Conjuntos e funções 2016 by ANDRÉ LUIZ

11Lista de Exercfcios de Algebra - Conjuntos e Fun~ijes - Professor: Andre Luiz Aluno(a}: Turma: __ 12 Bimestre /2014

1 - Dados os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 4, 5, 6, 7, 8}

2 - Dados os conjuntos: A = { 1, 2, 4, 5, 9 } B = { 4, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 6, 9, 10, 11 }

Calcule:

Calcule: A) AuB B) AnB C) BuC D)AuC

A) AuB B) AnB

E) AnC

C)A-B D)B-A

F) AnBnC G) AuBuC

3 - Represente em Diagramas

que se pede:

A)AuB B) AnB C) AuBuC D) AnBnC E) (AuB)nC F) Au(BnC)

Numa escola existem 630 alunos, sendo que 350 gostam de Matematica, 210 gostam de Fisica e 90 gostam das duas. Sabendo disso, responda: A) Quantos alunos gostam apenas de Matematica ? B) Quantos alunos gostam apenas de Fisica ? C) Quantos alunos gostam de Matematica ou Fisica ? D) Quantos alunos nao gostam de nenhuma materia ?

Numa

esquisa sobre 3 marcas de consumo, obtemos a tabela abaixo: Agora, responda: A) Quantas pessoas consomem s6 0 produto A ? B) Quantas pessoas consomem s6 0 produto B? C) Quantas pessoas consomem s6 0 produto C ? D) Quantas. pessoas foram consultadas ?

200

c Ae:B {tee

Bee A,Bee

250

10 CJO ??I> (,0

19o

2016

6 - Num gropo de 29 pessoas, sabe-se que 10 falam ingles, 13 falam frances e 6 falam frances e ingles. Sabendo isso, responda: A) Quantas pessoas do gropo MO falam nem ingles ? B) Quantas falam somente ingles ? C) Quantas falam frances ou ingles ? 7 - Numa pesquisa sobre a preferencia em rela9ao a dois jomais, furam consultadas 470 pessoas e 0 resultado da pesquisa foi a seguinte: 250 delas leem ojornal A 180 leem ojornal Be 60, os doisjornais_ Sabendo isso, responda: A) Quantas pessoas leem apenas 0 jomal A ? B) Quantas leem apenas 0 jomal B ? C) Quantas leem os dois jomais ? D) Quantas nao leem nenhumjomal ? 8 - Uma prova era constituida de dois problemas, 300 alunos acertaram somente urn dos problemas, 260 acertaram 0 segundo, 100 acertaram os dois e 210 erraram 0 primeiro. Quantos alunos fizeram a prova ? ~ - Foi realizada uma pesquisa numa industria, tendo side feitas a seus openirios apenas duas perguntas. Dentre os openirios, 92 responderam sim a primeira pergunta, 80 responderam sim a segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 nao responderam as perguntas feitas. Qual 0 total de openirios da industria ?

Numa escola existem "n" alunos. Sabe-se que 56 alunos leem 0 jomal A 21 leem os jomais A e B, 106 leem apenas urn dos dois jomais e 66 nao leem 0 jornal B. Quantos alunos existem na escola ?

1 - Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferencias em rela9ao aos produtos A e B. Os resultados das pesquisas indicaram que: 310 pessoas compraram 0 produto A; 220 pessoas compraram 0 produto B; 110 pessoas compraram os produtos A e B; 510 nao compraram nenhum dos dois produtos. Quantas pessoas foram entrevistadas ? 12 - Num universo de "N" alunos, 80 estudam Fisica, 90 Biologia, 55 Quimica, 32 Biologia e Fisica, 23 Quimica e Fisica, 16 Biologia e Quimica e 8 estudam nas tres faculdades. Sabendo que esta Universidade somente mantem as tres cursos, quantos alunos estao matriculados na Universidade ? 3 - Uma pesquisa sobre a preferencia de mostrou 0 seguinte resultado: 20 consumiram as tres marcas; 30 consumiram as marcas A e B; 50 consumiram as marcas B e C; 60 consumiram as marcas A e C; 120 consumiram a marca A; 75 consumiram a marca B. Agora, responda: A) Quantos consumidores preferem B) Quantos consumidores preferem C) Quantos consumidores preferem

200 consumidores por 3 marcas A, Bee

somente a marca C ? pelo menos dois dos produtos? as marcas A e B e nao C ?

14 - Em urn levantamento com 100 estudantes de uma escola, verificou-se que 0 numero de alunos que estudou para as provas de Matematica, Fisica e Portugues foi oseguinte: Matematica: 47 Fisica: 32 Portugues: 21 Matematica e Fisica: 7 Matematica e Portugues: 5 Fisica e Portugues: 6 Matematica, Fisica e Portugues: 2 Quantos alunos da escola nao estudaram nenhuma das tres materias ? 15 - Representar de outras 2 maneiras os intervalos num,ericos abaixo: A) [1,4]=

)"3.'

B) ]0,3[=

~NN" -1"2-

O~.

C) [-1,2]=

D) O<x~3= ~-2~x~5=

~ __ --B~i<x<-~=-_ _,

'~ ~-

J 6 - Dados os intervalos abaixo, calcular em cada caso:

Au B, A (l B, A - B e B - A . A) B) C) D)

A= [2,4] e A= [3,6[ e A=]3,1O] e A=]- 00,5] e

B=]1,5] B=]0,5[ B=]5,+00[ B=]2,7]

1 ~

Represente no Plano Cartesiano (xy) os pontos abaixo:

A) A(2.3) B) B(-2,3)

~ 3 Z f

C) C(2,-3) D) D(-2,-3) E) E(0,2) F) 1"(0,-2) G) G(3,O)

-5"

H) H(-3,O)

.,k .â&#x20AC;˘3

I) 1(4,5) J) J(-4,-5)

-2 ~"I

-1 -2

K) K(4,-3)

-3

L) L(-5,3)

-It -$

19 - Escreva

Dominio e a Imagem das Fun90es abaixo:

I) y=x-4

A) y=x+6

E)y=x+8

1 B) y=x-2

F)y=-

1 J) y=-

M)y=x+2 1 N)y=x-3

C) y=.Jx-1

G)y=.J-x+S

K) y=.Jx-6

0) y=.J-x+4

1 D) y---.J-x+3

H) y=

x-4

r--:;.

"\Jx-2

x+s

L) y--~= .J-x+2

P) y= ,.------.;

"\Jx+1

21- Calcule as fun90es compostas fog(~), gof(~), fof\~) e gog(~), sendo dadas as fun90es f(x) e g(x) abaixo: A){f(x)=2x + 1 Ig(x)=x+7

D~f(x)=X+4

19(x)= 3x- 2 B)Jf(x)=x -1 -h(x)= 5x- 6

E)j f(x)= Sx- 3

-lg(x)= x+ 2 C)j f(x)=x + 1 19(x)= 3x+2

A)y=6x-4 3x-l B) y=-x+2 C) y=2x-l 1-x D)y=1+x E)y= 3x- 4

F) y--_2x+1 x-3 G)y=2x- 5

H)y--_3x-4 2x-S I)y=x- 6

J) y--- 5x-2 x-1

GABARITO RESOLVIDO

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FTD

MATEMÁTICA CAD ATV — 1 BIM — 2a PROVA — SETUP

Conjuntos

Exercícios Resolvidos

1 (Unicruz-RS) Dados: A = {1, 3, 4, 5, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9}, temos que A 5 (B 5 C) resulta: a) {5, 6, 9} c) {1, 3} e) {7, 8} X b) {5} d) {1, 3, 4, 7, 8}

Professor André Luiz

4 (UESC-BA) Dados os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} e B = {x; x = n2, n 7 A}, pode-se afirmar: a) 4 7 A − B d) A 6 B = A b) 1 7 B − A X e) A 5 B = {0, 1, 4} c) 25 7 A 6 B Sendo x = n2, temos: n n n n n n

2 (ECM-AL) Sendo A = {x 7 Μ, x = 2n 0 1}, B = {x 7 Μ, x é divisor de 18} e C = {x 7 Μ, x é múltiplo de 3}, então (B − A) 5 C é: a) {6, 9, 18} c) {6, 9} e) % X b) {6, 18} d) {6}

a) b) c) d) e)

Determinando os conjuntos, vem: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...} B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} Logo, B − A = {2, 6, 18} e (B − A) 5 C = {6, 18}

2 5

B = {0, 1, 4, 9, 16}

Falso. A − B = {−1, 2, 3} Θ 4 8 (A − B) Falso. B − A = {9, 16} Θ 1 8 (B − A) Falso. A 6 B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 9, 16} Θ 25 8 (A 6 B) Falso. A 6 B ϑ A Verdadeiro. A 5 B = {0, 1, 4}

(ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. % 7 U e n (U) = 10 II. % 3 U e n (U) = 10 III. 5 7 U e {5} 3 U IV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): a) apenas I e III d) apenas IV b) apenas II e IV e) todas as afirmações X c) apenas II e III Observe que: I. % 3 U, mas % 8 U II. n (U) = 10 III. 5 7 U Θ {5} 3 U IV. {0, 1, 2, 5} 5 {5} = {5} Assim sendo, I e IV são falsas e II e III são verdadeiras.

(Esam-RN) Considerando-se os conjuntos A = {x 7 Μ, x é divisor de 30}, B = { x 7 Μ, x é par} e C = {x 7 Μ, x é múltiplo de 4}, é correto afirmar: 01) B 3 C e B 5 C = % 02) B 3 C e C 3 B 03) B 3 C ou B 6 C = Μ 04) A 3 C ou A 5 C ϑ % X 05) A Φ B ou C 3 B

Do enunciado, temos: C

−1 Θ x = (−1)2 Θ x = 1 0 Θ x = 02 Θ x = 0 1 Θ x = 12 Θ x = 1 2 Θ x = 22 Θ x = 4 3 Θ x = 32 Θ x = 9 4 Θ x = 42 Θ x = 16

3 (Unifor-CE) Sejam os conjuntos A, B e C tais que B 3 A, B 5 C = %, A 5 C = {3}, C − A = {1, 4}, B − C = {2, 6} e A 6 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Nessas condições, é verdade que: X a) A − C = {2, 5, 6, 7} b) B 6 C = {1, 2, 4, 6} c) A 5 B = {2, 3, 6} d) C − B = {1, 4} e) !BA = { 5 , 7 } A

= = = = = =

144424443

A 5 B 5 C = {5}

3 4

A − C = {2, 5, 6, 7}

A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ..., 30, ...} C = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} Logo, A Φ B e C 3 B.

Matemática

033_036_CA_Matem_1

11.08.06, 12:45

Conjuntos

7 (MACK-SP) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo que algumas delas utilizam A e B. O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é: X e) 7 a) 5 b) 3 c) 6 d) 8

De acordo com as informações acima, decida se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F). F 1. Nessa pesquisa foram entrevistadas 600 pessoas. V 2. Nessa pesquisa 55 entrevistados aprovaram os dois produtos. V 3. Em Uberaba, 100 entrevistados aprovaram somente o produto B. 4. Em Uberlândia, 270 entrevistados aprovaram somente F o produto A ou somente o produto B.

Se x for o número de pessoas que utilizam os produtos A e B, então:

B 12 − x

Uberlândia

10 − x

(12 − x) 0 x 0 (10 − x) = 15 → x = 7

Uberaba

A 105 ⫺ x

125 25

8 (UFPel-RS) Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas freqüentadas por grande número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2 100 pessoas, teve por objetivo detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarréia (D) e febre (F), conforme o quadro abaixo. D

127

136

137

DeV DeF 46

FeV

D, V e F

(UFOP-MG) Num concurso público para Técnico do Tesouro Nacional, foram inscritos 2 500 candidatos. O único critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na prova de Matemática ou na prova de Português. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Português. Pergunta-se: a) Quantos candidatos foram eliminados nas duas provas simultaneamente? b) Quantos candidatos foram eliminados apenas na prova de Matemática? c) Quantos candidatos não foram eliminados?

22 29

30 55 F

Logo, o número de pessoas que não apresentaram sintomas é: 2 100 − (62 0 29 0 22 0 24 0 30 0 51 0 55) = 1 827

Fazendo o diagrama, vem: Matemática

9 (UFU-MG) Numa pesquisa realizada em Uberlândia e Uberaba, para avaliar dois novos produtos, foram consultadas 50 pessoas a mais em Uberlândia. Verificou-se que, das pessoas consultadas em Uberlândia, 120 delas aprovaram o produto A, 150 aprovaram o produto B, 25 aprovaram os produtos A e B e 30 não aprovaram nenhum dos dois produtos. Em Uberaba, verificou-se que, das pessoas consultadas, 130 aprovaram o produto B, 105 aprovaram o produto A e 20 não aprovaram nenhum dos dois produtos.

Matemática 033_036_CA_Matem_1

Português

236 − x

210 − x

Logo: a) 236 − x 0 x 0 210 − x = 330 Θ x = 116 b) 236 − 116 = 120 c) 2 500 − 120 − 116 − (210 − 116) = 2 170

(100)

D 24

130 ⫺ x

Em Uberlândia, temos: n1 = 95 0 25 0 125 0 30 Θ n1 = 275 pessoas Em Uberaba, temos: n2 = 275 − 50 Θ n2 = 225 pessoas Logo: 105 − x 0 x 0 130 − x 0 20 = 225 Θ x = 30 1. Falsa 275 0 225 = 500 pessoas 2. Verdadeira 25 0 30 = 55 pessoas 3. Verdadeira 130 − 30 = 100 pessoas 4. Falsa 95 0 125 = 220 pessoas

Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas entrevistadas que não apresentaram nenhum dos sintomas pesquisados é: X c) 1 827 a) 1 529 e) 1 929 b) 2 078 d) 1 951 f) I.R.

x (30)

(75)

Fonte: Adaptado da revista Discutindo Ciência, ano 1, no 1.

11.08.06, 12:46

Conjuntos

(UFES) Uma empresa tem 180 funcionários. Dentre os funcionários que torcem pelo Flamengo, 25% também torcem pelo Cruzeiro. Dentre os funcionários que 1 torcem pelo Cruzeiro, também torce, simultaneamen8 te, pelo Flamengo e pelo Rio Branco. Nessas condições: a) mostre que, no máximo, 16 funcionários da empresa torcem, simultaneamente, pelo Flamengo, pelo Cruzeiro e pelo Rio Branco; b) admitindo que, dentre os funcionários da empresa, ■ 80 torcem pelo Flamengo, ■ 20 torcem pelo Rio Branco e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Cruzeiro, ■ 60 não torcem nem pelo Flamengo, nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco, calcule o número de funcionários que torcem, simultaneamente, pelo Flamengo, pelo Cruzeiro e pelo Rio Branco.

(UFAL) As alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna V e as falsas, na coluna F. O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupo de 77 jovens, há: – um total de 32 moças – 4 moças que trabalham e estudam – 15 rapazes que trabalham e não estudam – 13 moças que não estudam nem trabalham – 10 rapazes que estudam e não trabalham – 25 jovens que não trabalham nem estudam – 15 jovens que estudam e não trabalham Nesse grupo, o número de: V–F 0 – 0 rapazes é 50. 1 – 1 rapazes que não trabalham nem estudam é 12. 2 – 2 moças que trabalham e não estudam é 9. 3 – 3 rapazes que trabalham e estudam é 9. 4 – 4 moças que estudam e não trabalham é 4.

a) Sejam: a: número de funcionários que torcem pelo Flamengo e não torcem nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco b: número de funcionários que torcem pelo Cruzeiro e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Rio Branco c: número de funcionários que torcem pelo Rio Branco e não torcem nem pelo Flamengo nem pelo Cruzeiro d: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo e Rio Branco e não torcem pelo Cruzeiro e: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo e Cruzeiro e não torcem pelo Rio Branco f: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Cruzeiro e Rio Branco e não torcem pelo Flamengo g: número de funcionários que torcem simultaneamente pelo Flamengo, Cruzeiro e Rio Branco h: número de funcionários que não torcem nem pelo Flamengo, nem pelo Cruzeiro nem pelo Rio Branco

Temos: 13

M T

15 R

0 1 2 3 4

Então, tem-se que a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180,  25    (a 0 d 0 e 0 g) = e 0 g, isto é, a 0 d = 3(e 0 g), e  100 

0. 1. 2. 3. 4.

Falsa. R = 12 0 10 0 15 = 37 Verdadeira. Veja a figura. Falsa. São 10. Falsa. São 8. Falsa. São 5.

Portanto:

 1   (b 0 e 0 f 0 g) = g, isto é, b 0 e 0 f = 7g.  8 Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) e b 0 e 0 f = 7g em a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180, obtém-se c 0 3e 0 11g 0 h = 180 e, portanto, 11g < 180. Logo, g < 16.

b) Como h = 60, c = 20 e a 0 d 0 e 0 g = 80, então b 0 f = 20, já que a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 g 0 h = 180. Substituindo b 0 f = 20 em b 0 e 0 f = 7g, obtém-se 7g − e = 20. Substituindo a 0 d = 3(e 0 g) em a 0 d 0 e 0 g = 80, obtém-se e = 20 − g. Substituindo e = 20 − g em 7g − e = 20, obtém-se g = 5.

V 0 1 2 3 4

F 0 1 2 3 4

(UFF-RJ) O número π −

 3 a) 1,   2 1  b)  , 1 2 

3 c)  , 2

 2 

2 pertence ao intervalo:  3  e) − , 0  2 

d) (−1, 1)

Substituindo π = 3,14 e π−

2 = 1,41, vem: 3  2 = 3,14 − 1, 41 = 1, 73, que pertence ao intervalo  , 2  . 2 

Matemática

033_036_CA_Matem_1

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Conjuntos

14 (Acafe-SC) Analise os conjuntos apresentados e as proposições abaixo. A = {x 7 Β 兩 (2x 0 6)(x − 2)(x − 1) = 0} B = {x 7 ς 兩 x2 − 3x 0 2 < 0} I. A 5 B = {1, 2} II. A 6 B = {−3, 1, 2} III. B 3 A IV. B − A = ]1, 2[ São corretas as proposições: X a) I e IV c) II e III e) I, III e IV b) I, II e III d) II e IV Se: (2x 06)(x − 2)(x − 1) = 0 Θ x = −3 ou x = 2 ou x = 1 A = {−3, 2, 1} Se x2 − 3x 0 2 < 0, vem: xδ = 2 x2 − 3x 0 2 = 0 ou xφ = 1 1 − B = {x 7 ς 兩 1 , x , 2} I. Correta A 5 B = {1, 2} II. Incorreta A 6 B = {−3} 6 [1, 2] III. Incorreta BΦA IV. Correta B − A = ]1, 2[

15 (UEMA) Dados os conjuntos A = {x 7 ς\−1 < x < 3} e B = {x 7 ς\2 , x < 4}, onde ς é o conjunto dos números reais, podemos afirmar que A − B é o conjunto: d) {x 7 ς\2 < x < 3} X a) {x 7 ς\−1 < x < 2} b) {x 7 ς\−1 < x , 3} e) {x 7 ς\−1 , x , 2} c) {x 7 ς\2 , x , 4} Representando os conjuntos, vem: A

−1

B A−B

A diferença A − B é: A − B = {x 7 ς\−1 < x < 2} 2

16 (Cefet-MA) A um aluno foi proposto que ele resolvesse o seguinte exercício: “Obtenha A 5 B e A 6 B para A = {x 7 ς 兩 x < −2 ou x > 2} e B = {x 7 ς 兩 −5 , x < 4}”. O aluno encontrou a seguinte solução: −2

−5 −5

4 −2

B A ∩ B = [−5, −2] ∪ [2, 4] A∪B=ς

a) O aluno errou ao determinar o conjunto A 6 B. b) O aluno acertou o exercício. X c) O aluno errou ao determinar o conjunto A 5 B. d) Somente o cálculo do conjunto A 5 B está correto. e) O aluno errou o cálculo da determinação dos dois conjuntos. O aluno errou ao calcular A 5 B: A 5 B = ]−5, −2] 6 [2, 4]

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FTD Funções

Funções

Exercícios Resolvidos Professor André Luiz

(UFSM-RS) Considere a função f: ς Θ ς definida por

f(x) =

123

(UFMA) Considere as seguintes afirmações: I. Uma função é uma relação que associa a cada elemento do seu domínio um único elemento no seu contradomínio. II. Toda relação é uma função. III. Dada uma função sobrejetora, então seu contradomínio é diferente de sua imagem. IV. Uma função será injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio possuírem imagens distintas. Assinale a alternativa correta: a) I, II e III estão corretas. b) I e II estão corretas. c) III e I estão corretas d) II, III e IV estão corretas. X e) I e IV estão corretas.

2x, se x 7 Χ x2 − 1, se x 8 Χ

O valor de f(π) 0 f ( 2 ) − f (1) é : a) π 2 0 2 π − 2

d) 2π 0 1

b) 2 π 0 2 2 − 2 π2 − 2

e) 2 2 − π 0 1

X c)

Pelos dados, temos: f(π) ⫽ π2 ⫺ 1

f( 2 ) = ( 2

)

−1= 2 −1=1

f(1) = 2 9 1 = 2

Logo: f( π ) 0 f

(

)

2 − f(1) = π 2 − 1 0 1 − 2 = π 2 − 2

I. Correta Para que uma relação seja função, ela deverá associar a cada elemento do seu domínio um único elemento do seu contradomínio. II. Incorreta Uma relação não será função se um elemento do seu domínio associar mais de um elemento do seu contradomínio.

(Fuvest-SP) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x − 1) 0 1 para todo número real x. a) Calcule g(3). b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x) = 8.

III. Incorreta Uma função é sobrejetora quando sua imagem é igual ao seu contradomínio. IV. Correta Elementos distintos devem corresponder a imagens distintas.

1 f(ax) = af(x), ? a 7 ς, ? x 7 ς 2 f(4) = 2 3 g(x) = f(x − 1) 0 1, ? x 7 ς a) De 1 e 2 , temos: a = 2 e x = 2 Θ f(2 9 2) = 2 9 f(2) Θ f(4) = 2f(2) = 2 Θ f(2) = 1 Em 3 , x = 3 Θ g(3) = f(2) 0 1 Θ g(3) = 2. b) Em 1 , se x = 4 Θ f(4 9 a) = a 9 f(4) Θ f(4a) = 2a.

x . 2 x −1 c) Em 3 , g(x) = 0 1 = 8 Θ x = 15. 2 Então: f(x) =

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Funções

5 (EEM-SP) Uma função satisfaz a relação f(2x) = 2f(x) 0 f(2), para qualquer valor real de x. Sabendo-se que f(4) = 6, calcule f(16).

(UEM-PR) Sejam Μ = {1, 2, 3, ...} e B = {0, 1, 2}. Considere a função f : Μ Θ B, dada por f(x) = y, em que y é o resto da divisão de x por 3. É incorreto afirmar que: a) f é uma função sobrejetora. b) f(73) = 1 X c) f é uma função injetora. d) f(1) = 1 e) f(102) = 0

Fazendo x = 2, vem: f(2 9 2) = 2f(2) 0 f(2) f(4) = 3f(2) 6 = 3f(2) f(2) = 2 Fazendo x = 4, vem: f(8) = 2f(4) 0 f(2) f(8) = 2 9 6 0 2 f(8) = 14

Numa divisão de um número natural por 3 o resto pode ser: 0, 1 ou 2 (valores de y). Para que y seja: 0 Θ x deve ser múltiplo de 3, isto é, 3, 6, 9, ... 1 Θ x deve ser 1, 4, 7, 10, ... 2 Θ x deve ser 2, 5, 8, 11, ...

Fazendo x = 8, vem: f(16) = 2f(8) 0 f(2) f(16) = 28 0 2 f(16) = 30

2 1

a) Correto A função f(x) é sobrejetora, pois o contradomínio é igual à imagem. CD = Im = {0, 1, 2} b) Correto 73 13 1

6 (Acafe-SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x − 6 e g(x) = ax 0 b, se f[g(x)] = 12x 0 8, o valor de a 0 b é: X b) 13 a) 10 c) 12 d) 20 e) 8

3 24 Θ f(73) = 1

c) Incorreto Não é injetora, pois f(1) = 1 e f(3) = 1. Elementos diferentes do domínio levam a imagens iguais.

f[g(x)] = f(ax 0 b) = 2(ax 0 b) − 6 = 2ax 0 2b − 6 Daí, vem: f[g(x)] = 12x 0 8 Θ 12x 0 8 = 2ax 0 2b − 6 Igualando os coeficientes, temos: 2a = 12 Θ a = 6 2b − 6 = 8 Θ b = 7 Logo: a 0 b = 6 0 7 = 13

d) Correto 1 1

3 0

Θ f(1) = 1

e) Correto 102 12 0

3 34 Θ f(102) = 0

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11.08.06, 13:47

Funções

7 (UFRN) Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual em milhões de toneladas ainda é inferior à da Alemanha, da Austrália, do Canadá, da China, dos EUA, da França, da Índia e do México. O gráfico abaixo mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000.

(UFES) O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma Tarifa para Manutenção de Conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais mais uma taxa de R$ 0,15 por cheque emitido. O banco Dakah Tom Malah cobra de TMC uma taxa de R$ 20,00 mensais mais uma taxa de R$ 0,12 por cheque emitido. O senhor Zé Doular é correntista dos dois bancos e emite, mensalmente, 20 cheques de cada banco. A soma das TMCs, em reais, pagas mensalmente por ele aos bancos é: a) 10,15 b) 20,12 c) 30,27 X d) 35,40 e) 50,27

Produção mundial de sal em 2000 Milhões de toneladas

50 43 40 30

Sendo x o número de cheques emitidos, temos: yMC = 10 0 0,15x

20 10

16 9

yDTM = 20 0 0,12x

Se x = 20, vem:

yMC = 10 0 0,15 9 20 Θ yMC = 13 reais yDTM = 20 0 0,12 9 20 Θ yDTM = 22,40 reais

0 Bra

Ale

Aus

Can

Chi

EUA

Fra

Índ

Méx

Logo: 13 0 22,40 = 35,40 reais

Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil na produção mundial de sal em 2000 foi de: b) 5% c) 6% d) 11% X a) 4% A produção mundial é igual a 6 0 16 0 9 0 13 0 30 0 43 0 7 0 15 0 9 = 148 milhões. Logo, a participação do Brasil é

6 Λ 0,04 ou 4%. 148

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Funções

9 (UFMA) Considere as funções f: ς Θ ς e g: ς Θ ς, definidas por f(x) = Ax2 0 3x − 5 e g(x) = Bx2 0 5x − 2, com A ϑ 0 e B ϑ 0. Sabendo-se que f(3) = g(3), é correto afirmar que o valor de B − A é igual a: a) −2 c) 0 d) 1 e) 2 X b) −1

(UFPel-RS) O exaustivo empreendimento que é organizar uma festa de casamento vem ganhando acréscimos constantes: bufê, música e ainda um mar de lembrancinhas. Bem-casados, incrementados com crepom e fitas de cetim, é o doce que não pode faltar em uma cerimônia de casamento. O preço de venda dessa iguaria é de R$ 1,60, do qual R$ 0,72 é o preço de custo.

f(3) = A 9 32 0 3 9 3 − 5 Θ f(3) = 9A 0 4 1 g(3) = B 9 32 0 5 9 3 − 2 Θ g(3) = 9B 0 13 2 Fazendo 2 = 1 , vem: g(3) = f(3) 9B 0 13 = 9A 0 4 9B − 9A = 4 − 13 9(B − A) = −9 B − A = −1

Fonte: revista Veja, no 22, 1o jun. 2005.

De acordo com o texto e seus conhecimentos, é correto afirmar que uma doceira, para obter um lucro de R$ 1 320,00, deverá fabricar _________ bem-casados. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna da sentença acima. a) 1 833 c) 1 692 e) 568 X d) 1 500 b) 825 f) I.R. Preço de venda = 1,60x Preço de custo = 0,72x Lucro = 1,60x − 0,72x Θ lucro = 0,88x Para ter lucro de 1 320 reais, temos: 1 320 = 0,88x Θ x = 1 500 bem-casados

10 (Unifor-CE) Sobre os preços dos ingressos para certo espetáculo, foi estabelecido que, na compra de: ■ até um máximo de 20 ingressos, o preço unitário de venda seria R$ 18,00; ■ mais de 20 unidades, cada ingresso que excedesse os 20 seria vendido por R$ 15,00. Nessas condições, a expressão que permite calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que compra x ingressos, x . 20, é: a) 15x c) 15x 0 90 e) 18x − 90 d) 18x − 60 X b) 15x 0 60 f(x) = 20 9 18 0 15(x − 20) f(x) = 360 0 15x − 300 f(x) = 15x 0 60

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11.08.06, 13:47

Funções

(UFSC) Seja f uma função polinomial do 1o grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f[f(1)] = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

Sendo f(x) = ax 0 b, temos: f(3) = 2 Θ 3a 0 b = 2 1 f[f(1)] = 1 f(a 0 b) = 1 a(a 0 b) 0 b = 1 a2 0 ab 0 b = 1 2 De 1 e 2 , vem: 3a 0 b = 2 Θ b = 2 − 3a a2 0 a(2 − 3a) 0 2 − 3a = 1 −2a2 − a 0 1 = 0 1 aδ = 2 2a2 0 a − 1 = 0 aφ = −1 1 não serve, pois a função f é decrescente. O valor a = 2 Se a = −1, vem: b = 2 − 3a Θ b = 2 − 3 9 (−1) Θ b = 5 Logo, f(x) = −1x 0 5. A função f corta o eixo x quando y = 0. Logo: 0 = −1x 0 5 Θ x = 5

Inglaterra

(Faap-SP) Tabela de Conversão para tamanhos de Chapéus Masculinos.

França EUA

1 2

53 6

5 8

54 6

3 4

7 8

3 4

1 8

1 8 1 4

1 4

59 7

3 8

60 7

1 2

O quadro acima fornece uma tabela para conversão de tamanho de chapéus masculinos para três países. A função g(x) = 8x 0 1 converte os tamanhos ingleses para os fran1 ceses, e a função f(x) = x converte os tamanhos fran8 ceses para os tamanhos americanos. Com base no exposto, assinale a afirmativa correta: a) A função h(x) = g[f(x)] = x2 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. 1 X b) A função h(x) = f[g(x)] = x 0 fornece a conversão 8 de tamanhos ingleses para americanos. c) A função h(x) = f[g(x)] = x2 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. d) A função h(x) = f[g(x)] = 8x 0 1 fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos. 1 e) A função h(x) = f[g(x)] = x fornece a conversão de 8 tamanhos americanos para ingleses. Pelos dados, temos:

g(x)

Ingleses

f(x)

Franceses

Americanos

h(x) 1 1 9 (8x 0 1) = x 0 8 8 (que fornece a conversão de tamanhos ingleses para americanos).

h(x) = f[g(x)] = f(8x 0 1) =

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11.08.06, 13:48

Funções

(UFU-MG) Considere a função f(x) = 2x2 0 1 para x > 0. Sendo g a função inversa de f, então, pode-se afirmar que o número real g[f(6)] 0 f[g(6)] pertence ao intervalo: X b) [4, 13] a) [0, 4) c) [20, 36) d) [36, 73]

(UFPR) Considere as seguintes afirmativas a res-

x : 1− x I. O ponto x = 1 não pertence ao conjunto D.

peito da função f: D Θ ς definida por f(x) =

1  1 II. f   = . x x−1 III. f(x) ϑ −1, qualquer que seja x 7 ς. x01 IV. A função inversa de f é f−1(x) = . x Assinale a alternativa correta: X a) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Cálculo da função g, inversa de f : y = 2x2 0 1 x = 2y2 0 1 2y2 = x − 1 x −1 y2 = 2 y=

Logo:

f(6) = 2 9 62 0 1 Θ f(6) = 73

II. Correta  1 f  =  x

1−

1 x

 1 Θf  =  x

1  1 1 x Θf  =  x x −1 x −1 x

g(6) =

6−1 2

g(6) =

5 2

g(6) =

III. Correta

5 2

2 2

f(6) 0 f[g(6)] = 73 0

x = −1 Θ x = −1 0 x Θ 0 = −1 f(x) = −1 Θ 1− x Logo, f(x) ϑ −1, ? x 7 ς.

10 2 10 146 0 10 = 2 2

Portanto:  146 0 10   = g   2

IV. Incorreta y x Θx= y= 1− x 1− y x − xy = y x = xy 0 y x = y(x 0 1)

146 0 10 2 2

146 0 10 4

Λ 6, 11

16 (UFSM-RS) Sendo as funções f: ς Θ ς, definida por f(x − 5) = 3x − 8 e g: ς Θ ς definida por g(x) = 2x 0 1, assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada uma das afirmações a seguir.

x y= x 01

f−1(x) =

x −1 2

g(x) = f −1(x) =

I. Correta Se x = 1, teremos divisão por zero. Logo, 1 7 D. 1 x

x −1 2

x x 01

I. f(x − 6) = 3x 0 11 1 1 II. g −1(x) = x 0 2 2 III. f(2) − g−1(7) = 10 A seqüência correta é: a) F – V – F b) F – V – V X c) F – F – V

d) V – V – F e) V – F – V

Fazendo x − 5 = a, temos x = 5 0 a. Logo: f(x − 5) = 3x − 8 Θ f(a) = 3(5 0 a) − 8 ou f(x) = 3(5 0 x) − 8 Daí, temos: I. Falso. f(x − 6) = 3(5 0 x − 6) − 8 = 3(x − 1) − 8 = 3x − 11 II. Falso. g(x) = 2x 0 1 Θ y = 2x 0 1 Θ x = 2y 0 1 x −1 y= 2 1 1 g −1 (x) = x− 2 2  7 1 −1 −  = 21 − 11 = 10 III. Verdadeiro. f(2) − g (7) = 3( 5 0 2 ) − 8 −   2 2

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11.08.06, 13:49

Super Lista de Exercícios sobre Conjuntos - Professor: André Luiz

Gabarito dos ExercĂcios (1 ao 13) 1

9 10

Respostas:

Respostas: 42 43

Respostas:

6 Uma editora estuda a possibilidade de ~ nova mente as publica<;;oes: Helena, 5enhoÂŤJ e A Moreninha. Para isto, efetuQu umo pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1 000 pessoas consultadas: 1 Determine os conjuntos X que satisfazem {l, 2} c X c {l, 2, 3; 4} {l, 2}, {l, 2, 3}, {l, 2, 4} e {l, 2, 3, 4}

2 Caracterize por meio de uma propriedade de seus elementos os seguintes conjuntos: a) M = {l, 3, 5, 7, 9} b) P = {100, 200, 300, 400} c) S = {O,2, 4, 6,

.n, 300}

3 Dados A = {1, 3, 5}, B = {O, 1,2, 4}, E = {2,4} e F = {3, 5}, calcule:

a) (A u B) n E {2, 4} b)(A n B) u F {l, 3, 5} c)(A n B n E) u (E n F) 0 d) (A - B) u (E - F) {2. 3. 4, 5} e)CBEnC/ {1} f) (F - A) u (E - B) 0 4 Analisando-se as carteiras de vacina<;ao das 84 crian<;;as de. uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 nao foram vacinadas. Quantas dessas crian<;;as receberam as duas vacinas? 46 S (Faap-SP) Segundo a teoria, um conjunto com m elementos tem exatamente 2m subconjuntos. Usando este resultado, determine 0 numero de elementos do conjunto A sabendo que: 2 1) B e um conjunto de tres elementos;

