Matematica in viaggio 1 by ardeaeditrice

Oreste Brondo - Maria Mercedes Sorice

Matematica in viaggio 1 Libro-quaderno per le vacanze

Aritmetica Misure Geometria Scienze Scuola secondaria di primo grado

Oreste Brondo - Maria Mercedes Sorice

Matematica

in viaggio 1

Libro-quaderno per le vacanze

Il volume, suddiviso in otto unità, propone un viaggio fantastico in compagnia di DAVIDE, un ragazzo dotato di un’immaginazione straordinaria, e MOEBIUS, un “mago dei numeri”. Assieme a loro visiteremo luoghi meravigliosi e incontreremo personaggi strabilianti. Viaggeremo lungo la via Appia come antichi Romani, ammireremo la piramide di Cheope avendo accanto a noi il dio TOTH, ci ritroveremo a Stonehenge proprio nel giorno del solstizio d’estate, e tanto altro ancora… E in compagnia di DAVIDE e MOEBIUS potremo ripassare le regole della matematica e delle scienze. Vedrai: parlare di forza di gravità, potenze o poligoni sarà divertentissimo!

Aritmetica Misure Geometria Scienze

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aggio

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L’INVALSI

Euro 7,50

Volume + Laboratorio di matematica e scienze

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O ATORI LABORematica di mat enze 1 e sci

Scuola secondaria di primo grado

Classe Prima

ARDEA EDITRICE

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Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, l. 633/1941). Escluso da I.V.A. (d.p.r. 26/10/1972, n. 633, art. 2, lett. d).

MATEMATICA IN VIAGGIO 1

Classe Prima

17/03/15 12:19

INDICE Prima settimana 4-5 Alla scoperta di... L'Appia antica 6-9 Geometria • I fondamenti di geometria I fondamenti di geometria a partire da una mappa 10-11 Misure • Le misure di lunghezza Un strada lunga 720 mila passi 12-15 aritmetica • I numeri Un sistema di numerazione scolpito nella pietra

seconda settimana 18-19 Alla scoperta di... Babilonia 20-21 Geometria • I poligoni Coltivando la geometria 22-23 Misure • Le misure di capacità Quanta acqua serve per irrigare le terre di Babilonia? 24-28 aritmetica • Il sistema numerico e le operazioni (addizione e sottrazione)

16-17 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Dalle tavolette babilonesi ai numeri arabi 29-30 scienze • L'acqua L'acqua: da dove viene e dove va... terza settimana 32-33 Alla scoperta di... Stonehenge

31 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

34-37 Geometria • Gli angoli Pietre angolari... 38-39 Misure • Le misure di tempo Giorni, mesi, anni... 40-44 aritmetica • Le operazioni (moltiplicazione e divisione) e le espressioni

365 giorni diviso 52 settimane... 45 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

quarta settimana 46-47 Alla scoperta di... Il Partenone 48-51 Geometria • I quadrilateri Un tempio, tante forme 52-53 Misure • Le misure di peso Quanto pesa il Partenone? 54-58 aritmetica • Le potenze Che gara! 59 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Indice

quinta settimana 60-61 alla scoperta di... La piramide di Cheope 62-64 Geometria • I triangoli Le quattro facce di Cheope 65 scienze • La forza di gravità Un problema... molto grave! 66-67 Misure • Misurare la pendenza

sesta settimana 76-77 Alla scoperta di... La Torre dei Venti di Atene 78-81 Geometria • I poligoni regolari Disegni nel vento 82-83 Misure • Misurare la velocità Il più veloce è Borea! 84-88 aritmetica • La scomposizione in fattori. Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Salendo si impara 68-74 aritmetica • Multipli e divisori. Numeri primi e numeri composti

DAVIDE moltiplicato per 2... uguale TOTH! 75 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE settima settimana 90-91 Alla scoperta di... Persepoli 92-95 Geometria • Le simmetrie Il cielo sopra Persepoli

Persi tra le nuvole 89 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE ottava settimana 104-105 Alla scoperta di... Il Pantheon di Roma 106-109 Geometria • Il cerchio Facciamo visita a Giove 110-111 Misure • La velocità angolare

96-97 Misure • Forza e accelerazione Macchine da guerra e cavalli, fionde e arieti 98-102 aritmetica • Le frazioni (prima parte) I funzionari dell’imperatore 103 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Una stella al guinzaglio 112-118 aritmetica • Le frazioni (seconda parte) Lascia fare a Mercurio... 119 scienze • Il progresso tecnologico L'uomo si dà da fare 120 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE 121-128

mi preparo per l'invalsi

Sta per cominciare una storia che ha dell’incredibile. Chi è il protagonista? Si chiama DAVIDE, un ragazzo della tua età. DAVIDE è molto curioso e ha un’immaginazione straordinaria. Assieme a lui visiteremo luoghi fantastici e incontreremo personaggi strabilianti. Viaggeremo lungo la via Appia come antichi Romani, ammireremo la piramide di Cheope avendo accanto a noi il dio TOTH, ci ritroveremo a Stonehenge proprio nel giorno del solstizio d’estate, e tanto altro ancora… Ah, dimenticavo… assieme a DAVIDE ci sarà un “mago dei numeri”, MOEBIUS… e in loro compagnia potremo ripassare le regole della matematica e delle scienze. Vedrai: parlare di forza di gravità, potenze o poligoni sarà divertentissimo! 3

mana i t t e s a m i pr

. . . i d a t r Alla scope

Brindisi Roma

a c i t n a L'Appia

DAVIDE è in riva al mare. La spiaggia attorno è quasi deserta. È disteso su un lettino sotto un ombrellone colorato e sta leggendo un libro dal titolo Il mago dei numeri. È la storia di un ragazzo che si addormenta e in sonno riceve la visita di uno strano personaggio che gli insegna i segreti della mate matica. “Sono cose che succedono solo nei libri”, pensa DAVIDE. È arrivato a pagina dieci e, forse per il caldo o forse per il panino che ha appena mangiato, si addormenta. Un suono intenso e prolungato lo sveglia improvvisamente. Apre gli occhi. Non si trova più sulla spiaggia, ma disteso su un prato. Davanti a lui corre una strada fatta di lastre di pietra ben levigate. Un’antica strada romana! Proprio quella della foto del suo libro di storia. A svegliarlo è stato il muggito di un bue che tira un carro pieno di gente vestita in modo strano. “Ciao” dice qualcuno accanto a lui. DAVIDE si volta e vede un ragazzo. “Ovviamente non sai dove ti trovi! Ma non preoccuparti: sono qui per spiegartelo. Questa è la via Appia. L’hanno appena finita di costruire. Porta da Roma a Brindisi ed è la più antica via romana”. “E tu chi sei?” chiede DAVIDE. “Sono il tuo compagno di viaggio. Mi chiamo MOEBIUS. Assieme visiteremo molti luoghi. Ogni visita ci darà l’occasione per ripassare un po’ di matematica e scienze. Se ti va. Ah, dimenticavo, siamo esattamente nel 190. Avanti Cristo, ovviamente!”

DAVIDE ha un po’ di paura. E poi c’è questa storia della matematica e delle scienze da ripassare… Ma l’idea di essere andato indietro nel tempo di più di 2000 anni lo intriga moltissimo. “Proprio in questi giorni – continua MOEBIUS – è giunta a Roma la notizia che l’ultimo tratto della via Appia, quello che arriva fino al porto di Brindisi, è stato ultimato. Guarda questa mappa: Roma, Capua, Benevento, Taranto, Brindisi. È un susseguirsi di linee rette e curve, di punti e di segmenti”. A DAVIDE tornano in mente i primi concetti di geometria studiati a scuola, quelli che nel suo libro di matematica vengono presentati come i fondamenti di geometria.

ROMA

CAPUA

BENEVENTO

NAPOLI

TARANTO

BRINDISI

l'appia antica Stato: Italia Regioni attraversate: Lazio, Campania, Puglia, Basilicata Anno di costruzione: 312-190 a.C. Prende il nome da: Appio Claudio Cieco, politico e letterato romano che diede il via ai lavori di costruzione Lunghezza: 360 miglia romane circa Larghezza: 14 piedi romani circa

Prima settimana

geometria

I fondamenti di geometria

I fondamenti di geometria a partire da una mappa A DAVIDE non era mai capitato di considerare una mappa come un piano su cui sono tracciate linee, segmenti, punti, forme geometriche. Comincia a tornargli in mente in modo chiaro tutta la geometria studiata. ROMA

Il punto

Quando poggi la punta di un matita sulla mappa stai segnando una posizione. Un punto non ha alcuna dimensione, né spessore, né lunghezza. Per un punto possono passare inﬁnite rette. Per due punti può passare una sola retta. Per tre punti non allineati può passare un solo piano. P1

CAPUA

BENEVENTO

BRINDISI TARANTO

P3 P2

Le linee

Se lasci camminare la matita sulla mappa tracci una linea. Una linea è formata da infiniti punti e non ha alcuno spessore. Una linea può avere un’origine ma non una fine, oppure può avere un’origine e una fine. Inoltre, una linea può essere dritta, spezzata, curva o mista, oppure aperta o chiusa.

diritta

spezzata

curva

mista

Prima settimana

| geometria

Il piano

La mappa sulla quale è tracciata la via Appia può essere considerata un piano. Il piano ha una superﬁcie ma non ha spessore. Un piano è composto da inﬁnite linee attaccate (adiacenti) tra loro.

V IA

AP P IA

La retta

È una linea dritta che non ha né origine né ﬁne (è inﬁnita). Due rette che non si incontrano mai sono dette parallele. Due rette che si incontrano sono dette incidenti. Due rette che si incontrano in un punto formando quattro angoli retti sono dette perpendicolari.

retta

parallele

perpendicolari

incidenti

La semiretta

La semiretta è un insieme inﬁnito di punti che ha un’origine, ma non ha una ﬁne.

semiretta

Prima settimana

| geometria

Il segmento

Il segmento è una parte di una retta o di una semiretta delimitato da due punti chiamati estremi. Due segmenti che abbiano un estremo in comune vengono detti consecutivi. Due segmenti che abbiano un punto in comune e che si trovino tutti e due sulla stessa retta vengono detti adiacenti.

A A

B C

consecutivi A B

Gli esercizi di MOEBIUS MOEBIUS comincia a disegnare delle linee e dei punti su un foglio bianco e inizia a rivolgere delle domande a DAVIDE. 1. Indica quale linea è retta (R), quale è spezzata (S), quale è curva (C), quale è mista (M).

d e

B adiacenti

Prima settimana

| geometria

2. Quante linee possono passare per i punti A e B?

3. Quali delle seguenti rette sono incidenti (INC), quali sono perpendicolari (PER) e quali sono parallele (PAR)?

4. In quali di questi casi i segmenti sono adiacenti (A) e in quali sono consecutivi (C)? A

5. La via Appia disegnata sulla mappa è una linea retta, curva, spezzata o mista? ROMA

CAPUA NAPOLI

BENEVENTO TARANTO

È una linea

BRINDISI

..........................................

Prima settimana

misure

Le misure di lunghezza

Un strada lunga 720 mila passi Passeggiano adesso, DAVIDE e MOEBIUS, ai bordi della via Appia. “I lavori di costruzione sono cominciati nel 312” dice MOEBIUS. “Certo, centotrent’anni per realizzarla non sono pochi. Ma se pensi che è lunga circa 360 miglia romane!” “Quanto?” chiede DAVIDE. “360 miglia romane che, tradotto nel nostro sistema di misurazione delle lunghezze, equivale a più di 530 chilometri. Non male, vero?!” “Ma allora, un miglio romano corrisponde a…”. DAVIDE prova a calcolarlo, ma viene interrotto dal suo compagno di viaggio che, con un carboncino, comincia a disegnare una tabella sul selciato della via Appia. Mentre disegna, MOEBIUS dice: “Per misurare le lunghezze bisogna avere una grandezza fissa, sulla quale tutti devono essere d’accordo, altrimenti ognuno misura in modo diverso e le misure non possono essere confrontate. Si possono utilizzare un bastone di una data lunghezza o una corda, ad esempio. La misura consiste nel vedere quante volte questa grandezza è contenuta nella lunghezza da misurare”. Ecco la tabella disegnata da MOEBIUS: ci sono rappresentate le misure di lunghezza degli antichi Romani paragonate a quelle decimali adoperate attualmente in Europa. Unità di misura romana

Misura in piedi

dito

Nome latino digitus

1/16

Sistema decimale 1,85 cm

oncia

uncia

1/12

2,47 cm

palmo

palmus

7,41 cm

piede

pes

29,65 cm

cubito (gomito)

cubitus

1½

44,47 cm

passo semplice

gradus

2½

0,74 m

passo doppio

passus

1,48 m

pertica

2,96 m

atto

actus

120

35,52 m

stadio

stadium

625

185 m

miglio

miliarius

5000

1,48 km

lega

leuga

7500

2,22 km

Prima settimana

| misure

“Vedi – continua MOEBIUS – per noi l’unità di misura della lunghezza è il metro; i Romani, invece, utilizzavano il piede”. Mentre DAVIDE è intento a osservare la tabella, gli si avvicina un uomo che indossa un elmo con delle ali. L’uomo, un messaggero, gli porge un libro dal titolo Matematica in viaggio e gli dice: “Mi hanno detto di consegnarti questo. A pagina 13 c’è qualcosa che ti può interessare”. DAVIDE apre il libro alla pagina indicatagli.

Il metro

È l’unità di misura di lunghezza adottata da molti Paesi europei, tra i quali l’Italia.

I sottomultipli del metro

Il millimetro (mm): per formare un metro ci vogliono 1000 millimetri. Il centimetro (cm): per formare un metro ci vogliono 100 centimetri. Il decimetro (dm): per formare un metro ci vogliono 10 decimetri.

I multipli del metro

Il decametro (dam): è formato da 10 metri. L’ettometro (hm): è formato da 100 metri. Il chilometro (km): è formato da 1000 metri.

Gli esercizi di MOEBIUS MOEBIUS prende per mano DAVIDE e lo invita a osservare con attenzione le superfici piatte e larghe del selciato della via Appia: su ogni pietra compare un piccolo enigma matematico sulle misure! A questo punto DAVIDE non può fare a meno di provare a risolvere gli esercizi. Basteranno un carboncino e la tabella delle misure romane di MOEBIUS. 1. Uno stadio romano equivale a 185 m. A quanti stadi romani corrisponderanno 370 m? ...................................................................................................................................................

2. A quanti centimetri equivalgono 13 decimetri? ...................................................................................................................................................

3. Una torre è alta 10 pertiche e a una certa ora il sole ne proietta a terra un’ombra lunga la metà della sua altezza. Quanti metri circa sarà lunga l’ombra? ...................................................................................................................................................

4. A quanti millimetri corrisponde un passo doppio? ...................................................................................................................................................

Prima settimana

aritmetica

I numeri

Un sistema di numerazione scolpito nella pietra Continuano a passeggiare, DAVIDE e MOEBIUS, mentre il sole si avvia al tramonto. A un certo punto, l’attenzione di DAVIDE viene attirata da una piccola colonna posta sul bordo della strada, sulla quale sono incisi segni strani. “Che cos’è?” chiede. “È una pietra miliare” risponde MOEBIUS. “Segna la distanza da Roma. Ce n’è sistemata una a ogni miglio”. “E quei segni?” continua a chiedere DAVIDE. “È il modo di scrivere i numeri che utilizzavano i Romani. Adesso ti spiego come funziona il loro sistema di numerazione”. MOEBIUS comincia a tracciare dei segni sulla sua pergamena. “Ognuno di questi segni corrisponde a un numero arabo. Saprai già che i numeri arabi sono quelli che adoperiamo noi, vero?” chiede MOEBIUS. DAVIDE fa cenno di sì con la testa. I=1 C = 100

V=5 D = 500

“I numeri più piccoli si mettono a destra o a sinistra di quelli più grandi per comporre tutti gli altri. Se stanno a destra si sommano, se stanno a sinistra si sottraggono. Ad esempio: VII = 5 +1 + 1 = 7 IV = 5 – 1 = 4 LXV = 50 + 10 + 5 = 65 XL = 50 – 10 = 40 Per ogni numero che scrivi, ovviamente, devi trovare la soluzione più semplice. Per avere 15, ad esempio, non devi scrivere VVV, ma XV”.

X = 10 M = 1000

L = 50

Prima settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS Ora MOEBIUS mette alla prova DAVIDE. Vuol vedere se ha capito come si passa dal sistema di numerazione romano a quello arabo e viceversa. 1. Scrivi i numeri arabi in numeri romani e viceversa. 7 = .................. 61 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII = . . . . . . . . . . . . . . . . . . CCXVIII = . . . . . . . . . . . . . . . . . . MDLXII = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXXVI = . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII = . . . . . . . . . . . . . . . . . . DCCXLVI = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CXIV = . . . . . . . . . . . . . . . . . . DCX = . . . . . . . . . . . . . . . . . . LXVI = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“Sei davvero veloce ad apprendere” dice MOEBIUS. “Ma adesso seguimi, abbiamo ancora un piccolo pezzo di strada da fare prima di tornare a casa”. DAVIDE non se lo fa dire due volte e lo segue, ma nella sua testa continuano ad avvicendarsi cifre e lettere, numeri romani e numeri arabi. Poi, a un tratto, gli viene in mente la lezione del suo professore di matematica sui numeri naturali. E così decide di consultare il libro consegnatogli dal misterioso messaggero con l’elmo alato.

I numeri naturali

Per contare usiamo dei numeri che si chiamano numeri naturali. I numeri naturali formano un insieme. Mettendoli in ordine (0, 1, 2, 3 ecc.) si ottiene la successione dei numeri naturali, successione che è illimitata.

Maggiore, minore, uguale

I numeri naturali possono essere confrontati utilizzando i simboli > (maggiore), < (minore) e = (uguale).

Il sistema di numerazione decimale

Il sistema di numerazione in uso oggi si deﬁnisce decimale o a base 10 perché utilizza dieci simboli chiamati cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Raggruppando queste cifre si formano tutti i numeri possibili. Questo sistema di numerazione è detto anche posizionale poiché il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che essa occupa nel numero. Ogni cifra, quindi, ha un doppio valore: il valore assoluto, cioè il suo valore intrinseco, e il valore relativo, cioè quello che assume per la posizione che occupa.

Prima settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Utilizzando le cifre che seguono, componi tutti i numeri possibili. 5, 3, 8 = . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . 2, 4, 1 = . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . 1, 0, 4 = . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . 3, 2, 5, 1 = . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . , ........., ........., ........., ........., ........., ..........

........., ........., ........., ........., ........., .........,

2. Scrivi, a fianco a ogni numero, il valore che assume la cifra 8. 58.123 = . . . . . . . uk ........... 19.824 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.246 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.186 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.628 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.732 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.657 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.085 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Scrivi, a fianco a ogni numero, il valore che assume la cifra 3. 39.421 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.431 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310.126 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.817 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Scrivi in cifre i seguenti numeri. 5h 4da 3u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6uk 2da 9u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9uk 1u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7dak 4h 8u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5dak 6da = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3hk 2uk 5h = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6hk 7da 5u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8uk 3h 9da = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7dak 8h = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I numeri decimali

Nel sistema di numerazione decimale, raggruppando le cifre di 10 in 10 otteniamo numeri sempre più grandi; in maniera analoga, dividendo le unità in 10, 100, 1000 parti, otteniamo numeri sempre più piccoli: i numeri decimali. Dividendo un’unità in 10 parti otteniamo il decimo, dividendola in 100 parti otteniamo il centesimo, dividendola in 1000 parti otteniamo il millesimo. Ovviamente, come i numeri interi, anche i numeri decimali seguono la regola posizionale. Partendo dalla virgola e procedendo verso destra, il primo numero è il decimo (d), il secondo è il centesimo (c), il terzo è il millesimo (m).

Prima settimana

| aritmetica

5. Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali. 4 centinaia, 5 decine, 1 unità, 9 decimi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 unità, 6 decimi, 2 centesimi, 3 millesimi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 decimi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 decine, 8 centesimi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 unità, 5 millesimi = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Completa indicando il valore relativo delle cifre indicate. Il valore del 6 nel numero 4,361: . . . . . . .c. . . . . . . . . . . Il valore del 5 nel numero 12,564: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il valore del 3 nel numero 873,41: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il valore del 2 nel numero 41,632: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il valore del 7 nel numero 893,573: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il valore del 9 nel numero 3,927: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Segna con una crocetta il numero corrispondente all’indicazione data. 8 decimi: a) 8 b) 0,8 c) 1,8 d) 0,08

3 millesimi: a) 0,300 b) 0,03 c) 30 d) 0,003

2 centesimi: a) 0,02 b) 0,200 c) 0,2 d) 200,002

8. Indica se i seguenti numeri decimali sono scritti in ordine crescente (C) o decrescente (D). a) 48,01

48,04

48,07

48,09

48,1

48,16

b) 4,231

4,229

4,227

4,225

4,199

4,137

c) 0,001

0,0012

4,001234

4,0012345

4,00123456

4,002

9. In ciascuna delle seguenti successioni c’è un numero che non rispetta la serie crescente o decrescente. Individualo e, con una freccia, spostalo nel punto giusto. a) 5,47 b) 0,01 c) 2,3

5,48 0,02 2,35

5,49 0,03 2,5

5,5 0,004 2,46

5,6 0,05 2,6

5,54 0,06 2,61 15

Prima settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE è famoso tra gli amici e i parenti per i suoi giochi matematici, per gli enigmi e per i giochi di logica. Ogni sera si esibisce con tre o quattro nuove invenzioni. Questa volta è particolarmente in forma. Sarà stata l’influenza di MOEBIUS, ma passeggiando per l’Appia antica gliene sono venuti in mente alcuni che non vede l’ora di sottoporre ai suoi familiari.

La combinazione giusta Un gruppo di operai dell’antica Roma deve terminare un ultimo tratto di strada. Si tratta di una striscia della lunghezza di 14,5 m. Gli operai hanno a disposizione solo lastre di pietra della lunghezza di 60 cm e di 50 cm. Qual è la combinazione, in grado di ricoprire con esattezza la striscia di selciato da ultimare, nella quale le pietre da 60 cm sono il più numerose possibile?

La via più breve Un architetto dell’antica Roma progetta quattro strade diverse per unire due villaggi. Nella figura seguente sono riportati i quattro percorsi possibili immaginati dall’architetto. Numera i percorsi dal più lungo al più corto. a

Prima settimana | giochi

Alla stazione di posta Un cavaliere deve andare da Roma a Brindisi. A metà strada il suo cavallo perde un ferro. Il cavaliere si reca a una vicina stazione di posta per scambiarlo con un altro cavallo. “Avete un cavallo che possa condurmi a Brindisi?” domanda il cavaliere. “Abbiamo cinque cavalli, ma uno solo può arrivarvi. Non è il più piccolo, ha la coda più corta di quella del cavallo bianco, non è nero”. Quale dei cinque cavalli disegnati è quello che porterà il cavaliere a Brindisi?

I quadrati nascosti Un artigiano romano che fabbrica lastre per la copertura dei selciati è un appassionato di geometria. Un giorno inventa un quesito. Eccolo: “Osservate attentamente questo reticolo costituito da 16 punti. Quanti quadrati di diversa grandezza, posizione e orientamento è possibile disegnare unendo quattro punti alla volta nel reticolo sopra disegnato?

Si è fatto tardi. DAVIDE deve andare a letto. Chissà se MOEBIUS verrà a trovarlo anche stanotte.

ana m i t t e s a d Secon

. . . i d a t r Alla scope

Babilonia

a i n o l i Bab

È una giornata nuvolosa e nessuno è andato in spiaggia oggi. DAVIDE ha deciso di fare una passeggiata nella pineta. Là dentro, tra felci e pini domestici, corre un ruscello. Forse, risalendo il corso d’acqua, è possibile raggiungere la sorgente! Più DAVIDE si addentra, più la vegetazione diventa fitta. Le voci degli amici che giocano sono ormai lontane. Ecco, ha trovato quello che cercava: il flusso d’acqua viene fuori da un piccola grotta. È felice della sua scoperta e decide di entrare. Dentro tutto è avvolto nella penombra, si vede solo una piccola luce in fondo. DAVIDE comincia a percorrere la riva del torrente procedendo a passi veloci e, quando sbuca dall’altro lato, non è un sentiero nella pineta quello che si apre davanti ai suoi occhi, ma… una valle ampia e sabbiosa, percorsa da due giganteschi fiumi!

Avvicinandosi, DAVIDE nota che tra i due fiumi si estendono immensi campi coltivati. E inoltre, dei canali artificiali trasportano l’acqua ai campi. In lontananza si vedono grandi costruzioni a basi quadrangolari, e poi degli edifici immensi sui quali fanno mostra di sé giardini rigogliosi attraversati da cascate. DAVIDE è colpito dall’incessante scrosciare di acque sulle quali si formano continuamente arcobaleni. “Va bene, MOEBIUS, ho capito” dice DAVIDE. “Questa è opera tua! Vero? Ma dove sei? E soprattutto: dove mi hai portato?” MOEBIUS appare alla sua destra, chi sa da dove, e risponde subito alle domande: “Siamo alle porte di Babilonia, la grande capitale dell’Impero Babilonese. Quei due fiumi sono il Tigri e l’Eufrate, mentre il grande edifico che sembra una piramide è uno ziggurat. Le costruzioni piene di piante, vegetazione e acqua sono giardini pensili”. DAVIDE è incredulo: “Allora esistevano veramente!” “Guarda con i tuoi occhi” risponde MOEBIUS, e lo invita a fare una passeggiata tra i campi coltivati, le dighe e i canali artificiali, in direzione di Babilonia.

babilonia Stato: Iraq Regione: Mesopotamia Anno di fondazione: XIX sec. a.C. Il nome significa: Porta degli Dei

Seconda settimana

geometria

I poligoni

Coltivando... la geometria L’attenzione di DAVIDE viene subito attirata da alcuni contadini che, in un enorme campo, stanno tendendo delle corde sul terreno e piantando, lungo le corde, dei paletti di legno. “Cosa fanno?” domanda. “Dividono la terra in appezzamenti” risponde MOEBIUS. “Guarda, sono tutti di forma quadrangolare. Vengono realizzati mediante un sistema messo a punto precedentemente dai Sumeri e che verrà utilizzato anche dagli Egiziani. Il sistema è questo: bisogna innanzitutto tendere una corda sul terreno e, utilizzandola come un righello su un foglio, tracciare una linea dritta; poi, a partire da uno degli estremi della linea, bisogna tendere di nuovo la corda e tracciare un nuova linea che con la prima disegni un angolo né troppo stretto né troppo ampio; poi bisogna ripetere l’operazione altre due volte facendo in modo che la quarta linea tracciata unisca l’estremo della prima con quello dell’ultima. Ed ecco il quadrilatero!” “In maniera analoga – continua MOEBIUS – si possono realizzare anche poligoni a più lati regolari e irregolari. Sembra che la geometria sia stata inventata proprio in questo modo!” DAVIDE capisce che è arrivato il momento di ripassare.

