CAPÍTULO IV Figuras inversas Dado un punto fijo O y dado también un número k, el inverso, o trasformado por rayos vectores recíprocos, de un punto M es el punto M’ de la recta OM tal que: OM ⋅ OM' = k. O se el polo de inversión y k. la potencia de inversión. OM’ tendrá el mismo sentido que OM o el sentido contrario según k sea positivo o negativo. Es manifiesto que: i)
Todo punto posee un inverso, salvo el polo, cuyo inverso se considera el punto del infinito;
ii)
Si M’ es el inverso de M, recíprocamente M es el inverso de M’.
La figura inversa, F’ de una figura F consta de los inversos de los puntos de F. Teorema.- Dos figuras inversas de una misma con respecto al mismo polo son homotéticas entre sí. En efecto, sean M’ y M” los inversos del punto M de F con respecto a sendas inversiones de polo común O y potencias k’ y k”. Las identidades OM'⋅OM = k' , OM"⋅OM = k". OM' k' dan por división = . OM" k" Se ve que la potencia no influye en la forma de las figuras. Cuando la potencia de inversión k es positiva el círculo con centro en O y radio k recibe el nombre de círculo de inversión: es claro que comprende todos los puntos que coinciden con sus inversos. Dos puntos inversos son conjugados con respecto al círculo de inversión y yacen en un mismo diámetro.
Todo círculo que pasa por dos puntos inversos corta bajo ángulo recto al círculo de inversión. (Pues si dos círculos se cortan ortogonalmente, el cuadrado del radio de cada unos es igual a la potencia del centro respecto el otro, es decir a k). Recíprocamente, si M y M’ son tales que toda circunferencia que pasa por uno de esos puntos es ortogonal a un círculo dado, los puntos inversos el uno del otro con respecto a este último. Si dos puntos son simétricos con respecto a una recta, porque esta es un diámetro. Por consiguiente, la simetría con respecto a una recta es un caso límite de la inversión, ya que el círculo de inversión se reduce a la recta y el polo es el punto del infinito.
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Dos puntos cualesquiera A, B y sus inversos A’, B’yacen en una misma circunferencia. Por consiguiente, el ángulo que forma AB con el vector OAA’ es igual pero de sentido contrario al ángulo entre A’B’ y el punto vector OBB’.Se tiene pues la dirección de A’B’ si se conoce la de AB y los vectores. A’B’ se dice antiparalela a la dirección de AB con respecto al ángulo ∠AOB . Es paralela a la recta simétrica de AB con respecto a la bisectriz del ángulo ∠AOB , puesto que en la simetría OA se convierte en OB y el ángulo ∠BAO se transforma en uno de igual y de sentido contrario. Problema.- Conocida la distancia entre los puntos A y B y conocidos sus radios vectores, se pide la distancia entre los respectivos inversos A’ y B’. A' B' BA Solución.- De la semejanza entre ∆ OAB y ∆ OA’B’ se deduce = . Remplazando OA' OB k BA ⋅ k OA’ por tenemos A' B' = . OA OA ⋅ OB Nota.- El razonamiento no puede aplicarse cuando A, B y O están sobre una recta, pero el resultado es válido en magnitud y signo (Una vez definido un sentido positivo sobre el vector común). k k En efecto, basta con notar: que OB'−OA' = − = A' B' , y OA − OB = BA . OB OA
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Teorema.-Las tangentes en los puntos correspondientes de dos líneas inversas forman ángulos iguales, pero en sentido contrario con el vector común de los puntos de contacto.
