Matem´ aticas CCSS II 2 BAC
Sistemas de ecuaciones lineales
Curso 2009/2010 Col legi Sant Francesc
1. (J1998) De tres amigos, Arnau, Joan y Pere, se sabe lo siguiente: ”El doble de la edad de Arnau m´ as el triple de la edad de Joan es tres a˜ nos superior a cuatro veces la edad de Pere. El triple de la edad de Pere menos el doble de la edad de Joan es siete a˜ nos inferior al doble de la edad de Arnau. El doble de la edad de Arnau m´ as el doble de la edad de Pere es tres a˜ nos inferior a cinco veces la edad de Joan”. Calcular la edad de cada uno de los tres amigos. sol: 17,15,19 2. (J1999) En un jard´ın hay 22 a´rboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del n´ umero de limoneros m´ as el triple del n´ umero de membrillos, es igual al doble del n´ umero de naranjos. (a) ¿Es posible saber con estos datos el n´ umero de naranjos que hay? (0,5 puntos) (b) Si adem´as se sabe que el n´ umero de naranjos es el doble del de limoneros, ¿cu´antos ´arboles hay de cada tipo? sol: Hay 12 naranjos, 6 limoneros y 4 membrillos. 3. (S2000) Tres estudiantes, Joan, Clara y Marta, han comprado un regalo. Clara ha gastado la mitad que Marta y Joan el triple que Clara. (a) ¿Es posible saber con estos datos la cantidad que ha gastado Marta? (0,5 puntos) (b) Si adem´as se sabe que entre los tres han gastado un total de 6300 pta. ¿Qu´e cantidad ha gastado cada uno de ellos? (2 puntos) sol: Clara ha gastado 1050 pta; Marta, 2100 pta; Joan, 3150 pta. 4. (J2001) Se tienen 1175 pta en monedas de 5, de 25 y de 100. El n´ umero de monedas de 5 excede en 7 unidades al n´ umero de monedas de 100, y por cada 2 monedas de 100 se tienen 3 de 25. ¿Cu´ antas monedas se tienen de cada valor? (2,5 puntos) sol: 13 monedas de 5 pta; 12 de 25 pta; 8 de 100 pta. 5. (J2002) La suma de las tres cifras de un determinado n´ umero es 13. La cifra de las centenas excede en 4 unidades la de las decenas. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el n´ umero aumenta en 495 unidades. ¿De qu´e n´ umero se trata? sol: El n´ umero inicial es 409. 6. (J2003) En una helader´ıa venden helados peque˜ nos, medianos y grandes. Dos peque˜ nos m´ as uno mediano m´ as dos grandes valen 9,5 euros. Uno peque˜ no m´ as uno mediano m´ as tres grandes valen 10,25 euros. (a) ¿Con esos datos es posible saber el valor de un helado grande? (1 punto) (b) Si adem´as se sabe que dos helados grandes valen lo mismo que tres helados peque˜ nos, calcular el valor de un helado peque˜ no, mediano y grande. (1,5 puntos) 7. (S2003) Joan, Marc y Pere van a una papeler´ıa y compran cuadernos peque˜ nos, medianos y grandes seg´ un se indica en la tabla siguiente: Joan Marc Pere
n de cuadernos peque˜ nos 1 1 1
n de cuadernos medianos 3 4 3
n de cuadernos grandes 3 3 4
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Si por esa compra en la papeler´ıa, Joan, Marc y Pere han gastado en total, 13, 14,75 y 15,25 euros, respectivamente, calcular el precio de un cuaderno peque˜ no, de uno mediano y de uno grande. (2,5 puntos) sol: x = 1, y = 1, 75, z = 2, 25 8. (S2004) Se tienen 9.20 C en monedas de 5 c´entimos, de 20 c´entimos y de euro. El n´ umero de monedas de 20 c´entimos excede en 6 unidades al n´ umero de monedas de euro, y por cada 3 monedas de 20 c´entimos se tienen 4 de 5 c´entimos. ¿Cu´ antas monedas se tienen de cada valor? 9. (J2005) Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del par´ametro m: 3x + 2y − z x−z 2x + 2y + (m + 1)z
= = =
1 1 0
Discutirlo y resolverlo para los valores de m que lo hacen compatible. (2,5 puntos) 10. (S2005) Tres hermanas, Aina, Clara y Marta, deciden regalar un libro que vale 24.8 C a su padre. Reunen esta cantidad de forma que Marta aporta una tercera parte de lo que aportan las otras dos juntas y que Aina aporta 3 c´entimos por cada 2 que aporta Clara. ¿Qu´e cantidad aporta cada una de las hermanas? 11. (S2006) Tres amigos, Clara, Marta y Pere han ido de compras. Clara gasta el triple que Pere y Marta la mitad que clara. (a) ¿Con esos datos es posible saber lo que ha gastado Pere? (1 punto) (b) Si adem´as se sabe que entre los tres han gastado 1243 C , ¿Qu´e cantidad ha gastado cada uno? (1,5 puntos) 12. (S2006) Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del par´ametro m: 3x + 2y − z x−z 2x + 2y + mz
= = =
5 1 0
Discutirlo y resolverlo para los valores de m que lo hacen compatible. (2,5 puntos) 13. (J2007) Se tienen 9,5 C en monedas de 5 c´entimos, 10 c´entimos y 50 c´entimos. El n´ umero de monedas de 10 c´entimos excede en 9 unidades al n´ umero de monedas de 50 c´entimos, y por cada tres monedas de 10 c´entimos se tienen cuatro de 5 c´entimos. ¿Cu´ antas monedas hay de cada valor? 14. (S2007) La suma de las tres cifras de un n´ umero es 12. La cifra de las centenas es la media aritm´etica de las otras dos. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el n´ umero disminuye en 198 unidades. ¿De qu´e n´ umero se trata? 15. (S2008) Tres amigos, Joan, Maria y Pere, han ido a una cafeter´ıa. Joan ha gastado el triple que Mar´ıa, y Pere, la mitad que Mar´ıa. (a) Con estos datos, se puede saber la cantidad que ha gastado Mar´ıa? (1 punto)
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(b) Si, adem´as, se sabe que entre los tres han gastado un total de 11.70 C, ¿qu´e cantidad ha gastado cada uno de ellos? (1,5 puntos) 16. (J2009) Tres familias van a una cafeter´ıa. La primera familia toma 2 caf´es, 1 cortado y 2 descafeinados; la segunda familia toma 3 caf´es y 2 descafeinados; y la tercera familia toma 1 caf´e, 2 cortados y 2 descafeinados. A la primera familia le presentan una factura de 5.20 C, a la segunda, una de 5 C, y a la tercera, una de 6.20 C. ¿Hay alguna factura incorrecta? 17. (S2009) Considerad el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del par´ametro m: x+y+z x−y+z −x + y − mz
= = =
1 1 1
(a) Discutirlo. (1,5 puntos) (b) Resolverlo para los valores de m que lo hacen compatible. (1 punto)