤﺎ ﻓﻲ
ﻤﻭﺍﺩﺍﻷﺠﺴﺎﻡ
ﺍﻟﺸﻜل .4.9ﻜﺘﻠﺘﺎﻫﻤﺎ m 1ﻭ ،m 2ﻭﺴﺭﺠﻬﺘﺎﻫﻤﺎ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ v1
ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﺔ
ﻭ v2ﻭﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ u1ﻭ .u2ﻟﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻨﻁﺒﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ
ﺤﻔﻅ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ ،ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 10.9ﺒﺎﻟﺘﺤﺩﻴﺩ .ﻓﻜلٌ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ
ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
m 1 v1 + m 2 v2 = m 1 u 1 + m 1 u2 = const.
ﺤﻴﺙ ﻴﺘﻤﺜل ﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺎﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﺴﺭ ﻭﺯﺨﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﺎﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻴﻤﻥ .ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁﱢ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻤﺭﻜﺯﻱ ﻜﺘل ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﻴﻜﻭﻥ
ﻤﻌﺎﻤل
ﺍﻹﺭﺘﺩﺍﺩ
ﺯﺠﺎﺝ ﺒﺯﺠﺎﺝ
0.95 - 0.93
ﻋﺎﺝ ﺒﻌﺎﺝ
0.89 - 0.88
ﻓﻭﻻﺫ ﺒﻔﻭﻻﺫ
0.7 - 0.5
ﻓﻠﹼﻴﻥ ﺒﻔﻠﹼﻴﻥ
0.6 - 0.5
ﺤﺩﻴﺩ ﺯﻫﺭ ﺒﺤﺩﻴﺩ ﺯﻫﺭ
0.7 - 0.4
ﺨﺸﺏ ﺒﺨﺸﺏ
0.6 - 0.4
ﺭﺼﺎﺹ ﺒﺭﺼﺎﺹ
0.18 - 0.12
ﺤﺩﻴﺩ ﺒﺭﺼﺎﺹ
0.15 - 0.11
ﻁﻴﻥ )ﻁﹶﻔﹶل( ﺒﻁﻴﻥ
0.0
ﻤﻌﺠﻭﻥ ﺒﻤﻌﺠﻭﻥ
0.0
ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ m 1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m 2 u2 = const.
18.9
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻼﺤﻅﹲ ،ﺘﺤﻭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ u1ﻭ .u2ﻭﻟﻬﺫﺍ؛ ﻴﺠﺏ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔٍ ﺇﻀﺎﻓﻴﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ﺘﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭﻟﻴﻥ .ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ،ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﺴﺒﺔ ﻓﺭﻗﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺘﻴﻥ
ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﻗﺒﻴﻠﻪ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
u 2 − u1 v1 − v 2
19.9
ﻭﺒﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ 18.9ﻭ 19.9ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
ﺸـﻜل 4.9 2
ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﺭﺠﻊ 2ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻷﺠﻨﺒﻴﺔ ،ﺹ.647 268
=e
m2 ) (v1 − v 2 m1 + m 2
20.9
m1
) ( v1 − v 2
21.9
m1 + m 2
) u1 = v 1 − ( 1 + e
) u2 = v 2 + ( 1 + e
ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﻓﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺘﻪ ﻤﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻷﻭل ) P1imp = m 1 (u1 - v1
22.9
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺩﻓﻊ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻸﻭل ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﻭﻤﻀﺎﺩﺍﹰ ﻟﻪ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ )P2imp = - P1imp = m1 (v1 - u1
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل u1ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 20.8ﻭﺘﻌﻭﻴﻀﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ) ( v 2 − v1
23.9
5.9ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺎﺌل
m1 m 2 m1 + m 2
) P1imp = − P2imp = ( 1 + e
Oblique Impact
ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ،ﺘﺼﻨﻊ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ vﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ αﻭﺘﺼﻨﻊ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻹﺭﺘﺩﺍﺩ uﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ βﻤﻊ ﺍﻟﺭﺃﺴﻲ ،ﺸﻜل .5.9ﻭﺒﺈﺴﻘﺎﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.9ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩﻴﻥ xﻭ y 1.24.9
u cos β = - v cos α + Pimp / m
2.24.9
u sin β = v sin α
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺘﻴﻥ )ﺍﻷﻓﻘﻴﺘﻴﻥ( ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ vﻭ uﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ،
y
ﻭﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻻ ﻴﺤﺩﺙ ﺇﻻ ﻓﻲ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﻁﺢ ﻹﻫﻤﺎل ﺘﺄﺜﻴﺭ
ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ .ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ 25.9
u
u cos β v cos α
β
=e
v x
ﻭﺒﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﻗﺒﻴﻠﻪ 26.9
α
u sin α = v sin β
ﻭﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 25.9ﻴﻜﻭﻥ
∫Fdt = Pimp
ﺸﻜل 5.9 tan α tan β
27.9
=e
ﻭﻫﻜﺫﺍ ،ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﺴﺒﺔ ﻅل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ Angle of Approachﺇﻟﻰ ﻅل ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ .Angle of Reboundﻭﻷﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﺃﻗل ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩ ،e≤1 ،ﻓﺈﻥ αﺘﻜﻭﻥ
ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ β؛ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺴﻘﻭﻁ ﺃﻗل ﻤﻥ ﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺩﻓﻊ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ Pﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 1.24.9
)Pimp = m( u cos β + v cos α
28.9 ﺃﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ e
} Pimp = m v cos α { 1 + e
29.9 269
ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ
The Kinetic Energy Loss
ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻠﺩﻥ ،ﻨﻅﺭﻴﺔ ﻜﺎﺭﻨﻭ
3
Carnot’s Theorem
ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ ،ﺸﻜل ،2.9ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺭﺘﺩ ﻟﻸﻋﻠﻰ ﻟﻥ ﻴﺼل ﻟﻼﺭﺘﻔﺎﻉ ﺍﻟﺫﻱ ﺴﻘﻁ
ﻤﻨﻪ ﻻﺴﺘﻨﻔﺎﺩ ﺠﺯﺀٍ ﻤﻥ ﻁﺎﻗﺘﻪ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺘﺸﻭﻫﻪ ﻭﺘﺴﺨﻴﻨﻪ ﻭ ﻏﻴﺭﻩ .ﻭﻟﺤﺴﺎﺏ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻨﺒﺩﺃ ﺒﻤﺜﺎلٍ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ ﻤﻥ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ .Hﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ 2
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ
Tv = 0.5 m v
2
Tu = 0.5 m u
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﺎﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ
- Tu 30.9
∆T = Tv
]) ∆T = 0.5 m [v2 - u2] = 0.5 m [ ( v - u ) ( v + u
ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺍﻟﺴﺎﻗﻁ v =v - u
31.9
ﻓﺈﻥ ﺇﺴﻘﺎﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ،Oyﻴﻌﻁﻲ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ v =v + u
32.9
ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 30.9ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ v − u v + u 1 − e 1 + e
33.9
m (v + u) 2 2
= ∆T
m 2 )v + u ( 2
= ∆T
ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ ،ﺤﺭﻜﺘﻬﻤﺎ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔﹲ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﺠﻬﺘﺎﻫﻤﺎ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ v1ﻭ v2ﻭﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ u1ﻭ u2ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل .4.9ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ )ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ( ﻗﺒﻴل
ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ
m1 2 m2 2 v1 + v2 2 2
= Tv
ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ m1 2 m2 2 u1 + u2 2 2
= Tu
ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ ،ﻓﺎﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﺘﺤﺴﺏ ﻜﺎﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺘﻴﻥ 3
ﻻﺯﺍﺭ ﻜﺎﺭﻨﻭ 1823 -1753 ،L. Carnot’sﻋﺎﻟﻡ ﻓﺭﻨﺴﻲ ،ﺒﺭﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻨﺸﺎﻁﺎﺘﻪ ﺍﻟﺴﻴﺎﺴﻴﺔ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻟﺜﻭﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻨﺴﻴﺔ .
270
34.9
ﻴﻜﻭﻥ
]
[
[
]
m1 2 m v 1 − u 12 + 2 v 22 − u 22 2 2
= ∆T = Tv -Tu
ﻭﺇﺫﺍ ﻤﺎ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺘﻴﻥ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺘﻴﻥ V1ﻭ ،V2ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 31.9ﻭﻟﻠﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ 1ﻭ 2 V1 = v1 - u 1 , V2 = v2 - u 2
35.9
ﻭﻤﺴﻘﻁﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺨﻁﱢ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ V1 = v1 - u1 , V2 = v2 - u2
36.9
ﻓﺈﻨﻪ ﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 33.9ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ 1ﻭ 2 37.9
21
− e 1 + e
)
(
m2 v 2 − u2 2
+
2
)
(
m ∆T = 1 v 1 − u 1 2
ﻭﺒﺎﻹﺴﺘﻨﺎﺩ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 33.9ﻭ 37.9ﺼﺎﻍ ﻜﺎﺭﻨﻭ ﻨﻅﺭﻴﺘﻪ :ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻔﻘﺩﻫﺎ ﺍﻟﺠﺴﻡ ،ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻡ 1− e ﻋﻨﺩ ﺘﺼﺎﺩﻤﻪ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯﻱ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ ﺘﺴﺎﻭﻱ 1+ e
ﻤﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻓﻴﻤﺎ ﻟﻭ ﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺘﻪ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ .ﻻﺤﻅ ﺃﻥ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 33.9ﻭ 37.9ﺘﻌﻨﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺒﻘﻰ ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻤﺭﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ T = const
ﻷﻥ e = 1ﻭ ،∆T = 0ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔﹶ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ T = ∆Tﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻠﺩﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ .e = 0 ﻭﺴﻨﺤﻠل ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺍﻟﺠﺩﻴﺭﺘﻴﻥ ﺒﺎﻻﻫﺘﻤﺎﻡ - 1ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ ﺘﻔﻭﻕ ﻜﺜﻴﺭﺍﹰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺼﺩﻭﻡ ،m 2/m 1 ≅ 0ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻫﻨﺎ ﺃﻥ .m 1 = m 1 + m 2ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ
→ T u = Tv
∆T ≅ 0
ﻭﻋﻠﻴﻪ ،ﻓﺒﺎﻟﺭﻏﻡ ﻤﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻟﺩﻥ ،ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻻ ﻴﺤﺩﺙ ﻓﻘﺩﺍﻥ ﻟﻠﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﻭﻴﺒﺩﺃ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﺒﻨﻔﺱ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﻘﺭﻴﺒﺎﹰ ﺍﻟﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﻪ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ .ﻭﻴﺘﺒﺩﻯ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺩ ﺩﻕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻤﻴﺭ ﻭﺍﻷﺴﺎﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﺭﺍﻥ ،ﺇﺫ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻁﺭﻗﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺔ
ﺍﻟﻤﺴﻤﺎﺭ. - 2ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺼﺩﻭﻡ ﺘﻔﻭﻕ ﻜﺜﻴﺭﺍﹰ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺼﺎﺩﻡ .m 1/m 2 ≅ 0ﻓﻨﻌﺘﺒﺭ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺃﻥ m 2 = m 1 + m 2
ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ
Tu = T v
→
∆T ≅ Tv
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺘﺴﺘﻨﻔﺩ ﻟﺘﺸﻭﻩ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺼﺩﻭﻡ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ ﺜﺎﺒﺘﻴﻥ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺼﺩﻤﺔ .ﻭﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻅﺎﻫﺭﺓ ﺃﻫﻤﻴﺔﹲ ﻜﺒﻴﺭﺓﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ،ﻓﻌﻨﺩ ﻁﺭﻕ ﺍﻟﺤﺩﻴﺩ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺴﻨﺩﺍﻥ
ﻭﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﻜﺜﻴﺭ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻁﺭﻗﺔ
ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺤﺎﻟﺔﹲ ﺨﺎﺼﺔﹲ ﺠﺩﺍﹰ ﻟﻠﺘﺼﺎﺩﻡ ﺍﻟﻠﺩﻥ ﺍﻟﺘﺎﻡ ،e = 0ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻷﻭل ﻜﺎﻥ ﻤﺘﺤﺭﻜﺎﹰ ﺒﺴﺭﻋﺔٍ v1ﻨﺤﻭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ
ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺎﻥ ﺴﺎﻜﻨﺎﹰ .ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﺒﻴل ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ ﻭﺒﻌﻴﺩﻩ 271
m1 2 v1 2 1 1 Tu = m1 u 12 + m 2 u 22 2 2 = Tv
38.9 39.9
ﻭﻤﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻻﺭﺘﺩﺍﺩ e = 0ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ u1 = u2
40.9
ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻟﻠﺠﺴﻤﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺼﺎﺩﻤﻴﻥ m 1 v1 = m 1 u1 + m2 u2
41.9
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل u2 = u1ﻭﺤل ﺍﻟﻨﺎﺘﺞ ﺒﺩﻻﻟﺔ u1ﻴﻜﻭﻥ m1 v1 m1 + m 2
42.9
= u1
ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺒﻌﻴﺩ ﺍﻟﺘﺼﺎﺩﻡ u 12
m1 + m 2 2
= Tu
ﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل u1ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 42.9ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ 2
43.9 m1 2 ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل v 1 2
m1 + m 2 m 1 = Tu v1 2 m 1 + m 2 m1 m1 2 = Tu v1 m1 + m 2 2
= ، Tvﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 38.9ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ m1 Tv m1 + m 2
44.9
= Tu
ﺃﻭ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ ﺍﻟﻤﻔﻘﻭﺩﺓ ∆T = T v - T u m2 Tv m1 + m 2
45.9
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ
272
= ∆T
ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﻌﺎﺸــﺭ
ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ELEMENTS OF ANALYTICAL MECHANICS & LAGRANGES EQUATIONS
1.10ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻭﺃﻨﻭﺍﻋﻬﺎ ﻟﻘﺩ ﺘﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺇﻴﻀﺎﺡ ﺍﻟﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺎﺩﻱ .ﻭﻗﺩ ﻋﺭﻑ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺒﺄﻨﻪ
ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﺍﻟﻤﻠﻤﻭﺱ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺠﻌﻠﻪ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﻤﻊ ﺠﺴﻡٍ ﺃﻭ ﺃﺠﺴﺎﻡٍ ﺃﺨﺭﻯ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ .ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ
ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﻏﻴﺭ ﺤﺭﺓٍ ﺒل ﻭﻤﻘﻴﺩﺓ .ﻭﺴﻴﺘﻡ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺃﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺎﺩﻴﺔ -ﻗﻴﻭﺩ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ.
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺎﹰ ﻤﻤﺜﻼﹰ ﺒﺠﺴـﻴﻤﺎﺕٍ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻭﻗﺩ ﻓﺭﻀﺕ ﻋﻠﻰ ﺃﻭﻀﺎﻉ ﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﺸﺭﻭﻁﹲ ﻭﺘﺤﺩﻴﺩﺍ ﺕﹲ ﻤﻌﻴﻨﺔﹲ ﺫﺍﺕ ﻁﺎﺒﻊٍ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﺃﻭ ﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻲ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻨﺩﻋﻭﻫﺎ ﻗﻴﻭﺩ .ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻗﻴﻭﺩ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ f ν( t , ri , r&i ) = 0,i = 1,2,3, .........n
1.10
ﺤﻴﺙ ν = 1, 2,...N ، νﺭﻗﻡ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ ،ﻭ Nﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻟﺫﻟﻙ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺃﺤﺩ ﻗﻴﻭﺩﻩ 1.10ﻤﺤﺩﺩ ﺯﻤﻨﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ tﻭﺘﻤﻭﻀﻌﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﺘﱠﺠﻪ riﻭﺴﺭﺠﻬﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﺠﻪ . r&iﻜﻤﺎ ﻴﻔﺭﺽ ﺍﻟﻘﻴﺩ
ﺍﻟﺭﻴﻭﻨﻭﻤﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ) ،f (t, riﺸﺭﻭﻁﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺘﻤﻭﻀﻊ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ .tﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻭﺠﻭﺩ ﻗﻴﺩٍ ﺘﻔﺎﻀﻠﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ) ،f (t, r&iﻓﺈﻥ ﺃﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺃﻥ ﺘﹶﺸﹾﻐﹶلَ ﺃﻱ ﻭﻀﻊٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻓﻲ ﺃﻴﺔ ﻟﺤﻅﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔ.
ﻭﻟﻜﻥ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺄﺨﺫ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔٍ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ،ﻷﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻲ ﻴﻔﺭﺽ ﺸﺭﻭﻁﺎﹰ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺎﺕ .ﻭﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺎﹰ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺯﻻﺠﺔ ﺍﻟﺘﺯﺤﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ،ﻗﻴﺩﺍﹰ ﻏﻴﺭ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻲ .nonholonomic
279
ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ،ϕﺃﻭ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﻴﻥ yﻭ ،zﺸﻜل ﻡ .6.4 ﻭﻷﻥ ﻁﻭل ﺍﻟﺤﺒل ﺃﻭ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ OPﺜﺎﺒﺕﹲ ،r = R = const.ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻥ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺍﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ
ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
2
2
⇒
2
y +z =R
z = R sin ϕ , y = R cos ϕ
ﻭﻷﻥ ﻜل ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ y ، ϕﻭ zﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ
z
ﻟﻴﺴﺕ ﻤﻌﺭﻓﺔﹰ ﻜﺩﻭﺍل ﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺎﹰ .ﺃﻤﺎ ﺯﻻﺠﺔ ﺍﻟﺘﺯﺤﻠﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﻠﻴﺩ ،ﺸﻜل ،1.10ﻓﻬﻲ
ﻋﺒﺎﺭﺓﹲ ﻋﻥ ﻗﻀﻴﺏٍ )ﺴﻜﻴﻥ (ﺤﺎﺩ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺘﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺨﻁ
y
O
ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﻁﺭﻓﻴﻪ ،ﺍﻟﺨﻁ . 12ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻓﺴﺭﺠﻬﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺘﺘﺴﺎﻤﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﺨﻁ . 12ﺇﺫ ﺇﻥ z1 = z 2 = 0 Λ y& = x& tanϕ
L C
2
ϕ
1
x
ﺤﻴﺙ ϕﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻬﺎ ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻤﻊ ﺍﻷﻓﻘﻲ .ﻜﻤﺎ ﻴﺘﺤﻜﻡ ﻓﻲ
ﺸﻜل 1.10
ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻗﻴﺩ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ
2
2
2
(x 1 - x 2 ) + ( y1 - y2 ) = L
ﺤﻴﺙ Lﻁﻭل )ﺴﻜﻴﻥ( ﺍﻟﺯﻻﺠﺔ .ﻭﻷﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺘﺤﻭﻱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ،ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻏﻴﺭ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺎﹰ ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺸﺭﻁﺎﹰ
ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺁﺨﺭ ﻴﻤﻜﻥ ﺇﺴﺘﻨﺘﺎﺠﻪ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺯﻻﺠﺔ ﻭﻫﻭ ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔٍ ﻟﻠﺘﻜﺎﻤل.
