Matemática Enem - Resumos e dicas de estudo - Anglo Vestibulares

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Elaboramos este material com resumos e dicas de estudo para te ajudar a se preparar para as questões de matemática do ENEM e dos principais vestibulares. Nele estão algumas das mais importantes matérias da disciplina, conteúdos fundamentais para conseguir um bom desempenho no exame e conquistar a tão sonhada aprovação na univerdidade. Bons estudos!

ÂNGULO GEOMÉTRICO

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

TRIÂNGULOS SEMELHANTES

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

t

ÂNGULOS COMPLEMENTARES E ÂNGULOS SUPLEMENTARES Dois ângulos de medidas α e β (em graus) são ditos: Complementares, se α + β = 90° Exemplos; 40° e 50° ou 20° e 70° Suplementares, se α + β = 180° Exemplos: 70° e 110° ou 28° e 152° ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

POLÍGONO REGULAR

É uma semirreta com origem no vértice do ângulo e que divide o ângulo AÔB em dois ângulos de mesma medida.

O polígono regular é equilátero e equiângulo, logo:

Das semelhanças dos triângulos, temos as relações:

b² = n • a h² = m • n c² = m • a a•h=b•c a² = b² + c² (teorema de pitágoras) TRIÂNGULO RETÂNGULO

ÂNGULO CENTRAL

ÂNGULO INSCRITO

PARALELISMO ENTRE DUAS RETAS

ÂNGULOS COMPLEMENTARES (α + β = 90°) DESIGUALDADE TRIANGULAR CIRCUNCENTRO DE UM TRIÂNGULO É o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo e representa o centro da circunferência a ele circunscrita.

SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

02

VALORES NOTÁVEIS

TRIÂNGULO RETÂNGULO EM UMA SEMICIRCUNFERÊNCIA

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TEOREMA DE COSSENOS Em um triângulo qualquer, como o mostrado na figura abaixo, vale a relação:

PLANIFICAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE UM SÓLIDO GEOMÉTRICO Planificar a superfície de um sólido significa representar todas as faces que delimitam o sólido em um mesmo plano, de modo que quaisquer duas faces tenham, no mínimo, uma aresta comum.

POLIEDROS CONVEXOS

COSSENOS DE ÂNGULOS SUPLEMENTARES Se α + β = 180°, então cos α = - cos β

Um poliedro é um sólido geométrico formado pela união de um número finito de polígonos, com a condição de que dois polígonos quaisquer que compartilhem um lado nunca estejam em um mesmo plano. O quadro a seguir mostra alguns poliedros, suas planificações e elementos.

PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO Considere o paralelepípedo a seguir, com arestas de medidas a, b e c.

PRISMAS Prismas são sólidos geométricos formados por dois polígonos congruentes P e P ', situados em planos paralelos, e cujas arestas laterais são, duas a duas, paralelas entre si. A seguir, observamos alguns exemplos de prismas.

APÓTENA DE UM POLÍGONO REGULAR O apótema de um polígono regular é a distância do centro do polígono a um de seus lados. Nas figuras a seguir, O é o centro e o segmento OM representa um apótema de cada um dos polígonos:

Os polígonos P e P' são chamados de bases do prisma e a distância h entre os planos que contêm essas bases é chamada de altura do prisma.

Usualmente, nos referimos aos prismas de acordo com o polígono P: se P é um triângulo, é chamado de prisma triangular; se P é um quadrilátero, de prisma quadrangular; e assim por diante.

ÁREA DE UM QUADRADO E DE UM RETÂNGULO

CASO PARTICULAR DO PRINCÍPIO DE CAVALIERI

Considere dois sólidos apoiados em um mesmo plano α. Se, para qualquer seção feita nesses sólidos por um plano β paralelo a α, resultarem seções equivalentes (ou seja, com mesma área), então esses sólidos terão o mesmo volume e, por isso, dizemos que são sólidos equivalentes.

ÁREA DE UM PARALELOGRAMO E DE UM TRAPÉZIO

SÓLIDO DE REVOLUÇÃO

ÁREA DE UM TRIÃNGULO

É todo sólido obtido a partir da rotação completa de uma figura em torno de um eixo. Veja um exemplo:

Da figura, temos que, para qualquer β // α se S1 = S2 então os dois sólidos têm volumes iguais.

VOLUME DE UM PRISMA

Para calcular o volume de um prisma, basta multiplicar a área da base desse prisma pela sua altura, ou seja, o volume V de um prisma de altura h e área da base Ab é dado por:

CÍRCULO Reunião da circunferência com seus pontos interiores.

RETA PERPENDICULAR A UM PLANO A reta r será perpendicular ao plano a se, e somente se, ela formar um ângulo reto com todas as retas desse plano.

TEOREMA DE TRÊS PERPENDICULARES

ÁREA DE UM CÍRCULO A área S de um círculo de raio com medida r é dada por S = π • r² ÁREA DE UM SETOR CIRCULAR A área S de um setor circular é proporcional à medida do seu ângulo central, ou seja, a partir da figura a seguir, devemos ter:

Considere duas retas perpendiculares s e t pertencentes a um plano α e uma reta r que intersecta t e é perpendicular ao plano α. A reta a, que intersecta as retas r e t, será perpendicular à reta s:

V= Ab • h PRISMAS RETOS, OBLIQUOS E REGULARES

Prismas retos são prismas cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. Caso isso não ocorra, o prisma é chamado de prisma oblíquo. Caso a base de um prisma reto seja um polígono regular, então o prisma é chamado de prisma regular. Nesses casos, obter a área da base é o mesmo que calcular a área de um polígono regular. Dessa forma, pode ser conveniente relembrar como se deve calcular a área de alguns polígonos regulares.

PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO

ÁREA DE UM SEGMENTO CIRCULAR A região destacada na figura abaixo representa um segmento circular.

A área S do segmento circular pode ser obtida calculando-se a diferença entre a área Ssetor do setor circular, cujo ângulo central mede α, e a área Striângulo do triângulo isósceles cujos lados congruentes medem r e o ângulo entre eles também mede α: S = Ssetor - Striângulo

Seja r a reta que passa por P e é perpendicular a α.

O ponto P', intersecção de r e α, é chamado de projeção ortogonal de P sobre α.

CUBO Considere o cubo a seguir, em que as arestas medem a.

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03

SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

PIRÂMIDES Pirâmides são sólidos geométricos cujas arestas são os lados de um polígono P e também os segmentos cujas extremidades são um vértice de P e um ponto V não pertencente ao plano que contém P. A seguir, observamos alguns exemplos de pirâmides.