I poligoni

I poligoni sono ﬁgure formate da linee spezzate chiuse. I poligoni regolari hanno lati e angoli uguali; gli altri si deﬁniscono poligoni irregolari. Il quadrato è un poligono regolare che ha i quattro angoli e i quattro lati uguali. Il perimetro dei poligoni si calcola sommando le lunghezze dei lati. Le diagonali sono linee che uniscono due angoli opposti del poligono. Mentre ripassa la geometria, DAVIDE vede comparire davanti ai suoi occhi una gigantesca lavagna con geometri e contadini babilonesi che tracciano poligoni di tutti i tipi.

Seconda settimana

| geometria

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Lo ziggurat è un tempio formato da quattro basamenti rettangolari, uno sovrapposto all’altro. Il lato maggiore del basamento più grande misura 62 m, il lato minore 43 m. Le misure del rettangolo del secondo basamento sono esattamente la metà di quelle del basamento maggiore. Qual è il perimetro del primo rettangolo? E quello del secondo? .................................................

2. Dei contadini Babilonesi devono tracciare una diagonale per dividere in due un appezzamento di terra di forma quadrangolare. Quante saranno e che forma avranno le figure ottenute da questa divisione? Per tracciare la diagonale sarà sufficiente una corda della stessa lunghezza del lato maggiore del quadrilatero?

....................................................................

3. Il sovrintendente alla suddivisione dei terreni della città di Babilonia si pone un quesito. Quanto misurano i lati del quadrato che ha appena fatto disegnare, se la corda utilizzata misura 1600m? E se, con la stessa corda, facesse disegnare un rettangolo i cui lati minori fossero di 300m, quanto misurerebbero i lati maggiori?

Seconda settimana

misure

Le misure di capacità

Quanta acqua serve per irrigare le terre di Babilonia? DAVIDE e MOEBIUS camminano tra i canali dirigendosi verso i giardini pensili di Babilonia. Intorno a loro ci sono dighe e mulini di legno che prelevano l’acqua del fiume e la versano in grandi vasche. “È emozionante”, pensa DAVIDE. Le illustrazioni contenute nel suo libro di storia somigliano ben poco a quello che sta osservando ora! MOEBIUS interrompe le sue riflessioni dicendo: “Un contadino babilonese per vivere ha bisogno ogni giorno di 250gr di grano, e per far crescere 100kg di grano sono necessari 100.000 litri di acqua”. “Cioè 50.000 bottiglie da due litri” aggiunge subito DAVIDE. MOEBIUS è molto soddisfatto del suo allievo e così continua il racconto: “Sembra che i Babilonesi siano stati i primi a misurare la capacità. L’unita di misura era un contenitore di forma cubica, la cui capacità era di circa 0,25 litri. Ma per avere le idee più chiare forse è meglio se cominciamo a ripassare…”.

Il litro

Il litro non è un’unita di misura di peso, ma di volume di un liquido o di un materiale che prende la forma di un contenitore. Un litro di volume o capacità corrisponde a un cubo i cui lati misurano 1dm (1dm³), un cubo cioè di 1000cm³. Per questa ragione, un litro d’acqua e un litro di olio, ad esempio, hanno un peso diverso, perché l’acqua è più pesante dell’olio. Per coincidenza, tuttavia, un litro d’acqua pesa circa 1kg, motivo per cui 1000 litri d’acqua corrispondono, con buona approssimazione, a una tonnellata di peso. Nella tabella seguente sono riportati i multipli e i sottomultipli del litro. multipli unità di misura sottomultipli

ettolitro (100 litri) decalitro (10 litri)

hl dal

litro decilitro (0,1 litri) centilitro (0,01 litri) millilitro (0,001 litri)

l dl cl ml

Seconda settimana

| misure

Gli esercizi di MOEBIUS DAVIDE e MOEBIUS arrivano a una spianata dalla quale è possibile osservare tutta la valle, fino alle porte di Babilonia. Davanti a loro c’è una grande tavola di legno massiccio sulla quale sono posti recipienti cubici, sacchi pieni di grano, grandi otri colme d’acqua e bilance moderne. “E queste da dove vengono?” domanda DAVIDE. “Non dirmi che i Babilonesi le avevano già inventate?” “No, queste le ho portate io” risponde MOEBIUS. “Ci servono per i nostri esercizi”.

1. Per produrre 100kg di grano sono necessari 100.000 litri d’acqua e ogni abitante tra il Tigri e l’Eufrate ha bisogno di 250gr di grano al giorno. Quanti kg di grano servono, in cento giorni, a una famiglia di 8 persone? E quanti litri d’acqua sono necessari per farli crescere e giungere a maturazione? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La portata di un canale corrisponde a quanta acqua esso trasporta in una certa unità di tempo. Un canale minore, che convoglia acqua a un piccolo campo di cipolle, ha una portata di 2 litri al minuto. Il campo di cipolle viene irrigato ogni giorno e ogni giorno viene irrigato per un’ora. Quanti litri di acqua giungono al campo di cipolle ogni giorno? Se le cipolle sono 300, quanta acqua riceve giornalmente ogni singola cipolla? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Un contadino deve riempire 6 recipienti cubici di acqua (da 250ml l’uno) raccogliendo il liquido da una sorgente. Per far questo, dispone di una tazza dalla capacità di 15ml. Quante tazze d’acqua sono necessarie per riempire i 6 cubi fino all’orlo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Seconda settimana

aritmetica

Il sistema numerico e le operazioni (addizione e sottrazione)

Dalle tavolette babilonesi ai numeri arabi DAVIDE e MOEBIUS giungono ai piedi dello ziggurat. Numerosi contadini, in fila, trasportano sacchi pieni di grano all’interno dell’edificio. MOEBIUS spiega a DAVIDE cosa sta succedendo: “Conservano i sacchi di grano. Raccolgono le riserve necessarie per dar da mangiare agli abitanti della città”. Davanti all’apertura inferiore dello ziggurat, alcuni uomini contano il passaggio dei sacchi e con delle punte di metallo incidono dei segni su tavolette d’argilla.

“Che strani segni, non li ho mai visti. Cosa sono?” domanda DAVIDE. “Numeri. Ma sono un po’ diversi dai nostri. Sono a base sessagesimale” risponde MOEBIUS. “Che significa sessagesimale?” I contadini posano i sacchi a terra mentre gli uomini delle tavolette si avvicinano a DAVIDE e gli mostrano i segni che hanno inciso. MOEBIUS fa un cenno a uno dei contabili, che comincia a spiegare: “Questi sono i primi 59 numeri Babilonesi”. Come per incanto spuntano accanto a ogni segno le cifre corrispondenti in numeri arabi.

Seconda settimana

| aritmetica

“Le unità sono rappresentate dai chiodini verticali e le decine dai chiodini diagonali. I numeri superiori a 60 vengono indicati con uno o più chiodini verticali (ciascuno dei quali vale 60), più gli altri segni necessari per comporre il numero”. Mentre parla, il contabile fa alcuni esempi sulla sua tavoletta di argilla. 63 = 60 + 3

84 = 60 + 24

124 = 60 + 60 + 4

195 = 60 + 60 + 60 + 15

DAVIDE è così felice di aver imparato una cosa nuova, che decide di ricambiare il favore: “Visto che mi avete insegnato come si usano i numeri babilonesi, io vi mostrerò in che modo noi facciamo le addizioni e le sottrazioni. MOEBIUS, come al solito, ci farà fare gli esercizi”. I contadini sorridono e lo guardano entusiasti. Cancellano i segni sulle loro tavolette e si preparano a seguire una lezione di matematica tenuta da un bambino venuto dal futuro. “Le operazioni fondamentali – comincia DAVIDE – sono quattro: l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Ma, come vi dicevo, visto il tempo che ho a disposizione, vi parlerò solo delle addizioni e delle sottrazioni.

L’addizione

L’addizione è l’operazione che consente di unire, di sommare due numeri. I termini dell’addizione sono: – gli addendi; – la somma o totale. 34 + 23 = 57

L’elemento neutro dell’addizione è lo zero. 18 + 0 = 18 0 + 18 = 18

somma o totale

❱❱ Per ogni operazione esiste sempre un elemento neutro, cioè un elemento che, aggiunto, tolto, moltiplicato o diviso a un termine, non modiﬁca il risultato.

addendi

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Scrivi tutte le coppie di numeri naturali la cui somma è 18. ........, ........

........, ........

2. Alcune delle seguenti addizioni sono errate; cerchiale e sostituisci uno degli addendi per renderle esatte. 34 + 11 = 43 35 + 65 = 100

................... ...................

41 + 46 = 87 58 + 16 = 84

................... ...................

17,67 + 19,12 = 24,79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32,7 + 51,9 = 84,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Seconda settimana

| aritmetica

3. Inserisci il numero necessario per rendere esatta l’addizione. 26 + . . . . . . . . = 49 . . . . . . . . + 49 = 56 3,4 + . . . . . . . . = 8,9 61,3 + . . . . . . . . = 70 . . . . . . . . + 47 = 73

55 + . . . . . . . . = 91 . . . . . . . . + 109 = 158 . . . . . . . . + 12,3 = 12,9 19,95 + . . . . . . . . = 31,47 235 + . . . . . . . . = 378

35,4 + . . . . . . . . = 63,7 . . . . . . . . + 34,12 = 65,44

❱❱ Non dimenticare che le unità

4. Esegui in colonna sul quaderno le addizioni con numeri interi e decimali e scrivi il risultato. 287 + 468 = . . . . . . . . . . . . . . . 14.758 + 698 = . . . . . . . . . . . . . . . 4,7 + 25,9 = . . . . . . . . . . . . . . .

2875 + 468 = . . . . . . . . . . . . . . . 3579 + 846 + 54 = . . . . . . . . . . . . . . . 57,6 + 8693 + 196,47 = . . . . . . . . . . . . . . .

devono essere scritte sotto le unità e le decine sotto le decine. Con i numeri decimali, incolonna la virgola e poi scrivi decimi sotto decimi, centesimi sotto centesimi ecc.

Le proprietà dell’addizione

L’addizione ha tre proprietà: la proprietà commutativa, la proprietà associativa e la proprietà dissociativa. La proprietà commutativa - Cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia. 14 + 8 = 22 8 + 14 = 22 La proprietà associativa - Sommando (associando) due o più addendi tra loro, il risultato non cambia. 38 + 22 + 14 = 74 (38 + 22) + 14 = 60 + 14 = 74 La proprietà dissociativa - Scomponendo (dissociando) un numero in una sua somma, il risultato non cambia. 57 + 23 = 80 57 + 20 + 3 = 80

5. Applica nei cinque modi possibili la proprietà commutativa. .......... ..........

34 + 8 + 52 = . . . . . . . . . .

.......... .......... ..........

+ .......... + .......... + .......... + .......... + ..........

= .......... = .......... = .......... = .......... = ..........

6. Applica la proprietà associativa alle seguenti addizioni. 47 + 36 + 4 = 59 + 11 + 23 = 17 + 29 + 43 = 19 + 42 + 28 =

(. . . . . . . . (. . . . . . . . (. . . . . . . . (. . . . . . . .

+ ........) + ........ + ........) + ........ + ........) + ........ + ........) + ........

= ........ = ........ = ........ = ........

+ ........ + ........ + ........ + ........

= ........ = ........ = ........ = ........

Seconda settimana

| aritmetica

7. Applica la proprietà dissociativa alle seguenti addizioni. 39 + 21 + 20 = 47 + 25 + 15 = 28 + 42 + 16 = 7 + 46 + 14 =

.......... .......... .......... ..........

+ .......... + .......... + .......... + ..........

La sottrazione

La sottrazione consiste nel togliere da un numero un secondo numero, ottenendo così un terzo numero più piccolo. I termini della sottrazione sono: – il minuendo; – il sottraendo; – il resto o differenza.

= .......... = .......... = .......... = ..........

L’elemento neutro della sottrazione è lo zero. 35 – 0 = 35

❱❱ La sottrazione è l’operazione inversa

sottraendo 45 – 8 = 37

resto o differenza

minuendo

dell’addizione, ma non è sempre possibile: nell’insieme dei numeri naturali si può eseguire solo quando il minuendo è maggiore del sottraendo.

8. Scrivi, accanto alle seguenti sottrazioni, l’addizione corrispondente, cioè quella che permette di riottenere il minuendo. 58 – 35 = 23 72 – 43 = . . . . . . . . . . 61 – 35 = . . . . . . . . . . 80 – 38 = . . . . . . . . . . 57 – 9 = . . . . . . . . . .

➜ ➜ ➜ ➜ ➜

23 + 35 = 58 .......... + .......... .......... + .......... .......... + .......... .......... + ..........

= .......... = .......... = .......... = ..........

9. Esegui in colonna sul quaderno le sottrazioni e scrivi il risultato. 516 – 48 = . . . . . . . . . . 932 – 879 = . . . . . . . . . . 645 – 127 = . . . . . . . . . .

803 – 56,42 = . . . . . . . . . . 740,7 – 586,39 = . . . . . . . . . . 6113,2 – 4354,65 = . . . . . . . . . .

❱❱ Quando il minuendo non ha la parte decimale, per sottrarre devi immaginare che abbia, come parte decimale, degli zeri.

Seconda settimana

| aritmetica

Proprietà della sottrazione

La sottrazione gode solo della proprietà invariantiva. La proprietà invariantiva - Aggiungendo o togliendo uno stesso numero a entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia. (42 + 3) – (27 + 3) = 45 – 30 = 15 42 – 27 = 15 ➜ ➜ (42 – 7) – (27 – 7) = 35 – 20 = 15

10. Applica la proprietà invariantiva in tutte e due le modalità (cioè aggiungendo e togliendo una stessa quantità a entrambi i termini). (. . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . ) – (. . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . ) = . . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . 127 – 43 = . . . . . . . . . . ➜ ➜ (. . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . ) – (. . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . ) = . . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . .

I contadini e i contabili si alzano in piedi e applaudono fragorosamente DAVIDE e MOEBIUS per la loro lezione di matematica.

Seconda settimana

scienze

L'acqua

L'acqua: da dove viene e dove va... “Penso sia giunto il momento di tornare a casa”, dice MOEBIUS. “E da che parte bisogna andare?” chiede DAVIDE. “Seguimi, dobbiamo andare di là”, risponde MOEBIUS e indica una piccola cascata su una roccia ai bordi di un bacino di irrigazione. Si incamminano. I contadini e i contabili li accompagnano come in una processione fino a un sentiero che conduce dentro la cascata. “Adesso devi continuare da solo” dice MOEBIUS.

DAVIDE si inoltra attraversando il muro scrosciante d’acqua. Tra le rocce e i rivoli d’acqua intravede la luce del sole alla fine di una galleria. Attraversa la galleria e giunge alla spiaggia dove si trovava poche ore prima (o pochi giorni fa). Ha ancora il suono dell’acqua nelle orecchie: è come una musica. Poi sente la voce di MOEBIUS, come se stesse raccontando… “L’acqua, l’acqua, tutti gli esseri viventi cercano l’acqua, hanno bisogno dell’acqua…”. DAVIDE si accorge di indossare di nuovo il costume. Si stende sull’asciugamano. La voce di MOEBIUS gli arriva da lontano come in un sogno. Si addormenta e continua a sognare. E mentre sogna, sente la voce di MOEBIUS…

L’acqua è in continuo movimento da quando esiste il pianeta Terra. In 4 miliardi di anni, ogni singola molecola d’acqua avrà fatto diverse volte il giro della Terra, trascinata dalle correnti marine, nei fiumi sotterranei e nei torrenti, viaggiando tra le nuvole, finendo in una goccia di condensa, evaporando poi alla luce del sole o al soffio del vento. Le molecole d’acqua allo stato liquido sono sempre in movimento, e quelle che si trovano alla superﬁcie delle acque si disperdono continuamente nell’aria in forma di vapore, strappate via dal vento e dall’aria, anch’essa in continuo movimento. Più alta è la temperatura (in estate o ai tropici) più le molecole d’acqua si muovono e più ne vengono strappate dalle superﬁci dei laghi e dei mari per essere trasformate in vapore acqueo. Quest’ultimo è presente anche nell’aria che respiriamo, oltre che nelle nuvole che vengono modellate e trasportate dal vento.

Seconda settimana

| scienze

Buona parte del vapore presente nell’aria viene dal mare, ma una grande quantità viene anche dalle distese di vegetazione presenti sul pianeta, in particolare dalle foreste tropicali. Le piante prendono l’acqua dal terreno e, attraverso un sistema di canali interni, la diffondono in tutte le parti del loro corpo ﬁno alle foglie. L’acqua, quando arriva alle foglie, in parte viene tramutata in altre sostanze, in parte viene espulsa in forma di vapore (traspirazione). Per questo motivo l’aria nelle foreste è molto umida. Della formazione delle nuvole non sono quindi responsabili solo i mari e i laghi, ma anche le foreste di tutto il mondo.

La vita è nata nell’acqua e per continuare a riprodursi ha bisogno dell’acqua. Il corpo di tutti gli esseri viventi è formato in gran parte di acqua. L’acqua presente nel corpo degli animali trasporta l’ossigeno prodotto dalla respirazione e le sostanze nutritive in tutto l’organismo, e porta via in diversi modi le sostanze nocive, gli scarti della digestione e della respirazione; attraverso la traspirazione (sudore, evaporazione) mantiene l’organismo a temperature accettabili anche in giornate molto calde.

Anche se i Babilonesi non sapevano tutte queste cose, erano abbastanza intelligenti per capire che un posto pieno d’acqua è un buon posto dove vivere. Questa è la principale ragione per la quale tutte le principali civiltà sono nate nei pressi di grandi ﬁumi.

Seconda settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE ha la testa piena di pensieri e di idee. Gli sembra di sentire lo scroscio del’acqua dei giardini pensili e, intanto, gli vengono in mente, quasi senza pensarci, una serie di giochi e di enigmi. “Stasera ci divertiremo”, dice tra sé e sé.

Quanta acqua al tuo mulino! Un mulino solleva fino a un canale 6200 litri d’acqua ogni ora, riempiendo una vasca in 6 ore. In quante ore la stessa vasca verrà riempita da un mulino capace di trasportare solo 1600 litri d’acqua all’ora?

Il mulino di Ubik

Un mulino trasporta dell’acqua fino a una vasca, dalla quale un altro mulino la trasporta a un’altra vasca, dalla quale un altro mulino la trasporta a un’altra vasca, dalla quale un altro mulino la riversa in un canale tramite il quale il contadino Ubik irriga un piano del giardino pensile. Considerando che il primo mulino si trova a piano terra e che a ogni passaggio l’acqua sale di un piano, a che piano si troverà il contadino Ubik?

ana m i t t e s a z r Te

. . . i d a t r Alla scope

e g n e h e Ston

Stonehenge

DAVIDE è seduto sugli scalini del patio della sua casa di villeggiatura. È notte e guarda il cielo. Gli piacerebbe conoscere i nomi delle stelle e delle costellazioni. A un tratto una voce lo distoglie dai suoi pensieri: “Lo sai quale di questi astri è la stella polare?” È la voce di MOEBIUS. È seduto accanto a lui, guarda il cielo e continua a parlare: “Non è molto grande, ma si trova in una zona piena di altre stelle piuttosto piccole e quindi risalta particolarmente”. MOEBIUS indica a DAVIDE la stella polare che si trova proprio davanti a loro: “Eccola, la vedi? Assieme a quelle altre sei forma il disegno del piccolo carro. Pensa che una cosa così piccola, da migliaia di anni, permette agli uomini di orientarsi”. I due contemplano per un po’ la costellazione. La Luna non è ancora sorta. “Ho una domanda da farti, MOEBIUS” dice DAVIDE all’improvviso. “Perché gli uomini hanno cominciato a studiare il cielo?” “Per ragioni molto pratiche” risponde MOEBIUS. “Ed è proprio studiando il cielo che hanno inventato una parte importante della geometria e hanno cominciato a misurare il tempo”.

MOEBIUS si alza in piedi, fa un cenno a DAVIDE e gli dice: “Vieni, ti voglio mostrare una cosa”. “Chissà dove mi porterà?” si domanda DAVIDE. La risposta arriva subito. Superata la barriera dei pini davanti casa, DAVIDE vede aprirsi una spianata, un prato enorme lì dove avrebbe dovuto esserci la spiaggia. La Luna, che un attimo prima non c’era, adesso illumina un tempio circolare fatto di colonne e pietre enormi. “Dove siamo?” chiede DAVIDE. “In Inghilterra, nel 1600 a.C. circa” risponde MOEBIUS. “E quello cos’è?” “Stonehenge!”

Stonehenge

MOEBIUS conduce DAVIDE lungo un sentiero che corre dritto verso il centro del tempio. Sul Stato: Regno Unito sentiero, in direzione opposta, sorge un’enorProvincia: Wiltshire me pietra. Anno di costruzione: la costruzione venne intrapresa “Gli inglesi la chiamano Heel Stone. Se la intorno al 3100 a.C. e si concluse intorno al 1600 a.C. guardi dal centro del tempio, indica la direzione Materiali di costruzione: le pietre di dimensioni in cui sorge il Sole nel primo giorno d’estate. È maggiori, in gres e dal peso di 25/50 tonnellate, furono taun giorno importante, il 21 giugno, il solstigliate da una collina distante 30 km dal sito archeologico e zio d’estate, quando la terra comincia a retrasportate probabilmente per mezzo di slitte fatte scivolastituire molti dei suoi frutti. È da quando l’uomo re su rulli in legno; le pietre di dimensioni inferiori, invece, ha iniziato a coltivare che ha dovuto studiare il furono tagliate in Galles, a una distanza di oltre 200 km dal cielo, e imparare a misurare con precisione il sito, e trasportate su imbarcazioni. tempo, per sapere esattamente quando seminare, quando innaffiare e quando raccogliere. Stonehenge è un gigantesco osservatorio astronomico. Gli uomini di queste terre hanno cominciato a costruirlo nel 3100 a.C. e i lavori sono terminati da poco. Oggi è il giorno del solstizio!”

Terza settimana

geometria

Gli angoli

Pietre angolari... Con un gesto della mano MOEBIUS traccia nell’aria un cerchio che si materializza, luminoso, sullo sfondo scuro del cielo: “Questo è il cerchio delle colonne di Stonehenge”. Poi segna un punto al centro: “E questa è la pietra dalla quale si osservano i moti del Sole (O). Questa, invece, è Heel Stone (S), la pietra che indica la direzione nella quale sorge il Sole nel solstizio, mentre questa è la direzione nella quale il sole tramonta. Questa, infine, è la direzione in cui si vede il Sole a mezzogiorno, cioè quando si trova nel punto più alto del suo cammino sopra l’orizzonte, e indica il sud”. sud

il Sole è nel punto più alto

sud

est

rge so Sole il S

ovest

tra il mon So ta le

nord

angolo retto

“Cosa ti sembra che abbiamo disegnato?” chiede MOEBIUS sorridendo. est ovest “Un cerchio, delle linee, dei punti, il centro del cerchio…”. DAVIDE improvvisamente sussulta: “Angoli! Abbiamo disegnato angoli!” “Bene – continua MOEBIUS – adesso guarda: tracciamo le linee che indicano la direzione nordsud e quella est-ovest. Come vedi dividono il cernord chio in quattro parti uguali e formano, al centro, quattro angoli retti”. “Già”, commenta DAVIDE. “E cosa formano quattro angoli retti?” chiede MOEBIUS. “Un angolo giro” risponde DAVIDE. “E due angoli retti?” “Un angolo piatto”. A ogni risposta MOEBIUS modifica il disegno. sud

sud

est

angolo giro

nord

ovest

est

angolo piatto

nord

ovest

Terza settimana

| geometria

“Bene, ora guarda” dice MOEBIUS, e disegna sud sul cerchio le linee che indicano le direzioni in cui sorge e tramonta il Sole nel primo giorno d’estate. “Dalla parte nord del tempio, che angolo formaangolo no le due linee?” concavo “Un angolo più piccolo dell’angolo piatto… si est ovest chiama angolo convesso”, risponde DAVIDE. “E verso sud?” chiede ancora MOEBIUS. angolo “Un angolo maggiore dell’angolo piatto, cioè un convesso tra angolo concavo”. m e g i r l S ont Improvvisamente DAVIDE si accorge che sta so Sole ole a il sorvolando il tempio. MOEBIUS continua a dinord segnare e a fare domande: “Che angolo forma la linea che indica il sorgere del Sole assieme alla linea che indica l’est?” “Un angolo inferiore all’angolo retto, quindi un angolo acuto”. “E che angolo forma la linea che indica il sorgere del Sole assieme alla linea che segna il sud?” “Un angolo più grande dell’angolo retto, cioè un angolo ottuso”. sud

sud

angolo ottuso est

rge le o s So il

ovest

angolo acuto

nord

est

rge le o s So il

ovest

nord

A un tratto un vento tiepido spinge DAVIDE e MOEBIUS verso l’alto. DAVIDE guarda giù e vede piccoli villaggi con case di legno e pietra, campi coltivati, recinti con dentro animali. Si mette a sognare: sogna di misurare angoli!