ﻭﻤﻥ ﺍﻷﻫﻤﻴﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺜﹸﻨﹶﺎﺌِﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ Bilateral Constraintsﻭﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺃُﺤﺎﺩِﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ
Unilateral Constraintsﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺒﻊ ﻤﺩﻯ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺘﱠﺼِلٍ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺼِلٍ .ﻓﺎﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺘﺼل ﻭﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﻪ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ،ﻴﻼﺼﻘﻪ ﻭﻻ ﻴﻨﻔﺼل ﻋﻨﻪ ،ﻴﺩﻋﻰ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﺜﹸﻨﹶﺎﺌِﻲ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ .ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻘﻴﺽ ﻤﻥ ﺫﻟﻙ ،ﻴﺩﻋﻰ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜلٍ ﻤﺘﻘﻁﻊ ﻭﻻ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺒﻪ ﺍﺭﺘﺒﺎﻁﺎﹰ
ﻭﺜﻴﻘﺎﹰ ،ﻭﻴﺤِﺩ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩٍ ﻤﺎ ،ﺴﺎﻤﺤﺎﹰ ﻟﻪ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ ﺒﺎﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﺎﻟﻘﻴﺩ ﺍﻷُﺤﺎﺩِﻱ
ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ. ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩﺓ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﺠﺯﺃﻴﻥ ،ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻤﺘﻭﺘﺭﺍﹰ ) ﻓﻌﺎﻻﹰ ( ﻓﻲ ﺃﺤﺩ
ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ،ﻭﻋﺩﻴﻡ ﺍﻟﺘﺄﺜﻴﺭ )ﻏﻴﺭ ﻓﻌﺎل( ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻵﺨﺭ .ﻭﺒﺫﻟﻙ ﻓﻔﻲ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭِ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻘﻴﺩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ، ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻴﻬﻤل ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻜﻠﻴﺎﹰ ﻟﻴﺩﻋﻰ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﺃﺤﺎﺩﻱ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ،ﺃﻭ ﻴﺒﺭﺯ ﺘﺄﺜﻴﺭﻩ ﻋﻠﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻓﻴﺩﻋﻰ ﻗﻴﺩﺍﹰ ﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ. ﻭﻴﺘﺒﻴﻥ ﻟﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل 2.10ﺃﻥ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻘﺔ )ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ( ﻤﻥ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﺴﺭﺠﻬﺔٍ ﺍﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔٍ ﻭﺃﻓﻘﻴﺔٍ vo
ﺍﻟﻘﻭﺱ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﻱ ،Iﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻩ Rﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺨﻴﻁ ﻤﺸﺩﻭﺩﺍﹰ ،ﺃﻱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻓﻌﺎﻻﹰ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ
ﺍﻟﻤﻨﻁﻠﻘﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﻘﺫﻭﻓﺔٍ ،ﻤﺴﺎﺭﻫﺎ ﺍﻟﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﻜﺎﻓﺊ IIﻟﺤﻅﺔ ﺘﻼﺸﻲ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﺜﻨﺎﺌﻲ
ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﻋﻨﺩ ﺘﺤﺭﻜﻪ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ،Iﻭﺃﺤﺎﺩﻱ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﻋﻨﺩ ﺘﻼﺸﻲ ﺍﻟﺸﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻴﻁ .ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ≤ R
2
280
2
+ x
2
y
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺒﻤﻜﺎﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﺘﻌﺭﻑ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺃﺤﺎﺩﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﺒﺎﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ .Inequalities
2.10ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ
Degrees of Freedom
ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺍﻟﻤﻬﻤﺔ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ
R
ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻭﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ .ﻭﻫﻭ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻋﺩﺩﻴﺎﹰ ﺃﻗل ﻋﺩ ﺩٍ ﻤﻤﻜﻥ ﻤﻥ
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ Independent Coordinatesﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ
I
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺃﻭ ﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﺎﻤﻼﹰ.
II ÇáÎíØ
ﻟﻘﺩ ﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ϕﻜﺎﻥ ﻜﺎﻓﻴﺎﹰ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﺍﻟﺒﺴﻴﻁ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺤﺩﺩﺕ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ
O x
T
ϕ
ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ yﻭ ،zﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﻤﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻘﻴﺩ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻘﻁﺒﻲ ،ϕﺃﻭ ﺃﺤﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﻴﻥ yﺃﻭ zﻴﻜﻭﻥ ﻜﺎﻓﻴﺎﹰ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺭﻜﺔ
ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل .ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻌﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺘﻪ ﻭﺍﺤﺩﺓ ،S = 1،ﺩﻭﻨﻤﺎ ﺃﻱ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ
mg
ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺭﻜﺘﻪ.
vo
y
ﻭﻜﻤﺜﺎلٍ ﺁﺨﺭ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻜﺭﺓٍ ﺜﺎﺒﺘﺔٍ ﻨﺼﻑ
ﻗﻁﺭﻫﺎ ،Rﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ y ، xﻭ zﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
ﺸﻜل 2.10
ﺍﻟﻘﻴﺩ
2
2
2
2
( x - x o ) + ( y - yo ) + ( z - zo ) = R
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ) (xo, yo, zoﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺭﺓ .ﻜﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﻴﻥ ϕﻭ θﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺭﺓ ،ﻭﺩﻭﻨﻤﺎ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻭﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ .ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻓﻌﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻫﻭ ،2
.S = 2ﻭﻫﺫﺍ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ،ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻥ ﺍﻟﻜﺭﻭﻴﺎﻥ ϕﻭ θﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺃﻴﻀﺎﹰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ y ، xﻭ zﻤﻁﺭﻭﺤﺎﹰ ﻤﻨﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺭﺒﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ،ﺃﻱ ﻗﻴﺩ ﻭﺍﺤﺩ.
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺴﻬﻭﻟﺔ ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﻴﻥ ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﻴﻥ ﺃﻋﻼﻩ ،ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ
)ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ( ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻋﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﹶﺔ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ n
ﻤﻁﺭﻭﺤﺎﹰ ﻤﻨﻬﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ،Nﺩﻭﻨﻤﺎ ﺃﻱ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭٍ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ 2.10
3.10ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ
S= n-N Generalized Coordinates
ﻟﻘﺩ ﺜﺒﺕ ﻟﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻔﺭﺩ ﻭﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﺒﻌﺩﺓ ﻁﺭﻕٍ .ﺇﺫ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﻨﻅﺎﻡ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻤﻌﻴﻥ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﻭﺤﻴﺩ ﻭﺃﻭﺤﺩ؛ ﺒل ﻫﻨﺎﻙ ﻨﻅﺎﻡ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻤﻪ ﺃﺴﻬل ﻤﻥ ﺁﺨﺭ .ﻭﻴﺘﻐﻴﺭ
ﻋﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻠﺔ ﻟﻭﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﺒﺘﻐﻴﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔٍ ﺃﻭ ﻗﻁﺒﻴﺔٍ ﺃﻭ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ .ﻭﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻋﺩﺩٍ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻟﻭﺼﻑ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺸﻜلٍ ﻜﺎﻤل ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻟﻥ ﻴﻘل ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ. 281
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﻤﻔﺭﻭﻀﺔ ﻋﻠﻰ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،N = 3n ،ﻓﺈﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﻴﺩﺍﹰ ،ﻭﻻ ﺤﺭﺍﻙ ﻓﻴﻪ .ﻭﺤﺘﻰ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ
ﺃﻗل ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ،ﺃﻱ .N < 3nﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔٍ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ ،ﺒل ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ،ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ Nﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ .3n - Nﻟﻬﺫﺍ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻴﻤﻜﻨﻬﺎ ﺃﻥ ﺘﺄﺨﺫ ﺃﻴﺔ ﻗﻴﻤﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻗﻴﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ Nﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻜﺩﻭﺍل
ﺘﻠﻙ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ .ﻭﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻷﺴﺎﺱ؛ ﻓﺈﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺘﻠﺯﻡ ﻤﻌﺭﻓﺔ ) ( 3n - Nﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻤﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍل 3nﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ. ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ﺘﺎﻤﺎﹰ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻱ ﺒﺎﺭﺍﻤﺘﺭﺍﺕ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔٍ ،ﺒل
ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻫﺎ ﻟﺘﺄﺨﺫ ﺃﻱ ﻭﺤﺩﺍﺕٍ ﺒﻌﺩِﻴﺔ ،Dimension Unitsﺒل ﻭﺃﻱ ﻤﻌﻨﻰ ﻫﻨﺩﺴﻲ )ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻲ( ﻜﺄﻁﻭﺍل ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ،ﺃﻗﻭﺍﺱٍ ﻭﺯﻭﺍﻴﺎ ﺃﻭ ﺤﺘﻰ ﻤﺴﺎﺤﺎﺕ ....ﺇﻟﺦ .ﻭﺘﹸﺴﻤﻰ ﺍﻟﺒﺎﺭﻤﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﺽ ،ﺃﻴﺎﹰ ﻜﺎﻨﺕ
ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﻭﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ﻭﺤﻴﺩ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ .ﻭﺴﻨﺭﻤﺯ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺘﻠﻙ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯﻴﻥ k = 1,2,....S ، qkﻭ.S = 3n - N ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺏ Sﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻤﻌﻤﻡ
q1, q2, q3, .........q .........qs k
3.10
ﺃﻭ ﻜﺈﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ) xi = x i (q1, q2, q3, .........qk ..........qS ) yi = yi (q1, q2, q3, .........qk ..........qS
4.10
) zi = zi (q1, q2, q3, .........qk ..........qS
ﻭﺒﺼﻴﻐﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﻤﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻹﻁﺎﺭ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ )ri = ri (q1, q2, q3, .........qk ..........qS
5.10
ﻭﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﹰ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍﹰ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺯﻤﻥ .ﻭﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: 6.10
)q1 q1 (t) , q2 q2 (t) , ........qk qk (t) ......qS qS (t = = = =
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﻤﻰ ﺒﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻜﻴﻨﻤﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ .ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ ،ﺘﺩﻋﻰ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﺒﺎﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﻜﺎﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ
dqk = q& k k =1,2,........,S dt
7.10
ﻜﻤﺎ ﺘﹸﺩﻋﻰ ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﺒﺎﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ 2 & &q&k = dqk = d q k k =1,2,..........,S dt dt 2
8.10
282
ﻭﺘﻌﺘﻤﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻨﻔﺴﻬﺎ ،ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ qk
ﻤﻘﺩﺍﺭﺍﹰ ﺨﻁﻴﺎﹰ ﻓﺈﻥ q& kﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔﹰ ﺨﻁﻴﺔ ،ﻭﺘﻜﻭﻥ &q&kﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﺨﻁﻴﺎﹰ .ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ qkﺯﺍﻭﻴﺔﹰ ﺘﻜﻭﻥ q& kﺴﺭﻋﺔﹰ ﺯﺍﻭﻴﺔ، ﻭﺘﻜﻭﻥ &q&kﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﺯﺍﻭﻴﺎﹰ ،ﻭﺃﺨﻴﺭﺍﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ qkﻤﺴﺎﺤﺔﹰ ﻓﺈﻥ q& kﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔﹰ ﻗﻁﺎﻋﻴﺔ ،ﻭﺘﻜﻭﻥ &q&kﺘﺴﺎﺭﻋﺎﹰ ﻗﻁﺎﻋﻴﺎﹰ.
