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Universidad Fermín Toro Vicerrectorado Académico Facultad de Ingeniería Escuela de Computación

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Alumno: Andres Palacios C.I: 23.903.545

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Índice I Parte: Desarrollo 1. ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?.........................Pag 3, 4 y 5.

2. ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto? ......................... Pág. 5 y 6.

3. ¿Qué es Tiempo de levantamiento........................? Pág. 7.

4. ¿Qué es Sobrepaso máximo? ......................... Pág. 7, 8.

5. Qué diferencia (s) existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto......................... Pág. 8, 9 II Parte: Práctico 1. Dado el sistema representado en la figura: Determine el valor K y examine su estabilidad a través del Criterio de Jury......................... Pág. 9, 10 y 11 2. Determine cuantos lugares hay en el lugar de las raíces para la función: Dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh......................... Pág. 12, 13, 14, 15 y 16 3. Determinar el valor de α en el diagrama de bloques de la figura, de forma que tenga un error de velocidad de ev= T/2......................... Pág. 16, 17 y 18.

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I Parte: Desarrollo 1. ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?

D (Z) + F. de T. del controlador. F. HG (Z) De T. de pulso del sistema.

La estabilidad se puede determinar a partir de la localización de los polos de lazo cerrado en el pleno Z o por las raíces de la ecuación característica.

Q (Z)= 1 +D (Z) HG (Z) El sistema es estable, si los polos de lazos cerrado las raíces unitario en el plano Z. 1-1 Región inestable Si un polo simple está ubicado en Z=1 o en z=-1, el sistema marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos está sobre el círculo unitario. Polos múltiples localizados sobre un círculo unitario dan como resultado un sistema inestable.

Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte de Z.

Criterio de estabilidad de Jury.

Método sencillo que determina si alguna de las raíces de la ecuación característica está sobre o fuera del círculo unitario, sin necesidad de encontrar la raíces de Q (Z).

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Para aplicar el criterio de Jury se considera la ecuación característica de la siguiente forma

Donde todos los coeficientes son reales y

bn > 0.

Criterio de estabilidad de Jury

Dónde: Para que Q (z)= 0, no tenga raíces fuera o sobre el círculo unitario en el plano z se requiere el cumplimiento de las siguientes condiciones: 4

El procedimiento de prueba es el siguiente: Paso 1: Determinar si se cumple la condición 1 y 2. Si no se cumplen el sistema es inestable. Si se cumplen se efectúa el paso 2.

Paso2: Determinar el máximo valor de J1, así: Jmax=n-2 Si max= 0, no se continua el procedimiento por que la información del paso 1 es suficiente para determinar la estabilidad del sistema.

Paso 3: El máximo número de filas que ha de tener el arreglo está dado por: Fmax = 2Jmax +1 Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la restricción. Si esta no se cumple, no se continua, dado que el sistema ya es inestable.

2. ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto?

Una característica importante asociada con la respuesta transitoria es el error en estado permanente. El desempeño en estado permanente de un sistema de control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a las entradas escalón, rampa y de aceleración.

Existen tipo de error en Estado permanente atribuidas a causas como imperfecciones en los componentes del sistema, fricción estática, zonas muertas o el deterioro o la edad de los componentes.

En forma inherente cualquier sistema físico de control sufre errores en estado de permanente en Considerando la función de transferencia de lazo abierto:

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El termino S N en el denominador representa un polo de multiplicidad N en el origen. Es costumbre clasificar el sistema de acuerdo al numero de integradores en la funcion transferencia en lazo abierto.

Se dice que un sistema es de tipo 0, tipo 1, tipo 2,….., si rerspectivamente.

N= 0, N= 1, N= 2,

Los sistemas de control en tiempo discreto clasificarse según el numero de polos en lazo abierto en z= 1.

El significado de la constante de error estatico para sistemas de control en tiempo discreto es el mismo que para los sistema de control en tiempo continuo, execpto que el primero solo transmite informacion en los instantes de muestreo, Las constante se estudia aplicando a la funcion que define el error el teorema de muestreo, de esta forma determinamos: 1. La constante de error de posicion estatica (Ka) que genera la respuesta a una entrada escalon.

2. La constante de error de velocidad estatica (Kv) que genera la respuesta a una entrada rampa unitaria.

3. La comstante de error de aceleracion estatica (Ka) que genera la respuesta a una entrada de aceleracion unitaria.

El error se actuacion es la diferencia entre la entrada de referencia y la señal de realimentacion, y no la diferencia entre señal de referencia y la salida.

Si en la etapa de salida estable la salida es diferente al valor deseadi, se dice que existe un error depende del tipo de sistema de control y de la señal de entrada.

Los sistema de control tambien clasifican de acuerdo a su capacidad de seguir entrandas escalon, rampa, parabolicas y otras. Las entradas reales se suelen considerar como una combinacion de ellas. Los valores de los errores estacionarios debidos a esa entrada individuales son indicativos del desempeño del sistema.

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3. ¿Qué es Tiempo de levantamiento?

Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.)

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:

1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de levantamiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso máximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.

Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

4. ¿Qué es Sobrepaso máximo?

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El valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema. Los sobrepasos se presentan en números impares de n (n= 1, 3, 5…) y los sobrepasos negativos ocurren en valores positivos de n (n= 2, 4, 6,…). Debe hacerse notar que si bien una respuesta para una entrada escalón con ٤ ≠ 0 n oes periódica, los sobrepasos y los sobrepasos negativos se presentan a intervalos periódicos.

5. Qué diferencia (s) existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto.

Existen importantes diferencias entre la respuesta de frecuencial de un sistema de tiempo continuo y la respuesta frecuencial de un sistema de tiempo discreto; entre estas consideraciones a tener en cuenta: 1- Es periódica de periodo ws, dado el efecto en bandas repetidas en plano S que se produce en un sistema muestreado. Así en conclusión la respuesta de frecuencia no debe evaluarse en general, en plano Z, debido a que se realizaran múltiples vueltas sobre el circulo de radio unidad en plano Z a medida que aumente la frecuencia de la señal de entrada 2- La respuesta frecuencia trazada en plano transformado bilineal (W) no será periódica, debido a que únicamente contiene la información de la banda primaria del sistema discreto utilizara señales que verifican el teorema de Shannon. Ellos conlleva un análisis detallado de la evaluación de la respuesta frecuencial, en conclusión, deberá considerarse la relación no lineal existente entre la frecuencia bilineal y la frecuencia real de la señal.

3- Aplicando la transformada bilineal, pueden trazarse mediante métodos asintóticos los diagramas de bode que ofrecen la información de la respuesta frecuencia evaluada sobre la banda primaria.

Cuando el número de muestra por ciclo sea elevado, el sistema continuo equivalente tendrá un diagrama de bode similar, sin distorsión, al sistema discreto. Sin embargo, a medida que aumenta la frecuencia de la señal de entrada, el número de muestras por ciclo disminuye, observándose diferencias entre diagramas de bode del sistema continuo y del sistema discreto obtenido mediante la transformación bilineal. A partir 8

del diagrama de bode, puede trazarse el diagrama polar de un sistema discreto, y de ese modo es posible aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist. Debe observarse que la distorsión sufrida en la transformación de frecuencias no es relevante en el diagrama polar, determinándose la estabilidad absoluta y relativa del sistema discreto sin ninguna consideración adicional, es decir sin necesidad de conocer número de muestras por ciclo de la señal de salida. En conclusión, podrán definirse los conceptos de margen de fase (MF) y margen de ganancia (MG) en el plano transformado bilineal (W), análogamente a como ocurría en sistema de tiempo continuo. Si garantizamos frecuencialmente una buena estabilidad relativa, el sistema discreto responderá adecuadamente, con independencia del número de muestras/ ciclo y del número de muestras/ cte. De tiempo. En el diseño en el dominio temporal, estos parámetros debían observarse para garantizar una buena descripción de las repuestas del sistema discreto.

II Parte: Práctico

1. Dado

el

sistema

representado

en

la

Determine el valor K y examine su estabilidad a través del Criterio de Jury.

Función de transferencia de lazo abierto:

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figura:

Función de transferencia de lazo cerrado:

Ecuación característica:

Las condiciones de estabilidad en la prueba de Jury para el sistema de tercer orden.

Siguiente:

N= 3(impar) Los coeficientes son:

Primera condición:

10

Segunda condiciรณn:

Tercera condiciรณn:

Cuarta condiciรณn:

Tomando un valor para K dentro de los valores de estabilidad K= 0.5

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Con lo cual:

Para que se cumpla la desigualdad de 1,2 y 3, y se cumplan las condiciones nos queda K>0.25 El sistema es estable y solo si K>0.25

2. Determine cuantos lugares hay en el lugar de las raíces para la función: Dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh.

Siga los pasos y reglas y dibuje las mismas 2 ceros finitos

3 polos

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LGR en eje real

P4 -1/2 P3 -1/3 P2 0 P1 A la derecha de P1 no hay polos ni ceros: n + m = 0 no hay rama del LGR A la derecha de P2 n + m = 1 (1 polo) impar, hay una rama en -1/3, 0 A la derecha de P3 n + m = 2, no hay rama en el LGR en -1/2, -1/3 A la derecha de P4 n + m = 3 hay rama del LGR -∞, -1/2

Asíntotas y ceros de asíntotas

Centro de asintota 1/6 Punto de ruptura dk/dz = 0

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De la ecuacion caracteristica

dk/ dj = 0 tendrá cero reales e imaginarios El diagrama de lugar geométrico es aritmético respecto al eje real, en caso dado no será posible

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Por

la

transformaciรณn

Multiplicamos

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bilineal

por

Llegando a:

AsĂ­ 1.17 < k < 1.5 0 < k < 0.53 rango de estabilidad

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3. Determinar el valor de Îą en el diagrama de bloques de la figura, de forma que tenga un error de velocidad de ev= T/2.

Del sistema:

AsĂ­ el error viene dado:

Para el error velocidad:

El error de velocidad es:

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Como

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