Sólidos de revolução são os sólidos geométricos obtidos a partir da rotação completa de uma figura em torno de um eixo, denominado eixo de rotação (ou eixo de revolução). A sequência abaixo mostra o sólido obtido por meio da rotação completa do pentágono ABCDE em torno do eixo r.

O polígono P é chamado de base da pirâmide e o ponto V, vértice da pirâmide. A distância h de V ao plano que contém P é chamada de altura da pirâmide. Assim como nos prismas, nos referimos às pirâmides de acordo com o polígono P: se P for um triângulo, é chamada de pirâmide triangular; se P for um quadrilátero, de pirâmide quadrangular; e assim por diante.

CILINDROS DE REVOLUÇÃO Cilindros de revolução são sólidos geométricos obtidos a partir da rotação completa de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados. Considere a figura abaixo, que mostra um cilindro circular reto, cujo raio da base mede R e a altura vale h.

PLANO CARTESIANO O plano cartesiano é formado por dois eixos coordenados, perpendiculares entre si. Cada dupla de números reais (x, y) representa um único ponto P do plano, conforme mostra a figura ao lado.

ESPAÇO CARTESIANO O espaço cartesiano é formado por três eixos coordenados, dois a dois perpendiculares entre si.

Cada tripla de números reais (x, y, z) representa um único ponto P do espaço, Conforme a figura a seguir.

VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Para calcular o volume de uma pirâmide, basta 1 calcular 3 do produto da área da base dessa pirâmide pela sua altura, ou seja, o volume V de uma pirâmide de altura h e área da base Ab é dado por: V

=

1 • 3

Ab • h

PIRÂMIDES REGULARES Uma pirâmide regular de base P é uma pirâmide em que P é um polígono regular e em que a projeção ortogonal do vértice, sobre o plano da base P, coincide com o centro de P. Nesse tipo de pirâmide, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A distância do vértice da pirâmide até a base de cada um desses triângulos isósceles é chamada de apótema da pirâmide. Na figura abaixo, temos um exemplo de uma pirâmide hexagonal regular, em que destacamos a altura h dessa pirâmide e um de seus apótemas de medida ab da base ABCDEF e um apótema de medida ap da pirâmide.

Do triângulo retângulo VOM, pelo teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

Em um cilindro: • a área de uma base é dada por π • R² • a área da superfície lateral é dada por 2 • π • R • h • o volume é dado por π • R² •h CONES DE REVOLUÇÃO Cones de revolução são sólidos geométricos obtidos por meio da rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos. Considere a figura ao lado, que mostra um cone circular reto, cujo raio da base mede R e a altura vale h.

Em um cone: • a medida da geratriz g é dada por g = R² + h²; • a área da base é dada por π • R²; • a área da superfície lateral é dada por π • R • g; • o volume é dado por 1 π • R² •h

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Sendo A e B dois pontos do plano tais que A(xA, yA) e B(xB, yB), então as coordenadas do ponto médio M do segmento AB são dadas por:

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO Sendo A e B dois pontos do plano tais que A(xA, yA) e B(xB, yB), e d a distância entre esses pontos, observe a figura ao lado.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: d² = (xB - xA)² + (yB - yA)²

3

ESFERAS DE REVOLUÇÃO São sólidos obtidos pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Observe:

(ap)² = (ab)² + h² MEDIDA DO APÓTEMA DO POLÍGONO

Considere um plano α, que intersecta uma esfera cujo centro pertence a um plano β, paralelo a α, conforme a figura a seguir.

COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA É o número real dado pela tangente da medida do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, no sentido anti-horário. A figura a seguir contém uma reta que passa pelos pontos A e B e também a medida u do ângulo formado pela reta e pelo eixo das abscissas.

Sendo m o valor do coeficiente angular dessa reta, temos:

EQUAÇÃO DE UMA RETA PARALELA A UM DOS EIXOS COORDENADOS Considere as retas r e s das figuras abaixo.

Se P é um ponto pertencente à circunferência obtida pela interseção da superfície esférica com o plano α, temos, no triângulo retângulo OO'P, que as medidas assinaladas satisfazem d² + r² = R² em que d representa a distância entre os planos α e β, r representa a medida do raio da circunferência cujo centro é O' e que passa por P, e R é a medida do raio da esfera. Além disso, em uma esfera: • a área da superfície é dada por 4 • π • R² • o volume é dado por 31 • π • R³ 04

Note que todos os pontos: • da reta r possuem o mesmo valor na abscissa: a Logo, a equação desta reta é x = a • da reta s possuem o mesmo valor na ordenada: b Logo, a equação desta reta é y = b

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EQUAÇÃO DE UMA RETA NÃO PARALELA AOS EIXOS COORDENADOS Considere uma reta r que passa por um ponto Q(x0, y0) e sejam (x, y) as coordenadas de um ponto qualquer desta reta (distinto de Q), conforme a figura a seguir.

Sendo m o valor do coeficiente angular desta reta, então sua equação é dada por: y - y0 = m • (x - x0)

Exemplo: A reta que passa pelo ponto (2, 5) e que forma um ângulo de medida 45° com o eixo das abscissas possui coeficiente angular igual a tg 45° = 1 e sua equação é dada por: y - 5 = 1 • (x - 2) → y - 5 = x - 2 → y = x + 3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS VERTICAIS OU HORIZONTAIS Duas retas verticais ou horizontais são sempre paralelas, como mostram as figuras a seguir:

DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS COPLANARES

RETAS CONCORRENTES Duas retas são concorrentes se, e somente se, α1 ≠ α2 Neste caso, temos mr ≠ ms

A distância entre duas retas coplanares é o comprimento do menor segmento cujas extremidades são um ponto de cada uma das retas. Se as duas retas são concorrentes, então a distância entre elas vale zero; caso elas sejam paralelas, note que todos os pontos de uma delas são equidistantes em relação à outra.

Ao observar a imagem, note que as retas se intersectam em um único ponto. As coordenadas deste ponto são obtidas por meio da solução do sistema formado pelas equações das retas.

Nesse caso, basta escolher um ponto qualquer de uma reta e calcular a distância deste ponto à outra reta.

RETAS PERPENDICULARES Duas retas concorrentes são perpendiculares se, e somente se, mr • ms = -1 No caso de uma das retas ser vertical, observe que a reta perpendicular a essa reta será, necessariamente, uma reta horizontal, cujo coeficiente angular vale zero.

FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Considere a circunferência representada na figura abaixo, cujo centro é o ponto C(a, b) e cujo raio mede r.

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA A distância de um ponto P a uma reta r é o comprimento do menor segmento cujas extremidades são o ponto P e um dos pontos da reta.

Se o ponto P pertence à reta, a distância é igual a zero; se P não pertence à reta, é o comprimento do segmento PC perpendicular à reta r, como ilustra a figura:

Sabendo que a distância do ponto P ao ponto C vale r, temos a equação: (x - 2)² + (y - b)² = r² FORMA GERAL DA EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Desenvolvendo e reorganizando os termos da forma reduzida da equação da circunferência, (x - 2)² + (y - b)² = r², chegamos à igualdade

Para os próximos itens, considere as equações de duas retas não verticais, r: y = mr • x + qr e s: y = ms • x + qs RETAS PARALELAS Duas retas são paralelas se, e somente se, α1 = α2 Neste caso, temos mr = ms Se qr ≠ qs, então as retas são ditas distintas; Se qr = qs então r e s são chamadas coincidentes.

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

Uma forma analítica de obter a distância de um ponto a uma reta: Considere o ponto P(xo, yo) e a reta r, de equação ax + by + c = 0. A distância d de P até r é dada por

Essa igualdade é chamada forma geral da equação da circunferência. Para obter a forma reduzida da equação da circunferência a partir da forma geral, devemos “completar os quadrados perfeitos”, ou seja, somar uma mesma quantidade aos dois membros da igualdade, a fim de que a expressão final possa ser escrita como uma soma de quadrados.

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exerCÍCioS 1

(Fuvest-SP) Os protozoários de água doce, em geral, possuem vacúolos pulsáteis, que se enchem de água e se esvaziam, eliminando água para o meio externo. Já os protozoários de água salgada raramente apresentam essas estruturas.

Explique: a) a razão da diferença entre protozoários de água doce e de água salgada, quanto à ocorrência dos vacúolos pulsáteis; a água doce é hipotônica em relação ao protozoário, havendo entrada constante de água por osmose. essa água se acumula no vacúolo pulsátil que, ao contrair-se, a elimina. Já os protozoários de água salgada são praticamente isotônicos em relação ao meio e não têm prob lemas de regulação hídrica.

b) o que deve ocorrer com um protozoário de água salgada, desprovido de vacúolo pulsátil, ao ser transferido para a água destilada.

(Uece) A Giardia intestinalis é um protozoário que pode parasitar o intestino delgado humano, podendo causar diarreia e má absorção intestinal. O parasita tem o formato de pera, com simetria bilateral, tem dois núcleos e é dotado de quatro pares de flagelos. De acordo com o sistema de classificação que leva em consideração os tipos de organelas locomotoras, este parasita encontra-se no grupo dos: a) esporozoários. b) mastigóforos. c) sarcodíneos. d) ciliados.

3

(Enem) O mapa mostra a área de ocorrência da malária no mundo. eNEm

2

FOnte: Oms 2004. Disponível em: <www.anvisa.gov.br>.

(51) 99378-2822

Como não possuem vacúolos pulsáteis, os protozoários de água salgada, colocados em água doce, ganhariam água por osmose e se romperiam.

Áreas onde ocorre transmissão de malária Áreas com risco limitado sem malária

Considerando-se sua distribuição na América do Sul, a malária pode ser classificada como: a) endemia, pois se concentra em uma área geográfica restrita desse continente. b) peste, já que ocorre nas regiões mais quentes do continente. c) epidemia, já que ocorre na maior parte do continente. d) surto, pois apresenta ocorrência em áreas pequenas. e) pandemia, pois ocorre em todo o continente.

ALFA 1

Biologia

– Setor 1403

181

05

EQUAÇÃO DE 2° GRAU - FÓRMULA RESOLUTIVA

FATOR COMUM: Sejam a, b e c números reais quaisquer, então: DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS:

Para obter o valor de f correspondente a um determinado valor de x, é necessária uma regra, conhecida como lei da função e representada por f(x). Exemplo: se f(x) 5 x² - 4x + 5, então, para x = 2, o valor correspondente de f é: f(2) = 2² - 4 • 2 + 5 ∴ f(2) = 1

INTERPRETAÇÃO DO SINAL DO DISCRIMINANTE

f(x) - REPRESENTAD0 EM TABELA OU GRÁFICO

Se Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Se Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.

Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.

É possível visualizar, simultaneamente, diversos pares de valores correspondentes (x,f(x)) através de tabelas ou gráficos.

Exemplo: Considere a lei f(x) = 2x - 5. A tabela e o gráfico a seguir mostram os pares de valores correspondentes para x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 e x = 4.

Sejam a e b números reais quaisquer, então: • TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Sejam a e b números reais quaisquer, então:

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO A solução de uma equação é o número que, ao substituir a incógnita, produz uma sentença verdadeira.

CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO

A NOTAÇÃO f(x)

As raízes reais da equação a • x² + b • x + c = 0 podem ser obtidas calculando -se, primeiramente, o discriminante Δ, dado por Δ = b² - 4ac.

Se Δ ≥ 0, temos:

FORMA FATORADA DE EXPRESSÕES DO TIPO a • x² + b • x + c Toda expressão do tipo a • x² + b • x + c pode ser fatorada como a • (x - m) • (x - n), sendo m e n as raízes da equação a • x² + b • x + c = 0.

RELAÇÕES DE GIRARD Soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau São relações entre os coeficientes a, b e c e as raízes m e n da equação a • x² + b • x + c = 0, dadas por:

EQUAÇÃO DO 1° GRAU

MODELAGEM ALGÉBRICA

Uma equação do 1o grau é qualquer equação na incógnita x, redutível à forma a • x = b, com a ≠ 0.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1° GRAU A resolução de uma equação do 1º grau consiste em somar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os membros da igualdade por uma mesma expressão (não nula no caso da divisão), até que a incógnita esteja isolada.

Abordagem do matemático George Pólya para a resolução de problemas matemáticos em quatro passos: 1º entenda o problema; 2º desenvolva uma estratégia; 3º execute sua estratégia; 4º revise a solução obtida.

Exemplos de expressões típicas e suas modelagens algébricas:

OPERAÇÕES COM DESIGUALDADES Sejam A, B e C números reais quaisquer e considerando, por exemplo, A > B, podemos: Somar C aos dois membros ou subtraí-lo de ambos os membros, mantendo-se o sentido da desigualdade.

multiplicar ou dividir por C > 0 ambos os membros, mantendo-se o sentido da desigualdade.

multiplicar ou dividir por C < 0 ambos os membros, invertendo-se o sentido da desigualdade.