4.10ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ 1
Virtual and Possible Displacements
ﻋﻨﺩ ﺩﺍﺭﺴـﺔ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻹﺴـﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺴﺎﻜﻨﺔ ﻴﺘﻡ ﺘﺠﺯﺌﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ ﻭﻤﻥ ﺜﹶ ﻡ ﺘﺤﻠﻴل
ﺍﺘﺯﺍﻥ ﻜل ﺠﺴﻡٍ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﺓ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺒﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﻌﻴﻥ .ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻋﺩﺩ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﺒﻴﺭﺍﹰ ﺘﺼﺒﺢ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﻁﻭﻟﺔﹰ ،ﺇﺫ ﻴﺭﺘﺒﻁ ﺤﻠﻬﺎ ﺒﻀﺭﻭﺭﺓ ﺤل ﻋﺩﺩٍ ﻜﺒﻴﺭٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺫﺍﺕ
ﺍﻟﻤﺠﺎﻫﻴل ﺍﻟﻜﺜﻴﺭﺓ.
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩ ﻋﺩﺩﻫﺎ N
F
ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ .ﺇﺫ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻴﺔﹰ ﻟﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
60o
R
ﻭﻻ ﺤﺘﻰ ﻤﻥ ﺸﻜﻠﻪ ،ﻜﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔﹶ ﺍﻟﺼﻐﺭ،
60o
ﻨﺩﻋﻭﻫﺎ ﺒﺎﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ .ﻭﺘﻌﺭﻑ ﺍﻹﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ
ﺒﺎﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻺﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
vA
D
E
ﻟﺫﻟﻙ ﺘﹶﻜﹾﺘﹶﺴِﺏ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﺯﺍﺤﺎﺕ ﻻ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﻥ ﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ
A
R
C
R
vC M
B
ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﻬﺎ ﺠﻤﻴﻊ ﻗﻴﻭﺩ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ .ﻭﻫﻲ
ﻟﺫﻟﻙ ،ﺇﺯﺍﺤﺎﺕ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻥ ﺃﺤﺩ ﺍﻷﻭﻀﺎﻉ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻪ ﻓﻲ
ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﻭﻀﻊٍ ﺁﺨﺭ ﻗﺭﻴﺏٍ ﻤﻨﻪ ﻤﺴﺎﻓﺔﹰ ﻻ ﻨﻬﺎﺌﻴﺔﹰ ﻓﻲ
ϕ vB ﺸﻜل 3.10
ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻟﺯﻤﻨﻴﺔ .ﻓﻤﺜﻼﹰ ،ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻤﺭﻓﻕ ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﻴﺔ ،OAﺸﻜل ،3.10 ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ .° 150 = ϕﻷﻥ ﺸﺭﻭﻁ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ -ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻓﻘﻴﺔ ﻟﺤﻅﺘﺌﺫٍ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻌﺯﻡ Mﻭﺍﻟﻘﻭﺓ Fﺘﺼﺒﺢ
ﻤﻐﺎﻴﺭﺓﹰ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ .° 90 = ϕﻜﺫﻟﻙ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻟﻠﻤﻨﺯﻟﻕ B
ﻋﻠﻰ ﺍﻤﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ BEﺒل ﺴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻨﻁﺒﻘﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺨﻁ .BO
1
ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ :Virtualﻤﺼﻁﻠﺢ ﻜﻼﺴﻴﻜﻲ ﻴﻌﻨﻲ ﺍﻟﺯﺍﺌﻑﹶ ﺃﻭ ﺍﻟﺨﻴﺎﻟﻲ ،ﻭﻓﻲ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ﺘﻌﻨﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔﹰ ﺨﻴﺎﻟﻴﺔ )ﻻ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ( ﺤﻭل ﻭﻀﻊ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ) Equilibrium Stateﺍﻻﺘﺯﺍﻥ( ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ ﺃﻭ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ .ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺸﻴﺭ ﺒﻭﻀﻭﺡٍ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻨﺎ ﻻ ﻨﺘﻌﺎﻤل ﻤﻊ ﺇﺯﺍﺤﺎﺕٍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﺴﺘﺨﺩﻤﻨﺎ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻹﻏﺭﻴﻘﻲ δﻟﻨﻌﻨﻲ ﺒﻪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻜﻤﻴﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﺒﺩﻻﹰ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻼﺘﻴﻨﻲ dﺍﻟﻤﻌﺭﻭﻑ ﻜﺭﻤﺯٍ ﻟﻺﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ. ﻭﻟﺫﻟﻙ ،ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻺﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﺎ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﺒـ .δrﻭﻗﻴﺎﺴﺎﹰ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ،ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ δAﻟﻠﻘﻭﺓ Fﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺇﺯﺍﺤﺘﻪ δrﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
δA = F ⋅ δr
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﺔ؛ ﻴﻤﺜل ﻤ ﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ drﺘﻔﺎﻀل ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،dr = dx i + dy j + dz kﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل ﻤ ﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ δrﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ؛ .δr = δx i + δy j + δz k
283
O
ﺴﻨﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺒﻨﺩﻭل ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﺸﻜل ﻡ .6.4ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑ ،ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﻴﻥ yﻭ zﻭﺍﻟﻘﻴﺩ .y2 + z2 = R2ﺃﻱ ﺃﻥ 2 = nﻭ 1 = N؛ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﻌﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺘﹶﻪ ﻜﻨﻅﺎﻡ .S = n -N = 2 -1 =1 ، 1ﻫﺫﺍ
ﺍﻟﻘﻴﺩ -ﺍﻟﻘﻀﻴﺏ ﻋﺩﻴﻡ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ -ﻴﺠﻌل ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﻗﻭﺱ ﺩﺍﺌﺭﻱ ﻭﻴﺴﻤﺢ ﻟﻺﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ﻟﻠﺠﺴﻴﻡ -ﺍﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻷﻭﻟﻲ δr -ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻨﻁﺒﻘﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﻭﺱ Po Pﻭﻟﻠﺠﻬﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ .Mﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻤﺜل
ﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻟﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ -ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻲ dr -ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﺭ ﻭﻓﻲ ﺍﺘﱢﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ،ﻭﻫﻭ ﻓﻲ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻟﺫﻫﺎﺏ ﻟﻸﻋﻠﻰ ﻭﻟﻠﻴﻤﻴﻥ.
ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻲٍ ،ﻤﺴﺘﻘﺭٍ ﻭﺜﻨﺎﺌﻲ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ،ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ،f(x, y, z) = 0 ﻭﺍﻜﺘﺴﺏ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺼﻐﺭ ، δrﻓﺘﻐﻴﺭﺕ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺘﻪ ﻤﻥ ) (x,y,zﺇﻟﻰ ) .(x+δx,y+δy,z+δzﻫﺫﻩ
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ ﺘﻌﺭﻑ ﺍﻟﻘﻴﺩ -ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺴﻁﺢ .f (x+δx,y + δy, z + δz) = 0ﺇﺫﺍ ﺤﻠﹼﻠﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﻤﺘﹶﺴﻠﹾﺴِﻠﹶﺔ ﺘﺎﻴﻠﻭﺭ Taylor`s Seriesﻭﺫﻟﻙ ﺒﺄﺨﺫ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻜل ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻴﻜﻭﻥ 9.10
∂f ∂f ∂f dx + dy + dz + .... ∂x ∂y ∂z
f (x +δx , y +δy , z +δz) = f(x ,y ,z )+
ﻭ ﺒﻌﺩ ﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ،f(x, y, z) = 0 ،ﻤﻨﻬﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ⇒ grad f ⋅ δr = 0
10.10
∂f ∂f ∂f dx + dy + dz = 0 ∂x ∂y ∂z
ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ δrﻋﻤﻭﺩﻱ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﺘﺩﺭﺝ .grad fﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ δrﻴﺘﻭﺍﺠﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﺴﻁﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻗﻊ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ.
5.10ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ
Virtual Work
ﻴﻌﺭﻑ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻟﻠﻘﻭﺓ Fiﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﺎ ،ﺒﺄﻨﻪ ﺸﻐل ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭل ﻋﻨﺩ ﻤﻌﺎﻨﺎﺓ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ،δriﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ δAi = Fi ⋅ δri
11.10
ﻭﺒﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺠﻤﻌﻬﺎ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ n
⋅ δ ri
12.10
∑F
i
i =1
n
=
i
∑ δA
= δA
i =1
ﻭﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺤﺭ؛ ﻭﺫﻟﻙ ﻟﻭﺠﻭﺩ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻭﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ .ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺭﺩﻭﺩ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﻤﺴﺒﻘﺎﹰ ،ﺇﺫ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺇﻟﻰ ﻗﻴﻭﺩٍ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺃﺨﺭﻯ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ .ﻭﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔﹰ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔٍ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ n
⋅ δ rI = 0
13.10
i
∑N i =1
284
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ Niﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻱ ﻟﻠﻘﻴﺩ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ δriﻓﻌﻤﻭﺩﻴﺔﹲ ﻋﻠﻰ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل .Ni ⊥ δriﺃﻤﺎ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻓﺘﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ
ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻤﻘﺩﺍﺭٍ ﻤﺤﺩﺩ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
n
⋅ δ ri = ε ≠ 0
14.10
i
∑R i =1
ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺫﺍ ﻗﻴﺩٍ ﻭﺍﺤﺩٍ ﺤﻘﻴﻘﻲ ،ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺭﺩ ﻓِﻌﻠِﻪِ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺘﻴﻥ :ﺍﻟﻌﻤﻭﺩﻴﺔ Ni
ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﺔ ، Fµﺤﻴﺙ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﻘﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻲ .ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ،ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ Niﻋﻤﻭﺩﻴﺔﹰ ﻋﻠﻰ ﻤﺘﱠﺠِﻪ
ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﺘﺴﺎﻤﺕ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻻﻨﺯﻻﻗﻲ ﻤﻊ ﺨﻁ ﻋﻤل ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻭﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻜﺱ ﻟﻠﺤﺭﻜﺔ .ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ δA = Nk ⋅ δrk + Fµ δrk .
0
< + Fµ δrk
=
0
ﻭﺒﺎﻟﻌﺎﺩﺓ ﻭﻋﻨﺩ ﺤل ﺍﻟﻌﺩﻴﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ ﺘﻠﻐﻰ ﻗﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ،ﺇﺫ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻟﺤﻅﺘﻬﺎ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ .ﻭﺘﺼﺒﺢ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 13.10ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ. 6.10ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ
2
The Principle of Virtual Work
ﻴﻌﺭﻑ ﻋﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻨﻪ ﻤﺘﺯﻥ ﺇﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻴﺎﹰ Static Equilibriumﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭِ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﺇﺫﺍ
ﻜﺎﻨﺕ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻭﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻜلﱢ ﺠﺴﻴﻡٍ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ ﻟﻼﺘﺯﺍﻥ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻲ ﻫﻭ ﺃﻥ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻜلﱠ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ
ﺘﺴﺎﻭﻴﺎﻥ ﺍﻟﺼﻔﺭ.
ﻴﻘﻭﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻋﻠﻰ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﺸﺭﻭﻁ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﺎﻓﻴﺔ ﻻﺘﺯﺍﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻴﺎﹰ. ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻭﻀﻌﻪ ﻓﻲ ﺼﻭﺭﺓٍ ﻗﺭﻴﺒﺔ ﻟﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻭﻑ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﻭﺒﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﺎﻟﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺴﻭﻴﺴﺭﻱ
ﺒﻴﺭﻨﻭﻟﻲ .Bernoulliﻭﻗﺩ ﺼﺎﻏﻪ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ Lagrangeﺒﺼﻭﺭﺘﻪ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻭﺃﺜﺒﺘﻪ ﻹﻭل ﻤﺭﺓ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ :ﻤﻥ ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﻭﺍﻟﻜﺎﻓﻲ ﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻨﻅﺎﻡٍ ﻤﺘﺤﺭﻙٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ،ﻭﻤﻘﻴﺩٍ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ
ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ،ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺃﺸﻐﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺒﺫﻭﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔٍ
ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔٍ ﻟﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ
n
=0
15.10
⋅ δ ri
∑F
i
i =1
n
= δA i
∑
= δA
i =1
ﻜﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻤﺎ ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺁﺨﺭ ﻋﻤﻠﻲ ،ﻭﻫﻭ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅل ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻁﻭﺍل ﺍﻟﻭﻗﺕ ،ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻀﻤﻥ ﻨﻁﺎﻗﻪ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻴﺔ ،ﻭﻜﺎﻨﺕ ﺴﺭﻋﺎﺕ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ . 3
2
ﻴﺩﻋﻰ ﺃﻴﻀﺄ ﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻟﻺﺯﺍﺤﺎﺕ ﺍﻹﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ Lagrange’s Principle of Virtual Workﺃﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻼﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ . General Equation of Statics
3
ﺍﻨﻅﺭ ﻑ .ﺠﺎﻨﺘﻤﺎﺨﺭ :ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺠﻊ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ،ﺹ 32ﻭ ﺹ .220 285
ﺴﻨﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺭﻁ 15.10ﻀﺭﻭﺭﻱ ﻭﻜﺎﻑٍ ﻻﺘﺯﺍﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ،ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ
ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ .ﻭﺴﻴﺘﻡ ﺫﻟﻙ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﻜﺎﻑٍ. ﺃﻭﻻﹰ :ﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻟﺸﺭﻁ
ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﺎﻟﻘﻴﻭﺩٍ ﺍﻹﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ﺍﻟﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﻤﺘﺯﻥ .ﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺘﻪ
ﻤﺘﺯﻨﺔﹲ ﺃﻴﻀﺎﹸ .ﻨﺩﺭﺱ ﺍﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻌﺩ ﺘﺤﺭﺭﻩ ﻤﻥ ﻜل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ .ﻴﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ Fiﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩ ﻓﻌل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ Niﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﻘﻕ ﻻﺘﺯﺍﻨﻪ ﺍﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻴﺎﹰ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
=0
16.10
Fi + Ni
ﺇﺫﺍ ﻀﺭﺒﻨﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 16.10ﻗﻴﺎﺴﻴﺎﹰ ﺒﻤﺘﺠﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ،δriﻭﻜﺭﺭﻨﺎﻫﺎ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ n
( Fi + Ni ) ⋅ δ ri = 0
∑
⇒ ( F i + Ni ) ⋅ δ ri = 0
i =1
n
( Fi ⋅ δri + Ni ⋅ δri ) = 0
17.10
∑
i =1
ﻭﻷﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔﹲ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﻜل ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎﻟﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔٍ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ⋅ δ ri = 0 ،
n
i
∑N
،ﻭﺫﻟﻙ ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .13.10ﻭﺘﺒﻌﺎ ﻟﺫﻟﻙ ،ﺘﺅﻭل
i =1
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 17.10ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ n
Fi ⋅ δri = 0
18.10
∑
i =1
ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔٍ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ .ﻭﻫﺫﺍ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﻀﺭﻭﺭﺓ ﺍﻟﺸﺭﻁ. ﺜﺎﻨﻴﺎﹰ :ﻜﻔﺎﻴﺔ ﺍﻟﺸﺭﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺯِﻥ ،ﻓﺈﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﹰ ﻭﺍﺤﺩﺍﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉ. ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻻﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ Friﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭ ﺍﻟﺼﻔﺭ ≠0
19.10
Fri = Fi + Ni
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ،iﻭﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ Friﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺘﺴﺎﺭﻉٍ ﻤﺤﺩﺩ .ﻭﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ 19.10
ﺒﺎﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ δriﻗﻴﺎﺴﻴﺎﹰ ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ (Fi + Ni ) ⋅ δri > 0
20.10
ﻟﻜﻥ ،ﺠﻤﻴﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ﻤﺘﺯﻨـﺔﹲ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
286
n
∑
( F j ⋅ δrj + Nj ⋅ δrj ) = 0
21.10
j =1 j ≠i
j = 1 , 2 , ..... i - 1 , i + 1 ...... n
ﻭ ﺒﻌﺩ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ 20.10ﻭﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 21.10ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ n
∑
( F i ⋅ δri + N i ⋅ δri ) > 0
22.10
i =1
ﻭﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ،ﻷﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ،ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺼﻔﺭﺍﹰ⋅ δ ri = 0 ،
n
i
∑N
،ﻭﻴﺅﻭل
i =1
ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻲ ﻤﻨﻬﺎ ﻟﻠﺸﻜل ﺍﻟﻤﺒﺴﻁ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ n
⋅ δ ri 〉 0
23.10
∑F
i
i =1
ﻤﻌﺎﻜﺴﺎﹰ ﺒﺫﻟﻙ ﺍﻟﺸﺭﻁ -ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .15.10ﺃﻱ ﺇﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺯِﻥ ،ﻴﺠﻌل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 15.10
ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺤﺔ .ﺇﻥ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺨﻁﺄ -ﻭﺠﻭﺩ ﺠﺴﻴﻡٍ ﻭﺍﺤﺩٍ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺯِﻥ ،ﺃﺩﺕ ﺇﻟﻰ ﻨﺘﻴﺠﺔٍ ﻤﻐﺎﻴﺭﺓ ،ﻭﻫﻭ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺯِﻥ .ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻫﻲ ﺃﺤﺩ ﺍﺤﺘﻤﺎﻟﻴﻥ ،ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ -ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﱠﺯِﻥ -ﺨﻁﺄ ،ﻓﺈﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻵﺨﺭ -ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﺘﱠﺯِﻥ -ﻫﻭ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ.
