Matematica in viaggio 2 by ardeaeditrice

Oreste Brondo - Maria Mercedes Sorice

Matematica in viaggio 2 Libro-quaderno per le vacanze

Aritmetica Misure Geometria Scienze Scuola secondaria di primo grado

Oreste Brondo - Maria Mercedes Sorice

Matematica in viaggio 2

Libro-quaderno per le vacanze

Il volume, suddiviso in otto unità, propone un viaggio fantastico in compagnia di DAVIDE, un ragazzo molto curioso. DAVIDE è dotato di un’immaginazione straordinaria: gli basta aprire un libro e immediatamente si ritrova in un mondo parallelo. E così, leggendo Alice nel paese delle meraviglie, si trova di fronte alla Regina di cuori e allo Stregatto; appassionandosi alle storie di Jules Verne, finisce prima al centro della Terra e poi in una navicella che lo porta addirittura sulla Luna… E a ogni avventura, DAVIDE non perde occasione per ripassare le regole della matematica e delle scienze. Sei pronto a seguirlo? Vedrai, assieme a lui (e ai suoi amici), fare radici quadrate o calcolare le aree dei poligoni sarà divertentissimo!

Aritmetica Misure Geometria Scienze

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L’INVALSI

Euro 7,50

Volume + Laboratorio di matematica e scienze

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Scuola secondaria di primo grado

Classe Seconda

ARDEA EDITRICE

C RI 8-0 IT -36 e ED 397 do ric io A 8-8 ron s So agg DE 8-8 e B de vi AR 97 rest erceca ine 2 BN O ia M ati lass IS r m c a M ate M

copertina matematica in viaggio.indd 2

Questo volume, sprovvisto del talloncino a fronte (opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato), è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, l. 633/1941). Escluso da I.V.A. (d.p.r. 26/10/1972, n. 633, art. 2, lett. d).

mi preparo per

MATEMATICA IN VIAGGIO 2

Classe Seconda

17/03/15 12:19

INDICE

Prima settimana 4-5 Alla scoperta di... Alice nel paese delle meraviglie 6-11 aritmetica • Frazioni e numeri decimali Infinitamente piccolo e infinitamente grande 12-16 Misure • Le aree Quanto misura la piazza d’armi? 17 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

seconda settimana 18-19 Alla scoperta di... L'uomo che piantava gli alberi 20-27 aritmetica • La radice quadrata Un’insolita radice... 28-30 Geometria • Le aree del rettangolo e del quadrato

Un bosco a forma di rettangolo 31-32 scienze • Gli ecosistemi Grazie agli alberi terza settimana 34-35 Alla scoperta di... Viaggio al centro della Terra

33 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

36-43 aritmetica • I numeri relativi Tutto è relativo 44-47 Geometria • Le aree dei parallelogrammi, dei rombi e dei trapezi

Quante forme! 48 Misure • La pressione e la temperatura Più giù vai, più caldo fa 49 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

quarta settimana 50-51 Alla scoperta di... I viaggi di Gulliver 52-59 aritmetica • Rapporti e proporzioni Quanto pesa una mucca a Lilliput? 60-62 Geometria • L’area dei triangoli Una capanna speciale 63 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Indice

quinta settimana 64-65 alla scoperta di... La storia infinita 66-71 aritmetica • Le proporzioni Quanto è grande il palazzo reale di Fantàsia? 72-76 Geometria • I poligoni regolari Che forma ha il palazzo reale di Fantàsia? 77 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

sesta settimana 78-79 Alla scoperta di... Dalla Terra alla Luna 80-85 aritmetica • Proporzionalità Tenetevi forte! 86-88 Geometria • Il cerchio Allunaggio! 89-90 scienze • L’accelerazione Più veloci di un fulmine! 91 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

settima settimana 92-93 Alla scoperta di... Viaggio di un naturalista intorNo al mondo 94-98 aritmetica • Percentuali e calcolo delle probabilità

Un’improbabile tartaruga... 99-102 Geometria • Il teorema di Pitagora La misura della gomena 103 scienze • L’evoluzione della specie Siamo tutti parenti

ottava settimana 106-107 Alla scoperta di... L'universo, gli dei, gli uomini 108-113 aritmetica • La statistica Predire il futuro? 114-119 Geometria • Le similitudini Un modello... da seguire 120 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

105 Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

121-128

mi preparo per l'invalsi

Sta per cominciare una storia che ha dell’incredibile. Chi è il protagonista? Si chiama DAVIDE, un ragazzo della tua età. DAVIDE è molto curioso e ha un’immaginazione straordinaria. Gli basta aprire un libro e immediatamente si ritrova in un mondo parallelo. E così, leggendo Alice nel paese delle meraviglie, si trova di fronte alla Regina di cuori e allo Stregatto; appassionandosi alle storie di Jules Verne, finisce prima al centro della Terra e poi in una navicella che lo porta addirittura sulla Luna… E a ogni avventura, DAVIDE non perde occasione per ripassare le regole della matematica e delle scienze. Sei pronto a seguirlo? Vedrai, assieme a lui (e ai suoi amici), fare radici quadrate o calcolare le aree dei poligoni sarà divertentissimo!

mana i t t e s a m i pr

. . . i d a t r Alla scope

E S E A P L E N E C I L A E I L G I V A R E M E L DEL

DAVIDE è in vacanza con la sua famiglia e, come sempre, ha portato con sé un mucchio di libri. Sono tutti in quella piccola valigia blu accanto al letto. “Ma quanti ne hai portati?” chiede la sorella meravigliata. “Otto! Uno per settimana”, risponde DAVIDE. “Otto?!” gli fa eco la sorella. “Ma sono tantissimi”. “E io li leggerò tutti”. “Scommettiamo che non riesci a finirli!?” “Scommettiamo!” risponde serio DAVIDE, e intanto ne prende uno a caso dalla valigia. “Il primo che leggerò sarà… Alice nel paese delle meraviglie”. Tra il dire e il fare DAVIDE non lascia passar tempo, si siede comodamente nel patio e comincia a leggere. Il rumore conciliante del mare giunge da oltre il fronte della pineta. Ma attenzione… la storia inizia: “Alice cominciava a stufarsi di starsene a sedere accanto alla sorella sulla riva del fiume, senza avere nulla da fare…”. La storia lo appassiona subito. È come un vortice che lo risucchia. Gli sembra quasi di sentire le voci dei personaggi. “Ma guarda un po’! Sono diventata un quinto della mia altezza” dice ALICE. “E quindi se considerassimo la tua altezza normale come pari a 1, adesso saresti, ehm saresti… Non riesco a fare il conto”. “Proviamo a chiederlo a DAVIDE. È lì che legge le mie avventure, magari può aiutarci”. DAVIDE sussulta. Queste non sono parole scritte nel libro ma pronunciate da qualcuno che si trova a pochi passi da lui, pronunciate da ALICE in persona.

E infatti, davanti a lui c’è proprio ALICE. È alquanto rimpicciolita ed è assieme alla Lepre Marzolina e al Cappellaio Matto. I tre lo guardano con insistente attenzione mentre sorseggiano del tè. Un po’ imbarazzato DAVIDE risponde: “Un quinto di ALICE? Beh, facile: 0,2 ALICE”. “Non capisco perché!” risponde stizzita la Lepre lanciando la tazza che va a infrangersi contro il tronco di un albero. “Io invece comincio a capire, ma non ne sono sicuro” dice il Cappellaio. “Bene, – aggiunge ALICE con sufficienza – forse è arrivato il momento di spiegarcelo”.

Autore: Lewis Carroll (pseudonimo di Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898) Titolo: Alice nel paese delle meraviglie (Alice’s Adventures in Wonderland) Anno di pubblicazione: 1865 Protagonista: Alice Altri personaggi: il Cappellaio Matto, la Lepre Marzolina, la Regina Rossa, i fanti di cuori, la Regina Bianca, lo Stregatto e altri ancora Trama: sognando di inseguire un coniglio bianco nella sua tana, Alice si ritrova in un luogo fantastico, nel quale accadono cose assurde. Bevendo il contenuto di una bottiglia, diventa molto piccola e si addentra in un mondo sotterraneo nel quale incontra un cappellaio e una lepre (con i quali si ferma a bere un tè), due Regine (una Rossa e una Bianca) vestite di tutto punto, un gatto magico e… tanti altri personaggi. Dopo le incredibili e meravigliose avventure vissute assieme a loro, Alice si risveglia proprio là dove si era addormentata, accanto alla sorella sulla riva di un fiume. Non le resta che tronare a casa per un tè!

Prima settimana

aritmetica

Frazioni e numeri decimali

Infinitamente piccolo e infinitamente grande I nuovi amici di DAVIDE sono pronti per la lezione e lui non si fa pregare per cominciare. Parlerà delle frazioni e dei numeri decimali, in modo che la sua nuova compagna di viaggio possa regolarsi nel suo continuo rimpicciolire e crescere a dismisura!

Frazioni e numeri decimali

Una frazione è una divisione tra numeratore e denominatore. Quando la frazione non si può più sempliﬁcare, diciamo che è ridotta ai minimi termini ed è irriducibile. Le frazioni irriducibili danno origine a numeri decimali e vengono chiamate frazioni generatrici. Se divido il numeratore per il denominatore di una frazione ottengo un numero che sarà: − naturale, se la frazione è apparente; 15/5 = 3 − decimale, se la frazione non è apparente. 8/5 = 1,6 Una frazione, inoltre, si deﬁnisce: − decimale se il denominatore è composto da 10 o da una sua potenza (100, 1000 ecc.); − ordinaria se il denominatore è diverso da 10 o da una sua potenza. A questo punto DAVIDE, rivolgendosi al Cappellaio Matto, dice: “Vediamo se hai capito. Esercitiamoci un po’ con le frazioni decimali”.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Cerchia di rosso le frazioni decimali e di blu le frazioni ordinarie. 7 10

11 40

9 45

45 50

17 10.000

15 20

13 100

2 200

3 1000

23 83

“Ho capito, – dice alla fine il Cappellaio – non è così difficile”. “Aspetta a dirlo – risponde DAVIDE – per ora ti ho spiegato solo le frazioni e i numeri decimali, ma esistono anche i numeri periodici semplici e misti, che sono quelli che non finiscono mai”. 6

Prima settimana

| aritmetica

I numeri periodici I numeri decimali si definiscono: − limitati (finiti) quando la divisione da cui sono generati, dopo un certo numero di calcoli, finisce; 7/10 = 0,7 − illimitati (infiniti) quando la divisione da cui sono generati non finisce mai. 7/3 = 2,3333333… I numeri decimali illimitati si definiscono numeri periodici e possono essere semplici o misti. I numeri periodici semplici sono quelli nei quali dopo la virgola compare un numero o un gruppo di numeri che si ripete all’infinito. I numeri periodici semplici si ottengono quando il denominatore non è composto né dal fattore 2 e né dal fattore 5. 8 = 0,8888... 9

11 = 3,6666... 3

5 = 0,151515... 33

I numeri periodici misti sono quelli nei quali subito dopo la virgola troviamo prima una o più cifre che non si ripetono e poi la cifra che si ripete. I numeri periodici misti si ottengono quando il denominatore è composto da altri fattori oltre che dal 2 o dal 5. 8 = 0,5333... 15

7 = 1,1666... 6

5 = 2,91666... 33

Nei numeri periodici, la cifra o le cifre decimali (cioè quelle dopo la virgola) che si ripetono vengono chiamate periodo e vengono indicate con una lineetta posta sopra; la cifra o le cifre decimali che non si ripetono vengono chiamate antiperiodo. parte intera parte decimale periodo 32,43 periodico semplice

parte intera parte decimale antiperiodo 19,516 periodico misto

“Allora, sei pronto?” dice DAVIDE al Cappellaio Matto. “Ti metto alla prova con un po’ di esercizi, così vediamo se hai capito!”

Prima settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Scrivi, accanto a ogni numero, se è decimale finito, periodico semplice o periodico misto e cerchia di nero la parte intera, di rosso il periodo e di blu l’antiperiodo. 14,02 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9,16

= ..........................

8,26

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

13,476 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18,74 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2,1351 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

3,4102 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11,03 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,007 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

2. Riscrivi i seguenti numeri utilizzando la simbologia esatta. Osserva l’esempio. 2,555… = 2,5

7,6414141… = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,296296… = . . . . . . . . . . . . . . .......

4,17777… = . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

9,12468468… = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11,04444… = . . . . . . . . . . . . . . .......

31,5656… = . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

76,3494949… = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17,4902902… = . . . . . . . . . . . ..........

3. Confronta i numeri decimali e inserisci nel quadratino il simbolo giusto (> , < , = ). 3,8 19,75

3,8 19,7

9,721 6,52

9,722 6,521

0,005

0,0054

13,64

30,093

34,1

5,6647

“Ho capito!” dice a questo punto ALICE. “Se ingrandisco, ad esempio, di 7/3 sarò cresciuta di 2,3. Ma quello che ancora non capisco è come fare a trasformare un numero decimale in una frazione”. “Te lo spiego subito” dice DAVIDE. “Innanzitutto bisogna distinguere tre casi possibili: quello nel quale il numero decimale è limitato, quello nel quale il numero periodico è semplice e quello nel quale il numero periodico è misto”.

13,6 5,66

Prima settimana

| aritmetica

Dal numero decimale alla frazione

La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per numeratore il numero intero (cioè riscritto senza la virgola) e per denominatore 10, 100, 1000 ecc., a seconda di quante sono le cifre decimali. 27 10

2,7 =

0,02 =

2 100

7,534 =

7534 1000

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero (senza la virgola) e la sua parte intera (cioè quella prima della virgola) e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. 24 – 2 9

2,4 =

22 9

5,47 =

547 – 5 = 99

542 99

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero (senza la virgola) e tutta la parte che precede il periodo (cioè sia la parte intera che l’antiperiodo) e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. 3,47 =

347 – 34 = 90

313 90

5,218 =

5218 – 52 = 990

5166 990

Gli esercizi di DAVIDE 1. Trasforma i seguenti numeri decimali finiti nelle corrispondenti frazioni decimali (ricordati di semplificare quando è possibile). 274

5,712 = . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

0,4 = . . . . . . . . . . . = .. . . . . . . . . .

56,4 = .. . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

1,18 = . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

65,36 = . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

0,34 = .. . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

276,16 = . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . ...

100

137

9,048 = . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . .

2,74 =

2. Trasforma i seguenti numeri periodici semplici nelle corrispondenti frazioni generatrici (ricordati di semplificare quando è possibile).

5,3 =

53 – 5 9

48 9

16 3

1,47 = .. . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . 27,9 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = .........

0,42 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . 7,4 = . . .. . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

15,18 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = .........

| aritmetica

Prima settimana

3. Trasforma i seguenti numeri periodici misti nelle corrispondenti frazioni generatrici (ricordati di semplificare quando è possibile). 2,49 =

249 – 24

225 90

5 2

23,74 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

3,73 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

5,17 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = .........

0,05 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

9,418 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = .........

4. Trasforma i seguenti numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici utilizzando, di volta in volta, il metodo adeguato. Semplifica dove è possibile. 4,2 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

1,43 = .. . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

7,9 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

28,32 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

5,62 = .. . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

1,8 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

0,57 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

6,45 = .. . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

0,349 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

“Visto che siete diventati così esperti, – dice a questo punto DAVIDE – vi insegnerò anche a fare le espressioni con i numeri decimali”.

Espressioni e numeri decimali

Per risolvere le espressioni con i numeri decimali è necessario prima trasformare i numeri nelle frazioni generatrici e, quando è possibile, sempliﬁcare.

(0,1+1,8

1,5

1,3 = ➜ si trasformano i numeri decimali in frazioni

= 1 + 17 9 9

15 10

12 = ➜ si sempliﬁcano le frazioni 9

= 1 + 17 9 9

3 2

9 4 = 18 3 2 = = 0,6 3 =

)

4 = 3

➜ si eseguono prima la parentesi svolgendo il minimo comune multiplo ➜ si esegue la moltiplicazione sempliﬁcando ➜ si trasforma la frazione in numero decimale

Prima settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Risolvi le seguenti espressioni.

(

a. 1 0,3 0,5

)

(

3+ 0,6

0,5 + 0,16

)

b. (2,4 :4+ 5 0,5) :(15 + 0,5) + 0,5 :1,4+ 1,5 =

{ (0,6

d. 1

0,25 ) 1,2 + 1 : (1,5

(0,5 + 0,3) :0,83+ (0,4

}

0,75 ) : 0,75 : 1,3 =

(

0,1) 1 0,6

) :(0,6 2

)

0,5 =

Prima settimana

misure

Le aree

Quanto misura la piazza d’armi? Un soffio di vento chiude il libro che DAVIDE aveva poggiato sulle scale del patio. ALICE, il Cappellaio e la Lepre scompaiono, mentre intorno si materializza di nuovo il paesaggio di sempre (la pineta, oltre la quale c’è il mare). DAVIDE fa appena in tempo a sentire una voce che riecheggia per un attimo: “Peccato, mi stavo divertendo!” È la voce di ALICE. “Accadono davvero cose incredibili quando si legge” pensa DAVIDE. “Si rischia di ritrovarsi in mondi sconosciuti, assieme a personaggi straordinari…”. Poi guarda il libro, lo riapre a pagina 12 e il paesaggio intorno a lui cambia di nuovo: sta percorrendo un sentiero nel bosco, due uomini bassi e tozzi passeggiano canticchiando. Richiude e compaiono di nuovo i pini. Dopo un po’, riapre ancora il libro (sempre a pagina 12) e davanti ai suoi occhi si materializzano i fanti rossi di cuori e quelli neri di quadri che, stretti stretti nel cortile del castello della Regina Rossa, riempiono la piazza d’armi. La Regina Rossa si agita sul palco e dice: “Più di così non ce n’entrano, bene… il piazzale è ampio… esattamente 356 fanti”. “Strano modo, sorellina, di misurare un’area. Credo che esistano modi un po’ più semplici, grazie ai quali non è necessario scomodare tutti i fanti del tuo esercito” dice la Regina Bianca. “La solita sapientona! E quali sarebbero questi modi? Forse me lo sai dire tu… o magari il primo che passa… magari un ragazzetto qualunque appena arrivato!” “Eccolo, infatti! È appena arrivato un ragazzetto che mi sembra sappia il fatto suo” dice la Regina Bianca; poi si rivolge a DAVIDE: “Caro, vorresti per favore spiegarci la questione con parole semplici? Sai, siamo creature di fantasia, poco ferrate in matematica”. DAVIDE si avvia a fare una lezione di matematica alla Regina Bianca e alla Regina Rossa. I fanti, estenuati dalla fatica, si stendono tra i cespugli e i prati del giardino. “Gli siano portati una lavagna e del gesso” ordina perentoria la Regina Rossa. “E anche qualcosa da bere e da mangiare” aggiunge gentile la Regina Bianca. Di fronte a DAVIDE si materializza uno sbuffo di fumo azzurro, dal quale vien fuori il ghigno sorridente di un felino. “Posso esserti d’aiuto?” dice lo Stregatto, sospeso a mezz’aria. “Scommetto che hai bisogno di qualcuno che faccia dei disegni. Io sono bravissimo. Da dove cominciamo?”

Prima settimana

| misure

DAVIDE riprende fiato e risponde: “Dalla misura delle aree”. Le due regine si esibiscono in un elegante applauso: “La misura delle aree: ottima scelta”. Lo Stregatto disegna nell’aria un rettangolo la cui forma è esattamente quella della piazza d’armi del castello della Regina Rossa. “L’area è la quantità di superficie compresa in un poligono. In questo caso il poligono è un rettangolo”, comincia deciso DAVIDE. E mentre pronuncia queste parole, lo Stregatto colora l’interno del rettangolo: è come se lo riempisse di nuvole bianche. “Non è giusto, non è equo che il rettangolo sia bianco, ne voglio anche uno rosso, altrimenti ti faccio tagliare la testa” dice la Regina Rossa. A

B “Eccovi un bel quadrato rosso, mia dolce regina”, dice lo Stregatto facendo apparire, per l’appunto, uno splendido quadrato rosso. Sembra fatto apposta; proprio di un quadrato doveva parlare DAVIDE: “L’unità di misura dell’area è il metro quadrato (m2). Il metro quadrato è un quadrato il cui lato è 1 metro”.

“Ma non deve essere necessariamente rosso” dice la Regina Bianca. “Potrebbe essere giallo, arancione, purché sia un quadrato”. La corte rispettosamente annuisce. DAVIDE continua: “Ecco, guardate quanti metri quadrati misura il cortile della reggia”. La Regina Rossa conta soddisfatta: “450 quadratini”. DAVIDE la corregge: “450m2!” Tutti i presenti ripetono in coro: “450m2!”

15m

30m

Prima settimana

| misure

DAVIDE continua la sua lezione: “Il metro quadrato va bene per misurare aree di una certa grandezza, ma per misurare aree più piccole è necessario adoperare i sottomultipli”. Mentre DAVIDE descrive i sottomultipli, lo Stregatto disegna dei quadratini di diversa grandezza e li va sistemando via via dentro i quadrati più grandi riempiendoli. A

1m2 1dm2

I sottomultipli del m²

I sottomultipli del m² sono: − il dm² (per avere 1m² ci vogliono 100dm²); − il cm² (per avere 1m² ci vogliono 10.000cm²); − il mm² (per avere 1m² ci vogliono 1.000.000mm²).

“Per misurare aree molto grandi – prosegue DAVIDE – bisogna usare i multipli del m2. Lo Stregatto si sbizzarrisce e comincia a disegnare quadrati giganteschi che iniziano a oscurare il cielo.

I multipli del m²

I multipli del m² sono: − il dam² (composto da 100m²); − l’hm² (composto da 10.000m²); − il km² (composto da 1.000.000m²).

“Come vi ha mostrato lo Stregatto – riprende DAVIDE – misurare una superficie significa calcolare quanti quadrati della grandezza di riferimento scelta (1mm2, 1m2, 1km2) entrano nella superficie dell’oggetto da misurare”. L’ultimo disegno dello Stregatto è un immenso rettangolo che riempie il cielo. La creatura magica ci sistema dentro tanti quadrati uguali di 1m2, e mentre lo riempie conta. Arriva a 1200m2. La luce si fa sempre più fioca, e quando l’ultimo quadrato viene sistemato il buio è assoluto.

DAVIDE chiude il libro che fino a quel momento teneva aperto tra le mani, spalanca gli occhi e si ritrova seduto nel patio di casa sua. “Sei stato almeno due ore a leggere. Deve piacerti questo libro” dice la madre affacciandosi alla finestra. “Sì, è bellissimo” risponde DAVIDE. Quella sera DAVIDE compila una serie di esercizi. Nel caso in cui incontrasse di nuovo ALICE, lo Stregatto o le due regine, gli piacerebbe sottoporglieli. 14

Prima settimana

| misure

Gli esercizi di DAVIDE 1. Il lato del quadrato disegnato di seguito misura 10 quadratini. Completa la quadrettatura della figura geometrica e calcola graficamente l’area (in quadratini). Ora dividi il quadrato con un diagonale. Facendo questo lo dividerai in due triangoli. Quanto misurerà, in quadratini, l’area di questi triangoli?. A B

2. I poligoni regolari che seguono hanno tutti lo stesso perimetro. Numerali da1 a 4 in ordine crescente di area.

3. Quanti mm² sono necessari per formare: 1cm², 1dm² e 1m²?

4. Quanti cm² sono necessari per formare 1m²?

Prima settimana

| misure

5. L’area del triangolo equilatero rappresentato di seguito misura 25dm²; l’area del quadrato, invece, misura 235cm². Quale delle due figure ha la superficie più grande? A A

235cm2 25dm2 C

6. La superficie del rettangolo disegnato di seguito misura 6 quadratini. Tagliando con una diagonale il poligono si ottengono 2 triangoli rettangoli. Quanto misurerà l’area di ognuno di essi. Adoperando quattro triangoli rettangoli della stessa forma, posso realizzare un rombo. Quanto misurerà l’area del rombo? A

7. Hai a disposizione 6 triangoli rettangoli ottenuti tagliando lungo la diagonale 3 quadrati ciascuno dei quali ha la superficie di 9m². Quali figure geometriche puoi ottenere assembrando i 6 triangoli assieme e quanto misureranno le loro aree e i loro perimetri?

8. La base di un dado da gioco ha una superficie di 4cm². Quanti ne possiamo sistemare, uno accanto all’altro, in una scatola larga 12cm e lunga 24cm?

Prima settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE ha appena finito di leggere Alice nel paese delle meraviglie e ha scoperto, leggendo l’introduzione, che l’autore della storia, Lewis Carroll, era un notevole matematico che amava inventare rompicapo ed enigmi da sottoporre ad amici, ragazzi e bambini. Fa una corsa in libreria e, cercando tra gli scaffali, riesce a trovare un libro che raccoglie i giochi matematici proprio di Lewis Carroll. Prima di cena ne proporrà alcuni ai suoi familiari. Ha già scelto quelli che reputa i più belli.

Primo rompicapo di Carroll (semplificato da Davide) Abbiamo a disposizione quattro recipienti da 6, 4, 3 e 1 litro. Solo il recipiente di 6 litri è pieno. Gli altri sono vuoti. In che modo bisogna procedere per dividere il vino in tre parti uguali (due litri, due litri, due litri)?

6ℓ

4ℓ

3ℓ

1ℓ

Secondo rompicapo di Carroll (gatti e topi) Se 6 gatti mangino 6 topi in 6 minuti, quanti gatti ci vorranno per mangiare 100 topi in 50 minuti?

Terzo rompicapo di Carroll (occhio alla traccia!) Tracciate il disegno indicato in figura senza staccare mai la matita dal foglio e senza ripassare sulle linee già tracciate. Provate a vedere in quanti modi è possibile risolvere il problema.

È sera e la prima settimana di vacanza è giunta al termine. DAVIDE ha tra le mani il secondo libro da leggere: è la storia di un uomo che trascorre la sua vita a piantare alberi per creare un bosco. Va a letto, si è fatto tardi. Spera di incontrarlo, quest’uomo, così come ha incontrato ALICE. Gli sembra una cosa molto bella da fare, far crescere un bosco dove tutto è arido. 17

ana m i t t e s a d Secon

. . . i d a t r Alla scope

E H C O M I R L'UO E B L A I L G A V A PIANT

DAVIDE sta leggendo L’uomo che piantava gli alberi. La sorella lo guarda un po’ indispettita. È la seconda settimana di vacanza e DAVIDE mantiene il ritmo promesso: un libro ogni sette giorni. Se continua così vincerà la scommessa. DAVIDE è assorto. Pensa alla storia di quest’uomo silenzioso che in un luogo arido, impervio, pianta migliaia di alberelli, nella speranza che in quel posto, aspro e invivibile, possa un giorno crescere un bosco. E il suo sforzo viene premiato. La sua costanza finisce per dare dei frutti. DAVIDE medita anche sul fatto che la lettura del libro non sta sortendo su di lui alcun effetto. Immaginava di aprirlo e di ritrovarsi nel paesaggio della campagna francese descritto da quelle pagine bellissime. Ma niente da fare. Il viaggio sperato non ha avuto luogo. Intanto, come succede in certi giorni d’estate, è scoppiato un violento e improvviso temporale. DAVIDE resta disteso sul divano con il libro aperto… il libro gli scivola lentamente sulla faccia e… lui si addormenta. Non fa in tempo a chiudere gli occhi che una sensazione di frescura, il suono lieve di un torrente e un canto fitto di uccelli lo risvegliano. Apre gli occhi e si accorge di essere disteso su un prato. Accanto a lui c’è un uomo alto, con gli occhi seri, un cappello a falde larghe, due baffi imponenti, che lo guarda con un’aria bonaria. DAVIDE lo riconosce subito: è l’uomo che piantava gli alberi. Intorno a lui il bosco meraviglioso a cui ha dato vita respira e riempie di gioia e di colori il mondo.

“Ho un problema” dice l’uomo con voce vigorosa e profonda. “Non è un problema grave. Ma vorrei risolverlo”. DAVIDE si mette a sedere, fissando affascinato gli occhi dell’uomo che continua a parlare: “Il capo del governo, come premio per il lavoro realizzato, mi ha fatto recapitare 1849 piccoli ulivi. Beh! A me piacerebbe farne un boschetto di forma perfettamente quadrata, cioè con quattro lati uguali e tutto il resto, ma di matematica non ne capisco niente. Tu sai dirmi quanti alberi devo piantare per ogni lato?” “Un’altra piccola prova” pensa DAVIDE. “È bellissimo ripassare la matematica in questo modo” e, felice di questo nuovo cimento, si solleva in piedi e dice: “Posso certamente aiutarla; anzi se vuole le faccio pure una lezione di matematica. Sono contento di conoscerla. Proprio in questi giorni sto leggendo il libro che racconta la sua storia”. L’uomo si fa improvvisamente pensieroso: “Vuoi dire che io non sono vero? Che ci troviamo dentro un libro?” I due rimangono in silenzio per un attimo. Un dubbio li assale. DAVIDE non sa con esattezza se si trova in un sogno o in un libro; è una domanda alla quale è difficile rispondere. L’uomo interrompe il flusso dei suoi pensieri dicendo: “Beh! Non stiamo troppo a pensarci. Adesso spiegami come si fa a metter su un bosco quadrato con 1849 ulivi”.

