CAPÍTULO V El Axioma de Euclides y el Teorema de Pitágoras. A lo largo de los capítulos anteriores está implícito el axioma siguiente: “Por dos puntos distintos pasa una única recta”. Esto significa que si dos rectas coinciden en dos puntos distintos ambas rectas son iguales. Por lo tanto dos rectas distintas pueden tener sólo un punto en común o ninguno. En este último caso se dicen paralelas. Con el objeto de facilitar la exposición dejamos para el final del capítulo la prueba del siguiente Teorema: Teorema. Sean m y n dos rectas cortadas por una secante en los puntos P y Q respectivamente. Si M en m y N en n yacen en lados opuestos con respecto a PQ, de suerte que los ángulos MPQ y NQP son iguales, entonces, las rectas m y n son paralelas. Este teorema permite la siguiente construcción CONSTRUCCIÓN 1 Sea m una recta en la cual se elige arbitrariamente dos puntos M y P y sea Q un punto ajeno. Por la construcción del capítulo II, existe una recta n con un punto N tal que el ángulo NQP es igual a MPQ con N al lado opuesto a M con respecto a PQ.
Los ángulos NQP y MPQ se dicen alternos internos. Según el teorema, si son iguales m y n son paralelas. Pero esta condición necesaria de paralelismo no es suficiente. Euclides (Alejandría, siglo III A. C.) en sus “Elementos de Geometría” postuló la suficiencia de la condición en vista de que no es posible derivarla a partir de los demás axiomas. AXIOMA DE LA PARALELA (V Postulado de Euclides) Si dos rectas son paralelas, los ángulos alternos internos que conforman con cualquier transversal son iguales. En la notación de la figura anterior y en símbolos: n || m => NQP = MPQ. (“=>” representa la conectiva “si.., entonces”)
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OBSERVACIÓN Con el tiempo se han ido descubriendo distintas formulaciones del axioma, damos algunas a continuación: (i) (ii)
Por un punto ajeno a una recta pasa una sola paralela a la misma. La suma de los ángulos de un triángulo es constante Es el axioma 2 del capítulo III. Aquí aparece como una consecuencia de (i) y por ende del axioma de la paralela. En efecto, al trazar la paralela al lado BC por el vértice A del triángulo de la figura, tenemos: C’ AB = ABC y B’AC = ACB, por lo tanto, C’ AB + BAC + CAB’ = C’ AC + CAB’ = C’ AB’ = 180º = ABC + BAC + ACB (Nótese que hemos expresado la colinealidad de los puntos C’ AB’ por medio de la relación angular C’ AB’ = 180º).
(iii)
Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. Es decir, la relación de paralelismo que habíamos simbolizado por “||” es transitiva. Es claramente reflexiva: sí a || b, b || a. Con ayuda del signo “||” (iii) se escribe. a || b. b || c => a || c. Si a y c no son paralelas b || a. b || c ¬ (a || c), que es la negación de (i) Análogamente, se puede demostrar que si una transversal corta a una de dos paralelas, corta también a la otra.
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(iv)
Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí: Sean a, b, c estas rectas, sí a ┴ b . c ┴ b => (a || c)
(v)
Dos rectas paralelas son equidistantes. En efecto, si m y m1 son paralelas, un segmento AB de m se proyecta ortogonalmente en uno A1B1. La igualdad de los ángulos alternos ABA1 y BA1B1 entraña la congruencia de los triángulos ABA1 y BA1B1. Por consiguiente se tiene AA1 = BB1. El largo de AA1 es la distancia entre m y m1 .
LA IDEA DE ÁREA: Sean de nuevo m y m1 paralelas, sea un segmento AB en m y otro de igual longitud A1B1 en m1. Es fácil comprobar que AA1 y BB1 son también paralelos. El cuadrilátero ABB1A1 es un paralelogramo. Si b es el largo de AB y h es la distancia entre ambas paralelas, el producto bh es independiente de las posiciones de AB y de A1 B1 sobre sus respectivas rectas paralelas y define el área del paralelogramo. En el paralelogramo los triángulos parciales AA1B y BB1A son congruentes, es natural establecer que: (i.) (ii.)
El área de un triángulo ABC es igual a la mitad del largo de AB por la distancia entre AB y el vértice C. El área de una reunión de triángulos disjuntos (que no tienen puntos en común fuera de sus perímetros) es igual a la suma de las áreas de los triángulos parciales.
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Ejercicio 1. Considere el triángulo equilátero ABC. Sea B1 el punto medio de AB, sea B2 el punto medio de AB1…etc., análogamente sea C1 el punto medio de AC, C2 el punto medio de AC1…etc. Calcule la suma área (ABC) + área (AB1C1) + área (AB2C2) + …
Ejercicio 2. Calcule las áreas de los cuadrados centrales en los dos casos siguientes:
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EL TEOR. DE PITÁGORAS Atribuido a Pitágoras de Samos (siglo VI – V A. C.) asegura que: En un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
DEMOSTRACIÓN: La demostración de Euclides es la siguiente: Sean BD = p, DC = q, a = BC = BD + DC = p + q. Los triángulos BCC1 y ACC2 son congruentes; área (BCC1) = área (ACA1C1)/2 = b2/2, área ACC2 = área (DCD1C2)/2 = aq/2. Por lo tanto b2 = aq. Análogamente c2 = ap, por lo tanto b2 + c2 = a(p + q) = a2. Ejercicio 3. Considere el cuadrado ABCD y el cuadrado inscrito EFGH, con AE = BF = CG = DH. Demuestre el teorema de Pitágoras a partir de la identidad: Área (ABCD) = área (EFGH) + área (EBF) + área (FCG) + área (GDH) + área (HEA). Ejercicio 4 Demuestre el teorema de Pitágoras a partir de la figura siguiente (Tabit ibn Qorra, 826-901)
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NOTA. Puede construirse triángulos rectángulos cuyos lados se miden en números enteros usando la fórmula: (m2 – n2)2 + 4m2n2 = (m2 + n2)2, m > n Por ejemplo, para m = 2 y n = 1, tenemos el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. Para m = 4 y n = 2, tenemos el triángulo rectángulo de lados 12, 16 y 20.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA (Recíproco del Postulado de Euclides) Si las rectas m y n no son paralelas, existe un punto X de m, al mismo lado de M que la transversal PQ y que pertenece también a n. Sea Y un punto de n, al mismo lado de PQ que N y tal que PX=QY. En virtud de la igualdad de los ángulos: XPQ = MPQ = YQP = NQP, los triángulos PYQ y QXP son congruentes, por lo tanto QPY = PQX. Ahora bien, si X pertenece a n, QPY = PQX = 180º - YQP = 180º - XPQ, esta identidad implica que los ángulos QPY y XPQ son suplementarios y por lo tanto Y pertenece a m en contradicción con la hipótesis según la cual Y pertenece a n. (Véase la primera figura del capítulo).
Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.
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