Síntesis de Unidad 3, apartado 5. Por la lic. Adriana Olmos. Junio del 2014 5. Valor absoluto. Distancia en la recta real. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. En esta sección trabajamos con el concepto matemático de valor absoluto: es la “medida” de un número real, es su “distancia al punto 0” en la recta real. Hemos mencionado en el apartado 1 que todo número real se encuentra al final de un segmento con extremo inicial en el 0. La medida lineal, que es la medida de ese segmento sobre una línea recta, da el “tamaño,” “medida”, valor absoluto del número real. Se lo describe matemáticamente usando la doble barra vertical ... que encierra al número real. 0 Generalizando y formalizando es: si a ≥ 0 a a = Distancia − a si a < 0 al punto 0 que se lee: la medida o valor absoluto de un número positivo o nulo es el mismo número, y es su opuesto si es negativo. Entonces, atención ya que la llave se usa para indicar una opción u otra, no ambas ¿si? Que el signo igual acompañe al signo > responde a una elección arbitraria arbitrario, también podría haber acompañado al <, la cuestión es que acompañe a uno o al otro.
En este contexto a , que es el número real al cual se le toma, o se le aplica el valor absoluto se lo llama argumento. En esta notación matemática el símbolo de llave { asocia opciones: una opción por renglón. Y sólo uno de esos renglones corresponde correctamente con el = dependiendo del signo de a ; plantee una elección: una u otra según el signo del real encerrado en la barra. Se trata de una notación simplificada, y muy usada en reemplazo de: a = a si a es positivo o nulo, o bien,
a = −a si a es negativo.
Así tal se lo define, como medida lineal de un segmento, el valor absoluto de un número NO puede ser ¡negativo! 7 7 = y −7 = 7 porque 3 unidades y media hay entre el 0 y 7/2 y 7 unidades hay 2 2
entre el 0 y el extremo –7. Otros:
2 +1 = 2 +1,
Sabemos que un real y su opuesto coinciden en la distancia al 0. Así 2 es el tamaño o valor absoluto 1 tanto del natural 2 como de su opuesto –2; es el 4
2 − 1 = 2 − 1,
-2
2 −3 = 3− 2
0
2
tamaño o valor absoluto del número − matemática −2 = 2 = 2 , −
1 1 y de su opuesto . Esto es, en formalización 4 4
1 1 1 = = . 4 4 4
Recuerde: a describe un real, que puede ser positivo o negativo, y −a su opuesto. No identifique el opuesto de un real con su negativo. Los números reales negativos son los que se encuentran a la izquierda del 0 en la recta real; el opuesto de un real es el real cambiado de signo. Si el valor absoluto de un número desconocido es 4 ¿cuál es el número? Sea x el dato desconocido. Lo verbalizado se plantea matemáticamente: x = 4 . Por lo visto
x puede ser positivo, entonces x = x = 4 . Y también x puede ser negativo x = − x = 4 . Concluimos que el dato desconocido es 4 o su opuesto −4 . Una imagen visual ayuda a la comprensión ¿la planteamos?
4 unidades al 0 a derecha o a izquierda
Como x = x − 0 , la imagen visual anterior permite interpretar la igualdad como el par de reales (uno positivo y el otro negativo) que difieren del “punto 0” en 4 unidades. Para obtenerlos (a esos datos desconocidos) sumamos o restamos esa distancia (en este caso 4) a partir del 0. Aquí, el valor absoluto de x , x = x − 0 se lo plantea como distancia al origen. Generalizamos esta idea de distancia a un punto arbitrario distinto de 0 mediante un ejemplo: x − 2 = 5 se puede pensar como ¿cuáles x están del 2 a una distancia de 5 unidades o difieren del 2 en 5 unidades? Una respuesta visual es
2-5= -3
5 unidades
5 unidades 2+5=7
Observe que: “diferir del punto 2 en”, implica sumar la distancia a derecha y restarla a izquierda. Esta imagen visual nos dice que el real -3 y el real 5 cumplen estando a esa distancia.
