Hanrahashiv9 3 gev (1) by user

ê. Ø. ÜÆÎàÈêÎÆ, Ø. Î. äàî²äàì, Ü. Ü. èºÞºîÜÆÎàì, ². ì. ÞºìÎÆÜ

Ð²Üð²Ð²ÞÆì 9-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù

ºñ¨³Ý §²Ýï³ñ»ë¦ 2012

Ðî¸ ¶Ø¸ Ð

¸³ë³·ÇñùÁ Ñ³ëï³ïí³Í ¿ Ð³Û³ëï³ÝÇ Ð³Ýñ³å»ïáõÃÛ³Ý ÏñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. è äð. Àëãåáðà: ó÷åáíèê 8-ãî êëàññà

Â³ñ·Ù³ÝáõÃÛáõÝÁ, ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ËÙµ³·ñáõÙÁª è. ²í»ïÇëÛ³ÝÇ

Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí, 9-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ë³·Çñù/Ã³ñ·Ù³ÝÇã ¨ ËÙµ³·Çñ` èáõµ»Ý ²í»ïÇëÛ³Ý- ºñ.£ ²Ýï³ñ»ë, 2012 - 280 ¿ç£

¸³ë³·ÇñùÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óí³Í ¿ ³é³ñÏ³Û³Ï³Ý Íñ³·ñÇÝ, Ï³ï³ñí³Í »Ý ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ£ ä³ÛÙ³Ý³Ï³Ý Ýß³ÝÝ»ñª - ³é³í»É ¹Åí³ñ ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ - ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ µ³Ý³íáñ ³ßË³ï³ÝùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ

Ðî¸ ¶Ø¸ ISBN

¶È àôÊ I

Âí³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

1.1 Âí³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·³Õ³÷³ñÁ üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·³Õ³÷³ñÇÝ ³ñ¹»Ý Í³ÝáÃ »ù 7-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óÇó£ ÐÇß»óÝ»Ýù ³Û¹ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ²ÛÝ ïñí»É ¿ éáõë Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë Ü.Æ. Èáµ³ã¨ëÏáõ (1792-1856) ¨ ·»ñÙ³Ý³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë È. ¸ÇñÇËÉ»Ç (1805-1859) ÏáÕÙÇó: ºÝÃ³¹ñ»Ýùª ïñí³Í ¿ Ãí»ñÇ ÇÝã-áñ X µ³½ÙáõÃÛáõÝ, ¨ ÇÝã-áñ áñáß³ÏÇ (f ) ûñ»ÝùÇ ßÝáñÑÇíª X µ³½ÙáõÃÛáõÝÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý»óí³Í ¿ Ù»Ï áñáß³ÏÇ y ÃÇí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ X-Ç íñ³ ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³: X µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ: x0 ∈ X-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ù x0 Ï»ïáõÙ ¨ Ýß³Ý³ÏáõÙ f (x0): f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ: ºñµ»ÙÝ, áñå»ë½Ç ÁÝ¹·ÍíÇ, áñ y-Á Ï³Ëí³Í ¿ x-Çó, ·ñáõÙ »Ý y(x), ÇëÏ (1) ·ñ³éÙ³Ý Ïñ×³ïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ·ñáõÙ »Ý f (x): x-Á ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ ³ñ·áõÙ»Ýï Ï³Ù ³ÝÏ³Ë ÷á÷áË³Ï³Ý, ÇëÏ y-Áª Ï³ËÛ³É ÷á÷áË³Ï³Ý£ ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ïñíÇ ýáõÝÏóÇ³, å»ïù ¿ Ýß»É ÙÇçáó (ûñ»Ýù, Ï³ÝáÝ), áñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ x ∈ X ³ñ·áõÙ»ÝïÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É y-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ñÅ»ù: êáíáñ³µ³ñ ³Û¹ ûñ»ÝùÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Ù»Ï ï³éáí, ûñÇÝ³Ï` f ï³éáí, ¨ ·ñáõÙ. y = f (x)£ (1) Üß»Ýù, áñ x ¨ y ï³é»ñÇ ½áõÛ·Ç ÷áË³ñ»Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç Ï³ñáÕ »Ý Ù³ëÝ³Ïó»É ï³é»ñÇ áõñÇß ½áõÛ·»ñ: úñÇÝ³Ï` X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í f ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ÇÝãå»ë y = f (x), x ∈ X , ³ÛÝå»ë ¿Éª

y = f (u), u ∈ X ï»ëùáí, Ï³Ù ÝáõÛÝÇëÏª x = f (y), y ∈ X : ´áÉáñ ³Û¹ ·ñ³éáõÙÝ»ñÁ µÝáõÃ³·ñáõÙ »Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ýáõÝÏóÇ³Ý: f ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝ¹áõÝí³Í »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ D (f) ¨ E (f) Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ: üáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý å»ïù ¿ ïñíÇ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ£ ê³Ï³ÛÝ Ñ³×³Ë, »ñµ ýáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ ³Ý³ÉÇïÇÏ, ³ÛëÇÝùÝª µ³Ý³Ó¨áí, áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µ³ó³Ñ³Ûï ã»Ý ÝßáõÙ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÏ³Ë ÷á÷áË³Ï³ÝÇ µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Çñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ 2x + 1 úñÇÝ³Ïª y = −−−−−− µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ 1 − x2 −1-Çó ¨ 1-Çó ï³ñµ»ñ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝª D(y) = (−∞; −1)∪(−1; 1)∪(1; +∞): ´»ñ»Ýù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ. 1) ºÝÃ³¹ñ»Ýùª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í 3x-Ç Ñ³í³ë³ñ y ÃÇíÁ: ²Û¹ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ùµ ïñí³Í ¿ R áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí y = 3x ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ª E(y) = R: 2) ºÝÃ³¹ñ»Ýùª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í x2-áõÝ Ñ³í³ë³ñ y ÃÇíÁ: ²Û¹ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ùµ ïñí³Í ¿ R áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, [0; +∞) µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: 3) ºÝÃ³¹ñ»Ýùª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 0-Çó ï³ñµ»ñ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ë1 Ë³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í −− -Ç Ñ³í³ë³ñ y ÃÇíÁ: ²Û¹ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ýáõx 1 ÃÛ³Ùµ ïñí³Í ¿ y = −−− ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿ 0-Çó ï³ñµ»ñ x Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇëÏ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁª E(y) = (−∞; 0)∪(0; +∞): 4) ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ c Çñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿ R áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáí y = c ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ, {c} Ù»Ï Ï»ïÇó µ³ÕÏ³ó³Í µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿: ²ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ 1-4 ûñÇÝ³ÏÝ»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ïñí³Í »Ý y = 3x, y = x2, 1 y = −−, y = c µ³Ý³Ó¨»ñáí: x ´³óÇ µ³Ý³Ó¨Çó, ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ý³¨ ·ñ³ýÇÏáí: ´³Ý³Ó¨áí ïñí³Í Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ýáõÝÏóÇ³ ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ áõÝÇ Çñ ·ñ³ýÇÏÁ:

y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý (x, f (x)) ï»ëùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ x-Á ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿: 1 ¸áõù ³ñ¹»Ý Ï³éáõó»É »ù y = x (áõÕÇÕ ·ÇÍ), y = x2 (å³ñ³µáÉ), y = −− (ÑÇå»ñx µáÉ) y = |x| ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ (ÝÏ. 8 ³, µ, ·, ¹)£

y=x

1 x

y = |x|

¹ ÜÏ. 8

³) Ò¨³Ï»ñå»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ: ´»ñ»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ: µ) Æ±ÝãÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏ:

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (2-4). ³) y = x, µ) y = 3x − 7, 1 ») y = ----- , ¹) y = 3x2 − 6x + 1, x

³) y = | x |, x2 − 1 ¹) y = ------------ , x+1

³) y = √"x"− ""$1, 2 x −9 ¹) y = −−−−−−−, x2 − 4

µ) y = |x − 2|, |x| ») y = ----- , x µ) y = √"x"+ ""$1, 1 ») y = −−−−−−−, √'3x + 5

·) y = x2, 4 ½) y = ---------- + 2: x−1 ·) y = (x − 2)2, 5 ½) y = ------------- : |x|−2

·) y = √'2x − 1, x2 + x ½) y = −−−−−−−: x+4

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃÁ. 5.

³) f (x) = 2x, x ∈ [−1; 1]; ·) g (x) = x2 + 1, x ∈ [0; 2];

µ) y = 3x + 2, x ∈ [−4; 0]; ¹) y = |x| − 1, x ∈ [−2; 2]£

1.2 üáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý, Ýí³½Ù³Ý, Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ¨ ½ñáÝ»ñÁ. Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2, ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ f (x1) < f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2, ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ f (x1) > f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: úðÆÜ²Î 1. ³) y = x ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿, µ) y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý [0; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿, ·) y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; 0] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿£ ÊÙµ³·ñÇ ÏáÕÙÇó ³í»É³óñ³Í ï»ùëï³ÛÇÝ ¨ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ ëÏëíáõÙ »Ý  ¨ ³í³ñïíáõÙ  Ýß³ÝÝ»ñáí£

²×áÕ ¨ Ýí³½áÕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ËÇëï ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ: X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2, ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ f (x1) ≤ f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ã³×áÕ, »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2, ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ f (x1) ≥ f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: úðÆÜ²Î 2. x2 »ñµ x ≥ 0 ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ ¿, ³) y = { 0 »ñµ x < 0 µ) y = √'x + |x| ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãÝí³½áÕ ¿, x2 »ñµ x < 0 ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ã³×áÕ ¿, ·) y = { 0 »ñµ x ≥ 0 ¹) y = √'|x| − x ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ã³×áÕ ¿: ²×áÕ, Ýí³½áÕ, ã³×áÕ ¨ ãÝí³½áÕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñ: y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ x0 ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ½ñá, »Ã» f (x0) = 0: àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µáÉáñ ½ñáÝ»ñÁ, å»ïù ¿ ·ïÝ»Ýù f (x) = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ: y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ X ÙÇç³Ï³ÛùÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù, »Ã» ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ: àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, å»ïù ¿ ÉáõÍ»Ýù f (x) > 0 ¨ f (x) < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ: ºÃ» ·ïÝí³Í »Ý y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ·ïÝí³Í ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ µ³ßËáõÙÁ: êïáñ¨ µ»ñí³Í ÝÏ³ñÝ»ñáõÙ ÑáÍ Ï»ï»ñáí å³ïÏ»ñí³Í »Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ½ñáÝ»ñÁ, ÇëÏ ßñç³ÝÇÏÝ»ñáí` ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝóáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³Ýí³Í ã¿:

úðÆÜ²Î 3. ³) y = √$x ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ [0; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, áõÝÇ ÙÇ³Ï x0 = 0 ½ñá ¨ ¹ñ³Ï³Ý ¿ (0; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïáõÙ: (x + 1)(x − 3) µ) y = −−−−−−−−−−−− ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ (−∞; −2)∪(−2; 4)∪(4; +∞) (x + 2)(x − 4) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý íñ³, áõÝÇ »ñÏáõ x1 = −1 ¨ x2 = 3 ½ñáÝ»ñ: ²Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ µ³ßËáõÙÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 102 ÝÏ³ñáõÙ: (x − 1)(x − 2)2(x − 5) ·) y = −−−−−−−−−−−−−−−−−− ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ (−∞; 3)∪(3; +∞) (x − 3)2 ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý íñ³, áõÝÇ »ñ»ù x1 = 1, x2 = 2 ¨ x3 = 5 ½ñáÝ»ñ: ²Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³ÝÝ»ñÇ µ³ßËáõÙÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 103 ÝÏ³ñáõÙ:

ÜÏ. 102

3 ÜÏ. 103

X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ A ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ A ≤ f (x) Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ïª y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý R ïÇñáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ x2 ≥ 0 Ï³Ù³Û³Ï³Ý x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ B ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ f (x) ≤ B Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ïª y = − x2 ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ x ∈ R µ³½ÙáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ − x2 ≤ 4 Ï³Ù³Û³Ï³Ý x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ: X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ M > 0 ÃÇí, ³ÛÝåÇëÇÝ, áñ |f (x)| ≤ M Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: úñÇÝ³Ïª y = x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ x ∈ [−1; 1] ïÇñáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ∈ [−1; 1] ÃíÇ Ñ³Ù³ñ |x| ≤ 1: ²ëáõÙ »Ý, áñ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÁ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» x0 ∈ X ¨ f (x0) ≤ f (x) ó³ÝÏ³ó³Í x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: f (x0) ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f (x)-Ç ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³£ ²ëáõÙ »Ý Ý³¨, áñ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» x0 ∈ X ¨ f (x0) ≥ f (x) ó³ÝÏ³ó³Í x ∈ X-Ç Ñ³Ù³ñ: f (x0) ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f (x)-Ç Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³£

úðÆÜ²Î 4. y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý [−1; 1] Ñ³ïí³ÍáõÙ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ y = 1 ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ x = 1 ¨ x = −1 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ y = 0 ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÁ` x = 0 Ï»ïáõÙ£ úðÆÜ²Î 5. y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ y = 0 ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÁ x = 0 Ï»ïáõÙ, ãÇ ÁÝ¹áõÝáõÙ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÅ»ùÁ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ã¿:

¸Çóáõùª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ³×áÕ, Ýí³½áÕ, ËÇëï ÙáÝáïáÝ X ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

¸Çóáõùª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³: à±ñ ¹»åùáõÙ ¿ ³ÛÝ ÏáãíáõÙ ã³×áÕ, ãÝí³½áÕ, ÙáÝáïáÝ X ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ:

8.*

³) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ³×áÕ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2 ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f (x1) > f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ x1 > x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: µ) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ Ýí³½áÕ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2 ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f (x1) > f (x2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ x1 < x2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ·) ²å³óáõó»°ù, áñ »Ã» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ¨ ËÇëï ÙáÝáïáÝ X ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³, ³å³ ó³ÝÏ³ó³Í x1, x2 ∈ X Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ f (x1) = f (x2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ x1 = x2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ:

²å³óáõó»ù, áñ y = |x| ýáõÝÏóÇ³Ý ³) [0; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿, µ) (−∞; 0] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ Ýí³½áÕ ¿:

10.* y = sgn x ýáõÝÏóÇ³Ý (Ï³ñ¹³óíáõÙ ¿ §ëÇ·ÝáõÙ Çùë¦) ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë. »Ã» x > 0, ³å³ y = 1, »Ã» x = 0, ³å³ y = 0, »Ã» x < 0, ³å³ y = −1: ¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý, Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ. 1 ³) y = sgn x, µ) y = sgn −−: x 11.

k-Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ y = kx + b ýáõÝÏóÇ³Ý ³) ³×áÕ, µ) Ýí³½áÕ:

12.

²å³óáõó»ù, áñ y = √$x ýáõÝÏóÇ³Ý ËÇëï ÙáÝáïáÝ ¿ ³ÙµáÕç áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ:

13.

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ýß³Ý³å³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ. ³) y = −|x − 2| + 2, µ) y = |x + 4| − 1:

14.

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ½ñáÝ»ñÁ. µ) f (x) = 2x2 − x − 1; ³) y = 1 − x2; 4x − 2 ¹) y = −−−−−−; ») g(x) = |2 − x|; 3x + 1

·) y = (x − 1)(x − 3); ½) f (x) = |3x − 1| − 5:

15.° Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ. ³) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃ, µ) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ïÇñáõÛÃ: 16.° ¸Çóáõùª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³: à±ñ ¹»åùáõÙ »Ý ³ëáõÙ, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿: ´»ñ»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ: 17.

²å³óáõó»ù, áñ y = 1 − x ýáõÝÏóÇ³Ý X = [−1; 1] µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

18.

²å³óáõó»ù, áñ ³ÙµáÕç áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ã¿:

19.* ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨° í»ñ¨Çó, ¨° Ý»ñù¨Çó, ³å³ ³ÛÝ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿:

ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ 1.3 y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý y = ax2 (a > 0)

(1)

ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ Üñ³ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ß³ï ÝÙ³Ý »Ý Ù»½ ³ñ¹»Ý Ñ³ÛïÝÇ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ ¨ ³å³óáõóíáõÙ »Ý Ñ³Ù³ÝÙ³Ý Ó¨áí£ Âí³ñÏ»Ýù ¹ñ³Ýù.

1. ºÃ» x = 0, ³å³ y = 0£ 2. ºÃ» x ≠ 0, ³å³ y > 0£ 3. x-Ç áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (1) ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¿, ÇëÏ x-Ç áã ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñª Ýí³½áõÙ£ 4. ºÃ» x-Á, ¹ñ³Ï³Ý ÙÝ³Éáí, ³Ýë³ÑÙ³Ý ³×áõÙ ¿, ³å³ y-Á ³Ýë³ÑÙ³Ý ³×áõÙ ¿, ÇëÏ »Ã» µ³ó³ë³Ï³Ý x-Á ³ÛÝåÇëÇÝ ¿, áñ ¹ñ³ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ ³Ýë³ÑÙ³Ý ³×áõÙ ¿, ³å³ y-Á ³Ýë³ÑÙ³Ý ³×áõÙ ¿£ ²ÛÉ Ëáëùáíª y → +∞, »ñµ x → +∞ ¨ x → −∞£ 5. (1) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, ³Û¹ ÇëÏ å³ï×³éáí Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ y ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ 6. (1) ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, áõëïÇ, Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï Ïáñ ¿, ³ÛëÇÝùÝª ³ÛÝ ÃÕÃÇ íñ³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ å³ïÏ»ñ»É Ù³ïÇïáíª ³é³Ýó Ó»éùÁ ÃÕÃÇó Ïïñ»Éáõ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñª y = x2 ¨ y = 2x2£ ¸ñ³Ýù »ñÏáõëÝ ¿É áñáßí³Í »Ý x-Ç 2 2 y = 2x y=x ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ÀÝïñ»Ýù 2 A1(x0; 2x0 ) x0y ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ¨ x0 Ï»ïÁ£ 2 A(x0; x0 ) A(x0; x02) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ÇëÏ ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ A1(x0; 2x02) Ï»ïÁª y = 2x2 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ (ÝÏ. 57)£ A1 ¨ A Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý, ÇÝãå»ë 2 £ 1, ³ÛëÇÝùÝª A0A1 1 A0(x0; 0) Ñ³ïí³ÍÁ ëï³óíáõÙ ¿ A0A 2 ³Ý·³Ù ÜÏ. 57 Ó·»Éáí£ ÜáõÛÝ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ï³Ý»É y = x2, ¨ y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ï»ï»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É ³ëáõÙ »Ý, áñ y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª í»ñçÇÝë Ó·»Éáí 2 ³Ý·³Ù Oy ³é³ÝóùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ (»ñÏ³ÛÝùáí)£ ¸³ï»Éáí ÝáõÛÝ Ï»ñåª Ï³ñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (»Ã» a > 1) ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª í»ñçÇÝë a ³Ý·³Ù Ó·»1 Éáí y ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí, ÇëÏ »Ã» 0 < a < 1, ³å³ª −− -ñ¹ ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí£ a Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÝÙ³Ý ¿ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ. ³ÛÝ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³µáÉ£ 58. ³ ÝÏ³ñáõÙ ÙÇ¨ÝáõÛÝ xOy ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = x2, y = 2x2, y = 3x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ, ÇëÏ 58. µ ÝÏ³ñáõÙª y = x2,

1 1 y = −− x2, y = −− x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ£ 2 3 2

y=x

y = 3x

1 2 1 3

y = 2x 2 y=x

1 2

³)

µ) ÜÏ. 58

20.° ÆÝãå»±ë »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ 21.° ÆÝãå»±ë ëï³Ý³É y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó£ 22.° Æ±Ýã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¿ ûÅïí³Í y = ax2(a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý£ 23.

³) üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = 5x2 µ³Ý³Ó¨áí£ ²Ýí³Ý»ù Ï³ËÛ³É ¨ ³ÝÏ³Ë ÷á÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ Ð³ßí»ù y(0), y(1), y(2), y(3), y(−1), y(−2), y(−3) Ãí»ñÁ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£

úñÇÝ³Ï. x

−1

−2

−3

µ) üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = 0,25x2 µ³Ý³Ó¨áí£ Ð³ßí»ù y(−2), y(−4),

1 1 y(10), y(−−), y(−10), y(− −−) Ãí»ñÁ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³Ï»ñå»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ 3 3 ï»ëùáí£ 24.

3 üáõÝÏóÇ³Ý ïñí³Í ¿ y = −− x2 µ³Ý³Ó¨áí£ ÖÇ±ßï »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ³í³5 ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) y (5) = 15; µ) y (−10) = 80; ·) y (3) = 5,6; ¹) y (−2) = 2,4:

25.

³) Ð³ßí»ù y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −3-Çó ÙÇÝã¨ 3 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,5 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ 1 µ) Ð³ßí»ù y = −− x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −1-Çó 1 ³ñ5 Å»ùÝ»ñ 0,2 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£

26.

³) îí³Í ¿ y = 5x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý 5; 0,2; −2; 0£ 1 µ) îí³Í ¿ y = −− x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏ7 óÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ »Ý −7; 7; 0; 1£

27.° ³) Î³ñá±Õ ¿ y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝ»É µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ µ) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É y = ax2 (a > 0) ýáõÝÏóÇ³Ý x-Ç ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ£ 28.

îí³Í »Ý y = x2 ¨ y = 3x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ. ³) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý áñáßí³Í ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ£ µ) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ »Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ x > 0, x < 0, x = 0 ¹»åùáõÙ£ 1 1 ·) Ð³ßí»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −−; − −−; 0,5; 3 3 1 1 −0,5; 1; −1; 1−−; −1−−; 2; −2 ³ñÅ»ùÝ»ñ£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõ3 3 ë³ÏÇ ï»ëùáí£ ¹) à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ »Ý ¹³ë³íáñí³Í ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ») ¼á±õÛ· »Ý ³ñ¹Ûáù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ£ ¸ñ³Ï³Ý å³ï³ëË³ÝÇ ¹»åùáõÙ Ýß»ù Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ£ ½) Î³éáõó»ù (x; x2) ¨ (x; 3x2) Ï»ï»ñÁ£

¿) Î³éáõó»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí Ýñ³Ýó ³ÝÁÝ¹Ñ³ïáõÃÛáõÝÁ£ Á) ¶ñ³ýÇÏÝ» ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ýáõÝÏóÇ ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ 1 áñáß»ù y(1,5), y(−2−−), y(−0,3)-Á)£ 3 Ã) ¶ñ³ýÇÏÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ áñáß»ùª Ç±Ýã x-»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏ2 óÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ Çñ³ñ 1; 1 −−; 4,5£ 3 ²ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ ëïáõ·»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ ïñíáÕ µ³Ý³Ó¨»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ Å) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ù»Í ½ñáÛÇó, ÷áùñ ½ñáÛÇó, Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ£ Ç) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ù»Í 1-Çó, ÷áùñ 2-Çó, ÷áùñ −1-Çó£ 29.

îñí³Í »Ý y = x2 ¨ y = 0,5x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ£ ä³ï³ëË³Ý»ù Ý³Ëáñ¹ í³ñÅáõÃÛ³Ý Ñ³ñó»ñÇÝ£

30.

Üß»ù ÑÇÝ· Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ³í»ÉÇ Ñ³ñÙ³ñ ¿ Ñ³ßí»É ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. 1 1 µ) y = −− x2; ·) y = −− x2; ³) y = 4x2; 4 3 2 2 ») y = 0,1x ; ½) y = 5x2; ¹) y = 1,5x ; 2 ») y = 1−−− x2; ½) y = 2,5x2: ¹) y = 10x2; 15 Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ÁÝïñ»Éáí Ñ³ñÙ³ñ ÙÇ³íáñ Ñ³ïí³ÍÝ»ñ (31-32).

1 ·) y = −− x2; 3

³) y = 4x2;

µ) y = 0,25x2;

¹) y = 1,5x2;

1 ») y = −−− x2; 10

½) y = 5x2£

32.

³) y = 20x2; ¹) y = 0,01x2;

µ) y = 400x2; ») y = 0,001x2;

·) y = 1000x2; ½) y = 0,0001x2£

33.

ä³ïÏ³Ýá±õÙ »Ý ³ñ¹Ûáù ³) A(2; 32), B(−3; 72), C(2,5; 18) Ï»ï»ñÁ y = 8x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ,

31.

µ) A(5; 1,8), B(−10; 5), C(−8; 3,2) Ï»ï»ñÁ y = 0,05x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ 34.

³) îñí³Í ¿ y = 3x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ ¶ï»ù a-Ý, »Ã» (−2; a) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ µ) îñí³Í ¿ y = 3x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ (b; 12) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù b-Ý£ ·) (1; 8) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù a-Ý£

35.

Î³éáõó»ù y = 0,1x2 å³ñ³µáÉÁ. ³) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ µ) à±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ 2£ ·) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ y-Á, »Ã» x > 0,5; ¹) à±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¨ Ýí³½áõÙ£

36.

Î³éáõó»ù y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ y-Á, »Ã» x > 0, x < 0, x > 1, x > −2£ µ) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ x-Á, »Ã» y ≥ 0, y ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 1 < y < 4£

37.

ÜÏ. 59-áõÙ Ý»ñÏ³Û³óí³Í »Ý y = x2 ¨ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ¶ï»ù a-Ý£ 2

y = ax

y=x

y = ax 2,5 1

1 1

³)

µ) ÜÏ. 59

38.

ÜÏ. 60-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ú·ï³·áñÍ»Éáí ÝÏ³ñáõÙ µ»ñí³Í ïíÛ³ÉÝ»ñÁª ·ï»ù a-Ý£

1 1

4 ³)

µ) ÜÏ. 60

39.

ÜÏ. 61-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ï»ù a-Ý£

2 1

1 1

³)

µ)

1 2 ·)

ÜÏ. 61

1.4 y = ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý (a ≠ 0) y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ ¸Çï³ñÏ»Ýù y = x2 ¨ y = −x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ£ Üñ³Ýó ÙÇ¨ÝáõÛÝ x0, x0 ≠ 0 ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³1 ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùáí Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý, µ³Ûó áõÝ»Ý Ñ³Ï³¹Çñ Ýß³ÝÝ»ñ, áõëïÇ, Ýñ³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ Üñ³ÝóÇó 1 1 ³é³çÇÝÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, 1 »ñÏñáñ¹Áª Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ 2 O(0; 0) Ï»ïÇó)£ ÜÏ. 62-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = x ; y = −x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ÖÇßï ÝáõÛÝ Ó¨áíª y = ax2 ¨ y = −ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ, áñï»Õ a-Ý ïñí³Í, ½ñáÛÇó ï³ñÜÏ. 62 µ»ñ ÃÇí ¿, Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ a > 0 ¹»åùáõÙ Ýñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, »ñÏñáñ¹Áª Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (µ³ó³éáõÃÛ³Ùµ O(0; 0) Ï»ïÇ)£ a < 0 ¹»åùáõÙ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, ÇÝãå»ë ¨ a > 0 ¹»åùáõÙ ¿ñ, å³ñ³µáÉ ¿£ ÜÏ. 63-áõÙ ÙÇ¨ÝáõÛÝ xOy ¹»Ï³ñïÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ 1 1 å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = 2x2, y = −2x2, y = −− x2, y = − −− x2 å³ñ³µáÉÝ»ñÁ£ 2 2 a-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ïñí³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ (a ≠ 0) y = ax2 ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, áñáíÑ»ï¨ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ a (−x)2 = ax2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ¸³ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ Oy ³é³ÝóùÁ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÝ ¿. y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ¨ Çñ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý å³ñ³µáÉÇ ·³·³Ã, ÇëÏ å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁª å³ñ³µáÉÇ ³é³Ýóù£ y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý a > 0 ¹»åùáõÙ x = 0 Ï»ïáõÙ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, ÇëÏ a < 0 ¹»åùáõÙª Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ£

y = 2x

1 2

1 1

1 2 2

y = 2x ÜÏ. 63

40.° ³) ÆÝãå»±ë »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª (a ≠ 0)£ µ) àñ áõÕÇÕÝ ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÁ£ ÆÝãá±õ£ ·) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇ ·³·³Ã, ³é³Ýóù£

41.

¶ñ»ù y = ax2 (a ≠ 0) å³ñ³µáÉÇÝ Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ å³ñ³µáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

42.

³) à±ñÝ ¿ y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ µ) àñï»±Õ ¿ ¹³ë³íáñí³Í y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ·) ²å³óáõó»ù, áñ y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿£ Üß»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ£ ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù Ï»ï»ñ, áñáÝù å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý y = ax2(a ≠ 0) ï»ëùÇ µáÉáñ å³ñ³µáÉÝ»ñÇÝ£ ») ÀÝ¹áõÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù y = ax2 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ£ ½) à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ¹³ë³íáñí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. 2) y = −5x2; 3) y = −0,5x2; 4) y = 0,5x2: 1) y = 10x2;

43.

à±ñ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ. µ) y = −5x2; ·) y = −0,5x2; ³) y = 10x2;

¹) y = 0,5x2:

44.

³) Ð³ßí»ù y = −2x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí 0-Çó 2 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,2 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£ µ) Ð³ßí»ù y = −0,5x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁª x-ÇÝ ï³Éáí −2-Çó 2 ³ñÅ»ùÝ»ñ 0,5 ù³ÛÉáí£ ÈáõÍáõÙÁ Ó¨³íáñ»ù ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí£

45.

Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ÁÝïñ»Éáí Ñ³ñÙ³ñ ÙÇ³íáñ Ñ³ïí³ÍÝ»ñª Ï³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. µ) y = −0,5x2; ³) y = −3x2; 1 ¹) y = −2 −− x2; ·) y = −0,1x2; 2 ½) y = −400x2; ») y = −200x2; Á) y = −4200x2: ¿) y = −1000x2;

46.

îñí³Í ¿ y = −x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ Î³éáõó»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ áñáß»ùª á±ñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿. ³) y > 0; µ) y ≤ 0; ·) y < −1; ¹) y ≤ −4£

47.

îñí³Í ¿ y = −0,1x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ Î³éáõó»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ áñáß»ùª Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý, »Ã». ³) x > 0; µ) x ≥ 0; ·) x ≥ −2; ¹) x ≤ −2:

48.

Æ±Ýã µ³Ý³Ó¨áí ¿ ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý, »Ã» Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ Ýßí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ. 1 ³) y = 3x2; µ) y = − −− x2; ·) y = 100x2; ¹) y = −0,2x2: 3

49.

ä³ïÏ³Ýá±õÙ »Ý ³ñ¹Ûáù. ³) A(3; 90), B(−4; −160), C(0,2; 0,4) Ï»ï»ñÁ y = −10x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, µ) A(−2; 0,4), B(−5; −8,5), C(4; −1;6) Ï»ï»ñÁ y = −0.1x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£

50.

³) îñí³Í ¿ y = −3x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ (t; −3) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù t-Ý£ µ) îñí³Í ¿ y = −0,2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ (−0,2; t) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù t-Ý£

1.5 y = a(x − x0)2 + y0 ýáõÝÏóÇ³Ý y = a(x − x0)2 + y0 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ òáõÛó ï³Ýùª ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ, ûñÇÝ³Ï, y0 = −2 ¹»åùáõÙ£ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÁ (ÝÏ. 64. ³)£ y = ax2 − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ »ñÏáõ ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É Ý»ñù¨£ y = ax2 − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (0; −2) ·³·³Ãáí å³ñ³µáÉ ¿, áñÇ ³é³ÝóùÁ x = 0 áõÕÇÕÝ ¿ (ÝÏ. 64. µ)£ Æñáù, »Ã» A-Ý y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ï ¿, ÇëÏ B-Ýª ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ y = ax2 − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ï, ³å³ B-Ç ûñ¹ÇÝ³ïÁ 2 ÙÇ³íáñáí ÷áùñ ¿ A-Ç ûñ¹ÇÝ³ïÇó£ úñÇÝ³Ïª x = 0 ¹»åùáõÙ y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 0 ³ñÅ»ù, ÇëÏ y = 2x2 − 2 ýáõÝÏóÇ³Ýª −2 ³ñÅ»ù£ x = 1 ¨ x = −1 ¹»åùáõÙ y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 2 ³ñÅ»ù, ÇëÏ y = 2x2 − 2 ýáõÝÏóÇ³Ýª 0 ³ñÅ»ù, ¨ ³ÛÉÝ£ ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, y = ax2 + y å³ñ³µáÉÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ |y0| ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É í»ñ¨, »Ã» y0 > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» y0 < 0£

y = 2x

y = 2x 2

2 2 1

A 1 2 B

1 2

³)

µ) ÜÏ. 64

¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ y = ax2(a ≠ 0) å³ñ³µáÉÁ (ÝÏ. 65. ³)£ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ 2 ÙÇ³íáñ ï»Õ³÷áË»É ³ç£ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (2; 0) ·³·³Ãáí å³ñ³µáÉ ¿, áñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ x = 2 áõÕÇÕÝ ¿ (ÝÏ. 65. µ)£ 2

y = a(x 2)

y = ax

A B

A B 1

1 2

³)

µ) ÜÏ. 65

Æñáù, »Ã» A-Ý y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ÇëÏ B-Ýª ÝáõÛÝ ûñ¹ÇÝ³ïÝ áõÝ»óáÕ y = a(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ï»ï, ³å³ B Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ 2 ÙÇ³íáñáí Ù»Í ¿ A Ï»ïÇ ³µëóÇëÇó£ úñÇÝ³Ïª y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý O ³ñÅ»ù ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ x = 0 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ y = 2(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³Ýª x = 2 Ï»ïáõÙ, y = 2x2 ýáõÝÏóÇ³Ý 2 ³ñÅ»ù ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿

x = 1 ¨ x = −1 ¹»åùáõÙ, ÇëÏ y = 2(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³Ýª x = 3 ¨ x = 1 ¹»åùáõÙ, ¨ ³ÛÉÝ£ ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, y = a(x − x0)2 å³ñ³µáÉÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É |x0| ÙÇ³íáñ ³ç, »Ã» x0 > 0, ¨ Ó³Ë, »Ã» x0 < 0£ ¸Çóáõù, ³ÛÅÙ ïñí³Í ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ (ÝÏ. 65. ³)£ y = a(x − 2)2 + 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ëÏ½µáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ 2 ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É ³ç (ÝÏ. 65. µ)£ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá y = a(x − 2)2 å³ñ³µáÉÁ å»ïù ¿ ï»Õ³ß³ñÅ»É 3 ÙÇ³íáñ í»ñ ¨ (ÝÏ. 66. ³)£ y = a(x − 2)2 + 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (2; 3) ·³·³Ãáí å³ñ³µáÉ ¿, áñÇ ³é³ÝóùÁ x = 2 áõÕÇÕÝ ¿ (ÝÏ. 66. µ)£

B 1

1 2 3

³)

µ) ÜÏ. 66

Æñáù, »Ã» B-Ý y = a(x − 2)2 å³ñ³µáÉÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ï ¿, ÇëÏ C-Ýª ÝáõÛÝ ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ y = a(x − 2)2 + 3 å³ñ³µáÉÇ Ï»ï, ³å³ C-Ç ûñ¹ÇÝ³ïÁ 3 ÙÇ³íáñáí Ù»Í ¿ B-Ç ûñ¹ÇÝ³ïÇó£ úñÇÝ³Ïª x = 2 ¹»åùáõÙ y = 2(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 0 ³ñÅ»ù, ÇëÏ y = 2(x − 2)2 + 3 ýáõÝÏóÇ³Ýª 0 + 3 = 3 ³ñÅ»ù, x = 1 ¹»åùáõÙ y = 2(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 2 ³ñÅ»ù, ÇëÏ y = 2(x − 2)2 + 3 ýáõÝÏóÇ³Ýª 2 + 3 = 5 ³ñÅ»ù, ¨ ³ÛÉÝ£ ÀÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë, y = a(x − x0)2 + y0 å³ñ³µáÉÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÁ |x0| ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É ³ç, »Ã» x0 > 0, ¨ Ó³Ë,ª »Ã» x0 < 0, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ëï³óí³Í å³ñ³µáÉÁ |y0| ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É í»ñ¨, »Ã» y0 > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» y0 < 0£ y = a(x − x0)2 + y0 å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÝ áõÝÇ (x0; y0) Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, ÇëÏ x = x0 áõÕÇÕÁ Ýñ³ ³é³ÝóùÝ ¿£ y = a(x − x0)2 + y0 (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý x = x0 ¹»åùáõÙ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» a > 0, ¨ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» a < 0£

úñÇÝ³Ïª Ï³éáõó»Ýù y = (x − 3)2 − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª y = x2 å³ñ³µáÉÁ 3 ÙÇ³íáñáí å»ïù ¿ ï»Õ³ß³ñÅ»É ³ç (ÝÏ. 67. ³)£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ª y = (x − 3)2 å³ñ³µáÉÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É 2 ÙÇ³íáñ Ý»ñù¨ (ÝÏ. 67. µ)£ 2

y = x y = (x 3)2

y = (x 3)

1 2 3 2

2 ³)

3 2

y = (x 3)

µ) ÜÏ. 67

51.

y = ax2(a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó ÇÝãå»±ë ëï³Ý³É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ. µ) y = a(x − x0)2 + y0; ³) y = a(x − x0)2; ·) y = ax2 + y0:

52.

¸Çóáõùª a > 0£ ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ y0 ÃÇíÁ, áñ y = a(x − x0)2 + y0 å³ñ³µáÉÁ ³) Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïÇ »ñÏáõ Ï»ï»ñáõÙ, µ) Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïÇ ÙÇ Ï»ïáõÙ, ·) Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ãÑ³ïíÇ£

53.

x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ 0. µ) y = −(x + 8)2; ³) y = (x − 5)2; 2 ·) y = 2(x − 3) :

54. Æ±Ýã Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ áõÝÇ å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÁ. µ) y = 3(x + 9)2; ³) y = (x + 1)2; 2 ¹) y = −4(x − 9)2: ·) y = −2(x − 5) ;

55. ¶ñ»ù å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ µ) y = −(x + 7)2; ³) y = (x − 12)2; 2 ¹) y = −8(x − 10)2: ·) y = 3(x + 2) ; 56.

´³ó³ïñ»ùª ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ëï³Ý³É Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ. µ) y = −(x + 5)2; ³) y = (x + 5)2; ·) y = 3(x − 1)2; ¹) y = −2(x − 1)2:

57.

îñí³Í ¿ y = (x − 2)2 å³ñ³µáÉÁ. ³) àñáß»ù å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ£ µ) ¶ñ»ù å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ·) Üß»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ ¹) Üß»ùª ÇÝã ³ñÅ»ùÝ»ñ Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É y ýáõÝÏóÇ³Ý£ ») Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ½) ÆÝãå»±ë Ï÷á÷áËíÇ y-Á, »Ã» x ³ñ·áõÙ»ÝïÁ ÷á÷áËíÇ −∞-Çóª 2, 2-Çóª +∞£ ¿) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù£ ÀÝ¹áõÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù£ Á) à±ñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³ïáõÙ Ox ¨ Oy ³é³ÝóùÝ»ñÁ£

58.

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = (x − 1)2; ·) y = (x − 3)2; ») y = −(x − 1)2; ¿) y = −(x − 0,5)2; Ã) y = 2(x − 1)2; Ç) y = 0,5(x + 2)2; Ë) y = −0,5(x − 2)2;

59.

µ) y = (x + 1)2; ¹) y = (x + 4)2; ½) y = −(x + 2)2; Á) y = −(x + 0,5)2; Å) y = −3(x + 1)2; É) y = −0,1(x − 3)2; Í) y = 0,1(x + 3)2£

îñí³Í ¿ y = 2(x − 3)2 ýáõÝÏóÇ³Ý. ³) Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ µ) Üß»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ ·) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù£ ÀÝ¹áõÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù x-Ç áñ¨¿ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ£ ¹) à±ñ Ï»ï»ñáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³ïáõÙ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÁ£ ») Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý, »Ã» x > 3, x < −1, 0 < x < 1£

½) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ y > 0, y ≤ 0, y > −1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ 60.

Æ±Ýã µ³Ý³Ó¨áí ¿ ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óí»É ¿ y = x2 å³ñ³µáÉÇ ·ñ³ýÇÏÇó. ³) Oy ³é³Ýóùáí 2 ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí ¨ ·³·³ÃÁ (5; 0) Ï»ïÁ ï»Õ³÷áË»Éáí, µ) Oy ³é³Ýóùáí 5 ³Ý·³Ù Ó·»Éáí ¨ ·³·³ÃÁ (−4; 0) Ï»ïÁ ï»Õ³÷áË»Éáí£

61.* ³) ¶ñ»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ïñÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Á, áñÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ y = 2(x − 8)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ µ) ¶ñ»ù áñ¨¿ å³ñ³µáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÁ x = 3 áõÕÇÕÝ ¿£

62.

ä³ïÏ³Ýá±õÙ »Ý ³ñ¹Ûáù ³) A(7; 45), B(−2; 170) Ï»ï»ñÁ y = 5(x − 4)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ, µ) A(7; 1), B(−8; −2) Ï»ï»ñÁ y = −0,2(x − 2)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£

63.

³) îñí³Í ¿ y = −5(x + 9)2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ (3; k) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù k-Ý£ µ) îñí³Í ¿ y = 10(x − 6)2 ýáõÝÏóÇ³Ý£ (m; 10) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù m-Á£ ·) (5; −8) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = a(x − 3)2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù a-Ý£

64.

îñí³Í »Ý y = x2 ¨ y = x2 + 1 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ. ³) à±ñÝ ¿ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£ µ) Ð³Ù»Ù³ï»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ x ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ·) ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É y = x2 + 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó£ ») Üß»ù ïñí³Í å³ñ³µáÉÝ»ñÇ ·³·³ÃÝ»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ£ ½) ²ñ·áõÙ»ÝïÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ£ ¿) y-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ñ³ïáõÙ Oy ³é³ÝóùÁ£ Á) Î³éáõó»ù ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£

65.

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁª Ý³Ë³å»ë Ýß»Éáí å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ (»Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý). µ) y = x2 + 3; ³) y = x2 − 4; ¹) y = −x2 − 1: ·) y = −x2 + 2;

66.

Æ±Ýã µ³Ý³Ó¨áí ¿ ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý, »Ã» Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ y = x2 å³ñ³µáÉÇó ëï³óí»É ¿. ³) ·³·³ÃÁ ï»Õ³÷áË»Éáí (0; 5) Ï»ïÁ, µ) ·³·³ÃÁ ï»Õ³÷áË»Éáí (0; −3) Ï»ïÁ, ·) Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí 2 ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí ¨ ·³·³ÃÁ (0; 3) Ï»ïÁ ï»Õ³÷áË»Éáí, ¹) Oy ³é³Ýóùáí 2 ³Ý·³Ù Ó·»Éáí ¨ ·³·³ÃÁ (0; −2) Ï»ïÁ ï»Õ³÷áË»Éáí£

67.

Î³éáõó»ù å³ñ³µáÉÁ. ³) y = (x − 1)2 + 1; ·) y = −2(x − 2)2 + 2;

µ) y = −(x + 1)2 + 2; ¹) y = 2(x + 1)2 − 1£

68.

àñáß»ù å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ Ï³éáõó»ù å³ñ³µáÉÁ. ³) y = (x − 2)2 + 10; µ) y = (x + 8)2 − 5; ¹) y = −2,5(x − 0,5)2 + 1; ·) y = 2(x − 7)2 − 11; 2 ½) y = 0,5(x − 4)2 + 6: ») y = −0,5(x − 0,5) − 3;

69.

Æ±Ýã µ³Ý³Ó¨áí ¿ ïñíáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý, áñÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óí»É ¿ y = 2x2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛ³Ùµ ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ ·³·³ÃÁ ¹³ñÓ»É ¿ ³) (5; −1) Ï»ïÁ, µ) (−2; 5) Ï»ïÁ£

70.

ÀÝïñ»Éáí Ñ³ñÙ³ñ Ù³ëßï³µª Ï³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. µ) y = −1000(x − 5)2 + 2000: ³) y = 300(x − 0,2)2 − 400;

1.6 ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¸Çï³ñÏ»Ýù (1) y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³Ý£ ²ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³£ ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ R µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ Â»áñ»Ù£ ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (x0; y0) ·³·³Ãáí å³ñ³µáÉ ¿, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, áñï»Õ b D (2) x0 = − −−−, y0 = − −−−£ 2a 4a ²å³óáõÛó£ ¸Çï³ñÏ»Ýù y = a(x − x0)2 + y0 (a ≠ 0)

(3)

ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ x0-Á ¨ y0-Á áñáßíáõÙ »Ý (2) µ³Ý³Ó¨»ñáí£ 8-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ óáõÛó ¿ ïñí³Í (ï»°ë ¿ç 202, Ï»ï 6.1), áñ ó³ÝÏ³ó³Í x ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ ax2 + bx + c = a(x − x0)2 + y0 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ (1) ¨ (3) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ê³Ï³ÛÝ, ÇÝãå»ë óáõÛó ïñí»ó Ï»ï 7.3-áõÙ, (3) ¨ Ñ»ï¨³µ³ñª (1) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ (x0; y0) Ï»ïáõÙ ·³·³Ã áõÝ»óáÕ å³ñ³µáÉÝ»ñ »Ý, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó£ Â»áñ»ÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿£ úñÇÝ³Ï 1£ Î³éáõó»Ýù (4) y = x2 − 2x − 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Éáí ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇª x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1 − 4 = (x − 1)2 − 4, Ïëï³Ý³Ýù, áñ (4) µ³Ý³Ó¨Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ³Ûëå»ë. y = (x − 1)2 − 4£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ (4) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ñ³µáÉ ¿, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = x2 å³ñ³µáÉÇ ³ÛÝåÇëÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó, áñ Ýñ³ ·³·³Ã ¹³éÝ³ (1; −4) Ï»ïÁ (ÝÏ. 68)£ ÜáõÛÝ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ëï³Ý³Éª Ñ³ßí»Éáí å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ ¨ Ýñ³ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ.

b 2 x0 = − −−− = −− = 1, 2a 2 2

y=x

y0 = 12 − 2 · 1 − 3 = −4£ x0

−1

0 −3

1 −4

−3

y = (x 1)

1 2

¶ñ³ýÇÏÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ å³ñ³µáÉÇ ·³3 ·³ÃÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨, 4 ¨ å³ñ³µáÉÁ Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïáõÙ ¿ »ñÏáõ Ï»ï»ñáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» (4) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÜÏ. 68 Ù»ç ï»Õ³¹ñ»Ýù y = 0, ³å³ ëï³óí³Í x2 − 2x − 3 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ å»ïù ¿ áõÝ»Ý³ »ñÏáõ ³ñÙ³ï£ ²Û¹ »½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëïáõ·»Éª Ñ³ßí»Éáí ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ −b ± √$D 2 ± 4 àõÝ»Ýù D = b2 − 4ac = 16, x1, 2 = −−−−−−−− = −−−−−, áñï»ÕÇó x1 = −1; x2 = 3£ 2a 2 úñÇÝ³Ï 2£ Î³éáõó»Ýù y = 3x2 + 12x + 15 (5) å³ñ³µáÉÁ£ ö³Ï³·Í»ñÇó ¹áõñë µ»ñ»Ýù 3 ·áñÍ³ÏÇóÁ, ¨ ëï³óí³Í »é³Ý¹³ÙÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Ýù ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ. 3(x2 + 4x +5) = 3(x2 + 2 · 2x + 4 + 1) = 3(x + 2)2 + 3£ ²ÛëåÇëáí, (5) ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É ³Ûëå»ë. y = 3(x + 2)2 + 3£ àõëïÇ, (5) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ñ³µáÉ ¿, áñÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = 3x2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝÇó ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³ ·³·³ÃÁ ¹³éÝ³ (−2; 3) Ï»ïÁ (ÝÏ. 69)£ ¸³ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë, áñ 3x2 + 12x + 15 = 0

(6)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñª (6) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁ å»ïù ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ÉÇÝÇ£ Æñáù. D = b2 − 4ac = 144 − 180 = −36 < 0£

y = 3( x + 2) + 3 1

y = 3x

3 1 1

ÜÏ. 69

ÜÏ.70

úñÇÝ³Ï 3£ Î³éáõó»Ýù y = −6x2 − 12x − 8

(7)

å³ñ³µáÉÁ£ Ð³ßí»Ýù å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. b 12 x0 = − −−− = −−−−−−− = −1, 2a 2 · (−6) y0 = −6 (−1)2 − 12(−1) − 8 = −2£ Ð³ßí»Ýù å³ñ³µáÉÇ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñ, áñáÝù Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Ýñ³ x = −1 ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ x

−3

−2

−1

−26

−8

−2

−8

−26

ä³ïÏ»ñ»Ýù ëï³óí³Í Ï»ï»ñÁ xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ¨ ÙÇ³óÝ»Éáí ¹ñ³Ýù ³ÝÁÝ¹Ñ³ï Ïáñáíª Ïëï³Ý³Ýù áñáÝ»ÉÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 70)£ Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ ³Ûë ³Ý·³Ù å³ñ³µáÉÁ ãÇ Ñ³ïáõÙ Ox ³é³ÝóùÁ, ¨ −6x2 − 12x − 8 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, ³ÛëÇÝùÝª ó³ÝÏ³ó³Í x Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ −6x2 − 12x − 8 < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÛëåÇëáí, (1) å³ñ³µáÉÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É y = ax2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ, áñÇ ¹»åùáõÙ å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÁ Ï¹³éÝ³ (x0; 40) Ï»ïÁ, áñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ áñáßíáõÙ »Ý (2) µ³Ý³Ó¨»ñáí£ ä³ñ³µáÉÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³éáõó»É Ý³¨ Ï»ï»ñáíª ·ïÝ»Éáí ·³·³ÃÇ ¨ å³ñ³µáÉÇ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, áñáÝù, ó³ÝÏ³ÉÇ ¿, Ñ³Ù³ã³÷ ÉÇÝ»Ý å³ñ³µáÉÇ x = x0 ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£

(1) å³ñ³µáÉÁ Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïáõÙ ¿ »ñÏáõ Ï»ï»ñáõÙ, »Ã» ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ D áñáßÇãÁ Ù»Í ¿ ½ñáÛÇó, ßáß³÷áõÙ ¿ Ox ³é³ÝóùÁ ÙÇ Ï»ïáõÙ, »Ã» D = 0, ãÇ Ñ³ïáõÙ Ox ³é³ÝóùÁ, »Ã» D < 0£ Üñ³ ×ÛáõÕ»ñÁ áõÕÕí³Í »Ý í»ñ¨, »Ã» a > 0, Ý»ñù¨, »Ã» a < 0£

71.° ³) ÆÝãå»±ë ëï³Ý³É y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ y = ax2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó£ µ) ÆÝãå»±ë »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ·) ÆÝãå»±ë ¿ ¹³ë³íáñí³Í y = ax2 + bx + c ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ a > 0 ¨ a < 0 ¹»åùáõÙ, »Ã». 1) D > 0; 2) D = 0; 3) D < 0£ 72.

îñí³Í ¿ y = ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý£ Üß»ù. ³) å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, µ) å³ñ³µáÉÇ Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ·) Oy ³é³ÝóùÇ Ñ»ï å³ñ³µáÉÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, ¹) Ox ³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ ³ÛÝ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ï³Ëí³Í ¿ ³Û¹ Ï»ï»ñÇ ù³Ý³ÏÁ£

73.

Üß»ù å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, Ñ³Ù³ã³÷áõÃÛ³Ý ³é³ÝóùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ»ï å³ñ³µáÉÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, »Ã». µ) y = x2 + 7x − 8; ·) y = 2x2 − x + 1; ³) y = x2 − 3x + 5; ») y = −3x2 + 5x − 10; ½) y = −10x2 − x + 3: ¹) y = 5x2 + 4x − 2;

74.

75.

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (74-75). µ) y = x2 + 2x − 3; ³) y = x2 − 4x + 3; ») y = x2 − 6x + 5; ¹) y = 9x2 − 12x + 3; Á) y = −x2 + 4x + 5; ¿) y = −x2 − 6x − 5; 2 Å) y = −x + 4x − 6: ³) y = x2 + 3; ·) y = 0,2x2 − x + 0,8; ») y = −1,2x2 − 1,2x − 0,5; ¿) y = 2x2 + 8x − 10;

·) y = 4x2 − 4x − 1; ½) y = x2 + 4x − 5; Ã) y = x2 − 4x + 7:

µ) y = −x2 + 9; 1 2 ¹) y = −− x2 + −− x + 5; 9 3 2 ½) y = −8x − 16x − 6; Á) y = −3x2 + 6x − 3:

ä³ï Ù³ Ï³Ý ï» Õ» Ïáõ ÃÛáõÝ Ý»ñ ä³ñ³µáÉÇ Ù³ëÇÝ ·Çï»ñ ¹»é ²ñùÇÙ»¹Áª (Ù.Ã.³. 287-212Ã.) ÐÇÝ ÐáõÝ³ëï³ÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¨ Ù»Ë³ÝÇÏÁ£ Ü³ å³ñ³µáÉÁ ÏÇñ³éáõÙ ¿ñ Ý³í³·Ý³óáõÃÛ³Ý ¨ é³½Ù³Ï³Ý ·áñÍÇ ÙÇ ß³ñù åñ³ÏïÇÏ ËÝ¹ÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë£

²ñùÇÙ»¹ (Ù.Ã.³. 287-212Ã.)

³)

µ) ÜÏ. 83

²ñùÇÙ»¹ÇÝ, ûñÇÝ³Ï, Ñ³ñÏ »Õ³í Ñ³ßí»É å³ñ³µáÉáí ¨ Ýñ³ áñ¨¿ É³ñáí ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí³Í å³ïÏ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ (ÝÏ. 83. ³)£ ºÕ³Ý³ÏÁ (Ù»Ãá¹Á), áñ Ý³ ÏÇñ³é»ó ³Û¹ ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»ÉÇë, Ñ»ï³·³ÛáõÙª »ñÏáõ Ñ³½³ñ ï³ñÇ Ñ»ïá, ÑÇÙù ¹³ñÓ³í Ï³ñ¨áñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ·ÇïáõÃÛ³Ýª ¹Çý»ñ»ÝóÇ³É ¨ ÇÝï»·ñ³É Ñ³ßíÇ ½³ñ·³óÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ ²ñùÇÙ»¹Ý Çñ ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çó ã¿ñ û·ïíáõÙ£ Ü³ ·Çï»ñ, áñ å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ï³ å³ñ³µáÉÇ ýáÏáõë ÏáãíáÕ ÙÇ ÑÇ³Ý³ÉÇ Ï»ï, áñÝ ûÅïí³Í ¿ ³ÛÝ Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ, áñ »Ã» ³ÛÝï»Õ ï»Õ³¹ñ»Ý ÉáõÛëÇ ³ÕµÛáõñ, ³å³ å³ñ³µáÉÇ íñ³ ÁÝÏÝáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ (å³ñ³µáÉÁ ÏÑ³Ù³ñ»Ýù Ñ³Û»ÉÇ) ³Ý¹ñ³¹³ñÓí»Éáí ÏÏ³½Ù»Ý å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ¨ ³Ýí»ñçáõÃÛáõÝ ·Ý³óáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ ÷áõÝç£ ÆëÏ »Ã» Ñ³Ù³ñ»Ýù, áñ å³ñ³µáÉÇ ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é ×³é³·³ÛÃÝ»ñÇ ÷áõÝçÁ (ûñÇÝ³Ïª ³ñ»·³ÏÇó »ÏáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñ) ÁÝÏÝáõÙ ¿ å³ñ³µáÉÇ íñ³, ³å³ Ïå³ñ½íÇ, áñ µáÉáñ ³Ý¹ñ³¹³ñÓíáÕ ×³é³·³ÛÃÝ»ñÁ ÏÑ³ïí»Ý å³ñ³µáÉÇ ýáÏáõëáõÙ (ÝÏ. 83. µ)£ ¶áñÍÝ³Ï³ÝáõÙ ¹ñ³ÝÇó Ï³ñ»ÉÇ ¿ û·ïí»É ýáÏáõëáõÙ µ³ñÓñ ç»ñÙ³ëïÇ×³Ý ëï»ÕÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ É»·»Ý¹ ³ÛÝ Ù³ëÇÝ, áñ ²ñùÇÙ»¹Á Ñ³Ï³é³Ïáñ¹Ç Ý³í³ïáñÙÝ ³Ûñ»ó å³ñ³µáÉ³ïÇå Ñ³Û»ÉÇÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ ÜáõÛÝ ¿ý»ÏïÇ íñ³ ¿ ÑÇÙÝí³Í §ÆÝÅ»Ý»ñ ¶³ñÇÝÇ ÑÇå»ñµáÉáÇ¹¦-Ç ·áñÍáÕáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÝùÁ ².Ü. îáÉëïáÛÇ Ñ³Ù³ÝáõÝ í»åÇó£ Ð³ñÏ ¿ ÙÇ³ÛÝ Ýß»É, áñ Çñ³Ï³ÝáõÙ ³Û¹ ë³ñùÁ å»ïù ¿ñ ³Ýí³Ý»É å³ñ³µáÉáÇ¹, áñáíÑ»ï¨ ÙÇ³ÛÝ

å³ñ³µáÉÝ ¿ ûÅïí³Í Ýßí³Í Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ, ÇëÏ ÑÇå»ñµáÉÝ ³Û¹åÇëÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ£ Æï³É³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý ¶³ÉÇÉ»á ¶³ÉÇÉ»ÛÁ (1564-1642), áõëáõÙÝ³ëÇñ»Éáí Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ³½³ï ³ÝÏáõÙÁ, Ñ³Ý·»ó ³ÛëåÇëÇ ýÇ½ÇÏ³Ï³Ý ûñ»ÝùÇ£ ºñÏñÇ íñ³ ÁÝÏÝáÕ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ (1) ß³ñÅíáõÙ ¿ 1 (1) s = −− g · t2 (t ≥ 0, g ≈ 9,81) 2 ûñ»Ýùáí, áñï»Õ s-Á t í-áõÙ Ù³ñÙÝÇ ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÝ ¿ (Ù-áí Ñ³ßí³Í), g-Ýª ³½³ï ³ÝÏÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÁ (Ù/í2)1£ (1) ýáõÝÏóÇ³Ý áã µ³ó³ë³Ï³Ý t Ãí»ñÇ µ³½s ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ¹Çï³ñÏíáÕ S = at2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ 2 g s 1 gt Ù³ëÝ³íáñ ¹»åùÝ ¿, »ñµ a = −−£ Üñ³ ëË»Ù³ïÇÏ 2 2 ·ñ³ýÇÏÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ÝÏ. 84-áõÙ£ ú·ïí»Éáí (1) µ³Ý³Ó¨Çó Ï³ñáÕ »Ýù Ñ³ßí»É ïñí³Í t Å³Ù³Ý³ÏáõÙ Ù³ñÙÝÇ ³Ýó³Í s ×³Ý³å³ñÑÁ£ s Ð³Ï³é³ÏÁª ïñí³Í s ≥ 0 Ãíáí t-Ý áñáßíáõÙ ¿ $2s t T t t = /−−− g µ³Ý³Ó¨áí£ ÜÏ. 84 ú·ïí»Éáí ·ñ³ýÇÏÇóª (ï»°ë ÝÏ. 84) Ï³ñáÕ »Ýù ³é³Ýó Ñ³ßí³ñÏÝ»ñ Ï³ï³ñ»Éáõ ·ïÝ»É s-Áª ïñí³Í t-Ç Ñ³Ù³ñ ¨ t-Ýª ïñí³Í s-Ç Ñ³Ù³ñ£ ºÃ» Ï»ïÁ H µ³ñÓñáõÃÛáõÝÇó »ñÏñÇ íñ³ ÁÝÏ»É ¿ T Å³Ù³Ý³ÏáõÙ, ³å³ª 1 $2H H = −− gT2 ¨ T = /−−−: 2 g ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ÜÏ. 84-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ·ñ³ýÇÏÇó û·ïí»ÉÇë ëË³É ÏÉÇÝ»ñ Ùï³Í»É, áñ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ ·ñ³ýÇÏáí£ ä»ïù ¿ Ñ³Ù³ñ»É, áñ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ Os ³é³Ýóùáí, ³ÛëÇÝùÝª Ýñ³ Ñ»ï³·ÇÍÁ Os ³é³ÝóùÝ ¿£ ¶ñ³ýÇÏÝ û·ÝáõÙ ¿ ÇÙ³Ý³É, Ã» Å³Ù³Ý³ÏÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïñí³Í t å³ÑÇÝ Os ³é³ÝóùÇ íñ³ áñï»Õ ¿ ·ïÝíáõÙ Ù³ñÙÇÝÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù »ñÏñÇ Ó·áÕ³Ï³Ý ¹³ßïáõÙ Ù³ñÙÝÇ ß³ñÅÙ³Ý ¨ë Ù»Ï ûñÇÝ³Ï£ ¸Çóáõù, »ñÏñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇ O Ï»ïÇó áõÕÕ³·ÇÍ í»ñ Ññ³ó³ÝÇó Ïñ³Ï ¿ ³ñÓ³Ïí»É£ ¶Ý¹³ÏÁ Ññ³ó³ÝÇ ÷áÕÇó ¹áõñë ¿ ÃáÕ»É Å³Ù³Ý³ÏÇ t = 0 å³ÑÇÝ (1) »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ Ï»ïÝ ÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Ýû¹ ï³ñ³ÍáõÃÛ³Ý Ù»ç£ Æñ³Ï³ÝáõÙ å»ïù ¿ Ñ³ßíÇ ³éÝ»É Ý³¨ û¹Ç ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ£

800 Ù/í ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ ÎÑ³Ù³ñ»Ýù, áñ ·Ý¹³ÏÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ ³Ýû¹ ï³ñ³ÍáõÃÛáõÝáõÙ, ÇëÏ ³½³ï ³ÝÏÙ³Ý ³ñ³·³óáõÙÁ Ùáï³íáñ³å»ë 10 Ù/í ¿£ O Ï»ïÇó Os Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ áõÕÕ»Ýù ¹»åÇ í»ñ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·Ý¹³ÏÇ ß³ñÅÙ³Ý ûñ»ÝùÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ (2) s = 800t − 5t 2 ýáõÝÏóÇ³Ûáí, áñï»Õ s-Á ·Ý¹³ÏÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ ¿ (Ù), t-Ýª Å³Ù³Ý³ÏÁ (í)£ ºÃ» »ñÏñÇ Ó·áÕ³Ï³Ý áõÅÁ ãÉÇÝ»ñ, ³å³ ·Ý¹³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ í»ñ Ïß³ñÅí»ñ Ñ³Õáñ¹í³Í ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ ß³ñÅÙ³Ý ûñ»ÝùÁ Ï³ñï³Ñ³Ûïí»ñ s = 800t µ³Ý³Ó¨áí£ ê³Ï³ÛÝ, ßÝáñÑÇí ¹»åÇ Ý»ñù¨ ³½¹áÕ »ñÏñÇ Ó·áÕ³Ï³Ý áõÅÇ, (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ Ç Ñ³Ûï ¿ ·³ÉÇë »ñÏñáñ¹ gt 2 ³Ý¹³ÙÁª −−− ≈ 5t 2, í»ñóñ³Í §ÙÇÝáõë¦ Ýß³Ýáí£ Æñ³Ï³Ý å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ 2 å»ïù ¿ñ Ñ³ßíÇ ³éÝ»É Ý³¨ û¹Ç ¹ÇÙ³¹ñáõÃÛáõÝÁ£ ø³ÝÇ áñ 800t − 5t 2 = −5(t 2 − 160t) = −5(t 2 − 2 · 80t + 80 2) + 32000 = = −5(t − 80)2 + 32000, ³å³ (2) ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É s = −5(t − 80)2 + 32000 ï»ëùáí£ ØïóÝ»Ýù tOs áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³s ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (ÝÏ. 85)£ 32000 ²Û¹ ÝÏ³ñáõÙ ·Ý¹³ÏÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ ³ÛÝ å³ñ³µáÉÇ ÙÇ Ù³ëÝ ¿, áñÁ ëï³óí»É ¿ s = −5t 2 å³ñ³µáÉÇ ½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõs ÃÛáõ ÝÇó ³ÛÝ å»ë, áñ ·³ ·³ÃÁ ¹³ñ Ó»É ¿ (80; 32000) Ï»ïÁ£ ÜÏ. 85-áõÙ µ»ñí³Í ëË»Ù³ïÇÏ ·ñ³ýÇÏÇó t 80 160 t »ñ¨áõÙ ¿, áñ t-Ý 0-Çó 80 ³×»ÉÇë ·Ý¹³ÏÇ s Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »ñÏñÇó Ù»Í³ÝáõÙ ¿ 0-Çó ÜÏ. 85 ÙÇÝã¨ 32000 Ù (32 ÏÙ), ³ÛÝáõÑ»ï¨ [80; 160] Å³Ù³Ý³Ï³Ñ³ïí³ÍáõÙ ·Ý¹³ÏÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ »ñÏñÇó ÷áùñ³ÝáõÙ ¿ ¨ Å³Ù³Ý³ÏÇ t = 160 å³ÑÇÝ ·Ý¹³ÏÁ ÝáñÇó Ñ³ëÝáõÙ ¿ »ñÏñÇÝ£

1.7 üáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ó¨³÷áËáõÃÛ³Ý ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÁ 1. Ð³Ù³ã³÷áõÃÛáõÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ: y = f (x) ¨ y = −f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ: ¸ñ³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (ÝÏ. 106), áñáíÑ»ï¨ (x, f (x)) ¨ (x, −f (x)) Ï»ï»ñÁ Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ:

Ð»ï¨³µ³ñ, y = −f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª í»ñçÇÝë Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»Éáí Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ: y = f (x) ¨ y = f (−x) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý O Ï»ïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñ: ¸ñ³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ñ³Ù³ã³÷ »Ý Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (ÝÏ. 107), Ñ»ï¨³µ³ñª y = f (−x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó, í»ñçÇÝë Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»Éáí Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ:

ÜÏ. 106

ÜÏ. 107

2. î»Õ³ß³ñÅ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñÏ³ÛÝùáí (½áõ·³Ñ»é ï»Õ³÷áËáõÃÛáõÝ): y = f (x − a) ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ a ≠ 0, áñáßí³Í ¿ ³ÛÝåÇëÇ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñ (x − a)-Ý å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ: y = f (x − a) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí |a| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáõ ÙÇçáóáí, ¹»åÇ ³ç, »Ã» a > 0, ¨ ¹»åÇ Ó³Ë, »Ã» a < 0: Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): ì»ñóÝ»Ýù M1 (x0 + a; y0) Ï»ïÁ: ø³ÝÇ áñ y0 = f ((x0 + a) − a), ³å³ M1 Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x − a) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: Ð»ï¨³µ³ñ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ó³ÝÏ³ó³Í M1 Ï»ï ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý M0 Ï»ïÇó ³Û¹ Ï»ïÁ |a| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ Ox ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí ï»Õ³ß³ñÅ»Éáõ ÙÇçáóáí: ÀÝ¹ áñáõÙ, »Ã» a > 0, ³å³ ï»Õ³ß³ñÅÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ ¹»åÇ ³ç a Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ¨ ¹»åÇ Ó³Ëª |a| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ, »Ã» a < 0: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí Ï³éáõó»Ýù y = (x − 2)2 (ÝÏ. 108) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: y = f (x) + B (B ≠ 0) ¨ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ: y = f (x) + B ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí |B| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáõ ÙÇçáóáí, ¹»åÇ í»ñ¨, »Ã» B > 0, ¨ ¹»åÇ Ý»ñù¨, »Ã» B < 0:

Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): ì»ñóÝ»Ýù M1 (x0; y0 + B) Ï»ïÁ: ø³ÝÇ áñ y0 + B = f (x0) + B, Ñ»ï¨³µ³ñ, áñå»ë½Ç ëï³Ý³Ýù M1 Ï»ïÁ, å»ïù ¿ M0 Ï»ïÁ Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí ï»Õ³ß³ñÅ»Ýù |B| Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ¹»åÇ í»ñ¨, »Ã» B > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» B < 0: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí Ï³éáõó»Ýù y = x2 − 4 (ÝÏ. 109) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ.

ÜÏ. 108

ÜÏ. 109

3. ¶ñ³ýÇÏÇ Ó·áõÙ ¨ ë»ÕÙáõÙ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ »ñÏ³ÛÝùáí: y = f (x) ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÁ, áñï»Õ B > 0, áõÝ»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÁ: y = Bf (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ 1 ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí B ³Ý·³Ù Ó·»Éáí, »Ã» B > 1 ¨ −−− ³Ý·³Ù B ë»ÕÙ»Éáí, »Ã» 0 < B < 1: Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): ì»ñóÝ»Ýù M1 (x0; By0) Ï»ïÁ: ø³ÝÇ áñ By0 = Bf (x0), Ñ»ï¨³µ³ñ, M1 Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = Bf (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù B ÃíÇó Ï³Ëí³Í ÑÝ³ñ³íáñ ¹»åù»ñÁ: ³) B > 1: M1 (x0; By0) Ï»ïÁ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÇ Ùá¹áõÉÁ B ³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»Éáí, ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ B ³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùÝª Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ B ³Ý·³Ù Ó·»Éáí: µ) 0 < B < 1: M1 (x0; By0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) 1 Ï»ïÇ ûñ¹ÇÝ³ïÇ Ùá¹áõÉÁ −− ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏB óÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª µáÉáñ 1 Ï»ï»ñÇ ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ −− ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùÝª B

Oy ³é³ÝóùÇ »ñÏ³ÛÝùáí y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ B ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí: ºÃ» B < 0, ³å³ B = − |B| ¨ y = Bf (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ïñáÑíáõÙ ¿ »ñÏáõ ù³ÛÉÇ. 1) y = |B|f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí, 2) y = −|B|f (x) ýáõÝÏóÇ ³ÛÇ ·ñ³ýÇ ÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = |B|f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí Ï³éáõó»Ýù y = − 2x2 (ÝÏ. 111) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ k > 0, áñáßí³Í ¿ª µáÉáñ ³ÛÝåÇëÇ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñ kx ÃÇíÁ å³ïÜÏ. 111 Ï³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ: y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³Ýó1 ùÇÝ k ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí, »Ã» k > 1, ¨ −− ³Ý·³Ù Ó·»Éáí ³é³ÝóùÇó, »Ã» 0 < k < 1: k Æñáù, ¹Çóáõùª M0 (x0; y0) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇx0 ÏÇÝ, ³ÛëÇÝùÝ` y0 = f (x0): M1 (−−; y ) Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ y 0 x ·ñ³ýÇÏÇÝ, ù³ÝÇ áñ ¹ñ³ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý y0 = f (k −−0 ) å³Ûk Ù³ÝÇÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù ÑÝ³ñ³íáñ ¹»åù»ñÁª Ï³Ëí³Í k ÃíÇó: x ³) k > 1: M1(−−;0 y0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ k ³µëóÇëÇ Ùá¹áõÉÁ k ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ¨ y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ k ³Ý·³Ù ÷áùñ³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùÝª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇÝ k ³Ý·³Ù ë»ÕÙ»Éáí: x0 µ) 0 < k < 1: M1 (−−; y0) Ï»ïÝ ëï³óíáõÙ ¿ M0 (x0; y0) Ï»ïÇóª M0 (x0; y0) Ï»ïÇ k ³µëóÇëÇ Ùá¹áõÉÁ k ³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»Éáí, ¨ y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿, y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó µáÉáñ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÇ Ùá¹áõÉÝ»ñÁ k ³Ý·³Ù Ù»Í³óÝ»Éáí, ³ÛëÇÝùÝª y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Oy ³é³ÝóùÇó k ³Ý·³Ù Ó·»Éáí: ºÃ» k < 0, ³å³ k = − |k| ¨ y = f (kx) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ïñáÑíáõÙ ¿ »ñÏáõ ù³ÛÉÇ. 1) y = f (|k|x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí,

2) y = f (−|k|x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙ y = f (|k|x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí: 4. y = Af (k(x − a)) + B ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ y = f (x) ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí: y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇçáóáí y = Af (k(x − a)) + B ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõóíáõÙ ¿ ·ñ³ýÇÏÇª í»ñÁ ¹Çï³ñÏí³Í Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ÏÇñ³éÙ³Ý ÙÇçáóáí: úñÇÝ³Ïª y = f (x) → y = f (kx) → y = Af (kx) → → y = Af (k(x − a)) → y = Af (k(x − a)) + B: ²Û¹ Ù»Ãá¹Ç ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÁ óáõó³¹ñ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñáí: úðÆÜ²Î 1. Î³éáõó»Ýù

1 y = − −− √"x"" +"$3 2

ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ²Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Ýù ù³ÛÉ»ñÇ Ñ»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ (ÝÏ. 116).

ÜÏ. 116 1 1 y = √$x → y = √'x + 3 → y = −− √'x + 3 → y = − −− √'x + 3£ 2 2 k úðÆÜ²Î 2. y = −−−−− + y0 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³Ýx − x0 k Ññ³Å»ßï ¿ Ï³éáõó»É y = −− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ï³éáõóí³Í x ·ñ³ýÇÏÁ Ý³Ëª ï»Õ³ß³ñÅ»É |x0| ÙÇ³íáñ ³ç, »Ã» x0 > 0, ¨ Ó³Ë, »Ã» x0 < 0, ³ÛÝáõÑ»ï¨ª |y0| ÙÇ³íáñ í»ñ¨, »Ã» y0 > 0, ¨ Ý»ñù¨, »Ã» y0 < 0£ ¸Çï³ñÏ»Ýù k, x0 ¨ y0 Ãí»ñÇ ×ß·ñÇï ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. 4 ³) Î³éáõó»Ýù y = −− − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x 4 Ü³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = −− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª Ñ³ßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ x Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñª

−4

−2

−1

−2

−4

4 y = −− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý I x 4 ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ y = −− − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ x Ï³éáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ å»ïù ¿ 2 ÙÇ³íáñáí ï»Õ³ß³ñÅ»É Ý»ñù¨ (ÝÏ.71)£

x=2

4 x

3 x

A 1 3

4 1

1 B

y= 2

1 A

4 4 x

ÜÏ. 71

3 x 2

ÜÏ. 72

−3 µ) Î³éáõó»Ýù y = −−−−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x−2 −3 Ü³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = −−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª Ñ³ßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ x Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. x y

−3 1

−2 1,5

−1,5 2

−1 3

1,5

−3

−2

−1,5

−1

−3 y = −−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý x −3 II ¨ IV ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ y = −−−−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ x−2 ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ï³éáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É 2 ÙÇ³íáñ ³ç (ÝÏ.72)£

2 ·) Î³éáõó»Ýù y = −−−−− − 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x+3 2 Ü³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = −− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª Ñ³ßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ x Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. x y

−4 −0,5

−2 −1

−1 −2

−0,5 −4

0,5 4

1 2

2 1

4 0,5

2 y = −− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý I x 2 ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ y = −−−−− − 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ x+3 ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ï³éáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É 3 ÙÇ³íáñ Ó³Ë ¨ 1 ÙÇ³íáñ Ý»ñù¨ (ÝÏ. 73)£ x= 3 4

x=1

2x 5 x 3

2 x

x=2

1 2 3

x= 1

3 3 x

2 x+3 1

ÜÏ. 73

ÜÏ. 74

2x − 5 ¹) Î³éáõó»Ýù y = −−−−−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x−1 2x − 5 −3 Ü³Ëª Ó¨³÷áË»Ýù Ïáïáñ³ÏÁª −−−−−−− = −−−−− + 2, áõëïÇ, ïñí³Í x−1 x−1 −3 −3 ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É y = −−−−− + 2 ï»ëùáí£ ²ÛÅÙ Ï³éáõó»Ýù y = −−− x−1 x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª Ñ³ßí»Éáí ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. x y

−3 1

−2 1,5

−1,5 2

−1 3

1,5

−3

−2

−1,5

−1

−3 y = −−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÑÇå»ñµáÉ ¿, áñÇ ×ÛáõÕ»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý II x ¨ IV ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ −3 y = −−−−− + 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ Ï³x−1 éáõóí³Í ·ñ³ýÇÏÁ ï»Õ³ß³ñÅ»É 1 ÙÇ³íáñ ³ç ¨ 2 ÙÇ³íáñ í»ñ¨ (ï»°ë ÝÏ. 74)£ úðÆÜ²Î 3. Î³éáõó»Ýù y = |x| − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ xOy áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ y = |x| − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 50. ³)£

y = |x|

A B

y A

1 O

B x

1 O

2 ³)

x y = |x| 2

µ) ÜÏ. 50

y = |x| − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³Éª y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ 2 ÙÇ³íáñáí Ý»ñù¨ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáí (ÝÏ. 50 µ)£ úðÆÜ²Î 4. Î³éáõó»Ýù y = |x| + 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ÆÝãå»ë ¨ Ý³Ëáñ¹ ûñÇÝ³ÏáõÙ, ³Ûë ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³Éª y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 3 ÙÇ³íáñ í»ñ¨ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáí (ÝÏ. 51)£

y = |x| + 3

3 y = |x|

1 O

ÜÏ. 51

úðÆÜ²Î 5. Î³éáõó»Ýù y = |x − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ xOy áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ y = |x − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ (ÝÏ. 52. ³)£

y y = |x|

y = |x| A

1 O

B 1

³)

y = |x 2| x

1 µ)

ÜÏ. 52 y = |x − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó Ýñ³ µáÉáñ Ï»ï»ñÁ 2 ÙÇ³íáñáí ³ç ï»Õ³÷áË»Éáí (ÝÏ. 52. µ)£ úðÆÜ²Î 6. Î³éáõó»Ýù y = |x + 3| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¸³ï»Éáí ûñÇÝ³Ï 3-Çóª y = |x + 3| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 3 ÙÇ³íáñ Ó³Ë ï»Õ³ß³ñÅ»Éáí (ÝÏ. 53)£ úðÆÜ²Î 7. Î³éáõó»Ýù y = |x + 1| − 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ 1) Ü³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = |x| ýáõÝÏy óÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³ÛÝ 1 ÙÇ³íáñ Ó³Ë ï»Õ³ß³ñÅ»Éáíª Ïëï³Ý³Ýù y = |x + 1| y = |x 3| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 54. ³)£ 3 2) ²ÛÝáõÑ»ï¨ ï»Õ³ß³ñÅ»Éáí y = |x + 1| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 3 ÙÇ³y = |x| íáñ Ý»ñù¨ª Ïëï³Ý³Ýù y = |x + 1| − 3 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 54. µ)£ x O 3 ÜÏ. 53

y y = |x + 1|

y = |x + 1|

3 y = |x|

1 1O

3 1

y = |x + 1| 3 ³)

µ) ÜÏ. 54

76.

îñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 121. ³, µ): Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = −f (x), µ) y = f (−x), ·) y = f (x − 2) ¹) y = f (x + 3), ») y = f (x + 1) − 2,

½) y = f (x − 2) + 1,

¿) y = 2 f (x),

1 Á) y = −− f (x), 2

Ã) y = f (2x),

1 Å) y = f (−− x): 2

³)

µ) ÜÏ. 121

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (77-80). 77.

6 ³) y = −− + 2; x

−6 µ) y = −−− − 2; x

78.

79.

80.

81.

−8 ·) y = −−− − 3; x

8 ¹) y = −− + 3; x

4 ») y = −−−−−; x−3

−4 ½) y = −−−−−: x+4

6 ³) y = −−−−−; x−2

−6 µ) y = −−−−−; x+2

2 ·) y = −−−−− − 3; x+1

−2 ¹) y = −−−−− + 1; x−2

3 ») y = −−−−− + 2; x+2

−3 ½) y = −−−−− − 2: x−1

−2x + 4 ³) y = −−−−−−−; x+1

−x + 1 µ) y = −−−−−−−; x−3

2x + 1 ·) y = −−−−−−; x−1

3x + 2 ¹) y = −−−−−−: x+2

4 ³) y = −−; x 4 ¹) y = −−−−−; x−2 −4 ¿) y = −−−−− − 2; x+3

−4 µ) y = −−−; x 4 ») y = −−−−− − 2; x+2 6 Á) y = −−−−− + 1; x−3

4 ·) y = −− + 2; x −4 ½) y = −−−−−; x−1 −8 Ã) y = −−−−− − 3: x+1

´³ó³ïñ»ùª ÇÝãå»ë y = |x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ï³éáõó»É Ýßí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ. ³) y = |x| − 5; ·) y = |x − 4|; ») y = |x − 2| + 3; ¿) y = |x + 3| + 2; Ã) y = |x + 4| + 1:

µ) y = |x| + 4; ¹) y = |x + 1|; ½) y = |x + 2| − 3; Á) y = |x − 3| − 2;

1.8* Øá¹áõÉ å³ñáõÝ³ÏáÕ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ¹ñ³ ÙÇçáóáí Ï³éáõó»É y = |f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

ºÃ» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ (f (x) ≥ 0), ³å³ X-Ç íñ³ y = |f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³ÙÁÝÏáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ: ÆëÏ »Ã» y = f (x) ýáõÝÏóÇ³Ý X1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñª (f (x) < 0), ³å³ X1-Ç íñ³ y = |f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ëï³óíáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»Éáí, ù³ÝÇ áñ X1 µ³½ÙáõÃÛ³Ý µáÉáñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ |f (x)| = −f (x): ²ÛëåÇëáí, y = |f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ å³Ñå³Ý»É y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ï³Ù ¹ñ³ÝÇó í»ñ¨, ¨ Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»É Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ (ÝÏ. 126): ÜÏ³ï»Ýù, áñ y = |f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ Ï»ï»ñ ãáõÝÇ: ²Û¹ Ù»Ãá¹áí Ï³éáõó»Ýù y = |x2 − 1| (ÝÏ. 127) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

ÜÏ. 126

ÜÏ. 127

ÜÏ. 129

²ÛÅÙ, ¹Çóáõùª ïñí³Í ¿ X µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ¹ñ³ ÙÇçáóáí Ï³éáõó»É y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» x Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = f (|(x)|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ, ³å³ −x Ï»ïÁ ÝáõÛÝå»ë å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ ³Û¹ ïÇñáõÛÃÇÝ, áñáíÑ»ï¨ |−x| = |x|: y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ f (|−x|) = f (|x|), ³ÛëÇÝùÝª y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ºñµ x ≥ 0, x ∈ X, y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³ÙÁÝÏáõÙ ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ»ï, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ f (|x|) = f (x): ¸³ y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ç Ù³ëÝ ¿, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ ³çÇÝ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ, áñáíÑ»ï¨ y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ²ÛëåÇëáí, y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ å³Ñå³Ý»É y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Oy ³é³ÝóùÇ íñ³ Ï³Ù ¹ñ³ÝÇó ³ç, ¨ Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»É ³Û¹ Ù³ëÁ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (ÝÏ. 129):

|x| úðÆÜ²Î 1. Î³éáõó»ù y = −−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x ²Ûë ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ó³ÝÏ³ó³Í x ≠ 0 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ºñµ x > 0 |x| = x |x| x |x| −x ¨ −−− = −− = 1: x < 0 ¹»åùáõÙ |x| = −x ¨ −−− = −−−− = −1, x = 0 Ï»ïáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý x x x x áñáßí³Í ã¿, áõëïÇ, 0 ³µëóÇëáí Ï»ï ·ñ³ýÇÏÇ íñ³ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ£ ²ÛëåÇëáí 1, »Ã» x > 0, y = −1, »Ã» x < 0, |x| áñáßí³Í ã¿, »Ã» x = 0£ y= x 1 |x| y = −−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ïÏ»ñx í³Í ¿ ÝÏ. 75-áõÙ£ ¶ñ³ýÇÏÇÝ ãå³ïÏ³ÝáÕ 1 Ï»ï»ñÁ Ýßí³Í »Ý ßñç³Ý³ÏÝ»ñáí£ 1 úðÆÜ²Î 2. Î³éáõó»Ýù y = |x − 1| + |x + 1| ÜÏ. 75 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Øá¹áõÉÇ Ýß³ÝÇ ï³Ï ·ïÝíáÕ x − 1 ¨ x + 1 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½ñá »Ý ¹³éÝáõÙ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 1 ¨ −1 Ï»ï»ñáõÙ£ îñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ¹Çï³ñÏ»Ýù (−∞; −1), [−1; 1] ¨ 1; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ£ x > 1 ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù |x − 1| + |x + 1| = x − 1 + x + 1 = 2x: y = 2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ x > 1 ¹»åùáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 76. ³ ÝÏ³ñáõÙ −1 ≤ x ≤ 1 ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù |x − 1| + |x + 1| = −x + 1 + x + 1 = 2: y = 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ −2 ≤ x ≤ 2 ¹»åùáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 76. µ ÝÏ³ñáõÙ£ x < − 1 ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù |x − 1| + |x + 1| = −x + 1 − x − 1 = −2x: y = −2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ x < −1 ¹»åùáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 76. · ÝÏ³ñáõÙ£ y y ³) µ) ·) y

{

1 1

ÜÏ. 76

y = |x − 1| + |x + 1| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÙµáÕç Ox Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ÝÏ. 77-áõÙ£ úðÆÜ²Î 3. Î³éáõó»Ýù y = ||x| − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 1 Ü³Ë Ï³éáõó»Ýù y = |x| − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 78. ³)£ 1 x ≥ 2 ¨ x ≤ −2 ¹»åùáõÙ |x| − 2 ≥ 0, Ñ»ï¨³µ³ñª ||x| − 2| = |x| − 2£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ x ≥ 2 ¨ ÜÏ. 77-Á£ x ≤ −2 ¹»åùáõÙ y = ||x| − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ y = |x| − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ −2 < x < 2 ¹»åùáõÙ |x| − 2 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, áõëïÇª ||x| − 2| = −(|x| − 2)£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É 78. ³ ÝÏ³ñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ·ñ³ýÇÏÇ Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ ·ïÝíáÕ Ù³ëÁ å»ïù ¿ Ñ³Ù³ã³÷ ³ñï³å³ïÏ»ñ»É Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (³ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª ·ñ³ýÇÏÇ ³Û¹ Ù³ëÁ å»ïù ¿ §Í³É»É¦ Ox ³é³Ýóùáí ¹»åÇ í»ñ)£ y = ||x| − 2| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 78. µ ÝÏ³ñáõÙ£

y y = ||x| 2|

y = |x| 2 1

1 x

O 1

2 ³)

µ) ÜÏ. 78

úðÆÜ²Î 4. Î³éáõó»Ýù y = x2 − 2|x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ x ³ñ·áõÙ»ÝïÇ Ýß³ÝÁ Ñ³Ï³¹Çñáí ÷áË³ñÇÝ»ÉÇë ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíáõÙ, ù³ÝÇ áñ (−x)2 − 2 · |−x| = x2 − 2 |x|£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ y = x2 − 2|x| ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿, Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ Ñ³Ù³ã³÷ ¿ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£

Ü³Ëª Ï³éáõó»Ýù y = 2x − 2|x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »ñµ x ≥ 0£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ y = x2 − 2|x| ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É y = x2 − 2x ï»ëùáí£ y = x2 − 2x b 2 å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÝ áõÝÇ x0 = − −−− = −−− = 1 ³µëóÇëÁ, å³ñ³µáÉÇ ×ÛáõÕ»ñÝ 2a 2 áõÕÕí³Í »Ý í»ñ¨, ù³ÝÇ áñ a = 1 > 0£ àñáß»Ýù Ý³¨ ·ñ³ýÇÏÇ ÙÇ ù³ÝÇ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ£ x

−1

y = x2 − 2|x| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, áñï»Õ x ≥ 0, áñÁ å³ïÏ»ñí³Í ¿ 80. ³ ÝÏ³ñáõÙ£ ²ÛÅÙ ëï³óí³Í ·ñ³ýÇÏÝ ³ñï³å³ïÏ»ñ»ù Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ ¨ Ïëï³Ý³Ýù áñáÝ»ÉÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 80. µ)£

y = x – 2|x| x 0

1 4

3 1

y = x – 2|x|

³)

µ) ÜÏ. 80

82.

