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GUÍA N°1 DE CÁLCULO I Funciones y sus Gráficas Toda función tiene distintas representaciones. En esta guía trabajaremos con funciones polinómicas tanto en su forma algebraica como gráfica. Para ello es necesario tener en cuenta algunos aspectos:
1. Siempre debes colocar nombre a los ejes coordenados 2. Si graficas una función lineal se recomienda señalar la intersección con los ejes
x 3. Si graficas una función cuadrática se recomienda indicar intersección con eje
y el
vértice.
4. Cuando se habla de dominio empírico se hace referencia al dominio real de la función restringido al contexto del problema.
Función Lineal
f ( x) = a + bx
a, b , donde
son constantes
Ejemplos:
f ( x) = 3 + 2 x a=3
y Intersección con Eje
f ( x) = 6 − 2 x
en
x Intersección con el Eje
3 + 2x = 0 x = −1,5
a=6
y Intersección con Eje
en
x Intersección con el Eje
6 − 2x = 0 x=3
1
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Función Cuadrática
f ( x) = ax 2 + bx + c
a, b, c , donde
a≠0 son constantes y
La grafica de la función cuadrática es una parábola y debes tener en cuenta lo siguiente:
Vértice
Concavidad
a
Intersección Ejes
a es positivo
es negativo
− b − b V = ,f 2a 2a
x=
x Eje
(0, c)
y Eje
− b ± b 2 − 4ac 2a
Ejemplos:
f ( x) = x 2 − 8 x + 12
f ( x) = −2 x 2 + 12 x − 10
a = 1 ; b = (−8) ; c = 12 entonces
a = ( −2) ; b = 12 ; c = (−10) entonces
V = ( 4,−4)
V = ( 3,8)
Vértice:
Vértice:
x1 = 2 x 2 = 6
x Intersección eje
:
Intersección eje
Intersección eje
(0 ,12)
y :
x1 = 1 x2 = 4
x :
(0 , − 10)
y Intersección eje
:
2
a Concavidad:
1.
a es positivo
La altura promedio
Concavidad:
H
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es negativo
, en centímetros de un niño durante sus
H (a ) = meses de vida se puede estimar mediante la función
primeros 12
7 a + 48 2
a , donde
son los meses del bebe.
a)
Esboce la gráfica de la función1
b)En la gráfica anterior, marque (con un lápiz de otro color) la porción de gráfica que corresponde al dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)¿Cuál es la altura promedio de un bebe recién nacido? ¿y cuándo cumple un año?
1 Recuerde que al graficar siempre debe colocar nombre a los ejes coordenados y si la gráfica corresponde a una función lineal indicar las coordenadas donde se intersecta con dichos ejes
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2.
Se analizaron las ventas anuales de una empresa y se determinó que la función
v(t ) = 18 + 2t es el mejor modelo matemático que estima los ingresos en miles
t de dólares por las ventas anuales de la empresa, donde
representa el tiempo
medido en años a partir del año 2000.
a)
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)
3.
¿Cuáles son los ingresos en el año 2005?
t Suponga que horas después de la medianoche, la temperatura del día sábado en
Santiago fue de
1 C (t ) = − t 2 + 4t + 10 6
grados Celsius.
Esboce la gráfica de la función2
a)
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)Determine e Interprete el intervalo de tiempo en que la temperatura aumenta d)¿Cuál es la temperatura máxima y mínima registrada? (indique la hora)
4.
Los recargos aplicados al arriendo de cabañas durante los 90 días de la temporada estival en el club campestre “Cartagua’s Club” se ajustan a la función
R ( x) = 100 x − x 2 , donde
R
x es el recargo en euros y
es el día en que se
registró el arriendo.
2 Si la gráfica corresponde a una función Cuadrática indicar el vértice e intersección con los ejes
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a)
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)Determine e interprete el intervalo de tiempo en que el recargo disminuye d)
5.
¿cuál es recargo máximo y mínimo efectuado? (indique día)
A continuación se muestra un análisis de las temperaturas de un pueblo del sur de chile durante el año 2000 desde el mes primer mes (enero) hasta mediados de noviembre.
f (t ) =
a)
1 6 3 5 x − x + 8,15 x 4 − 51,6 x 3 + 151,65 x 2 − 178,1x + 65 60 5
.
Escriba el Dominio Empírico de la función mediante intervalos
b)Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las temperaturas, c) ¿Dónde se observa la mayor y menor temperatura? (indique el valor).
6.
