Justificación Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.
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3 Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0 -4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 5x - 2y = -1 7x + 4y = 53 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2x + 6y = -16 -2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5x + 13y = 8 12x - 11y = -23 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 3x + y =13 2x - 7y =-7
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6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ÂżCuĂĄnto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al aĂąo?
Sistemas de Ecuaciones Objetivos: 1. Definir el concepto de sistema de ecuaciones. 2. Verificar si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2. 3. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de sustitución. 4. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de gráfico. 5. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de eliminación por adición
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Sistemas de Ecuaciones Definición Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas. Ejemplos:
2 x + y = 6 1) 3x − y = 4
x 2 − y = −5 2) 2x + y = 4
3 1 2 x + 4 y = 10 3) 3 x − y = 4 4
x3 − y = 0 4) x − y = 0
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Sistemas de Ecuaciones Aclaración El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3. Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales. De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal.
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Sistemas de Ecuaciones Definici贸n Una soluci贸n de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuaci贸nes del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto soluci贸n del sistema.
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Sistemas de Ecuaciones Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.
2 x + y = 6 1) 3x − y = 4
Par Ordenado : (1 , 2 )
Verificación : 2 ( 1) + 2 ≠ 6
3 ( 1) − 2 ≠ 4
Por lo tanto el par ordenado ( 1 , 2 ) no es solución.
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Sistemas de Ecuaciones
x 2 − y = −5 2) 2x + y = 4
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Par Ordenado:
( −1 , 6 )
Verificación :
( − 1) − 6 = −5 2( − 1) + 6 = 4 2
Por lo tanto el par ordenado
( −1 , 6 )
es solución.
Sistemas de Ecuaciones
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Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos, 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Método gráfico Método de sustitución Método de eliminación por adición Regla de Cramer Método de la matríz aumentada Método de matrices
En esta sección solo trataremos el método gráfico, el método de sustitución y el método de eliminación por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.
Sistemas de Ecuaciones Tipos de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones. 1.
2.
3.
Sistema consistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una única solución. Las gráficas de las líneas son diferentes. Sistema consistente dependiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son iguales. Sistema inconsistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas.
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Sistemas de Ecuaciones MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento 1. Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas. 2. Construya la gráfica de cada ecuación. Aclaración: Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible.
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Sistemas de Ecuaciones
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Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
2x + y = 5 1) x − y = 1 y
Solución : ( 2 , 1) x
2x + y = 5 x − y =1
Sistemas de Ecuaciones
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x + y = 2 2) x − y = 0 y 4
x+ y =2
3
2
Solución : ( 1 , 1)
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
x− y =0
-3
-4
2
3
4
x5
Sistemas de Ecuaciones
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x + y = 2 3) 2 x + 2 y = 0
Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío.
y 4
3
2
C.S . = ∅
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
x5
Sistemas de Ecuaciones
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x + y = 2 4) −2 x − 2 y = −4 y 4
3
x+ y =2
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
−2 x − 2 y = −4
4
x5
El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.
C.S . = { ( x, 2 − x ) : x ∈ ℜ }
Sistemas de Ecuaciones y = x 2 − 2 5) 2 y = 4 − x
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El conjunto solución contiene dos pares ordenados.
4
3
C.S . = { ( − 2,0 ) , ( 2,0 ) }
2
1
−4
−3
−2
−1
1 −1
−2
−3
−4
2
3
4
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Sistemas de Ecuaciones MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2 PROCEDIMIENTO 1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto producirá el valor de una de las variables. 3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.
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Sistemas de Ecuaciones Ejemplos: Resuelve usando el método de sustitución. 2 x + y = 6 1) 3 x − y = 4 Escogiendo la ecuación, 2 x + y = 6 , tenemos
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y = 6 − 2x
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, 3x − ( 6 − 2 x ) = 4 x=2 3x − 6 + 2 x = 4 Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos
y = 6 − 2( 2 ) = 2
Conjunto Solución = { ( 2 , 2 ) }
Sistemas de Ecuaciones x 2 + y = −5 2) 2x − y = 4 2 Escogiendo la ecuación, x + y = −5 , tenemos
y = −5 − x
2
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
2x − (− 5 − x2 ) = 4
2x + 5 + x = 4 2
x2 + 2x +1 = 0
( x + 1)( x + 1) = 0 x +1 = 0
x = −1
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Sistemas de Ecuaciones
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Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos,
x 2 + y = −5 2 y = −5 − x y = −5 − ( − 1) = −6 2
Conjunto Solución = { ( −1 , − 6 ) }
Sistemas de Ecuaciones
3 1 2 x + 4 y = 10 3) 3 x − y = 4 4
3 Escogiendo la ecuación, x − y = 4 , tenemos 4 3 y = x−4 4
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
1 33 x + x − 4 = 10 2 44
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Sistemas de Ecuaciones
1 9 x + x − 3 = 10 2 16
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Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
8 x + 9 x − 48 = 160
17 x = 160 + 48 208 x= 17
3 Sustituyendo en la ecuación y = x − 4 tenemos, 4 88 3 208 208 88 y = y= − 4 C.S . = , ÷ 17 4 17 17 17
Sistemas de Ecuaciones
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Método de Eliminación por Adición Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables. Procedimiento: 1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los números correspondientes. 2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable. 3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitución.
Sistemas de Ecuaciones
2x − 3 y = 3 1) x + 2 y = 5
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Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,
2x − 3 y = 3 −2 x − 4 y = −10 Restando las ecuaciones obtenemos,
2x − 3 y = 3 − 2 x − 4 y = −10 0 x − 7 y = −7
Sistemas de Ecuaciones
− 7 y = −7
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y =1
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera por 2 obtenemos,
2 ( 2x − 3 y = 3) 3 ( x + 2 y = 5 )
⇒
4x − 6 y = 6 3x + 6 y = 15
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4x − 6 y = 6 3x + 6 y = 15 7 x + 0 y = 21
Sistemas de Ecuaciones
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7 x = 21
x=3 C.S . = { ( 3, 1) } El sistema es consistente independiente. Observaci贸n: Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar el m茅todo de sustituci贸n.
Sustituyendo y = 1 en la ecuaci贸n,
x + 2(1) = 5
x=3
x + 2y = 5
Sistemas de Ecuaciones
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2 x − 3 y = 3 2) −4 x + 6 y = 6
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
2 ( 2 x − 3 y = 3) −4 x + 6 y = 6
⇒
4x − 6 y = 6 − 4x + 6 y = 6
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4x − 6 y = 6
− 4x + 6 y = 6 0 x + 0 y = 12 0 = 12
Falso
C.S.=∅ El sistema es inconsistente. No tiene soluciones.
Sistemas de Ecuaciones
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2 x − 3 y = 3 3) −4 x + 6 y = −6
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
2 ( 2 x − 3 y = 3) −4 x + 6 y = −6
⇒
4x − 6 y = 6 −4 x + 6 y = −6
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4x − 6 y = 6 −4 x + 6 y = −6
El sistema es dependiente. Tiene infinitas soluciones.
0x + 0 y = 0 0 = 0 Cierto
3 − 2 x C.S . = x, ÷: x ∈ R 2
Sistemas de Ecuaciones 31 Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Solución : Sea x el número de boletos vendidos de adultos. Sea y el número de boletos vendidos de niños. Obtenemos el sistema :
x + y = 450 2.25 x + 1.50 y = 777.75
Sistemas de Ecuaciones Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
x = 137 boletos de adultos
y = 313 boletos de ni単os
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Sistemas de Ecuaciones
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2. Una lancha de vapor operada a toda mĂĄquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda mĂĄquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.
SoluciĂłn : Sea x la velocidad de la corriente. Sea y la velocidad de la lancha. y − x = velocidad de la lancha en contra de la corriente. y + x = velocidad de la lancha a favor de la corriente.
Sistemas de Ecuaciones Usando la fórmula para distancia d = vt y cambiando el tiempo a horas tenemos que: 1 15 15 minutos = hora = hora 4 60 1 10 10 minutos = hora = hora 6 60
1 ( y − x) = 4 4 1 ( y + x) = 4 6
⇒
1 1 4 y − 4 x = 4 1 y + 1 x = 4 6 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
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Sistemas de Ecuaciones
x = 4 millas
hora
y = 20 millas
hora
La velocidad de la corriente es, x = 4mph. La velocidad de la lancha es, y = 20 mph.
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Sistemas de Ecuaciones
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Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4x + y = 0 -4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 5x - 2y = -1 7x + 4y = 53 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2x + 6y = -16 -2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5x + 13y = 8 12x - 11y = -23
Sistemas de Ecuaciones
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5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 3x + y =13 2x - 7y =-7
6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?
Sistemas de Ecuaciones Respuestas de la pre y pos prueba 1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%
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Agradecimiento y crĂŠditos : Prof. Esteban HernĂĄndez