Distribución normal presentación

• Estadística

7-3

Características de la distribución probabilística normal

• La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución. • La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico. • La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda.

7-4

Características de la distribución probabilística normal

• La distribución normal es simétrica respecto a su media. • La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

r

a

l

i

t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

σ2

=

1

Características de una distribución normal 0

. 4

. 3

0

. 2

En teoría, la curva se extiende hasta infinito

f ( x

0

La curva normal es simétrica

0

. 1

. 0

- 5

a

La media, mediana y moda son iguales x

7-6

Distribución normal estándar

• Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar. • Valor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la población media µ, dividida entre la desviación estándar de la población σ,

X −µ z =

σ

7-7

EJEMPLO 1

• El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en IPN tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700? • Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-8

EJEMPLO 1 continuación

• Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5 • Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviación estándar de la media de $2000, así como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviciación estándar de la media de $2000.

7-9

Áreas bajo la curva normal

• Cerca de 68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar µ ± 1σ respecto a la media. • Alrededor de 95% está a menos de dos desviaciones estándar de la media. µ ± 2σ • 99.74% está a menos de tres desviaciones µ ± 3σ estándar de la media.

r

. 4

0

. 3

0

. 2

0

. 1

l

i

t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

σ2

=

Áreas bajo la curva normal

1

Entre: 1.68.26% 2.95.44% 3.99.74%

f ( x

0

a

. 0

- 5

µ − 2σ µ − 3σ

x

µ −1σ

µ

µ + 2σ

µ +1σ

µ + 3σ

7-11

EJEMPLO 2

• El consumo de agua diario por persona en el Distrito Federal tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviación estándar de 5 galones. • Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence está entre cuáles dos valores. • . Esto es, cerca de 68% del µ consumo ± 1 σ = 20diario ± 1 (5).de agua está entre 15 y 25 galones. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-12

EJEMPLO 3

• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de en el D.F. seleccionada al azar use menos de 20 galones por día? • El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así, P(X<20) = P(z<0) = .5 • ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones? • El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) = P(0<z<.8) = 28.81% © 2001 Alfaomega Grupo Editor

r

0

. 4

0

. 3

0

. 2

0

. 1

a

l

i

EJEMPLO 3

t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

P(0 < z < .8) = .2881

f ( x

0 < X < .8

. 0

- 5

-3

-2 -1

x

0

1

2

3

4

7-14

EJEMPLO 3 continuación

• ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones? • El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. Así, P(18<X<26) = P(-.4<z<1.2) = . 1554 + .3849 = .5403

7-15

EJEMPLO 4

• La profesora Aura determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A? • Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de manera que P(X > X) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene (X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

r

. 4

0

. 3

0

. 2

0

. 1

a

l

i

t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

σ2

=

1

Z=1.04

f ( x

0

EJEMPLO 4

15%

. 0

-

1

2

3

4

7-17

EJEMPLO 5

• La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal srvicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio? • Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P(X<65) = P(z<-1.5) =.5 - .4332 = .0668. © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-18

Aproximación normal a la binomial

• Utilizar la distribución normal (una distribución continua) como sustituto de una distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n, parece razonable porque conforme n aumenta, una distribución binomial se acerca más a una distribución normal. • La distribución de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximación a la binomial cuando • n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.

7-19

Aproximación normal continuación

• Recuerde el experimento binomial : · existen sólo dos resultados mutualmente excluyentes (éxito o fracaso) en cada ensayo. · una distribución binomial es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos. · cada ensayo es independiente. · la probabilidad es fija de un ensayo a otro, y el número de ensayos n también es fijo.

7-20

Distribución binomial para n igual a 3 y 20, donde =.50

π

n=20 0.2

P(x)

0.15 0.1 0.05 0 2

4

6 8 10 12 14 16 18 20 número de eventos

7-21

Factor de corrección por continuidad

• El valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad binomial (una distribución discreta) se aproxima por una distribución de probabilidad continua (la distribución normal).

7-22

EJEMPLO 6

• Un estudio reciente de una compañía de investigación de mercados mostró que 15% de las casas en la Delegación Benito Juárez, D.F. poseen una cámara de video. Se obtuvo una muestra de 200 casas. • De las 200 casas en la muestra ¿cuántas se espera que tengan una cámara de video?

7-23

EJEMPLO 6

• ¿Cuál es la varianza? σ2 =nπ(1 −π) =( 30)(1−.15) =25.5 • ¿Cuál es la desviación estándar? σ = 25.5 =5.0498 • ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 casas de la muestra tengan cámara de video? Se necesita P(X<40) = P(X< 39). Así, Al usar la aproximación normal, ≤ P(X<39.5) ≈P[z (39.5-30)/5.0498] = P(z ≤1.8812) P(z<1.88)=.5+.4699 +.9699 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

r

0

a

l

EJEMPLO 6 i

t r

b

u

i o

n

:

µ

=

0

,

σ2

=

1

. 4

. 3

0

. 2

0

. 1

f ( x

0

P(z = 1.88) .5 + .4699 = .9699

z = 1.88

. 0

- 5

1

2

3

4

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