Autore: Jean Giono (1895-1970) Titolo: L’uomo che piantava gli alberi (L’homme qui plantait des arbres) Anno di pubblicazione: 1953 Protagonista: Elzéard Bouffier Trama: nel 1910 un giovane uomo fa un’escursione sulle pendici delle Alpi. Durante l’escursione, l’uomo attraversa una vallata deserta e senza alberi, nella quale si trova un villaggio abbandonato. Nel villaggio vive un pastore, un uomo piuttosto silenzioso, che gli dà da bere e gli offre ospitalità. È un uomo straordinario, il suon nome è Elzéard Bouffi er e ha deciso di migliorare quel posto desolato e deserto. E per farlo, ogni giorno pianta 100 ghiande. Sono tre anni che si dedica a questa attività! Oramai ha piantato 100mila ghiande e si aspetta che nascano 10.000 querce. Dieci anni dopo, nel 1920, i due si incontrano di nuovo. Il paesaggio è notevolmente cambiato: gli alberi sono diventati alti e non sono solo querce. Ci sono anche faggi e betulle. La foresta raggiunge un’estensione di 11 km2. Elzéard Bouffier è diventato apicultore.

Seconda settimana

aritmetica

La radice quadrata

Un’insolita radice... DAVIDE comincia la sua spiegazione: “Innanzitutto bisogna fare una radice quadrata”. “Sarebbe la radice di una particolare pianta che io non conosco?” chiede ingenuamente l’uomo. “Debbo dirti che non ho mai visto alberi o cespugli con radici di questa forma. Forse crescono in città?” “No, no… non si tratta di piante” si affretta a rispondere DAVIDE. “Si tratta di matematica”. “Ah! Allora continua, magari se vai avanti finirò per capirci qualcosa”. DAVIDE continua.

La radice quadrata

Tutte le operazioni matematiche hanno il loro inverso: l’addizione ha come operazione inversa la sottrazione, la moltiplicazione ha come operazione inversa la divisione. Anche l’elevamento a potenza, ad esempio il quadrato di un numero (cioè un numero moltiplicato per se stesso), è un’operazione. Ma qual è la sua operazione inversa? L’operazione inversa dell’elevamento a potenza è l’estrazione di radice, che consiste nel calcolare, conoscendo il valore della potenza e l’esponente, la base. Esempio: 4² = 16

l’operazione inversa è

16 = 4

Ovviamente, come ogni numero può essere elevato a qualsiasi esponente (alla seconda, alla terza, alla quarta ecc.), così la radice, a seconda del valore dell’esponente, può essere radice quadrata, radice terza, radice quarta ecc. 24 = 16 → 4 16 = 2 25 = 32 → 5 32 = 2 Esempio: 2³ = 8 → 3 8 = 2 Per ora prenderemo in considerazione solo la radice quadrata, cioè l’operazione inversa all’elevamento a potenza con esponente 2. Osserva la seguente radice: 2 16 = 4 In essa distinguiamo: il simbolo dell’operazione il numero di cui vogliamo calcolare la radice il numero per cui bisogna elevare la radice il risultato dell’operazione

16 2 4

che si chiama segno di radice che si chiama radicando che si chiama indice che si chiama radice quadrata

segno di radice

indice

16 = 4

radicando

radice quadrata

Seconda settimana

| aritmetica

“Ora tocca a lei”, dice DAVIDE rivolto all’uomo. “È arrivato il momento di esercitarsi”.

Il quadrato perfetto

La radice quadrata di un numero, dunque, è quel numero che, elevato al quadrato (cioè moltiplicato per se stesso) dà come risultato il radicando. Quando la radice quadrata di un numero è un numero intero, si dice che il numero sotto radice è un quadrato perfetto, cioè deriva perfettamente da un numero moltiplicato per se stesso. Un quadrato perfetto ha gli esponenti di tutti i fattori primi pari. Esempio: 25

è un quadrato perfetto perché deriva da

5 x 5 cioè 5²

Uno dei modi più semplici per calcolare la radice quadrata di un numero è quello di fare la scomposizione in fattori e calcolare il prodotto dei fattori primi con gli esponenti dimezzati. Esempio:

100 50 25 5 1

2 2 5 5

100 = 2² x 5²

la radice è 2 x 5 = 10

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola, attraverso la scomposizione in fattori, le radici dei seguenti numeri. 144 ➜ 144 = 3² x 4²

➜ 144 = 3 x 4 = 12

484 ➜ 484 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

➜ 484 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676 ➜ 676 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

➜ 676 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400 ➜ 400 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

➜ 400 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

900 ➜ 900 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

➜ 900 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Seconda settimana

| aritmetica

Approssimare per eccesso o per difetto

Se un numero non è un quadrato perfetto, cioè se non esiste alcun numero che moltiplicato per se stesso dia quel numero come risultato, allora bisogna approssimarsi per eccesso o per difetto a meno di un’unità, cioè bisogna calcolare quei numeri interi che sono a lui immediatamente più vicini. Esempi: 8 approssimando per difetto perché 8 x 8 = 64 75 9 approssimando per eccesso perché 9 x 9 = 81 Si può quindi dire che: 8 <

75 < 9

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola, con la scomposizione in fattori, la radice quadrata approssimata per difetto e per eccesso, a meno di un’unità. ......

difetto

......

eccesso

......

difetto

107 =

874 = ......

......

difetto

......

eccesso

......

difetto

241 =

543 =

eccesso

......

eccesso

......

difetto

......

eccesso

......

difetto

......

eccesso

436 =

637 =

2. Trova il numero più piccolo che, moltiplicato per i seguenti quadrati non perfetti, consente di ottenere un quadrato perfetto. Suggerimento: utilizza la scomposizione e ricorda che un numero, per essere un quadrato perfetto, deve avere tutti gli esponenti dei fattori primi pari. 45 = 3² x 5 ➜ x 5 54 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

➜× ➜× ➜× ➜×

......... ......... ......... .........

3² x 5² = 225 quadrato perfetto = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto ............................

3. Trova il minor numero che, diviso per i seguenti quadrati non perfetti, consente di ottenere un quadrato perfetto. Suggerimento: utilizza la scomposizione. 72 = 2³ x 3² ➜ : 2 200 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

➜ : ......... ➜ : ......... ➜ : ......... ➜ : .........

2² x 3² = 36 quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . quadrato perfetto

Seconda settimana

| aritmetica

Le proprietà della radice quadrata

La radice quadrata gode di due proprietà: la radice quadrata di un prodotto e la radice quadrata di un quoziente. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori. Esempio:

36 25 = 36 × 25

Infatti, provando a svilupparle entrambe, otteniamo: 36 25 = 900

900 = 22 × 32 × 52

36 × 25

36 = 22 × 3²

900 = 2 × 3 × 5 = 30 25 = 5²

36 = 2 × 3 = 6

25 = 5²

6 × 5 = 30

La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore. Esempio:

144 : 36 = 144 : 36

Infatti, provando a svilupparle entrambe, otteniamo: 144 : 36 = 4

4 = 2²

144 : 36

144 = 24 × 32 144 = 22 × 3 = 12

4= 2 36 = 22 × 3² 36= 2 × 3 = 6

12 : 6 = 2

Ovviamente questa seconda proprietà si applica anche alle frazioni, visto che anche loro sono divisioni. Esempio:

49 7 49 = = 25 25 5

Seconda settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola le seguenti radici quadrate in entrambi i modi possibili. 121 x 25 =

3025 = 55

121 × 25 = 11 × 5 = 55

9 x 49 =

...................

= ..........

..........

× .......... = .......... × .......... = ..........

576 : 64 =

...................

= ..........

..........

64 x 36 =

...................

= ..........

..........

× .......... = .......... × .......... = ..........

196 : 49 =

...................

= ..........

..........

= .......... : = .......... :

..........

= .......... = ..........

2. Calcola la radice quadrata delle seguenti frazioni. 64 8 64 = = 25 25 5

625 = ................... = .......... 169

256 = ................... = .......... 361

441 = ................... = .......... 900

676 = ................... = .......... 49

289 = ................... = .......... 81

L’algoritmo per l’estrazione di radice quadrata

Per calcolare la radice quadrata di un numero intero, oltre al sistema della scomposizione in fattori, si può utilizzare un procedimento formato da una sequenza di regole che si chiama algoritmo per l’estrazione di radice quadrata. Calcoliamo, ad esempio, la radice quadrata del numero 55.225: 1)

Scrivo il numero sotto radice e, partendo da destra, lo suddivido in gruppi di due cifre (l’ultimo gruppo più a sinistra può essere anche di una sola cifra).

5.52.25

Prendo in considerazione il primo gruppo più a sinistra (nel nostro caso il 5) e calcolo mentalmente il numero intero più grande che, moltiplicato per sé stesso, si avvicina di più, ma senza superarlo, al gruppo che ho preso in considerazione (in pratica faccio la radice quadrata del primo gruppo). In questo caso il numero che cerchiamo è il 2 perché 2 x 2 = 4. Il 2 è la prima cifra della radice che stiamo cercando e la scriviamo a destra del numero.

5.52.25

Faccio il quadrato di questo primo numero e lo sottraggo dal primo. Dunque: 5 – 4 = 1

5.52.25 4 1

Seconda settimana

| aritmetica

Abbasso il secondo gruppo di cifre e lo scrivo a ﬁanco al resto ottenuto prima.

5.52.25 4 152

Raddoppio la prima cifra della radice e la scrivo sotto la linea a destra.

5.52.25 4 152

2 4

Calcolo il quoziente tra le prime due cifre del numero a sinistra (15) e il 4, cioè 15 : 4 = 3 e lo scrivo a ﬁanco al 4. Moltiplico poi il numero così ottenuto (43) di nuovo per il quoziente (43 x 3).

5.52.25 4 152

2 43 × 3 = 129

Scrivo il quoziente ottenuto nel passaggio precedente (3) a ﬁanco alla prima cifra della radice. Ho trovato, così, la seconda cifra della radice. Calcolo poi il secondo resto sottraendo il prodotto ottenuto (129) da 152.

5.52.25 4 152 129 23

23 43 × 3 = 129

Abbasso poi il terzo gruppo di cifre. Raddoppio le prime due cifre della radice e le scrivo sotto.

5.52.25 4 152 129 2325

23 43 × 3 = 129 46

Ripeto il punto 6 cioè calcolo il quoziente tra 232 e 46, poi scrivo questo quoziente (5) accanto al 46 e moltiplico tutto il numero per questo quoziente.

5.52.25 4 152 129 2325

235 43 × 3 = 129 465 × 5 = 2325

10) Scrivo il quoziente ottenuto a ﬁanco alle prime due cifre della radice. Ho trovato la terza cifra della radice. Calcolo poi il terzo resto sottraendo il prodotto ottenuto da 2325.

5.52.25 4 152 129 2325 2325 0

235 43 × 3 = 129 465 × 5 = 2325

La radice quadrata di 55.225 è 235.

Seconda settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola sul quaderno, utilizzando l’algoritmo, le seguenti radici quadrate esatte. 441 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1024 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2025 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1444 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59.049 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Approssimare per difetto

Per calcolare la radice quadrata di un numero decimale, oppure per continuare a estrarre la radice oltre il numero intero, il procedimento è lo stesso ma, arrivati alla virgola si inserisce la virgola anche nella radice e si aggiungono due zeri al resto. Quando si deve estrarre la radice quadrata di un numero che non è perfetto, si può decidere se approssimarla per difetto: a meno di un decimo (0,1), cioè ci si ferma alla prima cifra decimale; a meno di un centesimo (0,01), cioè ci si ferma alla seconda cifra decimale; a meno di un millesimo (0,001), cioè ci si ferma alla terza cifra decimale.

Esempio:

0 ,1

8756 = 93,5

0 ,01

8756 = 93,57

0 ,001

8756 = 93,573

La radice quadrata di una frazione

Quando in una frazione né il numeratore né il denominatore sono quadrati perfetti, per estrarre la radice quadrata si deve prima dividere il numeratore per il denominatore (eventualmente approssimando il risultato), poi si estrae la radice del risultato. Esempio:

717 = 17,07 = 4,1 42

Gli esercizi di DAVIDE 2. Utilizza l’algoritmo e calcola le seguenti radici quadrate approssimandole a 0,1. 7537 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

499 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35.728 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7641 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

537 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28.591 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calcola la radice quadrata delle seguenti frazioni. 1117 = 75 26

............

= ............

529 = 93

............

= ............

845 = 87

............

= ............

Seconda settimana

| aritmetica

Radice quadrata di un’espressione aritmetica

Per estrarre la radice quadrata di un’espressione aritmetica, bisogna prima eseguire tutte le operazioni seguendo le procedure di risoluzione dell’espressione, poi si estrae la radice quadrata del risultato. Esempio: = 2 × 5 + 7 – (3 × 10 + 10) : (9 × 5 – 120 : 3) = risolvo prima le parentesi tonde = 2 × 5 + 7 – 40 : 5 =

eseguo moltiplicazione e divisione

= 10 + 7 – 8 =

eseguo addizione e sottrazione

= 9

estraggo la radice quadrata

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola il valore delle seguenti espressioni sotto il segno di radice. a. 5 5 3 (3 + 4) + 63 : 9 3 = = 5 5 3 ____+ 63 : 9 3 = = ____ ____+ ____ = = ____ = ____ b.

(62 : 4 + 62

1) : 22 + (52 + 22

3 23 ) =

[7 4 (25 : 5 + 21 : 7 )] 3 + (8 5 5 3 8 : 2) =

{ (2

e. 17

}

: 22 + 23 + 11) : 3 + 49 : 7

5 + 23 6 : 13 =

2 + 25 5 22 (63 30

8) : 25 2

( 4 2 + 4) =

“Sì, ma allora, quanti alberi ci devono essere per ogni lato del bosco quadrato che vorrei costruire?” chiede l’uomo. “Semplice” dice DAVIDE. “Deve fare la radice quadrata del numero di alberi da piantare”. “E cioè 1849” dice l’uomo scrivendo con un rametto sul terreno l’operazione. “Proprio così!” dice DAVIDE sorpreso. “Beh! Tutto qui? Me lo potevi dire senza giraci troppo intorno. Per ogni lato del mio bosco devo piantare 43 alberi”, dice l’uomo senza nemmeno sviluppare la radice quadrata. DAVIDE resta a bocca aperta.

Seconda settimana

geometria

Le aree del rettangolo e del quadrato

Un bosco a forma di rettangolo

DAVIDE e l’uomo ora sono seduti sulla riva di un torrente. L’uomo apre la sua bisaccia, tira fuori un pezzo di pane e taglia una fetta a testa, poi aggiunge un po’ di formaggio e porge il tutto a DAVIDE che comincia a mangiare di gusto. “Se hai sete, puoi bere l’acqua del torrente: è pulita e ha un buon sapore”. Poi continua: “Ma ora mi hai fatto venire una curiosità. Se invece di fare un bosco con tutti e quattro i lati uguali, volessi farlo di una forma diversa, come si chiama… non ricordo il nome… un rattangiolo”. “Un rettangolo” lo corregge DAVIDE. “Beh! Forse posso approfittare della sua domanda per farle una lezione di geometria”. “Geometria? Sarebbe un’altra di quelle diavolerie tutte numeri e operazioni come quelle che mi hai spiegato poco fa?” “In realtà si tratta di una questione un po’ più semplice”. “Vai avanti, ti ascolto”. DAVIDE prende dei rametti abbastanza dritti e li spezza in tante parti, alcune della stessa misura, altre di misura diversa, e compone a terra due figure geometriche. “Come può vedere, queste due figure in qualcosa si somigliano e in qualcosa sono diverse” dice DAVIDE. L’uomo le guarda attentamente e dice: “Si somigliano perché sono dritte come le finestre delle case”. “Si dice che hanno gli angoli tutti e quattro uguali e tutti e quattro retti”, aggiunge DAVIDE. “Retti significa giusti? Significa che sono dei bravi angoli?” chiede l’uomo. “No” risponde DAVIDE. “Non in quel senso, ma nel senso che sono gli stessi che si trovano nelle finestre, nei quaderni e nei libri. Sono angoli di 90°”. “Che c’entrano adesso il caldo e il freddo?” dice l’uomo. DAVIDE sta quasi perdendo la pazienza ma si contiene e gli pone un’altra domanda: “In cosa sono diverse le due figure?” L’uomo tentenna. “Sono diverse – continua DAVIDE – per il fatto che una ha tutti e quattro i lati uguali e si chiama quadrato e una ce li ha uguali solo a due a due e si chiama rettangolo”. Proprio mentre sta pronunciando queste parole, DAVIDE spalanca gli occhi. Intorno a lui il bosco è sparito. “Era solo un sogno. Ma visto che stavo ripassando… continuo a ripassare” si dice e continua la lezione per se stesso. 28

Seconda settimana

| geometria

L’area del rettangolo e l’area del quadrato L’area del rettangolo e l’area del quadrato si calcolano moltiplicando la misura della base per misura l’altezza. A (rettangolo) = b × h Poiché il quadrato, che è da considerarsi un tipo particolare di rettangolo, ha tutti e quattro i lati uguali, la formula della sua area può essere trasformata nel seguente modo: A (quadrato) = b × h = l × l = l² Tutto gli torna in mente in modo chiaro. Decide allora di allenarsi un poco facendo degli esercizi. Poi pensa che il miglior modo per allenarsi è inventarsi da solo gli esercizi e comincia.

A=bxh

B A = l x l = l2

Gli esercizi di DAVIDE 1. Il rettangolo disegnato a lato è composto da quadratini i cui lati misurano 1cm. Da quanti quadratini è composto il rettangolo? Ora conta i quadratini che compongono la base e quelli che compongono l’altezza, poi applica la formula per calcolare l’area. Ottieni lo stesso risultato? ........................................................................

2. Un giardiniere può piantare 1012 querce in due modi: o formando un rettangolo con un lato che misura 22 querce, oppure formando un rettangolo con un lato che misura 11 querce. Quanto misurano i lati rimanenti dei due rettangoli. Le loro aree e i loro perimetri saranno uguali o differenti? ........................................................................

Seconda settimana

| geometria

3. Un uomo costruisce una staccionata per il suo orto. La staccionata è di 96m e l’orto è di forma quadrata. Quanto misura l’area dell’orto? ........................................

4. Per ottenere un quadrato la cui area sia il doppio di un primo quadrato il cui lato misura 7m, di quanto, all’incirca, dovrebbe essere maggiore la misura del lato? ........................................

5. Una serie di quadrati in sequenza hanno rispettivamente il lato di 2cm, 4cm, 8cm. Dopo aver calcolato le aree di ogni quadrato, calcola quante volte ognuno è più grande rispetto a quelli più piccoli. D

D’

C’

A’

B’

D’’

C’’

A’’

B’’

........................................

A B 2 cm

4 cm

8 cm

6. Il quadrato riportato a lato ha inscritto dentro un secondo quadrato i cui angoli coincidono con il centro dei lati. L’area del quadrato esterno misura 36m2. Quanto misura l’area del quadrato interno? Osserva attentamente il disegno prima di rispondere. ........................................

7. L’uomo che piantava gli alberi ha appena finito di piantare l’ultimo tratto di bosco. Ha diviso il terreno in celle. Ogni cella misura 4m² e al centro di ognuna ha piantato una quercia giovane. In tutto ha piantato 64 querce giovani distribuite in una superficie perfettamente quadrata. Quanto misura il lato del quadrato formato dalle 64 celle? ........................................

A DAVIDE è venuta un po’ di fame. Per caso posa lo sguardo sul tavolino accanto alla poltrona. Poggiati su un vassoio fatto di foglie di felci, fanno mostra di sé una fetta di pane e del formaggio francese. DAVIDE sorride, prende il pane e il formaggio e comincia a mangiare. È buono e ha lo stesso sapore di quello che ha mangiato nel sogno. Ma forse quello non era un sogno. 30

Seconda settimana

scienze

Gli ecosistemi

Grazie agli alberi “Ehm” sente dire a un tratto DAVIDE alle sue spalle. Si volta pensando a uno scherzo di suo padre e invece, seduto sul letto, con indosso il suo abito migliore, quello delle feste, c’è l’uomo che piantava gli alberi. È la conferma che non si trattava di un sogno. Subito DAVIDE gli porge il pane. “No grazie, ho già mangiato”, risponde l’uomo. Poi continua: “Volevo solo dirti che ho studiato molto nel mio tempo libero per cercare di capire a che cosa può servire una foresta in un posto dove prima c’era il deserto. Ho studiato molto, sono arrivato a una conclusione e volevo comunicartela”. DAVIDE si alza dalla sedia e si mette accanto a lui. Lo sguardo dell’ospite si fa inteso, profondo, lontano, come se vedesse quello che sta cominciando a raccontare.

Gli alberi preservano il terreno “Le radici degli alberi trattengono e sostengono la terra. Ogni volta che piove o c’è vento, le colline, le montagne, i declivi dove non ci sono né alberi né piante, vengono erosi, consumati. Di conseguenza, la terra buona, quella che dà nutrimento, viene spazzata via e resta il deserto, sempre più sterile e senza vita. Insomma, gli alberi impediscono che il vento e l’acqua spazzino via la terra. Grazie a loro non avvengono frane né crolli. Ai loro piedi, l’erba, le piante e i piccoli animali con le loro tane possono vivere, crescere e moltiplicarsi”.

Gli alberi agiscono sul clima “Anche le foglie degli alberi hanno un ruolo fondamentale. Grazie all’energia del sole, esse trasformano continuamente le sostanze prese dalla terra e l’anidride carbonica presente nell’aria in nutrimento, in zuccheri e in altre sostanze nutritive. Come scarto di questo lavoro, producono e mandano fuori, da tanti piccoli fori chiamati stami, una grande quantità di acqua in forma di vapore, che si disperde nell’aria. Ora, ogni volta che l’acqua si trasforma in vapore, cioè da liquido in gas, prende un po’ di calore dall’aria intorno e quindi fa abbassare la temperatura. È per questo che nei pressi delle foreste il clima è molto più sopportabile che nel deserto”. 31

Seconda settimana

| scienze

Gli alberi favoriscono la vita delle altre piante e degli animali “Le piccole piante, come le bacche, gli arbusti di fragole, more, lamponi e rosa canina, che sotto il sole continuo non potrebbero crescere, grazie all’umidità, al fresco e al continuo nutrimento dato loro dalle foglie degli alberi che cadono e si decompongono, crescono abbondanti nel sottobosco. Molti piccoli animali cercano proprio lì i frutti per nutrirsi, e questi animali a loro volta sono preda di animali più grandi. Sui rami degli alberi, inoltre, gli uccelli costruiscono i loro nidi perché sono protetti dalle foglie”.

“Dove ci sono gli alberi, infine, ogni essere vivente trova di che dissetarsi. Le radici degli alberi, infatti, trattengono l’acqua, mentre le chiome, con lo loro ombre, impediscono che le piccole pozze e gli stagni si prosciughino. In luoghi come questi piove più spesso e più facilmente si formano piccoli ruscelli. Insomma, non potrebbe esistere tutta questa vita così varia se non ci fossero loro: gli alberi!” DAVIDE ha ascoltato incantato le parole del suo amico. È come rapito e immagina se stesso vagare tra i luoghi appena descritti. Una voce, però, lo scuote dalle sue visioni. “È ora di andare”. È sua madre che si è affacciata dalla porta. “Andare dove?” chiede lui. “Come dove? A tavola! Non hai fame?” DAVIDE non si è accorto di quanto tempo sia passato.

Seconda settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

Eccoli tutti intorno alla tavola, DAVIDE e i suoi familiari. DAVIDE è allegro, particolarmente giocoso. La famiglia tutta ne risente positivamente. Tutti sono di buon umore. Parlano, scherzano, mangiano di gusto. Attendono tutti che DAVIDE cominci con i suoi strani e divertenti enigmi matematici che oramai sono diventati una tradizione familiare.

L’albero matematico DAVIDE mostra ai presenti un disegno che ha fatto poco prima di sedersi a tavola. Eccolo. L’uomo che piantava gli alberi ha piantato un albero che dal tronco principale ha cacciato fuori 2 rami e per ogni ramo altri 2 rami per ben 5 volte. Escludendo dal conto il tronco, quanti rami ha l’albero?

La lumaca frettolosa DAVIDE mostra ai suoi parenti due lumache, una piccoletta e una piuttosto grossa. Le due lumache, come se fossero addestrate, cominciano a strisciare una accanto all’altra sul tavolo. In questa gara tra gasteropodi, la lumaca più piccola è avvantaggiata dal fatto di essere più leggera, la lumaca più grande dal fatto di essere più forte. La lumaca minore pesa quattro volte di meno della lumaca maggiore, ma la lumaca maggiore è due volte più forte di quella minore. Chi sarà più veloce delle due e di quante volte sarà più veloce?

Il coniglio furbo e il cane insonne “Questa storia me l’ha raccontata un amico che ho incontrato in sogno” esordisce DAVIDE. Tutti ridono, ma non sanno che ciò che dice molto probabilmente è vero. “Un giorno un coniglio piuttosto affamato decide di rubare quante più carote possibili in un deposito di ortaggi. Ma a guardia del deposito c’è un cane insonne che non dorme mai. Anzi, quasi mai. Si addormenta ogni venti minuti per trenta secondi. Considerando che il coniglio impiega dieci secondi a rubare una carota alla volta e 12 minuti per portarla al sicuro nella sua tana; di quanto tempo avrà bisogno per rubare 10 carote? 33

ana m i t t e s a z r Te

. . . i d a t r Alla scope

o r t n e c l a o i g g Via a r r e T a dell

DAVIDE è seduto in poltrona e sta leggendo Viaggio al centro della Terra. È un po’ raffreddato e ha deciso di restare a casa. I genitori e la sorella sono andati alla festa del paese. Si sta gustando le ultime pagine del libro: la vertiginosa salita dal cono del vulcano del Professor LIDENBROCK e suo nipote a cavallo di una roccia in un impetuoso fiume ascendente di cenere e lava. Proprio in primavera ha visto il film, e gli sembra di vivere lui stesso la salita mozzafiato. Lascia cadere il libro sul grembo e si tiene ai bordi della poltrona immaginando se stesso sul gigantesco sasso. La sua immaginazione, però, viene improvvisamente interrotta. Qualcuno bussa alla porta della sua stanza. “Si tratterà sicuramente di un’impressione, un’illusione, sarà la febbre. I miei non sono in casa e nessuno può bussare alla porta della mia stanza”. E invece si sente di nuovo picchiare all’uscio. DAVIDE si alza lentamente dalla poltrona fissando la porta. “Avanti!” dice con voce malcerta. La porta si apre con un movimento vigoroso. Entra un signore vestito con una marsina, un doppiopetto e un cappello a tuba. Sono vestiti eleganti ma evidentemente di un altro tempo. “Ho il piacere di presentarmi – dice l’uomo – e spero sia anche per lei un piacere: sono il Professor LIDENBROCK. Ho avuto informazioni sicure sul fatto che lei ha delle competenze specifiche riguardanti un problema che mi assilla da molto tempo: la messa a punto di un misuratore automatico di quota. Ebbene signore, ho l’onore di presentarle un misuratore che ho appena finito di costruire ma che non ho ancora sperimentato nelle sue peculiari qualità. Eccolo qui”. Detto questo, mostra a DAVIDE una scatoletta di metallo dalla quale sporge un beccuccio. Sul dorso della scatoletta si vede apparire il numero 6. 34

“Il numero 6 indica che qui ci troviamo a 6 metri sul livello del mare. Ma ora la invito a provare l’oggetto assieme a me”. DAVIDE è esterrefatto. Prova a dire qualcosa, ma il Professore prontamente lo anticipa: “Basta che il signore mi segua è sarà presto appagato nella sua più intima curiosità”. Detto questo, spalanca la porta e davanti a loro si apre il cono di un vulcano. “Adesso ci troviamo a 2342 metri sul livello del mare. Così dice il mio portentoso misuratore”. Effettivamente sull’indice dello strumento, dove un attimo prima c’era scritto 6 adesso c’è scritto 2342. DAVIDE guarda lo strumento, guarda il cono del vulcano, guarda il professore, che rompendo ogni indugio dice: “Beh, poche chiacchiere, adesso mi segua”. “Per andare dove?” dice DAVIDE, che poi guarda giù verso il cono del vulcano e aggiunge: “E soprattutto come?” “Semplice” risponde il professore. “Si butti assieme a me” e detto questo lo afferra per un braccio e si lancia nel vuoto. DAVIDE è terrorizzato. Precipitano, ma la caduta stranamente si fa lenta. DAVIDE vede il misuratore passare da 2000m a 1500m a 1000m a 500m, e poi a 250m a 100m a 25m, e ancora 3m, 2m, 1m, 0m, – 1m. “Ebbene signore”, dice placido il professore come se passeggiassero tranquilli in un viale alberato in primavera e non come se stessero cadendo nel cono di un vulcano attivo, “adesso siamo sotto lo 0”. La caduta ritorna a essere veloce. DAVIDE vede le cose intorno scorrere veloci e la macchina del professor LIDENBROCK segnalare la vertigine dei numeri negativi. Ad un tratto gli manca l’aria, si scuote, spalanca gli occhi e si accorge di essere ancora nella stanza. “Forse ho sognato” si dice; ma davanti a lui si erge, in tutta la sua professionalità, il Professor LIDENBROCK. “Non ha affatto sognato” dice il Professore. “Ora si segga al suo tavolino, prenda il quaderno degli appunti e cominci a scrivere”. Il suo tono è così perentorio che DAVIDE obbedisce. Autore: Jules Verne (1828-1905) Titolo: Viaggio al centro della Terra (Voyage au centre de la Terre) Anno di pubblicazione: 1864 Protagonisti: Otto Lidenbrock e suo nipote Axel Trama: Otto Lidenbrock, professore di mineralogia di Amburgo, trova una pergamena sulla quale è contenuto un messaggio cifrato con le indicazioni per raggiungere il centro della Terra passando attraverso un vulcano islandese. Axel, il nipote di Lidenbrock, decifra il messaggio e i due si mettono in viaggio. Una volta entrati nel vulcano, dovranno districarsi tra incredibili avventure. Assisteranno alla lotta spettacolare tra due giganteschi dinosauri, naufragheranno su una zattera, attraverseranno una foresta preistorica. Alla fine ritorneranno in superficie spinti dalla lava e si ritroveranno alle pendici dello Stromboli, vulcano delle isole Eolie.

