Índice Presentación
Marco Teórico 1.- Introducción 2.- Justificación 3.- Fundamentación 4.- Propósito general 5.- Competencia 6.- Evaluación 7.- Impacto 8.- Organización de los aprendizajes en tercer grdo 9.- Esquema curricular de las situaciones problemáticas 10.- Comparación entre el método tradicional y el método gráfico 11.- Lista de referencias
Presentación para el docente: El libro Niveles de aprendizaje matemático a través del método gráfico Singapur ordena los contenidos del Programa de Estudios 2011 de Tercer Grado en actividades integradoras, cuyo abordaje se realizará a través de situaciones problemáticas basadas en el método gráfico de Singapur. Está organizado en un manual de aplicación para el docente y en el libro de situaciones problemáticas para el alumno que contribuirán a consolidar los diez aprendizajes esperados de cada bloque. Las actividades integradoras están diseñadas para realizarse de tres a cinco sesiones y se finaliza con una serie de prácticas matemáticas que podrán ser utilizadas como instrumento de evaluación bimestral. Al concluir cada actividad integradora y práctica matemática se incluye una rúbrica de evaluación para el alumno. Las situaciones problemáticas se abordarán mediante el modelo concreto (intuitivoconcreto), pictórico (gráfico-representativo) y abstracto (simbólico-convencional), siendo estos tres parte del método gráfico Singapur. También el número de temas dedicados a los ejes son acordes con el peso que los programas conceden a cada una de estas áreas a lo largo de la Educación Básica. Las actividades integradoras de esta obra se dividen en las tres etapas del método gráfico que para este material le llamaremos: juega (concreto), observa y comenta (pictórico) finalizando con resuelve (abstracto). Estas se desarrollarán, de manera estimativa, en los cinco bloques que se trabajan en el año escolar. Las actividades fueron elaboradas para cubrirse, de manera estimativa, en una semana de clase al finalizar cada bimestre. Algunas situaciones necesitarán más tiempo de estudio y también habrá otras que requieran menos, según las necesidades de los alumnos en particular. El docente encontrará una estructura ágil en cada una de las actividades integradoras, las cuales siguen un estricto orden pedagógico en las que se toman en cuenta las recomendaciones planteadas en los documentos normativos y en el enfoque didáctico de la asignatura. La estructura de las actividades integradoras e iconografía es la siguiente: 1.- Aprendizaje esperado: se refiere al indicador de logro que, en términos de la de temporalidad establecida en el programa de estudio, define lo que se espera de cada alumno en términos del saber, saber hacer, y saber ser; además, le dan concreción al trabajo docente al hacer constatable lo que los alumnos logran, y constituye un referente para la planificación y la evaluación en el aula.
2.- Título de la actividad integradora: propone al alumno un contexto para relacionar las matemáticas con la vida cotidiana. 3.- Materiales: En cada actividad integradora se incluye una lista de materiales a utilizar durante las situaciones problemáticas. 4.- Iconografía:
5.- Personaje: Durante todas las actividades integradoras aparecerá el icono de un personaje que se encargará de brindar las consignas, sugerencias y orientaciones necesarias para el desarrollo de las situaciones problemáticas. 6.- Prácticas matemáticas: Al finalizar se presentarán una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio del aprendizaje esperado (se utilizará ÍCONO). Las prácticas matemáticas ayudarán al alumno a desarrollar destrezas, habilidades y actitudes, además es un apartado que se considera para que el maestro cuente con herramientas necesarias para evaluar cada uno de los procesos matemáticos propios de cada bloque. Espero que Situaciones problemáticas mediante el método gráfico Singapur represente un valioso auxiliar didáctico para el docente y el alumno, así como una referencia donde sea posible enfrentarse a situaciones problemáticas que contribuyan a comprender el mundo real y una vía para alcanzar elevados niveles cognoscitivos.
