Arne Hole Renate Jensen Helga Kufaas Tellefsen Anne Karin Wallace
NUMMER 9 –parallellbok Matematikk for ungdomstrinnet bokmül
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 1
17.01.17 08.56
Læreboka Nummer 9 – parallellbok er en del av læreverket Nummer. Læreverket følger læreplanen i matematikk for 8. – 10. årstrinn (2017). © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2017 1. utgave / 1. opplag 2017 Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller i strid med avtaler om kopiering inngått med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Redaktør: Kari Kleivdal Grafisk formgiving: Laboremus Oslo AS Omslag: Laboremus Oslo AS Omslagsfoto: David Clapp / AA World Travel Library / The Bridgeman Art Library Bilderedaktør: Heidi Wexelsen Goksøyr Tekniske tegninger: Bjørn Norheim / Irene Løhre Boken er satt med: Palatino LT Std 12/16 pt Papir: 100 g G-Print Trykk: RKGrafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien ISBN 978-82-03-40296-8 www.aschehoug.no Forfatterne har mottatt stipend fra det faglitterære fond. Bilder: s.7 Thorfinn Bekkelund/Samfoto, s.11 Carl Reader/AGE/NTB scanpix, s.16 Studio Schiermann/Bon Appetit, s.69 Henrik Trygg/Johner RM/NTB scanpix, s.33 Floris Leeuwenberg/The Cover Story/Corbis/NTB scanpix, s.37 Dreampictures/RF/NTB scanpix, s.38 DreamPictures/Getty images, s.19 Martin Wahlborg/Getty images, s.53 Sigmund Krøvel-Velle/Samfoto, s.59 Powerfocusfotografie/Getty images, s.64 Alicia Llop/Getty images, s.68 Will & Deni McIntyre/Getty images, s.75 Floriana/iStock, s.85 Br/AGE/NTB scanpix, s.89 Berit Roald/Scanpix Norway (RM), s.109 Berit Roald/NTB scanpix, s.76 Andrew Rich/iStock, s.114 Generald/Topfoto/NTB scanpix, s.112 Sigrid Harms/NTB scanpix, s.119 Deepol/JH/ Plainpicture (RM)/NTB scanpix, s.121 Aldice Poteywan/Masterfile/NTB scandpix, s.124 Yoko Aziz/AGE(RM)/ NTB scanpix, s.127 Jørn B Olsen/Rolf Sørensen /Samfoto
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 2
17.01.17 08.56
FORORD
Vi som har laget denne boka, håper at den kan bidra til å gjøre matematikk meningsfylt for deg. Alle kan forstå matematikk, men hver av oss trenger tid til å finne vår egen vei inn i det. Om du føler at du ikke er den raskeste til å regne eller lære deg nytt matematisk stoff, så kan du likevel mestre og ha nytte av matematikk. Det fins mange matematikere som er ganske trege når det gjelder å sette seg inn i nye ting. Når du leser eksempler og arbeider med oppgaver og spill, så spør deg selv: Forstår jeg dette? Er svaret nei, så prøv en gang til. Spør, tenk og snakk med andre elever. Dette kan ta tid, men er du ærlig mot deg selv og jobber systematisk på denne måten, vil du vinne i det lange løp. Boka starter med et kapittel om algebra. Vi har plassert dette først fordi det er noe som trenger tid for å modnes. Ikke bli frustrert om du ikke føler du forstår det til å begynne med. Ta deg god tid. Det haster ikke. Du kan skrive i boka. Det har den fordelen at du får gjort flere oppgaver. Matematikk er et fag hvor det er viktig å øve for å få på plass nye ferdigheter. Bruk tid på å lese eksempler og på å øve på begreper. Matematikk er et språk du trenger for å kunne forstå det du leser. Det er også viktig at du øver på å sette ord på det du har tenkt. Vi har derfor laget spørsmål til deg underveis i boka. Bruk disse aktivt sammen med andre elever og lærere. Boka har de samme kapitlene som Nummer 9. Underveis i boka får du tips om oppgaver du kan gjøre i Nummer 9 for å få mer øving og variert trening. Vi ønsker deg lykke til med arbeidet! Hilsen Arne Hole, Renate Jensen, Helga Kufaas Tellefsen og Anne Karin Wallace
forord
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 3
3 17.01.17 08.56
INNHOLD
ALGEBRA 7
1
Regneuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser, kvadrattall og kvadratrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraiske lover.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lage formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 15 18 29 32
GEOMETRI OG MÅLING 39
2
Regning med tid.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enheter og forstavelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omgjøring mellom arealenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strekning, fart, tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske figurer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Romfigurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pytagoras’ setning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30/60/90-trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
40 42 46 49 55 63 65 70 73
innhold
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 4
17.01.17 08.56
3
FUNKSJONER 75 Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Funksjonsmaskin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Å tegne grafer i GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Omvendt proporsjonalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4
KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 109 Kombinatorikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Relativ frekvens og sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Gunstige delt på mulige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
i
FASIT 127
innhold
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 5
5 17.01.17 08.56
SYMBOLFORKLARINGER
BEGREPER DU SKAL KUNNE Dette er begreper du skal jobbe med i dette emnet. Målet er at du skal bruke disse begrepene når du forklarer. De skal bli en del av språket ditt. Noen av ordene har du hørt før. Du møter disse begrepene i teksten og i oppgavene. Sjekk med deg selv om du kan forklare hva de betyr. snakke matematikk
Det å kunne snakke matematikk er en grunnleggende ferdighet i læreplanen. Spørsmålene gir deg muligheten til å snakke om temaet slik at du kan ta nye begreper i bruk og forklare hva du tenker og hvordan du har forstått stoffet du skal arbeide videre med. Vi ønsker at slike spørsmål vil gjøre at du føler at du mestrer nye ferdigheter og at du kan dele gode måter å tenke på.
HVA KAN DU NÅ? Under denne overskriften finner du oppgaver som kan hjelpe deg å finne ut om det er noe du trenger å jobbe mer med. Noen ganger kan du gå videre, andre ganger må du stoppe opp. Da har læreren oppgaver både til deg som trenger å jobbe mer, deg som vil trene litt til og deg som vil gjøre noe mer innenfor samme emne.
Oppgave
fra eksamen
I boka vil du finne oppgaver hentet fra eksamen. Oppgavene gir deg mulighet til å øve på det du kan, og til å se hvordan eksamensoppgaver er formulert.
Videre arbeid i læreboka Underveis i boka er det tips til hvilke oppgaver i Nummer 9 du kan arbeide med hvis du vil øve mer.
6
symbolforklaringer
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 6
17.01.17 08.56
LINEÆRE FUNKSJONER BEGREPER DU SKAL KUNNE: proporsjonalitet, lineær funksjon
eksempel 3 fra situasjon til funksjonsuttrykk Bjørk hjelper til hjemme og får 50 kr i uka i lønn. Etter to uker har hun tjent 2 ∙ 50 kr = 100 kr. Etter fire uker har hun tjent 4 ∙ 50 kr = 200 kr. Etter ti uker har hun tjent 10 ∙ 50 kr = 500 kr. Vi finner et mønster slik vi gjorde med funksjonsmaskinene. Vi multipliserer antall uker med 50. Antall uker tilsvarer tallene vi puttet inn i funksjonsmaskinen. Funksjonsuttrykket blir f(x) = 50x. Her er x antall uker, og f(x) er beløpet hun har tjent.
