L'ora di MAT 2 by ardeaeditrice

Francesca Rotondo

L’ora di

Francesca Rotondo

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Libro-quaderno per le vacanze

aritmetica • geometria

L’ora di MAT. 2

L’ora di MAT. è diviso in 8 tappe, di cui le prime 4 di Aritmetica, le restanti 4 di Geometria. Gli argomenti di Teoria sono introdotti da quesiti, che consentono il ripasso dei concetti e stimolano il ragazzo a riflettere sulla propria preparazione. Obiettivi specifici hanno le rubriche che seguono la teoria: Sviluppa le tue abilità contiene problemi che consentono di mettere alla prova le competenze matematiche, le abilità di calcolo e di utilizzo di tecniche per velocizzare la risoluzione degli esercizi; Curiosità dalla Matematica ha l’intento di illustrare il legame tra la matematica e la realtà; Problem solving sviluppa problemi di natura logico-numerica. Per il rinforzo degli apprendimenti di base, ampio spazio è stato dato alla sezione dedicata agli Esercizi. Un’ultima sezione è dedicata alle esercitazioni per l’INVALSI.

Libro-quaderno per le vacanze

Aritmetica • Geometria Prepariamoci alle prove invalsi

Scuola secondaria di primo grado

Classe seconda

Oreste Brondo

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Esperimenti di scienze

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Volume + Esperimenti di scienze

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Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, l. 633/1941). Escluso da I.V.A. (d.p.r. 26/10/1972, n. 633, art. 2, lett. d).

in omaggio

Esperimenti di scienze 05/04/18 16:09

Presentazione Ciascun volume è diviso in 8 tappe, di cui le prime 4 di Aritmetica, le restanti 4 di Geometria. Gli argomenti di Teoria sono introdotti da quesiti, che consentono il ripasso dei concetti ma al tempo stesso stimolano il ragazzo a riflettere sulla propria preparazione. Obiettivi specifici hanno le rubriche che seguono la teoria:

Sviluppa le tue abilità contiene problemi che consentono di mettere alla prova sia le competenze matematiche sia le abilità di calcolo, di utilizzo di tecniche per velocizzare la risoluzione degli esercizi, di illustrazione di concetti mediante semplici “dimostrazioni”;

Curiosità dalla Matematica ha l’intento di illustrare il legame tra la matematica e la realtà (ad esempio, perché alcune specie di cicale preferiscono i numeri primi oppure perché le api costruiscono celle esagonali);

Problem solving sviluppa problemi di natura logico-numerica, che stimolano la capacità di ragionamento e l’intuito logico-matematico.

Per il rinforzo degli apprendimenti di base, ampio spazio è stato dato alla sezione dedicata agli Esercizi, sviluppati per ciascuno degli argomenti trattati nella parte teorica del volume. Un’ultima sezione è dedicata alle esercitazioni per l’INVALSI che consentono al ragazzo di familiarizzare con le prove nazionali.

Indice 1ª TAPPA

5ª TAPPA

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

Superfici e aree

TEORIA .....................................................................................................4 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ......................................................10

TEORIA ................................................................................................. 66 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ...................................................... 72

Curiosità dalla Matematica ...............................................10

Curiosità dalla Matematica ............................................... 73

Problem solving ........................................................................11

Problem solving ....................................................................... 74

ESERCIZI .............................................................................................. 12 INVALSI ................................................................................................. 16

ESERCIZI .............................................................................................. 75 INVALSI .................................................................................................78

2ª TAPPA

6ª TAPPA

I numeri interi relativi

Il teorema di Pitagora

TEORIA .................................................................................................. 18 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ......................................................24

TEORIA .................................................................................................80 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ .....................................................86

Curiosità dalla Matematica ...............................................25

Curiosità dalla Matematica ...............................................87

Problem solving ...................................................................... 26

Problem solving ......................................................................88

ESERCIZI .............................................................................................. 27 INVALSI ................................................................................................ 30

ESERCIZI .............................................................................................90 INVALSI ................................................................................................ 92

3ª TAPPA

7ª TAPPA

Rapporti, proporzioni e percentuali

La circonferenza, i poligoni inscritti e circoscritti

TEORIA ..................................................................................................32 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................... 38

TEORIA ................................................................................................. 94 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................100

Curiosità dalla Matematica .............................................. 39

Curiosità dalla Matematica ............................................ 101

Problem solving ....................................................................... 41

Problem solving .................................................................... 101

ESERCIZI ............................................................................................. 42 INVALSI ................................................................................................ 46

ESERCIZI .......................................................................................... 102 INVALSI ............................................................................................. 106

4ª TAPPA

8ª TAPPA

Statistica e probabilità

Le trasformazioni geometriche

TEORIA ................................................................................................. 48 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ..................................................... 56

TEORIA ..............................................................................................108 SVILUPPA LE TUE ABILITÀ ................................................... 114

Curiosità dalla Matematica ............................................... 57

Curiosità dalla Matematica ............................................ 115

Problem solving ...................................................................... 58

Problem solving .................................................................... 116

ESERCIZI ............................................................................................. 59 INVALSI ................................................................................................ 64

ESERCIZI ............................................................................................117 INVALSI ............................................................................................. 120

1ª 1ª TAPPA TAPPA

2ª TAPPA

3ª TAPPA

4ª TAPPA

5ª TAPPA

6ª TAPPA

7ª TAPPA

8ª TAPPA

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata Le frazioni come numeri decimali RICORDA CHE

1 Cos’è un numero decimale? Un numero decimale, o numero con la virgola, è un numero formato da due parti separate da una virgola. Le cifre a sinistra della virgola rappresentano la parte intera, mentre le cifre a destra della virgola rappresentano la parte decimale e sono dette cifre decimali.