Terza settimana

aritmetica

I numeri relativi

Tutto è relativo “Non ci posso credere!” esclama DAVIDE. “Ma tutto questo è vero?” “Dipende da che cosa intende per vero” risponde LIDENBROCK. “Ma ora torniamo alla sua scrivania. Quelli che ha visto scorrere sul mio misuratore automatico di quota sono i numeri relativi. Ci può lavorare sapendo che possono avere a che fare con la natura. Anche nella misurazione delle temperature, ad esempio, si utilizzano i numeri relativi”. E mentre pronuncia queste parole, scompare. DAVIDE apre il libro, intanto la voce del professore continua a riecheggiare nella stanza. Lontana ma udibile. È vero, pensa Davide, mi ricordo di aver studiato l’insieme dei numeri relativi, cioè quelli preceduti dal segno + o dal segno –.

I numeri relativi

I numeri preceduti dal segno + vengono chiamati numeri relativi positivi, quelli preceduti dal segno – vengono chiamati numeri relativi negativi. La parte numerica viene chiamata modulo o valore assoluto. Esempio + 5 numero intero relativo positivo il cui valore assoluto è 5 – 5 numero intero relativo negativo il cui valore assoluto è 5 La rappresentazione dei numeri relativi si fa utilizzando la retta orientata.

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Due numeri che hanno lo stesso segno si chiamano concordi; due numeri che hanno segni diversi si chiamano discordi; due numeri discordi ma che hanno lo stesso valore assoluto si chiamano opposti. Esempio: +2; +7 oppure –6; –4 sono concordi +3; –9 oppure –8; +7 sono discordi +1; –1 oppure –5; +5 sono opposti

Terza settimana

| aritmetica

Confronto tra numeri relativi

Per confrontare tra loro i numeri relativi bisogna sempre ricordare che: – tra due numeri discordi il minore è sempre quello negativo (–6 < +1); – lo 0 è maggiore dei numeri negativi e minore di quelli positivi (–1< 0 < + 4); – tra due numeri positivi il minore è quello con il valore assoluto minore (+5 < +8); – tra due numeri negativi il minore è quello con il valore assoluto maggiore (–7 < –2).

Gli esercizi di DAVIDE 1. Confronta le seguenti coppie di numeri relativi inserendo i simboli > o <. +4

–8

–3

–4

–34

–7

–14

–12

+13

–15

–7 –35 –2

DAVIDE sente di nuovo bussare alla porta. “Chi sarà questa volta?” pensa. Va ad aprire e si trova di fronte un postino, ma non un postino qualunque, di quelli col casco che recapitano le lettere con un motorino e una borsa a tracolla. È un postino a cavallo, con un copricapo da Ranger canadese, che lo guarda con aria sbrigativa lanciando un plico sul pavimento della veranda. “Messaggio da parte del professore” dice. Poi sparisce tra i pini e le dune in una nuvola di polvere e sabbia.

Ormai niente più stupisce DAVIDE. Raccoglie il plico, lo apre e inizia a leggere la lettera che lo accompagna. “Bravo, stai procedendo bene. Adesso però ripassa le operazioni con i numeri relativi, che sono un po’ particolari. Firmato Professor LIDENBROCK”. “Ok”, pensa DAVIDE. Torna a casa e si rimette all’opera. 37

Terza settimana

| aritmetica

L’addizione con i numeri relativi

Nell’addizione bisogna tener presente che i numeri relativi hanno un segno, per cui si possono veriﬁcare varie situazioni: – se gli addendi sono entrambi positivi, i numeri si sommano e il risultato è positivo; (+2) + (+6) = +8 – se gli addendi sono entrambi negativi, i numeri si sommano e il risultato è negativo; (–3) + (–5) = –8 – se gli addendi sono uno positivo e uno negativo, i numeri si sottraggono e il risultato avrà il segno del numero maggiore come valore assoluto; (+6) + (–2) = +4 (+3) + (–8) = –5 (–2) + (+9) = +7 (–6) + (+5) = –1 – se gli addendi sono uno positivo e uno negativo ma hanno lo stesso valore assoluto, il risultato è 0. (+5) + (–5) = 0 Possiamo quindi dedurre la seguente teoria generale: – se due numeri sono concordi si deve sempre addizionare e il segno è concorde ai due numeri; – se due numeri sono discordi si deve sempre sottrarre e il segno è quello del numero maggiore nel suo valore assoluto; – se due numeri sono opposti il risultato è 0.

(+ 45)

(– 45)

Gli esercizi di DAVIDE 1. Esegui le addizioni. (+2) + (+4) = + 6 (+3) + (–5) = . . . . . . . . . (+1) + (–9) = . . . . . . . . . (–5 ) + (–5) = . . . . . . . . .

(–7) + (–3) = . . . . . . . . . (+18) + (–7) = . . . . . . . . . (–16) + (+16) = . . . . . . . . . (+15) + (–23) = . . . . . . . . .

(–9) + (+4) = . . . . . . . . . (+4) + (+3) = . . . . . . . . . (–7) + (–19) = . . . . . . . . . (–1) + (+1) = . . . . . . . . .

2. Completa le seguenti operazioni inserendo il numero relativo mancante. (+6) + (. . . . . . . . . ) = +9 (. . . . . . . . . ) + (–4) = +3 (–8) + (. . . . . . . . . ) = –14 38

(+7) + (. . . . . . . . . ) = +4 (. . . . . . . . . ) + (+9) = +13 (+6) + (. . . . . . . . . ) = –11

(. . . . . . . . . ) + (–5) = +8 (–7) + (. . . . . . . . . ) = +7 (. . . . . . . . . ) + (–4) = –10

Terza settimana

| aritmetica

La sottrazione con i numeri relativi

Nella sottrazione bisogna trovare un numero che, addizionato al sottraendo, dia il minuendo. Esempi:

(+2) – (+8) = –6 (–4) – (–9) = +5 (–6) – (+8) = –14

perché perché perché

(–6) + (+8) = +2 (+5) + (–9) = –4 (–14) + (+8) = –6

Osservando questi esempi, possiamo ricavare una regola molto semplice: per fare la differenza tra due numeri relativi basta che al primo addiziono l’opposto del secondo. Esempi:

(+3) – (+7) = (+3) + (–7) = –4 (–2) – (–5) = (–2) + (+5) = +3 (–9) – (+4) = (–9) + (–4) = –13

Gli esercizi di DAVIDE 1. Esegui le sottrazioni. (–7) – (+11) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . (+12) – (–19) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . (–23) – (–13) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

(+5) – (+8) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . (–7) – (–18) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . (+21) – (–2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

2. Completa le seguenti operazioni inserendo il numero relativo mancante. (+8) – (. . . . . . . . . ) = +7 (. . . . . . . . . ) – (–2) = –15 (–4) – (. . . . . . . . . ) = –12

(–4) – (. . . . . . . . . ) = –9 (. . . . . . . . . ) – (+18) = +9 (–30) – (. . . . . . . . . ) = –20

(. . . . . . . . . ) – (+11) = –3 (+24) – (. . . . . . . . . ) = +35 (. . . . . . . . . ) – (+4) = +9 39

Terza settimana

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La somma algebrica

Nell’insieme dei numeri relativi, l’addizione e la sottrazione costituiscono un’unica operazione. Essa viene detta addizione algebrica e il risultato si chiama somma algebrica. Per eseguirla, in pratica, si tolgono le parentesi che racchiudono i numeri e, se prima della parentesi c’è il +, esso semplicemente va eliminato, se invece c’è il –, si riscrive il numero seguente con il segno opposto. Esempio: (–4) + (+8) + (–7) – (+9) – (–15) = = –4 +8 –7 –9 +15 = = +4 –7 –9 +15 = = –3 –9 +15 = = –12 +15 = = +3

Gli esercizi di DAVIDE 1.

Esegui le espressioni con i numeri relativi.

a. –11 + 4 – 7 – (+6) + 8 – (–17) = = –11 + 4 – 7 . . . . . . . . . . + 8 . . . . . . . . . . = = .......... – 7 .......... + 8 .......... = = .................... + 8 .......... = = .......... + 8 .......... = = .................... = =+5 c. d. e. f. g.

b. 17 – 11 – 8 – (–25 + 8) = = 17 – 11 – 8 – (–17) = = 17 – 11 – 8 . . . . . . . . . . = = .......... – 8 .......... = = .................... = = +15

19 + 7 – (16 + 4 – 18) – (25 – 5) = – (12 + 6) – (+2 – 9 – 5) + (27 – 6) + (+4 – 9 + 12) = +9 + (5 – 8 – 10) + (18 – 3 – 15) + 2 – (–2 + 16) = –11 – 7 + (9 – 15 + 18) + (4 – 8 + 27) – 10 – (+16 – 9) = –4 + [7 – 12 + (9 – 3 – 5) + 2 – (+10 – 25 – 8) + 15 – 2] – (–4 – 7 + 18) =

La moltiplicazione con i numeri relativi

Nella moltiplicazione dei numeri relativi la presenza dei segni crea varie situazioni. In linea generale si può dire che: regola + per + = + – se i due numeri sono concordi il risultato avrà segno positivo; – per – = + (+5) x (+2) = +10 (–4) x (–3) = +12 – se i due numeri sono discordi il risultato avrà segno negativo. (+6) x (–7) = –42 (–8) x (+2) = –16

regola + per – = – – per + = –

Terza settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Esegui le moltiplicazioni con i numeri relativi. (+4) x (+8) = +32 (–9) x (+7) = . . . . . . . . . . (–5) x (–5) = . . . . . . . . . . (+5) x (+4) x (+2) = . . . . . . . . . . (–8) x (–10) x (–3) = . . . . . . . . . .

(–7) x (–3) = . . . . . . . . . . (+3) x (–4) = . . . . . . . . . . (–6) x (+10) = . . . . . . . . . . (+6) x (–2) x (–5) = . . . . . . . . . . (+3) x (+4) x (–7) = . . . . . . . . . .

(+8) x (–6) = . . . . . . . . . . (+9) x (+4) = . . . . . . . . . . (–20) x (–3) = . . . . . . . . . . (–16) x (+2) = . . . . . . . . . . (–15) x (–3) = . . . . . . . . . .

2. Completa le seguenti operazioni inserendo il numero relativo mancante. (+5) x (. . . . . . . . . . ) = +45 (. . . . . . . . . . ) x (–11) = –66 (+8) x (. . . . . . . . . . ) = –72

(–6) x (. . . . . . . . . . ) = –36 (–7) x (. . . . . . . . . . ) = +140 (. . . . . . . . . . ) x (+5) = –50

(. . . . . . . . . . ) x (+4) = –32 (. . . . . . . . . . ) x (–3) = –39 (–7) x (. . . . . . . . . . ) = +63

La divisione con i numeri relativi

Nella divisione i segni seguono la stessa regola della moltiplicazione. Esempi:

(+12) : (+4) = +3 (–36) : (–9) = +4 (+72) : (–8) = –9 (–48) : (+8) = –6

perché (+3) x (+4) = +12 perché (+4) x (–9) = –36 perché (–9) x (–8) = +72 perché (–6) x (+8) = –48

regola + diviso + = + – diviso – = + + diviso – = – + diviso – = –

Terza settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Esegui le divisioni con i numeri relativi. (+27) : (+9) = . . . . . . . . . . (–56) : (+7) = . . . . . . . . . . (–60) : (–10) = . . . . . . . . . .

(–36) : (–4) = . . . . . . . . . . (+48) : (–6) = . . . . . . . . . . (+81) : (+9) = . . . . . . . . . .

(+42) : (–6) = . . . . . . . . . . (–32) : (–4) = . . . . . . . . . . (+54) : (–6) = . . . . . . . . . .

2. Completa le seguenti operazioni inserendo il numero relativo mancante. (+16) : (. . . . . . . . . . ) = +4 (. . . . . . . . . . ) : (+7) = –3 (–100) : (. . . . . . . . . . ) = +10

(–35) : (. . . . . . . . . . ) = –7 (+56) : (. . . . . . . . . . ) = –8 (. . . . . . . . . . ) : (–6) = +20

(. . . . . . . . . . ) : (+9) = –6 (. . . . . . . . . . ) : (–5) = –5 (+49) : (. . . . . . . . . . ) = +7

DAVIDE sente uno scalpitare di cavalli. “Di nuovo il postino” pensa. Ma non fa a tempo a finire di pensarlo che sente nuovamente bussare alla porta. La apre e vede il Ranger, con la solita espressione infastidita, che lancia un altro plico. Stavolta DAVIDE lo afferra al volo. “Ancora un messaggio dal professore. È dura viaggiare nello spazio e nel tempo così di continuo. Non avresti un whisky per schiarirmi un attimo la voce?” “Non posso offrirti che un bicchiere d’acqua” risponde DAVIDE. “Meglio che niente”. E dopo aver bevuto il suo bicchiere d’acqua, il Ranger si dilegua tra i pini e le dune. DAVIDE apre il plico e legge: “Ora che hai completato le operazioni, puoi esercitarti con le espressioni”. “Ma come farà il professore – pensa DAVIDE esterrefatto – a sapere fino a che punto sono arrivato?” Poi rientra in casa e continua seguendo le indicazioni di LIDENBROCK.

Le espressioni con i numeri relativi

Nelle espressioni con i numeri relativi, le regole per la risoluzione sono uguali a quelle che si seguono nell’insieme dei numeri naturali e cioè: se non ci sono operazioni tra parentesi si eseguono prima moltiplicazioni e divisioni nell’ordine in cui compaiono, poi le addizioni algebriche; +4 x (–6) + (–40) : (+5) – (+8) x (–2) = = (–24) + (–8) – (–16) = = –24 – 8 + 16 = = –16 se ci sono operazioni tra parentesi si svolgono prima le operazioni in parentesi tonda, poi quelle in parentesi quadra, inﬁne quelle in parentesi graffa.

{ (+31 6 ) : ( 12+7 ) ( 11+3)} ( = { (+25 ) : ( 5 ) ( 8)} (+8) = ={ 5

( 8)}

= +40

= +32

4+12) =

Terza settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Esegui le espressioni con i numeri relativi. a. (–8 + 2) x (+9 – 7 + 2) + (6 – 15 + 21) : (–7 + 11) = = –6 x (+4) + (+12) : (+4) = = –24 + (+3) = = –21 b. (18 + 6 – 4) : (–9 – 12 + 17) + (+7 – 5 – 6) x (–8 + 6 + 9) – (+11 – 5 – 14) = = .......... : .......... + .......... x .......... – .......... = = .......... + .......... + .......... = = .......... + .......... = = .......... c. {7 + [(11 2) : ( 7 + 4) + ( 5 3) : (+15 13 + 2)] + 10} : ( 10 + 5 + 4

5) =

= {7 + [ . . . . . . . : . . . . . . . + . . . . . . . : . . . . . . . ] + 10} : . . . . . . . = = {7 + [( . . . . . . . ) + ( . . . . . . .)] + 10} :

= {7 + . . . . . . . + 10} : . . . . . . . = = ....... : ....... = = ....... d. ( 9 + 12 + 7) + (16 10 + [(9 6 + 10

e. 14 f. 5

8 + 11 7) : (14 + 15 7

8 10) =

3) + (16 14 + 5 3 + 5) : ( 5 7 + 8 + 6 5) 7] =

[(7 4) (15 2 7) 7 (18 9 7) (21 30 + 13)] + 1 =

g. {(15

8) + [ (24 : 2) : ( 5 + 9) + (+21 18

h. ( 11 7) + {(20 : 4)

3) : ( 19 + 23)] + (30 : 5)} : ( 17 + 6 + 9) =

[( 11 + 4 + 10) 6 (21 : 3) 2 (19 6 10 + 1)] + 1} (36 : 9) = 43

Terza settimana

geometria

Le aree dei parallelogrammi, dei rombi e dei trapezi

Quante forme! Bussano di nuovo alla porta. DAVIDE è divertito da questo andirivieni del Ranger che ogni volta porta una missiva del professor LIDENBROCK chissà da dove e… chissà da quando. Apre la porta, ma stavolta è LIDENBROCK in persona. Però, non indossa più la marsina e la tuba, ma una camicia Hawaiana e un paio di occhiali da sole, nonostante il sole sia da poco tramontato. “Mi sono goduto un po’ le amenità del luogo. Spiagge assolate, bibite fresche, tramonti… Che tempi meravigliosi questi. Libertà di espressione. Vivacità. Divertimento! Ma non sono qui per questo. L’ultima missiva la volevo portare io di persona, prima di ritornare da dove sono venuto” e gli porge l’ennesima busta con l’intestazione Insigne Prof. LIDENBROCK. DAVIDE la prende tra le mani, legge l’indirizzo (Egregio Signor DAVIDE, casa vicino alla spiaggia), solleva gli occhi dalla busta e… il Professore non c’è più. “Questa è sicuramente l’ultima” dice tra sé DAVIDE. E non si sbaglia. Rientra in casa, apre la busta e comincia a leggere ad alta voce. “Perdoni le mie divagazioni. Ma osservandomi intorno, in questi tempi moderni, mi sono accorto che l’uomo ricorre sempre meno alle linee armoniche dell’architettura ottocentesca, e sempre più a forme bizzarre. Parallelogrammi non retti, a volte trapezi. Ho visto persino delle finestre romboidali, in un bizzarro edificio chiamato Municipio. Ne approfitto allora per una piccola divagazione. Perché, come lei saprà benissimo, costruire con queste forme comporta conoscere queste forme. Per questo le chiedo di studiare questo mio breve trattato dal titolo: Parallelogrammi, rombi e trapezi. Parallele, come sa, sono tra di loro le linee laterali del foglio che sta leggendo. Il nome parallelogramma proviene proprio dal fatto che i quattro lati di questa figura sono a due a due paralleli. Possiamo allora dire che il quadrato e il rettangolo sono tipi particolari di parallelogramma, ma quando si dice parallelogramma si intende di solito una figura con gli angoli opposti uguali e non retti.

quadrato

rettangolo

Sul perimetro (che cosa sia e come si calcola), so per certo non ha dubbi. Sull’area, invece, è meglio un ripasso, che in fondo non costa niente. Osservi la figura a lato. Come il rettangolo anche il parallelogramma ha un’altezza, che non è però uno dei lati ma il segmento tratteggiato che parte dalla base superiore e giunge alla base inferiore e che è perpendicolare a entrambe. Detto questo, l’area del parallelogramma si ottiene nello stesso identico modo del rettangolo, cioè moltiplicando la base per l’altezza. 44

parallelogramma

A=bxh

Terza settimana

| geometria

Anche perché, come può vedere da quest’altra figura, basta tagliare il triangolo evidenziato e incollarlo dall’altra parte per ottenere un rettangolo la cui base è la stessa e la cui altezza è uguale a quella del parallelogramma. D

Adesso passiamo al rombo. Anche il rombo è un particolare tipo di parallelogramma. Somiglia un po’ al quadrato perché ha tutti e quattro i lati uguali, ma è diverso dal quadrato perché gli angoli non sono retti e sono uguali a due a due. Come può vedere dalla figura a lato, il rombo ha due diagonali, una maggiore (dM) e una minore (dm). L’area si calcola moltiplicando la diagonale maggiore per la diagonale minore e dividendo il prodotto per 2. E le basti sapere questo.

A = (dm x dM) : 2 B Passiamo al trapezio, che è un quadrilatero ma non è un parallelogramma, perché di lati paralleli tra loro ne ha solo due e in più non ha gli angoli opposti a due a due uguali. Come può vedere dalle immagini, la base inferiore è sempre più grande di quella superiore. L’area del trapezio si ottiene moltiplicando la somma della base maggiore e della base minore per l’altezza e dividendo il risultato per 2. La ragione per cui l’area del trapezio si ottiene in questo modo gliela spiegherà qualcun altro nel capitolo dedicato ai triangoli.

A = (bM + bm) x h : 2 45

Terza settimana

| geometria

Gli esercizi di DAVIDE ...questa volta ideati dal Professor LIDENBROCK 1. Il parallelogramma A ha la base di 44cm e l’altezza di 12cm. Il parallelogramma B ha la base di 33cm e l’area uguale a quella del parallelogramma A. Quanto misura l’altezza del parallelogramma B?

C h

........................................

12 cm A

44 cm A

........................................

4. Il triangolo rettangolo rappresentato a lato, unito opportunamente ad altri tre triangoli uguali, forma un rombo. I lati del triangolo misurano AB = 9cm; BC = 12cm; CA = 15cm. Quanto misureranno il perimetro e l’area del rombo ottenuto unendo i quattro triangoli rettangoli?

........................................

2. Il rombo raffigurato a lato è rappresentato come di solito lo sono i parallelogrammi. Se lo consideriamo come parallelogramma, la sua altezza sarà maggiore o minore della diagonale minore (dm) della figura. Prima di rispondere osserva attentamente il disegno.

3. Il rombo dell’esercizio precedente, la cui immagine è riportata a lato, sempre orientata come se fosse un parallelogramma, ha la base lunga 5cm, l’altezza lunga 4,8cm e la diagonale maggiore lunga 8cm (ricorda che l’area del rombo può essere calcolata anche con la formula del parallelogramma). Quanto misura la diagonale minore? (Confronta le formule del parallelogramma e del rombo e ragionaci sopra).

33 cm B

Terza settimana

| geometria

5. Il trapezio rettangolo raffigurato di seguito è formato dall’unione di un triangolo rettangolo (le cui dimensioni sono A1B1 = 5m; B1C1= 12m; C1A1=13m) con un rettangolo, la cui base è uguale a 17m e la cui altezza è uguale a 13m. A partire da queste informazioni, calcola la dimensione dei lati del trapezio e la sua area. (Non lasciarti ingannare dall’orientamento del rettangolo e del triangolo). ........................................

h = 13 m

b = 17 m

6. Le aree delle figure rappresentate di seguito sono uguali. La prima è un trapezio isoscele, la seconda è un parallelogramma. I corpi centrali delle due figure sono costituiti da un rettangolo con la base di 16cm e l’altezza di 12cm. I due rettangoli, quindi, sono uguali. Cos’altro accomuna le due figure? (Analizza attentamente la composizione del trapezio e del parallelogramma). ........................................

12 cm

12 cm 16 cm

16 cm B1

7. Torniamo alle due figure dell’esercizio precedente. Nel trapezio isoscele, il segmento AA1 che rappresenta uno dei cateti del triangolo AA1D misura 5cm. Mettendo insieme le informazioni dell’esercizio 6 e dell’esercizio 7, calcola l’area delle due figure, aree che, come sai, sono uguali. ........................................

Terza settimana

misure

La pressione e la temperatura

Più giù vai, più caldo fa Alla fine del foglio degli esercizi, DAVIDE trova delle pagine piene di scritte quasi indecifrabili. In fondo all’ultima pagina c’è scritto: “Questi sono degli appunti che ho scritto per te. Scusa se sono disordinati, ma non ho avuto tempo… prova tu a sistemarli, penso possano interessarti. Firmato: Professor LIDENBROCK”. Ecco in che modo DAVIDE li ha riscritti e sistemati. Nelle profondità della Terra fa caldo, sulla cima delle montagne invece fa freddo. Allora viene da domandarsi: perché più vai su e più senti freddo, e più vai giù e più senti caldo? Questo fatto si può mettere in relazione con un altro: più vai in alto, più il respiro si fa affannoso. È come se l’aria non ti bastasse e sei costretto a respirare più velocemente. In realtà è come se noi vivessimo in fondo ad un oceano. Un oceano pieno d’aria. Sopra di noi preme, attratta dalla Terra, una grande quantità d’aria. E più vai verso il basso, maggiore è la quantità d’aria che ti preme addosso, e maggiore è il suo peso. Più in alto vai, minore è la quantità d’aria che ti preme addosso, e minore è il suo peso. Per questa ragione, se sali l’aria risulta meno compressa (gli scienziati dicono: più rarefatta) e, per mandare nei polmoni l’ossigeno necessario, sei costretto a respirare in fretta per inspirarne la quantità giusta per il tuo corpo. Questo è il motivo per cui, a ottomila metri gli esploratori usano le bombole. La pressione si misura in atmosfere o in millibar. 1 atmosfera corrisponde a 1013mbar ed è la pressione che si registra mediamente al livello del mare durante una giornata temperata. 1 atmosfera corrisponde al peso di 1kg ogni cm2. La pressione si misura con uno strumento chiamato barometro. È proprio a causa della pressione, se aumenta o diminuisce la temperatura dell’aria. Più o meno avviene così: in media, se ti dirigi verso l’alto, ogni 100 metri la temperatura diminuisce di 0,6ºC mentre la pressione diminuisce di circa 10mbar. Le ragioni fisiche per cui ciò accade sono queste: l’aria è fatta di tanti atomi, molecole e particelle. Se queste particelle sono maggiormente compresse come avviene a livello del mare, accadrà che tra di loro si scontreranno con maggiore frequenza. Questo scontrarsi continuo genera calore, e quindi aumento della temperatura. Ad altitudini maggiori, poiché sono meno compresse tra di loro, avvengono meno scontri, e quindi la temperatura è minore. E ora un po’ di esercizi per allenarsi.

Gli esercizi di DAVIDE … ma sempre ideati dal Professor LIDENBROCK 1. È una bella giornata di sole e in riva al mare c’è una temperatura di 30ºC. Un uomo sta facendo una passeggiata su una collina lì vicino. Nel punto in cui si trova l’uomo, il termometro registra 27ºC. A che altitudine si trova l’uomo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Se la temperatura a 3200m di altitudine è 7°, quanto sarà a 1100m? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Immagina una giornata temperata in riva la mare. La pressione è esattamente di 1 atmosfera. Qual è il peso complessivo dell’aria che preme su una superficie di una pagina di questo libro? Suggerimento: per calcolarla bisogna misurare i lati del foglio e calcolare l’area del rettangolo in cm². ..............................................................

Terza settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

La famiglia di DAVIDE si ritira per ora di cena ma lui, stanco per la laboriosa e intensa giornata, è andato a dormire. Sul tavolo della cucina ha lascito un foglio con dei disegni. Sul foglio c’è scritto: Sono un po’ stanco. Ho già mangiato e vado a dormire, ma vi ho lasciato i miei giochi ed enigmi d’occasione per deliziarvi questa sera anche in mia assenza. Buon divertimento. DAVIDE.

La scalata del professor Lidenbrock Il professor LIDENBROCK ha scoperto che dei venti molto forti erodono rapidamente la cima del monte Everest, mentre il K2, la seconda montagna più alta del mondo, si sta innalzando a causa di un imprevisto movimento della crosta terrestre. Il monte Everest diventa ogni anno più basso di 21cm, il K2 diventa ogni giorno più alto di 13cm. Allo stato attuale L’Everest è più alto del K2 di 432m, cioè di 43.200cm. Tra quanti giorni il K2 supererà l’Everest? (Notizia scientifica non reale, opportunamente inventata da DAVIDE).

Il giovane vulcano In un angolo sperduto dell’Islanda un piccolo vulcano improvvisamente affiora dalla terra. Il vulcano cresce e ogni sei ore produce altri due coni che crescono e ogni sei ore producono altri due coni che crescono e ogni sei ore producono altri due coni e così via. Quanti vulcani ci saranno, in questo angolo sperduto dell’Islanda, dopo 24 ore dalla nascita del primo?

Più in alto si va, più freddo fa Ogni cento metri di altitudine, in media la temperatura diminuisce di 0,6°. Il professor LIDENBROCK non ama particolarmente il freddo, quindi decide di mantenere costante la temperatura sulla sua pelle. Per far questo, considerando il riscaldamento del corpo dovuto alla fatica della salita, deve mangiare una zolletta di zucchero a ogni innalzamento di quota di 40m (calcoli eseguiti da lui in persona). Allo scopo di verificare la giustezza dei calcoli, il professore indossa un termometro epidermico, che lo tiene informato sulla temperatura della sua pelle. Il viaggio comincia e dopo 300m di salita il professore scopre che invece di mantenersi costante, la sua temperatura è aumentata di 2°. Questo significa che ha sbagliato i suoi calcoli. Rifateli voi questi calcoli. Ogni quanto, realmente, il professore deve ingurgitare la sua zolletta di zucchero?

na a m i t t e s a Quart

. . . i d a t r Alla scope

i g g a i v I r e v i l l u di g

DAVIDE si addormenta sotto una capanna di canne palustri le cui foglie ombreggianti frusciano al vento. Cullato dal rumore delle onde del mare, piomba in un sonno profondo. Ha appena finito di leggere il terzo capitolo de I viaggi di Gulliver e sogna di essersi imbarcato su un veliero che batte bandiera inglese. Una tempesta che si abbatte sul Mar dei Sargassi travolge con potenza inaudita la nave che, come una noce in balia del mare furioso, viene sballottata in alto e in basso. Schiuma salata e vento tagliente gli impediscono anche solo di guardare. La gomena che lo assicura all’albero di trinchetto si spezza e lui si ritrova, futuro pasto per i pesci, seppellito da tonnellate d’acqua. DAVIDE perde i sensi mentre prega gli dei del mare di dargli degna sepoltura. Quando si risveglia, prova ad alzarsi, ma non ci riesce. Si accorge di essere trattenuto da infiniti e sottili cordami che lo tengono fisso al suolo. “Sono diventato GULLIVER o sono ancora DAVIDE?” si domanda ormai abituato agli effetti imprevedibili della sua fervida fantasia. “Si sbaglia signore. GULLIVER sono io”. Un uomo azzimato, con una calzamaglia e una camicia dai faldoni larghissimi, lo guarda dall’alto verso il basso. Il sole brilla alle sue spalle, DAVIDE strizza gli occhi e poi si guarda intorno. Tanti omettini minuscoli, assieme a donne piccoline e bambini quasi invisibili, lo guardano ridendo e facendo un gran chiasso con le loro vocette sottili e cristalline.

