EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO EN LA FÍSICA MODERNA

1

EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO EN LA FÍSICA MODERNA

Trabajo presentado ante la ilustre Universidad de Los Andes

Como cumplimiento parcial de los requisitos para optar al Título de: Licenciado en Física

Por Br. Arturo Rodolfo Sánchez Pineda

Tutor: Dr. Gianfranco Spavieri

Mérida, Febrero de 2008

2 AGRADECIMIENTOS

A mi Madre, por todo su amor e ímpetu, quien me ha motivado de una manera única y acertada, a quien debo la vida. A mi Hermana Estefanía por su ternura e inocencia, mi Abuela Iraida por su amor y mano dura, a Mamita (Fidelina) por ser mi amiga, enfermera, consoladora, público, aliento y mejor compañera de estudio y por sufrir junto a mi cada examen y noche en vela que pasamos, Mi Madrina Mena, a mi tía Haydee, Leyda, Maruby, Chicho (Alejandro) y Gladys. A Carmen, Dulce por su gran fe y optimismo, Román y Gollo (José Gregorio). Y a mis primos Renzo, Paola, Jimmy, Joseph, Amanda, Ariana, Brandon, Johann y Priscila, sin olvidar a los niños Diego, Sebastián, Dany y Natalia. A Deliana y Orlando por sus tantas asesorias y ayudas. A la abuela Ismelda quien siempre me ha demostrado su amor y jamás me ha dejado de cuidar y de rezar por mí y al abuelito Olivo, gran compañero de sala y comedor. A Patricia por todo lo que me ayudó, por su sonrisa alentadora, sus ganas de hacer de todo y su rica comida, así como a sus maravillosos y generosos padres y hermanos.

Al profesor Gianfranco Spavieri por su gran asesoria y ayuda, sus enseñanzas y su amor a la Física y sus fundamentos. A Profesores como Maria Fuentes, Maria Méndez, Fulgencio Rueda, Marcos Rodrigues, Alberto Torres, Patricia Rosenzweig, Luis Núñez, Adel Kudeir, Héctor Hernández, Héctor Romero, Rodrigo Casanova, Héctor Rago, Alejandra Melfo, Víctor García, ya que con sus buenas (y a veces malas) acciones me enseñaron cosas que siempre recordé y fueron parte de mi impulso.

A Dios, que aunque esta de último fue quien me alentó y acompañó más, siendo siempre mi primer y último recurso en mi búsqueda de tranquilidad y optimismo, Gracias desde mi Alma.

3 RESUMEN

En esta tesis se presenta un análisis del papel del Momento Electromagnético (MEM) de Interacción en diversos campos de la Física, como lo es el electromagnetismo clásico, efectos cuánticos no locales, propagación de la luz en medios en movimiento, así como sus implicaciones en ramas tan diversas como la Electrodinámica Clásica, la Relatividad Especial y la Mecánica Cuántica. Además se exhiben proyecciones experimentales y conclusiones importantes de experimentos postulados en recientes revisiones de pruebas en Relatividad Especial y del MEM, mostrando el papel relevante que éste último juega en la física moderna. Se proponen experimentos cruciales de la localidad de la Ley de Faraday para corrientes ”abiertas”, en un experimento modificado del tipo Trouton-Noble, así mismo sobre la no conservación del momento angular mecánico de un sistema cargado aislado, así mismo acerca de un nuevo experimento del tipo Mascart-Jamin para la propagación de la luz en medios enrarecidos y una prueba modificada del tipo Fizeau no interferométrica para estudios del Modelo Magnético de la luz y en la Relatividad Especial. De igual forma se estudian los efectos cuánticos del tipo Aharanov-Bohm y se determina un límite mejorado para la masa del fotón.

4 TABLA DE CONTENIDO .

Agradecimientos Resumen Introducción

2

3 6

Capítulo I: Teoría Formal: el Momento Electromagnético (MEM) Desarrollo Histórico del MEM Justificación del Estudio

9

9

10

Capítulo II: El MEM en la Física Clásica

11

El MEM y Estudios sobre Corrientes Abiertas

11

Violación de la Conservación del Momento Angular para un Sistema Aislado 12 Experimento de tipo T-N para estudio de Corrientes Abiertas Capítulo III: El MEM y la propagación de Ondas Propagación de Ondas Materiales y Ondas de Luz

22 22

Ecuación de Schrödinger y Modelo magnético de la Luz Capítulo IV: El MEM y la propagación de la Luz

23 26

Experimento tipo Fizeau y el Modelo Magnético de la Luz Propagación de la Luz en Medios en Movimiento

Efectos Cuánticos no Locales

36

26

29

Propagación de la Luz en Medios Enrarecidos en Movimiento Capítulo V: El MEM en la Física Cuántica

14

36

31

5

Visión unificada de los Efectos del tipo Aharanov-Bohm Determinación de un Límite superior de la Masa del Fotón

36 38

Capítulo VI: Conclusiones, Resultados y Proyecciones Futuras

43

Apéndice A: Desarrollo matemático del Momento Electromagnético MEM 44 Apéndice B: Desarrollo teórico del Experimento de tipo Mascart Jamin 47 Apéndice C: Efecto Escalar de AB para la determinación de la Masa de Fotón 48 Referencias

50

6 INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años, algunos experimentos han sido propuestos como evaluaciones de aspectos aún no examinados de la Teoría Especial de la Relatividad (TER) y correcciones en la teoría electromagnética clásica, que en su mayoría son realizables con la tecnología actual. Así como han surgido nuevos efectos cuánticos que se caracterizan por poseer interacciones no locales, además de otras teorías alternativas como el modelo magnético de la luz. A medida que avanzan estos estudios, se ha puesto en evidencia la importancia del llamado Momento Electromagnético (MEM) de interacción en las explicaciones que se van dando a diversos fenómenos que se estudian en estos campos.

El momento electromagnético (MEM) es una cantidad física clásica que aparece en las descripciones estándares de la energía y el momento de los campos electromagnéticos, componentes del tensor electromagnético Θαβ . Aquí se considera el momento electromagnético de interacción Pe , una cantidad que atrajo la atención de los físicos desde su surgimiento en diferentes escenarios de la física moderna que involucran interacciones electromagnéticas. Uno de esos escenarios es el de la propagación de la luz en medio en movimiento lento [1], [2]. Otro de ellos es la visión unitaria de los efectos cuánticos no locales del tipo Aharonov-Bohm (AB) [3], [4]. Mas comúnmente, el momento electromagnético de interacción Pe surge como una cantidad no desaparecida en experimentos electromagnéticos que involucran corrientes ”abiertas” o de convección, mientras que Pe desapare en los experimentos electromagnéticos comunes de interacciones con corrientes cerradas o circuitos [2], [5].

En el escenario del electromagnetismo un creciente número de artículos han aparecido cuestionando la interpretación estándar de la TER [6]-[9]. Algunos de los autores se adhieren a los trabajos históricos de Lorentz y Poincaré, quienes mantuvieron la existencia de un sistema de referencia privilegiado. Por ejemplo, Selleri [7] ha desarrollado la idea de Bell [6] y obtuvo una verdadera teoría Lorentziana, completamente compatible con la relatividad especial de Einstein en la que involucra la descripción de fenómenos físicos, pero muy diferente en su interpretación y términos filosóficos.

Otra teoría Lorentziana, muy cercana a la formulación de Selleri, fue derivada independientemente en la referencia [8].

En este escenario se ha argumentado que estas diferentes formulaciones de la Relatividad Especial son realmente compatibles sólo en el vacío, pero pueden aparecer diferencias cuando la luz se propaga en un medio transparente en movimiento. Así, Consoli y Costanzo [9], Cahill y Kitto [10], y Guerra y de Abreu [8], destacan que para los experimentos del tipo Michelson—Morley, que son frecuentemente citados de generar resultados nulos, no es así, como lo demuestra el famoso trabajo hecho por

7 Miller [11]. La afirmación de estos autores es que los datos experimentales disponibles apuntan hacia una consistencia con resultados no nulos cuando el interferómetro está operando en la “modalidad-gas”, correspondiente a la luz propagándose a través de un gas [9] (como en los casos de aire o helio, por ejemplo, incluso con máseres en versiones modernas de similares experimentos ópticos [12]).

Además, exámenes que involucran interacciones electromagnéticas con corrientes abiertas o circuitos han sido reconsiderados por Indorato-Masotto [13] indicando que esos experimentos no son completamente fiables y posiblemente no concluyentes [2].

Por todo esto, los físicos han propuesto recientemente experimentos sobre predicciones de la teoría que no han sido totalmente examinadas o tienen formulaciones con suposiciones sin comprobación experimental que difieren de la interpretación estándar de la Relatividad Especial [2], [5], [8], [9].

El punto interesante es que todos los escenarios anteriormente mencionados y sus hipótesis polémicas están ligadas al momento electromagnético, MEM. Por lo tanto, con la finalidad de poner en evidencia los aspectos cruciales y los resultados originales y novedosos de nuestras investigaciones, a lo largo de este trabajo se resalta el papel del Pe en cada uno de estos escenarios. Para realizar ésto, primero se conecta la ecuación de onda para luz propagándose en un medio en movimiento a la ecuación de onda (para ondas de materia) para partículas (osea, ondas materiales) en los efectos cuánticos del tipo AB. Esta analogía conlleva a la nuevas propuestas de experimentos ópticos que examinan las recientes hipótesis controverciales [9] de propagación de la luz en un medio enrarecido en movimiento.

Tal ha sido la aparición y relevancia del MEM en los múltiples cálculos y propuestas experimentales que aquí se pretende hacer una revisión de su implicación en campos de la física clásica y cuántica. Además se presentan propuestas experimentales en el ámbito del electromagnetismo tales como un experimento del tipo Trouton-Noble para la corroboración de la ley de Faraday en su forma diferencial, y la descripción de una nueva propuesta experimental en el campo de la óptica de un experimento del tipo Mascart- Jamin para la disertación del coeficiente de arrastre de Fresnel.

Se examinan y discuten aspectos tan importantes en la física clásica como el electromagnetismo y la óptica, tanto en la física cuántica como la propagación de ondas luminosas y de fotones, como de ondas de materia asociadas a los electrones y otras partículas, hasta implicaciones en temas aparentemente aislados como lo es la determinación de un límite superior de la masa del fotón aún más refinado.

Dentro del electromagnetismo clásico se destaca un nuevo experimento viable dedicado a examinar la no conservación del momento angular de un sistema aislado

8 con la finalidad de probar indirectamente la realidad de Pe , un examen que nunca ha sido realizado y puede resolver las objeciones planteadas en la referencia [13].

Finalmente, se estudia la visión unitaria de los efectos del tipo AB en términos del MEM con el objetivo de encontrar aplicaciones avanzadas para la electrodinámica.

Esta visión unitaria [4] ha recientemente encabezado el descubrimiento de un nuevo efecto cuántico así como su relación y aplicabilidad como experimento indirecto que proporciona relevantes valores mejorados del límite superior para la masa del fotón [37]. Se utiliza este enfoque cuántico para plantear un experimento de mesa o indirecto que explota uno de los efectos de tipo AB. Mediante este enfoque, y como aplicación importante de nuestros desarrollos teóricos, se determina el límite mejorado para la masa del fotón de mγ = 10−52 g, el cual es por mucho, el mejor límite obtenido con una aproximación clásica o cuántica.

9 1.

1.1.

CAPÍTULO I: TEORÍA FORMAL: EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO (MEM)

Desarrollo Histórico del MEM.

Desde hace muchos años atrás, antes de la formulación de la TER pero luego del conocimiento de las ecuaciones Maxwell y de diversos conceptos electromagnéticos como lo es el Teorema de Pointing, se deduce y se discute sobre el llamado Momento Electromagnético (MEM), el cual surge en formulaciones sobre la energía de la radiación electromagnética y de sistemas con cargas eléctricas y magnéticas.

Spavieri y otros [2], [4], [5], [16], [33], [34], [37], toman en cuenta el MEM como elemento fundamental para la explicación de diversos fenómenos físicos en rangos clásicos y cuánticos. Pero antes de disertar dichos fenómenos y efectos particulares, se debe indagar el desarrollo del MEM tal como se conoce desde más de un siglo, y así poder entender su evolución e implicaciones desde el comienzo del desarrollo del electromagnetismo clásico hasta ahora, donde ya se toma en cuenta para efectos cuánticos no locales e incluso en aportes a la determinación de la masa del fotón.