INEQUAÇÃO DO 1° GRAU Uma inequação é do 1º grau quando é redutível a uma das formas a seguir, com a ≠ 0

Para resolver uma inequação do 1° grau, devemos aplicar as operações descritas acima, até que a incógnita seja isolada.

EQUAÇÃO DO 2° GRAU NA INCÓGNITA X É toda equação que pode ser escrita na forma a • x² + b • x + c = 0, sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0.

06

FUNÇÕES COMO RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS As funções são relações entre dois conjuntos. Um dos conjuntos, chamado domínio, contém os valores assumidos pela variável livre; o outro, chamado contradomínio, contém os valores que podem ser assumidos pela variável dependente.

Se denotarmos o domínio de uma função f por D e seu contradomínio por C, escrevemos:

f: D → C REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMAS n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 20

SITUAÇÕES CUJA MODELAGEM RECAI EM EQUAÇÕES DO 1° GRAU De modo geral, ocorrem em contextos envolvendo proporcionalidade entre as variações de grandezas. A expressão para cada e a preposição por são fortes indicadoras de contextos que envolvem proporcionalidade.

SITUAÇÕES CUJA MODELAGEM RECAI EM EQUAÇÕES DO 2° GRAU De modo geral, ao contrário do caso anterior, não há elementos textuais que indiquem claramente que a modelagem nos conduzirá a uma equação do 2° grau. Porém, é possível especificar dois contextos muito frequentes que podem gerar equações do 2° grau: • situações que envolvam áreas de superfícies; • situações que envolvam, em um ou mais passos da modelagem, contextos de proporcionalidade.

Representando uma função por meio de um diagrama, temos:

DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Se a função f não modelar uma situação física específica, o domínio D é o maior subconjunto de R tal que seus elementos satisfaçam todas as condições de existência da lei f(x). Quanto ao contradomínio C, se não houver informações adicionais, admitimos se tratar do conjunto R. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Nem toda relação entre dois conjuntos estabelece uma função. Para que isso ocorra, cada elemento do domínio deve corresponder a um único elemento do contradomínio. Essa regra permite, no entanto, que existam elementos no contradomínio que não correspondam a qualquer elemento do domínio.

VARIÁVEL INDEPENDENTE E DEPENDENTE Ao dizer que o valor f é uma função de x, estamos dizendo que o valor de f depende do valor de x.

Dessa forma, x é a variável independente (ou livre) e f, a variável dependente.

RAIZ (OU ZERO) FUNÇÃO A todo elemento do domínio que tiver imagem nula, chamamos de raiz (ou zero) da função; ou seja, todo valor de x tal que f(x) = 0.

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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO: O gráfico de uma função de lei f(x) é o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, f(x)), sendo que x pode assumir qualquer valor do domínio.

O domínio e o conjunto imagem de uma função podem ser obtidos diretamente a partir do esboço do seu gráfico: o domínio é dado pela projeção ortogonal dos pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas, ao passo que o conjunto imagem é dado pela projeção ortogonal sobre o eixo das ordenadas. Observe na figura ao lado um exemplo do que foi dito.

O gráfico a seguir representa uma função constante f: R → R cuja lei é f(x) = c.

Observe que o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas, caso o domínio seja o conjunto R. Nesse caso, a imagem deste tipo de função é dada por Im = {c}. Se a taxa de variação for constante, porém não nula, a função é dita afim ou polinomial de grau 1, cuja lei é dada por f(x) = ax + b, na qual o coeficiente a (a ≠ 0) representa a taxa de variação e o coeficiente b, o valor da função para x = 0. O gráfico de uma função afim f, f: R → R, é dado por uma reta não paralela a qualquer um dos eixos coordenados. A função é crescente caso a > 0 ou decrescente se a < 0.

TAXA DE VARIAÇÃO

MODELAGEM ALGÉBRIGA POR MEIO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA A função quadrática desempenha um importante papel na modelagem algébrica de problemas, por representar uma relação em que a variável dependente assume um valor máximo ou mínimo, dependendo da concavidade da parábola dada pelo gráfico da função. Ao contrário da função afim, não há elementos textuais do enunciado de um problema que deixem claro que a modelagem será feita através de uma função quadrática; em vez disso, ela surge naturalmente de contextos que exigem a multiplicação de funções afins, sendo que estas últimas são rapidamente identificáveis no enunciado.

VALORES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA No caso de uma função quadrática de domínio R e lei f(x) = ax² + bx + c, o gráfico é uma parábola cuja concavidade depende do valor de a. Sabe-se que, se a > 0, a concavidade é voltada para cima e a função atinge um valor mínimo; se a < 0, a concavidade é voltada para baixo e a função atinge um valor máximo. Veja as figuras:

A taxa de variação de uma função f em um intervalo [x1, x2] do seu domínio é dada por

Essa taxa mede, de maneira informal, a “rapidez” com que uma função varia. Graficamente, essa taxa pode ser calculada pela tangente da medida do ângulo α formado pela reta que passa pelos pontos (x1, f(x1)) e pelo eixo das abscissas, como indicado na figura a seguir.

A partir de agora, ao indicar a tangente de um ângulo, estamos nos referindo à tangente da medida desse ângulo.

A FUNÇÃO AFIM NA MODELAGEM ALGÉBRICA As funções afins são muito importantes na modelagem algébrica de problemas por relacionarem grandezas cujas variações são proporcionais, o que pode ser constatado por expressões do tipo “para cada” ou outras análogas.

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA Chamamos de função quadrática a função f: R → R cuja lei é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c Є R e a ≠ 0. Funções desse tipo também são chamadas de funções polinomiais do 2° grau ou, simplesmente, funções do 2° grau.

ELEMENTOS DO GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Analisando o gráfico, temos que o estudo do sinal de f é dado por:

CRESCIMENTO E DESCRESCIMENTO DE FUNÇÃO

Uma função f é estritamente crescente se, em qualquer intervalo [x1, x2] de seu domínio, sua taxa de variação for positiva; analogamente, f é estritamente decrescente se, em qualquer intervalo [x1, x2] de seu domínio, sua taxa de variação for negativa. Veja, a seguir, um exemplo de função estritamente crescente (Figura 1) e outro de função estritamente decrescente (Figura 2):

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO Estudar o sinal de uma função f significa determinar os valores de x para os quais sua lei f(x) assume valores positivos, negativos ou nulos.

Por exemplo, seja f uma função de domínio R com o gráfico dado pela figura a seguir:

RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAU PELO ESTUDO DO SINAL A interseção com o eixo das ordenadas é dada pelo ponto (0, f(0)). As abscissas das interseções com o eixo das abscissas (caso existam) são obtidas resolvendo a equação f(x) = 0.

CONCAVIDADE DO GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Se uma inequação é dada por f(x) >0 ou f(x) < 0, uma possível estratégia para resolvê -la é esboçar o gráfico da função e estudar seu sinal.

Por ora, isso só será possível se f(x) for a lei de uma função afim ou quadrática. Por exemplo, para resolver em R a inequação x² - x - 6 > 0, basta fazer um esboço simplificado do gráfico da função de lei f(x) = x² - x - 6:

A concavidade da parábola é determinada pelo coeficiente dominante a, conforme a figura a seguir: FUNÇÕES CONSTANTE E AFIM

Se uma função tem taxa de variação constante em qualquer intervalo de seu domínio, seu gráfico é composto por pontos de uma mesma reta. Em particular, se a taxa for constantemente nula, a função é dita constante ou polinomial de grau nulo, e sua lei é expressa por f(x) = c, sendo c uma constante real.

Como f(x) > 0 se x < -2 ou se x > 3, o conjunto solução da inequação é

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INEQUAÇÕES DADAS PELO PRODUTO OU QUOCIENTE DE EXPRESSÕES POLINOMIAIS f(x) • g(x)

Considere uma inequação do tipo h(x) >0 a ser resolvida em R, na qual as leis f(x), g(x) e h(x) são expressões polinomiais.

Para resolvê -la, basta estudar, individualmente, o sinal das funções f, g e h e, em seguida, determinar o sinal de f(x) • g(x) h(x) pela regra de sinais da multiplicação e da divisão,tomando o cuidado de excluir do conjunto solução todas as raízes da função h. Por exemplo, considere a inequação (x - 1) • (4 - x) (x + 3)

SENO E COSSENO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO

Dado um arco trigonométrico de medida α, definimos seu cosseno e seu seno, respectivamente, como sendo a abscissa e a ordenada do ponto P, imagem de α. Ou seja, as coordenadas de P são (cos α, sen α), como mostra a figura a seguir para um arco de medida

0<α<

π 2

≤0

a ser resolvida em R. Como as expressões (x - 1), (4 - x) e (x + 3) são polinomiais do 1° grau, podemos estudar o sinal de cada uma pelo esboço simplificado de cada gráfico.

RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

sen² x + cos² x = 1

Assim, o conjunto solução é

Exemplo de aplicação dessa relação: resolver, no intervalo [0, 2π], a equação cos² x = 1 - sen² x E, substituindo na equação dada, temos: sen x = 2 • (1 - sen² x) - 1 ∴ 2 • sen² x + sen x - 1 = 0 Fazendo t = sen x, obtemos uma equação do 2° grau na incógnita t: 2t² + t - 1 = 0 1 ∴ t = 2 ou t = -1 Ou seja, devemos determinar os valores de + 1 x Є [0, 2π], tais que: sen x = 2 sen x = -1 Na primeira igualdade, temos x = π6 ou x = 5π 6 Assim, o conjunto solução é SENO DA SOMA E DA DIFERENÇA ENTRE ARCOS TRIGONOMÉTRICOS

ARCOS TRIGONOMÉTRICOS Considere uma circunferência de raio unitário, centrada na origem do plano cartesiano, a qual chamaremos de circunferência trigonométrica.

Denominamos por arco trigonométrico qualquer arco AP dessa circunferência com extremidades nos pontos A(1, 0) e P. Como o raio é unitário, o comprimento desse arco tem o mesmo valor numérico que sua medida α. O ponto P é conhecido como imagem do arco trigonométrico.

Se o ponto P for obtido partindo -se do ponto A e percorrendo -se a circunferência no sentido anti-horário, então a medida a é positiva; se P for obtido percorrendo -se a circunferência no sentido horário, a medida a é negativa.

Se 0 ≤ a < 2π, dizemos que a é um arco do primeiro ciclo trigonométrico (ou primeira volta) e também que é a primeira determinação positiva (ou determinação principal) do ponto P. ARCOS TRIGONOMÉTRICOS CORRESPONDENTES Aqueles com imagens nos vértices de um retângulo inscrito na circunferência trigonométrica e com um par de lados paralelos a um dos eixos coordenados, conforme a figura.

Se o arco de medida π 0<α< 2 tem imagem no ponto P do 1o quadrante, então os arcos com imagens nos pontos Q, R e S têm, respectivamente, medidas (π - α), (π + α) e (2π - α)

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A operação de logaritmação é inversa à operação de potenciação, de modo que, dados a base a e o resultado b de uma potência a , é possível determinar o expoente c.

Assim, se a c = b b, com a, b ∈ R*+ e a ≠ 1, dizemos que c é o logaritmo de b na base a e denotamos por: c = loga b Nessa notação, dizemos que a é a base do logaritmo e b, seu logaritmando. Assim, a expressão log3 9, por exemplo, pode ser interpretada como o expoente de uma potência de base 3, que resulta em 9. Ou seja, log2 9 = 2 já que 3² = 9.

CONDIÇÕES DE EXIXTÊNCIA DO LOGARITMO

Para qualquer arco trigonométrico real de medida x, vale a igualdade:

Resumindo o estudo em um quadro, temos:

DEIFINIÇÃO DE LOGARITMO

Assim como as operações de radiciação e divisão, a logaritmação também só pode ser efetuada sob determinadas condições. Para que possamos definir loga b, com a, b ∈ R, é necessário que: • a > 0 e a ≠ 1 (condição de existência quanto à base); • b > 0 (condição de existência quanto ao logaritmando).

BASES NOTÁVEIS Historicamente, algumas bases dos logaritmos tiveram mais importância que outras, ganhando notação própria. As duas principais são a base 10 (logaritmos decimais) e a base e (logaritmos naturais, sendo e um número irracional conhecido como número de Euler, de valor aproximadamente igual a 2,7). No caso da base 10, ela é simplesmente omitida. Assim, as expressões log x e log10 x são equivalentes. Exemplos: log 1000 = 3 (já que 10³ = 1000) log 1 = 0 (já que 10 = 1) No caso da base e, escrevemos ln x = loge x.

Exemplos:

UMA CONSEQUÊNCIA DIRETA DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO COSENO DA SOMA E DA DIFERENÇA ENTRE ARCOS TRIGONOMÉTRICOS

Se a, b Є R*, + com a ≠ 1, temos: LOGARITMO DO PRODUTO, DO QUOCIENTE E DA POTÊNCIA

SENO E COSENO DO DOBRO DE UM ARCO TRIGONOMÉTRICO

Se a, b,c Є R*, + com c ≠ 1, temos: Se a, b,c Є R*, com b ≠ 1, e c Є R temos:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Toda equação da forma ax = b, com a ≠ 0 e a ≠ 1, é conhecida como equação exponencial.

Considerando apenas os casos em que a > 0, se tivermos b ≤ 0, seu conjunto solução será ∅; se b > 0 e se b for expresso na forma a k , com k Є R, teremos: ax = a k A única solução dessa equação é x = k.

FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial é a função f de domínio R cuja lei é: f(x) = a x com a > 0 e a ≠ 1.

Dependendo do valor de a, essa função pode ser crescente ou decrescente, como mostram os esboços dos gráficos a seguir.

MODELO EXPONENCIAL Situações em que determinada grandeza varia a uma taxa percentual constante por período conduzem a modelos exponenciais, ou seja, podem ser modeladas por meio de funções exponenciais. Como exemplo, considere que um apartamento, cujo valor de mercado no início de 2018 era de R$ 150 000,00, valorize cerca de 5% ao ano. Podemos modelar a evolução do seu preço P, em reais, em função do tempo t decorrido, em anos, desde o início de 2018 por meio de uma função exponencial: P(t) = 150000 1,05 t EQUAÇÃO LOGARÍTMICA É toda equação na incógnita real x dada por loga x = b, com a Є R*+ e a ≠ 1. Para satisfazer as condições de existência decorre da definição de logaritmo: se loga x = b, então: x = a b No caso particular em que b está escrito como um logaritmo de c na base a, ou seja, b = loga c, com+ c Є R* ,temos: loga x = loga c A única solução dessa equação (desde que satisfaça as condições de existência) é: x = c

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LOGARITMOS NO MODELO EXPONENCIAL Em modelos exponenciais é comum depararmos com equações exponenciais, que podem exigir o conceito de logaritmo na resolução.

Por exemplo, se um valor V for aplicado a uma taxa mensal de 10% ao ano, após t anos o montante será expresso por V • 1,1t .

Após quanto tempo o valor inicial dobrará? Para responder a essa pergunta, devemos resolver a seguinte equação:

DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Se p(x) é um polinômio na variável x, com x Є C, então p(x) pode ser expresso por:

com n Є N e an ≠ 0. Os termos a0, a1, ..., an-1, an são números complexos chamados de coeficientes, sendo a0 o termo independente e an, o coeficiente dominante. O grau de p(x), denotado por gr(p), é o valor de n.

RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO Raiz (ou zero) de um polinômio p(x) é todo valor

Para resolver essa equação exponencial, podemos aplicar a definição de logaritmo:

r Є C tal que

p(r) = 0

IDENTIDADE DE POLINÔMIOS Dizemos que dois polinômios p(x) e q(x) são

O valor decimal dessa expressão pode ser obtido, por exemplo, se soubermos os valores de log 2 (aproximadamente 0,3) e log 11 (aproximadamente 1,04). Veja:

Ou seja, após cerca de 7 anos e meio, o valor aplicado terá dobrado.

UNIDADE IMAGINÁRIA

idênticos e denotamos por p(x) = q(x) se, para todo valor de x, tivermos p(x) 5 q(x).

Para que isso ocorra, é necessário que ambos tenham o mesmo grau n. Além disso, se escrevermos:

então os coeficientes correspondentes devem ter o mesmo valor, ou seja:

DIVISÃO DOS POLINÔMIOS

É um número não pertencente ao conjunto dos reais e denotado por i, com a propriedade:

i² = -1 NÚMERO COMPLEXO É todo número da forma z = a = b • i, sendo i a unidade imaginária e a e b números reais quaisquer. Em particular, se: • b = 0, z é um número real; • b ≠ 0, z é um número imaginário; • b ≠ 0 e a = 0, z é um número imaginário puro.

A representação z = a + b • i é conhecida como forma algébrica do complexo z. O valor de a é a parte real do número complexo z e o valor de b, a parte imaginária. De maneira simbólica, podemos escrever: a = Re(z) b = Im(z)

Dividir um polinômio p(x) de grau n por um polinômio d(x) de grau m ≤ n significa obter os polinômios q(x) e r(x), respectivamente o quociente e o resto da divisão, tais que p(x) ≡ q(x) • d(x) + r(x), e o grau de r(x) deve ser inferior ao grau de d(x), isto é, gr(r) < gr(d), ou r(x) é o polinômio nulo, caso em que dizemos que p(x) é divisível por d(x).

ALGORITMO DE CHAVE - BRIOT-RUFFINI É um método que permite obter o quociente e o resto da divisão de polinômios de graus arbitrários.

Veja, como exemplo, a divisão do polinômio p(x) = 22x³ + x² - x + 7 por d(x) = x² + 1:

sendo a constante a o coeficiente dominante de p(x).

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Ao fatorar p(x) da forma descrita no item anterior, é possível que alguns dos fatores do 1o grau se repitam. Nesse caso, o número de vezes que cada termo ocorre é a multiplicidade da raiz daquele termo.Por exemplo, se p(x) = 5• (x + 1)³ • (x - 2) • (x + 5)², então as raízes de p(x) são: • -1, de multiplicidade 3 (raiz tripla); • 2, de multiplicidade 1 (raiz simples); • -5, de multiplicidade 2 (raiz dupla).

Contadas as multiplicidades das raízes, temos que p(x) tem 6 raízes complexas e, portanto, é um polinômio do 6° grau.

RAÍZES IMAGINÁRIAS CONJUGADAS Se r é uma raiz imaginária de um polinômio de coeficientes reais, então seu conjugado r também é uma raiz desse polinômio. Por exemplo, sabendo que p(x) = x³ - 5x² + 9x - 5 tem o número imaginário (2 + i) como uma de suas raízes, podese afirmar que o imaginário (2 - i) também é uma raiz de p(x), já que seus coeficientes (1, -5, 9 e -5) são todos reais. Se houver, pelo menos, um coeficiente imaginário no polinômio, não se pode esperar que isso ocorra. Por exemplo, as raízes do polinômio p(x) = x² - 4ix - 3, que tem um coeficiente imaginário (-4i), são i e 3i, que não são imaginários conjugados.