Terza settimana

| geometria

Gli angoli

L’unita di misura dell’angolo è il grado. Un angolo giro misura 360°. Un angolo piatto misura 180°. Un angolo retto misura 90°. Il punto in cui si incontrano gli angoli si chiama vertice. Continuando oltre il vertice, i lati formano un angolo opposto uguale al primo. Due angoli sono complementari se sommandoli formano un angolo retto. Il grado è suddivisibile in 60 primi (60’). Ogni primo è suddivisibile in 60 secondi (60’’). Il cielo comincia a diventare chiaro. Si vede della gente uscire dalle case. Alcuni sono vestiti con pelli e altri abiti di rozzi tessuti, forse di lana. Probabilmente vanno a lavorare nei campi. DAVIDE e MOEBIUS atterrano al centro del tempio e si stendono sul prato in attesa del sorgere del Sole.

Gli esercizi di MOEBIUS I primi raggi che fanno capolino dall’altro lato della Terra formano delle scritte sulla sfera celeste. DAVIDE le osserva con attenzione. “È incredibile. Una pagina di esercizi in cielo!” Non sa se essere contento o sentirsi perseguitato. Ma usando il dito, come gli ha insegnato a fare MOEBIUS, comincia a risolverli. 1. Il Sole in una giornata (24 ore) compie un giro completo intorno alla Terra; l’astro disegna cioè un angolo di 360° che ha come vertice il punto da cui lo osserviamo (la Terra). Quanto misurerà l’angolo disegnato dal Sole in 6 ore (un quarto di giornata)? Consiglio per Davide: immagina la Terra piccola come un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

’’

°3

5 6’2

Terra

2. La Luna ha percorso, intorno a Stonehenge, un arco di 48°36’25”. Quanti gradi dovrà percorrere ancora per tracciare nel cielo un arco di 90° (angolo retto)? Avviso per Davide: ricorda che quella parte di cerchio sottesa da un angolo è chiamata arco e può essere misurata in gradi (la sua misura corrisponde a quella dell’angolo che lo sottende). ...........................................................................................

3. Osserva i disegni che seguono. Rappresentano il cerchio del tempio di Stonehenge suddiviso in quattro settori dalle linee che segnano le direzioni cardinali (nord, sud, est, ovest etc.). Su ogni disegno è indicato con una lettera un angolo. Scrivi per ciascuno di essi di che tipo di angolo si tratta (concavo, convesso, retto).

Terza settimana

S a

S c

O E

N a

| geometria

...............................

O E

N b

...............................

N d

...............................

4. Durante i lavori di costruzione di Stonehenge, viene realizzato inizialmente un arco della misura di 22°35’46”. A un certo punto, però, i lavori vengono interrotti perché le pietre sono esaurite. Dopo alcuni mesi si ricomincia a costruire e viene realizzato un altro frammento di arco dalla misura di 16°25’12”. Poi i lavori vengono nuovamente interrotti, per essere ripresi un anno dopo; in questa terza sessione viene realizzato un terzo frammento di 7°0’2”. Qual è a questo punto la misura complessiva dell’arco costruito? Consiglio per Davide: devi sommare gli angoli. ..................................................................

5. Completa la tabella scrivendo accanto a ogni misura (di tempo o di ampiezza d’angolo) l’altra misura corrispondente.

Ampiezza angoli 30°

Avviso per Davide: ogni ora (60 minuti) il Sole percorre in cielo un angolo di 15° che si ottiene unendo i punti in cui esso si trova a distanza di un’ora con la pietra centrale di Stonehenge (il vertice).

Tempo 20 minuti 120 minuti

90° 100 minuti 20°

6. Rispondi alle seguenti domande. a. In quanti archi di 30° potremmo suddividere il cerchio di Stonehenge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Qual è la misura di un angolo i cui due lati coincidono? ...................

c. Quanto misura l’angolo complementare di 35°? ...................

d. Quale angolo si forma sul centro del tempio di Stonehenge unendo la linea che segna il nord e quella che segna il sud? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAVIDE è così impegnato da non accorgersi che è arrivata della gente. Guardano tutti in direzione della Heel Stone. “Tra poco sorge il Sole e inizia l’estate” dice MOEBIUS. Gli uomini sollevano le mani nella direzione nella quale comparirà l’astro. Cantano qualcosa in una lingua sconosciuta a DAVIDE. Finalmente appare il Sole, esattamente da dietro Heel Stone. Nel tempio cala il silenzio. Poi gli uomini scompaiono e DAVIDE e MOEBIUS rimangono soli. 37

Terza settimana

misure

Le misure di tempo

Giorni, mesi, anni... “Gli uomini hanno capito molto presto cosa sono le stagioni e come si susseguono. Inoltre, osservando il ciclo di vita delle piante e di certi animali si sono resi conto di quanto gli esseri viventi siano influenzati dal loro andamento”. La voce di MOEBIUS si staglia nel silenzio.

“Hanno compreso che il Sole torna a sorgere negli stessi punti ogni 365 giorni, proprio nel momento in cui hanno costruito templi come questo di Stonehenge”. “E i mesi?” chiede DAVIDE. “Gli uomini – risponde MOEBIUS – hanno notato che ogni anno la Luna torna a essere piena per 12 volte. Per questo si è deciso di dividere l’anno in 12 mesi”.

Terza settimana

| misure

“E come è nata la suddivisione del giorno in 24 ore?” “Sempre in onore della Luna, gli uomini hanno diviso il tempo della luce in 12 ore, e lo stesso hanno fatto con il tempo della notte. 12 più 12 fa 24: per questo il giorno è suddiviso in 24 ore”. “Non riesco però a capire perché la settimana sia fatta di 7 giorni” dice DAVIDE. “Nel cielo ci sono degli astri che si muovono in modo diverso dalle stelle fisse: la Luna, Marte, Mercurio, Giove, Venere, Saturno e il Sole. A ognuno di loro è stato dedicato un giorno. In seguito, il giorno di Saturno è diventato sabato (la festa ebraica) e quello del Sole domenica (il giorno del Signore dei cristiani). “Riassumiamo” dice DAVIDE. “L’anno è costituito da 365 giorni ed è suddiviso in 12 mesi. Ogni anno è fatto di 52 settimane circa. Ogni giorno è suddiviso in 24 ore. Ogni ora è di 60 minuti e ogni minuto di 60 secondi”. DAVIDE non si è reso conto di aver superato la barriera dei pini e che già da un po’ MOEBIUS non è più accanto a lui. Torna subito indietro, ma questa volta, al di là della pineta, sotto il sole d’agosto, c’è la spiaggia: di Stonehenge più nessuna traccia! Ritorna nel patio e, poggiato sulla balaustra, trova un quaderno con degli esercizi.

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Rispondi alle seguenti domande. a. Visto che le stagioni sono 4, qual è la durata media di ogni stagione? _________________________ b. Quante settimane può avere un mese? _________________________ c. Il mezzogiorno è il momento in cui il Sole raggiunge la sua massima altezza durante la giornata. Alle 9.00 il Sole sta scendendo o sta salendo? _________________________ d. Alle 16.00 il Sole sta scendendo o sta salendo? _________________________ e. Di quante ore è composta una settimana? _________________________ f. Di quanti secondi è composta un’ora? _________________________ g. A mezzanotte il Sole si trova nella parte opposta della Terra. Quando è mezzanotte nella parte opposta, qui da noi che ora sarà? _________________________ h. Di quanti minuti è composto un giorno? _________________________ 39

Terza settimana

aritmetica

Le operazioni (moltiplicazione e divisione) e le espressioni

365 giorni diviso 52 settimane... DAVIDE si è reso conto che per misurare il tempo è necessario usare le moltiplicazioni e le divisioni e, poiché ci tiene a fare bella figura con MOEBIUS, decide di prepararsi al meglio per il prossimo incontro. Va nella sua stanza e sulla scrivania trova il libro che gli aveva dato il messaggero incontrato sulla via Appia. Apre a pagina 40.

La moltiplicazione

La moltiplicazione è quell’operazione che consente di associare a due numeri un terzo numero, ottenuto addizionando il primo numero tante volte quante ne indica il secondo. I termini della moltiplicazione sono: – i fattori; – il prodotto. 3 × 4 = 12

L’elemento neutro della moltiplicazione è l’1. 13 × 1 = 13 1 × 13 = 13

❱❱ Nella moltiplicazione esiste la legge di

prodotto

annullamento del prodotto in virtù della quale qualunque sia il numero dei fattori, se uno di essi è uguale a zero, il prodotto sarà zero.

fattori

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Trasforma le seguenti moltiplicazioni in addizioni e viceversa. 11 × 3 8×5 .................. ..................

➜ 11 + 11 + 11 ➜ ............................. ➜ 7+7+7+7 ➜ 9+9

2×4 .................. ..................

6×3

2. Esegui le moltiplicazioni in colonna. 47 × 26 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 × 61 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 × 3,2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45,6 × 3,7 = . . . . . . . . . . . . . .

137 × 35 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 × 23 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,3 × 2,4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,83 × 5,6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

❱❱ Per stabilire dove va messa la virgola, devi contare da destra tante cifre decimali quante sono in totale le cifre decimali dei fattori.

➜ ............................. ➜ 8+8+8+8+8 ➜ 13 + 13 ➜ .............................

Terza settimana

| aritmetica

Le proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, associativa, dissociativa e distributiva. Proprietà commutativa - Cambiando l’ordine dei fattori, il risultato non cambia. 3 × 7 = 21 7 × 3 = 21 Proprietà associativa - Moltiplicando due o più fattori tra loro, il prodotto non cambia. 2 × 4 × 3 = 24 (2 × 4) × 3 = 8 × 3 = 24 Proprietà dissociativa - Sostituendo uno dei fattori con due fattori di cui esso sia il prodotto, il risultato non cambia. 35 × 8 = 280 (7 × 5) × 8 = 280 Proprietà distributiva - Questa proprietà va applicata quando si deve moltiplicare un numero per una somma o per una differenza. Proprietà distributiva rispetto all’addizione: per moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare ogni addendo per quel numero e poi sommare i prodotti. (7 + 8) × 2 = 15 × 2 = 30 (7 + 8) × 2 = (7 × 2) + (8 × 2) = 14 + 16 = 30 Proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per moltiplicare un numero per una differenza, si può moltiplicare ogni termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i prodotti. (9 – 6) × 4 = 3 × 4 = 12 (9 – 6) × 4 = (9 × 4) – (6 × 4) = 36 – 24 = 12

3. Applica la proprietà commutativa nei cinque modi possibili. ....... .......

4 × 5 × 8 = ...........

....... ....... .......

× ....... × ....... × ....... × ....... × .......

= ....... = ....... = ....... = ....... = .......

....... .......

2 × 4 × 6 = ..........

....... ....... .......

× ....... × ....... × ....... × ....... × .......

= ....... = ....... = ....... = ....... = .......

4. Applica la proprietà associativa. 3 × 6 × 5 = ........... ➜ 9 × 3 × 2 = ........... ➜ 7 × 5 × 4 = ........... ➜

....... ....... .......

× ....... = ....... × ....... = ....... × ....... = .......

5. Applica la proprietà dissociativa. 15 × 8 = . . . . . . . . . . . 36 × 2 = . . . . . . . . . . . 28 × 5 = . . . . . . . . . . .

➜ ➜ ➜

....... ....... .......

× ....... × ....... = ....... × ....... = ....... × ....... × ....... = ....... × ....... = ....... × ....... × ....... = ....... × ....... = .......

6. Applica la proprietà distributiva. (9 + 7) × 4 = (. . . . . . . × . . . . . . . ) + (. . . . . . . × . . . . . . . ) = . . . . . . . + . . . . . . . = . . . . . . . (6 – 2) × 8 = (. . . . . . . × . . . . . . . ) – (. . . . . . . × . . . . . . . ) = . . . . . . . – . . . . . . . = . . . . . . .

(3 + 4) × 5 = . . . . . . . × . . . . . . . = . . . . . . . (8 – 6) × 7 = . . . . . . . × . . . . . . . = . . . . . . . 41

Terza settimana

| aritmetica

La divisione

divisore

La divisione è quell’operazione che consente di associare a due numeri un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà il primo. Consiste nello scomporre una quantità in varie parti uguali. I termini della divisione sono: – il dividendo; – il divisore; – il quoziente o quoto.

24 : 6 = 4

quoto

dividendo L’elemento neutro della divisione è l’1. 12 : 1 = 12

❱❱ Quando la divisione è esatta, il risultato si chiama quoto; quando la divisione ha il resto, invece, il risultato si chiama quoziente.

7. Esegui le divisioni in colonna. 135 : 5 = . . . . . . . . . . . 750 : 25 = . . . . . . . . . . . 96,9 : 3 = . . . . . . . . . . . 17,48 : 46 = . . . . . . . . . . .

648 : 6 = . . . . . . . . . . . 1378 : 53 = . . . . . . . . . . . 6,57 : 9 = . . . . . . . . . . . 4,371 : 9,3 = . . . . . . . . . . .

Le proprietà della divisione

La divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva. Proprietà invariantiva - Moltiplicando o dividendo entrambi i termini per uno stesso numero, il risultato non cambia. Questa proprietà consente di avere sempre, come fattori, cifre tonde o numeri facili da dividere. 30 : 6 = 5

(30 × 5) : (6 × 5) = 150 : 30 = 5 (30 : 2) : (6 : 2) = 15 : 3 = 5

Proprietà distributiva - Questa proprietà va applicata quando si deve dividere un numero per una somma o per una differenza. Proprietà distributiva rispetto all’addizione: per dividere una somma per un numero, si può dividere ciascun termine della somma per quel numero e poi sommare i risultati. (15 + 35) : 5 = 50 : 5 = 10 (15 + 35) : 5 = (15 : 5) + (35 : 5) = 3 + 7 = 10 Proprietà distributiva rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza per un numero, si può dividere ogni termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i risultati. (42 – 18) : 6 = 24 : 6 = 4 (42 – 18) : 6 = (42 : 6) – (18 : 6) = 7 – 3 = 4

Terza settimana

| aritmetica

8. Applica la proprietà invariantiva in tutte e due le modalità (cioè moltiplicando e dividendo entrambi i termini per la stessa quantità). 40 : 8 = . . . . . . .

(. . . . . . . × . . . . . . . ) : (. . . . . . . × . . . . . . . ) = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . . (. . . . . . . : . . . . . . . ) : (. . . . . . . : . . . . . . . ) = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . .

35 : 7 = . . . . . . .

9. Applica la proprietà distributiva. (16 + 20) : 4 = (. . . . . . . : . . . . . . . ) + (. . . . . . . : . . . . . . . ) = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . . (24 – 18) : 3 = (. . . . . . . : . . . . . . . ) – (. . . . . . . : . . . . . . . ) = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . .

(15 + 10) : 5 = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . . (28 – 21) : 7 = . . . . . . . : . . . . . . . = . . . . . . .

Le espressioni

Conoscendo le quattro operazioni si possono eseguire le espressioni, che sono un insieme di numeri legati fra loro dai simboli delle operazioni. Le espressioni hanno una serie di regole molto importanti. I regola Quando, in un’espressione senza parentesi, compaiono solo addizioni e sottrazioni, oppure solo moltiplicazioni e divisioni, le operazioni devono essere eseguite secondo l’ordine in cui sono scritte. 43 – 21 – 4 + 6 = = 22 – 4 + 6 = = 18 + 6 = = 24

4 × 9 : 12 × 7 = = 36 : 12 × 7 = =3×7= = 21

II regola Quando, in un’espressione senza parentesi, compaiono almeno un’addizione o una sottrazione e una moltiplicazione o una divisione, bisogna eseguire prima le moltiplicazioni e le divisioni poi le addizioni e le sottrazioni. 18 : 2 – 4 + 8 × 3 = = 9 – 4 + 24 = = 5 + 24 = = 29 III regola Quando in un’espressione compaiono le parentesi, l’ordine d’esecuzione delle operazioni è dato dalle parentesi stesse, sempre rispettando le regole espresse prima. Bisogna quindi svolgere prima le operazioni racchiuse nelle parentesi più interne, poi quelle nelle parentesi più esterne. Per convenzione le parentesi che si utilizzano sono: tonde ( ); quadre [ ]; graffe{ }. Le più interne sono quelle tonde, poi ci sono le quadre, inﬁne le graffe. 42 : {[(8 + 5 × 4 – 13) : 3] + 2} + 4 – 5 = = 42 : {[(8 + 20 – 13) : 3] + 2} + 4 – 5 = = 42 : {[15 : 3] + 2} + 4 – 5 = = 42 : {5 + 2} + 4 – 5 = = 42 : 7 + 4 – 5 = =5

Terza settimana

| aritmetica

10. Esegui le espressioni con le addizioni e le sottrazioni o con le moltiplicazioni e le divisioni. a. 24 + 6 + 8 – 4 – 9 = = ...... + 8 – 4 – 9 = = ...... – 4 – 9 = = ...... – 9 = = ......

b. 12 × 3 : 9 × 5 = = ...... : 9 × 5 = = ...... × 5 = = ......

c. 8 × 9 : 6 : 4 × 8 = . . . . . .

d. 49 – 15 + 26 – 15 – 24 = . . . . . .

11. Esegui le espressioni con le quattro operazioni. a. 8 + 36 : 9 – 8 : 2 = = 8 + ...... – ...... = = ...... – ...... = = ......

b. 7 × 4 + 3 + 72 : 8 + 9 = = ...... + 3 + ...... + 9 = = ...... + ...... + 9 = = ...... + 9 = = ......

c. 9 × 5 – 5 × 7 + 6 × 3 = . . . . . .

d. 2 + 54 : 6 – 4 + 6 : 2 = . . . . . .

e. 31 – 7 – 5 + 4 × 3 + 9 – 6 × 6 = . . . . . .

f. 8 × 7 – 6 × 7 – 4 – 81 : 9 = . . . . . .

12. Esegui le espressioni con le parentesi. a. [(13 – 2 × 5) + 6] : 3 + 4 × (5 + 2 × 3) – 37 = = [(13 – . . . . . . ) + 6] : 3 + 4 × (5 + . . . . . . ) – 37 = = [ . . . . . . + 6] : 3 + 4 × . . . . . . – 37 = = . . . . . . : 3 + . . . . . . – 37 = = . . . . . . + . . . . . . – 37 = = ...... b. (32 : 8) : {3 × 2 – [3 × 5 – (18 + 9) : 3 – 24 : 6]} × 5 = = . . . . . . : {3 × 2 – [3 × 5 – . . . . . . : 3 – 24 : 6]} × 5 = = . . . . . . : {3 × 2 – [ . . . . . . – . . . . . . – . . . . . . ]} × 5 = = . . . . . . : {3 × 2 – . . . . . . } × 5 = = ...... : { ...... – ...... } × 5 = = ...... : ...... × 5 = = ...... c. 25 – {[(46 – 50 : 2 – 19) × 15] : 5} × 3 + 5 = . . . . . . . . . . . . . . . d. {[(12 × 4 – 40) : 2 + 10] : 7 + 9 : 3} × 7 + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . e. {4 × [(26 + 12 : 3) – (5 + 20 : 4) × (32 : 8 – 2)]} – (8 + 7 × 4) = . . . . . . . . . . . . . . . f. 8 : {1 + [13 + (18 + 7 – 3 × 3) : 8] : 5} + 6 × 6 = . . . . . . . . . . . . . . . g. {63 : 7 – (12 – 9) × 2 : [3 × (2 + 4) – 16]} + (4 + 24 : 6) = . . . . . . . . . . . . . . . 44

Terza settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Un’altra settimana è quasi giunta al termine. DAVIDE pensa a Stonehenge, all’origine della misura del tempo, agli astri. A casa hanno appena finito di cenare. Tutti si aspettano, come è ormai tradizione, che DAVIDE proponga qualche enigma. E lui non si fa pregare: prende un foglio e un pennarello dalla credenza, e comincia a disegnare e a scrivere.

I due orologi sfasati Ci sono due orologi, uno che spacca il secondo e uno che ogni ora accumula un ritardo di due minuti. Il proprietario dei due orologi dà la carica a entrambi e li regola sullo stesso orario: le 16.00. Il giorno dopo, però, si accorge che l’orologio buono si è fermato. Quello rimasto in funzione, invece, segna le 11.20. Che ore sono in realtà?

Equinozi DAVIDE disegna su un grande foglio un cerchio simile alla pianta del tempio di Stonehenge. Lungo il perimetro del cerchio ci sono 24 colonne. Al centro c’è una colonna dalla quale un astronomo guarda il Sole spostarsi. In un anno ci sono due soli giorni durante i quali il Sole compie il suo percorso in cielo in 12 ore esatte (le altre 12 ore sono quelle della notte). In quei due gironi il Sole sorge esattamente a est e tramonta esattamente a ovest, muovendosi nella parte sud del cielo. Guardate il disegno. Nel suo percorso da est a ovest, su quale colonna si troverà il Sole alle 12.00? E alle 8.00? E alle 18.00?

sud

B est

ovest

P Y

Q X

R W

nord

na a m i t t e s a Quart

Atene

. . . i d a t r Alla scope

e n o n e Il Part

Stasera in televisione danno un documentario sull’antica Grecia. DAVIDE non vuole perderselo. I suoi familiari sono andati a una festa e lui ha preferito rimanere a casa. È solo. Accende il televisore giusto in tempo: il documentario è appena cominciato. Un cronista esperto di storia antica sta raccontando qualcosa sul Partenone: “Dedicato alla dea Atena, protettrice della città, è il più famoso tempio greco. Le splendide decorazioni di questo famoso monumento sono state realizzate dal grande scultore FIDIA. Eccolo, sta arrivando per rilasciarci un’intervista”. Accanto al cronista appare un uomo dai cui vestiti si capisce che è di un altro tempo. “Che trovata originale travestire un attore da antico greco e far finta che si tratti di FIDIA”, pensa DAVIDE. Improvvisamente, però, si accorge che accanto a FIDIA c’è qualcun altro che lui invece conosce benissimo: “MOEBIUS! Che ci fai in televisione?” dice ad alta voce DAVIDE. “Ti stavamo aspettando, FIDIA vuole conoscerti” risponde MOEBIUS dallo schermo televisivo. Il cronista è scomparso e il tempio, che fino a un attimo prima era mezzo diroccato, adesso appare nuovo, come appena costruito. FIDIA gli fa cenno di avvicinarsi.

il partenone Stato: Grecia Città: Atene Il nome deriva: dalla monumentale statua di culto realizzata da Fidia, ospitata nella stanza orientale, raffigurante Atena Parthenos Anno di costruzione: i lavori cominciarono nel 447 a.C. e furono completati attorno al 438 a.C.; il lavoro A ssulle decorazioni, tuttavia, continuò per almeno altri sei anni.

46 46

“Ma come faccio?” domanda DAVIDE. “Chiudi gli occhi e dammi la mano”, risponde MOEBIUS tendendogli la sua dallo schermo. DAVIDE obbedisce, chiude dell video d glili occhi, hi allunga ll lla mano verso il chiarore hi d id e sente t che h qualcuno l gliela afferra. È una stretta delicata, affettuosa. “Bene, adesso apri gli occhi” dice MOEBIUS. DAVIDE apre gli occhi: si trova ad Atene, nel 440 a.C. Intorno al tempio sta avendo luogo una celebrazione in onore di Atena. FIDIA guarda negli occhi DAVIDE e sorride. “Maestro – dice MOEBIUS rivolgendosi al grande artista – DAVIDE è venuto qui per studiare un po’ di matematica”. “Penso di poterlo aiutare”, risponde FIDIA. “Ho qualcosa qui che potrebbe servirgli”. Apre una grande pergamena sulla quale sono riportati i disegni del progetto del Partenone. È tutto annotato con scritte in greco che DAVIDE non riesce a comprendere. MOEBIUS passa una mano sulla pergamena e le scritte si trasformano: diventano comprensibili, sono parole in caratteri latini e numeri arabi. FIDIA continua sorridere. 47 47

Quarta settimana

geometria

I quadrilateri

Un tempio, tante forme “Come vedi – dice FIDIA rivolgendosi a DAVIDE – il Partenone è pieno di quadrilateri, cioè poligoni formati da quattro lati e quattro angoli. Il segmento che unisce un angolo di un quadrilatero all’angolo opposto si chiama diagonale. Il perimetro, invece, è uguale alla somma della lunghezza dei quattro lati. Esistono diversi tipi di quadrilateri; vediamo quali di questi è possibile trovare nel Partenone”. “Ecco, ad esempio, la pianta del tempio è un grande rettangolo” interviene MOEBIUS. “Ma se guardi bene il colonnato, scoprirai anche dei quadrati. L’altezza delle colonne (h) è uguale alla distanza (d) tra il bordo sinistro della colonna 1 e il bordo destro della colonna 3. Quindi i lati di questo quadrilatero sono uguali. Si tratta allora di un quadrato”.

d C

Rettangolo

Il rettangolo e il quadrato

Quadrato

Il rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti. L’altezza di un rettangolo è la distanza minima tra il lato inferiore e quello superiore. Le sue diagonali sono uguali. Il quadrato ha tutti e quattro i lati e gli angoli uguali. Le sue diagonali sono uguali e sono bisettrici degli angoli ai vertici.

