1
Un agricultor por causa de algunos animales que están invadiendo su parcela decide encerrarla utilizando metros de alambre y bloques delgados de cemento, pero tiene un problema, no sabe cuántos metros de alambre y bloques debe comprar para cubrir por completo todo su terreno.
¿Cómo podrías ayudarlo? Para saber qué forma tiene su parcela él junto con su esposa y sus dos hijos se separan para ubicarse en puntos diferentes de la montaña más alta cercana a su terreno, cada uno observó formas diferentes: el agricultor un rectángulo, su hijo mayor un triángulo, su hija un cuadrado, pero al ver la parcela de nuevo observó un rombo, su esposa, primero dibujó un trapecio y al asegurarse de haber hecho su dibujo bien observó otra figura, un romboide.
Para saber cuántos metros de alambre y bloques se necesitan para rodear éstas figuras la familia tuvo que reunirse y recordar algunas de sus características.
CONCEPTOS
El cuadrado tienen cuatro lados iguales, a diferencia del rectángulo, todos sus lados tienen la misma medida.
El rectángulo tiene cuatro lados, sus lados opuestos tienen la misma medida, es decir, los lados más largos miden lo mismo y los lados más cortos miden lo mismo.
El romboide tiene sus lados opuestos paralelos, estos lados paralelos tienen la misma medida.
El rombo tiene todos sus lados iguales y sus diagonales se intersectan perpendicularmente.
Para cualquier triángulo que tengamos siempre los lados a rodear serán tres.
El trapecio tiene 4 lados, para cualquier trapecio sus lados opuestos siempre serán paralelos.
Como cada lado de una figura debe tener una medida, la familia decide asignarle valores a cada una sus figuras observadas.
Si por cada metro de terreno se debe agregar un metro de alambre y un bloque de cemento ¿cuántos metros de alambre y cuántos bloques debe comprar el agricultor para cubrir cada una de las posibles formas que puede tener su parcela?
CONCEPTOS
2
Todos los lados tienen la misma medida en metros, sumándolos se tiene 6+6+6+6 = 24 metros El cuadrado Aplicando la misma condición de las figuras anteriores. 6+6+6+6 = 24 metros de alambre. 6+6+6+6 = 24 bloques de cemento. Se suman todos los lados del rectángulo, tiene 4 lados, por lo tanto tiene 4 medidas 10+4+10+4 = 28 metros. El rectángulo Ahora por cada metro de las figuras se agrega un metro de alambre y un bloque de cemento, entonces 10+4+10+4 = 28 metros de alambre. 10+4+10+4 = 28 bloques de cemento.
El romboide
Tiene 2 lados que miden 5 metros y dos que miden 3 metros, sumando todos sus lados se obtiene 5+3+5+3 =16 metros La misma condición del rectángulo se cumple para el triángulo. 5+3+5+3 = 16 metros de alambre. 5+3+5+3 = 16 bloques de cemento.
El rombo
Tiene 4 lados iguales, sumándolos se tiene 5+5+5+5 = 20 metros Es decir, 5+5+5+5 = 20 metros de alambre. 5+5+5+5 = 20 bloques de cemento.
El triángulo
Tiene 2 lados que miden 9 metros y uno que mide 5 metros, sumando todos sus lados se obtiene 8+5+8 =21 metros La misma condición del rectángulo se cumple para el triángulo. 9+5+9 = 23 metros de alambre. 9+5+9 = 23 bloques de cemento.
El trapecio
En este caso tiene dos lados que miden lo mismo y dos lados paralelos con diferente medida, entonces se tiene 5+6+12+5 = 29 metros. Finalizando se tiene 5+6+12+5 = 29 metros de alambre y 5+6+12+5 = 28 bloques de cemento.
El resultado que obtuvimos al sumar los lados de cada figura con el fin de saber cuántos metros tenía en total para poder agregar los metros de alambre y bloques necesarios para cubrirlas a su alrededor, recibe el nombre de PERÍMETRO.
CONCEPTOS
3
4
De forma general, decimos que para cualquier figura geométrica, el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados que la conforman.
Como todos los lados de la figura geométrica se miden en una unidad específica (centímetros, metros, kilómetros, etc.), el perímetro tiene la misma unidad de medida de los lados que componen la figura.
CONCEPTOS
1
Ahora al agricultor se le presenta otra dificultad; no sabe cuánta área tiene su parcela para repartirla equitativamente y empezar a cultivar. Por tal razón decide dividir cada figura obtenida en cuadraditos de un metro de largo por un metro de ancho, y luego contar cuántos cuadraditos tendría en total.
El área que tiene el rectángulo es de 40 cuadrados de un metro de alto por un metro de ancho. Pero su hijo mayor observó que ese resultado se obtenía si se multiplicaba la altura de la figura por el ancho de la figura. Al agricultor no le interesó tanto esa apreciación de su hijo y siguió contando los cuadraditos del cuadrado.
De ésta figura se obtienen 36 cuadritos de un metro de ancho por un metro de largo. Asombrada su hija le asegura que para obtener el total de cuadritos que conforman el cuadrado, se multiplica la altura por el ancho de la figura. El agricultor estaba feliz de saber que para hallar el área de cada parcela lo único que tenía que hacer era multiplicar la altura por el ancho de cada una de ellas.
CONCEPTOS
¿Tenía razón? El romboide parecía un rectángulo, pero no conocían la altura del romboide, por tal motivo su esposa decide que la mejor opción es trazar una línea vertical que vaya desde el lado superior hasta el lado inferior. Observemos:
Pero algo interesante observó ella, con la división se formaba un triángulo, entonces se preguntó, ¿qué pasa si traslado ese triángulo al otro lado izquierdo del romboide?, ¿qué figura puedo formar con ese triángulo?
Ella estaba en lo correcto, había transformado su romboide en un rectángulo y la superficie que encontraran iba a ser igual a la superficie del romboide.
CONCEPTOS
2
El rectángulo está formado por 10 cuadritos, de un metro de ancho por un metro de largo, es decir, el área del romboide se halla multiplicando el ancho por el alto de la figura.
Al analizar el rombo, se dieron cuenta que parecía un cuadrado, pero no podían interpretarlo de la misma forma, no conocían la altura ni el ancho de la figura, es por esto que al agricultor pensando en el rombo, se le ocurrió trazar una línea vertical y otra línea horizontal tales que unieran cada una dos extremos del rombo, éstas se llaman diagonales.
Con estas líneas se formaron 4 triángulos. ¿Es posible rotar estos triángulos de tal forma que se pueda formar un rectángulo o un cuadrado?
CONCEPTOS
3
4
La superficie del rombo estĂĄ formada por 24 cuadritos pequeĂąos, pero ÂżhabrĂĄ otra forma de hallar la superficie del rombo?, se conoce la altura que estĂĄ formada por 8 cuadritos, pero no se conoce el ancho. “Observemos de nuevo la figura que se formĂł al trasladar los triĂĄngulosâ€?
El rectĂĄngulo grande estĂĄ formado por 48 cuadritos pequeĂąos. La hija del agricultor afirma: “Se tiene un rectĂĄngulo grande formado por dos rectĂĄngulos de igual medida pero mĂĄs pequeĂąos; el ancho y alto del rectĂĄngulo de cada rectĂĄngulo miden respectivamente 3 y 8 metros, porque es la mitad del otro, sumando el ancho de los dos rectĂĄngulos obtenemos el ancho del romboâ€?.
Si se toma la diagonal del ancho (Da) y la diagonal de la altura (Dal) se puede hallar el ĂĄrea del rombo con el siguiente algoritmo:
(Dđ?‘Ž . Dđ?‘Žđ?‘™ ) (6 . 8) 48 = = = 24 cuadrados 2 2 2
Sus hijos dividieron el triĂĄngulo pero no pudieron contar los cuadritos, algunos salĂan incompletos, tampoco pudieron multiplicar la altura por el ancho del triĂĄngulo por que no conocĂan cuĂĄl era el largo de ĂŠste.
CONCEPTOS
5
Así que juntos decidieron que la mejor opción era tratar de completar esos cuadritos. ¿Cómo podrían hacerlo? Formando una figura que tuviera la misma medida de ancho y alto de sus lados opuestos. Observemos:
Pero, ¿cómo saber cuánto mide la altura de esta nueva figura? La esposa del agricultor afirma que la altura de esa figura es 7 metros, dado que la superficie de ella se encuentra dividida en pequeños cuadrados de un metro de alto por un metro de ancho y si sumamos esos 7 lados que conforman el largo obtendremos en total 7 metros.
CONCEPTOS
6
Se observa rápidamente que la nueva figura es un rectángulo, sus lados opuestos tienen la misma medida.
El agricultor estaba preocupado ya que sabía que la superficie del rectángulo estaba conformada por 35 cuadraditos, pero no se sabía cuál era el área de su triángulo.
Su hijo se observó durante unos minutos la figura, de repente, con gran alegría le dice a su familia:
“El rectángulo está formado por 3 triángulos, el observado desde la montaña se encuentra ubicado en el centro del gran rectángulo y los otros dos se encuentran a los lados y tienen la misma medida de alto y ancho”.
Observemos !!!
Se sabe que el rectángulo está formado por dos triángulos de iguales medidas, (el observado y el construido con los triángulos de los extremos), es decir, está dividido en 2 triángulos, además su superficie está conformada por 35 cuadritos, pero necesitamos hallar la superficie del triángulo observado.
