Compilado de prácticas by Arnold

lnB, Mariana CuadÉ Moreno DPto. Estadíst¡ca

FACULTAD DE MEDICINA

cuRso: EtoEsTAoisTlcA ll

PRACNCA

Eiercicio

Ur(;*".\.

l0 hombres

de una gran ciudad dio para

pl" ü.Ji, i" t". er¡rfa, """r.-, un coeficiente de riesgo de 59ír.-

¿. to¿o. los

t::Tt:l#;¡fr;ffi1f,

habit¿ntes varones de dicha ciudad, c€n

Ejercicio 2) dan una de 9 individuos faüecidos de h¡betculosis' Pars una mu€stra normal la disribución' Suponiendo s oü;d"tá" mdü de 49 años v rma del 95 o"o para la media' trattar timitet ¿e

Las edades

rl morir,

t¡*'

d*"i";;

"ónft"*"

Ejercicio 3) por.est¡dios preüos se'conoce las En una muesira de 35 c¡ballos de carrera enttc¡edos' tipica de 15 tu InJa ¿" 85 puhaimin v la desviación

il'lsacl"* i"i;;;;

,i"o¿o

pulsac/min.

el auíEnto medio verdadero de las Hallar los limites'de confianz¡ del95o/oy ilel 99 %para pulsaciones del corazón.

Ejercicio 4)

de cisto alimento Toma uru Un nutricionist¡ ilses estimar el c¡nteni¡lo viumínico promedio <te vitaminag por cáda 100 q*'"r ir"r*'ár -"";; "oot-¡¿o d" 2 tg' Enconlrar los lim-ites de ":+t;; plir""¡*r 12 mg y q"" sramos €s de "t "ü;ti; o/"Para poblacional' promcdio el Ionfi"ruu del 95 :

Ejercicio 5) de fichas rojas blancas'.Una mu€slt! Una urna contiene una proporción desconocida -y- o/o de cllas eran ro¡as' con reposición indieé que el ?0

;"t

;;#;;0

tul*i¡;-d"

"*, Hallar los límil6 de confianza b urna.

Ss % V

¡i

en 99 oA para la pioporción rarl de fichas rojas

Ejercicio 6) Se

dsea estimar la proporción

que acuden a un c€ntro de

de dicha

dia-beles ¡te un¡ noblación de 200 luibitantes padece mu€slra de 40 persas *e s"b" qte 3 de ellas bt-lit"it"t de confiinza del 95 96 para la proporción

pmonas con

sal;¿ó" o*

enfermedatl.8"";;;t

poblacional.

$L"-; 4)

}n. L

X. ¡Jr.

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iii'1 -?fl

lng. Mariana Cuadra Moreno

FACULTAD DE MEDICINA ^f--.--I ILA LUN)L': D]IJEJ I AUI)

,, II

Dpio. Éstadística

PRACTICA

1. En un programa de salud, muchos participantes miden su progreso mediante el tiempo que les toma correr determinada distancia. Un predictor de este tipo lo constituye la)gsa de rccupcración carciíaco (TRC). Los siguicnics ciatos son iicmpos (minuios y scgunffi), para una caffera de 1,5 millas para hombres en el mes de setiembre.

Los TRCI son los de 40 - 49 años; los TRC2 de 50 - 59 años.

TRC1 Tiempos :12,24- 12,45- 11,04- 11,22- 11,58- 8,34- 11,16- 11,52- 8,28- 12,01I1,03- 12,01- l1,31. TRC2 Tiempos: 14,33- 10,35- 12,51- I1,28- I1,48- 14,05- 10,51- 18,50- 18,11.

Consfiuir un intervalo del95o/o para las diferencias entre las medias de las dos poblaciones.

2. Los tiempos fueron registrados de nuevo en mayo. Para el grupo TRCI en el mismo orden los tiempos fueron: 11,16- 12130- 11,30- 11106 11,28- 8,18- 11,44- 12,02- 8,28ii,55- ii,27- 1i,37y 1i,46. Construir un intervalo del95Yo para las diferencias entre las medias de las dos poblacioneso :^ l^: ..^- .¡^ ¡ELrt/lrrL,rv .. la !^ \¡t;l i^¡ ^^^ ;^ rrr4J\r. lllgJ \¡9 ral ul,r l¡lgJ \1l, ^^+:^-L-^ J

3. Se saca una muesta de 50 alumnos resultando la desviación de los pesos igual a 208 É,rrur¡uD.

¿Entre qué valores estará la desviación típica de la población de alumnos para un nivel de 99 confianza dei 95 ;

iiy

4. Cuatrocientas pacientes de cierto hospital, regresaron a su control en promedio a los 70 días rie aten<iirios por primera vez, siendo la desviación de ia muestra de 6,9 dÍas. Haga una estimación del desvío estándar poblacional. Adoptar un coeficiente de riesgo del l% y del 5o/o.

5. La desviación típica de las tensiones de ruptura de 100 cabfés probados por una empresa era de 180 lb. Hallar los límites de confianza a) 95 % y b) 99 o/o püa la desviación típica de +^;^^ ;^ 9Jv ^^L!^^ uv ^^^ +:-^ It ut J i^tuJ vúllrllD LrPv.

ffir

Pruebas de hiPólesis

zeó$;

cienteeviclenciaparaindicarquelamediadelapoblacirlnesmcnorque95?

pafa que el procedimiento sea sea cl = .10. ¿Qué suposicioneS son necesarias válido?

