Revista Digital: Distribución Normal y Binomial

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Andrea Granada Orozco C.I. 20.327.194

Unidad 01

Distribución Normal

¿Qué es Distribución Normal? …….. 03 Ejercicio 1 …………….......................... 04 Ejercicio 2 …………….......................... 06 Ejercicio 3 …………….......................... 08

Unidad 02

Distribución Binomial

¿Qué es Distribución Binomial? …….. 11 ¿Qué necesitamos para construirla? ……………................. 12 Ejercicio 4 ……………............................ 13 Ejercicio 5 ……………............................15 Ejercicio 6 ……………............................17

Unidad

01

Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Se caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución. Se define parámetros:

por

Varianza: Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos.

dos

Media: es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

3

Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene una Puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?

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DATOS: Empresa A

Empresa B

X= 7 (media)

X= 6 (media)

�� 2 = 4 (varianza)

�� 2 = 1,5 (desviación típica)

S=? (desviaciĂłn tĂ­pica)

Buscamos la varianza de la empresa A: S= √đ?‘†đ?‘† 2 = S√4 = 2 (desviaciĂłn tĂ­pica)

Si la puntuaciĂłn fue de 9, entonces la desviaciĂłn tĂ­pica estĂĄ por encima de la media

Empresa B: S= 1,5 (desviaciĂłn tĂ­pica) PuntuaciĂłn relativa: 21,5 = 1,33 DesviaciĂłn tĂ­pica superior a la media R//= En la entrevista de la empresa B la persona obtuvo una mayor puntuaciĂłn, porque habĂ­a menor diferencia entre el resultado y la media.

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En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las Puntuaciones que delimitan los distintos grupos.

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Identificamos los datos: X= 100 X1= superdotados = 20% X2= infradotados = 20% Planteamos las ecuaciones X1= P (X< X1) = 1 - 0,20 = 0,80 X2= P (X< X2) = 0,20 Se transforma en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Z).

Z=

đ?‘‹đ?‘‹âˆ’đ?œ‡đ?œ‡ đ?œ—đ?œ—

donde đ?œ‡đ?œ‡ = 100 đ?‘Śđ?‘Ś đ?œ—đ?œ— = 25

P (X< X1) = P (Z) <

X1−100 25

= 0,84

X1= 100+25*0,84 = 121

Como es una distribución normal, quiere decir que la distancia de X1 a X es igual a la distancia de X2 a X, por lo tanto: P (X< X2) = P (X > X1) X2 = 100 – 25 * 0,84 = 79 R//= Son superdotados los que sacan mås de 121 puntos, infradotados los que sacan menos de 79 puntos y normales los que sacan entre 75 y 121 puntos. 7

En cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior a 6, el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de población tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades.

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Planteamos las ecuaciones: P (X > 6) = 35 á100 = 0,35

poblaciĂłn con nota mayor a 6

P (X < 4) = 40 á100 = 0,40

poblaciĂłn con nota menor a 4

P (4 ≤ X ≤ 6) = 25 á100 = 0,25

poblaciĂłn con nota entre 4 y 6

Falta Encontrar

đ?œ‡đ?œ‡ =? (media)

đ?œ—đ?œ— =? (desviaciĂłn tĂ­pica)

Entonces‌ 6 – đ?œ‡đ?œ‡= 0,385đ?œ—đ?œ— 4−đ?œ‡đ?œ‡=0,255đ?œ—đ?œ— đ?œ‡đ?œ‡= 4,797

đ?œ—đ?œ—= 3,125

nota media desviaciĂłn tĂ­pica −2

P (2,797 < X < 6,797) = P 3,125 < Z

2

3,125 9

P = (-0,64 < Z < 0,64) = P (Z < 0,64) – P (Z < -0,64) P= 0,7389 – (1-0,7389) = 0,4778 R//= La nota media es: 4,797. La desviación típica es de 3,125. El porcentaje de la población con una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades es del 47,78%.

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Unidad

02

El cรกlculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemรกtico suizo Jacob Bernoulli. La distribuciรณn binomial se utiliza en situaciones cuya soluciรณn tiene dos posibles resultados:

ร XITOS O FRACASOS El resultado obtenido cada prueba independiente de resultados obtenidos pruebas anteriores.

en es los en

Los resultados de cada experimento realizado son mutuamente excluyentes. 11

1 -la cantidad de pruebas 2 -la probabilidad de éxitos 3 -utilizarla función matemática.

12

Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sĂłlo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se habĂ­a preparado la materia responde completamente al azar arcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o mĂĄs preguntas.

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Datos: n=6 1

aciertos

3

fracasos

p = 4 = 0,25

q = 4 = 0,75

Distribución binomial de parámetros = B (6;0,25) P (x≥4) = p (x=4) + p(x=5) + p (x=6) Utilizamos la fórmula de distribución binomial y sustituimos

P (x≥4)=

6 6 6 (0,25)4 (0,75)6−4 + (0,25)5 (0,75)6−5+ (0,25)6 (0,75)6−6 5 6 4

P (x≥4) = 15(0,25)4 (0,75)2 +6(0,25)5 (0,75)+(0,24)6 P (x≥4) = 0,03296 + 0,00439 + 0,00024 = 0,03759

R//= La probabilidad de que un estudiante acierte 4 o más preguntas es del 3,75% 14

La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la Probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.

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Datos: n=5 p =0, 4

éxitos

q = 0,6

fracasos

Distribución binomial de parámetros = B (5; 0,4) Utilizamos la fórmula de distribución binomial y sustituimos

P (x≥3)=

5 5 5 (0,4)3 (0,6)5−3 + (0,4)4 (0,6)5−4 + (0,4)5 (0,6)5−5 3 4 5

P (x≥3)= 10(0,4)3 (0,6)2 +5(0,4)4 (0,6)+(0,4)5 P (x≥3)= 0,2304+0,0768+0,01024 = 0,31744

R//= La probabilidad de que cobre una pieza 3 ó más veces, es del 31,74% 16

Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15? Use distribución normal y compare con la distribución binomial los resultados.

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Datos: n = 100 1

aciertos

3

fracasos

p = = 0,25 4

q = 4 = 0,75

DistribuciĂłn binomial de parĂĄmetros = B (100; 0,25) La binomial B(100, 0,25) se puede aproximar mediante la normal de media

Âľ = 100 * 0,25 = 25 đ?œŽđ?œŽ= ďż˝100 ∗ 0,25 ∗ 0,75 = 4,33

DistribuciĂłn normal de parĂĄmetros = N (25; 4,33) Se plantean las nuevas ecuaciones:

P(X > 30) = P(X’ > 30,5), se hace la corrección de continuidad P (X’ > 30,5) = P Z >

30,5−25 4,33

= p(Z > 1,27) = 1 − 0,8980 = 0,1020 18

P (X < 15) = P (X’ < 14,5) = P Z >

14,5−25 4,33

= p(Z < 2,42) = 1 − 0,9922 = 0,0078

R//= La probabilidad de que acierte más de 30 preguntas es del 10,2% y la probabilidad de que acierte menos de 15 preguntas es del 0,78%

19

20

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