Fysikk 2
INGA HANNE DOKKA
ANDREAS HELLESØY
ALEKSANDER SELAND
EDVARD KNUTSEN SKÅLAND
PETTER CALLIN
PETTER CALLIN
INGA HANNE DOKKA
ANDREAS HELLESØY
ALEKSANDER SELAND
EDVARD KNUTSEN SKÅLAND
Fysikk
BOKMÅL
ERGOFysikk2 følger læreplanen i fysikk 2 for Vg3 i studiespesialiserende utdanningsprogram (LK20).
© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2022
3. utgave / 2. opplag 2022
Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Lars Nersveen
Grafisk formgiving og omslag: Louise Zyskind
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Bilderedaktør: Kathrine Klinkenberg
Illustrasjoner og tekniske tegninger: Sveen & Emberland Illustrasjon AS
Grunnskrift: Sabon 10,3/15
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-31939-6 Aunivers.no
Bildekrediteringer ERGOFysikk2 S. 4/5: Amei Ott/EyeEm/Getty images, s. 6/7: Andre Schoenherr/Getty images, s. 10: TED KINSMAN / SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 14: miodrag ignjatovic/iStock, s. 20: Alexander Zemlianichenko Jr/NTB Scanpix (speilvendt), s. 33: Birna Rørslett/Samfoto/NTB, s. 38: NTB/Marit Hommedal/NTB Scanpix, s. 40: Terje Bendiksby/NTB, s. 49: smuay/iStock, s. 61: Dan Grytsku/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 70/71: EPA/PETER KLAUNZER/NTB Scanpix, s. 77: Frederiksen Scientific A/S, s. 78: Stefan Sollfors/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 81: sipausa/IPA/NTB Scanpix, s. 86: Schnelle/iStock, s. 87: Schnelle/iStock, s. 88: Adam Smigielski/iStock, s. 91: Reuters/Phil Noble/ NTB Scanpix, s. 92: Jonathan Ferrey/Getty images, s. 98: Samfoto/Thorfinn Bekkelund/NTB Scanpix, s. 114: Shutterstock editorial/Caters News Agency Ltd/REX/NTB Scanpix, s. 119: AnnaTamila/Shutterstock/NTB Scanpix, s. 122/123: NASA, s. 124: deimagine/iStock, s. 125: Cenk E. Tezel, Tunç Tezel (TWAN)/NASA, s. 126: SSPL/Jamie Cooper/Getty images, s. 131: NASA/JPL, s. 133: Hans Berggren/Getty images, s. 135: v: gvictoria/iStock, h: gvictoria/iStock, s. 136: NASA, s. 137: ø: NASA/Jet Propulsion Laboratory-Caltech, n: Reuters/Thom Baur/NTB Scanpix, s. 138: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 139: David Travis/500px/Getty images, s. 140: 3DSculptor/iStock, s. 143: ø: The Washington Post /Getty images, n: Science History Image/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 145: Stocktrek Images/Getty, s. 153: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 157: Christopher Magnus Vassend, s. 160/161: EHT Collaboration, s. 166: Marco Bottigelli/Getty images, s. 167: imageBROKER/bilwissedition/NTB Scanpix, s. 169: Shutterstock editorial/REX/NTB Scanpix, s. 173: MARKA/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 182: © 1997-2021 CERN, s. 189: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 190: NASA/ESA, s. 192: Zuma Press/Event Horizon Telescope/NTB Scanpix, s. 194: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 195: Christian Offenberg/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 196: Courtesy Caltech/MIT/LIGO Laboratory, s. 208/209: TED KINSMAN/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 210: Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 216: parkerphotography/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 218: CribbVisuals/iStock, s. 226: ø: Andreas Hellesøy, n: yotananchankheaw/iStock, s. 228: PETER MENZEL/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 246/247: Cristian Baitg/Getty images, s. 248: ø: Spondylolithesis/iStock, n: Andreas Hellesøy, s. 249: The History Collection/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 250: LMWH/ Shutterstock/NTB Scanpix, s. 251: Andreas Hellesøy, s. 253: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 254: v: paul ridsdale/Alamy Stock Photo/ NTB Scanpix, h: Jupe/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 255: ø: Science Photo Library/Science Photo Library/NTB Scanpix, n: Historic Images/ Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 157: v: The History Collection/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, h: Moonik/Institut de France, s. 261: Andreas Hellesøy, s. 262: Hertzog, Samuel Joseph/CERN, s. 263: v: akg-images/NTB Scanpix, h: Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 265: Steve Plass Photography/Getty images, s. 271: ø: Andreas Hellesøy, n: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 273: UK Atomic Energy Authority, s. 278: NG Images/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, s. 284: Shutterstock editorial/Historia/REX/NTB Scanpix, s. 285: ESA/Rosetta/ NAVCAM, s. 304/305: Robert Niedring/Getty images, s. 307: Science Photo Library/Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 310: Andreas Hellesøy, s. 317: Boris SV/Getty images, s. 322: r.classen/Shutterstock/NTB Scanpix, s. 328: Mauro Bianchi/Shutterstock/NTB Scanpix, s. 335: Aftenposten/Trond J. Strøm/NTB Scanpix, s. 337: Andreas Hellesøy, s. 338: Samfoto/Birna Rørslett/NTB Scanpix, s. 339: v: Aftenposten/ Bjerva Knut G./NTB Scanpix, m/h: Andreas Hellesøy, s. 340: ø: Ersin ergin/Shutterstock/NTB Scanpix, n: Everett Collection/Shutterstock/NTB Scanpix, s. 341: ø: Alpha Stock/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, n: Bim/Getty images, s. 356/357: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 359: ø: Roberto Lo Savio/Alamy Stock Photo/NTB Scanpix, m/n: GIPHOTOSTOCK/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 361: Mark Lakomcsik/iStock, s. 366: temet/iStock, s. 367: Shutterstock editorial/Historia/REX/NTB Scanpix, s. 370: Shutterstock editorial/ Historia/REX/NTB Scanpix, s. 371: OMIKRON/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 372: Cultura Creative RF/Alamy Stock Photo/ NTB Scanpix, s. 373: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 374: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 378: © 2008 CERN, s. 380: ø: CERN, n: Mary Evans Picture/NTB Scanpix, s. 383: CENTRE JEAN PERRIN, ISM/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 384: CERN/ SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 386: Science Photo Library/NTB Scanpix, s. 387: REUTERS/Denis Balibouse/NTB Scanpix, s. 392: AP/Ross D. Franklin/NTB Scanpix, s. 395: PASCAL GOETGHELUCK/SCIENCE PHOTO LIBRARY/NTB Scanpix, s. 397: sciencephotos/ Alamy Stock Photo/NTB Scanpix.
Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond.
SVANEMERKET
Forord
Når du begynner med dette faget kjenner du allerede til mange av de grunnleggende lovene som beskriver naturens fenomener. Du har lært om alt fra atomenes oppbygning til stjernenes liv. Newtons lover, termofysikk, energibevaring og strålingslover gjør at du nå kan forklare mange av observasjonene du gjør hver dag. Du har også flere matematiske verktøy med deg. Matematikk er språket du skal bruke når du skal beskrive, lære og kommunisere fysikk.
Med dette grunnlaget er fysikk 2 faget som fører deg dypere inn i forståelsen av vår verden.
Fysikkfaget er en kulturarv, noe som er bygget bit for bit av utallige mennesker på tvers av landegrenser over hundrevis av år. Opp gjennom historien har utveksling av nye ideer, målinger og forsøksresultater ført til at etablerte sannheter måtte forkastes, og nye ideer har kommet til. På begynnelsen av 1900-tallet trodde mange fysikere at de fleste svarene var funnet, og at de nærmet seg en teori som kunne beskrive alle fenomener i naturen. I år vil du merke, som så mange andre før deg, at introduksjonen til kvantefysikk og relativitetsteori fører til flere spørsmål enn svar. Det kan oppleves både fremmed og forvirrende til tider. Du vil merke at mange av de forklaringsmodellene du er vant til å bruke, blir utfordret, omformulert og forbedret. I denne boka vil du også stifte et nærmere bekjentskap med elektrisitet og magnetisme. Hvordan ville hverdagen din sett ut uten elektriske motorer, generatorer, ladere og elektrisk belysning? Fysikk er et fag i stadig utvikling. Du lever i en tid der superdatamaskiner, nye teleskoper,
partikkelakseleratorer og målinger av gravitasjonsbølger bidrar til å utvide vårt verdensbilde.
Vi har fylt ERGOFysikk2 med eksempler, illustrasjoner, regneoppgaver og programmeringsoppgaver slik at sammenhengene blir lettere å forstå. Oppgaver som er ekstra utfordrende, er markert med en diamant, ♦. Samtidig så lærer du ikke fysikk kun ved å lese og regne. Du vil merke at kunnskapen sitter dypere når du utforsker og eksperimenterer. Gjennom hele boka finner du forslag til aktiviteter og forsøk som du kan utføre. Utfordre deg selv til å ta i bruk utstyret du har tilgang til på skolen og hjemme.