La prima cifra a destra della virgola è la cifra dei decimi ed è seguita dalla cifra dei centesimi e da quella dei millesimi.

ESEMPIO Nel numero decimale 15,406: • 15 è la parte intera, e si scompone in 10 decine e 5 unità • 406 è la parte decimale, e si scompone in 4 decimi, 5 centesimi e 6 millesimi Parte intera

15,406 6

Parte decimale

Virgola

2 Cosa vuol dire che una frazione corrisponde a un numero naturale o decimale? RICORDA CHE Ogni frazione, se svolta come divisione, può essere scritta come un numero naturale o decimale, che si ottiene dividenStiamo considerando divisioni tra numeri naturali. Studierai do il numeratore per il denominatore. in seguito i numeri relativi, ma Tale numero può essere: 6 • un numero naturale se la frazione è apparente 2 = 6 : 2 = 3 il concetto non cambia. • un numero decimale se la frazione non è apparente 95 = 9 : 5 = 1,8

3 Cos’è una frazione decimale? Una frazione decimale ha per denominatore una potenza di 10 . ESEMPIO Le frazioni

3 , 3 , 8 sono esempi di frazioni decimali. 10 100 1000

TEORIA A

Numeri Nume Nu N meri ri d decimali, ecim ec imal alii ffrazioni razi ra zion onii e ra radi radice dice ce q quadrata uadr ua drat ata a

4 Cos’è un numero decimale finito? Un numero decimale finito è un numero decimale con la parte decimale composta da un numero finito di cifre. In questo caso, dopo un certo numero di divisioni successive tra numeratore e denominatore della frazione si giunge a un resto uguale a zero. ESEMPIO

15 = 15 : 4 = 3,75 4

due cifre decimali

5 Cos’è un numero decimale periodico? Un numero decimale periodico è un numero con infinite cifre decimali, non tutte nulle, che da un certo punto in poi si ripetono a gruppi sempre uguali; le cifre che si ripetono uguali costituiscono il periodo del numero decimale. In questo caso, la divisione non ha mai termine e da un certo punto in poi si ottengono sempre gli stessi resti e nel medesimo ordine.

RICORDA CHE Il periodo di un numero decimale è indicato tracciandovi sopra un trattino orizzontale.

ESEMPIO

4 = 4 : 3 = 1,333333… = 1,3 3

infinite cifre decimali

6 Qual è la differenza tra un numero decimale periodico semplice e un numero decimale periodico misto? In un numero decimale periodico semplice il periodo è subito dopo la virgola. In un numero decimale periodico misto, invece, il periodo non è subito dopo la virgola, e le cifre che seguono la virgola e precedono il periodo costituiscono l’antiperiodo. ESEMPI

5 = 5 : 3 = 1,666666… = 1,6 3

periodo subito dopo la virgola

Parte intera

43 = 43 : 18 = 2,3888888… = 2,38 18

periodo

antiperiodo

7 Come definisci i numeri razionali assoluti? I numeri razionali assoluti, indicati con il simbolo Q, sono tutti e soli i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore dati da numeri naturali. I numeri razionali assoluti sono, quindi, numeri generati da frazioni irriducibili e includono i numeri naturali.

Parte decimale

1,666666 Virgola

RICORDA CHE Una frazione si dice irriducibile quando il numeratore e il denominatore sono primi tra loro.

TEORIA A

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

Dalla frazione al numero e dal numero alla frazione 8 Quando una frazione genera un numero decimale finito? 1. Una frazione decimale dà sempre un numero decimale finito. ESEMPI 165 = 165 : 100 = 1,65 102 La frazione

275 = 275 : 1.000 = 0,275 103

7 genera un numero decimale finito. 10

RICORDA CHE Quindi, un numero decimale finito si può definire come un numero razionale rappresentabile da una frazione decimale.

7 = 7 : 10 = 0,7 10

2. Una frazione genera un numero decimale finito se il suo denominatore può essere trasformato in una potenza di 10. ESEMPIO La frazione

3 genera un numero decimale finito, perché il 5

denominatore può essere trasformato nel modo seguente: 3 3×2 6 = = = 6 : 10 = 0,6 5 5 × 2 10

RICORDA CHE Devi applicare la proprietà invariantiva delle frazioni.

In generale, le frazioni il cui denominatore ha come fattori solo il 2, solo il 5 , o entrambi, eventualmente elevati a una potenza, danno numeri decimali finiti.

