Síntesis de Unidad 3, apartado 6. Por la lic. Adriana Olmos. Junio del 2014 En esta sección definiremos el plano. En él los puntos están bien posicionados y podemos determinar la distancia entre dos de ellos. Al dibujar la recta real asociamos unívocamente un punto de la recta con un número real. Ese valor real que le asignamos al punto se lo conoce como coordenada del punto y en este contexto a la recta como recta de coordenadas. Esa coordenada permite ubicar al punto a cierta distancia del 0. Así como en la recta real fue necesario introducir el origen para luego ubicar los otros reales, en el plano es necesario introducir un punto que actúe como referencia, como “origen”. Si en el plano dibujamos dos rectas de coordenadas en un cierto orden que se intersecan en el cero de ambas formando ángulo recto podemos asignarle a cualquier punto del plano un par de coordenadas, uno sobre la + primera recta y otro sobre la segunda recta. Es usual tomar la recta horizontal como la primera y la recta vertical como la segunda, pero no es obligatorio hacerlo así. Nosotros lo tomaremos así. Además ubicaremos la recta horizontal en posición este-oeste (que corresponde a los reales positivos-negativos) y + la vertical en posición norte-sur (que corresponde a los reales positivos-negativos). La unidad de medida usada en cada recta real no debe necesariamente ser la misma. Este “sistema” formado por las dos rectas de coordenadas y en la forma descripta arriba se lo conoce por sistema de ejes rectangulares o sistema de ejes ortogonales. Si la unidad de medida es la misma en ambos ejes se lo llama sistema de ejes coordenados cartesiano. El término cartesiano fue dado en honor a René Descartes, un matemático que lo introdujo. Así ubicar un punto en el plano es dar sus coordenadas en el orden dado por las rectas y por cada par de coordenadas existe un único punto del plano asociado. P tiene a ( a, b ) por coordenadas porque está a a unidades sobre el eje horizontal y a b unidades sobre el vertical. Recíprocamente al par de coordenadas ( a, b ) le corresponde el punto P. Q tiene a ( 7, −2 ) por coordenadas porque está a 7 unidades sobre la derecha del eje horizontal y a −2 unidades abajo sobre el vertical. Recíprocamente al par de coordenadas ( 7, −2 ) le corresponde el punto Q.
P
b
7 −2
a
( 7, −2 )
El símbolo ( a, b ) , que se lee paréntesis a coma b paréntesis, denota un par ordenado: no es lo mismo ( a, b ) que ( b, a ) . a es la coordenada sobre la recta horizontal (primera recta) , también llamada eje de las abcisas o eje de las x porque con x se denota un punto genérico de la misma; b es la coordenada sobre la recta vertical (segunda recta), también llamada eje de las ordenadas o eje de las y porque con y se denota un punto genérico de la misma. El punto donde los ejes se cortan se lo conoce por origen de coordenadas. Con lo conceptualizado el plano se formaliza en su definición matemática así: ℝ 2 = {( x, y ) / x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ} (se lee: erre cuadrado denota al conjunto formado por los pares ordenados de reales).