“Si tratta di uno scherzo che le hanno fatto i piccoli lillipuziani” continua l’uomo. “Volevano ricordare i bei vecchi tempi, quando ci siamo conosciuti e sono diventato il loro più grande amico. Sono tornato a visitarli in questi giorni e ho portato loro animali e oggetti più svariati dalla mia terra, che sarebbe l’Inghilterra. Stiamo provando a misurarli e a confrontare le misure per capire di quanto le cose del mondo di Lilliput sono più piccole del nostro mondo, ma non riusciamo a raccapezzarci. Non troviamo il sistema e siamo piuttosto confusi”. Intorno a DAVIDE, che intanto si è liberato dalle corde che lo tenevano legato, c’è una folla di piccoli esseri che non arrivano nemmeno alla sua caviglia. Poi ci sono bestie di ogni tipo e dimensione: mucche microscopiche e mucche di dimensioni normali, conigli quasi invisibili e conigli di dimensioni normali… “Ecco in breve la questione” continua GULLIVER. “Una mucca lillipuziana pesa 12 chili, mentre una mucca nostra pesa 240 chili, il re di Lilliput pesa 4 chili, mentre io peso 80 chili. Provi a confrontare questi numeri, a metterli in rapporto, e veda che cosa ne esce fuori”. “Le proporzioni!” dice DAVIDE quasi gridando, poi si corregge perché non è sicurissimo di quel che ha detto: “ecco, qualcosa di simile direi…”.

Autore: Jonathan Swift (1667-1745) Titolo: I viaggi di Gulliver (Gulliver’s Travels) Anno di pubblicazione: 1726 Protagonista: Dr. Lemuel Gulliver Trama: Il dottor Lemuel Gulliver si imbarca come medico di bordo su una nave inglese che, in seguito a un violento temporale, naufraga su un’isola sconosciuta. Al suo risveglio Gulliver si ritrova legato a terra e circondato da uomini alti 15 centimetri: i lillupuziani. Dopo aver dimostrato di essere un uomo pacifico, e dopo aver giurato fedeltà al re, Gulliver viene accolto nel palazzo reale e gli vengono offerti alloggio e cibo. Durante i viaggi successivi, Gulliver incontrerà un uomo alto addirittura 22 metri, si troverà su un’isola fluttuante, avrà a che fare con cavalli dotati di ragione.

Quarta settimana

aritmetica

Rapporti e proporzioni

Quanto pesa una mucca a Lilliput? DAVIDE aveva ragione, si tratta proprio di proporzioni. Così, acquista coraggio e comincia a ragionare. “Se divido il peso della mucca di GULLIVER per il peso della mucca del re di Lilliput e poi faccio la stessa cosa con il peso di GULLIVER e quello del re, ottengo sempre lo stesso numero: 240kg : 12kg = 20kg; 80kg : 4kg = 20kg”. “Singolare cosa mi appare questa” dice GULLIVER; poi rivolgendosi ai lillipuziani aggiunge: “Mi sembra che il piccolo uomo sia sulla strada giusta per trovare la soluzione che cercavamo”. Intorno, il piccolo popolo lancia un grido di gioia: piccole mani applaudono, i volti di tutti i presenti si increspano in deliziosi sorrisi, sembra l’inizio di una festa. Ma presto tutto tace. Su DAVIDE si concentrano mille sguardi, gli sguardi di chi attende che il piccolo uomo completi la sua spiegazione. “Ve le siete cercata” dice DAVIDE. “Adesso vi aspetta una lezione sulle proporzioni”.

I rapporti

Per poter avere dati oggettivi e reali spesso non basta analizzare dei valori numerici, ma bisogna metterli in rapporto con altri. Il rapporto tra due valori numerici acquisisce il signiﬁcato speciﬁco di risultato di divisione, cioè il loro quoziente. Questo rapporto può essere espresso in tre modi: – come divisione es. 22 : 5 22 – come frazione es. 5 – come numero decimale (quindi come quoziente) es. 4,4 I due numeri che sono in rapporto tra loro si chiamano antecedente (il primo) e conseguente (il secondo). Esempio: antecedente 18 : 5

18 5

antecedente conseguente

conseguente Se, in un rapporto, si scambiano l’antecedente con il conseguente si ottiene un altro rapporto che viene chiamato rapporto inverso o reciproco. Il rapporto tra due valori numerici gode di una proprietà fondamentale, la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo l’antecedente e il suo conseguente per uno stesso numero, diverso da 0, si ottiene un rapporto uguale a quello dato. Esempio: dato il rapporto moltiplico entrambi i termini per esempio per 3

8:4=2 (8 × 3) : (4 × 3) = 24 : 12 = 2

dato il rapporto divido entrambi i termini per 10

60 : 20 = 3 (60 : 10) : (20 : 10) = 6 : 2 = 3

Quarta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola il rapporto tra i seguenti numeri come negli esempi. 18 e 6 = 18 : 6 = 3

17 e 5 = 17 : 5 = 3,4

42 e 6 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

21 e 4 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

72 e 9 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

32 e 5 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

54 e 6 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

26 e 6 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

27 14 35 8 21 4 40 15

9 28 7 e 32 3 e 20 8 e 45 e

27 9 27 28 = × =6 : 14 28 14 9

= ............. = ............ = ..... = ............. = ............ = ..... = ............. = ............ = .....

2. Calcola l’antecedente nei seguenti rapporti, come nell’esempio. 48 : 6 = 8 .............. ..............

..............

:9=6 :2=7

.............. ..............

: 5 = 11 :3=9 :8=4

.............. .............. ..............

:7=4 : 10 = 6 :4=5

3. Calcola il conseguente nei seguenti rapporti. 72 : . . . . . . . . . . . . . . = 9 66 : . . . . . . . . . . . . . . = 6 64 : . . . . . . . . . . . . . . = 8

35 : . . . . . . . . . . . . . . = 7 18 : . . . . . . . . . . . . . . = 2 44 : . . . . . . . . . . . . . . = 11

24 : . . . . . . . . . . . . . . = 4 25 : . . . . . . . . . . . . . . = 5 40 : . . . . . . . . . . . . . . = 8

4. Completa, come nell’esempio, inserendo i dati mancanti. Antecedente

Conseguente

Rapporto diretto

Rapporto inverso

28 =4 7

7 1 = 28 4

.......

49 10

7 50

9 = 45

....

.... .... .... ....

.... ....

....

9 = 63

....

.... ....

= ......

.... ....

....

.... ....

= ......

I lillipuziani si danno un gran da fare con fogli e matite minuscole per risolvere gli esercizi. “Bravi”, dice DAVIDE. “Adesso, però, passiamo ad altro”.

Quarta settimana

| aritmetica

Rapporti tra grandezze omogenee

Il concetto di rapporto è strettamente collegato al concetto di grandezza. In matematica grandezza è tutto ciò che è misurabile. Se le grandezze che vengono messe in relazione, rapportate tra loro, sono della stessa natura, o più esattamente, sono espresse nella stessa unità di misura, allora si parla di rapporto tra grandezze omogenee e il loro quoziente è un numero puro. Nella vita di tutti i giorni spesso si fanno confronti tra grandezze omogenee. Ad esempio, se dico: − la distanza tra Lilliput e il paese dei giganti è maggiore di quella tra l’isola volante di Laputa e la terra dei cavalli parlanti, − Gulliver è alto quanto 12 lillipuziani uno sull’altro, − a Lilliput il giornale costa la metà rispetto agli altri paesi, sto confrontando tra loro grandezze omogenee, perché si tratta di rapporti tra: − due distanze (nel primo esempio), − due altezze (nel secondo esempio), − due prezzi (nel terzo esempio). Se il rapporto tra due grandezze è un numero intero o un numero razionale, diremo che sono grandezze commensurabili, se invece è un numero irrazionale (cioè un numero decimale non periodico inﬁnito) diremo che sono due grandezze incommensurabili.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola il rapporto tra le seguenti grandezze omogenee. 16m = 4m 49 km e 7 km = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 16 m e 4m = 9 dm e 63 dm = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 4m 48 g e 6 g = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 35 kg e 14 kg = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 28 l e 49 l = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 1g e 1 dg = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 4dam e 400 dm = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . 8 hl e 48 l = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

Rapporti tra grandezze non omogenee

Se le grandezze che vengono rapportate tra loro sono di diversa natura, cioè non sono espresse nella stessa unità di misura, si parla di rapporto tra grandezze non omogenee. Ad esempio: − se parlo di peso speciﬁco esprimo un rapporto tra peso e volume; − se parlo di accelerazione esprimo un rapporto tra massa e forza; − se parlo di velocità media esprimo un rapporto tra distanza percorsa e tempo impiegato. Il rapporto tra due grandezze non omogenee dà quindi luogo a una grandezza derivata, cioè diversa da quelle date.

2. Calcola il rapporto tra le seguenti grandezze non omogenee. Osserva l’esempio. a. velocità media (rapporto spazio/tempo) 320 m in 16 s =

320m = 20 m/s 16s

560 km in 7 h = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . .

160 m in 16 s = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . 150 km in 5 h = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . .

Quarta settimana

b. peso specifico (rapporto peso/volume) 25g 25 25 g e 9 cm3 = = g/cm3 3 9cm 9 642 kg e 54 dm3 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . .

| aritmetica

175 g e 20 cm3 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . 624 g e 31 cm3 = . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . .

Potrà interessarvi sapere, dice DAVIDE, che una delle applicazioni più importanti del concetto di rapporto è quella della rappresentazione in scala di un’aula, di un museo, di un paese, di un territorio attraverso le mappe, le piantine, le cartine ecc.

Scala di riduzione e scala di ingrandimento

La rappresentazione in scala può essere di riduzione o di ingrandimento. La scala di riduzione rappresenta il rapporto tra la misura di una distanza sulla cartina e la misura della stessa distanza nella realtà; indica cioè quante volte viene ridotta una distanza reale. Ad esempio, poiché non posso rappresentare su una cartina geografica una città in grandezza reale, riduco ogni chilometro a un centimetro, utilizzo cioè una scala è di 1 : 100.000 cm (cioè 1 km). A seconda della scala di riduzione utilizzata, le carte geografiche vengono classificate in: − piante o mappe, se il valore della scala è inferiore a 1 : 10.000 (vengono usate, per esempio, per rappresentare un’aula o l’interno di un appartamento); − carte topografiche, se il valore della scala è compreso tra 1 : 10.000 e 1 : 150.000 (vengono usate, per esempio, per rappresentare zone limitate di territorio); − carte corografiche, se il valore della scala è compreso tra 1 : 150.000 e 1 : 1.000.000 (vengono usate, per esempio, per rappresentare una regione o ampie parti di territorio); − carte geografiche, se il valore della scala è maggiore di 1 : 1.000.000 (vengono usate per rappresentare territori molto estesi, tipo nazioni o continenti). La scala di ingrandimento, invece, viene utilizzata per rappresentare oggetti molto piccoli, che vengono riprodotti con dimensioni più grandi di quelle reali. Ad esempio, se voglio riprodurre un lillipuziano, posso usare una scala 5 : 1, cioè ogni centimetro della grandezza reale viene rappresentato con 5 cm su carta.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Indica, a fianco ad ogni scala, se è di riduzione (R) o di ingrandimento (I). scala 1 : 3000

scala 8 : 1

scala 1 : 400.000

scala 30 : 1

scala 1 : 100.000

scala 20 : 1

2. Risolvi i seguenti quesiti. a. Una distanza reale è di 200 km. Quanto misurerà questa distanza su una scala 1 : 1000? . . . . . . . . . . . . . . b. Un grattacielo, in un disegno in scala 1 : 500, è alto 40 cm. Quanto è alto nella realtà? . . . . . . . . . . . . . . c. Una distanza, su mappa misura 10 cm, nella realtà misura 30 km. Che scala si è utilizzata sulla mappa? ..............

Quarta settimana

| aritmetica

“E adesso andiamo avanti con la teoria”, dice DAVIDE.

Le proporzioni

Immaginate di confrontare i successi di due squadre di pallacanestro. La prima ha vinto 12 partite e ne ha giocate 16, l’altra ne ha vinte 15 e ne ha giocate 20. Chi ne ha vinte di più? La seconda sembrerebbe la migliore, perché ha vinto più partite in assoluto; ma se, come abbiamo visto prima, mettiamo in rapporto il numero di partite vinte con il numero di partite giocate scopriamo che: prima squadra 12 : 16 =

12 3 = 16 4

seconda squadra 15 : 20 =

15 3 = 20 4

I due rapporti sono uguali, cioè in proporzione le squadre, hanno vinto entrambe 3 partite su 4. Possiamo quindi dire che: 12 : 16 = 15 : 20 (si legge: 12 sta a 16 come 15 sta a 20). Questo confronto tra due rapporti uguali si chiama proporzione. Riprendendo la proporzione appena vista: 12 : 16 = 15 : 20

➜ ➜

conseguenti

estremi

➜

quarto proporzionale

72 : 9 = 56 : 7 ➜

72 : 9 = 56 : 7

➜

− il primo e il quarto si chiamano estremi; − i quattro numeri si chiamano termini della proporzione; − il primo e il terzo sono gli antecedenti; − il secondo e il terzo si chiamano medi; − il secondo e il quarto sono i conseguenti; − il quarto è detto anche quarto proporzionale. termini antecedenti medi

Quando in una proporzione i medi sono uguali, essa viene chiamata proporzione continua e il medio (che è uguale) viene detto medio proporzionale tra gli estremi. Esempio: 20 : 10 = 10 : 5

Gli esercizi di DAVIDE 1. Verifica se le seguenti proporzioni sono vere (V) o false (F). 50 : 10 = 30 : 6

42 : 7 = 54 : 6

120 : 12 = 200 : 2

28 : 4 = 49 : 7

63 : 7 = 80 : 10

48 : 6 = 66 : 11

2. Modifica il numero sottolineato nelle seguenti proporzioni sbagliate per renderle esatte. 54 : 9 = 25 : 4 ➜ 54 : 9 = 24 : 4 15 : 4 = 21 : 7 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 : 8 = 26 : 7 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 : 5 = 56 : 8 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 : 6 = 60 : 5 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 : 10 = 27 : 9 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“Siete diventati bravissimi”, dice DAVIDE. “Andiamo avanti!” 56

Quarta settimana

| aritmetica

Le proprietà delle proporzioni I Proprietà fondamentale - In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Esempio: prodotto dei medi: prodotto degli estremi:

12 : 3 = 16 : 4 3 × 16 = 48 12 × 4 = 48

Per veriﬁcare l’uguaglianza, se riscriviamo la proporzione mettendo i due rapporti sotto forma di frazione 12 16 = 3 4 e riduciamo le due frazioni al m.c.d.: 12 × 4 16 × 3 = 12 12 osserviamo che i due numeratori non sono altro che, il primo il prodotto degli estremi, il secondo il prodotto dei medi. Grazie a questa proprietà possiamo veriﬁcare facilmente se una proporzione è esatta: basta accertarsi che il prodotto dei medi e quello degli estremi sia uguale. Proprietà dell’invertire - Se, in una qualsiasi proporzione, si scambia ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene ancora una proporzione. Esempio:

15 : 5 = 21 : 7

Invertendo ogni antecedente con ogni conseguente ottengo 5 : 15 = 7 : 21 e anche in questo caso effettuando il prodotto tra i medi e quello tra gli estremi avrò: 15 × 7 = 105 21 × 5 = 105 Proprietà del permutare - Se, in una qualsiasi proporzione, si scambiano tra loro i medi, gli estremi o entrambi, si ottiene ancora una proporzione. Esempio: 20 : 4 = 35 : 7 a) scambiando i medi otteniamo in cui per cui abbiamo ancora una proporzione.

20 : 35 = 4 : 7 35 × 4 = 140

20 × 7 = 140

b) scambiando gli estremi otteniamo in cui per cui abbiamo ancora una proporzione.

7 : 4 = 35 : 20 4 × 35 = 140

7 × 20 = 140

c) scambiando sia i medi che gli estremi otteniamo in cui per cui abbiamo ancora una proporzione.

7 : 35 = 4 : 20 35 × 4 = 140

20 × 7 = 140

Quarta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Verifica, applicando la proprietà fondamentale, se le seguenti proporzioni sono vere (V) o false (F). 15 : 5 = 27 : 9

42 : 7 = 21 : 3

40 : 8 = 30 : 5

24 : 12 = 30 : 15

99 : 11 = 90 : 9

49 : 7 = 63 : 9

2. Riscrivi le proporzioni applicando la proprietà dell’invertire. 56 : 7 = 72 : 9 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 : 8 = 16 : 4 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 : 6 = 81 : 9 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 : 6 = 64 : 8 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 : 50 = 48 : 12 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 : 6 = 42 : 7 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Applica la proprietà del permutare alle seguenti proporzioni. Segui le indicazioni. a. permutare i medi 45 : 9 = 125 : 25 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 : 8 = 24 : 3 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. permutare gli estremi 54 : 6 = 72 : 8 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 : 11 = 24 : 6 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. permutare sia i medi che gli estremi 150 : 30 = 65 : 13 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 : 24 = 10 : 5 ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le proprietà delle proporzioni II Proprietà del comporre - In ogni proporzione la somma del primo con il secondo termine sta al primo o secondo termine come la somma del terzo con il quarto termine sta al terzo o al quarto termine. Verifichiamo questa proprietà: − data una proporzione 15 : 5 = 27 : 9 − sostituiamo al primo termine la somma tra il primo e il secondo termine 15 + 5 = 20 − come secondo termine usiamo o il primo o il secondo termine o 15 o 5 − sostituiamo al terzo termine la somma tra il terzo e il quarto termine 27 + 9 = 36 − come quarto termine usiamo il terzo o il quarto (in accordo con il secondo) o 27 o 9 − riscriviamo ora la proporzione nei due modi possibili: 1° modo ➜ scelgo come secondo termine il primo e come quarto termine il terzo: (15 + 5) : 15 = (27 + 9) : 27 ➜ 20 : 15 = 36 : 27 verifico se ho ottenuto una proporzione: 15 × 36 = 540 20 × 27 = 540 2° modo ➜ scelgo come secondo termine il secondo e come quarto termine il quarto: (15 + 5) : 5 = (27 + 9) : 9 ➜ 20 : 5 = 36 : 9 verifico se ho ottenuto una proporzione: 5 × 36 = 180 20 × 9 = 180

Quarta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Applica, nelle seguenti proporzioni, la proprietà del comporre nei due modi possibili. 1° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 : 4 = 24 : 8 2° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 : 6 = 25 : 5 2° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le proprietà delle proporzioni III Proprietà dello scomporre - In ogni proporzione (in cui ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente) la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo o secondo termine come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo o al quarto termine. Verifichiamo questa proprietà: − data un proporzione 15 : 5 = 27 : 9 − sostituiamo al primo termine la differenza tra il primo e il secondo termine 15 – 5 = 10 − come secondo termine usiamo o il primo o il secondo termine o 15 o 5 − sostituiamo al terzo termine la differenza tra il terzo e il quarto termine 27 – 9 = 18 − come quarto termine usiamo il terzo o il quarto (in accordo con il secondo) o 27 o 9 − riscriviamo ora la proporzione nei due modi possibili: 1° modo ➜ scelgo come secondo termine il primo e come quarto termine il terzo: (15 – 5) : 15 = (27 – 9) : 27 ➜ 10 : 15 = 18 : 27 verifico se ho ottenuto una proporzione: 15 × 18 = 270 10 × 27 = 270 2° modo ➜ scelgo come secondo termine il secondo e come quarto termine il quarto: (15 – 5) : 5 = (27 – 9) : 9 ➜ 10 : 5 = 18 : 9 verifico se ho ottenuto una proporzione: 5 × 18 = 90 10 × 9 = 90

Gli esercizi di DAVIDE 2. Applica, nelle seguenti proporzioni, la proprietà dello scomporre nei due modi possibili. 1° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 : 3 = 20 : 5 2° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 : 9 = 64 : 8 2° modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Quarta settimana

geometria

L’area dei triangoli

Una capanna speciale DAVIDE è un po’ stanco, ha parlato tanto. Non immaginava di sapere tutte quelle cose sulle proporzioni. Qualcuno gli offre da mangiare, sono tutti gentili con lui. GULLIVER non è tra i presenti, è andato sul suo veliero per organizzare i preparativi della sua partenza. Effettivamente è giunto il momento di tornare a casa. I lillipuziani hanno costruito per DAVIDE una zattera al centro della quale hanno eretto una piccola capanna legando tra loro delle canne palustri che sembrano proprio quelle del posto da dove viene lui. La capanna ha la forma di... “Un triangolo isoscele!” dice ad alta voce DAVIDE. “Un triangolo isoscele?” gli fa eco la vocina interrogativa del re. “Che cos’è un triangolo isoscele?” “Beh! È uno dei possibili poligoni a tre lati studiati in geometria. Si chiama isoscele perché ha due lati uguali”. “Due lati uguali?” sbotta il re. “È fantastico! Non ce ne eravamo mai accorti” e poi, voltandosi verso il suo popolo, comincia a gridare: “Lezione di geometria! Lezione di geometria!” Il popolo acclama: “Viva DAVIDE, il maestro di matematica”. A DAVIDE non resta che dare inizio all’ennesima lezione, ma in cuor suo è assai contento. Non gli è mai piaciuta così tanto la matematica! Strappa alcune canne dalla capanna e, invitando i lillipuziani ad avvicinarsi, forma a terra il primo triangolo. “Ecco un triangolo”, dice. “Come vedete, è una figura chiusa fatta da tre lati e conseguentemente da tre angoli. Quale sia la base, dipende da dove lo si guarda. Stesso discorso per l’altezza. Per ogni triangolo ci sono tre basi possibili: ogni lato può fare da base e ogni base ha la sua altezza”. B

C h h

h A

“Dimenticavo di dirvi che l’altezza è la distanza minore possibile tra la base e il vertice opposto ed è sempre perpendicolare alla base”. Una folla di bambini lillipuziani scavalca le canne e riempie l’interno del triangolo. DAVIDE sorride: “Bene. L’area del triangolo può essere misurata in piccoli lillipuziani. Più ce ne entrano maggiore è l’area. L’area, come avete capito, è lo spazio che si trova dentro il triangolo e c’è un modo piuttosto semplice per misurarla: usando non i lillipuziani ma i centimetri e i metri. L’area del triangolo, infatti, si ottiene calcolando il prodotto della base per l’altezza e dividendolo per due. Semplice no?” 60

Quarta settimana

| geometria

A = (b × h) : 2

“C’è da dire che quando si studiano i triangoli isosceli, di solito, come base non viene scelto uno dei due lati uguali. Nel caso dei triangoli rettangoli, invece, solitamente viene scelta l’ipotenusa. Ma nel caso in cui si scelga uno dei cateti come base, allora l’altezza coincide con l’altro cateto. Per ciò che riguarda il triangolo equilatero è assolutamente indifferente quale sia la base: sono tutte e tre uguali e uguali sono anche le tre possibili altezze. Provate a verificare”. C

B C

B b Isoscele

b Equilatero

Rettangolo

B C

“Vi svelo un piccolo segreto”, continua DAVIDE. “I triangoli con la base e l’altezza uguali, anche se hanno forme molto diverse, hanno comunque la stessa area. Guardate!” C

B b1 = b2

h1 = h2

“Ora credo si arrivato il momento di fare degli esercizi”. Tutti i presenti tirano fuori i loro quaderni e, seduti a terra intorno a DAVIDE, cominciano a scrivere. Sull’isola scende un profondo silenzio, interrotto di tanto in tanto solo dal soffiare del vento, dallo scroscio delle onde e dai versi degli animali. 61

Quarta settimana

| geometria

Gli esercizi di DAVIDE 1. Un triangolo isoscele può essere diviso in due triangoli rettangoli. Ebbene, se il cateto minore di uno dei triangoli rettangoli misura 20cm e il cateto maggiore misura 35cm, quanto misurerà l’area del triangolo isoscele formato dai due triangoli rettangoli? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................................................................................

2. Se disegni un trapezio come quello riportato di seguito, con una delle sue diagonali puoi dividerlo in due triangoli (A e B). Se accosti i due triangoli ottenuti per quelle che erano le basi del trapezio (bM e bm) deformandoli appena un po’, e mantenendo invariate le altezze e le basi, ottieni un nuovo triangolo (C). Da cosa è composta la sua base? Se la base maggiore del trapezio misura 6m e quella minore misura 4m e l’altezza del trapezio misura 3m, quanto misura l’area del triangolo? In questo esercizio si trova la spiegazione del perché la formula dell’area del trapezio è uguale a base maggiore più base minore per altezza diviso due. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bm A

A B

h B

B bM

C bm

bM + bm B

3. Un triangolo ha tre lati che misurano rispettivamente 12cm, 6cm, 8cm. L’area del triangolo è 144m². Calcola le altezze relative a ogni lato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Un quadrato, la cui area è 64cm², ha la superficie equivalente a quella di un triangolo isoscele la cui base è 16cm. Calcola l’altezza del triangolo isoscele. Disegna su un foglio il quadrato e il triangolo isoscele e osserva in che modo la sua altezza lo divide. Scopri, adoperando la squadretta e il goniometro, tutte le relazioni possibili tra questo triangolo isoscele e il quadrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Tre triangoli hanno l’area uguale (660m²). Le basi dei triangoli misurano rispettivamente b1 = 22m; b2 = 88m; b3 = 24m. Quanto misurano le altezze h1, h2, h3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. In un triangolo isoscele la base supera di 4cm la lunghezza dei lati uguali. Il perimetro del triangolo misura 64cm. L’altezza misura 4cm in meno di uno dei lati uguali. Calcola l’area del triangolo. ...............................................................................................................................................

7. La base del triangolo A misura 34 cm, l’altezza misura 22cm. Il triangolo B ha tutte le misure raddoppiate. Di quante volte sarà più grande l’area del triangolo B rispetto a quella del triangolo A? ...............................................................................................................................................

Quarta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE è assorto, anche lui è concentrato a risolvere i suoi stessi esercizi. Solleva lo sguardo e viene colpito dal profondo silenzio che c’è intorno. Anche il mare sembra essersi fatto silenzioso e discreto, e così il vento. I lillipuziani disegnano triangoli di tutte le forme ed eseguono calcoli. “Ehm!” esclama DAVIDE ad alta voce. “Forse è il caso di proporre qualche gioco”. I piccoli volti dei presenti si illuminano di gioia. “Giochi! Sì certo giochi! È proprio quello che ci vuole!” annuncia il re. “Sì, ma giochi di logica” replica DAVIDE. “E perché no? Giochi di logica!” gli fanno eco mille voci cristalline.

Quando il più lento è egualmente veloce Dopo aver perso la prima gara con la tartaruga, la lepre chiede la rivincita e la tartaruga accetta. Il percorso è lungo 1000m. La tartaruga, che si è allenata, riesce a fare 5m in un minuto; la lepre, che si è rimpinzata di carote, in un minuto riesce a percorrere 25m. La gara comincia. A un tratto la lepre si addormenta. Dopo un po’ si sveglia e riprende la corsa. La gara finisce pari. Ipotizzando che i due animali abbiano corso sempre alle stesse rispettive velocità (5 metri ogni minuto e 25 metri ogni minuto), quanto tempo ha dormito la lepre? (Per sapere quanti minuti impiega uno degli animali a fare il percorso, bisogna dividere la lunghezza del percorso per la velocità dell’animale).

Da qualunque parte vai, è sempre la stessa cifra Osserva il triangolo a lato. Sistema nei cerchietti i numeri da 1 a 9 in modo tale che la somma dei quattro numeri sistemati su ogni lato sia sempre la stessa.

Le bestie di Gulliver Nella stiva della nave che ha portato Gulliver ci sono diversi polli e conigli. In totale ci sono 40 teste e 130 zampe. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

imana t t e s a t n i Qu

. . . i d a t r Alla scope

A T I N I F N I A I R O T S LA

È una notte di luna nuova. La mezzanotte è passata da tempo e in casa tutti dormono. DAVIDE si è addormentato da poco. Ha letto fino a tardi La storia infinita e si è appassionato alle avventure di ATREIU, un bambino di circa dieci anni, appartenente al popolo Pelleverde, che sta cercando di salvare il regno di Fantàsia dal grande Nulla. Una luce proviene dalla direzione del letto di sua sorella. “Spegni quella torcia! Sono le tre di notte”, dice DAVIDE un po’ arrabbiato alla sorella. Una voce attraversa il buio come un sussurro: “Ssssh, non fare umore, piccolo terrestre. Non sono tua sorella, sono l’Imperatrice di Fantàsia”. “Giada smettila di scherzare. È tardi. Domani dobbiamo fare la gita ai templi romani”. La luce, che da fioca si fa un po’ più forte, si diffonde dal palmo della mano di una bambina vestita d’argento. Accanto a lei c’è un ragazzo vestito di pelli, la schiena dritta e lo sguardo deciso. “Vedi bene adesso piccolo terrestre? Non sono tua sorella, sono l’Infanta Imperatrice. Dal libro son venuta, o forse nel libro ti ho portato”.

DAVIDE si solleva sul suo letto e si accorge che non è più un letto, ma un sofà sulla cui sontuosa fodera è ricamato a mano il ciclo delle avventure di ATREIU il salvatore. Anche i suoi vestiti son cambiati. Non indossa più un leggero pigiama estivo, ma una veste da camera di seta rossa. Si rivolge all'Infanta e, indicando il ragazzo che le sta accanto, chiede: “E lui per caso è ATREIU?” “Sì, sono io” interviene il ragazzo con aria seria e decisa. “Ma questo è un sogno o siete veri?” “Non è un sogno, ragazzo. Tu sei sveglio e ti abbiamo portato qui perché abbiamo bisogno di un aiuto. Come sai, è nostra usanza ricorrere ai piccoli terrestri per sistemare le cose da noi quando vanno male. Certo, non è un caso così grave, come quando il Nulla stava distruggendo la terra di Fantàsia… si tratta… direi… di un problema matematico, che avremmo voglia di risolvere”. “Io di matematica non ci ho mai capito niente”, aggiunge ATREIU sorridendo. 64

“Ebbene – continua l’Infanta Imperatrice – affinché io possa dormire e sognare tranquillamente, e con questo alimentare di buoni pensieri e felici auspici chiunque abbia la ventura di incrociare in sogno o nella realtà le creature del regno di Fantàsia, è necessario che le forme e le misure del mio regno siano sempre ben calibrate. Ecco guarda questo disegno”. L’Infanta Imperatrice porge una pergamena a DAVIDE. “È la pianta del mio regno, che si dilata o si restringe a seconda di quanto voi esseri umani siete capaci di sognare e creare”. DAVIDE, ATREIU e l’Infanta si chinano sulla pergamena aperta. “Se il regno di Fantàsia si dilata, ugualmente deve dilatarsi il mio palazzo. Affinché tutto vada bene, dobbiamo controllare che questo avvenga in modo regolare, e che non accada mai che il palazzo diventi grande troppo rapidamente o che il regno si allarghi o reAutore: Michael Ende (1929-1995) stringa con eccessiva velocità. Titolo: La storia infinita (Die unendliche Geschichte) Ebbene, i miei consiglieri e lo Anno di pubblicazione: 1979 stesso ATREIU non sono capaci Protagonista: Bastian e Atreiu di risolvere questo enigma maTrama: Bastian, un bambino di dieci anni, comincia a leggere nella soffitta di tematico e dirmi quali devono casa sua un libro dal titolo La storia infinita. Pagina dopo pagina, Bastian viene essere le misure del mio palazzo sempre più coinvolto nelle avventure di Atreiu, fino a scoprire di essere lui stesin relazione a quelle del regno. so un personaggio della storia infinita. Sono certa che tu possa aiutarDopo aver conosciuto moltissimi personaggi (alcuni amici, altri nemici), aver salci, essendo in te mischiate, in vato il regno di Fantàsia dal Nulla e aver guarito l’Infanta Imperatrice, Bastian ideale proporzione, fantasia e rimarrà imprigionato nel mondo del libro. capacità matematiche”. 65

Quinta settimana

aritmetica

Le proporzioni

DAVIDE è felice di potere aiutare l’Infanta Imperatrice e subito si mette a lavorare per risolvere il problema. Ancora una volta si tratta di ragionare sulle proporzioni. Da Lilliput a Fantàsia, pare che si tratti di un argomento difficile da capire. “Son felice di aiutarla e le dico subito che per risolvere il problema dovremmo prendere la misura ab dell’ottagono del castello e la misura AB dell’ottagono massimo che circonda il regno.

Quanto è grande il palazzo reale di Fantàsia?

ATREIU batte le mani e, con aria sbrigativa ma allegra, grida: “Si chiami il Fantadrago, si srotolino le più lunghe rulline metriche che abbiamo, si chiamino i misuratori del regno! Vasto è il compito che ci aspetta. Misurate quel che va misurato”. Una grande porta si apre davanti a loro, mostrando il meraviglioso paesaggio di Fantàsia che si estende fino alle paludi poco prima della barriera che confina con il mondo reale. Un drago bianco dalla testa di cane, con le orecchie morbide e gli occhi bonari, plana veloce tra le nuvole, mentre una torma di omini sul suo dorso srotolano lunghe corde per misurare. Uno di loro, portando un megafono alla bocca, annuncia numeri su numeri: “300metri! 7535 metri! 20.078 metri!” Intorno a DAVIDE e all’Imperatrice, dei piccoli topolini vestiti sontuosamente, con delle piccole corde prendono le misure della reggia annotandole silenziosamente su minuscoli taccuini.

Alla fine, è proprio l’omino col megafono ad annunciare: “Ecco le misure, regali amici: alle 14.50 dal punto a al punto b il palazzo dell’Infanta Imperatrice misurava 180m, mentre il regno di Fantàsia dal punto A al punto B misurava 362.340m. Alle 15.50 le misure erano cambiate: ab era 192m, mentre AB era 386.496m. Alle 16.50 abbiamo registrato un altro piccolo cambiamento, con ab = 197m e AB = 396.561m”. Tutti si voltano verso DAVIDE in attesa di una risposta. Per un attimo il suo volto diventa rosso. I pensieri gli si ingarbugliano un poco. Ma ad un tratto le idee gli diventano chiare e nitide come le forme e le luci del palazzo dell’Infanta. “Penso proprio di potervi aiutare” dice. “Guardate – continua DAVIDE – se svolgo i rapporti a coppie il loro risultato è sempre 2013. Vuol dire che questi rapporti sono in proporzione. Chiaramente adesso dovete imparare a risolvere le proporzioni. Quando non conoscete tutti i termini di una proporzione, cioè conoscete un solo rapporto mentre dell’altro conoscete solo un termine (e anche che il loro quoziente deve essere uguale a quello del pri66

Quinta settimana

| aritmetica

mo rapporto), dovete “risolvere una proporzione”, cioè trovare il termine mancante. Questo termine viene chiamato termine incognito e viene generalmente indicato con la x. I casi possibili sono diversi. Analizziamoli assieme”.

Primo caso: il termine incognito è un estremo Data la proporzione

56 : 7 = 40 : x

applichiamo la proprietà fondamentale moltiplicando gli estremi tra loro e i medi tra loro per cui avremo che

56 x = 7 40 56 x = 280

da cui possiamo dedurre che

la proporzione sarà quindi in cui, infatti

· ·

280 =5 56 56 : 7 = 40 : 5 56 5 = 280

7 40 = 280

Regola: in una proporzione, per calcolare l’estremo incognito, bisogna ricavare il prodotto dei medi e dividerlo per l’altro estremo.

Secondo caso: il termine incognito è un medio Data la proporzione

24 : x = 30 : 5

applichiamo la proprietà fondamentale moltiplicando gli estremi tra loro e i medi tra loro per cui avremo che

24 5 = x 30 120 = x 30

da cui possiamo dedurre che la proporzione sarà quindi in cui, infatti

120 =4 x= 30 24 : 4 = 30 : 5 24 5 = 120

4 30 = 120

Regola: in una proporzione, per calcolare il medio incognito, bisogna ricavare il prodotto degli estremi e dividerlo per l’altro medio. “Adesso” dice DAVIDE “proviamo con qualche esercizio?”. ATREIU e l’Infanta Imperatrice non si lasciano pregare.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Risolvi le seguenti proporzioni con i numeri interi. a. x : 4 = 30 : 6 b. 12 : 36 = x : 15 c. 27 : x = 9 : 1 d. 3 : 11 = 15 : x

x = ....... x = ....... x = ....... x = .......

e. 3 : x = 6 : 36 f. 24 : 15 = 48 : x g. 36 : 9 = x : 12 h. x : 17 = 80 : 34

x = ....... x = ....... x = ....... x = ....... 67

Quinta settimana

| aritmetica

2. Ora proviamo con le frazioni. Osserva l’esempio. 7 2 6 . 7 . 25 6 a. x : = : x = 35 9 2 35 9 25

x =

5 3

8 32 22 : = x: 11 49 7

x = ...................

x = .......

5 15 7 :x = : 42 36 9

x = ...................

x = .......

27 15 72 : = :x 16 32 60

x = ...................

x = .......

x = ...................

x = .......

e. x :

54 5 9 = : 55 6 11

3. Risolvi le seguenti proporzioni. Osserva l’esempio. 2

5 :1 4

1 =x:1 6

1 4

3 5 5 =x : 4 6 4 3 5 6 9 x= = · · 4 4 5 8 3

2 :1 18

1 = 4 27

21 :x 6

4 5

2 :x 10

6 1 5

11 : 1 12

1 4

5 2 2 13

“Ora continuiamo con la teoria!”

Terzo caso: il termine incognito è il medio proporzionale di una proporzione continua Data la proporzione applichiamo la proprietà fondamentale moltiplicando gli estremi tra loro e i medi tra loro per cui avremo che da cui possiamo dedurre che da cui la proporzione sarà quindi in cui, infatti

9 : x = x : 25

9 · 25 = x : x 225 = ×2 x = 225 x = 15 9 : 15 = 15 : 25 9 × 25 = 225

15 × 15 = 225

Regola: in una proporzione continua, per calcolare il medio proporzionale incognito bisogna estrarre la radice quadrata del prodotto degli estremi. “In questo caso – dice DAVIDE – è meglio se ci fermiamo un attimo e facciamo subito gli esercizi”. 68

Quinta settimana

| aritmetica

Gli esercizi di DAVIDE 1. Calcola il medio proporzionale nelle seguenti proporzioni continue. Osserva l'esempio. a. 36 : x = x : 9

x2 = 36 · 9

x = 324 = 18

b. 4 : x = x : 49

x2 = . . . . . . · . . . . . .

......

= ......

c. 121 : x = x : 16

x2 = . . . . . . . . . . . . . . . .

......

= ......

x2 = . . . . . . . . . . . . . . . .

....

625 9 :x=x: 36 25

....

.... ....

Quarto caso: il termine incognito, oltre a essere uno dei due medi, è anche parte dell’estremo corrispondente Regola: in una proporzione in cui il termine incognito compare non solo come uno dei due medi, ma anche come parte dell’estremo corrispondente, per calcolare il termine incognito bisogna prima eliminarlo dall’estremo applicando a esso la proprietà del comporre o dello scomporre e poi risolvere la proporzione normalmente, cioè moltiplicando i due estremi e dividendo il prodotto per il medio noto. a) Proprietà dello scomporre: per eliminare il termine incognito dall’estremo si sottrare il medio all’estremo in entrambi i rapporti. Data la proporzione applichiamo la proprietà dello scomporre per cui avremo

(5 + x) : x = 8 : 6 (5 + x – x) : x = (8 – 6) : 6 5:x=2:6

da cui

5·6 = 15 2

b) Proprietà del comporre: per eliminare il termine incognito dall’estremo si somma il medio all’estremo in entrambi i rapporti Data la proporzione applichiamo la proprietà del comporre per cui avremo

(26 – x) : x = 11 : 2 (26 – x + x) : x = (11 + 2) : 2 26 : x = 13 : 2

da cui

26 · 2 =4 13

Gli esercizi di DAVIDE 2. Risolvi le seguenti proporzioni applicando la proprietà del comporre o dello scomporre. a. (14 – x) : x = 3 : 4 d. (15 + x) : x = 19 : 4

b. (84 + x) : x = 15 : 5 e. 38 : 5 = (11 + x) : x

c. 46 : 4 = (21 + x) : x f. (24 – x) : x = 5 : 7 69

Quinta settimana

| aritmetica

3. E ora proviamo con le frazioni. a. 17 x : x 27 : 21 7 12 2 7 45 12 c. x :x : 3 25 16 e. 19 x : x 2 : 2 14 5 10 3

b. 11 x : x 45 : 28 10 6 14 8 24 3 d. x :x : 3 6 2 11 f. 14 x : x 2 4 3

25 7 : 30 6

3 4

4 5

“La faccenda si complica ancora” dice DAVIDE. “Fate attenzione!”

Risoluzione di una proporzione con due termini incogniti

Per risolvere una proporzione con due termini incogniti, di cui però si conosca la somma o la differenza e il rapporto, è necessario impostare correttamente la proporzione e applicare la proprietà del comporre o dello scomporre. a) Proporzione con due termini incogniti di cui si conosce la somma e il rapporto Data la proporzione

x:y=5:3

nella quale la somma dei due termini è

x + y = 16

applichiamo la proprietà del comporre

(x + y) : x = (5 + 3 ) : 5

sostituiamo il primo termine con la somma (che già conosciamo)

16 : x = 8 : 5

da cui

Per conoscere il valore della y basta sottrarre dalla somma il valore della x:

y = 16 – 10 = 6

16 · 5 = 10 8

b) Proporzione con due termini incogniti di cui si conosce la differenza e il rapporto Data la proporzione

x:y=9:2

nella quale la differenza dei due termini è

x – y = 63

applichiamo la proprietà dello scomporre

(x – y) : x = (9 – 2 ) : 9

sostituiamo il primo termine con la differenza (che già conosciamo)

63 : x = 7 : 9

da cui

Per conoscere il valore della y basta sottrarre la differenza al valore della x:

y = 81 – 63 = 18

63 · 9 = 81 7

Quinta settimana

| aritmetica

“Ed ecco gli esercizi” esclama DAVIDE. “Questa volta, però, ho pensato anche a un po’ di problemi”.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Risolvi le seguenti proporzioni con due termini. a. x + y = 24 b. x – y = 28 8 c. x – y = 3 13 d. x + y = 5

x:y =7:5 x : y = 12 : 5 7 1 x:y= : 5 3 5 3 x:y= : 4 8

x = ................; y = ................ x = ................; y = ................ x = ................; y = ................ x = ................; y = ................

2. Risolvi i problemi. Osserva l’esempio. a. La somma di due numeri è 44 e uno è i 5/6 dell’altro. Quali sono i due numeri? prima imposta la proporzione x+y=5:6 poi applica la proprietà del comporre 44 : x = 11 : 5 44·5 = 20 poi trova la x x= 11 infine trova la y y = 44 – 20 = 24 b. La differenza tra due numeri è 45 e uno è i 36/21 dell’altro. Quali sono i due numeri? c. Il rapporto tra due numeri è 11/9 e la loro differenza è 10. Quali sono i due numeri? d. In un negozio di animali vengono venduti gattini e pappagalli. Oggi, tra gattini e pappagalli, ci sono 14 animali. Se il rapporto tra il numero di gattini e quello dei pappagalli è di 3/4, quante zampe si contano in totale?

Catena di rapporti

Quando esiste un’uguaglianza non solo tra due rapporti ma tra più rapporti, si parla di catena di rapporti. In una catena di rapporti si applica la proprietà del comporre, per cui la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente. 3 6 15 27 ; ; ; 4 8 20 36

Siano dati quattro rapporti uguali impostiamo la proporzione

3 : 4 = 6 : 8 = 15 : 20 = 27 : 36

da cui oppure oppure oppure

(3 + 6 + 15 + 27) : (4 + 8 + 20 +36) = 3 : 4 (3 + 6 + 15 + 27) : (4 + 8 + 20 +36) = 6 : 8 (3 + 6 + 15 + 27) : (4 + 8 + 20 +36) = 15 : 20 (3 + 6 + 15 + 27) : (4 + 8 + 20 +36) = 27 : 36

3. Applica la proprietà del comporre alle seguenti catene di rapporti. a. 2 : 5 = 8 : 20 = 14 : 35 b. 7 : 9 = 21 : 27 = 56 : 72 c. 3 : 10 = 12 : 40 = 18 : 60 = 24 : 80 71

Quinta settimana

geometria

I poligoni regolari

Che forma ha il palazzo reale di Fantàsia? Ad ATREIU brillano gli occhi. Ha finalmente cominciato a capire qualcosa di quel mistero che per lui erano i numeri. “Ma allora questa matematica non è poi così male, e in più serve”, dice. Poi si ferma un attimo a pensare e, rivolgendosi a DAVIDE, aggiunge: “Seguimi, voglio farti vedere una cosa”. DAVIDE non se lo fa ripetere e, salutando rispettosamente l’Infanta, segue ATREIU, che lo conduce per corridoi e scale, fino alla torre centrale, dove intraprendono una salita che sembra interminabile. Giro dopo giro, una scala si avvolge su se stessa e li avvicina sempre di più alle nuvole, alle creature volanti del cielo. “Ecco, siamo arrivati”, dice ATREIU e apre una porticina di legno tutta tempestata di piccole pietre luccicanti. Si apre davanti ai loro occhi un terrazzo che sovrasta il regno. Da lì, DAVIDE vede chiaramente esteso in tutte le direzioni l’ottagono del regno. E sotto di lui quello del palazzo. ATREIU, come recuperando alla memoria qualcosa di remoto, lontano, dice: “Sono poligoni regolari”. DAVIDE annuisce. “È una cosa che ho sentito dire in sogno a molti ragazzi”, continua ATREIU. “Forse le loro professoresse di matematica glieli stavano facendo studiare proprio nei giorni in cui io andavo a trovarli. Spesso erano sogni agitati, e per questo mi ero fatto l’idea che la matematica fosse una cosa orrenda. Ma che cosa significa poligoni regolari?” L’espressione del suo volto è seria, un desiderio di conoscenza lo anima profondamente. DAVIDE è emozionato, felice di poter far felice il suo eroe. “L’ottagono che forma la base del palazzo dell’Infanta Imperatrice è un poligono regolare”, comincia DAVIDE. “Non tutti gli ottagoni, però, sono regolari. Guarda questo, per esempio”. DAVIDE sta per disegnare un ottagono non regolare su un piccolo quadernetto, ma ATREIU lo ferma. “Non è necessario”, dice. “Basta che tu lo pensi e, se mi dai il permesso, io posso vederlo”. “Come puoi… vedere – continua divertito DAVIDE – è differente da quello regolare perché ha i lati di diversa misura e così anche gli angoli. Ma guarda che succede, invece, se dividiamo l’ottagono regolare unendo tutti i suoi angoli con il centro della figura. 72

Quinta settimana

| geometria

“Otto triangoli uguali con due lati uguali. Li chiamano triangoli isosceli” esclama ATREIU. “Bravo! E l’altezza di uno qualunque di questi triangoli isosceli che compongono un poligono regolare si chiama apotema del poligono. Lo sai come si calcola l’area del triangolo?” “Sì, me lo ha detto un piccolo terrestre incontrato durante uno dei miei viaggi sulla Terra: base per altezza diviso due” risponde svelto ATREIU. “Ebbene, sapendo questo, è facile ottenere la formula per calcolare l’area dell’ottagono, che corrisponde alla somma dell’area degli 8 triangoli. Dunque avremo b x h : 2 (area di uno dei triangoli) x 8 (il numero di triangoli che compongono l’ottagono regolare). Cioè: b x 8 x h : 2. Ma b x 8 è anche il perimetro dell’ottagono e h (altezza dei triangoli) come sappiamo è l’apotema (a). Quindi l’area di un poligono regolare si può calcolare moltiplicando il perimetro per l’apotema e dividendo il risultato per 2.

3 8

A=Pxa:2

“Bene – conclude DAVIDE – tutti i poligoni regolari sono formati da triangoli isosceli e le loro aree si calcolano tutte con la formula che hai appena visto”.

a Triangolo equilatero

Quadrato

a Esagono regolare

Pentagono regolare

a Ottagono regolare

Quinta settimana

| geometria

“In ogni poligono regolare – riprende DAVIDE – il rapporto matematico tra apotema e lato è sempre uguale. Nella tabella a lato sono riportati i rapporti tra apotema e lato di alcuni poligoni. Grazie a questo rapporto matematico, è possibile ottenere la lunghezza del lato a partire da quella dell’apotema e viceversa. Ad esempio, nel pentagono regolare:

Poligono Quadrato Pentagono Esagono Ettagono Ottagono

N. lati 4 5 6 7 8

Rapporto a/l 0,5 0,68 0,86 1,03 1,2

il lato è uguale alla lunghezza dell’apotema diviso 0,68 l = a/0,68 l’apotema è uguale al prodotto della lunghezza del lato per 0,68 a = l x 0,68

Rapporto a/l = 0,5 a

Rapporto a/l = 0,86 a

“Ma adesso, per vedere se hai capito e… se ho capito anch’io, proviamo a fare questi esercizi”.

Gli esercizi di DAVIDE 1. Lo sai che la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°? Bene! Adesso osserva la figura: un esagono regolare può essere diviso in sei triangoli uguali. E fin qui tutto normale. Ma prova a misurare gli angoli che si formano al centro del poligono. Misurano tutti 60°. Quanto misureranno gli altri due angoli di ciascun triangolo? E, sapendo questo, quanto misureranno gli angoli dell’esagono? Che tipo di triangolo, assai particolare, è quello che genera l’esagono? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60° 60°

60°

60° 60°

2. Ritorniamo all’esagono precedente. Se uno dei suoi lati misura 1000m, quanto misura il suo apotema (consulta la tabella dei rapporti lato/apotema)? E l’area dell’esagono? ............................................................................................................................................

Quinta settimana

| geometria

3. Anche il triangolo equilatero è un poligono regolare e, come in tutti i poligoni regolari, la sua area può essere calcolata con la formula P x a : 2. Di seguito è riportata la tabella del triangolo equilatero per calcolare il suo apotema a partire dal lato. Calcola l’area sapendo che l’apotema misura 4,2m. ..................................................................

a Poligono Triangolo equilatero

N. lati 3

Rapporto a/l 0,28

45°

4. Ricorda che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°. Il triangolo che vedi rappresentato ha gli angoli A e B che misurano entrambi 45°. Si tratta di un triangolo isoscele. Quale poligono regolare si può ottenere unendo a esso altri triangoli isosceli di eguali caratteristiche (stessa misura dei lati, stessa ampiezza degli angoli)? Considerando che l’altezza h del triangolo misura 32cm, quanto misura l’area del poligono regolare che si può ottenere unendolo ad altri triangoli uguali? ...............................................................................

5. Un quadrato, un esagono e un ottagono hanno i perimetri uguali che misurano 619,2m. Calcola le loro aree. Qual è la figura che a parità di perimetro contiene la superficie maggiore? .............................................................................................................................................

6. L’altezza del triangolo equilatero, per ragioni che è un po’ troppo complesso spiegare adesso, misura tre volte il suo apotema. Considerando che l’apotema del triangolo equilatero misura 22,4cm, quanto misurano i lati, il perimetro e l’area dell’esagono formato da sei triangoli equilateri uguali a quello qui considerato? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C A C h A

B a

Quinta settimana

| geometria

7. Il lato misura 68cm e l’apotema misura 46,24cm. Di che poligono regolare si tratta? Indicalo con una x, poi calcola il perimetro e l’area.

8. I suoi angoli interni misurano 108° e un lato misura 60cm. Di che poligono si tratta e quanto misura la sua area? Per aiutarti osserva attentamente i disegni e ricorda che: gli angoli interni di un poligono regolare si ottengono dalla somma degli angoli di base dei triangoli isosceli da cui è costituito; la somma degli angoli di qualsiasi triangolo è sempre 180°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Un quadrato e un ottagono hanno lo stesso perimetro (4000m). Quante volte più grande sarà l’area dell’ottagono rispetto a quella del quadrato? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Il poligono (un ottagono regolare) che sta alla base del palazzo dell’Infanta Imperatrice ha raddoppiato in queste ultime due ore le misure dei suoi lati, che sono passati da 150m a 300m. Di quante volte è diventata più grande l’area? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ATREIU dice: “La matematica è proprio una specie di magia!” e tutto improvvisamente svanisce. DAVIDE spalanca gli occhi e vede gli occhi di sua sorella che lo guardano, sente le sue mani che gli tirano giù le lenzuola, e ascolta la sua voce: “Svegliati, è tardi, dobbiamo andare ai templi. Papà ha già preparato la colazione”. 76

Quinta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

È sera. DAVIDE è ritornato a casa dopo la gita ai templi assieme alla sua famiglia. È stata una giornata bella e interessante, ma lui è un po’ triste: gli manca ATREIU. Un amico, anche se sognato, è sempre un amico e poi gli piacerebbe sapere se ha imparato qualcosa di nuovo in matematica. Così, subito dopo cena, corre a letto e si addormenta. Dopo un po’, si sente una voce lieve e gentile: “DAVIDE”. “Chi è?” “Sono ATREIU. Ti stavi chiedendo se in tua assenza io avessi imparato qualcosa di nuovo in matematica… vero? Bene, ho imparato a fare dei giochi, dei giochi matematici e, per ricambiare il favore, voglio farti giocare un po’… Ecco!”

Le montagne equilatere Osserva attentamente l’immagine. La prima montagna a due piani è formata da quattro triangoli, la seconda a tre piani da nove triangoli, la terza a quattro piani da 16 triangoli. Quanti triangoli ci vogliono per fare una montagna di 8 piani? E quanti piani sarà alta una montagna fatta da 144 triangoli?

2 piani

3 piani

4 piani

Da tre quadrati a cinque quadrati Come devi sistemare queste 12 bacchette che formano tre quadrati in modo che formino 5 quadrati?

Angoli su angoli Questo è il più difficile di tutti. Osserva questo ottagono inscritto in un quadrato la cui area misura 16cm² e dimmi quanto misura l’apotema dell’ottagono.

“Questo era l’ultimo. Ora devo andare, l’Infanta mi aspetta”, dice ATREIU. “Va bene. A presto”, risponde DAVIDE che sta scivolando di nuovo in un sonno profondo e senza sogni. “Sì, ci vediamo,” ribatte ATREIU ormai lontano, “magari in un altro libro”. 77

ana m i t t e s a t Ses

. . . i d a t r Alla scope

a r r e T Dalla na alla Lu

La Luna gira e gira intorno alla Terra. DAVIDE sa che ogni giro dura circa 28 giorni, e sa anche che la Terra, mentre la Luna le gira intorno, compie una rivoluzione (un modo diverso di dire giro) intorno al Sole che dura circa 365 giorni. Sa tutte queste cose, perché possiede un libro di astronomia. Quel libro lo ha letto e riletto con passione e leggendolo ha imparato molte cose sul cielo. Anche adesso sta leggendo un libro che parla della Terra e della Luna, ma non è un libro di astronomia, è un romanzo. La sesta settimana di vacanza è appena cominciata e DAVIDE sta mantenendo la promessa. Il romanzo si intitola Dalla Terra alla Luna e l’autore è Jules Verne. È il racconto di una straordinaria impresa spaziale: il primo lancio sulla Luna di un razzo sul quale viaggiano esseri umani. Leggendo le pagine del libro, a DAVIDE è venuta voglia di guardare il cielo. Così, esce sul patio e alza gli occhi in su. Immagina il razzo incandescente appena lanciato dal cannone interrato nel suolo che, raggiunta la giusta velocità, sta vincendo la forza di attrazione terrestre. Gli sembra proprio di vederlo. Gli basta poco per immaginare il percorso, il colore della scia, la Luna che aspetta con il suo suolo pieno di crateri, alture e pianure pietrose. A DAVIDE piacerebbe tanto andare sulla Luna, soprattutto per vedere la Terra da lassù. “Che emozione sarebbe!” esclama a un tratto. “Hai ragione, è davvero molto emozionante. O almeno, per me lo è stato… sebbene il mio viaggio sia un’invenzione del signor Jules Verne”, dice a un tratto una voce accanto a lui. DAVIDE si volta di scatto. Un uomo, i cui vestiti ricordano molto quelli del Professor Lidenbrock, sta vicino a lui, con gli occhi puntati verso il cielo a scrutare le stelle e a guardare la Luna piena. “Mi presento: sono Michel ARDAN. Molti dicono di me che sono un avventuriero, uno che ama il rischio per il piacere del rischio. In realtà mi considero uno scienziato, certamente un po’ anomalo, ma uno scienziato. Sono quello che ha progettato la navetta di cui si parla nel famoso libro di Jules Verne che lei, come vedo, sta leggendo proprio in questi giorni”. 78

Autore: Jules Verne (1828-1905) Titolo: Dalla Terra alla Luna (De la Terre à la Lune) Anno di pubblicazione: 1865 Protagonisti: Michel Ardan, Impey Barbicane Trama: I soci del Gun Club, associazione americana di artiglieri, hanno realizzato il progetto di un cannone capace di sparare un proiettile di forma sferica in grado di raggiungere la Luna. Mentre i più illustri scienziati discutono della questione, da tutto il mondo piovono sottoscrizioni per finanziare l’impresa. Intanto, Michel Ardan, un avventuriero francese, propone di modificare la forma del proiettile da sferica a cilindro-conica in modo da potervi entrare, offrendosi di diventare così il primo astronauta della storia. Barbicane, il direttore del Gun Club e ideatore del progetto, lo seguirà nella straordinaria impresa.

“Io mi chiamo…” prova a rispondere DAVIDE. “DAVIDE”, lo anticipa ARDAN. “Ed è con immenso piacere, signor DAVIDE, che le comunico, che oltre la collina” e dicendo questo indica una collina verso est che un attimo prima non c’era “abbiamo allestito un nuovo cannone per un secondo lancio sulla Luna. Se le fa piacere vorrei offrirle l’occasione di partecipare al secondo allunaggio, con il nuovo missile progettato da me e dal signor Barbicane. Prego mi segua”. DAVIDE non se lo fa dire una seconda volta. È pronto all’avventura! I due salgono in cima alla collina. Oltre l’altura appare una folla di operai, tecnici, ingegneri. La notte è illuminata da gigantesche torce elettriche. È tutto un lavorio di persone che trascinano taniche di petrolio, micce, protezioni, esplosivo. DAVIDE e il signor ARDAN scendono per uno dei tunnel che conduce al cannone interrato. Giungono davanti a una porticina d’acciaio, la aprono ed entrano trovandosi di fronte un uomo avvolto in uno strano scafandro che ricorda quello dei palombari. È il signor Barbicane. “Prego, accomodatevi, la capsula è già pronta”. C’è una tuta per ognuno. Michel ARDAN ne afferra una e la indossa rapidamente, poi ne porge una più piccola a DAVIDE e senza dir parola gli fa cenno di indossarla. Una volta pronti, i tre entrano nella navetta che viene calata nel fondo del cannone tramite una gru. Presto nell’abitacolo scendono le tenebre. 79

Sesta settimana

aritmetica

Proporzionalità

Tenetevi forte! “Tenetevi forte, si parte!” dice all’improvviso il signor Barbicane. Una spinta improvvisa, potentissima, schiaccia i tre astronauti sul fondo della navetta. Fuori dagli oblò DAVIDE vede la Terra allontanarsi a una velocità vertiginosa e farsi sempre più piccola: vede la Francia, l’Europa e, oltre le nuvole, la superficie del mondo. “Come può immaginare, signor DAVIDE – dice Michel ARDAN – per sfuggire all’attrazione della Terra bisogna andare molto veloci. Per sfuggire a quella della Luna non è necessaria la stessa velocità. Ma prima di arrivare sulla Luna vorrei proporle un viaggio attraverso il Sistema Solare, giusto per avere un’idea di come ogni azione e reazione tra forze sia regolata secondo proporzioni ben definite. Io so che lei se ne intende di proporzioni. Vede quest’oggetto?” Gli mostra un quadrante incassato sulla parete della capsula dove si vedono scorrere dei numeri. “Misura la velocità. È importante che lei lo sappia, perché adesso le farò una piccola lezione di matematica che secondo me non dimenticherà mai più”.