9 Quando una frazione genera un numero decimale periodico semplice? Una frazione il cui denominatore non ha per fattori né 2 né 5 genera un numero decimale periodico semplice. ESEMPIO Tra i fattori del denominatore della frazione

5 non ci sono né il 2 né il 5; la frazione ge7

nera il numero periodico semplice: 5 = 0,714285 . 7

10 Quando una frazione genera un numero decimale periodico misto? Una frazione il cui denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5 genera un numero decimale periodico misto. ESEMPIO 93 93 93 : 3 31 31 ai minimi termini: . Poiché il denomi= = = 105 105 105 : 3 35 5 × 7 natore contiene oltre al 7 anche il fattore 5, la frazione genera il numero periodico misto: 93 = 0,8857142 . 105 Riduciamo la frazione

1ª TAPPA

11 Come si passa da un numero decimale limitato alla relativa frazione? La frazione generatrice di un numero decimale finito si ottiene scrivendo al numeratore il numero senza la virgola e al denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola. ESEMPI 0,25 =

25 1 = 100 4

3,75 =

375 15 = 100 4

12 Come si passa da un numero decimale periodico alla relativa frazione? La frazione generatrice di un numero decimale periodico ha per: • numeratore la differenza tra tutto il numero senza la virgola e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo • denominatore tanti 9 quanti sono le cifre del RICORDA CHE Il numero 3,3 è periodico semplice: al periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre denominatore della frazione non ci sono dell’antiperiodo gli zeri perché non c’è l’antiperiodo. Il numero 3,25 è periodico misto: al denominatore della frazione c’è uno zero perché c’è l’antiperiodo 2.

ESEMPI 3,3 =

33 − 3 30 10 = = 9 9 3

3,25 =

325 − 32 293 = 90 90

Espressioni con i numeri decimali 13 Come si risolvono le espressioni con i numeri decimali? Le espressioni con i numeri decimali si possono eseguire trasformando prima i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni. ESEMPIO

(

) (

)

0,3 − 0,3 × 0,4 + 0,1 + 2,32 − 1,71 : 0,45 =

1 Trasforma i numeri decimali in frazioni

3 3 9 10

4 1 230 170 45 + + : 9 9 99 99 99

2 Semplifica le frazioni

1 3 3 10

4 1 230 170 5 + + : 9 9 99 99 11

3 Esegui le operazioni nelle parentesi e

1 3 5 20 5 − × + : 3 10 9 33 11

1 15 4 − + 3 90 3

5 Svolgi il minimo comune multiplo

30 − 15 + 120 = 90

6 Risolvi

135 3 = 90 2

semplifica 4 Esegui prima la moltiplicazione e la

divisione

TEORIA A

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

La radice quadrata 14 Come definisci i numeri irrazionali?

RICORDA CHE

I numeri irrazionali, indicati con il simbolo I, sono tutti e soli i numeri che non possono essere rappresentati da frazione perché illimitati e non periodici.

Gli insiemi dei numeri razionali e irrazionali formano l’ insieme dei numeri reali, indicato con R.

ESEMPI

Sono numeri irrazionali tutte le radici dei numeri naturali non esatte come ad esempio 2 , 3, 5, 6 . Un altro esempio di numero irrazionale è fornito da π = 3,1415926...

15 In cosa consiste l’operazione di estrazione di radice di un numero? L’estrazione di radice di un numero è l’operazione che consente di trovare la base di una potenza, quando se ne conoscono l’esponente e il valore ﬁnale. Quando, dato il valore ﬁnale, si deve trovare la base di potenze che hanno per esponente 2 si parla di radice quadrata e l’operazione si indica con il simbolo . La radice quadrata, cioè, è l’operazione inversa dell’elevamento di un numero al quadrato o alla seconda potenza. ESEMPI 2

! =4 2 ! =9

è l’operazione inversa di è l’operazione inversa di

22 = 32 =

Quando, dato il valore finale, si deve trovare la base di potenze che hanno per esponente 3, si parla di radice cubica e l’operazione si indica con il simbolo 3 . La radice cubica, cioè, è l’operazione inversa dell’elevamento di un numero al cubo o alla terza potenza. ESEMPI 3

! =8 3 ! = 27

è l’operazione inversa di è l’operazione inversa di

23 = 33 =

Il numero di cui si deve calcolare la radice si chiama radicando, mentre il numero che indica se la radice da calcolare è una radice quadrata,, cubica,, q quarta… si chiama indice della radice: radicale Indice

64 = 8

valore della radice

radicando Esiste un procedimento abbastanza complesso per calcolare la radice quadrata di un numero, che hai studiato sul tuo libro di testo. Oltre a questo metodo, esistono tavole che riportano le radici quadrate e cubiche dei numeri più frequentemente usati; inoltre, le calcolatrici o i programmi per il computer permettono di ottenere il loro valore.

1ª TAPPA

16 Cosa sono i radicali esatti? I radicali esatti sono quelli per cui è possibile trovare un numero naturale che elevato all’indice della radice dà, come risultato, il radicando. RICORDA CHE ESEMPI 52 = 25

25 = 5

43 = 64

64 = 4

I numeri 25 e 64 sono detti quadrato perfetto e cubo perfetto, rispettivamente.

17 Quali sono le principali proprietà delle radici quadrate? La radice quadrata di un prodotto di due o più fattori può essere calcolata moltiplicando le radici quadrate dei singoli fattori. La radice quadrata di un quoziente può essere calcolata dividendo la radice quadrata del dividendo per la radice quadrata del divisore.

RICORDA CHE Queste regole non valgono per la radice quadrata della somma o della differenza.

ESEMPI 25 × 9 = 25 × 9 = 5 × 3 = 15

36 : 4 = 36 : 4 = 6 : 2 = 3

La radice quadrata di una potenza con esponente pari è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la metà dell’esponente della potenza data. La radice quadrata di una frazione è la frazione che ha per numeratore la radice quadrata del numeratore e per denominatore la radice quadrata del denominatore. ESEMPI 26 = 23

25 25 5 = = 49 49 7

SVILUPPA LE TUE ABILITÀ À

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

Impara a dimostrare Proviamo che 2 è un numero irrazionale. Ecco la soluzione: Per affermare che

2 = è irrazionale non basta ottenerlo con una calcolatrice, perché anche se que-

sta fosse in grado di fornire un risultato con 1.000.000 di cifre dopo la virgola, il periodo potrebbe iniziare a partire dalla milionesima cifra. Occorre escogitare un criterio generale per dimostrare che 2 è irrazionale. Se

2 fosse un numero razionale, allora potrebbe essere espresso mediante una frazione; cioè po-

tremmo scrivere: p q p in cui può sempre supporsi ridotta ai minimi termini, in quanto se non lo fosse sarebbe sempre q possibile semplificarla. Ciò significa che p e q non hanno divisori comuni. p al quadrato otteniamo: Elevando 2 e q p2 2= 2 q p2 2 Moltiplicando sia 2 sia 2 per q e semplificando, otteniamo che per essere vera quest’ultima uguaq glianza dovrebbe risultare p2 = 2q2 , ma ciò non è possibile perché, come abbiamo detto, p e q sono 2=

primi fra loro. Pertanto,

2 non è rappresentabile con una frazione e per questo motivo non è un

numero razionale.

Curiosità dalla Matematica Ma perché usiamo il simbolo

Fu il matematico Luca Pacioli (1445-1514) a introdurre in Italia la prima notazione della radice quadrata, ponendo le iniziali della parola R e a sinistra l’ indice della radice. Ma già presso i popoli antichi, per la radice quadrata e per altre radici sono stati usati diversi simboli. In due papiri egizi la radice quadrata è indicata con un simbolo descrivibile come una lettera gamma maiuscola con lati uguali, a ricordare il lato di un quadrato. Nel testo Brahamagupta e nei testi matematici indiani successivi, la radice quadrata è indicata premettendo al radicando la lettera c, per caranì. Nell’Europa medievale e rinascimentale, sono stati usati simboli diversi. Il simbolo è di origine tedesca, quando comparve nel trattato Die Coss (La cosa, ovvero l’ incognita) scritto dal matematico tedesco Christoff Rudolff (1499-1545), per indicare radici quadrate; deriva da una versione allungata della lettera r, per radix (radice, in latino). Nel 1572 però Bombelli usava la sua notazione privata, Rq e Rc, rispettivamente, per radice quadrata e radice cubica, mentre molti matematici italiani dello stesso secolo utilizzavano lato (sottinteso del quadrato) per radice quadrata e lato cubico (ossia spigolo del cubo) per radice cubica, rendendo evidente l’origine geometrica del concetto, ma difficoltosa la generalizzazione a radici superiori. Anche Eulero ha ipotizzato che questo segno sia derivato da deformazioni della lettera r r→

1ª TAPPA

Problem solving In quanto tempo cade? Se Gaia lascia cadere una palla dal balcone di casa sua a un’altezza di 10 m, quanto tempo (approssimato ai centesimi di secondo) impiega la palla per arrivare a terra? Ecco la soluzione: Con una serie di esperimenti, Galileo Galilei (1564-1642) dimostrò che le differenze tra i moti di caduta degli oggetti dipendono solo dalla resistenza dell’aria: quando la resistenza dell’aria è insignificante, tutti gli oggetti cadono con la stessa accelerazione g, detta accelerazione di gravità. Il valore di g cambia da punto a punto, perché dipende tra l’altro dall’altezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine. Sulla superficie terrestre g è compreso tra 9,78 m/s2 e 9,83 m/s2; nei calcoli usiamo il valore 9,8 m/s2. Indichiamo con h l’altezza da cui cade la palla. Il tempo che la palla impiega a toccare terra è dato dalla formula: t=

2×h g

Per vedere quanto tempo impiega la palla di Gaia a toccare terra, dobbiamo solo calcolare la radice quadrata: t=

(

2 × 49 m 9,8 m s2

98 s2 m× = 10 s2 = 33,16 ,16 s 9,8 m

Abbiamo approssimato la radice di 10 ai centesimi.

APPROSSIMIAMO Un numero decimale con diverse cifre dopo la virgola può essere approssimato, per esempio ai centesimi, seguendo questa regola. Se il terzo decimale è compreso tra 0 e 4, l’approssimazione è al centesimo inferiore; se è compreso tra 5 e 9 l’approssimazione è al centesimo superiore. 16,7432 approssimato ai centesimi diventa 16,74 poiché la terza cifra è 3. 24,5296 approssimato ai centesimi diventa 24,53 poiché la terza cifra è 9; La stessa regola vale anche per approssimare un numero ai decimi, ai millesimi…

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

ESERCIZI

Le frazioni come numeri decimali 1 Indica se il numero razionale dato è minore, maggiore oppure uguale a 1: 3 8

..........

2 3

..........

30 .......... 1 12

40 .......... 1 40

51 63

..........

2 In quale modo la frazione 4 può essere considerata come il quoziente tra due numeri? 5

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3 Indica il valore di ciascuna cifra posta a destra della virgola: 0,1

0,12

1,23

1,234

4 Utilizzando la tabella, classifica i seguenti numeri decimali: Numero

Numero decimale limitato

periodico semplice

Parte intera

Antiperiodo

Periodo

–

periodico misto

25,33 0,5 9,423

11,11

Dalla frazione al numero e dal numero alla frazione 5 Inserisci i termini mancanti. a. Una frazione che, ridotta ai minimi termini, al denominatore ha come fattori solo il 2 o il 5 (o entrambi) genera un numero ............................................................. b. Una frazione che, ridotta ai minimi termini, al denominatore non contiene come fattori né il 2 né il 5 genera un numero .............................................................

6 Stabilisci se le seguenti frazioni generano un numero decimale finito o periodico senza eseguire la divisione:

14 70

30 16

23 10

13 18

7 Dopo aver scomposto il denominatore in fattori primi, indica quali delle seguenti frazioni danno origine a frazioni decimali:

2 20

4 25

15 30

3 125

7 250

56 80

1ª TAPPA

8 Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimali: a. 0,15

0,15

b. 0,1

0,156

0,03

2,17

0,1567 6,2223

9 Stabilisci quale tipo di numero decimale generano le seguenti frazioni e trasformale in numeri decimali. 421 45 a. 273 40 111 66 b. 15 44

493 125

278 250

10 Completa la seguente tabella. Numero decimale

Frazione

....................

1 9

0,95 0,96 0,315

........ ........ ........ ........ ........ ........

....................

2 3

....................

17 11

11 Inserisci al posto dei puntini il segno opportuno, scelto tra <, >, =. a. 3,33 ........... 3,33 d. 6,02 ........... 6,02

b. 2 ........... 0,4 5 e. 5,6666 ........... 5,6

c. 22,2 ........... 222 10 f. 35 ........... 17,5 2

12 Scomponi in fattori il denominatore delle seguenti frazioni e stabilisci a quale numero decimale corrispondono. a. 3 = 2 3 20 2 • 50 b. 7 = 7 18 2 • ......... c. 5 = 5 77 ....... • ....... d. 13 = ........13 24 2 • ........

numero decimale ........... numero decimale ........... numero decimale ........... numero decimale ...........

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

ESERCIZI

13 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a. 3,5 – 1 ! 1,9 5

b. 0,16 : 0,75 + 0,7

(

c. 1 + 0,6 0,5 + 0,75 0,8 0,3 + 2

(

)

0,83

(

)

d. 1,3 + 0,4 5 3,3 + 0,5 2 + 0,8 1,6 1

RICORDA CHE Devi trasformare i numeri decimali in frazioni.

14 L’insegnante ha chiesto a tre alunne, Aurora, Gaia e Felicita, di scrivere alla lavagna la frazione generatrice del numero 123,456, chi ha eseguito correttamente l’esercizio?

AURORA A UR U ROR R ORA O RA

123,45 =

12345 123 12222 1358 679 = = = 90 10 5 90

GA G AIA IA

123,45 =

12345 1234 11111 = 90 90

FELICITA F EL E LIC L CITA TA

123,45 =

12345 1234 11111 = 99 99

1ª TAPPA

La radice quadrata 15 Completa le uguaglianze. 1,96 = 1,4

1,42 = 1,96 allora 2,52 =

...........

allora ....... = 2,5

3,42 =

...........

allora ....... = 3,4

16 Tra i seguenti numeri, cerchia i quadrati perfetti: 81

288

324

529

600

17 Calcola la seguenti radici quadrate esatte ricorrendo alla scomposizione in fattori primi: a.

256

441

576

1089

18 Inserisci i termini mancanti. a. La radice quadrata di una potenza con esponente pari è una potenza che ha per base ........................ e per esponente ........................ dell’esponente della potenza data. b. La radice quadrata di una frazione è la frazione che ha per numeratore ........................ e per denominatore ........................

19 Risolvi utilizzando le proprietà delle radici. a.

49 × 81 × 121

36 × 64 × 169

196 : 4

144 : 36

225 25

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20 Completa inserendo al posto dei puntini un numero naturale. a.

5... = 5

2... = 4

...

6 =6

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ...

Numeri decimali, frazioni e radice quadrata

INVALSI 1.

Vero o falso?

a. La frazione 3 può essere trasformata in una frazione decimale. 5 b. Tutte le frazioni si possono trasformare in frazioni decimali.

c. Un numero decimale finito si può sempre trasformare in una frazione decimale.

d. Una frazione decimale può dare origine a un numero periodico.

e. Qualsiasi frazione può essere trasformata in una frazione decimale equivalente.

f. La radice quadrata della somma di due o più addendi si ottiene sommando le radici degli addendi.

Una frazione si può trasformare in numero decimale: a.

solo se il numeratore è più piccolo del denominatore

dividendo il numeratore per il denominatore

separando con la virgola il numeratore dal denominatore

dividendo il denominatore per il numeratore

Una frazione si dice decimale: a.

se il numeratore è una potenza di 10

se il denominatore è una potenza di 10

se il denominatore è un multiplo di 10

se, ridotta ai minimi termini, il denominatore contiene come fattori numeri diversi da 2 e da 5

Una frazione già ridotta ai minimi termini genera un numero periodico: a.

se il denominatore non è una potenza del 10

se il denominatore è un numero primo

se il numeratore non è potenza di 10

se il denominatore contiene fattori diversi da 2 e da 5

Il numero 10 e il numero 9,9: a.

sono uguali

il primo è sempre maggiore del secondo

il primo è minore del secondo

il loro confronto dipende dal numero di 9 che si prendono dopo la virgola

Indica tra le seguenti affermazioni quella corretta. a.

125 = 25 perché 52 = 25

5 perché 53 = 25

125 perché 52 = 125

3 perché 35 = 125

1ª TAPPA

Per ogni numero dato, stabilisci il valore della cifra richiesta. a. 5,847

il valore della cifra 7 è ........................

b. 18,925

il valore della cifra 2 è ........................

c. 86,429

il valore della cifra 4 è ........................

Completa, scrivendo un denominatore tale che la frazione può essere trasformata in un numero decimale limitato. 15 28 34 ....... ....... .......

Completa, scrivendo un denominatore tale che la frazione può essere trasformata in un numero decimale illimitato. 13 11 16 ....... ....... .......

10. Hai diviso un numero intero per un altro numero intero, sulla calcolatrice leggi: a. 0,9999999 Quali potrebbero essere i numeri? ……………………………………………………………………………………………………...................................………………………………………………………………………………………

b. 0,0999999 Quali potrebbero essere i numeri? ……………………………………………………………………………………………………...................................………………………………………………………………………………………

c. 0,8999999 Quali potrebbero essere i numeri? ……………………………………………………………………………………………………...................................………………………………………………………………………………………

11. Indica l’ordine crescente dei seguenti numeri: a.

93 105

2001 2

0,8

0,88 1000000

999,88

12. Approssima i seguenti numeri al centesimo. a. 35,237

b. 54,989

c. 123,128

d. 145,234

e. 188,922

f. 233,338

13. Scrivi quali sono i numeri naturali tra cui è compresa ciascuna delle radici: 4

100

2ª 2ª TAPPA TAPPA

1ª TAPPA

3ª TAPPA

4ª TAPPA

5ª TAPPA

6ª TAPPA

7ª TAPPA

8ª TAPPA

I numeri interi relativi I numeri interi relativi e il valore assoluto 1 Cosa si intende per numero intero negativo, intero positivo, intero relativo? I numeri interi negativi, indicati con il simbolo Z–, sono tutti e soli i RICORDA CHE numeri {–1, –2, –3, –4, –5, ...}. Se agli interi positivi I numeri interi positivi, indicati con il simbolo Z+, sono tutti e soli i Z+ aggiungiamo lo zero numeri {+1, +2, +3, +4, +5, ...}. otteniamo i numeri I numeri interi relativi, indicati con il simbolo Z, sono tutti e soli i naturali N. numeri {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}. I numeri preceduti dal segno + si dicono positivi, mentre i numeri preceduti dal segno – si dicono negativi.

2 Cos’è il valore assoluto di un numero? Il valore assoluto, o modulo, di un numero relativo a, è il numero privato del suo segno. Per indicarlo si usa il simbolo |a| e il numero a è detto argomento del valore assoluto. Per eliminare il valore assoluto bisogna applicare la regola seguente: a=

RICORDA CHE

a se a 0 a se a < 0

Se a = 0, allora |0| = 0.

ESEMPI |+3| = 3

|–3| = 3

3 Che differenza c’è tra numeri relativi concordi e numeri relativi discordi? Due numeri relativi si dicono: • concordi se hanno lo stesso segno ➜ +3 e +7 oppure –3 e –6 • discordi se hanno segno opposto ➜ –5 e +9

4 Quando due numeri relativi sono uguali e quando sono opposti? Due numeri relativi sono: • uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto • opposti se sono uguali in valore assoluto ma discordi ➜ –1 e +1 oppure –2 e +2

TEORIA A

I numeri interi relativi

COSA C’ENTRANO I NUMERI RELATIVI CON IL LANCIO DI UN MISSILE? Il lancio di un missile per una missione spaziale è un esempio di utilizzo di numeri relativi. Le operazioni di preparazione al lancio devono seguire un ordine prestabilito, scandito dal countdown (conto alla rovescia): “meno cinque, meno quattro, meno tre, meno due, meno uno, zero!”. Il countdown indica i secondi che mancano al decollo. Ogni secondo rappresenta l’avvio di una fase e la fine di un’altra. Il countdown è gestito da computer che bloccano automaticamente il lancio se c’è un inconveniente. In realtà, l’intera fase del lancio ha un countdown più lungo di 5 secondi, infatti inizia diverse ore prima. A intervalli regolari ci sono controlli e check da effettuare. Se sorgono problemi, il lancio può essere rimandato in qualsiasi momento.

Le quattro operazioni con i numeri relativi 5 Quale numero si ottiene dalla somma di due numeri relativi concordi? La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha: • per segno lo stesso segno degli addendi • per valore assoluto la somma dei loro valori assoluti ESEMPIO (+3) + (+9) (–2) + (–5)

La somma ha segno + e valore assoluto uguale alla somma 3 + 9 = 12, quindi (+3) + (+9) = 3 + 9 = +12 La somma ha segno – e valore assoluto uguale alla somma 2 + 5 = 7, quindi ( –2) + (–5) = –7

TEORIA A

I numeri interi relativi

6 Quale numero si ottiene dalla somma di due numeri relativi discordi? La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha: • per segno il segno dell’addendo con valore assoluto maggiore • per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati

RICORDA CHE La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0 (–2) + (+2) = 0

ESEMPI (–5) + (+8)

La somma ha segno + (perché è il segno di 8 > 5) e valore assoluto uguale alla differenza 8 – 5 = 3, quindi (–5) + (+8) = +3

(+8) + (–14)

La somma ha segno – (perché è il segno di 14 > 5) e valore assoluto uguale alla differenza 14 – 8 = 6, quindi (+8) + (–14) = –6

7 Come si esegue la differenza di due numeri relativi? La differenza di due numeri relativi si ottiene sommando il primo con l’opposto del secondo. ESEMPI (+6) – (–5) L’opposto del secondo è +5, quindi (+6) – (–5) = +6 + 5 = +11 (–7) – (+8) L’opposto del secondo è –8, quindi (–7) – (+8) = –7 – 8 = –15 RICORDA CHE La sottrazione si riduce a un’addizione.

8 In cosa consiste l’operazione di addizione algebrica di numeri relativi? Con i numeri relativi, le due operazioni di addizione e sottrazione si fondono in un’unica operazione che prende il nome di addizione algebrica e il cui risultato prende il nome di somma algebrica. REGOLA DEI SEGNI PER L’ADDIZIONE ALGEBRICA Per eliminare le parentesi, precedute dai segni + o –, rispettivamente di addizione e sottrazione: • si lasciano gli stessi segni ai termini dentro le parentesi se il segno è + • si cambiano i segni dentro le parentesi se il segno è –

2ª TAPPA

9 Quali sono le proprietà dell’addizione e della sottrazione di numeri relativi? Proprietà commutativa La somma di due numeri non cambia se cambia l’ordine degli addendi. Dati due numeri relativi a e b, si ha: a+b=b+a ESEMPIO (–9) + (+15) = +6 ma anche (+15) + (–9) = +6

La sottrazione, invece, non gode della proprietà commutativa. Proprietà associativa La somma di tre (o più) numeri non cambia se a due (o più) di essi si sostituisce la loro somma. Dati tre numeri relativi a, b e c, si ha: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro La somma di un numero relativo a qualsiasi con lo 0 dà il numero stesso: a + 0 = a. Elemento simmetrico Ciascun numero relativo ammette il simmetrico rispetto all’addizione. Dato il numero a, il simmetrico di a è il suo opposto –a, per cui: a + (–a) = 0 che equivale a dire che la somma di due numeri relativi opposti è 0. Proprietà invariantiva La differenza di due numeri non cambia se ai numeri si somma o si sottrae uno stesso numero. Dati tre numeri relativi a, b e c, si ha: a − b = ( a + c) − ( b + c) a − b = ( a − c) − ( b − c)

10 Quale numero si ottiene dal prodotto di due numeri relativi? Il prodotto di due numeri relativi è un numero relativo che ha: • segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi • per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ESEMPI (+3) × (+4) = +12

(–3) × (–4) = +12

(+3) × (–4) = –12

(–3) × (+4) = –12

REGOLE DEI SEGNI PER LA MOLTIPLICAZIONE Nell’eseguire la moltiplicazione tra numeri relativi, si possono presentare quattro casi: (+) × (+) = + (–) × (+)= – (+) × (–) = – (–) × (–) = +

1. 2. 3. 4.

entrambi i numeri sono positivi il primo numero è negativo e il secondo è positivo il primo numero è positivo e il secondo è negativo entrambi i numeri sono negativi

In tutti e quattro i casi, sussiste la regola dei segni riportata in tabella.

TEORIA A

I numeri interi relativi

11 Quali sono le proprietà della moltiplicazione di numeri relativi? Siano a, b e c tre numeri relativi, le proprietà della moltiplicazione sono le seguenti: Proprietà commutativa a×b=b×a ESEMPIO (–12) × (+5) = (+5) × (–12) = –60

Proprietà associativa a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) ESEMPIO (–3) × (+4) × (–5) [(–3) × (+4)] × (–5) = (–12) × (–5) = +60 (–3) × [(+4) × (–5)] = (–3) × (–20) = +60

#associamo i primi due fattori associamo il secondo e il terzo fattore

Elemento neutro Il prodotto di un numero a qualsiasi per 1 dà il numero stesso: a × 1 = a. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione algebrica a × (b + c) = a × b + a × c a × (b – c) = a × b – a × c ESEMPIO (–4) × [(+5) + (–6)] = (–4) × (–1) = –4

12 Quale numero si ottiene dal quoziente di due numeri relativi? Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha: • segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi • per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti

RICORDA CHE La divisione di due numeri interi relativi non è sempre possibile in Z.

ESEMPI (+6) : (+2) = +3

(–24) : (–8)= +3

(–21) : (+7) = –3

(+30) : (–5) = –6

13 Quali sono le proprietà della divisione di numeri relativi? La divisione non gode né della proprietà commutativa né della proprietà associativa. Proprietà invariantiva Il quoziente di due numeri relativi non cambia se si moltiplicano (o si dividono) entrambi per uno stesso numero diverso da zero. Dati i due numeri relativi a e b, si ha: a : c = ( a × c) : ( b × c) con c ! 0 a : b = ( a : c) : ( b : c) con c ! 0 e sottomultiplo comune di a e di b

2ª TAPPA

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione Il quoziente di una data somma per un numero diverso da zero è uguale alla somma dei quozienti che si ottengono dividendo, nell’ordine, gli addendi della somma data per il numero. Dati tre numeri naturali a, b e c, si ha: (a + b) : c = a : c + b : c con c ! 0 e sottomultiplo comune di a e b Elemento neutro Il quoziente di un numero qualsiasi per 1 dà il numero stesso: a : 1 = a.

Le potenze dei numeri relativi 14 Come definisci la potenza di un numero relativo con esponente naturale? Dati, nell’ordine, un numero relativo a e un numero naturale n, la potenza di base a ed esponente n è il prodotto di n fattori uguali ad a. In simboli: a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a n volte

RICORDA CHE Anche in Z: n = 1 ➜ a1 = a n ! 0 ➜ 0n = 0

e1 =1

n=0

➜

a0 = 1

00 non ha significato

Le operazioni tra potenze dei numeri relativi si svolgono allo stesso modo delle operazioni tra potenze di numeri naturali, occorre solo ricordare le regole dei segni. ESEMPIO (–3)2 = (–3) × (–3) = +9

15 Come definisci la potenza di un numero relativo con esponente intero negativo? La potenza con esponente intero negativo di un numero relativo è una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente. 1 −n Se a ! 0 e n è un numero positivo possiamo porre: a = n . a ESEMPIO 1 1 3−4 = 4 = 3 81

RICORDA CHE La potenza di un numero positivo è sempre positiva. La potenza di un numero negativo è positiva se l’esponente è pari e negativa se l’esponente è dispari.

16 Come definisci la potenza avente per base un numero razionale e per esponente un numero negativo? La potenza con esponente intero negativo di un numero razionale è una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente: n n a b = b a ESEMPIO 2 3

3 2

27 8

I numeri interi relativi

SVILUPPA LE TUE ABILITÀ À

Qual è la loro differenza d’età? Ti sarà capitato spesso di calcolare la differenza di età tra la tua e quella di un tuo parente o di un tuo amico. Non hai avuto troppe difficoltà, soprattutto quando si trattava di tuoi amici, con i quali hai solo qualche anno in più o in meno. RICORDA CHE Quando, invece, ti capitano problemi in cui devi calcolare la diffea.C. (avanti Cristo) è usato renza di età tra persone appartenute a millenni diversi, le cose si per indicare gli anni prima complicano. della nascita di Cristo, Considera questo quesito. mentre d.C. (dopo Cristo) è Il matematico greco Pitagora è nato nel 569 a.C., mentre il mateusato per indicare gli anni matico indiano Brahmagupta è nato nel 598 d.C. dopo la nascita di Cristo. Quanti anni di differenza hanno Brahmagupta e Pitagora?

569 a.C.

500 a.C.

400 a.C.

300 a.C.

200 a.C.

100 a.C.

100 d.C.

200 d.C.

300 d.C.

400 d.C.

500 d.C.

598 d.C.

Ecco la soluzione: Quando devi calcolare la differenza d’età di personaggi storici vissuti a secoli di distanza e, soprattutto, nati a millenni di distanza, allora devi ricorrere ai numeri relativi. L’anno 0 è il punto di riferimento. Pitagora è nato nel 569 a.C., Brahmagupta è nato nel 598 d.C. Se assumiamo l’anno 0 come riferimento, otteniamo che dalla nascita di Pitagora alla nascita di Brahmagupta sono passati: 598 – (–569) = 598 + 569 = 1167 anni Bella differenza d’età, vero? Sbagliato! L’anno 0 non esiste! Ti spieghiamo perché trovi il punto interrogativo accanto a 0 nell’ immagine. I romani antichi contavano gli anni dalla fondazione di Roma. In seguito, venne scelto il 284 dopo Cristo, anno dell’ascesa al potere dell’imperatore romano Diocleziano. L’era cristiana è stata “inventata” da Dionigi il Piccolo, un monaco cattolico di origine sciita, che nel 532 propose di abbandonare l’era di Diocleziano contando gli anni dalla nascita di Gesù, da lui fissata, con un errore di qualche anno, al 25 dicembre dell’anno 753 dalla fondazione di Roma, stabilendo dunque come anno 1 quello che iniziava la settimana seguente a questa data, ponendo l’uguaglianza: anno 1 dell’era cristiana = anno 754 dalla fondazione di Roma Questa notazione pone problemi per i calcoli. Per calcolare quanti anni sono passati tra il 1° gennaio 1 a.C. e il 1° gennaio 1 d.C., usando i numeri relativi, la regola darebbe 2 come soluzione, ma di anno ne è passato uno solo. Lo stesso per qualsiasi altra coppia di anni discordi. Dunque, l’anno 0 non esiste! Nell’uso corrente, per il conteggio degli anni precedenti, si salta dall’anno 1 dopo Cristo all’anno 1 avanti Cristo. Dunque, se Pitagora è nato nel 569 a.C., mentre Brahmagupta è nato nel 598 d.C., quanti anni sono trascorsi tra la nascita di Pitagora e la nascita di Brahmagupta? Non sono passati 1167 anni, ma solo 1166 anni.