Niveles de aprendizaje matemático a través del método de Singapur by auramedina.glz

Presentación………………………………………………………………….........................................Pág 5 1.- Actividad integradora 1. Bloque 1. ……………………...........................................................Pág.8 Título: Rectas, ángulos, triángulos y más… 2.- Actividad integradora 1. Bloque II. …………………….…………….…………….…………….Pág. 60 Título: Características y propiedades de los triángulos y cuadriláteros. 3.- Actividad integradora 1. Bloque III. ……………………………………………………………Pág. 105 Título: Perímetros, áreas y valores faltantes. 4.- Actividad integradora 1. Bloque IV. …………………….………………………………………Pág. 149 Título: Problemas, fracciones, rutas y conversiones. 5.- Actividad integradora 1. Bloque V. ..........……………………………………………………...Pág. 194 Título: Similitudes, diferencias, fracciones y problemas.

Presentación El libro Niveles de aprendizaje matemático a través de métodos gráficos. Situaciones problemáticas para quinto grado, ordena los contenidos del programa de estudios 2011 de quinto grado y los aprendizajes clave del campo de pensamiento matemático en actividades integradoras, cuyo abordaje se realizará a través de situaciones problemáticas basadas en el método gráfico de Singapur. Está organizado en un manual de aplicación para el docente y en el libro de situaciones problemáticas para el alumno que contribuirán a consolidar los aprendizajes esperados de cada bloque. Las actividades integradoras están diseñadas para realizarse en cinco sesiones y se finaliza con una serie de prácticas matemáticas que podrán ser utilizadas como instrumento de evaluación bimestral. Al concluir cada actividad integradora y práctica matemática se incluye una rúbrica de evaluación para el alumno y para el maestro. Las situaciones problemáticas se abordarán mediante el modelo concreto (intuitivo-concreto), pictórico (gráfico-representativo) y abstracto (simbólico-convencional), siendo estos tres parte del método gráfico Singapur. También el número de temas dedicados a los ejes son acordes con el peso que los programas conceden a cada una de estas áreas a los largo de la Educación Básica. Las actividades integradoras de esta obra se dividen en las tres etapas del método gráfico que para este material le llamaremos: juega (concreto), observa y comenta (pictórico) finalizando con resuelve (abstracto). Estas se desarrollarán, de manera estimativa, en los cinco bloques que se trabajan en el año escolar. Las actividades fueron elaboradas para cubrirse, de manera estimativa, en una semana de clase al finalizar cada bimestre. Algunas situaciones necesitarán más tiempo de estudio y también habrá otras que requieran menos, según las necesidades de los alumnos en particular. El docente encontrará una estructura ágil en cada una de las actividades integradoras, las cuales siguen un estricto orden pedagógico en las que se toman en cuenta las recomendaciones planteadas en los documentos normativos y en el enfoque didáctico de la asignatura. La estructura de las actividades integradoras e iconografía es la siguiente: 1.- Aprendizaje esperado: se refiere al indicador de logro que, en términos de la temporalidad establecida en el programa de estudio, define lo que se espera de cada alumno en términos del saber, saber hacer, y saber ser; además, le dan concreción al trabajo docente al hacer constatable lo que los alumnos logran, y constituye un referente para la planificación y la evaluación en el aula. 2.- Aprendizaje clave: conjunto de contenidos, prácticas, habilidades y valores fundamentales que contribuyen sustancialmente al crecimiento de la dimensión intelectual del estudiante, los cuales se desarrollan específicamente en la escuela. 3.- Título de la actividad integradora: propone al alumno un contexto para relacionar las matemáticas con la vida cotidiana. 4.- Materiales: En cada actividad integradora se incluye una lista de materiales a utilizar durante las situaciones problemáticas.

5.- Iconografía: Contextualización Intuitivo-concreto Introducción

La historia de Matt

Juega

Gráficorepresentativo

Simbólicoconvencional

Prácticas matemáticas

Conclusión

Observa y comenta

Resuelve

Prácticas matemáticas

La historia de Matt

6.- Personajes: Durante todas las actividades integradoras aparecerá el icono de dos personajes que se encargarán de brindar las consignas, sugerencias y orientaciones necesarias para el desarrollo de las situaciones problemáticas. 7.- Prácticas matemáticas: Al finalizar se presentarán una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio del aprendizaje esperado. Las prácticas matemáticas ayudarán al alumno a desarrollar destrezas, habilidades y actitudes, además es un apartado que se considera para que el maestro cuente con herramientas necesarias para evaluar cada uno de los procesos matemáticos propios de cada bloque. Se espera que este material represente un valioso auxiliar didáctico para el docente y el alumno, así como una referencia donde sea posible enfrentarse a situaciones problemáticas que contribuyan a comprender el mundo real y una vía para alcanzar elevados niveles cognoscitivos.

Las matemáticas no es un cuerpo codificado de conocimientos sino esencialmente una actividad. Mtro. Israel Valdez Fortuna

Actividad integradora Bloque

Título: Rectas, ángulos, triángulos y más… Aprendizaje esperado a.- Identifica rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos y obtusos. Aprendizajes clave Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fracciones con denominadores múltiplos. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales, fraccionarios y decimales, con multiplicador y divisor. b.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales y cociente fraccionario o decimal. Figuras geométricas: a.- Describir posiciones y trayectos mediante el diseño y la interpretación de croquis y planos. Magnitudes y medidas: a.- Estimar, comparar y ordenar la capacidad y el peso de recipientes y objetos utilizando el litro, mililitro, gramo, kilogramo o la tonelada. Proporcionalidad: a.- Calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con números naturales, con constante natural o fracciones sencillas (1/2, 3/4, etcétera). Materiales: Bloques, barras de unidad, tablas de decenas, cubos de millar, hojas cuadriculadas, bloques de Dienes, legos, geoplano doble cara, ligas, escuadras, trasportador, reglas, tarjetas de 7x 7cm de color: azul, rojo, verde, amarillo y morado (20 tarjetas por cada color) para el juego 3, para el juego 9 se necesitarán los siguientes recipientes vacíos: garrafón de agua, lata de refresco, frasco de perfume, bote de miel, bote de leche y una jarra de agua.

Información para tu Maestro@: Los juegos y las situaciones problemáticas que trabajarán tus alumnos atienden el diseño de la tabla de contenidos del programa de quinto grado por cada uno de los bloques. Los contenidos de los bloques están organizados tomando en cuenta los momentos de aprendizaje matemático sugeridos por Brunner (intuitivo-concreto, gráfico-representativo y simbólicoconvencional). Al inicio de cada actividad integradora te presentaré el bloque con los contenidos a desarrollar por los

TABLA DE CONTENIDOS Competencia a desarrollar: 1.- Resolver problemas de manera autónoma 2.- Comunicar información matemática 3.- Validar procedimientos y resultados 4.- Manejar técnicas eficientemente Aprendizaje esperado: Identifica rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos y obtusos.

Ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico Problemas aditivos Resolución de problemas que impliquen sumar o restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro.

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Forma Espacio y medida

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

a.- Juguemos a a.- La historia de Figuras y señalar la fracción Matt. cuerpos b.- Juguemos a Identificación indicada con tarjetas (juega). construir y señalar de rectas b.- Juguemos al (juega). paralelas, geoplano doble cara c.- Juguemos a secantes y (juega). señalar la fracción perpendiculares c.- Juguemos a las indicada con en el plano, figuras de ángulos tarjetas (juega). así como de rectos (juega). d.-Juguemos a d.- Situación 11 ángulos rectos, ¿cómo se llamó? y 12 (observa y agudos y (juega). comenta). obtusos. e.- Situación de la e.- Situación 2 1 a la 5 (Observa y (resuelve). comenta). f.- Práctica 6. f.- Práctica 5. f.- Situación 1 (resuelve). g.- Situación 3 (resuelve).

Problemas a.- Juguemos a multiplicativos bolsitas de bloques Anticipación del (juega). número de cifras b.- Juguemos a del cociente de una caras y gestos división con números anticipando naturales. resultados. c.- Situación 4 (resuelve). d.- Situación 7 (resuelve). e.- Práctica 1 y 6.

Conocimiento y uso de las relaciones entre los elementos de la división de números naturales.

a.- Juguemos a bolsitas de bloques (juega). b.- Situación 11 y 12 (observa y comenta). c.- Situación 5 y 6 (resuelve). d.- Situación 9 (resuelve). e.- Situación de la 13 a la 15 (resuelve). f.- Práctica 6, 7 y 10.

Ubicación espacial Lectura de planos y mapas viales. Interpretación y diseño de trayectorias.

a.- Juegos introductorios. b.- Juguemos al geoplano doble cara (juega). c.- Juguemos a ¿cómo se llamó? (juega). d.- Situación de la 6 a la 10 (observa y comenta). e.- Situación 8 (resuelve).

Medida Conocimiento y uso de unidades estándar de capacidad y peso: el litro, el mililitro, el gramo, el kilogramo y la tonelada.

a.- Juegos introductorios. b.- Juguemos a litros de a litro y mililitros de a mililitro” (juega). c.- Práctica 3.

Análisis de las relaciones entre unidades de tiempo.

a.- Juegos introductorios. b.- Situación 9 (resuelve). c.- Práctica 2 y 8.

Manejo de la información

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Proporcionalidad y funciones Análisis de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (dobles, triples, valor unitario).

a.- Juegos introductorios. b.- Juguemos al taxímetro (juega). c.- Situación de la 10 a la 15 (resuelve). d.- Práctica 9.

Hola Matt, ¿por qué tan pensativo?

La situación es la siguiente: Los 2/3 de los alumnos de mi salón son mujeres, de los niños 1/4 trajeron lonche. Si son 9 niños que no trajeron lonche. Quiero saber ¿Cuántas niñas hay en total? Invitemos a nuestros amigos a participar. ¿Qué podemos hacer para encontrar la respuesta?

¿Qué dibujos pudieras hacer para representar 2/3 de las mujeres y 1/4 de los hombres que trajeron lonche?

¿Cuál es tu respuesta?

Es que estoy tratando de encontrar la respuesta a una situación, pero no sé qué hacer. No entiendo a las fracciones y ellas no me entienden a mí…

Son muy sencillas si aplicamos los procedimientos adecuados y las razonamos. A ver, cuéntame…

Es fácil Matt. La respuesta es: 24.

¡Qué!, ¿por qué? Explícame por favor Pit.

¿Cómo podremos registrar la información?

¿Cómo lo representarías de manera gráfica?

Comenta con otro compañero tus procedimientos.

¿Existen diferencias entre los procedimientos y las respuestas encontradas? ¿Cuáles son?

¿Podrías representar la respuesta gráficamente aquí?

Por supuesto Matt, la clave de todo es manipular, observar, analizar y registrar gráficamente la información.

¡Wow!, realmente es fácil. Oye Pit, ¿todas las situaciones problemáticas son sencillas mediante los métodos gráficos?

Los siguientes juegos son con el propósito de que conozcas y te familiarices con los materiales gráficos que utilizarás durante el ciclo escolar. Antes de iniciar pídele a tu maestr@ que te muestre el material para conocerlo.

Juegos introductorios.

a.- Individualmente juega con los bloques que tu maestr@ te proporcione. b.- En parejas juega con los bloques. c.- En equipos inventen figuras con los bloques. • Pídele a tu maestr@ repartir en cantidades iguales bloques a cada miembro del equipo. d.- Si los bloques tienen colores, sepárenlas y armen montones de bloques o torres por color. e.- Individualmente o en equipo, inventen un objeto y constrúyanlo con los bloques. • Expongan su invento a todo el grupo. f.- En compañía del maestro, salgan al patio y busquen objetos parecidos a los que construyeron con su invento (pueden ser, mesas, bancos, juegos, escritorios, carros, objetos, etc.).

Juguemos a construir y señalar.

•Individualmente, construyan las siguientes figuras geométricas con los bloques y señalen 3/8 de cada figura. •Para señalar los 3/8, utilicen bloques de colores diferentes. •Gana el alumno que todos sus resultados sean los correctos. •Dividan el total del grupo en equipos de 3 personas. Cada equipo escribirá 3 tipos de fracciones diferentes en hojas de papel y se revolverán para que sean seleccionadas al azar. •Cada equipo sacará 3 fracciones para construirlas con los bloques. Si todas sus producciones son correctas seleccionarán al equipo que sigue, si sólo dos producciones son correctas o menos, seleccionarán otras fracciones, pero ahora escogerán un equipo tutor para que les ayude.

•Al finalizar los equipos armen fracciones todos los alumnos y al azar seleccionen al alumno que exponga sus bloques. 1

Juguemos a señalar la fracción indicada con tarjetas.

•Elaboren tarjetas de 7 x 7 cm de color: azul, rojo, verde, amarillo y morado. 20 tarjetas por cada color. Organícense en mesas para trabajar en equipos de 4 personas. •En hojas de máquina de 10 X 10 cm escriban distintas fracciones menores a novenos y números menores a 20 que sean pares. Observen algunos ejemplos: 2/3 de 15 es

2/4 de 14 es

5/6 de 18 es

4/6 de 12 es

4/8 de 16 es

6/9 de 20 es

1/2 de 12 es

3/4 de 16 es

•Cada alumno tomará 4 tarjetas al azar como las que se mostraron anteriormente y tendrá 1 1/2 minuto para representarlas con las tarjetas de colores. El resto de sus compañeros tomará el tiempo y al final verificarán que la fracción indicada sea la correcta en los 4 acomodos. •Pueden incluir tarjetas de color diferente para señalar la fracción indicada y comenten la respuesta. •Cuando los 4 alumnos concluyan, háganlo nuevamente pero ahora réstenle 1/2 minuto al tiempo y en la tercera vuelta réstenle otros 30 segundos hasta terminar en 30 segundos. •Gana el alumno que haga sus 4 representaciones en el menor tiempo.

Observen los ejemplos: a.- 2/3 de 15 es ___________________. 1

11 12 13 14 15 b.- 3/4 de 12 es ___________________.

c.- 5/6 de 18 es ___________________.

d.- 4/8 de 16 es: _________________.

Juguemos al geoplano doble cara. El geoplano es un recurso didáctico para trabajar la geometría. Práctico para introducir los conceptos geométricos de manera simple. Con él no sólo podemos construir formas geométricas, también descubrir las propiedades de los polígonos y resolver problemas matemáticos, aprender sobre áreas, perímetros y más.

• En equipos de dos personas construyan un geoplano doble cara de 20cm X 20cm. • La separación entre un punto con los otros será de 1cm.

Iniciemos: a.- Colocarán el geoplano doble cara uno frente al otro compañero. b.- El compañero A construirá con las ligas 3 rectas paralelas y el compañero B construirá 3 rectas secantes. c.- Cuando el compañero A y B estén preparados voltearán el geoplano para que el compañero observe las rectas que se elaboraron con las ligas. d.- Después de 15 segundos, cada alumno explicará una breve definición para cada tipo de recta y comentará a que se parece. e.- Al finalizar comenten con todo el grupo a que se parecen las rectas paralelas y secantes que elaboraron en el geoplano.

Juguemos a las figuras de ángulos rectos.

•Antes de iniciar el juego, salgan al patio y busquen objetos o espacios y busquen cuáles de ellos tienen ángulos rectos, agudos u obtusos. •Ahora que regresaron al salón, elaboren 18 tarjetas de cartón de 15 cm de largo por 8 cm de ancho para cada equipo de cuatro alumnos. En cada tarjeta debe aparecer una figura geométrica. Ninguno de los lados de las figuras será paralelo a los lados de las tarjetas.

•Los equipos verificarán con escuadra y regla, cuáles son las figuras del juego de tarjetas que tienen ángulos rectos, agudos y obtusos. •Para comprobar sus apreciaciones los alumnos miden los ángulos de cada figura con el transportador.

Juguemos a ¿cómo se llamó?

• Antes de iniciar el juego, armen objetos extraños dentro del salón con materiales con los que cuenten e investiguen cuáles de ellos tienen ángulos rectos, agudos u obtusos. • Ahora reproduzcan en hojas cuadriculadas las siguientes figuras y clasifiquen los triángulos colocándolos en el cuadro correspondiente. • Pueden usar la regla para medir la longitud de los lados y el transportador para medir los ángulos de los triángulos. Triángulo

Acutángulo

Rectángulo

Isósceles

STM

Escaleno

Obtusángulo

• Ahora construyan 3 triángulos, uno equilátero, otro isósceles y otro escaleno con un hilo de 30 cm de largo, y después comparen las medidas de los lados de los diferentes triángulos y verifiquen que realmente sean equiláteros, isósceles y escalenos.

Juguemos a bolsitas de bloques.

• En equipos de tres personas, calculen la cantidad de bolsitas de bloques y lo sobrantes. • En el pizarrón anoten los planteamientos. • En el piso, con un gis blanco dibujen los bloques en cada columna. Iniciemos: En una carpintería se fabrican bloques. Para su venta, Don Toño los coloca en bolsitas (seis bloques en cada una). Don Toño escribe todos los días cuántos bloques elaboró, cuántas bolsitas se armaron y cuántos bloques sobraron.

Cantidad de bloques elaborados 25 18 28 30 31 32 34 35

Cantidad de bolsitas

Cantidad de bloques que sobraron

• En el mismo equipo, comenten las siguientes preguntas; consulten la tabla anterior para encontrar las respuestas. En los siguientes días las cantidades de bloques elaborados fueron 20 y 27. a.- ¿Es posible usar los datos de la tabla para encontrar la cantidad de bolsitas y la cantidad de bloques que sobraron sin necesidad de realizar cálculos? No

¿Por qué?

¿Cómo?

b.- ¿Y sin necesidad de ver los dibujos que hicieron en el piso? c.- ¿Cuál es la máxima cantidad de bloques que puede sobrar? d.- La siguiente tabla está incompleta; calculen la información que falta en los lugares vacíos. Cantidad de bloques elaborados

Cantidad de bolsitas 6 4

Cantidad de bloques que sobraron 2 3

42 8 7

Juguemos a caras y gestos anticipando resultados.

•Con la ayuda de su Maestr@, dividan el grupo en dos equipos. Cada uno seleccioné un actor que será el encargado de representar con mímica algunas divisiones. Queda prohibido que el actor hable. •Seleccionen otro compañero de cada equipo para que en pequeños trozos de papel escriban 10 divisiones a partir de centenas. Ejemplos:

840/20

260/60

600/80

924/100

• El actor de cada equipo puede utilizar gestos, caras, mímica y materiales que encuentre en el salón para representar la división solicitada. • El resto del equipo serán los encargados de ponerse de acuerdo para tratar de anticipar el resultado los más pronto que puedan antes de que terminen los 60 segundos que cada equipo tendrá para realizar mentalmente la operación. El equipo no podrá realizar operaciones en sus cuadernos. Sólo pueden utilizar bloques o regletas para encontrar el resultado. • El Maestr@ será el encargado de que las reglas se cumplan. • Gana el equipo que llegue a cinco aciertos primero. • Ahora en lo mismo equipos, coloquen un ángulo en el resultado de las siguientes divisiones. Calcúlenlas mentalmente. En las líneas escriban lo que hicieron para llegar al resultado.

840 / 20 =

10 40 42 50

1015 / 35 =

9 10 29 30

5750 / 125 =

45 46 47 50

9984 / 128 =

66 78 82 108

• Al finalizar comente todo el grupo: a.- ¿Cuáles fueron las principales dificultades a las que se enfrentaron al calcular mentalmente? b.- ¿Qué estrategias utilizaron para calcular mentalmente las divisiones?

Juguemos a litros de a litro y mililitros de a mililitro.

•Dividan el grupo en cuatro equipos. •Cada equipo necesitará los siguientes recipientes vacíos: 1 garrafón de agua, 2 latas de refresco, 1 frasco de perfume, 3 botes de miel, 4 botes de leche y 1 jarra de agua. •Cada equipo busque un lugar en el patio que tenga suficiente espacio para acomodar sus recipientes. •Respondan las siguientes preguntas con base en los recipientes. No pueden colocar agua. a.- ¿Qué capacidad tiene el garrafón de agua? Intento 1: Comprobación: b.- ¿Cuánto refresco contiene una lata? Intento 1: Comprobación: c.- ¿Qué capacidad tiene un frasco de perfume? Intento 1: Comprobación: d.- ¿Qué tiene mayor capacidad, el frasco de perfume o una lata de refresco? Intento 1: Comprobación: e.- ¿Qué contiene más producto, la lata de refresco o una botella de miel? Intento 1: Comprobación: f.- ¿A qué le cabe más, a un bote de leche o a dos latas de refresco llenas? Intento 1: Comprobación: g.- ¿Cuánta miel hay si suman todas las botellas? Intento 1: Comprobación:

h.- ¿A qué le cabe más líquido, al garrafón de agua a la mitad o a tres botes de leche? Intento 1: Comprobación: i.- A la jarra le cabe la mitad de lo que le cabe al garrafón de agua ¿cuál es la capacidad de la jarra? Intento 1: Comprobación: j.- ¿Cuántos botes de leche se podrían vaciar en la jarra? Intento 1: Comprobación: •Ahora comprueben todas las respuestas. Con supervisión de su Maestr@ utilicen agua con colorante vegetal para corroborar los resultados. •Gana el equipo que obtenga más acierto. En equipos de 3 personas, comenten y contesten las siguientes preguntas: María tiene un bebé y el médico le recomendó que le diera un biberón de 240 ml de leche después del medicamento. a.- ¿Para cuántos biberones de 240 ml le alcana 1 litro de leche? b.- ¿Un biberón contiene más o menos ¼ l de leche? Expliquen por qué: c.- El biberón pequeño tiene una capacidad de 150 ml. Si María le diera leche a su bebé en ese biberón, ¿qué debería hacer para darle la cantidad que le indicó el doctor? d.- Dividan y representen 4/4 de litro de manera gráfica.

Juguemos al taxímetro.

Rodrigo tomó un taxi y se puso a platicar con el taxista. Le preguntó cómo funcionaba el taxímetro. El taxista le dio la siguiente explicación: “Cuando sube un pasajero enciendo el taxímetro y marca $4 por el banderazo de salida; luego marca $0.50 por cada 500 metros”. Cuando Rodrigo llegó a la escuela intentó hacer una tabla, pero no la pudo completar. ¿Pueden ayudar a Rodrigo a completarla? Metros: Precio:

0 $4

500 $

3000 $

4500 $

$10

•En equipos de dos personas completen la tabla y en la cuadricula represéntenlo de manera gráfica:

•Ahora analicen la tabla y comenten si corresponde o no a una situación de proporcionalidad. Expliquen 3 respuestas diferentes: 1.2.3.-

•Comenten las siguientes preguntas: a.- Si aumentamos una cantidad al doble, por ejemplo $4, obtendremos $8 ¿Sucede lo mismo con los metros correspondientes? b.- Si buscamos la mitad de una cantidad, por ejemplo, 600 metros, el resultado será 3000 metros. ¿Sucede lo mismo con el costo de los metros recorridos? c.- Rodrigo pagó por su recorrido $7.50 ¿Qué distancia en kilómetros recorrió? d.- Para obtener los 2 500 metros se puede sumar 2 000 m +500 m. ¿Se puede obtener el costo del recorrido de 2 500 m, sumando lo que cuesta recorrer 2 000m + 500 m? e.- Se puede decir que lo que Rodrigo pagó es proporcional a la distancia recorrida. ¿Por qué? f.- Si no se cobrará el banderazo de salida, ¿cómo variarían las cantidades? Elaboren una tabla con esta información para representarlo y en la parte derecha de la columna explíquenlo. Tabla

Explicación

• En grados anteriores ya hemos trabajado con rectas paralelas y perpendiculares. • Trataremos ahora de comentar en el grupo sus definiciones. Es importante que observemos ejemplos para encontrar las definiciones correctas. Por ejemplo, ¿cuáles son y qué características tienen las rectas que a continuación observarás:

• Esas son rectas paralelas, pero ¿qué pasaría si las líneas se prolongan hacia ambos lados? ¿las rectas se cortarán? Comenta con tus compañeros: ¿Y cuándo se cortan? Estás rectas son: ________________.

• Por lo tanto, podemos decir que: dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto. • Comenta con tus compañeros: a.- ¿Cuáles fueron las dudas y los errores más frecuentes que tuvieron? b.- ¿Qué hicieron para aclarar sus dudas? c.- ¿Qué cambios sugieren para mejorar este aprendizaje esperado?

Situación problemática

Ya aprendimos que son rectas paralelas cuando: ______________________________________.

¿Y si se llegaran cruzar en un punto? Entonces las llamaremos: __________________________.

Pero también, dos rectas secantes son perpendiculares: si al cruzarse forman ángulos rectos (de 90°): Observa el ejemplo: 90°

90°

• Practiquemos. Observa las rectas y relaciona las rectas con su clasificación: Rectas secantes no perpendiculares Rectas secantes perpendiculares Rectas paralelas

a.- ¿Cuáles son las rectas que más predominan? b.- ¿Cuáles son las rectas secantes no perpendiculares? c.- ¿Qué características tienen las rectas paralelas? d.- Una recta perpendicular ¿podrá convertirse en recta secante o paralela?

Situación problemática

• Don Javier trabaja en la Secretaría de Educación Pública e invitó a Paco su hijo y a sus amigos a realizar un estudio acerca de la arquitectura de 2 escuelas que va a construir en el mes de enero. • Don Javier los invita a observar los planos. Arquitectura 1:

a.- ¿Qué tipo de rectas aparecen en la representación de las canchas de futbol? b.- ¿Qué tipo de rectas aparecen en la representación de las canchas de basquetbol? c.- ¿Qué tipo de rectas aparecen en la representación del campus? •Ahora, Don Javier les lanza un reto que consiste en marcar con diferentes colores las diferentes rectas que se requieren para terminar el proyecto. Arquitectura 2: d.- Marca con rojo, las rectas secantes no perpendiculares. e.- Marca con azul, las rectas secantes perpendiculares. f.- Marca con verde, las rectas paralelas. Al finalizar comparte tus producciones con el grupo.

Situación problemática

• En equipos de dos alumnos, observen las siguientes figuras:

• Redacten en tarjetas las instrucciones para que otros equipos dibujen figuras como las que se mostraron anteriormente. • Cuando terminen intercambien sus instrucciones con otros equipos y hagan lo que se indica en ellas. • Usen expresiones como: rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

Situación problemática

•Mario el matemático está ayudando a Kevin y Leo a estudiar para el examen que presentarán en la olimpiada matemática. Les explicó que las rectas secantes se clasifican en rectas oblicuas y rectas perpendiculares. En sus cuadernos escribieron que son rectas oblicuas si dos rectas tienen un punto de intersección y los ángulos que forman no son iguales. También escribieron que las rectas son perpendiculares cuando dos tienen un punto de intersección y forman cuatro ángulos iguales, se llaman perpendiculares, y los ángulos se llaman rectos.

Estudiaron con Mario las definiciones, pero ahora les pide que escriban una definición con sus propias palabras y que posteriormente comenten entre ellos las siguientes preguntas:

• Kevin y Leo comentaron las siguientes preguntas: a.- ¿Qué diferencias encuentran entre una y la otra? b.- ¿A qué objetos del salón se parecen? c.- ¿A qué objetos fuera del salón se parecen? d.- ¿Qué son más comunes en casa: las oblicuas o las perpendiculares? e.- ¿Cuánto miden los ángulos de las rectas perpendiculares? • En equipos de tres personas elaboren otra definición sobre rectas perpendiculares y oblicuas y comenten las preguntas que Kevin y Leo analizaron.

Situación problemática

Para esta situación te invito a que realices las actividades de Leo y Kevin para que les ayudes a encontrar las posibles respuestas. • En la olimpiada de matemáticas a Leo y Kevin les tocó realizar la siguiente actividad: • Tracen 10 pares de rectas secantes: tres que sean perpendiculares y siete que no lo sean. • Para las rectas secantes que no son perpendiculares procuren que cada pareja de rectas formen ángulos diferentes a los de las otras; por ejemplo:

• Observen que se forman cuatro ángulos; identifíquenlos y comenten lo siguiente: a.- Los ángulos rectos miden 90 grados. Coloréenlos de azul. b.- Los ángulos agudos miden menos de 90 grados. Coloréenlos de rojo. c.- Los ángulos obtusos miden más 90 grados, pero menos de 180 grados. Coloréenlos de verde.

Observen el ejemplo:

• Observa los ángulos que coloreaste y comenta con tus compañeros: a.- ¿Qué características tienen los ángulos rectos que coloreaste en azul? b.- ¿Qué características tienen los ángulos que coloreaste de color verde? c.- ¿Qué ángulos miden menos de 90 grados? d.- ¿Por qué crees que se les llama rectas perpendiculares?

Situación problemática

¿Conoces las mallas geométricas? Las mallas geométricas son herramientas fundamentales en las matemáticas y en la ciencia. Una malla es un conjunto de caras poligonales (cuadriláteros, triángulos o tetraedros) que definen una superficie en el espacio. Una malla tiene asociada un conjunto de elementos topológicos tales como: vértices, aristas y caras poligonales. • Observen algunos ejemplos:

a.- Individualmente, elaboren 3 mallas geométricas en su cuaderno e identifiquen los ángulos agudos, obtusos y rectos, y márquenlos con un color diferente. b.- Identifiquen de los ejemplos las rectas oblicuas, perpendiculares, secantes y paralelas. c.- Elabora una malla geométrica con los 3 tipos de ángulos y los 4 tipos de rectas.

Situación problemática

• A Mario le sobraron dos pedazos de papel como los que se muestran enseguida: a A B

F1 A

• Mario quiere saber cuál puede utilizar para hacer un rectángulo de 15 centímetros cuadrados sin que sobre papel. a.- ¿Le podemos ayudar? b.- ¿Con cuál de los dos pedazos se puede hacer el rectángulo?

Observa detenidamente. Para saber qué pedazo de papel conviene utilizar es necesario calcular el área, y ésta puede obtenerse por medio de la descomposición en triángulos, cuadrados o rectángulos de cada figura. • Comenta con tus compañeros ¿qué creen que pueden hacer para saber que dedazo de papel conviene utilizar? a.- Se podrá dividir cada figura en triángulos, cuadrados o rectángulos. b.- Podrán combinarse unos y otros. c.- Existe la posibilidad de trazar la altura de cada triángulo con respecto a una de las bases. d.- ¿El área de cada triángulo, cuadrado o rectángulo se calcula en centímetros cuadrados? ¿Por qué? e.- Si se ha descompuesto la figura en rectángulos o cuadrados, ¿podrán calcular el área de cada uno? f.- Busquen la manera de calcular el área total sumando las áreas de las figuras en que se ha descompuesto la figura original. • Es probable que los resultados de todo el grupo sean diferentes, ya que depende de la medición que hayan hecho.

Situación problemática

•Observa el plano y traza con el color que se indica. Azul

Dos rectas paralelas

Rojo

Dos rectas secantes no perpendiculares

Verde

Dos rectas perpendiculares

a.- ¿Qué tipo de rectas encontraste? b.- Intercambien la situación con el compañero de al lado, para que empleando sus escuadras, comprueben el trazo correcto de las rectas. c.- Existen diferencias, ¿Cuáles son? d.- ¿Qué le sugerirías a tu compañero para mejorar? • Si consideras necesario corregir tus rectas lo puedes hacer y comenta con tus compañeros.

Situación problemática

• En parejas observa las siguientes rectas. • Prolónguenlas y escriban si son paralelas o secantes.

Rectas verdes:

Situación problemática

Rectas naranjas:

Rectas azules:

• Observa los diferentes tipos de ángulos de la ilustración y realiza lo que se indica. a.- Ubica el triángulo que se forma con el asiento y las cuerdas del columpio; después, comenta el nombre de sus ángulos. b.- ¿Cuál es el nombre del ángulo que se forma en el techo del juego? c.- Nombra el ángulo que aparece entre los tubos verticales y el piso.

Situación problemática

• ¿Cómo podremos sumar fracciones con un método gráfico en las que el denominador de una es múltiplo del de la otra, por ejemplo: 3 + 2 9 3 9 es múltiplo de 3

Después se suman las fracciones con igual denominador:

3/9 + 6/9 = 9/9

• En las restas de fracciones con método gráfico, se sigue el mismo procedimento; por ejemplo: 5/8 – 1/4 (en este caso, 8 es múltiplo de 4) Se obtiene una fracción equivalente a 1/4 con denominador 8 y se restan las fracciones.

x2 1 4

2 8 x2

a.- ¿Cuál de las fracciones es más conveniente convertir en equivalente para resolver la operación? Se obtiene una fracción equivalente a 1/4 con denominador 8 y se restan las fracciones.

• Recuerda que después de obtener las fracciones con igual denominador sólo se suman los numeradores y el denominador no cambia.