Boka har også et eget nettsted på Aunivers.no. Her finner du filmer, fullstendige forsøksbeskrivelser, simuleringer, programmeringsressurser og fordypningsstoff. Hvis du er lærer har du tilgang til kapittelprøver, undervisningsopplegg, årsplan og mye mer. Ta nettstedet i bruk, det er utviklet for deg som har valgt ERGOFysikk2!
Vi vil spesielt takke konsulentene Eimund Aamot og Johanne Lein for verdifulle tilbakemeldinger og innspill. Vi ønsker også å rette en stor takk til redaktør Lars Nersveen for det viktige samarbeidet, støtten og kvalitetssikringen som kreves for å skape et læreverk i fysikk.
Februar 2022
PetterCallin, IngaHanneDokka, AndreasHellesøy, AleksanderSeland og EdvardKnutsenSkåland
Innhold
1Rettlinjet bevegelse
1APosisjon, fart og akselerasjon 8
1BKraftvektorer 17
1CBevaringslover 34 1DMålinger og usikkerhet 43
2Krumlinjet bevegelse
2AKast i tyngdefeltet 72
2BNår akselerasjonen endrer retning 82
2CSirkelbevegelse
3Gravitasjon
3ANewtons
4Relativitetsteori
4AReferansesystemer 162
4BSpesiell relativitetsteori 167
4CRelativistisk tid og lengde 172
4DRelativistisk bevegelsesmengde og energi 179
4EFra spesiell til generell relativitetsteori 184
4FKonsekvenser av den generelle relativitetsteorien 189
5Elektriske felt
6Magnetiske felt
7Induksjon
8Kvantefysikk
Rettlinjet bevegelse
Krefter og energi i bevegelse
VIKTIG!
Posisjon, fart og akselerasjon
Naturen er i bevegelse
Alt i naturen er i bevegelse. Selv om du sitter i ro akkurat nå, beveger jorda seg rundt sola med en fart på nesten 30 km i sekundet. Atomene i lufta du puster i, vibrerer, roterer og kolliderer med hverandre hele tiden. Å kunne beskrive bevegelse ved hjelp av matematikk er derfor et kraftig verktøy når du skal utforske fysiske fenomener. I fysikk 1 lærte du fire likninger som du kan bruke for å beskrive situasjoner med konstant akselerasjon.
Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon
fartslikningen
posisjonslikning 1
posisjonslikning 2
tidløs likning
Her er s og v henholdsvis posisjonen og farten ved tiden t, og v0 er farten når t = 0. v0 kaller vi gjerne startfarten.
EKSEMPEL 1 På skråplanet
Elias og Nora utforsker akselerasjonen til en vogn på et 2,0 m langt skråplan. Langs skråplanet har de lagt en målestokk slik at de kan lese av posisjonen til vogna. De bestemmer seg for at positiv fartsretning skal være oppover langs skråplanet. Elias gir vogna en dytt oppover skråplanet, mens Nora filmer bevegelsen.
De utfører en regresjonsanalyse av målepunktene ved hjelp av et videoanalyseprogram. Funksjonen som best beskriver vognas posisjon, s meter, ved tidspunktet t sekunder, er
Ved å sammenlikne funksjonsuttrykket med posisjonslikning 2, ser vi at startfarten til vogna er v0 = 3,02 m/s med retning oppover skråplanet. Fra første ledd i likningen kan vi regne ut akselerasjonen slik:
Akselerasjonen til vogna er altså 2,56m/s 2 . Det negative fortegnet forteller oss at retningen er nedover skråplanet. Med denne informasjonen kan vi for eksempel finne posisjonen til vogna etter 1,5 s. Ved å sette t 1,5 inn i posisjonsfunksjonen får vi =−⋅+⋅= s(1,5)1,281,53,021,51,7 2
Etter 1,5 sekunder er vogna 1,7 meter fra startpunktet.
Tror du vogna er på vei oppover eller nedover skråplanet etter 1,5 sekunder?
UTFORSK!
1.1
Elias og Nora endrer vinkelen på skråplanet og utfører et nytt forsøk. Denne gangen finner de at posisjonsfunksjonen er =−+ sttt ()1,705,06 2 .
a Hvor stor er akselerasjonen og startfarten til vogna nå, og i hvilken retning peker de?
b Hvor langt fra startpunktet er vogna ved tiden t = 2,00 s?
Fart og akselerasjon
Illustrasjonen ovenfor viser en serie fotografier, tatt i rask rekkefølge, av en «kastemaskin». Har gjenstanden konstant eller akselerert fart? Forklar hvordan du tenker.
Når vi tegner posisjonsgrafen til en gjenstand med konstant akselerasjon, vil grafen være en parabel.
Posisjonsgraf for posisjonsfunksjonen s(t) = –1,28t2 + 3,02t.
Farten til gjenstanden på et bestemt tidspunkt i bevegelsen kaller vi momentanfarten. Momentanfarten er den deriverte av posisjonen s(t) med tiden t som variabel. På posisjonsgrafen kan vi gjenkjenne momentanfarten som stigningstallet til tangenten i det aktuelle punktet.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t / s s / m
Den samme posisjonsgrafen som på forrige figur. Stigningstallet til tangenten ved t = 1,5 gir oss momentanfarten etter 1,5 s. Her er momentanfarten –0,82 m/s
Når vi deriverer posisjonsfunksjonen, får vi et funksjonsuttrykk for momentanfarten:
Ser du at dette er samme uttrykk som fartslikningen? Uttrykket for momentanfarten er en lineær funksjon når gjenstanden har konstant akselerasjon. Hvis vi deriverer uttrykket én gang til, finner vi stigningstallet til fartsfunksjonen, altså hvor raskt farten endrer seg med tiden:
VIKTIG!
EKSEMPEL 2
Fart og akselerasjon
Funksjonen for momentanfarten er den deriverte av posisjonsfunksjonen:
vtst ()( ) = ′′
Funksjonen for momentanakselerasjonen er den deriverte av fartsfunksjonen:
atvtst ()()() = =
Fart på skråplanet
Elias og Nora ønsker å utforske farten til vogna fra eksempel 1. De bestemmer seg for å bruke posisjonsfunksjonen de fant i forsøket,
=−+ sttt ()1,283,02 2 . Positiv fartsretning er oppover skråplanet.
a Tegn en graf som viser farten til vogna etter at den settes i bevegelse oppover skråplanet.
b Finn farten på et tidspunkt t = 0,50 s etter at vogna dyttes i gang.
Løsning:
a Vi deriverer uttrykket for å finne fartsfunksjonen:
vtsttt ()()1,2823,022,563,02
Deretter tegner vi grafen til funksjonen.
b Vi finner farten etter 0,50 s ved å sette t = 0,50 inn i fartsfunksjonen:
=−⋅+= v(0,50)2,560,503,021,74
Etter 0,50 s er farten til vogna 1,7 m/s, med retning oppover skråplanet.
EKSEMPEL 3
1.2
Nora og Elias fant posisjonsfunksjonen =−+ sttt ()1,705,06 2 i et nytt forsøk med vogn på skråplan.
a Tegn grafen til posisjonsfunksjonen og grafen til fartsfunksjonen i samme koordinatsystem.
b Hvor stor er farten, og hvilken retning har den ved tidspunktet t = 2,00 s?
Fritt fall
Alle gjenstander som faller mot bakken på jorda, vil være påvirket av luftmotstand. I mange situasjoner er likevel luftmotstanden så liten i forhold til andre krefter at vi ser bort fra dette bidraget. Når det bare er tyngdekraften som virker på en gjenstand som faller mot bakken, sier vi at gjenstanden er i frittfall. Alle gjenstander som er i fritt fall har akselerasjonen g = 9,81 m/s2 mot bakken.
Loddrett kast
Knut kaster en ball loddrett oppover. Startfarten er 10 m/s. Vi antar at tyngdekraften som virker på ballen er mye større enn luftmotstanden, og vi velger derfor å se bort fra luftmotstanden.
a Hvor lenge stiger ballen før den snur?
b Hvor høyt kommer ballen?
c Hvor lang tid tar det før ballen er tilbake i startpunktet?
Løsning:
a Tyngden er den eneste kraften som virker på ballen. Vi legger origo i startpunktet og velger positiv retning oppover. Da blir akselerasjonen =−=−ag 9,81m/s 2 , både på oppturen og på nedturen. Ballen snur i det øyeblikket farten blir lik null. Vi finner tiden det tar for ballen å nå sitt høyeste punkt ved å bruke fartslikningen =+ vatv0 og sette v = 0:
EKSEMPEL 3 FORTS. b Når vi kjenner tiden det tar for ballen å nå sitt høyeste punkt, kan vi finne hvor høyt ballen kommer ved å bruke en posisjonslikning.
Vi velger posisjonslikning 1 siden vi kjenner v0, v og t:
c Når ballen er tilbake i startpunktet, er s = 0. Vi setter dette inn i posisjonslikning 2:
Dette gir to løsninger:
1.3
De to løsningene forteller oss at ballen er i startpunktet etter 0 s og etter 2,0 s. Ballen kommer altså tilbake til startpunktet etter 2,0 s.
