Trecho 591

Matemática pré-requisitos para o cálculo diferencial e integral

Wanessa Carla Gazzoni Vanessa Davanço Pereira de Lima Juliana Miyoshi Renata Cristina Sossae José Márcio de Lima Oliveira

DIRETOR GERAL Wilon Mazalla Jr. COORDENAÇÃO EDITORIAL Marídia R. Lima COORDENAÇÃO DE REVISÃO E COPYDESK Alice A. Gomes REVISÃO DE TEXTOS Bruna Oliveira Gonçalves EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Fabio Diego da Silva Tatiane de Lima CAPA Paloma Leslie Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Matemática : pré-requisitos para o cálculo diferencial e integral / Wanessa Carla Gazzoni... [et al.] -- Campinas, SP : Editora Átomo, 2015.

Outros autores: Vanessa Davanço Pereira de Lima, Juliana Miyoshi, Renata Cristina Sossae, José Márcio de Lima Oliveira Bibliografia.

1. Cálculo diferencial - Estudo e ensino 2. Cálculo integral - Estudo e ensino I. Gazzoni, Wanessa Carla. II. Miyoshi, Juliana. III. Sossae, Renata Cristina. IV. Oliveira, José Márcio de Lima. V. Lima, Vanessa Davanço Pereira de.

CDD-515.3307 -515.4307

15-01765

Índices para Catálogo Sistemático 1. Cálculo diferencial : Matemática : Estudo e ensino 515.3307 2. Cálculo integral : Matemática : Estudo e ensino 515.4307 ISBN 978-85-7670-248-1 Todos os direitos reservados à

Grupo Átomo e Alínea Rua Tiradentes, 1053 - Guanabara - Campinas-SP CEP 13023-191 - PABX: (19) 3232.9340 e 3232.0047 www.atomoealinea.com.br Impresso no Brasil

Aos nossos familiares e amigos, cuja compreensĂŁo e paciĂŞncia nos deram a base necessĂĄria para fazer deste sonho uma realidade.

Este projeto teve início com a necessidade de oferecer um conteúdo claro, completo e didático aos alunos ingressantes nos cursos de nível superior na área de exatas.

Seguiram-se meses de muito trabalho e dedicação dos autores para que este projeto ganhasse forma. Agora que falamos dele como um fato, mencionamos também o apoio dos nossos familiares e amigos, aos quais agradecemos. Nossa gratidão também aos nossos alunos, pelos questionamentos pois, sem estes, este projeto talvez não existisse.

Agradecemos também ao UNISAL, que possibilita a rica convivência com nossos colegas de trabalho e nos ofereceu todo o indispensável e fundamental apoio para tratar de todos os pontos que poderiam fazer deste livro, um referencial para os estudos.

Sumário

Apresentação.............................................................................................................................9

Capítulo 01 Conjuntos............................................................................................................................... 11 Vanessa Davanço Pereira de Lima

1.1 Conjuntos Numéricos......................................................................................... 11 1.2 Intervalos Reais.................................................................................................... 17 1.3 Exercícios Propostos - Capítulo 1..................................................................... 24

Capítulo 02 Expressões Numéricas......................................................................................................... 27 Juliana Miyoshi e Wanessa Carla Gazzoni

2.1 Operações Básicas................................................................................................ 27 2.2 Frações e Operações Elementares.................................................................... 30 2.3 Radiciação............................................................................................................. 35 2.4 Racionalização...................................................................................................... 37 2.5 Operações com Parênteses, Colchetes e Chaves........................................... 38 2.6 Exercícios Propostos - Capítulo 2..................................................................... 40

Capítulo 03 Equações do 1º Grau............................................................................................................ 47 Vanessa Davanço Pereira de Lima

3.1 Resolução de Equações de 1º Grau.................................................................. 48

3.2 Sistemas de Equações do 1º Grau..................................................................... 51 3.3 Exercícios Propostos - Capítulo 3..................................................................... 56

Capítulo 04 Regra de Três Simples e Composta................................................................................... 59 Vanessa Davanço Pereira de Lima

4.1 Regra de Três Simples......................................................................................... 60 4.2 Regra de Três Composta.................................................................................... 64 4.3 Exercícios Propostos - Capítulo 4..................................................................... 66

Capítulo 05 Cálculo Algébrico................................................................................................................. 69 Renata Cristina Sossae

5.1 Expressões Algébricas......................................................................................... 69 5.2 Adição e Subtração de Expressões Algébricas................................................ 71 5.3 Potenciação........................................................................................................... 72 5.4 Multiplicação de Expressões Algébricas.......................................................... 73 5.5 Divisão de Expressões Algébricas..................................................................... 74 5.6 Produtos Notáveis................................................................................................ 74 5.7 Fatoração................................................................................................................ 75 5.8 Simplificação de Frações Algébricas................................................................ 77 5.9 Exercícios Propostos - Capítulo 5..................................................................... 77