Situación problemática

• Elige del recuadro la fracción equivalente que corresponde para completar el procedimiento y resuelve las operaciones mediante el método gráfico. Puedes utilizar las barras de unidad, bloques o hacerlo directamente en la hoja de cuadricula. Suma o resta de fracciones 1 2 + 6 3 3 2

6 8

5 2

8 6

Desarrolla la fracción equivalente 1 2 4 6 3 3 6 6

9 1 + 12 4

Represéntalo con método gráfico

• Comenta con tu Maestr@ que las situaciones planteadas en el apartado de “observa” se pueden contestar ahora de manera abstracta. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Situación problemática

• Observa los siguientes triángulos y posteriormente traza las alturas de cada uno de ellos, después contesta la tabla señalando falso o verdadero en cada una de las afirmaciones.

• Contesta la tabla: Falso a.- Todos los triángulos tienen tres alturas: b.- Todas las alturas son a la vez lados del triángulo: c.- Las alturas de un triángulo siempre se cortan en un punto: d.- Una altura de un triángulo es un segmento de recta que va de un vértice y es perpendicular al lado opuesto: e.- Todos los triángulos tienen ángulos de 90 grados: f.- La base de los triángulos siempre es mayor a la altura de los mismos: • Expongan sus cuadros y argumenten sus respuestas.

Verdadero

Situación problemática

• René está pintando un tablero porque el abuelo le está enseñando a construir un juego de mesa. Si terminó las partes azul y verde, ¿qué fracción del tablero ha pintado? Ayúdalo a solucionar la situación utilizando para su análisis el método gráfico y posteriormente realiza la comprobación mediante el método tradicional. Gráfico

Tradicional 6

Ha pintado _____ del tablero ¿Qué parte del tablero le falta por pintar? ___ Le falta pintar _______ del tablero.

Al mismo tiempo su prima María está pintando otro tablero. ¿Qué parte lleva pintada?

a.- ¿A cuál de los primos les falta pintar menos de su tablero? ________________. b.- ¿Existe alguna fracción equivalente a cada resultado con un denominador menor que 24? _______________________. Expongan sus resultados con todo el grupo. c.- ¿Existen diferentes procedimientos? ______________________. d.- ¿Cuáles son? _______________________________________________________. e.- ¿Qué procedimientos consideras que fueron los correctos y los más sencillos de resolver? ____________________________________________________.

Situación problemática

• Esteban dice que, en un triángulo cualquiera, según el lado que se elija como base, se puede trazar la altura. Por ejemplo, el trazó la altura (h1) considerando como base el lado b del siguiente triángulo: c h1

a b

Primeramente, analicemos la situación: a.- ¿Qué tipo de triangulo es? ______________________________________________. b.- ¿Qué características observas en el triángulo? _______________________________. c.- ¿Con qué instrumentos geométricos cuentas? ________________________________. En parejas y con sus instrumentos geométricos, hagan lo que se indica a continuación: e.-Tracen la altura (h2) considerando como base el lado c y tracen la altura (h3) considerando como base el lado a. Les voy a dar una clave: para trazar una de las alturas, deben prolongar uno de los lados del triángulo como se muestra en el siguiente dibujo. Intenten trazar las dos alturas que se indican como se muestra en seguida:

c a

En equipos de 4 personas lean la siguiente información. Posteriormente realicen la situación problemática. • El siguiente es un ejemplo de cómo, a partir de la estimación del precio unitario de un producto se puede reconocer el número de cifras en un cociente: a.- Se tienen dos bolsas con el mismo producto, pero de diferente marca: una cuesta con 30 piezas y la otra $36 500.00 con 70. Se puede estimar con divisiones; por ejemplo, 28 500/30. ¿Cuántas veces cabe 3 en 28_____________________?

$28 500.00

Situación problemática

• Un grupo de siete artesanos formó una cooperativa. Cada semana, uno de ellos se encarga de la tienda donde se venden sus productos. Al final del mes se reúnen para hablar del negocio; hacen cálculos, separan las ganancias del dinero que volverán a invertir y se reparten equitativamente las cantidades.

Chucho

Cucho

Chucho

Cucho

El año pasado se obtuvieron ganancias de $230 529. Por lo tanto, eso quiere decir que aproximadamente cada mes se ganaron menos de __________________________. Cifras del cociente: ___________________.

Eso quiere decir que este año nos fue mejor, pues las ganancias ascendieron a $258 720 y eso equivale por mes a poco más de __________________________. Cifras del cociente: __________________.

Haciendo cuentas con la calculadora este año se ganaron en promedio _________________ por mes. Si somos siete, ganamos por mes unos _________________ aproximadamente, pues 7 X 3 = 21. Cifras del cociente: ___________________.

Déjame ver con la calculadora… 21 560/7 me da ____ ___________________________. Buena tu estimación. ¿Y cuánto se apartó para este material?

Se apartaron $7 406 para el material. ¿Cuánto es 7 406/7? Cifras del cociente: ___________________.

Poco más de _______________________. Exactamente ____________________. Bueno, pues mañana mismo voy a comprar material para seguir trabajando.

Situación problemática

• Un grupo de estudiantes asistió a una conferencia sobre la llegada del hombre a la luna. Ahí, se mencionó que un traje espacial resiste las bajas temperaturas del espacio (hasta 120 ºC bajo cero) y la baja presión. El grupo decidió hacer un modelo de traje espacial como proyecto escolar. a.- Usaron botellas de plástico vacías para las mangas, papel de estaño para recubrirlo (con un precio de $30); b.- Mangueras y popotes para las conexiones de temperatura de agua ($45); c.- Acetato para el cristal del casco ($2); d.- Bolsas de plástico para los pies y las manos y una caja de cartón para la mochila de instrumentos; tijeras, cinta canela, cinta adhesiva y pegamento blanco ($35). • Si un equipo se encargara de hacer el casco, otro las mangas, otro la mochila, otro los zapatos y uno más el resto del traje, 1.- ¿Cuántos equipos se formarían en total? _________________________________. 2.- ¿Cuánto dinero sobra si cada equipo coopera con $23? _____________________. 3.- ¿Cuánto dinero falta si cada equipo coopera con $22? ______________________. 4.- Si los popotes se consiguen como material de reúso, y se ahorran $17, ¿cuánto debe poner cada equipo? ____________________________________________________. 5.- Un alumno propuso que se formaran diez equipos, en vez de cinco, para que a cada estudiante le tocara poner menos dinero. ¿Crees que está en lo correcto? Explica. ______________________________________________________________________.

Situación problemática

• Colorea los recuadros que contengan información correcta. Para encontrar las respuestas argumenta tus resultados. Puedes utilizar bloques, barras de unidad o las hojas cuadriculadas.

a.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y cada uno de los cinco equipos pone $20, sobrarían $5. Pero si se formara el doble de equipos (diez) y cada uno diera la mitad ($10), seguiría sobrando la misma cantidad ($5). b.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y cada uno de los cinco equipos pone $20, restarían $5. Pero si se formara el doble de equipos (diez) y cada uno diera la mitad ($10), sobraría la mitad ($2.50). c.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y cada uno de los cinco equipos pone $20, restarían $5. Pero si se formara el doble de equipos (diez) y cada uno diera la mitad ($10), sobraría el doble ($10). d.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y se forman cinco equipos, cada uno pondría $19. Pero si hacen dos trajes espaciales, el costo se duplicaría ($190) y a cada equipo le correspondería poner el doble ($38). e.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y se decide hacer tres trajes espaciales, a cada equipo le tocaría poner $57, que es el triple de $19. f.- Si el proyecto escolar cuesta $95 y se decide hacer tres trajes espaciales, a cada equipo le tocaría poner $57, que es el triple de $19, y sobraría el triple ($15).

Situación problemática

• Formen equipos de 5 personas y planeen la construcción de un traje militar. a.- Investiguen acerca de los aditamentos y funciones de cada parte. b.- Hagan una lista de 9 materiales que necesitan para construirlo. 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

c.- Busquen los precios del material que eligieron y estimen la cantidad de dinero necesaria para crearlo. d.- Hagan las operaciones necesarias para saber cuánto dinero debe poner cada integrante del equipo.

Situación problemática

• Dibuja en el recuadro el plano de tu escuela. • Sigue las indicaciones: a.- La barda de la escuela formará una figura cuyas esquinas serán dos ángulos agudos y dos obtusos. b.- Las calles de alrededor serán paralelas. c.-Los lados de la cancha formarán en las esquinas ángulos rectos. d.- Las esquinas del edificio donde están los salones serán ángulos agudos y obtusos. Dibuja el plano aquí:

Situación problemática

Recordemos que, así como hay unidades que se utilizan para presentar medidas de longitud, existen unidades para indicar cantidades de tiempo. Según la magnitud será la unidad que se utilice; por ejemplo, para designar el diámetro de la Tierra es conveniente utilizar el kilómetro, pero si se trata del diámetro de una canica, los centímetros o milímetros serán mejor opción que los kilómetros. El caso del tiempo es similar, dependiendo de la cantidad de la que se hable será la unidad de tiempo que se utilice. El segundo es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades. Un minuto equivale a sesenta segundos y una hora, a 3 600 segundos. También se usan unidades como días, meses, años, y derivados de éstos, como quincena (quince días), bimestre (dos meses), semestre (seis meses), sexenio (seis años), década (diez años), entre otras. El sistema de tiempo gregoriano contempla el milenio (mil años), el siglo (cien años), el lustro (cinco años). También existen las unidades geológicas, como el cron, que equivale a un millón de años. • Realiza lo que se indica según la información que aparece: a.- El planeta Tierra tiene una edad aproximada de 4 600 millones de años. b.- Una mosca vive 48 horas. c.- Una reacción química puede tardar en realizarse veintiséis segundos. d.- Algunas regiones de México tienen una edad de aproximadamente un millón de años. e.- La civilización china tiene alrededor de diez mil años de existencia. f.- Ciertas especies de tortugas pueden vivir doscientos años. g.- Nuestro planeta tarda en darle la vuelta al Sol aproximadamente 365 días, lo que se conoce como un año. h.- Hay seres humanos que viven un siglo. 1. Escribe las cantidades de tiempo que se incluyen en el texto.

2.- Ordena de menor a mayor las cantidades anteriores.

Situación problemática

Representa la siguiente información mediante un método gráfico; puedes utilizar bloques, legos, barras de unidad u otros materiales que consideres materiales. • En las tiendas suelen vender productos de diferentes marcas, precios y cantidades, por lo que no es fácil saber cuál conviene comprar. Por ejemplo, una marca A ofrece dos paquetes con cinco plumas cada uno en $12, mientras que la marca B tiene a la venta un paquete con cinco plumas iguales que las anteriores, pero en $7. ¿Cuál de las dos marcas es más económica? ___________________________________. ¿Por qué? ______________________________________________________________. Argumenta tu respuesta: ___________________________________________________. • Puedes resolver el problema si conoces el precio de cada paquete de la marca A. Si se deduce que el dato mostrado corresponde al doble del precio de un paquete; entonces, es fácil saber que dos bolsitas con cinco plumas (el doble del dato del problema) de la marca B cuestan $14. Por tanto, la marca A es más económica. ¿Cierto o falso? _________________________________________________________. ¿Por qué? ______________________________________________________________.

Situación problemática

•Calcula y responde la siguiente situación problema. Observa el dibujo. Don Federico vende cacahuates, nueces y pistaches en el parque cada domingo y vende por dos, tres y cuatro bolsitas del producto que le pidan. Todas las bolsitas tienen la misma cantidad de gramos.

a.- ¿Cuánto se debe pagar por doce bolsitas de cacahuates?

b.- ¿Cuánto se pagará por doce bolsitas de nueces?

c.- ¿Cuánto se deberá pagar por doce bolsitas de pistaches?

d.- ¿Qué productos cuestan lo mismo, aunque en la imagen no se identifique de esa manera?

Situación problemática

• Completa las tablas, según la imagen de la situación 11. Número de bolsitas 3 6

Precio por pagar 5 pesos

Número de bolsitas 4 8

15 pesos

Situación problemática

Precio por pagar 14 pesos 42 pesos

Número de bolsitas 2 4

Precio por pagar 7 pesos 21 pesos

• Relaciona con una flecha los precios y la ilustración correspondiente: Doña Licha vende bolsitas de nueces, cacahuates y pistaches del mismo tamaño que las de don Federico. a.- Ella da tres bolsitas de nueces por 10 pesos, b.- Tres bolsitas de pistaches por 13 pesos y c.- Tres bolsitas de cacahuates por 5 pesos.

39 pesos

25 pesos

26 pesos

13 pesos

30 pesos

40 pesos

50 pesos

1.- ¿Qué sucedería si se hicieran los mismos arreglos de bolsitas, pero con los precios de don Federico? ___________________________________________________________. 2.- ¿El costo por arreglo sería mayor o menor? _________________________________. 3.- ¿Quién da más cara la bolsita de cacahuates, doña Licha o don Federico? _________. 4.- ¿Quién vende doce bolsitas de pistaches en 52 pesos? ________________________. 5.- ¿Con quién conviene comprar pistaches? __________________________________. 6.- ¿Quién vende seis bolsitas de nueces en 20 pesos? __________________________. 7.- ¿Con quién conviene comprar nueces? ___________________________________. 8.- Argumenta tus respuestas gráficamente:

Situación problemática

a.- Si seis bolsitas de cacahuates cuestan 12 pesos, ¿cuánto sería el precio por tres bolsitas? b.- Si en seis bolsitas de nueces son 18 pesos, ¿Cuánto sería el precio por tres bolsitas? c.- En nueve bolsitas de pistaches pagaron 36 pesos. ¿Cuánto sería el precio por tres bolsitas? Argumenta tus respuestas gráficamente:

Situación problemática

• Calcula y responde. a.- A Rosita le gustan los jabones de formas diferentes: estrellas, nubes y corazones. Los jabones se venden de manera individual o en bolsas de 6, 8 y 10 piezas. La bolsa de diez jabones en forma de estrella cuesta 34 pesos; la de ocho nubes, 32 pesos y la de seis corazones, 30 pesos. Rosita tiene 67 pesos y quiere comprar quince jabones de corazón. ¿Cuánto dinero le falta? __________________________________________.

b.- Después, quiere comprar por lo menos un jabón de corazón y uno de estrella para Alfonso, y cinco jabones de estrella para Leticia. Si cuenta con 30 pesos, 1.- ¿Le alcanza para comprarse un jabón de corazón? ____________________. 2.- ¿Cuánto dinero le falta o le sobra si adquiere todos los paquetes de jabones? _______________________________________________________________.

•Para finalizar ahora realizarás una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio del aprendizaje esperado.

Práctica

• En la situación problema 15 de la etapa de resuelve se presentó el caso de Rosita. Flor le dio 115 pesos a Rosita para que le comprara jabones, pero no se decidió por alguno, lo que sí es que quiere que todos sean iguales. a.- ¿Cuántos jabones puede comprar Rosita si escoge jabones en forma de nube y cuánto dinero le sobra? ¿Qué procedimiento realizarías para encontrar la respuesta?

Práctica

Ordena de menor a mayor las cantidades destacadas. 1. Un zapoteca sembró el árbol del Tule hace veinte siglos. 2. Hace 3 500 años, los egipcios inventaron el reloj solar. 3. La primera evidencia de un reloj de arena se halló en el año 1328. 4. Leonardo da Vinci diseñó un avión en el siglo XV. 5. En el año 2007, la producción comercial de celdas solares llegaba a 89.6%. 6. Hace cien crones había dinosaurios.

Práctica

• Lee la información de la tabla, posteriormente contesta las preguntas: Queso Oaxaca

Queso Chihuahua

Sopas Quesadillas Aderezos Botana a.- ¿Cuánto queso Oaxaca se usó al término del día?

b.- ¿Cuánto queso Chihuahua se usó al término del día?

c.- Si compraron 2 1/2 kg de queso Oaxaca, ¿cuánto quedó al final del día?

d.- El costo por kilo de queso Chihuahua es de $78.00. El total de queso comprado el día de ayer fue de $195.00. ¿Qué fracción del total de queso Chihuahua queda?

Práctica

• Mariana compró primero 3/4 kg de fresas y luego 1/2 kg más. ¿Qué cantidad de fresas compró en total?

• Para hacer los adornos del vestido revolucionario, Bety compró 2/3m de listón azul y 5/6m de listón rojo. ¿Cuánto listón compró en total?

•Chuy compró en la carnicería pollo. Usó 3/8kg de ese trozo para preparar un guisado y sobró 3/4kg. ¿Cuánto pesaba originalmente el trozo de carne que compró?

Práctica

• Lee la siguiente situación nombra y dibuja las figuras cumpliendo las siguientes características: a.- Es un cuadrilátero con dos ángulos iguales. b.- Es un cuadrilátero con dos pares de ángulos iguales. c.- Es un cuadrilátero, tiene cuatro ángulos iguales. d.- Es un cuadrilátero, tiene dos pares de lados iguales. e.- Es un cuadrilátero, tiene cuatro lados iguales. • En alguno de los cuadriláteros ¿pueden tener dos ángulos rectos? ______________. • En alguno de los cuadriláteros ¿pueden tener tres ángulos rectos? ______________. Si la respuesta es afirmativa, dibuja los cuadriláteros que cumplen la condición dada.

Práctica

1.- De un listón rojo de 2 1/3m, se utilizaron 3/6m. ¿Qué cantidad de listón quedó?

2.- En el campamento de verano, los camperos practican tres deportes: 1/3 del grupo juega futbol, 2/6 juegan básquetbol y el resto, natación. ¿Qué parte del grupo practica natación?

3.- La mitad del grupo votó por América y la tercera parte votó por Ximena. ¿Qué parte del grupo no votó?

Práctica

• En el rancho de mi tío vamos a armar mesas para 12 invitados cada una. a.- Si asistirán 146 personas, ¿cuántas mesas debemos armar? Represéntalo con bloques:

b.- ¿Cuántos invitados más podrán llegar como máximo para ocupar los lugares restantes en las mesas armadas?

c.- ¿Los invitados podrían organizarse en las mesas de tal manera que queden dos lugares vacíos en cada una? ¿Podrán organizarse para que quede un lugar vacío?

d.- Mi tía con su esposo y sus dos hijos quieren sentarse solos en una mesa. ¿Alcanzarán los lugares en las otras mesas para los demás invitados?

Práctica

• Eva le dijo a Alex que llegara el viernes a su casa, 15 minutos antes de la hora del noticiero, para hacer la tarea de matemáticas y le dejó el siguiente recado: Alex, nos vemos a las 21:15 horas en mi casa. Por favor llega temprano.

Con base en la información del recado, contesta lo siguiente: a.- ¿Eva y Alex se verán en la mañana o en la noche?

b.- ¿A qué hora comienza el noticiero?

c.- Escribe 3 formas diferentes para representar la hora a la que empieza el noticiero. 1.2.3.d.- En la Escuela donde estudian Eva y Alex, el horario de clases empieza a las 7:30 a.m. y termina a las 2:20 p.m. Las sesiones duran 50 minutos, con un descanso de 10 minutos entre cada clase. Representa gráficamente para responder lo siguiente: 1. ¿A qué hora termina la segunda clase? 2.- ¿A qué hora inicia la penúltima clase?

Práctica

• En el siguiente tablero de 6 X 6, coloca 18 fichas blancas y 18 fichas negras, siguiendo una única regla: cuatro dichas del mismo color no pueden quedan en los cuatro vértices de un cuadrado, cualquiera que sea el tamaño.

Práctica 10

Para finalizar las prácticas matemáticas vamos a “cranear” la siguiente situación problema: Contesta lo que se te pide: ¿Qué número es? He pensado un número Lo he multiplicado por 2: Al resultado le adicioné 3: Luego le adicioné le número pensado: Después he sumado 1: El resultado lo he multiplicado por 2: He restado el número pensado: He restado 3: He restado el número pensado: He restado 2: El resultado lo he multiplicado por 2: Le adicioné 3: a.- ¿Qué número he pensado? _________________________________.

Hola Matt, ¿por qué tan pensativo?

Los 2/3 de los alumnos de mi salón son mujeres, de los niños 1/4 trajeron lonche. Si son 9 niños que no trajeron lonche. ¿Cuántas niñas hay en total?

Te explico, pero primero registremos la información: 2/3 son mujeres… 1/4 de los niños trajeron lonche… 9 de los niños no trajeron lonche… Represéntame gráficamente 2/3 de 3 rectángulos iguales: 10.- Entonces la solución a la situación es: 24. ¡Wow!, realmente es fácil. Cada rectángulo vale 12, por lo tanto, si sumo los primeros dos rectángulos que son los que representan a las niñas obtengo como resultado 24, porque 12+12=24.

Es que estoy tratando de encontrar la respuesta a una situación, pero no sé qué hacer. No entiendo a las fracciones y ellas no me entienden a mí…

Son muy sencillas si aplicamos los procedimientos adecuados y las razonamos. A ver, cuéntame…

Es fácil Matt. La respuesta es: 24.

¡Qué!, ¿por qué? Explícame por favor Pit.

Así, mira. Pero ahora, ¿qué sigue?

Gráficamente las niñas están representadas por los primeros dos rectángulos. 33 33

2/3

El tercer rectángulo lo divido en 4 partes iguales, porque 1/4 de los niños que está en verde llevaron lonche. El total de los que no son 9. Pero el total de todos los niños es 12.

2/3

Oye Pit, ¿todas las situaciones problemáticas son sencillas mediante los métodos gráficos?

Por supuesto, la clave de todo es manipular, observar, analizar y registrar gráficamente la información.

¡Felicidades!

Concluiste las situaciones problemáticas de la actividad integradora del Boque I. Ahora estás preparado para el Bloque II que corresponde al aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros

Lista de cotejo para el docente. Aprendizaje esperado:

BLOQUE I

Identifica rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos y obtusos. Aprendizajes clave Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fracciones con denominadores múltiplos. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales, fraccionarios y decimales, con multiplicador y divisor. b.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales y cociente fraccionario o decimal. Figuras geométricas: a.- Describir posiciones y trayectos mediante el diseño y la interpretación de croquis y planos. Magnitudes y medidas: a.- Estimar, comparar y ordenar la capacidad y el peso de recipientes y objetos utilizando el litro, mililitro, gramo, kilogramo o la tonelada. Proporcionalidad: a.- Calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con números naturales, con constante natural o fracciones sencillas (1/2, 3/4, etcétera).

Indicador Logrado 1.- Trabajé situaciones problemáticas que tienen como base los conocimientos previos o herramientas matemáticas que mis alumnos poseen. 2.- Ofrecí experiencias significativas que generan movilización de saberes y la adquisición de otros. 3.- Trabajé inicio, desarrollo y cierre durante mi secuencia didáctica. 4.- Le di a conocer a mis alumnos el título de la situación problemática, aprendizaje esperado, aprendizaje y clave. 5.- Consideré la previsión de recursos y la organización del tiempo adecuado. 6.- Manejé diferentes formas de organización durante mi secuencia. 7.- Trabajé actividades que permiten experiencias diversas como contextos familiar, social y cultural. 8.- Lo que se aprendió durante la secuencia didáctica tiene aplicación en otros contextos. 9.- Logré revisar, analizar y reflexionar con mis alumnos cada situación problema durante la etapa concreta, pictórica y abstracta 10.- Manejé actividades secuenciadas, estructuradas y articuladas en 3 etapas (inicio, desarrollo y cierre) con una intención educativa. 11.- Durante el bloque trabajé: Sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida, manejo de la información y actitud hacia el estudio de las matemáticas. 12.- Durante la secuencia promoví que el alumno formulara y validara conjeturas. 13.- Durante la secuencia promoví que el alumno se planteara nuevas preguntas. 14.- Durante la secuencia promoví que el alumno comunicara, analizara e interpretara procedimientos de resolución de problemas. 15.- Durante la secuencia promoví que el alumno buscara argumentos para validar sus procedimientos. 16.- Trabajé la resolución de problemas que implican sumar o restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro. 17.- Desarrolle la anticipación del número de cifras del cociente de una división con números naturales.

No logrado

Sugiero que:

Indicador 18.- Promoví el conocimiento y uso de las relaciones entre los elementos de la división de números naturales. 19.- Los alumnos lograron identificar las rectas paralelas, secantes y perpendiculares en el plano, así como de ángulos rectos, agudos y obtusos. 20.- Los alumnos identificaron la lectura de planos y mapas viales así como la interpretación y diseño de trayectorias. 21.- Promoví el uso de unidades estándar de capacidad y peso: el litro, el mililitro, el gramo, el kilogramo y la tonelada. 22.- Se analizaron procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (dobles, triples, valor unitario).

Logrado

No logrado

Sugiero que:

Actividad integradora Bloque

Título: Características y propiedades de los triángulos y cuadriláteros. Aprendizaje esperado a.- Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Aprendizajes clave Número: a.- Leer, escribir y ordenar números decimales (hasta milésimos). b.- Ordenar fracciones con denominadores múltiplos (fracciones equivalentes). Figuras geométricas: a.- Construir cuadriláteros a partir de sus diagonales. b.- Construir triángulos e identificar y trazas sus alturas. Magnitudes y medidas: a.- Calcular el área de triángulos y cuadriláteros mediante su transformación en un rectángulo. Patrones y expresiones equivalentes: a.- Explorar sucesiones de números y de figuras con progresión aritmética y geométrica. Materiales: Bloques, barras de unidad, tablas de decenas, cubos de millar, hojas cuadriculadas, bloques de Dienes, legos, geoplano doble cara, ligas, escuadras, trasportador, reglas, 15 tiras de papel de 16 centímetros de largo y 2 centímetros de ancho, una hoja rayada para cada integrante del equipo (para el juego 5), relojes, termómetros clínicos, cintas métricas, metros de madera, balanzas y transportadores para el juego 7, cajas de distintas formas y tamaños (de leche, avena, zapatos, galletas, etc.) para la situación problemática 7 de la etapa: observa y comenta. Información para tu Maestro@: Los juegos y las situaciones problemáticas que trabajarán tus alumnos atienden el diseño de la tabla de contenidos del programa de quinto grado por cada uno de los bloques. Los contenidos de los bloques están organizados tomando en cuenta los momentos de aprendizaje matemático sugeridos por Brunner (intuitivoconcreto, gráfico-representativo y simbólico-convencional). Al inicio de cada actividad integradora te presentaré el bloque con los contenidos a desarrollar por los alumnos; además te mostraré su organización y a que juego o situaciones problemáticas corresponden.

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Números y sistemas de numeración Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etc. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo.

a.- La historia de Matt. b.- Juguemos a las tiras en partes iguales (juega). c.- Situación 8 (observa y comenta). d.- Situación 1, 2, 3, 5, 6 y 10 (Resuelve). e.- Situación 12 y 13 (resuelve). f.- Práctica 3, 4, 8 y 9.

Análisis del significado de la parte decimal en medidas de uso común; por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas.

Problemas multiplicativos Resolución de problemas que impliquen una división de números naturales con cociente decimal.

Forma Espacio y medida

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Manejo de la información

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Figuras y cuerpos Localización y trazo de las alturas en diferentes triángulos.

a.- Juguemos a ¿cuáles son? y puede o no puede (juega). b.- Situación 1 a la 5 (observa y comenta). c.- Situación 9 y 10 (observa y comenta). d.- Práctica 1.

Proporcionalidad y funciones Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos.

a.- Juguemos a la hoja rayada (juega). b.- Situación 12 (observa y comenta).

a.- Juguemos a equivalencias entres unidades (juega). b.- Situación 10 (resuelve). c.- Práctica 10.

Ubicación espacial Reproducción de figuras usando una cuadrícula en diferentes posiciones como sistema de referencia.

a.- Juguemos a bases y alturas (juega). b.- Situación 7 (observa y comenta). c.- Práctica 2. d.- Práctica 5.

a.- Situación 6 (observa y comenta). b.- Situación 4, 7, 8, 9, 11 y 15 (resuelve).

Medida Construcción y uso de una fórmula para calcular el área de paralelogramos (rombo y romboide).

a.- Juguemos a observar las tarjetas (juega). b.- Jugamos a ¿qué podemos medir? y midamos cosas nuevas (juega). c.- Juguemos a bases y alturas (juega). d.- Situación 11 (observa y comenta). e.- Práctica 6 y 7.

Hola Matt, ¿Qué haces?

¿Podrían ayudarnos? ________________________. ¿Cómo pudiéramos saber? ______________________.

Por supuesto.

Estoy haciendo una investigación. Me encargaron en la Escuela investigar las diferentes maneras de representar una fracción. ¿Podrías ayudarme?

También creo que podrían explicarnos cada una: _______________ _______________ _______________.

Que bien, ya encontramos la primera que es por cifras numéricas que se refiere por ejemplo a: 3 4 9 7 12 , , , = 2 6 10 4 15 En otro ejemplo, ¿de qué otra manera podemos representar la fracción con cifras numéricas?: 1 entero 3/4, se puede representar:___________.

Gracias Pit. ¿Pudieras darnos algunas sugerencias o pistas?

Excelente, Felicidades. ¿Verdad que es más sencillo?

¿Qué material creen que podremos utilizar? ___________________. ¿Para qué nos pueden servir los materiales concretos? ___________________ Es cierto, me he dado cuenta que a partir de representaciones gráficas es más sencillo y divertido. Gracias Pit. Tu ayuda y la de nuestros amigos han sido de mucho aprendizaje. Pero no olvides que primero jugamos, después observamos y comentamos…

y al final, resolvemos.

Si claro. Amigos, ¿Cuántas maneras creen que existan para representar una fracción? ______________________.

¿Ustedes creen que las podemos representar con cifras numéricas? ________________. ¿Cómo podemos saberlo? _______________.

Muy bien Matt y amigos de quito grado, al parecer ya empiezan a manejar fracciones sin complicaciones. ¿Pero qué otras maneras conocen para representaras? ________________________. ¿Qué tipo de figuras geométricas podremos utilizar? _____________________ ¿Creen que podremos utilizar colores? _____________________ ¿Cuáles? _____________________ Gracias Matt. Ahora iniciemos con la actividad integradora 2.

Antes de iniciar pídele a tu maestr@ que te muestre el material para conocerlo.

Juguemos a observar las tarjetas.

a.- En equipos de 4 personas recorten 4 objetos en donde consideren la medida y el peso. Posteriormente péguenlas en cartulinas de 10 X 10 cm. Observen el ejemplo: Tarjeta 1 1.5 toneladas

Tarjeta 2 0.02 g

Tarjeta 3 0.959 litros

Tarjeta 4 9.8 metros

b.- Ahora en tiras de papel escriban 2 cuestionamientos para cada tarjeta sobre diferentes significados o equivalencias. Observen los ejemplos: a.- ¿Qué significa el 8 en 9.8 metros? b.- ¿A cuántos decímetros equivale el 8 del número anterior? c.- ¿Qué significa el 5 en 1.5 toneladas? d.- ¿A cuántos kilogramos equivale el 5 de la cantidad anterior? e.-¿Qué significa el 2 en 0.02 gramos? f.- ¿Qué significa el 5 en 0.959 litros? g.- ¿A cuántos mililitros equivale el 5 en el decimal anterior? c.- Cuando estén terminadas las tarjetas y las tiras de papel, con los cuestionamientos se harán competencias entre dos equipos. Cada equipo repartirá las tarjetas al azar con el otro equipo y cada participante tomará una tarjeta con tiras de papel y posteriormente contestará la pregunta. d.- Gana el equipo que haya contestado correctamente más preguntas. • También se pueden organizar de tal manera que todo el grupo vea las tarjetas y contesten las preguntas escribiendo las respuestas en el pizarrón y en sus cuadernos.

Juguemos a ¿cuáles son?

1.- En parejas lean la siguiente información, posteriormente nombren y dibujen la o las figuras que cumplan con las siguientes características: • Es un cuadrilátero, tiene dos ángulos iguales. • Es un cuadrilátero, tiene dos partes de ángulos iguales. • Es un cuadrilátero, tiene cuatro ángulos iguales. • Es un cuadrilátero, tiene dos partes de lados iguales. • Es un cuadrilátero, tiene cuatro lados iguales. En los casos donde se dibujen dos o más figuras escriban en sus cuadernos qué información es necesaria agregar para describir solamente una. Por ejemplo, en la expresión: es un cuadrilátero, tiene cuatro lados iguales, pueden dibujar un cuadrado y un rombo, pero si quieren describir el cuadrado, tendrán que agregar que tiene 4 ángulos iguales. En cambio, del rombo habrá que decir que sus cuatro ángulos no son iguales, ya que la igualdad sólo se da en los ángulos opuestos. 2.- Al finalizar, las parejas expondrán sus dibujos y leerán sus explicaciones. 3.- Cada pareja le dirá al equipo que expuso un elemento que ellos consideraron como creativo durante la exposición. 4.- En el caso de haber errores, el equipo que los haya identificado se lo hará saber a la pareja que expuso, no olvides hacerlo de manera cordial. Ustedes serán los encargados de explicarles el procedimiento correcto.

