L'ora di MAT 1

Francesca Rotondo

L’ora di

Francesca Rotondo

L’ora di

Libro-quaderno per le vacanze

aritmetica • geometria

L’ora di MAT. 1

L’ora di MAT. è diviso in 8 tappe, di cui le prime 4 di Aritmetica, le restanti 4 di Geometria. Gli argomenti di Teoria sono introdotti da quesiti, che consentono il ripasso dei concetti e stimolano il ragazzo a riflettere sulla propria preparazione. Obiettivi specifici hanno le rubriche che seguono la teoria: Sviluppa le tue abilità contiene problemi che consentono di mettere alla prova le competenze matematiche, le abilità di calcolo e di utilizzo di tecniche per velocizzare la risoluzione degli esercizi; Curiosità dalla Matematica ha l’intento di illustrare il legame tra la matematica e la realtà; Problem solving sviluppa problemi di natura logico-numerica. Per il rinforzo degli apprendimenti di base, ampio spazio è stato dato alla sezione dedicata agli Esercizi. Un’ultima sezione è dedicata alle esercitazioni per l’INVALSI.

Libro-quaderno per le vacanze

Aritmetica • Geometria Prepariamoci alle prove invalsi

Scuola secondaria di primo grado

Classe Prima

Oreste Brondo

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Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, l. 633/1941).

Escluso da I.V.A. (d.p.r. 26/10/1972, n. 633, art. 2, lett. d).

in omaggio

Esperimenti di scienze 05/04/18 16:09

Presentazione Ciascun volume è diviso in 8 tappe, di cui le prime 4 di Aritmetica, le restanti 4 di Geometria.

Gli argomenti di Teoria sono introdotti da quesiti, che consentono il ripasso dei concetti ma al tempo stesso stimolano il ragazzo a riflettere sulla propria preparazione.

Obiettivi specifici hanno le rubriche che seguono la teoria:

·

Sviluppa le tue abilità contiene problemi che consentono al ragazzo di mettere alla prova sia le sue competenze matematiche sia le sue le sue abilità di calcolo, di utilizzo di tecniche per velocizzare la risoluzione degli esercizi, di illustrazione di concetti mediante semplici “dimostrazioni”;

·

Curiosità dalla Matematica o Curiosità dalla Geometria ha l’ intento di illustrare il legame tra la matematica e la realtà (ad esempio, perché alcune specie di cicale preferiscono i numeri primi oppure perché le api costruiscono celle esagonali);

·

Problem solving sviluppa problemi di natura logico-numerica, che stimolano la capacità di ragionamento e l’intuito logico-matematico.

Per il rinforzo degli apprendimenti di base, ampio spazio è stato dato alla sezione dedicata agli Esercizi, sviluppati per ciascuno degli argomenti trattati nella parte teorica del volume.

Un’ultima sezione è dedicata alle esercitazioni per l’INVALSI che consentono al ragazzo di familiarizzare con le prove nazionali.

2

Indice 1ª TAPPA

5ª TAPPA

I numeri naturali

Geometria: segmenti e angoli

TEORIA .....................................................................................................4 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ......................................................10

TEORIA ................................................................................................. 62 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ .....................................................68

Curiosità dalla Matematica ................................................11

Curiosità dalla Matematica .............................................. 69

Problem solving ........................................................................11

Problem solving ...................................................................... 69

ESERCIZI .............................................................................................. 12 INVALSI ................................................................................................. 16

ESERCIZI ............................................................................................. 70 INVALSI ................................................................................................. 74

2ª TAPPA

6ª TAPPA

Le potenze

Geometria: rette

TEORIA .................................................................................................. 18 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ......................................................24

TEORIA ..................................................................................................76 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................... 82

Curiosità dalla Matematica ...............................................25

Curiosità dalla Matematica .............................................. 83

Problem solving .......................................................................25

Problem solving ...................................................................... 83

ESERCIZI ............................................................................................. 26 INVALSI ................................................................................................ 30

ESERCIZI ............................................................................................. 84 INVALSI ................................................................................................88

3ª TAPPA

7ª TAPPA

La divisibilità

Triangoli e famiglia dei poligoni

TEORIA ..................................................................................................32 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................... 38

TEORIA .................................................................................................90 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ......................................................97

Curiosità dalla Matematica .............................................. 39

Curiosità dalla Matematica ..............................................98

Problem solving ...................................................................... 40

Problem solving ...................................................................100

ESERCIZI .............................................................................................. 41 INVALSI ................................................................................................ 44

ESERCIZI ........................................................................................... 101 INVALSI ............................................................................................. 104

4ª TAPPA

8ª TAPPA

Le frazioni

I poligoni: i quadrilateri

TEORIA ................................................................................................. 46 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................... 54

TEORIA .............................................................................................. 106 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ...................................................110

Curiosità dalla Matematica .............................................. 55

Curiosità dalla Matematica .............................................111

Problem solving ...................................................................... 55

Problem solving .................................................................... 112

ESERCIZI ............................................................................................. 56 INVALSI ................................................................................................60

ESERCIZI ........................................................................................... 113 INVALSI .............................................................................................. 116

3

1ª 1ª TAPPA TAPPA

2ª TAPPA

3ª TAPPA

4ª TAPPA

5ª TAPPA

6ª TAPPA

7ª TAPPA

8ª TAPPA

I numeri naturali I numeri naturali e il conteggio 1 Come definisci i numeri naturali e come li rappresenti?