si x − 2 ≥ 0 x = 7 si x ≥ 2 x−2=5 Una respuesta algebraica es 5 = x − 2 = ⇒ − ( x − 2 ) = 5 si x − 2 < 0 x = −3 si x < 2 Esta respuesta algebraica se interpreta así: • Si el argumento es positivo o nulo, el valor absoluto aplicado al argumento coincide con éste. Y es éste el que coincide con 5. • Si el argumento es negativo, el valor absoluto aplicado al argumento coincide con el opuesto del argumento. Y es este opuesto el que coincide con 5. Concluye la simbología:
• •
Si el argumento es positivo o nulo, esto es, dentro del intervalo de los x que superan 2, el x que hace el igual es el 7. Si el argumento es positivo o nulo, estoes, dentro del intervalo de los x que no superan a 2, el x que hace el igual es el -3.
Lo verificamos por reemplazo directo en la ecuación de partida: −3 − 2 = −5 = 5 ,
7 − 2 = 5 = 5 . Concluimos que tanto -3 como 7 se encuentran del número 2 a una distancia de 5 unidades. En el ejemplo apareció un dato desconocido, el signo = y las barras de valor absoluto. Se la conoce como ecuación con valor absoluto. Dos técnicas nos permiten resolverla: Una relacionada al concepto formal de valor absoluto. Una segunda surge de pensarla como distancia a un punto. Y el reemplazo directo nos permite verificar su validez. La solución a una ecuación es independiente del método empleado. Sólo depende de la relación planteada entre los datos conocidos y el dato desconocido. Toda ecuación permite que el o los valores obtenidos para el dato desconocido sea verificado ¡no lo olvide! Haga uso de ese beneficio. Si una ecuación con valor absoluto nos permite determinar el par de reales que están a una distancia dada de un punto en la recta real ¿qué nos permitirá determinar todos los infinitos reales que están a una distancia menor o mayor, menor igual o mayor igual? Una inecuación con valor absoluto. ¿Qué reales distan 3 o menos unidades del punto 2? Esta verbalización se expresa en lenguaje formal matemático así: x − 2 > 3 . Si plantea la definición de valor absoluto ¿cuántas inecuaciones deberá resolver? Si lo piensa como distancia a un punto ¿qué manipulación algebraica le permite determinar el punto y la distancia? Respuesta. Los reales del intervalo abierto ( −∞, −1) ∪ ( 5, ∞ ) satisfacen la inecuación
x − 2 > 3. Fundamentación. Visto el valor absoluto como distancia a un punto se tiene: buscamos los reales cuya distancia al punto 2 supere las 3 unidades. Una gráfica lo muestra claramente.
2 3 unidades a derecha se suman 3 unidades a izquierda se restan 2 + 3 = 5 y 2 − 3 = −1 son los extremos reales de los intervalos solución. Obviamente, la solución es una unión disjunta de dos intervalos infinitos. Por definición de valor absoluto.