Juguemos a puede o no puede.

1.- El maestr@ escribirá en el pizarrón las siguientes expresiones: a.- ¿Puede tener dos ángulos rectos? b.- ¿Puede tener tres ángulos rectos? 2.- Si las respuestas son afirmativas, los alumnos dibujarán en hojas de maquina los cuadriláteros que cumplan con la condición dada. 3.- Después de que hayan terminado un alumno, al azar presentará al resto del grupo sus figuras y explicará por qué las dibujó

Juguemos a la hoja rayada.

1.- Individualmente, remarquen las líneas de una hoja rayada. 2.- Enseguida, con las líneas paralelas marcadas, tracen sobre una hoja blanca una línea recta de 11 cms, a la que le pondrán una marca al principio y otra al final. A la primera marca se le asignará el número 0 y a la otra el 1. 3.- Ahora, dividan la distancia de cero a uno en seis partes iguales, usando una hoja rayada. Es necesario que dispongan de tiempo suficiente para encontrar la manera de utilizar la hoja rayada para dividir el segmento en partes iguales hasta que lo logren. Observen el ejemplo:

4.- El juego se repetirá tres veces más y en cada uno tracen una nueva recta igual a la primera pero ahora divídanla en siete, nueve y diez partes iguales. Si a algunos compañeros no se les ocurre cómo utilizar la hoja rayada para dividir el segmento en partes iguales, el Maestr@ asignará tutores. Recuerden que el segmento se coloca sobre la hoja rayada y se gira hasta que sus extremos coincidan con dos líneas y lo crucen tantas líneas como partes iguales se requieran. 5.- Cuando todos tengan sus cuatro segmentos divididos en partes iguales, el Maestr@ escribirá en el pizarrón las siguientes fracciones: 1/6, 3/7, 9/9, 7/10 y 1/10. Todo el grupo trate de ordenarlas de la más grande a la más chica, posteriormente ubiquen las fracciones en la recta que les corresponde y al final verifiquen si el orden que establecieron es correcto o no.

Juguemos a las tiras en partes iguales.

Frente al grupo organizado en equipos realicen lo siguiente: a.- El juego consiste en cortar cada una de las tiras en dos partes que no sean iguales, pero antes de cortarlas se les indicará con que fracción trabajará cada equipo (quintos, sextos, octavos, novenos y décimos).

b.- Para dividirlas pueden utilizar uno hoja rayada con las líneas paralelas marcadas. Traten de encontrar diferentes formas de dividir cada tira en dos partes diferentes. Por ejemplo, si un equipo trabaja con cuartos, los alumnos pueden dividir la tira de la siguiente manera: 1/4 + 3/4. c.- Cuando la mayoría de los equipos termine de cortar sus tiras, cada uno anotará en ellas y en su cuaderno las medidas que obtuvieron. Después intercambiarán sus medidas con otro equipo para que las ordene de mayor a menor. d.- Todos los equipos verificarán si el orden es correcto, utilizando las tiras recortadas. Algunos alumnos pueden aprovechar el procedimiento de dividir las tiras de papel en partes no iguales por medio de las paralelas, y pueden seleccionar uno de los lados largos sobre el cual harán las divisiones.

Juguemos a equivalencia entre unidades.

Observen atentamente la tabla: x10 UM km kg kl

x10 C hm kg kl

x10 D dam dag dal

x10 x10 x10 x10 U Décimo Centésimo Milésimo m dm cm mm g dg cg mg l dl cl ml

a.- Comenten la tabla con el propósito de que repasen las equivalencias que ya conocen. El Maestr@ puede organizar preguntas para iniciar con este juego. Algunas preguntas pueden ser: a.- ¿Cuántos decímetros tiene 1 metro? b.- ¿Cuántos centímetros tiene 1 decímetro? c.- ¿Cuántos milímetros tiene 1 centímetros? b.- Ahora hagan preguntas del mismo tipo, pero con los submúltiplos del gramo y del litro (decigramo, centigramo y miligramo; decilitro, centilitro y mililitro). Recuerden observar a detalle la tabla. c.- Posteriormente lean en el diccionario el significado de los múltiplos del metro: kilómetro, hectómetro y decámetro. d.- Con base en la información que obtuvieron en el diccionario, reúnanse en equipos y deduzcan las respuestas de las siguientes preguntas: a.- ¿Cuántos metros hay en 1 decámetro?

b.- ¿Cuántos decámetros hay en 1 hectómetro? c.- ¿Cuántos hectómetros hay en 1 kilómetro? d.- ¿Cuántos decámetros hay en 6 kilómetros? e.- ¿Cuántos metros hay en 2.7 kilómetros? f.- ¿Cuántos centímetros hay en 80 metros? Después de que respondan las preguntas, reflexionen sobre la semejanza entre el sistema de numeración decimal y la equivalencia entre los múltiplos, submúltiplos y las unidades de capacidad, peso y longitud.

Juguemos a ¿qué podemos medir?

Antes de iniciar el juego, comenten en el grupo ¿qué cosas podemos medir? a.- Dibujen en el pizarrón y en una hoja de cuadrícula la tabla 1. En el caso necesario el Maestr@ explicará el concepto de unidad. Nota: Si los alumnos no saben medir el pulso, puede convertirse en una actividad diferenciada que puede ser organizada por tu Maestr@. Magnitud

Tabla 1 INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

UNIDAD QUE SE PUEDE EMPLEAR

Estatura Peso Tiempo Temperatura del cuerpo Pulso Capacidad Para medir el pulso debe señalarse que se combinan dos unidades diferentes (número de pulsaciones por minuto), lo que será tratado a nivel informativo únicamente. Los alumnos podrán tomar el pulso de diferentes maneras: 1.- Pueden contar las pulsaciones que suceden en una vuelta del segundero o 2.- Contar las que ocurren en 10 segundos y multiplicar por 6 el resultado, para obtener el número de pulsaciones por minuto. Con esta información los alumnos podrán llenar los cuadros correspondientes de la tabla 1 y, en otro momento, completar la tabla 2.

Persona

Tabla 1

Pulso

Mi maestr@ El director. Mi mejor amigo Otro Maestr@ Yo

Juguemos a midamos nuevas cosas.

a.- En equipos de tres personas, investiguen con qué instrumento y con qué unidad podemos medir los siguiente: • La altura de un poste. • La distancia entre dos ciudades. • El tamaño de una mosca. • El tamaño del dedo meñique. • El largo del salón. • La distancia de una cuadra. • El largo de una hormiga. La respuesta de cada equipo debe discutirse en el grupo, de tal forma que pueda concluirse que aun cuando utilizamos el metro como unidad, no en todos los casos se usan metros completos. De esta manera se puede iniciar la introducción paulatina del estudio de los múltiplos y los submúltiplos del Sistema Métrico Decimal.

Juguemos a bases y alturas.

a.- En parejas, calculen el área de los dos triángulos, verifiquen si la suma de estas áreas equivale al área de la figura completa. b.- Consideren como unidad de superficie un cuadrado y como unidad de longitud una lado del cuadrado. c.- Cuando encuentren las respuestas, represéntenlos por medio de los bloques.

Recuerda que todo triángulo tiene tres bases y sus correspondientes alturas; por lo tanto, ustedes están en libertad de medir cualquier par (base-altura) de cada triángulo. Sin embargo, analicen que, en los casos del cuadrado, rectángulo y romboide, al identificar que los triángulos que los forman tiene un par (base-altura) igual, y, por consiguiente, tienen la misma área. Esto nos puede llevar a la conclusión de que el área de la figura completa es igual a la base por la altura.

Situación problemática

Ahora que estamos en la etapa pictórica, repasemos: a.- ¿Cuántos vértices tienen todos los triángulos? b.- ¿Cuántas alturas y bases tienen los triángulos? Los triángulos tienen tres bases, tres vértices y tres alturas. La altura de un triángulo va de un vértice a la base opuesta y es perpendicular a ésta. ¿Qué hacemos cuando no es posible trazar directamente un segmento de recta perpendicular del vértice a la base opuesta? Observa el ejemplo:

Base Altura

Vértice opuesto a la base Altura Prolongación Prolongación de la base del triángulo

Altura

• Ahora en la siguiente cuadricula realiza con tu juego de geometría, los pasos señalados y muéstralo a tus compañeros:

Para esta situación también pueden utilizar el geoplano o lo bloques lógicos.

Situación problemática

Julián y Fernanda conocen una manera para trazar alturas en triángulos, utilizando lápiz, regla y escuadra, los pasos son los siguientes: 1. Colocan la regla sobre uno de los lados del triángulo y la escuadra sobre la regla, como se muestra en la figura 1. 2. Deslizan la escuadra sobre la regla hasta hacerla coincidir con el vértice opuesto y trazan la altura del triángulo, como se ve en la figura 2. El mismo procedimiento se puede usar para localizar alturas. Figura 1

Figura 2

Hay tres maneras de localizar las alturas. Esta es una:

• A hora ayudemos a Julián y Fernanda a trazar las otras 2 alturas de los triángulos.

• Analicen los trazos de Julián y Fernanda. Respondan y comprueben las respuestas usando regla y escuadra. a.- ¿Cambia la longitud de sus lados en cada giro? ¿Por qué? b.- ¿Cambian sus alturas?

Situación problemática

• Rodea el triángulo en el que Fernanda y Julián no trazaron sus tres alturas: Te sugiero que prolongues un poco cada una de las bases de sus triángulos antes de intentar trazar las alturas.

• ¿Se nota cuál de los triángulos no tiene marcadas las tres alturas? • Coméntalo con tus compañeros. • Pídele a tu maestr@ que lo compruebe con sus escuadras. Asegúrense de que los segmentos de recta trazados forman un ángulo recto con cada base del triángulo.

Situación problemática

• El rombo es un cuadrilátero cuyos lados miden lo mismo y son paralelos, pero no forman ángulos rectos. Sus elementos principales son lados, ángulos y diagonales. Las diagonales se denominan diagonal mayor (D) y diagonal menor (d). • Su área se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor y dividiendo el producto entre dos.

Observa el ejemplo:

Diagonal Menor

Lados

Diagonal Mayor

• Comenta con tus compañeros: a.- ¿Qué características observas de los rombos? b.- ¿A qué se parece? c.- ¿Cómo se calcula el área del rombo? d.- Los lados del rombo miden lo mismo, ¿sí o no? e.- ¿Qué tipo de diagonales tienen los rombos? • Con sus bloques lógicos, tangram, geoplano o bloques construyan rombos y comenten sus características en clase.

Situación problemática

a.- La base del rectángulo y la diagonal mayor del rombo es: b.- La altura del rectángulo y la diagonal menor es: c.- La longitud de la base del rectángulo y la de la diagonal mayor del rombo son: d.- La longitud de la altura del rectángulo y la de la diagonal menor del rombo son:

¿Qué podemos hacer para obtener la fórmula que permite calcular el área del rombo? Se puede utilizar como referencia la del rectángulo, b × h, pero como el rombo está compuesto por una diagonal mayor y una menor, la fórmula cambiaría a: ______________________________. Sin embargo, como el rombo ocupa la mitad del área del rectángulo, se divide el resultado entre dos y la fórmula completa del rombo es: ________________________________________.

Es importante que comprendas cómo se obtienen las fórmulas para calcular las áreas de distintas figuras, de manera que puedas reconstruirlas y no sea necesario que las memorices.

Situación problemática

Observa a detalle los cuadrados que para esta situación los llamaremos parcelas.

parcela de Jerónimo parcela de Don Gil parcela de Reynaldo

parcela de Matías parcela de Herminio

• Cinco agricultores decidieron dedicar 20 por ciento de su parcela para un cultivo experimental. a.- En la siguiente tabla relaciona el nombre de los dueños con el tamaño de las parcelas: Nombre Tamaño de la parcela en m2

250 000

160 000

90 000

40 000

10 000

b.- Dividan los lados de cada parcela en diez partes iguales, tracen líneas de un lado a otro y coloreen 20 por ciento de los 100 cuadritos que resultan.

La parte que colorearon se puede expresar como: 20 de cada 100, es decir 20/100, o como: 20 por ciento y se escribe simbólicamente: 20%. Al colorear el 20% de parcelas de distintos tamaños, los alumnos pueden observar que el tamaño de las partes dedicadas al cultivo es proporcional al tamaño de las parcelas. • Comenta con tus compañeros: 1.- ¿Todos los agricultores dedican el mismo porcentaje de sus parcelas al cultivo? 2.- ¿Todos dedican la misma cantidad del terreno al cultivo? 3.- ¿Qué agricultores dedican menos de la mitad de su terreno al cultivo? 4.- En equipos de 3 personas, expresen en metros cuadrados el 20 por ciento de cada parcela y comprueben si las respuestas que tenían son correctas. ¿Qué tenemos que hacer para calcular la cantidad de metros cuadrados que representa el 20% en cada parcela? Primero se divide el total de metros cuadrados entre cien para saber cuanto es 1/100 del área. Después ese resultado se multiplica por el porcentaje que en este caso es 20, y así se obtiene la cantidad de metros cuadrados que representa el 20%. En el caso de Matías, 250 000 m2 entre 100 es igual a 2 5000, y 2 500 por 20 es igual a 50 000m2; esta cantidad representa 20 por ciento de su parcela.

Situación problemática

• En equipos de 3 personas observen cajas de zapatos, galletas y avena y atiendan a las siguientes consigas. Pero antes, observa los ejemplos:

a.- Toquen y observen lo que limita a estos cuerpos (cajas), a esto le llamaremos caras. 1.- ¿Cuántas caras tiene cada uno? 2.- ¿Qué forma tienen las caras de cada caja? 3.- ¿Cómo llamamos a la cara sobre la que se apoya el cuerpo? b.- Ahora, toquen el límite de varias caras, uno por uno, a esto le llamaremos aristas. 1.- ¿Cómo puede considerarse una arista? 2.- ¿Cuántas caras se juntan en una arista? 3.- ¿Cuántas aristas tiene el cuerpo con el que se está trabajando? c.- Toquen los límites de las aristas, a estos les llamaremos vértices. 1.- ¿Cómo pueden considerarse los vértices? 2.- ¿Cuántos vértices tiene le cuerpo con el que se está trabajando? 3.- ¿Cuántas aristas se cortan en un vértice? 4.- ¿Cuántas caras llegan a el? • Hagan los cortes necesarios para abrir estos cuerpos (cajas), de tal modo que todos los puntos de sus caras toquen la mesa de trabajo y no se separe ninguna cara o alguna de sus partes. a.- ¿Pueden reconstruir el cuerpo (caja) inicial? b.- Comparen lo que les resultó con el trabajo de los otros equipos y observen si les quedaron iguales. c.- ¿Podrían haber hecho los cortes de otra manera para que les quedaran otras figuras? d.¿Pueden inventar otra plantilla con alguno de los cuerpos (cajas)? • Ahora que un equipo dibuje en el pizarrón sus plantillas y comenten las siguientes preguntas: a.- ¿Será posible formar cuerpos con todas ellas? b.- ¿Cómo serán esos cuerpos? c.- ¿En qué se parecerán y en qué serán diferentes? a.- Comenten sus diferentes respuestas, sin intentar llegar a acuerdos. b.- Ahora tracen en hojas de cuadricula grande las plantillas que dibujaron en el pizarrón; recórtenlas y péguenlas con cinta adhesiva transparente.

c.- Cuando hayan terminado comenten con su Maestr@ si los cuerpos son como se los habían imaginado, en qué son diferentes y en qué son iguales. También pueden analizar el tamaño de las caras y las formas. d.- Esta situación se vuelve más interesante si cada equipo presenta por escrito sus argumentaciones.

Situación problemática

• En parejas encuentren en el recuadro las fracciones representadas en las superficies y escríbelas. • A cada superficie le corresponde varias fracciones, según las diversas maneras que hay de nombrarlas. Observa el ejemplo: 22/18

1/2

5/8

6/3

11/9

6/12

10/16

Comenten que todas las fracciones obtenidas son equivalentes y en varios casos son simplificaciones, es decir, fracciones con numerador y denominador menores.

1 2/9

Situación problemática

• Con la misma pareja con la que trabajaste la situación anterior, elaboren con el geoplano cinco superficies diferentes al azar y posteriormente expongan las diversas maneras de expresar las fracciones. Observen y comenten los ejemplos:

Situación problemática

Antes de iniciar la siguiente situación dibujen en el pizarrón diferentes figuras geométricas, como triángulos, trapecios, cuadrados, rectángulos y otros polígonos; después, mencionen qué figuras tienen lados paralelos y cuáles tienen dos pares de lados paralelos. Ahora trabajemos con los paralelogramos. Recuerda que un paralelogramo es un cuadrilátero en el que sus lados opuestos son paralelos. Dos segmentos de recta son paralelos si nunca se cruzan entre sí. ¿Cuántos tipos de paralelogramos crees que existan? 1. Cuadrado

2. Rectángulo 3. Rombo 4. Romboide

• Los dos primeros se llaman paralelogramos rectángulos, porque sus cuatro ángulos son rectos. Los dos últimos se llaman paralelogramos no rectángulos, ya que sus ángulos no miden 90 grados, es decir, no son ángulos rectos. • Cualquier polígono se puede descomponer en triángulos; y esto es de gran utilidad para calcular el área. Observemos un ejemplo de descomposición: a.- Cuatro triángulos forman un paralelogramo (en este caso un romboide). Uno de los triángulos se recorta para trasladarlo al extremo opuesto formando un rectángulo.

• ¿Cómo se obtiene el área de los cuadrados y rectángulos que se dibujaron en el pizarrón? Utilicen su juego de geometría y calculen el área de éstas figuras.

Situación problemática

• Un arquitecto colocará mosaicos en forma de paralelogramos en una cocina. • Utilizará cuatro tipos de mosaicos diferentes, tanto paralelogramos rectangulares (cuadrados y rectángulos) como paralelogramos no rectangulares (rombos y romboides). a.- Para iniciar, necesitará saber el área de cada mosaico diferente para saber cuántos de cada tipo necesita.

Resuelve:

b.- ¿Qué área tiene un mosaico cuadrado de 15 cm por lado? c.- ¿Qué fórmula sirve para obtener el área de un cuadrado: lado + lado; 4 + lado; lado × lado o (base × altura) entre 2? d.- ¿Qué área tiene un mosaico rectangular de 15 cm × 10 cm? e.- ¿Qué fórmula sirve para obtener el área de un rectángulo: base × altura; base + altura; 4 × lado; o (base × altura) entre 2?

Situación problemática

• Lola e Israel están entrenando para una competencia deportiva. Ambos están cuidando su alimentación para que sea balanceada y obtengan todos los nutrientes que su cuerpo necesita para estar sanos. Algunos de los alimentos que consumen están en la siguiente tabla de calorías: Alimento Calorías por gramo

Pan

Queso

Pera

Carne

Espárragos

2.4

0.83

4.35

0.33

• Las constantes de proporcionalidad son las siguientes: Observa el ejemplo: Pan: 4

Queso panela

Carne:_______

Espárragos

Pera: 083

• Observen la tabla de calorías y comenten: a.- ¿Qué información incluye? b.- ¿Qué representan las columnas y qué representan las filas? c.- ¿Cuántas calorías tienen dos gramos de pan? Alimento

Gramos

Pan

125 120

Pera Queso Espárragos

250 130

Calorías que contiene

Según la primera tabla: a.- ¿Cuál es el alimento que posee el menor factor de proporcionalidad? b.- ¿Qué representa ese dato? c.- ¿Qué alimentos proporcionan aproximadamente la misma cantidad de calorías por gramo consumido? d.- ¿A cuántos gramos corresponden 99 calorías de espárragos?

• Comenta con tu Maestr@ que las situaciones planteadas en el apartado de “observa” se pueden contestar ahora de manera abstracta. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Situación problemática

• Héctor ahorró $300. Gastó una tercera parte y el resto lo repartió en partes iguales en cuatro sobres.

Esta parte representa ________

Esto representa ________

a.- ¿Qué parte de sus ahorros guardó Héctor en cada sobre? _____________________________________________________________________. b.- Guardó ________ de sus ahorros en cada sobre. c.- ¿Por qué? __________________________________________________________. d.- Otra manera de representarlo gráficamente puede ser así:

Situación problemática

• La mitad del grupo de Mario son varones y la quinta parte de ellos enfermaron de influenza. Divide en quintos esta superficie y colorea la que representa a los varones que enfermaron.

Esta parte representa ________

• ¿Qué parte del grupo representan los varones que se enfermaron? Representan _________ del grupo. • Otra manera de representarlo gráficamente puede ser así:

Situación problemática

• El maestro Ramón repartió un trozo de alambre a cada alumno para que hiciera un rompecabezas; les pidió que cortaran cada trozo en cuatro partes iguales y les dijo que cada parte medía 2/6 de metro. 0 1 a.- Marca donde se ubican 2/6 de metro. b.- Dibuja el trozo completo de alambre: c.- ¿Cuánto medía el trozo completo que entregó a cada niño? Medía _______ de metro o ______ metros.

Situación problemática

• Según el laboratorio de la Universidad, del total de agua dulce que existe en el planeta, aproximadamente 3/5 son utilizados para fines agrícolas; de lo que resta, 3/4 es para uso industrial y lo demás es para uso doméstico. a.- Identifica en la superficie y pinta de verde, amarillo y rojo, respectivamente, cada una de las fracciones mencionadas:

b.- ¿Qué parte del total de agua dulce se emplea en uso doméstico? Se emplean _______ del agua dulce. c.- Que procedimiento realizaste:

d.- Encuentra otra forma diferente de argumentar tu respuesta:

Situación problemática

• Para las siguientes situaciones desarrolla tus respuestas de manera gráfica. a.- Carlos, Esteban y Erik compraron una pieza grande de jamón en oferta y la dividieron en partes iguales. Carlos le regaló a sus cuñada la mitad del jamón que le tocó. ¿Qué parte de todo el jamón recibió la cuñada de Carlos? Haz tu dibujo aquí:

b.- Mariana quiere aprender inglés y viajó a Canadá por un año. Del tiempo total que abarca el curso, la mitad se dedica al estudio del inglés y el tiempo restante se reparte por igual entre el estudio de la cultura y recorrer el país. ¿Qué fracción del tiempo total dedicará Mariana al estudio de la cultura? Haz tu dibujo aquí:

c.- Vendí mi casa en $300,000, y repartí el dinero de la siguiente forma: a.- Yo me quedé con la tercera parte del total. b.- El dinero restante lo repartí equitativamente entre cuatro albergues. ¿Qué fracción de la cantidad recibida por la venta de mi casa le tocará a cada uno de los albergues? Haz tu dibujo aquí:

Situación problemática

• Tenemos fiesta en mi casa y estás invitado. La semana pasada junté cierta cantidad de dinero que se distribuirá de la siguiente manera: a.- Una tercera parte para el “fara-fara”. b.- Otra tercera parte para la cena. c.- Una más para las bebidas. A su vez, esta cantidad se dividirá en partes iguales: una para refrescos, otra para bebidas energéticas, una más para desechable, y la última para el karaoke. ¿Qué fracción del dinero se usará para la compra de las bebidas? Datos

¿Cuál fue mi procedimiento?

Resultado

Situación problemática

Para la siguiente situación escribe en forma decimal y después la fracción. • Mis amigos y yo estamos pintando un mosaico que mide un metro cuadrado. ¿Qué parte lleva pintada de cada color? Yo sólo pude resolver el color azul. Podrás ayudarnos a resolver los otros colores.

Azul

0.3

De m2.

3/10

De m2.

Naranja Verde Amarillo

Situación problemática

• El equipo de ciencia de la UNAM mejoró su marca al armar un robot en 2.6 horas (antes lo hizo en 2.8 horas). a.- ¿A cuántos minutos equivale 0.8 horas? b.- 0.6 horas equivalen a __________. c.- ¿Cuántos décimos de diferencia hay entre sus dos marcas? d.- ¿A cuántos minutos equivale la diferencia entre sus marcas? Equivale a__________.

Situación problemática

•En mi Escuela organizamos una competencia para armar la torre de legos más alta. La final estuvo muy “reñida”, los mejores tiempos fueron de: a.- Rosendo: 1.217 horas b.- Jacob: 1.251 horas. c.- Erik: 1.135 horas. ¿Quién ganó? Aquí escribe tu procedimiento

Aquí escribe tu respuesta con un dibujo

¿Qué hiciste para saber quién fue el ganador?

Situación problemática

• Myriam y Samantha son las encargadas de una tienda de DULCES. Ellas acomodaron las bolsas de CHOCOLATES según la cantidad de piezas y el precio. Llegaron unos clientes que dijeron escogerían la que representara el menor precio por cada pieza. Los precios y cantidades aparecen en la imagen:

$241 100 piezas

$510 200 piezas

$711 300 piezas

• Sin hacer operaciones y sólo con observar la imagen: a.- ¿Alguna de las bolsas ofrece un precio por pieza qué involucra pesos sin centavos? _______________________________________________________________. b.- ¿Cuántas veces cabe 200 en 510? Escribe sólo el número entero: ______________. c.- ¿Cuántas veces cabe 300 en 711? Anota sólo el número entero: _______________. d.- ¿Cuántas veces cabe 100 en 241? Incluye sólo el número entero: _______________. e.- ¿Qué procedimientos realizaste para encontrar las posibles respuestas?

Situación problemática

• Si se conoce solo la cantidad de pesos (sin centavos) que se deben pagar por cada chocolate de una bolsa: a.- ¿Pueden saber Myriam y Samantha cuál les conviene comprar a los clientes? Explica tu respuesta:

b.- ¿Cuál es la operación y el procedimiento que harías para calcular cuántos pesos y centavos se deben pagar por cada chocolate de la bolsa de 200 piezas? Explica tu respuesta:

c.- ¿Qué operación se debe resolver para saber cuántos pesos y centavos hay que pagar por cada chocolate de la bolsa de 300 piezas? Explica tu respuesta:

d.- ¿Cuál es la operación que se debe hacer para calcular cuántos pesos y centavos se deben pagar por cada chocolate de la bolsa de 100 piezas? Explica tu respuesta:

Situación problemática

• El ingeniero Juan Carlos quiere saber ¿cuántos metros cuadrados mide la superficie de un salón de fiestas infantiles con forma de rombo cuyas diagonales son de 12 m y 18 m? El ingeniero nos pide que realicemos el dibujo, después el procedimiento y al final expliquemos la respuesta. Dibujo

Procedimiento

Explíco mi respuesta

Situación problemática

• El ingeniero Juan Carlos en un nuevo proyecto de la constructora quiere saber ¿cuál es el área de un terreno en donde sus diagonales en forma de rombo miden 90 m y 42 m? Nuevamente nos pide que realicemos el dibujo, después el procedimiento y al final expliquemos la respuesta. Dibujo

Procedimiento

Explíco mi respuesta

Situación problemática

La siguiente información la encontré en la revista científica que lee Pit. Sabías que lo colibríes son los pájaros más pequeños que existen. La especie de menos tamaño son el colibrí zunzuncito o elfo que desde la punta del pico hasta la punta de la cola mide entre 4.8 y 5.5 cm y puede pesar entre 2 y 2.7 gr. La especie más grande es el llamado colibrí gigante que llega a medir hasta 25 cm; su peso puede oscilar entre los 22.5 y los 24 g.

• Para responder las siguientes preguntas, escribe los datos, el procedimiento de manera gráfica y posteriormente explica el resultado.

a.- ¿Cuántos milímetros puede medir el colibrí zunzuncito desde la punta del pico hasta la punta de la cola? Los datos son:

Procedimiento gráfico:

Así explico mi resultado:

b.- ¿Cuántos miligramos puede pesar el colibrí elfo? Los datos son:

Procedimiento gráfico:

Así explico mi resultado:

c.- ¿Cuántos milímetros más de los que mide un elfo puede medir un colibrí gigante? Los datos son:

Procedimiento gráfico:

Así explico mi resultado:

d.- ¿Cuántos miligramos más de los que pesa un elfo puede pesar un colibrí gigante? Los datos son:

Procedimiento gráfico:

Así explico mi resultado:

Situación problemática

La siguiente información la encontré el libro de geografía de Matt. La población del mundo Durante 2010 se llevó a cabo en varios países el censo poblacional. De acuerdo con la información reportada por el INEGI, en México hay 112 337 000 habitantes. Se encuentra entre los 12 países más poblados del mundo y es el tercer país más poblado del continente americano. También encontré la tarea con la siguiente información en la tabla y preguntas. ¿Le podremos ayudar?

País:

Población aproximada (millones de habitantes)

Lugar que ocupa mundialmente

Brasil:

192.38

5°

China

1313.98

1°

Estados Unidos

308.745

3°

India

1241.5

2°

México Rusia

11° 142.9

a.- ¿Qué significa .5 en la población aproximada de habitantes de India? b.- ¿A cuántos habitantes equivale el número .38 en la población de Brasil? c.- ¿A cuántos habitantes equivale el número .9 en la población de Rusia? d.- ¿Podrás registrar la población de México en la tabla?

8°

• Para finalizar ahora realizarás una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio del aprendizaje esperado.

Práctica

• Traza las alturas de los triángulos. Usa regla y escuadra

Práctica

• Une los puntos que aparecen en el rectángulo según el orden de los números y colorea los recuadros con las respuestas correctas. 1

a.- ¿Cuál es el nombre de la figura que se formó dentro del rectángulo? Trapecio

Rombo

Romboide

b.- ¿A qué parte del área del rectángulo corresponde el área del rombo? La octava parte

La cuarta parte

La mitad

Práctica

• Escribe en la recta las letras que corresponden a las fracciones. a) 0

Práctica

16 5

7 5

b) 1

7 2

1 2

25 10

6 3 4

• Representa en las rectas las fracciones que se muestran en las figuras.

Práctica

• Anota la fracción y represéntala en las figuras y en las rectas. Siete décimos

Diez tercios

Siete cuartos

Práctica

• Señala el color adecuado, según la descomposición del romboide. ¿Cuál de las operaciones representa el área de éste? 3cm 4cm

5cm 3cm

3x4/2 + (5x4) + 3x4/2

Práctica

3 + 5 + 3 +4

(4x4) + (5x4) + (3x4)

• Revisa las figuras y marca el color correspondiente. ¿En cuál de las opciones el resultado es el mismo que en la práctica anterior?

5cm

4cm

5cm 3cm

3cm

3 + 4 + (5 x 4)

Práctica

4cm

3cm

3+4+5

8x4

• En la siguiente recta numérica ubica las siguientes fracciones: 8 5

14 4

38 7

9 3

7 2

23 4

• En las siguientes fracciones, escribe dos maneras distintas de representar el mismo número. El primero está resuelto y el segundo tiene una respuesta. 9 10

3 10

17 5

2 5

8 5

42 9

38 7

Práctica

3 10

2 10

• Representa gráficamente el resultado de las siguientes operaciones: 1 4

20 8

2 3

18 2

11 5

9 10

3 10

5 10

Práctica 10 • En el periódico de la ciudad encontré los resultados de la competencia de triatlón que se llevó a cabo en la zona norte:

DEPORTES Después de varios números artísticos, se entregaron los reconocimientos y premios a los deportistas.

RESULTADOS DE LOS GANADORES Participantes Israel Mtz. Fabián Loera Luis Pérez

Natación (1.9 km) 0.5 h 0.6 h 0.9 h

Ciclismo (90 km) 1.4 h 1.6 h 1.6 h

Carrera a pie (10.1 km) 4.8 h 5h 5.1 h

Tiempo total

Medalla

6.7 h 7.2 h 7.6 h

Oro Plata Bronce

a.- ¿Cuántos metros debían nadar los participantes? b.- ¿De cuántos metros consistía la prueba del recorrido a pie? c.- ¿Cuántos minutos hay de diferencia entre las marcas de Israel y Luis en la prueba de ciclismo? d.- ¿Es correcto afirmar que la diferencia entre los tiempos que hicieron Israel y Fabián en la prueba de natación es de 4 minutos? ¿Por qué? e.- ¿Cuántos minutos de diferencia hay entre el tiempo total de los lugares primero y tercero? f.- ¿Significa lo mismo el .1 en 201.1 km que en 5.1h? ¿Por qué?

Hola Matt, ¿Qué haces?

Estoy haciendo una investigación. Me encargaron en la Escuela investigar las diferentes maneras de representar una fracción. ¿Podrías ayudarme?

¡De verdad!, ¿podrías explicarme cada una?

Pon mucha atención. Una fracción puede representarse de diferentes maneras: 1.- Con cifras numéricas. 2.- Mediante superficies y 3.- Mediante rectas numéricas.

