Sistemas de ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones 2º Bachillerato

•

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Definición

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

m ecuaciones

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L + a1n xn = b1  a x + a x + a x +L+ a x = b  21 1 22 2 23 3 2n n 2   LLLLLLLLLLLLLLL  am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 + L + amn xn = bm

términos independientes

n incógnitas incógnitas Coeficientes del sistema

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

puede ser escrito de la siguiente manera:

El sistema

 a11   a21 a  31  ..   a m1

a12

a13

a22

a23

a32

a33

..

..

am 2

am 3

a1n  x1    ...... a2 n  x2  ...... a3 n  x3  .. ..  …  =   ...... a mn  xn  ......

 b1     b2  b   3 …    bm 

A: matriz de los coeficientes X: matriz de las incognitas B: matriz de los términos independientes

Expresión matricial del sistema

 a11   a21 a  31 * A =  ..  am1

AX=B

a12

a13

...... a1n

a22

a23

...... a2n

a32

a33

...... a3n

..

..

am2

..

..

am3 ...... amn

Matriz ampliada

b1   b2  b3  ..   bm 

Expresión matricial: ejemplo

El sistema

  

2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A

  = 

2 5 –3  1 –4 1 

   

 2 5 –3 1  Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =  1 –4 1 –2 

 x   2 5 –3    1 y Tiene la siguiente expresión matricial:  =  – 2 1 –4 1   z     

   

   

Solución de un sistema de ecuaciones Una solución del sistema:

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L + a1n xn = b1  a x + a x + a x +L + a x = b  21 1 22 2 23 3 2n n 2   LLLLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 + L + amn xn = bm es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:

a11s1 + a12 s2 + a13 s3 + L + a1n sn = b1 a s + a s + a s + L + a s = b  21 1 22 2 23 3 2n n 2  LLLLLLLLLLLLLL am1s1 + am 2 s2 + am 3 s3 + L + amn sn = bm

Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo

 x + y − z =1  Consideramos el sistema:  x + 2 y + z = 2  2x + 3y =3  x = 3 • Los valores  y = −1 son una solución del sistema por que:  z =1 

 3 + ( −1) −1 =1  3 + 2 ⋅( −1) + ( −1) = 2  2 ⋅3 + 3 ⋅( −1) = 3 

 x = −3  • Los valores  y = 3 son una solución del sistema por que:  z = −1 

−3 + 3 − ( −1) =1    −3 + 2 ⋅3 + ( −1) = 2 2 ⋅( −3) + 3 ⋅(3) = 3 

Clasificación de un sistema según el número de soluciones Incompatible Sin solución

Sistemas de ecuaciones lineales Determinado Compatible Con solución

Solución única

Indeterminado Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente: I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.

Sistemas equivalentes: ejemplo

2 x + y − 2 z = 3  3x + y − z = 1 2 x + 2 y − 4 z = 4 

E3 →

1 E 2 3

E 2 → E 2 − 3E1

E 3 → E 3 − 2E1

2 x + y − 2 z = 3  3x + y − z = 1 x + y − 2z = 2  x + y − 2 z = 2  − 2 y + 5 z = −5 − y + 2 z = −1 

E 3 ↔ E1

E 3 → 2E 3 − E 2

Sistemas equivalentes

x + y − 2z = 2  3x + y − z = 1 2 x + y − 2 z = 3  x + y − 2z = 2  − 2 y + 5 z = −5 − z = 3 

Sistemas de ecuaciones escalonados Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.

Ejemplos:

2 x + 3 y = 4   − 3y = 5

4 x + 2 y − 3 z = 5  4 y + 2z = 3   3z = −2 

2 x + 3 y − 5 z = 4  3 y + 2z = 2 

 2 x + 3z = 4  z=4  x + y + z = 1 

Resolución de sistemas de ecuaciones

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Métodos de resolución:

1. Método de Gauss.

2. Método de Cramer.

3. Método de la matriz inversa.

Resolución de un sistema escalonado: ejemplo

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:

x + y − 2z = 9   − 3 y + 8 z = −14  2 z = −5 

z =−

5 2

x = 9−5+ 2 = 6 y=

− 14 + 20 = −2 −3

Resolución de sistemas: método de Gauss

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ;  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ;  a x + a x + a x =b ,  31 1 32 2 33 3 3

un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

Se pueden dar los siguientes pasos: I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

Método de Gauss: posibilidades En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:

x + y + 2 z = 9   3 y +8z =14  0 =5 

• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.

Incompatible

• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:

x + y + 2 z = 9   3 y +8z =14  2z = 5 

x + y +2 z =9 3 y +8 z =14

3 x + y − 2 z =1

nº de ecuaciones = nº de incógnitas

nº de ecuaciones < nº de incógnitas

compatible determinado

compatible indeterminado

Método de Gauss: sistema compatible determinado

(1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec

Se despejan incógnitas hacia arriba

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

x = 9+ 2−5 = 6 20 − 14 y= = −2 −3 −5 z= 2

Método de Gauss: sistema incompatible

(2ª ec) (–1) + 3ª ec (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec

La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.

Método de Gauss: sistema compatible indeterminado

x + y − 2z = 9   − 3 y + 8 z = −14 (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t

⇔

 x    y    

− 8t − 14 −3 − 8t − 14 = −3 z =t = 9 + 2t −

⇔

 13 2 x = 3 − 3 t  14 8  y = + t 3 3  z = t  

⇔

Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

a11 x1 + a12 x2 = b1 El sistema  al ser resuelto por reducción se llega a: + = a x a x b  21 1 22 2 2 b a −a b x1 = 1 22 12 2 a11a22 − a12 a21

a b −b a x2 = 11 2 1 21 a11a22 − a12 a21

Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma:

b1 a12 b2 a22 x1 = ; x2 = a11 a12 a21 a22

a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22

Se observa que: • El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.

• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente columna de coeficientes por la los de términos independientes.

Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Si | A | ≠ 0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única dada por:

x1 =

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

;

x2 =

a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

;

x3=

a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas y se llama regla de Cramer.

Regla de Cramer (demostración) Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado).

La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.

si =

det(C1 , C 2 ,...B,...C n ) 1 ≤i ≤n det(C1 , C 2 ,...Ci ,...C n )

D./ Como el sistema es compatible, ∃ (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es decir B= s1C1+s2C2+....+snCn det(C1,C2,.....B,....Cn) = det(C1,C2,........, s1C1+s2C2+....+snCn,.........Cn) =

det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +......+ det(C1,C2,....., snCn,....Cn) Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego = det(C1,C2,....., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,....., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo que queríamos.

Resolución de sistemas: método de la matriz inversa a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 El sistema a21 x1 + a22x2 + a23 x3 = b2 tiene la siguiente expresión matricial: a31 x1 + a32x2 + a33 x3 = b3

 a11 a12 a13   x1   b1   a21 a22 a23   x2  =  b2   a31 a32 a33   x3   b3  A

.

X

=

B

Si | A | ≠ 0 la matriz A es inversible.

Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1.

A-1 . A . X = A-1 . B I

.

X = A-1 . B X = A-1 . B

Y esta última igualdad nos resuelve el sistema.

Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

 a11 x1 + a12 x2   a21 x1 + a22 x2  a31 x1 + a32 x2   am1 x1 + am 2 x2

+ a13 x3 +... + a1n xn = b1 + a23 x3 +... + a2 n xn = b2 + a33 x3 +... + a3n xn = b3 + am3 x3 +... + amn xn = bm

siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:  a11 a12   a21 a22 A =  a31 a32  ... ...  am1 am2

a13 a23 a33 ... am3

... ... ... ... ...

a1n   a2n  a3n  ...   amn 

 a11 a12   a21 a22 A* =  a31 a32  ... ...  am1 am 2

a13 a23 a33 ... am3

... ... ... ... ...

a1n a2 n a3n ... amn

b1   b2  b3  ...   bm 

Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales. rg(A) = rg (A*)

Teorema de Rouché: demostración •

Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas) C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B [Sistema S] Demostración Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*) Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego: C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por lo que el sistema es compatible.

Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.

SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que ya se puede resolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad)

Discusión de un sistema mediante el Teorema de Rouché Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.

• Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango.

• Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.

Incompatible

⇔p≠q

Sin solución

Sistemas de ecuaciones lineales Determinado Compatible Con solución

⇔p=q

⇔p=q=n

Solución única

Indeterminado Infinitas soluciones

⇔p=q<n

Discusión y resolución de un sistema dependiente de un parámetro • En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos sistemas de ecuaciones diferentes.

• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si es determinado o indeterminado.

Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema: Hallar los valores del parámetro que anulan al determinante de la matriz de los coeficientes

Para dichos valores estudiar la naturaleza del sistema

Para los valores que hacen que el determinante de la matriz de los coeficientes no sea nulo, estudiar la naturaleza del sistema

Sistema dependiente de parámetro: ejemplo

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

 x + my + 3z = 2  x − y − 2z = 3 mx + y + z = 5 

Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:

1 m 3    A =  1 −1 − 2  m 1 1  

 1 m 3 2   A* =  1 − 1 − 2 3  m 1 1 5  

A = −1 + 3 − 2m 2 + 3m + 2 − m = −2m 2 + 2m + 4 A = 0 ⇒ − 2 m 2 + 2 m + 4 = 0 ⇒ m = −1 m = 2

..... continuación .....

Sistema dependiente de parámetro (continuación) : ejemplo CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son

 1 −1 3    A =  1 −1 − 2  −1 1 1   rg( A) = 2 rg( A*) = 3

 1 −1 3 2    A* =  1 − 1 − 2 3   −1 1 1 5  

CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son

3  1 2   A =  1 −1 − 2 2 1 1  

Compatible indeterminado

rg(A) = 2 =rg(A*) El sistema es incompatible

 x + 2 y = 2 − 3t z = t,  ⇒ y = − 1 +35t , x = 8 3+ t  x − y = 3 + 2t

CASO III. Cuando m ≠ −1, 2 rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas Compatible determinado

3 2 1 2   A* =  1 − 1 − 2 3  2 1 1 5  

x=

2 m 3 3 −1 − 2 5 1 1

1 2 3 Su única solución se puede obtener 1 3 − 2 mediante la regla de Cramer: m 5 1 − 13m + 26 y= = A − 2m 2 + 2m + 4

A

=

− 13m + 26 − 2m 2 + 2m + 4

1 m 2 1 −1 3 m 1 5 3m 2 − 3m − 6 3 z= = =− 2 A − 2 m + 2m + 4 2

Sistemas homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0.

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0  a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0        a x + a x + L + a x = 0 m1 1 m2 2 mn n

Compatibles

x1 = x2 = L = xn = 0 es siempre solución del sistema

Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones: Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible determinado y tiene como única solución la solución trivial.

Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.

Interpretación geométrica de una ecuación lineal con dos incógnitas Los puntos (x, y) que verifican la ecuación lineal a1x + a2y = b forman una recta; se dice que a1x + a2y = b es la ecuación de una recta en el plano.

Interpretación geométrica de un sistema con dos incógnitas

Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es compatible determinado.

Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es incompatible.

Las dos rectas tienen infinitos puntos en común: el sistema es compatible indeterminado.

Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones

1. Se identifican las inc贸gnitas.

2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3. Se resuelve el sistema.

4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.