Vi kaster en ball rett oppover med startfart v0 = 7,3 m/s.
a Hvor høyt over startpunktet kommer ballen?
b Hvor stor er farten etter 1,3 s? Hvilken retning har farten?
c Hvor lang tid tar det før ballen er tilbake i startpunktet? Regn ut på to måter.
UTFORSK!
Arealet under en graf
Lengdeløp
I koordinatsystemet nedenfor ser du fartsgrafen til et løp som Elias gjennomførte på en løpebane. Arealet mellom førsteaksen og grafen er farget. Hvordan ville du gått fram for å regne ut dette arealet? Kan du dele opp det markerte arealet i enkle geometriske former? Størrelsene langs første- og andreaksen har forskjellige enheter. Hvilken enhet får arealet du regner ut? Hvor langt har Elias løpt til sammen? 1
Arealet under en fartsgraf tilsvarer den tilbakelagte strekningen en gjenstand har beveget seg. Arealet under en akselerasjonsgraf gir oss informasjon om den totale fartsendringen. Å finne arealet under en graf kan være enkelt når du kan dele opp arealet i enkle geometriske former, som rektangler, trekanter eller trapeser. Andre ganger er det ikke like enkelt. Under ser du fartsgrafen til en bil. Farten har enheten meter per sekund, og tiden er målt i sekunder. For å finne hvor langt en bil med farten =+vtt()3,04,0 2 har kjørt fra t = 0,0 s til t = 1,0 s, må du finne arealet under grafen. Hvordan ville du ha gått fram her?
EKSEMPEL 4 Integrasjon med hjelpemidler
Når en graf ikke kan brytes opp i enkle geometriske former, finner vi arealet ved integrasjon. Den tilbakelagte strekningen det første sekundet finner vi som arealet under fartsgrafen til =+vtt()3,04,0 2 fra t1 = 0,0 s til t2 = 1,0 s.
Det kan vi skrive matematisk som
TENK SOM EN FYSIKER
Dette kaller vi integralregning. Du vil lære mer om integralregning i matematikken i år. I fysikk 2 nøyer vi oss med å regne ut svaret i
CAS, som vist til venstre. Vi har brukt kommandoen «Integral(<Funksjon>, <Start>, <Slutt>)». Svaret forteller oss at forflytningen det første sekundet er 5,0 m.
Figuren viser fartsgrafen for en bil som bremser.
a Finn bremselengden ved å regne ut arealet under fartsgrafen.
b Finn et funksjonsuttrykk for den rette linja v(t), og bruk integrasjon i CAS for å finne bremselengden. Sammenlikn med svaret i oppgave a.
En partikkel starter fra ro og har en akselerasjon i m/s2 gitt ved =+att ()0,0101,0 2 når t er antallet sekunder. Hvor stor er farten etter 2,0 s?
Å regne på bevegelse
Tegn en skisse av situasjonen.
Når du skal undersøke bevegelsen til en gjenstand, bør du alltid bestemme deg for et koordinatsystem. Vanligvis legger vi koordinatsystemet slik at gjenstanden befinner seg i origo når t = 0.
Det er ofte lurt at x-aksen peker i samme retning som fartsretningen.
Lag en liste over kjente og ukjente størrelser.
Velg den bevegelseslikningen som gir deg én ukjent størrelse ut fra de kjente størrelsene du har.
UTFORSK!
Kraftvektorer
Newtons lover i to dimensjoner
Kloss på skråplan
VIKTIG!
Legg en kloss på toppen av et skråplan. Klarer du å endre helningsvinkelen på skråplanet slik at klossen sklir med konstant fart?
Mål massen av klossen. Hvilke krefter virker på klossen?
Hvor store er kreftene, og i hvilken retning virker de?
I fysikk 1 lærte du at en kraft er en vektor. Vektorer er størrelser som har en absoluttverdi og en retning. På figuren til venstre ser du fire kraftvektorer, tegnet som piler på vogna. Hver kraftvektor er tegnet som en pil med størrelse og retning. For å vise at noe er en vektorstørrelse, tegner vi en pil over symbolet for størrelsen. Fordi en kraft er en vektorstørrelse, kan vi bruke regnereglene for vektorer når vi skal finne summen av kreftene som virker på en gjenstand, F .
Vektorer og skalarer
En vektor er en størrelse som har en absoluttverdi og en retning. Vi viser at en størrelse er en vektor ved å tegne en pil over symbolet for størrelsen: F .
Når vi skriver symbolet for en vektor uten pil, F, mener vi absoluttverdien av vektoren. Retningen angis med fortegn.
En skalar er en størrelse som ikke har en retning.