Muy bien Matt, al parecer ya empiezas a manejar fracciones sin complicaciones.

Si, mira: 2/5 mediante superficies lo puedo representar así: O 6/8 los puedo hacer así:

6 8 0

Te daré un ejemplo: En la recta numérica consideraré segmentos como unidades y las dividiré en el número de partes iguales que indica el denominador. Por ejemplo: 6/8 lo puedo hacer así: 10 8 1

Gracias Pit, pero sigo sin saber, de qué otras formas puedo representar las fracciones.

Excelente, Felicidades. Ahora sólo faltaría saber cómo representarlo mediante rectas numéricas.

Es cierto, me he dado cuenta que a partir de representaciones gráficas es más sencillo y divertido. Gracias Pit. Tu ayuda y la de nuestros amigos han sido de mucho aprendizaje. Pero no olvides que primero jugamos, después observamos y comentamos…

y al final, resolvemos.

Si claro. Existen tres maneras de representar una fracción.

¡wow! Creo que yo conozco la primera que se refiere por ejemplo a: 3 4 9 7 12 , , , = 2 6 10 4 15 O también los puedo representar así: 1 entero 3/4, se puede representar: 1 +

1 1 7 4 3 + + + + 2 4 4 4 4

Te explico, es muy sencillo: También las podemos representar mediante superficies. Podemos considerar figuras geométricas como enteros, que se dividen en partes iguales de acuerdo con el denominador y coloreando el número de partes que se indica según el numerador. ¿Podrías darme algún ejemplo?

¡Ca caray!, esa forma no sé cómo representarla.

Gracias Matt. Ahora iniciemos con la actividad integradora 2.

¡Felicidades!

Concluiste las situaciones problemáticas de la actividad integradora del Boque II. Ahora estás preparado para el Bloque III que corresponde a los aprendizajes esperados: Calcula el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros y resuelve problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural.

100

Lista de cotejo para el docente.

BLOQUE II Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros. Aprendizajes clave Número: a.- Leer, escribir y ordenar números decimales (hasta milésimos). b.- Ordenar fracciones con denominadores múltiplos (fracciones equivalentes). Figuras geométricas: a.- Construir cuadriláteros a partir de sus diagonales. b.- Construir triángulos e identificar y trazas sus alturas. Magnitudes y medidas: a.- Calcular el área de triángulos y cuadriláteros mediante su transformación en un rectángulo. Patrones y expresiones equivalentes: a.- Explorar sucesiones de números y de figuras con progresión aritmética y geométrica.

101

Indicador Logrado 1.- Trabajé situaciones problemáticas que tienen como base los conocimientos previos o herramientas matemáticas que mis alumnos poseen. 2.- Ofrecí experiencias significativas que generan movilización de saberes y la adquisición de otros. 3.- Trabajé inicio, desarrollo y cierre durante mi secuencia didáctica. 4.- Le di a conocer a mis alumnos el título de la situación problemática, aprendizaje esperado, aprendizaje y clave. 5.- Consideré la previsión de recursos y la organización del tiempo adecuado. 6.- Manejé diferentes formas de organización durante mi secuencia. 7.- Trabajé actividades que permiten experiencias diversas como contextos familiar, social y cultural. 8.- Lo que se aprendió durante la secuencia didáctica tiene aplicación en otros contextos. 9.- Logré revisar, analizar y reflexionar con mis alumnos cada situación problema durante la etapa concreta, pictórica y abstracta 10.- Manejé actividades secuenciadas, estructuradas y articuladas en 3 etapas (inicio, desarrollo y cierre) con una intención educativa. 11.- Durante el bloque trabajé: Sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida, manejo de la información y actitud hacia el estudio de las matemáticas. 12.- Durante la secuencia promoví que el alumno formulara y validara conjeturas. 13.- Durante la secuencia promoví que el alumno se planteara nuevas preguntas. 14.- Durante la secuencia promoví que el alumno comunicara, analizara e interpretara procedimientos de resolución de problemas. 15.- Durante la secuencia promoví que el alumno buscara argumentos para validar sus procedimientos. 16.- Los alumno desarrollaron diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etc. 17.- Incentivé el análisis de las relaciones entre la fracción y el todo.

102

No logrado

Sugiero que:

Indicador 18.- Desarrollé el significado de la parte decimal en medidas de uso común; por ejemplo, 2.3 metros, 2.3 horas. 19.- Se logró la resolución de problemas que implican una división de números naturales con cociente decima. 20.- Manejé la localización y trazo de las alturas en diferentes triángulos. 21.- Reproducí figuras usando una cuadrícula en diferentes posiciones como sistema de referencia. 22.- Manejé la construcción y uso de fórmulas para calcular el área de paralelogramos (rombo y romboide). 23.- Apliqué el factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos.

103

Logrado

No logrado

Sugiero que:

104

Actividad integradora Bloque

Título: Perímetros, áreas y valores faltantes. Aprendizaje esperado a.- Calcula el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros. b.- Resuelve problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fraccionarios con denominadores múltiplos. Figuras geométricas: a.- Construir prismas y pirámides rectos cuya base sean cuadriláteros y triángulos a partir de su desarrollo plano. Magnitudes y medidas: a.- Resolver problemas que impliquen magnitudes (longitud y superficie) con cantidades relativamente grandes. Materiales: Bloques, barras de unidad, tablas de decenas y cubos de millar, hojas cuadriculadas, bloques de Dienes, legos, geoplano doble cara, ligas, escuadras trasportador, reglas, calculadora, 15 tiras de papel de 16 centímetros de largo y 2 centímetros de ancho y una hoja rayada (para el juego 6). Información para tu Maestro@: Los juegos y las situaciones problemáticas que trabajarán tus alumnos atienden el diseño de la tabla de contenidos del programa de quinto grado por cada uno de los bloques. Los contenidos de los bloques están organizados tomando en cuenta los momentos de aprendizaje matemático sugeridos por Brunner (intuitivoconcreto, gráfico-representativo y simbólico-convencional). Al inicio de cada actividad integradora te presentaré el bloque con los contenidos a desarrollar por los alumnos; además te mostraré su organización y a que juego o situaciones problemáticas corresponden.

105

TABLA DE CONTENIDOS Competencia a desarrollar: 1.- Resolver problemas de manera autónoma 2.- Comunicar información matemática 3.- Validar procedimientos y resultados 4.- Manejar técnicas eficientemente Ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico Números y sistemas de numeración Comparación de fracciones con distinto denominador, mediante diversos recursos. Problemas aditivos Uso del cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios y decimales. Problemas multiplicativos Análisis de las relaciones entre los términos de la división, en particular, la relación r = D – (d × c), a través de la obtención del residuo en una división hecha en la calculadora.

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Forma Espacio y medida

a.- La historia de Figuras y Matt. cuerpos b.- Juguemos a Construcción repartir pasteles de cuerpos (juega). geométricos c.- Juguemos a con distintos partes que no son materiales iguales (juega). (incluyendo d.- Situación 2, cono, cilindro 3 y 4 (observa y y esfera). comenta). Análisis de sus e.- Situación 6 características (resuelve). referentes a f.- Práctica 2 y 5. la forma y al número de caras, vértices a.- La historia de y aristas Matt. b.- Juguemos Ubicación a cuánto falta espacial y cuánto sobra Descripción (juega). oral o escrita de c.- Juguemos a rutas para ir de descubre el valor un lugar a otro. faltante (juega). d.- Situación 1 Medida (resuelve). Construcción e.- Práctica 1, 3, 4 y uso de una y 7. fórmula para calcular el área a.- Situación 5 del triángulo y el y 6 (observa y trapecio. comenta). b.- Situación 2, 3 y 9 (resuelve). c.- Situación 15 (resuelve).

Identificación de múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y las medidas agrarias.

¿A qué etapa, juego y situación corresponde? a.- Juguemos a ¿cómo cuáles son? (juega). b.- Situación 7, 8 y 11 (observa y comenta). c.- Situación 10 y 14 (resuelve). d.- Práctica 8 y 9. a.- Juguemos a batalla naval en la isla (juega). b.- Situación 9 y 10 (observa y comenta). a.- Juguemos a ¿cómo cuáles son? (juega). b.- Situación 7, 8 y 11 (observa y comenta). c.- Situación 10 y 14 (resuelve). d.- Práctica 8 y 9. a.- Juguemos a midamos con fracciones de metro (juega). b.- Situación 1 (observa y comenta). c.- Situación 4, 5, 7, 8 y 11 (resuelve). d.- Práctica 10.

106

Manejo de la información

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Proporcionalidad y a.- Juguemos funciones a interpretar Análisis de información procedimientos para numérica (juega). resolver problemas b.- Situación 4, 5, 6 de proporcionalidad y 8 (resuelve). del tipo valor faltante c.- Situación 12, 13 (suma término a y 15 (resuelve). término, cálculo de d.- Práctica 6. un valor intermedio, aplicación del factor constante.

¿A dónde vas amigo mío?

¡jajajaja!, tutor estrellado no. Soy TUTOR ESTRELLA.

¿Pudieras darme algún ejemplo? O mejor aún, amigos de quinto grado, ¿pudieran darnos algún ejemplo? _________________ __________________ Te doy otro ejemplo. En la fracción 6/5, ¿el numerador es par o impar? _____________________________________ ¿Entre cuánto lo debo de dividir? ___________________________ ¿Por qué? ___________________________ ___________________________ ¿Me lo podrían explicar gráficamente? ¿Cómo quedaría el 3/5?

Por supuesto Pit. Otro ejemplo sería: 1/2 = 2/4, así que 1/2 + 1/4 = 3/4.

Voy a hacer una tarea en equipos y estoy muy emocionado porque esta semana me asignaron el nombre de “tutor estrella”.

Bueno eso, eso. Explícame por qué.

Yo les daré otro ejemplo. Para calcular el doble de fracción 3/4 ¿Qué tenemos que hacer? _________________________ _________________________ ¿Y qué puedo hacer cuando el denominador es impar? Comenta con tus compañeros: _________________________ _________________________

¡Wow! ¿Y por qué eres el tutor estrellado?

Pues porque he logrado resolver operaciones con fracciones empleando estrategias de cálculo mental.

Cierto amigos. Pero, ¿y para obtener la mitad de una fracción? ¿Qué tengo que hacer? _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ Por ejemplo, en 3/5 en cuánto dividiríamos cada fracción para que nos quedará en 3/10. _________________________ ____________

Por eso también es importante recordar equivalencias de fracciones usuales, ¿pudieran darme algunos ejemplos?

Y el 3/10 quedaría así:

Ahora entiendo porque te dieron el nombre de tutor estrella. Además, mis amigos de quinto grado son muy buenos empleando estrategias de cálculo mental.

Quiero determinar cuánto le falta al número decimal para completar la unidad: 0.45 + _______ = 1.

¿Podrían ayudarme a resolver una operación con números decimales mediante cálculo mental?

Han aprendido muy rápido. Los felicito.

Y antes de irme porque ya se me hizo tarde también no olvides que: El cálculo mental también nos ayuda a identificar entre qué enteros se localiza una fracción o número decimal. Por ejemplo:

1<3<2, 2<2.63<3. 2

107

Saludos amigo, me voy volando a hacer mi tarea porque ¡SOY TUTOOOOOOR!

Antes de iniciar pídele a tu maestr@ que te muestre el material para conocerlo.

Juguemos a interpretar información numérica.

1.- Observen el cuadro de la población y complétenlo en parejas utilizando números y letra, según corresponda. POBLACIÓN TOTAL HABLANTE DE LENGUA INDÍGENA SEGÚN EL TIPO DE LENGUA EN EL ESTADO DE CHIAPAS LENGUA INDÍGENA CHOL

TOTAL DE HABLANTES 139 646

JACALTECO KANJOBAL

Novecientos cincuenta 13 433

MAME

Doce mil trescientos veinte

MAYA

789

TOJOLABAN

44 618

TZELTAL

317 618 Doscientos ochenta y un mil seiscientos setenta y siete

TZOTZIL ZAPOTECO

3 433

ZOQUE INFORMACIÓN INSUFICIENTE OTRAS

43 350 24 366 Tres mil cuatrocientos cinco

TOTAL 2.- Después de completar el cuadro, atiendan las siguientes consignas. a.- Realicen en una hoja de cuadricula una lista con las lenguas que se hablan en Chiapas. Ordénenlas de mayor a menor, según la cantidad de hablantes. b.- Ahora obtengan con la calculadora, el total de personas que hablan diferentes lenguas indígenas. c.- Encuentren cuántas personas no hablan ninguna lengua indígena, tomando en cuenta que en el estado hay una población de 3, 210 496 habitantes.

108

d.- Ahora, redondeen a millares el total de la población en Chiapas, y el de hablantes de cada lengua indígena. e.- Calculen que parte del total de chiapanecos habla alguna lengua indígena. Tomen como base la barra que representa el total de la población en el estado de Chiapas y dibujen la barra que corresponda al número de chiapanecos que no hablan alguna lengua indígena y la que represente el número de los que sí hablan alguna. 4 000 000--------3 000 000-------2 000 000--------1 000 000----------

Total de población

No hablan lengua indígena

Hablan lengua indígena

f.- Gana la pareja que termine primero y TODOS sus datos y resultados sean correctos. g.- En caso de no ser así, gana la pareja que tenga menos cantidad de errores.

Juguemos a batalla naval en la isla.

• El propósito de este juego es hundir los barcos de tu compañero. • Organícense en parejas y cada uno calque dos veces el mapa que a continuación se muestra en la plantilla cuadriculada: 1

A B C D E F G H I J

109

• Cada alumno tendrá barcos y deberá ubicarlos en una de las plantillas. • No olviden dibujar un punto en el que se crucen los ejes de coordenadas ya que no se podrán ubicar más de un barco en el mismo sitio. • Para iniciar el juego uno de los alumnos tratará de adivinar una de las coordenadas que ocupó su compañero; por ejemplo (C,2) y lo anota en el otro mapa, en el que llevará el control de los barcos que hunda. • Si el primer alumno acierta, el otro dice HUNDIDO, y si no, dice AGUA. Para definir la posible coordenada de un barco, primero se debe leer el número de la línea vertical y luego el de la letra en horizontal. • Después le toca el turno al otro alumno. • Gana el primero que hunda todos los barcos del compañero.

Juguemos a midamos con fracciones de metro.

Para cada equipo elaboren siete tiras de cartoncillo de 1 metro de largo y 5 centímetros de ancho. Tantas tiras de cartoncillo de 2 metros de largo y 5 centímetros de ancho como integrantes tenga el equipo. • Organícense en equipos (máximo cinco integrantes). • Cada equipo toma una tira de 1 metro, la divide por la mitad, la corta y escribe en cada mitad su longitud (1/2 metro). • De la misma manera, los equipos fraccionarán las demás tiras de 1 metro en cuartos, octavos, tercios, sextos y quintos y escribirán en cada parte la fracción correspondiente. • Cuando hayan terminado de fraccionar todas las tiras escojan una de cada medida, ordénenlas de mayor a menor, incluyendo la tira de un metro, y escriban en su cuaderno las medidas de ese orden. También busquen la manera de representarlo a escala en una hoja de cuadricula. Utilicen sus propias estrategias. • En otra parte, por cada equipo se traza una línea que mida más de un metro y menos de dos. Por ejemplo, 1.50 m, 1.75 m, 1.25 m, 1.70 m, 1 metro más 2/3 de metro y 1 metro más 1/3 de metro. • Los integrantes del equipo expresen cuánto creen que miden las líneas, utilizando fracciones de metro, y un integrante del equipo dibuje en una hoja cuadriculada de manera gráfica las diferentes aproximaciones que hacen. Por ejemplo, 1 metro más un cuarto o cinco cuartos. • Para comprobar quien se acercó más cada integrante mide una de las líneas trazadas con las tiras de cartoncillo que cortaron en la clase anterior y anoten la medida que obtengan en un papelito. • Los alumnos podrán expresar de diferentes formas una misma medida.

110

• Enseguida, intercambien los papelitos con los integrantes de otro equipo. Para comprobar si el compañero midió bien, cada alumno construye, con la tira de cartoncillo de 2 metros, una tira de acuerdo con la medida que indique el papelito que le tocó. • Cada alumno compara la tira que realizó con la línea que se trazó originalmente y si no tiene la misma longitud, ambos niños, el que escribió la media en el papelito y el que construyó la tira buscan si el error estuvo en la medida o en la construcción de la tira. Debe propiciarse la discusión, tanto en el interior de los equipos como en todo el grupo, permitiendo que los alumnos expresen sus propios procedimientos. Si se considera que el juego es largo puede desarrollarse en más de una clase. También puede repetirse con otras fracciones de metro y otras medidas.

Juguemos a repartir pasteles.

En equipos de 3 alumnos recorten 4 círculos de cartoncillo para recortar las piezas de los diferentes pasteles. •Lean las siguientes situaciones y comenten sus respuestas y procedimientos: a.- Se reparten 4 pasteles entre 5 niños, a todos les toca igual o sobra. ¿Le toca más de un pastel a cada niño o menos de un pastel? ¿Cuánto le toca a cada niño? b.- Se reparten 7 pasteles entre 6 niños, a todos les toca igual o no sobra. ¿Le toca más de un pastel a cada niño o menos de un pastel? ¿Cuánto le toca a cada niño? • Cuando terminen de resolver las dos situaciones se organizará una discusión con todos los equipos para que conozcan los procedimientos que siguieron y revisen los resultados. • Primeramente, los equipos dicen sus resultados, se anotan todos en el pizarrón y luego pasa un representante a explicar el procedimiento del equipo. • Es probable que surjan distintas expresiones aditivas que tengan el mismo valor, ¿por qué?, comenta con tu maestr@. • ¿En cuál de los dos casos le tocó más pastel a cada niño? • Con los círculos de cartoncillo, corten la parte del pastel que corresponde a cada niño y comprueben si les toca la misma cantidad. Usen y recorten la cantidad de círculos que consideren necesarios.

111

Observen el ejemplo:

1 2

1 4

1 20

• Para finalziar, cada equipo elaborará dos situaciones similares a las anteriores pero ahora con chocolates de acuerdo con las siguientes indicaciones: a.- Repartan 5 chocolates entre 4 niños. b.- Repartan 3 chocolates entre 4 niños. • Para los chocolates corten tiras de papel de forma rectangular. Para asegurarse cómo deben partir los chocolates pueden calcular primero usando bloques o dibujandolos en la hoja de cuadícula. • Gana el equipo que halla obtenido sus procedimientos y resultados correctamente.

Juguemos a las partes que no son iguales.

Este juego se trata de cortar cada una de las 15 tiras en dos partes que no sean iguales, pero antes de cortarlas les indicaré con qué fracción trabajará cada equipo de 5 alumnos. Equipo 1: quintos. Equipo 2: sextos. Equipo 3: octavos. Equipo 4: novenos. Equipos 5: decimos. • Por ejemplo, si un equipo trabaja con cuartos, se podría dividir la tira de la siguiente manera: 1/4 + 3/4.

112

• Cuando los equipos terminen de cortar sus tiras cada uno anotará en ellas y en su cuaderno las medidas que obtuvieron. Después intercambien sus medidas con otro equipo para que las ordenen de mayor a menor. Ambos equipos verifiquen si el orden es correcto, utilizando las tiras recortadas. • Si algunos equipos aprovechan el procedimiento de dividir las tiras de papel en partes no iguales por medio de las paralelas, deben seleccionar uno de los lados largos sobre el cual harán las divisiones.

Juguemos a cuánto falta y cuánto sobra.

Se requiere un juego de 30 cartas como el que se muestra para cada equipo. 1 2

2 2

3 2

1 4

3 4

4 4

5 4

1 3

2 3

3 4

4 4

5 4

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

7 4

1 6

5 6

6 6

7 6

1 8

3 8

5 8

7 8

9 8

1 9

2 9

• Las cartas deben llevar en el reverso una fracción que, al sumarse o restarse con la del anverso, dé como resultado 1. • Pueden usar un color para todas las fracciones de un lado y un color distinto para las del otro. • Por ejemplo, si al frente se lee 1/4, en el reverso debe estar 3/4, porque 1/4 +3/4 = 4/4 = 1. Si al frente se ve 7/6, en el reverso deberá estar 1/6, porque 7/6 – 1/6 = 6/6 = 1. • Ahora revuelvan las tarjetas y coloquen una sobre otra con el mismo color hacia arriba. • Por turnos, cada alumno tome una carta y diga cuál cree que debe ser la fracción del reverso para que la suma o resta nos dé como resultado 1. • Finalmente voltea la carta para ver si acertó. Si acierta se queda con carta; si no, la coloca nuevamente debajo de las demás. •Gana el alumno que reúna más tarjetas.

113

Juguemos a descubre lo que falta.

• Organícense en equipos de 4 personas y anoten en las hojas cuadriculadas la siguiente tabla:

Pasteles Niños

5 4

20 8

30 10

75 12

55 1

• Como pueden observar, en la tabla hay lugares vacíos porque falta la cantidad de pasteles, o bien la cantidad de niños. • El juego consiste en encontrar las cantidades que faltan, con la condición de que siempre toquen 5/4 de pastel a cada niño. • Observen que la primera columna está completa: 5 pasteles y 4 niños. • Utilicen los materiales que consideren necesarios: bloques, regletas, círculos de cartón, etc. • Comenten en el equipo la siguiente pregunta: ¿Con esas cantidades les podrá tocar 5/4? • Al finalizar cada equipo nombre un representante y exponga a todo el grupo los procedimientos que utilizaron.

Juguemos a ¿como cuáles son?

• Formen equipos de dos personas. Cada equipo recibirá una tarjeta al azar con la descripción de un cuerpo geométrico; el juego consiste primeramente en construir ese cuerpo con materiales que encuentren en el salón, en el aula de usos múltiples y en el patio, eligiendo los que les parezcan adecuados. • Al terminar de construir los cuerpos, preséntenlos ante todo el grupo. En los casos de la pirámide y el prisma, terminen de escribir sus nombres de acuerdo con la forma de sus bases. • Un miembro del equipo con los ojos vendados tocará los cuerpos presentados y le explicará a su compañero las características de cada uno. • El compañero que no tiene los ojos vendados completará la siguiente tabla tomando como base la información que su compañero le dio.

114

Nombre del cuerpo Cilindro Cono Cubo Esfera Pirámide Semiesfera Toro (dona)

Número total de caras

Número de caras planas

Número total de aristas

Número de aristas curvas

Número de vértices

• Comenten las siguientes preguntas y tomen en cuenta la información que anotaron en la tabla anterior. a.- ¿Qué cuerpos tienen todas sus caras planas? b.- ¿Qué cuerpos tienen algunas caras planas? c.- ¿Qué cuerpos no tienen caras planas? d.- ¿Qué cuerpos tienen todas sus caras curvas? e.- ¿Qué cuerpos tienen algunas aristas rectas? f.- ¿Qué cuerpos tienen todas las aristas curvas? • Gana el equipo que tengas todas las respuestas correctas al igual que la información de la tabla.

115

Situación problemática

• Para decorar un mantel, Karla compró 4/5m de encaje blanco y 3/5m de listón. Si el metro de cada uno cuesta $15, ¿por cuál de los dos materiales pagó más? ________________________________ _______________________________________. ¿Por qué? ______________________________________________________________. Argumenta tu respuesta de manera gráfica dibujando el encaje y el listón. LISTÓN

Situación problemática

ENCAJE

• La cocinera de la panadería “La Delicia” utilizó estos ingredientes: De los dibujos que observes selecciona de la parte izquierda del cuadro y dibuja lo que se necesita en la parte derecha: a.- 2/4 de litro de miel. b.- 3 recipientes de 1/2 de litro de leche. c.- 3/4 de litro de crema.

116

= = = = = = = = = • Comenta con tus compañeros: a.- ¿Cuál de los tres ingredientes utilizó mayor cantidad? ¿Por qué? b.- ¿Cuál de los tres ingredientes utilizó menor cantidad? ¿Por qué? c.- ¿Cuánto necesitas de miel, leche y crema para llegar al entero en cada uno?

MIEL

LECHE

117

CREMA

Situación problemática

• Una compañía de circo ha hecho una gira alrededor de todo el continente americano. El tiempo de gira lo repartió la compañía de la siguiente manera: la cuarta parte, el circo estuvo en Argentina, 4/32 partes en Brasil, una octava parte en Venezuela, la dieciseisava parte en Bolivia, 5/32 partes en Cuba, 8/32 partes en México y el resto del tiempo lo invirtió en Guatemala.

a.- ¿A qué fracción corresponde cada país latinoamericano?

Argentina

Venezuela

Cuba

Guatemala

Brasil

Bolivia

México

b.- ¿Cuáles fueron los dos países en los que la compañía de circo estuvo 4/16 partes del tiempo? c.- ¿Cuál es la fracción de tiempo de la gira que invirtieron en Guatemala? d.- ¿Cómo hicieron para obtener el dato?

Situación problemática

• La compañía del circo ha finalizado la gira por todo Latinoamérica. El administrador a pedido a los contadores reducir el tiempo mediante fracciones equivalentes a.- Relaciona las columnas; para ello, encuentra el recuadro con la fracción equivalente.

118

8/32 partes del tiempo se presentĂł en MĂŠxico

2 32

5/32 partes del tiempo estuvo en Cuba

2 8

La dieciseisava parte la invirtiĂł en Bolivia 4/32 partes del tiempo se estancia fue en Brasil

10 64 1 8

1/32 parte del tiempo estuvo en Guatemala

2 16

Una octava parte del tiempo estuvo en Venezuela

2 64

b.- En la siguiente cuadricula elabora las equivalencias que consideres necesarias para encontrar las respuestas.

119

Situación problemática

• En equipos de dos personas y con la calculadora traten de resolver la siguiente situación. a.- En un negocio de material didáctico se compraron 38 productos que se empacaron en bolsas de dieciséis artículos. Al resolver con la calculadora la división de 38 ÷ 16, el resultado es 2.375, con esto se sabe que se pudieron formar dos paquetes de dieciséis artículos cada uno, pero no dice cuántos artículos sobraron. Para saberlo, se multiplica 16 por el entero del resultado, sin tener en cuenta los decimales, es decir 16 × 2 y el resultado se resta de 38. Así supieron que sobraron seis artículos. Observa y comenta el ejemplo: Cantidad de productos D 68 22

Número de paquetes formados d 32

Resultado Parte entera de del cociente D entre d multiplicada por el divisor 2.125

Articulos que sobraron r

(dxc) + r

D-(d x c)

15 b.- ¿Qué columnas tienen los mismos números? c.- ¿Qué valor representa d × c?

Situación problemática

• Para la siguiente situación, en equipos de tres personas resuelvan el procedimiento de manera gráfica utilizando una hoja de cuadricula. Un compañero utilizará la calculadora, el segundo lo resolverá utilizando la cuadricula y el tercero contestará las preguntas. Al finalizar comenten con otros equipos para comparar sus procedimientos y resultados. • En un negocio de material didáctico recibieron un pedido de 45 ábacos, que entregarán en partes iguales en cuatro papelerías. a.- ¿Qué operación se tiene que hacer para saber cuántos ábacos entregarán en cada papelería? b.- ¿Cuál es el resultado de esta operación si se resuelve en la calculadora? c.- ¿Qué operaciones se tienen que hacer para saber cuántos ábacos sobran? d.- ¿Cuántos ábacos sobrarán?

120

Situación problemática

• En parejas, observen a imagen para resolver la situación. • Unos estudiantes de 5º grado construyeron diferentes cuerpos geométricos utilizando cartulina. a.- ¿Qué creen que hicieron para construir los cuerpos que observan? b.- ¿Qué cuerpos formaron? Uno lo hicieron con dos prismas rectangulares, uno pentagonal y un cubo; el otro, con un prisma hexagonal y una pirámide pentagonal. Los vértices, las caras y las aristas se deben contar considerando por separado los cuerpos que conforman a los muñecos. c.- ¿Por qué?, comenten con el resto del grupo.

d.- Marquen con rojo es el segmento que tienen en común dos caras de un cuerpo. ¿Qué nombre le darían? e.- Marquen con azul el punto donde se juntan las aristas. ¿Qué nombre le darían? f.- Ahora conteste la siguiente tabla y comenten con su Maestr@ sus resultados: Numero de cuerpos

Numero de caras

Numero de vértices

Numero de aristas

Imágen azul Imágen morada

g.- Al finalizar comenten sus resultados con todo el grupo y elaboren la tabla en el pizarrón para comparar sus respuestas.

121

Situación problemática

• Fotocopia las figuras, recórtalas y colorea de azul las plantillas usadas para construir el primer muñeco, y de anaranjado las empleadas para el segundo de la situación anterior. Compruébalo mediante la construcción.

• Después de colorear las plantillas que se usaron en los muñecos, mencionen ¿qué cuerpo se forma con la que no quedó pintada?

122

Situación problemática

¿Cómo puedes explicarle a alguien el camino que sigues de tu casa a la escuela? ¿Qué palabras pueden ser útiles? ¿En qué debes fijarte? Cuando se quiere describir algún desplazamiento, es decir, un recorrido o movimiento, ¿qué debes de tomar en cuenta?

Utilizar las palabras derecha, izquierda, arriba y abajo, que acompañarán al número de calles o avenidas que señalan el desplazamiento es importante. Otra manera de descripción es mediante el uso de los puntos cardinales norte, sur, este y oeste. • Ahora hagan una serie de dibujos que represente el siguiente desplazamiento: a.- Mauricio comienza un recorrido de pie y camina tres pasos hacia delante. b.- Se coloca en cuclillas para introducirse en un bote que forma un túnel. c.- Después de cruzar el túnel, da dos pasos y brinca un obstáculo. d.- Sigue de frente cinco pasos.

a.-

b.-

c.-

123

d.-

Situación problemática

•Luisa quiere encontrar la manera más rápida para llegar a sus destinos. Vamos a ayudarla. •En equipos de 2 personas observen el croquis y comenten como le harían. •Escriban el procedimiento más corto de manera gráfica en su hoja de cuadricula.

a.- ¿Qué recorrido tiene que hacer Luisa para ir de su casa a la cancha de futbol? b.- ¿Cuál recorrido se seguiría para ir del mercado al cine? c.- Para ir de su casa al estadio, ¿cómo llega más rápido? Por el supermercado o por el mercado. ¿Por qué? d.- Describe el recorrido para ir del hospital a la casa de Luisa. Considera que la salida es hacia la cancha de futbol. e.- Comenta con tus compañeros el recorrido de la casa de Luisa al estadio olímpico. f.- Sales del súper mercado, caminas hacia el oeste (la cancha de futbol), al terminar la calle, das vuelta a la derecha (norte) y una calle después, das ahora vuelta al oeste (a la izquierda). ¿A dónde llegas?

124

Situación problemática

5 cm

• A partir de la figura que se ilustra a continuación, Paula y Antonio quieren determinar la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo. Para ello, ayúdalos a trazar sobre cartulina dos triángulos y recortarlos formando un paralelogramo.

7 cm a.- Al acomodar los triángulos como en la figura, Paula dice que es un trapecio y Antonio opina que es un romboide. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? b.- Paula dice que la operación para calcular el área de esta figura debe ser una multiplicación: 7 × 5, y Antonio opina que debe ser una suma: 7 + 5. ¿Cuál es la operación correcta que deben realizar para calcular el área de esta figura? ¿Por qué? c.- Puesto que los dos triángulos son iguales, ¿qué operación deben realizar para hallar el área de cada uno? Antonio opina que 7 + 5 2. Paula dice que 7 × 5 2. ¿Qué operación crees que es la correcta: d.- Si en la operación se sustituyen los números por las letras correspondientes: base (b) y altura (h), ¿con cuál fórmula se calcula el área del triángulo?, ¿pudieras explicarle a Paula y Antonio?

125

• Comenta con tu Maestr@ que las situaciones planteadas en el apartado de “observa” se pueden contestar ahora de manera abstracta. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Situación problemática

• Para obtener pintura de color rosa y envasarla en botes de 1 litro, Kevin combinó pintura de colores rojo y blanco. En un bote mezcló 6/8 l de pintura roja y 2/8 l de pintura blanca. En otro bote mezcló 4/8 l de pintura de cada color. a.- ¿En cuál de los dos botes obtuvo un color más intenso?

b.- ¿Por qué?

Situación problemática

• Usa tu calculadora para completar la tabla. En un negocio de material didáctico se compraron 38 productos que se empacaron en bolsas de dieciséis artículos. Al resolver con la calculadora la división de 38 ÷ 16, el resultado es __________________. Con esto se sabe que se pudieron formar dos paquetes de dieciséis artículos cada uno, pero no dice cuántos artículos sobraron. a.- Para saberlo, ¿qué tienes que multiplicar?

126

b.- ¿Sobraron artículos?

c.- ¿Por qué?

Situación problemática

• Utiliza la calculadora para dividir y escribe las operaciones necesarias para saber lo que sobró. • Una maestra llevaba $5 684 para comprar dominós. Si compró veintidós juegos y solo le cobraron pesos sin centavos. a.- ¿Cuánto costaba cada juego? b.- ¿Cuánto dinero le sobró? c.- Cada juego costaba: ___________________________. d.- Le sobraron: _________________________________. e.- La operación es:

• En un jardín de niños compraron 963 pelotas de plástico, que repartirán entre los doce grupos. a.- ¿Cuántas pelotas sobraron? b.- Sobraron: ____________________. c.- La operación es:

127

Situación problemática

• De todos los estados de la República Mexicana los de menor extensión son: 1.- Tlaxcala (4 016 kilómetros cuadrados), 2.- Morelos (4 950 kilómetros cuadrados) y 3.- Colima (5 191 kilómetros cuadrados). Responde según la situación: a.- ¿Cuántos hectómetros cuadrados representa la extensión del estado de Colima? b.- ¿Cuántos decámetros cuadrados tiene el estado de Morelos? c.- ¿Cuál es la extensión, en metros cuadrados, del estado de Tlaxcala? d.- ¿Cuántos hectómetros cuadrados hay en un kilómetro cuadrado? e.- ¿Cuántos decámetros cuadrados tiene un hectómetro cuadrado?

Situación problemática

• Una agencia de bienes raíces vende 17 hectáreas de huertas de manzana y nuez a precios muy bajos debido a que se encuentran en unas barrancas. Cada hectárea la están ofreciendo en 850 000 pesos, pagando de contado. También dan la oportunidad de comprar por metro cuadrado, en caso de que el cliente así lo prefiera. a.- Según la información del texto, ¿qué puedes hacer? _______________________. b.- ¿Qué precio tiene el metro cuadrado de las huertas? _______________________. c.- ¿Cuántos metros cuadrados tiene un área? _______________________________. d.- ¿Cuánto cuesta un área? _____________________________________________. e.- ¿Cuántas áreas están en venta? ________________________________________. f.- ¿Cuánto cuesta una centiárea? _________________________________________. g.- Mi papá está interesado en las huertas y quiere comprar 15 000 centiáreas. ¿Cuántas hectáreas quiere comprar el cliente? _____________________________. ¿Qué precio deberá pagar el cliente por ellas? _____________________________. h.- Si en un terreno se tiene el rendimiento de 4.245 toneladas de nuez por hectárea al año,

128

¿cuántas toneladas se obtendrán en el terreno que quiere comprar el cliente? 1.- Una señora también está interesada en terrenos de manzana y nuez, pero quiere comprar 0.1 kilómetros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados tiene un kilómetro cuadrado? ¿Cuántas hectáreas quiere comprar la señora?

Situación problemática

• Luis y Julián hacen diariamente un recorrido por varias calles como entrenamiento para un maratón en el que competirán en dos meses. Un día que estaban cansados, Luis sólo recorrió 5/8 de la ruta a la que estaba acostumbrado, mientras que Julián recorrió 5/10. a.- ¿Quién de los dos aguantó más? b.- ¿Qué procedimiento realizaste? c.- ¿Cuál es tu resultado? d.- ¿Podrías encontrar otra manera para llegar al resultado? e.- Compara tus procedimientos con otro compañero y analicen ¿cuál fue la situación más rápida de resolver?

Situación problemática

• Mi tío el carpintero necesita comprar tiras de madera del mismo largo para hacer tres marcos de puerta contemporánea. El primer marco requiere 5/6 de la tira, el segundo 5/4 y el tercero 11/8 de tira. a.- ¿Cuál de los tres marcos necesita más madera? b.- ¿Por qué? c.- ¿Cuál de ellos necesita menos madera? d.- ¿Sobro madera de los tres marcos?, ¿cuánto? e.- ¿Podrías encontrar otro procedimiento para llegar al mismo resultado? f.- Expresa gráficamente en la cuadricula los 5/6, 5/4 y los 11/8 de las tiras de madera que se necesita para cada marco.

129

g.- Otra forma de representarlo gráficamente puede ser así:

Situación problemática

• Mi hermana le ayuda a la abuela a empacar listones de colores en cajitas. Para ello, todos los días anota cuántas cajitas de ocho listones puede armar. a.- La abuela le pidió completar las anotaciones en la siguiente tabla porque se le quebraron los lentes. ¿Podrás ayudarla?

130

Cantidad de listones

Cantidad de cajas

84 125 222

10 15 27

364 387

45 48

450

Cantidad de listones que sobran

b.- Explícale a la abuela cómo determinaste la cantidad de listones que sobra en cada caso.

Situación problemática

• En la panadería “el radio” se empacan las donas en cajas de 24 piezas. Don Chucho es el encargado de llevar el control para registrar la cantidad de donas producidas, la cantidad de cajas que se obtienen y lo que sobra. a.- Ayuda a don Chucho a completar la siguiente tabla utilizando tu calculadora: Piezas de donas producidas 246 276 282 291 309 315

Número en la pantalla de la calculadora 10.25 11.5 11.75

Cajas que se obtienen

Piezas de donas que sobran

b.- ¿Qué procedimiento realizaste con la calculadora? c.- ¿Pudieras usar otro procedimiento con la calculadora y obtener el mismo resultado? ¿Cuál? d.- ¿Qué harías al no tener calculadora? Descríbelo: _______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________.

131

Situación problemática

• Las siguientes figuras están subdivididas en triángulos. • En equipos de 2 personas, calculen el área de cada triangulo y el área total de la figura que los contiene.

Área de cada triangulo

Área total de la figura que los contiene

a.- ¿Cómo son la base y laa altura de cada uno de los triángulos que forman el romboide? b.- ¿Cómo son las áreas de estos triangulo? c.- ¿Cómo son la base y la altura de cada uno de los triángulos que forman el trapecio? d.- ¿Cómo son las áreas de estos triangulos? e.- ¿A qué dificultades te enfrentaste?

132

Situación problemática

• ¿Sabes que unidad de medida se usa para medir grandes superficies como la de las ciudades?, ______________________________________. ¿Qué símbolo se utiliza? _____________________________________. Por ejemplo, el Municipio de Saltillo, Coahuila tiene una superficie de 6 837 mt2. Algunas equivalencias entre distintas unidades de medida de superficie son: 1 kilómetro cuadrado (km2)

100 hectómetros cuadrados

1 hectómetro cuadrado (hm2)

100 decámetros cuadrados

1 decámetro cuadrado (dam2)

100 metros cuadrados

1 metro cuadrado (m2)

100 decímetros cuadrados

1 decímetro cuadrado (dm2)

100 centímetros cuadrados

1 centímetro cuadrado (cm2)

100 milímetros cuadrados

• Utiliza las equivalencias para resolver las siguientes preguntas. a.- ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene el Municipio de Saltillo? ________. b.- ¿Cuántos metros cuadrados equivalen a un kilómetro cuadrado? _____________. c.- ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un metro cuadrado? _____________. d.- ¿Cuántos decámetros cuadrados equivalen a un hectómetro cuadrado? _________. e.- ¿Qué instrumento de medición podrás utilizar para realizar conversiones entre los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado (m2). _____________________. Para ello, observa en la figura y la relación que hay entre 1 dm2 y 1 cm2 para poder realizar la tabla.

km2

hm2

dam2

133

dm2

cm2

mm2

1 cm²

A= 1 dm²

1 dm

Situación problemática

• Los alumnos de la Escuela Centenario visitaron en una fábrica la sección donde empacan juegos de mesa. El gerente les mostró la siguiente tabla con el número de fichas que se utilizan para tres, cuatro y seis juegos de dominó y les dijo que si calculaban de manera correcta cuántas fichas se necesitan para nueve y quince juegos, le obsequiaría uno a cada niño. Juegos

Fichas

112

168

a.- Con el procedimiento “Suma término a término”, ¿qué operación se utiliza para saber cuántas fichas se necesitan para nueve juegos? b.- Y ¿con cuál operación se calcula cuántas fichas se requieren para 15 juegos? c.- Los alumnos preguntaron cuántas piezas tiene cada juego de ajedrez y cuántas fichas tiene cada juego de damas chinas e hicieron las siguientes tablas: Juegos de ajedrez

Piezas

Juegos de damas

Piezas

12 384

13 120

134

Situación problemática

• El encargado del almacén entregó al señor Rodríguez una carga de 2 000 damas chinas para entregar en tres jugueterías y le informó que en total tiene que cobrar $52 000. En la primera juguetería tiene que dejar 250 juegos, en la segunda 500 y en la tercera 1 500. a.- ¿Cuál es el precio de 250, 500 y 1250 juegos de damas chinas? Utiliza el cálculo de valores intermedios. Juegos 2 000 200 100 50 250

Precio 52 000

Juegos 2 000

Precio 52 000 26 000

Juegos 2 000

Precio

500 1 250

b.- El precio de 250 juegos de damas chinas es _______________________________. c.- El precio de 500 juegos de damas chinas es _______________________________. d.- Y el precio de 1 250 juegos de damas es _________________________________. e.- En la fábrica de juegos de mesa, cuatro máquinas producen 120 piezas de ajedrez en una hora; sin embargo, de cada 10 piezas una sale defectuosa. ¿Cuántas piezas en buen estado producirán 10 máquinas?

Máquinas

Piezas

135

Piezas en buen estado

Situación problemática

• El tío Chon quiere invertir en comprar alguna propiedad, pero no sabe cuál. Ayudémoslo analizando la siguiente información sobre ventas de terrenos. Anuncio 1

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Rancho campestre, una hectárea. Ideal para fines de semana. Escriturado. Facilidades de pago.

Saltillo, Coahuila. 60 hectáreas, cultivo, ganadero (cerrado).

San Juan de la Vaquería, terreno 270 m2, calle cerrada, $1 890 000.00

a.- ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno del rancho campestre? b.- ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno que se vende en San Juan de la Vaquería? c.- ¿Cuál es el costo por metro cuadrado del terreno que se vende en Saltillo? d.- ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado que tiene como superficie 1 ha? e.- ¿Cuántas hectáreas tiene un terreno de 1 km2? Para saber que terreno le conviene más el tío Chon necesita medir grandes extensiones de tierra mediante las siguientes extensiones agrarias, para ayudarlo analicémoslas. 1 área (a)

Cuadrado de 10 m de lado

1 hectárea (ha)

Cuadrado de 100 m de lado Cuadrado de 1 m de lado

1 centiárea (ca) a.- ¿A cuántas áreas equivale 1 ha? b.- ¿A cuántas centiáreas 1 a? c.- ¿Cuántos hectómetros cuadrados equivalen a 1 ha? d.- ¿Cuántos decámetros cuadrados equivalen a 1 a? e.- ¿Cuántos metros cuadrados equivalen a 1 a? f.- ¿Cuántos metros cuadrados equivalen a 1 ca?

136

Situación problemática

a.- Juan Carlos trabaja en Estados Unidos. Ahora con los resultados del nuevo presidente va ganar 10 dólares. Por cada 10 dólares que gana envía seis a su familia, que vive en la ciudad de Monclova. La semana pasada ganó 300 dólares. ¿Cuánto enviará su familia? ¿Cuánto enviará a su familia si durante 3 meses y medio ganó 350 dólares? b.- María trabaja en Sabinas. De cada $5 que gana ahorra $3, y de cada $12 que ahorra manda $7 a su mamá, que vive en Piedras Negras. La semana pasada ganó $1000. ¿Cuánto le enviará a su mamá?

137

• Para finalizar ahora realizarás una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio de los aprendizajes esperados.

Práctica

•¿Cuál de estas fracciones es mayor: 3/8, 2/8, 7/8, 5/8? •¿Cuántos octavos la hacen falta a la fracción que elegiste para completar el entero?

Práctica

Localiza las fracciones 4/16 y 1/4 en el segmento de recta numérica.

Práctica

• Determina los numeradores que faltan para tener fracciones equivalentes con igual denominador y resuelve la suma. • Puedes escribir debajo de cada fracción lo que vas a multiplicar para encontrar la equivalencia en treintaidosavos. 1 4

4 32

1 8

Práctica

1 16

+ 32

5 32

+ 32

8 32

1 32

= +

• Escribe el signo < o >, según sea el caso. Usa fracciones equivalentes. 2 5

1 2

2 4

2 5

8 7

138

4 3

1 6

2 8

Práctica

• Localiza en el segmento de recta el siguiente par de fracciones. a.- ¿En cuántas partes está dividida la unidad? ____________________. b.- ¿Qué representa cada parte? ____________________________. c.- Señalen con rojo las líneas que dividen la unidad en cuatro partes iguales.

Práctica

1 5 y 4 20

• Escribe la fracción y el procedimiento correspondientes. Observa el ejemplo: Es importante considerar el valor decimal de una fracción y el valor fraccionario de un número decimal. Si sabes el valor de uno o de otro, te será más fácil hacer una operación o una comparación con este tipo de cantidades.

El doble de 3/10 = 6/10 La mitad de 8/3 = _______ El doble de 2/5 = _______ La mitad de 3/4= _______ La mitad de 5/6= _______

Mi procedimiento es: Se multiplica el numerador por dos. Mi procedimiento es: Mi procedimiento es: Mi procedimiento es: Mi procedimiento es:

139

Práctica

• Realiza las operaciones mentalmente y completa la tabla. Para evitar que cometas errores del tipo 0.28 + 0.82 = 1.00, no olvides revisar el décimo que se forma al sumar los centésimos, en este caso el resultado sería 0.28 + 0.82 = 1.10 Número 0.34

Operación + + + + -

0.65 2.79 1 3 5

Práctica

Número 0.08 1.35

Resultado 1 1

0.66 1.11 1.23

4 1.89 0.56

• Escribe el inciso de la figura que corresponde, según la característica que identifica al cuerpo. a)

b) 1.- Sus doce aristas son iguales: _____. 2.- Tiene quince aristas: _____. 3.- Tiene cuatro caras: _____.

4.- Tiene dos caras iguales y ocho vértices: _____.

5.- Tiene dos caras iguales y doce vértices: _____. 6.- Tiene siete vértices: _____.

d) g) f)

140

7.- Tiene ocho aristas: _____.

Práctica

• Observa la figura y responde.

2 cm

3 cm a.- ¿Qué figuras geométricas forman el paralelogramo? _________________________. b.- ¿Cuánto mide la base mayor de uno de los trapecios? ________________________. c.- ¿Cuánto mide la base menor? ___________________________________________. d.- ¿Cuánto es la suma de la base mayor más la base menor? _____________________. e.- ¿Cuánto mide la base del paralelogramo? __________________________________. f.- ¿Cuál es la operación para calcular el área del paralelogramo? __________________. g.- ¿Qué operación se hace para obtener el área de cada trapecio? __________________. h.- Si en la operación anterior se sustituyen los números por las letras correspondientes: B (base mayor), b (base menor) y h (altura), ¿cómo queda la fórmula?

La fórmula queda así:

141

Práctica 10 • Traza una cuadrícula de 10 cuadrados por 10 cuadrados y colorea un centímetro cuadrado; luego, contesta: a.- ¿Cuántos decímetros miden los lados de la cuadrícula? ______________________ b.- ¿Cuántos centímetros hay en un decímetro? _______________________________ c.- ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un decímetro cuadrado? ______________ d.- ¿Cuántos decímetros hay en un metro? __________________________________ e.- ¿Cuántos decímetros cuadrados hay en un metro cuadrado? _________________

142

¿A dónde vas amigo mío?

¡jajajaja!, tutor estrellado no. Soy TUTOR ESTRELLA.

¿Pudieras darme algún ejemplo?

Voy a hacer una tarea en equipos y estoy muy emocionado porque esta semana me asignaron el nombre de “tutor estrella”.

Bueno eso, eso. Explícame por qué.

Para calcular el doble de fracción ¾ se multiplica el numerados por 2. Así: 3X2 / 4 = 6/4.

¡Wow! ¿Y por qué eres el tutor estrellado?

Pues porque he logrado resolver operaciones con fracciones empleando estrategias de cálculo mental.

Cierto Matt. Pero, ¿y para obtener la mitad de una fracción? ¿Qué tengo que hacer?

_________________________ _________________________

Te doy otro ejemplo. En la fracción 6/5, si el numerador es par se divide entre 2. 6

¿Y qué puedo hacer cuando el denominador es impar?

/ 2 = 3 5 5

¿Me lo podrías explicar gráficamente?

Por eso también es importante recordar equivalencias de fracciones usuales, por ejemplo:

Quedaría así: 3/5

Pues divides cada fracción en 2. Por ejemplo, en 3/5 se divide cada fracción en dos, quedaría en 3/10.

3/10

1/2 = 2/4, así que 1/2 + 1/4 = 3/4.

Por supuesto Pit.

Haz aprendido muy rápido Matt. Te felicito.

Ahora entiendo porque te dieron el nombre de tutor estrella. Eres muy bueno empleando estrategias de cálculo mental. ¿Podrías ayudarme a resolver una operación con números decimales mediante cálculo mental? Quiero determinar cuánto le falta al número decimal para completar la unidad: 0.45 + _______ = 1. Y antes de irme porque ya se me hizo tarde también no olvides que: El cálculo mental también nos ayuda a identificar entre qué enteros se localiza una fracción o número decimal. Por ejemplo:

1<3<2, 2<2.63<3. 2

143

Lo resolvería de esta manera: Primero convierto el número 1 en centésimos y se resta 100 – 45 = 55. Luego, agrego el punto decimal y quedaría así: 0.55 Por tanto, 0.45 + 0.55 = 1. Y para restar un número decimal a un entero, el procedimiento es similar: 1 – 0.25 = _______. Se resta100 – 25 = 75 y se agrega el punto decimal: Quedaría así: 0.75. De manera que, 1 – 0.25 = 0.75.

Saludos amigo, me voy volando a hacer mi tarea porque ¡SOY TUTOOOOOOR!

¡Felicidades!

Concluiste las situaciones problemáticas de la actividad integradora del Boque III. Ahora estás preparado para el Bloque IV que corresponde a los aprendizajes esperados: Resuelve problemas que implican sumar o restar números fraccionarios con igual o distinto denominador, identifica problemas que se pueden resolver con una división y utiliza el algoritmo convencional en los casos en que sea necesario, describe rutas y ubica lugares utilizando sistemas de referencia convencionales que aparecen en planos o mapas, resuelve problemas que implican conversiones entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo y resuelve problemas que implican leer o representar información en gráficas de barras.

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Lista de cotejo para el docente.

BLOQUE III Aprendizaje esperado: a.- Calcula el perímetro y el área de triángulos y cuadriláteros. b.- Resuelve problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fraccionarios con denominadores múltiplos. Figuras geométricas: a.- Construir prismas y pirámides rectos cuya base sean cuadriláteros y triángulos a partir de su desarrollo plano. Magnitudes y medidas: a.- Resolver problemas que impliquen magnitudes (longitud y superficie) con cantidades relativamente grandes.

145

Indicador Logrado 1.- Trabajé situaciones problemáticas que tienen como base los conocimientos previos o herramientas matemáticas que mis alumnos poseen. 2.- Ofrecí experiencias significativas que generan movilización de saberes y la adquisición de otros. 3.- Trabajé inicio, desarrollo y cierre durante mi secuencia didáctica. 4.- Le di a conocer a mis alumnos el título de la situación problemática, aprendizaje esperado, aprendizaje y clave. 5.- Consideré la previsión de recursos y la organización del tiempo adecuado. 6.- Manejé diferentes formas de organización durante mi secuencia. 7.- Trabajé actividades que permiten experiencias diversas como contextos familiar, social y cultural. 8.- Lo que se aprendió durante la secuencia didáctica tiene aplicación en otros contextos. 9.- Logré revisar, analizar y reflexionar con mis alumnos cada situación problema durante la etapa concreta, pictórica y abstracta 10.- Manejé actividades secuenciadas, estructuradas y articuladas en 3 etapas (inicio, desarrollo y cierre) con una intención educativa. 11.- Durante el bloque trabajé: Sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida, manejo de la información y actitud hacia el estudio de las matemáticas. 12.- Durante la secuencia promoví que el alumno formulara y validara conjeturas. 13.- Durante la secuencia promoví que el alumno se planteara nuevas preguntas. 14.- Durante la secuencia promoví que el alumno comunicara, analizara e interpretara procedimientos de resolución de problemas. 15.- Durante la secuencia promoví que el alumno buscara argumentos para validar sus procedimientos. 16.- Manejé la comparación de fracciones con distinto denominador, mediante diversos recursos. 17.- Desarrollé el uso del cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios y decimales.

146

No logrado

Sugiero que:

Indicador 18.- Analicé las relaciones entre los términos de la división, en particular, la relación r = D – (d × c), a través de la obtención del residuo en una división hecha en la calculadora. 19.- Trabajé la construcción de cuerpos geométricos con distintos materiales (incluyendo cono, cilindro y esfera). 20.- Analicé las características referentes a la forma y al número de caras, vértices y aristas de conos, cilindros y esferas. 21.- Describí de manera oral o escrita de rutas para ir de un lugar a otro. 22.- Construí y usé diversas fórmulas para calcular el área del triángulo y el trapecio. 23.- Desarrollé la identificación de múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y las medidas agrarias. 24.- Promoví distintos procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante).

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Logrado

No logrado

Sugiero que:

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Actividad integradora Bloque

Título: Problemas, fracciones, rutas y conversiones. Aprendizaje esperado a.- Resuelve problemas que implican sumar o restar números fraccionarios con igual o distinto denominador. b.- Identifica problemas que se pueden resolver con una división y utiliza el algoritmo convencional en los casos en que sea necesario. c.- Describe rutas y ubica lugares utilizando sistemas de referencia convencionales que aparecen en planos o mapas. d.- Resuelve problemas que implican conversiones entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo. e.- Resuelve problemas que implican leer o representar información en gráficas de barras. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fracciones con denominadores múltiplos. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales, fracciones y decimales, con multiplicador y divisor natural. Figuras geométricas: a.- Ubicar puntos en el plano cartesiano (primer cuadrante). Magnitudes y medidas: a.- Resolver problemas que impliquen magnitudes (longitud y superficie) con cantidades relativamente grandes. Magnitudes y medidas: a.- Comparar razones de dos números naturales (n por cada m) y con una fracción (n/m de)… Materiales: bloques, barras de unidad, tablas de decenas y cubos de millar, hojas cuadriculadas, bloques de Dienes, geoplano doble cara, ligas, escuadras trasportador, reglas, cinta métrica, calculadora y una tira de cartoncillo para el juego 9.

149

Información para tu Maestro@: Los juegos y las situaciones problemáticas que trabajarán tus alumnos atienden el diseño de la tabla de contenidos del programa de quinto grado por cada uno de los bloques. Los contenidos de los bloques están organizados tomando en cuenta los momentos de aprendizaje matemático sugeridos por Brunner (intuitivoconcreto, gráfico-representativo y simbólico-convencional). Al inicio de cada actividad integradora te presentaré el bloque con los contenidos a desarrollar por los alumnos; además te mostraré su organización y a que juego o situaciones problemáticas corresponden.

TABLA DE CONTENIDOS Competencia a desarrollar: 1.- Resolver problemas de manera autónoma 2.- Comunicar información matemática 3.- Validar procedimientos y resultados 4.- Manejar técnicas eficientemente Aprendizaje esperado: a.- Resuelve problemas que implican sumar o restar números fraccionarios con igual o distinto denominador. b.- Identifica problemas que se pueden resolver con una división y utiliza el algoritmo convencional en los casos en que sea necesario. c.- Describe rutas y ubica lugares utilizando sistemas de referencia convencionales que aparecen en planos o mapas. d.- Resuelve problemas que implican conversiones entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo. e.- Resuelve problemas que implican leer o representar información en gráficas de barras.

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Ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Números y sistemas a.- Situación de numeración 8 (observa y Análisis de las comenta). similitudes y a.- Juguemos a uno diferencias entre y medio con tres el sistema decimal (juega). de numeración y b.- Juguemos a algunos sistemas construir patrones de numeración numéricos (juega). no posicionales, c.- Situación como el egipcio o el 2 (observa y romano. comenta). d.- situación 6 y 11 Identificación de (resuelve). la regularidad e.- Práctica 1 y 8. en sucesiones con números a.- La historia de (incluyendo números Matt. fraccionarios) que b.- Juguemos tengan progresión a expresar aritmética, para porcentajes encontrar términos con fracciones faltantes o continuar (juega). la sucesión. c.- Juguemos a Problemas aditivos una escalera de Resolución de 10 (juega). problemas que d.- Situación impliquen sumas o 7 (observa y restas de fracciones comenta). comunes con e.- Situación 1 y denominadores 9 (resuelve). diferentes. f.- Práctica 2, 3 y 4. Problemas multiplicativos a.- Juguemos a Análisis de las la corrección de relaciones entre errores (juega). la multiplicación y b.- Situación la división como 3 (observa y operaciones comenta). inversas. c.- Situación 2, 3, 7 y 8 (resuelve). d.- Práctica 5 y 7.

Forma Espacio y medida

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Manejo de la información

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Ubicación espacial Interpretación y descripción de la ubicación de objetos en el espacio, especificando dos o más puntos de referencia.

a.- Juguemos a las banderas de América (juega). b.- Situación 4 y 5 (observa y comenta).

Análisis y representación de datos Análisis de las convenciones para la construcción de gráficas de barras.

a.- Juguemos a ¿cuántos son? (juega). b.- Juguemos a los números de tus zapatos (juega). c.- Situación 1 (observa y comenta).

a.- Situación 4, 5 y 12 (resuelve). b.- Práctica 6.

Medida Construcción y uso de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos, ya sea como resultado de la suma de lados o como producto. Resolución de problemas en que sea necesaria la conversión entre los múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo.

a.- Juguemos a decímetros, centímetros y milímetros (juega). b.- Situación 6 (observa y comenta). c.- Situación 9 (observa y comenta). d.- Situación 10 (resuelve).

151

Hola Matt. Listo para el torneo matemático.

¡Claro! Empecemos.

Veamos a ver si es cierto. Te realizaré a ti y a nuestros amigos de quinto algunas preguntas sobre fracciones y tratarás de explicarme para que yo pueda entenderte.

Si Pit. Súper listo.

¿Qué tienes que hacer para resolver sumas o restas de fracciones con el mismo denominador?

Mi respuesta es:

¿y cuando se Cuando se suman o se suman o se restan restan fracciones con distinto fracciones con distinto denominador, se puede recurrir a: denominador?

Por ejemplo:

Necesito otro ejemplo para que me quede claro. Explícame la suma 3/5 + 1/4 =

¿Y cómo hago eso?

Te lo explicaré paso por paso: 1.2.3.-

¡Wow! muy fácil.

Recuerda que no tienes que resolver todas las operaciones, sino solo aquellas que sean equivalentes a la presentada. También te sugiero que escribas las fracciones equivalentes siempre en una hoja cuadriculada para que ubiques las que tienen igual denominador.

152

Tienes razón Matt, con los pasos que me explicaste me quedó muy claro. Definitivamente te irá de maravilla en el torneo matemático.

Antes de iniciar pídele a tu maestr@ que te muestre el material para conocerlo.

Juguemos a expresar porcentajes como fracción.

• Organícense en equipos de 4 personas y lean las siguientes situaciones: 1.- La población de niños menores de 16 años en la ciudad de Torreón es de 4 600. En la siguiente gráfica se muestra su distribución por edades. • Completen la siguiente tabla y analicen cada uno de los datos que se requieren: • Comenten las estrategias utilizadas para encontrar la información faltante. Edad Menores de 16 años

Fracción 1

Población 4 600

½ 25 1/8 460 Con la información que completaron en la tabla contesten las siguientes preguntas: a.- ¿Qué porcentaje corresponde a la población de 4 600 niños? b.- ¿Qué cantidad de niños representa la mitad de la población? y ¿qué porcentaje? c.- ¿Qué fracción de la población total representa 25%? ¿A cuántos niños corresponde? d.- ¿Qué fracción del total representan 4 600 niños? y ¿qué porcentaje le corresponde? 2.- Cinco amigos compran 100 chocolates en 60 pesos. La contribución de cada uno ha sido de 15, 3, 12, 18 y 12 pesos. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?

153

Precios en pesos Número de chocolates

60 100

3.- Entre 1970 y 1974 la población de las ciudades de Saltillo, Monclova y Sabinas aumentó 10%. ¿Cuál es la población en 1974, si en 1970 la ciudad de Saltillo tenía 3 400 habitantes, la ciudad de Monclova, 79 000 y la ciudad de Sabinas 35 000. ? 4.- A 900 alumnos se les hace la siguiente pregunta: ¿conoces el nombre de la capital de Turquía? El 35% responde correctamente: Ankara. a.- ¿Cuál es el número de personas que conoce el nombre de la capital de Turquía? b.- ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que lo ignora? c.- ¿Cuál es el número de alumnos que ignoran el nombre de la capital de Turquía? 5.- Los equipos escriban un mensaje lo más breve posible, para que cualquier persona sepa cómo calcular el 30% de 45 000. Escriban el mensaje en pliegos de cartulina. Les sugiero que usen fracciones equivalentes para calcular el número de personas que respondieron correctamente y para el número de alumnos que ignoran la respuesta. Al finalizar los equipos, expongan las cinco situaciones problemáticas y analicen los diferentes procedimientos en compañía de su Maestr@. Gana el equipo con los procedimientos y respuestas correctas.

Juguemos a ¿cuántos somos?

En este juego desarrollaremos la habilidad de interpretar información presentada en pictogramas. También organizaremos la información que de ellos obtengamos mediante tablas y gráficas de barras. • En este pictograma se presenta la cantidad de población de 5 a 14 años en cuatro ciudades de nuestro Estado. • En compañía de tu Maestr@, analicen la siguiente tabla:

154

• Comenten equipos de tres personas la información que interpretaron en el pictograma y posteriormente:

a.- Traduzcan la información de la gráfica a una tabla con números. Inventen su propia tabla. b.- Representen los datos en una gráfica de barras y comenten en todo el grupo: ¿En qué ciudad hay mayor cantidad de población de 5 a 14 años? ¿En cuál menos? c.- Ordenen las ciudades de acuerdo con su cantidad de población. Coloquen en primer lugar al que tiene más habitantes. d.- Para finalizar cada equipo invente dos problemas a partir de la información que se presentó. Expongan sus problemas ante todo el grupo.

155

Juguemos a una escalera de 10.

• Reúnete con un compañero para identificar cuál de los valores le corresponde a cada símbolo de los que aparecen en la escalera, de tal forma que al sumar los de cada renglón y los de cada columna, el resultado sea 10.

2 3

1 9

5 9

2 3

8 4 2

1 3

5 10

2 9

1 2

• Ahora en equipos de 4 personas elaboren en tarjetas nuevos valores y símbolos, de tal forma que al sumar los de cada renglón y los de cada columna, el resultado sea 15 y 20. •Gana el equipo que termine primero con los resultados de cada renglón y columna correctos.

Juguemos a uno y medio con tres.

• En equipos de cuatro personas jueguen a Uno y medio con tres. Las reglas son las siguientes: a.- Elaboren un tablero como el que a continuación se muestra con seis fichas de dos colores diferentes. 7 7

4 5

6 9

5 10

12 4

1 2

9 12

2 8

4 6

2 3

2 10

3 6

6 12

11 11

1 4

10 5

1 3

3 5

6 9

3 9

156

b.- Los participantes se organizarán en parejas y tendrán listo su cuaderno para anotar y resolver operaciones. Cada pareja elegirá las fichas a las que hará sus tiros. c.- Por parejas, escogerán tres casillas del tablero con fracciones de diferente denominador y colocarán sobre estas sus fichas. Con los números de las casillas seleccionadas deberán realizar las sumas o restas necesarias para completar 1 1/2. d.- Las parejas tendrán oportunidad de cambiar solamente uno de los números que eligieron, en caso de que consideren que no les es útil. e.- Cuando una de las dos parejas termine sus operaciones, comenzará a contar de uno en uno hasta 20, para dar tiempo a que la otra pareja acabe; al término de la cuenta se revisarán las operaciones. Si el resultado es correcto la pareja ganará dos puntos. f.- En cada ronda del juego las parejas solamente podrán volver a seleccionar uno de los números utilizados anteriormente. g.- La pareja que obtenga más puntos después de tres rondas será la ganadora.

157

Juguemos a la corrección de errores.

• En equipos de tres personas representen con las regletas de colores y los bloques lógicos los problemas que a continuación se presentarán. • Después de representar el problema sigan las preguntas tratando de corregir sin borrar. Problema

Lo represento así

Pregunta

En una calculadora se tecleó 35 X 100, pero se cometió un error ya que se quería multiplicar por 50. En una calculadora se tecleó 35 X 600, pero se quería multiplicar por 30. En otra calculadora se tecleó 325 X 500, pero se quería multiplicar por 125. Al multiplicar 28 X 16 obtengo 448.

¿Cómo se corrige sin borrar lo que ya está?

¿Cómo se corrige esta vez? ¿Cómo se corrige sin borrar? Determinen a partir de esta operación, los resultados de las siguientes multiplicaciones. 28 X 4= 56 X 16= 28 X 80= 7 X 16= 140 X 160= 972/12= 342/3= 81/12= 108/12 3240/120=

Sabiendo que 324/12=27, determinen los resultados de las siguientes divisiones:

• Al finalizar los 5 problemas expongas sus representaciones con sus resultados. • Gana el equipo que obtenga los 5 resultados correctos.

Juguemos a los números de tus zapatos.

a.- Completen la tabla con el número de calzado de cada uno de los alumnos del salón. • Elaboren una tabla como la que a continuación se presenta: Nombre del alumno

Número del calzado

158

b.- Ordenen los datos anteriores dependiendo de la cantidad de alumnos que usan el mismo número de calzado. Nombre del alumno

Frecuencia

• En compañía de tu Maestr@, comenten las siguientes preguntas: 1.- ¿Cuál es el número de calzado más grande? 2.- ¿Cuál es el número de calzado más pequeño? 3.- ¿Cuál es el número de calzado promedio? Para calcular el número promedio se suman todos los números de calzado y se divide por el total de encuestados. Por ejemplo, si los números de calzado de cuatro niños son: 3 1/2 + 4 + 4 + 4 ½ = 16; 16 entre 4 niños = 4. El número de calzado promedio es 4. • Representa los datos de la tabla de frecuencias en una gráfica de barras

5.- ¿Cuál es el número de calzado más frecuente? • Al finalizar expongan las gráficas de barras para comparar sus resultados.

159

Juguemos a construir patrones numéricos.

• En este juego construiremos patrones numéricos con bloques, barras de unidad y tablas de centena. • En equipos de 4 personas, construyan patrones como se indica en cada situación. Posteriormente comenten los resultados con otros equipos y su Maestr@. a.- Si una sucesión de bloques aumenta de 7 en 7, ¿cuáles son los primeros 10 términos si inicia en 4? b.- ¿Cuáles son los primeros 10 términos de una sucesión, si inicia en 9 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 12? c.- El primer término de una sucesión es 1/2 y aumenta constantemente 1/3. ¿Cuáles son los primeros 10 términos de la sucesión? d.- La diferencia entre dos términos consecutivos de una sucesión es siempre de 1/4. Si inician en 1/2, ¿cuáles son los primeros cinco términos de la sucesión?

Juguemos a las banderas de América.

• En parejas, escojan tres banderas de las que aparecerán a continuación. Escriban tres mensajes en los que describan el lugar donde se encuentra cada una, sin mencionar sus características. • Cuando terminen, intercambien sus mensajes con otra pareja y ubiquen las que ellos eligieron.

160

Juguemos a decimetros, centimetro y milímetros.

• A cada equipo de 3 alumnos se le entrega un tira de cartoncillo, de un metro de largo por cinco centímetros de ancho, para que la dividan en 10 partes iguales. Analicen: a.- ¿Qué parte del metro representa cada uno de los segmentos? Recuerda que cada segmento representa la décima parte de un segmento llamada decímetro y lo pueden escribir así 1/10 de metro o 0.1 de metro. b.- Ahora, dividan un decímetro en 10 partes iguales utilizando la regla, y cuando terminen comenten entre los equipos que cada parte es la centésima parte del metro. • ¿Cómo podremos llamarle a la centésima parte del metro? • ¿Cómo lo podremos representar? c.- Para finalizar, utilizando la regla, dividan un centímetro en 10 partes iguales. • ¿Qué parte del metro ocupa un centímetro? • ¿Qué parte del metro ocupa un milímetro? Cada uno de estos segmentos es la milésima parte del metro; se llama milímetro y se escribe así: 1/100 del metro o 0.001 de metro. d.- Con la ayuda de su Maestr@ anoten las medidas que aparecen en seguida, para que los equipos las copien y subrayen la que corresponde a la línea más larga. Las medidas que son iguales las subrayan con el mismo color. Línea A Línea B Línea C Línea D Línea E Línea F Línea G

1 dm 90 mm 5 dm 50 cm 25 cm 28 cm 100 mm

e.- Tracen en el pizarrón o el piso las siete líneas, usando la tira dividida en decímetro, en centímetros y en milímetros para que comparen las longitudes y verifiquen si su estimación fue correcta o no. f.- Para finalizar, pueden darse las medidas de otras líneas expresadas en metros, decímetros, centímetros y milímetros para que las tracen en el patio y luego las escriban en el cuaderno de mayor a menos, utilizando el punto decimal.

161

Situación problemática

• En binas, lean y analicen los siguientes problemas, encuentren las respuestas y al finalizar representen sus procedimientos con el material concreto que consideren más interesante para el resto de sus compañeros. También representen su respuesta en las cuadriculas. a.- Leonel tiene 12 años de edad y su estatura es de 148 centímetros. Dentro de 12 años tendrá 24, es decir, el doble de 12. • ¿Creen que su estatura será el doble de 148 centímetros? • ¿Creen que la estatura de una persona es proporcional a su edad?, ¿por qué?

b.- Jacobo tiene 16 años de edad y pesa 50 kilos. Dentro de 32 años tendrá 48 años, que es el triple de 16. • ¿Creen que pasará el triple de 50 kilos? • ¿Creen que el peso de una persona es proporcional a su edad?

162

c.- Antes, Andrés trabajaba 6 horas diarias y dormía 8 horas. Actualmente trabaja 12 horas, que son el doble de 6. • ¿Creen que Andrés duerme el doble de 8 horas? • ¿Creen que el tiempo que duerme una persona es proporcional al tiempo que trabaja?

Comenten con otras binas: ¿creen que la edad y la estatura son proporcionales?, ¿por qué?, argumenten sus respuestas con el resto del grupo. La edad y la estatura no son proporcionales porque no aumentan o disminuyen en la misma proporción. Cuando, por ejemplo, la edad aumenta al doble, la estatura no necesariamente aumenta al doble. • En las binas con las que han estado trabajando piensen en una lista de pares de cantidades que no sean proporcionales y en una lista de cantidades que sí lo sean, escríbanlas a continuación para que después comenten con el grupo sus ejemplos. e.- Observen las tablas que a continuación se presentan. Complétenlas. Ahora un compañero agregará dos renglones más y escribirá un número, ya sea en la primera o en la segunda columna. El otro compañero tratará de encontrar la pareja del número que se escribió. Tabla A Kilogramo de Precio azúcar $1.80 1 2 3 $7.20 $9.00

Persona Mi papá Mi mamá Yo Mi mejor amigo El primero de la lista El último de la lista

163

Tabla B Edad

Peso

Tabla C Número de Estatura lista 1 2 3 4 5

Tabla D Días Salario trabajados 1 2 3 4 $225.000

• ¿Encontraron todas las parejas? • ¿Cuáles si y cuáles no? • ¿Por qué? • ¿Qué tablas se parecen más?, ¿por qué?

Situación problemática

¿Recuerdas qué es una sucesión? es un conjunto de números o figuras ordenados por un patrón, el cual indica cómo calcular el número o figura que sigue o que falta. Los números de una sucesión pueden ser fraccionarios, por ejemplo:

2 5

4 5

6 5

A cada elemento de una sucesión se le llama término y se asocia al número que ocupa en la sucesión. Para continuar una sucesión o encontrar un término intermedio, es necesario determinar la diferencia entre un término y el que le sigue, así se descubre el patrón y puede aplicarse. En el ejemplo, la diferencia entre 2/5 y 4/5 es 2/5, por los que se puede encontrar el término que sigue en la sucesión anterior: 6/5 + 2/5 = 8/5. • Individualmente escriban un ejemplos más, posteriormente hagan un circulo en equipos de 5 personas. Tomen una sucesión al azar y vayan agregando hacia la derecha más términos a la sucesión. También anótenla en forma de tabla para que puedan visualizar la relación términonúmero.

164

Sucesión

Situación problemática

Tabla

La multiplicación y la división son operaciones inversas una de la otra. Comenta con tus compañeros ¿qué entienden por una operación inversa? La operación inversa es aquella que revierte el efecto de otra operación, es decir, conduce a sus cantidades iniciales. a.- En compañía de tu Maestr@ elaboren algunos ejemplos y represéntenlos en su cuaderno de cuadricula o con bloques lógicos. Otro ejemplo puede ser el siguiente: 25 100

x /

4 4

= =

100 25

100

Asimismo, las operaciones inversas pueden utilizarse para comprobar resultados. En el ejemplo anterior, se divide 100 / 4 para corroborar que 25 X 4 = 100. b.- ¿En qué otros momentos o situaciones también pueden utilizarse las operaciones inversas? También para resolver otros problemas con mayor facilidad. c.- Comenten la siguiente situación. Enrique pagó $300 por cinco boletos para ir al cine: • ¿Cuál pudiera ser la operación para resolver el problema? • ¿Cuál pudiera ser la operación a la inversa? • Por lo tanto, ¿cuánto costó cada boleto: Observa que la operación inicial y la inversa prácticamente se resuelven al mismo tiempo, ya que con una se tiene el resultado de la otra, y lo único que cambia es el acomodo de las cantidades.

165

Situación problemática

Observa el croquis y completa la situación con las palabras del recuadro.

Rueda de la fortuna

Juego de dardos

Puesto de nieves Puesto de fruta

Carritos chocones

Parque Área de comida

Montaña rusa

Puesto de aguas frescas

NORTE

SUR

ESTE

OESTE

a.- Los carritos chocones están al ___________________de la montaña rusa. b.- Si sales de la rueda de la fortuna y caminas hacia el___________________ llegas al juego de dardos. c.- Al_____________________ del puesto de frutas está la rueda de la fortuna. d.- Para ir del juego de dardos al parque hay que caminar hacia el ___________________. e.- Escribe una instrucción para ubicar o llegar a otro lugar. Intercambia tu trabajo con un compañero y comprueben si describen adecuadamente la ubicación de los lugares u objetos.

166

f.- Si caminas desde la montaña rusa hacia el norte y atraviesas el parque llegas a los ___________ ______________. g.- Si caminas desde el puesto de nieves hacia el sur y atraviesas el área de comida y caminas al oeste llegas al __________________________________. h.- Si caminas desde el juego de dardos hacia el este llegas al ____________________. i.- Si caminas desde el puesto de nieves hacia al sur llegas al _____________________.

Situación problemática

• En parejas, ubiquen los objetos que a continuación se indicarán; tomen en cuenta la información que se proporcionará en las dos fotografías, y enciérrenlos en un círculo. a.- Los zapatos del primer entrepaño. b.- La tercera camisa. c.- El segundo saco. d.- El primer pantalón. e.- Los zapatos del lado derecho. f.- La ropa que está doblada en el anaquel de en medio

a.- El aparato que está en la parte superior del segundo anaquel del lado derecho, de abajo hacia arriba. b.- Los libros que están en el primer nivel del librero, contando de abajo hacia arriba, tercer anaquel de izquierda a derecha.

167

c.- El primer libro, a partir de la izquierda, de los que están en el segundo anaquel del lado izquierdo, contando de arriba hacia abajo. d.- El primer libro, a partir de la derecha, que está en el tercer anaquel de la parte central del librero, contando de abajo hacia arriba. e.- El quinto libro, contando desde la izquierda, de los que están en el tercer anaquel del lado izquierdo, contando de abajo hacia arriba. • Inventen una situación problemática para cada fotografía en donde soliciten a otro equipo la interpretación y descripción de la ubicación de objetos en el espacio, especificando dos o más puntos de referencia. También consideren que durante los procedimientos se identifiquen problemas que se pueden resolver con una división utilizando algún algoritmo convencional donde sea necesario.

Situación problemática

• Una pareja de investigadores de zoología está trabajando en las características de diferentes seres vivos actuales y de hace miles de años. Algunos de los datos que reportan en sus estudios son el tamaño promedio de la especie, su masa corporal y el agua que beben o bebieron en promedio durante un día. Para facilitar la comparación con otras especies, la pareja de investigadores reporta sus datos utilizando múltiplos y submúltiplos de las unidades. Los zoólogos registraron en la tabla el número 5.5 como medida de longitud de la jirafa y de la mariposa. a.- ¿Eso quiere decir que miden lo mismo? b.- ¿Por qué? c.- ¿Qué unidades se usaron en cada caso? d.- ¿Crees que pudieron usarse otras unidades de medida?, ¿cuáles? e.- Después de completar la tabla, comenta con tus compañeros acerca de los patrones encontrados en el punto decimal de los números cuando se hacen conversiones. kilómetros hectómetros decámetros metros decímetros centímetros milímetros Mariposa 5.5 Jirafa 5.5 Dinosaurio 1.5 f.- Anoten en el pizarrón las conclusiones. g.- Ayuda a los investigadores a encontrar los tres errores de la tabla y escribe el número correcto en cada caso.

168

Recuerda que mil kilogramos equivalen a una tonelada. • Según las investigaciones de los zoólogos, el Ultrasaurus podía tener una masa corporal de hasta ciento diez toneladas, la jirafa macho hasta dos toneladas y una mariposa monarca en promedio tiene una masa de 0.5 gramos. kilogramos Mariposa monarca 0.005 Jirafa 2000 Dinosaurio Ultrasaurus 110 000

Gramos 0.5 2 000 000 1100 000

miligramos 500 20 000 000 000 110 000 000 000

h.- ¿Cuál es el procedimiento en el que se recorre el punto decimal de acuerdo con el múltiplo o submúltiplo de la unidad?

Situación problemática

• La mamá de Alberto compró 3 piezas de tela de diferente color para el mantel que utilizará en la boda de Ernestina. De tela roja se ocupó 1/3, de azul 2/4 y de tela verde 4/5. a.- Elaboren tiras de colores rojo, azul y verde en equipos de 3 personas y dividan cada pieza. Coloren y recorten la fracción que se ocupó. b.- Ahora represéntenlo con bloques. c.- Al finalizar, marquen las fracciones correspondientes en los siguientes listones y comparen sus resultados con otro equipo.

169

Situación problemática

• En parejas, lean la siguiente información y después realicen las situaciones que a continuación se presentan. Los sistemas de numeración son instrumentos útiles para expresar y comunicar cantidades. Están compuestos de cifras y reglas para combinar dichas cifras. Uno de los sistemas de numeración antiguos es el egipcio. Las cifras de ese sistema de numeración estaban representadas por figuras de personas, animales y objetos. Por ejemplo, el número 235 lo escribían así:

a.- Comenten y escriban los números que faltan en las siguientes tablas; algunos están escritos en el sistema de numeración egipcio y otros en el sistema de numeración decimal. Luego, comenten con otros equipos lo que se pregunta.

112

20002

3200

425

120

= 2000010

11000

200100

= =

1100000

b.- ¿Cuál es el valor de cada cifra usada por los egipcios? Escríbanlo en la siguiente tabla:

c.- El número 99 representado con el sistema egipcio tendría 18 cifras. El mismo número representado con el sistema decimal tiene 2 cifras. ¿A qué se debe esa diferencia? d.- En el sistema decimal las expresiones 21 y 22 representan diferentes números. En el sistema egipcio las expresiones y representan el mismo número ¿A qué se debe esta diferencia? e.- ¿Qué número se formaría al escribir nueve veces cada una de las cifras egipcias que hay en la tabla del inciso a? f.- ¿Qué se necesitaría hacer para escribir un número mayor al que escribieron en la pregunta anterior con el sistema egipcio?

170

Situación problemática

• En parejas, completen la tabla con base en la siguiente información. El metro es una unidad de medida que pertenece al Sistema Internacional de Unidades. La palabra metro viene del griego metrón, que significa “medida”. El metrón es la unidad base que se emplea para medir longitudes a partir de ésta se forman otras unidades de media tanto mayores, llamadas múltiplos, como más pequeñas, llamadas submúltiplos. Los nombres de estas unidades se forman por prefijos griegos seguidos de la palabra metro. Deca: diez veces. Hecto: cien veces. Kilo: mil veces. Deci: una décima parte. Centi: una centésima parte. Unidad de longitud Múltiplos del metro (nombre)

Metro

Símbolo: m

Símbolo

Equivalencia

Decámetro

Dam

10 m

Hm Km Submúltiplos del metro (nombre)

Símbolo

Equivalencia

Centímetro a.- Los niños de un grupo registraron las medidas de diferentes objetos y las distancias entre diferentes lugares, e hicieron una tabla como la que se muestra a continuación. Analícenla y respondan lo que se pregunta. Largo de la tarima Largo de la tarima Perímetro del salón Distancia de la escuela a la papelería Altura del bote de basura Distancia de la Escuela al Centro comercial

dam

43 43

171

cm 435

5 435

b.- De las cosas que midieron, ¿cuál mide 4.35 hm? c.- En el perímetro del salón, ¿cuántos decámetros completos caben? d.- En el largo de la tarima, ¿cuántos metros completos caben? e.- ¿La distancia de la escuela al centro comercial es mayor o menor que 4 km? Expliquen si respuesta. f.- ¿La altura del bote de basura es mayor o menor que 1m? Expliquen su respuesta. g.- ¿Cuál es la distancia de la papelería al Centro comercial? h.- Eleazar camina todos los días de su casa a l escuela 1 1/2 km. Si cuando pasa por la tienda lleva recorridos 320 m. ¿cuánto tiene que recorrer todavía para llegar a la escuela? i.- A un trabajador del municipio le encargaron pintar las banquetas. Tiene que pintar ocho calles y cada una mide 1 hm. Hasta el momento lleva 245 m pintados. ¿Cuántos metros le falta por pintar? j.- Un caracol se desplaza sobre una jardinera que mida 2 m de largo. Si recorre 13 mm por segundo. ¿Cuántos segundos necesita para recorrer el largo de la jardinera? k.- Un caballo puede trotar a una velocidad promedio de 250 m por minuto. Isidro va ir en caballo de Santa Lucía a San Jacinto. Si la distancia entre los dos pueblos es de 30 hm, ¿Cuánto tiempo tardará Isidro en ir de un lugar a otro? l.- Realicen las siguientes conversiones que se indica en la siguiente tabla. 2.5 m = _____________________ cm

280 m = _______________________ dam

3.4 km = _____________________ m

396 cm = ______________________ mt

1056 hm = ___________________ m

721 dm = ______________________ m

172

• Comenta con tu Maestr@ que las situaciones planteadas en el apartado de “observa” se pueden contestar ahora de manera abstracta. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Situación problemática

Tres hermanos han recibido como herencia un terreno. El testamento indica que al hermano mayor se le entregará 1/3 del terreno, al hermano que sigue 1/4 y al menor le toca 1/5. El resto del terreno será propiedad común de los tres hermanos. a.- ¿Cuánto suman las partes que les tocó a los tres? b.- ¿Qué fracción del terreno quedó a nombre de los tres hermanos? c.- ¿Qué fracción de terreno lleva el nombre del hermano mayor? d.- ¿Qué fracción de terreno pertenecerá al hermano de en medio? e.- ¿Qué fracción de terreno quedó a nombre del hermano menor? Observa muy bien. Cuando se pregunta ¿Qué fracción de terreno heredó en total el hermano…?, se refiere a la parte que le tocó a cada uno como único propietario más la que debe compartir con sus hermanos. Hermano mayor

Hermano menor

Hermano de en medio

1/3

1/5

1/4

a.- ¿Cuánto deben sumar las cuatro secciones ahí señaladas? _________ ___________________________________________________________. b.- ¿Cómo se puede saber a qué fracción equivale la última sección? ____ ___________________________________________________________.

173

Hermanos mayor, de en medio y menor

Situación problemática

• El profesor Otoniel de educación física de la Escuela Revolución de 1910 recibió balones nuevos para los entrenamientos, pero no se fijó cuántos le entregaron. Si tenía quince balones de volibol y ahora cuenta con cuarenta y cinco: a.- ¿Cuántas veces más balones tiene este ciclo escolar que el anterior? b.- ¿Con qué operación se pueden representar los datos del problema? c.- ¿Cuál es la operación inversa que resuelve el problema?: Utiliza ilustraciones o bloques como un medio de representación gráfica que te permita explicar la situación.

• Ahora escribe la operación inversa en cada caso, resuélvela y completa los enunciados. d.- El profesor de educación física tenía doce balones de futbol y ahora tiene noventa y seis. ¿Cuántas veces más balones tiene ahora? Planteamiento con multiplicación

Operación inversa

Por lo tanto tiene _________ veces más balones de futbol que antes. e.- El total de balones de basquetbol que tiene el profesor de educación física se repartió entre trece equipos y a cada uno le tocaron nueve. ¿Cuántos balones de basquetbol tiene el profesor? Planteamiento con multiplicación

Operación inversa

f.- El profesor de Educación Física tenía 43 balones en total, de volibol, basquetbol y futbol, ahora cuenta con 258. ¿Cuántas veces más balones tiene ahora que antes? Planteamiento con multiplicación

Operación inversa

Por lo tanto tiene _________ veces más balones de futbol que antes.

174

Situación problemática

• En equipos de tres personas analicen los siguientes casos; posteriormente, resuelvan las situaciones. • José y Lupita juegan a adivinar qué número están pensando. Caso 1

Caso 2

Lupita: Piensa un número, pero no me lo digas. Ahora, multiplícalo por 2. Al resultado súmale 5. ¿Qué número es? José: 29. Lupita: El número que pesaste es 12. José: Excelente, correcto.

José: Piensa un número. Divídelo ahora entre 2. Al resultado réstale 4. ¿Qué número obtuviste? Lupita: 11. José: El número que pensaste es 30, ¿verdad? Lupita: Tienes toda la razón, correcto.

a.- ¿Cómo descubrieron Lupita y José el número que el otro había pensado? Explíquenlo en cada caso: Lupita

José

Caso 3 Lupita: Piensa un número. Multiplícalo por 12. ¿Qué número obtuviste? José: 180. Lupita: Divídelo entre 3. José: Obtuve 60. Lupita: ¿El número que pensaste era el 15? José: ¡Sí!

Caso 4

b.- ¿Cuál fue el truco que siguió Lupita para adivinar el número de José? c.- ¿La estrategia de Lupita fue la misma que usó José? ¿Por qué?

175

Situación problemática

• Itzel y Ángel hacen cajas de cartón reciclable y las venden en una tienda de regalos. Para darles una mejor presentación, han decidido colocar listón rojo alrededor de las tapas, pero necesitan saber qué cantidad de listón deben comprar. Para ello calcularán el perímetro de los polígonos de las tapas de las cajas. a.- ¿Qué información necesitan Itzel y Ángel para calcular el perímetro de las tapas de las cajas? b.- La tapa de la caja que tiene forma de rectángulo mide 20 cm × 30 cm, ¿cuántos centímetros de listón necesitan? c.- ¿Qué operación hiciste para saberlo? d.- La tapa de la caja triangular mide doce centímetros de lado, ¿cuántos centímetros de listón necesitan? e.- ¿Qué operación hiciste para saberlo? f.- Si se necesitan en total cuarenta y nueve centímetros de listón para rodear la caja de siete lados iguales, ¿cuánto mide cada lado? g.- ¿Qué operación hiciste para saberlo?

Situación problemática

• Silvia, Ángel e Itzel trazaron estos polígonos y quieren saber quién hizo la figura con mayor perímetro.

176

Fórmula:

Sustitución:

Perímetro:

• ¿Quién hizo la figura con mayor perímetro?

Situación problemática

• Ayuda a los científicos a realiza las siguientes conversiones. Los científicos leyeron que las jirafas pueden estar sin agua hasta un mes, y que una mariposa no bebe agua directamente, como la mayoría de los animales, sino que chupa agua de las superficies húmedas, ya sea de la tierra, de las flores o de las frutas. Además, encontraron que un dinosaurio, en promedio, bebía doscientos treinta litros de agua en un día y una mariposa monarca bebe 0.01 mililitros de agua en el mismo tiempo. a.- ¿Cuántos decilitros de agua bebía un dinosaurio en promedio? b.- ¿Cuántos centilitros de agua bebe una mariposa monarca?

Los científicos encontraron que la jirafa es originaria de la sabana africana. En Kenia, los poblados masais, a la llegada de la lluvia, practican la ceremonia del corazón de la jirafa. Kenia es un país con una extensión de aproximadamente cincuenta y ocho millones de hectáreas, su capital es Nairobi. c.- Si se considera que cien áreas equivalen a una hectárea, ¿cuántas áreas tiene el territorio de Kenia?

177

d.- Un grupo de veinte jirafas se mueve en un territorio de cincuenta áreas, ¿a cuántas hectáreas equivale ese territorio?

Situación problemática

a.- El tío de Martha contrató a 8 personas para recoger la cosecha de manzanas en cajas de 36 cada una. Si en la primera hora empacaron 2880 manzanas, ¿Cuántas cajas empacaron? ¿Qué sé?

¿Qué no sé?

Registro dos procedimientos diferentes

Mi resultado es

b.- Si todos los trabajadores del tío de Martha hicieron la misma tarea, ¿cuántas cajas empacó cada uno? ¿Qué sé?

¿Qué no sé?

Registro dos procedimientos diferentes

178

Mi resultado es

c.- Si el tío de Martha pagó $2 400 por la recolección total del primer día, ¿cuánto pagó a cada trabajador? ¿Qué sé?

¿Qué no sé?

Situación problemática

Registro dos procedimientos diferentes

Mi resultado es

• En la Escuela 20 de noviembre tuvimos nuestra kermés del ciclo escolar. a.- Ayunados a resolver los problemas y escribe los precios correspondientes en cada platillo que se va a ofrecer. Las operaciones realízalas hasta el cociente decimal. Papas locas

Chilindrinas

Gorditas

Ignacios

Hamburguesas

b.- Pedro compró 5 platos de Ignacios para su familia y pagó $ 76.00. ¿Cuál es la operación a realizar? c.- El grupo de Luis vendió en su puesto 430 gorditas y obtuvo $3225.00. La operación es: d.- Valeria les compró a sus 7 amigos hamburguesas y gastó $152.00. Operación: e.- Julián y Enrique visitaron el puesto de las papas locas y cada uno compró tres y pagaron $75.00 en total. ¿Qué procedimiento necesitas realizar para obtener el resultado?

179

f.- Para la elaboración de las gorditas se necesitó una inversión de $800.00. Cantidad que se aportó entre los 36 estudiantes del grupo de Luis. ¿Cuánto dinero cooperó cada uno? g.- El papá de Fabián llevó a su familia y pagó $167.00 por 9 chilindrinas. Operación:

Situación problemática

• Resuelve la siguiente situación y al final comparte tus respuestas con el grupo.

“1/3 de los doce compañeros de Israel practican algún deporte” a.- ¿Cuántos compañeros no practican algún deporte? ________________________. b.- Escribe el procedimiento que seguiste: ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________. c.- En la escuela de Israel, el total de estudiantes que cursa 5to grado son 90. Uno de cada tres de ellos juega basquetbol, tres de cada cinco juegan futbol y uno de cada quince no realiza ningún deporte. • ¿Qué fracción total del grupo juega basquetbol? __________________________.

• ¿Qué fracción juega futbol? __________________________________________.

• ¿Qué fracción no realiza ningún deporte? _______________________________.

180

• ¿Cuántos alumnos juegan al basquetbol? _______________________________.

• ¿Cuántos no realizan ningún deporte? _________________________________.

Situación problemática

a.- Si a cada 3/4 de tonelada de maíz agrego 1/2 tonelada. ¿Cuántos Kg tengo?

b.- Para hacer un pantalón, la mamá de Luis compra 8/5 de metro de tela, de los cuales utiliza 3/4 de metro. ¿Qué fracción de tela sobró?

181

c.- Si Pedro ve que su reloj marca las 5 1/4 y después de un rato el reloj avanzó ¾ hora. ¿Qué hora marca el reloj?

Situación problemática

• Reunidos en parejas, resuelvan las siguientes situaciones. a.- ¿Cuál de las siguientes descripciones corresponden a la regularidad de la sucesión: 1/2, 1, 3/2, 2, 5/3, 3, … ? La regularidad es que aumenta cada término de 2 en 2. La regularidad es que al término anterior se le aumenta 2 al numerador. La regularidad es que al término anterior se le suma 2/2 para obtener el siguiente término. La regularidad es que cada término se determina aumentando ½ al término anterior.

b.- ¿Cuál es la regularidad de la siguiente sucesión? Descríbanla. 1 16

5 16

9 16

13... 16

c.- ¿Cuál es el término que falta en la siguiente sucesión? 1 8

1 4

3 8

5... 8

d.- ¿Cuál es el término que continua la siguiente sucesión? 1, 4

1, 2

3, 4

Situación problemática

1, 4

1... 2

• Organizados en equipos de tres personas, analicen la siguiente situación y contesten lo que se pide. La familia Pérez compró una casa y desea hacerle algunos arreglos; entre otros, cambiar las puertas y las ventanas. Para hacer ventanas de aluminio, el herrero cobra por metro lineal, por lo que es necesario saber cuántos metros lineales de aluminio se necesitan.

182

a.- ¿Qué cantidad de aluminio se necesitará para construir una ventana? b.- ¿Y para hacer cuatro? c.- ¿Qué forma geométrica tienen las ventanas? d.- ¿Cómo podemos encontrar el perímetro de esa figura? e.- Escriban una fórmula para obtener el perímetro de cualquier figura como esta.

183

• Para finalizar ahora realizarás una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio de los aprendizajes esperados.

Práctica

• Representa las figuras que siguen en la sucesión; escribe las fracciones correspondientes y contesta.

1 6 a.- ¿Qué fracción hay de diferencia entre cada figura? b.- ¿Cuál es el patrón en esta sucesión? c.- Explica el procedimiento que te permitió formar la sucesión:

a.- ¿Qué fracción hay de diferencia entre cada figura?

10 8

b.- ¿Cuál es el patrón en esta sucesión? c.- Explica el procedimiento que te permitió formar la sucesión:

184

Continuar la sucesión con figuras no es difícil, pero las dificultades surgirán en la representación con cifras. Es probable que para la mayor parte de nosotros resulte más fácil utilizar fracciones impropias que números mixtos; aprovecha la oportunidad para que analices con tu Maestr@ cómo transformar unas en otros.

Práctica

• Escribe los términos que faltan. Orden 1°

Práctica

Término 3 2/3 4

Orden 1°

4 2/3

Término 1/3 8/3 2/3 7/3

5 2/3

6/3

• Selecciona la operación con las fracciones equivalentes a las primeras y resuélvela. Observa el ejemplo: 3 4

1 6

2 3

2 8

1 2

3 2

4 9

9 24

2 24

16 16

6 16

12 16

27 18

8 = 18

3 12

1 12

16 24

6 24

12 24

13 9

4 9

4 48

2 48

18 18

8 = 18

9 - 2 = 7 12 12 12

185

Práctica

• Resuelve las operaciones: Observa el ejemplo: 3 5

3 8

2 4

1 7

5 2

5 5

15 9

5 4

5 2

5 5

1 3

1 2

12 8

2 3

Práctica

24 + 40

1 6

15 = 40

39 40

• Resuelve los siguientes problemas. Sabiendo que 35 X 24 = 840, encuentra, sin hacer la operación, el resultado de: a.-35 X 12= b.- 840 / 24= c.- 24 X 7= d.- 840 / 12= e.- 35 X 8= f.- 840 / 7=

186

Práctica

• Calcula el perímetro de cada polígono y contesta. 1cm

2cm

1cm 2cm

2cm 1cm

2cm

3cm P=

a.- ¿En todas las figuras se puede usar la multiplicación para calcular el perímetro? b.- ¿En cuáles sí se puede usar? c.- ¿Por qué? d.- ¿En cuáles no se puede usar? e.- ¿Por qué? f.- ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del heptágono? g.- ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del cuadrado?

Práctica

• Completa los cuadros realizando sumas cuyos denominadores son múltiplos unos de otros. Observa el ejemplo. + 1/3 1/4 5/6 7/8

1/6 1/2

5/6

3/8

2/9

+ 2/5 1/8 3/5 7/10

187

1 4/5

1 1/8

2 3/4

3 2/3

Prรกctica

Recuerda que para localizar una fracciรณn en una recta, en primer lugar debemos observar el denominador para saber en cuantas partes vamos a dividir la recta. El numerador indica donde ubicar la fracciรณn. 1 3

Numerador Denominador

Resuelve las siguientes prรกcticas con base en la informaciรณn que acabas de leer. Divide la recta en partes iguales como indica el denominador. 2 6

Muestra con una X el punto que muestra el numerador. 2 6

Divide la recta en partes iguales como indica el denominador. 1 3

Muestra con una X el punto que muestra el numerador. 1 3

188

Hola Matt. Listo para el torneo matemático.