Oppgave 306
[r
Du plukker jordbær og tjener 10 kr for hver kurv du plukker.
a Hvor mye tjener du hvis du plukker fem kurver?
b Hvor mye tjener du hvis du plukker tjue kurver?
c Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser hva du tjener hvis du plukker x kurver.
lineære funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 83
83 17.01.17 08.56
Oppgave 307 En bussbillett koster 15 kr for barn. Du reiser til og fra fotballtrening en gang i uka.
a Hvor mye koster det for fire uker?
b Hvor mye koster det for seks uker?
c Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser hva det koster etter x uker.
eksempel 4 fra funksjonsuttrykk til graf I forrige eksempel fant vi at når Bjørk tjente 50 kr i uka, kunne dette beskrives som en funksjon med funksjonsuttrykket f(x) = 50x, der x er antall uker. Denne funksjonen kan vi tegne i et koordinatsystem.
f(x)
antall kroner
f(x) = 50x
700 600
(10 , 500)
500 400 300
(4 , 200)
200
(2 , 100)
100 2
84
4
6
antall uker 8
10
12
14
16
x
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 84
17.01.17 08.56
Oppgave 308
Noen barn tar bussen sammen. En bussbillett koster 15 kr for barn. Prisen for alle barna til sammen er gitt ved funksjonsuttrykket f(x) = 15x, der x er antall barn som reiser. Når 4 barn reiser, har vi x = 4. Da har vi f(x)= 60. Når x = 6, har vi f(x) = 90.
[N
a Marker punktene (4 , 60), (6 , 90) og (8 , 120) i koordinatsystemet. b Bruk punktene og tegn grafen til funksjonen f(x). c Bruk grafen til å finne ut hvor mange bussbilletter de har kjøpt når de har brukt 105 kr. Svar: De har kjøpt billetter.
d Skriv navn på førsteaksen og andreaksen.
120 105 90 75 60 45 30 15 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lineære funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 85
85 17.01.17 08.56
Oppgave 309 Du plukker jordbær og tjener 10 kr for hver kurv du plukker. Det du tjener, kan beskrives med funksjonsuttrykket f(x) = 10x. Det betyr at når x = 5, er f(x) = 10 ∙ 5 = 50.
a Marker punktene (5 , 50), (10 , 100) og (20 , 200) i koordinatsystemet. b Bruk punktene og tegn grafen til funksjonen f(x). c Bruk grafen til å finne ut hvor mange jordbærkurver du har plukket når du har tjent 120 kr.
d Skriv navn på førsteaksen og andreaksen.
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
snakke matematikk Se på grafen i eksemplet og de to grafene du har tegnet. Hva er likt med de tre grafene?
Funksjonstypen du nå har jobbet med, kaller vi en proporsjonalitet. Grafen til funksjonen er en rett linje som går gjennom origo. Funksjonsuttrykket for en proporsjonalitet kan skrives som f(x) = ax.
86
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 86
17.01.17 08.56
HVA KAN DU NÅ? 1 Marcus klipper gresset for naboen. Han får 50 kr per gang.
a Hvor mye tjener han hvis han klipper gresset én gang?
[r
b Hvor mye tjener han hvis han klipper gresset to ganger?
[r
c Hvor mye tjener han hvis han klipper gresset ti ganger?
[r
d Sett opp et funksjonsuttrykk som viser hvor mye han tjener når han klipper gresset x ganger.
[r
e Tegn grafen til funksjonen f(x) i koordinatsystemet. Bruk informasjonen du fant i deloppgave a, b og c.
f Hvor mange ganger må han klippe gresset for å tjene 300 kr?
[r
g Skriv navn på aksene.
[N
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
hva kan du nå ?
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 87
87 17.01.17 08.56
eksempel 5 fra situasjon til funksjonsuttrykk Du er på ferie og bestemmer deg for å ta en tur på tivoli. Det koster 100 kr for å komme inn på tivoliet. I tillegg koster det 20 kr for hver gang du tar berg-og-dal-bane. Når du har kjørt én tur, har du brukt (20 kr ∙ 1) + 100 kr = 20 kr + 100 kr = 120 kr. Når du har kjørt to turer, har du brukt (20 kr ∙ 2) + 100 kr = 40 kr + 100 kr = 140 kr. Når du har kjørt fem turer, har du brukt (20 kr ∙ 5) + 100 kr = 100 kr + 100 kr = 200 kr. Vi finner et mønster slik vi gjorde med funksjonsmaskinen. Vi multipliserer antall turer med 20 og adderer deretter 100. Funksjonsuttrykket blir f(x) = 20x + 100. Her er x antall ganger du har tatt berg-og-dal-bane, og f(x) er det du har brukt av penger.
