Matemagisk 9 Utdrag by Aschehoug Utdanning

AG R

Matemagisk L TI K

BR N

E ST

Anne Karin Wallace

Asbjørn Lerø Kongsnes

MM_9_Book 1.indb 1

BOKMÅL

01/07/2020 14:44

Matemagisk 9–10 Lærebok er en del av læreverket Matemagisk 1–10. Læreverket følger læreplanen i matematikk for 1.–10. årstrinn. © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2020 1. utgave / 1. opplag 2020

AG R

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no). Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.

Redaktør: Kari Kleivdal Grafisk formgiving: Marit Jakobsen og Type-it AS Omslag: Marit Jakobsen Bilderedaktør: Nina Hovda Johannesen Tekniske tegninger: Arnvid Moholt Illustrasjoner: Erik Ødegård, Kari Sortland og Martin Hvattum Ombrekking: ord og form, Gudbrand Klæstad

L TI BR

Grunnskrift: Frutiger LT Std, 10/14 pkt. Papir: 100 g G-print 1,0 Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien

ISBN 978-82-03-40775-8 Aunivers.no

Oppgave 14.6 på s. 128 er laget med inspirasjon i en video, GeoGebra. En ressurs utviklet av Matematikksenteret (matematikksenteret.no)

E ST

Foto og tegninger s. 6 Bartosz Hadyniak/iStock , s. 44 johnnorth/iStock, s. 82 Yusufozluk/iStock, s. 120 NTB Scanpix / Sipa Asia, s. 150 Caroline Brundle Bugge/iStock, s. 184 Shuoshu/iStock

www.aschehoug.no

E MER K

MM_9_Book 1.indb 2

N VA

Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond.

01/07/2020 14:44

Innhold 15 Areal og omkrets

11A Å multiplisere to parenteser . . . . . . 8

15A Arealenheter . . . . . . . . . . . . . . . . 152

11B Figurtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

15B Areal og omkrets av mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11 Figurtall og tallmønster

AG R

11C Tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Ekspedisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15C Areal og omkrets av sirkler og sirkelsektorer . . . . . . . . . . . . . . 171

16 Pytagoras’ setning og formlikhet

12A Tabeller og diagrammer . . . . . . . . . 46

16A Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . 186

12 Statistikk

12B Sentralmål og spredningsmål . . . . . 62

16C Formlikhet og kongruens . . . . . . . 206

L TI

13 Sannsynlighet

16B Spesielle trekanter . . . . . . . . . . . . 196

Ekspedisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13A Grunnleggende sannsynlighet . . . 84

17 Volum og overflate

13C Sammensatte forsøk . . . . . . . . . . 102

17A Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

17B Volum og overflate av noen

Ekspedisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

tredimensjonale figurer . . . . . . . . 236

Ekspedisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

14 Linjer, figurer og vinkler

13B Store talls lov . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

E ST

14B Vinkler i mangekanter . . . . . . . . . 138

14A Definisjoner og egenskaper . . . . . 122

MM_9_Book 1.indb 3

01/07/2020 14:44

Velkommen til Matemagisk 9

Fellesløypa

AG R

Matemagisk 9 legger til rette for at dere som elever får være aktive, utforske og oppdage matematiske sammenhenger. Vi ønsker at dere skal snakke matte med hverandre, utvikle forståelse og bli gode problemløsere. Boka legger opp til at dere kan samarbeide om matematikken. I boka finner dere varierte oppgaver knyttet til virkeligheten som gjør matematikken meningsfull og relevant. Boka kan brukes alene eller i kombinasjon med Matemagisk 8-10 Elevhåndbok.

L TI

Hvert delkapittel begynner med en fellesløype. Denne er designet for arbeid i fellesskap i klassen. Den består av teori, eksempler, utforskende oppgaver, snakke matte oppgaver, spill, aktiviteter og andre varierte oppgaver. Programmering og andre digitale verktøy er integrert i delkapitlene der det er relevant.

Nøkkelhull

Oppgaver som viser spesielt viktige ideer og tenkemåter.

Oppgaver der dere skal snakke matte med hverandre. Her trener dere på å forklare hvordan dere tenker.

E ST

Følg stien

SNAKKE MATTE

Oppgaver der du får trent mer på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her trener du på én ting om gangen. Følg stien dekker det mest sentrale faginnholdet og finnes i slutten av hvert delkapittel.

Oppgaver som bygger videre på det klassen har arbeidet med i fellesskap. Her kan du få sammensatte utfordringer, også fra flere temaer på en gang. Terrengløypa finner du i slutten av hvert delkapittel.

MM_9_Book 1.indb 4

Terrengløypa

01/07/2020 14:44

U AG R

Topptur

Oppgaver som er svært utfordrende og som går utover det som kan forventes på dette trinnet. Jobb med toppturen hvis du mestrer oppgavene i terrengløypa godt. Toppturen finner du i slutten av hvert kapittel.

Ekspedisjon

Oppgaver som går langt utover det som kan forventes på dette trinnet. Oppgavene gir særlig god trening i abstraksjon, generalisering og avansert problemløsing. Fire ekspedisjoner er plassert på strategiske steder i boka.

L TI

Henrik

Hiyanna

Noen ganger jobber jeg bare i «følg stien».

E ST

Jeg gjør noen ganger «toppturen», men jeg gjør alltid «terrengløypa» først.

Tuva

Noen ganger jobber jeg litt i «følg stien» og litt i «terrengløypa».

MM_9_Book 1.indb 5

Yonas

Noen få ganger jobber jeg bare i «terrengløypa».

01/07/2020 14:44

AG R

U L TI K

BR N

E ST

Ã&#x2DC;

H 20

MM_9_Book 1.indb 6

01/07/2020 14:44

Figurtall og tallmønster N

AG R

11 L TI 1 Hva ser dere på bildet? 2 Oppdager dere noen mønstre? 3 Beskriv mønstrene dere oppdager.

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 7

01/07/2020 14:44

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

11A Å multiplisere to parenteser • Utforske og begrunne hvordan vi multipliserer to parenteser. • Multiplisere to parenteser og trekke sammen uttrykk.

Eksempel

Vi kan sette inn tall for variabler og regne ut verdien av algebraiske uttrykk.

Hvis a = 3, så er 4a + 5 = 4 ⋅ 3 + 5 = 12 + 5 = 17

Vi kan forenkle algebraiske uttrykk ved å trekke sammen ledd av samme type.

4a − 2b + a + 2b = 4a + a − 2b + 2b = 5a

For alle tall a, b og c er a(b + c) = ab + ac

2 + 4( x + 5) = 2 + 4 ⋅ ( x + 5)

AG R

U På 8. trinn lærte vi at:

= 2 + 4 ⋅ x + 4 ⋅5 = 2 + 4 x + 20 = 4 x + 22

navn = "Heidi" print(navn)

Når vi programmerer i Python, kan vi opprette v ariabler og gi dem verdi. Vi kan bruke print() for å få skrevet noe til skjermen.

L TI

Addisjon: + Subtraksjon: − Multiplikasjon: * Divisjon: /

Python følger vanlig regnerekkefølge.

E ST

Her ser du et regneark.

OPPGAVE 11.1

a Kopier regnearket og lag en formel i celle E2 som regner ut ab + ac. b Endre tallene i celle A2, B2 og C2. Hva oppdager du? Prøv gjerne med negative tall og desimaltall også.

c Lag et pythonprogram som henter inn tall a, b og c fra brukeren, og som skriver svaret på de to regnestykkene a(b + c) og ab + ac. Kjør programmet flere ganger. Hva oppdager du?

MM_9_Book 1.indb 8

01/07/2020 14:44

11A Å mul ti pl i s er e to par entes er

OPPGAVE 11.2 Forklar at a(b + c) = ab + ac for alle tall a, b og c. For å støtte forklaringen din kan du tegne figurer, lage en regnefortelling eller lage en figurtallsoppgave som kan illustrere dette.

OPPGAVE 11.3 Her ser du to ulike rektangler.

AG R

TD L TI

a For hvert av rektanglene, regn ut arealet på følgende to måter: Måte 1: Regn direkte ut totalt antall ruter. Måte 2: Regn ut hvor mange ruter det er av hver farge, og legg sammen til slutt.

b La a, b, c og d være positive tall. Bruk de samme tenkemåtene som i oppgave a, og lag to algebraiske uttrykk for arealet av rektanglet uttrykt ved a, b, c og d.

U K

OPPGAVE 11.4

Lag et regneark eller et pythonprogram som kan brukes til å undersøke om (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd for tall a, b, c og d.

OPPGAVE 11.5

I hver av deloppgavene skal du regne ut svaret på to forskjellige måter. Tegn rektangler som viser hvordan du tenker til hver oppgave. a (2 + 1) ⋅ (3 + 1) b (4 + 1) ⋅ (2 + 2) c (3 + 2) ⋅ (1 + 1)

E ST

Prøv gjerne med tilfeller der noen av tallene er desimaltall eller negative tall.

MM_9_Book 1.indb 9

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

SNAKKE MATTE

Martin er glad i å løpe og løper både morgenøkter og kveldsøkter. Morgenøktene er 6 km lange, mens kveldsøktene er 3 km lange. Martin løper både morgen- og kveldsøkter 4 hverdager og 1 helgedag hver uke. Han lurer på hvor langt han løper til sammen hver uke.

1 Henriks løsning

Martin løper 4 + 1 = 5 dager i løpet av en uke. Hver dag løper han 6 + 3 = 9 km. Til sammen løper han (4 + 1) ⋅ (6 + 3) = 5 ⋅ 9 = 45 km i uka.

Hiyannas løsning Martin løper 4 ⋅ 6 = 24 km til sammen på morgenen på hverdagene. Han løper 4 ⋅ 3 = 12 km til sammen på kvelden på hverdagene. Han løper 1 ⋅ 6 = 6 km til sammen på morgenen i helgene. Han løper 1 ⋅ 3 = 3 km til sammen på kvelden i helgene.

Til sammen løper han 4 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 3 = 24 + 12 + 6 + 3 = 45 km i uka.

AG R

L TI

Forklar hvordan Henrik og Hiyannas løsning illustrerer at vi kan multiplisere to parenteser med hverandre på følgende måte: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 10

01/07/2020 14:45

11A Å mul ti pl i s er e to par entes er

OPPGAVE 11.6 Her ser du de tre første figurene i et mønster.

U Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 3

AG R

a Fyll ut tabellen. Figurnummer

Antall kolonner i figuren

Antall rader i figuren

Antall brikker i figuren

5⋅6

1 2 5

L TI

b Bruk tabellen og lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n.

De samme figurene er tegnet med andre farger.

U Figur nr. 3

E ST

Figur nr. 2

Figur nr. 1

c d e f g

Lag et algebraisk uttrykk for antall grønne brikker i figur nr. n. Lag et algebraisk uttrykk for antall blå brikker i figur nr. n. Lag et algebraisk uttrykk for antall lilla brikker i figur nr. n. Hvor mange oransje brikker er det i hver figur? Legg sammen uttrykkene fra oppgave c–f for å lage et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n. h Forklar hvorfor uttrykket fra oppgave b og oppgave g alltid har samme verdi.

a Hvis disse uttrykkene var ledd i et algebraisk uttrykk, hvilke ville vært ledd av samme type?

SNAKKE MATTE

xy xy2 x2y yx x2y2 (xy)2

b Forklar med egne ord hva det vil si at ledd er av samme type.

MM_9_Book 1.indb 11

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

EKSEMPEL 1

Å multiplisere to parenteser Skriv uttrykket (a + 4)(2a − 3) så enkelt som mulig.

( a + 4 )(2a − 3) = ( a + 4 ) (2a + (−3))

Vi skriver om − 3 som + (−3).

= a ⋅ 2a + a ⋅ (−3) + 4 ⋅ 2a + 4 ⋅ (−3)

= 2a2 + (−3a) + 8a + (−12)

Vi må gange alle ledd i den første parentesen med alle ledd i den andre parentesen.

= 2a2 − 3a + 8a − 12 = 2a2 + 5a − 12

AG R

Til slutt trekker vi sammen ledd av samme type.

OPPGAVE 11.7

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. a (2 + x)(4 − x) b (2a + 3)(5 − a) c 6 + (a + 2)(a − 3) d (4x + 2y)(x + y) − 2xy

a ⋅ a = a2

L TI

EKSEMPEL 2

Minus foran parentesene

Skriv uttrykket 4x2 − (x + 4)(x − 3) så enkelt som mulig.

(

)

Vi trekker sammen ledd av samme type inne i parentesen.

(

= 4 x 2 − x 2 + x − 12

Vi ganger først sammen de to parentesene. Svaret setter vi inn i en stor parentes.

4 x 2 − ( x + 4 )( x − 3) = 4 x 2 − x 2 − 3 x + 4 x − 12

Vi løser opp parentesen.

= 3 x 2 − x + 12

Vi trekker sammen ledd av samme type til slutt.

E ST

OPPGAVE 11.8

= 4 x 2 − x 2 − x + 12

MM_9_Book 1.indb 12

SNAKKE MATTE

Skriv så enkelt som mulig. a 4x − 2(x + 2) b −3(4a − 6) + 3a c 2x(x − y) − (2x + y)(x − y) d 4(a2 + 3) − (a + 6)(4a − 2)

Hvordan kan vi gå fram når vi skal multiplisere tre parenteser med hverandre? Hvordan kan vi gå fram når vi skal multiplisere fire parenteser med hverandre?

01/07/2020 14:45

11A Å mul ti pl i s er e to par entes er

Følg stien OPPGAVE 11.9

AG R

Løs opp parentesene. a 5(x + 2) b 3(a + 4) c 6(y − 8) d 5(7 − n)

OPPGAVE 11.10

L TI

OPPGAVE 11.11

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. a 12 + 3(x − 4) b 10 − 2(a − 5) c 4 − 6(3 + n) d 4(x + 2) − 4(x − 1)

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. a (x + 2)(x + 3) b (a + 5)(a + 1) c (n + 4)(n + 3)

OPPGAVE 11.12

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. a (a + 1)(a − 2) b (x − 2)(x + 4) c (x − 3)(4 − x)

d (n + 1)(n − 1)

OPPGAVE 11.13

d (t + 1)(t + 1)

OPPGAVE 11.15

Skriv så enkelt som mulig. a 15 + (x − 3)(x + 5) b 6a + (a + 2)(a − 8) c 4n2 + (n + 2)(n − 3) + 6 d (t − 3)(t − 6) + 2t2 − 2(t + 1)

OPPGAVE 11.14

E ST

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. a (4a + 2)(a − 5) b (5 − 3x)(2x + 7) c (s + t)(s − t) d (2a − b)(b − a)

Skriv så enkelt som mulig. a 12 − (a + 3)(a + 4) b 2n − (n + 3)(5 − n) c 4a − (3a + 2)(a − 1) + 3a2 d (x + 2)(x − 6) − (x + 4)(x − 3)

MM_9_Book 1.indb 13

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

Terrengløypa OPPGAVE 11.16

L TI

OPPGAVE 11.17

AG R

Tidligere har vi funnet ut at (a + b)c = ac + bc. La nå c = (r + s). a Forklar hvorfor (a + b)c = (a + b)(r + s). b Forklar hvorfor (a + b)c = ac + bc = a(r + s) + b(r + s). c Forklar hvorfor a(r + s) = ar + as. d Forklar hvorfor b(r + s) = br + bs. e Forklar hvorfor a(r + s) + b(r + s) = ar + as + br + bs. f Forklar hvorfor (a + b)(r + s) = ar + as + br + bs.

Bruk framgangsmåten fra forrige oppgave til å forklare at (x + y)(u − v) = xu − xv + yu − yv.

EKSEMPEL 3

( x + 2)2 − 2x ( x + 2) = ( x + 2)( x + 2) − 2x ( x + 2)

Vi forenkler uttrykket i den første parentesen og ganger 2x inn i den siste parentesen.

E ST

)

+ 4 x + 4 − (2x 2 + 4 x )

Vi ganger sammen de to første parentesene.

)

= x 2 + 2x + 2x + 4 − 2x ( x + 2)

( = (x

Vi skriver først ut hva det betyr at parentesen er opphøyd i andre.

Å regne ut en parentes opphøyd i andre 2 Skriv uttrykket ( x + 2) − 2x ( x + 2) så enkelt som mulig.

Vi løser opp parentesene.

= −x2 + 4

Vi trekker sammen ledd av samme type.

= x 2 + 4 x + 4 − 2x 2 − 4 x

MM_9_Book 1.indb 14

01/07/2020 14:45

11A Å mul ti pl i s er e to par entes er

U OPPGAVE 11.18

AG R

Regn ut og trekk sammen så mye som mulig. 2 2 a ( a − 4 ) b a 3 ( a − 2) + ( a + 3) 2 2 2 2 c ( a + 4 ) − ( a − 2) d 13s + 3s ( s + t ) − ( 4 s + 2t )

OPPGAVE 11.19

Ingeborg, Susanne og Reda diskuterer hvordan de kan regne ut uttrykket 3(x + 1)(2x − 4). Her ser du hvordan de tre har regnet.

L TI

Ingeborg: 3(x + 1)(2x − 4) = (3x + 3)(2x − 4) = 6x2 − 12x + 6x − 12 = 6x2 − 6x − 12 Susanne: 3(x + 1)(2x − 4) = (3x + 3)(6x − 12) = 18x2 − 36x + 18x − 36 = 18x2 − 18x − 36 Reda: 3(x + 1)(2x − 4) = 3(2x2 − 4x + 2x − 4) = 3(2x2 − 2x − 4) = 6x2 − 6x − 12

Forklar framgangsmåten Ingeborg, Susanne og Reda har brukt. Hvorfor blir svaret til Susanne feil?

OPPGAVE 11.20

Skriv så enkelt som mulig. a 4(x + 2)(x − 3) + 4x b 2x3 − x(x − 4)2x

E ST

c 4a − 3(2a + 5)(2 − 4a) d (a + 2)(a − 1)(2a − 4) − 2a3 − 8 1⎞ 1⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎛ ⎛x ⎞⎛ e ⎜ + 4⎟ ⎜ x − ⎟ − ⎜ − 1⎟ f 4a ⎜ 3a2 + ⎟ − 12a ( a + 2) ( a − 2) ⎝ ⎝2 ⎠⎝ 2⎠ 4⎠ ⎝ 2 ⎠

MM_9_Book 1.indb 15

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

11B Figurtall

AG R

• Utforske og beskrive mønstre i arbeid med figurtall. • Lage algebraisk uttrykk for rektangeltall, trekanttall og kvadrattall. • Lage algebraiske uttrykk for antall brikker i figur nr. n når figuren er sammensatt av ulike deler.

L TI BR

På 8. trinn brukte vi følgende strategier i arbeid med figurtall: • Bruke farger. • Tegne neste figur. • Beskrive mønstret med ord. • Sette opp en systematisk tabell.

Her ser du figurer satt sammen av blå og oransje brikker.

E ST

OPPGAVE 11.21

Figur nr. 2

Figur nr. 3

Figur nr. 1

a Tegn figur nr. 4 og figur nr. 5. Bruk farger. Skriv hvor mange blå brikker det er i hver figur. b Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n. c Lag et algebraisk uttrykk for antall blå brikker i figur nr. n.

Tallene vi får når vi ser på antall brikker i hver figur, kalles rektangeltall. Tallene vi får når vi ser på antall blå brikker i hver figur, kalles trekanttall. Tallene kalles trekanttall fordi figurene ser ut som nettopp trekanter. Disse tallene dukker opp mange steder og er ofte nyttige når vi utforsker mønstre.

MM_9_Book 1.indb 16

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l d Fyll ut tabellen. Regnestykke

Sum

1+2

1+2+3 1+2+3+4

1+2+3+4+5

OPPGAVE 11.22

AG R

e Hvilken sammenheng finner du mellom summene i tabellen og trekanttallene? Kan du forklare hvorfor det blir slik? f Regn ut 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. g Lag et program eller en regnearkmodell som finner summen av de 100 første naturlige tallene ved å summere. La også programmet regne ut den samme summen ved hjelp av uttrykket du kom fram til i oppgave c.

L TI

Her ser du de fire første figurene i et mønster.

Figur nr. 2

Figur nr. 3

Figur nr. 1

Figur nr. 4

Her ser du de samme figurene fargelagt på en annen måte.

E ST

a Hvor mange brikker trenger du for å lage figur nr. 5? b Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n.

Figur nr. 2

Figur nr. 3

Figur nr. 4

Figur nr. 1

c Forklar hvordan figur nr. 3 viser at 1 + 3 + 5 = 9. d Forklar med utgangspunkt i figurene at summen av de n første oddetallene er n2. e Regn ut 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99.

MM_9_Book 1.indb 17

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

OPPGAVE 11.23 På hver figur er det kvadratiske fliser som danner et stort kvadrat. La n være antall fliser langs en av kantene.

AG R

U n=5

L TI

n=5

n=8

Hvor mange små kvadrater består rammen av når det er n=8 a 5 fliser langs kanten? b 8 fliser langs kanten? c 10 fliser langs kanten?

E ST

d Lag et algebraisk uttrykk for hvor mange små kvadrater rammen består av når det er n fliser langs kanten. Du kan gå ut fra at n > 2. Kan du tenke på ulike måter? Illustrer de ulike tenkemåtene med tegninger, og lag algebraiske uttrykk som passer til tenkemåtene. e Vis ved regning at verdien av de algebraiske uttrykkene alltid er den samme.

MM_9_Book 1.indb 18

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l

Kvadrattall

U Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 4

Figur nr. 3

AG R

De første kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Algebraisk uttrykk: n2

Rektangeltall

L TI

Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 4

Figur nr. 3

De første rektangeltallene er 2, 6, 12, 20, 30, 42, … Algebraisk uttrykk: n(n + 1)

U K

Trekanttall

Figur nr. 2

Figur nr. 3

n( n + 1) 2

Algebraisk uttrykk:

Figur nr. 4

De første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

E ST

Figur nr. 1

MM_9_Book 1.indb 19

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

EKSEMPEL 3

Her ser du de fire første figurene i et mønster.

AG R

U Figur nr. 2

Figur nr. 4

Figur nr. 3

Figur nr. 1

For å lage et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n kan vi dele opp figurene i mindre enheter.

L TI

Figur nr. n består av en illustrasjon av kvadrattall nr. n + trekanttall nr. n. Et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n n( n + 1) blir dermed n2 + . 2

Jeg deler opp figurene i kvadrattall og trekanttall. Jeg viser dette med blå og oransje brikker.

Figur nr. 3

Figur nr. 4

n2 +

Vi utvider den første brøken så brøkene får samme nevner, og løser opp parentesen. Vi setter på felles brøkstrek.

MM_9_Book 1.indb 20

n( n + 1) 2n2 n2 + n = + 2 2 2 2 2 2n + n + n = 2 2 3n + n = 2

Vi trekker sammen dette uttrykket.

Figur nr. 2

E ST

Figur nr. 1

Vi trekker sammen ledd av samme type i telleren.

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l

OPPGAVE 11.24 Her ser du de tre første figurene i et mønster.

AG R

U Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 3

a Vis med farger hvordan du kan dele opp figurene i mindre enheter. b Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n. Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

L TI

OPPGAVE 11.25

Lag en figurtallsoppgave. Bytt oppgave med en annen elev, og løs hverandres oppgave.

BR N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 21

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

Følg stien OPPGAVE 11.26

AG R

Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n. a

Figur nr. 1

Figur Figurnr. nr.21

Figur Figurnr. Figur nr.1 2 nr.Figur 3 nr.Figur 2 nr. 3

Figur nr. 3

N L TI

Figur nr. 1

FigurFigur nr. 1 nr.Figur 2 Figur nr. 1 nr. 2Figur Figur nr. 3nr. 2Figur nr. 3

Figur nr. 3

Figur nr. 1 Figur nr.Figur 1Figur nr.nr. 2 Figur 1 nr. 2Figur Figur nr. 2nr. 3 Figur nr. 3Figur nr. 3

E ST

FigurFigur nr.Figur 2 nr. nr. 2 2

FigurFigur nr.Figur 3 nr. nr. 3 3

FigurFigur nr.Figur 1 nr. nr. 1 1

Figur nr. 1

MM_9_Book 1.indb 22

Figur Figur nr. 1nr. 2

Figur Figur Figur nr. nr.12nr. 3

Figur Figurnr. nr.23

Figur nr. 3

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l

U OPPGAVE 11.27

Figur nr. 1

AG R

Her ser du de tre første figurene i et mønster.

Figur nr. 2

Figur nr. 3

U a Fyll ut tabellen.

L TI

Figur nr.

Antall brikker i nederste rad

Antall brikker i figuren

3 4

b Hvor mange brikker trenger du for å lage figur nr. 10? c Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i den nederste raden i figur nr. n. d Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n.

Her ser du de tre første figurene i et mønster.

E ST

OPPGAVE 11.28

Figur nr. 3

a Hvor mange sirkler trenger du for å lage figur nr. 4? Hva med figur nr. 5? b Hvor mange sirkler trenger du for å lage figur nr. 8? c Lag et algebraisk uttrykk for antall sirkler i figur nr. n.

MM_9_Book 1.indb 23

Figur nr. 2

Figur nr. 1

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

Terrengløypa OPPGAVE 11.29

Figur nr. 1

AG R

Her ser du de fire første figurene i et mønster.

Figur nr. 2

Figur nr. 3

Figur nr. 4

a Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n.

L TI

Her ser du de fire første figurene i et mønster.

Figur nr. 3

Figur nr. 4

Figur nr. 2

Figur nr. 1

Figur nr. 3

MM_9_Book 1.indb 24

Her ser du de tre første figurene i et mønster. a Forklar hvordan mønstret utvikler seg. b Forklar med utgangspunkt i figurene Figur nr. 1 Figur nr. 2 at alle kvadrattall er summen av to påfølgende trekanttall. c Lag et algebraisk uttrykk for antall blå brikker i figur nr. n. d Lag et algebraisk uttrykk for antall oransje brikker i figur nr. n. e Vis ved regning at summen av to påfølgende n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 trekanttall er et kvadrattall.

E ST

OPPGAVE 11.30

b Hva er likt, og hva er ulike i dette og det forrige mønstret? c Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker i figur nr. n.

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l

EKSEMPEL 4

Å dele opp figurer i mindre enheter Her ser du de fire første figurene i et mønster.

AG R

U Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 4

Figur nr. 3

De oransje brikkene illustrerer rektangeltallene. Antall oransje brikker i figur nr. n er dermed n(n + 1).

L TI K

BR Figur nr. 3

Figur nr. 4

Figur nr. 2

Figur nr. 1

E ST

De blå brikkene illustrerer «det forrige trekanttallet». Antall blå brikker i figur nr. 2 er trekanttall 1, antall blå brikker i figur nr. 3 er trekanttall 2, osv. Vi bytter derfor ut n med n − 1 i det algebraiske uttrykket ( n − 1)n for trekanttallene. Antall blå brikker i figur nr. n er dermed . 2

MM_9_Book 1.indb 25

( n − 1)n 2n( n + 1) ( n − 1)n = + 2 2 2 2n( n + 1) + ( n − 1)n = 2 2 2n + 2n + n2 − n = 2 2 3n + n = 2

n( n + 1) +

Antall brikker i figur nr. n er

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

OPPGAVE 11.31 Figurene illustrerer de tre første «hundetallene». De oransje boksene er hodet, de blå er beina, de grå er kroppen, og de grønne er halen.

U Hund nr. 1

Hund nr. 2

Hund nr. 3

AG R

Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker du trenger for å lage a halen i figur nr. n. b beina i figur nr. n. c hodet i figur nr. n. d kroppen i figur nr. n.

L TI

e Lag et algebraisk uttrykk for antall brikker du trenger for å lage hund nr. n. Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

Hund nr. 2

Hund nr. 3

Hund nr. 1

Her illustreres de tre første «hundetallene» på nytt. Denne gangen er alle brikkene i samme farge.

E ST

f Del opp figurene på en eller flere andre måter. Lag algebraiske uttrykk for antall brikker i hund nr. n ut fra oppdelingene dine. Forenkle de algebraiske uttrykkene, og vis at alle uttrykkene har samme verdi.

MM_9_Book 1.indb 26

01/07/2020 14:45

11B F i gurtal l

OPPGAVE 11.32 Her ser du de tre første figurene i et mønster.

U Figur nr. 2

Figur nr. 3

AG R

Figur nr. 1

a Beskriv hvordan du kan tegne figur nr. n. b Lag et algebraisk uttrykk for antall røde streker i figur nr. n. c Lag et algebraisk uttrykk for antall grønne streker i figur nr. n.

Alle de blå kvadratene er laget av 4 svarte streker. d Lag et algebraisk uttrykk for antall svarte streker i figur nr. n. e Lag et algebraisk uttrykk for antall streker til sammen (røde, grønne og svarte) i figur nr. n. Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

L TI

Her ser du to eksempler på T-kryss.

BR K

f Lag et algebraisk uttrykk for antall T-kryss i figur nr. n.

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 27

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

11C Tallmønstre

• Utforske tallmønstre. • Systematisere og beskrive tallmønstre med ord, tegninger og algebraiske uttrykk. • Begrunne hvilke tall tallmønstrene gjelder for.

Å UTFORSKE MATEMATISKE SAMMENHENGER

AG R

Disse strategiene kan være nyttige når vi skal utforske og begrunne matematiske sammenhenger:

1 Lete og oppdage

• Stille spørsmål: Å være nysgjerrig og stille spørsmål til deg selv er viktig når du leter etter og oppdager mønstre og sammenhenger.

• Skape oversikt: For å oppdage mønstre er det avgjørende at du skaper oversikt for deg selv. Vi anbefaler å bruke farger og sette opp systematiske tabeller når du utforsker.

L TI

EKSEMPEL 5

• Tegne figurer: Ved å vise fram noe på flere måter gir du hjernen mulighet til å se nye sammenhenger. Ved å tegne figurer kobler du på den visuelle delen av hjernen.

I en fotballserie skal alle lagene møte hverandre én gang. Vi lurer på hvor mange kamper som må spilles i hele serien til sammen.

Stille spørsmål: Hvor mange kamper blir det hvis det er 3 lag i serien?

E ST

Skape oversikt: Vi setter opp en Tegne figurer: Vi lager en figur som viser systematisk oversikt med logoene til tre lag. hvilke lag som skal møte hverandre.

Vi ser at det blir 3 kamper.

MM_9_Book 1.indb 28

01/07/2020 14:45

11C Tal l møns tr e 2 Beskrive og generalisere

AG R

• Lage en hypotese: Når du tror du har oppdaget et mønster, lag en hypotese En hypotese er et forslag der du beskriver sammenhengen. til en sammenheng. Ta med hvilke tall du tror sammenhengen gjelder for. • Prøve og feile: Å utforske dreier seg om å oppdage noe man ikke visste fra før. En naturlig del av den prosessen er å prøve og feile.

• Teste med andre tall: Test hypotesen din med andre tall. Finn ut hvilke tall sammenhengen gjelder for. Hvis du tror du har funnet en sammenheng som gjelder for alle tall, men så oppdager at det fins tall som sammenhengen ikke gjelder for, ikke forkast hele hypotesen. Undersøk hva det er som gjør at sammenhengen ikke gjelder for disse tallene, og se om sammenhengen din er riktig for noen typer tall.

L TI

EKSEMPEL 5 forts.

Lage en hypotese: Når det var 3 lag ble det 3 kamper i serien. Vi lager derfor hypotesen om at det blir like mange kamper som det er lag.

Teste med andre tall: Vi sjekker antall kamper hvis det er 4 lag i serien.

E ST

H 20

20 Vi må fortsette å lete etter mønstre til vi finner et mønster vi er ganske sikker på at stemmer. Da kan vi gå til steg 3 der vi begrunner sammenhengen.

Vi ser at det blir 6 kamper hvis det er 4 lag. Vi må derfor forkaste hypotesen og gå tilbake til å lete og oppdage.

MM_9_Book 1.indb 29

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r 3 Begrunne • En verbal begrunnelse forklarer med ord hvorfor sammenhengen må være riktig. • En visuell begrunnelse bruker tegninger og figurer (kanskje i kombinasjon med verbale forklaringer) for å begrunne at sammenhengen må være riktig.

• En algebraisk begrunnelse bruker algebraiske uttrykk og formler.

forts.

EKSEMPEL 5

AG R

Å begrunne en matematisk sammenheng kan du tenke på som å overbevise en annen om at sammenhengen er riktig. Første steg er å overbevise deg selv. Deretter kan du tenke at du skal overbevise en venn som tolker alt du sier i beste mening. En god begrunnelse er en som overbeviser en skeptiker. En skeptiker er en som er kritisk til alt du sier, og som stiller spørsmål ved hver minste detalj i din begrunnelse.

Vi tenker oss nå at det er n lag i serien. Det første laget vil møte n − 1 andre lag. Det andre laget vil i tillegg møte n − 2 antall lag. Slik fortsetter det.

L TI

Her ser du et eksempel med n = 5.

BR N

E ST

H 20

20 Ut fra mønsteret i eksemplet ser vi at svarene her blir trekanttall. Når det er 5 lag, får vi trekanttall nr. 4. Når det er n lag får vi trekanttall nr. n − 1. Et algebraisk uttrykk for antall kamper som må spilles i en serie med n lag er derfor Dette uttrykket gjelder for alle naturlige tall n ≥ 2.

MM_9_Book 1.indb 30

(n – 1)n . 2

01/07/2020 14:45

11C Tal l møns tr e

OPPGAVE 11.33

AG R

Tenk deg at du skal kjøpe kuleis. Du skal kjøpe 2 kuler, og kan velge mellom smakene jordbær, sjokolade, vanilje og blåbær. a Hvor mange forskjellige is kan du sette sammen? Tegn de ulike mulighetene for å vise hvordan du tenker. b Begrunn hvorfor du er sikker på at du har fått med alle mulighetene. c Hva hvis det er flere smaker å velge mellom? Hvor mange muligheter fins da?

OPPGAVE 11.34

I denne oppgaven skal vi utforske hvilke tall som kan skrives som summen av påfølgende naturlige tall.

Eksempel Tallet 15 kan skrives som en sum av to påfølgende tall, tre påfølgende tall, eller fem påfølgende tall: 15 = 7 + 8 De naturlige tallene 15 = 4 + 5 + 6 er 1, 2, 3, 4, 5 … 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

L TI

a Undersøk alle de naturlige tallene fra 1 til 30. Hvilke av tallene kan skrives som en sum av påfølgende naturlige tall? Kan noen tall skrives som en slik sum på flere ulike måter? Skriv alle måtene du finner for alle tallene.

b Hva er felles for alle tall som kan skrives som en sum av to påfølgende naturlige tall?

d Hva er felles for de tallene som ikke kan skrives som en sum av påfølgende naturlige tall?

Her er det viktig å være systematisk!

E ST

c Hva er felles for alle tall som kan skrives som en sum av tre påfølgende naturlige tall? Hva med fire påfølgende naturlige tall? Fem påfølgende naturlige tall?

MM_9_Book 1.indb 31

01/07/2020 14:45

AG R

U N

Den berømte talltrekanten

L TI

Pascals trekant er en berømt talltrekant som inneholder mange mønstre og sammenhenger. Den er oppkalt etter den franske matematikeren Blaise Pascal som levde på 1600-tallet, men talltrekanten var kjent lenge før den tid. Hvilke mønstre oppdager dere i trekanten?

3 6

1 4

MM_9_Book 1.indb 32

5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

E ST

BR 1

01/07/2020 14:45

Alle rader i trekanten starter og slutter med tallet 1. Undersøk om alle andre tall i trekanten er summen av tallene i de to rutene over.

L TI

AG R

U 1

1+1

1+2+1

Sum

Utregning

Rad nr.

Vi kaller den øverste raden i trekanten for rad 0. a Skriv summen av tallene på hver rad i trekanten. Fyll gjerne ut en tabell som dette:

E ST

b Sammenlikn summene. Hva oppdager du? c Lag et algebraisk uttrykk for summen av tallene i rad nr. n.

4 5

MM_9_Book 1.indb 33

a Hvor finner du de naturlige tallene i Pascals trekant? b Hvor finner du trekanttallene i Pascals trekant?

Bruk kalkulator og regn ut 110, 111, 112, 113, 114 og 115. Sammenlikn svarene med Pascals trekant. Hva oppdager du?

Til denne oppgaven trenger du et kopiark med Pascals trekant som bør ha minst 16 rader. Fargelegg alle partall røde og alle oddetall blå. Beskriv mønstrene du oppdager.

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

Følg stien Partall

Oddetall

AG R 2

OPPGAVE 11.35

a Bruk tegninger til å begrunne at summen av to påfølgende naturlige tall alltid blir et oddetall. b Forklar at ingen partall kan skrives som en sum av to påfølgende tall.

L TI

OPPGAVE 11.36

Her ser du en tegning av regnestykket 3 + 4 + 5.

OPPGAVE 11.37

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 10 9 10 18 20 27 30 36 40 45 50 54 60 63 70 72 80 81 90 90 100

MM_9_Book 1.indb 34

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a Hva kalles tallene langs diagonalen fra øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne i gangetabellen (markert med grønt)? b Sammenlikn de gule tallene med de blå tallene. Hva oppdager du? Kan du begrunne hvorfor det blir slik?

E ST

a Forklar hvordan tegningen viser at svaret på regnestykket 3 + 4 + 5 er delelig med 3. b Bruk tegninger til å vise at summen av tre påfølgende naturlige tall alltid er delelig med 3. c Bruk tegninger til å vise at summen av fem påfølgende naturlige tall alltid er delelig med 5.

01/07/2020 14:45

11C Tal l møns tr e

AG R

U U

OPPGAVE 11.38

Vi kan visualisere regnestykket 3 ⋅ 4 på følgende måte:

L TI + 4

+ 4

= 4

3·4 =

a Forklar hvordan tegningen viser at svaret på regnestykket 3 ⋅ 4 blir et partall. b Lag en liknende tegning for å vise at svaret på regnestykket 6 ⋅ 2 blir et partall. c Begrunn at uansett hvilket heltall du multipliserer med et partall, så blir svaret et partall.

4·3 =

+ 3

= 3

E ST

Vi kan visualisere regnestykket 4 ⋅ 3 på følgende måte:

d Forklar hvordan tegningen viser at svaret på regnestykket 4 ⋅ 3 blir et partall. e Lag liknende tegninger for å vise regnestykkene 3 ⋅ 5, 4 ⋅ 5 og 6 ⋅ 3. f Begrunn at et partall ganget med et oddetall gir et partall, mens et oddetall ganget med et oddetall gir et oddetall. g Hvor stor del av tallene i den lille multiplikasjonstabellen er partall? Hvor stor del av tallene er oddetall? Kan du forklare hvorfor det blir slik?

MM_9_Book 1.indb 35

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

OPPGAVE 11.39 Vi skal utforske ulike mønstre når vi legger et tall til seg selv mange ganger.

AG R

Eksempel Start med 2. 2+2=4 4+2=6 6+2=8 8 + 2 = 10 10 + 2 = 12 12 + 2 = 14

Slik kan vi fortsette å legge 2 til det forrige tallet.

Jeg tegner en strek fra siste siffer i starttallet til siste siffer i svar 1, videre til siste siffer i svar 2, og så videre. Se på figuren. 0

3 4 5

Jeg starter å tegne fra tallet 2. Jeg fortsetter å tegne helt til jeg er sikker på at jeg har tegnet hele mønsteret.

L TI

Starttallet skal alltid være et naturlig tall (1, 2, 3, …).

E ST

a Tegn figuren du får når du legger tallet 1 til seg selv mange ganger. b Gjenta for minst tre andre starttall.

c Hvilke tall kan du starte med hvis du skal komme innom alle punktene? Beskriv alle løsningene. d Hvilke tall kan du starte med hvis du skal komme innom færrest mulig av punktene? Beskriv alle løsningene. e Er det mulig å komme innom nøyaktig fire punkter? Begrunn svaret.

20 20

f Tenk deg at du kan starte med hvilket som helst naturlig tall. Hvilke geometriske figurer er det mulig å få som resultat? g Hvilket starttall synes du gir det kuleste mønsteret?

MM_9_Book 1.indb 36

01/07/2020 14:45

11C Tal l møns tr e

Terrengløypa OPPGAVE 11.40

AG R

La n være et naturlig tall. 4n + 12 4n 12 = + = 2n + 6 2 2 2

a Forklar hvert steg i utregningen over. b Forklar at 2n + 6 er et naturlig tall. c Forklar hvordan regningen ovenfor viser at uttrykket 4n + 12 er delelig med 2 når n er et naturlig tall.

L TI

OPPGAVE 11.41

a Forklar at alle partall kan skrives som 2n der n er et naturlig tall. b Forklar at alle oddetall kan skrives som 2n − 1 der n er et naturlig tall.

La p og q være partall. Siden p og q er partall, kan vi sette p = 2a og q = 2b, der a og b er naturlige tall. c Vis ved regning at pq = 4ab. d Vis ved regning at pq er delelig med 2. e Begrunn at du nå har vist at produktet av to partall alltid er et partall.

E ST

La p være et partall og q et oddetall. Vi setter p = 2a og q = 2b − 1, der a og b er naturlige tall. f Vis ved regning at pq er delelig med 2. g Begrunn at produktet av et partall og et oddetall alltid er delelig med 2.

La p og q være oddetall. Vi setter p = 2a − 1 og q = 2b − 1, der a og b er naturlige tall. h Vis ved regning at pq ikke er delelig med 2. i Begrunn at produktet av to oddetall alltid er et oddetall.

MM_9_Book 1.indb 37

j Begrunn at 75 % av tallene i den lille multiplikasjonstabellen er partall.

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

OPPGAVE 11.42 a Forklar at summen av tre påfølgende naturlige tall kan skrives som n + (n + 1) + (n + 2). b Vis ved regning at summen av tre påfølgende naturlige tall er delelig med 3.

starttall = 10 antall = 5 sum = 0 for tall in range(antall): sum = sum + starttall + tall if sum % antall == 0: print("Summen av disse", antall, "naturlige tallene") print("er delelig med", antall) else: print("Summen av disse", antall, "naturlige tallene") print("er IKKE delelig med", antall)

AG R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Regneoperasjonen % gir resten ved divisjon. For eksempel er 15 % 2 = 1 15 % 3 = 0 15 % 4 = 3

L TI

c Kjør programmet flere ganger. Mellom hver kjøring endrer du verdien av variabelen starttall. d Forklar hva hver linje i programmet gjør. e Undersøk, ved å bruke programmet, om summen av fem påfølgende naturlige tall alltid er delelig med 5. f Begrunn svaret du kom fram til i oppgave e ved regning med algebraiske uttrykk.

Her ser du en forbedret versjon av pythonprogrammet.

starttall = int(input("Starttall = ")) antall = int(input("Antall påfølgende tall = ")) sum = 0 for tall in range(antall): sum = sum + starttall + tall if sum % antall == 0: print("Summen av disse", antall, "naturlige tallene") print("er delelig med", antall) else: print("Summen av disse", antall, "naturlige tallene") print("er IKKE delelig med", antall)

E ST

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

20 20

g Undersøk, ved å bruke programmet, for hvilke verdier av n, summen av n påfølgende naturlige tall alltid er delelig med n. h Vis ved regning med algebraiske uttrykk at summen av n påfølgende naturlige tall er delelig med n hvis n er et oddetall.

MM_9_Book 1.indb 38

01/07/2020 14:45

11C Tal l møns tr e

OPPGAVE 11.43 6

Velg et tilfeldig 3 × 3 kvadrat i den lille multiplikasjonstabellen. Til høyre ser du et eksempel på et slikt kvadrat. a Regn ut produktet av tallet i øverste venstre hjørne i kvadratet og tallet i nederste høyre hjørne i kvadratet. b Regn ut produktet av tallet i nederste venstre hjørne i kvadratet og tallet i øverste høyre hjørne i kvadratet. c Gjenta oppgave a og b for andre 3 × 3 kvadrat. Hva oppdager du?

AG R

Vi skal nå begrunne hvorfor det må bli slik.

Velg et tilfeldig 3 × 3 kvadrat. Øvre venstre hjørnet i kvadratet kan beskrives ut fra hvilken rad og kolonne det ligger i. Vi lar øvre venstre hjørne i kvadratet være i kolonne x og rad y. Her ser du en figur av dette:

(x + 1)y

y +2

x +2

L TI

y +1

x +1

(x + 2)(y + 2)

d Hvilke uttrykk skal stå i resten av de grønne rutene? e Vis ved regning at produktet av tallet i øverste venstre hjørne og tallet i nederste høyre hjørne i det grønne kvadratet er lik produktet av tallet i nederste venstre hjørne og tallet i øverste høyre hjørne i det grønne kvadratet. f Vis ved regning at gjennomsnittet av tallene i det grønne kvadratet er lik tallet i midten av det grønne kvadratet. h Undersøk om disse sammenhengene også gjelder for kvadrater av andre størrelser. Begrunn svarene du kommer fram til.

E ST

MM_9_Book 1.indb 39

01/07/2020 14:45

1 1 F i g urta ll o g ta llm ø nste r

Topptur

AG R

På denne toppturen skal vi vise at naturlige tall som kan skrives som potenser med 2 som grunntall, ikke kan skrives som en sum av påfølgende naturlige tall.

L TI

Vi vil nå systematisk ta for oss ulike tilfeller. Det er i alt fire tilfeller som må sjekkes: TILFELLE 1: Sum av n påfølgende naturlige tall der n er et oddetall og det første tallet i summen er et partall. TILFELLE 2: Sum av n påfølgende naturlige tall der n er et oddetall og det første tallet i summen er et oddetall. TILFELLE 3: Sum av n påfølgende naturlige tall der n er et partall og det første tallet i summen er et partall. TILFELLE 4: Sum av n påfølgende naturlige tall der n er et partall og det første tallet i summen er et oddetall.

Naturlige tall som kan skrives som en potens med 2 som grunntall, kan ikke skrives som en sum av påfølgende tall. Bruk oppgave 1 til å forklare at for å vise dette er det nok å vise at alle summer av påfølgende naturlige tall må ha et oddetall som faktor.

Begrunn at naturlige tall som kan skrives som en potens med 2 som grunntall, er de eneste naturlige tallene som ikke har minst et oddetall større enn 1 som faktor.

E ST

Vi begynner med å se på TILFELLE 1 der n er oddetall og første tall i summen er partall. Vi har tegnet et eksempel på dette nedenfor. Begrunn at når første tall i summen er et partall og det er et odde antall tall som summeres, vil alltid siste tall i summen være et partall.

Partall

Oddetall

Partall

MM_9_Book 1.indb 40

01/07/2020 14:45

Topptur

Vi dobler summen ved å tegne alle radene en gang til. Partall Partall

Partall

U Oddetall

AG R

Vi deler rektanglet i to like store deler som vist nedenfor.

Begrunn at lengden i rektanglet alltid vil være et partall.

L TI

Oddetall

E ST

a Begrunn at rektanglet alltid kan deles i to like store deler på denne måten. b Begrunn at delen til venstre viser summen av tallene vi startet med, som vist i den første figuren. c Begrunn at denne summen har et oddetall som faktor.

Begrunn at tegningene og resonnementene ovenfor viser at i TILFELLE 1 vil alltid summen av de påfølgende tallene ha et oddetall som faktor.

Gjennomfør liknende resonnementer for TILFELLE 2, TILFELLE 3 og TILFELLE 4. Konkluder med at tall som kan skrives som en potens med 2 som grunntall, ikke kan skrives som en sum av påfølgende naturlige tall.

MM_9_Book 1.indb 41

01/07/2020 14:45

E k s p ed i s jo n

Kabeltall og insekttall

AG R

Ekspedisjon Her ser du de tre første figurene i et mønster.

.K Figur nr. 1

Figur nr. 2

Figur nr. 3

L TI

a Beskriv mønstret med ord. Forklar hvordan figur nr. 4 ser ut. Her ser du seks ulike måter å dele opp den femte figuren.

BR N

E ST

MM_9_Book 1.indb 42

20 b Ta utgangspunkt i hver av oppdelingene, og lag algebraiske uttrykk for antall brikker i figur nr. n. Sjekk at de algebraiske uttrykkene stemmer for figur nr. 3 og figur nr. 5. c Vis at alle de algebraiske uttrykkene fra oppgave b har samme verdi ved å forenkle de algebraiske uttrykkene.

01/07/2020 14:45

Eks pedi s j on

AG R

U 2

Her ser du illustrasjoner av de tre første «insekttallene».

.K L TI K

BR Insekt nr. 2

Insekt nr. 3

E ST

Insekt nr. 1

Lag et algebraisk uttrykk for hvor mange brikker du trenger for å lage insekt nr. n.

N 20

MM_9_Book 1.indb 43

01/07/2020 14:45

AG R

U L TI K

BR N

E ST

Ã&#x2DC;

H 20

MM_9_Book 1.indb 44

01/07/2020 14:45

12 1 Hva ser dere på bildet? 2 Hvor mange dager i løpet av en måned blåser det mye der dere bor? 3 Hvor mange dager i løpet av en måned regner det der dere bor? 4 Hvor mye regn kan komme i løpet av en dag der dere bor? 5 Hva er den høyeste temperaturen som er målt der dere bor?

AG R

Statistikk L TI

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 45

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

12A Tabeller og diagrammer

AG R

• Forklare hva frekvens og relativ frekvens er. • Regne ut relativ frekvens. • Tegne ulike typer diagrammer med regneark, og vurdere hvilken type diagram som formidler informasjonen på best mulig måte. • Hente ut relevant informasjon fra tekster, tabeller og diagrammer.

EKSEMPEL 1

Frekvenstabell

Jeg har registrert tiden jeg dusjer hver dag i tre uker!

Tid i dusjen

I Hiyannas familie vil de prøve å bli miljøbevisste. Et tiltak er at de skal registrere hvor mange minutter de bruker i dusjen hver dag.

Fra og med 0 til 2 minutter

Antall (frekvens)

Relativ frekvens

2 ≈ 0,095 = 9,5 % 21

L TI

Tellekolonne

||||

4 ≈ 0,190 = 19,0 % 21

Fra og med 5 til 10 minutter

|||| |||| |

11 ≈ 0,524 = 52, 4 % 21

Fra og med 10 til 20 minutter

|||

3 ≈ 0,143 = 14,3 % 21

Fra og med 20 til 30 minutter

U 1

1 ≈ 0,048 = 4,8 % 21

21 = 1,000 = 100 % 21

MM_9_Book 1.indb 46

Bruk Hiyannas tabell og svar på spørsmålene. a Forklar hva som menes med frekvens og relativ frekvens. Forklar hvordan Hiyanna har gått fram når hun har fylt ut tabellen. b Hvor mange minutter dusjer hun en typisk dag? c Hva er den lengste tiden hun dusjer, og hva er den korteste?

SNAKKE MATTE

E ST

Sum

Fra og med 2 til 5 minutter

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

SNAKKE MATTE

Her ser dere dataene fra tabellen framstilt i ulike typer diagrammer. a Forklar hvilken informasjon som kommer best fram i de ulike diagrammene. b Hvilket diagram synes dere viser det mest riktige bildet av Hiyannas tid i dusjen? Daglig tid i dusjen

12 10 8 6 4 2 0

Antall dager

AG R

Antall dager

Daglig tid i dusjen

2–5

0–2

5–10

10–20

12 10 8 6 4 2 0

20–30

Minutter i dusjen

U 11 dager

BR 1 dag

E ST

Daglig tid i dusjen

0–2 min 5–10 min 20–30 min

2–5 min 10–20 min

0–2

2–5 5–10 10–20 Minutter i dusjen

52 %

19 %

12 10 8 6 4 2 0

10 %

14 %

Antall dager

Minutter i dusjen

MM_9_Book 1.indb 47

Daglig tid i dusjen

3 dager

L TI

4 dager

2 dager

Minutter i dusjen

20–30

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

DIAGRAMMER Et sektordiagram (også kalt kakediagram) består av en sirkel delt inn i ulike sirkelsektorer. Hver sirkelsektor viser andelen en kategori utgjør av helheten. Sektordiagram er egnet for å sammenlikne deler som til sammen utgjør en helhet. Diagrammet fungerer best når det er få kategorier.

AG R

I et linjediagram (også kalt kurvediagram) vises informasjonen som en kurve. Når vi bruker linjediagrammer, er kategoriene som oftest tall. Linjediagrammer er godt egnet for å vise utvikling over tid. Vi kan vise flere dataserier samtidig ved å tegne flere kurver i det samme diagrammet.

SNAKKE MATTE

Søylediagram brukes ofte når verken linjediagram eller sektordiagram er egnet. Dette er ofte tilfellet hvis vi har mange kategorier og ikke viser utvikling over tid, eller hvis vi sammenlikner kategorier som er delt opp i underkategorier.

L TI

Her er resultatene fra en markedsundersøkelse der 200 personer ble spurt om hvilken butikk de har kjøpt matvarer i den siste måneden. Butikk

Frekvens (antall)

Prosent

50 = 0,25 = 25 % 200

Lille handel

Spar Vika

Øst snarkjøp

Ås kolonial

68 = 0,34 = 34 % 200

Sum

228

228 = 1, 4 = 114 % 200

14 = 0,07 = 7 % 200 96 = 0, 48 = 48 % 200

E ST

a Hvorfor blir summen av prosentene mer enn 100 %?

Hvor kjøper du matvarene?

Lille handel

34 %

Øst snarkjøp

Ås kolonial

48 % 0

30 40 Prosent

25 %

Spar Vika

Hvor kjøper du matvarene?

Her ser dere to diagrammer som viser dataene.

Lille handel Spar Vika Øst snarkjøp Ås kolonial

b Hvilket av diagrammene synes dere gir mest riktig bilde av situasjonen? Begrunn svaret.

MM_9_Book 1.indb 48

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

EKSEMPEL 2

Hva formidler diagrammene?

Andelen fødte som heter Charlotte

0,30

Andelen fødte i prosent

Diagrammet viser andelen fødte i perioden 2011–2016 som heter Charlotte. Andelen øker jevnt, og en passende overskrift i en avisartikkel kan være «Navnet Charlotte blir mer populært».

0,25 0,20

AG R

0,15 0,10 0,05 0,00

2012

2013

2011

2014

2015

2016

Andelen fødte som heter Charlotte

BR 2012

2013

2014

2015

2016

2011

0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,20 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15

L TI

Andelen fødte i prosent

Diagrammet nedenfor viser også andelen fødte i perioden 2011–2016 som heter Charlotte. Av grafen ser det ut som om det er en kraftig økning i bruken av navnet Charlotte. Dette skyldes at vi har endret enheten på y-aksen og startet på 0,15 i stedet for 0. Hvis vi ikke tolker grafen kritisk, kan dette føre til overskrifter av typen «Charlotte fosser fram som det nye populære navnet».

Andelen fødte som heter Charlotte

1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018

MM_9_Book 1.indb 49

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

Andel fødte i prosent

E ST

Hvis vi derimot tar med et diagram som viser andelen fødte som heter Charlotte helt fra 1960 til 2018, ser vi et helt annet bilde. Populariteten til navnet Charlotte har falt kraftig fra rundt 1990 og fram til 2016. Økningen fra 2011–2016 er minimal i forhold til dette. Perioden 2011–2016 som er vist på de to diagrammene ovenfor, er markert med en rød sirkel. Her kunne en passende overskrift ha vært «Antall som får navnet Charlotte, har stupt siden 1990».

Data fra: ssb.no

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.1 Tabellen viser temperaturer målt i luft og vann på målestasjonen Gabriel i Store Lungegårdsvann, Bergen. Temperatur 0,5 m under overflaten, °C 23.01.2019

22.04.2019

25.07.2019

23.01.2019

22.04.2019

25.07.2019

6,338

9,188

15,968

3,8

11,9

Klokkeslett

Lufttemperatur, °C

6,037

9,066

16,684

3,2

11,4

23,2

6,371

9,012

16,741

2,9

10,4

24,2

6,398

9,08

16,402

2,9

6,337

9,134

16,69

2,9

11,4

17,9

6,305

9,303

16,745

2,7

14,3

20,7

6,324

9,886

17,014

1,9

15,6

20,1

AG R

10,702

17,74

17,1

20,5

10,923

17,988

0,7

16,7

21,9

6,447

11,259

18,444

0,3

16,2

23,5

6,544

10,501

18,289

14,3

23,2

6,74

9,897

17,748

9,7

18,6

L TI

Data fra: ektedata.no

6,858

6,201

Bruk regneark, og lag diagrammer som formidler informasjon om temperaturen i luft og vann i Store Lungegårdsvann. Lag gjerne spørsmål først, som du vil at diagrammet skal bidra til å svare på. Ta vare på regnearket. Du får bruk for det i senere oppgaver også!

E ST

Jeg lurer på om temperaturen varierer like mye gjennom døgnet i lufta som i vannet.

a Hvilken informasjon kan dere lese ut av dataene i tabellen i oppgaven ovenfor? b Synes dere det er lettest å hente informasjon fra tabellen eller fra diagrammene? Hvorfor tror dere det er slik?

MM_9_Book 1.indb 50

SNAKKE MATTE

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

SNAKKE MATTE

Tabeller og diagrammer kan brukes til å vise at fenomener henger sammen.

390

0,4

360

0,0

330

AG R

0,2

–0,2

300

–0,4 –0,6

CO2-innhold (ppm)

420

0,6

Temperaturendring (°C)

0,8

270 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Kilde: https://folk.uib.no/ ngfhd/Climate/various.html

a Hvilken sammenheng viser diagrammet? b Hvordan kan vi vite at det virkelig er en sammenheng?

L TI

EKSEMPEL 3

Når to grafer har samme form, betyr det ofte at det er en sammenheng mellom de praktiske situasjonene som grafene beskriver. Men slik trenger det ikke være. Det kan hende at det bare er tilfeldige sammentreff.

Diagrammet viser antall millioner fat olje som USA importerte fra Norge i perioden 1999–2009. Målenheten vises på venstre side av diagrammet.

100

Millioner fat råolje

120

Antall drepte

100

140

E ST

I samme diagram vises antall døde som følge av kollisjoner mellom bil og tog i USA i den samme tidsperioden. Målenheten vises på høyre side av diagrammet.

Norske råolje importert til USA Personer drept i kollisjon mellom bil og tog i USA

Data fra: https://tylervigen.com

Det ser tilsynelatende ut som om det er en sammenheng mellom de to kurvene siden de følger hverandre så tett. Dette er imidlertid ikke tilfellet. Her er det et tilfeldig sammentreff av hendelser som ikke har noe med hverandre å gjøre.

MM_9_Book 1.indb 51

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.2 Tabellen viser andelen personer som dør etter å ha blitt påkjørt av bil. Bilens fart

30 km/h

AG R

50 km/h

65 km/h

Personen dør

Data fra: http://citiesspeak.org

Personen overlever kollisjonen

L TI

a Framstill sammenhengen som er vist her, i et diagram. b Begrunn at det er en sammenheng mellom fart og sannsynligheten for å dø i en trafikkulykke.

BR N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 52

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

Følg stien OPPGAVE 12.3

AG R

Tabellen viser en oversikt over hva elever på en skole har svart når de fikk spørsmål om hva de spiser i matpausen på skolen. Elevene kunne bare svare ett av alternativene.

Antall svar (frekvens)

Brødskiver med pålegg

Salat

Bolle eller skolebrød

Grønnsaker eller frukt

Yoghurt

Ingenting

a Hvor mange elever har svart på spørsmålet? b Hva er den relative frekvensen for hvert av svaralternativene?

Hva spiser du i matpausen?

L TI Vindstyrke, sterkeste vind

Antall dager, frekvens

Lavere enn bris

Bris

Kuling

Tabellen viser antall dager med ulike vindstyrker på Kråkenes fyr en måned. Gjør beregninger, og fyll ut tabellen.

OPPGAVE 12.4

Kjøretøytype

Antall

Relativ frekvens 0,5

Motorsykkel/scooter

Varebil Lastebil

Traktor

Sum

108

Taxi

Personbil

MM_9_Book 1.indb 53

E ST

OPPGAVE 12.5 I et nabolag ønsker de å stenge en gate for gjennomgangstrafikk. De har gjort en trafikktelling en dag, og her ser du resultatet. Imidlertid er noen tall blitt borte. Fyll ut tabellen.

0,2

Sum

6 3

Storm

Relativ frekvens

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.6 Tabellen og de to diagrammene viser utslipp av CO2 i Norge fra 2010 til 2018. År Antall 1000 tonn

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

46 241

45 522

45 038

44 982

44 917

45 350

44 473

43 670

43 821

Antall tusen tonn

Utslipp av CO2 i Norge

50 000 40 000

AG R

Antall tusen tonn

Data fra: ssb.no

30 000 20 000 10 000

Utslipp av CO2 i Norge

46 000 45 500 45 000 44 000 44 000 43 500

20 1 20 0 1 20 1 1 20 2 1 20 3 1 20 4 15 20 1 20 6 17 20 18

År

20 1 20 0 1 20 1 1 20 2 1 20 3 1 20 4 15 20 1 20 6 17 20 18

46 500

Hvilket diagram mener du gir en mest riktig framstilling av dataene? Begrunn svaret.

L TI

OPPGAVE 12.7

Antall personer på reise, etter reisemål, formål og alder 3. kvartal 2019, oppgitt i millioner 0,11

25–44 år

45–64 år

65–79 år

0,29

0,27

0,16

16–24 år Feriereiser innenlands

0,22

0,56

0,55

0,21

Feriereiser innenlands og utenlands

0,08

0,17

0,14

0,06

Yrkesreiser innenlands

0,01

0,09

Yrkesreiser utenlands

0,11

0,02

Yrkesreiser innenlands og utenlands

0,01

0,02

a Framstill dataene i ett eller flere diagrammer. b Beskriv informasjonen du kan lese ut av diagrammene du har laget.

E ST

Data fra: ssb.no

Feriereiser utenlands

MM_9_Book 1.indb 54

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

OPPGAVE 12.8 Tabellen viser data fra en spørreundersøkelse blant elever på 9. trinn. Kjønn

Hvilket skolefag liker du best?

Gjennomsnittlig antall minutter en hverdag brukes på trening

Hvilket skolefag liker du best?

Gjennomsnittlig ntall minutter en a hverdag brukes på lekser

trening

Jente

KRLE

Jente

Kroppsøving

Gutt

Naturfag

Jente

Matematikk

Jente

Norsk

Gutt

Kroppsøving

Gutt

KRLE

Gutt

Norsk

Gutt

KRLE

Gutt

Matematikk

Jente

Matematikk

Gutt

Norsk

Jente

Matematikk

Gutt

Samfunnsfag

Gutt

Matematikk

Jente

Norsk

Jente

Naturfag

Jente

Matematikk

Gutt

Naturfag

Jente

Matematikk

Gutt

Matematikk

Gutt

Samfunnsfag

Gutt

Naturfag

Jente

Kroppsøving

AG R

lekser

Kjønn

L TI

Engelsk

Jente

Matematikk

Jente

Engelsk

Gutt

Matematikk

Gutt

Engelsk

Jente

Norsk

Jente

Naturfag

Jente

Matematikk

Gutt

Matematikk

Jente

Samfunnsfag

Gutt

e Framstill dataene fra oppgavene a og c i samme diagram. f Framstill dataene fra oppgavene a eller c i et sektordiagram.

E ST

c Lag en frekvenstabell som viser hvilke fag gutter liker best. d Lag en kolonne for relativ frekvens i tabellen, og fyll ut.

a Lag en frekvenstabell som viser hvilke fag jenter liker best. b Lag en kolonne for relativ frekvens i tabellen, og fyll ut.

MM_9_Book 1.indb 55

g Del inn tiden som brukes på lekser og trening, i passende og like store intervaller, og lag en frekvenstabell for trening og en for lekser. h Framstill dataene fra oppgave g i ett diagram.

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.9 a Hvilken informasjon gir tallene i tabellen? b Lag ett eller flere diagrammer som formidler informasjon som fins i dataene. Lag gjerne ett diagram med tre dataserier. c Hvilken informasjon formidler diagrammet?

Temperaturer på ulike dyp ved målestasjonen Gabriel i Store Lungegårdsvann, Bergen Dybde

AG R

Én dataserie inneholder dataene som gjelder for én bestemt dag.

Temperatur, °C 23.01.2019

22.04.2019

25.07.2019

0,5 m

6,447

11,259

18,444

1,5 m

6,66

10,421

17,181

2,5 m

6,959

9,478

15,567

3,5 m

7,2

8,906

14,868

4,5 m

7,323

8,781

14,399

5,5 m

7,4

8,715

13,966

6,5 m

7,494

8,607

13,564

7,5 m

7,581

8,458

13,289

8,5 m

7,655

8,243

12,452

9,5 m

7,73

7,936

11,587

10,5 m

7,801

7,626

10,795

7,855

7,378

10,114

7,863

7,275

9,723

7,838

7,217

9,421

L TI

11,5 m 12,5 m 13,5 m

14,5 m

7,774

7,191

9,148

15,5 m

7,755

7,184

8,884

7,771

7,18

8,564

7,826

7,154

8,168

16,5 m

17,5 m

Data fra: ektedata.no

E ST

OPPGAVE 12.10

Tabellen viser årlige utslipp av klimagasser i Norge i perioden fra 2002 til 2018.

Kilde: ssb.no

2002

2004

2006

2008

2010

2012

2014

55 287

56 189

55 353

55 587

55 477

54 121

53 930

2016

2018

53 471

52 041

a Lag et diagram der vi vil vise at utslippene har gått kraftig ned mot slutten av perioden. b Lag et diagram der du vil vise at utslippene har vært nokså stabile i denne perioden.

MM_9_Book 1.indb 56

Antall 1000 tonn

År

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

OPPGAVE 12.11 Her ser du en oversikt over hvor mange mennesker verdens farligste dyr dreper per år. Dyr

Antall drepte mennesker

Hai

Ulv

Løve

100

Elefant

100

Flodhest

500 1 000

Bendelorm

2 000

AG R

Krokodille

Innvollsormer

2 500 10 000

Tege med parasitt

10 000

Tsetseflue med parasitt

10 000

Hund med rabies

25 000

Slange

50 000

Mygg med parasitt

725 000

L TI

Data fra: gatesnotes.com

Ferskvannssnegl med parasitt

OPPGAVE 12.12

a Framstill informasjonen i et diagram. b Er det diagrammet eller tabellen som gir den beste informasjonen her? Begrunn svaret.

Diagrammet viser resultatet fra en spørreundersøkelse utført i Norge og Sverige. De blå søylene er svar fra svensker, de oransje er svar fra nordmenn.

Har besøkt Sverige mange ganger

75 % 32 % 22 %

Har besøkt Norge noen ganger

21 %

Data fra: aftenposten.no

MM_9_Book 1.indb 57

Tenk deg at du skal bruke dette diagrammet til å skrive en kort artikkel i en avis. Hvilken informasjon vil du formidle i artikkelen?

Har aldri vært i Norge

Har aldri vært i Sverige

47 %

E ST

Har besøkt Sverige noen ganger

Har besøkt Norge mange ganger

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.13 Antall harer per 10 000 m²

100

Haretetthet Gaupespor

60 2

AG R

a Forklar hva diagrammet viser. b Tror du det er en sammenheng mellom de to kurvene? Begrunn svaret.

N 0

1985

L TI

1980

1990

1995

2000

2005

2010

2015

Antall gaupespor per 100 km

Terrengløypa 0

Data fra: Naturen 3/2019

OPPGAVE 12.14

Diagrammet viser de som eksporterer mest fisk og fiskeprodukter i verden. Tallene er oppgitt i milliarder amerikanske dollar.

U K

USA 6,1

EU 38,1

Canada 5,4

Data fra: statista.com

Vietnam 7,7

Indonesia 4,6

India 7

Equador 5

E ST

Chile 6,8

Thailand 6 Norge 12,1

Kina 25

Å eksportere betyr å selge til et annet land.

a Hvilken informasjon får du av diagrammet? b Velg ut en del av informasjonen, og lag ditt eget diagram som illustrerer det du vil vise.

MM_9_Book 1.indb 58

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

OPPGAVE 12.15 Diagrammet viser hvor mye is som fantes i Arktis i april og september noen år. a Hvilken informasjon får du av diagrammet? b Skriv inn dataene i et regneark, og lag et linjediagram som illustrerer dataene. c Illustrer dataene med et punktdiagram med linjer mellom punktene. d Hvilken illustrasjon synes du viser det beste bildet av utviklingen? Begrunn svaret.

April

16 316

29 907 13 815

1980

27 153 11 084

24 097

1990

AG R

22 458

4742 2000

4529 2010

2016

Data fra: nsidc.org

Mengde is i kubikkilometer

32 235

September

L TI

OPPGAVE 12.16

Diagrammet nedenfor kalles et radardiagram. Det viser volumet av sjøisen i Arktis gjennom året i 40 år. a Forklar hva diagrammet viser. b Sammenlikn dette diagrammet med diagrammet i oppgave 12.15. Hvilket av dem gir deg best informasjon? Mengde is i 1000 kubikkilometer

K februar

25 20

november

mars

E ST

desember

januar 35

mai

Data fra: nsidc.org

MM_9_Book 1.indb 59

juni

september

april

oktober

august

1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 2017 2019

juli

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.17 I dette diagrammet har noen land hver sin sirkel. Størrelsen på sirkelen gjenspeiler folketallet i landet. Folketall, BNP per innbygger og forventet levealder, 2018 90

AG R

Forventet levealder, år

20 000

L TI

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

Data fra: gapminder.com

BNP per innbygger i amerikanske dollar, kjøpekraftsjusterte 2011-priser

a Tror du det er en sammenheng mellom forventet levealder og inntekt? Begrunn svaret. b Tror du det er en sammenheng mellom antall innbyggere og forventet levealder? Begrunn svaret. c Fargene på sirklene forteller hvilken verdensdel landene ligger i. Hvilken informasjon gir dette?

E ST

MM_9_Book 1.indb 60

Kroppsøving

KRLE

Naturfag

Kroppsøving

Engelsk

Kroppsøving

Naturfag

KRLE

Naturfag

Matematikk

Kroppsøving

Engelsk

Matematikk

KRLE

Naturfag

Engelsk

Naturfag

Norsk

Matematikk

KRLE

Du skal nå ha laget en frekvenstabell. Sett inn nødvendige formler, og vis relativ frekvens i kolonne D.

Hvilket skolefag liker du best?

Tabellen viser favorittfaget til 24 elever på 9. trinn. • Åpne et nytt regneark, og skriv inn dataene om favorittfag i cellene A1:A24. • Skriv inn de sju fagene i cellene B1:B7. • I celle C1 skriver du =ANTALL.HVIS($A$1:$A$24; B1) • Kopier denne formelen til cellene C2:C7.

OPPGAVE 12.18

01/07/2020 14:45

12A Tabel l er og di agrammer

OPPGAVE 12.19 Her er et program som lar brukeren taste inn karakterer. Programmet teller frekvensen av hver karakter. en = 0 to = 0 tre = 0 fire = 0 fem = 0 seks = 0 karakter = 0

AG R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

L TI

karakteren karakteren karakteren karakteren karakteren karakteren

1:", 2:", 3:", 4:", 5:", 6:",

en) to) tre) fire) fem) seks)

E ST

fått fått fått fått fått fått

har har har har har har

som som som som som som

print("Antall print("Antall print("Antall print("Antall print("Antall print("Antall

Forklar hva variablene en, to, tre, fire, fem og seks brukes til. Forklar hva brukeren skal gjøre når hun er ferdig med å taste inn alle karakterene. Utvid programmet slik at det teller antall karakterer som tastes inn. Utvid programmet slik at det regner ut og skriver relativ frekvens til skjermen.

a b c d

while karakter > -1: karakter = int(input("Oppgi en karakter: ")) if karakter == 1: en = en + 1 elif karakter == 2: to = to + 1 elif karakter == 3: tre = tre + 1 elif karakter == 4: fire = fire + 1 elif karakter == 5: fem = fem + 1 elif karakter == 6: seks = seks + 1

MM_9_Book 1.indb 61

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

12B Sentralmål og spredningsmål

• Regne ut gjennomsnitt, median og variasjonsbredde. • Argumentere for når det er bedre å bruke median enn gjennomsnitt. • Lese og tolke informasjon fra boksdiagram. • Forklare forskjellen på variasjonsbredde og kvartilbredde.

AG R

Sentralmål sier noe om hva som er typisk i et datamateriale. De mest vanlige sentralmålene er gjennomsnitt og median. Når vi regner ut gjennomsnitt og median, må observasjonene være tall.

Gjennomsnittet regner vi ut ved å legge sammen alle verdiene og dele på antall verdier.

Medianen er den verdien som står i midten når verdiene sorteres i stigende rekkefølge. Hvis to verdier står i midten, er medianen gjennomsnittet av de to verdiene.

L TI

EKSEMPEL 4

Vi regner ut gjennomsnittsinntekten.

Her ser du bruttoinntekten per år for seks familier. 450 000 kr 640 000 kr 660 000 kr 700 000 kr 800 000 kr 2 150 000 kr

( 450 000 + 640 000 + 660 000 + 700 000 + 800 000 + 2 150 000) = 900 000

H Ø

Gjennomsnittsinntekten for de seks familiene er 900 000 kr.

I regneark kan vi finne gjennomsnitt og median ved å bruke formlene: =GJENNOMSNITT(område) =MEDIAN(område)

Medianinntekten for de seks familiene er 680 000 kr.

660 000 + 700 000 = 680 000 2

E ST

Siden verdiene er skrevet i stigende rekkefølge, finner vi medianinntekten ved å regne ut gjennomsnittet av de to midterste verdiene.

Du trenger ikke sortere dataene i regneark. Prøv selv!

MM_9_Book 1.indb 62

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

OPPGAVE 12.20 Diagrammet viser hvor mange som bor i noen gater i en by. 42

38 26 15

lia

St or ga ta Øv re ga te N ed re ga te Br at tb ak ke n Sn ar ve ie n

St or

AG R

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

a Hva er gjennomsnittlig antall beboere per gate? b Hva er medianen?

L TI

OPPGAVE 12.21

Målforskjell

E ST

Ø 20

MM_9_Book 1.indb 63

Det er sølt noe på en av søylene i diagrammet. a Hvor høy skal den søylen være? b Hva blir medianen?

8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4

Søylediagrammet viser målforskjellen for et fotballag i noen kamper. Den oransje linja viser gjennomsnittlig målforskjell.

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

Aktivitet

Hver elev skriver ett heltall mellom 1 og 100 på en lapp. Regn ut gjennomsnittet av alle 3 tallene på lappene. Vinneren er den som kommer nærmest av gjennomsnittet. 4

Flest stikk

AG R

SPILL

Utstyr: En kortstokk

Dette er et spill for 2–5 spillere. Del ut fem kort til hver spiller og legg 5 kort på bordet med forsiden opp. Etter tur bytter hver spiller et kort på hånden med et kort som ligger på bordet. Når en spiller har 5 kort på hånden slik at gjennomsnittet og medianen av kortene er den samme, får spilleren et stikk. Da legger spilleren kortene til side og trekker 5 nye kort.

Ess = 1 Knekt = 11 Dame = 12 Konge = 13

L TI

4 + 5 + 7 + 9 + 10 = 7. 5

Medianen er 7. Henrik får derfor ett stikk.

5 + 5 + 5 + 12 + 13 = 8. 5

Medianen er 5. Yonas får ikke noe stikk foreløpig.

Gjennomsnittet er

E ST

Yonas Yonas har kortene 5, 5, 5, 12 og 13.

Gjennomsnittet er

Henrik Henrik har kortene 4, 5, 7, 9 og 10.

Vi viser et eksempel.

MM_9_Book 1.indb 64

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

GJENNOMSNITT ELLER MEDIAN? Her ser du bruttoinntekten per år for seks familier. 450 000 kr 640 000 kr 660 000 kr 700 000 kr 800 000 kr 2 150 000 kr

Gjennomsnittet er et lite egnet mål hvis noen av verdiene er ekstreme sammenliknet med de andre. Den ene familien tjener mer enn dobbelt så mye som alle de andre familiene. Denne verdien trekker gjennomsnittet veldig opp og gjør at gjennomsnittet ikke er et godt mål for den typiske familiens inntekt.

AG R

I denne situasjonen er medianen et bedre sentralmål siden den ikke avhenger av ekstremverdiene. Det er bare verdiene i midten som har betydning for medianen.

SNAKKE MATTE

Fattigdomsmål • EU: 60 prosent av medianinntekten. • OECD: 50 prosent av medianinntekten.

L TI

Forklar hvorfor vi bruker median og ikke gjennomsnitt i fattigdomsmålene.

SNAKKE MATTE

Hvorfor tror dere det er brukt median i dette diagrammet?

Medianprisen på en bolig i Stor-London sammenliknet med arbeidsinntekten til en typisk brite

1997

2000

E ST

2003 2006 2009

2012 2015

Data fra: Office for national statistics.

MM_9_Book 1.indb 65

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Antall ganger dyrere boligen er enn medianarbeidsinntekten

2018

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.22 I en spørreundersøkelse ble noen elever bedt om å ta stilling til i hvilken grad de er enig i noen påstander. Spørsmålene og svaralternativene var slik:

1 Jeg tror matematikk er svært relevant å kunne i det yrket jeg tenker å utdanne meg til. Helt uenig Litt uenig Litt enig Helt enig

AG R

2 Når jeg jobber med matematikk, gjør jeg mitt beste og er utholdende i arbeidet selv om det er vanskelig. Helt uenig Litt uenig Litt enig Helt enig 3 Jeg har lært mye av feil jeg har gjort i arbeidet med matematikk. Helt uenig Litt uenig Litt enig

Helt enig

Svarene på undersøkelsen ble kodet som tall slik: 1: Helt uenig 2: Litt uenig 3: Litt enig 4: Helt enig

L TI

Her er svarene fra en gruppe elever:

Spørsmål 1

Spørsmål 2

Spørsmål 3

U N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 66

Elev nr.

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål a Hva er gjennomsnittet for hva elevene svarte på hvert av de tre spørsmålene? b Forklar hva gjennomsnittssvaret forteller oss om hvordan elevene stiller seg til påstandene. Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger i et tallmateriale. c Hva er typetallet for de tre spørsmålene i denne undersøkelsen?

AG R

Her ser du to diagrammer som viser resultatet av spørreundersøkelsen. d Hvilken informasjon får du fra diagrammet? Hvilket diagram synes du gir mest relevant informasjon? Resultatet av spørreundersøkelsen

Helt uenig

Litt uenig

Helt enig Spørsmål 3

Resultatet av spørreundersøkelsen

Gjennomsnitt

Litt enig

Spørsmål 2

L TI

Spørsmål 1

Spørsmål 2

Spørsmål 3

E ST

5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

12 10 8 6 4 2 0

Spredningsmål sier noe om hvor spredt verdiene i et datamateriale er.

Variasjonsbredden er forskjellen mellom største verdi og minste verdi.

Se på eksemplet på neste side.

Tredje kvartil er den midterste verdien i den øvre halvdelen av det sorterte datasettet.

Første kvartil er den midterste verdien i den nedre halvdelen av det sorterte datasettet.

Omtrent 50 % av verdiene befinner seg mellom første og tredje kvartil. Kvartilbredden er differansen mellom tredje og første kvartil.

MM_9_Book 1.indb 67

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

EKSEMPEL 5

Antall dager de ansatte i en liten bedrift har vært borte fra jobben i november, er sortert i synkende rekkefølge. Største verdi = 15

AG R

U Variasjonsbredde 15 – 0 = 15

Tredje kvartil = 4

Kvartilbredde 4–2=2

Median = 2,5

Første kvartil = 2

L TI

15 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0

Minste verdi = 0

Kvartilbredden påvirkes ikke av de ekstreme verdiene. Hvis vi har noen få svært store eller små verdier, er derfor kvartilbredde et bedre spredningsmål enn variasjonsbredde.

U Kvartilbredde

Variasjonsbredde

SNAKKE MATTE

a Hva er forskjellen på variasjonsbredde og kvartilbredde? b Gi eksempel på situasjoner der variasjonsbredden er interessant. c Gi eksempel på situasjoner der kvartilbredden er interessant.

MM_9_Book 1.indb 68

E ST

Vi kan vise gjennomsnitt, median, kvartilbredde og variasjonsbredde i et boksdiagram. Her viser streken midt i boksen medianen og krysset gjennomsnittet.

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

SNAKKE MATTE

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

AG R

Temperatur (°C)

Temperaturen på ulike dyp i Store Lungegårdsvann tre ulike dager

22.04.2019 kl. 18.00

23.01.2019 kl. 18.00

25.07.2019 kl. 18.00

Data fra: ektedata.no

Forklar hva diagrammet viser.

N L TI K

Vi kan bruke digitale verktøy som regneark til å finne variasjonsbredde.

E ST

Når vi skal regne ut variasjonsbredde i regneark, bruker vi disse formlene: =STØRST(område) =MIN(område)

Vi trenger ikke sortere dataene i regneark. Prøv selv!

OPPGAVE 12.23 a Bruk data fra oppgave 12.1, og finn variasjonsbredden for temperaturen i vannet en av dagene uten å bruke regneark. b Bruk regneark, og finn gjennomsnittstemperaturen, mediantemperaturen og variasjonsbredden for temperaturen i vannet hver av de tre dagene.

MM_9_Book 1.indb 69

01/07/2020 14:45

Hurtigruten trafikkerer kysten fra Bergen til Kirkenes og tilbake igjen. Hver dag går et skip fra Bergen nordover, og ett kommer til Bergen på sørgående rute. En rundtur Bergen–Kirkenes–Bergen tar 11 dager.

AG R

Hurtigruten

Her ser du seilingsplanen for nordgående rute vinterstid fra Tromsø til Kirkenes.

Tromsø Skjervøy

Hammerfest Havøysund Honningsvåg

Avgang

14.15

18.30

22.30

22.45

05.15

06.00

08.45

09.15

11.15

14.45

17.00

17.15

19.15

19.30

Berlevåg

22.00

22.15

Kjøllefjord Mehamn

00.00 03.15

00.15 03.30

Vadsø

06.45

07.15

Kirkenes

09.00

Båtsfjord Vardø

Hva er gjennomsnittlig tid i sjøen mellom hver havn? Hva er gjennomsnittlig liggetid i havn? Hva er variasjonsbredden for tid i sjøen mellom hver havn? Hva er variasjonsbredden for liggetid i havn?

E ST

a b c d

Her ser du antall reisende med Hurtigruten til og fra Bodø i 2018. Jan

Feb

Mars

Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Sep

Okt

Nov

2035

2486

3082

2656

3163

3974

4934

4073

2569

2174

1678

Ankomst

L TI

Havn

Des

2498

Kilde: www.statistikknett.no

a Framstill dataene i et diagram, og forklar hva diagrammet viser. b Hva er gjennomsnittlig passasjertall per måned? c Hva er variasjonsbredden?

MM_9_Book 1.indb 70

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

AG R

U L TI K

BR N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 71

01/07/2020 14:45

AG R

U L TI BR

Antall

37 500

50 000

Hvis du stopper i Vardø, kan du besøke Hornøya som er ett av de fineste fuglefjellene i Norge. Diagrammet viser antall hekkende fugl av noen arter.

25 000 Lunde

12 500

1980

1987

Toppskarv 1995

2002

2010

Gråmåke 2015 År

a b c

MM_9_Book 1.indb 72

Hvilken fuglebestand har økt mest i den perioden diagrammet viser? Hvilken fuglebestand har gått mest ned i denne perioden? Hvordan ville du ha laget diagrammer som støtter disse påstandene? • Krise i lundebestanden • Toppskarv øker i antall • Et godt år for krykkjene på Hornøya

Kilde: nrk.no

Lomvi

E ST

Krykkje

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

Følg stien OPPGAVE 12.24

AG R

4 10 32 11 17 8 10 8 13 7

a Regn ut gjennomsnittet av tallene. b Hva er medianen?

OPPGAVE 12.25

Regn ut gjennomsnittet av tallene. 5 −4 3 9 −1 −10 12 2

Tall 2

Tall 3

Tall 4

Tall 5

Tall 6

Gjennomsnitt

Tall 1

Fyll ut tallet som mangler.

L TI

OPPGAVE 12.26

Fyll ut tallet som mangler. Tall 2

−5

Tall 3

Tall 4

Tall 5

Tall 6

Gjennomsnitt

−2

3,5

OPPGAVE 12.28

E ST

Tall 1

OPPGAVE 12.27

Antall 1000 tonn

2002

2004

2006

2008

2010

2012

2014

2016

2018

55 287

56 189

55 353

55 587

55 477

54 121

53 930

53 471

52 041

Kilde: ssb.no

År

Tabellen viser årlige utslipp av klimagasser i Norge i perioden fra 2002 til 2018.

a Hva er gjennomsnittlig CO2-utslipp per år? b Hva er medianutslippet per år? Bruk gjerne regneark.

MM_9_Book 1.indb 73

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.29 Tabellen viser temperaturer målt i luft og vann på målestasjonen Gabriel i Store Lungegårdsvann, Bergen. Temperatur 0,5 m under overflaten, °C 00

Klokkeslett 02

23.01.2019

22.04.2019

Lufttemperatur, °C

25.07.2019

23.01.2019

22.04.2019

25.07.2019

6,338

9,188

15,968

3,8

11,9

6,037

9,066

16,684

3,2

11,4

23,2

6,371

9,012

16,741

2,9

10,4

24,2

6,398

9,08

16,402

2,9

6,337

9,134

16,69

2,9

11,4

17,9

AG R

6,305

9,303

16,745

2,7

14,3

20,7

6,324

9,886

17,014

1,9

15,6

20,1

10,702

17,74

17,1

20,5

10,923

17,988

0,7

16,7

21,9

6,447

6,544

6,74

18,444

0,3

16,2

23,5

18,289

14,3

23,2

9,897

17,748

9,7

18,6

L TI

Data fra: ektedata.no

11,259

10,501

6,858

6,201

14 16

OPPGAVE 12.30

a Bruk data fra tabellen, og regn ut gjennomsnittstemperaturen og mediantemperaturen i lufta for en av de tre dagene vi har data om. b Bruk regneark, og finn gjennomsnittstemperaturen og mediantemperaturen i lufta for hver av de to andre dagene.

Rutetid

Landet

09.55

09.54

10.00

09.46

10.30

10.22

11.10

10.58

12.00

12.15

12.09

12.15

12.17

12.45

20 13.10

MM_9_Book 1.indb 74

E ST

Tabellen viser en oversikt over fly som ankommer en flyplass en dag. Venstre kolonne viser den oppsatte rutetiden, og høyre kolonne viser når flyet landet. a Lag en oversikt over avviket fra rutetidene den dagen. b Hva var gjennomsnittlig avvik den dagen? c Hva var medianavviket? d Hva var variasjonsbredden for avviket? e Vil du si at flyene holdt rutetidene sine den dagen? Avviket er forskjellen mellom rutetiden og når flyet faktisk landet.

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

OPPGAVE 12.31 Diagrammet viser hvor mye nedbør det har vært hver måned i løpet av et år på en målestasjon i Molde. Nedbør, mm

AG R

420 360 300 240 180 120 60 0

jan.

feb.

mai

jun.

jul.

aug.

sep.

okt.

nov.

des.

Hvor mye nedbør kom det til sammen det året? Hva er gjennomsnittlig nedbørsmengde per måned? Hva er gjennomsnittlig nedbørsmengde per dag? Hva er median månedsnedbør? Hva er variasjonsbredden?

L TI

a b c d e

apr.

Data fra: yr.no

mar.

OPPGAVE 12.32

Ved en fartskontroll målte politiet farten på kjøretøy som passerte. Farten er oppgitt i km/h. 34 50

51 62

58 48

47 45

45 49

51 50

23 43

46 53

49 46

48 48

45 23

16,79 22,57

17,84 19,50

OPPGAVE 12.33 21,02 18,96

20,68 18,83

20,71 16,68

21,74 23,18

17,47 23,14

MM_9_Book 1.indb 75

a Bruk regneark, og finn gjennomsnittsvekten og variasjonsbredden. b Tegn et boksdiagram. c Forklar informasjonen du kan lese av boksdiagrammet.

16,37 16,52

Tallene er slaktevekten på noen lam som en bonde har levert til slakt.

E ST

a Regn ut gjennomsnittsfarten og medianfarten. b Regn ut variasjonsbredden.

50 49

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.34 Terje fisker krabbe. Her ser du hvor mange kg fangsten hans veide noen dager i september og oktober.

434 412 345 460 423 343 462 439 435 331 475 490 396 361 378 442 430 856 337 499

AG R

a Bruk regneark. Hva er gjennomsnittsvekten, medianvekten og variasjonsbredden? b Tegn et boksdiagram.

OPPGAVE 12.35

Her er noen pilegrimsruter til Trondheim.

Berkåk–Trondheim Tynset–Trondheim

Lengde

Tid

135,5 km

8 dager

189 km

9 dager

Åre–Trondheim (sykkel)

Rute

5 dager

139 km

6 dager

Skaun–Nidarosdomen

38 km

2 dager

Kirkflå–Trondheim

36 km

3 dager

Stiklestad–Trondheim

L TI

252 km

En pilgrimsrute er en reiserute til et sted som i en religion blir ansett for hellig. Pilgrimsrutene til Nidarosdomen har historisk opprinnelse.

a Regn ut gjennomsnittlig distanse å gå per dag på hver av rutene. b Regn ut gjennomsnittlig distanse å gå per dag for alle rutene til sammen.

U N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 76

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

Terrengløypa Største verdi = 15

AG R

Antall dager de ansatte i en liten bedrift har vært borte fra jobben i november, er sortert i synkende rekkefølge.

Variasjonsbredde 15 – 0 = 15

L TI BR

Vi kan bruke regneark til å regne ut kvartilbredde.

EKSEMPEL 6

Tredje kvartil = 4

Kvartilbredde 4–2=2

Median = 2,5

Første kvartil = 2

Minste verdi = 0

15 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0

16 14

E ST

Uteligger = 15

MM_9_Book 1.indb 77

Høyeste «normale» verdi = 5 4 2

Tredje kvartil = 4 Gjennomsnitt = 3,1 Median = 2,5 Første kvartil = 2

Minste verdi = 0

Noen digitale verktøy vil i boksdiagrammet tegne data som er mye større eller mindre enn de andre som et eget punkt. Slike data kalles uteliggere. Hvis diagrammet tegnes med uteliggere, tas ikke disse med i variasjonsbredden slik den vises i diagrammet.

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

OPPGAVE 12.36 Her ser du bruttoinntekten per år for seks familier. 450 000 kr 640 000 kr 660 000 kr 700 000 kr 800 000 kr 2 150 000 kr

a Framstill inntektene i et boksdiagram. b Forklar hva diagrammet viser.

AG R

OPPGAVE 12.37

a Bruk regneark og finn variasjonsbredden for dataene i oppgave 12.1. b Bruk regneark og finn kvartilbredden for dataene i oppgave 12.1. c Sammenlikn variasjonsbredden og kvartilbredden. Kommenter resultatet.

.K U

OPPGAVE 12.38

Tabellen viser en oversikt over hvor mange søsken en vennegjeng har.

Antall venner som har dette antall søsken (frekvens)

Relativ frekvens 0,2

L TI

Antall søsken

0,3

Sum

0,4

BR 0,1

a Forklar at du kan finne totalt antall søsken i vennegjengen ved å multiplisere antall søsken med frekvensen, og legge sammen de fire produktene. b Bruk resultatet fra oppgave a og finn gjennomsnittlig antall søsken i denne vennegjengen.

E ST

c Forklar at du kan finne gjennomsnittlig antall søsken ved å multiplisere antall søsken med den relative frekvensen, og legge sammen de fire produktene. d Finn gjennomsnittlig antall søsken i vennegjengen ved å bruke resultatet fra oppgave c.

MM_9_Book 1.indb 78

01/07/2020 14:45

12B Sentral mål og s pr edni ngs mål

OPPGAVE 12.39 I Hiyannas familie vil de prøve å bli miljøbevisste. Et tiltak er at de skal registrere hvor mange minutter de bruker i dusjen hver dag. Gruppemidtpunkt (minutter)

Tid i dusjen

Antall (frekvens)

Relativ frekvens

2 ≈ 0,095 = 9,5 % 21

Fra og med 2 til 5 minutter

3,5

4 ≈ 0,190 = 19,0 % 21

Fra og med 5 til 10 minutter

11 ≈ 0,524 = 52, 4 % 21

Fra og med 10 til 20 minutter

3 ≈ 0,143 = 14,3 % 21

Fra og med 20 til 30 minutter

1 ≈ 0,048 = 4,8 % 21

21 = 1,000 = 100 % 21

Sum

AG R

Fra og med 0 til 2 minutter

L TI

Hiyanna har ikke registrert nøyaktig hvor lenge hun dusjer hver dag, men bare i hvilket tidsintervall tiden i dusjen hører hjemme i. Hun har gruppert dusjtidene sine. Hvis vi skal finne gjennomsnittstiden i dusjen, bruker vi midtpunktet i hver gruppe som dusjtid.

a Fyll ut de manglende tallene for gruppemidtpunkt. b Finn gjennomsnittlig tid i dusjen per dag ved å bruke frekvensene. c Finn gjennomsnittlig tid i dusjen per dag ved å bruke de relative frekvensene.

OPPGAVE 12.40

OPPGAVE 12.41

E ST

Ta utgangpunkt i programmet i oppgave 12.19. a Utvid programmet slik at det finner summen av alle karakterene etter hvert som de tastes inn. b Utvid programmet slik at det regner ut og skriver gjennomsnittskarakteren på skjermen.

a b c d

Følgende algoritme kan brukes for å finne den største verdien i et tallmateriale. Steg 1 Opprett variabelen største, og la den få verdien av det første tallet. Steg 2 For resten av tallene: Hvis tallet er større enn største, la største få verdien av det nye tallet. Steg 3 Skriv verdien av største på skjermen. Lag et program som finner det største tallet blant noen tall brukeren skriver inn. Skriv en algoritme for å finne det minste tallet. Utvid programmet fra oppgave a slik at det også finner det minste tallet. Utvid programmet slik at det finner og skriver ut variasjonsbredden.

MM_9_Book 1.indb 79

01/07/2020 14:45

1 2 S t atistik k

Topptur

AG R

Ved å importere biblioteket pylab kan vi lage diagrammer i Python. Her ser du et program som bruker data fra oppgave 12.38, og tegner et stolpediagram.

# tekst som skal stå under stolpene i diagrammet label = ["0 søsken", "1 søsken", "2 søsken", "3 søsken"]

antall_venner = [2, 4, 3, 1] # tall som skal plottes

bar(label, antall_venner)

# tegner stolpediagram

L TI

xlabel("Antall søsken", fontsize = 12) # tekst på x-aksen ylabel("Frekvens", fontsize = 12) # tekst på y-aksen xticks(label, fontsize = 7) # tekst under stolpene

# diagramtittel title("Hvor mange søsken har du?", fontsize = 20)

show()

Kjør programmet, og sjekk at det fungerer. Gjør en spørreundersøkelse om antall søsken i klassen din, og plott resultatet. Endre linje 8 til plot(label, antall_venner). Forklar hva som skjer.

label = ["0 søsken", "1 søsken", "2 søsken", "3 søsken"] antall_venner = [2, 4, 3, 1] # tall som skal plottes

MM_9_Book 1.indb 80

from pylab import *

1 2 3 4 5 6 7 8 9

d Kjør programmet nedenfor. Hva slags diagram får du nå?

E ST

a b c

from pylab import *

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

pie(antall_venner, labels = label, startangle = 90) axis("equal") title("Hvor mange søsken har du?", fontsize = 20) show()

01/07/2020 14:45

Topptur e Kjør programmet nedenfor. Hva slags diagram får du nå? from pylab import * label = ["0 søsken", "1 søsken", "2 søsken", "3 søsken"] antall_søsken = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3] boxplot(antall_søsken) title("Hvor mange søsken har du?", fontsize = 20) show()

AG R

1 2 3 4 5 6 7 8

f Velg data fra en av oppgavene du har jobbet med. Lag et program som framstiller dataene som stolpediagram, linjediagram, sektordiagram og/eller boksdiagram.

.K L TI K

BR N

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 81

01/07/2020 14:45

AG R

U L TI K

BR N

E ST

Ã&#x2DC;

H 20

MM_9_Book 1.indb 82

01/07/2020 14:45

Sannsynlighet 1 Hva ser dere på bildet? 2 Hvor stor del av personene er voksne? 3 Hvor stor del av personene sitter på pledd? 4 Hvis dere peker på en tilfeldig person på bildet, hvor stor er sjansen for at personen sitter på et pledd?

AG R

13 L TI

E ST

H 20

MM_9_Book 1.indb 83

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

13A Grunnleggende sannsynlighet

AG R

• Forklare hva som menes med sannsynlighet. • Forklare begrepene utfall, hendelse og uniform sannsynlighetsmodell. • Finne sannsynligheter i en uniform sannsynlighetsmodell ved å dele antall gunstige utfall på antall mulige utfall. • Forklare hva som menes med «motsatte» hendelser, og bruke dette til å finne sannsynligheter.

SNAKKE MATTE

Tuva sier: Det er fifty-fifty sjanse for at jeg rekker bussen. Forklar hva det betyr.

L TI

Å finne sannsynligheten for at noe skjer, er det samme som å finne ut hvor stor sjanse det er for at det skjer.

SNAKKE MATTE

a Hvilke resultater er det mulig å få når vi kaster en vanlig terning? Er alle resultatene like sannsynlige? b Hvilke resultater er det mulig å få når du trekker et kort fra en kortstokk? Er alle resultatene like sannsynlige?

Et utfall er et mulig resultat av et forsøk.

E ST

I en vanlig kortstokk er det 52 kort.

Summen av sannsynlighetene for alle utfall det er mulig å få i et forsøk, er alltid 1.

SNAKKE MATTE

MM_9_Book 1.indb 84

Sannsynligheten for et utfall er alltid et tall som er minst 0 og ikke større enn 1. Vi kan skrive sannsynlighet som brøk, desimaltall eller prosent.

Forklar hvordan vi kan resonnere oss fram til at sannsynligheten for å få en sekser når vi 1 kaster en vanlig terning, er . 6

01/07/2020 14:45

13A Gr unnl eggende s anns y nl i ghet

OPPGAVE 13.1 a Skriv eller tegn alle utfallene det er mulig å få når vi kaster en vanlig terning. b Hva er sannsynligheten for å få en firer når vi kaster en vanlig terning?

c Skriv alle utfallene det er mulig å få når vi tar en av disse seigmennene. d Hva er sannsynligheten for å ta den gule seigmannen? e Skriv alle utfallene det er mulig å få når vi snurrer lykkehjulet.

AG R L TI

f Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på grønt? g Skriv alle utfallene det er mulig å få når vi trekker ett av disse kortene:

BR SNAKKE MATTE

E ST

H h Hva er sannsynligheten for å trekke toeren?

20 a Hva er likt, og hva er ulikt med de to lykkehjulene? b Hvordan er sannsynligheten for at lykkehjulet til venstre stanser på rødt sammenliknet med sannsynligheten for at det stanser på blått? c Hva med lykkehjulet til høyre?

MM_9_Book 1.indb 85

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

I en uniform sannsynlighetsmodell er alle utfallene like sannsynlige.

Hvilke av situasjonene kan beskrives med en uniform sannsynlighetsmodell? a Vi kaster en mynt og ser om vi får mynt eller kron. b Vi kaster en fyrstikkeske opp i lufta og ser hvilken side den lander på. c Vi kaster en terning som har 4 sider. d Vi trekker et kort fra en vanlig kortstokk.

AG R

SNAKKE MATTE

e Finn egne eksempler på situasjoner som kan beskrives med en uniform sannsynlighetsmodell.

L TI

Kaja har spilt mynt og kron, og fått mynt fem ganger på rad. Hva er riktig om det neste kastet? A Det er mest sannsynlig å få kron. B Det er mest sannsynlig å få mynt. C Det er like sannsynlig å få kron som mynt.

En hendelse består av ett eller flere utfall.

H N

E ST

Du trekker ett kort fra en kortstokk. Et eksempel på et mulig utfall er at du trekker hjerter ess. Et eksempel på en hendelse er at du trekker en hjerter.

1 2

5 4

MM_9_Book 1.indb 86

Hvilke utfall består hendelsen av? a Vi kaster en vanlig terning og får mer enn tre. b Vi kaster to vanlige terninger og får to like. c Vi trekker et kløverkort fra en kortstokk. d Lykkehjulet stopper på et partall.

SNAKKE MATTE

01/07/2020 14:45

13A Gr unnl eggende s anns y nl i ghet

Hvis alle utfallene er like sannsynlige, er antall gunstige utfall Sannsynligheten for en hendelse = antall mulige utfall

AG R

«Gunstige utfall» er de utfallene som hendelsen vi skal finne sannsynligheten for, består av.

EKSEMPEL 1 Det er 2 gunstige utfall (firer og femmer) og 6 mulige utfall.

Vi kaster en vanlig terning én gang. Hva er sannsynligheten for å få firer eller femmer? 2 1 Sannsynligheten er = . 6 3

SNAKKE MATTE

L TI

Hva er sannsynligheten for a å trekke et rødt kort når vi trekker et kort fra en vanlig kortstokk b å ta en seigmann som er rød eller gul c at lykkehjulet ikke stopper på rødt

E ST

H d å få partall når vi kaster en vanlig terning e å få mindre enn 4 når vi kaster en vanlig terning f å få 3 eller mer når vi kaster en vanlig terning

MM_9_Book 1.indb 87

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

MOTSATTE HENDELSER Vi kaster en vanlig terning én gang. Hva er sannsynligheten for å få større enn 2?

1 Yonas’ strategi

Sannsynligheten er

4 2 = . 6 3

Det er 4 gunstige utfall (treer, firer, femmer og sekser).

Tuvas strategi

AG R

Sannsynligheten for det motsatte av å få større enn 2

= 1

Sannsynligheten for å få ener eller toer

Dermed er sannsynligheten 1−

Jeg vet at summen av sannsynligheten for alle mulige utfall er 1.

2 6 2 4 2 = − = = . 6 6 6 6 3

L TI

Hvis A og B er «motsatte hendelser», er (sannsynligheten for A) = 1 − (sannsynligheten for B).

OPPGAVE 13.2

a Hva er sannsynligheten for å få minst 2 når vi kaster en vanlig terning? Løs oppgaven på to forskjellige måter.

7 6

8 1

3 4 2

E ST

b Hva er sannsynligheten for å få tallet åtte eller mindre når vi trekker en kule fra skåla? Løs oppgaven på to forskjellige måter.

MM_9_Book 1.indb 88

01/07/2020 14:45

13A Gr unnl eggende s anns y nl i ghet

Følg stien OPPGAVE 13.3

AG R

Skriv alle de mulige utfallene. a Vi kaster en terning som har 8 sider. b En person blir spurt om hvilken årstid hun liker best. c Vi trekker ett av disse kortene:

L TI K

d Vi trekker en kule fra bollen.

E ST

f En person svarer på dette spørsmålet i en spørreundersøkelse:

H e Hvor mange poeng et fotballag får i en kamp i Eliteserien.

I hvilken grad er du enig i at det er viktig å kunne noe matematikk i de aller fleste yrker? Helt uenig Litt uenig Verken enig eller uenig Litt enig Helt enig g I hvilke av oppgavene a–f kan vi gå ut fra at alle utfallene er like sannsynlige? h I de oppgavene der du mener at alle utfallene er like sannsynlige, finn sannsynligheten for ett av utfallene.

MM_9_Book 1.indb 89

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

OPPGAVE 13.4 Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på rødt? b a

U d

AG R

L TI

OPPGAVE 13.5

Hvilke utfall består hendelsen av? a Vi kaster en vanlig terning og får et partall. b Vi trekker en konge fra en kortstokk. c Vi kaster en vanlig terning og får treer. d Vi tar en seigmann som ikke er gul. e Hva er sannsynligheten for hendelsene i oppgave a–d?

OPPGAVE 13.6

MM_9_Book 1.indb 90

Vi trekker et kort fra en vanlig kortstokk. Hva er sannsynligheten for a å trekke spar dame b å trekke et hjerterkort c å trekke en knekt d å trekke et kort som ikke er svart e å ikke trekke spar dame

OPPGAVE 13.7

E ST

I en bolle er det fire røde, to gule og tre svarte non-stop. Hva er sannsynligheten for a å ta en rød non-stop b å ta en gul non-stop c å ta en non-stop som ikke er svart

01/07/2020 14:45

13A Gr unnl eggende s anns y nl i ghet

OPPGAVE 13.8

Vi kaster en vanlig terning. Hva er sannsynligheten for a å ikke få sekser b å få minst treer c å få femmer eller mindre d å ikke få ener eller toer

OPPGAVE 13.9

AG R

Vi snurrer lykkehjulet.

Hva er sannsynligheten for a at det ikke stopper på rødt b at det stopper på gult eller rødt c at det verken stopper på gult eller rødt

L TI BR

OPPGAVE 13.10

I et lotteri er det 500 lodd. Ett av loddene gir førstepremie, tre gir andrepremie, og fem gir tredjepremie. Resten gir ingen premie. Hva er sannsynligheten for a å vinne førstepremie b å vinne andrepremie c å vinne tredjepremie d å vinne e å ikke vinne

E ST

OPPGAVE 13.11

Lise får en pose med seigmenn. Hun får vite at det er 16 seigmenn i posen. Hvis hun tar en tilfeldig seigmann fra posen, er sannsynligheten for at den er gul 0,25. Hvor mange gule seigmenn er det i posen?

Henrik får en pose med karameller. Det er 5 svarte karameller i posen. Sannsynligheten for å ta en svart karamell hvis han tar en tilfeldig karamell fra posen, er 0,25. Hvor mange karameller er det i posen?

MM_9_Book 1.indb 91

OPPGAVE 13.12

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

Terrengløypa OPPGAVE 13.13

AG R

Vi kaster en vanlig terning én gang. Hva er sannsynligheten for å få firer eller femmer?

1 Henriks strategi Henrik deler antall gunstige utfall på antall mulige utfall.

Sannsynligheten er

2 1 = . 6 3

Det er 2 gunstige utfall (firer og femmer) og 6 mulige utfall.

L TI

2 Hiyannas strategi Hiyanna legger sammen sannsynligheten for å få firer med sannsynligheten for å få femmer.

1 1 2 1 + = = 6 6 6 3

Jeg lurer på når min strategi fungerer.

Vi ser at begge får samme svar. Kan vi alltid bruke Hiyannas strategi til å finne sannsynligheten for det ene eller det andre? Vi undersøker noen eksempler.

E ST

a I en skoleklasse er det 21 elever. I denne klassen velger 3 elever valgfaget programmering og 4 elever velger valgfaget sal og scene. Resten av elevene har valgt andre valgfag. Vi plukker ut en tilfeldig elev fra klassen. Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt programmering eller sal og scene? Finn svaret både med Hiyannas strategi og med Henriks strategi.

b I den samme skoleklassen er de opptatt av idrett. Det er 14 elever som deltar på skitrening og 12 elever som deltar på håndballtrening. Det er 9 elever som er med på begge disse treningene. Vi skal plukke ut en tilfeldig elev fra klassen. Hva er sannsynligheten for at elevene trener ski eller håndball? Prøv å bruke både Hiyannas strategi og Henriks strategi.

Når vi bruker ordet eller, betyr det enten den ene, den andre eller begge.

MM_9_Book 1.indb 92

01/07/2020 14:45

13A Gr unnl eggende s anns y nl i ghet Et venndiagram er et diagram der vi systematiserer utfallene i oppgaver av den typen vi har sett på her. Eksempel 2 I en skoleklasse er det 21 elever. Av dem er det 17 elever som liker pizza og 15 som liker taco. 12 elever liker både taco og pizza.

Eksempel 1 I en skoleklasse er det 21 elever. Det er 12 elever som tar bussen til skolen og 4 som sykler. Klasse med 21 elever Sykler

Taco

AG R

Bussen

Klasse med 21 elever Pizza 3

c Prøv deg fram, og finn ut i hvilket av disse eksemplene vi kan bruke Hiyannas strategi. Hva kjennetegner hendelsene i det tilfellet der Hiyannas strategi fungerer? d Tegn venndiagram til situasjonene i oppgave a og b.

L TI

En mer generell versjon av Hiyannas strategi kan formuleres slik: Sannsynligheten for at enten hendelse A eller hendelse B skal skje, kan vi finne ved å legge sammen sannsynligheten for hendelse A og hendelse B, og deretter trekke fra sannsynligheten for at både hendelse A og hendelse B skal skje.

Sannsynligheten Sannsynligheten Sannsynligheten Sannsynligheten + – = for A for B for A og B for A eller B

A og B

A eller B

E ST

e Bruk denne versjonen av Hiyannas strategi, og finn sannsynligheten i oppgave a og b.

N 20

MM_9_Book 1.indb 93

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

13B Store talls lov

På 8. trinn lærte vi at:

Eksempel

AG R

• Bruke programmering til å simulere tilfeldige utfall. • Utforske og kjenne til sammenhengen mellom relativ frekvens og sannsynlighet. • Bruke relativ frekvens til å finne sannsynligheter.

for tall in range(10): print(tall)

Vi kan bruke en if-setning for å utføre enkelte kodelinjer bare hvis en betingelse er sann.

if alder < 18: timelønn = 130 else: timelønn = 155

Vi kan bruke en for-løkke når vi vil gjenta kodelinjer et bestemt antall ganger.

L TI

Å SIMULERE TERNINGKAST

Vi kan kaste en terning 100 ganger, lage en frekvenstabell og finne den relative frekvensen for hvert av de seks utfallene. Hvis vi gjør dette, kan resultatet for eksempel bli slik:

Utfall

Antall ganger (frekvens)

Relativ frekvens

Ener

Toer

Treer

0,12

Firer

0,18

Femmer

0,08

Sekser

0,27

Sum

100

0,2

0,15

E ST

Vi kan lage et pythonprogram som simulerer 100 terningkast, teller hvor mange vi har av hvert utfall og regner ut relativ frekvens.

MM_9_Book 1.indb 94

Algoritme Steg 1 Importer biblioteket pylab og opprett en variabel n som står for antall kast. Steg 2 Opprett en variabel for hvert utfall og gi variablene verdien 0. Steg 3 Gjenta 100 ganger: Kast terningen. Øk variabelen som teller det utfallet vi fikk, med 1. Steg 4 Skriv frekvens og relativ frekvens til skjermen.

01/07/2020 14:45

13B Stor e tal l s l ov Program i Python from pylab import * n = 100 # antall kast ener = 0 toer = 0 treer = 0 firer = 0 femmer = 0 sekser = 0

Funksjonen randint fra biblioteket pylab gir oss tilfeldige heltall. randint(1, 7) gir et tilfeldig heltall fra og med 1, til, men ikke inkludert 7. Den fungerer som en terning.

AG R

for i in range(n): terning = randint(1, 7) if terning == 1: ener = ener + 1 elif terning == 2: toer = toer + 1 elif terning == 3: treer = treer + 1 elif terning == 4: firer = firer + 1 elif terning == 5: femmer = femmer + 1 elif terning == 6: sekser = sekser + 1

L TI BR

print("Enere:", ener, ener/n) print("Toere:", toer, toer/n) print("Treere:", treer, treer/n) print("Firere:", firer, firer/n) print("Femmere:", femmer, femmer/n) print("Seksere:", sekser, sekser/n)

Vi kan bruke elif når vi har mer enn to valgmuligheter.

E ST

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

SNAKKE MATTE

Se på programmet ovenfor. a Forklar hvilke linjer i programmet som hører til hvilket punkt i algoritmen. b Forklar hvordan programmet finner hvilken variabel som skal økes med 1 etter at terningen er kastet. c Forklar hvordan de relative frekvensene regnes ut. d Hva forventer dere at de relative frekvensene skal bli?

MM_9_Book 1.indb 95

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

OPPGAVE 13.14

a Skriv inn programkoden fra side 95 og utfør programmet noen ganger. b Er det stor forskjell på de relative frekvensene fra gang til gang? c Endre programmet slik at det kaster terningen 1000 ganger. Hvordan blir de relative frekvensene nå i forhold til det du forventet? d Endre programmet slik at det kaster terningen 10 000 ganger. Hvordan blir de relative frekvensene nå i forhold til det du forventet?

AG R

OPPGAVE 13.15

a Lag et program som simulerer 100 kast med en mynt. Programmet skal regne ut relativ frekvens for de to utfallene. b Hva forventer du at relativ frekvens skal bli for de to utfallene? c Endre programmet slik at det simulerer 10 000 myntkast. Blir de relative frekvensene nærmere det du forventer nå?

Du kan bruke randint(1, 3) og la 1 bety kron og 2 bety mynt.

L TI BR

SNAKKE MATTE

Her ser dere resultatet av en simulering av 12, 100 og 10 000 terningkast. Forklar hva resultatene viser.

Prosent

30 20

Terninger

E ST

Resultat etter 10 000 kast

Resultat etter 100 kast

Prosent

Resultat etter 12 kast

Terninger

MM_9_Book 1.indb 96

01/07/2020 14:45

13B Stor e tal l s l ov

Store talls lov gjelder bare for STORE TALL. Det er mulig å få 12 seksere om du kaster en terning 12 ganger, selv om dette er veldig lite sannsynlig.

AG R

Hvis vi gjentar et forsøk veldig mange ganger, vil den relative frekvensen for en hendelse nærme seg sannsynligheten for hendelsen. Dette kaller vi store talls lov.

SNAKKE MATTE

Et gallupinstitutt har gjort en spørreundersøkelse der de har spurt et representativt utvalg på 1000 personer om hvor de skal dra på sommerferie. Her ser du resultatet av undersøkelsen. Personene fikk bare si ett sted de skulle reise.

L TI

I et representativt utvalg er personene som blir spurt, satt sammen slik at de stemmer godt med sammensetningen i hele befolkningen.

Ferie i Skandinavia

14 %

Ferie i et europeisk land utenom Skandinavia

Andel som skal hit på ferie

Til en annen verdensdel

Feriemål

23 %

Ferie i Norge 48 %

Blir hjemme i ferien 12 %

H N

E ST

Vi treffer en tilfeldig person på gata. a Hva er sannsynligheten for at personen skal være hjemme i ferien? b Hva er sannsynligheten for at personen skal på ferie til et land utenom Skandinavia? c Hva er sannsynligheten for at personen skal til utlandet på ferie?

MM_9_Book 1.indb 97

01/07/2020 14:45

1 3 S an nsyn lig h e t

Følg stien OPPGAVE 13.16

AG R

Vi har dette lykkehjulet:

L TI

a Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på rødt? b Lag et program som simulerer at vi snurrer hjulet 100 ganger og teller hvor mange ganger det stopper på rødt. Programmet skal deretter regne ut den relative frekvensen for å stoppe på rødt. c La programmet simulere at vi snurrer hjulet 1000 ganger. Hva blir den relative frekvensen for å stoppe på rødt nå? d Hvordan stemmer sannsynligheten fra oppgave a med de relative frekvensene du fikk i oppgave b og c?

E ST

OPPGAVE 13.17

MM_9_Book 1.indb 98

Det er 13 mulige «tall» i en kortstokk.

Vi trekker ett kort fra en vanlig kortstokk. a Hva er sannsynligheten for å trekke en konge? b Lag et program som simulerer at vi trekker ett kort fra en kortstokk 100 ganger, og teller hvor mange ganger du får konge. Programmet skal deretter regne ut den relative frekvensen for å trekke konge. c La programmet simulere at vi trekker ett kort fra en kortstokk 10 000 ganger. Hva blir den relative frekvensen for å trekke konge nå? d Hvordan stemmer sannsynligheten fra oppgave a med de relative frekvensene du fikk i oppgave b og c?

01/07/2020 14:45

13B Stor e tal l s l ov

OPPGAVE 13.18 Stine jobber i et bakeriutsalg. Hun har over en lang periode registrert hva kundene kjøper, og har laget denne tabellen. Bakervare

Kneippbrød

Skolebrød

Boller

Grovbrød

Loff

Rundstykker

0,12

0,30

0,21

0,45

0,15

0,60

Relativ frekvens

AG R

a Forklar hvorfor summen av de relative frekvensene blir mer enn 1 her. b Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøper rundstykker? c Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøper skolebrød?

OPPGAVE 13.19

Karakter

18 %

46 %

20 %

10 %

Relativ frekvens

Læreren viser denne oversikten når elevene spør om hvordan resultatet av matteprøven ble på trinnet.

L TI

Vi plukker ut en tilfeldig elev på trinnet. a Hva er sannsynligheten for at eleven fikk karakteren 4 på prøven? b Hva er sannsynligheten for at eleven fikk karakteren 2 på prøven? c Hva er sannsynligheten for at eleven fikk bedre enn karakteren 2 på prøven?

OPPGAVE 13.20

Tabellen viser aldersfordelingen på medlemmene i et idrettslag. 15–19 år

20–29 år

0,36

0,2

0,15

Over 50 år 0,14

E ST

Vi plukker ut en tilfeldig person som er medlem av idrettslaget. a Hva er sannsynligheten for at personen er over 50 år? b Hva er sannsynligheten for at personen er under 20 år? c Hva er sannsynligheten for at personen er over 19 år?

30–50 år

Relativ frekvens

Under 15 år

Aldersgruppe

MM_9_Book 1.indb 99

01/07/2020 14:45

100

1 3 S an nsyn lig h e t

Terrengløypa OPPGAVE 13.21

AG R

L TI

OPPGAVE 13.22

I et lotteri er det tre premier. I tabellen ser du sannsynligheten for å vinne de ulike premiene og sannsynligheten for å ikke vinne noe. 100 kr

50 kr

0,01

0,05

10 kr

0 kr

0,1

0,84

Sannsynlighet

Premie

Det kan være lurt å se på oppgave 12.38 i kapittel 12 før du starter på denne oppgaven.

OPPGAVE 13.23

Et forsikringsselskap selger reiseforsikringer. De har registrert utbetalinger over en lang periode og har funnet disse sannsynlighetene for utbetaling per år til en tilfeldig kunde. 10 000 kr

1000 kr

0 kr

0,001

0,02

0,08

0,899

a Hva er gjennomsnittlig utbetaling til kundene? b Hva synes du kunder som kjøper denne forsikringen, skal betale per år? Begrunn svaret.

MM_9_Book 1.indb 100

Sannsynlighet

50 000 kr

Utbetaling

E ST

a Hva vil bli gjennomsnittlig gevinst per lodd hvis vi kjøper mange lodd i dette lotteriet? b Hva kan hvert lodd koste hvis lotteriet skal gå med overskudd?

01/07/2020 14:45

101

13B Stor e tal l s l ov

OPPGAVE 13.24 x = [5, 10, 15, 20, 25] print(x[1]) print(x[4]) tall = x[1] * x[3] print(tall)

1 2 3 4 5

Kjør programmet. Hva gjør programmet? Hva betyr x[1]? Hva betyr x[0]? Hva skjer om vi skriver x[5]?

OPPGAVE 13.25

AG R

a b c d e

En liste består av ulike elementer (det kan være heltall, desimaltall eller tekst) som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge. Lister i Python skrives med hakeparenteser, og vi skriver komma mellom hvert element i listen.

L TI

I programmet på side 95 der vi fant relative frekvenser for kast med en vanlig terning, brukte vi seks variabler til å telle antall ganger vi fikk de ulike utfallene. Vi kan bruke en liste i stedet for de seks variablene. Listen må inneholde seks tall som representerer hvor mange ganger vi har fått ener, toer, treer, firer, femmer og sekser.

utfall = ["ener", "toer", "treer", "firer", "femmer", "sekser"] frekvens = [0, 0, 0, 0, 0, 0]

U K

Når vi har kastet terningen, må vi øke med én det tallet i listen frekvens som står på plassen som tilsvarer resultatet av kastet. Det kan vi gjøre slik:

Vi kan bruke en for-løkke for å skrive ut resultatet av terningkastene:

E ST

frekvens[terning – 1] = frekvens[terning – 1] + 1

for tall in range(6): print(utfall[tall], frekvens[tall])

Den første plassen i listen er plass nummer 0.

MM_9_Book 1.indb 101

a Lag et program som bruker lister og finner sannsynligheten for de ulike utfallene ved kast av en vanlig terning. b Lag et program som finner sannsynligheten for de ulike utfallene ved kast av en terning med 10 sider. c Legg til de to linjene nedenfor i programmet ditt, og forklar hva som skjer. bar(utfall, frekvens) show()

01/07/2020 14:45

102

1 3 S an nsyn lig h e t

13C Sammensatte forsøk

AG R

• Finne sannsynligheten i sammensatte forsøk med programmering. • Sette opp de ulike utfallene i et sammensatt forsøk med tabell, liste og valgtre. • Finne sannsynlighet i sammensatte forsøk ved å bruke uniform sannsynlighetsmodell eller multiplikasjon. • Argumentere for om spill er rettferdige.

SPILL

HesteveddelOp

.K N

Utstyr: • To terninger • Et spillebrett

L TI

Dette er et spill for 2, 3, 4, 6 eller 12 spillere.

Hver spiller velger etter tur bane på spillebrettet. Spillerne fortsetter å velge bane til alle 12 banene er valgt. Det kan bare være én spiller på hver bane.

Kast begge terningene. Legg sammen antall øyne på de to terningene. Den personen som har samme bane som summen av øynene på terningene, setter et kryss i sin bane. Spilleren som først kommer til mål med en av sine baner, vinner spillet.

MÅL

E ST

MÅL

MM_9_Book 1.indb 102

10 11 12

01/07/2020 14:45

103

13C Sammens atte fors øk

Å SIMULERE SAMMENSATTE HENDELSER Vi finner sannsynligheten for at summen blir minst 4 når vi kaster med to terninger.

Den relative frekvensen er tilnærmet lik sannsynligheten når vi kaster terningene mange ganger.

AG R

Algoritme Steg 1 Importerer biblioteket pylab. Opprett variabelen n som står for antall ganger vi kaster terningene, og gi den verdien 100. Opprett variabelen gunstig som står for antall ganger summen er minst 4, og gi den verdien 0. Steg 2 Gjenta n ganger: Kast terning1 og terning2 ved å trekke to tilfeldige tall. Hvis terning1 + terning2 ≥ 4, skal gunstig øke med 1. Steg 3 Skriv relativ frekvens på skjermen. Program i Python

from pylab import *

n = 100 gunstig = 0

# antall gjentakelser

L TI

for i in range(n): terning1 = randint(1, 7) terning2 = randint(1, 7) if terning1 + terning2 >= 4: gunstig = gunstig + 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

print("Relativ frekvens:", gunstig/n)

SNAKKE MATTE

E ST

H 20

Se på programmet ovenfor. a Hvor mange ganger kastes de to terningene i eksemplet? b Hva innebærer det at summen er minst 4? c I hvilken linje skjer selve tellingen av de gunstige utfallene? d Forklar hvilke programlinjer som hører til hvilke steg i algoritmen.

MM_9_Book 1.indb 103

01/07/2020 14:45

104

1 3 S an nsyn lig h e t

Når vi i Python skriver or mellom to betingelser, betyr det at hele påstanden er sann når minst en av betingelsene er sann.

Når vi i Python skriver and mellom to betingelser, betyr det at hele påstanden er sann hvis begge betingelsene er sanne.

SNAKKE MATTE

AG R

if (terning1 == 4) or (terning2 == 4):

Forklar hva vi har fått på de to terningene når denne betingelsen er sann.

.K SNAKKE MATTE

Koble sammen betingelsen skrevet i Python med resultat når vi kaster to terninger.

L TI

Betingelse (Python) A if(terning1 + terning2 > 10): B if(terning1 == 6) and (terning2 == 6): C if(terning1 < 4) or (terning2 < 4): D if(terning1 == terning2): E if(terning1 % 2 == 0) and (terning2 % 2 == 0):

Resultat når vi kaster to terninger 1 To like 2 Summen er større enn 10 3 Mindre enn 4 på minst en av de to terningene 4 Sekser på begge terningene 5 Partall på begge terningene I Python skriver vi % for

E ST

å få resten ved divisjon.

N 20

OPPGAVE 13.26

a Skriv inn programmet på side 103. La det gjenta terningkastene 1000 ganger. b Endre programmet slik at det finner relativ frekvens for at summen blir 9. c Gjør nødvendige endringer i programmet, og finn ut hvilken sum det er mest sannsynlig å få når vi kaster med to terninger. Du kan kjøre og endre programmet flere ganger for å komme fram til svaret.

MM_9_Book 1.indb 104

01/07/2020 14:45

105

13C Sammens atte fors øk

EKSEMPEL 2

Hva er sannsynligheten for å få minst én firer når vi kaster to terninger?

Løsning Vi kan finne sannsynligheter for kast med to terninger ved å lage en uniform sannsynlighetsmodell.

AG R

Hvilke mulige utfall har vi når vi kaster med to terninger? Vi kan tenke at vi har en rød og en blå terning. Vi kan lage en tabell som viser alle de 36 mulige utfallene der alle utfallene er like sannsynlige.

L TI

11 . 36

Vi har 11 gunstige og 36 mulige utfall. 11 Sannsynligheten er . 36

Sannsynligheten for minst én firer er

OPPGAVE 13.27

E ST

Vi kaster to vanlige terninger. Hva er sannsynligheten for a å få to like b at summen er større enn 10 c å få mindre enn firer på minst en av terningene d å få sekser på begge terningene e å få partall på begge terningene

MM_9_Book 1.indb 105

01/07/2020 14:45

106

1 3 S an nsyn lig h e t

FOrst til 10 med mynt

SPILL

Utstyr: En mynt

AG R

Dette er et spill for to spillere. En av spillerne kaster en mynt to ganger. Spiller A får poeng hvis det blir likt resultat på begge kastene. Spiller B får poeng hvis det blir ulikt resultat på de to kastene. Første spiller til 10 poeng vinner.

FOrst til 10 med kort

SPILL

L TI

Utstyr: 2 røde og 2 svarte kort

Dette er et spill for to spillere. En av spillerne trekker 2 av de 4 kortene. Spiller A får poeng hvis de to kortene har samme farge. Spiller B får poeng hvis de to kortene har ulik farge. Første spiller til 10 poeng vinner.

E ST

SNAKKE MATTE

a Hva er likt, og hva er ulikt i de to spillene over? b Er spillene rettferdige? Begrunn svaret.

SNAKKE MATTE

a Inger spiller mynt og kron fem ganger. Hvilket resultat er mest sannsynlig?

b Inger spiller mynt og kron fem ganger. Hvilket resultat er mest sannsynlig?

MM_9_Book 1.indb 106

Resultat 1: Resultat 2:

Resultat 1: Mynt Mynt Mynt Mynt Mynt Resultat 2: Mynt Kron Mynt Kron Mynt

Inger får mynt fem ganger. Inger får tre mynt og to kron. Rekkefølgen spiller ingen rolle.

01/07/2020 14:45

107

13C Sammens atte fors øk

Å FINNE DE MULIGE UTFALLENE Vi kaster to mynter. Hva er sannsynligheten for at vi får én kron (K) og én mynt (M)? Vi trenger en oversikt over utfallene der alle utfallene er like sannsynlige.

1 Henriks strategi Jeg lager en liste.

AG R

KK KM MK MM

Yonas’ strategi Mynt 2 K

Jeg lager en tabell.

Mynt 1 K M

KM MM

KK MK

L TI

Tuvas strategi Jeg starter med mulighetene vi har når vi kaster første mynt. Det er to mulige utfall. Hvert av disse to utfallene kan kombineres med de to utfallene vi har når vi kaster den andre mynten.

MM_9_Book 1.indb 107

Vi har to skåler. I hver skål er det tre seigmenn, en rød, en gul og en oransje. Live skal ta én seigmann fra hver skål. a Sett opp liste, tabell og valgtre som viser de mulige utfallene. b Hva er sannsynligheten for at hun tar to røde seigmenn? c Hva er sannsynligheten for at hun tar to seigmenn med samme farge? d Hva er sannsynligheten for at hun tar en rød og en gul seigmann?

OPPGAVE 13.28

E ST

To av de fire mulige utfallene er én kron og én mynt. 2 1 Sannsynligheten for én kron og én mynt er = . 4 2

Utfall

Andre mynt

Jeg tegner et valgtre.

Første mynt

Start

01/07/2020 14:46

108

1 3 S an nsyn lig h e t

Å FINNE SANNSYNLIGHETEN FOR SAMMENSATTE HENDELSER VED Å BRUKE MULTIPLIKASJON I mange situasjoner kan det bli vanskelig å få oversikt over alle utfallene i et sammensatt forsøk. Da kan vi bruke multiplikasjon.

EKSEMPEL 3

AG R

Lisa vil låne en roman og en tegneserie av Victor. Victor har 5 romaner og 8 tegneserier. En av romanene heter Flaggermusmusikk, og en av tegneseriene heter Asterix og vikingene. Lisa lar Victor velge tilfeldig. Vi skal finne sannsynligheten for at han velger både Flaggermusmusikk og Asterix og vikingene. Sannsynligheten for å velge Flaggermusmusikk er

antall gunstige utfall 1 = . antall mulige utfall 5

Sannsynligheten for å velge Asterix og vikingene er

antall gunstige utfall 1 = . 8 antall mulige utfall

Vi tenker oss at han først velger roman. 1 I ett av fem tilfeller vil Victor velge Flaggermusmusikk. I av 8 disse tilfellene vil Victor også velge Asterix og vikingene. Dermed vil Victor velge Flaggermusmusikk

L TI

1 1 av 8 5 betyr 1 1 ⋅ 8 5.

og Asterix og vikingene i

1 1 1 1 1 av = ⋅ = av tilfellene. 8 5 8 5 40

Sannsynligheten for å velge både Flaggermusmusikk og

K Ø

EKSEMPEL 4

1 . 40

Asterix og vikingene er

E ST

Lisa skal trekke to kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at hun trekker to hjerterkort?

Løsning 13 1 = . Når hun trekker det første kortet, er sannsynligheten for at det er et hjerterkort 52 4 Når hun trekker det andre kortet, er det 51 kort igjen og 12 av dem er hjerterkort. 12 . Sannsynligheten for å trekke hjerter andre gangen er derfor 51 12 1 12 1 4 ⋅ 3 ⋅1 3 Sannsynligheten for å trekke to hjerterkort blir da av = ⋅ = = . 51 51 4 51 4 51⋅ 4

SNAKKE MATTE

MM_9_Book 1.indb 108

a Dere kaster to vanlige terninger. Hva er sannsynligheten for å få to seksere? b Hva er likt, og hva er ulikt i eksempel 4 og oppgave a?

01/07/2020 14:46

109

13C Sammens atte fors øk

OPPGAVE 13.29 I en klasse er det 8 jenter og 10 gutter. Tora er en av jentene, og Lasse er en av guttene. Læreren skal tilfeldig plukke ut én jente og én gutt til å være med i en konkurranse. a Hva er sannsynligheten for at Tora og Lasse blir valgt?

AG R

Læreren skal tilfeldig plukke ut to elever til å være med i en konkurranse. b Hva er sannsynligheten for at Tora og Lasse blir valgt? c Hva er sannsynligheten for at to gutter blir valgt?

OPPGAVE 13.30

Tora har en skål med fem røde seigmenn og fire gule seigmenn. Hun tar tilfeldig to seigmenn fra skåla. Hva er sannsynligheten for at hun tar to gule seigmenn?

SNAKKE MATTE

I en klasse er det 6 gutter og 6 jenter. De skal tilfeldig velge ut en elev fra klassen til å delta i en konkurranse.

L TI

Hvilke av disse hjelpemidlene kan brukes for å foreta dette valget? På hvilken måte kan dette skje? 12 1

3 4

7 6

11 10 9 8

N 20

E ST

MM_9_Book 1.indb 109

01/07/2020 14:46

Sannsynlighet i spill

AG R

Moderne teori om sannsynlighet har opphav i problemstillinger knyttet til spill med terninger. I det 16. og 17. århundre begynte matematikere som var ivrige spillere, å diskutere vinnersjansene sine i noen terningspill. Dette endte med det som nå ses på som starten på den matematiske teorien om sannsynlighet.

I et spill kastes to terninger. Antall øyne på den ene terningen ganges med antall øyne på den andre terningen. Hvis produktet blir et partall, får spiller A et poeng. Hvis produktet blir et oddetall, får spiller B et poeng. Først til 10 poeng vinner. a Velg hvem som skal være spiller A og spiller B, og spill spillet. b Er spillet rettferdig? Begrunn svaret.

L TI

I et spill kastes to terninger, og antall øyne på de to terningene legges sammen. Hvis summen er et partall, får spiller A et poeng. Hvis summen er et oddetall, får spiller B et poeng. Først til 10 poeng vinner. a Velg hvem som skal være spiller A og spiller B, og spill spillet. b Er spillet rettferdig? Begrunn svaret.

I denne oppgaven skal vi utforske hva som er en god strategi i spillet GANGEBINGO.

Eksempel på bingobrett 16

Den som først får fire på rad enten bortover, nedover eller på skrå, roper BINGO og vinner spillet.

Kast to terninger. Multipliser antall øyne på den ene terningen med antall øyne på den andre terningen. De spillerne som har produktet på sitt spillebrett, kan krysse ut dette. Hvis en spiller har det samme tallet flere steder, kan spilleren bare krysse ut ett av tallene.

E ST

Spilleregler Hver spiller lager og fyller ut et 4 × 4 bingobrett med tall fra 1–36. Det er lov å skrive det samme tallet flere steder.

a Spill spillet GANGEBINGO.

MM_9_Book 1.indb 110

01/07/2020 14:46

AG R

U L TI BR

b Fyll ut tabellen til høyre.

c Kontroller at summen i høyre kolonne faktisk blir 36. Forklar hvorfor vi kan være sikre på at vi har telt feil hvis summen ikke blir 36.

5 6 8

E ST 9

10 12 15 16

MM_9_Book 1.indb 111

f Oscar sier: «Hver gang du kaster to terninger, er sannsynligheten størst for at produktet blir 6 eller 12. Jeg fyller derfor bingobrettet mitt med bare 6-tall og 12-tall». Forklar med egne ord hvordan Oscar tenker. Er Oscars strategi en god strategi? Begrunn svaret.

1 3

e Lag et forslag på det du mener er et godt 4 × 4 spillebrett. Begrunn svaret.

Antall ganger

d Forklar hvordan tabellen til høyre kommer til nytte når vi skal velge strategi i spillet GANGEBINGO.

Produkt

24 25 30 36

Sum

01/07/2020 14:46

112

1 3 S an nsyn lig h e t

Følg stien OPPGAVE 13.31

AG R

Vi kaster to terninger.

L TI

MM_9_Book 1.indb 112

Hva er sannsynligheten for b at summen blir mer enn 5 c at vi får to like d at vi får minst en firer e at vi får nøyaktig en firer

Vi kaster to terninger med 4 sider. a Lag en tabell, en liste eller et valgtre som viser de mulige utfallene.

OPPGAVE 13.32

E ST

Hva er sannsynligheten for a å få minst en treer b å få nøyaktig en treer c at summen blir 5 d at summen blir minst 5 e at du ikke får noen sekser f at du ikke får noe partall

01/07/2020 14:46

113

13C Sammens atte fors øk

U OPPGAVE 13.33

AG R

Vi skal trekke kort fra en vanlig kortstokk.

Vi trekker ett kort, stikker det tilbake i kortstokken et tilfeldig sted og trekker ett nytt kort. Hva er sannsynligheten for å trekke a to hjerterkort b to konger c to røde kort

L TI

Nå trekker vi to kort samtidig. Hva er sannsynligheten for å trekke d to hjerterkort e to konger f to røde kort

BR K

Nå trekker vi tre kort samtidig. g Hva er sannsynligheten for å trekke tre røde kort?

E ST

OPPGAVE 13.34

Nå trekker vi fem kort samtidig. h Hva er sannsynligheten for å trekke fem hjerterkort?

a Lag et program som finner sannsynligheten for å få femmer på begge terningene når vi kaster to terninger. b Lag et program som finner sannsynligheten for å få to like når vi kaster to terninger.

MM_9_Book 1.indb 113

01/07/2020 14:46

114

1 3 S an nsyn lig h e t

Terrengløypa OPPGAVE 13.35

AG R

Beskriv de mulige utfallene. a Tomine trekker to av disse kortene. b Tomine trekker tre av disse kortene.

OPPGAVE 13.36

Beskriv de mulige utfallene. a To av disse elevene skal trekkes tilfeldig til å være med i en spørrekonkurranse: Ane, Brita, Cato og Daniel. b I en serie er det 6 lag. Alle lagene skal møte hverandre én gang.

L TI

EKSEMPEL 5

Sannsynligheten for at det skal regne på lørdag, er 0,6. Sannsynligheten for at det skal regne på søndag, er 0,3. a Hva er sannsynligheten for regn på lørdag og opphold på søndag? b Hva er sannsynligheten for regn en av dagene?

Lørdag

0,6

E ST

Løsning a Vi bruker multiplikasjon. Sannsynlighet for opphold på søndag er 1 − 0,3 = 0,7. Sannsynligheten for regn på lørdag og opphold på søndag er 0,6 ⋅ 0,7 = 0,42. b 0,4

Hver gang vi ser på sannsynligheten for det ene eller det andre og de to hendelsene ikke har noen felles utfall, kan vi legge sammen sannsynligheten for de to hendelsene.

0,7

0,3

0,7

0,18

0,42

0,12

0,28

0,3

Søndag

Sannsynligheten for regn på lørdag og opphold på søndag er 0,6 ⋅ 0,7 = 0,42 + Sannsynligheten for opphold på lørdag og regn på søndag er 0,4 ⋅ 0,3 = 0,12 = Sannsynligheten for regn en av dagene er 0,54

MM_9_Book 1.indb 114

01/07/2020 14:46

115

13C Sammens atte fors øk

OPPGAVE 13.37

AG R

I en by er 30 % av befolkningen barn. En vinter hadde 12 % av befolkningen en spesiell sykdom. Vi antar at sannsynligheten for å få sykdommen er lik blant barn og voksne. Vi trekker tilfeldig Barn Voksen én person fra befolkningen. Hva er sannsynligheten for at a personen er barn og har hatt sykdommen denne vinteren? b personen er voksen og har hatt sykdommen denne vinteren? c personen ikke er en voksen som har hatt sykdommen. Syk Ikke syk Syk Ikke syk

OPPGAVE 13.38

I en boks med legoklosser av samme type, er det 12 røde, 8 hvite, 5 blå og 9 gule klosser. Live tar en tilfeldig kloss fra boksen. Hva er sannsynligheten for at a klossen er blå b klossen er ikke gul c klossen er rød eller blå

Live har tatt en blå kloss fra eska, og lagt denne til side. Hun skal nå ta en kloss til. Hva er sannsynligheten for at hun d trekker en blå kloss igjen? e ikke ta en blå kloss igjen?

L TI

OPPGAVE 13.39

Live legger alle klossene tilbake i eska. Hun skal nå ta to klosser på en gang. Hva er sannsynligheten for at hun får f to blå klosser g en blå og en rød kloss h to klosser med samme farge i to klosser med ulik farge

E ST

Henrik skal kjøpe smellbongbonger. De ligger i en kjempestor eske. Det viser seg at 1 % av smellbongbongene ikke virker. Henrik tar to tilfeldige smellbongbonger ut av esken. a Hva er sannsynligheten for at begge virker? b Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én virker? c Hva er sannsynligheten for at minst én virker? Her kan du anta at sannsynligheten ikke endrer seg etter å ha OPPGAVE 13.40 trukket én smellbongbong. I denne oppgaven skal vi finne sannsynligheter i sammensatte forsøk ved å lage et program som simulerer. a Finn sannsynligheten for at det blir en ener på minst en av terningene når vi kaster to vanlige terninger. b Finn sannsynligheten for at det blir 3 eller mindre på begge terningene når vi kaster to vanlige terninger. c Finn sannsynligheten for at det blir oddetall på begge terningene når vi kaster to vanlige terninger. d Vi kaster en mynt og en vanlig terning. Finn sannsynligheten for at det blir kron på mynten og mer enn 3 på terningen. e Vi kaster en terning med 4 sider og en terning med 8 sider. Finn sannsynligheten for at summen av resultatene blir høyere enn 5.

MM_9_Book 1.indb 115

01/07/2020 14:46

116

1 3 S an nsyn lig h e t

Topptur AG R

Vi simulerer at vi skal trekke noen kuler fra en boks, og regne ut sannsynligheten for ulike hendelser. Vi legger kula tilbake i boksen etter hver trekning. from pylab import * kuler = ["B", "B", "R", "R", "R"]

n = 100 # Antall doble trekk dobbel_rød = 0 # frekvens av to røde kuler range(n): randint(0, len(kuler)) # len() gir lengden av en liste randint(0, len(kuler)) = kuler[pos1] = kuler[pos2]

L TI

for i in pos1 = pos2 = trekk1 trekk2

if trekk1 == "R" and trekk2 == "R": dobbel_rød = dobbel_rød + 1

print("Andel dobbel rød:", dobbel_rød/n) print("Forventet andel:", 9/25)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

H N

E ST

a Forklar hva hver linje i programmet gjør. 9 . b Forklar hvorfor forventet andel blir 25 c Endre programmet slik at det regner ut sannsynligheten for å trekke en blå og en rød kule. Vi trekker fortsatt med tilbakelegging. d Endre programmet slik at det simulerer trekk av 2 kuler uten tilbakelegging.

Du kan få bruk for funksjonen kuler.remove("R") som fjerner et element «R» fra listen kuler.

Bruk programmet til å simulere sannsynligheten for å trekke to røde kuler uten tilbakelegging.

MM_9_Book 1.indb 116

01/07/2020 14:46

117

Eks pedi s j on

Monty Hall

AG R

Ekspedisjon .K

Vi skal lage et program som lar oss prøve et problem som blir kalt Monty Hall-problemet. Det ble først presentert på et amerikansk tv-show, «Let’s make a deal», der programlederen het Monty Hall. En person får prøve å vinne en bil. Bilen er bak en av tre dører. Bak de to andre dørene er det en geit.

Først velger personen den av de tre dørene han tror bilen er gjemt bak. Programlederen åpner en av de to andre dørene, og bak den døra som åpnes, er det en geit. Personen kan enten bytte dør, eller beholde det valget han gjorde først. Hvilket valg gir den største vinnersjansen?

L TI

Vi skal lage et program som lar oss spille spillet.

Algoritme Steg 1 Importer nødvendige bibliotek. Opprett listen kan_velges som inneholder dører spilleren kan velge. Opprett listen kan_åpnes som inneholder dører programlederen kan åpne. Steg 2 Opprett variabelen bil. Tilordne variabelen et tall som plasserer bilen bak en tilfeldig dør. Steg 3 Fjern døra der bilen er fra listen med dører programlederen kan åpne. Steg 4 Opprett variabelen valg. Tilordne variabelen et tall som representerer spillerens valg av dør. Steg 5 Fjern døra spilleren valgte fra listen med dører spilleren kan velge. Steg 6 Fjern døra spilleren valgte fra listen med dører programlederen kan åpne, om den ikke er fjernet fra før. Steg 7 Opprett variabelen synlig. Tilordne variabelen et tall som åpner en dør som det er en geit bak. Steg 8 Den åpne døra fjernes fra de dørene spilleren kan velge. Steg 9 Opprett variabelen bytte. Spilleren velger om hun vil bytte dør ved å skrive inn «Ja» eller «Nei». Steg 10 Programmet finner ut om spilleren har vunnet bilen og gir tilbakemelding.

E ST

MM_9_Book 1.indb 117

01/07/2020 14:46

118

E k s p ed i s jo n Vi har gått gjennom algoritmen steg for steg og skrevet hva de ulike variablene/listene kan være. Vi har valgt et tall for bil og valg i steg 2 og steg 4, og valgt «Nei» for bytte i steg 9. Steg

kan_velges

kan_åpnes

[1, 2, 3]

synlig

1 [2, 3]

AG R 6

[3]

7 8

[2]

Nei

bytte

[1, 3]

4 5

valg

bil

# plasserer bilen bak en tilfeldig dør

bil = randint(1, 4) kan_åpnes.remove(bil)

# dører brukeren kan velge # dører programlederen kan åpne

# brukeren velger dør valg = int(input("Velg dør 1, 2 eller 3. Skriv bare tallet: ")) kan_velges.remove(valg) if bil != valg: kan_åpnes.remove(valg)

E ST

synlig = kan_åpnes[randint(0, len(kan_åpnes))] kan_velges.remove(synlig)

# en dør åpnes

if bytte == "Ja": valg = kan_velges[0] print("Du har valgt dør", valg, ".")

print("Dør nr.", synlig, "inneholder en geit.") print("Ditt valg per nå er dør", valg, ".") print("Vil du bytte til dør", kan_velges[0], "?") bytte = input("Skriv Ja eller Nei: ")

MM_9_Book 1.indb 118

from pylab import * kan_velges = [1, 2, 3] kan_åpnes = [1, 2, 3]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

L TI

Program i Python

a Gå gjennom algoritmen steg for steg på samme måte som ovenfor. Velg andre verdier for variablene bil, velg og bytte. Finn ut om brukeren vinner en geit eller en bil.

if valg == bil: print("Du vant en bil") else: print("Du vant en geit")

01/07/2020 14:46

119

Eks pedi s j on b c d e

Vi går nå videre med å endre programmet slik at vi simulerer at vi spiller. I første omgang simulerer vi at spilleren ikke vil bytte og lar spilleren spille 100 ganger. Vi teller hvor mange ganger hun vinner.

AG R

Forklar hvilke programlinjer som hører til hvilket steg i algoritmen. Forklar hvordan linje 14 og linje 23 i programmet fungerer. Skriv inn koden, og kjør programmet flere ganger. Er det lurt å bytte dør, eller bør spilleren stå ved sitt første valg?

from pylab import * n = 100 vinner = 0

# antall ganger vi spiller # teller antall ganger vi vinner

for i in range (n): bil = randint(1, 4) valg = randint(1, 4)

# plasserer bilen # spilleren velger dør

if valg == bil: vinner = vinner + 1 print(vinner/n)

L TI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

a Kjør programmet, og bruk resultatet til å finne sannsynligheten for å vinne bilen hvis man ikke bytter dør. b Endre programmet slik at spilleren bytter dør. c Hva er sannsynligheten for å vinne spillet hvis man bytter dør? d Kan du forklare resultatet?

E ST

MM_9_Book 1.indb 119

01/07/2020 14:46

AG R

U L TI K

BR N

E ST

Ã&#x2DC;

H 20

MM_9_Book 1.indb 120

01/07/2020 14:46

14 N

AG R

Linjer, figurer og vinkler L TI 1 Hva ser dere pĂĽ bildet? 2 Hvilke geometriske figurer ser dere pĂĽ bildet? Hvor mange ulike figurer ser dere av hver type? 3 Beskriv de ulike typene geometriske figurer dere finner.

E ST

Ă&#x2DC;

H 20

MM_9_Book 1.indb 121

01/07/2020 14:46

122

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

14A Definisjoner og egenskaper

AG R

• Definere og bruke begrepene normal og parallell linje. • Utforske egenskaper ved sirkler og bruke begreper i tilknytning til sirkler. • Navngi trekanter, firkanter og andre mangekanter, utforske og argumentere for egenskaper ved dem. • Tegne sirkler, vinkler, linjer og mangekanter i GeoGebra.

SNAKKE MATTE

Hvordan kan vi helt praktisk gå fram, så nøyaktig som mulig ved hjelp av linjal, når vi skal måle avstanden fra et punkt til en linje? Prøv dere fram og forklar hva dere gjør.

AB er lengre enn CD.

L TI

.K SNAKKE MATTE

AB og CD er like lange.

Hvem har rett? Begrunn svaret.

E ST

H CD er lengre enn AB.

N 20

MM_9_Book 1.indb 122

01/07/2020 14:46

123

14A Defi ni s j oner og egens kaper

En normal er en linje som danner en vinkel på 90° med en annen linje. Vi kan si at linjene m og n står vinkelrett på hverandre. Dette kan skrives m ⊥ n.

U l

AG R

To linjer er parallelle når avstanden mellom dem er den samme over alt. På figuren er linjene k og l parallelle. Med avstanden mellom to parallelle linjer mener vi lengden av linjestykket som står normalt (vinkelrett) på de to parallelle linjene. På figuren er denne avstanden lengden av linjestykket d.

L TI

Avstanden fra et punkt til en rett linje måler vi langs normalen til linja som går gjennom punktet.

BR Aktivitet

Beskriv hvordan dere nå har stilt dere opp.

N 20

Aktivitet

E ST

Plasser dere i klasserommet slik at alle står slik at avstanden til læreren som står midt i rommet, er den samme.

Finn en tråd og knytt den ene enden av tråden rundt en blyant eller en tavletusj/kritt. Marker et punkt på et stort ark eller på tavla. Hold den andre enden av tråden fast i det markerte punktet. Stram tråden og marker alle de punktene som er like langt fra det markerte punktet som tråden er lang. Hva heter den figuren dere ender opp med?

Ut fra det dere gjorde i aktivitetene, beskriv hva vi mener med sentrum, radius, diameter og sirkelperiferi.

MM_9_Book 1.indb 123

SNAKKE MATTE

01/07/2020 14:46

124

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

OPPGAVE 14.1 I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. a Tegn punktene A = (−3 , 0) og B = (3 , 0) ved å bruke verktøyet Nytt punkt . Bruk verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius og tegn en sirkel med radius 5 med sentrum i A. Tegn deretter en sirkel med radius 5 med sentrum i B. Hvor ligger de punktene som har en avstand til A som er mindre enn 5? Hvor ligger de punktene som har en avstand til B som er mindre enn 5? Hvor ligger de punktene som har avstand mindre enn 5 til både A og B? Hvor ligger de punktene som har avstand nøyaktig 5 fra A og avstand nøyaktig 5 fra B?

AG R

b c d e

OPPGAVE 14.2

L TI E

Hva er likt, og hva er ulikt for figurene ovenfor? Alle figurene ovenfor kalles mangekanter. Forklar hvorfor det er et passende navn. Forklar med egne ord hva en firkant er. Hvilke av figurene ovenfor er firkanter? Noen mangekanter har spesielle navn. Sett navn på mangekantene du vet hva heter.

I en likesidet trekant er alle sidene like lange.

MM_9_Book 1.indb 124

a Bruk verktøyet Regulær mangekant i GeoGebra og tegn en likesidet trekant. b Tegn en regulær mangekant med mer enn tre sider. c Tegn en annerledes regulær mangekant. d Forklar hva som er likt, og hva som er ulikt i de tre figurene du har tegnet.

E ST

OPPGAVE 14.3

a b c d

01/07/2020 14:46

125

14A Defi ni s j oner og egens kaper

SNAKKE MATTE

U AG R

En firkant har to diagonaler. a Hvor mange diagonaler er det i en femkant? b Hvor mange diagonaler er det i en sekskant? c Hvor mange diagonaler kan vi tegne fra ett hjørne i en åttekant? d Hvor mange diagonaler er det i en åttekant?

I en mangekant er en diagonal et rett linjestykke fra et hjørne til et annet hjørne som ikke ligger ved siden av.

Likesidet trekant

L TI

Hvis alle kantene er like lange og alle vinklene er like store, er mangekanten regulær. Kvadrat

Regulær pentagon

Regulær heksagon

Regulær oktogon

BR 20

Et rektangel er en firkant der alle vinklene er 90°.

En rombe er en firkant der alle sidene er like lange.

En drage er en firkant der to og to sider er like lange. De to sidene som er like lange ligger ved siden av hverandre.

E ST

Et parallellogram er en firkant der to og to sider er parallelle.

Et trapes er en firkant der to sider er parallelle.

Et kvadrat er en firkant der alle vinklene er 90° og alle sidene er like lange.

MM_9_Book 1.indb 125

01/07/2020 14:46

126

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

OPPGAVE 14.4 a Utforsk egenskapene til ulike typer firkanter, og finn ut hvilke egenskaper som gjelder for hver firkant. En tabell som dette kan være til hjelp. Egenskap

Kvadrat

Rektangel

Parallellogram

Rombe

Drage

Trapes

Motstående vinkler er like store Alle sidene er like lange

AG R

Alle vinklene er 90°

To og to sider er like lange

To og to sider er parallelle

Diagonalene er like lange

Diagonalene halverer hverandre

Vinkelen mellom diagonalene er 90°

L TI

Den ene diagonalen går gjennom den andre diagonalens midtpunkt

b Sammenlikn egenskapene som gjelder for kvadrater og rektangler. Hva oppdager du? c Forklar at et kvadrat også er et rektangel.

SNAKKE MATTE

Firkant Drage

Trapes Parallellogram

Forklar plasseringen av firkantene i den grafiske framstillingen. Bruk definisjonene av ulike typer firkanter og tabellen dere laget i oppgave 14.4 i forklaringen.

MM_9_Book 1.indb 126

Kvadrat

Rektangel

Rombe

E ST

Her ser dere en grafisk framstilling av sammenhengen mellom ulike typer firkanter.

01/07/2020 14:46

127

14A Defi ni s j oner og egens kaper

EKSEMPEL 1

Vi skal tegne et rektangel med lengde 5 og bredde 3 i GeoGebra.

1 Vi tegner AB med lengde 5 med verktøyet Linjestykke med bestemt lengde

2 Vi tegner normaler i A og B med verktøyet Normal linje

. En normal er en linje som danner en vinkel på 90° med en annen linje.

AG R

3 Vi tegner sirkler i A og B med radius 3 med verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius

4 Vi markerer skjæringspunktene mellom normalene og sirklene med verktøyet Skjæring mellom to objekt

5 Vi tegner rektanglet med verktøyet Mangekant

L TI K

BR Ø

Bruk blant annet

E ST

Rektangler kan tegnes på flere måter i GeoGebra. Tegn det samme rektanglet som i eksempel 1 ved å bruke en annen framgangsmåte enn den som er vist i eksemplet.

OPPGAVE 14.5

MM_9_Book 1.indb 127

01/07/2020 14:46

128

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

OPPGAVE 14.6 I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra.

1 Tegn en firkant ved å bruke verktøyet Mangekant

2 Tegn inn diagonalene i firkanten med verktøyet Linjestykke mellom to punkt

3 Marker skjæringspunktet mellom diagonalene med verktøyet Skjæring mellom to objekt

4 Mål en av vinklene mellom diagonalene med verktøyet Vinkel

AG R

5 Mål lengden av linjestykkene fra hvert hjørne til skjæringspunktet mellom diagonalene med verktøyet Avstand eller lengde

Her ser du fire egenskaper som kan gjelde for ulike firkanter: • Diagonalene er like lange. • Den ene diagonalen går gjennom den andre diagonalens midtpunkt. • Diagonalene halverer hverandre. • Diagonalene står vinkelrett på hverandre.

L TI

a Kan du ved å flytte på et eller flere hjørner i firkanten lage en firkant som oppfyller alle de fire egenskapene? Fins det ulike typer firkanter som oppfyller kravet?

b Kan du ved å flytte på et eller flere hjørner i firkanten lage en firkant som oppfyller nøyaktig tre av de fire egenskapene? Fins det ulike typer firkanter som oppfyller kravet?

c Kan du ved å flytte på et eller flere hjørner i firkanten lage en firkant som oppfyller nøyaktig to av de fire egenskapene? Fins det ulike typer firkanter som oppfyller kravet?

E ST

d Kan du ved å flytte på et eller flere hjørner i firkanten lage en firkant som oppfyller nøyaktig en av de fire egenskapene? Fins det ulike typer firkanter som oppfyller kravet?

MM_9_Book 1.indb 128

01/07/2020 14:46

129

14A Defi ni s j oner og egens kaper

SNAKKE MATTE

AG R

Her ser du fire ulike definisjoner av en type firkant. A En firkant der alle vinklene er 90° og to og to sider er like lange. B En firkant der alle vinklene er 90°. C En firkant der alle vinklene er 90° og to og to sider En minimumsdefinisjon er parallelle. er en definisjon som D En firkant der diagonalene er like lange og halverer bare har med hverandre. opplysninger som er nødvendige. a Hvilken type firkant kan defineres med de fire definisjonene ovenfor? b Hvilke(n) av definisjon(ene) ovenfor er minimumsdefinisjoner?

SNAKKE MATTE

L TI

Her ser du fire ulike definisjoner av en type firkant. A En firkant der diagonalene er like lange og står vinkelrett på hverandre. B En firkant der alle vinklene er rette og alle sidene er like lange. C En firkant der alle vinklene er like store og diagonalene står vinkelrett på hverandre. D En firkant der alle sidene er like lange, diagonalene er like lange og to og to sider er parallelle.

a Hvilken type firkant defineres med de fire definisjonene ovenfor? b Hvilke(n) av definisjon(ene) ovenfor er minimumsdefinisjoner?

SNAKKE MATTE

E ST

H Beskriv hva som kjennetegner disse typene trekanter.

Likesidet trekant

MM_9_Book 1.indb 129

Likebeint trekant

Rettvinklet trekant

01/07/2020 14:46

130

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

Aktivitet

Eksempel Her er de røde linjene den ene avstanden og de svarte linjene den andre avstanden.

AG R

Utstyr: 4 brikker. Legg brikkene slik at det er nøyaktig 2 forskjellige avstander mellom to og to brikker. Målet er å legge brikkene på flest mulig måter, men de må oppfylle kravet om to avstander.

Tegn skisser som viser de løsningene dere kommer fram til. Hvor mange ulike plasseringer som oppfyller kravene, finner dere?

Jeg fant en annen løsning ved å tenke på en likesidet trekant.

L TI

OPPGAVE 14.7

OPPGAVE 14.8

Vi har to punkter, A = (0 , 0) og B = (6 , 0). a Plasser et punkt C slik at △ABC blir likebeint og rettvinklet. Hvor mange løsninger fins det? b Plasser et punkt C slik at △ABC blir likebeint, men ikke rettvinklet. Hvor mange løsninger fins det?

SNAKKE MATTE

E ST

I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. a Tegn en trekant ABC der ∠A = 30°, AB = 10 og BC = 8. b Fins det flere løsninger på denne oppgaven? Begrunn svaret.

Hvordan kan dere endre på de oppgitte målene på trekanten i oppgave 14.8 slik at oppgaven får 0, 1 eller 2 løsninger?

MM_9_Book 1.indb 130

01/07/2020 14:46

131

14A Defi ni s j oner og egens kaper

FIRKANTER

Trapes

Definisjon: Firkant der to sider er parallelle.

Definisjon: Firkant der to og to sider er parallelle. Egenskaper: • To og to sider er like lange. • Motstående vinkler er like store. • Diagonalene halverer hverandre.

AG R

Parallellogram

Drage

Definisjon: Firkant der to og to sider er like lange. De to sidene som er like lange, ligger ved siden av hverandre. Egenskaper: • Diagonalene står vinkelrett på hverandre

L TI

Rombe

MM_9_Book 1.indb 131

Definisjon: Firkant der alle sidene er like lange, og alle vinklene er 90°. Egenskaper: • Diagonalene er like lange. • Diagonalene står vinkelrett på hverandre • Diagonalene halverer hverandre.

E ST

Kvadrat

Definisjon: Firkant der alle vinklene er 90°. Egenskaper: • To og to sider er like lange. • Diagonalene er like lange. • Diagonalene halverer hverandre.

Rektangel

Definisjon: Firkant der alle sidene er like lange. Egenskaper: • To og to sider er parallelle. • Motstående vinkler er like store. • Diagonalene står vinkelrett på hverandre. • Diagonalene halverer hverandre.

01/07/2020 14:46

132

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

Følg stien OPPGAVE 14.9

AG R

Hva kalles firkantene?

D G

OPPGAVE 14.10

Tuva har startet å tegne figurene. Hjelp henne å tegne ferdig. a Et rektangel b En drage

L TI K

BR N

E ST

H c Et trapes d En trekant

20 e Fins det ulike løsninger på oppgavene a–d? Tegn i så fall minst tre løsninger på hver oppgave. f Forklar hva som er likt, og hva som er ulikt med de forskjellige løsningene.

MM_9_Book 1.indb 132

01/07/2020 14:46

133

14A Defi ni s j oner og egens kaper

OPPGAVE 14.11 Hiyanna har startet å tegne figurene. Hjelp henne å tegne ferdig. a Et kvadrat b En likebeint trekant

AG R

U N

c Et parallellogram d En rettvinklet trekant

L TI K

BR H

OPPGAVE 14.12

E ST

e Fins det ulike løsninger på oppgavene a–d? Tegn i så fall minst tre løsninger på hver oppgave. f Forklar hva som er likt, og hva som er ulikt med de forskjellige løsningene.

Tegn et parallellogram ABCD der AB = 6, AD = 5, og avstanden mellom AB og CD er 4. Hvor mange løsninger finnes? Begrunn svaret.

MM_9_Book 1.indb 133

01/07/2020 14:46

134

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

EKSEMPEL 2

Her får vi steg for steg avslørt ulike egenskaper som gjelder for én type firkant. Etter hvert steg, har vi skrevet hvilke typer firkanter det kan være snakk om. Egenskaper om firkanten

Hvilke firkanter kan det være?

To og to sider er like lange.

Alle vinklene er 90°.

Alle sidene er like lange.

Drage, parallellogram, rombe, rektangel, kvadrat Rektangel, kvadrat Kvadrat

AG R

Steg

OPPGAVE 14.13

I denne oppgaven får du steg for steg avslørt ulike egenskaper som gjelder for én type firkant. Etter hvert steg, skriv hvilke typer firkanter det kan være snakk om.

a 1 Firkanten har to parallelle sider. 2 Firkanten har to og to sider som er like lange. 3 En side i firkanten er 5 cm og en annen side i firkanten er 7 cm. 4 Alle vinklene er like store.

L TI

OPPGAVE 14.14

b 1 Motstående vinkler er like store. 2 En av vinklene er 80°. 3 Alle sidene er like lange.

E ST

Sant eller usant? Begrunn svaret. A I et trapes er det alltid en rett vinkel. B Det fins firkanter der alle sidene er like lange som ikke er et kvadrat. C En firkant der to og to sider er like lange, er alltid et parallellogram. D I en likebeint trekant er alltid alle sidene like lange. E I en likesidet trekant er alle vinklene 60°. F I en regulær mangekant er alle sidene like lange. G Hvis diagonalene i en firkant står vinkelrett på hverandre, er firkanten alltid et kvadrat. H I en likebeint trekant er to vinkler like store og to sider like lange.

MM_9_Book 1.indb 134

Alltid sant, noen ganger sant eller aldri sant om firkanter? Begrunn svaret. A Hvis to og to sider er parallelle, er to og to sider i firkanten like lange. B Hvis to og to sider er like lange, er to og to sider i firkanten parallelle. C Hvis to og to sider er parallelle, er firkanten et trapes. D Et parallellogram er også et kvadrat. E I et parallellogram kan lengden av sidene være 4 cm, 5 cm, 5 cm og 7 cm. F Hvis to og to vinkler er like store, er firkanten et parallellogram.

OPPGAVE 14.15

01/07/2020 14:46

135

14A Defi ni s j oner og egens kaper

OPPGAVE 14.16 Tegn to punkter A og B. Tegn to punkter C og D som ligger i avstand 7 fra både A og B.

OPPGAVE 14.17

Vi har punktene A = (2 , 0) og B = (5 , 4). Bruk GeoGebra og finn koordinatene til de punktene som har avstand 4 fra A og avstand 2 fra B.

AG R

OPPGAVE 14.18

Tegn en skisse av hvordan figuren kan se ut. a Likebeint trekant der to sider har lengde 6 og en side har lengde 4. b Rektangel med lengde 8 og bredde 5. c Trapes der en av vinklene er 90°. De to parallelle sidene skal ha lengder 5 og 6, og avstanden mellom dem er 3. d Trekant der ∠C = 90°, AC = 4 og BC = 7. e Likebeint trekant ABC der AB = AC, BC = 8 og høyden fra A ned på BC er 5.

L TI K

Terrengløypa

OPPGAVE 14.19

E ST

Alltid sant, noen ganger sant eller aldri sant om firkanter? Begrunn svaret. A Når to og to sider er parallelle, er også to og to sider like lange. B Når to og to sider er like lange, er også to og to sider parallelle. C Hvis diagonalene er like lange, er alle vinklene rette. D Hvis alle sidene er like lange, er alle vinklene like store. E Hvis alle sidene er like lange, står diagonalene vinkelrett på hverandre. F Hvis diagonalene står vinkelrett på hverandre, er alle sidene like lange. G Hvis to vinkler er like store, er to sider like lange. H Hvis to motstående vinkler er 90°, er alle vinklene 90°.

OPPGAVE 14.20 I denne oppgaven skal du bruke GeoGebra. Tegn en trekant ABC der ∠A = 90°, AB = 8 og AC = 3. Bruk det du kan om sirkelen når du tegner trekanten.

MM_9_Book 1.indb 135

01/07/2020 14:46

136

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

OPPGAVE 14.21 I denne oppgaven skal du lage en kvadratgenerator i GeoGebra. Følg framgangsmåten.

En generator er en maskin som lager en spesiell ting.

1 Lag en glider med navn s, intervall fra 0 til 10 og .

animasjonstrinn 0.1. Du kan bruke verktøyet Glider

AG R

At glideren har intervall fra 0 til 10, betyr at brukeren av GeoGebra-fila kan endre verdien av s til et tall mellom 0 og 10. Animasjonstrinn 0.1 betyr at verdien av s forandrer seg med 0.1 om gangen når du drar i glideren.

2 Sett inn et punkt A et sted i grafikkfeltet. Du kan bruke verktøyet Punkt

3 Tegn en sirkel med radius s og sentrum i A. Du kan bruke verktøyet . Klikk på punktet A

Sirkel definert ved sentrum og radius og skriv inn s som radius.

L TI

Dette betyr at du kan endre radien i sirkelen ved å dra i glideren med navn s. Sjekk at dette fungerer før du går videre.

4 Sett inn et punkt B et eller annet sted på sirkelen.

5 Bruk verktøyet Regulær mangekant

6 Skjul sirkelen.

, klikk på punktet A, deretter på punktet B og skriv inn at antall hjørner skal være 4. Da tegnes et kvadrat der den ene siden er linjestykket AB.

OPPGAVE 14.22

E ST

Nå har du laget en kvadratgenerator. Hvis du har laget generatoren riktig, kan du nå dra i glideren s for å endre sidelengden i kvadratet. Du kan også dra i punktet B for å rotere kvadratet og dra i punktet A for å flytte kvadratet.

MM_9_Book 1.indb 136

Lag en rektangelgenerator i GeoGebra. Brukeren av GeoGebra-fila bør kunne • flytte rektanglet ved å dra i et punkt. • endre lengden av rektanglet ved å dra i en glider. Verktøyet Normal linje • endre bredden av rektanglet ved å dra i en glider. kan komme til nytte • rotere rektanglet ved å dra i et punkt. når du skal lage rektangelgeneratoren.

01/07/2020 14:46

137

14A Defi ni s j oner og egens kaper

OPPGAVE 14.23 Lag en rombegenerator i GeoGebra. Brukeren av GeoGebra-fila bør kunne endre lengden på diagonalene i romben med to ulike glidere.

Verktøyet Midtnormal kan komme til nytte.

OPPGAVE 14.24

AG R

Tegn en trekant ABC der ∠B er 26°, AB er 8 og lengden av AC er så kort som mulig.

OPPGAVE 14.25

OPPGAVE 14.26

Bruk GeoGebra. Lag en glider a og gi den verdien 5. Tegn en trekant ABC der ∠B er 26°, AB er 8 og AC = a. Hvilke verdier kan a ha hvis det bare fins en slik trekant? Hvilke verdier kan a ha hvis det fins to trekanter som tilfredsstiller kravene? For hvilke verdier av a fins det ingen slike trekanter?

L TI

Bruk GeoGebra. a Tegn en trekant ABC. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel , og tegn vinkelhalveringslinja til alle tre vinklene. b Flytt på punktene A, B og C. Hva kan du si om hvor vinkelhalveringslinjene møtes? En slik sirkel kalles en c Tegn en sirkel med sentrum der to av vinkelhalveringsinnskrevet sirkel i linjene møtes. Sirklene skal tangere en av sidene trekanten. i trekanten. Hvordan ligger sirkelen i forhold til de to andre sidene?

Du kan få bruk for verktøyet Tangent i GeoGebra.

a Tegn en sirkel. Tegn to punkter på sirkelperiferien, og tegn en tangent gjennom hvert av punktene. b Er det mulig å plassere punktene slik at tangentene ikke skjærer hverandre? Hvordan er punktene i så fall plassert? c Plasser punktene slik at tangentene skjærer hverandre. Sammenlikn avstanden fra sentrum i sirkelen til de to tangentene. Hva oppdager du? d Forklar at tangenten danner en vinkel på 90° med radien i tangeringspunktet.

MM_9_Book 1.indb 137

E ST

En tangent er en rett linje som berører sirkelen i nøyaktig ett punkt, tangeringspunktet.

OPPGAVE 14.27

01/07/2020 14:46

138

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

14B Vinkler i mangekanter

• Forklare begrepene nabovinkler, toppvinkler og samsvarende vinkler, og kjenne til egenskaper ved dem. • Begrunne at vinkelsummen i en trekant alltid er 180°. • Utforske og begrunne hva vinkelsummen er i en vilkårlig mangekant.

AG R

VINKLER

En hel sirkel er 360°. Når vi skal måle hvor stor en vinkel er, ser vi på hvor stor del gapet mellom vinkelbeina utgjør av en hel sirkel.

.K U

toppunkt

Vi kan måle vinkler med gradskive. Prøv selv!

327°

vinkelbein

L TI

Når vi arbeider med mangekanter, vil vi ofte oppgi en bestemt vinkel. Hvis det bare er én vinkel som har samme toppunkt, kan vi bruke toppunktet som navn på vinkelen. Toppunktet kan for eksempel være et hjørne i en trekant. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter.

∠D leser vi som «vinkel D». ∠D = 67°

67°

D 76°

50°

SNAKKE MATTE

MM_9_Book 1.indb 138

38°

73°

54°

∠DCA = 50° ∠DCB = 119° ∠B = 73°

69°

E ST

Hvis det er flere vinkler som har samme toppunkt, må vi oppgi et punkt på hvert av de to vinkelbeina i tillegg til toppunktet. Toppunktet skal alltid være den midterste bokstaven.

Bestem navn og størrelse på alle vinklene i mangekanten ovenfor.

01/07/2020 14:46

139

14B Vi nkl er i mangekanter

Nabovinkler ∠u og ∠v er nabovinkler. De har ett felles vinkelbein. Summen av de to vinklene er 180°.

v = 127°

Toppvinkler ∠u og ∠v er toppvinkler, ∠r og ∠s er toppvinkler. Toppvinkler har felles toppunkt og vinkelbein i stikk motsatt retning.

s = 128°

AG R

u = 52°

u = 53°

v = 52° r = 128° m

Samsvarende vinkler En linje som skjærer to andre linjer, danner samsvarende vinkler. ∠u og ∠v er eksempler på slike vinkler.

n v

L TI BR U

OPPGAVE 14.28

Tegn vinkler som stemmer med beskrivelsen. Bruk gradskive eller GeoGebra når du tegner vinklene. Kan du tegne på flere måter? a ∠u og ∠v er toppvinkler, ∠v er 40°. b ∠u og ∠v er nabovinkler, ∠v er 30°.

E ST

OPPGAVE 14.29 AB er et rett linjestykke.

37° A

a Forklar at ∠CSA og ∠BSC er nabovinkler. b Forklar hvorfor ∠CSA = 143°.

MM_9_Book 1.indb 139

01/07/2020 14:46

140

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

OPPGAVE 14.30 Forklar at ∠BSC og ∠CSD er nabovinkler. Forklar at ∠CSD og ∠DSA er nabovinkler. Forklar hvorfor ∠BSC = ∠DSA. Forklar hvorfor ∠CSD = ∠ASB. Forklar hva toppvinkler er. Bruk det du nå har funnet ut til å begrunne at toppvinkler alltid er like store.

D C S A

a b c d e f

AG R OPPGAVE 14.31

a Bruk GeoGebra, og tegn to linjer m og n ved hjelp av verktøyet Linje . b Tegn inn en tredje linje som krysser m og n. Vi kaller denne linja l. c Marker og mål to samsvarende vinkler som har linja l som felles vinkelbein. l

I denne oppgaven er det lurt å innstille GeoGebra slik at den viser 0 desimaler.

L TI

SNAKKE MATTE

Figuren viser en tilfeldig trekant ABC. Linja m er parallell med AB. a Hvorfor er ∠A og ∠u like store? b Hvorfor er ∠B og ∠w like store? c Hvorfor er ∠ACB og ∠v like store? d Forklar hvorfor summen av vinklene i denne trekanten er 180°. e Forklar hvorfor summen av vinklene i en vilkårlig trekant alltid er 180°.

E ST

d Dra i et av punktene på linja m, for å endre linja. Hva kjennetegner linjene m og n når de to samsvarende vinklene er like store?

B A

MM_9_Book 1.indb 140

01/07/2020 14:46

141

14B Vi nkl er i mangekanter

SNAKKE MATTE

AG R

a I en trekant ABC er ∠A = 90° og ∠B = 40°. Hvilken side i trekanten er lengst? Begrunn svaret. b I trekant ABC er ∠A = 68° og ∠B = 40°. Hvilken side i trekanten er lengst? Begrunn svaret. c Forklar hvorfor to vinkler i en likebeint trekant er like store. d Forklar hvorfor alle vinklene i en likesidet trekant er 60°.

OPPGAVE 14.32

Tegn en mangekant med mer enn 4 hjørner. Plasser et punkt et sted inne i mangekanten. Trekk rette linjestykker fra dette punktet til alle hjørnene i mangekanten. a Forklar at du ved å gjøre dette deler mangekanten inn i n trekanter der n er antall hjørner i mangekanten. b Forklar at vinkelsummen i mangekanten kan skrives som n ⋅ 180° − 360°.

L TI

OPPGAVE 14.33

a Tegn en firkant. Tegn inn én av diagonalene i firkanten. b Forklar at du har delt firkanten inn i 2 trekanter. c Hva er vinkelsummen i en firkant?

d Tegn en femkant. Velg et hjørne i femkanten, og tegn alle diagonalene som går fra dette hjørnet. e Forklar at du nå har delt femkanten inn i 3 trekanter. f Hva er vinkelsummen i en femkant?

E ST

g Tegn en mangekant med mer enn fem hjørner. Velg et hjørne, og tegn alle diagonalene fra dette hjørnet. h Forklar at vi kan dele inn en mangekant med n hjørner i n − 2 trekanter. i Forklar at vinkelsummen i mangekanten kan skrives som (n − 2) ⋅ 180°. j Vis ved regning at uttrykket du kom fram til i oppgave 14.32, har samme verdi som uttrykket du kom fram til i denne oppgaven.

MM_9_Book 1.indb 141

01/07/2020 14:46

AG R

U L TI BR

Tesselering

Flislegging, eller tesselering, vil si å fylle en flate med brikker slik at brikkene fyller hele flaten, men ikke overlapper hverandre. Hvis du ser på gulvet i flotte bygg, på hellelagte plasser og andre steder der det er brukt fliser eller heller, vil du se at det er mulig å lage mange fine mønstre.

a Hva er likt i alle sekskantene på bildet?

20 b Hvor store er hver av vinklene i en regulær heksagon? c I hjørnene møtes hjørner fra tre regulære heksagoner. Hva må summen av de tre vinklene som møtes i dette hjørnet være om sekskantene ikke skal overlappe, og det ikke skal bli en glipe mellom dem? d På hvilken måte stemmer svaret du fant i oppgave b med svaret i oppgave c?

AG R

U L TI

a Hvor stor er hver vinkel i et kvadrat? b Hvor stor er hver vinkel i en regulær oktogon? c Forklar hvorfor det er mulig å lage mønstret på figuren hvis vi har kvadrater og regulære oktogoner, med samme sidelengde.

Er det mulig å tesselere med bare regulære pentagoner med samme sidelengde? Begrunn svaret.

Mønstret på figuren er sammensatt av kvadrater og likesidede trekanter.

a Forklar at summen av vinklene der mangekantenes hjørner møtes, blir 360°. b Lag et annet mønster av kvadrater og likesidede trekanter med samme sidelengde.

144

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

Følg stien OPPGAVE 14.34

AG R

Hvor stor er den ukjente vinkelen? a

70°

75°

52°

51°

25° 16°

L TI

70° A

E D

32°

E ST

132° A

OPPGAVE 14.35

I firkanten ABCD er ∠A = 75° og ∠B = 105°. Foreslå mulige størrelser på ∠C og ∠D. Gi minst tre ulike forslag.

OPPGAVE 14.36 Trekanten er likebeint med AB = BC. ∠B = 40°. Hvor stor er ∠C?

40° B

MM_9_Book 1.indb 144

01/07/2020 14:46

145

14B Vi nkl er i mangekanter

OPPGAVE 14.37

Trekantene nedenfor er likebeinte med AB = BC. a ∠A = 40°. Hvor stor er ∠C? b ∠A = 40°. Hvor stor er ∠B? Det kan være lurt c ∠A = 70°. Hvor stor er ∠B? å tegne en skisse d ∠B = 120°. Hvor stor er ∠A? av trekantene. e ∠B = 90°. Hvor stor er ∠C?

AG R

OPPGAVE 14.38

a Tegn en regulær sekskant. b Hva er vinkelsummen i en sekskant? c Hvor store er hver av vinklene i en regulær sekskant?

U H

E ST D

N E

20 A

MM_9_Book 1.indb 145

a Figuren viser en regulær femkant. Hvor store er hver av vinklene i en regulær femkant? b Hvor stor er vinkelen u på figuren?

OPPGAVE 14.42

a Tegn en regulær åttekant. b Hva er vinkelsummen i en åttekant? c Hvor store er hver av vinklene i en regulær åttekant?

OPPGAVE 14.41

På figuren er to og to linjer parallelle. Det er markert 16 vinkler på figuren. ∠a = 55°. Hvor store er de andre vinklene?

OPPGAVE 14.40

L TI

OPPGAVE 14.39

a I trekant ABC er ∠A = 40° og ∠B = 60°. Hvilken side i trekanten er lengst? Begrunn svaret. b I trekant ABC er ∠A = 80° og ∠B = 25°. Hvilken side i trekanten er lengst? Begrunn svaret. c I trekant ABC er ∠A = 63° og ∠B = 57°. Hvilken side i trekanten er lengst? Begrunn svaret.

01/07/2020 14:46

146

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

Terrengløypa OPPGAVE 14.43

AG R

a Forklar at likesidede trekanter og regulære heksagoner, med samme sidelengde, kan settes sammen slik at vinklene rundt et hjørne danner 360°. b Vis to ulike tesseleringsmønstre der du bruker disse mangekantene.

c Forklar at likesidede trekanter, kvadrater og regulære heksagoner, med samme sidelengde, kan settes sammen slik at vinklene rundt et hjørne danner 360°. d Lag et tesseleringsmønster der du bruker disse mangekantene.

L TI

e Kan en regulær tolvkant brukes til tesselering sammen med andre regulære mangekanter? Vis eventuelt eksempel.

OPPGAVE 14.44

Tesselering vil si å fylle en flate med brikker slik at brikkene fyller hele flaten, men ikke overlapper hverandre.

E ST

Figuren består av en regulær oktogon, åtte kvadrater og åtte trekanter.

MM_9_Book 1.indb 146

Hvor store er vinklene i trekantene?

01/07/2020 14:46

147

14B Vi nkl er i mangekanter

OPPGAVE 14.45 a Vis at summen av de utvendige vinklene i en mangekant med n hjørner der n er et naturlig tall, er gitt ved det algebraiske uttrykket n ⋅ 180° + 360°.

b Undersøk om summen av de utvendige vinklene også er n ⋅ 180° + 360° hvis en eller flere av de utvendige vinklene er mindre enn 180°.

AG R

U L TI

Her kan du anta at n ≥ 3.

BR U

OPPGAVE 14.46

Hvor stor er ∠DFC? Prøv å løse problemet direkte eller følg framgangsmåten i deloppgavene.

40° 20°

? G

MM_9_Book 1.indb 147

Forklar at △ACG er likebeint, og at AC = GC. Forklar at AC = DC. Forklar at △CGD er likesidet. Forklar at CG = FG. Forklar at △DFG er likebeint. Regn ut ∠DFC.

a b c d e f

50° 30°

E ST

20°

01/07/2020 14:46

148

1 4 L i n j e r, f ig u r e r o g v ink le r

Topptur

from turtle import * forward(50)

AG R

1 2

a Kjør programmet, og forklar hva programmet gjør. b Hva skjer om du endrer tallet 50 til et annet tall? c Hva skjer om du kjører programmet uten den første kodelinja?

L TI

from import * 1 turtle for side in range(4): 2 forward(50) 3 left(90)

BR U

a Hva tror du pythonprogrammet gjør? Gjett først og sjekk etterpå ved å kjøre programmet. b Utforsk programmet ved å endre tallene 4, 50 og 90 til andre tall. Beskriv hva som skjer. c Lag et program som tegner en likesidet trekant.

E ST 20

MM_9_Book 1.indb 148

from turtle import * forward(50) left(90) forward(70)

1 2 3 4

Lag et pythonprogram som tegner en mangekant. Mangekanten skal ikke være regulær. Du kan ta utgangspunkt i dette programmet.

Det er lurt å endre ett av tallene om gangen.

01/07/2020 14:46

149

Topptur

from turtle import * n = int(input("Antall hjørner er n = ")) s = int(input("Sidelengden i mangekanten er s = ")) for i in range(n): forward(s) left(360/n)

1 2 3 4 5 6

AG R

a Kjør programmet med ulike verdier for n. Beskriv hva programmet gjør. b Forklar med utgangspunkt i figurene hvorfor summen av antall grader turtelen snur i løpet av programmet blir 360°.

L TI BR

c Forklar hva linje 6 i dette programmet gjør. 360° d Forklar at hver vinkel i den regulære mangekanten er 180° − . n

E ST

360° n

Lag et program som tegner et geometrisk mønster. Mønstret trenger ikke bestå av mangekanter, det kan være rette linjer som danner et mønster på en hvilken som helst måte. Mønstret skal være slik at noe gjentas flere ganger. Da må du lage et program med en løkke.

MM_9_Book 1.indb 149

e Vis ved regning at vinkelsummen i mangekanten er n ⋅ 180° − 360°.

01/07/2020 14:46