I numeri naturali, indicati con il simbolo !, sono tutti e soli i numeri {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} e sono ottenuti aggiungendo di volta in volta un’unità partendo da zero.

Graficamente, i numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata di origine O. Fissata un’unità di misura u, a ogni numero naturale corrisponde un punto su una semiretta orientata.

RICORDA CHE L’ insieme dei numeri naturali escluso lo zero si indica con !0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

u

!

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 1

10

I punti individuati si dicono immagini dei numeri naturali.

2 Quanti numeri naturali esistono tra due numeri naturali?

L’insieme dei numeri naturali è un insieme discreto perché tra due numeri naturali esiste un numero finito di numeri naturali o, eventualmente, nessun numero naturale.

ESEMPIO Tra 12 e 19 esistono 6 numeri naturali 13

14

15

3 Cos’è il sistema di numerazione decimale?

Il sistema di numerazione decimale o a base 10 è formato dai primi 10 numeri come elementi base: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Nel sistema, si attribuiscono alle cifre che compongono un numero intero maggiore di 9 un valore diverso a seconda della posizione da esse occupata.

ESEMPIO Il numero 37 è diverso dal numero 73 pur essendo composto dalle stesse cifre: 37 è composto da sette unità e tre decine, mentre 73 da tre unità e sette decine.

4

16

17

18

RICORDA CHE La base di un sistema di numerazione è il numero di unità necessarie per formare un’unità di ordine superiore.

TEORIA A

I numeri naturali

SISTEMA SESSAGESIMALE DI UNITÀ DI MISURA DEL TEMPO

ESEMPIO Il sistema di unità di misura del tempo è detto sessagesimale perché usa come base il numero 60.

Il tempo 11 ore 15 minuti e 44 L’unità di misura principale del tempo è il secondo (s) o secondi si scrive 11h 15m 44s minuto secondo.

I multipli del secondo sono: il minuto primo (m): 1m = 60s; l’ora (h): 1h = 60m = 3.600s; il giorno (g): 1g = 24h.

4 Qual è la regola per formare i numeri interi nel sistema di numerazione decimale?

Dieci unità di un dato ordine formano un’unità dell’ordine superiore. Qualsiasi cifra a sinistra di un’altra rappresenta un’unità dell’ordine immediatamente superiore rispetto all’ordine rappresentato da quest’ultima e, viceversa, qualunque cifra a destra di un’altra rappresenta un’unità dell’ordine immediatamente inferiore rispetto all’ordine rappresentato da quest’ultima.

In base a tale regola si può affermare che: • 10 unità del 1° ordine formano un’unità del 2° ordine: decina; • 100 unità del 1° ordine formano un’unità del 3° ordine: centinaio; • 1.000 unità del 1° ordine formano un’unità del 4° ordine: migliaio; RICORDA CHE • 10.000 unità del 1° ordine formano un’unità del 5° ordine: Le cifre 0, 1, 2, ..., 9 sono dette decina di migliaia; unità del primo ordine o unità • 100.000 unità del 1° ordine formano un’unità del 6° ordine: semplici (u). Essendo 10 le cifre si è stabilito che 10 unità del centinaio di migliaia; • 100.000 unità del 1° ordine formano un’unità del 7° ordine: primo ordine formano un’unità del secondo ordine e così via. milione.

Il confronto tra numeri naturali 5 Come esegui graficamente il confronto tra numeri naturali?

La rappresentazione grafica dei numeri naturali è uno strumento per il confronto tra due numeri naturali. Dati due numeri naturali a e b, può presentarsi solo uno dei seguenti casi: 1. il punto associato ad a precede il punto associato a b sulla semiretta numerica. In questo caso, si dice che a è minore di b; 2. il punto associato ad a e il punto associato a b occupano la Simboli Significati stessa posizione sulla semiretta numerica. In questo caso, = uguale si dice che a è uguale a b; < minore 3. il punto associato ad a segue il punto associato a b sulla semi> maggiore retta numerica. In questo caso si dice che a è maggiore di b.

Si possono introdurre anche le relazioni a ≤ b, cioè a è minore o uguale a b, e a ≥ b, cioè a è maggiore o uguale a b.

≤ ≥

minore o uguale maggiore o uguale

6 Tutte le coppie di numeri naturali sono confrontabili?

Sì. Ogni numero naturale è maggiore di quello che lo precede ed è minore di quello che lo segue e tutte le coppie di numeri naturali sono confrontabili.

5

I numeri naturali

TEORIA A

Schema delle quattro operazioni con i numeri naturali 7 Schematizza le 4 operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite nell’insieme dei numeri naturali e denomina tutti i termini delle operazioni.

Operazione Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione

Simbolo + (si legge “più”) – (si legge “meno”) × o • (si legge “per”) : o / (si legge “diviso”)

Primo numero Addendo Minuendo Fattore Dividendo

Secondo numero Addendo Sottraendo Fattore Divisore

Risultato dell’operazione Somma Differenza Prodotto Quoziente

Nello schema: • nella prima colonna sono indicate le operazioni; • nella seconda colonna i simboli indicati sono degli operatori nel senso che, operando su due numeri naturali (indicati, rispettivamente nella terza e nella quarta colonna), fanno corrispondere un terzo numero naturale che è il risultato dell’operazione (indicato nella quinta colonna).

Addizione e moltiplicazione tra numeri naturali 8 In cosa consiste l’operazione di addizione tra numeri naturali?

Dati due numeri naturali a e b, chiamati addendi, l’addizione a + b è l’operazione con cui si calcola un terzo numero naturale c, chiamato somma, contando di seguito al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo addendo. In formule: a + b = c.

ESEMPIO 3+4=7

3 e 4 sono gli addendi e 7 è la somma

9 In cosa consiste l’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali?

Dati nell’ordine due numeri naturali a e b, la moltiplicazione a × b o a · b è l’operazione che consiste nell’addizionare b volte il numero a. Il risultato dell’operazione si chiama prodotto. In formule: a × b = a + a + ... + a b volte

ESEMPIO 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

10 Quali sono le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione?

Proprietà commutativa La somma di due numeri non cambia se cambia l’ordine degli addendi.

Dati due numeri naturali a e b, si ha: a + b = b + a.

ESEMPIO Il prodotto di due numeri non cambia se cambia l’ordine dei 5 + 3 = 8 ma anche 3 + 5 = 8 fattori.

4 × 2 = 8 ma anche 2 × 4 = 8 Dati due numeri naturali a e b, si ha: a × b = b × a.

6

1ª TAPPA

Proprietà associativa La somma di tre (o più) numeri non cambia se a due (o più di due) addendi consecutivi si sostituisce la loro somma.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: a + b + c = a + (b + c).

Il prodotto di tre (o più) numeri non cambia se a due (o più di due) fattori consecutivi si sostituisce il loro prodotto.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: a × b × c = a × (b × c).

ESEMPI 3 + (2 + 6) = 3 + 8 = 11

4 × (2 × 3) = 4 × 6 = 24

Legge di annullamento del prodotto Il prodotto di due o più fattori è uguale a 0 se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a 0.

Dati due numeri naturali a e b, se a × b = 0, allora a = 0 e/o b = 0.

Viceversa se a = 0 e/o b = 0 allora a × b = 0.

RICORDA CHE Per indicare che un calcolo deve essere eseguito prima, i suoi termini sono racchiusi tra parentesi.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Il prodotto di una data somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando, nell’ordine, gli addendi della somma data per il numero.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: (a + b) × c = (a × c) + (b × c).

ESEMPIO (4 + 2) × 3 = (4 × 3) + (2 × 3) = 12 + 6 = 18

Proprietà dissociativa La somma di due (o più) numeri non cambia se si sostituisce a un addendo due (o più) numeri aventi come somma l’addendo.

Il prodotto di due (o più) numeri non cambia se si sostituisce a un fattore due (o più) numeri aventi come prodotto l’addendo.

11 L’addizione e la moltiplicazione tra due numeri naturali danno sempre come risultato un numero naturale?

Sì. L’addizione e la moltiplicazione tra due numeri naturali danno sempre come risultato un numero naturale.

12 Quali sono gli elementi neutri dell’addizione e della moltiplicazione?

Il numero 0 è l’elemento neutro rispetto all’addizione, perché sommato a qualunque numero naturale dà il numero stesso. In formula: a + 0 = a.

Il numero 1 è l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicato per qualunque numero naturale dà il numero stesso. In formula: a × 1 = a.

7

TEORIA A

I numeri naturali

Sottrazione e divisione tra numeri naturali 13 In cosa consiste l’operazione di sottrazione tra numeri naturali?

Dati due numeri naturali a e b, con a ≥ b e chiamati rispettivamente minuendo e sottraendo, la sottrazione a – b è l’operazione con cui si calcola un terzo numero naturale c, chiamato differenza, che addizionato a b dia a; ossia: a – b = c se e solo se b + c = a.

ESEMPIO 10 – 3 = 7, perché 3 + 7 = 10.

14 In cosa consiste l’operazione di divisione tra numeri naturali?

Dati nell’ordine due numeri naturali a e b, chiamati dividendo e divisore, con b ! 0, la divisione è l’operazione che consiste nel trovare quel numero naturale c che moltiplicato per b dia a; ossia: a : b = c se e solo b × c = a Tale divisione si chiama divisione esatta e il numero c è detto quoto.

RICORDA CHE Quando la divisione ha il resto, il risultato si chiama quoziente.

ESEMPIO 15 : 3 = 5, perché 3 × 5 = 15.

15 Che cosa succede se dividendo e/o divisore hanno valore 0?

Se il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a 0, la divisione è impossibile.

ESEMPIO Per eseguire 5 : 0 dovremmo trovare un numero c che moltiplicato per 0 dia per prodotto 5, cioè c × 0 = 5. Tale uguaglianza è assurda perché tutti i numeri moltiplicati per 0 danno 0.

La divisione 0 : 0 è indeterminata.

16 Quali sono le proprietà della sottrazione e della divisione?

Proprietà invariantiva La differenza di due numeri non cambia se si aggiunge, o si sottrae, a entrambi uno stesso numero.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: a – b = (a + c) – (b+ c) a – b = (a – c) – (b – c) con c " b " a Il quoziente di due numeri non cambia se si moltiplicano entrambi per uno stesso numero diverso da zero oppure se si dividono entrambi per un loro divisore comune.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: a : b = (a × c) : (b × c) con c ! 0 a : b = (a : c) : (b : c) con c divisore di a e di b ESEMPIO 15 – 4 = 11 che è lo stesso risultato che si ottiene da: (15 + 3) – (4 + 3) = 18 – 7 = 11.

21 : 7 = 3 che è lo stesso risultato che si ottiene da: (21 × 2) : (7 × 2) = 42 : 14 = 3.

8

1ª TAPPA

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione Il quoziente di una somma per un numero è uguale alla somma dei quozienti che si ottengono dividendo, nell’ordine, gli addendi della somma per il numero.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: (a + b) : c = (a : c) + (b : c) con c ! 0 e tale che b × c = a Il quoziente di una differenza per un numero diverso da zero è uguale alla differenza dei quozienti che si ottengono dividendo, nell’ordine, i termini della differenza per il numero.

Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: (a – b) : c = (a : c) – (b : c) con c ! 0 e tale che b × c = a ESEMPI (30 + 4) : 2 = (30 : 2) + (4 : 2) = 17

(40 – 10) : 5 = (40 : 5) – (10 : 5) = 6

Le espressioni aritmetiche 17 Che cos’è un’espressione aritmetica?

Un’espressione aritmetica è una successione di operazioni aritmetiche il cui ordine di esecuzione è stabilito da alcune regole e dall’uso di parentesi.

18 Qual è l’ordine delle operazioni in un’espressione aritmetica senza parentesi?

Se in un’espressione non ci sono parentesi, moltiplicazione e divisione si eseguono prima dell’addizione e della sottrazione. Inoltre, moltiplicazione e divisione si eseguono nell’ordine in cui si presentano.

ESEMPIO 5 + 4 × 12 = 5 + 48 = 53

22 × 4 : 2 = 88 : 2 = 44

19 Qual è l’ordine delle operazioni in un’espressione aritmetica con parentesi?

Se in un’espressione ci sono parentesi si eseguono nell’ordine: • le operazioni in parentesi tonde ( ) , rispettando le regole delle espressioni senza parentesi • le operazioni in parentesi quadre [ ], rispettando le regole delle espressioni senza parentesi • le operazioni in parentesi graffe { }, rispettando le regole delle espressioni senza parentesi Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi, questa si deve eliminare.

ESEMPIO {25 – [80 – 15 × (12 – 8)]} × 3 1 Esegui la sottrazione nella parentesi tonda

= {25 – [80 – 15 × 4]}× 3 =

2 Esegui la moltiplicazione nella parentesi quadra

= {25 – [80 – 60]}× 3 =

3 Esegui la sottrazione nella parentesi quadra

={25 – 20} × 3 =

4 Esegui la sottrazione nella parentesi graffa

= 5 ×3 =

5 Esegui la moltiplicazione e ottieni il risultato

= 5 × 3 = 15

9

SVILUPPA LE TUE ABILITÀ À

I numeri naturali

Moltiplica un numero per 9 Per moltiplicare un numero per 9 basta moltiplicarlo per 10 e sottrarre dal risultato il numero stesso.

ESEMPIO 14 × 9 = 14 × 10 – 14 = 140 – 14 = 126

Moltiplica un numero per 11 Metodo 1 Per moltiplicare un numero per 11 basta moltiplicarlo per 10 e aggiungere al risultato il numero stesso.

RICORDA CHE Dissociamo 11 in 10 + 1. Effettuiamo, quindi, la moltiplicazione: 14 × 11 = 14 × (10 + 1)

ESEMPIO 14 × 11 = 14 × 10 + 14 = 140 + 14 = 154

Metodo 2

Per moltiplicare un numero per 11 basta fare la somma delle due cifre del moltiplicando e inserirla tra le stesse.

ESEMPIO 14 × 11 = 154

perché 1 + 4 = 5

Applica le proprietà delle operazioni tra numeri naturali In alcune addizioni, conviene applicare la proprietà dissociativa, sostituire cioè a un addendo, due o più numeri aventi come somma l’addendo.

ESEMPIO 43 + 107 = 43 + (7 + 100) = (43 + 7) + 100 = 50 + 100 = 150

In alcune moltiplicazioni, conviene applicare la proprietà commutativa e associativa per eseguire più velocemente i calcoli.

ESEMPIO 5 × 12 × 2 = (5 × 2) × 12 = 10 × 12 = 120

Traduci nel linguaggio ordinario le espressioni matematiche ESEMPIO xy – x xy – x = differenza tra il prodotto di x per y e x

Ora prova tu.

1. (3x + 2y) – x 2. 2xy + x 3. (a + b)(a – b)

10

RICORDA CHE A lettere uguali corrispondono numeri uguali e viceversa.

1ª TAPPA

Curiosità dalla Matematica Fibonacci e l’enigma dei conigli La più importante opera di Leonardo Fibonacci (Pisa 1175-1250 ca.) è il Liber abaci: un saggio che rivoluzionava i sistemi di numerazione e allo stesso tempo un manuale di calcolo a uso dei mercanti.

In questo libro di circa 600 pagine, nel capitolo XII, si trova il problema che l’ha reso famoso che, sembra, l’imperatore Federico II di Svevia pose: Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia genera una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa produttiva e che nessuno dei conigli muoia nel corso dell’anno?

Ecco la soluzione:

Coppie pronte a

Processo di

Numero

procreare riproduzione di coppie Poiché 1 la prima coppia genera alla fine del primo mese, i conigli raddoppieranno e si Momento iniziale nessuna 1 avranno 2 coppie.

1 1 + 1 2 Di queste coppie solo 1, cioè la prima, genererà primo anche alla fine del secondo mese, e quindi alla secondo 1 2 + 1 3 fine di questo si avranno 3 coppie, 2 delle qua2 3 + 2 5 li alla fine del terzo mese genereranno altre 2 terzo coppie, e così si avranno 5 coppie alla fine del quarto 3 5 + 3 8 terzo mese. Alla fine del quarto, saranno feconquinto 5 8 + 5 13 de 3 coppie e si avranno 8 coppie, di cui 5 gene8 13 + 8 21 reranno alla fine del quinto, per un totale di 13 sesto coppie. Via via, Fibonacci calcola 21 coppie alla settimo 13 21 + 13 34 fine del sesto mese, 34 alla fine del settimo, 55 21 34 + 21 55 alla fine dell’ottavo, 89 alla fine del nono, 144 ottavo alla fine del decimo, 233 alla fine dell’undice- nono 34 55 + 34 89 simo, e infine al termine dell’anno 377 coppie decimo 55 89 + 55 144 di conigli.

Il calcolo può continuare anche al di là dei 12 undicesimo 89 144 + 89 233 mesi, dato che, come osserva Leonardo, per otdodicesimo 144 233 + 144 377 tenere il terzo numero non abbiamo fatto altro che sommare il primo numero col secondo, cioè 1 con 2; poi il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto col quinto, e così di seguito, fino a sommare il decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 233, per trovare la quantità finale di 377 coppie di conigli; e così si può continuare per infiniti mesi successivi. La successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… si chiama serie di Fibonacci, e i numeri che la compongono sono detti numeri di Fibonacci.

Problem solving I numeri naturali e i dadi Federico lancia tre dadi. Su due dei tre dadi escono i numeri 3 e 6. Quale numero sarà uscito sul terzo dado, sapendo che la somma delle tre facce a contatto del tavolo è pari a 7? Ricorda che nei dadi da gioco la somma dei numeri sulle facce opposte è sempre uguale a 7.

Ecco la soluzione: Dado 1 Dado 2 Dado 3

Faccia visibile 3 Faccia visibile 6 Faccia visibile ?

➜ ➜ ➜

Faccia opposta = 7 – 3 = 4 Faccia opposta = 7 – 6 = 1 Faccia opposta = 7 – (4 + 1) = 2

La faccia visibile del dado 3 è dunque: 7 – 2 = 5.

11

ESERCIZI

I numeri naturali

I numeri naturali e le quattro operazioni 1 Scrivi tutti i numeri naturali di 2 cifre, compresi tra 11 a 99, in cui la somma delle cifre è 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................

2 Scrivi i numeri naturali di 3 cifre, compresi tra 108 a 180, in cui la somma delle cifre è 9. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................

3 Rappresenta graficamente sulla semiretta orientata le somme.

ESEMPIO 2+3+1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

• 3+1+2

4 Rappresenta graficamente sulla semiretta orientata le differenze.

• 2–1

• 5–2

12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1ª T TAPPA

5 Applicando prima la proprietà commutativa e poi quella associativa, esegui le seguenti addizioni.

• 38 + 3 + 17 ........................................................................................................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................................................................................

• 27 + 12 + 13 + 8

...........................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

6 Applica la proprietà associativa alle seguenti moltiplicazioni.

ESEMPIO 3 × 7 × 5 = (3 × 7) × 5 = 3 × (7 × 5)

• • • • •

21 × 5 × 28 = ...................................................................................................................................................................................................................................................

35 × 23 × 17 = ................................................................................................................................................................................................................................................

35 × 16 × 8 = ..................................................................................................................................................................................................................................................

25 × 12 × 22 = ................................................................................................................................................................................................................................................

18 × 47 × 25 = ................................................................................................................................................................................................................................................

7 Verifica che, applicando la proprietà commutativa alle seguenti addizioni, il risultato non cambia.

ESEMPIO 3 + 4 + 5 = (3 + 4) + 5 = (3 + 5) + 4 = (4 + 3) + 5 = 12 4+5+6

25 + 75 + 15

1+2+3+4

12 + 15 + 13

8 Verifica che, applicando la proprietà commutativa alle seguenti moltiplicazioni, il risultato non cambia:

3×4×5

4 × 25 × 6

13

ESERCIZI

I numeri naturali

9 Applica la proprietà associativa alle seguenti somme.

• • • •

12 + 15 + 17 = .................................................................................................................................................................................................................................................

23 + 18 + 24 = ...............................................................................................................................................................................................................................................

42 + 24 + 15 = ...............................................................................................................................................................................................................................................

32 + 25 + 17 = ................................................................................................................................................................................................................................................

10 Applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione alle seguenti espressioni.

(5 + 2 + 4) × 3 = ...............................................................................................................................................................................................................................................

(21 + 8) × 4 = ......................................................................................................................................................................................................................................................

11 Stabilisci in quale/i delle seguenti uguaglianze è stata applicata in modo corretto la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

4 × (5 + 8) = (4 × 5) + (4 × 8) ............................................................................................................................................................................................................

5 × a + 5 × b = 5 × (a × b) ....................................................................................................................................................................................................................

(24 + 18) × 5 = (24 × 5) + (18 × 5) ................................................................................................................................................................................................

12 Completa le seguenti sottrazioni.

3437 – ............ = 342 4521 – ............ = 820

278 – ............ = 95 1732 – ............ = 385 2627 – ............ = 1205

Quale operazione fai per trovare il numero mancante senza fare tentativi?

13 Completa le seguenti divisioni tra numeri naturali. :5=6 .......... : 12 = 24 .......... : 27 = 15

: 4836 = 43 .......... : 836 = 36

..........

..........

Quale operazione fai per trovare il numero mancante senza fare tentativi?

14 Dati due numeri naturali a e b, per quali valori di a e b sono verificate le seguenti uguaglianze?

b:a=0

b:a=1

...................................

...................................

b:a=a

b:a=b

...................................

...................................

15 Per ciascuna delle moltiplicazioni seguenti scrivi le operazioni inverse.

5 × 4 = 20 ...................................

14

10 × 8 = 80

11 × 12 = 132

...................................

...................................

1ÂŞ TAPPA

Espressioni con i numeri naturali Calcola il valore delle seguenti espressioni aritmetiche.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

15

I numeri naturali

INVALSI 1.

2.

3.

4.

5.

6.

16

Vero o falso? a. Se aggiungo 0 a un numero naturale il risultato è il numero stesso.

V

F

b. Se moltiplico un numero naturale per 0 il risultato è impossibile.

V

F

c. Se moltiplico un numero naturale per 1 il risultato è il numero stesso.

V

F

d. La sottrazione e la divisione godono della proprietà associativa.

V

F

e. La moltiplicazione gode della proprietà distributiva rispetto all’addizione.

V

F

f. La divisione gode della proprietà distributiva rispetto all’addizione.

V

F

Se il prodotto di tre numeri è 0 allora: a.

tutti e tre i numeri valgono 0

b.

possono essere tutti e tre diversi da 0

c.

almeno uno dei tre numeri è uguale a 0

d.

almeno uno dei tre numeri è uguale a 1

La proprietà applicata all’uguaglianza 2 × 3 × 4 = 2 × 12 si chiama: a.

proprietà associativa

b.

proprietà commutativa

c.

proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione

d.

proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

Quale tra le seguenti operazioni esprime il prodotto tra due numeri? a.

La sottrazione

b.

La divisione

c.

L’addizione

d.

La moltiplicazione

La divisione tra i due numeri a e b è: a.

il quoziente tra il secondo numero e il primo

b.

il prodotto del primo per il secondo

c.

il quoziente tra il primo numero e il secondo

d.

la semisomma dei due numeri

Quale delle seguenti coppie di termini esprime l'operazione e il risultato corrispondente? a.

Differenza e quoziente

b.

Somma e prodotto

c.

Somma e rapporto

d.

Divisione e quoziente

1ª TAPPA

7.

8.

9.

Qual è il significato, nell’ordine, dei due simboli < e > ? a.

Diverso e maggiore

b.

Minore e diverso

c.

Minore e maggiore

d.

Maggiore e minore

Considera le seguenti operazioni:

12 : 0 e 0 : 12 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a.

Si può eseguire solo la prima divisione

b.

Le due divisioni non sono eseguibili

c.

Si può eseguire solo la seconda divisione

d.

Sono entrambe eseguibili

Quale dei seguenti numeri non soddisfa la disuguaglianza a < 6? a.

5

b.

8

c.

0

d.

1

10. Quale delle seguenti affermazioni è vera per ogni numero n naturale? a.

n + n è pari

b.

5n + 1 è dispari

c.

1 + n è dispari

d.

2n + 1 è dispari

11. Dati due numeri naturali a e b tali che a + b = 10, completa la seguente tabella: a

0

1

........

........

........

........

........

........

........

........

........

b

10

9

........

........

........

........

........

........

........

........

........

12. Dati due numeri naturali a e b tali che a × b = 120, completa la seguente tabella, utilizzando solo numeri naturali: a b

1

2

120 60

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

17

1ª TAPPA

2ª 2ª TAPPA TAPPA

3ª TAPPA

4ª TAPPA

5ª TAPPA

6ª TAPPA

7ª TAPPA

8ª TAPPA

Le potenze Le potenze dei numeri naturali 1 Come definisci la potenza di un numero naturale?

Dati due numeri naturali a e n, la potenza di base b ed esponente n è il prodotto di n fattori uguali ad a. In simboli: an = a ! a ! a ! ... ! a

RICORDA CHE La potenza con esponente il numero naturale n si dice anche potenza ennesima.

n volte

ESEMPIO Dati i numeri a = 2 e n = 3 an = 23 = 2 × 2 × 2 = 8

2 Si può applicare la definizione di potenza al caso in cui l’esponente è 0 oppure 1?

No. La definizione di potenza non si può applicare al caso in cui l’esponente è 0 oppure 1, perché per eseguire un prodotto servono almeno due fattori. Si definiscono allora i seguenti casi particolari: a0 = 1 con a " 0 a1 = a

3 Come si calcola il prodotto di potenze che hanno la stessa base?

Il prodotto di due potenze di uguale base a è uguale a una potenza che ha per base la stessa base a e per esponente e la somma degli esponenti; ossia: am × an = am + n, con m e n numeri meri naturali.

ESEMPIO 33 × 32 33 × 32 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3) ch è uguale a: 33 × 32 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

18

RICORDA CHE Se a = 0 alla scrittura 00 non si attribuisce alcun significato.

Per n " 0 si ha 0n = 0 e 1n = 1.

TEORIA A

4 Come si calcola il quoziente di due potenze che hanno la stessa base?

Il quoziente di due potenze di uguale base a diversa da 0, con il primo esponente maggiore del secondo, è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti; ossia: am : an = am – n con m # n e a " 0.

LLe potenze

RICORDA CHE La base della potenza deve essere diversa da 0 perché, in caso contrario, saremmo in presenza di una operazione indeterminata.

5 Quali valori possono assumere la base e l’esponente di una potenza nel quoziente tra due potenze?

Per eseguire il quoziente tra due potenze, nell’insieme dei numeri naturali, l’esponente della prima potenza deve essere maggiore o uguale a quello della seconda.

ESEMPIO 35 : 33 Per eseguire la divisione dobbiamo trovare quel numero che, moltiplicato per 33, dia 35.

Tale numero, per la proprietà precedente, è 32, perché: 33 × 32 = 33 + 2 = 35.

Quindi: 35 : 33 = 32.

Le operazioni con le potenze dei numeri naturali 6 Come si calcola la potenza di una potenza?

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; ossia (am)n = am?n.

RICORDA CHE Occorre che, contemporaneamente, la base e uno o più degli esponenti non siano uguali a 0; altrimenti ricadremmo nel simbolo 00 che è privo di significato.

ESEMPIO (32)4 Per la definizione stessa di potenza si può scrivere: (32)4 = 32 × 32 × 32 × 32 che, per la definizione di prodotto di potenze di uguale base, è uguale a: (32)4 = 32 × 32 ×32 ×32 ×32 = 32+ 2 + 2 + 2 = 32 × 4 = 38 = 6.561.

7 Come si calcola la potenza di un prodotto?

La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei fattori: (a × b)n = an × bn ESEMPIO (2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) che, per la proprietà commutativa e associativa del prodotto, può essere scritta (2 × 3)2 = 22 × 32, da cui: (2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36.

19

TEORIA A

Le potenze

8 Come si calcolano velocemente le potenze con base 10?

Il valore delle potenze con base 10 corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall’esponente.

Quindi il valore della potenza con base 10 ed esponente m è uguale al numero 1 seguito da m zeri.

ESEMPIO Consideriamo le potenze di 10 il numero 1 è seguito da zero zeri 100 = 1 il numero 1 è seguito da uno zero 101 = 10 il numero 1 è seguito da due zeri 102 = 100 il numero 1 è seguito da tre zeri 103 = 1000 il numero 1 è seguito da quattro zeri 104 = 10000 il numero 1 è seguito da cinque zeri 105 = 100000 1010 = 10000000000 il numero 1 è seguito da dieci zeri

La notazione scientifica e l’ordine di grandezza 9 In cosa consiste la notazione scientifica?

RICORDA CHE La notazione scientifica consiste nell’esprimere i nuQuando abbiamo a che fare con meri per mezzo delle potenze di 10. un numero molto piccolo, invece di Un numero scritto in notazione scientifica è formato da dividere per potenze di 10 dobbiamo un numero compreso tra 1 e 10 moltiplicato per una pomoltiplicare, e l’esponente di 10 è tenza di 10. In simboli: espresso con un valore negativo. m × 10n con 1 $ m < 10 Per esprimere in notazione scientifica un numero molto grande si divide per 10 il numero in questione tante volte fino a quando il suo valore non risulti compreso tra 1 e 10, e si moltiplica il risultato per la potenza di 10 utilizzata nell’operazione.

ESEMPI Esprimiamo il numero 50.000 in notazione scientifica.

Se si divide quattro volte per 10 il numero 50000 si arriva al valore 5: il numero 50000 in notazione scientifica si scrive pertanto così: 50.000 = 5 × 104 5 è il risultato della divisione per 10.000 (cioè quattro volte per 10), e 104 è la potenza di 10 che esprime il divisore.

Sono rappresentati in notazione scientifica i numeri Non sono rappresentati in notazione scientifica i numeri

20

3 × 107 e 4 × 104 380 × 105 e 440 × 103

2ª TAPPA

10 Cos’è l’ordine di grandezza di un numero?

L’ordine di grandezza di un numero scritto in notazione scientifica è la potenza di 10 più vicina al valore del numero.

Se è il numero in notazione scientifica m × 10n, l’ordine di grandezza è pari a: • n se il valore di m è minore o uguale a 5 • n + 1 se il valore di m è maggiore di 5

RICORDA CHE La notazione scientifica mostra immediatamente l’ordine di grandezza attraverso la potenza di 10.

ESEMPIO L’ordine di grandezza del numero 30000= 3 × 104 è 4 perché 3 < 5. Infatti, il numero 30000 è più vicino a 10000 = 104 che non a 100000 = 105.

11 Cosa significa rappresentare un numero in forma polinomiale?

Rappresentare un numero in forma polinomiale significa scriverlo come somma delle sue cifre moltiplicate per il valore della posizione di ogni sua cifra.

Per rappresentare un numero in forma polinomiale: • si assegna a ogni cifra del numero il suo valore in base alla sua posizione • si moltiplica ogni cifra per il suo valore posizionale; in particolare: - unità (u): 1 - decine (da): 10 - centinaia (h): 100: - unità di migliaia (uk): 1.000 - decine di migliaia (dak): 10.000 - centinaia di migliaia (hk): 100.000 -…

• si scrivono in ordine le moltiplicazioni del passaggio precedente, sommandole tra loro

RICORDA CHE La forma polinomiale è detta anche scrittura polinomiale.

ESEMPIO Scriviamo in forma polinomiale il numero 567.892 e poi passiamo alla notazione scientifica.

Assegniamo a ogni cifra la sua posizione: 2 u

9 da

8 h

7 uk

6 dak

5 hk

A ogni posizione corrisponde un valore, quindi la forma polinomiale del numero è: 567.892 = 2 × 1 + 9 × 10 + 8 × 100 + 7 × 1.000 + 6 × 10.000 + 5 × 100.000 La notazione scientifica del numero è: 567.892 = 2 × 100 + 9 × 101 + 8 × 102 + 7 × 103 + 6 × 104 + 5 × 105

21

TEORIA A

Le potenze

12 Perché sono utili la notazione scientifica e l’ordine di grandezza?

La notazione scientifica consente di scrivere numeri molto grandi o molto piccoli utilizzati nel campo delle scienze.

IN ASTRONOMIA, LA DISTANZA DI UN PIANETA DAL SOLE SI INDICA NECESSARIAMENTE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA. Pianeta

Distanza media dal Sole (km)

Notazione scientifica

Ordine di grandezza

Mercurio

58.000.000

5,8 % 107

8

Venere

108.000.000

1,08 % 10

8

Terra

150.000.000

1,5 % 108

8

Marte

228.000.000

8

2,28 % 10

8

Giove

778.000.000

8

7,78 % 10

9

Saturno

1.428.000.000

1,428 % 109

9

Urano

2.870.000.000

2,87 % 10

9

Nettuno

4.499.000.000

4,499 % 109

9

8

9

Terra Mercurio

Venere

22

Marte

2ª TAPPA

13 Come si risolve un’espressione aritmetica con potenze?

Se in un’espressione aritmetica sono presenti delle potenze, si calcolano prima le potenze e, quando è possibile, si applicano le proprietà delle potenze.

ESEMPIO 2 × [22 + 2 × (9 – 2) : 7]2 : 22 + 32 : 32

Poiché c’è una potenza riferita alla parentesi quadra bisogna risolvere prima il contenuto della parentesi e dopo elevare il risultato all’esponente 2.

2 × [22 + 2 × (9 – 2) : 7]2 : 22 + 32 : 32 1 Esegui la sottrazione nella parentesi tonda

= 2 × [4 + 2 × 7 : 7]2 : 4 + 30 =

2 Esegui la moltiplicazione nella parentesi quadra

= 2 × [4 + 14 : 7]2 : 4 + 1 =

3 Esegui la divisione nella parentesi quadra

= 2 × [4 + 2]2 : 4 + 1 =

4 Esegui l’addizione nella parentesi quadra

= 2 × 62 : 4 + 1 =

5 Calcola la potenza

= 2 × 36 : 4 + 1 =

6 Esegui la moltiplicazione

= 72 : 4 + 1 =

7 Esegui l’addizione e ottieni il risultato

= 18 + 1 = 19

Giove Urano

Nettuno Saturno

23

SVILUPPA LE TUE ABILITÀ À

Le potenze

Trova il quadrato di un numero naturale dal quadrato del numero a esso precedente Se hai due numeri naturali a e b, con a = b – 1, puoi ottenere il quadrato di a dalla differenza tra il quadrato di b e la somma tra a e b: a2 = b2 – (a + b) ESEMPIO Troviamo il quadrato di 19, partendo dal quadrato di 20, che è più facile da calcolare.

Siccome a = 19 e b = 20, applichiamo la formula: 192 = 202 – (19 + 20) = 400 – 39 = 361.

Eleva al quadrato un numero di due cifre che termina per 5 Per elevare al quadrato un numero di due cifre che termina per 5, puoi moltiplicare la prima cifra del numero per la cifra a essa superiore e far seguire il prodotto ottenuto dal numero 25.

ESEMPIO prima cifra = 1 × 2 = 2 152 = seconda e terza cifra = 225 = 225

Applica le proprietà delle potenze Trova il maggiore tra tutti i numeri minori di 20.000, che siano allo stesso tempo quadrati perfetti e cubi perfetti.

Ecco la soluzione: Per essere un quadrato perfetto un numero deve potersi scrivere nella forma a2; per essere un cubo perfetto nella forma a3.

Poiché deve essere sia quadrato sia cubo perfetto, il numero deve essere esprimibile nella forma (a2)3 = a6, quindi dobbiamo trovare il massimo valore della sesta potenza di un numero che tale che: a6 < 20.000.

Le seste potenze dei numeri naturali da 2 sono: 26 = 64

36 = 729

46 = 4.096

56= 15.625

66 = 46.656 3

2

Siccome 46.656 > 20.000, il numero cercato è 15.625, infatti è dato da 25 oppure da 125 .

24