ó.2.3Unaencuestaen64laboratoriosmédicosrevelóqueelpreciomediocobra-.-¿o de 56'

una desviación estándar por realizar cierta prueba es de sl2 con para indicar que la media de información suficiente ¿Prou..n estos datos la cr ia población es mayor que l0? Sea - '05' 25 expedientes de enfermos crónicos

de 6.2.4 Se hizo un estudio de una muestra atendidoscomopacientesexternos.ElnúmerometJiodeconsultasporpade la muest¡a fue de 2' ¿Es posible tienre fue O. +.s y ia desviación estándar

concluirapartirdeestosdatosquelamediadelapoblaciónesmayorque cuatrovisitasporpaciente?Suponerquelaprobabilidaddecom.eteruneÍTor que se deben cumplir? de tipo I es de .05' ¿Cuáles son los supuestos

estánda¡ fueron 21

y II

mrr,

¡l-

t'it"*u'ffi'É'

poti6iñn-

.t:

que la media de la población es menor que 30?

ii*-*ffie,os Sea

inmunosuprirnidos.Elnúmeromediodeorganismosaisladosposteriormente

(datos codificados) con una desde los tejidos de dichos animales fue de ó.5

viaciónestiínda¡de.6'¿Esposibleconcluirapanirdeestosdatosquelame. supuestos se deben dia de la población ., io"yo' que 6? Sea ct = '05' ¿Que cumplir'?

caliñ-

año tuvo una 6.2.7 Una muestra de 25 eStudiantes de enfermería de primer hacia el paciente actitud su rnedir para prueba una cación media de 77 en moribundo.Ladesviaciónestánda¡delamuestrafuedel0.¿Proporcionan signifievidencia suficiente como para indicar. a un nivel de

esros datos que 80? ¿'Qué supuescación de .05, que la media de la población es menor tos se deben cumPlir'? desea saber si es pOsible

concluir que el consumo nrctlio diario de calorías

delapoblaciónrurllldeunpaísentlesarrolloesdemenosde2000..Una 1985 y una desde 500 individuos piodujo un consumo medio de muesrra viación estándartie

.; l:

.05.

con cierta bacteria y luego 6.2.6 Nueve animales de laboratorio fueron infectados

6.2.8 Sc

como su1etos para un

que se Prestaron 6.2.5 En una muestra de 49 adolescentes interés fue la prueba del dirímet¡o de de variable una -i- esrudio inmunolófico, media dc la muest¡a y la desviación reacción o. tu pi.i a'un antígeno. La

ll0'

Sea ct

05'

6.2.9Un¡encuesradel00hospitalesdetamañosimilarrevclóuncensomedio

de 6'5' tliario cn el servicio,Jc pediaría de 27 con una tjesviación estindrr

/4 .e\

r1\ EJercrcra{ -J . -_/

?61

datos suñciente evidencia para indicar que la media de ¿Proporcionan estos .05. ia población es mayor que 25? Sea a =

6.2.l0Después<leseguirunprograma<.lecapacinciónensupervisióndchospitales hospital obtuvieron una califidurante una semano. io o¿*inirtradores de

-._

caciónmediadeT4enunaprueballevadaacabocomopartecielaevaluafue

estándar de la muestra ción ciel programa de capaciiación. La desviación la poposible.ontlui' a partir de estos datos que la media de de 12.

¿Es

blación.rrnuyorqu"?0?Seao='OS'¿Cuálessonlossupuestosquesede-

hr ' '8"

ben cumPlir?

6.2.llseextrajounamuestraaleatoriadel6informesdeurgenciasdelosarchivos deunserviciodeambulancias.Eltiempomedio(calculadoapartirdelos fue de daros de ru

flru.ri"j

para que las ambulancias llegaran a sus destinos

que la población de tiempos sigue una distribución concluir' en un nivel de '05 de normal con una variantiu d" i' ¿Es posible mayor que l0 minutos? :' es signihcación, que la media de la población

minutos.

S";;;;;

de oxígeno (en ml) duranre la incu6.2.12 Los siguientes datos son los consumos

B-

celulares' bación de una muestra aleatoria de l5 suspensiones

l3'2' I t'2' I4'0' t4'l' l2'? l3'2; l6'0, l2'8' l4'4' l2'9

14.0' 14.1, l4'5,

Il'1.

13.?,

¿Proporcionanestosdatossulrcienteevidencia.aunnivelde.05designifr. a l2 ml? ¿Qué supuestos de que la media de la población no es igual cación, se deben cumPlir?

6.2.13Unamuestraaleatoriade20profesoresuniversitariosaParenlement€Sanos proporcionótossiguientesuulo"tdecapacidadrespiratoria-máxima'¿Es por ll0 liuos porilt" concluir qrie la media máxima de respiración es de minuto? I32.

33,9t' tos, 67, 169' 54' 203' t90'

96.30. l8?' 91.63' 166,34'

ll0'

157'

133

138

Sea ct = .01. ¿Qué supuestos se deben cumplir'? sansuíneas (en mm Hg¡ de 6.2-1,1 Los siguienres datos son las presiones sistólicas

l2pacientessometirloslter:rpiamedicamentosacontralahipenensión: 183. l5?. t7.q, 157, l9'{. 163. l+-1. I

l+' t78' 152' tl8' l58

Pruebas de hipótesis ¿Es posible concluir con base en estos daros que la media de ra pobración es menor que 165? Sea g = .05. ¿eué supuestos se deben cumplir?