El mejor aprendizaje ocurre en el contexto de la experiencia conjunta Mtro. Israel Valdez Fortuna
Marco Teórico 1.- Introducción Las matemáticas existen desde el inicio de los tiempos. Prácticamente todo ser humano es un matemático en algún sentido. Desde los que la utilizan hasta los que la crean, también todos son hasta cierto punto filósofos de ella. En la Reforma Integral de Educación Básica se menciona que aprender matemáticas representa un desafío, puesto que debemos brindar una oferta educativa integral, atenta a las condiciones y los intereses de los alumnos, cercana a los padres, abiertos a la iniciativa de los maestros, y transparente en sus condiciones de operación y en sus resultados. Si bien, existen avances en el Estado de Coahuila, no hay fórmulas infalibles que nos conduzcan a todos con la misma certeza por caminos de éxito ya trazados y, cuando los hay, no son permanentes. Atender a la diversidad, teniendo en cuenta el principio de igualdad y equidad, para lograr el óptimo desarrollo de los alumnos que se encuentran escolarizados en el sistema educativo y propiciar su plena participación, continúa siendo uno de los principales desafíos. Lograr una educación para todos que brinde una respuesta educativa en lo didáctico, ha sido un reto en el cual se busca tener avances significativos. Mediante este material, se busca que los docentes enriquezcan su trabajo didáctico para lograr en los alumnos desarrollar la comprensión, retención, gusto por la aplicación de las matemáticas y la resolución de problemas de la vida diaria a través de habilidades sencillas. En este sentido, las estrategias didácticas que se propondrán, no apuntan a memorizar sino a generar habilidades de fondo, pues su método es sencillo: resolver problemas sobre la base de una adecuada lectura del planteamiento para conseguir una solución acertada. Esta propuesta está orientada para que los docentes apliquen una serie de actividades integradoras, que busquen consolidar en sus alumnos los aprendizajes esperados, distribuidos en los cinco bloques de la asignatura de matemáticas de tercer grado de Primaria y de esta manera, se tendrán elementos para resolver de manera eficaz los desafíos matemáticos del libro de texto.
La cualidad de este material, es la disposición gráfica de los datos y el manejo de objetos para el apoyo a la comprensión, explicación y respuesta de los problemas. Su enseñanza va de lo concreto a lo pictórico, para finalizar con lo abstracto, por lo tanto se encontrará que el enfoque particular del método Singapur es, que el aprendizaje de conceptos matemáticos se produce gradualmente, a la manera de un espiral, respetando el momento en el que el estudiante contará con la madurez cognitiva adecuada para entenderlo. Esta propuesta se organiza en una manual de aplicación para el docente y en el libro de situaciones problemáticas para el alumno. Al concluir cada bloque se aplicará una actividad integradora mediante situaciones problemáticas, que contribuirán a consolidar los diez aprendizajes esperados. Las actividades integradoras están diseñadas para realizarse de tres a cinco sesiones y se finaliza con una serie de prácticas matemáticas que podrán ser utilizadas como instrumento de evaluación bimestral, también cada actividad integradora incluye una rúbrica de evaluación para el alumno. Deseo que este material represente un valioso auxiliar didáctico para los maestros y que se convierta en un referente, donde sea posible contribuir a que los alumnos aprendan a utilizar las matemáticas para resolver problemas; además de fomentar el desarrollo de competencias, habilidades, destrezas y actitudes favorables en esta asignatura.
2.- Justificación La Evaluación Nacional de Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE), fue el instrumento censal de diagnóstico más importante del país hasta el año 2013. En Educación Básica se utilizó para valorar el rendimiento académico de las asignaturas evaluadas: español y matemáticas y una tercera materia rotativa, además proporcionó información a la sociedad acerca del grado de preparación que han alcanzado los estudiantes promoviendo la transparencia y la rendición de cuentas. Este instrumento, evaluó el aprovechamiento escolar con énfasis en los contenidos que deberá conocer el estudiante de manera que pueda comprender mejor los temas que se abordarán en el siguiente ciclo escolar. Los resultados en el Estado de Coahuila en la asignatura de matemáticas en 2010, define que de los 49,907 alumnos a los que se les aplicó la prueba, sólo el 9.2% obtuvo un resultado excelente, el 29.3% fue considerado como bueno, y el 40.8% se consideró como elemental. En el 2011, de los 59,906 alumnos a los que se les aplicó la prueba el 42.7% fue considerado como elemental incrementándose en un 2.7%. En el 2013 se aplicó la prueba a un total de 46,167 alumnos coahuilenses, de los cuales, en matemáticas el 41% obtuvo un rango elemental, (se consideró elemental al alumno que requiere fortalecer la mayoría de los conocimientos y desarrollar las habilidades de la asignatura evaluada). Sólo el 26% fue bueno (se definió en la escala de bueno al alumno que muestra un nivel de dominio adecuado de los conocimientos y posee las habilidades de la asignatura evaluada). En el 2013 el Estado de Coahuila se proyectó en la asignatura de matemáticas con un 19.6% por debajo del porcentaje Nacional. A partir del ciclo escolar 2014-2015, la Secretaría de Educación Pública en coordinación con el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación y las autoridades educativas de las entidades federativas, pusieron en operación el Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes (PLANEA), cuyos instrumentos se aplicaron en 2015 a los alumnos de sexto de primaria, tercero de secundaria y del último grado de Educación Media Superior. Este instrumento recupera las fortalezas conceptuales y operacionales de la prueba ENLACE y supera sus limitaciones para informar a la sociedad sobre el estado que guarda la educación, en términos de logro de aprendizaje de los estudiantes, en dos áreas de competencia: Lenguaje y Comunicación (Comprensión Lectora) y Matemáticas. En el enfoque de la enseñanza de las matemáticas, se expresa con claridad que la solución de problemas es el sustento de los programas de la asignatura en cada uno de los grados. A pesar de estos argumentos, es importante que se redoblen los esfuerzos para que los docentes cuenten con los recursos metodológicos adecuados que contribuyan al cumplimiento de dicho fin.
Es necesario promover estrategias didácticas que ayuden en lo particular y en lo grupal para incrementar el nivel de competencia curricular en la asignatura de matemáticas, para que de esta manera, se pueda cumplir con el principio equidad y la búsqueda de una calidad educativa. Es así, como podremos desarrollar competencias lógico-matemáticas mediante la práctica de un procedimiento gráfico, que involucra la comprensión lectora, el análisis de situaciones, el diseño de estrategias y la toma de decisiones, así como subsanar carencias mediante una propuesta didáctica práctica para los maestros de tercer grado de Primaria.
3.- Fundamentación El mundo contemporáneo, obliga a construir diversas visiones sobre la realidad y propone formas diferenciadas para la solución de problemas, usando el razonamiento como herramienta fundamental. Representar una solución implica establecer simbolismos y correlaciones mediante el lenguaje matemático. El campo pensamiento matemático, articula y organiza el tránsito de la aritmética, geometría y de la interpretación de información y procesos de medición, al lenguaje algebraico; del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información a los recursos que se utilizan para presentarla. El Plan de Estudios (2011, p. 52.) detalla que “el énfasis del campo de pensamiento matemático se plantea con base en la solución de problemas, en la formulación de argumentos para explicar sus resultados y en el diseño de estrategias y sus procesos para la toma de decisiones”. En síntesis, se trata de pasar de la aplicación mecánica de un algoritmo a la representación algebraica. Para avanzar en el desarrollo del pensamiento matemático en Primaria, su estudio se orienta a aprender a resolver y formular preguntas en que sea útil la herramienta matemática. Adicionalmente, se enfatiza la necesidad de que los propios alumnos justifiquen la validez de los procedimientos y resultados que encuentren, mediante el uso de este lenguaje. En el Programa de estudios de tercer grado de Primaria (2011), se explica que mediante el estudio de las matemáticas en la Educación Básica se pretende que los alumnos logren desarrollar formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas y utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos de resolución.
En la educación Primaria, como resultado del estudio de las matemáticas en tercer grado, se espera que los alumnos conozcan y usen las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas, utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados y las operaciones escritas con números naturales, manejen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetos o lugares. En cuanto al enfoque didáctico, el Programa de estudios (2011) explica que: La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida cotidiana depende en gran parte de los conocimientos adquiridos y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la Educación Básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela puede traer como consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del docente. El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años, dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretenden estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos; sin embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o volver a aplicarlo en una nueva situación. El programa de estudios de tercer grado de primaria (2011), expresa que el conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar hábilmente para solucionar problemas y lo puedan reconstruir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en relación con el lenguaje como con las representaciones y los procedimientos.
A partir de este enfoque, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el docente busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, con base en actividades de estudio sustentadas en situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, el paradigma ha cambiado, ya que abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases; se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo. Bishop (1988, p.23), destacó que “el aprendizaje de las matemáticas es una de las piezas clave para el desarrollo y es uno de los grandes desafíos para el presente siglo”. Los estudiantes del siglo XXI no sólo necesitan los principios fundamentales de aritmética, álgebra y geometría, sino que tendrán que manejar algoritmos, formas, funciones, datos, atributos, acciones, entre otras tantas competencias. Aprender matemáticas hoy día significa aprender a leer y escribir matemáticas. El quehacer del aprendizaje de las matemáticas debe ser un proceso activo, es decir, el aprendizaje como la elaboración por parte del estudiante (y del docente) de la información recibida de diferentes fuentes y situaciones problemáticas. Hoy en día ninguna definición de aprendizaje es aceptada por todos los teóricos, investigadores especializados y profesionales de la educación; y las que hay son numerosas y variadas, pues existen desacuerdos acerca de la naturaleza precisa del aprendizaje. A partir de las siguientes líneas, expondré los puntos clave sobre las matemáticas para la vida y veremos sus principales aportaciones en la educación en México, puesto que este material adopta una posición constructivista que subraya la función de los pensamientos, las creencias de los estudiantes, sus relaciones con la sociedad y con el medio que les rodea, de modo que, aun si hay desacuerdos sobre naturaleza exacta del aprendizaje, la siguiente definición es congruente con ese acercamiento constructivo y comprende los criterios que la mayoría de los investigadores y los profesionales consideran fundamentales:
“Aprender es un cambio perdurable de la conducta o en la capacidad de conducirse de manera dada como resultado de la práctica o de otras formas de experiencia” (Shuell, 1986, p.18). Un criterio para definir el aprendizaje es el cambio conductual o cambio en la capacidad de comportarse. El segundo criterio inherente a esta definición, es que el cambio conductual perdura y el tercero es que el aprendizaje ocurre por práctica u otras formas de experiencia. Lenneberg (1967), nos explica claramente que el aprendizaje matemático son las acciones que se halla completamente prefijada en su correcta ejecución que lleva a una solución segura del problema o de la situación. En la teoría sociocultural de Vygotsky se observan las relaciones sociales más que el desarrollo. A través de diálogos cooperativos con miembros maduros de la sociedad, los niños adquieren competencias únicas adaptativas culturalmente. La teoría del desarrollo de Vygotsky, también llamada teoría histórico-cultural, fue una de las más notables en su época. Sus discípulos, tanto en Rusia como en Occidente, han estudiado y desarrollado muchos de sus conceptos. Hoy en día esta teoría está cambiando la óptica de los psicólogos con respecto al desarrollo y también la forma en que los educadores trabajan con los alumnos. Esta es considerada un marco teórico para comprender el aprendizaje y la enseñanza, útil para que los maestros adquieran una nueva perspectiva y revelaciones valiosas sobre el crecimiento y el desarrollo infantil. En la actualidad podemos confiar que esta teoría servirá para ver a los alumnos de otra manera y, por lo tanto, a modificar la forma en que se enseña. Luria (1976), uno de los colegas más prolíficos de Vygotsky, fue pionero en el estudio de la psicología transcultural y aplicó los principios fundamentales de como las influencias culturales moldean la cognición del alumno en los procesos matemáticos. Un descubrimiento importante de la investigación transcultural es que las culturas seleccionan tareas diferentes para el aprendizaje de los niños. En la línea de la teoría de Vygotsky, para Rogoff (1995), la interacción social que rodea a estas tareas conduce a un conocimiento y a habilidades esenciales para el éxito en una cultura particular. Como resultado, la investigación transcultural ayuda a clarificar las contribuciones biológicas y los factores ambientales que repercuten en el momento y el orden de aparición de las conductas de los niños. Las premisas básicas de la teoría de Vygotsky pueden resumirse en que los niños construyen el conocimiento, el desarrollo no puede considerarse aparte del contexto social, el aprendizaje puede dirigir el desarrollo y el lenguaje desempeña un papel central en el desarrollo mental.
Valsiner (1991, p.89), explica que “la interacción social, en particular los diálogos interactivos entre los niños y los miembros de la sociedad con más conocimientos es necesaria para que los niños adquieran la manera de pensar y comportarse de la cultura de la comunidad en la que viven”. También Wertssch (1992, p. 102), mencionó que “al interiorizar las características esenciales de estos diálogos, los niños usan el lenguaje interior para guiar sus acciones y adquirir nuevas habilidades”. El niño que se instruye a él mismo mientras juega con un rompecabezas o, mientras se ata los zapatos, ha empezado a producir la misma clase de comentarios guías que un adulto ha usado para ayudarle a dominar tareas importantes (Berk, 1994). Vygostky estaba de acuerdo con Piaget en que los niños son seres activos y constructivos. Veía el desarrollo cognitivo como un proceso mediado socialmente dependiente del apoyo que los adultos y los iguales más maduros proporcionan mediante diversas experiencias cuando intentan realizar nuevas tareas. En esta propuesta entenderemos a la educación matemática en un sentido más amplio, es decir, no sólo la labor que realiza un profesor dentro de sus salón de clases, sino que me referiré, además, a aquellos otros factores que intervienen y hacen posible que las matemáticas se enseñe y se aprenda; estos factores son , por ejemplo, el diseño y el desarrollo de planes y programas de estudio, los libros de texto, las metodologías de la enseñanza, las teorías del aprendizaje y la construcción de marcos teóricos para la investigación educativa. Notablemente, Jean Piaget establece que el conocimiento se construye mediante la actividad del sujeto sobre los objetos. Los objetos matemáticos ya no habitan en un mundo eterno y externo a quien conoce, sino que son construidos por él mismo en un proceso continuo de asimilaciones y acomodaciones que ocurre en sus estructuras cognoscitivas. Para Piaget, el sujeto se acerca al objeto del conocimiento dotado de ciertas estructuras intelectuales que le permiten ver al objeto de cierta manera y extraer de él cierta información, misma que es asimilada por dichas estructuras. La nueva información produce modificaciones (acomodaciones) en las estructuras intelectuales, de tal manera que cuando el sujeto se acerca nuevamente al objeto lo observa de manera distinta a como lo había visto originalmente y es otra la información que ahora le es relevante. El propósito de las epistemologías abordadas en este marco ha sido el análisis de las relaciones entre el sujeto cognoscente y el objeto de conocimiento, y la forma en que se genera el conocimiento mediante tal interacción. En esta perspectiva del actual modelo, es la actividad del sujeto lo que resulta primordial, es decir, no hay objeto de enseñanza sino de aprendizaje.
Explicado este proceso, se puede hacer mención ahora de la construcción del conocimiento refiriéndonos a diversos estudios relativos. La forma en que los estudiantes resuelven problemas matemáticos, han llevado a la explicación, de corte constructivista, de que la estructura de la actividad de resolución de problemas surge como un objeto cognoscitivo (un esquema) a partir de la reflexión que el sujeto hace sobre sus propias acciones. El conocimiento matemático, es el resultado de esta reflexión sobre acciones interiorizadas (abstracción reflexiva). Las matemáticas no es un cuerpo codificado de conocimientos sino esencialmente una actividad. El conocimiento desde esta perspectiva, es siempre contextual y nunca separado del sujeto; en el proceso de conocer, el sujeto va asignando al objeto una serie de significados, cuya multiplicidad determina conceptualmente al objeto. Conocer es actuar, pero conocer también implica comprender de tal forma que permita compartir con otros el conocimiento y formar así una comunidad. En esta interacción, de naturaleza social, un rol fundamental lo juega la negociación de significados. Aebli (1973), explica claramente que al poner el énfasis en la actividad del alumno, una didáctica basada en teorías constructivistas exige también una actividad mayor de parte del docente. Esta ya no se limita a tomar conocimiento de un texto y exponerlo en el aula o en unas notas. La actividad demandada por esta concepción es menos rutinaria, en ocasiones impredecible, y exige del maestro una constante creatividad como la ahora expuesta en el método grafico Singapur. Desde el 1992, Singapur cambió la enseñanza de las matemáticas en sus aulas, reconocieron que era necesario que todos sus alumnos, independiente de sus habilidades, aprendieran. Tres años después, los esfuerzos dieron asombrosos frutos: sus alumnos alcanzaron los primeros lugares en test internacionales, como el Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), éxito que se ha mantenido sostenidamente por años y que han vuelto los ojos de diversos países. Yeap Ban Har, académico del Instituto Nacional de Educación de la Universidad Tecnológica de Singapur, es el principal formador mundial de profesores de matemáticas y articulador del exitoso método Singapur, en el marco de las actividades propias del proyecto “Textos de Singapur” impulsado por el Ministerio de Educación de este país. Este autor es enfático en señalar que el método no se orienta en la memorización, ni en procedimientos ni aplicación de fórmulas. “El método obedece a un currículum que se enfoca en habilidades y resolución de problemas matemáticos, porque se trata de promover el pensamiento adecuado” (2010, p.13). Una de las grandes fortalezas del método consiste en lograr que a los alumnos promedio les vaya muy bien y a los alumnos que les va mal, logren un nivel suficiente como para desenvolverse bien.
Este método da énfasis en lo visual acorde a la característica del cerebro humano de ser extremadamente visual. De esta manera, cualquier objeto concreto sirve para iniciar la experiencia del aprendizaje. Pero más allá de la relevancia de los elementos visuales aplicados a la enseñanza, el académico agrega y desglosa en tres, las ideas fundamentales que guían este método que a continuación se explicarán. Ban Har (1995), expresa que en el enfoque concreto-pictórico-abstracto los niños suelen comprender más naturalmente los conceptos por medio de objetos concretos. De hecho CPA alude a la progresión desde lo concreto a lo pictórico, para finalizar con lo abstracto. Se trata de empezar siempre por una actividad concreta, luego, de consultar los textos donde hay abundante material pictórico y al final, enseñar los símbolos involucrados. El enfoque CPA tiene una estrecha relación con los niveles de aprendizaje matemático ya que el enfoque concreto corresponde al nivel intuitivo-concreto, el pictórico al gráficorepresentativo y el abstracto tiene una relación directa con el nivel simbólico-convencional. Lo anterior nos permite reconocer que esta propuesta enriquecerá la práctica docente del maestro coahuilense. En cuanto a las etapas de una secuencia de matemática se encentra una relación armónica con el método gráfico, ya que estas etapas manejadas como: conocimientos previos, presentación de situaciones problemáticas, procesos de estimación, creación de procedimientos, validación de procedimientos, adopción del procedimiento adecuado y evaluación se enlazan con los pasos del método desarrollados como: lectura del problema, decisión de qué o quién se habla, aplicación de barra de unidad, relectura del problema frase por frase, ilustración de la barra con las cantidades que expone el problema, identificación de la pregunta, realización de operación correspondiente y aplicación de la respuesta mediante procedimientos graduales. En cuanto a la gradualidad mencionada anteriormente, el currículum espiral se basa en el concepto de que deben existir varias oportunidades de aprender algo, pero sin repetición. Este método busca el aprendizaje de conceptos gradualmente, y en el momento que el alumno esté cognitivamente preparado. “Siempre debe haber algo nuevo, donde los contenidos se vayan retomando, pero cada vez con distintos grados de avance” (Ban Har, 1994).