Capítulo 06 Trigonometria........................................................................................................................ 83 José Márcio de Lima Oliveira

6.1 6.2 6.3 6.4

O Teorema de Pitágoras...................................................................................... 83 Razões Trigonométricas..................................................................................... 86 A Circunferência Trigonométrica..................................................................... 88 Exercícios Propostos - Capítulo 6..................................................................... 92

Capítulo 07 Equação da Reta.................................................................................................................... 97 Renata Cristina Sossae

7.1 7.2 7.3 7.4

Coeficiente Angular da Reta.............................................................................. 97 Equação da Reta................................................................................................. 101 Posições Relativas de Duas Retas................................................................... 102 Exercícios Propostos - Capítulo 7................................................................... 103

Capítulo 08 Funções: estudo e aplicações............................................................................................ 105 Wanessa Carla Gazzoni e Juliana Miyoshi

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11

Representação Algébrica de Funções............................................................. 107 Representação Gráfica de Funções................................................................ 108 Estudos de Domínio e Imagem das Funções................................................ 113 Classificação de Funções.................................................................................. 115 Funções Afins ou Funções Polinomiais de 1º Grau.................................... 116 Funções Quadráticas ou Funções Polinomiais de 2º Grau........................ 124 Funções Compostas.......................................................................................... 138 Funções Modulares............................................................................................ 140 Funções Exponenciais....................................................................................... 143 Logaritmos e Funções Logarítmicas............................................................ 146 Exercícios Propostos....................................................................................... 154

Capítulo 09 Limites de Funções............................................................................................................. 165 Vanessa Davanço Pereira de Lima e José Márcio de Lima Oliveira

9.1 Noção Intuitiva................................................................................................... 165 9.2 Definição Intuitiva de Limite........................................................................... 167 9.3 Limites Laterais.................................................................................................. 168 9.4 Propriedades dos Limites................................................................................. 169 9.5 Limites Infinitos................................................................................................. 174 9.6 Continuidade...................................................................................................... 178 9.7 Exercícios Propostos - Capítulo 9................................................................... 182 Bibliografia........................................................................................................................... 187 Sobre os Autores................................................................................................................. 189

Apresentação

Este material tem como objetivo revisar conceitos e procedimentos considerados fundamentais para uma melhor compreensão e aproveitamento dos temas abordados nas disciplinas de Cálculo, obrigatórias para os cursos do Ensino Superior na área de exatas.

Os cursos de Cálculo se iniciam, via de regra, pelo estudo das funções de uma única variável e suas propriedades, dando ênfase à definição e à análise de limites, que, por sua vez, fundamentam a definição de derivadas e de integrais, constituindo, conjuntamente, a base do Cálculo propriamente dito.

Dessa forma, as funções de uma variável e a introdução ao estudo de limites são apresentados nos Capítulos 8 e 9, respectivamente. Mas por que escolhemos o final para apresentarmos tais temas se os cursos de ensino superior iniciam-se com eles? A experiência mostra que nem sempre as ferramentas para a discussão destes dois tópicos estão claras e a ausência delas implica em um menor entendimento e rendimento do estudo, principalmente, no que diz respeito à sequência de passos para a resolução de problemas.

Neste contexto, então, como um diferencial, decidimos reconhecer esta realidade e elencar os temas relevantes para um desenvolvimento proveitoso dos procedimentos relacionados a funções e limites e discuti-los nos capítulos anteriores ao Capítulo 8. Além disso, fez-se um esforço para inserir os conceitos em estudo em aplicações do nosso dia a dia, para contrariar a ideia da “mecanização” de conteúdos

sem a devida compreensão do conceito matemático envolvido. Sabe-se que a resolução de problemas solidifica: i) o exercício de “traduzir” a situação de interesse em expressões e/ou figuras; ii) a identificação de quais são as ferramentas matemáticas conhecidas que podem ser empregadas; iii) a organização do raciocínio e a descrição dele como uma sequência de passos e, principalmente; iv) o esclarecimento do fato de que a matemática é a linguagem que descreve a nossa realidade.

O material foi elaborado para ser trabalhado em um semestre, mas oferece ao professor e aos estudantes a possibilidade de ajustá-lo às necessidades de cada um ou de cada turma.

Esperamos, portanto, que este satisfaça às necessidades de quem o procurou e acrescente motivação para continuidade do estudo.

Os autores