Áreas 2016

· za Parle: Triangulos

-- •.. -

.' TrianguloTriangulo I - Rem:n.gulo EqUMtero

•~~

. tV~

'_____ 't

,b

rt> ~~ ~~

2016

'ffl '1

-,5

~

Tri~gulo AcutanguIo

~riangul?

Cucunscnto

·-

Triangulo Inscrito

Tria:n.gulo EscaIeno

3

Num t,llngulo equJllitero ABC de cen· tro 0 e de lado., a clrcunferllncla de centro 0 e d. r.lo 8/3 Imercllpta as lados AS e AC nos pontos 0 e E, Celculer a llliroa do trlingulo mlstiHneo ADE.

o

IJZ

I

(FCC) A (uu do triAngulo na ligura abaixo 6;

,

~E

(MACK-SP) A area do lrapezio da figufIl vale 12. A area da parle sombrcada vale:

.[J

,

,L:J\.

,

represcntado

~

~

Q)2.J2~1/l1

o

Q

,

~

blJkm' cllci/ll J}2~",1

fJ 1l1~(9Jj-41{)

r)4rm1

(Unesp.SP) 0 ingulo central A6B referente ao clrculo da figura mede '60· e Ox e lua blssetriz. Se Mea ponto m«lio do raio

6)~(9Jj-41l )

5C e

.f5 cm,

OC ""

da figuro hachurada.

calcule

q8'1

•

,

·:Caleul.r.Arcade.~lUmb~n.nl"rll.b11Ixo AS •• CD":km.

U-<leml qu ••.• <Ultlnelu C4nl~m EfPa'" d.lclQ. Sc:m, ",lpecUvamlnh.

Q)(9-2Jt)"",1 c»)(9-2rt)cllI'

o "~c",'

~ A

qo I N.I"HIJBIUr..baIxo. I.m ••.••

euJ. rPlo ~ ;.

J

b)

)

Q'(~",:~;l)

"(m"Y

"l(m'+~')

~)

C

MD'

(Ill-II)

CnlI:u!IIr II ~.

do qUlld'.d"

n, DI\lIll

aba.lxG 0 molnllU1o ABeD tl:m AS •• JOClll.. Be" dll'ldldo'ln qVlldradoa dellldo 19uala 2cm. Calcular. "'a'AIlNlllbreadL

14

:::~::e~~.:':.::~·.:u.drad

•••. Calculll, II JUdo

Belli. '""'

1>q 1 '

b

entre III •••.e •••

,

,

rl~

0

C

• .ficm

Ilcunliderandoovolordc

pcm;Ioaombrqd

qz.

....

~~c~

1\C)1 (MACK-8P) Silla soma

aJ 7J]+12,

e) Nao sei,

.

CaIcuI •• 4radarea/lolllm~nalillUr.L

Q)25cm'

, (UnIfup-SPl k 11"'11 1lIOIt13 UIN tlramflrlncla, d.ralo4.etnb'oC, quetln,CenclllnlmQmmte,dr-

:~~t~~:~i~:;~:~~l~ 1:6::·d~·~lora:O~: "1'kIIl' c)Xcr' d)&:..,' "~CIII'

lilb 1t112lr: .)l&1r d)18lJ

tin.

•• ndoPlrpmdlcuJw

b)i,llt2

.14r'(i·:'I)

r)jO/lJ

'15<'(i·l)

Il)i

·"(H

do trlAngulo aballo 6:

~:n~~~~~:.:.~~:cr:I:Q~=~~~:':-u~o~.' ~e~:=::::o": ,".d.por~"'lImlll'Clld

••

"R'

Il)T

~)iUlli

c,(4~;).JiJ~' JJ(2Il;3.Ji}"" ~)(21f:Jj}•,•'

bl~ <')II,T_R)1

IJU1

(FAAP-SP) Felto 0 levantamento de 11m terreno pentagonal, toram delenninadOl os dados indicados na £Igura. Qual sua arell?

8

'·· M

IT\.'...

W

'. "i!.;.:;.~'•...

,:'

M

•

.•

tlll4

g .60 lIrea do

•

'T'

1-~~~~r;~O ~bp~o.::~.~~~e~~:~::.:.:"c~~';..d:.i:~~r~~~tb~:~~ ,,{~~J.JiJaw' Gg' ~U::;'=': :':'0;:~:~ -:u=~·;:~t:.'g:l:UD!lI~O~"d~::~~a)l l>1(2"II;J.Ji)-. d3r'(i·') JUt'(i-')

A 'rea

B

rlT

d)SOcm'

pDl\'lolombrcada.

IFOV.SP)

~

•

C

.)lOam'

(encialeifalnfcrMdllMJtoremT, lretlqu'PISMJIIIl'l;'c"

Br

u)~

dJIITI

A

::::-~c:.":'J:~,~~':rJs~8q~,~ ""_darqllo/'lld1unda4;

areas dos lret

~

••,.'

O ..."

l>Jok'lll'

b)300:m' c)35etn1

dllS

•

'b)7+4J], c) 19J], dJ 11ft.

'r ~~r:'t:'~":~~~~U::=i'~':~gH~:CN, .•.

B-IOl:mll

,m 'riO","" •••,.,,~

ponlo. II, A. 0 e II D~lcrmln.r.

c:

••••.•da

l'

lm COlOo 01 ponlal em em',

,Ji;'JicfII,enl,o.,rlldOlriAnllllO

cln:ul(ll do mesrno rato C )11:, a Arco d<l trlll.ngulo tqOUatero ABC

••

H

vldlclolantrllPllttlIIU&is.

SP).\1l1lndo-HOIIHllltOlINll',

,..¥,dclcrmmllrlld

.b •••• m"~.m , ••••••• ,"CD. com \ado mrd.lndo Icm o.

blj

~:= I~:U~:t~lI:~nr::,~lQrd~ d'l:I~~~I~~ ::': 100'

(Iil'+n)

rill d.a

pnnllrqur:

0

lado .••It,ea.",odldacloAB_ 811"110""'-'1

6

'6 ~~~~n~~bc:;:I:1l ~~ll=::oo.:..=::: h::~II:;:O~U~:

R'Q,SIH,PeUporsecmen!o,dlretl,obUm-M,tlfuraalJ

"""

Blr, ambol collnQrn •••• lrimgUloBllO,

c,if J){f ')ij

0.

MNPQ.

1 J d)a (m +Il')

,

medlndolc:m_wn •••••• mtnlOl(MU.UT,TQ,HR,RS,

_,.

'11

quadr.do ABCD tem 64cm' de ""a e 0 llulldrodo d~ 36cm'. O. y~rtlcet •••• D, £, H 0 I dOl tft. qUldr.dol perlerwem a Uml mUnta, RIG. Clllcu.llu' a ""a do llU.dn.do BIFe.

MCD I Urn quadnd" d, lado '," • MNl'Q ~ Urn OUI,:" qu.dr.clo aJjo.yh1lcc.dlrlde ••.• cad.umdo.lItdo.doprl ••.•elfoC ••.• doil

Q'(m'+Il

. WFF-RI)OtlldosMQI Hl'tlo"'HQPNtItIodl-

B

CM t!m

••• bendQqUI d, 0 I 0 .11lb.'1U1

""""enlol

a podelnol

d}R+2s_r ,)2(R+SJ-r

C

d)~CIIlI

"SCD t um 'luldnldo d,lado I'll •••• 4em. O. -.0:01 80" II met,,", .anlnl A. Calwru. ilR4 lilt por<;lo IIImbrcad.,

o

65

d. O$\lr"

b)2(9-2lt)cnr'

11~(9.Jj+4I1)

U1

""al.ombrcadlll

::::R+:S~~T

~

c)~(9Jj-411) dl~(9.Jj+411)

Sab"'.1

u)R+s_r

a area

C,

.~ ,

"

C

c

Calculsr a area do trapezia ABCD, cufas bases sao o~ dlametros das semiclrcunfer8n~i8S- AFB e CEO, ssbendo Que B Area dB l(mula DECF l\ 80 m2 e que a Angulo COD = 60°.

..,q

~11"~:~~7=11~~=o~::~::%~j~

+

laiO mede 6 em. MediBdo

'

10

0

do raio, a ilea do Ief.lngulo

a) 48m2

e:

d) 16m2

b) ll.J5m2

e) 24m2

c) sill m

Calculsr a area de lunula CFBE, sabando que ABC um triangulo eqGilatero e que BCD €I um triangulo redngula Is6sceles cula csteto BD •• 4 m.

I

e

o

1tr'4i,

l:J

'a)(4

a)

" 3~

::

b)

Ii SO i3 40

(V.UNIP.RS-80) aulo BCDE t:

A 1-'1'

r\

·qe:,1ll. ~~~~~"~~;,~::'II:: =~~ ..::.' :b.~:a :::

~l

rn o8:C~~a

qllllnl.

JjQ( ••

0) Sa" f~

••

It

•

a medid!l do Angulo ACe na llgura, moslre que " (se voce neo flzer esta parte da questAo. admllll que Ii e la"a a segunda melade da quesllo),

~fl

Na ngun, ABeD' wn ,,"p',;o lnserito numa cinmnfedncla de centro 0 e raIo 2 em. 0 Angulo AOB mede 120' e 0 Angulo COD mede GO".

Calcult:: a Area do Crapb:i.o

..A.,~h~.

=.;.~~~::.O~":.~~;:~~~c:~H.quod, '"

C!)C

A'\K .,

A .

tre

b}tJ(O.fi-,,)

(1-

J

2ft)

d)L'[~-'l f)3~I~.Jj-If) ~ ••Q~

-=

:;~~o:~~~ta;'~l~: ~:=:b~~~~~ ::

lIi6nIlU~=n.lnlldo.comumda.v6rllce •••••••• lpanloluoutro I'llrtlco noc:cntrod8cln:unrmmr.

•• " ",l'>1auJOI. Calcular.'rM darqlAolOlJlbRadL

a) Calcule 0 ralo do cfrcu1omenor C. b) Calcule a irea da

partehachurada.

N

ala 4rea cia rrgllD lnterna ao quadra,do, eornplrrnrntar'

~=:~R 1~

\(UERJ) Urn professor de ma~em~tlcafez. com sua tunna, a segulnte drmonsrn.~: _ eolocou urn CDsobre uma rnrsa e envol"euoflcomple. tllmentecomurnpeda~de barbante,de moda que 0 com. ptlmrntodobarbllnteeolneldl.uecomoperimetrodoCO; - em srgulda, rmrndando ao barbante urn Gutro prda~o, dr 1 mdro dr comprtmenlo. formou umaeircunrerlncla malor que a primelra. eonc!ntrlca com 0 CD. Vrjaunguras.

0

9

1612,;'5)

(CESGRANRlQ.82) Otrl1DauIoABCcst4inscrilono scmlclrculo de centro 0 Cd1lmetro AS - 2. Se a Inaulo CAB • JO', • 6rca da lcallo lombreada ~:

a)T

d) .•.-2

Il"-.:!j.

fL :~;=:.:::-:~_ ..~ b) 'If3

e)

~

A

c)

8~'

11 IIf

11~ABC'

'lI'~

0

•

J3

:t-(CESORANRlO-84) Considereo.clr~uloSlangenles da rflUra, c:ujas IllIIlenles comuns ClItuiorc5 formam

b)+

e

e)f

~

ABtem centro C e ralo 1,0 ponto D estli sabre 0 areo AS e CO.J. AS . Prolongando-se BO e AD:para E e F, respectlvamente. obtamos os arcos AE a BF,,com B e A como sa us resp.ectlvos centros. EntAD,0 areD EFtam centro em D. Entlo, a liraa do "sorrlso" hachurado AEFBDAvale:

16 ~?::s~;~~~

~6:~u::I:~~~~~~~ain:

sombrrada, I

1;34r~d~~~:~~~~~::Ja~d~:::: ~:':I~ medlndo 9 m par -t rn, contomado POturna c.aI~ 1UlIUl1lL,eomolndlcaafillura.

C)

""'-'-"-'~:E 1V0"~P-SPIAfi.on,,_ prtsenla um eante:lro de lonna clrcularc:om5mebosderalo,O

~~~:~j~~u:I~:~~~~:===~~I:::;

c na coluna II as ahernativas incorrclas.

II

:a:~g:~it:l~ah:;::~~or~~r:';

A

~~;I~et~~d~":n~~~~~~': ::~b~~:~r ~~:u:t:.

~:III~

c

D

plantarjllrama.

I

a) -

a) hJ _- 2wl em

:~f~':rlfo ~~

b) lI'~lcml c) (w-vl)cm~

al DtlmnlneamedldadoladoBDelueadatellilo gullrdestlnadlllplanla~denoreJl.

~:Jo~~g~:d~:

d)- d)2(411' -1,1 I

em:

e) (6'lI'-2~J)cml

B

0

b) e) -

e) -

dr

It"';;"'·.11 ,1'll, -M3

6

~-

CaIC\llou,ent.lo,adlreten~entreamedldadoralodaelreunrrr!nda malore a do raiDdo CD,clwnando-a dex.

Logo ap6s, imalinando urn CDcom medlda do ralo Id!nt1a.!Idora.lodaTrrra,repetlu,teor1camente:.asetaPas antrrlores,chamandodrvadlferenfaenconrn.da, ASllm, demomlrou a segulnte tela~o entre esAS dlfe. re~,JCe,,: xa)x+Y_1r1 c}Y-Jl- n'"" bh+Y_frl d)Y-X-ll:-1

.

,)..!-

quadrado ABeD tern 4 cm de lado.

Com centro no ponto medlo de eada lado descrevem-se semleircunferenclas tangentes as diagonals e trst;:am·se os segmentos que unem as extremldades desslls semiclreunferencias. Calcular a drea da figura sombreada.

~"t~Um se~icrreulo

~~~='::0q~~~':~~ raiomede1 an,ptdr-se:

30' E

"",,,

~~

d) 965

0

. B

as dols areesEiO e CE.

Ire

do ".p'rio

t__

IUFSCar-SP)Considere a l'--;---4-_, re!li.toR'Plntadadepreto,ulbl'~' , daas£guir,colUtrufdanolntetl_ ordeumquadradodrlaclome_ di"'o',m. ' Sabmdo-selllleo.san:osdeclrcun. felindaqueaparecrmno.seanlos f '

b) 64.•. ~)32(•.-1)

•••..••• ••. .•••• •••~••:••• 0

urn triinguio eqOil6tero de lado 8. Com centro em A descreve-se a area e a clrcunferencia que tangente 80 lacIo BC; sabre AB e AC como diametros descrevem-se semlcircunferDnalas externas 80 triangulo ABC, eujos pontos de Interse~ao com a clrcunferencla de centro A sio 0 e E. Calcular a area da superf(cie compreendida entre oS,arcos DHE, DB, e CEo

A .""

e

-it

M

e) 16(41'-.[5)

o

R -CSCl1\.Inscrevem--IO tr!sCln:ulOI A, B 0 C, no c&culo dado. (veja figura eo lado).

~

,AC

Be

~\\E dodo um ofn>JIod. centro 0 e mo

f\1 I"

ABCD.

BCE eomproondlda

G

,

I.

e} to.

" l)'J'

Ime(2.Ji-i) C)L

~ """r",,,,. d, ,ofo

"

, (F.C',M.STA.CASA-82) Na l1Jura ao lado, Icm-Ie uma circunferloda de centro C, cujo ralo mcde 8 em.

OulinJUloABChqwlileroCOlpOnlosA eSnlio na clreunferandl.A ilea d. reJiIo wmbreada, em em', ~:

]

Bb e CE. Celcular a drea da superf(cie

do somlelrculo

um ••

31 .

F

A

6 .:!l

a)

A

"0

Ybi

"'0 d.

~

d)

bl Cslcule a area da p!lrte hachurade 11mlun910 de A e It.

y

."'~

~

e

.[j

18

~A

•

~~~:oc~~~:;:: ::~~;:5:P~:s~~:

semldrcunlerAncla· de dlAmetro CE e de cIo1s !ltC08 de clreunlerAncla ED e CD, lendo as clrcunlerAnclas 0 mesmo ralo R: alAm dlsso. os areas EO e CO sublendem Ilngulos centrals EAO e CaD de mesma medlda.

QUalovalarde!.1

...sa npara bIllllo roJ COMlruldl II. P'lrUr de um =::'Iar d": bide a~ calli cenlro 1m cadI vtrlk:c do Coram ~do.

Ilf'COI de clminfcffi1cloo Ilmllllclal pclG.

A

~~,~~N~~~~; =:~~:

p, Q do pWItolllOlml lUll' mCI_ c,",lInr.~ de centro 0, ta.l '1.110PO .L QQ. Sojua A • B 'I pon.~.melllo. do OP • QQ. RIIflCCUvamcnte.S'i!&"x" ••••••• d.paneColllllmllll.d.".cln:ula. l!ecomlrolA.BoHj."1· ••••••• d· •.•• lIlllldcntracIDqlWltan •• POQ. mal fan. dl>I dn:ula. IIlmorel, do ••••••.••0 ""'" • lIju •• abab<o.

b)

l~J

quadrado ABCD tern 6 em de lado, e cada lado fol divldldo em tres partes Iguals, trat;:ando-se as segmentos e as areas Indlcados na flgura. Calcular a area de cruz asslm formada.

um

.[j a) ~

o

fi,,,., AS'I

N.

(UFLA-MC) Obtrnha

~';,~~~::s,d;,f:;:;,;:; '~

E

C)So.[3

.,1',

.~

dIlle -:llrm: e) (2n-51cm'

e:

Com centro nas extremidades dos dlametros perpendiculares AB e CD de ums clrcunfereneia deserevem-se lrrter. namenta quatro areas passando pelo seu centro O. Calcular a area da cruz assim formada, sabendo que .AS ••• "" 4 em.

-Il)etn'

b) (6-'Il'lcm' ~tl (2n:-4fcm'

<M'"-

e

!FMTM·MGl Na fillura. a m~dlda dos ,ellmentos OAeOBl!4 em. o arco AOB tem 90·r OCAeOCBsllo RlIllcircunfertncias.

A6readll~lIf'Ctrfciehachurada~:

A

(V.UNIF.RS-80) Na fi,ura 01i •• DE •• 7JP- 00: ABCD urn quadrado dc 'rea 80.

C e D pertenccm ao dilmetro EF e 0 insulo 'II (~ FEG) mede •.16 lid.

A irea do Itlingulo EFG

-

A ••••

OJ

lado OA do lelAnllu.

~~t'::

0 retinguJo

b)=::q:n::::~ra:s~==:~~~ dlllaros~IC\llos,usellaproxima~l':.3.2I.

'l,s'.

(UEL-PRJNllfilluta,ABCDl ulnquadradocuJoladomedrQ.Um dosarcosesUeonUdonacircunrr_ rfncladecentroCrraloQ,eoou_ tru ~ umasemlclreunfertnelade ,!=entrunopontomidlodeHCrde dl6melro Q. A 'rea da rell160 hachurada ~: a)umlluatloda4n:adoc(rculodrraloQ biumoilavoda',udoclrculodrraloQ e)odobruda6readocfreulodrralo!.

dlil!ual1l4readoclrculodrraioI eJameliidella4readolluadrado

.2

relan-

1'~

'lSq

(Fq ••••u-SPI

1\'). e;.,. (u. P. U ••••rllndl.·MO) CDruldenlndo qlHl lUI11a_ 10 t.

•.rJ'U Be -1 em,. tin do tdlnplo equll'lefO ADD '1'Il101 c

I,if

(COVEST-\IO) Na figura a selluir. 0 quadro ABeD tc:m area total de 40 em'. Sabendo-se que E e F lAD os ponlOS m~dio5 dOl lado. AB e CD, rupecllvarnc:nte, rorma-se entAo 0 quadriJAtc:ro bacburildo FGEH. qUll Illm Area Igual a;

1

em'

C).[iCIII

a) .10cmI

c)

em' II COlI

olue II" uloln,uro

.r~.

IJlWB o!:

d)

10 ••012

1'24 bll60

I

dl20 rll.O

cillO

,.

d. (

0

'I'

A~~'

(Cefci-MOI

VIII qllldndll'

InKtllo

III'" had,ono

•\

telalu.

E}

,.()1,fdm'

I'

()

"

A area do poligono haehurado na figura, conlttuldo

p"tird)e:~trl~gul••eq(Jjil\"r ••.~.:

"1-

-\

.••

••~,-,r,)

"

~'-"l .,~,-,r,)

101

~:

.

.~~

~\

t.fimJ

II

e.(

A~ 'l~

~'(K-Jf)

bl

t·(i~.fi)

cI

t{i-.fi)

.}t'H'~')

A Rlulimollt1lllllclrwlodIClf\lnlO.raklR.

IICIII.OKlmrnlo

Q Ai

~ol.iJCIlhIllmhd.

CC9

",f(Sta. Casa·79) As tris clrcunferencias da nsura ab~"o.tem r e sio langentCi entre ai. Qual a irea da rcgllo hachurada?

e

:I

)1' (2Jf

a. ( b.

(

)~

-ft')

(../3 -.)

d. ( ) r:l(2.f3 dlI p ••.• k!llllnmll

I II

21ft./i CIlI

II

l

.

116/3

em'

II

.®

N, liaurll .bai~o. p e;lcunr"tndl

dceiJ/Ill'O 0 Icm nlll h

IllrllllJPlu

e.

(

,

~.

•

~

.~

----

t

__

..,u

AL\

,

&)1

• bI

t

"

D~Q

C

r~

1

M

-¥r'

f

;I-¥

)t,rr~-r1f

d):!f

) n.d.lI.

5

N

P

~

~ ').

c,(,,~t)(' • dlI4-'II'!t'

'''''''')

•

8

XL

,,," •••

q~

e) nada dlslO

II) I

d) Z

b)+

el'K

~ dJ ~(2'lr-3.J3J eJ

A J_1 'tfld

*lh-:Wi)

IlJ,RN') Na flgurl lIlablO,01 11'61ctreulol I'm rllos

:~~I~:~=~aa1f';::;'lla~I,A-

Nangura,ellnsldertloSlJgITIG/ltoa.2m.A c1a11JPllrllCle tlal:J1urldllllgUllII:

)70+12 b. ( )7+4../3

~ ( )19../3 d. ( ) 11../3

bllo:n_1~

de lido'

~m. ;omo na

n,qn

Kim..

e.

(

)

Nio sei.

~) lOOK~7':

A.~O (ETI·78)

d) l00K- 7':

.,

A uea

da figura hachurada

a~u~r:d::CDm'de: b. (

)2=

c. ( )5cm d. ( )8""

•• toSPl

,~q ,0 "'I

a.(

1'"f

.rm

A~·'"

.a

.

f}1

(U.MACK.·74) A dl'lonai A2f do quadtado ABeD medc.f2 em. Seu dlAmelto de cad, uma du semielr. c:unfct&nclal na filur. ao lado 6lauaJ' mCllda do la,

A Area do trapU.!o da filwa It &rea ell pane sombteada 6: .)

1001t-

i',.t.

e

bJ 2;

jt1 (U;MACK ••U)

rqular

t

Nallgura.OIercoaBOaAoArCOlldedrcunre.

lSUIIC

hU"_

"I;

..

.J"

=.=:a~tA8a.A6IMdl~

B

~A'

do do quadratlo, a itea da reaJio auln.l.d, 6:

"")"'

I)

1!f-

8}

bl(11'~2..J2lt"

"IUp..PI}

CoIIlldeIl. 1111 cln:1l1o de nlo 10 em I um IIM6ldIIdlina,llIImI'.dl<OJllolOmbrndl':

1~::~~C::=~sll~:~

A\Q~

'.0

",

lb Fit'

2

(Clce·,,/O) N. J1Jura .bmo, 0 ralo do clrculo malor e c:omprimento d. tAnICnie A8 c:omum .01 :j~u:~~~IOImeno•.••.Bntlo • irea uslnalad., comptMncild•• ntr. 0 clrculomalorC01doll mcnerel,

~8

Ai

(Co.vmt..-IU)

doQll&dradorJlllado2t.AjllNldeR':

-I n.d.a.

R'

A

I

t_~

lcflt

v

d) "0;

1

urn trlAngulg

q"!"

T

c)Jf I

81 AfeudB

b) 1

.)"'

~S5

'ntrll

lOcm,~a_~~,:

fIpra.

:~ ~o d)

Arulo

:~~:lI~r:o:~~eem~:

.1.

(U.F.MG-92) ~.

t

'Ii

(1TA-IIr)

~

.:'-'."_ .....

. ::\" •.•....... '/:.::: .

::::: ,

::::::"dOQUadradORSTv,emcm1,medc:

::W:.n

It)¥

'tI~:

e)

¢

(E::R:~.~d'='"".do'~"'o.m ~;:=~~rc:n~:,: ra=

M

e) fA

,)';'

II~

PQlIiC.llfnUBlllllllllbi

P

b) 'K:I

) 211'clSf;

Q

-11')

::t-"f

,

1bC

1~ N

'::~~I~~~O~::~:r:~~;;£:;''::'''=;

Repare na flgura abajxo e na parle hachurada. Temos dais circulos d; rc:ntro 0, e aI' respectivamente, e a dlstAncia ;~tr~;; d~fs ~~S:o~ A acea da parte hachurada, isto e, a irea de C n C e:

AUC icqUII'IC<O.

166 ".n".'"

L

d) bx(hh + x)

) n.d.a.

"WI) : (OSEC- 79)

IOS,fic",a

d) 12wcmJ

bl IJO./iem

~ ~ltMKtl!fllicr'SP'

a

BPBO tl:

&1120(21-2"1-,,2")

KNML 6:

Uma'sslrelp liB SilOS ponlll8' rBllolat 4 lorma_ cia por doIa 1"Al'lgUIos eqOil;llerca 8nlrole~ad~s .

')96~

C)~

raiOJ iguai. a

~ ( ),' (../3 -f) Nu ••• cOlIdlg6el, I'~

12Ol2"'"",

2<1«a"',,+2·i2)

,4re~r:~I:ereV:~~deomdol'riangulOUa

b) bAtt-X),

e

raiD R e centro 0 nxada urn diAmetro AD de comprimento igual ao raio R. Calcule. em fungio de lriingulo OAe e a area do segmento circular limftado pela corda AD

·.2' ,'2)

cl d}

JYL

A tIU '1 ~rl

lOIlora'UllrlnmllO'ACB,UIIIIllAIIJ1lIIl.q~If~IJDlnRrilll'

NQL e PLM 6 /6, • irc.l do retlngulo

----

K

X .) hx<t- )

R, a area do e pelo areo ADD.

I)

(UFo8C)

,

(Maua-79) Numa circunfer6ncia de

~,!.ficml

bI240(1 .•..••.•• •

ellZ+3-/ilRa2R-/3

(U.F.MO-90) A bue do um tribguJo e a altura relativa a cua base medcm. rCJpcctivamcnlC, b e h. Uill IBIIlea: rettnaulo de a1tura)t • IDscrlto no trilnlulo, lend", que sua bue ad. conl.ida na base de.ssc triingulo.

8) '3" A"'cadoretlasulo,CDIrUll~deb.xeh,6: x bj2A

BC e um~ corda

~ttQF.lcc'SPl NI RIPlilID llllla IIIII'W UIIIP ~lll:unfcn!ncll Cdc ccn!fO 0 c 1'110 '\ delMdklalcrn.OIpon101ltcBparteIl«IIIIC.clmedllh.doAIIluloAOO tl4So• Ii. 'm III 111110 IIIIIIlbrU•••• cm ~m'lnlcl"" qullIIllIIk», t llUIII;

acndo MN a balle do rtlAngulo KNML.

~lt?J',

~

)Sf " )'1[,'

d. (

eI 120(1+2'11"".2-)

c) 48 d) 72

11

-.L

\~"

,. ( )../3"

(lJi'.RS) O.lrilnlliJos ABC e AaD 10 IlMloIia CIXIlruell!Cl, C u.laplotme •••• m3D",6O"c911·.A.hipol.nO •• lch:".llriln· ",,,"IlH!"'Ill'CIA."'Rlaomb",~d4compmllOsdolllri·"IP·

Conl.idere NO • MP _ Mj,

Be • soma du areas dOl trilaluloa

').~

)3'[3"

~-lZ~§f=

b17A&3R

,

d}14Re3R

(U.F.MQ.90)

11

,

Cll4Re6A

~:S~

~

,.( -3-' •) ~,,r,-,)

D

~~:;"~~,,,.,,,.=.m.

• el14Re2Afl .•..J31 A

Q~ b)32

"tc'(CESGRANRlo-78)

b. (

cl lO~icml

?;:

)~dm'

e.!

t.

CIIIllO01 !lIlIl'lIllballo.

.••..•. ·.•.

CB

A.

)~dma

Uma I,nala de lerro lem s 'O(ms do d8Seo~0 abel~o" As IInhes corvas 5010an;05 de Circunfe •

.~'

b) 23

(PUC·PRI/ii

IPUC-SPl

A se~ao lrarlllver9a/ de urn ma,.o dEl clglllTll8 II um rel&ngok;l qUll aoomeda e:calamlllllB ~ cl. llarroaeomonaflgura.SeoralodoSCigarrosll R.eadImBnsOeadOre1llnllul0Sl10;

b) Z~ c) 3'11' d) 47

.~. e

10 an~.

e) 5'11'

,.

~

L, A 1-+-1

• /1.

.

III{t2Ji ~hlrnt • bllill,f3 -8"'lm' el {8J3 ~3 •.lrri ell (3Ji ~4 .•.,rnl

" IfJI6

(l1.1rIo-1U)

-31rJm'

" "I

(

...

, ~'

bJ 4m'

• eI2",' dJ •• m' 8In.r.a.

ConseqOentemente,oladodo

1lo=;~~:::,,~c: NanlllJl'll.

aretacortaoclrwlodtlrllJounil~riO

~:le~oml)'i~nIO I, A

D~.'----'lC

..t

,

"J

"'"

~

...~CJ t_ f tf...

9

B

• bl

c)

dln.'.B.

~~13)

5

(ETI·18)

0 trilngulo

u,'.,aic mede 2

C

a.

(

e eqUiLitero

ABC

em. Logo,

e esta,. inscnto

. . em urns c!1'~unfednCla

Urna bandelra , brasileka

a area da parte hachuraAdada figura sera:

,

,,~.

•.•

j.... _,

fol confeCClonada';nas • 3,32m

1

-tli

2J3 anI

)

b. (

).Jf

c. (

)

l

cm

5../3

2,12m

cm

l

dlmenso'es.

da figura abaixo:

1

.\

a) Qual a b) Oual a

area

area

?

da r9g180 amare a da re91ao verde?

14~~ ( . '\~laI!OIlta!iegUJnllJ.lMNPllUmqUlJ_lJJ' ., , .

ABC I) um trlAngulo eqORlllero de !ado t = 4. drado lnscrlto no IfIAnguioralAngulo ABC. • ~::~::'unfer6nC:la8 16m centr08 nos ponlos m6dlos ~o,B~re qUll a Area do quadtado , 19ua' dos ladol, sAo tangantas duas a dun 8 16m ralos 19uals. .

CalcuJe a area de reglAo Indlcada.

,

....•.

(UERJI Uma folha de Pillltlretangular. como I dB Oilural,dedlmensoes8cmx 14cm,.~dobr.dacomo

(A figura cantem semiclrcunferi!ncias de raid a e centro nos viltlces do qua-

8

19S

19>~

ll:::,:

~III"

c

da figura,

Jimilada

por arcos

de c~r-

) 4/rr

D

b. (

)+(.-2)

Co (

)

4

.a"3 'l'

)2(.-2)

e. (

) 4 ~rr_-,,2)

(ITA-8J)

Na

figura

abaixo,

lemos

0

urn

hexagono

regular

cunferilncia de raio r e 6 oulras semlcircunfedncias mewos dos lados do hex8gono e cujos diamelros slio Calcule a.

(

b. (

a area da superricie

) ( r.3 _ )

(..n. - f).,' (3

c.

(

d. (

•••{

I\-P

e. (

hachurada.

-0') . "

VJ

) )

l

../3

11'\

em uma

inscrilo

com

iguais

ire,

AI'\Q.\.

Oual8s'resdoparalelogtamo

)

~

