CAPÍTULO III Los Triángulos. Volvemos a dos casos particulares de las últimas construcciones. CONSTRUCCIÓN 1 Se pide alzar una perpendicular a una recta desde un punto de la misma.
SOLUCIÓN: Sean x la recta y O el punto. Si Oy es perpendicular a x, los ángulos xOy, yOx son iguales. Sí A y A1 son dos puntos simétricos con respecto a O (AO = OA1). La perpendicular pedida es la bisectriz del ángulo de 180º, AOA1 (véase figura). CONSTRUCCIÓN 2 Se pide bajar una perpendicular a una recta desde un punto exterior.
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SOLUCIÓN: Sean de nuevo x la recta y O el punto. Si r es lo bastante grande, la circunferencia (O, r) corta x en dos lugares, A y A1. Si M es el punto medio de AA1, OM es la perpendicular deseada (véase la figura). Tres puntos, A, B, C, determinan otros tantos segmentos AB, BC, CA, que son lados del triángulo ABC. Los ángulos entre BA y AC, entre AB y BC, entre CA y CB se llaman respectivamente A, B, C. Suele designarse por c al segmento AB, por a a BC, por b a CA. También por a se entiende la longitud de BC, análogamente por b y c. Supondremos que los puntos A, B, C no son colineales. Entre los distintos elementos rigen las siguientes relaciones, que consideramos como axiomas. AXIOMA 1 En todo triángulo la suma de dos lados excede al tercer lado Si a, b, c son (las magnitudes de ) los lados: a + b > c, b + c > a, c + a > b. AXIOMA 2 En todo triángulo la suma de los ángulos es constante. Si A, B, C son (las magnitudes de) los ángulos, A + B + C = constante. El primer axioma, la desigualdad triangular, es equivalente a la siguiente propiedad de la línea recta: La recta es la trayectoria más corta entre dos puntos. (Si se quiere pensar en términos físicos, un rayo luminoso va de un punto a otro rectamente, al menos en el vacío). La constante del segundo axioma vale 180º (sexagesimales).
CRITERIO DE IGUALDAD. Consideramos que los triángulos ABC y A1B1C1 son iguales sí y sólo sí sus lados y sus ángulos son respectivamente iguales. En símbolos: A = A1, B = B1, C = C1; a = a1, b = b1, c = c1 En vez de decir que dos triángulos son iguales, se dice también que son congruentes (ABC ≡ A1 B1 C1), pensando quizá que podría construirse sendos modelos materiales capaces de superponerse exactamente.
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CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS. CONSTRUCCIÓN 3 Se pide construir un triángulo si se dan sus tres lados
SOLUCIÓN Sean a, b, c los lados, conforme a la desigualdad triangular. Tomemos dos puntos A, B de suerte que AB=c. Los círculos (A , b) y (B , a) se cortan en dos puntos, C y C1. Los triángulos ABC y ABC1 tienen lados a, b, c. CONSTRUCCIÓN 4 Se pide construir un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo que comprenden. SOLUCIÓN Sea xAy el ángulo dado. Si b = AC, c = AB, ABC es el triángulo pedido. CONSTRUCCIÓN 5 Se pide construir un triángulo si se conocen un lado y los dos ángulos adyacentes.
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SOLUCIÓN Sean A y B los ángulos y sea c el lado. Constrúyase primero el segmento AB = c. En A constrúyase un ángulo BAC1 y en B el ángulo ABC2. En virtud del axioma 2, si C es el punto de intersección de las rectas AC1 y BC2 se tiene: C = ACB = 180º - C1 AB – C2 BA = 180º - CAB – CBA = 180º - A – B Damos el resultado de las construcciones anteriores en forma de axiomas. AXIOMA 3. Si a = a1 b = b1, c = c1, entonces A = A1, B = B1, C = C1 (si los lados son iguales, los ángulos también los son y ambos triángulos son congruentes). AXIOMA 4. Si AB = A1B1, AC = A1C1, A = A1, entonces BC = B1C1, B = B1, C = C1 (la igualdad entre dos lados y los ángulos adyacentes respectivos implica la congruencia de los triángulos).
NOTA: Con el objeto de aligerar la exposición hemos preferido postular los criterios de congruencia de triángulos, aunque se pueden desprender de axiomas más generales. Consideramos estos axiomas para demostrar propiedades métricas de las figuras, es decir, aquellas que dependen sólo de las magnitudes de ángulos y segmentos. OBSERVACIÓN (1) Sea un segmento BC y su punto medio M, por la CONSTRUCCIÓN 1, podemos alzar en M una perpendicular AM. Los triángulos AMB y AMC comparten el lado AM, sus ángulos en M son rectos y BM = MC. Por lo tanto en virtud del axioma 4 ambos triángulos son congruentes y en consecuencia AB = AC. Como el razonamiento anterior es válido cualquiera sea el punto A, concluimos que todo punto de la perpendicular equidista de B y de C. Esta perpendicular es la simetral del segmento BC. El triángulo ABC tiene iguales los lados AB y AC y también los ángulos B y C. en estas condiciones el triángulo ABC se dice isósceles.
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Si O es un punto exterior a una recta x ya sabemos como bajar una perpendicular desde O a la recta. Si M es el punto en que se cortan x y la perpendicular, el largo de OM es la distancia entre el punto O y la recta x. M es la proyección (ortogonal) de O sobre x. Los axiomas de congruencia, permiten comprobar la siguiente propiedad. EJERCICIO 1 La bisectriz del ángulo xOy contiene la totalidad de los puntos del plano situados a la misma distancia de las semi-rectas Ox y Oy (Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de Ox y Oy). EJERCICIO 2 Demuéstrese que dados tres puntos no colineales existe un punto equidistante de los tres. EJERCICIO 3 Ídem, dadas tres rectas no paralelas.
NOTA: Los puntos de los ejercicios anteriores se llaman respectivamente el centro del círculo circunscrito y el centro del círculo inscrito a los triángulos respectivos. EJERCICIO 4 Constrúyase un triángulo equilátero (la CONSTRUCCIÓN 3 para a = b = c). Constrúyase un hexágono regular. ¿Cómo puede doblarse un trazo usando únicamente un compás? EJERCICIO 5 Hállese el mayor lado de un triángulo si se sabe que los otros lados valen 2 cm. y 9 cm. y que su largo mide un número entero de unidades (del AXIOMA 1 se desprende que: | a – c | < b, | b – a | < c, | c – b | < a). EJERCICIO 6 Dibuje dos puntos y dos rectas que se corten. Halle un punto equidistante de los puntos y las rectas. (Sean A, B los puntos y a, b las rectas. Considere la intersección de la simetral de A y B y de la bisectriz de a y b).
Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.
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