Oppgave 310 Du drar på Badeland. Det koster 10 kr for hver time du er der. I tillegg må du betale 50 kr for å komme inn.
a Hvor mye koster det å besøke Badeland i 1 time?
b Hvor mye koster det for 1,5 time?
c Hvor mye koster det for 3 timer?
d Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser hva det koster for x timer. f(x) =
88
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 88
17.01.17 08.56
Oppgave 311 Linda sitter barnevakt for naboen. Hun får 60 kr for å møte opp og 80 kr for hver time hun passer barna.
a Hvor mye tjener Linda hvis hun er der i to timer?
[r
b Hvor mye tjener Linda hvis hun er der i fire timer?
[r
c Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser hva hun tjener hvis hun er der i x timer.
[r
lineære funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 89
89 17.01.17 08.56
eksempel 6 fra funksjonsuttrykk til tabell og graf I eksempel 5 fant vi at da du var på tivoli, kunne det du måtte betale beskrives som en funksjon med funksjonsuttrykket f(x) = 20x + 100. Vi fant ut at: Når du har kjørt én tur, har du brukt (20 kr ∙ 1) + 100 kr = 20 kr + 100 kr = 120 kr Når du har kjørt to turer, har du brukt (20 kr ∙ 2) + 100 kr = 40 kr + 100 kr = 140 kr Når du har kjørt fem turer, har du brukt (20 kr ∙ 5) + 100 kr = 100 kr + 100 kr = 200 kr Dette kan vi sette opp i en verditabell, slik at det blir mer oversiktlig når du skal lage en graf. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
x
f(x) = 20x + 100
f(x)
( x , f ( x ))
1
f(1) = (20 ∙ 1) + 100 = 20 + 100 = 120
120
(1 , 120)
2
f(2) = (20 ∙ 2) + 100 = 40 + 100 = 140
140
(2 , 140)
5
f(5) = (20 ∙ 5) + 100 = 100 + 100 = 200
200
(5 , 200)
Grafen kan vi tegne i et koordinatsystem. f(x) 220
Antall kroner
200 180
f(x) = 20x + 100
160 140 120 100 80 60 40 20
Antall turer 1
90
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 90
17.01.17 08.56
snakke matematikk Hvor mange turer har du tatt hvis du betalte 220 kr? Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne svaret.
Oppgave 312 Du drar på Badeland. Det koster 10 kr for hver time du er der. I tillegg må du betale 50 kr for å komme inn. Beløpet du betaler, kan beskrives med funksjonsuttrykket f(x) = 10x + 50. Dersom du var der i én time, måtte du betale 10 kr ∙ 1 + 50 kr = 10 kr + 50 kr = 60 kr. Vi kan sette dette opp i en verditabell. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
x
f(x) = 10x + 50
f(x)
( x , f ( x ))
1
f(1) = (10 ∙ 1) + 50 = 10 + 50 = 60
60
(1 , 60)
1,5 3
a Fyll ut resten av verditabellen. b Bruk koordinatene og tegn grafen til funksjonen.
90 80
[N
70 60 50 40 30 20 10 1
2
3
4
5
c Hvor mange timer var du der hvis du betalte 90 kr?
[r
d Skriv navn på førsteaksen og andreaksen.
lineære funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 91
91 17.01.17 08.56
Oppgave 313 Linda sitter barnevakt for naboen. Hun får 60 kr for å møte opp og 80 kr for hver time hun passer barna. Det hun tjener, kan beskrives med funksjonsuttrykket f(x) = 80x + 60. Dersom hun var der i to timer, tjente hun 80 kr ∙ 2 + 60 kr = 160 kr + 60 kr = 220 kr. Vi kan sette dette opp i en verditabell. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
x
f(x) = 80x + 60
f(x)
( x , f ( x ))
2
f(2) = (80 ∙ 2) + 60 = 160 + 60 = 220
220
(2 , 220)
4 1,5
a Fyll ut resten av verditabellen. 400
b Bruk koordinatene og tegn grafen til funksjonen.
c Hvor mange timer var hun der hvis hun tjente 300 kr? Svar:
d Skriv navn på førsteaksen og andreaksen.
360 320 280 240 200 160 120 80 40 0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
snakke matematikk Se på grafen i eksemplet og de to grafene du har tegnet. Hva er likt med de tre grafene?
Funksjonstypen du nå har jobbet med, kaller vi en lineær funksjon. Grafen til funksjonen er en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket for en lineær funksjon er f(x) = ax + b.
92
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 92
17.01.17 08.56
HVA KAN DU NÅ? 1 Ylva får 30 kr i ukelønn. I tillegg får hun 10 kr for hver ekstra ting hun hjelper til med.
a Sett opp et funksjonsuttrykk som viser hvor mye
[r
hun tjener hvis hun hjelper til x ganger ekstra.
b Hvor mye tjener hun hvis hun hjelper til én ekstra gang?
[r
c Fyll ut tabellen under. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
f(x)
( x , f ( x ))
x 1 2 5
d Tegn grafen til funksjonen i koordinatsystemet. Bruk koordinatene fra tabellen.
80 70
[N
60 50 40 30 20 10 1
2
3
4
5
6
7
8
9
e Hvor mange ganger har hun hjulpet til ekstra hvis hun tjener 70 kr?
f Skriv navn på aksene.
[V
Videre arbeid i læreboka 3.35
hva kan du nå ?
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 93
93 17.01.17 08.56
eksempel 7 hva er a og hva er
b
i funksjonsuttrykket?
I en lineær funksjon f(x) = ax + b er a og b konstanter, det vil si tall. Grafen er alltid en rett linje. Hva er a og b i funksjonsuttrykkene? Løsning f(x) = 3x
+
12 b = 12
a=3 f(x) = x
+
4
a=1
b=4
a=5
b=0
f(x) = 5x f(x) = –x
+ a = –1
–2 b = –2
Oppgave 314 1 f(x) = 2x + 1
a =
b =
2 f(x) = 4x – 2 a =
b =
3 f(x) = 2x
a =
b =
4 f(x) = –3x – 2
a =
b =
5 f(x) = 1x + 4
a =
b =
6 f(x) = x + 6
a =
b =
snakke matematikk Lars og Lise ser på funksjonsuttrykket f(x) = x + 3. Lise mener at a = 1. Lars mener at hun tar feil, og at a = 0. Hvem har rett og hvorfor?
94
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 94
17.01.17 08.56
Å TEGNE GRAFER I GEOGEBRA BEGREPER DU SKAL KUNNE: stigningstall, konstantledd
eksempel 8 å tegne grafen i geogebra Vi skal tegne grafen til f(x) = x + 1. Løsning Skriv inn i inntastingsfeltet i GeoGebra: x + 1
[N
Vi ser grafen i grafikkfeltet og funksjonsuttrykket i algebrafeltet.
å tegne grafer i geogebra
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 95
95 17.01.17 08.56
Oppgave 315 Tegn grafen til funksjonene i GeoGebra. Åpne et nytt vindu til hver av funksjonene.
a f(x) = x + 2
e f(x) = 2x – 1
b f(x) = x + 3
f f(x) = 3x
c f(x) = 2x
g f(x) = 3x – 3
d f(x) = 2x + 1
Skal du tegne grafen til flere funksjoner i samme koordinatsystem (vindu) i GeoGebra, må funksjonene ha forskjellige navn. Du kan for eksempel kalle dem f(x), g(x), h(x), A(x) og så videre.
Oppgave 316 Tegn grafene til disse funksjonene i samme vindu i GeoGebra: f(x) = x + 2 g(x) = 2x + 2 h(x) = –2x + 2
snakke matematikk Hva er felles for de tre grafene du tegnet i forrige oppgave? Hva er felles i funksjonsuttrykkene? Hva er sammenhengen?
96
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 96
17.01.17 08.56
Grafen til f(x) = ax + b skjærer andreaksen i punktet (0 , b). Tallet b kalles konstantleddet til f(x). f (x)
[N
f(x) = ax + b (0, b) x
Oppgave 317 Skriv koordinatene til det punktet der grafen skjærer andreaksen.
a f(x) = 3x + 2 b f(x) = 7x + 1 c g(x) = –x + 5 d g(x) = 3x e h(x) = –2x – 4 f f(x) = 2x – 1,5
å tegne grafer i geogebra
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 97
97 17.01.17 08.56
Oppgave 318 Tegn grafene til disse funksjonene i samme vindu i GeoGebra. f(x) = x + 1 g(x) = 2x + 1 h(x) = –2x + 1 j(x) = 3x + 1 k(x) = 0,5x + 1 m(x) = –0,5x + 1 Tips: I GeoGebra er desimalskilletegnet ikke komma, men punktum. Du skriver 0,5 som 0.5
snakke matematikk Hva er ulikt med de grafene dere tegnet i forrige oppgave? Hvis dere tegner grafen til en funksjon f(x) = ax + b, ser dere noen sammenheng mellom tallet a og grafen?
Funksjonsverdien til f(x) = ax + b endrer seg med a enheter når vi øker x med én enhet. Tallet a kalles stigningstallet til f(x).
f (x) f(x) = ax + b
a 1 x
98
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 98
17.01.17 08.56
eksempel 9 å finne funksjonsuttrykket når vi har grafen Finn funksjonsuttrykkene til f(x) og g(x).
[N
y 6
Løsning Vi starter med g(x). Vi skal skrive g(x) = ax + b. Grafen til g(x) skjærer andreaksen i punktet (0 , –4). Altså er b = –4.
5 4
2 1 –1
1
2
3
4
5
6
x
6
x
–1
Når vi øker x med én enhet, øker g(x) med 2 enheter. Altså a = 2.
–2 –3
Funksjonsuttrykket blir g(x) = 2x – 4.
–4
Så skal vi skrive f(x) = ax + b.
y
Grafen til f(x) skjærer andreaksen i punktet (0 , 5). Altså er b = 5.
f(x)
6
2
5 4
1
1
3
Når vi øker x med én enhet, minker f(x) med 2 enheter. Altså a = –2. Funksjonsuttrykket blir f(x) = –2x + 5.
g(x)
3
g(x)
2
2 1 –1
1
2
3
4
–1
5
[N
–2 –3
f(x)
–4
å tegne grafer i geogebra
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 99
99 17.01.17 08.56
Oppgave 319 Sett en strek mellom grafen og funksjonsuttrykket som hører sammen.
d e
f(x) = 4x – 4 g(x) = 2x h(x) = –x + 2
y
y
5
5
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
–3 –2 –1
1
2
3
x
4
–1
–2 –1
1
2
–1 –2
–2
3
x
–1
1 –1
2
3
x
–2
–3 –4
Oppgave 320 Finn funksjonsuttrykket til funksjonen f(x) = ax + b. Grafen til f(x) ser du nedenfor. y 5
b=
4
f(x)
3
a=
2 1 –4 –3 –2 –1
f(x) = 1
2
–1
3
4
5
x
–2
Videre arbeid i læreboka 312
100
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 100
17.01.17 08.56
HVA KAN DU NÅ? 1 En lineær funksjon kan skrives på formen f(x) = ax + b. Hva er a, og hva er b i funksjonsuttrykkene?
A f(x) = 4x – 3
a=
b=
B f(x) = 0,5x + 2
a=
b=
C f(x) = –2x
a=
b=
D f(x) = x – 1
a=
b=
E f(x) = 4 – 3x a =
b=
hva kan du nå ?
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 101
101 17.01.17 08.56
2
Hvilket funksjonsuttrykk hører sammen med hvilken graf? Sett strek mellom grafen og funksjonsuttrykket som hører sammen. y
y
5
5
4 3
g
4
f(x) = 3x
3
2
2
1
1
–1
1
2
3
4
–1
x
–2 –1
1
2
3
4
2
3
4
x
–1
g(x) = 3x – 3
–2
x
–2
–3
–3
–4
y
h(x) = –3x + 3
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
p(x) = –x + 3
–2 –1
1
2
3
4
–1
x
–1
1 –1 –2
–2
–3
–3
–4
–4
q(x) = 3x + 3
y 5 4 3 2 1 –1
1
2
–1
3
4
x
–2 –3
102
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 102
17.01.17 08.56
OMVENDT PROPORSJONALITET BEGREPER DU SKAL KUNNE: omvendt proporsjonalitet, hyperbel
eksempel 10 fra situasjon til funksjonsuttrykk Noen venner vil arrangere en klassefest. De leier et lokale og må betale 1000 kr i leie. De skal dele leieutgiften på antall deltakere. Hvor mye blir det per deltaker? Hvor mye det blir for hver deltaker, er avhengig av hvor mange som kommer. Hvis det bare kommer én person, må hver deltaker betale Hvis det kommer fem personer, må hver deltaker betale
1000 kr = 1000 kr. 1
1000 kr = 200 kr. 5
1000 kr = 50 kr. 20 Vi ser at jo flere som kommer på festen, jo billigere blir det per deltaker. Hvis det kommer 20 personer, må hver deltaker betale
Vi finner et mønster slik vi gjorde med funksjonsmaskinen. Vi tar 1000 kr og dividerer med antall deltakere. 1000 . x Her er x antall deltakere, og f(x) er beløpet hver deltaker må betale. Funksjonsuttrykket blir f (x) =
Oppgave 321 En speidergruppe kjøper en lavvo til landsleiren i Stavanger. Lavvoen koster 15 000 kr, og de skal spleise på den. Lavvoen har plass til 30 personer, og det den koster, skal deles på de som melder seg på turen til Stavanger.
a Hvor mye må hver speider betale hvis 5 speidere melder seg på turen?
[r
b Hvor mye må hver speider betale hvis 10 speidere melder seg på turen?
[r
c Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser hva hver speider må betale hvis x speidere melder seg på turen.
[r omvendt proporsjonalitet
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 103
103 17.01.17 08.56
Oppgave 322 Et fotballag skal til Norway Cup og bestemmer seg for å leie en buss til reisen. Det koster 8000 kr for en uke. Leien av bussen skal deles på antall spillere som er med. Bussen har plass til 30 spillere.
a Hva blir prisen per spiller hvis det er 10 spillere med på turen?
b Hva blir prisen per spiller hvis det er 20 spillere med på turen?
c Hva blir prisen per spiller hvis det er 25 spillere med på turen?
d Lag et funksjonsuttrykk f(x) som viser prisen per spiller hvis x spillere er med på turen.
snakke matematikk Hva er den laveste prisen det er mulig å ha per spiller?
eksempel 11 fra funksjonsuttrykk til tabell og graf I eksempel 10 fant vi at når noen venner leide et lokale til en klassefest og skulle dele utgiften på antall personer som kom på festen, kunne dette 1000 beskrives som en funksjon med funksjonsuttrykket f (x) = , der x x er antall deltakere. Vi fant ut at: Hvis det bare kommer én person, må hver deltaker betale Hvis det kommer fem personer, må hver deltaker betale Hvis det kommer 20 personer, må hver deltaker betale
104
1000 kr = 1000 kr. 1
1000 kr = 200 kr. 5
1000 kr = 50 kr. 20
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 104
17.01.17 08.56
Dette kan vi sette opp i en verditabell, slik at det blir mer oversiktlig nĂĽr du skal tegne grafen. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
x
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
1000 x
f(x)
( x , f ( x ))
1000 = 1000 1
1000
(1 , 1000)
1000 = 200 5
200
(5 , 200)
1000 = 50 20
50
(20 , 50)
f (x)=
1
f (1) =
5
f (5) =
20
f (20) =
Denne funksjonen kan vi tegne i et koordinatsystem.
[N
f(x)
Leie per deltaker
1000
[S
950 900 850 800 750 700
f(x) =
650
1000 x
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
Antall deltakere 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x
snakke matematikk Kan det komme sĂĽ mange deltakere at de ikke trenger ĂĽ betale?
omvendt proporsjonalitet
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 105
105 17.01.17 08.56
Funksjonstypen du nå har jobbet med, kaller vi en omvendt proporsjonalitet. Grafen til funksjonstypen kaller vi en hyperbel. Grafen til en omvendt proporsjonalitet vil aldri skjære førsteaksen eller andreaksen.
a Funksjonsuttrykket for en omvendt proporsjonalitet er f ( x ) = , x der a er en konstant, et fast tall.
eksempel 12 å tegne grafen til en omvendt proporsjonalitet i geogebra Vi skal tegne grafen til funksjonen vi arbeidet med i eksempel 11. Funksjonsuttrykket er f (x) =
1000 x
Løsning Skriv i inntastingsfeltet Vi ser grafen i grafikkfeltet og funksjonsuttrykket i algebrafeltet.
For å se grafen i grafikkfeltet må vi justere aksene, fordi funksjonen har større tall enn det som vises på aksene når du åpner en ny fil. Når vi jobber med funksjoner, har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller å endre enheten, på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet Når du har valgt verktøyet
,
kan du endre enhet på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens du holder venstre museknapp nede.
106
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 106
17.01.17 08.56
Oppgave 323 En speidergruppe kjøper en lavvo som koster 15 000 kr, til landsleiren i Stavanger, og de skal spleise på den. Hva hver 15 000 speider skal betale, kan beskrives med funksjonsuttrykket f ( x ) = x
a Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra. Husk at du må justere aksene for å se grafen din.
b Bruk grafen og finn ut hvor mange speidere som er med hvis hver betaler 600 kr.
c Bruk grafen og finn ut hva hver speider må betale dersom det er 20 speidere med.
Oppgave 324 Et fotballag skal til Norway Cup og leier en buss til 8000 kr for en uke. Hva hver spiller skal betale hvis 8000 de skal dele likt, kan beskrives med funksjonsuttrykket f ( x ) = . x
a Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra. Husk at du må justere aksene for å se grafen din.
b Bruk grafen og finn ut hvor mange spillere som er med dersom hver må betale 400 kr.
c Bruk grafen og finn ut hvor mye hver må betale dersom det er med 16 spillere.
Videre arbeid i læreboka 3.40, 3.41, 315
omvendt proporsjonalitet
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 107
107 17.01.17 08.56
HVA KAN DU NÅ? 1
Et musikkorps trenger penger. De bestemmer seg for å samle inn 20 000 kr ved å drive kakesalg. Hver musikant skal bidra med like mye penger.
a Sett opp et regneuttrykk som viser hvor mye hver musikant må bidra med dersom det bare er 10 musikanter i korpset.
b Sett opp et regneuttrykk som viser hvor mye hver musikant må bidra med dersom det er 40 musikanter i korpset.
c Sett opp et funksjonsuttrykk som viser hvor mye hver musikant må bidra med dersom det er x musikanter i korpset.
d Fyll ut tabellen nedenfor. va r i a b e l
f u n k s j o n s u t t ry k k
x
funksjonsverdi
k o o r d i n at e r
f(x)
( x , f ( x ))
10 20 40
e Tegn grafen til funksjonen i GeoGebra. f Hvor mange musikanter er det i korpset dersom hver bidrar med 400 kr?
g Hvor mye må hver bidra med dersom det er 25 musikanter i musikkorpset?
108
Kapittel 3 • funksjoner
106685 GRMAT Nummer 9 Forenklet 170101.indb 108
17.01.17 08.56