La siguiente grafica nos muestrael % de las utilidades anuales de una empresa los primeros 12 años de su creación, donde la función es:
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U (a ) =
a)
1 5 23 4 a − a + 0,58a 3 − 2,36a 2 + 3,2a 500 400
Escriba el Dominio Empírico de la función
b)Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades. c)Durante todos los años de análisis ¿dónde se observa el mayor y menor % de utilidad? (indique el valor).
7.
Una empresa que fabrica cintas de audio, estima que el costo C (en miles de
C ( x) = 20 x + 100
x pesos) al producir
a)
cintas es una función de la forma
.
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)Si la producción de cintas se detiene ¿cuál será el costo para la empresa?
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8.
Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido durante varios minutos. Resultó que la variación de temperatura (en grados Celsius) estaba
f ( x) = x 2 − 6 x + 8 dada por la función
a)
x , donde
representa el tiempo en minutos.
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)
¿En qué momento la temperatura del líquido fue igual a cero?
d)
¿Cuál es la menor temperatura? (indique momento)
e)
¿Cuál fue la temperatura al inicio de la medición?
f)Determine e interprete el intervalo de tiempo en que la temperatura disminuye y aumenta
9.
La función
1 13 59 107 2 I (t ) = t 5 − t 4 + t 3 − t + 60t 5 4 3 2
determina la utilidad de una
empresa desde el 1er al 6to año de funcionamiento, tal como lo muestra la siguiente gráfica.
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a)
Señale el Dominio Empírico de la función
b)Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidadesc)Durante los primeros 4 años ¿En qué año se observó la mayor y menor utilidad? (indique el valor)
d)
Donde se observa la mayor y menor utilidad (indique el valor).
T (x) 10.
El siguiente grafico refleja el análisis delas temperaturas mínimas
en °C
registradas en una región de chile a partir del l año1998 hasta el 2003, donde
T ( 0) corresponde a la temperatura mínima del año 2000.
T ( x) = x 3 − x 2 − 6 x
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11.
a)
Escriba el Dominio Empírico de la función
b)
Escriba en la gráfica3 coordenada final e inicial
c)
¿Cuándo la temperatura fue de 0°c?
En 1985 se funda un club deportivo, cuyos integrantes deciden que durante los meses de junio y julio se abrirán cupos para que puedan ingresar nuevos socios.
x Se sabe que
años después de la fundación el total de personas nuevas que se
inscribieron hasta el año 2013 se puede estimar mediante la función:
x3 P( x ) = − 4 x 2 + 48 x 12 (Miles de socios)
3 Se muestra en el grafico la porción de la función que corresponde al dominio empírico.
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a)
Escriba el Dominio Empírico de la función
b)
Escriba en la gráfica4 coordenada final e inicial
c)
¿En qué año no se integraron nuevos socios?
SIGUE PRACTICANDO:
R( x) = 12.
El% de interés de un depósito
1 5 3 4 19 2 x − x − 0,05 x 3 + x + 0,3x 500 400 200
estuvo
sujeto a variaciones mensuales que dependían de los giros y abonos realizados, el
R(0) grafico muestra el % de interés 4 años antes y 6 años después del 2005, donde es el % del año 2005.
4 Se muestra en el grafico la porción de la función que corresponde al dominio empírico.
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a)
Escriba el Dominio Empírico de la función
b)Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento del % de interés, c) Antes del 2005 ¿En qué año se observó el mayor y menor interés? d)¿En qué año se observa el mayor y menor % de interés? (indique el valor) 13.
Supongamos que el rendimiento (medido en %)
de un alumno que realiza un
examen de certificación de JAVA, cuya duración es de 2,5 horas viene dado por la
f ( x) = 120 x − 40 x 2 función
x , donde
a)
es el tiempo en horas.
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)¿En qué momento se observa el mayor rendimiento del alumno? (indique % rendimiento)
d)Señale e interprete el intervalo de tiempo en que el rendimiento del alumno disminuye y aumenta.
14.
Un estudio medioambiental de cierta comunidad sugiere que el nivel promedio de
M ( p) = 0,0005 p + 1 monóxido de carbono en el aire será de
partículas por millón,
p donde
es el número de habitantes de la comunidad.
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a)
Esboce la gráfica de la función
b)En la gráfica anterior, marque la porción de gráfica
que corresponde al
dominio empírico de la función (señale coordenada inicial y final)
c)¿Cuántos habitantes debe tener la comunidad para que el nivel promedio de monóxido de carbono sea de 7 partes por millón?
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