El MEM surge de los estudios clásicos sobre las leyes de conservación para sistemas de partículas cargadas y campos electromagnéticos, así, si se designa por Pmec la suma de todos lo momentos de todas las partículas contenidas en un volumen V, se tiene dPmec = dt

   1 ρE + J × B d3 x c V

(1)

Se ha convertido la suma extendida a las partículas en una integral extendida a densidades de carga y corriente. Se puede utilizar las ecuaciones de Maxwell para eliminar ρ y J en la ecuación anterior, y luego del tratamiento matemático (ver Apéndice A) se tiene como expresión de la variación de momento mecánico con el tiempo: dPmec d + Pe = dt dt



Tα dSα

(2)

Donde se puede identificar la integral de volumen del segundo miembro en la ecuación (3) como el momento electromagnético (MEM) total Pe o Pcampo en el volumen V

10

Pe = Pcampo =

1 4πc



V

(E × B) d3 x

(3)

El integrando de ecuación (3) puede ser considerado como la densidad de momento electromagnético. También se puede tomar en cuenta que es proporcional a la densidad de flujo energético S, siendo c−2 la constante de proporcionalidad. Este desarrollo permite obtener el MEM partiendo de consideraciones de leyes de conservación.

1.2.

Justificación del Estudio.

Ya se ha mencionado que el MEM forma parte de muchos aspectos de la física aún sin aclarar o con gran valor tanto en el ámbito clásico como cuántico del electromagnetismo. Es por tanto que la justificación primordial del estudio es indagar, buscar y dar a conocer el importante valor que posee el MEM en la Física Moderna así como generar nuevos conocimentos basados en la utilización del mismo y de fenómenos que impliquen directa o indirectamente a interacciones electromagnéticas. Ésto mediante la busqueda bibliográfica sistemática y el estudio de adelantos en electromagnetismo clásico y cuántico, y en aspectos de la Relatividad Especial polémicos en los cuales en MEM juega un papel relevante para la explicación de fenómenos y teorías alternativas.

Dar a conocer a la comunidad científica cómo una vez más, las tan utilizadas leyes de conservación permiten hacer descubrimientos relevantes y dar carácter físico a magnitudes que por muchos son consideradas sólo artilugios matemáticos pero que, como la historia de la física nos ha enseñado en repetidas ocaciones -tal es el caso de la predicción y posterior descubrimiento del neutrino y el positrón-, las soluciones matemáticas a muchas ecuaciones resultan en descubrimientos con total validez en el mundo real.

11 2.

2.1.

CAPÍTULO II: EL MEM EN LA FÍSICA CLÁSICA

El MEM y Estudios sobre Corrientes Abiertas.

Para comenzar los estudios en electrodinámica se tienen en mente la revisión de pruebas relacionadas a investigaciones sobre el efecto de Rowland [22], aquellas en las que cuerpos electrificados en movimiento producen efectos magnéticos. El experimento de Rowland consiste en detectar el campo magnético producido por cargas en movimiento. Es generalmente reclamado que el resultado del experimento de Rowland de 1876 indica que cargas aisladas en movimiento producen un campo magnético.

En colaboración con von Helmholtz, Rowland desarrolló e implantó el experimento usando un capacitador de placas paralelas circulares que estaba cargado y girando alrededor de su eje de simetría. El campo magnético resultante fue encontrado al observar su efectos en un par de agujas magnéticas astáticas delicadamente suspendidas en la proximidad del disco tan junto como era posible, y, por la regla de Oersted, una corriente eléctrica circular coincide con la cargas apostadas en la periferia del disco.

Los experimentos fueron repetidos y confirmados por Röntgen [23] y por Himstedt [24]. Después Crémieu de nuevo lo repitió y obtuvo resultados negativos [25] que fueron corfimados por Korda. Luego, ellos fueron nuevamente reconducidos por Pender [26] y por Adams [27]. La publicación de los experimentos de Crémieu alimentó una controversia que involucraba a físicos Franceses y Británicos, como se dio a conocer en un artículo de Indorato y Masotto [13]. Poincaré estaba apoyando a un joven científico, Crémieu y aparentemente fue el único que sugirió que clase de experimento se debería de desarrollar. Pender fue otro estudiante de Rowland y fue apoyado por él hasta su muerte en 1901. Todos ellos mejorando el experimento original.

Para poder entender las dificultades que involucraron esta clase de experimentos, se debería sacar a relucir que en el intento hecho por Rowland para observar la magnetización producida por cuerpos electrificados en movimiento, el campo magnético a ser detectado fue de aproximadamente 1/50000 veces la componente horizontal del campo magnético de la Tierra, un valor muy pequeño e improbable para ser observado. Los resultados de experimentos desarrollados por Crémieu y Pender se inclinaron a favor de la existencia del efecto de Rowland. Sin embargo, los autores fueron cautelosos en sus comentarios finales: ”Esto no nos permite decir si estos efectos son realmente debidos a la convección eléctrica en el sentido en que son entendidas las expresiones de Faraday y Maxwell, ni para decidir si ellos están en acuerdo con las hipótesis fundamentales de las teorías presentes.”[28]

12 El experimento de Rowland involucra campos o fuerzas producidas y/o actuando sobre corrientes abiertas, es decir, objetos cargados en movimiento. En experimentos del tipo Rowland, la fuerza involucrada en las pruebas actúa sobre cargas ”abiertas” con el resto del espacio y es debido al campo eléctrico que varía en el tiempo E = −c−1 ∂t A donde A es el potencial vector. La fuerza sobre una carga q es luego qE = −qc−1 ∂t A. Resulta que qc−1 A representa también el término de interacción del efecto AB que en posteriores secciones ha de ser relacionado al MEM ó Pe .

Con las cargas y distribuciones de corriente disponibles, la fuerza −qc−1 ∂t A es muy pequeña y nunca ha sido probada directamente con corrientes abiertas o cargas.

Debido a la conección entre esta fuerza y el Pe , una prueba de lo que esta fuerza representaría, indirectamente, es ser una prueba de la realidad del MEM de interacción Pe . Considerando que pruebas históricas sobre corrientes abiertas no son completamente fiables y que incluso experimentos ópticos son inconcluyentes, vale la pena considerar aquí otros experimentos de electromagnetismo donde el resultado puede ser satisfactorio para disipar dudas y aclarar aspectos controversiales.

Para esta propuesta consideramos una prueba de la violación del momento angular mecánico de un sistema aislado.

2.2. Violación de la Conservación del Momento Angular para un sistema aislado y el MEM. Considere un capacitador cilíndrico de radio interno a, y radio externo b, y longitud L. El capacitador está suspendido verticalmente a lo largo de su eje de simetría y sumergido en un campo magnético uniforme B, el cual está tambien dirigido verticalmente. Cuando el capacitador es cargado con una diferencia de potencial V y el campo magnético varía con el tiempo, una carga q a una distancia r del eje experimenta un torque τ = rq∂t A debido a la acción de la fuerza −q∂t A donde A es el potencial vector variante en el tiempo. Para una distribución de cargas λ sobre el cilindro la aplicación del teorema de Stokes nos deja conocer el correspondiente impulso angular 

τ dt = rλ



A · dl = rλBS = πλBr2

(4)

Como la carga sobre la superfície interna y la superfície externa es la misma, el impulso angular total sobre el capacitador es

13

∆=



τ b dt −



τ a dt = qπB(b2 − a2 )/2

(5)

Este impulso transfiere una velocidad angular ω a la masa del capacitador M tal que ∆ = Iω donde I ≃ Mb2 es el momento de inercia. Si k es la constante de torsión y θ el máximo desplazamiento angular, resolviendo la relación (1/2)Iω2 = (1/2)kθ2 podemos escribir  1 q θ= B(b2 − a2 ) (6) kM 2 La carga total q está dada por q = V C = 2πǫεo LV / ln(b/a) donde C es la capacitancia, ǫ y εo son la constante dieléctrica y relativa respectivamente.

Si se sabe que existen materiales dieléctricos con muy alta constante dieléctrica relativa (ǫ ≃ 104 ) y, con V = 104 V , en un gran capacitador (L = 1m, b = 3a = 5cm) q puede alcanzar valores del orden de 5 × 10−3 Cb. Con la constante de torsión k = 10−8 N m, M = 10−1 kg y B = 10−1 T , se obtiene θ ≃ 2 rad

(7)

que es muy fácil de observar. Por lo tanto, en el experimento actual uno podría reducir la diferencia de potencial V o usar materiales dielétricos más económicos con baja ǫ.  Es simple evaluar el momento angular electromagnético Nem = r × (E × B)dV en esta configuración. Donde E = λ/2r es radial y B es uniforme, el MEM angular proporciona qπB(b2 − a2 )/2 que corresponde al impulso angular ∆ sobre el capacitador. Como se espera, tenemos τ = −(dNem /dt). Así, el momento electromagnético almacenado en el capacitador produce un torque cuando el campo B varía con el tiempo.

La ley de conservación para el momento angular total (Nem + Nmec ) es como sigue.

Ntotal = (Nem + Nmec ) donde

Nem =



r × (E × B) dv

(8)

14

Figura 1: Condensador cilíndrico de placas paralelas que se encuentra cargado y suspendido de manera aislada.

Luego éste se sumerge en un campo magnético B paralelo con el condensador.

Cuando dicho campo B se varía ya sea de valor o de dirección, el MEM angular del sistema varía, y ya que se debe conservar el Momento angular total, debe producirse un cambio en el momento angular mecánico que haría rotar el condensador, lo cual es posible de predecir y detectar.

Antes de que B sea apagado hay un MEM que no desaparece y el correspondiente momento angular Nem , mientras el momento mecánico Nmec es cero. Cuando se apaga el campo B, Nem desaparece pero Nmec que es producido, así que el momento angular total es conservado. Asumiendo que, como es bien conocido, no hay reacción sobre las fuentes de B, el resultado de este experimento representa una prueba de la violación del momento mecánico angular de un sistema aislado, un aspecto dinámico que nunca ha sido probado directamente.

2.3.

Experimento de tipo T-N para estudio de Corrientes Abiertas.

La primera versión del experimento fue realizada por Trouton Noble en 1903 [42], posteriormente Chase [44] y Hayden [45], los cuales mejoraron la calidad del

15 experimento, obteniéndose siempre resultados nulos. El experimento de TroutonNoble (TN) se desarrolló originalmente para corroborar dos aspectos físicos de gran transcedencia para el momento en que se realizó: La existencia del éter y la prueba de que los fenómenos (campos) magnéticos se pueden producir por corrientes abiertas, es decir, por cargas que se mueven fuera de un circuito o espira eléctrica cerrada.

En términos generales, el experimento de TN se basa sobre la interpretación de la teoría electromagnética de Maxwell bajo el contexto del sistema del éter. En el experimento original se utilizó un capacitador cargado y blindado de los campos eléctricos y magnéticos externos, suspendido de un hilo delgado, y se supuso que el capacitador se encontraba en reposo con respecto a la Tierra pero en movimiento con respecto al marco del éter. Las cargas que se encontraban en cada una de la placas del condensador moviéndose con respecto al éter forman una corriente abierta que de acuerdo a la teoría de Maxwell deben dar origen a un campo magnético.

Una carga en movimiento en una de las placas del capacitador experimentará este campo magnético y una fuerza de tipo Lorentz actuará sobre ésta, resultando en un torque sobre el capacitador TN que se manifestaría en una rotación observable. Dicho torque nunca fue observado por dichos investigadores.

De los resultados del experimento se obtienen dos conclusiones importantes, una de ellas es que no existe tal éter y/o que la interpretación de Maxwell sobre las corrientes abiertas en acuerdo con la Relatividad Especial necesitan una revisión.

Sin embargo, en años recientes Cornille [46], realizó un experimento del tipo TN con resultado positivo y argumenta el por qué los experimentos del mismo tipo realizados en un tiempo pasado fallaron, debido al blindaje electromagnético al que fue sometido el condensador en los montajes anteriores. De esto se desprende que es necesario una nueva revisión más profunda sobre este experimento.

Acá se pretende aclarar la relación entre la Ley de inducción de Faraday en forma diferencial con el experimento del tipo Trouton-Noble en el campo magnético de la Tierra y como dicha ley en su forma diferencial se relaciona con el MEM. Se demuestra que la Ley de inducción de Faraday predice un resultado teórico positivo o no nulo para este experimento, siempre y cuando el efecto del campo magnético terrestre se incluya dentro de los cálculos. Además, se muestra que, bajo ciertas condiciones experimentales y consideraciones técnicas, es posible obtener un resultado físico medible para el experimento de tipo TN mencionado.