6'2' 15 ¿Es posible concluir que la eclad media de defunción por la enfermedad de células falciformes por homocigosis es menor que 30 años.l una muestra de 50 oacientes proporciona las siguientes edades en años.

15.5, 2.0, 45.1, r.7, 27.6, 45.0, 1.0, 66.+, 6.9, 13.5, t.9, 3t.2,

20.7, 30.9,

36.6,

23.7, 4.8,

33.2,

27.t,

.8,

2.0, 9.0,

23.6,

r.l, 18.2, 9.7, 28.t, 18.2 67 .4, 2.5, 61.7 , 6.2. 3 1.7 2.6, 29.7, 13.5, 2.6, t4.4, .9, 7.6, 23.5, 6.3, 40.2 t

3.2, 38.0, 3.5, 21.8,

36.7,

2.4

Sea ü, = .05. ¿eué supuestos deben cumplirse?

6'2.16 Los siguientes daros se refieren a ros niveres de presión in'aocula¡ (en mm

Hg) registrados en una muestra de

r4.5, 12.9, r6.4, 24.2,

14.0,

t2.2,

19.6

individuos de edad avanzada.

16.1, 12.0, 17.s, t4.4, 17.0, t 0.0,

14.1, 12.9, t7.9, r 8.5, 20.8, 16.2,

la cual se extrajo_ra muesra es mayor que l4? sea

se deben

cumplir?

c =.05.

12.0 t

4.9

¿Qué supuestos

6'2'17 suponer que ros.puntajes para el Ie (coeficiente de inrerigencia) de una

po-

biación adurta siguen una disrribuiión aproximadamente normar, con una desviación est¿índa¡ de r5. una muesüa areatoria simpre de ti uautro, pro..denres de esta población riene un Ie medio dc 105. con base en esros daros. ¿es posible concluir que er Ie medio para la pobración es diferente de r00r) La probabilidad de comerer un error de ripo I es de .05.

6'2''18 un equipo de invcstigación se incrina a suponer que ra presión sisrórica sanguínea en una pobración de hombres sigue una distribución aproximadamente nonnar con una desviación estdndar de t6. una rnu"r,.o areatoria

simple de 64 hombres presenró una media de presión sisrórica sanguínea de 133. ¿Proporcionan estos datos sufrciente evidcncia para concruir, con un nivel de -05 de significacion. que ra media dc r:r poüración I

30?

cs ma./rr que

@..* .'l¡*:ll

r.t*..

r -{;i

:Í,#,f¡ '''; :

E is * *' ¡i

Prueba de hipótesis : la diftrencia enlre las medias de dos poblaciones

269

6.2.19 Una muestra alcatoria simple de l6 individuos extraída de una población

adultos proporcionó un peso promedio de 63 kg. Suponer que los pesos de la población siguen una distribución aproximadamente normal con una va¡iancia de 49..,,Proporciona la muestra de datos la suñciente evidencia para concluir quc el peso medio dc la población es menor que 70 kg? La probabilidad de cometer un error de tipo I es de .01.

6.3 PRUEBA

DE HIPÓTESIS: LA DTFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS DE DOS POBLACIONES

La prueba de hipótesis que comprende la diferencia entre las medias de dos poblaciones se utiliza con más flrecuencia pa¡a deterrnina¡ si es razonable o no concluir que las dos son distintas entre sí. En tales casos, se puede formular una u otra de las siguientes hipótesis. :;.

E ''¡l .É

:€:

= .+

t. Ho: lLt 2. Ho: Fr 3. Ho: *t

F.r P..r [r..1

= Q,

> 0, < 0,

H.t: *t

H.t: lLt H..r: l¡r

-lrr*0 -lrr:<0 - F,,.r > 0

¿ 'ii .t-

Sin embargo, es posible probar la hipótesis de que la diferencia es igual que, mayor o igual que o menor o igual que algún valor distinto de cero. Como se hizo en la sección anterior, la prueba de hipótesis que tienen que ver con Ia diferencia entre las medias de dos poblaciones se discute en tres diferentes contextos: l) cuando el muestreo se realiza a parrir de poblaciones con distribución normal y variancias conocidas: 2) cuando el muestreo se efectúa a partir de poblaciones con distribución norrnal y con variancias desconocidas, y 3) cuando el nruestreo se lleva a cabo a parrir de poblaciones que no presentan distribución normal. iVfuestreo a partir de poblaciones con distribución normal: se conocen Ias variancias de las poblaciones Cuando cada una de las dos muesrras aleatorias simples independienres son e,rtraídas de una población que stgue una distribución normal con variancia conocida. la esradística de prueba para probar la hipótesis nula de igualdad de las medias de las poblaciones

(6.3. r

)

-- i +*:;. É'*-

l'{

t¡ Pruebas de hipélesis

?76

del lí4. Estadística tle prueba. Dado que se tienen muestras grandes' el teorema

S. :

pruebamite central permite utilizar la ecuación 6.3.5 como estadística rie es verdadera. nula la hipótesis prueba. Cuando tle la estadística tle Dis,tribución normal esaproximadamente distribución una sigue prueba de la estadística tánda¡.

prueba unilateral con un valor crítico 6.'R:egta de decisión Sea d = .0L Esta es una de z igual a2-33. Se rechaza ff' si z""r"ulad N>2'33' prueba 7 - Cólculo de Ia estadística de

(6800-5450)-o

8. Decisién estadística. Se rechaza Ho Ya que z=

350 89

15.17

15.17 está en

la región de re-

chazo.

9. Conclusión. Estos datos indican que la población que concufre al hospital A

tiene un ingreso medio familiar mayor que el de la población que concufre ai hospiral B. Para esta prueba, p < .0001 ya que 15-t? > 3.89. Cuando se prueba una hipótesis respecto a la diferencia entre las medias de dos poblaciones se puede utilizar la figura 5.4.1 para decidir rápidamente si la estadística de prueba

debeserzot. Algunas veces ni la estadística z ni la estadística f son estadísticas de pn¡eba adecuadas para utilizarlas con los datos disponibles. Cuando esto ocurre, es conveniente el uso de una técnica no paramétrica para probar una hipótesis respecto a la diferencia entre las mediciones de tendencia central de dos poblaciones. La prueba de la mediana y la estadística de prueba de Mann-Whitney, que se estudian en el capítulo I l, se utilizan con mayor frecuencia como alternativa para las-es¡ádísticas ¿ y ¡.

EJERCICIOS En cada uno de los siguientes ejercicios seguir el proccdimiento de los nueve pasos

para la prueba de hipótesis y calcular el valor p para cada prueba. Establecer las suposiciones que sean necesarias para que el proccdimicnto sea váiido. 6.3.1 Setenta pacientes que sufren de epilepsia se dividieron al azar en dos grupos iguales. El grupo A recibió un tratamiento que incluía dosis diarias dc vitamina D. Ei grupo B recibió el Inismo tratamiento con la excepción de quc I este gn¡po se le dio un placcbo en lugar de la vi¡amina D El núrrrero medio de ataques convulsivos observados durante el periodo dc trata¡niento cn los dos grupos de i.o = l5 y io = 24. Li¡; variancias de lls mucstras fucron sl, = $

'.,:i;¡L€€

Ejercicios

s/=

zt I

proporcionan evidencia suñcicnte Para indicar que la para disminuir el número de ataques convulsivos? Sea D es efectiva

12. ¿Estos daros

uití*ino c = .05.

6.3.2 Un epidemiólogo desea comparar doí'vacunas antirrábicas para averiguar si que es posible concluir que existe diferencia en su efectividad. Las Personas gruen dos se dividieron rabia la contra vacunadas sido habían preuiamente grupo I recibió una dosis de refuer¿o de la vacuna del tipo y el

pos. El

una dosis de refuerzo de la vacuna del tipo 2. Las respuestas se registraron dos semanas después. Las medias, desviaanricuerpos áe los y el tamaño de las muest¡as para los dos grupos fueron los est¿indar ciones

lrupo Z iecibió

i\ I

ii l

siguientes:

Sea cr

Grupo

Tamaño de la ¡nueslra

4.5 2.5

2.5 2.0

= .05.

6.3.3 Se regisuaron los valores medios de la velocidad de conducción de un nervio Inoto,

.n l0

rl I

personas internadas en el centro de cont¡ol de envenenamientos

de un hospital metropolitano, con diagnóstico de envenenamiento con permetilmercurio. Se hicieron también determinaciones simiiar€s en 15 las son estándar y desviaciones sonas aparentemente sanas. Las medias siguientes:

lr 1l

ri Ind. Ind.

envenenados

normales

55 63

6 5

para indicar que las medias de ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente diferentes? Sea c¿ = .05. son mues6as por las representadas ias.,poblaciones tienden, en promeenferrnos crónicamente que los niños concluir 6,3.4 ¿Es posible sanos? Se aplicó que niños los mismos en sí confianza menos rener dio, a a ló niños crónien sí mismos conhanza la para estimaf diseñada prueba una camente enfermos y a 2l niños sanos. Los puntajes medios y desviaciones estándar lueron los siguientes:

Niños ent'ermos 92.5 Niños sanos 26.9 Sea cr = .05

4.1 3.2

..i

i r

f::::rl

278

Pruebas de hipótesis

6.3.5 Un investigaelor de enfermerÍa dcsea sabcr si los de

n fc rm

iía

i'i

n i

r, i

le ra

ro y

¿-"

:i'r,ltfi *:1";:::rT:l;:

". enlermería difieren". en cuando " a tu, punia¡., "l ,n.¿¡o, obtenidos en un estudi. de personaridad' una muesrra de 50 graduados de.programas asociados

po A)

una muesrra de 60 gradualu,

cionaron las siguientes

¿. uo.lr.,iir.;;; mediasl desviaciones .r,rnd",

¿;;;;

(gru-

rio.Jo"r_

Muestra

52.s 49.6

A B

Con base en esros datos, ¿qué puede conciuir el invesdgador? Sea c = .05. 6.3.6 una prueba diseñada oara medir las actitudes de ras madres en cuaRro al tra_ bajo de parto y expulsión se_aplicó a ¿"r g*p", ¿" nuevas madres. La muestra I (asistentes) concurrieron a crases ¿e-instruccrón prenatal impanidas en

lti ir

t0.5 I t.2

t-u *u.,Ál i""l.",.,t no asisrieron a dichas :1":::Ti:Tl?"0:"'i,,,0, puntajes o" t* p*.il;:ii[rürl;medias v desviaciones esdndar de los Muestra I

4.75 3.00

I.0 1.5

¿hoporcionan estos datos Ia evidencia suficiente para indicar que ras asisrenres, en promedio, tienen puntajes m¿ís elevado,

qr" i^.our.ntes?

Sea c = .056'3'7 Se midieron ras co¡centraciones de cortisor en dos grupos de muieres al momenro de drr a luz. Al _erupo I se le practicó una operación ces¡irea de urgencia después de inducid-o .i p*". r-"t'ael grupo 2 dieron a luz operación

d.r;;;;. pr,.r.n,.* .i;*j" medianrc lur;r*,;r. Ios niveres medios á.t cie parto conirot fr*""l*'r, g"i.r,.r,

cesárear vía vaginal

esponúnearnenre' Er tamaño ¿" ,v las desviaciones es¡ándar Muestra I

-r35

ti-r5

OJ ¡10

¿Proporcionan esros datos Ia cvidencia suficienre para indicar que exisie una Ias conce ntraciones nre¿ias ¿.t'.".,r", en las dos poblaciones,) !:ff$r*

Ejercicios

'il

6.3.8 Se mi<iieron las concenrrrr.inn¡..

,rviduos. .o,nu",oln,':H:ffi::,'hoJLt

brasros anurares cn ra médura ósea. La a<lultos a<lu I ros no atcohóric alcohólicos os aparen aDarenreme"," reme

ry!I":

en gos muesras d;J ¿icohtilicos

:"t Tul:t

normares.-;,

co¡ 5¡6 de 40 van

ffi

"^:l:::ta,2,colsistió :r" J:6flX toporfirina y ras desviaciones csrándar ¿r r"t ¿* muesrras 50n n

ras siguier

Muestra

340 45

I 2

250 25

¿Es posible concluir con base en estos datos oue

::l

ll; :{;;t;ili;;;; ;; il;,d: ;[

:,T

],:ñn:Tlil$

6.3.9 Un investigador está interesado en saber si los niñn" na¡ir^'...- - ', .on acr¿ois metabor ica,-¿r" v'r"1""il$.:il:;:ff '

__^

'ff: ITT:::.:TI

enfermedad difieren en ro que Árp""ou ras concentra"io*r'ri ru o¡n, cierta susrancia química. r-* .on...nou.ion., m"¿io., y el tamaño de Ia rnueska para *,u ambos grupos son las siguientes:

l.r"r*ür*

Muestra

Con la condición Sin la condición

tQu' -a"

\ 6'J'10

\ .

J3 40

ó.5 4.8

f,.3

/.0,"f

J.b

puede concluir ei investigador con base en estos resurtados? sea c =

varios investigadores

desean saber si es.posible concruir que dos pot

ciones de niños difieren

,.rp..ro u iu ,aoa prorn.Aio

minar por sí soios. Los

(edades en

meses).

la cual Dueden inuesti_ead;;;;;;;; ,;r,;'"lffil; --o-'-l

Muesra en la población A: 9:5," 10.5, s.0"

g.is, ld,s,

13.0,

r0.0, 13.s, í0.0, s.s. lb.o. s.zs

Muesrra de la población B:

12.0, t3.5, t2.0. n.a ¿Qué pueden concluir los investigudores? Sea q = .05.

6.J.11 ¿La privación sensorial tiene :rlgún clecro sobre la frecuencia de las ,¡lñ ¡1.' l^-

onc

-.¿, 'i

Pruebas de hipótesis

Un intervalo de confianza del 95 por ciento para p/ se puede obtener como sigue:

tr, _

at2\s

t 2.2010(6.68) -20.17 + 14.70 -20.t7

-34.97, _5.47

En el análisis de datos por parejas, si se conoce la variancia de la pobla-

.ión d" las diferencias, la eitadistica de prueba

adecuada es

i-t"o o¿/

tñ

(6.4.2)

Es improbable que od se conozca en la práctica. Si no se puede hacer la suposición de que los valores d, siguen una dis-

tribución normal, es posible utilizar el teorema del límite central si n es grande. En tal caso, la estadística de prueba es la ecuación 6.4.2 con.rd empleado para'estimar o, cuando, como es generalmente el caso, se desl conoce esta últimaEl uso de la prueba de comparaciones por parejas no deja de tener sus problemas. si son utilizados diferentes individuos y se les asigna aleatoriamente dos tratamientos, el tratar de formar parejas con los individuos con respecto a una o más variables importantes puede requerir una gran inversión en tiempo y dinero. otra desventaja es la pérdida de grados de libertad. Si no se utilizan observaciones por parejas se tienen 2n -2 grados de libertad disponibles, comparados .on n I cuando se utiliza este procedimiento. . En general, para decidir si se utiliza o no el procedimiento de comparaciones por parejas, se debe tener en cuenta tanto los aspectos económicos como por las ventajas que provee el control de variaciones extrañas. -Si ni ¿ ni f son estadísticas de prueba adecuacras para utilizartas con los datos disponibles, el investigad,cr podría utilizar.alguna récnica no paramétrica para probar una hipótesis acerca de la diferencia entre las medianas. En el capítulo I I se presenra la prueba del signo, que puede ser utilizada en esos casos.

*. . .,--:-=

Ejercicios fa EJERCrcros \'ll

285

En los siguientes ejercicios poner en práctica el procedimiento de los nueve pasos de la prueba de hipótesis en el nivcl de significación especificado. Determinar el valor p para cada prueba.

l4.L \\--

Diez animales de laboratorio fuero¡r sometidos a condiciones que simulaban una enfermedad. Se registró el número de latidos ca¡diacos por minuto antes y después del experimento de la siguiente forma:

Latidos por minuto

Aninal

Después

Animal

100

178

148

il0

179

176

140

110

l9t

105

r58

79 86

16t t57

Antes

I 2 3

Antes

Después

que la condición ¿Proporcionan estos datos la evidencia suhciente para indicar experimental aumenta el número de latidos del corazón por minuto? Sea g = .05. 6.4-2 Se llevó a cabo un estudio para averiguar si un nuevo Procedirl!1to teraptl¡" tico es más efrcaz que el procedimieqlo estándar para me.¡Mla dest¡eza dii Edas-FuTrlizaro n vei ntic uauo parej as cie

individuos en el estudio y cada pareja se formó con base en el grado dei impedimento, inteligencia y edad. A uno de los miembros de cada pareja se le asignó aleatoriamente el nuevo tratamiento, mientras que el otro recibió el tratamiento estánda¡. Al término del período experimental, se sometió a cada individuo a una prueba de destreza digital y se obtuvieron las siguientes pun-

tuaciones.Seaa=.05. ,i

Par I 2

4 5

Nuevo

Estándar

Par

Nuevo

Esrándar

l+ l5

óJ

l8 l9

ri2

.tÁ a1

.{8

5t)

6 7

Pruebas de hiPótesis

\3/

286

enfermeras de edad fuer on medidos Por dos 6.4.3 Quince much¿chos <ie 12 años

iif"r.n,..'

Los resultados son los siguientes:

Individuo Enfermera I

E'f'-'*"'z

lnd'ividuo Enfermera

Enfermera2

143.0

142.1

142.5

160.0

l5 1.9

r51.5 152. I

159.9

r42.O

158.0

r4 1.9 140.8

l5 1.2

160.2

i43.6

144.0

l5 i.5 r60.5

148.0

t47.1

139.9

141.0

142.9

I50.9

158.

57.8

158.0

150.1

150.0

i41.0

en la exactitud justiFrcan la conclusión de que hay diferencia ¿Estos datos de conhanza del 95 = ¡S' Construir el intervalo las dos enfermeras'? St" por ciento Pila $¿.

-2

medidos al momento de levantarse 6.1.4 Diez varones de Jó años de edad fueron los siguientes resultados por la mañana y al acostarse por la noche con

Estatura (cm)

Estatura (cm) Indíviduo I 2

Maitane l

69.7

168.5

Tarde 68.2 r 65.5

Indivíduo

Mañana

Tarde

168.8

r66.5

r69.2

166.J

67.{

165.9

164.4

167.9

tii.7

lta-l

r81.8

179.7

63.3

l6l..i

179.6

I /O.O

g É

I t

idenc ¿Proveen estos datos la ló años de edad son más

cnte para indicar estarura por la

los

* É

., -l-

* E

it I

li 1l

:j 3

t 1 I i u

concluir (a = 05) que el 6.J.5 Un grupo de investigadores desea saber si es posible nacidos-salurjlb.l;s es ,flujo craneano O" ,.ngr.-.n t..i¿n ll|::::: :::t:lctt]i de l0 individuos durante sueño datos ctapa del sueño. Se colecraron los los siguicntes: vo ,v duranre sueño tranquiio Tales resulrados tueron

*-r. -*-4 ..;_é+:.

-5.,,#¡ t

Praeba de hipótesis: proporción tle una sola pobtación

Flujo sanguíneo durante -;---:---------Individuo

activo

Flujo sanguíneo du

)ueilo tranquikt

Indivitluo

Sue¡io

Sueñi

activo

tranquilo

38.8

2ti.¡J

JJ..'

34.8

4Jt

51.3 43.8

+7..1

4ii.l

64.9

3 1.8

¡3

?9i

60.ri

l5 tfi

44.8 33.9

56.6 29.0 37,2 36.3 9< ()

b2.7

42.2

29.3

5 (;

6.5

JUeilo

29.8 43.4

40. I

¡r

ti{).ri

45.7 ri3.0 69.9 33.6

?fj.5 a J.:

30.ü i! .r JJ. J

32. I

4ae 5 1.9

?8.7

PRUEBA DE HIPÓTESIS: PROPORCIÓN DE UNA SOLA POBLACIÓN 'L

La prueba de hipótesis de proporciones poblacionales se realiza casi misma forma

.en

li udrizada para ias medias cuando son sarisfechas ras condicionel necesarias para emplear la curva normar. pueden efectuarue

pru"ias unito terales o b'aterares' dependiendo de Ia cuesrión que se pron,!.. tronao o $lspone de u¡a muesrra ro suficienter.n" gr-ae para ra apricaci#;;il;; rema del límite central. la estadística de prue"ba es

P-Po

t fPoTo

cuando

Ho es verdadera. sigue l1:""1 normal estándar.

Ei:fO!? ó.5./

Suponer

(6.5.1l

una distribución aproximadamen

quc hay inrerés por saber que proporción de población de conducrores de automóvires utirizan con reguraridad er cint rón dc seguridad del asienro. En una ."*;;;;;; ñ .;#:il*, ,¿ul, de uutomóviles. r23 tie e'os dijeron qr. ..gui.*cnre utirizaban er cinrurón seguridad del asienro. ¿Es posible .on.lui", a parrir de cs¡os daros que, en población ¡nuestreada. la proporción ,1. qu,"n.s -- urlliza' -""--" resularmenre 'v¡urqr cinturón tje sesuridad del asienro no.r,i.lliO.;

Pruebas de hipótesk

Solución

l. Z. --

de las respuestas dc lo^s 300 conductores de Datos. Los datos se obtienen a paltir qt ' de interés' es clecir' ? la característica los cuales 123 poseen

p presenta una distribución aproxiSuposiciores. ia distribución muestral de central. si Ho es verteo¡9rn4a[e!-[mite el con acuerdo de *odurn.nre normal importante observar 8s / 300 o; estándar' y error ei = 'i{'SX'S) dadera, p -- 5 se hace.debido a que op'.Esto calcular p para hipotérico valor el que

¡q-ut!i.i4

esiá basada e¡ 14 pqgo_qlg1ón de q¡rg la hip-ótesis nula es verdadeproporción de la muestra, p, para calcular oo, no sería conla ra. Ei utilizar

t"¿.f" p*.Ua

gruente con este concePto' 3. Hipótesis H,r:

H^: p

.59

* .50

la ecuación 4. Estadístíca de prueba. La estadística de prueba se obtiene mediante 6.5. r . Distribución de Ia estadística de prueba. Si la hipótesis nula es verdadera' la estadística de prueba muestra una dist¡ibuc!ó! ap¡g-xipa-damente normal con u:rq media de cero. 6. Regla de decisión- Sea

d = .05.

Hn a menos que -1.96 (

L.os valores cíticos de

z."l"ut"du (

¡ son tI.96.

Se rechaza

1.96.

'Cdlculo de la estadística de prueba

.41

.50

-.09

(.5 X.5)

.0289

= -3.1I

300

Decisión estadística. Se rechaza Ho, ya que -3. I I < - I .96. 9. Conclusió¡. Se concluye que la proporción de la població¡ que usa resularmente el cinturón de seguridad del asiento no es de .50' Para esta prueba, p < 8.

.002, ya que -3.1 I < -3.09.

EJERCICIO' Q Para cada uno de los siguientes ejercicios. lleva¡ a cabo el procedimiento de los nueve pasos para la prueba de hipótesis al nivel de signiñcación designado. Calcula¡ el

vaior p parr cada muestra.

6.5.1 En una rnuesrra de 1500 residcntes de un brrrio de la ciudad.

quie nes partlcl-

taclos positivr)s en curnto a la anemia dc cúlulas t'llciiilrmcs. , Proporcionan

-:!

G*--

.=e

=::l

-);

:'/_

-f-

7-''

ztg para indicar que Ia pnrporción de indiviestos cJatos la evidencia suticiente es mayor ;;;; ."" anemia de células falciformcs cn la población muesrreada que .06? 5sn cr = .05 hospital'.los.cuales n"btT.::til: "" muestra de 100 empleados cle un fue examinada para avengr¡a:,.t-trl"contacto con sangre o sus derivados' hepatitis B' Se. encontrg 0"" sentaban evidencia ,","1'ig*o de -"j,t:::t-t",:: posi ti uos' ¿ Es p,osigie:gonc I uf ;";;i 1, ! resulta¿os Positivos datos que la ' cf, Sea 15? qu" ' = cn la población muestreí

6á./ Una

;;'

ilffi ;;;;;

I I

l\ i

f::' *':'i::

"-....ffimayor

una de inmunización contra la rubeola en 6.5.3 Rntes del inicio de un programa integrantes de una muesra

rcveló que 150 área metropolitana, una'enJuesta contra esta enfermedad' O" i'l*-io t'uUiun sitio inmunizados de 500 que el 50 por ciento de de vista "ino, de estos datos con el punto ¿Son compatibles

losniñosa"p'i*a'iudedichaií¡eahabíansidoinmunizadosconrarubeola? Sea

.05.

por una muestraaleatoria simple de 6.5.4 El siguiente cuestionario fue respondido

-.250ginecólogos.Enlosrecuadrosapareceelnúmerodeginecóiogosque eligió la respuesta correspondiente' \ 1.¿Cuándoesnecesarioelegir,quéprocedimientoprefiereparaobtenermuestras

a. Dilatación y raspado

Aspiración Vobra

l-4

con altas a una o más mujeres embarazadas 2. ¿Ha revisado durante cl año pasado "concentraciones de plomo en la sangre l

r-;-l l--l b- No

3. ¿Acostumbra como rutina pone r al tanto Ll t.t*ot es ticsgoso para ct feto l

b. No

de quc a sus pacientes ctnbarazadas

I rtl

{ n

É-;. .a:t2-:'"

.r:==fé ::'

.01 l

Pruebas de hipétesis

Cúlculo de la estadística de prueba

' ',J _

.12 .05 t¡l

()r¡o !.JZ

B, Decisión estadística. Se rechaza Hs porque 2.32 > 1.645. 9. Conclusión Estos datos sugieren que el nuevo tratamiento es más efectivo que el habitual (P

'0102).

,EJERCICIOS

-En cada uno de los siguientes ejercicios, utilizar procedimiento el de los pasos para la prueba de hipótesis. Determina¡ el valor de

nueve

p de cada prueba.

6.6.t Se efectuó una comparación con respecro a las distancias desde su domicilio hasta el hospital entre una muestra de pacientes dados de alta denro de ios seis primeros meses después cie su ingreso en un hospital del estado pa¡a enfern¡edades mentales, y otra muestra de pacientes que lueron dados de alta después de seis meses pe¡o dentro del siguiente años después de su admisión. Los rcsultados son los siguientes:

' Duración

d" It

p;;r

"rrrri" ,

< 6 meses Más de 6 meses

100

r50

Número de indiviriuos

7\';ii;;I#)"!i,,r, 75 90

¿Proporcionan estos datos la suficiente evidencia pa¡a indicar oue la orooorción de quienes viven a más de 31.6 kmrhospiril6ii"n'r*bo. poblaciones? Sea cr = .05. 6.6.2 Un epidemiólogo en un país en desarrollo comparó una muesrra de 90 personas adultas que padecían ciena entermedad neurológica. con una muesrra de 100 personas de conrrol comparabres pero que no padecían dicha enf'ermedad. Encontró que 69 de las personas que padecían ra eni'ermedad y 67 del grupo de control esraban emplcadas en labores de subsisrencia. ¿Es posible que el epidemiólogo concluya a partir de csros rictos que las dos fobtaciones representadas por las muestras ditleren respecro a la proporcir5n empleada en ocupaciones de subsistencia:, Sca cr =.05.

se deser saber si los niños tle dos grupos érnicos tiiilcren con respecto a proporción de anémicos. De carir qrupo sc exrrrjo uni] rnucsrrr de niñ.s

ll de

#, ,:,i.+i'.: 'ii::¡{a: 'e

,^ prueba

hipétesk: variancia

una.sola

o*":on, ^^Y--,^"

,rc snirrrr

,.:"t.:

(

:: il",*,:i:';'"J"''Í,T i':'ff"ril1:;1:i;Tila:;.9;:il:J'"J;t;:

anemia.

Crupo étnico

Número

Núm.

de elementos

anénticos

450 375

r05

I 2

iLe

120

para indlcar una diferencla estos datos la suficiente evidencia 5"x ü = '05 tu ptopo"ioi de anémicos?

¿Proporcionan en las dos poblaciones

;; ;toJ;

resultados se obtuvieron ios siguientes 6.6.4' En un análisis de obesidad edades de 20 y 75 años:

a panir de

enre las muesras de hombres y mujeres

Núm. de ind. con sobrePeso Varones Mujeres

150

200

que en las poblaciones muesu concluir a partir de estos datos ¿Es posible ¿" indivlduos con sobrepeso? Sea

das existe diferencta

i;;;;;;;o*t

.05.

6.7 PRUEBA DE IIIPÓTESIS: VARIANCIA

D;UÑ'

SOT,¿. POBLACIÓN l l1

Enlasección5.gseestudialamaneradeconstruirunintervalodeconfianza principios .on distribución normal. Los para la variancia d" *;;;i*ion para prodicha sección oueden ser utiiizados generaies que.se p"'"ntuin tn ios datos uu'lancia ¿e una pobiación"C"Td: bar una hipótesis

"'ü;;'J;

disponiblesparael.anáIisisformanunamuestraalea¡oriasimpie,extraídade de prueba distribución normal' la estadística pobiaciones qu" población es

"g*n-unade la variancia

para probar hipótesrs

"tt"o

x2 = (n

de una

- l)s2/o:

sigue una distribución 12 con la cuai. cuando Ho es verdadera' de libertad.

(6'7'l)

n - I grados

entermería simple de l5 esrudiantes de

Ejemplo 6-7-l'IJntmuestra aleatoria eiectuó una prueba para medir que participrron tn'"''ti-t*ft'l**nto muestra tue de las obseruationei de la destreze manual. t-" uo'ionti" I fl E

^te*r)

átlr

, f

t(6307- (rrt']

=Waffi.r

PRACTICA SEMANA t0 1'-r a tabla siguiente contiene !a edad

{x) y !a rnáxima

de !a presión sanguínea

(y)

grupo de l0 mujeres:

de un

Edad b6 42 z2 .36 63 47 FS 49 3A 42 Presión 14,9 12,6 fS,g it,g 14,9 13,0 15,1 14,2 11,4 14,7

Determine la recta de regresión de Y sobre X, justificando la adecuación de un modelo lineal.

b) interprete la penciiente. c) Mida la bondad del rnodelo. d) Reaiice ras siguienies preciiceiones,

{. * .l

sélo s!tlenen sentido: presrón sanguinea de una mu¡er de 5i años. F¡,esión sanguínea cie una niña cje .iü años. presién sanguinea dre un irorrrfxe rie 54 airos.

'z-El crecimiento cje los niños desde ia infancia a la adolescencia generalmente sigue un patrón lineai' se calcu¡ó uFrd i€ci. cte regresión ¡nediante ei n¡Étoero cre m¡n¡n¡os cuadradt¡s eon datss de aituras de niñas nortearnericanas de 4 a g añoe y ei resuitado fue; Fo = 80 Y Fr = 6' La variabie ciepencliente Y es ia aiiura ien cm.i j¡ x es ia eciad ien

añosi.

a) lnterprete ros vaiores estimados der intercepto y cie ra penciiente. b) c'uát será ra aftura predic*ra de una niña de g años. c) uuai se¡"a ia aitura preciiota üe una mujei de zb anos.

uomente er i-esuitado.

3-Un invesiigacior cree que ia inteiigencia eie ios niños, meeiicia a iravés eiei coefleiente in¿eiectuai (ci en punicsi, ciepence ciei número cie hermancs. Toma una muesira aieaicria qe i5 niños y ajusta urra feg¡-esiórr ií¡-¡eaisit-t-rpie. Los resi¡itacios No

aparecen €i-r ia tabia aeijiinta.

i 1io

Hmos

i¡

-l-th

-t¿u 1

116 4

1'lu

1Ué

zl2.

a) Eneuentre e iinterp b) Dé ia ecuaciÓn de ia recta de regresion. cle la pregunra.

1U5 2

w e8i99i9e¡foo 90ie3¡90 J

414

inierprete ios estimadores en e¡ contexto

Dr CAI{LOS lAplA San¡CHtz

lJpro DE ES l'AlJlS I tUA f. -3: