Matem´ aticas CCSS II 2 BAC
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1. (J1999) Una f´ abrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producci´ on de confitura de ciruela es menor o igual que la producci´ on de confitura de albaricoque m´ as 800 unidades. Tambi´en, el triple de la producci´ on de confitura de albaricoque m´ as el doble de la producci´ on de confitura de ciruela, es menor o igual que 2400 unidades.. Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 6000 pesetas y cada unidad de confitura de ciruela 8000 pesetas. ¿Cu´ antas unidades de cada tipo de confitura se han de producir para obtener un beneficio m´ aximo? 2. (J2000) Por Navidad, un colmado quiere preparar dos tipos de cestas, C1 y C2 . Cada cesta del tipo C1 ha de contener 4 barras de turr´on y 2 botellas de cava, y cada cesta del tipo C2 ha de contener 3 barras de turr´on y 3 botellas de cava. Por cada cesta del tipo C1 se obtiene un beneficio de 400 pta, y por cada cesta del tipo C2 , un beneficio de 500 pta. El colmado tienda dispone de 480 barras de turr´on y de 360 botellas de cava. ¿Cu´ antas cestas de cada tipo se han de preparar para que los beneficios sean m´ aximos? 3. (S2000) Dibujar la regi´ on determinada por las inecuaciones x ≥ 0 , y ≥ 0 , 3x ≤ 12 − 2y , 2y ≤ 8 − x y maximizar la funci´ on f (x, y) = x+3y, sujeta a las restricciones dadas por estas inecuaciones. 4. (J2001) En la fabricaci´ on de dos tipos de joyas, J1 y J2 , se utiliza oro y platino. Cada joya del tipo J1 est´a formada por 3 g de oro y 1 g de platino, y cada joya del tipo J2 est´a formada por 2 g de oro y 2 g de platino. Con cada joya del tipo J1 se obtiene un beneficio de 3000 pts., y con cada joya del tipo J2 , uno de 4000 pts. Se dispone de 1800 g de oro y 1000 g de platino. ¿Cu´ antas joyas de cada tipo se tienen que fabricar para que el beneficio sea m´ aximo? 5. (J2002) Dibujar la regi´ on determinada por las inecuaciones: x ≥ 0 , y ≤ 0 , x + y ≥ 5 , x + 3y ≥ 9 , 4x + y ≥ 8 y minimizar la funci´ on f (x, y) = 2x + 3y sometida a las restricciones dadas por esas inecuaciones. 6. (J2003) Un campesino tiene que abonar una finca con abono que contiene tres ingredientes nutritivos: a, b y c. Los m´ınimos que necesita son 36 unidades de a, 30 de b y 12 de c. En el mercado venden sacos de abono de dos marcas, cuyos contenidos y precios se dan en la siguiente tabla: Marca I II
unidades de a 2 4
unidades de b 5 2
unidades de c 1 1
precio del saco 15 euros 10 euros
¿Cu´ antos sacos de la marca I y cu´ antos de la marca II ha de comprar el campesino para minimizar el coste y satisfacer los requerimientos nutricionales? 7. (S2003) Dibujar la regi´ on determinada por las inecuaciones x ≥ 0 , y ≥ 0 , 3x + y ≥ 30 , x + 4y ≥ 32 y minimizar la funci´ on f (x, y) = 18x + 24y, sujeta a las restricciones dadas por estas inecuaciones.
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8. (J2004) En la preparaci´on de dos tipos de paquetes de caf´e, C1 y C2 , se va a utilizar caf´e brasile˜ no y caf´e colombiano. Cada paquete del tipo C1 contiene 300 g de caf´e brasile˜ no y 200 g de caf´e colombiano, y cada paquete del tipo C2 contiene 100 g de caf´e brasile˜ no y 400 g de caf´e colombiano. Con cada paquete del tipo C1 se obtiene un beneficio de 0,90 euros, y con cada paquete del tipo C2 , de 1,20 euros. Se dispone de 900 kg de caf´e brasile˜ no y de 1600 kg de caf´e colombiano. (a) ¿Cu´ antos paquetes de cada tipo se han de preparar para poder obtener un beneficio m´ aximo? (2 puntos) (b) ¿Cu´ al es este beneficio m´ aximo? (0.5 puntos) 9. (J2005) Un pay´es para abonar una finca necesita al menos 9 kg de nitr´ ogeno y 15 kg de f´ osforo. En el mercado se vende un producto A que contiene un 20% de nitr´ ogeno y un 40% de f´ osforo, y otro producto B que contiene un 30% de nitr´ ogeno y un 30% de f´ osforo. El precio del producto A es de 4 C /kg y el del B de 5C/kg. ¿Qu´e cantidad tiene que comprar el pay´es para abonar la finca con el menor coste posible? 10. (S2005) Dibujar la regi´ on determinada por las inecuaciones x ≥ 0 , y ≥ 0 , 2x + 3y ≥ 12 , 2x + y ≥ 8 y minimizar la funci´ on f (x, y) = x+2y, sujeta a las restricciones dadas por estas inecuaciones. 11. (J2006) En una tienda naturista preparan dos tipos de paquetes de vinagre, A y B. Cada paquete del tipo A contiene 2 botellas de vinagre de vino y 4 botellas de vinagre de manzana, y cada paquete del tipo B contiene 3 botellas de vinagre de vino y 2 botellas de vinagre de manzana. Con cada paquete del tipo A obtienen un beneficio de 3 euros, y con cada paquete del tipo B, un beneficio de 2 euros. Disponen de 800 botellas de vinagre de vino y de 1000 botellas de vinagre de manzana. (a) ¿Cu´ antos paquetes de cada tipo han de prepararse para obtener un beneficio m´ aximo? (2 puntos) (b) ¿Cu´ al es este beneficio m´ aximo? (0.5 puntos) 12. (J2007) En un molino de aceite se producen dos tipos de aceite: aceite de oliva virgen y aceite de oliva virgen extra. El doble de la producci´ on aceite de oliva virgen es menor o igual que la producci´ on de aceite de oliva virgen extra m´es 80000 litros. Tambi´en, el doble de la producci´ on de aceite de oliva virgen mas el triple de la producci´ on de aceite de oliva virgen extra es menor o igual que 240000 litros. Cada litro de aceite de oliva virgen produce un beneficio de 1 C, y cada litro de aceite de oliva virgen extra, uno de 1.25 C. (a) ¿Cu´ antos litros de aceite de oliva virgen y cu´ antos litros de aceite de oliva virgen extra se tienen que producir para poder obtener un beneficio m´ aximo? (2 puntos) (b) ¿Cu´ al es este beneficio m´ aximo? (0.5 puntos) 13. (S2007) En la preparaci´o de dos tipus de barres de torr´ o, T1 i T2 , es fa servir ametlla marcona i ametlla vivot. Cada barra del tipus T1 cont´e 90 gr d’ametllla marcona i 60 gr d’ametlla vivot, i cada barra del tipus T2 cont´e 30 gr d’ametlla marcona i 120 gr d’ametlla vivot. Amb cada barra del tipus T1 s’obt´e un benefici d’1.20 C, i amb cada barra del tipus T2 , un d’1 C. Es disposa de 270 kg d’ametlla marcona i de 480 kg d’ametlla vivot.
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(a) Quantes barres de cada tipus s’han de preparar per poder obtenir un benefici m` axim (2 punts) (b) Quin ´es aquest benefici maxim? (0.5 punts) 14. (J2008) Por Navidad una tienda quiere preparar dos tipos de lotes, L1 i L2 . Cada lote del tipo L1 est´a formado por 4 barras de turr´on, 2 botellas de cava y 2 paquetes de caf´e, y cada lote del tipo L2 est´a formado por 2 barras de turr´on, 2 botellas de cava y 4 paquetes de caf´e. Con cada lote del tipo L1 se obtiene un beneficio de 4.50 C, y con cada lote del tipo L2 , uno de 3 C. La tienda dispone de 300 barras de turr´on, de 180 botellas de cava y de 300 paquetes de caf´e. ¿Cu´ antos lotes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio m´ aximo? 15. (S2008) Un pay´es tiene que abonar una finca con abono que contenga tres ingredientes nutritivos: a, b i c. Los m´ınimos que necesita son 10 unidades de a, 18 de b i 16 de c. En el mercado venden sacos de abono de dos marcas, los contenidos y precios de los cuales se dan en la tabla siguiente: Marca I II
unidades de a 1 1
unidades de b 1 3
unidades de c 4 1
precio del saco 10 C 9 C
(a) ¿Cu´ antos sacos de la marca I y cu´ antos de la marca II ha de comprar el campesino para minimizar el coste y satisfacer los requerimientos nutricionales? (2 puntos) (b) ¿Qu´e le costar´ an en total? (0.5 puntos) 16. (J2009) Un librero compra libros de dos editoriales. La editorial A ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficci´on i 5 hist´oricas por 60 C, y la editorial B ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficci´on y 10 hist´oricas por 180 C. El librero quiere comprar un m´ınimo de 2500 novelas de ci´encia ficci´on y un m´ınimo de 3500 novelas hist´oricas. Adem´ a, por motivos personales, el librero ha prometido a la editorial B que al menos el 25% del n´ umero total de paquetes que comprar´a ser´ an de B. (a) ¿Cu´ antos paquetes tiene que comprar el librero de cada editorial para minimizar el coste, satisfacer los m´ınimos y cumplir la promesa? (2 puntos) (b) Que le costar´ an en total las novelas? (0.5 puntos) 17. (S2009) Dibujar la regi´ on determinada por las inecuaciones x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 6, x + 5y ≥ 10, 4x + y ≥ 12 y minimizar la funci´ on f (x, y) = 2x + 3y sometida a las restricciones dadas por estas inecuaciones. (2.5 puntos)