Síntesis de Unidad 3, apartado 7. Por la lic. Adriana Olmos. Junio del 2014 7. Las curvas del plano como soluciones de ecuaciones. En esta sección analizaremos la ecuación algebraica que satisfacen algunas curvas en el plano. Circunferencia La circunferencia se describe como el conjunto de puntos que equidistan de otro dado llamado centro de la circunferencia. Esa distancia constante se llama radio de la circunferencia. Como lugar geométrico del plano, la circunferencia de radio r y centro ( a, b ) se describe como el conjunto de puntos del plano que satisfacen cierta ecuación en términos de distancia, esto es, C =
{( x, y ) ∈ ℝ / r 2
2
2
= x−a + y −b
2
}.
La ecuación de forma estándar de la circunferencia de radio r y centro
( a, b ) :
r 2 = ( x − a ) + ( y − b) ; 2
2
La ecuación de de forma general 0 = x 2 + Ax + y 2 + By + C con A = −2a , B = −2b y C = b2 + a2 − r 2 . El reemplazo directo sirve para saber si un punto vive o no en una circunferencia. Para conocer una circunferencia se necesitan conocer tres valores reales: las coordenadas, a, b del centro y el radio r. Se puede construir la ecuación de una circunferencia cuando se tiene como datos conocidos: Centro y radio; Centro y otro punto; Radio y otro punto. Línea recta Las líneas rectas tiene una particularidad o característica geométrica: si P = ( x1 , y1 ) ,
Q = ( x2 , y2 ) y R = ( x3 , y3 ) son tres puntos sobre una recta las razones o cocientes y1 − y2 y − y3 y − y3 , 1 , 2 coinciden, son iguales. Al x1 − x2 x1 − x3 x2 − x3 interpretar los puntos coordenados recuerde que el primer eje es el horizontal y el segundo el vertical. A esa razón, a ese número real, lo simbolizamos por m , y se lo llama pendiente de la recta. Ahora bien: tomemos otro punto genérico de la recta y llamémoslo ( x, y ) .
P Q
R
y − y1 = m , que es una ecuación en x e x − x1 y . Concluimos que todo punto de la recta satisface, es solución de, la ecuación
Entonces, para ese punto genérico y P se tiene
y − y1 = m ⋅ ( x − x1 ) . Estamos suponiendo que m , x1 , y1 son datos conocidos, números
conocidos.. Simbolicemos con p la diferencia y1 − mx1 , esto es, p = y1 − mx1 , entonces
( 0, p )
es un punto de la recta; p es el valor de ordenada donde la recta corta al eje vertical o eje de las ordenadas: es la ordenada al origen. Como lugar geométrico, dicha recta (o línea recta de pendiente m y ordenada al origen p) se define como el conjunto de puntos del plano que satisfacen cierta ecuación: R = {( x, y ) ∈ ℝ 2 / y = mx + p} . La forma estándar para la ecuación de la recta de pendiente m y p por ordenada al origen es y = mx + p es La forma general para la ecuación de la recta de pendiente m y p ordenada al origen es Ax + By + C = 0 con A = m , B = −1 , C = p . Para conocer una recta se necesitan conocer dos valores reales: la pendiente m y la ordenada al origen p . Se puede construir la ecuación de una recta cuando se tiene como datos conocidos: Pendiente y ordenada al origen; Dos puntos de la recta; Pendiente y un punto de la recta. Las rectas paralelas se caracterizan por tener el mismo valor numérico de pendiente y las rectas perpendiculares (aquellas que se cortan formando cuatro ángulos rectos, o de 90º) porque el producto de sus pendientes es −1 , esto es, son valores recíprocos y de signo contrario uno del otro.
Parábola Caracterización, propiedades geométricas: se conoce por parábola al lugar geométrico de todos los puntos del plano equidistantes de una recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo fuera de ella, llamado foco,. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice vértice, y la recta que pasa entre el foco y el vértice, se llama eje de la parábola. foco eje Formalicemos, en lenguaje matemático, esa caracterización. Para ello, designemos con ( a, b ) las coordenadas del vértice; el foco está
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
en el eje a p unidades (distancia dirigida) del directriz
parábola
vértice (a partir del vértice). Entonces, la parábola como lugar geométrico se describe: •
{( x, y ) ∈ ℝ / ( x − a ) 2
2
Corresponde a un eje vertical. •
{( x, y ) ∈ ℝ / ( y − b ) 2
2
}
con y = b − p ecuación de la recta directriz.
}
con x = a − p ecuación de la recta directriz.
= 4 p ( y − b) = 4 p( x − a) 1
Corresponde a un eje horizontal . Distancia dirigida significa que a la distancia (como valor absoluto) le asignamos un signo que será: • Positivo si el recorrido vértice-foco está dado por una de las dos la flechas: → ↑ . • Negativo si el recorrido vértice-foco está dado por una de las dos la flechas: ← ↓ . Cuidado: ya que hablamos de ir del vértice al foco y no alrevéz ¿si? −3.0 −2.0 −1.0
Positivo p
1.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
2.0 3.0
Positivo p
1.0
2.0
3.0
4.0
4.0
Negativo p −2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Negativo p
−3.0
−2.0
−1.0
−3.0
De lo dicho queda claro que para construir la ecuación de una parábola necesitamos conocer tres números reales: las coordenadas ( a, b ) del vértice y p la distancia dirigida vértice-foco. Las ecuaciones dadas sugieren interpretar a las parábolas como la solución de ecuaciones cuadráticas, (esto es, de segundo grado) en dos datos desconocidos x e y . Ecuaciones de la parábola en su forma estándar: 2 • ( x − a ) = 4 p ( y − b ) para la parábola de eje vertical , • o bien ( y − b ) = 4 p ( x − a ) para la parábola de eje horizontal, Ecuaciones de la parábola en su forma general : • Ax 2 + Bx + Cy + D = 0 para la parábola de eje vertical con A = 1 , B = −2a , 2
C = −4 p , D = a 2 + 4 pb
1
Este repaso de temas no incluye una demostración paso de paso de cómo se llega a estas ecuaciones.
•
Ay 2 + By + Cx + D = 0 para la parábola de eje horizontal, con A = 1 , B = −2b , C = −4 p , D = b 2 + 4 pa . A partir del vértice es cada trozo de la parábola, según muestra el gráfico se llama rama de una parábola Los siguientes cuatro gráficos muestran las posiciones relativas entre el foco, el vértice y las ramas de una parábola.
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Rama derecha Rama izquierda
focos −4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
vértices
El método basado en el reemplazo directo sirve para establecer si un punto coordenado es solución de la ecuación o si vive en la parábola. Se puede construir la ecuación de una parábola cuando se tiene como datos conocidos: vértice y distancia dirigida vértice y recta directriz: vértice y foco tres puntos de la parábola. porque todas ellas contienen el valor real de los números a, b y p.
Intersección entre curvas. Para encontrar por ejemplo la intersección entre una recta y una circunferencia la idea central es pensar que esos puntos viven en forma simultánea en la recta y en la circunferencia. Esto es, esos puntos pertenecen tanto al conjunto solución de la ecuación de la recta como al conjunto solución de la ecuación de la circunferencia.