Il Diagramma di Argilla: Alba del pensiero scientifico by annarita

IL DIAGRAMMA DI ARGILLA L’ALBA DEL PENSIERO SCIENTIFICO Aldo Bonet

IL DIAGRAMMA DI ARGILLA: L’ALBA DEL PENSIERO SCIENTIFICO Aldo Bonet 1 …”E (gli uomini) dissero l’uno all’altro: ‹‹ Orsù, facciamo dei mattoni e cociamoli col fuoco! ›› E si valsero di mattoni invece di pietre, e di bitume invece di calcina. …ora nulla li impedirà di condurre a termine ciò che disegnano di fare.” (Genesi: 11, 3…6)

With this article, I intend to run over a hypothetical, historical – interpretative itinerary of the clay diagram, which was fundamental, in my opinion, for the inception of pre-scientific, algebraicgeometric thought as well as for mesopotamic man’s emergence from protohistory. This was furthermore fundamental to the symbiotic interactive peculiarity with human being, ensuring his evolution, with concomitant that one of mathematics and of scientific thought. 1. Introduzione. 1.1 Nascita del pensiero prescientifico. Col presente articolo, intendo percorrere un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma di argilla, che, a mio parere, fu fondamentale per la nascita del pensiero algebrico-geometrico prescientifco ed anche per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria. Questo, inoltre, fu fondamentale per la peculiarità simbiotica interattiva con l’uomo, garantendo la sua evoluzione insieme con quella concomitante della matematica e del pensiero scientifico. Secondo la mia ipotesi, il diagramma di argilla a modulo quadrato fu una formidabile, inattesa e versatile macchina matematica scaturita da un’arcaica arte edile costruttiva mediante mattoni pieni standardizzati che ha creato il primordiale pensiero scientifico. 1.2 Il diagramma di argilla dentro le grandi civiltà potamiche ( dei grandi fiumi ). A mio parere, questo simmetrico diagramma di argilla a modulo quadrato, fu scoperto dagli antichi artigiani-costruttori Sumeri e utilizzato anche dalle altre civiltà potamiche orientali: Egizi, Cinesi, Indiani, come versatile e formidabile macchina algebrico-geometrica che consentiva in modo semplice, così come ho dimostrato con le mie pubblicazioni, di arrivare tramite un artigianale algoritmo visivo, alle soluzioni dei loro numerosi problemi algebrici rinvenuti, di visualizzare regole o identità algebriche notevoli da loro già conosciute e di imbastire artigianalmente altre importanti scoperte matematiche compiute dalle citate civiltà potamiche ma sempre, ancorate a quest’unico strumento matematico di base, utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico.2a Questa semplice macchina matematica fu trasferita stabilmente dentro le rinomate scuole degli antichi scribi delle civiltà potamiche per migliaia di anni, conservando nel tempo e nella memoria la sua centrale e fedele utilità didattica operativa algebrico-geometrica, tramite una tecnica edileartigianale a secco, fatta con una tassellatura componibile in forma tridimensionale mediante mattoni o mattoncini (laterizi con spessore) impilabili a incastro o a mosaico. Poteva essere suddivisa, conformemente al suo utilizzo algebrico, in quattro parti uguali mediante due cordicelle sovrapponibili e forse, evocava allo scriba uno spirito familiare con i giochi da tavolo dell’epoca. 2b 1

Ricercatore autodidatta e studioso di storia della matematica delle civiltà arcaiche. aldo@storiadellamatematica.it Gioco reale di Ur: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur 2b Giochi arcaici http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm 2a

1.3 Il diagramma di argilla entra nell’Ellade e negli Elementi di Euclide. Il diagramma di argilla, sempre secondo la mia ipotesi, fu importato nell’Ellade grazie ai primi pionieri ellenici; tra questi, ci fu Pitagora di Samo. Le scuole pitagoriche, probabilmente smontarono e trasferirono il diagramma, dalla sua originaria forma tridimensionale in mattoni, dentro una configurazione rievocativa bidimensionale rigida per poterlo adattare, tramite l’uso di riga e compasso, al più “moderno” papiro introdotto dall’Egitto nell’Ellade intorno al VI secolo a.C. attraverso il porto fenicio di Gubal, in greco Byblos, diffusosi poi rapidamente in tutto il mondo classico. 3 Si può ancor oggi intravvederlo, in tutta la sua efficacia algebrica, a iniziare dai primi due libri degli ‹‹Elementi›› di Euclide attraverso le sue note proposizioni che sono abbinate a rigide costruzioni geometriche e presentate graficamente mediante «linee e superfici bidimensionali senza parti né alcuno spessore» così volutamente definite nel Libro I, Def.1-7. La tecnica empirico-deduttiva di base del diagramma di argilla, riecheggia con le cinque Nozioni Comuni, anch’esse non a caso presenti ed elencate nel Libro I. 3 1.4 Il diagramma perdurò nelle Domus romane e presso gli ultimi seguaci musulmani. Il diagramma di argilla adornò sicuramente diverse Domus dell’impero romano ma fu carpito, alle conquistate civiltà talassiche e potamiche, solo come figura modulare geometrica decorativa per mosaici. Arrivò, attraverso le correnti persiane e indo-arabe, fino all’estreme coste occidentali del Mediterraneo.4a Questi invece, contrariamente ai romani, lo utilizzarono perlopiù nella sua funzione matematica originale: quella modulare o algebrico-geometrica risolvente. Il diagramma di argilla, nell’arte islamica, fu inserito inoltre come figura modulare per ornamento d’interni attraverso la geometria pratica degli artigiani e così, perdurò nell’arte decorativa dell’ultima roccaforte matematica dell’antico mondo islamico: l’Alhambra di Granada. Nell’Europa medievale invece, il diagramma di argilla rientrò attraverso i testi greci e indo-arabi importati soprattutto grazie a Leonardo Pisano (1170-1240), diffusi in seguito da molti altri matematici, che svilupparono l’algebra del Rinascimento 4b. L’arcaico diagramma di argilla fu però sconosciuto ai matematici dell’Europa medievale, in quanto, negli antichi testi importati, si ritrovò già mascherato sia dentro un calcolo e un simbolismo algebrico più evoluto, sia dentro procedimenti algebrico-geometrici più raffinati a seguito dell’evoluzione matematica prodottasi nel corso dei millenni storici. Fu questo il motivo per il quale, i nostri matematici rinascimentali furono assolutamente ignari dell’esistenza di quest’arcaico paradigma in mattoni e progenitore degli antichi problemi algebrici. Difatti, si può ancor oggi osservare che, sia le proposizioni, sia i diagrammi, sia lo svolgimento di problemi algebrici contenuti ad esempio: nell’‹‹Aritmetica›› di Diofanto (III sec.d.C.) o quelli algebrico-geometrici nell’‹‹Algebra›› di al Khuwarizmi (780-850 d.C.) o negli ‹‹Elementi›› di Euclide (circa III a.C.), non presentano esplicitamente questo particolare e basilare diagramma di argilla a modulo quadrato. Ciò non di meno, vi si possono far risalire, sia alcune proposizioni e sia le nozioni euclidee, sia alcuni problemi algebrici diofantei descritti, sia alcuni diagrammi algebricogeometrici esposti nell’‹‹Algebra›› di al Khuwarizmi; tutte tracce riconducibili al diagramma di argilla e presenti nelle citate Opere, che influenzarono i matematici del Rinascimento.4c 3