¡Claro! Empecemos.

Si Pit. Súper listo.

¿Qué tienes que hacer para resolver sumas o restas de fracciones con el mismo denominador?

¿y cuando se Cuando se suman o se suman o se restan restan fracciones con distinto fracciones con distinto denominador, se puede recurrir a denominador? fracciones equivalentes de cada fracción.

Por ejemplo, para resolver ½ + 1/3, se buscan las fracciones equivalentes de cada una, pero con igual denominador: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 y 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 Se suman las fracciones equivalentes y queda así: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

¡Wow! muy fácil.

Necesito otro ejemplo para que me quede claro. Explícame la suma 3/5 + 1/4 =

Veamos a ver si es cierto. Te realizaré a ti y a nuestros amigos de quinto algunas preguntas sobre fracciones y tratarás de explicarme para que yo pueda entenderte.

Para resolver una suma o una resta de fracciones con el mismo denominador, los numeradores se suman o restan, según el caso, y el denominador se mantiene.

¿Y cómo hago eso?

Te lo explicaré paso por paso: 1.- Escribe fracciones equivalentes de: 3/5 y 1/4 y rodea las que tengan igual denominador: 3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = 15/25 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20 2.- Anota la suma de las fracciones equivalentes con el mismo denominador: 3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/10 3.- Suma las fracciones con igual denominador: 3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/10 = 17/20

189

Tienes razón Matt. Con los pasos que me explicaste me quedó muy claro. Definitivamente te irá de maravilla en el torneo matemático.

¡Felicidades!

Concluiste las situaciones problemáticas de la actividad integradora del Boque IV. Ahora estás preparado para el Bloque V que corresponde a los aprendizajes esperados: Explica las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y un sistema posicional o no posicional. Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales. Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética o geométrica. Resuelve problemas que implican multiplicar números decimales por números naturales.

190

Lista de cotejo para el docente. Aprendizaje esperado:

BLOQUE IV

a.- Resuelve problemas que implican sumar o restar números fraccionarios con igual o distinto denominador. b.- Identifica problemas que se pueden resolver con una división y utiliza el algoritmo convencional en los casos en que sea necesario. c.- Describe rutas y ubica lugares utilizando sistemas de referencia convencionales que aparecen en planos o mapas. d.- Resuelve problemas que implican conversiones entre unidades de medida de longitud, capacidad, peso y tiempo. e.- Resuelve problemas que implican leer o representar información en gráficas de barras. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. Problemas aditivos: a.- Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fraccionarios con denominadores múltiplos. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales, fracciones y decimales, con multiplicador y dividor natural. Figuras geométricas: a.- Ubicar puntos en el plano cartesiano (primer cuadrante). Magnitudes y medidas: a.- Resolver problemas que impliquen magnitudes (longitud y superficie) con cantidades relativamente grandes. Proporcionalidad: a.- Comparar razones de dos números naturales (n por cada m) y con una fracción (n/m de)…

191

192

No logrado

Sugiero que:

Indicador Logrado 14.- Durante la secuencia promoví que el alumno comunicara, analizara e interpretara procedimientos de resolución de problemas. 15.- Durante la secuencia promoví que el alumno buscara argumentos para validar sus procedimientos. 16.- Trabajé el análisis de las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y algunos sistemas de numeración no posicionales, como el egipcio o el romano. 17.- Identifiqué con mis alumnos la regularidad en sucesiones con números naturales y fraccionarios que tienen progresión aritmética, para encontrar términos faltantes o continuar la sucesión. 18.- Resolví problemas que implican sumas o restas de fracciones comunes con denominadores diferentes. 19.- Promoví las relaciones entre la multiplicación y la división como operaciones inversas. 20.- Manejé la interpretación y descripción de la ubicación de objetos en el espacio, especificando dos o más puntos de referencia. 21.- Construí y usé fórmulas para calcular el perímetro de polígonos, ya sea como resultado de la suma de lados o como producto. 22.- Promoví la resolución de problemas donde es necesaria la conversión entre los múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del kilogramo. 23.- Analicé con mis alumnos las convenciones para la construcción de gráficas de barras.

193

No logrado

Sugiero que:

Actividad integradora Bloque

Título: Similitudes, diferencias, fracciones y problemas. Aprendizaje esperado a.- Explica las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y un sistema posicional o no posicional. b.- Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales. c.- Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética o geométrica. d.- Resuelve problemas que implican multiplicar números decimales por números naturales. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. b.- Determinar y usar múltiplos y divisores de números naturales. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales y cociente fraccionario o decimal. Figuras geométricas: a.- Construir círculos a partir de diferentes condiciones. Magnitudes y medidas: a.- Calcular el perímetro de polígonos y del círculo. Proporcionalidad: a.- Calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con números naturales, con constante natural o fracciones sencillas (1/2, 3/4, etcétera). Materiales: Bloques, barras de unidad, tablas de decenas y cubos de millar, hojas cuadriculadas, bloques de Dienes, escuadras, trasportador, reglas, compás, publicidad con precios de fruterías, abarrotes y supermercados (para el juego 3), 50 canicas del mismo color (para el juego 4), gises de colores (para el juego 5), para cada equipo del juego 9; una tira de cartoncillo de 12 centímetro de largo por 3 centímetros de ancho y una tira de aproximadamente un metro de largo por 3 cm de ancho, para todo el grupo: una tira de 18 cm de largo por 3 cm de ancho (para el juego 9), un cuarto de cartulina, hoja blanca, un alfiler o seguro (para el juego 10).

Información para tu Maestro@: Los juegos y las situaciones problemáticas que trabajarán tus alumnos atienden el diseño de la tabla de contenidos del programa de quinto grado por cada uno de los bloques. Los contenidos de los bloques están organizados tomando en cuenta los momentos de aprendizaje matemático sugeridos por Brunner (intuitivoconcreto, gráfico-representativo y simbólico-convencional). Al inicio de cada actividad integradora te presentaré el bloque con los contenidos a desarrollar por los alumnos; además te mostraré su organización y a que juego o situaciones problemáticas corresponden.

194

TABLA DE CONTENIDOS Competencia a desarrollar: 1.- Resolver problemas de manera autónoma 2.- Comunicar información matemática 3.- Validar procedimientos y resultados 4.- Manejar técnicas eficientemente Aprendizaje esperado: a.- Explica las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y un sistema posicional o no posicional. b.- Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales. c.- Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética o geométrica. d.- Resuelve problemas que implican multiplicar números decimales por números naturales.

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Ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico Números y sistemas de Numeración Análisis de las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y el sistema maya.

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Forma Espacio y medida

a.- Juguemos Figuras y a ¿en qué se Cuerpos parecen? (juega). Distinción b.- Situación entre círculo y 1 (observa y circunferencia; comenta). su definición c.- Práctica 1. y diversas formas a.- Juguemos a la de trazo. tienda (juega). Identificación b.- Juguemos a Uso de la expresión de algunos n/m para representar unamos pedazos elementos (juega). el cociente de una importantes medida entera (n) c.- Juguemos a las como radio, fracciones mixtas entre un número diámetro y (juega). natural (m): 2 centro. pasteles entre 3; d.- Situación 2, 7, 8, 9 y 10 (resuelve). 5 metros entre 4, Ubicación etcétera. a.- Juguemos a espacial Identificación de las sucesiones Interpretación la regularidad en con progresiones de sistemas sucesiones con geométricas y de referencia números que aritméticas (juega). distintos a las tengan progresión b.- Situación 2 coordenadas geométrica, para y 8 (observa y cartesianas. establecer si un comenta. término (cercano) c.- Situación 3 y 11 pertenece o no a la (resuelve). sucesión. d.- Práctica 2, 4 y 9. Problemas a.- La historia de multiplicativos Matt. Resolución b.- Situación 5,7 de problemas y 9 (observa y que impliquen comenta). multiplicaciones de c.- Situación 1, 2, números decimales 4, 7, 8, 9 ,10 y 12 por números (resuelve). naturales, con el d.- Práctica 3 y 10. apoyo de la suma iterada.

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

Manejo de la información

¿A qué etapa, juego y situación corresponde?

a.- Juguemos a círculos y circunferencias (juega). 3.- Situación 3, 4, 10, 11 y 12 (observa y comenta).

Proporcionalidad y funciones Relación del tanto por ciento con la expresión “n de cada 100”. Relación de 50%, 25%, 20%, 10% con las fracciones 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, respectivamente. Análisis y representación de datos Cálculo de la media (promedio). Análisis de su pertinencia respecto a la moda como dato representativo en situaciones diversas.

a.- Juguemos a los porcentajes (juega). b.- Situación 6 (observa y comenta). c.- Situación 6, 7, 8 y 9 (resuelve). d.- Práctica 7 y 8.

a.- Juguemos a midamos con nuestros cuerpos (juega). b.- Juguemos a las coordenadas de un punto (juega). c.- Juguemos a cambio de dirección (juega). d.- Práctica 5 y 6.

196

a.- Juguemos a las coordenadas de un punto (juega). b.- Situación 5 (resuelve).

Matt, Ya me enteré que muy pronto tú y nuestros amigos de quinto grado saldrán de vacaciones.

Pues no tanto. Pero de lo que si estoy seguro es que en este ciclo escolar aprendí mucho.

¿Qué tengo que hacer si quiero multiplicar un número decimal por un número natural?

Así es. El procedimiento para multiplicar números decimales es el mismo que se utiliza para dos números naturales, únicamente se cuentan las cifras decimales para colocar el punto en el producto.

Así es Pit. Aunque todavía nos falta terminar el último bloque y las evaluaciones finales.

¿Qué aprendizaje esperado fue el que te gustó más? ¿Y a ustedes amigos? _________________________ _________________________

¿Cómo lo harían ustedes amigos? ________________________ _________________________

¿Qué tan importante es la colocación del punto decimal tanto en la multiplicación como en la suma.

Excelente amigos. Definitivamente con métodos gráficos es “mucho más” divertido aprender matemáticas. Claro. Todo es cuestión de: Jugar, observar, comentar y al final resolver las situaciones problemáticas.

197

¿Y cómo te ha ido en la escuela? Me han contado que el quinto año es el más difícil. ¿Será cierto?, ¿por qué? ____________________ ____________________ ____________________ A mí fue el de resolución problemas que implican multiplicar números decimales por números naturales. Me gustó mucho trabajar la importancia de la colocación del punto decimal. Por ejemplo: en 1.21 × 3, ¿cómo obtengo el resultado?

Podrás escribir algunos ejemplos para enfatizar en cómo se alinea el punto decimal en la suma y cómo se coloca en el producto a partir del número de cifras decimales en los factores.

Antes de iniciar pídele a tu maestr@ que te muestre el material para conocerlo.

Juguemos a ¿en qué se parecen?

• En equipos de tres personas, juguemos a ¿en qué se parecen? Sabias que los números mayas se escriben de abajo hacia arriba en varios niveles cuyo orden hace que su valor cambie. A continuación representaremos los números de cada nivel con un color diferente para poder identificar su valor. a.- Completen las tablas y comenten las siguientes preguntas, al finalizar compartan sus respuestas con otros equipos.

Sistema maya Sistema decimal

100

101

102

103

105

400

401

423

Sistema maya Sistema decimal Sistema maya Sistema decimal Sistema maya Sistema decimal

• Al finalizar los cuadros, comenten las siguientes preguntas con el resto de los equipos. a.- ¿Cuántas y cuáles son las cifras que se utilizan para escribir números en el sistema de numeración maya? b.- ¿Hasta cuántas veces puede repetirse cada cifra? c.- ¿Cuánto vale el punto en el primer nivel? d.- ¿En el segundo nivel? e.- ¿Y en el tercer nivel? f.- ¿Cuánto vale la raya en el primer nivel?

198

g.- ¿Y en el segundo nivel? h.- ¿Y en el tercer nivel? i.- ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir usando una sola vez las tres cifras? j.- ¿Y el menor? • Ahora, escriban en el pizarrón las siguientes tablas y elaboren juntos las preguntas que se presentaran posteriormente.

45 1X100 2012 5880 322

4X10 0X10

2X1000 6X10 8X10

5X1000

974 3X1000

4X100

3X10

5X100

0X30 0X10

5X1 6X1 2X1 9X1

4X1 0X1

7931

1004 a.- ¿Cuántas y cuáles son las cifras que emplea el sistema decimal?

b.- ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir en una posición?

199

9X1 5X1

c.- ¿Cuál es el valor de cada una de las posiciones de un número? Escriban sólo las primeras cuatro de derecha a izquierda.

d.- Escriban una característica del sistema maya que se parezca a una del sistema decimal.

e.- Anoten una característica del sistema maya que no se parezca a una del sistema decimal.

Juguemos a midamos con nuestros cuerpos.

• Salgamos al patio y todo el grupo participará en un juego deportivo. Queremos saber cuántos estudiantes, tomados de la mano, se necesitan para rodear: a.- El campo de futbol. 1.- ¿Cuáles datos se requieren para calcular cuántos alumnos se necesitan? 2.- ¿Cuál es el perímetro de la cancha de futbol? 3.- Represéntalo con un dibujo.

200

b.- Las canchas de básquet. 1.- ¿Cuáles datos se requieren para calcular cuántos alumnos se necesitan? 2.- ¿Cuál es el perímetro de la cancha de básquet? 3.- Represéntalo con un dibujo.

c.- El Salón de 5to. 1.- ¿Cuáles datos se requieren para calcular cuántos alumnos se necesitan? 2.- ¿Cuál es el perímetro del salón? 3.- Represéntalo con un dibujo.

d.- El salón de 1ero. 1.- ¿Cuáles datos se requieren para calcular cuántos alumnos se necesitan? 2.- ¿Cuál es el perímetro del salón? 3.- Represéntalo con un dibujo.

201

e.- La dirección de la Escuela. 1.- ¿Cuáles datos se requieren para calcular cuántos alumnos se necesitan? 2.- ¿Cuál es el perímetro de la dirección? 3.- Represéntalo con un dibujo.

• Gana el alumno que determine: ¿Cuál es la fracción que representa la longitud A de la ilustración, a la que los estudiantes deberían separar sus brazos si fueran 327.

Juguemos a la tienda.

• En equipos de tres personas, completen las siguientes tablas con los precios de los productos que tienen en la publicidad solicitada en sus materiales. En la columna de la derecha recorten y peguen el producto que se indica. No olviden escribir los precios. Manzanas Kilo

Precio

Cebolla Producto

Kilo

1/2

1/4

3/4

1/2

1 1/2

202

Precio

Producto

Jitomate Kilo

Precio

Melones Producto

Kilo

Precio

Producto

• Cuando hayan completado las tablas contesten las siguientes preguntas con el propósito de que identifiquen las relaciones que se dan entre los datos de una tabla de variación proporcional. a.- Si dos kilogramos de jitomate cuestan $___________. ¿Cuánto cuestan 4? $________ ¿Y 8 kilogramos? $_______________. b.- ¿Cuánto cuestan 6 melones? c.- Si medio kilo de manzana cuesta $____________. ¿Cuánto cuesta 1 kilogramo y medio? $______________________. d.- ¿Cuánto costarían 10 kilogramos de jitomate? $________________. e.- ¿Y 3 kilogramos de manzana? $______________________. f.- Si ½ kg de manzana cuesta $3.00 y 1 kg $6.00 ¿Cómo se puede obtener a partir de estos datos lo que cuesta 1 ½ kg? $____________________________. • Al finalizar, en una hoja de máquina cada equipo formulará 5 preguntas para otros equipos sobre cantidades que no aparecen en las tablas. Al finalizar, comenten las respuestas en todo el grupo y compartan sus tablas. Comenten con su Maestr@ que en otro momento pueden trabajar con tablas de cantidades que varían proporcionalmente, dejando espacios vacíos tanto en la primera como en la segunda columna. • Ahora, todo el grupo elijan cantidades que varían proporcionalmente y organicen los datos elaborando tablas en el pizarrón. Cuando terminen de completarlas, identifiquen las relaciones que se dan entre las cantidades. • Nuevamente en el equipo con el que se trabajó, elaboren dos preguntas para identificar las relaciones que se dan entre las cantidades. Cada equipo tomará dos preguntas al azar. • Expliquen sus respuestas y si son correctas, el equipo escogerá al equipo que responderá las siguientes dos preguntas al azar.

203

Juguemos a las sucesiones con progresiones geométricas y aritméticas.

• En equipos de dos personas construyan un tablero de 10 por 10 casillas. Observa el ejemplo:

Comenta con tu compañero: a.- ¿Con qué materiales podrán construir el tablero? b.- Compartan sus canicas. ¿Cuántas juntaron? • Practiquemos: c.- Respetando turnos, cada alumno colocará (al azar) en las casillas del tablero las canicas que cada alumno considere. d.- El otro compañero observará las características de la sucesión que realizó. e.- El compañero responderá a las siguientes preguntas: • ¿Cuántas canicas tienen cada lado del tablero? f.- Ahora juntos construyan la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16, 32... g.- Ahora consideren todas las canicas y formen la sucesión: 1, 4, 16, 64,… • Cuando hayan terminado las dos sucesiones, comenten las siguientes preguntas: 1.- ¿Qué en una sucesión con progresión geométrica? 2.- ¿Cómo se obtiene cada término? 3.- En esta sucesión cada término se multiplica por 3 para obtener el término siguiente. Completen lo que falta:

204

Número del término en la secuencia 1 2 3 4

Término 4 36

4.- ¿Cómo se llama el número por el que se multiplica un término para calcular el siguiente? 5.- ¿Qué proceso utilizamos para calcular la razón en una sucesión con progresión geométrica? • Para finalizar, reúnanse con otro equipo y pídanles construir sucesiones de 5 figuras, después escríbanlas en sus cuadernos y al finalizar contesten las siguientes preguntas: a.- ¿Cuántas canicas tiene un lado de cada figura? b.- ¿Cuántos puntos tendrá un lado si construyes las figuras 6, 7 y 8? c.- ¿Qué hiciste para calcular los puntos de las figuras 6, 7 y 8? d.- ¿Cuál es la razón en la sucesión de puntos en cada lado? e.- ¿Cuál es el total de puntos de cada figura? f.- ¿Cuántos puntos tendrán en total las figuras 6 y 7 y cómo calculas los términos en esta sucesión? g.- ¿Cuál es la razón en la sucesión de los puntos de las figuras? • Al finalizar, comenten sus respuestas con todo el grupo y observen las sucesiones que todos los equipos realizaron en los tableros.

Juguemos a círculos y circunferencias.

• Organicen equipos de cinco integrantes cada uno. • Salgan al patio con gises de colores. • Cada grupo dibuje un círculo con el gis de color blanco en el piso de las canchas. • Indiquen a un representante de cada equipo que dibuje, lo más rápido posible, un elemento de la circunferencia que otro equipo les diga. • El representante de cada equipo tendrá los ojos cerrados.

205

• Cada equipo elaborará 10 preguntas. Algunos ejemplos pueden ser: a.- Con el color azul, rodea la circunferencia. b.- Con el color verde, marca la región que queda encerrada por la circunferencia. c.- ¿Cómo se llama la región que queda encerrada por la circunferencia? d.- Con el color amarrillo traza un segmento de recta que va de un punto de la circunferencia a otro. ¿Cómo se llama este? e.- Traza el diámetro con el color rojo. f.- Con el color negro, traza el radio.

• Gana el equipo que tenga más aciertos. • Al finalizar formen con sus propias palabras las definiciones de: circunferencia, círculo, cuerda, diámetro, radio, mediatriz.

Juguemos a las coordenadas de un punto.

Para este juego necesitaremos la participación de tu Maestr@ o pueden invitar al Director@ a participar. • En pequeños trozos de papel escriban distintas coordenadas de los vértices de distintos triángulos para posteriormente tomarlos al azar y dibujar uno por uno. Observa un ejemplo:

A = B = C =

(1, 1) (2, 3) (5, 1)

206

4 B

3 2 1 0

C 1

•Después de dibujar cada triangulo, individualmente sigan las siguientes instrucciones y contesten las preguntas: a.- Ubica un punto D para formar un romboide con los otros tres vértices: A, B y C. b.- ¿De qué clase debe ser el triángulo ABC para que puedas obtener un rombo? c.- ¿Dónde ubicarías el punto B para obtener un rombo si además se agrega un punto D? Dibújalo y escribe las coordenadas de los puntos B y D. d.- ¿Qué clase de triángulo debe ser ABC para que puedas obtener un cuadrado? e.- ¿Dónde ubicarías el punto B para obtener un cuadrado, si además se agrega un punto D? Dibújalo y escribe las coordenadas de los puntos B y D. f.- ¿Qué características observas de los planos cartesianos? • Se pueden organizar equipos que se envíen mensajes entre sí para representar otras figuras en el plano cartesiano. • También pueden utilizar el geoplano y el tangram para identificar coordenadas y vértices. • Al final, compartan sus resultados con todo el grupo y el compañero que obtenga todos sus resultados correctamente explicará al grupo sus procedimientos.

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Juguemos a los porcentajes.

• En equipos de tres personas resolveremos los siguientes problemas. Cada compañero tendrá una función que se distribuirá de la siguiente manera: Alumno 1: Lee el problema. Alumno 2: Completa o elabora las tablas. Alumno 3: Contesta las preguntas. TODOS: Analizan los procedimientos y resultados para identificar errores. Empecemos: Alumno 1: a.- La población de niños menores de 16 años en una ciudad es de 4 600. En la gráfica se muestra su distribución por edades. Alumno 2: Completen la tabla: Edad Menores de 16 años

Fracción 1 1/2

Población 4 600

25 1/8 460 Alumno 3: a.- ¿Qué porcentaje corresponde a la población de 4 600 alumnos? b.- ¿Qué cantidad de niños representa la mitad de la población? ¿Qué porcentaje? c.- ¿Qué fracción de la población total representa 25%? ¿A cuántos niños corresponde? d.- ¿Qué fracción del total representa 460 niños? ¿Qué porcentaje le corresponde? TODOS: Analicen los procedimientos y resultados. a.- ¿Encontraron errores? _________________________. b.- ¿Pudieran encontrar algunas otras formas de representar los porcentajes gráficamente? Alumno 1: b.- Cinco “camaradas” compran 100 chocolates en 60 pesos. La contribución de cada uno ha sido de 15, 3, 12, 18 y 12 pesos. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?

208

Alumno 2: Completen la tabla: Precio en pesos Número de chocolates

60 100

Alumno 3: a.- ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno? b.- Si se integraran dos “camaradas” más, ¿cuántos chocolates le tocan a cada uno? c.- Si se integraran dos “camaradas” más, pero ahora compran 135 chocolates, ¿cuántos chocolates le tocan a cada uno? d.- Si se integraran tres “camaradas” más, pero ahora compran 127 chocolates en 80 pesos ¿cuántos le tocan a cada uno? TODOS: Analicen los procedimientos y resultados. a.- ¿Encontraron errores? _________________________. b.- ¿Pudieran encontrar algunas otras formas de representar los porcentajes gráficamente? Alumno 1: c.- Entre 1970 y 1974 la población de las ciudades el Álamo, San Benito y San Antonio aumentó 10%. ¿Cuál es la población en 1974, si en 1970 el Álamo tenía 3 400 habitantes, San Benito 79 000 y San Antonio 35 000? Alumno 2: Elabora la tabla:

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Alumno 3: a.- ¿Cuál es la población en 1974, si en 1970 el Álamo tenía 3 400 habitantes, San Benito 79 000 y San Antonio 35 000? b.- ¿Qué porcentaje corresponde a la población del Álamo? c.- ¿Qué porcentaje corresponde a la población de San Benito? d.- ¿Qué porcentaje corresponde a la población de San Antonio? TODOS: Analicen los procedimientos y resultados. a.- ¿Encontraron errores? _________________________. b.- ¿Pudieran encontrar algunas otras formas de representar los porcentajes gráficamente?

Juguemos a unamos los pedazos.

• Reúnanse en quipos de tres personas. • Para este juego utilizaremos las regletas de colores o cuisenaire para representar pedazos de pan que iremos cortando. • A continuación se presentarán los siguientes problemas y para cada resultado utilizarán las regletas. Utilicen los colores y tamaños que consideren necesarios. a.- Hugo, Paquito y Wicho se repartieron una barra de pan y a cada quien le tocó lo mismo. Mary, Chiquis y Rosita se repartieron dos barras de pan como la de los otros niños. Qué parte de la barra de pan le toco a Paquito? • ¿Qué parte de la barra le toco a Chiquis? • ¿A quién le toco más, a Chiquis o a Paquito? • ¿Cuánto más le tocó? • ¿Qué parte de una barra se comieron entre Chiquis y Paquito? • Si la barra de pan que comieron medía 9 centímetros cada una, ¿cuánto medía la parte que le tocó a Paquito? • ¿Cuánto media la parte que le tocó a Chiquis? • ¿Cuánto median juntas la parte de Paquito y la de Chiquis? •Cuando la mayoría de los equipos terminen de resolver el problema comenten en todo el grupo y revisen las respuestas que se dieron por cada pregunta.

210

• ¿Qué preguntas pueden servir para verificar los resultados de las cuatro primeras? •Al finalizar, pasen todos los equipos a ver la distribución de las regletas de los otros compañeros.

Juguemos a las tracciones mixtas.

Cada equipo de 4 personas necesitará una tira de cartoncillo de 12 centímetro de largo por 3 centímetros de ancho y una tira de aproximadamente un metro de largo por 3 cm de ancho. Para todo el grupo: una tira de 18 cm de largo por 3 cm de ancho, que debe permanecer oculta mientras los alumnos resuelven los problemas. El grupo se organiza en equipos, se reparte el material y se resuelve el siguiente problema: 1.- Javier y sus cuatro amigos se repartieron cuatro chocolates. A cada uno le toca las dos terceras partes de un chocolate, quedando una parte sin repartir. El pedazo que le tocó a cada niño es igual a la tira de cartoncillo más chica. a.- ¿De qué tamaño eran los chocolates enteros? Utilicen las tiras más largas para averiguarlo. b.- De un chocolate sobró un pedazo, ¿Qué parte del chocolate representa ese pedazo? c.- ¿Qué cantidad de chocolate se comieron Javier y sus amigos? Expresa esa cantidad mediante una fracción. d.- ¿Cuántos chocolates enteros se comieron? Expresa la cantidad de chocolate que comieron, utilizando un número entero y una fracción. • Cuando la mayoría de los equipos terminen de representar con las tiras los chocolates enteros, deben compararlos para saber si resultaron iguales. • Cada equipo nombra un representante para que explique lo que hicieron. Enseguida se muestra la tira de 18 cm para compararla con las que obtuvieron.

Juguemos a cambio de dirección.

• El material que utilizarán es: un cuarto de cartulina, hoja blanca, un alfiler o seguro. • El grupo se organiza en parejas; cada una traza en el pedazo de cartulina tres círculos que midan de radio 4 cm, 3cm y 2 cm, todos con el mismo centro. • Ya que estén hechos, divídanlos en medios, cuartos y octavos y escriban en cada línea divisoria los nombres de animales, frutas y objetos como aparecen en el siguiente ejemplo.

211

• Ahora, en un pedazo de papel tracen un círculo que mida de radio 2 cm, recórtenlo, divídanlo en cuartos por medio de dobleces, marquen un punto negro en el centro y dibujen una flecha siguiendo una línea de los dobleces. • Coloquen el círculo que acaban de hacer sobre los tres primeros y con un alfiler o seguro hagan coincidir los círculos en su centro para que el círculo con la flecha pueda girar sobre los otros. • Con el instrumento que construyeron contesten las siguientes preguntas; un niño de cada pareja puede leerlas y el otro hacer los giros. a.- Coloquen el círculo de manera que la flecha señale hacia el perro. ¿Qué cosas señala la flecha? Partiendo de esa dirección ¿qué cosas señala la flecha cuando se gira tres octavos de vuelta a la derecha? b.- Coloquen la flecha apuntando hacia la vaca: ¿Qué otras cosas señala la flecha? ¿Hacia dónde apunta la flecha si se gira un cuarto de vuelta hacia la izquierda en lugar de girarla hacia la derecha? c.- Antes de hacer los siguientes giros, apunten con la flecha en dirección al perro. Den cuatro giros de un octavo hacia la izquierda: ¿Hacia dónde apunta la flecha? Den seis cuartos de vuelta hacia la derecha. ¿Hacia dónde apunta la flecha? d.- Escriban un giro diferente a los anteriores que también haga pasar la flecha de la dirección del perro a la dirección del pato.

212

Recuerdas que en el juego 1, ¿en qué se parece? comentaron que las características principales del sistema de numeración maya son: a.- Se usan tres símbolos de diferente valor: (0),

(1) y

(5).

b.- El punto se puede repetir cuatro veces, y la raya, solo tres. c.- Es de base 20. Para los números de 1 a 19 se agregan tantos símbolos como se requiera y se suman sus valores. d.- Es un sistema posicional, es decir que los símbolos adquieren un valor por el lugar que ocupan. e.- Las posiciones son verticales; en el primer nivel se multiplica el valor de los símbolos por 1, en el segundo por 20, en el tercero por 20 por 20 (400), en el cuarto por 20 por 20 por 20 (8 000), y así sucesivamente. • Para saber el valor de los números mayas, respecto del sistema decimal, se realizan los siguientes pasos: 1. Escribir el número en una tabla de posiciones del sistema maya. 2. Multiplicar cada número por el valor de la posición donde se encuentra. 3. Sumar los resultados de las multiplicaciones. Por ejemplo:

8 000

1 x 8 000 = 8 000

400 20

5 x 400 = 2 000 0 x 20 = 2 000 15 15 x 1 = 0 10 015

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Situación problemática

• En compañía de un compañero, utilicen material y objetos que encuentren en el patio para completar la siguiente numeración.

a.- ¿Cómo escribirían el número 10 en el sistema de numeración maya? b.- ¿Cómo escribirían el número 11? c.- ¿El 15? d.- ¿Y el 18? • Ahora, comenten los símbolos que faltan para formar los siguientes números. 20 Nivel 1 Nivel 2

Recuerden que el número 2 en el segundo nivel (con valor 20) se representa con (1). Recuérdeles que el sistema maya es vigesimal, es decir que ese 1 vale 20 porque pertenece al siguiente orden. Comenta con tu Maestr@ por qué el procedimiento para determinar el valor de los números mayas es parecido a la notación desarrollada.

• Para finalizar esta situación, comenten y posteriormente completen la tabla para saber el valor de los números mayas que aparecen. Observen en el ejemplo:

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8 000 400 20 1

Situación problemática

1 x 8 000 = 8 000 0 x 400 = 0 5 x 2 = 2 000 0X1=0 8100

• Pepe y Carlos están revisando la sucesión de figuras.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 • Comenta con dos compañeros las siguientes preguntas. • Utilicen dibujos o bloques para determinar las posibles respuestas. a.- ¿Cuántos puntos tiene un lado de cada figura? b.- Cuántos puntos tendrán un lado de las figuras 6, 7 y 8? c.- ¿Qué hicieron para calcular los puntos de las figuras 6, 7 y 8? d.- ¿Cuál es la razón en la sucesión de puntos en cada lado? e.- ¿Cuál es el total de puntos de cada figura? f.- ¿Cuántos puntos tendrán en total las figuras 6 y 7? g.- ¿Cómo se calcula un término en esta sucesión? h.- ¿Cuál es la razón en la sucesión de los puntos de las figuras?

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Figura 5

Situación problemática

• Haz lo siguiente para trazar la mediatrices de CD y EF. Después, traza las circunferencias de diámetro CD y EF. a.- Abre tu compás a más de la mitad de la longitud del segmento. b.- Coloca la punta del compás en uno de los extremos en cada caso y traza un arco. c.- Repite colocando la punta del compás en el extremo opuesto. d.- Traza la recta que pasa por los puntos donde se cruzan los arcos.

D F

E C e.- ¿Qué estrategias utilizaste? f.- Ahora, en parejas utilicen regla y compás para trazar dos circunferencias: una que pase por los cuatro puntos azules y otra que pase por los tres puntos verdes: • Tracen con la regla todas las líneas que crean que les ayudarán a localizar el centro (para que puedan usar el compás). • Comenta con tus compañeras y compañeros el procedimiento que ideaste para trazar las circunferencias.

216

Situación problemática

• Tomás está estudiando en la facultad de arquitectura y en la clase de teoría de la circunferencia les están pidiendo que elabore un collage con los temas que se vieron en la unidad. Tomás elaboró un dibujo, pero no recuerda cómo marcar las circunferencias, el radio, las cuerdas la mediatriz y los diámetros. • Ayúdalo marcando con morado todas las circunferencias que aparecen en la imagen. ¿Cuáles encontraste? Menciónalas. _____________________________________________________________________. Ahora traza cada uno de los siguientes elementos: a.- Con anaranjado, el radio. b.- Con verde, las cuerdas. ¿Cuántas encontraste? _______________________________________________________________. c.- Con azul, la mediatriz de cada cuerda marcada. d.- Con café, el diámetro. e.- Con negro, el centro.