600leram A Moreninha: 400 leram Helena; 300 leram Senhora: 200 leram A Moreninha e Helena: 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena: 20 leram as tres obras. Calcule: a) 0 numero de pessoas que leu apenas uma das tres obras. 460 b) 0 numero de pessoas que nao leu nenhuma das tres obras. 130 c) 0 numero de pessoas queleu duas ou mals obras. 410 7 Dodos A = ]-4,3], B = [-5,5] e E = ]-00, 1[, calcule: a)AnBnE ]4.H b)AuBuE ]-=.5] c)(AuB)nE

[-5. H

8 Dodos M = {x I x EIRe 0 < x < 5} e S= {x I x EIRe 1 < x :'S 7}, calcule: a) M - S ]0,

b) S - M [5. 7]

c) Determine os numeros inteiros que pertencem 00 conjunto M n S, {2. 3, 4} d) Determine 0 maior numero inteiro que pertence 00 conjunto MuS. 7

2) A n B e vazio; 3) 0 numero de subconjuntos de A u B e 32. 2 (Efoa-MG) Seja IR 0 conjunto dos numeros reais, IN 0 conjunto dos numeros inteiros e Q o conjunto dos numeros racionais. Quai a afirmativa falsa? (PUC-SP)Um numero racional qualquer: a) tem sempre um numero finito de ordens (casas) decimais. b) tem sempre um numero infinite de ordens (casas) decimais. xc) nao pode expressar-se em forma decimal exata. d) nunca se expressa em forma de umadecimal inexata. e) nenhuma das anteriores.

a)QuINcIR

d)QnIR=Q

b) Q n IN cIR

e)QnIR*0

xc) Q u IN = IR

3 (FGV-SP) Quaisquer que sejam

e 0 irracional y, pode-se dizer que: a) x . y e racional. b) y . ye irracional. c) x + y e raclonal. d) x - y + ..J2 e irracio(lal. x e) x + 2y e irracional.

racional x

4 pados os conjuntos A = {1, 3,4, 7, 8}, B = {2,4, 6, 7} e C = {2, 3, 5, 7, 8}, entao 0 conjunto (A

C) - Be:

a) {l, 3, 5, 8} b) {2, 3, 4, 6, 8) xd) {3,8} e) 0 5 (Vunesp-SP) SeA = {x E IN Ix = 4n, com n E IN} e B=

= n, com n E IN}, entao 0 x nCtmerode elementos de A (lB e: ~3 x~2 ~1 d) 0 e) impossivel de determinar {XE

IN>I ~

6 (Fatec-SP) Se A = {x I x E 1, -3 < x .:;;1} e B = {x I x E IN,x2 < 16}, entao (A u B) - (A (I B) e 0 conjunto: a){ ~2, -1, 0, 1, 2, 3}

x b) {-2,'--1, 2, 3} c) {-3, -2, -1, O}

d) {O, 1, 2, 3} e) {O, 1}

7 (Acafe-SC) Se M = {1, 2, 3, 4, 5} e N sac conjuntos tais que M u N = {1, 2, 3, 4, 5} e M (I N = {l, 2, 3}, entao 0 conjunto N e:

um grupo de 200 pessoas, constatou-se 0 seguinte: 80 delas tem sangue com fator Rh negativo, 65 tern sangue tipo 0 e 25 tem sangue tipo 0 com fator Rh negativo. 0 nCtmero de pessoas com sangue de tipo diferente de 0 e com fator Rh positivo e: a) 40 b) 65 x c) 80 d) 120 e) 135

13 (Vunesp-SP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matematica de alunos gostam de Matematica a) exatamente 16. c) no maximo 6. x e) exatamente 18.

o nCtmero

e 20, de Historia. desta classe que e de Historia e: b) exatamente 10. d) no minimo 6.

14 (Uniube-MG) Numa pesquisa realizada num colegio sobre 0 gosto musicaldos alunos, foram feitas duas perguntas: Voce gosta de rock? Voce gosta de mCtsica classica? Apos a tabula<;:ao, foram obtidos os seguintes resultados:

a) vazio. b) impossivel de serdeterminado. c) {4, 5}. xd) {1, 2, 3}. e) {1, 2, 3, 4, 5}.

458 112

8 (PUC-RS)Se A, B e A (I B sac conjuntos com

62 36

90, 50 e 30 elementos, respectivamente, entoo 0 nCtmero de elementos do conjunto AuBe: a) 10 b)70 c) 85 x d) no e) 170

9 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos; entao, podemos afirmar que: a) A (I B tem no maximo 1 elemento. b) A u C tem no maximo 5 elementos. c) A u Btem no maximo 3 elementos. x d) (A (I B) (I C tem no maximo 2 elementos. e) (A u B) u Ctem sempre 9 elementos.

10 (FCC-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se 0 resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal Be 70 assistem a outros canais distintos de A e B.0 nCtmerode pessoas que assistem a A e naG assistem a Be: a) 30 b) 150 x c) 180 d) 200 e) 210

11 (Mack-SP) Numa escola ha n alunos. Sabese que 56 alunos leem 0 jornal A, 21 leem os jornais A e B, 1061eem apenas um dos dois jornais e 66 naG leem 0 jornal B.0 valor de n

a) 249

b) 137 x c) 158

d) 127

e) 183

12 (Santa Casa-SP) Feito exdme de sangue em

Com base nesses dad os, determine 0 nCtmerode. alunos consultados. a) 540 x b) 544 c) 444 d) 412 e) 284

15 (Fuvest-SP)0 nCtmerox naG pertence ao intervalo aberto de extremos - 1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se entao concluir que: x a) x.:;; -1 ou x;, 3 b) x;;. 2 ou x < 0 c) x ;;. 2 ou x .:;;-1 d) x > 3 e) n.d.a.

16 (FGV-SP) Sejam os intervalos A B = )0, 2] e C = [~1, 1].

o intervalo aÂť)-l;l] d)]O;l]

C u (A (I B) e: xb)[-l;l] e)]-oo;-l]

= ]-00, 1L

c)[O;1]

17 (Mack-SP) Sejam os conjuntos: A = {XE IR I 0.:;; x .:;;3}; B = {XE IR I x .:;;3}; C = {x

IR I -2.:;;

o conjunto

x.:;; 3}.

(B - A)

C e:

a) 0 b) {XE IR I x < O} c) {XE IR I X>- 2} x d){x E IR I -2.:;; x < O} e){x E IRI - 2 < x < 3}

18 (PUC-RJ)A e Bsao conjuntos. 0 nCtmero de elementos de Ae 7e 0 de A u B e 9. Os valores minima emaximo possiveis para 0 nCtmero de ele,mentosdo conjunto B sao, respectivamente: a)Oe2 b)Oe9 c)2e2xd)2ege)2e16

(Gabarito Resolvido) - Professor: AndrĂŠ

a) {numeros impares compreendidos entre 0 e IO} b) {multiplos de 100 compreendidos entre 99 e 40I} c) {numeros pares menores que 30I}

3 a) (A u B) (\ E

{O, 1,2,3,4, 5} (\ {2, 4}

{2, 4}

d) (A - B) u (E - F)

= {3, 5} u {2, 4} = {2, 3, 4, 5}

b) (A (\ B) u F = {l} u {3, 5} = {I, 3, 5}

e) C~ (\ C~ = {O, I} (\ {I} = {I}

c)(A (\ B (\ E) u (E (\ F) = { } u { } = 0

f) (F - A) u (E ~ B) = 0 u 0 = 0

84 84

= n(S) + n(P) - n(S (\ P)+ 12 = 68 + 50 - x + 12 ::::}x = 46

1) n(B)

2) A (I B = 0 => n(A (I B) = 0 m 3) Au B tem 32 subconjuntos => 2 = 32 => m :. n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A (I B) 5 = n(A)+ 3 - 0 => n(A) = 2

a) 460

b) 130 c) 410

7a) A B

-4i -51• I

I I

Ii I

II I

: :

A(lB(lE

: c

AuBuE

1-4

I I

(Au B) (I E.

6 1

-5

a)A (I B (I E = ]-4, 1[; b) Au B u E = ] -00,5]; c) (A u B) (I E = [-5, 1[

M = {x Ix EIRe 0 < x< 5} S = {x Ix EIRe 1 < x ~ 7} M

-0

S M-S S-M M(lS MuS

01 1 I I I

oi I I I

-t--f I

I I I 1

1~ I I I

I I

'5I C 5

---<:

•17 I I I

t7 I I I

•7

a) F (as dfzimas peri6dicas tem infinitas casas decimais) b) F (0 nQ decimal exato tem um nQ finito de casas decimais) c) V

d) F (as dfzimas peri6dicas sao decimais inexatas) e) F (porque (c) e verdadeira) d)V

a) V

e) V

b)V c) F (porque Q u IN = Q

"* IR)

______

ffim;_"Jlffi'Ii1I_Nffi_lIlr

alF("'." =

t,,=,12 ="

b) F (ex.: y

f2 :::}y . y

e) F (ex.: x

f,~=

., =

2f ';''''';O''IJ d) F("'." = }. , = ,12 =>, - y +,12 "adO","]

2 e raeional)

e) V (ex.: x

f2 :::}x + y e irraeional)

1, y = -12 :::} x + 2y e irracional) 3

5 A = {O,4,8,12,16, ... } B = {20, 10, 5,4,2, I} A (\ B = {4, 20} :::}n(A (\ B) = 2 :. alternativa (b) 6 A = {-2, -1,0, I} B = {O, 1,2, 3} (A u B) - (A (\ B) = {-2, -1,0,

1,2, 3} - {O,I}

= (-2, -1,2, 3) :. alternativa (b)

NcM Mas, se N c M, entao M (\ N = N. Como M (\ N = {I, 2, 3}, entao N = {I, 2, 3} :. alternativa (d)

8 n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A (\ B) n(A u B) = 90 + 50 - 30 = 110 :. alternativa (d) a) F (n(A (\ B) ~ 2)

d) V e) F (n[(A u B) u C] = 9, se A (\ B (\ C = 0)

b) F (n(A u C) ~ 4) e) F (n(A u B) ~ 5)

n(A) = x + y = 280 n(B) = y + z = 250 n(A (\ B) = Y

n(A u B) + 70 = 500:::} n(A u B) = 430 :. n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A (\ B) 430 = 280 + 250 - y :::}y = 100

A~U

Como x + y

= 280

:::}x = 180 :. alternativa (e) 35 + x = 6 :::}x = 31 n = 35 + 21 + 71 + 31 n

I~T"

= 158 :. alternativa (e)

200

= 55 + 25 + 40 + x

x = 8 :. alternativa (e)

Rh+

m H

16 - x + x + 20 - x = 30 x = 6 :. alternativa (d)

n n

~c 36

= 396 + 62 + 50 + 36 = 544

:. aIternativa (b)

/ R

...,--_"_, ---2,

-1,

0--

•

-1

-----,.,----,1 ,

C C u (An B) C u (A n B)

(B - A) n C

t1 •1

= [-1, 1] :. alternativa (b)

I I

-d -1•

B-A

f0 cI

, -2~, i

-2•

'3 I

3•

ot,

(B - A) n C = [-2, O[ :. aIternativa

(d)

18 n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B) :. n(B) = n(A u B) - n(A) + n(A n B) n(B)

= 9 - 7 + n(A n B)

Entao: se A n B = 0 ~ n(A n B) = 0 ~ n(B) = 2 se A n B '1= 0 e A c B, entao A n B = A e n(A n B) = 7 ~ n(B) = 9 Assim: 2 ~ n(B) ~ 9 :. alternativa (d)