Matematikk 1P for yrkesfag

– forenklet

for yrkesfag P for yrkesfag P

– Y P 1 k k i t ema t a a M 20. k o b 0 li 2 e t t r t i ap kolesta k e t s rs l i ø f t r r ee kla t t e r e D l væ i v som

John Engeseth Odd Heir Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie

et l k n fore

1

Verktøykassen

KAPITTELINNHOLD

Positive og negative tall 5 Vi øver på å legge sammen og trekke fra 6 Vi øver på å gange og dele 9 Regnerekkefølge 14 Overslag 16 Avrunding 17 Likninger 19 Grafisk framstilling 23 Eksamensoppgaver 26

Positive og negative tall

Positive og negative tall –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−3 og −1 er eksempler på hele tall. −1 er større enn −3.

Negative tall er mindre enn null.

Positive tall er større enn null.

Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja vi kommer.

101 a Skriv ett helt tall som er større enn 5, men mindre enn 10. b Skriv to hele tall som er mindre enn −3. c Skriv to hele tall som er større enn −7, men mindre enn −2.

102 a Er det riktig å si at 10 er større enn −2? b Er det riktig å si at −10 er større enn −2? c Hvilket tall er størst av −4, −20 og 12? d Skriv tallene i stigende rekkefølge.

5, −5, −10, 7, 2

(minst) (størst) Det er uendelig mange tall på tallinja.

På figuren nedenfor har vi tatt en del av tallinja og forstørret den.

Pila peker mot desimaltallet 1,2.

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

103 a Bruk tallinja ovenfor. Tegn piler som peker mot tallene 1,5 og 1,25. b Hvilket tall er størst av 1,5 og 1,25? c Skriv ett tall som ligger mellom 1,5 og 1,25. d Hvilket tall er størst av −1,5 og −1,25?

5

6

1 Verktøykassen

Vi øver på å legge sammen og trekke fra EKSEMPEL 1 Regn ut. a 25 + 18 b 2,5 + 1,8

a

1

= 43

Regn her: 104 Regn ut.

35 + 7

105 Regn ut.

3,5 + 0,7

106 Regn ut.

47 + 16

107 Regn ut.

4,7 + 1,6

108 Regn ut.

857 + 28

1

Vi begynner bakerst: 25 b 2,5 5 + 8 = 13 + 18 + 1,8 Vi veksler ti enere i én tier (1 tier i minne).

= 4,3

Vi øver på å legge sammen og trekke fra

EKSEMPEL 2 Regn ut.

35 − 16

10

35 − 16 = 19

Regn her: 109 Regn ut.

43 − 15

110 Regn ut.

4,3 − 1,5

111 Regn ut.

149 − 68

112 Regn ut.

35,8 − 12,9

Vi begynner bakerst: 5 – 6 «går ikke», vi låner én tier og veksler i ti enere.

7

8

1 Verktøykassen

EKSEMPEL 3

a −1 + 5 = 4

Regn ut. a −1 + 5 b −1 − 3

b −1 − 3 = −4 –3

+5 –2 –1 0

1

2

3

5

6

4

–5 –4 –3 –2 –1 0

5

113 Regn ut. Bruk tallinja hvis det er til hjelp.

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

a −2 + 7 =

b 5 − 8 =

c −3 − 3 =

d 6 − 10 =

e 8 − 12 =

f −5 + 8 =

g −3 + 3 =

h −5 + 3 =

7

8

i −2 + (−3) =

j 3 + (−3) =

k 5 − (−3) =

l −2 − (−3) =

114 Regn ut. a 32 − 40 =

b 51 − 81 =

c −30 − 40 =

d 6 − 100 =

e 80 − 120 =

f −50 + 85 =

g 30 − 100 =

h −200 − 80 =

i 60 + 80 =

j −400 + 900 =

k 20 − 120 =

l 5 − 100 =

1

2

Vi øver på å gange og dele

Vi øver på å gange og dele 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

115 a Sett ring rundt de av disse tallene som er i 3-gangen:

Det er lurt å lære gangetabellen utenat!