La variación sistemática quiere decir, que los estudiantes debieran resolver un número de actividades de manera sistemática. Los ejemplos no deben ser excesivos, sino suficientes para cubrir las posibilidades y sus variantes. Se trata de una ejercitación constante, pero con variaciones graduales en la dificultad. Ban Har nos fundamenta que los niños no hacen lo mismo siempre, porque no se le enseñan procedimientos, sino que se le ayuda a tomar las mejores decisiones en ciertas circunstancias. Para los profesores, uno de los desafíos más importantes según el experto, radica en que deben ser capaces de ver las matemáticas de una manera distinta, no enfocada en los cálculos, ni en la memorización, procedimientos o fórmulas como lo han venido haciendo. Además, deben ser capaces de generar redes de apoyo de desempeño, como puede ser la observación del desarrollo de clases entre pares. El método fomenta la capacidad de los niños de visualizar para ver un problema de matemáticas de forma fácil y por tanto, promueve la habilidad de generar estrategias mentales, lo que ayuda a los estudiantes a convertirse en pensadores flexibles, capaces de escoger la mejor estrategia aplicable a una situación de cálculo. De esta manera, los alumnos obtienen una excelente base que les permite hacer por sí mismos, mucho más allá de lo que se les enseña. El método Singapur desarrolla la comprensión, retención, gusto por la aplicación de las matemáticas y la resolución de problemas de la vida diaria a través de habilidades sencillas. El método no apunta a memorizar sino a generar habilidades de fondo. También es aplicable a todos los niveles educativos, pues su propósito es en sumo sencillo: resolver problemas sobre la base de una adecuada lectura del planteamiento para conseguir una solución acertada. Jerome Bruner (1988), en su teoría de aprendizaje, propone un aprendizaje a través del tránsito entre lo concreto, lo pictórico y lo abstracto. Este tránsito tiene dos grandes dimensiones: la relación con la escolaridad en su totalidad, y la forma en que este enfoque se percibe en cada contenido como un tránsito en espiral. La primera dimensión, se refiere a como el enfoque CPA se manifiesta según la etapa de desarrollo del niño, apelando a sus capacidades y habilidades cognitivas. El enfoque CPA es aplicado a lo largo del proceso de escolaridad. Cada una de las fases apunta a una etapa de desarrollo en el estudiante, por tanto, es posible generar algunas ideas paralelas entre las propuestas de Bruner y Piaget quien postula las etapas del desarrollo cognitivo del ser humano desde la infancia hasta la adultez.
La segunda dimensión se refiere a la forma en que cada concepto se retoma en cada curso, dándole indicios de cada una de las fases del enfoque CPA. Esto es, se introduce en los primeros años un proceso matemático. En la medida que el alumno adquiere nuevas herramientas, se ve en la necesidad de resolver desafíos que el profesor lo invita a enfrentar. Finalmente, en un nivel conveniente, se dará paso a la abstracción del proceso, se mostrará el algoritmo, ya que existirá la necesidad de dar a conocer resultados y ordenar ideas de una misma manera. El enfoque en espiral, plantea que el estudiante vuelva a trabajar con ideas núcleo a medida que se profundice la comprensión de aquellas ideas. Pretendiendo así, organizar el aprendizaje de manera que se trabajen periódicamente los contenidos, para profundizarlos cada vez más. Esta idea, se obtiene del trabajo de Bruner en relación a los modelos de representación inactivo, icónico y simbólico. En términos generales el modelo de representación inactivo es aquel que surge en la representación inmediata de la realidad, ocurriendo marcadamente en los primeros años de vida de la persona; el modelo de representación icónico consiste en la representación de la realidad mediante esquemas o imágenes, siendo éstos similares a aquello que se está representando, por tanto la elección del esquema no es arbitraria; el modelo de representación simbólico es la representación de la realidad mediante un símbolo arbitrario. Estos modelos de representación, pueden funcionar de manera paralela, por eso toma sentido además el currículum en espiral, permitiendo el funcionamiento de las tres formas de representación, una vez que cualquiera de los tres modelos esté bien adquirido. En esta última idea, toma mayor fuerza la teoría de los estadios de Piaget. El enfoque CPA busca introducir los contenidos y conceptos a partir del trabajo con material concreto, el cual se torna como una herramienta que permite desarrollar habilidades matemáticas que luego puedan transitar a lo pictórico. Esto significa que los alumnos serán capaces de aplicar los mismos procedimientos trabajados en el sentido concreto y en el sentido pictórico. Finalmente, la necesidad de traducir al lenguaje algebraico se da de manera natural, ya que la tendencia de los estudiantes es trabajar con elementos que han entendido como de índole matemática. En la resolución de problemas, podemos encontrar aspectos de este enfoque. Por una parte, al enfrentar una situación problemática, el estudiante se ve involucrado en un contexto concreto, es decir real y cercano para él, para luego crear un diagrama que permita visualizar la forma de proceder en la resolución y así finalizar el problema con un tránsito a lo abstracto. Por otra parte, el modelo de barras surge en la etapa de lo pictórico, ya que genera una representación de la información relevante en la situación que se requiere resolver a partir de una modelación mediante rectángulos que toman valores y significados según cada situación. En la propuesta de Bruner, nos encontramos con la idea de aprendizaje por descubrimiento. Idea que guarda estrecha relación con los enfoques mencionados en lo anterior.
La teoría de Dienes (1966), aporta con la idea de que la variabilidad debe ser sistemática, de manera que el alumno se enfrente a una variedad de tareas sin repetir el mismo tipo de ellas. La variabilidad, busca potenciar el aprendizaje a partir de la multiplicidad de procedimientos matemáticos de un mismo concepto. La variabilidad perceptual integra múltiples representaciones del mismo concepto, de manera que el estudiante lo perciba de diversas formas. Richard Skemp, experto en matemáticas para alumnos propone la necesidad de provocar una dialéctica entre la comprensión instrumental y la comprensión conceptual. La primera de ellas la distingue como la capacidad de realizar una operación, mientras que la segunda, se refiere a la capacidad de explicar un procedimiento. El autor aporta con la reflexión en torno a generar un proceso de enseñanza de la Matemática en donde el estudiante interactúe entre la comprensión instrumental y la comprensión conceptual. Skemp invita a provocar esta interacción en los procesos de enseñanza, ya que postula que no tiene mayor sentido realizar operaciones matemáticas sin tener noción de los conceptos, ideas y principios que respaldan dichos procedimientos. En este sentido nuevamente podemos mencionar el método del modelo de barras, ya que se presenta como una forma de guiar el quehacer al momento de resolver un problema, justificando los procedimientos y operaciones que se requieran realizar. Para finalizar este capítulo es necesario reflexionar acerca de que el docente debe cumplir su rol de potenciar el aprendizaje a partir de diversas estrategias que acerquen al estudiante a descubrir y construir el conocimiento. Para ello en este método se propone intercambiar algunos datos en un problema para darle profundidad a los elementos que causan mayor dificultad, de manera que se torne un desafío para los alumnos y se vean más cercanos e involucrados en su resolución. Esta tarea se complementa con el uso de los textos, los que ilustran la metodología de manera que las estrategias mantengan un orden secuencial y no se centren en el objeto en sí, sino que en las prácticas que debe realizar el alumno para darle solución al problema que se propone. Esto significa, mantener una secuencia de pasos simples de aprender, ya que el proceso de resolución debe tornarse una tarea de baja complejidad, logrando así un proceder más intuitivo. La simplicidad de los procesos evitará desviar el foco de aquello que efectivamente se está aprendiendo.
4.- Propósito general Utiliza una propuesta didáctica que contribuya a que los alumnos desarrollen la comprensión, reflexión y gusto por la aplicación de las matemáticas mediante la resolución de situaciones problemáticas a través del método gráfico de Singapur.
5.- Competencia Aplica estrategias didácticas basadas en el método gráfico de Singapur para fortalecer la construcción de los procesos matemáticos mediante el manejo de actividades integradoras acordes al enfoque de las matemáticas de Educación Básica.
6.- Evaluación Se presentará una rúbrica mediante la técnicas de escala de clasificación y estándares de desempeño que considere la consolidación de los aprendizajes esperados de los bloques y los principales aspectos de: concepto de número, sistema decimal de numeración, problemas verbales aditivos simples, multiplicación y división.
7.- Impacto Esta propuesta se concentra en el proceso de aprendizaje del alumno en las matemáticas práctica más que en el proceso de enseñanza de los docentes; particularmente en cómo ocurre, qué factores influyen en él y de qué modo se aplican los principios básicos del método gráfico Singapur. Se pretende que se observen resultados a mediano plazo ya que al finalizar cada bloque el docente podrá aplicar las actividades integradoras propias de cada aprendizaje esperado. Además las situaciones problemáticas podrán ser utilizadas antes, durante y después en el desarrollo de la secuencia didáctica de la asignatura de matemáticas.
El docente podrá observar el avance del nivel de competencia curricular del grupo e individual durante los momentos de evaluación solicitados por la autoridad educativa. A largo plaza los resultados de la propuesta se verán proyectados en los resultados del El Plan Nacional para las Evaluaciones de los Aprendizajes (PLANEA) considerado como el conjunto de pruebas estandarizadas que la Secretaría de Educación Pública (SEP) y el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE). Está prueba estandarizada a nivel nacional se han desarrollado a partir del ciclo escolar 2014-2015 en los últimos grados de la Educación Básica y Media Superior.