ﺇﻥ ﺃﻫﻤﻴـﺔ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸـﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﻋﺩﻡ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﺠﺴـﻴﻤﺎﺕٍ ﻤﻨﻔﺼﻠـﺔ ،ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﻓﻲ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﺇﺫ ﻴﺅﺨﺫ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﻜل ﻤﺘﻜﺎﻤل .ﺇﻥ ﺘﻘﺴﻴﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﻟﻰ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻤﻨﻔﺼﻠﺔ ﻴﺅﺩﻱ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ،ﻗﺩ ﺘﻜﻭﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻗﻴﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﺒﺩﻭﺭﻩ ﻴﻌﻘﺩ ﺍﻟﺤل ﺃﻜﺜﺭ ،ﺨﺎﺼﺔ ﻟﻸﻨﻅﻤﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ. ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺸﺎﺌﻊ ﻓﻲ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ .ﻟﻘﺩ ﺘﻁﻠﺏ
ﺤل ﻤﺴـﺎﺌل ﺍﻹﺴـﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ﺇﺴـﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺤﺭﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ ﻟﻜل ﻋﻨﺼﺭٍ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﻤﻥ ﺜﹶﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻟﻤﻨﻔﺼﻠﺔ .ﻭﻴﻘﺎﺒل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺃﺠﺴـﺎﻡ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺜﻼﺜﺔ ﺃﻀﻌﺎﻑ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻓﻴﺘﻡ ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴــﺎﺌل ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸـﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺒﺎﺴــﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺘﺤﺭﺭِ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻴﺩ
ﻟﻠﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﻗﻴﺩٍ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﺘﺄﺜﻴﺭﻩ ﺒﺭﺩ ﻓﻌﻠﻪ .Nkﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﻴﺼﺒﺢ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻁﻠﻴﻘﺎﹰ )ﺤﺭ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ( ﻭﺫﺍ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﻴﺔٍ ﻭﺍﺤﺩﺓٍ ﻓﻘﻁ . S = 1،ﻓﺒﺎﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔﹰ ﻤﻌﻴﻨﺔ δrkﻭﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ 4
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ، 22.10ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل ،Nkﺜﻡ ﻨﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﻗﻴ ﺩٍ ﺁﺨﺭ ﻭﻫﻜﺫﺍ ﺩﻭﺍﻟﻴﻙ. ﻭﻟﺘﻭﻀﻴﺢ ﺫﻟﻙ ﻤﻊ ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕٍ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓٍ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻨﺴﺘﻌﺭﺽ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ .
4
ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺩﺭﺠﺔ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻭﺍﻟﺴﺎﻜﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻔﺭ . S = 0
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔ 287
7.10ﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ
5
Lagrange D’Alembert’s Principle
ﻴﻘﻭﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻹﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻋﻠﻰ ﺤل ﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺴﺎﻜﻨﺔ -ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﺎ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﻜﻔل ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ
ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻻﺘﺯﺍﻥ ﺍﻹﺴﺘﺎﺘﻴﻜﻴﺔ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻴﺔ .ﻫﺫﺍﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺁﻥ ﻜﺎﻨﺎ ﻨﺘﺎﺝ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﻋﺎﻤﺔٍ ﺘﺼﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﻜﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ .ﺇﻥ ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃﻴﻥ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﻴﻥ ﻴﻨﺘﺞ ﻤﺒﺩﺀﺍﹰ ﺁﺨﺭ ﻴﺩﻋﻰ ﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻭﺍﻟﺫﻱ ﺒﻭﺍﺴﻁﺘﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ.
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ،ﺫﺍ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻤﻘﻴﺩﺍﹰ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺔٍ ﻤﺴﺘﻘﺭﺓ ،ﻜﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ .ﻨﻔﺼل ﺃﺤﺩ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻭﻟﻴﻜﻥ ،iﻜﺘﻠﺘﻪ m iﻭﺘﺴﺎﺭﻋﻪ .aiﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺒﺎﻟﻘﻭﺓ F i
ﻭﻤﺤﺼﻠﺔ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل ،Niﻭﺃﻀﻔﻨﺎ ﺇﻟﻰ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﻗﻭﺓ ﻗﺼﻭﺭ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻡ Fi,in؛ ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺜﻼﺙ
ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﺘﱢﺯﺍﻥ ﻭﻓﻘﺎﹰ ﻟﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ .ﻭﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ ﻓﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 32.4ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﻟﻬﺎ ﺍﻟﺭﻤﺯ i
Fi + Ni + F i,in = 0
24.10
ﻭﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ،ﻭﺫﻟﻙ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 24.10ﻗﻴﺎﺴﻴﺎﹰ ﺒﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ،δriﺜﻡ ﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻟﻜل ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺤﺩﺍﹰ ﺤﺩﺍﹰ
n
∑
(Fi + Ni + F i,in) ⋅ δri = 0
i =1
ﺃﻭ ﺒﺼﻴﻐﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ n
⋅ δ ri = 0
25.10
i
∑N
n
( Fi + Fi ,in ) ⋅ δ ri +
i =1
ﻭﻹﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻓﺎﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻴﺘﻼﺸﻰ ⋅ δ ri = 0
n
i
∑N
∑
i =1
،ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .13.10ﻭﻴﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﻭل
i =1
ﻓﻘﻁ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ n
) ⋅ δ ri = 0
in
+ Fi
∑(F
i
i =1
ﺃﻭ ﺒﺸﻜلٍ ﺃﻜﺜﺭ ﺘﺤﺩﻴﺩﺍﹰ ،ﻭﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﺒﺩﺍل ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ F i,in = - mi ai n
∑ (F − m a )⋅ δr = 0
26.10
i
i
i
i
i =1
____________________________ 5
ﻴﺩﻋﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﺃﻴﻀﺄ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ .General Equation of Dynamics 288
ﻭﺘﻌﺭﻑ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺒﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ،ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻨﺹ :ﻋﻨﺩ ﺤﺭﻜﺔٍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﻤﺴﺘﻘﺭﺓ ﻭﻓﻲ ﺃﻱ ﻟﺤﻅﺔٍ ﺯﻤﻨﻴﺔٍ ﻤﻌﻁﺎﺓ ،ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻷﻭﻟﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺒﺫﻟﻪ ﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ
ﻭﻗﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻋﻨﺩ ﺃﻴﺔ ﺇﺯﺍﺤﺔ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎﹰ ﻟﻠﺼﻔﺭ .ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﻴﺔ 26.10ﺘﹸﻜﺘﺏ ﺒﺼﻭﺭﺓ
ﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 14.Ι
n
1.26.10
n
n
∑ (Fx − m &x& ) ⋅ δx + ∑ (Fy − m &y& ) ⋅ δy +∑ (Fz − m &z& ) ⋅ δz= 0 i
i
i
i
i =1
i
i
i
i
i
i =1
i =1
ﻭﺘﻜﻔل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 26.10ﻭ 1.26.10ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﻨﻅﻤﺔ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻴﺔ .ﻭﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﺒﺩﺃ
ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻷﻱ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ،ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻻ ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺠﺩﻴﺎﹰ ﻭﻻ ﺤﺘﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﹰ ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺃﻓﻌﺎل ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ.
ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﻴﺘﻁﻠﺏ ﺤلﱡ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍﹰ ﻟﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ - 1ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻷﺼل ﻹﻁﺎﺭ ﺇﺴﻨﺎﺩٍ ﻗﺼﻭﺭﻱ ﻭﺘﺤﺩﻴﺩ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ،ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻲ ﻤﺜﻼﹰ. - 2ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ. - 3ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﻨﻘﻁ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻭﻗﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﻭﻤﻥ ﺜﹶﻡ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ .δri - 4ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ 3 - 2ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ ﻟﻠﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﺎ 26.10ﺃﻭ 1.26.10ﻤﻥ ﺜﻡ ﺤﻠﻬﻤﺎ.