Quarta settimana

| geometria

“E come la mettiamo con i parallelogrammi?” chiede DAVIDE. “In questo caso ci può aiutare solo un po’ di magia e di immaginazione”, interviene FIDIA. Come per incanto, le colonne del Partenone cominciano a inclinarsi tutte dallo stesso lato.

h A

Parallelogramma

“Come vedi – continua MOEBIUS – si è formata una figura che prima non c’era. Ha i lati a due a due uguali, ma gli angoli non sono tutti retti: è un parallelogramma!” “Il rombo – interviene a questo punto FIDIA – lo formiamo nello stesso modo: in fondo si tratta sempre di un parallelogramma, solo che si ottiene inclinando i lati di un quadrato. E, proprio perché si ricava deformando un quadrato, ha i lati uguali”. C

A D

C O B

Rombo

È orientato in due modi diversi ma è lo stesso rombo 49

Quarta settimana

| geometria

“Per ottenere il trapezio, invece, bisogna andare alla base del colonnato e guardarlo dal basso”. DAVIDE segue il consiglio di FIDIA ed ecco come vede il colonnato. “Per un effetto ottico sembra che il lato in alto sia più piccolo di quello in basso. Quella che viene fuori è l’immagine di un trapezio, e in particolare di un trapezio isoscele”. D

Trapezio isoscele

h A

Trapezio rettangolo

Trapezio scaleno

Il parallelogramma, il rombo e il trapezio

Il parallelogramma è un quadrilatero con gli angoli opposti uguali e con i lati opposti uguali e paralleli. La sua altezza è la distanza minima tra i due lati opposti. Il rombo è un parallelogramma con i lati uguali. Le sue diagonali sono bisettrici degli angoli e lo dividono in quattro triangoli uguali. Il trapezio ha due lati paralleli che sono denominati base maggiore e base minore. Il trapezio può essere di tre tipi: isoscele, rettangolo e scaleno. L’altezza del trapezio è la distanza tra le due basi (nel trapezio rettangolo corrisponde a uno dei due lati). “Ah – conclude MOEBIUS – dimenticavo di dirti che sommando gli angoli interni di un quadrilatero si ottiene un angolo giro (360°). Ma adesso è arrivato il momento di allenarsi”.

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Il perimetro esterno del Partenone misura 208m. Considerando che il lato maggiore di questo grande rettangolo è 72 m, quanto misura il lato minore? ..................................................................

Quarta settimana

| geometria

2. Quanto misurerebbero i lati del Partenone se il suo perimetro fosse immutato (208m) ma il suo basamento di forma quadrata? ..................................................................

3. Osserva il colonnato del Partenone. Come vedi i bordi esterni delle colonne 1 e 3 formano un quadrato con la base che comprendono. Dato che tutte le colonne sono alte 10,45m, qual è il perimetro del quadrato individuato nell’immagine? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Incliniamo, proprio come ha fatto FIDIA con il colonnato del Partenone, i lati di un rettangolo, in modo da ottenere un parallelogramma con lo stesso perimetro del rettangolo R. Se il perimetro del rettangolo R è 45m, quanto misura ciascun lato obliquo del parallelogramma P? C

D’

R A

C’ P

A’

..............................................

B’

5. Proviamo a giocare con i numeri. Il rettangolo R ha un perimetro di 48cm. Deformandolo opportunamente otteniamo un trapezio isoscele T dello stesso perimetro, la cui base maggiore misura 16cm, mentre la base minore è di 14cm. Quanto misurano i lati obliqui? C

D’

R A

C’ T

A’

B’

..............................................

6. Sommando gli angoli del rombo rappresentato a lato, si ottiene un angolo di 360°. Disegnando la diagonale d, si divide il rombo in due triangoli perfettamente uguali. Che cosa si ottiene sommando gli angoli di uno dei triangoli? ..........................................................................................

Quarta settimana

misure

Le misure di peso

Quanto pesa il Partenone? “Il tempio è molto grande” osserva DAVIDE. “Ogni pietra usata per costruirlo deve pesare moltissimo”. FIDIA si ferma a osservare un grosso pilastro su cui si erge una pietra squadrata: “Quella là sopra pesa circa 6 talenti”. “E cosa sono i talenti?” domanda DAVIDE. “Un’unità di misura di peso usata in Grecia ai tempi della costruzione del Partenone”, risponde MOEBIUS. “Ma per capirci qualcosa forse è meglio se prima ripassiamo le unità di misura del peso usate in Italia”.

“Bene – dice FIDIA – così imparo anch’io qualcosa”. Si seggono su un prato, all’ombra di un grosso cedro, e MOEBIUS comincia la lezione: “Il peso è la forza con la quale un oggetto viene attratto al suolo e l’unità di misura del peso è il chilogrammo…”. Tra le sue mani appare un foglio bianco sul quale si materializza la tabella a lato.

10 grammi

formano 1 decagrammo

(dag)

100 grammi

formano 1 ettogrammo

(hg)

1000 grammi 10 chilogrammi

formano 1 chilogrammo formano 1 miriagrammo

(kg) (mg)

100 chilogrammi

formano 1 quintale

(q)

1000 chilogrammi

formano 1 tonnellata

(t)

10 decigrammi

(dg)

100 centigrammi

(cg)

1000 milligrammi

(mg)

A sua volta il grammo è divisibile in:

“Nella Grecia del V secolo a.C. – continua MOEBIUS – le unità di misura erano diverse da quelle adoperate adesso”. Sul foglio appare un’altra tabella. Unità greca obolo dracma mina talento

corrispondente a 0,72 gr 4,31 gr 432 gr 25,86 kg

Quarta settimana

| misure

Gli esercizi di MOEBIUS 1. FIDIA ha detto che la pietra squadrata in cima alla colonna pesa 6 talenti. A quanti chili corrispondono 6 talenti? ........................................................

2. Una cosa che sulla Terra ha un certo peso, sugli altri pianeti ne ha uno diverso. Nella tabella che segue è riportato quanto pesa in chilogrammi un oggetto di un chilo (peso terrestre) sui diversi pianeti. Quanto pesa sulla superficie di ognuno dei pianeti indicati un uomo di 70 kg. Marte

0,3895

Giove

2,640

..........

Sole

27,90

..........

Mercurio 0,3770

..........

Luna

0,1655

Urano

0,917

..........

Venere

0,9032

Saturno 1,139

..........

3. Misura il tuo peso corporeo e, adoperando la tabella sui rapporti di peso tra i pianeti, calcola quanto peseresti su Marte, Giove, Mercurio ecc. Marte

............

Sole

. . . .. . . . . . . .

Giove

............

Mercurio

. . . .. . . . . . . .

Luna

............

Venere

. . . .. . . . . . . .

Urano

............

Saturno

. . . .. . . . . . . .

4. A quanti oboli corrispondono 87,12 gr? ...................................................................

5. Risolvi le seguenti equivalenze. 3,4 kg = . . . . . . . . . . gr 3400 mg = . . . . . . . . . . gr 4,6 t = . . . . . . . . . . q

2,34 q = . . . . . . . . . . kg 12.400 gr = . . . . . . . . . . kg 17 dg = . . . . . . . . . . mg

6. Se una colonna del Partenone pesa 79 tonnellate, quanti quintali peseranno tutte le 44 colonne del tempio? ...................................................................

7. La mela che FIDIA ha appena addentato pesa 120 gr. Quante mele ci vogliono per arrivare a una tonnellata? ...................................................................

Quarta settimana

aritmetica

Le potenze

Che gara! MOEBIUS e DAVIDE si accorgono che FIDIA sta disegnando qualcosa sulla pergamena sulla quale è raffigurato il progetto del Partenone. Si tratta di un quadrato suddiviso a sua volta in tanti piccoli quadrati. Ecco il suo disegno. Una volta terminato, FIDIA domanda a MOEBIUS: “Visto che abbiamo parlato di quadrati, mi sai spiegare che rapporto c’è tra il numero di quadrati che entrano nel quadrato grande e la lunghezza dei lati del quadrato?” MOEBIUS conta i quadrati contenuti nel quadrato grande: “Sono 64” dice. Poi conta quanti quadratini è lungo un lato del quadrato: “8 quadratini”. Infine scrive sulla pergamena: 8 × 8 = 64, “Che può essere scritto – aggiunge – anche 82 = 64, che si legge otto al quadrato uguale sessantaquattro”. FIDIA e DAVIDE sono interessati alla questione e così MOEBIUS continua: “Si tratta di una potenza. Nelle potenze si distinguono due elementi: la base e l’esponente. La base (in questo caso 8) è il numero che bisogna moltiplicare per se stesso più volte, ed è scritto più grande; l’esponente (in questo caso 2) è il numero che indica quante volte bisogna moltiplicare la base per se stessa, ed è scritto più piccolo sopra alla base. Quindi, elevare a potenza significa moltiplicare la base per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente: 82 = 8 × 8 = 64”.

Le particolarità dell’elevamento a potenza

L’elevamento a potenza presenta delle particolarità: – l’1 elevato a qualsiasi potenza resta sempre 1 1 × 1 × 1… fa sempre 1

18 = 1

– qualsiasi potenza elevata a 1 resta uguale a se stessa 9 ripetuto una volta sola resta sempre 9

91 = 9

– lo 0 elevato a qualsiasi potenza resta sempre 0 0 × 0 × 0… fa sempre 0

06 = 0

– qualsiasi numero elevato a 0 ha come risultato 1 70 = 1 questo è più difﬁcile da spiegare, ma basta dire che è come se un numero elevato a 0 perdesse tutte le sue caratteristiche e restasse solo come una entità, cioè 1.

82 base

esponente

Quarta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Riscrivi le moltiplicazioni utilizzando le potenze. 5 × 5 × 5 × 5 = 54 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = ........ 2 × 4 × 2 × 5 = ........

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = ........ 9 × 9 × 6 = ........ 1 × 1 × 1 × 1 = ........

6 × 6 × 9 × 6 = ........ 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = ........ 4 × 4 × 5 × 4 × 4 = ........

2. Scrivi, sotto forma di moltiplicazione, le seguenti potenze. 64 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8³ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Completa la tabella.

Base

Esponente

Potenza

Moltiplicazione corrispondente 3×3×3×3 6×6×6

Valore della potenza 81

53 4×4×4×4 64 6

MOEBIUS osserva FIDIA e DAVIDE, seduti a terra davanti alle loro tavole, che calcolano potenze. Oramai è diventata una vera e propria gara. I due si esibiscono in moltiplicazioni sempre più difficili, fino a che FIDIA non scoppia a ridere: “Oh mamma mia! Questa come si fa?” e scrive per terra: 75 × 73. “Niente di più facile” interviene MOEBIUS divertito: “Come le quattro operazioni, anche le potenze hanno delle proprietà che facilitano i calcoli e consentono di trovare il risultato senza dover fare complicate moltiplicazioni. Vediamole assieme”. 55

Quarta settimana

| aritmetica

Le proprietà delle potenze

Come le quattro operazioni, anche le potenze godono di alcune proprietà, grazie alle quali è possibile trovare il risultato in maniera semplice e veloce. Prodotto di potenze con la stessa base - Se, in una moltiplicazione, due o più potenze hanno la stessa base, il loro prodotto sarà una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 75 × 73 = 75+3 = 78 Quoziente di potenze con la stessa base - Se, in una divisione, due potenze hanno la stessa base, il risultato sarà una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti. 45 : 43 = 45-3 = 42 Potenza di una potenza - Se una potenza è elevata ulteriormente a potenza, il risultato sarà una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. (64)3 = 64×3 = 612 Prodotto di potenze con lo stesso esponente - Se, in una moltiplicazione, due o più potenze hanno lo stesso esponente, il risultato sarà una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. 43 × 33 × 63 = (4 × 3 × 6)3 = 723 Quoziente di potenze con lo stesso esponente - Se, in una divisione, due potenze hanno lo stesso esponente, il risultato sarà una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. 204 : 54 = (20 : 5)4 = 44

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Esegui le potenze. 43 × 4 × 42 = . . . . . . . . . . 78 : 75 = .......... (64)5 = . . . . . . . . . . 9 2 × 7 2 × 42 = . . . . . . . . . . 52 × 53 × 52 = . . . . . . . . . . 36 : 33 = . . . . . . . . . . (23)8 = . . . . . . . . . . 64 × 24 × 8 4 = . . . . . . . . . .

323 : 8 3 = . . . . . . . . . . 47 × 37 × 27 × 57 = . . . . . . . . . . 9 11 : 9 4 = . . . . . . . . . . 40 6 : 56 = . . . . . . . . . . 635 : 7 5 = . . . . . . . . . . 24 × 23 × 2 × 22 = . . . . . . . . . . (7 3)6 = . . . . . . . . . . 34 × 36 × 35 × 32 = . . . . . . . . . .

❱❱ Quando un numero non ha esponente, lo si considera elevato a 1.

2. Indica se le equivalenze sono vere o false. 53 : 5 = 53

8 9 : 29 = 49

(7 5)3 = 7 8

62 × 64 × 63 = 67

96 : 93 = 93

45 × 25 × 7 5 = (56)5

Quarta settimana

| aritmetica

Ad un tratto MOEBIUS, rivolgendosi a FIDIA e DAVIDE con aria di sfida, dice: “Ora provate con questa!” e scrive sul muro di un’abitazione: (87 : 85 + 65 : 63) : (72 – 24 – 23) x (64 : 63 – 22 : 2) = .... “Ma queste sono facili” interviene DAVIDE. “Sono espressioni con le potenze e mi pare di ricordare che in un’espressione in cui compaiono delle potenze, prima di qualsiasi altra operazione, è necessario eseguire proprio le potenze”. FIDIA si arrende. Per lui è troppo. MOE+ 6 BIUS e DAVIDE, invece, continuano il gioco delle potenze. Atene stessa, con le sue colline e 2 +9 le sue costruzioni, sembra essere diventata una 2 : (4 4 (2 ) 2 – 1]3 × 0: grossa lavagna. 5)2 –1 50]3 50]3 × 42 1 – × 42 + +[4 5 2 1 – 9 2 ) : (52 – )–1 5+ 4 49 ( : 8 : (4)2 ) – 1]3 × 42 + 62 + 92 : (25 – 16) – 15 +(82

– 72 ( : ) : 63 8) × (6 5 6 + – 2) 87 : 85

16) – 15

: 36)

([48 : (2 0:

: (4 )2 – 1]3 × 42

– 2) 4 2 +9

4 2) + ( 25

–

[48 3 : ( 42 – 150]

+ (82

92 : (52 – 15 + [

16 –

4+ 64 : 63 – 22 : 2)+(6

42 +

8: [48 : (4)2 – 1] 3 [ 4

– 2 3) × (

4 – 15 +

Espressioni con le potenze

In un’espressione in cui compaiono delle potenze, prima di qualsiasi altra operazione, è necessario eseguire le potenze, applicando le varie proprietà di cui esse godono. (87 : 85 + 65 : 63) : (72 – 24 – 23) × (64 : 63 – 22 : 2) = = (82 + 62) : (49 – 16 – 8) × (6 – 2) = = (64 + 36) : 25 × 4 = = 100 : 25 × 4 = =4×4= = 16

[48 : (20 : 5)2 – 150]3 × 42 + 92 : (52 – 42) – 15 = = [48 : (4)2 – 1]3 × 42 + 92 : (25 – 16) – 15 = = [48 : 16 – 1]3 × 42 + 92 : 9 – 15 = = [2]3 × 42 + 9 – 15 = = 8 × 16 + 9 – 15 = = 128 + 9 – 15 = = 122

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Esegui le espressioni. a. [(36 × 76 × 26) : (22 × 72 × 32)] : (6 × 7)3 = = [(. . . . . . . . × . . . . . . . . × . . . . . . . . )6 : (. . . . . . . . × . . . . . . . . × . . . . . . . . )2] : 423 = = [. . . . . . . . : . . . . . . . . ] : 423 = = . . . . . . . . : 423 = = 42 57

Quarta settimana

| aritmetica

b. (42 + 33 – 17) : (24+ 32 × 2 – 7 × 4) = = (. . . . . . . . + . . . . . . . . – . . . . . . . . ) : (. . . . . . . . + . . . . . . . . × . . . . . . . . – . . . . . . . . ) = = . . . . . . . . : (. . . . . . . . + . . . . . . . . – . . . . . . . . ) = = ........ : ........ = =7 c. {[62 + 15 – 34 : 2 – (183 : 93)] – 3 × 7}2 : 52 = . . . . . . . . = {[. . . . . . . . 2 + . . . . . . . . – . . . . . . . . : . . . . . . . . – . . . . . . . . 3] – . . . . . . . . × . . . . . . . . }2 : . . . . . . . . 2 = = {[. . . . . . . . + . . . . . . . . – . . . . . . . . : . . . . . . . . – . . . . . . . . ] – . . . . . . . . × . . . . . . . . }2 : . . . . . . . . 2 = = {[. . . . . . . . + . . . . . . . . – . . . . . . . . – . . . . . . . . ] – . . . . . . . . × . . . . . . . . }2 : . . . . . . . . 2 = = {. . . . . . . . – . . . . . . . . × . . . . . . . . }2 : . . . . . . . . 2 = = {. . . . . . . . – . . . . . . . . }2 : . . . . . . . . 2 = = ........ : ........ = =1 d. [47 : 45 – 22 × (5 – 36 : 35)] × (22 × 2) = . . . . . . . . e. [(32 – 2) × 5 – 32] : 13 + [(33 : 3 + 6) : 5] × 23 = . . . . . . . . f. (44 : 42) : (45 : 44) + {[18 × 32 – (8 – 22)] × (48 : 47)} = . . . . . . . . Il premio per l’espressione più lunga e complessa tocca a MOEBIUS che, scherzando, sale su un grosso sasso fingendo che si tratti di un podio dove riceverà una medaglia. DAVIDE applaude divertito. Ad un tratto, però, il paesaggio attorno a lui cambia, come se qualcuno avesse azionato un telecomando. Si stropiccia gli occhi e si accorge di essere davanti alla televisione con i suoi genitori. Sono tornati dalla festa, suo padre ha cambiato canale e sta guardando un notiziario.

Quarta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Il giorno dopo DAVIDE è pieno di idee. Tutti i suoi familiari sono svegli e sono sul patio. Questa volta, piuttosto che aspettare la cena, proporrà i suoi enigmi a colazione, quando la mente è ancora fresca… e quando nessuno se lo aspetta!

Anagrammi Trovatemi almeno un anagramma per ciascuna delle seguenti parole. strade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sumeri: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nottata: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tempio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giochi di quadrati Guardate questo quadrato blu.

All’interno ne disegno uno rosso i cui vertici corrispondono alla metà dei lati del quadrato circoscritto.

All’interno del quadrato rosso ne disegno uno verde i cui vertici corrispondono alla metà dei lati del quadrato circoscritto. Quante volte sarà più piccolo il lato del quadrato verde rispetto a quello blu?

imana t t e s a t n i Qu

Giza

. . . i d a t r Alla scope

e d i m a La pir heope di C

È notte. DAVIDE va a letto. È stata una giornata faticosa e intesa: una gita in barca, le gare di nuoto con gli amici. È molto stanco ma soddisfatto. Si addormenta e immediatamente comincia a sognare. Sente un rumore di ali e un becchettare fitto e sonoro, come se un uccello fosse entrato nella sua stanza. Nel buio vede brillare due occhi piccoli e circolari. Per un attimo ha paura, ma una voce calma e gentile subito lo rassicura: “Perdonami se ti disturbo, ma sto cercando DAVIDE”.

“Sono io”. “Ah! Bene! Io invece sono TOTH. Vorresti seguirmi per favore?” DAVIDE non si muove. “Hai ragione, forse è il caso che io ti dia prima qualche altra informazione. Sono il dio egizio della luna, del calcolo, della geometria e della misura del tempo”. DAVIDE ha un’intuizione: “Scommetto che ti manda MOEBIUS”. “Effettivamente sì. Il fatto è che lui non poteva venire e mi ha chiesto di occuparmi di te per questa volta”. Un po’ di luce comincia a trasparire, viene dal sole che sta sorgendo su un orizzonte piatto e desertico. DAVIDE si accorge di non essere più nella sua stanza, ma disteso su una specie di lettiga in mezzo al deserto. Davanti a lui si erge un uomo con una testa di uccello. “Si tratta di una testa di Ibis, ma non meravigliarti: gli dei sono tipi bizzarri. Del resto ciascuno di noi ha le sue stranezze. Tu, per esempio, secondo me hai gli occhi troppo scuri. Comunque, poche chiacchiere, siamo qui per studiare i triangoli e altre cose che scopriremo strada facendo”. Mentre pronuncia queste parole, descrive verso il cielo un ampio gesto al quale il sole sembra obbedire sollevandosi velocemente sull’orizzonte e illuminando un’enorme piramide egizia al centro di una spianata in mezzo al deserto. “Ti presento la piramide di Cheope”, dice TOTH con voce solenne.

la piramide di Cheope Stato: Egitto Città: Giza Anno di costruzione: i lavori durarono tra i 10 e i 20 anni e si conclusero nel 2560 a.C. circa Altezza: quando venne costruita era alta circa 280 cubiti egiziani, corrispondenti a 146,6 metri; la sua altezza attuale tuttavia è di 138 metri Superficie: 53.077 m2

61 61

Quinta settimana

geometria

I triangoli

Le quattro facce di Cheope Le mani di TOTH sono dotate di un immenso potere. “Vedi, adesso tutti stanno dormendo. Ho gettato un incantesimo sulla valle. I mortali non possono guardarmi in volto per troppo tempo”. “Ma anch’io sono un mortale”, obietta impaurito DAVIDE. “Che c’entra? Tu vieni da un altro tempo, nel quale non si crede più a certe cose!” “Non capisco”. “Lo so – continua TOTH – ma questo non ha a che fare con il motivo per cui ti ho portato qui”. E tagliando corto, con un gesto della mano, solleva la grande piramide e la fa ruotare nel cielo. “Guarda, la base della piramide è un quadrato. La settimana scorsa siete stati in Grecia a studiare i quadrati. Grandi architetti i Greci, ma nemmeno noi siamo messi male. Osserva ora le altre quattro facce della piramide: sono triangoli. Un triangolo è un poligono fatto da tre lati e tre angoli, e come per tutti i poligoni il suo perimetro si calcola sommando la lunghezza dei lati. Ma come vedi questi triangoli hanno una particolarità. Osserviamone uno con attenzione”. Con un gesto TOTH sposta la piramide in modo che si veda solo una delle sue facciate triangolari.

“Si tratta di un triangolo con due lati uguali e la base un po’ più lunga. In linguaggio geometrico si definisce triangolo isoscele. Ma sta a guardare”. Puntando un dito verso il triangolo immobile in cielo TOTH traccia una linea che unisce il suo angolo più alto alla base. “L’altezza di un triangolo è la distanza minima tra il vertice di un angolo e la retta su cui si trova il lato opposto”.

A “Ma non abbiamo ancora finito”. Con alcuni gesti delle mani TOTH separa in tre pezzi il triangolo della piramide e ne accosta gli angoli formando in cielo un’altra figura. “Un angolo piatto” dice DAVIDE.

180°

Quinta settimana

| geometria

“Bravo! Infatti, la somma degli angoli di un triangolo, di qualsiasi triangolo, forma un angolo piatto (180°)”. TOTH sembra non voler perder tempo: “Adesso guarda”. DAVIDE vede il triangolo della piramide deformarsi. “Come ti avevo detto, esistono diversi tipi di triangoli. A parte quello isoscele, ci sono anche il triangolo equilatero, che ha tre angoli e tre lati uguali, e il triangolo rettangolo che ha un angolo di 90°. E infine c’è il triangolo scaleno che ha tre lati diversi e tre angoli diversi. Penso possa bastare! Adesso devi fare un po’ di esercizi; così mi ha detto MOEBIUS”. C

Triangolo isoscele

h B A

Triangolo equilatero

B A

Triangolo rettangolo

Triangolo scaleno

Gli esercizi di MOEBIUS …anche se è TOTH ad averli inventati!

1. I quattro triangoli che formano le facce laterali della piramide di Cheope son uguali. La loro base misura 230m e gli altri due lati (sono isosceli) misurano 218m. Quanto misura il perimetro di ciascun triangolo? E quanto misura il perimetro del quadrato che forma la base della piramide?

230 m .........................................

2. Con tre cannucce di varie lunghezze (13cm, 9cm, 16cm), quanti triangoli di forma diversa si possono costruire? Suggerimento per DAVIDE: Verifica ritagliando tre cannucce delle misure indicate.

.........................................

| geometria

3. TOTH compie la sua ennesima magia e taglia la piramide di Cheope come se fosse una torta. La divide in quattro fette fino a ottenere il triangolo riportato a lato. L’altezza è di 147m, la base misura la metà del lato del quadrato sul quale sorge la piramide e il perimetro è 447m. Quanto misura il lato obliquo del triangolo? Di che tipo di triangolo si tratta?

147m

Quinta settimana

...............................................................

4. Del triangolo isoscele che compone una delle facciate della piramide conosci l’ampiezza di uno solo dei due angoli uguali: 56°. Calcola l’ampiezza degli altri due angoli. ...............................................................

5. È possibile disegnare un triangolo con un lato di 18cm, uno di 6cm e uno di 11cm? (Verifica realizzandolo con delle cannucce). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“Ma tu che sei il dio egizio della matematica e del calcolo – dice DAVIDE – come fai a conoscere le cannucce?” TOTH gli si avvicina con aria complice e gli sussurra nell’orecchio: “Debbo confessarti che di tanto in tanto vengo a dare una sbirciatina nei vostri bar; vado pazzo per la gassosa e ho imparato a berla con la cannuccia!”

quinta settimana

scienze

La forza di gravità

Un problema... molto grave! Adesso DAVIDE e TOTH si trovano in cima a una piramide. La pendenza è vertiginosa. Sono seduti su un piccolo scalino, guardano il deserto, i campi lontani, il fiume vasto come un mare. DAVIDE comincia a far rotolare giù delle pietre. Mentre rotolano, vanno sempre più veloci, fino a conficcarsi nella sabbia. Anche TOTH comincia giocare. “Chissà perché vanno sempre più veloci?” sussurra TOTH. Intanto cominciano a scendere. “È la forza di gravità” dice DAVIDE felice di poter insegnare anche lui qualcosa a TOTH. “Nel senso che è un problema molto grave?” chiede TOTH. “No, è un fatto assolutamente normale. Pensa a questo: se tu fai girare continuamente i pedali di una bicicletta, la bicicletta andrà sempre più veloce!” Adesso stanno camminano su una spianata. “Biciclette? Ah sì! Ne ho viste diverse quella volta che sono andato a Ravenna nel XX secolo. Ho provato ad andarci sopra. È vero! Se pedali continuamente, vai sempre più veloce. Ne ho rotta una schiantandomi contro un muro”. “Bene, ora ragiona” dice DAVIDE. “Se salti da uno scalino, non ti fai niente. Ma se salti dalla cima di una torre?” “Se non hai le ali come me, sei spacciato”, dice TOTH ridacchiando. “Bravo” dice DAVIDE soddisfatto. “Dunque, quando una pietra rotola per una discesa, oppure viene gettata da un finestra, c’è una forza che agisce su di lei continuamente, come quando si pedala senza fermarsi mai. È la forza di gravità. È per questo che qualsiasi oggetto che rotola o cade accelera sempre di più fino a che non giunge a terra. E questa accelerazione è continua. Tant’è vero che se si corre in discesa diventa più difficile fermarsi, perché alla forza delle gambe si aggiunge quella ancora più potente della gravità”. “Mentre in salita la forza delle gambe deve vincere quella di gravità. Quindi è per questo che è più faticoso” aggiunge TOTH. “Esatto!” esclama DAVIDE. “E tutto questo dipende dalla pendenza: maggiore è la pendenza, più forte sarà l’accelerazione se si scende, o la fatica se si sale”. “Le pendenze?” dice TOTH. “Sulle pendenze so tutto io. Seguimi”.

Quinta settimana

misure

Misurare la pendenza

Salendo si impara “Come ti dicevo – riprende TOTH rivolgendosi a DAVIDE – sulle pendenze io sono uno specialista… Fai attenzione!” Improvvisamente, grazie a una magia del dio egizio, il terreno sotto i loro piedi, fino a quel momento perfettamente piano, diventa in salita. “Vedi – dice TOTH – ogni passo che fai in direzione Nord sali verso l’alto: è quella che voi chiamate una salita”. DAVIDE e TOTH cominciano a camminare. “Bene, adesso la faccio diventare più ripida”. “Man mano che la pendenza aumenta, diventa più faticoso salire” osserva DAVIDE. “Già! Ci sono diversi modi per misurare la pendenza” continua TOTH. “Ora te ne spiego uno”. Improvvisamente il suolo sotto i loro piedi ridiventa pianeggiante; poi, con un gesto della mano, TOTH disegna un triangolo nel cielo.

“Questo lo sa fare anche MOEBIUS”, dice DAVIDE. “Gliel’ho insegnato io”, risponde sbrigativo TOTH. Sul disegno sono rappresentate anche delle misure. “Il punto zero – continua TOTH – è l’inizio della salita. La retta r rappresenta la salita. Se quel piccolo uomo che vedi andasse avanti di 5m fino al punto A, si troverebbe a un’altezza di 3m; se andasse avanti di 10m (B), si troverebbe a un’alAvanzamento Quota tezza di 6m; se andasse avanti di 15m (C), si troverebbe a un’al5m 3m tezza di 9m. 10m 6m La pendenza può essere mi15m 9m surata in frazioni, mettendo al C numeratore la quota e al denominatore l’avanzamento. Anche se MOEBIUS non te le ha fatte anm cora ripassare, penso che tu sappia 15 B quel che ti serve per capire cosa ti sto dicendo. In questo caso puoi m 9m 10 osservare che ogni 5 metri di percorso si sale di 3 metri, per cui la 6m pendenza della prima salita è 3/5, A m 5 il che significa 3 metri di quota 3m ogni 5 metri di percorso”. A quer sto punto TOTH disegna un altro triangolo; la salita rappresentata è O evidentemente più ripida. 66

Quinta settimana

“Bene, ora se il piccolo uomo va avanti di 5m (A), sale a quota 7m; se va avanti di 10m (B), sale a quota 14m; se va avanti di 15m (C), sale a quota 21m”. “In questo caso la pendenza è 7/5”, dice DAVIDE. “E poi ho notato che se triplichi negli avanzamenti, triplichi anche nelle quote”. “Esatto! Infatti 21 e 14 sono multipli di 7, così come 6 e 9 sono multipli di 3”. “Cosa significa multiplo?” domanda DAVIDE. “Questo dovresti già saperlo. Adesso facciamo un po’ di esercizi per vedere se hai capito”.

Avanzamento 5m 10m 15m

| misure

Quota 7m 14m 21m

21m

14m

7m r O

Gli esercizi di MOEBIUS …inventati, però, sempre da TOTH. 1. DAVIDE sta scendendo un declivio. Percorre 25m e scende da quota 15 (A) a quota 10 (B). Quanto misura la pendenza di questa discesa? Suggerimento per Davide: Ricorda che un discesa non è altro che una salita al contrario.

15m 25m

.................................................................

7 6

28m

10m

2. DAVIDE comincia a salire, da quota 0, una salita la cui pendenza è di 7/6. Quanti metri deve percorrere per raggiungere l’altezza di 28m? .................................................................

3. Le frazioni che seguono sono le misure di diverse pendenze. Numerale dalla più ripida alla meno ripida. 3/4

5/3

1/6

2/17

9/2

7/8

Quinta settimana

aritmetica

Multipli e divisori. Numeri primi e numeri composti

DAVIDE moltiplicato per 2... uguale TOTH! “Mi sembra di capire che tu non sappia bene cosa siano i multipli. Vediamo di riparare a questa mancanza” dice TOTH un po’ severamente. Il paesaggio intorno si fa improvvisamente più scuro mentre il corpo del dio egizio diventa luminoso. “Non ti preoccupare, è solo per farti vedere meglio ciò che succede” aggiunge poi con voce rassicurante. E incomincia a crescere, a crescere e a crescere ancora in altezza, fino diventare esattamente il doppio di DAVIDE. “Vedi? Ora sono alto due volte te, cioè sono un tuo multiplo: per avere un TOTH bisogna moltiplicare DAVIDE per 2”. Poi TOTH diventa 3 volte, 4 volte, 5 volte più alto fino a che DAVIDE non lo interrompe: “Basta, basta, ho capito: i multipli di un numero sono tutti quei numeri ottenuti moltiplicando il primo numero per l’insieme dei numeri naturali. Ad esempio, i multipli di 5 sono: 5 (cioè 5 x 1), 10 (cioè 5 x 2), 15 (cioè 5 x 3), 20 (cioè 5 x 4) e così via”. TOTH aggiunge: “Poiché, come giustamente dici, sono il risultato di una moltiplicazione, i multipli di un numero possono essere uguali o più grandi del numero di partenza. Inoltre, per verificare se un numero è multiplo di un altro numero, bisogna controllare se si ottiene moltiplicando quest’ultimo per un numero naturale. Ad esempio, 42 è multiplo di 6 perché è il prodotto di 6 per 7. Ma adesso vediamo quali sono le particolarità dei multipli”.

Le particolarità dei multipli

I multipli presentano le seguenti particolarità: – lo zero è multiplo di tutti i numeri perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero; – i multipli di un numero sono inﬁniti, in quanto inﬁniti sono i numeri naturali per i quali è possibile moltiplicarlo; – i multipli di 2 formano l’insieme dei numeri pari, tutti gli altri multipli formano l’insieme del numeri dispari.

Gli esercizi di MOEBIUS …in realtà sempre di TOTH! 1. Scrivi i multipli di 3 compresi tra 14 e 31. ........

........

2. Scrivi i multipli di 7 compresi tra 18 e 64. ........

........

Quinta settimana

| aritmetica

3. Scrivi, per ciascuno dei seguenti numeri, tre multipli. 2 = ................................. 9 = .................................

5 = ................................. 4 = .................................

6 = ................................. 10 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. 25 è multiplo di 5 secondo il numero 5

d. 30 è multiplo di 10 secondo il numero 3

b. 64 è multiplo di 8 secondo il numero 9

e. 18 è multiplo di 6 secondo il numero 6

c. 74 è multiplo di 9 secondo il numero 8

f. 81 è multiplo di 9 secondo il numero 9

TOTH riprende a parlare: “Quando sono diventato 2, 3, 4, 5 volte più alto di te, io ero il tuo multiplo, ma contemporaneamente tu eri il mio divisore”. “Dunque – dice DAVIDE – il divisore di un numero è quel numero che è contenuto esattamente una o più volte in esso. Ad esempio, 6 è divisore di 30 perché è contenuto in esso 5 volte”. “Proprio così” dice TOTH annuendo e aggiunge: “Ovviamente il divisore di un numero, in quanto risultato di una divisione, deve essere necessariamente minore o uguale ad esso. Pertanto, dati due numeri, diremo che il secondo è divisore del primo se la loro divisione è esatta, cioè senza resto. Ad esempio, 20 : 5 = 4, quindi 5 è divisore di 20. Ma adesso vediamo quali sono le particolarità dei divisori”.

Le particolarità dei divisori

I divisori presentano le seguenti particolarità: – ogni numero naturale (escluso lo zero) è divisore di zero; – ogni numero naturale (escluso lo zero) ha un numero ﬁnito di divisori; – ogni numero naturale (escluso lo zero) è divisore di sé stesso. “Da quanto detto finora – conclude TOTH – si deduce che multipli e divisori sono due concetti assolutamente inseparabili. Infatti, dati due numeri, se il primo è multiplo del secondo, vorrà dire che il secondo è divisore del primo. Ad esempio, se 24 è multiplo di 6, perché 6 x 4 = 24, allora 6 è divisore di 24, perché 24 : 6 = 4”.

Quinta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS …in realtà ancora di TOTH! 1. Trova tutti i divisori dei seguenti numeri. 8 = 1, 2, 4, 8 11 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 = ................................. 13 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 = .................................

2. In ciascuna delle seguenti coppie, cerchia con il rosso il divisore e con il blu il multiplo. 24 8

11 33

56 8

24 12

3 9

13 26

40 5

18 3

3. Completa scrivendo l’esatta relazione: “è divisore di” oppure “è multiplo di”. 4 35 42 10 5 120

........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ........................................

28 5 7 80 15 60

100 1240 74 43 171 25

10 2480 37 129 57 75

Una volta terminati gli esercizi, TOTH si avvicina a DAVIDE come se dovesse rivelargli un segreto. Come accade ogni volta che il dio egizio fa qualcosa di significativo, il paesaggio intorno comincia a cambiare. Spuntano, a circondarli, pareti decorate di disegni, come quelli che DAVIDE ha visto sul suo libro di storia nel capitolo dedicato all’antico Egitto. Poi compare un tavolo con dei papiri sui quali prendono forma i numeri e le operazioni che TOTH evoca. “Beh, adesso ti dirò delle cose sulle divisioni che abbiamo scoperto qui in Egitto e che penso ti saranno molto utili quando dovrai fare i compiti o sostenere un’interrogazione… una volta tornato nel tuo mondo, ovviamente!”

Quinta settimana

| aritmetica

“Devi sapere – continua TOTH – che fino a quando lavoriamo con numeri relativamente piccoli, per scoprire per quanto sono divisibili, basta conoscere a memoria le tabelline. Ma quando dobbiamo operare con numeri molto grandi, non è facile trovare i divisori. Per questo esistono criteri di divisibilità, regole pratiche grazie alle quali possiamo scoprire rapidamente per quanto è divisibile un numero, senza dover ricorrere a difficili divisioni. Eccoli di seguito elencati”.

I criteri di divisibilità

Un numero è divisibile per: – 2 se la sua ultima cifra è pari; – 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3; – 4 se le ultime due cifre sono divisibili per 4 oppure sono due zeri; – 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5; – 6 se è pari e la somma delle sue cifre è divisibile per 3; – 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9; – 10 se la sua ultima cifra è 0; – 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è 0 oppure un multiplo di 11; – 25 se le ultime due cifre sono divisibili per 25 oppure sono due zeri; – 100 se le ultime due cifre sono due zeri; – 1000 se le ultime tre cifre sono tre zeri.

Gli esercizi di MOEBIUS …in realtà sempre di TOTH! 1. Cerchia i numeri: a. b. c. d.

divisibili per 2 divisibili per 3 divisibili per 6 divisibili per 9

3 6 18 18

8 8 26 24

25 19 75 45

32 24 84 54

55 27 90 96

69 38 132 153

96 96 243 267

157 135 328 315

374 248 456 527

552 363 571 784

630 576 738 990

Quinta settimana

| aritmetica

2. Completa i numeri inserendo una cifra che li renda: a. divisibili per 3

51. . . . . . . . . . . . 62

7. . . . . . 1 48. . . . . .

. . . . . . 48

2. . . . . . 9

b. divisibili per 4

2. . . . . . 6 4. . . . . . 2

51. . . . . . 53. . . . . .

76. . . . . . 8. . . . . . 0

c. divisibili per 5

34. . . . . . 51. . . . . .

27. . . . . . 63. . . . . .

40. . . . . . 82. . . . . .

d. divisibili per 6

2. . . . . . 4 73. . . . . .

58. . . . . . 6. . . . . . 8

. . . . . . 30 92. . . . . .

e. divisibili per 9

53. . . . . . 6. . . . . . 4

2. . . . . . 9 . . . . . . 69

. . . . . . 77

22. . . . . .

f. divisibili per 11

4. . . . . . 7 16. . . . . . 9

98. . . . . . 6 524. . . . . .

3. . . . . . 4 . . . . . . 886

3. Per ogni numero scritto a sinistra, metti una 2

nei riquadri corrispondenti ai suoi divisori. 9

100

1000

234 365 594 1327 3425 4268 5971 6145 8254

“Ma non ho finito!” esclama all’improvviso TOTH. “Stavo dimenticando una cosa molto importante!” Mentre parla, con un gesto fa scomparire le pareti e riapparire la spianata delle piramidi. Poi si china, prende tre piccoli granelli di sabbia e dice: “Questo mucchio lo puoi dividere in 3 parti formate da 1 granello, oppure in 1 sola parte formata da 3 granelli: 3 è un numero primo”. Poi butta i 3 granelli per terra e ne afferra 12: “Questo mucchio può essere diviso in 2 parti uguali formate da 6 granelli, oppure in 4 parti uguali formate da 3 granelli, o ancora in 3 parti uguali formate da 4 granelli, o in 2 parti uguali formate da 6 granelli, o in 1 parte formata da 12 granelli: 12 è un numero composto”.

4 3

Quinta settimana

| aritmetica

Numeri primi e numeri composti

Un numero si dice primo quando è divisibile solo per 1 e per se stesso, mentre si dice composto se è divisibile non solo per 1 e per se stesso, ma anche per qualche altro numero. Lo 0 e l’1 non si considerano né numeri primi né numeri composti. Il più piccolo numero primo, pertanto, è il 2. è divisibile solo per 1 e per 2 è divisibile per 1, 2, 3 e 6 è divisibile solo per 1 e per 7 è divisibile per 1, 2, 5 e 10

2 6 7 10

quindi è numero primo quindi non è numero primo ma è numero composto quindi è numero primo quindi non è numero primo ma è numero composto

L’insieme dei numeri primi è inﬁnito, anche se più i numeri diventano grandi e più è difﬁcile trovare un numero primo (perché aumenta il numero di divisori possibili). Grazie ai criteri di divisibilità analizzati prima, spesso possiamo scoprire facilmente se un numero è primo o composto: se non è divisibile per nessuno dei numeri per i quali si conoscono i criteri di divisibilità, allora generalmente è primo. Tuttavia potrebbe anche essere divisibile per un numero per il quale non conosciamo i criteri di divisibilità: in tal caso è necessario ricorrere alla divisione.

Gli esercizi di MOEBIUS

❱❱ Tranne il 2, tutti i numeri primi sono dispari, in quanto quelli pari sono, ovviamente, tutti divisibili per 2.

Sempre di TOTH! 1. Cerchia i numeri primi. 3

2. Indica se ciascuno dei numeri che seguono è numero primo (P) o numero composto (C); in quest’ultimo caso, scrivi i divisori. 8 13 27 41 51 54 67 75

P P P P P P P P

C C C C C C C C

divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Quinta settimana

| aritmetica

3. Indica con una crocetta la risposta giusta. Un numero si dice primo se:

Un numero si dice composto se:

a. non ha alcun divisore

b. ha altri divisori oltre sé stesso e l’1

c. è divisibile solo per sé stesso e per 1

d. è dispari

d. è pari

“Bene, mi sembra che abbiamo fatto abbastanza. Adesso devi tornare a casa. E non dimenticare di salutarmi MOEBIUS appena lo vedi”, dice TOTH mentre solleva le mani come se afferrasse qualcosa da modellare. Davanti a DAVIDE le piramidi si spianano e si solleva un fronte di alberi di pino, mentre la sabbia si liquefa e diventa mare; poi, da quella che era la spianata delle piramidi, affiorano una serie di casette di villeggiatura circondate da graziosi giardinetti. DAVIDE si volta verso TOTH per salutarlo, ma al suo posto vede un piccolo uccello con un becco lungo, sottile e ricurvo. Proprio in quel momento suo padre lo raggiunge e si ferma a guardare il volatile. “Strano!” dice il padre di DAVIDE. “Che ci fa un ibis da queste parti? Di solito vivono in Africa del Nord”. “In particolare lungo le sponde del Nilo”, precisa DAVIDE. “Già!” aggiunge il padre. L’ibis intanto ha preso il volo, gira due volte sopra di loro e poi sparisce oltre il fronte della pineta. “Che genio!” esclama DAVIDE seguendo con gli occhi il volo dell’uccello.

Quinta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

I familiari di DAVIDE hanno appena finito di cenare e la tavola è stata sparecchiata. È il momento giusto per cominciare con giochi ed enigmi!

La moltiplicazione dei triangoli DAVIDE ha ritagliato con precisione una grande quantità di cartoncini a forma di triangolo isoscele, tutti delle stessa dimensione e della stessa forma. Li dispone in modo disordinato sul tavolo e dice: “Usando questi triangolini se ne possono formare di più grandi, ma della stessa forma. Per esempio sistemandoli in questo modo”. Poi continua con fare interrogativo: “Quanti pezzi sono necessari per costruire un triangolo la cui base sia 3 volte maggiore di quella del triangolino di base? E per costruirne un secondo la cui base sia 4 volte maggiore di quella del triangolino di base? E per costruirne un terzo con la base 5 volte maggiore di quella del triangolino di base?

E infine: “Cercate di scoprire, provando e riprovando, qual è il rapporto matematico che regola la relazione tra la lunghezza dei lati dei triangoli e la quantità di triangolini necessari per realizzare le diverse figure”.

A moltiplicar sottomultipli DAVIDE distribuisce a tutti i componenti della sua famiglia delle penne e dei fogli di carta, poi dice: “Trovate tutti i modi possibili per ottenere 24 moltiplicando tre numeri (che saranno ovviamente tutti sottomultipli di 24).

ana m i t t e s a t Ses

Atene

. . . i d a t r Alla scope

i e d e r La Tor Atene i d i t n Ve

È un giorno di vento. DAVIDE è in spiaggia e osserva le nuvole che si muovono rapide nel cielo cambiando continuamente forma. Un gruppo di nuvolette bianche, che fa pensare a un gregge, corre verso Ovest, mentre un nuvolone altissimo nel cielo incede maestoso nella direzione opposta. Un vento continuo proveniente da Nord-Ovest (DAVIDE ha una bussola e ha controllato) trascina granelli di sabbia in direzione Sud-Est. “Nello stesso momento – pensa – soffiano tre venti che provengono da tre direzioni diverse”. Ad un tratto vede un foglio svolazzare verso di lui. Trascinato da un’improvvisa raffica, il foglio accelera e gli si incolla in faccia. DAVIDE lo prende tra le mani. Sopra c’è scritto: “Benvenuto all’inaugurazione della Torre dei Venti di Atene. Per l’occasione saranno presenti gli otto venti principali più i loro parenti, EOLO in persona e l’imperatore ADRIANO. Firmato: MOEBIUS”. DAVIDE solleva lo sguardo e incrocia gli occhi di MOEBIUS, che con la mano gli fa cenno di guardare: al centro di un’elegante piazza piena di bancarelle di mercanti circondata da un vasto colonnato, si erge una torre. Intorno è tutto un turbinare di sagome velocissime che solcano l’aria. I mercanti trattengono le loro merci per evitare che vengano trascinate via. Alcuni si lamentano, altri ridono. 76

Sul palco innalzato per l’occasione si vedono due notevoli personaggi. Il più alto, con un balzo lunghissimo, raggiunge DAVIDE e MOEBIUS: “Chi è questo scricciolo vestito in modo così bizzarro?” chiede rivolgendosi a MOEBIUS e indicando DAVIDE. “Un mio piccolo amico che ha tanta voglia di imparare”, risponde MOEBIUS. “E io ho tanta voglia di insegnare qualcosa a qualcuno. Piacere, sono EOLO”. ”. Intimorito dalle dimensioni e dalla turbolenza del personaggio, DAVIDE E si fa piccolo e si nasconde dietro MOEBIUS. “Mi chiamo DAVIDE. È un piacere iacere anche per me”. Poi, improvvisamente, i venti si fermano e l’aria si fa immobile. bil DAVIDE vede sospesi in aria altri personaggi che nell’aspetto ricordano EOLO. Un potente coro armonico, come una voce, invade l’aria: “E noi siamo i venti, e siamo più di venti”. La piazza risuona di una risata, risata seguita dalla turbinosa ripresa di impetuose correnti. Una voce giunge dal palco: “Insomma! Quando iniziamo?! Io non posso perdere tempo! Ho pa un Impero di cui occuparmi!” A parlare è un uomo dall’aria intelligente. È abbastanza alto, sebbene non come EOLO, e cerca di trattenersi sul capo ab una u corona di alloro che i venti giocherelloni tentano di portargli via”. “L’imperatore ADRIANO” dice EOLO ridacchiando. “Ma adesso cominciamo”. Afferrandoli per la vita, con un potente balzo, EOLO trascina MOEBIUS e DAVIDE con sé, in alto, tra gli altri venti. DAVIDE ha una vertigine, ma si abitua presto alla velocità. “Formazione!” “Formazione grida EOLO. A questo comando i venti si s sistemano nell’aria e, adoperando stracci di nuvole e correnti dense di sabbia e polvere, disegnando delle linee precise. DAVIDE capisce che quello spettacolo è stato preparato p per p lui. “Parlo io o parli tu?” chiede EOLO rivolgendo“ si s a MOEBIUS. “Comincia tu”. “ DAVIDE è eccitato: si profila un’interessante D lezione aerea a due voci. E che voci! le

la torre dei venti Stato: Grecia Città: Atene Anno di costruzione: secondo alcune fonti è stata realizzata nel 50 a.C. da Andronico di Cirro; altri, invece, sostengono che sia stata costruita nel II secolo a.C., prima del resto del foro romano di Atene nel quale è situata Altezza: 12 metri Diametro: 8 metri circa

Sesta settimana

geometria

I poligoni regolari

Disegni nel vento “La nostra figura geometrica preferita è l’ottagono” comincia EOLO. “Per noi è il re dei poligoni regolari. Anche se non è formato da otto poligoni regolari”. “Non capisco” dice DAVIDE, che ha superato il timore iniziale. “Adesso vedrai. Borea, Zefiro e Maestrale, vi prego, un triangolo isoscele, ma con gli angoli giusti!” ordina EOLO. Davanti a loro, formata da tre sottili scie di goccioline d’acqua condensata, la stessa delle nuvole, si disegna un figura.

A questo punto MOEBIUS prende la parola: “Li conosci già i triangoli isosceli. Questo, però, ha l’angolo al vertice che misura 45°”. “Quindi – dice DAVIDE – dato che la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°, gli angoli alla base misurano 67° 30’!” Per un attimo tutti i venti si fermano a guardarlo stupiti. “Niente male, il ragazzo!” esclama EOLO, e subito riprende la sarabanda. “Ma adesso guarda bene” dice MOEBIUS. A Borea, Zefiro e Maestrale si sono aggiunti altri venti che, velocissimi e precisi, hanno disegnato ben otto triangoli isosceli della stessa misura. Triangoli di nuvole.

45°

67°30’

Sesta settimana

| geometria

Poi, girando e vorticando in continuazione, i venti accostano tra loro gli otto triangoli e formano un ottagono.

“Come tutti i poligoni regolari, l’ottagono ha i lati e gli angoli uguali, ed è formato da triangoli isosceli” dice MOEBIUS. “Voglio vedere anche gli altri poligoni” dice DAVIDE, che a questo punto ci ha preso gusto. “Detto, fatto!” riecheggia la voce di EOLO, il cui corpo è improvvisamente diventato della stessa sostanza delle nuvole. Nella massa compatta di bianco, cominciano a prendere forma gli altri poligoni regolari. C

D E

Triangolo equilatero D E

Quadrato E

Esagono

G A

B Pentagono F E

C A B Ottagono

B Eptagono

“Fra questi – continua Eolo – ce n’è uno speciale, l’esagono, formato da sei triangoli equilateri”. O

D O

60°

60° × 6 = 360° A

“Ovviamente – precisa MOEBIUS – il perimetro dei poligoni regolari si ottiene moltiplicando la lunghezza di un lato per il numero dei lati che lo compongono”. 79

Sesta settimana

| geometria

“Ovviamente!” dice EOLO, e si mette a ridere. La sua risata provoca il finimondo: tutti i venti convergono in un solo gigantesco vento che a velocità folle sorvola la piazza e comincia a girare intorno alla torre. “Velocità, velocità!” urlano tutti assieme. “Finalmente siete tornati” dice l’imperatore ADRIANO. “È l’ora degli esercizi”. Gli otto venti principali si dispongono ciascuno su uno degli otto lati della torre e assumono la forma e la consistenza di sculture. Sotto il palco si è radunata una discreta folla. D a E

C O

“Prima di cominciare con gli esercizi, però, bisogna fare alcune precisazioni che quegli scriteriati dei venti hanno dimenticato di fare” dice l’imperatore con voce ferma. “La prego” aggiunge poi rivolgendosi a EOLO, che guizzando alle sue spalle disegna rapidamente una nuvola a forma di pentagono con una linea che parte dal centro. “Il segmento che parte dal centro del poligono unendolo al punto medio di uno dei lati si chiama apotema: esso corrisponde all’altezza di uno dei triangoli isosceli nei quali si può scomporre ogni poligono regolare” dice l’imperatore. “Bene, ora possiamo cominciare. La parola a MOEBIUS”. EOLO comincia a disegnare altre forme bianche di vapore condensato.

Gli esercizi di MOEBIUS …con la speciale collaborazione di EOLO e dell’imperatore ADRIANO!

SUD-OVEST

IO TE ASTREO

......................................... .........................................

EST

SUD

AP EL

ZEFIRO

OTTAGONO DEI VENTI

EURO

OVEST

NORD-EST

BOREA

.........................................

NORD-OVEST

PS LI

1. La Torre dei Venti di Atene ha una base ottagonale. Ogni lato è dedicato a un vento e guarda nella direzione da cui esso soffia. Osserva attentamente il disegno. A quale vento è dedicato il lato nord-ovest? Qual è il vento opposto al Maestrale? Quali sono i venti delle quattro direzioni principali?

NORD

SUD-EST

Sesta settimana

| geometria

2. Ciascun lato dell’ottagono che costituisce la Torre dei Venti è 4 metri. Quanto misura il perimetro?

.........................................

3. Ora dividiamo un esagono regolare, il cui perimetro è 42 metri, in 6 triangoli. Osserva la figura. Quanto misura il lato di uno dei triangoli? E il perimetro?

D O

4m E

......................................... .........................................

.........................................

4. Se, mantenendo immutato il perimetro, trasformassimo l’ottagono della Torre dei Venti in un quadrato, quanto misurerebbero i lati? .........................................

5. Eliminando due lati, trasformiamo l’ottagono della Torre dei Venti in un esagono, poi concentriamoci sugli angoli. Sai bene che al centro della figura geometrica possiamo immaginare un angolo di 360°. Se disegniamo i sei triangoli che formano l’esagono, qual è la misura dell’angolo del vertice di uno dei triangoli che insiste al centro dell’esagono? Consiglio per DAVIDE: Conta in quanti angoli viene suddiviso l’angolo giro. ..................................................................

6. Le diagonali di un poligono uniscono un vertice a un angolo opposto. Tenendo presente che a) una diagonale non può unire un angolo a se stesso e b) una diagonale non può unire un angolo ai due angoli adiacenti, calcola e scrivi il numero di diagonali dei seguenti poligoni regolari. C

.................................

Sesta settimana

misure

Misurare la velocità

Il più veloce è Borea! Terminati gli esercizi, i venti cominciano di nuovo a scorrazzare nell’aria e a gareggiare tra loro gridando: “Velocità! Velocità!” È tutto un turbinio di vesti svolazzanti, polvere e pergamene. Gli alberi si piegano all’impatto dell’aria in movimento. L’imperatore ADRIANO lascia furioso il palco. La gente, dopo la prima meraviglia, se ne va per riprendere i traffici interrotti. “Velocità” sussurra MOEBIUS all’orecchio di DAVIDE. “Penso sia arrivato il momento di parlarti della velocità. Osserva la scia di Borea: percorre in cielo uno spazio maggiore di quello percorso da Zefiro in uno stesso arco di tempo. Sai cosa significa?” “Che Borea è più veloce di Zefiro” risponde DAVIDE. “E cosa significa che è più veloce?” A questa domanda DAVIDE non sa cosa rispondere. “Per comprendere questa questione – continua MOEBIUS – ci può essere utile sapere come gli scienziati del Settecento scelsero di misurare la velocità. Pensa che nemmeno il grande genio Galileo Galilei ci aveva pensato! Dunque, ricordi quali sono le unità di tempo?” “Secondi, minuti, ore…”. “E le unità di misura della lunghezza?” “Centimetri, metri, chilometri…”. “Ebbene, la velocità di un oggetto in movimento è la misura della quantità di spazio (centimetri, metri, chilometri) percorsi in una certa unità di tempo (secondi, minuti, ore)”. Da una piega del vestito MOEBIUS tira fuori uno strano strumento che DAVIDE non ha mai visto. Sembra una grossa pistola, con la canna assai spessa, tutta colorata di bianco e con in cima una specie di lampada; nella parte posteriore, invece, ci son dei numeretti elettronici. MOEBIUS la punta verso i due venti. “Bene, ti posso dire che in questo momento la velocità raggiunta da Borea è di 90 chilometri orari. Questo significa che se continuasse a muoversi con questa velocità percorrerebbe 90 chilometri in un’ora. Gli uomini hanno un modo di misurare la velocità condiviso da tutti. L’unità di misura della velocità è il m/sec (metro al secondo). Un oggetto si muove alla velocità di 1 m/sec quando in un secondo percorre un metro. I multipli del m/sec più usati sono il km/h, che si usa in particolare per i mezzi di locomozione (aerei, automobili), e il km/sec, utilizzato per misurare velocità molto grandi (il moto di un pianeta, la velocità della luce). La velocità di un oggetto in movimento si cal82

Sesta settimana

| misure

cola dividendo lo spazio percorso per il tempo impiegato (v = s / t). Lo spazio percorso da un oggetto che si muove a una certa velocità, invece, si ottiene moltiplicando la velocità per il tempo impiegato (s = v x t). Il tempo impiegato da un oggetto per percorre un dato spazio a una certa velocità, infine, si calcola dividendo lo spazio percorso per la velocità (t = s / v)”.

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Completa la tabella indicando in che modo misureresti la velocità di una formica, di una persona che passeggia, della luce, di Zefiro. cm/sec

m/sec

km/h

km/sec

formica persona che passeggia luce Zefiro

2. Astreo, che tra tutti i venti è il più costante, in due ore percorre 60 chilometri. A che velocità si muove? .........................................

3. Zefiro, lunatico quanto mai, decide di raggiungere la velocità della luce, che come sai è la cosa più veloce che esista. Dopo un po’, tuttavia, si deve arrendere: riesce a raggiungere al massimo la velocità di 3 chilometri al minuto. A quanti chilometri all’ora riesce ad andare Zefiro? Avviso per DAVIDE: Ricorda che un’ora è composta da 60 minuti, un minuto è composto da 60 secondi, e dunque un’ora è composta da 3600 secondi. .........................................

4. Durante la gara nei cieli di Atene, Zefiro raggiunge la velocità di 20 metri al secondo, Lips quella di 80.000 metri all’ora, Borea quella di 3 chilometri al minuto. Quale dei tre venti ha raggiunto la velocità maggiore? A quanti chilometri all’ora corrisponde questa velocità? .........................................................

Sesta settimana

aritmetica

La scomposizione in fattori. Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Persi tra le nuvole Zefiro, Lips, Borea, Astreo e gli altri venti, ad un tratto, convergono nel cielo a formare un unico corpo, un’immensa creatura di aria turbinosa, che si muove rapida. Appaiono improvvisamente gigantesche formazioni nuvolose, il cielo muta di continuo, il Sole spunta e svanisce, compare un luminoso arcobaleno che si nasconde per un tratto tra le nuvole e riappare subito dopo rituffandosi nel mare. È uno spettacolo di indicibile bellezza. “Guarda, hanno formato tutti assieme un unico corpo, del quale i singoli venti rappresentato i fattori primi” dice MOEBIUS solennemente. “In che senso?” chiede DAVIDE, sbalordito per il fatto che di fronte a tanta bellezza si possa pensare alla matematica. “Quel grande corpo di aria e nuvole che vedi scorrazzare nel cielo – continua MOEBIUS – può essere suddiviso nei corpi dei singoli venti che ne rappresentano i fattori primi, le parti più piccole, oltre le quali non si può andare con la suddivisione”. Poi aggiunge: “Prego EOLO, sai cosa fare”. Riappaiono improvvisamente i corpi dei singoli venti e il cielo si copre di un velo sottile sul quale i venti, scorrendo, tracciano linee e numeri. “Forse hai bisogno di qualche chiarimento” dice MOEBIUS.

La scomposizione in fattori primi o fattorizzazione

La scomposizione in fattori primi o fattorizzazione è quell’operazione che ci permette di scrivere un numero composto sotto forma di prodotto di fattori primi. Per scomporre un numero in fattori primi bisogna: – dividere il numero per il più piccolo dei suoi divisori primi; – dividere il quoto ottenuto per il più piccolo dei suoi divisori primi; – continuare così ﬁno a ottenere come quoto l’1; – scrivere il numero iniziale sotto forma di prodotto di numeri primi (i divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza). Es.:

152 76 38 19 1

2 2 2 19

152 = 23 × 19

204 102 51 17 1

2 2 3 17

204 = 22 × 3 × 17

165 55 11 1

3 5 11

165 = 3 × 5 × 11

Sesta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Esegui la scomposizione in fattori dei seguenti numeri. 216

425

216 = . . . . . . . . . . . . . . . .

315

425 = . . . . . . . . . . . . . . . .

315 = . . . . . . . . . . . . . . . .

“Adesso guarda quelle nuvole nel cielo” ricomincia MOEBIUS. “Sono tre e la maggiore è 3 volte più grande della minore, mentre la mediana è 2/3 della maggiore e cioè 2 volte più grande della minore. La nuvola maggiore può essere suddivisa in 3 nuvole minori, la mediana in 2 nuvole minori. La nuvola minore rappresenta quello che in matematica si definisce Massimo Comun Divisore”.

Il Massimo Comun Divisore

Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni, cioè il numero più grande per il quale siano divisibili entrambi. Calcoliamo, ad esempio, il M.C.D. di 16 e 20. 16 ha come divisori: 20 ha come divisori: I divisori comuni sono: Il più grande è:

1, 2, 4, 8, 16 1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 2, 4 4

4 è quindi il Massimo Comun Divisore dei numeri 16 e 20 e si scrive: M.C.D. (16, 20) = 4

Gli esercizi di MOEBIUS 2. Indica con una ✘ i numeri che sono primi tra loro (che hanno cioè come loro M.C.D. l’1). (7, 21)

(12, 34)

(5, 14)

(9, 24)

(9, 22)

(4, 15)

(15, 35)

3. Indica con una ✘ le coppie di numeri nelle quali il M.C.D. coincide col numero più piccolo. (15, 25)

(24, 6)

(42, 14)

(17, 51)

(25, 50)

(27, 9)

(30, 55)

Sesta settimana

| aritmetica

4. Calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri utilizzando il metodo della scomposizione in fattori. a. M.C.D. (64, 16) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

16 = . . . . . . . . . . . . . . . .

64 = . . . . . . . . . . . . . . . . b. M.C.D. (144, 48) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

144 = . . . . . . . . . . . . . . . .

48 = . . . . . . . . . . . . . . . .

5. E adesso ritorniamo per un attimo alla Torre dei Venti. La Torre è ottagonale e può essere scomposta in due trapezi isosceli e un rettangolo centrale. L’area dei trapezi è 315m2 mentre quella del rettangolo è 405m2. Per poter suddividere tutte e tre le aree nel minor numero di triangoli aventi la stessa area, che area devono avere i triangoli? Consiglio per DAVIDE: Pensa al M.C.D.

.........................................

“Ora andiamo sul difficile” dice MOEBIUS. “Guarda quelle grosse nubi che stanno arrivando, spinte da Borea. Considera le prime tre. Qual è la nube più piccola divisibile per tutte e tre?”. “Penso sia la quarta” dice DAVIDE. “Hai indovinato” conviene MOEBIUS. “Ebbene – continua – il nuvolone che ha indicato è il minimo comune multiplo delle prime tre nuvolette”.

1 2

Sesta settimana

| aritmetica

Il minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo di due o più numeri naturali è il numero più piccolo divisibile per tutti gli altri. Ad esempio, dati i due numeri 10 e 15, se elenchiamo in ordine crescente alcuni loro multipli M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …} M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, …} notiamo che essi hanno alcuni multipli in comune {30, 60, 90, …} il più piccolo dei quali è 30. Questo numero viene detto minimo comune multiplo dei numeri 10 e 15 e si scrive: m.c.m. (10, 15) = 30 Per trovare il minimo comune multiplo di due o più numeri bisogna scomporre il numero in fattori primi e poi moltiplicare fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente. Calcoliamo ad esempio il m.c.m. di 18 e 45.

18 9 3 1

2 3 3

18 = 2 × 32

45 15 5 1

3 3 5

45 = 32 × 5

I fattori comuni e non comuni, con il massimo esponente, sono 2, 32 e 5. Quindi: m.c.m. (18, 45) = 2 × 32 × 5 = 2 × 9 × 5 = 90

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Trova il minimo comune multiplo delle seguenti coppie di numeri utilizzando il metodo della scomposizione in fattori. a. m.c.m. (6, 9) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 = ................

9 = ................

b. m.c.m. (24, 36) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

24 = . . . . . . . . . . . . . . . .

36 = . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Sesta settimana

| aritmetica

c. m.c.m. (25, 40) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

40 = . . . . . . . . . . . . . . . .

25 = . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Ritorniamo ancora una volta alla Torre dei Venti. In una stanza della Torre il pavimento è fatto da lastroni di pietra di forme diverse: triangoli, rombi e rettangoli. L’area dei triangoli è 18m2, quella dei rombi è 24m2, quella dei rettangoli è 32m2. Volendo ripavimentare la stanza con lastroni tutti uguali, che area dovranno avere i lastroni? Consiglio per DAVIDE: Pensa al m.c.m.

...........................................................................

Per i venti è arrivato il momento di far ritorno a casa, cioè le lontane isole Eolie. Ma, prima di andar via, decidono di dedicare a DAVIDE un ultimo spettacolo il cui titolo, ben tracciato da una formazione di nuvole opportunamente modellate dal vento Lips e dal provvido Apeliote, si legge chiaramente nel cielo: Il sopra si mischia al sotto. Al via di EOLO, i venti vanno su e giù senza una direzione precisa, alla massima velocità. Tutte le cose leggere si alzano vero l’alto, il cielo viene offuscato da una nebbia di oggetti e piccoli animali: foglie, granelli di sabbia, ragnetti, moscerini, farfalle, piume d’uccello. Il sibilo dei venti è acuto e DAVIDE riesce appena a intuire che lo stanno salutando. “Swissssh… Arrivederci DAVIDE, Arrrrivveedeerciii!” Zefiro al massimo della furia urta contro la bancarella di uno scrittore ambulante a pagamento, i sui fogli si disperdono nell’aria e uno di questi, impertinente, si incolla, pressato dal vento, sul volto di DAVIDE. Una volta spostato il foglio, la scena è cambiata… si trova in riva al mare, nello stesso luogo nel quale era cominciata la sua avventura. Sul foglio c’è scritto: “A presto. Firmato: i venti che sono più di venti”.

Sesta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Quella sera DAVIDE fa sfoggio delle sue più sottili abilità matematiche. Sembra che la frenesia del vento lo abbia preso, e così comincia a proporre a raffica un gioco dietro l’altro.

Nomi nel vento Il vento consuma le cose. Grandi rocce e montagne sono state erose dalla sua azione prolungata. Pensando a questo, mi è venuto in mente un gioco in cui, ad essere erose, rimpicciolite, sono le parole. Si parte da una parola qualunque e, a ogni passaggio, si toglie una lettera e si risistemano quelle rimanenti in modo da creare una parola che abbia senso, fino a formarne una composta solo da due lettere. Ad esempio, dalla parola “storie”, togliendo la “t” si ottiene “serio”, togliendo la “o” si ottiene “resi”, togliendo la “r” si ottiene “sei”, togliendo la “e” si ottiene “sì”. Proviamo con degli esempi guidati, avendo a disposizione la parola di partenza e quella di arrivo. Terni

..................................................................

tavolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . va' parola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la

e i r o st

serio

resi

sei

Adesso provate a trovarne voi… nuovi “nomi nel vento”! Ma DAVIDE non ha finito le sue scorribande nella logica. Ecco un’altra invenzione che non farà dormire sonni tranquilli ai suoi parenti.

Quesito di geometria per non dormire Osservate con attenzione questo disegno. Si tratta di un ottagono regolare. Vi ricordate cos’è l’apotema? Ebbene, a partire dall’ottagono, disegnate un primo quadrato la cui diagonale sia lunga esattamente due volte l’apotema e un secondo quadrato il cui lato sia uguale alla diagonale del primo (sempre due volte l’apotema). E adesso buona notte. 89

ana m i t t e s a Settim

Persepoli

. . . i d a t r Alla scope

i l o p e s Per

DAVIDE sta giocando con un gruppo di amici, nella pineta davanti casa, alla battaglia delle Termopili, la famosa battaglia durante la quale un piccolo drappello di guerrieri spartani tenne testa all’immenso esercito persiano venuto a conquistare la Grecia. È un guerriero di Sparta, ed è appena sfuggito all’agguato di due pericolosi Persiani (suo cugino Antonio, che è venuto da Roma, e Andreas, il vicino di casa tedesco). Adesso si è perso nella boscaglia e non sa se riuscirà a ritrovare la base. Striscia sotto le siepi del giardino del signor Rossi, si inoltra avventurosamente nel sentiero che porta verso il fiume, sta per scalare un’enorme duna di sabbia, quando uno strano rumore attira la sua attenzione. Viene da oltre la duna. È un suono di corpi metallici che cozzano tra loro, mischiato a quello di voci che cantano in una lingua sconosciuta. Raggiunge la cima e oltre la duna… vede un immenso esercito di guerrieri che indossano corazze di cuoio ed elmi metallici! Stanno marciando in direzione di una grande città che si erge nel mezzo del deserto.

Per un attimo DAVIDE pensa che i suoi “nemici” abbiano trovato degli alleati, ma poi capisce di cosa si tratta. “MOEBIUS?” dice con voce divertita. “Chi sono quelli? Dove mi hai portato questa volta?” MOEBIUS è accanto a lui e come al solito sembra apparso da nulla. “La città che vedi – dice – è Persepoli e quella è una parte dell’immenso esercito dell’imperatore Dario che sta tornando da una delle sue campagne di guerra. Avviciniamoci, ma in silenzio; i guerrieri sono persone suscettibili. Cerchiamo di non provocarli; anzi, sai che ti dico, questa volta è meglio diventare invisibili…”. DAVIDE sente come una brezza fresca che improvvisamente gli accarezza la pelle, poi si guarda le mani: sono diventate trasparenti. “Stai tranquillo, alla fine tornerai come prima” lo rassicura MOEBIUS. I due si avvicinano alle porte della città.

persepoli

Sulla spianata, oltre la porta delle Nazioni (la porStato: Iran ta principale di Persepoli), il popolo è schierato Anno di costruzione: la costruzione cominciò nel 520 in truppe regolari. C’è silenzio. A capo dell’esera.C., sotto Dario I, è durò quasi settant’anni cito, su un cavallo bianco, dritto sulla sella e con Lunghezza: 420 m aria superiore, l’imperatore Dario non degna i Larghezza: 300 m presenti nemmeno di uno sguardo. “Adesso stai attento” dice MOEBIUS a DAVIDE. Subito dopo i due si ritrovano a fluttuare in cielo. “Non è per divertirci che lo facciamo – precisa MOEBIUS – ma per cambiare punto di vista. Nella matematica e nella scienza è molto importate cambiare spesso punto di vista. Aiuta a capire molte cose”.

Settima settimana

geometria

Le simmetrie

Il cielo sopra Persepoli DAVIDE e MOEBIUS adesso possono osservare Persepoli dall’alto. Nella piazza, con le sue imponenti costruzioni, alcune persone si trattengono a parlare.

“Guarda cosa succede se disegniamo una linea che attraversa la piazza esattamente così” dice MOEBIUS, e proprio in quel momento l’esercito di Dario attraversa la piazza, formando la linea annunciata. “Come vedi le ﬁgure geometriche si ripetono uguali e nello stesso ordine a destra e a sinistra della linea, come se fossero immagini speculari. In geometria questa linea si chiama asse di simmetria, e si dice che il disegno è simmetrico rispetto a un asse. Adesso, però, scendiamo a dare un’occhiata alla città”.

Persepoli è piena di statue e di ediﬁci simmetrici. Anche l’imperatore, dritto sul suo cavallo, sembra una statua perfettamente simmetrica, solo che è in movimento. “Vedi – prosegue MOEBIUS – qui intorno è tutto pieno di assi di simmetria. Guarda quelle sculture, guarda la facciata di quel palazzo, guarda l’imperatore Dario…”. DAVIDE vede apparire assi di simmetria sugli oggetti e sulle persone indicati da MOEBIUS. 92

Settima settimana

| geometria

“Tutte queste cose, compreso l’imperatore che si dà tante arie, sono simmetriche. Una parte appare speculare all’altra, come se fosse allo specchio. Ma ora saliamo di nuovo in alto”. È un continuo andare su e giù che a DAVIDE fa girare la testa. Ma, come si sa, la conoscenza comporta sempre un po’ di fatica e, qualche giramento di testa. Adesso sono di nuovo in alto, molto in alto, e Persepoli appare come una mappa. Si vedono le forme dei palazzi, tutti segnati con delle lettere.

PIANTA DI PERSEPOLI

G H F

E D

A. Porta delle Nazioni B. Portico C. Grande Palazzo di Serse D. Palazzo di Dario E. Palazzo di Serse F. Secondo portico G. Palazzo delle Cento Colonne H. Palazzo piccolo

“Osserva il quadrato segnato con la lettera G”, dice MOEBIUS. “Si tratta del Palazzo delle Cento Colonne”. DAVIDE vede il quadrato staccarsi dalla cartina. “Vedi? Ha ben quattro assi di simmetria. Se ne nota uno piuttosto che l’altro a seconda dell’orientamento che si sceglie per guardarlo”.

Settima settimana

| geometria

Il punto di vista cambia ancora una volta. Adesso sono in cima a una delle torri della città e il deserto appare come un grande foglio bianco. Sono tornati visibili e MOEBIUS brandisce una matita; poi comincia a disegnare ﬁgure geometriche e assi di simmetria.

“Il triangolo equilatero – continua MOEBIUS – ha ben tre assi di simmetria. L’esagono regolare ne ha sei, l’ottagono regolare ne ha otto, un rettangolo ne ha solo due, un trapezio e un triangolo isoscele ne hanno uno solo. Le ﬁgure irregolari, invece, non hanno assi di simmetria. Nelle ﬁgure che hanno più di un asse di simmetria, inoltre, gli assi si incontrano in un solo punto chiamato centro di simmetria (O)”.

Ad un certo punto, dal foglio bianco, si vede afﬁorare l’immagine dell’imperatore Dario, vista frontalmente, con tanto di asse di simmetria e… con lo sguardo assai risentito: “Come ti permetti di giocare impunemente con la mia città?! Ti farò decapitare!” Passando la mano sul foglio, MOEBIUS trasforma l’immagine dell’imperatore in un gabbiano che vola via, lontano, ﬁno a perdersi nell’azzurro del cielo. È arrivato il momento degli esercizi.

Settima settimana

| geometria

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Quali delle linee tratteggiate che attraversano le seguenti figure sono assi di simmetria? Indicalo con una .

2. Quali di queste figure hanno due assi di simmetria e quali uno? Scrivilo nel quadratino.

3. Disegna tutti gli assi di simmetria di ciascuna delle seguenti figure.

4. Completa disegnando le figure simmetriche rispetto all’asse r.

Settima settimana

misure

Forza e accelerazione

Macchine da guerra e cavalli, fionde e arieti DAVIDE e MOEBIUS vengono distratti all’improvviso da un gran frastuono. È un fragore metallico, di cavallerie che avanzano, di corpi che si scontrano. Un’immensa nuvola di polvere si solleva sulla piana davanti alle porte di Persepoli. “È la guerra” dice MOEBIUS un po’ triste. “Adesso non ci sono più simmetrie che reggano. Adesso è solo una questione di forza”. Un gruppo di soldati a cavallo si lancia contro un altro drappello. Dodici cavalli trascinano una macchina da guerra, altri sette ne trascinano una uguale. Il primo traino si sposta in modo molto più veloce. “Quale dei due traini ha una forza maggiore e perché?” domanda MOEBIUS osservando la scena. “Il primo, perché i cavalli sono di più” risponde DAVIDE. MOEBIUS annuisce. Ma subito dopo, a un suo cenno, la scena cambia. Un guerriero sta sollevando da terra un sasso per la sua fionda. Un secondo uomo cerca di sollevare una grossa pietra da posizionare in uno speciale apparecchio che serve per lanciarla. “Quale dei due sta applicando una forza maggiore per sollevare la sua pietra?” chiede MOEBIUS. “Il secondo” risponde DAVIDE. La scena cambia di nuovo. Dei buoi stanno tirando un asse gigantesco che i nemici di Dario vogliono adoperare per sfondare le mura della città. “In che direzione – domanda MOEBIUS – è applicata la forza dei buoi e come la disegneresti se questo fosse un disegno e non una battaglia?” “La forza è applicata all’asse principale dell’ariete, va in direzione delle mura ed è parallela al suolo; io la disegnerei con un freccia per indicare verso dove va” risponde pronto DAVIDE. Improvvisamente le immagini, fino a quel momento in movimento, diventano disegni: su ciascuno di essi sono indicate le forze in forma di frecce. DAVIDE si accorge di un particolare: “Alcune frecce sono più corte, altre più lunghe”. “Certo! – dice MOEBIUS – Più lungo è il vettore (cosi si chiama la freccia), maggiore è la forza”.

Settima settimana

| misure

“Gli scienziati – continua MOEBIUS – misurano la forza in Newton. Una forza applicata a un oggetto lo mette in movimento. Il Newton (N) è la forza necessaria per fare accelerare di 1m/sec per ogni secondo (si scrive 1m/sec2) un oggetto che sulla Terra pesa 1kg. Questo significa che per fare accelerare di 1m/ sec2 un oggetto di 2kg bisogna applicare una forza di 2N, oppure che per fare accelerare di 3m/sec2 un oggetto di 3kg ci vuole una forza di 9N (3m/sec2 x 3kg = 9N) e che maggiore è la forza applicata, maggiore è l’accelerazione”. Il fumo intorno si fa sempre più denso. Si sentono urla e un fragore provocato dal crollo di edifici. “È meglio che ce ne andiamo da qui” dice MOEBIUS. “Gli esercizi li troverai a casa tua”. Il fumo impedisce a DAVIDE di vedere il suo compagno di viaggio. Poi, ad un tratto, un soffio di vento porta via polvere e fumo. C’è silenzio adesso e DAVIDE si trova nella pineta davanti casa sua. Gli amici sono tornati a casa per pranzo. I suoi lo stanno aspettano e così, ancora un po’ frastornato, torna a casa. Prima di lavarsi le mani e andare a tavola passa per la sua stanza. Sulla scrivania c’è un foglio con gli esercizi.

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Due cavalli tirano un carro in due direzioni opposte. La forza applicata dai due cavalli è riportata in forma di vettore. Il carro si sposterà verso destra o verso sinistra? . . . . . . . . . . . . . .

2. Un sasso di 20kg, lanciato da una catapulta, raggiunge in un secondo la velocità di 15m/sec. Quanti Newton misura la forza applicata al sasso dalla catapulta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

3. I vettori disegnati sotto la lettera A rappresentano le forze applicate da quattro soldati sul lato interno di una delle porte della città di Persepoli. I vettori disegnati sotto la lettera B, invece, rappresentano le forze applicate sul lato esterno della porta da quattro soldati che vogliono entrare a Persepoli. Riusciranno i soldati di Persepoli, con la forza di cui dispongono, a impedire agli invasori di entrare in città? Promemoria per DAVIDE: Per addizionare le forze disegnate con i vettori basta disegnare un vettore la cui lunghezza corrisponda alla somma delle lunghezze dei vettori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Una pietra di 1kg, lanciata con una fionda da un guerriero persiano, raggiunge in 2 secondi la velocità di 4m/sec. Quanti Newton misura la forza applicata dalla fionda alla pietra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Settima settimana

aritmetica

Le frazioni (prima parte)

I funzionari dell’imperatore Dopo aver finito di pranzare, DAVIDE, con grande sorpresa, trova sulla tavola una busta da lettera sulla quale c’è scritto: “Da MOEBIUS per DAVIDE”. Accanto alla busta c’è un libriccino, sulla cui copertina campeggia la scritta “Le frazioni”. DAVIDE apre la busta e inizia a leggere la lettera: “Perdonami, ma questa volta l’aritmetica devi farla da solo. Prima di cominciare, però, voglio dirti una cosa. Guardando la scalinata del palazzo di Dario mi è venuta un’idea. Osserva l’immagine e fai attenzione ai funzionari dell’imperatore. Camminano lungo la base della scalinata, ognuno a una distanza fissa dall’altro, dividendo il muro in 9 parti. Questo è il primo esempio di frazione che puoi incontrare in un paesaggio urbano o naturale, senza aprire un libro di matematica. Uno è il muro, nove le suddivisioni del muro tra un funzionario e un altro. Ognuna di queste suddivisioni è la nona parte dell’intero muro. Cioè, in linguaggio matematico, ognuna è 1/9 della lunghezza complessiva del muro. Bene, adesso puoi aprire il libro che ti ho lasciato accanto alla lettera; a pagina 98, ovviamente”.

Le frazioni

Una frazione rappresenta un rapporto tra due numeri, una divisione, che però non è eseguita, ma rappresentata solo graﬁcamente. Frazionare signiﬁca dividere in parti uguali. In ogni frazione si distinguono tre elementi: – la linea di frazione (la linea che separa i due numeri); – il numeratore (il numero scritto sopra la linea di frazione); – il denominatore (il numero scritto sotto la linea di frazione). numeratore denominatore

3 5

linea di frazione

Il numeratore e il denominatore si definiscono anche termini della frazione. La frazione può essere considerata un operatore, cioè un elemento che opera ottenendo un risultato. Prendere 3/5 di una tavoletta di cioccolato, ad esempio, significa compiere due azioni: dividere in cinque parti uguali e riunirne tre. Quando una frazione indica ciascuna parte in cui viene suddiviso un intero, ad esempio 1/3, 1/5, 1/8 ecc., si definisce unità frazionaria.

Settima settimana

| aritmetica

Le particolarità delle frazioni

Se numeratore e denominatore sono uguali, la frazione è uguale all’unità. Infatti, se taglio una torta in quattro parti e le mangio tutte e quattro, ho mangiato una torta intera. 4/4 = 1 5/5 = 1 8/8 = 1 Se il denominatore è uguale a 1, la frazione è uguale al numeratore. Infatti, se taglio ogni torta in un’unica fetta (cioè la lascio intera) e ne voglio mangiare 3 fette (o 7 o 9), dovrò mangiare 3 torte (o 7 o 9). 3/1 = 3 7/1 = 7 9/1 = 9 Se il numeratore è 0 e il denominatore è diverso da 0, la frazione è uguale a 0. Infatti, se taglio una torta in varie fette ma ne mangio 0 fette, ho mangiato 0 cose. 0/2 = 0 0/6 = 0 0/7 = 0 Se il denominatore è 0 e il numeratore è diverso da 0, la frazione non ha signiﬁcato. Infatti, non posso mangiare 3 fette (o 7 o 1) di 0 torte. 3/0 7/0 1/0 Se sia il numeratore che il denominatore sono uguali a 0, si dice che la frazione è indeterminata, cioè può assumere qualsiasi valore. 0/0

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Scrivi accanto a ogni figura la frazione che rappresenta.

2. Colora in ciascuna figura la parte rappresentata dalla frazione. 3 4

2 8

7 12

3. La frazione 3/5 indica che: un intero è stato diviso in 5 parti e ne sono state prese 3; un intero è stato diviso in 3 parti e ne sono state prese 5; un intero è stato diviso in 5 parti uguali e ne sono state prese 3; un intero è stato diviso in 3 parti uguali e ne sono state prese 5. 4. Cerchia le frazioni che indicano unità frazionarie. 7 9

4 5

1 9

1 3

5 8

15 7

1 12

5 13

6 7

1 6 99

Settima settimana

| aritmetica

5. Completa la tabella scrivendo la frazione giusta. 7 minuti di un’ora = 3 continenti = 27 Stati degli USA = 120 giorni di un anno =

7/60

3 segni dello zodiaco = 1 dei moschettieri = 5 ore di un giorno = 3 giorni di una settimana =

La classificazione delle frazioni

Le frazioni possono essere classiﬁcate in: proprie, improprie e apparenti. Frazioni proprie - Una frazione si dice propria quando il numeratore è più piccolo del denominatore e quindi la parte presa in considerazione è più piccola dell’intero. 4/9 3/8 5/11 Frazioni improprie - Una frazione si dice impropria quando il numeratore è più grande del denominatore e quindi per ottenerla bisogna prendere più interi. 8/3 7/4 5/2 Frazioni apparenti - Una frazione si dice apparente quando il numeratore è uguale o multiplo del denominatore e quindi essa equivale a un numero naturale, cioè a uno o più interi. 5/5 6/3 21/7 6. Cerchia di rosso le frazioni proprie, di blu quelle improprie e di verde quelle apparenti. 5 4

7 21

18 6

2 9

3 8

24 6

23 6

8 16

1 5

8 8

4 19

7 13

11 5

14 8

Le frazioni equivalenti

Due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano sempre una parte uguale. 1 2

Proprietà delle frazioni

2 4

Le frazioni godono della proprietà invariantiva in virtù della quale moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero (diverso da 0) si ottiene una frazione equivalente. Ad esempio, data la frazione 3/7, se moltiplico entrambi i termini per 2, ottengo 3 × 2 = 6 , che è equivalente alla frazione data, 7×2 14 cioè 3/7.

100

Settima settimana

| aritmetica

7. Vero o falso? a. 3/5

è equivalente a 9/10

d. 4/11

è equivalente a 16/44

b. 30/12

è equivalente a 5/210

e. 18/6

è equivalente a 9/2

c. 12/5

è equivalente a 36/15

f. 20/12

è equivalente a 5/3

8. Applicando la proprietà invariantiva, scrivi per ogni frazione data due frazioni equivalenti. a. 3/5 = ___________; ___________; b. 7/8 = ___________; ___________; c. 15/12 = ___________; ___________;

d. 12/6 = ___________; ___________; e. 4/11 = ___________; ___________; f. 24/8 = ___________; ___________;

Riduzione ai minimi termini di una frazione

Per ridurre una frazione ai minimi termini bisogna dividere il numeratore e il denominatore per il loro Massimo Comun Divisore, in modo da renderli numeri primi tra loro e da ottenere la frazione più piccola possibile (frazione irriducibile). La frazione irriducibile si definisce frazione generatrice (perché da essa si generano altre frazioni). Ad esempio, per ridurre ai minimi termini la frazione 16/20 bisogna trovare il M.C.D. dei due termini della frazione, che è 4, e dividere entrambi i termini per 4: 16 : 4 = 4 . La frazione ridotta è dunque 4/5. 20 : 4 5 Uno dei sistemi più semplici per ridurre ai minimi termini è quello di “semplificare”, che consente di non scrivere ogni volta le divisioni. Infatti, per semplificare, si barrano sia il numeratore che il denominatore e si scrivono sopra, più in piccolo, i risultati della divisione per il M.C.D. 12 4 25 1 = = 15 5 75 3

9. Indica se la riduzione ai minimi termini è esatta (E) o sbagliata (S). a. 25/10

ridotta ai minimi termini

5/2

b. 35/15

ridotta ai minimi termini

7/10

c. 36/42

ridotta ai minimi termini

6/7

d. 20/4

ridotta ai minimi termini

5/2

e. 18/45

ridotta ai minimi termini

2/5

f. 63/9

ridotta ai minimi termini

10.. Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini mediante il metodo della semplificazione. 7/28 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16/20 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36/15 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15/50 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30/66 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18/9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64/26 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81/9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18/24 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75/15 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Settima settimana

| aritmetica

Trasformazione di una frazione in un’altra equivalente di denominatore dato

Talvolta, per poter confrontare due frazioni o operare con esse, occorre trasformare una frazione in un’altra di denominatore dato. Per farlo bisogna: - ridurre la frazione ai minimi termini; - dividere il denominatore dato per quello della frazione; - moltiplicare il quoto per entrambi i termini della frazione.

2 Es. 3 ➜ 36 36 : 3 = 12 2 × 12 24 2 3 × 12 = 36 = 3

Trasformazione di più frazioni allo stesso minimo comun denominatore (m.c.d.) Per trasformare più frazioni allo stesso minimo comun denominatore, bisogna: - ridurle tutte ai minimi termini; - calcolare il m.c.m. dei denominatori (m.c.d.); - dividere questo m.c.d. per il denominatore di ciascuna frazione; - moltiplicare i termini di ciascuna frazione per i vari quoti ottenuti.

5 7 9 Es. 4 ; 6 ; 8 ; m.c.d. (4, 6, 8) = 24 24 : 4 = 6 5 × 6 30 4 × 6 = 24

24 : 6 = 4 7 × 4 28 6 × 4 = 24

24 : 8 = 3 9 × 3 27 8 × 3 = 24

11.. Trasforma le seguenti frazioni in frazioni equivalenti con denominatore dato. 4 .... = = 9 27

...............................

3 .... = = 5 35

7 .... = = 8 16

...............................

21 .... = = 18 12

...............................

5 .... = = 7 21

...............................

16 .... = = 10 25

...............................

12.. Indica qual è il m.c.d. dei seguenti gruppi di frazioni. 5 4 ; 6 9

7 4 ; 10 15

54 18

6 5 ; 8 10

30 150

13.. Trasforma i seguenti gruppi di frazioni allo stesso minimo comun denominatore. 3 2 ; = m.c.d. (5, 3) = 5 3

...............

3 = 5

...............

2 = 3

...............

7 5 ; = 6 4

...............

7 = 6

...............

5 = 4

...............

4 2 ; = 21 7 102

..................

= =

...............

4 = 21

...............

2 = 7

...............

4 10 80

Settima settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE non sa se essere felice o triste. Il viaggio a Persepoli è finito troppo presto. E poi MOEBIUS si è comportato in modo un po’ strano. L’imperatore Dario, inoltre, a differenza di Fidia e del dio Toth, non è stato molto ospitale. Questa indecisione, tuttavia, non gli impedisce di farsi venire in mente anche stavolta qualche enigma e qualche gioco da proporre ai suoi.

L’esercito nel deserto Un generale decide di partire per la guerra. Si mette in viaggio con 500 uomini e, a ogni villaggio che attraversa, 15 nuovi soldati si uniscono alla sua truppa. Dopo il quindicesimo villaggio, l’esercito del generale è composto da 440 soldati. Il generale scopre che, ad ogni villaggio, un numero costante di soldati decide di abbandonarlo. Quanti soldati ha perso il generale ad ogni villaggio?

Il terreno dell’imperatore

L’imperatore Dario ha concesso un terreno di forma quadrata ai suoi quattro più fedeli funzionari. I palazzi che ha fatto costruire, uno per ogni funzionario, sono stati posizionati così come indicato nel disegno. Ma adesso c’è un problema da risolvere. Come bisogna suddividere il terreno in modo che ogni funzionario abbia intorno alla sua casa la stessa superficie di terreno (1/4 a testa)?

103

na a m i t t e s a Ottav

. . . i d a t r Alla scope

Roma

n o e h t n Il Pa a m o R i d

L’ultima settimana di vacanze DAVIDE la trascorre a Roma, a casa degli zii. Ha una passione particolare per la storia e così decide di visitare i principali monumenti della città. Tra questi ce n’è uno assai famoso che non ha mai visto: il Pantheon. In un libro di scuola di suo padre ha trovato un disegno, lo ha ritagliato e incollato sul taccuino.

104

DAVIDE ha una cartina della città di Roma che sa usare molto bene. Sta cercando la strada per arrivare al Pantheon, dove ha un appuntamento con suo cugino. Dopo aver percorso stradine piene di negozietti e tavole calde, giunge finalmente nella piazza del Pantheon ma… il Pantheon non c’è! Si guarda attorno, per capire se ha sbagliato qualcosa, ma intorno a lui non ci sono più nemmeno le bancarelle e i negozi di souvenir; anche gli edifici sono diversi da come li aveva visti un attimo prima e le persone sembrano vestite proprio come antichi romani. Al centro della piazza ci sono degli uomini che tendono una lunga corda fissata a un piolo e, girando intorno, tracciano una linea curva. DAVIDE fa un disegno sul suo taccuino: è molto concentrato e per nulla sorpreso… ormai è abituato alle trovate di MOEBIUS. A proposito, ma dov’è? Guardando con più attenzione, lo vede che pianta dei paletti lungo la linea tracciata sul terreno. Nel giro di un’ora, nella piazza su cui sorgerà il Pantheon, è stato disegnato un enorme cerchio. Con un cenno delle mani, MOEBIUS che, oramai si sa, ha poteri magici, fa correre rapidamente il tempo in avanti. Nel giro di pochi secondi DAVIDE vede sorgere davanti a lui le colonne e poi le mura circolari e poi il tetto e il colonnato d’ingresso. “Ecco, il Pantheon è pronto! Entriamo!” esclama MOEBIUS.

il pantheon Stato: Italia Città: Roma Anno di costruzione: 118-128 d.C. (fu fatto ricostruire dall’imperatore Adriano dopo che gli incendi dell’80 e del 110 d.C. avevano danneggiato la costruzione precedente di età augustea) Etimologia: dal greco pántheon (hierón), “(tempio) di tutti gli dei”

105

Ottava settimana

geometria

Il cerchio

Facciamo visita a Giove Appena entrati nel Pantheon, MOEBIUS dice a DAVIDE: “Voglio farti vedere una cosa” e gli fa cenno di guardare in alto. Il tetto ha una forma circolare ed è a cerchi concentrici (uno dentro l’altro). I cerchi hanno un centro in comune che corrisponde a un foro anch’esso circolare (si chiama oculo) dal quale entra la luce. “Vedi – continua MOEBIUS – sono sei cerchi concentrici; il più grande ha un diametro di circa 44 metri, mentre il più piccolo, quello che circonda la fascia dell’oculo, ha un diametro di circa 9 metri”. DAVIDE guarda in alto e poi si guarda intorno. Anche il pavimento e le pareti hanno una forma circolare. MOEBIUS riprende a parlare: “I muri sono stati realizzati seguendo la linea che ci hai visto tracciare prima con la corda. Il modo più antico per tracciare un cerchio perfetto consiste proprio nel piantare un piolo per terra, legarci una corda e, a una certa distanza, legare un punteruolo per lasciare un segno sul terreno. Tenendo ben tesa la corda e girando intorno, si traccia un cerchio che ha come centro il piolo. B A

A proposito, gli antichi romani hanno costruito questa cupola per accogliere tutti gli dei del cielo, e l’hanno costruita in forma sferica perché così appare il cielo. In altre parole, questa sfera che sta sopra la nostra testa imita la sfera celeste”. 106

Ottava settimana

| geometria

Osservando la volta del Pantheon, DAVIDE, appassionato di astronomia, comincia a immaginare i movimenti degli astri. Ma quando abbassa lo sguardo, si accorge che attorno a lui ci sono degli uomini e delle donne dall’aspetto regale che chiacchierano tra loro e ogni tanto gli rivolgono sguardi gentili. Uno di loro si avvicina: “Mi presento, sono Giove. Abbiamo sentito molto parlare delle lezioni di matematica di MOEBIUS. Siamo interessati anche noi”. Si sistemano in cerchio e attendono che MOEBIUS cominci. Il mago della matematica china lievemente il capo in segno di saluto, poi dà inizio alla lezione: “La linea curva che abbiamo tracciato per costruire il Pantheon si chiama circonferenza. Ciascun punto della circonferenza si trova alla stessa distanza dal centro del cerchio. Questa distanza si chiama raggio. Il segmento massimo che passa per il centro della circonferenza e unisce due punti opposti, invece, si definisce diametro ed è esattamente il doppio del raggio. Una cosa che i Romani – e prima di loro i Greci e gli Egiziani – sapevano benissimo è che la circonferenza di un cerchio è più lunga del diaraggio metro del cerchio di una misura pari a tre volte più un pezzettino. O I Greci calcolarono con molta precisione questo rapporto, che è di DIAMETRO 3,14159265358979. In realtà queste sono solo le prime 15 cifre di un serie infinita. Tutti i matematici greci furono d’accordo nell’approssimare il numero a 3,14, numero che viene chiamato pi greco (π). La circonferenza del cerchio si ottiene proprio moltiplicando il diametro per π, ossia il raggio per 2π: C = 2πr”.

DIAMETRO

CIRCONFERENZA diametro

diametro

+ 0,14

107

Ottava settimana

| geometria

Tra gli dei presenti alla lezione se ne fa avanti uno il cui aspetto colpisce particolarmente: indossa scarpe alate. Ma ciò che colpisce di più è l’espressione intelligente e acuta dei suoi occhi. “Bene – esordisce – mi sembra che a questo punto sia usanza che MOEBIUS proponga dei giochi matematici… come li chiamate voi… esercizi. Ecco, mi pare che li chiamiate in questo strano modo. Sarei molto curioso di sapere di cosa si tratta”. MOEBIUS si rivolge a DAVIDE: “Ti presento Mercurio, uno che di matematica se ne intende”. Poi si esibisce in una delle sue performance di magia: la cupola del Pantheon improvvisamente si sbianca, come se qualcuno l’avesse dipinta, e dal pavimento di marmo emergono delle lettighe sulle quali tutti i presenti si stendono. L’inclinazione della spalliera è quella giusta per osservare comodamente quello che accade sulla volta. Sembra stia per cominciare un film… sulla cupola spuntano i primi esercizi.

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Il cerchio massimo della cupola del Pantheon ha un diametro di 44m, quello minimo ha un diametro di 9m. Di quanto differisce la circonferenza del primo cerchio da quella del secondo? Calcola le due circonferenze e scrivi. ......................................... ......................................... .........................................

108

Ottava settimana

| geometria

2. Un quadrato, un ottagono e un cerchio hanno il perimetro uguale a quello del cerchio massimo della cupola del Pantheon (vedi esercizio 1). Calcola il lato del quadrato, il lato dell’ottagono e il raggio del cerchio. ..............................................................

3. Proviamo a mettere insieme le nostre conoscenze sulle frazioni e sulla geometria. Osserva attentamente la figura riportata a lato: si tratta di un quadrato inscritto in un cerchio. Come puoi vedere, i vertici del quadrato dividono il cerchio in quattro archi di cerchio uguali. Sapendo che la diagonale del quadrato misura 24m, calcola la lunghezza degli archi di circonferenza. ..........................................................................

4. Ora proviamo tutti a fare un piccolo esercizio (sul bracciolo delle lettighe dei presenti appaiono delle tavole bianche con dei righelli, dei goniometri e delle matite; su ogni tavola compare una circonferenza con il diametro). Provate a disegnare tutti i triangoli possibili aventi come lato comune il diametro e con il vertice opposto al diametro che coincide sempre con un punto della circonferenza. Quale caratteristica hanno in comune questi triangoli (misurate gli angoli)?

.........................................

5. Adesso proviamo a mettere insieme quello che sappiamo sugli angoli e sul cerchio. Se tracciamo il diametro del cerchio una volta orizzontalmente e una volta verticalmente, lo dividiamo in quattro parti uguali. Quanto misurano i quattro angoli che si formano al centro del cerchio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. A ogni angolo individuato nel precedente esercizio corrisponde un arco di circonferenza. Espresso in frazioni, quante volte ciascun arco di circonferenza è più piccolo della circonferenza intera? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. A quale angolo corrisponde un arco la cui misura è 1/5 della circonferenza intera? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ottava settimana

misure

La velocità angolare

Una stella al guinzaglio Tra gli dei presenti, c’è anche Bacco che, alzandosi dalla lettiga e sollevando un bicchiere colmo di vino, dice: “Brindiamo a MOEBIUS”. Poi, rivolgendosi a DAVIDE: “Gradisci anche tu una coppa di nettare degli dei?” “No, grazie tante, io bevo solo succo d’arancia e chinotto”. Gli dei sorridono. L’aria si è fatta leggera e piena di allegria. Il bianco della cupola trascolora e si trasforma in un cielo stellato dove si muovono la Luna e i pianeti. Gli dei stessi, sebbene abituati alle meraviglie del mondo, sono stupefatti e guardano con ammirazione MOEBIUS. “Ebbene – dice lui sorridendo, dopo aver sorseggiato del nettare degli dei – avendo parlato di cerchio, di angoli e di frazioni, non posso esimermi dal farvi una piccola, e spero preziosa, lezione sulla velocità angolare. Tutti, compreso DAVIDE, che non ne ha mai sentito parlare, rimangono a bocca aperta. “Prego, prendete posto in modo da lasciare libero il cerchio del Pantheon”, continua MOEBIUS. Intanto le lettighe, come inghiottite dal pavimento, scompaiono. Gli dei arretrano e, dal centro della circonferenza, emerge un piolo sul quale brilla un piccolo sole d’oro al quale MOEBIUS lega una corda. All’estremo opposto della corda, invece, si materializza un corpo luminoso: una piccola stella cometa che, tirando la corda, quasi come volesse liberarsene, comincia a ruotare attorno al sole. Da una delle tasche del suo vestito, MOEBIUS tira fuori un grosso cronometro, i cui numeri sono visibili anche a chi è distante: “Misuriamo quanto tempo impiega la stella cometa a fare un giro completo della circonferenza”.

0 sec “Ha impiegato 60 secondi” dice MOEBIUS. Poi, rivolgendosi ai presenti, continua: “A che angolo corrisponde una circonferenza intera?” “A un angolo di 360°” risponde Mercurio anticipando DAVIDE che aveva la risposta pronta. “Bene, questo significa che, per ogni secondo, la nostra stella ha disegnato un angolo di…?” chiede ancora MOEBIUS. Questa volta a rispondere è DAVIDE: “Velocità uguale spazio fratto tempo… in questo caso lo spazio è la misura degli angoli… 360° diviso 60 secondi: 6° al secondo!” 110

42°

V° =

42° = 6°/sec 7 sec

7 sec

Ottava settimana

| misure

MOEBIUS sorride. È un sorriso di felicità: non pensava di arrivare a tanto con DAVIDE. Poi si rivolge ancora al pubblico presente. Sono arrivati altri dei, persino da altre parti del mondo, divinità di altre religioni che si scambiano offerte e sorrisi. La stella continua a ruotare, ma questa volta, a un cenno di MOEBIUS, aumenta la velocità: “Questa volta la stella ha completato la rotazione in 20 secondi”. Per DAVIDE, ormai, è un gioco da… ragazzi: “18° al secondo”. “Immaginate – dice adesso MOEBIUS – che gli astri del cielo siano legati al Sole con una corda. Girano, girano e girando intorno al Sole disegnano angoli. La loro velocità viene misurata dagli astronomi così come noi abbiamo fatto con questa piccola stella che adesso lasciamo libera”. La stella cometa si stacca dalla corda e si invola attraverso l’oculo in cima alla cupola. Un brusio di meraviglia serpeggia tra i presenti. “Ma continuiamo con le domande…” dice MOEBIUS interrompendo le voci.

0 sec

126°

V° =

126° = 18°/sec 7 sec

Gli esercizi di MOEBIUS 7 sec 1. Se un satellite, ruotando intorno a un asteroide, completa la sua rotazione ogni 2 minuti e mezzo, qual è la sua velocità angolare in gradi al secondo (°/sec)? .................................................................

2. Se un’astronave compie un quarto di giro introno a una base orbitante in 1 minuto e 30 secondi, in quanto tempo completa il giro e a che velocità angolare (in °/sec) si muove? ............................................

111

Ottava settimana

aritmetica

Le frazioni (seconda parte)

Lascia fare a Mercurio... Mercurio sembra essere distratto da qualcosa che lo infervora particolarmente. “Ma se in 6 secondi – dice – percorre 1/36 del cerchio, e in 30 secondi 1/2 del cerchio, come faccio a sommare le due parti percorse? C’è qualcosa che mi manca”. “Veramente – interviene MOEBIUS – non avevo previsto fuori programma e non penso che gli altri abbiano dubbi su questo tipo di problema”. Giove, intanto, comincia a fischiettare girando lo sguardo dall’altra parte, mentre Venere inizia a truccarsi come se nessuno avesse detto niente. Bacco, per parte sua, esclama: “Beviamoci sopra”, mentre Apollo prende la lira e prova a tagliar corto: “Adesso canterò qualcosa che celebri quest’occasione preziosa”. Come vedi – dice Mercurio – nessuno ne sa più di me, quindi!” “Quindi non mi resta che finire con una lezione di aritmetica” conviene MOEBIUS. I volti dei presenti finalmente si rasserenano. “Mi butterò sul classico” continua MOEBIUS. Alle sue spalle appare una lavagna, davanti a lui compare come d’incanto una cattedra.

Addizione e sottrazione di frazioni

Quando due o più frazioni hanno lo stesso denominatore, la somma o la differenza tra loro sarà una frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma o la differenza tra i numeratori. 3 2 3+2 5 + = = 7 7 7 7

9 7 9–7 2 – = = 5 5 5 5

Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, invece, non si possono effettuare addizioni o sottrazioni lasciandole invariate: è necessario ridurle prima allo stesso denominatore, con il metodo appreso precedentemente. Nel caso di addizione o sottrazione tra numeri misti, cioè tra un numero intero e una frazione, bisogna prima trasformare il numero intero in una frazione con lo stesso denominatore dell’altra frazione, poi sommare o sottrarre i numeratori. 5+

112

1 10 1 10 + 1 11 = + = = 2 2 2 2 2

3–

2 21 2 21 – 2 19 = – = = 7 7 7 7 7

Ottava settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Esegui le operazioni tra frazioni con lo stesso denominatore (riducendole sempre prima ai minimi termini) e, quando puoi, semplifica il risultato. 5 2 + = ........................ 3 3

3 7 + = ........................ 8 8

8 6 + = ........................ 7 7

15 13 – = ........................ 4 4

6 1 – = ........................ 10 5

19 7 – = ........................ 6 6

3 5 7 + + = ........................ 8 8 8

15 4 8 + + = ........................ 10 5 5

18 11 2 – – = ........................ 13 13 13

2. Completa con la frazione opportuna. 3 5 + .......... = 11 11

5 11 + .......... = 9 9

..........

3 7 = 10 10

15 4 – .......... = 13 13

..........

–

7 1 = 15 15

9 – .......... = 1 7

7 + .......... = 1 16

..........

–

3 4 = 5 5

5 – .......... = 0 8

3. Esegui le operazioni tra frazioni con denominatore diverso (riducendole sempre prima ai minimi termini) e, quando puoi, semplifica il risultato. 5 1 + = 6 12

....

+ .... = ........... 12

3 1 – = 5 10

....

– .... = ........... = ........... 10

4 5 10 + = ..................... = ........... + 7 21 28

13 5 1 – = ..................... = ........... – 6 12 3

5 7 3 + = ..................... = ........... – 9 18 54

6 2 23 + = ..................... = ........... – 5 9 45

4. Esegui le operazioni tra numeri misti. 3+

3 = 7

5–

3 = 4

1 = ..................... = ........... 2

9–

5 = ..................... = ........... 3

6 = ..................... = ........... 8

4–

7 = ..................... = ........... 21

5 = ..................... = ........... 4

7 – 1 = ..................... = ........... 4

....

+ .... = ........... 7

5 + 6 = ..................... = ........... 9

5–

....

– .... = ........... 4

13 = ..................... = ........... 10 113

Ottava settimana

| aritmetica

5. Risolvi le espressioni con addizioni e sottrazioni (ricorda sempre di ridurre, quando possibile, ai minimi termini). a.

7 3 7 3 7 = 3 70 = =

5 12

5 4 33 9

6 2 7 = + + 9 5 30 2 2 7 = + + 3 5 30 16 7 = + 15 30 45 3 32 + 7 = = 30 2 30

8 19 + 6 30

2 15 + 8 12 2+

10 12

16 30

17 10

21 60

1 1 + +3 2 2 + 5

16 6 + 24 3

3 9 + 4 7 3 9 = + 4 7 3 9 = + 4 7 3 .... = + 4 7 .... + .... = 28

5 6 9 3 + + 14 7 14 21 .... 1 5 = + 14 7 4 .... 1 5 = + .... 7 4 5 = 4 .... .... ... = = 28 ...

5 = 4

24 2 + 32 4

2 =

4 5

14 = 30

Con l’aria di chi la sa lunga, Mercurio si mette in piedi, alza la mano e dice: “Sì, va bene! Ci hai parlato di addizioni e sottrazioni tra frazioni, e fino a qui tutti possiamo arrivarci; ma quando ci parlerai delle moltiplicazioni e delle divisioni?” “Ma perché non parliamo di viaggi?” dice Giove cercando di cambiare discorso. “O di feste?” aggiunge Bacco. “O di pesci?” suggerisce Nettuno. “Perché siamo dentro un libro di matematica e quindi dobbiamo parlare di matematica” dice Mercurio. “Ah!” esclamano tutti in coro per niente soddisfatti della risposta. “Ha ragione Mercurio. Motivo per cui adesso passiamo alle moltiplicazioni e alle divisioni” taglia corto MOEBIUS.

Moltiplicazione e divisione di frazioni

Per effettuare una moltiplicazione tra frazioni basta moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro. 4 7 4×7 28 × = = 3 5 3 ×5 15 Talvolta, però, prima di eseguire la moltiplicazione, è possibile sempliﬁcare a croce le frazioni, cioè sempliﬁcare i numeratori con i denominatori, anche se appartengono a frazioni diverse. 9 5 3×1 3 × = = 10 12 2×4 8

114

Ottava settimana

| aritmetica

Quando il prodotto tra due frazioni è uguale a 1, le frazioni si dicono reciproche o inverse. 4 7 × =1 7 4 Poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, per dividere due frazioni basta trasformare la divisione in una moltiplicazione tra la prima frazione e l’inversa della seconda. 4 9 4 2 4 ×2 8 : = × = = 5 2 5 9 5 × 9 45

Gli esercizi di MOEBIUS 1. Esegui le moltiplicazioni, semplificando quando è possibile.

2 9 × = ...................... 5 11

3 7 × = ...................... 21 12

4 10 × = ...................... 25 24

27 7 × = ...................... 28 18

32 44 × = ...................... 11 24

39 36 × = ...................... 45 26

24 35 16 × × = ...................... 50 96 21

49 12 15 × × = ................ 36 28 42

7×

5 9 × = ...................... 21 15

2. Scrivi, accanto a ogni frazione, la sua frazione inversa.

3 = .................... 11 8 = .................... 25

7 = .................... 15 1 = .................... 6

5 = .................... 9 14 = .................... 3

27 = .................. 7 8 = ...................

3. Esegui le divisioni, semplificando quando è possibile.

8 3 : = . . . . .× . . . . . = . . . . . 7 5

15 5 : = . . . . . ×. . . . . = . . . . . 4 6

40 30 : = .....×..... = ..... 63 21

4 3 : = . . . . . ×. . . . . = . . . . . 77 28

18 36 : = .....×..... = ..... 16 32

45 27 : = . . . . .× . . . . . = . . . . . 49 14

6 2 : = . . . . .× . . . . . = . . . . . 25 5

32 64 : = . . . . . ×. . . . . = . . . . . 25 45

35 28 : = .....×..... = ..... 12 9

35 28 : = . . . . . ×. . . . . = . . . . . 18 27

9 12 : = .....×..... = ..... 14 49

24 54 : = . . . . .× . . . . . = . . . . . 33 11

115

Ottava settimana

| aritmetica

“Mi piacerebbe concludere questa lezione, se il grande MOEBIUS mi concede il permesso”. È ancora una volta Mercurio che si è intromesso. Oramai è chiaro a tutti che fingeva di non sapere nulla. MOEBIUS sorride gentilmente e inchinandosi dice: “Certo maestro, da lei abbiamo solo da imparare”. Gli dei erompono tutti in un’espressione di meraviglia. Mercurio si affianca a MOEBIUS e comincia.

Elevamento a potenza di frazioni

Elevare a potenza una frazione signiﬁca elevare alla stessa potenza sia il numeratore che il denominatore. 3

5 7

5 3 125 = 7 3 343

Le potenze di frazioni godono delle stesse proprietà delle potenze di numeri interi. Prodotto di potenze con stessa base - Il prodotto di due o più potenze con stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 5

3 3 × 4 4

3 = 4

5 +2

3 = 4

Quoziente di potenze con stessa base - Il quoziente di due potenze con stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. 6

2 5

2 : 5

2 = 5

6 4

2 = 5

Potenza di una potenza - La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. 7 8

3×2

7 = 8

Prodotto di potenze con stesso esponente - Il prodotto di due o più potenze con esponente uguale è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. 2 3

9 7

12 2 9 = 15 3 7

12 216 = 15 315

24 = 35

Quoziente di potenze con stesso esponente - Il quoziente di due potenze con esponente uguale è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. 16 9

116

4 : 15

16 4 = : 9 15

16 15 = × 9 4

20 = 3

Ottava settimana

| aritmetica

Gli esercizi di MOEBIUS … in realtà sono di Mercurio! 1. Risolvi le seguenti espressioni. a.

3 7 1 13 : 20 5 4 5 ... ... ... 13 : = 5 20 ... 5 ___ × = ... 13 9 2

9 4

9 2

= =

3 1 : 1+ = 8 2

= =

… 3 …+ 1 : = 8 2

… … : = 8 2

… … … : = 8 2 … … = : = 8 2 … … … 7 = = = 8 … … 4 =

1 5 3 1 + + : 2 15 18 2

4 5 × 5 5

2 9 4 + × 3 8 3

1 3 4 : + 3 6 12

9 7 + 24 5

13 4 × 20 5

1 2

27 : 12

2 3

10 12

4 3

1 2

1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5 9 × 6 4 ... 9 × 6 4

... ...

4 5 12 × × 32 4 10

2 4 × 5 2

1 4 × 2 3

... 5 ... 1 4 × × × ×... ... 4 10 2 3

... 1 4 × ... × ... 2 3

... 1 4 × ... × ... 2 3 ... ... 4 × × ... ... ... 3 ... ... ... ... ... ... 3 2

2 16

...

1 = 5 6 19 × 15 26

2 4

10 = 4

Tutti i presenti sono stupiti di come Mercurio sappia cavarsela nello spiegare e nell’inventare esercizi sempre nuovi. “Persino io capisco” dice Venere, il cui interesse principale non può dirsi che sia la matematica. Mercurio sorride ai presenti con il suo sguardo furbo, profondo e intelligente. “È mio figlio!” esclama orgoglioso Giove. Giunone, sua moglie, lo guarda in cagnesco e lo redarguisce: “E non è l’unico!” Giove arrossisce imbarazzato, mentre Mercurio, preso dai ragionamenti, continua la sua lezione. 117

Ottava settimana

| aritmetica

La frazione di un numero

Per calcolare la frazione di un numero bisogna dividerlo per il denominatore e moltiplicare il quoto ottenuto per il numeratore. 3 di 16 = 16 : 4 × 3 = 12 4 In pratica, fare la frazione di un numero equivale a moltiplicare la frazione per quel numero (la preposizione “di” può essere sostituita con il ×). 3 × 16 = 3 × 4 = 12 4

Gli esercizi di MOEBIUS … sempre di Mercurio! 1. Esegui frazioni di un numero (utilizza la semplificazione a croce). 2 di 36 = 9

............

6 di 56 = 7

............

4 di 30 = 15

............

13 di 40 = 8

............

5 di 48 = 6

............

11 di 63 = 9

............

3 di 60 = 10

............

1 di 49 = 7

............

13 di 16 = 8

............

ssi ma

estat e

Ad un tratto il silenzio nel quale tutti sono immersi viene lacerato dall’irrompere di una folla chiassosa. Sono turisti, indossano camicie vivaci e occhiali da sole, ognuno di loro porta appesa al collo una macchina fotografica. Sparano flash a destra e a manca. MOEBIUS scompare, i banchi spariscono, la cattedra si dissolve. Gli dei si confondono a uomini di tutte le provenienze. DAVIDE esce dal Pantheon infastidito dal rumore. Il paesaggio intorno è di nuovo cambiato: auto, manifesti pubblicitari, chioschi di bibite, truppe accalcate di turisti, è la Roma che conosciamo. Poi guarda in alto e vede volare un aereo che ro si trascina dietro un enorme stendardo su ide ci vedia mo la p v a D cui sono scritte queste parole: “Ciao DACiao VIDE. Ci vediamo la prossima estate”. DAVIDE accenna a un saluto. “Chi stai salutando, le nuvole?” È suo cugino Antonio che lo ha raggiunto proprio in quel momento. È ora di tornare a casa. Tra poco le vacanze finiranno.

118

Seconda settimana

scienze

Il progresso tecnologico

L’uomo si dà da fare DAVIDE è in autobus adesso. Sta tornando con suo cugino a casa della zia. Da dietro il finestrino, osserva la città scorrere davanti ai suoi occhi. Le Terme di Diocleziano, Piazza della Repubblica con le fontane, il cimitero inglese e poi la città moderna, dove svettano costruzioni di vetro e cemento. Vede aerei sfrecciare nel cielo e la strada traboccante di automobili. Pensa alla carrozza trasportata dai buoi sulla via Appia, pensa ai contadini egiziani che sollevavano centinaia di litri d’acqua con dei semplici sistemi di leve. In un tempo così breve l'uomo è stato capace di realizzare così tanti cambiamenti! Accanto a lui qualcuno lo sta osservando. È un uomo dall’aria intelligente, che gli sorride e gli indica qualcosa che si trova davanti ai suoi piedi. Per un attimo a DAVIDE sembra di riconoscere Mercurio. “Non è possibile”, pensa. “È tuo quel foglio?” dice l’uomo. “Forse ti è caduto dallo zaino”. DAVIDE si china per raccogliere il foglio e quando si rialza si accorge che l’uomo non c’è più. “Forse si è trattato di un’altra visone”, pensa, ma il foglio sta nelle sue mani! Lo legge ed ecco cosa c’è scritto.

La forza muscolare dell’uomo è stata moltiplicata prima grazie all’invenzione (in Mesopotamia, in Egitto e in Grecia) di meccanismi come le leve e i verricelli, poi con l’invenzione del motore a scoppio e dei motori elettrici. Un uomo solleva: a mani nude: 80kg; con un sistema di carrucole: 300kg; con un argano manuale a catene: 1000kg; con una gru elettrica: 30.000kg. La velocità di spostamento è aumentata a dismisura prima grazie all’addomesticamento del cavallo, poi grazie alla costruzione di mezzi di locomozione che hanno dato all'uomo la possibilità di spostarsi a velocità sempre maggiori. Velocità di un uomo a piedi: 7km/h Velocità raggiunta da un centometrista: 44km/h Velocità massima raggiunta cavalcando un cavallo: 60km/h Velocità media di un’auto in autostrada: 140km/h Velocità di un aereo di linea: 900km/h Mentre prima la trasmissione di un messaggio era afﬁdata a messaggeri che si spostavano a piedi, poi a cavallo o in nave, adesso i messaggi si muovono nelle reti web o nell’aria alla velocità della luce. Un messaggio spedito da Palermo a Napoli impiega ad arrivare: in nave a vela: 30 ore; su un traghetto a elica: 12 ore; in aereo: 2 ore; via fax: 1 minuto; via internet o sms: un lasso di tempo trascurabile. DAVIDE distoglie per un attimo lo sguardo dal foglio poi, quando fa per rileggerlo, si accorge che è sparito. “Bisogna scendere”, gli dice suo cugino, distogliendolo dalla ricerca. “Siamo arrivati”. Nella folla alla fermata per un attimo gli sembra di vedere l’uomo di prima accennare a un saluto. Ma subito quell’immagine si disperde tra le decine di persone che salgono sulla vettura. 119

Ottava settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Stavolta DAVIDE i giochi li fa in treno. Sta tornando nella sua città con tutta la famiglia. Sente di avere imparato molte cose. Alcune sono raccontate in questo libro; ma molte altre, la maggior parte, non rientrano in questa storia. Inoltre sa di avere un nuovo amico, un amico segreto di cui nessuno sa nulla, un amico che ha risvegliato in lui l’amore per la matematica. Ma ecco gli ultimi giochi di DAVIDE.

Tra cerchi e quadrati Guardate attentamente questa figura. Si tratta di un cerchio C, con inscritto un quadrato Q e circoscritto un quadrato M. Evidentemente il quadrato esterno ha un’area maggiore di quello interno. Ma di quanto maggiore? Non c'è bisogno di conoscere le formule per calcolare le aree dei poligoni. Potete risolvere l'enigma semplicemente osservando con attenzione il disegno.

Mai staccare la penna Osserva il disegno: si tratta di un cerchio nel quale è inscritto un quadrato la cui diagonale corrisponde al diametro del cerchio. Dovete riuscire a disegnare l’intera figura senza mai staccare la penna dal foglio e senza mai passare due volte sulla stessa linea.

120

matematica D1.

Serena, Alberta e Marta vanno abitualmente al cinema. Serena ci va ogni 8 giorni, Alberta ogni 10 e Marta ogni 6. Se oggi si sono incontrate, tra quanti giorni si incontreranno di nuovo?

A. B. C. D. D2.

MI PREPARO PER L’INVALSI

10 80 120 100

Osserva gli angoli disegnati qui sotto.

4 5

Quale dei seguenti raggruppamenti è formato solo da angoli acuti? A. 1, 4, 6 B. 2, 3, 6 C. 2, 4, 5 D. 1, 3, 5, 6

121

MI PREPARO PER L’INVALSI D3.

Quanto può pesare un’automobile? A. 90kg B. 6t C. 950kg D. 20kg

D4.

In un cesto che contiene 56 animaletti di plastica, 1 sono cavalli. Quanti sono gli altri anima7 letti? A. 8 B. 48 C. 49 D. 64

D5.

L’area del quadrato raffigurato misura 60m². Quanto misura l’area del triangolo ABO? D

C O

A. B. C. D.

12m² 20m² 10m² 15m²

D6.

Quale numero è stato cancellato nelle seguente divisione? 2.597 : = 49 A. 35 B. 83 C. 55 D. 53

D7.

In una colonia di cornacchie, 9 femmine hanno deposto nei loro nidi le seguenti quantità di uova: 9, 4, 7, 3, 8, 4, 6, 5, 7. Qual è la mediana della seguente raccolta di dati? A. 7 B. 6 C. 2 D. 4

122

MI PREPARO PER L’INVALSI D8.

Quale, tra i seguenti numeri, è un numero primo? A. 653 B. 2.936 C. 5.745 D. 693

D9.

Quali delle seguenti figure ha 8 assi di simmetria? 1

A. B. C. D. D10.

(1) (2) (3) (4)

Francesca, Antonella e Elena hanno comprato delle caramelle. Francesca ne ha comprate più di Elena, Antonella ne ha comprate meno di Francesca ma più di Elena. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? A. Francesca ne ha comprate più di tutte B. Elena ne ha comprate meno di tutte C. Antonella ha comprato più caramelle di tutte D. Antonella ha comprato più caramelle di Elena

123

MI PREPARO PER L’INVALSI D11.

Solo una coppia di angoli, tra quelle raffigurate, è formata da angoli complementari tra loro. Quale?

A. B. C. D.

(1) (2) (3) (4)

D12.

Solo una delle seguenti uguaglianze è vera. Quale? A. 35 × 4 – 8 = 35 × 5 B. 35 – 5 × 2 = 35 – 10 C. 35 + 6 : 3 = 76 : 2 D. 35 × 7 + 3 = 35 × 9

D13.

In una zona montuosa, ad ogni cento metri di altitudine in più, corrisponde un abbassamento di 0,6° di temperatura. Se a 450m il termometro segna 13°, quanti gradi segnerà ad un’altitudine di 1200m? A. 5,2° B. 10,4° C. 3,6° D. 8,5°

D14.

Quali sono i divisori del numero 48? A. 12 e 24 B. 6e8 C. 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 D. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

124

MI PREPARO PER L’INVALSI D15.

Il grafico in figura rappresenta gli esemplari di differenti specie di mammiferi avvistati in un giorno durante un censimento. Sono stati avvistati più leoni che giraffe, gli esemplari più numerosi erano le zebre, i meno numerosi i rinoceronti. 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Quanti leoni sono stati avvistati? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D16.

Un rettangolo e un triangolo aventi la stessa area avranno anche lo stesso perimetro? A. No, il perimetro del triangolo sarà maggiore B. Dipende dalla misura dei lati C. No, il perimetro del rettangolo sarà maggiore D. Sì, i perimetri saranno uguali

D17.

Sommando gli angoli di un triangolo, si ottiene: A. un angolo acuto B. un angolo retto C. un angolo ottuso D. un angolo giro

D18.

Qual è il primo numero primo che si trova dopo il numero 50? A. 51 B. 53 C. 55 D. 57

125

MI PREPARO PER L’INVALSI D19.

I seguenti numeri rappresentano i lavoratori assenti in una fabbrica in dieci giorni. 13, 5, 13, 10, 15, 10, 13, 11, 6, 14 Qual è la media giornaliera di assenze? A. 12 B. 13 C. 11 D. 10

D20.

Qual è il risultato della seguente moltiplicazione? 3,27 × 12,5 = A. 261,6 B. 26,16 C. 40,875 D. 408,75

D21.

D22.

2 La nonna di Pietro ha preparato 56 biscotti. Pietro ne ha mangiati i . Quanti biscotti sono 8 rimasti? A. 14 B. 42 C. 36 D. 49 Osserva la figura. L’ottagono rappresentato (fig. 1) è suddiviso in otto triangoli isosceli con il vertice di un angolo in comune. La figura 2 rappresenta uno dei triangoli isosceli dai quali è formato l’ottagono. O

B fig.1

Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false?

126

fig. 2

MI PREPARO PER L’INVALSI Metti una crocetta per ogni riga. Vero

Falso

a. L’angolo AOB misura 60° b. Il perimetro del triangolo è otto volte minore di quello dell’ottagono c. Ogni triangolo isoscele che compone l’ottagono ha il suo corrispondente simmetrico d. L’area dell’ottagono è otto volte maggiore di quella del triangolo isoscele e. Gli angoli di base di uno qualunque dei triangoli isosceli misurano 90°. D23.

Qual è il risultato della seguente espressione? (35 × 55 × 45) : (43 × 33 × 53) = A. 52 B. 315 C. 122 D. 602

D24.

Il getto di una fontana ha una portata costante. Ogni 30 secondi fuoriescono 1,5 lt di acqua. Un uomo decide di riempire fino all’orlo un secchio la cui capienza è di 120lt. Quanto tempo impiegherà a riempirlo? A. 40 minuti B. 2100sec C. Mezz’ora D. Un’ora e venti minuti

D25.

A quale numero corrispondono 93 centinaia, 27 decine, 145 decimi e 38 centesimi? A. 9.584,88 B. 923,883 C. 9327,183 932.714,538 D.

D26.

Di questa serie di dati determina, nell’ordine, la moda, la mediana e la media. 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10, 11, 12 Moda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mediana: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Media: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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MI PREPARO PER L’INVALSI D27.

Le rette r ed s sono parallele, la base del parallelogrammo e quella del triangolo sono uguali. r

Figura 1

Figura 2

Indica quali, tra le seguenti affermazioni, sono vere e quali false. Metti una crocetta per ogni riga. Vero a. b. c. d. e.

D28.

Falso

Il triangolo e il parallelogrammo hanno altezze diverse Il perimetro del parallelogrammo misura il doppio di quello del triangolo Dividendo il parallelogrammo secondo la diagonale minore, si otterranno due triangoli della stessa forma del triangolo della figura 2 L’area del parallelogrammo sarà il doppio di quella del triangolo La lunghezza dei lati diagonali del parallelogrammo è uguale a quella del lato diagonale del triangolo

Qual è la frazione equivalente a

28 21

14 ? 21 14 42

28 63

2 3

D29.

Quali sono i divisori del numero 18? A. 1, 2, 3, 6, 9, 18 B. 2, 3, 6, 9 C. 2, 3 D. 1, 2, 3, 6, 12, 18

D30.

25 lattine di cipolle sottaceto pesano complessivamente 6750gr. Il contenuto complessivo di tutte le lattine (aceto più cipolle), misurato al netto, pesa 6450gr. Le cipolle sgocciolate (senza aceto), contenute nelle lattine, pesano complessivamente 4950gr. Quanto pesano nell’ordine: ogni lattina vuota, l’aceto contenuto in ogni lattina, le cipolle sgocciolate contenute in ogni singola confezione? A. 12gr, 60gr, 198gr B. 25gr, 55gr, 190gr C. 40gr, 60gr, 170gr D. 35gr, 70gr, 165gr

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