16 El disco de Faraday: descripción clásica.

En la figura 2 se muestra el esquema básico del disco de Faraday. Consiste de un disco conductor que gira sobre su eje de simetría y que está conectado a un circuito eléctrico AECRD. La conexión se realiza por medio de dos conductores: uno de ellos conectado a su eje de simetria (A) y el otro conectado justo al borde de la circunferencia del disco a través de un contacto deslizante D, y debajo del disco se encuentra un imán fijo. Al dar vueltas el disco, se induce una corriente que a su vez fluye por el circuito. La ley de inducción de Faraday en su forma diferencial viene dada por ∇ × E = −∂t B (9) sí el campo B es uniforme en las inmediaciones del disco giratorio de radio R que rota a una frecuencia de ω, usando la siguiente ecuación

fem =



d Ei · dl = − dt



B · dS

(10)

tenemos que la fuerza electromotríz que se induce sobre el circuito viene dada por

fem =



Ei · dl =



1 (v × B) · dl = ωBR2 2

(11)

Donde fem es la fuerza electromotriz, Ei es el campo eléctrico inducido, v es la velocidad tangencial de las cargas del disco con respecto a las líneas del campo magnético que están fijas al imán, B es el campo magnético del imán, ω es la velocidad angular del disco, R es el radio del disco. Por lo general el resultado (11) se deduce a partir de la Ley de Inducción de Faraday en su forma integral tomando en cuenta la variación del flujo magnético en el segmento AD que rota en la presencia de B. La forma integral de la ley de Faraday no dice dónde, a lo largo del circuito AECRD la fem es inducida. Pero al considerar la Ley de Inducción de Faraday en su forma diferencial, la expresión v × B corresponde al campo Ei inducido sobre las cargas que se mueven junto con el disco a lo largo del segmento AD. De forma más detallada, se está hablando de la validez de la fuerza de Lorentz

F = q (E + v × B)

(12)

escrita en el marco del laboratorio, en este caso particular, E = 0, por lo tanto Ei = F/q = v × B

(13)

17

Figura 2: Disco de Faraday, sistema que consiste en un disco conductor de radio r que rota con velocidad angular ω bajo el cual se ubica un imán o dipolo magnético. Adjuntado al disco se encuentra un circuito AECRD, donde D es un contacto deslizante.

Al rotar el disco, se genera una corriente que es posible de medir.

Se conoce que dicha inducción se debe a las cargas del radio AD en movimiento que atraviezan las líneas de campo magnético con su respectiva velocidad tangencial ωr.

Por la transformación de los campos electromagnéticos de la Relatividad Especial, un observador sobre el disco en movimiento experimenta los campos B′ ≃ B y E′ ≃ v ×B, tanto el observador en el laboratorio como el observador en co-movimiento con el disco, concuerdan que la fem se induce en el camino radial del disco y básicamente los dos observadores describen el mismo efecto. El mismo resultado se obtiene sí el imán rota junto con el disco o sí se considera un imán conductor giratorio como disco de Faraday. Según la interpretación relativista clásica de la electrodinámica, un imán de forma cilíndrica se puede simular como una distribución de corrientes circulares o cilíndricas y la corriente y el campo inducido son los mismos aún si el circuito gira alrededor de su eje de simetría.

18 Históricamente, las líneas del campo B se consideraron que tenían realidad física.

Por lo tanto, la diferencia de potencial que se genera a través del segmento AD se interpreta como debido al corte de las líneas de campo magnético por el disco giratorio. La velocidad en el término qv × B corresponde a la velocidad de la carga respecto a las líneas del campo y no como la velocidad de la carga con respecto a un marco de referencia partícular.

Efecto del campo magnético de la Tierra.

El campo magnético B de la Tierra puede ser simulado como el campo B producido por un dipolo magnético colocado en el centro de la Tierra, con una intensidad de m0 = 8, 1 ∗ 1025 gauss · cm3 . El campo B a nivel de la superficie terrestre varía en un rango de 0.3-0.6 gauss que depende de la latitud. El dipolo magnético no está alineado con el eje de rotación sino que forman entre sí un ángulo de α ≃ 140 , que corresponde a una distancia aproximada de 1000 millas o 1600 km entre el polo norte geográfico y el magnético. La componente radial m0 sen α es mucho más pequeña que la componente axial m0 cos α, correspondiendo a (sen α/ cos α) = 0, 22. A continuación, se considera el efecto de la componente axial. La componente alineada a lo largo del eje de rotación de la Tierra se puede considerar como un dipolo cuya intensidad viene dada por m = m0 cos α. En este caso se toma en cuenta la componente perpendicular y tangencial de B en la superficie terrestre. Considerando al eje z del marco referencial de la Tierra alineado con m, las componentes del campo B, están especificadas para la longitud y la latitud del vector r, por B= Por medio de la ecuación

3r(r · m) m − 3 5 |r| |r|

(14)

F =v×B (15) q se pueden encontrar las componentes del campo, que debido a la simetría no depende del ángulo azimutal ϕ. Usando las coordenadas esféricas polares, las componentes perpendicular y tangencial de B en la superficie terrestre son Ei =

Bp = Bz cos θ + Bx senθ

(16)

Bθ = Bz cos θ − Bx senθ

(17)

Por analogía con la inducción en el disco de Faraday, una carga fija con respecto a la superficie de la Tierra, experimenta el efecto del campo B debido a m, es decir experimenta un campo Ei = F/q = v × B.

19

Figura 3: una visión simplifacada de la Tierra, perpendicular a su eje de rotación, se puede entender como un disco de Faraday.

Se muestra un esquema simplificado de las líneas del campo magnético B de la Tierra asumiendo una simetría cilíndrica.

De acuerdo a la interpretación estándar de la TER, las líneas de campo de un imán rotante no lo hacen, y la fuerza electromotríz es inducida en la porción rotante AR del circuito ACDPO. Una carga de prueba colocada en la superficie de la Tierra siente el campo eléctrico efectivo local Ef f = v × B, donde v es la velocidad tangencial de la superficie de la Tierra en la ubicación del laboratorio.

Un capacitador del tipo Trouton-Noble, experimentando dicho campo debería cargarse tal como si estuviese bajo una diferencia de potencial que viene dada por Ef f y sus caracteristicas geométricas, obsérvese la Figura 4.

20 Experimento tipo Trouton-Noble en presencia del campo magnético de la Tierra.

Se comienza el estudio considerando un capacitador cargado suspendido de un delgado hilo elástico con constante de torsión k similar al experimento de TroutonNoble. Por simplificación el capacitador se representa cargado con cargas opuestas de valor d colocadas en cada placa del condensador separadas una distancia d.

En este caso el campo magnético externo de la Tierra actúa sobre las cargas en movimiento con respecto al sistema de referencia ubicado en el centro de la Tierra S. Es necesario tener presente el disco de Faraday discutido en párrafos anteriores. En el marco S el efecto buscado se debe a la fuerza de Lorentz qv × B. En el marco S ′ en movimiento con las cargas, el efecto es debido a la existencia de un campo eléctrico v × B. El objetivo principal de esta propuesta es detectar este campo eléctrico, por esta razón es necesario no blindar el capacitador como lo hizo Cornille. Con respecto al marco S, la velocidad v de las cargas está en dirección Este-Oeste. El único torque sobre el capacitador alrededor del eje de suspensión es debido a la componente Bp del campo magnético perpendicular a la superficie de la Tierra que produce una fuerza F = qvBp que yace en el plano de v y d, tangente a la Tierra. El torque resultante viene dado por τ = [r × (qv × Bp )] = qvBp d cos ϕ

(18)

donde ϕ es el ángulo formado por los vectores v y d. El torque genera una rotación del capacitador que tiende a colocar o dirigir d perpendicular a v. En la posición de equilibrio el capacitador está rotado por un ángulo ε tal que τ = εk. Para verificar que este ángulo es detectable con un aparato del tipo Trouton-Noble, se expresa la carga sobre el capacitador de placas paralelas, como q = CV y C = ξ 0 S/d. Se tiene el siguiente resultado, cuando cos ϕ ≃ 1: ε=

ξ0 SV (vBp ) k

(19)

Para estimar ε, se considera un lugar próximo al ecuador terrestre, donde la velocidad tangencial es grande, por ejemplo en aquí en Venezuela que tiene latitud ◦ ◦ 8 norte que corresponde a un ángulo de 82 en la ecuación Bp = Bz cos θ + Bx senθ.

El radio de la Tierra es r = 6, 37∗106 m y la velocidad tangencial v = ωrsenθ = 445 m/s próxima al ecuador, la componente perpendicular del campo es Bp ≃ 0, 17 gauss con dirección hacia el centro de la Tierra, generando un valor de Ei = v × B ≃ 7, 5 ∗ 10−3 V /m.

21 Con una diferencia de potencial de V = 2 ∗ 104 voltios, la superficie de la placas S=1m2 y una constante de torsión k = 10−8 kg·m2 /s2 , el ángulo de torsión resultante es aproximadamente de ε = 0, 13 rad ≃ 7, 50 que puede ser fácilmente medible y observable.

Otro procedimento experimental que podemos utilizar y que ya se encuentra en desarrollo práctico, es el uso del mismo condensador pero esta vez no se mediran deflexiones, sino la carga eléctrica que almacena dicho condensador por el hecho de estar sumergido en un campo eléctrico, el de la Tierra. Como se muestra en la figura 4, se conoce que un condensador aislado sumergido en un campo eléctrico experimenta una diferencia de potencial entre sus placas, lo cual permitiría que éste adquiera una carga, y teniendo en cuenta que queremos detectar el campo eléctrico de la Tierra, se puede construir un condensador con las caracteristicas adecuadas de tal forma que la carga que adquiera debido a dicho campo, sea medible con un galvanómetro o electrómetro actual.

Figura 4: Un condensador de placas paralelas es introducido en el campo eléctrico que genera otro capacitador de mayor tamaño.

Dicho sistema simula un condensador apostado en la superficie de la Tierra. Así el condensador pequeño adquirirá una carga debido a que se encuentra bajo una diferencia de potencial que depende del Ef f de la Tierra y la distancia d entre sus placas, de la forma: Vf f = Ef f .d.

Dicha carga puede ser medida y así calcular el campo eléctrico de la Tierra.

22 3.

3.1.

CAPÍTULO III: E MEM Y LA PROPAGACIÓN DE ONDAS

Propagación de Ondas Materiales y Ondas de Luz.

La propagación de ondas en medios en movimiento ha atraído la atención de muchos físicos en los último años. Así mismo el desarrollo de la analogía entre la ecuación de onda de luz en medio en movimiento y la ecuación de onda de materia moviéndose en un ”fluido electromagnético”.

La relación entre la propagación de la luz en un medio en movimiento y las ondas materiales cargadas ya ha sido considerada por Cook, Feran, y Milonni [43] quienes sugieren que la propagación de la luz en un fluido es análogo al efecto AB para ondas de partículas cargadas (electrones) que encierran un flujo magnético [3]. En éste y en otros efectos del tipo AB [51], [33], [53] las ondas materiales se propagan en un flujo electromagnético que actúa como un medio en movimiento [53], [54] y modifica su velocidad de fase. Más recientemente, el modelo magnético de propagación de la luz ha sido considerado por Leonhardt y Piwnicki [57]. En los efectos del tipo AB, la propagación de las ondas son arrastradas por el flujo electromagnético, pero las partículas materiales, en tanto a su trayectoria y velocidad inicial no están modificadas por dicho flujo.

De acuerdo a la analogia del modelo magnético de la propagación de la luz y los efectos del tipo AB, ambas ondas de materia y de luz están descritas bajo el mismo formalismo y las mismas ecuaciones de movimiento, cuestión que sugiere que la naturaleza que encierran dichos fenómenos ha de ser la misma. Se ha demostrado en [54], [38] que el MEM de interacción en el efecto AB y el modelo magnético tienen el mismo origen físico.

El punto de confluencia de todas estas ideas, radica en dos aspectos fundamentales: la velocidad de fase de la materia y de la luz (electrones y fotones) se ven afectados por la circulación del fluido con velocidad u, mientras que el momento y la velocidad de las partículas no son alterados. Es preciso recordar que, en la interpretación de la relatividad especial, tanto la velocidad de fase de la onda como la velocidad del fotón se han supuesto las mismas, sin hacer ninguna discriminación en el análisis del resultado obtenido por Fizeau.

Entonces es palpable que aunque la velocidad de fase de la luz propagándose en un medio en movimiento es afectada por el fluido, ésta está de acuerdo con el teorema de adición de velocidades de la relatividad especial , sin embargo, según el modelo magnético de la luz, el momento y la velocidad de la partícula no son alterados por el flujo y no hay acuerdo con la relatividad, hecho que no ha sido considerado hasta ahora en la literatura cientifica.

23

Figura 5: Propiedades generales de las ondas. Si las ondas planas (izquierda) interfieren y se propagan en un medio en movimiento, adquieren una fase proporcional a la velocidad del fluido u(x). En el experimento de Fizeau, tenemos ondas de luz en agua en movimiento. En el efecto Aharonov-Bohm, tenemos ondas materiales (electrones) en presencia del potencial A(x) ∝ u(x) que actúa como un fluido electromagnético.

3.2.

Ecuación de Schrödinger y Modelo magnético de la Luz.

Para indicar el papel del MEM en la física moderna, se comienza por conciderar las ecuaciones de ondas para ondas de materia y de luz y mostrar que el término de interacción Q de esas ecuaciones está relacionado a Pe [16]. En general, con el tensor M , la descripción covariante del MEM define al cuadri-vector de estrés de Maxwell Tik momento electromagnético Peα expresado como Pei c = γ



M i 3 (cg + Tik β )d σ

cPe0 = γ



(uem − v · g)d3 σ

(20)

donde β = v/c, y la energía y momento electromagnético son evaluadas en un marco de referencia especial K (0) moviéndose con velocidad v con respecto al sistema de referencia del laboratorio. Aquí, uem es la densidad de energía y S = gc es el flujo de energía.

La analogía entre la ecuación de onda para la luz propagándose en un medio en movimiento y para ondas de materia cargadas ha sido expuesta por Hannay [1] y luego

24 señalada por Cook, Fearn, y Milonni [1] quienes han sugerido que la propagación de la luz en un vórtice fluido es análogo al efecto Aharonov-Bohm (AB), donde ondas de materia cargadas (electrones) rodean un flujo magnético [3]. Generalmente, en efectos cuánticos del tipo AB [3]-[4] ondas de materia son sometidas a una interacción electromagnética como si ellas estuviesen propagándose en un fluido de origen electromagnético que actúa como un medio en movimiento [4] y modifica la velocidad de la onda. Esta analogía ha conducido a la formulación del así llamado modelo magnético de propagación de la luz [1], [2].

De acuerdo con Fresnel [14], ondas de luz propagándose en un medio transparente e incompresible en movimiento, con índice de refracción uniforme n, son arrastradas por el medio y revelan una estructura de interferencia que depende de la velocidad del fluido u (u << c). En el tiempo de Fresnel el sistema inercial preferido era el que llenaba el resto del espacio, el así llamado éter, que aquí puede ser tomado coincidente con el sistema de laboratorio. La velocidad conseguida en el sistema del éter es c 1 + (1 − 2 ) u (21) n n como después fue corroborado por Fizeau [15].

A causa de la analogía formal entre la ecuación de onda para la luz en un medio en lento movimiento y la ecuación de Schrödinger para ondas de materia cargadas en presencia de un potencial vectorial externo A (es decir, el efecto magnético de Aharonov-Bohm), ambas ecuaciones contienen un término que es generalmente referido al momento de interacción Q. Así, la ecuación de Schrödinger para efectos cuánticos del tipo AB (con  = 1) [4] y la ecuación de onda para la luz en un medio en movimiento puede ser escrita [1], [2] como v=

(−i∇ − Q)2 Ψ = p2 Ψ

(22)

La ecuación (22) describe ondas de materia si el momento p es aquel de una partícula material, mientras que si p es tomado como el momento k de la luz (en unidades de  = 1), dicha ecuación (22) describe ondas de luz. a) Todos los efectos del tipo AB discutidos en la literatura [3]-[4] pueden ser descritos por la ecuación (22), siempre que el momento de interacción Q esté relacionado a Pe [4], [16], el momento de los campos electromagnéticos. El  término 3Q ′= (e/c)A 1 del efecto magnético AB es obtenido tomando Q = Pe = 4πc (E × B)d x donde E es el campo eléctrico de la carga y B el campo magnético del solenoide.

Una prueba general de este resultado contenida en el gauge o calibre natural de Coulomb, ha sido dada por algunos autores [18]. Para esos efectos cuánticos, la solución a la ecuación (22) está dada por la función de onda de materia

25

Ψ = eiφ Ψ0 = ei



Q·dx

Ψ0 = ei



Q·dx i(p·x−Et)

e

A

(23)

donde Ψ0 es solución de la ecuación de Schrödinger con Q = 0. b) Cálculos de la cantidad Q = Pe para la luz en un medio en lento movimiento muestra [16] que el término de interacción proporciona el momento de Fresnel-Fizeau [2] ω Q = − 2 (n2 −1)u, (24) c y la solución del tipo de la ecuación (23) puede suponerse de la forma Ψ = eiφ Ψ0 = ei



 Q·dx i (k·dx−ω dt)

e

A; Ψ = ei



(K(x)·dx−ω dt)

A

(25)

donde k y K(x) son vectores de onda, ω = kc/n la frecuencia angular, y n el índice de refracción, mientras que Ψ0 es solución de la ecuación (22) con Q = u = 0.

Actualmente, la ecuación de onda (22) puede ser derivada sin tomar como referencia a la relatividad especial por tomar en cuenta la polarización del medio en movimiento [17].

El hecho de que el momento de interacción Q esté relacionado con Pe [4], [16] para ambas ondas, de materia de los efectos del tipo AB [4] y ondas de luz en medio en movimiento [16], definitivamente refuerza la existente analogía entre las dos ecuaciones de ondas. Dos posibilidades teóricas surgen [2]:  - Por incorporación de la fase φ en el término K(x)·dx, la última expresión en el exponente de la ecuación (25) conserva la usual forma invariante de la solución como es requerido por la relatividad especial y uno encuentra [16] para la velocidad de la luz el siguente resultado v = (c/n) c + (1−1/n2 )u = (c/n) c − Q(c2 /n2 ω) en acuerdo con la ecuación (21) y la Relatividad Especial.

- Manteniendo intacta la analogía con el efecto AB, la solución puede ser elegida como el primer término de la ecuación (25), Ψ = eiφ Ψ0 . En este caso, la velocidad de fase cambia pero la velocidad de la luz (la partícula o fotón) puede no cambiar [2].

Este resultado está en total acuerdo con el resultado análogo para el efecto AB donde Q = (e/c)A y la velocidad de la partícula queda sin cambios por la interacción con el potencial vectorial A. La relación establecida en la ecuación (24) será usada en las próximas secciones para tentativamente expresar en un camino cuantitativo la hipótesis de Consoli y Costanzo [9] refiriendo a v, la velocidad de la luz en un medio enrarecido en movimiento. Con una expresión cuantitativa para v es posible luego formular un experimento dedicado, que examine la hipótesis de Consoli y Costanzo.

26 4.

4.1.

CAPÍTULO IV: E MEM Y LA PROPAGACIÓN DE LA LUZ

Experimento de Fizeau y el Modelo Magnético de la Luz.

En esta sección se considera el modelo magnético de la luz como base para construir los argumentos teóricos que sustenten un nuevo experimento que pruebe o no la realidad de la velocidad de la luz con respecto al éter. Según este modelo, existe una analogía entre la propagación de las ondas electromagnéticas como la luz en un medio en movimiento y las ondas materiales (electrones) en los efectos cuánticos del tipo Aharonov-Bohm. La propagación de las ondas materiales como en efectos del tipo Aharonov-Bohm (AB) y las ondas de luz en un medio en movimiento se pueden escribir bajo un mismo formalismo matemático o ecuación general, además, están caracterizadas por el momento de interacción electromagnético Q. Las soluciones a la ecuación general conduce a interpretaciones que juegan un papel trascendental para los fines de este trabajo. Así, recientes modelos de propagación de la luz en un medio enrarecido en movimiento justifican y requieren un experimento óptico del tipo Mascart-Jamin, capaz de comprobar las interpretaciones modernas de los experimentos sobre el arrastre del éter.

Ecuaciones de onda para el efecto AB y la luz en un medio en movimiento.

De acuerdo a la Teoría de Fresnel [14], las ondas de luz que se propagan en un medio transparente (agua), incompresible y en movimiento con índice refracción uniforme n, es arrastrada por el medio y a un nivel fenomenológico presenta un patrón de interferencia que es influido por la dirección de la velocidad u del fluido.

La velocidad medida en el marco del éter es   c c 1 υ = + ̥u = + 1 − 2 u n n n

(26)

Como efectivamente y con bajo grado de error experimental fue corroborada por Fizeau [15]. Se ha destacado ya que hay una analogía formal entre la expresión no relativista de la ecuación de onda de luz en un medio en lento movimiento y la ecuación de onda de Schrödinger para la materia cargada en presencia de un potencial vector externo A, es decir el efecto magnético AB. Generalmente, en los efectos cuánticos del tipo AB [3]-[4] las ondas de materia experimentan una interacción electromagnética como si ellas estuvieran propagándose

27 en un fluido de origen electromagnético que actúa como un ”medio en movimiento” [3] que afecta y modifica la velocidad de la onda.

Esta analogía ha llevado a la formulación del llamado modelo magnético de propagación de la luz [2], [1]. En ambos casos las ondas interactúan con el medio tal que las ecuaciones de la onda contienen un término llamado generalmente como el momento de interacción Q. De acuerdo al modelo anterior, en la busquedad de una analogía entre las ecuaciones para las ondas de materia y las ondas de luz, la ecuación de onda de Schrödinger para el efecto cuántico del tipo AB (con ℏ = 1) [4] y la ecuación de la onda para la luz en un medio en movimiento pueden escribirse [2], [1] como (i∇ − Q)2 Ψ = p2 Ψ

(27)

a) En el efecto cuántico del tipo AB [3]-[4] no hay fuerzas externas actuando localmente sobre las partículas tal que el momento p = mv y la energía E = (1/2)mv2 se conservan. Para estos efectos cuánticos, la solución a la ecuación (27) es dada por la función de onda material Ψ = eiϕ Ψo = ei



Q·dx

Ψo = αei



Q·dx i(p·x−Et)

e

(28)

Donde Ψo resuelve la ecuación de Schrödinger con Q = 0. b) Para la luz en un medio en movimiento, el término de la interacción es el momento Fresnel-Fizeau [2] 

 n2 − 1 Q=− ωu c2

(29)

Y una solución del tipo (28) puede asumir la forma Ψ = eiϕ Ψo = αeiφ ei



(k·dx−ωdt)

; Ψ = αei



[K(x)·dx−ωdt]

(30)

En 1959 Yakir Aharonov y David Bohm publicaron su trabajo titulado ”Significancia de los potenciales electromagnéticos en la teoría cuántica ” [3] que introduce ideas y conceptos que desafían la visión clásica, causando así un gran revuelo en la física. Esto por el hecho de darle, como ya observamos, un mayor caracter físico a los potenciales y por dar a conocer procesos en los cuales, aún en ausencia de fuerzas locales sobre las partículas del sistema, éstas experimentan cambios en sus propiedades colectivas.

Ellos propusieron un experimento de interferencia de doble rendija con haces de electrones, y un solenoide infinito colocado en medio de las dos rendijas. Si la corriente es apagada en el solenoide el patrón de interferencia no sufre ningún cambio. Pero si la corriente es encendida, entonces se produce un corrimiento del patrón, aunque

28 no haya campo magnético actuando sobre las partículas, ya que éste queda confinado dentro del solenoide. Se tiene así, que el corrimiento en el patrón se produce a pesar de que las fuerzas que actúan localmente sobre las partículas es cero.

Esto es lo que se conoce como el concepto de no localidad. Además, su interpretación cuántica atribuye una importancia física al potencial vectorial, ya que el corrimiento del patrón de interferencia depende de éste, y porque es el único presente en el camino de la partículas.

Otra característica del experimento propuesto por AB, es que el resultado del corrimiento de fase es independiente del camino seguido por las partículas, por lo tanto se dice que es topológico. Así, cualquier efecto que manifieste estas características -no local, cuántico y topológico- se dice que es del tipo Aharanov-Bohm.

Figura 6: Diagrama del efecto Aharonov-Bohm.

Una fuente de electrones (izquierda) lanza un rayo colimado de éstos hacia un solenoide infinito por el cual se hace pasar una corriente i, mientras se toma un patrón de interferencia de las ondas asociadas a los electrones, luego éste se compara con otro tomado mientras la corriente i = 0 .

Es aquí cuando se logra apreciar el desfase en los patrones.

Como se sabe el campo B fuera del solenoide siempre es cero, así que en ningún momento existen fuerzas locales actuando sobre las partículas.

29

Figura 7: Montaje del experimento de tipo Fizeau no Interferométrico: Consiste en una fuente S de pulsos de luz o ”paquetes ”de fotones, los cuales son enviados a través de una tubo que contiene un fluido con índice de refracción n que puede estar en movimiento o estático.

Un detector D una vez que recibe uno de los paquetes envía una señal eléctrica a S quien envía otro pulso. Así, sabiendo el tiempo de reacción de los diversos elementos electrónicos, se puede conocer el tiempo que utilizan los pulsos para viajar a través del fluido, estando este último tanto estático como en movimiento y determinar si dicho tiempo de vuelo, de los fotones vistos como partículas, cambia o no debido al arrastre del fluido en movimiento.

4.2.

Propagación de la Luz en Medio en Movimiento.

La mayoría de los temas controverciales discutidos durante más de 100 años de TER están relacionados al concepto del éter. Como lo hizo notar Duffy [29], los físicos quienes usan el concepto de éter en la física moderna comentan de haberse encontrado con críticas adversas y hostíles, incluso donde sus trabajos son dirigidos hacia avances en física, y no hay sugerencias de llevar la ciencia hacia atrás a los conceptos de ayer en una visión de correguir cosas futuras. Sin embargo, esto también puede significar que sólo algunos conceptos del éter están obsoletos, así para dar una aclaración del concepto moderno de éter puede todavia hacerse algunas conceptualizaciones aceptables y útiles. Dentro de este escenario, Consoli y Costanzo [9], Cahill y Kitto [10], y Guerra y de Abreu [8], después de un re-análisis de los experimentos ópticos del tipo Michelson—Morley, afirman que los datos disponibles apuntan hacia resultados no nulos consistentes, cuando la luz se propaga en los brazos del interferómetro en un gas enrarecido, tal es el caso de aire a presión y temperatura normales.

30 La posibilidad de mantener la existencia de un sistema de referencia privilegiado, y un interés paralelo en los efectos de Michelson-Morley, Trouton-Noble y otros efectos relacionados, surge porque las transformaciones de coordenadas usadas, las transformaciones de Tangherlini [20] (denotadas por transformaciones inerciales en [7] y por transformaciones de sincronización en [8]), que preveen la misma contracción de longitudes y dilatación del tiempo que las transformaciones de Lorentz. Sin embargo, ellas contienen unas arbitrariedades en la determinación de los parámetros de sincronización del tiempo, con la consencuencia de que allí existen cantidades que eventualmente no pueden ser medidas, como la velocidad de la luz en una sola vía, ya que éste valor medido depende del proceso de sincronización adoptado [20]. Diferentes procesos de sincronización son posibles [6]-[9], completamente comparables con la relatividad de Einstein en la práctica, pero con muy diferentes afirmaciones en términos fundamentales y filosóficos [7], [8].

La importancia original de la suposición hecha por Consoli y otros, consiste en corroborar sus afirmaciones de un resultado no nulo y abrir una ventana para la posible existencia de un sistema de referencia privilegiado, así su hipótesis es: - Luz propagándose en un gas enrarecido en movimiento de índice de refracción n muy cercano a 1 se propaga con velocidad c/n, isotrópicamente, en el sistema privilegiado, como si el medio no se estuviese moviendo.

Obviamente, esta hipótesis está en contraste con la velocidad que prevee la relatividad especial [9], pero no lo está con los experimentos ópticos conocidos. Así, esta suposición necesita justificación y corroboración experimental.

En lo que sigue, exploraremos cuales son las posibles modificaciones de la forma de actual del momento de Fresnel-Fizeau cuando el medio en movimiento está constituido por un gas enrarecido. Por simplicidad, supondremos que la velocidad de fase de la luz y la velocidad de su partícula correspondiente en el medio en movimiento coinciden.

En el caso de propagación de la luz, los campos de interacción que caracterizan el fluido son Q ÷ u que generan el correspondiente arrastre o retraso de la luz, así la velocidad de los fotones a través de un medio en movimiento será afectada a un grado que depende de varias propiedades de los campos de interacción en el medio polarizado, como la intensidad y extensión espacial relativa sobre el volumen total, siendo ambas, medidas de la energía de interacción local efectiva.

No es totalmente inconcebible suponer que lo efectivo del mecanismo de retraso de la luz en un medio compacto en movimiento discrepa, y tal vez incluso sustancialmente, del efecto que se presentaria en un medio en movimiento no compacto, como un gas enrarecido, incluso si ellos tienen el mismo índice de refracción n. Como una hipótesis ad hoc o modelo tentativo del mecanismo de retraso de la luz, ha sido

31 supuesto [41] que su efecto ef surge desde la extensión espacial relativa Vi del MEM de interacción Q(u) con respecto a la extensión V del MEM total. Introduciendo luego el cociente ef = Vi /V , como el MEM de interacción efectivo, el cual será usado en la determinación de la velocidad de la luz en el medio en movimiento, asumiendo ser el mismo dado por el término efectivo de Fresnel-Fizeau ef Q = (Vi /V ) Q; mientras que la velocidad de la luz resultante en el medio enrarecido en movimiento es v=

c c2 c 1  c − 2 ef Q =  c + ef (1 − 2 ) u n n ω n n

(31)

La hipótesis de Consoli y otros de la velocidad c/n en el sistema preferenciado para los gases enrarecidos en movimiento, estará justificada por nuestro modelo, si ef = Vi /V resulta ser muy pequeña e insignificante en dicho caso. Cálculos dirigidos a un estimado bruto de Vi /V para aire a temperatura del laboratorio proporciona [41] ef = Na (a3 /R3 ) 22.9 = 6.1 × 10−3 , que puede ser despreciado. Así, nuestro modelo prevee que la velocidad de la luz en el medio en movimiento no es de hecho c/n pero, cuantitativamente los cambios encontrados no alteran significativamente la hipótesis básica y el resultado del análisis de Consoli y otros [9], [10] y Guerra y otros [8].

Es válido recordar que otros argumentos y aproximaciones fuera de la electrodinámica clásica sugieren la validez por encima de la suposición [9]. Como mencionaron Consoli y otros, cuyo argumento está basado en la precencia de ingredientes que son frecuentemente encontrados en los tiempos presentes de la física elemental de partículas, a saber: a) condensación del vacío, como con el campo de Higgs en la teoría electrodébil, y b) una forma aproximada de localidad, proveniente de teorías de campos cuánticos efectivos [21]. La imagen resultante es cercana a un medio con un índice de refracción no trivial [9] que al espacio-tiempo vacío de la relatividad especial.

4.3.

Propagación de la Luz en medios enrarecidos en movimiento.

Experimento original de Mascart y Jamin para propagación de la Luz.

El arreglo experimental usado por Mascart y Jamin [19] se muestra en la Figura 8. La luz de la fuente S incide en la mitad del espejo plateado M. Parte de la luz se refleja en la superficie de la placa de vidrio P y sigue el camino 1, y la otra parte de la luz avanza sobre el camino 2. La segunda placa normal al interferómetro de Jamin se reemplaza por un prisma de ángulo recto para que los caminos ópticos 1 y 2 sean el mismo, sólo que el rayo de luz 1 entra a través del tanque de agua W en el sentido de la dirección de las agujas del reloj, aunque el rayo 2 entra a través del tanque de agua en la dirección contraria a las agujas del reloj. Los dos haces se

32 encuentran y producen la interferencia que se ve por el telescopio. Para los propósitos de discusión, se asumirá que la Tierra está moviéndose en la dirección A a B con la velocidad υ relativa al éter, así que relativo al laboratorio hay un viento de éter de velocidad w = υ tal como se muestra en la Figura 8.

Figura 8: Experimento original de Mascart-Jamin: Los caminos 1 y 2 difieren sólo en el segmento que cruza a través del tanque de agua en la dirección de sentido horario mientras que el camino 2 pasa a través del tanque de agua en sentido anti-horario. El agua en el tanque W está en reposo relativo con el aparato. Ningún desplazamiento de franjas en los patrones de interferencia al recombinarse los dos haces se observó cuando el aparato fue rotado. Acá se asume que la Tierra está moviéndose en la dirección A a B con la velocidad υ relativa al éter, así que relativo al laboratorio hay un viento de éter de velocidad w = υ.

33 Los caminos 1 y 2 necesitan sólo ser considerados sobre una longitud L de agua y una longitud equivalente L de aire como se ilustró en Figura 8; el resto de los caminos es equivalente. Sea c la velocidad de luz en el aire relativa al éter. Si n es el índice de refracción del agua que está en reposo relativo al éter, entonces la velocidad de luz en el agua en reposo relativo al éter es igual a c/n. Considerando el rayo 1 en el sistema del laboratorio en que hay un viento de éter ω; con n = 1 se tiene que la velocidad del rayo 1 sobre la distancia L en el aire es igual al c + w. Sobre la longitud L de agua, el rayo 1 está opuesto a el viento de éter, la velocidad de rayo 1 relativa al laboratorio es igual a (c/n + fw − w), dónde f es el coeficiente de arrastre. El tiempo total para rayo 1, t1 , para cruzar la longitud L de aire y la longitud L de agua en el sentido de las agujas del reloj

t1 =

L L + c + w c/n + fw − w

(32)

El rayo 2 está a favor del viento de éter en el agua pero está opuesto al viento del éter a lo largo del camino de retorno en el aire. En general, no se esperaría que estos dos tiempos sean iguales. Si el aparato se girara 180 grados de tal manera que el viento del éter esté en la dirección opuesta al interferómetro, se esperaría un cambio de franja. Cuando el experimento se realizó por Jamin y Mascart, no fue observado ningún cambio en las franjas, para cualquier orientación del interferómetro. Mascart y Jamin concluyeron que t1 = t2 para todas las orientaciones del interferómetro, y tomando en cuenta sólo los términos de primer orden de w/c, se tiene que 1 =1−f n2 f =1−

1 n2

(33)

Este resultado está de acuerdo con la teoría de Fresnel. Si f no tuviera este valor particular, entonces, en principio, el movimiento relativo de la Tierra al éter podría detectarse en el experimento de Jamin y Mascart.

Experimento modificado de Mascart y Jamin: Una prueba óptica en primer orden v/c para la velocidad del sistema privilegiado.

En el momento en que fue formulada, la teoría de Fresnel fue capaz de explicar el resultado nulo de los experimentos de la deriva del éter que intentaban detectar el viento del éter para primer orden de v/c. Con la hipótesis presente del efecto de un arrastre despreciable por parte de gases enrarecidos en movimiento, los experimentos

34 para la velocidad del sistema privilegiado del orden v/c son significantes de nuevo.

Consideremos por ejemplo el siguiente experimento (ver Figura 9) que es una variante del experimento de Mascart y Jamin de 1874 [19].

Figura 9: Propuesta experimental de tipo Mascart-Jamin: Una fuente de luz S (izquierda) envia un rayo de luz que se divide en dos rayos, independientemente direccionados, cada uno a través de medios distintos con índices de refración n1 y n2 para luego ser recogidos en un sistema que nos permita tomar un patrón de interferencia de los dos rayos y medir un posible desfase al rotar el aparato, que significaría una variación en los tiempos de vuelo de los rayos de luz.

Un rayo de luz se divide en dos rayos, lo cuales se propagan separadamente a través de los brazos 1 y 2 del interferómetro. Los rayos se recombinan en el otro extremo donde un patrón de interferencia es observado. Los brazos 1 y 2 contienen gas transparente enrarecido o material con índice de refracción n1 y n2 y velocidades c/n1 y c/n2 en el marco preferencial, respectivamente. También se puede usar las expresiones para la velocidad en el marco en movimiento que resultan de las Transformaciones de Tangherlini, que pueden encontrarse en [8], [48]. Alternativamente, el cálculo puede hacerse usando la suma de velocidades estándar de la transformación de Lorentz, es decir, usando la definición de velocidad de Einstein como se detalla en [8].Ambas aproximaciones conducen al mismo resultado. La velocidad de la luz en el brazo 1 en el marco del interferómetro, moviendose con velocidad v con respecto al marco preferencial, es respectivamente con las transformaciones de Lorentz

35

v1 =

c/n1 − v 1 − v/(c n1 )

(34)

Y análogamente para w2 . Si L es la longitud de los brazos, el tiempo de retraso, o la diferencia del camino óptico, para los dos rayos, en primer orden de v/c,

∆t(0o ) = L(

  1 1 L v − ) ≃ (n1 − n2 ) 1 + (n1 + n2 ) v1 v2 c c

(35)

Para observar un cambio en las franjas, el interferómetro necesita ser rotado, típicamente 90 o 180 grados. El tiempo de retraso para 180 grados es igual que el de la ecuación (34) con v reemplazada por −v. El cambio observable en la franja en la rotación del interferómetro no desaparece para primer orden de v/c y está relacionado con la variación del tiempo de retraso v L δt = ∆t(0o ) − ∆t(180o ) ≃ 2 (n21 − n22 ) c c

(36)

Seleccionando dos medios con índice de refracción diferente tal que n21 − n22 no sea demasiado pequeña (> 10−3 ), el cambio en las franjas resultantes debe ser fácilmente observable si el marco preferencial existe y su velocidad v no es demasiado pequeña.

Conociendo la sensibilidad del aparato, se podría escoger el límite más bajo observable de la velocidad preferida v. Interferómetros convencionales, usados en experimentos del tipo Michelson-Morley, podría detectar una velocidad v tan pequeña como 1 km/s. Así, este experimento óptico, pasa de pruebas de segundo orden (v/c)2 a. una prueba de primer orden, que debe poder mejorar el rango de detectabilidad de v por un factor (c/v)(n21 − n22 ) ≃ 3 ∗ 102 , es decir, detectar con el mismo interferómetro velocidades tan pequeñas como (3 ∗ 102 )−1 km/s = 3, 3m/s.

Nuevas y más refinadas versiones de experimentos del tipo Michelson-Morley (incluyendo pruebas hechas por Jaseja y otros [50] usando máseres He-Ne) no son apropiados para probar la hipótesis de Consoli y otros [9] debido a la relativa baja sensibilidad de esas propuestas experimentales para gases enrarecidos. Sin embargo, como se mostró más arriba, pruebas ópticas en el primer orden en v/c serían significativas en este caso y proporcionarían avances importantes en aspectos no muy bien conocidos de la óptica de medios enrarecidos en movimiento.

36 5.

5.1.

CAPÍULO V: E MEM EN LA FÍSICA CUÁNTICA

Efectos cuánticos no Locales.

Como se discutió en el capítulo anterior, los efectos cuánticos no locales como los tipo AB son utilizados para desarrollar teorías alternativas que explican la propagación de la luz en medios en movimiento.

Actualmente existen efectos similares para partículas neutras con momento dipolar eléctrico y magnético. Para dipolos magnéticos el efecto es conocido como el efecto Ahanarov-Casher (AC) [51], y para dipolos eléctricos como el efecto Spavieri (S) [4] y el efecto Tkachuk (T) [52]. Los efectos AB y S son libres de campos y de fuerzas, mientras los efectos AC y T son libres de fuerzas pero presentan campos.

Aquí se quiere hacer una revisión de como estos efectos se unifican basados en el MEM presente en sus Hamiltoniano de interacción para cada sistema. Además mostrar, como una posible aplicación de dichos efectos, la determinación de un nuevo límite superior para la masa del fotón.

5.2.

Visión Unificada de los Efectos de Tipo Aharonov-Bohm.

Vamos a revisar la conexión existente entre los efectos de tipo AB y las interacciones electromagnéticas y así mismo con el MEM. Veamos como la interacción electromagnética es la responsable del corrimiento de fase en los efectos del tipo AB, para ello se debe introducir el MEM lineal y el correspondiente MEM angular. Las propiedades geométricas existentes entre el momento lineal y el momento angular, determinan la propiedad topológica del corrimiento de fase y permiten proporcionar una visión unitaria de los efectos de tipo AB en función de ésta [4].

Vemos a continuación como la cantidad Q, responsable del corrimiento de fase de todos los efectos del tipo AB, coincide con el MEM. La interpretación usual del efecto AB consiste en el hecho de que, dos haces coherentes de partículas cuánticas encierran un flujo de campo magnético Φ y que la propiedad topológica del efecto es debido a que la fase no depende del camino de las partículas sino del flujo del campo magnético encerrado. La expresión de la fase para este efecto es la siguiente

∆φ =

1 h



Q · dx =

e hc



A · dx =

2eµ hc



dθ =

e hc



B · dS =

eΦ δn hc

(37)

37 donde Φ = BS = 4πµ es el flujo del solenoide. Esta interpretación en términos de Φ permite reconocer la propiedad topológica del efecto pero no reconoce el significado físico de la cantidad Q. Además, esta interpretación en términos de Φ no es aplicable a los otros efectos para dipolos eléctricos y magnéticos. De hecho, en el efecto AC los dipolos magnéticos encierran un hilo cargado infinito [51]. En el efecto Spavieri y Tkachuk [52] para los dipolos eléctricos estos encierran, en el primer caso el borde de una lámina seminfinita y, en el segundo caso, un campo magnético radial. Ésto da la impresión de que, aunque los efectos manifiestan las mismas caracteristicas, el origen físico en todos los efectos es diferente.

Con el fin de elucidar el origen físico de todos los efectos cuánticos del tipo AB y ver el significado físico de la cantidad Q, es conveniente introducir el MEM 1 Pe = 4πc



(E × B) d3 x′

(38)

Esta cantidad, sorprendentemente, proporciona una visión unitaria de todos los efectos de tipo AB, debido a que en cada caso el Pe coincide con la cantidad Q, es decir, 1 Q = ±Pe = 4πc



(E × B) d3 x′

(39)

donde el signo menos se aplica al efecto AC y x′ es un vector polar con origen en la posición de la carga.

Además, las propiedades topológicas de la fase quedan determinadas por unas relaciones geómetricas entre Q y L (siendo L el momento angular) que se cumplen para cada efecto.

Al resolver se determina [56] que para cada efecto se cumplirá

∆φ = =

  1 |L| Q (x) · dx = ▽θ · dx h h   1 |L| L (▽ × Q (x)) · dS = dθ = 2πn h h h

(40)

Donde L es una constante que representa el MEM angular.

En la ecuación (40) se observa que la razón de cambio angular del corrimiento de fase es igual al MEM angular |L|, y el corrimiento de fase como la intensidad

38 del vórtice 2πL de la singularidad medidos ambos en unidades de h. Un efecto cuántico caracterizado por el corrimiento de fase (40) es topológico en el sentido de que sólo depende de la geometría del vórtice (”fluido”) electromagnético encerrado por el camino de las partículas. Observe también que dentro de esta visión, los efectos pueden ser atribuidos al flujo de MEM angular encerrado por las partículas, en analogía con la interpretación estándar del efecto AB. Para la configuración de campo del efecto AB, B = k2µδ (r) /r, usando la ecuación (38) para calcular Q, se encuentra que Q (x) = L (−yi + xj) /r2 = (q/c) A (x) = L▽θ y L = 2qµ/c.

En el efecto AC una partícula que posee un momento magnético µ se mueve en presencia de un campo eléctrico externo E producido por una línea cargada con densidad lineal λ. En este efecto el momento canónico coincide con el llamado momento escondido del dipolo magnético Q = Qh = µ × E/c = −Pem . Debido a la conservación del momento total, Qh + Pem = 0, Q pueden ser calculado, teniendo como resultado Q = L (−yi + xj) /r2 = µ × E/c = L∇θ, y L = 2λµ/c.

El mismo procedimiento se puede hacer en el efecto Spavieri y Tkachuk, encontrándose una vez más que Q (x) = L∇θ, donde L = 2d0 mτ /c para el efecto Spavieri y L = 4πqd/c para el efecto Tkachuk.

Así, en la visión unitaria, el corrimiento de fase en las ondas de materia se produce cuando ésta interacciona con un vórtice o fluido electromagnético.

Es interesante destacar que los conceptos de topologia, vórtice o fluido, etc, mencionados no se limitan a las ondas de materia de los efectos de tipo AB, sino que han sido extendido a otros tipos de ondas como de agua, luz y sonido [57], [58], [59].

5.3.

Determinación de un Límite Superior de la Masa del Fotón.

Hemos mostrado en las secciones previas que todos los efectos del tipo AB pueden ser descritos en un mismo formalismo por la ecuación de onda (27) donde, para cada uno de los efectos, la cantidad Q representa el MEM ó Pe de interacción. Ambos, la energía y el momento de interacción aparecen en la expresión de la fase de la función cuántica de onda. A través del fenómeno de interferencia, variaciones de fase pueden ser medidas y la cantidad observable puede estar relacionada a variaciones del momento o energía electromagnética de interacción. En las siguientes secciones mostramos como la masa del fotón puede ser medida por la medición de su efecto sobre la variación de fase observable vía la relación que existe con la cantidad de momento o energía eletromagnética.

39 La posibilidad de que el fotón posea una masa finita y sus implicaciones físicas han sido discutidas teóricamente e investigadas experimentalmente por varios investigadores [30], [31]. Originalmente, la masa finita del fotón mγ (medida en centímetros −1 ) ha sido relacionada al rango en donde es válida la ley de Coulomb [30].

Si mγ ̸= 0 esta ley es modificada por el potencial de Yukawa U (r) = e−mγ r /r, con m−1 γ = /mph c = λC /2π donde mph es expresado en gramos y λC es la longitud de onda de Compton del fotón.

Existen pruebas directas e indirectas para la masa del fotón, muchas de ellas basadas en aproximaciones clásicas. Trayendo acotación algunos de los experimentos clásicos, mencionamos los resultados de Williams, Faller y Hill [30] proporcionando 9 el rango superior para la masa del fotón de m−1 γ > 3 × 10 cm, y de Luo, Tu, Hu, −1 13 y Luan [31] proporcionando el rango de mγ > 1.66 × 10 cm y la correspondiente masa del fotón mph < 2.1 × 10−51 g.

Si la masa del fotón es nula, los efectos cuánticos prevén resultados teóricos bien definidos que han sido corroborados experimentalmente hasta una precisión típica de 10−3 . Si la masa no es nula, la previsiones teóricas cambian ya que cambian los campos electromagnéticos, de acuerdo a lo previsto por la ecuación de Proca. Si la masa es bastante grande los cambios podrían ser tales que superarían la precisión estándar de 10−3 . Si al realizar el experimento esto no se ha observado, se deduce que la masa a lo máximo llega a producir cambios dentro del valor de precisión. Este hecho impone un límite a la masa del fotón que queda así determinado indirectamente por el experimento que involucra el efecto cuántico Algunas conjeturas con relación al efecto Aharonov-Bohm (AB) [3] han sido desarrolladas asumiendo interacciones electromagnéticas de campos de rango infinito, es decir, masa del fotón cero. La posibilidad de que cualquiera de los efectos asociados viene manifestado dentro del contexto de la electrodinámica de rango finito ha sido discutido por Boulware y Deser (BD) [32]. En sus aproximaciones, BD consideran el enganche de la masa del fotón mγ , como predice la ecuación de Proca  m2 Π(ρ),que ∂ν F µν +m2γ Aµ = J µ , y calcula el campo magnético resultante B = B0 +k γ podría ser usado en una prueba del efecto AB. Debido a la presencia de ese término extra dependiente de la masa del fotón, BD obtuvo un límite no trivial sobre el rango del fotón transversal desde un experimento ”table-top”, proporcionando 7 m−1 γ > 1.4 × 10 cm.

Después del efecto AB, otros efectos cuánticos de este tipo han sido desarrollados, como aquellos asociados con partículas neutras que poseen un dipolo magnético intrínseco [33] o un momento dipolar eléctrico [4], y aquellos con partículas que poseen propiedades electromagnéticas opuestas, tal como cargas eléctricas o momentos dipolares opuestos [4], [34], [36]. El impacto de algunos de esos nuevos efectos sobre la

40 masa del fotón han sido estudiados por Spavieri y Rodriguez (SR) [37].

Basados en argumentos teóricos de invarianza de calibre, SR ponen en evidencia que, en analogía con el efecto AC para una superposición coherente de haces de dipolos magnéticos de momentos magnéticos opuestos ±µ [35] y el efecto para dipolos eléctricos de momentos opuestos ±d [36], un efecto del tipo AB, el efecto Spavieri, para una superposición coherente de haces de partículas cargadas con cargas opuestas ±q es teóricamente posible [34]. Usando este efecto, SR evalúan su relevancia y eventualmente determinan un límite para la masa del fotón mph , obtieniendo 6 −1 13 m−1 γ = 10 mγBD ≃ 2 × 10 cm.

(41)

Con su experimento table-top, BD obtuvieron el valor m−1 γBD ≃ 140Km que es −45 equivalente a mphBD = 2.5 × 10 g. Con la aproximación de SR, el nuevo límite de la masa del fotón es mph ≃ 2 × 10−51 g el cual es del mismo orden de magnitud del encontrado por Luo y otros [31].

El efecto Aharonov-Bohm escalar y la masa del fotón.

Habiendo explorado el efecto magnético de AB en las secciones previas, consideremos ahora el efecto AB escalar. En este efecto, patículas cargadas interactúan con un potencial externo escalar V . La fase estándar ϕs adquirida durante el tiempo de interacción es 1 ϕs = 



eV (t) dt

(42)

En el experimento actual un cilindro conductor de radio R es colocado en presencia del potencial V durante un tiempo τ mientras electrones viajan dentro de él. Ninguna fuerza actúa sobre las cargas, así que es un efecto cuántico libre de campos. Si la masa del fotón no desaparece el potencial es modificado de acuerdo a la ecuación de Proca. La ley de Gauss es modifcada y el potencial Φ obedece la ecuación ∇2 Φ − m2γ Φ=0

(43)

con la condición de contorno que el potencial sobre el cilindro es V . Consecuentemente, de acuerdo a la ecuación (43), la contribución debida a la masa del fotón al cambio de fase relativa es δϕ = δϕs + ∆ϕ = δϕs +

 m2γ  2 ρ − R2 δϕs .

4

(44)

41 Obviamente, este término en el cambio de la fase adicional desaparece si mγ desaparece y los resultados estándares son recuperados.

El último término de la ecuación(44) es el realmente útil para la determinación de la masa del fotón en un experimento indirecto. Consideramos el caso simple de un rayo viajando dentro del cilíndro 1 y de otro rayo viajando fuera del mismo (V2 (t) = 0) para un corto intervalo de tiempo τ . Se sigue que ∆ϕ = δϕ − δϕs así ∆ϕ = −

 τ em2γ  2 ρ − R2 V 4 

(45)

donde V = V1 (t) − V2 (t). Este es nuestro resultado principal para la determinación del límite superior de la masa del fotón.

Experimentos interferométricos pueden ser desarrollados con una precisión superior a 10−4 , por lo tanto, siguiendo las aproximaciones de BD y SR se fija ∆ϕ = ε, ε = 10−4 . También, suponemos que el rayo 1 viaja casi en el centro del cilindro (ρ ≪ R) por lo tanto  R πV τ m−1 (46) γ = 2 ε(h/2e) 7 Los siguientes valores pueden ser usados para estimar m−1 γ : V = 10 V , h/2e = 2.067 × 10−15 T m2 , τ = 5 × 10−2 s y R = 27cm. El rango correspondiente de la masa del fotón es 13 m−1 γ = 3, 4 × 10 cm

(47)

el cual lleva a mejorar el límite de la masa del fotón a mγ = 9, 4 × 10−52 g, pero teniendo en cuenta que es hay que justificar los valores usados para τ y R, los cuales son bastante altos.

Es intersante comparar la magnitud de la fase de AB en su efecto escalar con la del efecto magnético de AB. La fase del efecto escalar de AB puede ser expresada como eV τ /, mientras que la fase magnética de AB es eAL/(c), y la conexión entre las partículas en la senda clásica es L = τ v con v su velocidad, la cual es asumida uniforme.

De acuerdo a la relatividad especial, el magnetismo es un efecto de segundo orden de electricidad, por lo tanto en condiciones normales la magnitud del conglomerado eA/c es más pequeño que el conjunto eV . Como una consecuencia de ésto, la variación de fase debido a la masa finita del fotón debería ser más pequeña en el efecto magnético que en el efecto escalar de AB.

42 En otras palabras, el efecto escalar de AB debería estar llevándonos a un mejor límite para la masa del fotón que el efecto magnético de AB. Sin embargo, la consideración anterior es válida si en los experimentos tenemos longitudes de caminos comparables, es decir, si τ ≃ L/v. En el experimento table-top por SR [37] L es del orden de varios metros. Escogiendo como partículas cargadas pesados iones, por ejemplo 133 Cs+ , su velocidad puede ser 27m/s [40]. Con esta velocidad y L = 1, 35m para la longitud del cilindro, obtenemos τ = 5× 10−2 s para el tiempo de vuelo dentro del cilindro. Así, siendo τ ≃ L/v, el resultado mejorado de la ecuación (47) obtenido explotando el efecto escalar de AB es justificado.

No obstante, los altos valores elegidos para R y L implican que los rayos de partículas cargadas tendrán que mantener su estado de coherencia a través de una región extesa del espacio L = 1, 35m durante el proceso de medida interferométrico, mientras en la interferometría estándar las separaciones o longitudes de caminos son del orden de unos cuantos cm. Así, son necesarios adelantos tecnológicos en este respecto, como también es mencionado en el artículo de SR [37] y sus referencias citadas.

43 6.

CAPÍTULO VI: CONCLUSIONES, RESULTADOS Y PROYECCIONES FUTURAS

Se ha revisado el papel del MEM en la física moderna. En vista de los nuevos avances teóricos en electrodinámica clásica y cuántica, se propone una serie de experimentos con el objeto de corroborar: - La existencia del momento electromagnético, - La Ley de Faraday en su forma diferencial, - Medir el campo eléctrico de la Tierra, - La interpretación relativista de la electrodinámica clásica y - La expresión correcta de la conservación del momento angular de un sistema aislado.

Se ha dado a conocer que los momentos de interacción Q de los efectos del tipo AB y de luz en medio en movimiento tienen el mismo origen físico, es decir, están dados por la variación del momento electromagnético de interacción de los campos Pe . En relación con la propagación de la luz en medios en movimiento queda todavía por aclarar el mecanismo de retraso de la luz en un gas enrarecido, el cual difiere del que se genera en un fluido o sólido transparente compacto.

Así, consideramos un modelo tentativo de propagación de la luz que valida el análisis cuantitativo hecho por Consoli y otros [9] y Guerra y otros [8]. Como una prueba de la velocidad de la luz en un medio enrarecido en movimiento y de la velocidad del sistema de referencia privilegiado, proponemos un experimento óptico de primer orden de v/c que es una variante del histórico experimento de MascartJamin.

El MEM de interacción de los campos Pe aparece también en pruebas de la fuerza que existe sobre corrientes abiertas, mientras la realidad de Pe es conectada a pruebas de la violación del momento angular mecánico de un sistema aislado. Para esta propuesta hemos desarrollado un experimento que evidencia esta violación para un condensador cilíndrico cargado suspendido en presencia de un campo magnético B que varía en el tiempo.

Finalmente, hemos utilizado un enfoque cuántico para la realización de un experimento indirecto basado en un trabajo de Boulware y Deser para determinar el límite para la masa del fotón. Además verificamos su aplicabilidad para otros efectos del tipo AB, concluyendo que el efecto Spavieri para haces de partículas cargadas y el efecto escalar de AB son buenos candidatos para determinar el límite de la masa del fotón mγ . Usando esta aproximación cuántica para evaluar el límite de mγ con el efecto escalar de AB, nosotros desarrollamos un experimento realista que lleva el límite a mph = 9, 4 × 10−52 g, un importante resultado que mejora los recientes límites determinados con aproximaciones clásicas y cuánticas. En conclusión, avances en esta área indican que el límite de la masa del fotón alcanzable con una aproximación cuántica puede competir e incluso superar los métodos clásicos tradicionales.

44 7.

A A: D   M E

Se puede comenzar considerando el trabajo total efectuado por los campos que se ejerce por unidad de tiempo en un volumen finito V sobre una distibución continua de cargas y corrientes como J.E el cual es una conversión de energía electromagnética en mecánica o calorífica.

Puesto que en último término la materia se compone de partículas cargadas (electrones y núcleos atómicos), se consideran estas variaciones como aumento de la energía de las partículas cargadas por unidad de tiempo, y por unidad de volumen. Así, se puede interpretar el teorema de Poynting para los campos microscópicos como si se estableciera la conservación de la energía en el sistema combinado de partículas y campos. Si se designa la energía total de las partículas interiores al volumen V mediante Emec y se supone que ninguna partícula sale del mismo, se tiene dEmec = dt



J.Ed3 x

El teorema de Poynting dice que la energía se conserva en el sistema combinado dE d = (Emec + Ecampo ) = − dt dt



n.Sda

donde la energía total del campo por unidad de volumen es

Ecampo =



V

1 ud x = 8π 3



(E2 + B2 )d3 x

V

Análogamente se puede considerar la conservación del momento. Se sabe que la fuerza sobre una carga q en un campo externo E es qE. Según la ley fundamental relativa a fuerzas sobre corrientes 1 F= c



J(x) × B(x)d3 x

45

se puede deducir que la fuerza magnética sobre una carga q, que se mueve con una velocidad v en una inducción magnética externa B, es: (q/c)v×B. Así, la fuerza electromagnética total sobre la partícula es

F = q(E +

v ×B) c

Recibe el nombre de fuerza de Lorentz. A pesar de haberse obtenido esta expresión basándose en fenómenos estacionarios, se cumple perfectamente para todas las partículas cargadas con velocidades cualesquiera.

Según la segunda ley de Newton, podemos escribir dp v = q(E + ×B) dt c Se designa por Pmec la suma de todos lo momentos de todas las partículas contenidas en el volumen V, se tiene

dPmec = dt

   1 ρE + J × B d3 x c V

Se ha convertido la suma extendida a las partículas en una integral constituida de densidades de carga y corriente. Se puede utilizar las ecuaciones de Maxwell para eliminar ρ y J en la ecuación anterior, sabiendo que

ρ= c J= 4π

1 ▽ ·E 4π

  1 ∂E ▽×B− c ∂t

Obsérvese que en las ecuaciones anteriores sólo aparecen E y B y no H o D. Esto se debe a que se consideran todas las cargas interviniendo en la parte mecánica del sistema, y en las ecuaciones microscópicas sólo E y B tienen sentido.

Sustituyendo dichas ecuaciones en el Pmec e integrando se obtiene

46

  1 1 1 ∂E ρE + J × B = E(▽ · E) + B× − B × (▽ × B) c 4π c ∂t Teniendo en cuenta que B×

∂E ∂ ∂B = − (E × B) + E × ∂t ∂t ∂t

y sumando B(▽·B)=0 al paréntesis cuadrado, se tiene 1 ρE + J × B = c 1 1 ∂ [E(▽ · E) + B(▽ · B) − E × (▽ × E) − B × (▽ × B)] − (E × B) 4π 4πc ∂t Y así se tiene como expresión de la variación de momento mecánico con el tiempo: dPmec d + dt dt 1 4π



V



V

1 (E × B) d3 x = 4πc

[E(▽ · E) + B(▽ · B) − E × (▽ × E) − B × (▽ × B)] d3 x

Se puede identificar la integral de volumen del primer miembro como el momento electromagnético (MEM) total Pe o Pcampo en el volumen V

Pe = Pcampo

1 = 4πc



V

(E × B) d3 x

El integrando puede ser considerado como la densidad de momento electromagnético.

47 8.

A B: D   E   M J

Los caminos 1 y 2 necesitan sólo ser considerados sobre una longitud L de agua y una longitud equivalente L de aire como se ilustró en Figura 6; el resto de los caminos es equivalente. El tiempo total para rayo 1, t1 para cruzar la longitud L de aire y la longitud L de agua en el sentido de las agujas del reloj L L t1 = + c + w c/n + fw − w

El rayo 2 está a favor del viento de éter en el agua pero está opuesto a el viento del éter a lo largo del camino de retorno en el aire. El tiempo que toma el rayo 2 para cruzar una distancia L de agua y una distancia L de aire en el sentido anti-horario es igual a L L t2 = + c − w c/n − fw + w

En general, no se esperaría que estos dos tiempos sean iguales. Si el aparato se girara 180 grados de tal manera que el viento del éter esté en la dirección opuesta al interferómetro, un cambio de franja se esperaría. Cuando el experimento se realizó por Jamin y Mascart, ningún cambio de la franja fue observado, para cualquier orientación del interferómetro. Mascart y Jamin concluyeron que t1 = t2 para todas las orientaciones del interferómetro, esto es L L L L + = + c + w c/n + fw − w c − w c/n − fw + w 1 1 1 1 − = − c−w c+w c/n − w(1 − f) c/n + w(1 − f ) c2

c w2 c2

2



2w = − w2

c2 n2

2w(1 − f )

− w2 (1 − f)2

   1 w2 w2 2 2 − 2 (1 − f ) = c 1 − 2 (1 − f) n2 c c

Si es supuesto que w es mucho más pequeña que c, entonces los términos de orden pueden despreciarse, y se toma en cuenta los de primer orden de w/c 1 =1−f n2 f = 1 − n12 Este resultado está de acuerdo con la teoría de Fresnel.