Sea A un punto de una curva C y sea A’ el punto correspondiente de la curva inversa C’. Sea M un punto de C próximo de A, con inverso M’. Sean AB, A’B’ las tangentes a la circunferencia de los A, A’, M, M’. Si M se acerca al punto A y por consiguiente si M’ se aproxima al A’ los ángulos ∠AA' M , ∠A' AM' tienden a anularse, así como sus iguales ∠MAB , ∠M' A' B'. Es decir, si AM tiende a una posición límite AT, AB tenderá hacia esta misma posición límite y la recta A’B’ tenderá también a una posición A’T’, la cual conformará con el vector OAA’ el mismo ángulo que AT, pero en sentido contrario y como ∠M' A' B' tiende a cero, A’M’ tiende a A’T’.
Corolario.- Las tangentes en puntos correspondientes a dos curvas inversas son simétricas con respecto a la perpendicular en ele punto medio de la recta que une los puntos de contacto. Nota.- La conclusión anterior es evidentemente valedera si la inversión se torna en una simetría con respecto a una recta. Teorema.- Dos curvas se cortan bajo el mismo ángulo que sus inversas (o que sus simétricas), salvo el sentido de la rotación.
En efecto, el ángulo de las tangentes en un punto común A, y el ángulo de las curvas inversas en el punto correspondiente A’ son simétricos respecto a la perpendicular en el medio de AA’. Corolario.- Si dos curvas son tangentes, también lo son sus inversas.
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Inversión de la recta. Teorema.- La figura inversa de una recta es una circunferencia que pasa por el polo de inversión.
Sea xy la recta dada cuya inversa queremos. Sea O el polo y sea A un punto cualquiera de inverso A’. Si ahora M es un punto de xy con inverso M’, el ángulo de M’A’ con OM’ es igual y de sentido contrario al ángulo entre AM y OA. De modo que es constante si M varía sobre la recta y el lugar de M’ es una circunferencia por O y A’.
En particular, si A = H, la proyección de O sobre xy, de inverso H’, el ángulo OM’H’ es recto y vemos que la circunferencia inversa tiene su tangente en O paralela a la recta dada y k su diámetro es siendo k la potencia de inversión y δ la distancia OH del polo a la recta. δ Nota.-La figura inversa de una circunferencia que pasa por el polo es una recta, a saber, la perpendicular levantada al diámetro del polo en el inverso del punto diametralmente opuesto al polo. Inversa de una circunferencia Teorema.- La inversa de una circunferencia (arbitraria) que no pasa por el polo es una circunferencia.
1º. Si la potencia de inversión k es igual a la potencia p del polo con respecto a la circunferencia dada, ésta es su propia inversa, pues cualquier secante por el polo corta la circunferencia en dos puntos mutuamente inversos.
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2º. Si la potencia k es arbitraria, la figura inversa es una circunferencia homotética a la k primera con el polo por centro de similitud y por razón de similitud. p Recíprocamente, dos circunferencias dadas pueden ser miradas como inversas una de la otra y de dos maneras diferentes, puesto que son homotéticas de dos maneras, El polo de inversión es entonces un centro de similitud y la potencia de inversión es igual a la potencia de ese polo con respecto a la primera circunferencia multiplicada por la razón de similitud. Ambas inversiones son las únicas que transforman una en la otra las dos circunferencias dadas. Pues si son inversas con respecto a cierto polo, al ser una su propia inversa con respecto a ese polo, son ambas homotéticas respecto ese punto. De acuerdo al anterior razonamiento si una secante que parte del centro de similitud S corta la circunferencia C en M, N y la C’ en M’, N’, siendo estos últimos homólogos de los primeros en ambas circunferencias consideradas como figuras homotéticas, los puntos inversos serán M, N’ por otra parte M’, N por otra. Esos puntos se apellidan “Antihomólogos”. Los únicos puntos a la vez homólogos y antihomólogos son los puntos de contacto de las tangentes comunes que parten de S.
Los puntos comunes a ambas circunferencias si existen sus propios antihomólogos. La cuerda antihómologa de una cuerda de la primera circunferencia es la cuerda de la segunda que liga los puntos respectivamente antihomólogos de los dos primeros. Dos pares de puntos antihomólogos yacen sobre una misma circunferencia y por consiguiente dos cuerdas antihomólogas se cortan sobre el eje radical. Aún más, dos cuerdas antihomólogas corten las polares del centro de similitud, con respecto a sus respectivas circunferencias, en dos puntos homólogos. Puesto que la cuerda N’P’, antihómologa de MQ es homóloga con NP, la cual corta MQ en un punto I situado sobre la polar de S con respecto al círculo C y cuyo homólogo I’ es la intersección de N’P’ con la polar de S respecto a C’.
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Esta doble propiedad permite trazar la antihómologa de una cuerda dada sin necesidad de hacer ni intervenir las extremidades de esas cuerdas. Claramente se aplica a las tangentes en los puntos antihomólogos, que son un caso límite de las cuerdas anteriores. Nota.- Si ambos círculos se confunden, las cuerdas MQ y NP que unen respectivamente dos puntos y sus inversos sobre la polar del polo de inversión S. Desde ese punto de vista la polar juega el papel de eje radical de ambos círculos confundidos, desde el momento en que se los considera como inversos el uno del otro respecto de S. Si ambas circunferencias son iguales, con el centro de similitud externo desplazado al infinito, la homotecia correspondiente se reduce a una traslación y la inversión respectiva a una simetría; por lo demás, las propiedades de los puntos antihomólogos son las mismas que en el caso general.
Una recta y una circunferencia pueden considerarse también como dos figuras inversas de dos maneras diferentes. Los polos de inversión serán los extremos del diámetro perpendicular a la recta. La teoría de los puntos antihomólogos nos lleva pues a considerar esos puntos como centros de similitud de la circunferencia y de la recta. De las dos cuerdas antihomólogas una es la recta dada y, por lo tanto, puede todavía decirse que ambas cuerdas se cortan sobre el eje radical. En fin, dos rectas son simétricas una de la otra de dos maneras distintas, al ser las bisectrices de los ángulos formados por las rectas los ejes de simetría, Las cuerdas antihomólogas son las propias rectas y concurren por lo tanto a un punto fijo. En el caso de dos circunferencias inversas una de la otra toda circunferencia Σ que pasa por dos puntos antihomólogos es su propia inversa puesto que la potencia del polo con respecto a ese círculo es igual a la potencia de inversión. Ese círculo corta a los dos círculos dados bajo un mismo ángulo; si es tangente a uno, lo es también al otro. Recíprocamente, toda circunferencia que corta a otras bajo el mismo ángulo las corta en puntos antihomólogos de dos en dos. En efecto, sean A, B; A’, B’ los cuatro puntos de intersección, elegidos de tal suerte que los ángulos iguales (por hipótesis) que forman los círculos C, Σ en A, por un lado, C’ y Σ en A’ por otro, sean de sentido contrario; y lo mismo para B, B’. Si S es el punto de intersección de AA’, BB’ y k la potencia de es punto con respecto al círculo Σ; y trueca A en A’, B en B’ convierte pues el círculo C en uno que pasa por A’ y B’ y toca A’ al círculo C’ (por hipótesis), es decir, coincide con C’. Esa conclusión subsiste si el círculo es tangente a C y a C’. Para verlo basta repetir el anterior razonamiento tomando S como la intersección de AA’ y BB’, Siendo A y A’ los puntos de contacto, B y B’ los segundos puntos de encuentro de C, C’ respectivamente con un círculo cualquiera por A y A’. En este último caso la propiedad anterior resulta del teorema; pues los puntos de contacto son los centros de similitud, una para Σ y C, el otro para Σ y C’, están pues en la línea recta con el centro de similitud S es externo si los contactos son de la misma especie, internos en caso contrario.
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Las conclusiones anteriores siguen siendo válidas si uno de los círculos C, C’ o son reemplazados por rectas. Si corta C y C’ bajo ángulo recto podría asociar arbitrariamente.
Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.
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