CONCEPTOS
7
Por lo tanto, lo correcto es dividir el área del rectángulo entre dos y de está forma se obtendrá el área del triángulo observado.
Es decir, 35/2 = 17,5 cuadrados.
Satisfecho el agritultor afirma que ya sabe como hallar el área de la última figura.
“No es un rectángulo, tampoco es un cuadrado, pero se puede formar un rectángulo con el lado paralelo más corto”. Al hacer esto el agricultor observa que se forman dos triángulos preguntándose ¿y si aplicamos lo hecho con el triángulo y trasladamos el triángulo izquierdo y lo unimos con el derecho?
Aunque no consiguió nada, su esposa pensó que la idea no había sido del todo equivocada, formó un triángulo con la figura y observó que se podía formar un otro triángulo si recortaba una parte del trapecio desde la esquina superior izquierda hasta la mitad del lado derecho del trapecio, observemos lo que hizo:
CONCEPTOS
8
Teniendo ya un triángulo con la misma superficie del trapecio, se pueden construir dos triángulos que ayuden a formar el rectángulo, de esta forma será muy sencillo contar cuántos cuadritos hay en la superficie del rectángulo.
CONCEPTOS
El rectángulo construido está dividido por 72 cuadritos, es decir, su área es 72 m2. La hija del agricultor afirma que esa superficie se puede obtener de la misma forma que se usó con el rectángulo por que se tiene la medida de la altura y del ancho, 4 . 18 =72 El agricultor dijo con gran sorpresa: “es el mismo proceso del triángulo, unamos los dos triángulos que no hacen parte de la superficie del trapecio y formemos uno nuevo, ya que esté tendrá las misma medidas del triángulo construido. Despúes multipliquemos el ancho por el alto y ese resultado lo dividimos entre dos, de ésta forma obtendremos la superficie del trapecio”.
Realizando la operación se obtiene 18 ∗ 4 72 = = 36 cuadrados 2 2
¿De qué otra forma se pudo haber hallado el área del trapecio si tenemos las medidas de sus lados?
CONCEPTOS
9
10
En el dibujo se ven las divisiones hechas al trapecio para poder formar un triángulo junto con las medidas que conservó, 12 metros es la medida del ancho mayor y 6 metros la medida del ancho menor ésta última cambió de posición al rotar el triángulo que se recortó.
“El ancho del triángulo se divide en dos medidas, estas son las medidas de los lados paralelos del trapecio, entonces el proceso pudo haber sido simplemente sumar estas dos medidas y despues sí aplicar lo que encontramos en el análisis del triángulo”.
Es decir, [(12 + 6) . 4] 18 . 4 72 = [ ] = = 36 cuadrados 2 2 2
Podemos observar de manera geométrica las diferentes formas de hallar el área de las figuras planas básicas.
La medida de la superficie hallada para cada una de las figuras geométricas trabajadas recibe el nombre de ÁREA.
CONCEPTOS
De forma general, se pueden obtener las ĂĄreas de las diferentes figuras geomĂŠtricas planas asĂ:
Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’„đ?’–đ?’‚đ?’…đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’? = (đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?’™ đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’?) = đ?’? . đ?’? = đ?’?đ?&#x;?
Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’“đ?’†đ?’„đ?’•ĂĄđ?’?đ?’ˆđ?’–đ?’?đ?’? = (đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’† đ?’™ đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚) = đ?’ƒ . đ?’‚
Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’•đ?’“đ?’ŠĂĄđ?’?đ?’ˆđ?’–đ?’?đ?’? = (
Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’“đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’? = (
Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘œ = (
đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’† đ?’™ đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’ƒ.đ?’‚ )= đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?‘Ťđ?’Šđ?’‚đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’‚đ?’? đ?&#x;? đ?’™ đ?‘Ťđ?’Šđ?’‚đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’‚đ?’? đ?&#x;? đ?‘Ťđ?&#x;? . đ?‘Ťđ?&#x;? )= đ?&#x;? đ?&#x;?
(đ??ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; + đ??ľđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; ). đ?‘Ž (đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; + đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;) đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž )= 2 2
Como toda figura geomĂŠtrica tiene unidades de medida (centĂmetros, metros, kilĂłmetros, etc.) el ĂĄrea siempre se obtiene en unidades cuadradas (centĂmetro2 , metro2 , kilĂłmetro2 ), Âżpor quĂŠ?, recordemos que la potencia es el nĂşmero que me indica la cantiadad de veces que se multiplica un nĂşmero por si mismo, usemos la unidad de medida metros, para calcular el ĂĄrea de un cuadrito pequeĂąo de un metro de ancho por un metro de alto, su ĂĄrea serĂĄ 1đ?‘š ∗ 1đ?‘š = 1 đ?‘š2
CONCEPTOS
11