POLINÔMIO DO 2° GRAU Sendo x1 e x2 as raízes do polinômio ax² + bx + c, temos:

POLINÔMIO DO 3° GRAU Sendo x1, x2 e x3 as raízes do polinômio ax³ + bx² + cx + d, temos:

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS É o conjunto denotado por C, que reúne todos os números da forma z = a + b • i, com a, b Є R. Sabendo que, se b = 0, então z é um número real.

Podemos concluir que o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais, como ilustrado no diagrama ao lado.

Todo polinômio p(x) de grau n ≥ 1 tem, pelo menos, uma raiz complexa. Com esse teorema e o conceito de divisão de polinômios, é possível provar que: • p(x) possui n raízes complexas r1, r2, ..., rn, não necessariamente distintas; • p(x) pode ser escrito como um produto entre uma constante a e n fatores do 1° grau: p(x) ≡ a • (x - r1) • (x - r2) • (x - r3) •...• (x - rn)

Assim, o resto da divisão é r(x) = x 1 6, e o quociente, q(x) = -2x + 1.

ALGORITMO DE CHAVE Trata-se de uma versão abreviada do algoritmo da chave para um caso particular de divisor: aquele da forma d(x) = x - k, ou seja, do 1° grau e com coeficiente dominante igual a 1. Nesse caso, o grau do quociente é uma unidade menor que o do polinômio que está sendo dividido por d(x) e o resto é de grau nulo, ou seja, um número R. Veja, como exemplo, a divisão do polinômio p(x) = -3x³ - 2x² + 4x - 1 por d(x) = x + 2:

POLINÔMIO DO 3° GRAU Sendo x1, x2, x3 e x4 as raízes do polinômio ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, temos:

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Se z é o número complexo cuja representação algébrica é dada por z = a + b • i, com a, b Є R, então seu conjugado, denotado por z, é o número complexo dado por:

z=a-b•i ANGLO VESTIBULARES - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - ESPECIALISTA EM ENEM

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AUMENTOS PERCENTUAIS

RAZÃO É a divisão entre dois números. A razão entre a e a b (b ≠ 0) é dada por b

Para aumentar uma quantidade em p%, calcula-se (100 + p)% dessa quantidade, multiplicando-a por

(1 + ( Por exemplo: p

PROPORÇÃO a

c

É uma igualdade de razões. Se as razões e b d formam uma proporção, temos: a = c b

d

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS São grandezas tais que a razão entre seus valores sempre resulta em uma constante, conhecida como constante de proporcionalidade. Na tabela temos um exemplo em que as grandezas A e B são diretamente proporcionais.

A B

=

1 4

= constante

100 • para aumentar uma quantidade em 25%, multiplica -se essa quantidade por 1,25; • para aumentar uma quantidade em 43%, multiplica -se essa quantidade por 1,43.

DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS Para diminuir uma quantidade em p%, calcula-se (100 - p)% dessa quantidade, multiplicando-a por

(1 - ( Por exemplo: p

100 • para diminuir uma quantidade em 25%, multiplica -se essa quantidade por 0,75; • para diminuir uma quantidade em 43%, multiplica -se essa quantidade por 0,57.

VARIAÇÕES PERCENTUAIS SUCESSIVAS

REGRA DE TRÊS É um método prático aplicável somente na seguinte situação: se duas grandezas A e B são proporcionais e conhecemos um par de valores correspondentes dessas grandezas, conhecido um outro valor de A (ou B), podemos determinar o valor correspondente de B (ou A).

Exemplo: Considere X e Y duas grandezas diretamente proporcionais, sendo que, quando o valor da grandeza X é 2, o valor da grandeza Y é 5. Então, quando a grandeza X assumir o valor 16, podemos descobrir o correspondente valor y da grandeza Y por:

ESCALA É a razão formada entre uma medida da representação ampliada ou reduzida de um objeto e a medida correspondente do objeto real.

Assim, uma escala 1 : 20 (escala de redução) indica que as medidas do objeto real são 20 vezes as medidas correspondentes na representação.

Por outro lado, uma escala 20 : 1 (escala de ampliação) indica que as medidas da representação são 20 vezes as medidas correspondentes do objeto real.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS São grandezas tais que o produto entre seus valores sempre resulta em uma constante, conhecida como constante de proporcionalidade.

Na tabela a seguir, temos um exemplo em que as grandezas A e B são inversamente proporcionais.

A • B = 24 = constante

Para realizar sucessivas variações percentuais, multiplicam -se os fatores das variações percentuais correspondentes. Por exemplo: • para aumentar uma quantidade em 30% e, em seguida, aumentar esta quantidade obtida em 40%, multiplica -se a quantidade inicial por 1,30 • 1,40 = 1,82; • para diminuir uma quantidade em 30% e, em seguida, aumentar esta quantidade obtida em 40%, multiplica -se a quantidade inicial por 0,70 • 1,40 = 0,98; SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Sequências numéricas são funções que associam a cada número natural um número real. As imagens dessa função são chamadas termos da sequência, e denotamos por a1 o primeiro termo, por a2 o segundo termo, por a3 o terceiro termo, e assim por diante.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. A.) É uma sequência numérica em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante. Essa constante é chamada de razão r da P.A. Em símbolos, temos an - an - 1 = r, para n > 1.

100

100

SÍMBOLO QUE EXPRESSA PORCENTAGEM Toda fração da forma

p pode ser expressa por p%.

100

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Se A é p% de B, então

10

A B

e

p .

100

a an - 1

=q

• se q > 1, dizemos que a P.G. é crescente; • se q = 1, dizemos que a P.G. é constante; • se 0 < q < 1, dizemos que a P.G. é decrescente; • se q < 0, dizemos que a P.G. é alternada.

TERMO GERAL DA P.G. Dados o primeiro termo da P.G. e sua razão q, é possível determinar um termo an qualquer, pois:

Na verdade, dados um termo ap da P.G. e sua razão q, é possível determinar um termo an qualquer, pois: PROPRIEDADE Para quaisquer três termos (a, b, c) consecutivos de uma P.G., vale: NOTAÇÕES PARTICULARES - P.G. Em alguns casos, pode ser interessante representar:

PROPRIEDADE DE UMA P. A. Para quaisquer três termos a, b e c consecutivos de uma P.A., vale:

a+c 2

Em alguns casos, pode ser interessante representar: P.A. com 3 termos: (x - r, x, x + r) P.A. com 4 termos: (x - 3a, x - a, x + a, x + 3a) P.A. com 5 termos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r) OBS: Numa P.A. com 4 termos, ao usarmos a notação (x - 3a, x - a, x + a, x + 3a), a razão r dessa P.A. é dada por r = 2a.

TERMO CENTRAL DE UMA P. A.

PORCENTAGEM COMO RAZÃO ENTRE PARTE E TODO

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É uma sequência em que a razão entre quaisquer dois termos consecutivos (desde que os termos não sejam nulos) é constante. Essa constante é chamada de razão (q) da progressão geométrica (P.G.). Em símbolos, temos n

Na verdade, dados um termo ap da P.A. e sua razão r, é possível determinar um termo an qualquer pela relação:

NOTAÇÕES PARTICULARES - P.A.

PORCENTAGEM

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. A soma de n termos de uma P.A. é dada pelo produto do termo central pela quantidade de termos a serem somados, ou seja:

TERMO GERAL DA P. A. Dados o primeiro termo da P.A. e sua razão r, é possível determinar um termo an qualquer da seguinte forma:

b=

É uma razão com denominador 100.

Por exemplo, 20 e 0,32 são porcentagens.

• se n for um número ímpar ou a razão da P.A. for nula, então o termo central será um termo da sequência; • se n for um número par e a razão da P.A. não for nula, então o termo central nunca será um termo da sequência; • para qualquer valor de n, sendo ak e ap termos equidistantes dos extremos da P.A., temos que

Numa P.A. com n termos, o termo central é o número dado por: 1 n

a +a 2

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. A s oma dos n primeiros termos de uma P.G. de razão q é dada por:

CASO PARTICULAR: SOMA DOS TERMOS DA P.G. As progressões geométricas cujas razões são números compreendidos entre -1 e 1 possuem uma característica particular: à medida que somamos seus termos, o valor da soma tende a se estabilizar em um determinado número.

Esse número é chamado de limite da soma e é dado por:

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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

FENÔMENOS ALEATÓRIOS São fenômenos cujos resultados não podem ser determinados previamente. Por exemplo, ao se realizar uma aposta, é incerto que se ganhe (ou que se perca). Ao retirarmos uma carta de um baralho, não podemos determinar, com certeza, qual será essa carta.

ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto que reúne todos os resultados possíveis de serem obtidos a partir de um fenômeno aleatório. Por exemplo, ao lançarmos um dado e uma moeda, não viciados, simultaneamente, e observarmos, em ambos, a face voltada para cima, o espaço amostral pode ser representado por: E = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara); (1, coroa); (2, coroa); (3, coroa); (4, coroa); (5, coroa); (6, coroa)} ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL Todo espaço amostral em que seus resultados são igualmente prováveis de ocorrer é chamado de espaço amostral equiprovável. Por exemplo, ao lançarmos uma moeda diversas vezes, pode ser razoável esperar que o número de vezes em que a face voltada para cima é “cara” seja igual ao número de vezes em que a face voltada para cima é “coroa”.

O mesmo já não ocorre ao se arremessar dardos num alvo: se você arremessar diversas vezes um dardo num alvo, muito raramente a quantidade de vezes em que você acertará o alvo será igual à quantidade de vezes em que você errará o alvo.

EVENTO É um subconjunto do espaço amostral, que contém todos os resultados que são favoráveis a uma determinada situação. Por exemplo, no lançamento de um dado e de uma moeda simultaneamente, o evento “sair uma face par no dado e cara na moeda” pode ser representado por: {(2, cara); (4, cara); (6, cara)} Note que qualquer evento é um subconjunto do espaço amostral.

COMPETÊNCIAS DA PROVA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

7 - Compreender o caráter aleatório e nãodeterminístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

São eventos tais que a intersecção é vazia, ou seja, A ∩ B = ∅ Nesse caso, temos p(A ∩ B) = 0, e, então, a probabilidade de A ∪ B satisfaz a igualdade: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) PROBABILIDADE DE OCORÊNCIA DE UM EVENTO

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES A probabilidade da intersecção de dois eventos é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade da ocorrência do outro, dado que o primeiro evento já ocorreu. Sendo A e B os dois eventos, temos: p(A ∪ B) = p(B) • p(A | B) EVENTOS INDEPENDENTES

Num espaço amostral equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um evento é a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. número de elementos de um evento X p(x) = número de elementos do espaço amostral

São eventos tais que p(A | B) = p(A). Note que, nestes casos, devemos ter: p(A ∪ B) = p(B) • p(A)

Por exemplo, no lançamento de um dado e de uma moeda simultaneamente, o evento “sair uma face par no dado e cara na moeda” tem probabilidade 3 .

É o número x dado por

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EVENTOS COMPLEMENTARES

São eventos cuja intersecção é vazia e a união é todo o espaço amostral. Nesse caso, a soma das probabilidades de sua ocorrência é igual a 1.

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES

Em uma situação que envolva a ocorrência de um evento A ou a ocorrência de um evento B, ou seja, A ∪ B, podemos nos valer de duas estratégias: I. Representar cada evento por um diagrama, associando uma probabilidade a cada região delimitada pelos círculos.

II. Calcular a probabilidade da ocorrência do evento A < B pela diferença entre a soma das probabilidades de ocorrência e a probabilidade de ocorrer a intersecção desses eventos.

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)

OBJETIVOS DE CONHECIMENTO ASSOCIADOS ÀS MATRIZES DE REFERÊNCIA DA PROVA DO ENEM

Para as definições a seguir, considere os n valores x1, x2, ..., xn.

MÉDIA ARITMÉTICA

ROL E FREQUÊNCIA DE UM ELEMENTO O rol é uma sequência obtida a partir dos valores dados, ordenando-os de forma crescente ou decrescente. A frequência de um elemento no rol é a quantidade de vezes que esse elemento aparece.

MODA É o valor que possui a maior frequência, ou seja, é o valor que aparece uma quantidade maior de vezes, em relação aos demais.

VARIÂNCIA É o número o², obtido pela média dos quadrados das diferenças entre os valores do rol e a média aritmética desses valores, ou seja:

DESVIO PADRÃO Para uma melhor interpretação para a proximidade dos valores em relação à média, foi definido o desvio padrão, obtido pela raiz quadrada da variância.

Assim, temos desvio padrão = variância

ALGUNS DOS CONTEÚDOS MAIS COBRADOS

CONHECIMENTOS NUMÉRICOS Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS

Características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

CONHECIMENTOS DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções.

CONHECIMENTOS ALGÉBRICOS/GEOMÉTRICOS Plano cartesiano; retas; circunferências; sistemas de equações; paralelismo e perpendicularidade.

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