8.10ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ
Generalized Forces
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﺫﺍ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ ﻋﺩﺩﻫﺎ ، nﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ،i =1,2,3,......n ، Fiﻭﻗﺩﺩ ﻓﺭﻀﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻴﻭﺩﺍﹰ ﻫﻭﻟﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ،ﻤﺴﺘﻘﺭﺓ ،ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﻭﻟﻪ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ،ﻋﺩﺩﻫﺎ .Sﻤﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 5.10ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ )ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ( ﻓﻲ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡٍ iﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ،ﻴﻜﻭﻥ δq 3 ...... 27.10
∂ri ∂q 3
δq 2 +
∂ri ∂q 2
δq1 +
∂q1
∂ri
δqK
k=1,2,3,.......S
∂ri
K
= δri
S
∑ ∂q
= δri
K =1
ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل δriﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 27.10
ﻭﺘﻌﻭﻴﻀﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 12.10ﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ
δqK
28.10
∂ri
S
∑ F ⋅ ∑ ∂q i
K
289
n
K=1
i =1
= δA
ﻭﺒﺘﺭﺘﻴﺏ ﺁﺨﺭ & k=1,2,3,.......S
∂ri
δqK i =1,2, .........,n
n
S
∑ ∑ F ⋅ ∂q i
K
= δA
K=1 i =1 S
⋅ δqK
29.10
K
∑Q
= δA
i =1
S
1.29.10
= Q1 δq1+ Q2 δq2 + ...... + Q S δqS
∑δ A
k
=δA
k =1
ﺤﻴﺙ ﺇﻥ ∂r i
30.10
∂qK
n
⋅
∑F
i
= QK
i =1
ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﻭﺍﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ∂riﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ ∂qkﻓﻲ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ،Fiﺍﻟﺘﻲ ﺘﺩﻋﻰ ﺒﺎﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﺍﻟﺘﺄﻜﻴﺩ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﻋﺩﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ،ﻭﺃﻥ
ﻜﻼﹰ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
ﻭﺘﻌﺘﻤﺩ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻟﻤﻨﺎﻅﺭﺓ .ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ q
ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﺎﻟﻤﺘﺭﺍﺕ ،ﻓﺈﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻫﻲ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺒﺎﻟﻨﻴﻭﺘﻥ .ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ qﻤﻘﺎﺴﺔﹰ ﻜﺎﻨﺤﺭﺍﻑٍ
ﺯﺍﻭٍ ﺒﺎﻟﺩﺍﺌﺭﻴﺔ ] ،[radﻓﺈﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻫﻲ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ،ﺃﻭ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﻤﺘﺭ .ﻭﻓﻲ ﻜل ﺍﻷﺤﻭﺍل ﻓﺈﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﺎﻓﺊ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺍﻟﺸﻐل. ﻭﺤﺘﻰ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ،k = 1,2,....,S ،Qkﻴﻌﻁﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺇﺯﺍﺤﺔﹰ ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ،ﻴﻜﺘﺴﺏ ﻓﻘﻁ
ﺨﻼﻟﻬﺎ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ qkﺘﻐﻴﺭﺍﹰ )ﺍﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺎﹰ( ﻤﻘﺩﺍﺭﻩ ،δqk ≠ 0 ،δqkﻓﻲ ﺤﻴﻥ ﺘﻅل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﺼﻔﺭﺍﹰ ،ﺃﻱ ﺃﻥ ،δqj= 0ﻟﻘﻴﻡ j = 1,2,....Sﻭ .j ≠ kﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺸﻐل ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ δAkﻟﻜل ﺍﻟﻘﻭﻯ
ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻋﻨﺩ ﺘﻠﻙ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ،δAk = Qk ⋅ δqk ،ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﻤﺭﺍﻓﻕ ﻟﻠﺘﻐﻴﺭ ﻓﻲ
ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ δqkﻭ ﻫﻭ Qk؛ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ .ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﺴﻨﺭﺍﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﻤﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ.
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔﹲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻗﻭﻯ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ 30.10ﻴﺘﻡ ﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل
ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ Fiﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،17.5ﻭﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ riﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ،2.14.Ιﺒﻌﺩ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﺍﻟﺭﻤﺯ i
ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻭﺘﺒﻌﺎﹰ ﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ
Fi = - grad Π
& ri = x i i + yi j + zi k
∂ri
n
∑ F ⋅ ∂q i
K
290
i =1
= QK
∂Π ∂ Π ∂( x i i + y i j + z i k ) j+ k⋅ ∂ yi ∂ zi ∂qk 31.10
i+
∂Π i
n
∑ − ∂ x
∂ Π ∂ xi ∂ Π ∂ yi ∂ Π ∂ zi + + ∂ y i ∂ qk ∂ z i ∂ qk i ∂ qk i = 1, 2 , ... n , k = 1,2,...S
=
i =1
n
∑ ∂ x
QK = −
i =1
ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ Πﻋﻠﻰ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ yi ، x iﻭ .ziﻭﻫﺫﻩ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﺩﻭﺍل ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﻌﻤﻤﺔ ،ﻟﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺩﺍﻟﺔ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕٍ ﻤﻌﻤﻤﺔ ﺃﻴﻀﺎﹰ ) Π = Π (q , q , q , .........q ..........q S
ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ qﻴﻌﻁﻲ
k
3
1
2
k
32.10
∂ Π ∂ xi ∂ Π ∂ yi ∂ Π ∂ zi + + ∂ q ∂ y ∂ q ∂ z i ∂ qk i i k k i = 1 , 2 , ... n , k = 1 , 2,...
n
∂Π = ∂qk i
∑ ∂ x =1
ﻭﺒﺭﺒﻁ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺘﻴﻥ 31.10ﻭ 32.10ﻤﻊ ﺒﻌﺽ ﻴﻨﺘﺞ ﺃﻥ k=1,2,3,.......S
33.10
∂Π ∂ qk
Qk = -
ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺎﻟﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ.
9.10ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻘﺩ ﺍﺴﺘﻁﻌﻨﺎ ﻓﻲ ﻓﺼﻭلٍ ﺴﺎﺒﻘﺔٍ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻟﺤل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺨﺎﺼﺔ ﺒﻜلٍ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﻭﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﺠﺎﺴﻲﺀ .ﺃﻤﺎ ﻤﺒﺩﺃ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻓﻘﺩ ﺴﺎﻋﺩ ﻋﻠﻰ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﺇﺫﺍ
ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺫﺍ ﻋﺩﺓ ﺃﺠﺴﺎﻡ ﺠﺎﺴﺌﺔ ،ﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺤﺭﻜﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻴﺔ ،ﻓﺈﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻲ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻭﻟﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﻋﺩﻴﺩﺓ ،ﺴﻴﻌﻘﺩ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ .ﺇﺫ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺸﻐل
ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﺍﻟﻤﻨﻀﻭﻴﺔ ﺘﺤﺕ ﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻠﻘﻭﻯ ﻭﺍﻟﻌﺯﻡ ﺍﻟﺭﺌﻴﺴﻲ ﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ،ﻤﻥ
ﺍﻟﻀﺭﻭﺭﻱ ﺍﻟﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻭﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ،ﻤﻥ ﺍﻷﻓﻀل ﺍﺨﺘﺼﺎﺭ ﺍﻟﻁﺭﻴﻕ ﺒﺘﻜﻭﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕٍ
ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔٍ ﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻨﺩﺭﺝ ﺘﺤﺕ ﺍﺴﻡ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ.
ﺍﻋﺘﺒﺭ ﻨﻅﺎﻤﺎﹰ ﺫﺍ ﺠﺴـﻴﻤﺎﺕ ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻭﻤﻘﻴﺩﺍﹰ ﺒﻘﻴﻭﺩ ﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ﻤﺜﺎﻟﻴﺔ ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ ﻭﺫﺍ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ،
ﻋﺩﺩﻫﺎ .Sﻜﻤﺎ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﺍﻀﻊ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻹﻁﺎﺭ ﺍﻹﺴﻨﺎﺩ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭﻱ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ
.q1,q2,q3,.....qk......qSﻭﻟﻠﺘﻌﻤﻴﻡ ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻭﺯﻤﻨﻴﺔ ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﻨﻬﺎ ﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ﻭﺜﻨﺎﺌﻴﺔ
ﺍﻟﺠﺎﻨﺏ .ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 33.10ﻭﻤﺒﺩﺃ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺩﺍﻟﻤﺒﻴﺭ ﻜﻨﻘﻁﺔ ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ .ﻓﻨﺴﺘﺒﺩل dv i ﻤﺘﱠﺠِﻪ ﺍﻹﺯﺍﺤﺔ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻴﺔ ، δriﺒﻘﻴﻤﺘﻪ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،15.10ﻭﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒﻘﻴﻤﺘﻪ ﻜﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺴﺭﺠﻬﺔ، dt
291
= ai
∂ri dv i ⋅) δqK = 0 dt ∂qK K =1 S
∑
n
i
( Fi − m
∑
i =1
ﻭﺒﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﺒﺸﻜلٍ ﺁﺨﺭ ﻴﻜﻭﻥ δqK = 0
34.10
dv i ∂r i ⋅ dt ∂qK
∂ri
n
i
∑m
−
i =1
∂qK
n
⋅
S
∑ ∑ F
i
K = 1 i = 1
ﻨﺤﻠﱢل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﹰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﹰ .ﻓﺎﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 34.10ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ،ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ،18.10ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﻋﻨﺼﺭﻩ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻜﺘﺒﻪ ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ 35.10
d ∂ ri − mi vi ⋅ dt ∂ qK
∂ ri d v i ∂ ri d ⋅ = ⋅ mi v i dt ∂ qK dt ∂ qK
mi
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻁﻠﺏ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜل ﺠﺯﺀٍ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ .ﻓﺘﺘﺤﺩﺩ ﺴﺭﺠﻬﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ iﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﺯﻤﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﺘﱠﺠِﻪ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ،ﺍﻨﻅﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 5.10ﻭ 15.10ﻤﻀﺎﻓﺎ ﻟﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ t
∂ ri
36.10
∂t
q&K +
∂ ri
S
∑ ∂q
K
=
K =1
dr i dt
= vi
ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 36.10ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻠﺴﺭﺠﻬﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻤﺘﱠﺠِﻪ
ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ .ﺃﻭ ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
∂v i ∂ri = ∂q& K ∂qK
37.10
ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻲ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺒﺸﻜلٍ ﺁﺨﺭ d ri ∂v i ∂ dt = = ∂qK ∂qK
38.10
d ∂ri dt ∂qK
ﻟﻴﻨﺘﺞ ﺒﻌﺩ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻴﻥ 37.10ﻭ 38.10ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 35.10ﺃﻥ dv i ∂ r i ∂vi ∂vi d ⋅ = ⋅ m i v i ⋅ & − mi v i dt dt ∂ qK ∂ qK ∂ qK
39.10
mi
ﻭﻤﺭﺓﹰ ﺃﺨﺭﻯ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 39.10ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 34.10 40.10
δqK = 0
∂vi vi ⋅ ∂ qK
n
i
∑m i =1
∂vi d mi vi ⋅ & − dt ∂ qK
n
∑
i =1
S
−
K
∑ {Q
d ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺭﺘﻴﺒﻬﺎ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔٍ ﻤﻐﺎﻴﺭﺓ .ﻓﺒﺈﺨﺭﺍﺝ ﻤﻌﺎﻤﻠﻲ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﺍﻟﺯﻤﻨﻲ dt ∂ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺇﺨﺭﺍﺝ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﺒﺩﻻﻟـﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ∂q& k
K =1
ﻭﺍﻟﺘﻔﺎﻀل ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻲ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴـﺭﻋﺔ
ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ،ﺘﺅﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 40.10ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ
292
∂ ∂ qk
ﻤﻥ
m i v i2 δqK = 0 2
41.10
n
∑
i =1
m i v i2 ∂ + 2 ∂qK
n
∑
i =1
∂ d dt ∂q&K
−
S
K
∑ Q
K =1
ﻤﻥ ﺠﻬﺔٍ ﺃﺨﺭﻯ؛ ﻴﻌﺭﻑ ﻜلٌ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺘﺸﺎﺒﻬﻴﻥ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕٍ n
∑
1 ﻋﺩﺩﻫﺎ ،nﻜﺘﻠﻬﺎ m iﻭﺴﺭﺠﻬﺎﺘﻬﺎ m i v i2 ،vi 2 i =1
= . Tﻭﺒﺎﺴﺘﺒﺩﺍل ﺫﻟﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 41.10ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ d ∂T ∂T + δqK = 0 dt ∂q& K ∂qK
42.10
S
−
K
∑ {Q K =1
ﻭﺤﻴﺙ ﺇﻥ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻻﻓﺘﺭﺍﻀﻲ ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺼﻔﺭﺍﹰ ، δqk ≠ 0 ،ﻓﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 41.10ﻟﻜل ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﻤﻌﻤﻡ ،ﺃﻭ
ﺭﻴﺎﻀﻴﺎﹰ
43.10
d ∂T ∂T − = QK dt ∂q&K ∂qK
k = 1,2,3,.........,S
ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 43.10ﻤﻌﺭﻭﻓﺔﹲ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﺎ ﺍﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺒﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ،ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل
ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ .ﻭﻜﻤﺎ ﻨﺭﻯ ،ﻓﻬﻲ ﺘﻌﺭﻑ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺒﻔﺌﺔٍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻤﺜﻠﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺎل ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ .ﻭﻤﻥ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
ﺇﻥ ﺃﻓﻀل ﺘﺤﻠﻴلٍ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭﺭﻴﺎﻀﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 43.10ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ Generalized ∂T ،Kk ، Momentum ∂q&K ∂T ∂qK
= K kﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ Qkﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻜﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﺤﺩ
ﻜﻘﻭﺓ ﻗﺼﻭﺭٍ ﻤﻌﻤﻤﺔ Generalized Inertia Forceﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻓﻲ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺍﻷﺨﺭﻯ. ﻓﻌﻠﻰ ﺴﺒﻴل ﺍﻟﻤﺜﺎل ،ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺴﻔﻴﻥٍ ﻴﻨﺯﻟﻕ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺤﻪ ﺼﻨﺩﻭﻗﺎﹰ ،ﺸﻜل :4.10ﺍﻷﺴﻔﻴﻥ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،Mﻴﺘﺤﺭﻙ
ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢٍ ﺃﻓﻘﻲ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻲ ،x1ﻭﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ،ﻜﺘﻠﺘﻪ ،mﻤﺤﻤﻭﻻﹰ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﻔﻴﻥ ﻭﻴﻨﺯﻟﻕ ﻋﻠﻴﻪ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺭﻜﺘﻪ ﺒﺎﻹﺤﺩﺍﺜﻲ .x 2ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ )ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ( ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺴﺭﻋﺎﺕ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ 1 &2 1 &2 &2 ) Mx1 + m(x1 + x 2 − 2 x& 1 x& 2 2 2
1 1 ⇒ T = Mx& 12 + Mx& 22a 2 2
ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﻤﻌﻤﻡ ﺍﻷﻭل k = 1 ، d ∂T && 2 = (M+ m)&x&1 − mx 2 & dt x1 2 ﺇﺫ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻷﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ، (M+m)&x&1 ،ﺍﻟﻘﻭﺓ )ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ( ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ ،x1ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ && 2 ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ m x 2 2
−ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻗﻭﺓ ﺍﻟﻘﺼﻭﺭ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻹﺘﺠﺎﻩ .x 2
ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻁﺭﻕٍ ﺃﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ
ﺍﻟﺤﺭﻴﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺩﻴﻨﺎﻤﻴﻜﻲ ﻭﻟﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻪ .ﻤﻀﺎﻓﺎﹰ ﺇﻟﻰ ﺫﻟﻙ ﻋﺩﻡ ﻟﺯﻭﻤﻴﺔ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺭﺩﻭﺩ ﺍﻷﻓﻌﺎل 293
ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ .ﺃﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻴﻭﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ؛ ﻋﻨﺩﺌﺫٍ ﺘﺤﺴﺏ ﻗﻭﻯ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻜﻤﺎ ﻟﻭ ﺃﻨﻬﺎ ﻗﻭﻯ ﻤﺅﺜﺭﺓ ﻀﻤﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ.
ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ
x2
x2
x 2a
2
x1 45o
x1
1
45o mg
Mg
ﺸﻜل 4.10
ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻘﻴﺩ ﺒﻘﻴﻭﺩٍ ﺇﺴﻜﻠﻴﺭﻭﻨﻭﻤﻴﺔ ﻤﺤﺎﻓﻅﺔﹰ ،ﺘﹸﺸﺘﹶﻕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﻤﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ،Π = Π (q1, q2, ...., q3) ،Πﺇﺫ ﺘﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻭﻓﹾﻘﹶﺎﹰ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻻﺕ .21.10ﻭﺇﺫﺍ ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ Qkﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.10ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 21.10ﻴﻜﻭﻥ 44.10
k = 1,2,3,.........,S
∂T ∂Π d ∂T − + =0 dt ∂q& K ∂qK ∂ qk
ﺇﺫﺍ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ Lagrangian Function ،L L = T - Π
45.10
ﻜﺎﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻁﺎﻗﺘﻲ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺍﻟﻭﻀﻊ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﻓﺈﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ 43.10ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ 46.10
, k = 1,2,3,.........,S
d ∂L ∂L − =0 dt ∂q& K ∂qK
ﻭﺍﻟﺫﻱ ﻴﻤﺜل ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ Standard Formﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ
ﺤـل ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل
ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ 43.10ﻭ 46.10ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺃﻱ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﻴﻜﺎﻨﻴﻜﻲ ﻓﺭﻀﺕ ﻋﻠﻴﻪ ﻗﻴﻭﺩ
ﻫﻨﺩﺴـﻴﺔ ﺩﻭﻥ ﺍﻻﺭﺘﺒﺎﻁ ﺒﻌﺩﺩ ﺍﻟﺠﺴـﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﻜﻭﻨﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ،ﺃﻭ ﻜﻴﻔﻴﺔ ﺤﺭﻜﺘﻬﺎ ﺴﻭﺍﺀ ﺃﻜﺎﻨﺕ ﻤﻁﻠﻘﺔ ﺃﻭ ﻨﺴﺒﻴﺔ .ﻭﻟﻬﺫﺍ ﻋﻨﺩ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ -ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻷﺴﺎﺴﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ 43.10ﻴﺘﻁﻠﺏ: - 1ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻪ. - 2ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ﻭﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ. 294
- 3ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻭﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻨﻬﺎ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ. - 4ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ∂T ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ∂qK d ∂T ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ dt ∂q& K
∂T ∂q& K
،ﻭﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﻁﺎﻗﺔ
،ﻜلٌ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﺓ ،ﺜﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﻠﻁﺎﻗﺔ
،ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 43.10ﻟﻨﺤﺼل ﺒﻌﺩ ﺘﻜﺎﻤﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻨﻭﻥ
ﺤﺭﻜﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ. ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻅﺔ ﻓﺈﻥ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ -ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻘﻴﺎﺴﻲ ،ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ
46.10ﻴﺘﻁﻠﺏ:
- 1ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻋﺩﺩ ﺩﺭﺠﺎﺕ ﺤﺭﻴﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻭﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻟﻪ. - 2ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻓﻲ ﻭﻀﻊ ﺍﻋﺘﺒﺎﻁﻲ ﻭﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ. - 3ﺤﺴﺎﺏ ﻁﺎﻗﺘﻲ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ Tﻭﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ Πﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ. - 4ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺩﺍﻟﺔ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ،L = T - Π ،ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ. - 5ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺃﻭﻻﹰ ﺜﹸﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻺﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﺜﺎﻨﻴﺎﹰ، ﻭﺤﺴﺎﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻼﺕ ﺍﻟﺠﺯﻴﺌﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﺴﺭﻋﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ،ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺫﻟﻙ ﻜﻠﻪ ﻓﻲ
ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ .46.10ﻭﻟﻜﻲ ﻨﺅﻜﺩ ﻤﺩﻯ ﺸﻤﻭل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻻﺠﺭﺍﻨﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻨﺤل ﺒﻌﺽ ﺍﻟﻤﺴﺎﺌل ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺒﻕ
ﺤﻠﻬﺎ ﺒﻁﺭﻕ ﺃﺨﺭﻯ ﺴﺎﻟﻔﺔ.
ﺃﺴـﺌـﻠـﺔﹲ ﻤـﺤـﻠـﻭﻟـﺔﹲ
295