217

Situación problemática

• El día 20 de noviembre los alumnos de quinto grado organizaron una competencia de salto de longitud. Cada competidor saltó tres veces. Para saber quién quedó en primer lugar deben sumarse los tres saltos de cada niño y escribir el resultado en la tabla. a.- ¿Quién creen que obtuvo el primer lugar y quién el último? b.- Sumen los tres saltos de cada niño y coloquen el resultado en la parte de la tabla en que dice total. Nombre José Ricardo Sebastián Antonio César

Salto 1 1.23 m 1.50 m 0.94 m 1.53 m 1.45 m

Salto 2 1.20 m 1.34 m 1.18 m 2.01 m 1.50 m

Salto 1.30 m 1.08 m 1. 20 m 1. 70 m 0.98 m

Total

c.- ¿Quién logró el primer lugar? d.- ¿Quién ocupó el último? e.- ¿En cuál de los tres saltos que hizo Ricardo saltó más? f.- ¿Por cuánto le ganó Antonio a Sebastián, tomando en cuenta el total de metro? g.- ¿Quién realizó el salto más largo? h.- ¿Quién el más corto? i.- Comprueben individualmente si sus aproximaciones estuvieron cerca o lejos de los resultados correctos. Después reúnanse con otros compañeros y revisen juntos las respuestas que encontraron. Utilicen material concreto y represéntenlo de manera gráfica en una cuadricula.

218

Situación problemática

• Una pintora hace pruebas de tonalidades diferentes de cada color para un cuadro. Necesita saber qué porcentaje de un color debe mezclar con el blanco para obtener exactamente la intensidad que ella quiere. Hizo algunas pruebas mezclando el color amarillo con 10% de blanco, 20% de blanco, 25% de blanco y 50% de blanco. b a

25% 20%

50%

10% d

a.-¿Qué significa que el amarillo esté mezclado con 10% de color blanco? Significa que partes de cien son de color ___________________________. b.- ¿Qué significa que el amarillo esté mezclado con 20% de color blanco? Significa que partes de cien son de color ___________________________. c.- ¿Cuál de los círculos tiene 90% de color amarillo? d.- ¿En cuál de los círculos hay 80% de color amarillo? e.- ¿Cuál de los círculos tiene 75% de color amarillo? f.- ¿En cuál de los círculos hay 50% de color amarillo? • Ayer y hoy, la pintora hizo mezclas de violeta con blanco. En la mezcla de ayer, tres de cada veinte partes eran color violeta. Hoy, seis partes de cada cincuenta son de color violeta. g.- ¿Qué día obtuvo la pintora una mezcla más violeta? • Si la pintora quiere obtener la misma tonalidad de violeta que ayer: h.- ¿Cuántas partes de cada cien deben ser de color violeta? • Si se desea mezclar todos los colores con blanco en la misma proporción que ayer: i.- ¿Qué porcentaje de blanco se debe usar? • Representa gráficamente las siguientes expresiones; puedes utilizar tus materiales o lo puedes desarrollar en hojas cuadriculadas.

219

j.- Diez partes de cien son de color verde: 10% k.- Veinte partes de cien son de color verde: 20% l.- Cien partes de cien son de color verde: 100% m.- Veinticinco partes de cien son de color verde: 25% n.- Cincuenta partes de cien son de color verde: 50%

Situación problemática

• En el equipo de futbol medimos el tiempo que tarda en caer un balón desde el techo del salón de la escuela. Sin embargo, cuando cada niño medía el tiempo, el dato que obtenía era diferente. Ellos decidieron entonces medir varias veces el tiempo que tarda en caer y al final calcular la media o promedio y la moda. Los datos registrados en segundos fueron los siguientes. • Observen la gráfica y comenten sus resultados: Veces que se registró el dato 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.7 0.8 a.- ¿Cuántas veces se registró 0.7 segundos?

0.9

Tiempo 1.0 (segundos)

b.- ¿Cuántas veces se registró 1.0 segundos? c.- ¿Cuál columna representa la moda del conjunto de datos? d.- ¿Cuál es el valor de la moda? e.- ¿Cuál es el valor de la media o promedio? f.- ¿Cuál de las medidas de tendencia central es un valor representativo del tiempo de caída del balón?

220

Situación problemática

• Trabajen en equipos de tres personas. • Observen las tablas, coméntenlas para completarlas y posteriormente analicen las siguientes preguntas: a.- Mis amigos y yo nos organizamos en equipos para repartir gelatinas de manera equitativa y sin que sobre ninguna. Las gelatinas son del mismo tamaño. Equipo A B C D E

Cantidad de gelatinas compradas 1 2 3 4 5

Cantidad de alumnos por equipo 5 5 5 5 5

Cantidad que le toca a cada uno

b.- ¿A los alumnos de qué equipo les corresponde una porción más grande de gelatina? c.- ¿A los alumnos de qué equipo les corresponde una porción más pequeña de gelatina? d.- La siguiente tabla corresponde a otros equipos: Equipo F G H I j

Cantidad de gelatinas compradas 7 7 7 7 7

Cantidad de alumnos por equipo 3 4 5 6 7

Cantidad que le toca a cada uno

e.- ¿A los alumnos de qué equipo les corresponde una porción más grande? f.- ¿A los alumnos de qué equipo les corresponde una porción más pequeña? g.- ¿Existe alguna relación entre ambas tablas que les permita saber rápidamente la cantidad que le toca a cada niño al repartir cierto número de gelatinas? h.- ¿Podrán explicarla?

221

Situación problemática

• Organizados en equipos de tres personas, resuelvan los siguientes problemas utilizando el método gráfico a partir del llenado de cuadricula: a.- Una tubería consta de 7 tramos iguales de 0.73 m. ¿Cuál es la longitud de la tubería?

b.- Esther compró 3 frascos de pegamento de $4.80 cada uno. ¿Cuánto pagó en total?

c.- Sonia compró 5 paquetes de queso panela con un peso de 0.375 kg cada uno y 6 paquetes de jamón con un peso de 0.250 kg cada uno. ¿Cuál es el peso total de los quesos y el jamón?

222

d.- Pepillo fue a una papelería y sacó 10 fotocopias a color tamaño carta, a $2.75 cada una, y 100 fotocopias blanco y negro tamaño carta, a $0.75 cada una. ¿Cuánto pagó en total por todas las fotocopias?

• Cuando terminen compartan sus resultados y comente: ¿Son iguales los dibujos? ¿Se llenaron las mismas cuadriculas? ¿Cómo representaron los decimales? ¿Cómo representaron los pesos y las longitudes? ¿Cuál fue el procedimiento más eficiente?

Situación problemática

• Entre todo el grupo elijan a un compañero para que se coloque en un punto determinado del patio; los demás se repartirán a 1 metro de distancia de él. Observen y digan qué figura se forma con todos los alumnos que se pararon a un metro de distancia de su compañero que está en el centro. a.-Ahora organizados en parejas, sigan las siguientes instrucciones: a.- Marquen un punto con color rojo en el centro de una hoja de máquina. Después marquen con azul todos los puntos que se encuentren a 5 cm de distancia del punto rojo. Ganará la pareja que marque más puntos cuando su Maestr@ diga: ¡Alto! Observen y comenten el ejemplo:

223

¿Qué figura forman todos los puntos que marcaron? b.- En otra hoja marquen un punto rojo en el centro. Usen un pedazo de cuerda para marcar muchos puntos que estén a la misma distancia del punto rojo. Ganará quien marque más puntos. ¿Encontraron alguna manera de marcar todos los puntos posibles? Expliquen cómo lo hicieron: c.- En la misma pareja con la que trabajaste, observen y comenten las siguientes preguntas: El siguiente dibujo representa el pueblo de San Juan. El punto rojo indica el lugar donde se instaló una antena de radio que transmite sus ondas a una distancia máxima de 3 km.

d.- Representen cada kilómetro con 1 cm y marquen con color rojo el límite de la zona donde se escucha la radio. Después coloreen de azul todo lo que queda dentro de ese límite. e.- ¿Qué forma tiene la figura marcada con rojo? f.- ¿Qué forma tiene lo coloreado de azul?

224

Situación problemática

• Organizados en equipo, utilicen los círculos que a continuación se presentan para hacer lo que se indica enseguida:

a.- Tomen un circulo y dóblenlo por la mitad. Luego desdóblenlo y marquen con rojo la línea. ¿Esta línea cómo se llama?, escriban su nombre sobre la línea. b.- ¿Cuántos diámetros tiene una circunferencia? c.- Expliquen por qué el diámetro de una circunferencia también es un eje de simetría. d.- ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo? e.- Tomen otro círculo y ubiquen el centro de la circunferencia. Cuando lo hayan encontrado respondan las siguientes preguntas. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia?

225

f.- ¿Qué relación hay entre radio y diámetro? g.- Marquen con rojo la circunferencia en el tercer círculo y ubiquen el centro. h.- Tracen un radio y anoten cuánto mide i.- Marquen cinco puntos que estén a diferente distancia del centro, pero dentro del círculo. Midan la distancia del centro a cada uno de esos puntos y anótenla. j.- ¿Alguna distancia de las que encontraron en el inciso anterior es mayor que la medida del radio? k.- Comenten ¿por qué creen que sucede esto?

Situación problemática

• Por equipo, busquen una manera de trazar lo que a continuación se indicará en cada caso. En todos los trazos utilicen sus instrumentos geométricos. a.- Tracen un círculo cuyo radio sea el segmento OP P

O b.- Tracen un círculo cuyo diámetro sea el segmento AB. A

226

c.- Tracen cuatro círculos tomando en cuenta las siguientes medidas. Coloreen la circunferencia del color que prefieran. a.- Radio: 3.5 cm. b.- Diámetro: 9 cm. c.- Diámetro 6 cm. d.- Radio: 2 cm. d.- Tracen una circunferencia que pase por los cuatro vértices del cuadrado:

e.- En el primer círculo tracen un rectángulo cuyos vértices estén sobre su circunferencia. En el segundo círculo tracen un triángulo cuyos vértices también estén sobre su circunferencia.

f.- Reproduzcan la siguiente figura:

227

• Comenta con tu Maestr@ que las situaciones planteadas en el apartado de “observa” se pueden contestar ahora de manera abstracta. RESUELVE LAS SIGUIENTES SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Situación problemática

• Una cancha de futbol profesional tiene 105 m de largo por 68 m de ancho y en una escuela primaria, la cancha de futbol mide 63 m de largo y 40.8 m de ancho. Los integrantes del grupo de 6º grado quieren comparar las dimensiones de la cancha de su escuela y las medidas profesionales. a.- ¿Qué fracción representa la relación entre el largo de la cancha de la escuela y el de la cancha profesional? b.- ¿Qué pareja de fracciones pueden ser equivalente? Escríbelas y dibújalas. c.- ¿Cuál es la mínima expresión de la fracción que representa la relación entre el largo de la cancha escolar y el de la cancha profesional?

Situación problemática

• Las integrantes del equipo de futbol femenil de nuestro Estado estimaron la distancia de los pasos más grandes que puede dar cada jugadora durante un partido, y calcularon que sería de un máximo aproximado de 50 centímetros. a.- ¿Qué fracción de un metro representa un paso de 50 cm? b.- ¿Qué fracción de dos metros representa tres de esos pasos? c.- ¿Qué fracción de cinco metros representa cuatro de dichos pasos? d.- ¿Qué fracción del largo de la cancha escolar representa un paso? e.- ¿Qué fracción del largo de la cancha profesional representa un paso?

228

Situación problemática

• Alfredo compró 20 libros; por un libro pagó $10; por dos, $20; por tres, $40; por cuatro, $80, y así sucesivamente. a.- ¿Cuánto pagó por 10 libros? b.- Sucesión: • Una máquina costó inicialmente $24 480, al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años más, volvió a venderse a la mitad y así sucesivamente. a.- ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario? b.- Sucesión: • Un triángulo que tiene un área de 256 centímetros cuadrados se dividió en cuatro partes iguales y una de ellas se coloreó. Otra de las partes se volvió a dividir en cuatro partes iguales, y nuevamente se pintó una de las partes y otra se dividió en cuatro partes iguales y se coloreó una. a.- ¿Cuál es el área coloreada?

b.- Procedimiento:

c.- El área coloreada es de:

d.- Sucesión: 256, 64, 16, 4 _____________________________________.

229

Situación problemática

• Para la construcción de una caseta, en una carretera se usaron siete costales de 2.71 kilogramos de cemento; seis bultos de 5.12 kilogramos de arena, once costales de 4.38 kilogramos de grava y tres bolsas de 1.65 kilogramos de cal. a.- ¿Cuántos kilogramos de cemento se utilizaron en la construcción? b.- ¿Cuántos kilogramos de arena se necesitaron? c.- ¿Cuántos kilogramos de grava emplearon? d.- ¿Cuántos kilogramos de cal se usaron en la construcción? e.- Si se planean construir varias casetas más a lo largo de la carretera, ¿qué cantidad de material se requiere?

Material

Cantidad Cantidad Cantidad Cantidad empleada en una empleada en diez empleada en cien empleada en mil caseta casetas caseta casetas

Grava Arena Cemento Cal

f.- ¿Hacia dónde se recorrió el punto decimal en cada columna? g.- ¿Cuántos lugares se recorre el punto decimal cuando se multiplica por 100? h.- ¿Cuántos lugares se recorre el punto decimal cuando se multiplica por 1 000?

Situación problemática

• Las recetas son un recurso que podemos utilizar para trabajar cantidades que varían proporcionalmente.

Marilú invitó a sus 15 amigas de la escuela a su fiesta de cumpleaños y quiere hacer un pastel, pero la receta que tiene es para 6 personas. Ayúdenle a completar la receta para 15 personas.

230

Para 6 personas

Para 15 personas

Harina

400 gramos

Harina

Huevos

Azúcar

200 gramos

Azúcar

Leche

1/4 litro

Leche

Pasas

50 gramos

Pasas

Esencia de vainilla

4 gotas

Esencia de vainilla

a.- ¿Qué procedimientos realizaste para encontrar las respuestas de los siguientes productos?

Harina

Huevos

Azucar

b.- ¿Cómo representarías gráficamente la cantidad que se requiere para 15 personas? Leche

Pasas

231

Esencia de vainilla

c.- ¿A qué dificultades de enfrentaste?

Situación problemática

• A 900 personas se les hace la siguiente pregunta: ¿conoce usted el nombre de la capital de Turquía? El 35% respondió correctamente: Ankara. a.- ¿Cuál es el número de personas que conoce el nombre de la capital de Turquía? b.- ¿Cuál es el porcentaje de personas que lo ignoran? c.- ¿Cuál es el número de personas que ignoran el nombre de la capital de Turquía? d.- ¿De qué manera pudieras representar pudieras usar las fracciones equivalentes para calcular el número de personas que respondieron correctamente? e.- ¿De qué manera pudieras representar pudieras usar las fracciones equivalentes para calcular el número de personas que ignoraron las respuesta?

232

Situación problemática

• En equipos de dos personas, resuelvan las siguientes situaciones: a.- Juan, Lupita y José reunieron $30; pusieron 5, 10 y 15 pesos, respectivamente, y compraron una bolsa con 30 caramelos. Si repartieron los caramelos de acuerdo con la cantidad de dinero que aportaron. • ¿Cuántos caramelos le tocaron a cada uno? • ¿A quién le tocó más? • ¿A quién le tocó menos? • Expresen en forma de fracción la parte de los caramelos que le tocó a cada uno.

b.- Víctor fue a comprar mantequilla. Su mamá le recomendó que comprara la más barata. El señor de la tienda le mostró los tres paquetes con el peso y los gramos:

100 gramos $3

150 gramos $3.50

233

250 gramos $7

• ¿Cuál debe comprar Víctor si le hace caso a su mamá?

c.- En la tienda de doña Juana venden dos tipos de jugo en sobre para preparar.

Sobre A, 50 g. 1 litro, $1.50. Sobre B, 100 g. 1 ½ litros, $2.50.

• ¿Cuál conviene comprar? • Compara las cantidades de cada sobre. ¿Cuántos gramos más tiene el sobre B comparado con el A? • ¿Cuántas veces más? • Compara lo que rinde cada sobre de jugo. ¿Cuántos litros rinde el jugo B? • ¿Qué parte representa lo que rinde el jugo A con respecto a lo que rinde el jugo B? • Doña Juana le ofrece a Pedro la promoción del jugo B: dos sobres por $4.50, ¿cuál le conviene comprar?

Situación problemática

• En el grupo de quinto A reprobaron 7 alumno. En el grupo de quinto B reprobaron 10. ¿En qué grupo hay más alumnos reprobados? ¡Cuidado! Para poder contestar hace falta más información. a.- ¿Qué información crees que falta?

234

b.- El grupo A tiene 14 alumnos y reprobaron 7. El grupo B tiene 50 alumnos y reprobaron 10. ¿En qué grupo reprobaron más alumnos? c.- El grupo C tiene 40 alumnos y reprobaron 8. ¿Reprueban más niños en el grupo B o en el C? ¿Cómo lo averiguaste? d.- En el grupo D reprobó 1/10 del grupo. En el grupo E reprobaron 2/5 del grupo. ¿En qué grupo reprobaron más alumnos? ¿Qué parte del grupo A reprobó? e.- Representa la parte que reprobó en los grupos B y C como se muestra (la superficie de cada circulo representa la grupo completo).

7 reprobados

Grupo A Total: 14 alumnos.

Grupo B

Grupo C

Hay muchas situaciones en las que lo que interesa de una cantidad es qué parte representa de otra cantidad y no tanto conocer el número de elementos. Las fracciones permiten expresar esta relación entre una parte y un todo.

235

Situación problemática

• Según el censo de población de 1990, la población total del Área Metropolitana de la ciudad de México tiene 15 002 838 habitantes. Aproximadamente uno de cada tres habitantes es menor de 15 años, tres de cada cinco tiene entre 15 y 64 años. Responde lo más aproximadamente posible: a.- ¿Qué fracción de la población del censo es menor de 15 años? b.- ¿Qué fracción tiene entre 15 y 64 años? c.- ¿Qué fracción tiene más de 64 años? d.- ¿Cuántos habitantes del censo tienen menos de 15 años? e.- ¿Cuántos habitantes tienen entre 15 y 64 años? f.- Representen los tres sectores de edad en que se dividió la población del censo en un diagrama circular.

Sector 1

Situación problemática

Sector 2

Sector 3

• Luis y otros dos amigos se repartieron una salchicha en partes iguales. Nora y sus cinco amigas se repartieron también una salchicha en partes iguales. a.- ¿Cuánto le tocó a Luis? _________________. b.- ¿Cuánto le tocó a Nora? ___________________. c.- ¿A quién le tocó más, a Luis o a Nora?, ¿Cuánto más le tocó? __________________. d.- ¿Cuánto comieron entre los dos? _________________________.

236

• Si cada una de las salchichas media 12 cm de largo: e.- ¿Cuántos centímetros de largo tenía el pedazo de salchicha que se comió Luis? _______. f.- ¿Cuántos centímetros de salchicha comió Nora? __________________________. g.- ¿Cuántos centímetros de salchicha comieron entre los dos? ____________________.

Situación problemática

• En un grupo de 5° grado, los estudiantes midieron el tiempo que tarda en caer un balón desde el balcón del primer piso de la escuela. Sin embargo, cuando cada niño medía el tiempo, el dato que obtenía era diferente. Ellos decidieron entonces medir varias veces el tiempo que tarda en caer y al final calcular la media o promedio y la moda. Los datos registrados en segundos fueron: 0.77, 1.01, 0.82, 0.95, 1.12, 0.91, 0.88, 1.14, 0.77 y 0.97. a.- ¿Cuántos datos obtuvieron? b.- ¿Cuántos datos se necesitan para calcular la media? c.- ¿Cuánto suman todos los datos registrados? d.- ¿Cuál es el tiempo promedio de caída del balón desde el primer piso? e.- ¿Cuál es la moda en el conjunto de datos que obtuvieron los niños? f.- ¿Cuántos datos se consideran con la moda?

237

Situación problemática

• Mi rana dio tres saltos para llegar al charco. En el primero saltó medio metro, en el segundo tres cuartos de metro, y en el último siete octavos de metro. a.- ¿Cuánto saltó el total? b.- ¿Cuál de los tres saltos es el mayor? c.- ¿Cuál es el menor? d.- ¿Cuál es la diferencia entre el salto más grande y el más chico?

238

• Para finalizar ahora realizarás una serie de prácticas matemáticas que reforzarán la consolidación y dominio del aprendizaje esperado.

Práctica

• Dibuja los símbolos y escribe las cantidades correspondientes para obtener las cifras. Observa los ejemplos. 8 000

5 x 8 000 = 4 x 400 = 6 x 20 = 10 X 1 =

400 20 1

40 000

41 730

8 000 400 20 1

Práctica

8 x 8 000 = 0 x 400 = 15 x 20 = 3X1=

8 000 = 64 000

• Completa las sucesiones y contesta. a.- 3, 9, 27,_______________ ,_________________ ,___________________ ,_______________ , 6 561,_____________________ , 59 049 b.- ¿Cuál es la razón en esta sucesión?

c.- ¿El 531 441 pertenece a esta sucesión?

239

d.- ¿Cómo se puede saber esto?

f.- 5, 25, 125,_____________________ ,_______________________ ,____________________ , 78 125, 390 625,_____________________ ,___________________________, g.- ¿Cuál es la razón en esta sucesión?

h.- ¿Cuál de los números 244 140 125 o 244 140 625 pertenece a la sucesión:

Práctica

• Realiza las sumas de acuerdo con la multiplicación que aparece. • Realiza las sumas de acuerdo con la multiplicación que aparece. 4.125 × 3

5 × 7.28

2 × 303.606

240

92.47 × 6

• Escribe la multiplicación y la suma que resuelven cada problema y el resultado Problema

Multiplicación

Suma

Resultado

Elena compró cinco cuadernos de $9.50 cada uno. ¿Cuánto pagó por ellos? Mario dio tres vueltas a una pista que mide 0.4 km. ¿Cuántos kilómetros corrió? Un plomero instaló una tubería con cuatro tramos de 0.75 m de tubo. ¿Cuánto mide la tubería? ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado que mide 6.236 metros de cada lado?

Práctica

• Completa las sucesiones y contesta las preguntas. a.- 3, 9, 27, ______________ , ______________, _______________ , _____________ , 6 561, _______________ , 59 049. b.- ¿Cuál es la razón en esta sucesión? c.- ¿El 531 441 pertenece a esta sucesión? ¿Cómo puedo saber eso? d.- 5, 25, 125, _____________, _____________, _______________, 78 125, 390 625, ___________________ , ___________________ … e.- ¿Cuál es la razón en esta sucesión? f.- ¿Cuál de los números 244 140 125 o 244 140 625 pertenece a la sucesión?

241

Práctica

• Observa el mapa y anota las coordenadas aproximadas de las ciudades.

a.- La Paz Latitud__________ norte_____________ Longitud _________oeste____________ b.- Hermosillo Latitud__________ norte_____________ Longitud _________oeste____________ c.- San Luis Potosí Latitud__________ norte_____________ Longitud _________oeste____________ d.- Distrito Federal Latitud__________ norte_____________ Longitud _________oeste____________

242

Práctica

• Determina las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. A.- _____. B.- _____. C.- _____. D.- _____. E.- _____. • Localiza los siguientes puntos. F.- (6, 30). G.- (1, 90). H.- (4, 120). I.- (4, 210). J.- (5, 300).

90° 120°

150°

60° A

B C

180°

210°

330°

270°

Práctica

0°

240°

30°

300°

•Cuando un producto está en oferta se muestra el porcentaje que se descontará de este. a.- Escribe el precio de cinco productos diferentes y obtén 10%, 15%, 20%, 25% y 50% de descuento de cada uno. 10% Producto:

15% Producto:

20% Producto:

243

25% Producto:

50% Producto:

Práctica

• De un tanque lleno de gasolina se utilizaron dos quintos y luego tres décimos del combustible. a.- ¿Cuánto se utilizó en total? b.- Si el tanque tiene 100 litros ¿cuántos litros quedan? c.- ¿Qué parte del tanque ocupan? • Dos vagones descargan petróleo. El primero descarga un tercio de su capacidad y el segundo tres quintos. a.- ¿Cómo se puede saber cuál descargó más? b.- ¿Qué información requieres para contestar la pregunta? c.- Si los vagones tienen las misma capacidad: ¿Cuál descargó más? ¿Cuánto más?

Práctica

• Para la siguiente práctica, puedes utilizar la calculadora. 9.1.- Encuentra los términos faltantes de las siguientes sucesiones: a.- 1, 4, 16, _____, 256, 1024, 4096, _____, _____, … b.- 4, 28, 196, 1372, _____, _____, _____, 3294172, … 9.2.- ¿Cómo encontraste los términos faltantes en cada sucesión? 9.3.- En un estadio de futbol, los patrocinadores de los equipos que jugaron al final regalaron una camiseta y una gorra autografiadas por los jugadores a los aficionados cuyos boletos de entrada pertenecerán a la siguiente sucesión: 9, 27, 81, 243, 729, 2187, … a.- Si Mario tiene el boleto 19 683, ¿se ganó la camiseta y la gorra? Argumenta tu respuesta: b.- En caso de haber ganado los premios, ¿en qué lugar estaría el boleto de Mario? 9.4.- Algunos folios de los boletos fueron exhibidos en la entrada del estadio:

244

25 89, 36 890, 59 049, 63 564, 177 147, 531 441 a.- ¿Cuáles corresponden a los ganadores de la gorra y la camiseta? b.- ¿Cómo determinaron los patrocinadores a quién le regalarían la camiseta y la gorra? 9.5.- Más de 500 000 estudiantes a nivel nacional presentaron examen para ingresar a la universidad; algunos de los exámenes son idénticos en la sección de matemáticas. Los siguientes son algunos de los folios de alumnos que presentaron examen en el mismo grupo: Primer asiento

Folio

Segundo asiento

Folio

Tercer asiento

Folio

208

a.- Si Josefina presentó examen en este grupo y su totalidad tenía el folio 212 992, ¿qué asiento le correspondió? b.- Si su amiga Norma tenía el folio 79 768, ¿estaría en este grupo?, ¿por qué? c.- ¿Cómo determinaron los aplicadores los folios de los exámenes para organizar los grupos? 9.6.- Algunos folios de los aspirantes que presentaron examen en el grupo 6 son los siguientes: Primer asiento

Segundo asiento

Tercer asiento

Cuarto asiento

Quinto asiento

a.- ¿Cómo determinaron los aplicadores los folios para los exámenes de este grupo? b.- ¿Qué folio le corresponde al asiento 10?, ¿y al 17? Argumenta tu respuesta con un procedimiento gráfico:

245

Práctica

• Para la siguiente práctica, resuelve el siguiente problema sin usar la calculadora. Ramiro trabaja en la papelería de barrio y tiene que estar muy atento a lo que debe cobrar, pues si le falta dinero lo paga de su salario. Copias carta

$ 0.50

Copias oficio

$ 0.75

Engargolado

$ 13.50

$ 4.90

a.- Una persona pidió 8 fotocopias tamaño oficio y 8 CD. ¿Cuánto deberá cobrarle en total? b.- Otra persona pidió 3 CD y 5 fotocopias tamaño carta. ¿Cuánto le deberá pagar? c.- Cheli le pidió a Ramiro 23 fotocopias tamaño oficio y que las engargolara. Pagó con un billete de $50. ¿Cuánto debe regresarle de cambio?

246

Matt, Ya me enteré que muy pronto tú y nuestros amigos de quinto grado saldrán de vacaciones.

Pues no tanto. Pero de lo que si estoy seguro es que en este ciclo escolar aprendí mucho.

¿Qué tengo que hacer si quiero multiplicar un número decimal por un número natural?

Así es. El procedimiento para multiplicar números decimales es el mismo que se utiliza para dos números naturales, únicamente se cuentan las cifras decimales para colocar el punto en el producto.

Así es Pit. Aunque todavía nos falta terminar el último bloque y las evaluaciones finales.

¿Qué aprendizaje esperado fue el que te gustó más? ¿Y a ustedes amigos? _________________________ _________________________

Si se quiere multiplicar un número decimal por un número natural, el resultado puede obtenerse sumando el número decimal tantas veces como indique el número natural. Así mira: Ejemplo: en 1.21 × 3, el resultado se obtiene sumando tres veces 1.21, es decir: 1.21 + 1.21 + 1.21 = 3.63

Puede ser así: 1.21 x 3 3.63

247

Escriban algunos ejemplos con su Maestr@ para enfatizar en cómo se alinea el punto decimal en la suma y cómo se coloca en el producto a partir del número de cifras decimales en los factores.

¡Felicidades!

Concluiste las situaciones problemáticas de la actividad integradora del Boque V. ¡Felicidades! Has terminado las 5 actividades integradoras. Con el desarrollo de estas actividades, con mucho esfuerzo y motivación de tu parte adquiriste habilidades, destrezas y actitudes hacia las matemáticas. Preparémonos para las vacaciones.

248

Lista de cotejo para el docente.

BLOQUE IV Aprendizaje esperado: a.- Explica las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y un sistema posicional o no posicional. b.- Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales. c.- Resuelve problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética o geométrica. d.- Resuelve problemas que implican multiplicar números decimales por números naturales. Aprendizajes clave Número: a.- Comparar el Sistema Decimal de Numeración con otros sistemas. b.- Determinar y usar múltiplos y divisores de números naturales. Problemas multiplicativos: a.- Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales y cociente fraccionario o decimal. Figuras geométricas: a.- Construir círculos a partir de diferentes condiciones. Magnitudes y medidas: a.- Calcular el perímetro de polígonos y del círculo. Proporcionalidad: a.- Calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con números naturales, con constante natural o fracciones sencillas (1/2, 3/4, etcétera).

249

Indicador Logrado 1.- Trabajé situaciones problemáticas que tienen como base los conocimientos previos o herramientas matemáticas que mis alumnos poseen. 2.- Ofrecí experiencias significativas que generan movilización de saberes y la adquisición de otros. 3.- Trabajé inicio, desarrollo y cierre durante mi secuencia didáctica. 4.- Le di a conocer a mis alumnos el título de la situación problemática, aprendizaje esperado, aprendizaje y clave. 5.- Consideré la previsión de recursos y la organización del tiempo adecuado. 6.- Manejé diferentes formas de organización durante mi secuencia. 7.- Trabajé actividades que permiten experiencias diversas como contextos familiar, social y cultural. 8.- Lo que se aprendió durante la secuencia didáctica tiene aplicación en otros contextos. 9.- Logré revisar, analizar y reflexionar con mis alumnos cada situación problema durante la etapa concreta, pictórica y abstracta 10.- Manejé actividades secuenciadas, estructuradas y articuladas en 3 etapas (inicio, desarrollo y cierre) con una intención educativa. 11.- Durante el bloque trabajé: Sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida, manejo de la información y actitud hacia el estudio de las matemáticas. 12.- Durante la secuencia promoví que el alumno formulara y validara conjeturas. 13.- Durante la secuencia promoví que el alumno se planteara nuevas preguntas. 14.- Promoví que el alumno comunicara, analizara e interpretara procedimientos de resolución de problemas. 15.- Promoví que el alumno buscara argumentos para validar sus procedimientos. 16.- Analicé las similitudes y diferencias entre el sistema decimal de numeración y el sistema maya. 17.- Utilicé la expresión n/m para representar el cociente de una medida entera (n) entre un número natural (m)

250

No logrado

Sugiero que:

Indicador 18.- Desarrollé la identificación de la regularidad en sucesiones con números que tienen progresión geométrica, para establecer si un término (cercano) pertenece o no a la sucesión. 19.- Promoví la resolución de problemas que implican multiplicaciones de números decimales por números naturales, con el apoyo de la suma iterada. 20.- Mis alumnos distinguen entre círculo y circunferencia; su definición, diversas formas de trazo e identificación de elementos como: radio, diámetro y centro. 21.- Desarrollé la interpretación de sistemas de referencia distintos a las coordenadas cartesianas. 22.- Manejé la relación del tanto por ciento con la expresión “n de cada 100”. Relación de 50%, 25%, 20%, 10% con las fracciones 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, respectivamente. 23.- Se desarrolló en cálculo de la media (promedio) analizando su pertinencia respecto a la moda como dato representativo en situaciones diversas.

251

Logrado

No logrado

Sugiero que: