Vectores Elías Irazoqui B. 4. Planos. Damos la ecuación de un plano en el espacio de 3-diemensiones, para ello la figura adjunta nos servirá de ayuda.
Sea P un punto del espacio de tres dimensiones y considere un vector fijo ON. Se define el plano que pasa por P perpendicular a ON como el conjunto de todos los puntos tales que el vector fijo PX es perpendicular a ON. Esto se traduce en la expresión: (X T Ñ· N œ !
Í \·N œ T ·N
Obs. Además de afirmar que N es perpendicular al plano, se dice que N es normal al plano. Una vez considerada una normal N que define a un plano, tN también sirve como normal para precisar el mismo plano. Esto que afirmamos los podemos escribir como: (X T Ñ· N œ !
Í
(X T Ñ · (t N)
( t Á 0)
Ejemplos. 1. Sean P =(2,1) y N=(-1,1), entonces el plano que definen estos puntos corresponde a una recta, a saber:
X · N = P ·N
Í (Bß CÑ · ( "ß "Ñ œ Ð#ß "Ñ · Ð "ß "Ñ BC œ "
#Þ Sean ahora P =(2,1, 1) y N =(-1,1,2), entonces el plano que pasa por P y es perpendicular a N es: X · N = P ·N Í (Bß Cß DÑ· Ð "ß "ß #Ñ œ Ð#ß "ß "Ñ · Ð "ß "ß #Ñ Í B C #D œ " Obs. En las ecuaciones anteriores notar que los coeficientes que acompañan a las variables B ß Cß D corresponden a la normal del plano, " C " en el primer ejemplo y -1, 1 C 2 para el segundo. 3. El plano determinado por la ecuación: #B $C 'D œ % es perpendicular al vector Ð#ß $ß &ÑÞ A modo de ejemplo consideremos dos puntos cualesquiera de este plano, como podrían ser P" œ Ð$ß !ß "Ñ C P# œ Ð!ß #ß $Ñß entonces el vector P" P# es perpendicular al vector normal N œ Ð#ß $ß &ÑÞ ¿Cómo podrías verificarlo? Algunas definiciones. 1. Se dice que dos vectores A y B son paralelos si existe un número c Á 0 tal que cA œ B. ( o A œ cB) 2. Dos rectas son paralelas sí, dados pos puntos distintos P" y Q" de la primera recta y P# y Q# sobre la segunda recta, los vectores Q" P" y Q# P# son parelelos. 3. Ahora dos planos son paralelos si sus vectores normales lo son y, estos planos serán perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares. 4. El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre sus vectores normales.
Más ejemplos. 1. Determinar el coseno del ángulo ) entre los planos: BCD œ" BD œ! El coseno se determina a partir de sus normales, entonces se tiene: -9= ) œ
Ð"ß"ß"Ñ · Ð "ß!ß"Ñ mÐ"ß"ß"Ñm m Ð "ß!ß"Ñm
œ ?
2. Sean Q=(1,1,1), P=(1,0,1) y N= (0,1,1). Determine el punto de intersección de la recta que pasa P en la dirección de N, y el plano que pasa por Q y es perpendicular a N. sol. La recta en cuestión es: X(t) = P + t N y la ecuación del plano: (X-Q)·N=0. En un gráfico la situación que debemos abordar es como la siguiente.
La solución se alcanza detreminando el instante t en que se satisface la ecuación de la recta y del plano simultáneamente. Para determinar ese instaante procedemos como sigue: (X-Q)·N=0 (P +tN Q)·N=0 P·N t(N·N) Q·N œ ! > œ ÐU T Ñ·N / N·N œ ? Luego, basta reemplazar el valor de t hallado en la ecuación de la recta, con lo que el punto de intersección queda completamente detreminado. 3. Detremine la ecuación del plano que pasa por los puntos: (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1). Graficamente la situación es:
Sol. Necesitamos conocer la normal a este plano que pasa por estos tres puntos, para ello podemos proceder del modo siguiente, si N es su normal entonces: N debe ser perpendicular a los vectores E" E# y E" E$ , esto es, perpendicular a E# E" y a E$ E" ß lo cual se expresa como N· (E# E" ) œ 0 N· ( E$ E" ) œ 0 Si N œ Ð+ß ,ß -Ñß las ecuaciones anteriores se reducen a: (a,b,c)· (-1,1,0) œ ! Ða,b,c)· (-1,0,1) œ !
Í +, œ! Í +- œ!
entonces , œ + y c œ +ß por tanto, + œ , œ -Þ Eligiendo a N =(1,1,1) y considerando a E" como uno de los puntos de plano, tenemos que la ecuación buscada es: X·N œ E" ·N
Í (x,y,z)·(1,1,1) œ Ð"ß !ß !Ñ·(1,1,1) Í B C D œ "Þ
Y la ecuación está determinada.
Distancia entre un punto y un plano. Consideremos un plano definido por la ecuación que ya conocemos, a saber, (\ T Ñ·R œ !ß y sea Q un punto exterior al plano, deseamos estimar la distancia entre Q y dicho plano, esto es, estimar el segmento de recta que va de Q al plano, para ello se precisa conocer el punto de intersección de la recta que pasa por Q y tiene como dirección la normal del plano en cuestión. Si denotamos por Q1 a esta interesección entonces la respuesta se logra detreminando la distancia entre Q y Q1. En un gráfico la situación descrita es como sigue:
La distancia de Q al plano es Í al valor de d( Q, Q1) Además, la d(Q, Q1) es equivalente a la longitud de la proyección de de QP sobre el vector Q (Q1). Se puede expresar la longitud de esta proyección en térmonos del producto escalar ya definido en los siguientes términos: R a) un vector unitario en la misma dirección que la normal N es: mRm b) así, la longitud de la proyección de QP sobre Q(Q1) es igual a la norma de la R proyección de Q P sobre el vector unitario mRm , por lo tanto, la distancia es:
l(Q P) ·
R mRm l
œ
lÐUT Ñ·Rl mRm
œ d(Q, Plano)
La situación que acabamos de describir se expresa graficamente como sigue:
Ejemplo. Suponga que Q œ Ð"ß #ß $Ñß P=(1,0,1) y N=(0,0,1). A partir de estos datos estime la distancia de Q al plano definido por: N como normal y P un punto de este palno. Sol. m N m œ "ß U T œ Ð"ß #ß #Ñß ÐU T Ñ·R œ Ð"ß #ß #Ñ·(0,0,1) œ # entonces: d(Q, plano) œ #Î" œ #Þ
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EJERCICIOS. 1. Hacer ver que las rectas: y= x +1 e y-2x= 5 no son perpendiculares. 2. Sean y œ 7B , / C œ 8B - dos rectas del plano, suponga que ellas son perpendiculares, haga ver que los vectores que estas contenidso en ellas también lo son. 3. Determine la ecuación de la recta en el 2-espacio perpendicular a N y que pasa por P si: a) N œ Ð "ß "Ñ y P œ Ð$ß &Ñ. b) N œ Ð'ß &Ñ y P œ Ð#ß "Ñ. 4. Haga ver que las rectas: grafique dichas rectas.
yœB# e
y œ B # son perpendiculares,
5. Determine que pares de rectas son perpendiculares. a) B C œ # à B C œ * b) &B $C œ 'à $B &C œ # c) B C œ &à B C œ "! d) 2B C œ $à B #C œ ' 'Þ De la ecuación del plano perependicular a N y que pasa por le punto P si: a) N œ Ð"ß #ß $Ñ y P=($ß #ß "Ñ b) N œ Ð"ß !ß "Ñ y P = ("ß "ß "Ñ -Ñ N œ (0,0,1) y P œ Ð!ß !ß !Ñ (Þ Escriba la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados: a) E" ß E#ß E$ b) E" E#ß E# E$ ß ("ß !ß "Ñ c) ( "ß #ß "Ñß Ð$ß !ß #Ñ Ð&ß "ß #Ñ )Þ Determine un vector paralelo a la recta de intersección de los planos: $B #C D œ $ß #B C &D œ # *Þ De una representación paramétrica de la recta de intersección de lo planos del problema anterior. 10.