COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES D IDÁCTICAS David Block ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO EN PREESCOLAR Ligia Ram írez, David Block Documento 59
Clnvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas
Clnvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas Jefe del Departamento David Block Sevilla Documento DIE Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas David Block Análisis de situaciones didáaicas para el aprendizaje del número en preescolar Ligia Ramírez David Block
Coordinación de publicaciones Ariadna Acevedo Rodrigo Cuidado de edición Laura Reséndiz Susana Quintanilla Verónica Arellano Diseño de portada e Interiores lván Ávalos Composición tipográfica Patricia Jardón Dávila Impresión y encuadernación Juan Manuel Montiel Jesús Esparza Distribución y venta Alma Becerra Bulmaro Flores 1•. Reimpresión, junio del 2008 1•. Edición, septiembre del 2006 C investav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas Calzada de los Tenorios 235, Col. Granjas Coapa C. P. 143 30, México D. F.
COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS* D avid Block
En este artículo se analizan algunas situaciones didácticas para favorecer la construcción de ciertos aspectos de la noción de número en el nivel de preescolar. INTRODUCCIÓN : APRENDER MATEMÁTICAS AL RESOLVER PROBLEMAS Mariana tiene ocho años. Está iniciando su tercer grado de prima ria. Un día me dijo q ue me quería mostrar que ya sabía hacer divisiones. Planteó la división 32 : 2 y la resolvió como se muestra en la ilustración 1. 115
2(32 -2
30 '-----------------~ Ilustración 1
Le propuse: "vamos a repartir 32 tazos (pequeños discos de plástico con una imagen grabada, que salen en las bolsitas de frituras) entre un per rito y un osito. Tratemos de que les roque lo mismo" . Separamos los 32 tazos y representamos los dos animales con un par de objetos. Le pedí que, antes de hacer el reparto, tratara de averiguar cuántos le tocaban a cada uno. Pensó un momento, se tocó los dedos y contestó: 16. Cuando le pedí que me contara cómo lo había hecho, tomó el lápiz y ano tó tres veces el número 1O (ilustración 2).
'-------1_º ____ 1º_ _ _l_º_ ____,I 11"'"""" ,
Me explicó: "diez, veinte, treinta, son tres dieces, uno para cada quien, y del otro, cinco para cada q u ien, van 15. Más uno de los dos que quedan , 16". Agregó que se podía hacer de otra manera y escribió lo que se muestra en la ilustración 3 .
.___:_!______:_!__
____,¡
11""''"'" J
· Publicado e n Básica. ReviJla de la escuela y drl maestro. Aiio lll . Núm . 11 . mayo/j unio . 1996, Fundación SNTE para la cultura del maestro mexicano. pp. 21-33.
Dav id Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
Le pregunté si la división que hizo primero era otra
• Reconocer que los alumnos p u eden abordar
manera de encontrar el resultado. Dijo que no . Este
un problema que implica determinado conoci-
ejemplo es representativo de uno de los principales
miento antes de recibir una enseñanza específi-
tropiezos de la enseñanza de las matemáticas: se ha pri-
ca so b re el mismo.
vilegiado el aspecto sintáctico del lenguaje formal en detrimento del as pecto semántico, de la significación.
• Reconocer q u e los procedimientos no formales, p oco sistemáticos, incluso a veces erróneos, que
Algunas veces, los alumnos resuelven los proble-
los alumnos ponen en juego al enfrentar por sí
mas matemáticos recurriendo a procedimientos no
mismos un problema n uevo para ellos son ex-
formales como el anterior, pero pronto aprenden que
presión de una verdadera actividad matemática
es incorrecto, que debieron haber puesto "la opera-
y forman parte del proceso que les permitirá
ción''. En el mejor de los casos siguen utilizando tales
comprender el sentido de conocimientos más
recursos a escondidas, y en el peor los dejan de hacer
formales.
y, si aún no dominan otro recurso, se quedan bloqueados o eligen una operación casi al azar (Block y
Ante el objetivo de propiciar el aprendizaje de cier-
Dávila, 1993). Los mismos problemas que se esco-
tos aspectos de una noció n matemática, un problema
gen para resolver en clase suelen estar "mandados a
didáctico que se plantea es responde r a las siguientes
hacer" para que se aplique una operación específica.
preguntas: ¿Cuáles son las situaciones en las que esa
Frecuentemente, la pregu nta del alumno es ¿con qué
noción constituye una herramienta de solución? ¿qué
operación o fórm ula se resolverá este problema? La
problema plantean al alumno , considerando su ni vel
búsqueda deja de ser una solución creativa que adap-
de desarrollo cognitivo y sus conocimientos previos?,
ta los elementos con que ya se cuenta.
¿qué procedimientos iniciales puede poner en mar-
Los estudios en didáctica de las matemá ticas con
cha y cómo propiciar que éstos evolucionen? A partir
orientación constructivista plantean una relación
de estas preguntas, revisaremos algunas situaciones
esencialmente distinta: los conocimientos matemáti-
didácticas relativas al número y sus relaciones.
cos son herramientas que se crean y evolucionan frente a la necesidad de resolver ciertos problemas. Los
SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL
problemas no son sólo el lugar en el que se aplican
APR END IZAJE DE C IERTOS ASPECTOS
los conocimientos, sino "la fuente misma de los co-
DE LA NOCIÓN DE N ÚMERO
nocimientos" (Vergnaud, 1981). Los alumnos aprenden matemáticas no sólo para resolver problemas,
¿Qué problemas se resuelven con ayuda de los nú-
sino al resolverlos. Se cuestiona el hecho de separar
meros y son adecuados para los alumnos del nivel en
el momento en que los niños aprenden las técnicas
el que vamos a trabajar? Adecuados significa que los
del momento en que resuelven problemas con ellas
educandos comprenden claramente lo que plantea el
(Brousseau, 1994). El significado que para los alum-
problema y disponen de recursos para aproximarse
nos tienen los conocimientos matemáticos está dado ,
a la solución, pero no para encontrarla de manera
principalmente, por los prob lemas que pueden resol-
sistemática, es decir, el problema les presenta una di-
ve r con su ayuda, así como por los errores y los cami-
ficultad, un reto.
nos largos, poco eficientes, que estos conocimientos evitan. Algunas implicaciones d e este enfoque son:
Dav id Block
El análisis de las situaciones en las que el número es funcional lleva a distinguir distintos usos, que
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
dan lugar a distintos significados: usamos los núme-
Si la diferencia entre las cantidades es relativamen-
ros para exp resar cantidades y operar con ellas, para
te grande (digamos seis y diez) , o si las cantidades son
ordenar elementos (las personas en una fila, los gana-
muy pequeñas (dos y tres), los niños pueden deter-
dores en una competencia, las páginas de un libro)
minar cuál es mayor por percepción visual. Resulta ría
y para identificar elementos (los números de placas
artificial pedirles que establezcan correspondenc ias
de los autos, de los teléfonos, de los canales de tele-
uno a uno entre los objetos . En cambio, si las canti-
visión ).
dades son relativamente grandes y próx imas e ntre sí
Analizaremos algunos problemas de la primera
(seis y siete), el recurso de la correspo nde nci a se dará
familia: el número para expresar cantidades . Pueden
naturalmente en muchos niños y será adoptado por
distinguirse las siguientes situaciones: las que lle-
otros. La forma de establecer la correspondencia va-
va n a comparar e igualar cantidades, a comunicar la
riará: juntar los objetos por pares o , si las colecciones
cantidad de elementos de u na colecció n, y aq uéllas
están dibujadas, tachar alternadamente un objeto de
en las que es necesario prever, anticipar el resultado
cada colección , trazar rayas, hacer corresponder los
de transformaciones aplicadas a las colecciones, como
objetos de dos en dos, etc. Un problema m ás difícil
agregar o quitar elementos.
se tiene cuando las colecciones no se pueden acercar, por ejemplo, si se dibujan cada una en un lado dis-
SIT UAC IONES DE COMPARACIÓN
tinto de una hoja o si están alejadas y no se permite acercarlas. Los niños tendrán que acudir a una terce ra
En muchas situaciones espontáneas o planeadas ex pro-
colección que jugará el papel de intermediaria. En
feso se compara la cantidad de elementos d e dos o
la medida en que los niños funcionalicen el conteo,
m ás colecciones para saber cuál tiene más , por ejem-
tenderán a sustituir el recurso de la correspondencia
plo, quién ganó más puntos en un juego, qué hay
uno a uno por éste. Veamos algunos ejemplos.
m ás (niños o niñas) o determinar si sobran o falta n
En la activi dad 1 que se plantea en la ilustrac ión 4, los
elementos (por ejemplo , saber si alcanzan los vasos
niños deben igualar varias colecciones. Para ello, pueden
para los invitados, los lápices para los miembros de
recurrir a la correspondencia uno a uno o al conteo.
un equipo, etcétera).
En el ejemplo de la ilustración 5 2, la tarea pue-
Algunas variables didácricas permiten generar y
de ir más allá de la comparación de coleccio nes al
complejizar situaciones de comparación: colecciones
realizar un trabajo inicial de análisis de la informa-
formadas con objetos o dibujadas, colecciones físi-
ción. Se puede empezar con comentarios libres acerca
ca mente cerca o lejos una de la otra, cantidades de
de lo que expresa la ilustración, de lo que sucede en
o bjetos relativamente grandes o pequeñas, objetos es-
ella. Después se puede preguntar: ¿Cuántos años va
paciados entre sí o no (unos muy apretados, otros muy
a cumplir la niña? , ¿alcanzarán las sillas para los am i-
separados). Estas variables introducen distintas di-
gos? Luego se puede pedir a los niños que planteen
ficultades e influye n en los procedimientos que los
preguntas que se respondan co n la inform ac ió n d e la
niños pondrán en juego.
ilustración.
' Block , D .. l. Fuenlabrada , A . Carvaj al, P. Marcínez, MatrmáticaJ Primer g rado, SEP. México , 1993 . 1
ERMEL, ApprrntiuagtJ numiriqutJ tt résolution de problimes. Co urs l'réparatoirr , Hacier, Fra n cia, 199 3 .
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situac iones did;icticas
Ilu stración 4
SITUACIONES DE IGUALACIÓN
cada quien. La situación se hace más compleja si el niño debe buscar los lápices en algún lugar del salón.
Se trata de construir una colección con la misma
Si le faltan, dará más viajes; si le sobran, tendrá que
cantidad de elementos que otra 3 . Muchas situaciones
regresados. Tende rá, en todo caso, a tomar más de los
pueden dar lugar a esta actividad: cuando se pone
necesarios. Si la maestra pone, en algún momento y
la mesa, por ejemplo, se iguala la ca ntidad d e cu-
en calidad de juego , la condición de que sólo se podrá
biertos y platos a la de lugares o personas que va n a
hacer un viaje y que ganarán los equipos a los que no
comer. Cuando se reparte material (una unid ad para
les falten ni sobren lápices, entonces se habrá puesto
cada quien), se iguala la cantidad de unidades que
una dificultad que pone en juego una herramienta
se reparten entre las personas indicadas, etc. Quizá
matemática más elaborada: el número que indica la
la variable didáctica más importante es la prese ncia
cantidad de niños y que, por lo tanto , corresponde
o ausencia de la colección que se va a igualar en el
a la cantidad de lápices . Dependiendo de su nivel
momento de construir la otra co lección.
de desarrollo cognitivo y de sus conocimientos pre-
Por ejemplo, supongamos que se va n a rep artir
vios, los niños pueden:
lápices a los niñ os, uno a cada uno. Los niños están
• Limitarse a estimar de manera gruesa la canti-
se ntados en grupos de tres a ocho. Si la maestra en-
dad, tomando un haz de lápices más o menos
trega a un niño de cada equipo un lote de lápices para
grande y dejando a la suerte el atinarle o no.
que reparta uno a cada quien, el niño dará uno a cada
• Subdividir física o visualmente la colección ini-
uno de sus compañeros. No hay mayor herramienta
cial en dos o tres subcolecciones cuyas cantida-
matemática pues ta en juego que la comprensión de
d es puede visualizar o contar: uno para mí, y
la tarea: uno a cada quien y no dos , ni ninguno a
dos y tres .
' Est a id ea de "igualación " no d e be confundirse con lo que se ve en el coniex w de los problemas adi tivos, en donde " igualar" remite a determinar lo que le falta a una cantidad para que sea igual a otra.
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
éstos son conocidos de nuestro niño, él puede pasar por alto el aspecto cuantitativo, centrándose en las personas: "Uno para Luisa, uno para Ernesto, etc." No obstante, hay otras situaciones con la misma estructura, por ejemplo, los niños tienen cierta cantidad de "platos" sobre su mesa y deben traer cucharas, una para cada plato. El reparto también da lugar a formar colecciones con la misma cantidad de objetos, aunque va más allá de ello. Por ejemplo, repartir 15 objetos entre cinco niños, con la condición de que a todos les toque lo mismo. La situación, al final, implica construir cinco colecciones iguales , aunque Ilustración 5
previamente requiere poner en marcha un procedimiento para realizar la repartición, por ejemplo, la
• Apoyarse en una colección intermedia, con el
distribución cíclica.
mismo número de elementos, por ejemplo, representar con un dedo a cada niño o dibujar un
SITUACIONES DE COMUNICACIÓN
palito por niño. • Intentar contar el número de elementos de la co-
Estas situaciones presentan una gran riqueza desde el
lección. En la medida en que lo logren, afirmarán
punto de vista didáctico. Se utilizan para propiciar la
el carácter funcional e idóneo de ese recurso.
creación y uso de un lenguaje (oral, pictórico , o gráfico-simbólico). Al modificar la situación de los lápices
Este es un buen ejemplo de problema que implica
que se deben entregar a los integrantes de cada equi-
poner en juego el recurso que se quiere hacer apro-
po, se puede pedir a los alumnos que los soliciten al
piar por los niños . Además:
encargado del depósito de lápices, de manera oral o
• Admite varios procedimientos con distinto grado de complejidad y con distinta eficacia. • Permite a los niños validar por sí mismos sus en-
"por carta". Si es oral, los niños deberán contar la colección o las subcolecciones: "necesito uno, dos, tres, cuatro lápices". Cuando la comunicación sea por es-
sayos. Al llegar a su mesa y repartir los lápices,
crito, pueden dibujar cada lápiz o rayitas, escribir la
se darán cuenta no sólo de si hubo error, sino del
serie de números hasta el que corresponde a la canti-
tamaño del error. Esto permite propiciar un
dad o anotar el número correspondiente. Esta actividad da un sentido a la representación de
diálogo, entre los niños y la situación, más libre de las expectativas que puede tener el adulto.
cantidades al hacerla funcional: los niños representan
• Los niños pueden conocer los recursos que utili -
una cantidad porque, en una situación de juego, ne-
zan sus compañeros, lo cual es importante en el
cesitan recibir esa cantidad y no como respuesta a la
proceso de evolución de sus recursos .
demanda de un adulto. Quienes reciben el mensaje (los que atienden el depósito) deberán interpretar
El problema tiene un punto débil: dado que se
el mensaje, concretando la colección. Al recibir el
trata de entregar algo a los compañeros de equipo y
pedido, los niños tienen la posibilidad de verificar
Is
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
el éxito de la comunicación. Los errores suelen ser
más saben que los números que se pronuncian con
frecuentes porque los niños están aprendiendo a con-
"cien" se escriben con tres cifras. Al mismo tiempo,
tar. La posibilidad de comprobar el error (¡faltaron
muestran una tendencia a escribirlos traduciendo la
lápices! ) constituye una retroalimentación que los
numeración hablada, lo que los lleva a escribir, por
ayuda a aprender.
ejemplo, el dieciocho así: 108.
Con un "caminito" se pueden hacer actividades
El estudio muestra el papel constructivo que
similares, más fáciles de organizar: se pone una ficha
pueden jugar, a partir de cierto momento, los con-
en un casillero y se debe decir "cuánto se avanzó" a
flictos entre ideas contradictorias de los niños acerca
otro equipo, para que éste sepa en qué casillero se
de la numeración escrita. Las autoras mencionan el
encuentra la ficha. No se vale decir los nombres de las
caso de Nadia, quien sabe que 3000 australes es más
cosas dibujadas. Para verificar, el equipo que recibe el
que 2350 australes. Sin emba rgo, al escribir las can-
mensaje dice lo que hay en ese casillero 4
tidades pone: 3000 y 200030050. Se desconcierta al
Por otra parte, en la comunicación espontánea
observar que el número que consideró más pequeño
con los niños se transmiten también, constantemen-
se escribe con más cifras . Luego comenta que hizo
te, mensajes en los que subyacen nociones matemá-
todo mal y demuestra saber cómo se escriben núme-
ticas relativas al número como cardinal (tráeme dos
ros de dos cifras y más. Para 2558, por ejemplo, es-
láp ices, tengo cinco años), ordinal (¿ quién llegó prime-
cribe primero 2000 y, sobre los ceros, anota 558. Al
ro?) o código (mi casa es la siete, lo vimos en el canal
considerar estos resultados, entendemos que hemos
6) . Es provechoso tener presentes estas situaciones
avanzado mucho desde que comprendimos que la
para propiciarlas cada vez que sea posible.
noción de número va más allá de su representación simbólica, pero la reacción contra aquellas prácticas centradas en la representación (planas de números ,
UN COMENTARIO SOBRE LA ESCRITURA
series del 1 al 1000, etc.) nos llevó al extremo de
DE LOS NÚMEROS
proscribir del aula preescolar todo contacto con la escritura de los números .
Los niños suelen tener contacto con la numeración
Estudios como el mencionado no sugieren volver
escrita fuera de la escuela y elaboran por su cuenta
a tales prácticas ni esperar que los niños sean capaces
conocimientos considerables sobre ésta. En un es-
de representar simbólicamente números al terminar
tudio con niños de seis años que inician su primer
preescolar. Sólo plantean que multipliquemos las oca-
grado de primaria (Lerner y Sadovsky, 1994), las in-
siones en que los niños expresen y discutan lo que
vestigadoras ponen en evidencia algunos de estos
piensan acerca de la numeración oral y escrita. Por
conocimientos: unos niños saben, por ejemplo, que
ejemplo, que digan y escriban el número más gran-
un número es más grande que otro si tiene más ci-
de que se saben, que digan fragmentos de la serie que
fras que éste o si aparece después al recitar la serie
han aprendido, que discutan cómo creen que se escri-
numérica. Otros saben que si dos números tienen la
be un número o cuál de dos números es más grande,
misma cantidad de cifras la primera es "la que man-
que pongan precios a distintas mercancías o digan
d a", es decir, determina qu é número es m ayor. Otros
cuál es más cara.
'Ve r, por eje mpl o, " El ca mini rn", en Fichero de acrividadts didácticas. Maumáticas . !'rima grado, SEP. 1994.
David Block
Comparar, igua lar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas
SITUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
Para memorizar pequeños tramos de la serie h ay numerosos recursos tradicionales adecuados (ca ncio-
Los nú m eros o, más precisamen te, las operaciones
nes , por ejemplo) . Con el fin de funcionalizar dicha
con los números constituyen un medio para prever,
serie como herramienta para trabajar con cantidades,
anticipar, el resultado de cierras transformaciones so-
se necesita de experiencia y riempo 6 .
bre las cantidades. Veamos " La caja" 5 : se meren cinco objetos en una caja, todos los niños los ven, los cuen-
APERTURA DE LAS SITUAC IONES
tan. En seguida alguien saca algu nos y los muestra a
Y EXPECTAT IVAS DEL MAESTRO
los demás . Se trata de averigu ar cu ántos quedaron en la caja. Todos dicen su "ap uesta" y se saca lo q ue hay
Las situaciones revisadas se caracterizan por propiciar
dentro para verificar.
el uso de los números como herramienta de resolu-
UN COMENTARIO SOBRE EL CONTEO
este recurso en distin ros niveles de conceptualización
ción, pero también por admitir la puesta en juego de y formalización: la percepción gruesa de la cantidad a El conreo es una herramienta útil para establecer di-
nivel visual, la correspondencia uno a uno , el conteo,
versas re laciones entre cantidades, compararlas, igua-
el uso de representaciones gráficas de la cantidad.
larlas, ordenarlas, comunicarlas, sumarlas.
Esta variedad de formas de abordar una situación es
No obstante, es conceptua lmente complejo. Contar
lo que le da su carácter "abierto".
implica, además de recitar la serie, establecer una re-
Así , se ofrece a los niños la posibilidad de acercar-
lación uno a uno entre los té rminos de la serie y los
se a las situaciones desde sus conocimientos previos,
elementos de la colecció n que se cuenta y, lo m ás
informales , propiciando la evolución de éstos a partir
difícil, identificar el último término pronunci ado
de la experiencia personal, al enfrentar los proble-
como rep resentante de la canti d ad.
mas , y de los aportes del grupo y del maestro . Estos
Seguramente rodos los maestros de preescolar han
conocimientos informales, poco sistemáticos, lentos ,
visto más de una vez niños que, al "contar", pasa n
incluso a veces erróneos , expresan la creatividad
más de un objeto por cada término que recitan, o di-
matemática de niños y son la base que les permitirá
cen va rios términos mientras pasan un solo objeto o,
acceder a conocimientos más formales, con signifi-
incluso, cuentan correctamente una cantidad y, cuan-
cado para ellos . Conforme los niños van dominando
do se les pregunta por ésta, d icen otra. Es claro en ron-
un recurso sistemático de solución , la situación tien-
ces que saber recitar la serie no significa saber contar.
de a cerrarse, es decir, deja de admitir acercamientos
Sin embargo, para que los niños empiecen a utilizar
diversos. Una misma situación puede ser cerrada para
es te extraordinario recurso es necesario que, mientras
unos y abierta para otros.
alcanzan cierta mad u rez, conozcan un pequeño tramo de la serie y tengan oportunidades de usarlo.
El grado de apertura de una situación depende también de lo que el maestro espera, o exige , que los
' Ver Fichrro de actividadrs didácticas. Mattmdticas. l'rimrr grado, SEP. México, 1994 . '' El conocimiento de los conceptos lógi cos que subyacen en la construcció n de la noción de número (conservación , se riación, inclusión de clases) contribuvó a pone r de manifiesto el carác ter mecánico , poco significativo que tenían para los niños much as de las tareas q ue se planteaban en torno de esta noción. Se consideró entonces que había que esperar al desarrollo de dichas capaci dades para propo ner tareas que implicaban destrezas de cuantificación . Si n em bargo, se ha mostrado que ciertas destrezas de cuantificación, en panicular el conteo, pueden contrib uir al desarrollo de la noción de número (Hieberc, 1989).
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : anális is de situac iones didácticas
alumnos hagan. Si al plantear la situación el maestro
por separado, pero con un enfoque pobre, basado en
dice cómo debe resolverse, la cierra de inmediato,
la repetición y en la memorización.
evitando el proceso de creación personal de los ni-
Las opciones "situaciones integradoras" y "situa-
ños. De igual manera, si sólo valora una forma de
ciones específicas para matemáticas" son necesarias.
resolución, tenderá a cerrarla muy pronto.
El maestro podría disponer de situaciones didácticas
Un típico problema de suma, como "La ardillita
de buena calidad para enseñar matemáticas y procu-
tenía diez nueces. Llegó una niña y le regaló tres nue-
rar, en la medida de lo posible, recrearlas a parcir de
ces más. ¿Cuántas nueces tiene ahora?", puede ser
los proyectos integradores. "Una situación didáctica
adecuado para niños de preescolar si se considera
debe ser, anees que buena, posible", escribió una vez
valioso que utilicen sus deditos para llevar la cuen-
un investigador en didáctica (Chevallard, 1999). Lo
ta , y si se acepta que pueden no llegar al resultado.
mismo puede decirse, y con mayor razón, de una pro-
Puede no ser adecuada si se espera
puesta didáctica.
que resuelvan
la cuenta por escrito con la técnica usual. Decidir qué situación es conveniente o no para preescolar depende de lo que se espera de los niños. Puede ser con-
BIBLIOGRAFÍA
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la vez presentar un reto, debe permitir a los niños
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validar por sí mismos el resultado de sus intentos
Lerner, D . y P. Sadovsky, (1994 ). " El sistema de numerac ió n : un problema
de resolución; algunas veces debe ser parte de una
did áctico'', en : Saiz, 1 y C. Parra (comps .) , D idáctica dr las matrmá ti-
secuencia de situaciones que se van complejizando poco a poco. Por canto, es difícil obtener escas situaciones de manera no planeada, exclusivamente a
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partir de los sucesos espontáneos que se dan en el
Ma temáticas. Primer Grado , M éxico, Comisión Nacional de Libros de
desarrollo de "proyectos integradores'', pues se corre
Tex co Gratuico .
el riesgo de obten er efectos no deseados: situaciones pobres, mal aprovechadas, o la aparición de problemáticas demasiado complejas para poder ser tratadas o la creación de situaciones para enseñar matemáticas
Dav id Block
8
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ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJ E DEL NÚMERO EN PREESCOLAR* Ligia Ramírez y David Block
INTRODUCCIÓN La situación conocida en México como " Platos y Cucharas" 1 corresponde a lo que se ha llamado en la Teoría de las Situaciones Didácticas (El Bouazzoui, 1982; Brousseau, 1986), " La Situación Fundamental del Número" . Constituye una situación de igualación y comunicación de cantidades que puede ser abordada por alumnos que están en proceso de construir la noción de número natural y que, mediante la manipulación de determinadas variables, permite generar una secuencia didáctica amplia. Dicha secuencia fue adaptada y aplicada a un grupo de alumn os de tercer grado de preescolar en México, en un estudio exploratorio (Ramírez, 2003 ). En este texto presentamos un avance de los resultados obtenidos. Previamente, hacemos una breve retrospectiva de la forma en que, los distintos aspectos que componen la noción de número, han sido considerados en las sucesivas propuestas para la enseñanza de esta noción a lo largo de lo años.
BREVE RETROSPECTIVA DE LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO NATURAL Vamos a planteamos dos preguntas: ¿qué es el número? y ¿cómo se aprenden los números? Y vamos a ver cómo fueron cambiando las respuestas a estas preguntas a lo largo de los años. Las situaciones didácticas que se diseñan para enseñar una noción , dependen de la manera en que se concibe esa noción, y de la manera en que se piensa que se aprende (Block y Álvarez, 1999).
'Co nfere ncia p rese n tada en el 2º Foro Nac io nal de Educació n Preescolar. "Los co nt enid os en p reescolar y sus implicaci ones en la prác t ica, un nuevo reto", Aguascalien res, octubre del 2001 . 'Ve r SEP, 1994 , Fichrro de actividadn didácticas, Matemáticas. Primer grado, Méxi co, Co misión Nac io nal de los Libros de Texto G raruirns.
ligia Ramirez y David Block
Aná li sis de situacio nes didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Primera definición: por la representación
Segunda definición : por algunas propiedades {sintácticas)
La primera imagen que suele venir a la cabeza frente a la pregunta ¿qué es un número? es, precisamente, un
Podemos ampliar nuestra primera definición inclu-
número, por ejemplo, 2.
yendo las relaciones típicas que se establecen entre.
Oiríamos:
los números. Por ejemp lo , en primer lugar, refiriéndonos al hecho de que se pueden seriar: Los números son cosas que se recitan en determinado orden: "], 2, 3, 4, 5".
2
DOS "esto es un número"
Podemos también considerar las operaciones que se hacen con los números e incluir en la definición frases como:
2 es el número que es igual a 1+1, o a 5 - 3, etcétera
Saltan a la vista grandes limitaciones de esta definición : •
Esto está un poco mejor, porque no nos limita-
Es circular: el número es esto ("2 "), y ¿qué es
mos a dar la palabra y el garabato, ya estamos pro-
eso ?, es un número.
porcionando las reglas que permiten relacionar esos
Lo que estamos señalando es nada más una
garabatos .
palabra o un garabato, y un número es más que una palabra o un garabato.
¿Qué le falta a es ta definición? , ¿por qué nos parece incompleta? Porque los garabatos no representan nada y las reglas para manipularlos tampoco. Es de-
Estamos sei'talando aquello que se usa para repre-
cir, los significados siguen ausentes .
sentar un número, para "vestirlo", para hacerlo visi-
Por ello, nunca se han enseñado así los números.
ble y audible; el continente, pero no el contenido; el
En todas las propuestas de enseñanza, por pobres que
significante, pero no el significado; la representación
sean, se ha considerado el significado. Veamos esto
pero no lo representado.
más de cerca.
Bajo esta definición pobre, la enseñanza sería también pobre: enseñar cada pareja "palabra-garabato" : Tercera definición : incluyendo el s ignificado 2
DOS
¿Cuál es el significado de los números? y ¿cómo se enseña? Los significados de los conocimientos se encuen-
El aprendizaje consistiría en: memorizar la rela-
tran, en gran medida, en los usos que hacemos de
ción "palabra garabato", y rambién en perfeccionar el
ellos. Uno de los principales usos de los números es
trazo del garabato mediante ejercicios (como el bo-
expresar una cantidad de cosas. Los números sirven
leado) indicados por el maestro.
para decir cuánto hay.
Ligia Ramírez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
A partir de esta idea simple podemos tratar de enriquecer la definición de los números y la forma de
mero de cosas. La dificultad radica en que el número de cosas no se ve, como se ven los zapatos. Pese a esta dificultad, tenemos aquí una definición
enseñarlos.
de número y una propuesta de enseñanza más viables
¿Qué es el número dos?:
que las dos primeras: Es la cantidad de cosas que hay aquí:
•
Cada número tiene un nombre y tiene un ga-
•
Los nombres se recitan en cierto orden que
rabato que hay que aprender.
I ~ o
también hay que aprender. •
Se dice "dos" y se representa así: "2".
Pero también tienen un significado: expresan la cantidad de cosas que hay en diferentes colecciones de objetos (dos ojos, dos orejas, dos
Pero aquí enfrentamos una dificultad: un alumno
manos, dos lápices).
podría confundir el dos con los ojos. Podemos entonces poner también dos orejas , dos zaparas, dos casas, dos personas ... y decir, cada vez, "aquí hay dos" ...
Para enseñar cada número, por ejemplo el 3 , podemos mostrar su nombre, mostrar su símbolo y mostrar su significado, éste último mediante varias colecciones con tres cosas.
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Intercalamos ejercicios: Dada una colección, el alumno debe poner el número; dado un número, el alumno debe dibujar la colección; dado el nombre de un número , debe poner el numeral; dado un numeral, debe repetirlo para mejorar el trazo. Esta fue más o menos la propuesta más antigua que conocemos para la enseñanza del número a niños
~.,. ::"~
" Mi c uade rno d e trabajo de primer año''. (pág . 77). S EP. 1960
pequeños. Es la que proponían los libros hasta 1970 . Debido a que es más fácil mostrar la palabra, el garabato, la serie, las reglas, etc., que mostrar el significado , en las propuestas antiguas se le dio m ás impor-
.. . con la esperanza de que después de un rato, el
tancia a lo primero; es decir, se enfatizó el aprendizaje
alumno entienda que nos referimos a algo que no son
de los nombres y los garabatos, de la serie y de las
los ojos, no son las orejas, ni los zapatos, sino el nú-
operaciones con números.
Ligia Ramirez y Dav id Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
La cuarta y la quinta definiciones:
Finalmente, con esos conceptos, se da la siguiente En los años 70 ocurrieron grandes cambios en las
definición que podemos considerar aquí como nues-
propuestas para enseñar el número. Hubo dos pro-
tra cuarta definición de número natural: un número
ragonistas: los matemáticos y los psicólogos. Ambos
es un conjunto de conjuntos equipolentes.
aporraron formas nuevas de comprender el concepto de número y el proceso de aprendizaje.
Los aportes de los matemáticos: En la teoría matemática de los conjuntos, para definir la noción de número natural, primero se define la noción de correspondencia biunívoca (uno a uno) entre dos conjuntos: Es una relación en la que a cada objeto del primer conjunto le corresponde un solo objeto en el segundo y viceversa.
Esta definición es muy abstracta, pero aporta algo importante: nos deja saber algo de la noción de número más allá de las formas de representarlo, e independiente de las reglas de escritura y de orden de los números. Gracias a esta definición, por primera vez sabemos que los alumnos pueden aprender algo de la noción de número antes de aprender a recitarlos en orden y antes de saber escribirlos. Pueden:
Comparar colecciones de objetos mediante correspondencias uno a uno, es decir, determinar cuando hay más , cuando hay menos, y Después, se les llama conjuntos equipotentes a dos conjuntos entre los cuales se puede establecer una relación de este tipo:
cuando hay igual, antes de saber contar, formando parejas de objetos.
Construir un nuevo conjunto con tantos objetos como los que otro tie ne. La correspondencia uno a uno constituye una herramienta para comparar cantidades y para crear cantidades iguales, que puede usarse antes de saber recitar números y de saber escribirlos. A partir de este aporre fundamental, en la enseñanza elemental se empezó a favorecer el trabajo con los conjuntos. Por ejemplo, para comparar las can-
Ligia Ramirez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
tidades de niños y niñas del salón, se pide que cada
qué consecuencias tienen para la enseñanza. Cabe
niño tome de la mano a una niña...
preguntarse, por ejemplo, que si la noción de número no puede enseñarse directamente, ¿qué puede hacer
Los aportes de la psicología genética
la escuela? Frente a esta pregunta, en los años 70, incluso 80,
Sin duda, el aporre más importante de la psicología
se dieron respuestas muy diversas; después se demos-
genética fue la explicación sobre cómo construyen los
tró que muchas de ellas eran equivocadas. Veamos
sujetos sus conocimientos racionales.
rápidamente algunas:
Contra la idea de que todos los conocimientos
•
Considerando que la noción de número se
pueden transmitirse por mostración, es decir, pro-
construye a partir de la síntesis de las operacio-
porcionando la información a los sujetos, las investi-
nes lógicas de clasificación y seriación, y dado
gaciones en psicología genética demuestran que:
que estas se desarrollan de manera espontánea
Hay cierro tipo de conocimientos que los su-
(sin enseñanza), en la escuela hay que esperar
jetos construyen por sí mismos.
a que esta síntesis ocurra para enseñar los nú-
Esta construcción se realiza a través de las in-
meros.
teracciones complejas del sujeto con su medio,
O bien:
al enfrentar situaciones que resultan proble-
•
máticas para él.
En la escuela solamente deben proponerse actividades pre numéricas, de seriación y clasificación, para acelerar el desarrollo de estas
Con respecto a la noción de número, en particular,
operaciones.
se sostiene que no es de naturaleza empírica, es decir, no puede percibirse por lo sentidos, no es visible, no
Aquí hubo un cambio en los propósitos mismos
pesa, no huele, etc. Es una estructura mental que el
de la enseñanza: ya no el aprendizaje de conocimien-
niño construye a través de la abstracción reflexiva
tos matemáticos, sino el desarrollo de las estructuras
de sus propias acciones mentales. Los conocimien-
lógicas del pensamiento.
tos numéricos son ejemplos típicos de conocimientos
En resumen, en los años 70 y 80 las propuestas
lógico-matemáticos que no pueden enseñarse en el
orientadas por criterios de la psicología descalificaron
sentido de "mostrarse", sino que el niño lo constru-
roda posibilidad de ayuda de la escuela para el apren-
ye como parre de su desarrollo intelectual (Barocio,
dizaje de la noción de número, o bien pretendieron
1996). Estos elementos acusan una quinta definición
que la ayuda fuera en el desarrollo de las operaciones
del número natural.
lógicas, y no directamente en el desarrollo de destre-
Empieza a ser claro que saber recitar y represen tar los números no es más que una pequeñísima parte del conocimiento de número. El conocimiento
zas numéricas. En ambos casos, la reacción a la vieja enseñanza que enfatizaba demasiado lo mostrable fue el grito:
de los números requiere del desarrollo de una estructura mental, que incluye operaciones lógicas como la
¡Fuera lápices del preescolar!
seriación, la clasificación y la conservación. Sin embargo, no es fácil comprender bien lo que
Se perdió de vista un factor fundamental plantea-
significan estas afirmaciones, y menos aún saber
do por la misma psicología piagetiana: las posibilida-
Ligia Ram irez y David Block
Anál isis de situaciones didácticas para el aprend izaje del número en preescolar
des de aprendizajes que ofrecen las .interacciones con un medio favorecedor.
El desarrollo de la didáctica de las matemáticas, cuyo inicio data más o menos de los años
Años más tarde ... •
•
70, intenta suplir esta carencia.
La idea de "medio favorecedor" se volverá central (sobre todo gracias a la didáctica).
En didáctica de las matemáticas hay varias corrien-
En la psicología misma hubo cienos cambios
tes. Hablaremos aquí de los aportes de una corriente
de postura: estudios más recientes demostra-
constructivista. En ésta se asume la consideración
ron que, contrariamente a lo que se pensó en un
piagetana de que:
principio, los niños pueden desarrollar desde muy pequeños cierras habilidades numéricas,
el sujeto construye sus conocimientos me-
el conteo por ejemplo, y el desarrollo de estas
diante interacciones con un medio favore-
habilidades puede incluso favorecer el desarro-
cedor, un medio que le presenta problemas,
llo de las operaciones lógicas (Hieberr, 1989).
dificultades.
Por lo tanto , se empezó a cuestionar la idea radical
Esta consideración implica, en la enseñanza de las
de los 7 0 y 80 de que es necesario esperar a que cul-
matemáticas, cuestionar la idea de que deben ense-
mine el desarrollo de ciertas operaciones lógicas para
ñarse primero los conocimientos para que después los
poder propiciar aprendizajes numéricos.
alumnos los apliquen en problemas. Ahora se trata-
Veamos en qué punto nos encontramos ahora.
ría más bien de lo contrario: plantear primero determinados problemas, para que, al intentar resolverlos , los alumnos construyan poco a poco cienos conoci-
Hacia la sexta definición: aportes de la didáctica de las matemáticas
mientos. Surgen entonces preguntas como: ¿puede un alumno resolver un problema cuando no se le ha enseñado
Hemos visto que los matemáticos y los psicólogos hi-
el conocimiento que lo resuelve?, ¿puede tratarse de
cieron grandes aportaciones a nuestra comprensión de
cualquier problema? Y si no, ¿qué características debe
la noción de número y de los procesos de aprendizaje.
tener el problema?, ¿qué es un medio favorecedor?
Sin embargo:
•
Éstas son algunas de las préguntas a las que in-
Saber matemáticas no necesariamente implica
tenta responder la didáctica de las matemáticas con
saber cómo enseñarlas a los pequeños.
orientación constructivista. En lo que sigue veremos
Y saber cómo se desarrollan las estructuras cog-
algunas respuestas a estas preguntas para el caso espe-
nitivas generales del pensamiento, tampoco
cífico de la noción de número.
implica saber cómo enseñar contenidos especí•
Pero antes, esbozaremos lo que será nuestra sex-
ficos en la escuela.
ta definición de número natural. Desde el punto
Es decir, ni los matemáticos ni los psicólogos
de vista de la didáctica, el número natural se define
so n especialistas en enseñanza escolar.
por el conjunto de situaciones en las que funciona, por
Algunas de las dificultades y de los errores al
ejemplo, situaciones en las que se comparan dos co-
aplicar sus aporres en el salón de clases, se de-
lecciones, en las que se construye una colección con la
ben a eso.
misma cantidad de elementos que otra, en las que se
Lig ia Ram írez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
necesita comunicar a alguien una cantidad para que
zaron las cucharas para los platos, sin que faltaran ni
forme una colección, o en las que se necesita guardar
sobraran.
en memoria una cantidad de elementos para contro-
Así, la situación exige que los participantes pon-
lar si ésta no se altera; situaciones en las que las can-
gan en juego, de alguna manera, ciertos aspectos de la
tidades se transforman y se quiere prever la cantidad
noción de número como herramienta para ganar.
que habrá al final, situaciones en las que se desea orde-
La secuencia presenta diferentes variantes, que
nar una colección, entre muchas otras. Esta es nues-
también llamamos juego?. Cada juego presenta una
tra sexta definición de número natural. Cabe precisar
mayor dificultad con relación al anterior, con el fin
que existen distintos tipos de situaciones, cada una
de que los niños utilicen procedimientos cada vez
de las cuales hace funcionar al número de distintas
mejores para controlar una cantidad de objetos y su
maneras y, en consecuencia, favorecen el aprendizaje
comunicación a otros niños. La secuencia los lleva,
de distintos aspectos de la noción de número. Los
paulatinamente a la utilización del número (oral y
niños no aprenden "el concepto de número", sino as-
escrito) como medio privilegiado para esta comuni-
pectos específicos de dicho concepto.
cación.
Al final de cada jugada, se lleva a cabo un momento de verificación, en el que los alumnos corroboran
SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS:
si tuvieron éxito o no en el juego. Durante la verifi-
"PLATOS Y CUCHARAS"
cación o después de ella, la educadora destaca algunos de los procedimientos que se quieren enfatizar y
El juego 'platos y cucharas'
algunos errores interesantes. Para que la actividad no fuera monótona en al-
En las situaciones de la secuencia didáctica 'platos
gunos juegos se cambiaron los elementos: de platos
y cucharas' el número es utilizado como una herra-
y cucharas por transportes con cierta cantidad de
mienta de comunicación para la construcción de una
asientos y pasajeros, perros y huesos y, por último,
colección con la misma cantidad de elementos que
helados y cucharas. Después de los primeros juegos se incluyeron al-
una colección dada (colecciones equipotentes). La primera versión del juego consiste en lo si-
gunas actividades adicionales para que los niños,
guiente: el grupo se organiza en equipos pequeños
individualmente, reafirmaran los procedimientos uti-
de entre 2 y 4 alumnos. A cada equipo se entrega
lizados. A estas actividades las llamamos juegos de
determinada cantidad de platos. Un representante de
afirmación.
cada equipo debe traer, en un solo viaje, de un depósito (que se encontrará alejado de los equipos), la cantidad de cucharas necesarias, para que a cada pla-
Condiciones de la implementación
to le corresponda una y solamente una cuchara, sin
de la secuencia
que falten ni sobren cucharas a su equipo. Después de traer las cucharas, el grupo verifica si ganaron o
La secuencia de situaciones didácticas fue puesta en
perdieron los diferentes equipos, es decir, si alean-
práctica por una educadora con su grupo de tercer
' D istinguiremos el término juego, que se refiere a la variante d e la situaci ó n d idáctica, del té rmino j ugada, referido aquí a la pues ta en prácti ca de un juego.
15
Ligia Ramirez y David Block
Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
grado de preescolar (alumnos de entre 5 años y 5
•
La forma de organización del grupo se fue
años 11 meses). Se aplicó a lo largo de once sesiones
modificando, por un lado, para que la maestra
de máximo una hora, durante cinco semanas. Cada
pudiera tener el control de la situación, en tér-
versión del juego se aplicó en promedio cuatro veces
minos de poder identificar los procedimientos
a lo largo de dos sesiones.
utilizados por los alumnos y hacer las eleccio-
La secuencia se dio a conocer a la educadora a
nes pertinentes para resaltar los que fueran
través de un conjunto de fichas de trabajo (una por
necesarios. Por otra parte, se buscó que los
cada juego) con las cuales se intentó proporcionar
alumnos tuvieran un rol activo, no solamente
las herramientas necesarias para llevar a cabo el jue-
mientras fuera su turno de jugar, sino también
go, conservando su enfoque didáctico. Los aspectos
interviniendo en el juego de sus compañeros
que contienen las fichas son: en qué consiste el juego,
de equipo y en el momento en que se verifi~a
los materiales necesarios, la organización espacial y
ban los resultados (actividad grupal).
grupal sugerida, las reglas del juego (incluyendo las
El juego se planeó inicialmente para ser juga-
consignas), un apartado en el que se especifican los
do por el grupo entero (30 alumnos), en equi -
procedimientos que se pueden esperar de los alum-
pos de entre 3 y 4 niños y niñas. Sin embargo,
nos, así como algunas sugerencias de lo que con-
después de la primera puesta en escena, vimos
vendría destacar. Se consideró también un apartado
que era muy difícil lograr una participación
con algunas adaptaciones del juego en caso de haber
de los alumnos al mismo tiempo que un con-
alumnos con necesidades educativas especiales.
trol suficiente de su trabajo por parte de la
Cada una de las fichas se entregó a la educadora
educadora. Decidimos entonces realizar los
con anticipación y se revisó con ella en una sesión pre-
juegos siguientes con la mitad del grupo (un
via al juego. En esta sesión se leía la ficha en cuestión y
día con una mitad, otro día con la otra mitad;
la educadora planteaba sus dudas o comentarios acer-
solamente se hizo el seguimiento de una de las
ca del contenido. Además, se utilizaron las mismas se-
mitades).
siones para hacer comentarios sobre el desarrollo y las
La organización espacial fue modificándose a
respuestas de los niños y niñas al juego anterior.
lo largo de la experiencia, en los últimos juegos se optó por sentar a los niños de dos en dos en cada mesa y una mesa frente a otra (equipo emisor y equipo receptor del mensaje).
Variables didácticas Las principales variables didácticas que se controlaron fueron: La cantidad de platos: fue variando del rango entre 4 y 7 platos a, rango entre 7 y 10 y, en los últimos juegos, hasta 15 platos. La forma de comunicación: autocomunicación, comunicación oral, comunicación gráfica y comunicación gráfica con apoyo en una tira numerada.
Ligia Ramírez y David Block
E: emiso res ; R: receptores
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
El desarrollo de la secuencia
O:
Tenía siete platos ... los conté (... )después agarré las cucharas, como tenía los platos.
En lo que sigue describiremos algunos de los procedimientos utilizados por los niños en los diferentes momentos de la secuencia.
El segundo ejemplo muestra una descomposición aditiva:
En la primera versión, como ya se explicó (ver pá-
(El equipo 5 manipula los platos mientras la
gina 15), los niños deben hacer un ejercicio de auto-
maestra verifica con otro equipo).
comunicación, es decir, el niño que va por las cucharas debe recordar por sí mismo, de alguna manera, la cantidad de cucharas que deberá traer para que su
S: E:
equipo gane. Para tener éxito los niños pueden utili-
Son cuatro ... son cuatro y cuatro. ¡No! uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho.
zar algún procedimiento que les permita controlar la
S:
(Toma dos platos) son dos (toma otros dos)
colección de platos que la maestra les asigna.
E:
Otros dos, son cuatro.
Hemos identificado varios procedimientos a los
S:
(Pone otros dos).
que los niños recurren con frecuencia. Algunos de
E:
Otros dos son cinco, seis y otros dos son ocho ...
éstos son:
siete.
El conreo. Contar los platos y después contar la misma cantidad de cucharas. •
S:
(Vuelve a tomar los platos) Uno, dos, tres, cua-
tro, cuatro.
El conreo con descomposición aditiva. Contar los platos en dos o más subcolecciones (por
El primer alumno (S), utiliza descomposiciones
ejemplo, en vez de contar 7 platos, se cuentan
aditivas como procedimiento para representarse la
4 y 3).
cantidad. El segundo niño (E), en un primer momento, niega que el procedimiento de su compañero
En cambio el siguiente procedimiento que se es-
sea el correcto y expresa la cantidad de platos por
peraba, no se observó: hacer una correspondencia 1 a
medio del conreo en voz alta. Cuando el primer niño
1 con una colección intermedia. En este caso pueden
(S) reitera su necesidad de hacer una descomposición
utilizarse los dedos para recordar la colección de los
aditiva, esta vez de dos en dos, el segundo (E) intenta
platos y construir la colección de cucharas en base a
seguir esa lógica, pero va nombrando los números de
ésta).
la serie que están incluidos en la descomposición.
Esto nos deja ver que los niños pequeños ya han
Veamos, ahora, una segunda versión del juego.
construido conocimientos que les permiten resolver
Los niños de un equipo deberán pedir oralmente
problemas de este tipo.
a los niños de otro equipo, que está alejado, las cucha-
Veamos algunos ejemplos de los procedimientos
ras necesarias para que cada plato tenga la suya, sin
usados por los niños en esta primera versión del jue-
que les falten ni les sobren cucharas. Este juego im-
go. Primero mostramos un procedimiento de conreo
plica un ejercicio de comunicación oral, que también
verbalizado por una niña
3
.
puede ser resuelto con diversos procedimientos.
' Los nombres de los niños se indican co n la inicial (D, S, E .. ) . Cuando no se tiene el nombre se escribe Na o No. Cuando participan varios a la vez Ns . Las interaccio nes de las maesuas se indican con M.
Ligia Ramírez y David Block
Anál isis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Los equipos que tienen los platos en principio pueden: Contar y decir el número .
•
En el primer ejemplo podemos ver una estrategia de conteo utilizada por una niña. I:
(1 O platos) (Le toca pedir las cucharas. Su
Contar subcolecciones y dictar los números.
compañera de equipo comienza a contar
Reconocer visualmente la cantidad, en caso de
los platos al mismo tiempo que ella. Le
ser cantidades muy pequeñas (1, 2 ó 3 platos y
pide que la deje contar sola. Cuenta los
en algunos casos hasta 4).
platos de manera ordenada, tratando de
Recitar la serie numérica hasta el número to-
localizar líneas verticales de platos , como
tal de la colección de platos, y dictar uno por
se muestra enseguida.) ¡Diez.'
uno.
Y en los equipos de las cucharas:
5
8
2
6
9
3
7
10
4
Construir la colección con el número dado,
J:
contando.
1
(Toma 1O cucharas, de una en una las vaco-
Construir la colección uno a uno, mientras
locando en su mano. Después las pone
el otro equipo les dicta la serie (o dicta uno,
sobre los platos).
otro, otro, otro ... ). En el siguiente ejemplo vamos a observar un error Este juego, entonces, llevaría a buscar el proce-
en el conteo por falta de una estrategia eficiente del
dimiento más efectivo: el número oral. Notemos
emisor (L) . No obstante, el receptor (S) logra ver los
que hay aquí cuatro subsiruaciones implicadas: el
platos desde su lugar con lo cual logran ganar.
emisor debe cuantificar y comunicar la cantidad.
L:
(Tiene 7 platos. Los ve y los se ñ ala con un
El receptor debe formar la colección a partir del nú-
dedo que pone cerca de su cara. Al parecer
mero dado. Luego, ambos deben comparar la canti-
los está contando, pero no se escucha lo
dad de cucharas con la de los platos, poniendo cada
que dice. No pide las cucharas. Tarda un
cuchara sobre un plato.
rato sin responder)
En los ejemplos que se muestran a continuación,
M:
¿Sabes lo que tienes que hacer Luis?
además de encontrar algunos de estos procedimien-
L:
(as iente)
tos también podremos observar algunas estrategias
C:
Co ntarlas.
y errores en el conteo. En general, niños y adultos
S:
(Es pera el pedido y, mientras , cuenta los pla-
buscamos algunas estrategias para poder controlar que se estén considerando todos los elementos de
tos desde su lugar).
L:
(Vuelve a ver los platos y al parecer los
la colección sin que falten algunos por contar ni se
cuenta con la vista, sin tocarlos). Son once.
cuente más de una vez alguno, sobre todo cuando la
Necesito cucharas.
colecció n es grande. Estas estrategias, así como los
Na:
errores que con más frecuencia cometen los niños al
S:
contar han sido estudiados por distintos investigadores y sistematizados por Fuson ( 1988) .
Ligia Ramirez y Dav id Block
Once (Toma siete cucharas, una por una y las lleva a los platos).
Ns:
¡Ganaron.'
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Pasemos a la tercera versión . En este juego se
Y para el equipo de los pasajeros:
cambiaron los objetos de platos y cucharas por transportes y pasajeros. Los transportes se representaron
•
Interp retar el número, construyendo la colec-
en una hoja (coche, camioneta o autobús) con cua-
ción que se solicita.
dros (asientos) y los pasajeros se representaron con
Contar los dibujos y construir la colección.
tíchas.
Construir uno a uno la colección (por cada
ra
~ ~
o o
Camionera
Coc he
objeto dib ujado), mientras un integrante del D D
D D
D D
D D
DDDD
Autobús
equipo va dictand o. Los cambios en los mensajes de una sesión a o tra fueron notorios. En la primera sesión solamente 4 niños utilizaro n números en sus cartas y ninguno de
La variante que caracteriza a este juego es la siguiente: la educadora pide a los equipos que tienen
ellos utilizó un solo número, sino la serie del 1 hasta el número que querían comunicar.
los transportes que soliciten por carta, a los equipos que tienen a los pasajeros, los q ue necesitan para que en cada asiento haya un pasajero, sin que falten ni sobren pasajeros.
., r-
e we r
\ >o e
l
8
r-
r- H
'o
í ...... .
Ahora el ejercicio implicado es de comunicación
""' -( 341 S o-~
escrita. Los procedimientos posibles son, para los equipos de los trans p ortes: •
Contar y escribir el número [ l ].
En el primer ejemplo vemos algu nas inversiones
Construir una co lección gráfica intermedia
omisión (el 4) que fue identificada y corregida por el
licitan) [2].
emisor del mensaje.
Escribir la serie de los números desde el l hasta el número que se solicita, porque aún no
•
Las producciones de los niños que no escribieron números fueron de varios tipos:
asocian el último nú m ero a la cantidad que
Reproducen el modelo del transporte (tal y
corresponde [3] .
como está dibujado en la hoja que se les dio),
Escribir varias veces el número q u e se solicita
lo que hace suponer que el niño o niña pres-
[4].
cindió del conteo de los asientos e hizo una
Dibujar una colección intermedia para decir
correspondencia término a término , mientras
la cantidad [5] .
dibuja.
D [I]
en la escritura de los números y en el segundo una
(tantas bolitas o palitos como pasajeros se so-
1~
2 3 4 5 6 7
9
¡s s [2]
!)
[3]
111111111
555 [4]
¡ _,
f. 111111111
[.I
e
(S]
Ligia Ramirez y David Block
Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Dibujan los asientos u otros objetos alineados
suplido por el número , lo que permitió al equipo
en la parte superior de la hoja para represen -
ganar esa jugada.
tar los pasajeros que se solicitan. Para esto último, es más probable que se haya recurrido al conteo.
\_j \ /
l:
1) para 5 pasajeros
2) para 4 pasajeros
o OCJ Al final de la primera sesión la educadora preguntó a los niños y niñas si creían que podrían escribir su mensaje más rápido. Una de las niñas dijo que podría hacerse escribiendo un solo número. La educadora le
ºº
3) para 6 pasajeros
d io una hoja de transporte y le pidió que enseñara a los demás la manera de hacerlo. 4) para 10 pasajeros
Al parecer, esta intervención de la educadora in 5) para 8 pasajeros
fluyó en el tipo de producciones que se realizaron en juegos posteriores. En la segunda sesión, por ejemplo , solamente 4 niños utilizaron dibujos o marcas y
La cuarta versión y última que se experimentó
6 niños utilizaron un solo número, los demás conti-
es una variante ligera del úlrimo juego de comunica-
nuaron usando la serie de números.
ción escrita. La diferencia aquí fue que la maestra les
En los siguientes ejemplos observaremos algunas
entregó una tira numerada del 1 al 12 a cada par de
de estas características y veremos además un caso sin-
niños y les pidió que procuraran usar un solo núme-
gular: la reproducción de los asientos junto con el
ro en sus mensajes.
número que representa la cantidad (ejemplo 3 ). Al
En la primera sesión de este juego solamente eres
parecer, para el autor de este mensaje, el escribir un
niños usaron dibujos o marcas arbitrarias , un niño
so lo número no fue suficiente para asegurar un punto
dibujó la colección y escribió el número y 10 niños
más para su equipo. Sin embargo el niño omitió un
usaron un solo número.
asiento al dibujarlos. Esta producción causó confu-
El niño que en el juego anterior dibujó la co-
sión en el receptor del mensaje, quien consideró cada
lección y el número, en este juego lo vuelve a hacer,
elemento trazado en el mensaje (tanto los asientos
pero con un cambio (1). Esta vez no reproduce la
co mo el numeral ) como elementos que representan a
configuración de los asientos, ahora los dibujó ali-
los pasajeros solicitados. Así, el asiento omitido fue
neados y al final escribió el número . Nuevamente su-
Ligia Ramirez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
cedió que el niño que interpretó el mensaje contó el
sucedió en un ejemplo de la última sesión que se pre-
numeral como un elemento más de la colección, por
senta más adelante.
lo que perdieron.
El ejemplo 6 solicita la cantidad de pasajeros mediante el número, pero incluye cuatro soles que, al parecer, fueron elementos decorativos. La niña asegura, cuando se le pregunta, que ella escribió "1 O" y trata de justificarlo contando los soles varias veces 1) para 7 pasajeros
hasta llegar a 1O. Como se le sigue preguntando opta por escribir los números para completar la cantidad
lO'P)O\O\O
de elementos (soles más numerales) a 1O. En la última sesión solamente un niño dibujó "palitos", tres escribieron la serie de números y los demás
2) para 5 pasajeros
pusieron un solo número, aunque no todos eran in-
3) para 12 pasajeros
5
.to
terpretables como números, lo vemos en el ejemplo 5 del siguiente grupo de producciones, donde la niña escribió dos letras (er) para representar un 6, que fue
4. para 1O pasajeros
5) para 5 pasajeros
interpretado como 9, y en el ejemplo 4 en el que una ' E' es interpretada como un 3. Presentamos también los ejemplos 1 y 2, porque éstos fueron producidos atinadamente por dos niños que desde el inicio de la experiencia mostraron gran dificultad en la utilización de los números. Aunque en otras de sus producciones el niño del ejemplo 2 utilizó números escritos o colecciones intermedias, ésta fue la primera ocasión que su producción corres-
6) para 1O pasajeros
pondió a la cantidad de objetos solicitados. Lo mismo sucedió con el alumno del ejemplo 1, quien, por sugerencia de su pareja de equipo, esta vez no utilizó
Otro ejemplo interesante, más en su interpreta-
pares de 'palito-bolita' sino solamente 'paliros'.
ción que en la producción, es el 2, donde el niño
El ejemplo 3 muestra la serie del 1 al 1O con
dibuja 5 series de un "palito" con una "bolita" para
la omisión del 7, y después el número diez debajo
solicitar 5 pasajeros. El receptor del mensaje empezó
de la serie. Este fue interpretado por el número 10
contando cada elemento como unidad, pero al ver
solamente, lo que no ocurrió en otro ejemplo donde
que el segundo par está unido en un punto, regresó
el niño sólo escribió la serie también omitiendo un
y empezó a cuantificar cada pareja de "bolita-palito"
número y al ser contados los números, se le entrega-
como una unidad.
ron menos pasajeros.
En el ejemplo 3, el niño que escribió el mensaje
Por último, en el ejemplo 6, vemos la producción
invirtió y deformó los números, lo que provocó que
de un niño al que la maestra le dio una cantidad (18)
el receptor no supiera cómo interpretar. Lo mismo
por arriba del rango con el que estaban jugando todos.
Ligia Ramírez y David Block
Aná li sis de situaciones didácti cas para el aprend izaje del núme ro en preescolar
Deben permitir una resolución inicial con los conocimientos que los alumnos ya tienen ,
1231 1) para 4 pasajeros
pe ro deben llevarlos a buscar respuestas más eficaces y más económicas. •
2) para 4 pasajeros
Deben permitir a los alumnos avanzar en su co nocimiento , y acercarlos a un conoci miento m atemático.
•
Por sí mismas deben proporcionar a los alumnos elementos para verificar y validar el resultado de sus acciones (por ejemplo, en el juego de platos y cucharas, los niños pued en darse cuenta si ganaron o perdieron , al poner las c ucha ras sobre los plaros ).
3) para 1O pasajeros
er 4) para 3 pasajeros
5) para 6 pasaj eros
El papel de la educadora La situación en sí misma propicia la búsqueda de 6) para 18 pasajeros
sol uciones por los niños , pero no garantiza que ésta funcione como una situación de aprendizaje. Por es to
Así, puede verse que las variables "cantidad de
creemos importante resaltar el papel que la educado-
los platos asignados" y "tipo de co muni cac ió n que se
ra d ebe jugar en el pl antea miento de una situación de
exige" co mplejiza n la resolución d e los juegos , propi-
este tipo, para que permita a los alumnos y alumnas
ciando el desarrollo de diferentes con'o cimientos por
ava nzar en su conocimie nto.
parte de los niños. Cabe destacar que la resolución
Los m aes tros tendemos a decir directamente a los
de estas si tuaciones no requiere que los alumnos ya
niñ os cómo se resuelven los problemas, con qué co-
se pan de antemano utilizar los números convencio-
nocimiento. En esos casos, los n iños d eberán aplicar
nales, como se vio, los alumnos pueden desarrollarlos
lo que el maestro di ce y, si bie n es cierto que tal vez
durante los juegos, en el intercambi o que va n hacien-
aprendan un poco , no tendrá n la oportunidad de en-
do co n sus pares.
contra r por sí mismos la solución, o la pertinencia de determinado conocimiento, con lo cual aprenderían
Caracter ís ticas de la situación didáctica
mucho más . Por ejemplo, ¿qué pasaría si la m aestra, en lugar de la consigna del juego (traer las cucha-
Destacaremos ahora algunas de las características de
ras n ecesarias para que cada plato tenga la suya, sin que fa lten ni sobre n cucharas, y haciéndolo en un
este tipo de si ruaciones de aprendi zaje: • Se pl antean a los alumnos en forma de 'pro-
so lo viaje), dijera: "Cuenta los platos y trae las cucharas
que necesitas", o "¿cuántos platos tienen? Ahora traigan
blem a a resol ver' individualmente o en grupos
las cucharas que necesitan", o bien , "les doy 9 platos,
pequeños (de entre 2 y 4 alumnos ).
¿cuántas cucharas tienen que traer?''
Li gia Ram irez y Dav id Block
221
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
El rol que as ume la maestra es muy distinto en un caso y en el otro. Mientras en estos últimos ejem-
De la educadora: •
plos la educadora, da en la consigna la solución al problema; en el ejemplo que presentamos antes, la
Encontró dificultad para recordar la consigna en las primeras sesiones.
•
Sus participaciones, sobre todo en las primeras sesiones, orientaban el tipo de respuesta de los
educadora: Devu elve el problema a los niños, es decir, les
niños , al validar prematuramente las respues-
plantea el 'problema a resolver', pero no les di-
tas de algunos alumnos más adelantados que
ce cómo hay que resolverlo, de manera que
contaban y usaban el número desde el prin-
ellos deban hacerlo.
cipio. Esto llevó a los niños a seleccionar res-
Durante el juego, su papel es animar y facilitar
puestas que la maestra pudiera aprobar.
ayuda tratando de no eliminar el problema, por
El momento de la verificación, en muchos de
ejemplo: si el niño hace una colección inter-
los juegos, tomó mucho tiempo, pues la edu-
media con sus dedos y no puede tomar las cu-
cadora trataba de indagar cada procedimiento
charas, la maestra puede pedir a otro niño que
utilizado. Los niños no siempre sabían expli-
saque las cucharas que el niño le va pidiendo.
car lo que habían hecho y esto hizo la activi-
Procura que los niños se den cuenta por sí
dad más larga y más pesada.
mismos de que sus estrategias son insuficien-
•
Esta misma situación provocó poca participa-
tes (si lo son), en el momento de verificación.
ción de los alumnos en las verificaciones de los
Al finalizar el juego propicia u n momento
juegos de los otros equipos.
de puesta en común en el que resalta algunas
•
estrategias utilizadas por los alumnos, tanto
En la organización:
exitosas como no exitosas, con el fin de que
•
Los niños preescolares, cuando tienen mate-
los alumnos reflexionen en las estrategias más
rial en sus manos, tienden a jugar con él. En
efectivas y más económicas, y por otro lado,
el caso de los platos y cucharas, el material los
desechen las estrategias poco efectivas o muy
llevó a iniciar juegos paralelos distrayendo la
complicadas .
atención del momento de verificación de los
Poco a poco, au menta las exigencias de la si-
otros equipos. En el caso de la tira numera-
tuación. Por ejemplo, en algún momento se
da, aunque también distrajo la atención de la
puede poner como condición "ahora sólo se
actividad grupal, el juego libre que los niños
vale usar números", al tiempo que les facilita
hicieron con ésta, favoreció el uso de los nú-
la tira numerada.
meros y su aprendizaje. La cantidad de niños jugando dificultó el seguimiento de los procedimientos y procesos
D ificultad e s e ncontrad as
de los alumnos, por parte de la educadora y observadoras. Esta misma situación, además,
Algunas de las dificultades encontradas en el proce-
hizo muy extensos y cansados los tiempos de
so de la puesta en práctica de la secuencia didáctica,
las sesiones y los tiempos de espera del turno
fueron:
de los alumnos que jugaban. Por esta razón
Ligia Ramirez y David Block
Anál isi s de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
•
la organizac1on tanto de espacio como de los
número no muy grande de alumnos, contar con for-
turnos se fue modificando a lo largo de la ex-
mas ágiles de organización del grupo, circunscribir
periencia.
las actividades y los momentos de espera en el tiempo
El uso de un mismo material para jugar a lo
en que los pequeños mantienen el interés, preparar
largo de las sesiones resultó monótono pa-
previamente y de manera minuciosa cada situación,
ra los niños, por haber sido éstas muy seguidas
conducir con destreza las puestas en común, entre
una de otra. Sin embargo, consideramos que
otras.
si esta secuencia se alterna con otras, puede
Esperamos que los resultados de la experiencia
resultar menos cansada y dar más tiempo
descrita contribuyan a convencer de que el esfuerzo
a los niños para utilizar los conocimientos
que implica crear estas condiciones vale la pena.
que van aprendiendo en cada sesión. Además, la utilización de dos o más secuencias alternadas permite ir abordando otros aspectos
BIBLIOGRAFÍA
del número, por ejemplo, el aspecto ordinal o las transformaciones aditivas.
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COMENTARIO FINAL
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que es posible considerar sus conocimientos previos, al
tions, Tesis para obtener el grado de doctor de 3er ciclo en Didáctica
permitir que éstos aporten las primeras soluciones
de las matemáticas, Universidad de Burdeos l.
a un problema, y al mismo tiempo apuntalarlos para propiciar su desarrollo; también muestra que es posible considerar ciertos errores como parte inherente de un proceso de aprendizaje, e incluso, a veces, hacerlos visibles para quienes los cometen de manera que rengan mayores posibilidades de superarlos. Al mismo tiempo, la experiencia permite ver algunas de las condiciones que se requieren para llevar
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a cabo esra empresa -que los pequeños de preescolar participen en procesos de construcción de conocimientos maremáricos- las cuales no son triviales : disponer de situaciones adecuadas, trabajar con un
ligia Ramirez y David Block
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