Periodico di Matematiche, organo della Mathesis, numero 3, Set-Dic 2008- Vol.1-Serie X, Anno CXVIII, 56-60. Vedere i miei lavori su Google: La dimostrazione di Bhaskara I . Il diagramma di argilla: soltanto casualita? 4b Studiosi provenienti dall’Europa medievale si radunarono a Cordova e a Toledo alla ricerca di antichi saperi. 4c Va anche tenuta conto l’influenza reciproca della matematica araba con quella indiana e, questa, con quella cinese. 4a

2. Breve storia della rinascita del diagramma di argilla. I miei primi passi intuitivi ed esplorativi concernenti la rinascita di questo straordinario paradigma modulare risalgono al 1978. Già allora lo ipotizzavo quale strumento utilizzato dagli antichi scribi per giungere alle soluzioni algebriche dei loro problemi di 1°, 2° e 3° grado, rinvenuti sulle tavolette cuneiformi 5…Ero ancora uno studente al quarto anno delle scuole medie superiori. Questi primi e faticosi passi si concretarono circa dieci anni dopo grazie a due allieve di Tullio Viola: Livia Giacardi e di Silvia C. Roero, che intermediarono per la mia prima pubblicazione. Il mio primo articolo fu pubblicato nel dicembre 1989, per merito di Oscar Montaldo, direttore della Rivista:‹‹L’educazione Matematica››. Nella citata pubblicazione proponevo un probabile metodo algebrico-geometrico sulle origini dell’arcaico principio della semisomma e della semidifferenza in uso presso i Babilonesi. 5

Fig.1-Planimetrie del diagramma di argilla a modulo quadrato secondo la mia ipotesi, estratto dall’articolo a pag. 203- Fig.3 e pag 210- Fig.8, ‹‹L’educazione Matematica››, dicembre 1989. 5 Detto principio, capii che poteva essere stato visualizzato, dai costruttori mesopotamici, mediante l’applicazione casuale di due cordicelle nel suddividere in quattro parti uguali un unico diagramma in mattoni: una sorta di versatile macchina algebrica di argilla sempre da me ipotizzata ed esposta nel citato articolo (Fig.1). Forse per svago, gli artigiani Sumeri scoprirono che imbastendo o impilando con i mattoni quest’unico diagramma di base a modulo quadrato si poteva mutarlo in altri diagrammi equivalenti e usarlo come supporto visivo di algoritmi risolventi per molteplici problemi di 1° e 2° grado o per varie identità algebriche che sapevano applicare abilmente. Scoprirono inoltre che, lo stesso diagramma di base si poteva svilupparlo facilmente in forma cubica e utilizzarlo ancora come strumento ausiliario per problemi consequenziali di 3° grado. Nel potenziare il diagramma di argilla fu però inevitabile introdurre l’uso di tavole complementari per valori quadratici o cubici risolventi. Problemi rinvenuti del tipo: n 3 + n 2, erano risolti consultando tavole per valori di n intero variabile, una di queste, fu rinvenuta con n che varia da 1 a 30; valori non registrati sulle tavole, venivano ricavati mediante interpolazione. 6 5

Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. Rivista “L’educazione Matematica”, Anno X –Serie II – Vol.4 – n°3 – Dicembre 1989, pagg. 197-218. Diretta da Oscar Montaldo. 6 Carl B. Boyer, Storia della matematica, cap. 3, Milano: Mondadori, 2011.

Demotivato dall’indifferenza e dall’inspiegabile ostilità per pregiudizio attorno a queste mie ipotesi sulle origini del pensiero algebrico prescientifico, dettata più da una vera e propria mancanza, nella comunità italiana degli storici delle matematiche, di validi o imparziali specialisti nel campo matematico delle civiltà arcaiche, nella primavera del 1991 abbandonai a malincuore tutte le mie ricerche che ripresi casualmente molto tempo dopo: trascorse esattamente un ciclo Saronico.7 Difatti, nell’autunno del 2007 vidi casualmente diverse costruzioni geometriche ipotizzate come probabili risolventi dei problemi algebrici cuneiformi, dagli attuali specialisti internazionali in materia di matematica mesopotamica: Jens Høyrup 8ae Jöran Friberg. Mi accorsi subito che la maggior parte delle diverse costruzioni geometriche di Jens Høyrup e di Jöran Friberg 8b, associate a ogni problema algebrico cuneiforme esaminato, dovevano collocarsi più correttamente per conformità, all’interno di un unico o centrale modulo artigianale di base. Mi risultò, infatti, facile costatare che erano tutte riconducibili o derivanti da un unico paradigma risolvente di fattura edile-costruttiva che avevo ipotizzato: ‹‹il diagramma di argilla a modulo quadrato››. Tale ipotesi figura in un mio articolo pubblicato nel 1989 nella precitata Rivista e, per facilitarne qui la comprensione, ripresento la sola Fig.8 di pag.210 in una forma più esplicativa nelle seguenti Figure, 2 e 3:

Fig.2- Planimetria del diagramma, estratto di pag. 210, Fig.8, dicembre 1989. 5 Secondo la mia ipotesi, il diagramma di argilla era costituito da quattro mattoni a sezione rettangolare imbastiti a modulo quadrato. Le due cordicelle sovrapposte erano fissate sulla mezzeria del lato esterno (o interno) del diagramma in modo che lo suddividevano equamente in quattro parti quadrate, sia internamente(4v2), sia interamente(4u2). Le due cordicelle così applicate visualizzano il principio della semisomma e della semidifferenza. Il principio della semisomma e della semidifferenza utilizzato frequentemente dai babilonesi per le soluzioni dei loro problemi algebrici rinvenuti su tavolette in forma retorica, fu individuato agli inizi del novecento dall’Assiriologo F. Thureau-Dangin nel tradurre linguisticamente i numerosi testi matematici cuneiformi. Fu anche l’unico, a tradurre correttamente e conservare maggiormente nel loro significato originale i frequenti termini accadici usati dagli scribi nei testi matematici, quali ad esempio: “Šiddu-Pûtum” che significa letteralmente“ il Fianco-il Fronte”; Otto Neugebauer invece, per convenienza matematica, li decifrò come:“la Lunghezza-la Larghezza”. Ebbene, nel loro significato originale, questi termini sono usati ancor oggi in edilizia per indicare le facce laterali di un mattone o di uno scavo. Un pratico scriba, risolveva molto più facilmente i problemi algebrici manipolando cordicelle, unità solide di misura e mattoni anziché dover prontamente disegnare e imprimere precise linee, quadrati e rettangoli sull’argilla fresca che si seccava in fretta, rendendo difficili aggiunte e correzioni. 9 7

Il ciclo Saronico è riferito tra le due approvazioni intercorse alle due pubblicazioni scientifiche avvenute: 1989-2008 Jens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces. Berlino:Spinger 2002. 8b Jöran Friberg, Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics World Scientific 2007 9 Lo scriba utilizzava maggiormente l’argilla per scrivere l’algoritmo che compiva col dinamico diagramma di argilla. 8a

PRIME IDENTITÀ ALGEBRICHE VISIBILI SUL DIAGRAMMA DI ARGILLA

y 4x + 4 v =4 x y + 4 [(x – y)/2)] =x + 2 x y + y =4 [(x + y)/2] =4 u =4 (v + x y) =(x+y) 2

Fig.3- Semidifferenza: v =(x – y)/2; semisomma: u =(x + y)/2, applicate sul diagramma di argilla. Ritenni, pertanto, opportuno rendere il tutto più incisivo con un successivo lavoro esplicativo, che fu pubblicato nel Dicembre 2008 10grazie all’intermediazione di Francesca Galasso, presidente di GioiaMathesis e col vivo interesse di Andrea Laforgia, direttore del Periodico di Matematiche della Mathesis che acconsentì di complementare la mia pubblicazione del 1989. Annarita Ruberto 11, dal 2009, ospita sui suoi blog: Matem@ticaMente e Scientificando i miei lavori inerenti a queste ipotesi sulle origini del pensiero scientifico. Difatti, sui citati blog, si possono sfogliare gratuitamente: “La Scienza di Talete, Lettera dello Scriba, Genesi del Teorema di Pitagora, La dimostrazione di Bhaskara I, Il diagramma di argilla: soltanto casualita?”… Ecc. 12 Nel marzo 2012, seguì una mia mirata sperimentazione della peculiarità interattiva del diagramma di argilla grazie alla disponibilità collaborativa di Marco Cameriero13, uno studente che ha avuto modo di mostrare il suo talento informatico grazie ai citati blog. Durante lo scambio di e-mail con Marco, in un suo applet che gli avevo richiesto per creare, a scopo didattico, una generalizzazione del diagramma di argilla, intravidi casualmente l’anello mancante che stavo cercando da qualche tempo, in altre parole, quella tecnica arcaica che doveva esserci alla base di un unico metodo artigianale, valido per tutti i diagrammi modulari, per generare le diverse foggiature di prima imbastitura dei vari poligoni regolari di argilla. Marco Cameriero, dopo quell’esperienza, scrisse un suo articolo “Matematica d’argilla: generalizzazione del diagramma quadratico”, che gli fu pubblicato da Annarita Ruberto su Matem@ticaMente e anche sulla rivista Scuola e Didattica. Anche gli alunni di Annarita Ruberto hanno potuto sperimentare, direttamente in classe, la valenza interattiva del diagramma di argilla che fabbricai volutamente per l’esperimento. A tal esperienza, avvenuta nel marzo 2011, seguì un post sul blog Matem@ticaMente: E’ arrivato a scuola il millenario diagramma di argilla a modulo quadrato. Questo strumento matematico, se ricostruito con l’argilla e riutilizzato in modo fedele all’originale, mette in gioco tutti i sensi dell’uomo. 10

Periodico di Matematiche- n. 3, Set-Dic 2008- Vol. 1 –Serie X , Anno CXVIII, pagg.33-78: «Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche». 11 Annarita Ruberto, insegna Matematica e Scienze nella Scuola sec. di 1° “Ungaretti”, Solarolo (Ra). Ha collaborato, per oltre un decennio, con la Rivista “Scuola e Didattica” Editrice La Scuola. Il suo profilo professionale: http://it.linkedin.com/pub/annarita-ruberto/7/50/397 12

Alcuni lavori furono pubblicati anche da Francesca Galasso, Antonio Bernardo, Luigi Gaudio e Michele Luongo sui loro rispettivi siti e blog: GioiaMathesis, Matematicamente, ATuttaScuola e BluArte; visitabili anche dal mio sito: www.storiadellamatematica.it 13

Marco Cameriero studia al quinto anno superiore dell’Istituto A.Orsini di Ascoli Piceno: www.marcosroom.it

3. Tre grandi conquiste delle civiltà arcaiche: l’incognito, l’inaccessibile e l’irraggiungibile. PLANIMETRIA DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA FORMA STANDARD O “NORMALE”14

Fig.4- Fasi risolutive artigianali dei problemi di 2° grado nella forma: X ± Y = S; X ∙ Y = b U= (X+Y)/2;

V= (X-Y)/2 ;

X= U+V ;

Y= U-V.

L’ARTIGIANALE TASSELLATURA SUL DIAGRAMMA VISUALIZZA UN NOTEVOLE TEOREMA.15a

Fig. 5.1- Prime fasi del teorema “di Pitagora” dell’alta antichità 15b da A a D: d 2 = x2 + y2 Fasi C= C1= D: la tassellatura induce a spostare o ruotare in C1, i 2 mattoni triangolari xy/2.

Fig.5.2- Fasi del teorema da E a H con la scoperta induttiva dello gnomone: y2= nd +n(d-n). Fasi F-G: La tassellatura induce a far scivolare o ruotare il nuovo mattone quadrato x2 in G. In virtù delle fasi visualizzate in precedenza: C=C1=D, l’area gnomonica che si unisce al mattone quadrato x2 è uguale all’area del quadratino y2. 14

I babilonesi riconducevano spesso problemi più complessi a una forma standard o normale: X ± Y = S; X ∙ Y = b. Periodico di Matematiche- n. 3, Set-Dic 2008- Vol. 1 –Serie X , Anno CXVIII, pagg. 33-49. 15 b Le fasi portano a visualizzare: d 2 = x2 + y2. È facile vedere anche in D, che: d 2 = (x – y)2 + y2 + (4xy/2 –y2); inoltre: (x – y)2 = x2 + y2 – 4xy/2. Questa identità è sfruttata nella tavoletta Db2-146. È facile vedere anche nella Fig.5.2 in E, che: (x – y)2 = (x + y)2 - 8xy/2. 15 a

Questa tassellatura (Fig.5.1.2.3) spinse ad architettare i problemi dello scivolamento del palo.

Fig.5.3- Fasi finali del teorema da I a M per ricavare la diagonale: d =(y2+n2)/2n. Non dimentichiamo che i progetti edili erano creati mediante modellini in mattoni.

Fig.6-Problemi dello scivolamento del palo o della canna: Tavola B.M.85196 n°9 e Tavola B.M.34568 n°12. Testo n°9 BM.85196 (antica Babilonia - II millennio a.C.): Un palo, lungo 30, posto verticalmente contro un muro, è disceso di 6 verso il basso. Di quanto si è allontanato alla base del muro? Dati del problema: n=6; d=30; y= ?; x= d-n. Testo n°12 BM.34568 (epoca seleucida - III sec. a.C.): Una canna è posta verticalmente contro un muro. Se discende (con l’estremità superiore della canna) di 3cubiti, la canna si discosta (dalla base del muro) di 9 cubiti. Quanto è (lunga) la canna? Quanto è il muro? Ovvero, quanto misura la parte del muro occupata dalla canna? Dati del problema: n=3; y=9; d= ?; x=d-n. I due procedimenti esposti in forma retorica da entrambi gli scribi, ripercorrono perfettamente le fasi esposte nella tassellatura di Fig.5.1.2.3. Che questo strumento algebrico di argilla era verosimilmente utilizzato è altresì avvalorato dal fatto che, per l’ultima domanda del Testo n°12 BM 34568: “Quanto è il muro?”, lo scriba risponde correttamente ma percorrendo un prolisso procedimento algebrico più simile a una verifica anziché preferire una più facile operazione aritmetica, come fece il suo predecessore. Un ridondante procedimento algebrico perfettamente ripercorribile, passo dopo passo, poiché basta confrontarlo con le fasi a ritroso visibili in Fig.5.3.2. Ciò porta a pensare che, da parte dello scriba di epoca seleucida, ci fosse un forte legame col diagramma di argilla e che questo strumento governasse interamente l’arte algebrica degli antichi scribi. Vedere il mio lavoro su Google: “Genesi del teorema di Pitagora”. Questo particolare problema menzionato era molto diffuso tra le arcaiche civiltà potamiche: Sumeri, Egizi, Cinesi e Indiani, i quali, lo risolvevano in modo pressoché identico e questo ci fa intuire che tra le precitate civiltà anche il diagramma di argilla era altrettanto diffuso. Questo problema si ritroverà inoltre in epoche diverse: nel Liber Abaci di Leonardo Pisano e nel Summa di Luca Pacioli, ma entrambi ignari del diagramma di argilla per i motivi già citati a pag. 3. 8

Senza la scoperta dell’argilla, dell’invenzione in serie del mattone che gode almeno di 10.000 anni di storia16 e della conseguente scoperta del diagramma di argilla a modulo quadrato, grazie alla quale le civiltà mesopotamiche stabilirono la prima grande conquista dell’incognito e, senza la Scienza strumentale di Talete di Mileto 17 supportata con l’invenzione del Suo multifunzionale strumento, un’altra formidabile macchina matematica versatile (Fig.7) con la quale stabilì le grandi conquiste dell’inaccessibile terrestre e dell’irraggiungibile celeste, vengono i brividi a pensare in quale povertà culturale e scientifica potremmo essere ancora immersi. LA SCIENZA DI TALETE Fig.7a - L’irraggiungibile

Fig.7c - Didattica strumentale

Fig.7b - L’inaccessibile

Fig.7d – L’irraggiungibile

Fig.7-Talete di Mileto il maestro conquistatore. Senza queste tre grandi conquiste, l’uomo, non sarebbe certamente partito dopo alla grande conquista dell’invisibile mondo del microcosmo e della macrocosmica materia universale, solo per citare un esempio. 16 17

James W.P. Campbell- Will Pryce, ( 2003) il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura, Bolis Edizioni. La Scienza di Talete, Aldo Bonet, Lulu .com. 2009, scaricabile gratuitamente: www.storiadellamatematica.it

4. L’importanza della comparsa del mattone e del diagramma di argilla nella storia. La mia riscoperta della Scienza di Talete (VII-VI secolo a.C.), si può considerarla una ricostruzione fondamentale che mancava nel mosaico frammentario perduto della storia del pensiero scientifico, ma la mia riscoperta del diagramma di argilla (circa 3200 a. C.), nel campo storico sulle origini del pensiero algebrico-geometrico prescientifico, si può considerarla ancora più importante. I‹‹mattoni››, sin dall’alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati dall’uomo mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, diedero impulso e forma al primordiale pensiero algebrico-geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì.

Fig.8- Babilonesi occupati con progetti e problemi algebrico-geometrici mediante mattoni. In Fig.8, le prime tre imbastiture, visibili a sinistra (A – B – C) e con quella in (B) utilizzata come base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1° e di 2° grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x2 ± ax = c) che quelli con sistema:

Le tassellature a destra (D = E) invece, servivano per la dimostrazione iniziale del loro “teorema di Pitagora” dell’alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale dei mattoni (D) è uguale all’unione dei quadrati costruiti sul fianco e sul fronte dei mattoni costituenti (E). Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l’avvento di quell’arcaico pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigianicostruttori mesopotamici 18 che lo scoprirono in un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa maturità con una vera consapevolezza dell’uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l’incognito mediante una costante preparazione mentale algebricogeometrica, sarebbe stata impossibile, se non addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell’umanità. 18

Anche la matematica dei mattoni della cultura Harappa (3000 a.C.), come quella degli altari, era affidata ad artigiani.

5. Il diagramma di argilla: un vitale strumento didattico per l’uomo delle civiltà potamiche. Fu la particolarità modulare del diagramma di argilla a “insegnare” inizialmente o suggerire visivamente all’uomo delle civiltà potamiche (così come fu per me che lo studiai attentamente) i primi passi algebrico-geometrici da compiere (e non viceversa). Solo in seguito, entrando sempre più in confidenza o in simbiosi contemplativa con esso, l’uomo, mise il diagramma di argilla al centro di un gioco logico-enigmistico educativo o scolastico come macchina didattica con la quale risolvere molteplici problemi (o sfide) di natura algebrico-geometrica. Fu l’inizio dell’arte algebrica degli antichi scribi e di un’evoluzione sociale che portò l’uomo verso nuove sfide e numerose scoperte compiute in simbiosi con lo stesso diagramma di argilla e sempre più, con importanti passi o pensieri algebrici, geometrici, matematici e linguistici, che stimolarono l’uomo delle civiltà potamiche a progettare sempre più in grande e in modo sempre più scientifico.

Fig.9- Scriba intento a descrivere i passaggi algebrico-geometrici compiuti col diagramma. Grandi imprese come la realizzazione delle prime metropoli urbane, delle maestose ziqqurat 19a , delle imponenti piramidi Egizie 19b, delle grandiose scienze antiche 19c, fino allo sbarco sulla Luna e alle conquiste più recenti, sarebbero state impensabili per l’uomo se non avesse preventivamente maturato un pensiero algebrico-geometrico o matematico sempre più scientifico. Il diagramma di argilla fu uno straordinario e potente strumento artigianale nelle mani dell’uomo mesopotamico che lo scoprì e lo utilizzò, come macchina matematica di svago, probabilmente già nella seconda metà del IV millennio a.C. e paragonabile per frequenza di utilizzo, con l’altro arcaico strumento matematico complementare, certamente in uso presso le antiche civiltà potamiche e talassiche: l’abaco. Con l’abaco e per la necessaria funzionalità reciproca col diagramma di argilla, vi fu anche un’integrazione con l’uso consultivo delle tavole: dei quadrati, dei cubi, dei reciproci e delle costanti, ecc.. alle quali ricorrevano spesso gli antichi scribi. 19a

- Costruzione templare caratteristica delle religioni dell’area mesopotamica. - Houdin J.P. (2007). Cheope, i segreti della costruzione della grande piramide. Torino: Ananke. 19c - Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. 19b

6. Il diagramma di argilla fu la chiave di volta nella cronologia evolutiva dell’uomo? Probabilmente sì, e questo spiegherebbe per esempio, perché l’uomo venuto dal ghiaccio o del Similaun o del tardo neolitico alpino detto Ötzi, viveva ancora in uno stato primitivo rispetto al suo contemporaneo mesopotamico che si stabilì presso i due grandi fiumi: il Tigri e l’Eufrate. Ötzi visse in un periodo di transizione: tra il tardo neolitico e l'inizio del calcolitico (o eneolitico) alpino. La tipologia abitativa di Ötzi era ancora quella tipica del tardo neolitico, mentre il suo contemporaneo mesopotamico, della seconda metà del IV millennio a.C., si trovava già nel periodo tra il tardo calcolitico e l'inizio dell'antica età del bronzo, con un’esperienza nell'arte del costruire mediante mattoni standardizzati consolidata già da molto tempo, dentro un’innovativa rivoluzione organizzativa stanziale ben impostata, con la scrittura e il calcolo già sbocciati al culmine di quel periodo cronologico del Vicino Oriente, noto come: "La rivoluzione urbana". 20 Ötzi quindi, si trovava a transitare tra la fine della preistoria e l'inizio della protostoria, mentre, per quanto citato, il suo contemporaneo mesopotamico entrava, di fatto (e di diritto) grazie all’invenzione del mattone e alla successiva scoperta del diagramma di argilla, nella storia. 21 Pertanto, lo stato primitivo di Ötzi era dovuto al fatto nel non aver acquisito, esattamente come i suoi antenati, un salto mentale evolutivo di qualità nell’arte del costruire, privandosi così, contrariamente al suo contemporaneo mesopotamico, dell’idea geniale del mattone standardizzato. Purtroppo, a causa del tipico habitat delle Alpi, delle condizionanti materie prime predominanti e del rigido clima alpino, per Ötzi e i suoi antenati, sarebbe stato difficile pensare a una diversa tipologia abitativa stanziale tecnicamente più pratica ed evoluta, poiché sarebbe avvenuta solo mediante un impiego abbondante di argilla per una produzione in serie, con essiccazione all’aria aperta, di laterizi modulari geometrici e standardizzati a stampo: prismi- parallelepipedi. Una tecnica rivoluzionaria nell’arte del costruire fatta con una sfilza di mattoni unitari prefabbricati, facilmente manipolabili e che si mostrarono soprattutto pratici da imbastire o impilare tra loro con calcine o bitume. Una tecnica che, se fosse stata ampiamente impiegata già dagli antenati di Ötzi, avrebbe nel quotidiano, condotto anche l’uomo del neolitico alpino all’inevitabile scoperta del versatile diagramma di argilla a modulo quadrato. Un diagramma artigianale col quale poi, per svago 22, il primitivo uomo del ghiaccio avrebbe mentalmente instaurato (così come avvenne per il primitivo uomo mesopotamico) un rapporto simbiotico-contemplativo di tipo algebrico-geometrico che lo avrebbe indotto alla conquista dell’incognito e, fatalmente stimolato di conseguenza, verso uno sviluppo evolutivo sociale e culturale. 23 20

Mario Liverani ,Antico Oriente, Storia società economia, Editori Laterza, in particolar modo la parte seconda: l'antica età del bronzo, capitoli IV, V, VI, VII, VIII, IX. Dalla rivoluzione urbana (cap.IV) alla età neo-sumerica (cap. IX) 21 La tavoletta algebrica più antica, finora rinvenuta, risale a 4500 anni fa, ma io ritengo che il diagramma di argilla fosse utilizzato nella bassa Mesopotamia già alcuni secoli prima, nel periodo cronologico della “rivoluzione urbana” noto come “tardo-Uruk” ,circa 5200 anni fa, quindi all'epoca di Ötzi, e corrisponde alla prima urbanizzazione, avvenuta al culmine della rivoluzione urbana attraverso il sito-guida della città di Uruk e con la scrittura nonché il calcolo, già sbocciati. 22 Nella matematica cinese anche i quadrati magici e le bacchette numeriche evocavano uno spirito familiare con i giochi da tavolo e così anche la matematica vedica indiana dei mattoni con quella mesopotamica dove, il loro artigianale “teorema di Pitagora” era presentato con una forma algoritmica riconducibile al comune diagramma di argilla, a dimostrazione del fatto che, questa ricreativa macchina algebrica era presente presso tutte le civiltà potamiche. 23 Il diagramma di argilla, a mio parere, avrebbe cooperato allo sviluppo evolutivo degli strumenti linguistici con quelli concomitanti del calcolo e della scrittura. Secondo alcuni autori, la nascita del carattere algebrico della matematica antica (indiana ad esempio) sarebbe stata agevolata dai progressi linguistici: Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una volta un numero. Milano: il Saggiatore. Cap. 8, pag. 218.

7. Le ultime impronte rimaste dell’arcaico diagramma di argilla. Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in alcuni pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana tuttora esistenti: a Ostia (Roma), nel Santuario della Bona Dea e nell’isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina; a Roma, mosaico dell’area del Doloceum, sull’Aventino e nell’Aedes Concordiae, pavimento in opus sectile di età Augustea; a Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus; a Corfino (Aquila) Loc. Piano San Giacomo: Edificio porticato, pavimentazione musiva in ambiente a); a Luni (La Spezia) nella Casa degli affreschi; a Brescia nel piano interrato dell’Istituto scolastico Veronica Gambara 24; a Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via San Mauro 25; a Trento, in via Rosmini, nella Casa del mosaico di Orfeo 26. Questo motivo geometrico a modulo quadrato è stato chiaramente catalogato assieme ai numerosi disegni geometrici a mosaico rinvenuti dagli studiosi dell’antica civiltà romana.27 È ipotizzabile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questo motivo a modulo quadrato, affondi le sue radici nelle più antiche culture millenarie e fu preso dagli antichi romani alle conquistate civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all’epoca imperiale romana; per questa ragione, il diagramma di argilla, ricompare in forma decorativa nei pavimenti di diverse Domus romane sparse un po’ ovunque sul territorio dell’antico impero. Il diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l’uomo, giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli infissi principeschi dell’Alhambra di Granada in Andalusia28 , un gioiello di arte islamica conosciuta anche col nome di: Medina della simmetria. La scomparsa del diagramma di argilla dalla memoria umana, avvenne intorno al 1492 d.C. col dissolvimento dei suoi ultimi seguaci matematici di Granada che coincise con la disfatta del califfato dell’Andalusia e con l’incoronazione augurale del viaggio di Cristoforo Colombo solennizzata dai re cattolici: Ferdinando II d’Aragona e Isabella di Castiglia. La regina Isabella ricevette Colombo nel Salone degli Ambasciatori dell’Alhambra, proprio all’interno del quale è ancora ben presente e visibile il motivo a modulo quadrato dell’arcaico diagramma di argilla, sia in tutto l’intero pavimento che in tutte le originali grate lignee collocate sui grandi finestroni a bifora che illuminano l’intero salone, noto anche come: Salone del Trono o del Sultano o Salón de Comares . Ringraziamenti. Ringrazio Gianfranco Arrigo, direttore del Bollettino dei Docenti di Matematica, Centro didattico cantonale del Cantone Ticino (Svizzera), per essersi impegnato molto nel correggere, semplificare e snellire linguisticamente questo articolo onde avvicinarlo allo spirito dei suoi lettori. Purtroppo, lo stesso direttore, non ha più potuto pubblicare il presente articolo a causa di una mancanza di specialisti o imparziali referee in materia di storia della matematica nel comitato scientifico del citato Bollettino. Sono fiducioso che, nel pubblicarlo sui Blog scientifici si potrà continuare a suscitare ugualmente l’interesse dei lettori e dei docenti verso quest’arcaico diagramma di argilla e soprattutto, tornerà utile all’odierno insegnamento 29. 24

http://www.arifs.it/caserom.htm http://www.aquaepatavinae.it/portale/?page_id=1690 26 Atti del III Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995- pagg. 533- 534- 676. Atti del XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico- 2010, Tavola tipologica dei pavimenti Fig.1,3 di pag. 271 ; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag. 494. 27 Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine – Picard – Paris - 1985- répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes – A.A. V.V. pag. 95 e pag. 141. 28 L’Europa medievale ricercò in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento. 29 Elena Scubla. I pavimenti e le superfici: http://www.cidi.it/doc/educazione-matematica 25

Conclusioni. Abbiamo visto in questo articolo, come il diagramma di argilla sia stato indispensabile nella storia dell’evoluzione dell’uomo e della matematica. Consapevole della bontà dei miei studi, sono certo che saranno tutte riconosciute le mie intuizioni e ricerche storiche, sia per il Diagramma di argilla come per la Scienza di Talete e, alla luce di quest’ultima ed ennesima mancata pubblicazione, in questo caso sul Bollettino dei Docenti di Matematica, sono altresì certo che i citati direttori: Oscar Montaldo e Andrea Laforgia, che hanno pubblicato i miei lavori verranno ancor più valorizzati, così come coloro che si sono dedicati per un’intelligente intermediazione e disponibilità a pubblicarli sui loro blog. Chi oggi, o un domani, potrebbe mai testimoniare queste riscoperte storiche senza il merito di coloro che, contro ogni formalismo e pregiudizio, mi hanno dato fiducia nel pubblicarle? Non è per presunzione, però, dopo una vita passata come studioso autodidatta credo di non aver più bisogno di esaminatori ma solo di leali: collaboratori. Non ho mai ricevuto, per esempio dal SISM, smentite alle mie fondate obiezioni mosse alla controversa ipotesi di Jens Høyrup che gli storici delle matematiche purtroppo hanno sposato; alcuni però, pensano di averla abbracciata in modo troppo scontato. Jöran Friberg, mi ha confidato che le ipotesi di Høyrup, per come le ha presentate, non lo convincono molto poiché le costruzioni geometriche, seppur interessanti, gli appaiono troppo premature e artificiose per l’epoca nonché poco obiettive nell’analisi di supporto della lingua accadica. Invece, la mia ipotesi unificante include e riunisce non solo varie costruzioni geometriche di Jöran Friberg ma si promuovono meglio anche le costruzioni di Høyrup se s’inquadrano alla luce del pertinente diagramma di argilla, giacché il mio semplicissimo diagramma le include tutte nella sua quarta parte. Vedere anche, critica all’ipotesi di Jens Høyrup, su Google : “Lettera dello Scriba“. È mai possibile che, dei normalissimi insegnanti di matematica e alunni di una scuola primaria, abbiano appreso subito la semplicità e l’efficacia didattica interattiva dell’arcaico diagramma di argilla? Così come, dei normalissimi insegnanti e alunni delle scuole medie superiori, sia pur orientati in altre materie, abbiano compreso appieno la semplicità operativa e l’importanza storica di quest’arcaico paradigma algebrico-geometrico? È mai possibile che, dei normalissimi artigiani edili trovino con questo diagramma in mattoni a modulo quadrato una spontanea sintonia operativa? È mai possibile che, tutti i problemi, tutte le varie sfumature e tutte le fasi dei procedimenti degli scribi si comprendano appieno col diagramma di argilla? Peraltro, ricomponibile dagli stessi testi matematici cuneiformi attraverso un’accurata analisi linguistica delle lingue: sumera e accadica. Sì, è possibile! Perché il segreto sta proprio nella semplicità simbiotica di un siffatto strumento matematico artigianale, per questo, facilmente scoperto e utilizzato da normalissimi e umili costruttori edili delle prime civiltà mesopotamiche. La semplicità è una modesta visione orientata verso albe meravigliose: un privilegio di pochi! La sofisticatezza è una fastosa visione attratta dagli scenografici tramonti: la prerogativa di molti. Sì, è possibile! E sarà ancora grazie a dei genuini divulgatori il perdurare dell’immortalità storica del semplicissimo diagramma d’argilla che determinò anche il successo della prima vera sfida intrapresa dall’uomo delle civiltà arcaiche: la conquista dell’incognito. 14

L’ALHAMBRA DI GRANADA (secolo XIII - XIV)

Fig. 10- Patio de los Arrayanes con vista verso l’accesso al Salone del Trono. http://it.wikipedia.org/wiki/Alhambra

Fig. 11- Pavimento presente nel Salone del Trono noto come: Gruppo Simmetrie 442. Il diagramma a modulo quadrato è chiaramente visibile nell’intreccio del pavimento. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto, pag.107. Milano: Rizzoli .

Fig.12- Porta dâ&#x20AC;&#x2122;ingresso dellâ&#x20AC;&#x2122;Alhambra di Granada detta: Puerta del Vino http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Alhambra-Granada-Puerta_del_Vino.jpg

Fig.13- Porta del Vino: particolare delle grate a modulo quadrato http://www.europaenfotos.com/granada/pho_gra_83.html

Fig.14- Grandi bifore con grate a modulo quadrato nel Salone del Trono. http://www.thule-italia.net/Marco71/AlHambra/134_3497.JPG Tavoletta Babilonese BM 15285

Fig.15-Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto. Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al diagramma di argilla qui riproposto in Figura 15 ed estrapolato a pag 10, dalla Fig.8–B. Questo tipo di diagramma, sappiamo, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2° grado nella forma standard: x . y = c; x ± y = b.

Tavoletta Babilonese BM 15285

Fig.16-Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al diagramma di argilla qui riproposto in Figura 16 ed estrapolato a pag 10, dalla Fig.8–A. Il diagramma di argilla così imbastito, sappiamo che serviva a risolvere problemi di 2°grado diretti del tipo: x2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM 13901. Lastra votiva

Fig. 17- Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash), risalente al XXV secolo a.C. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri. Arte sumera: http://it.wikipedia.org/wiki/Arte_sumera 18

Gioco Reale di Ur

Fig.18- Il Gioco Reale di Urhttp://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur - cite_note-Finkel-16-1 si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell’antica città-stato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.C. Due di questi tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile, realizzata in legno, è stata scoperta nell'Iran meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta , un insediamento dell’età del bronzo (circa 3200 a.C.). Insieme all’antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell’Antico Egitto (3500-3100 a.C.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon.

Fig.19a

Fig.19b

Fig.19- Sulla tavola è presente questa coppia di caselle a disegno geometrico con dei valori tre (Fig.19a) e cinque (Fig.19b). Le ho estratte fuori poiché danno l’idea di una suddivisione in quattro parti uguali, molto simile a quella da me ipotizzata per il diagramma di argilla 30 . 30

Fonti tratte da Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur E da: http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm

BIBLIOGRAFIA: -AA. VV. (1985). Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine, répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes. Parigi: Picard. -Atti del III Colloquio, 1995- Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico. -Atti del XVI Colloquio, 2010- Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico. -Bartocci C.e Odifreddi P. (2007). La Matematica i Luoghi e i tempi. Torino: Einaudi. -Boyer C. B. (2008). Storia della Matematica. Milano: Mondadori. -Bonet A. (1989). Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. L’educazione matematica, Anno X –Serie II – Vol.4 – n°3 – Dic., pag. 197218. -Bonet A. (2008). Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche. Periodico di Matematiche, n. 3, Set-Dic, Vol. 1, Serie X, Anno CXVIII, pag. 33-78 -Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. Scaricabile gratuitamente da: www.storiadellamatematica.it -Bortolotti E. (1934). Sulla risoluzione dell’equazione cubica in Babilonia. Bologna: Memoria letta nella R.Ac. Ist. Bologna sez Fisiche e Matematiche. -Bortolotti E. (1935). La scienza algebrica degli Egizi e dei Babilonesi. Bologna: Azzaguidi. -Bortolotti E. (1936) Interpretazione storica dei testi matematici babilonesi. Periodico di Matematiche, n°2. pag.65-81 -Bortolotti E. (1936). I problemi di secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche, n°3.pag.129-143; 225-241. -Bortolotti E. (1937). Concetti, immagini, cognizioni, metodi nella matematica babilonese. Milano . Tip. Turati Lombardi e C. -Bortolotti E. (1938). Prodomi di metodo matematico nei problemi babilonesi. Milano: Tip. Turati Lombardi e C -Bronowski J. (1973). The Ascent of Man. Boston: Little Brown. -Bruins E. M. e Rutten M. ( 1961). Textes Mathématiques de Suse, Parigi : Librairie Orientaliste Paul Geuthner. -Bürk A. (1902). Das Āpastamba-Śulba-Sūtra. Zeitschrift der Deutschen morgeländischen Gesellschaft. Vol.LVI -Campbel J. e Pryce W. (2003). Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura. Bergamo: Bolis Edizioni. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto. Milano: Rizzoli . -Ferguson K. (2009). La musica di Pitagora. Milano: Longanesi. -Frajese A e Maccioni L. (1970). Gli Elementi di Euclide. Torino: U.T.E.T. -Friberg J. (2002). Storia della Scienza. Enciclopedia Treccani, Vol I. pag. 338-408. -Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics. Londra: World Scientific. -Friberg J. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific -Friberg J. (2007). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. Berlino: Springer.

-Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una volta un numero. Milano: il Saggiatore. -Giacardi L. e Roero S.C. (1978). La matematica delle civiltà arcaiche. Torino: Stampatori didattica. -Høyrup J. (1995). Linee larghe. Un’ambiguità geometrica dimenticata. B.S.M. UMI, XV, Fasc 1. -Høyrup J. (1997). Mathesis, Filosofia e Historia Facultad de Cencias, Vol XIII N.3, Universidad Nacional Autonoma de México., Agosto. -Høyrup J. (2002). Lengths, Widths, Surfaces. Berlino: Spinger. -Houdin J.P. (2007). Cheope, i segreti della costruzione della grande piramide. Torino: Ananke. -Ifrah G. (1984). Storia universale dei numeri. Milano: Mondadori -Klemm F. (1966). Storia della tecnica. Milano:Feltrinelli. -Liverani M. (2009). Antico Oriente, Storia società economia. Bari: Laterza. -Lurje S.J. (1948). Archimedes. Wien: Neues Osterreich. -Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori. -Marcacci F. (2008). Alle origini dell’assiomatica: Gli Eleati, Aristotele, Euclide, Roma: Aracne. -Neugebauer O. ( 1935). Mathematische Keilschrift Texte. Berlino: Springer -Neugebauer O. e Sachs A. (1945). Mathematical Cuneiform Texts, New Haven: American Oriental Society. -Neugebauer O. (1974). Le Scienze Esatte nell’Antichità. Milano: Feltrinelli. -Parrot A. (1935). Archéologie mésopotamienne. I, II. Parigi: Albin Michel -Parrot A. (1961). I Sumeri. Milano: Feltrinelli -Pascual Carlos. (1988). Granada e l’Alhambra. Firenze: Bonechi. -Piedad Y. (2005). Estudio Geometrico de AO 17264 (Studio Geometrico Tav. AO 17264) . Theoria, 20. -Priuli G. (2004). Ötzi. L'uomo venuto dal ghiaccio.Torino: Ananke. -Russo L. (1996). La rivoluzione dimenticata. Milano: Feltrinelli. -Schopenhauer A. (1920). Il mondo come volontà e rappresentazione. (trad. italiana di Paolo Savj-Lopez.), Vol I. Bari: Laterza -Singer C. (1961). Breve storia del pensiero scientifico. Torino: Einaudi -Smit D.E. (1958). “ History of Mathematics” Vol 1 New York: Do ver Publications -Thureau- Dangin F. (1932-’36-‘37). Revue d’Assyriologie et d’Archéologie Orientale, pubblicato da V. Scheil e F. Thureau-Dangin.Volume n° 29-33-34, Parigi: Librairie Ernest Leroux -Thureau-Dangin F. (1938). Textes Mathématiques Babyloniens. Laiden (Olanda): E.J. Brill -Van Der Waerden L.B. (1954) Science Awakening. Groningen ( Olanda): P. Noordhoff. -Van Der Waerden L.B. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlino: Springer. -Zellini P. (1999). Gnomon, una indagine sul numero. Milano: Adelphi.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/ Questa opera Ă¨ distribuita con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 2.5 Italia.