EKSEMPEL 5
Når kreftene ikke virker langs en rett linje, må vi komponere vektorsummen. Vi skal nå se på hvordan vi kan komponere vektorsummen av krefter ved å tegne. Vi finner altså kraftsummen geometrisk. Det er et fint verktøy for å få vite i hvilken retning kraftsummen virker, før vi begynner å regne på problemstillinger.
Geometrisk komponering av kraftsummen
En kloss sklir på et skråplan. Kreftene som virker på klossen er som vist på figuren. Tegn F på figuren.
Løsning:
Vektorsummen av kreftene er gitt som
Legg merke til at normalkraften N står vinkelrett opp fra underlaget, mens tyngdekraften G peker loddrett nedover. Fra fysikk 1 er du vant til at G og N stort sett virker langs den samme linja.
I fysikk 2 møter du ofte situasjoner der disse kreftene virker langs linjer som ikke er parallelle.
En vektorsum kan komponeres som vektoren mellom endepunktene dersom vi tegner vektorene etter hverandre. Til høyre er dette gjort. Vi tener G først, og fra endepunktet på G tegner vi N , etterfulgt av R. F er vektoren som går fra starten av G til slutten av R . Vi tegner kraftsummen inn på skråplanfiguren, som vist nedenfor.
FGNR
= Fx + Fy
1.6
a Hva skjer med kraftsummen i eksemplet på forrige side hvis friksjonskraften øker?
b Hva skjer med retningen til kraftsummen dersom kun normalkraften blir større? Hvorfor er ikke dette mulig?
1.7
Tegn kraftsummen F på tegningen i de fire tilfellene nedenfor.
VIKTIG!
En vektor kan alltid skrives som summen av to vektorer som står vinkelrett på hverandre. Vi kan altså dele opp en vektor i to komponenter. Dette kaller vi dekomponering. Den ene komponenten peker parallelt med x-aksen, og den andre komponenten peker parallelt med y-aksen. En kraft er lik vektorsummen av kraftens komponenter i x- og y-retning, =+ FFF xy . Ser du at det dannes en rettvinklet trekant der hypotenusen er like lang som kraftvektoren F og katetene like lange som komponentene Fx og F y ? Hvis vi kjenner absoluttverdien FF av kraftvektoren F , og vinkelen mellom vektoren og x-aksen, kan vi bruke trigonometri for å finne komponentene til kraften.
Komponenter av en kraft
Når du kjenner absoluttverdien F av en vektor F og vinkelen mellom vektoren og x-aksen, finner du komponentene til vektoren av formlene
EKSEMPEL 6
Løsning:
Dekomponering av krefter
Nora blir trukket av et skiseil mens hun står på ski langs en flat bakke. Skiseilet trekker med en kraft F 800N i en vinkel θ =° 30 opp fra bakken. Hvor store er kraftkomponentene til F som virker parallelt med bakken og normalt på bakken?
Vi tegner en skisse av situasjonen. Det første vi må bestemme oss for, er hva som er positiv x- og y-retning. Vi viser de valgte retningene med et lite koordinatsystem øverst til venstre. Her er x-retningen valgt til å ligge parallelt med bakken, mens y-retningen står normalt på bakken.
Absoluttverdien av kraftvektoren F er tallverdien til kraften, F = 800 N. Komponentene blir
1.8
En kraft på 60 N er dekomponert i en vannrett og en loddrett komponent. Den loddrette komponenten er på 30 N. Regn ut den vannrette komponenten.
Nå som vi vet hvordan vi dekomponerer krefter, kan vi bruke dette til å komponere kraftsummen ved regning. Da finner vi først komponentene i x-retningen og i y-retningen. Hvis vi er ute etter F , finner vi kraftsummen i x- og y-retning hver for seg. Krefter som virker i negativ x- eller y-retning, får negativt fortegn i utregningen av kraftsummene. Til slutt bruker vi Pytagoras’ setning for å komponere kraften eller kraftsummen. Retningen til kraften finner vi ved å bruke trigonometri.
EKSEMPEL 7 Komponering av kraf tsummen ved regning
En gjenstand er påvirket av to krefter, som vist på figuren. Absoluttverdiene er F1 = 50 N og F2 = 45 N.
Regn ut størrelsen og retningen til F .
Løsning:
Kreftene peker ikke langs den samme rette linja. Vi velger at x-aksen peker i samme retning som F1 og dekomponerer F2 i x-retning og y-retning.
Deretter bruker vi Pythagoras’ setning for å komponere kraftsummen. Her trenger vi bare å dekomponere F2
Nå som vi har komponentene av kraftsummen i x- og y-retning, kan vi komponere kraftsummen. Da gjelder det at Σ= Σ+Σ FFF xy , slik det er vist på figuren nedenfor. Kraftsumkomponentene danner en rettvinklet trekant, så vi kan bruke Pytagoras’ setning for å finne absoluttverdien av ΣF :
Vi bruker trigonometri for å finne vinkelen med x-retningen:
Kraftsummen er altså 82 N i retning 28° opp fra x-aksen.
VIKTIG!
1.9
En gjenstand er påvirket av to krefter, som vist på figuren. Absoluttverdiene er F1 = 70 N og F2 = 58 N. Regn ut størrelsen og retningen til F .
Newtons 1. lov
Krefter i flere retninger
Skriv ut en gradsirkel på et stort ark. Legg en kloss midt på arket og fest tre kraftmålere til klossen. Samarbeid med flere elever om å trekke vannrett i kraftmålerne i hver deres retning. Klarer dere å få klossen til å ligge i ro i sentrum av gradsirkelen selv om alle trekker samtidig? Skriv ned utslagene på de tre kraftmålerne, og marker kraftretningen på gradsirkelen. Bestem et koordinatsystem, og finn summen av kreftene i x- og y-retning.
Newtons 1. lov handler om situasjoner der summen av alle kreftene er null. For å skrive denne loven på vektorform trenger vi nullvektoren, 0 . Den har absoluttverdien 0 og ingen retning. Du kan tenke deg at nullvektoren er en vektor som starter og ender i samme punkt.
Newtons 1. lov
Hvis, og bare hvis, vektorsummen av alle kreftene som virker på en gjenstand er null, er gjenstanden i ro eller i bevegelse langs en rett linje med konstant fart.
Legg merke til at det er fartsvektoren som er konstant. Det betyr at både absoluttverdien og retningen er uendret. Da beveger gjenstanden seg rettlinjet med konstant fart. Men kreftene som virker på gjenstanden, kan ha forskjellige retninger, så lenge vektorsummen av dem blir null.
EKSEMPEL 8
Newtons 1. lov og Pytagoras’ setning
Tre krefter virker på en partikkel. Bestem kraften F3 (størrelse og retning) hvis partikkelen skal ha konstant fart.
Løsning:
For at farten skal være konstant, må vi ha at Σ= F 0. Med andre ord må kraftsummen være 0 både i x-retning og i y-retning. Siden det bare er F3 som virker både i x- og y-retningen, dekomponerer vi den.
Størrelsen av kraften F3 er hypotenusen i en trekant der Fx 3 og F y 3 er katetene. Vi kan da finne absoluttverdien av F3 med Pytagoras’ setning:
For å finne retningen bruker vi trigonometri:
En kloss påvirkes av tre krefter, som vist på figuren. Hvor stor må F3 være, og i hvilken retning må den virke, for at klossen skal ligge i ro?
EKSEMPEL 9
Valg av koordinatsystem
Husk at når du skal dekomponere kreftene som virker på et system, er det du som velger hva som er x-retning og hva som er y-retning. Det er ikke alltid lurest å velge at x-aksen er vannrett mot høyre og at y-aksen er loddrett oppover. Vi ser på et eksempel.
Valg av koordinatsystem
Martin og Sadia ønsker å undersøke kreftene som virker på en kloss på et skråplan. Klossen sklir med konstant fart nedover planet. De veier klossen og finner at massen er 0,30 kg. De måler også vinkelen på skråplanet til å være 20 . Hvor store er kreftene som virker på klossen?
Løsning:
Kreftene på tegningen virker i forskjellige retninger, i to dimensjoner.
Vi kan da bruke Newtons 1. lov for å finne kreftene som virker på klossen. Summen av kreftene på en gjenstand som har konstant rettlinjet fart eller ligger i ro, er lik null, Σ= F 0.
Når vi summerer krefter som virker i flere retninger, må vi først velge hva som er x- og y-retning. Se på figuren øverst på neste side. Her har vi valgt et koordinatsystem der x-aksen ligger parallelt med bakken og y-aksen peker rett oppover. Vi kan enkelt finne tyngdekraften G, som er parallell med y-aksen. Siden vi skal finne summen av kreftene i x- og y-retning, må vi dekomponere friksjonskraften R og normalkraften N . Det blir fort mange komponenter å forholde seg til. Det finnes bedre valg av koordinatsystem, valg som gjør utregningene enklere.
EKSEMPEL 9 FORTS.
På figuren ovenfor har vi valgt å rotere koordinatsystemet slik at x-aksen er parallell med fartsretningen til klossen. Da vil friksjonskraften være parallell med x-aksen og normalkraften parallell med y-aksen. Vi trenger bare å finne komponentene til tyngdekraften i x- og y-retning.
Før vi går løs på å dekomponere tyngdekraften langs skråplanet, må vi svinge innom et lite resultat fra geometrien. Når to vinkler har vinkelbein som står normalt på hverandre, er vinklene like. Nedenfor ser du to slike vinkler. Når vi dekomponerer tyngdekraften, vil vinkelen mellom G og Gy sammen med skråplanet danne samme system.
EKSEMPEL 9 FORTS. Valg av koordinatsystem
y
Vi begynner med å tegne en skisse som viser dekomponeringen av tyngdekraften som virker på klossen. Vi regner ut tyngdekraften: ==⋅=≈Gmg 0,30kg9,81m/s2,943N2,9N 2
Klossen har konstant rettlinjet fart, så vi vet at summen av kreftene på klossen er null. Summen av kreftene i x-retningen er
Σ= −= =°=⋅°=≈ F RG RG 0 0 sin202,943Nsin201,007N1,0N x x
Summen av kreftene i y-retningen er
Σ= −= =°=⋅°=≈ F NG NG 0 0 cos202,943Ncos202,766N2,8N y y
Legg merke til at krefter som virker i motsatt retning av den valgte positive x- og y-retningen, får negativt fortegn når vi summerer kreftene.
1.11
Knut glir med konstant fart ned en slak skibakke. Helningsvinkelen mellom horisontalplanet og bakken er 5,00°. Farten er så lav at vi kan se bort fra luftmotstand. Knut har tyngden 850 N.
a Tegn en figur som viser kreftene som virker på Knut. Tegn også inn et koordinatsystem som viser hva du har valgt som positiv x- og y-retning.
b Regn ut størrelsen av kreftene som virker på Knut.
UTFORSK!
VIKTIG!
Newtons 2. lov
Dragkamp
Fest to kraftmålere i det samme festepunktet på en kloss. Trekk i begge kraftmålerne samtidig i to forskjellige retninger. Klossen vil begynne å akselerere, men i hvilken retning?
Newtons 2. lov forteller oss at størrelsen av akselerasjonen er avhengig av kraftsummen som virker på klossen og klossens masse:
EKSEMPEL 10
Massen m er alltid en positiv skalar. Når summen av kreftene som virker på en gjenstand ikke er null, får gjenstanden en akselerasjon i samme retning som kraftsummen.
Newtons 2. lov
Når en gjenstand blir påvirket av en kraftsum, får gjenstanden en akselerasjon som har samme retning som kraftsummen. Summen av alle kreftene er lik massen multiplisert med akselerasjonen, FmaΣ Σ= =
En akselerasjonsmåler
En pendel med masse m henger ned fra taket i en bil som kjører på en rettlinjet, vannrett vei. Bilen har konstant akselerasjon framover, og pendelen henger på skrå bakover, som vist på tegningen. Finn en formel for bilens akselerasjon uttrykt ved vinkelen θ.
Petter Callin har doktorgrad i teoretisk fysikk fra Universitetet i Oslo, og jobber som forsker ved Forsvarets forskningsinstitutt. Han har vært forfatter av fysikkbøker for videregående skole i flere år.
Inga Hanne Dokka er lektor ved Kongsberg videregående skole og underviser ved lektorutdanningen ved Universitetet i Sørøst-Norge. Hun har bred undervisningserfaring fra videregående skole, IB, teknisk fagskole og universitet.
Andreas Hellesøy er lektor ved Bergen Katedralskole og underviser i fysikk, matematikk og teknologi og forskningslære. Han har bred undervisningserfaring fra videregående skole samt videreutdanning av lærere i fysikk og naturfag ved Universitetet i Bergen.
Aleksander Seland er lektor ved Akademiet Vgs Ypsilon og har solid erfaring fra privatistundervisning og undervisning på videregående skole i matematikk, fysikk, naturfag og programmering. Han er utdannet gjennom lektorprogrammet fra Universitetet i Oslo med masterfordypning i teoretisk fysikk.
Edvard Knutsen Skåland er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Han jobber som lektor ved Hartvig Nissens skole og underviser i matematikk, fysikk og naturfag.
ERGO Fysikk 2
På Aunivers.no nner du Aschehougs digitale ressurser til fysikk 2.
Her nner du blant annet fullstendige løsninger av oppgavene i læreboka, interaktive oppgaver, simuleringer, programmeringsaktiviteter, eksamensløsninger, forsøksbeskrivelser og lmer. I tillegg vil lærer ha tilgang til årsplan, forslag til kapittelprøver, bokas illustrasjoner og Lærerens digitalbok.