Organización de los aprendizajes en tercer grado Propósitos de matemáticas en Educación Básica: 1.- Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, así como elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o geométricos. 2.- Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos de resolución. 3.- Muestren disposición hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo.
Propósitos de matemáticas en Educación Primaria: 1.- Conozcan y usen las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Expliquen las similitudes y diferencias entre las propiedades del sistema decimal de numeración y las de otros sistemas, tanto posicionales como no posicionales. 2.- Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números naturales, así como la suma y la resta con números fraccionarios y decimales para resolver problemas aditivos y multiplicativos. 3.- Conozcan y usen las propiedades básicas de ángulos y diferentes tipos de rectas, así como del círculo, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera al realizar algunas construcciones y calcular medidas.
4.- Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetos o lugares. 5.- Expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad, para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares e irregulares. 6.- Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en imágenes, textos, tablas, gráficas de barras y otros portadores para comunicar información o para responder preguntas planteadas por sí mismos o por otros. Representen información mediante tablas y gráficas de barras. 7.- Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calculen valores faltantes y porcentajes, y apliquen el factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos.
Competencias: 1.- Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución. 2.- Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen, representen e interpreten información matemática contenida en una situación o en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se establezcan relaciones entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones, y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno representado. 3.- Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal.
4.- Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se limita a usar mecánicamente las operaciones aritméticas; apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y las operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.
Estándares Curriculares: Se organizan en: 1.- Sentido numérico y pensamiento algebraico. Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas: 1.1. Números y sistemas de numeración. 1.2. Problemas aditivos. 1.3. Problemas multiplicativos. Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. El alumno: 1.1.1. Lee, escribe y compara números naturales de hasta cuatro cifras. 1.1.2. Resuelve problemas de reparto en los que el resultado es una fracción de la forma m/2n. 1.2.1. Resuelve problemas que impliquen sumar o restar números naturales, utilizando los algoritmos convencionales. 1.3.1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números naturales utilizando procedimientos informales. 2.- Forma, espacio y medida. Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas: 2.1. Figuras y cuerpos geométricos. 2.2. Medida. El Estándar Curricular para este eje es el siguiente. El alumno:
2.2.1. Mide y compara longitudes utilizando unidades no convencionales y algunas convencionales comunes (m, cm). 3.- Manejo de la información. 4.- Actitud hacia el estudio de las matemáticas. 4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos. 4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares. 4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones. 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.
Esquema curricular de las situaciones problemรกticas
Comparación entre el método tradicional y el método gráfico Situación problemática: El precio de un carro fue rebajado en 2/7 de lo que costaba. Si luego de esta rebaja el precio es de $225, 000, ¿en cuánto se rebajó el precio original del producto?
Lista de Referencias Aebli, H. (1973). Mathematical Truth Tim-Dependent. New York, Unites States. Ban, H. Y. (1995). Método Singapur para la enseñanza profesional. Pasir Gudag, Singapure. Ban, H. Y. (2010). Maths... No problem. Pasir Gudag, Singapure. Berk, Y. (1994). Psicología del desarrollo. Aravaca, España. Bishop, A. (1988). Mathematical in culturation. Netherlands, Holanda. Bruner, J. (1988). Educación y los primeros años. Nueva York, Estados Unidos. . Dienes, Z. (1966). Psicología del aprendizaje de los matemáticos. Quebec, Canadá. Greenfield, P. M. (1994). Teorías del Aprendizajes. Atlatomulco, México. Kant, I. (1987). Crítica de la razón pura. Madrid, España. Lenneberg, E. H. (1967). Teorías del aprendizaje. Segunda Edición. Atlatomulco, México. Luria, A. R. (1976). The role of speech in the regulation of normal and adnormal behavior. New York, Unites States. M., R. (1995). El niño y las matemáticas. Bogotá, Colombia. Polya, G. (1962). Matemathical Discovery. New York, Unites States. Pública., S. d. (2011). Plan de Estudios. Distrito Federal, México. . Publica., S. d. (2011). Acuerdo 592 por el que se establece la Articulación de la Educación Básica. Distrito Federal, México. Pública., S. d. (2011). Modelo de Atención de los Servicios de Educación Epecial. Distrito Federal, México. Pública., S. d. (2011). Programa de Estudios. Gúia para el Maestro. Educación Primaria, Tercer Grado. Distrito Federal, México. Shuell, D. (1886). Teorías del Aprendizaje. Segunda Edición. Atlatomulco, México. Valsiner, V. (1991). Desarrollo del niño y del adolescente. Madrid, España. Wertssch, T. (1992). Desarrollo del niño. Madrid, España.