48 9.

A C: E  T AB     M  F.

Considere ahora el efecto AB escalar. En este efecto, partículas cargadas interactúan con un potencial externo escalar V . La fase estándar ϕs adquirida durante el tiempo de interacción es 1 ϕs = 



eV (t) dt

En el experimento actual un cilindro conductor de radio R es sometido a un potencial V durante un tiempo τ mientras electrones viajan dentro de él. Si la masa del fotón no desaparece el potencial es modificado de acuerdo a la ecuación de Proca (próxima ecuación). La ley de Gauss es modifcada y el potencial Φ obedece la ecuación

∇2 Φ − m2γ Φ=0 con la condición de contorno que el potencial sobre el cilindro es V . En coordenadas cilíndricas las soluciones a la ecuación de Proca son las funciones de Bessel de orden cero, I0 (mγ ρ) y K0 (mγ ρ) las cuales son regulares en el origen y en el infinito, respectivamente. Se sigue que la solución es 

  m2γ  2 2 Φ (ρ) ≃ V 1 + ρ −R 2 donde los primeros dos término de la expanción de I0 (mγ ρ) han sido considerados [39].

Para dos rayos de cargas pasando a través de dos cilindros separadores e interfiriendo entre sí, el cambio de fase relativo es

δϕs =

1 



e [V1 (t) − V2 (t)] dt

donde V1 (t) y V2 (t) son los potenciales aplicados al cilindro 1 y 2 respectivamente.

Consecuentemente, la contribución debida a la masa del fotón al cambio de fase relativa es

49

δϕ = δϕs + ∆ϕ = δϕs +

 m2γ  2 ρ − R2 δϕs 4

El último término de la ecuación anterior es el útil para la determinación de la masa del fotón en un experimento de mesa o indirecto. Consideramos el caso simple de un rayo viajando dentro del cilíndro 1 y de otro rayo viajando fuera del mismo (V2 (t) = 0) para un corto intervalo de tiempo τ . Se sigue que ∆ϕ = δϕ − δϕs así

∆ϕ = −

 τ em2γ  2 ρ − R2 V 4 

donde V = V1 (t) − V2 (t). Este es nuestro resultado principal para la determinación del límite superior de la masa del fotón.

Experimentos interferométricos pueden ser desarrollados con una precisión superior a 10−4 , por lo tanto, siguiendo las aproximaciones de BD y SR nosotros fijamos ∆ϕ = ε, ε = 10−4 . También, suponemos que el rayo 1 viaja casi en el centro del cilindro (ρ ≪ R) por lo tanto

m−1 γ

R = 2



πV τ ε(h/2e)

7 Los siguientes valores pueden ser usados para estimar m−1 γ : V = 10 V , h/2e = −15 2 −2 2.067 × 10 T m , τ = 5 × 10 s y R = 27cm. El rango correspondiente de la masa del fotón es 13 m−1 γ = 3, 4 × 10 cm

el cual lleva a mejorar el límite de la masa del fotón a mph = 9, 4 × 10−52 g, pero teniendo en cuenta que es hay que justificar los valores usados para τ y R, los cuales son bastante altos (ver Capítulo 5).

50 R [1] J. H. Hannay, unpubl., Cambridge Univ. Hamilton prize essay (1976); R. J. Cook, H. Fearn, and P. W. Milonni, Am. J. Phys. 63 (1995) 705.

[2] G. Spavieri and G. T. Gillies, Chin. J. Phys., 45 (2007) 12; G. Spavieri, G. T. Gillies et al., in Ether, Spacetime and Cosmology, (2007) in press.

[3] Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115 (1959) 485; Y. Aharonov and A. Casher, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 319; G. Spavieri, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1533, Phys. Rev. A 59 (1999) 3194; M. Wilkens, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 5; V. M. Tkachuk, Phys. Rev. A 62 (2000) 052112-1.

[4] G. Spavieri, Phys. Rev. Lett. 82, 3932 (1999); Phys. Lett. A, 310, 13 (2003); Eur. J. Phys. D, 37 (2006) 327.

[5] G. Spavieri and G. T. Gillies, Nuovo Cimento, 118 B (2003) 205; G. Spavieri, L. Nieves, M. Rodriguez, and G. T. Gillies. Has the last word been said on Classical Electrodynamics?-New Horizons, Rinton Press, USA (2004) 255.

[6] J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge Univ.

Press, Cambridge, 1988; C. Leubner, K. Aufinger, P. Krumm, Eur. J. Phys. 13 (1992) 170.

[7] F. Selleri, Found. Phys. 26 (1996) 641; Found. Phys. Lett. 18 (2005) 325.

[8] R. de Abreu, V. Guerra, Relativity—Einstein’s Lost Frame, 1st ed., Extra]muros[, Lisboa, 2005. V. Guerra and R. de Abreu, Found. Phys. 36 (200691826; V. Guerra and R. de Abreu, Phys. Lett. A 333 (2004) 355.

[9] M. Consoli, E. Costanzo, Phys. Lett. A 333 (2004) 355; astro-ph/0311576; M. Consoli, A. Pagano and L. Pappalardo, Phys. Lett. A 318 (2003) 292; M. Consoli, Phys. Rev. D 65 (2002) 105017; Phys. Lett. B 541 (2002) 307; M. Consoli and E. Costanzo, Phys. Lett. A 361 (2007) 513.

[10] R.T. Cahill, K. Kitto, physics/0205070; Apeiron 10 (2003) 104; R.T. Cahill, Apeiron 11 (2004) 53.

[11] D.C. Miller, Rev. Mod. Phys. 5 (1933) 203.

[12] A. Brillet and J. L. Hall, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 549; H. Müller, S. Herrmann, C. Braxmaier, S. Schiller and A. Peters, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 020401; T. S. Jaseja, A. Javan, J. Murray and C. H. Townes, Phys. Rev. 133 (1964) A1221.

[13] L. Indorato and G. Masotto, Annals of Science, 46, 117-163 (1989).

[14] A. J. Fresnel, Ann. Chim. (Phys.) 9 (1818) 57.

51 [15] H. Fizeau, C. R. Acad. Sci. (Paris) 33, 349 (1851).

[16] G. Spavieri, Eur. Phys. J. D, 39 (2006) 157.

[17] W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Sec. 11-5, sec. ed. (Addison-Wesley, Reading, 1962).

[18] See: T. H. Boyer, Phys. Rev. D 8 (1973) 1667; X. Zhu and W. C. Henneberger, J. Phys. A 23 (1990) 3983; G. Spavieri, in Refs.

[19] E. Mascart and J. Jamine, Ann. Éc. norm. 3 (1874) 336.

[20] F. R. Tangherlini, Supp. Nuovo Cimento 20 (1961) 1; T. Sjodin, Nuovo Cimento, B 51 (1979) 299; T. Sjodin and M. F. Podlaha, Lett. Nuovo Cimento, 31 (1982) 433; R. Mansouri and R. V. Sexl, Gen. Rel. Grav., 8, (1977) 497, 515, 809.

[21] G. E. Volovik, JETP Lett. 73 (2001) 162.

[22] H. A. Rowland, Am. J. Sci. Art., 15, 30-38 (1878).

[23] W. C. Röntgen, Wied. Ann., 35, 264 (1888); 40, 93 (1890).

[24] F. Himstedt, Wied. Ann., 38, 560 (1889).

[25] V. Crémieu, Com. Rend., 130, 1544, and 131, 578 and 797 (1900); 132, 327 (1901).

[26] H. Pender, Phil. Mag., 2, 179 (1901).

[27] E. P. Adams, Phil. Mag., 2, 205 (1901) [28] V. Crémieu and H. Pender, Phys Rev, 17, 385-409 (1903).

[29] M. Duffy, private comm., Int. Conf. Physical Interpretation of Relativity Theory 2006.

[30] E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, Phys. Rev. Lett., 26, 721 (1971); L. Davis, A.S. Goldhaber and M. M. Nieto, Phys. Rev. Lett., 35, 1402 (1975); P. A. Franken and G. W. Ampulski, Phys. Rev. Lett, 26, 115 (1971); J. J. Ryan, F. Accetta, and R. H. Austin, Phys. Rev. D, 32, 802 (1985); R. Lakes, Phys.

Rev. Lett. 80, 1826 (1998).

[31] J. Luo, L.-C. Tu, Z. K. Hu, and E.-J. Luan, Phys. Rev. Lett., 90, 081801-1 (2003); L.-C. Tu, J. Luo, and G. T. Gillies, Rep. Prog. Phys. 68, 77 (2005).

[32] D. G. Boulware and S. Deser, Phys. Rev. Lett., 63, 2319 (1989).

[33] G. Spavieri, Phys. Lett. A, 310, 13 (2003).

52 [34] G. Spavieri, Eur. J. Phys. D, 37, 327 (2006).

[35] K. Sangster, E.A. Hinds, S.M. Barnett, E. Riis, Phys. Rev. Lett. 71, 3641 (1993); K. Sangster, E.A. Hinds, S. M. Barnett, E. Riis, A.G. Sinclair, Phys. Rev. A 51, 1776 (1995); see also R.C. Casella, Phys. Rev. Lett. 65, 2217 (1990).

[36] J.P. Dowling, C.P. Williams, J.D. Franson, Phys. Rev. Lett. 83, 2486 (1999).

[37] G. Spavieri and M. Rodriguez, Phys. Rev. A 75, 052113 (2007) [38] G. Spavieri, Eur. J. Phys. D, 39, 157 (2006).

[39] B. Neyenhuis, D. Christensen, D. S. Durfee, arXiv:physics/0606262v3, (2006).

[40] Z. T. Lu, K. L. Corwin, M. J. Renn, M. H. Anderson, E. A. Cornell, and C. E. Wieman, Phys. Rev. Lett. 77, 3331 (1996).

[41] Spavieri, Gillies, Vasco submitted.

[42] F.Trouton and H. R. Noble, Proc. Royal Soc., 72, 132 (1903) [43] R. J. Cook, H. Fearn, and P. W. Milonni, Am. J. Phys. 63, 705 (1955).

[44] C. T. Chace, Phys. Rev., 28, 378 (1926) [45] H. C. Hayden, Rev Sci. Instruments, 65, 788 (1994) [46] Shockley and R. James, Phys. Rev. Lett, 18, 876 (1967) [47] M. Consoli, A. Pagano and L. Pappalardo, Phys. Lett. A 318 (2003).

[48] F. R. Tangherlini, Supp. Nuovo Cimento 20 (1961) 1.

[49] V. Guerra and R. Abreu, Phys. Lett. A 361 (2007) 509.

[50] T. S. Jaseja, A. Javan, J. Murray and C. H. Townes Phys. Rev. 133, A1221A1225 (1964).

[51] Y. Aharonov and A. Casher, Phys. Rev. Lett. 53, 319 (1984).

[52] V. M. Tkachuk, Phys. Rev. A. 62, 052112-1 (2000) [53] G. Spavieri, J. Erazo, A. Sánchez, J. Ayazo, and M. Rodríguez. Electromagnetic Phenomena, V.6, N. 1 (16) (2006).

[54] G. Spavieri, J. Erazo, A. Sánchez, J. Ayazo, and G. T. Gillies. To be published in Hadronic Journal Book Project.

53 [55] G. Spavieri, J. Erazo, A. Sรกnchez, and G. T. Gillies. Testing the locality of electromagnetic interactions in the special Theory of relativity. To appear in Proceedings of Physical Interpretation of Relativity Theory Conference, London 2006.

[56] M. Rodriguez, Avances en Electrodinรกmica Clรกsica y Nuevos Efectos Cuรกnticos del Tipo Aharonov-Bohm. Universidad de Los Andes, 2003.

[57] U. Leonhardt and Piwnicki, Phys. Rev. A, 60, 4301 (1999).

[58] M.V. Berry, R. G. Chambers, M. D. Large, C. Upstill and J. C. Walmsley, Eur. J. Phys. 1, 154 (1980).

[59] P. Roux, J. de Rosny, M. Tanter, and M. Fink, Phys. Rev. Lette. 79, 3170 (1997).