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (82-85). ³) y = |x| + x; µ) y = |x| − x; ·) y = x · |x|; ¹) y = |x − 2| + |x + 2|; ») y = ||x| − 3|; ½) y = |||x| − 2| − 1|; Á) y = x2 − 4|x|; ¿) y = x2 − 6|x|; Å) y = x2 + 2|x| − 1; Ã) y = x2 − 2|x| − 1; 2 É) y = |x2 − 2|x||; Ç) y = |x − 4x + 3|; Í) y = |x2 − 2|x| − 1|; Ë) y = |x2 − 4|x||; 2 Ï) y = |x + 2|x| − 1|:

83.

84.

³) y = x2, ¹) y = (x − 3)2 + 2,

µ) y = x2 − 4, ») y = x2 − 6x + 8,

1 ³) y = -----, x 6 ¹) y = ----------- − 1, x+1

x2 − 4 85.* ³) y = ------------ , x−2 ¹) y = | x2 − 6 | x | + 8|, 86.

·) y = (x − 1)2, ») y = | x2 − 6x + 8 |:

4 µ) y = ------ + 2, x 4x + 2 ») y = -------------- , x+1

6 ·) y = ------------ , x−2 1 ½) y = ------ : |x|

|x−1| µ) y = -------------- , x−1

·) y = x2 − 6| x | + 8,

») y = || x | − 2|,

|x − 1 | ½) y = --------------- : |x+1|

ÜÏ³ñ 125-áõÙ ³-½ å³ïÏ»ñí³Í ¿ å³ñ³µáÉ: ²Û¹ å³ñ³µáÉÝ ³ñ¹Ûá±ù y = f (x) Ï³Ù x = ϕ (y) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏ ¿: ºÃ» ³Ûá, ³å³ ·ñ»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý µ³Ý³Ó¨áí:

³)

¹)

µ)

·)

»)

½)

ÜÏ. 125

87.

ÆÝãå»±ë Ï³éáõó»É y = | f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã» ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

88.

îñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 138. ³, µ): Î³éáõó»ù y = | f (x)| ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

89.

ÆÝãå»±ë Ï³éáõó»É y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã» ïñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

90.

îñí³Í ¿ y = f (x) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 138. ³, µ): Î³éáõó»ù y = f (|x|) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

³)

µ) ÜÏ. 138

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (91-93).

91.

³) y = |x2 − 4|,

4 µ) y = |−− − 1| : x

92.

1 ³) y = 1 − −−−, |x|

1 µ) y = −−− + 2: |x|

93.

³) y = x2 − 5 |x − 1| + 1,

µ) y = |x2 − 3x + 2| + 2x − 3,

·) y = (x + 1)(|x| − 2),

¹) y = |x2 + 3x − 2| − |5x − 2|,

2x − 6 »)* y = −−−−−−, |3 − x|

2|x| + 1 ½)* y = −−−−−−, 2−x

1.9* àõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 7-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ Ýß»É »Ýù, áñ, ûñÇÝ³Ï, y = 2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí ¨ B(1; 2) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ l áõÕÇÕ ·ÇÍ ¿£ ²Ûëï»Õ ÏÑÇÙÝ³íáñ»Ýù ³Û¹ åÝ¹áõÙÁ£ 1) ÜÏ. 81-áõÙ Ýßí³Í ¿ l áõÕÕÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ A(x; y) Ï»ïÁ, áñÇ x ³µëóÇëÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿£

A(x; y) B(1; 2)

2 B(1; 2)

2 A1 1

1 1

ÜÏ. 81

A(x; y)

ÜÏ. 82

A ¨ B Ï»ï»ñáí ï³Ý»Ýù Oy ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ»ñ, ¹ñ³Ýù Ox ³é³ÝóùÁ ÏÑ³ï»Ý A1 ¨ B1 Ï»ï»ñáõÙ£ àõÝ»Ýù OB1 = 1, BB1 = 2, OA1 = x, AA1 = y£ OBB1 ¨ OAA1 áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý, áñáíÑ»ï¨ áõÝ»Ý BOB1 ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ÝÏÛáõÝ, áõëïÇ, ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¿ç»ñÁ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý »Ý. AA OA 7 x −−−−1 = −−−−1 Ï³Ù −− = −−, 2 1 BB1 OB1 áñï»ÕÇó ¨ y = 2x£ Ð»ï¨³µ³ñ, A Ï»ïÁ y = 2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ïÝ ¿£ 2) ÜÏ. 82-áõÙ l áõÕÕÇ íñ³ Ýßí³Í ¿ A(x; y) Ï»ïÁ, áñï»Õ x < 0£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ Ý³¨ y < 0 ¨ Ñ»ï¨³µ³ñª OB1 = 1, BB1 = 2, OA1 = −x, AA1 = −y£ OBB1 ¨ OAA1 áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ BOB1 ¨ AOA1 ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý (áñå»ë Ñ³Ï³¹Çñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ)£ àõëïÇ, ³Û¹ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý, ¨ ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ¿ç»ñÁª Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý, ³ÛëÇÝùÝª

AA OA −y −x −−−−1 = −−−−1 Ï³Ù −−− = −−−, 2 1 BB1 OB1 áñï»Õ ¨ y = 2x£ Ð»ï¨³µ³ñ, A-Ý y = 2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ï ¿£ 3) ºÃ» A(x, y) Ï»ïÇ ³µëóÇëÁª x = 0, ³å³ A-Ý Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÝ ¿ ¨ Ýñ³ ûñ¹ÇÝ³ïÁª y = 0£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ y = 2x, áñáíÑ»ï¨ 0 = 2 · 0£ ²ÛëåÇëáí, óáõÛó ïñí»ó, áñ »Ã» A(x, y) Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ l áõÕÕÇ íñ³, ³å³ ¹ñ³ y ûñ¹ÇÝ³ïÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 2x£ ÖÇßï ¿ ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ. ó³ÝÏ³ó³Í ïñí³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ A(x; 2x) Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ l áõÕÕÇ íñ³£ ¸³ ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñáíÑ»ï¨ l áõÕÕÇ íñ³ Ï³ ïñí³Í x ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï A(x; y) Ï»ï£ ÆÝãå»ë í»ñÁ óáõÛó ïñí»ó, ³Û¹ Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ y = 2x£ ÜÙ³Ý Ï»ñå Ï³ñ»ÉÇ ¿ óáõÛó ï³É, áñ y = kx ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí ¨ B(1; k) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕ ·ÇÍ ¿£ ²ÛÅÙ ³å³óáõó»Ýù, áñ ax + by + c = 0

(1)

Ñ³í³ë³ñáõÙáí, áñï»Õ a-Ý ¨ b-Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ñ³í³ë³ñ ã»Ý ½ñáÛÇ (a2 + b2 ≠ 0), xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ áõÕÇÕ ·ÇÍ£ Æñáù, »Ã» b ≠ 0, ³å³ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É a c y = − −− x − −− b b

(2)

ï»ëùáí£ ÆëÏ Ù»Ýù ·Çï»Ýù (7-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óÇó), áñ (2) Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáÕ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ áõÕÇÕ ·ÇÍ ¿ (³Ûëï»Õ ³ÝÏÛáõa c Ý³ÛÇÝ ·áñÍ³ÏÇóÁ − −− -Ý ¿, ³½³ï ³Ý¹³ÙÁª − −−)£ b b ºÃ» b = 0, ³å³ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ax + c = 0 (3) ï»ëùáí£ ø³ÝÇ áñ a2 + b2 ≠ 0, ³å³ b = 0 å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ a ≠ 0£ ²Û¹ ¹»åc ùáõÙ (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É x = − −− ï»ëùáí£ a ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙáí ïñíáõÙ ¿ Oy ³é³ÝóùÇÝ ½áõ·³Ñ»é c áõÕÇÕ, áñÁ Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïáõÙ ¿ − −− Ï»ïáõÙ£ ²ÛëåÇëáí, óáõÛó ïñí»ó, áñ a ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) ï»ëùÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÙáí xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ áñáß³ÏÇ áõÕÇÕ ·ÇÍ£

Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ. áñ xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñí³Í ó³ÝÏ³ó³Í áõÕÇÕ ax + by + c = 0 ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£ ²ÛÅÙ óáõÛó ï³Ýù, áñ R ß³é³íÕáí ¨ A(a; b) Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍÁ xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ (x − a)2 + (y − b)2 = R2

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙáí£ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ R ß³é³íÕáí ¨ A(a; b) Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍ£ Þñç³Ý³·ÍÇ íñ³ í»ñóÝ»Ýù M(x; y) Ï»ï£ ºñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¹³ëÁÝÃ³óÇó Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ A ¨ M Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ßííáõÙ ¿ AM = √' (x − a)2 + (y − b)2 µ³Ý³Ó¨áí£ ²Û¹ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý ù³é³ÏáõëÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ßñç³Ý³·ÍÇ ß³é³íÕÇ ù³é³ÏáõëáõÝ. (x − a)2 + (y − b)2 = R2£ ø³ÝÇ áñ M-Á ßñç³Ý³·ÍÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ï ¿, ³å³ (4) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ßñç³Ý³·ÍÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïÇ Ñ³Ù³ñ£ Î³ñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É ¨ Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ. (4) ï»ëùÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³í³ë³ñáõÙáí xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ R ß³é³íÕáí ¨ (a; b) Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÇÍ£

94.

²å³óáõó»ù, áñ y = kx ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ O(0; 0) ¨ B(1; k) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕ ·ÇÍ ¿£

95.

¶ñ»ù ïñí³Í Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕ ·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) A(2; 3) ¨ B(4; 5); µ) A(−5; 0) ¨ B(0; 10):

96.* ¶ñ»ù AB Ñ³ïí³ÍÇ ÙÇçÝáõÕÕ³Ñ³Û³óÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) A(2; 3) ¨ B(4; 5); µ) A(6; 0) ¨ B(0; 3): 97.* ²å³óáõó»ù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í áõÕÇÕ xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ïñíáõÙ ¿ ax + by + c = 0(a2 + b2 ≠ 0) Ñ³í³ë³ñáõÙáí£ 98.

¶ñ»ù R ß³é³íÕáí ¨ A Ï»ÝïñáÝáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) A(3; 5), R = 4; µ) A(0; 6), R = 5; ·) A(3; 4), R = 5: ²ÝóÝá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ ßñç³Ý³·ÇÍÁ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí£

99.* O (0; 0) Ï»ÝïñáÝáí ¨ R ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x2 + y2 = R2 ï»ëùÁ, Ñ»ï¨³µ³ñª y = √" R"2"" −""x$2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ í»ñÇÝ ÏÇë³ßñç³Ý³·ÇÍÝ ¿ (ÝÏ. 122): Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = √"4"" −""x$2, µ) y = −√"4"" −""x$2, ·) y = √" 9"" −""("x"" −"" 1")$2, ¹) y = −√" 9"" −""("x"" −"" 1")$2, ») y = √" 16""" −""("x"" +"" 2")$2 − 2, ½) y = −√" 25""" −""("x"" −"" 3")$2 + 1:

ÜÏ. 122

100.* Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ.

³) y = 3 − √'9 − x2 − 8x,

µ) y = 4 − √'9 − x2 − 8x,

125 − x2 − 20x, ·) y = 12 − √'

¹) y = −5 − √'69 − x2 − 20x:

¶È àôÊ I I

¢2. ØºÎ ²ÜÐ²Úîàì ºðÎðàð¸ ²êîÆÖ²ÜÆ ²ÜÐ²ì²ê²ðàôØÜºð

2.1 Ø»Ï ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ax2 + bx + c > 0

(1)

ax2 + bx + c < 0

(2)

Ï³Ù ï»ëùÇ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ,áñï»Õa,b ¨c-Ýïñí³ÍÃí»ñÝ»Ý,ÁÝ¹áñáõÙª a ≠ 0, ³Ýí³ÝáõÙ»Ýx ³ÝÑ³Ûïáí»ñÏñáñ¹³ëïÇ×³ÝÇ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ a-Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý x2-áõ·áñÍ³ÏÇó, b-Ýª x-Ç·áñÍ³ÏÇó, ÇëÏ c-Ýª³½³ï³Ý¹³Ù£ ax2, bx ¨ c ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý (1)¨(2)³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁ (ï³ñµ»ñÇãÁ) ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ (1)¨(2)³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇï³ñµ»ñÇã£ 3x2 − 4x + 5 > 0,

−x2 − 1 > 0,

−6x2 − 2x + 1 < 0,

−2x2 < 0

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ »Ý£ ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ Ù»Ï x ³ÝÑ³Ûïáí ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáÙ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ x0 ÃÇíÁ, áñÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ×Çßï Ãí³ÛÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ ÈáõÍ»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É Ýñ³ µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ Ï³Ù ³å³óáõó»É, áñ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý£ ºñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Å³Ù³Ý³Ï Ïû·ï³·áñÍ»Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ ³ÛÝ åÝ¹áõÙÝ»ñÁ, áñáÝù Ó¨³Ï»ñå»É »Ýù ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ (8-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óáõÙ Ï»ï 4.4)£ Æñ³Ï³ÝáõÙ ³Û¹

åÝ¹áõÙÝ»ñÁ ×Çßï »Ý ß³ï ³í»ÉÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ïÇåÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ, ¨ Ù³ëÝ³íáñ³å»ëª »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» a-Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí −1-áíª í»ñÁ ÑÇß³ï³Ïí³Í Ï»ï 4.4-Ç åÝ¹áõÙ 4-Ç Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (−a)x2 + (−b)x + (−c) < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿£ ÜáõÛÝ Ï»ñå, »Ã» a-Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí −1-áíª ÝáõÛÝ åÝ¹áõÙ 4-Ç ÑÇÙ³Ý íñ³ Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (−a)x2 + (−b)x + (c) > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿£ Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí ³ëí³ÍÁª Ñ»ï³·³ÛáõÙ Ï¹Çï³ñÏ»Ýù (1) ¨ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁª Ñ³Ù³ñ»Éáí, áñ a-Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ Ð³çáñ¹ Ï»ï»ñáõÙ ³é³ÝÓÇÝ Ï¹Çï³ñÏ»Ýù ³Û¹ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ D > 0, D = 0 ¨ D < 0 ¹»åù»ñÇ Ñ³Ù³ñ£

101.° ³) Æ±Ýã ï»ëù áõÝÇ x ÷á÷áË³Ï³Ýáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ µ) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇã£ ·) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ù»Ï x ³ÝÑ³Ûïáí ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ£ ¹) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÉáõÍ»É Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáí ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ») Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ, áñ »ñÏáõ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý£ ½) Ò¨³Ï»ñå»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ åÝ¹áõÙÝ»ñÁ£ 102. ²ñ¹Ûáù Ñ»ï¨Û³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª 7x − 3 ³) 3 − 2x > 0; µ) −−−−−− < 1; ·) x2 − 5x + 1 < 0; 5 x ½) 3x2 + 7 < 0; ¹) 7x − −− > 0; ») 4x − 5x2 > 0; 3 ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ, ·Í³ÛÇÝ, »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ »Ý£ 103. îñí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»ù ax2 + bx + c > 0 Ï³Ù ax2 + bx + c < 0 ï»ëùÇ ¨ ³Ýí³Ý»ù x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¨ ³½³ï ³Ý¹³ÙÁ. µ) 6 + x2 < 0; ³) 4x + 2x2 − 1 > 0;

x2 ·) −− − x + 0,2 < 0; 3

x2 ¹) 1 − 7x + −− > 0: 2

²ñ¹Ûáù ÷³Ï³·Í»ñáõÙ Ýßí³Í ÃÇíÁ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ (104-105). 1 104. ³) x2 − 3x + 4 > 0 (−−); 3

1 µ) x2 − 2x + 3 < 0 (−−); 2

·) 2x2 − 5x − 1 < 0 (−2);

¹) 3x2 − 3x + 1 > 0 (−3);

1 1 1 ») −− x2 − −− x + −− < 0 (15); 3 5 7

x2 1 ½) −− + x − −− < 0 (12); 4 7

( )

105.* ³) x2 − 11,7x + 17 < 0 √$3 ; ·) x2 + x − 12 > 0 (π);

( )

µ) x2 − 11,4x + 14 > 0 √$2 ; ¹) x2 − 2x − 15 < 0 (−π):

106. ¶ñ»ù ïñí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿. ³) −x2 + 5x + 7 > 0; 1 ·) − −− x2 + 9 > 0; 3

µ) −2x2 − 4x + 8 < 0; 3 ¹) − −− x2 − 5 < 0: 5

107. ¶ñ»ù ïí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ 1 ¿. 1 1 µ) − −− x2 − 8x + 3 < 0; ³) − −− x2 + 3x − 5 > 0; 2 3 1 ·) −− x2 − 5x + 7 > 0; 5

1 1 ¹) − −− x2 + −− x − 1 < 0: 4 2

108. ´³Å³Ý»Éáí ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ x2-áõ ·áñÍ³ÏóÇ, x-Ç ·áñÍ³ÏóÇ ¨ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÇ íñ³ª ·ñ»ù ïñí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ. µ) −6x2 − 12x − 6 < 0; ³) 4x2 − 6x + 10 > 0; ¹) 10x2 − 20x + 30 > 0; ·) −9x2 − 90x − 81 > 0; ½) −11x2 − 44x − 33 < 0: ») 12x2 − 16x + 8 < 0;

2.2 ¸ñ³Ï³Ý ï³ñµ»ñÇãáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çóáõù, å»ïù ¿ ÉáõÍ»É ax2 + bx + c > 0

(1)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª a > 0, D = b2 − 4ac > 0£ ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý ·Çï»Ýù, ³Û¹ ¹»åùáõÙª ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2), (2) 2 áñï»Õ x1-Á ¨ x2-Á ax + bx + c »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý£ àõëïÇ, (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³ñï³·ñ»É a(x − x1)(x − x2) > 0

(3)

ï»ëùáí£ ø³ÝÇ áñ a-Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ (x − x1)(x − x2) > 0

(4)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (3) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ x = x1 ¨ x = x2 Ãí»ñÁ ã»Ý µ³í³ñ³ñáõÙ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ ø³ÝÇ áñ D > 0, ³å³ x1 ≠ x2£ àñáß³ÏÇáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÑ³Ù³ñ»Ýù, áñ x1 < x2£ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ Ýß»Ýù x1 ¨ x2 Ï»ï»ñÁ (ÝÏ.11)£

ÜÏ. 11 ²Û¹ Ï»ï»ñÁ Ox ³é³ÝóùÁ µ³Å³ÝáõÙ »Ý »ñ»ù ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇª (−∞: x1), (x1; x2), (x2; +∞)£ ºÃ» x ∈ (x2; +∞), ³å³ª x − x1 > 0 ¨ x − x2 > 0, Ñ»ï¨³µ³ñª (x − x1)(x − x2) > 0£ ºÃ» x ∈ (x1; x2), ³å³ª x − x1 > 0 ¨ x − x2 < 0 Ñ»ï¨³µ³ñª (x − x1)(x − x2) < 0£ ÆëÏ »Ã» x ∈ (−∞; x1), ³å³ª x − x1 < 0 ¨ x − x2 < 0,

Ñ»ï¨³µ³ñª (x − x1)(x − x2) > 0£ àõëïÇ, (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇóª (−∞; x1) ¨ (x2; +∞)£ ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ·ñáõÙ »Ý µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñÙ³Ý ∪ Ýß³Ýáíª (−∞; x1)∪(x2; +∞), ¨ Ï³ñ¹áõÙ ³Ûëå»ëª §(−∞; x1) ¨ (x2; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙ¦£ Üß»Ýù, áñ ax2 + bx + c < 0 (a > 0, D > 0)

(5)

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù, (x1; x2) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ Ø»ñ ëï³ó³Í ³ñ¹ÛáõÝùÇÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ·³É Ý³¨ª û·ï³·áñÍ»Éáí y = ax2 + bx + c (a > 0)

(6)

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Ð³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ a > 0, D > 0 ¨ x1 < x2, ëË»Ù³ïÇÏáñ»Ý óáõÛó ï³Ýù, Ã» Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ÇÝãå»ë ¿ c ¹³ë³íáñí³Í (6) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 12)£ ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³ÛÝ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ å³ñ³µáÉÇ Ï»ï»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í »Ý Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, ÇëÏ ³ÛÝ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝó Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ Ï»ï»ñÁ ¹³ë³ÜÏ. 12 íáñí³Í »Ý Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨ª (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ÜÏ³ñ 12-Çó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ax2 + bx + c > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (−∞; x1) ¨ (x2; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, ÇëÏ ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (x1; x2) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ ²ÛëåÇëáí, ax2 + bx + c > 0 Ï³Ù ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ (D > 0 ¹»åùáõÙ) å»ïù ¿ ·ïÝ»É ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ x1 ¨ x2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (x1 < x2), áñáß»É »é³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ (−∞, x1), (x1; x2) ¨ (x2; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ¨ å³ï³ëË³ÝáõÙ ·ñ»É ³ÛÝ ÙÇç³Ï³ÛùÁ (Ï³Ù ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ), áñáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ£

úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x2 − 5x + 6 < 0

(7)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (7) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁª D = 1 > 0 ¨ x2 − 5x + 6 »é³Ý¹³ÙÁ, áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = 2 ¨ x2 = 3£ àõëïÇ, (7) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (x − 2)(x − 3) < 0 (8) ï»ëùáí£ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù 2 ¨ 3 Ï»ï»ñÁ (ÝÏ. 13).

ÜÏ. 13 Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ (x − 2)(x − 3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ 3-Çó ³ç ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ ¹ñ³Ï³Ý ¿, 2-Ç ¨ 3-Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñª µ³ó³ë³Ï³Ý ¨ 2-Çó Ó³Ë ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í xÇ Ñ³Ù³ñª ¹ñ³Ï³Ý£ àõëïÇ, (8) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (7) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (2; 3) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ ÜáõÛÝ ³ñ¹ÛáõÝùÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³Éª û·ï³·áñÍ»Éáí y = x2 − 5x + 6 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 14)£

1 1

3 2 ÜÏ. 14

ä³ï³ëË³Ýª (2; 3)£ úñÇÝ³Ï 2. ÈáõÍ»Ýù (9) −x2 − x + 6 < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ³Û¹ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ −1-áíª Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (10) x2 + x − 6 > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÝ ³ñ¹»Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿£ ²Ûë ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁª D = 25 > 0£ x2 + x − 6, ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª x1 = −3 ¨ x2 = 2£ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù −3 ¨ 2 Ï»ï»ñÁ (ÝÏ. 15).

ÜÏ. 15 ¸³ï»Éáí ûñÇÝ³Ï 1-Çóª Ïëï³Ý³Ýù, áñ (10) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (9) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (−∞; −3) ¨ (2; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÝ ¿£ ÜáõÛÝ »½ñ³Ï³óáõÃÛ³ÝÁ Ï·³Ýù ÝÏ. 16-Ç û·ÝáõÃÛ³Ùµ, áñï»Õ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = x2 + x + 6 å³ñ³µáÉÁ£

1 2

1 1

1 64

ä³ï³ëË³Ýª (−∞; −3)∪(2; +∞)£

ÜÏ. 16

109. ³) ÆÝãå»±ë ¿ ÉáõÍíáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ï³ñµ»ñÇãáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ µ) ÈáõÍáõÙ áõÝ»±Ý ³ñ¹Ûáù ax2 + bx + c > 0 ¨ ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, »Ã» a > 0, ¨ Ýñ³Ýó ï³ñµ»ñÇãÁ Ù»Í ¿ ½ñáÛÇó£ 110. Üßí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁª µ) −x2 − 7x + 8 > 0; ³) −x2 − 5x − 6 < 0; 2 ¹) −2x2 − 8x + 10 > 0; ·) 3x − 15x − 18 > 0; µ»ñ»ù (x − x1)(x − x2) > 0 Ï³Ù (x − x1)(x − x2) < 0 ï»ëùÇ£ 111. ÜÏ³ñ 17-áõÙ Ýßí³Í »Ý 1 ¨ 3 Ãí»ñÁ, áñáÝù (x − 1)(x − 3)³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¹³ñÓÝáõÙ »Ý ½ñá£ ä³ñ½»ùª ÇÝã Ýß³ÝÝ»ñ áõÝÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñï³¹ñÇãÁ ¨ Ýñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ I, II ¨ III ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ£

III

ÜÏ. 17

112. Î³½Ù»ù Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ, áñÇ µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÝÏ³ñ 18-áõÙ Ýßí³Í ¿ ëïí»ñ³·Íáí£

³)

µ)

³)

¹) ÜÏ. 18

113. ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ å³ñ½»ùª ³ñ¹Ûáù ÷³Ï³·Í»ñáõÙ Ýßí³Í ÃÇíÁ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿. ³) 9x2 − 10x + 1 < 0 (0,(3));

µ) 3x2 − 14x + 8 > 0 (3,(8));

·) 5x2 − 6x − 11 < 0 √$5 ;

¹) 6x2 − 5x − 4 > 0 (1,(3)):

( )

114. ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ Ýß»ù ¹ñ³ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ£ ³) (x − 9)(x − 2) > 0; ·) (x + 3)(x − 5) < 0;

µ) (x − 8)(x − 19) < 0; ¹) (x − 4)(x + 7) > 0:

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (115-120). 115. ³) (2x − 1)(3x + 5) < 0; ·) (4x + 3)(5x + 2) > 0;

µ) (1,2x − 0,75)(7x − 1) < 0; 1 1 ¹) (1 −− x + −−−)(0,7x + 4) > 0: 3 12

116. ³) x2 − x > 0; ·) 5x2 − x < 0; ») 4x2 + 7x > 0;

µ) x2 + x < 0; ¹) 3x2 + x > 0; ½) 3x − 2x2 < 0;

117. ³) x2 − 4 > 0; ·) x2 − 100 < 0;

µ) x2 − 9 < 0; ¹) 1 − x2 > 0:

118. ³) x2 − 3 > 0; ·) 2 − x2 < 0;

µ) x2 − 5 < 0; ¹) 13 − x2 > 0:

119. ³) 0,5x2 − x < 0; 1 ·) 3 −− x − x2 > 0; 2

µ) 1,3x2 − 2x < 0; 7 3 ¹) −− x2 − 1 −− > 0: 8 5

120. ³) 2x2 − 3 < 0; ·) 5 − 0,2x2 > 0;

µ) 7x2 − 1 > 0; ¹) 1,2 − 3x2 < 0:

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (121-122). 121. ³) x2 − 3x + 2 > 0; ·) x2 + 5x + 6 < 0; ») 3x2 − 2x − 5 < 0; ¿) 7x2 + 2x − 5 > 0;

µ) x2 + 4x + 3 < 0; ¹) x2 − 5x + 4 > 0; ½) 4x2 − x − 3 < 0; Á) 10x2 + 3x − 1 > 0:

122. ³) 0,25x2 − 4x + 12 > 0; 1 ·) 3 − x + −−− x2 < 0; 16 2 ») 5x − x − 7 < 0; ¿) 2x2 + 5 − 17x > 0;

µ) 0,5x2 + 88x + 24 < 0; 1 ¹) 4x + −− x2 + 12 > 0; 4 2 ½) 8x − 3 − 2x > 0; Á) 15x + 3 + 4x2 < 0:

123. x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ï»ñÁ ¹³ë³íáñí³Í Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨, Ox ³é³ÝóùÇó Ý»ñù¨. ³) y = x2 − 6x + 8; ·) y = −x2 + 2x + 3;

µ) y = x2 − 2x − 8; ¹) y = −x2 + x + 12:

124. Üß»ù x-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ. ³) y = x2 + 1,5x − 1; ·) y = 4x2 + 19x − 5; ») y = −2x2 + 5x + 3;

µ) y = x2 − 3,5x + 2; ¹) y = 3x2 − 5x − 2; ½) y = −3x2 − 8x + 9:

2.3 ¼ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ ï³ñµ»ñÇãáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ ¸Çóáõù, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É ax2 + bx + c > 0

(1)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý, ÁÝ¹ áñáõÙª a > 0. D = b2 − 4ac = 0£ ÆÝãå»ë ³ñ¹»Ý ·Çï»Ýù, ³Ûë ¹»åùáõÙ ax2 + bx + c = a(x − x0)2, b áñï»Õ x0 = − −−− -Ý ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ ¿£ 2a àõëïÇ, (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É a(x − x0)2 > 0 ï»ëùáí£ x = x0 ¹»åùáõÙ (x − x0)2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ£ ÆëÏ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ÛÉ Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ (x ≠ x0) (x − x0)2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ a(x − x0)2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ Ð»ï¨³µ³ñ, (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ÏÉÝÇ ó³ÝÏ³ó³Í x ÃÇí, µ³óÇ x = x0 ÃíÇó£ ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Íª (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇóª (−∞; x0) ¨ (x0; +∞), áñï»Õ x0-Ý ax2 + bx + c »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ ¿£ ²ëí³ÍÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ Ý³¨, áñ ùÝÝ³ñÏíáÕ ¹»åùáõÙ (a > 0, D = 0) ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ÜáõÛÝ »½ñ³Ï³óáõÃÛ³ÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·³Éª û·ï³·áñÍ»Éáí y = ax2 + bx + c 2

y = ax + bx + c

x0 ÜÏ. 19

(2)

(3)

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ø³ÝÇ áñ a > 0, D = 0, ³å³ (3) ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇó ³ÝÙÇç³å»ë »ñ¨áõÙ ¿, áñ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ¿ µáÉáñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, µ³óÇ b x = x0 = − −−− 2a ³ñÅ»ùÇó, ÇëÏ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ (ÝÏ. 19)£

²ÛëåÇëáí, D = 0 ¹»åùáõÙ ax2 + bx + c > 0 Ï³Ù ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ ·ïÝ»É ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ x0 ³ñÙ³ïÁ, å³ñ½»É »é³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ (−∞; x0) ¨ (x0; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ¨ å³ï³ëË³ÝáõÙ ·ñ»É (−∞; x0)∪(x0; +∞), »Ã» ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ³Û¹ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ï³Ù §ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý¦, »Ã» ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ãÇ áõÝ»ÝáõÙ (Ï³Ù Ñ³ÏÇñ× ·ñáõÙ »Ýª φ)£ úðÆÜ²Î. ÈáõÍ»Ýù 4x2 + 4x + 1 > 0 ¨ 4x2 + 4x + 1 < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ¶ïÝ»Ýù (4) ¨ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñÇãÁ.

(4) (5)

D = b2 − 4ac = 42 − 4 · 4 · 1 = 0£ ø³ÝÇ áñ ï³ñµ»ñÇãÁ ½ñá ¿, ³å³ 4x2 + 4x + 1 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ 1 1 áõÝÇ x0 = − −− ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ ¨ 4x2 + 4x + 1 > 0 µáÉáñ x ≠ − −− Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, 2 2 áñï»ÕÇó ¨ Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 1 1 µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (−∞; − −−) ¨ (− −−; +∞) »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó£ 2 2 ÆëÏ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿, ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£

125.° ÈáõÍáõÙ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» Ýñ³ ï³ñµ»ñÇãÁ ½ñá ¿£ Æ±Ýã ¹»åù»ñ »Ý ÑÝ³ñ³íáñ£ 126. ¶ï»ù x-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ù. x2 ³) 2x2; µ) −−; ·) (x + 3)2; ¹) (x − 1)2: 2 127. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± x-Ç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ù. µ) −3x2; ·) (2 − x)2; ¹) −(x + 4)2: ³) −x2;

128. ä³ñ½»ùª ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ ÷³Ï³·Í»ñáõÙ Ýßí³Í ÃÇíÁ. 2 µ) 4x2 + 12x + 9 > 0 (−2,5); ³) 25x2 − 10x + 1 < 0 (−1 −−); 7 1 ¹) x2 + x + −− < 0 (−1,7): ·) x2 − x + 0,25 > 0 √$3 ; 4

( )

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (129-132). 129. ³) (x − 4)2 > 0; ·) (2x − 3)2 > 0;

µ) (x + 1)2 > 0; ¹) (7 − 4x)2 > 0:

130. ³) x2 − 4x + 4 > 0; ·) x2 + 10x + 25 < 0;

µ) x2 − 2x + 1 > 0; ¹) x2 − 8x + 16 < 0:

131.* ³) x2 − 2x + 1 > 0; ·) x2 + 4x + 4 < 0;

µ) x2 + 6x + 9 < 0; ¹) 4x2 − 4x + 1 > 0:

132. ³) 4x2 + 20x + 25 < 0; ·) 49x2 + 14x + 1 > 0; 1 ») 2x2 + 3x + 1 −− > 0; 8

µ) 9x2 − 36x + 36 > 0; ¹) 25x2 − 10x + 1 < 0; 7 ½) 9x2 − 10x + 2 −− < 0: 9

133. ¶ï»ù k-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ ³) x2 − 24x + k > 0-Ý ×Çßï ¿ x-Ç µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, µ³óÇ x = 12 ³ñÅ»ùÇó£ µ) 64x2 + kx + 9 > 0-Ý ×Çßï ¿ x-Ç µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ, µ³óÇ 3 x = − −− ³ñÅ»ùÇó£ 8 134. ¶ï»ù x-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ã¿. µ) 9x2 − 6x + 1 < 0£ ³) x2 + 8x + 16 > 0,

2.4 ´³ó³ë³Ï³Ý ï³ñµ»ñÇãáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çï³ñÏ»Ýù (1) ax2 + bx + c > 0 2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý ïí³Í Ãí»ñ »Ý ¨ a > 0, D = b − 4ac < 0£ ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇó ³é³ÝÓÝ³óÝ»Éáí ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇª Ïëï³Ý³Ýù. b 2 D ax2 + bx + c = a(x + −−−) − −−−£ (2) 2a 4a (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí. b 2 D a(x + −−−) − −−− > 0, 2a 4a áñï»ÕÇó, Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ a > 0 ¨ D < 0, ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª (−∞; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ£ a > 0 ¨ D < 0 ¹»åùáõÙ y = ax2 + bx + c 2 y = ax + bx + c ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ëË»Ù³ïÇÏáñ»Ý å³ïÏ»ñí³Í ¿ ÝÏ. 21-áõÙ£ ²ÙµáÕç å³ñ³µáÉÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ Ox ³é³ÝóùÇó í»ñ¨ ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí (1) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ¿ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ (ÝÏ. 21)£ ²Ûëï»ÕÇó Ý³¨ Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ í»ñÁ Ýßí³Í O å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª (a > 0, D < 0), ax2 + bx + c < 0 ÜÏ. 21 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ²ÛëåÇëáí, ax2 + bx + c > 0 Ï³Ù ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (áñï»Õ D < 0) ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ áñáß»É »é³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ (−∞; +∞)-áõÙ ¨ å³ï³ëË³ÝáõÙ ·ñ»É (−∞; +∞), »Ã» ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ Ï³Ù ·ñ»É §ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý¦, »Ã» ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ãÇ áõÝ»ó»É£ úðÆÜ²Î. ÈáõÍ»Ýù (3) 5x2 − 6x + 2 > 0, 2 (4) 5x − 6x + 2 < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ¸ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ï³ñµ»ñÇãÁª D = −4 < 0, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ 5x2 − 6x + 2 »é³Ý¹³ÙÁ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ ¨ (−∞, +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ §+¦ Ýß³ÝÁ£

y = 5x - 6x + 2 1

1 5

3 5

ÜÏ. 22

àõëïÇ, (3) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ, ³ÛëÇÝùÝª (−∞, +∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ÇëÏ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ÜÏ³ñ 22-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = 5x2 − 6x + 2 å³ñ³µáÉÁ£ ÜÏ³ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ (3) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ¿ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ (ÝÏ. 22)£

135.° ÈáõÍáõÙ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, »Ã» Ýñ³ ï³ñµ»ñÇãÁ ÷áùñ ¿ ½ñáÛÇó£ Æ±Ýã ¹»åù»ñ »Ý ÑÝ³ñ³íáñ£ 136. ø³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ µ³ó³ïñ»ùª ÇÝãá±õ ax2 + bx + c < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ a > 0 ¨ D < 0 ¹»åùáõÙ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (137-140). 137. ³) x2 − x + 3 > 0; ·) x2 − 3x + 4 < 0;

µ) x2 + 2x + 2 < 0; ¹) x2 + x + 5 < 0:

138. ³) 3x2 − 2x + 1 > 0; ·) −4x2 + x − 6 < 0;

µ) 5x2 − 4x + 2 < 0; ¹) −7x2 + 3x − 1 > 0:

139. ³) 0,2x2 − x + 100 > 0; x2 3x ·) −− − −−− + 8 < 0; 5 7

µ) 1,7x2 + x + 10 < 0; 2x2 − x ¹) −−−−−− − 12 > 0: 3

140. ³) x2 − 4,8x − 1 < 0;

µ) x2 + 3,5x − 2 > 0:

141.* Üß»ù m-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¹»åùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ¿ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ. ³) 2x2 − x + m > 0,

µ) 3x2 + 2x + m > 0£

2.5 ºñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µ»ñíáÕ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ Ð³×³Ë ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ ¿ ÉÇÝáõÙ ÉáõÍ»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ, áñáÝó Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÁ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ ²Û¹åÇëÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ Ù»½ Ñ³ÛïÝÇ åÝ¹áõÙÝ»ñÁ£ ²Û¹ åÝ¹áõÙÝ»ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³, ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»Éáí Ýñ³ Ó³Ë Ù³ëÁ ¨ Ï³ï³ñ»Éáí ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙ, Ïëï³Ý³Ýù ëÏ½µÝ³Ï³ÝÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ£ êï³óí³Í ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ ÏÉÇÝÇ ½ñá ÃÇíÁ, ÇëÏ Ó³Ë Ù³ëáõÙª µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ£ ²Ûë Ï»ïáõÙ Ï¹Çï³ñÏí»Ý »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ µ»ñíáÕ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x2 − 2x + 3 > 2x2 − 3 − x

(1)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ î»Õ³÷áË»Éáí ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ó³Ë ÏáÕÙÁª Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x2 − 2x + 3 − 2x2 + 3 + x > 0

(2)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë ÏáÕÙáõÙ Ï³ï³ñ»Éáí ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙª ëï³ÝáõÙ »Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù −x2 + x + 6 > 0

(3)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ³ÛÝ −1-áíª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ, áñáõÙ x2-áõ ·áñÍ³ÏÇóÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿. x2 + x − 6 < 0£

(4)

(4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁª D = 25 > 0£ x2 + x − 6 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ, áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = −3 ¨ x2 = 2£ àõñ»ÙÝ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (x − (−3))(x − 2) < 0

(5)

ï»ëùáí£ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù −3 ¨ 2 Ï»ï»ñÁ (ï»°ë ÝÏ.15)£ Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ (x − (−3))(x − 2) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿ µáÉáñ ³ÛÝ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù ¹³ë³íáñí³Í »Ý 2-Çó ³ç, µ³ó³ë³Ï³Ý ¿ µáÉáñ ³ÛÝ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù ·ïÝíáõÙ »Ý −3 ¨ 2 Ï»ï»ñÇ ÙÇç¨, ¹ñ³Ï³Ý ¿ µáÉáñ ³ÛÝ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù ¹³ë³íáñí³Í »Ý −3-Çó Ó³Ë£

Ð»ï¨³µ³ñ, (5) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý, áõñ»ÙÝ Ý³¨ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (−3; 2) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ ä³ï³ëË³Ýª (−3; 2)£ úñÇÝ³Ï 2. ÈáõÍ»Ýù x2 > 5 (6) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ î»Õ³÷áË»Éáí 5-Á (6) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë ÏáÕÙÁª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ. x2 − 5 > 0£ (7) 2 x − 5 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»Éáí ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ, ëï³ÝáõÙ »Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x − −√$5 x − √$5 > 0 (8) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù −√$5 ¨ √$5 Ãí»ñÁ (ÝÏ. 23)£ ¸³ï»Éáí í»ñ¨ÇÝÇ ÝÙ³Ýª Ïëï³Ý³Ýù, áñ (8), Ñ»ï¨³µ³ñ Ý³¨ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (6) ³ÝÜÏ. 23 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ −∞, −√$5 ¨ √$5, +∞ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÝ ¿£

( ( ))(

(

) (

)

ä³ï³ëË³Ýª (−∞, −√$5)∪(√$5, +∞)£ úñÇÝ³Ï 3. ÈáõÍ»Ýù 1 1 1 −− x + −− > −− x2 5 2 3

(9)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ î»Õ³÷áË»Éáí (9) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ó³Ë ÏáÕÙÁª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù 1 1 1 (10) − −− x2 + −− x + −− > 0 3 5 2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ ³ÙµáÕç Ãí»ñáí Ñ³ßí³ñÏÝ»ñ Ï³ï³ñ»ÉÝ ³í»ÉÇ Ñ³ñÙ³ñ ¿, ù³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ»ï, ³å³ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù (10) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ −30-áí£ Îëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù 10x2 − 6x − 15 < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£

(11)

ø³ÝÇ áñ 10x2 − 6x − 15 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñª 3 − √$159 3 + √$159 x1 = −−−−−−−−− ¨ x2 = −−−−−−−−−, 10 10 ³å³ (11) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (x − x1)(x − x2) < 0

(12)

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ ¸³ï»Éáí í»ñ¨ÇÝÇ ÝÙ³Ý (ÝÏ. 24)ª Ïëï³Ý³Ýù, áñ (12) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (x1; x2) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ Ð»ï¨³µ³ñ, (9) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÜÏ. 24 Éáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ 3 − √$159 10

3 + √$159 10

(−−−−−−−−−; −−−−−−−−−) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ 3 − √$159 3 + √$159 ä³ï³ëË³Ýª (−−−−−−−−−; −−−−−−−−−) 10 10

142.° ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ ³ÛÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝó Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÁ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ 143. Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ. ³) 3 − x + x2 > 0 ¨ x2 > x − 3; µ) x2 − 5 < 3x ¨ 4x2 − 12x < 20; x2 − 7x ·) −−−−−−− < 4 ¨ 3x2 − 21x − 24 < 0; 2 1 ¹) x2 + 5x − 7 > 0 ¨ 0,01x2 − 0,07 > − −−− x: 20 144. ²ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»ù ax2 + bx + c > 0 Ï³Ù ax2 + bx + c < 0 ï»ëùÇ. µ) 2x > −3 + 2x2; ³) 7 > 3x − 5x2; 2 ¹) 4x + 5 > x2: ·) 13x − 5 < x; 145. ²ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»ù ax2 + bx + c < 0 ï»ëùÇ. µ) 4x2 − 6 > 9; ³) 10x − x2 > 1; 2 ¹) 5x2 > 13x − 8: ·) 7 < 14x + 2x ;

146. ²ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»ù x2 + px + q = 0 Ï³Ù x2 + px + q < 0 ï»ëùÇ. µ) −x2 < 5x − 6; ·) −1,2x < 3 − 0,5x2: ³) −x2 > 7 − 3x; ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (147-151). 147. ³) 0,5x2 > x; 1 ·) 3 −− x < x2; 2 ») 7 > 4x2; ¿) 2x2 < 3;

µ) 1,3x2 < 2x; 7 3 ¹) −− x > 1 −− x2; 8 5 ½) 5 < −x2; Á) 3x2 > −5:

148. ³) 10x2 > 3 + 5x; ·) 23x < 9x2 + 8;

µ) 12x2 > 8x + 3; ¹) 7x2 − 6 > 25x:

149. ³) 5 (x − 1)2 > 5 (1 − x) − x; µ) 2 (x + 1)2 < 2 (2x + 1) − (x − 1)(x + 1); ·) (x − 1)2 + (x − 2)2 < 1; ¹) (x + 3)(x − 2) > 3x + 10 − (x + 2)2: 150. ³) x2 > 6x − 9; ·) 4 − 3x < 1 − 2x2; ») x2 − 7x + 5 > 3x2 − 5x;

µ) 16x2 < 8x − 1; ¹) 6x > 12 − 5x2; ½) 4x2 + 8x > 7x − 12:

x−1 151. ³) −−−−− + 0,2x2 < 1; 3 (x − 1)(x − 2) x+1 x ·) −−−−−−−−−−−− < −−−−− − −−; 15 5 3

7 − 2x µ) x2 − −−−−−− > 0,2; 4 12 − x2 x (x − 3)2 ¹) −−−−−− − −− < −−−−−−: 4 3 12

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (152-153). 1 152. ³) y = −−−−; √$x 4 ¹) y = −−−−; √$x2 x2 − 4x ¿) y = −−−−−−−; √'x2 − 4 1 Å) y = −−−−−−−−−−−; √"2"−"3'x − x2

1 µ) y = −−−−−−−; √'x − 1 −x ») y = −−−−−−−; √'x2 − 1 9x Á) y = −−−−−−−; √'x2 + 3 −5x Ç) y = −−−−−−−; √'x2 − 3

5x ·) y = −−−−−−−; √'1 − x 8x − 7 ½) y = −−−−−−−; √'x2 + 4 −12 Ã) y = −−−−−−−−−−−−; √'x2 −14x + 4 5 + x2 É) y = −−−−−−−−: √'5 − x2

1 153. ³) y = −−−−−−; |x − 1| 3 ¹) y = −−−−−−−−−−−−; √'x2 − 2x + 1

2 µ) y = −−−−−−; |x + 1|

4 ·) y = −−−; |x|

1 − 5x ») y = −−−−−−−−−−−; √'x2 + 4x + 4

x2 − 9 ½) y = −−−−−−−−−−−: √"x2"−"6'x + 9

è³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ 2.6 ØÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù x0 x0 Ï»ïÁ (ÝÏ. 25)£ ÜÏ. 25 x0 Ï»ïÁ Ox ³é³ÝóùÁ µ³Å³ÝáõÙ ¿ »ñÏáõ Ù³ë»ñÇ 1) x Ï»ïÇó ³ç ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ x − x0 »ñÏ³Ý¹³ÙÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, 2) x Ï»ïÇó Ó³Ë ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ x − x0 »ñÏ³Ý¹³ÙÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ¿£ ºñÏ³Ý¹³ÙÇ ³Ûë Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏ³Í ¿ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÇ ÑÇÙùáõÙ£ ¸Çóáõù, å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ÉáõÍ»É (1) (x − x1)(x − x2)(x − x3) > 0 Ï³Ù (2) (x − x1)(x − x2)(x − x3) < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ x1 < x2 < x3£ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù x1, x2 ¨ x3 Ï»ï»ñÁ£ ¸ñ³Ýù Ox ³é³ÝóùÁ µ³Å³ÝáõÙ »Ý ãáñë ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ (ÝÏ. 26). (−∞; x1), (x1, x2), (x2, x3), (x3; +∞)

x3 ÜÏ. 26 ¸Çï³ñÏ»Ýù (3) A(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ£ ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ x3-Çó ³ç ·ïÝíáÕ µáÉáñ x-»ñÇ Ñ³Ù³ñ (3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý µáÉáñ »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, ù³ÝÇ áñ x-Á Ù»Í ¿ x1-Çó, x2-Çó ¨ x3-Çó£ àõëïÇ, A(x) > 0 (x3; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ£

x2-Ç ¨ x3-Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ (3) ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ í»ñçÇÝ ³ñï³¹ñÇãÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ù³ÝÇ áñ x < x3, ÇëÏ ÙÝ³ó³Í »ñÏáõëÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý, áñáíÑ»ï¨ x > x2 ¨ x > x1£ àõñ»ÙÝ, (x2; x3) ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ ó³ÝÏ³ó³Í x-Ç Ñ³Ù³ñ A(x) < 0£ ÜÙ³Ý Ï»ñå ¹³ï»Éáíª Ïëï³Ý³Ýù, áñ A(x) > 0, »Ã» x ∈ (x1; x2) ¨ A(x) < 0, »Ã» x ∈ (−∞; x1)£ ²Ûë ¹³ïáÕáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ ÑÇÙÝí³Í (1) ¨ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ, áñÁ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ. Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ ÝßáõÙ »Ý x1, x2, x3 Ï»ï»ñÁ, (x3; +∞) ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ¹ÝáõÙ »Ý §+¦ Ýß³ÝÁ, (x2, x3) ÙÇç³ÝóùÇ íñ³ª §−¦ Ýß³ÝÁ, (x1, x2) ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ª §+¦ Ýß³ÝÁ, (−∞; x1) ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ª §−¦ Ýß³ÝÁ (ÝÏ. 27)£

x3 ÜÏ. 27 ²Û¹ ¹»åùáõÙ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, áñáÝó íñ³ ¹ñí³Í ¿ §åÉÛáõë¦ Ýß³ÝÁ, ÇëÏ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ µáÉáñ ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, áñáÝó íñ³ ¹ñí³Í ¿ §ÙÇÝáõë¦ Ýß³ÝÁ£ Üß»Ýù, áñ x1, x2, x3 Ãí»ñÁ A(x) > 0 ¨ A(x) < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ã»Ý£ ¸ñ³Ýáí ¿ µ³ó³ïñíáõÙ, áñ ³Û¹ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñ »Ý ¨ áã Ã» Ñ³ïí³ÍÝ»ñ Ï³Ù ÏÇë³µ³ó ÙÇç³Ï³Ûù»ñ£ ÜÙ³Ý Ï»ñå Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É (x − x1)(x − x2) ... (x − xn) > 0 ¨ (x − x1)(x − x2) ... (x − xn) < 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñï»Õ x1 < x2 < ... < xn, ÇëÏ n-Á ïí³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ Üß»Ýù, áñ ÷³ëïáñ»Ý Ñ»Ýó ³Û¹ Ù»Ãá¹áí ¿ÇÝù ÉáõÍáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ï³ñµ»ñÇãáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0

(4)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Ýù ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³Ïáí£ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù 1, 2 ¨ 3 Ï»ï»ñÁ£ (−∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ íñ³ ³çÇó Ó³Ë Ù»ÏÁÝ¹Ù»ç Ñ»ñÃáí ¹Ý»Ýù §åÉÛáõë¦ ¨ §ÙÇÝáõë¦ Ýß³ÝÝ»ñÁ (ÝÏ. 28)ª ëÏë»Éáí §åÛáõëÇó¦£

2 ÜÏ. 28

ÜÏ³ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ÕÏ³ó³Í »Ý (1; 2) ¨ (3; +∞) »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó (ÝÏ³ñáõÙ ¹ñ³Ýù Ýßí³Í »Ý ³Õ»ÕÝ»ñáí)£ ä³ï³ëË³Ýª (1; 2)∪(3; +∞)£ úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù (2 − x)(x2 − 4x + 3)(x + 1) > 0

(5)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ x2 − 4x + 3 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»Éáí ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), Ïëï³Ý³Ýù, áñ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (x − (−1))(2 − x)(x − 1)(x − 3) > 0

(6)

ï»ëùáí£ ´³½Ù³å³ïÏ»Éáí (6) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ −1-áíª Ïëï³Ý³Ýù, áñ ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (x − (−1))(x − 2)(x − 1)(x − 3) < 0 (7) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ àõëïÇ, ÙÝáõÙ ¿ ÉáõÍ»É (7) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ÆëÏ ³ÛÝ ³ñ¹»Ý ·ñí³Í ¿ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ï»ëùáí£ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù −1, 1, 2 ¨ 3 Ï»ï»ñÁ (ÝÏ. 29).

ÜÏ. 29 ÎÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ (5) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇóª (−1; 1) ¨ (2; 3)£ ä³ï³ëË³Ýª (−1; 1)∪(2; 3)£

úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù (x − 1)3(x − 2)2(x − 3)4(x − 4) < 0

(8)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (8) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ý³Ëáñ¹ ûñÇÝ³ÏÇ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÝÙ³Ý ãÇ Ï³ñ»ÉÇ ÉáõÍ»É, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ Ó³Ë Ù³ëáõÙ áã µáÉáñ »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ »Ý ·ñí³Í ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³Ýáí£ ²Û¹åÇëÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ëáíáñ³µ³ñ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ »Õ³Ý³ÏÁ, áñÁ Ï³Û³ÝáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³ÉáõÙ. Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù 1, 2, 3, 4 Ï»ï»ñÁ ¨ ³ÛÝáõÑ»ï¨ (−∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; +∞)

(9)

ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ Ñ»ï³½áï»Ýù A(x) = (x − 1)3(x − 2)2(x − 3)4(x − 4)

(10)

µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÁ£ A(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ³ñÙ³ïÇó ³ç ÁÝÏ³Í ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ¹ÝáõÙ »Ý §åÉÛáõë¦ Ýß³Ý, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ µáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý£ ²ÛÝáõÑ»ï¨, ß³ñÅí»Éáí ³çÇó Ó³Ë, Ñ»ñÃ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ íñ³Ûáí ³ÝóÝ»ÉÇë Ýß³ÝÁ ÷áËáõÙ »Ý, »Ã» ³Û¹ ³ñÙ³ïÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáÕ »ñÏ³Ý¹³ÙÁ ·ñí³Í ¿ Ï»Ýï ³ëïÇ×³Ýáí, ¨ å³Ñå³ÝáõÙ »Ý Ýß³ÝÁ, »Ã» ³ÛÝ µ³ñÓñ³óí³Í ¿ ½áõÛ· ³ëïÇ×³Ýáí, ù³ÝÇ áñ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ¨ Ýñ³ Ï»Ýï ³ëïÇ×³ÝÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý, ÇëÏ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ½áõÛ· ³ëïÇ×³ÝÁ ÙÇßï ¹ñ³Ï³Ý ¿, µ³óÇ ³Û¹ »ñÏ³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ï»ïÇó£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙÇç³Ï³ÛùÇ íñ³ ¹ÝáõÙ »Ý ·ïÝí³Í §åÉÛáõë¦ Ï³Ù §ÙÇÝáõë¦ Ýß³ÝÁ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (8) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ÏÉÇÝÇ µáÉáñ ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, áñáÝó íñ³ ¹ñí³Í ¿ §ÙÇÝáõë¦ Ýß³ÝÁ£ Ð»ï³½áï»Ýù (10) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ (9) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ£ ²Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ íñ³ å»ïù ¿ ¹ñí³Í ÉÇÝ»Ý ÝÏ. 30-áõÙ Ýßí³Í Ýß³ÝÝ»ñÁ,

ÜÏ. 30 ù³ÝÇ áñ x > 4 ¹»åùáõÙ µáÉáñ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý£ 4 Ï»ïáõÙ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áËáõÙ ¿ Ýß³ÝÁ, ù³ÝÇ áñ (x − 4) ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³ñÓñ³óí³Í ¿ Ï»Ýï ³ëïÇ×³Ýáí (1 ³ëïÇ×³Ý)£ 3 ¨ 2 Ï»ï»ñáõÙ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ýß³ÝÁ ãÇ ÷áËáõÙ, ù³ÝÇ áñ (x − 3) ¨ (x − 2) ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ñÓñ³óí³Í »Ý

½áõÛ· ³ëïÇ×³ÝÝ»ñáí (4 ¨ 2), 1 Ï»ïáõÙ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÷áËáõÙ ¿ Ýß³ÝÁ, áñáíÑ»ï¨ x − 1-Á µ³ñÓñ³óí³Í ¿ 3 Ï»Ýï ³ëïÇ×³Ýáí£ àõëïÇ, (8) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñ»ù ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇóª (1; 2), (2; 3), (3; 4)£ ä³ï³ëË³Ýª (1; 2)∪(2; 3)∪(3; 4)£ úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù (4 − 3x − x2)(x2 − 4x + 5)(x − 1) < 0

(11)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²é³çÇÝ Ñ»ñÃÇÝ Ñ»ï³½áï»Ýù (11) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 4 − 3x − x2 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ï³ñµ»ñÇãÁª D = 25 > 0, áõëïÇ. ³ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. x1 = −4, x2 = 1 ¨ ×Çßï ¿ 4 − 3x − x2 = −(x − 1)(x + 4)

(12)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ x2 − 4x + 5 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ï³ñµ»ñÇãÁª D = −9 < 0, áõëïÇ, ³Û¹ »é³Ý¹³ÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ ¨, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ x2 − 4x + 5 > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ú·ï³·áñÍ»Éáí (12) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁª (11) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ·ñ»Ýù −(x2 − 4x + 5)(x + 4)(x − 1)2 < 0

(13)

ï»ëùáí£ ²Ûë ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»Éª ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ x2 − 4x + 5 ³ñï³¹ñÇãÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ox ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù −4 ¨ 1 Ï»ï»ñÁ ¨ áñáß»Ýù (13) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ýß³ÝÁ ëï³óí³Í ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ (ÝÏ. 31)£

1 ÜÏ. 31

Îëï³Ý³Ýù, áñ (11) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (−4; 1)∪(1; +∞) µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿£ ä³ï³ëË³Ýª (−4; 1)∪(1; +∞)£

154.° ³) à±ñÝ ¿ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÝÏÁ£ Æ±Ýã ï»ëùÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ³ÛÝ ÏÇñ³éíáõÙ£ µ) Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù x > 2 ¨ x − 2 > 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ·) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» x > 1, ³å³ x − 1 > 0£ ¹) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» x < 1, ³å³ x − 1 < 0£ 155. ºÃ» x ÃÇíÁ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ¹³ë³íáñí³Í ¿ 5 ÃíÇó Ó³Ë, ³å³ ×Ç±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³) x − 5 < 0; µ) x − 5 > 0£ 156. ºÃ» x ÃÇíÁ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝíáõÙ ¿ −2 ÃíÇó ³ç, ³å³ ×Ç±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³) x − (−2) < 0; µ) x + 2 > 0£ 157. 1) ºÃ» x ÃÇíÁ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ¹³ë³íáñí³Í ¿ 4 ÃíÇó Ó³Ë, ³å³ ×Ç±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³) x − 5 < 0; µ) x − 2 < 0£ 2) ºÃ» x ÃÇíÁ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ·ïÝíáõÙ ¿ 10 ÃíÇó ³ç, ³å³ ×Ç±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ³) x − 11 > 0; µ) x − 9 < 0£ 158. ³) ºÃ» x ÃÇíÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 1 ¨ 3 Ãí»ñÇ ÙÇç¨, ³å³ Ç±Ýã Ýß³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý x − 1 ¨ x − 3 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ µ) ºÃ» x ÃÇíÁ ·ïÝíáõÙ ¿ −3 ¨ −1 Ãí»ñÇ ÙÇç¨, ³å³ Ç±Ýã Ýß³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý x + 3 ¨ x + 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 159. îñí³Í ¿ x − 6 »ñÏ³Ý¹³ÙÁ£ x-Ç ÇÝãåÇëÇ± ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ³Û¹ »ñÏ³Ý¹³ÙÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ. ³) ½ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ ³ñÅ»ù, µ) ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ, ·) µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ 160. ³) ºÃ» x ÃÇíÁ ·ïÝíáõÙ ¿ 2 ¨ 5 Ãí»ñÇ ÙÇç¨, ³å³ Ç±Ýã Ýß³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý x − 2 ¨ x − 5 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ¨ Ç±Ýã Ýß³Ý áõÝÇ (x − 2)(x − 5) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ£ µ) ºÃ» x ÃÇíÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ 7 ÃíÇó Ó³Ë, ³å³ Ç±Ýã Ýß³ÝÝ»ñ áõÝ»Ý x − 7 ¨ x − 8 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ (x − 7)(x − 8) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ£

161. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýßí³Í »Ý 1, 2 ¨ 3 Ãí»ñÁ£ àñáß»ù x − 1, x − 2, x − 3 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ¨ (x − 1)(x − 2)(x − 3) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÝ»ñÁ (−∞; 1), (1; 2); (2; 3) ¨ (3; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ£ 162. ³) ¶ï»ù x-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ (x − 1)(x − 3)(x − 4) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ½ñáÛÇ Ñ³í³ë³ñ ³ñÅ»ù£ µ) àñáß»ù ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, áñáÝóáõÙ (x − 1)(x − 3)(x − 4) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ ØÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ (163-169). 163. ³) (x − 1)(x − 3)(x − 5) > 0; ·) (x + 1)(x − 1)(x − 2) > 0;

µ) (x − 1)(x − 2)(x − 4) < 0; ¹) (x + 2)(x + 1)(x − 3) < 0:

164. ³) (x2 + x)(5x + 5) < 0; ·) (6x2 − 12x)(x + 4) < 0;

µ) (3x + 12)(2x + 10)(x2 − 2x) > 0; ¹) (2x2 − 16x)(4x + 4)(7x − 21) > 0:

165. ³) (2 − x)(x + 3)(x − 7) < 0; ·) (3x − 4)(1 − x)(2x + 1) > 0;

µ) (5 − x)(x − 3)(x + 12) > 0; ¹) (2x − 5)(7x + 3)(x + 8) < 0;

») (5x − 6)(6x − 5)(1 − x)(3x + 1) > 0; ½) (10x − 1)(x + 2)(7x − 4)(7x + 5) < 0: 166. ³) (x − 3)(x2 − 3x + 2) > 0; µ) (2 − x)(x2 − x − 12) < 0; ·) (x2 − 3x − 4)(x2 + x − 12) < 0; ¹) (x2 − 5x − 6)(x2 + 2x − 15) > 0: 167. ³) (x2 − 16)(x2 − x − 2)(x + 2) > 0; µ) (4 + x)(9 − x2)(x2 − 2x + 1) > 0: 168. ³) (x − 2)2(x − 1) > 0; ·) (3x − 1)3(x + 1) > 0;

µ) (x + 4)(x + 3)2 < 0; ¹) (x + 2)(5x + 3)2 < 0:

169. ³) (2 − 4x)(x2 − x − 2) < 0; ·) (3x − 7)(x2 + 2x + 2) < 0;

µ) (−4 − 3x)(x2 + 3x − 4) > 0; ¹) (5x − 8)(x2 − 4x + 5) > 0;

») (x2 + 4x + 5)(x2 − 4x + 3)(x − 1) < 0; ½) (−x2 + 6x − 10)(x2 − 5x + 6)(x − 2) > 0:

2.7 è³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ A(x) ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ −−−− Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ, áñï»Õ A (x)-Á ¨ B(x) B(x)-Á x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ A(x) −−−−− > 0 (1) B(x) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ£ ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ Ù»Ï x ³ÝÑ³Ûïáí ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÉáõÍáõÙ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÛÝ x0 ÃÇíÁ, áñÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ ×Çßï Ãí³ÛÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ ÈáõÍ»É(1)³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É Ýñ³ µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ Ï³Ù ³å³óáõó»É, áñ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý£ Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ÉáõÍáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñA(x) · B(x) > 0 (2) Ù³Ý ÉáõÍáõÙ ¿£ Æñáù, »Ã» x0-Ý (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ×Çßï ¿ A(x0) −−−−− >0 B(x0) Ãí³ÛÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ A(x0) ¨ B(x0) Ãí»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ Ýß³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª A(x0) B(x0) > 0, ÇëÏ ¹³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ x0-Ý (2) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿£ ÜÙ³Ý Ó¨áí óáõÛó ¿ ïñíáõÙ, áñ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ÉáõÍáõÙ ÉáõÍáõÙ ¿ Ý³¨ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ Ð»ï¨³µ³ñ (1) ¨ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý£ êÏ½µáõÙ Ï¹Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ A(x) ¨ B(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÁ í»ñÉáõÍíáõÙ »Ý x − a ï»ëùÇ ï³ñµ»ñ »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³Éáí£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³Ïáí£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É ëáíáñ³µ³ñ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ã»Ý ÏñÏÝáõÙ Ý³ËÏÇÝáõÙ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ï³ñí³Í ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ³ÛÉ ÙÇ³Ý·³ÙÇó (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³éáõÙ »Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x−3 −−−− > 0 x−2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£

(3)

ÎÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ (ÝÏ. 32)ª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ

2 ÜÏ. 32

(3) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇóª (−∞; 2) ¨ (3; +∞)£ ä³ï³ëË³Ýª (−∞; 2)∪(3; +∞)£ úñÇÝ³Ï 2. ÈáõÍ»Ýù x2 − 2x − 3 −−−−−−−−− >0 x2 − 3x + 2

(4)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ x2 − 2x − 3 (5) ¨ (6) x2 − 3x + 2 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ»ñÁ í»ñÉáõÍ»Ýù ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ£ (5) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = −1 ¨ x2 = 3, ¨ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª x2 − 2x − 3 = (x − (−1))(x − 3)£ (6) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ x1 = 1, x2 = 2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)£ Ð»ï¨³µ³ñ, (4) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É (x − (−1))(x − 3) −−−−−−−−−−−−− < 0 (x − 1)(x − 2) ï»ëùáí£ ÎÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ (ÝÏ. 33)ª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ ÙÇç³Ï³ÛùÇóª (−1; 1) ¨ (2; 3)£ ä³ï³ëË³Ýª (−1; 1)∪(2; 3):

ÜÏ. 33 A1(x) A2(x) ¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý −−−−− ¨ −−−−− Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ, áñï»Õ B1(x) B2(x) A1(x), B1(x), A2(x), B2(x)-Á x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ A2(x) A1(x) −−−−− > −−−−− B1(x) B2(x)

(7)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ£ ²ÛÝ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»É Ó³Ë ÏáÕÙ, Ï³ï³ñ»É Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ÝáõÙ ¨ ³é³Ýó Ïñ×³ï»Éáõ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÝ áõ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª (7) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»É A(x) −−−− > 0 B(x)

(8)

ï»ëùÇ, áñï»Õ A(x)-Ý áõ B(x)-Á x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ¨ ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÉáõÍ»É (8) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ (7) ¨ (8) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù »Ý, ³å³ (8) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ÏÉÇÝ»Ý (7) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ£ úñÇÝ³Ï 3. ÈáõÍ»Ýù x 1 −−−−−− > −− 2x + 3 x

(9)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ 1 î»Õ³÷áË»Éáí −− Ïáïáñ³ÏÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë ÏáÕÙÁª Ïëï³Ý³Ýù x ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x 1 −−−−−− − −− > 0 (10) 2x + 3 x ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (10) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë ÏáÕÙáõÙ Ï³ï³ñ»Éáí Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ÝáõÙª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x2 − 2x + 3 −−−−−−−−−− > 0 x(2x + 3)

(11)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ x2 − 2x − 3 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»Éáí ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª (11) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñï³·ñ»Ýù (x + 1)(x − 3) −−−−−−−−−−−−− > 0 3 2(x − 0)(x + −−) 2

(12)

ï»ëùáí£ (12) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁª Ïëï³3 Ý³Ýù, áñ µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (−∞; − −−), 2 (−1; 0), (3; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÇó (ÝÏ. 34)£ 3 ä³ï³ëË³Ýª (−∞; − −−)∪(−1; 0)∪(3; +∞)£ 2

3 2

0 ÜÏ. 34

170.° à±ñ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ñ³Ù³ñÅ»ù£ 171. Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ. 3 5 ³) 3x > 0 ¨ −− > 0; µ) −5x > 0 ¨ −− < 0; x x x+1 ·) −−−−− < 0 ¨ (x + 1)(x + 2) < 0: x+2 ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (172-185). 5 172. ³) −− > 0; x

3 µ) − −− < 0; x

1 ·) −−−−− < 0; x−1

1 ¹) −−−−− > 0: 2x + 1

x−1 173. ³) −−−−− > 0; x−2

x−4 µ) −−−−− < 0; x−2

x+3 ·) −−−−− < 0; x−5

x−7 ¹) −−−−− > 0; x+8

x−6 174. ³) −−−−− > 0; 2−x

4−x µ) −−−−− < 0; x−9

2x + 4 ·) −−−−− < 0; 4x + 2

3x + 6 ¹) −−−−− > 0; 9x − 3

2x + 3 175. ³) −−−−−− < 0; x−4

7+x µ) −−−−− < 0; 4x − 3

7x − 1 ¹) −−−−− > 0; 2x + 5

(x − 1)(x + 2) 176. ³) −−−−−−−−−−− > 0; x−3

(x + 1)(x − 2) µ) −−−−−−−−−−− < 0; x+3

(x + 1)(7 − x) ·) −−−−−−−−−−− < 0; (8 + x)(x − 5)

(x − 6)(4 − x) ¹) −−−−−−−−−−− > 0: (x − 1)(1 + x)

4x2 − x 177.* ³) −−−−−−− > 0; x+1 13x − 2x2 ·) −−−−−−−− < 0; 4x − x2 x2 − 1 178.* ³) −−−−−− > 0; x+4 x2 − 4x + 4 ·) −−−−−−−−−− < 0; x−1

12x − 6 ·) −−−−−− < 0; 5x − 4

3x − x2 µ) −−−−−− < 0; x−2 15x − 5x2 ¹) −−−−−−−−2 > 0: 12x − 3x x2 − 4 µ) −−−−− < 0; x−3 7+x ¹) −−−−−−−−− > 0: 2 x − 6x + 9

x2 − x − 2 179.* ³) −−−−−−−−− > 0; x2 − 9 x2 − 7x + 6 ·) −−−−−−−−−−−−−− < 0; (3x2 − 12)(x − 1)

16 − x2 µ) −−−−−−−−− < 0; 2 x − 5x − 6 25x2 − 1 ¹) −−−−−−−−−−− < 0: 2 5x − 26x + 5

x2 − x + 2 180.* ³) −−−−−−−−−− < 0; x2 − 7x + 6 x2 − 3 ·) −−−−−−−−−− > 0; 7x2 + 3x + 2

x2 + 4x − 21 µ) −−−−−−−−−− > 0; x2 − 2x + 5 4x2 + 5x + 3 ¹) −−−−−−−−−− < 0: 5 − x2

1 181. ³) −− > 0; x x+1 ·) −−−−− > 0; x

1 µ) −− < 0; x x−1 ¹) −−−−− < 0: x

x 1 182.* ³) −−−−− < −−; x−1 x x+1 3 ·) −−−−− < −−; x−1 x

3 5x µ) −− > −−; x 3 2 x−2 ¹) −− > −−−−−: x 3−x

x2 − 6x + 4 183.* ³) −−−−−−−−−− > 0; x−1 x2 − 5 ·) −−−−−−−−−−− < 0; 2x2 − 3x − 2

x2 + 6x + 6 µ) −−−−−−−−−− < 0; x+2 3 − x2 ¹) −−−−−−−−−−− > 0: 3x2 − 4x − 1

(x − 1)2(x − 2) 184.* ³) −−−−−−−−−−−− > 0; (x − 3)2 (x − 1)3(x − 2) ·) −−−−−−−−−−−− > 0; (x − 3)2

(x + 1)2(x − 2) µ) −−−−−−−−−−−− < 0; x+3 (x + 1)(x − 2)3 ¹) −−−−−−−−−−− < 0: x+3

(x + 1)2(x − 2) 185.* ³) −−−−−−−−−−−−− > 0; (x + 3)2 (x − 1)3(x − 2) ·) −−−−−−−−−−−−− > 0; (x − 3)2 (x − 1)2(x − 3) ») −−−−−−−−−−−− > 0; x+3

(x − 1)2(x + 2)2 µ) −−−−−−−−−−−− < 0; x+3 (x + 1)(x + 2)3 ¹) −−−−−−−−−−−− < 0; x+3 (x − 2)2(x + 4) ½) −−−−−−−−−−−− < 0: x−4

2.8 è³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ¨ Ñ³Ù³ËÙµ»ñ ºÃ» ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ·ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ x Ãí»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ïñí³Í µáÉáñ é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáí é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ è³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ·ïÝ»É ëï³óí³Í ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ù³ëÁ (Ñ³ïáõÙÁ). ¹³ ¿É Ñ»Ýó ÏÉÇÝÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç µáÉáñÉáõÍáõÙÝ»ñÇµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù

{

(x − 1)(x − 5)(x − 7) < 0 (x − 2)(x − 3) −−−−−−−−−−− > 0 x−4

(1)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ÎÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ (1) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (−∞; 1) ¨ (5; 7) (ÝÏ. 35. ³) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, ÇëÏ (1) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (2; 3) ¨ (4; +∞) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó (ÝÏ. 35. µ)£

1 ³)

4 µ) ÜÏ. 35

Ox Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ýß»Ýù ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (ÝÏ. 36)£ ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ù³ëÁ (5, 7) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ Ð»ï¨³µ³ñ, (1) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ (5, 7) ÙÇç³Ï³ÛùÇó£ ä³ï³ëË³Ýª (5, 7): ///////////

\\\\\\\\\\

//////////////////////////////////////////// \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

ÜÏ. 36 úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ x2 − 6x + 10 < 0 x9 − x3 + x + 2 −−−−−−−−−−−− >0 x 4 − x2 + 1

{

(2)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ÎÇñ³é»Éáí ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ ³é³ÝÓÝ³óÝ»Éáõ »Õ³Ý³ÏÁª Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É, áñ x2 − 6x + 10 = x2 − 2 · x · 3 + 32 − 32 + 10 = (x − 3)2 + 1£ àõëïÇ, (2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³Ûëå»ëª (x − 3)2 + 1 < 0, áñï»ÕÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ³ÛÝ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ÐÇÙ³ ³ñ¹»Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ãÉáõÍ»É, ù³ÝÇ áñ å³ï³ëË³ÝÝ ³ñ¹»Ý å³ñ½ ¿. (2) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ä³ï³ëË³Ýª ÈáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý (Ï³Ùª φ)£

¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý x ³ÝÑ³Ûïáí ÙÇ ù³ÝÇ é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ ºÃ» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ x Ãí»ñÁ, áñáÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÇ ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É Ù»Ï x ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³Ù³ËáõÙµÁ£ ÈáõÍ»É Ñ³Ù³ËáõÙµÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ Ï³Ù óáõÛó ï³É, áñ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãÏ³Ý£ è³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É ³Û¹ Ñ³Ù³ËÙµÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ ³ÛÝáõÑ»ï¨ ·ïÝ»É ëï³óí³Í ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÁ. ¹³ ¿É Ñ»Ýó ÏÉÇÝÇ ïíÛ³É Ñ³Ù³ËÙµÇ µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ£ úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ x2 − 4x + 3 < 0 [ (x (3) − 2)(x − 5) > 0 Ñ³Ù³ËáõÙµÁ£ (3)-Ç ³é³çÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (1; 3) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª (−∞; 2)∪(5; +∞)-Á£ àõëïÇ, (3) Ñ³Ù³ËÙµÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿. (−∞; 2)∪(5; +∞)∪(1; 3) = (−∞; 3)∪(5; +∞)£ ä³ï³ëË³Ýª (−∞; 3)∪(5; +∞)£

186.° ³) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÉáõÍ»É é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ µ) ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ£ 187.° ³) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÉáõÍ»É é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ£ µ) ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ£ 188. −1, 1, 0, 2 Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÝ ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ ¿. (x + 4)(x − 4) > 0, (x − 3)2 > 0, µ) { ³) { (x − 2)(x − 5) < 0; (x + 5)2 > 0; ·)

{

x2 − 3x + 5 > 0, 1 −−−−− < 2; x−4

x+4 −−−−− > 5, x ¹) x2 − 6x − 8 < 0:

{

1 189. 2, −1, −−, 4 Ãí»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÝ ³ñ¹Ûáù Ñ³Ù³ËÙµÇ ÉáõÍáõÙ ¿. 3 6 4−x −− < 0, 2 −−−−− > 1, x x + 1 < 0, µ) 2 − x2 ·) 7 − 2x2 > 2x, ³) 2x2 − x > 0; 5x(x − 2) < 0; 4x < x2; 3x2 > 1, 4 (x − 3)2 < 0, 6x > −− − 1, x ¹) ») 4 −−2 < −1; 2 < −x2 − 3: x

[

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (189-195). µ) {

(x − 1)(x − 2) < 0, x (x − 3) > 0;

µ) {

(x + 10)(x − 13) > 0, (x + 8)(x − 12) < 0;

x2 − 4 < 0, x > 9;

¹) {

x < −2, x2 − 9 > 0:

192. ³) {

(x − 1)(x − 2) > 0, (x − 1)(x − 3) > 0;

µ) {

(x + 3)(x + 2) < 0, (x − 4)(x + 2) > 0;

·) {

(x + 1)(x − 1) > 0, (x + 1)(x − 3) < 0;

¹) {

(x + 4)(x − 6) > 0, x2 − 1 < 0:

193. ³) {

(x − 5)(x + 1) > 0, (x − 10)2 > 0; x2 − 4x + 3 > 0, x2 (x − 7)2 > 0;

µ) {

·) { 191. ³) { ·) {

·) {

x (x + 5) < 0, (x − 1)(x − 4) < 0; (x − 5)(x − 6) > 0, ¹) { (x + 3)(x − 4) < 0:

(x + 1)(x − 3) < 0, (x + 2)(x + 1) < 0; (x + 2)(x − 1) > 0, (x + 6)(x − 3) < 0;

190. ³) {

194. ³)

{

·)

{

(x − 2)(x − 3) > 0, x+2 −−−−−−−−−−− > 0; (x − 4)(x + 4) x2 > 4, x2 − 9 −−−−−−−−−− > 0; x2 − 8x + 16

(x + 2)(x + 3) < 0, (x + 2)2 > 0; (x2 − 1)(x + 3) > 0, ¹) { (x + 5)2(x − 1)2 < 0:

µ)

{

¹)

{

(x + 2)(x + 10) < 0, x−3 −−−−−−−−−−− < 0; (x + 4)(x + 7) x2 < 25, x2 − 16 −−−−−−−−−− < 0: x2 + 6x + 9

195. ³)

·)

196.* ³)

{

x−5 −−−−− > 0, x+3 x+7 −−−−− < 0; x−3

{

x2 − 1 −−−−− > 0, x2 + 4 x−5 −−−−− < 0; x2 − 4

{

x2 − 3|x| + 2 > 0, 10 −−− > 0; x |x| − 1 −−−−− > 0, |x| + 2 |x| − 3 −−−−− < 0; |x| + 4

{

·)

µ)

¹)

{

x+3 −−−−− < 0, x−4 x+8 −−−−− > 0; x−7

{

x2 − 16 −−−−− < 0, x2 + 1 x−2 −−−−− > 0: x2 − 9

{

x2 − 5|x| + 4 < 0, 11 −−− < 0; x |x| + 1 −−−−− > 0, |x| − 4 |x| − 5 −−−−−−− < 0: |x| + 0,1

µ)

¹)

{

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ (196-197). x2 − 49x + 48 > 0,

197. ³)

− x − 6 > 0;

x2 + 2x − 8 > 0, ¹) 5 −− < 12; x

[

198. ³)

[

x2 − 4 < 0, µ) 4 −− > 0; x

[

»)

x2 + 2x − 24 > 0;

(x − 1)(x − 2)(x − 3) < 0, 4x − x2 −−−−−− > 0, x+2

+ 1 < 0,

4x2 − 2x > 0,

·)

[11x − 4 < 0;

½)

− 9 > 0,

x2 + x − 2 < 0:

[

1 1 −− < −−−− + 1, x x− 1 µ) 2 −−− > 1, x2 3x3 − 2x2 − x > 0:

2.9 àã ËÇëï é³óÇáÝ³É ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çï³ñÏ»Ýù A(x) −−−− ≥ 0 B(x)

(1)

A(x) −−−− ≤ 0 B(x) áã ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ, áñï»Õ A(x)-Á ¨ B(x)-Á x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ ºÃ» áñ¨¿ x0 ÃÇí (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ×Çßï ¿ A(x0) −−−−− ≥0 B(x0) Ãí³ÛÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Áëï áã ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, ×Çßï ¿ Ï³Ù A(x0) −−−−− >0 B(x0) Ãí³ÛÇÝ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, Ï³Ù A(x0) −−−−− =0 B(x0) Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÛÉ Ï»ñå ³ë³Í, »Ã» x0-Ý (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, ³å³ ³ÛÝ Ï³Ù A(x) −−−− > 0 B(x)

(2)

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, Ï³Ù A(x) −−−− = 0 B(x)

(3)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ (2) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ (3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ÉáõÍáõÙ (1) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý£ Ð»ï¨³µ³ñª A(x) −−−− ≥ 0 B(x)

³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝµáÉáñÉáõÍáõÙÝ»ñÇµ³½ÙáõÃÛáõÝÁ A(x) −−−− > 0 B(x) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý¨ A(x) −−−− = 0 B(x) Ñ³í³ë³ñÙ³ÝµáÉáñÉáõÍáõÙÝ»ñÇµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÙÇ³íáñáõÙÝ¿£ A(x) ÜÏ³ï»Ýù, áñ »Ã» −−−−− Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ B(x) Ñ³Ûï³ñ³ñÁ B(x) 1 ÃÇíÝ ¿, ³å³ í»ñÁ µ»ñí³Í ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÏÇñ³é»ÉÇ »Ý Ý³¨ A(x) ≥ 0 ¨ A(x) ≤ 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, áñï»Õ A(x)-Á x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù 3x − 7 ≥ 0

(4)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ êÏ½µÇó ÉáõÍ»Ýù 3x − 7 = 0

(5)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 7 ¸ñ³ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ x0 = −− ÃÇíÝ ¿£ 3 ²ÛÝáõÑ»ï¨ ÉáõÍ»Ýù 3x − 7 > 0

(6)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ (6) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µáÉáñ 7 x > −− Ãí»ñÝ »Ý£ 3 ØÇ³íáñ»Éáí (6) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ (5) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù, áñ (4) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ 7 µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ [−−; +∞] ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ 3 7 ä³ï³ëË³Ýª [−−; +∞]£ 3 úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù 2x2 − x − 1 ≤ 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£

(7)

êÏ½µÇó ÉáõÍ»Ýù 2x2 − x − 1 = 0

(8)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. 1 x1 = − −− ¨ x2 = 1£ 2 ²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù 2x2 − x − 1 < 0

(9)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ 2x2 − x − 1 ù³é³ÏáõëÇ »é³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ 1 x1 = − −− ¨ x2 = 1 2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, ³å³ (9) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É 1 2 (x − (− −−))(x − 1) < 0 2 ï»ëùáí£ ÈáõÍ»Éáí ³ÛÝ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³Ïáí (ÝÏ. 37. ³)ª ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ 1 (9) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (− −−; 1) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿£ 2 ØÇ³íáñ»Éáí (9) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ (8) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ (7) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ 1 µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ [− −−; 1] Ñ³ïí³ÍÝ ¿ (ÝÏ. 37. µ)£ 2 1 ä³ï³ëË³Ýª [− −−; 1]£ 2 //////////////////////////

1 2

1 µ)

³) ÜÏ. 37 úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù 9x2 − 6x + 1 ≤ 0 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ êÏ½µÇó ÉáõÍ»Ýù

(10)

9x2 − 6x + 1 = 0 b 6 1 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ïª x0 = − −−− = −−− = −−£ 2a 18 3

(11)

²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù 9x2 − 6x + 1 < 0

(12)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É 1 2 9(x − −−) < 0 3 ï»ëùáí£ Ð»ï¨³µ³ñ, ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ ³Û¹ ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ áñ¨¿ x Çñ³Ï³Ý ÃÇí (ó³ÝÏ³ó³Í Çñ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ µ³ó³ë³Ï³Ý ÉÇÝ»É ãÇ Ï³ñáÕ)£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É (12) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ 1 ²ÛëåÇëáí, (10) ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ÉáõÍáõÙª x = −−£ 3 1 ä³ï³ëË³Ýª −−£ 3 úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù (x + 2)(x − 4) −−−−−−−−−−−− ≤ 0 (x + 3)x

(13)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ êÏ½µÇó ÉáõÍ»Ýù (x + 2)(x − 4) −−−−−−−−−−− = 0 (x + 3)x

(14)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ð»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ ³ÛÝ áõÝÇ x1 = −2 ¨ x2 = 4 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù (x + 2)(x − 4) −−−−−−−−−−− < 0 (x + 3)x

(15)

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ£ ÎÇñ³é»Éáí ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ »Õ³Ý³ÏÁ (ÝÏ. 38. ³)ª Ï·ïÝ»Ýù, áñ (15) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ (−3, −2) ¨ (0, 4) »ñÏáõ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ »Ý£

4 ³)

ØÇ³íáñ»Éáí (14) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ¨ (15) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù (13) ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ÉáõÍáõÙÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª (−3, −2]∪(0; 4]£ (ÝÏ. 38. µ)£ ä³ï³ëË³Ýª (−3; −2]∪(0; 4]£ ////////////

//////////////////////////////////////////

4 µ) ÜÏ. 38

199.° ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ áã ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ (200-206). 200. ³) 2x − 3 ≤ 0; ·) 5x − 8 ≥ 3x − 1; 201. ³) x2 − 12x + 32 ≤ 0; ·) 2x2 + x − 7 ≥ 0;

µ) 4x − 3 ≥ 0; ¹) 2x − 4 ≤ 4x − 3: µ) x2 + 8x + 12 ≤ 0; ¹) 3x2 − 5x − 1 ≤ 0:

202. ³) −2x + 2x − 1 ≥ 0; ·) 3x2 + 18x + 27 ≤ 0;

µ) −x2 + 4x − 4 ≤ 0; ¹) 2x2 − 20x + 50 ≥ 0:

203. ³) x2 − 3x + 5 ≥ 0; ·) 8x2 − x + 1 ≤ 0;

µ) x2 + 7x + 10 ≤ 0; ¹) 4x2 − 5x + 6 ≥ 0:

204. ³) (x2 − 1)(x + 3) ≥ 0; ·) (12 − 5x)(x2 − 4x + 4) ≥ 0;

µ) (7 − x)(4 − x2) ≤ 0; ¹) (x2 − 5x + 6)(x − 3) ≤ 0:

1 205. ³) −−−−− ≥ 0; x−1 x−8 ·) −−−−−− ≥ 0; 2x + 3

5 µ) −−−−− ≤ 0; 2−x 3 − 4x ¹) −−−−−− ≤ 0: 5+x

x2 − 4x + 3 206.* ³) −−−−−−−−−− ≥ 0; x2 − 9

x2 − 7x + 10 µ) −−−−−−−−−−− ≥ 0; 25 − x2

1 ·) 1 − x ≥ −−−−−; x−3

5 2x + 3 ¹) −− − 4 ≤ −−−−−−: x x−1

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (207-209). (x − 1)(x − 2) ≥ 0, (x + 1)(x − 3) ≤ 0;

µ) {

(x + 3)(x + 2) ≤ 0, x (x − 4) ≤ 0;

x2 − 5x + 6 ≤ 0, x2 + x − 2 ≥ 0;

¹) {

x2 + 5x + 6 ≥ 0, x2 − 4x + 3 ≤ 0:

{

(x + 2)(x − 1) −−−−−−−−−−− < 0, x+1 x + 3 ≥ 0;

(x − 2)(x + 3) −−−−−−−−−−−− ≥ 0, µ) x−1 x + 2 > 0;

{

x−3 −−−−− ≤ 0, x2 − 9 x2 − 4 −−−−−− ≥ 0; x+2

x+1 −−−−− ≥ 0, x2 − 1 ¹) x2 − 16 −−−−−− ≥ 0: x−4

|x| < 2, (x − 3)(x − 2) ≥ 0;

µ) {

207. ³) { ·) {

208. ³)

·)

209.* ³) {

·)

»)

{

x2 − 5x + 6 −−−−−−−−− ≤ 0, 2x2 − 3x + 1 x2 − 4 ≤ 0;

{

(x + 1)(x2 − x − 6) ≥ 0, (x − 1)(x2 − 5x + 6) ≤ 0, (x + 3)(x2 − 4) ≥ 0;

{

|x| > 4, (x + 5)(x − 4) ≤ 0;

{

(x − 3)2 −−−−−−−−−− ≤ 0, 2 ¹) 3x − 5x + 2 x (x − 4) ≤ 0; ½)

{

(x + 1)(x2 + 8x + 15) ≤ 0, (x + 2)(x2 + 10x + 24) ≥ 0, (x + 3)(x2 + 9x + 20) ≥ 0:

ÈáõÍÝù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËáõÙµÁ (210-211). 210. ³) [

·)

[

|x2 − 1| ≤ 0, (6 + x)(2x − 1) ≥ 0;

|x + 2| ≤ 4, x2 − 3x + 2 > 0;

µ) [

4x − x3 ≥ 0, 2x2 > −x;

3−x 3 −−−−− ≥ −− − 1, ¹) x x 2 x (x + 1) ≤ 0;

2x3 − x ≥ x 4 < 0, 211. ³) −−−−−−−−−−−− x(x − 1)(x − 2) x2 + x + 1 ≤ 0;

[

(2x − 3)(2x2 − x − 1) ≤ 0,

µ) 3x2 − 2x > 1, (x2 − x)(4x − x2 − 3) ≥ 0£

ä³ï Ù³ Ï³Ý ï» Õ» Ïáõ ÃÛáõÝ Ý»ñ Âí»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ¨ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÝ»ñÁ Í³·»É »Ý ÑÝ³·áõÛÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÇó£ ²Ûëå»ëª Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¨ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ³å³óáõóÙ³Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý ³ÝóÛ³ÉÇ Ù»Í Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÇ Ùáï, áñáÝù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍáõÙ ¿ÇÝ µ³é»ñ Ï³Ù Ñ³ïáõÏ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñ, áñáÝù ³Û¹ µ³é»ñÇ Ïñ×³ï ·ñ»É³Ó¨»ñÝ ¿ÇÝ£ ¸»é¨ë Ù»ñ Ãí³ñÏáõÃÛáõÝÇó 2000 ï³ñÇ ³é³ç Ñ³ÛïÝÇ ¿ñ a+b √$ab ≤ −−−−−− áñï»Õ a ≥ 0, b ≥ 0 2 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²Ûë ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý a = b ¹»åùáõÙ£(1) Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ¨ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó Ñ³ïáõÏ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñÁ ÏÇñ³éí»É »Ý Ñ³Ù»Ù³ï³µ³ñ áã í³Õ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñáõÙ£ Ð³í³ë³ñáõÃÛ³Ý = Ýß³ÝÁ Ùïóñ»É ¿ 1557Ã. ³Ý·ÉÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë è. èÇÏáñ¹Á£ Ü³ å³ï×³é³µ³ÝáõÙ ¿ñ ³Ûëå»ë. áã ÙÇ »ñÏáõ ³é³ñÏ³ ã»Ý Ï³ñáÕ Çñ³ñ ³í»ÉÇ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É, ù³Ý »ñÏáõ ½áõ·³Ñ»é Ñ³ïí³ÍÝ»ñÁ£ ²ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý > ¨ < Ýß³ÝÝ»ñÁ Çñ §²Ý³ÉÇïÇÏ ³ñí»ëïÇ åñ³ÏïÇÏ³Ý¦ (1631Ã.) ·ñùáõÙ Ùïóñ»É ¿ ³Ý·ÉÇ³óÇ ·ÇïÝ³Ï³Ý Ð³ññÇïÁ£ àã ËÇëï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ≥ (áã ÷áùñ) ¨ ≤ (áã Ù»Í) Ýß³ÝÝ»ñÁ Ùïóí»É »Ý 1734Ã. ýñ³ÝëÇ³óÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ä. ´áõ·»ÛÇ ÏáÕÙÇó£ ²ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï ³éÝãíáÕ ËÝ¹ÇñÝ»ñ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý ¾íÏÉÇ¹»ëÇ §²ÏáõÝùÝ»ñ¦-Ç 5-ñ¹ ·ñùáõÙ (Ù.Ã.³. IV ¹³ñ)£ ²ÛÝï»Õ ³å³óáõóí³Í ¿, áñ a c »Ã» a, b, c ¨ d-Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý ¨ −− = −− Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç a-Ý b d ³Ù»Ý³Ù»Í ÃÇíÝ ¿, ³å³ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ a + d > b + c ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ä³å ²É»ùë³Ý¹ñÇ³óáõ (III ¹.) §Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÅáÕáí³Íáõ¦ ÑÇÙÝ³Ï³Ý ³ßË³ïáõÃÛ³Ý Ù»ç ³å³óáõóíáõÙ ¿, áñ »Ã» a, b, c ¨ d-Ý ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý a c ¨ −− > −−, ³å³ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ad > bc ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ b d

²Ûë ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÙ ¿ ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ »ñÏáõ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÁ ÷áùñ ã¿ ÙÇçÇÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³ÝÇó. ¹ñ³ ³å³óáõÛóÝ (1)

(

)

³ÝÙÇç³å»ë µËáõÙ ¿ √$a − √$b ß³ñáõÝ³Ï»Ýù ÇÝùÝ»ñë)£

≥ 0 ³ÏÝÑ³Ûï ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó (²å³óáõÛóÁ

¶ Èà ô Ê I I I

è²òÆàÜ²È Ð²ì²ê²ðàôØÜºð

3.1 ¶³Õ³÷³ñ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù³ëÇÝ

Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, áñáÝó Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÁ x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ é³óÇáÝ³É³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñ»Ý,³Ýí³ÝáõÙ»Ýx ³ÝÑ³Ûïáí é³óÇáÝ³ÉÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ úðÆÜ²Îª 5x 6 − 9x 5 + 4x 2 − 3x + 1 = 0, 3x2 − 2x + 1 5x3 − 2 x3 − 1 −−−−− = 1 + x, −−−−−−−−−− = −−−−−−− x+1 x−1 x4 + 3 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ »Ý£ ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ x ³ÝÑ³ÛïáíÑ³í³ë³ñÙ³Ý³ñÙ³ï(Ï³ÙÉáõÍáõÙ)¿³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÁ, Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí, ëï³óíáõÙ ¿ ×ÇßïÃí³ÛÇÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ÈáõÍ»ÉÑ³í³ë³ñáõÙÁÝß³Ý³ÏáõÙ¿·ïÝ»É µáÉáñ³ñÙ³ïÝ»ñÁÏ³ÙóáõÛóï³É,áñ³ñÙ³ïÝ»ñãÏ³Ý£ è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë Ñ³ñÏ ¿ ÉÇÝáõÙ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»É Ï³Ù µ³Å³Ý»É ÙÇ¨ÝáõÛÝ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Ãíáí, Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÙÇ ÏáÕÙÇó ï»Õ³÷áË»É ÙÛáõë ÏáÕÙÁ, ÏÇñ³é»É Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ñ³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Ïëï³óíÇ Ý³Ëáñ¹ÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙ, ³ÛëÇÝùÝª Ñ³í³ë³ñáõÙ, áñÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ÝáõÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ (Ï³Ù ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, »Ã» Ý³Ëáñ¹Á ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝ»ñ)£ ²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ ¹Çï³ñÏí»Éáõ »Ý é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ïÇå»ñ, áñáÝó ÉáõÍáõÙÁ Ñ³Ý·áõÙ ¿ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³ÝÁ£

212.° ³) à±ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ x ³ÝÑ³Ûïáí é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙ£ µ) Æ±ÝãÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ x ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï£ ·) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ¹) à±ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ñ³Ù³ñÅ»ù£ 213.° Ð³í³ë³ñáõÙÝ ³ñ¹Ûáù é³óÇáÝ³É ¿. ³) 1 − 3x = 0; ·) 3x2 = 7; x5 − 6 x3 ») −−−−−− = 1 − −−; 2 4 ¿) √$x = 2; ' 1 Ã) √$7 x + 8 = /12 −−; 3

1 1 µ) −− x − (5 − x) · 0,2 = 4x − −−; 2 4 x2 ¹) 12 − −− = (1 − x) x; 3 3 7 ½) −− + 5 = 3 − −−−−−−; x x + 13 Á) √'x − 8 = 24; x Å) −−−− − 2x2 = 14: √$3

214. ²ñ¹Ûáù Ýßí³Í ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿. x−5 ³) 2; 3x − −−−−− = x + 5; µ) −0,1; 3 (x − 8) = 4 − 2 (x − 1); 3 13 + 2x 1 x2 − x ¹) −−; −−−−− − 1 = −−−−−−−; ·) 3; x2 + 4x − 28 = 0; 4 x−3 10 3x2 − x3 ») −2; −−−−−− = 6 + 2 (x + 1); ½) −10; x5 + 3x4 = 7x3 + 7700; 5 x2 + x x+1 x2 + 1 2 ¿) 1; −−−−−− = −−−−−; Á) −1; −−−−− = −−−−−: x−1 x−1 x+1 x+1 215. Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ. ³) x + 2 = 3 ¨ x + 5 = 6; µ) 12x = 7 ¨ 1,2x = 0,7; x2 − x 3x ·) 2x = 4 ¨ 24x − 7 = 41; ¹) x − 1 = 3 ¨ −−−−− = −−−; 5 5 ») 3x − 1 + 5x = x − 12 ¨ 7x = −11; 1 ½) 1 −− x2 − x + 8 = 0 ¨ x2 − 0,75x + 6 = 0: 3

3.2 ºñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ax4 + bx2 + c = 0

(1)

ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý, ¨ a-Ý ½ñáÛÇóï³ñµ»ñ¿,ÇëÏ x-Á³ÝÑ³ÛïÝ¿,³Ýí³ÝáõÙ»Ý»ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý»ñÙáõÍáõÙ »Ý Ýáñ ÷á÷áË³Ï³Ýª y = x2

(2)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ay2 + by + c = 0

(3)

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ y ³ÝÑ³ÛïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ ºÃ» (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, ³å³ ³Û¹ ¹»åùáõÙ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ÆëÏ »Ã» (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ áõÝÇ, ³å³ ¹ñ³Ýù, ï»Õ³¹ñ»Éáí (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ý, Ïëï³Ý³Ýù x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý, ÏÉÇÝ»Ý (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñ£ ²ÏÝÑ³Ûï ¿ª (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ÛÉ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x4 − 4x2 + 3 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ y = x2 Ýß³Ý³ÏáõÙÇó Ñ»ïá (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ y2 − 4y + 3 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ (Ñ³ßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ x4 = (x2)2 = y2)£

(4)

D p2 ø³ÝÇ áñ −−− = (−−) − q = 4 − 3 > 0, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª 4 2 p $D y1,2 = − −− ± /−− = 2 ± 1, ³ÛëÇÝùÝª y1 = 1, y2 = 3£ 2 4 î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë Ãí»ñÁ y = x2 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ýª Ïëï³Ý³Ýù x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ 1 = x2 ¨ 3 = x2 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ÈáõÍ»Éáí ¹ñ³Ýùª Ïëï³Ý³Ýù (4) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ãáñë ³ñÙ³ïÝ»ñÁ. x1 = 1, x2 = −1, x3 = √$3, x4 = −√$3£

²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù x4 − 2x2 − 2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ y = x2 Ýß³Ý³ÏáõÙÇó Ñ»ïá í»ñ³ÍíáõÙ ¿ y2 − 2y − 2 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý£ ø³ÝÇ áñ p 2 (−−) − q = 3 > 0, 2

(5)

³å³ ³ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, áñáÝù áñáßíáõÙ »Ý y1,2 = 1 ± √$3 µ³Ý³Ó¨áí, ³ÛëÇÝùÝª y1 = 1 + √$3, y2 = 1 − √$3£ y = x2 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí y1-Áª Ïëï³Ý³Ýù 1 + √$3 = x2 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù (5) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ. x1 = √'1 + √$3, x2 = − √'1 + √$3£ y = x Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí y2-Áª Ïëï³Ý³Ýù 1 − √$3 = x2 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, ù³ÝÇ áñ 1 − √$3 < 0£ ²ÛëåÇëáí, (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ í»ñÁ ·ïÝí³Í x1 ¨ x2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ 2

úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù (6) 2x4 − 3x2 + 5 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ y = x2 ÷áË³ñÇÝáõÙÇó Ñ»ïá (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ 2y2 − 3y + 5 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý£ Üñ³ ï³ñµ»ñÇãÁª D = b2 − 4ac = 9 − 40 = −31 < 0, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñª ³ÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ´³Ûó ³Û¹ ¹»åùáõÙ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù 9x4 − 6x2 + 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

(7)

(7) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ y = x2 ÷áË³ñÇÝáõÙÇó Ñ»ïá í»ñ³ÍíáõÙ ¿ 9y2 − 6y + 1 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, áñÇ ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁª D = b2 − 4ac = 36 − 36 = 0£ ²ÛÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ï. 6±0 6 1 y0 = −−−−− = −−− = −−£ 18 18 3 1 ÈáõÍ»Éáí −− = x2 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, Ïëï³Ý³Ýù (7) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ 3 ³ñÙ³ï. 1 1 x1 = −−−−, x2 = − −−−−£ √$3 √$3 ²ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ (7) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 5. ÈáõÍ»Ýù x4 + 10x2 + 25 = 0

(8)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ y = x2 Ýß³Ý³ÏáõÙÇó Ñ»ïá í»ñ³ÍíáõÙ ¿ y2 + 10y + 25 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, áñÇ Ñ³Ù³ñ p 2

(−−) − q = 25 − 25 = 0£ ²ÛëåÇëáí, ³ÛÝ áõÝÇ Ù»Ïª y0 = −5 ± 0 = −5 ³ñÙ³ï£ î»Õ³¹ñ»Éáí y0-Ý y-Ç ÷áË³ñ»Ý y = x2 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù x2 = −5 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ Üß»Ýù, áñ x4 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ñÙ³ïª x0 = 0, ÇëÏ x4 − x2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñ»ù ³ñÙ³ïª x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ øÝÝ³ñÏíáÕ ûñÇÝ³ÏÝ»ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ »ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É ãáñë, »ñ»ù, »ñÏáõ Ï³Ù Ù»Ï ³ñÙ³ï, µ³Ûó Ï³ñáÕ ¿ Ý³¨ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝ»Ý³É£

216.° ³) à±ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ »ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ£ ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍíáõÙ »ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ µ) ø³ÝÇ± ³ñÙ³ï Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É »ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 217. ²ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ý»ñÏ³Û³óñ»ù ù³é³Ïáõëáõ ï»ëùáí. ³) x 4, µ) a 6, ·) y 8, ¹) m10£ 218. ÆÝãåÇëÇ± Ýß³Ý³ÏáõÙ å»ïù ¿ Ï³ï³ñ»É, áñå»ë½Ç Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíÇ ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý. µ) m4 − 3 + 2m2 = 0; ³) x4 + 2x2 + 1 = 0; 2 4 ¹) 15 − x4 + 2x2 = 0; ·) 4y − 7y = 0; ½) y8 − 4 = 0£ ») x6 − 3x3 + 2 = 0; ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (219-221). 219. ³) x4 − 3x2 + 2 = 0; ·) x4 − 5x2 + 4 = 0; ») x4 − 20x2 + 64 = 0; ¿) x4 − 5x2 + 6 = 0; Ã) 3x4 − 5x2 + 2 = 0;

µ) x4 − 10x2 + 9 = 0; ¹) x4 − 26x2 + 25 = 0; ½) x4 + 20x2 + 64 = 0; Á) x4 − 41x2 + 100 = 0; Å) 25x4 − 25x2 + 6 = 0:

220. ³) a4 + 2a2 − 8 = 0; ·) k4 = 12k2 + 64; ») n4 − 2n2 + 1 = 0; ¿) 6c4 − 35 = 11c2;

µ) y4 + 9y2 = 400; ¹) m4 = 21m2 + 100; ½) 9x4 − 24x2 + 16 = 0; Á) 10p4 − 21 = p2:

221. ³) x4 + 6x2 + 9 = 0; ·) 25x4 + 30x2 + 9 = 0; ») 9x4 = 9x2 − 1; ¿) 4x4 = 5x2 + 6; Ã) 3 − 2x4 = 11x2; Ç) x4 − 1 = 0; Ë) x8 + 16 = 0;

µ) x4 − 14x2 − 15 = 0; ¹) 7x4 − 9x2 + 3 = 0; ½) x4 = 30x2 − 36; Á) x4 − x2 − 4 = 0; Å) 3x4 + 21 = 4x2; É) x4 + 1 = 0; Í) x8 − 16 = 0:

100

3.3 ì»ñ³ÍíáÕ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù (x2 − 5x + 6)(x2 + x − 2) = 0

(1)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ºÃ» x0-Ý (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí x0ª Ïëï³Ý³Ýù ×Çßï Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ. (x02 − 5x0 + 6)(x02 + x0 − 2) = 0£

(2)

´³Ûó »ñÏáõ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ½ñá ¿ ³ÛÝ ¨ ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ, ÇëÏ ÙÛáõëÝ ÇÙ³ëï áõÝÇ£ àõëïÇ (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ x0-Ý x2 − 5x + 6 = 0

(3)

x2 + x − 2 = 0

(4)

Ï³Ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÇ ³ñÙ³ïÝ ¿£ ØÛáõë ÏáÕÙÇóª (3) ¨ (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÙ³ï (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿£ ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µ³ÕÏ³ó³Í »Ý (3) ¨ (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ µáÉáñ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÙÇ³íáñáõÙÇó (³Ûëï»Õ Ñ³ßíÇ ³é³Ýù Ý³¨ ³ÛÝ ÷³ëïÁ, áñ x2 − 5x + 6 ¨ x2 + x − 2 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÇÙ³ëï áõÝ»Ý x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ)£ (3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª x1 = 2 ¨ x2 = 3, ÇëÏ (4) Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁª x3 = −2 ¨ x4 = 1£ Ð»ï¨³µ³ñ, (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x1 = 2, x2 = 3, x3 = −2, x4 = 1 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ A(x) · B(x) = 0 ï»ëùÇÑ³í³ë³ñáõÙÁ,áñï»Õ A(x)-Á ¨ B(x)-Á x-ÇÝÏ³ïÙ³Ùµµ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ»Ý,³Ýí³ÝáõÙ»Ýí»ñ³ÍíáÕÑ³í³ë³ñáõÙ£ì»ñ³ÍíáÕÑ³í³ë³ñÙ³ÝµáÉáñ³ñÙ³ïÝ»ñÇµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ A(x) = 0 ¨ B(x) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇµáÉáñÉáõÍáõÙÝ»ñÇµ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÇÙÇ³íáñáõÙÝ»Ý£ ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ (3) ¨ (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇ£ úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù (5) x3 − 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (5) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ í»ñÉáõÍ»Ýù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇª û·ïí»Éáí Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý µ³Ý³Ó¨Çóª (x − 1)(x2 + x + 1) = 0

101

(5) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ. x−1=0

(6)

x2 + x + 1 = 0£

(7)

¨ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x1 = 1 ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ, ÇëÏ (7)-Á ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ Ð»ï¨³µ³ñ, (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ïª x1 = 1 ³ñÙ³ïÁ£ úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù x6 − 1 = 0

(8)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ð³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ í»ñÉáõÍ»Ýù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. x6 − 1 = (x2 − 1)(x4 + x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x4 + x2 + 1)£ (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ (x − 1)(x + 1)(x4 + x2 + 1) = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, áñÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ »ñ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ. x−1=0 x+1=0

(9) (10)

x4 + x2 + 1 = 0£

(11)£

¨ (9) ¨ (10) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ áõÝ»Ý x1 = 1 ¨ x2 = −1 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, ÇëÏ (11)-Áª ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ Æñáù, (11) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ »ñÏù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ¿£ y = x2 Ýß³Ý³ÏáõÙáí ³ÛÝ µ»ñíáõÙ ¿ y2 + y + 1 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, áñÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, áñáíÑ»ï¨ D = b2 − 4ac = −3 < 0£ Üß³Ý³ÏáõÙ ¿ª (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = 1 ¨ x2 = −1£ úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù x3 − 2x2 − 3x = 0

(12)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ x3 − 2x2 − 3x = x(x2 − 2x − 3), ³å³ (12) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý. x2 − 2x − 3 = 0 ¨ x = 0£ ¸ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = −1 ¨ x2 = 3, áõëïÇ, (12) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñ»ù ³ñÙ³ïª x1 = −1, x2 = 3, x3 = 0£

102

222.° ³) ´»ñ»ù í»ñ³ÍíáÕ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ûñÇÝ³Ï ¨ µ³ó³ïñ»ùª ÇÝãå»ë ³ÛÝ ÉáõÍ»É£ µ) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ §Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý¦£ 223.° ³) a-Ç ¨ b-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ ab = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ µ) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» ab = 0, ³å³ a = 0£ ·) Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù x2 − x = 0 ¨ x − 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ ¹) ²ñ¹Ûáù 0 ÃÇíÁ 3x4 − x3 + 5x2 = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿£ 224.° ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) (x − 1)(x − 2) = 0; ·) (x − 7)2 = 0; ») x (x − 2) = 0; ¿) 3x2 = 0;

µ) (x − 3)(x + 4) = 0; ¹) (x + 4)(x − 6) = 0; ½) (x + 3) x = 0; Á) −x2 (3 + x) = 0:

225. Ð³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ Ý»ñÏ³Û³óñ»ù ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí ¨ ÉáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) 2x2 − 3x = 0; ·) x2 + x3 = 0; ½) x3 − 8 = 0;

µ) 7x2 + 5x = 0; ¹) 1 − x3 = 0; ¿) 125 − x3 = 0;

·) x3 − x = 0; ») 1 + x3 = 0; Á) x4 − 1 = 0:

ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (226-227). 226. ³) x3 + 5x2 + 6x = 0; ·) x4 = 2x3 + 3x2; ») x3 − 4x2 = x; ¿) x5 + x3 = x4;

µ) x3 − 4x2 + 3x = 0; ¹) 10x2 = x4 + 3x3; ½) x3 + x = 2x2; Á) (x − 3)2 x = 0:

227. ³) (3x + 3)(2x + 5) = 0; ·) (5 − x)(3x + 2) = 0; ») (2x − 3)(x2 + 3x + 2) = 0; ¿) (x2 + 1)(x2 + 5x + 6) = 0; Ã) (x2 + 2x + 1)(x2 − 5x + 7) = 0; Ç) (x2 − 3x + 1)(x2 + 4x − 3) = 0; Ë) (x2 + 1)(x2 − 2x + 7) = 0;

µ) (3x − 7)(4 − 3x) = 0; ¹) (7 − x)(6 − 9x) = 0; ½) (x2 − 5x + 6)(3x − 2) = 0; Á) (x2 − 1)(x2 − 5x + 6) = 0; Å) (x2 − 3x + 1)(x2 − 4x + 4) = 0; É) (x2 − 5x + 1)(x2 − x + 6) = 0; Í) (x2 − 3)(x2 − 4x + 4) = 0:

103

3.4 Ð³í³ë³ñáõÙ, áñÇ ÙÇ ÏáÕÙÁ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ¿, ÇëÏ ÙÛáõë Ù³ëÁª ½ñá úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x2 + 4x − 21 −−−−−−−−−−− =0 x2 − x − 3

(1)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ x ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ x0 ÃÇíÁ, áñÁ, ï»Õ³¹ñ»Éáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý, ëï³óíáõÙ ¿ ×Çßï Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ àõëïÇ, »Ã» x0-Ý (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿, ³å³ x02 + 4x0 − 21 −−−−−−−−−−− Ãí³ÛÇÝ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ ½ñá ¿£ ÆëÏ ¹³ ÑÝ³ñ³íáñ ¿ x02 − x0 − 3 ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ³Û¹ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñÇãÁ ½ñá ¿, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ã¿ ½ñáÛÇ£ ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ÉáõÍ»Ýù (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, å»ïù ¿ ·ïÝ»Ýù x2 + 4x − 21 = 0

(2)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ï»Õ³¹ñ»Ýù (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙ£ (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÃÇí, (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý£ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ (2) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ, ³ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. x1,2 = −2 ± √'4 + 21 = − 2 ± 5, ³ÛëÇÝùÝª x1 = 3 ¨ x2 = −7£ î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë Ãí»ñÁ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙª Ïëï³Ý³Ýù. x12 − x1 − 3 = 9 − 3 − 3 = 3 ≠ 0, x22 − x2 − 3 = 49 + 7 − 3 = 53 ≠ 0£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ x1 = 3 ¨ x2 = −7 Ãí»ñÁ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý, ¨ ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù x2 − x − 2 −−−−−−−−−−− =0 x3 − 2x2 − 3x Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ü³Ëª ÉáõÍ»Ýù x2 − x − 2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = 2 ¨ x2 = −1£

104

(3)

¸ñ³Ýù x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù (3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙ. x13 − 2x12 − 3x1 = 23 − 2 · 22 − 3 · 2 = −6 ≠ 0, x23 − 2x22 − 3x2 = (−1)3 − 2 (−1)2 − 3(−1) = 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x1 = 2 Ù»Ï ³ñÙ³ïÁ£ úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù 2x − 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =0 4 3 4x + 4x − 15x2 + 2x − 3

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 3 Ü³Ëª ÉáõÍ»Ýù 2x − 3 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ áõÝÇ Ù»Ïª x1 = −− ³ñÙ³ï£ 2 ø³ÝÇ áñ 4x14 + 4x13 − 15x12 + 2x1 − 3 = 3 4 33 32 3 = 4 · (−−) + 4 · (−−) − 15 · (−−) + 2 · −− −3 = 0, 2 2 2 2 ³å³ (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù x2 + x + 1 −−−−−−−−− = 0 x−3

(5)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, áñáíÑ»ï¨ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ x2 + x + 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛëåÇëáí, áñå»ë½Ç ÉáõÍ»ù P(x) −−−− = 0 Q(x)

(6)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ P(x)-Á ¨ Q(x)-Á µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ·ïÝ»É P((x) = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ï»Õ³¹ñ»É (6) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Q(x) Ñ³Ûï³ñ³ñÇ Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý£ ²Û¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ Q(x)-Á ¹³éÝáõÙ ¿ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÃÇí, (6) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý ¨ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ£

105

228.° ÆÝãå»±ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ ÙÇ Ù³ëÁ 0 ¿, ÙÛáõë Ù³ëÁª Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï£ a 229. ³) a-Ç ¨ b-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ −− = 0 Ñ³í³b ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ a µ) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» −− = 0, ³å³ a = 0£ c a ·) ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ »Ã» a = 0, ³å³ −− = 0£ c x−1 ¹) Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù −−−−− = 0 ¨ x − 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ x x2 − 9 ») ²ñ¹Ûáù 3 ÃÇíÁ −−−−− = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿£ x−3 230.° x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ Ïáïáñ³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ½ñáÛÇ. x x+3 x+2 x ³) −−; µ) −−−−−; ·) −−−−−; ¹) −−−−−; 5 6 x x−4 x−7 x+3 x(x − 3) x2 − 1 ») −−−−−; ½) −−−−−; ¿) −−−−−−−; Á) −−−−−−: x+1 x−3 x−3 x−1 231. ¶ñ»ù »ñ»ù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñ, áñáÝù Ñ³í³ë³ñ »Ý ½ñáÛÇ, »Ã» ³) x = −2, µ) x = 0, ·) x = 3, ¹) x = −2,5£ ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (231-234). x2 + 2x 232. ³) −−−−−− = 0; x−2 (x − 7)(1,5 + x) ·) −−−−−−−−−−−− = 0; x2 − 3x + 4

(−2 − x)(x − 8,5) ¹) −−−−−−−−−−−−−− = 0; (x − 3)(x + 4)

x2 − 8x + 7 ») −−−−−−−−− = 0; x−3

4x2 − 4x − 3 ½) −−−−−−−−−− = 0; x+2

4x2 − 12x − 27 ¿) −−−−−−−−−−−− = 0; x2 − 3x − 10

4x2 + 4x − 35 Á) −−−−−−−−−−− = 0: x2 − 7x + 12

x2 − 2x + 1 233. ³) −−−−−−−−− = 0; x−7

106

3x2 − 7x µ) −−−−−−− = 0; x2 + 1

x2 + 4x + 4 µ) −−−−−−−−− = 0; x+8

x2 − 2x + 3 ·) −−−−−−−−− = 0; x2 − 7x + 5

x2 + 3x + 5 ¹) −−−−−−−−− = 0; x2 + 3x − 1

(x − 1)2(x + 2) ») −−−−−−−−−−−− = 0; x−1

(x + 7)2(x − 4) ½) −−−−−−−−−−−− = 0: x−4

x2 + x − 6 234. ³) −−−−−−−− = 0; x+3 x+7 ·) −−−−− = 0; x+7

x2 − x − 20 µ) −−−−−−−−− = 0; x−5 x−9 ¹) −−−−− = 0: x−9

x3 − 4x2 + 5x 235. ³) −−−−−−−−−−− = 0; x2 − 3

x3 + 3x2 − 18x µ) −−−−−−−−−−− = 0; x2 + 4

2x3 − 7x2 + 6x ·) −−−−−−−−−−−− = 0; 2x2 − 3x

3x3 + 5x2 + 2x ¹) −−−−−−−−−−− = 0; 2x + 3x2

9x2 − 6x + 1 ») −−−−−−−−−− = 0; 3x − 1

25x2 + 10x + 1 ½) −−−−−−−−−−−− = 0: 5x + 1

3.5 è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù x+1 2 − −−−− = 0 x−1

(1)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ÏÇñ³é»Ýù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ. x + 1 2(x − 1) − (x + 1) x−3 2 − −−−−− = −−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−£ x−1 x−1 x−1

(2)

ò³ÝÏ³ó³Í x0 ≠ 1 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë ¨ ³ç Ù³ë»ñÇ Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý£ Ø³ëÝ³íáñ³å»ë, »Ã» ÇÝã-áñ x0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÙÇ ÏáÕÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ½ñá, ³å³ ½ñá ¿ ¹³éÝáõÙ Ý³¨ ÙÛáõë ÏáÕÙÁ£ ÆëÏ ¹³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ x−3 −−−−− = 0 x−1

(3)

Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£

107

(3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñ¹»Ý ·Çï»Ýù ÉáõÍ»É (ï»°ë Ï»ï 5.4-Á)£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª ÉáõÍ»Ýù x−3=0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ áõÝÇ Ù»Ïª x0 = 3 ³ñÙ³ï£ ÀÝ¹ áñáõÙª ³Û¹ ÃÇíÁ (3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ½ñá ãÇ ¹³ñÓÝáõÙ. x0 − 1 = 3 − 1 = 2 ≠ 0£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ïª x0 = 3 ³ñÙ³ï£ Üß³Ý³ÏáõÙ ¿ª (1) ëÏ½µÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ë áõÝÇ Ù»Ïª x0 = 3 ³ñÙ³ï£ úñÇÝ³Ï 2. ÈáõÍ»Ýù x−1 x−4 −−−−− = −−−−− − 1 x+2 x−3

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (4) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ ·ïÝíáÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ï»Õ³÷áË»Éáí Ó³Ë Ù³ë, Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x−1 x−4 −−−−− − −−−−− + 1 = 0 x+2 x−3

(5)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (5) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»Ýù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ñ³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ. x−1 x−4 −−−−− − −−−−− + 1 = x+2 x−3 (x − 1)(x − 3) − (x − 4)(x + 2) + (x + 2)(x − 3) x2 − 3x + 5 = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−£ (x + 2)(x − 3) (x + 2)(x − 3) ¸³ï»Éáí ûñÇÝ³Ï 1-Çóª Ïëï³Ý³Ýù (5) Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù x2 − 3x + 5 −−−−−−−−−−−− = 0 (6) (x + 2)(x − 3) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª å»ïù ¿ ÉáõÍ»É x2 − 3x + 5 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ Ýñ³ ï³ñµ»ñÇãÁª D = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 1 · 5 = −11 < 0, ³å³ ³ÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£

108

Ð»ï¨³µ³ñ, ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ Ý³¨ (4) ëÏ½µÝ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ´»ñí³Í ûñÇÝ³ÏÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ ³ÛëåÇëÇ Ï³ÝáÝ. è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ å»ïù ¿ ï»Õ³÷áË»É Ó³Ë ÏáÕÙ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÏÇñ³é»Éáí Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý ¨ Ñ³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁª Ó³Ë Ù³ëÁ ·ñ»É Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí ¨ ÉáõÍ»É ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ Üßí³Í Ï³ÝáÝÇó ß»Õí»ÉÁ Ï³ñáÕ ¿ µ»ñ»É ïñí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ÏáñëïÇ Ï³Ù ÏáÕÙÝ³ÏÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ó»éù µ»ñÙ³Ý£ úñÇÝ³Ï, ÏÇñ³é»Éáí Ýßí³Í Ï³ÝáÝÁ (x − 2)(x − 3) −−−−−−−−−−− = 1 x−3

(7)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (x − 3)2 −−−−−−− = 0 x−3

(8)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ, (7) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÝáõÛÝå»ë ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ê³Ï³ÛÝ, »Ã» Ù»Ýù, ß»Õí»Éáí Ï³ÝáÝÇó, (7) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ïáïáñ³ÏÁ Ïñ×³ï»Ýù (x − 3)-áí, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù x−2=1

(9)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÝ áõÝÇ x = 3 ³ñÙ³ïÁ£ ´³Ûó x = 3-Á (7) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ã¿, x = 3 ¹»åùáõÙ (7) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÝ ÇÙ³ëï ãáõÝ»óáÕ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ ¿£ Ð»ï¨³µ³ñ, ³Û¹åÇëÇ §ÉáõÍÙ³Ý¦ ¹»åùáõÙ Ó»éù µ»ñ»óÇÝù (7) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÏáÕÙÝ³ÏÇ ³ñÙ³ï£ ÆëÏ »Ã» ëÏ½µÇó ïñí³Í ÉÇÝ»ñ (9) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ¨ Ù»Ýù, ß»Õí»Éáí Ï³ÝáÝÇó, x−2 −−−− Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»ÇÝù áã ½ñáÛ³Ï³Ý 1 (x − 3) µ³½Ù³Ý¹³Ùáí, ³å³ Ïëï³Ý³ÛÇÝù (7) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ, ÇÝãå»ë ï»ë³Ýù, ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ Üß³Ý³ÏáõÙ ¿ª ³Û¹åÇëÇ §ÉáõÍÙ³Ý¦ ¹»åùáõÙ ÏáñóñÇÝù (9) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ£

109

236.° Æ±Ýã Ï³ÝáÝáí »Ý ÉáõÍáõÙ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Æ±Ýã Ï³ñáÕ ¿ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³É ³Û¹ Ï³ÝáÝÇó ß»Õí»Éáõ ¹»åùáõÙ£ 237. Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ. 1 1 ³) −− = 3 ¨ −− − 3 = 0; x x

2x − 4 x−2 µ) −−−−−− = 0 ¨ −−−−− = 0; x−5 x−5

x 4x − 3 ·) −−−−− + 3 = 0 ¨ −−−−−− = 0; x−1 x−1

2x 2 ¹) −−−−− = x ¨ −−−−− = 1: x−1 x−1

ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (237-243). x−1 238. ³) −−−−− + 2 = 0; x y ¹) 2 = −−−−−; y−5 9 ¿) x − −− = 0; x

2x µ) 1 − −−−−− = 0; x−1 3 m ») −− = −−; m 3 25 Á) −−− − b = 0; b

x+6 x2 239. ³) −−−−− − −−−−− = 1; x−3 x−3 5a − 7 2 + 5a ·) −−−−−− = −−−−−−−; a+1 a−2

k+3 ·) −−−−− = 4; k 4 x ½) −−−−− = −−; x−1 5 1 Ã) y + −− = 1: y

6x − 5 3x + 3 µ) −−−−−− = −−−−−−; 4x − 3 2x + 5 1 − m 2m + 2 ¹) 1 − −−−−− = −−−−−−−: m m−1

y+1 y 240. ³) −−−−− = 2 − −−−−−; y−1 y+1 3c − 2 2c − 5 ·) −−−−−− = −−−−−−; 3c + 2 2c + 5

4n − 1 4n + 1 µ) −−−−−− = −−−−−−; n+3 n−3 x+2 x2 ¹) −−−−− = −−−−− + 1: x−2 x−2

5 − 2a 2a − 5 241. ³) −−−−−− + −−−−−− = 0; 8a 10a 1 ·) a + −−−−− = 0; a−2

3x − 1 1 − 2x µ) −−−−−− + −−−−−− = 0; 4x 2x 4 ¹) a + −−−−− = 0: a−4

1 1 242. ³) −−−−−− + −−−−− = 2; 2a − 3 a−1

x x−8 µ) −−−−− + −−−−− = 3; x − 3x x

b−3 b−1 ·) −−−−−−−−−− = −−−−−−−−−; 2 2 b − 3b − 4 b − b − 2

110

x+1 4 ¹) −−−−− + −−−−− = 1; x+3 x+7

1 4 3 ») −−−−− + −−−−− = −−; x−1 x+2 x 7 6 243. ³) −−−−−−−−− − −−−−−−−−− = 0; 2 2 x + x + 12 x + 2x − 8

1 2 3 ½) −−−−− + −−−−− = −−−−−: 2 z+1 z −1 z−1 2 10 1 + 2a µ) −− + −−−−−−− = −−−−−−; 2 a a − 2a a−2

12 3k + 5 1 3m 2 2m + 5 ·) −−−−−−2 + −−−−−− = − −−; ¹) −−−−− + −− = −−−−−−−; k−3 k m + 1 m m2 + m 3k − k 33 b−4 3 a+7 4 1 ») −−−−−− + −−−−− = − −−; ½) −−−−−−− − −−−−−−− = −−−−−; 2 2 2 b a − 7a (7 − a) a−7 b − 36 11 − b 2p − 2 p−2 p−1 ¿) −−−−−− − −−−−−− − −−−−−− = 0: 2 2 p − 36 p − 6p p2 + 6p 1 1 1 244.* ³) −−−−−−− + −−−−−−−−−−−− = −−; x (x + 1) (x + 1)(x + 2) 4 1 1 µ) −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−− = − 2; (x − 3)(x − 2) (x − 2)(x − 1) 1 1 1 ·) −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−− = − 1,5: (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4)

3.6 î»ùëï³ÛÇÝ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÊÝ¹Çñ 1. æ»ñÙ³Ý³íÁ A Ý³í³Ù³ïáõÛóÇó ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ·Ý³ó 60 ÏÙ, ÙÇÝã¨ ³Û¹ ·»ïÇ Ù»ç Ã³÷íáÕ íï³ÏÁ, ¨ ³Û¹ íï³Ïáí Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï 20 ÏÙ ·Ý³ó, ÙÇÝã¨ B Ý³í³Ù³ïáõÛóÁ£ A-Çó B ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ ç»ñÙ³Ý³íÁ Í³Ëë»ó 7 Å³Ù£ ìï³ÏÇ ¨ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÝ»ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ 1 ÏÙ/Å ¿£ ¶ïÝ»É ç»ñÙ³Ý³íÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ (ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁª x ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ¿ Ï³Ý·Ý³Í çñáõÙ)£ ÈáõÍáõÙ£ æ»ñÙ³Ý³íÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ýß³Ý³Ï»Ýù x ÏÙ/Å£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ç»ñÙ³Ý³íÁ ·ÝáõÙ ¿ñ (x + 1) ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ 60 ¨ íï³ÏÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ Í³Ëë»É ¿ñ −−−−− Å³Ù£ x+1

111

ìï³Ïáí ç»ñÙ³Ý³íÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ñ (x − 1) ÏÙ/Å³Ù ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ B Ý³í³20 Ù³ïáõÛó Ñ³ëÝ»Éáõ å³ÑÇÝ Í³Ëë»É ¿ñ −−−−− Å³Ù£ ²ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ x−1 ç»ñÙ³Ý³íÁ Í³Ëë»É ¿ñ 7 Å³Ù£ Üß³Ý³ÏáõÙ ¿ª 60 20 −−−−− + −−−−− = 7£ x+1 x−1

(1)

²ÛëåÇëáí, áñáÝ»ÉÇ x ÃÇíÁ å»ïù ¿ ¹³éÝ³ (1) é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï£ ÈáõÍ»Ýù ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ î»Õ³÷áË»Éáí µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ó³Ë ÏáÕÙÁ ¨ ÏÇñ³é»Éáí Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý áõ Ñ³ÝÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù 7x2 − 80x + 33 −−−−−−−−−−−− = 0 (x + 1)(x − 1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 7x2 − 80x + 33 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ 3 x1 = 11, x2 = −− 7 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ ¸ñ³Ýù x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëáõÙ ·ïÝíáÕ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ûï³ñ³ñáõÙª ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ ëï³óíáõÙ »Ý ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Ãí»ñ, Ñ»ï¨³µ³ñ, ¹³éÝáõÙ »Ý (2), áõëïÇ Ý³¨ª (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 3 ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = 11 ¨ x2 = −−£ 7 ê³Ï³ÛÝ, Áëï ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇ, ç»ñÙ³Ý³íÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ãÇ Ï³ñáÕ 1 ÏÙ/Å-Çó ÷áùñ ÉÇÝ»É, ³ÛÉ³å»ë íï³ÏÇ Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï ³ÛÝ ã¿ñ Ï³ñáÕ ·Ý³É£ Ð»ï¨³µ³ñ, ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ x = 11 ÃÇíÁ£ ä³ï³ëË³Ýª æ»ñÙ³Ý³íÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 11 ÏÙ/Å³Ù ¿£

ÊÝ¹Çñ 2. ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 10 ûñáí ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á, ÇëÏ »ñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ³Û¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ Ï³ñáÕ »Ý Ï³ï³ñ»É 12 ûñáõÙ£ ²é³ÝÓÇÝ ³ßË³ï»Éáíª µñÇ·³¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ù³ÝÇ± ûñáõÙ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³Û¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ£ ÈáõÍáõÙ£ ¸Çóáõù, ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É x ûñáõÙ, ³Û¹ ¹»åùáõÙ »ñÏñáñ¹Á ÏÏ³ï³ñÇ x + 10 ûñáõÙ£ ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Á Ù»Ï

112

1 1 ûñáõÙ ÏÏ³ï³ñÇ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ −− Ù³ëÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª −−−−−£ ØÇ³ëÇÝ Ù»Ï x x + 10 1 ûñáõÙ ÏÏ³ï³ñ»Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÇ 1 £ 12 = −−− Ù³ëÁ£ 12 Î³½Ù»Ýù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. 1 1 1 −− + −−−−− = −−− x x + 10 12

(3)

Ò¨³÷áË»Éáí (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÁª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x2 − 14x − 120 −−−−−−−−−−−−− = 0 12x(x + 10)

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ x2 − 14x − 120 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x1 = 20 ¨ x2 = −6 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ ¸ñ³Ýù ½ñá ã»Ý ¹³ñÓÝáõÙ (4) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ, áõëïÇ, (3) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý£ ´³Ûó, Áëï ËÝ¹ñÇ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛ³Ý, x > 0, áõëïÇ, ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ x1 = 20 ÃÇíÁ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙª x + 10 = 30£ ä³ï³ëË³Ýª ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 20 ûñáõÙ, »ñÏñáñ¹Áª 30£

245. ³) Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ 2-áí Ù»Í ¿ Ñ³Ûï³ñ³ñÇó£ ºÃ» Ñ³Ù³ñÇãÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 2-áí, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù 3, ³å³ Ïëï³ó2 íÇ 1 −− ÃÇíÁ£ ¶ï»ù Ïáïáñ³ÏÁ£ 3 µ) Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 2-áí Ù»Í ¿ Ñ³Ù³ñÇãÇó£ ºÃ» Ñ³Ù³ñÇãÁ 5 Ù»Í³óÝ»Ýù 15-áí, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª 3-áí, ³å³ Ïëï³óíÇ 1 −− ÃÇíÁ£ 6 ¶ï»ù Ïáïáñ³ÏÁ£ 246. ³) Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ 1-áí ÷áùñ ¿ Ñ³Ûï³ñ³ñÇó£ ºÃ» Ñ³Ù³ñÇãÁ 2 µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 3-áí, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª 2-áí, ³å³ Ïëï³óíÇ 1 −− 7 ÃÇíÁ£ ¶ï»ù Ïáïáñ³ÏÁ£ µ) Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ 6-áí ÷áùñ ¿ Ñ³Ûï³ñ³ñÇó£ ºÃ» Ñ³Ûï³ñ³ñÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 5-áí, ÇëÏ Ñ³Ù³ñÇãÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 15-áí, ³å³ Ïëï³óíÇ 1,25 ÃÇíÁ£ ¶ï»ù Ïáïáñ³ÏÁ£

113

·) Îáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ 2-áí ÷áùñ ¿ Ñ³Ûï³ñ³ñÇó£ ºÃ» ³Û¹ Ïáïá4 ñ³ÏÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù ¹ñ³ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, Ïëï³óíÇ 2 −− ÃÇíÁ£ ¶ï»ù ³Û¹ 15 Ïáïáñ³ÏÁ£ 247. ³) ºñÏáõ µÝ³Ï³í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ ¿£ ²Û¹ í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ ØáïáóÇÏÉ³í³ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 30 ÏÙ/Å-áí Ù»Í ¿ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó£ Üñ³Ýù Ñ³Ý¹Çå»óÇÝ µÝ³Ï³í³Ûñ»ñÇó Ù»ÏÇó 10 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£ àñù³±Ý ¿ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ µ) ú·ï³·áñÍ»Éáí Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÁ ¨ ÉáõÍáõÙÁª áñáß»ù, Ã» Ñ³Ý¹ÇåáõÙÇó ù³ÝÇ ñáå» Ñ»ïá ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ÏÑ³ëÝÇ Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝ, »Ã» Ñ³Ý¹ÇåáõÙÇó Ñ»ïá ß³ñáõÝ³ÏÇ Çñ ×³Ý³å³ñÑÁ ÙÇÝã¨ ÙÛáõë µÝ³Ï³í³Ûñ ¨ ³é³Ýó Ï³Ý· ³éÝ»Éáõ »ï ßñçíÇ ¨ ß³ñÅíÇ Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ£ ÆÝãåÇëÇ± Éñ³óáõóÇã »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñ å»ïù ¿ Ï³ï³ñ»É ËÝ¹ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ 248. ºñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 60 ÏÙ ¿£ ²é³çÇÝ ù³Õ³ùÇó ¹»åÇ »ñÏñáñ¹Á ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ù»ÏÝ»óÇÝ »ñÏáõ ³íïáÙ»ù»Ý³£ ²é³çÇÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ/Å-áí Ù»Í ¿ñ ¨ »ñÏñáñ¹ ù³Õ³ù Ñ³ë³í Ï»ë Å³Ù ßáõï£ àñáß»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³íïáÙ»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 249. ³) Ð»Í³Ýíáñ¹Á 5 ÏÙ ³Ýó³í ³Ýï³é³ÛÇÝ ³ñ³Ñ»ïáí ¨ 7 ÏÙ Ù³ÛñáõÕáíª ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ Í³Ëë»Éáí 1 Å³Ù£ Ø³ÛñáõÕáí Ý³ ·ÝáõÙ ¿ñ 4 ÏÙ/Å-áí ³í»ÉÇ ³ñ³·, ù³Ý ³Ýï³éáí£ Æ±Ýã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ñ ·ÝáõÙ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á ³Ýï³é³ÛÇÝ ×³Ý³å³ñÑáí£ µ) îáõñÇëïÁ Ù³ÛñáõÕáí ³Ýó³í 3 ÏÙ, ÇëÏ ·ÛáõÕ³Ù»ç ×³Ý³å³ñÑáíª 6 ÏÙª Í³Ëë»Éáí ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ 2 Å³Ù£ Æ±Ýã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ñ Ý³ ·ÝáõÙ ·ÛáõÕ³Ù»ç ×³Ý³å³ñÑáí, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ù³ÛñáõÕÇáí ·ÝáõÙ ¿ñ 2 ÏÙ/Å-áí ³í»ÉÇ ³ñ³·, ù³Ý ·ÛáõÕ³Ù»ç ×³Ý³å³ñÑáí£ 250. ³) Ø»Ï ¹»ï³ÉÇ Ùß³ÏÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ Í³ËëáõÙ ¿ 1 ñáå»Çó ùÇã Å³Ù³Ý³Ï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ø³ÝÇ± ¹»ï³É ¿ Ùß³ÏáõÙ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 4 Å³ÙáõÙ, »Ã» ³Û¹ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ 8 ¹»ï³É ³í»ÉÇ ¿ Ùß³ÏáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ µ) ºñÏáõ µ³ÝíáñáõÑÇ å»ïù ¿ Ùß³Ï»ÇÝ120-³Ï³Ý ¹»ï³É£ Üñ³ÝóÇó Ù»ÏÝ ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ Ï³ï³ñ»ó 5 Å³Ùáí ßáõï, ù³ÝÇ áñ Å³ÙáõÙ 2 ¹»ï³É ³í»ÉÇ ¿ñ Ùß³ÏáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ Ä³ÙáõÙ ù³ÝÇ± ¹»ï³É ¿ñ Ùß³ÏáõÙ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ£

114

251. ³) ºñÏáõ Ù»ù»Ý³·ñáõÑÇ å»ïù ¿ ïå³·ñ»ÇÝ 120-³Ï³Ý ¿ç£ ²é³çÇÝ Ù»ù»Ý³·ñáõÑÇÝ ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»ó »ñÏñáñ¹Çó 1 ûñ ßáõï, ù³ÝÇ áñ ûñ³Ï³Ý 10 ¿ç ³í»ÉÇ ¿ñ ïåáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ø³ÝÇ± ¿ç ¿ñ ïåáõÙ Ù»Ï ûñáõÙ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ£ µ) Î³éùÇ ³éç¨Ç ³ÝÇíÁ 175 Ù ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ 20 åïáõÛï ³í»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñáõÙ, ù³Ý Ñ»ï¨Ç ³ÝÇíÁ, áñÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 1 Ù-áí ³í»ÉÇ ¿ ³éç¨Ç ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÇó£ ¶ï»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ£ 252. ³) ´»ñù³Ñ³í³ùÇ Å³Ù³Ý³Ï »ñÏáõ ÑáÕ³Ù³ë»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇó Ñ³í³ù»óÇÝ 500-³Ï³Ý ó Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ£ ²é³çÇÝ ÑáÕ³Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 5 Ñ³-áí ÷áùñ ¿ »ñÏñáñ¹ ÑáÕ³Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£ ø³ÝÇ± ó Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ Ñ³í³ù»óÇÝ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÑáÕ³Ù³ëÇ 1 Ñ³-Çó, »Ã» ³é³çÇÝ ÑáÕ³Ù³ëÇ 1 Ñ³-Çó 5 ó ³í»ÉÇ Ñ³í³ù»óÇÝ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Ç 1 Ñ³-Çó£ µ) ²íïáÙ»ù»Ý³Ý å»ïù ¿ ³ÝóÝ»ñ 840 ÏÙ£ Ö³Ý³å³ñÑÇ Ù»çï»ÕáõÙ í³ñáñ¹Á Ï³Ý· ³é³í ×³ß»Éáõ Ñ³Ù³ñ ¨ 1 Å³Ù Ñ»ïá ß³ñáõÝ³Ï»ó ×³Ý³å³ñÑÁ£ Ü³Ë³ï»ëí³Í í³ÛñÁ ×Çßï Å³Ù³Ý³ÏÇÝ Ñ³ëÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³ñÏ »Õ³í ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³í»É³óÝ»É 10 ÏÙ/Å-áí£ ø³ÝÇ± Å³Ù ï¨»ó ³ÙµáÕç áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÁª Ý»ñ³éÛ³É Ï³Ý·³éÇ Å³Ù³Ý³ÏÁ£ ·) A ¨ B í³Ûñ»ñÇó, áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 32 ÏÙ ¿, ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý Ñ»ïÇáïÝÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ 2 Å³Ù Ñ»ïá Ýñ³Ýù Ñ³Ý¹Çå»óÇÝ£ Ð³Ý¹ÇåáõÙÇó Ñ»ïá Ñ»ïÇáïÝÁ B í³ÛñÁ Ñ³ë³í 5Å 20 ñ áõß, ù³Ý Ñ»Í³Ýíáñ¹Áª A í³ÛñÁ£ ¶ï»ù Ñ»ïÇáïÝÇ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ 253. ºñÏáõ í³Ûñ»ñÇ ÙÇç¨ ÁÝÏ³Í ×³Ý³å³ñÑÝ ³é³çÇÝ Ñ»ïÇáïÝÁ Ï³ñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É 5 Å-áí ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ºÃ» Ñ»ïÇáïÝ»ñÝ ³Û¹ í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë ·³Ý Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó, ³å³ ÏÑ³Ý¹Çå»Ý 6 Å Ñ»ïá£ Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ï³ñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É ³Û¹ ×³Ý³å³ñÑÁ£ 254. ºñÏáõ ¿ùëÏ³í³ïáñ ÙÇ³ëÇÝ ÷áëáñ³ÏÁ ÷áñ»óÇÝ 48 ûñáõÙ£ ²é³ÝÓÇÝ ³ßË³ï»Éáíª ³é³çÇÝ ¿ùëÏ³í³ïáñÝ ³Û¹ ³ßË³ï³ÝùÁ 3 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ³ñ³· Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ø³ÝÇ± ûñáõÙ ³é³çÇÝ ¿ùëÏ³í³ïáñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ 255. ºñÏáõ Ñ»Í³Ýíáñ¹ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇó£ ²é³çÇÝÁ 1 Å³ÙáõÙ 2 ÏÙ-áí ³í»ÉÇ ¿ ³ÝóÝáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á, ¨ Ñ³ëÝáõÙ ¿ B 1 Å³Ù ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Áª A£ A-Çó B Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 24 ÏÙ ¿£ àñáß»ù ³é³çÇÝ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£

115

256. ºñÏáõ µ³Ýíáñ ÙÇ³ëÇÝ ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»óÇÝ 8 Å³ÙáõÙ£ Üñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ, ³é³ÝÓÇÝ ³ßË³ï»Éáí, ÝáõÛÝ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 12 Å³Ùáí ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, Ï³í³ñïÇ ³Û¹ ³ßË³ï³ÝùÁ£ 257.* ´»½áõÇËÝ¹ÇñÁ£ ØÇ Ù³ñ¹ ÓÇ ·Ý»ó ¨ áñáß Å³Ù³Ý³Ï Ñ»ïá ÓÇÝ í³×³é»ó 24 åÇëïáÉáí (¹ñ³ÙÇ ÙÇ³íáñ ¿)£ ²Û¹ í³×³éùÇ Å³Ù³Ý³Ï Ý³ Ïáñóñ»ó ³ÛÝù³Ý ïáÏáë, áñù³Ý åÇëïáÉ Ý³ Í³Ëë»É ¿ñ ÓÇÝ ·Ý»ÉÇë£ Æ±Ýã ·áõÙ³ñ ¿ñ Ý³ í×³ñ»É ÓÇáõ Ñ³Ù³ñ£ 258.* ²é¨ïñ³Ï³ÝÁ ·ñù»ñÁ ·ÝáõÙ ¿ Ù»Í³Í³Ë ·Ýáí ¨ í³×³éáõÙ ¿ 110 ¹ñ³Ùáí£ Ü³ Ñ³ßí»ó, áñ Ù»Ï ·ñùÇ í³×³éùÇó ëï³óí³Í »Ï³ÙáõïÁ ïáÏáëáí Ñ³í³ë³ñ ¿ ·ñùÇ Ù»Í³Í³Ë ³ñÅ»ùÇÝ ¹ñ³Ùáí£ ÆÝãù³±Ý ¿ ·ñùÇ Ù»Í³Í³Ë ³ñÅ»ùÁ£

3.7* è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñÇ ÷áË³ñÇÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù (x2 − 5x + 7)2 − 2(x2 − 5x + 7) − 3 = 0

(1)

y = x2 − 5x + 7

(2)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ñ³í³ë³ñáõÙáí Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ýáñª y ³ÝÑ³Ûï£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï¹³éÝ³ y ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ (3) y2 − 2y − 3 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ£ ø³ÝÇ áñ p 2

(−−) − q = 1 + 3 = 4 > 0, ³å³ (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñ.

³ÛëÇÝùÝª

$p2 p y1,2 = − −− ± /(−−) − q = 1 ± 2, 2 2 y1 = 3 ¨ y2 = −1£

116

î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë Ãí»ñÁ (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ýª Ïëï³Ý³Ýù x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ x2 − 5x + 7 = 3 ¨ x2 − 5x + 7 = −1 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ Ü³Ëª ÉáõÍ»Ýù ¹ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ x2 − 5x + 4 = 0

(4)

Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, áñÇ ï³ñµ»ñÇãÁª D = b2 − 4ac = 9 > 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, (4) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. −b ± √$D 5±3 x1, = −−−−−−−− = −−−−−, 2a 2 ³ÛëÇÝùÝª x1 = 4 ¨ x2 = 1£ ÐÇÙ³ ÉáõÍ»Ýù »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ x2 − 5x + 8 = 0

(5)

Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, áñÇ ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁª D = b2 − 4ac = −7 < 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ í»ñÁ ·ïÝí³Í x1 ¨ x2 ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¨ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 2. ÈáõÍ»Ýù (x4 + x2 + 1)(x4 + x2 + 3) + 2 = 0

(6)

y = x4 + x2 + 1

(7)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ýß³Ý³ÏáõÙáí ÙïóÝ»Ýù Ýáñª y ÷á÷áË³Ï³Ý, ³Û¹ ¹»åùáõÙ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ïí»ñ³ÍíÇ y ÷á÷áË³Ï³ÝÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ y2 + 2y + 2 = 0

(8)

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý, áñÇ ¹ÇëÏñÇÙÇÝ³ÝïÁª D = b2 − 4ac = 4 − 8 < 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ àõñ»ÙÝ, ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ Ý³¨ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù 15 x2 + 4x − −−−−−− −2=0 2 x + 4x

(9)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

117

ºÃ» ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ µ»ñ»Ýù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù x4 + 8x3 + 14x2 − 8x − 15 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =0 x2 + 4x Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, Ý³Ëª å»ïù ¿ ÉáõÍ»É x4 + 8x3 + 14x2 − 8x − 15 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ´³Ûó Ù»Ýù ³Û¹åÇëÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý »Õ³Ý³Ï ãáõÝ»Ýù£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É (9) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ³Û¹ »Õ³Ý³ÏÁ Ù»½ ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ Ýå³ï³ÏÇÝ ãµ»ñ»ó£ ÎÇñ³é»Ýù Ñ»ï¨Û³É ÑÝ³ñùÁ. y = x2 + 4x

(10)

Ýß³Ý³ÏáõÙáí Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ýáñª y ³ÝÑ³Ûï£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (9) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÁÝ¹áõÝÇ 15 y − −−−− − 2 = 0 (11) y ï»ëùÁ£ (11) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ, µ»ñ»Éáí ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ, Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù y2 − 2y − 15 −−−−−−−−−−− = 0 y Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (12) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ý³Ëª ÉáõÍ»Ýù y2 − 2y − 15 = 0

(12)

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. y1 = 5 ¨ y2 = −3£ ø³ÝÇ áñ ³Û¹ Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÁ (12) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ½ñá ãÇ ¹³ñÓÝáõÙ, ³å³ (12) ¨ Ñ»ï¨³µ³ñª (11) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ áõÝ»Ý »ñÏáõ ³ñÙ³ïª y1 = 5 ¨ y2 = −3£ ²ÛÅÙ (9) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ÙÝáõÙ ¿ ÉáõÍ»É »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙ. x2 + 4x = 5 ¨ x2 + 4x = −3£ ²ñï³·ñ»Ýù ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. x2 + 4x − 5 = 0 ¨ x2 + 4x + 3 = 0£ ²Ûë ù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ áõÝÇ »ñÏáõ³Ï³Ý ³ñÙ³ï. x1 = 1, x2 = −5-Á ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý, x3 = −1, x4 = −3Áª »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ Ð»ï¨³µ³ñ, (9) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ãáñë ³ñÙ³ïª 1, −5, −1, −3£

118

úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù 12 x2 − 5x + 7 = −−−−−−−−−−−− (x − 2)(x − 3)

(13)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ì³ñí»Ýù ³ÛÝå»ë, ÇÝãå»ë ûñÇÝ³Ï 3-áõÙ£ ÜÏ³ï»Éáí, áñ (x − 2)(x − 3) = x2 − 5x + 6, Ý»ñÙáõÍ»Ýù Ýáñ ÷á÷áË³Ï³Ý. y = x2 − 5x + 6£

(14)£

²Û¹ ¹»åùáõÙ (13) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï·ñíÇ 12 y + 1 = −−− y

(15)

ï»ëùáí£ (15) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ y2 + y − 12 −−−−−−−−− = 0 y

(16)

Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ y2 + y − 12 − 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ýª y1 = 3 ¨ y2 = −4£ ø³ÝÇ áñ ³Û¹ Ãí»ñÇó áã Ù»ÏÁ (16) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 0 ãÇ ¹³ñÓÝáõÙ, ³å³ (16), áõñ»ÙÝ Ý³¨ (15) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ³ñÝ áõÝ»Ý »ñÏáõ ³ñÙ³ï. y1 = 3 ¨ y2 = −4£ ²ÛÅÙ (13) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÙÝáõÙ ¿ ÉáõÍ»É »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙ. x2 − 5x + 6 = 3 ¨ x2 − 5x + 6 = −4£ ¸ñ³ÝóÇó ³é³çÇÝÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. 5 + √$13 5 − √$13 x1 = −−−−−−− ¨ x2 = −−−−−−−, 2 2 ÇëÏ »ñÏñáñ¹Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ Ð»ï¨³µ³ñ, (13) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. 5 + √$13 5 − √$13 x1 = −−−−−−− ¨ x2 = −−−−−−−, 2 2

119

ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (259-260). 259. ³) (x + 2)2 = 2 (x + 2) + 3; µ) (x2 + 3x − 25)2 − 2 (x2 + 3x − 25) = −7; ·) (x4 + x2 + 1)(x4 + x2 + 2) = 12; ¹) (x2 − 5x + 7)2 − 2 (x − 2)(x − 3) = 1; ») (x2 + 5x − 7)(2x2 + 10x − 11) + 1 = 0: 2x + 1 2x + 1 2 260. ³) (−−−−−−) − 2 (−−−−−) = 3; x x x 2x + 1 µ) −−−−−− + −−−−−− = 2; 2x + 1 x 6 = 0; ·) 2x2 − 3x + 2 − −−−−−−−−−−− 2x2 − 3x + 1 1 ¹) x4 + 3x2 = −−−−−−−−−−; 4 x + 3x2 + 2 3x x2 + x − 5 ») −−−−−−−−− + −−−−−−−−− + 4 = 0: 2 x x +x−5

120

¶È àôÊ IV

ØºÎ öàöàÊ²Î²Üàì ´²¼Ø²Ü¸²ØÜºð −

2x3 − 1 x + 1 |−−−−− 2x3 + 2x2 2x2 −−−−−−− − 2x2 − 1 ...

4.1 ¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ù»Ï ÷á÷áË³Ï³Ýáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ»ï 7-ñ¹¹³ë³ñ³ÝÇÑ³Ýñ³Ñ³ßíÇ¹³ëÁÝÃ³óÇóí»ñÑÇß»ÝùÑ»ï¨Û³ÉÁ. 1. î³é»ñÇ ¨ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³É Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙÇ³Ý¹³Ù£ ²Û¹ ï³é»ñÁ ¨ Ãí»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ïñí³Í ÙÇ³Ý¹³ÙÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñ£ ÂÇíÁÏ³ÙÙ»Ïï³éÁÝáõÛÝå»ë³Ýí³ÝáõÙ»ÝÙÇ³Ý¹³Ù£ 0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ ½ñáÛ³Ï³ÝÙÇ³Ý¹³Ù£ 2. ²ëáõÙ »Ý, áñ ï³é»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÇ³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ Ï³ï³ñÛ³Éï»ëù, »Ã» ³ÛÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï Ãí³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãª ·ñí³Í ³é³çÇÝ ï»ÕáõÙ. ó³ÝÏ³ó³Í ï³é ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Ñ³Ý¹»ë ¿ ·³ÉÇë ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ³Ý·³Ùª áñ¨¿ ³ëïÇ×³Ýáí, ÁÝ¹ áñáõÙª ï³é»ñÁ ·ñí³Í »Ý É³ïÇÝ³Ï³Ý ³Ûµáõµ»ÝÇ Ñ»ñÃ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ£ î³é»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ áã ½ñáÛ³Ï³Ý Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ ÙÇ³Ý¹³ÙÇ Ãí³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÙÇ³Ý¹³ÙÇ·áñÍ³ÏÇó£ ¼ñáÛ³Ï³ÝÙÇ³Ý¹³ÙÇÏ³ï³ñÛ³Éï»ëùÁ0-Ý¿£ 3. Î³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÇ³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³Ý ¿ ÏáãíáõÙ ¹ñ³ Ù»ç ÙïÝáÕ µáÉáñ ï³é»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ ¼ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÃÇíÁ Ñ³Ù³ñíáõÙ ¿ ½ñá³ëïÇ×³ÝÇÙÇ³Ý¹³Ù£ 0 ÃÇíÁª ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÇ³Ý¹³ÙÁ, ÙÇ³Ï ÙÇ³Ý¹³ÙÝ ¿, áñÇ ³ëïÇ×³ÝÁ áñáßí³Í ã¿£

121

4. ´³½Ù³Ý¹³Ù¿ ÏáãíáõÙ ÙÇ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ ²Û¹ ·áõÙ³ñáõÙ Ù³ëÝ³ÏóáÕ ÙÇ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ ØÇ³Ý¹³ÙÁÝáõÛÝå»ë³Ýí³ÝáõÙ»Ýµ³½Ù³Ý¹³Ù£ ¼ñá-Ý³Ýí³ÝáõÙ»Ý½ñáÛ³Ï³Ýµ³½Ù³Ý¹³Ù£ 5. ²ëáõÙ »Ý, áñ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝáõÝÇÏ³ï³ñÛ³Éï»ëù, »Ã» ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ·ñí³Í »Ý Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùáí ¨ ãÏ³Ý ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ ºñÏáõ ³Ý¹³Ù å³ñáõÝ³ÏáÕ Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý »ñÏ³Ý¹³Ù, »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁª »é³Ý¹³Ù ¨ ³ÛÉÝ£ 6. Î³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ Ù»ç ÙïÝáÕ ÙÇ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ£ 7. ´³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿£ ²Ûëï»Õ Ï¹Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ï³é å³ñáõÝ³ÏáÕ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, ³ÛëÇÝùÝª anxn + an − 1xn − 1 +... a1x + a0 ï»ëùÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñï»Õ n-Á ïñí³Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿ Ï³Ù 0, ÇëÏ a0, a1, ...., an − 1, an-Á ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý ¨ ÏáãíáõÙ »Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñ. an·x n-Á ÏáãíáõÙ ¿ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³·³Ý¹³Ù (»Ã» an ≠ 0), ÇëÏ an-Áª³í³·³Ý¹³ÙÇ·áñÍ³ÏÇó£ a0-Ý ÏáãíáõÙ ¿ ³½³ï³Ý¹³Ù£ ºÃ» an ≠ 0, ³å³, Áëï 6-ñ¹ Ï»ïáõÙ µ»ñí³Í ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ³ëïÇ×³ÝÁ ÏÉÇÝÇ n ÃÇíÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ Ù»ç ÙïÝáÕ ÙÇ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ×³ÝÝ áõÝÇ anxn-Á (ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùÇ Ù»Ï ï³é å³ñáõÝ³ÏáÕ µ³½Ù³Ý¹³ÙáõÙ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ·ñ³é»É ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí)£ úñÇÝ³Ï, 5x3 + 4x2 − 2x + 7 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ »Ý 5, 4, −2 ¨ 7-Á, ³í³· ³¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ 5 ¿, ³½³ï ³Ý¹³ÙÁª 7, ÇëÏ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ 3 ¿£ ºÃ» µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ 0 »Ý, ³å³ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿ (³ëïÇ×³ÝÁ áñáßí³Í ã¿)£ ì»ñÁ Ýßí³Í 7-ñ¹ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ù»Ï x ï³é å³ñáõÝ³ÏáÕ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ (Ï³Ù, ÇÝãå»ë ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ ³ë»É, x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ) ·áõÙ³ñÁ, ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÝáõÛÝå»ë x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÁÝ¹ áñáõÙª ³ñï³¹ñÛ³É Ñ³Ý¹Çë³óáÕ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³ñï³¹ñÇã Ñ³Ý¹Çë³óáÕ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ÇëÏ ³ëïÇ×³ÝÁª ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ£ Ð³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÝ áõëáõÙÝ³ëÇñ»ÉÇë ï»ë³Ýù, áñ »ñÏáõ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹Á Ï³ñáÕ ¿ µ³½Ù³Ý¹³Ù ãÉÇÝ»É (ÇÝãÁ ï»ÕÇ ¿ñ

122

áõÝ»ÝáõÙ Ý³¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ)£ àõëïÇ, ÇÝãå»ë µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ñ, Ï³ñ»ÉÇ ¿ ùÝÝ³ñÏ»É µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÇÙÝ³óáñ¹áíµ³Å³ÝÙ³Ý ËÝ¹ÇñÁ£ ¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý A = anxn + an − 1xn − 1 +....+ a1x + a0 ¨ B = bmxm + bm − 1xm − 1 +....+ b1x + b0 x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ »ñÏáõ µ³½Ù³Ý¹³Ù, ÁÝ¹ áñáõÙª B-Ý m ³ëïÇ×³ÝÇ áã ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³ÛëÇÝùÝª bm ≠ 0£ A µ³½Ù³Ý¹³ÙÁÙÝ³óáñ¹áíµ³Å³Ý»ÉB µ³½Ù³Ý¹³ÙÇíñ³,Ýß³Ý³ÏáõÙ¿ ·ïÝ»É³ÛÝåÇëÇQ ¨R µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ,áñï»ÕÇáõÝ»Ý³ A = Q · B + R Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÁÝ¹ áñáõÙª R µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ÉÇÝÇ B µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ³ëïÇ×³ÝÇó,Ï³Ù R-ÁÉÇÝÇ½ñáÛ³Ï³Ýµ³½Ù³Ý¹³Ù£ Q µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ù³Ýáñ¹, R µ³½Ù³Ý¹³ÙÁª ÙÝ³óáñ¹£ ºÃ» RÁ ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ Aµ³½Ù³Ý¹³ÙÁµ³Å³ÝíáõÙ¿ Bµ³½Ù³Ý¹³ÙÇíñ³³é³ÝóÙÝ³óáñ¹Ç (Ï³Ù A-Ý µ³Å³ÝíáõÙ ¿ B-Ç)£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ ½ñá ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÃÇí ¿£ ò³ÝÏ³ó³Í ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë ó³ÝÏ³ó³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ£ 1 úñÇÝ³Ïª −− ÃÇíÁ x2 + 2x + 3 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, áñáíÑ»ï¨ 7 1 x2 + 2x + 3 = −− (7x2 + 14x + 21)£ 7 ÆÝãå»ë ¨ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ñ, A µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ B áã ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙÁ Ï³ï³ñáõÙ »Ý ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ µ³Å³ÝÙ³Ý ï»ëùáí, Ñ»ï¨Û³É ³É·áñÇÃÙáí. 1.° ºñÏáõ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÝ ¿É ·ñáõÙ »Ýù Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùáí£ 2.° A-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÁ µ³Å³ÝáõÙ »Ýù B-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÇ íñ³ ¨ ëï³óí³Í ÙÇ³Ý¹³ÙÁ ·ñáõÙ ù³Ýáñ¹áõÙ£ 3.° ²Û¹ ÙÇ³Ý¹³ÙÁ µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù B-áí ¨ ëï³óí³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ·ñáõÙ A-Ç ï³Ï£ 4.° A-Çó Ñ³Ý»Éáí ¹ñ³ ï³Ï ·ñí³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù Ï³Ù A1 µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ¿ A-Ç ³ëïÇ×³ÝÇó Ï³Ù ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿£ ¼ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ëï³Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ µ³Å³ÝÙ³Ý åñáó»ëÝ ³í³ñïí³Í ¿. A-Ý ÉñÇí (³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç) µ³Å³Ýí»ó B-Ç íñ³, Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ, A1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ·ñ»Éáí Ï³ï³ñÛ³É

123

ï»ëùáí, ³ÝóÝáõÙ »Ýù ³É·áñÇÃÙÇ 2°-ñ¹ ù³ÛÉÇÝª A-Ç ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍ»Éáí A1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ£ 5.° ²Ûë åñáó»ëÁ ß³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ýù ³ÛÝù³Ý, áñ 4° ù³ÛÉáõÙ ÝÏ³ñ³·ñí³Í Ñ³ÝáõÙÁ Ï³ï³ñ»Éáõó Ñ»ïá ëï³óí³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ÉÇÝÇ B-Ç ³ëïÇ×³ÝÇó Ï³Ù ëï³óíÇ ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ²ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ B µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ Ù»Í ¿ A µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÇó, Ñ³ñÏ ãÏ³ ÏÇñ³é»É ³Ûë ³É·áñÇÃÙÁ, áñáíÑ»ï¨ ³Ûë ¹»åùáõÙ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿, Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñóÝ»É Q = 0, R = A, áñáíÑ»ï¨ A = 0 · B + A£ úñÇÝ³Ïª x µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x3 + 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³ ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝÙ³Ý ³ñ¹ÛáõÝù ¿ª x2 = 0 · (x3 + 1) + x2, ³ÛëÇÝùÝª ù³Ýáñ¹Á ½ñáÛ³Ï³Ý µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÙÝ³óáñ¹Áª x2-Ý£ 2

úðÆÜ²Î 1. ´³Å³Ý»Ýù A = 3x2 + 2x4 − 2x + 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ B = −x + 1 + x2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³£ 1.° ºñÏáõ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñÝ ¿É ·ñ»Ýù Ï³ï³ñÛ³É ï»ëùáí. A = 2x4 + 3x2 − 2x + 1 ¨ B = x2 − x + 1 2x4 + 3x2 − 2x + 1 x2 − x + 1 −−−−−−−−−−− − 4 2x − 2x3 + 2x2 2x2 + 2x + 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2x3 + x2 − 2x + 1 − 3 2x − 2x2 − 2x −−−−−−−−−−−−−−− 3x2 − 4x + 1 − 2 3x − 3x + 3 −−−−−−−−−−− −x − 2

2.° A-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÁª 2x4-Á, µ³Å³ÝáõÙ »Ýù B-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÇª x2-áõ íñ³ª 2x4 £ x2 = 2x2, ¨ ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÁª 2x2-Ý, ·ñáõÙ ù³Ýáñ¹áõÙ£ 3.° 2x2-Ý µ³½Ù³å³ïÏáõÙ »Ýù B-áíª 2x2 · (x2 − x + 1) = 2x4 − 2x3 + 2x2, ¨ ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÁ ·ñáõÙ A-Ç ï³Ï£ 4.° Î³ï³ñ»Éáí Ñ³ÝáõÙª A −(2x4 − 2x3 + 2x2), ëï³ÝáõÙ »Ýù 2x3 + x2 − 2x + 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ (³Ûëï»Õ ÝáõÛÝå»ë ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ å»ïù ¿ ¹³ë³íáñ»É x-Ç ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí)£

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5.° êï³óí³Í ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ³í³· ³Ý¹³ÙÁª 2x3-Á, µ³Å³ÝáõÙ »Ýù B-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÇª x2-áõ íñ³ª 2x3 £ x2 = 2x, ¨ ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÁª +2x-Áª ·ñáõÙ ù³Ýáñ¹áõÙª ³ÛÝï»Õ ³ñ¹»Ý ·ïÝíáÕ 2x2-áõó Ñ»ïá, ¨ ÏñÏÝáõÙ 3°-ñ¹ ù³ÛÉÁ£ 6.° ²Ûë åñáó»ëÁ ß³ñáõÝ³ÏáõÙ »Ýù ³ÛÝù³Ý, áñ ÙÝ³óáñ¹áõÙ ëï³óíÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ ³ëïÇ×³ÝÁ ÷áùñ ¿ B-Ç ³ëïÇ×³ÝÇóª 2-Çó£ ²ÛëåÇëáí, ëï³ó³Ýù 2x2 + 2x + 3 ù³Ýáñ¹Á ¨ −x − 2 ÙÝ³óáñ¹Á, ³ÛëÇÝùÝª 2x4 + 3x2 − 2x + 1 = (x2 − x + 1) · (2x2 + 2x + 3) + (−x − 2): OðÆÜ²Î 2. ´³Å³Ý»Ýù x3 − 8 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − 2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ íñ³. x3 + 0 · x2 + 0 · x − 8 x − 2 −−−−−−−−−− − 3 x2 + 2x + 4 x − 2x2 −−−−−−−−−−−−−−−− 2x2 + 0 · x − 8 − 2 2x − 4x −−−−−−−−−−− 4x − 8 − 4x − 8 −−−−−− 0

²ÛëåÇëáíª x3 − 8 = (x2 + 2x + 4) · (x − 2), ³ÛëÇÝùÝª x3 − 8 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ ÉñÇí (³é³Ýó ÙÝ³óáñ¹Ç) µ³Å³Ýí»ó x − 2-Ç íñ³, ëï³óí»ó x2 + 2x + 4 ù³Ýáñ¹Á ¨ ½ñáÛ³Ï³Ý ÙÝ³óáñ¹Áª 0-Ý£ úðÆÜ²Î 3. ä³ñ½»ùª n-Ç ÇÝãåÇëÇ± ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý 6n + 7 6n + 7 3n2 + 3n + 2 ³) −−−−−−, µ) −−−−−−, ·) −−−−−−−−−− n n−1 n+1 Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ³ÙµáÕç Ãí»ñ£ 6n + 7 ÈáõÍáõÙ. ³) −−−−−−− Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ µ³Å³Ý»Éáí Ñ³Ûï³ñ³ñÇ íñ³ª n Ïëï³Ý³Ýù

6n + 7 n − −−−−, 6n 6 −−−−− 7 6n +7 7 ³ÛëÇÝùÝª 6n + 7 = 6 · n + 7, Ï³Ù áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª −−−−− = 6 + −−£ n n

125

7 7 6 + −− ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ³ÙµáÕç ÃÇí ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ −− -Á ³ÙµáÕç ÃÇí ¿, n n ³ÛëÇÝùÝ, »Ã» 7-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ n-Ç£ ÆëÏ ¹³ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ÙÇ³ÛÝ n = 1, n = −1, n = 7, n = −7 ¹»åùáõÙ£ 6n + 7 µ) ´³Å³Ý»Éáí −−−−−− Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ íñ³ª n+1 Ïëï³Ý³Ýù

6n + 7 n + 1 −−−−−, + 6n + 6 6 −−−−−− 1

6n + 7 1 ³ÛëÇÝùÝª 6n + 7 = 6 · (n + 1) + 1 Ï³Ù áñ ÝáõÛÝÝ ¿ª −−−−−− = 6 + −−−−−£ n+1 n+1 1 1 6 + −−−−− ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ³ÙµáÕç ÃÇí ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ −−−−− -Á ³ÙµáÕç n+1 n+1 ÃÇí ¿, ³ÛëÇÝùÝª 1-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ n + 1-Ç íñ³, ³ÛëÇÝùÝª ÙÇ³ÛÝ n = 0 ¨ n = −2 ¹»åùáõÙ£ 3n2 + 3n + 2 ·) −−−−−−−−−− Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÁ µ³Å³Ý»Éáí Ñ³Ûï³ñ³ñÇ íñ³ª n+1 Ïëï³Ý³Ýù 3n2 + 3n + 2 n + 1 −−−−−, − 2 3n + 3n 3n −−−−−−−−−− 2 2 3n + 3n + 2 2 ³ÛëÇÝùÝª −−−−−−−−−−− = 3n + −−−−−£ n+1 n+1

2 2 3n + −−−−− ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ ³ÙµáÕç ÃÇí, »Ã» −−−−− -Á ³ÙµáÕç ¿ (ù³ÝÇ áñ n-Ç n+1 n+1 ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ 3n-Á ³ÙµáÕç ÃÇí ¿), ³ÛëÇÝùÝª 2-Á å»ïù ¿ µ³Å³ÝíÇ n + 1-Ç íñ³£ ÆëÏ ¹³ ÑÝ³ñ³íáñ ¿, »Ã» n + 1 = 1, n + 1 = −1, áñï»ÕÇó n + 1 = 2, n + 1 = −2, n = 0, n = −2, n = 1, n = −3£

126

261. Î³ï³ñ»ù ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝáõÙ. ³) x3 + 4x2 + x + 6-Á x + 1-Ç, x − 2-Ç, x − 3-Ç íñ³, µ) x4 + 2x3 + x2 + 6-Á x2 + x + 1-Ç, x2 + x + 1-Ç, x + 2-Ç íñ³, ·) x5 − 1-Á x4 + 1-Ç, x3 − 1-Ç, x4 + x3 + x2 + x + 1-Ç íñ³£ 262. ¶ï»ù ³ÛÝåÇëÇ A µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) x12 − 1 = (x4 − 1) · A; ·) x12 − 1 = (x2 − 1) · A; ») x12 − 1 = (x − 1) · A; ¿) x6 − 64 = (x − 2) · A;

µ) x12 − 1 = (x2 + 1) · A; ¹) x12 − 1 = (x + 1) · A; ½) x5 − 32 = (x − 2) · A; Á) x7 − 128 = (x − 2) · A:

263. ä³ñ½»ùª n-Ç ÇÝãåÇëÇ± ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿. 5n + 7 ³) −−−−−−; n 7n + 5 ¹) −−−−−; n

5n + 7 µ) −−−−−−; n+2 7n + 5 ») −−−−−−; n+1

3n2 − 6n + 1 ·) −−−−−−−−−−−; n−2 2 2n − 6n + 7 ½) −−−−−−−−−−−: n−3

4.2 ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÁ ¸Çóáõùª Pn(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ...+ a1x + a0-Á

(1)

x-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ n (n ≥ 1) ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ³ÛëÇÝùÝª an ≠ 0 (³Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç Pn(x)-Ç n ÇÝ¹»ùëÁ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ëïÇ×³ÝÁ)£ ÆÝãå»ë Ýßí»ó Ý³Ëáñ¹ Ï»ïáõÙ, »Ã» Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Å³Ý»Ýù x − a »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³, ³å³ ù³Ýáñ¹áõÙ Ïëï³óíÇ n − 1 ³ëïÇ×³ÝÇ Qn − 1(x) µ³½Ù³Ý¹³Ù, ÇëÏ ÙÝ³óáñ¹áõÙª R ÃÇíÁ, ³ÛëÇÝùÝª Pn(x) = (x − a) · Qn − 1(x) + R£

(2)

(2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» R = 0, ³å³ Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍíáõÙ ¿ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ, áñáÝóÇó Ù»ÏÁ x − a »ñÏ³Ý¹³ÙÝ ¿£ Qn − 1(x) ù³Ýáñ¹Á ¨ R ÙÝ³óáñ¹Á ·ïÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ëáíáñ³µ³ñ ÏÇñ³éáõÙ »Ý í»ñÁ Ýßí³Í ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ µ³Å³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ£

127

úñÇÝ³Ï 1. ¶ïÝ»Ýù P4(x) = x4 + 2x3 − x2 + 3x − 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − 3 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óíáÕ ù³Ýáñ¹Á ¨ ÙÝ³óáñ¹Á£ ÎÇñ³é»Ýù ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ µ³Å³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ. −

x4 + 2x3 − x2 + 3x −1 x − 3 −−−−−−−−−−−−−−−− x4 − 3x3 x3 + 5x2 + 14x + 45 −−−−−−−−−−−−−−−− 5x3 − x2 + 3x − 1 − 3 5x − 15x2 −−−−−−−−−−−−−−−− 14x2 + 3x − 1 − 14x2 − 42x −−−−−−−−−−−− 45x − 1 − 45x − 135 −−−−−−−−− 134

Ð»ï¨³µ³ñª x4 + 2x3 − x2 + 3x + 1 = (x − 3)(x3 + 5x2 + 14x + 45) + 134, ³ÛëÇÝùÝª ù³Ýáñ¹Á x3 + 5x2 + 14x + 45 µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿, ÙÝ³óáñ¹Áª 134-Á£ úðÆÜ²Î 2. ¶ïÝ»Ýù P3(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í ù³Ýáñ¹Á ¨ ÙÝ³óáñ¹Á£ ÎÇñ³é»Ýù ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ µ³Å³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ.

x3 − 6x2 + 11x − 6 x − 1 −−−−−−−−−− x2 − 5x + 6 x3 − x −−−−−−−−−−−−−− 2 −5x + 11x − 6 − 5x2 + 5x −−−−−−−−−−− 6x − 6 − 6x − 6 −−−−−− 0 Ð»ï¨³µ³ñª x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x2 − 5x + 6), ³ÛëÇÝùÝª ù³Ýáñ¹Á x2 − 5x + 6 µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ¿, ÇëÏ ÙÝ³óáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 0-Ç£ ºÃ» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É ÙÇ³ÛÝ Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − a »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í ÙÝ³óáñ¹Á, ³å³ û·ïíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÇó. −

´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÁ£ (1) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − a »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í R ÙÝ³óáñ¹ÁÑ³í³ë³ñ¿ Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÇÝ x = a ¹»åùáõÙ,³ÛëÇÝùÝª R = Pn(a)£

128

²å³óáõÛó£ ºÃ» (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù a ÃÇíÁ, Ïëï³óíÇ Pn(a) = R, ÇÝãÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ñ ³å³óáõó»É£ ú·ïí»Éáí ´»½áõÇ Ã»áñ»ÙÇóª (2) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³×³Ë ·ñáõÙ »Ý Pn(x) = (x − a) · Qn − 1(x) + Pn(a) ï»ëùáí£

4.3 Ø»Ï ÷á÷áË³Ï³Ýáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ x0 ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, »Ã» x = x0 ¹»åùáõÙ Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇª Pn(x0) = 0, ³ÛëÇÝùÝª Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − x0 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í ÙÝ³óáñ¹Á Ñ³í³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ£ úñÇÝ³Ï 1-áõÙ P4(3) = 134, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ, 3 ÃÇíÁ ãÇ Ñ³Ý¹Çë³ÝáõÙ P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï, ÇëÏ ûñÇÝ³Ï 2-áõÙ` P3(1) = 0, áõëïÇ, 1 ÃÇíÁ P3(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿, ¨ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»ÉÇë ¹ñ³Ýó Ù»ç Ï³ x − 1 ³ñï³¹ñÇãÁ£ ´³½Ù³Ý¹³ÙÇ³ÙµáÕç³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñáÝó ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ 1 ¿£ Â»áñ»Ù 1. ºÃ» Pn(x) = xn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0

(3)

µ³½Ù³Ý¹³ÙÇµáÉáñ a0, a1, ....., ax − 1 ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ³ÙµáÕçÃí»ñ»Ý, ¨ m ³ÙµáÕçÃÇíÝ³Û¹µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ³ñÙ³ïÝ¿,³å³³Û¹ m ÃÇíÁ a0 ³½³ï³Ý¹³ÙÇµ³Å³Ý³ñ³ñ¿£ ²å³óáõÛó£ ø³ÝÇ áñ m-Á Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿, ³å³ Pn(m) = 0, ³ÛëÇÝùÝª ×Çßï ¿ mn + an − 1 · mn − 1 + ... + a1 · m + a0 = 0

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ (4) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³·ñ»Ýù ³Ûëå»ë. a0 = m · (−mn − 1 − an − 1 · mn − 2 − ... − a1)

(5)

ø³ÝÇ áñ (5) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÷³Ï³·Í»ñÇ Ù»ç ·ñí³Í ¿ ³ÙµáÕç ÃÇí ¨ (5) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ m-Ç, ³å³ Ó³Ë Ù³ëÁª a0-Ý, ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ m-Ç, ÇÝãÁ ¨ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ³å³óáõó»É£

129

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ Â»áñ»Ù 1-Ç Ñ³Ï³é³Ï åÝ¹áõÙÁ ×Çßï ã¿, ³ÛëÇÝùÝª a0-Ç µ³Å³Ý³ñ³ñÁ Ï³ñáÕ ¿ ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ãÉÇÝ»É£ úñÇÝ³Ïª P2(x) = x2 + 2x + 6 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇª 6-Ç Ñ³Ù³ñ 3-Á µ³Å³Ý³ñ³ñ ¿, µ³Ûó 3-Á P2(x)-Ç ³ñÙ³ï ã¿, áñáíÑ»ï¨ P2(3) = 32 + 3 · 2 + 6 = 21 ≠ 0 (Ñ»ßï ¿ ï»ëÝ»É, áñ P2(x)-Á ÁÝ¹Ñ³Ýñ³å»ë ³ñÙ³ï ãáõÝÇ)£ Â»áñ»Ù 2. ºÃ»(3)µ³½Ù³Ý¹³ÙÇµáÉáñ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ³ÙµáÕç Ãí»ñ»Ý,¨áñ¨¿é³óÇáÝ³ÉÃÇí³Û¹µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ³ñÙ³ï¿,³å³ ³Û¹é³óÇáÝ³ÉÃÇíÝ³ÙµáÕçÃÇí¿£ p ²å³óáõÛó£ ¸Çóáõù, −− é³óÇáÝ³É ÃÇíÁ (p ∈ Z, q ∈ N) (3) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ q ³ñÙ³ï ¿£ Ð³Ù³ñ»Ýù, áñ ³Û¹ Ïáïáñ³ÏÝ ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ ¿, ³ÛëÇÝùÝª p-Ý ¨ q-Ý ÁÝ¹ Ñ³ Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ ãáõÝ»Ý (Ñ³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ Ïñ×³ïáõÙÇó Ñ»ïá p ëï³óí³Í Ïáïáñ³ÏÁ ÏÝß³Ý³Ï»ÇÝù −− -áí)£ òáõÛó ï³Ýù, áñ q-Ý ãÇ Ï³ñáÕ 1-Çó q p Ù»Í ÉÇÝ»É£ ºÝÃ³¹ñ»Ýù Ñ³Ï³é³ÏÁª q > 1£ ø³ÝÇ áñ −− -Ý Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ q p ³ñÙ³ï ¿, ³å³ Pn(−−) = 0, ³ÛëÇÝùÝª ×Çßï ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. q p n−1 p p n (−−) + an − 1 · (−−) +... + a1 · −− + a0 = 0£ q q q

(6)

²Ûëï»ÕÇóª pn − 1 p pn −− = − a n − 1 · −−−− − ... − a1 · −− − a0£ − n n 1 q q q

(7)

´³½Ù³å³ïÏ»Éáí (7) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ qn − 1-áíª Ïëï³Ý³Ýù, áñ ×Çßï ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª pn −−− = −an − 1 · p n − 1 − .... − a1 p · qn − 2 − a0 qn − 1£ q

(8)

(8) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿, Ó³Ë Ù³ëÁª ³ÝÏñ×³ï»ÉÇ Ïáïáñ³Ï, áñáíÑ»ï¨ pn-Á ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ q-Ç íñ³, ù³ÝÇ áñ p-Ý ¨ q-Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³ñï³¹ñÇã ãáõÝ»Ý (µ³óÇ 1-Çó)£ êï³óí»ó Ñ³Ï³ëáõÃÛáõÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ, Ù»ñ »ÝÃ³¹ñáõÃÛáõÝÁ, áñ q > 1, ëË³É ¿ñ£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ q = 1, ³ÛëÇÝùÝ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿£

130

1 ¨ 2 Ã»áñ»ÙÝ»ñÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ »Ã» ³ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí (3) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³å³ ³Û¹ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý ¨ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ£ àõëïÇ, å³ñ½»Éáõ Ñ³Ù³ñ, Ã» (3) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï, å»ïù ¿ ëïáõ·»Éª ³ñ¹Ûáù µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿£ ºÃ» ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ áã ÙÇ µ³Å³Ý³ñ³ñ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ã¿, ³å³ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ï ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 3. ä³ñ½»Ýùª ÇÝãåÇëÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ áõÝÇ P4(x) = x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ£ ²Ûë µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÁª 1-Á, áõÝÇ 1 ¨ −1 ³ÙµáÕç µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñ£ Ð³ßí»Ýù P4(1) ¨ P4(−1)-Á. P4(1) = 14 − 13 + 2 · 12 − 3 · 1 + 1 = 0, P4(−1) = (−1)4 − (−1)3 + 2 · (−1)2 − 3 · (−1) + 1 = 8 ≠ 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïª 1 ÃÇíÁ£ P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»Ýù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ P4(x)-Á µ³Å³Ý»Ýù x − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³ (³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ »Õ³Ý³Ïáí). −

x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 x − 1 −−−−−−−−−− x4 − x3 x3 + 2x − 1 −−−−−−−−−−−−−−−−− 2x2 − 3x + 1 − 2 2x − 2x −−−−−−−−− −x+1 − −x+1 −−−−−−− 0

Ð»ï¨³µ³ñª x4 − x3 + 2x2 − 3x + 1 = (x3 + 2x − 1)(x − 1)£ ²ÛÅÙª ëïáõ·»Ýù P3(x) = x3 + 2x − 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ£ ²Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÝ »Ý 1-Á ¨ −1-Á£ Ð³ßí»Ýù P3(1)-Á ¨ P3(−1)-Á. P3(1) = 1 + 2 · 1 − 1 = 2 ≠ 0, P3(−1) = (−1)3 + 2 · (−1) − 1 = −4 ≠ 0£

131

Ð»ï¨³µ³ñ, P3(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, áõëïÇ, P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïª 1 ÃÇíÁ£

4.4 Pn(x) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÁ£ ²ÙµáÕç ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí Pn(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·ïÝ»É Ï³ñáÕ³Ý³ÉÁ û·ÝáõÙ ¿ ÉáõÍ»É Pn(x) = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (ÜáñÇó ùÝÝ³ñÏáõÙ »Ýù ³ÛÝ ¹»åùÁ, »ñµ Pn(x)-Ç ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ 1 ¿)£ úðÆÜ²Î 4. ÈáõÍ»Ýù x5 − x4 − 4x3 + 5x2 + x − 2 = 0

(9)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ P5(x) = x5 − x4 − 4x3 + 5x2 + x − 2 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇª −2-Ç µáÉáñ ³ÙµáÕç ÃÇí Ñ³Ý¹Çë³óáÕ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ 1, −1, 2 ¨ −2 Ãí»ñÝ »Ý£ ø³ÝÇ áñ P5(1) = 1 − 1 − 4 + 5 + 1 − 2 = 0, ³å³ 1-Á P5(x)-Ç ³ñÙ³ïÝ ¿, ¨ ³Û¹ µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ í»ñÉáõÍ»É ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ »Õ³Ý³Ïáí P5(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Å³Ý»Ýù x − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³. −

x5 − x4 − 4x3 + 5x2 + x − 2 x − 1 −−−−−−−−−−−−− x5 − x4 x4 − 4x2 + x + 2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −4x3 + 5x2 + x − 2 − −4x3 + 4x2 −−−−−−−−−−−−−− x2 + x − 2 − 2 x −x −−−−−−−−−− 2x − 2 − 2x − 2 −−−−−− 0

²ÛëåÇëáíª P5(x) = P4(x) · (x − 1), áñï»Õ P4(x) = x4 − 4x2 + x + 2£ ²ÛÅÙ ëïáõ·»Ýùª P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ áõÝÇ± ³ñ¹Ûáù é³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ£ P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÝ 1, −1, 2 ¨ −2 Ãí»ñÝ »Ý£ ø³ÝÇ áñ P4(1) = 1 − 4 + 1 + 2 = 0, ³å³ 1-Á P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿ ¨ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍ»ÉÇë ÏáõÝ»Ý³ x − 1 ³ñï³¹ñÇã£

132

²ÝÏÛáõÝ³Ó¨ »Õ³Ý³Ïáí P4(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Å³Ý»Ýù x − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³. −

x4 + 0 · x3 − 4x2 + x + 2 x − 1 −−−−−−−−−−−−− x4 − x3 x3 + x2 − 3x − 2 −−−−−−−−−−−−−−−−− x3 − 4x2 + x + 2 − 3 x − x2 −−−−−−−−−−−−− −3x2 + x + 2 − 2 −3x + 3x −−−−−−−−−−−− −2x + 2 − −2x + 2 −−−−−−− 0

²ÛëåÇëáíª P4(x) = P3(x) · (x − 1), áñï»Õ P3(x) = x3 + x2 − 3x − 2£ P3(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ 1, −1, 2 ¨ −2 Ãí»ñÝ »Ý£ Ð³ßí»Ýù P3(1), P3(−1), P3(2) ¨ P3(−2)-Á. P3(1) = 1 + 1 − 3 − 2 = −3 ≠ 0 P3(−1) = −1 + 1 + 3 − 2 = 1 ≠ 0 P3(2) = 8 + 4 − 6 − 2 = 4 ≠ 0 P3(−2) = −8 + 4 + 6 − 2 = 0 ø³ÝÇ áñ P3(−2) = 0, ³å³ −2-Á P3(x) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ï ¿, ¨ P3(x)-Ç ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ í»ñÉáõÍÙ³Ý Ù»ç Ï³ x + 2 ³ñï³¹ñÇãÁ£ ´³Å³Ý»Ýù P3(x)-Á x + 2 íñ³. −

x3 + x2 − 3x − 2 x + 2 −−−−−−−− x2 − x − 1 x3 + 2x2 −−−−−−−−−−−−− −x2 − 3x − 2 − 2 −x − 2x −−−−−−−−−− −x − 2 − −x − 2 −−−−−− 0

133

²ÛëåÇëáíª P3(x) = P2(x) ·(x + 2), áñï»Õ P2(x) = x2 − x − 1£ ø³ÝÇ áñ P2(x)-Á ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³Ù ¿, ³å³ ¹ñ³ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ·ïÝ»É. 1 + √$5 1 − √$5 x1 = −−−−−−− ¨ x2 = −−−−−−−, 2 2 Ñ»ï¨³µ³ñª P2(x) = (x − x1)(x − x2): ²Ù÷á÷»Éáí ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁª ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ P5(x) = (x − 1)2(x + 2)(x − x1)(x − x2): àõëïÇ, (10) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý. 1 + √$5 1 − √$5 x1 = −−−−−−−, x2 = −−−−−−−, x3 = −2, x4 = 1: 2 2 ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ ³ÛÉ ³ñÙ³ïÝ»ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ Ð³ëÏ³Ý³ÉÇ ¿, áñ »Ã» áñ¨¿ ù³ÛÉáõÙ å³ñ½í»ñ, áñ ÁÝÃ³óÇÏ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³ÙµáÕç ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, ³å³ ÝÏ³ñ³·ñí³Í »Õ³Ý³ÏÁ áã ÙÇ ³ñ¹ÛáõÝù ã¿ñ ï³, ¨ å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍÙ³Ý ³ÛÉ áõÕÇÝ»ñ£ úðÆÜ²Î 5. ÈáõÍ»Ýù 2 1 x3 + −− x2 − −− = 0 3 9

(10)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ 2 1 ø³ÝÇ áñ x3 + −− x2 − −− »é³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÝ ³ÙµáÕç Ãí»ñ ã»Ý, ³å³ 3 9 µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (10) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ 9-áíª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù 9x3 + 6x2 − 1 = 0

(11)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ P3(x) = 9x3 + 6x2 − 1 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ 1 ã¿, ³å³ í»ñÁ ùÝÝ³ñÏí³Í »Õ³Ý³ÏÁ ÑÝ³ñ³íáñ ã¿ ÏÇñ³é»É£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ í³ñí»Ýù ³Ûëå»ë. µ³½Ù³å³ïÏ»Éáí (11) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ 3-áíª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (3x)3 + 2 · (3x)2 − 3 = 0

134

(12)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²Ûë Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç Ï³ï³ñ»Éáí y = 3x ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇ ÷áË³ñÇÝáõÙª Ïëï³Ý³Ýù y3 + 2y2 − 3 = 0

(13)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ P3(y) = y3 + 2y2 − 3 µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ 1 ¿, ³å³ (13) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÏÇñ³é»É í»ñÁ ¹Çï³ñÏ³Í »Õ³Ý³ÏÁ£ P3(y) µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³½³ï ³Ý¹³ÙÇª −3-Ç µáÉáñ µ³Å³Ý³ñ³ñÝ»ñÁ 1, −1, 3 ¨ −3 Ãí»ñÝ »Ý£ ø³ÝÇ áñ P3(1) = 1 + 2 − 3 = 0, ³å³ P3(y) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ y − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³. −

y 3 + 2y 2 + 0 · y − 3 y − 1 −−−−−−−−−− y3 − y2 y 2 + 3y + 3 −−−−−−−−−−−−−−−− 3y 2 + 0 · y − 3 − 2 3y - 3y −−−−−−−−−− 3y − 3 − 3y − 3 −−−−−− 0

²ÛëåÇëáíª P3(y) = P2(y) · (y − 1), áñï»Õ P2(y) = y2 + 3y + 3£ ø³ÝÇ áñ P2(y) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ï³ñµ»ñÇãÁ ÷áùñ ¿ ½ñáÛÇó, ³å³ P2(y) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ ãÇ í»ñÉáõÍíáõÙ ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ¨ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, áõëïÇ, (13) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÇ³Ï ³ñÙ³ïÁ y = 1 ÃÇíÝ ¿£ ²ÛÅÙ (11) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ Ï·ïÝ»Ýù y = 3x å³ÛÙ³ÝÇó£ (11) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (10) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝ»Ý Ù»Ï ³ñÙ³ïª 1 x = −−£ 3

264. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ µ³Å³Ý»ù x − 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÇ íñ³. µ) x4 − 2x3 + 3x2 + 4x − 1; ³) 2x2 + x2 + 3; 3 2 ¹) x5 − 3x3 + 3x − 10: ·) 4x + 5x − 3x + 2;

135

265. ²é³Ýó µ³Å³ÝáõÙ Ï³ï³ñ»Éáõ ·ï»ù ïñí³Í µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ x − 1 ¨ x + 1 »ñÏ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í ÙÝ³óáñ¹Á. µ) 2x4 − 3x3 − 4x2 + 5x − 6; ³) 5x3 − 3x2 + 2; ·) 3x3 + 2x2 − 6x + 7; ¹) 3x5 − 4x2 − 3x + 6: 266. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. µ) x3 − 4x2 + 4x − 3; ³) x3 − x2 − x − 2; ¹) x3 − 6x − 9; ·) x3 − 7x + 6; ») x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4; ½) x4 − 2x3 − 3x2 + 4x + 4; 4 3 2 Á) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1: ¿) x − x − 3x + 5x − 4; ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (267-269). 267. ³) x3 + 2x2 − x − 2 = 0; ·) x3 − 2x2 − 2x − 3 = 0; ») x3 + 2x2 − 7x + 4 = 0;

µ) x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0; ¹) x3 + x2 − x + 2 = 0; ½) x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0:

268. ³) x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0; ·) x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0; ») x4 + 2x3 − 3x2 − 8x − 4 = 0;

µ) x4 − x3 − x2 − x − 2 = 0; ¹) x4 + x3 − 7x2 − x + 6 = 0; ½) x4 + 4x3 + 3x2 − 4x − 4 = 0:

269. ³) 2x3 + x2 − 13x + 6 = 0; ·) 3x3 + 4x2 + 7x + 2 = 0; ») 2x4 − 7x3 + 4x2 − 2x − 3 = 0;

µ) 2x3 − x2 − 13x − 6 = 0; ¹) 3x3 + x2 + 2x − 1 = 0; ½) 2x4 + x3 − x2 + 8x − 4 = 0:

136

¶È àô Ê V

è² òÆ à Ü²È Ð² ì² ê² ðàôØ Üº ðÆ Ð² Ø² Î²ð ¶ºð y

5.1 è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ·³Õ³÷³ñÁ Ð³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ x ¨ y ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ é³óÇáÝ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáíé³óÇáÝ³ÉÑ³í³ë³ñáõÙ£ (è³óÇáÝ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÇÝ Í³ÝáÃ »ù 8-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ Ñ³Ýñ³Ñ³ßíÇ ¹³ëÁÝÃ³óÇó)£ ²Ñ³ x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ. 2x + y − 4 = 0 (1) (2) 2x2 − 3x + y − x + 1 = 0 1 4 −− = 3 − −− (3) x y (x0; y0) Ãí³½áõÛ·Ý ³Ýí³ÝáõÙ»Ý x ¨ y »ñÏáõ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáíÑ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí x0 ¨ y-Ç ÷áË³ñ»Ýª y0ª Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ×Çßï Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ úñÇÝ³Ïª (2; 0) Ãí³½áõÛ·Á (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, (0; 1) Ãí³½áõÛ·Áª (2), (−1; 1)-Áª (3)£ Ð³í³ë³ñáõÙÁ,áñÇ»ñÏáõÙ³ë»ñÁ x, y ¨ z-ÇÝÏ³ïÙ³Ùµé³óÇáÝ³É³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñ»Ý,³Ýí³ÝáõÙ»Ý x, y ¨ z »ñ»ù÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáíé³óÇáÝ³ÉÑ³í³ë³ñáõÙ£ ²Ñ³ x, y ¨ z »ñ»ù ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ. 3x − 6y + z − 6 = 0 (4)

137

7x2 + 5xy − z2 + yz − x + z + y − 3 = 0 x−y x+y −−−−− + −−−−− = x + y + z x−z x+z

(5) (6)

(x0; y0; z0) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý x, y ¨ z »ñ»ù ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝª x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí x0, y-Ç ÷áË³ñ»Ýª y0, z-Ç ÷áË³ñ»Ýª z0ª Ñ³í³ë³ñáõÙÁ í»ñ³ÍíáõÙ ¿ ×Çßï Ãí³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý£ úñÇÝ³Ïª (2; −1; −6) »éÛ³ÏÁ (4) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿, (0; 3; 0) »éÛ³ÏÁª (5), (0; 1; 1)-Áª (6)£ ÜÙ³Ý Ï»ñå ¿ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ n ³ÝÑ³Ûïáí é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ¨ ¹ñ³ ÉáõÍáõÙÁ£ è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ Ó³Ë Ù³ëÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁª ½ñá, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ ³é³çÇÝ³ëïÇ×³ÝÇÑ³í³ë³ñáõÙ£ úñÇÝ³Ïª (1)-Á x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, (4)-Áª x, y ¨ z »ñ»ù ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí£ è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ Ó³Ë Ù³ëÁ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁª ½ñá, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý »ñÏñáñ¹³ëïÇ×³ÝÇÑ³í³ë³ñáõÙ£ úñÇÝ³Ïª (2)-Á x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, (5)-Áª x, y ¨ z »ñ»ù ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí£ è³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ Ó³Ë Ù³ëÁ n ³ëïÇ×³ÝÇ µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿, ÇëÏ ³ç Ù³ëÁª 0, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý n - ³ëïÇ×³ÝÇÑ³í³ë³ñáõÙ£ úñÇÝ³Ïª x2 − xy2 + 7 = 0-Ý 3-ñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, ÇëÏ x3y − x10 + 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁª 10-ñ¹£ ¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ ²ëáõÙ »Ý, áñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, »Ã» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É µáÉáñ (x; y) Ãí³½áõÛ·»ñÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¨° ³é³çÇÝ, ¨° »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý£ ²Ñ³ x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ. 1 x + y + 1 = 0, −− + y = 0, x 2x − 7y + 9 = 0, x2 + 2y = 0,

{

3y + 1 = 0, {x2x −+ 7xy + 3y − x + 4y − 11 = 0£ 2

138

x ¨ y »ñÏáõ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý (x0; y0) Ãí³½áõÛ·Á, áñÝ ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿£ ¸Çóáõù, ïñí³Í »Ý x, y ¨ z »ñ»ù ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí »ñ»ù é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ£ ²ëáõÙ »Ý, áñ å»ïù¿ÉáõÍ»É x, y ¨ z »ñ»ù÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñáí»ñ»ù é³óÇáÝ³ÉÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÑ³Ù³Ï³ñ·Á, »Ã» å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É µáÉáñ ³ÛÝ (x; y; z) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁ, áñáÝù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ³Û¹ »ñ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ý£ ²Ñ³ x, y ¨ z »ñ»ù ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí »ñ»ù é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ.

{

3x + y − z + 1 = 0, 2x − z + 7 = 0, 7x − 3y + z + 11 = 0,

{

4x + y − 2z + 1 = 0, x − y − 9z + 7 = 0, 3x2 − 2xy − y2 − 7y + 11 = 0,

1 z x + −− + −− + y − 5 = 0 y x x x −− + −− = 1 2 y 2x + 3y − z2 = 0£

x, y ¨ z »ñ»ù³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí»ñ»ùÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÑ³Ù³Ï³ñ·ÇÉáõÍáõÙ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ Ñ³Ù³ñ ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ (x0; y0; z0) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁ£ ÜÙ³Ý Ó¨áí ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ n ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí n é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ¨ ¹ñ³ ÉáõÍáõÙÁ£ ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á, Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ·ïÝ»É ¹ñ³µáÉáñÉáõÍáõÙÝ»ñÁÏ³ÙóáõÛóï³É,áñÉáõÍáõÙÝ»ñãÏ³Ý£ VIII ¹³ë³ñ³ÝáõÙ ³ñ¹»Ý ¹Çï³ñÏ»É »Ýù »ñÏáõ ¨ »ñ»ù ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÝ»ñÁ£ Ð³çáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ûñÇÝ³ÏÝ»ñáí óáõÛó Ïï³Ýùª ÇÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ£ ´³óÇ ³Û¹, Ï¹Çï³ñÏí»Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñ, áñáÝó ÉáõÍáõÙÁ µ»ñíáõÙ ¿ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý£ ÀÝ¹ áñáõÙª Ï·ïÝ»Ýù §Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí 7¦ ¹³ë³·ñùÇ §¶Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ¦ ·ÉËáõÙ ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ Ñ³Ù³ñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ µ»ñí³Í åÝ¹áõÙÝ»ñÇó£

139

270°. ³) à±ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ é³óÇáÝ³É£ µ) à±ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÇ£ ·) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ x ¨ y »ñÏáõ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ£ ¹) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ x, y ¨ z »ñ»ù ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ£ ») º±ñµ »Ý ³ëáõÙ, áñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É »ñÏáõ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ½) º±ñµ »Ý ³ëáõÙ, áñ å»ïù ¿ ÉáõÍ»É »ñ»ù ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí »ñ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ¿) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ£ Á) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ »ñ»ù ³ÝÑ³Ûïáí »ñ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ£ Ã) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ 271. (1; 2) Ãí³½áõÛ·Á Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍá±õÙ ¿. ³) x + y = 3; µ) 2x + y = 1; ·) 3x + 2y = 7; ») x2 + y2 = 5; ½) xy − x = 1: ¹) x2 + y2 = 3; 272. ¶ï»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ. ³) x + y = 5; µ) 3x + y = 5; ») x2 + 2xy + y2 = 25; ¹) x2 + y2 = 9;

·) 2x − 3y = 1; ½) x2 + xy = 0:

273. (0; 1; 2) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍá±õÙ ¿. ³) 3x + 2y + z = 4; µ) x − y + z = 1; ·) x + 2y + 3z = 2; ¹) xy + 2xz + yz = 2; ½) x2 + 2y2 − z2 = 0: ») x2 + y2 + z2 = 5; 274. ¶ï»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñ¨¿ ÉáõÍáõÙ. ³) x + y + z = 10; µ) x2 + y2 + z2 = 25; ·) xy + yx + yz = 3; ¹) xy − yx + yz = 1: 275. ²å³óáõó»ù, áñ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ. µ) x2 + y2 + x2 + 0,1 = 0: ³) x2 + y2 + 1 = 0; 276. îñí³Í ¿ xy + x = 8 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) Æ±Ýã ³ëïÇ×³ÝÇ ¿ ³Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

140

µ) x-Á ³ñï³Ñ³Ûï»ù y-áí£ Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ãÇ Ï³ñáÕ ÁÝ¹áõÝ»É y-Á£ ·) ²ñï³Ñ³Ûï»ù y-Á x-áí£ Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ãÇ Ï³ñáÕ ÁÝ¹áõÝ»É x-Á£ 277. àñáß»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ëïÇ×³ÝÁ. ³) 2x − 5y = 7; µ) x + x2 − xy − 5 = 0; ·) xy = 4; ¹) x2 − xy2 + 7x = 0; 2 3 ½) x6 − x8 − x10 = 0: ») xy − x y + 3 = 0; 278. (1; 1) Ãí³½áõÛ·Á Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍá±õÙ ¿. x + y = 2, xy + x2 = 2, ³) { 2 µ) { x − xy + y2 = 1; 2x + 3y = 4; ·) {

x2 + y2 = 10, 2x − y = 1;

¹) {

3x + 2y = 5, x + 2xy = 3:

279. (1; 1; 1) Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍá±õÙ ¿. x + y + z = 3, x + y + z = 3, µ) xy + xz + yz = 3, ³) 3x − 2y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 3; x2 + x − y = 1;

{

·)

{

2x + 3y + 4z = 8, xy − 3x2 + z = −1, x2 + y2 − z2 = 1;

¹)

{

x2 + y2 + z2 = 2, x + y + z = 3, xy + yz = 2:

280. îñí³Í Ãí³½áõÛ·Áª 2 {xx ++5xy= −y, 3 = 0, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍá±õÙ ¿. ³) (0; 3); µ) (−3; 2);

·) (2; −3);

¹) (0,5; 5,5):

·) (1; 1; −1);

¹) (−1; 1; 1):

281. îñí³Í Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÁª x + y + z = 3, x − y − z = − 2, xy + x2 = 2,

{

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍá±õÙ ¿. ³) (1; −1; 1); µ) (1; 1; 1);

141

5.2 ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ²Ûëï»Õ Ï¹Çï³ñÏ»Ýù »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝóÇó Ù»ÏÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ ¿, ÙÛáõëÁª »ñÏñáñ¹, ¨ »ñ»ù ³ÝÑ³Ûïáí »ñ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝóÇó »ñÏáõëÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ »Ý, »ññáñ¹Áª »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ£ ²Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÏÇñ³é»Ýù ï»Õ³¹ñÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ£ úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù {xx2++2y2xy− +7 y=2 0,+ 3y + 4x − 31 = 0

(1)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£ ¸ñ³ÝÇó x-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù y-áí. x = 7 − 2y£

(2)

x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí (7 − 2y) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù (7 − 2y)2 + 2(7 − 2y)y + y2 + 3y − 4(7 − 2y) − 31 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙÇó Ñ»ïá µ»ñíáõÙ ¿ y2 − 3y − 10 = 0

(3)

ï»ëùÇ£ (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª y1 = − 2 ¨ y2 = 5£ î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë Ãí»ñÁ (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ýª Ïëï³Ý³Ýù x1 = 11 ¨ x2 = −3£ ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙª x1 = 11, y1 = −2; x2 = −3, y2 = 5, ¨ ³ÛÉ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ÜÙ³Ý Ó¨áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É x ¨ y ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí£ ºñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ ¿, ÙÛáõëÁª »ñÏñáñ¹£ ²é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó x-Á (Ï³Ù y-Á) ³ñï³Ñ³ÛïáõÙ »Ýù ÙÛáõë ³ÝÑ³Ûïáí ¨ ³Û¹ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³¹ñáõÙ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç£ êï³ÝáõÙ »Ýù y (Ï³Ù x) ³ÝÑ³Ûïáí ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ£ ºÃ» ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ³å³ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÝáõÛÝå»ë áõÝÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ, ÇëÏ »Ã» áã, ³å³ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£

142

úðÆÜ²Î 2£ ÈáõÍ»Ýù {x3x2 −− yy2 +− 9y =− 05x − 32 = 0

(4)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª »ñÏñáñ¹£ ²é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x-áíª y = 3x + 9£ (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç y-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù (3x + 9) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ£ Îëï³Ý³Ýù x2 − (3x + 9)2 + (3x + 9) − 5x − 32 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙÇó Ñ»ïá Ï·ñ»Ýù −8x2 − 56x − 104 = 0 ï»ëùáí£ Îñ×³ï»Éáí Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ (−8)-áíª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù x + 7x + 13 = 0 (5) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ ï³ñµ»ñÇãÁª D = b2 − 4ac = 72 − 4 · 1 · 13 = − 3 < 0£ Ð»ï¨³µ³ñ, (5) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ àõëïÇ, (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 3. ÈáõÍ»Ýù x + y − z + 1 = 0,

{ x − y − z + 3 = 0,

(6)

x2 + 2xy + y2 − xz + z2 + x − 5 = 0

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (6) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x ¨ z-áí. y = z − x − 1£ (7) (z − x − 1) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³¹ñ»Éáí (6) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙ y-Ç ÷áË³ñ»Ýª Ïëï³Ý³Ýù x ¨ z ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ª − x − 1) − z + 3 = 0 {xx2−+(z2x(z − x − 1) + (z − x − 1)2 − xz + z2 + x − 5 = 0, áñÁ ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙÇó Ñ»ïá áõÝÇ

143

2x − 2z + 4 = 0, {2z − xz + x − 2z − 4 = 0 2

(8)

ï»ëùÁ£ (8) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó x-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù z-áí. x = z − 2£

(9)

(8) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí (z − 2) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁª Ïëï³Ý³Ýù Ù»Ï z ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³í³ë³ñáõÙª 2z2 − z(z − 2) + (z − 2) − 2z − 4 = 0, áñÁ å³ñ½»óáõÙÝ»ñÇó Ñ»ïá ·ñ»Ýù z2 + z − 6 = 0

(10)

ï»ëùáí£ (10) ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. z1 = − 3 ¨ z2 = 2£ î»Õ³¹ñ»Éáí ³Ûë Ãí»ñÁ (9) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù x1 = −5 ¨ x2 = 0£ ì»ñç³å»ë ï»Õ³¹ñ»Éáí x1 ¨ z1, ³ÛÝáõÑ»ï¨ x2 ¨ z2 Ãí»ñÁ (7) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»ç, Ïëï³Ý³Ýù y1 = 1 ¨ y2 = 1£ Ð»ï¨³µ³ñ, (6) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙª x1 = −5, y1 = 1, z1 = −3, x2 = 0, y2 = 1, z2 = 2, ¨ ³ÛÉ ÉáõÍáõÙÝ»ñ ãáõÝÇ£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ î»Õ³¹ñÙ³Ý »Õ³Ý³ÏÁ ÏÇñ³é»ÉÇ ¿ Ý³¨ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ áñáß Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ£ úñÇÝ³Ïª x+y=1 1 1 −− + −− = 1 x y

{

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»É x-áí ¨ (1 − x)-Á y-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»É »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç, ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÉáõÍ»É Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáíª 1 1 −− + −−−−− = 1, x x−1 é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

144

Üß»Ýù Ý³¨, áñ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ ÉáõÍ»ÉÇë »ñµ»ÙÝ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý Ý³¨ ÉáõÍÙ³Ý ³ÛÉ »Õ³Ý³ÏÝ»ñ£

282.° ÆÝãå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (283-292). x2 = y, y − 2 = 2;

µ) {

y2 − 1 = x, x − 13 = 11;

·) {

x − 3 = 2, y2 − x = 4;

¹) {

x2 − y − 4 = 0, y − 4 = 1;

») {

x = 2 + y, x2 − y = 8;

½) {

x2 = y, 5x − y = 6;

¿) {

x = y − 2, xy = 3;

Á) {

y = x − 8, xy = −7;

Ã) {

x2 + y2 = 17, x + 2 = 3:

x + y = 3, xy = −40;

µ) {

x + y = 7, xy = 12;

·) {

x + y = 3, xy = −28;

¹) {

x + y = −8, xy = 15;

») {

xy = −15, x − y = −8;

½) {

xy = 8, x − y = 2;

¿) {

x + 2y = 4, x2 + y = 16;

Á) {

3x + y = 1, x + y2 = 1;

Ã) {

x + 2y = 3, 3x − y2 = 17:

x2 + y2 = 41, y − x = 1;

µ) {

x2 + y2 = 13, y − x = −1;

·) {

x2 − y2 = 3, x + y = 1;

x − y = 2, x2 − y2 = 8;

») {

x + y = −6, y2 − x2 = 3;

½) {

x − y = −3, y2 − x2 = −1:

x2 − y2 = 0, y + x = 0;

µ) {

x2 − y2 = 0, y − x = 0;

·) {

x + y = 0,2, x2 − y2 = 2;

¹) {

x − y = 0,6, y2 − x2 = 12;

») {

x − y = 11, xy = 12;

½) {

y − x = 4, xy = 5;

¿) {

xy = 12, y + x = 1;

Á) {

xy = 15, x + y = −5;

Ã) {

x − y = 2, xy = −13;

283. ³) {

284. ³) {

285. ³) { ¹) {

286. ³) {

145

Å) {

x + y = 3, xy = 0;

Ç) {

x − y = 3, xy = 0;

É) {

x + y − 7 = 0, x2 + xy + y2 = 43;

µ) {

x + y − 6 = 0, 2x2 − y2 = −23;

·) {

x + y = 3, x2 − y2 − 4xy + 11 = 0;

Å) {

x + y = 12, 2xy = 9(x − y);

») {

9x2 − 12x + 4y2 + 4y = 15, 3x + 2y = 3;

½) {

9x2 − 30x − 16y2 − 24y = 0, 3x − 4y = 6;

¿) {

x2 + y2 + xy + x + y − 2 = 0, x − y = 2;

Á) {

x + y = 1, x2 − 2y2 + xy − x − y + 4 = 0:

x + y = 2, 9x2 − 3xy + y = 1;

µ) {

x − 3y = 1, 2xy − x2 + 9y2 = 11 − 4x;

·) {

2x + y = 1, 3x2 = (y − 2)2 − 2x;

¹) {

x − 4y = 10, (x − 1)2 = 7(x + y) + 1;

») {

7x − y = 2, 14xy − 5y2 − 7x + 9 = 8y;

½) {

x − y = 2, 3x2 − 5yx + 8y2 − 3x + 4y = 15;

¿) {

x − y = 1, x2 − 2xy + 4y = 2;

Á) {

x + y = 2, x2 + 3xy − y2 + 4y = 1:

287. ³) {

288. ³) {

x + y + z = 6,

289. ³)

{ y + z = 3,

x + y + z = 0,

µ)

z = 1;

{ x + z = 1,

{ x + z = 2, x = −1;

x + y + z = 2,

·)

x + y + z = 2,

¹)

x + y =3;

{ y + z = 3, x + y = 1;

x + y + z = −1, ») x + 2y = −1, x − y = 5;

x + y + z = −1, ½) 2y + z = 4, y − z = 5;

x + y + z = −1, ¿) x − y + z = 7, x + y = −3;

x + y + z = 1, Á) x + y − z = −3, y + z = 4;

{

x + y + z = 3,

Ã)

{ x + 2y + 3z = 6, 2x − y + z = 2;

146

xy = 5, x − y = 0:

x + y + z = −3,

Å)

{ x − y + z = −1,

x + 2y − z = −2:

x + 2y − z = 1, 290. ³) 2x − y + 2z = −1, 3x − 2y + z = 3; x − y − z = −2, ·) x + 2y + z = 3, 2x + y − 3z = 7; 2x − 3y + z − 10 = 0, ») 3x − 4y − z + 2 = 0; x + y + z = 0;

x + 2y − z = 2, µ) 3x − 2y + z = 2, 4x + 4y + z = 15; x + 3y − z = 8, ¹) 2x + 4y + z = 3, x + 9y + 4z = 5; x − 3y + 2z = 1, ½) x − y − z = 2; x + y + z = 0:

x − y = −1, 291. ³) y + z = 5, xz = 3; x2 + y2 + z2 = 35, ·) x + y = 2, x − z = 4; 4x − 2y = 7x, ») y + z = x, y2 − 4 = 8x − 3z2;

x + y = −3, µ) y − z = 1, x2 + z2 = 10; x2 + y2 = z2, ¹) x + y + z = 12, xy = 12; 3y + z = x, ½) x − z = y, x2 − 3x = 5 + z2:

{

1 1 1 −− + −− = 1−−, y 2 292*. ³) x x − 1 = 1; ·)

{

1 1 1 −− − −− = 1−−, x y 6 x − y = −1;

{

1 1 1 −− − −− = − −−, µ) x y 4 y + 1 = 3; ¹)

{

1 1 5 −− + −− = −−, y x 6 x + y = 5;

{

1 1 1 −− − −− = − −−−, ½) x y 12 x − y = 1;

{

2 3 5 −− + −− = − 1−−−, Á) x y 12 x − y = 1; x2 + y2 = 13, Å) x y 1 −− + −− = 2−−; y x 6

1 1 1 −− + −− = − −−, y 6 ») x x + y = 1; 2 3 −− − −− = −8, x ¿) y 3x + y = 3; Ã) {

x2 + y2 = 5, xy = −2;

x y 5 −− − −− = −−, 6 Ç) y x x2 − y2 = 5;

{

É) {

x + xy + y = 11, x − xy + y = 1:

147

5.3 ÊÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÊÝ¹Çñ. ºñ»ù ÉáõÍáõÛÃÝ»ñáõÙ ³Õ³ÃÃíÇ ïáÏáë³ÛÇÝ å³ñáõÝ³ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (Áëï ½³Ý·í³ÍÇ) ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ »ñÏñáñ¹Ç ù³é³ÏáõëÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³é³çÇÝÇ ¨ »ññáñ¹Ç ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ£ ºÃ» ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÝ»ñÁ Ë³éÝí»Ý 2 £ 3 £ 4 Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ (Áëï ½³Ý·í³ÍÇ), ³å³ ëï³óí³Í ÉáõÍáõÛÃÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ 32% ³Õ³ÃÃáõ£ ÆëÏ »Ã» ¹ñ³Ýù Ë³éÝ»Ýù 3 £ 2 £ 1 Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ (Áëï ½³Ý·í³ÍÇ), ³å³ Ïëï³óíÇ 22% ³Õ³ÃÃíÇ å³ñáõÝ³ÏáõÃÛ³Ùµ ÉáõÍáõÛÃ£ ø³ÝÇ± ïáÏáë ³Õ³ÃÃáõ ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÉáõÍáõÛÃÁ£ ÈáõÍáõÙ£ ¸Çóáõù, ³é³çÇÝ ÉáõÍáõÛÃáõÙ ³Õ³ÃÃáõÝ x% ¿, »ñÏñáñ¹áõÙª y%, »ññáñ¹áõÙª z%£ Àëï ËÝ¹ñÇ ³é³çÇÝ å³ÛÙ³ÝÇª y2 = x · z£

(1) x ²é³çÇÝ ÉáõÍáõÛÃÇ 1 ·-áõÙ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ −−− · ³Õ³ÃÃáõ, »ñÏñáñ¹ Éáõ100 y z ÍáõÛÃÇ 1 ·-áõÙª −−− ·, »ñÏñáñ¹ ÉáõÍáõÛÃÇ 1 ·-áõÙª −−− ·£ 100 100 ºÃ» í»ñóÝ»Ýù 2 · ³é³çÇÝ ÉáõÍáõÛÃÇó, 3 · »ñÏñáñ¹Çó ¨ 4 · »ññáñ¹Çó, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù 9 · Ë³éÝáõñ¹, áñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ x y z 2 · −−−− + 3 · −−−− + 4 · −−−− · ³Õ³ÃÃáõ£ 100 100 100 Àëï ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇª ëï³óí³Í Ë³éÝáõñ¹Á å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 32% ³Õ³ÃÃáõ, 32 ³ÛëÇÝùÝª 9 · Ë³éÝáõñ¹áõÙ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ 9 · −−−− · ³Õ³ÃÃáõ£ ²Ûë å³ÛÙ³100 ÝÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù x y z 32 2 · −−−− + 3 · −−−− + 4 · −−−− = 9 · −−−− (2) 100 100 100 100 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ¸³ï»Éáí ÝáõÛÝ Ï»ñåª ëï³ÝáõÙ »Ýù ¨ë Ù»Ï Ñ³í³ë³ñáõÙ. x y z 22 3 · −−−− + 2 · −−−− + 1 · −−−− = 6 · −−−−£ (3) 100 100 100 100 Ø»Ýù ï»ëÝáõÙ »Ýù, áñ áñáÝ»ÉÇ x, y ¨ z Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1), (2) ¨ (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ£ Ð»ï¨³µ³ñ, ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É (1), (2) ¨ (3) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í x, y ¨ z »ñ»ù ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ²ñï³·ñ»Ýù ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáíª

{ 148

y2 = xz 2x + 3y + 4z = 288 3x + 2y + z = 132,

(4)

¨ ÉáõÍ»Ýù ³ÛÝ£ (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó z-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x ¨ y-áí. z = 132 − 3x − 2y: (5) î»Õ³¹ñ»Éáí (132 − 3x − 2y) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ z-Ç ÷áË³ñ»Ý (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙª Ïëï³Ý³Ýù x ¨ y »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·. y = x (132 − 3x − 2y) {2x + 3y + 4(132 − 3x − 2y) = 288: 2

Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ï»Õ³÷áË»Éáí µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ó³Ë ÏáÕÙ ¨ Ï³ï³ñ»Éáí ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙª ëï³ÝáõÙ »Ýù 3x + y + 2xy − 132x = 0 {240 − 10x − 5y = 0 2

(6)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (6) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x-áíª y = 48 − 2x,

(7)

¨ (48 − 2x) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ y-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Ýù (6) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç£ Îëï³Ý³Ýù Ù»Ï x ³ÝÑ³Ûïáí 3x2 + (48 − 2x)2 + 2x(48 − 2x) − 132x = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÁ ÝÙ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇ³óáõÙÇó Ñ»ïá Ï·ñ»Ýù 3x2 − 228x + 2304 = 0 ï»ëùáí£ Ð³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ëÁ µ³Å³Ý»Éáí 3-Çª Ïëï³Ý³Ýù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù (8) x2 − 76x + 768 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ Ð³ßí»Ýù ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ï³ñµ»ñÇãÁ. D = b2 − 4ac = (−76)2 − 4 · 1 · 768 = 522 > 0: Üß³Ý³ÏáõÙ ¿ª (8) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï. −b ± √$D 76 ± 52 x1,2 = −−−−−−−− = −−−−−−−, ³ÛëÇÝùÝª x1 = 64 ¨ x2 = 12: 2a 2 î»Õ³¹ñ»Éáí x1-Á ¨ x2-Á (7) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»çª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ y1 = −80 ¨ y2 = 24: î»Õ³¹ñ»Éáí (x1, y1) ¨ (x2, y2) Ãí³½áõÛ·»ñÁ (5) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»çª ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ z1 = 100 ¨ z2 = 48£

149

²ÛëåÇëáí, (4) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙª x1 = 64, y1 = −80, z1 = 100 ¨ x2 = 12, y2 = 24, z2 = 48, µ³Ûó, Áëï »ÝÃ³¹ñáõÃÛ³Ý, y-Á »ñÏñáñ¹ ÉáõÍáõÛÃáõÙ ³Õ³ÃÃíÇ ïáÏáëÝ ¿, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ, y-Á ãÇ Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É µ³ó³ë³Ï³Ý ÃÇí£ àõëïÇ, ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ. x2 = 12, y2 = 24, z2 = 48: ä³ï³ëË³Ýª ²é³çÇÝ ÉáõÍáõÛÃÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 12% ³Õ³ÃÃáõ, »ñÏñáñ¹Áª 24% »ññáñ¹Áª 48%£

293. ³) 171-Á Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ 28 ¿£ µ) 231-Á Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³Éáí, áñáÝó ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 10 ¿£ ·) ºñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3 ¿, ÇëÏ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 65£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ ¹) îñí³Í »ñÏáõ Ãí»ñÇ ¨ ¹ñ³Ýó ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ 11 ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 294. ³) àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ 25 Ù ¿, ÇëÏ Ù³Ï»ñ»ëÁª 34 Ù2£ ¶ï»ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ£ µ) àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý å³ñ³·ÇÍÁ 10,6 ëÙ ¿, ÇëÏ Ù³Ï»ñ»ëÁª 6,72 ëÙ2£ ¶ï»ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ£ ·) àõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ 4 ¹Ù-áí Ù»Í ¿ ÙÛáõëÇó, ÇëÏ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ Ï³éáõóí³Í ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 52 ¹Ù2 ¿£ ¶ï»ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ£ ¹) Î³½Ù»ù Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ ÝÙ³Ý ËÝ¹Çñ ¨ ÉáõÍ»ù ³ÛÝ£ 295. ³) ºÃ» áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ Ù»Í³óíÇ 5 Ù-áí, ÙÛáõëÁª 4-áí, ³å³ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏÙ»Í³Ý³ 113 Ù2-áí£ ÆëÏ »Ã» ³é³çÇÝ ÏáÕÙÁ Ù»Í³óíÇ 4 Ù-áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 5-áí, ³å³ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏÙ»Í³Ý³ 116 Ù2-áí£ ¶ï»ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ£ µ) ºÃ» áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í³óíÇ 3 Ù-áí, ÇëÏ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ³óíÇ 2-áí, ³å³ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ãÇ ÷áËíÇ£ Ø³Ï»ñ»ëÁ ãÇ ÷áËíÇ Ý³¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ³óíÇ 2 Ù-áí, ÇëÏ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ ³í»É³óíÇ 3-áí£ ¶ï»ù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ£

150

296. ³) ºñÏáõ µ³Ýíáñ Ù»Ï Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ å³ïñ³ëï»óÇÝ 72 ¹»ï³É£ ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ Çñ ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³í»É³óÝÇ 15 %-áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 25 %-áí, ³å³ Ù»Ï Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ ÙÇ³ëÇÝ Ïå³ïñ³ëï»Ý 86 ¹»ï³É£ ø³ÝÇ ¹»ï³É å³ïñ³ëï»ó µ³ÝíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ù»Ï Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ£ µ) ºñÏáõ Ñ»Í³Ýíáñ¹Ý»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 50 Ù ¿£ Üñ³Ýù ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ß³ñÅíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¨ 50 íñÏ Ñ»ïá »ñÏñáñ¹ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á Ñ³ëÝáõÙ ¿ ³é³çÇÝÇÝ£ ºÃ» ³é³çÇÝ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á »ñÏñáñ¹Çó 5 íñÏ ßáõï ß³ñÅí»ñ, ³å³ »ñÏñáñ¹Ý ³é³çÇÝÇÝ ÏÑ³ëÝ»ñ ³é³çÇÝÇ ß³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó 75 íñÏ Ñ»ïá£ ì³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ù³ÝÇ± Ù»ïñ ¿ ³ÝóÝáõÙ »ñÏñáñ¹ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£

5.4 ÊÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÉáõÍáõÙ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÊÝ¹Çñ 1. ´³ÝíáñÝ»ñÇ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á ëÏë»ó Ëñ³Ù³ï ÷áñ»É£ 3 ûñ Ñ»ïá Ýñ³Ýó ÙÇ³ó³í »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á, ¨ å³Ñ³Ýçí»ó ¨ë 8 ûñí³ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï³Ýù Ëñ³Ù³ïÁ ÙÇÝã¨ í»ñç ÷áñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ ÆëÏ »Ã» Ñ³Ï³é³ÏÁª ³é³çÇÝ »ñ»ù ûñÝ ³ßË³ï»ñ ÙÇ³ÛÝ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á, ³å³ ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»Éáõ Ñ³Ù³ñ »ñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñÇÝ Ïå³Ñ³Ýçí»ñ ¨ë 9 ûñ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µñÇ·³¹, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, áñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ Ï³í³ñï»ñ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ ÈáõÍáõÙ£ ¸Çóáõù, ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É x ûñáõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª y ûñáõÙ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ 1 ûñáõÙ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á 1 1 Ï³ï³ñáõÙ ¿ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ −− Ù³ëÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª −−£ x y ²é³çÇÝ ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á 11 ûñáõÙ Ï³ï³ñáõÙ ¿ ³ÙµáÕç ³ßË³1 1 ï³ÝùÇ 11 · −− Ù³ëÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á 8 ûñáõÙª 8 · −− Ù³ëÁ£ ø³ÝÇ áñ ÙÇ³ëÇÝ x y Ýñ³Ýù Ï³ï³ñ»É »Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, ³å³ 1 1 11 · −− + 8 · −− = 1£ (1) x y ºñÏñáñ¹ ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á Ï³ßË³ï»ñ 9 ûñ ¨ ÏÏ³ï³ñ»ñ ³Ù1 µáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ 9 · −− Ù³ëÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 12 ûñ ¨ ÏÏ³ï³ñ»ñ ³ÙµáÕç x 1 ³ßË³ï³ÝùÇ 2 · −− Ù³ëÁ£ Ð³Ù³ï»Õ Ýñ³Ýù ÏÏ³ï³ñ»ÇÝ ³ÙµáÕç ³ßË³y ï³ÝùÁ, ³ÛëÇÝùÝª

151

1 1 9 · −− + 12 · −− = 1£ x y

(2)

²ÛëåÇëáí, áñáÝ»ÉÇ x ¨ y Ãí»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1) ¨ (2) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇª

{

1 1 11 · −− + 8 · −− = 1 x y 1 1 9 · −− + 12 · −− = 1, x y

(3)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ²Ûë Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßïáõÃÛáõÝ ãÏ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ µ»ñ»É ³ÛÝåÇëÇ ï»ëùÇ, áñï»Õ Ó³Ë Ù³ëáõÙ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ¿, ³ç Ù³ëáõÙª ½ñá£ îíÛ³É ¹»åùáõÙ ¹³ ÙÇ³ÛÝ Ïµ³ñ¹³óÝÇ 1 1 ËÝ¹ñÇ ÉáõÍáõÙÁ£ ²Ûëï»Õ Ñ³ñÙ³ñ ¿ −− -Á ¨ −− -Á ¹Çï³ñÏ»É áñå»ë Ýáñ ÷á÷áx y ËáõÃÛáõÝÝ»ñ£ 1 1 (3) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»Ýù áñå»ë −− ¨ −− »ñÏáõ ³ÝÑ³ÛïÝ»ñáí ·Í³ÛÇÝ Ñ³í³x y 1 ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·£ (3)-Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó −− -Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù y 1 −− -áíª x 1 1 11 1 −− = −− − −−− · −−, (4) y 8 8 x 1 11 1 ¨ (−− − −−− · −−) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù (3) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ 8 8 x 1 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç −− -Ç ÷áË³ñ»Ý£ y Îëï³Ý³Ýù 1 1 11 1 9 · −− + 12 · (−− − −−− · −−) = 1 x 8 8 x 1 1 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»ÕÇó −− = −−−£ î»Õ³¹ñ»Éáí (4) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ù»ç x 15 1 1 1 1 −− -Ç ÷áË³ñ»Ý −−−, ·ïÝáõÙ »Ýù, áñ −− = −−−£ ²ÛÅÙ å³ñ½ ¿, áñ x = 15, ÇëÏ x 15 y 30 y = 30£ ä³ï³ëË³Ýª ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ ÏÏ³ï³ñ»ñ 15 ûñáõÙ, »ñÏñáñ¹Áª 30£

152

1 1 ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ÊÝ¹Çñ 1-Á ÉáõÍ»ÉÇë Ýßí»ó, áñ −− -Á ¨ −− -Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ¹Çï³ñx y Ï»É áñå»ë Ýáñ ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñ£ Ð³ñÙ³ñ ¿ ¹ñ³Ýù Ýß³Ý³Ï»É Ýáñ ï³é»ñáíª 1 1 u = −− ¨ υ = −−, ¨ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»É u-Ç ¨ υ-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ·ïÝ»É x y x-Á ¨ y-Á£ Î³ñ»ÉÇ ¿ñ Ý³¨ Ñ»Ýó ³Ù»Ý³ëÏ½µÇó u ¨ υ-áí Ýß³Ý³Ï»É ³ßË³ï³ÝùÇ ³ÛÝ Ù³ëÁ, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ï³ï³ñáõÙ ¿ µñÇ·³¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ù»Ï ûñáõÙ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëù ÏáõÝ»Ý³ñ£ ÊÝ¹Çñ 2£ ºñÏáõ Ï»ï»ñ ß³ñÅíáõÙ »Ý ßñç³Ý³·Íáí ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ£ Þñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 24 Ù ¿£ ²é³çÇÝ Ï»ïÁ Ù»Ï ÉñÇí åïáõÛïÁ Ï³ï³ñáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹Çó 9 ñáå»áí ßáõï ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ 4 ñáå»Ý Ù»Ï Ñ³ëÝáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ÇÝ£ ¶ï»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ ÈáõÍáõÙ£ ¸Çóáõù, ³é³çÇÝ Ï»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ x Ù/ñ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁª y Ù/ñ£ 24 ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³é³çÇÝ Ï»ïÁ ÉñÇí åïáõÛïÁ ÏÏ³ï³ñÇ −−− ñ-áõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª x 24 −−−£ ø³ÝÇ áñ ³é³çÇÝ Ï»ïÁ ³ÙµáÕç ßñç³Ý³·ÇÍÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ 9 ñ-áí »ñÏñáñy ¹Çó ßáõï, ³å³ 24 24 −−− = −−− + 9: (5) y x ÊÝ¹ñÇ »ñÏñáñ¹ å³ÛÙ³ÝÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ 4 ñ-áõÙ ³é³çÇÝ Ï»ïÁ 24 Ù-áí ³í»ÉÇ ¿ ³ÝóÝáõÙ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á. 4x = 4y + 24:

(6)

Ð»ï¨³µ³ñ, x-Ç ¨ y-Ç áñáÝ»ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (5) ¨ (6) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ

{

24 24 −−− = −−− + 9 y x 4x = 4y + 24

(7)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (7) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó x-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù y-áíª x = y + 6, (8) ¨ (y + 6) ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ï»Õ³¹ñ»Ýù (7) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x-Ç ÷áË³ñ»Ý£ Îëï³Ý³Ýù

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

24 24 −−− = −−−−− + 9 y y+6

(9)

153

(9) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»Ýù Ó³Ë ÏáÕÙ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Çñ³ñÇó Ñ³Ý»Ýù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ£ Îëï³Ý³Ýù (9)-ÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù −9y2 − 54y + 144 −−−−−−−−−−−−−−− = 0 y(y + 6)

(10)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù −9y2 − 54y + 144 = 0 Ï³Ù ¹ñ³Ý Ñ³Ù³ñÅ»ù y2 + 6y − 16 = 0

(11)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ (11) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª y1 = 2 ¨ y2 = −8£ ø³ÝÇ áñ y1 ¨ y2 Ãí»ñÁ (10) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ½ñá ã»Ý ¹³ñÓÝáõÙ, ³å³ ¹ñ³Ýù ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý£ î»Õ³¹ñ»Éáí y1-Á ¨ y2-Á (8) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ù»çª Ïëï³Ý³Ýù x2 = −2 ¨ x1 = 8£ ²ÛëåÇëáí, (7) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙ. x1 = 8, y1 = 2 ¨ x2 = −2, y2 = −8£ x ¨ y ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý, áõëïÇ, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ ÉáõÍáõÙÁ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ£ ä³ï³ëË³Ýª ²é³çÇÝ Ï»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 8 Ù/ñ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁª 2 Ù/ñ£ ÊÝ¹Çñ 3£ àñáß³ÏÇ ³ßË³ï³Ýù Ï³ï³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ »ñ»ù µ³ÝíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ áñáß³ÏÇ Å³Ù³Ý³Ï, ÁÝ¹ áñáõÙª »ññáñ¹ µ³ÝíáñÁ 1 Å-áí ß³ï ¿ Ï³ï³ñáõÙ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, ù³Ý ³é³çÇÝÁ£ Ð³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáíª Ýñ³Ýù ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ï³ñáõÙ »Ý 1 Å-áõÙ£ ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ßË³ïÇ 1 Å ¨ ¹³¹³ñ»óÝÇ ³ßË³ï³ÝùÁ, ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÝ ³ßË³ïÇ 4 Å³Ù, ³å³ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ ÏÏ³ï³ñíÇ£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ µ³Ýíáñ 0-Çó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏÏ³ï³ñÇ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ ÈáõÍáõÙ£ ¸Çóáõù, ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ ÏÏ³ï³ñÇ x Å-áõÙ, »ñÏñáñ¹Áª y, »ññáñ¹Áª z£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ 1 Å-áõÙ ³é³çÇÝÁ ÏÏ³ï³ñÇ 1 1 1 ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ −− Ù³ëÁ, »ñÏñáñ¹Áª −−, »ññáñ¹Áª −−£ x y z Ð³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáíª 1 Å-áõÙ Ýñ³Ýù ÏÏ³ï³ñ»Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ 1 1 (−−1x + −− + −−) Ù³ëÁ£ ´³Ûó, Áëï ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇ, 1 Å-áõÙ Ýñ³Ýù Ï³ï³ñáõÙ »Ý y z ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, Ñ»ï¨³µ³ñª 1 1 1 −− + −− + −− = 1£ x y z

154

(12)

ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ßË³ïÇ 1 Å³Ù, »ñÏñáñ¹Áª 4 Å³Ù, ³å³ ÙÇ³ëÇÝ 1 1 Ýñ³Ýù ÏÏ³ï³ñ»Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ (−− + 4 · −−) Ù³ëÁ£ Àëï ËÝ¹ñÇ å³Ûx y Ù³ÝÇª Ýñ³Ýù Ï³ï³ñáõÙ »Ý ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, Ñ»ï¨³µ³ñª 1 1 −− + 4 · −− = 1£ (13) x y ø³ÝÇ áñ »ññáñ¹ µ³ÝíáñÝ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ 1 Å-áí ³ñ³· ¿ Ï³ï³ñáõÙ, ù³Ý ³é³çÇÝÁ, ³å³ x = z + 1£ (14) ²ÛëåÇëáí, áñáÝ»ÉÇ x, y ¨ z Ãí»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (12), (13) ¨ (14) Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ£ Ð»ï¨³µ³ñ, ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É »ñ»ù ³ÝÑ³Ûïáí »ñ»ù é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ 1 1 1 −− + −− + −− = 1 x y z 1 1 −− + 4 · −− = 1 (15) x y x=z+1 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (15) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ññáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó z-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x-áíª z = x − 1, (16) 1 (15) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó −− -Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x-áíª y 1 1 1 (17) −− = −− · (1 − −−)£ y 4 x 1 (15)-Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç z-Ç ÷áË³ñ»Ý ï»Õ³¹ñ»Éáí (x − 1) ¨ −− -Ç y 1 1 ÷áË³ñ»Ýª −− · (1 − −−), Ïëï³Ý³Ýù 4 x

{

1 1 1 1 (18) −− + −− · (1 − −−) + −−−−− = 1 x 4 x x−1 é³óÇáÝ³É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ´áÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»Éáí Ó³Ë Ù³ë ¨ ·áõÙ³ñ»Éáí Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁª Ïëï³Ý³Ýù (18)-ÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù 3x2 − 10x + 3 −−−−−−−−−−−− = 0 4x(x − 1)

(19)

Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÅÙ ÉáõÍ»Ýù 3x2 − 10x + 3 = 0

(20)

1 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ áõÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïª x1 = 3, x2 = −−£ 3

155

ø³ÝÇ áñ x1-Á ¨ x2-Á (19) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ó³Ë Ù³ëÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ½ñá ã»Ý ¹³ñÓÝáõÙ, ³å³ x1-Á ¨ x2-Á (19) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ »Ý£ î»Õ³¹ñ»Éáí 2 x1-Á ¨ x2-Á (16) ¨ (17-Ç) Ù»çª ·ïÝáõÙ »Ýù y1 = 6, y2 = −2, z1 = 2, z2 = −−£ 3 1 Ð»ï¨³µ³ñ (15) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙª x1 = 3, y1 = 6, z1 = 2 ¨ x2 = −−, 3 2 z2 = −2, z2 = − −−£ 3 ø³ÝÇ áñ x, y ¨ z-Á ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ï³ñ»Éáõ Å³Ù³ù³Ý³ÏÝ»ñÝ »Ý, ³å³ ¹ñ³Ýù µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñ ã»Ý Ï³ñáÕ ÉÇÝ»É£ àõëïÇ, ËÝ¹ñÇ å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ x1 = 3, y1 = 6, z1 = 2 ÉáõÍáõÙÁ£ ä³ï³ëË³Ýª ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 3 Å-áõÙ, »ñÏñáñ¹Áª 6, »ññáñ¹Áª 2£

297. ³) ºÃ» ³é³çÇÝ ÃíÇ ù³é³ÏáõëáõÝ ·áõÙ³ñ»Ýù »ñÏñáñ¹ ÃíÇ ÏñÏÝ³å³ïÇÏÁ, Ïëï³óíÇ (−7), ÇëÏ »Ã» ³é³çÇÝ ÃíÇó Ñ³Ý»Ýù »ñÏñáñ¹Áª 11£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ µ) ¶ï»ù »ñÏáõ ÃÇí, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 8 £ 1, ÇëÏ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 128 ¿£ ø³ÝÇ± ÉáõÍáõÙ áõÝÇ ËÝ¹ÇñÁ£ 298. ³) ¶ï»ù »ñÏÝÇß ÃÇí, áñÇ ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÁ 2-áí Ù»Í ¿ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÇó, ÇëÏ ³Û¹ ÃíÇ ¨ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 640 ¿£ µ) ¶ï»ù »ñÏÝÇß ÃÇí, áñÇ ÙÇ³íáñÝ»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÁ 2-áí Ù»Í ¿ ï³ëÝ³íáñÝ»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÇó, ÇëÏ ³Û¹ ÃíÇ ¨ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 144 ¿£ 299. ³) ºÃ» »ñÏÝÇß ÃÇíÁ µ³Å³Ý»Ýù ¹ñ³ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ íñ³, ³å³ ù³Ýáñ¹áõÙ Ïëï³óíÇ 2, ÙÝ³óáñ¹áõÙª 5£ ºÃ» ³Û¹ ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»Ýù ¨ ëï³óí³Í »ñÏÝÇß ÃÇíÁ µ³Å³Ý»Ýù ¹ñ³ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ íñ³, ³å³ ù³Ýáñ¹áõÙ Ïëï³óíÇ 7, ÙÝ³óáñ¹áõÙª 3£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ µ) ºñÏÝÇß ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 9 ¿£ ²Û¹ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 41 ¿£ ºÃ» ³Û¹ ÃíÇó Ñ³Ý»Ýù 9-Á, ³å³ Ïëï³óíÇ ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, µ³Ûó Ñ³Ï³é³Ï Ï³ñ·áí ·ñí³Í ÃÇí£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£

156

·) ºñÏÝÇß ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 25 ¿, ÇëÏ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª 12£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ ¹) Î³½Ù»ù ³) - ·) ËÝ¹ÇñÝ»ñÇ ÝÙ³Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñ£ 300. ³) ºñÏáõ µ³Ýíáñ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñïáõÙ »Ý 8 Å-áõÙ£ ²é³çÇÝÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ ³í³ñï»É 12 Å ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ï³í³ñïÇ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ µ) ºñÏáõ µ³Ýíáñ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»óÇÝ 5 ûñáõÙ£ ºÃ» ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÝ ³ßË³ï»ñ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³ñ³·, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª »ñÏáõ ³Ý·³Ù ¹³Ý¹³Õ, ³å³ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ ÏÏ³ï³ñ»ÇÝ 4 ûñáõÙ£ ø³ÝÇ± ûñáõÙ Ï³ñáÕ ¿ ³Û¹ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ï³ñ»É ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ£ 301. ³) ºñÏáõ áñÙÝ³¹Çñ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí Ï³ñáÕ »Ý Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ 4,8 ûñáõÙ£ ºñÏñáñ¹ áñÙÝ³¹ÇñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, 4 ûñáí ßáõï Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, ù³Ý ³é³çÇÝÁ£ Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ù³ÝÇ± ûñáõÙ ÏÏ³ï³ñÇ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ µ) ´»ñù³Ñ³í³ùÇÝ »ñÏáõ ÏáÙµ³ÛÝ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»óÇÝ 3 ûñ£ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ³ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñï»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³é³çÇÝ ÏáÙµ³ÛÝÝ ³ßË³ï»ó ¨ë 4,5 ûñ£ ÎáÙµ³ÛÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ù³ÝÇ± ûñáõÙ Ï³í³ñïÇ µ»ñù³Ñ³í³ùÁ, »Ã» ³é³çÇÝÇÝ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ Ïå³Ñ³Ýçí»ñ 2 ûñ ùÇã Å³Ù³Ý³Ï, ù³Ý »ñÏñáñ¹ÇÝ£ 302. ³) Ø»Ï ¹»ï³ÉÇ Ùß³ÏÙ³Ý íñ³ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ Í³ËëáõÙ ¿ 6 ñáå»Çó ùÇã Å³Ù³Ý³Ï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ´³ÝíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ù³ÝÇ± ¹»ï³É ÏÙß³ÏÇ 5 Å-áõÙ, »Ã» ³é³çÇÝÝ ³Û¹ Å³Ù³Ý³Ï³ÙÇçáóáõÙ Ùß³ÏáõÙ ¿ 25 ¹»ï³É ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ µ) î³ñµ»ñ Ñ½áñáõÃÛ³Ùµ »ñÏáõ ïñ³ÏïáñÝ»ñ ÙÇ³ëÇÝ »ñÏáõ ûñáõÙ 1 í³ñ»óÇÝ ¹³ßïÇ −− Ù³ëÁ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïñ³Ïïáñ ³é³ÝÓÇÝ 3 ù³ÝÇ± ûñáõÙ Ïí³ñÇ ³ÙµáÕç ¹³ßïÁ, »Ã» ³é³çÇÝÇÝ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ Ïå³Ñ³Ýçí»ñ 5 ûñ ùÇã, ù³Ý »ñÏñáñ¹ÇÝ£ 303. ³) î³ñµ»ñ Ñ½áñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ ïñ³ÏïáñÝ»ñ Ñ³Ù³ï»Õ ¹³ßïÁ Ï³ñáÕ »Ý í³ñ»É 9 Å-áõÙ£ ºÃ» ÙÇ³ÛÝ ³é³çÇÝ ïñ³ÏïáñÝ ³ßË³ï»ñ 1,2 Å, ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ »ñÏñáñ¹Áª 2 Å³Ù, ³å³ Ïí³ñí»ñ ¹³ßïÇ

157

ÙÇ³ÛÝ 20%-Á£ ø³ÝÇ± Å³Ù Ïå³Ñ³ÝçíÇ ïñ³ÏïáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇÝ ³ÙµáÕç ¹³ßïÁ í³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ µ) ºñÏáõ Í»÷³·áñÍÝ»ñÇ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï³Ýù ³í³ñï»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 12 Å³Ù£ ºÃ» ëÏ½µáõÙ ³ßË³ï³ÝùÇ Ï»ëÁ ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ, ÇëÏ ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÙÝ³ó³Í ÙÛáõëÁ, ³å³ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³í³ñïíÇ 25 Å-áõÙ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Í»÷³·áñÍ, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ù³ÝÇ± Å-áõÙ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£ 304. ³) Ø»ù»Ý³·ñáõÑÇÝ Ñ³ßí³ñÏ»ó, áñ »Ã» Ý³ ûñ³Ï³Ý 2 ¿ç ³í»ÉÇ ïåÇ Ý³Ë³ï»ëí³Í ÝáñÙ³ÛÇó, ³å³ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³í³ñïÇ 3 ûñ ßáõï, ù³Ý Ý³Ë³ï»ëí³Í ¿ñ£ ÆëÏ »Ã» Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 4 ¿ç ³í»ÉÇ ïåÇ, ³å³ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³í³ñïÇ 5 ûñ ßáõï£ ø³ÝÇ± ¿ç å»ïù ¿ ïå³·ñ»ñ Ù»ù»Ý³·ñáõÑÇÝ ¨ áñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ£ µ) ºñÏáõ Ý»ñÏ³ñ³ñ Ï³ñáÕ »Ý ëñ³ÑÇ å³ï»ñÁ Ý»ñÏ»É 60 Å-áõÙ£ Üñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ³é³ÝÓÇÝ ù³ÝÇ± Å-áõÙ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÇÝ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ Ïå³Ñ³ÝçíÇ 22 Å ³í»ÉÇ, ù³Ý ÙÛáõëÇÝ£

5.5* Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí n(n ≥ 1)-³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, ûñÇÝ³Ïª 2x + 3y = 6, xy − 2y + x = 3, x2 − 4xy + 4y2 = 1£ ºÃ» ËÝ¹Çñ ¿ ¹ñí³Í ·ïÝ»É ³ÛÝåÇëÇ x0 ¨ y0 ³ÙµáÕç Ãí»ñ, áñ (x0; y0) Ãí³½áõÛ·Á ÉÇÝÇ ïñí³Í Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ, ³å³ ³Û¹åÇëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¹Çáý³ÝïÛ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ y ¨ ³ëáõÙ, áñ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ£ ²Û¹å»ë ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ç å³ïÇí ÑáõÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë ¸Çáý³ÝïÇ (Ù.Ã.³. III ¹.), áñÁ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÉáõÍáõÙ ¿ñ ³ÙµáÕç Ãí»1 ñáí£ ºñµ»ÙÝ, ËÝ¹ñÇ µáí³Ý¹³ÏáõÃÛáõÝÇó »ÉÝ»Éáí, Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ ÉáõÍáõÙ »Ý µÝ³x 3 1 Ï³Ý Ãí»ñáí£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ¹Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ÙÇ ù³ÝÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ ÜÏ. 8

158

úðÆÜ²Î 1. ÈáõÍ»Ýù 2x + 3y = 6

(1)

·Í³ÛÇÝ ¹Çáý³ÝïÛ³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»Ýù x-áíª 2 y = 2 − −− x: 3

(2)

êï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÇó å³ñ½ ¿, áñ y-Á ÏÉÇÝÇ ³ÙµáÕç ÃÇí ÙÇ³ÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ x ³ÙµáÕç ÃÇíÁ µ³Å³ÝíÇ 3-Ç, ³ÛëÇÝùÝª x = 3x1, áñï»Õ x1-Á ³ÙµáÕç ÃÇí ¿£ ²Û¹ ¹»åùáõÙª y = 2 − 2x1: ²ÛëåÇëáí, (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙÝ»ñ »Ý µáÉáñ (3x1; 2 − 2x1) Ãí³½áõÛ·»ñÁ, áñï»Õ x1-Á ó³ÝÏ³ó³Í ³ÙµáÕç ÃÇí ¿£ Üß»Ýù ³Ûë Ñ³í³ë³ñÙ³Ý áñáß Ù³ëÝ³ÏÇ ÉáõÍáõÙÝ»ñ£ x1 = 0 ¹»åùáõÙ áõÝ»Ýù x = 3x1 = 0, ¨ y = 2 − 2x1 = 2 ¨ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ (0; 2) Ãí³½áõÛ·Á£ x1 = 1 ¹»åùáõÙª x = 3x1 = 3 ¨ y = 2 − 2x1 = 0, áõëïÇ, (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙ ¿ (3; 0) Ãí³½áõÛ·Á ¨ ³ÛÉÝ (ÝÏ. 8)£ úðÆÜ²Î 2. ¶ïÝ»É xy − 2y + x = 3

(1)

Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ£ ÈáõÍáõÙ£ Î³ï³ñ»Ýù Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñª xy + x − 2y − 2 = 1, x(y + 1) − 2(y + 1) = 1, (y + 1)(x − 2) = 1£ ø³ÝÇ áñ x-Á ¨ y-Á ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý, ³å³ y + 1 ¨ x − 2 ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 1-Ç ÙÇ³ÛÝ »ñÏáõ ¹»åùáõÙ.

{xy −+ 21 == 11

Ï³Ù

−1 {xy −+ 21 == −1£

²é³çÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ ¿ (3; 0) Ãí³½áõÛ·Á, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Çª (1; −2)£ ²ÛÉ ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñ (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 3. ²å³óáõó»ù, áñ x2 − 4x + y2 + 2y = −5 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ù»Ï ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙ£

159

ÈáõÍáõÙ£ Ò¨³÷áË»Ýù Ó³Ë Ù³ëÁ. x2 − 4x + 4 − 4 + y2 + 2y + 1 − 1 = − 5 (x − 2)2 + (y + 1)2 = 0£ ²ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ í»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙÁ x = 2, y = −1 Ãí³½áõÛ·Ý ¿£

305. ¶ï»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ. ³) xy + 5x − 3y = 18; µ) xy − 6x − y + 1 = 0; ¹) x2 + y2 − 10x + 2y + 22 = 0: ·) x2 − 4y2 = 5; 306. ³) ²å³óáõó»ù, áñ x2 − 6x + y2 + 4y + 13 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙ£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ x2 − 6x + y2 + 4y + 14 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ ·) ²å³óáõó»ù, áñ x2 − 4x + y2 + 4y + 8 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ÙµáÕç Ãí»ñáí áõÝÇ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ£ ¹) ²å³óáõó»ù, áñ x2 − 4x + y2 + 4y + 9 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ 307. ¶ï»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç³ÃÇí ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ. ³) x(x + y) = 3; µ) x2 + 3xy = 2; ¹) x2 − 4y2 = 5; ·) x2 + y2 − 4x − 6y + 12 = 0; ½) x2 + y2 − 10x + 2y + 22 = 0; ») x2 − 4xy + 3y2 = −1; ¿) x(x + y) = 7; Á) x(x − 3y) = 2; Ã) (x + 2y)(2x − y) = − 2; Å) xy − 2y + x = 3; É) 9x2 + 16y2 = 25: Ç) 4x2 − y2 = 15; 308. ³) x2 + y2 − 2x + 4y = −5; ·) xy + 4x − 2y − 11 = 0;

µ) 4x2 + y2 − 4x + 6y = −5; ¹) xy − 2x − 3y + 1 = 0£

5.6 ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³ÏÁ ÆÝãå»ë ³é³çÇÝ ³ëïÇ×³ÝÇ »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ, ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí£

160

úðÆÜ²Î 1. ¶ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»Ýù

{xx −−y2x− =3 =y +0 3

(1)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ²Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÉáõÍ»Éáí y-Ç ÝÏ³ïÙ³Ùµª Ïëï³Ý³Ýù

{yy == xx −−3,2x − 3 2

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ØÇ¨ÝáõÛÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ï³éáõó»Ýù y = x − 3 áõÕÇÕÁ ¨ y = x2 − 2x − 3 å³ñ³µáÉÁ (ÝÏ. 99)£

y=x 3

x 3 0 y 0 3 2

y=x

y=x 3

2x 3

x0 = 2 = 1 2 x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 30

y=x

2x 3

ÜÏ. 99 ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ (x0-Ý å³ñ³µáÉÇ ·³·³ÃÇ ³µëóÇëÝ ¿)£ ÆÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿ ÝÏ. 99-Çó, áõÕÇÕÁ ¨ å³ñ³µáÉÁ Ñ³ïíáõÙ »Ý »ñÏáõ Ï»ïáõÙª (0; −3) ¨ (3; 0)£ Ð»Ýó ³Û¹ Ãí³½áõÛ·»ñÁ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¹³ñÓÝáõÙ »Ý ×Çßï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ, Ñ»ï¨³µ³ñ, Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ (0; 3) ¨ (3; 0) Ãí³½áõÛ·»ñÝ »Ý£ ²ÛÉ ÉáõÍáõÙÝ»ñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ãáõÝÇ£ úðÆÜ²Î 2. ¶ñ³ýÇÏáñ»Ý ÉáõÍ»Ýù + 8x + 7, {yy == 2x − x − 2x + 4 2

(2)

Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ ØÇ¨ÝáõÛÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ï³éáõó»Ýù y = 2x2 + 8x + 7 ¨ y = −x2 − 2x + 4 (ÝÏ. 100) å³ñ³µáÉÝ»ñÁ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ£

161

ä³ñ³µáÉÝ»ñÁ Ñ³ïíáõÙ »Ý »ñÏáõ Ï»ïáõÙ, áõëïÇ, (2) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñÏáõ ÉáõÍáõÙ£ î»Õ³¹ñ»Éáíª Ñ»ßï ¿ Ñ³Ùá½í»É, áñ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç (−3; 1) ÉáõÍáõÙÁ ×ß·ñÇï ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª (−0,3; 4,5)-Áª Ùáï³íáñ£

y = 2x + 8x + 7 y 2

y = 2x + 8x + 7

x0 = 8 = 2 4 x 4 3 2 1 0 y 7 1 1 1 7 2

y= x

2x + 4

x0 = 2 = 1 2 x 3 2 1 0 1 y 1 4 5 4 1

1 4

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ºÃ» å³Ñ³ÝçíÇ ·ïÝ»É ×ß·ñÇï y = x 2x + 4 ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ, ³å³ ³ÝÜÏ. 100 Ññ³Å»ßï ¿ ÉáõÍ»É 2x2 + 8x + 7 = −x2 − 2x + 4 1 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª x1 = − 3, x2 = − −−, ¨ ·ïÝ»É ¹ñ³Ýó Ñ³Ù³3 5 å³ï³ëË³ÝáÕ y-Ç ³ñÅ»ùÝ»ñÁª y1 = 1,7 2 = 4 −−£ ²ÛÅÙ »ñÏñáñ¹ ÉáõÍáõÙÁ ÝáõÛÝ9 1 5 å»ë Ï³ñ»ÉÇ ¿ ×ß·ñÇï ·ñ»Éª (− −−; 4 −−)£ 3 9 2

úñÇÝ³Ï 3. ¶ñ³ýÇÏáñ»Ý ÉáõÍ»Ýù

{yx =+xy 2

(3)

Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ (3) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ O(0; 0) Ï»ÝïñáÝáí ¨ √$2 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£ ²ÛÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ Ý³¨ (1; y x + y = 2 - Ñ³í³ë³ñáõÙÁ 2 1) Ï»ïáí£ (3) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç y = x O(0; 0) Ï»ÝïñáÝáí ¨ »ñÏ ñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ å³R = 2 ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿ ñ³µáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ ¿£ Þñç³Ý³·ÇÍÁ ¨ å³ñ³µáÉÁ 1 Ñ³ïíáõÙ »Ý »ñÏáõ Ï»ïáõÙª (1; 1) ¨ (−1; 1) (ÝÏ. 101)£ 2 y=x 1 2x 1 (3) Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ »ñx 2 1 0 1 2 Ïáõ ÉáõÍáõÙª (1; 1) ¨ (−1; 1)£ y 4 1 0 1 4 ¸Åí³ñ ã¿ Ñ³Ùá½í»É ï»x +y =2 Õ³¹ñáõÙáíª »ñÏáõ ÉáõÍáõÙÜÏ. 101 Ý»ñÝ ¿É ×Çßï »Ý ·ïÝí³Í£ 2

162

309°. ³) ÆÝãå»±ë ·ñ³ýÇÏáñ»Ý ÉáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á£ µ) ²ñ¹Ûáù ÙÇ±ßï ¿ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³ÏÁ ï³ÉÇë ×ß·ñÇï ÉáõÍáõÙÝ»ñ£ ·) ÆÝãå»ë ëïáõ·»É ëï³óí³Í ÉáõÍáõÙÁ ×ß·ñÇ±ï ¿, Ã»± Ùáï³íáñ£ 310. ¶ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»ù Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. y = 3, x = 2, µ) { ³) { y + 6 = x2; x2 = 3 + y; y = x2 − 2x, y = x2 − 2x + 2, ¹) { ·) { y = 2x − 3; y = x + 2; ») {

y = x2 − 2x + 1, y = −x2 + 4x + 1;

½) {

y = −x2 + 4x + 1, y = x2 + 1:

311. ø³ÝÇ± ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. (x − 2)2 + (y − 3)2 = 9, y = x2, { ³) { µ) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4; y − x = 4;

{

1 y = −−, x ·) y = 0,5x − 0,5; »)

{

y = x2 − 6x + 10, x2 − 4x + y2 − 2y = 20;

{

1 y = −−, ¹) x y = −2x + 2;

{

8 y = −−, ½) x y + 1 = x2:

5.7 Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý ÉáõÍÙ³Ý ûñÇÝ³ÏÝ»ñ úñÇÝ³Ï 1. ¶ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»Ýù (1) x2 = −2x + 3 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ àñå»ë½Ç ·ïÝ»Ýù x-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ (1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ï³éáõó»Ýù y = 2x ¨ y = −2x + 3 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýù ¹ñ³Ýó ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ (ÝÏ. 102)£ ÜÏ. 102-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í y = x2 å³ñ³µáÉÁ ¨ y = −2x + 3 áõÕÇÕÁ Ñ³ïíáõÙ »Ý (1; 1) ¨ (−3; 9) Ï»ï»ñáõÙ, x = 1 ¨ x = −3 ¹»åùáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ áõÝ»Ý ÝáõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝª ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ x2 = −2x + 3

163

Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ¸³ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿, áñ 1 ¨ −3 Ãí»ñÁ (1) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ»ñÝ »Ý£ y=

2x + 3

y=x

x 0 1 2 3 y 0 1 4 9 y=

y=x

2x + 3

x 0 2 y 3 1

1 3 2

1 2 3 x

ÜÏ. 102 Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÉáõÍÙ³Ý ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³ÏÁ ï³ÉÇë ¿ ÙÇ³ÛÝ Ùï³íáñ ³ñÙ³ïÝ»ñ£ ²å³óáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ, áñ ·ïÝí³Í ³ñÙ³ïÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÁ ×ß·ñÇï ¿, å»ïù ¿ ³Û¹ ÃÇíÁ ï»Õ³¹ñ»É ÉáõÍíáÕ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç ¨ ëïáõ·»Éª ëï³óíá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ×ß·ñÇï Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝ£ úñÇÝ³Ï 1-áõÙ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ×ß·ñÇï »Ý ·ïÝí³Í, ù³ÝÇ áñ 12 = − 2 · 1 + 3, (−3)2 = 2 (−3) + 3 (1) Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ÉáõÍ»É ³é³Ýó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇª Ó¨³÷áË»Éáí ³ÛÝ x2 + 2x − 3 = 0 ï»ëùÇ£ úñÇÝ³Ï 2. ¶ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»Ýù 1 x2 + 2x − 2 = −− x Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ØÇ¨ÝáõÛÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ï³éáõó»Ýù

(2)

1 y = x2 + 2x − 2 ¨ y = −− x ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ¸ñ³Ýù Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ï³½Ù»Ýù ¹ñ³Ýó ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÁ (ÝÏ. 103)£

164

1 y = x2 + 2x − 2 å³ñ³µáÉÁ ¨ y = −− ÑÇå»ñµáÉÁ Ñ³ïíáõÙ »Ý (1; 1), (−0,4; −2,5) x ¨ (−2,6; −0,5) Ï»ï»ñáõÙ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ïÝí³Í »Ý ÝÏ³ñÇó£ ²Û¹ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÁ (2) Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï1 Ý»ñÝ »Ý. x1 = 1-Á ×ß·ñÇï ³ñÙ³ï ¿, áñáíÑ»ï¨ 12 + 2 · 1 − 2 = −−, ÇëÏ −0,4-Á 4 ¨ −2,6-Áª Ùáï³íáñ£ 2

y = x + 2x 2 y= b = 2 = 1 2a 2

y = x + 2x

2 y

y = 2x 1

x 3 2 10 1 y 1 2 3 21 1 x

1 x

2 1 2 3

x 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 y 1 22 1 2 2

1 x

2 x

1 2

ÜÏ. 103

ÜÏ. 104

1 312. ÜÏ. 104-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y = −− ¨ y = 2x − 1 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ x ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ³) Üß»ù x-Ç ÙÇ ù³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ »Ý Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³ñÅ»ùÝ»ñ£ 1 µ) Üß»ù −− = 2x − 1 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý x ³ñÙ³ïÝ»ñÁ£ ¶ïÝí³Í ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ×ß·ñÇ±ï »Ý, Ã»± Ùáï³íáñ£ ¶ñ³ýÇÏ³Ï³Ý »Õ³Ý³Ïáí ÉáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (313-314)£ 313. ³) x2 = x + 2; ¹) 2x2 = −x + 3; 1 314. ³) −− = 2x + 1; x

µ) x2 = 3x − 2; ») 3x2 = −x + 4;

·) 2x2 = 3x + 2; ½) 3x2 = x + 2£

1 µ) −− = −x + 2£ x

165

315. ¶ñ³ýÇÏÝ»ñÇ ÙÇçáóáí å³ñ½»ù` ù³ÝÇ± ³ñÙ³ï áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. µ) 2x2 = 3x + 5; ³) x2 = x − 1; 1 ¹) −− = −x + 2: ·) 3x2 = x + 7; x 316. ¶ñ³ýÇÏÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ÉáõÍ»ù ax2 = −bx − c Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ¶ï»ù a, b ¨ c-Ý` û·ï³·áñÍ»Éáí ·ñ³ýÇÏáõÙ Ýßí³Í ïíÛ³ÉÝ»ñÁ (ÝÏ. 105). 2

y = ax 2

y = ax

y = bx c

y = bx c 1

³)

µ) ÜÏ. 105

ä³ï Ù³ Ï³Ý ³Ï Ý³ñÏ ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý ¹»é¨ë ÑÇÝ µ³µ»ÉáÝÛ³Ý ï»ùëï»ñáõÙ£ ²Ñ³, ûñÇÝ³Ï, ³Û¹åÇëÇ ËÝ¹Çñ. 255 ºñÏáõ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ ·áõÙ³ñ»Éáíª ëï³ó³ −−−−£ ºñÏñáñ¹ 12 2 ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ³é³çÇÝ ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇ −− -ÇÝª ³í»É³óñ³Í 3 5£ ¶ï»ù ÏáÕÙ»ñÁ£ ÊÝ¹ÇñÁ µ»ñíáõÙ ¿ 5 x2 + y2 = 25 −−−, 12 2 y = −− x + 5 3

{

Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³ÝÁ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍÙ³Ý Ù»Ï ûñÇÝ³Ï ¸Çáý³ÝïÇ §Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-Çó£ {xx2++yy=2 =1068£

166

²Ûëï»Õ ÝáõÛÝå»ë ¸Çáý³ÝïÁ ÑÝ³ñ³Ùïáñ»Ý Ëáõë³÷áõÙ ¿ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëùÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙ ÉáõÍ»Éáõó£ Ü³ ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ µ³Å³ÝáõÙ ¿ 2-Çª x+y −−−−− = 5, 2 x−y ÙïóÝáõÙ Ýáñ Ýß³Ý³ÏáõÙª d = −−−−−, ³Û¹ ¹»åùáõÙª x = 5 + d, y = 5 − d, ¨ 2 Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ·ñáõÙ ³Ûëå»ë. (5 + d )2 + (5 − d)2 = 68, 50 + 2d 2 − 68, d 2 = 9, d = 3, x = 8, y = 2£ Ð³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ¨ë Ù»Ï ÉáõÍáõÙ. d = −3 ¹»åùáõÙª (2; 8) Ãí³½áõÛ·Ý ¿£ ¸Çáý³ÝïÁ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñÇó ³é³çÇÝÝ ¿ñ, áñ ³ÝÑ³Ûï Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ùïóñ»ó ï³ñµ»ñ Ýß³Ý³ÏáõÙÝ»ñª ÑÇÙÝ³Ï³ÝáõÙ ÑáõÝ³Ï³Ý ï³é»ñáí£ ì»ñÁ µ»ñí³Í ÉáõÍáõÙÁ ïñí³Í ¿ Å³Ù³Ý³Ï³ÏÇó ·ñ³éÙ³Ùµ£ ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (317-321). 317. ¸Çáý³ÝïÇ §Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-Çó x + y = 20, x2 + y2 = 208;

µ) {

x + y = 20, x2 − y2 = 80;

·) {

x = 3y, x2 + y2 = 5(x + y);

¹) {

x = 3y, x2 + y2 = 10(x − y);

») {

x = 3y, x2 − y2 = 12(x − y);

½) {

x = 3y, y2 = 6x;

¿) {

x = 3y, y2 = 6(x − y);

Á) {

x − y = 2, x2 − y2 = x − y + 20:

³) {

318. ²É-Êáñ»½ÙÇÇ §Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí¦-Çó (VII-VIII ¹.). x + y = 10, xy = 21;

µ) {

x + y = 10, x2 + y2 = 40;

x + y = 10, x2 − y2 = x − y + 54;

¹) {

x + y = 10, x2 = 4xy;

³) { ·) {

x + y = 10,

»)

{ (x + y) = 2 −−7 x; 2

x + y = 10,

½)

{ −−x + −−y = 2 −−;1 y

167

¿)

{

x + y = 10, y2 = 81x;

Á)

{

x + y = 10, 1 xy : |y − x| = 5 −−: 4

319. ²É-Î³ñ³çÇÇ §Ð³Ýñ³Ñ³ßÇí¦-Çó (XI ¹.). 3 x = −− y, xy + y = 2, 4 µ) ³) xy + x + y = 62; xy = 4x + 5:

{

320. È»áÝ³ñ¹ äÇã³Û»óáõ (üÇµáÝ³ãÇ) §²µ³Ï³ÛÇ ·ñùÇó¦ (XII-XIII ¹.). xy − y = 42, xy + y = 10, µ) { ³) { x − y = 2; x − y = 2; x + y = 10, ·) x y 2 (−− + 10)(−− + 10) = 122 −−; y x 3

{

x + y = 10, ¹) x −− (x − y) = 24: y

{

321. Î. èáõ¹áÉýÇ §Îáëë¦ ·ñùÇó (XVI ¹.). xy + x + y = 573, (x + y)(x2 + y2) = 539200, ³) { µ) { 2 2 2 (x − y)(x − y ) = 78400, x + y 2 − x − y = 1716:

168

¶ Èà ô Ê V I

Ð²æàð¸²Î²ÜàôÂÚàôÜÜºð

¢6 Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ 6.1 Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·³Õ³÷³ñÁ ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý n (n = 1,2 ...) ÃíÇ áñáß³ÏÇ ûñ»Ýùáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÃÛ³Ý Ù»ç ¿ ¹ñí³Í xn ÃÇí, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ïñí³Í ¿ x1, x2, ..., xn, ....

(1)

Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù {xn} Ãí³ÛÇÝÑ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ£ x1, x2, ...., xn, .... Ãí»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý³Ý¹³ÙÝ»ñ, ÇëÏ n Ñ³Ù³ñÝ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÁª ¹ñ³ n-ñ¹³Ý¹³Ù. ³ÛÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ý³¨ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ³Ý¹³Ù£ î³ÉÑ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ Ýß»É ³ÛÝ ûñ»ÝùÁ, áñáí ³Ù»Ý ÙÇ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É ¹ñ³ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁª xn-Á£ ²Û¹ ûñ»ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ ³ñï³Ñ³Ûïí»É ï³ñµ»ñ Ó¨»ñáíª µ³Ý³Ó¨»ñáí, µ³é³ÛÇÝ ÝÏ³ñ³·ñ»ñáí ¨ ³ÛÉÝ£ ¸Çï³ñÏ»Ýù Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ ïñí³Í ¿ xn = n2 (n = 1, 2, 3 ...)

(2)

µ³Ý³Ó¨áí£ ú·ïí»Éáí ³Û¹ µ³Ý³Ó¨Çóª Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É (2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ó³ÝÏ³ó³Í ³Ý¹³Ù, áñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ÏáÝÏñ»ï ïñí³Í n Ñ³Ù³ñÇÝ£ úñÇÝ³Ïª x4 = 42 = 16,

x12 = 122 = 144,

x17 = 172 = 289£

(2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·ñ³éáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. 1, 22, 32, ..., n2, ....

169

Ï³Ù 1, 4, 9, ..., n2, ...: ²Ûë ·ñ³éÙ³Ý Ù»ç µ»ñí³Í »Ý ¹ñ³ ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£ úðÆÜ²Î 1. ¸Çóáõù, Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ·ñí³Í ¿ (1) ï»ëùáí. 1 1 1 (−1)n −1, −−, − −−, −−, ...., −−−−, ...£ 2 3 4 n ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÁ ïñí³Í ¿ (−1)n xn = −−−−− n µ³Ý³Ó¨áí£ úðÆÜ²Î 2. ¸Çóáõù, Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. 1 n xn = (−−−)£ n ²Û¹ ¹»åùáõÙ ³ÛÝ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. 1 1 1 1 n 1, −−, −−−, −−−−, ...., (−−−), ...£ 4 27 256 n ºñµ»ÙÝ (³ÏÝÑ³Ûï ¹»åù»ñáõÙ) Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ÉÇë »Ý ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñáíª ÝÏ³ïÇ áõÝ»Ý³Éáí, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³ÙÇ ëï³óÙ³Ý ûñÇÝ³ã³÷áõÃÛáõÝÁ å³Ñå³ÝíáõÙ ¿ Ý³¨ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÝ³ó³Í µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ úðÆÜ²Î 3. ¸Çóáõù, Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñáíª 2, 4, 6, 8, 10, ...£

(3)

²Ûë ¹»åùáõÙ, ³ÏÝÑ³Ûï ¿, áñ Ýñ³ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Ý ¿ an = 2n£ Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ·³íáñí³Í ¿ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù áõÝÇ Çñ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù, µ³óÇ ³é³çÇÝÇó, áõÝÇ Çñ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£ úðÆÜ²Î 4. ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª 1, 3, 5, 7, ...£ ²Ûë ¹»åùáõÙ, ûñÇÝ³Ï, Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý a3 = 5 ³Ý¹³ÙÇ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ a4 = 7-Ý ¿, ÇëÏ Ý³Ëáñ¹Áª a2 = 3£

170

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ý³¨ é»Ïáõñ»Ýï(1) Ó¨áí, ³ÛëÇÝùÝª ï³É Ù»Ï Ï³Ù ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¨ µ³Ý³Ó¨, áñáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ Ù»Ï Ï³Ù ÙÇ ù³ÝÇ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí£ úñÇÝ³Ïª (3) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É ³Ûëå»ë. a1 = 2, an + 1 = an + 2, n = 1, 2, 3, ....£ üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇ Ñ³ÛïÝÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë. u1 = u2 = 1, un + 2 = un + 1 + un, n = 1, 2, 3, ...£ Ð³ßí»Ýù ¹ñ³ ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....£

322.° ³) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ ´»ñ»ù Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ µ) Æ±Ýã ¿ Ýß³Ý³ÏáõÙ ï³É Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ ·) Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ïñÙ³Ý Ç±Ýã »Õ³Ý³ÏÝ»ñ ·Çï»ù£ 323. îñí³Í ¿ {xn} Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝª 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...£ ³) ²Ýí³Ý»ù ¹ñ³ ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹, »ññáñ¹, ãáññáñ¹, ÑÇÝ·»ñáñ¹ ¨ í»ó»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ µ) ¶ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á£ ¶ï»ù x7, x8, x20-Á£ 324. ¶ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Áª ³) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; µ) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...; 1 1 1 1 1 ·) 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...; ¹) 1, −−, −−, −−, −−, −−, ...; 2 3 4 5 6 ») 1, −1, 1, −1, 1, −1, ...; ½) −1, 1, −1, 1, −1, 1, ...: 325. îñí³Í ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á. ³) an = 3n − 1£ ¶ï»ù a1; a2; a5; a100-Á£ µ) an = 3 + 2(n − 1)£ ¶ï»ù a1; a2; a12; a30 ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 326. ¶ï»ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ í»ó ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ. µ) an = (−1)n · n£ ³) an = 3n + 2, è»Ïáõñ»Ýïª É³ïÇÝ»ñ»Ý recurrens (recurrentis) µ³éÇó, áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ£ (1)

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327. {xn} Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áíª xn = 10 + 2n£ ³) ¶ï»ù x1-Á, x10-Á, x100-Á£ µ) ¶ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý xn ³Ý¹³ÙÇ Ñ³çáñ¹ ¨ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ (n ≥ 2)£ ·) ¶ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n + 2-ñ¹ Ñ³Ù³ñÝ áõÝ»óáÕ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á£ 328. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ Çñ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. 1 n ³) an = 3n + 2, µ) bn = 16 · (−−−), ·) cn = (−2)n£ 2 Ð³ßí»ù ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ »ñ»ù ¨ ï³ëÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 329. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ Çñ ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñáíª 1, 5, 9, ...£ ¶ñ»ù Ýñ³ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á£ 330. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ é»Ïáõñ»Ýï Ó¨áí. ³) a1 = 2, an + 1 = an + 3; µ) b1 = −2, bn + 1 = 5 · bn; ¹) x1 = 8, xn + 1 = 0,25 · xn: ·) c1 = 4, cn + 1 = cn − 8; ¶ñ»ù ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 331. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ é»Ïáõñ»Ýï Ó¨áí. ³) a1 = 3, an + 1 = an + 2; µ) b1 = −5, bn + 1 = 2 · bn; ¹) x1 = 9, xn + 1 = 0,3 · xn: ·) c1 = 8, cn + 1 = cn − 4; Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïí»ù n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ¨ Ñ³ßí»ù ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 332. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ ÙÇ ù³ÝÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí. ³) 5, 10, 15, 20, ... µ) 32, 16, 8, 4, ...

·) 2, −2, 2, −2, ...

Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïí»ù é»Ïáõñ»Ýï Ó¨áí ¨ Ñ³ßí»ù 8-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£ 333. Ü³Ëáñ¹ ËÝ¹ñáõÙ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïí»ù n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ¨ Ñ³ßí»ù 9-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£ 334. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. 1n ³) an = 5n, µ) bn = 27 · (−−), ·) cn = (−0,5)n£ 3 Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïí»ù é»Ïáõñ»Ýï »Õ³Ý³Ïáí£

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335. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. µ) bn = 125 − 7n; ³) an = 177 − 3n; n ¹) yn = 100 − −−: ·) xn = 23 − 1,5n; 3 ø³ÝÇ± ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³Ù áõÝÇ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ 336. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. µ) bn = −222 + 1,5n; ³) an = −177 + 3n; n ¹) yn = −100 + −−: ·) xn = −237 + 5n; 7 ø³ÝÇ± µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³Ù áõÝÇ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ 337. ¶ï»ù üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý u10 ¨ u15 ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 338.* ²å³óáõó»ù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇ {un} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ûÅïí³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ïÏáõÃÛ³Ùµ. ³) u1 + u2 + ... + un = un + 2 − 1; µ) u1 + u3 + u5 + ... + u2n − 1 = u2n; ·) u2 + u4 + u6 + ... + u2n = u2n + 1 − 1; ¹) u12 + u22 + u32 + ... + un2 = un · un + 1:

6.2* Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ {xn} Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³×áÕ (ËÇëï ³×áÕ), »Ã» ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ xn < xn + 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³Ù Ù»Í ¿ Ý³Ëáñ¹Çó£ ²×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï ¿ an = 3n ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ Æñáù, ù³ÝÇ áñ an + 1 = 3(n + 1) = 3n + 3 ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ 3n < 3n + 3, ³å³ an < an + 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ£ {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ ó³ÝÏ³ó³Í µÝ³Ï³Ý n ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ xn > xn + 1, ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý Ýí³½áÕ (ËÇëï Ýí³½áÕ)£

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Üí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³Ù ÷áùñ ¿ Çñ Ý³Ëáñ¹Çó£ Üí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï ¿ 1 (1) cn = −− n ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í {cn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ Æñáù, cn > cn + 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, áñáíÑ»ï¨ 1 cn + 1 = −−−−−, n+1 ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñª 1 1 −− > −−−−− n n+1 ºÃ» {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ¹»åùáõÙ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ xn ≤ xn + 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³å³ ³ëáõÙ »Ý, áñ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ãÝí³½áÕ¿£ âÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï ¿ üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ ºÃ» ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý xn ≥ xn + 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ, ³å³ ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ã³×áÕ£ â³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ûñÇÝ³Ï ¿ 5, 5, 4, 4, ... Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ñ»ï¨Û³É ûñ»Ýùáí. c2n − 1 = c2n = 6 − n, n = 1, 2, 3... ²×áÕ, Ýí³½áÕ, ã³×áÕ ¨ ãÝí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ£ ì»ñÁ ¹Çï³ñÏí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÙáÝáïáÝ »Ý, ÇëÏ, ûñÇÝ³Ï, yn = (−1)n ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í {yn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ã¿, áñáíÑ»ï¨, ûñÇÝ³Ï, y1 < y2, ÇëÏ y2 > y3£ {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï í»ñ¨Çó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ B ÃÇí, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ xn ≤ B ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ì»ñ¨Çó

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ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ûñÇÝ³Ï, (1) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ cn ≤ 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ý»ñù¨Çó, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ A ÃÇí, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ xn ≥ A ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ Ü»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ûñÇÝ³Ï, üÇµáÝ³ãÇÇ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ un ≥ 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ {xn} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» ³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ ¨° í»ñ¨Çó, ¨° Ý»ñù¨Çó£ ê³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿, ûñÇÝ³Ï, (1) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñáíÑ»ï¨ ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³ÙÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ 0 < cn ≤ 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙÇßï áõÝÇ ³Ýí»ñç Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ (¹ñ³Ýó ÙÇ Ù³ëÁ Ï³Ù µáÉáñÁ Ï³ñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÝáõÛÝ ÃÇíÁ)£ ºñµ»ÙÝ Ñ³ñÙ³ñ ¿ ÉÇÝáõÙ ¹Çï³ñÏ»É Ý³¨ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ å³ñáõÝ³ÏáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ ÁÝ¹áõÝí³Í ¿ ³ë»É, áñ ïñí³Í ¿ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í í»ñç³íáñÑ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ£ úñÇÝ³Ï, ³é³çÇÝ ùë³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÁÝïñí³Í å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿, ³ÛÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 8 ³Ý¹³Ù. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (n = 8)£ ÆëÏ µáÉáñ å³ñ½ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ¿£ ²Û¹ ÷³ëïÝ ³å³óáõóí»É ¿ ¹»é ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ÏáÕÙÇó£ an = 3n ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ¿ª ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý 3n ³Ý¹³ÙÁ£ ²Û¹ ÝáõÛÝ µ³Ý³Ó¨áí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ï³É Ý³¨ í»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, »Ã» n-Á ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ÙÇ ù³ÝÇ µÝ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ úñÇÝ³Ïª bn = 3n (n = 1, 2, 3, 4) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ í»ñç³íáñ ¿£ ²ÛÝ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 4 ³Ý¹³Ù. 3, 6, 9, 12£ ì»ñç³íáñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ¨ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý ³Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³ÝÍ³Ûñ³Ý¹³ÙÝ»ñ£

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339.° à±ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³) ã³×áÕ, µ) ãÝí³½áÕ, ·) ÙáÝáïáÝ, ¹) í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, ») Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, ½) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, ¿) ³×áÕ, Á) Ýí³½áÕ£ ´»ñ»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ 340. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ Çñ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí µ) bn = 6n; ·) cn = −3 + (1,2)n; ³) an = 7n − 11; ») bn = 3 · 2n; ½) cn = −3 · (0,2)n: ¹) an = 2 + 3n; ²å³óáõó»ù, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï£ 341. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. µ) bn = (0,2)n; ·) cn = 3 − (1,1)n; ³) an = −2n + 1; n 1 ¹) an = 3 − 2n; ») bn = 9 · (−−); ½) cn = −16 · 2n: 3 ²å³óáõó»ù, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï£ 342. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. ³) an = (−2)n; µ) bn = 2 · (−1)n; ·) cn = n · (−1)n; 1 n ¹) un = (− −−); ») xn = 2 + (−1)n; ½) yn = (−1)n: 2 òáõÛó ïí»ù, áñ ³ÛÝ ÙáÝáïáÝ ãÇ£ ¸ñ³ÝóÇó áñá±Ýù »Ý ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï£ 343. Øï³Í»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ ³) ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý, µ) áã ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý, ·) Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý, ¹) ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý£ 344. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í ³×áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ÇëÏ ó³ÝÏ³ó³Í Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó£

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345. ²å³óáõó»ù, áñ π ÃíÇ ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ùáï³ñÏáõÙÝ»ñ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª 3; 3,1; 3,14; 3,141; ..., ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿£ 346.* Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïí»ù µ³Ý³Ó¨áí. ³) 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ...; µ) 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ...; ·) 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, ...: 347.* Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. n−1 2n + 3 µ) bn = −−−−−−; ³) an = −−−−−; n 2n + 5 3n + 5 ·) xn = −−−−−−; 4n + 7

4n − 3 ¹) yn = −−−−−−: 2n − 1

²å³óáõó»ù, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿£ 348.* Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. n+1 2n + 5 µ) bn = −−−−−−; ³) an = −−−−−; n 2n + 3 3n + 4 ·) xn = −−−−−−; 4n + 1

4n − 1 ¹) yn = −−−−−−: 3n − 2

²å³óáõó»ù, áñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿ ¨ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï£ 349.* Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí. 3n + 5 2n + 1 µ) bn = −−−−−−; ³) an = −−−−−−; 2n − 1 3n − 5 3n − 5 ·) xn = −−−−−−; 2n − 1

2n + 1 ¹) yn = −−−−−−: 3n + 5

²ñ¹Ûáù Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ, Ýí³½áÕ, ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿£ 1999n + b 350.* Üß»ù b-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ an = −−−−−−−−− 2000n µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ³) ³×áÕ ¿,

µ) Ýí³½áÕ ¿£

177

Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ 6.3 Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·³Õ³÷³ñÁ Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³ÛÝ Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó, Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ Ý³Ëáñ¹ÇÝª ·áõÙ³ñ³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ñ³ëï³ïáõÝ ÃÇíÁ£ ²Û¹ ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³µ³Ý³Ï³Ýåñá·ñ»ëÇ³ÛÇï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ£ ²ÛëåÇëáí, »Ã» {an} Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ d ÃÇí, áñ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ an + 1 = an + d£ ²Û¹ d ÃÇíÁ, ÇÝãå»ë Ýßí»ó, Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿£ úñÇÝ³Ïª 1, 2, 3, 4, ...., n, ... (1) 3, 1, −1, −3, ...., 5 − 2n, ... (2) Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñ »Ý£ (1) Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª d = 1, ÇëÏ (2) Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª d = −2£ Üß»Ýù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ áñáß Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ. 1. ò³ÝÏ³ó³Í {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁª an-Á,³Û¹åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ a1 ³é³çÇÝ³Ý¹³Ùáí¨ d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ¿ an = a1 + d(n − 1) µ³Ý³Ó¨áí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇµ³Ý³Ó¨£ Æñáù, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d, a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d£ ²Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (n − 1)-ñ¹ ù³ÛÉáõÙ (n ≥ 2) Ïëï³Ý³Ýù, áñ an = a1 + (n − 1)d£ 2. Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó, Çñ Ý³Ëáñ¹ ¨ Ñ³çáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇçÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³ÝÝ¿,³ÛëÇÝùÝª a n − 1 + an + 1 an = −−−−−−−−−−, áñï»Õ n = 2,3, ...£ 2 Æñáù,

178

an − 1 = an − d, an + 1 = an + d, áõëïÇ an − 1 + an + 1 an − d + an + d −−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− = an£ 2 2 úñÇÝ³Ï, »Ã» Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ Ñ³ÛïÝÇ »Ý a7 = −3 ¨ a9 = 1, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É a8-Á` −3 + 1 a7 + a9 = −−−−−−− = −1£ a8 =−−−−−− 2 2 ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ 1 Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ËÇëï ³å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ ëÏ½µáõÝùÇ ÙÇçáóáí (²Û¹ ëÏ½µáõÝùÇÝ ÏÍ³ÝáÃ³Ý³ù Ñ»ï³·³ÛáõÙ)£

351.° ³) à±ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³£ µ) à±ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ£ 352. ¶ñ»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á£ 353. ÆÝãåÇëÇ± Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¿ ûÅïí³Í Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ 354. îñí³Í ¿ {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª 2, 7, 12, 22, 27, ...£ ³) ¶ï»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ¨ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ µ) ²ñ¹Ûáù {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿£ 355. {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ïñí³Í ¿ Çñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áíª an = a1 + d(n − 1), áñï»Õ a1 = 3, d = 2£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÁ£ 356. îñí³Í ¿ {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ýª 1, 7, 13, ...£ ³) ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, µ) ¶ï»ù a7, a8, a9, a10-Á£

179

357. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³± ¿. ³) −5, −2, 1, 1, 4, 7, 10, ...; µ) 7, 0, −7, −14, −21, ...; 1 1 1 1 1 ·) 1 −−, 1 −−, 1 −−, 1 −−, 1 −−, ...; ¹) −1, 4, 9, 14, 19, 24, ...: 2 3 4 5 6 358. ¶ñ»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ãáñë ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» a1 = 2, d = −3£ 359. ¶ï»ù {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ÑÇÝ·»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ. 41 62 2, −−−, −−−, ... 3 3 360. {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ ·ï»ù. ³) a2 ¨ d-Ý, »Ã» a3 = 5, a4 = 9; µ) a1 ¨ d-Ý, »Ã» a2 = 7, a3 = 4; ·) a5 ¨ d-Ý, »Ã» a6 = 8, a4 = 12; ¹) a7 ¨ d-Ý, »Ã» a6 = −15, a8 = −11: 361. ²å³óáõó»ù, áñ {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ d ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³ßí»É am − ak d = −−−−−−, (m ≠ k) m−k µ³Ý³Ó¨áí£ {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ ·ï»ù (361-363). 362. ³) a2 ¨ d-Ý, »Ã» a1 = 5, a3 = 13; µ) a1 ¨ d-Ý, »Ã» a2 = 3, a10 = 19; ·) a2 ¨ d-Ý, »Ã» a12 = −2, a3 = 7; ¹) a101 ¨ d-Ý, »Ã» a12 = 20,5, a7 = 10,5: 363. ³) a2 + a9, »Ã» a1 + a10 = 120; µ) a1 + a21, »Ã» a2 + a20 = 24; ·) a3, »Ã» a1 + a5 = 48; ¹) a6, »Ã» a3 + a9 = 160£ 364. ³) a17, »Ã» a15 + a19 = 12; ·) a5, »Ã» a3 + a7 = 6;

180

µ) a20, »Ã» a19 + a21 = −20; ¹) a8, »Ã» a2 + a14 = 28£

365. 12 ÃÇíÝ ³ñ¹Ûáù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³Ù ¿. ³) −10, −8, −6, ...; µ) −11, −8, −5, ...; ·) −3, 0, 3, ...; ¹) 44,5, 43, 41,5, ...: ºÃ» §³Ûá¦, ³å³ Ýß»ù Ñ³Ù³ñÁ£ 366. 34 ÃÇíÁ −47, −44, −41, ... Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³±Ù ¿£ ºÃ» §³Ûá¦, ³å³ Ýß»ù Ñ³Ù³ñÁ£ 367. ø³ÝÇ± ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³Ù áõÝÇ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý. ³) 3,8, 3,5, 3,2, ...; µ) 7,1, 6,9, 6,7, ...; 1 2 3 1 3 ·) 14 −−, 13 −−, 13, ...; ¹) 15 −−, 14 −−, 12 −−, ...: 3 3 4 4 4 368. ø³ÝÇ± µ³ó³ë³Ï³Ý ³Ý¹³Ù áõÝÇ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý. ³) −3,9, −3,7, −3,5, ...; µ) −8,2, −7,9, −7,6, ...; 2 1 1 1 ·) −18 −−, −15 −−, ...; ¹) −16 −−, −15 −−, ...: 3 3 4 2 369. ²å³óáõó»ù, áñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿. µ) an = −3n + 5; ³) an = 3n − 7; ¹) an = −2n − 3: ·) an = 2n + 8; 370.* ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý. ³) ³×áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» d > 0, µ) Ýí³½áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» d < 0£

6.4 Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ Ñ³í³ë³ñ ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Sn-áí, ³ÛëÇÝùÝª (n ≥ 1)£ Sn = a1 + a2 + ... + an − 1 + an Ø³ëÝ³íáñ³å»ëª S1 = a1, S2 = a1 + a2 ¨ ³ÛÉÝ£ Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ¿ ³é³çÇÝ¨n-ñ¹³Ý¹³ÙÝ»ñÇÏÇë³·áõÙ³ñÇ¨³Ý¹³ÙÝ»ñÇÃíÇ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, ³ÛëÇÝùÝª ×Çßï ¿

181

a1 + a n Sn = −−−−−− ·n 2

(1)

µ³Ý³Ó¨Á£ Æñáù, 2Sn = Sn + Sn = (a1 + a2 + ... + an) + (a1 + a2 + ... + an) = = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + (a3 + an − 2) + ... + (an + a1)£ ø³ÝÇ áñ a2 + an − 1 = a1 + d + an − d = a1 + an, a3 + an − 2 = a1 + 2d + an − 2d = a1 + an, ¨ ³ÛÉÝ, ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù 2Sn = (a1 + an) · n£ ²Ûëï»ÕÇó ¿É Ñ»ï¨áõÙ ¿ (1) µ³Ý³Ó¨Á£ ºÃ» (1) µ³Ý³Ó¨áõÙ an-Á ÷áË³ñÇÝ»Ýù a1 + (n − 1)d-áí, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³ßí»Éáõ µ³Ý³Ó¨Ç ³ÛÉ ·ñ³éáõÙª 2a1 + (n − 1)d · n£ (2) Sn = −−−−−−−−−−−− 2 úðÆÜ²Î 1. {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ ïñí³Í »Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁª a1 = 11, ¨ ï³ëÝÑÇÝ·»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª a15 = 27£ Ð³ßí»Ýù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ Àëï (1) µ³Ý³Ó¨Çª 11 + 27 a1 + a15 · 15 = −−−−−−− · 15 = 285£ S15 = −−−−−−− 2 2 úðÆÜ²Î 2. {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ ïñí³Í »Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁª a1 = 9, ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª d = 2£ Ð³ßí»Ýù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ Àëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 2a1 + (10 − 1)d · 10 = (2 · 9 + 9 · 2) · 5 = 180£ S10 = −−−−−−−−−−−−− 2 ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ (1) µ³Ý³Ó¨Ç ÉñÇí ³å³óáõÛóÁ Ï³ï³ñíáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇáÝ ëÏ½µáõÝùÇ ÏÇñ³éáõÙáí£

371. ¶ñ»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ñ³ßíÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Áª ³ñï³Ñ³Ûïí³Í ³) ³é³çÇÝ ¨ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñáí, µ) ³é³çÇÝ ³Ý¹³Ùáí ¨ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ£

182

372. Ð³ßí»ù ·áõÙ³ñÁ. ³) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100; µ) 30 + 31 + 32 + ... + 38 + 39 + 40; ·) 11 + 12 + 13 + ... + 87 + 88 + 89£ îñí³Í ¿ {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ Ð³ßí»ù (373-375). 373. ³) S20, »Ã» a1 = 1, a20 = 20; ·) S13, »Ã» a1 = 17, a13 = 13;

µ) S30, »Ã» a1 = −10, a30 = 20; ¹) S17, »Ã» a1 = 11, a17 = 19:

374. ³) S20, »Ã» a1 = 1, d = 1; ·) S11, »Ã» a1 = −2, d = 4;

µ) S40, »Ã» a1 = 2, d = 2; ¹) S15, »Ã» a1 = −3, d = 3:

375.* ³) S10, »Ã» a2 = 1, d = −2; ·) S17, »Ã» a9 = 2;

µ) S5, »Ã» a8 = 4, d = −1; ¹) S19, »Ã» a10 = 4:

376. ³) ¶ï»ù ³é³çÇÝ 40 ½áõÛ· Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ µ) ¶ï»ù µáÉáñ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ ·) ¶ï»ù 1-Çó ÙÇÝã¨ 100 ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñáÝù 3-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏÝ»ñÝ »Ý£ 377. ¶áõÙ³ñ»Éáí {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÙÇ ù³ÝÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñª ëï³ó»É »Ý 430£ ø³ÝÇ± ³Ý¹³Ù »Ý ·áõÙ³ñ»É, »Ã» a1 = −7, d = 3£ 378. ø³ÝÇ± ½³ñÏ ÏÏ³ï³ñÇ å³ïÇ Å³Ù³óáõÛóÁ Ù»Ï ûñáõÙ, »Ã» ½³ñÏ»ñÁ Ï³ï³ñíáõÙ »Ý ÙÇ³ÛÝ Å³ÙÁ Ù»Ï, ÇëÏ ¹ñ³Ýó ù³Ý³ÏÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Å³Ù ³ñï³Ñ³ÛïáÕ ÃíÇÝ£ 379. ³) {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ a5 = 11, s8 = 17£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ µ) Øï³Í»ù ËÝ¹Çñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ í»ñ³µ»ñÛ³É£ 380.* ³) ²ñï³Ñ³Ûï»ù {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ (2n − 1) ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ n-áí ¨ an-áí£ µ) {an} Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³ßí»ù S2001-Á, »Ã» a1001 = 2000£

183

381. äÛáõÃ³·áñ³ëÇ ËÝ¹ÇñÁ (Ù.Ã.³. 580-500 ÃÃ.)£ ¶ï»ù ³é³çÇÝ n Ï»Ýï µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ. 1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) 382. ÊÝ¹Çñ²ÑÙ»ëÇÙ³·³Õ³ÃÇó (Ù.Ã.³. XVIII-XVII¹.)£ Ð³óÇ 10 ã³÷Á µ³Å³Ý»ù 10 Ù³ñ¹áõ ÙÇç¨ ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ñ¹áõ ¨ Çñ Ý³Ëáñ¹Ç Ùáï »Õ³Í Ñ³ó»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙÇ 1 −− ã³÷£ 8

ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ 6.5 ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·³Õ³÷³ñÁ ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ýåñá·ñ»ëÇ³ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³ÛÝ Ãí»ñÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù, ëÏë³Í »ñÏñáñ¹Çó, Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ Ý³Ëáñ¹Á µ³½Ù³å³ïÏ³Í ÙÇ¨ÝáõÛÝ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Ãíáí£ ²Û¹ ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ýåñá·ñ»ëÇ³ÛÇÑ³Ûï³ñ³ñ(1)£ ²ÛëåÇëáí, »Ã» {an} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ q Ñ³Ûï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿, ³å³ q ≠ 0 ¨ ó³ÝÏ³ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ an + 1 = an · q£ úñÇÝ³Ïª 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2n, ....

(1)

1, −1, 1, −1, 1, −1, .... (−1)n − 1, ...

(2)

1 1 1 1 1 1 n−1 −−, − −−−, −−−, − −−−−, ...., −− · (− −−), ... 7 21 63 189 7 3

(3)

Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñ »Ý£ (1) »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª q = 2, (2) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª 1 q = −1, (3) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª q = − −−£ 3 Üß»Ýù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ áñáß Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ£ 1. ò³ÝÏ³ó³Í {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÁª an-Á³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ¿¹ñ³ a1 ³é³çÇÝ³Ý¹³Ùáí,q Ñ³Ûï³ñ³ñáí ¨ êáíáñ³µ³ñ ¹Çï³ñÏáõÙ »Ý ³ÛÝåÇëÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñ, áñáÝó ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ¿£ (1)

184

an = a1 · qn − 1 µ³Ý³Ó¨áí, áñÁ ÏáãíáõÙ ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇµ³Ý³Ó¨£ Æñáù, a2 = a1 · q, a3 = a2 · q = (a1q) · q = a1q2, a4 = a3 · q = (a1q 2) · q = a1q 3£ ²Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ (n − 1)-ñ¹ ù³ÛÉáõÙ (n ≥ 2) Ïëï³Ý³Ýù, áñ an = a1 · q n − 1£ 2. ¸ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ó³ÝÏ³ó³Í³Ý¹³Ù,µ³óÇ³é³çÇÝÇó,ÇñÝ³Ëáñ¹¨Ñ³çáñ¹³Ý¹³ÙÝ»ñÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³ÝÙÇçÇÝÝ¿,³ÛëÇÝùÝ£ an = √'an − 1 · an + 1

(n ≥ 2)£

Æñáù, 'an √'an − 1 · an + 1 = /−−− · an · q = √$an2 = an, q ù³ÝÇ áñ an > 0£ úñÇÝ³Ï, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ »Ý ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñª a7 = 32 ¨ a9 = 2, ³å³ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É a8-Á. a8 = √'a7 · a9 = √'32 · 2 = 8£ ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ 1 Ñ³ïÏáõÃÛ³Ý ÉñÇí ³å³óáõÛóÁ å³Ñ³ÝçáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ ëÏ½µáõÝùÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ£

383. ³) à±ñ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³£ à±ñÝ ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»Ç³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ£ µ) ¶ñ»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á£ Æ±Ýã Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ¿ ûÅïí³Í »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ 384.* ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ³) ³×áÕ ¿ ¨ Ý»ñù¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» q > 1, µ) Ýí³½áÕ ¿ ¨ í»ñ¨Çó ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï, »Ã» 0 < q < 1£

185

385.* ä³ñ½»ùª ³×á±Õ ¿, Ã»± Ýí³½áÕ {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý, »Ã» µ) a1 < 0, 0 < q < 1£ ³) a1 < 0, q > 1, ²ñ¹Ûáù ³ÛÝ ë³ÑÙ³Ý³÷³Ï ¿£ 386. ³) îñí³Í ¿ 2, 4, 8, 16, ... Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ ¶ï»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ¨ Ý³Ëáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹Á£ µ) ²Û¹ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³± ¿£ 387. ³) îñí³Í ¿ 1, 3, 9, 27, ... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ ¶ï»ù Ýñ³ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ ¨ ÑÇÝ·»ñáñ¹, í»ó»ñáñ¹ ¨ ÛáÃ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ µ) ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ïñí³Í ¿ n-ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨áíª an = 3 · 5n − 1£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 388. Ð³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³ñ¹Ûáù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ ¿. ³) 1, 8, 15, 21, 26, ...; µ) 4, 2, 1, 0,5, 0,25, ...; ·) −2, 2, −2, 2, −2, ...; ¹) 0, 4, 16, 64, 256, ...£ 389. ¶ï»ù {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ãáñë ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, »Ã» a1 = 2, q = 0,25£ 1 1 390. ¶ï»ù 3, 1, −−, −−, ... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ÑÇÝ·»ñáñ¹ 3 9 ³Ý¹³ÙÁ£ 391. îñí³Í ¿ {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ Ð³ßí»ù. µ) a4, »Ã» a1 = −2, q = 3; ³) a3, »Ã» a1 = 0,5, q = −2; ¹) a3 ¨ q, »Ã» a1 = −4, a2 = 6; ·) a3 ¨ q, »Ã» a1 = 3, a2 = 4; ½) a1 ¨ q, »Ã» a2 = −3, a3 = −2; ») a1 ¨ q, »Ã» a2 = −1, a3 = 2; Á) q, »Ã» a4 = 5, a7 = 320: ¿) q, »Ã» a5 = 4, a8 = 108; 392. îñí³Í »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñ»ù Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñ. ³) 7, x, 63£ ¶ï»ù x-Á, »Ã» x > 0£ µ) 2, x, 18£ ¶ï»ù x-Á, »Ã» x < 0£ ·) 3,2, x, 0,2£ ¶ï»ù x-Á£

186

393. ¶ï»ù {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ a1-Á ¨ q-Ý, »Ã» µ) a1 + a4 = 30, a2 + a3 = 10: ³) a4 − a2 = 18 ¨ a5 − a3 = 36; 394. ²å³óáõó»ù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í {bn} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. b11 + b12 b5 + b6 + b7 b11 + b12 + b13 b9 + b10 ³) −−−−−−− = −−−−−−−; µ) −−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−: b7 + b8 b9 + b10 b8 + b9 + b10 b14 + b15 + b16 395.* Æ.ÜÛáõïáÝÇËÝ¹ÇñÝ»ñÁ (1643 - 1727). ³) îñí³Í »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ãáñëª Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ ºñÏáõ Í³Ûñ³Ý¹³ÝÙ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 13 ¿, ÇëÏ »ñÏáõ ÙÇçÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 4£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ µ) îñí³Í »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ, áñáÝó ·áõÙ³ñÁ 19 ¿, ÇëÏ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 133£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£

6.6 ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ ÃÇíÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ »Ý Sn-áí, ³ÛëÇÝùÝª Sn = a1 + a2 + ... + an£ q Ñ³Ûï³ñ³ñáí {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ·áõÙ³ñÁ. Sn = n · a1, »Ã» q = 1,

(1)

a1 · (1 − qn) »Ã» q ≠ 1£ Sn = −−−−−−−−−−, 1−q

(2)

Æñáù, q = 1 ¹»åùáõÙ (1) µ³Ý³Ó¨Ý ³ÏÝÑ³Ûï ¿£ ¸Çóáõù, ³ÛÅÙ q ≠ 1£ ²Û¹ ¹»åùáõÙª Sn(1 − q) = Sn − Snq = a1 + a1q + ... + a1qk − 1 − − (a1q + a1q2 + ... + a1qn − 1 + a1qn) = a1 − a1qn = a1(1 − qn)£

187

Ð»ï¨³µ³ñª Sn(1 − q) = a1(1 − qn), ¨ ù³ÝÇ áñ q ≠ 1, ³å³ a1 · (1 − qn) Sn = −−−−−−−−−−£ 1−q (2) µ³Ý³Ó¨Ý ³å³óáõóí³Í ¿£ ÜÏ³ï»Ýù, áñ (2) µ³Ý³Ó¨Á Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ï³·áñÍ»É q < 1 ¹»åùáõÙ£ ÆëÏ »Ã» q > 1, ³å³ Ñ³ñÙ³ñ ¿ û·ïí»É ³Û¹ µ³Ý³Ó¨Ç ³ÛÉ ·ñ³éáõÙÇó. a1 · (qn − 1) Sn = −−−−−−−−−− q-1

(3)

1 úðÆÜ²Î 1. {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ a1 = 8, q = −−£ Ð³ßí»Ýù 2 ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ Àëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 15 31 ( 1 − ( −− ) ) 8 · −−− 8 5 2 32 31 a1 · (1 − q ) = −−−−−−−−−− = −−−−−−− = −−− = 15,5£ S5 = −−−−−−−−−− 1−q 1 1 2 1 − 1 −− −− 2 2 úðÆÜ²Î 2. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ a1 = 8, q = 2£ Ð³ßí»ù ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ Àëï (3) µ³Ý³Ó¨Çª a1 · (qn − 1) 8 (25 − 1) = −−−−−−−−− = 248£ Sn = −−−−−−−−−− q−1 2−1 ¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ (2) µ³Ý³Ó¨Ç ÉñÇí ³å³óáõÛóÁ å³Ñ³ÝçáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇÝ¹áõÏóÇ³ÛÇ ëÏ½µáõÝùÇ ÏÇñ³éáõÙ£

396. Æ±Ýã µ³Ý³Ó¨áí »Ý Ñ³ßíáõÙ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 397. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» µ) a1 = 4, q = −3; ³) a1 = 5, q = 2; 1 1 ·) a1 = −2, q = −−; ¹) a1 = − −−, q = −2; 2 3 ½) a3 = 2, a1 = 1: ») a2 = 4, a3 = 7;

188

398. {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ·ï»ù S6-Á, »Ã» a1 = 48, 1 q = −−: 2 399. {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ a1 = 14 q = −1£ Ð³ßí»ù ³) S100-Á, µ) S101-Á£ 400. Ð³ßí»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ. ³) −32, 16, −8, 4, ... µ) 32, 16, 8, 4, ... 401. {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛáõÙ Ñ³ßí»ù 1 1 µ) S10, »Ã» a1 = − −−−, q = −2; ³) S10, »Ã» a1 = − −−−, q = 2; 36 36 1 2 ·) S6, »Ã» a1 = − −−−, q = 3; ¹) S6, »Ã» a1 = − −−−, q = −3: 27 27 402.* Ð³ßí»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ í»ó ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» ³) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ ¨ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 4 ¿, ÇëÏ ãáññáñ¹ ¨ »ññáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª 16£ µ) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ ¨ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 3 ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 21£ ·) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 111 ¿, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ Ëáñ³Ý³ñ¹Áª 4£ 403.* ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 64 ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ ¨ ï³ëÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª 16£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£

6.7 ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ a1, a2, ..., an, ... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Ýí»ñçÝí³½áÕ, »Ã» Ñ³Ûï³ñ³ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ ÷áùñ ¿ 1-Çóª |q| < 1£ úñÇÝ³Ïª 1 1 1 1 1, −−, −−, −−, ..., −−−, ... 2 4 8 2n

189

»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ ¿, ù³ÝÇ áñ Ñ³Ûï³ñ³ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ ÷áùñ ¿ 1-Çó. 1 |q| = −− < 1£ 2 Üß»Ýù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Á Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí. 1 a1 Sn = −−−−− − −−−−− · qn 1−q 1−q

(q ≠ 1)£

(1)

²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ¹»åùáõÙ (1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÇ »ñÏñáñ¹ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ n-Ç ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ï Ù»Í³óÙ³Ý ¹»åùáõÙ Ó·ïáõÙ ¿ ½ñáÛÇ, ¨ Ñ»ï¨³µ³ñ, (1) Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ó³Ë Ù³ëÁ, ³ÛëÇÝùÝª Sn-Á Ó·ïáõÙ ¿ a1 S = −−−−− (2) 1−q ÃíÇÝ(1)£ Ð»Ýó ³Û¹ ÃÇíÝ ¿É ³Ýí³ÝáõÙ »Ý q(|q| < 1) Ñ³Ûï³ñ³ñáí a1, a2, ..., an, ... ³Ýí»ñçÝí³½áÕ»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ýåñá·ñ»ëÇ³ÛÇ·áõÙ³ñ ¨ ·ñáõÙ ³Ûëå»ë. a1 −−−−− = a1 + a2 + ... an + ..., 1−q áñï»Õ an = a1 · qn − 1 (|q| < 1) n = 1, 2, 3, ...

úðÆÜ²Î 1. Ð³ßí»Ýù 1 1 1 1 −− + −− + −− + −−− + ... 2 4 8 16 ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÁ£ 1 1 ²Ûëï»Õ a1 = −−, q = −−£ Àëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 2 2 1 −− a1 2 S = −−−−− = −−−−−− = 1£ 1 1 − q 1 − −− 2 ºÃ» ¹Çï³ñÏ»Ýù 1 Ù³Ï»ñ»ëáí ù³é³ÏáõëÇ ¨ ëÏ½µÇó 1 1 1 Ý»ñÏ»Ýù −− , Ñ»ïáª −− , ³å³ª −− , 2 4 8 1 ³ÛÝáõÑ»ï¨ª −−− Ù³ë»ñÁ ¨ ³ÛÉÝ (ÝÏ. 1), ³å³ å³ñ½ Ï¹³éÝ³, 16 (1)

Ù»ç£

190

²Ûë ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ËÇëï ÑÇÙÝ³íáñáõÙÁ ïñíáõÙ ¿ ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý

áñ ³Û¹ Ý»ñÏÙ³Ý åñáó»ëÝ ³Ýí»ñç ¿ ¨ Ý»ñÏí³Í Ù³ë»ñÇ Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ³Ýë³ÑÙ³Ý³÷³Ïáñ»Ý Ùáï»ÝáõÙ ¿ ïñí³Í ù³é³Ïáõëáõ Ù³Ï»ñ»ëÇÝ (Ó·ïáõÙ ¿ 1-Ç)£ úðÆÜ²Î 2. Ð³ßí»Ýù 1 1 1 1 1 − −− + −− − −− + −−− ... 2 4 8 16 ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÁ£

ÜÏ. 1

1 ²Ûëï»Õ a1 = 1, q = − −−£ Àëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 2 a1 1 2 S = −−−−− = −−−−−−−− = −−£ 1 3 1 − q 1 − (− −−) 2 ºñµ»ÙÝ å³ñµ»ñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÁ ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ¹³ñÓÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ û·ïíáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Çó£ úñÇÝ³ÏÝ»ñáí óáõÛó ï³Ýù, Ã» ÇÝãå»ë ¿ ¹³ ³ñíáõÙ£ úðÆÜ²Î 3. 0,(7) ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ ¹³ñÓÝ»Ýù ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï£ êÏ½µÇó ïñí³Í Ïáïáñ³ÏÁ ·ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáíª 0,(7) = 0,777 ... = 0,7 + 0,77 + 0,777 + ...

(3)

²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëÁª a1 = 0,7 ³é³çÇÝ ³Ý¹³Ùáí ¨ q = 0,1 Ñ³Ûï³ñ³ñáí {an}, ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñ ¿, áõëïÇ, Áëï (2)µ³Ý³Ó¨Çª 0,7 0,7 7 0,7 = −−−−−− = −−−− = −−£ 1 − 0,1 0,9 9 úðÆÜ²Î 4. 0,1 (45) ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ ¹³ñÓÝ»Ýù ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï£ Ü³Ëª ïñí³Í Ïáïáñ³ÏÁ ·ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí. 0,1(45) = 0,14545... = 0,1 + 0,045 + 0,00045 + ...£ ²Ûë Ñ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ³ç Ù³ëáõÙ 0,1 ÃíÇó Ñ»ïá ·ñí³Í ¿ a1 = 0,045 ³é³çÇÝ ³Ý¹³Ùáí ¨ q = 0,01 Ñ³Ûï³ñ³ñáí ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ {an} »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÁ£ àõëïÇ, Áëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 0,045 1 0,045 1 45 8 0,1(45) = 0,1 + −−−−−−− = −− + −−−−− = −−− + −−−− = −−−£ 1 − 0,01 10 0,99 10 990 55

191

¸ÇïáÕáõÃÛáõÝ£ ´³ó³ïñ»Ýù, Ã» ÇÝãáõ »Ý ×Çßï (3) Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ¨ ÝÙ³Ý³ïÇå Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÉ å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ¸Çóáõù, ïñí³Í ¿ 0,7, 0,07, 0,007, ..., 0,7 · (0,1)n − 1 ... ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ, Áëï (2) µ³Ý³Ó¨Çª 0,7 0,7 7 S = −−−−−− = −−− = −−−£ (4) 1 − 0,1 0,9 9 7 Ø»Ýù ·Çï»Ýù, áñ −−− Ïáïáñ³ÏÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý 9 ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáíª 0,(7) = 0,777 ... (³ÝÏÛáõÝ³Ó¨ µ³Å³ÝÙ³Ý »Õ³Ý³Ïáí)£ ¸ñ³ Ñ³Ù³ñ ¿É Ñ³Ù³ñáõÙ »Ý, áñ 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ...£ ²Û¹ ¹»åùáõÙ (4) µ³Ý³Ó¨Á 0,(7) ³Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý 7 Ïáïáñ³ÏÁ −− ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï ¹³ñÓÝ»Éáõ µ³Ý³Ó¨Ý ¿£ 9

404.° à±ñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ£ 405.* Øï³Í»ù ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ûñÇÝ³Ï, áñÁ Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ ã¿£ 406. Ð³ßí»ù ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» 1 1 µ) a1 = 4, q = − −−; ³) a1 = 4, q = −−; 2 2 1 1 ¹) a1 = 5, q = − −−−£ ·) a1 = 5, q = −−−; 10 10 407. ²Ýí»ñç å³ñµ»ñ³Ï³Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÁ ¹³ñÓñ»ù ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³Ï. ³) 0,(3); µ) 0,(8); ·) 0,(5); ¹) 0,(13); ») 0,(27); ½) 0,(45); ¿) 0,(123); Á) 0,(456); Ã) 0,(1999); Å) 0,5(7); Ç) 0,23(8); É) 0,2(38):

192

408.* ä.ü»ñÙ³ÛÇËÝ¹ÇñÁ (1601-1665)£ ²å³óáõó»ù, áñ {an} ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ S a1 −−−−− = −−− S − a1 a2 Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ 409.* ¶ï»ù ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ·áõÙ³ñÁ. √$3 + 1 √$3 − 1 ³) −−−−−−−; 1; −−−−−−; ...; √$3 − 1 √$3 + 1

√$2 + 1 √$2 − 1 µ) −−−−−−−; 1; −−−−−−−; ...: √$2 − 1 √$2 + 1

410.* îñí³Í ¿ α Ù»ÍáõÃÛ³Ùµ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝ£ Üñ³ ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÇ íñ³ ·³·³ÃÇó l Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ Ýßí³Í ¿ A1 Ï»ïÁ£ ²Û¹ Ï»ïÇó ³ÝÏÛ³Ý ÙÛáõë ÏáÕÙÇÝ ï³ñí³Í ¿ A1A2 áõÕÕ³Ñ³Û³ó, ³ÛÝáõÑ»ï¨ A2 Ï»ïÇó ï³ñí³Í ¿ ³é³çÇÝ ÏáÕÙÇÝ áõÕÕ³Ñ³Û³ó ¨ ³ÛÉÝ (ÝÏ. 2)£ êï³óí»ó ³Ýí»ñç Ãíáí ûÕ³ÏÝ»ñáí (ÏáÕÙ»ñáí) µ»ÏÛ³É£ Ð³ßí»Ýù ¹ñ³ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ³) l = 1Ù, α = 45°, A µ) l = 1Ù, α = 30°£ ÜÏ. 2

ä³ï Ù³ Ï³Ý ï» Õ» Ïáõ ÃÛáõÝ Ý»ñ §äñá·ñ»ëÇ³¦ µ³éÁ É³ïÇÝ»ñ»Ý ¿ (progressio), áñÁ Ýß³Ý³ÏáõÙ ¿ §ß³ñÅáõÙ ³é³ç¦, §³é³çÁÝÃ³ó¦ (ÇÝãå»ë §åñá·ñ»ë¦ µ³éÝ ¿)£ Ø»ñ Ãí³ñÏáõÃÛ³Ý ëÏ½µáõÙ Ñ³ÛïÝÇ ¿ Ñ»ï¨Û³É É»·»Ý¹-ËÝ¹ÇñÁ. §ÐÝ¹Ï³ëï³ÝÇ Ã³·³íáñ Þ»ñ³ÙÝ Çñ Ùáï Ï³Ýã»ó ß³ËÙ³ïÇ Ë³ÕÁ Ñ³ÛïÝ³·áñÍ³Í Çñ Ñå³ï³Ï ê»ïáõÇÝ, áñå»ë½Ç å³ñ·¨³ïñÇ ëñ³ÙÇï ·ÛáõïÇ Ñ³Ù³ñ£ ê»ïáõÝ Ã³·³íáñÇÝ Í³Õñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ å³Ñ³Ýç»ó Çñ»Ý óáñ»Ý ï³Éª ß³ËÙ³ï³ÛÇÝ ï³Ëï³ÏÇ ³é³çÇÝ í³Ý¹³ÏÇ íñ³ ¹Ý»Éáí 1 Ñ³ïÇÏ, »ñÏñáñ¹Ç íñ³ª 2 Ñ³ïÇÏ, »ññáñ¹Ç íñ³ª 4 ¨ ³ÛÉÝ£ ä³ñ½í»ó, áñ Ã³·³íáñÝ Ç ½áñáõ ã¿ñ Ï³ï³ñ»Éáõ ê»ïáõÛÇ ³Û¹ §Ñ³Ù»ëï¦ ó³ÝÏáõÃÛáõÝÁ£ ÊÝ¹ñáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ·ïÝ»É 1, 2, 22, ..., 264

193

»ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 1 ¿ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª 2£ ²Û¹ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 264 − 1 = 18446744073709551615£ ²Û¹ ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ùµ Ñ³ó³Ñ³ïÇÏÝ»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ñ³í³ù»É ÙÇ ÙáÉáñ³ÏÇó, áñÇ Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÁ Ùáï 2000 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ »ñÏñ³·Ý¹Ç Ù³Ï»ñ¨áõÛÃÇó£ ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ¨ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñÇ Ñ»ï ³éÝãíáÕ ËÝ¹ÇñÝ»ñ Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý µ³µ»É³óÇÝ»ñÇ Ùáï, »·Çåï³Ï³Ý Ù³·³Õ³ÃÝ»ñáõÙ, ÑÇÝ ãÇÝ³Ï³Ý §Ø³Ã»Ù³ïÇÏ³Ý 9 ·ñùáí¦ ³ßË³ïáõÃÛáõÝáõÙ£ ²Ûëå»ëª µ³µ»É³óÇÝ»ñÇ ë»å³·Çñ ³ÕÛáõë³ÏÝ»ñÇó Ù»ÏáõÙ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ ·ïÝ»É 1, 2, 22, ..., 2n − 1, ... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÇÝÝÁ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ ²Ñ³ ³ÛÉ ËÝ¹Çñ, áñÁ ÉáõÍáõÙ ¿ÇÝ ÐÇÝ ´³µ»ÉáÝáõÙ Ù.Ã.³. »ñÏñáñ¹ Ñ³½³ñ³ÙÛ³ÏáõÙ. 2 §10 »Õµ³ÛñÝ»ñ »Ý ¨ ³ñÍ³ÃÇ 1 −− ÙÇÝ³£ ºÕµ³ÛñÁ »ÕµáñÇó µ³ñÓñ³ÝáõÙ ¿, 3 ÇÝãù³±Ý ¿ µ³ñÓñ³ÝáõÙ, ã·Çï»Ù£ àõÃ»ñáñ¹ »Õµáñ µ³ÅÇÝÁ 6 ß»Ï»É ¿£ ºÕµ³ÛñÁ »ÕµáñÇó ÇÝãù³Ýá±í ¿ µ³ñÓñ¦£ ²Ûëï»Õ å³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»2 ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáíª 1−− ÙÇÝ³ (1 ÙÇÝ³ = 60 ß»Ï»É), 3 ¨ Ñ³ÛïÝÇ áõÃ»ñáñ¹ ³Ý¹³Ùáí ·ïÝ»É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ£ ²ÑÙ»ëÇ Ù³·³Õ³ÃáõÙ ³é³ç³ñÏíáõÙ ¿ ³ÛëåÇëÇ ËÝ¹Çñ. §ÚáÃ Ù³ñ¹ áõÝÇ ÛáÃ³Ï³Ý Ï³ïáõ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï³ïáõ áõïáõÙ ¿ ÛáÃ ÙáõÏ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙáõÏ áõïáõÙ ¿ ÛáÃ Ñ³ëÏ, Ù»Ï Ñ³ëÏÇó Ï³ñáÕ ¿ ³×»É ÛáÃ ã³÷ ·³ñÇ£ àñù³±Ý »Ý ³Ûë ß³ñùÇ Ãí»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ¦£ Üß»Ýù Ý³¨, áñ ²ñùÇÙ»¹Á ·Çï»ñª ÇÝã ¿ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý ¨ Ï³ñáÕ³ÝáõÙ ¿ñ Ñ³ßí»É ó³ÝÏ³ó³Í Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ·ïÝ»Éáõ Ï³ÝáÝÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù Ñ³Ý¹ÇåáõÙ ¿ È»áÝ³ñ¹á äÇ½³Û»óáõ §²µ³ÏÇ ·ÇñùÁ¦ ³ßË³ïáõÃÛáõÝáõÙ (1202Ã.)£ ²Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Á Ñ³ÛïÝÇ ¿ñ ä. ü»ñÙ³ÛÇÝ (XVII ¹³ñ)£ äñá·ñ»ëÇ³Ý»ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ñ»ï³ùñùÇñ ËÝ¹ÇñÝ»ñ Ï³Ý Ø³·ÝÇóÏÇÇ §Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-áõÙ£ ²Ñ³ ³Û¹ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇó Ù»ÏÁ. §ØÇ Ù³ñ¹ í³×³éáõÙ ¿ñ Çñ ÓÇÝ 1000 é-áí£ ²é¨ïñ³Ï³ÝÝ ³ë³ó, áñ ¹³ ß³ï µ³ñÓñ ·ÇÝ ¿£ §È³í,- ³ë³ó í³×³éáÕÁ,- »Ã» ¹áõ ³ëáõÙ »ë, áñ ÓÇÝ Ã³ÝÏ ¿, ³å³ ³ÛÝ ÓñÇ í»ñóñáõ, µ³Ûó í×³ñÇñ ÙÇ³ÛÝ Ýñ³ ëÙµ³ÏÝ»ñÇ Ù»Ë»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ÆëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÙµ³ÏáõÙ 6-³Ï³Ý Ù»Ë Ï³£ ºí ¹áõ ÇÝÓ í×³ñÇñ ³Ûëå»ëª ³é³çÇÝ Ù»ËÇ Ñ³Ù³ñ Ï»ëÝáó (0,25 Ïáå»Ï), »ñÏñáñ¹Ç Ñ³Ù³ñª »ñÏáõ, »ññáñ¹Çª ãáñë ¨ ³Û¹å»ë ß³ñáõÝ³Ï, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù»ËÇ Ñ³Ù³ñ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ, ù³Ý Ý³Ëáñ¹ Ù»ËÇ Ñ³Ù³ñ£ ²é¨ïñ³Ï³ÝÁ, Ùï³Í»Éáí, áñ Ïí×³ñÇ 1000 éáõµÉáõó µ³í³Ï³Ý ùÇã, Ñ³Ù³Ó³ÛÝ»ó£ îáõÅ»±ó ³é¨ïñ³Ï³ÝÁ, ¨ »Ã» ³Ûáª ÇÝãù³±Ý¦£

194

ÊÜ¸ÆðÜºð 7-9 ¸²ê²ð²ÜÆ Ð²Üð²Ð²ÞìÆ ¸²êÀÜÂ²òÆ ÎðÎÜàôÂÚ²Ü Ð²Ø²ð Ð³ßí»ù (411-412). 1 1 1 1 (−− + 0,1 + −−−) : (−− + 0,1 − −−−) 6 15 6 15 411. ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 1 1 1 (0,5 − −− + 0,25 − −−) : (0,25 − −−) 3 5 6 3 1 0,4 + 8 : (5,3 − 0,8 · −−) − 5 : 2−− 8 2 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 7 2 1−− · 8 − (8,9 − 2,6 : −−) 8 3 7 4 3 5 7 11 ·) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 1 1 (1,5 + −−) : 18 −− 4 3

(0,5 : 1,25 + −− : 1−− − −−−) · 3

(0,6 + 0,425 − 0,005) : 0,01 ¹) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− · 60: 1 1 1 10,5 + 5−− + 3−− + 15−−− 4 6 12 3 1 5 200 2 412. ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− : −−; 1 1 3 30,75 + −−− + 3 −− 12 6

(−− + 0,425 − −−−−) : 0,01

3 7 7 −− · (4,4 − 3,75 + 8−−− + 8−−−) 4 15 60 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 1 (3 −− − 2,75) : 0,2 2 7 2000 ·) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 3 1 (−−−− + 0,00004) · −−−−− 3125 0,0001

(−−−− + 0,0065) : 0,001

1 1 3 5 3−− − (6−− − 5−−) : −− 3 7 4 7 5 ¹) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− + 0,625 : −−: 8 + 0,375 : 0,5625 6

195

413. Ð³ßí»ù. 5 17 59 8,4 · (1−− + −−−) − 15 −−− 8 18 60 ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 646,8 £ 21

13 17 4 16 24 13 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−; 14 11 28 −−− £ 2,8 − 4−− 15 12

(1−−− + 1−−−) · −−−

4,58 + 6,275 £ (1,253 − 1,252 · 0,45) ·) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 49,533 £ 16,5 − 2,522 1,476 + 2,08 · 4,05 ¹) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 49,938 £ (0,16 · 12,342 − 0,163) − 0,25 42,5904 £ 6,08 − 1,245 ») −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−£ 2 (18,2 − 5,62 + 23,8 · 7,4) £ 5,95 + 35,2 414. Ð³ßí»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ. 5 11 25 3 12 ³) 3−−− − 1−−− : (76 · −−− − 47−−) · −−−; 14 49 38 7 55 9 1 9 2 µ) (6−−− − 2−− · 1−−−) · 0,56 : 0,75 : 6−−: 16 2 14 3 415. ²å³óáõó»ù, áñ Ïáïáñ³ÏÇ ³ñÅ»ùÁ 0 ¿. 2 5 (1,08 − 1,33) · 18 + 0,6 : −−− (2,14 − 1,39) · 1,2 − 0,75 : −− 15 6 ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−: 20,1 · 0,1 − 2,1 12,1 : 0,1 − 1,2 416. Ð³ßí»ù. (35,814 : 7,05 + 2,12) · 0,15 ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−; 1,6 + 187,5 : (16,252 · 3,75 − 3,753) (0,733 − 0,73 · 0,272) : 0,023 + 2,4 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−: (18,544 : 3,05 − 1,83) · 0,16 417. Ð³Ù»Ù³ï»ù. ³) 3 ¨ 5; 1 ¿) − −− ¨ −0,(3); 3

µ) 2,546 ¨ 2,545; 1 ») −− ¨ 0,25; 4 2 Á) − −− ¨ −0,6; 3

Å) √$5 ¨ 2,2;

Ç) −√$3 ¨ 3−2;

¹) 2,(3) ¨ 2,3;

196

·) −2 ¨ −6; 1 ½) 0,12(5) ¨ −−; 8 Ã) −π ¨ −3,14; É) −32 ¨ 3−2£

418. a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ·ï»ù c ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ a < c < b. ³) a = 0, b = 0,0123(1); ·) a = −1, b = 0,172;

µ) a = 2,13(4), b = 2,135; ¹) a = −3,231, b = −1,17(35):

419. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) 0,75757 < 0,75 < 0,75758; µ) 3,023023 < 3,(023) < 3,023024: 3 −2 1 2 2−3 − (−−) · (− −−) 4 2 420. ³) −−−−−−−−−−−−−−−−; 1 0 3 −1 2−2 + (− −−) + (−−) 5 4

1 −2 3 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−: 160 · 2−2

(−−) · 3−1 + (−1,51)0

1000 999 998 997 996 1 421. ³) 2 − −−−− + −−−− − −−−− + −−−− − −−−− + ... + −−−−−; 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1002 1001 1000 999 998 35 µ) 5 − −−−− + −−−− − −−−− + −−−− − −−−− + ... + −−−−−; 1003 1003 1003 1003 1003 1003 422. Ð³ßí»ù. 63 · 52 ³) −−−−−−; 3 3 · 24

103 · 92 µ) −−−−−−−; 63 · 52

·) 2,53 £ 53;

13 3 ») −−−−−−−−−−−; 3

14 2 ½) −−−−−−−−−−−: 0,15

(3 −−) · (0,1)3

¹) 1,54 : 33;

(1 −−) · (0,2)4

423. Ð³Ù»Ù³ï»ù Ãí»ñÁ. 3 1998 + 1 3 1997 + 1 −−−−−−−− ¨ −−−−−−−−£ 3 1999 + 1 3 1998 + 1 424. ¶ñ»ù P = 3,1415926535... ÃíÇ Ùáï³ñÏáõÙÁ å³Ï³ëáñ¹áí ¨ ³í»ÉóáõÏáíª 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ×ßïáõÃÛ³Ùµ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹»åùáõÙ Ç±Ýã ÏñÏÝ³ÏÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ¿ µ³í³ñ³ñáõÙ P ÃÇíÁ£ 425. Ð»ï¨Û³É Ãí»ñÇó áñá±Ýù »Ý é³óÇáÝ³É, ¨ áñá±Ýùª Çé³óÇáÝ³É. ³) 0,3333; ·) 0,232323...; ») 0; ¿) 2,718281828...;

µ) 0,4(5); ¹) 0,57578888; ½) 1,211211121111211...; Á) 0,1234567891011121314...:

197

426. ³) ÎÉáñ³óÝ»Éáí Ãí»ñÁ ÙÇÝã¨ Ñ³ñÛáõñ»ñáñ¹³Ï³Ý ×ßïáõÃÛ³Ùµª ·ï»ù ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ. 1) 1,342 + 3,463; 2) 5,(6) + 2,781; 3) 12,(45) + 0,3112; 4) 1,(3) + 5,(7): µ) ¶ï»ù ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ùáï³íáñ ³ñÅ»ùÁª ïñí³Í Ãí»ñÁ ¨ ³ñ¹ÛáõÝùÁ ÏÉáñ³óÝ»Éáí ÙÇÝã¨ ³é³çÇÝ Ýß³Ý³Ï³ÉÇó ÃÇíÁ. 1) 15 · 2,(1); 2) 0,3 · 0,(4); 3) 1,(1) · 2,(1); 4) 2,(5) · 0,(2): 427. Âí»ñÁ ·ñ»ù ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÝ»ñÇ ï»ëùáí ¨ ¹³ë³íáñ»ù 20 15 5 17 ³×Ù³Ý Ï³ñ·áíª −−−, −−−, −−−, −−−£ 41 37 21 42 428. ³) Âí»ñÁ ·ñ»ù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí. 3,(007); −0,2303003000...; 3,(0008); 3,(0009); −0,23(1); −0,231(07): µ) Âí»ñÁ ·ñ»ù Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí. 1 −2,(05); −2,0(5); −0,00(1); −0,(001); −2−−−; −0,001: 20 429. ÎÉáñ³óñ»ù ÙÇÝã¨ ëïáñ³Ï»ïÇó Ñ»ïá »ññáñ¹ Ýß³Ý³Ï³ÉÇó ÃÇíÁ. ³) 37,57891; ¹) 0,3(9);

µ) 0,002576; ») −31,72(13);

·) −117,00992; ½) 0,00(08):

430. ¶ñ»ù ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáíª 0,01 ×ßïáõÃÛ³Ùµ. 2 ³) 1−−; 3

5 µ) 2−−; 6

20 ·) −−−; 41

5 ¹) −−: 7

431. ³) ºÃ» 5,23 ≤ a ≤ 5,27, ³å³ Ç±ÝãÇ »Ý Ñ³í³ë³ñ ¹ñ³ Ùáï³ñÏáõÙÝ»ñÁ Ý»ñù¨Çó (å³Ï³ëáñ¹áí) ¨ í»ñ¨Çó (³í»ÉóáõÏáí)£ µ) ºÃ» 0,28 ≤ a ≤ 0,258, ³å³ Ï³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù a-Ý Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É 0,2574, 0,2579, 0,256, 0,258£

198

¶áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ»ï. ¸Çóáõùª a, b, c, m, n, x, y, z - Ýßí³Í »Ý ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÇÙ³ëï áõÝ»Ý£ ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (432-439). 432. ³) a3 · a; ¹) x0 · x4; ¿) x4y5 · xy;

µ) a5 · a7; ») ab2 · a2b; Á) x0y10 · x0y3:

·) x10 · x10; ½) a2b3 · a5b7;

433. ³) x4 : x3;

µ) x2 : x;

·) m17 : m8;

¹) m41 : m14;

m6 ») −−−; m3 434. ³) (a2)3;

n3 ½) −−−; n3 µ) (x3)5;

a11 ¿) −−−; a42 ·) (−x2)3;

b14 Á) −−−: b14 ¹) (−a3)2;

½) (3a2)3;

1 4 ¿) (−− c); 3

Á) (−2x2)3:

») (2x2)2;

435. ³) (a5 · a2 · a) : (a3 · a7); ·) (ab2)3 : (a2b4); 436. ³) m−1 · m2; ¹) b0 · b−4; ¿) a−10 : a−10;

µ) (x4 · x3 · x) : (x3 · x6); ¹) (m3n5)3 : (m9n15):

µ) x−2 · x−3; ») y 3 : y−2; Á) b3 : b−4:

·) a−10 · a−10; ½) x−2 : x−3;

437. ³) (2ab2c3)3; ·) (−(−a2b−1)−1)3;

µ) (3a4x5)2; ¹) (2(−x2y3)−1)−2:

48m2ab 438. ³) −−−−−−−−; 26ma2b3

64xy3z5 µ) −−−−−−−; 18x2yz3

128a0b−3c9 ·) −−−−−−−−−; 32a 6b−2c−9 38a7b4c12 439. ³) −−−−−−−−; 144ab6c3 (5a3(b + c))2 · (c − b)2 −1 ); ·) (−−−−−−−−−−−−−−−−−− (b2 + 2bc + c2) · 10a4

121x3y 0z−5 ¹) −−−−−−−−−: 77x−8y−4x−2 144xy9z11 µ) −−−−−−−−; 24x5y7z (−1(−2a)2 · b)2 ¹) −−−−−−−−−−−−: (−2a2)3 · b4

440. ¶ï»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ. ³) b2 − 4ac, »ñµ b = 1, a = 0, c = 2;

199

1 µ) b2 − 4ac, »ñµ b = −−, a = −1, c = 4: 3 441. Ò¨³÷áË»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ¨ Ñ³ßí»ù ³ñÅ»ùÁ. ³) x2 − 2xy + y2, »ñµ x = 0,65, y = 0,15; µ) 5a2 − 10ab + 5b2, »ñµ a = 124, b = 24; 1 1 ·) −− m2 + mn + −− n2, »ñµ m = 64, n = 36; 2 2 ¹) ax2 + 2axy + ay2, »ñµ a = 4, x = 71, y = 29: 442. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. µ) x3 − 7x − 6:

³) x4 + 1; 443. ì»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. ³) m3 − 4m2 + 20m − 125; ·) (x2 + 4x)2 − (x − 9)2; ») (5a − 7b)2 − 2(5a − 7b) + 1;

µ) 8 − 2p + 3p2 − 27p3; ¹) (9x2 + 2)2 − (6x + 7)2; ½) 1 + 2(x − 3y) + (x − 3y)2:

444. ²å³óáõó»ù ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ. ³) 2x3 − (x − 2)(2x2 − 3x + 4) = 7x2 − 10x + 8; µ) 2m3 − (2m − 3)(m2 − 7m + 2) − 6 = 17m2 − 25m; ·) (a − 2)2 − 2a(a − 2) + a2 = 4; ¹) x2 − 2x(x − 3) + (x − 3)2 = 9; ») 5x(x − y) − 2(y − x)2 = (3x + 2y)(x − y); ½) (a − 1)(a2 + 1)(a + 1) − (a2 − 1)2 = 2(a2 − 1); ¿) (a2 + 1)2 + (a − 1)(a2 + 1) − a2 = a(a3 + a2 + 1); Á) (x2 − 1)(x4 + x2 + 1) − (x2 − 1)3 = 3x2(x2 − 1): 445. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. ³) x2 − x; ») x2 − 4; Ã) a2 − 3;

µ) 2a − ab; ½) 9 − a2; Å) x2 − 5;

·) 3m − m3; ¿) 4y2 − x2; Ç) 7 − 2m2;

446. ²ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ó¨³÷áË»ù µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ. ³) 6(3a + 4b) − 4(5a − b) + (a + b); µ) 2(p + q) + 3(p − q) − (p + q) − (p − 5q); ·) (2a − 3)(3a − 1) − (4a + 2)(a − 3); ¹) (m − 1)(m + 2) − (m − 3)(m + 4);

200

¹) p2 − pq; Á) m2 − 16n; É) 9 − 5x2:

») 2(x + 1)(x + 2) − (3x − 4)(x + 2); ½) 3(−4a + 1)(a − 1) + 2(3a − 4)(a + 2): 447. ì»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. ³) a(x + y) + b(x + y); ·) 2x(3p − q) − (3p − q); ») n(x − y) − x + y; ¿) ac + ad − bc − bd; Ã) ax − a + x − 1; Ç) ax − bx + cx + ay − by + cy; 448. ì»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. 1 ³) x2 − a2x + −− (a4 − b4); 4

µ) a(x + y) − b(x + y); ¹) m(x + y) − x − y; ½) ax + ay + (bx + by); Á) ac − cx + a − x; Å) 2ax − 3bx − 2ay + 3by; É) 2ax − 5ay + a − 2bx + 5by − b:

µ) 4x2 − 12bx − 4a2 + 9b2;

1 ·) 4x2 − 3ax + −− (2a 2 − ab − b 2); 4

2a a2 ¹) 8x 2 − −−− (1 − 2b)x − −−; b b

a2 + b2 ») x2 − −−−−−−x + 1; ab

a2 + b2 ½) x2 + −−−−−−x + 1: ab

449. ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ. 1 6a 1 x2 + y2 ³) −−−−−−2 + −−−−−−; µ) −−−−−− − −−−−−−−; 3 3 x +y 2x + 2y 4 − 9a 3a − 2 1 1 ·) −−−−−− + −−−−−−; 2x − 2 3x − 3

a b ¹) −−−−−−− − −−−−−−−; ax − bx ay − by

3 ») 2 − −−−−−; a−3

(x − y)2 ½) −−−−−−− + y; 2x

x y 5 3 ¿) (−− − −−) · (−− + −−); 5 3 x y

x 2 Á) (−− − −−) : (3x − 2y); y 3

1 1 Ã) (a2 − −−2 ) : (a − −−); b b

1 1 Å) (4x2 − −−−2) : (2x − −−−): 9b 3b

450. ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ¨ Ñ³ßí»ù ³ñÅ»ùÁ ï³éÇ ïñí³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ. m3 + 1 m 1 ³) (−−−−−− − m) : (1 − m2) − −−−−−, »ñµ m = − −−; m+1 1+m 3 a3 − 8 a−1 2 µ) (−−−−− + 2a) : (4 − a2) − −−−−−, »ñµ a = −−: a−2 2−a 5

201

451. ²å³óáõó»ù Ñ³Ýñ³Ñ³ßí³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. 5x xy + y2 xy ³) −−−−− · (−−−−−−− + xy + y2) − −−−−− = 5xy; x+y 5x − 5y x−y a−5 4(a + 1) 9a a+4 1 ) = −−: − −−−−−−− µ) −−−−−− + −−−−−−− : (−−−−−−− 6 − 3a a2 + 4a a2 − 16 a2 − 4a 6 452. ²å³óáõó»ù, áñ ïñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ µáÉáñ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ ÝáõÛÝ³µ³ñ Ñ³í³ë³ñ ã»Ý. (x − 3)3 (x + 3)3 9(x2 + 3) ³) −−−−−− − −−−−−− ¨ − −−−−−−−−−; 2 2 4 x − 3 3 x + 3 3 x(x2 + 27) µ) (−−−−−) + (−−−−−) ¨ −−−−−−−−−: 3 3 27 ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (453-471) x x xy 453. ³) (−−−−− − −−−−−) : −−−−−−; x−y x+y x2 − y2

m+1 m−1 1 µ) (−−−−− − −−−−− + 4m)(m − −−): m−1 m+1 m

y2 y x x2 454. ³) (−−−−− + −−−−−)(−−− + −−− − 2); 2 2 x−y x+y y x x2y − y2x 1 x µ) (−−−−−−−− + xy)(−− + −−): x−y x y 1 1 1 1 455. ³) (−− + −−)(x − y) + (x + y)(−− − −−); x y x y y x x y y µ) (−− − −−) : (2 − −− − −−) : (−− + 1): x y y x x k+1 k−1 1 k 1 456. ³) (−−−−− − −−−−−)(−− − −− − −−−); k−1 k+1 2 4 4k m3 + m2n + mn2 + n3 m4 − n4 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−− : −−−−−−−: (m + n)3 m2 + 2mn + n2 a+b b+c a+c 457. ³) −−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−; (b − c)(c − a) (a − c)(b − a) (a − b)(c − b) 1 1 1 µ) −−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−; (m − n)(n − p) (p − n)(n − q) (q − n)(n − m) 1 1 1 ·) −−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−; (x − y)(y − z) (z − y)(z − x) (y − x)(x − z)

202

x+y x−y ¹) −−−−− − −−−−−; x−y x+y

m2 − n2 m2 + n2 ») −−−−−− + −−−−−− − 2: m2 + n2 m2 − n2

1 + x 4 x2 + 1 1 + a4 1 − a 2 − −−−−−) : −−−−−; ) : −−−−−; µ) ( a 458. ³) (x2 − −−−−− x2 − 1 x + 1 a2 + 1 1 + a2 1 1 1 m − −−−−−−) · −−−−−− + −−−−−−; ·) (−−−−−− 2 2 m −m m−1 m+2 m −4 k+4 1 3 2 ¹) (−−−−− − −−−−−) · −−−−− − −−−−−; 3k + 3 k + 1 k + 1 1 − k2 2c 1 c+1 1 ») −−−−− − −−−−− : (−−−−−− − −−−−−); 2 c −4 c−2 2c − 2 c − 1 2 1 1 2 y ½) −−−−− + −−−− : (−−−−− − −−−−−−); y2 − 1 y + 1 2 − y 2y − y2 5p + 6 p p p+2 ¿) −−−−− − −−−−− : −−−−− − −−−−−; p−2 p2 − 4 p2 − 4 p − 2 21 − 5a a a a−3 Á) −−−−− − −−−−− : −−−−− − −−−−−: a2 − 9 a2 − 9 a + 3 a + 3 2 4(a − 2) a − 3 a2 − 4 ) · −−−−−− − −−−−−; + −−−−− 459. ³) (−−−−−−−−− a2 − a − 6 4 − a2 a − 1 a−3 3 3y + 12 2y − 1 y−5 − −−−−−−−−−−−); µ) −−−−− + −−−−−−− : (−−−−−− y−2 25 − y2 y2 − 25 2y2 + 9y − 5 a 8 a2 − 2a a + 8 ) − −−−−−−− · −−−−−− + −−−−−; ·) (−−−−− a2 − 4 a2 + 2a 4−a a+2 1 a+3 4a − a2 a + 8 − −−−−−−− ) · −−−−−− + −−−−−; ¹) (−−−−−− a+2 a+4 a2 − 4a a2 − 16 a + 3b a − 3b a 2 + 3b 2 ) ») (−−−−−−2 − −−−−−−− : −−−−−−−; (a − b)2 (a − b) a2 − b2 a + 2b a − 4b b2 + 2ab ) · −−−−−−−−: ½) (−−−−−−2 − −−−−−−− (a + b)2 (a + b) a2 − b2 1−a 1−a 460. ³) (1 − −−−−−) : (1 + −−−−−); 1+a 1+a 1 1 −− − −− a b ·) −−−−−−−−−; 1 1 −−− − −−− 2 b2 a

x x xy µ) (−−−−− − −−−−−) : −−−−−−; x−y x + y x2 − y2 1 1 −− + −− x y ¹) −−−−−−−−; 1 1 −−−2 − −−−2 y x

203

x y 1 1 x2 y2 x y 461. ³) ((−− + −− + 1) · (−− − −−)) : (−−2 + −−2 − (−− + −−)); y x x y y x y x 1 a−2 8 + 4(1 − a) + a2 µ) −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−− − −−−−−: 3 2+a a(a − 2) + 4 8+a −4a 4a2 a − 1 a2 + 3a(a − 1) − 1 462. ³) a : −−−−− − −−−−−−−−−−−−−−− · −−−−−−−−− − −−−−−; 2 2 2 2a + 2a a + 1 − 2a a2 − 1 x2 + 29x + 78 3 x 4 + 1 x3 − x(4x − 1) − 4 ) ) · −−−−−−−−−−−−−−− : −−−−−−−−−−−−: µ) (−− − (x 4 − −−−−− 2 x2 + 1 x7 + 6x6 − x − 6 3x2 + 12x − 36 x2 − 4x − 5 4x + 16 x2 − x − 6 ) : −−−−−−−; − −−−−−−−−−− 463. ³) (−−−−−−−−− x2 − 4 x2 −7x + 10 x−2 x2 + x − 12 4x + 10 x2 − 3x − 10 ) : −−−−−−−: − −−−−−−−−−− µ) (−−−−−−−−−−− 2 2 x − 25 x − 8x + 15 5−x 5 3 5 464. ³) −−−−−−− + −−−−−−− − −−−−−; 2a − 2b 4b − 4a a−b

x+y y x µ) −−−−− − −−−−− + −−−−−; x−y y−x x−y

4m 5n 3m ·) −−−−−−− − −−−−−−− − −−−−−−−; 2m − 3n 3n − 2m 4m − 6n 1 x+y x(x − y) ¹) −−−−− + −−−−−−−−−− − −−−−−−−: 2 2 x3 + y3 x+y x − xy + y 1 4 8 3x − 7 465. ³) −−−−− − −−−−− − −−−−− + −−−−−−; x−1 1−x 1+x x2 − 1 4m 5n 3m µ) −−−−− − −−−−−−−−−− − −−−−−−; 2 2 3 a − b3 a − b a + ab + b 1 x+y x(x − y) ·) −−−−− + −−−−−−−−−− − −−−−−−−: 2 2 x3 + y3 x+y x − xy + y 1 a−b a(a − b) 466. ³) −−−−− + −−−−−−−−−− − −−−−−−−; a3 + b3 a + b a2 − ab + b2 x y2 xy(x + 2y) µ) −−−−− + −−−−−−−−−− − −−−−−−−−−; 2 2 x3 − y3 x−y x + xy + y a2 − 5a + 6 a2 − 4a + 3 a2 + 3a − 4 467. ³) −−−−−−−−−− : −−−−−−−−−−− · −−−−−−−−−−−; a2 + 5a + 4 2a2 + 3a + 1 2a2 − 3a − 2 8c3 c2 + 2c + 4 c3 − 8 c − 2 ) : −−−−−−−−−−: µ) −−−−− : (−−−−− · −−−−−− 2(3 − c) c+3 4c c2 + 3c

204

a3 − a2b − ab2 − 2b3 468. ³) −−−−−−−−−−−−−−−−−−; a3 + 3a2b + 3ab2 + 2b3

4b4 + 11b2 + 25 µ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−: 4b4 − 9b2 + 30b − 25

48 1 4 469. ³) − −−−−−−− + −−−−− + −−−−−−−−−−−; 3 2 a + 4 a − 4a + 16 a + 64 1 2 µ) −−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−−−−−: 2 2 x + 3x + 2 (x + 1)(x + 5x + 6) p 2 − q 2 6p − 6q 470. ³) −−−−−−− : −−−−−−−; (p + q)2 3p + 3q 2a3 + 2b3 a2 + ab ·) −−−−−−−− · −−−−−−−−; 4a2 − 4b2 a2 − ab

3m2 − 3n2 m + n µ) −−−−−−−− · −−−−−−−−; m2 + mn 9m − 9n x 2 − 4y 2 x 3 − 8y 3 ¹) −−−−−−−2 : −−−−−−−−−−−−; (x + 2y) 4y2 − 2xy + x2

3x2 + 3xy x 3 471. ³) −−−−−−−−− · (−−−−−−− + −−−−−−−); 4xy + 6ay ax + ay 2x + 2y 1 1 2 1 1 (a + b)2 µ) (−−− + −−− + −−−−− · ( −− + −− )) : −−−−−−−; a2 b2 a + b a b ab 1 − 2x + x2 − 2x3 x−1 1 − (3x + x2) ) ·) (−−−−−−−−−−−2 − −−−−−−−−−−− : −−−−−−−−−−−−−−−; 3x + (x − 1) x3 − 1 1 + 2x + 2x2 + x3 a2 − ax 2a2 x−1 x ) · (1 − −−−−− − −−2 ): − −−−−−−−−−−−−−−− ¹) (−−−−−−− 2 3 3 2 2 3 ax+x x − ax + a x − a a a ¶ï»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ (472-474). 1 1 472. ³) (a2 − 1) · (−−−−− − −−−−− + 1) »ñµ a = −0,03; a−1 a+1 1 3 3 2p − 1 1 ) · (p − −−−−−) »ñµ p = − −−: + −−−−−−−− µ) (−−−−− − −−−−− 3 2 p+1 3 p+1 p +1 p −p+1 4x x−2 4 x 473. ³) (−−−−−2 − −−−−−−) · −−−−− − −−−−−2 »ñµ x = −1,5; 4 + 2x x + 2 1 − x 4−x a 1 − a2 1 a µ) −−−−− − −−−−−− · (−−−−−−−2 − −−−−−2 ) »ñµ a = 2,5: 2 (a − 2) 1−a 1−a 1+a 9 3 (m − 3)2 6 1 ) + −−−−−−− · −−−−−−− + −−−−− »ñµ m = 2−−; 474. ³) (−−−−−− 2 2 6 3+m 2 m − 9 (3 − m) 2 2 (2 − p)2 2 ) − −−−−−− · −−−−−− − −−−−− »ñµ p = 1,5: µ) (−−−−−− 4 p+2 4 − p2 (p − 2)2

205

a+1 b+1 475. ²å³óáõó»ù, áñ −−−−− − −−−−− = 2, »Ã» 2b = 1 + ab ¨ a ≠ 1, b ≠ 1£ a−1 b−1 a+b+c a−b+c 476. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» −−−−−−−− = −−−−−−−−−, ³å³ bc = 0£ a+b−c a−b−c ¸Çóáõù, x ¨ a ï³é»ñáí Ýßí³Í »Ý Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ÇÙ³ëï áõÝ»Ý£ ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (477-478). 1 1 1 1 477. ³) −−−−−−− + −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−− + x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) 1 + −−−−−−−−−−−; (x + 4)(x + 5) 1 1 2 4 8 16 µ) −−−−− + −−−−− + −−−−−2 + −−−−− + −−−−−8 + −−−−−−: 4 1+x 1 + x16 1−x x+1 1+x 1+x 478. ³) (1 − (1 − a−1b)−1)−2 + (1 − (1 − ab−1)−1)−2; µ) (a + √'a2 − 1)−1 + (a − √'a2 − 1)−1: 479. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» ABC = 1, ³å³ 1 1 1 −−−−−−−−−− + −−−−−−−−−− + −−−−−−−−−− = 1: 1 + A + AB 1 + AC + C 1 + B + BC 480. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ å³ïÏ»ñ»ù Ãí»ñÁ. ³) √$2 ¨ 1,4; ·) √$3, √$5, √$2 + 1;

µ) 1,7 ¨ √$3; ¹) √$11; 3,2; √$13£

481. Ð³ßí»ù.

( )( ) µ) (√$8 − 3√$2 + √$10)(√$2 + √$5) − 2√$5 + √$10 − 5√$2:

³) 2√$3 − 3√$2 + √$6 √$6 − √$2 − 2√$3 + 8√$3 − 4√$6;

482. ²å³óáõó»ù ÃíÇ Çé³óÇáÝ³É ÉÇÝ»ÉÁ. ³) √$80;

µ) √$972;

·) √'1152;

¹) √'2484;

») √'125786;

½) √'2800848:

Î³ï³ñ»ù ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»Á. 2 483. ³) 2√$38 − √$57 · −−− · √$19 + √$12; 19

(

206

)

(

)

1 µ) √$14 − 2√$35 · −− · √$7 + √$20; 7 1 ·) √$200 − −− · √$32 + 2√$72; 2 1 2 ¹) −−√$300 − −−√$27 + √$75: 5 3 484. ÆÙ³ëï áõÝÇ± ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ. ³) √$−4;

µ) √'1 − √$2;

·) √'√$3 − √$2;

¹) √'2 − √$4;

») √'10 − √$121;

½) √'3 − √$17:

485. Ð³ßí»ù. 15 4 ³) (−−−−−− + −−−−−−−) · √$6 + 1 ; √$6 − 1 2 − √$6

(

)

3 −2 −2 4 · 22 + 9 · (−−) 2 + (1 − 30)2 : µ) −−−−−−−−−−−−−−−− 0 1 −1 1 80 + (−−) · (−−−) 2 24

(

)

486. î³é»ñÇ ïñí³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÇÙ³ëï áõÝÇ±. ³) √'b2 − 4, »ñµ b = 3, b = − 2, b = 0; 1 µ) √'b2 − 4 a, »ñµ b = 1, ¨ a = 4, b = −−, ¨ a = −2; 2 1 ·) √'b2 − 4 ac, »ñµ b = 3, a = −−, c = −3; 2 1 ¹) √'b2 − 4 ac, »ñµ b = −−, a = −2, c = 7; 2 −b + a ») −−−−−−, »ñµ b = 3, a = 2, m = 1; 2m −b − a ½) −−−−−−, »ñµ b = −2, a = 3, m = −1; m b 1 ¿) − −−−, »ñµ b = − −−, a = −3: 2a 2

207

487. ä³ñ½»óñ»ù. ³) √'4 + 2√$3 ;

µ) √'4 − 2√$3;

·) √'3 − 2√$2;

¹) √'3 + 2√$2 ;

») √'17 − 4√$13;

½) √'17 + 4√$13;

¿) √'5 + 2√$6 ;

Á) √'5 − 2√$6;

Ã) √'12 − 2√$35 :

²å³óáõó»ù Ñ»ï¨Û³É Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (488-489).

√' √$5 − √' 3 − √' 29 − 12√$5 = 1; 6 + 2√' 5 − √'13 + √$48 = √$3 + 1: µ) √'

488. ³)

2√$3 2 + √$6 − √$10 489. ³) −−−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−; √$2 + √$3 + √$5 2 6 3 3√$2 − 4 3 + √$2 + √$3 µ) −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−: 3 + √$2 − √$3 2

(

)(

)

490. ¾íÏÉÇ¹»ëÇ ËÝ¹ÇñÁ. ³å³óáõó»ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. a + √'a2 − b 'a − √'a2 − b √'a + √$b = /'−−−−−−−−−−− + /−−−−−−−−−−: 2

491. ²ñùÇÙ»¹Ç ËÝ¹ÇñÁ. ×Ç±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù 265 1351 −−−− < √$3 < −−−− 163 180 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ 492. ²å³óáõó»ù, áñ ³) 5 < √$26; ¹) √$11 < 3,4;

µ) 3 < √$13; ») 1,09 < √$1,2 < 1,1;

493. Âí»ñÇó á±ñÝ ¿ Ù»Í. ³) π Ï³Ù √$2 + √$3;

·) √$7 < 2,7; ½) 1,4 < √$2,1 < 1,45:

µ) √$7 + √$3 Ï³Ù √$8 + √$2:

494. ²ñï³¹ñÇãÁ ¹áõñë µ»ñ»ù ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÇ ï³ÏÇó. ·) √$320; ¹) √$32; ³) √$8; µ) √$28; ») √$175;

208

½) √$96;

' 1 ¿) /12−−; 2

' 1 Á) /−−−−: 0,75

495. ²ñï³¹ñÇãÁ Ùïóñ»ù ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÇ ï³Ï. ³) 5√$0,6;

$2 µ) 11/−−−; 11

1 ·) −−√$6; 2

2 $6 ¹) −−/−−: 3 5

496. Îáïáñ³ÏÁ Ó¨³÷áË»ù ³ÛÝå»ë, áñ Ñ³Ûï³ñ³ñÝ ³ñÙ³ï³Ýß³Ý ãå³ñáõÝ³ÏÇ. 1 3 2 ³) −−−−; µ) −−−−; ·) −−−−; √$3 √$3 √$2 1 ¹) −−−−; √$2

1 ») −−−−−−; 3 + √$7

1 ½) −−−−−−−−: √$2 + √$3

ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (497-499). 497. ³) √$8 + 5√$9 − 3√$8 + 5√$7 + 2√$8 − 6√$7; µ) 7√$12 − 5√$27 + 8√$48 − 6√$75 + 2√$108; ·) 2√$3 − √$27 + 3√$12 − 2√$243;

¹) √$50 − 5√$8 + √$2 + √$128:

498. ³) √$3 · √$12;

µ) √$10 · √$15;

·) √$60 : √$5;

¹) √$72 · √$30:

((7√$2 − 5√$6) − (3√$8 − 4√$24)) · 3√$2; µ) ((2√$20 − 7√$8) − (3√$5 − 3√$18)) · 4√$10:

499. ³)

500. ²å³óáõó»ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.(1) √$a + 6 1 12 ³) −−−−−−− − −−−−−−− = −−−−−−; a − 36 √$a + 6 a − 36 √$x 3 x 3 µ) −−−−−− − −−−−−− + −−−−−− = −−−−−−: √$x − 6 √$x + 6 36 − x √$x − 6 501. ²ñï³¹ñÇãÁ Ùïóñ»ù ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÇ ï³Ï. ' 3a 0 < a < 1; ³) (a − 1)/−−−−−, 1 − a2

' 2a µ) (2 − a)/−−−−−, a > 2: a−2

(1)

²Ûëï»Õ ¨ Ñ»ï³·³ÛáõÙ ï³é»ñáí Ýß³Ý³Ïí³Í »Ý Ãí»ñ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ¹Çï³ñÏíáÕ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÇÙ³ëï áõÝÇ£

209

502. ä³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ. √$x √$x ³) (−−−−−− + 1) : (1 − −−−−−−); √$x + 1 √$x + 1

1 √$a + 1 µ) (a − −−−−−−−) · −−−−−−−−−−; 1 + √$a 1 − √$a − a

x−y x√$x − y√$y ·) −−−−−−−− − −−−−−−−−−−; √$x − √$y x−y

√$m 4 m ¹) −−−−−−− − −−−−−− + −−−−−−: √$m − 7 √$m + 7 49 − m

503.* ²å³óáõó»ù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ.

√'a + √$b = √$m + √$n ¨ √'a − √$b = √$m − √$n, a − √'a2 − b a + √'a2 − b áñï»Õ m = −−−−−−−−−−, n = −−−−−−−−−−−: 2 2 504.* ú·ï³·áñÍ»Éáí Ý³Ëáñ¹ Ï»ïáõÙ ¹Çï³ñÏí³Í Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁª å³ñ½»óñ»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ. ³) √'8 + √$28;

µ) √'9 − √$17;

·) √'7 + 2√$6;

¹) √'11 − 2√$10:

505.* ºÃ» ÑÝ³ñ³íáñ ¿, Ýß»ù µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÇ ù³é³ÏáõëÇ ³ñÙ³ïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ïñí³Í Ãí»ñÇ ÙÇç¨. ³) 4000 ¨ 4001; ¹) 1002 ¨ 1003;

µ) 400,0 ¨ 400,1; ») 100,2 ¨ 100,3;

·) 40,00 ¨ 40,01; ½) 10,02 ¨ 10,03:

506. ä³ñ½»ùª x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÇÙ³ëï áõÝÇ, ¨ å³ñ½»óñ»ù. √$x 2

1 2√$x

√$x − 1 √$x + 1

√$x + 1 √$x − 1

(−−−− − −−−−−) · (−−−−−−− − −−−−−−−): 507. ¶ï»ù ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁª ÇÙ³Ý³Éáí, áñ ³ÛÝ ³ÙµáÕç ÃÇí ¿. ³) √'7 − 4√$3 + √'4 − 2√$3;

µ) √'11 − 4√$7 − √'8 + 2√$7;

·) √'9 − 4√$5 + √'14 − 6√$5;

¹) √'7 + 2√$6 − √'10 − 4√$6:

508. ´Ñ³ëÏ³ñ³ÛÇËÝ¹ÇñÁ (ÐÝ¹Ï³ëï³Ý, XII ¹.) ²å³óáõó»ù, áñ

√' 10 + √$24 + √$40 + √$60 = √$2 + √$3 + √$5: 210

509. ³) Æ±Ýã ÃÇí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ³í»É³óÝ»É µ³Å³Ý»ÉÇÇÝ (ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝÙ³Ý ¹»åùáõÙ), áñå»ë½Ç ù³Ýáñ¹Á ã÷áËíÇ£ µ) Æ±Ýã Ãí»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·áõÙ³ñ»É µ³Å³Ý»ÉÇÇÝ ¨ µ³Å³Ý³ñ³ñÇÝ (ÙÝ³óáñ¹áí µ³Å³ÝÙ³Ý ¹»åùáõÙ), áñå»ë½Ç ù³Ýáñ¹Á ¨ ÙÝ³óáñ¹Á ã÷áËí»Ý£ 510. ³) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 1 ÙÝ³óáñ¹, ³å³ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë Ïëï³óíÇ 3 ÙÝ³óáñ¹£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ ÑÇÝ· Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 120-Ç£ a3 − a 511. ³) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» a-Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿, ³å³ −−−−−− -Á ÝáõÛÝå»ë 6 ³ÙµáÕç ÃÇí ¿£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ »ñÏáõ Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç£ ·) ²å³óáõó»ù, áñ ó³ÝÏ³ó³Í »ñÏáõ Ï»Ýï Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç£ 512. ²å³óáõó»ù, áñ (10 27 + 5) ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç£ 513. ³) à±ñ »ñÏÝÇß ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ ÏñÏÝ³å³ïÇÏÝ ¿ Ñ³í³ë³ñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ£ a3 + 1 µ) ¶ï»ù a-Ç ³ÛÝ µáÉáñ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ −−−−−− a−1 Ïáïáñ³ÏÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñ£ 514. ²å³óáõó»ù, »ñÏáõ Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ãÇ Ï³ñáÕ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»É 25k + 1, áñï»Õ k-Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ 515. îñí³Í ¿ x3 − 5x2 + 8x µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ£ Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ »Ã» x-Ç ³ñÅ»ùÁ Ù»Í³óíÇ 1-áí, µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ³ñÅ»ùÁ ãÇ ÷áËíÇ£ ¶ï»ù x-Ç ³Û¹ ³ñÅ»ùÁ£ 516. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ 9-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ÙÝ³óáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 1 Ï³Ù 8, ³å³ ³Û¹ ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ 9-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ÙÝ³óáñ¹áõÙ Ïëï³óíÇ 1£ 517. ab-Ý Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ï»ëùáí£

211

518. ¶ï»ù ³ÛÝ »ñÏÝÇß ÃÇíÁ, áñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Çñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ÏñÏÝ³å³ïÇÏÇÝ£ 519. ¶ï»ù x ¨ y-Áª ÇÙ³Ý³Éáí, áñ xy = 1 ¨ |x| ≤ 1, |y| ≤ 1£ 520. ¶ï»ù "42"a4"b ÑÝ·³ÝÇß ÃíÇ a ¨ b Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³Û¹ ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 72-Ç£ 521. Æ±Ýã Ãí³Ýß³Ýáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ 7 100 ÃÇíÁ£ 522. Æ±Ýã Ãí³Ýß³Ýáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ 214 + 344 + 464 ·áõÙ³ñÁ£ 523. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» n-Á 1-Çó Ù»Í Ï»Ýï ÃÇí ¿, ³å³ n 12 − n 8 − n 4 + 1 ï»ëùÇ ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 128-Ç£ 524. ²å³óáõó»ù, áñ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝù Ñ³Ù³n5 + n4 + n3 + 2 å³ï³ëË³ÝáõÙ »Ý −−−−−−−−−−−−− (n-Á µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿) ï»ëùÇ Ãí»n5 + n4 + n3 + 1 1 ñÇÝ, ¹³ë³íáñí³Í »Ý −− -Çó áã Ù»Í »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ Ñ³ïí³ÍáõÙ£ 3 525. ºñ»ù Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 254,772 ¿£ ºÃ» ¹ñ³ÝóÇó Ù»ÏáõÙ ëïáñ³Ï»ïÁ ï»Õ³÷áËíÇ »ñÏáõ Ãí³Ýß³Ý ³ç, ³å³ Ïëï³óíÇ ³Û¹ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ, ÇëÏ »Ã» ÝáõÛÝ ÃíáõÙ ëïáñ³Ï»ïÁ Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý ï»Õ³÷áËíÇ Ó³Ë, ³å³ Ïëï³óíÇ ³Û¹ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³÷áùñÁ£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 526. ºñ»ù Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3898,32 ¿£ ºÃ» ³Û¹ Ãí»ñÇó Ù»ÏáõÙ ëïáñ³Ï»ïÁ ï»Õ³÷áËíÇ Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý ³ç, ³å³ Ïëï³óíÇ ³Û¹ Ãí»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ, ÇëÏ »Ã» ÝáõÛÝ ÃíáõÙ ëïáñ³Ï»ïÁ ï»Õ³÷áËíÇ Ù»Ï Ãí³Ýß³Ý Ó³Ë, Ïëï³óíÇ ³Û¹ Ãí»ñÇó ÷áùñ³·áõÛÝÁ£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 527.* 7 Ñ»é³ËáëÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ å»ïù ¿ ÙÇ³óíÇ ÙÛáõëÝ»ñÇó ÙÇ³ÛÝ »ñ»ùÇ Ñ»ï£ ÐÝ³ñ³íá±ñ ¿ ¹³ ³Ý»É£ 528. Î³ñá±Õ »Ý ³ñ¹Ûáù »ñ»ù Ù³ñ¹ 36 ÏÙ ³ÝóÝ»É áã ³í»ÉÇ, ù³Ý 6 Å³ÙáõÙ, »Ã» Ñ»ïÇáïÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 5 ÏÙ/Å ¿, µ³Ûó Ýñ³Ýù áõÝ»Ý Ñ»Í³ÝÇí (áñÁ Ý³Ë³ï»ëí³Í ¿ ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï Ù³ñ¹áõ Ñ³Ù³ñ), áñáí Ï³ñ»ÉÇ ¿ ß³ñÅí»É 15 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ ºÃ» å³ï³ëË³ÝÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ Ýß»ù ÉáõÍáõÙÁ, ÇëÏ »Ã» å³ï³ëË³ÝÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ³å³ ÑÇÙÝ³íáñ»ù ³ÛÝ£

212

529. ¶ñ»ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Ý³Ó¨ ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù ¨° 3-Ç, ¨° 4-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ÙÝ³óáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 1£ 530. ¶ñ»ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Ý³Ó¨ ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù ¨° 10-Ç, ¨° 7-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ÙÝ³óáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 2£ 531.* ¶ï»ù å³ÛÙ³Ý, áñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ ïñí³Í »ñÏÝÇß ÃíÇ ¨ ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, µ³Ûó Ñ³Ï³é³Ï Ï³ñ·áí ·ñí³Í »ñÏÝÇß ÃíÇ ·áõÙ³ñÁ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿£ 532.* ¶ï»ù å³ÛÙ³Ý, áñÁ ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ ïñí³Í »ñÏÝÇß ÃíÇ ¨ ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, µ³Ûó Ñ³Ï³é³Ï Ï³ñ·áí ·ñí³Í »ñÏÝÇß ÃíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿£ 533. Æ±Ýã Ãí³Ýß³Ýáí ¿ í»ñç³ÝáõÙ µáÉáñ Ï»Ýï »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£ 534. ø³ÝÇ± 0-áí ¿ í»ñç³ÝáõÙ 1-Çó 20 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£ 535. Î³ñá±Õ ¿ ³ñ¹Ûáù »ñ»ù Ñ³çáñ¹³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝ»É å³ñ½ ÃÇí£ 536. ²å³óáõó»ù, áñ »ñÏáõ Çñ³ñ Ñ³çáñ¹áÕ ½áõÛ· Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 4-Ç£ 537. ²å³óáõó»ù, áñ »é³ÝÇß ÃíÇ ¨ ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí, µ³Ûó Ñ³Ï³é³Ï Ï³ñ·áí ·ñí³Í »é³ÝÇß ÃíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç£ ´³Å³Ýíá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 27-Ç£ 538. ³) ²å³óáõó»ù, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñí³Í »é³ÝÇß ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 37-Ç£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ñí³Í ù³é³ÝÇß ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 101-Ç£ 539. ²å³óáõó»ù, áñ k-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ k3 + 3k2 + 2k ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç£ 540. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» A-Ý Ï»Ýï ÃÇí ¿, ³å³ A2 − 1-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç£

213

541. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» »é³ÝÇß ÃíÇ í»ñçÇÝ »ñÏáõ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý, ÇëÏ µáÉáñ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 7-Ç, ³å³ ³Û¹ »é³ÝÇß ÃÇíÁ ÝáõÛÝå»ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 7-Ç£ 542. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» B-Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿, ³å³ B2 (B2 − 1)-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç£ 543. ¶ï»ù ³Ù»Ý³÷áùñ µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÁ 2-áí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇë ¹³éÝáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ, ÇëÏ 3-áí µ³½Ù³å³ïÏ»ÉÇëª µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ëáñ³Ý³ñ¹£ 544. ì»ñÍ³Ý»ù ** + *** = **** Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ¨ ·áõÙ³ñÁ ã»Ý ÷á÷áËíáõÙ ³çÇó Ó³Ë Ï³ñ¹³ÉÇë£ 545. ºé³ÝÇß ÃíÇ í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ 3 ¿£ ºÃ» ³Û¹ Ãí³Ýß³ÝÁ ï»Õ³÷áËíÇ ³é³çÇÝ ï»ÕÁ (Ñ³ñÛáõñ³íáñÝ»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÇ ï»ÕÁ), ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ 1-áí Ù»Í ÏÉÇÝÇ ëÏ½µÝ³Ï³Ý ÃíÇ »é³å³ïÇÏÇó£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ 546. ²Ù»Ý³ß³ïÁ ù³ÝÇ± ÙÇ³ï»ë³Ï Í³ÕÏ»÷Ýç»ñ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³½Ù»É 264 ëåÇï³Ï ¨ 192 Ï³ñÙÇñ í³ñ¹³Ï³Ï³ãÝ»ñÇó£ 547. ºñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ù»Í ¿ 360-Çó, µ³Ûó ÷áùñ ¿ 400-Çó£ ²Û¹ Ãí»ñÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ 32 ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ, »Ã» ¹ñ³ÝóÇó áã Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ µ³Å³Ý³ñ³ñÁ ã¿£ 548. ¶ï»ù »ñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñª ÇÙ³Ý³Éáí, áñ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ 168 ¿, ÇëÏ ³Ù»Ý³Ù»Í ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ µ³Å³Ý³ñ³ñÁª 24£ 549. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» A + B + C = 0, ³å³ A3 + B3 + C3 = 3ABC£ 550. ³) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» µÝ³Ï³Ý ÃÇíÁ 9-Ç Ï³Ù 3-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ÙÝ³óáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 6, ³å³ ³Û¹ ÃíÇ Ëáñ³Ý³ñ¹Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 9-Ç£ ´³Å³Ýíá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù ³Û¹ Ëáñ³Ý³ñ¹Á 27-Ç£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» ÃÇíÁ 9-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 1 ÙÝ³óáñ¹, ³å³ ù³é³ÏáõëÇÝ 9-Ç íñ³ µ³Å³Ý»ÉÇë ÝáõÛÝå»ë ëï³óíáõÙ ¿ 1 ÙÝ³óáñ¹£ 551. ³) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» k-Ý 4-Çó Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ k4 − 4k3 − 4k2 + 16k ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 384-Ç£ µ) ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» k-Ý 2-Çó Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿, ³å³ k5 − 5k3 + 4k ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 120-Ç£

214

552. ¸åñáó³Ï³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý íÇÏïáñÇÝ³ÛÇ Ù³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇÝ ³é³ç³ñÏí»ó 30 Ñ³ñó£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ×Çßï å³ï³ëË³ÝÇ Ñ³Ù³ñ ïñíáõÙ ¿ñ 7 ÙÇ³íáñ, ÇëÏ ëË³É å³ï³ëË³ÝÇ Ñ³Ù³ñª Ñ³ÝíáõÙ 12 ÙÇ³íáñ£ ø³ÝÇ Ñ³ñóÇ ×Çßï å³ï³ëË³Ý»ó Ù³ëÝ³ÏÇóÁ, »Ã» Ý³ Ñ³í³ù»ó 77 ÙÇ³íáñ£ 553. Ø³ñ½Ç ýáõïµáÉÇ ³é³çÝáõÃÛ³ÝÁ Ù³ëÝ³ÏóáõÙ ¿ 30 ÃÇÙ£ ø³ÝÇ± Ë³Õ ¿ Ë³Õ³óí»É, »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇÙ ÙÝ³ó³ÍÇ Ñ»ï Ë³Õ³ó»É ¿ Ù»Ï ³Ý·³Ù£ 554. ³) Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ x ≠ 0, y ≠ 0£ Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù åÝ¹»É, áñ x + y ≠ 0£ µ) x-Ç ¨ y-Ç ÇÝã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. x 1) x + y = 0; 2) x · y = 0; 3) −− = 0; y x 4) −− = −1; 5) x · y = x: y 555. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) (x − 1)(x − 3) = 0; ·) (x + 4)(3 + x) = 0; ») (2x − 1)(x + 1) = 0; ¿) x(x − 1) = 0; Ã) 3x(2x − 7) = 0;

µ) (x − 5)(x − 2) = 0; ¹) (7 + x)(x − 10) = 0; ½) (x − 0,5)(3x + 4) = 0; Á) x(2x + 1) = 0; Å) 5x(4x − 1) = 0:

556. Ð³Ù³ñ»Éáí m, n, a ¨ b-Ý ïñí³Í Ãí»ñª ÉáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) 4m − 2x = 6n; µ) 5x − 10a = 15b; ·) (x − a)(x + b) = 0; ¹) (a − x)(b − x) = 0: ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (557-558). µ) x2 = 2,25; 557. ³) x2 = 3; 2 ¹) x2 = −1: ·) 3x = 0; 558. ³) −0,5x2 = 0; ¹) 8x2 − 12 = 0; ¿) −7x2 = 1;

µ) 2x2 + 3 = 0; ») 3x2 + 5 = 0; Á) 72 − x2 = 0;

·) 7x2 − 1 = 0; ½) 3x2 = 4x; Ã) 16 + x2 = 0:

559. ²é³ÝÓÝ³óñ»ù ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ. ³) x2 + 2x + 3; ¹) p2 − 6p − 9;

µ) m2 − 2m + 3; ») x2 + 2x;

·) a2 + 4a + 2; ½) c2 − 10c:

215

560. ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ± x-Ç ³ñÅ»ù, áñÇ ¹»åùáõÙ ³) x2 = 0; ¹) 5 + x2 = 0;

µ) x2 = 1; ») x2 + 7 = 0;

·) x2 + 1 = 0; ½) x2 − 16 = 0:

ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (561-566). 5 − 2x 2 3x 561. ³) −−−−−− + −− = −−−−−; 2 x x−1 x −x

2x 3x − 1 3 µ) −−−−− + −−−−−− = −−−−−; 2 x+1 x −1 x−1

6 2 7 ·) −−−−− + −−−−−− = −−−−−−−−−−: 2 2 2 x − 9 x + 4x x + x − 12 x+3 x+5 x−6 562. ³) −−−−− − −−−−− = −−−−−; x2 − x x + x2 1 − x

5x 1 1 µ) −−−−− − −−−−− = 1−−: 3x + 1 9x + 3 6

1 4 5 563. ³) −−−−−−−−− + −−−−−−−−−− = −−−−−−−; 2x + x2 + 1 x + 2x2 + x3 2x + 2x2 7 3 15 µ) −−−−−−− + −−−−−−− = −−−−−−−−: 2 6x + 30 4x − 20 2x − 50 2x2 − 3 + x3 564. ³) −−−−−−−−−− = 0; x2 − x2 + 1 1 2 2+x ·) −−−−− + −−−− = −−−−−; x + 1 x − 1 x2 − 1

x(1 − x) µ) −−−−−−− = 6: 1+x 1 5 5+x ¹) −−−−− + −−−−− = −−−−−: x+1 x−1 x2 − 1

2 1 10 565. ³) −−−−−−−−−−−− − −−−−− = −−−−−−; 2 2 x + 5 x − 25 x − 10x + 25 2 1 12 µ) −−−−−−−−−−− − −−−−− = −−−−−−−: x 2 − 36 x 2 + 12x + 36 x − 6 1 1 1 1 566. ³) −−−−− + −−−−− + −−−−− + −−−−− = 0; x−8 x−6 x+6 x+8 3 4 1 2 µ) −−−−− − −−−−− = −−−−− − −−−−−: x−2 x−1 x−4 x−3 567. Ð³Ù³ñÅ»±ù »Ý ³ñ¹Ûáù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ. ³) (x − 2)(x + 3) = 0 ¨ x2 + 2x − 3 = 0; µ) (x − 3)(x − 4) = 0 ¨ x2 + x − 12 = 0; 1 ·) −−−−− − x = 1 ¨ (x + 1)(x + 2) = 0; x+1

216

2 ¹) (3 − x)(x − 1) = 0 ¨ x − −−−−− = 4: 1−x ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (568-580). 568. ³) x4 + 9 = 10x2; ·) x4 − 14x2 = 15; ») x4 + x2 = 0; ¿) x4 + 2x2 − 3 = 0; Ã) x3 + 4x2 + 4x + 1 = 0; Ç) 2x3 − 3x2 + 3x = 2;

µ) x4 − 20x2 + 64 = 0; ¹) 5x4 + 3 + 8x2 = 0; ½) x4 − x2 = 0; Á) x4 − x2 − 6 = 0; Å) x3 + 4 = 3x2; É) x4 − 2x3 + x = 132:

569*. ³) (x2 − 5)2 + (x2 − 1) = 40; ·) (x2 + 1)(x2 − 3) = 15; ») (x2 − 1)2 − 12 = 3 − x2;

µ) (x2 − 10)(x2 − 3) = 78; ¹) (y2 − 3)2 = 2(15 − y2); ½) (x2 − 2)2 − 2(x2 + 5) = 4:

570. ³) x3 − x2 + x − 1 = 0; ·) 2x4 + 5x3 − 5x − 2 = 0; ») 3x3 − 7x2 − 7x + 3 = 0; ¿) x3 − 25x − 2x2 + 50 = 0; Ã) x3 + 2x2 − 9x − 18 = 0;

µ) x3 − x2 + x + 1 = 0; ¹) x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0; ½) 6x3 − 7x2 − 7x + 6 = 0; Á) x3 + 3x2 − 16x − 48 = 0; Å) x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0:

571. ³) x3 − 2x(x + 1) = x; µ) (x3 − 5x2)(x2 − 3x + 1) = 0; ·) 3x3 − 3x(x − 1) = 7x2; ¹) (14x3 + 19x2 + 12x)(2x2 − 7x + 6) = 0; ») (x − 2)2 − 10(x − 2) + 21 = 0; ½) (a + 1)2 = 9(a + 1) − 20; ¿) (2m − 1)2 + 4(2m − 1) + 3 = 0; Á) (3n + 2)2 = 15 − 2(3n + 2); 1 2 1 1 Ã) (x + −−) − 4−−(x + −−) + 5 = 0; x 2 x 1 1 1 − −−(x + −−) − 3 = 0: Å) x2 + −− 2 x x2 572. ³) (x2 + 2) · |2x − 1| = 0;

µ) |x4 + 1| = x4 + x:

573. ³) x − 6√$x = −5; ·) x + √$x = 30; ») x9 − 2x5 + x = 0;

µ) x + 10 = 7√$x; ¹) x − 3√$x = 28; ½) x9 + 4x5 + 4x = 0:

217

2 x 2 574. ³) −−−−−−−−−−−− − −−−−−−− = −−−−−−; (2x − 1)(x + 2) 5(x + 2) 2x − 1 4 2x 3 µ) −−−−−−−−−−−−− − −−−−−− = −−−−−−: (3x − 1)(x + 1) 3x + 3 3x − 1 x 7 8 575. ³) −−−−− − −−−−− = −−−−−−; 2 x−2 x+2 x −4

1 24 x+1 µ) −−−−− + −−−−−− = −−−−−; 2 x−4 x − 16 x + 4

3 2x 3x + 1 ·) −−−−− + −−−−− − −−−−−− = 0; x+1 x − 1 x2 − 1

1 x 18 ¹) −−−−− − −−−−− + −−−−− = 0; x − 3 x + 3 x2 − 9

3 1 1 ») −−−−−−−−− − −−−−− = −−−−−; 2 2 x − 2x + 1 x − 1 x + 1

1 2 5 ½) −−−−− + −−−−− = −−−−−−−−−; 2 2 x−1 1−x x + 2x + 1

1 6 3 ¿) −−−−− − −−−−−2 = −−−−−−−−−; 2 x+3 9−x x − 6x + 9

4 1 6 Á) −−−−−−−−− − −−−−− = −−−−−: 2 x + 6x + 9 x − 3 9 − x2

2+a 1 − 3a 2a 576. ³) −−−−− − −−−−−− = −−−−−; 3−a a a−2

1 2 4 µ) −−−−− + −−−−− = −−−−−; x+1 x−2 x−3

2 1 3 ·) −−−−− − −−−−− = −−−−−; m−1 m+3 m−3

3 7 6 ¹) −−−−− + −−−−− = −−−−−; x+1 x+2 x−1

21 10 4 ») −−− − −−−−− − −−−−− = 0; y y−2 y−3

3 − 5x x − 11 ½) −−−−−− = 2 + −−−−−−: x+2 x+4

1 1 577. ³) x(x + 1) = |x + −−| + −−; 2 2 ·) x2 + 5|x + 2| = −4(x + 2);

1 5 µ) 6x(x − 1) + 5|x − −−| = − −−; 2 2 ¹) x2 + 4x = 2 − |x + 2|:

578. ³) 4x 4 − 11x2 − 3 = 0;

µ) 4x 4 − 7x2 − 2 = 0:

4x 16 579. ³) x − −−−−− = −−−−−; 4−x x−4

3x 9 µ) −−−−− + −−−−− = x; 3−x x−3

1 10 1 ·) −−−−−−−−−−− + −−−−−− = −−−−−; 2 2 x+5 x − 10x + 25 25 − x 2 12 1 ¹) −−−−−−−−−−−− + −−−−−−2 = −−−−−: 2 36 − x x−6 x + 12x + 36 1 580. ³) −−−−−− = 1; x − x−1

218

1 µ) −−−−−− = 1; x + x−1

2 10 1 ·) −−−−−−−−−−− − −−−−−− = −−−−−; 2 2 x−5 x + 10x + 25 25 − x 1 12 1 ¹) −−−−−−−−−−− − −−−−−−2 = −−−−−; 2 x − 12x + 36 36 − x x+6 x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ áñáßí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ (581-583). 1 581. ³) −−−−−; x+1 2x2 − 4 582. ³) −−−−−−; x2 − x 1 ¹) −−−−−−−−−; 2 x − 5x + 6 x−7 583. ³) −−−−−−−−−; 2 x − 5x + 6 3x − x2 ¹) −−−−−−−−−; x2 − 5x + 6

1 µ) −−−−−; x−1

2x ·) −−−−−−; 3x − 1

4x ¹) −−−−−−: 2x + 5

7 − 2x2 µ) −−−−−−; 2x − x2

x2 − x + 1 ·) −−−−−−−−−: x2 + x − 2

x2 − 7 ») −−−−−−−−−; x2 − 3x + 4

5 ½) −−−−−−−−−: 2 x −x+3

5 µ) −−−−−−−−−; 2 x +x+3

x2 − 5 ·) −−−−−−; x+5

x2 − 7x − 1 ») −−−−−−−−−−; 2x − 7x2 − 8

9x2 − 4x − 1 ½) −−−−−−−−−−: 5x − 3x2 + 1

584. îñí³Í ÃÇíÁ x2 − 4x + 2 = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³±ï ¿. ³) −2 − √$2; ·) 2 − √$2;

µ) 2 + √$2; ¹) −2 + √$2:

585. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù, áñ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ x2 + 6x + 10 > 0£ 586.* m-Ç Ç±Ýã Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ (2 − m)x2 + 2mx + 1 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ÉñÇí ù³é³ÏáõëÇ£ 587. è³óÇáÝ³É ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñáí ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ Ï³ñá±Õ ¿ áõÝ»Ý³É ³ÛëåÇëÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ. ³) 5 ¨ 2 + √$3;

µ) √$2 ¨ √$5;

·) 3 − √$2 ¨ 3 + √$2:

588.* t-Ç Ç±Ýã Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ x2 − 12x + t = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ ù³é³ÏáõëÇÝ£

219

589. t-Ç Ç±Ýã Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ x2 + t(t − 1) x + 9 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 590. ¶ñ»ù ÙÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³Ù, áñÇ ³ñÅ»ùÁ x = 0 ¹»åùáõÙ 3 ¿, x = 1 ¹»åùáõÙª 0, x = 2 ¹»åùáõÙª 1£ 591. ¶ñ»ù ù³é³ÏáõëÇ »é³Ý¹³Ù, áñÇ ³ñÅ»ùÁ x = 1 ¹»åùáõÙ 1 ¿, x = 2 ¹»åùáõÙª 3, x = 3 ¹»åùáõÙª 11£ 592. Î³ñá±Õ »Ý x2 + px + q = 0 µ»ñí³Í ï»ëùÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÉÇÝ»É ³ÙµáÕç Ãí»ñ, »Ã» p-Ý ¨ q-Ý ³) ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý,

µ) é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý£

593. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) 1999x2 − 2001x + 2 = 0;

µ) (x − 3)(x − 4)(x − 7)(x − 8) = 12:

üáõÝÏóÇ³, ·ñ³ýÇÏ, Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛáõÝ 594. ¶ï»ù Ýßí³Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ. ³) 1 ÏÙ ¨ 1 Ù, ·) 1 Å ¨ 1 ñáå»,

µ) 1 · ¨ 1 Ï·, ¹) 1 ÏÙ2 ¨ 1 Ñ³£

595. ¶ñ»ù Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ï»ëùáí. ³) 3-Á Ñ³ñ³µ»ñáõÙ ¿ 5-ÇÝ, ÇÝãå»ë 9-Áª 15-ÇÝ£ µ) 7,2-Á Ñ³ñ³µ»ñáõÙ ¿ 3-ÇÝ, ÇÝãå»ë 1,2-Áª 0,5-ÇÝ£ ·) 12-Á ³ÛÝù³Ý ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ 4-Çó, áñù³Ý ³Ý·³Ù 48-Áª 16-Çó£ ¹) 8-Á ³ÛÝù³Ý ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ 7-Çó, áñù³Ý ³Ý·³Ù 4-Áª 3,5-Çó£ 596°. Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù Ï³½Ù»É Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó. ³) 20 £ 10 ¨ 10 £ 5; ·) 11 £ 2 ¨ 1,1 £ 0,2;

µ) 1 £ 3 ¨ 15 £ 5; 1 ¹) −− £ 3 ¨ 2 £ 12£ 2

597. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. 9 18 ³) −− = −−−; 5 10

220

µ) 4 : 13 = 2 : 6,5;

21 ·) 7 : 3 = −−−; 9

0,02 4 ¹) −−−− = −−−: 17 340

598°. Î³ñ»ÉÇ± ¿ Ï³½Ù»É Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ñ»ï¨Û³É Ãí»ñÇó. ³) 1, 2, 3, 6;

µ) 7, 6, 2, 21;

·) 2, 18, 6, 6;

¹) 3, 40, 20, 6:

599. îíÛ³É Ãí»ñÇ »éÛ³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ÁÝïñ»ù ãáññáñ¹ ÃÇíÝ ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ãí»ñÁ Ï³½Ù»Ý Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛáõÝ. ³) 2, 3, 5;

µ) 7, 2, 8;

·) 10, 1000, 1;

¹) 7, 5, 3:

600. Îáïáñ³Ï³ÛÇÝ Ãí»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ ÷áË³ñÇÝ»ù ¹ñ³Ý Ñ³í³ë³ñ ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ. 0,2 ³) −−−; 0,5

1,7 µ) −−−; 0,5

1,21 ·) −−−−; 0,05

0,0001 ¹) −−−−−−; 0,5

1 1 ») −− : −−; 3 4

2 ½) −− : 0,5; 5

2 4 ¿) −− : −−; 3 7

4 Á) 1,2 : −−: 5

601. ÖÇ±ßï ÏÙÝ³ ³ñ¹Ûáù Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, »Ã» µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ ÙÇ¨ÝáõÛÝ Ãíáí ³) »ñÏáõ »½ñ³ÛÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, µ) »ñÏáõ ÙÇçÇÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 602. ²ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ÷áË³ñÇÝ»ù Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ. ³) 16 · 3 = 2 · 24; ·) 250 · 8 = 2 · 1000;

µ) 3 · 8 = 4 · 6; ¹) 144 · 3 = 16 · 27:

603. àñáß»ù Ù³ëßï³µÁ, »Ã» ·Í³·ñÇ 1 ëÙ-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ ï»Õ³ÝùÇ 10 Ù£ 604. ²ßË³ñÑ³·ñ³Ï³Ý ù³ñï»½Ç íñ³ áñáß»ù »ñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ë×áõÕáí ×³Ý³å³ñÑÁ å³ïÏ»ñáÕ Ñ³ïí³ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ï»Õ³ÝùáõÙ ³Û¹ Ë×áõÕáõ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 200 ÏÙ ¿, ÇëÏ ù³ñï»½Ç Ù³ëßï³µÁª ³) 1 : 1 000 000; ·) 1 : 200 000;

µ) 1 : 5 000 000; ¹) 1 : 20 000 000:

221

605. ø³ñï»½Ç Ù³ëßï³µÁ 1 £ 50000 ¿£ àñáß»ù ï»Õ³ÝùáõÙ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ù³ñï»½áõÙ ³ÛÝ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ³) 5 ëÙ, µ) 2,2 ëÙ, »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ Ñ³ïí³Íáí£

·) 37 ÙÙ,

¹) 1,2 ¹Ù

606. 400 Ù, 350 Ù, 275 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÷áÕáóÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ å³ïÏ»ñ»ù ÑáñÇ½áÝ³Ï³Ý Ñ³ïí³ÍÝ»ñáíª 50 Ù-Á ÁÝ¹áõÝ»Éáí 1 ëÙ£ Æ±Ýã Ù³ëßï³µáí ¿ Ï³ï³ñí³Í ·Í³·ÇñÁ£ 607. Þ»ÝùÇ 40 Ù, 60 Ù, 35 Ù µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ å³ïÏ»ñ»ù áõÕÕ³ÓÇ· Ñ³ïí³ÍÝ»ñáíª ÁÝ¹áõÝ»Éáí 2 ëÙ-Á 10 Ù£ Æ±Ýã Ù³ëßï³µáí ¿ Ï³ï³ñí³Í ·Í³·ÇñÁ£ 608. 1 £ 250 Ù³ëßï³µáí åÉ³ÝáõÙ ß»ÝùÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 6 ëÙ ¿£ ¶ï»ù ß»ÝùÇ Çñ³Ï³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ£ 609. Þ»ÝùÇ åÉ³ÝÁ Ý³Ë³·Íí³Í ¿ 8 Ù 1 ëÙ Ù³ëßï³µáí£ ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ µÝ³Ï³ñ³ÝÇ Çñ³Ï³Ý ã³÷»ñÁ, »Ã» åÉ³ÝáõÙ ¹ñ³Ýù Ñ³í³ë³ñ »Ý 1,25 ¨ 1,5 ëÙ£ 610. ¸åñáóÇ ß»ÝùÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 60 Ù ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ ß»ÝùÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³ï³Ï³·ÍáõÙ, »Ã» 1 ëÙ-ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ëË³ÝáõÙ ¿ 5 Ù£ 611. ØáëÏí³-ê³ÝÏï ä»ï»ñµáõñ· Ù³ÛñáõÕáõ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 725 ÏÙ ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ ×³Ý³å³ñÑÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 1 £ 5 000 000 Ù³ëßï³µáí ù³ñï»½áõÙ£ 612°. ÖÇ±ßï ¿ ³ñ¹Ûáù åÝ¹áõÙÁ. ³) y ¨ x ÷á÷áË³Ï³ÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ ó³ÝÏ³ó³Í áõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý Ï³ËáõÙ y-Ç x-Ç, ÝÏ³ïÙ³Ùµ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ ¿£ µ) ò³ÝÏ³ó³Í ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ áõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý Ï³ËáõÙ ¿£ 613°. ²ÝáÃáõÙ ëÝ¹ÇÏ ¿ Éóí³Í£ êÝ¹ÇÏÇ ×ÝßáõÙÝ ³ÝáÃÇ Ñ³ï³ÏÇ íñ³ Ñ³ßííáõÙ ¿ P = kH µ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ H-Á ëÝ¹ÇÏÇ ëÛ³Ý µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ ¿£ îíÛ³É ¹»åùáõÙ Ç±Ýã ÇÙ³ëï áõÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý k ·áñÍ³ÏÇóÁ£ 614. ²åñ³ÝùÇ ·ÇÝÝ áõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý ¿ ù³Ý³ÏÇÝ£ Î³½Ù»ù ³Û¹ Ï³åÝ ³ñï³Ñ³ÛïáÕ µ³Ý³Ó¨ ¨ å³ñ½»ù Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·áñÍ³ÏóÇ ÇÙ³ëïÁ£

222

615. Ø»ï³Õ³É³ñÇ l »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ¨ t ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÇ Ï³åÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ l = l0(1 + αt) µ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ l0-Ý Ù»ï³Õ³É³ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ ¿ 0 °C-áõÙ, ÇëÏ α-Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ÃÇí ¿£ t-Ý ³ñï³Ñ³Ûï»ù l-áí£ 616. ³) 1 Ñ³ µ»ñùÁ A ó/Ñ³ ¿, Ù³Ï»ñ»ëÁª S (Ñ³), µ»ñùÇ ½³Ý·í³ÍÁª P (ó)£ ²ñï³Ñ³Ûï»ù A, S ¨ P-Ç Ï³åÁ£ µ) ²ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ C ¿, åïáõÛïÝ»ñÇ ÃÇíÁª k, ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÁª S£ ´³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù C, k, S-Ç Ï³åÁ£ 617. ³) V Í³í³Éáí çñ³í³½³ÝÁ ÉóíáõÙ ¿ åáÙåáí t Å³Ù³Ý³ÏáõÙ£ äáÙåÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ K ¿£ ´³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù V, t ¨ K-Ç Ï³åÁ£ µ) æñ³í³½³ÝÇ Í³í³ÉÝ ÁÝ¹áõÝ»Éáí ÙÇ³íáñª µ³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù åáÙåÇ K ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ t Å³Ù³Ý³Ïáí£ 618. ³) ²í³Ý¹³ïáõÝ ËÝ³Ûµ³ÝÏ Ý»ñ¹ñ»ó A é. ·áõÙ³ñ, ï³ñ»Ï³Ý K %áí£ ´³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù B Ý»ñ¹ñáõÙÁ 1 ï³ñÇ Ñ»ïá£ µ) ´³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù m ½³Ý·í³ÍÇ, V Í³í³ÉÇ ¨ P ËïáõÃÛ³Ý Ï³åÁ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÷á÷áË³Ï³ÝÇ Ñ³Ù³ñ ·ñ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý µ³Ý³Ó¨Á£ 619. ³) 20-Á 6-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ù³Ýáñ¹áõÙ ëï³óíáõÙ ¿ 3, ÇëÏ ÙÝ³óáñ¹áõÙª 2£ ¶ñ»ù Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ²Û¹ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ³ñï³Ñ³Ûï»ù ÙÛáõë »ñÏáõëáí£ µ) ´³Ý³Ó¨áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù a µ³Å³Ý»ÉÇÇ, b µ³Å³Ýáñ¹Ç, c ù³Ýáñ¹Ç ¨ d ÙÝ³óáñ¹Ç Ï³åÁ£ ²Û¹ µ³Ý³Ó¨Çó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÃÇí ³ñï³Ñ³Ûï»ù ÙÛáõë »ñÏáõëáí£ 620. ³) Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ x = 2 ¹»åùáõÙ y = 3x + b ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¿ 8 ³ñÅ»ù£ ¶ï»ù b-Ý£ µ) Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ y = kx − 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ (−3; 7) Ï»ïáí£ ¶ï»ù k-Ý£ 621. îñí³Í »Ý »ñÏáõ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñª y = 3x − 1 ¨ y = 0,2x + 2£ ä³ñ½»ù x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ »Ý »ñÏáõ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÝ ÁÝ¹áõÝáõÙ ÝáõÛÝ ³ñÅ»ùÁ£ ÈáõÍáõÙÁ Éáõë³µ³Ý»ù ·ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ 622.* ³) òáõÛó ïí»ù, áñ (0; a) ¨ (−1; 0) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ ó³ÝÏ³ó³Í Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý y = ax + a Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£

223

µ) îñí³Í ¿ y = Ax + B ýáõÝÏóÇ³Ý, áñï»Õ A-Ý ¨ B-Ý ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý (A ≠ 0)£ ²å³óáõó»ù, áñ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, å³ïÏ³B ÝáõÙ »Ý (O; B) ¨ (− −−; O) Ï»ï»ñáí ï³ñí³Í áõÕÕÇÝ£ A ·) ¶ñ»ù (x1; y1) ¨ (x2; y2) (x1 ≠ x2) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ¹) ¶ñ»ù ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ ãå³ïÏ³ÝáÕ (x1; y1) ¨ (0; b) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ») ¶ñ»ù k ³ÝÏÛáõÝ³ÛÇÝ ·áñÍ³Ïóáí ¨ (x1; y1) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£ ½) ø³é³Ïáõëáõ ³ÝÏÛáõÝ³·Í»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ íñ³ ¨ Ñ³í³ë³ñ »Ý 8-Ç£ ¶ñ»ù ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙ»ñÁ å³ñáõÝ³ÏáÕ áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ 623. x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ y = x + 2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ³) ¹ñ³Ï³Ý »Ý, µ) µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý, ·) ÷áùñ »Ý 5-Çó, ¹) Ù»Í »Ý 3-Çó, ») 4-Çó ÷áùñ ã»Ý, ½) 1-Çó Ù»Í »Ý, 3-Çó ÷áùñ, ¿) −3-Çó Ù»Í »Ý, 1-Çó ÷áùñ, Á) 0-Çó Ù»Í »Ý, µ³Ûó 7-Çó ÷áùñ£ 624. Æ±Ýã ³ÝÏÛáõÝ »Ý Ï³½ÙáõÙ y = x ¨ y = −x ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ox ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³ÝóùÇ Ñ»ï£ Æ±Ýã ³ÝÏÛáõÝ »Ý Ï³½ÙáõÙ ³Û¹ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ÙÇÙÛ³Ýó Ñ»ï£ 625.* ³) ´»ñ»ù ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ½áõ·³Ñ»é »Ý£ ÆÝãá±í »Ý ï³ñµ»ñíáõÙ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ£ µ) ´»ñ»ù ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Ox ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ï³½ÙáõÙ »Ý 45°, 135° ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ£ ·) ´»ñ»ù ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ûñÇÝ³ÏÝ»ñ, áñáÝó ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ÷áËáõÕÕ³Ñ³Û³ó »Ý£ 626. ³) àõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ I ¨ III ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ ¶ï»ù ³Û¹ áõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·áñÍ³ÏóÇ Ýß³ÝÁ£ µ) à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ¹³ë³íáñí³Í áõÕÇÕ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã» k > 0, k < 0£ ·) ÆÝãå»±ë ¿ ¹³ë³íáñí³Í y = kx ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ k = 0 ¹»åùáõÙ£

224

627. ³) Æ±Ýã Ï³ñ»ÉÇ ¿ åÝ¹»É k ¨ b Ãí»ñÇ Ù³ëÇÝ, »Ã» y = kx + b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¹³ë³íáñí³Í ¿ ³) I ù³éáñ¹áõÙ, µ) II ù³éáñ¹áõÙ, ·) III ù³éáñ¹áõÙ£ µ) ºÃ» y = kx + b µ³Ý³Ó¨áõÙ b < 0, ³å³ á±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ Ï³ñáÕ ¿ ¹³ë³íáñí³Í ÉÇÝ»É ³Û¹ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ÆÝãåÇëÇ± ¹»åù»ñ »Ý ÑÝ³ñ³íáñ£ ´»ñ»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ 628. Æ±Ýãå»ë Ï³ñáÕ ¿ ¹³ë³íáñí³Í ÉÇÝ»É y = kx + b ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã». ³) b > 0 ¨ |k| < 1, ´»ñ»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£

µ) b < 0 ¨ |k| > 1£

629. ÜÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ Os ³é³Ýóùáí ß³ñÅíáõÙ ¿ ³) s = 2t + 3, µ) s = −2t + 3 ûñ»ÝùÝ»ñáí£ 1) Î»ïÇ ß³ñÅáõÙÁ Ñ³í³ë³ñ³ã³±÷ ¿£ 2) ²é³ÝóùÇ á±ñ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¿ ³ÛÝ ß³ñÅíáõÙ£ 3) Æ±Ýã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ ß³ñÅíáõÙ Ï»ïÁ£ 4) t = 0 Å³Ù³Ý³ÏÇ å³ÑÇÝ áñï»±Õ ¿ ·ïÝíáõÙ Ï»ïÁ£ 5) Ä³Ù³Ý³ÏÇ á±ñ å³ÑÇÝ ¿ñ Ï»ïÁ ·ïÝíáõÙ ½ñáÛ³Ï³Ý Ï»ïáõÙ (s = 0)£ 6) tOs Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ Ï³éáõó»ù ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ£ 630. Â³÷ ³éÝ»Éáíª Ñ»Í³Ýíáñ¹Á ·ÝáõÙ ¿ ë³ñÝ Ç í»ñ v = 10 − 2t Ù/íñÏ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµª ³é³Ýó áïÝ³ÏÝ»ñÝ û·ï³·áñÍ»Éáõ£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Ý³ Ï·Ý³ ÙÇÝã¨ Ï³Ý· ³éÝ»ÉÁ£ ä³ï³ëË³ÝÁ Éáõë³µ³Ý»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý£ 631. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = 3;

µ) y = −x;

·) y = 0,5x + 5;

¹) y = −4 − x:

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (632-633). 1 632. ³) y = −− x; 3 ¹) y = 2,5x;

3 µ) y = −− x; 4

1 ·) y = −2 −− x; 3

») y = 0;

½) y = −x:

225

633. ³) y = 2x − 3; 1 ¹) y = − −− x − 3; 2

µ) y = −2x − 3; 1 ») y = −− x − 3; 2

·) y = 3x + 1; 1 ½) y = −− x + 1: 3

634. Üßí³Í Ï»ïÁ å³ïÏ³Ýá±õÙ ¿ y = 3,5x + 12 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ. ³) (−1; −2);

µ) (5; −7);

·) (−2; −5,8);

¹) (4; 15,2):

635. A Ï»ïÁ å³ïÏ³ÝáõÙ ¿ y = −2x + 0,5 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ ¶ï»ù ³ÝÑ³Ûï Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ. ³) A(x; 1,5);

µ) A(4; y);

·) A(x; −2);

¹) A(−3; y):

636. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¨ ·ï»ù x ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. ³) y = 3x + 2; ¹) y = −x + 2;

µ) y = 3x − 2; ») y = 0,5x − 4;

·) y = x + 3; ½) y = 5 − 3x:

637. ú·ïí»Éáí y = x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇóª Ï³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ. ³) y = 3x;

µ) y = 0,3x;

·) y = −2x:

638. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = x;

µ) y = |x|;

·) y = −|x|;

¹) y = 0:

639. Üß»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³×Ù³Ý (Ýí³½Ù³Ý) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ. ³) y = x − 2; ·) y = 2(x + 1); ») y = |x|;

µ) y = −2x + 3; ¹) y = 3x − 7(x − 4); ½) y = −|x|:

640. ¶ñ»ù Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí ¨ ïñí³Í Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) B(1; 1,5);

µ) B(1; −3);

·) B(1; −0,5);

641. ¶ñ»ù (0; 3) Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ïñí³Í áõÕÕÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) y = 2x; µ) y = 2x − 1; ·) y = 1,5x − 1; ¹) y = −x + 2:

226

642. à±ñ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ¿ ³ÝóÝáõÙ ïñí³Í Ï»ï»ñáí. ³) A(2; 6) ¨ B(6; 10); µ) A(2; 5) ¨ B(3; 7); ·) A(3; 3) ¨ B(5; 1); ¹) A(−1; 2) ¨ B(2; −7): 643. ¶ñ»ù ïñí³Í Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) (2; 1) ¨ (1; 0); µ) (1; 2) ¨ (3; 4); ·) (0; 2) ¨ (1; 0); ¹) (−1; 2) ¨ (2; −1); ») (0; 0) ¨ (−3; −3); ½) (1; −2) ¨ (−3; −5)£ 644. ²å³óáõó»ù, áñ ³) y = 2x ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿, 1 µ) y = − −− x ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿, 2 ·) y = 3x2 ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ x ≥ 0 ¹»åùáõÙ, ¹) y = −x2 ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ x ≥ 0 ¹»åùáõÙ£ 645. ³) y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¹³ë³íáñ»ù ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí. y(−4), y(5,1), y(4,1), y(0,5), y(0)£ µ) ¸³ë³íáñ»ù y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ýí³½Ù³Ý Ï³ñ·áí. 1 1 2 y(− −−), y(−0,3), y(−−), y(0,27), y(−0,(3)), y(−−)£ 5 4 7 x2 646.* y = 3 · −−− + 5 ýáõÝÏóÇ³Ý ·Í³ÛÇ±Ý ¿£ x x2 − 1 647.* Î³éáõó»ù y = −−−−− ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ x−1 648. ÜÏ. 86-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ï»ù a, b ¨ c-Ý£

3 4

ÜÏ. 86

227

649. y = ax2 + bx + c ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏáí áñáß»ù a, b ¨ c-Ý (ÝÏ. 87)£

O O

ÜÏ. 87 650. ºñÏáõ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ï»ñ Os ³é³Ýóùáí ß³ñÅíáõÙ »Ýª ³) s = 2t + 4 ¨ s = 4t; µ) s = 2t + 1 ¨ s = −t + 3; ·) s = 2t + 1 ¨ s = 2t + 3 ûñ»ÝùÝ»ñáí£ ÎÑ³Ý¹Çå»±Ý ³ñ¹Ûáù ³Û¹ Ï»ï»ñÁ£ ºÃ» ³Ûá, ³å³ Å³Ù³Ý³ÏÇ á±ñ å³ÑÇÝ£ ÜÏ³ñ»ù ß³ñÅáõÙÝ»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ ¨ ¹ñ³Ýó û·ÝáõÃÛ³Ùµ å³ñ½³µ³Ý»ù ëï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ£ 651.* ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ï»ù x-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) x2 > 9; ¹) x2 < −3; ¿) x2 > 2x;

µ) x2 > −5; ») x2 ≤ 0; Á) x2 < x;

·) x2 ≥ 3; ½) x2 < 4; Ã) x2 ≤ 2x + 1:

652.* Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = |x|(x + 2);

µ) y = x|x + 2|:

653.* ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ï»ù k-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ÝáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. 1 ³) −− = 1; x

228

1 µ) 3 = −−; x

1 ·) −− = x2: x

Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (654-656). 1 654.* ³) y = −−; x

1 µ) y = − −−; x

1 655.* ³) y = −− + 1; x 1 ·) y = 2 − −−; x 656. ³) y = −|x|; ¹) y = x + |x|;

|x| ·) y = −−−; x2

x2 ¹) y = −−−: |x2|

1 µ) y = −− − 2; x x−1 ¹) y = −−−−−: x µ) y = |x − 1|;

·) y = |2x + 1|; x2 − 1 ½) y = −−−−−; x−1

») y = |x − 1|;

x2 − 1 ¿) y = −−−−−: x+1 657. ¶ï»ù ïñí³Í Ï»ï»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ. ³) A(1; 2) ¨ B(1; −8); ·) A(1; 2) ¨ B(2; 5);

µ) A(1; 2) ¨ B(−6; 2); ¹) A(1; 2) ¨ B(−2; −5):

658. ¶ñ»ù A Ï»ÝïñáÝáí ¨ AB ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÍÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) A(−2; 1) ¨ B(1; 5);

µ) A(1; 5) ¨ B(−2; 1):

659.* 20-Á Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ï»ëùáí ³ÛÝå»ë, áñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ£ 660.* ¶ï»ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ ·áõÙ³ñÝ Çñ ù³é³Ïáõëáõ Ñ»ï ÷áùñ³·áõÛÝÝ ¿£ 661.* 18-Á Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ï»ëùáí ³ÛÝå»ë, áñ ³é³çÇÝ ·áõÙ³ñ»Éáõ ÏñÏÝ³å³ïÇÏÇ ¨ »ñÏñáñ¹Ç ù³é³Ïáõëáõ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý ÷áùñ³·áõÛÝÁ£ 662.* 16-Á Ý»ñÏ³Û³óñ»ù »ñÏáõ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ï»ëùáí ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýó Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ£ 663.* 100 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ Ù»ï³Õ³É³ñÁ Í³Éí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí»É ¿ Ù»Í³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ£ ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ã³÷»ñÁ£ 664.* 12 ¹Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ Ù»ï³Õ³É³ñÁ Í³Éí³Í ¿ áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ï»ëùáí ³ÛÝå»ë, áñ »ñ¨³Ï³ÛíáÕ Ý»ñùÝ³ÓÇ·Ç íñ³ Ï³éáõóí³Í ù³é³Ïáõëáõ Ù³Ï»ñ»ëÁ ÷áùñ³·áõÛÝÝ ¿£ ¶ï»ù ëï³óí³Í áõÕÇÕ ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÁ£

229

665.* 20 ëÙ ÑÇÙùáí ¨ 14 ëÙ µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Íí³Í ¿ Ù»Í³·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ëáí áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ£ ¶ï»ù ³Û¹ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ£ 666.* ÂáõÝ»ÉÇ Ñ³ïáõÛÃÝ áõÝÇ í»ñ¨Çó ÏÇë³ßñç³Ýáí ë³ÑÙ³Ý³÷³Ïí³Í áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ï»ëù (ÝÏ. 88)£ Ð³ïáõÛÃÇ å³ñ³·ÇÍÁ 18 Ù ¿£ ÎÇë³ßñç³ÝÇ ß³é³íÕÇ Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ ÃáõÝ»ÉÇ Ñ³ïáõÛÃÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ Ù»Í³·áõÛÝÁ£ R

ÜÏ. 88

20 ÏÙ

90°

ÜÏ. 89

667.* A ¨ B í³Ûñ»ñÇó (ÝÏ. 89), áñáÝó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ ¿, Ýßí³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÝ»ñáí ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ß³ñÅí»óÇÝ »ñÏáõ Ñ»ïÇáïÝ£ A-Çó ¹áõñë »Ï³Í Ñ»ïÇáïÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 4 ÏÙ/Å ¿, ÇëÏ B-Çó Ù»ÏÝ³ÍÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁª 6 ÏÙ/Å£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Ñ»ïá Ýñ³Ýó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ£ 668. Æ±Ýã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñ»Ý a, b ¨ c Ãí»ñÁ, áñ y = ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÁ ³) ÁÝ¹áõÝÇ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ, µ) ÁÝ¹áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù£ 669. Æ±Ýã å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ ¿ y = ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ox ³é³ÝóùÁ Ñ³ïáõÙ »ñÏáõ Ï»ïáõÙ, áñáÝó ³µëóÇëÝ»ñÁ Ñ³Ï³¹Çñ Ãí»ñ »Ý£ 670. y = ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ µ³Ý³Ó¨áõÙ áñáß»ù a ÃíÇ b Ýß³ÝÁ, »Ã» x2 > x1 > − −−− å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ y2 > y1, áñï»Õ y1 2a ¨ y2-Á ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ »Ý x1 ¨ x2 Ï»ï»ñáõÙ£ 1 671. ¶ñ»ù (−−; 0) ¨ (4; 0) »ñÏáõ Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áñ¨¿ å³ñ³µáÉÇ Ñ³í³3 ë³ñáõÙ£

230

672. Æ±Ýã å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇ å»ïù ¿ µ³í³ñ³ñ»Ý a, b ¨ c Ãí»ñÁ, áñ y = ax2 + c å³ñ³µáÉÁ ¨ y = −bx áõÕÇÕÁ áõÝ»Ý³Ý »ñÏáõ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ï»ï£ 673. ¶ñ»ù Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áñ¨¿ y = ax2 + bx + c å³ñ³µáÉÇ Ñ³í³ë³ñáõÙ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ −2-Á ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ ¿ (a, b ¨ c-Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñ »Ý)£ 674. ÆÝãå»±ë ¿ ¹³ë³íáñí³Í xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ y = |ax2 + bx| + c ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ, »Ã» b2 − 4ac > 0, a < 0, b < 0, c > 0£ àõñí³·Í»ù ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ 675. ÜÏ. 90-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 + bx + c ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ Ï³ñáÕ »Ý ÁÝ¹áõÝ»É a, b ¨ c Ãí»ñÁ£ 4 3 1

1 O

1 2

ÜÏ. 90 676. ÜÏ. 91-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñ£ òáõÛó ïí»ù Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ ÝÏ³ñÁ. ³) D > 0, a < 0; µ) D > 0, a > 0; ·) D = 0, a < 0; ¹) D < 0, a > 0; ») D < 0, a < 0; ½) D = 0, a > 0: 2 D-Ý ï³ñµ»ñÇãÝ ¿, a-Ýª ax + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³í³· ³Ý¹³ÙÇ ·áñÍ³ÏÇóÁ£

231

ÜÏ. 91 677. ¶ï»ù 2-Çó 12 ëÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ïñ³Ù³·Í»ñáí 6 ï³ñµ»ñ ßñç³ÝÝ»ñÇ ßñç³Ý³·Í»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ â³÷áõÙÝ»ñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ï³ï³ñ»É éáõÉ»ïÏ³Ûáí Ï³Ù Ã»Éáí, áñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ ã³÷»É ù³ÝáÝáí (Î³ñ»ÉÇ ¿ û·ï³·áñÍ»É Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÝ»ñ, ³÷ë»Ý»ñ, å³Ñ³ÍáÛÇ ïáõ÷»ñ, µ³Å³ÏÝ»ñ ¨ ³ÛÉÝ)£ êï³óí³Í ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ùïóñ»ù ³ÕÛáõë³Ï£ Î³éáõó»ù ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ïñ³Ù³·ÍÇó Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ£ ÆÝãå»±ë »Ý ¹³ë³íáñí³Í ·ñ³ýÇÏÇ Ï»ï»ñÁ£ ÆÝãÇ± ¿ Ñ³í³ë³ñ ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ý ¨ ïñ³Ù³·ÍÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ£ Î³ñ»ÉÇ± ¿ ³ñ¹Ûáù ³ñ¹ÛáõÝùÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñ»É ×ß·ñÇï£ 678. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ Ýß»ù ³ÛÝ Ãí»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ ×Çßï ¿ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) x > 5; ¹) |x| = 2;

µ) x ≤ −1; ») |x| < 2;

·) x ≥ 0; ½) |x| ≥ 2;

679. Âí³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ ³é³ÝÓÝ³óñ»ù ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³) |x| = 3, µ) |x| < 3, ·) |x| > 3 å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ£ 680. ¶ï»ù A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ, »Ã» A-Ý CD Ñ³ïí³ÍÇ ÙÇçÝ³Ï»ïÝ ¿ (ÝÏ. 17): 681. C-Ý AB Ñ³ïí³ÍÇ í»ñçÝ³Ï»ïÝ ¿ (ÝÏ. 18)£ ¶ï»ù ³) C Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ ³) ÝÏ³ñÇó, µ) B Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ µ) ÝÏ³ñÇó, ·) A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ ·) ÝÏ³ñÇó£

232

12 C

D 30

5 C

D 66

42 ÜÏ. 17

682. ¶ï»ù A Ï»ïÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÁ (ÝÏ.19)

3 ³)

µ)

·)

7,8

2,6

7,3

2,8

3,12

ÜÏ.18

ÜÏ.19

683. xOy Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ. ³) Ýß»ù 2 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ »ñ»ù Ï»ï, áñáß»ù ¹ñ³Ýó ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ ·ñ»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, µ) Ýß»ù −3 ûñ¹ÇÝ³ïáí »ñ»ù Ï»ï, áñáß»ù ¹ñ³Ýó ³µëóÇëÝ»ñÁ ¨ ·ñ»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, ·) Ýß»ù Ox ³µëóÇëáí 3 Ï»ï, áñáß»ù ¹ñ³Ýó ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ ·ñ»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, ¹) Ýß»ù Oy ûñ¹ÇÝ³ïáí 3 Ï»ï, áñáß»ù ¹ñ³Ýó ³µëóÇëÝ»ñÁ ¨ ·ñ»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ, 684. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»ù µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó ³) ³µëóÇëÝ»ñÁ Ù»Í »Ý 1-Çó, µ) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ÷áùñ »Ý −3-Çó, ·) ³µëóÇëÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x > −2 å³ÛÙ³ÝÇÝ, ¹) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý y > 3 å³ÛÙ³ÝÇÝ, ») ³µëóÇëÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý −1 < x < 3 å³ÛÙ³ÝÇÝ, ½) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý −5 < y < 1 å³ÛÙ³ÝÇÝ£ 685. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»ù µáÉáñ ³ÛÝ (x; y) Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) x = 3, y > 2; µ) x < −2, y = −4; ·) 0 < x < 5, y > 4; ¹) x < 0, −2 < y < 4; ») −1 < x < 3, 0 < y < 5; ½) −3 < x < 1, −2 < y < 1£ 686. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»ù µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó ³) ³µëóÇëÝ»ñÁ Ù»Í »Ý 1-Çó,

µ) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ÷áùñ »Ý −3-Çó,

233

·) ³µëóÇëÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x < −1 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ¹) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý y ≥ 2 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ») ³µëóÇëÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý −1 < x < 4 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ, ½) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý − 4 ≤ y ≤ 2 ³ÝÑ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£ 687. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»ù µáÉáñ ³ÛÝ (x; y) Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý ³) x = 2, y > 3; ·) 0 ≤ x < 2, y < 3; ») −2 < x < 4, 0 < y ≤ 2; å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ£

µ) x > −1, y = −2; ¹) x ≥ 0, −1 < y < 3; ½) −3 < x ≤ 2, −3 ≤ y < 2:

688. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ å³ïÏ»ñ»ù ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ. ³) x = 1, 2 < y ≤ 3; ·) |x| > 2, y < 5;

µ) 1 < x < 4, y = 5; ¹) |x| < 3, |y| < 2:

689. ¶ï»ù y = 2, 1 ≤ x ≤ 2 å³ÛÙ³ÝÝ»ñáí ïñí³Í Ñ³ïí³ÍÇ Ñ³Ù³ã³÷ Ñ³ïí³ÍÁ Ox ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ 690. Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ áõÕÕÇ íñ³ å³ïÏ»ñ»ù Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ. ³) |x| ≤ 2;

µ) |x| > 1;

·) |x| < 0,5:

691. Î³éáõó»ù y = 0,5x − 1,5 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ³) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ µ) x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁÝ¹áõÝáõÙ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ£ ·) Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ y-Á, »Ã» 1) x > 6; 3) −5 < x < 0;

2) x < 0; 4) 5 < x < 7:

692. Î³éáõó»ù y = x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ y-Á, »Ã» ³) x > 2; ·) 1 < x < 4;

234

µ) x < −1; ¹) −2 < x < 5:

693. Î³éáõó»ù y = −2x ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ Æ±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñ ¿ ÁÝ¹áõÝáõÙ y-Á, »Ã» ³) x > 3; ·) 4 < x < 7;

µ) x < 1; ¹) −5 < x < −1:

694. à±ñ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÝ »Ý Ox ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ï³½ÙáõÙ 45°-Çó ÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ£ ´»ñ»ù ûñÇÝ³ÏÝ»ñ£ 695. ²ñ¹Ûáù ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ Oy ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³é³ÝóùÇ Ñ»ï Ï³½ÙáõÙ »Ý 45°-Çó ÷áùñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñ. 1 ³) y = −− x; 3 ·) y = 7,2x;

µ) y = −3x; 4 ¹) −5 < y = − −− x: 9

696. Î³éáõó»ù ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÇÝ. x 2 x 1 ³) −− = −−; µ) −− = −−: y 3 y 2 àñï»±Õ »Ý ¹³ë³íáñí³Í ³Û¹ Ï»ï»ñÁ£ 697. Üßí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÇó x-Á ³ñï³Ñ³Ûï»ù y-áí. ³) xy = 5; µ) x + xy = 1; ¹) y2 − xy = 0: ·) x2 + 3y = 2; ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (698-700). 4x + 3y = 6, 2x + 8y = 1;

µ) {

7x − 3y = 15, 5x + 6y = 27;

2x − 3y = 8, 5y − 7x = 5;

¹) {

6x − 7y = 40, 5y − 6y = 0:

2y + 6x + 6 = 0, 5x + y = 17;

µ) {

7x − 3y = 27, 5x − 6y = 0;

·) {

6x − 7y = 16, 2x + 3y = −16;

¹) {

5x + 3y = 2, 3x + 5y = −18;

») {

4(x + 2y) − 8 = 5x − 2, 3(2x − y) + 6 = 24y + 12;

½) {

3(2x − y) − 14(5x − 3y) = 7, 6x − 6y = 3:

698. ³) { ·) {

699. ³) {

235

2x + y = 5, 3x − 4y = 2;

µ) {

x − 2y = −1, 3x + 4y = 17;

¹) {

2x − 6y = 0, x + y = −4;

») {

3,2x − 1,2y = 2, 0,5x + 0,6y = 1,1;

½) {

5,1x − 3,8y = 13, 1,7x − 0,8y = 9;

¿) {

4,8x + 2,5y = 23, 1,2x − 0,5y = 17;

700. ³) {

x + y + z = 6, Á) 2x + y − z = 4, 3x − y + z = 6;

x − y − z = −2, Ã) x + 2y − 3z = 1, 3x − 2y + z = −5;

{

3x − 5y = −1, Å) 5x − 3z = 12, 2y − 5z = −1: 701. ¸Çáý³ÝïÇ(II ¹.) §Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-Çó£ ´áÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ a, b, c ¨ d Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÉáõÍ»ù Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. x + y = a, x + y = a, x + y = a, µ) x y ·) x y ³) x − 3y = b; −− + −− = d; −− − −− = d: b c b c

{

702.* ²ß³Ï»ñïÝ»ñÁ ÉáõÍáõÙ ¿ÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÁ. 3x + 4y = 5, 3x + 5y = 7, µ) { ³) { 6x + 7y = 8; 9x + 11y = 13; ·) {

2x + 5y = 8, 11x + 14y = 17;

¹) {

5x + 7y = 9, 11x + 13y = 15:

âÝ³Û³Í ³Û¹ Ñ³Ù³Ï³ñ·»ñÝ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ »Ý, µáÉáñÇ å³ï³ëË³ÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝÁ ëï³óí»óÇÝ£ ¶ï»ù ³ÛÝ Ï³ÝáÝÁ, Áëï áñÇª ¹ñ³Ýù Ï³½Ùí³Í »Ý£ êïáõ·»ù Ó»ñ Ïé³ÑáõÙÁª Ï³½Ù»Éáí ¨ ÉáõÍ»Éáí ¨ë Ù»Ï Ñ³Ù³Ï³ñ·£ ºÃ» ¹³ Ñ³çáÕíÇ, ËÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»ù ÁÝ¹Ñ³ÝáõñÇ ¹»åùáõÙ£ 703. ³) x − y = 3 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ÁÝïñ»ù »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙ ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á 1) áõÝ»Ý³ Ù»Ï ÉáõÍáõÙ, 2) áõÝ»Ý³ ³ÝÃÇí µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÉáõÍáõÙÝ»ñ, 3) ÉáõÍáõÙ ãáõÝ»Ý³£

236

µ) ´³Ý³íáñ ÉáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. 1)

{

x + y = 1, x + z = 2, y + z = 3;

5x + 8y = 5,

{ 8x + 5y = 8:

704. ³) ²ß³Ï»ñïÁ 5x + 15 = 3x + 9 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»ó ³Ûëå»ë. 5(x + 3) = 3(x + 3), 5 = 3 ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñ»ó, áñ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ, ù³ÝÇ áñ µ»ñáõÙ ¿ ³ÝÇÙ³ëï ³ñ¹ÛáõÝùÇ£ ²ß³Ï»ñïÁ ×Ç±ßï ¿ åÝ¹áõÙ£ y = 2(1 − x) Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ó ï»Õ³¹ñÙ³Ý »Õ³Ý³µ) ²ß³Ï»ñïÁ { 2x + y = 8 Ïáí. ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó y-Ç ³ñÅ»ùÁ ï»Õ³¹ñ»ó »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç£ ´³Ý³íáñ Ï³ï³ñ»ù ³Û¹ ÉáõÍáõÙÁ ¨ µ³ó³ïñ»ù£ 2x + y = 8 Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ó ï»Õ³¹ñ³Ý »Õ³Ý³·) ²ß³Ï»ñïÁ { y = 2(4 − x) Ïáí. y-Ç ³ñÅ»ùÁ »ñÏñáñ¹ Ñ³í³ë³ñáõÙÇó ï»Õ³¹ñ»ó ³é³çÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ù»ç£ ´³Ý³íáñ Ï³ï³ñ»ù ³Û¹ ÉáõÍáõÙÁ ¨ µ³ó³ïñ»ù£ 705. Î³½Ù»ù »ñÏáõ ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·, áñÇ ÉáõÍáõÙÁ ³) (2; 3); µ) (1; 1); ·) (−1; 2); ¹) (−1; −2) Ãí³½áõÛ·Ý ¿£ 706. ³) k-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ ¿ 5-Á (k − 1)x2 + 7x − 2k = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï£ µ) ¶ï»ù µ»ñí³Í ï»ëùÇ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ·áñÍ³ÏÇóÝ»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ 10-Á ¨ −15-Á ³Û¹ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý£ ·) ²å³óáõó»ù, áñ a, b ¨ c ó³ÝÏ³ó³Í Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ x2 − 2ax + a2 + b2 − c2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ áõÝÇ£ 707. ¶ï»ùª a-Ç ¨ b-Ç Ç±Ýã Ãí³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ý áõÝÇ ³ÝÃÇí µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ ÉáõÍáõÙÝ»ñ Ï³Ù ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ. ³)

5x + (a − 1)y = 3b,

{ x − 2y = 3;

µ)

+ 8y = b, { x−−−−− x + (a − 3)y = a + 1: a−1

708. ò³ÝÏ³ó³Í a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ÉáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. µ) x2 − 2(a + b)x + 4ab = 0; ³) x2 + 2ax + a2 − b2 = 0; 2 2 ¹) x2 − ax − 2a2 = 0: ·) x − 3ax + 2a = 0;

237

709°. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. x−3 ³) −−−−− = 0; x

x µ) −−−−− = 0; x−1

7 ·) −− = 0; x

x+1 ¹) −−−−− = 1: x+1

710. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. x+2 1 −−−−− = −−, 2 ³) y − 1 xy + 3y = 1;

{

x−2 1 −−−−− = −−, µ) y + 1 4 xy − 4y = x:

{

711. ¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ. ³) y = x ¨ y = −x; µ) y = x ¨ y = 2x − 2; ·) y = 2x − 1 ¨ y = −2x; ¹) y = 0,5x − 2 ¨ y = x + 3: 712. Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý. 3x + y = 1, 4x − 3y = 0, ³) { µ) { 2x − 3y = −14; 3x + 2y = 17; 5x + 2y = −1, 2x − 3y = −8; 7x − y − 3 = 0, ») { 14x − 2y + 5 = 0; ·) {

¿) {

4x − 2y + 3 = 0, x − 3y − 1 = 0;

x − y + 1 = 0, 2x + y − 1 = 0; 3x + y − 1 = 0, ½) { 6x + 2y − 2 = 0; ¹) {

Á) {

3x + y = 13, 2x − 3y − 5 = 0:

713. ä³ñ½»ùª ù³ÝÇ± ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ¨ ïí»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»ÏÝ³µ³ÝáõÃÛáõÝ. 2x + 3y = 5, 2x + 3y = −1;

µ) {

2x − y = 3, 2x + y = 3;

x − 3y = 5, 2x − 6y = 10;

¹) {

3x + y = 5, x + y = 5:

³) { ·) {

714. Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý. ³) {

238

y = x2 − 1, y = x + 1;

µ) {

y = x2 + x, y = 6;

·) {

y = x2 − 3x − 4, y = −x2;

¹) {

y = −x2 + 4, y = x2 − 4:

715.* ³) ²íïáÙ»ù»Ý³Ý áñáß Å³Ù³Ý³Ï ·ÝáõÙ ¿ñ a ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÝáõÛÝù³Ý Å³Ù³Ý³Ïª b ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ a-áí ¨ b-áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù Ù»ù»Ý³ÛÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ (Ýß³Ý³Ï»ù ³ÛÝ υ1-áí)£ µ) ²íïáÙ»ù»Ý³Ý áñáß ×³Ý³å³ñÑ ³Ýó³í a ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÝáõÛÝù³Ý ×³Ý³å³ñÑª b ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ a-áí ¨ b-áí ³ñï³Ñ³Ûï»ù Ù»ù»Ý³ÛÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ (Ýß³Ý³Ï»ù ³ÛÝ υ2-áí)£ ·) Ð³Ù»Ù³ï»ù υ1-Á ¨ υ2-Á (ï»°ë ³) ¨ µ) ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ)£ a+b ¹) a ¨ b ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ A = −−−−− ÃÇíÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙÇçÇÝ 2 Ãí³µ³Ý³Ï³Ý, G = √$ab ÃÇ íÁª ÙÇ çÇÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý, ÙÇ çÇÝ 1 1 −− + −− 1 a b Ñ³ñÙáÝÇÏ ³ÛÝ H ÃÇíÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ −− = −−−−−−−, áñï»ÕÇó H 2 2ab H = −−−−−£ ²å³óáõó»ù, áñ ×Çßï ¿ H ≤ G ≤ A ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ a+b 716.* à±ñ »Õ³Ý³ÏÇ ¹»åùáõÙ ØáëÏí³ÛÇó ê³ÝÏï-ä»ï»ñµáõñ· ¨ Ñ³Ï³é³ÏÁ ÃéãáÕ ÇÝùÝ³ÃÇéÁ ÏÍ³ËëÇ ³í»ÉÇ ùÇã Å³Ù³Ý³Ïª Ë³Õ³Õ (³é³Ýó ù³ÙÇ) »Õ³Ý³ÏÇ±Ý, Ã»± »ñµ ØáëÏí³ÛÇó ê³ÝÏï-ä»ï»ñµáõñ·Ç áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ÷ãáõÙ ¿ Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ù³ÙÇ£ 717. ÆÝãåÇëÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù Ï³ñáÕ ¿ ÁÝ¹áõÝ»É a 2 + b2 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ, »Ã» a > 0, b > 0, a + b = 2£ 718. ºé³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇó Ù»ÏÁ 6 Ù ¿, ÇëÏ ÙÛáõë »ñÏáõëÇ ·áõÙ³ñÁª 14 Ù£ ¶ï»ù »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýù ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý µÝ³Ï³Ý Ãí»ñáí£ 719. ¶ï»ù x-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ ÇÙ³ëï áõÝÇ. 1 1 1 ³) −−; µ) x; ·) −−−−−; ¹) −−−−−−: x x−1 x + 12

239

¶ï»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (720-722). 720. ³) y = √'x − 7 ;

µ) y = 2 + √'12 − x; 3 ¹) y = −−−−−−−: √'2x + 7

·) y = √'1 − 3x;

µ) y = √'3 − 2x;

721. ³) y = √'x + 1;

¹) y = √'3 + 4x + √'7x − 5:

·) y = √$x + √'x − 1;

1 ·) y = √'4 − 3x + −−−; 2x

x 3x µ) y = −−−−− − −−−−−−; x+6 3 − 7x x−5 ¹) y = −−−−− + √'5 − x; 3x − 1

») y = √'2x − 3;

½) y = √'3x + 5;

¿) y = √'x2 − 1;

Á) y = √'x2 + 5:

1 722. ³) y = −−−−−; x−5

723. ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁª Ñ³Ù³ñ»Éáí, áñ a-Ý ïñí³Í ÃÇíÝ ¿. ³) ax > 0; ¹) ax − 8 < 11;

µ) ax > 1; ») ax > x;

·) ax + 1 > 3; ½) ax + 1 > x;

724. ²å³óáõó»ù, áñ »é³ÝÏÛ³Ý ÏÇë³å³ñ³·ÇÍÁ Ù»Í ¿ ¹ñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÕÙÇó£ 725.* ¶ï»ù t-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ ï³ñµ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ. ³) x2 − 6x + t = 0;

µ) (t + 3)x2 + 2(t − 1)x + t = 0:

726.* ¶ï»ù t-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ. ³) x2 + 4x + 6t = 0;

µ) tx2 − 2(t − 2)x + t = 0:

727.* ¶ï»ù t-Ç µáÉáñ ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ 2x2 − 5x − t = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 728. ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ óáõÛó ïí»ù, áñ x2 − 2x + t = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ³) t < 0 ¹»åùáõÙ áõÝÇ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙª ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ Ù»Í ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÇó£

240

µ) 0 < t < 1 ¹»åùáõÙ áõÝÇ »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ£ ·) ò³ÝÏ³ó³Í t > 1 ¹»åùáõÙ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ£ 729.* a-Ç ÇÝãåÇëÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ x2 + ax + 4 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 730.* m-Ç ÇÝãåÇëÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ. µ) 3mx2 − x + m = 0;

³) 2x2 − 3mx + 1 = 0; ·) (m + 1)x2 + mx + 3 + m = 0: 731. ÜÏ. 42-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í »Ý y1 ¨ y2-áí Ýß³Ý³Ïí³Í »ñÏáõ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñ£ x-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ »Ý ï»ÕÇ áõÝ»ÝáõÙ ³) y1 · y2 > 0 y2 µ) −−− <0 y1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£

y2 1 y1

ÜÏ. 42

732. m-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ Ñ³í³ë³ñ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ, »ñÏáõ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ. ³) 3x2 + 4mx + 1 = 0;

µ) mx2 − (m + 1)x + 2 = 0:

733. t-Ç ÇÝãåÇëÇ± ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ x2 + 2tx + t2 − 1 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ, áñáÝù å³ïÏ³ÝáõÙ »Ý Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ. ³) (0; 3); µ) (1; 4); ·) (−4; 0); ¹) (−5; −2): 734. t-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ (t + 1)x2 + 2(t − 1)x + t − 3 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ³) »ñÏáõ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ï, µ) »ñÏáõ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ, ·) ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÙ³ï, ÁÝ¹ áñáõÙª ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ Ù»Í ¿ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÇó, ¹) ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙª µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ áõÝÇ ³í»ÉÇ Ù»Í µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ù£

241

735. ¶ï»ù Ù»Ï ³ÝÑ³Ûïáí »ñÏñáñ¹ ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙ, áñÇ ÉáõÍáõÙÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Éáõë³µ³Ý»É ³) 43. ³ ÝÏ³ñáí, µ) 43. µ ÝÏ³ñáí£

³)

µ) ÜÏ. 43

736.* ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁ. ³) (x − 2)(x − 1)(x − 3) = 0; ·) (2x − 3)(4 − 3x) = 0;

µ) (x + 1)(x + 2)(x − 5) = 0; ¹) (5x − 1)(2x + 7) = 0:

737. ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ. x2 − 2x − 3 ³) −−−−−−−−− > 0; x+5

x2 − 2x − 3 µ) −−−−−−−−−− < 0; x2 − 2x + 3

3 − x − 2x2 ·) −−−−−−−−− > 0; x2 − 36

1,8 ¹) −−−−−−−−−−−− < 0: 3 x − x2 + x − 1

738.* m-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ (m − 2)x2 + (m + 2)x + m = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ï³ñµ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 739. ²ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý ÙÇçáóáí ·ñ»ù Ñ»ï¨Û³É åÝ¹áõÙÁ. a ¨ b Ãí»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ ³) ï³ñµ»ñ »Ý, µ) ÝáõÛÝÝ »Ý£ 740.* p-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ x2 + px − 5 = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ù»ÏÁ Ù»Í ¿ 1-Çó, ÙÛáõëÁª ÷áùñ ¿ 1-Çó£ 2

741.* ÜÏ. 44-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ y = ax2 + bx + c å³ñ³µáÉÁ ¨ Çñ³ñ ½áõ·³Ñ»é m ¨ l áõÕÇÕÝ»ñÁ, áñáÝù å³ñ³µáÉÁ Ñ³ïáõÙ »Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ A ¨ B, C ¨ D Ï»ï»ñáõÙ£ ²å³óáõó»ù, áñ AB ¨ CD Ñ³ïí³ÍÝ»ñÇ ÙÇçÝ³Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Oy ³é³ÝóùÇÝ£

242

y = ax + bx + c m B l D A 1

ÜÏ. 44

ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (742-746). 2x + 3y = 4, 4x − 6y = 5;

µ) {

9x − 10y = 3, 2x − 3y = 6;

5x + 4y = 6, 7x + 6y = 10;

¹) {

5x + 3y = 15, 10x − 6y = 0:

743. ³) {

x 2 + y = 4, x + y = 2;

µ) {

x + y = 5, x + y 2 = 13:

744. ³) {

xy(x + y) = 6, x 3 + y 3 = 9;

µ) {

x + y = 2, x2 + y 2 − 2 = 0:

742. ³) { ·) {

y−3 1 −−−−− = −−, 745. ³) x + 2 3 xy + 3x + 4y = 0;

{

746. ³) {

x + xy + y = 11, x 2y + xy 2 = 30;

x y−1 −−−−− + −−−−− = 2, µ) y − 1 x = 6, 2x − 3y = 5:

{

µ) {

x 2 + xy + y 2 = 4, 5x + 6y = 27:

747. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. (x − 5)(x + y) = −20, (x + 3y − 6)y − 2x = 0, µ) { ³) { (y − 8)(x + y) = −10; (2x + y − 12)y − 2x = 0;

{

(x + 10)(y − 12) = 0, ·) y2 − 160 −−−−−−− = 0,2x; y − 2x

¹)

x2 + y2 + x − y = 44, ») y 2 y −− − −− = 1 − −−; 2 x x

½)

{ xy = x

{

¿) {

2x2 − 4xy + 3y2 = 36, 3x2 − 4xy + 2y2 = 36;

xy + 5(x − y) = 7, 2

+ y2 + 5(x − y) = 10;

x + y = xy,

Á) {

+ y2

2x2 − 3xy + 3y2 = 128, 3x2 − 3xy + 2y2 = 128:

748. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = x 2 − 7x; ·) y = x 2 − 5x − 6;

µ) y = 3 − x2; ¹) y = 3x 2 − x + 1:

243

749. Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý. ³) {

y = x 2 + 1, y = x + 7;

µ) {

y = −x 2 − 2, y = 1 − x 2;

·) {

y = x2 − 1, y = 1 − x2;

¹) {

y = 2x − 1, y = 2x2 − 1;

y = x2 − 2x + 1, 1 y = −−; x

y = −x2 − 2, ½) 8 y = − −−: x

»)

{

750. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á. ³) {

|x − 1| + y = 0, 2x − y = 1;

µ) {

|y − 4| = x, 3x + y = 1:

751. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. ³) y = x;

µ) y = −2x + 1;

1 ·) y = −− x − 2; 3

¹) y = −2,5x − 1:

752. ¶ï»ù a ¨ b Ãí»ñÁ, áñáÝó Ñ³Ù³ñ x + y = −b ¨ x − ay − 2 = 0 áõÕÇÕÝ»ñÁ ³) Ñ³ïíáõÙ »Ý (1; 1) Ï»ïáõÙ, µ) ½áõ·³Ñ»é »Ý, ·) Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ »Ý£ 753. Î³éáõó»ù y = 3x − 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. x-Á ÷áË³ñÇÝ»ù y-áí, ÇëÏ y-Áª x-áí, ¨ Ï³éáõó»ù ëï³óí³Í ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ÝáõÛÝ Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ£ 754. Î³éáõó»ù y = 3x2 + 1 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ£ ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ·ï»ù ³) y(1)-Á, ·) x0-Ý, ³ÛÝå»ë áñ y(x0) = 1,

µ) y(−2)-Á, ¹) x0-Ý, ³ÛÝå»ë, áñ y(x0) = 2£

755. ä³ïÏ³Ýá±õÙ ¿ ³ñ¹Ûáù (−0,2; 0,4) Ï»ïÁ y = x2 ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ£ 756. ¶ï»ù x-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ y-Ç Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ³ñÅ»ùÁ ÷áùñ³·áõÛÝÝ ¿, »Ã» µ) y = (x − 2)2 + 5: ³) y = (x + 1)2 − 3;

244

757. Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý. 2x + y = 4, ³) x − y = −1, y = 2;

x + y = 2, µ) −2x + y = 5, 2x + 3y = 7:

{

758. ¶ñ»ù ïñí³Í Ï»ï»ñÇ Oy ³é³ÝóùÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ Ï³éáõó»ù ³Û¹ Ï»ï»ñÁ. ³) A(4; 3);

µ) B(5; 0);

·) C(−3; 2);

¹) D(−6; 0):

759. ¶ï»ù ïñí³Í Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ï»ñÇ Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ ¨ Ï³éáõó»ù ³ÛÝ£ 760. ÜÏ. 53-áõÙ Ýßí³Í »Ý A, B, C, D, E, K Ï»ï»ñÁ£ ¸ñ³Ýó Ù»ç Ï³±Ý ³ñ¹Ûáù Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ï³Ù Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ Ñ³Ù³ã³÷ Ï»ï»ñ (ºÃ» ³Ûá, ³å³ Ýß»ù ¹ñ³Ýù)£

A K 3 E

B C

1 O 1

3 D

ÜÏ. 53 761. Î³éáõó»ù y = x ¨ y = x2 ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ£ ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»±Ý ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý»ñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇÝ å³ïÏ³ÝáÕ Ï»ï»ñ, áñáÝù Ñ³Ù³ã³÷ »Ý ³) ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ, µ) ûñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ, ·) Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÇ ëÏ½µÝ³Ï»ïÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ£ 762. ¶ï»ù p-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ 2x2 − 5x + p = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý x22 x12 65 −−− + −−− = −−− x2 8 x1 å³ÛÙ³ÝÇÝ£ 763. ¶ï»ù q-Ç ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÁ, áñÇ ¹»åùáõÙ 2x2 + qx + 18 = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1 1 65 −−− − −−− = −−−− 2 2 x2 324 x1 å³ÛÙ³ÝÇÝ£

245

764. ¶ï»ù p-Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÁ, áñÇ Ñ³Ù³ñ 6x2 + 3x − p = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 63 x1 · x24 + x2 · x14 = −−− 8 å³ÛÙ³ÝÇÝ£ 765. b-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ×Çßï ã¿ x-Ç ó³ÝÏ³ó³Í ³ñÅ»ùÇ Ñ³Ù³ñ. ³) 3x2 − bx − 1 < 0;

µ) x2 + bx + 4 < 0:

766. m-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ. ³) x2 − 4x + m < 0; ·) x2 − mx + 4 < 0;

µ) x2 + 2x + m < 0; ¹) x2 + mx + 9 < 0:

Îááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ ßïñÇË³å³ï»ù µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (767-769). 767. ³) x ≥ 2; µ) y ≤ 3; ¹) x ≥ 2 Ï³Ù y ≤ 3; |x| ≤ 2, ½) { |y| ≤ 2; Á) x 2 + y2 ≤ 4; Å) {

x2 + y 2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 1;

768. ³) x < −3; µ) y > −1; ¹) x < −3 Ï³Ù y > −1; ½) {

|x| < 3, |y| < 3;

Á) x 2 + y2 < 9; Å) {

Ã) x2 + y2 ≥ 1; Ç) (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 4£ ·) x < −3 ¨ y > −1; ») x > −3 Ï³Ù y < −1; ¿) {

|x| > 3, |y| > 3;

Ã) x2 + y2 > 4;

x2 + y 2 < 9, x2 + y2 > 4;

Ç) (x + 1)2 + (y + 2)2 > 4£

y ≥ −2x + 1, y ≥ x − 2;

µ) {

769. ³) {

246

·) x ≥ 2 ¨ y ≤ 3; ») x ≤ −1 Ï³Ù y ≥ 1; |x| ≥ 2, ¿) { |y| ≥ 2;

y ≤ −x2 + 4, y ≥ x + 2:

770.* Üß»ù Ïááñ¹ÇÝ³ï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (|x| − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1 ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛ³Ý Ï³Ù 2

− 1) + (|y| − 1) {(|x| |x| + |y| ≤ 1

≥ 1,

³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·ÇÝ£ 771.* ²å³óáõó»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. a b c ³) −− + −− + −− ≥ 3, »Ã» a > 0, b > 0, c > 0; b c a a+b 3 a3 + b3 µ) −−−−−− ≥ (−−−−−), »Ã» a > 0, b > 0; 2 2 4 4 ·) (a + b) ≥ 8a + 8b4; ¹) (a + 2)(b + 2)(a + b) ≥ 16ab, »Ã» a > 0, b > 0; ») ab(a + b) ≤ a3 + b3, »Ã» a ≥ 0, b ≥ 0; ½) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac), »Ã» a, b ¨ c-Ý »é³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÝ »Ý£ 772. ¶ï»ù Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í {x n} Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÷áùñ³·áõÛÝ ³Ý¹³ÙÁ. µ) xn = n2 − 18n + 1; ³) xn = n2 − 6n + 5; ·) xn = 3n2 − 16n − 1; ¹) xn = 7n2 − 50n: 773. ¶ñ»ù µ³½Ù³Ý¹³Ù, áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý. ³) 1, 2, 3, 4;

µ) −2, −1, 0, 6:

774. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ý»ñÏ³Û³óñ»ù ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ï»ëùáí. ³) x3 − 6x; ·) 3x2 − 25; ») 2x2 + 8x − 7; ¿) 3x2 − 6x − 12;

µ) x − 5x3; ¹) x2 − 2; ½) 3x2 − 5x + 2; Á) 8x3 + 54x + 36x2 + 27:

Ð³Ù³ñ»Éáí, áñ a-Ý ¨ b-Ý ïñí³Í Ãí»ñÝ »Ý, µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»ù ·Í³ÛÇÝ ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ (775-777). 775. ³) x2 − (1 + a)x + a;

µ) 4x2 − 2(1 + a)x + a:

247

776. ³) 2ax2 − (2 + a)x + 1;

µ) 6 + (2 − 3a)x − ax2:

777. ³) (b − 2a)x + 2 − abx2;

µ) b − (a + b2)x + abx2:

778. ´³½Ù³Ý¹³ÙÁ í»ñÉáõÍ»ù ³ñï³¹ñÇãÝ»ñÇ. ³) (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3; µ) x4 + x2 + 1;

·) x8 + x4 + 1:

779. p-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ 2x2 + x + 2p2 = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ³) ³ñÙ³ïÝ»ñ ãáõÝÇ, µ) áõÝÇ Ñ³í³ë³ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ, ·) áõÝÇ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 780. ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÁª Ñ³Ù³ñ»Éáí, áñ k-Ý ïñí³Í ÃÇíÝ ¿. ³) x2 + 2kx + (k − 1)2 = 0;

µ) x2 − kx + k − 1 = 0:

781. Üß»ù å³ÛÙ³ÝÝ»ñ, áñáÝó ï»ÕÇ áõÝ»Ý³Éáõ ¹»åùáõÙ ÏÉÇÝÇ ax2 + bx + c = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, áñï»Õ a, b ¨ c-Ý é³óÇáÝ³É Ãí»ñ »Ý, áõÝ»Ý Çé³óÇáÝ³É ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 782. ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ óáõÛó ïí»ù, áñ 2x2 + 3x + m = 0 Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ³) m < 0 ¹»åùáõÙ áõÝÇ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, ÁÝ¹ áñáõÙª µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÁ Ù»Í ¿ ¹ñ³Ï³Ý ³ñÙ³ïÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÇó£ 1 µ) 0 < m < 1 −− ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ »ñÏáõ Çñ³ñÇó ï³ñµ»ñ 8 µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ£ 1 ·) m > 1 −− ¹»åùáõÙ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ£ 8 783.* ¶ñ³ýÇÏÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ Ñ»ï³½áï»ù Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝÁ a-Çó, áñï»Õ a-Ý ïñí³Í ÃÇíÝ ¿. µ) x2 + x − a = 0; ³) x2 − x + a = 0; 2 ¹) x2 + ax + 4 = 0; ·) x − 4x + a = 0; ½) 3x2 + 7ax + 4 = 0: ») 0,2x2 + 2,1x + a = 0; 784. a, b, c-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÝ»ñÇ (Ï³Ù ÇÝã Ï³åÇ) ¹»åùáõÙ ax2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³) ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó ³ñï³¹ñÛ³ÉÇÝ, µ) »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý£

248

785. x4 + 2x3 + mx2 + 2x + n µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ Ù»Ï ³ÛÉ µ³½Ù³Ý¹³ÙÇ ù³é³Ïáõëáõ£ ¶ï»ù m-Á ¨ n-Á£ 786. ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý p ¨ q Ãí»ñÁ, áñå»ë½Ç x2 + px + q = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý p ¨ q£ 787. a-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ x − 2y = a {2x −y=a+1 Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÉáõÍáõÙ Ñ³Ý¹Çë³óáÕ Ãí³½áõÛ·Ç Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÷áùñ³·áõÛÝÝ ¿£ ÈáõÍ»ù Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á (788-792). 788. ³) {

x + xy + y = 11, x + y + xy = 7;

µ) {

x3 − y3 = 8(x − y), x2 + xy + y2 = 4:

789. ³) {

x + xy + y = 11, x2 + y2 + xy = 13;

µ) {

x3 − y3 = 8(x − y), x + xy + y = 2:

(x − y)(x2 + y2) = 447,

790. ³)

{ xy(x − y) = 210;

791. ³) {

x + y2 = 3, x2 + y = 3;

xy = 6, 792. ³) yz = 3, xz = 2;

{

µ)

{ xxy(x+ y+=y)−−5=xy:20, 4

µ) {

x2 + xy = y2, x − y2 = 0:

{

2 yz = −− x, 3 µ) 3 zx = −− y, 2 xy = 6z:

Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý (793-795). 793. ³) {

xy = −6, y = −x2 + 5;

µ) {

y = x2 − 4, xy = 4:

794. ³) {

y = x2 − 2x − 3, y = |x − 1|;

µ) {

y = −x2 + 5x − 6, y = |x + 1|:

249

795. ³) {

y = 2x2 − 1, y = −x2 − 3x − 2;

µ) {

y = x2 + 5x + 4, y = −x2 + 6:

ÈáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ (796-798). x 2 8 798. ³) −−−−− − −−−−− < −−−−−; 2 x−1 x+1 x −1

4 x 3 µ) −−−−− − −−−−− > −−−−−: 2 x+1 x−1 x −1

3x − 1 797. ³) 1 < −−−−−− < 2; 2x + 1

2x − 1 µ) 1 < −−−−−− < 2: 3x + 1

798. ³) (1 + x)2 < |1 − x2|;

µ) |1 − x2| < (1 − x)2:

799. x2 − x − a = 0 Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÇó Ù»ÏÁ a + 1 ¿£ ¶ï»ù ÙÛáõë ³ñÙ³ïÁ£ 800. b-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ x2 + b2x + 3b3 = 2b2x − b + 12 + 2b3 Ñ³í³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ x = 3 ³ñÙ³ï£ a+9 801. −−−−− ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ï³ñá±Õ ¿ ³ÙµáÕç ÃÇí ÉÇÝ»É£ a+8 ºÃ» ³Ûá, ³å³ a-Ç Ç±Ýã ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ (a-Ý ³ÙµáÕç ÃÇí ¿)£ 802. à±ñ ÃÇíÝ ¿ Ù»Í. 101987 + 1 101986 + 1 ³) −−−−−−−− Ï³Ù −−−−−−−−; 101988 + 1 101987 + 1

an + 1 an + 1 + 1 µ) −−−−−−− Ï³Ù −−−−−−−−; an + 1 + 1 an + 2 + 1

áñï»Õ a-Ý ¨ n-Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý£ 803.* ´Ñ³ëÏ³ñ³II-ÇËÝ¹ÇñÁ (1114-1178)£ ¶ï»ù 100x + 90 = 63y Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ£ 804.* È.Ü. îáÉëïáÛÇ ËÝ¹ÇñÁ£ 100 é-áí ·Ý»óÇÝ 100 ³Ý³ëáõÝª ÑáñÃÁ Ï»ë éáõµÉáí, ÏáíÁª 3 é-áí, óáõÉÁª 10£ ø³ÝÇ± ÑáñÃ, Ïáí ¨ óáõÉ ·Ý»óÇÝ£ 805. Î³éáõó»ù ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ. 1 1 ³) y = −−−−−; µ) y = −−−−−; x−1 x+2

250

1 ·) y = −−−−−; 1−x

4 ¹) y = −−−−−; 4−x

1 ») y = −−−−− + 1; x−1

1 ½) y = −−−−− − 3; 2−x

3 ¿) y = −−−−− − 1; x+2

2 Á) y = −−−−− + 4; x−3

x+1 Ã) y = −−−−−; x−1

x−3 Å) y = −−−−−; x+4

2x − 1 Ç) y = −−−−−−; 3x − 1

3x + 1 É) y = −−−−−−; 2x − 1

806. ú·ï³·áñÍ»Éáí Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý ýáõÝÏóÇ³ÛÇ ·ñ³ýÇÏÁª ÉáõÍ»ù ³ÝÑ³í³ë³ñáõÙÁ. 1 1 2 4 ³) −− > 0; µ) −− < 0; ·) − −− > 0; ¹) − −− < 0; x x x x 1 ») −− > 1; x

1 ½) −− < 2; x

2 ¿) −− > 3; x

2 Á) − −− > 3: x

807. Ð³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á ÉáõÍ»ù ·ñ³ýÇÏáñ»Ý. xy = 1, xy = −8, µ) { ³) { y = x2; y = x + 1; y = x2 − 4x − 5, 12 ·) y = − −−−; x

{

y = |x|, ¹) 6 y = −−: x

{

808. ³) ÐÇÙ³ ³é³íáïÛ³Ý Å³ÙÁ 9-Ý ¿£ úñí³ ÙÝ³ó³Í Ù³ëÝ ³Ýó³ÍÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ Ï³½ÙáõÙ, ¨ á±ñ Ù³ëÝ ¿ ÙÝáõÙ£ 1 µ) æáõñÁ ë³éáõÛó ¹³éÝ³ÉÇë ³í»É³ÝáõÙ ¿ Çñ Í³í³ÉÇ −−− -ñ¹ Ù³ëáí£ 11 ø³ÝÇ± Ëáñ³Ý³ñ¹ ëÙ çáõñ Ïëï³óíÇ 24 ëÙ3 Í³í³Éáí ë³éáõÛóÇó£ Æñ Í³í³ÉÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ ÏáñóÝáõÙ ë³éáõÛóÁ çáõñ ¹³éÝ³ÉÇë£ ·) 20-Á µ³Å³Ý»ù »ñÏáõ Ù³ëÇ ³ÛÝå»ë, áñ Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇó 4 ³Ý·³Ù Ù»Í ÉÇÝÇ£ ¹) 120-Á µ³Å³Ý»ù 2 £ 3 £ 15 Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ Ù³ë»ñÇ£ ») 25-Á µ³Å³Ý»ù 2, 3, 5 Ãí»ñÇÝ Ñ³Ù»Ù³ï³Ï³Ý Ù³ë»ñÇ£ 809. ºñ»ù µ³Ýíáñ áñáß ³ßË³ï³Ýù Ï³ï³ñáõÙ »Ý 12 Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ£ ø³ÝÇ± Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ ÏÏ³ï³ñ»Ý ÝáõÛÝ ³ßË³ï³ÝùÁ »ñÏáõ µ³Ýíáñ, »Ã» µáÉáñÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿£ 810. ³) ²é³çÇÝ ÃÇíÁ ãáñë ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹Çó£ ºÃ» »ñÏñáñ¹ ÃÇíÁ Ù»Í³óÝ»Ýù í»ó ³Ý·³Ù, ³å³ ³ÛÝ ³é³çÇÝÇó 4-áí Ù»Í Ï¹³éÝ³£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£

251

µ) ²é³çÇÝ ÃÇíÁ »ñ»ù ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ »ñÏñáñ¹Çó£ ºÃ» ³é³çÇÝ ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 8-áí, »ñÏñáñ¹Áª 2-áí, ³å³ ³é³çÇÝ ÃÇíÁ 8-áí Ù»Í Ï¹³éÝ³ »ñÏñáñ¹Çó£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 811. ³) ²é³çÇÝ ÃÇíÁ ãáñë ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ »ñÏñáñ¹Çó£ ºÃ» ³é³çÇÝ ÃÇíÁ Ù»Í³óÝ»Ýù í»ó ³Ý·³Ù, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ 6-áí ÷áùñ ÏÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹Çó£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ µ) ²é³çÇÝ ÃÇíÁ 3-áí Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹Çó£ ºÃ» ³é³çÇÝ ÃÇíÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 3-áí, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ 1-áí Ù»Í ÏÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹Ç ÑÝ·³å³ïÇÏÇó£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 812. ³) ²é³çÇÝ ÃÇíÁ 8-áí ÷áùñ ¿ »ñÏñáñ¹Çó£ ºÃ» ³é³çÇÝ ÃÇíÁ Ù»Í³óÝ»Ýù 17-áí, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ Ñ³í³ë³ñ ÏÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹Ç ÏñÏÝ³å³ïÇÏÇÝ£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ µ) îñí³Í »Ý »ñÏáõ Ãí»ñ£ ºÃ» ³é³çÇÝÁ µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 3-áí, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ 16-áí Ù»Í ÏÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹Çó, ÇëÏ »Ã» »ñÏñáñ¹Á µ³½Ù³å³ïÏ»Ýù 2-áí, ³å³ ëï³óí³Í ÃÇíÁ 8-áí Ù»Í ÏÉÇÝÇ ³é³çÇÝÇó£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 813. ³) ´³ÝíáñÝ»ñÇ µñÇ·³¹Á 14 ûñáõÙ å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í ù³Ý³Ïáí ¹»ï³ÉÝ»ñ£ ²í»É³óÝ»Éáí ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, µñÇ·³¹Á, ûñ³Ï³Ý 5 ¹»ï³É ³í»ÉÇ å³ïñ³ëï»Éáí, ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ ³í³ñï»ó 12 ûñáõÙ£ àñù³±Ý ¹»ï³É ¿ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í åÉ³Ýáí£ µ) ´³ÝíáñÝ»ñÇ µñÇ·³¹Á 13 ûñáõÙ å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í ù³Ý³Ïáí ¹»ï³ÉÝ»ñ£ ²í»É³óÝ»Éáí ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª µñÇ·³¹Ý ûñ³Ï³Ý åÉ³Ýáí Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 50 ¹»ï³É ³í»ÉÇ ¿ñ å³ïñ³ëïáõÙ£ ²Û¹ å³ï×³éáí ³ñ¹»Ý 12 ûñáõÙ áã ÙÇ³ÛÝ Ï³ï³ñ»ó åÉ³ÝÁ, ³ÛÉ¨ Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 100 ¹»ï³É ³í»ÉÇ å³ïñ³ëï»ó£ ø³ÝÇ± ¹»ï³É å³ïñ³ëï»ó µñÇ·³¹Á£ ·) Ø»ù»Ý³Ý»ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ïí»ñÁ åÉ³Ýáí å»ïù ¿ñ Ï³ï³ñ»É 20 ûñáõÙ£ ´³Ûó ·áñÍ³ñ³ÝÁ ûñ³Ï³Ý åÉ³ÝÇó ¹áõñë å³ïñ³ëïáõÙ ¿ñ 2 Ù»ù»Ý³ ³í»ÉÇ ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí å³ïí»ñÁ Ï³ï³ñ»ó 18 ûñáõÙ£ äÉ³Ýáí ûñ³Ï³Ý ù³ÝÇ± Ù»ù»Ý³ å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»ñ ·áñÍ³ñ³ÝÁ£ 814. Î³½Ù»ù »ñÏáõ ËÝ¹Çñ, áñáÝù ÝÙ³Ý »Ý Ý³Ëáñ¹ Ñ³Ù³ñÇ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇÝ£ ÈáõÍ»ù ³Û¹ ËÝ¹ÇñÝ»ñÁ£

252

815. ³) ºñÏáõ í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ ¿£ ²Û¹ í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ ØáïáóÇÏÉ³í³ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ/Å ¿, Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝÁª 10 ÏÙ/Å£ ØáïáóÇÏÉ³í³ñÇ ß³ñÅÙ³Ý í³ÛñÇó Ç±Ýã Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ Ýñ³Ýù ÏÑ³Ý¹Çå»Ý£ µ) ºñÏáõ í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ ¿£ ²Û¹ í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Áª Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 40 ¨ 20 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñáí£ ø³ÝÇ± Å³ÙÇó Ýñ³Ýù ÏÑ³Ý¹Çå»Ý£ 816. Î³½Ù»ù Ý³Ëáñ¹ Ï»ïÇ ËÝ¹ÇñÝ»ñÇÝ ÝÙ³Ý ËÝ¹ÇñÝ»ñ ¨ ÉáõÍ»ù ¹ñ³Ýù£ 817.* ºñÏáõ í³Ûñ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 40 ÏÙ ¿£ ²Û¹ í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³Ý ³íïáµáõëÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ ²íïáµáõëÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ/Å ¿, Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝÁª 10 ÏÙ/Å£ ²íïáµáõëÁ ï»Õ Ñ³ë³í, 6 ñáå» Ï³Ý· ³é³í ¨ ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»ó Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµ£ ²é³çÇÝ í³ÛñÇó Ç±Ýã Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ÏÑ³Ý¹Çå»Ý ³íïáµáõëÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ 818.* Î³½Ù»ù ¨ ÉáõÍ»ù Ý³Ëáñ¹ ËÝ¹ñÇ ÝÙ³Ý ËÝ¹Çñ£ 819. ØÇ µÝ³Ï³í³ÛñÇó ¹áõñë »Ï³í Ñ»Í³Ýíáñ¹Á 10 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ 1 Å³Ù Ñ»ïá Ýñ³ »ï¨Çó ¹áõñë »Ï³í »ñÏñáñ¹ Ñ»Í³Ýíáñ¹Áª 20 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ Ü³Ë³ï»ëí³Í í³ÛñÁ Ñ³ë³Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï£ Æ±Ýã Ï³ñ»ÉÇ ¿ áñáß»Éª û·ï³·áñÍ»Éáí ³Ûë ïíÛ³ÉÝ»ñÁ£ 820. ºñÏáõ ·Ý³óù Çñ³ñ »ï¨Çó Ù»ÏÝ»óÇÝ ÝáõÛÝ í³ÛñÇó£ ²é³çÇÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 36 ÏÙ/Å ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁª 48 ÏÙ/Å£ ø³ÝÇ± Å³Ù Ñ»ïá »ñÏñáñ¹ ·Ý³óùÁ ÏÑ³ëÝÇ ³é³çÇÝÇÝ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³é³çÇÝ ·Ý³óùÁ 2 Å ßáõï ¿ñ Ù»ÏÝ»É »ñÏñáñ¹Çó£ ÊÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ç±Ýã ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï »ÝÃ³¹ñ»É£ 821. æ»ñÙ³Ý³íÁ »ñÏáõ Ý³í³Ñ³Ý·ÇëïÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ïÇ Ñáë³Ýùáí ³Ýó³í 4 Å³ÙáõÙ, Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ïª 5 Å-áõÙ£ àñáß»ù Ý³í³Ñ³Ý·ÇëïÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 2 ÏÙ/Å ¿£ 822. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» µáÉáñ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÁ Ù»Í³óí»Ý Ï³Ù ÷áùñ³óí»Ý ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÃÇí ³Ý·³Ù, ³å³ ·áõÙ³ñÁ ÝáõÛÝå»ë ÏÙ»Í³Ý³ Ï³Ù Ï÷áùñ³Ý³ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÃÇí ³Ý·³Ù£

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823. ÆÝãå»ë Ï÷áËíÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ýí³½»ÉÇÝ ¨ Ñ³Ý»ÉÇÝ Ù»Í³óíÇ (Ï³Ù ÷áùñ³óíÇ) ÙÇ¨ÝáõÛÝ ÃÇí ³Ý·³Ù£ 824. ³) 0; 1; 2; 2; 2 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí ÑÝ·³ÝÇß ÃÇíÁ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇ ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ µ) ¶ïÝ»É ³ÛÝ ³Ù»Ý³Ù»Í ¨ ³Ù»Ý³÷áùñ µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÁ, áñáÝù Ï³ñ»ÉÇ ¿ ·ñ³é»É »ñ»ù 1-áí ¨ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ýß³ÝÝ»ñáí£ 825. ¶ñí³Í »Ý ÙÇ ù³ÝÇ Ãí»ñ£ ¸ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ, ëÏë³Í »ññáñ¹Çó, Ñ³í³ë³ñ ¿ Ý³Ëáñ¹ »ñÏáõëÇ ·áõÙ³ñÇÝ£ Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ ÇÝÝ»ñáñ¹ ¨ ï³ëÝ»ñáñ¹ Ãí»ñÁ 1 »Ý£ ¶ï»ù ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ Ãí»ñÁ£ 826. ²ÕÛáõë³ÏÁ Éñ³óñ»ù ³ÛÝå»ë, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ í³Ý¹³ÏáõÙ ï³éÇ ÷áË³ñ»Ý ÉÇÝÇ ÃÇí, ÁÝ¹ áñáõÙª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕÇ, ëÛ³Ý ¨ Ù»Í ³ÝÏÛáõÝ³·ÍÇ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÝ Çñ³ñ Ñ³í³ë³ñ ÉÇÝ»Ý£ a

−2

−3

−4

−1

827. ø³é³Ïáõëáõ ÇÝÁ í³Ý¹³ÏÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ·ñí³Í ¿ Ù»Ï ÃÇí£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïáÕÇ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ Ñ³ßí»ÉÇë ëï³ó³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ −6,1; 2,5 ¨ −3,4£ ÆëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛ³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ Ñ³ßí»ÉÇë ëï³ó³Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 2,3; −5,8; −3,7£ ²å³óáõó»ù, áñ Ñ³ßí³ñÏÝ»ñáõÙ ëË³É ¿ ÃáõÛÉ ïñí³Í£ 828. ´»ñùÁ Ñ³í³ù»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³ßË³ïáõÙ ¿ÇÝ »ñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñ£ ²é³çÇÝ ûñÁ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á 5 Ñ³ ³í»ÉÇ Ñ³í³ù»ó, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ ºñÏñáñ¹ ûñÁ ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á Ñ³í³ù»ó 3 Ñ³ ³í»ÉÇ, ù³Ý Ñ³í³ù»É ¿ñ ³é³çÇÝ ûñÁ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á 2 ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ, ù³Ý ³é³çÇÝ ûñÁ£ ø³ÝÇ Ñ³ Ñ³í³ù»ó µñÇ·³¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³é³çÇÝ ûñáõÙ, »ñÏáõ ûñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ µñÇ·³¹Ý»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ Ñ³í³ù»óÇÝ 63 Ñ³£ 829.* àëÏáõ ¨ åÕÝÓÇ »ñÏáõ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÝ»ñÇó ³é³çÇÝáõÙ ¹ñ³Ýó ½³Ý·í³ÍÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ 1 £ 2 ¿, ÇëÏ »ñÏñáñ¹áõÙª 2 £ 3£ ºÃ» ³é³1 5 çÇÝ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÇ −− -Á ÓáõÉ»Ýù »ñÏñáñ¹Ç −− -Ç Ñ»ï, ³å³ ëï³ó3 6 í³Í Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÁ Ïå³ñáõÝ³ÏÇ ³ÛÝù³Ý áëÏÇ, áñù³Ý åÕÇÝÓ

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Ï³ñ ³é³çÇÝ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùáõÙ, ÇëÏ »Ã» ³é³çÇÝ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÇ 2 −− -Á ÓáõÉ»Ýù »ñÏñáñ¹Ç Ï»ëÇ Ñ»ï, ³å³ ëï³óí³Í Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùáõÙ 3 åÕÇÝÓÁ 1 Ï·-áí ³í»ÉÇ ÏÉÇÝÇ »ñÏñáñ¹ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÇ áëÏáõó£ àñù³±Ý áëÏÇ Ï³ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùáõÙ£ 830. ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ 10% ¨ 20% ³ÕÇ ÉáõÍáõÛÃÝ»ñÇó ëï³Ý³É 50 · 15% ³ÕÇ ÉáõÍáõÛÃ£ ø³ÝÇ± · å»ïù ¿ í»ñóÝ»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÉáõÍáõÛÃÇó£ 831. ³) ²é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ áñáß ³ßË³ï³Ýù Ï³ñáÕ ¿ 4 Å-áí ßáõï Ï³ï³ñ»É, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á£ êÏ½µáõÙ Ýñ³Ýù 2 Å ³ßË³ï»óÇÝ Ñ³Ù³ï»Õ, áñÇó Ñ»ïá ÙÝ³ó³Í ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ï³ñ»ó ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ 1 Å³ÙáõÙ£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ£ µ) ºñÏáõ µ³Ýíáñ å»ïù ¿ Ï³ï³ñ»Ý áñáß³ÏÇ ³ßË³ï³Ýù£ êÏ½µáõÙ 2 Å ³ßË³ï»ó ³é³çÇÝ µ³ÝíáñÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ýñ³Ý ÙÇ³ó³í »ñÏñáñ¹Á, ¨ ÙÇ³ëÇÝ ³ßË³ï»óÇÝ ¨ë 1 Å³Ù£ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá ÙÝ³ó³Í ³ßË³ï³ÝùÁ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ ³í³ñï»ó 3 Å³ÙáõÙ£ àñù³Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ µ³ÝíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ, »Ã» ³é³çÇÝÇÝ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 1 Å ùÇã Å³Ù³Ý³Ï, ù³Ý »ñÏñáñ¹ÇÝ£ 832. ³) ´»éÝáÕÝ»ñÇ »ñÏáõ µñÇ·³¹Ý»ñ µ»éÝ³Ý³íÁ å»ïù ¿ µ»éÝ³Ã³÷»ÇÝ 6 Å³ÙáõÙ£ ²é³çÇÝ µñÇ·³¹Á Ï³ï³ñ»ó ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ 3 −− Ù³ëÁ, áñÇó Ñ»ïá »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Ý ³í³ñï»ó ³ÙµáÕç ³ßË³5 ï³ÝùÁ£ ²ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ï³ñí»ó 12 Å³ÙáõÙ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µñÇ·³¹, ³ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝ, ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ïµ»éÝ³Ã³÷Ç µ»éÝ³Ý³íÁ£ µ) ºñÏáõ µ³ÝíáñÝ»ñÇ Ñ³ÝÓÝ³ñ³ñí³Í ¿ñ å³ïñ³ëï»É ÙÇ³ï»ë³Ï ¹»ï³ÉÝ»ñÇ Ñ³í³ù³Íáõ£ ²ÛÝ µ³ÝÇó Ñ»ïá, »ñµ ³é³çÇÝÝ ³ßË³ï»ó 7 Å³Ù, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 4, å³ñ½í»ó, áñ Ýñ³Ýù Ï³ï³ñ»É »Ý 5 ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÇ −− Ù³ ëÁ£ ²ßË³ï» Éáí Ñ³Ù³ï»Õ ¨ë 4 Åª 9 1 å³ñ½»óÇÝ, áñ ÙÝáõÙ ¿ Ï³ï³ñ»É ³ßË³ï³ÝùÇ −−− Ù³ëÁ£ 18 ²ßË³ï»Éáí ³é³ÝÓÇÝª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³Ýíáñ ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÏ³ï³ñÇ ³ÙµáÕç ³ßË³ï³ÝùÁ£

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833.* Ð³Ûñ ¨ áñ¹Ç ëÏë»óÇÝ ÑÝÓ»É »ñÏáõ Ñ³ñ¨³Ý Ù³ñ·³·»ïÇÝÝ»ñÁ, áñáÝó Ù³Ï»ñ»ëÝ»ñÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 8 £ 7£ ºñµ Ñ³ÛñÁ ÑÝÓ»ó 3 Ù»Í Ù³ñ·³·»ïÝÇ −− Ù³ëÁ, ÇëÏ áñ¹ÇÝª ÷áùñ Ù³ñ·³·»ïÝÇ Ï»ëÇó 4 ³í»ÉÇÝ, Ýñ³Ýù Ýëï»óÇÝ Ñ³Ý·ëï³Ý³Éáõ ¨ Ñ³ßí³ñÏ»óÇÝ, áñ »Ã» ß³ñáõÝ³Ï»Ý ³ßË³ï»É ÝáõÛÝù³Ý É³í, ÇÝãå»ë ³ßË³ïáõÙ ¿ÇÝ, µ³Ûó ï»Õ³÷áËí»Ý, ³å³ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³í³ñï»Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï£ Ð³ÛñÁ áñ¹áõó ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ñ ³ñ³· ÑÝÓáõÙ£ 834. ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ (âÇÝ³ëï³Ý, II ¹.)£ Ð³Ù³ï»Õ Ñ³í »Ý ·ÝáõÙ£ ºÃ» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ï³ 9 (¹ñ³Ù³Ï³Ý ÙÇ³íáñ), ³å³ Ï³í»É³Ý³ 11, ÇëÏ »Ã» Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ï³ 6, Ïå³Ï³ëÇ 11£ ø³ÝÇ± Ù³ñ¹ Ï³ñ, ¨ Ç±Ýã ³ñÅ»ñ Ñ³íÁ£ 835. ÐÝ³·áõÛÝ ËÝ¹Çñ (ÐÇÝ ´³µ»ÉáÝ)£ ¶ï»ù ÓáÕÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ëÏ½µáõÙ å³ïÇÝ Ñ»Ýí³Í ¿ñ áõÕÕ³·ÇÍ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ï»Õ³ß³ñÅí»ó ³ÛÝå»ë, áñ í»ñÇÝ Í³Ûñ³Ï»ïÝ Çç³í 3 µ³½áõÏ, ÇëÏ ëïáñÇÝÁ å³ïÇó Ñ»é³ó³í 9 µ³½áõÏ£ 836. ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ (ÐÇÝ ´³µ»ÉáÝ, 1950 Ã. Ù.Ã.³.)£ ºñÏáõ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó µ³ÕÏ³ó³Í A ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 1000 ¿£ ø³é³ÏáõëÇÝ»ñÇó 2 Ù»ÏÇ ÏáÕÙÁ 10-áí ÷áùñ ¿ ÙÛáõëÇ ÏáÕÙÇ −− -Çó£ ÆÝãÇ± »Ý Ñ³í³ë³ñ 3 ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ÏáÕÙ»ñÁ£ 837. ²ñÇ³µÑ³ï³ÛÇËÝ¹ÇñÁ (476-550 Ã.)£ ºñÏáõ ï³ñµ»ñ Ù³ñ¹ÇÏ áõÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ Ï³åÇï³É, áñÝ ³ñï³Ñ³ÛïíáõÙ ¿ ÙÇ¨ÝáõÛÝ ³ñÅáÕáõÃÛ³Ùµ Çñ»ñáí ¨ ¹ñ³Ùáí£ ´³Ûó ÇÝãå»ë Çñ»ñÇ ÃÇíÁ, ³ÛÝå»ë ¿É ¹ñ³ÙÇ ù³Ý³ÏÁ Ýñ³Ýó Ùáï ï³ñµ»ñ »Ý£ àñù³±Ý ³ñÅÇ ÇñÁ£ òáõóáõÙ£ Ð³Ù³ñ»ù, áñ ³é³çÇÝÝ áõÝÇ a Çñ ¨ b ¹ñ³Ù, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª c Çñ ¨ d ¹ñ³Ù, ÁÝ¹ áñáõÙª a, b, c ¨ d-Ý ïñí³Í »Ý, ¨ a ≠ c, b ≠ d£ 838. ´»½áõÇ ËÝ¹ÇñÁ£ Ð³Ù³Ó³ÛÝ å³ÛÙ³Ý³·ñÇª Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ßË³ï³Í ûñí³ Ñ³Ù³ñ ³ßË³ïáÕÁ ëï³ÝáõÙ ¿ 48 ýñ³ÝÏ (¹ñ³Ù³Ï³Ý ÙÇ³íáñ ¿), ÇëÏ ã³ßË³ï³ÍÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³ÝíáõÙ ¿ 12 ýñ³ÝÏ£ 30 ûñ Ñ»ïá å³ñ½í»ó, áñ ³ßË³ïáÕÁ áãÇÝã ãÇ ëï³Ý³Éáõ£ ø³ÝÇ± ûñ ¿ñ ³ßË³ï»É Ý³ ³Û¹ ÁÝÃ³óùáõÙ£

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839.* ØÇ í³ñå»ï ë»ÝÛ³ÏÁ Ï³ñáÕ ¿ å³ëï³é»É a Å³ÙáõÙ, ÇëÏ ÙÛáõëÁª b£ ºÃ» Ýñ³Ýù Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Ý, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³í»É³Ý³ p %-áí£ Ð³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ïå³ïñ³ëï»Ý ë»ÝÛ³ÏÁ, »Ã» ³) a = 6, b = 4, p = 20; µ) a = 3, b = 7, p = 40£ 840.* ØÇ ³ßË³ïáÕÁ çñÑáñÁ Ï³ñáÕ ¿ ÷áñ»É a ûñáõÙ, ÙÛáõëÁª b£ ºÃ» Ýñ³Ýù Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Ý, ³å³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ï³í»É³Ý³ 1 %-áí, ¨ çñÑáñÁ Ï÷áñ»Ý c ûñáõÙ£ ø³ÝÇ± ïáÏáëáí ¿ ³í»É³ÝáõÙ ³ßË³ïáÕÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï³ÝùÇ ¹»åùáõÙ, »Ã» ³) a = 15, b = 10, c = 4; µ) a = 21, b = 28, c = 8£ 841.* ¸³ßïÁ µ³Å³Ýí³Í ¿ »ñ»ù ÑáÕ³Ù³ëÇ£ úñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ í³ñ»óÇÝ 3 ³é³çÇÝ ÑáÕ³Ù³ëÇ Ï»ëÁ, »ñÏñáñ¹Ç −− Ù³ëÁ ¨ ³ÙµáÕç »ññáñ¹ ÑáÕ³4 Ù³ëÁ, áñÁ Ï³½ÙáõÙ ¿ñ ¹³ßïÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÁ£ úñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ í³ñ³Í ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 2 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹ ÑáÕ³Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£ úñí³ ÁÝÃ³óùáõÙ í³ñ³Í ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ ¹³ßïÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ Ï³½ÙáõÙ£ 842.* ºñ»ù ïñ³Ïïáñ³ÛÇÝ µñÇ·³¹ Ñ³Ù³ï»Õ ¹³ßïÁ í³ñáõÙ »Ý 4 ûñáõÙ£ ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á ÙÇ³ëÇÝ ÝáõÛÝ ¹³ßïÁ í³ñáõÙ »Ý 6 ûñáõÙ, ÇëÏ ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹ µñÇ·³¹Áª 8 ûñáõÙ£ Ø»Ï ûñáõÙ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ¿ ß³ï í³ñáõÙ »ñÏñáñ¹Çó£ 843. ºñÏáõ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ÷áùñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÇÝ, ÇëÏ ³Û¹ Ãí»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 15 ¿£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 844. ¶ï»ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ ³) 10%-Á 2 ¿£ ·) 155-Á 1,5 ¿£

µ) 20%-Á 7 ¿£ ¹) 75%-Á 330 ¿£

845. ³) ¶ï»ù 12-Ç 2 %-Á£ µ) 3 é-ÇÝ 15 é-áõ á±ñ ïáÏáëÝ ¿£ ·) ¶ï»ù ³ÛÝ ÃÇíÁ, áñÇ 8 %-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 32-Ç£ ¹) 5-Á 4-Çó ù³ÝÇ± ïáÏáëáí ¿ Ù»Í£ ») 8-Á 10-Çó ù³ÝÇ± ïáÏáëáí ¿ ÷áùñ£ ½) 1 ó-Á 1 ï-Ç á±ñ ïáÏáëÝ ¿£ ¿) 3,75-Á 7,5-Ç á±ñ ïáÏáëÝ ¿£

257

Á) ¶ï»ù x ÃÇíÁ, »Ã» ¹ñ³ 12,5 %-Á Ñ³í³ë³ñ ¿ 25-Ç£ Ã) 0,125-Á ³ñï³Ñ³Ûï»ù ïáÏáëáí£ Å) 1,5 %-Á ³ñï³Ñ³Ûï»ù ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Ïáïáñ³Ïáí£ Ç) ¶ï»ù 840-Ç 25 %-Á£ É) à±ñ ÃÇíÝ ¿ 20-Çó ÷áùñ 20 %-áí£ 1 846. −− Ïáïáñ³ÏÝ ³ñï³Ñ³Ûï»ù ïáÏáëáí£ 8 847. 40-Ç 5 %-Ý ¿ Ù»±Í, Ã»± 5-Ç 40 %-Á£ 848. ¶ÇñùÁ í³×³éí»É ¿ 2 é. 70 Ï-áíª 10% ½»Õãáí£ àñù³±Ý ³ñÅ»ñ ·ÇñùÁ ·ÝÇ Çç»óáõÙÇó ³é³ç£ 849. ³) ¶áñÍ³ñ³ÝÁ åÉ³Ýáí Ý³Ë³ï»ëí³Í 1200 ß³ñÅÇãÇ ÷áË³ñ»Ý ÃáÕ³ñÏ»ó 1260 ß³ñÅÇã£ ø³ÝÇ± ïáÏáëáí ·áñÍ³ñ³ÝÁ ·»ñ³Ï³ï³ñ»ó åÉ³ÝÁ£ µ) ´³ÝíáñÁ åÉ³Ýáí å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»ñ 800 ¹»ï³É, µ³Ûó Ý³ åÉ³ÝÁ ·»ñ³Ï³ï³ñ»ó 5%-áí£ ø³ÝÇ± ¹»ï³É å³ïñ³ëï»ó£ ·) ¸³ë³ñ³ÝÇ 40 ³ß³Ï»ñïÇó 4-Á ³Ûëûñ µ³ó³Ï³ÛáõÙ »Ý£ àñù³±Ý ¿ Ñ³×³ËáõÙÝ»ñÇ ïáÏáëÝ ³Ûëûñ£ ¹) ÂíÇ 331/3 %-Á ÇÝãå»±ë ¿ Ñ³ñÙ³ñ ·ïÝ»É£ ») 66 2/3 %-Á ÃíÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿£ ½) ºÃ» ÃíÇÝ ·áõÙ³ñ»Ýù ¹ñ³ 10%-Á, Ïëï³óíÇ 330£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ ¿) Î³Ý³ã ËáïÁ ãáñ³Ý³ÉÇë ÏáñóÝáõÙ ¿ Çñ ½³Ý·í³ÍÇ 80 %-Á£ àñù³±Ý ãáñ Ëáï Ïëï³óíÇ 10 Ñ³ Ù³Ï»ñ»ëáí Ù³ñ·³·»ïÝÇó, »Ã» Ù»Ï Ñ»Ïï³ñÇó ÙÇçÇÝ Ñ³ßíáí ÑÝÓáõÙ »Ý 6 ï Ï³Ý³ã Ëáï£ 850. ³) ØÇ¨ÝáõÛÝ µ»éÝ³ï³ñáÕáõÃÛ³Ùµ 15 Ù»ù»Ý³Ý»ñáí ¿É¨³ïáñ ï»Õ³÷áË»óÇÝ 90 ï Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ£ àñù³±Ý Ù»ù»Ý³ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï 186 ï Ñ³ó³Ñ³ïÇÏÝ ¿É¨³ïáñ ï»Õ³÷áË»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ µ) 1 Ï· ÉáõÍáõÛÃÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 40 · ³Õ£ àñù³±Ý ³Õ ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ³Û¹ ÉáõÍáõÛÃÇ 350 ·-Ç Ù»ç£ ·) 5 É ÉáõÍáõÛÃáõÙ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ 80 · ³Õ£ àñù³±Ý ³Õ ¿ å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ³Û¹ ÉáõÍáõÛÃÇ 4,2 É-Á£ 851. ´ñÇÝÓÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 75 % Ïñ³ËÙ³É, ÇëÏ ·³ñÇÝª 60 %£ ³) àñù³±Ý µñÇÝÓ å»ïù ¿ í»ñóÝ»É, áñå»ë½Ç ëï³Ý³É ³ÛÝù³Ý Ïñ³ËÙ³É, áñù³Ý å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ 6 Ï· ·³ñáõ Ù»ç£

258

µ) àñù³±Ý ·³ñÇ å»ïù ¿ í»ñóÝ»É, áñå»ë½Ç ëï³Ý³É ³ÛÝù³Ý Ïñ³ËÙ³É, áñù³Ý å³ñáõÝ³ÏíáõÙ ¿ 8 Ï· µñÝÓÇ Ù»ç£ 852. ³) àñáß»ù Í³éÇ µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³Û¹ Í³éÇ ëïí»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 20 Ù ¿, ÇëÏ 1 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÓáÕÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁª 1,4 Ù (ã³÷áõÙÝ»ñÁ Ï³ï³ñí³Í »Ý ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï)£ µ) àñù³±Ý ¿ 12 Ù µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ Í³éÇ ëïí»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» 2 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ÓáÕÇ ëïí»ñÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 1,5 Ù ¿£ 853. ´³ÝíáñÁ å»ïù ¿ å³ïñ³ëïÇ 200 ¹»ï³É£ ¶ñ»ù å³ïí»ñÇ Ï³ï³ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³ÏÁ ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÇó (³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙÇ³íáñ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ å³ïñ³ëïí³Í ¹»ï³ÉÝ»ñÇ ÃÇíÝ ¿) Ï³Ëí³ÍáõÃÛ³Ý µ³Ý³Ó¨Á£ ÆÝãå»ë Ï÷áËíÇ ³ßË³ï³ÝùÇ Ï³ï³ñÙ³Ý Å³Ù³Ý³ÏÁ, »Ã» ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³í»É³Ý³ 1,2, 1,4 ¨ 2 ³Ý·³Ù£ 854. ³) Ø»Ï ¹»ï³É å³ïñ³ëï»Éáõ Ñ³Ù³ñ µ³ÝíáñÝ»ñÁ Ý³Ë³ï»ëí³Í 20 ñ-Ç ÷áË³ñ»Ý ëÏë»óÇÝ Í³Ëë»É 8 ñ£ àñù³Ý ¹»ï³É Ïå³ïñ³ëïÇ µñÇ·³¹Á Ù»Ï Ñ»ñÃ³÷áËáõÙ, »Ã» ³é³ç ÃáÕ³ñÏáõÙ ¿ÇÝ 120 ¹»ï³É£ ø³ÝÇ± ïáÏáëáí ³í»É³ó³í ³ßË³ï³ÝùÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ£ µ) ¶áñÍ³ñ³ÝÁ ï³ñí³ åÉ³ÝÁ Ï³ï³ñ»ó ¹»Ïï»Ùµ»ñÇ 1-ÇÝ£ ØÇÝã¨ ÑáõÝí³ñÇ 1-Á ·áñÍ³ñ³ÝÁ ù³ÝÇ± ïáÏáëáí ÏÏ³ï³ñÇ ï³ñí³ åÉ³ÝÁ, »Ã» ß³ñáõÝ³ÏÇ ³ßË³ï»É ÝáõÛÝ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛ³Ùµ£ ·) è³óÇáÝ³ÉÇ½³ïáñ³Ï³Ý ³é³ç³ñÏÇ Ý»ñ¹ñáõÙÁ ÃáõÛÉ ¿ ï³ÉÇë Ù»Ï ¹»ï³ÉÇ å³ïñ³ëïÙ³Ý Å³Ù³Ý³ÏÁ 12 ñ-Çó ¹³ñÓÝ»É 10 ñ£ ø³ÝÇ± ³Ý·³Ù Ï³í»É³Ý³ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý ÝáñÙÁ (ù³Ý³ÏÁ)£ ø³ÝÇ± ïáÏáëáí ÏÏ³ï³ñíÇ Ý³Ë³ï»ëí³Í ÃáÕ³ñÏÙ³Ý åÉ³ÝÁ£ ¹) ºñÏáõ ³ÝÇí ÙÇ³ó³Í »Ý ÷áÏáí£ ²é³çÇÝ ³ÝÇíÇ ßñç³Ý³·ÇÍÁ 60 ëÙ ¿, »ñÏñáñ¹ÇÝÁª 40£ ðáå»áõÙ ù³ÝÇ± åïáõÛï ÏÏ³ï³ñÇ »ñÏñáñ¹ ³ÝÇíÁ, »Ã» ³é³çÇÝÁ ñáå»áõÙ Ï³ï³ñáõÙ ¿ 240 åïáõÛï£ 855. ³) ºñÏñ³·áõÝ¹Á, Çñ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ ÉñÇí åïáõÛïÁ Ï³ï³ñáõÙ ¿ 24 Å-áõÙ£ ø³ÝÇ± ³ëïÇ×³Ýáí »Ý ï³ñµ»ñíáõÙ »ñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ ³ßË³ñÑ³·ñ³Ï³Ý »ñÏ³ÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýó ³ñ¨³ÛÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 8 Å³Ù ¿£ µ) ø³ÝÇ Å-áí »Ý ï³ñµ»ñíáõÙ »ñÏáõ ù³Õ³ùÝ»ñÇ ³ñ¨³ÛÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÝ»ñÁ, »Ã» ¹ñ³Ýó ³ßË³ñÑ³·ñ³Ï³Ý »ñÏ³ÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñµ»ñíáõÙ »Ý 60°-áí£

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856. ê³ÝÏï ä»ï»ñµáõñ·Á ·ïÝíáõÙ ¿ 60° ³ñ¨»ÉÛ³Ý »ñÏ³ÛÝáõÃÛ³Ý íñ³, ÇëÏ Ø³·³¹³ÝÁª 150°£ ¶ï»ù Ø³·³¹³ÝáõÙ ³ñ¨³ÛÇÝ Å³Ù³Ý³ÏÁ, »Ã» ê³ÝÏï ä»ï»ñµáõñ·áõÙ Ï»ëûñ ¿£ 857. òÇëï»éÝáõÙ (·É³Ý³ï³Ï³é) 6 É çáõñ Ï³£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ñáå» Íáñ³Ïáí ³ÛÝï»Õ ÉóíáõÙ ¿ 4,5 É çáõñ£ ³) ¶ñ»ù µ³ùáõÙ çñÇ ÉÇïñ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ (y) ¨ Íáñ³ÏÇ µ³ó ÙÝ³Éáõ Å³Ù³Ý³ÏÇ (x) Ï³åÁ£ µ) ¶Í»ù y-Ç ÷á÷áËÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÁª x-ÇÝ ï³Éáí 0-Çó 8 ³ñÅ»ùÝ»ñ 2 ù³ÛÉáí£ ·) ¶ñ³ýÇÏáí ·ï»ùª áñù³Ý çáõñ ÏÉÇÝÇ µ³ùáõÙ 1 ñáå», 5 ñáå» Ñ»ïá£ ¹) ø³ÝÇ± ñáå» Ñ»ïá µ³ùáõÙ ÏÉÇÝÇ 40 É çáõñ (Ñ³ßí³ñÏÁ ÏÉáñ³óñ»ù 1 ñ-Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ)£ ») ø³ÝÇ± ñ Ñ»ïá µ³ùÁ ÏÉóíÇ, »Ã» ï³ñáÕáõÃÛáõÝÁ 100 É ¿ (ÏÉáñ³óñ»ù 1 ñ-Ç ×ßïáõÃÛ³Ùµ)£ 858. ØÇ óÇëï»éÝáõÙ 32 ï µ»Ý½ÇÝ ¿, ÙÛáõëáõÙª 36 ï£ ²é³çÇÝÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ñáå»áõÙ ¹³ï³ñÏáõÙ »Ý 200 Ï·, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Çóª 300 Ï· µ»Ý½ÇÝ£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Ñ»ïá óÇëï»éÝ»ñáõÙ µ»Ý½ÇÝÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÑ³í³ë³ñíÇ£ 859. ´³Ý³ÉÇÝ»ñÇ 15 ûÕ³ÏÝ»ñÇ å³ïñ³ëïÙ³Ý Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 18 ¹Ù Ù»ï³Õ³É³ñ£ ø³ÝÇ± ûÕ³Ï Ïëï³óíÇ 24 ¹Ù Ù»ï³Õ³É³ñÇó£ 860. ø³ÝÇ± Ï· Ñ³ó Ï³ñ»ÉÇ ¿ ëï³Ý³É 850 · óáñ»ÝÇó, »Ã» 10 Ï· óáñ»ÝÇó ëï³óíáõÙ ¿ 8 Ï· ³ÉÛáõñ, ÇëÏ 6 Ï· ³ÛÉáõñÇóª 9 Ï· Ñ³ó£ 861. 32 Ï· Ï³ÃÇó ëï³óíáõÙ ¿ 4 Ï· Ï³ÃÝ³ë»ñ, 35 Ï· Ï³ÃÝ³ë»ñÇóª 7 Ï· ÛáõÕ, ÇëÏ 16 Ï· ÛáõÕÇó ëï³óíáõÙ ¿ 12 Ï· Ñ³É³Í ÛáõÕ£ ø³ÝÇ± Ï· Ñ³É³Í ÛáõÕ Ïëï³óíÇ 3000 Ï· Ï³ÃÇó£ 862. ÂËí³Í ¿ 400 Ï· Ñ³ó£ ê³éã»Éáõó Ñ»ïá Ñ³óÁ ÏáñóÝáõÙ ¿ Çñ ½³Ý·í³ÍÇ 2,75 %-Á£ ø³ÝÇ± Ï·-áí ÷áùñ³ó³í Ñ³óÇ ½³Ý·í³ÍÁ£ 863. 4 É ï³ù çáõñÁ Ë³éÝ»óÇÝ 3 É 10 °C ç»ñÙ³ëïÇ×³Ý áõÝ»óáÕ çñÇ Ñ»ï£ Ê³éÝáõñ¹Ç ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÁ ¹³ñÓ³í 40 °C£ ¶ï»ù ï³ù çñÇ ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÁ£ 864. 0,1 ×ßïáõÃÛ³Ùµ Ñ³ßí»ù ³ñï³¹ñ³ÝùÇ Çñ³óÙ³Ý åÉ³ÝÇ Ï³ï³ñÙ³Ý ïáÏáëÁ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ »é³ÙëÛ³ÏáõÙ Ñ»ï¨Û³É ïíÛ³ÉÝ»ñÇ ÑÇÙ³Ý íñ³.

260

ºé³ÙëÛ³Ï I II III IV

Æñ³óáõÙÁ 1000 é äÉ³Ý ö³ëï³óÇ 1200 1280 1400 1450 1300 1280 1400 1650

Î³ï³ñáõÙÁ %-áí

865. ºñÏáõ ³ñï³¹ñ³Ù³ë»ñ åÉ³Ýáí Ù»Ï ï³ñáõÙ å»ïù ¿ ÃáÕ³ñÏ»ÇÝ 180 Ñ³ëïáó£ ²é³çÇÝ ³ñï³¹ñ³Ù³ëÁ åÉ³ÝÁ Ï³ï³ñ»ó 112 %-áí, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Áª 110, ³Û¹ å³ï×³éáí »ñÏáõëáí Ù»Ï ï³ñáõÙ ÃáÕ³ñÏ»óÇÝ 200 Ñ³ëïáó£ äÉ³ÝÇó ¹áõñë ù³ÝÇ± Ñ³ëïáó ÃáÕ³ñÏ»ó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñï³¹ñ³Ù³ë£ 866. àñù³±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ 20 É çñÇ ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÁ, áñå»ë½Ç 10 É 20 °C ç»ñÙ³ëïÇ×³Ýáí çñÇ Ñ»ï Ë³éÝ»ÉÇë ëï³óíÇ 35 °C-Çó áã å³Ï³ë ¨ 45°C-Çó áã ³í»ÉÇ ç»ñÙ³ëïÇ×³Ýáí çáõñ£ 867. ºñÏáõ ïÕ³ ×á×íáõÙ »Ý ·»ñ³ÝÇ íñ³ ¹ñí³Í ï³Ëï³ÏÇÝ Ýëï³Í£ î³Ëï³ÏÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 5,5 Ù ¿£ Æ±Ýã ï»ÕáõÙ å»ïù ¿ ÉÇÝÇ ï³Ëï³ÏÇ Ñ»Ý³Ï»ïÁ (·»ñ³ÝÇ íñ³), áñå»ë½Ç ïÕ³Ý»ñÁ ·ïÝí»Ý Ñ³í³ë³ñ³ÏßéáõÃÛ³Ý Ù»ç, »Ã» Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ ÏßéáõÙ ¿ 45 Ï·, ÙÛáõëÁª 40£ 868. àõÕÕ³ÓÇ· ÉÍ³ÏÇ Í³Ûñ»ñÇó Ï³Ëí³Í »Ý Ñ³í³ë³ñ³ÏßéáõÃÛ³Ý Ù»ç ·ïÝíáÕ »ñÏáõ µ»éÝ»ñ, ÁÝ¹ áñáõÙª ÉÍ³ÏÇ Ñ»Ý³Ï»ïÁ ÙÇ Í³ÛñÇó Ñ»é³óí³Í ¿ 5 ¹Ù, ÙÛáõëÇóª 7£ ºÃ» Ù»Í ½³Ý·í³Íáí µ»éÝ ³í»É³óíÇ 2 Ï·-áí, ÷áùñ ½³Ý·í³ÍáíÁ ÷áùñ³óíÇ 2-áí, ³å³ Ñ³í³ë³ñ³ÏßéáõÃÛáõÝÁ å³Ñå³Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ»Ý³Ï»ïÁ å»ïù ¿ ï»Õ³ß³ñÅ»É 1 ¹Ù-áí£ àñáß»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ»é³Ý ½³Ý·í³ÍÁ£ 869. Ø³ñ¹³ï³ñ ¨ µ»éÝ³ï³ñ ·Ý³óùÝ»ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 5£3£ Ø³ñ¹³ï³ñ ·Ý³óùÁ Ï³Û³ñ³ÝÇó ¹áõñë »Ï³í µ»éÝ³ï³ñÇó 0,5 Å³Ù áõß, µ³Ûó Ñ³çáñ¹ Ï³Û³ñ³Ý Ñ³ë³í µ»éÝ³ï³ñÇó 0,5 Å³Ù ßáõï£ ¶ï»ù ·Ý³óùÝ»ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ (Ñ³Ù³ñ»Éáí ¹ñ³Ýù Ñ³ëï³ïáõÝ), »Ã» Ï³Û³ñ³ÝÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 75 ÏÙ ¿£ 870. ²éí³ÏÇó 6 Ù Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ³×áõÙ ¿ñ 20 Ù µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ Í³é£ ´áõùÁ Í³éÁ ç³ñ¹»ó ³ÛÝå»ë, áñ Í³éÇ ·³·³ÃÝ ÁÝÏ³í ³éíÇª Í³éÇÝ Ùáï³Ï³ ³÷Ç íñ³£ Æ±Ýã µ³ñÓñáõÃÛ³Ý íñ³ ¿ñ ç³ñ¹í»É Í³éÁ£

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871. 7,5 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ³ëïÇ×³ÝÁ å³ïÇÝ Ñ»Ýí³Í ¿ ³ÛÝå»ë, áñ ÑÇÙùÁ å³ïÇó Ñ»é³óí³Í ¿ 2,5 Ù-áí£ ø³ÝÇ± Ù ÏÇçÝÇ ³ëïÇ×³ÝÇ í»ñÇÝ »½ñÁ, »Ã» ÑÇÙùÁ å³ïÇó Ñ»é³óíÇ ¨ë 3,5 Ù-áí£ 872. ¶ï»ù »ñÏáõ Ãí»ñ, áñáÝó ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 145, ÇëÏ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª 17£ 873. ºñÏáõ Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 1029 ¿, ÇëÏ ³Û¹ Ãí»ñÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 2 £ 5£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 874.* ºñÏÝÇß ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 29-áí ÷áùñ ¿ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó ¨ 72-áí Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó£ ¶ï»ù ³Û¹ ÃÇíÁ£ 875. ºñÏÝÇß ÃíÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÁ ï»Õ³÷áË»Éáõó Ñ»ïá ëï³óí³Í ÃÇíÁ 18-áí ÷áùñ ¿ ïñí³Í ÃíÇó£ ²Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 126 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ Ãí»ñÇ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó£ ¶ï»ù »ñÏÝÇß ÃÇíÁ£ 876.* ²ÉÛáß³Ý 3 ï³ñáí Ù»Í ¿ ´áñÛ³ÛÇó ¨ 6 ï³ñáí ìáí³ÛÇó£ ¶ñÇß³ÛÇ ¨ ´áñÛ³ÛÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 9-áí Ù»Í ¿ ²ÉÛáß³ÛÇ ¨ ìáí³ÛÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó£ ø³ÝÇ± ï³ñáí ¿ ²ÉÛáß³Ý Ù»Í ¶ñÇß³ÛÇó£ 877.* ²ÉÛáß³Ý 3 ï³ñáí Ù»Í ¿ ´áñÛ³ÛÇó ¨ 6 ï³ñáíª ìáí³ÛÇó£ ¶ñÇß³ÛÇ ¨ ´áñÛ³ÛÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 20-áí Ù»Í ¿ ²ÉÛáß³ÛÇ ¨ ìáí³ÛÇ ï³ñÇùÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó£ ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿ ¶ñÇß³Ý£ 878.* ê³ß³Ý ³ë³ó. §ÆÙ ÷áùñ »Õµáñ ï³ñÇùÁ 7-Çó Ù»Í ¿, ÇëÏ Ù»ñ ï³ñÇùÝ»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 20 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÇÙ ï³ñÇùÇó¦£ ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿ ê³ß³Ý£ 879.* ì³ëÛ³Ý Ù»ñ ¹³ë³ñ³ÝÇ ïÕ³Ý»ñÇ ¨ ³ÕçÇÏÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÝ»ñÁ ù³é³ÏáõëÇ µ³ñÓñ³óñ»ó£ êï³óí³Í Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 25 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ïÕ³Ý»ñÇ ÃíÇó£ ø³ÝÇ± ïÕ³ Ï³ Ù»ñ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ, »Ã» ³ÕçÇÏÝ»ñÇ ÃÇíÁ Ù»Í ¿ ï³ëÇó, ÇëÏ ïÕ³Ý»ñÁ ³í»ÉÇ ß³ï »Ý, ù³Ý ³ÕçÇÏÝ»ñÁ£ 880.* ÐáíÇíÁ ÝÏ³ï»ó, áñ Çñ áãË³ñÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇ ¨ ³Û¹ ù³Ý³ÏÇó Ù»Ïáí ÷áùñ ÃíÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 15-áí Ù»Í ¿ Çñ ï³ñÇùÇ ¨ áãË³ñÝ»ñÇ ÃíÇó, 2-áí ÷áùñ ÃíÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇó£ ø³ÝÇ± ï³ñ»Ï³Ý ¿ ÑáíÇíÁ£

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881.* ºñÏáõ ·áñÍ³ñ³ñ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·áñÍÇ Ù»ç Ý»ñ¹ñ»óÇÝ 48 Ñ³½³ñ³Ï³Ý éáõµÉÇ£ ²é³çÇÝÁ Ù»Ï ï³ñÇ Ñ»ïá »ï í»ñóñ»ó Çñ ·áõÙ³ñÁ (³é³Ýó »Ï³ÙïÇ), »ñÏñáñ¹Áª »ñÏáõ ï³ñÇ Ñ»ïá£ ÆÝãå»ë å»ïù ¿ Ýñ³Ýù µ³Å³Ý»Ý Çñ³ñ Ù»ç 42 Ñ³½³ñ »Ï³ÙáõïÁ, áñÁ ëï³óí»É ¿ Ýñ³Ýó Ý»ñ¹ñáõÙÇó »ñÏáõ ï³ñáõÙ£ 882.* ºñÏáõ ·áñÍ³ñ³ñ Ý»ñ¹ñáõÙÝ»ñ Ï³ï³ñ»óÇÝ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ·áñÍáõÙ£ ²é³çÇÝÁ Ý»ñ¹ñ»ó 40 Ñ³½³ñ éáõµÉÇ, »ñÏñáñ¹Áª 60 Ñ³½³ñ£ Ø»Ï ³ÙÇë Ñ»ïá ³é³çÇÝÁ »ï í»ñóñ»ó Çñ ·áõÙ³ñÁ (³é³Ýó »Ï³ÙïÇ), ÇëÏ ¨ë Ù»Ï ³ÙÇë Ñ»ïá Ýñ³Ýù áñáß»óÇÝ Çñ³ñ Ù»ç µ³Å³Ý»É »ñÏáõ ³ÙëáõÙ ëï³óí³Í »Ï³ÙáõïÁ£ ÆÝãå»±ë ¹³ å»ïù ¿ ³Ý»É, »Ã» »Ï³ÙáõïÁ 17 000 é. ¿£ 883.* ØÇ ÇÝã-áñ Ó»éÝ³ñÏáõÙÇó ëï³óí³Í ¿ Ï³ÛáõÝ »Ï³Ùáõï£ ²é³çÇÝ ·áñÍÁÝÏ»ñÁ Ý»ñ¹ñ»ó 9 Ñ³½³ñ éáõµÉÇ, »ñÏñáñ¹Áª 2 Ñ³½³ñ£ ²é³çÇÝÁ Çñ Ý»ñ¹ñ³Í ·áõÙ³ñÁ »ï í»ñóñ»ó Ù»Ï ³ÙÇë Ñ»ïá (³é³Ýó »Ï³ÙïÇ), »ñÏñáñ¹Áª »ñÏáõ ³ÙÇë ³Ýó£ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá Ýñ³Ýù µ³Å³Ý»óÇÝ ëï³óí³Í »Ï³ÙáõïÁ£ ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ ³Ùë³Ï³Ý ß³ÑáõÛÃÇ ïáÏáëÁ, »Ã» ³é³çÇÝÇ »Ï³ÙáõïÁ 2,5 ³Ý·³Ù ß³ï ¿ »ñÏñáñ¹Ç »Ï³ÙïÇó£ 884. ºñÏáõ å³ïß³ñ å³ïÁ ß³ñáõÙ »Ý »ñ»ù ûñáõÙ£ ø³ÝÇ± ûñáõÙ Ïß³ñ»Ý å³ïÁ »ñ»ù å³ïß³ñ, »Ã» Ýñ³Ýó µáÉáñÇ ³ñï³¹ñáÕ³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝÝ ¿£ 885. ºñ»ù µ³ÝíáñÝ»ñÇó ³é³çÇÝÝ ³ßË³ï³ÝùÁ Ï³ñáÕ ¿ Ï³ï³ñ»É 12 Å³ÙáõÙ, »ñÏñáñ¹Áª 15, »ññáñ¹Áª 20£ Ð³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÏ³ï³ñ»Ý ³Û¹ ³ßË³ï³ÝùÁ£ 886.* ºñÏáõ µñÇ·³¹ Ñ³Ù³ï»Õ ³ßË³ï»Éáí, ×³Ý³å³ñÑÁ Ï³ñáÕ »Ý í»ñ³Ýáñá·»É 18 ³ßË³ï³Ýù³ÛÇÝ ûñáõÙ£ ºÃ» ³é³çÇÝ µñÇ·³¹Á Ï³2 ï³ñÇ ³ßË³ï³ÝùÇ −− Ù³ëÁ, ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÙÝ³ó³Í Ù³ëÁª »ñÏñáñ¹Á, 3 ³å³ ×³Ý³å³ñÑÇ í»ñ³Ýáñá·áõÙÁ Ïï¨Ç 40 ûñ£ ²é³ÝÓÇÝ ³ßË³ï»Éáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ µñÇ·³¹ ù³ÝÇ± ûñáõÙ ÏÏ³ï³ñÇ ³Û¹ ³ßË³ï³ÝùÁ£ 887. ºñ»ù ïñ³Ïïáñ³ÛÇÝ µñÇ·³¹ ÙÇ³ëÇÝ ¹³ßïÁ í³ñáõÙ »Ý 4 ûñáõÙ£ ²é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ µñÇ·³¹Á ¹³ßïÁ Ï³ñáÕ »Ý í³ñ»É 6 ûñáõÙ, ÇëÏ ³é³çÇÝÁ ¨ »ññáñ¹Áª 8 ûñáõÙ£ ºñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ µñÇ·³¹Ý»ñÇó á±ñÝ ¿ 1 ûñáõÙ ³í»ÉÇ ß³ï í³ñáõÙ ¨ ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ß³ï£

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888. Ö³Ý³å³ñÑÇ ³é³çÇÝ 96 ÏÙ ï»Õ³Ù³ëÁ ·Ý³óùÁ 2 ÏÙ/Å-áí Ù»Í ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ñ ·ÝáõÙ, ù³Ý 69 ÏÙ »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ »ñÏñáñ¹ ï»Õ³Ù³ëÁ£ ²ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÝ ³Ýó³í 3 Å 30 ñáå»áõÙ£ ¶ï»ù ·Ý³óùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ×³Ý³å³ñÑÇ »ñÏñáñ¹ Ù³ëáõÙ£ 889. Øáïáñ³Ý³í³ÏÁ, áñÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ/Å ¿, »ñÏáõ Ù³ïáõÛóÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ·»ïÇ Ñáë³Ýùáí ·Ý³ó ¨ í»ñ³¹³ñÓ³í (³é³Ýó Ï³Ý· ³éÝ»Éáõ) 6 Å 15 ñáå»áõÙ£ Ü³í³Ù³ïáõÛóÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 60 ÏÙ ¿£ ¶ï»ù ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 890. 75 ï µ»é ï»Õ³÷áË»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³ïÏ³óñÇÝ ÙÇ ù³ÝÇ µ»éÝ³ï³ñ£ ê³Ï³ÛÝ 5 µ»éÝ³ï³ñ ï»Õ³÷áË»óÇÝ ³ÛÉ ï»Õ³Ù³ë, ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ÙÝ³ó³Í µ»éÝ³ï³ñÝ»ñÁ 0,5 ï-áí ³í»ÉÇ µ»éÝ»óÇÝ, ù³Ý »ÝÃ³¹ñíáõÙ ¿ñ£ ø³ÝÇ± µ»éÝ³ï³ñ û·ï³·áñÍí»ó µ»éÁ ï»Õ³÷áË»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ 891. ºÃ» A ù³Õ³ùÇó B ·Ý³óáÕ ·Ý³óùÁ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷áùñ³óÝÇ 10 ÏÙ/Å-áí, ³å³ A-Çó B ·Ý³Éáõ Å³Ù³Ý³ÏÁ Ï³í»É³Ý³ 25%-áí£ ¶ï»ù ·Ý³óùÇ ß³ñÅÙ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 892°. ò»ÉëÇáõëÇ ç»ñÙ³ã³÷áí ë³éáõÛóÇ Ñ³ÉÙ³Ý ¨ çñÇ »éÙ³Ý ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ýß³Ý³Ïí³Í »Ý 0° ¨ 100°£ ü³ñ»Ý·»ÛïÇ ç»ñÙ³ã³÷áõÙ ³Û¹ ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ýß³Ý³Ïí³Í »Ý −32° ¨ 212°£ Æ±Ýã ç»ñÙ³ëïÇ×³ÝÇ ¹»åùáõÙ »ñÏáõ ç»ñÙ³ã³÷Ý»ñÝ ¿É óáõÛó Ïï³Ý ÝáõÛÝ ³ëïÇ×³ÝÁ£ 893.* A ïÇåÇ ¿É»Ïïñ³ß³ñÅÇãÇ ³ñï³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ 20% åÕÇÝÓ å³ñáõÝ³ÏáÕ 7 Ï· Ñ³Ù³ÓáõÉí³Íù£ B ïÇåÇ ¿É»Ïïñ³ß³ñÅÇãÇ ³ñï³¹ñáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ 60% Ï³å³ñ ¨ 40% åÕÇÝÓ å³ñáõÝ³ÏáÕ 2 Ï· Ñ³Ù³ÓáõÉí³Íù£ A Ï³Ù B ïÇåÇ Ù»Ï ¿É»Ïïñ³ß³ñÅÇãÇ ³ñï³¹ñáõÃÛáõÝÇó ëï³óí³Í ß³ÑáõÛÃÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ï³½ÙáõÙ ¿ 8 Ï³Ù 12 é.£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïÇåÇ ù³ÝÇ± ¿É»Ïïñ³ß³ñÅÇã å»ïù ¿ å³ïñ³ëï»É 1000 é. ß³ÑáõÛÃ ëï³Ý³Éáõ Ñ³Ù³ñ, ÁÝ¹ áñáõÙª Í³Ëë»Éáí áã ³í»ÉÇ ù³Ý 84 Ï· Ï³å³ñ ¨ áã ³í»ÉÇ, ù³Ý 111 Ï· åÕÇÝÓ£ 894. ¶ï»ù ³ÛÝåÇëÇ ãáñë ÃÇí, áñ ¹ñ³Ýó µáÉáñ ÑÝ³ñ³íáñ »éÛ³ÏÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 20, 22, 24, 27£ 895. ø³é³ÝÏÛ³Ý 3 Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ÏáÕÙ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ Ñ³í³ë³ñ »Ý 130, 135, 147, 152 ëÙ£ ¶ïÝ»É ù³é³ÝÏÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏáÕÙÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ£

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896. 100 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ßñç³Ý³·Íáí ß³ñÅíáõÙ »Ý »ñÏáõ Ï»ï£ ÜáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ß³ñÅí»ÉÇë Ñ³Ý¹ÇåáõÙ »Ý 20 í³ÛñÏÛ³ÝÁ Ù»Ï, Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛáõÝÝ»ñáí ß³ñÅí»ÉÇëª 4 í³ÛñÏÛ³ÝÁ Ù»Ï£ ¶ï»ù Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ï»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 897. 720 é-áí å»ïù ¿ Ó»éù µ»ñíÇ ÙÇ ù³ÝÇ é³¹ÇáÁÝ¹áõÝÇã, µ³Ûó ¹ñ³ÝóÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ ·ÇÝÝ Çç³í 24 é-áí, ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí ·Ý»óÇÝ Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó Ù»Ï é³¹ÇáÁÝ¹áõÝÇã ³í»ÉÇ£ ø³ÝÇ± é³¹ÇáÁÝ¹áõÝÇã ·Ý»óÇÝ, »Ã» ¹ñ³Ýù áõÝ»ÇÝ ÝáõÛÝ ·ÇÝÁ£ 898. Þ»Ýù Ï³éáõó»Éáõ Ñ³Ù³ñ áñáß³ÏÇ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ å»ïù ¿ñ ù³Ý¹»É 8000 Ù3 ÑáÕ£ ²ßË³ï³ÝùÝ ³í³ñïí»ó Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 8 ûñ ßáõï, ù³ÝÇ áñ µñÇ·³¹Ý ûñí³ åÉ³ÝÁ ·»ñ³Ï³ï³ñáõÙ ¿ñ 50 Ù3-áí£ ¶ï»ù, Ã» ÇÝã Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ¿ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í Ï³ï³ñ»É ³ßË³ï³ÝùÁ ¨ áñáß»ù ûñí³ åÉ³ÝÇ Ï³ï³ñÙ³Ý ïáÏáëÁ£ 899. îñ³ÏïáñÇëïÝ»ñÇ µñÇ·³¹Á å»ïù ¿ í³ñ»ñ 120 Ñ³ Ù³Ï»ñ»ëáí Ëáå³Ý ï»Õ³Ù³ëÁ£ ê³Ï³ÛÝ µñÇ·³¹ÇÝ Ñ³çáÕí»ó ûñ³Ï³Ý Ý³Ë³ï»ëí³Í ³é³ç³¹ñ³ÝùÝ ³í»É³óÝ»É 2 Ñ³-áí£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ í³ñ»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í Å³Ù³Ý³ÏÁ Ïñ×³ïí»ó 2 ûñáí£ àñù³±Ý ¿ñ µñÇ·³¹Ç ûñ³Ï³Ý ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ, ¨ áñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ å»ïù ¿ñ ³í³ñï»É ³ßË³ï³ÝùÁ£ 900. ²Ýï³é³Ñ³ïÝ»ñÇ µñÇ·³¹Á åÉ³Ýáí ÙÇ ù³ÝÇ ûñáõÙ å»ïù ¿ Ïáõï³Ï»ñ 216 Ù3 ÷³Ûï£ ²é³çÇÝ »ñ»ù ûñÁ µñÇ·³¹Ý ³ßË³ïáõÙ ¿ñ Áëï åÉ³ÝÇ, ÇëÏ Ñ»ïá ³Ù»Ý ûñ åÉ³ÝÇó 8 Ù3-áí ³í»ÉÇ ¿ñ å³ïñ³ëïáõÙ£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ Å³ÙÏ»ïÇó 1 ûñ ³é³ç µñÇ·³¹Á Ïáõï³Ï»ó 232 Ù3 ÷³Ûï£ äÉ³Ýáí Ù»Ï ûñáõÙ áñù³±Ý ÷³Ûï å»ïù ¿ Ïáõï³Ï»ñ µñÇ·³¹Á£ 901. ´»éÝí³Í ³íïáÙ»ù»Ý³Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ³Ýó³í 140 ÏÙ£ ´»éÁ ¹³ï³ñÏ»Éáõó Ñ»ïá »ï í»ñ³¹³éÝ³ÉÇë, ³íïáÙ»ù»Ý³Ý 20 ÏÙ/Å-áí ³í»É³óñ»ó ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ¨ ¹ñ³ Ñ»ï¨³Ýùáí 48 ñ ùÇã Í³Ëë»ó£ ¶ï»ù ³íïáÙ»ù»Ý³ÛÇ ëÏ½µÝ³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 902. A í³ÛñÇó B í³Ûñ Ù»ÏÝ»ó Ñ»Í³Ýíáñ¹Á, ÇëÏ ù³éáñ¹ Å³Ù ³Ýó Ýñ³ »ï¨Çó ß³ñÅí»ó ³íïáÙ»ù»Ý³Ý£ A-Çó B ×³Ý³å³ñÑÇ Ù»çï»ÕáõÙ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý Ñ³ë³í Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝ£ ºñµ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý Ñ³ë³í 1 B, Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝ ¹»é ÙÝáõÙ ¿ñ ³ÝóÝ»Éáõ ×³Ý³å³ñÑÇ −− Ù³ëÁ£ àñ3 ù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Í³Ëë»ó A-Çó B ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á, ¨

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áñù³±Ý ³íïáÙ»ù»Ý³Ý, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ýñ³Ýó ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ñ³ëï³ïáõÝ ¿ÇÝ£ 903. Ð»Í³ÝÇíÇ ³ÝÇíÇ ïñ³Ù³·ÇÍÁ 70 ëÙ ¿£ ¶ï»ù ßñç³Ý³·ÍÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ£ ø³ÝÇ± åïáõÛï ÏÏ³ï³ñÇ ³ÝÇíÁ 1 ñáå»áõÙ, »Ã» Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 7 Ù/íñÏ ¿£ 904. ºñÏñÇ áõÕ»ÍÇñÁ Ï³ñ»ÉÇ ¿ Ùáï³íáñ³å»ë Ñ³Ù³ñ»É 150 ÙÉÝ ÏÙ ß³é³íÕáí ßñç³Ý³·ÇÍ£ 10 ÙÉÝ ÏÙ ×ßïáõÃÛ³Ùµ áñáß»ù »ñÏñ³·Ý¹Ç ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÁ Ù»Ï ï³ñáõÙ£ 0,01 ÙÉÝ ÏÙ ×ßïáõÃÛ³Ùµ áñáß»ù »ñÏñ³·Ý¹Ç ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÁ 1 ûñáõÙ, 1 Å³ÙáõÙ, 0,5 Å³ÙáõÙ£ 905. ³) 2 Ù åáÕå³ïÛ³ ×áå³ÝÇ ½³Ý·í³ÍÁ 4,63 Ï· ¿£ àñù³±Ý ¿ ×áå³ÝÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ 50 Ï· ½³Ý·í³Íáí ×áå³ÝÇ ÷³ÃáõÛÃáõÙ£ µ) 2 Ù åáÕå³ïÛ³ ×áå³ÝÇ ½³Ý·í³ÍÁ 6,4 Ï· ¿£ àñù³±Ý ¿ ×áå³ÝÇ »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ½³Ý·í³ÍÁ 1 ó ¿£ 906. 18 ÙÙ ïñ³Ù³·Íáí Ù»Ï ·Í³Ù»ïñ ËáÕáí³ÏÇ ½³Ý·í³ÍÁ 3,2 Ï· ¿£ àñù³±Ý ¿ ÝáõÛÝ ïñ³Ù³·Íáí 1,6 Ù »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ËáÕáí³ÏÇ ½³Ý·í³ÍÁ£ 907. ³) 200 ÏÙ ×³Ý³å³ñÑÝ ³Ýó³Ý 4 Å³ÙáõÙ£ ÆÝãåÇëÇ±Ý ¿ ß³ñÅÙ³Ý ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ µ) ²Û¹ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ áñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ³ÝóÝ»É 60 ÏÙ, 120 ÏÙ, 140 ÏÙ£ 908. Þ»ñ³ÙÇ µáÅáÅÝ áõÝÇ 0,05 · ½³Ý·í³Í ¨ ï³ÉÇë ¿ 450 Ù Ù»ï³ùë³Ã»É£ ø³ÝÇ± Ù»ïñ Ù»ï³ùë³Ã»É Ïï³Ý 100 · ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ½³Ý·í³Íáí µáÅáÅÝ»ñÁ£ 909. 4 Ù³ñ¹áõ Ñ³Ù³ñ Ï»ùë å³ïñ³ëï»Éáõ µ³Õ³¹ñ³ïáÙëÝ ¿ª 120 · Ù³ñ·³ñÇÝ, 120 · ß³ù³ñ, 120 · ÃÃí³ë»ñ, 120 · ³ÉÛáõñ ¨ 2 Óáõ£ àñù³±Ý Ù³ñ·³ñÇÝ, ß³ù³ñ, ÃÃí³ë»ñ, ³ÉÛáõñ ¨ Óáõ ¿ ³ÝÑñ³Å»ßï ³) 48, µ) 42, Ñ³Ù³ñ Ï»ùë å³ïñ³ëï»ÉÇë£

·) 60,

¹) 57 Ù³ñ¹áõ

910. ³) ºñÏ³ÃÇ ËïáõÃÛáõÝÁ 7800 Ï·/Ù3 ¿£ àñù³±Ý ¿ 1 ï »ñÏ³ÃÇ Í³í³ÉÁ£ µ) àëÏáõ ËïáõÃÛáõÝÁ 19300 Ï·/Ù3 ¿£ ¶ï»ù 3, 2, 12 ëÙ ã³÷»ñáí áëÏáõ ÓáõÉÇ ½³Ý·í³ÍÁ£ àñù³±Ý ¿ 100 Ï· ½³Ý·í³Íáí áëÏáõ ÓáõÉí³ÍùÇ Í³í³ÉÁ£

266

911. ³) 1 Ëáñ³Ý³ñ¹ Ù»ïñ ³ÉÛáõÙÇÝÇ ½³Ý·í³ÍÁ 2700 Ï· ¿£ àñù³±Ý ¿ 1 ëÙ3 Í³í³Éáí ³ÉÛáõÙÇÝÇ ½³Ý·í³ÍÁ£ µ) êÝ¹ÇÏÇ 1 Ëáñ³Ý³ñ¹ Ù»ïñÇ ½³Ý·í³ÍÁ 13,6 ï ¿£ àñù³±Ý ¿ 760 ÙÙ µ³ñÓñáõÃÛ³Ùµ ëÝ¹ÇÏÇ ëÛ³Ý ½³Ý·í³ÍÁ, »Ã» ëÛ³Ý ÑÇÙùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 1 ÙÙ2 ¿£ 912. ºñÏÇñÝ Çñ ³é³ÝóùÇ ßáõñçÁ åïáõÛï ¿ (360°) Ï³ï³ñáõÙ 24 Å³ÙáõÙ£ ø³ÝÇ± ³ëïÇ×³ÝÇ ³ÝÏÛáõÝáí ÏåïïíÇ 3 Å³ÙáõÙ£ 913. Ü»ñÏÇ ïáÏáë³ÛÇÝ å³ñáõÝ³ÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ (Áëï ½³Ý·í³ÍÇ) »ñ»ù ÉáõÍáõÛÃÝ»ñáõÙ Ï³½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³£ ºÃ» ³é³çÇÝ, »ñÏñáñ¹ ¨ »ññáñ¹ ÉáõÍáõÛÃÝ»ñÁ Ë³éÝí»ÝÉ 2 £ 3 £ 4 Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ, ³å³ Ïëï³óíÇ 32% Ý»ñÏ å³ñáõÝ³ÏáÕ ÉáõÍáõÛÃ£ ÆëÏ »Ã» ¹ñ³Ýù Ë³éÝí»Ý 3 £ 2 £ 1 Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ùµ, Ïëï³óíÇ 22% Ý»ñÏ å³ñáõÝ³ÏáÕ ÉáõÍáõÛÃ£ ø³ÝÇ± ïáÏáë Ý»ñÏ ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ³é³çÇÝ ÉáõÍáõÛÃÁ£ 914. A í³ÛñÇó B í³ÛñÁ 100 ÏÙ ¿£ A-Çó ¹»åÇ B ¨ B-Çó ¹»åÇ A ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ¹áõñë »Ï³Ý ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ¨ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á£ àñáß Å³Ù³Ý³Ï ³Ýó Ýñ³Ýù Ñ³Ý¹Çå»óÇÝ A-Ç ¨ B-Ç ÙÇç¨ ·ïÝíáÕ C í³ÛñáõÙ, ¨ ß³ñáõÝ³Ï»Éáí Çñ»Ýó ×³Ý³å³ñÑÝ»ñÁª Ñ³ë³Ý Ý³Ë³ï»ëí³Í í³Ûñ»ñÁ£ Ð³çáñ¹ ûñÁ ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ í»ñ³¹³ñÓ³í A, ÇëÏ 3 Ñ»Í³Ý íáñ¹Áª B í³Ûñ£ ÀÝ¹ áñáõÙª ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ −− ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ 2 ³ñ³· ¿ñ ·ÝáõÙ, ù³Ý Ý³Ëáñ¹ ûñÁ, ¨ ³Û¹ å³ï×³éáí B-Çó A ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ Í³Ëë»ó 10 ñ å³Ï³ë, ù³Ý ³é³çÇÝ ûñÁ A-Çó C ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³£ Ð»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ »ñÏñáñ¹ ûñÁ 10 ÏÙ/Å-áí ³í»ÉÇ ¿ñ, ù³Ý Ý³Ëáñ¹ ûñÁ, ¨ A-Çó B ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³ Ý³ 5 Í³Ëë»ó −− ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ Å³Ù³Ý³Ï, ù³Ý ³é³çÇÝ ûñÁ Í³Ëë»É ¿ñ 2 B-Çó C ×³Ý³å³ñÑÇ íñ³£ Æ±Ýã ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¿ñ ß³ñÅíáõÙ ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ³é³çÇÝ ûñÁ A-Çó B ×³Ý³å³ñÑÇÝ£ 915. Æñ³ñÇó 34 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ A ¨ B í³Ûñ»ñÇó Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ Ñ»ïÇáïÝ£ A-Çó 4 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ³é³çÇÝ Ñ»ïÇáïÝÁ (áñÁ ¹áõñë ¿ñ »Ï»É A-Çó) 1 Å³Ù 30 ñ Ï³Ý· ³é³í£ ¸ñ³ÝÇó Ñ»ïá Ý³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ Ù»Í³óñ»ó 2 ÏÙ/Å-áí ¨ Ñ³Ý¹Çå»ó »ñÏñáñ¹ Ñ»ïÇáïÝÇÝ B-Çó 18 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£ ºÃ» ³é³çÇÝ Ñ»ïÇáïÝÁ Ï³Ý· ã³éÝ»ñ ¨ ³ÙµáÕç Å³Ù³Ý³Ï ù³ÛÉ»ñ ëÏ½µÝ³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ³å³ Ñ»ïÇáïÝ»ñÁ ÏÑ³Ý¹Çå»ÇÝ ×³Ý³å³ñÑÇ Ù»çï»ÕáõÙ£ ¶ï»ù »ñÏñáñ¹ Ñ»ïÇáïÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£

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916. ÜáõÛÝ ·áñÍí³ÍùÇ »ñÏáõ ÏïáñÝ»ñ ÙÇ³ëÇÝ ³ñÅ»Ý 91 é.£ ºñµ ³é³çÇÝ ÏïáñÇó í³×³é»óÇÝ ³ÛÝù³Ý, áñù³Ý ëÏ½µáõÙ Ï³ñ »ñÏñáñ¹áõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Çóª ³é³çÇÝÇ ëÏ½µáõÙ »Õ³ÍÇ Ï»ëÇ ã³÷, ³å³ ³é³çÇÝ ÏïáñÇó ÙÝ³ó³ÍÁ 10 Ù-áí ³í»ÉÇ ¿ñ, ù³Ý »ñÏñáñ¹ ÏïáñÇó ÙÝ³ó³ÍÁ£ ø³ÝÇ± Ù ·áñÍí³Íù Ï³ñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÏïáñáõÙ, »Ã» ·áñÍí³ÍùÇ 1 Ù-Á ³ñÅ»ñ 1,4 é.£ 917. A ¨ B Ý³í³Ù³ïáõÛóÝ»ñÇ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 48 ÏÙ ¿£ ²é³íáïÛ³Ý Å³ÙÁ 9-ÇÝ ç»ñÙ³Ý³íÁ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ÉáÕ³ó A-Çó B£ 1 Å³Ù Ï³Ý·Ý»Éáí B Ý³í³Ù³ïáõÛóáõÙª ç»ñÙ³Ý³íÁ í»ñ³¹³ñÓ³í ¨ Ñ³ë³í A ÝáõÛÝ ûñí³ Å³ÙÁ 17-ÇÝ£ Ðáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 2 ÏÙ/Å ¿£ ¶ï»ù ç»ñÙ³Ý³íÇ ë»÷³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 918.* A í³ÛñÇó 525 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ B í³Ûñ ¹áõñë »Ï³í ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ£ àñáß Å³Ù³Ý³Ï ³Ýó B-Çó A Ù»ÏÝ»ó ³íïáÙ»ù»Ý³Ý, áñÁ Ñ³Ý¹Çå»ó ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÇÝ ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ Ý³ ³Ýó»É ¿ñ A-Çó 3 B Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý −− Ù³ëÁ£ ØáïáóÇÏÉ³í³ñÁ ¨ ³íïá Ù»ù»Ý³Ý ß³7 ñáõÝ³Ï»óÇÝ Çñ»Ýó ×³Ý³å³ñÑÝ»ñÁ ¨ ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÁ Ñ³ë³í B 3 Å³Ù ³ÛÝ µ³ÝÇó Ñ»ïá, »ñµ ³íïáÙ»ù»Ý³Ý Ñ³ë³í A£ ºÃ» ³íïáÙ»ù»Ý³Ý B-Çó ¹áõñë ·³ñ 1,5 Å³Ù ßáõï, ù³Ý Çñ³Ï³ÝáõÙ ¹áõñë ¿ñ »Ï»É, ³å³ ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÇÝ ÏÑ³Ý¹Çå»ñ A-Çó 180 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³£ ¶ï»ù ÙáïáóÇÏÉ³í³ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 919. A í³ÛñÇó B í³Ûñ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 20 ÏÙ ¿£ ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ ¹ÇÙ³ó ³Û¹ í³Ûñ»ñÇó ¹áõñë »Ï³Ý Ñ»ïÇáïÝ áõ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á ¨ Ñ³Ý¹Çå»óÇÝ 50 ñ Ñ»ïá£ àñù³±Ý Å³Ù³Ý³ÏáõÙ Ñ»Í³Ýíáñ¹Á Ï³ÝóÝÇ A-Çó B ×³Ý³å³ñÑÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ñ»Í³Ýíáñ¹ÇÝ ¹ñ³ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 4 Å ùÇã Å³Ù³Ý³Ï£ ÊÝ¹ñÇ á±ñ å³ÛÙ³ÝÝ ¿ ³í»Éáñ¹£ 920. ³) 10 000 É ï³ñáÕáõÃÛ³Ùµ µ³ùÁ »ñÏáõ åáÙå»ñáí ÉóíáõÙ ¿ µ»Ý½ÇÝáí£ ºñÏñáñ¹ åáÙåÁ ñáå»áõÙ 10 É ùÇã ¿ ÉóÝáõÙ, ù³Ý ³é³çÇÝÁ£ 5 ñáå»áõÙ »ñÏáõ åáÙå»ñáí ÉóíáõÙ ¿ µ³ùÇ 25%-Á£ ø³ÝÇ± É ¿ ÉóÝáõÙ åáÙå»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ 10 ñáå»áõÙ£ µ) ºñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñáí ³í³½³ÝÁ ÉóíáõÙ ¿ 1 Å 20 ñáå»áõÙ, ÇëÏ ÙÇ³ÛÝ ³é³çÇÝ Íáñ³Ïáíª 2 Å³ÙáõÙ£ ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÉóíÇ ³í³½³ÝÁ »ñÏñáñ¹ Íáñ³Ïáí£ ·) ´³ùÁ »ñÏáõ ËáÕáí³ÏÝ»ñáí ÉóíáõÙ ¿ 12 Å³ÙáõÙ£ ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÉóíÇ µ³ùÁ, »Ã» »ñÏáõ Å³Ù ÙÇ³óÝ»Ý »ñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñÁ, áñÇó Ñ»ïá ÙÇ³ÛÝ Ù»ÏÁ, áñáí ÙÇ³íáñ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ÉóíáõÙ ¿ çñÇ ³ÛÝ 2 ù³Ý³ÏáõÃÛ³Ý −− -Á, áñáí ÉóíáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ËáÕáí³Ïáí£ 3

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¹) ²í³½³ÝÇÝ ÙÇ³óí³Í »Ý »ñ»ù ËáÕáí³ÏÝ»ñ£ ²é³çÇÝáí ³í³½³ÝÁ ÉóíáõÙ ¿ 6 Å³ÙáõÙ, »ñÏñáñ¹áíª 8, ÇëÏ »ññáñ¹áí ÉÇùÁ ³í³½³ÝÁ ¹³ï³ñÏíáõÙ ¿ 12 Å³ÙáõÙ£ ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÉóíÇ ³í³½³ÝÁ, »Ã» »ñ»ù ËáÕáí³ÏÝ»ñÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ·áñÍ»Ý£ 921. ³) ²Õ³ÃÃíÇ 30% ÉáõÍáõÛÃÁ Ë³éÝ»óÇÝ 10% ÉáõÍáõÛÃÇ Ñ»ï ¨ ëï³ó³Ý 600 · 15% ÉáõÍáõÛÃ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÉáõÍáõÛÃÇó ù³ÝÇ± · ¿ñ í»ñóí³Í£ µ) ÌáíÇ çáõñÁ å³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ 5% ³Õ (Áëï ½³Ý·í³ÍÇ)£ àñù³±Ý Ãáñ³Í çáõñ å»ïù ¿ ³í»É³óÝ»É 50 · ÍáíÇ çñÇÝ, áñå»ë½Ç ³ÕÇ å³ñáõÝ³ÏáõÃÛáõÝÁ Ï³½ÙÇ 2%£ ·) êñí³ÏáõÙ Ï³ñ 12 É ³Õ³ÃÃáõ£ ²Õ³ÃÃíÇ ÙÇ Ù³ëÁ ¹³ï³ñÏ»óÇÝ ¨ ï»ÕÁ ÉóñÇÝ ÝáõÛÝù³Ý Ù³ùáõñ çáõñ£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ ¹³ï³ñÏ»óÇÝ ÝáõÛÝù³Ý ¨ ï»ÕÁ Ù³ùáõñ çáõñ ÉóñÇÝ£ àñù³±Ý Ñ»ÕáõÏ ¿ÇÝ ¹³ï³ñÏáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý·³Ù, »Ã» ³ñ¹ÛáõÝùáõÙ ëñí³ÏáõÙ ëï³óí»ó ³Õ³ÃÃíÇ 25% ÉáõÍáõÛÃ£ 922. §Ð³ßíÇ ³ñí»ëïÇ ÇÝÁ µ³ÅÇÝÝ»ñÁ¦ ³ßË³ïáõÃÛáõÝÇó (âÇÝ³ëï³Ý)£ 5 óáõÉÁ ¨ 2 áãË³ñÁ ³ñÅ»Ý 11 ï³¿É»Û (¹ñ³Ù³Ï³Ý ÙÇ³íáñ ¿), ÇëÏ 2 óáõÉÁ ¨ 8 áãË³ñÁª 8 ï³¿É»ñ£ ²é³ÝÓÇÝ áñù³±Ý ³ñÅ»Ý óáõÉÁ ¨ áãË³ñÁ£ 923. 7 Ù3 Ï»ãáõ ¨ 5 Ù3 ëá×áõ ÷³Ûï»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ÏßéáõÙ »Ý 7,44 ï, ÇëÏ 9 Ù3 Ï»ãáõ ¨ 10 Ù3 ëá×áõ ÷³Ûï»ñÁª 11,28 ï£ àñù³±Ý »Ý ÏßéáõÙ 1 Ù3 Ï»ãáõ ¨ 1 Ù3 ëá×áõ ÷³Ûï»ñÁ£ 924. ²ñÓ³Ïáõñ¹Ý»ñÇÝ ¹³ë³ñ³ÝÇ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÁ, µ³óÇ ÙÇ ù³ÝÇëÇó, áñáÝù ÙÝ³óÇÝ ï³ÝÁ, ·Ý³óÇÝ ½µáëÝ»Éáõ£ 12 ³ß³Ï»ñïª µáÉáñ ³ÕçÇÏ1 Ý»ñÇ −− Ù³ëÁ ¨ µáÉáñ ïÕ³Ý»ñÇ Ï»ëÁ, ÏÇÝá ·Ý³óÇÝ, ÇëÏ ¨ë 13 ³ß³3 1 Ï»ñïª µáÉáñ ³ÕçÇÏÝ»ñÇ Ï»ëÁ ¨ µáÉáñ ïÕ³Ý»ñÇ −− Ù³ëÁª ·Ý³óÇÝ 3 óáõó³Ñ³Ý¹»ë£ ø³ÝÇ ³ß³Ï»ñï ÙÝ³ó ï³ÝÁ£ 925. ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ£ ¶ÛáõÕ³óÇÝ ÓÇ ·Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ ¿ í³×³éáõÙ£ ºÃ» Ý³ í³×³éÇ 15 ó Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ, ³å³ Ýñ³Ý ÓÇ ·Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ïå³Ï³ëÇ 80 é., ÇëÏ »Ã» í³×³éÇ 80 ó. Ñ³ó³Ñ³ïÇÏ, ³å³ ÓÇÝ ·Ý»Éáõó Ñ»ïá Çñ Ùáï ÏÙÝ³ 110 é£ àñù³±Ý ³ñÅÇ ÓÇÝ£ 926. ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ£ ØÇ Ù³ñ¹ ÛáõÕ ¿ñ ·ÝáõÙ£ ºÃ» ·Ý»ñ 8 ï³Ï³é ÛáõÕ, ³å³ Ýñ³ Ùáï ÏÙÝ³ñ 20 ³ÉïÇÝ, ÇëÏ »Ã» ·Ý»ñ 9 ï³Ï³é ÛáõÕ, ³å³ Ïå³Ï³ë»ñ 1,5 éáõµÉÇ ¨ 1 ·ñÇí»Ý£ ÆÝãù³±Ý ÷áÕ Ý³ áõÝ»ñ£ (1 ³ÉïÇÝ = 3 Ïáå, 1 ·ñÇí»Ý = 10 Ï, 1 é. = 100 Ïáå)£

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927.* ºÃ» í³×³éíÇ 20 Ïáí,, ³å³ Ïáõï³Ï³Í ³Ý³ëÝ³Ï»ñÁ (ËáïÁ) Ïµ³í³ñ³ñÇ Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 10 ûñ ß³ï, ÇëÏ »Ã» ·ÝíÇ 30 Ïáí, ³å³ ËáïÇ å³ß³ñÁ Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó 10 ûñ ßáõï Ïí»ñç³Ý³£ àñù³±Ý Ïáí Ï³ñ, ¨ ù³ÝÇ± ûñí³ Ñ³Ù³ñ ¿ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í ËáïÁ£ 928.* ºÃ» í³×³éíÇ 20 Ïáí, ³å³ Ïáõï³Ïí³Í ËáïÁ Ïµ³í³ñ³ñÇ 20 ûñ ß³ï, ÇëÏ »Ã» ÏáíÇ ûñ³Ï³Ý å³ß³ñÁ å³Ï³ë»óíÇ 20 %-áíª ËáïÁ ÷áË³ñÇÝ»Éáí ³ÛÉ Ï»ñ»ñáí, ³å³ ËáïÁ Ïáí»ñÇÝ Ïµ³í³ñ³ñÇ 15 ûñ Ý³Ë³ï»ëí³ÍÇó »ñÏ³ñ£ àñù³±Ý Ïáí Ï³ñ, ¨ ù³ÝÇ± ûñí³ Ñ³Ù³ñ ¿ñ Ý³Ë³ï»ëí³Í ËáïÁ£ 929. È.ü.Ø³·ÝÇóÏÇÇ§Âí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-Çó£ ºñ»ù Ù³ñ¹ ó³ÝÏ³ÝáõÙ »Ý ÑáÕ³Ù³ë ·Ý»É£ ²é³çÇÝ ·Ýáñ¹Ý ³ëáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ÇÝ. §ºÃ» ÇÝÓ ï³ë 3 ùá ÷áÕ»ñÇ −− Ù³ëÁ, ³å³ Ïí×³ñ»Ù ³ÙµáÕç ÑáÕ³Ù³ëÇ Ñ³Ù³ñ¦£ 4 2 ºñÏñáñ¹Á ³ëáõÙ ¿ »ññáñ¹ÇÝ. §ÆÝÓ ïáõñ ùá ÷áÕ»ñÇ −− Ù³ëÁ, ¨ »ë 5 Ïí×³ñ»Ù ³ÙµáÕç ÑáÕ³Ù³ëÇ Ñ³Ù³ñ¦£ ºññáñ¹Ý ³ëáõÙ ¿ ³é³çÇÝÇÝ. 1 §îáõñ ÇÝÓ ùá ÷áÕ»ñÇ −− Ù³ëÁ, ¨ »ë Ï·Ý»Ù ÑáÕ³Ù³ëÁ¦£ ÆëÏ ÑáÕ³3 Ù³ëÇ ·ÇÝÁ 100 é ¿£ ¶Ýáñ¹Ý»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ áñù³±Ý ÷áÕ áõÝ»ñ£ 930. ºñ»ù ÁÝÏ»ñ áõ½áõÙ ¿ÇÝ ·Ý»É 17 é. ³ñÅáÕáõÃÛ³Ùµ ·ÇñùÁ, µ³Ûó áã áù ³Û¹ù³Ý ·áõÙ³ñ ãáõÝ»ñ£ ²é³çÇÝÝ ³ëáõÙ ¿ ÁÝÏ»ñÝ»ñÇÝ. §Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ¹ ïí»ù ÇÝÓ Ó»ñ ÷áÕ»ñÇ Ï»ëÁ, ¨ »ë Ï·Ý»Ù ·ÇñùÁ¦£ ºñÏñáñ¹Ý 1 ³ëáõÙ ¿. §îí»ù ÇÝÓ Ó»ñ ÷áÕ»ñÇ −− -Á ¨ »ë Ï·Ý»Ù ·ÇñùÁ¦£ ºññáñ¹Ý 3 ³ëáõÙ ¿. §îí»ù ÇÝÓ Ó»ñ ÷áÕ»ñÇ ù³éáñ¹ Ù³ëÁ, ¨ »ë Ï·Ý»Ù ·ÇñùÁ¦£ àñù³±Ý ÷áÕ áõÝ»ñ Ýñ³ÝóÇó Ûáõñ³ùÝãÛáõñÁ¦£ 931. Æ. ÜÛáõïáÝÇ §Ð³ÙÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ãí³µ³ÝáõÃÛáõÝ¦-Çó£ ØÇ Ù³ñ¹ 15 ýáõÝï 12 ßÇÉÉÇÝ·áí (1 ýáõÝï = 20 ßÇÉÉÇÝ· (¹ñ³Ù³Ï³Ý ÙÇ³íáñ »Ý) ·ÝáõÙ ¿ 40 ã³÷ óáñ»Ý, 24 ã³÷ ·³ñÇ ¨ 20 ã³÷ í³ñë³Ï£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ Ý³ Ï³ï³ñáõÙ ¿ »ñÏñáñ¹ ·ÝáõÙÁª 26 ã³÷ óáñ»Ý, 30 ·³ñÇ ¨ 50 í³ñë³Ï 16 ýáõÝïáí£ ì»ñç³å»ë Ý³ 34 ýáõÝïáí ·ÝáõÙ ¿ 24 ã³÷ óáñ»Ý, 120 ·³ñÇ ¨ 100 í³ñë³Ï£ àñù³±Ý ³ñÅ»ñ Ñ³ó³Ñ³ïÇÏÝ»ñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ã³÷Á£ 932. ³) ºÃ» áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ³óíÇ 1 Ù-áí, ÇëÏ É³ÛÝáõÃÛáõÝÁ Ù»Í³óíÇ 1 Ù-áí, ³å³ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏÙ»Í³Ý³ 5 Ù2-áí£ ø³ÝÇ± Ù-áí ¿ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý »ñÏ³ñáõÃÛáõÝÁ Ù»Í É³ÛÝáõÃÛáõÝÇó£

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µ) ºÃ» Ñ³ÛñÇÏÁ 2 ï³ñáí ÷áùñ ÉÇÝ»ñ, ÇëÏ Ù³ÛñÇÏÁª 2 ï³ñáí Ù»Í, ³å³ Ýñ³Ýó ï³ñÇùÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ 6-áí Ù»Í ÏÉÇÝ»ñ ù³Ý ³ÛÅÙ ¿£ Ð³ÛñÇÏÁ ù³ÝÇ± ï³ñáí ¿ Ù»Í Ù³ÛñÇÏÇó£ 933.* ³) î»ëÝ»Éáí Çñ»ÝÇó 64 Ù Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ ÏñÇ³ÛÇÝ, ²ùÇÉÉ»ëÁ ëÏë»ó Ýñ³Ý Ñ»ï³åÝ¹»É£ Îñ×³ï»Éáí Çñ ¨ ÏñÇ³ÛÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 8 ³Ý·³Ù ¨ ·Çï³Ïó»Éáí Çñ ³é³í»ÉáõÃÛáõÝÁª Ý³ ¹³¹³ñ»óñ»ó Ñ»ï³åÝ¹áõÙÁ£ Æ±Ýã ×³Ý³å³ñÑ ³Ýó³í ²ùÇÉÉ»ëÁ Ñ»ï³åÝ¹áõÙÝ ëÏë»Éáõ å³ÑÇó, »Ã» Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 15 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ÏñÇ³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó, ÁÝ¹ áñáõÙª ²ùÇÉÉ»ëÝ áõ ÏñÇ³Ý ß³ñÅíáõÙ »Ý áõÕÕ³·ÇÍ£ µ) ºñµ Çñ»Ý Ùáï»óáÕ ²ùÇÉÉ»ëÁ ·ïÝíáõÙ ¿ñ 6 Ù Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³, ÏñÇ³Ý Ñ³ëÏ³ó³í, áñ Ñ»ï³åÝ¹áõÙÇó ãÇ Ï³ñáÕ Ëáõë³÷»É ¨ ¹³ï³å³ñïí³Í Ï³Ý· ³é³í£ Ð»ï³åÝ¹áõÙÝ ëÏë»Éáõ å³ÑÇó Ñ³ßí³Í Ç±Ýã ×³Ý³å³ñÝ ¿ñ ³Ýó»É ÏñÇ³Ý, »Ã» Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 17 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ ²ùÇÉÉ»ëÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó, Ñ»ï³åÝ¹Ù³Ý ÁÝÃ³óùáõÙ Ýñ³Ýó Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÷áùñ³ó³í 9 ³Ý·³Ù, ¨ Ýñ³Ýù áõÕÕ³·ÇÍ ¿ÇÝ ß³ñùáõÙ£ 934. Ð³ó³Ñ³ïÇÏ ó³Ý»Éáõ Ñ³Ù³ñ Ñ³ïÏ³óí³Í ¿ 3 ó³Ýù³ï³ñ³Íù, áñáÝó ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ Ù³Ï»ñ»ëÁ 3 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ »ñÏñáñ¹ ï³ñ³ÍùÇ Ù³2 Ï»ñ»ëÇó£ 1 ûñáõÙ ó³Ýí»ó ³é³çÇÝ ï³ñ³ÍùÇ Ï»ëÁ, »ñÏñáñ¹Ç −− -Á ¨ 3 ³ÙµáÕç »ññáñ¹ ï³ñ³ÍùÁ£ âó³Ýí³Í ÙÝ³ó³Í ï»Õ³Ù³ëÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ 2 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿ »ññáñ¹ ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇó£ ²ÙµáÕç ó³Ýù³ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ Ï³½ÙáõÙ 1 ûñáõÙ ó³Ýí³Í ï³ñ³ÍùÇ Ù³Ï»ñ»ëÁ£ 935. ¶áñÍ³ñ³ÝáõÙ ëÏ½µáõÙ ³ßË³ïáõÙ ¿ñ 2 ³ñï³¹ñ³Ù³ë£ ²ÛÝáõÑ³ï¨ ·áñÍ³ñÏí»ó Ý³¨ »ññáñ¹Á, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáí ·áñÍ³ñ³ÝÝ ³ñï³¹ñ³ÝùÇ ³Ùë³Ï³Ý ÃáÕ³ñÏáõÙÝ ³í»É³óñ»ó 1,6 ³Ý·³Ù£ ºññáñ¹ ³ñï³¹ñ³Ù³ëÁ »ñÏñáñ¹Çó ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù ³í»ÉÇ ³ñï³¹ñ³Ýù ¿ ï³ÉÇë Ù»Ï ³ÙëáõÙ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ 2 ³ÙëáõÙ ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹ ³ñï³¹ñ³Ù³ë»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ ÃáÕ³ñÏáõÙ »Ý ³ÛÝù³Ý ³ñï³¹ñ³Ýù, áñù³Ý »ñÏñáñ¹Áª Ï»ë ï³ñáõÙ£ 936. î³ñµ»ñ Ñ½áñáõÃÛ³Ý »ñÏáõ åáÙå»ñ Ñ³Ù³ï»Õ ³í³½³ÝÁ ÉóÝáõÙ »Ý 4 Å³ÙáõÙ£ ²í³½³ÝÇ Ï»ëÁ ÉóÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ ³é³çÇÝÇÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ 3 4 Å ³í»ÉÇ, ù³Ý »ñÏñáñ¹ÇÝ ³í³½³ÝÇ −− Ù³ëÁ ÉóÝ»Éáõ Ñ³Ù³ñ£ Úáõ4 ñ³ù³ÝãÛáõñ åáÙå ³é³ÝÓÇÝ ù³ÝÇ± Å³ÙáõÙ ÏÉóÝÇ ³í³½³ÝÁ£

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937. Ø»Ï Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ »ñÏáõ Ù»ï³ÕÇó, áñáÝó ½³Ý·í³ÍÝ»ñÁ Ñ³ñ³µ»ñáõÙ »Ý ÇÝãå»ë 1 £ 2, ÇëÏ ÙÛáõë Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùáõÙ, áñÁ µ³ÕÏ³ó³Í ¿ ÝáõÛÝ Ù»ï³ÕÝ»ñÇóª 2 £ 1£ àñù³±Ý Ù³ë å»ïù ¿ í»ñóÝ»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÇó, áñ Ýáñ ëï³óí³Í Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÁ å³ñáõÝ³ÏÇ 50% Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù»ï³ÕÇó£ 938.* ²Ý³·Á µ³ÕÏ³ó³Í ¿ åÕÝÓÇó ¨ óÇÝÏÇó£ 124 · ³Ý³·Ç ÏïáñÁ çñÇ Ù»ç ëáõ½»ÉÇë ÏßéÇó ÏáñóÝáõÙ ¿ 15 ·, ÇëÏ 89 · åÕÝÓÇ ÏïáñÁ çñÇ Ù»ç ëáõ½»ÉÇë ÏßéÇó ÏáñóÝáõÙ ¿ 10 ·£ ´³óÇ ³Û¹, Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ óÇÝÏÇ ÏïáñÁ 1 çñÇ Ù»ç ëáõ½»ÉÇë ÏáñóÝáõÙ ¿ Çñ ÏßéÇ −− Ù³ëÁ£ àñáß»ùª áñù³±Ý åÕÇÝÓ 7 ¨ áñù³±Ý óÇÝÏ ¿ å³ñáõÝ³ÏáõÙ 250 · ³Ý³·Á£ 939.* 13 Ï· 410 · Ïßéáí áëÏáõ ¨ ³ñÍ³ÃÇ Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùÁ çñÇ Ù»ç ëáõ½»ÉÇë ÏßéáõÙ ¿ 12 Ï· 510 ·£ ¶ï»ù Ñ³Ù³ÓáõÉí³ÍùáõÙ áëÏáõ ¨ ³ñÍ³ÃÇ ÏßÇéÝ»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ áëÏáõ ËïáõÃÛáõÝÁ 19,3 ·/ëÙ3 ¿, ÇëÏ ³ñÍ³ÃÇÝÁª 10,5 ·/ëÙ3£ 940. æ»ñÙ³Ý³íÁ 10 Å³ÙáõÙ Ï³ñáÕ ¿ ³ÝóÝ»É 110 ÏÙ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¨ 70 ÏÙª Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï, Ï³Ù 88 ÏÙ Ñáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¨ 84 ÏÙª Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï£ ¶ï»ù ç»ñÙ³Ý³íÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ çñÇ ÝÏ³ïÙ³Ùµ ¨ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ£ 941. ¶ÛáõÕÇó ù³Õ³ù ×³Ý³å³ñÑÁ ëÏ½µÇó 15 ÏÙ ë³ñÝ Ç í»ñ ¿, ³ÛÝáõÑ»ï¨ 6 ÏÙª ë³ñÝ Ç í³ñ£ Ð»Í³Ýíáñ¹Ý ³é³Ýó Ï³Ý·³éÇ ë³ñÝ Ç í»ñ ·ÝáõÙ ¿ ÙÇ Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ, ë³ñÝ Ç í³ñª ³ÛÉ£ ØÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ Ý³ ·Ý³ó 3,1 Å, Ñ³Ï³é³Ï áõÕÕáõÃÛ³Ùµª 2,5 Å£ ÆÝãåÇëÇÝ »Ý Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ë³ñÝ Ç í»ñ ¨ ë³ñÝ Ç í³ñ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ 942. ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ£ òáñ»ÝÁ Ï³Éë»Éáõ Ñ³Ù³ñ í³ñÓ»óÇÝ ÙÇ ù³ÝÇ µ³Ýíáñ£ ºÃ» Ýñ³Ýó ÃÇíÁ 3-áí ÷áùñ ÉÇÝ»ñ, ³å³ 2 ûñ ³í»ÉÇ Ï³ßË³ï»ÛÇÝ£ ÆëÏ »Ã» í³ñÓ»ÇÝ ãáñë µ³Ýíáñ ³í»ÉÇ, ³å³ ³ßË³ï³ÝùÁ »ñÏáõ ûñ ßáõï Ï³í³ñïí»ñ£ ø³ÝÇ± µ³Ýíáñ Ï³ñ, ¨ ù³ÝÇ± ûñ Ýñ³Ýù ³ßË³ï»óÇÝ£ 943. ´»éÝ³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý Ù»ÏÝ»ó A-Çó B£ 2 Å ³Ýó B-Çó A ß³ñÅí»ó Ù³ñ¹³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý, áñÁ A Ñ³ë³í 1 Å³Ù áõß, ù³Ý µ»éÝ³ï³ñÁª B£ ø³ÝÇ± Å³Ù ï¨»ó µ»éÝ³ï³ñÇ áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ñ³Ý¹ÇåÙ³Ý 2 å³ÑÇÝ ³Ýó»É ¿ñ ³ÙµáÕç ×³Ý³å³ñÑÇ −− Ù³ëÁ£ 3

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944. Ð»Í³Ýíáñ¹Á ·Ý³ó A-Çó B ¨ í»ñ³¹³ñÓ³í Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ ØáïáóÇÏÉ³í³ñÁ AB ×³Ý³å³ñÑÝ ³Ýó³í Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó n ³Ý·³Ù Ù»Í ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ Ü³ ÙáïáóÇÏÉÁ ÃáÕ»ó B í³ÛñáõÙ ¨ A í»ñ³¹³ñÓ³í áïùáíª Ñ»Í³Ýíáñ¹Ç ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó n ³Ý·³Ù ÷áùñ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ Üñ³ÝóÇó áñÇ± áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÝ ³í»ÉÇ »ñÏ³ñ ï¨»ó, ¨ ù³ÝÇ± ³Ý·³Ù, »Ã» ³) n = 2;

µ) n = 5£

945. ³) èáõë³ëï³ÝÇ ËÝ³Ûµ³ÝÏÁ 1993 Ã. ÑáÏï»Ùµ»ñÇ 1-Çó ¹»åá½Çï³ÛÇÝ ³í³Ý¹Ç Ó¨áí ¹ñ³ÙÁ å³Ñáõëï ï³Éáõ Ñ³Ù³ñ ï³ñí³ í»ó ¨ »ñ»ù ³ÙÇëÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ í×³ñáõÙ ¿ñ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 150, 130 ¨ 120 ïáÏáëÇ ã³÷áí »Ï³Ùáõï£ ÆÝãåÇëÇ »Ï³Ùáõï Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ëï³Ý³É ³Û¹ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáí ÏñÏÝ³ÏÇ ³Ý·³Ù í»ó ³Ùëáí ¨ ù³é³ÏÇ ³Ý·³Ù 3 ³Ùëáí£ µ) ØÇ ù³ÝÇ ³ÙÇë ³Ýó ¹»åá½Çï³ÛÇÝ ³í³Ý¹Ý»ñÇ ïáÏáë³¹ñáõÛùÝ»ñÁ èáõë³ëï³ÝÇ ËÝ³Ûµ³ÝÏÇ ÏáÕÙÇó Çç»óí»óÇÝ ¨ Ï³½Ù»óÇÝ 70, 60 ¨ 50 ïáÏáëª Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 1 ï³ñáí, í»ó ³Ùëáí ¨ »ñ»ù ³Ùëáí ¹»åá½Çï³ÛÇÝ ³í³Ý¹Ý»ñÇ Ñ³Ù³ñ£ ÆÝãåÇëÇ± »Ï³Ùáõï Ï³ñ»ÉÇ ¿ñ ëï³Ý³É Ýáñ å³ÛÙ³ÝÝ»ñáõÙ í»ó ³Ùëáí ¹ñ³ÙÇ ÏñÏÝ³ÏÇ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ¨ »ñ»ù ³Ùëáí ù³é³ÏÇ Ý»ñ¹ñÙ³Ý ¹»åùáõÙ£ 946.* ÆÝãåÇëÇ± ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç Ãíáí å»ïù ¿ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ í»ó ³Ùëáí ³í³Ý¹Ç ï³ñ»Ï³Ý ïáÏáë³¹ñáõÛùÁ, áñå»ë½Ç ³Û¹ ³í³Ý¹Ç ÏñÏÝ³ÏÇ û·ï³·áñÍáõÙÁ µ»ñÇ ³í»ÉÇ ùÇã »Ï³Ùáõï, ù³Ý ÝáõÛÝ ³í³Ý¹Á p% ïáÏáë³¹ñáõÛùáí Ù»Ï ï³ñÇ Ý»ñ¹Ý»Éáõ ¹»åùáõÙ£ ÆÝãåÇëÇ± ³Ù»Ý³Ù»Í ³ÙµáÕç Ãíáí å»ïù ¿ ³ñï³Ñ³ÛïíÇ »ñ»ù ³Ùëáí Ý»ñ¹ñÙ³Ý ïáÏáë³¹ñáõÛùÁ, áñå»ë½Ç ³Û¹ ³í³Ý¹Ç ÏñÏÝ³ÏÇ û·ï³·áñÍáõÙÁ µ»ñÇ ùÇã »Ï³Ùáõï, ù³Ý í»ó ³Ùëáí Ý»ñ¹ñí³Í ³í³Ý¹Á£ ³) ÊÝ¹ÇñÁ ÉáõÍ»ù ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ï»ëùáí£ µ) ä³ï³ëË³ÝÁ ëï³ó»ù p = 150 ¨ p = 70 ¹»åùáõÙ£ 947.* ØÇ ù³ÝÇ Å³Ù Ñáñ¹³é³ï ³ÝÓñ¨ ¿ñ ï»ÕáõÙ£ ºñµ ³ÛÝ Éóñ»ó µ³ó ³í³½³ÝÇ ÙÇ Ù³ëÁ, ÙÇ³óñÇÝ çáõñÁ ¹áõñë ÙÕáÕ åáÙåÁ£ âÝ³Û³Í ³ÝÓñ¨Á ß³ñáõÝ³ÏáõÙ ¿ñ ï»Õ³É, åáÙåÁ 5 Å³ÙáõÙ ÉñÇí ¹³ï³ñÏ»ó ³í³½³ÝÁ£ ºÃ» ³Û¹ åáÙåÇ ÷áË³ñ»Ý û·ï³·áñÍí»ñ 2 ³Ý·³Ù Ñ½áñ ³ÛÉ åáÙå, ³å³ ³ÛÝ ³í³½³ÝÁ Ï¹³ï³ñÏ»ñ 2 Å³ÙáõÙ£ ø³ÝÇ± Å³ÙáõÙ Ï¹³ï³ñÏ»ÇÝ ³í³½³ÝÁ »ñÏáõ Íáñ³ÏÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ£ ²í³½³ÝÁ Éóí»Éáõ ¨ ¹³ï³ñÏí»Éáõ åñáó»ëÝ»ñÁ Ñ³Ù³ñ»ù Ñ³í³ë³ñ³ã³÷£

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948. Ð³Ù³¹³ë³ñ³ÝóÇÝ»ñáí ß³ßÏáõ ïáõñÝÇñ Ï³½Ù³Ï»ñå»óÇÝ£ Ø³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÝ³ó³Í µáÉáñÇ Ñ»ï Ë³Õ³ó Ù»Ï å³ñïÇ³, ÇëÏ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ Ë³Õ³óí»ó 28 å³ñïÇ³£ àñù³±Ý ¿ñ Ù³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇ ÃÇíÁ£ 949.* ì»ó ïÕ³ ¨ ãáñë ³ÕçÇÏ ß³ßÏáõ ïáõñÝÇñ Ï³½Ù³Ï»ñå»óÇÝ£ Ø³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ÙÛáõëÝ»ñÇ Ñ»ï Ë³Õ³ó Ù»Ï³Ï³Ý å³ñïÇ³£ Ð³ÕÃ³Ý³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ïñíáõÙ ¿ñ 2 ÙÇ³íáñ, áã-áùÇÇ Ñ³Ù³ñª 1, å³ñïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª 0£ ²ÕçÇÏÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ Ñ³í³ù»óÇÝ 40 ÙÇ³íáñ£ îÕ³Ý»±ñÁ ³ÕçÇÏÝ»ñÇ Ñ»ï Ë³Õ³ÉÇë ³í»ÉÇ ß³ï ÙÇ³íáñ Ñ³í³ù»óÇÝ, Ã» ³ÕçÇÏÝ»ñÁ, ¨ ÇÝãù³Ýá±í ³í»ÉÇ£ 950.* Þ³ËÙ³ï³ÛÇÝ Ùñó³ß³ñáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ëÝ³ÏÇó ÙÛáõëÝ»ñÇ Ñ»ï Ë³Õ³ó »ñÏáõ å³ñïÇ³£ Ð³ÕÃ³Ý³ÏÇ ¹»åùáõÙ ïñíáõÙ ¿ñ 1 ÙÇ³1 íáñ, áã-áùÇÇ ¹»åùáõÙª −−, å³ñïáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙª 0£ ºñ»ù É³í³·áõÛÝ 2 Ë³Õ³óáÕÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ Ñ³í³ù»óÇÝ 24 ÙÇ³íáñ, áñÁ ÙÝ³ó³Í µáÉáñ Ù³ëÝ³ÏÇóÝ»ñÇ Ñ³í³ù³Í ÙÇ³íáñÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ Ï»ëÝ ¿£ ø³ÝÇ± Ù³ëÝ³ÏÇó Ï³ñ£ 951.* 9-Ç §²¦ ¨ 9-Ç §´¦ ¹³ë³ñ³ÝÝ»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ ³ß³Ï»ñï Ï³½Ù³Ï»ñå»óÇÝ ß³ßÏáõ Ùñó³ß³ñ£ Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ëÝ³ÏÇó ÙÛáõëÝ»ñÇ Ñ»ï Ë³Õ³ó Ù»Ï³Ï³Ý å³ñïÇ³£ Ð³ÕÃ³Ý³ÏÇ Ñ³Ù³ñ ïñíáõÙ ¿ñ 2 ÙÇ³íáñ, áã-áùÇÇ Ñ³Ù³ñª 1, å³ñïáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñª 0£ 9-Ç §²¦ ¹³ë³ñ³ÝÇ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÁ ÙÇ³ëÇÝ Ñ³í³ù»óÇÝ 26 ÙÇ³íáñ, ÇëÏ 9-Ç §´¦ ¹³ë³ñ³ÝÇ µáÉáñ ³ß³Ï»ñïÝ»ñÁ, áñáÝó ÃÇíÁ 3-áí Ù»Í ¿ñ, Ñ³í³ù»óÇÝ Ñ³í³ë³ñ ÙÇ³íáñÝ»ñ£ ø³ÝÇ± Ù³ëÝ³ÏÇó Ï³ñ Ùñó³ß³ñáõÙ£ 952. ³) Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ 32 ³ß³Ï»ñï Ï³£ 23-Á Ï³ïáõÝ»ñ »Ý ëÇñáõÙ, 18-Áª ßÝ»ñ£ ÀÝ¹ áñáõÙª 10 ³ß³Ï»ñï ëÇñáõÙ ¿ ¨° Ï³ïáõ, ¨° ßáõÝ£ Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝÇó ù³ÝÇ±ëÝ ¿ ëÇñáõÙ á°ã Ï³ïáõ, á°ã ßáõÝ£ µ) Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ 30 ëáíáñáÕ Ï³£ Â³Ý·³ñ³Ý ¿ùëÏáõñëÇ³ÛÇ ·Ý³óÇÝ 23-Á, ÏÇÝá ¨ Ã³Ý·³ñ³Ýª 6-Á, ÇëÏ 2-Á áã ÏÇÝá ·Ý³ó, áã ¿ùëÏáõñëÇ³£ Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝÇó ù³ÝÇ±ëÁ ÏÇÝá ·Ý³ó£ 953.* Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ 20 ³ß³Ï»ñï ëÇñáõÙ ¿ Ï³Ù ýÇ½ÇÏ³, Ï³Ù Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³, Ï³Ù »ñÏáõëÁ ÙÇ³ëÇÝ£ üÇ½ÇÏ³ ëÇñáÕÝ»ñÇ Ù»ç 50 %-Á ëÇñáõÙ ¿ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³, ÇëÏ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ ëÇñáÕÝ»ñÇ Ù»çª 25 %-Ý ¿ ëÇñáõÙ ýÇ½ÇÏ³£ Ø»ñ ¹³ë³ñ³ÝÇ ù³ÝÇ±³ß³Ï»ñï ¿ ëÇñáõÙ ¨° ýÇ½ÇÏ³, ¨° Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³£

274

954.* ³) 1-Çó 100 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó ù³ÝÇ±ëÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ ¨° 3-Ç, ¨° 5-Ç£ 955.* ´áõÑÇ ÁÝ¹áõÝ»ÉáõÃÛ³Ý ùÝÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Å³Ù³Ý³Ï §·»ñ³½³Ýó¦ ·Ý³Ñ³ï³Ï³Ý ëï³ó³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇó 96 ¹ÇÙáñ¹, ýÇ½ÇÏ³ÛÇóª 74, éáõë³ó É»½íÇóª 84, Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇó Ï³Ù ýÇ½ÇÏ³ÛÇóª 150, Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇó Ï³Ù éáõë³ó É»½íÇóª 152, ýÇ½ÇÏ³ÛÇó Ï³Ù éáõë³ó É»½íÇóª 132, µáÉáñ »ñ»ù ³é³ñÏ³Ý»ñÇóª 8£ ø³ÝÇ± ¹ÇÙáñ¹ ¿ ëï³ó»É ·áÝ» Ù»Ï §·»ñ³½³Ýó¦£ Üñ³ÝÇó ù³ÝÇ±ëÝ ¿ ëï³ó»É ÙÇ³ÛÝ Ù»Ï §·»ñ³½³Ýó¦£ 956.* l »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ½áñ³ëÛáõÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ x Ù/ñ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ£ ¼áñ³ëÛ³Ý í»ñçÇó ¹»åÇ ëÏÇ½µÁ ë»ñÅ³ÝïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ y Ù/ñ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ¨ ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ í»ñ³¹³éÝáõÙ ½áñ³ëÛ³Ý í»ñçÁ£ ¶Ý³Éí»ñ³¹³éÝ³Éáõ íñ³ ë»ñÅ³ÝïÁ Í³Ëë»ó t ñáå»£ ³) t; l; x; y-Á ³ñï³Ñ³Ûï»ù ÙÝ³ó³Í Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñáí£ µ) Ð³ßí»ù t-Ý, »Ã» l = 510, x = 70, y = 100£ 957.* l »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ½áñ³ëÛáõÝÁ Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅíáõÙ ¿ Ù³ÛñáõÕáí£ òñÇãÁ ½áñ³ëÛ³Ý í»ñçÇó ß³ñÅí»ó ¹»åÇ ëÏÇ½µÁ£ Ð³ëÝ»Éáí ëÏÇ½µÇÝª ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ í»ñ³¹³ñÓ³í ½áñ³ëÛ³Ý í»ñçÁ£ ²Û¹ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ ½áñ³ëÛáõÝÝ ³Ýó³í S ×³Ý³å³ñÑ£ ¶ï»ù óñÇãÇ ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÁ (·Ý³Éáõ ¨ »ï í»ñ³¹³éÝ³Éáõ), »Ã» ³) l = 400 Ù, s = 300 Ù; µ) l = 300 Ù, s = 400 Ù: 958.* l »ñÏ³ñáõÃÛ³Ùµ ½áñ³ëÛáõÝÁ Ñ³ëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅíáõÙ ¿ Ù³ÛñáõÕáí£ òñÇãÁ ½áñ³ëÛ³Ý í»ñçÇó ß³ñÅí»ó ¹»åÇ ëÏÇ½µÁ£ Ð³ëÝ»Éáí ëÏÇ½µÇÝª ÝáõÛÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ »ï í»ñ³¹³ñÓ³í ¨ Ñ³ë³í ½áñ³ëÛ³Ý í»ñçÁ£ Ð³ÛïÝÇ ¿, áñ óñÇãÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ n ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ ½áñ³ëÛ³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó£ ¶ï»ù ½áñ³ëÛ³Ý ³Ýó³Í ×³Ý³å³ñÑÝ ³ÛÝ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ, áñ Í³Ëë»É ¿ñ ëÏÇ½µ ·Ý³Éáõ ¨ »ï í»ñ³¹³éÝ³Éáõ íñ³, »Ã» ³) l = 250 Ù, n = 1,5; µ) l = 300 Ù, n = 2: 959.* ³) Ø³ñ·³·»ïÝáõÙ Ï³Ý³ã ¿ ³×áõÙ£ 20 ÏáíÁ ³ÙµáÕç Ï³Ý³ãÁ Ïáõï»Ý 21 ûñáõÙ, ÇëÏ 30 ÏáíÁª 7 ûñáõÙ£ ø³ÝÇ± ûñáõÙ Ù³ñ·³·»ïÝÇ ³ÙµáÕç ËáïÁ Ï³ñáÕ ¿ÇÝ áõï»É 22 ÏáíÁ£ (ºÝÃ³¹ñíáõÙ ¿, áñ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûñ Ù³ñ·³·»ïÝáõÙ ³×áõÙ ¿ ÝáõÛÝ ù³Ý³Ïáí Ýáñ Ëáï)£ µ) Ø³ñ·³·»ïÝáõÙ Ï³Ý³ã ¿ ³×áõÙ£ 6 ÏáíÁ ³ÙµáÕç ËáïÁ Ïáõï»Ý 6 ûñáõÙ, ÇëÏ 7 ÏáíÁª 4 ûñáõÙ£ ø³ÝÇ± Ïáí Ï³ñáÕ ¿ÇÝ ³ÙµáÕç Ù³ñ·³·»ïÝÇ ËáïÁ áõï»É 2 ûñáõÙ£

275

·) Ø³ñ·³·»ïÝáõÙ Ï³Ý³ã ¿ ³×áõÙ£ 60 ÏáíÁ ³Û¹ Ù³ñ·³·»ïÝáõÙ Ï³ñáÕ »Ý Ï»ñ³Ïñí»É 14 ûñ, ÇëÏ 50 ÏáíÁª 28 ûñ£ ø³ÝÇ± Ïáí Ï³ñáÕ »Ý Ùßï³Ï³Ý Ï»ñ³Ïñí»É ³Û¹ Ù³ñ·³·»ïÝáõÙ, ù³ÝÇ ¹»é ³ÛÝï»Õ Ï³Ý³ã ¿ ³×áõÙ£ 1 960.* Æ.ÜÛáõïáÝÇËÝ¹ÇñÁ£ î³ëÝ»ñÏáõ óáõÉ ³ñáï³í³ÛñÇ 3 −− Ûáõ·»ñÁ1 3 áõïáõÙ »Ý 4 ß³µ³ÃáõÙ£ ÜáõÛÝ ³ñáï³í³ÛñÇ 10 Ûáõ·»ñÁ 21 óáõÉÝ áõïáõÙ ¿ 9 ß³µ³ÃáõÙ£ ø³ÝÇ± óáõÉ ³ñáï³í³ÛñÇ 24 Ûáõ·»ñÁ ÏáõïÇ 18 ß³µ³ÃáõÙ£ 961. ³) ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ÑÇÝ·»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ 19 ¿, ÇëÏ ï³ëÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 35£ µ) ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ −13 ¿, ÇëÏ ï³ëÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª −43£ ·) Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ 9,5 ¿, ÇëÏ ï³ëÝ»ñÏáõ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 105,25£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ£ 1 7 ¹) −− -Á ¨ − 1−− -Á Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ¨ ùë³Ý2 8 »ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ »Ý£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ£ 962. ³) Âí³ÛÇÝ áõÕÕÇ 7 ¨ 35 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·ï»ù í»ó Ï»ï, áñáÝó Ïááñ¹ÇÝ³ïÝ»ñÁ 7 ¨ 35 Ãí»ñÇ Ñ»ï ÙÇ³ëÇÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ µ) 1 ¨ 6 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·ï»ù ÑÇÝ· ÃÇí, áñáÝù ïñí³Í Ãí»ñÇ Ñ»ï ÉÇÝ»Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ£ 963. ³) ÆÝãå»±ë Ï÷áËíÇ í»ñç³íáñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» ¹ñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ¹³ë³íáñ»Ýù Ñ³Ï³é³Ï Ï³ñ·áí£ µ) ø³ÝÇ± ³Ý¹³Ù áõÝÇ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý, »Ã» Í³Ûñ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ »Ý 10-Á ¨ 7,5-Á, ÇëÏ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ −0,4-Ç£ 964. ¶ï»ù a1, .... an, ... Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ÁÝ¹Ñ³Ýáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³) a1 = 5, a2 = −5; ·) a1 = 6, a10 = 33;

(1) 1

276

µ) a1 = −3, a2 = 0; ¹) a4 = −4, a17 = −17:

Ûáõ·»ñÁ Ùáï³íáñ 2500 Ù2 Ù³Ï»ñ»ë ¿ (ÑÇÝ ÑáõÝ³Ï³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ ÙÇ³íáñ ¿)£

965. îñí³Í »Ý »ñÏáõ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñª a1, a2, ..., an, .... ¨ b1, b2, ...., bn, ....£ Ð»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³± ¿. ³) a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn; ·) a1 · b1, a2 · b2, ..., an · bn;

µ) a1 − b1, a2 − b2, ..., an − bn; a1 a2 an ¹) −−−, −−−, ..., −−−, ... (µáÉáñ b ≠ 0): b1 b2 bn

966. ¶ï»ù b1, b2, ...., bn, .... »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ¨ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ 7 7 ³) b1 + b4 = −−−, b3 − b2 + b1 = −−; 16 8 µ) b2 − b1 = 2, b3 − b1 = 8: 967. ¶ï»ù b1, b2, b3, b4 ãáñë Ãí»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ b2, b3, b4 Ãí»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³, ÇëÏ b1, b2, b3 Ãí»ñÁª Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³, ÁÝ¹ áñáõÙª b1 + b4 = 37, b2 + b3 = 36£ 968. ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ Ï³½ÙáÕ b1, b2, b3 Ãí»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ¹ñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ 30 ¿, ÇëÏ b1 − 5, b2 − 4, b3 Ãí»ñÁ Ï³½ÙáõÙ »Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³£ 969. ¶ï»ù b1, b2, ... bn í»ñç³íáñ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ n ÃÇíÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ b1 + b5 = 51, b2 + b6 = 102, Sn = 3069£ 970. ¶ï»ù µáÉáñ ³ÛÝ x Ãí»ñÁ, áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý 1 + 7 + 13 + ... + x = 280 å³ÛÙ³ÝÇÝ£ 971. Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ Ï³½ÙáÕ »ñ»ù Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 2 ¿, ÇëÏ 14 ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª −−−£ ¶ï»ù ³Û¹ Ãí»ñÁ£ 9 972. ³) Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ ¨ ÇÝÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 10 ¿£ ¶ï»ù ³é³çÇÝ ï³ë ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ µ) Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ññáñ¹ ¨ ÇÝÝ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 16 ¿£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ 11 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 973.* ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ½áõÛ· ¿£ ¶ï»ù Ñ³Ûï³ñ³ñÁ, »Ã» ³) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 4 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ Ï»Ýï Ñ³Ù³ñÝ»ñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó,

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µ) åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ½áõÛ· Ñ³Ù³ñÝ»ñáí µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 2 ³Ý·³Ù Ù»Í ¿ Ï»Ýï Ñ³Ù³ñÝ»ñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇó£ 974. º.¸. ìáÛïÛ³ËáíëÏáõ §Ø³ùáõñ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³ÛÇ ¹³ëÁÝÃ³ó¦-Çó£ ¼ÇÝíáñÇÝ ³é³çÇÝ í»ñùÇ Ñ³Ù³ñ å³ñ·¨³ïñ»óÇÝ 1 Ïáå., »ñÏñáñ¹ í»ñùÇ Ñ³Ù³ñª 2, »ññáñ¹ í»ñùÇ Ñ³Ù³ñ 4 ¨ ³ÛÉÝ£ ¼ÇÝíáñÝ ÁÝ¹³Ù»ÝÁ ëï³ó³í 655 é. 35 Ïáå.£ àñù³±Ý ¿ñ Ýñ³ í»ñù»ñÇ ÃÇíÁ£ 975. ¼µáë³ßñçÇÏÝ»ñÇ ËáõÙµÁ A ù³Õ³ùÇó ¹áõñë »Ï³í ¹»åÇ a ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ·ïÝíáÕ B ù³Õ³ù£ ²é³çÇÝ ûñÁ ËáõÙµÝ ³Ýó³í 40 ÏÙ, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ûñÁª 1 ÏÙ-áí ³í»ÉÇ, ù³Ý Ý³Ëáñ¹ ûñÁ£ t ûñ Ñ»ïá B ù³Õ³ùÇó ÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ ¹áõñë »Ï³í ½µáë³ßñçÇÏÝ»ñÇ »ñÏñáñ¹ ËáõÙµÁ, áñÝ ³é³çÇÝ ûñÝ ³Ýó³í 30 ÏÙ, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ñ³çáñ¹ ûñÁ 2 ÏÙ-áí ³í»ÉÇ, ù³Ý Ý³Ëáñ¹ ûñÁ£ Æñ ¹áõñë ·³Éáõó ù³ÝÇ± ûñ Ñ»ïá ³é³çÇÝ ËáõÙµÁ ÏÑ³ëÝÇ »ñÏñáñ¹ÇÝ, »Ã» ³) a = 100, t = 1; µ) a = 114, t = 2; ·) a = 91, t = 1; ¹) a = 131, t = 2: 976. Ð³ßí»ù ³) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17 + 18 + 19; µ) 30 + 31 + 32 + ... + 47 + 48 + 49 + 50: 977. Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ Ñ³ßí»ù ·áõÙ³ñÁ. 3 + 8 + 13 + ... + (5n − 2): 978. ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ »ñÏñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ Ñ³í³ë³ñ ¿ 0,5-Ç, ÇëÏ ï³ëÝãáñë»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 33,5-Ç£ 979. ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇëáõÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñÇ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 5,8 ¿, ÇëÏ í»ñçÇÝ »ñÏáõëÇ ·áõÙ³ñÁª 11,5£ 980. ¶ï»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñÇ ãáññáñ¹ 5 ³Ý¹³ÙÁ 1,25 ¿, ÇëÏ ÇÝÝ»ñáñ¹Áª −−£ 6 981. ºñ»ëáõÝ ³Ý¹³Ù å³ñáõÝ³ÏáÕ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3645 ¿£ ²Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 20 ¿£ ¶ï»ù »ñÏñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£

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982. ì»ñç³íáñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 28 ¿, »ññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 8, ãáññáñ¹Áª 5£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ ¨ Í³Ûñ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ£ 983. ³) ¶ï»ù µáÉáñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, áñáÝù 2-Ç Ï³Ù 3-Ç µ³½Ù³å³ïÇÏ »Ý£ µ) ¶ï»ù 7-ÇÝ áã µ³½Ù³å³ïÇÏ µáÉáñ »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 984. ¶ï»ù 3-ÇÝ µ³½Ù³å³ïÇÏ µáÉáñ Ï»Ýï »é³ÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 985. Âí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ 40 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 340 ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ 39 ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 325£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ£ 986. îñí³Í »Ý a1, a2, . .... an, .... ¨ b1, b2, ..... bn, .... »ñÏáõ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñ£ Ð»ï¨Û³É Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³± ¿. ³) a1 + b1, a2 + b2, ... an + bn, ...; µ) a1 − b1, a2 − b2, ... an − bn, ...; ·) a1 · b1, a2 · b2, ... an · bn, ...; ¹) |a1|, |a2|, ... |an|, ...; a1 a2 an ») −−−, −−−, ..., −−−, ... (µáÉáñÁ b ≠ 0): b1 b2 bn 1 1 1 987. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» −−−−−, −−−−−, −−−−− Ãí»ñÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñáb+c c+a b+a ·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ³å³ a2, b2, c2 Ãí»ñÁ ÝáõÛÝå»ë Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ 1 1 1 988. a, b, c ¨ −−, −−, −− Ãí»ñÁ »ñÏáõ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³Ý»ñÇ Ñ³çáña b c ¹³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý£ ²å³óáõó»ù, áñ a = b = c£ 989. ¶ï»ù a1, a2, ...., a n, ... Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ µ) a1 · a11 = 44, a2 + a10 = 24: ³) a2 + a4 = 16, a1 · a5 = 28; 990. ¶ï»ù 2-Ç ¨ 3-Ç ãµ³Å³ÝíáÕ µáÉáñ »ñÏÝÇß Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£

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991. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ 11 ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 1,5 ¿, ÇëÏ í»ó»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 2£ 992. àñáß»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 4 ¿, ÇëÏ áõÃ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 256£ 993. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 2058 ¿, ÇëÏ ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 6£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ£ 994. 1 ¨ 14 641 Ãí»ñÇ ÙÇç¨ ·ï»ù »ñ»ù ÃÇí ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óí³Í Ãí»ñÁ Ï³½Ù»Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³£ 995. 15-Á ¨ 240-Á »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Í³Ûñ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ »Ý£ äñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 0,5 ¿£ ø³ÝÇ± ³Ý¹³Ù áõÝÇ ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³Ý£ 996. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 3 ¿, ÇëÏ Í³Ûñ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª 20 ¨ 131 220£ 997. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 7 ¿, ÇëÏ Ñ³Ûï³ñ³ñÁª 4£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 9555 ¿£ 998. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» ³é³çÇÝ »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 4 ¿, ³Û¹ ÝáõÛÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁª 2, ÇëÏ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁª 8£ 999. ÚáÃ ³Ý¹³Ù å³ñáõÝ³ÏáÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ 2 ¿, µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 635£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ£ 1000. ì»ó ³Ý¹³Ù å³ñáõÝ³ÏáÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 768 ¿, ÇëÏ í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁ ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÇó 16 ³Ý·³Ù ÷áùñ ¿£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 3 1001. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ −− ¿, ÇëÏ í»ñçÇÝ 4 »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ñ³Ù³å³ï³ëË³Ý³µ³ñ 750 ¨ 7500£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ£

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1002. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 1 ¿, í»ñçÇÝ ³Ý¹³ÙÁª 64, µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 127£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÃÇíÁ£ 1003. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ï³ëÝ»ñÏáõ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ 1536 ¿, ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁª 6£ ¶ï»ù ³Û¹ åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝÙ»Ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 1004. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ÛáÃ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ 27 ¿, ÇëÏ ï³ëÝ»ñáñ¹Áª 729£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ï³ëÝ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 1005. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ, áñÇ ³é³çÇÝ »ñÏáõ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 16 ¿, ÇëÏ ÑÇÝ·»ñáñ¹ ¨ í»ó»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 1296£ 1006. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ áõÃ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, áñÇ 1 ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ −− ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ ¨ 3 1 ÑÇÝ·»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª −−−£ 64 1007. ºñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 28 ¿, ÇëÏ Ñ³çáñ¹ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 3,5£ ¶ï»ù åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ áõÃ»ñáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ£ 1008. ¶ï»ù »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëÇ³ÛÇ ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ, »Ã» Ñ³ÛïÝÇ ¿, áñ ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ 9 ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 58, 59£ 1009.* ²ñùÇÙ»¹ÇËÝ¹ÇñÁ. (Ù.Ã.³. 287-212 Ã.) ¶ï»ù ³é³çÇÝ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 1010.* ³) ¶ï»ù ³é³çÇÝ n ½áõÛ· Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ µ) ¶ï»ù ³é³çÇÝ n Ï»Ýï Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£ 1011.* ÐÝ³·áõÛÝËÝ¹Çñ (ÐÝ¹Ï³ëï³Ý, IV ¹.)£ ¶ï»ù ³é³çÇÝ n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁ£

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