7 15

17

24

33

b Sett ring rundt de av disse tallene som er i 4-gangen: 4 10 15 20 36 c Sett ring rundt de av disse tallene som er i 8-gangen:

18

28

38

d Skriv fire tall som er delelig med 6. e Fordi 6 ⋅ 7 = 42, vet vi at 42 : 7 = f Fordi 8 ⋅ 3 = 24, vet vi at 24 : 8 = g Fordi 28 : 7 = 4, vet vi at 4 ⋅ 7 = 116 Regn ut. a 7 ⋅ 3 =

b 5 ⋅ 4 =

c 8 ⋅ 5 =

d 9 ⋅ 4 =

e 8 ⋅ 6 =

f 4 ⋅ 9 =

117 Regn ut. a 8 : 2 =

b 9 : 3 =

c 25 : 5 =

d 21 : 7 =

e 5 ⋅ 6 =

f 7 ⋅ 6 =

48

88

9

10

1 Verktøykassen

118 Regn ut. a 36 : 9 =

b 28 : 7 =

d 24 : 4 =

e 8 ⋅ 6 =

c 81 : 9 = f 9 ⋅ 8 =

119 Fyll inn tallet som mangler. a 5 ⋅ d

= 15 b 8 : : 4 = 5 e 4 ⋅

= 2 c = 24 f 100 :

⋅ 5 = 20 = 20

120 Fyll inn tallet som mangler. a 24 : d

= 3 b 7 ⋅

= 28 c

⋅ 3 = 27 e 20 ⋅

121 a Kan vi gange 6 med et helt tall og få 35 til svar? b Kan vi gange 7 med et helt tall og få 56 til svar? c Kan vi gange 5 med et helt tall og få 65 til svar?

= 100 f 25 ⋅

: 5 = 3 = 100

Vi øver på å gange og dele

Bruk en kalkulator til å kontrollere disse utregningene: 2,35 ⋅ 10 = 23,5 456 : 10 = 45,6 2,35 ⋅ 100 = 235 456 : 100 = 4,56 2,35 ⋅ 1000 = 2350 456 : 1000 = 0,456 Ser du systemet?

Å gange med 10 er det samme som å flytte komma én plass mot høyre. Å gange med 100 er det samme som å som flytte komma to plasser mot høyre.

Og så videre. Å dele med 10 er det samme som å flytte komma én plass mot venstre. Å dele med 100 er det samme som å flytte komma to plasser mot venstre.

Og så videre.

EKSEMPEL 4

a Regn ut 2,3 ⋅ 100. b Regn ut 4,5 : 100.

a 2,3 ⋅ 100 = 230 Vi skal flytte komma to plasser mot høyre.

Vi kan skrive noen nuller bak 3-tallet.

Da blir det lettere å flytta komma. b 4,5 : 100 = 0,045 Vi skal flytte komma to plasser mot venstre.

Vi kan skrive noen nuller foran 4-tallet.

Da blir det lettere å flytte komma.

122 Regn ut. a 1,12 ⋅ 10 =

b 3,5 ⋅ 100 =

c 6,0 ⋅ 1000 =

d 24,5 : 10 =

e 5,6 : 100 =

f 45,5 : 1000 =

123 Regn ut. a 35,4 : 10 =

b 2,5 : 1000 =

d 3,5 : 100 =

e 0,05 : 10 =

124 a Hva må du gange 25 med for å få 2500? b Hva må du dele 87 med for å få 8,7? c Hva må du gange 3,49 med for å få 349? d Hva må du dele 40 med for å få 0,04?

c 240,5 ⋅ 100 =

f 0,5 : 100 =

2,30000

00004,5 : 100

11

12

1 Verktøykassen

EKSEMPEL 5

35 : 1000 = 0,035 Det er ikke noe komma å se i det hele tallet 35.

Men vi kan tenke oss et komma bak det siste sifferet.