~~~

bl 0 pl50 da 'rea

_ r2

A ~~

1\111

•

ucupada pelf casa, em cada lote,

1lOI1~

C5vunup-sPl Em urn acldentr: lutDmobllIlUco, Nt laol.1Il uma reSJlo rellnlular, como mOltlldo naflll\ll1.

a

Ii

';I~

O' F!gw:2

a' amennr; 'rea (em m'l da I"tlIIAollOJada. em fu~

I

do !ado

10lJ' ~

:;~t~~~~~~~~=

a.

::: )720

t

I~'-':

.•• o-40m--;

l

manor

B

a

0

D C'

I' C

-161 _

(UCSlI-OAlNlllllurllbab:olem-seoquadrJJ,tero ABCD,nOquaJ.AB •• 3cm,AD-4Cm,co.12em,

.'1'"f

:foU:e~~~r:~:::~.~~~::~~;:: ~~1800 eo eom~ __ ~~~;~f~~~desse taadli a mi. Pode·se condulr que opreJu!1O do cual e}l200 qUadril.&tero~o,rtlpectlYll_ folde: ". mente: "" II RS201l0,110 A(/~·· - - al36cm1e24cm bl liS S 000.00 -, 0 (UC5aI-BAl No centro de uma praij:a clrcullr, de x bl 36 eml e 32 em xcI liS 7000,00 "'\\~"\I;;;lin 90mde raIo, foj montado urn tabl¥l0, tamb'melrtulare c) 48 cm1e 24 em dl IlS!l 000.00 : com J2 m de ralo, no lIual mllzeu-Ie um espeUculo mu_ dl 72 em' e 32 cm

c

1.01

Na ngura Silgulnte, ABCD tr urn qua. ",drado.ON",04_8M"3eMNRI3.0ualtr '1 area do quadraclo1

E

•

N

Nesta figura, ABC 6 um IrlAngulo eqlll14lero de lado ( ••• 4a e AK • Bl. '" CM ~ a. Caleule a araa do IriAn. gulo KL.M em fUilQilo de •.

£

c

0

_...A I 7}i' _! . A flgurs

C

abaillO moatrll lint htIxAgbno regu!llrlnsctl\o num CitelJlo IJe IlIIo r_4cm. calcule a Atea do IrlAngulo ABC.

!

.~

~

,

B 'a,'l

1;5\

.

. C

(CMRJ - 03) Um "'uno do CMRJ '" u~. \:lrcunfertncla de ralo R em e dMdlu 0 ciraulo CDl'respondents em dues regl08s, usando ums cord~

{)

moelra urn tl'apezlo relAngulono qual as diagonals do perpendlcularel. calcule a 4raa de ••• lrapezlo.

mostre a f1gUl'B&baixo. Sabendo que a *ea da. ':SQlao som-

AB de comprimenloRJ3cm,.~onfonne

e (46 - 3.Ji),

breada

Na ligUla segulnle. ABCD e um qua· dradode ladoIS DEFeumltlAnguioeqill_ IIllelo cle lado I. Caloule a 'tea do "IAn· guloADF.

a)

80110, a medtda

dl!' R

e:

2.J3cm

rn '\"~._._._-...... .A.

c

cl2K,J3cm

c

B

•

~~~:~~r:~:~-~~:~~C:S~~::~07::: blado, que tM UlN ocupa~o midla de 4 pesso;u por metro quadrado,quanwpwoutSllverarnpresentesa weupeliculoP(Use.'Ir_3.) a) 90576 c) 93128 b192462 Ird)9S472

0

•

d)

3Ham

0)

(OK-$)cm

n ~() Na

E

.

••••

1'IIil'\\ Nasta

N'W

IIgura, sabe·se

AE •• 6

eA.

1

45

,

qye

DE/Be,

AD",

4, 08 •• 2:

Calcule a arIa do lrapezlo

BOEC.

,

~

:I:C. m:t ge,

AM 8

~

.' '~"~

c

0

triingulo

ABC • ndnguloem

.~.

,.,'

el72 cml e37cm

llgUra,

A, 0 pontO 0 i 0 centro do semi-eirculD dB raia r, tangente 80s 'lados AD e A:'C, Sa .• bendo-se que trI- r.J3, a area da triingulo ABC i dada por.

NIIIIOutll,O IriAngulo ABC !em A,.I ., 8t tIl, NIP sao os POmol m8dlol dt I fllapaoU'Iamtnll, celtullt.

1m !u",=60 de I, I At•• do ItiAngulo: '1 SMN b) MNP

::I"'m

el RS II 000,00

._0

'rea , f,III;

Na Ilgure segulnls, ABCO Ii urn ,alAngulo. MNlAB. KI:/BO. LDMO Ii urn quadrado s al nIl dol ralAngulos OLaN e OKAM alo Iguals a 15 e 6, reapeetlvamenle.

Se x + 'I • 7, calculI e '1f88 do reillngulo OKBN.

5eI7mdecordafuUcadaeltrnsobtlS)rOBmluflclen_ tes para eercar31adol da regllo, a saber, 05 doiliado) ::n=:O~~:::I~~umladOmaJordemedlda¥,dadOi

. ;~.'

iinclla clreunferlndl menor em T.swdo perpendicular 4teta:QuepassaporC1et;, 42ifomJadlPDrdOlsquarJradolQ" A'4,eadaregllohIChunda6: ,cIA_-X3~44lx Ki)h: A'" tll'Cun(el1ncJa.AdlagonalAC b)l2rr IAcafe-SC) Um terreno tern a forma e II medJdas ronnacomadJlllonalA'C'um i:llS" d)1811: IndJcadas na fllluTa a segulr. Querendo grwmr duse :::~~~~e~"rea da regllo eJ2hl: terreno, sendo que cada placa de grwm cobre 2,5 ml do lombruda de t1gUl'L mesmo,on6merodeplaClllquesedeveusari:

IUnlpa-MCI Um cauladqulrlu urn terreno pela plantaretangu.llr,delomX20m,PlllndORS50000.00.

.

A fu~quetKPreua a Areado trllnt!ulo retlngulo 10m- b) amedlda dOl ladolxevda reslAo retangu!ar, Ia1Iendobrtlldo em fun~o dexi: se que a 'rea da rellao era de 36 m' e a medlda do lado X' + 40th 44]-x' a'A"~ xd)AD __ fJl. menoreraumm1merolntelro.

3 bl A •• x -••441ll e) A _ 441~ x' (UFRJ)Afiguralolado II

-,,-1

a 4reado

~Il _1

1__

bl~cm

,I:."",.,~<.

1. ,1i'1.~"~rr:;r:::s~~a:;:~~e~~:~~r~Kn Sa~:::~e~~ (Unlfup-SP) A figura mosUa urna clrcunferlnda, e c:entro C. que tangenela Jntemamente a clr-

~

t

FID<n,

entre

B

~-~----1

fit)

A~\t, Esta ~ra

do wrUeeD e.t. dlltlncla de

:,".....'

do malar. Quale a rmo domalor?

'1 \

1

~~~u~'Oc~~I:~a::u~n~b~I~~ia~~~~:(~g~~~: tltanova

dOla h$KlliQortOll da figure aAoregularss. sengo que os vllrtlces do menor sao 08 pontoa medloa dos lados ..,

ItdONIllgura Illgu1nle ABCD' um plrsl~ogramo I OB8:rcosdeclrcunfer4ncIB lem <:enlroanoaverllCelAeB Calculeaares ell reglao Jnglclde~

:~d~,~;~~::;~aj~,:~u::~=o~e~~ C:m~~~a~ unfd~dell SabcndoquehhlllilperdadeIO%dclajowduranle:a coloca~lio espeeIBque 0 mlmero mlnlmo de callUtl neee5~rlil.~,llorlllle,pararevestlroplloda'reanlioocu_ patlaJlel~CIIsa.

poteatral (fulr rtpmentar Un1IJlf¥..obre almf/OlUntll da redcllllem do IbiD. !lu querem monblr urn WlUIo noquaI3paredude"mdealturapor5mdecotnPti_ mentodevel'loterrevestfdudeCDldefelluo&ol.Sabendo-se que cada CD possul12 an de dllmelro, lJIIlI/lUl5CDs, aproxlrnadamente,terionteeuAti05pararevutlresw paredesl(lJn:""3,1",) 1)5200 c15400 Kb)5300 d) 5500

0;

./~:~:'":"~~~~:::~:~':';,=~~::::'~~:;:L

1

:::'~~::~::I::=,U:::~~:~U-= ~~=I=~~:nit:'~~~~:.:Om~~ ~~~~'

,,'\~

_

,

~=-c:n~:~u~a~~~:~;~::~oi~~~~'~o~;~~~~

(Furh-Be) -Lbo I buk:anv:nte todo e qUlJ1qui~R"f (UEL-PR) Thme Un'll {olhl de Pipe! em (orma de Ilduoa6lldo provenlentldasatlvldades humanu ou Ilera- ' \qUadrado de lado Igual. 21 ern e nomele 01 sew virtices

~:tilo"

S1a

IlgtJra segulme, ABC' um,lrlAngu1o relAngulo em A. 6EF ti urn arco de clteun· fet6ncle com cenlro em A que lenganclll ahlpolenuaaemE.Se BE_" eCe"9,CllI. C\!le a Ar811 da regllolndlcada,

o· ~

Uma empreltelra dueja dlvldlr urn grande terreno em vAtlos Jotes relanllulartl de muma 'rea,

dmdolulglncla da prefellurada cldade, dequeaeJacoN, trufdArnantendoJmdellfulllmentodafrenlet3mdo (undo do lote. bcmCtlm02 mdeawtamentode cada uma

~

a figura, sabe-sa qua a 4raa do IrlAnguJo ABC e igual a S. Sa M e 0 ponto media de N e 0 ponlo mAdlo de AS aPe a ponto media de AM, colcu!e a area do lrlAllgulO MNP em lunr;ao de S.

'ItnuERJI

n)

-J!..4

"1

E

.: ..

c.Jculeaireadartglloiombnadinafillura.

Aqfj

cit

centros no~ ponto· ao lado do hexagonQ

"2 3 - 4" J • r II 5 2 \2 -6" . r

{l.J2 \2'

,

d\18+DJl

• aj.!!!';Il1.

(UFF-RJ) OsladfM MQ e NPdoquadradoMQPN est1odl. v1dldolemlrhparteslgualf. medlndo1 cmcadaumdfM5ell_ menlOi (MU, lTr, TQ, NR, RS e SP),Unlndo-nOlpont05NeT, ReQ,SeM,PeUporsellmen_ Ioadereta,oblim_naDllul'lllO lado.

(5,,-11')

d, (

cla+b

5e 0 comprlmentoCE 4 8 em, a irta do pol(gonoADCES, em cml,i 19ual a: a) 112 bl88 xcl64

cunferencias centradas nos vertices A e C do quadradCl ABCD, de ladCl 2, meile.

~'f..

"'-"'aliEF?

ala-D hachurada

C

Na Ilgura ao lado, AS 8 urn dlAmelro da cltcun'erAncla de ralo r. sa II •• 30°, ealCule a ;irea de (eollo lndlcada.

bl a'-b'

A reglio

N •..~_,,_.~

A rlOuta moatralltT1 quadrado Insolilo 'lU1'I8emlcI'rcuIOderalor.Calculer.seoon. do que 8:Mea do qual;irado e 19u8136crn1."

~qz.

h9Churldll~:

IndJeadonil Ugura2.

) a:l(4 -1f) ) a1(,.._2) ) 2a1

• (CESGRANRIO·17)

M

'~g ".

drado menor.)

(

e

2,8m

f---4m--i

a.

abai~o MeN saoos pol1los de AS e ;;;C. Se a drea do ItiAn. gulo ABC !gual a S. calculo a drea do Irldnglllo MNG em luno;:ao cle S.

~~tlgllla meditls

.

d. ( ) 7..n. em'

a, ( b, ( c, (

13:~~

' Na I(gu(a. fO IrlAngulo ABC le.m llrea ~~:II : d~ ~A~~I:u ooflcllnlro.

8:1 BCG? bl AGM1

No trbiogulo ABC, rdngulD am A, da llgwa, AB • C, AC • b, AM ·2. AH •• altura •.•Iati••••ao !ado Be, Qual. a ••.••• do

A.

01

~

eN'

•

c

A,

C

1~PAR1l! 'l.

V~=3~Vi A:;; 3l~~ IF 2

A- 3,16/~ 2 Z =- {jM 4

. z

m=:.hxhl A =3~2,., A="'b~~••

·5

"'Z.

A- =- 1r,L A-:::.

lflY

i"\Il

"2-••••

11

TA;'~l A

12

=1\, ')1-

A== C'f-1t'

IN\

2..,

[j+=,C}

13 6

/h.6?A··-::;1

1~

t,.~

18

(A-=bx1d L

A-~t,,,£L

A-==1~•.

zG

r!E:k~t;l 5 A-~6x5 A-= z.,

22

3D;W1

13

12

1b0~}~~ 1tl

A~)tl<S~ 路2

~})

z

It

A=~'1 1. tcr---~ A =ll..:

.

A--= 3005 7..5

-

z

30

,,~l;,

r4=Jr. - fij

A-~3L~vf -2-

2 3.1Z~6

It-~JIR!VJ .2 #=3,(1,,5 - 2-

CcC

11-:-

z

A-~3.11f~1J=2"Vf.

"

~ t:ttV31VV\1-4

2

1Jt~/{t:K-2

32

31-

[f>r-;71(!l

t.

A-=- TT,i'

1t-:::;7ftf

C2..

tt= r;;6f It=: l;L,1Y

4=::'t~7fffYI2..-

/M

33

O+d~

11

b11

11 1\1

..

J

A-= 117..

1I--=1l1 1mZ-•••

1t)

'11

35

1b

,

2.-

4

(!+-=-~~2 A=1ox3 A-=-jO~?:-4

41.3

~b

/~}~=iB~2h A=f:!j;j

5

:z z /f:=Yl/ =16Wj ----.

Ii

~3L~fi 2'

3

.",

ft=-3,3:2-5

1t=2~~Z,4 2.

Ut=rtfl} II:

1t/l~

A-= ~1Tf'MZ4

5'0 2

A-:=7~KZ,

A-~Jj~ z~

f'

~ ~ @;bplu]

I+=J, f671j 11-:- 3 r2s,~6 -"2.

A-=- J~'f~ 2-..,

F

":2:

1&.

M-

t

. A-= ;(SO;ftIJz;'

f~

'\1'

Il::=.6xS

.e:;z · A-~7S~2.•• Ut

4=~

Mi+lJS dlJ

4:::- 32,!JlMz4

A-=If£tl0

lfr=1frL A::::; 11J12

11-: 1~Y!r~ ~ bf

r 71 9 •

b

e

(l}-=- b >G

A-~6x=f

A-~Y2iVh~

~bxh]

71 14-

;+:::;~t5

z..

:;;.-~O/f(\

T!;~Y It.=

6t10~,!Q 2.

/t..:::30

Z

IWt<-4

/+; 3xk ~.1R' ~ ~

,t;

th- Cj'll1 2...

b

f!=:f)J<]

-7

!J-:=1A.b; C

l!'~~~f~ 7 -

11>

- ''/: ,1-= q.S-,19

p =; 1()I-S~l.

· 't,3

'It=37,SNtA ~ b ~

4

1

g~~'t 2"

P &;9

2

10

p=-11;S

l7J.-?~-J>·r-J-tA-= 1"~J~S; 11

l--

lit:::;;b

t!t c ~~

-71~-",6~~

"/~ A~15~~ ..•.

P === 1d7-6tf

I+::bxh -2

""Z.

p::='12.

l'

/t~,s:xi:_lQ..

z'

A--

2-

2fJN'1~

1f~6Xtf' ~ti -2-'

.2

4= 2f/Wl241!1

~:o:f9

21-

f:J路S}~+'O 2

p= 10,5 <J

-~ A ::. 10,5,.~:::::2..~

~

.: Ov.h, C. ~41(

fJ ::5. '-1,3

- L,,~

A~路~6fnre~ f=-12ft+1O 2

?~1S

r=" J;> .C;~).~r-l>)(,-9\] A---J 15. (is-n).\.,s-<t) ,(1S"-IO) ::zJ1!JiS IfNI ~ 1S

~:::~ Z-

6

A--:::;

4Jd,

-

....2

it

A- =-12~ fL4

fr= ~(?S" 1Z,).(15-1c).(i~J It~

1l:f(fS IWi

1-.4

31

'it

~=~~~

P ~ 13t-g:l 2. r~1q

/t-::.. =/-)(2-2

A-.:;;.

1t,S/Wt '2-411

1r==(;.(1ir-tJ), {t't-i,(~~ = 7-.., 3=1

32

~

13~

f~1-b.c.~oG] 4-=- l-L.' .12. ~ 60:'.11-l.(3 2,' -y1+=.1Yfj 1M24 1~

If = ~ f""~

4 10

~b2.t-C1 "2

p::::.1S<f

[-ff-:=: t-~-J -7 ,At::. 1& 4 j

2.

A =:;t 6oiW\ ."

3S

),

=- 0.

j

h. c

-'tR ft=路t,,6* f

"~3

#f-; 1b/Wl ~

[~9!:~ '

1'= 1lJ-f6+-?l

:z <1tcb'C

z

ltf<

I+=- s.

?=-1l.r

".8

1.(.2

f!-'j>.I<1

A-.:=:- 20 IW) 2..•

A-=

j>= lfo+-f+1~

:tAbc

-~

2 '"

p::::

1'1.5 ::=toJW)~

1 t6

Ii~~Q

1~

f.3

A := '116. (16- fi!J.(1'-8).<1"-1~5' A == J 161" I. L=y1Si6~~-4

/I

15

~'tO;"~.

It.::::.i- ,~( 10.1.. = lIL ~ .L

z..

It

L/JfIV) £4

f .119+;-117,

I~_

rf~

f~l)t,

[!t-=t;cCc~o(;}

~r'Y<

11-=fA'J.~{«:: }--Jl#dl

= 1~.5z

_ 7;)",., .•

,fi

t=1Z~t1o

<l

2-

f>-=-15

1+=-12. '/0«1l..

YS

ilL

[fI-::= f.tI~.]

It-q6~~

2.-

- 's.~- 6o~ ..,

r=1a;.1U1 ~

r=1~

=&t./£,D

\

1(,

A- V T'f.(1'-1b) (1'1-10/.(41-12/ /1-=={11. +./1 3 ::;' 5911lV\ Z.., r

13

Ltr<

11---

IS~12.111

~,2

fJ--z f {)51!(Vt ~ f>=J~j-i2fZ6

~

1b

p==

2d

4ÂŞ Parte

ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS - Exercícios Resolvidos 1 (UEM-PR) Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando nessa pista deseja correr 10 km diariamente. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista, a cada dia.

O comprimento da pista é igual a: C = 2πR C = 2 9 3,14 9 40 C = 251,2 m Como ele deve percorrer 10 km = 10 000 m, o número de voltas completas é: 10 000 Λ 39,8 voltas 251, 2 Ele deve dar aproximadamente 40 voltas.

Professsor André Luiz

3

(Acafe-SC) A base de um triângulo mede 72 cm e sua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em 48 cm e a altura em 32 cm, obtém-se um novo triângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. O valor da altura h, em cm, é: X c) 80 a) 12 b) 64 d) 20 e) 40 72h Θ A1 = 36h 2 (72 0 48) 9 (h 0 32 ) A2 = 2 Sendo A2 = 3A1, vem: 120(h 0 32 ) = 36h 2 60h 0 1 920 = 36h h = 80 cm

A1 =

2 (Vunesp-SP) Considere os pontos do plano (0, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 3), (5, 3) e (7, 0). Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo à seqüência dada, após ligar o último ponto ao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros, a área dessa região, em cm2, é: X d) 14 a) 9 b) 10 c) 13 e) 15

4

Do enunciado, temos a figura:

Seja A a área da sala retangular. Logo: A = 45 9 3,2 9 0,25 Θ A = 36 m2

(Unicentro-PR) Um construtor calculou que serão necessárias 45 tábuas de 3,2 m de comprimento por 0,25 m de largura para revestir todo o piso de uma sala retangular.

O proprietário, preferindo comprar peças quadradas de granito com 0,40 m de lado, necessitará, para revestir todo o piso, de uma quantidade mínima de peças igual a: a) 62 b) 84 c) 120 d) 208 X e) 225

Seja x a área de cada peça quadrada. Logo: x = 0,40 9 0,40 Θ x = 0,16 m2

y (cm)

Portanto: 36 N= Θ N = 225 peças 0,16

D

C

3

S2 1

A

B S1

0

S3 G 2

F

E 5

7

x (cm)

S1: área do retângulo ABGO S2: área do retângulo CDFG S3: área do triângulo DEF A área S pedida, em cm2, é tal que: S = S 1 0 S2 0 S3  1  9 2 9 3  Ι S = 14 cm2 S = (2 9 1) 0 (3 9 3) 0   2 

Matemática 001_011_CA_Matem_1

9

11.08.06, 12:35

5

7

(UFJF-MG) A densidade demográfica de certa cidade é de 0,002 habitante por metro quadrado.

(PUC-SP) A figura abaixo representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões indicadas são dadas em metros.

A

Sendo 180 km2 = 180 9 106 m2, temos: 1 m2 —— 0,002 hab.

180 9 106 —— x 0, 002 1 = 180 9 10 6 x

10

B

25

Se essa cidade ocupa uma área de 180 km2, o número de habitantes é: a) 36 milhões d) 3,6 milhões b) 9 milhões e) 60 mil X c) 360 mil D

40

C

Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado i, para dividir o terreno em duas superfícies de áreas iguais. O comprimento dessa cerca deverá ser aproximadamente igual a: X b) 29 a) 26 c) 33 d) 35 e) 37

x = 0,36 9 106 x = 360 000 habitantes

Sendo x o comprimento da cerca, em metros, temos a figura, em que AD e BG são paralelos:

6

2 (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura.

E

15

10

A

B

15

F cotada em metros h

25

I x ⫺ 10 J

H 10 calçada

D jardim

30

C

40

L

No triângulo retângulo ADE, temos: (DE)2 0 (AE)2 = (AD)2 (DE)2 0 152 = 252 Ι DE = 20 Os triângulos BIJ e BGC são semelhantes. Logo: x − 10 h 2 = Ιh= 9 (x − 10) 1 30 20 3

L

Como a área do trapézio ABJH é igual à metade da área do terreno, devemos ter: (10 0 x) 9 h 1 (10 0 40 ) 9 20 2 = 9 2 2 2 De 1 e 2 , temos:

L

Calcule o valor de L.

4

L L

10 G

(10 0 x) 9

2 9 (x − 10) = 500 Ι x = 3

850 Λ 29

L

9

(4 0 2L)(9 0 2L) = 104 → 36 0 8L 0 18L 0 4L = 104 4L2 0 26L − 68 = 0 → 2L2 0 13L − 34 = 0 2

L=

−13 Σ 169 0 272 4

Lδ = 2

Lφ = −

34 4

ΙL=2m

Matemática 001_011_CA_Matem_1

10

11.08.06, 12:35

8 (UERJ) Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área, correspondente a 156 m2. Em cada lote, será construída uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m2, atendendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja construída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. a) Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro possível. b) O piso da área não ocupada pela casa, em cada lote, será revestido por lajotas quadradas de 40 cm de lado, vendidas apenas em caixas, contendo, cada uma, onze unidades.

Sabendo que há uma perda de 10% de lajotas durante a colocação, especifique o número mínimo de caixas necessárias, por lote, para revestir o piso da área não ocupada pela casa.

9 (Vunesp-SP) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura.

a)

a)

y

x

Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine: a) a área (em m2) da região isolada, em função do lado menor; b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendose que a área da região era 36 m2 e a medida do lado menor era um número inteiro. y

3m y

x 2m

CASA

x

x 9 y = 54 (x 0 6)(y 0 4) = 156

123

2m

1

3m Resolvendo o sistema, temos: xy 0 4x 0 6y 0 24 = 156 54 0 4x 0 6y 0 24 = 156 4x 0 6y = 78 2x 0 3y = 39 2 De 2 , vem: y =

x

Tem-se que: x 0 y 0 x = 17 → y = 17 − 2x A área da região é: S = x 9 y ou S = x 9 (17 − 2x), com 0 , x , 8,5.

9 b) S = x(17 − 2x) = 36 → 2x2 − 17x 0 36 = 0 → x = 4 ou x = → 2 → x = 4, pois x 7 Β.

Se x = 4, então y = 17 − 2 9 4 = 9 Ι x = 4 m e y = 9 m.

10

(UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm Ο 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2.

39 − 2 x 3

A

B

A

Substituindo em 1 , obtemos: x1 = 6 2x2 − 39x 0 162 = 0 x2 = 13,5

E

De 2 , vem: y1 = 9 e y2 = 4.

B

Logo, x = 6 m e y = 9 m. b) área não ocupada = área do lote − área de casa área não ocupada = 156 m2 − 54 m2 = 102 m2 área da lajota = 1 600 cm2 = 0,16 m2 número de lajotas necessárias para revestir o piso da área não ocu102 pada = = 637,5 lajotas 0,16 100% 110%

637,5 637,5 lajotas Λ 701, 25 lajotas → x = 11 9 x 10

701,25 lajotas 0 11 lajotas = 63,75 caixas Número mínimo de caixas: 64 caixas

D

C

D

Figura 1

C Figura 2

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual a: a) 112 b) 88 d) 24 X c) 64 Da figura, temos: A

8 cm 6 cm

(AE)2 = 82 0 62 Θ (AE)2 = 100 Θ AE = 10 cm

E

Como AB = 8 cm, vem: (AE)2 = (AB)2 0 (BE)2 Θ 100 = 64 0 (BE)2 BE = 6 cm

B

8 cm

D

C

A área da figura mais escura é dada por: área do retângulo ABCD menos duas vezes a área do triângulo ABE: 8 9 14 − 2 9

896 = 112 − 48 = 64 cm 2 2

Matemática 001_011_CA_Matem_1

11

11.08.06, 12:35

11

(MACK-SP) Em um trapézio ABCD, os pontos P, Q, M e N são médios dos lados AB, BC, CD e DA , respectivamente. A razão entre a área do quadrilátero PQMN e a área do trapézio é: 1 a) 4

X b)

1 2

1 c) 3

2 d) 3

4 e) 5

13

(FGV-SP) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e CFD é um triângulo retângulo em F. Calcule a área S do retângulo ABCD, sabendo que AB = 2AD = 4AE e DF = 6 m.

C

D

Considere o trapézio ABCD, cujas bases são AB e DC e cuja a altura mede 2h.

A

P

F

B h

N

A

Do enunciado, temos a figura, cotada em metros: h

D

E

B

Q

C

4x

α

D

C

M

6 2x A área S1 do quadrilátero PQMN é igual à soma das áreas dos triângulos NPQ e NMQ. Logo:

F

1 S1 = 2 9 9 NQ 9 h Ι S1 = NQ 9 h 1 2 A área S2 do trapézio ABCD é tal que: (AB 0 DC) S2 = 9 2h Ι S2 = NQ 9 2h 2 2 S1 De 1 e 2 , uma razão pedida é tal que: S2 S1 S1 NQ 9 h 1 = Ι = S2 NQ 9 2h S2 2

Como os triângulos CFD e AFE são semelhantes, temos: FE AE FE x 3 = → = → FE = DF CD 6 4x 2 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo DAE, temos:

NQ : base média do trapézio ABCD; AB 0 DC NQ = 2

3 5 x 5 = 3 06Θx= 2 2 Logo:

E

B

(DE)2 = (AE)2 0 (AD)2 Θ (DE)2 = x2 0 (2x)2 Θ DE = x 5 Sendo DE = FE 0 FD:

3 5 Θ AB = 6 5 e 2 3 5 AD = 2x = 2 9 Θ AD = 3 5 2 Portanto, a área S pedida, em m2, é tal que:

AB = 4x = 4 9

S = AB 9 AD Θ S = 6 5 9 3 5 Θ S = 90 m2

12 (UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida de seus lados são números inteiros.

Fazendo a figura e observando os dados do problema, tem-se:

14243 123

Perímetro: 2x 0 2y = 18 → x 0 y = 9 Área: hy = 12 Pitágoras: h2 = x2 − y2 = 9(x − y)

x

h

x

2y

x=9−y → (9 − 2y)y2 = 16 9(x − y)y2 = 144

Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, o único valor possível é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os outros lados medindo 5 cm.

Matemática 012_022_CA_Matem_1

12

α x

11.08.06, 14:13

A

14 (Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 50 000,00.

Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir que o prejuízo do casal foi de: b a a a) R$ 2 000,00 b) R$ 5 000,00 c X c) R$ 7 000,00 a=1m b=9m d) R$ 9 000,00 c c = 19 m e) R$ 11 000,00

16 (FGV-SP) a) Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC? b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a altura relativa à hipotenusa é 6. Se BH = 3 cm e HC = 8 cm, qual a medida do cateto o? a)

Sejam σ a medida do lado do triângulo eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado i e N o ponto médio do lado o.

I. Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm, pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança é 1 : 2.

II. Sendo S a área do triângulo ABC, temos: 82 3 σ2 3 S= = → S = 16 3 4 4

A

4

M

N

a a

b

9

• Cálculo do valor do metro quadrado do terreno: 50 000,00 = 250,00 /m 2 Θ R $ 250,00 / m 2 10 9 20

1

1

19 20

19

1 1

9

• Cálculo da área real do terreno: 19 9 1 9 19 A = 10 9 20 − 2 9 −29 2 2 A = 200 − 9 − 19 A = 172 m2 • Prejuízo: P = (200 − 172) 9 250 Θ P = 7 000

C

Ι S = 16 3 cm 2 b)

A No triângulo retângulo ABC, temos: (AC)2 = HC 9 BC (AC)2 = 8 9 11 AC = 2 22 cm

B

3

H

8

C

A

Portanto, o prejuízo foi de R$ 7 000,00.

10

15

σ

B

Pelos dados, temos:

E

B

17

(UFAC) Na figura, ABCD é um retângulo e E é um ponto do segmento i. Da figura, podemos concluir que:

(UFMG) Observe as figuras: 30

C

90

40

40

110

12

Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12 cm na parte da frente da casa.

Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de: a) 0,96 m2 X b) 1,22 m2 c) 1,44 m2 d) 0,72 m2 A largura de cada parte do telhado mede: x

30 cm

x2 = 302 0 402 Θ x = 50 cm

I. Se AE = EB, então a área do triângulo ACE é um quarto da área do retângulo ABCD. II. O valor da área do triângulo CDE é o mesmo da soma das áreas dos triângulos ACE e EBD. III. A área do triângulo CDE é metade da área do retângulo ABCD, independentemente da posição em que o ponto E esteja no segmento i.

Com relação às afirmações I, II e III, pode-se dizer que: X a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) apenas I é verdadeira. d) as afirmações II e III são falsas. e) apenas II e III são verdadeiras.

II. Verdadeira

I. Verdadeira

A

40 cm

E

x

x

B

A área total é igual a: 2S = 2 9 6 100 = 12 200 cm2 = 1,22 m2

B

1

2 2

50 cm

A área é igual a: S = 122 9 50 = 6 100 cm2

E

A

Cada parte do telhado é um retângulo de dimensões:

122 cm

D

C

D

S ACE =

1 9 S ABCD 4

C

1 D

SCDE = S1 0 S2 SACE 0 SEBD

III. Verdadeira

S1 0 S2 =

1 9 S ABCD 2

Matemática 012_022_CA_Matem_1

13

11.08.06, 14:14

18

(UCSal-BA) No centro de uma praça circular, de 90 m de raio, foi montado um tablado, também circular e com 12 m de raio, no qual se realizou um espetáculo musical. Considerando que todas as pessoas que foram ao espetáculo restringiram-se à faixa da praça exterior ao tablado, que teve uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, quantas pessoas estiveram presentes a esse espetáculo? (Use π = 3.) a) 90 576 c) 93 128 e) 98 576 b) 92 462 X d) 95 472 Do enunciado, temos:

90 m

12 m

20

(Furb-SC) “Lixo é basicamente todo e qualquer resíduo sólido proveniente das atividades humanas ou geradas pela natureza em aglomerados urbanos. O lixo faz parte de nossa vida, e tratá-lo bem é uma questão de bom senso, cidadania, e bem-estar, agora, e principalmente no futuro.” (www.loucosporlixo.com.br) Pensando nisso, um grupo teatral quer representar uma peça sobre a importância da reciclagem do lixo. Eles querem montar um cenário no qual 3 paredes de 4 m de altura por 5 m de comprimento deverão ser revestidas de CDs defeituosos. Sabendo-se que cada CD possui 12 cm de diâmetro, quantos CDs, aproximadamente, serão necessários para revestir essas paredes? (Use π = 3,14.) a) 5 200 c) 5 400 e) 5 600 d) 5 500 X b) 5 300 • Área do cenário: A = 3 9 4 9 5 = 60 m2 • Área de cada CD: A1 = π 9 R2 A1 = 3,14 9 (0,06)2 A1 = 0,011304 m2

A área da coroa circular é: S = πr 22 − πr 12

• O número de CDs necessários é: 60 N= Θ N Λ 5 308 0,011304

S = π( 90 2 − 12 2 ) S = 3 9 (8 100 − 144) S = 23 868 m2 O número de pessoas é: n = 4 9 23 868 = 95 472 pessoas

21 (Cefet-PR) Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir.

19

(IBMEC-SP) Um CD comum, que comporta em média 80 minutos de música, tem 12 cm de diâmetro, sendo que não é possível gravar em seu círculo interno de diâmetro 4 cm. Considerando que o tempo total de música que pode ser gravada num CD é diretamente proporcional à sua área de gravação, se duplicarmos as medidas dos diâmetros do CD e do círculo interno em que não se pode gravar, será possível gravar neste novo CD: a) 160 minutos de música b) 240 minutos de música X c) 320 minutos de música d) 400 minutos de música e) 480 minutos de música Considere: Si: área de gravação de um CD comum, em cm2 Sf: área de gravação do novo CD, em cm2 Temos: Si = π 9 62 − π 9 22 Ι Si = 32π Sf = π 9 122 − π 9 42 Ι Sf = 128π Sendo t o tempo em minutos procurado, temos: 128 π 9 80 t= Ι t = 320 min 32 π

cm 6 4 2

2

4

6

8 cm

A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência do motor da máquina. Considerando que o contorno da lâmina somente é constituído de semicírculos, sua área, em cm2, é igual a: c) π e) (4 0 12π) X a) 16 b) 16π d) (4 0 16π) Completando a figura abaixo, obtemos um quadrado de lado 4 cm.

6

4

4 6 Logo, a área da lâmina é: 4 9 4 = 16 cm2

Matemática 012_022_CA_Matem_1

14

11.08.06, 14:14

Em questões como a 42, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na coluna II.

22

(Unicap-PE) Deseja-se construir um oleoduto, ligando duas cidades, A e B (observe a figura abaixo). Há três possibilidades de trajetos: em linha reta, com o custo total por km, em real, de 2 700,00; em arco (semicircunferência), com custo total por km, em real, de 1 600,00; em forma de L, ACB, com custo total por km, em real, de 1 700,00.

Assim: I – II 0 – 0 O trajeto em arco é o mais caro.

B 1 – 1 O trajeto em forma de L é o mais caro.

2 – 2 O trajeto i é o mais barato.

3 – 3 Os trajetos em arco e em forma de L têm o mesmo custo.

A C 4 – 4 O trajeto mais barato é em L.

24

(UFJF-MG) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura abaixo. Se a base da janela mede 1,2 m e a altura total 1,5 m, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é: a) 1,40 X b) 1,65 c) 1,85 1,5 d) 2,21 e) 2,62 1,2 Pelos dados, vem:

0,6 0,6

1,5

Pelos dados, temos:

B

3,14 9 ( 0,6 ) 2 2 A = 1,08 0 0,57 A = 1,65 m2 A = 12 , 9 0,9 0

0,6

0,9

0,9

R x

1,2

R A

x

C

0 0. Falsa. Aplicando o teorema de Pitágoras, vem: (2R)2 = x2 0 x2 Θ 4R2 = 2x2 x2 = 2R2

x =R 2 Substituindo

2 por 1,41, vem x = 1,41R.

• Trajeto i: 2R 2 700 9 2R = 5 400R 2 πR • Trajeto em arco: = πR 2 1 600 9 3,14R = 5 024R • Trajeto em forma de L: 2x = 2 9 1,41R = 2,82R 2,82R 9 1 700 = 4 794R 1 2 3 4

1.

2.

3.

4.

25

(MACK-SP) Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo lado p é tangente, no ponto B, à circunferência de diâmetro AD = 6. A área da região assinalada é: a) 11 B b) 12 C X c) 9 d) 8 e) 10

Falsa Falsa Falsa Verdadeira

Portanto:

I 0 1 2 3 4

A

II 0 1 2 3 4

D

A área da região assinalada é igual à área do triângulo BCD na figura abaixo:

23

(UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? a) 6 h b) 9 h d) 18 h e) 20 h X c) 12 h As áreas são iguais a: S 1 = πR 12 Θ S 1 = π 9 6 2 = 36 π m 2

6

B

C

3

A

D 3

3

Logo: S=

693 ΙS=9 2

S 2 = πR 22 Θ S 2 = π 9 12 2 = 144 π m 2

Portanto: tempo 3h x

área

3 36 = 36π Θ x 144 144π x = 12 h

Matemática 012_022_CA_Matem_1

15

11.08.06, 14:14

26

(UFPE) Na ilustração a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, a circunferência maior está inscrita no triângulo e as duas menores são tangentes à maior e a dois lados do triângulo. Se o triângulo tem lado medindo 18, qual o maior inteiro menor que a área da região colorida?

(Dado: use as aproximações 3 Λ 1,73 e π Λ 3,14.)

A

C

27 (UFMT) A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 11,8 cm e o da circunferência interna, 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm2) da área da etiqueta.

3,6 cm 11,8 cm

As medidas dos raios são: d1 = 2r1 Θ 11,8 = 2r1 Θ r1 = 5,9 cm d2 = 2r2 Θ 3,6 = 2r2 Θ r2 = 1,8 cm A área da etiqueta é igual a: S = πr 21 − πr 22 Θ S = π(r 21 − r 22 ) S = 3,14(5,92 − 1,82) S = 99,1298 cm2 Ι S = 99 cm2

B

Da figura, temos:

18

A r2

r2

C

r1 9 r1

18

M

9

B A altura do triângulo eqüilátero é igual a:

σ 3 18 3 Θ h1 = Θ h1 = 9 3 2 2 1 O raio r1 é igual a da altura: 3 1 1 r1 = h Θ r1 = 9 9 3 Θ r1 = 3 3 3 1 3 As circunferências menores estão inscritas em triângulos eqüiláteros de alturas iguais a: h2 = h1 − 2r1 Θ h2 = 9 3 − 6 3 = 3 3 h1 =

O raio das circunferências menores é igual a: 1 1 r Θ r2 = 9 3 3 Θ r2 = 3 3 3 1 A soma das áreas das circunferências é igual a:

r2 =

S = πr12 0 2πr22 Θ S = π 9 (3

3 )2 0 2π( 3 )2 Θ S = 33π

A área da região colorida é igual à diferença entre as áreas do triângulo eqüilátero ABC e a soma das áreas das circunferências: σ2

18 2 3 −S ΘA= − 33π Θ A Λ 36,51 A= 4 4 O menor inteiro é 36.

3

28 (Vunesp-SP) A figura reA B presenta um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retanO gular que se destina à plantação de flores e uma outra região, C D sombreada na figura, na qual se plantará grama.

Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2). x: medida de BD, em metros

B

A

Sf: área destinada à plantação de flores, em metros quadrados

O

Sc: área do círculo de centro O e raio OB , em metros quadrados Sg: área destinada à plantação de grama, em metros quadrados

5 C

4

x x 2

M

5 4

D

8

R: quantia, em reais, a ser gasta com a plantação de grama Assim:  x a)    2

2

 x 0 4 2 = 52 →    2

2

=9→

x =3→ x=6 2

6 m (medida do lado BD) Sf = CD 9 BD → Sf = 8 9 6 → Sf = 48 m2 (área da região com flores) b) Sc = π(OB)2 → Sc = 3,2 9 52 → Sc = 80 Sg = Sc − Sf → Sg = 80 − 48 → Sg = 32 R = Sg 9 3,00 → R = 32 9 3,00 → R = R$ 96,00 (valor gasto com a grama)

Matemática 012_022_CA_Matem_1

16

11.08.06, 14:15

29

(FMTM-MG) Na figura, a medida dos segmentos OA e OB é 4 cm. O ângulo AOB tem 90) e OCA e OCB são semicircunferências.

A área da superfície sombreada é: a) (4 − π) cm2 B b) (6 − π) cm2 2 X c) (2π − 4) cm 2 d) (π − 3) cm C e) (2π − 5) cm2

O

Pelos dados, temos:

A

M1

31

(UFSCar-SP) Considere a região R, pintada de preto, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm.

Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pede-se:

a) a área da região interna ao quadrado, complementar à região R; b) a área da região R. Do enunciado, temos:

B

a) A área pedida é igual a quatro vezes a área do triângulo T mais quatro vezes a área do setor S: 1 1 49 9292049 9 π 9 12 2 4 Logo, a área pedida é (8 0 π) cm2. b) A área da região R é igual à área do quadrado menos a área obtida no item a, ou seja, 42 − (8 0 π).

Logo, a área de R é (8 − π) cm2.

4 1 2

4

C 2

2 O

A hachurada =

4 1

2

D

A

2

 π 9 22 π 9 42 π 9 22 292  − 920 −  92  4 2 4 2 

T

1 1

2

2 S 1

Ahachurada = 4π − 4π 0 2(π − 2) = (2π − 4) Θ (2π − 4) cm2

C

32

(Fafeod-MG) A figura ao lado ilustra um triângulo ABC, inscrito numa circunferência de centro O e raio 2,5 cm, sendo CB igual a 3 cm.

30 (Vunesp-SP) Uma empresa tem o seguinte logotipo:

Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm2, de toda a região pintada de preto é: 9π 9π 9π a) 9 − c) 18 − e) 36 − 2 4 2 9π 9π d) 36 − X b) 18 − 4 4

A

B O

Assumindo π = 3,14, é correto afirmar que a área, em cm2, da região hachurada na figura é: a) 12,625 X b) 13,625 c) 19,625 d) 15,625 AB é o diâmetro da circunferência, pois passa pelo centro O, logo o triângulo ABC é retângulo em C. Substituindo os valores na figura, vem: C

B

3 3

B

A

x

A

3 45)

3 B

A

3

45) 3

3 B

A área S, em centímetros quadrados, da região pintada de preto é dada por S = 2A 0 4B, em que: 45 ) 9π A= 9 π 9 32 = 360 ) 8 393 9 9π B= −A= − 2 2 8

2,5

2,5

B

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 52 = 32 0 x2 25 = 9 0 x2 x2 = 16 x=4

Assim:

Portanto, a área hachurada vale: 394 A hachurada = A círculo − A triângulo Θ A = π 9 (2,5 ) 2 − 2 A = 6,25π − 6

 9 9π 9π  049 −   2 8 8  9π 9π 9π S= 0 18 − → S = 18 − cm 2 4 2 4

Substituindo π, vem: A = 6,25 9 3,14 − 6 A = 19,625 − 6 A = 13,625 cm2

S=29

Matemática 012_022_CA_Matem_1

17

11.08.06, 14:15

33

(UFPE) Na figura abaixo, o ângulo BhC mede 60° e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual o inteiro mais próximo da área da região colorida? (Dados: use as aproximações π Λ 3,14 e 3 Λ 1,73.)

B

C

35 (FGV-SP) Em uma cidade do interior, a praça principal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito.

Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor estimativa do número de pessoas presentes ao comício é: c) 100 mil e) 40 mil X a) 70 mil b) 30 mil d) 90 mil Do enunciado, temos a figura (cotada em metros):

60⬚

A

180 praça

A área da região colorida é:  π 9 62 6 2 9 sen 120°  −  S = 2   3 2 S = 24π − 18 3 S = 24 9 3,14 − 18 9 1,73 S = 44,22

200

1 9 200 9 180, ou seja, 18 000.

2 Sendo x o número de pessoas presentes ao comício, do enunciado temos que x = 4 9 18 000, ou seja, x = 72 000.

Logo, a melhor estimativa está na alternativa a.

A área da praça, em m2, é igual a

34 (ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m Ο 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. praça de área conhecida

planta

Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é, aproximadamente: a) 800 c) 320 000 X e) 5 000 000 b) 10 000 d) 400 000 A massa da planta da cidade é 40 g. A área da praça de dimensões 100 m por 100 m é 10 000 m2 e o recorte da planta tem massa 0,08 g.

S 10 000 = → S = 5 000 000 40 0,08

36

(UA-AM) Um setor circular de raio 5 cm tem arco de comprimento 8 cm. Então a sua área é: a) 30 cm2 c) 10 cm2 X e) 20 cm2 2 2 b) 40 cm d) 80 cm S setor =

σ 9R 895 Θ S setor = = 20 Θ S = 20 cm 2 2 2

Logo, a área da cidade é 5 000 000 m2.

Matemática 012_022_CA_Matem_1

18

11.08.06, 14:16

37

(Unicamp-SP) Um ter-3 reno tem a forma de um trapézio retângular ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m.

D

C

B

A

a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,00, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado i.

39

UCSal-BA) Na figura abaixo tem-se o quadrilátero ABCD, no qual AB = 3 cm, AD = 4 cm, CD = 12 cm, i Η # e 7 Η a.

C A área e o perímetro desse quadrilátero são, respectivamente: a) 36 cm2 e 24 cm X b) 36 cm2 e 32 cm D c) 48 cm2 e 24 cm 2 d) 72 cm e 32 cm e) 72 cm2 e 37 cm A

B

C

Da figura, temos:

D

C

15

12

cm

24 10

A

D

15

E

B

25

4 cm

a) Atrapézio = Atriângulo 0 Aretângulo

A 3 cm B

10 9 24 0 15 9 24 2 Atrapézio = 120 0 360 = 480 A trapézio =

(DB)2 = 32 0 42 Θ (DB)2 = 9 0 16

Valor total do terreno: 480 9 50,00 = R$ 24 000,00

DB = 25 = 5 cm (BC)2 = 122 0 52 Θ (BC)2 = 144 0 25

1 da área do trapézio, b) No item a, observamos que a área do triângulo é 4 e assim a figura pedida é: D

15

BC = 169 = 13 cm

A área do quadrilátero é: 394 12 9 5 0 = 6 0 30 = 36 cm 2 2 2 O perímetro é: 3 0 4 0 12 0 13 = 32 cm S = S ABD 0 S BCD =

C

24

A

10

5

5

5

40 (UFLA-MG) Obtenha o valor de x, de forma que as áreas S1 e S2 sejam iguais.

B

0,5

4

S1 S2

x

38

(UFAL) Na figura, temse a planta de um terreno com forma de trapézio e área de 240 m2.

Determine o perímetro do terreno.

A trapézio

x 8,5

Pelos dados, vem: y

C

15 m

0,5

D E

4

20 m

(20 0 x ) 9 15 = = 240 Θ x = 12 m 2

4

y

8−x

0,5 B

x F

G

A

8

Fazendo a figura, temos: Os triângulos AEG e ADF são semelhantes. Logo: y x = Θ 4x = 8y Θ x = 2y 8 4

x = 12

y

15

8

15 12

20

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = (15)2 0 (8)2 = 17 m Portanto, o perímetro do terreno vale: p = 20 0 15 0 12 0 17 = 64 m

S2 =

x9y 2y 9 y Θ S2 = 2 2

S2 = y2

S1 0 S2 = 4 9 0,5 0 8 9 4 Θ S1 0 S2 = 18 Como S1 = S2, temos: 18 =9 2 2 Portanto, y = 9 Θ y = 3 e x = 2 9 3 = 6 S1 = S2 =

Matemática 012_022_CA_Matem_1

19

11.08.06, 14:16

41 (UCSal-BA) Na figura têm-se dois lotes de terrenos planos, com frentes para duas ruas e cujas divisas são perpendiculares à Rua Bahia.

Se as medidas indicadas são dadas em metros, a área da superfície dos dois lotes, em metros quadrados, é: X

(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

GRANDE

s oa x − 5 2

MÉDIA

ag

l aA

Ru

a) 350 b) 380 c) 420 d) 450 e) 480

42

x

2m

lote B lote A

10

8

12

2m

Rua Bahia PEQUENA

área do círculo: πr2

Do enunciado, vem:

C 25 B

x

y

B

A

10

8

G

−

z

x

A a

25

F

12 D

E 20

O quadrilátero ABEF é semelhante ao quadrilátero ACDF, logo: 8 x = Θ 20 x = 25 9 8 Θ x = 10 25 20 10 25 10 25 = Θ = Θ z = 25 x z z 10 a 0 10 a 0 25 a = = 10 y 25 a 0 25 a 50 = Θ 25 a = 10 a 0 250 Θ 15 a = 250 Θ a = 10 25 3

50 50 0 10 3 3 = Θ y = 16 10 y Portanto: Área do lote A = Área do lote B =

(10 0 16 ) 9 8 2

= 104

(25 0 16 ) 9 12 2

= 246

Área total dos dois lotes: 104 0 246 = 350 m2

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuar reciclagem do material. A partir dessas informações, podese concluir que: a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. b) a entidade I recebe metade do material da entidade III. c) a entidade II recebe o dobro do material da entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. X e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

Os raios das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, 1 1 me m.

2 4 Em metros quadrados, as sobras SI, SII e SIII das tampas grandes, médias e pequenas são, respectivamente, tais que: SI = 4 − π 9 12 = 4 − π

1 m,

2

 1 SII = 4 − 4 9 π 9   = 4 − π  2 2

 1 SIII = 4 − 16 9 π 9   = 4 − π  4 Supondo que a quantidade de chapas quadradas usadas diariamente para produzir as tampas grandes seja a mesma para as tampas médias e para as tampas pequenas, as sobras serão iguais, pois SI = SII = SIII.

Matemática 012_022_CA_Matem_1

20

11.08.06, 14:16

43 (Unifor-CE) A parte superior de um tablado tem a forma de um trapézio isósceles com 56 m de perímetro e cujos lados paralelos medem 12 m e 24 m. Se a superfície desse tablado for inteiramente revestida de uma camada de verniz, ao preço de R$ 6,50 o metro quadrado, a quantia a ser desembolsada por esse serviço será: X c) R$ 936,00 a) R$ 916,00 e) R$ 986,00 b) R$ 920,00 d) R$ 950,00 Fazendo a figura, vem:

A

x

F

12

h 6

B

x

h 12

E

6 D

24

C

44

(UFAL) Considerando uma circunferência circunscrita a um hexágono regular de lado 2 cm, analise as afirmativas abaixo.

I – II 0 – 0 A área do círculo limitado pela circunferência é 6π cm2.

1 – 1 Unindo-se o centro da circunferência a dois vértices consecutivos do hexágono, obtém-se um triângulo de área 3 cm 2 .

2 – 2 O comprimento de um arco que une dois vértices 2π consecutivos do hexágono é cm.

3 3 – 3 A maior diagonal do hexágono mede 6 cm.

4 – 4 A medida de cada ângulo interno do hexágono é 120).

0 0. Falsa Do enunciado, temos:

Perímetro do trapézio: 12 0 24 0 x 0 x = 36 0 2x Logo: 36 0 2x = 56 2x = 20 x = 10

A σ

B

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, vem: 102 = h2 0 62 h2 = 100 − 36 h2 = 64 h=8 Cálculo da área do trapézio: (12 0 24 ) 9 8 A= = 144 m 2 2 Portanto, o valor pago será: V = 144 9 6,50 Θ R$ 936,00

F σ = R = 2 cm S = πR2 Θ S = π 9 22 = 4π cm2

O C

E D

1 1. Verdadeira E

D 2

π 60) = rad 3 O

F

C a6

R

60)

60) A

 R (a 6 ) 2 0   = R 2 Θ a 26 0 12 = 2 2  2  a 26 0 1 = 4

σ1

a6 = S=

R 9 a6 29 3 = = 2 2

3 cm

3 cm 2

B

R 2

M

2 2. Verdadeira σ1 = εR Θ σ1 =

2π π cm 92= 3 3

3 3. Falsa D = 2R = 2 9 2 = 4 cm 4 4. Verdadeira ângulo interno = 60) 0 60) = 120) Portanto:

I 0 1 2 3 4

II 0 1 2 3 4

Matemática 012_022_CA_Matem_1

21

11.08.06, 14:17

(UFAC) Para responder às questões de números 45 e 46, utilize as informações seguintes.

Na figura abaixo tem-se parte da planta de um bairro, na qual as ruas são paralelas entre si. As quadras A, B, C, D e E têm as medidas de alguns de seus lados indicadas em metros.

Avenida N

M

290

Av en ida

E

120

B

13

12

15

13

D

Rua V 200

12

15

12

Rua W

C Rua X D

A

100 Rua Y

112,5

E Rua Z

13

B

C

(BC)2 = 152 − 122 (BC)2 = 225 − 144 BC = 81 BC = 9 km Portanto, a área do trapézio é:

45

Quantos metros percorre-se, seguindo-se em linha reta da esquina da Avenida N com a Rua U até a esquina da Avenida N com a Rua Z? a) 570 b) 580 d) 600 e) 610 X c) 590

46

A área da quadra B, em metros quadrados, é igual a: X c) 73 000 a) 74 500 e) 70 800 b) 73 100 d) 72 200 200 A

L

120

290

B 200

Ave ni

B

J

100

112,5

C

C

I

D 100

D

H

Avenida N

M

da

K

Rua U

A

150

E

E

G

F

Rua V

Rua W Rua X Rua Y Rua Z

S=

(22 0 13 ) 9 12 Θ S = 210 km 2 2

48

(UFF-RJ) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão divididos em três partes iguais, medindo 1 cm cada um dos segmentos ( MU , UT , TQ , NR, RS e SP ). Unindo-se os pontos N e T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a figura ao lado.

N

R

S

P

JK JI 250 100 = Θ = Θ CD = 80 BC CD CD 200

R

S

P

M

U

T

Q

Os triângulos UDT e MBQ são semelhantes.

y

B

Logo ,

LK KJ 150 JK = Θ = Θ JK = 250 AB BC 120 200

N

Calcule a área da região sombreada na figura.

Usando o teorema de Tales, temos: A

C

3

Pela simetria da figura, y =

H D

H 9 3 0 H = 3; logo, H = ex= 3 4 4

M 1 U 1

112,5 IH HG 125 = Θ = Θ EF = 90 DE EF EF 100

3 19 UT 9 x 3 4 Assim, área de UDT = = = cm 2 .

2 2 8

• A distância percorrida é: AB 0 BC 0 CD 0 DE 0 EF = 120 0 200 0 80 0 100 0 90 = 590 Θ 590 m K

250

J

290

B

200

M

200

290

(JK)2 = (KM)2 0 (JM)2 2502 = 2002 0 (JM)2 JM = 150 m

Área de MBQ =

1 Q

MQ 9 H = 2

39 2

9 4

=

27 cm 2 8

Portanto, a área da região sombreada pode ser calculada por: A = 2 9 (área de MBQ − 3 9 área de UDT) =  27 3 =29 − 3 9  = 4,5 cm 2  8 8

C

A área é: ( 440 0 290 ) 9 200 S= = 73 000 m 2 2

Matemática 012_022_CA_Matem_1

22

H ; então: 3

y 0 x 0 H − x = 3 cm

x T

1 UT x H → x= = = .

3 3 MQ H

JI IH 100 IH = Θ = Θ IH = 125 CD DE 80 100

•

e) 205

Rua U

A

100

(UFV-MG) A figura ao lado ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas em quilômetros (km), de três de seus lados.

A área do terreno, em km2, é igual a: X d) 210 a) 220 b) 200 c) 215

200 150

47

11.08.06, 14:17

Geometria Plana - Áreas das Figuras Planas - Professor: André Luiz

1. 0 retangulo abaixo, de dimensoes a e b, esta decomposto em quadrados. Qual 0 valor da

razaoa/b?

x a) 5/3 b) 2/3

c) 2 d) 3/2

M, N, P, Q saD pontos medios dos lados do quadrado ABCD, cuja area mede 16 cm2• A area do quadrado em cm2, mede:

Rsrv,

8

b) 10

4. A base de um triangulo e a altura relativa a essa base medem, respectivamente, be h.

Um retangulo de altura xe inscrito no triangulo, sendo que sua base esta contida na base desse triangulo. A area do retangulo, em fun9ao de b, x e h, e:

2. Observe a figura. Nesta figura, os pontos

a)

Testes de Vestibulares 1

c)

a)

hx (b - x) b

x b) bx (h - x) h

c)

bx (h - 2x)

h

d) bx (h

+ x)

h

5. Joao possufa um terreno retangular ABCD, de 1 800 m2, do qual cedeu a faixa ADEF com 10m de largura, em troca de outra, CEGH, com 30 m de largura, conforme esta indicado na figura, e de modo que ABCD e BHGF tivessem a mesma area. 0 perfmetro do terreno ABCD media:

1;

x d) 1;

3. 0 retangulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura e 3/5 do comprimento. A parte colorida representa um jardim retangular cuja largura e tambem 3/5 do comprimento. Qual a razao entre a area do jardim e a area total do terreno? a) 204 m b) 190 m

c) 186 m x d) 180 m

6. Precisa-se colar uma gravura retangular, cujas dimensoes saD 34 cm e 14 cm, em um peda90 de cartolina. As margens superior e inferior e as laterais da cartolina devem ter uma largura constante. A area total da cartolina e de 800 cm2• A medida da largura da margem, em cm, e um divisor de: a) 7 b) 11

x c) 15 d) 20

12. Observe a figura.

7. Qual dos segmentos desenhados na cruz representa 0 lado de um quadrado de area igual area da cruz?

BC e a hipotenusa do triangulo retangulo

a

a)

ABC, AE

c)

=

iAB,

FC

=

iAce

a area do

quadrilatero BCFE e igual a 30 cm2• A area do triangulo AEF e igual a: A

a) 20

~g

c)

~g

x d)

~g

13. Seja Do ponto medio do lado AB do trian-

8. Ao reformar-se

0 assoalho de uma sala, suas 49 tabuas corridas foram substitufdas por tacos. As tabuas medem 3 m de comprimento por 15 em de largura e os tacos, 20 em por 7,5 em. 0 numero de tacos necessarios para essa substituic;:ao foi:

a) 1 029 b) 1 050

b)

gulo ABC. Sejam E e F os pontos medios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se va na figura. Se a area do triangulo ABC vale 96, entao a area do triangulo AEFvale:

x c) 1 470 d) 1 500

9. Aumentando-se os lados a e b de um retangulo de 15% e 20%, respectivamente, a area do retangulo e aumentada em: a) 35%

b) 3,5%

c) 3,8% x d) 38%

1 O. Na figura abaixo, sac dados: medida do lado do quadrado ABCD

=

l

=

10 em, AE

= AF;

~~

=

14. Considere NQ = MP = M N, sendo MN a

colorida e, em cm2,

A areadaregiao

3 base do retangulo KNML. Se a soma das areas dos triangulos NQL e PLM e 16, a area do retangulo KNML e:

K

B

a)72

C

b) 64

c) 60

M

x d) 58

11. ABe

0 diametro do cfrculo de centro 0 no qual 0 triangulo ABC esta inscrito. A razao

a) 24

15.

A

B

~ entre as areas s do triangulo ACO e S do triangulo COB e: a) ~ 4

L

b)

.43

c) ~ 4

x c) 48

Os triangulos CD e ® da figura sac retangulos is6sceles. Entao, a razao da area de CD para a de ® e: a).f3

x d) 1

b) 32

b)-j2

x c) 2 d)-J5 2

d) 72

16. Considere a figura abaixo, onde G eo baricentro do triangulo ABC. Assinale a unicaalternativa que corresponde razao entre as areas dos triangulos ABGeEGD.

a

20. UI1'l triangulo eqOilatero ABC esta inscrito numa circunferencia de raio igual a 6 em. 0 triangulo e interceptado por um diametro de circunferencia, formando um trapezio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar, en~ tao, que a razao entre a area do triangulo ABC e a do trapezio e igual a: a)

Q.

A

4

x b) ~ c) d)

i ÂŁ

M

N

17. Na figura abaixo tem-se um quadrado cujo lado mede 16 em. Se 0 ponto Petal que AP = PO = PE, entao a area do trapezio ABEPe, em cm2,

21. Considere um trapezio isosceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 em. Se AD = 8 em, pode-se afirmar que a area do trapezio, em cm2, a) 4..)3 b) 6..)3 c) 8..)3 x d) 12..)3

e:

22. Na figura a seguir,

x a) 104

b) 110

c) 124

d) 130

18. Na figura abaixo, ABCD e um losango e A e o centro da circunferencia de raio 4 em. A area desse losango, em centfmetros quadrados, e:

0 quadrado ABCD tem area total de 40 cm2â&#x20AC;˘ Sabendo-se que E e F SaD os pontos medios dos lados AB e CD, respectivamente, forma-se entao 0 quadrilatero colorido FGEH, que tem area igual a:

a) b) c) x d)

30 25 11 10

cm2 cm2 cm2

D

F

C

cm2

23. A

planta deum projeto agricola, na escala de 1:10 000, tem a forma e as dimens6es especificadas na figura abaixo. Indique a area do projeto em hectares, entre as alternativas abaixo:

19. A area do trapezio da figura e: x a) x(y b)

+ ~.JZ2 -

x(y -

~.JZ2 -

2

x

)

2

X

)

-10----

xl

'o~I~I4,m I_

20cm

c) ~(z +x)y d) ~(x +y)z

a) 120 ha b) 250 ha

x c) 140 ha d) 800 ha

_I

24. Um triangulo eqOilatero e um quadrado tem

e

perfmetros iguais. Se a area do triangulo 25.)3 cm2, entao a diagonal do quadrado mede, emcm, a)

3~

b)5~

c)5~

30. Na figura abaixo tem-se

0 mostrador de um rel6gio com a forma circular, cujo diametro 3 cm, 0 comprimento do menor arco, determinado pelos ponteiros desse rel6gio na hora assinalada, e, em cm:

e

xd) 15f2 12

25. Se um polfgono regular

e

tal que a medida de um angulo interno 0 triplo da medida do angulo externo, entao 0 numero de lados desse polfgono

e

e:

a)6

xb)8

c)9

d)12

26. Na figura abaixo, ABC e BDE sac triangulos eqOilateros de lados 2a e a, respectivamente. Podemos afirmar, entao, que 0 segmento CD mede: x c)

1t

d) ~

e

31. Se

0 comprimento de uma circunferencia 1O~ cm, 0 lade do quadrado inscrito nessa circunferencia, em cm,

e:

x c)

a) Q b) 5~

;

27. A razao entre a medida de um angulo inter-

1.Q 1t

1t 1t

d) 10~ 1t

no de um oct6gono e a medida de um an-

32. 0 pneu de um vefculo, com 800 mm de dia-

e 190.

metro, ao dar uma volta completa percorre, aproximadamente, uma distancia de:

gulo interno de outro polfgono regular Esse polfgono a) hexagono. b) decagono.

e 0:

a) 25,00 m b) 5,00 m

x c) dodecagono. d) icosagono.

e

28. Seja um triangulo eqOilatero, cuja area numericamente igual ao seu perfmetro. 0 ap6tema desse triangulo, numa unidade u, mede:

x c) 2,50 m d) 0,50 m

33. Se a medida do raio de um cfrculo

e

aumentada em 50% de seu valor, entao a sua area aumenta em:

a) 50% b) 100%

x c) 125% d) 225%

34. Na figura abaixo sac dados dois cfrculos 29. Seja

0 hexagono retangular inscrito na cir-

cunferencia de centro 0 e raio 6 cm, conforme a figura abaixo. A area da regiao colorida, em cm2,

concentricos cujas medidas dos raios estao na razao 1 : 3. Se R2 - R1 = 14 cm, entao a area da regiao colorida

e:

e:

a) 9.)3 b) 12.)3

c) 15.)3 x d) 18.)3

a) 4201t cm2 x b) 3921t cm2

c) 2801t cm2 d) 1961t cm2

35. Na figura abaixo,

0 raio da semicircunferencia mede 4 cm, 0 polfgono e urn hexagono regular, e 0 angulo AOB e reto. Assinale a alternativa correta, para a area da regiao colorida.

38. Na figura,

0

triangulo ABC e equilatero, e

ADC e urn semicfrculo. 0 perfmetro da re-

giao colorida e 4 circunscrito e:

+ 1t. A area do retangulo

+ 5) x b) 2(.J3 + 1) c) (.J3 + 1) a) 2(.J3

a) (.J3 - 21t) cm2 b) 1t.J3 cm2

36. Na figura, ABe

c)

(1t - .J3)

cm2

x d) 2(41t - 3.J3) cm2

0 diametro

do cfrculo de centro 0 e C e umAPonto da circunferencia tal que 0 angulo ABC mede 30째. 5e AS = 6 cm, a area da regiao Iimitada pelas cordas BC e ABe pelo arco menor AC, em cm2, e:

d) 4

uina semicircunferencia

SC = iSD e AS II DE II FC. A area da regiao colorida, em cm2, e:

B

a) 9.J3 2 b)9.J3

+ 31t 4

E

x c) 9.J3 4

+ 31t

d) 9f

+ 61t

0 arco AGe e de raio 3 cm;

39. Na figura abaixo, temos que

D

2

37. Os lados do retangulo representado na figura abaixo medem 6 cm e 8 cm. A area do cfrculo Iimitado pela circunferencia que 0 circunscreve, em cm2, e:

a) 27 - 91t b) 542" 91t c) 36

x d) 108

2 91t

40. Urn comfcio polftico lotou uma pra9a semi-

a)51t b) 101t

x c) 251t

d)501t

circular de 130 m de raio. Admitindo uma ocupayao media de 4 pessoas por m2, qual e a melhor estimativa do numero de pessoas presentes? a) Dez mil. x b) Cern mil. c) Meio milhao. d) Urn milhao.

Obs.: As respostas est찾o marcadas em todas as quest천es.

Geometria Plana - Ă reas das Figuras Planas - Professor: AndrĂŠ Luiz 2. (Mackenzie-SP) Na figura, ABCDEF e urn hexagono regular de lado 1 em. A area do triangulo BCE, em cm2, e: a)

J2 3

d) 2$

xb)

$ 2

e) $

c)

3J2

A

B

C

F

E

0

3. (Unifesp) A figura representa urn retangulo subdividido em 4 outros retangulos com as respectivas areas.

o valor a) 4

de a e: xb) 6

4. (UFSCar-$P) Sobre urn assoalho com 8 tabuas retangulares identicas, cada uma com 10 em de largura, inscreve-se uma circunferencia, como mostra a figura.

Admitindo que as tabuas estejam perfeitamente encostadas umas nas outras, a area do retangulo ABCD inscrito na circunferencia, em cm2, e igual a: a)

800J2

b) 1.400J2 c) d) X

Testes de Vestibulares 2

6. (UFJF-MG) Urn terreno tern a forma de urn trapezio ABCD, com angulos retos nos vertices A eD, como mostra a figura. Sabe-se que AB = 31 m, AD = 20 m e DC = 45 m. Deseja-se construir urna cerca, paralela ao lado AD, dividindo esse terreno em dois terrenos de mesma area. A distancia do vertice D a esta cerca deve ser, em metros, igual a: a) 12 xb) 19 c) 20 d) 22 e) 26 7. (ESPM-SP) A figura abaixo representa uma marca onde os arcos tern centros nos vertices do quadrado de lado igual a 10 em. Se as partes clara e escura devem ter a mesma area, a medida do raio de cada arco deve ser: (Considere

.fi,it

=

2,5.)

a) 4,50 em

b) 4,40 em c) 4,25 em d) 4,15cm xe) 4,00 em

8. (Ibmec) Considere que os angulos de todos os cantos da figura abaixo SaD retos e que todos os arcos SaD arcos de circunferencias de raio 2, com centros sobre os pontos em destaque.

8005 1.200$

e) 1.600$

5. (UFU-MG)Considere a figura abaixo em que os pontos A, B, C, D, E, F, G e H estao ligados por arcos que correspondem a quartos de circunferencia.

A area da regiao sombreada

a)

e igual a:

d) 16n

4

b) 4n xc) 16

e) 64

9. (Udesc) A altura do triangulo

equilatero de vertices

A, B, C, representado pela figura, e h = 3$ . Sejam D, E, F os pontoS'medios dos segmentos AB, BC, CA, respectivamente; enta~ a area do triangulo de vertices D,E,Fe: a)

}cm

11125 cm2 c) 23c:or .â&#x20AC;˘ 26c:or

B

8

x b) A area dessa figura e igual a: xII) 24 cm2

95

c)

d) e)

95 4 3$ 4 8$

9 2$ 9

A

F

C

10. (Urca-CE) Na figura abaixo, ABCD e urn trapezio, BC = 2, BD = 4 e 0 angu10 ABC e reto. Determine a area do triangu10 ACD.

a)

4../3

b) 12

c)

3../2

xd)

2../3

11. (Unea1) Urn cercado tera a forma de urn retangu10 e de urn triangu10 equilatero com urn 1ado comum, como ilustrado a seguir:

o

cercado deve ser construido utilizando 66 m de cerca e deve ter a maior area possivel. Qual a area, em m2, do cercado com a maior area possive1? a) 33(2 b) 33(3 c) 33(4

+../3) +../3) + ../3)

m2

m2

d)

33(5

xe) 33(6

+../3) +../3)

m2

m2

m2

12. (UFF-RJ) Seja MNPQ urn quadrado de 1ado igual a 2 em. Considere C 0 circulo que contem os vertices P e Q do quadrado e 0 ponto medio do 1ado MN (ponto 11.

Veja a figura a seguir: 1,25 em

13. (UEMS) A figura representa urn quadrado ABCD de area 4. Considere 0 triangu10 SBR determinado pe10s pontos S, B e R com S E AB eRE

BC. Se CR

= SB.

A 5 B Pode~se afirmar que a area maxima do triangu10 SBR sera:

Obs.: As respostas est찾o marcadas em todas as quest천es.

Geometria Plana - Ă reas das Figuras Planas - Professor: AndrĂŠ Luiz

85

(FGV-SP) A area da figura hachurada, no diagrama, vale: a) 4,0

b) 3,5 c) 3,0

4

d) 4,5 e) 5,0

3 2

Testes de Vestibulares 3

86

(UFPRI Qual

e

0

valor da area da figural

~:~::: 1 al 95m2

I_

dl 119m2 e~ 109m2

_I

12

~

(UFRN) A area de um terreno retangular e de 281,25m2. Se 0 lado maior do terreno excede de 25% 0 lade menor, entao 0 perfmetro do terreno e igual, em m, a:

87

a) b) cl dl e)

67,5 71,5 75,5 79,5 83,5

88

(PUC-RJI 30% da area de um painel de 200cm x 240cm ocupada por i1ustrat;:oese 12% das i1ustrat;:oes sac em vermelho. Entao, a area ocupada pelas i1ustrat;:oes em vermelho igual a:

e

e

al b) cl dl el

728cm2

1 17,28cm2 172,8cm2 1,728cm2 17280cm2

89 (Fuvest-SP) Aumentando-se os lados a e b de um retangulo de 15% e20%, respectivamente, a area do retangulo e aumentada de: al 35% b130% cl 3,5% dI3,8% el 38%

90 (UF-Vil;:osa-MG) Uma pral;:a quadrada tern 400m2 de area. Numa planta de escala 1:500, 0 lado da pral;:a deve medir: a) b) c) d) e)

3cm 6cm 4cm 5cm 2cm

91 (Cesgranrio-RJ) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas ocupamuma area de 4m2â&#x20AC;˘ Para azulejar as quatro paredes, 0 pedreiro acon~elhaa compra de 10% a mais da metragem a ladril.har. A metragem de ladrilhos a comprar e: a) b) c) d) e)

24,40m2 24',80m2 25,50m2 26,40m2 26,80m2

92 (EPCAR)Quantos azulejos devem ser usados para azulejar uma parede retangular de 15m de comprimento por 3m de altura, sabendo-se que cada azulejo tern a forma de urn quadrado de 15cm de lado?

2 . b) 2 . c) 2 . d) 2,5 e) 104 a)

93

102 103 104 . 102

(Vunesp-SP) A area de urn quadrado de lado

( a ~ b)

(a

lado ( a; b )

> b), menos a area de urn quadrado de

e igual a area de

a) lados a + b e a-b. b) lados a e b. a b c) lados 2 e 2' d) lados 2a e 2b. e) lados e Vb.

va

urn retangulo de:

94 (Fuvest-SP) Um doscatetos de um triangulo retangulo mede 2 e a hipotenusa mede 6. A area do triangulo e: a)

2Y2

b) 6 c)

4Y2

d) 3 e)

Y6

95

(UFMG) Na figura, os angulos ABC, ACO e CEO SaD retos. Se AB = 2V3m e CE =V3m, a razao entre as areas dos triangulos ABC e COE e: a)

6

b) 4 c)

3

d) 2 e)

V3

8

a) a - b b) a2 - b2 c) a + b d) (a + b)2 e)

(a2

+ b2) 2

97

(Cesgranrio-RJ) Os triangulos 1 e 2 da figura sac retiingulos is6sceles. Entiio a razao da area de 1 para

a de 2 a) b)

e:

V3 V2

c) 2

V5

d)

2 e) ~

2

98

(Mack-SP) Na figura, a area do retiingulo Entao a area do triiinguio

a)

e:

e 20.

20

b) 15 -cl 10 d)5 e) n.r.a.

99 (Fuvest-SP) Num triiingulo retiingulo T os catetos medem 10m e 20m. A altura relativa hipotenusa divide T em dois triiingulos, cujas areas, em m2,

a

sac: a) 10e90

b) 20 e 80 c) 25 e 75

d) 36 e 64 e) 50 e 50

100

(FEI-SP) Os pontos ABC determinam um triangulo equilatero cuja area e v'3m2â&#x20AC;˘ D, E e F sac pontos medios de AB, BC e AC, respeetivamente. A medida do segmento FE, em m, e:

a) 1 b) 2 c) d)

v'3 v'3 2

v'3 e)

4

101 (Maek-SP) Na figura, AB 6, BC = 10, BM = 5, BR = 2,5 e MN paralelo a RS e a AB. Entao a area do trapezio RSNM:

e

a) vale 7,5. b) vale 10,5. e) vale 13,5. d)

e ~

e)

e a metade

da area do triangulo ABC. da area do triangulo ABC.

102 (U.E. Feira de Santana-BA) 0 lado de um triangulo equih~tero de area 9v'3em2 mede em em: a)

3Y2

b) 6

c) 3v'6 d) 18 e)

36

103 (Cesesp-PE) Considere a figura onde G e 0 baricentro do triAngulo ABC. Assinale a unica alternativa que corresponde a razao entre as areas dos triangulos ABG e EGO. a) 1 b) 2 c)

3

d) 4

12

e)

104

(PUC-5P) 5e 5 e a area de urn triangulo eqUilatera ABC e se M, N e P SaG os pontos rnedios dos lados do triangulo ABC, entao a area do triangulo MNP

e: a) -

5 5

b) ~ c)

4 5 3

d) ~ e)

2 5

105 (UFGOI No paralelogramo ABCD, tern-se que BE ..L AD; BE = 5cm, Be = 12cm e AE = 4cm.

Entao a area do triAnguio EDC, em cm2, e: al bl cl dl 0)

24 10 30 20 48

106 (EPCAR) Urn patio em forma de trapezio isosceles, cujas dimensoes estao indicadas na figura, deve ser cimentado. Sendo Cr$ 200,000 prec;:odo metro quadrado cimentado, qual sera 0 custo final da obra, em cruzeiros? a) b) c) d) e)

30.200,00 31.200,00 32.200,00 33.200,00 34.200,00

L

31m

~

107 (Cesgranrio-RJ) As diagonais de urn quadrilatero convexo sao perpendiculares e medem 12cm e 18cm. A area do quadrilatero

e:

a) b) c) d) e)

108cm2 180cm2 216cm2 malor do que 216cm2 imposslvel de ser calculada, dados

por insuflciAncia

de

108 (FEI-SP) Sendo a a medida do apOtema de urn hexagono regular, a area desse hexagono mede: a)

2V3 a2

b)

3{2 a2

c) 3V3 a2 d) 2{2 a2 e) (2 a2

109 (Cesgranrio-RJ) Seja V3 a medida do lade do oct6gono regular da figura. Entao, a area da regiao hachurada e: (V3 - 1) b) 4 (V3 - 1) c) 3 (1 + (2) d) 2 (1 + V3) a) 3

e)

2 ({2

+ V3)

110 AC =

(PUC-SP) Na figura, a = 1,5 radiano, 1,5 e 0 comprimento do arco AS e 3. Qual a medida do arco CD?

e

a) 2,33

b) 4,50 c) 5,25

d) 6,50 e)

7,25

III (Cesgranrio-RJ) Um ciclistet de uma prova de resistencia deve percorrer 500kmsobre uma pista circular de raio 200m. 0 numero aproximado de voltas que ele deve dar e: 100 b) 200 a)

c)

300

d) 400 e) 500

112 (UFRS) A razao entre os comprimentos das circunferencias circunscrita e inscrita a um quadrado e: a) _1

2 b) c) d) e)

V2 Y3 2V2 2

113 (UCPR)au..Io 0 COll1pii.dllD de •••• c8'cuIfer6ncia aumenta de 10m para 15m, 0 raio ••.•••••• de: 5

a)-m 21t

b) 2,5m c) 5m d)

1t

-m 5

e) 51tm

114 (UFOP-MG) De um ponto P exterior a uma circunfer~ncia tra<;:am-se uma secante (PB) de 32cm, que passa pelo seu centro, e uma tangente (PT) cujo comprimento e de 24cm. Posto isto, 0 comprimento desta circunfer~ncia e: a) b) c) d) e)

7ncm 8ncm 10ncm 12ncm 14ncm

115

"

(Fuvest-SP) A sec<;:ao transversal de um ma<;:0de cigarros. e um retangulo que acomoda exatamente os cigarros como na figura; Se 0 raio dos ci" garros e R, as dimensoes do retangulo sao:

a) b) c) d) e)

14R e 2R (1 + \"3) 7R e 3R 14R e 6R 14R e 3R (2 + 3V3) R e 2RV3

116 (EPCAR) Se A for a area de um quadrado inscrito em uma circunferencia, entao a area do quadrado circunscrito a mesma circunfer~ncia e equivalente a: a)

..!- A 3

b) 2 A c)

LA 3

d) 2{2 A e) 3{2 A

117 (EPCAR)Os dois drculos dafigura saoconc~ntricos, e a secante PS contem seus diametros.

-

Se PA

-

-

16

= 2cm, SF = 1 cm, PC = Tcm

e

CD = 3 3 cm, entao a area da coroa circular mede 7 em cm2: a) b) c) d) e)

3n 4n 5n 6n 7n

p~ ~B

118 (ITA-SP) Considere as circunferencias inscrita e circunscrita a urn triangulo equilatero delado £.

A area da coroa circular formada por estas circunferencias e dada por: a)

b)

.1!... £2 4

V6 n£2 2

Y3

c)

3n£2

e)

.1!... £2 2

119 (UFAL) Urn hexagono regular de lade 5 esta inscrito numa circul"lferencia. A area do cfrculo limitado por essa circunferencia

e:

a) 5n b) 6n c) 10n d) 12n e) 25n

120 (PUC-SP) media sac 40cm ve ser 0 prec;:oda e os prec;:os sac al b) c) d) e)

Cr$ Cr$ Cr$ Cr$ Cr$

Os diametros das pizzas grande e e 36cm, respectivamente. Qual demedia se a grande custa CrS 200,00 proporcionais as areas das pizzas?

155,00 162,00 174,00 185,00 190,00

121 (Cesgranrio-RJ) Na figura, os tr~s cfreulos sac eonc~ntrieos e as areas das regioes hachuradas sac iguais. Se 0 raio do menor efrculo e 5m e 0 do maior e 13m, entao 0 raio do drculo intermediario e: a) 12m b) 11m c) 10m d)

.j65m

e) 5V3m

'"' sac arcos de (Fatec-SP) Na figura, os areos SD circunfer~ncias de centros em A e C. A area da regiao hachurada, em cm2, e:

122

a)

25V3

2 b)

.251t

3 c)

251t

6 d)

e)

2 5 (21t 6

25

""'i'2

(21t -

3V3)

3V3)

123

(PUC-SP) Uma janela de ferro tern a forma do desenho abaixo. As linhas curvas sac areas de eireunferencia. Qual e a comprimento total do ferra empregado?

120 b) 240 c) 120 d) 240 e) 120 a)

(1 (1 (2 (2 (2

+ 21t + V2) + 1t + V2) + 1t + V2)

+ +

1t + 2V2) 21t + V2)

124 (Fuvest-SP) Uma "estrela'de seis pontas" regular formada por dois triangulos equilateros entrelac;:ados.

e

A razao entre a area de um dos triangulos e a area da estrela vale: a) 1 b) ~

4

c) -

2 3

d) _1

2 e)

1 6

125 (Cesgranrio-RJ) A regiao hachurada R da figura ~ Iimitada par areos de eircunferencia centrados nos v~rtices do qUadrado de lado 2ÂŁ. A area de R ~: a)

1t (2

2 b) (1t -

2V2) p.

d) (4 - x) e) V2 (2

p.

126 (UFMG) Na figura, A; B, C, D, E e F saoos vertices de urn hexagono regular inscrito num cfrculo, cujo raio mede 1m. A area da regiao hachurada e em m2: a)

V3 2

b)

V3

c)

V3

.

3

4

d) V3 e) 1

127 (Santa Casal Na figura, considere 0 segmento a = 2m. A area da superffcie hachurada e igual a: a) 2nm2 b) 4m2 c) 2m2 d)

nm2

e) n.r.a.

128 (EPCAR) Na figura, tem-se urn hexagono regular inscrito em urn cfrculo de raio r. Tlยงm-se tambem 6 arcos de cfrculo com centros nos vertices do hexagono e cujos raios sac iguais ao lade do hexagono.

Calcule a superffcie da regiao sombreada. a) (n - V3) r2 b) (2n - V3) r2

3V3) r2 (n + 3V3) r2

c) (2n d)

e) (3n -

2V3)

r2

129 (EPCAR) A figura contem semiclrculos de raio a e centro nos vertices do quadrado menor. Calcule a area da regiao sombreada. a) 2a2 b) 1ta2 c) 21ta2 d) a2 (4 e) a2 (1t -

1t) 2)

AS

130 (Vest. Unif. RS) Na figura, 13 urn arco de uma circunferencia de raio 1. A area do trapezio retanguloBCDE 13: V3

y

a) 24 A

b)

V3 18

V3

c)

"""12

d)

V3 6

e)

V3 4

131 (UnB-DF) Na figura, a reta corta 0 drculode raio unitario determinando uma cordade comprimento 1. A area da regiao hachurada vale: a) 21t b)

c)

V3 9

V3

...?!...

6 1

6""

4 (1t -

d) n.r.a.

~)

132 (UMC-SP) Na circunfer~ncia de centro A, AS = 2dm, AC = v'3dm e AD = 1dm.

A area da figura sombreada路 e: 2n

a) "5dm2 b) c)

n dm2 31t

dm2

4 d)

4n dm2 5

e)

2n dm2 3

133 (Fatec-SP) A area de um triangulo eqUilatero, inscrito num c1rculo deraio 10, e: 75 b) 150 c) 10v'3 a)

d)

75V3

e) 150v'3

Resps.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

c

d

b

b

c

b

e

c

c

b

10

a

a

b

d

b

d

e

a

a

c

11

c

d

b

a

e

a

b

c

a

e

12

b

a

d

c

b

d

a

c

c

a

13

a

b

e

d

Exercicios Com

Geometria Plana - Ă reas das Figuras Planas - Professor: AndrĂŠ Luiz

As notas do dinheiro brasileiro sao retangulares e medem 14 em de eomprimento por 6,5 em de largura. A Casa da Moeda imprimiu 10.200 notas para substituir notas velhas. Qual foi a area de papel, em m2, utilizada para a eonfeq;ao dessas notas?

A base de urn retangulo tern 1 em a menos que 0 dobro da altura. Calcule 0 perimetro desse retangulo, sabendo que sua area e 15 em2â&#x20AC;˘ Urn homem eonstruiu urn galinheiro, eereando urn terreno quadrado. Ap6s algum tempo, o' homem resolveu aumentar 0 tamanho do galinheiro e, para isso, aumentou de 10%eada lado do quadrado eereado. a) De quanta por eento foi aumentado 0 perimetro desse eereado? b) De quanta por eento foi aumentada a area desse eereado?

Testes de Vestibulares 4

o paralelogramo

ABCD

ao lado tern perimetro 22 em; M e ponto medio de DC e AD tern 2 em a mais que DM. Caleule a area desse paralelogramo.

Uma tabua de largura m tern a forma de urn paralelogramo eujos lados maiores tern medida p, eonforme a figura. Para eonstruir a lateral de uma eseada, urn marceneiro pretende eortar essa tabua paralelalmente aos lados maiores, de modo que a area do maior paralelogramo assim obtido seja igual a k vezes a area do menor.

Qual deve ser a largura (distaneia entre os lad os maiores) do paralelogramo maior, em funcao de m e k?

Calcule a area do quadrado ABCD da figura:

5 (UFPI)A area do quadrado ABCD inserito DO triangulo retangu10 DEF ao lado e: a) 42,25 em2

(UFMA- modifieado) Calcule a area do triangulo is6seeles abaixo: A .~

b) 36 cm2 c) 46,24 em2

d)39.32em2

E

e) 49 em"

B

Bern

C

(UFAMA)Num triangulo retangulo. as proje<,;oesdos eatetos sobre a hipotenusa medem 4 em e 1 em, respeetivamente. A area desse triangulo mede: a) 2 em2 c) 4 em2 e) 10 em2 b)

5J'I

d)5 em2

em2

Para eonstruir uma eaixa de base hexagonal, urn <1lrtesao reeortou em papelao a figura abaixo, formada"por urn hexagono regular de lado 10 em e seis quadrados.

Qual e a area dessa figura?

10. (UFAMA)Se Sl' S2 e S3' respeetivamente. sao as areas dos triangulos A1B1Ch AzB2C2 e A3B3C3 da figura abaixo, entao: a)SI >S2 >S3 e)SI <S2 < S3 b)SI = S2 < S3 d)SI = S2 > S3

(UERJ) 0 deeagono da figura abaixo foi dividido em 9 partes: 1 quadrado. 2 hexagonos regulares e 2 triang. los equilAteros, todos com os lados eongruentes aos Iados do quadrado. e mais 4 outros trilingulos. Sendo Ta area de eada triangulo equilAtero e Q a area do quadIado, pode-se eoncluir que a area do deeagono e: a) 14T + 3Q b) 14T+ 2Q c) 18T+ 3Q d) 18T+ 2Q

o perimetro

de urn losango e 12,/3 em e uma de suas diagonais mede 3,/3 em. Calcule a area desse losango.

(Covest-PE) Na figura abaixo 0 retanguloABCD de lados 4 em e 5 em foi dividido em quadrados de lado 1 em.

Qual e a area da regiao eolorida?

A diagonal menor de urn losango mede 3 m. e a proj~ ortogonal dessa diagonal sobre urn dos lados mede 2 m. a) Calcule a medida de eada lado desse losango. b) Calcule a area desse losango. (pUCjCampinas-SP) Considere 0 trapezio representado na figura abaixo, eujas medidas dos lados sao dadas em eentimetros.

(UFRS) A altura de urn triangulo equilatero inserito numa eireunfereneia e 2,/3 em. A razao entre a area desse triangulo e a area de urn quadrado inserito nessa mesma eireunferencia e: a)

,/3 4

b) 3,/3 4

3

e)g d)

,/3 8

(Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de urn quadrado como mostra a figura ao lado, obtem-se urn oet6gono regular de lados iguais a 10 em. a) Qual e a area total dos quatro trilingulos eortados? b) Caleule a area do oet6gono.

e)

3,/3 8

a) 18 b) 24 c) 30

d) 32 e) 36

Sugestio: Trace as alturas AH e BM e aplique de Pitagoras nos triangulos ADH e BCM.

0 teorema

A figura abaixo mostra uma eireunferencia de raio 6 c-. inserita em urn trapezio retangulo. Calcule a area desse trapezio.

(UFMG) Observe a figura: A

(UFMG) Uma circunferencia de raio 5 cm esta inscrita em urn setor circular de angulo central 60째, conforme a figura. Calcule a area desse setor circular.

B

ES1:

OCt

Nessa figura, as retas r, set san paralelas; a distiincia entre re s e 1; a distancia entre set e 3; EF= 2 eFG = 5.

Calcule a area do quadrilatero ABCD. Uma folha retangular ABCD de cartolina e dobrada formando 0 vinco BE, tal que 0 vertice A coincida com urn ponto do lado BC, conforme figura.

(Mackenzie-SP) Quatro circulos de raio unitario, cujos centros san vertices de urn quadrado, san tangentes exteriormente, conforme a figura. A area da regiao sombreadae: a) b)

2J3 3J2

-1t -1t

c) ~ 2 d) 4 e) 5 -

1t

1t

(Fuvest-SP) Na figura a seguir, ABC e urn triiingulo equilatero de lado 2. Mil, NP e MP sao arcos de circunferencia com centros nos Vertices A, B e C, respectivamente, e todos com raios iguais a 1. A area da regiao sombreada e: 31t

Sabendo

2

que a area do trapezio

BCDE e 400 cm

AB = 2 . DE, calcule a area do retangulo

e que

ABCD.

1t

2"

Contornando urn lago circular, urn topografo constatou que 0 seu perimetro mede 1001t m. Qual e a area da superficie desse lago?

Calcule a area do circulo inscrito em urn triiingulo equilatero de lado 18 cm.

Calcule a area do circulo circunscrito regular de lado 3 cm.

Calcule a area do circulo inscrito gular de lado 4J3 cm.

""4

a urn hexagono

em urn hexagono

re-

Com uma folha retangular de cartolina com 80 cm de comprimento por 60 cm de largura, pretende-se recortar circulos de raio 5 cm. Retirando-se dessa folha 0 maior mlmero possivel de circulos, a area total dos peda\:os que restarao e: d) (6.400 - 2501t) cm2 a) (4.800 - 1.2001t) cm2 b) 1.2001t cm2 e) 4.8001t cm2 c) (4.800 - 251t) cm2

c)

2J3 - ~

d)

4J3 -

21t

e)

8J3 -

31t

(Fuvest-SP) Urn comicio politico lotou uma pra\:a semicircular de 130 m de raio. Admitindo-se uma ocupa\:ao media de 4 pessoas por m2, qual e a melhor estimativa do numero de pessoas presentes? a) dez mil b) cern mil c) meio milhao d) urn milhao e) muito mais que urn milhao Calcule a area do segmento circulo de centro 0 abaixo.

circular

representado

no

, I

Calcule a area do setor circular representado ferencia de centro 0 abaixo.

na circun-

I I i i I

,

,

,

r

r

0

I

,,

\ \

, I

i

,

i

6em

I I

,

\ \ \

,, ,,

I I I I I

Sugestao: Para 0 caIculo da area do triangulo OAB, "recorte-o" ao longo da altura OH e "cole" AH em BH, formando urn novo triiingulo. Observe as medidas dos angulos internos desse novo triiingulo.

Calcule a area da regiao sombreada no circulo de centro a abaixo.

(UnB-DF - modificado) Em urn mapa de escala 1: 50.000, a superffcie de urn lago e representada •••. uma figura com 3 cm2 de area. Qual e a area da s~ cie desse lago, em m2?

(UnB-DF)Para analisar a transpira~ao das plantas, os botanicos precis am conhecer a area de suas folbas.

Essa area pode ser obtida pelo seguinte processo: colDca-se a folha da planta sobre uma cartolinha e tr~ seu contorno. Na mesma cartolina, desenha-se urn quadrado com 10 cm de lado, como rnostram as figwas a seguir.

(Fuvest-SP) Numa circunferencia de raio 1 esta inscrito urn quadrado. A area da regiiio interna a circunferencia e externa ao quadrado e: d) igual are - 2. a) maior que 2. b) igual a area do quadrado. e) igual a ~. c) igual a re2 - 2.

o tampa de uma mesa tern a forma de urn circulo cujo raio rnede r metros. Umacostureira pretende confeccionar uma toalha circular para essa mesa de modo que a area da toalha tenha rer m2 a mais que a area da superficie do tampo da mesa. Qual deve ser a razao entre 0 raio da toalha e 0 raio do tampo, nessa ordem?

Calcule a area da coroa circular Iimitada pelas circunferencias inscrita e circunscrita a urn triangulo equilatero de lado4 dm.

Dois decagonos regulares tern areas iguais a 80 cm2 e 20 cm2• 0 decagono maior tern 30 cm de perimetro. Calcule 0 perimetro do menor.

(Fuvest-SP) Na figura, BC e paralelo a DE, AB = 4 e BD = 5. Determine a razao entre as areas do triangulo ABC e do trapezio BCED.

.10em 10 em

Ap6s serem recortadas, as duas figuras SaDpesadas em uma balan~a de alta precisao, que indica uma massade 1,44 g para 0 quadrado de cartolina. Desse modo, usaodo grandezas proporcionais, os botanic os podem determinar a area da folha.

Usando as informa~6es do texto, cIassifique como V ('W8"dadeira) ou F (falsa) cada uma das seguintes afi~ a) Se a figura da tolha tern massa de 3,24 g, entao a area da folha e de 225 cm2• b) Suponha que 0 mesmo processo descrito no texto ~ nha sido utiIizado para estimar a area do estado de Minas Gerais da seguinte forma: em urn mapa traI;ado com escala 1 :5.000.000, a figura desse estado, ~ cortada na mesma cartolina, apresentou massa de 3,30 g. Entao, e correto concluir que a area do estado e maior que 580.000 km2• c) Urn estudante utilizou, para determinar a area de uma folha, urn processo diferente: contornou a folba com urn barbante e, em seguida, formou com ele um retiingulo. Dessa forma, 0 estudante estava certo ao concluir que, quaisquer que fossem as dimens6es do retangulo, a sua area seria igual a area da folha

Respostas dos exercfcios complementares

C.1 92,82 m2 C.2 16 em C.3 a) 10% b) 21% C.4 16 em2 C.5 b C.6 24 em2 C.7 k~m1

C.8 12 em2 C.9 d C.10 d

C.11 9 dm2 C.128 em2 C.13 e C.14 a) 100 em2 b) 200(J2 + 1) em2 r<l 2 C.16150(4+,.,3)em

9 C.19 a) "4 m 88 C.22""3

C.17a

9$ b) -4m2

C.15 24J3 em2

J32 C.18- 27 -em 2

C.20 a C.21 150 em2

C.23 600 em2 C.24 2.5001tm2 C.25 271tem2

C.26 91tem2 C.27 361tem2 C.28 a C.29 81tem2

C.30 7~1t cm2

C.31 d C.32 b C.33 b

C.34 ( 1~1t - 4,/3) em2 C.35 2e1t- 1) m2 C.36 d r<l

C.37 ,.,2

C.38 41tdm2 C.39 15 em C.40

C.41 750.000 m2 C.42 V, F, F

16 65

•.

Testes de Vestibulares 5 Geometria Plana - Áreas das Figuras Planas - Professor: André Luiz (Vunesp) Dais produtos qufmicos P e Q sac usados 106. (UFG-GO) Dado 0 triangulo ABC, retangulo em A,

laborat6rio. Cada 1 9 (grama) do produto P 0JSta R$ 0,03 e cada 1 9 do produto Q custa R$ O,OS. Se 100 9 de uma mistura dos dois produtos OJStam R$3,60, a quantidade do produto P contida nesta mistura e: a) 70g. c) 60g. d) 50 g. b) 65 g. em urn

Capitulo 10 - Areas: medidas de superficies 103. (UFRN) Para se pintar uma parede com 0 formato e as dimens6es de acordo com a figura a seguir, gasta-se 1 e de tinta para cada 9 m2 de area.

toma-se um ponto D sobre 0 lado Be. Sabendo que AB mede 1 em e 0 angulo oposto a esse lado mede 30°, determine a medida do segmento BD, de modo que a area do triangulo ABC seja 0 triple da area do triangulo ABD.

107. (Uenf-RJ) Um terreno com a forma de um quadrado de 40 m de lado foi dividido em tres regi6es retangulares, destinadas a construc;:ao de uma casa (I),um campo de futebol (II)e uma piscina (III), conforme sugere a figura a seguir.

,

,,,

(I)

,

(II)

: 6m

(III)

Sabendo que cada lata contem 2 e de tinta, a menor quantidade de latas que deve ser com prada para se pintar toda a parede e: a) 2. b) 3. c) 5. d) 6.

104. (UFF-RJ) Paulo deve colorir um painel quadrado, com um cfrculo centrado, usando as cores azul, verde e cinza, conforme indica a figura.

Sabendo que as areas das regi6es Ie IIsac iguais, calcule: a) a area da regiao II; b) 0 valor de x na regiao III.

108. (FGV-SP) A area da figura colorida no diagrama vale: a) 4,0. b) 3,5. c) 3,0. d) 4,5. e) 5,0.

109. (Unifor-CE)De uma lamina quadrada de metal cor-

. compnmento.

ta-se uma pe<;a circular do maior tamanho possivel e, desta, corta-se um quadrado, tambem do maior tamanho possfvel. Se 0 lado do quadrado original mede 16 em, a area da superffcie do metal que foi desperdic;:ado, em centfmetros quadrados, e: a) 136. c) 64. e) 32. b) 128. d) 48.

A parte pintada representa um jardim retangular

110. (UFRN) Em cad a um dos subitens abaixo, fa<;a 0

Sabe-se que a medida do lado do quadrado e 2 m e que a do segmento AB e 1 m. Determine: a) 0 raio do cfrculo; b) a area, em m2, a ser colorida de azul.

1G5. (Fuvest-SP) 0 retangulo ABCD representa um ter. I ,3 reno retangu Iar cUJa argura e"5d

cuja largura e tambem

0

; do comprimento. Qual

a razao entre a area do jardim e a area total do terreno?

a):ul. b) 36%

040% d)45% e) 50%

que se pede. a) Calcule a altura de um triangulo eqUilatero em func;:aodo lado. b) Calcule a area de um triangulo equilatero em func;:aodo lado.

111. (UFMG)Observe a figura. Nela, os pontos Bee estao sobre

0

grMico da func;:aoy

=

log2 x, os pontos

A e D tem abscissas iguais a ~ e 12, respectiva-

mente, e os segmentos AB e CD saG paralelos ao eixo Oy.

115. (Fuvest-SP) Na figura ao lado estao representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferencia de raio 2.

Entao a area da regiao sombreada e: a) ~ b) c)

Entao, a area do trapezio ABCD e: a)

64

T'

b)

70

T'

c)

74

T'

d)~

3 .

112. (UFMG) Nesta figura, AC e paralelo a ED, AB

= BC = 3 em e BC = 2. A area do trian-

ED gulo ABE e igual a 3 cm2â&#x20AC;˘ A area do trapezio BCDE, em centfmetros quadrados, e:

1t 1t

+ 2. + 2. + 3.

116. (Vunesp) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. 0 canteiro tem uma regiao retangular que se destina a planta~ao de f10res e uma outra regiao, sombreada na figura, na qual se plantara grama. Na figura, 0 e 0 centro do cfrculo, OB e 0 raio, 0 retangulo esta inscrito no cfrculo e CD mede 8 m.

9

a)

"2'

b) 6. c) 9. d) e)

Jf.

12.

113. (Ufscar-SP)Considere a regiao R, pintada de verde, exibida a seguir, construfda no interior de um quadrado de lado medindo 4 em.

~ I

a) Determine a medida do lado BD e a area da regiao retangular destinada a planta~ao de flores. b) Sabendo que 0 metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serao gastos em grama. (Para facilitar os calculos, use a aproxima~ao 1t = 3,2.)

117. (Uerj) Observe 0 desenho abaixo. Ele representa uma folha retangular com 8 em X 13 em, que foi recortada formando duas figuras Ie II,que, apesar de distintas, possuem a mesma area. A diferen~a entre 0 perfmetro da figura I e 0 da figura II, em centfmetros, corresponde a: Sabendo que os arcos de circunferencia que aparecem nos cantos do quadrado tem seus centros nos vertices do quadrado -e que cada raio mede 1 em, pede-se: a) a area da regiao interna ao quadrado, com plementar a regiao R; b) a area da regiao R.

114. (Mack-SP) E dado um hexagono regular de lado 2.

A area da figura que se obtem eliminando do hexagono a sua interseq:ao com os 6 cfrculos de raios unitarios e centros, respectivamente, nos vertices do hexagono e: a) 6.[3 - 21t. d) 6(.[3 - 1t). b) 3j6 -1t. e) nda. c)

j6 - .[31t.

â&#x20AC;˘

(UFRGS)Dois dos lados opostos de um quadrado tem um aumento de 40% e os outros dois lados opostos tem um decrescimo de 40%. A area desse quadrado: a) aumenta 20%. b) aumenta 16%. c) permanece inalterada. d) diminui 16%. e) diminui 20%.

C

C

1:

119. (UFPE) Sobre os lados de um triangulo ABC, retangulo em A, sao construidos quadrados ABIH, ACFG e BCED (veja a ilustra<;:aoa seguir). 0 triangulo JED e retangulo em J e as medidas de JE e JD sac iguais as de AB e AC, respectivamente:

,, ,,, ,, ,,, , E

' \\~I

" D ;

'

.

',:> ...

Considerando as dados acima, nao podemos afirmarque: a) IBCF e IHGF tem a mesma area. b) IBCF e ABDJ sao congruentes. c) ABDJ e JECA tem a mesma area. d) ABDJEC e HIBCFG sao congruentes. e) A area de BCED e igual a soma das areas de ACFG eABIH.

121. (PUC-RJ) Se

1:

um retangulo tem diagonal medindo

10 e lados cujas medidas somam 14, qual sua area?

a) 24

b) 32

1Zl. (pUC-MG) A

c) 48

pista representada forma de um trapezia retangulo indicadas em metros. Um atleta correr 6 km devera dar m voltas pista. 0 valor de m e:

d) 54

e) 72

na figura tem a e as dimens6es que queira percompletas nessa

1

102.

a

103. b

104.

a)

(J2 - 1)m

Respostas dos Testes

b) 2 -

1t( ~ -

J2 J m2

106. ~

110. a)

ef

b)

e J3 2

4

111. b

112. a

113. a) (8 + 1t) cm2

b) (8 -1t) cm2

114. a

115. b

116. a) 6 m; 48 m2

b) R$ 96,00

117. d

118. d

119. d

120. c

121. b

6

Testes de vestibulares

Geometria Plana - Áreas das Figuras Planas - Professor: André Luiz

(Cefet-PR) A area do terreno ctlja planta se apresenta abaixo e que e dividido em dois lotes, emm2, e: a) 1800

b) 1950 c) 2050

d) 2200 e) 2400

Operimetroi em centiriletros, e a area, em centimetrosquadrados, desse~poligono sac dados, respectivamente, pelas expressoes: a)1~X;3x2

(Mackenzie-SP) Na figura, a soma das areas dos ares quadrados e 18. A area do quadrado maior

b) 6x+

e:

d) (6 + -n)x; 7x2 2

7x -n; 2

e) 6x +

-n;

llt

c) (6 + -n)x; 7~2

a) 8

b) 12

6

c) 6

d)9

(UP-SE)A planta apresentada abaixo tern escala 1 : 50, au seja, cadamedidade 1 em na planta representa uma medida' real de 50cm.

e) 10

Bern

•

Bern

,

Cozinha SaIa Bern

Quarto

Qyart9

. a) 380

A area real da igoala:

b) 230 c) 165 d) 145

a) 20

e) 114

b)

22

c)

¥

, OJnopar-PR) 0 diametro de urn circulo .esta so~lire 0 lado de urn triangulo eqiiilatero 9~.f3cm de altura. A.area do circulo vale, em Crp,2: a) ~

d) 31t

b) 1t c) 21t

e)

2

41t

28

(FEI-sP) Determinar a medida x, indicada na figum. de mooo que a soma das areas dos remngulos em destaque (com hachura) seja maxima. a) 24 em

b) 20 em c) 15 em d) 12 em

(F.SPM-SP)Examine 0 poligono desenhado, 0 qual e formado a partir de tres quadrados,cada 1DIl com lados de medida x cm.

d) 26

e) 8em

x-+!

c) 20

d) 16 'I 4CFatec-SP) NaJiguraabaixo, oslados do quam.: doABCD medem 6Cffi e os ladosADeBC esdD divididos em 6 partes iguais.

o

Se os pontos G e ]sao, respectivamente, os pantos ..medios dos segmentos.CD e EI, entaoa mas .areasdo losango FGHJ e do nessa ordem, e:

triangulo ADEe: a)

15

c)

15

8 b)

2

12.4

1

a)-

d) 10

6

b)

:11 (UF-RN) A figura mostra um .quacirado inscrito num semicirculo de raio r. Sabendo que a area do quadrado e 36 cm2, podemos afirmar que 0 valor de r e: a) 45 em 9-{5 em

b) c)

513 em

d) 3-{5 em e) 2-{5 em

'I. 'I (PUC-MG) Os Vinte por cento da area de um triangulo eqUihitero T equivalem a area de um triangulo. equilatero de lado unitario. 0 comprimento dolado do triangulo Te: a) b)

213 312

c) d)

-{5 17

12 (UF-MG) Uma fazenda tem uma area de 0,4 km2• Suponha que essa fazenda seja um quadrado, c' ado mede [metros. o numero [ a condi~o: a) 180< [< 210 b) 210< [ < 250

c) 400<[<500 d) 600 < e < 700

U (Mackerizie-sP) Osla~Qs do retangulo dafigura; de irea 48, foram divldidos all 7 partes iguais pelos poatos assinalados.

A •.•...• cpadril3tero des-

••••

e:

1.5

'I

c) -

1

4

(;1)

2

e)-

5

1.2

5 (Unifor-CE).Considere as seguintes proposi90es: 1. Duplicando-se abase de um retangulo, a area toma-se 0 dobro da 'area do retangulo original.

II. Duplicando-se a altura de um triangulo, a area toma-se 0 dobro da area do triangulo original.

III. Duplicando-seo raio.de.um clrculo, a area toma-se 0 dobro da area do circulo original.

E correto afirmar que: a) b) c) d) e)

I, II e III san verdadeiras. somente I e II san verdadeiras. somente I e III san verdadeiras. somente IT e III saa verdadeiras. somente uma das proposi90es e verdadeira.

'I 6 (UGF - Universidade Gama Filho-RJ).Nascomemora9C>es de fun de ano, um homem caminha sobre' a areia molhada da praia sem tirar os sapatos.

Olhando para ti-as, observa que suas pegadas san formadas por 2 semidr· culos de raios iguais, e por um quadrado, corne mostra a figura acima. Supondo que b lado.gc quadrado mede 8 em, a area de uma pegada. em cm2, e aproximadamente igual a: a) 110

c) 113

b) 112

d) 114

1 7 (Unaerp-SP) Dois drculos concentricos de raios R1 e R2, tais que R1 + R2 = 2d, formam uma coroa circular de largura d. A area dessa coroa corresponde a:

0 pro;eto, qual e, aproximadamente, a area do jardim reseJV3do as rosas?

20 (Puccamp-SP) De acordo com

a) 3,4 m2 b) 4m2 c) 4,2 m2

a) 1td b) 21td c) 41td

(Puccamp-SP) Deseja-se cercar com uma grade o canteiro reservado aos. crisantemos. Para isso, e preciso obter seu perlmetro, que e igual a:

(UP-SE) Sabe-se que 0 comprimento do arco ACE, destacado no drculo de centro 0, e

a) 8,6 m

d) 11,2 m e) 12m

b) 9 m

2; cm. Nessas condi-

c) 10,8 m

<,;6es,a area do circulo, em centfmetros quadrados, e: a) 61t b) 81t

d) 4,8 m2 e) 5,8 m2

(UP-PE) Seja ABCD urn paralelogramo e E urn ponto no lado Be. Seja F a interse<,;aoda reta passando por A e B com a reta passando por D e E (veja a figura).

c) 91t d) 121t

A

F

19 (D. F. Vi<,;osa-MG)Une-se urn dos vertices de urn quadrado aos pontos medios dos ladosque nao contem esse vertice, obtendo-se urn triangulo isosceles (veja figura abaixo). A area desse triangulo, em rela<,;aoa area do quadrado, representa: a) b) c) d) e)

38,5% 37,5% 36,5% 35,5% 39,5%

Considerando afrrmar que: a) b) c) d) e)

Para responder aos testes de numeros 20 e 21 considere as informa~oes e as figuras que seguem.

Nas figuras abaixo, tem-se uma vista superior de dois jardins de uma pra<,;a.

os dados acima, nao podemos

a area de ADE e metade da area de ABCD. DCF e ADE tern a mesma area.

ABE e CDE tern a mesma area.

ABE e CEF tem a mesma area. a area de ABCD e igual a soma das areas de ADE e DCF.

23 (Unifor-CE)De uma laminaquadrada

de IIIIDl .corta-se uma pe<,;a circ\j.hlf do maior lamauhn posslvel,e destacorta-se um quadrado, ••• bem do maior tamaQhb posslvel. Se 0 Iado do quadradobriginal mede 16 em, a ilea cia superffcie do metal. que foi despeIdipdo. em centfmetros ql.lag.rados, e:

Nas figuras abaixo,tem-se esbo<,;osdosprbjetos desses jardins. Urn dos. jardins e formado a partir de doiscirculos, de centros em A e em B. 0 outro tern a forma de urn poligono regular.

24

(Mackenzie-SP) Se 0 hexagmu RgUbr cia 6gura tem area 2, a area do J*S".--' M!!inabdo e: 7

a)-

2

d)..!3 5 e)3

•••.

••

Retiradaamalha e mantido 0 sfmbolo, a area ocupada pelo sfmboloe a area do drculo nao utilizada sao, respectivamente: a) b) c) d) e) ••

175 cm2e 175 cm2 e 600 cm2 e 175 cm2 e 600 cm2 e

c)

'9

5{2 + IOn

figura estao representados urn quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferencia de raio 2. Entao a area da regiao hachurada e:

..!- + 2 2

3

{3

e) 4n _

3

2

{3 2

{3- !:..

.

(UP-PI) Na figura abaixo, ABCD e urn quadrado de lado 6 cm, eM e ponto medio do lado AB. Se o comprimento da diagonal AC e igual ao comprimento do segmento CP, a area, em cm2, do quadrilatero AMNCvale:

a) 10

d) 18

b) 12

e) 20

c) 14

3

"\ 50{2 + n c/ 2

a)

d) {3-~

4

b) 25{3n 2

2) (Fuvest-SP)Na

4

3

Se 0 indica 0 centro da arena e se h mede 5m, entao, a area do palco, em m2, vale: d)

n

2

b)~-

(UFF-RJ)Para a encena~ao de uma pe~a teatral, os patrocinadores fmanciaram a constrw;:ao de uma arena circular com 10 m de raio. 0 palco ocupara a regiao representada pela parte hachurada na figura a seguir:

"\ 75{3 + 50n a/ 3

{3

a) ---

cm2

(400n - 175) (400n - 600) cm2 (400n - 600) cm2 225 cm2 1000 cm2

(UP-RS)Na figura abaixo, ASB e arco do drculo de raio 2 com centro na origem, e PQRS e quadrado de area 1.

,.

30 (Cefet-PR) Umtriangulo eqUilatero ABC, de altura h = 3 cm, esti inscrito em urn cfrculo de centro O. Sendo M 0 ponto medio do segmento AB, a regiao hachurada, limitada pelos segmentos AM, MC e pelo arco AC, tern area igual a: a) 3n 2 b) 4n

3 c)

4n 3 -+3 2

b) K+2 c;) K+3

d) 3n +

d) .+4 d 2It + 1

e) 4n +

{3

3

2

2

{3 2

3,\

(UF-CE.)Considere a hgura a'oaixo, na qual: â&#x20AC;˘ a area do semidrculo Cl e quatro vezes a area do semidrculo â&#x20AC;˘ a reta r e tangente a Cl e a reta s e tangente a Cl e Cz.

5

a) a; =-~ 2

,1

(UF-PE) 0 retangulo ao lado foi dividido em nove

quadrados. Se 0 quadrado menor tem area 1, qual a soma dos digitos da area do retangulo?

2 Na figura, A e B, alem de serem vertices de um quadrado, sac centros dos arcos que passam por C. Sendo a area da regiao hachurada igual a (64 -16n) cmz, determine a medida do segmento XY.

Cz;

2 e) a; =-~

3

TESTES DE VESTIBULARES

1 2 3 4 5 6 7 8

b

9

b

d

10

d

e

11 c

b b

12 13 14

d

15 b

a

16

c

d e d d

(Respostas)

17 18 19 20 21 22 23 24

d c b a e c b e

25 26 27 28 29 30 31

a a b b b e d

- --

Geometria Plana - Áreas das Figuras Planas - Professor: André Luiz

TeMe4

1 (FUVEST-SP) 0 retangulo ABeD representa urn terreno retangular cuja largura e 3/5 do comprimento. A parte colorida representa urn jardim retangular cuja largura e tambem 3/5 do comprimento. Qual a raziio entre a area do jardim e a area total do terreno? a) b) c) d) e)

30% 36% 40% 45% 50%

7

-

2 (FUVEST-SP) 0 retangulo abaixo de dimens6es a e b esta decomposto em quadrados. Qual 0 valor da raziio a/b?

•

3 (FAElFAC) Assina1e a alternativa figura de maior area.

que des creve a

a) b) e) d)

Urn triangu10 eqiiiliitero de 1ado 9 em.

Um quadrado de 1ado 8 em.

Um cireu10 de raio 6 em.

Um triangu10 retangu10 com um eateto medindo 24 em e hipotenusa medindo 25 em. e) Um trapezio com base maior medindo 18 em, base menor medindo 9 em e altura de 2 em.

4

9 (Unifieado-RJ)

Um terreno tem a forma de um trapezio e sua area e 420 m2â&#x20AC;˘ A base maior e a frente do terreno e sera eereada. Para a medi\;ao do terreno, foram usados um barbante de 50 em e um eomprido bambu, de me did a deseonheeida. A base maior do terreno me de 4 bambus mais 4 barbantes; a base menor, 2 bambus mais 8 barbantes; a altura, 4 bambus menos 8 barbantes. A eerea da frente do terreno mede:

(UF-RS) Dois dos 1ados opostos de um quadrado tem um aumento de 40% e os outros dois 1ados opostos tem um deerescimo de 40%. A area desse quadrado: d) diminui 16%. e) diminui 20%.

a) aumenta 20%. b) aumenta 16%. c) permaneee inaIterada.

5 (UF-MG)

A area do para1e10gramo ABCD e a.

Entao, a area de um triangu10 ABE, onde E pertenee it reta-suporte a) -

a 4

b) -

a 3

a) -

de DC, e: c) -

a 2

2 d) -a 3

tero tem perfmetros iguais. Se a medida do 1ado do triangu10 exeede a medida do 1ado do quadrado em 5 em, a area do triangu10, em eentimetros quadrados, e:

50.J3

c)

b) 100

d) 100.J3

8 (UC-MG)

e M e 0 ponto medio de BC. A razao entre a medida da area do triangu10 ABM e a medida da area do trapezio AMCD e:

a) -

M

1

1

1

b) -

3

C

D

2

d) 4

5

=

Nesta

AC e para1e10 a ED,

BC = 2. A area do ED triangu10 ABE e igua1 a 3 em2. A area do trapezio BCDE, em eentimetros quadrados, e: BC

=

fi'gura,

9 2

3 em e

B

d) -

C

II 2

e) 12

c) 9

Na figura, ABCD e um para1e10gramo

2 c) 3

3

b) 6

e) 20 d) 30

A

3 e)4

11 (UF-MG)

a) -

.

B

1

A

AQC a) 10 b) 15

c) -

2 d)3

2

AB

7 (FUVEST-SP) No quadri1atero ABCD abaixo, ABC = 150°, AD = AB = 4 em, BO = 10 em e MN = 2 em, sendo MeN, respeetivamente, os pontos medios de CD e Be. A medida, em eentimetros quadrados, da areado triangu10 BCD e:

B

1 3

b) -

6 (ESCCAI) Um quadrado e um triangu10 eqiiila-

a) 50

I 0 (UF-MG) Sejam ABC um triangu10 qua1quer e M eN os pontos medios dos 1ados AC e CB, respeetivamente. A razao entre as areas do trapezio AMNB e do triangu10 ABC, nessa ordem, e:

e) -

2 5

12 (FAFI-MG)

Na figura esta representado um trapezio ABCD edin base media MN e altura 8 em.

Se AB = 6 em e CD = 12 em, a area do quadri1atero DMBC, em eentirnetros quadrados, e:

18 (UF-ES) Tres circunferencias

de raios iguais a r tangenciam-se externamente duas a duas nos pontos A, Be C. A area do "triangulo curvilfneo" ABC assim formado e:

b) 12.[3

(6-fi -

n)r/3

b)

(2.[3 -

n)r /2

d)

(6n - -fi)r

2

2

d) 32.[3

14 (Mackenzie-SP)

1

a)

Hio, a diferen9a a) 1

A altura do trapezio e 4; enentre as areas dos triangu10s as-

d) 4

15 (UF-RN)

Dois cfrcu10s sao concentricos, e 0 primeiro, de area lOOn m2, possui uma corda de 16 m tangenciando 0 segundo. A area do segundo cfrculo e:

~ ~

Nessa figura,OA

=

4.[3,OB

=

2.[3 e AB e

AC tangenciam a circunferencia de centro 0 em B e C. A area da regiao colorida e:

I

a) n - 3

d) 4n -

2.[3

16 (COVESTIUF-PE)

No semicfrculo abaixo temos BC = 10 em e AB = 8 em. Qual 0 valor aproximado da area colorida? a) 15,25 cm2

20 (Unificado-RJ)

Urn cavalo deve ser amarrado a uma estaca situada em urn dos vertices de urn pasto, que tern a forma de urn quadrado cujo 1ado mede 20 m. Para que ele possa pastar em 20% da area total do pasto, 0 comprimento da corda que 0 prende a estaca deve ser de, aproximadamente:

17 (UC-MG) A figura abaixo e urn quadrado inscrito em urn setor de 90째 com raio igual a 2 em. A area co1orida, em centfmetros quadrados, e igual a: a)

n -

b) ~

. c)

2

n -

2

d) n e) n - 3

_

DÂŁ5AFf05 PT e PTz tangentes 11 circunferencia de centro O. Se CT OTz = 3 em, qual a area da regiao assinalada?

I Sejam

j

j

/2

(Lunulas de Hip6crates) Na figura, ABC e urn triiingulo retiingulo em A e BN APC, BMA e AQC sao semicircunferencias cujos diiimetros medem, respectivamente, BC, AB e AC. Prove que a soma das areas das figuras coloridas (lunulas) e igual it area do triiingulo ABC.

(Respostas)

Geometria Plana - Ă reas das Figuras Planas - Professor: AndrĂŠ Luiz

Equivalencia plana 175.

Testes 8

Areas de superficies planas

(u. F. Sao Carlos-SP) A Folha de S.Paulo, na sua edi9ao de 1111012000, revela que 0 buraco que se abre na camada de oz6nio sobre a AnHirtida a cada primavera no hemisferio suI formou-se mais cedo neste ano. E o maior buraco ja monitorado por satelites, com 0 tamanho recorde de 2,85 X ]07 km2. Em numeros aproximados, a area de 2,85 X ]07 km2 equivale il area de urn quadrado cujo lado mede: a) 5,338 X 102 km

c) 5,338 X 104 km

b) 5,338 X 103 km

d) 5,338 X 105 km

e) 5,338 X ]06 km

176. (UF-RN) Urn terreuo de 72 m2 de area e formado por 8 quadrados congruentes (veja figura ao lado). A cerca que delimita mede: a) 51 m

0

terreno

(em negrito

na figural

b) 36 m c) 48 m d) 27 m 177.

(FGV-SP) Tem-se urn quadrado cujo lado tern medida x. Se aumentarmos suas dimensoes ate que a area do novo quadrado seja 0 dobro da area do original, obteremos urn lado de medida y. Podemos afirmar que:

,J3

b) 178.

y =

2"'x

(Unifesp-SP) Considere a malha quadriculada exibida pela figura ao lado, composta por 6 quadriculas de I em de lado cada. A soma das areas de todos os possiveis retangulos determinados por essa malha e, em cm2: a)

6

b) 18 c) 20

,, ---Ern'

d) 34

---

e) 40

1cm - - -,

:' em:

,

,

'---

1

I

1- --

:

:

---

(PUC-MG) Na figura, 0 lado do quadrado ABCD e variavel e sua medida e x.

No retangulo AEGB, 0 lado AE = 4 e 0 quadrilatero GHIF e um quadrado de lado unitario. A funyao que relaciona a medida da area sombreada, S, com 0 valor de x, e:

179, (UP¡PR) Urn retdngulo de 6 m por 12 m esta dividido em tres reIftnguloR,A, Bee, dispostos conforme a figura ao lado, de modo que a 6rea de B e a metade da de A e um teryo da de C. Com base nessas informayoes, calcule a soma dos numeros associados as proposiyoes corretas.

(01) A soma das areas de A, Bee

a) b) c) d)

2

e 72 m â&#x20AC;˘

(02) A area de A e .!:.. da area de C. 6 (04) A area de A e 24 m2.

(08) Um dos lados de A mede 2 m.

(16) Um dos lados de C mede 8 m.

S(x) = _x2 - 4x S(x) = _x2 + 4x + I S(x) = _x2 + 4x - I S(x) = _x2 - 4x + I

(Puccamp-SP) Seja R um retdngulo que tem 24 em de perimetro. Unindo-se sucessivamente os pontos medios dos lados de R, obtem-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua area seja maxima?

186. (UF-CE) Suponha que 0 gasto com a manutenyao de um terreno, em forma de quadrado, seja diretamente proporcional a medida do seu lado. Se uma pessoa trocar um terreno quadrado de 2 500 m2 de area por outro, tamMm quadrado, de 3 600 m2 de area, 0 percentual de aumento no gasto com a manutenyao sera de: a) 10%

b) 15%

c) 20%

d) 25%

e) 30%

187. (Faap-SP) A massa por area do papel au papelao chama-se gramatura. Assim, por exemplo, ha um papel chamado sulfite que tem gramatura de 90 g/m2. Entao, podemos afirmar que a area de uma folha desse papel sulfite cuja massa e de 60 g e igual a: a) 8 cm2

b) 8 m2

c) 8,8 cm2

d) 8000 cm2

e) 80 cm2

188. (Fatec-SP) Um terreno retangular tem 170 m de perimetro. Se a razao entre as medidas dos lados e 0,7, entao a area desse terreno, em metros quadrados, e igual a: d) 48

181. (UF-RN) a sr. Jose dispoe de 180 metros de tela, para fazer um cere ado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de urn extenso mura reto.

a cere ado compoe-se

de uma parte paralela ao muro e tres outras perpendiculares a ele (ver figura ao lado). Para cercar a maior area possivel, com a tela disponivel, os valores ae x e y sao, res-

muro

, , ,,x , ,,

, , , ,x , ,,

189. (PUC-RJ) Se um retangulo tem diagonal medindo 10 e lados cujas medidas somam 14, qual sua area?

,, , , x ,, ,

pectivamente:

182. (U. F. Viyosa-MG) A area maxima de um retangulo que tem 24 m de perimetro e: a) 35 m2

b) 27 m2

c) 49 m2

d) 32 m2

~M

~~

~~

~72

190. (Faap-SP) A largura e 0 comprimento de um terreno retangular estao na razao de 4 para 7. Admitindo-se que 0 perimetro desse terreno seja 66 m, a area (em m2) desse terreno e:

~~

~~

~~

~~

191. (Enem-MEC) Um engenheiro, para calcular a area de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balanya de precisao, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praya de dimensoes reais 100 m X 100 m, pesou 0 recorte na mesma balanya e obteve 0,08 g. Com esses dados foi possivel dizer que a area da cidade, em metros quadrados, e de, aproximadamente: a) 800 b) 10000

Nela, esta representado um canteiro retangular de 6 m de largura por 10 m de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se a area do passeio e de 36 m2, a medida de sua largura, em metros, e:

~~

c) 320000 d) 400000

192. (UE-RJ) Ao observar, em .seu compulador, um desenho como 0 apresentado ao lado, um estudante pensou tratar-se de uma curva.

Porem, ap6s aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um poligono, com 0 menor perimetro possivel, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x au ao eixo y. Verificou ainda que esse poligono possuia um lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5.

Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perimetro desse poligono e:

~~

193.

(ESPM-SP) Aumentando-se 20%, a sua area: a) aumenta b) diminui

194.

20%.

0

comprimento

de urn retangulo

a sua largura

em

199.

(Unirio-RJ)

Considere

d) diminui

para a Escola de Teatro da Unirio

com a forma trapezoidal

a seguir.

(Mackenzie-SP) Num losango, a diagonal paralelos e 4 ..A area desse losango e:

4%.

e) nao se altera.

4%.

maior e 0 dobro da diagonal

menor e a distancia

entre os lados Quantos

metros quadrados

~n~ 195.

urn tablado

15m c) aumenta

20%.

em 20% e diminuindo-se

(UF-PE) 0 paralelogramo ABCD esta dividido em quatro paralelogramos, como i1ustrado na figura ao lado. As areas de EBFI, IFCG e HIGD sao dadas por 15x, IOx2 e 14x para algum real positivo x, respectivamente.

Qual a area de AEIH? a) 15

d) 25

b) 21

e) 28

200.

de madeira

serao necessarios

para cobrir a area delimitada

0%~

~%~

por esse trapezio?

~~~

~~~

(PUC-MG) As retas y = x + I e x = 2 formam, com os eixos coordenados, 0 trapezio OABC. A medida da area desse quadrihitero, em unidades de area,

e:

a) 3,0 b) 3,5

H

c) 4,0

c) 24

d) 4,5 196.

(UF-RN) Na figura a seguir, r, s, t e u sao retas paralelas e eqiiidistantes. Os segmentos sao congruentes.

e) 5,0

EF, GH, U e KL 201.

(U. E. Londrina-PR) Na figura a seguir, ABCD representa urn jardim com area de 150 m2 que deve ser ampliado para EFGD, de maneira que 0 novo jardim tenha forma geometricamente semelhante ao anterior.

, ,,

, ;':,F " ,

Ell.. - - - - -

.

,, A

"8

I

'..,

, a) S(R,) b) S(R,)

= S(R2) < S(R3) = S(R2) = S(R3)

c) S(R2) d) S(Rj)

> <

S(R3) S(R2)

> <

S(R1) Se DC =.15

197.

(Enem-MEC) Urn terreno com 0 formato dividido em quatro lotes de mesma area.

mostrado

na figura

foi herdado

C------C3

D

S(R3) por quatro

irmaos

e devera

m e CG = 7,5 m, a area do novo jardim,

em metros

quadrados,

devera ser:

ser a) 225 202.

b) 337,5

(UF-MG) Nela,

Observe

os pontos

c) 350

e) 425

d) 355,5

a figura ao lado.

Bee

estao

sobre

0

grifico

da

fun~ao

C y ~ 109, x

y = log2 X, os pontos A e D t6m abscissas pectivamente, Entao, Urn dos irmaos fez algumas propostas de divisao para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.

Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida t6m sfmbolos iguais, 0 tinico em que os quatro lotes nao possuem, necessariamente, a mesma area e:

a)

198.

!ZJJJ I><l b)

d)

(U. F. Vi~osa-MG) A figura ao lado ilustra urn terreno em forma de trapezio, com as medidas, em quilometros (km), de tr6s de seus lados.

A area do terreno, em km2, e igual a: a) 215

d) 220

b) 210

e) 205

c) 200

1///1 e)!BJ

a)

e os segmentos

a area do trapezio

64

ABCD b)

3

iguais a !e 12, res3 AB e CD sao paralelos ao eixo y.

c)

70 3

74 3

(Unirio-RJ) Considere a figura ao lado, onde urn dos lados do trapezio retangulo se encontra apoiado sobre 0 grifico de uma fun~ao f. Sabendo-se que a area da regiao sombreada e 9 cm2, a lei que define f e: a)

y=C:)-2

d)

y=e;)

b)

y = (3;)

e)

y=(:X)+1

c)

y=(2 X)+1 5

_ I

x

e:

-I

d)

80 3

(FGV-SP)

Um terreno tem 0 formato

a figura ao lado. 0 lado

de um trapezio

AB tem a me sma medida

mede 30°. A area do terreuo

conforme

mostra 210. (UMC-SP) circulo

e igual a:

a)

1s(2 + .J3)

c)

IS(4 +

b)

IS(3

.J3)

d)

IS(5

+

retfingulo ABCD,

que AD e vale 6 m. 0 fingulo BCD

Para confeccionar

de difimetro

uma placa de indicaliao

AB e sobre ele foi colocada

foi utilizado

um

uma malha quadricu-

lada tendo cada quadrado 5 em de lado e 0 simbolo, pintado em cinza, conforme figura ao lado. A area ocupada pelo simbolo e a area do circulo nao utilizada SaD, respectivamente: a) 175 cm2 e (4001t - 175) cm2

.J3)

+ .J3)

b) 175 cm2 e (4001t - 600) cm2 c) 600 cm2 e (4001t - 600) cm2 d) 175 cm2 e 225 cm2 e) 600 cm2 e 1000 cm2

206.

(Vunesp-SP)

A area de um trifingulo

2.,J15 dm.

mede

0 perimetro

a) 16 dm 207.

desse trifingulo

b) IS dm

e

4.,J15 dm

2

e a altura desse trifingulo,

relativa

a sua base,

e igual a: c) 20 dm

d) 22 dm

e) 23 dm

(Unioeste-PR) Considere um trifingulo is6sceles de base variavel, cujos lados congruentes medem 10 unidades cada. Seja a a medida do fingulo da base. A respeito da area desse trifingulo, calcule a soma dos numeros associados as proposilioescorretas.

(0 I) Pode ser expressa

por A = 100 sen a.

(02) Pode ser expressa

por A = 100 sen a cos a.

(04) Pode ser expressa

b) A area de T1 e

d) A area de Ts e um quarto

areas

a e igual a 45°.

a)

maxima

quando

a e igual a 60°.

E maxima

quando

a altura do triilngulo

e igual a

5.J3

unidades.

DM e MC, respectivamente), I) A area do triilngulo

julgue

maior.

foi escolhido

os ilens a seguir.

BCM.

2) A area do trifingulo ACM e igual a 20% da area do triilngulo

Seja um triilngulo ABC equilatero de lado 2. No interior desse triilngulo, cuja area e

arbitrariamente

um ponto P. A soma das distmcias

de P a cada um dos lados do trimgulo

214. (UF-RS) No trifingulo ABC desenhado ao lado, P, Q e R san os pontos medios dos lados. Se a medida da area do triilngulo sombreado e 5, a medida da area do triilngulo ABC e: a) 20

DC (observe que os em relaliao as bases

BDM e igual a area do triilngulo

e:

AI = 3A2 4

213. (U. F. Sao Carlos-SP)

(UF-GO) Um sHio de 40 hectares de area tem a forma de um trimgulo, conforme mostrado na figura ao lado. 0 triilngulo ACD representa uma reserva florestal, cuja area e 20% dil area total do sitio.

Sabendo que M e 0 ponto medio'do segmento triilngulos BDM e BMC tem a mesma altura,

da area do quadrado

212. (UF-MG) Nos trifingulos is6sceles TI e T2, as bases medem, respectivamente, 30 em e 40 em, e os demais lados medem 25 em. Sejam A I a area do triilngulo TI e A2 a area do triilngulo T2• A relaliao entre essas

por A = 50 sen 2a.

(32)

dobro da area de T3•

e) A area de P e igual a area de Q.

quando

(16)

0

c) A area de T4 e igual a area de Ts.

maxima

E E

(OS)

208.

is6sceles

211. (U. E. Londrina-PR) 0 tangram e um quebra-cabelia de origem chinesa.

E formado por cinco trifingulos retfingulos is6sceles (T" T2, T3, T4 e Ts), um paralelogramo (P) e um quadrado (Q) que, juntos, formam um quadrado, conforme a figura ao lado. Em relaliao as areas das figuras, e correto afirmar: a) Se a area de Q e I, entao a area do quadrado maior e 4.

b) 25 BCM.

3) Sabendo-se que na regiao representada pelo triilngulo BDM existe um rebanho entao, nessa regiao, a media e de 5 cabelias por hectare.

c) 30 bovino

de SO cabelias,

d) 35 e)

40

4) Para corrigir a acidez do solo na area representada pelo triilngulo BCM, foram espalhadas 30 toneladas de calcario. Sabendo-se que 0 prelio da tonelada de calcario e de R$ 15,00,0 custo medio, por hectare, do calcario utilizado, foi superior a R$ 30,00.

209.

R

(Vunesp-SP) Uma piscina retangular, de 6 m de largura por 12 m de comprimento, e contornada por uma superficie ladriIhada de 2 m de largura, porem tendo os cantos formando triilngulos, como mostra a figura ao lado.

A area (em m2) dessa regiao ladrilhada, que esta marcada na figura, e: a) 72

d) 120

b) SO

e) 152

c) SS

,~ --~5°

25.J3 a)

2

d)

3~..fi

-2-

.J3,

vale:

216.

(UE-CE)

ABC, AB = 3 em, AC = 4 em e sua area e 3 cm2. Nessas condi90es,

Num triangulo

0

angulo

A

224.

e igual a:

(UF-MG) Observe a figura ao lado.

Nela, as retas res SaD paralelas.

Em rela9aO a essa figura, e incorreto a)

(PUC-MG) MN

Na figura

e paralelo

ao lado, M e

a AC.

MBN, e S2' a do triangulo

c) b)

I 2

d)

0

ponto

S 1 e a medida

medio

de

AB,

e

da area do triilngulo

ABC. 0 valor da razao I 3

e)

AE = DE BE CE

b) As areas dos triangulos

ABD e DCA SaD iguais.

c) As areas dos triangulos

BEA e DEC SaD iguais.

d) Os angulos

~ e: S2

~

A

S

~

M

cAD

(UF-SC)

=~

c)

3

S2

A

219.

SI

=

2S 3

d)

(U. E. Londrina-PR)

S,

V (verdadeiro)

Assinale

=~

e)

2

S2

=

Dados:

=

4S 5

sen 15°

4) Dois triangulos

~

Considere

todos os triangulos

que tern dois lados de medida 0

qual a area do triangulo

2 em, formando

urn an-

0) 0 triangulo

e igual a /'3 cm2 e:

=

0,259; cos 15°

is6sceles

SaD semelhantes

AM = 3 em, a area do triangulo

0

ponto medio do lado BC. Sabendo-se

ABC e:

3) Os triangulos

d)

IS/'3 2

7.J]5 e)

20/'3 3

c)

40/'3 3

d)

20/'3

227.

(Mackenzie-SP) Num triangulo, a medida de urn lado e diminuida esse lado e aumentada de 20%. A area desse triangulo: a) aumenta

de I %.

c) aumenta

de 2%.

b) diminui

de 2,S%.

d) diminui

de I,S%.

sao, nessa ordem,

de IS% e a medida

mime-

da altura relativa

e) nao se altera.

a

DE do triangulo.DEF

do triangulo

e a ter-

DEF, e igual

a metade

£

A

D

B

da area, em metro quadrado,

do trian-

e igual a

a/'3 4

A

16/'3 3

8/'3 equilatero

proporcionais.

(Mackenzie-SP) Na figura ao lado, ABC e urn triangulo equililtero de perimetro 24. Se res SaD bissetrizes, entao a area do triangulo assinalado e:

a)

2

tern os lados correspondentes

ABC, em fun9aO de a, em metro quadrado,

d)

(UF-RS) As medidas do lado, do perimetro e da area de urn triangulo ros em progressao aritmetica. A razao dessa progressao e:

a)

223.

5,[6

0,268.

ADF e DBE tern a mesma area.

4) A area do triilngulo

c)

=

de urn lado de ABC.

2) A area, em metro quadrado, gulo ABC.

que AB = 4 em, BC = 6 em e

(ITA-SP) Sejam res duas retas paralelas distando entre si S em. Seja P urn ponto na regiao interior a essas retas, distando 4 em de r. A area do triangulo equilatero PQR, cujos vertices Q e R estao, respectivamente, sobre as retas res, e igual, em cm2, a:

0,966 e tg 15°

quando

em metro, do lado

9a parte do comprimento

220. (UF-ES) Num triangulo ABC, Me

=

Uma pes-

com 24 em de altura e 36 em de base, cada urn dos lados iguais mede 60 em.

DEF e equilatero.

I) 0 comprimento,

222.

adiante.

(Unicap-PE) Considere 0 triangulo equilatero ABC da figura ao lado, com lado medindo a, em metro. Ligam-se os pontos medios dos 3 lados, obtendo-se 0 triangulo DEF, conforme a referida figura. Julgue os itens a seguir.

3S 4

gulo de medida x graus. 0 menor valor de x para

221.

ou F (falso) em cada uma das proposi90es

2) Uma rampa plana com 10 m de comprimento faz urn angulo de .ISo com 0 plano horizontal. soa que sobe inteiramente a rampa eleva-se verticalmente 9,66 m.

BCD

b)

iguais.

1) Os catetos de urn triangulo retangulo medem 30 em e SO em. Pelo ponto do menor cateto, que dista 6 em do vertice do angulo reto, tra9a-se uma reta paralela it hipotenusa. 0 menor dos segmentos determinados por essa reta no outro cateto mede 10 em.

3) Num triangulo S2

e ACB tern medidas

B

1 4

(U. E. Londrina-PR) Na figura ao lado, 0 triangulo ABC e equilatero, 0 triangulo ABD e retangulo em A e BC = CD. Nessas condi90es, se S, SI e S2 sao, respectivamente, as areas dos triangulos ABD, ABC e ACD, entao: a)

afirmar que:

3

~B·

C

229.

234.

(Cesgranrio-RJ) Na figura ao lado vemos uma "malha" eomposta de SS retangulos iguais. Em tres dos n6s da malha sao mareados os pontos A, Bee, vertiees de um triangulo. Considerando-se a area S de eada retangulo, a area do triangulo ABC pode ser expressa por: a) 4 S

d) 18 S

b) 6 S

e) 24 S

B

'/ a)

(Fuvest-SP) colineares.

Na figura

a seguir,

A

os triangulos

ABC e DCE

IS

-

/ C

sao equilateros

e,

de lado

b) e)

IS

e ..[3

e2..[3 b)

e)

d)

3

3.

Considere

0

triiingulo

em M, re-

PMN, retiingulo

na figura ao lado. A area, em em2, do triiingulo os pontos medios

de PM, MN e NP, e:

a) 4

d) 20

b) 6

e) 24

e) 12

6

Na figura ao lado, tg ~ = 2 -

(Maekenzie-SP)

a + ~=

se2..[3

2

6

=

2

obtido, unindo-se

236.

8

6 e DE

IS

presentado

BeE

2

=

e) IS

4

eom B, C e E

M

e ..[3

S, BC

d) 10

(UFF-RJ)

a)

=

8

e) 12 S 230.

(UF-RS) Na figura ao lado, AC A area do triiingulo ADE e:

a)

2

+

60째. Entao a area do triiingulo

..[3

..[3 e

assinalado 4

+ ..[3

I

+

e:

d) 2

231.

(Cefet-PR)

Os lados de um triangulo

a, bee formam uma sequencia formula

3..[15 em2 sao, respeetivamente,

eom area

ereseente

de numeros

Strillngulo= ~p(p - a)(p - b)(p - e), p

=

pares eonseeutivos,

semiperimetro,

a, b, c. Considerando

pode-se

que a - b

+

afirmar,

que

utilizando-se

b)

a

I

+ ..[3

..[3

e) 2

2e e igual a:

2

+

..[3

e) 2 232.

(Fuvest-SP) No papel quadriculado quadrado sombreado.

da figura a seguir, adota-se

eomo unidade

de eomprimento

0

lado do 237.

(FEI-SP) paralelos

Na figura ao lado, os segmentos BC e DE sao e a area do triiingulo ABC e a metade da area do

triiingulo

ADE. Se a medida

do segmento

dida de AE e y, entao a razao

1.

AC e x e a me-

vale:

x

DE e paralelo

a BC. Para que a area do triangulo

de AD, na unidade

adotada,

ADE seja a metade da area do triangulo

8..[3 d) 233.

(U. F. Uberlandia-MG) Considerando que na figura ao lado BC = 2 em, a area do triiingulo equilatero ABD e igual a:

a)

..[3

eml

3 b)

3..[3em2

ABC, a medida

e:

e)

..[3 em2

d)

..[3 -em 2

3

7..[3 e)

2

238.

a)

2..[3

b)

..[3

e)

./2

(FEI-SP) Uma ehapa metaliea de formato triangular (triiingulo retiingulo) tem inicialmente as medidas indieadas e devera sofrer um eorte reto (paralelo ao lado que eorresponde hipot~nusa do triiingulo) representado pela linha traeejada, de modo que sua area seja reduzida a metade. Quais serao as novas medidas x e y?

a

d)

= 30 em, y = 20 em = 40 em, y = 30 em x = 30./2 em, y = 20./2 x = 20./2 em, y = 30./2

e)

x = 90./2 em, y = 60./2 em

a) x

b) x e) 2

em em

239.

243.

(UF-R8) Os trHlngulos ABC e ABD ao lado san congruentes, e seus angulos medem 30°, 60° e 90°. As hipotenusas desses triangulos medem 8 em. A area sombreada comum aos dois triangulos e:

(Mackenzie-8P) it diagonal

240.

a)

d)

b)

7:-..[3 cmz 3

e)

c)

:!"..[3 cmz 3

regular

da figura,

a area do polfgono

do vertice E

a distancia assinalado

e:

a) 6 b)

!"..[3 cmz 3

No hexagono

AC e 3. Entao,

~..[3 cmz 3

c)

A

d)

'!!!....[3 cmz

e)

3

244.

4..[3 5..[3 6..[3 8..[3

(Mackenzie-8P) entao a distancia

(UFR-RJ)

a)

Na figura,

se a area do quadrih'itero

do vertice A do hexagono

regular

assinalado it diagonal

e 16..[3, BC e:

4,5

b) 5,0 c) 5,5

~ 12

16

d) 6,0

Figura I

Figura II

e) 6,5

245. c) 8, = 38z

a) 8, = 8z b)

8, = 382 4

e)

8, = 48z 3

(Mackenzie-8P) 8e pentagono assinalado a)

d) 8, = 28z b)

(UF-GO) Diz-se que duas grandezas positivas, x e y, sao diretamente proporcionais quando existe uma fun,ao linear f(x) = kx, com k > 0, chamada constante de proporcionalidade, tal que y = f(x), para lodo x > O. De modo analogo, diz-se que x e y san inversamente proporcionais quando existe uma fun,ao g(x) = .::.,com c > 0, tal que y = g(x), para todo x x De acordo com essas defini,oes, julgue os ite!!s abaixo.

dezas inversamente diretamente 3) A area a e porcionais.

x

e y sendo grandezas proporcionais,

proporcionais.

0 lado f de um hexagono

diretamente

entao 0 quociente

regular

4) 8e x" y, e Xz, yz san pares de grandezas proporcionalidade, entao xzy, = x\yz.

+

25(-5

246.

da figura

tem area 2, a area do

5

5

e)

6

7

d)

3

4

3

(UF-E8)

Um hexagono

medio do lado

regular

ABCDEF

esta inscrito

AB, qual e a area do quadrilatero

..[3rz

0

ponto

e w .= g(z), com

proporcionais, Leo

w

produto

(a = f(f), para todo f diretamente

>

xz formam

..[3rz

diretamente

com a mesma

con stante

d) 3

3 247.

(UF-CE) A area do polfgono p(x) = x6 - I e:

pro-

cujos vertices

c)

2

de

I)

geometric as das raizes

3..[3

2

e)

3

d)

3

'2

4

3

(Mackenzie-8P) Unindo-se os pontos medios dos lados de um hexagono no regular Hz. A razao entre as areas de HI e Hz e: a)

do polinomio

2-5

2..[3 b)

sao as representa,oes

3-5

3..[3

248.

4

2-5rz

b)

e w sendo gran-

e) 2

2

um par de grandezas

0) sao grandezas

proporcionais,

z

3-5rz

-5rz

b)

c)

~ 4

regular

H" obtem-se

:!..

e)

um hexago-

§.

5

3

(UE-CE) 8ejam H, e Hz dois hexagonos regulares de lados iguais a 4 m e 6 m, respectivamente.

8e C, e Cz SaD, respectivamente, os circulos circunscritos a HI e a Hz, entao a razao entre as areas de C, e C2 igual a:

e

9

c) 50

de raio r. 8e M e

em uma circunferencia

MBCD?

c)

proporcionais,

2 75 2

c)

2

3

249. b)

7

-

regular

a)

(U. E. Londrina-PR) 0 hexagono ABCDEF da figura ao lado e equilatero com lados de 5 em e seus angulos internos de vertices A, B, D, E medem 135° cada um. A area desse hexagono, em centimetros quadrados, e igual a:

a)

hexagono e:

> O.

1) 8e y = g,(x) e z = gz(y) e os pares de grandez8s x, y e y, z san ambos inversamente entao x e z san grandezas diretamente proporcionais.

2) 8e y = f(x), com

0

b)

'4

c)

4 9

d)

7:3

250.

(DF-ES) 0 poligono ABCDEFOH, representado ao lado, e urn octogono regular. Dentre os triangulos listados a seguir, 0 de maior area e 0 triangulo: a) BCE b) DEO c) OHB d) HAE e) CFH 2

251.

o

(DE-RJ) 0 decagono da figura abaixo foi dividido em 9 partes: I quadrado no centro, 2 hexagonos regulares e 2 triangulos equilateros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triangulos.

valor mais proximo

da area da regiao assinalada

acima e:

(Mackenzie-SP) 0 retlingulo inscrito no triangulo isosceles ABC da figura ao lado tern area maxima. Entlio a area do triangulo assinalado AMN e: a)

4

b) 6 c) 8 Sendo T a area de cada triangulo decagono e equivalente a:

equilatero

e Q a area do quadrado,

pode-se

concluir

que a area do

j

d) 12 e) 16

256.

(Puccamp-SP) As tres paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais serao pintadas com tinta esmalte. Algumas dimens5es da banca aparecem na figura ao lado.

A parede do fundo e retangular e as outras duas sao trapezios retangulos congruentes.

Cada lata da tinta usada permite pintar 4 m2. Nessas condi,5es, a quantidade de tinta necessaria para executar a tarefa e: a) 4 latas e meia.

d) 5 latas e meia.

b) 5 latas.

e) 5 latas mais

30 ,m_

3

- de lata.

4

c) 5 latas mais Considere pontos

0

medios

dois vertices AB\

retangulo

dos lados sobre a base

e AC\,

retangulos.

com dois vertices AB e AC, B\C,

respectivamente.

sobre a base

respectivamente.

e cujos outros Continuando

BC e cujos outros No triangulo

dois vertices,

esse processo

A soma das areas totais de todos os rClangulos b)

.J3 12

c)

AB\C"

assim obtidos

8

o

considere

B2 e C2, sao os pontos

indefinidamente,

.J3

dois vertices,

d)

.J3 6

obtem-se

e igual a:

B, e C" sao os 0

retangulo

medios

com

dos lados

uma sequencia

de

257.

I

'4

de lata.

(D. F. Ouro Preto-MO) Dm terreno na forma ao lado foi deixado como heran,a para duas pessoas.

Devera, portanto, ser dividido em duas partes de areas iguais por uma reta

EF, paralela

ao lado AB. Sendo AD

=

60 m, BC

=

100 m

e CD = 50 m, DE medira, em metros: a) 10

c) 20

b) 15

d) 25

D

E

AD ~ 20 m AB = 60 m BC = 16 m

b

A

~ B

C

Para dividir 0 terreno em duas partes de mesma area, eles usaram uma reta perpendicular 1I AB, Pllrlt \III~ a divisao seja feita corretamente, a distancia dessa reta ao ponto A, em metros, deverd Her:

259.

(UnB-DF)

Na figura ao lado, ABCD e urn paralelogramo,

a

perpendicular pendicular

reta que contem

BC e 0 segmento

264.

DQ e

CP e per-

(Unifor-CE) Na figura ao lado tem-se 0 triangulo isosceles ABC, no interior do qual foi tornado urn ponto P e, a partir dele, construido 0 losango AQPR. Se AB = AC = 15 cm,

a AB.

Com base nessas informa,oes, I) A medida

os seguintes

BC

itens.

CDQ e semelhante de DQ eigual

4) A area do trapezio

ao triangulo

BCP.

a 8 cm.

18 cm e AP

2

= 3'

AH, a area do losango,

a) 48

d) 28

b) 36

e) 24

e igual a 144 cm .

(Vunesp-SP) Considere urn quadrado ABCD cuja medida dos lados e I dm. Seja P urn ponto interior ao quadrado e eqUidistante Se a area do quadrWitero BCP, a distancia

261.

.~~]

e seja Q 0 ponto medio do lado DA.

Bee

dos vertices

ABPQ

e 0 dobro da area do triangulo

do ponto P ao lado BCe:

A

a)

~ dm 3

c)

~ dm 5

b)

~ dm

d)

.!. dm

Considerando-se mar-se que:

2

a) 2x

5

e)

~ dm 7

(Unifesp-SP) Urn comicio devera ocorrer num ginasio de esportes, cuja area e delimitada por urn retangulo, mostrado na figura ao lado.

Por seguran,a, a coordena,ao do evento limitou a concentra~ao, no local, a 5 pessoas para cada 2 m2 de area disponivel. Excluindo-se a area ocupada pelo palanque, com a forma de urn trapezio (veja as dimensoes da parte sombreada na figural, quantas pessoas, no maximo, poderao participar do evento? a) 2700

c)

1350

d)

I 125

Urn trapezio e desenhado entao,

AB

MO

=

sobre uma folha de cartolina,

0 triangulo

10 cm, LM

=

OMN,

0

~MN

portto medio do lado girando-o,

no plano,

8 cm e 0 iingulo

LMO

=

90°,

267.

0 L

c) 4x

=

Y

Na figura, ABC e urn triiingulo retangulo

= 4 e AC = 5.

0 segmento

-

-

d) x

=

y

e) 3x

=

2y

de catetos

DE e paralelo a AB, Fe urn pon-

CF intercepta

a area do triangulo

16

DE

no ponto G, com CDE e:

40

d)

-

e)

-

9

35 6

70 9

39

-

(UFR-RJ) Na figura ao lado, sabendo-se sao angulos retos, a area do quadrilatero

que os angulos ACED vale:

A

e

E

b) 30,5 cm2 c) 40,5 cm2

3) A soma dos comprimentos

d) 52,5 cm2 e) 65,5 cm2

LP e MN e maior que 21 cm.

0 ponto Q obtido

pel a interse~ao

0 retangulo

a soma

de lados

do segmento

das areas dos triangulos

a) 5 m2

d) 12 m2

b) 9 m2

e) 15 m2

LP com a reta paralela

LM e MO e necessario

recortar

a LM passando

urn triangulo

de carto-

268.

OMN e OPQ.

(ESPM"SP) Tres triangulos equihiteros congruentes ADE, ABE e BEC sao encostados urn no outro de modo a formar urn trapezio ABCD, conforme mostra a figura ao lado. Se a area desse trapezio ABCD e 45 m2, pode-se concluir que a area do triangu10, cujos vertices sao os centros dos tres triangulos iniciais, e:

c) 10 m2

Y

AEB, e valido afir-

a) 25,2 cm2

~p

L

2) A area da nova figura e igual a 80 cm2.

lina cuja area seja igual

D

8

•

I) A nova figura geometric a e urn quadrilatero.

por 0, para se completar

=

CO = 4 e OF = 2. Assim,

c)

julgue os seguintes itens.

4) Considerando

b) 3x

to de AB e 0 segmento

a)

180° em tomo do ponto 0; assim, 0 vertice N coincidira com 0 vertice P. Desse modo, obtem-se uma nova figura geometri~a.

Considerando

y

(Fuvest-SP)

b)

como ilustra a figura ao lado, em que 0 e NP. Recorta-se,

266.

=

M

x a medida da area do triangulo AEM e y a medida da area do triangulo

3

b) 1620 (UnB-DF)

em centimetros

e:

c) 32

2

ABQD

=

quadrados,

de AP e igual a 2 cm.

2) 0 triangulo 3) A medida

julgue

1\/\

DEe

(Mackenzie-SP) Os lados do retangulo da figura, de area 48, foram divididos em partes iguais pelos pontos assinalados. A area do quadril<itero destacado e: 32

d) 16

b) 24

e) 22

a)

c) 20 269.

(U. F. Uberlandia-MO)

Em urn retangulo

dida em tres segmentos

de mesmo

.[342

a)

-2- cm

ABCD em que AB

comprimento

.[342 b) -3- cm

por pontos

=

5 cm e BC

=

3 cm, a diagonal

E e F. A area do triiingulo

AC ~ dlvl-

BEF 6 Igunl n:

270.

(U. E. Londrina-PR) Considere urn quadrado ABCD e os pontos E, F e G, sobre 0 lado DC, tais que DE = EF = FG = Gc. Sejam S I' S2 e S3 as areas, em eentimetros quadrados, dos triangulos ABE, ABF e ABC, respeetivamente. E verdade que: e) (UE-RJ)

0 paralelogramo

iguais. respeetivamente, paralelogramo ABCD.

ABCD teve pelos pontos

0

lado

S2 = ~ 3 AB e sua diagonal

BD divididos,

D

I

I

I

b)

2' 3' 3

d) 20

~I~

~

IW

da area do

E

277.

F

(Fatee-SP) Na figura ao lado tem-se urn quadrado inserito num triangulo retangulo ABC, reto em A.. Se os eatetos do triangulo medem 3 em e 4 em, entao a area do quadrado, em eentimetros quadrados, e igual a:

B

2.+ 2..2.

I

d)

233

2

I

+

a)

169 49

e)

100 49

b)

144 49

d)

81 49

I

3+3 278.

ponto medio do lado do triangulo

DEFB e:

eada urn, em tres partes

FBG e uma fra,ao

0 retangulo ABCD do desenho ao lado tern area de 28 em2. P e 0 AD e Q e 0 ponto medio do segmento AP. A area

272.(UF-RS)

A area do retangulo

C

L~/

a)

(PUC-PR) a) 24 e) 120

{E, F} e {G, H}. A area do triangulo

A

276.

(UF-PE)

Seja ABCD

urn paralelogramo

e)

25 49

e E urn ponto no lado

BC.

Seja F a interse,ao da reta passando por A e B eom a reta passando por DeE (veja a figura ao lado).

Considerando os dados acima, niio podemos afirmar que:

QCP e de:

a) 3,25 em2 b) 3,5 em2

a) a area de ADE e metade

e) 3,75 em2

b) DCF e ADE tern a mesma

da area de ABCD. area.

2

273.

d) 4 em

e) ABE e CDE tern a mesma

area.

e) 4,25 em2

d) ABE e CEF tern a mesma

area.

(UF-PE)

Seja ABCD urn paralelogramo

BC e F a interse,ao

da diagonal

giBes em que fiea dividido

0

de area 60, Eo pouto

BD eom

e) a area de ABCD e igual it soma das areas de ADE e DCE

medio de

~c

AE. Sobre as areas das re-

paralelogramo,

e ineorreto

afirmar

que:

a) a area de ABF e 12.

~E

b) a area de ABE e 15.

A

B

e) a area de BEF e 5. d) a area de AED e 30. e) a area de FECD e 25.

274.

(UF-PE) Qual a area do triangulo sombreado na figura ao lado, sabendose que 0 lado do quadrado ABCD vale 2 em? a)

b) 275.

2. em2

e)

2

d)

em 2

Observe

A area do triangulo a)

b)

-

16 I

5

e)

-.!.-

em2

16

2. em2 6 280.

a figura ao lado.

Nela, ABCD e urn quadrado

3

2

3

C3+2I)

(UF-MG)

2. em

de lado I, EF

BCF e: e)

I 6

d)

.J3 4

=

FC

=

FB e DE

I

= 2'

(UE-RJ) Observe 0 desenho ao lado. Ele representa uma folha retangular eom 8 em x 13 em, que foi reeortada formando duas figuras, I e II, que, apesar de distintas, possuem a mesma area. A diferen,a entre 0 perimetro da figura I e 0 da figura II, em em, eorresponde a: a) 0 b) 2 e) 4 d) 6

(Fatec-SP) os lados

Na figura ao lado, os lados do quadrado AD e BC estao divididos

Se os pontos tos CD e

a)

b)

em 6 partes iguais.

G e J sao, respectivamente,

Er, entao

os pontos

dos segmen-

FGHJ e do trian-

c) 14

d)

I 4

e)

2 5

e) 24 287. (VE-RJ) Vma folha de papel retangular, indicado

I 2

como a da figura B

A

a) 38,5%

c) 36,5%

b) 37,5%

d) 35,5%

I, de dimensoes

8 em X 14 em, e dobrada

como

na figura 2.

A

D

282, (V. F. Vi,osa-MG) Vne-se urn dos vertices de urn quadrado aos pontos medios dos lados que nao con tern esse vertice, obtendo-se urn triangulo isosceles (veja a figura ao lado). A area desse triangulo, em rela,ao a area do quadrado, representa porcentagem de: e) 39,5%

D

E

C

D

C

Figura 2

Figura 1 283,

em unidades

d) 18 c)

I 5

ABCD,

b) 12

e:

I 6

da area do quadrilatero

a) 10

medios

a razao entre as areas do losango

gulo ABJ, nessa ordem,

286. (PVC-MG) A medida de area, e:

ABCD medem 6 em e

A figura ao lade foi obtida mediante rota,oes de 60°, 120°, a urn quadrado cujos lados medem I dm, em torno de urn mesmo vertice desse quadrado e num mesmo sentido.

A area da regiao sombreada e: (Vunesp-SP)

180°, 240° e 300° aplicadas

0 retangulo

(VMC-SP)

a) I - 2 tg 15° b) tg 30°

AD

c) I - 4 tg 15°

=

10 cm. Sabendo-se

EFGCD

d) I - tg 30° e) I - tg 15°

ABCD que AF

na figura

=

CG

=

e, em cm2, igual a:

ao lado AE 3

tern medidas

AB

= 2 cm, entao a area do polfgono

a) 60

d) 28

b) 38

e)

7,[2

Se a malha cultivada e:

e quadriculada

com quadrados

de lados iguais

a I km, entao a area, em km2, da regiao

(Fuvest-SP) Na figura abaixo, a reta determinada por DeC.

a reta r e paralela

a ser

A

285. (VF-RN) Para se pintar uma parede com 0 formate I litro de tinta para cada 9 m2 de area.

e as dimensoes

de acordo com a figura abaixo,

gasta-se Se as areas dos triangulos entao a area do triangulo

-----------~

• _C;J

, ,, , : 6m , ,, ,

e:

2 litros de tinta, a menor quantidade

de latas que deve Ser comprada

para

c) 6 sen

B

,f],

e e e

de r com

r

ACE e ADC sac 4 e 10, respectivamente, BCE

C

AC, sendo E 0 ponto de interse,ao

e a area do quadrilitero

e:

e

b) 8 sen Sabendo-se que cada lata contem se pintar toda a parede

ao segmento

(Fuvest-SP) Na figura ao lade, E e 0 ponto de interse,ao das diagonais do quadrilitero ABCD e e 0 angulo agudo BEe. Se EA = I, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, entao a area do quadrilatero ABCD sera: a) 12 sen

F

D

c) 32 289.

A

d) 10 cos e) 8 cos

e e

ABED

e 21.

291.

(FGV-SP) Vma pizzaria vende pizzas com prel'0s proporcionais igual a 80% do raio da grande, seu prel'o sera:

as suas areas. Se a pizza media tiver raio

a) 59% do prel'0 da grande.

d) 74% do prel'0 da grande.

b) 64% do prel'0 da grande.

e) 80% do prel'0 da grande.

298.

Considere

e tangente

EnUio podemos

c, e quatro vezes a area do semicirculo

a c, e a reta s e tangente

afirmar corretamente

.2:...

c)

e 0 quactruplo

.2:...

c) a = 4~

b)

a=

d) a = 2~

e)

293. (VF-RS) Vm circulo com centro C = (2, - 5) tangencia

c,.

(usar It = 3,14):

pelo circulo

a=

se tangenciam externamente e tangenciam mente a um terceiro circulo (veja a ilustral'ao ao lado). Se os centros circulos silo colineares, e a corda do terceiro circulo, que e tangente tros dois em seu ponto de tangencia, mede 20, qual a area da regiilo ao terceiro cfrculo e externa aos outr08 dais?

2~ 3

a reta de equal'ao

x - 2y - 7 = O. 0 valor nume-

e:

a) 50lt

d) 52lt

b) 49lt

e) 55lt

(VF-RS) Na figura

I) Os comprimentos 2) Os comprimentos

limitados

por Ct, por C2 e por C3, nessa ordem,

estao em progressao

AB e tangente a)

e

.J2Olt

geometrica

d) 64lt

limitados

por Ct, por C, e por C3, nessa ordem,

estao em progressao

e) 68lt

geometrica

(V. F. Vi90sa-MG)

Aumentando-se

I m no raio , de uma circunferencia,

0 comprimento

vamente, aumentarn: limitados

por C" por C2 e por C3 e igual a 21 vezes a area do circulo

a) 2lt m e 2 (r b) 2lt m e (2r

(Mackenzie-SP)

dos circulos

menor. A area do disco maior e:

c) 20lt

4) A soma das areas dos circulos limitado por Ct.

295.

ao lado, OP = 2, AB = 8, 0 e 0 centro

em P ao circulo

b) 10lt

de C" de C, e de C3, nessa ordem, estao em progressilo aritmetica de razao 2. como no item I acima estao em progressao geometrica de razao 2.

3) As areas dos circulos de razilo 4.

internados tres aos ouinterna

c) 51lt

(Vnicap-PE) Tres circunferencias, C" C, e C3, silo concentricas e tem seus raios '" '2 e '3 medidos em metro, respectivamente, com r, < r, < r3' Sabe-se que os comprimentos dos raios '" '2 e '3, nessa ordem, formam uma progressilo geometrica de razilo 2. Entao, julgue os itens abaixo.

0) As areas dos circulos de razao 2.

120

a c, e c,.

300. (VF-PE) Dois circulos a= 5~ 2

rico da area da regiilo limitada

Na figura ao lado, a circunferencia

e C e ponto de tangencia.

Entao,

I de centro 0 tem raio 6, a = arc tg 2

a area do triiingulo

(PVC-PR)

+ I)lt m' + I)lt m'

ABC e igual a:

d) 2lt m e (2r'

AB e CD sao dois diiimetros

a) It

b) 38,4

b) It - 2

c) 40

c) It

d) 40,5

d) It -

e) 42

e) It

+ +

+ +

c) 2lt' m e (2r

I)lt m' I)lt m'

perpendiculares

raio I dm. Calcular a area da superficie comum de centro A e raio AC. Resposta em dm':

a) 36

de um circulo de

a eSse circulo

e ao circulo

2 I I

304. (VF-RS) Se 0 raio de um circulo cresce 20%, sua area cresce: (Faap-SP) Na campanha eleitoral para as recentes e1eil'Des realizadas no pais, 0 candidato de um determinado partido realizou um comicio que lotou uma pral'a circular com 100 metros de raio. Supondo que, em media, havia 5 pessoas/m', uma estimativa do numero de pessoas presentes a esse comicio e de aproximadamente:

a) 14% 305.

b) 14,4%

c) 40%

e

8

b)

125lt 4

d) 44%

(Vnifesp-SP) A figura ao lado mostra uma circunferencia, de raio 4 e centro C" que tangencia internamente a circunferencia maior, de raio R e centro C,. Sabese que A e B silo pontos da circunferencia

(Cesgranrio-RJ) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferencia de centro O. Sabe-se que BC = 5 cm, AC = 10 cm e que os pontos A e B silo diametralmente opostos. A area do circulo determinado por essa circunferencia, em cm2, igual a: 125lt

A razilo

que:

a)

3~ 2

de um quadrado.

It

d)

80

72

do perimetro

(V. F. Pelotas-RS) Em um dos jogos da Cop a America, em 1999, foi colocado, numa pra9a de forma semicircular, com perimetro igual a (lOlt + 20) metros, um telao. Nessa pral'a, 785 pessoas assistiam ao jogo.

Supondo que houvesse 0 mesmo numero de pessoas por metro quadrado da pral'a, em cada metro haveria

a figura ao lado, na qual:

I) A area do semicirculo 2) Areta,

b)

It

64

a)

c) 69% do prel'o da grande.

292. (VF-CE)

(PVC-MG) 0 comprimento de uma circunferencia entre a area do quadrado e a area do circulo e:

circunferencia

maior,

menor em T, sendo perpendicular

A area da regiao sombreada

e:

a) 9lt

d) 18lt

125lt

b) 12lt

e) 21lt

2

c) 15lt

AB mede 8 e tangencia

a reta

que passa por Ct e C,.

a

e a area, respecti-

306.

(Unifor-CE)

Considere

I) Duplicando-se II) Duplicando-se III) Duplicando-se

E

correto

as seguintes

quadrados,

d) somente

b) somente

I e II sao verdadeiras.

c) somente

I e III sao verdadeiras.

e) somente

a) 1,40

d) 2,21

b) 1,65

uma das praposi\'oes

e verdadeira.

e) 2,62

313.

c)

309.

b)

12n 5

d)

(U. F. Uberlandia-MG) Considere a figura ao lado, em que os pontos A, E, C, D, E, F, G e H estao ligados par arcos que correspondem a quartos de circunferencias.

A area dessa figura e igual a:

c) 23 cm2 d) 26 cm2

314.

(n - ~;) 315.

(U. E. Londrina-PR) Ceo

(PUC-RS)

b) 10,5 m

316.

Na figura triangulo

A area da regiao sombreada

ao lado tem-se equilatero

d) 30n

b) 48n

e)

8vS em.

+

Um disco de raio R foi subdividido

em tres regi6es,

l

=

16 e x

+

y2 = I e:

d) 255 u.a.

e) 3 u.a.

A, E e C, como

,

2)

Âą < A(%) < ~

3)

A(a) = ~(a - sen a)

do angulo central

317.

c)

10 cm2

d) 80

cm2

8 em. Entao a sua area e: e) 20 cm2

I

l

(UF-MT) Na figura abaixo, ha cinco circunferencias C" C2, C" C4 e Cs concentric as de raio a" a2' Q], Q4 e as, respectivamente.

A seqiiencia a" a20 a" a4, as e uma progressao aritmetica (P.A.) cujo 3'! ICI'mo ~ a,

=

n

6 e razao 2. (Considere

=

3,14.)

a.

de raio 5 em tem arco de comprimento

:

l, !-ar 14'"

1~1

A partir dos dados, julgue Um setor circular

lR

:"4

d) 20% e 25%

24n

crescente

,, ,, , 1

c) 15% e 20% e) 25% e 30%

I) A area A e uma fun\'ao

u) 30 cm2 b) 40 cm2

de x

c) 255n u.a.

e) 30 m

b) 10% e 15%

quadrados:

(UnB-DF) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferencia de centra na origem e de raio igual a 1. A cada angulo central a no intervalo [0, n], represente por A( a) a area delimitada pelo arco da circunferencia e 0 segmento de reta que liga os pontos P e Q, como ilustrado na figura ao lado.

Com base nessas informa\,oes, julgue os itens a seguir.

(UF-AM)

pelos graficos

b) 15 u.a.

2

a) 5% e 10%

c) 36n

.111.

d) 12,5 m 2

indicado na figura ao lado.

De fora do disco, e lan\'ada uma bola sobre 0 mesmo, inteiramente ao acaso, ate parar na regiao A ou C. Se a bola parar na regiao E, repete-se 0 lan\,amento. A probabilidade de a bola parar na regiao A ate 0 terceiro lan\,amento esta entre:

a circunfe-

AffC, cujo lado mede

e, em centfmetros

a) 52n

a reta r tangente

(UF-RS)

c) 20 m

A area da regiao limilada

a) 15n u.a.

~.(%-~)

0 raio do

(UF-PI) Desejamos marcar um terreno na forma de um setor circular com 50 m de perimetro. circulo (correspondente ao setar) para que a area do terreno seja maxima devera ser: a) 10 m

f .(; - vS)

rencia de centro

310.

5

4n 5

a) 24 cm2

(Fatec-SP) Na figura ao lado tem-se uma circunferencia C de centro 0 e raio de medida 3 em. Os pontos A e E pertencem a C, e a medida do angulo A6B e 45°. A area da regiao sombreada, em centfmetros quadrados, e igual a:

b)

5

b) 25 cm2

c) 1,85

~.

9n

a) II e III san verdadeiras.

(U. F. Juiz de Fora-MG) Umajanela foi construfda com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicfrculo, como mostra a figura ao lado.

Se a base da janela mede 1,2 metro e a altura total 1,5 metro, dentre os val ores adiante, 0 que melhor apraxima a area total da janela, em metros quadrados, e:

a)

e igual a:

16n

afirmar que:

a) I, II e III sao verdadeiras.

307.

(Unifor-CE) Na figura ao lado tem-se dois circulos concentricos, de raios iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um angulo central, em radianos. A area da superffcie sombreada, em centimetros

proposi\'oes:

a base de um retangulo, a area torna-se 0 dobra da area do retangulo original. a altura de um triangulo, a area torna-se 0 dobro da area do triangulo original.

0 raio de um circulo, a area torna-se 0 dobra da area do cfrculo original.

os ilens .

0) 0 5~ termo da P.A. e 12.

I) 0 comprimento

da quinta circunferencia

2) A area da coraa circular

formada

e 62,8.

pela terceira

e pela quarta circunfer6nclMH ~ 77,92,

318.

(U. E. Londrina-PR) Oito amigos compram uma pizza gigante circular com 40 cm de diametro e pretendem dividi-Ia em oito peda90s iguais. A area da superficie de cada peda90 de pizza, em centimetros quadrados,

(FEI-SP) Um dos lados de um triangulo inscrito em uma circunferencia coincide com um dos seus diiimetros. 0 perimetro do triangulo mede 30 cm e 0 diametro da circunferencia mede 13 cm. Quanto mede a

e:

area desse triangulo?

:~~~.a) 50n 319.

(Unirio-RJ) Hoje em dia, nao basta ser verde!

Eram exatamente 19h59 do dia 20 de mar90 e toda a equipe do Instituto Sea Shepherd Brasil, uma ONG nacional, criada por brasileiros, para agir em prol dos ambientes marinhos do Brasil, estava mobilizada para ajudar a combater um dos maiores desastres das companhias de petr61eo do mundo - 0 afundamento da plataforma P36.

Na medida em que nenhum derramamento de 61eo no mar e ecologicamente insignificante, analise a situa9aO de uma mancha de 61eo sobre a superficie da agua em forma de um efrculo de raio r (em m) e area S (em m2).

Considerando que a area e uma fun9aO do raio dada por A(r) = rrr2, e que 0 raio r aumenta em fun9aO do tempo t (em min), de acordo com a rela9aO r(t) = 5 + 5t, qual a area (em m2) da mancha de 61eo no instante t = 2 min? Considere 0 valor de 11 = 3,14.

324.

c) 60 cm2

b) 30 cm2

a) 10 cm2 (Cefet-MG)

Um triangulo

equiJatero

2

d) 20 cm2

e) 15 em

ABC, de altura h = 3 cm, esta inscritoem

um cfrculo

de centro

O.

e

320.

(Mackenzie-SP)

a)

A circunferencia

+

Se sen 10째

da figura ao lado tem raio

cos 10째 = a, a area do triangulo

ABC

e igual

../2 e centro

O.

a: Sendo M 0 ponto me'd' 10 d 0 segmen t 0 AB, a regl'a-o sombreada,

a../2

arco

AC,

limitada

pelos segmentos

b) 2a2 c)

321.

2a../2

(UF-GO)

No triangulo

BAE e EAc segmento

ABC da figura

sao iguais, as medidas

abaixo,

os segmentos

dos segmentos

AD e BC SaD perpendiculares,

BM e MC SaD iguais ere

os angulos

uma reta perpendicular

-

b)

-

c)

2

411

d)

411 3

+

311

+

e)

2

+

..[3

3

2

..[3 2

2

3

411

2

ao

por M.

BC, passando

311

a)

AM, MC e pelo

tem area igual a:

(Unicap-PE)

Na figura ao lado,

cunferencia

de diametro

0

triangulo

ABC

BD e as dimensoes

e

inscrito

indicadas

na cirSaD em

metro. Assim, tem-se:

e igual

0) A area do cfrculo I) 0 comprimento

a 6,25211 m2.

2) A area do triangulo

ABD

3) A area do triangulo

ABC

4) A area do cfrculo externa Com base nessas informa90es, I) Os triangulos

julgue

os itens.

que circunscreve

0 triangulo

ABC pertence

a reta

3) sen ~ . EM = sen a' AM, onde EM e AM indicam as medidas dos segmentos 4) 0 raio da circunferencia segmento

que circunscreve

0 triangulo

que 0 angulo B mede 150째 e 0 segmento

itens abaixo.

e 24

m2

ao triangulo

ABC

e maior

2

que 70 m

.

e

ABD mede

BA

sombreada

r.

EM e AM, respectivamente.

3' onde

a)

e: d) 90

72

e)

b) SO BA indica

a medida

do

96

c) S4

em uma circunferencia

de (ITA-SP) Considere

AC mede 4 cm, julgue

os

A com 0 lado

um triangulo

is6sceles

AD sejam paralelos.

2) A area do triangulo

ACD

3) 0 raio da circunferencia ACO

e s..[3 cm2 e r = 4 cm.

e equiJatero.

ABC, retangulo

BC e E um ponto da reta suporte do cateto Sabendo

que AD mede

I) sen (ABC) = sen (ADC).

4) 0 triangulo

12,511 m.

75 m2

BA.

(UF-GO) Considere um triangulo ABC, inscrito centro 0 e raio r, conforme a figura ao lado.

Sabendo

e

(Mackenzie-SP) Na figura ao lado, supondo 11 = 3, a area do efrculo inscrito no triangulo is6sceles 10S. Entao, a area da regiao

ABM e AMC tem areas iguais.

2) 0 centro da circunferencia

e

da circunferencia

em A. Seja D a interse9ao

../2 cm , entao a area do circulo inscrito

a)

11(4 - 2..[3) cm2

c)

311(4 - 2..[3) cm2

b)

211(3 - 2../2) cm2

d)

411(3 - 2../2) cm2

da bissetriz

AC de tal modo que os segmentos

do Angulo

de rcltt BE r

no triAnllulo r\B(' ~:

a)

5

l

334.

a)

E. 1t

b)

i

18

c)

d)

-

2.

2

(DnB-DF) Na figura abaixo. ABCD e urn quadrado de lado de comprimento igual a I. e os arcos que Iimi路 tam a regiao sombreada I sao arcos de circunferencias ceutradas nos vertices do quadrado.

~

1t

1t

d)

"3

c)

4

1t

(D. F. Vi,osa-MG) Na figura ao lado, ABC e urn triangulo retangulo com catetos de medidas BC = 3 e BA = 4; a circunferencia de centro 0, inscrita no triangulo, tangencia os lados do mesmo nos pontos E e D. A area do poligono ABEOD e igual a: a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 I)

e) 5

(D. F. Pelotas-RS) Para a fabrica,ao de 150 medalhas circulares, foi utilizada uma lamina retangular metalica de area X metros quadrados. Cada medalha con tern registros num triangulo equilatero inscrito, cujo ap6tema tern medida em cm igual a distancia 2x - 3y = O. A figura abaixo foi retirado

I das medalhas 3

Observando

que as perfura90es

do ponto

mostra

a ter,a

(f,

2) ao ponto de interse,ao

parte da lamina

metalica

-

das retas 2x

+

-

2) 0 comprimento

do arco de cfrculo

3) 0 comprimento

do segmento

4) A area da regiao I e igual a

FE e

335.

"3

+

5

331.

a) 0,18 m2

c) 0,135 m2

b) 0,54 m2

d) 0,42 m2

da lamina,

a area X e:

e) 0,14 m2

(PUC-PR) Nove eapftulos sabre a arte matematiea e urn compendio chines de Matematica, com mais de 2 300 anos de idade. Nele, encontramos este problema: determine 0 diametro do cfrculo inscrito no triangulo de lados 6, 8 e 10. Esse diametro vale: c) 4

(DF-PR) Na figura abaixo esta representada coordenadas cartesianas.

d)

M e e perpendicular

uma circunferencia

2

ao segmento

0

da reta que contem A e B ex

(02) A equa,ao

da circunferencia

(04) A area do triangulo

(32) Os segmentos Calcule

e x2

+

OMP e igual a

(08) A area da regiao sombreada de PaM

afirmar:

+

y

+

6 = O.

l = 36.

9-13.

e igual a

121t 2

9-13

e menor que 6.

OA e OP formam

a soma dos numeros

ponto de interse9ao

OA, e correto

(01) A equa,ao

(16) A distancia

3-13

-13.

r;; '13.

"4 -

Dados A(6, 0), M(3, 0) e B(O, 6) e sendo P entre si e com os extremos

1t

12

de onde

fabricadas.

sao tangentes

igual a

DE e igual a ~2 1t

3y - 12 = 0 e

com as perfura,oes

-13

x=l-"""2

angulo de 45掳.

associ ados as proposi,oes

corretas.

de raio 6 e centro na origem do sistema de

da circunferencia

com a reta que conldm

339.

(Cefet-MG) segmento

AB e AC sao duas eordas de urn cireulo, BC e urn diarnetro. b)

de eornprirnentos

A razao entre a area do eireulo

a)

b)

337.

do raio da eireunfereneia

9 _ 91t

inserita

c)

4 18 _ 91t 4

d)

(Maekenzie-SP)

Na figura abaixo,

no quadrado

18 _ 91t 2

0

ABC e de:

5 d) 41t

~1t

2

Se a rnedida pintada e:

4 em e 8 em, respeetivamente.

e a area do triangulo

e 3 em, a area, em ern2, de toda a regiao

e)

36 _ 91t 2

36 _ 91t 4

a eireunferencia

de centro 0 tern raio 2 e 0 triangulo

ABC e equiIatero.

a)

4+4~

c)

8 +8~

b)

8 +4~

d)

4+

8~

A

341.

(ITA-SP) Duas cireunfereneias de raios iguais a 9 rn e 3 rn sao tangentes externarnente nurn ponto C. Uma reta tangencia essas duas eireunfereneias nos pontos distintos A e B. A area, em rn2, do triangulo ABC

e:

b)

342.

(ITA-SP)

Duas cireunfereneias,

cia eujo raio rnede Se PQIIBC, a) b)

338.

aarea

assinalada

exterior

vale:

4~

c)

3 2~ 3

d)

(UF-SC)

A figura rnostra urn cireulo

gono regular

inserito

3~

~

e)

4

~

a)

2

~ 3

b)

de centro 0 e raio R = 18 em. 0 segrnento

e ACE, urn triangulo

equilatero

inserito.

a)

eondi,oes,

216~

cm2

a area do paralelogramo c)

ern2

~n

1-1t(1-

27..[2 2

C1 e C2, arnbas com I rn de raio, sao tangentes. e que tangencia dadas

externamente

Seja C3 outra cireunferen-

C1 e C2â&#x20AC;˘ A area, em rn2, da regiao lirnitada e

e:

(~J-(%)

AB eo lado de urn hexa343.

(Fuvest-SP) Na figura adiante, raioAB = AC = AD = R.

EFBG e:

116~

I) rn

as tres cireunfereneias

A diagonal ABCD e: Nessas

(..[2 -

e)

27~ 2

a)

quadrilatero

ABCD esta inserito

AC forma com os lados BC e AD angulos

R2(sen 20.

+ sen~)

2 b)

0

R2(sen a

+ sen 2

c)

R2(cos

20.

a e ~, respeetivarnente.

+ sen

2 2~)

d)

R2(sen

a 2

numa sernicireunfereneia

+ eos~)

2~)

e)

de centro A c

Logo, a area do quadrllrtl~1'11

R 2 (sen 20t

2

+ ~()H p)

344. (Fuvest-SP)

Considere a quadrado ABCO inscrito na semicircunferencia de centro na origem. Se (x, y) sao as coordenadas do ponto A, entao a area da regiao exterior ao quadrado ABCO e interior it semicircunferencia e igual a: a) b)

e; _4}2 +

x2

d)

e;

350.

(UFF-RJ) Para a encena,ao de uma pe,a teatral, as patrocinadores circular com 10 m de raio. 0 palco ocupara a regiao representada

financiaram a constm,ao de uma arena pela parte sombreada na figura abaixo.

_2}2

-l

2

y2

e) rrx

c) (5rr - 4)x2

345. (Fuvest-SP)

Na figura ao lado estao representados urn quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferencia de raio 2. EnHia, a area da regHio sombreada

e:

a)

+2

.::

2 b) rr + 2 c) rr d)

rr

+ +

3

3

e) 2rr + I 346.

b)

a) rr - 2

(PUC-MG)

BED .:: +1 2 c) rr - I b)

d)

Na figura,

pertence

pertence A medida

d) 4-rr

2

5...[2 + IOrr

25,[3rr 2

(ESPM-SP) Na figura ao lado, ABCO e urn quadrado de lado 2 em e as areas de circunferencias tern centros nos pontos A, MeN, sendo AM = MB e AN = NO. A area sombreada, em centimetros quadrados, mede:

e)

50...[2 + rr

75,[3 + 50rr

4

a lado do quadrado

ABCO mede uma unidade.

de centro em A e raio unitario;

it circunferencia

0 area

BFD

a area

a circunferencia

de centro em C e raia unitario. da area da regiao sombreada e:

a) rr-2

rr

3

c)

rr-2 3

A

2

b)

rr-2

--

d)

2

B

rr-2 4

347. (Vunesp-SP)

Urn cavalo se encontra preso num"cercado de pastagem, cuja forma e urn quadrado, com lado medindo 50 m. Ele esta amarrado a uma corda de 40 m que esta fixada num dos cantos do quadrado. Considerando rr = 3,14, calcule a area, em metros quadrados, da regiao do cercado que a cavalo nao consegui, ra alcan,ar, porque esta amarrado.

348. (UF-RS) A altura de urn triangulo desse triangulo

equilMero

e a area de urn quadrado b)

inscrito

inscrito

numa circunferencia

nessa mesma

3,[3

circunferencia d)

,[3

4

8

(UF-GO) A figura ao lado contem urn quadrado e urn drculo, ambos indica a centro do drculo e a interse,ao das diagonais do quadrado.

Observe a figura e julgue as afirma,oes a seguir.

I) 0 drculo

e a quadrado

2) A area do polfgono

tern a mesmo perfmetro.

ACOE mede I cm2•

3) A area das partes do drculo, externas ao quadrado, das partes do quadrado, externas ao drculo.

e 2,[3 em. A razao entre a area e:

352.

(UF-AL) Na figura ao lado tem-se 4 semidrculos, dais a dais tangentes entre si e inscritos em urn retangulo. Se 0 raio de cada sernicfrculo e 4 em, a area da regiao sombreada, em centimetros quadrados, e: (Use: rr = 3,1) a) 24,8

d) 28,8

b) 25,4

e) 32,4

c) 26,2 e)

3,[3 8

de area igual a 4 cm2• 0 ponto E

(U. E. Londrina-PR) Na figura, ABCO e urn quadrado cujo lado mede a. Urn dos areos est:i contido na circunferencia de centro C e raia a, e 0 Dutro uma

e

semicircunferencia de centro da regiao sombreada e:

no ponto

media de BC e de diametro

a) urn quarto da area do cfrculo

de raio a.

b) urn oitavo da area do drculo

de raio a.

e a mesma que a

4) 0 angulo AEB mede 60°. d) igual it area. do drculo

de raio

e) a metade da area do quadrado.

'2a

a. A area

:~:

(UF-CE)

Considere de reta

• 0 segmento

de reta

• 0 comprimento

do

e tangente a circunferencia a em A; AC e um diametro da circunferencia a; segmento de reta AB e igual a metade do AB

mento da circunferencia Entao,

e

(UF-RS) Na figura ao lado, ASH arco do circulo centro na origem, e PQRS e qnadrado de area I. A area da regiao sombreada e:

c

a figura ao lado, na qual:

• 0 segmento

a area do triangulo

compri-

"~

a).J3

ABC dividida

pela area de a

e igual

A 2 3

"2

b)

"3

d)

.J3 -

d)

.J3 -

!:: 4

e)

e)

;

41t _ .J3 3

B b)

a)

4

a:

2

I

c)

1t

2

0..

de raio 2 com

2

!:: 3

5 3 359.

(U. F. Vi90sa-MO)

Na figura ao lado, A, B, C e D sao pontos do cir-

culo de centro O. Sabe-se que AB = CD = 4 e que a area do triangulo AOB 6.

Entao, a area da regiao sombreada igual a:

e

a) 61t -

e

12

b) 131t -

12

c) 131t - 4 d) 111t -

12

e) 61t - 6

e

Nela, a circunferencia maior C tern raia 2, e cada uma das circunferencias menores, C\l ez• C3, C4, tangente aCe a um lado do quadrado inscrito. Os centros de CI> C2, C3 e C4 estao em diametros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das areas limitadas por essas quatro circunferencias menores e: a)

b)

81t(3 + 2.J2) 1t(3 + 2.J2)

c) d)

356. (UF-MO)

Na figura, 0 triangulo circunferencia de raio 2.

Entao,

a area da regiao sombreada

equilatero

1t(3-2.J2) 21t(3 - 2.J2)

ABC esta inscrito

numa

e:

41t - 3.J3 a)

3 21t - 3.J3

b)

3 Sabendo-se

31t - 4.J3 c)

que a area do circulo

a) 32b2

3 31t - 2.J3

d)

361.

3

357. (UF-MO)

Observe

a figura.

raio r e arcos AIl, Be, valor da area sombreada, a) r2(1t b) 2r\1t

de centro

CD, 6E, EF, FG, GH e HAcongruentes. em fun9ao de r,

e:

0 tem 0

-

I)

a) 64 cm2 b) c)

-

I)

Na figura ao lado, 0

32.J3 cm2 8.J2 cm2

d) 24 cm2 e)

16.J3 cm2

afirmar

que a area total da figura

c) 30b2

e 0 centro AC

cia, OA = 8 em, AB = OA e as retas gentes a circunferencia, respectivamente, A area do triangulo BCD e:

2)

c) 2r2 d) r\1t

Nela, a circunferencia

(Cefet-PR)

e 1tb2, e correto

b) 36b2

da circunferen-

ED

e sao tannos pontos A e B.

d) 34b2

e: e) 16b2

362. (FEI -SP) a lado AB do triiingulo ABC e diiimetro de uma eireunfereneia; dessa eireunferencia;

0

seu raio mede 2 em. Nessas

a) 8 em2

c) 6 em2

b) 7 em2

d) 5 em2

eondiyoes,

0 vertiee C e um dos pontos a area do triiingulo ABC mede no maximo:

366. (UF-SE) Na figura abaixo tem-se as cireunfereneias hexagono

C, e C2, respeetivamente

inserita

e cireunserita

a um

regular.

e) 4 em2

a)

27re

c)

4 b) 6re

d)

21re

e)

4

15re

-4

9re 4

367. (UF-PI)

a) 11,6

c) 12,4

b) 11,8

d) 24,2

364. (ESPM-SP) diiimetros

Seja ABC um triilngulo

em A. as semicireulos,

retiingulo

AB e AC, respeetivamente,

externos

ao triiingulo

tem areas euja soma e 41re m2â&#x20AC;˘ a quadrado

externo

ABC e com ao triiingulo

ABC, e que tem BC como um dos seus lados, tem area igual a: a) 328 m2

c) lOa m2

b) 164 m2

d) 81 m2

e) 41 m2

~

365. (Unifor-CE)

Na figura abaixo tem-se um triiingulo metros sao os tres lados desse triiingulo.

equilatero

de lado 2 metres

\

, , ,"

a)

re +./3

c)

2

2re - ./3 d)

2

,, ,, ,,,

e)

2

re -./3 b)

re./3

2

eireunfereneias

re -./3

eujos diii-

Considerando um cireulo de raio 10 em e um hexagono medida da area, em em2, da regiao sombreada e:

a)

lOOre _ 75./3 2

c)

b)

lOOre _ 75./3 3

d)

lOOre _ 75./3

4 lOOre _ 75./3 5

regular

de lado 5 em, como na figura

e)

lOOre _ 75./3 6

acima,

a

161. d 203. e 245. e 162. a 204. a 246. a 163. c 205. a 247. a 164. d 206. c 248. c 165. b 207. 14(02+ 04 + 08) 249. c 166. F, F, V,V 208. V, F, V, F 250. e 167. a 209. b 251. a 168. b 210. a 252. d 169. d 211. e 253. e 170. F, F, F, F, V 212. b 254. d 171. a 213. b 255. b 172. d 214. e 256. c 173. c 215. a 257. c 174. a 216. d 258. d 175. b 217. d 259. F, V,V, V 176. c 218. c 260. b 177. d 219. c 261. d 178. e 220. d 262. F, V,V,V 179. 13(01+ 04 + 08) 221. b 263. a 180. c 222. c 264. e 181. b 223. c 265. a 182. e 224. a 266. d 183. b 225. V, F, F, V 267. d 184. c 226. V, F, F, V, F 268. e 185. b 227. a 269. c 186. c 228. a 270. b 187. d 229. b 271. a 188. d 230. a 272. b 189. c 231. a 273. a 190. c 232. a 274. e 191. e 233. c 275. a 192. d 234. b 276. c 193. d 235. b 277. b 194. d 236. e 278. c 195. b 237. c 279. a 196. b 238. c 280. d 197. e 239. e 281. d 198. b 240. a 282. b 199. d 241. V, V, F, V 283. a 200. c 242. e 284. d 201. b 243. c 285. b 202. b 244. d 286. b

287. c 288. b 289. b 290. a 291. b 292. d 293. b 294. F, F, V,V,V 295. b 296. e 297. b 298. a 299. c 300. a 301. c 302. b 303. d 304. d 305. a 306. b 307. b 308. c 309. e 310. V,V,V 311. e 312. d 313. a 314. d 315. a 316. c 317. F, V, F 318. a 319. b 320. a 321. V,V,F,F 322. V,V,V,V 323. b 324. e 325. V,V, F, F, V 326. c 327. d

329. a 330. b 331. c 332. a 333. d 334. V, F, V, F 335.F, V, F, V,V, F 336. b 337. a 338. e 339. d 340. b 341. b 342. a 343. a 344. a 345. b 346. a 347. e 348. e 349. F, V,V, F 350. a 351. b 352. d 353. b 354. c 355. d 356. a 357. a 358. b 359. b 360. e 361. b 362. e 363. a 364. b 365. b 366. a 367. a

328. b

Professor: AndrĂŠ Luiz