Grandezze costanti, variabili e interdipendenti

La velocità, la massa e il peso sono tutte grandezze, cioè valori che possono essere misurati. Le grandezze possono essere costanti o variabili. Le grandezze costanti conservano sempre lo stesso valore (ad esempio la larghezza di un cratere della Luna); quelle variabili, invece, possono assumere valori diversi (ad esempio la velocità di una navicella spaziale). Le grandezze variabili spesso sono in relazione tra loro in modo che, al variare di una, varia necessariamente anche l’altra. In questo caso si parla di variabili interdipendenti. Quando due variabili sono interdipendenti, una di loro sarà la variabile indipendente, cioè quella che può assumere liberamente valori diversi (e che generalmente viene indicata con la x), mentre l’altra sarà la variabile dipendente, cioè quella che cambia in relazione al mutare dell’altra (e che generalmente viene indicata con la y). “Adesso, però,” dice ARDAN “fermiamoci un attimo (non con la navicella, s’intende!) e facciamo un paio di esercizi”.

Gli esercizi di DAVIDE … in realtà sono di ARDAN! 1. Indica, tra le grandezze elencate, quali sono costanti (C) e quali sono variabili (V). a. Il numero di secondi in un’ora. b. Il peso di una persona nell’arco della vita. c. La velocità della luce nel vuoto. d. Il consumo di gas in una giornata. e. L’altezza di una montagna. 80

C C C C C

V V V V V

Sesta settimana

| aritmetica

“Molto bene, signore” esclama soddisfatto ARDAN , “vedo che lei impara in fretta. A questo punto possiamo accelerare con la teoria… e con la navicella!”

Grandezze proporzionali

Spesso, nell’ambito delle variabili interdipendenti, troviamo grandezze che variano in maniera proporzionale. In questo caso, il rapporto che lega le grandezze può essere espresso mediante una proporzione. Si parla, pertanto, di grandezze proporzionali. Esistono due tipi di grandezze proporzionali: le grandezze direttamente proporzionali e quelle inversamente proporzionali.

Grandezze direttamente proporzionali

Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se al raddoppiare di una raddoppia anche l’altra, al dimezzarsi di una si dimezza anche l’altra, al triplicare dell’una triplica anche l’altra ecc., cioè al crescere della prima cresce, in proporzione, anche la seconda. Ne sono un esempio la massa e la velocità: maggiore è la massa, maggiore deve essere la velocità. Il rapporto che c’è tra queste due grandezze si chiama coefﬁciente di proporzionalità diretta, si indica con k e si ottiene dividendo la variabile dipendente (y) per quella indipendente (x). k=

y x

Grandezze inversamente proporzionali

Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se al raddoppiare della prima dimezza la seconda, al triplicare della prima la seconda diventa un terzo ecc., cioè al crescere della prima decresce, in proporzione, la seconda. A esempio: minore è la distanza tra un pianeta e la Luna, maggiore è la velocità di rotazione del pianeta. Il rapporto che c’è tra queste due grandezze si chiama coefﬁciente di proporzionalità inversa, si indica con h e si ottiene moltiplicando la variabile indipendente (x) per quella dipendente (y): h=x y

Gli esercizi di DAVIDE Questi invece sono di Barbicane! 1. Per ogni tabella stabilisci, analizzando l’andamento dei valori, se indica una proporzionalità diretta (D) o inversa (I). x

1 4 2 8 3 12 4 16 5 20

1 2 3 4 5

7 14 21 28 35

1 2 3 4

48 24 16 12

Sesta settimana

| aritmetica

2. Per ogni coppia di grandezze interdipendenti, stabilisci se sono direttamente o inversamente proporzionali, trova il coefficiente di proporzionalità e costruisci la tabella di proporzionalità. a. per ogni animale presente in un allevamento si consumano 4 hg di mangime: le due grandezze sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proporzionali; y il coefficiente di proporzionalità è k = =4 x la tabella di proporzionalità è: x

.....

b. ad una velocità di 100 km/h un asteroide impiega 2 h a percorrere un tragitto: le due grandezze sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proporzionali; il coefficiente di proporzionalità è . . . . . = . . . . . = . . . . . la tabella di proporzionalità è: x

100

.....

Applicazioni della proporzionalità

Il concetto di grandezze direttamente o inversamente proporzionali ha delle applicazioni in vari tipi di problemi. Una delle più importanti applicazioni si ha nella risoluzione dei problemi del tre semplice diretto o inverso. Sono problemi in cui compaiono due grandezze proporzionali di cui si conoscono tre valori (da questo il nome) e se ne vuole conoscere un quarto.

Problemi del tre semplice diretto

Sono problemi in cui le due grandezze sono direttamente proporzionali. Per risolverli è necessario impostare una proporzione. Esempio: Davide ha comprato 4 pasticcini e ha speso 6 €. Quanto avrebbe speso se ne avesse acquistati 5? Quello che non si conosce, in questo problema, è il conseguente del secondo rapporto. Si imposta la proporzione: 4:6=5:x 6 5 Davide, quindi, avrebbe speso 7,50 €. da cui x = · = 7,5 4

Problemi del tre semplice inverso

Sono problemi in cui le due grandezze sono inversamente proporzionali. Anche qui, per risolverli, è necessario impostare una proporzione. Esempio: Per fare un regalo, 4 amici hanno speso 9,00 €. Quanto avrebbero speso se fossero stati 6? In questo problema, per impostare la proporzione, bisogna tener presente che, nella proporzionalità inversa, ciò che è costante è il prodotto delle due grandezze, quindi i loro valori devono essere inseriti o come medi o come estremi. Si imposta la proporzione: 6:9=4:x 9 4 I 6 amici, quindi, avrebbero speso 6 €. per cui x= · =6 6 82

Sesta settimana

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Gli esercizi di DAVIDE … e invece sono opera di ARDAN! 1. Nei seguenti problemi, individua se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali e risolvili col metodo del tre semplice diretto o inverso. a. Se con 13,60 € si possono comprare 3,2 kg di frutta, quanti se ne possono comprare spendendo 19,90 €? Le grandezze sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proporzionali. La proporzione sarà 13,60 : 3,2 = . . . . . : . . . . . da cui x = ..... b. A una gita partecipano 36 persone con una spesa individuale di 26 €. Se alla gita partecipassero 24 persone, quale sarebbe la spesa individuale? c. Se per comprare 24 litri d’olio spendo 65 €, quanto spendo per comprarne 30 litri? d. Una signora acquista 4 maglioni spendendo 120 €. Quanto avrebbe speso acquistandone 6?

Problemi del tre composto

Sono problemi in cui sono presenti non solo due grandezze, come nei problemi precedenti, ma almeno tre grandezze. Per risolverli bisogna scomporli in due o più problemi del tre semplice. Esempio: Una famiglia composta da 6 persone va in vacanza per 8 giorni e paga, per il soggiorno in pensione completa, in tutto 1500 €. Quanto avrebbero speso 9 persone in 7 giorni? Prima di tutto bisogna scrivere i dati in una tabella distinguendo le tre grandezze. N. persone 6 9

N. giorni 8 7

Costo in € 1500 x

Poi bisogna prendere in considerazione solo due grandezze e lasciare costante la terza, che verrà analizzata dopo. Bisogna considerare quindi il numero di persone e il costo e veriﬁcare se sono direttamente o inversamente proporzionali. Sono direttamente proporzionali. Si imposta la proporzione: 6 : 9 = 1500 : x 9 1500 = 2250 da cui x= · 6 Dunque: 9 persone, per un numero n di giorni lasciato invariato (8 giorni), avrebbero speso 2250 €. A questo punto bisogna aggiornare la tabella con i nuovi dati. N. persone 9 9

N. giorni 8 7

Costo in € 2250 x

Poiché bisogna stabilire quanto avrebbero speso in 7 giorni, bisogna lasciare da parte il numero di persone e prendere in considerazione il numero di giorni e il costo, e veriﬁcare se sono direttamente o inversamente proporzionali. Sono direttamente proporzionali. Si imposta la proporzione: 8 : 7 = 2250 : x 7 2250 = 1968,75 da cui x= · 8 Dunque: 8 persone, per 7 giorni, avrebbero speso 1968,75 €. 83

Sesta settimana

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Gli esercizi di DAVIDE … è ancora la volta di Barbicane! 1. Risolvi i seguenti problemi del tre composto. a. In una mensa scolastica 40 bambini in 15 giorni consumano 50 Kg di pasta. Quanta pasta consumano 60 persone in 18 giorni? Inserisci i dati nella tabella. N. bambini

N. giorni

Consumo di pasta in kg

Considera prima il numero di bambini e il consumo di pasta. Essi sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proporzionali. Imposta la proporzione ..... : ..... = ..... : x Aggiorna i dati nella tabella. N. bambini

N. giorni

per cui x = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

Consumo di pasta in kg

Considera ora il numero di giorni e il consumo di pasta. Esse sono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . proporzionali. Imposta la proporzione ..... : ..... = ..... : x In 18 giorni 60 bambini avrebbero consumato ___ Kg di pasta.

per cui x = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . .

b. Per imbiancare una parete di 160 m2 un imbianchino ha usato 4 bidoni di pittura ognuno dei quali pesava 4 kg. Per imbiancare una parete di 200 m2, quanti bidoni da 2 kg dovrà usare?

Problemi di ripartizione

Anche nei problemi di ripartizione semplice, sia diretta che inversa, si applica il concetto di proporzionalità. Ripartizione diretta semplice - Consiste nel dividere un numero in parti che siano direttamente proporzionali a dei numeri assegnati in maniera tale che la somma di queste parti sia uguale al numero dato. Esempio: Tre operai, per restaurare un piccolo appartamento, lavorano rispettivamente 8, 10 e 12 giorni ricevendo complessivamente 8325 €. Volendo dividere questa cifra in maniera direttamente proporzionale al numero di giorni lavorati, quanto riceverà ogni operaio? Per risolvere questo problema bisogna innanzitutto indicare con x, y e z le quote spettanti a ogni operaio. Si imposta la catena di rapporti: x : 8 = y : 10 = z : 12 Si applica la proprietà del comporre alla catena di rapporti

poiché (x + y + z) = 8325 si scrive

(x + y + z) : (8 + 10 + 12) = x : 8 (x + y + z) : (8 + 10 + 12) = y : 10 (x + y + z) : (8 + 10 + 12) = z : 12 8325 : 30 = x : 8 8325 : 30 = y : 10 8325 : 30 = z : 12

Sesta settimana

Dunque

8325 · 8 = 2220 € 30

8325 · 10 = 2775 € 30

| aritmetica

8325 · 12 = 3330 € 30

La risposta è quindi che il primo operaio riceverà 2220 €, il secondo 2775 € e il terzo 3330 €. Ripartizione inversa semplice - Consiste nel dividere un numero in parti che siano inversamente proporzionali a dei numeri assegnati in maniera tale che la somma di queste parti sia uguale al numero dato. Esempio: In un triangolo scaleno il perimetro misura 306 cm. Sapendo che ogni lato è inversamente proporzionale rispettivamente ai numeri 3, 4 e 8, calcola la misura di ogni lato. Per risolvere questo problema bisogna innanzitutto indicare con x, y e z le misure di ogni lato ma, poiché esse devono essere inversamente proporzionali ai numeri 3, 4 e 8, si considera l’inverso di questi numeri e cioè: 1 , 1 , 1 3 4 8 Si imposta la catena di rapporti: x: 1 =y: 1 =z: 1 3 4 8 Si applica la proprietà del comporre alla catena di rapporti (x + y + z) : ( 1 + 1 + 1 ) = x : 1 3 4 8 3 (x + y + z) : ( 1 + 1 + 1 ) = y : 1 3 4 8 4 1 1 1 1 (x + y + z) : ( + + ) = z : 3 4 8 8 poiché la somma delle tre incognite è 306 e la somma delle tre frazioni è 17/24, si scrive:

Dunque

x = 306 · 1 · 24 = 144 3 17

306 : 17 = x : 1 24 3 17 306 : =y: 1 24 4 17 1 306 : =z: 24 8 y = 306 · 1 · 24 = 108 4 17

z = 306 · 1 · 24 = 54 8 17

La risposta è quindi che il primo lato misurerà 144 cm, il secondo misurerà 108 cm e il terzo misurerà 54 cm.

Gli esercizi di DAVIDE … ancora Barbicane, ma sono gli ultimi (almeno per il momento). 1. Esegui le ripartizioni semplici dirette. a. Ripartisci il numero 147 secondo i numeri 5, 7 e 9. b. Ripartisci il numero 54 secondo i numeri 2, 3 e 4. c. Ripartisci il numero 132 secondo i numeri 3, 4 e 5. 2. Esegui le seguenti ripartizioni semplici inverse. a. Ripartisci il numero 705 in parti inversamente proporzionali ai numeri 3, 4 e 5. b. Ripartisci il numero 700 in parti inversamente proporzionali ai numeri 9, 12 e 27. 3 1 2 c. Ripartisci il numero 1209 in parti inversamente proporzionali ai numeri , e . 2 3 3 85

Sesta settimana

geometria

Il cerchio

Allunnaggio! “Adesso è giunto il momento di andare sulla Luna”, dice il signor Barbicane. “Abbiamo ancora molte cose da mostrare al nostro piccolo ospite”. DAVIDE sa per certo che non è assolutamente possibile che in così poco tempo un razzo lanciato da un cannone possa aver fatto il giro di tutto il Sistema Solare. Ma sa benissimo che quando si tratta di un libro come Dalla Terra alla Luna tutto può accadere. Decide allora di godersi il viaggio. Eccoli quasi sulla Luna. Sembra un cerchio perfetto che si staglia nel cielo nero, e dietro un altro cerchio perfetto, la Terra. Il Sole sta ancora oltre: è un altro cerchio che appare come un buco luminoso e accecante nella superﬁcie buia della volta. Anche questo DAVIDE sapeva: che il cielo fuori dall’atmosfera terrestre non è azzurro né blu, bensì nero, anche se in mezzo ci splende il sole. Mentre si avvicinano, il cerchio della Luna si fa sempre più grande. Il signor Barbicane poggia sul vetro dell’oblò un foglio di carta e con una matita comincia a ricalcare il cerchio dell’astro. Ogni mezz’ora fa un nuovo disegno e ogni cerchio è più grande del precedente. DAVIDE non se ne accorge, preso com’è a osservare il professor Barbicane, ma la cabina è diventata il ponte gigantesco di una moderna astronave. I disegni del professore adesso appaiono su decine di schermi sui quali si vedono apparire circonferenze di tutte le grandezze. A un gesto di Barbicane o di ARDAN, delle linee rette prendono forma sugli schermi, dividendo i cerchi a metà o tagliandoli in spicchi e individuandone i centri geometrici. “Ecco il diametro (d) del cerchio”, dice ARDAN. “Lo attraversa da parte a parte passando per il centro (O). Ma se consideriamo metà del diametro partendo dal centro, allora abbiamo il raggio (r). Il raggio è la distanza che hanno tutti i punti della circonferenza dal centro del cerchio”.

r A

r B

DAVIDE non ha parole. Nessun ragazzo della sua età ha mai assistito a una lezione di geometria fatta in questo modo. Ne è sicuro. “Ma perché è così importante il raggio?” chiede a un tratto ARDAN. “Perché dal raggio si ottiene pi greco” risponde svelto Barbicane. “Si procede così: si taglia la circonferenza e la si distende come fosse una corda. Ebbene, la linea che si ottiene stendendo la circonferenza è 3,14 volte più lunga del raggio; e questo vale per tutti i cerchi. Questo numero si chiama pi greco, si scrive π, ed è appunto una lettera greca”. 86

Sesta settimana

| geometria

a n o o o e e o è e o ù a a e n l e i e i . a

DIAMETRO

CIRCONFERENZA diametro

diametro

+ 0,14

“E quante cose si possono fare con π!” aggiunge ARDAN. “Almeno due, e piuttosto importanti. Calcolare la circonferenza e calcolare l’area del cerchio”, continua Barbicane. Improvvisamente, delle voci meccaniche, come se venissero dagli schermi, pronunciano le seguenti parole.

Calcolare la circonferenza, il raggio, l’area La circonferenza si ottiene moltiplicando il diametro per π, ossia il raggio per 2π. C = 2πr Il raggio si ottiene dividendo la circonferenza per 2π oppure facendo la radice quadrata dell’area diviso . r = C/2π r = A/ L’area si ottiene moltiplicando π per il quadrato del raggio. A = πr² Su queste ultime parole tutti gli schermi si spengono. Nello stesso momento, la plancia dell’astronave piomba nel buio e nel silenzio. Una nuvola nera copre la Luna. E quando la nuvola va via e la Luna torna a illuminare le cose, DAVIDE si accorge di essere di nuovo sul patio della casa vicino alla spiaggia. “Come ci si poteva aspettare” dice DAVIDE sorridendo. “Non mi resta che fare qualche esercizio di geometria”.

Gli esercizi di DAVIDE o e ù o

… in realtà sono un po’ di ARDAN, un po’ di Barbicane! 1. Un quadrato e un cerchio hanno lo stesso perimetro, che misura 1256m. Hanno anche la stessa area? Se no, quale delle due è maggiore? ........................................

Sesta settimana

| geometria

2. La misura del diametro di un cerchio è 25cm. Calcola la circonferenza e l’area del cerchio.

........................................

C D

3. Osserva attentamente l’immagine qui di fianco. Il cerchio è inscritto in un quadrato la cui area misura 4000m². Quanto misurano il raggio, la circonferenza e l’area del cerchio? A

........................................

4. Un pentagono, un ottagono e un cerchio hanno il perimetro uguale (300m). Calcola l’area del pentagono (apotema = lato x 0,68), dell’ottagono (apotema = lato x 1,2) e del cerchio.

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5. Ha un’area più grande un cerchio la cui circonferenza misura 942m o un cerchio il cui diametro sia 190m? 6. Osserva attentamente l’immagine. L’area dell’esagono regolare inscritto nel cerchio misura 4300m², il suo apotema misura 86m. Calcola la misura dell’area del cerchio. (Avviso: per calcolare il lato dell’esagono dai un’occhiata alla quinta settimana; ricorda, inoltre, che i triangoli nei quali si può dividere l’esagono sono triangoli equilateri).

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C F

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7. Dividendo un cerchio con due assi perpendicolari passanti per il centro, si ottengono quattro spicchi uguali (Fig. A). Rimontando i quattro spicchi come mostrato in Fig. B, si ottiene un quadrato con al centro una stella a quattro punte. Calcola l’area della stella sapendo che la circonferenza del cerchio misura 251,2cm. ........................................

D D

Fig. A

Fig. B

Sesta settimana

scienze

L’accelerazione

Più veloci di un fulmine! Finiti gi esercizi, DAVIDE continua a pensare all’avventura appena terminata. Non riesce a togliersi dalla mente le immagini dei pianeti che gravitano introno al Sole. Lega un palla di gomma a un filo e comincia a farla roteare tenendo forte la cordicella. Pensa: “Ecco, la mia mano è la Terra che trattiene un astronave, mentre la palla è l’astronave che vorrebbe fuggire fuori dall’orbita terrestre, ma la forza di attrazione la trattiene”. “Come si può sfuggire all’orbita terrestre?” si domanda DAVIDE mentre va verso il patio. Ma ancora una volta c’è una sorpresa ad attenderlo… come se non bastassero quelle della giornata. L’uscita del patio si è tramutata nell’ingresso di un’officina con diverse persone che lavorano su pezzi meccanici e su enormi strutture di metallo. Un uomo tutto sporco di grasso si dirige verso di lui esclamando: “Una questione di accelerazione, solo una questione di accelerazione”. Poi si presenta stringendo la mano di DAVIDE: “Piacere, mi chiamo Vincent Gardel. Nel libro non appaio, ma sono il meccanico del signor ARDAN. Dicevo che si tratta solo di una questione di accelerazione, ma lei dirà: cosa significa accelerare?” “Sa che velocità bisogna raggiungere per staccarsi dalla Terra?” continua Gardel. “Non lo so” risponde DAVIDE ancora sbalordito. “11,2 km/sec cioè 40.320 km/h. Andando a questa velocità si potrebbe fare il viaggio da Milano a Palermo in circa 40 secondi! Ebbene: se lei vuole uscire fuori dall’orbita della Terra, deve sparare il suo missile e fargli raggiungere questa velocità. Ora le spiego come hanno fatto gli Americani negli anni Settanta con l’Apollo 11. Per prima cosa hanno portato in orbita la navetta a una velocità di 28.000km/h, e in soli 300 secondi. Poi, dopo avergli fatto fare due giri intorno alla Terra, l’hanno slanciata fino a farle raggiungere la velocità di 40.000km orari in soli due minuti. Capito che cosa sto dicendo? Da 28.000km/h a 40.000km/h in due minuti, cioè in 120 secondi tondi tondi. Non è incredibile!?” DAVIDE annuisce frastornato all’idea di queste velocità vertiginose. Gardel, però, non ha finito. “Accelerare significa mutare la velocità. E quegli uomini hanno fatto in modo che un enorme proiettile raggiungesse in 300sec, a partire da zero, la velocita di 28.000km/h, cioè di 8km/sec che corrispondono, come lei sa, a 8000m/sec! Bene, con una semplice operazione è possibile calcolare di quanto aumentava la velocità ogni secondo. Bisogna solo dividere la velocità misurata in metri al secondo (8000m/sec) per il tempo impiegato dal missile per raggiungerla (300sec). Fa 26,6m/sec al secondo e si scrive 26,6m/sec2. Provi a immaginare: dopo soli due secondi l’Apollo 11 ha raggiunto la velocità di 50m/sec. Sa quanto sono in km/h? 191km/h, e in 2 secondi solamente! Una qualsiasi automobile ci impiega almeno un minuto. L’Apollo 11 ha impiegato solo 2 secondi. 89

Sesta settimana

| scienze

DAVIDE non vuole dimenticare niente di quello che gli ha detto Gardel e chiede timidamente: “Posso rientrare un attimo in casa e prendere un quaderno per annotare questi numeri?” “Vada pure” risponde garbatamente Gardel. DAVIDE rientra veloce nella sua stanza, prende quaderno e penna e si lancia verso il patio per raggiungere di nuovo Gardel. Esce fuori, ma l’officina è scomparsa. In alto un cielo stellato e una scia che lo solca velocissima, con un accelerazione di almeno 26,6m/sec. A terra, davanti ai suoi piedi, c’è un foglio tutto macchiato di grasso con sopra scritto: “Mio caro, sono dovuto partire all’improvviso per un importante missione spaziale. Le lascio questi semplici esercizi, giusto per allenarsi un po’ a immaginare che cosa significa uscire fuori dall’orbita terrestre”.

Gli esercizi di DAVIDE … in realtà sono di Gardel! 1. L’accelerazione di un corpo si misura in genere in m/sec² (metri secondo al quadrato) che indica di quanto la velocita (misurata in m/sec) aumenta ogni secondo. Quanto misurerà l’accelerazione media di un’astronave che in 45sec incrementa la sua velocità da 135m/sec a 4590m/sec? ........................................

2. L’accelerazione può anche essere negativa. Anche una diminuzione di velocità viene denominata dagli scienziati accelerazione, solo che si tratta, appunto, di un’accelerazione negativa. Tra i casi elencati di seguito, indica con una x le accelerazioni negative. Da 245m/sec

a 569m/sec

Da 3000m/sec a 3km/sec

Da 12km/sec

a 11500m/sec

Da 7350m/sec a 8km/sec

3. L’accelerazione di un corpo in movimento si calcola sottraendo la velocità iniziale a quella finale e dividendo il risultato per il tempo impiegato dal corpo a passare da una velocità all’altra. Acc. = (v2 – v1) : t Un’automobile impiega 10 secondi per passare da 10m/sec(v1) a 30km/h (v2). Calcola la sua accelerazione in m/sec². ........................................

Sesta settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

È arrivato il momento dei giochi da proporre alla famiglia. DAVIDE oggi ha visto così tante cose che la sua fantasia è eccitatissima, pronta a partorire enigmi che lasceranno tutti a bocca aperta. Eccoli!

La navicella ARDAN e la navicella Barbicane La navicella ARDAN e la navicella Barbicane ruotano nella stessa orbita introno a un asteroide. Partono dallo stesso settore (settore 1) del cerchio orbitale, ma si muovono in direzione opposta sulla circonferenza e a velocità diverse. ARDAN si sposta alla velocità di tre settori al secondo, Barbicane alla velocità di 2 settori al secondo. Allo scoccare di quanti secondi le due navette si troveranno nello stesso settore?

8 1

C 2

B 3

5 4

Il pianeta che si restringe

Un’astronave è entrata in orbita intorno a un corpo celeste non identificato il cui raggio diminuisce alla velocità di 3km al giorno. Alla prima orbita, la distanza tra l’astronave e la superficie dell’astro è di 240km. L’astronave completa ogni orbita in un giorno. Per ogni orbita completata, si avvicina alla superficie dell’astro di 8km. Dopo quanti giorni l’astronave toccherà la superficie dello strano pianeta?

Chi più veloce, chi più lento ARDAN e Barbicane, per mantenersi un po’ in forma, corrono lungo due piste circolari che hanno lo stesso centro. Il cerchio di ARDAN però ha una circonferenza di 300m, mentre quello di Barbican ha una circonferenza di 100m. Partono tutti e due dalla linea dello start nella stessa direzione. Tutti e due percorrono la loro pista nello stesso tempo: 60 secondi. Chi va più veloce? E quando ARDAN avrà percorso 30m, quanti ne avrà percorsi Barbicane?

START

ana m i t t e s a Settim

. . . i d a t r Alla scope

i d o i g g a Vi a t s i l a r un natuo al mondo intorn

Da più di una settimana DAVIDE aspettava e, finalmente, è arrivato il giorno della gita in barca a vela. Il proprietario della barca è il vicino di casa. La barca si chiama Beagle, come il famoso veliero sul quale Charles DARWIN viaggiò a lungo raccogliendo i disegni e le informazioni che lo aiutarono a dare forma alla BEAGLE teoria dell’evoluzione della specie. Il vicino di casa e proprietario della barca è un biologo. “Vedi caro DAVIDE, – dice – DARWIN ha confrontato gli scheletri, le forme e i comportamenti di migliaia di animali, ha messo insieme tutte queste informazioni ed è arrivato alla conclusione che tutti gli esseri viventi del mondo sono imparentati tra loro e che l’antenato più antico da cui tutti discendiamo è un piccolo essere costituito da una sola cellula”. Il biologo gli ha anche regalato una copia del Viaggio di un naturalista intorno al mondo, il racconto del viaggio di DARWIN, scritto da DARWIN stesso. Proprio in questi giorni DAVIDE lo sta leggendo. DAVIDE non è mai stato su una barca a vela ed è molto emozionato. Il viaggio durerà sei giorni, e magari farà anche lui qualche scoperta. Gli ritorna in mente la descrizione che DARWIN fa dello sbarco nelle isole Galapagos dove il grande scienziato ha potuto studiare alcune testuggini giganti e osservare alcune specie di animali che non esistono in nessun’altra parte del mondo. Dopo alcune ore di viaggio, giungono in prossimità dell’isola di Alicudi. La barca attracca in una cala dalle acque trasparenti. È una giornata luminosa, non c’è vento. DAVIDE sa nuotare molto bene, così sale sulla prua della barca dove si sporge sul mare un piccolo trampolino e si esibisce, sotto gli occhi stupefatti della sorella, in un tuffo acrobatico con capriola all’indietro. L’acqua scroscia schiumando intorno a lui, che affonda nel mare limpido. Quando ritorna in superficie, però, non c’è più la barca a vela del vicino di casa, ma un brigantino sul quale si agitano persone con abiti di altri tempi, marinai indaffarati che legano le vele agli alberi, una scialuppa che viene calata da babordo. Sul fianco si legge il nome del veliero: BEAGLE.

E L G A BE

“Ma che succede?!” pensa DAVIDE, e intanto sente urlare dalla nave: “Ehi laggiù c’è un uomo in mare”. “Più che un uomo sembrerebbe un ragazzo” dice uno dei componenti della scialuppa. “Tiriamolo su”. La scialuppa si avvicina. Un uomo dallo sguardo profondo e intelligente gli chiede con voce gentile: “E tu, da dove vieni? Sei un pericoloso pirata abbandonato sulle coste dell’isola, oppure sei caduto da un nave di passaggio? “In realtà…” prova a rispondere DAVIDE mentre sale sulla scialuppa. “Beh, non mi sembri un pirata… Mi presento, il mio nome è Charles DARWIN. Giro da un po’ di tempo per queste isole perché ho scoperto che ci sono diversi tipi di testuggini, e altre specie di animali, che non ho mai visto in nessun’altra parte del mondo. Sembra che le cose da queste parti siano andate molto diversamente che nel resto del pianeta. Se ti va, puoi accompagnarmi nel mio viaggio”. “Queste sono le Galapagos?” chiede incredulo DAVIDE. “Hai indovinato ragazzo. E per essere precisi, in questo momento stiamo mettendo piede sull’isola di Albemarle. Preparati, tra poco sbarchiamo”. La scialuppa tocca la riva. Poco dopo DAVIDE si trova a passeggiare sull’isola assieme a DARWIN.

Autore: Charles Darwin (1809-1882) Titolo: Viaggio di un naturalista intorno al mondo (The Voyage of the Beagle) Anno di pubblicazione: 1839 Trama: Il 27 dicembre 1831, la nave HMS Beagle salpa dal porto Plymouth (Inghilterra) per compiere una spedizione intorno al mondo. Al comando c’è il capitano Robert Fitzroy. A bordo c’è anche Charles Darwin, uno scienziato ventiduenne che (in qualità di naturalista di bordo) racconterà tutto ciò che vedrà di interessante da un punto di vista naturalistico. La narrazione, grazie al notevole spirito di osservazione di Darwin, fornisce nozioni straordinarie di biologia, geologia e antropologia. Uno dei momenti più appassionanti è la sosta fatta presso le isole Galapagos (arcipelago di tredici isole vulcaniche situate nell’Oceano Pacifico, a circa 1000 chilometri dalla costa occidentale dell’America del Sud e appartenente all’Ecuador). Darwin utilizzò le osservazioni trascritte in questo libro per sviluppare, in seguito, la sua teoria sulla selezione naturale e sull’evoluzione delle specie.

Settima settimana

aritmetica

Percentuali e calcolo delle probabilità

Un’improbabile tartaruga... DAVIDE e DARWIN si guardano intorno. L’isola è spoglia, con pochissima vegetazione. “Per niente ospitale” commenta DARWIN e comincia a osservare degli uccelli che becchettano alcuni molluschi sulla spiaggia. Tira fuori dalla sua sacca un taccuino e comincia a disegnare. Fra sé e sé pronuncia alcune parole strane che sembrano far parte di una formula segreta: “Geospiza Magistratis, certhidea olivacea”. Allo sguardo perplesso di DAVIDE, risponde: “Sono nomi di uccelli che vivono solo in questo arcipelago. Il loro nome comune è: fringuelli”. Riprendono il cammino. Salgono lungo un declivio e giungono su un terreno pianeggiante. Una gigantesca lucertola li guarda con aria assente masticando qualcosa vicino a un ruscelletto. “Non ti impressionare ragazzo, è solo un amblyrhynchus, ossia un’iguana marina. Sembra pericolosa, ma si accontenta di mangiare alghe”. Ancora una volta DARWIN tira fuori il taccuino per ritrarre l’animale. Scrive fitto sotto il disegno con una calligrafia illeggibile. Segna anche dei numeri su un secondo taccuino che tiene nella tasca della marsina. “Il problema è che con i numeri non ci ho mai saputo fare” dice a un tratto DARWIN. “Io invece sì” ribatte contento DAVIDE, pensando di potere essere d’aiuto. “E allora, figliolo, penso che ne approfitterò” e tira di nuovo fuori il taccuino pieno di numeri. “Sto facendo uno studio sulle similitudini tra i diversi animali osservati durante il mio giro del mondo. Ecco. Sono tanto ordinato nelle mie annotazioni scritte, ma con i numeri faccio una gran confusione. Ho bisogno di organizzare tutte queste cifre per renderle più comprensibili… per capire meglio”. DAVIDE cerca di leggere e non si accorge che una grossa testuggine si è avvicinata e sta dando pure lei una sbirciatina al taccuino. “Io organizzerei le cifre in percentuali, per cercare di capire quali siano le probabilità che certe caratteristiche fisiche degli esemplari presi in considerazione si ripetano o meno, oppure siano derive casuali”. A parlare è stata proprio la tartaruga. DARWIN e DAVIDE si voltano a guardarla, non poco sorpresi del suo intervento. “Ma lei dove ha imparato a parlare così bene?” domanda DARWIN. “E come fa a sapere queste cose?” aggiunge DAVIDE. “Primo: sono un animale, quindi chi meglio di me può essere informato sulle cose degli animali? Secondo: sono assai vecchia e ne ho viste di tutti i colori. Terzo: una volta, per sbaglio, ho mangiato un libro di esercizi di matematica che qualcuno aveva lasciato cadere da una nave di passaggio, e da quel momento sono diventata un’esperta di matematica e cerco di insegnarla anche agli altri animali. Le foche sono molto intelligenti, però sono svogliate; ma quelle che mi danno più soddisfazioni sono le iguane. Non dicono mai niente, ma è chiaro che capiscono tutto”. DAVIDE, intanto, ha riscritto in bell’ordine e chiaramente le cifre che DARWIN aveva disordinatamente annotato sul suo quadernetto. “Dunque, dicevamo – continua la testuggine che si appresta a fare una vera e propria lezione – percentuali e probabilità, ecco semplice. Fatemi leggere: 45 su 58 tra rettili, mammiferi e uccelli esaminati sono dotati di qualcosa di simile a delle articolazioni delle dita umane… 45 su 50 94

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animali esaminati presentano similitudini nella struttura dell’apparato respiratorio. Bene, tutte queste informazioni possono essere trasformate in percentuali, che ci consentono di farci un’idea su che cosa è più o meno probabile sia vero tra le idee che lei signor DARWIN si sta facendo sugli esseri viventi e sulle specie del mondo. Ma… cominciamo dall’inizio!”

Percentuali

La percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100. Prendendo l’esempio della tartaruga sul numero di animali che presentano similitudini nella struttura dell’apparato respiratorio, cioè 45 su 50, per scoprire qual è la percentuale dobbiamo impostare la seguente proporzione: 45 : 50 = x : 100 da cui

45 · 100 = 90 50 90%

che in percentuale si esprime

Analizzando la precedente proporzione (45 : 50 = x : 100), possiamo dire che: – 45 rappresenta il numero di animali che soddisfa quella tale caratteristica (viene chiamata parte percentuale e si indica con p); – 50 rappresenta il totale di animali esaminati (viene chiamato totale e si indica con T); – 90 indica il numero di animali che avrebbero soddisfatto quella tale condizione se ne avessimo esaminati 100 (si chiama tasso percentuale e si indica con r). Da ciò possiamo dedurre che la proporzione fondamentale delle percentuali è: p : T = r : 100. La tartaruga si rivolge allora a DARWIN e dice: “Vediamo se hai capito. Esercitiamoci un po’ con le percentuali”.

Gli esercizi di DAVIDE … in realtà sono della tartaruga! 1. Osserva i seguenti animali e indica la percentuale di iguane, tartarughe, foche e fringuelli.

Iguane: . . . . . . . . . . . . . . %

Tartarughe: . . . . . . . . . . . . . . %

Foche: . . . . . . . . . . . . . . %

Fringuelli: . . . . . . . . . . . . . . %

2. Colora il 40% dei fringuelli di verde, il 25% di rosso, il 20% di blu e il 15% di giallo.

“E adesso”, dice la tartaruga, “proviamo ad affrontare i problemi con le percentuali”. 95

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Problemi sulle percentuali

I problemi sulle percentuali sono di tre tipi e in tutti e tre i tipi la proporzione di partenza è sempre: p : T = r : 100 Primo tipo: calcolo della parte percentuale (p) In questo tipo di problemi conosciamo il totale (T) e il tasso percentuale (r), e vogliamo scoprire la parte percentuale per cui la proporzione sarà: x : T = r : 100 Secondo tipo: calcolo del tasso percentuale (r) In questo tipo di problemi conosciamo la parte percentuale (p) e il totale (T), e vogliamo scoprire il tasso percentuale per cui la proporzione sarà: p : T = x : 100 Terzo tipo: calcolo del totale (T) In questo tipo di problemi conosciamo la parte percentuale (p) e il tasso percentuale (r), e vogliamo scoprire il totale per cui la proporzione sarà: p : x = r : 100

Gli esercizi di DAVIDE … ma sono problemi e sono sempre della tartaruga! 1. Su un’isola delle Galapagos ci sono 550 animali. Di questi il 38% sono rettili. Quanti sono i rettili? ........................................

2. Su 120 fringuelli 80 sono femmine. Qual è la percentuale di fringuelli femmine? ........................................

3. Nel mare intorno all’isola ci sono 48 squali. Gli squali rappresentano il 16% del totale dei pesci. Quanti sono i pesci in tutto? ........................................

4. Sull’isola ci sono 560 specie di piante e tra esse 196 sono specifiche del luogo, cioè non esistono in nessuna altra parte del mondo. Qual è la percentuale di piante specifiche del luogo? ........................................

5. Il 18% degli uccelli che vengono a nidificare sull’isola sono albatros. Ce ne sono 150. Quanti sono gli uccelli che nidificano sull’isola? ........................................

6. Sull’isola ci sono 96 mammiferi e di essi il 25% sono leoni marini. Quanti sono i leoni marini? ........................................

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A questo punto DARWIN guarda la tartaruga tutto soddisfatto. “Ti ringrazio”, dice, “finalmente sto riuscendo a mettere ordine tra tutte le informazioni che avevo raccolto”. “Ne sono contenta”, risponde la tartaruga. “A questo punto, però, voglio continuare. Ti voglio spiegare gli eventi certi, possibili e impossibili, e il calcolo delle probabilità. Potrebbero essere molto utili per i tuoi studi”.

Eventi certi, possibili e impossibili

Un evento è certo quando si può dire con assoluta certezza che si verificherà. Esempio: che da un cesto di pomodori gialli e rossi delle Galapagos io estragga un pomodoro. Un evento è impossibile quando sicuramente non si verificherà. Esempio: che da un cesto di pomodori gialli e rossi delle Galapagos io estragga un pomodoro verde. Un evento è possibile o casuale o aleatorio quando potrebbe verificarsi ma potrebbe anche non verificarsi. Esempio: che da un cesto di pomodori gialli e rossi delle Galapagos io estragga un pomodoro giallo.

Gli esercizi di DAVIDE … ancora la tartaruga! 1. Scrivi, accanto a ogni evento, se è certo (C), impossibile (I) o possibile (P). a. Domani pioverà. b. Sulle Galapagos sta nevicando. c. Sulle isole Galapagos vivono molti animali. d. Camminando, incontreremo un’iguana. e. Gli albatros vengono a deporre le uova alle Galapagos. f. Per arrivare alle Galapagos non si attraversa il mare.

Il calcolo delle probabilità

Il calcolo delle probabilità viene effettuato solo sugli eventi possibili o casuali e consiste nel dare un valore numerico alla probabilità che un evento si veriﬁchi. Esso è dato dal rapporto tra il numero di casi favorevoli a che un evento si veriﬁchi e il numero di casi possibili. Esempio: la probabilità che tra 10 rettili (5 coccodrilli, 2 serpenti e 3 iguane) sdraiati su uno scoglio io veda prima un’iguana è dato dal rapporto tra 3, che è il numero di iguane (casi favorevoli), e 10, che è il numero totale di 3 . rettili (casi possibili). Quindi la probabilità è 10

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Gli esercizi di DAVIDE … la tartaruga, ancora lei! 1. Calcola la probabilità che in un cestino con 18 pomodori delle Galapagos, di cui 12 rossi e 6 gialli: – estragga un pomodoro giallo: . . . . . . . . . . . . . . – estragga un pomodoro rosso: . . . . . . . . . . . . . . 2. Nel lago che si trova su una delle isole Galapagos, ci sono 48 pesci, di cui 12 rossi, 8 gialli, 7 multicolore, 10 arancioni, 6 viola e 5 blu. Calcola la probabilità di pescare: – un pesce rosso: . . . . . . . . . . . . . . – un pesce giallo: . . . . . . . . . . . . . . – un pesce multicolore: . . . . . . . . . . . . . . – un pesce arancione: . . . . . . . . . . . . . . – un pesce viola: . . . . . . . . . . . . . . – un pesce blu: . . . . . . . . . . . . . . La tartaruga, ormai entusiasmata dalla lezione che sta tenendo, continua a spiegare. “Voglio darti un’ultima dritta”, dice, “perché nei tuoi studi ti capiterà sicuramente di imbatterti in situazioni molto particolari. Voglio spiegarti la compatibilità, l’incompatibilità e la complementarietà degli eventi. Fanne tesoro perché potrà aiutarti a capire molte cose”.

Eventi compatibili, incompatibili e complementari

Nel calcolo delle probabilità, due eventi possono essere compatibili, incompatibili e complementari. Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude la possibilità che si verifichi l’altro, per cui possono verificarsi anche contemporaneamente. Esempio: in un lago con dei pesci di tutti i colori, le probabilità che io peschi un pesce rosso e un pesce femmina sono compatibili perché possono verificarsi entrambi contemporaneamente. Due eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro. Esempio: in un lago con dei pesci di tutti i colori, le probabilità che io peschi un pesce rosso e un pesce viola sono incompatibili perché o si verifica una o si verifica l’altra, quindi l’una esclude l’altra. Due eventi si dicono complementari quando il verificarsi di uno esclude la possibilità che si verifichi l’altro, ma uno dei due deve necessariamente verificarsi. Esempio: in un cestino con dei pomodori rossi e gialli, è impossibile che io prenda un pomodoro rosso e un pomodoro giallo perché il verificarsi di un evento esclude l’altro, ma uno dei due deve per forza verificarsi.

DARWIN è al settimo cielo. Finalmente ha capito come ordinare i suoi appunti e come fare ipotesi. Così continua a ringraziare la tartaruga finché DAVIDE non gli ricorda che devono andare via. 98

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geometria

Il teorema di Pitagora

La misura della gomena Dopo la lezione della tartaruga, DAVIDE e DARWIN ritornano verso la nave. Quando sono quasi arrivati, vedono sul ponte un uomo dall’aria autoritaria che dà ordini ad alcuni marinai che armeggiano con una corda spezzata. “Ti presento il capitano Robert Fitzroy”, dice DARWIN. “Sta combattendo con una gomena spezzata. È un tipo assai pignolo. Che succede capitano?” “Bisogna sostituire la gomena ma io voglio che la barra che tira la vela formi esattamente un angolo retto con l’albero maestro. È un fatto di stile e di bella presenza per la nostra nave e io non transigo. Ma non riusciamo a capire quanto deve essere lunga la gomena”, risponde urlando il capitano. “Angolo retto… ma allora si tratta di un triangolo retBEAGLE tangolo!” esclama DAVIDE. “Per calcolare la misura della gomena, bisogna applicare il teorema di Pitagora!” “Teorema di Pitagora? E di cosa si tratta?” domanda il capitano. DAVIDE è sorpreso dal fatto che il capitano di una nave, per quanto del secolo passato, non conosca il teorema di Pitagora. Per leggere le mappe e calcolare la posizione in mare i capitani devono conoscere bene la geometria. Ma poi pensa: “In un posto dove DARWIN non conosce le percentuali e le testuggini sanno la matematica, può benissimo accadere che il capitano di una nave, per quanto importante, non conosca la geometria”. “La prego di seguirmi in cabina e di spiegarmi chiaramente che cos’è questo teorema di Pitagora. Abbiamo fretta, dobbiamo salpare, e mi sembra di capire che lei abbia la soluzione giusta per mettere le vele al loro posto”. DAVIDE segue il capitano, che lo fa accomodare nella sua cabina. “Dunque, mi dica. Se le serve qualcosa per scrivere e disegnare, ecco la penna e il calamaio. Può usare anche questi fogli”. DAVIDE ha tutto quel che ci vuole adesso. Il capitano gli indirizza un sorriso di incoraggiamento. “Signor capitano, lei sa che cos’è un triangolo?” “Certo figliolo! Che domande!” “Come quindi saprà, ci sono dei triangoli con un angolo retto, ossia un angolo la cui misura è 90°”. “Fin qui tutto bene. La seguo senza difficoltà”. “Questi triangoli si chiamano triangoli rettangoli”. “Ora, capitano, guardi questo triangolo rettangolo. I due lati (A e B) che incontrandosi formano l’angolo retto si chiamano cateti, il più piccolo è il cateto minore, il più grande è il cateto maggiore”. “Bel nome! Se avrò un figlio lo chiamerò cateto, suona bene, molto C marziale. Continui figliolo”. A “Il lato più lungo (C) che unisce, all’opposto dell’angolo retto, gli estremi dei cateti si chiama ipotenusa, ma…” dice DAVIDE anticipando il capitano “se dovesse nascerle una figlia, la prego non la chiami ipotenusa!” “Accolgo volentieri il suo consiglio, ma quando arriviamo al teoreB ma di Pitagora?” 99

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“Ci siamo. Pitagora ha scoperto che se disegniamo un quadrato su ognuno dei tre lati del triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati formati sui cateti è uguale all’area del quadrato formato sull’ipotenusa e che di conseguenza l’area di un quadrato formato su un cateto è uguale all’area del quadrato formato sull’ipotenusa meno l’area del quadrato formato sull’altro cateto. Dato che l’area di un quadrato è uguale al lato del quadrato per se stesso, cioè al lato al quadrato, si può scrivere che:

C2 A2

C2 = A2 + B2 B2 = C2 – A2 A2 = C2 – B2 Per calcolare i valori dei lati A, B e C a partire dalle formule scritte qui sopra basta eseguire la radice quadrata dei risultati ottenuti”.

C = A2 + B2 B = C2 – A2 A = C2 – B2 “Bene, amico, mi è tutto chiaro” esclama il capitano. “Anche per noi è tutto chiaro”. Intorno al tavolo ci sono seduti la testuggine e l’iguana. Sul bordo si sono appena posati due fringuelli. Tra di loro sta, tutto soddisfatto, DARWIN. “Mi pare di capire che adesso viene la parte più bella” dice il lucertolone. “Gli esercizi. Egregi signori”, dicono i due fringuelli in coro. “E io vorrei proporre il primo”, dice DARWIN sorridendo. “Concesso”, risponde il capitano Fitzroy.

100

Settima settimana

Gli esercizi di DAVIDE

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…inventati dalla strana compagnia del Beagle!

1. Esercizio proposto da Darwin – Considerando che l’albero maestro della Beagle è alto 10m e la barra a cui fissare la vela triangolare è lunga 4m, quanto deve essere lunga la gomena che unisce la punta dell’albero alla punta della barra? ........................................

2. Esercizio proposto dal capitano Fitzroy – Io non sarò da meno, caro dottor Darwin. Ecco pronto il mio esercizio. Lo stemma della mia famiglia ha la forma di un triangolo isoscele. I lati uguali di questo triangolo misurano 5cm, mentre la base misura 6cm. Quanto misurano l’altezza e l’area del triangolo? E

........................................

3. Esercizio proposto dalla testuggine – Viaggiando lungo la costa mi è venuto in mente, tempo fa, un problema che penso nessuno di voi B riuscirà a risolvere. Un delfino amiα co mio decise un giorno di usare il mar dei Sargassi come una lavagna e, nuotando sulla sua superficie, tra le alghe grasse di quel mare tiepido, A tracciò la seguente figura. Considerando che gli angoli e misurano 90°, che AB misura 9m e che BD misura 24m, quanto misura AE?

β C

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4. Esercizio dei due fringuelli – Meraviglia! Noi, pur essendo in due, non avremmo sa15m puto pensare di meglio. Ma, lungo le traiettorie percorse nel cielo, anche noi abbiamo visto figure e risolto problemi matematici strani. Eccone uno che ci piacerebbe sot90° toporvi. Un piccolo fringuello molto abile a volare, cerca qualcosa da mangiare sul 12m terreno. Arriva un gabbiano che se lo vuol mangiare, ma lui con un volo diritto e veloce balza sulla cima di un albero. La distanza tra la base dell’albero e il punto in cui il fringuello cercava da mangiare è 12m. Il fringuello ha volato in diagonale da terra fino alla cima dell’albero per 15m. Quanto è alto l’albero?

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101

Settima settimana

| geometria

5. L’esercizio dell’iguana – Non pensiate che, dato che passo tutto il tempo a masticare, non mi vengono mai idee. Io penso, penso tutto il tempo, mastico e penso, e mi è venuto in mente questo problema, si tratta di un problema di anatomia. La mia compagna ha la coda piuttosto breve (nonostante questo difetto è la più incantevole iguana masticatrice di alghe delle Galapagos). Se la stendiamo ben benino su un prato, vista dall’alto appare così. Se uniamo i punti notevoli del suo corpo, vengono fuori due trapezi isosceli con la base maggiore in comune. Sapendo che la distanza tra la spina dorsale e la punta di una zampa è di 4dm, che la distanza tra la punta della testa e la punta di una zampa anteriore è 5dm e che la distanza tra la punta della zampa anteriore destra e la punta della zampa posteriore destra è 6dm, ditemi quanto è lunga la mia meravigliosa fidanzata.

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6. Secondo esercizio di Darwin – Non sapevo che le iguane provassero dei sentimenti; è una piacevole scoperta e voglio dedicare a tutti i lucertoloni romantici della Terra il seguente problema. Il foglio sul quale ho disegnato il miglior ritratto dell’iguana delle Galapagos ha la forma di un aquilone perfettamente simmetrico. Il suo asse maggiore AC misura 19cm, il suo asse minore BD misura 16cm; i suoi lati minori AB e DA, invece, misurano 10cm. Calcolate il perimetro del foglio del mio taccuino.

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C 102

Settima settimana

scienze

L’evoluzione della specie

Siamo tutti parenti C’è un gran silenzio. Tutti sono impegnati a risolvere l’ultimo esercizio. Diversi minuti trascorrono senza che nessuno pronunci una frase. La prima a rompere il silenzio è la testuggine: “Bene, adesso è arrivato il momento di mostrare l’ultima cosa a DAVIDE”. Poi, rivolgendosi ai presenti: “Sapete di cosa sto parlando, vero?”. Tutti annuiscono. “Allora al mio via: ALBERO GENEALOGICO”. DAVIDE strabuzza gli occhi. Saranno mica usciti fuori di senno?! “Via!” urla la testuggine. Segue un gran putiferio. Bestie di ogni tipo cominciano a venir fuori da sotto il tavolo, a entrare dalle finestre: uccelli, anfibi, pesci che si muovono disinvolti usando le pinne per spostarsi sul pavimento. C’è un esemplare per ogni specie. È un convegno di animali allegro e caotico. “Formazione!” urla la testuggine. A quell’ordine i pesci formano una fila dalla quale parte un’altra fila formata da rane, salamandre e da tutti gli anfibi presenti.

“Questo” dice la testuggine “è il tronco da cui veniamo tutti noi. I pesci sono i nostri antenati comuni”. A questo punto DARWIN chiede di poter prendere la parola. Gli animali presenti si fanno tutti da parte. Solo i pesci e gli anfibi continuano a mantenere la formazione. “Sembra” comincia DARWIN “che circa 350 milioni di anni fa, in seguito a un lunghissimo processo di evoluzioni e trasformazioni, il primo vertebrato terrestre (ichthyostega) cominciò a muoversi sulla superficie uscendo dalle acque. Era molto simile a un pesce, ma era capace di muoversi sul suolo. Aveva sviluppato dei rudimentali polmoni che gli permettevano di respirare e di assorbire l’ossigeno necessario”. Proprio in quel momento appare uno strano animale strisciante, una via di mezzo tra un pesce e una rana. “Buon giorno” dice la strana creatura entrando dalla porta. “Mi avete chiamato? Sono l’ichthyostega”. “Benvenuto nonno” lo saluta cordiale il fringuello. “Beh, il resto sembra che sia andato in questo modo…” questa volta a prendere parola è l’iguana. “Tutti noi rettili siamo pronipoti degli anfibi che sono pronipoti dei pesci”. 103

Settima settimana

| scienze

In un improvviso brulicare di serpenti, lucertole, iguane, tartarughe, prende forma un nuovo ramo che parte dal ceppo degli anfibi. “E tutti noi uccelli” fischietta il fringuello delle Galapagos “siamo pronipoti dei rettili che sono pronipoti degli anfibi che sono pronipoti dei pesci”. E in uno svolazzare di piume, gli uccelli si sistemano a formare un altro ramo che parte dal ceppo dei rettili. “Mentre tutti noi mammiferi” dice DARWIN “siamo pronipoti dei rettili che sono pronipoti degli anfibi che sono pronipoti dei pesci”. E in un saltellare, camminare, zampettare: cani, topi, gatti, esseri umani si sistemano a formare un ultimo ramo che parte sempre dal tronco dei rettili. DAVIDE guarda al colmo della meraviglia la sarabanda ordinatissima di bestie venute non si sa bene da dove. “Ma, ma prima ancora cosa c’era?” domanda. “È una storia lunghissima, ma sembra” risponde DARWIN sorridendo “che il nostro primo comune antenato fosse una specie di piccola cellula che divorava anidride carbonica e sputava fuori ossigeno, una specie di pianta microscopica”. “Allora anche le piante sono nostre parenti?” domanda DAVIDE. “Pare proprio di sì”. A parlare questa volta è una piccola pianta grassa sistemata in un vasetto in mezzo al tavolo. “Io e te siamo, come dire, cugini looontaniiissimiiiiiiiiii…”. Una risata, formata dai versi di centinaia di animali scuote l’aria improvvisamente. Ma ad un gesto compunto della testuggine tutti tacciono improvvisamente: “Lasciamo finire il maestro” dice indicando DARWIN, che prende per l’ultima volta la parola. “Cercando di ricostruire la storia che dalle prime creature monocellulari porta alla comparsa degli animali e delle piante, gli scienziati sono arrivati a ipotizzare che lo sviluppo di queste forme di vita, a partire da quelle iniziali, sia stato casuale. Sì è trattato, cioè, di una possibilità tra le tante, che per l’attuarsi di una serie di fattori ha dato forma al regno dei viventi così come lo conosciamo. È a partire da questa ricostruzione che appare probabile l’origine comune dai pesci di tutti i vertebrati. Una delle prove a favore di questa teoria viene dal paragone degli embrioni dei pesci con quelli dei mammiferi (compresi gli umani), dei rettili e degli anfibi i quali, nella fase iniziale dello sviluppo, appaiono molto simili e tutti dotati di branchie (che nel caso degli anfibi, dei rettili e dei mammiferi scompaiono in una fase successiva dello sviluppo). A queste parole tutti i presenti si alzano all’improvviso dal tavolo e, correndo come degli ossessi, in modo disordinato, urlando di gioia e ridendo, si lanciano verso l’esterno. Giunti sul ponte, alcuni volano via, altri si tuffano in acqua. DAVIDE li segue divertito e si tuffa anche lui in mare. Quando ritorna in superficie, però, ritrova la barca a vela del suo vicino di casa… “Arrivederci Signor DARWIN…” pensa mentre risale sulla barca. 104

Settima settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE è di nuovo a casa sua. Anche questo viaggio è terminato, e un’altra settimana sta per concludersi. Come sempre, i suoi genitori attendono i giochi e gli enigmi per i quali è diventato famoso!

Quanti gabbiani in volo Nel cielo vola uno stormo di gabbiani. Ogni metro c’è una fila di uccelli. Lo stormo è lungo 9m. Nella terza fila ci sono 5 gabbiani, nella prima 1 gabbiano, nella settima 13 gabbiani, nella quinta ce ne sono 9. Di quanti gabbiani è formato lo stormo? Considera che i gabbiani si sono disposti per file rispettando un ordine numerico.

Tanta fame e poche alghe Due lucertoloni delle Galapagos mangiano alghe alla velocità rispettivamente di 35kg ogni ora e 25kg ogni ora. I due lucertoloni cominciano a mangiare ciò che trovano sulla spiaggia. Sulla riva sono arenati 600kg di alghe. Ogni ora la corrente ne trascina a riva altri 30kg. In quanto tempo i due voraci rettili si troveranno ad avere cibo insufficiente a soddisfare il proprio appetito?

Una spiaggia affollata Se una testuggine residente in una spiaggia delle Galapagos mette al mondo due testuggini ogni dieci anni che a loro volta mettono al mondo ciascuna due testuggini ogni dieci anni, che a loro volta mettono al mondo ciascuna due testuggini ogni dieci anni e cosi via, dopo quanti anni avremo sulla spiaggia più di 250 testuggini?

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na a m i t t e s a Ottav

. . . i d a t r Alla scope

, o s r e v i L'un gli uomini gli dei,

“TIRESIA, sebbene fosse cieco, era un indovino capace di intravedere il futuro di una persona nei segni minimi della natura, in un suono, in un odore sfuggente, in un incontro casuale. Ulisse lo raggiunse negli inferi per sapere qual era il destino che lo attendeva”. DAVIDE sta leggendo un libro sugli eroi e gli dei greci dal titolo L’universo, gli dei, gli uomini, scritto da un grande studioso francese, Jean-Pierre Vernant, per i suoi nipoti. È un libro bellissimo e la figura di TIRESIA, di quest’uomo capace di predire il futuro, lo affascina molto. Per questo, non vede l’ora di partire per la gita che hanno organizzato i suoi genitori. “Domani mattina si va a visitare l’antro della Sibilla Cumana”, gli aveva detto la madre la sera prima. “Vedrete, vi piacerà. È una galleria che si trova nella città di Cuma, non lontano da Napoli, all’interno della quale, nell’antichità, era possibile rivolgersi a uno dei più importanti oracoli del mondo greco: la Sibilla, appunto. Almeno così dice la leggenda”. Già! DAVIDE ha letto nel suo libro che ci si rivolgeva agli oracoli prima di accingersi a imprese pericolose (viaggi, guerre, esplorazioni). Così aveva fatto Ulisse con TIRESIA! Sono giunti finalmente all’ingresso del sito archeologico. “Vedrete, una volta entrati vi sembrerà di sentire la voce della Sibilla in persona…” dice la madre di DAVIDE. Una volta dentro si trovano davanti a una galleria illuminata da feritoie che si aprono sul lato destro. Il fondo è scuro e misterioso. È lì che alloggiava la Sibilla. DAVIDE affretta il passo. Non aspetta i suoi, che invece si godono placidamente il fresco della caverna che li protegge dai raggi impietosi del sole estivo. Corre, corre infondo, la luce si fa sempre più fioca, inciampa in una protuberanza del terreno, cade a terra. Non si è fatto niente, si rialza, ma introno a lui è buio, un buio avvolto da strani vapori. Intuisce forme bianche che si muovono lente e maestose nello spazio intorno. Sente una voce gentile che gli sussurra: “Entra, fratello, nei labirinti del destino. Un’inflessione della tua voce mi dirà quale sarà il tuo futuro, se fortunato o tragico”. Poi si ferma improvvisamente. “Ah! Ma tu sei DAVIDE. Me l’avevano detto che saresti venuto”. Immediatamente le luci intorno si fanno più nette. Il proprietario della voce si mostra. È un uomo anziano, evidentemente cieco, ma si muove in quello spazio ristretto come se ci vedesse benissimo. 106

“Sono TIRESIA, il famoso indovino greco. La Sibilla mi ha chiesto di sostituirla perché doveva partecipare a un corso di statistica. Dice che dobbiamo diventare più bravi di quanto siamo, e che per avere più probabilità di indovinare il futuro, dobbiamo studiare proprio questa cosa qui, la statistica (che per la verità in qualche modo già usiamo). Ma vedrai… la Sibilla ci raggiungerà tra poco”. Poi, rivolgendosi alle pareti di pietra, dice: “Aprite i portoni”. Le mura vibrano e si mettono in movimento, come le ante di un gigantesco portale. Si apre una galleria arredata in un misto stravagante di classico e moderno. Tavoli con schermi touchscreen si alternano a statue della dea Atena, monitor di computer incassati lungo le pareti fanno mostra di sé accostati a splendidi mosaici in stile cretese. Uomini e donne dell’antica Grecia maneggiano con disinvoltura i mouse e si connettono a Internet.

Autore: Jean-Pierre Vernant (1914-2007) Titolo: L’universo, gli dei, gli uomini (L’univers, les dieux, les hommes) Anno di pubblicazione: 2000 Trama: “C’era una volta… era il titolo che inizialmente volevo dare a questo libro. Poi, ho scelto di sostituirgliene uno più esplicito. Eppure, non posso fare a meno di evocare il ricordo di cui il primo titolo era l’eco e che sta all’origine dei racconti che seguiranno. Un quarto di secolo fa, quando mio nipote era piccolo e trascorreva le sue vacanze con mia moglie e con me, si era stabilita tra noi una regola tanto tassativa quanto il lavarsi e il mangiare. Ogni sera, all’ora in cui Julien andava a dormire, lo sentivo chiamarmi dalla sua camera, spesso con una certa impazienza: – Jipé, la storia, la storia! – Andavo a sedermi vicino a lui e gli raccontavo una leggenda greca” (dalla Premessa).

TIRESIA spiega: “Per profetizzare in modo credibile, abbiamo bisogno di gestire una grande quantità di informazioni. Per fortuna sappiamo in anticipo chi viene a farci visita, quindi abbiamo il tempo di prendere più informazioni possibili su di lui. I computer e Internet ci aiutano moltissimo. Noi Greci li avevamo inventati già molto prima di voi, ma ci eravamo guardati bene dal dirlo!” A un tratto si fa spazio, nella lunga galleria dei computer, una figura che compare dal nulla avvolta in un ennesimo sbuffo di vapore. TIRESIA commenta: “È la Sibilla in persona. Le piace essere un po’ teatrale, ma la sua è vera magia, te lo assicuro”. La figura appena comparsa è una donna coperta di abiti variopinti, piena di anelli e collane, dai capelli neri e fluenti e con due occhi scuri che trapassano chiunque guardi. Si avvicina dicendo: “Dunque sei arrivato, DAVIDE”. Dietro di lei affiora un altro personaggio, vestito in modo molto distinto, un uomo dei tempi di DAVIDE, che si presenta: “Piacere sono Vernant, l’autore del libro che lei sta leggendo. La Sibilla mi ha concesso l’onore di condividere questa visita”. “Prego, accomodatevi” dice la Sibilla. “Gradite del nettare degli dei o della semplice acqua?” “Acqua, prego” dice DAVIDE. 107

Ottava settimana

aritmetica

La statistica

Predire il futuro? Ora DAVIDE è nell’ufficio della Sibilla assieme alla Sibilla, TIRESIA e Vernant. Attorno a loro ci sono numerose statue greche. La padrona di casa è comodamente seduta su una poltrona anatomica e ha davanti a sé un computer di ultima generazione. “Grazie alle nuove tecnologie – comincia la Sibilla – siamo riusciti a migliorare le nostre profezie in maniera insperata”. Poi si ferma e con uno sguardo complice aggiunge: “Comunque, per dirla tutta, si tratta ben poco di magia. Noi cerchiamo di indovinare, questo sì. Ma per farlo ci basiamo sui dati che i nostri informatori raccolgono. Ormai ne abbiamo di infiniti sparsi per il mondo con i loro tablet, pronti a inviarci informazioni anche apparentemente senza significato, su come procede la guerra a Troia, su cosa sta facendo in questo momento Elettra, su dove sia esattamente Ulisse ecc. Affinché le nostre profezie possano risultare credibili, abbiamo bisogno di molte informazioni, e nemmeno quando ne abbiamo tantissime siamo sicuri di dire le cose giuste.

Ma adesso vi spiegheremo come si fa. Sapete, ho appena terminato un corso… dicono che sono la più brava. E ci credo! Ce ne vuole a portare avanti e a far funzionare un’agenzia investigativa con tremila dipendenti sparsi per tutto il pianeta. Mica si tratta di una cosa da niente!” Vernant non crede alle proprie orecchie. Tutto il romanticismo dei miti greci e il mistero delle sibille ridotto a un ufficio ad alto contenuto tecnologico e a una rete di informatori. “Nel mondo non c’è più magia”, dice tristemente. “Non si rattristi, mio caro. Vedrà, anche la statistica ha il suo fascino!” “È vero!” afferma DAVIDE. “Ricordo di averla studiata a scuola. È una materia veramente affascinante. È una scienza che studia la collettività sia quantitativamente che qualitativamente, e quindi si occupa di fenomeni di grandi dimensioni”. “Già” annuisce la Sibilla. “Ma partiamo dall’inizio. Cominciamo a chiarire quali sono le fasi che caratterizzano un’indagine statistica”. 108

Ottava settimana

| aritmetica

Le fasi di un’indagine statistica

Un’indagine statistica prevede le seguenti fasi: – la raccolta dei dati, per la quale si scelgono la quantità e il tipo di campione che si vuole analizzare, e durante la quale si intervista il campione e si trascrivono i dati nell’ordine secondo cui vengono raccolti; – la trascrizione e l’organizzazione dei dati, per le quali in genere si utilizza una tabella a doppia entrata nella quale vengono riportati i dati in maniera ordinata, in modo che risultino immediatamente leggibili; – l’elaborazione e l’interpretazione dei dati, in virtù delle quali ogni dato va tradotto in percentuale in modo da poter confrontare e interpretare i vari dati. “A questo punto che ne dite di provare con un’indagine statistica?” domanda la Sibilla. “Beh”, interviene interrogativo Vernant, “ma per farla avremmo bisogno di un certo numero di persone da intervistare… insomma di un campione…”. “Mi meraviglio di lei, signor Vernant”, lo interrompe la Sibilla, “al giorno d’oggi basta una mail! DAVIVE, non avresti un amico a cui inviare una mail e al quale chiedere di fare l’indagine al posto nostro?” “Certo!” risponde DAVIDE entusiasta.

Gli esercizi di DAVIDE … in realtà della Sibilla e inviati via mail! 1. Fai un’indagine tra i tuoi amici chiedendo qual è il loro genere di musica preferito, poi completa. a. Scrivi la quantità del campione (cioè il numero di persone che hai intervistato): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Trascrivi i dati riportando le risposte dei tuoi amici nell’ordine con cui le hai ricevute: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

c. Trascrivi i diversi generi musicali nominati nell’intervista:

...............................................................

............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

d. Organizza i dati nella seguente tabella a doppia entrata scrivendo nella prima colonna i vari generi musicali e nella seconda colonna il numero di ragazzi che ha scelto ciascun genere.

Genere musicale

Numero ragazzi

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Ottava settimana

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d. Elabora i dati, calcolando la percentuale per ogni genere musicale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................

e. Interpreta i dati rispondendo alle seguenti domande: Qual è il genere musicale preferito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qual è il genere musicale meno preferito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ci sono generi musicali che hanno avuto la stessa percentuale di preferenze? . . . . . . . . . . . Se sì, quali sono? .............................................................................................................................................

TIRESIA legge con stupore i nomi di tutti quei generi musicali. Alcuni gli sono del tutto sconosciuti! Forse è rimasto un po’ indietro… forse dovrebbe aggiornarsi in fatto di gusti musicali! La Sibilla, intanto ha ripreso a parlare: “Fatemi continuare, non ho ancora finito. Gli statistici spesso, per organizzare i dati, e soprattutto per renderli immediatamente comprensibili a chi legge l’indagine, utilizzano vari tipi di grafici. State un po’ a vedere quanti ce ne sono!”

La rappresentazione grafica dei dati

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Istogramma

Ortogramma

Utilizza rettangoli afﬁancati disposti verticalmente

Utilizza rettangoli separati disposti orizzontalmente

Aerogramma

Diagramma cartesiano

I dati vengono inseriti in un cerchio in maniera proporzionale alla loro frequenza percentuale

È un graﬁco su assi cartesiani in cui i dati vengono inseriti come punti e uniti da una linea spezzata

Ottava settimana

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“Allora, vediamo se avete capito” dice la Sibilla. “Proviamo con qualche esercizio”.

Gli esercizi di DAVIDE … ma sempre della Sibilla! 1. Rappresenta i dati dell’indagine precedente sull’istogramma.

2. Rappresenta i dati dell’indagine precedente sul diagramma cartesiano.

3. Rappresenta i dati dell’indagine precedente sull’aerogramma.

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Ottava settimana

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“Avevate ragione” dice Vernant. “La statistica è davvero entusiasmante, e con tutti questi grafici e queste trasformazioni di dati in tabelle in realtà sembra quasi magica!” “È vero” dice DAVIDE. “E non avete ancora scoperto tutto”, aggiunge la Sibilla. “Aspettate che vi parli degli indici di posizione… e poi mi direte!”

Gli indici di posizione

Gli indici di posizione sono un altro tipo di elaborazione dei dati. Ne esistono quattro tipi: la media aritmetica semplice, la media ponderata, la moda e la mediana. La media aritmetica semplice è quel valore che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo il risultato per il numero dei dati stessi. Esempio: da un’indagine su 20 ragazzi su quante bibite gassate consumino in una settimana è emerso che: − 1 ragazzo ne beve 6 − 4 ragazzi ne bevono 5 − 7 ragazzi ne bevono 3 − 5 ragazzi ne bevono 2 − 3 ragazzi ne bevono 1 Per ottenere la media aritmetica semplice bisogna prima sommare le quantità di bibite bevute da tutti i ragazzi e poi dividere per il numero di ragazzi: 6 + 5 +5 + 5 +5 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 60 : 20 = 3 La media di bibite bevuta dai ragazzi è di 3 bibite. La media ponderata è quel valore che indica la frequenza con la quale si ripete un dato. Esempio: riprendendo l’esempio precedente, per calcolare la media ponderata relativa a ogni quantità settimanale di bibite consumate bisogna moltiplicare il numero di bibite per il numero di ragazzi che bevono quella quantità e poi dividere per il totale di bibite bevute. Quindi: 1×6 6 1 La media ponderata (Mp) di ragazzi che bevono 6 bibite è: = = 60 60 10 4×5 20 1 La Mp dei ragazzi che bevono 5 bibite è: = = 60 60 3 7×3 21 7 La Mp dei ragazzi che bevono 3 bibite è: = = 60 60 20 5×2 10 1 La Mp dei ragazzi che bevono 2 bibite è: = = 60 60 6 3×1 3 1 La Mp dei ragazzi che bevono 1 bibita è: = = 60 60 20 La moda è il dato che si presenta con maggior frequenza. Esempio: nell’esempio precedente la moda è di 3 bibite alla settimana, perché è quello scelto dal maggior numero di ragazzi. La mediana è quel valore (o quei valori) che occupa il posto centrale quando i dati sono disposti in ordine crescente o decrescente. Esempio: riprendendo l’esempio precedente riscriviamo i dati in ordine decrescente: 6 + 5 +5 + 5 +5 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 La mediana è 3 bibite alla settimana.

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Ottava settimana

| aritmetica

Quando la Sibilla finisce la lezione, DAVIDE si accorge che Vernant la guarda con occhi sbarrati. Ma l’indovina non perde un secondo e comincia subito con gli esercizi.

Gli esercizi di DAVIDE … ancora della Sibilla! 1. Elabora i dati dell’indagine precedente utilizzando la media aritmetica semplice.

2. Elabora i dati dell’indagine precedente utilizzando la media ponderata.

3. Elabora i dati dell’indagine precedente utilizzando la moda.

4. Elabora i dati dell’indagine precedente utilizzando la mediana.

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Ottava settimana

geometria

Le similitudini

Un modello... da seguire “Una delle cose che ci aiuta di più nel prevedere il futuro – riprende TIRESIA – sono le simulazioni con i modellini”. “I modellini?” chiede DAVIDE pensando di non aver sentito bene. “Sì, certo. Oltre che gli inventori del computer, siamo anche gli inventori della robotica. Quello che facciamo non è altro che riprodurre in piccolo gli ambienti e i personaggi. Osservate”. Sotto le grandi volte della grotta, nello spazio sconfinato, si visualizza la ricostruzione miniaturizzata della città di Atene. Per le strade si muovono anche piccoli esseri umani in tutto somiglianti a quelli veri.

DAVIDE e Vernant sono incantati dalla perfezione delle ricostruzioni. “Ma come avete fatto?” domanda esterrefatto Vernant. “Siamo esperti di modellismo, ma siamo anche esperti in geometria. Del resto le regole delle similitudine le abbiamo scoperte noi, a cominciare dai triangoli, continuando con la scultura e… finendo con la robotica.” Proprio in quel momento, un uomo molto anziano, ma dallo sguardo vivo e intelligente, si avvicina. “Lui è Euclide, lavora ancora con noi da millenni ormai e se volete può aiutarvi a ripassare proprio le similitudini”. DAVIDE e Vernant fanno cenno di sì con la testa. “Accomodatevi, prego” dice Euclide. “Cominciamo subito la lezione”. Dall’alto vien giù un grande schermo fluorescente. DAVIDE e Vernant lo guardano come ipnotizzati. “È un arrivo recente, una LIM”, dice Euclide. “Obbedisce alla mia voce, è un gioiello della tecnologia”. “Le due figure che vedete rappresentano lo stesso uomo”, comincia Euclide. “Però, uno è più grande e uno è più piccolo. Le forme sono identiche, ma la grandezza è diversa. Per ottenere questo risultato bisogna rimpicciolire o ingrandire nello stesso modo ogni particolare della figura”.

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Ottava settimana

| geometria

“Se raddoppia la lunghezza delle gambe” continua Euclide “deve raddoppiare anche la lunghezza delle dita, dei capelli, delle braccia ecc. Altrimenti le due figure non sono simili. Se proviamo a raddoppiare solo alcune parti… guardate l’effetto! Ogni similitudine è persa. Quest’uomo non somiglia affatto a quelli visti prima, non è più simile. Ma ora proviamo a disegnare”. Euclide prende squadrette e compassi e comincia a disegnare. E disegna due quadrati, due ottagoni… “Datevi da fare anche voi, se non provate non capite!” Vernant e DAVIDE cominciano a disegnare ottagoni, esagoni, rettangoli. Vernant fa una scoperta: “Due quadrati qualsiasi, di diversa grandezza, sono figure simili e lo stesso vale per due ottagoni regolari”. DAVIDE prova a fare la stessa cosa con dei rettangoli. Ma scopre che in quel caso le proporzioni

devono essere rispettate con precisione e che tutto non avviene in modo automatico come quando si lavora con le figure regolari.

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Ottava settimana

| geometria

Euclide interviene: “Per ottenere da una figura geometrica una figura simile, bisogna moltiplicare o dividere per la stessa cifra le dimensioni di tutti i lati e mantenere invariati gli angoli. Guardate bene”. E ricomincia a disegnare su uno dei fogli. “Se abbiamo un triangolo i cui lati misurano 22cm, 18cm e 32cm, moltiplicando tutti i suoi lati per 2 otterremo un figura simile ma più grande. Se invece li dimezziamo o li riduciamo di un terzo otterremo delle figure simili ma più piccole”. DAVIDE, preso da ispirazione, comincia a scrivere guardando le figure: ab : AB = bc : BC = ac : AC

“Ammirevole intelletto tu possiedi fanciullo. Infatti, il rapporto matematico tra i lati di due figure simili è uguale per tutti i lati corrispondenti considerati” commenta Euclide. Poi aggiunge: “Questo vale per le figure piane e per le figure solide. Ma qualsiasi sia il cambiamento delle dimensioni, non dimenticate di lasciare inalterati gli angoli. Altrimenti: addio similitudine! E adesso, per dare forza a ciò che abbiamo studiato, facciamo un po’ di esercizi.

Gli esercizi di DAVIDE … inventati da Euclide! 1. Osserva tutte le figure geometriche rappresentate e collega con delle frecce quelle che tra di loro sono in relazione di similitudine.

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Ottava settimana

| geometria

2. Scrivi per ogni coppia di rettangoli simili, il rapporto di similitudine.

........................................

3. Un rettangolo ha i lati che misurano rispettivamente 20cm e 30cm. Se aumentassimo la lunghezza di tutti e due i lati di 10cm, otterremmo un rettangolo simile? ........................................

4. I due triangoli disegnati di seguito sono simili. Completa la proporzione che lega i lati corrispondenti.

AB : DE = ______ : DF = ______ : EF C

5. E ora un problema concreto. Il tecnico modellista dell’antro della Sibilla deve costruire il modello ridotto di un tempio dedicato a Maia, la madre di Hermes. Il tempio reale ha la facciata trapezoidale la cui base maggiore misura 12m, la base minore di 6m, l’altezza di 4m. Il tempio in miniatura ha la base maggiore che misura 6cm. Calcola ricorrendo al teorema di Pitagora e alle proporzioni: a. il rapporto di similitudine tra i due modellini; b. i lati della facciata del tempio reale; c. tutte le dimensioni della facciata del modellino del tempio. .....................................................................................................................................

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Ottava settimana

| geometria

6. Ora osserva attentamente questa figuA ra: è un triangolo rettangolo. I segmenti BD e DC sull’ipotenusa son chiamati proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Secondo quello che è chiamato “primo teorema di Euclide” (che sarei io): un cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipoB C D tenusa, cioè BC : AB = AB : BD oppure BC : AC = AC : DC. Questo accade perché, se ben guardate, il triangolo ABC è simile al triangolo ABD. Detto questo, sapendo che BC misura 30cm e AB misura 10cm, quanto misura BD? ........................................

7. Torniamo al triangolo rettangolo dell’esercizio precedente. Per le stesse ragioni (ABC è simile ad ABD) avviene, per il “secondo teorema di Euclide”, che: l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, cioè BD : AD = AD : DC. Continuando l’esercizio precedente, e dunque avendo calcolato la misura di BD, calcola la misura di AD, cioè dell’altezza del triangolo relativa all’ipotenusa. ........................................

8. Osserva l’immagine. Esiste un rapporto tra le ombre del bastone e dell’albero e le loro altezze. Infatti, se uniamo con due fili ben tesi la punta dell’albero alla punta della sua ombra e la punta del bastone alla punta della sua ombra, otteniamo due triangoli simili, i cui lati corrispondenti sono legati da un preciso rapporto di similitudine. Ora: considerando che l’ombra del bastone misura 2m, che il bastone misura 1m e che l’ombra dell’albero misura 6m, quanto è alto l’albero?” ........................................

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Ottava settimana

9. Siano dati due triangoli isosceli simili con le basi lunghe 24 e 16cm. L’altezza del triangolo minore misura 6cm. Trova il rapporto di similitudine, determina l’altezza del triangolo grande e calcola la lunghezza dei lati di tutti e due i triangoli.

| geometria

........................................

10. Osserva con attenzione questi due triangoli. Sono simili?

........................................

“DAVIDE, ecco dov’eri finito!” È la voce di sua madre. “Ma chi sono questi due signori?” “Lui è Euclide” dice DAVIDE indicando il più anziano. “E lui invece è Vernant, l’autore del libro che sto leggendo”. La madre sorride e rivolgendosi ai due uomini dice: “Mio figlio non manca di fantasia. Su dai che dobbiamo tornare a casa”. E rivolgendosi ai due stranieri: “Arrivederci signori”. “Bonsoir madame” risponde il più giovane in francese. L’altro sussurra a bassa voce delle parole incomprensibili che ricordano vagamente il greco.

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Ottava settimana

giochi

Gli enigmi e i giochi di DAVIDE

DAVIDE sta tornando a casa assieme alla sua famiglia. Durante il viaggio, cullato dal dondolio dell’automobile, si addormenta e… comincia a sognare. Sogna di essere in riva a un lago. C’è una donna che sta raccogliendo dell’acqua con un’anfora. La donna si volta a guardarlo. È la Sibilla. “Di nuovo qui? Ci si incontra spesso ultimamente. Ho un ultimo regalo da farti. Tre enigmi che potrai proporre appena sveglio ai tuoi parenti”.

Piccoli quesiti per tenervi svegli 1. 2. 3. 4.

È una strada ma è fatta d’acqua. Quando è in cielo la vedi, quando e in terra non ci vedi. In pieno sole è il lato notturno di ogni cosa. Ti accarezza quando è debole, ti spinge quando è forte. Immagini di giornate a cielo aperto prati, bambini che giocano, la sibilla che guarda e sorride

Tra stelle e triangoli Provate a disegnare queste figure senza mai staccare la penna dal foglio e senza mai ripercorrere una linea già tracciata.

Ingraziarsi le tre grazie Per non inimicarsi le tre grazie, il che potrebbe influenzare molto negativamente il vostro destino, bisogna donare ad ognuna una quantità di mele proporzionali all’età delle loro figlie. Nessuno lo sapeva, ma ogni grazia ha una figlia… Le mele sono in tutto 770. Per ogni 4 mele prese dalla prima figlia, la seconda ne prende 3, e per ogni 6 mele prese dalla prima figlia la terza ne prende 6. Quante mele avrà ognuna delle figlie?

Immagini le tre grazie con le tre ﬁglie e il mucchio di mele Immagine della famiglia di davide in automobile e voltati verso il lettore del libro che salutano e dicono in fumetto, Arrivederci e… in bocca lupo.

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matematica

MI PREPARO PER L’INVALSI

D1.

Mario lancia due dadi e calcola il prodotto dei due numeri. Qual è la probabilità che tale prodotto sia pari? Quale quella che sia dispari? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D2.

Una leva è un’asta rigida che può ruotare intorno ad un punto detto fulcro. In due diversi punti della leva si applicano due forze: la resistenza R, che è la forza da vincere, e la potenza P, che è la forza applicata per vincere la resistenza. Si chiama braccio della resistenza bR la distanza tra il punto in cui è applicata la resistenza e il fulcro. Si chiama braccio della potenza bP la distanza tra il punto in cui è applicata la potenza e il fulcro. La leva è in equilibrio se il prodotto della potenza per il suo braccio è uguale al prodotto della resistenza per il suo braccio. a. Fai qualche esempio di leva. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Esprimi la condizione di equilibrio di una leva sotto forma di proporzione. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D3.

Fra quale coppia di numeri naturali è compreso il numero A. 70 e 80 B. 71 e 72 C. 7e8 D. 8e9

D4.

Osserva la scala disegnata nella figura. Trova la profondità e l’altezza di ciascun gradino. Scrivi i calcoli che hai fatto per arrivare al risultato.

73 ?

2m 30°

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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MI PREPARO PER L’INVALSI D5.

Luigi esce di casa per fare jogging. Corre per 40 minuti. Quindi si ferma per dissetarsi e riposare su una panchina per 10 minuti. Riprende a correre e, rifacendo lo stesso percorso dell’andata, torna a casa in 30 minuti. Quale dei grafici che seguono è adatto a rappresentare la relazione tra la posizione di Luigi rispetto alla sua casa e il tempo? I

t I

C. t I

D. t

Che cosa puoi dire sulla velocità di Luigi nel percorso di ritorno? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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MI PREPARO PER L’INVALSI D6.

Il teorema di Pitagora vale anche se ai quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa sostituiamo triangoli equilateri. Verifica questa affermazione nel caso di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 6 dm e 8 dm. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D7.

Il computer di Michele ha una connessione alla rete che gli permette di scaricare a una velocità di 400 KB al secondo. Quanto tempo impiegherà per scaricare un file di 320 MB? Esprimi il risultato in secondi e minuti. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D8.

La differenza dei perimetri di due poligoni simili è 42 cm. Sapendo che due lati corrispondenti misurano rispettivamente 12 cm e 36 cm, determina il perimetro di ciascun poligono. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D9.

Il rapporto tra i perimetri di due esagoni simili è 2 : 3. Qual è il rapporto tra le loro aree? A. 2:3 B. 12 : 18 C. 4:9 D. 3:2

D10.

Il seguente grafo ad albero è la scomposizione del numero … 18 2

5 2

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D11.

In figura è rappresentato un quadrato da cui è stato tolto un quadrato più piccolo. Quale delle seguenti formule rappresenta l’area della figura ottenuta? A. a2 – b2 B. b2 – a2 C. (a – b)2 D. (b – a)2

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MI PREPARO PER L’INVALSI D12.

Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa AB misura 5 cm e il cateto AC 4 cm. Calcola la misura del cateto corrispondente a CB in un triangolo rettangolo simile al primo la cui area è 9 volte maggiore di quella di ABC. Scrivi i calcoli che hai effettuato per arrivare al risultato.

4 cm

5 cm

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D13.

Nel campionato italiano di serie A vi sono 600 calciatori. La percentuale di calciatori italiani è del 48%. Quanti calciatori stranieri dovrebbero essere sostituiti da calciatori italiani per portare la percentuale dei calciatori italiani al 60%? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D14.

Michele conserva 10 biglie nere e 6 biglie bianche nella scatola A e 4 biglie nere e 6 biglie bianche nella scatola B. Completa correttamente la seguente affermazione inserendo una delle seguenti parole: MAGGIORE MINORE UGUALE La probabilità di estrarre una biglia bianca dalla scatola A è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . della probabilità di estrarre una biglia bianca dalla scatola B. Michele aggiunge alla scatola A altre 4 biglie bianche. Quante biglie bianche dovrà togliere dalla scatola B affinché la probabilità di estrarre una biglia bianca sia la stessa per entrambe le scatole? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D15.

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Se n è un numero naturale, allora il numero n(2n + 1) è: A. un numero pari. B. un numero dispari. C. pari se n è pari. D. dispari se n è pari.

MI PREPARO PER L’INVALSI D16.

Una casa automobilistica produce 420 automobili in 10 ore. Quante ne produce in 20 minuti? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D17.

La figura F' è stata ottenuta da F con una simmetria assiale di asse r. Disegna la retta r. Avresti potuto ottenere la figura F' applicando ad F un’altra trasformazione geometrica del piano. Qual è questa trasformazione? Quali sono le sue caratteristiche? B

F C!C' A

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D18.

Applica al triangolo disegnato in figura la traslazione indicata. Poi ruotalo di 90° in verso antiorario intorno al vertice A.

v! A

Avresti ottenuto la stessa figura facendo prima la rotazione e poi la traslazione? Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

MI PREPARO PER L’INVALSI D19.

Calcola l’area della bandiera rappresentata in figura.

5,22

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D20.

Su una scala 1:10000 la distanza tra due città è di 25 cm. Calcolare la loro distanza su una carta 1:25000. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D21.

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Vero a.

Il prodotto di 50 per la radice quadrata di 9 è 450.

Il prodotto tra 2 e 2 è 8

La somma di 5 e 2 è 7 .

Aggiungendo alla radice quadrata di 16 la radice quadrata di 9 si ottiene 5.

Falso

D22.

La base di un triangolo isoscele misura 8 cm. I lati obliqui di un secondo triangolo isoscele simile al primo misurano 3 cm. Sapendo che il perimetro del primo è 16 cm, calcola il perimetro del secondo. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D23.

Al triangolo rettangolo rappresentato nella figura si applica un ribaltamento rispetto alla retta cui appartiene il cateto AB. Alla figura così ottenuta si applica un ribaltamento rispetto alla retta cui appartiene il cateto AC. Quale poligono si ottiene in seguito a queste due trasformazioni?

126

MI PREPARO PER L’INVALSI A. B. C. D. D24.

D25.

Un quadrato. Un triangolo rettangolo. Un rombo. Un esagono.

Indichiamo con n l’età di Michele. Abbina ciascuna frase all’espressione corrispondente. 1. Mario ha 3 anni meno di Michele

a. n

2. Anna ha il doppio dell’età di Mario

b. 2 n – 15

3. Luigi ha 4 anni più di Michele

c. 2 (n – 7)

4. Roberta ha 8 anni meno di Anna

d. n – 3

5. Ilaria ha 1 anno meno di Roberta

e. n + 4

6. Antonio ha la stessa età di Michele

f. 2 (n – 3)

Anna, Mario e Luigi lanciano una moneta. Utilizzando un grafo ad albero, calcola la probabilità di ottenere un numero di teste maggiore del numero di croci.

Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D26.

Federica ha un nastro di stoffa lungo 27 metri. Deve tagliarlo in tre parti le cui lunghezze stanno in rapporto 2 : 3 : 4. Calcola le lunghezze di ciascuna parte. Risposta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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MI PREPARO PER L’INVALSI D27.

Un palo della luce è sostenuto da due cavi d’acciaio come rappresentato in figura. Se indichiamo con h l’altezza del palo, quali delle seguenti diseguaglianze sono vere e quali false?

Vero

D28.

h>8m

h<6m

6m<h<8m

h<8m

Falso

Una tavola da surf è lunga 2,30 m. Può essere trasportata nel vano bagagliaio di un SUV largo 1,80 m e alto 1,63 m? Scrivi i calcoli che ti hanno portato alla tua conclusione.

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