Si el argumento es positivo, éste debe superar las 3 unidades pero también, si el argumento es negativo, su opuesto es el que debe superar las 3 unidades. Esto es, deben cumplirse simultáneamente x − 2 > 0 y x − 2 > 3 o también x − 2 < 0 y − ( x − 2 ) > 3 . Este planteo múltiplo debe hacerse porque el argumento involucra un valor desconocido x lo cual hace que desconozcamos su signo, esto es, x − 2 dependiendo del valor de x puede ser positivo o negativo. Operemos en detalle y expresemos en lenguaje formal: la barra central indica que puede cumplirse uno u otro, y el símbolo ∧ significa “y”, esto es, simultaneidad:
2
5
-1
x−2 >0 ∧ ∧ x>2 x>5
x−2 >3 x−2<0 ∧ ∧ x > 3+ 2 x < 2 ∧ x<2
2
− ( x − 2) > 3 x − 2 < −3 x < −3 + 2
x < −1 x < −1 ∪ x > 5
El primer par de desigualdades (a la izquierda, que deben cumplirse simultáneamente) tiene a x > 5 por solución, y el segundo par (a la derecha, que deben cumplirse simultáneamente) a x < −1 . La unión de ambos intervalos es la solución a la inecuación de partida. Concluyendo, trata de la unión disjunta de dos intervalos infinitos: ( −∞, −1) ∪ ( 5, ∞ ) , o en notación de conjunto:
{ x ∈ ℝ / x < −1} ∪ { x ∈ ℝ / x > 5} . Testee la validez. Para ello considere o piense a los números reales como unión de intervalos así (teniendo en cuenta la solución y su complemento en los reales: ℝ = ( −∞, −1) ∪ [ −1,5] ∪ ( 5, ∞ ) , y luego haga el reemplazo
-1
5
directo con los siguientes valores para x : -2, -1, 0, 5, 6 que no son cualesquiera sino que son extremos o interiores bien determinados. Ratifique usando el paquete wolfram alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x-2|%3E3 Al resolver una inecuación con valor absoluto, el detalle está en que por cada barra de valor absoluto debe plantear cuatro inecuaciones sin valor absoluto. ¡Recuerde!
Para resolver la inecuación
7 > 3 ¿qué cuidados debemos tener? ¿Cuál es el 2x − 1
7 − 3 > 0 ó 7 > 3 ⋅ 2 x − 1 ? Esta elección hace la diferencia entre 2x − 1 resolverlo correctamente o no.
planteo correcto,
¡Luz roja importante! Si elige la segunda opción pierde en el camino la restricción dada por el denominador: ¡no puede anularse, si no el cociente no está definido! La primera es la correcta. Sigamos operando.
7 − 3 2x − 1 2x − 1
> 0 . Un cociente positivo con
1 , nos lleva a plantear y resolver: la ecuación 2 numerador positivo, esto es, 7 − 3 2 x − 1 > 0 y 2 x − 1 ≠ 0
denominador siempre positivo si x ≠
A partir de aquí los expertos pueden tomar diferentes caminos: todos conducen a Roma (si están rigurosamente recorridos). Nosotros elegimos aquel que nos lleva a pensar el valor absoluto como la distancia a un punto. Entonces:
1 7 1 ⇒ > x− . 2 6 2 La última expresión nos muestra el punto. Se trata de los 1 7 1 7 − + 7 2 6 2 6 reales que están a una distancia menor a de unidad del 6 1 punto , excluido este último porque el denominador en él se anula (recuerda la 2 1 2 1 1 5 restricción planteada anteriormente x ≠ ?). − , ∪ , es la solución. 2 3 2 2 3 Por otro loado trabajando con el denominador 2 x − 1 ≠ 0 , tenemos que su solución son todos los reales excluido el ½. 2 1 1 5 La intersección de ambos es finalmente − , ∪ , . 3 2 2 3 7 Concluimos: la solución de la inecuación > 3 es en notación de : 2x − 1 7 − 3 2x − 1 > 0 ⇒ 7 > 3 2x − 1 ⇒ 7 > 6 x −
2 1 1 5 Intervalo, − , ∪ , 3 2 2 3 2 Conjunto, x ∈ ℝ / − < x < 3
unión disjunta de intervalos abiertos. 1 1 5 ∪ x ∈ ℝ / < x < 2 2 3
Ratifique usando el paquete wolfram alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=7%2F|2x-1|%3E3
En los ejemplos desarrollados hemos usado la siguiente propiedad del valor absoluto
∀a, b ∈ ℝ ⇒ a ⋅ b = a b que se lee: para todo a b reales entonces valor absoluto de a por b es igual a valor absoluto de a por valor absoluto de b. Se interpreta: para cualquier par de reales el valor absoluto de su producto coincide con el producto de sus valores absolutos.