Dette kommaet flytter vi tre plasser mot venstre.

Regn ut.

35 : 1000

125 Regn ut. a 5 : 10 = d 7 : 100 =

b 45 : 100 =

e 43 : 1000 =

g 75 ⋅ 100 =

h 43 : 10 =

126 Regn ut. a 59 : 100 =

b 45 ⋅ 100 =

d 1 : 10 =

c 53 ⋅ 1000 =

e 1 : 100 =

g 95 ⋅ 1 000 000 =

128 I en kasse er det ti lag med bokser.

Hvert lag består av ti bokser.

Hver boks inneholder 8,5 gram proteinpulver.

Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa?

Husk å skrive svarsetning!

i 62 ⋅ 10 =

c 935 : 100 =

f 1 : 1000 =

h 234 : 1 000 000 =

Regn her: 127 Lise har 3 L saft.

Hun skal fordele saften på ti små flasker.

Hvor mye saft blir det i hver flaske?

f 6 : 1000 =

35 = 35,0

Vi øver på å gange og dele

EKSEMPEL 6

a Regn ut 25 ⋅ 18 . b Bruk resultatet fra oppgave a til å regne ut 2,5 ⋅ 0,18.

20

5

10

200

50

8

160

40

a

25 ⋅18 = 450 b

1

200 + 160 + 50 + 40

= 450

Sifrene er de samme som i oppgave a.

Tallet 2,5 har én desimal.

Tallet 0,18 har to desimaler.

Da skal det være 1 + 2 = 3 desimaler i svaret.

2,5 ⋅ 0,18 = 0,450

Regn her: 129 Regn ut.

35 ⋅ 17

130 Bruk resultatet i oppgave 129 til å skrive svarene på regnestykkene i denne oppgaven. a 3,5 ⋅ 1,7 =

b 3,5 ⋅ 17 =

c 3,5 ⋅ 0,17 =

d 0,35 ⋅ 0,17 =

e 1,7 ⋅ 3,5 =

f 0,035 ⋅ 17 =

g 0,17 ⋅ 35 =

h 0,35 ⋅ 1,7 =

13

14

1 Verktøykassen

Regnerekkefølge Hva blir svaret på 4 + 2 ⋅ 6?

Du er vel enig i at det bare kan være ett riktig svar?

Vi har derfor bestemte regler som vi følger når vi regner.

Regnerekkefølgen ❶ Parenteser ❷ Potenser og kvadratrøtter ❸ Ganging og deling ❹ Pluss og minus Legg merke til hvilke ord som betyr det samme: gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere

EKSEMPEL 7 Regn ut.

4+2⋅6

131 Regn ut. a 7 + 4 ⋅ 3 = b 5 ⋅ 2 − 8 = c 3 + 2 ⋅ 7 = d 8 : 2 − 5 = e 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = f 2 + 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 2 = g 4 − 3 ⋅ 2 = h 8 : 2 + 2 = i 1 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 + 6 =

4 + 2 ⋅ 6 = 4 + 12 = 16

Ganging først!

16 eller 36?

Regnerekkefølge

EKSEMPEL 8 Regn ut.

3 + 2 ⋅ (4 + 5)

3 + 2 ⋅ (4 + 5) =3+2⋅9 = 3 + 18 = 21

Parentesen først!

132 Regn ut. a 6 + 3 ⋅ ( 6 + 2) b 2 ⋅ (3 + 2) − 3 ⋅ 8 c 2 + 3 ⋅ (1 + 9) − 20 : 4 d (3 + 2) ⋅ 2 − 1 ⋅ 4 Regn her:

133 Du har tallene 2 , 4 og 8.

Bruk hvert tall én gang og lag et regnestykke slik at svaret blir a 10 b 12 c 16 d 40 e 64 f 0 g mindre enn null

15

16

1 Verktøykassen

Overslag Når vi gjør et overslag, bytter vi ut tallene med tall det er lettere å regne med.

EKSEMPEL 9 Helena er i kiosken og vil kjøpe et ukeblad til 68 kr og en bagett til 54 kr. Gjør overslag for å finne ut hvor mye Helena må betale.

EKSEMPEL 10 Renate skal til Berlin. Hun skal bo to netter på et hotell til 82 euro per natt. Én euro koster 9,89 kr.

Gjør overslag for å finne ut hvor mye Renate må betale.

68 + 54 ≈ 70 + 50 = 120 Helena må betale omtrent 120 kr.

2 ⋅ 82 ⋅ 9,89 ≈ 2 ⋅ 80 ⋅ 10

= 1600 Renate må betale omtrent 1600 kr.

134 Niklas er i kiosken og vil kjøpe et pizzastykke til 59 kr og en flaske brus til 33 kr.

Gjør overslag for å finne ut hvor mye Niklas må betale.

135 Hanne skal til Paris. Hun skal bo tre netter på et hotell til 63 euro per natt. Én euro koster 9,89 kr.

Gjør overslag for å finne ut hvor mye Hanne må betale.

136 Fritz er i kiosken og har plukket 3,3 hg smågodt i en pose. Det koster 16,90 kr per hg.

Gjør overslag for å finne ut hvor mye Fritz må betale.

137 Ahmed skal til Sverige. Han skal bo fire netter på et hotell til 1085 svenske kroner per natt.

100 svenske kroner koster 91,4 norske kroner.

Gjør overslag for å finne ut hvor mye Ahmed må betale.

138 Bruk overslagsregning til å finne et svar som er omtrent riktig på regnestykkene. a 48 + 99 + 55 ≈ b 48 ⋅ 102 ≈ c 24,8 + 76,3 + 96,8 ≈

Avrunding

Avrunding Når du bruker kalkulatoren til å regne ut et svar, får du ofte mange sifre i svaret.

Du må da runde av på en fornuftig måte.

Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 0, 1, 2, 3 eller 4 runder vi av nedover.

Hvis det første sifferet vi sløyfer, er 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi av oppover.

EKSEMPEL 11 En pakke med 12 skruer koster 29,50 kr.

Hva koster det for én skrue?

Oppgi svaret med to desimaler.

Vi bruker kalkulator, og får 29,50 : 12 = 2,458 333 …

Det koster 2,46 kr for én skrue.

kr 29,50

12 stk.

Merk!

I eksempel 11 ville svaret ha blitt • 2,5 kr hvis vi skulle ha rundet av til én desimal • 2 kr hvis vi skulle ha rundet av til nærmeste hele tall 139 Rund av til én desimal. a 9,24 =

b 7,68 =

d 34,568 =

c 12,048 =

e 10,081 =

f 35,099 =

b 3,034 =

c 8,9982 =

e 2,445 =

f 0,5555 =

140 Rund av til to desimaler. a 108,205 = d 0,614 =

17

18

1 Verktøykassen

141 Rund av til nærmeste hele tall. a 924,5 =

b 5,79 =

c 13,48 =

d 94,168 =

e 9,81 =

f 35,099 =

b 768 =

c 12 048 =

142 Rund av til nærmeste tier. a 91,3 = d 34 568 =

e 10 081 =

f 5099 =

143 Regn ut. Rund av svaret til én desimal. ......

a 2,85 ⋅ 3,07 =

b 23,87 : 5,65 =

Regn her:

......

......

144 En pose med 158 chilinøtter koster 39,90 kr.

Hva koster det for én chilinøtt?

Rund av svaret til to desimaler.

145 De 15 elevene i 1ELA veier til sammen 879 kg.

Hvor mye veier hver elev i gjennomsnitt?

Rund av svaret til nærmeste hele kg.

Husk svarsetning!

c

3,45 ⋅ 8,12 = 0,85

Likninger

Likninger En likning består av en venstreside og en høyreside som skal være lik hverandre.

Derfor skriver vi = mellom de to sidene. x − 4 = 9 er et eksempel på en likning.

x=?

Å løse en likning vil si å finne ut hvilket tall x må være for at venstre side skal være lik høyre side.

I likningen ovenfor ser vi at løsningen er x = 13. Men hvis du ikke ser løsningen, kan du følge visse regler for å regne deg fram til den:

I en likning kan vi ❶ dele med det samme tallet på begge sider ❷ gange med det samme tallet på begge sider ❸ legge til det samme tallet på begge sider ❹ trekke fra det samme tallet på begge sider

EKSEMPEL 12

Løs likningen 4x = 12.

4 x = 12 4 x 12 = 4 4 x =3

Regn her: 146 Løs likningene. a 2x = 8 b 3x = 18 c 5x = −10 d −3x = 6 e −4x = −8

Vi deler på begge sider med tallet som x er ganget med.

19

20

1 Verktøykassen

EKSEMPEL 13 Løs likningen

x =6 7

x = 6.

7

x ⋅7 = 6 ⋅7 7 x = 42

Regn her: 147 Løs likningene. a

x =8 2

b

x =7 3

c

x = 0,05 100

d

3x = 12 2

e

3 x = 12 2

f

x = 0,012 1000

Vi ganger på begge sider med tallet som x er delt på.

Likninger

EKSEMPEL 14 Løs likningen 3x + 25 = 5 − 2x.

Regn her: 148 Løs likningene. a 9x − 2 = 5 + 8x b 2x − 7 = 5 − 4x c x − 11 = 5 + 3x d 1 − 4x = 5x +10

3 x + 25 = 5 − 2x 3 x + 25 + 2x = 5 − 2x + 2x 5 x + 25 = 5 5 x + 25 − 25 = 5 − 25 5 x = −20 5 x −20 = 5 5 x = −4

Vi legger til 2x på begge sider.

Vi trekker fra 25 på begge sider.

Vi deler med 5 på begge sider.

21

22

1 Verktøykassen

EKSEMPEL 15 Trine, Ingun og Kate er søsken.

Trine og Ingun er like gamle, mens Kate er fire år yngre enn dem. Til sammen er de 50 år.

Hvor gamle er jentene?

50 − 8 = 42 42 = 14 3

50

4

Trine

4

Ingun

Kate er 14 år.

Trine og Ingun er 18 år.

Alternativt: Hvis Trine og Ingun er x år gamle, er Kate x − 4 år.

Da får vi x + x + x − 4 = 50 3 x = 54 x = 18 Trine og Ingun er 18 år. Kate er 14 år.

Regn her: 149 Per, Pål og Espen er søsken.

Per og Pål er like gamle, mens Espen er fem år yngre enn dem.

Til sammen er de 67 år.

Hvor gamle er guttene?

150 Sidrah er fem år eldre enn Jeanette.

Til sammen er de 29 år.

Hvor gamle er de?

151 På siste møte i elevrådet var det tre ganger så mange jenter som gutter.

Det var 32 elever på møtet.

Hvor mange jenter var det på møtet?

Kate

Grafisk framstilling

Grafisk framstilling 152 Ta for deg dette søylediagrammet:

Medlemmer i idrettslaget 80 70

a Sett inn riktig tall.

60 50

Antall jenter i laget:

Antall voksne medlemmer:

Antall medlemmer til sammen i laget:

40 30 20 10 Jenter

Gutter

Voksne

M

L

b På årsmøtet blir det sagt at mer enn halvparten av medlemmene i laget er voksne.

Er det sant?

153 Figuren viser salget av t-skjorter siste uke hos T-shirt-spesialisten.

60 50 40

a Hvor mange t-skjorter ble solgt av størrelsene S og L til sammen?

30 20

b Hvor mange t-skjorter solgte butikken denne uka?

10 S

c Hvor mange flere t-skjorter ble solgt av størrelsen M enn av størrelsen S?

......

154 Figuren viser hvor mange elever som hver uke kom på leksehjelpen i ukene mellom jule- og vinterferien. a Hvilken uke kom det flest? b Hvilke uker kom det flere enn 22 elever?

De som kommer på leksehjelpen får mat.

Matutgiftene er 12 kr per elev. c Hvor store var matutgiftene den uka det kom færrest elever?

32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

Uke 2 Uke 3

Uke 4

Uke 5

Uke 6

Uke 7

23

750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

a Hvor mange deltok i 2012? b Hvor stor var økningen i antall deltakere fra 2010 til 2013? c I 2012 var startkontingenten 85 kr.

Hvor stor var inntekten fra startkontingenten det året?

2009

156 Ta for deg dette linjediagrammet:

2010

157 Figuren viser temperaturen gjennom et døgn i mars °C 3 2 1 Klokkeslett 12

16

20

24

–1

–2

a Når var temperaturen høyest?

Hva var temperaturen da?

b Når var temperaturen 0 °C? c Omtrent hvor lenge var temperaturen høyere enn 2 °C?

Kvinner

2013

08 20

06

07 20

05

04

20

20

20

02

03 20

00

01

20

20

99

Menn

20

19

96

c Hvilket år var det flest arbeidsledige i denne perioden?

97 19 98

b Hvor mange arbeidsledige var det til sammen i 2007?

8

2012

65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 19

a Hvor mange menn var arbeidsledige i 1998?

4

2011

Arbeidsledige etter kjønn og tid

1000 personer

......

155 Figuren viser utviklingen i antall deltakere i Solfjellet rundt.

19

24

1 Verktøykassen

Grafisk framstilling

158 Ungdatasenteret har undersøkt hvor lang tid ungdom bruker foran skjermen i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du i sektordiagrammene til høyre.

4

34

36

1–2 timer

3–4 timer

Mer enn 4 timer

Kilde: Ungdata.no

159 Tabellen nedenfor viser antall søkere til Byporten skole i årene 2015−2019. År

2015

2016

2017

2018

2019

Antall søkere

210

190

230

250

255

a Lag et linjediagram som viser utviklingen i antall søkere.

Antall søkere til Byporten skole 300 250 200 150 100 50

2018

2019

b Lag et søylediagram som viser utviklingen i antall søkere.

Antall søkere til Byporten skole 300 250 200 150 100 50

2016

2017

2018

2019

Videregående

Mindre enn én time

2015

28

Ungdomstrinnet

b Hvor stor prosentandel av elevene på videregående bruker mindre enn én time foran skjermen i løpet av en vanlig dag?

2017

22

28

2016

11

22

a Hvor stor prosentandel av ungdomsskoleelevene bruker mer enn fire timer foran skjermen i løpet av en vanlig dag?

2015

3

12

2–3 timer

25

26

1 Verktøykassen

Eksamensoppgaver 160 (1PY våren 2019) En dag er temperaturen i New York −2,3 °C, mens den er 4,0 °C i London.

Hva er temperaturforskjellen mellom de to byene?

Regn her:

161 (1PY våren 2019) En purre koster 16,90 kr, rømme 18,50 kr, majones 27,90 kr og druer 29,90 kr.

Gjør overslag og bestem hva varene koster til sammen.

Regn her:

Eksamensoppgaver

162 (1PY våren 2018) Løs likningen 3x − 4 = 5x + 10.

Regn her:

......

163 (1PY våren 2019) Figuren til høyre viser hva en familie brukte pengene sine på i 2018.

Vi ser for eksempel at 22 % av familiens inntekt gikk til bolig, lys og varme.

Hvor mange prosent av inntekten til familien gikk til fritid?

Regn her:

27

28

1 Verktøykassen

164 (1PY våren 2017) Fem venner går på en restaurant og bestiller: • 3 hamburgere à 189 kr • 2 hamburgere à 149 kr • 5 glass brus à 39 kr Gjør et overslag. Omtrent hvor stor ble regningen?

Regn her:

165 (1PY våren 2017) ......

Diagrammet ovenfor viser hvor mange prosent av menn og kvinner som brukte snus i årene fra 2010 til 2015. Fyll ut tabellen.